Step1
1 波の基本公式
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「波の伝わり方と基本要素」です。波を表す基本的な物理量の関係を理解しているかが問われています。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 波の基本公式: \(v = f\lambda\) （速さ \(=\) 振動数 \(\times\) 波長）
- 振動数の定義: 1秒間に波源が振動する回数、または1秒間に通過する波の数。
- 有効数字の扱い: 物理量の測定値に基づいた適切な桁数で答えを表すこと。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- 問題文で与えられた数値（波長、速さ）を、物理量の記号（\(\lambda, v\)）と対応させます。
- 波の基本公式 \(v = f\lambda\) を変形し、求めたい物理量（振動数 \(f\)）を計算する式を立てます。
- 数値を代入して計算し、有効数字を考慮して解答します。
思考の道筋とポイント
まず、問題文から与えられた情報を整理します。「波長が \(0.50 \, \text{m}\)」より \(\lambda = 0.50 \, \text{m}\)、「速さが \(340 \, \text{m/s}\)」より \(v = 340 \, \text{m/s}\) です。
求めるものは「振動数」なので、これを \(f \, [\text{Hz}]\) と置きます。
これら3つの量 \(v, f, \lambda\) を結びつけるのが、波動分野で最も基本的かつ重要な式である「波の基本公式」です。
この設問における重要なポイント
- 波の基本公式 \(v = f\lambda\): この式は、「波の速さ（1秒間に進む距離）」は、「1秒間に送り出される波の数（振動数）」と「波1個の長さ（波長）」の積に等しいことを表しています。
- 単位の確認: 速さは \([\text{m/s}]\)、波長は \([\text{m}]\)、振動数は \([\text{Hz}]\)（または \([1/\text{s}]\)）を用います。これらは基本単位系（SI単位系）で整合性が取れています。
- 有効数字: 与えられた数値 \(0.50\) は有効数字2桁、\(340\) もこの文脈では有効数字2桁（\(3.4 \times 10^2\)）として扱います。したがって、答えも有効数字2桁で表記する必要があります。
具体的な解説と立式
与えられた物理量は以下の通りです。
- 波長: \(\lambda = 0.50 \, \text{m}\)
- 速さ: \(v = 340 \, \text{m/s}\)
求める振動数を \(f \, [\text{Hz}]\) とします。
波の基本公式 \(v = f\lambda\) より、振動数 \(f\) を求めるために式を変形します。
$$ f = \frac{v}{\lambda} $$
使用した物理公式
- 波の基本公式: \(v = f\lambda\)
立式した式に数値を代入して計算を進めます。
$$ \begin{aligned} f &= \frac{340}{0.50} \\[2.0ex] &= 340 \div \frac{1}{2} \\[2.0ex] &= 340 \times 2 \\[2.0ex] &= 680 \end{aligned} $$
計算結果は \(680 \, \text{Hz}\) ですが、有効数字2桁で答えるために、科学的表記（\(a \times 10^n\) の形）に変換します。
$$ \begin{aligned} f &= 6.8 \times 10^2 \, \text{Hz} \end{aligned} $$
この計算が何をしているのか、イメージしてみましょう。「速さが \(340 \, \text{m/s}\)」ということは、波は1秒間に \(340 \, \text{m}\) だけ進みます。
一方、「波長が \(0.50 \, \text{m}\)」ということは、波1個の長さ（山から山までの距離）が \(0.50 \, \text{m}\) です。
では、1秒間に進んだ \(340 \, \text{m}\) の距離の中に、長さ \(0.50 \, \text{m}\) の波は何個入っているでしょうか？
これは単純な割り算 \(340 \div 0.50\) で求められますね。この「1秒間に含まれる波の個数」こそが、振動数 \(f\) の正体なのです。
思考の道筋とポイント
もし公式 \(v = f\lambda\) を忘れてしまっても、それぞれの言葉の「定義」に立ち返れば答えを導き出すことができます。物理では公式の暗記以上に、定義の理解が重要です。
この設問における重要なポイント
- 速さ \(v\) の意味: 1秒間に波が進む距離。
- 振動数 \(f\) の意味: 1秒間に通過する波の個数。
- 波長 \(\lambda\) の意味: 波1個分の長さ。
具体的な解説と立式
速さが \(v = 340 \, \text{m/s}\) なので、波は1秒間に \(340 \, \text{m}\) 進みます。
この「1秒間に進む距離」は、「波の個数」\(\times\)「波1個の長さ」で構成されているはずです。
1秒間の波の個数が振動数 \(f\)、波1個の長さが波長 \(\lambda = 0.50 \, \text{m}\) なので、以下の関係が成り立ちます。
$$ \text{（1秒間に進む距離）} = \text{（振動数）} \times \text{（波長）} $$
$$ 340 = f \times 0.50 $$
これより、振動数 \(f\) を求める式は以下のようになります。
$$ f = \frac{340}{0.50} $$
使用した物理公式
- 速さと距離の定義
$$ \begin{aligned} f &= \frac{340}{0.50} \\[2.0ex] &= 680 \\[2.0ex] &= 6.8 \times 10^2 \, \text{Hz} \end{aligned} $$
例えば、長さ \(0.50 \, \text{m}\) の箱がベルトコンベアで運ばれているとします。ベルトコンベアが秒速 \(340 \, \text{m}\) で動いているとき、1秒間に何個の箱が目の前を通過するでしょうか？
「全体の長さ \(340 \, \text{m}\)」を「箱1個の長さ \(0.50 \, \text{m}\)」で割れば、箱の個数が出てきますね。これが振動数を求める計算そのものです。
2 正弦波の式の読み取り
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「正弦波の数式表現」です。波の変位を表す式から、その波の特徴（振幅、周期、波長）を読み取る力が問われています。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 正弦波の基本式: \(y = A \sin 2\pi \left( \frac{t}{T} – \frac{x}{\lambda} \right)\)
- 各パラメータの意味: \(A\) は振幅、\(T\) は周期、\(\lambda\) は波長を表します。
- 係数比較: 与えられた式と基本式を比較して、対応する数値を特定します。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- 問題文で与えられた波の式と、正弦波の基本式（一般式）を上下に並べて書きます。
- 式の形を見比べ、振幅 \(A\)、周期 \(T\)、波長 \(\lambda\) に相当する部分の数値を抜き出します。
思考の道筋とポイント
問題文には、時刻 \(t\) と位置 \(x\) の関数として波の変位 \(y\) が与えられています。
この式 \(y = 3.5 \sin 2\pi \left( \frac{t}{4} – \frac{x}{0.2} \right)\) は、一見複雑に見えますが、物理で扱う「正弦波の基本式」そのものです。
したがって、基本式を正確に記憶し、与えられた式と「形合わせ」をすることで、計算することなく答えを導き出すことができます。
この設問における重要なポイント
- 正弦波の基本式の形: \(x\) 軸の正の向きに進む正弦波の式は、以下の形で表されます。
$$ y = A \sin 2\pi \left( \frac{t}{T} – \frac{x}{\lambda} \right) $$
ここで、\(2\pi\) が括弧の外に出ている形が標準的です。 - 各項の対応関係:
- \(\sin\) の前の係数 \(\rightarrow\) 振幅 \(A\)
- \(t\) の分母 \(\rightarrow\) 周期 \(T\)
- \(x\) の分母 \(\rightarrow\) 波長 \(\lambda\)
- 符号の確認: \(t\) の項と \(x\) の項の間の符号がマイナス（\(-\)）であることは、波が \(x\) 軸の正の向きに進んでいることを示しています。
具体的な解説と立式
問題で与えられた式と、正弦波の基本式を比較します。
与えられた式:
$$ y = 3.5 \sin 2\pi \left( \frac{t}{4} – \frac{x}{0.2} \right) $$
正弦波の基本式:
$$ y = A \sin 2\pi \left( \frac{t}{T} – \frac{x}{\lambda} \right) $$
この2つの式を見比べることで、各物理量を決定します。
使用した物理公式
- 正弦波の式（\(x\) 軸正方向への進行波）: \(y = A \sin 2\pi \left( \frac{t}{T} – \frac{x}{\lambda} \right)\)
式を比較するだけで、計算の必要はありません。それぞれの位置にある数値を読み取ります。
1. 振幅 \(A\)
\(\sin\) の係数を比較します。
$$ A = 3.5 \, \text{m} $$
2. 周期 \(T\)
\(t\) の分母を比較します。
$$ T = 4 \, \text{s} $$
3. 波長 \(\lambda\)
\(x\) の分母を比較します。
$$ \lambda = 0.2 \, \text{m} $$
この問題は「間違い探し」ならぬ「同じ場所探し」のようなものです。
教科書に出てくる公式の「文字（\(A, T, \lambda\)）」の場所に、問題文の式の「数字」がすっぽりと収まっています。
- \(A\) の場所には \(3.5\) があるので、振幅は \(3.5 \, \text{m}\)。
- \(T\) の場所には \(4\) があるので、周期は \(4 \, \text{s}\)。
- \(\lambda\) の場所には \(0.2\) があるので、波長は \(0.2 \, \text{m}\)。
これだけで答えが分かります。
思考の道筋とポイント
問題によっては、式が \(2\pi\) で括られていない形（例: \(y = 3.5 \sin(1.57t – 31.4x)\)）で出題されることもあります。そのような場合にも対応できるよう、\(2\pi\) を括弧の中に展開した形での比較方法も知っておくと強力です。
この設問における重要なポイント
- 角振動数 \(\omega\): \(\omega = \frac{2\pi}{T}\) で定義され、\(t\) の係数となります。
- 波数 \(k\): \(k = \frac{2\pi}{\lambda}\) で定義され、\(x\) の係数となります。
- 展開形の式: \(y = A \sin(\omega t – kx)\)
具体的な解説と立式
まず、与えられた式の \(2\pi\) を括弧の中に展開します。
$$ \begin{aligned} y &= 3.5 \sin 2\pi \left( \frac{t}{4} – \frac{x}{0.2} \right) \\[2.0ex] &= 3.5 \sin \left( \frac{2\pi}{4}t – \frac{2\pi}{0.2}x \right) \end{aligned} $$
これを、一般式 \(y = A \sin(\omega t – kx)\) と比較します。
使用した物理公式
- 角振動数: \(\omega = \frac{2\pi}{T}\)
- 波数: \(k = \frac{2\pi}{\lambda}\)
1. 周期 \(T\) の導出
\(t\) の係数（角振動数 \(\omega\)）を比較します。
$$ \omega = \frac{2\pi}{4} $$
一方、定義より \(\omega = \frac{2\pi}{T}\) なので、
$$ \begin{aligned} \frac{2\pi}{T} &= \frac{2\pi}{4} \\[2.0ex] T &= 4 \, \text{s} \end{aligned} $$
2. 波長 \(\lambda\) の導出
\(x\) の係数（波数 \(k\)）を比較します。
$$ k = \frac{2\pi}{0.2} $$
一方、定義より \(k = \frac{2\pi}{\lambda}\) なので、
$$ \begin{aligned} \frac{2\pi}{\lambda} &= \frac{2\pi}{0.2} \\[2.0ex] \lambda &= 0.2 \, \text{m} \end{aligned} $$
式の中の \(2\pi\) を分配法則で中に入れてしまう方法です。
そうすると、\(t\) にくっついている数が「\(\frac{2\pi}{T}\)」、\(x\) にくっついている数が「\(\frac{2\pi}{\lambda}\)」になります。
式がどんな形で書かれていても、\(t\) の係数と \(x\) の係数に注目すれば、必ず周期と波長を見つけ出すことができます。
3 正弦波の式の作成
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「正弦波の式の導出」です。波の性質を表すパラメータ（振幅、周期、波長）を用いて、波の変位を表す式を構築する力が問われています。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 正弦波の基本式: \(x\) 軸の正の向きに進む正弦波は \(y = A \sin 2\pi \left( \frac{t}{T} – \frac{x}{\lambda} \right)\) で表されます。
- 波の伝播の原理: 波は、波源（原点）の振動が時間をかけて空間を伝わっていく現象です。
- 初期条件の確認: 原点での振動が \(y = A \sin \frac{2\pi}{T}t\) （サイン型）であることを確認します。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- 問題文から振幅 \(A\)、周期 \(T\)、波長 \(\lambda\) の値を読み取ります。
- 波の進行方向（\(x\) 軸の正の向き）を確認し、適切な公式を選択します。
- 数値を公式に代入して式を完成させます。
思考の道筋とポイント
まず、与えられた物理量を整理します。
- 振幅 \(A = 5.0 \, \text{m}\)
- 周期 \(T = 2.0 \, \text{s}\)
- 波長 \(\lambda = 3.0 \, \text{m}\)
- 進行方向: \(x\) 軸の正の向き
次に、原点 (\(x=0\)) での振動の様子を確認します。問題文に「原点にある媒質が \(y = A \sin \frac{2\pi}{T}t\) で表される」とあるため、これは時刻 \(t=0\) で変位 \(y=0\) から始まり、正の向きに振動を開始する基本的な正弦波（サイン波）です。
この条件と進行方向から、教科書的な基本公式がそのまま使えると判断します。
この設問における重要なポイント
- 公式の選択: \(x\) 軸の正の向きに進む正弦波の式は、以下の形になります。
$$ y = A \sin 2\pi \left( \frac{t}{T} – \frac{x}{\lambda} \right) $$
もし負の向きに進む場合は、括弧の中の符号がプラスになりますが、今回は正の向きなのでマイナスです。 - 代入するだけ: この問題は、公式の形さえ覚えていれば、あとは数値を代入するだけで解くことができます。
具体的な解説と立式
求める波の式 \(y\) は、振幅 \(A\)、周期 \(T\)、波長 \(\lambda\) を用いて以下のように表されます。
$$ y = A \sin 2\pi \left( \frac{t}{T} – \frac{x}{\lambda} \right) $$
ここに、問題文で与えられた以下の数値を代入します。
- \(A = 5.0\)
- \(T = 2.0\)
- \(\lambda = 3.0\)
使用した物理公式
- 正弦波の式（\(x\) 軸正方向への進行波）: \(y = A \sin 2\pi \left( \frac{t}{T} – \frac{x}{\lambda} \right)\)
数値を代入して式を完成させます。これ以上の計算（約分や展開など）は通常行わず、物理量が明確に見えるこの形のまま答えとします。
$$ y = 5.0 \sin 2\pi \left( \frac{t}{2.0} – \frac{x}{3.0} \right) $$
この問題は、料理のレシピに材料を入れるようなものです。
「正弦波の式」というレシピ（公式）が用意されています。
$$ \text{変位} = (\text{振幅}) \times \sin 2\pi \left( \frac{\text{時刻}}{\text{周期}} – \frac{\text{位置}}{\text{波長}} \right) $$
このレシピの「振幅」「周期」「波長」と書かれた場所に、問題文にある数字「5.0」「2.0」「3.0」をそれぞれ入れるだけで完成です。
思考の道筋とポイント
公式を忘れてしまった場合や、より深く理解したい場合、「波は遅れて伝わる」という本質的な性質を使って式を導くことができます。
この設問における重要なポイント
- 波の速さ \(v\): 波の基本公式 \(v = \frac{\lambda}{T}\) から求められます。
- 伝わる時間: 原点から位置 \(x\) まで波が伝わるのにかかる時間は、\(\frac{\text{距離}}{\text{速さ}} = \frac{x}{v}\) です。
- 過去の再現: 「今の位置 \(x\) での振動」は、「少し前の原点での振動」が伝わってきたものです。つまり、時刻 \(t\) における位置 \(x\) の変位は、時刻 \(t – \frac{x}{v}\) における原点の変位と等しくなります。
具体的な解説と立式
1. 波の速さを求める
波長 \(\lambda = 3.0 \, \text{m}\)、周期 \(T = 2.0 \, \text{s}\) より、波の速さ \(v\) は以下のようになります。
$$ v = \frac{\lambda}{T} = \frac{3.0}{2.0} = 1.5 \, \text{m/s} $$
2. 原点の振動の式
問題文より、原点 (\(x=0\)) での変位 \(y_0(t)\) は以下の通りです。
$$ y_0(t) = 5.0 \sin \frac{2\pi}{2.0}t $$
3. 位置 \(x\) での振動の式を導く
位置 \(x\) に波が到達するには、原点を出てから \(\frac{x}{v} = \frac{x}{1.5}\) 秒かかります。
したがって、時刻 \(t\) における位置 \(x\) の変位 \(y\) は、原点における時刻 \(t – \frac{x}{1.5}\) の変位と同じになります。
原点の式の \(t\) を \(\left( t – \frac{x}{1.5} \right)\) に置き換えます。
$$ y = 5.0 \sin \frac{2\pi}{2.0} \left( t – \frac{x}{1.5} \right) $$
使用した物理公式
- 波の速さ: \(v = \frac{\lambda}{T}\)
- 波の平行移動: \(y(x, t) = y(0, t – \frac{x}{v})\)
括弧の中を整理して、一般的な形に変形します。
$$ \begin{aligned} y &= 5.0 \sin \frac{2\pi}{2.0} \left( t – \frac{x}{1.5} \right) \\[2.0ex] &= 5.0 \sin 2\pi \left( \frac{1}{2.0} \left( t – \frac{x}{1.5} \right) \right) \\[2.0ex] &= 5.0 \sin 2\pi \left( \frac{t}{2.0} – \frac{x}{2.0 \times 1.5} \right) \\[2.0ex] &= 5.0 \sin 2\pi \left( \frac{t}{2.0} – \frac{x}{3.0} \right) \end{aligned} $$
これにより、公式に代入した結果と同じ式が得られました。
「位置 \(x\) での動き」は、「原点での動き」のモノマネです。ただし、波が伝わるのに時間がかかるので、少し遅れてモノマネをします。
どれくらい遅れるかというと、距離 \(x\) を速さ \(v\) で割った時間だけ遅れます。
だから、原点の動きを表す式の「時間 \(t\)」を「\(t – (\text{遅れ時間})\)」に書き換えれば、位置 \(x\) での動きを表す式になります。これが、式の中にマイナスが出てくる理由です。
4 波の位相と同位相・逆位相
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
本解説は、模範解答と一部異なる方針で解説を進めます。
- 解説の方針が模範解答と異なる点
- 模範解答では「山と谷の関係」や「距離」を中心に説明していますが、本解説ではグラフの「変位（高さ）」と「傾き（振動の向き）」に着目した、より実践的で間違いにくい判別方法を詳しく解説します。
- なぜ模範解答と異なるアプローチを取るのか
- 誤答の防止: 単に距離だけで判断しようとすると、図の読み取り誤差により、谷底や山頂と混同する可能性があります。「変位の符号」と「傾きの符号」を確認することで、BやFが谷底ではなく「谷へ向かう途中」であることを論理的に確定できます。
- 結果に与える影響
- 結論は模範解答と同じですが、なぜその点が選ばれるのかという物理的な根拠がより明確になります。
この問題のテーマは「波の位相」です。波形上の位置関係から、振動状態が同じ点（同位相）と反対の点（逆位相）を見つけ出す力が問われています。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 同位相: 変位と振動の向き（速度の向き）が共に等しい状態。波長 \(\lambda\) の整数倍の距離に現れます。
- 逆位相: 変位の大きさが等しく符号が逆で、振動の向きも逆の状態。半波長 \(\frac{\lambda}{2}\) の奇数倍の距離に現れます。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- 点Pの「変位（高さ）」と「グラフの傾き（振動の向き）」を確認します。
- 同じ特徴を持つ点（同位相）と、正反対の特徴を持つ点（逆位相）をグラフから選び出します。
思考の道筋とポイント
正弦波（サインカーブ）上の点における「位相」の問題です。
「同位相」や「逆位相」という言葉は、波の振動状態（変位と速度）の関係を表しています。
グラフからこれらを読み取るには、以下の2つの視点が有効です。
1. 波形の繰り返し（距離による判断）: 波は同じ形を繰り返します。
2. 変位と傾き（状態による判断）: その点が「どの高さにあり」「どちら向きに動こうとしているか」を見ます。
この設問における重要なポイント
- 同位相: 互いの振動状態が完全に一致する関係です。波長 \(\lambda\) の整数倍だけ離れた位置に現れます。
- グラフ上の特徴: 変位が等しく、傾きの符号（右上がり/右下がり）も同じ。
- 逆位相: 互いの振動状態が正反対になる関係です。半波長 \(\frac{\lambda}{2}\) の奇数倍だけ離れた位置に現れます。
- グラフ上の特徴: 変位の絶対値が等しく符号が逆（上下対称）。傾きの符号も逆。
具体的な解説と立式
点Pの状態をグラフから読み取ります。
- 点P: 変位 \(y > 0\) （正）、グラフの傾きは正（右上がり）。つまり、「中心より上にあり、さらに山頂に向かって上がっている途中」の点です。
1. 同位相の点を探す
点Pと同じ状態の点を探します。
- 1波長 \(\lambda\) 進んだところにある点は、次の波の同じ位置です。
- 図を見ると、点Dが「変位が正（Pと同じ高さ）」で、かつ「右上がり」です。
- したがって、D が同位相です。
2. 逆位相の点を探す
点Pと正反対の状態の点を探します。
- 変位の符号が逆（\(y < 0\)）で、傾きの符号も逆（右下がり）の点です。
- つまり、「中心より下にあり、谷底に向かって下がっている途中」の点を探します。
- 図の点Bを見てみましょう。一見すると谷底に見えるかもしれませんが、Pが山頂（A）ではないため、その逆位相であるBも谷底ではありません。Bは変位が負で、グラフは右下がり（谷へ向かう途中）です。これはPと逆位相の条件を満たします。
- 同様に、次の波の同じ位置にある点Fも、変位が負で右下がりです。
- したがって、BとF が逆位相です。
使用した物理公式
- 同位相の条件: 距離 \(L = n\lambda\) （\(n=1, 2, \dots\)）
- 逆位相の条件: 距離 \(L = (n + \frac{1}{2})\lambda\) （\(n=0, 1, \dots\)）
この問題に計算はありません。グラフの形状と位相の定義に基づいた定性的な判断を行います。
- Pから右に見ていき、最初の「山(A)」を越えて「谷」に入り、Pと上下対称な位置にあるのが B。（距離 \(\frac{\lambda}{2}\)）
- さらに進んで、1周回って元のPと同じ高さに戻ってきたのが D。（距離 \(\lambda\)）
- さらに進んで、次の波のBと同じ位置にあるのが F。（距離 \(\lambda + \frac{\lambda}{2} = \frac{3}{2}\lambda\)）
波のグラフは「コピー＆ペースト」でできています。
- 同位相（D）: 点Pを含む波の形をそのままコピーして、右にずらしたときに重なる点です。「瓜二つの双子」のような関係です。
- 逆位相（B, F）: 点Pを含む波の形を、上下ひっくり返して（反転して）、右にずらしたときに重なる点です。「鏡に映して逆さまにした」ような関係です。
点Pは「山登りの途中」なので、同位相は「次の山の山登りの途中（D）」、逆位相は「谷への下り坂の途中（B, F）」になります。
思考の道筋とポイント
波の「長さ」を基準に機械的に判断する方法です。波長 \(\lambda\) がどこからどこまでかを正しく把握できれば、定規で測るように答えを出せます。
この設問における重要なポイント
- 1波長（\(\lambda\)）: 山一つと谷一つ分の長さ。例えば、原点Oから点Dの手前のゼロクロス点（Cの次）までではなく、OからDの少し手前（2つ目の波の開始点）まで。
- グラフ上では、山頂Aから次の山頂Eまでが1波長です。
具体的な解説と立式
図の波形において、山頂Aから次の山頂Eまでの水平距離が1波長 \(\lambda\) です。
また、山頂Aから谷底（BとCの間にある極小点）までの水平距離が半波長 \(\frac{\lambda}{2}\) です。
1. 同位相
点Pから右へ 1波長 \(\lambda\) だけ進んだ距離にある点を探します。
図のグリッド（点線）を参考にすると、AからEへの距離と同じだけ、Pから右に進んだ位置にあるのは D です。
2. 逆位相
点Pから右へ 半波長 \(\frac{\lambda}{2}\) （および \(\frac{3}{2}\lambda, \dots\)）だけ進んだ距離にある点を探します。
Aから谷底までの距離と同じだけ、Pから右に進んだ位置にあるのは B です。
さらにそこから1波長進んだ位置（合計 \(\frac{3}{2}\lambda\)）にあるのは F です。
[mathjax] SNSでのシェアはご自由にどうぞ。(上のボタンをクリック) ブログで引用する際には、こちらのリンクを添えてください。 【引用】https://makoto-physics-school.com […]
例題
例題24 波の式(正弦波を表す式)の求め方
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
- 提示する別解
- 設問(6)の別解: 位相のずれを用いた解法
- 模範解答が「波が伝わる時間 \(t = x/v\) だけ遅れる」という時間の遅れに着目して式を導出しているのに対し、別解では「波長 \(\lambda\) 進むごとに位相が \(2\pi\) 遅れる」という空間的な位相のずれに着目して直接式を導きます。
- 設問(6)の別解: 位相のずれを用いた解法
- 上記の別解が有益である理由
- 物理的本質の深化: 波動現象には「時間的な周期性（周期 \(T\)）」と「空間的な周期性（波長 \(\lambda\)）」という二重の性質があります。別解のアプローチを知ることで、この対称性をより深く理解できます。
- 応用力の向上: 干渉や定常波の問題では、経路差から位相差を求める考え方が頻出です。この別解はその基礎となる重要な考え方です。
- 結果への影響
- どちらのアプローチを用いても、最終的に得られる波の式は模範解答と完全に一致します。
この問題のテーマは「正弦波の式の導出」です。物理基礎・物理において最も基本的かつ重要な式の一つであり、単なる暗記ではなく、式の意味（時間変化と空間分布の両方を表す）を理解して導出できることが目標です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 単振動の変位の式: 原点で単振動する媒質の変位が \(y = A \sin \omega t\) で表されること。
- 波の基本公式: 波の速さ \(v\)、波長 \(\lambda\)、周期 \(T\) の間に \(v = \frac{\lambda}{T} = f\lambda\) の関係が成り立つこと。
- 波の伝播と因果関係: 位置 \(x\) に波が伝わるには時間がかかるため、位置 \(x\) での時刻 \(t\) の振動は、原点 \(x=0\) での「少し前の時刻」の振動と同じであること。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- まず、波源（原点）の振動を周期 \(T\) を用いた式で表します（問(1)）。
- 次に、波の速さ \(v\) を波長 \(\lambda\) と周期 \(T\) で表し（問(2)）、原点から位置 \(x\) まで波が伝わるのにかかる時間を求めます（問(3)）。
- 「位置 \(x\) での時刻 \(t\) の変位」は、「原点での時刻 \(t – (\text{伝わる時間})\) の変位」と等しいという関係（問(4)）を使って、一般式を導きます（問(5)）。
- 最後に、式を整理して物理的に美しい形（時間と空間の対称形）にします（問(6)）。
問(1)
思考の道筋とポイント
単振動の変位の式 \(y = A \sin \omega t\) における角振動数 \(\omega\) を、周期 \(T\) を用いて書き換えます。円運動や単振動において、角振動数と周期の関係は基本中の基本です。
この設問における重要なポイント
- 角振動数 \(\omega\) は「1秒あたりの回転角（ラジアン）」を表す。
- 周期 \(T\) は「1周（\(2\pi\) ラジアン）するのにかかる時間」を表す。
- よって、\(\omega T = 2\pi\) の関係が成り立つ。
具体的な解説と立式
角振動数 \(\omega\) と周期 \(T\) の関係式は以下の通りです。
$$
\begin{aligned}
\omega &= \frac{2\pi}{T}
\end{aligned}
$$
これを問題で与えられた単振動の式 \(y = A \sin \omega t\) に代入します。
使用した物理公式
- 角振動数と周期の関係: \(\omega = \frac{2\pi}{T}\)
代入して式を整理します。
$$
\begin{aligned}
y &= A \sin \left( \frac{2\pi}{T} \cdot t \right) \\[2.0ex]
&= A \sin \frac{2\pi}{T}t
\end{aligned}
$$
原点にある物体が、上下にゆらゆらと揺れています（単振動）。この揺れの速さを表す「角振動数 \(\omega\)」を、1回揺れるのにかかる時間である「周期 \(T\)」を使って書き換えるだけの操作です。「1周 \(2\pi\) を \(T\) 秒で回る」と考えれば、速さは \(\frac{2\pi}{T}\) になりますね。
答えは \(A \sin \frac{2\pi}{T}t\) です。これは、時刻 \(t\) が \(0, T, 2T, \dots\) のときに \(y=0\) となり、周期的な運動を正しく表しています。
問(2)
思考の道筋とポイント
波の速さ \(v\)、波長 \(\lambda\)、周期 \(T\) の関係式（波の基本公式）を答える問題です。波が1周期 \(T\) の間に1波長 \(\lambda\) だけ進むことを理解していれば、速さの定義から導けます。
この設問における重要なポイント
- 波は、媒質が1回振動する時間（周期 \(T\)）の間に、波の山1つ分（波長 \(\lambda\)）だけ進む。
- 速さは「距離 \(\div\) 時間」で求められる。
具体的な解説と立式
速さ \(v\) の定義に従って立式します。
$$
\begin{aligned}
v &= \frac{\text{進む距離}}{\text{かかる時間}}
\end{aligned}
$$
波が1周期 \(T\) の間に進む距離は1波長 \(\lambda\) なので、
$$
\begin{aligned}
v &= \frac{\lambda}{T}
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 速さの定義: \(v = \frac{x}{t}\)
- 波の基本公式: \(v = \frac{\lambda}{T}\)
立式そのものが答えとなります。
$$
\begin{aligned}
v &= \frac{\lambda}{T}
\end{aligned}
$$
波の速さを求める問題です。「波の山が1つ分（\(\lambda\) メートル）進むのに、ちょうど1回振動する時間（\(T\) 秒）がかかる」という波の性質を使います。距離を時間で割れば速さが出るので、\(\lambda\) を \(T\) で割ればOKです。
答えは \(\frac{\lambda}{T}\) です。単位を確認すると、\([\text{m}] / [\text{s}] = [\text{m/s}]\) となっており、速さの単位として正しいです。
問(3)
思考の道筋とポイント
原点 \(x=0\) から位置 \(x\) まで、速さ \(v\) で波が伝わるのにかかる時間を求めます。等速直線運動の時間の計算と同じです。
この設問における重要なポイント
- 波の形（波形）は崩れずに一定の速さ \(v\) で伝わっていく。
- 距離 \(x\) を速さ \(v\) で進む時間を求める。
具体的な解説と立式
求める時間を \(t’\) とすると、時間 \(=\) 距離 \(\div\) 速さ より、
$$
\begin{aligned}
t’ &= \frac{x}{v}
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 等速直線運動の公式: \(x = vt\) より \(t = \frac{x}{v}\)
立式そのものが答えとなります。
$$
\begin{aligned}
\text{時間} &= \frac{x}{v}
\end{aligned}
$$
原点で発生した波が、距離 \(x\) だけ離れた場所まで届くのに何秒かかりますか？という問いです。速さ \(v\) で進むので、距離 \(x\) を速さ \(v\) で割れば時間が求まります。
答えは \(\frac{x}{v}\) です。
問(4)
思考の道筋とポイント
ここが波の式の導出における最大の山場です。「位置 \(x\) での時刻 \(t\) の変位」を考えるために、「波が伝わるのに時間がかかる」という事実を使います。位置 \(x\) に波が届くには、問(3)で求めた時間 \(\frac{x}{v}\) だけかかります。つまり、今（時刻 \(t\)）の位置 \(x\) での揺れは、過去（時刻 \(t – \frac{x}{v}\)）に原点で起きていた揺れと同じものです。
この設問における重要なポイント
- 波は原点から \(x\) の正の向きに伝わる。
- 位置 \(x\) の媒質は、原点の媒質よりも時間 \(\frac{x}{v}\) だけ遅れて同じ動きをする。
- 「時刻 \(t\) における位置 \(x\) の変位」\(=\)「時刻 \(t – \frac{x}{v}\) における原点の変位」。
具体的な解説と立式
位置 \(x\) に波が到達するのにかかる時間は \(\frac{x}{v}\) です。
したがって、時刻 \(t\) に位置 \(x\) にある波（変位 \(y\)）は、時間 \(\frac{x}{v}\) だけ前の時刻に原点を出発した波です。
その時刻は以下の式で表されます。
$$
\begin{aligned}
\text{過去の時刻} &= t – \frac{x}{v}
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- なし（論理的推論）
立式そのものが答えとなります。
$$
\begin{aligned}
\text{時刻} &= t – \frac{x}{v}
\end{aligned}
$$
遠くで雷が光ってから音が届くまで時間がかかるように、波も伝わるのに時間がかかります。位置 \(x\) で「今」起きている振動は、原点では「ちょっと前」に起きていた振動です。その「ちょっと前」というのは、波が伝わるのにかかった時間分だけ昔のことなので、今の時刻 \(t\) から \(\frac{x}{v}\) を引けばよいのです。
答えは \(t – \frac{x}{v}\) です。
問(5)
思考の道筋とポイント
問(1)で作った原点の振動の式 \(y = A \sin \frac{2\pi}{T}t\) の時刻 \(t\) に、問(4)で求めた「過去の時刻 \(t – \frac{x}{v}\)」を代入します。これにより、任意の位置 \(x\)、任意の時刻 \(t\) における波の変位を表す式が得られます。
この設問における重要なポイント
- 原点の変位の式: \(y(0, t) = A \sin \frac{2\pi}{T}t\)
- 位置 \(x\) の変位の式: \(y(x, t) = y(0, t – \frac{x}{v})\)
- 関数の引数（時刻）を置き換える操作を行う。
具体的な解説と立式
原点での変位を表す式（問(1)の答え）は以下の通りです。
$$
\begin{aligned}
y &= A \sin \frac{2\pi}{T}t
\end{aligned}
$$
位置 \(x\) での時刻 \(t\) の変位は、原点での時刻 \(t – \frac{x}{v}\) の変位に等しいので、上式の \(t\) を \(t – \frac{x}{v}\) に置き換えます。
$$
\begin{aligned}
y &= A \sin \frac{2\pi}{T} \left( t – \frac{x}{v} \right)
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 波の一般式（遅延ポテンシャルの考え方）: \(y(x, t) = f(t – \frac{x}{v})\)
立式そのものが答えとなります。
$$
\begin{aligned}
y &= A \sin \frac{2\pi}{T} \left( t – \frac{x}{v} \right)
\end{aligned}
$$
問(1)で作った「原点での揺れの式」を使って、離れた場所 \(x\) での揺れを表します。問(4)で考えたように、場所 \(x\) での動きは原点の動きの「コピー」ですが、時間がずれています。そこで、原点の式の時間の部分 \(t\) を、ずれた時間 \(t – \frac{x}{v}\) に書き換えるだけで、場所 \(x\) の式になります。
答えは \(A \sin \frac{2\pi}{T} \left( t – \frac{x}{v} \right)\) です。
問(6)
思考の道筋とポイント
問(5)で得られた式 \(y = A \sin \frac{2\pi}{T} (t – \frac{x}{v})\) に、問(2)の関係式 \(v = \frac{\lambda}{T}\) を代入して整理します。これにより、時間 \(t\) と周期 \(T\)、位置 \(x\) と波長 \(\lambda\) が対になった、物理的に見通しの良い形式に変形します。
この設問における重要なポイント
- \(v = \frac{\lambda}{T}\) を代入して \(v\) を消去する。
- 式を展開し、\(\frac{t}{T}\) と \(\frac{x}{\lambda}\) の項を作る。
具体的な解説と立式
問(5)の式において、\(v\) の部分に \(v = \frac{\lambda}{T}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
y &= A \sin \frac{2\pi}{T} \left( t – \frac{x}{\frac{\lambda}{T}} \right)
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 波の基本公式: \(v = \frac{\lambda}{T}\)
カッコの中の分数を整理し、\(\frac{2\pi}{T}\) を分配します。
$$
\begin{aligned}
y &= A \sin \frac{2\pi}{T} \left( t – x \cdot \frac{T}{\lambda} \right) \\[2.0ex]
&= A \sin \left( \frac{2\pi}{T}t – \frac{2\pi}{T} \cdot \frac{Tx}{\lambda} \right) \\[2.0ex]
&= A \sin \left( \frac{2\pi t}{T} – \frac{2\pi x}{\lambda} \right) \\[2.0ex]
&= A \sin 2\pi \left( \frac{t}{T} – \frac{x}{\lambda} \right)
\end{aligned}
$$
式の中に速さ \(v\) が残っていると少し使いにくいので、波長 \(\lambda\) と周期 \(T\) を使った形に書き直します。計算していくと、\(\frac{t}{T}\)（時間の割合）と \(\frac{x}{\lambda}\)（距離の割合）というきれいな形が出てきます。これが正弦波の最も標準的な式です。
答えは \(A \sin 2\pi \left( \frac{t}{T} – \frac{x}{\lambda} \right)\) です。
この式を見ると、
- \(x\) を固定して \(t\) を \(T\) 増やすと、位相が \(2\pi\) 進んで元に戻る（時間的な周期性）。
- \(t\) を固定して \(x\) を \(\lambda\) 増やすと、位相が \(-2\pi\) 進んで元に戻る（空間的な周期性）。
という波の性質がよくわかります。
思考の道筋とポイント
波の式を導く際、「時間の遅れ」ではなく「位相（角度）のずれ」に着目する方法です。原点から距離 \(x\) だけ離れた点では、原点に比べて位相がどれだけ遅れているかを考えます。
この設問における重要なポイント
- 1波長 \(\lambda\) 進むごとに、波の位相は \(2\pi\) （1周分）遅れる。
- 距離 \(x\) 進んだ地点での位相の遅れは、比例計算で求められる。
具体的な解説と立式
原点 \(x=0\) での位相（sinの中身）は \(\frac{2\pi t}{T}\) です。
波は \(x\) の正の向きに進むので、下流（\(x>0\)）に行くほど位相は遅れます（マイナスされます）。
位相の遅れ \(\delta\) は、距離 \(x\) に比例します。
「距離 \(\lambda\) で \(2\pi\) 遅れる」ので、「距離 \(x\) ではどれだけ遅れるか」を比で立てます。
$$
\begin{aligned}
\lambda : 2\pi &= x : \delta
\end{aligned}
$$
これより、位相の遅れ \(\delta\) は、
$$
\begin{aligned}
\delta &= \frac{2\pi x}{\lambda}
\end{aligned}
$$
したがって、位置 \(x\) での位相は、原点の位相から \(\delta\) を引いたものになります。
$$
\begin{aligned}
\text{位置}x\text{での位相} &= \frac{2\pi t}{T} – \frac{2\pi x}{\lambda}
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 位相の遅れと距離の比例関係: \(\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x\)
求めた位相を sin の中に入れ、\(2\pi\) でくくります。
$$
\begin{aligned}
y &= A \sin \left( \frac{2\pi t}{T} – \frac{2\pi x}{\lambda} \right) \\[2.0ex]
&= A \sin 2\pi \left( \frac{t}{T} – \frac{x}{\lambda} \right)
\end{aligned}
$$
波の山と山の間隔は \(\lambda\) です。この \(\lambda\) の長さを「角度 \(360^\circ\)（\(2\pi\)）」に対応させて考えます。距離 \(x\) が \(\lambda\) の何倍か（\(\frac{x}{\lambda}\)）を計算し、それに \(2\pi\) を掛ければ、その場所での角度のズレがわかります。原点の角度からそのズレを引き算すれば、一発で式が求まります。
問(6)で求めた式と完全に一致しました。この方法は、計算が速く、波の空間的なイメージ（波長と位相の関係）を直接使えるため、慣れると非常に強力です。
【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座
最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- 波の伝播と時間の遅れ（因果律）
- 核心: この問題の根幹は、「離れた場所に波が伝わるには時間がかかる」という物理的事実を数式化することです。位置 \(x\) での振動は、原点で「過去」に起きた振動が遅れて届いたものです。
- 理解のポイント:
- 時間の遅れ \(\Delta t\): 波の速さを \(v\) とすると、距離 \(x\) だけ離れた点に波が到達するには \(\Delta t = x/v\) の時間がかかります。
- 変位の関係式: これにより、「時刻 \(t\) における位置 \(x\) の変位 \(y(x, t)\)」は、「時刻 \(t – x/v\) における原点の変位 \(y(0, t – x/v)\)」と等しいという強力な関係式が成り立ちます。これが全ての波動の式の基礎です。
- 正弦波の式の構造（二重の周期性）
- 核心: 最終的に得られた式 \(y = A \sin 2\pi (\frac{t}{T} – \frac{x}{\lambda})\) が持つ、時間と空間に対する対称性を理解することです。
- 理解のポイント:
- 時間的周期性: 場所 \(x\) を固定して見ると、時間 \(t\) が周期 \(T\) 増えるごとに位相が \(2\pi\) 進み、同じ振動状態（変位）に戻ります。
- 空間的周期性: 時刻 \(t\) を固定して（写真を撮るように）見ると、位置 \(x\) が波長 \(\lambda\) 増えるごとに位相が \(-2\pi\) 進み（\(2\pi\) 遅れ）、同じ波形が繰り返されます。この「\(t\) と \(T\)」、「\(x\) と \(\lambda\)」の対応関係が式の美しさであり、本質です。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- 負の向きに進む波: 波が \(x\) 軸の負の向きに進む場合、位置 \(x\)（\(x>0\)）での振動は、原点での振動よりも「未来」に起こる（あるいは原点から見て \(x\) が負の位置にある波源からの波が届く）と考えます。数式上は、時間の遅れが \(t – (-x/v) = t + x/v\) となり、sinの中身の符号が \(t/T + x/\lambda\) に変わります。
- 初期位相がある場合: 原点の振動が \(y = A \sin (\omega t + \phi_0)\) のように初期位相 \(\phi_0\) を持つ場合でも、\(t\) を \(t – x/v\) に置き換える手順は全く同じです。
- 反射波の式: 固定端や自由端での反射波を求める問題では、入射波の式を作り、反射点での位相の変化（固定端なら \(\pi\) ずれる、自由端なら変化なし）と、反射点から戻ってくる距離分の遅れを考慮して式を立てます。
- 初見の問題での着眼点:
- 波源の振動式を特定する: まず、基準となる点（通常は原点）での振動がどのような式（sinかcosか、初期位相はあるか）で表されるかを確認します。グラフから読み取る場合もあります。
- 波の進行方向を確認する: 波が \(x\) 軸の正の向きに進むなら位相は遅れる（マイナス）、負の向きに進むなら位相は進む（プラス）と考えます。
- 変数の置き換えを実行する: 波源の式の \(t\) を、正の向きなら \(t – x/v\)、負の向きなら \(t + x/v\) に置き換えます。これが最も確実で汎用性の高い解法です。
- 物理量の関係式を使う: 問題文に与えられた物理量（\(v, T, \lambda, f\)）に応じて、\(v = f\lambda = \lambda/T\) や \(\omega = 2\pi/T\) などの関係式を使い、求められている形の変数（\(x\) と \(t\)）に整理します。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 符号の混乱（マイナスかプラスか）:
- 誤解: 波の式の \(x\) の前の符号がマイナスなのかプラスなのか、あるいは \(t – x/v\) なのか \(x/v – t\) なのか分からなくなる。
- 対策: 「正の向きに進む波は、下流（\(x\) が大きい方）ほど遅れる」と覚えましょう。遅れるということは、位相を引き算する（マイナス）ということです。また、\(t=0, x=0\) の近傍を考えて、\(x\) が少し増えたときに、同じ変位になるためには \(t\) も少し増える必要がある（\(t – x/v = \text{一定}\)）ことからも符号を確認できます。
- 周期 \(T\) と波長 \(\lambda\) の取り違え:
- 誤解: 式変形の途中で、分母に来るのが \(T\) なのか \(\lambda\) なのか混乱する。
- 対策: 単位を確認する（次元解析）のが最強の対策です。\(t\)（秒）を割れるのは \(T\)（秒）だけ、\(x\)（メートル）を割れるのは \(\lambda\)（メートル）だけです。物理的に同じ次元の量でしか比率は作れません。
- グラフの読み取りミス:
- 誤解: \(y-t\) グラフ（ある位置での時間変化）と \(y-x\) グラフ（ある時刻での波形）を混同してしまう。
- 対策: 横軸が何であるかを必ず確認します。横軸が \(t\) なら周期 \(T\) が、横軸が \(x\) なら波長 \(\lambda\) が読み取れます。波の式 \(y = A \sin 2\pi (t/T – x/\lambda)\) において、\(x\) を定数と見れば \(y-t\) グラフ、\(t\) を定数と見れば \(y-x\) グラフを表していることを意識しましょう。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- 問(1)での公式選択（角振動数の定義）:
- 選定理由: 求めたいのは \(y = A \sin \omega t\) の \(\omega\) を \(T\) で表すことです。これは定義そのものであり、円運動の角速度と周期の関係 \(\omega = 2\pi/T\) を選択するのは必然です。
- 適用根拠: 単振動は等速円運動の正射影であり、位相の回転速度は角速度と等しいため、そのまま適用できます。
- 問(4)・(5)でのアプローチ選択（遅延ポテンシャル）:
- 選定理由: 「波の式を求めよ」という問題に対し、最も原理的で間違いが少ないのが「波源の振動が時間遅れで伝わる」と考えるアプローチです。
- 適用根拠: 媒質が一様で波の速さ \(v\) が一定である場合、波形は崩れずに平行移動します。このとき、波動関数は必ず \(f(x – vt)\) または \(f(t – x/v)\) の形になることが数学的に保証されています。この性質を利用して、\(t\) を \(t – x/v\) に置き換える操作を行います。
- 問(6)別解でのアプローチ選択（位相差）:
- 選定理由: 計算量を減らし、直感的に式を構成したい場合に有効です。特に、波長 \(\lambda\) が明示されている場合や、干渉の問題で位相差を考える場合には、このアプローチの方が直接的です。
- 適用根拠: 正弦波は周期的であり、距離 \(\lambda\) ごとに位相が \(2\pi\) 変化するという性質を利用しています。これは波の定義そのものから導かれる性質であり、正当な解法です。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 単位（次元）によるチェック:
- 最終的な式 \(y = A \sin 2\pi (\frac{t}{T} – \frac{x}{\lambda})\) のカッコの中身を見てください。\(\frac{t}{T}\) は [秒]/[秒] で無次元、\(\frac{x}{\lambda}\) は [m]/[m] で無次元です。sinの中身は必ず無次元（角度）でなければなりません。もし \(\frac{t}{\lambda}\) のような項が出てきたら、その時点で間違いに気づけます。
- 極端な値を代入して検算:
- \(x=0\) を代入してみましょう。式は \(y = A \sin \frac{2\pi t}{T}\) となり、問(1)の原点の振動の式に戻ります。これで \(x\) の項の係数や符号が正しいかある程度確認できます。
- \(t=0\) を代入してみましょう。\(y = A \sin (- \frac{2\pi x}{\lambda}) = – A \sin \frac{2\pi x}{\lambda}\) となります。これは \(t=0\) における波形を表しており、原点で \(y=0\) から始まり、\(x\) が増えると \(y\) が負になる（下向きに波が始まる）ことを示しています。問題の図や設定と合致しているか確認できます。
- 文字式のまま計算する:
- 具体的な数値が与えられていても、できるだけ最後まで文字（\(v, T, \lambda\) など）のまま計算し、最後に代入しましょう。文字式の方が式の構造（物理的な意味）が見えやすく、ミスに気づきやすい上、約分などで計算が簡単になることが多いです。
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