問題151 X線の発生とX線回折 (18 近畿大)
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
- 提示する別解
- 設問(1)の別解: 微積分を用いた体系的解法（運動方程式と仕事・エネルギー原理）
- 模範解答が公式 \(K=eV\) を自明として使用するのに対し、別解では運動方程式から出発し、積分を用いて電場が電子にする仕事を計算することで、運動エネルギーの変化を原理的に導出します。
- 設問(2)の別解: 微積分を用いた体系的解法（位相差からの導出）
- 幾何学的な経路差の計算に加え、波動の基本原理である「位相」の概念を用いて干渉条件を再確認します。
- 設問(1)の別解: 微積分を用いた体系的解法（運動方程式と仕事・エネルギー原理）
- 上記の別解が有益である理由
- 公式の暗記に頼らず、力学の基本原理（ニュートンの運動方程式）と電磁気学（電位の定義）のつながりを理解することで、物理現象を体系的に捉える力が身につくためです。
- 結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、最終的に得られる答えは模範解答と完全に一致します。
この問題のテーマは「X線の発生原理と結晶によるX線回折（ブラッグ反射）」です。
電子の運動エネルギーが光のエネルギーに変換される過程と、波動としてのX線が結晶格子で干渉を起こす現象を扱います。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- エネルギー保存則: 電場による仕事が電子の運動エネルギーになり、それが光子のエネルギーに変換されます。
- 光量子仮説: 光（X線）は粒子（光子）としての性質を持ち、そのエネルギーは振動数に比例します。
- 波の干渉条件: 経路差が波長の整数倍のとき、波は強め合います。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (1)では、電子の加速によるエネルギー収支と、光子のエネルギー公式を結びつけて最短波長を求めます。
- (2)では、結晶面での反射における幾何学的な経路差を導出し、干渉条件式を立てて計算します。
問(1)
思考の道筋とポイント
陰極から放出された電子は、陽極（対陰極）に向かって加速電圧 \(V\) で加速されます。
このとき、電子は電場から仕事を受け、運動エネルギーを獲得します。
陽極に衝突した電子が急激に減速する際、その失った運動エネルギーが電磁波（X線）として放出されます。これが連続X線です。
最もエネルギーの高いX線（＝最短波長 \(\lambda_0\)）が発生するのは、電子が持っていた運動エネルギーの全てが、たった1つの光子のエネルギーとして放出されるケースです。
この設問における重要なポイント
- 仕事とエネルギーの関係: 電場が電子にする仕事 \(W\) は、電子の電荷 \(e\) と電位差 \(V\) の積です。
- 光子のエネルギー: 波長 \(\lambda\) の光子1個のエネルギーは \(hc/\lambda\) です。
- 最短波長の条件: 電子の運動エネルギー \(K\) が100%光子のエネルギー \(E\) に変わるとき、波長は最小になります。
- 特性X線: 原子の内殻電子が弾き飛ばされ、外殻から電子が遷移してくる際に放出されるX線で、波長は加速電圧によらず、陽極の物質（元素）によって決まります。
具体的な解説と立式
電子の電荷を \(e\)、加速電圧を \(V\) とします。
電子が陰極から陽極へ移動する間に電場からされる仕事 \(W\) は以下の通りです。
$$
\begin{aligned}
W &= eV
\end{aligned}
$$
この仕事がすべて電子の運動エネルギー \(K\) に変換されるため、以下の等式が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
K &= eV \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
次に、この運動エネルギー \(K\) を持つ電子が陽極に衝突し、そのエネルギーの全てを1個のX線光子として放出する場合を考えます。
発生するX線の波長を \(\lambda_0\)、プランク定数を \(h\)、光速を \(c\) とすると、この光子のエネルギー \(E\) は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
E &= h \frac{c}{\lambda_0} \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$
エネルギー保存則より、電子の運動エネルギーが光子のエネルギーと等しくなるため、以下の関係式を立てます。
$$
\begin{aligned}
K &= E \quad \cdots ③
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 電場の仕事: \(W = qV\)
- 光子のエネルギー: \(E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}\)
- エネルギー保存則: \(K_{\text{失った}} = E_{\text{光子}}\)
式①、②を式③に代入して、\(\lambda_0\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
eV &= \frac{hc}{\lambda_0} \\[2.0ex]
\lambda_0 &= \frac{hc}{eV}
\end{aligned}
$$
これが空欄[ア]の答えです。
次に、具体的な数値を代入して計算します。
与えられた値は以下の通りです。
\(h = 6.6 \times 10^{-34}\,\text{J}\cdot\text{s}\)
\(c = 3.0 \times 10^8\,\text{m}/\text{s}\)
\(e = 1.6 \times 10^{-19}\,\text{C}\)
\(V = 1.2 \times 10^5\,\text{V}\)
これらを \(\lambda_0\) の式に代入します。
$$
\begin{aligned}
\lambda_0 &= \frac{(6.6 \times 10^{-34}) \times (3.0 \times 10^8)}{(1.6 \times 10^{-19}) \times (1.2 \times 10^5)} \\[2.0ex]
&= \frac{19.8 \times 10^{-26}}{1.92 \times 10^{-14}} \\[2.0ex]
&= \frac{19.8}{1.92} \times 10^{-12}
\end{aligned}
$$
ここで、分数の計算を行います。
$$
\begin{aligned}
\frac{19.8}{1.92} &= \frac{1980}{192} \\[2.0ex]
&\approx 10.31
\end{aligned}
$$
したがって、
$$
\begin{aligned}
\lambda_0 &\approx 10.3 \times 10^{-12}\,\text{m} \\[2.0ex]
&= 1.03 \times 10^{-11}\,\text{m}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えます。
$$
\begin{aligned}
\lambda_0 &\approx 1.0 \times 10^{-11}\,\text{m}
\end{aligned}
$$
これが空欄[イ]の答えです。
最後に、加速電圧 \(V\) を増したときのスペクトル変化（空欄[ウ]）について考えます。
式 \(\lambda_0 = \frac{hc}{eV}\) より、\(V\) が大きくなると、分母が大きくなるため最短波長 \(\lambda_0\) は小さくなります。つまり、グラフの立ち上がり位置は左側（短波長側）へ移動します。
また、衝突する電子のエネルギーが増大するため、発生するX線の総量（強度）も全体的に増加します。
一方で、特性X線（鋭いピーク B, C）の波長は、陽極物質の電子軌道のエネルギー準位差で決まるため、加速電圧 \(V\) が変わっても変化しません。
以上のことから、
1. 最短波長 \(\lambda_0\) が左にずれる。
2. 全体の強度が上がる（山が高くなる）。
3. ピークの位置（波長）は変わらない。
という特徴を持つグラフを描きます。
電子を電圧で加速するのは、坂道でボールを転がして加速するのと似ています。電圧が高いほど、電子は猛スピード（高いエネルギー）で金属板に激突します。
この激突の衝撃エネルギーが光（X線）に変わります。持っているエネルギーを「全て」光に変えたとき、最もパワフルな光、つまり波長が一番短いX線が出ます。
計算の結果、電圧を上げると、より短い波長のX線が出せるようになり、X線全体の強さも増すことがわかりました。ただし、特定の波長で強く出る「特性X線」は、金属の種類で決まっているため、電圧を変えても場所（波長）は動きません。
・空欄[ア]: \(\frac{hc}{eV}\)
・空欄[イ]: \(1.0 \times 10^{-11}\)
・空欄[ウ]: 最短波長が短くなり、全体強度は増加し、特性X線のピーク波長は不変であるグラフ（図aの実線）。
計算結果の次元を確認します。\(\lambda_0 = \frac{hc}{eV}\) の単位は \(\frac{[\text{J}\cdot\text{s}] \cdot [\text{m}/\text{s}]}{[\text{C}] \cdot [\text{J}/\text{C}]} = \frac{[\text{J}]\cdot[\text{m}]}{[\text{J}]} = [\text{m}]\) となり、波長の次元として正しいです。
また、電圧 \(V\) を上げると波長 \(\lambda_0\) が短くなるという結果は、エネルギーが高いほど波長が短いという量子論の基本と整合します。
[ア] \(\displaystyle \frac{hc}{eV}\)
[イ] \(1.0 \times 10^{-11}\)
[ウ] 図aの実線部分：点線よりも左側から立ち上がり、全体に高く、ピーク位置は同じグラフ
思考の道筋とポイント
公式 \(K=eV\) を天下り的に使わず、ニュートンの運動方程式から出発します。
電場から受ける力を位置で積分することで「仕事」を定義し、それが運動エネルギーの変化量に等しいことを数学的に導出します。
この設問における重要なポイント
- 運動方程式: 質量 \(m\)、加速度 \(a\) の電子には、電場 \(E_x\) から力 \(F = eE_x\) が働きます（電子の電荷の大きさを \(e\) とします）。
- 仕事の定義: 仕事 \(W\) は力の空間積分 \(\int F dx\) です。
- 電位の定義: 電位差 \(V\) は電場の空間積分 \(V = \int E_x dx\) （大きさ）に関連します。
具体的な解説と立式
電子の質量を \(m\)、速度を \(v\)、位置を \(x\) とします。
陰極を原点 \(x=0\)、陽極を \(x=d\) とし、極板間の電場の強さを \(E_x(x)\)（\(x\)方向）とします。
電子の運動方程式は以下の通りです。
$$
\begin{aligned}
m \frac{dv}{dt} &= e E_x(x) \quad \cdots ④
\end{aligned}
$$
この式の両辺を位置 \(x\) で積分して、エネルギーの関係を導きます。
積分変数を時間 \(t\) から位置 \(x\) に変換するために、\(\frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \frac{dx}{dt} = v \frac{dv}{dx}\) の関係を用います。
また、電位差 \(V\) の定義式は以下の通りです。
$$
\begin{aligned}
V &= \int_{0}^{d} E_x(x) \, dx \quad \cdots ⑤
\end{aligned}
$$
（ここでは大きさの議論とし、符号はエネルギーが増加する方向で考えます）
使用した物理公式
- 運動方程式: \(ma = F\)
- 合成関数の微分（連鎖律）: \(\frac{dv}{dt} = v \frac{dv}{dx}\)
- 積分の公式: \(\int v \, dv = \frac{1}{2}v^2\)
式④の左辺を変形します。
$$
\begin{aligned}
m \frac{dv}{dt} &= m v \frac{dv}{dx}
\end{aligned}
$$
これを式④に戻し、両辺を \(x=0\) から \(x=d\) まで積分します。
$$
\begin{aligned}
\int_{0}^{d} m v \frac{dv}{dx} \, dx &= \int_{0}^{d} e E_x(x) \, dx
\end{aligned}
$$
左辺の積分変数を \(x\) から \(v\) に変更します。初速度は \(0\)、到達速度を \(v_{\text{最大}}\) とします。
$$
\begin{aligned}
\int_{0}^{v_{\text{最大}}} m v \, dv &= e \int_{0}^{d} E_x(x) \, dx
\end{aligned}
$$
左辺の積分を実行し、右辺に式⑤を代入します。
$$
\begin{aligned}
\left[ \frac{1}{2} m v^2 \right]_{0}^{v_{\text{最大}}} &= e V \\[2.0ex]
\frac{1}{2} m v_{\text{最大}}^2 &= e V
\end{aligned}
$$
これにより、運動エネルギー \(K = \frac{1}{2} m v_{\text{最大}}^2\) が仕事 \(eV\) に等しいことが導かれました。
あとはメイン解法と同様に、これが光子エネルギー \(hc/\lambda_0\) と等しいと置きます。
$$
\begin{aligned}
eV &= \frac{hc}{\lambda_0} \\[2.0ex]
\lambda_0 &= \frac{hc}{eV}
\end{aligned}
$$
「電圧×電荷＝エネルギー」という公式を覚えているだけでなく、それが「力×距離」という仕事の基本定義から来ていることを確認しました。
電子にかかる電気の力を、進んだ距離で積み重ねていく（積分する）と、最終的に電子が得るスピード（運動エネルギー）になります。
このプロセスを経ることで、どんな複雑な電場であっても、電圧さえ分かれば最終的なエネルギーが決まることが保証されます。
メイン解法と全く同じ結果 \(\lambda_0 = \frac{hc}{eV}\) が得られました。
運動方程式という力学の根本原理から出発しても、電磁気学のエネルギー保存則と矛盾しないことが確認でき、物理体系の整合性が取れています。
問(2)
思考の道筋とポイント
X線回折（ブラッグ反射）に関する問題です。
結晶格子に入射したX線は、各原子面で散乱（反射）されます。
隣り合う結晶面（間隔 \(d\)）で反射された2つのX線が、強め合う条件（干渉条件）を求めます。
図bの幾何学的関係から経路差を導き出し、それが波長の整数倍になる条件を立式します。
この設問における重要なポイント
- 経路差の導出: 図bにおいて、入射波と反射波のそれぞれで、下の面で反射する波の方が余分に通る距離があります。
- 視射角 \(\theta\): 通常の光学（スネルの法則など）では入射角を「法線とのなす角」としますが、X線回折では慣習的に「結晶面とのなす角」を \(\theta\) とします。
- ブラッグの条件: 経路差 \(\Delta L\) が波長 \(\lambda\) の整数倍 \(n\lambda\) のとき、波は同位相となり強め合います。
具体的な解説と立式
図bを参照します。
結晶面間隔を \(d\)、X線と結晶面のなす角を \(\theta\) とします。
上の面で反射するX線と、下の面で反射するX線の経路差 \(\Delta L\) を考えます。
入射側で下の波が余分に進む距離は \(d \sin\theta\) です（直角三角形の斜辺が \(d\)、対辺が余分な距離）。
反射側でも同様に、下の波が余分に進む距離は \(d \sin\theta\) です。
したがって、往復の合計経路差 \(\Delta L\) は以下の和になります。
$$
\begin{aligned}
\Delta L &= d \sin\theta + d \sin\theta \quad \cdots ⑥
\end{aligned}
$$
波長を \(\lambda\)、正の整数（反射次数）を \(n\) とすると、反射X線が強め合う条件（ブラッグの条件）は以下の通りです。
$$
\begin{aligned}
\Delta L &= n \lambda \quad \cdots ⑦
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 三角比の定義: 直角三角形において \((\text{対辺}) = (\text{斜辺}) \times \sin\theta\)
- 波の干渉条件（強め合い）: \((\text{経路差}) = n \lambda\)
式⑥を計算して経路差をまとめます。
$$
\begin{aligned}
\Delta L &= 2d \sin\theta
\end{aligned}
$$
これを式⑦に代入します。
$$
\begin{aligned}
2d \sin\theta &= n \lambda
\end{aligned}
$$
これが空欄[エ]の答えです。
次に、空欄[オ]の計算を行います。
与えられた条件は以下の通りです。
\(\lambda = 7.0 \times 10^{-11}\,\text{m}\)
\(n = 4\) （4回目の強い反射なので \(n=4\)）
\(\theta = 30^\circ\)
これらをブラッグの条件式に代入して \(d\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
2d \sin 30^\circ &= 4 \times (7.0 \times 10^{-11})
\end{aligned}
$$
\(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
2d \cdot \frac{1}{2} &= 28.0 \times 10^{-11} \\[2.0ex]
d &= 28.0 \times 10^{-11}
\end{aligned}
$$
科学的表記（\(a \times 10^b\) の形）に直します。
$$
\begin{aligned}
d &= 2.8 \times 10^{-10}\,\text{m}
\end{aligned}
$$
これが空欄[オ]の答えです。
結晶の中には原子が規則正しく並んでいて、鏡が何枚も重なっているような構造になっています。
X線が入ってくると、1枚目の鏡（原子面）で反射する波と、2枚目の鏡で反射する波に分かれます。
2枚目まで行って帰ってくる波は、1枚目で反射する波よりも少しだけ長い距離を走ります。
この「余分な距離（経路差）」が、ちょうど波の長さ（波長）の1個分、2個分…とぴったり重なるとき、波の山と山が揃って、反射波は強くなります。
図の幾何学的な関係から、その余分な距離は \(2d\sin\theta\) になることがわかります。
・空欄[エ]: \(2d\sin\theta\)
・空欄[オ]: \(2.8 \times 10^{-10}\)
得られた \(d = 2.8 \times 10^{-10}\,\text{m}\) は \(2.8\,\text{Å}\)（オングストローム）であり、一般的な結晶の原子間距離として非常に妥当な値です。
また、\(n=4\) という高次の反射が観測されるのは、波長が原子間隔に対して十分に短い場合であり、今回の設定（\(\lambda \approx 0.7\,\text{Å}\), \(d \approx 2.8\,\text{Å}\)）では \(2d > \lambda\) なので物理的に可能です。
[エ] \(2d\sin\theta\)
[オ] \(2.8 \times 10^{-10}\)
思考の道筋とポイント
幾何学的な経路差の計算に加え、波動の基本原理である「位相」の概念を用いて干渉条件を再確認します。
波の位相 \(\phi\) は位置 \(x\) の関数として \(\phi(x) = kx – \omega t\) （\(k\)は波数）と表されます。
経路差 \(\Delta L\) が生じたときの位相差 \(\Delta \phi\) を計算し、それが \(2\pi\) の整数倍になることが強め合いの条件であることを示します。
この設問における重要なポイント
- 波数 \(k\): 波長 \(\lambda\) との関係は \(k = \frac{2\pi}{\lambda}\) です。
- 位相差 \(\Delta \phi\): 経路差 \(\Delta L\) に対応する位相のずれは \(\Delta \phi = k \Delta L\) です。
- 干渉条件（位相）: 位相差が \(2\pi n\) （\(n\)は整数）のとき、波は同位相となり強め合います。
具体的な解説と立式
経路差 \(\Delta L\) はメイン解法と同様に図形的に求めます。
$$
\begin{aligned}
\Delta L &= 2d \sin\theta \quad \cdots ⑧
\end{aligned}
$$
この経路差による位相差 \(\Delta \phi\) は、波数 \(k = \frac{2\pi}{\lambda}\) を用いて以下のように表されます。
$$
\begin{aligned}
\Delta \phi &= k \Delta L \\[2.0ex]
&= \frac{2\pi}{\lambda} (2d \sin\theta) \quad \cdots ⑨
\end{aligned}
$$
強め合うための条件は、位相差が \(2\pi\) の整数倍になることです。
$$
\begin{aligned}
\Delta \phi &= 2\pi n \quad (n=1, 2, \dots) \quad \cdots ⑩
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 波数の定義: \(k = \frac{2\pi}{\lambda}\)
- 位相差と経路差の関係: \(\Delta \phi = k \Delta L\)
式⑨を式⑩に代入します。
$$
\begin{aligned}
\frac{2\pi}{\lambda} (2d \sin\theta) &= 2\pi n
\end{aligned}
$$
両辺を \(2\pi\) で割ります。
$$
\begin{aligned}
\frac{2d \sin\theta}{\lambda} &= n
\end{aligned}
$$
両辺に \(\lambda\) を掛けます。
$$
\begin{aligned}
2d \sin\theta &= n \lambda
\end{aligned}
$$
これにより、ブラッグの条件式が導かれました。
以降の数値計算はメイン解法と同様です。
波の「山」と「谷」のリズム（位相）に注目しました。
波が1波長分進むと、位相は \(2\pi\)（360度）回ります。
経路差の分だけ位相がずれますが、そのずれがちょうど一周分（\(2\pi\)）や二周分（\(4\pi\)）であれば、結局元の波と同じリズムに戻ります。
この「位相のずれが \(2\pi\) の倍数」という条件式を整理すると、教科書に出てくる「経路差＝波長の整数倍」という式と同じになります。
位相差からアプローチしても、全く同じブラッグの条件式 \(2d\sin\theta = n\lambda\) が得られました。
これは、幾何光学的な「経路差」という概念が、波動光学的な「位相差」の近似ではなく、等価な表現であることを裏付けています。
【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座
最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- エネルギー保存則と光量子仮説
- 核心: 電子が電場で加速されて得た運動エネルギー \(K=eV\) が、衝突によって光子1個のエネルギー \(E=h\nu\) に変換される過程です。
- 理解のポイント:
- 連続X線の最短波長: 電子の全運動エネルギーが1個の光子に変わる「最大効率」のケースで発生します。
- 特性X線との違い: 特性X線は原子固有のエネルギー準位差に由来するため、加速電圧 \(V\) に依存しません。
- 波動の干渉条件（ブラッグの条件）
- 核心: 結晶格子面で反射されたX線同士が、経路差 \(2d\sin\theta\) に応じて強め合う（同位相になる）現象です。
- 理解のポイント:
- 経路差の幾何学: 図を描いて、直角三角形の辺の長さとして経路差を視覚的に捉えることが重要です。
- 反射次数 \(n\): \(n=1, 2, 3\dots\) と増えるごとに、経路差が波長の1倍、2倍、3倍…となり、より深い角度で反射が起こります。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- コンプトン効果: X線と電子の衝突において、エネルギーだけでなく運動量も保存される現象です。光子の粒子性がより顕著に現れます。
- 電子線の回折: X線（光）ではなく電子（粒子）を波として扱い、ド・ブロイ波長 \(\lambda = h/mv\) を用いてブラッグの条件を適用する問題です。
- 初見の問題での着眼点:
- エネルギー変換の方向: 「電気エネルギー \(\to\) 運動エネルギー \(\to\) 光エネルギー」という流れを矢印で書き出し、各段階での保存則を立式します。
- 干渉の幾何学: 回折格子や薄膜干渉など、波の干渉問題では必ず「経路差」を作図し、直角三角形を見つけて長さを計算します。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 角度 \(\theta\) の定義ミス:
- 誤解: 光学のスネルの法則（屈折）に慣れていると、うっかり「法線とのなす角」を \(\theta\) としてしまい、\(\sin\theta\) ではなく \(\cos\theta\) を使ってしまう。
- 対策: 問題文の図を指差し確認し、「結晶面とのなす角」であることを強く意識します。ブラッグ反射では常に「面との角」が主役です。
- 単位の換算ミス:
- 誤解: オングストローム（\(\text{Å} = 10^{-10}\,\text{m}\)）やナノメートル（\(\text{nm} = 10^{-9}\,\text{m}\)）などの単位を、メートルに直さずに計算してしまう。
- 対策: 計算の最初に全ての物理量をSI単位系（\(\text{m}, \text{kg}, \text{s}, \text{A}\)）に統一する習慣をつけます。特にプランク定数 \(h\) や光速 \(c\) を使うときは必須です。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- 問(1)でのエネルギー保存則 \(eV = hc/\lambda\) の選択:
- 選定理由: 電子の運動エネルギーと光子のエネルギーを直接結びつける最も基本的かつ強力な法則だからです。
- 適用根拠: 電子が陽極に衝突して停止するまでの過程で、エネルギーの散逸（熱などへの転化）を無視し、全てが光子1個に変わるという「最短波長」の条件が明示されているためです。
- 問(2)でのブラッグの条件 \(2d\sin\theta = n\lambda\) の選択:
- 選定理由: 結晶によるX線回折現象を記述する専用の公式であり、経路差の幾何学的導出がそのまま式の形になっているため、直感的で間違いにくいからです。
- 適用根拠: X線が結晶内部まで侵入し、多数の原子面で反射・干渉するという物理モデルが、問題の設定（図2）と完全に一致しているためです。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 指数計算の分離:
- 意識: \(10^{-34}\) や \(10^8\) などの巨大・極小な数字を混ぜて計算するとミスが多発します。
- 実践: 仮数部（\(6.6 \times 3.0 / 1.6\) など）と指数部（\(10^{-34+8-(-19)}\) など）を完全に分けて計算し、最後に合体させます。
- 次元解析（単位チェック）:
- 意識: 答えが出た後、その単位が求めている物理量と合っているか確認します。
- 実践: 波長 \(\lambda\) なら \([\text{m}]\)、エネルギー \(E\) なら \([\text{J}]\) になっているか。例えば \(hc/eV\) の単位を計算して \([\text{m}]\) になることを確認すれば、式の形が正しいという強力な証拠になります。
問題152 コンプトン効果 (25 熊本大)
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
- 提示する別解
- 設問(1)(2)の別解: 微積分（力積と仕事）を用いた体系的解法
- 模範解答がエネルギー保存則と運動量保存則を既知の公式として当てはめて立式するのに対し、別解では光子と電子の間に働く相互作用（力）を仮定し、ニュートンの運動方程式と仕事・エネルギーの定理の積分から、保存則そのものを原理的に導出します。
- 設問(3)の別解: 運動量ベクトル図と余弦定理を用いた解法
- 模範解答が運動量のx成分とy成分の式をそれぞれ2乗して足し合わせるのに対し、別解では運動量保存則をベクトルのまま図示し、余弦定理を用いて一気に電子の運動量の大きさを求めます。
- 設問(1)(2)の別解: 微積分（力積と仕事）を用いた体系的解法
- 上記の別解が有益である理由
- 微積分の解法: 「なぜ衝突の前後で保存則が成り立つのか」という物理の第一原理に立ち返ることで、公式の暗記に頼らない深い理解を促し、未知の現象にも対応できる応用力を養います。
- ベクトル図の解法: 複雑な三角関数の計算（\(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) の利用など）を回避し、視覚的・幾何学的に現象を捉えることで、計算ミスを減らし解答スピードを劇的に向上させます。
- 結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、最終的に得られる答えは模範解答と完全に一致します。
この問題のテーマは「コンプトン効果における光子と電子の衝突」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 光子の粒子性: X線を波長 \(\lambda\)、エネルギー \(hc/\lambda\)、運動量 \(h/\lambda\) を持つ「粒子（光子）」として扱います。
- エネルギー保存則: 衝突の前後で、系全体（光子と電子）のエネルギーの和は一定に保たれます。
- 運動量保存則: 衝突の前後で、系全体の運動量の和はベクトルとして一定に保たれます。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- 問(1)では、衝突前後のエネルギーの総和を比較して等式を立てます。
- 問(2)では、運動量をx方向とy方向に成分分解し、それぞれの方向で保存則を立式します。
- 問(3)では、立てた連立方程式から観測にかからない電子の変数（速さと角度）を数学的に消去し、波長の変化量を導きます。
- 問(4)では、導出した公式に具体的な数値を代入して波長を計算します。
問(1)
思考の道筋とポイント
コンプトン効果におけるエネルギー保存則を考えます。
衝突前の系（入射X線と静止した電子）の全エネルギーと、衝突後の系（散乱X線と反跳電子）の全エネルギーが等しいことを立式します。
この設問における重要なポイント
- 光子のエネルギー: 波長 \(\lambda\) の光子のエネルギーは \(E = hc/\lambda\) です。
- 電子の運動エネルギー: 速さ \(v\) で動く質量 \(m\) の電子の運動エネルギーは \(\frac{1}{2}mv^2\) です（問題の誘導に従い、非相対論的近似を用います）。
具体的な解説と立式
衝突前のエネルギーは、入射X線のエネルギーと静止した電子の運動エネルギー（\(0\)）の和です。
衝突後のエネルギーは、散乱X線のエネルギーと散乱された電子の運動エネルギーの和です。
エネルギー保存則より、以下の式が成り立ちます。
（衝突前のエネルギーの和）=（衝突後のエネルギーの和）
$$
\begin{aligned}
\frac{hc}{\lambda_0} + 0 &= \frac{hc}{\lambda’} + \frac{1}{2}mv^2
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 光子のエネルギー: \(E = \frac{hc}{\lambda}\)
- 運動エネルギー: \(K = \frac{1}{2}mv^2\)
式の \(0\) を省略して整理します。
$$
\begin{aligned}
\frac{hc}{\lambda_0} &= \frac{hc}{\lambda’} + \frac{1}{2}mv^2
\end{aligned}
$$
光の粒（光子）が止まっている電子にぶつかり、ビリヤードのように弾き飛ばす現象です。
最初に光子が持っていたエネルギーが、ぶつかった後の光子のエネルギーと、弾き飛ばされた電子の運動エネルギーに分配されます。全体のエネルギーの合計は衝突の前後で変わりません。
得られた式は、光子のエネルギー減少分が電子の運動エネルギーになることを示しており、物理的に妥当です。
問(2)
思考の道筋とポイント
コンプトン効果における運動量保存則を、x方向とy方向に分けて立式します。
運動量はベクトル（向きを持つ量）であるため、図2の角度 \(\phi\) と \(\theta\) を用いて成分分解することが重要です。
この設問における重要なポイント
- 光子の運動量: 波長 \(\lambda\) の光子の運動量の大きさは \(p = h/\lambda\) です。
- 運動量の成分分解: x軸からの角度を用いて、x成分は \(\cos\)、y成分は \(\sin\) をかけて求めます。
具体的な解説と立式
入射X線はx軸の正の向きに進むため、運動量はx方向のみに持ちます。
散乱X線はx軸から角度 \(\phi\)（図2の下向き）、散乱電子はx軸から角度 \(\theta\)（図2の上向き）の方向に進みます。
x方向の運動量保存則を考えます。
（衝突前の右向きの運動量の和）=（衝突後の右向きの運動量の和）
$$
\begin{aligned}
\frac{h}{\lambda_0} + 0 &= \frac{h}{\lambda’}\cos\phi + mv\cos\theta
\end{aligned}
$$
次に、y方向の運動量保存則を考えます。衝突前はy方向の運動量はありません。
衝突後は、電子が上向き（y軸正の向き）、X線が下向き（y軸負の向き）に運動量を持ちます。
（衝突後の上向きの運動量の和）=（衝突後の下向きの運動量の和）
$$
\begin{aligned}
mv\sin\theta &= \frac{h}{\lambda’}\sin\phi
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 光子の運動量: \(p = \frac{h}{\lambda}\)
- 運動量: \(p = mv\)
x方向の式はそのまま整理します。
$$
\begin{aligned}
\frac{h}{\lambda_0} &= \frac{h}{\lambda’}\cos\phi + mv\cos\theta
\end{aligned}
$$
y方向の式は、模範解答の形式（右辺を \(0\) にする形）に合わせて移項します。
$$
\begin{aligned}
0 &= -\frac{h}{\lambda’}\sin\phi + mv\sin\theta
\end{aligned}
$$
運動量（勢い）も衝突の前後で保存されます。ただし、勢いには「向き」があるので、縦と横に分けて考えます。
横方向（x方向）は、最初に入射してきた光子の勢いが、散乱された光子と電子の横方向の勢いに分配されます。
縦方向（y方向）は、最初は勢いがゼロでした。衝突後、電子が上向きに、光子が下向きに飛び散りますが、それらの縦方向の勢いは互いに打ち消し合って、合計するとやはりゼロになります。
x方向は入射光子の運動量が分配され、y方向は散乱後の運動量が釣り合っていることが式から読み取れ、物理的に妥当です。
x方向: \(\displaystyle \frac{h}{\lambda_0} = \frac{h}{\lambda’}\cos\phi + mv\cos\theta\)
y方向: \(\displaystyle 0 = -\frac{h}{\lambda’}\sin\phi + mv\sin\theta\)
思考の道筋とポイント
エネルギー保存則と運動量保存則を既知の公式として当てはめるのではなく、光子と電子の間に働く相互作用（力）を仮定し、ニュートンの運動方程式と仕事・エネルギーの定理（微積分）から原理的に導出します。
この設問における重要なポイント
- 運動方程式と力積: 力 \(\vec{F}\) を時間積分したものが運動量の変化（力積）になります。
- 仕事とエネルギー: 力 \(\vec{F}\) を空間積分（経路積分）したものが運動エネルギーの変化（仕事）になります。
- 作用・反作用の法則: 光子が電子に及ぼす力と、電子が光子に及ぼす力は、大きさが等しく逆向きです。
具体的な解説と立式
衝突の短い時間 \(\Delta t\) の間に、光子が電子に及ぼす力を \(\vec{F}(t)\) とします。作用・反作用の法則により、電子が光子に及ぼす力は \(-\vec{F}(t)\) です。
電子の運動方程式は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
m \frac{d\vec{v}}{dt} &= \vec{F}(t)
\end{aligned}
$$
光子の運動量 \(\vec{p}_{\text{光}}\) の時間変化も同様に力によって生じると考えます。
$$
\begin{aligned}
\frac{d\vec{p}_{\text{光}}}{dt} &= -\vec{F}(t)
\end{aligned}
$$
次に、エネルギーについて考えます。電子が力 \(\vec{F}\) を受けて微小変位 \(d\vec{r}_{\text{電子}}\) 移動したときの仕事は \(\vec{F} \cdot d\vec{r}_{\text{電子}}\) です。光子が受ける仕事は \(-\vec{F} \cdot d\vec{r}_{\text{光}}\) です。
衝突中の微小時間 \(dt\) における系の全エネルギー \(E_{\text{全}}\) の変化率を考えます。
$$
\begin{aligned}
\frac{dE_{\text{全}}}{dt} &= \vec{F} \cdot \vec{v}_{\text{電子}} + (-\vec{F}) \cdot \vec{v}_{\text{光}}
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 運動方程式: \(m\vec{a} = \vec{F}\)
- 運動量の定義: \(\vec{p} = m\vec{v}\)
- 仕事率: \(P = \vec{F} \cdot \vec{v}\)
運動量の2つの式を辺々足し合わせます。
$$
\begin{aligned}
m \frac{d\vec{v}}{dt} + \frac{d\vec{p}_{\text{光}}}{dt} &= \vec{F}(t) – \vec{F}(t) \\[2.0ex]
\frac{d}{dt} (m\vec{v} + \vec{p}_{\text{光}}) &= 0
\end{aligned}
$$
これを時間 \(t\) で積分します。衝突前を \(t_1\)、衝突後を \(t_2\) とします。
$$
\begin{aligned}
\int_{t_1}^{t_2} \frac{d}{dt} (m\vec{v} + \vec{p}_{\text{光}}) dt &= \int_{t_1}^{t_2} 0 \, dt \\[2.0ex]
\left[ m\vec{v} + \vec{p}_{\text{光}} \right]_{t_1}^{t_2} &= 0 \\[2.0ex]
(m\vec{v} + \vec{p}’) – (0 + \vec{p}_0) &= 0 \\[2.0ex]
\vec{p}_0 &= \vec{p}’ + m\vec{v}
\end{aligned}
$$
これをx成分とy成分に分けると、問(2)の式が得られます。
エネルギーの式について、衝突は一点で瞬間的に起こるとみなせるため、相互作用中の両者の速度は実質的に等しい（あるいは相互作用ポテンシャルエネルギーを含めた全エネルギーが保存する）と近似でき、右辺は \(0\) となります。
$$
\begin{aligned}
\frac{dE_{\text{全}}}{dt} &= 0
\end{aligned}
$$
これを時間積分します。
$$
\begin{aligned}
\int_{t_1}^{t_2} \frac{dE_{\text{全}}}{dt} dt &= \int_{t_1}^{t_2} 0 \, dt \\[2.0ex]
\left[ E_{\text{全}} \right]_{t_1}^{t_2} &= 0 \\[2.0ex]
E_{\text{後}} – E_{\text{前}} &= 0 \\[2.0ex]
E_{\text{前}} &= E_{\text{後}}
\end{aligned}
$$
これに各粒子のエネルギーを代入すると、問(1)の式が得られます。
「保存則」は魔法のルールではなく、ニュートンの運動方程式から導き出せる結果です。
光子と電子がぶつかるとき、お互いに押し合う力（作用と反作用）が働きます。この力は大きさが同じで向きが逆なので、2つの粒子の勢い（運動量）の変化を足し合わせると、プラスマイナスゼロになります。これが運動量保存則の正体です。
エネルギーについては、作用・反作用だけで合計が変わらないとは言えません。2つの粒子の動き（変位）が違えば、互いにする仕事は打ち消し合わないからです。ここでは、エネルギーが熱などに逃げない弾性的な衝突であることを前提にして、一方が失ったエネルギーをもう一方がそのまま受け取り、合計は変わらないとしています。
微積分を用いた第一原理からのアプローチにより、マクロな保存則がミクロな相互作用から自然に導出されることが確認できました。結果はメイン解法と完全に一致します。
(1) \(\displaystyle \frac{hc}{\lambda_0} = \frac{hc}{\lambda’} + \frac{1}{2}mv^2\)
(2) x方向: \(\displaystyle \frac{h}{\lambda_0} = \frac{h}{\lambda’}\cos\phi + mv\cos\theta\)
y方向: \(\displaystyle 0 = -\frac{h}{\lambda’}\sin\phi + mv\sin\theta\)
問(3)
思考の道筋とポイント
問(1)と問(2)で立てた式から、観測にかからない電子の物理量（速さ \(v\) と散乱角 \(\theta\)）を消去し、波長の変化量 \(\Delta \lambda\) を導出します。
三角関数の公式 \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) を利用して \(\theta\) を消去するのが定石です。
この設問における重要なポイント
- 未知数の消去: 求めたいのはX線の波長に関する式なので、電子に関する変数 \(v, \theta\) を消去します。
- 三角関数の性質: \(\theta\) を消去するために、運動量保存則の式を \(\sin\theta\) と \(\cos\theta\) について解き、両辺を2乗して足し合わせます。
- 近似式の利用: 問題文で与えられた \(\frac{\lambda’}{\lambda_0} + \frac{\lambda_0}{\lambda’} \approx 2\) を適切なタイミングで代入します。
具体的な解説と立式
問(1)と問(2)で得られた以下の3つの式を連立させます。
$$
\begin{aligned}
\frac{hc}{\lambda_0} &= \frac{hc}{\lambda’} + \frac{1}{2}mv^2
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
\frac{h}{\lambda_0} &= \frac{h}{\lambda’}\cos\phi + mv\cos\theta
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
0 &= -\frac{h}{\lambda’}\sin\phi + mv\sin\theta
\end{aligned}
$$
これらを変形し、電子の運動量成分と運動エネルギーをそれぞれ左辺にまとめます。
$$
\begin{aligned}
mv\cos\theta &= \frac{h}{\lambda_0} – \frac{h}{\lambda’}\cos\phi
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
mv\sin\theta &= \frac{h}{\lambda’}\sin\phi
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}mv^2 &= \frac{hc}{\lambda_0} – \frac{hc}{\lambda’}
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 三角関数の基本公式: \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)
運動量の2つの式の両辺をそれぞれ2乗します。
$$
\begin{aligned}
m^2v^2\cos^2\theta &= \left( \frac{h}{\lambda_0} – \frac{h}{\lambda’}\cos\phi \right)^2 \\[2.0ex]
m^2v^2\sin^2\theta &= \left( \frac{h}{\lambda’}\sin\phi \right)^2
\end{aligned}
$$
これらを辺々足し合わせます。左辺は \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) より \(\theta\) が消去されます。
$$
\begin{aligned}
m^2v^2 (\cos^2\theta + \sin^2\theta) &= \left( \frac{h}{\lambda_0} – \frac{h}{\lambda’}\cos\phi \right)^2 + \left( \frac{h}{\lambda’}\sin\phi \right)^2 \\[2.0ex]
m^2v^2 &= \frac{h^2}{\lambda_0^2} – \frac{2h^2}{\lambda_0\lambda’}\cos\phi + \frac{h^2}{\lambda’^2}\cos^2\phi + \frac{h^2}{\lambda’^2}\sin^2\phi \\[2.0ex]
&= \frac{h^2}{\lambda_0^2} – \frac{2h^2}{\lambda_0\lambda’}\cos\phi + \frac{h^2}{\lambda’^2}(\cos^2\phi + \sin^2\phi) \\[2.0ex]
&= h^2 \left( \frac{1}{\lambda_0^2} – \frac{2}{\lambda_0\lambda’}\cos\phi + \frac{1}{\lambda’^2} \right) \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
次に、エネルギー保存則の式の両辺に \(2m\) をかけ、左辺を \(m^2v^2\) に揃えます。
$$
\begin{aligned}
2m \left( \frac{1}{2}mv^2 \right) &= 2m \left( \frac{hc}{\lambda_0} – \frac{hc}{\lambda’} \right) \\[2.0ex]
m^2v^2 &= 2mhc \left( \frac{1}{\lambda_0} – \frac{1}{\lambda’} \right) \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$
式①と式②の右辺同士を等置します。
$$
\begin{aligned}
2mhc \left( \frac{1}{\lambda_0} – \frac{1}{\lambda’} \right) &= h^2 \left( \frac{1}{\lambda_0^2} – \frac{2}{\lambda_0\lambda’}\cos\phi + \frac{1}{\lambda’^2} \right)
\end{aligned}
$$
両辺を \(h\) で割り、さらに両辺に \(\lambda_0\lambda’\) をかけます。
$$
\begin{aligned}
2mc \left( \frac{\lambda’ – \lambda_0}{\lambda_0\lambda’} \right) &= h \left( \frac{1}{\lambda_0^2} – \frac{2}{\lambda_0\lambda’}\cos\phi + \frac{1}{\lambda’^2} \right) \\[2.0ex]
2mc (\lambda’ – \lambda_0) &= h \left( \frac{\lambda’}{\lambda_0} – 2\cos\phi + \frac{\lambda_0}{\lambda’} \right)
\end{aligned}
$$
ここで、\(\Delta \lambda = \lambda’ – \lambda_0\) と置き換え、右辺の項を並べ替えます。
$$
\begin{aligned}
2mc \Delta \lambda &= h \left( \frac{\lambda’}{\lambda_0} + \frac{\lambda_0}{\lambda’} – 2\cos\phi \right)
\end{aligned}
$$
問題文で与えられた近似式 \(\frac{\lambda’}{\lambda_0} + \frac{\lambda_0}{\lambda’} \approx 2\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
2mc \Delta \lambda &\approx h (2 – 2\cos\phi) \\[2.0ex]
&= 2h (1 – \cos\phi)
\end{aligned}
$$
両辺を \(2mc\) で割り、\(\Delta \lambda\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\Delta \lambda &= \frac{h}{mc} (1 – \cos\phi)
\end{aligned}
$$
電子の速さや飛んでいく角度は、実験で直接測るのが難しい量です。そこで、連立方程式を解いてこれらの「邪魔な文字」を消し去ります。
縦と横の勢いの式をそれぞれ2乗して足すと、三角関数の性質で角度 \(\theta\) が綺麗に消えてくれます。
残った式とエネルギーの式を組み合わせ、問題文で与えられた「波長の変化はごくわずかである」という近似を使うと、波長のズレ \(\Delta \lambda\) が散乱角 \(\phi\) だけで決まるという美しい公式が導き出されます。
得られた式 \(\Delta \lambda = \frac{h}{mc} (1 – \cos\phi)\) はコンプトン散乱の公式そのものです。
\(\phi = 0\)（直進）のときは \(\cos 0 = 1\) となり \(\Delta \lambda = 0\)、つまり波長は変化しません。
\(\phi = 180^\circ\)（跳ね返り）のときは \(\cos 180^\circ = -1\) となり \(\Delta \lambda = \frac{2h}{mc}\) と最大になります。これは物理的な直感と完全に一致します。
思考の道筋とポイント
運動量はベクトルであるため、成分に分けて計算する代わりに、ベクトルのまま図形的に処理することができます。
運動量保存則のベクトル方程式から電子の運動量ベクトルを孤立させ、その大きさを余弦定理を用いて一気に求めます。
この設問における重要なポイント
- ベクトル方程式: 運動量保存則は \(\vec{p}_0 = \vec{p}’ + \vec{p}_{\text{電子}}\) と表せます。
- 余弦定理: 三角形の2辺の長さとその間の角から、残りの1辺の長さを求める定理です。
具体的な解説と立式
入射X線の運動量ベクトルを \(\vec{p}_0\)（大きさ \(h/\lambda_0\)）、散乱X線の運動量ベクトルを \(\vec{p}’\)（大きさ \(h/\lambda’\)）、電子の運動量ベクトルを \(\vec{p}_{\text{電子}}\)（大きさ \(mv\)）とします。
運動量保存則より、以下のベクトル方程式が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
\vec{p}_0 &= \vec{p}’ + \vec{p}_{\text{電子}}
\end{aligned}
$$
これを電子の運動量ベクトル \(\vec{p}_{\text{電子}}\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\vec{p}_{\text{電子}} &= \vec{p}_0 – \vec{p}’
\end{aligned}
$$
この関係をベクトル図（三角形）で描くと、\(\vec{p}_0\) と \(\vec{p}’\) の始点を合わせたとき、その間の角度は \(\phi\) となり、\(\vec{p}’\) の終点から \(\vec{p}_0\) の終点へ向かうベクトルが \(\vec{p}_{\text{電子}}\) となります。
この三角形に対して余弦定理を適用し、\(\vec{p}_{\text{電子}}\) の大きさの2乗を求めます。
$$
\begin{aligned}
|\vec{p}_{\text{電子}}|^2 &= |\vec{p}_0|^2 + |\vec{p}’|^2 – 2|\vec{p}_0||\vec{p}’|\cos\phi
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 余弦定理: \(c^2 = a^2 + b^2 – 2ab\cos C\)
各ベクトルの大きさを代入します。
$$
\begin{aligned}
(mv)^2 &= \left( \frac{h}{\lambda_0} \right)^2 + \left( \frac{h}{\lambda’} \right)^2 – 2 \left( \frac{h}{\lambda_0} \right) \left( \frac{h}{\lambda’} \right) \cos\phi \\[2.0ex]
m^2v^2 &= \frac{h^2}{\lambda_0^2} + \frac{h^2}{\lambda’^2} – \frac{2h^2}{\lambda_0\lambda’}\cos\phi \\[2.0ex]
&= h^2 \left( \frac{1}{\lambda_0^2} – \frac{2}{\lambda_0\lambda’}\cos\phi + \frac{1}{\lambda’^2} \right)
\end{aligned}
$$
この式は、メイン解法の計算過程で導出した式①と全く同じです。
以降の計算（エネルギー保存則との連立および近似式の適用）はメイン解法と完全に同一であるため、ここでは結果のみを示します。
$$
\begin{aligned}
\Delta \lambda &= \frac{h}{mc} (1 – \cos\phi)
\end{aligned}
$$
運動量の保存を「矢印の足し算」として図に描いてみます。
入射光子の矢印は、散乱光子の矢印と電子の矢印を足したものになります。
この関係から作られる三角形に、数学で習う「余弦定理」を当てはめると、面倒な縦横の成分分解や \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) の計算を一切せずに、一発で電子の勢い（の2乗）を求める式を作ることができます。
幾何学的なアプローチにより、代数的な計算量を大幅に削減しつつ、メイン解法と全く同じ結果が得られました。ベクトルの図形的性質を活用することの強力さが確認できます。
問(4)
思考の道筋とポイント
問(3)で求めた公式に、問題文で与えられた具体的な数値を代入して、散乱後の波長 \(\lambda’\) を計算します。
図1の角度 \(\alpha\) と図2の角度 \(\phi\) の対応関係を正しく読み取ることが第一歩です。
この設問における重要なポイント
- 角度の対応: 図1の「散乱後のX線」の角度 \(\alpha\) は、図2におけるX線の散乱角 \(\phi\) と同じ物理的意味を持ちます。
- 有効数字と桁数の取り扱い: 非常に小さな数値の計算になるため、10のべき乗を正しく処理し、有効数字に注意して足し算を行います。
具体的な解説と立式
図1と図2を比較すると、入射X線の方向に対する散乱X線の角度は、図1では \(\alpha\)、図2では \(\phi\) と定義されています。したがって、\(\alpha = 90^\circ\) のとき、\(\phi = 90^\circ\) となります。
問(3)で求めた公式に \(\phi = 90^\circ\) を代入し、波長の変化量 \(\Delta \lambda\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\Delta \lambda &= \frac{h}{mc} (1 – \cos 90^\circ)
\end{aligned}
$$
散乱後の波長 \(\lambda’\) は、元の波長 \(\lambda_0\) に変化量 \(\Delta \lambda\) を足したものです。
$$
\begin{aligned}
\lambda’ &= \lambda_0 + \Delta \lambda
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- コンプトン散乱の波長変化: \(\Delta \lambda = \frac{h}{mc} (1 – \cos\phi)\)
まず、\(\cos 90^\circ = 0\) より、\(\Delta \lambda\) の式を簡略化します。
$$
\begin{aligned}
\Delta \lambda &= \frac{h}{mc} (1 – 0) \\[2.0ex]
&= \frac{h}{mc}
\end{aligned}
$$
与えられた数値を代入して \(\Delta \lambda\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
\Delta \lambda &= \frac{6.63 \times 10^{-34}}{(9.11 \times 10^{-31}) \times (3.00 \times 10^8)} \\[2.0ex]
&= \frac{6.63}{9.11 \times 3.00} \times \frac{10^{-34}}{10^{-31} \times 10^8} \\[2.0ex]
&= \frac{6.63}{27.33} \times 10^{-34 – (-31 + 8)} \\[2.0ex]
&\approx 0.24259 \times 10^{-11}\,\text{m}
\end{aligned}
$$
\(\lambda_0\) の単位が \(\text{nm}\)（ナノメートル、\(10^{-9}\,\text{m}\)）であるため、\(\Delta \lambda\) も \(\text{nm}\) 単位に変換します。
$$
\begin{aligned}
\Delta \lambda &\approx 0.0024259 \times 10^{-9}\,\text{m} \\[2.0ex]
&\approx 0.002426\,\text{nm}
\end{aligned}
$$
これを \(\lambda_0 = 0.0709\,\text{nm}\) に足し合わせます。
$$
\begin{aligned}
\lambda’ &= 0.0709 + 0.002426 \\[2.0ex]
&= 0.073326\,\text{nm}
\end{aligned}
$$
有効数字3桁（与えられた数値の最小桁数に合わせる、あるいは足し算の末位に合わせる）で丸めます。\(\lambda_0\) が小数第4位まで与えられているため、結果もそれに準じます。
$$
\begin{aligned}
\lambda’ &\approx 0.0733\,\text{nm}
\end{aligned}
$$
公式に数字を当てはめるだけの計算ですが、数字が非常に小さいため注意が必要です。
\(90^\circ\) の方向に跳ね返ったX線は、元の波長よりも \(\frac{h}{mc}\) という決まった値（コンプトン波長と呼びます）だけ波長が長くなります。
この変化量は約 \(0.0024\,\text{nm}\) とごくわずかですが、元の波長 \(0.0709\,\text{nm}\) に対しては無視できない大きさのズレとして観測されます。
計算結果の \(0.0733\,\text{nm}\) は、元の波長 \(0.0709\,\text{nm}\) より長くなっており、エネルギーを失った（波長が伸びた）という物理的現象と整合しています。また、図3のグラフにおいて、\(\lambda_0\) の右側に現れるピーク \(\lambda’\) の位置関係とも一致しており妥当です。
【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座
最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- エネルギー保存則と運動量保存則の同時成立
- 核心: 光子と電子の衝突において、系全体のエネルギーの和と運動量ベクトルの和が同時に保存されること。
- 理解のポイント:
- エネルギーはスカラー量（向きを持たない）なので、単純な足し算で立式します。
- 運動量はベクトル量（向きを持つ）なので、必ずx方向とy方向に成分分解して立式します。
- 光子の粒子性（エネルギーと運動量の関係）
- 核心: 波長 \(\lambda\) のX線を、エネルギー \(E = hc/\lambda\)、運動量 \(p = h/\lambda\) を持つ「粒子（光子）」として扱うこと。
- 理解のポイント:
- 光の波動性（波長 \(\lambda\)）と粒子性（エネルギー \(E\)、運動量 \(p\)）を結びつけるプランク定数 \(h\) の役割を理解します。
- 光子は質量を持たないため、古典力学の \(E = \frac{1}{2}mv^2\) や \(p = mv\) は使えません。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- 光電効果: 光子が電子にエネルギーを与えて金属から飛び出させる現象です。コンプトン効果と同様に、光子のエネルギー \(E = h\nu\) を用いてエネルギー保存則（アインシュタインの光電方程式）を立てます。
- 粒子の弾性衝突（ビリヤード）: 2つの質点の衝突問題です。コンプトン効果の「光子」を「別の質点」に置き換えるだけで、運動量保存則と反発係数の式（弾性衝突ならエネルギー保存則）を立てる手順は全く同じです。
- 初見の問題での着眼点:
- 衝突前後の状態を図示する: 問題文を読んだら、必ず衝突前と衝突後の粒子の運動方向を矢印で描き、角度を明記します。
- 未知数と既知数を整理する: 何が与えられていて、何を求めたいのか（あるいは消去したいのか）を明確にします。コンプトン効果では、観測にかからない電子の速さ \(v\) と散乱角 \(\theta\) を消去するのが定石です。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 運動量の成分分解における符号ミス:
- 誤解: y方向の運動量保存則を立てる際、散乱X線が下向き（y軸負の向き）に進んでいるのに、符号をプラスにしてしまう。
- 対策: 運動量はベクトルであることを常に意識し、図に描いた矢印の向き（座標軸の正負）と式の符号が一致しているか、立式後に必ず確認する習慣をつけます。
- 光子のエネルギーと運動量の公式の混同:
- 誤解: 光子のエネルギーを \(E = h/\lambda\)、運動量を \(p = hc/\lambda\) と逆にしてしまう。
- 対策: 単位（次元）を確認します。エネルギーの単位は \(\text{J}\)、運動量の単位は \(\text{kg} \cdot \text{m}/\text{s}\) です。\(c\)（速さ、\(\text{m}/\text{s}\)）がかかっている方がエネルギーであると覚えます。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- 運動量保存則の成分分解（メイン解法）:
- 選定理由: 運動の方向が2次元（平面）に広がっているため、ベクトルをそのまま扱うよりも、直交する2つの成分に分けた方が代数的な計算（連立方程式）に持ち込みやすいため。
- 適用根拠: 外力が働いていない孤立系における衝突であるため、運動量ベクトルは保存されます。
- 運動量ベクトル図と余弦定理（別解）:
- 選定理由: 角度 \(\theta\) を含む成分の式を2乗して足し合わせる手間を省き、幾何学的な関係から一気に電子の運動量の大きさを求めることができるため、計算ミスを減らし時間を短縮できます。
- 適用根拠: 運動量保存則 \(\vec{p}_0 = \vec{p}’ + \vec{p}_{\text{電子}}\) は、3つのベクトルが閉じた三角形を作ることを意味しており、三角形の辺と角の関係である余弦定理が適用できます。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 文字式の整理と見通し:
- 意識: 複雑な文字式を計算する際は、最終的にどの文字を消去したいのか（今回は \(v\) と \(\theta\)）を常に意識して式変形を行います。
- 実践: \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) を使うために、消去したい \(\theta\) を含む項（\(mv\cos\theta\) と \(mv\sin\theta\)）を左辺に孤立させてから両辺を2乗する、という手順をパターンとして定着させます。
- 有効数字と指数計算の分離:
- 意識: 非常に小さい数値（プランク定数や電子の質量など）の計算では、仮数部（\(6.63\) など）と指数部（\(10^{-34}\) など）を分けて計算することで、桁の取り違いを防ぎます。
- 実践: 分数の計算では、まず指数部だけをまとめて \(10\) の何乗になるかを確定させ、その後に仮数部の割り算を筆算で行うようにします。
原子物理の「なぜその式？」を根本から解決
問題153 ブラッグ反射と金属からの光の発生 (東北大)
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
- 提示する別解
- 設問(2)の別解: 微積分（運動方程式と仕事）を用いた体系的解法
- 模範解答が運動エネルギーと運動量の関係式を既知として用いるのに対し、別解ではニュートンの運動方程式を空間積分することで、仕事と運動エネルギーの関係を原理から導出します。
- 設問(7)の別解: 微積分（電場からの仕事とポテンシャル）を用いた体系的解法
- 模範解答が光電効果の逆過程の式を天下り的に与えるのに対し、別解では電子が電場から受ける力を経路積分し、真空中の加速と金属表面でのポテンシャル変化を厳密に評価することで、なぜ仕事関数が「足される」のかを論理的に導き出します。
- 設問(2)の別解: 微積分（運動方程式と仕事）を用いた体系的解法
- 上記の別解が有益である理由
- 公式の暗記に頼らず、力学や電磁気学の第一原理からエネルギーの式を導出するプロセスを経験することで、分野横断的な深い物理的思考力を養うことができます。
- 特に問(7)において、多くの受験生が混乱する「仕事関数の符号」について、ポテンシャルの観点から明確で納得感のある説明を提供します。
- 結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、最終的に得られる答えは模範解答と完全に一致します。
この問題のテーマは「電子線のブラッグ反射とX線の発生（制動放射）」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- ブラッグの条件: 結晶の原子面で反射した波が強め合う条件は、経路差が波長の整数倍になることです。
- 物質波（ド・ブロイ波）: 運動量 \(p\) を持つ粒子は、波長 \(\lambda = h/p\) の波としての性質を持ちます。
- 光電効果の逆過程（制動放射）: 高速の電子が金属に衝突して急減速する際、失った運動エネルギーが光子（X線）として放出されます。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- 問(1)〜(3)では、幾何学的な経路差からブラッグの条件式を立て、電子の加速電圧と波長の関係を結びつけます。
- 問(4)(5)では、導出した公式に具体的な数値を代入し、電子とX線のエネルギーの違いを計算します。
- 問(6)(7)では、X線発生のスペクトルを分析し、エネルギー保存則からプランク定数と仕事関数を導出します。
問(1)
思考の道筋とポイント
図2に示された原子面での反射において、波が強め合う条件（干渉条件）を立式します。
隣り合う2つの原子面で反射する波の「経路差（余分に進む距離）」を幾何学的に求め、それが波長 \(\lambda\) の整数倍になることを示します。
この設問における重要なポイント
- 経路差の幾何学的導出: 図2において、上の原子面で反射する波と下の原子面で反射する波の経路の長さを比較します。
- 入射角の定義: ここでの角度 \(\theta\) は、波の進行方向と「原子面」がなす角として定義されています（光学での法線とのなす角ではないことに注意）。
具体的な解説と立式
図2において、上の原子面上の原子と、その直下にある下の原子面上の原子に注目します。
入射波が下の原子に到達するためには、上の原子のレベルからさらに斜めに進む必要があります。この余分な距離は、直角三角形を考えると \(d \sin\theta\) となります。
反射して出ていく際にも、同様に \(d \sin\theta\) だけ余分な距離を進みます。
したがって、合計の経路差は以下のようになります。
（経路差）=（入射側の余分な距離）+（反射側の余分な距離）
$$
\begin{aligned}
\Delta L &= d \sin\theta + d \sin\theta
\end{aligned}
$$
波が強め合う条件は、この経路差が波長 \(\lambda\) の整数倍 \(n\) になることです。
（経路差）=（波長の整数倍）
$$
\begin{aligned}
\Delta L &= n\lambda
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 干渉の強めあう条件: \(\Delta L = n\lambda \quad (n=1, 2, 3, \dots)\)
経路差の式を干渉条件の式に代入します。
$$
\begin{aligned}
d \sin\theta + d \sin\theta &= n\lambda \\[2.0ex]
2d \sin\theta &= n\lambda
\end{aligned}
$$
波が強め合うためには、2つの波の「山と山」「谷と谷」がぴったり重なる必要があります。
下の面で反射する波は、上の面で反射する波よりも少しだけ長い距離（経路差）を旅します。この余分な旅の距離が、波の長さ（波長）のちょうど1個分、2個分…となっていれば、波のタイミングがぴったり合い、強め合います。
得られた式 \(2d \sin\theta = n\lambda\) は「ブラッグの条件式」そのものであり、物理的に妥当です。
問(2)
思考の道筋とポイント
電子を波として扱う「物質波（ド・ブロイ波）」の波長を求めます。
与えられた運動エネルギー \(E\) から電子の運動量 \(p\) を計算し、ド・ブロイ波長の公式に代入します。
この設問における重要なポイント
- 運動エネルギーと運動量の関係: 質量 \(m\)、速さ \(v\) のとき、運動エネルギー \(E = \frac{1}{2}mv^2\)、運動量 \(p = mv\) です。これらから \(v\) を消去して \(E\) と \(p\) を結びつけます。
- ド・ブロイ波長: 運動量 \(p\) を持つ粒子の波長は \(\lambda = h/p\) で与えられます。
具体的な解説と立式
電子の速さを \(v\) とします。運動エネルギー \(E\) は以下のように表せます。
$$
\begin{aligned}
E &= \frac{1}{2}mv^2
\end{aligned}
$$
電子の運動量 \(p\) は以下のように表せます。
$$
\begin{aligned}
p &= mv
\end{aligned}
$$
ド・ブロイ波長 \(\lambda\) は以下の公式で与えられます。
$$
\begin{aligned}
\lambda &= \frac{h}{p}
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 運動エネルギー: \(E = \frac{1}{2}mv^2\)
- 運動量: \(p = mv\)
- ド・ブロイ波長: \(\lambda = \frac{h}{p}\)
運動エネルギーの式の両辺に \(2m\) をかけます。
$$
\begin{aligned}
2mE &= m^2v^2 \\[2.0ex]
&= (mv)^2
\end{aligned}
$$
これに運動量 \(p = mv\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
2mE &= p^2
\end{aligned}
$$
\(p > 0\) より、運動量 \(p\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
p &= \sqrt{2mE}
\end{aligned}
$$
これをド・ブロイ波長の式に代入します。
$$
\begin{aligned}
\lambda &= \frac{h}{\sqrt{2mE}}
\end{aligned}
$$
電子のような小さな粒子は、飛んでいるときに「波」としての性質も持ちます。
その波の長さ（波長）は、粒子の「勢い（運動量）」に反比例します。勢いが強いほど、波長は短くなります。
ここでは、与えられた運動エネルギーから電子の勢いを逆算し、波長を求める式を作りました。
エネルギー \(E\) が大きくなるほど分母が大きくなり、波長 \(\lambda\) が短くなることが式から読み取れます。これは高速の電子ほど波長が短くなるという物理的性質と整合しています。
思考の道筋とポイント
運動エネルギーの公式 \(E = \frac{1}{2}mv^2\) を既知とせず、ニュートンの運動方程式を空間積分することで、仕事と運動エネルギーの関係を第一原理から導出します。
この設問における重要なポイント
- 運動方程式: \(m \frac{dv}{dt} = F\)
- 仕事とエネルギーの定理: 力 \(F\) を距離 \(x\) で積分したものが仕事 \(W\) であり、それが運動エネルギーの変化になります。
具体的な解説と立式
電子が力 \(F\) を受けてx軸上を運動しているとします。運動方程式は以下の通りです。
$$
\begin{aligned}
m \frac{dv}{dt} &= F
\end{aligned}
$$
この電子が微小距離 \(dx\) 移動する間にされる微小な仕事 \(dW\) は以下のように表せます。
$$
\begin{aligned}
dW &= F dx
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 運動方程式: \(ma = F\)
- 微小仕事: \(dW = F dx\)
- 速度の定義: \(v = \frac{dx}{dt}\)
微小仕事の式に運動方程式を代入します。
$$
\begin{aligned}
dW &= \left( m \frac{dv}{dt} \right) dx
\end{aligned}
$$
ここで、\(dx = v dt\) であることを用いて変数を変換します。
$$
\begin{aligned}
dW &= m \frac{dv}{dt} (v dt) \\[2.0ex]
&= mv dv
\end{aligned}
$$
静止状態（\(v=0\)）から速さ \(v\) まで加速される間にされた全仕事 \(W\) を求めるため、両辺を積分します。
$$
\begin{aligned}
\int_{0}^{W} dW &= \int_{0}^{v} mv dv \\[2.0ex]
W &= \left[ \frac{1}{2}mv^2 \right]_{0}^{v} \\[2.0ex]
&= \frac{1}{2}mv^2
\end{aligned}
$$
された仕事 \(W\) が電子の運動エネルギー \(E\) となるため、\(E = \frac{1}{2}mv^2\) が導かれます。
以降の計算（\(p = mv\) を用いて \(\lambda = h/p\) に代入する過程）はメイン解法と完全に同一であるため、ここでは結果のみを示します。
$$
\begin{aligned}
\lambda &= \frac{h}{\sqrt{2mE}}
\end{aligned}
$$
「運動エネルギー」という概念は、もともと「力をかけ続けて物体を押し進めたときの、力の蓄積（仕事）」として定義されます。
運動方程式という力学の基本ルールを出発点にして、力を距離で足し合わせる（積分する）計算を行うと、自然に \(\frac{1}{2}mv^2\) という形が現れます。
微積分を用いた原理的なアプローチからも、全く同じ運動エネルギーの式が導出され、結果として同じ波長の式が得られました。
問(3)
思考の道筋とポイント
電子銃の加速電圧 \(V_1\) から電子の波長を求め、さらに実験装置の角度 \(\alpha\) から原子面に対する入射角 \(\theta\) を幾何学的に求めます。これらを問(1)のブラッグの条件式に代入し、原子面間隔 \(d_\alpha\) を導出します。
この設問における重要なポイント
- 電場による加速: 電圧 \(V_1\) で加速された電子が得る運動エネルギーは \(E = eV_1\) です。
- 角度の幾何学的関係: 模範解答の図aより、入射電子線と反射電子線のなす角が \(\alpha\) です。原子面は、この角 \(\alpha\) の二等分線に対して垂直に位置します。
- 最小の面間隔: ブラッグの条件式 \(2d \sin\theta = n\lambda\) において、\(d\) が最小となるのは \(n=1\) のときです。
具体的な解説と立式
電子の運動エネルギー \(E\) は、電場がした仕事に等しいため、以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
E &= eV_1
\end{aligned}
$$
これを問(2)の結果に代入し、電子の波長 \(\lambda\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\lambda &= \frac{h}{\sqrt{2meV_1}}
\end{aligned}
$$
次に、角度の関係を考えます。模範解答の図aを参照します。
入射線と反射線のなす角が \(\alpha\) です。
直線（\(180^\circ\) または \(\pi\) ラジアン）から、この \(\alpha\) を引いた残りの角度が、入射線と原子面のなす角 \(\theta\) の2つ分に相当します。
$$
\begin{aligned}
2\theta + \alpha &= \pi
\end{aligned}
$$
問(1)のブラッグの条件式において、最も小さな面間隔 \(d_\alpha\) を求めるため、\(n=1\) とします。
$$
\begin{aligned}
2d_\alpha \sin\theta &= 1 \cdot \lambda
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 電場による仕事: \(W = qV\)
- ブラッグの条件: \(2d \sin\theta = n\lambda\)
角度の式から \(\theta\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
2\theta &= \pi – \alpha \\[2.0ex]
\theta &= \frac{\pi}{2} – \frac{\alpha}{2}
\end{aligned}
$$
これを \(\sin\theta\) に代入し、三角関数の公式 \(\sin(\frac{\pi}{2} – x) = \cos x\) を用いて変形します。
$$
\begin{aligned}
\sin\theta &= \sin\left( \frac{\pi}{2} – \frac{\alpha}{2} \right) \\[2.0ex]
&= \cos\frac{\alpha}{2}
\end{aligned}
$$
ブラッグの条件式に \(\sin\theta\) と \(\lambda\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
2d_\alpha \cos\frac{\alpha}{2} &= \frac{h}{\sqrt{2meV_1}}
\end{aligned}
$$
両辺を \(2\cos\frac{\alpha}{2}\) で割り、\(d_\alpha\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
d_\alpha &= \frac{h}{2\sqrt{2meV_1}\cos\frac{\alpha}{2}}
\end{aligned}
$$
電子銃の電圧を上げると、電子の勢いが増して波長が短くなります。
また、実験装置の検出器の角度 \(\alpha\) が決まると、結晶の中のどの傾きの原子面で反射したかが幾何学的に決まります。
「波長」と「反射の角度」が分かれば、波が強め合う条件式を逆算することで、結晶内部の原子と原子の間隔を測ることができます。
加速電圧 \(V_1\) が大きいほど分母が大きくなり、より小さな面間隔 \(d_\alpha\) の回折が観測できることが式からわかります。これは、波長が短いほど細かい構造を分解できるという物理的直感と一致します。
問(4)
思考の道筋とポイント
問(3)で導出した関係式を、電子の運動エネルギー \(E_e (= eV_1)\) について解き直し、与えられた具体的な数値を代入して計算します。
計算結果はジュール（\(\text{J}\)）単位で得られるため、最後に電子ボルト（\(\text{eV}\)）単位に換算します。
この設問における重要なポイント
- 式の変形: 問(3)の途中で得られた式 \(2d_\alpha \cos\frac{\alpha}{2} = \frac{h}{\sqrt{2mE_e}}\) を出発点とすると計算がスムーズです。
- 単位の換算: \(1\,\text{eV} = e\,\text{J} = 1.6 \times 10^{-19}\,\text{J}\) を用いて換算します。
具体的な解説と立式
問(3)の干渉条件の式において、\(eV_1\) を電子の運動エネルギー \(E_e\) に置き換えます。
$$
\begin{aligned}
2d_\alpha \cos\frac{\alpha}{2} &= \frac{h}{\sqrt{2mE_e}}
\end{aligned}
$$
この式を \(E_e\) について解くための変形を行います。
使用した物理公式
- 特になし（代数計算と単位換算）
式の両辺の逆数をとり、整理します。
$$
\begin{aligned}
\frac{\sqrt{2mE_e}}{h} &= \frac{1}{2d_\alpha \cos\frac{\alpha}{2}} \\[2.0ex]
\sqrt{2mE_e} &= \frac{h}{2d_\alpha \cos\frac{\alpha}{2}}
\end{aligned}
$$
両辺を2乗します。
$$
\begin{aligned}
2mE_e &= \left( \frac{h}{2d_\alpha \cos\frac{\alpha}{2}} \right)^2 \\[2.0ex]
&= \frac{h^2}{4d_\alpha^2 \cos^2\frac{\alpha}{2}}
\end{aligned}
$$
両辺を \(2m\) で割ります。
$$
\begin{aligned}
E_e &= \frac{h^2}{8m d_\alpha^2 \cos^2\frac{\alpha}{2}}
\end{aligned}
$$
与えられた数値を代入します。
\(\alpha = 120^\circ\) より、\(\cos\frac{120^\circ}{2} = \cos 60^\circ = 0.5\) です。
$$
\begin{aligned}
E_e &= \frac{(6.6 \times 10^{-34})^2}{8 \times (9.1 \times 10^{-31}) \times (0.22 \times 10^{-9})^2 \times (0.5)^2}
\end{aligned}
$$
指数部と仮数部を分けて計算します。
分子: \((6.6)^2 \times 10^{-68} = 43.56 \times 10^{-68}\)
分母: \(8 \times 9.1 \times (0.22)^2 \times 0.25 \times 10^{-31} \times 10^{-18}\)
ここで、\(8 \times 0.25 = 2\) なので、
分母: \(2 \times 9.1 \times 0.0484 \times 10^{-49} = 18.2 \times 0.0484 \times 10^{-49} \approx 0.88088 \times 10^{-49}\)
$$
\begin{aligned}
E_e &= \frac{43.56 \times 10^{-68}}{0.88088 \times 10^{-49}} \\[2.0ex]
&\approx 49.45 \times 10^{-19}\,\text{J}
\end{aligned}
$$
これを \(\text{eV}\) 単位に換算するため、電気素量 \(e = 1.6 \times 10^{-19}\,\text{C}\) で割ります。
$$
\begin{aligned}
E_e &= \frac{49.45 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \,\text{eV} \\[2.0ex]
&= \frac{49.45}{1.6} \,\text{eV} \\[2.0ex]
&\approx 30.9\,\text{eV}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えるため、四捨五入します。
$$
\begin{aligned}
E_e &\approx 31\,\text{eV} \\[2.0ex]
&= 3.1 \times 10^1\,\text{eV}
\end{aligned}
$$
公式に具体的な数字を当てはめて計算する問題です。
プランク定数や電子の質量など、非常に小さな数字を扱うため、\(10\) の何乗という部分（指数）と、それ以外の数字（仮数）を分けて丁寧に計算します。
最後に出てきたジュール（\(\text{J}\)）という単位は、ミクロな世界では大きすぎるため、電子1個を1ボルトで加速したときのエネルギーである「電子ボルト（\(\text{eV}\)）」という使いやすい単位に変換します。
計算結果の約 \(31\,\text{eV}\) は、問題文冒頭にある「\(10 \sim 100\,\text{eV}\) 程度のエネルギーをもつ電子線」という設定と完全に一致しており、妥当な値です。
問(5)
思考の道筋とポイント
電子の代わりにX線（光子）を用いて同じ回折現象を観測する場合を考えます。
同じ回折条件を満たすということは、X線の波長 \(\lambda_{\text{X}}\) が、問(3)の干渉条件式を満たすということです。その波長から、光子のエネルギーの公式を用いて \(E_p\) を計算します。
この設問における重要なポイント
- 光子のエネルギー: 波長 \(\lambda_{\text{X}}\) の光子のエネルギーは \(E_p = hc/\lambda_{\text{X}}\) です。電子の運動エネルギーの式とは異なることに注意が必要です。
具体的な解説と立式
X線の波長を \(\lambda_{\text{X}}\) とします。問(3)と同じ回折条件を満たすため、以下の式が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
2d_\alpha \cos\frac{\alpha}{2} &= \lambda_{\text{X}}
\end{aligned}
$$
この波長を持つX線（光子）のエネルギー \(E_p\) は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
E_p &= \frac{hc}{\lambda_{\text{X}}}
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 光子のエネルギー: \(E = \frac{hc}{\lambda}\)
まず、波長 \(\lambda_{\text{X}}\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
\lambda_{\text{X}} &= 2 \times (0.22 \times 10^{-9}) \times \cos 60^\circ \\[2.0ex]
&= 2 \times 0.22 \times 10^{-9} \times 0.5 \\[2.0ex]
&= 0.22 \times 10^{-9}\,\text{m}
\end{aligned}
$$
これをエネルギーの式に代入します。
$$
\begin{aligned}
E_p &= \frac{(6.6 \times 10^{-34}) \times (3.0 \times 10^8)}{0.22 \times 10^{-9}} \\[2.0ex]
&= \frac{19.8 \times 10^{-26}}{0.22 \times 10^{-9}} \\[2.0ex]
&= 90 \times 10^{-17} \\[2.0ex]
&= 9.0 \times 10^{-16}\,\text{J}
\end{aligned}
$$
これを \(\text{eV}\) 単位に換算します。
$$
\begin{aligned}
E_p &= \frac{9.0 \times 10^{-16}}{1.6 \times 10^{-19}} \,\text{eV} \\[2.0ex]
&= 5.625 \times 10^3\,\text{eV}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で丸めます。
$$
\begin{aligned}
E_p &\approx 5.6 \times 10^3\,\text{eV}
\end{aligned}
$$
電子とX線が「同じ波長」を持っていたとしても、そのエネルギーの計算方法は全く異なります。
電子は質量を持つため \(E = p^2/2m\) で計算しますが、X線（光子）は質量を持たず光速で飛ぶため \(E = hc/\lambda\) で計算します。
実際に計算してみると、同じ波長を作るために、X線は電子の何百倍もの巨大なエネルギーが必要であることがわかります。
X線のエネルギーは約 \(5.6\,\text{keV}\) となり、これは一般的なX線回折実験で用いられるエネルギー領域（数 \(\text{keV}\) 〜 数十 \(\text{keV}\)）と整合しており妥当です。
問(6)
思考の道筋とポイント
金属に電子を衝突させてX線を発生させる現象（制動放射）のスペクトルグラフを描きます。
「電子の数」と「加速電圧」が、それぞれグラフの「縦軸（強度）」と「横軸（最短波長）」にどう影響するかを論理的に判断します。
この設問における重要なポイント
- 電子数の影響: 電子の数を2倍にすると、発生する光子の総数も2倍になります。しかし、電子1個あたりのエネルギーは変わらないため、作れる光子の最大エネルギー（最短波長 \(\lambda_1\)）は変化しません。
- 加速電圧の影響: 加速電圧を大きくすると、電子1個あたりのエネルギーが大きくなります。これにより、よりエネルギーの高い（波長の短い）光子が発生可能になり、最短波長は短くなります（\(\lambda_2 < \lambda_1\)）。
具体的な解説と立式
立式は不要であり、物理的考察に基づいてグラフを描画します。
1. 電子数を2倍にした場合（実線）:
- 最短波長 \(\lambda_1^*\) は元の \(\lambda_1\) と同じ位置から立ち上がります。
- 各波長における強度が元のグラフの2倍になるため、元の曲線を縦方向に2倍に引き伸ばしたような形状になります。
2. 加速電圧を \(V_2\) にした場合（破線）:
- 電子数は元に戻したため、全体の強度のスケール（右側の平坦な部分の高さ）は元のグラフと同程度になります。
- 最大エネルギーが増加するため、最短波長 \(\lambda_2\) は \(\lambda_1\) よりも左側（短い波長側）に移動します。
- 高エネルギーの電子が増えるため、短い波長領域での強度が元のグラフよりも高くなり、元の曲線を上回る軌道を描いて右側へ合流します。
使用した物理公式
- 特になし（制動放射の定性的な性質）
特になし。
グラフの縦軸は「光の粒の数」、横軸は「光の波長（左に行くほどエネルギーが高い）」です。
電子の数を2倍にするのは、ピッチングマシンから出るボールの数を2倍にするようなものです。ボールの数は増えますが、1球あたりのスピード（最大エネルギー）は変わりません。だからグラフは上に伸びるだけで、左端の位置は変わりません。
一方、電圧を上げるのは、ピッチングマシンの設定スピードを上げるようなものです。より速いボール（エネルギーの高い光子）が出るようになるため、グラフの左端がさらに左へ移動します。
描画されたグラフは、制動放射における管電流（電子数）と管電圧（加速電圧）への依存性を正しく表現しており、物理的に妥当です。
問(7)
思考の道筋とポイント
問題文の指示に従い、この発光現象を「光電効果の逆過程」として捉え、エネルギー保存則を立式します。
電子が金属に衝突して光子を放出する際、金属の仕事関数 \(W\) がエネルギー収支にどう影響するかを正しく評価することが最大の鍵です。
この設問における重要なポイント
- 光電効果の逆過程: 通常の光電効果は「光子エネルギー = 電子の運動エネルギー + 仕事関数」ですが、逆過程では「電子の運動エネルギー + 仕事関数 = 光子エネルギー」となります。
- 仕事関数の寄与: 真空中で加速された電子が金属内に入る際、金属のポテンシャルの井戸に落ち込むため、仕事関数 \(W\) の分だけさらに運動エネルギーが増加します。
具体的な解説と立式
真空中で電圧 \(V\) によって加速された電子の運動エネルギーは \(eV\) です。
この電子が金属表面を通過して内部に入る際、仕事関数 \(W\) に相当するエネルギーを得て、金属内での最大運動エネルギーは \(eV + W\) となります。
このエネルギーがすべて1個の光子のエネルギーに変換されたとき、放出される光子は最大エネルギー（最短波長 \(\lambda\)）を持ちます。
したがって、エネルギー保存則は以下のようになります。
（金属内での電子の最大エネルギー）=（放出される光子の最大エネルギー）
$$
\begin{aligned}
eV + W &= \frac{hc}{\lambda}
\end{aligned}
$$
これを変形し、模範解答の形式に合わせます。
$$
\begin{aligned}
eV &= \frac{hc}{\lambda} – W
\end{aligned}
$$
加速電圧 \(V_1\) と \(V_2\) のそれぞれについて立式します。
$$
\begin{aligned}
eV_1 &= \frac{hc}{\lambda_1} – W \quad \cdots ① \\[2.0ex]
eV_2 &= \frac{hc}{\lambda_2} – W \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 光電効果の逆過程のエネルギー保存則: \(eV = \frac{hc}{\lambda} – W\)
式②から式①を辺々引いて、\(W\) を消去します。
$$
\begin{aligned}
e(V_2 – V_1) &= \frac{hc}{\lambda_2} – \frac{hc}{\lambda_1} \\[2.0ex]
&= hc \left( \frac{1}{\lambda_2} – \frac{1}{\lambda_1} \right) \\[2.0ex]
&= hc \frac{\lambda_1 – \lambda_2}{\lambda_1 \lambda_2}
\end{aligned}
$$
これをプランク定数 \(h\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
h &= \frac{e(V_2 – V_1)\lambda_1 \lambda_2}{c(\lambda_1 – \lambda_2)}
\end{aligned}
$$
次に、式①を変形して \(W\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
W &= \frac{hc}{\lambda_1} – eV_1
\end{aligned}
$$
ここで、先ほど求めた \(hc\) の関係式 \(hc = \frac{e(V_2 – V_1)\lambda_1 \lambda_2}{\lambda_1 – \lambda_2}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
W &= \frac{1}{\lambda_1} \left( \frac{e(V_2 – V_1)\lambda_1 \lambda_2}{\lambda_1 – \lambda_2} \right) – eV_1 \\[2.0ex]
&= \frac{e(V_2 – V_1)\lambda_2}{\lambda_1 – \lambda_2} – eV_1
\end{aligned}
$$
通分して整理します。
$$
\begin{aligned}
W &= \frac{e(V_2 – V_1)\lambda_2 – eV_1(\lambda_1 – \lambda_2)}{\lambda_1 – \lambda_2} \\[2.0ex]
&= \frac{eV_2\lambda_2 – eV_1\lambda_2 – eV_1\lambda_1 + eV_1\lambda_2}{\lambda_1 – \lambda_2} \\[2.0ex]
&= \frac{e(V_2\lambda_2 – V_1\lambda_1)}{\lambda_1 – \lambda_2}
\end{aligned}
$$
電子が金属に飛び込むとき、金属が電子を引っ張る「引力」によって、仕事関数 \(W\) の分だけさらにスピードアップします。
そのため、発生する光子の最大エネルギーは、真空中で加速されたエネルギー \(eV\) に、この \(W\) を足し合わせたものになります。
2つの異なる電圧での実験結果を連立方程式にして解くことで、未知の定数である \(h\) と \(W\) を求めることができます。
得られた \(h\) と \(W\) の式は、デュアン・ハントの法則に仕事関数の補正を加えた厳密な形となっており、物理的に妥当です。
\(\displaystyle h = \frac{e(V_2 – V_1)\lambda_1 \lambda_2}{c(\lambda_1 – \lambda_2)}\)
\(\displaystyle W = \frac{e(V_2\lambda_2 – V_1\lambda_1)}{\lambda_1 – \lambda_2}\)
思考の道筋とポイント
光電効果の逆過程の式を天下り的に与えるのではなく、電子が電場から受ける力を経路積分し、真空中の加速と金属表面でのポテンシャル変化を厳密に評価することで、エネルギー保存則を第一原理から導出します。
この設問における重要なポイント
- 電場からの仕事: 電子が電場 \(\vec{E}\) から受ける力は \(\vec{F} = -e\vec{E}\) です。これを経路積分したものが仕事になります。
- 金属表面のポテンシャル: 金属内部は真空中に比べて電位が \(\phi\) だけ高い（ポテンシャルエネルギーが低い）状態にあります。この電位差と仕事関数の関係は \(W = e\phi\) です。
具体的な解説と立式
仕事と運動エネルギーの定理より、電子の運動エネルギーの変化 \(\Delta K\) は、電子が受けた全仕事に等しくなります。
$$
\begin{aligned}
\Delta K &= \int \vec{F} \cdot d\vec{r}
\end{aligned}
$$
電子は陰極から出発し（初速度 \(0\)）、真空中の電場 \(\vec{E}_{\text{真空}}\) によって陽極（試料）まで加速され、さらに金属表面の局所的な電場 \(\vec{E}_{\text{表面}}\) を通過して金属内部に入ります。
全仕事は、真空中の仕事と表面での仕事の和になります。
$$
\begin{aligned}
\int \vec{F} \cdot d\vec{r} &= \int_{\text{真空}} (-e\vec{E}_{\text{真空}}) \cdot d\vec{r} + \int_{\text{表面}} (-e\vec{E}_{\text{表面}}) \cdot d\vec{r}
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 仕事とエネルギーの定理: \(\Delta K = \int \vec{F} \cdot d\vec{r}\)
- 電場と電位の関係: \(\Delta V = -\int \vec{E} \cdot d\vec{r}\)
電場と電位の関係を用いると、積分は電位差で表せます。
真空中の加速電圧を \(V\) とすると、陰極に対する陽極の電位は \(V\) 高いため、積分の値は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
\int_{\text{真空}} (-e\vec{E}_{\text{真空}}) \cdot d\vec{r} &= e \left( -\int_{\text{真空}} \vec{E}_{\text{真空}} \cdot d\vec{r} \right) \\[2.0ex]
&= eV
\end{aligned}
$$
金属表面では、内部の電位が真空より \(\phi\) 高いため、同様に以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
\int_{\text{表面}} (-e\vec{E}_{\text{表面}}) \cdot d\vec{r} &= e \left( -\int_{\text{表面}} \vec{E}_{\text{表面}} \cdot d\vec{r} \right) \\[2.0ex]
&= e\phi
\end{aligned}
$$
ここで、仕事関数の定義より \(W = e\phi\) であるため、表面での仕事は \(W\) となります。
したがって、金属内部に到達した電子の最大運動エネルギー \(K_{\text{最大}}\) は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
K_{\text{最大}} &= eV + W
\end{aligned}
$$
このエネルギーがすべて光子に変換されるとき、最短波長 \(\lambda\) の光子が発生します。
$$
\begin{aligned}
eV + W &= \frac{hc}{\lambda}
\end{aligned}
$$
この式はメイン解法で立式したものと完全に一致します。以降の連立方程式を解く計算過程はメイン解法と同一であるため、ここでは結果のみを示します。
$$
\begin{aligned}
h &= \frac{e(V_2 – V_1)\lambda_1 \lambda_2}{c(\lambda_1 – \lambda_2)}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
W &= \frac{e(V_2\lambda_2 – V_1\lambda_1)}{\lambda_1 – \lambda_2}
\end{aligned}
$$
電子が金属にぶつかるとき、なぜ仕事関数 \(W\) を「引く」のではなく「足す」のか、疑問に思うかもしれません。
電磁気学の基本に戻って、電子が受ける力を足し合わせて（積分して）いくと、真空中で電圧 \(V\) から受ける仕事 \(eV\) に加えて、金属の表面を通過する瞬間に金属内部のプラスの電気から引っ張られて受ける仕事 \(W\) が追加されることが数学的に証明できます。
微積分を用いたポテンシャルの厳密な評価により、光電効果の逆過程におけるエネルギー保存則が第一原理から導出され、仕事関数が加算される物理的理由が明確になりました。
\(\displaystyle h = \frac{e(V_2 – V_1)\lambda_1 \lambda_2}{c(\lambda_1 – \lambda_2)}\)
\(\displaystyle W = \frac{e(V_2\lambda_2 – V_1\lambda_1)}{\lambda_1 – \lambda_2}\)
【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座
最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- ブラッグの条件（波の干渉）
- 核心: 結晶の原子面で反射した波が強め合う条件は、経路差が波長の整数倍になること。
- 理解のポイント:
- 経路差は幾何学的に \(2d \sin\theta\) と表されます。
- 角度 \(\theta\) は、波の進行方向と「原子面」がなす角です（法線とのなす角ではないことに注意）。
- 物質波（ド・ブロイ波）
- 核心: 運動量 \(p\) を持つ粒子は、波長 \(\lambda = h/p\) の波としての性質を持つこと。
- 理解のポイント:
- 電子の運動エネルギー \(E\) と運動量 \(p\) の関係 \(E = p^2/2m\) を用いて、波長をエネルギーで表します。
- 光電効果の逆過程（制動放射）
- 核心: 高速の電子が金属に衝突して急減速する際、失った運動エネルギーが光子（X線）として放出されること。
- 理解のポイント:
- 電子が金属内に入る際、仕事関数 \(W\) の分だけさらに運動エネルギーが増加します。
- 放出される光子の最大エネルギー（最短波長）は、電子の最大運動エネルギーに等しくなります。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- X線回折: 電子線の代わりにX線を用いて結晶構造を調べる問題です。ブラッグの条件式は全く同じですが、波長とエネルギーの関係が異なります（X線は \(E = hc/\lambda\)）。
- 光電効果: 光子が電子にエネルギーを与えて金属から飛び出させる現象です。エネルギー保存則の式が逆になります（光子エネルギー = 電子の運動エネルギー + 仕事関数）。
- 初見の問題での着眼点:
- 粒子の種類を確認する: 電子（質量あり）か、光子（質量なし）かによって、エネルギーと波長の関係式を使い分けます。
- 角度の定義を確認する: 問題文や図で与えられている角度が、原子面とのなす角なのか、法線とのなす角なのか、あるいは入射線と反射線のなす角なのかを正確に読み取ります。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 電子と光子のエネルギー公式の混同:
- 誤解: 電子のエネルギーを \(E = hc/\lambda\) で計算したり、光子のエネルギーを \(E = p^2/2m\) で計算してしまう。
- 対策: 質量を持つ粒子（電子など）は \(E = p^2/2m\)、質量を持たない粒子（光子など）は \(E = hc/\lambda\) と、明確に区別して覚えます。
- 光電効果の逆過程における仕事関数の符号:
- 誤解: 光電効果の式 \(h\nu = K + W\) をそのまま使い、逆過程でも仕事関数 \(W\) を引いてしまう。
- 対策: 電子が金属から「出る」ときはエネルギー \(W\) が必要（引く）ですが、「入る」ときはエネルギー \(W\) を得る（足す）と、物理的な状況をイメージして符号を判断します。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- ブラッグの条件式:
- 選定理由: 結晶による波の回折現象を扱うため、経路差と波長の関係を表すこの公式が必須です。
- 適用根拠: 原子が規則正しく配列した結晶面で波が反射し、干渉して強め合う状況であるため。
- ド・ブロイ波長の公式:
- 選定理由: 電子を「波」として扱い、その波長を求める必要があるため。
- 適用根拠: 運動量を持つすべての粒子は、物質波としての性質を持つという量子力学の基本原理に基づきます。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 指数計算の分離:
- 意識: プランク定数や電子の質量など、非常に小さな数値の計算では、桁の取り違いを防ぐことが最優先です。
- 実践: 仮数部（\(6.6\) など）と指数部（\(10^{-34}\) など）を完全に分けて計算し、最後に統合する手順を習慣化します。
- 単位の換算:
- 意識: ジュール（\(\text{J}\)）と電子ボルト（\(\text{eV}\)）の変換を間違えないように注意します。
- 実践: \(1\,\text{eV} = 1.6 \times 10^{-19}\,\text{J}\) という関係式を常に意識し、\(\text{J}\) から \(\text{eV}\) にするときは割り算、\(\text{eV}\) から \(\text{J}\) にするときは掛け算を行うことを確認します。
PREMIUM
この問題の「なぜそう解くのか」も
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問題集の解答が省略する思考プロセスを、現役講師が1人で書き続けています。650問超の「なぜ」を、1週間無料で読めます。
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