「セミナー物理基礎＋物理2025」徹底解説！【第 Ⅶ 章 23】基本問題570～580

基本問題

570 光電効果の実験

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「光電効果におけるエネルギー収支と電子の運動」です。光の粒子性（光子）と、電場中での荷電粒子の運動エネルギーの変化を結びつける重要な単元です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
光子1個のエネルギー \(E\) を求める問題です。エネルギー \(E\) は振動数 \(\nu\) で表されますが、問題文では波長 \(\lambda\) が与えられています。光速 \(c\)、振動数 \(\nu\)、波長 \(\lambda\) の関係式を使って、式を変形する必要があります。

この設問における重要なポイント

• 光子エネルギーの公式: \(E = h\nu\)
• 波長と振動数の関係: \(c = \nu\lambda \quad \rightarrow \quad \nu = \displaystyle\frac{c}{\lambda}\)
• これらを組み合わせた式: \(E = \displaystyle\frac{hc}{\lambda}\)

具体的な解説と立式
光子1個のエネルギー \(E\) は、プランク定数を \(h\)、光の振動数を \(\nu\) とすると、以下の式で表されます。
$$ E = h\nu $$
ここで、光の速さを \(c\)、波長を \(\lambda\) とすると、\(c = \nu\lambda\) の関係があるため、振動数 \(\nu\) は次のように表せます。
$$ \nu = \frac{c}{\lambda} $$
したがって、エネルギー \(E\) を求める式は次のようになります。
$$ E = \frac{hc}{\lambda} $$

与えられた数値を代入して計算します。
\(h = 6.6 \times 10^{-34}\,\text{J}\cdot\text{s}\)、\(c = 3.0 \times 10^8\,\text{m/s}\)、\(\lambda = 4.4 \times 10^{-7}\,\text{m}\) です。

$$
\begin{aligned}
E &= \frac{(6.6 \times 10^{-34}) \times (3.0 \times 10^8)}{4.4 \times 10^{-7}} \\[2.0ex] &= \frac{6.6 \times 3.0}{4.4} \times \frac{10^{-34} \times 10^8}{10^{-7}} \\[2.0ex] &= \frac{19.8}{4.4} \times 10^{-34 + 8 – (-7)} \\[2.0ex] &= 4.5 \times 10^{-19}\,\text{J}
\end{aligned}
$$

光は「光子」というエネルギーの粒です。その粒1個が持つエネルギーは、光の「色（波長）」によって決まります。波長が短いほどエネルギーは高くなります。ここでは公式に数値を当てはめて、そのエネルギーの大きさを計算しました。

答えは \(4.5 \times 10^{-19}\,\text{J}\) です。可視光領域の光子エネルギーとして妥当なオーダー（\(10^{-19}\,\text{J}\) 程度）です。

問(2)

思考の道筋とポイント
「光電流が \(0\) になった」という現象を物理的に解釈します。これは、陰極 \(\text{P}_2\) から飛び出した電子のうち、最も速い電子（最大運動エネルギー \(K_{\text{max}}\) を持つ電子）でさえも、陽極 \(\text{P}_1\) に到達できずに押し返されたことを意味します。このとき、陽極の電位は陰極より \(1.5\,\text{V}\) 低くなっています。

この設問における重要なポイント

• 阻止電圧 \(V_0\): 電流を \(0\) にするために必要な逆電圧の大きさ。ここでは \(V_0 = 1.5\,\text{V}\)。
• 仕事とエネルギーの関係: 電場が電子に対して負の仕事をし、電子の運動エネルギーを奪う。
• 電子の電荷の大きさ: \(e = 1.6 \times 10^{-19}\,\text{C}\)。

具体的な解説と立式
陰極 \(\text{P}_2\) を飛び出した直後の電子の最大運動エネルギーを \(K_{\text{max}}\) とします。
陽極 \(\text{P}_1\) の電位は陰極 \(\text{P}_2\) より \(V_0 = 1.5\,\text{V}\) だけ低いため、電子（負電荷 \(-e\)）が陰極から陽極へ向かうとき、電場から逆向きの力を受けます。
電子が陽極に到達する直前で速さが \(0\) になるとき、運動エネルギーの変化量と電場がした仕事 \(W_{\text{電場}}\) の関係は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
(\text{あとの運動エネルギー}) – (\text{はじめの運動エネルギー}) &= W_{\text{電場}}
\end{aligned}
$$
電子は電位が低い方へ進むので、電場から負の仕事をされます。その仕事の大きさは \( -eV_0 \) です。
$$
\begin{aligned}
0 – K_{\text{max}} &= -eV_0
\end{aligned}
$$
したがって、
$$ K_{\text{max}} = eV_0 $$

数値を代入します。
\(e = 1.6 \times 10^{-19}\,\text{C}\)、\(V_0 = 1.5\,\text{V}\) です。

$$
\begin{aligned}
K_{\text{max}} &= (1.6 \times 10^{-19}) \times 1.5 \\[2.0ex] &= 2.4 \times 10^{-19}\,\text{J}
\end{aligned}
$$

飛び出した電子は、向かい風（逆電圧）を受けて減速します。一番元気な電子（最大運動エネルギーを持つ電子）が、あと少しでゴール（陽極）に着くというところで力尽きて止まってしまう状況です。このとき、「電子が最初に持っていたエネルギー」は、「向かい風に逆らって進むために使ったエネルギー（仕事）」と等しくなります。

答えは \(2.4 \times 10^{-19}\,\text{J}\) です。光子のエネルギー（\(4.5 \times 10^{-19}\,\text{J}\)）よりも小さい値であり、エネルギー保存の観点から妥当です。

問(3)

思考の道筋とポイント
金属の仕事関数 \(W\) を求めます。これは、電子が金属から脱出するために最低限必要なエネルギーのことです。
(1)で求めた「入射した光子のエネルギー \(E\)」と、(2)で求めた「飛び出した電子の最大運動エネルギー \(K_{\text{max}}\)」を使って、エネルギー収支の式（光電効果の式）を立てます。

この設問における重要なポイント

• アインシュタインの光電効果の式: \(h\nu = W + K_{\text{max}}\)
• エネルギー保存の解釈: （入ってきたエネルギー）\(=\)（脱出に使ったエネルギー）\(+\)（残りの運動エネルギー）

具体的な解説と立式
光電効果の式は、エネルギー保存則を表しています。
$$ E = W + K_{\text{max}} $$
ここで、

• \(E\): 光子1個のエネルギー（(1)で求めた値）
• \(W\): 仕事関数（求めたい値）
• \(K_{\text{max}}\): 電子の最大運動エネルギー（(2)で求めた値）

この式を \(W\) について解くと、以下のようになります。
$$ W = E – K_{\text{max}} $$

(1)の結果 \(E = 4.5 \times 10^{-19}\,\text{J}\) と、(2)の結果 \(K_{\text{max}} = 2.4 \times 10^{-19}\,\text{J}\) を代入します。

$$
\begin{aligned}
W &= (4.5 \times 10^{-19}) – (2.4 \times 10^{-19}) \\[2.0ex] &= (4.5 – 2.4) \times 10^{-19} \\[2.0ex] &= 2.1 \times 10^{-19}\,\text{J}
\end{aligned}
$$

光子から \(4.5\) のエネルギーをもらって、金属から脱出するために \(W\) のエネルギーを支払い、残った \(2.4\) のエネルギーを持って飛び出した、という状況です。
「もらった額 \(-\) 手元に残った額 \(=\) 支払った額」という単純な引き算で、脱出にかかったコスト（仕事関数）を計算できます。

答えは \(2.1 \times 10^{-19}\,\text{J}\) です。仕事関数は正の値であり、入射光のエネルギーよりも小さい値になっているため、物理的に妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 光の粒子性（光子）とエネルギー量子
  • 核心: 光を波としてだけでなく、「エネルギーの粒（光子）」として捉えることが光電効果理解の第一歩です。光子1個のエネルギーは、光の強さ（明るさ）ではなく、振動数 \(\nu\)（または波長 \(\lambda\)）だけで決まる \(E=h\nu\) という関係式に従います。
  • 理解のポイント:
    • 振動数依存性: 赤い光（波長が長い＝振動数が小さい）よりも、青い光（波長が短い＝振動数が大きい）の方が、光子1個あたりのエネルギーは大きくなります。
    • 強さと数の関係: 光を強くする（明るくする）ということは、光子1個のエネルギーを大きくすることではなく、飛んでくる光子の「数」を増やすことを意味します。
• エネルギー保存則としての光電効果の式
  • 核心: アインシュタインの光電効果の式 \(h\nu = W + K_{\text{max}}\) は、ミクロな世界でのエネルギー保存則そのものです。「入ってきたエネルギー \(h\nu\)」が、「脱出に必要なコスト \(W\)」と「残った運動エネルギー \(K_{\text{max}}\)」に分配されるという単純明快な収支関係を表しています。
  • 理解のポイント:
    • 仕事関数 \(W\): 金属の種類によって決まる定数で、電子が表面から飛び出すための「通行料」のようなものです。
    • 限界振動数: 入射光のエネルギー \(h\nu\) が仕事関数 \(W\) より小さければ、電子は飛び出せません。これが光電効果が起きるための限界（限界振動数、限界波長）の存在理由です。
• 電場による仕事と運動エネルギーの変化
  • 核心: 飛び出した電子の運動エネルギーを測定するために、逆電圧（阻止電圧）をかけて電子を減速・停止させる手法が用いられます。ここでは「運動エネルギーの変化 \(=\) 電場がした仕事」という力学の基本原理が適用されます。
  • 理解のポイント:
    • 阻止電圧の意味: 電流がちょうど \(0\) になる電圧 \(V_0\) は、最も速い電子の運動エネルギー \(K_{\text{max}}\) を完全に打ち消すのに必要な仕事 \(eV_0\) に対応します。つまり、電圧計の読みから、目に見えない電子の運動エネルギーを知ることができるのです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 限界波長・限界振動数を求める問題: \(K_{\text{max}} = 0\) となる条件、つまり \(h\nu_0 = W\) や \(\displaystyle\frac{hc}{\lambda_0} = W\) の式を立てて解くパターンです。
  • グラフの読み取り問題: 縦軸に阻止電圧 \(V_0\)、横軸に振動数 \(\nu\) をとったグラフが出題されることがあります。式を変形すると \(V_0 = \displaystyle\frac{h}{e}\nu – \frac{W}{e}\) となり、グラフの傾きからプランク定数 \(h\) を、切片から仕事関数 \(W\) を求めることができます。
  • 異なる金属を用いる問題: 金属を変えると仕事関数 \(W\) が変化します。グラフ問題では、直線の傾き（\(h/e\)）は変わらず、切片だけがずれる平行移動として現れます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 単位に注目する: エネルギーの単位として \(\text{J}\)（ジュール）だけでなく、\(\text{eV}\)（電子ボルト）が使われることが多々あります。\(1\,\text{eV} = 1.6 \times 10^{-19}\,\text{J}\) という換算関係を常に意識し、どちらの単位で計算すべきかを見極めましょう。
  2. 「最大」運動エネルギーである理由を考える: 金属内部の深いところにある電子は、表面に出るまでに余分なエネルギーを失うため、飛び出すときのエネルギーは \(K_{\text{max}}\) より小さくなります。式 \(h\nu = W + K\) で \(K\) が最大値 \(K_{\text{max}}\) になるのは、表面付近の電子がロスなく飛び出した場合です。
  3. 回路図の極性を確認する: 電池の向きが逆になっていないか（加速電圧か減速電圧か）を必ず確認します。陽極が正電位なら電子は加速され電流は増えますが、飽和電流に達します。陽極が負電位なら電子は減速され、ある電圧（阻止電圧）で電流はゼロになります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 波長と振動数の混同:
  • 誤解: エネルギーの式で、\(E = h\lambda\) と書いてしまったり、分母と分子を逆にして \(E = \displaystyle\frac{h\lambda}{c}\) としてしまう。
  • 対策: 基本公式 \(c = \nu\lambda\) を常に書き出し、\(\nu = \displaystyle\frac{c}{\lambda}\) と変形してから \(E = h\nu\) に代入する手順を省略しないようにしましょう。また、単位を確認（\(\text{J}\cdot\text{s} \times \text{m/s} / \text{m} = \text{J}\)）することでミスを防げます。
• 電子の電荷の符号ミス:
  • 誤解: 電位差と仕事の関係を考える際、電子が負電荷であることを忘れて、電位が高い方へ行くとエネルギーが下がると勘違いする。
  • 対策: 「負電荷は電位が高い方へ行きたがる（位置エネルギーが下がる）」「電位が低い方へ行くにはエネルギーが必要（位置エネルギーが上がる）」というイメージを強く持ちましょう。重力場での「坂道」のイメージ（正電荷なら下り坂、負電荷なら上り坂）が有効です。
• 仕事関数の定義の誤解:
  • 誤解: 仕事関数 \(W\) を「電子が持っているエネルギー」や「光子のエネルギー」と混同する。
  • 対策: 仕事関数は「借金」や「脱出コスト」のようなものだと考えましょう。金属という「牢屋」から出るために支払わなければならない最低限のエネルギーです。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 問(1)での公式選択（光子のエネルギー）:
  • 選定理由: 求めたいのは「光子のエネルギー \(E\)」であり、与えられているのは「波長 \(\lambda\)」です。これらを結びつける物理法則は、プランクの量子仮説に基づく \(E = h\nu\) と、波動の基本式 \(c = \nu\lambda\) です。
  • 適用根拠: 光の粒子性を扱う問題の出発点となる基本式です。波長が与えられているため、振動数 \(\nu\) を経由してエネルギーを求める形に変形して適用します。
• 問(2)での公式選択（エネルギー保存則・仕事とエネルギー）:
  • 選定理由: 「電流が \(0\) になる」という現象は、電子の運動が電場によって止められたことを意味します。運動エネルギーと電位差（電圧）の関係を扱うため、仕事とエネルギーの関係式 \(W = \Delta K\) または力学的エネルギー保存則 \(K+U=\text{一定}\) が最適です。
  • 適用根拠: 阻止電圧 \(V_0\) は、最大運動エネルギー \(K_{\text{max}}\) を持つ電子をちょうど静止させる電圧です。この物理的状況は \(K_{\text{max}} = eV_0\) という式で直接的に記述できます。
• 問(3)での公式選択（光電効果の式）:
  • 選定理由: (1)で「入力エネルギー \(E\)」、(2)で「出力エネルギー \(K_{\text{max}}\)」が求まりました。残る未知数は、その差分である「損失エネルギー（仕事関数 \(W\)）」です。これら3つの量の関係を記述するのが光電効果の式です。
  • 適用根拠: 光電効果という現象全体のエネルギー収支を記述する唯一の式であり、各項が物理的に明確な意味（入力、損失、出力）を持っているため、数値を代入するだけで未知数を特定できます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 指数計算（10のべき乗）を分離する:
  • 物理定数（\(h, c, e\)）を含む計算では、\(10^{-34}\) や \(10^8\) といった極端な桁数が登場します。これらを数値部分（\(6.6, 3.0\) など）と指数部分（\(10^{-34}, 10^8\) など）に分けて計算し、最後に合体させるのが鉄則です。
  • 例: \(\displaystyle\frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3.0 \times 10^8}{4.4 \times 10^{-7}} = \left(\frac{6.6 \times 3.0}{4.4}\right) \times 10^{-34+8-(-7)}\)
• 約分を最大限活用する:
  • いきなり掛け算をするのではなく、分数の形で式を書き、約分できるものがないか探します。この問題では \(6.6\) と \(4.4\) が \(2.2\) で割り切れる（\(3:2\) になる）ことに気づくと、計算が劇的に楽になります。
  • \(6.6 / 4.4 = 1.5\) なので、\(1.5 \times 3.0 = 4.5\) と暗算でも処理可能です。
• オーダー（桁数）の確認:
  • 光子のエネルギーや仕事関数は、通常 \(10^{-19}\,\text{J}\) （数 \(\text{eV}\)）程度の値になります。計算結果が \(10^{-34}\) や \(10^{20}\) のような極端な値になった場合は、指数計算でミスをしている可能性が高いので、直ちに再確認しましょう。

571 光電効果

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「光電効果の基礎と光子説」です。光を波としてではなく「エネルギーの粒（光子）」として捉えることで、金属から電子が飛び出す現象を理解します。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
光子1個のエネルギー \(E\) を求める基本問題です。エネルギーの公式は \(E = h\nu\) ですが、問題文では振動数 \(\nu\) ではなく波長 \(\lambda\) が与えられています。光速 \(c\) との関係式を使って、波長 \(\lambda\) を含む式に変形してから数値を代入します。

この設問における重要なポイント

• 光子エネルギーの公式: \(E = h\nu\)
• 波長と振動数の関係: \(c = \nu\lambda \quad \rightarrow \quad \nu = \displaystyle\frac{c}{\lambda}\)
• これらを組み合わせた式: \(E = \displaystyle\frac{hc}{\lambda}\)

具体的な解説と立式
光子1個のエネルギー \(E\) は、プランク定数を \(h\)、振動数を \(\nu\) として次のように表されます。
$$ E = h\nu $$
ここで、光速 \(c\) と波長 \(\lambda\) の間には \(c = \nu\lambda\) の関係があるため、振動数 \(\nu\) は次のように書き換えられます。
$$ \nu = \frac{c}{\lambda} $$
これらを組み合わせると、エネルギー \(E\) を求める式は次のようになります。
$$ E = \frac{hc}{\lambda} $$

与えられた数値を代入します。
\(h = 6.6 \times 10^{-34}\,\text{J}\cdot\text{s}\)、\(c = 3.0 \times 10^8\,\text{m/s}\)、\(\lambda = 3.3 \times 10^{-7}\,\text{m}\) です。

$$
\begin{aligned}
E &= \frac{(6.6 \times 10^{-34}) \times (3.0 \times 10^8)}{3.3 \times 10^{-7}} \\[2.0ex] &= \frac{6.6 \times 3.0}{3.3} \times \frac{10^{-34} \times 10^8}{10^{-7}} \\[2.0ex] &= 2.0 \times 3.0 \times 10^{-34 + 8 – (-7)} \\[2.0ex] &= 6.0 \times 10^{-19}\,\text{J}
\end{aligned}
$$

光の粒（光子）1個が持っているエネルギーを計算しました。計算のコツは、数字部分と \(10\) の何乗という部分を分けて計算することです。特に \(6.6 \div 3.3 = 2.0\) ときれいに割り切れることに気づくと、計算がとても楽になります。

答えは \(6.0 \times 10^{-19}\,\text{J}\) です。光子のエネルギーとして妥当な大きさ（\(10^{-19}\) のオーダー）です。

問(2)

思考の道筋とポイント
金属に光をあてると電子が飛び出す現象（光電効果）におけるエネルギーの収支を考えます。「光子からもらったエネルギー」から「金属から脱出するために支払ったエネルギー（仕事関数）」を引いた残りが、「飛び出した電子の運動エネルギー」になります。

この設問における重要なポイント

• エネルギー保存則（光電効果の式）: \(h\nu = W + K_{\text{max}}\)
• 仕事関数 \(W\): 電子が金属表面から脱出するために最低限必要なエネルギー。
• 最大運動エネルギー \(K_{\text{max}}\): 最もエネルギーロスなく飛び出した電子の運動エネルギー。

具体的な解説と立式
光電効果の式は、エネルギー保存則を表しています。
$$ (\text{光子のエネルギー}) = (\text{仕事関数}) + (\text{電子の最大運動エネルギー}) $$
数式で表すと以下のようになります。
$$ E = W + K_{\text{max}} $$
求めたいのは最大運動エネルギー \(K_{\text{max}}\) なので、式を変形します。
$$ K_{\text{max}} = E – W $$

(1)で求めた \(E = 6.0 \times 10^{-19}\,\text{J}\) と、問題文で与えられた \(W = 3.8 \times 10^{-19}\,\text{J}\) を代入します。

$$
\begin{aligned}
K_{\text{max}} &= (6.0 \times 10^{-19}) – (3.8 \times 10^{-19}) \\[2.0ex] &= (6.0 – 3.8) \times 10^{-19} \\[2.0ex] &= 2.2 \times 10^{-19}\,\text{J}
\end{aligned}
$$

電子は金属という「牢屋」に閉じ込められており、出るためには \(3.8\) の保釈金（仕事関数）が必要です。そこに外部から \(6.0\) の差し入れ（光子エネルギー）が届きました。電子は保釈金 \(3.8\) を支払って外に出ますが、手元には \(6.0 – 3.8 = 2.2\) のエネルギーが残ります。この残ったエネルギーが、飛び出すスピード（運動エネルギー）になります。

答えは \(2.2 \times 10^{-19}\,\text{J}\) です。入力エネルギーよりも小さい正の値となっており、物理的に妥当です。

問(3)

思考の道筋とポイント
「光の強さ」を変えたときに、光子1個のエネルギーが変化するかどうかを問う概念問題です。光子説において、「光の強さ」と「光の振動数（色）」がそれぞれ何に対応しているかを正しく理解しているかが鍵となります。

この設問における重要なポイント

• 光の強さ \(\propto\) 光子の数
• 光の振動数（色） \(\propto\) 光子1個のエネルギー
• 光子1個のエネルギーが変わらなければ、電子1個が受け取るエネルギーも変わらない。

具体的な解説と立式
光電効果において、電子1個は光子1個を吸収してエネルギーを受け取ります。
飛び出す電子の最大運動エネルギー \(K_{\text{max}}\) は、以下の式で決まります。
$$ K_{\text{max}} = h\nu – W $$
ここで、仕事関数 \(W\) は金属の種類で決まる定数です。
「光の強さを \(1/2\) 倍にする」ということは、「飛んでくる光子の数を \(1/2\) 倍にする」ことを意味します。しかし、光の波長（振動数 \(\nu\)）は変えていないため、光子1個あたりのエネルギー \(h\nu\) は変化しません。
したがって、上式の右辺は変化せず、\(K_{\text{max}}\) も変化しません。

計算は不要ですが、論理を確認します。
1. 光の強さを変えても、振動数 \(\nu\) は不変。
2. よって、光子エネルギー \(E = h\nu\) は不変。
3. 仕事関数 \(W\) も不変。
4. したがって、\(K_{\text{max}} = E – W\) の値は変わらない。
よって、(2)と同じ値になります。
$$ K_{\text{max}} = 2.2 \times 10^{-19}\,\text{J} $$

「光の強さ」とは、ボール（光子）が飛んでくる「数」のことです。「光の色（波長）」とは、ボール1個の「重さや威力」のことです。
今回は、飛んでくるボールの数を半分に減らしましたが、ボール1個の威力は変えていません。電子にぶつかる回数は減りますが（飛び出す電子の数は減りますが）、ぶつかったときに電子が受け取るエネルギーは変わりません。だから、飛び出すときの勢い（運動エネルギー）の最大値は変わらないのです。

答えは \(2.2 \times 10^{-19}\,\text{J}\) です。光子説の基本的な性質に基づいた正しい結論です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 光の粒子性（光子説）
  • 核心: 光を連続的な波としてではなく、エネルギーの塊（粒子）として捉えるアインシュタインの光量子仮説が全ての基礎です。
  • 理解のポイント:
    • エネルギーの量子化: 光子1個のエネルギーは、光の明るさ（振幅）ではなく、振動数 \(\nu\) だけで決まります（\(E=h\nu\)）。
    • 1対1の相互作用: 光電効果は、1個の光子が1個の電子に衝突し、そのエネルギーを全て電子に与える現象です。この「1対1対応」が理解の鍵です。
• エネルギー保存則（光電効果の式）
  • 核心: \(h\nu = W + K_{\text{max}}\) という式は、ミクロな衝突現象におけるエネルギー保存則そのものです。
  • 理解のポイント:
    • 入力: 光子エネルギー \(h\nu\)
    • 損失: 金属からの脱出コスト（仕事関数 \(W\)）
    • 出力: 電子の運動エネルギー \(K_{\text{max}}\)
    • これらが「入力 \(=\) 損失 \(+\) 出力」という単純な足し算・引き算の関係にあることを押さえましょう。
• 光の「強さ」と「振動数」の違い
  • 核心: 古典的な波動論と量子論の決定的な違いです。
  • 理解のポイント:
    • 光の強さ（明るさ）: 光子の「数」に対応します。強くすると、飛び出す電子の「数（光電流）」は増えますが、電子1個あたりの「エネルギー」は変わりません。
    • 光の振動数（色）: 光子1個の「エネルギー」に対応します。振動数を大きくすると、飛び出す電子の「エネルギー」は増えます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 限界波長を求める問題: 電子がギリギリ飛び出せる条件は \(K_{\text{max}} = 0\) です。このとき \(h\nu_0 = W\) となり、ここから限界振動数 \(\nu_0\) や限界波長 \(\lambda_0\) を求められます。
  • 阻止電圧を求める問題: 飛び出した電子を電場で止める実験では、\(K_{\text{max}} = eV_0\) の関係を使います。これを光電効果の式に代入すると \(eV_0 = h\nu – W\) となり、阻止電圧 \(V_0\) を計算できます。
  • グラフ問題: 縦軸に \(K_{\text{max}}\)（または \(V_0\)）、横軸に \(\nu\) をとったグラフでは、傾きがプランク定数 \(h\)（または \(h/e\)）、切片が仕事関数 \(-W\)（または \(-W/e\)）に対応します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 単位の確認: エネルギーの単位が \(\text{J}\)（ジュール）か \(\text{eV}\)（電子ボルト）かを確認します。\(1\,\text{eV} \approx 1.6 \times 10^{-19}\,\text{J}\) の換算が必要になる場合があります。
  2. 「最大」の意味: 金属内部の電子は脱出するまでに余分なエネルギーを失うため、表面の電子だけがロスなく飛び出し、最大の運動エネルギーを持ちます。式 \(h\nu = W + K\) は、この「最も幸運な電子」についての式です。
  3. 変数の依存関係: 「波長を変えた」「金属を変えた」「光を強くした」という操作が、式のどの項（\(\nu, W, \text{光子数}\)）に影響するかを冷静に分析しましょう。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 光の強さをエネルギーと混同する:
  • 誤解: 「光を強くしたから、電子も勢いよく飛び出すだろう」と直感的に考えてしまう（古典的な波動論の思考）。
  • 対策: 「強さ \(=\) 数」「色（振動数） \(=\) エネルギー」という対応関係を呪文のように唱えましょう。雨粒に例えると、「土砂降り（強い光）」になっても「雨粒一つ一つの痛さ（エネルギー）」は変わらない、というイメージが有効です。
• 波長と振動数の変換ミス:
  • 誤解: \(E = h\lambda\) や \(E = \displaystyle\frac{h\lambda}{c}\) といった誤った式を立ててしまう。
  • 対策: 必ず基本式 \(c = \nu\lambda\) を書き出し、\(\nu = \displaystyle\frac{c}{\lambda}\) と変形してから \(E = h\nu\) に代入する手順を踏みましょう。
• 仕事関数の符号ミス:
  • 誤解: \(K_{\text{max}} = h\nu + W\) のように足してしまう。
  • 対策: 仕事関数は「脱出コスト（借金）」です。もらったエネルギーから差し引かれるもの、というイメージを持てば、引き算であることが自然に理解できます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 問(1)での公式選択（光子エネルギー）:
  • 選定理由: 求めたいのは「エネルギー \(E\)」、与えられているのは「波長 \(\lambda\)」です。これらを結びつけるのは、量子論の基本式 \(E=h\nu\) と波動の基本式 \(c=\nu\lambda\) の組み合わせしかありません。
  • 適用根拠: 光を粒子として扱う問題の出発点であり、他の選択肢はありません。
• 問(2)での公式選択（光電効果の式）:
  • 選定理由: 「光子のエネルギー」「仕事関数」「電子の運動エネルギー」という3つの物理量の関係性が問われています。これらをつなぐのはエネルギー保存則である光電効果の式 \(h\nu = W + K_{\text{max}}\) です。
  • 適用根拠: 入射エネルギーと脱出エネルギーの差が運動エネルギーになるという物理的状況をそのまま数式化したものです。
• 問(3)での思考法（光子説の原理）:
  • 選定理由: 計算問題ではなく、物理現象の理解を問う定性的な問題です。数式よりも、光子説の基本原理（強さとエネルギーの独立性）に基づいて判断する必要があります。
  • 適用根拠: 光電効果の式 \(K_{\text{max}} = h\nu – W\) には「光の強さ（光子の数）」を表す項が含まれていません。このことから、強さを変えても \(K_{\text{max}}\) は不変であると論理的に導けます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 指数計算の分離:
  • \(10^{-34}\) や \(10^8\) といった指数部分は、数値部分とは分けて計算しましょう。
  • 例: \(\displaystyle\frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3.0 \times 10^8}{3.3 \times 10^{-7}} = \left(\frac{6.6 \times 3.0}{3.3}\right) \times 10^{-34+8-(-7)}\)
• 約分の発見:
  • 物理の問題では、計算しやすい数値が設定されていることが多いです。今回も \(6.6\) と \(3.3\) がきれいに約分できることに気づけば、筆算なしで解けます。計算に取り掛かる前に、まず約分できるペアを探す癖をつけましょう。
• オーダー（桁数）の確認:
  • 光子のエネルギーや仕事関数は、通常 \(10^{-19}\,\text{J}\) 程度の非常に小さな値になります。もし \(10^{20}\) のような巨大な数字や、\(10^{-50}\) のような小さすぎる数字が出たら、指数計算の符号ミスを疑いましょう。

572 プランク定数

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「光電効果のグラフ解析」です。実験データ（グラフ）から物理定数（プランク定数や仕事関数）を読み取る、物理実験の基礎となる重要な問題です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
グラフから仕事関数 \(W\) を読み取る問題です。光電効果の式 \(K_{\text{max}} = h\nu – W\) を一次関数 \(y = ax + b\) と見比べると、切片 \(b\) が \(-W\) に対応していることがわかります。

この設問における重要なポイント

• 光電効果の式: \(K_{\text{max}} = h\nu – W\)
• グラフの縦軸切片: \(\nu = 0\) のときの \(K_{\text{max}}\) の値は \(-W\) です。
• 仕事関数の符号: 仕事関数 \(W\) 自体は正の値（エネルギーの大きさ）なので、切片の絶対値をとります。

具体的な解説と立式
光電効果の式を変形すると、以下のようになります。
$$ K_{\text{max}} = h\nu – W $$
この式は、縦軸を \(K_{\text{max}}\)、横軸を \(\nu\) としたとき、傾きが \(h\)、縦軸切片が \(-W\) の直線を表します。
グラフより、縦軸切片（\(\nu=0\) のときの値）は \(-7.2 \times 10^{-19}\,\text{J}\) です。
したがって、以下の関係が成り立ちます。
$$ -W = -7.2 \times 10^{-19} $$

$$
\begin{aligned}
W &= |-7.2 \times 10^{-19}| \\[2.0ex] &= 7.2 \times 10^{-19}\,\text{J}
\end{aligned}
$$

このグラフは、「光の振動数（色）」と「飛び出す電子の元気さ（エネルギー）」の関係を表しています。グラフの線が縦軸（左端の軸）とぶつかるところの値は、電子が金属から脱出するために必要な「借金（仕事関数）」のマイナス値を表しています。グラフからその値を読み取り、マイナスを取れば答えになります。

答えは \(7.2 \times 10^{-19}\,\text{J}\) です。仕事関数として妥当な正の値が得られました。

問(2)

思考の道筋とポイント
グラフの傾きからプランク定数 \(h\) を求める問題です。グラフ上の読み取りやすい2点を選び、その座標を使って傾き（変化の割合）を計算します。

この設問における重要なポイント

• グラフの傾きの定義: \(\displaystyle\frac{\text{縦軸の変化量}}{\text{横軸の変化量}}\)
• 光電効果の式における傾きの意味: \(K_{\text{max}} = h\nu – W\) の係数 \(h\) が傾きに対応します。
• 座標の読み取り: グラフから正確に読み取れる2点（切片や軸との交点）を選びます。

具体的な解説と立式
光電効果の式 \(K_{\text{max}} = h\nu – W\) より、\(K_{\text{max}}-\nu\) グラフの傾きはプランク定数 \(h\) に等しくなります。
グラフから以下の2点の座標を読み取ります。

• 点A（縦軸切片）: \((\nu_1, K_1) = (0, -7.2 \times 10^{-19})\)
• 点B（横軸切片）: \((\nu_2, K_2) = (10.9 \times 10^{14}, 0)\)

傾き \(h\) は以下の式で求められます。
$$ h = \frac{K_2 – K_1}{\nu_2 – \nu_1} $$

数値を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
h &= \frac{0 – (-7.2 \times 10^{-19})}{10.9 \times 10^{14} – 0} \\[2.0ex] &= \frac{7.2 \times 10^{-19}}{10.9 \times 10^{14}} \\[2.0ex] &= \frac{7.2}{10.9} \times 10^{-19 – 14} \\[2.0ex] &\approx 0.6605 \times 10^{-33} \\[2.0ex] &= 6.605 \times 10^{-34}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えるため、\(6.6 \times 10^{-34}\,\text{J}\cdot\text{s}\) となります。

グラフの「傾き」は、「横に \(1\) 進んだときに縦にどれだけ増えるか」を表しています。この問題では、「振動数を \(1\) 増やしたときに、電子のエネルギーがどれだけ増えるか」を意味し、それがまさにプランク定数 \(h\) です。グラフ上の2つの点（スタート地点とゴール地点のようなもの）を使って、その傾き具合を計算しました。

答えは \(6.6 \times 10^{-34}\,\text{J}\cdot\text{s}\) です。これは物理定数表にあるプランク定数の値と一致しており、計算が正しいことが確認できます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 光電効果の式と一次関数の対応
  • 核心: 物理法則 \(h\nu = W + K_{\text{max}}\) を、数学的な関数 \(y = ax + b\) の形に対応させて解釈する力が問われています。
  • 理解のポイント:
    • 式を \(K_{\text{max}} = h\nu – W\) と変形することで、変数と定数の役割が明確になります。
    • 変数: \(y\) 軸に対応するのが \(K_{\text{max}}\)、\(x\) 軸に対応するのが \(\nu\) です。
    • 定数: 傾き \(a\) に対応するのがプランク定数 \(h\)、切片 \(b\) に対応するのが仕事関数の負の値 \(-W\) です。
• グラフの物理的意味の読み取り
  • 核心: グラフ上の特徴的な点（切片や交点）が、どのような物理的状況を表しているかを理解することです。
  • 理解のポイント:
    • 縦軸切片 (\(\nu=0\)): 光のエネルギーがゼロの仮想的な状態でのエネルギー収支を表し、その値は \(-W\)（借金）となります。
    • 横軸切片 (\(K_{\text{max}}=0\)): 電子がギリギリ飛び出せる限界の状態（限界振動数 \(\nu_0\)）を表します。このとき \(h\nu_0 = W\) が成り立ちます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 阻止電圧 \(V_0\) と振動数 \(\nu\) のグラフ: 縦軸が \(K_{\text{max}}\) ではなく阻止電圧 \(V_0\) になっている場合があります。この場合、式は \(eV_0 = h\nu – W \rightarrow V_0 = \displaystyle\frac{h}{e}\nu – \frac{W}{e}\) となります。
    • 傾き: \(h\) ではなく \(\displaystyle\frac{h}{e}\) になります。ここから \(h\) を求めるには、傾きに電気素量 \(e\) を掛ける必要があります。
    • 切片: \(-W\) ではなく \(\displaystyle-\frac{W}{e}\) になります。
  • 異なる金属のグラフ比較: 金属を変えると仕事関数 \(W\) が変わりますが、プランク定数 \(h\) は宇宙共通の定数です。したがって、グラフは傾きを変えずに平行移動します。仕事関数が大きい金属ほど、グラフは右下（切片がより下、限界振動数がより右）にずれます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 軸の単位と倍率: グラフの軸に \(\times 10^{14}\) や \(\times 10^{-19}\) といった倍率が書かれていることが非常に多いです。計算時にこれを忘れると、答えが桁違いになってしまいます。必ず読み取った値に倍率を掛けて計算しましょう。
  2. 限界振動数の利用: 縦軸切片が読み取りにくい場合でも、横軸切片（限界振動数 \(\nu_0\)）が読み取れるなら、\(W = h\nu_0\) の関係を使って仕事関数を求めることができます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 傾きの計算ミス（倍率の見落とし）:
  • 誤解: グラフの目盛りだけを見て、例えば \(\displaystyle\frac{7.2}{10.9}\) と計算し、\(10^{-34}\) のオーダーを出し忘れる。
  • 対策: 座標を読み取る際、必ず軸のラベル（\(\times 10^{14}\,\text{Hz}\) など）を確認し、数値の横に指数を書き添える癖をつけましょう（例: \(10.9 \rightarrow 10.9 \times 10^{14}\)）。
• 仕事関数の符号:
  • 誤解: 縦軸切片がマイナスだからといって、仕事関数 \(W\) もマイナスにしてしまう（例: \(W = -7.2 \times 10^{-19}\,\text{J}\)）。
  • 対策: 仕事関数は「エネルギーの大きさ（コスト）」なので必ず正の値です。数式上は切片が \(-W\) なので、\(W = -(\text{切片})\) となり、正になります。
• 単位の混同:
  • 誤解: 縦軸が \(\text{eV}\)（電子ボルト）で与えられているのに、\(\text{J}\)（ジュール）だと思って計算してしまう。
  • 対策: 縦軸の単位を必ず確認しましょう。\(\text{eV}\) の場合は、\(1\,\text{eV} = 1.6 \times 10^{-19}\,\text{J}\) を使ってジュールに換算してから \(h\) を求めるか、あるいは求めた \(h\) の単位が \(\text{eV}\cdot\text{s}\) になることを認識しておく必要があります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 問(1)での公式選択（切片の読み取り）:
  • 選定理由: グラフの縦軸切片が与えられており、そこから物理量を求める必要があります。グラフの形状（直線）を説明する物理法則は光電効果の式 \(K_{\text{max}} = h\nu – W\) です。
  • 適用根拠: この式を \(y=ax+b\) の形と見なすことで、切片 \(b\) が \(-W\) であると論理的に特定できます。
• 問(2)での公式選択（傾きの計算）:
  • 選定理由: プランク定数 \(h\) を求めたい。光電効果の式において \(h\) は変数 \(\nu\) の係数であり、これはグラフ上では「傾き」に対応します。
  • 適用根拠: 実験データ（グラフ）から比例定数を求める最も標準的な手法は、直線の傾きを算出することです。2点の座標 \((\nu_1, K_1), (\nu_2, K_2)\) を使って \(\displaystyle\frac{K_2-K_1}{\nu_2-\nu_1}\) を計算することで、最も確からしい値を導けます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 座標の書き出し:
  • いきなり分数の式を書くのではなく、まずグラフから読み取った2点の座標を \((x_1, y_1) = (0, -7.2 \times 10^{-19})\)、\((x_2, y_2) = (10.9 \times 10^{14}, 0)\) のように紙に書き出しましょう。これにより、\(x\) と \(y\) の取り違えや、指数の書き忘れを防げます。
• ゼロの活用:
  • 傾きを計算する際、切片（\(x=0\) や \(y=0\) の点）を選ぶと計算項が減り、ミスが減ります。この問題でも、縦軸切片と横軸切片という「片方の座標がゼロ」の2点を選んでいるため、計算が非常にシンプルになっています。
• 答えのオーダー確認:
  • プランク定数 \(h\) は \(6.6 \times 10^{-34}\) 付近の値になることは物理の常識として知っておくべきです。もし計算結果が \(10^{-19}\) や \(10^{-40}\) などになったら、十中八九、指数の計算ミスです。

573 光電効果

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「光電効果の電流-電圧特性（I-V特性）」です。光電管に電圧をかけたときの電流の変化を表すグラフから、電子の運動エネルギーや阻止電圧の意味を読み解く力を養います。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
グラフから、電流 \(I\) が \(0\) になる瞬間の電圧（阻止電圧）を読み取ります。グラフの横軸を見ると、電圧が \(-V_{\text{M}}\) のときに電流が \(0\) になっています。これは、最も速い電子でさえも電場によって押し返され、陽極に到達できなくなったことを意味します。

この設問における重要なポイント

• 阻止電圧の読み取り: 電流 \(I=0\) となる電圧は \(-V_{\text{M}}\) です。阻止電圧の大きさは \(V_{\text{M}}\) です。
• 仕事とエネルギーの関係: 電場による負の仕事が、電子の運動エネルギーを打ち消します。

具体的な解説と立式
陰極から飛び出した直後の電子の最大運動エネルギーを \(K_{\text{M}}\) とします。
陽極の電位を \(-V_{\text{M}}\) にすると、電子（電荷 \(-e\)）は陽極に向かう間に電場から仕事をされ、減速します。
陽極に到達する直前で速さが \(0\) になるとき、運動エネルギーの変化量と電場がした仕事の関係は以下のようになります。
$$ (\text{あとの運動エネルギー}) – (\text{はじめの運動エネルギー}) = (\text{電場がした仕事}) $$
$$ 0 – K_{\text{M}} = -eV_{\text{M}} $$
したがって、最大運動エネルギー \(K_{\text{M}}\) は次のように表されます。
$$ K_{\text{M}} = eV_{\text{M}} $$

計算は不要で、立式の結果がそのまま答えとなります。
$$ K_{\text{M}} = eV_{\text{M}} $$

グラフの左端で電流がゼロになっている点（\(-V_{\text{M}}\)）に注目します。これは、電子に対して「逆風」を吹かせて、電子がゴール（陽極）にたどり着けないようにした状態です。一番元気な電子（エネルギー \(K_{\text{M}}\)）を止めるのに必要な「逆風の強さ」が \(V_{\text{M}}\) なので、電子のエネルギーは \(eV_{\text{M}}\) と等しくなります。

答えは \(eV_{\text{M}}\) です。エネルギーの単位（ジュール）を持つ式になっており、物理的に妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
「仕事関数 \(W\) が大きい金属に変える」という操作が、阻止電圧 \(V_{\text{M}}\) にどう影響するかを考えます。
論理のステップは以下の通りです。

1. 光電効果の式 \(K_{\text{M}} = h\nu – W\) を思い出す。
2. \(W\) が大きくなると、\(K_{\text{M}}\) がどうなるかを判断する。
3. (1)の結果 \(K_{\text{M}} = eV_{\text{M}}\) を使って、\(V_{\text{M}}\) の変化を導く。

この設問における重要なポイント

• 光電効果の式: \(K_{\text{M}} = h\nu – W\)
• 条件の変化: \(W\) が大きくなる（\(\nu\) は一定）。

具体的な解説と立式
光電効果の式より、最大運動エネルギー \(K_{\text{M}}\) は次のように表されます。
$$ K_{\text{M}} = h\nu – W $$
ここで、光の振動数 \(\nu\) は一定のまま、仕事関数 \(W\) が大きい金属に変えます。
上式において、引く値 \(W\) が大きくなるため、結果である \(K_{\text{M}}\) は小さくなります。
また、(1)より \(K_{\text{M}} = eV_{\text{M}}\) なので、阻止電圧 \(V_{\text{M}}\) については以下の関係があります。
$$ V_{\text{M}} = \frac{K_{\text{M}}}{e} $$
\(K_{\text{M}}\) が小さくなるので、\(V_{\text{M}}\) も小さくなります。

数式による大小比較のみです。
\(W\) 増 \(\rightarrow\) \(K_{\text{M}}\) 減 \(\rightarrow\) \(V_{\text{M}}\) 減

仕事関数とは、電子が金属から脱出するための「脱出コスト」です。コストが高い金属に変えると、電子が外に出たときに手元に残るエネルギー（運動エネルギー）は減ってしまいます。エネルギーが減れば、それを止めるのに必要な電圧（阻止電圧）も小さくて済みます。

答えは「小さくなる」です。脱出コストが増えれば残金が減る、という直感とも一致します。

問(3)

思考の道筋とポイント
今度は「より大きな振動数 \(\nu\) の光をあてる」という操作の影響を考えます。
論理のステップは(2)と同様です。

1. 光電効果の式 \(K_{\text{M}} = h\nu – W\) を見る。
2. \(\nu\) が大きくなると、\(K_{\text{M}}\) がどうなるかを判断する。
3. \(K_{\text{M}} = eV_{\text{M}}\) の関係から \(V_{\text{M}}\) の変化を導く。

この設問における重要なポイント

• 光電効果の式: \(K_{\text{M}} = h\nu – W\)
• 条件の変化: \(\nu\) が大きくなる（\(W\) は一定）。

具体的な解説と立式
光電効果の式より、
$$ K_{\text{M}} = h\nu – W $$
ここで、金属は元のものに戻したので仕事関数 \(W\) は一定です。
光の振動数 \(\nu\) を大きくすると、光子1個のエネルギー \(h\nu\) が大きくなります。
上式において、足される値 \(h\nu\) が大きくなるため、\(K_{\text{M}}\) は大きくなります。
\(K_{\text{M}} = eV_{\text{M}}\) の関係より、\(K_{\text{M}}\) が大きくなれば、阻止電圧 \(V_{\text{M}}\) も大きくなります。

数式による大小比較のみです。
\(\nu\) 増 \(\rightarrow\) \(K_{\text{M}}\) 増 \(\rightarrow\) \(V_{\text{M}}\) 増

振動数を大きくするということは、光子1個のエネルギーを増やす（より威力のあるボールをぶつける）ということです。電子はより多くのエネルギーをもらって飛び出すので、手元に残るエネルギー（運動エネルギー）も増えます。勢いよく飛び出した電子を止めるには、より大きな電圧（強い逆風）が必要になります。

答えは「大きくなる」です。入力エネルギーが増えれば出力エネルギーも増える、という直感と一致します。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 光電効果のI-V特性（電流-電圧特性）の理解
  • 核心: グラフの形状が意味する物理現象を読み解くことです。特に、以下の2つの領域の違いを理解することが重要です。
  • 理解のポイント:
    • 阻止電圧領域 (\(V < 0\)): 電子が電場によって減速される領域。電流がゼロになる点（\(-V_{\text{M}}\)）は、最大運動エネルギーを持つ電子さえも到達できなくなる限界点を示します。
    • 飽和電流領域 (\(V > 0\)): 電子が電場によって加速される領域。ある程度電圧を上げると、飛び出した電子がすべて陽極に回収されるため、それ以上電圧を上げても電流が増えなくなります（飽和電流）。
• エネルギー保存則（光電効果の式）の適用
  • 核心: \(h\nu = W + K_{\text{M}}\) という式を、単なる計算式としてではなく、因果関係を表すツールとして使いこなすことです。
  • 理解のポイント:
    • 原因: 光の振動数 \(\nu\)（入力エネルギー）、金属の種類 \(W\)（脱出コスト）。
    • 結果: 電子の最大運動エネルギー \(K_{\text{M}}\)（出力エネルギー）。
    • この因果関係（\(\nu\) や \(W\) を変えると \(K_{\text{M}}\) がどう変わるか）を論理的に追う力が問われます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • グラフの比較問題: 条件を変えたとき（光を強くする、振動数を変える、金属を変える）、I-Vグラフがどのように変化するかを描かせる問題が頻出です。
    • 光を強くする: 阻止電圧 \(V_{\text{M}}\) は変わらず、飽和電流（グラフの高さ）だけが大きくなります。
    • 振動数を大きくする: 阻止電圧 \(V_{\text{M}}\) が左にずれ（大きくなり）、飽和電流は変わりません（光子数が同じ場合）。
    • 仕事関数を大きくする: 阻止電圧 \(V_{\text{M}}\) が右にずれ（小さくなり）、飽和電流は変わりません。
  • プランク定数の測定: 阻止電圧 \(V_{\text{M}}\) と振動数 \(\nu\) の関係をグラフにし、その傾きから \(h/e\) を求める実験問題も、このI-V特性の理解が基礎となります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 軸の定義: 縦軸が電流 \(I\)、横軸が電圧 \(V\) であることを確認します。特に、電圧の正負（どちらが陽極か）に注意しましょう。
  2. 切片の意味: 横軸との交点（阻止電圧）はエネルギー \(K_{\text{M}}\) に、縦軸の飽和値は光子の数（光の強さ）に対応していることを即座に想起できるようにしましょう。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 阻止電圧と仕事関数の混同:
  • 誤解: 「仕事関数が大きいと、止めるのにも大きな電圧が必要だろう」と直感的に考えてしまい、\(V_{\text{M}}\) が大きくなると答えてしまう。
  • 対策: 「仕事関数 \(=\) 借金」のイメージを持ちましょう。借金（\(W\)）が増えると、手元に残るお金（\(K_{\text{M}}\)）は減ります。お金を持っていない電子を止めるのは簡単（\(V_{\text{M}}\) は小さい）です。
• 光の強さと振動数の混同:
  • 誤解: 「光を強くしたから、電子のエネルギーも増えるはず」と考え、阻止電圧が変わると答えてしまう。
  • 対策: 「強さ \(=\) 数」「振動数 \(=\) エネルギー」の区別を徹底しましょう。I-Vグラフにおいて、強さは「高さ（飽和電流）」に、振動数は「横位置（阻止電圧）」に影響します。
• 符号の取り扱い:
  • 誤解: 阻止電圧を \(-V_{\text{M}}\) と答えてしまう。
  • 対策: 「阻止電圧」という言葉自体が大きさ（正の値）を指すことが一般的ですが、グラフ上の座標は負の値です。問題文の定義（\(V_{\text{M}}\) と書かれているか、\(-V_0\) と書かれているか）をよく確認し、大きさなのか座標なのかを区別しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 問(1)での公式選択（エネルギー原理）:
  • 選定理由: 電流がゼロになる現象（電子の停止）を扱っているため、運動エネルギーと仕事の関係式が必要です。
  • 適用根拠: 電場による仕事 \(eV_{\text{M}}\) が運動エネルギー \(K_{\text{M}}\) を完全に消費させたという物理的状況を、\(K_{\text{M}} = eV_{\text{M}}\) という式で直接記述できます。
• 問(2)(3)での公式選択（光電効果の式）:
  • 選定理由: 「金属を変える（\(W\) の変化）」「光を変える（\(\nu\) の変化）」という操作が、観測量（\(K_{\text{M}}\) や \(V_{\text{M}}\)）にどう影響するかを予測する必要があります。これら全ての変数を結びつける式は光電効果の式しかありません。
  • 適用根拠: \(K_{\text{M}} = h\nu – W\) と変形することで、右辺の変化（原因）が左辺（結果）にどう伝播するかを一目瞭然に判断できます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 定性的な予測:
  • 計算や式変形をする前に、「エネルギーが増えるから電圧も増えるはず」といった定性的な予測を立てましょう。計算結果が予測と逆になった場合、符号ミスなどの単純な間違いに気づくことができます。
• 式の変形:
  • 頭の中で考えるのではなく、必ず \(K_{\text{M}} = h\nu – W\) という式を紙に書き、変化する項に矢印（\(\uparrow\) や \(\downarrow\)）を書き込むとミスが減ります。
  • 例: \(K_{\text{M}} = h\nu (\text{一定}) – W (\uparrow) \Rightarrow K_{\text{M}} (\downarrow)\)

574 阻止電圧

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「阻止電圧と振動数の関係」です。光電効果の実験データをグラフ化し、そこからプランク定数や仕事関数といった物理量を導き出すプロセスを学びます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
グラフから情報を読み取り、物理量に変換する問題です。
グラフの縦軸は阻止電圧 \(V_{\text{M}}\) です。振動数が \(\nu_1\) のとき、グラフ上の点は \((\nu_1, V_1)\) を指しています。つまり、このときの阻止電圧は \(V_1\) です。
阻止電圧 \(V_1\) と最大運動エネルギー \(K_{\text{M}}\) の関係式を使います。

この設問における重要なポイント

• グラフの読み取り: \(\nu = \nu_1\) のとき、\(V_{\text{M}} = V_1\)。
• 阻止電圧と運動エネルギーの関係: \(K_{\text{M}} = eV_{\text{M}}\)。

具体的な解説と立式
振動数が \(\nu_1\) のとき、グラフより阻止電圧は \(V_1\) です。
阻止電圧が \(V_1\) であるとき、陰極から飛び出す光電子の最大運動エネルギー \(K_{\text{M}}\) は、電場からされる仕事 \(eV_1\) と等しくなります。
したがって、以下の関係が成り立ちます。
$$ K_{\text{M}} = eV_1 $$

計算は不要で、立式の結果がそのまま答えとなります。
$$ K_{\text{M}} = eV_1 $$

グラフは「光の色（振動数）」と「電子を止めるのに必要な電圧（阻止電圧）」の関係を示しています。振動数が \(\nu_1\) のとき、止めるのに \(V_1\) の電圧が必要だったということは、電子は \(eV_1\) というエネルギーを持って飛び出していたことを意味します。

答えは \(eV_1\) です。エネルギーの次元（\(\text{C} \cdot \text{V} = \text{J}\)）を持っており、物理的に妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
限界振動数 \(\nu_0\) の意味を考えます。グラフにおいて、\(\nu_0\) は横軸との交点（\(V_{\text{M}}=0\)）です。
阻止電圧が \(0\) ということは、飛び出す電子の最大運動エネルギー \(K_{\text{M}}\) も \(0\) であることを意味します。
この条件を光電効果の式に適用して、仕事関数 \(W\) を求めます。

この設問における重要なポイント

• 限界振動数 \(\nu_0\): 電子がギリギリ飛び出せる（運動エネルギーが \(0\) になる）振動数。
• 光電効果の式: \(h\nu = W + K_{\text{M}}\)。

具体的な解説と立式
光電効果の式は以下の通りです。
$$ h\nu = W + K_{\text{M}} $$
振動数が限界振動数 \(\nu_0\) のとき、電子はギリギリ飛び出す状態であり、その運動エネルギーは \(0\) です（\(K_{\text{M}} = 0\)）。
この条件を式に代入します。
$$ h\nu_0 = W + 0 $$

式を \(W\) について整理します。
$$ W = h\nu_0 $$

電子を金属から引き剥がすのに必要なエネルギー（仕事関数 \(W\)）は、ちょうど限界振動数 \(\nu_0\) の光子が持つエネルギー \(h\nu_0\) と等しくなります。これよりエネルギーが小さい光子では、電子を叩き出すことができません。

答えは \(h\nu_0\) です。仕事関数はエネルギーの次元を持ち、\(h\nu\) もエネルギーの次元を持つため、次元的に正しいです。

問(3)

思考の道筋とポイント
プランク定数 \(h\) を、グラフから読み取れる量（\(\nu_0, \nu_1, V_1\)）と定数 \(e\) で表す問題です。
(1)と(2)の結果を光電効果の式に組み込み、\(h\) についての方程式を立てて解きます。
これは実質的に、グラフの傾きから \(h\) を求めていることと同じです。

この設問における重要なポイント

• 光電効果の式（一般形）: \(h\nu = W + K_{\text{M}}\)
• (1)の結果: \(\nu = \nu_1\) のとき \(K_{\text{M}} = eV_1\)
• (2)の結果: \(W = h\nu_0\)

具体的な解説と立式
振動数が \(\nu_1\) のときの光電効果の式を立てます。
$$ h\nu_1 = W + K_{\text{M}} $$
ここに、(2)で求めた \(W = h\nu_0\) と、(1)で求めた \(K_{\text{M}} = eV_1\) を代入します。
$$ h\nu_1 = h\nu_0 + eV_1 $$

この式を \(h\) について解きます。
\(h\) を含む項を左辺にまとめます。
$$
\begin{aligned}
h\nu_1 – h\nu_0 &= eV_1 \\[2.0ex] h(\nu_1 – \nu_0) &= eV_1
\end{aligned}
$$
したがって、
$$ h = \frac{eV_1}{\nu_1 – \nu_0} $$

(1)と(2)で分かったことを1つの式にまとめました。「振動数 \(\nu_1\) の光子エネルギー」\(=\)「脱出コスト（\(\nu_0\) の光子エネルギー）」\(+\)「電子の運動エネルギー」という関係式を作り、それを変形してプランク定数 \(h\) を求めました。
数式をよく見ると、\(h = e \times \displaystyle\frac{V_1 – 0}{\nu_1 – \nu_0}\) となっており、これは「\(e \times (\text{グラフの傾き})\)」を計算していることと同じです。

答えは \(\displaystyle\frac{eV_1}{\nu_1 – \nu_0}\) です。
分母は振動数（\(\text{1/s}\)）、分子はエネルギー（\(\text{J}\)）なので、単位は \(\text{J} \cdot \text{s}\) となり、プランク定数の単位と一致します。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 阻止電圧と運動エネルギーの等価性
  • 核心: 阻止電圧 \(V_{\text{M}}\) は、単なる電圧計の読みではなく、電子の最大運動エネルギー \(K_{\text{M}}\) を電気的な高さ（電位差）に換算したものです。
  • 理解のポイント:
    • \(K_{\text{M}} = eV_{\text{M}}\) という関係式は、「運動エネルギー \(=\) 電場による仕事」という力学的エネルギー保存則の変形です。
    • グラフの縦軸が \(V_{\text{M}}\) であることは、実質的に縦軸が \(K_{\text{M}}/e\) であることと同じです。つまり、このグラフは光電効果のエネルギー収支を可視化したものです。
• 限界振動数と仕事関数の関係
  • 核心: グラフの横軸切片（\(\nu_0\)）は、電子が飛び出すためのエネルギー的な閾値を示しています。
  • 理解のポイント:
    • \(\nu < \nu_0\) の領域では、光子エネルギー \(h\nu\) が仕事関数 \(W\) に満たないため、光電効果は起きません。
    • \(\nu = \nu_0\) の瞬間、\(h\nu_0 = W\) となり、電子は運動エネルギーゼロでようやく表面に顔を出します。この関係式 \(W = h\nu_0\) は、仕事関数を求めるための強力なツールです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • グラフの傾きからプランク定数を求める: 今回の問題の(3)のように、\(V_{\text{M}}\) vs \(\nu\) グラフの傾きは \(h/e\) になります。実験データから \(h\) を求める問題では、必ずこの傾きを利用します。
    • 傾き \(a = \displaystyle\frac{V_1 – 0}{\nu_1 – \nu_0}\)
    • 関係式 \(V_{\text{M}} = \frac{h}{e}\nu – \frac{W}{e}\) より、傾き \(a = \frac{h}{e}\)
    • よって \(h = e \times (\text{傾き})\)
  • 異なる金属でのグラフ比較: 金属を変えると仕事関数 \(W\)（および限界振動数 \(\nu_0\)）が変わりますが、傾き \(h/e\) は普遍定数なので変わりません。したがって、グラフは平行移動します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 縦軸の物理量: 縦軸が \(K_{\text{M}}\) なのか \(V_{\text{M}}\) なのかを必ず確認します。\(V_{\text{M}}\) の場合は、式に電気素量 \(e\) が絡んできます（\(eV_{\text{M}} = \dots\)）。
  2. 切片の意味:
     • 横軸切片 \(\nu_0\): \(h\nu_0 = W\)
     • 縦軸切片（の絶対値）: \(W/e\)（縦軸が \(V_{\text{M}}\) の場合）または \(W\)（縦軸が \(K_{\text{M}}\) の場合）

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• プランク定数の単位:
  • 誤解: グラフの傾きそのものを \(h\) だと思ってしまう。
  • 対策: 縦軸が電圧 \(V\) の場合、傾きの単位は \(\text{V} \cdot \text{s} = \text{J/C} \cdot \text{s}\) です。一方 \(h\) の単位は \(\text{J} \cdot \text{s}\) です。単位を合わせるために \(e\)（単位 \(\text{C}\)）を掛ける必要があることに気づきましょう。
• 限界振動数の定義:
  • 誤解: \(\nu_0\) を「電子が最も勢いよく飛び出す振動数」と勘違いする。
  • 対策: \(\nu_0\) は「ギリギリ飛び出せる（エネルギーゼロの）振動数」です。グラフで \(V_{\text{M}}=0\)（つまり \(K_{\text{M}}=0\)）となっている点であることを視覚的に確認しましょう。
• 式の適用範囲:
  • 誤解: \(\nu < \nu_0\) の領域でも \(K_{\text{M}} = h\nu – W\) の式を使ってしまい、負の運動エネルギーを算出してしまう。
  • 対策: 光電効果の式は、電子が飛び出す場合（\(\nu \ge \nu_0\)）にのみ成立します。グラフの実線部分が \(\nu_0\) から右側にしかないことからも、適用範囲を意識しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 問(1)での公式選択（エネルギー保存則）:
  • 選定理由: 阻止電圧 \(V_1\) という電気的な量を、運動エネルギー \(K_{\text{M}}\) という力学的な量に変換する必要があります。
  • 適用根拠: 電場による仕事 \(W = qV\) が運動エネルギーの変化 \(\Delta K\) に等しいという、物理学の基本原理（仕事とエネルギーの関係）を適用します。
• 問(2)での公式選択（光電効果の式）:
  • 選定理由: 限界振動数 \(\nu_0\) と仕事関数 \(W\) の関係を求めたい。これらは光電効果のエネルギー収支における「入力」と「損失」の関係です。
  • 適用根拠: 光電効果の式 \(h\nu = W + K_{\text{M}}\) において、ギリギリ飛び出す条件 \(K_{\text{M}}=0\) を適用することで、両者の直接的な関係式 \(h\nu_0 = W\) が得られます。
• 問(3)での公式選択（連立方程式）:
  • 選定理由: 未知数である \(h\) を、既知の実験値（\(\nu_0, \nu_1, V_1\)）で表したい。
  • 適用根拠: (1)と(2)で得られた2つの式（\(K_{\text{M}}=eV_1\) と \(W=h\nu_0\)）を、一般式 \(h\nu_1 = W + K_{\text{M}}\) に代入することで、未知数 \(h\) を含む方程式を作成し、それを解くという代数的なアプローチが最も確実です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式の次元確認（次元解析）:
  • 答えが出たら、単位（次元）が合っているか確認しましょう。
  • (3)の答え \(\displaystyle\frac{eV_1}{\nu_1 – \nu_0}\) の場合:
    • 分子 \(eV_1\): エネルギー \([\text{J}]\)
    • 分母 \(\nu_1 – \nu_0\): 振動数 \([\text{1/s}]\)
    • 全体: \([\text{J}] / [\text{1/s}] = [\text{J} \cdot \text{s}]\)
    • これはプランク定数 \(h\) の単位と一致します。もし \(e\) を掛け忘れていたら単位が合わず、ミスに気づけます。
• グラフの傾きの利用:
  • (3)のような計算問題では、数式をこねくり回す前に「これはグラフの傾きを求めているんだな」と図形的に理解しておくと、計算の見通しが良くなり、ミスが減ります。\(V_{\text{M}} = \frac{h}{e}(\nu – \nu_0)\) という直線の式をイメージできれば、答えの形も予想できます。

575 X線の発生

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「X線の発生原理とエネルギー変換」です。電子の運動エネルギーがX線（光子）のエネルギーに変換される過程を、エネルギー保存則に基づいて理解します。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
電子が陰極から陽極へ移動する間に、電場からどれだけの仕事をされるかを考えます。
初速度が \(0\) なので、電場からされた仕事がそのまま衝突時の運動エネルギーになります。

この設問における重要なポイント

• 静電気力の仕事: \(W = qV\)
• 仕事とエネルギーの関係: \((\text{あとの運動エネルギー}) – (\text{はじめの運動エネルギー}) = (\text{された仕事})\)

具体的な解説と立式
電子の電荷の大きさを \(e\)、加速電圧を \(V\) とします。
電子が陰極から陽極まで移動する間に電場から受ける仕事 \(W_{\text{電気}}\) は、以下の式で表されます。
$$ W_{\text{電気}} = eV $$
初速度が \(0\) なので、衝突時の運動エネルギー \(K\) は、この仕事と等しくなります。
$$ K = eV $$

計算は不要で、立式の結果がそのまま答えとなります。
$$ K = eV $$

電子は電気の力で背中を押されて加速します。電圧 \(V\) というのは「電気的な落差」のようなもので、この落差を落ちることで電子はスピードアップします。そのときに得るエネルギーは、単純に「電気量 \(\times\) 電圧」で計算できます。

答えは \(eV\) です。単位は \([\text{C} \cdot \text{V}] = [\text{J}]\) となり、エネルギーの次元を持っています。

問(2)

思考の道筋とポイント
「最短波長」のX線が発生するメカニズムを考えます。
X線は、高速の電子が陽極に衝突して急激に減速する際に発生します（制動放射）。
電子が持っていた運動エネルギー \(K\) は、熱になったりX線になったりしますが、最も効率よくX線になった場合（エネルギーロスなしで全エネルギーが1個の光子になった場合）に、光子のエネルギーは最大になり、波長は最短になります。

この設問における重要なポイント

• 光子のエネルギーと波長の関係: \(E = h\nu = \displaystyle\frac{hc}{\lambda}\)
• 最短波長の条件: 電子の運動エネルギー \(K\) がすべて光子エネルギー \(E\) に変換されること（\(K = E\)）。

具体的な解説と立式
発生するX線の波長を \(\lambda\) とすると、その光子エネルギーは \(\displaystyle\frac{hc}{\lambda}\) です。
このエネルギーの源は電子の運動エネルギー \(eV\) です。エネルギー保存則より、発生する光子エネルギーは電子のエネルギー以下でなければなりません。
$$ \frac{hc}{\lambda} \le eV $$
波長 \(\lambda\) が最短（\(\lambda_0\)）になるのは、等号が成立するとき、つまり電子のエネルギーが余すことなく光子エネルギーに変わったときです。
$$ \frac{hc}{\lambda_0} = eV $$

この式を \(\lambda_0\) について解きます。
$$ \lambda_0 = \frac{hc}{eV} $$

電子が持っているエネルギー \(eV\) を、すべて1個の光子に注ぎ込んだとします。そのとき生まれる光子は「最強の光子（エネルギー最大）」になります。光子のエネルギーが大きいということは、波長が短いということです。これが「最短波長」の意味です。

答えは \(\displaystyle\frac{hc}{eV}\) です。
単位を確認すると、\(\displaystyle\frac{[\text{J}\cdot\text{s}] \cdot [\text{m/s}]}{[\text{J}]} = [\text{m}]\) となり、波長の単位として正しいです。

問(3)

思考の道筋とポイント
(2)で求めた最短波長の式 \(\lambda_0 = \displaystyle\frac{hc}{eV}\) を見て、電圧 \(V\) を変化させたときの影響を判断します。
\(V\) が分母にあることに注目します。

この設問における重要なポイント

• 最短波長の式: \(\lambda_0 = \displaystyle\frac{hc}{eV}\)
• 反比例の関係: \(\lambda_0\) は \(V\) に反比例する。

具体的な解説と立式
(2)の結果より、最短波長 \(\lambda_0\) は以下の式で表されます。
$$ \lambda_0 = \frac{hc}{eV} $$
ここで、\(h, c, e\) はすべて定数なので、最短波長 \(\lambda_0\) は加速電圧 \(V\) に反比例します。
加速電圧を \(2\) 倍（\(2V\)）にしたときの最短波長を \(\lambda’\) とすると、
$$ \lambda’ = \frac{hc}{e(2V)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{hc}{eV} $$
となります。

$$ \lambda’ = \frac{1}{2}\lambda_0 $$
したがって、最短波長は元の \(\displaystyle\frac{1}{2}\) 倍になります。

電圧を2倍にすると、電子は2倍のエネルギーを持って衝突します。その結果、生まれるX線光子のエネルギーも最大で2倍になります。光子のエネルギーと波長は反比例の関係（エネルギーが大きいほど波長は短い）にあるので、エネルギーが2倍になれば、波長は半分になります。

答えは \(\displaystyle\frac{1}{2}\) 倍です。電圧を上げるとより強力な（波長の短い）X線が出る、という定性的な理解とも一致します。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• エネルギー変換の連鎖（電気的エネルギー \(\to\) 運動エネルギー \(\to\) 光エネルギー）
  • 核心: X線発生装置は、エネルギーの形態を次々と変換する装置です。この一連の流れをエネルギー保存則で追跡することが全ての基本です。
  • 理解のポイント:
    1. 加速: 電場が電子に仕事をする（\(W = eV\)）。これが電子の運動エネルギーになる（\(K = eV\)）。
    2. 衝突: 電子が陽極に衝突し、急激に止まる。このとき失った運動エネルギーが、X線（光子）のエネルギーや熱エネルギーに変わる。
    3. 放射: 最も効率が良い場合、電子の全エネルギーが1個の光子のエネルギーになる（\(h\nu_{\text{最大}} = eV\)）。
• 最短波長（デュアン・ハントの法則）の原理
  • 核心: なぜ「最短」波長が存在するのか、その物理的理由を理解することです。
  • 理解のポイント:
    • X線スペクトルには、連続X線と特性X線があります。最短波長は連続X線の特徴です。
    • 電子が陽極原子と衝突する際、1回の衝突で全エネルギーを失うこともあれば、数回に分けて失うこともあります。
    • 1回で全エネルギー \(eV\) を失い、それがそのまま1個の光子になったとき、その光子は最大のエネルギー（\(E_{\text{最大}} = eV\)）を持ちます。
    • \(E = hc/\lambda\) より、エネルギー最大は波長最小（最短）に対応します。これより短い波長のX線は、エネルギー保存則を破るため発生しません。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • プランク定数の測定: 縦軸に最短波長の逆数 \(1/\lambda_0\)、横軸に加速電圧 \(V\) をとったグラフを描かせ、その傾きから \(h\) を求める問題。
    • 式変形: \(\lambda_0 = \frac{hc}{eV} \iff \frac{1}{\lambda_0} = \frac{e}{hc}V\)
    • 傾き \(a = \frac{e}{hc}\) より、\(h = \frac{e}{ac}\) と求まります。
  • 特性X線との区別: グラフ上で鋭いピークとして現れる特性X線は、加速電圧 \(V\) を変えても波長（位置）は変わりません（強度は変わります）。一方、最短波長 \(\lambda_0\) は \(V\) に依存して変化します。この違いを問う問題が頻出です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 「最短」という言葉: これを見たら即座に「エネルギーロスなしの全変換（\(eV = h\nu\)）」の式を立てましょう。
  2. 単位の確認: X線の波長は非常に短いため、\(\text{nm}\)（ナノメートル、\(10^{-9}\,\text{m}\)）や \(\text{pm}\)（ピコメートル、\(10^{-12}\,\text{m}\)）、あるいは \(\text{Å}\)（オングストローム、\(10^{-10}\,\text{m}\)）が使われることがあります。計算時は必ずメートル \([\text{m}]\) に直しましょう。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 波長とエネルギーの比例・反比例:
  • 誤解: 「エネルギーが2倍になれば波長も2倍」と直感的に考えてしまう。
  • 対策: \(E = \frac{hc}{\lambda}\) という式を常に頭に浮かべ、「エネルギーと波長は逆数（反比例）の関係」であることを視覚的に確認しましょう。エネルギーが大きい＝振動数が高い＝波長が短い、という連想を定着させます。
• 特性X線と連続X線の混同:
  • 誤解: 最短波長の式を特性X線にも適用してしまう。
  • 対策: 最短波長は「電子の運動エネルギー」で決まる連続X線の限界値です。一方、特性X線は「陽極の原子構造（電子軌道のエネルギー準位差）」で決まる固有の値です。電圧を変えても特性X線の波長が変わらないことを覚えておきましょう。
• 電子の初速度:
  • 誤解: 常に初速度ゼロとは限らない。
  • 対策: 問題文に「初速度 \(v_0\) で飛び出した」とあれば、エネルギー保存則は \(\frac{1}{2}mv_0^2 + eV = h\nu\) となります。問題文の条件（初速度0か否か）を必ずチェックしましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 問(1)での公式選択（仕事とエネルギー）:
  • 選定理由: 電場による加速という現象を扱っているため、静電気力の仕事 \(W=qV\) が運動エネルギーになるという原理を使います。
  • 適用根拠: 電子が電位差 \(V\) を移動することで得るエネルギーは、経路によらず電位差のみで決まるため、\(K=eV\) が成立します。
• 問(2)での公式選択（光子エネルギーと保存則）:
  • 選定理由: 「波長」と「エネルギー」を結びつける必要があるため、\(E = hc/\lambda\) を選びます。また、最短波長という極限状態を扱うため、エネルギー保存則の等号成立条件（ロスなし）を適用します。
  • 適用根拠: X線発生の素過程は「電子1個と原子の衝突 \(\to\) 光子1個の放出」です。このミクロな過程におけるエネルギー保存則 \(K_{\text{電子}} = E_{\text{光子}}\) が、巨視的な最短波長の法則を導きます。
• 問(3)での思考法（比例関係の抽出）:
  • 選定理由: 具体的な数値を求めるのではなく、変化の倍率を問われているため、数式から変数間の比例・反比例関係を読み取るのが最も効率的です。
  • 適用根拠: \(\lambda_0 = \frac{hc}{eV}\) において、\(h, c, e\) は定数なので、\(\lambda_0 \propto \frac{1}{V}\) であることが数学的に保証されます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま処理する:
  • (2)や(3)のように、具体的な数値が与えられていない問題では、最後まで文字式のまま計算を進めます。途中で勝手に数値を代入したりせず、\(h, c, e, V\) などの記号のまま扱うことで、計算ミスを減らし、物理的な意味（比例関係など）を見抜きやすくなります。
• 次元確認（単位チェック）:
  • 答えの式 \(\frac{hc}{eV}\) の次元を確認しましょう。
    • \(h\): \([\text{J}\cdot\text{s}]\)
    • \(c\): \([\text{m/s}]\)
    • \(e\): \([\text{C}]\)
    • \(V\): \([\text{V}] = [\text{J/C}]\)
    • 全体: \(\frac{[\text{J}\cdot\text{s}] \cdot [\text{m/s}]}{[\text{C}] \cdot [\text{J/C}]} = \frac{[\text{J}\cdot\text{m}]}{[\text{J}]} = [\text{m}]\)
  • 波長の単位 \([\text{m}]\) になっているので、式変形が正しいと確信できます。

576 X線の発生とスペクトル

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「X線スペクトルの解析」です。連続X線と特性X線という2種類のX線の発生メカニズムの違いを理解し、加速電圧の変化がそれぞれの波長にどう影響するかを学びます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
電子の運動エネルギーを \(\text{eV}\) 単位で求める問題です。
\(\text{eV}\)（電子ボルト）という単位の定義そのものを問われています。
「電子（電荷 \(e\)）を \(V\) ボルトで加速したときのエネルギーは \(V\) エレクトロンボルト（\(\text{eV}\)）である」という定義を思い出しましょう。

この設問における重要なポイント

• エネルギーの単位 \(\text{eV}\) の定義: \(1\,\text{eV}\) は、電子1個が \(1\,\text{V}\) で加速されたときのエネルギー。
• 加速電圧: \(V = 1.5\,\text{kV} = 1.5 \times 10^3\,\text{V}\)。

具体的な解説と立式
電子（電荷の大きさ \(e\)）を電圧 \(V\) で加速したとき、電子が得る運動エネルギー \(K\) は、ジュール単位では \(K = eV\,[\text{J}]\) です。
これを \(\text{eV}\) 単位で表すと、数値部分は電圧 \(V\) と同じになります。
すなわち、電圧が \(1.5 \times 10^3\,\text{V}\) なので、エネルギーは \(1.5 \times 10^3\,\text{eV}\) です。

計算は不要で、定義より直ちに求まります。
$$ 1.5\,\text{kV} \rightarrow 1.5 \times 10^3\,\text{eV} $$

「電子ボルト（\(\text{eV}\)）」という単位は、電子のための特別なエネルギースケールです。「\(1\) ボルトで加速したら \(1\,\text{eV}\)」「\(100\) ボルトなら \(100\,\text{eV}\)」というように、電圧の数字をそのままエネルギーとして使える便利な単位です。今回は \(1.5\,\text{kV}\)（\(1500\) ボルト）なので、エネルギーもそのまま \(1.5\,\text{keV}\)（\(1500\,\text{eV}\)）になります。

答えは \(1.5 \times 10^3\,\text{eV}\) です。単位の定義を正しく理解していれば即答できる問題です。

問(2)

思考の道筋とポイント
連続X線の最短波長 \(\lambda_0\) を求めます。
これは、電子の運動エネルギーがロスなく完全に1個の光子のエネルギーに変わったケースです。
計算にあたっては、(1)で求めたエネルギーの単位を \(\text{eV}\) から \(\text{J}\)（ジュール）に変換する必要があります。プランク定数 \(h\) や光速 \(c\) がSI単位系（\(\text{J}\), \(\text{s}\), \(\text{m}\)）で与えられているからです。

この設問における重要なポイント

• 単位換算: \(1\,\text{eV} = 1.6 \times 10^{-19}\,\text{J}\)
• 最短波長の条件式: \(E_{\text{電子}} = \displaystyle\frac{hc}{\lambda_0}\)

具体的な解説と立式
まず、電子の運動エネルギー \(E\) をジュール単位に換算します。
$$ E = (1.5 \times 10^3) \times (1.6 \times 10^{-19})\,\text{J} $$
このエネルギーがすべてX線光子のエネルギー \(\displaystyle\frac{hc}{\lambda_0}\) になるとき、波長は最短になります。
$$ \frac{hc}{\lambda_0} = E $$
この式を \(\lambda_0\) について解きます。
$$ \lambda_0 = \frac{hc}{E} $$

数値を代入して計算します。
\(h = 6.6 \times 10^{-34}\)、\(c = 3.0 \times 10^8\) です。

$$
\begin{aligned}
E &= 1.5 \times 1.6 \times 10^{3-19} \\[2.0ex] &= 2.4 \times 10^{-16}\,\text{J}
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
\lambda_0 &= \frac{(6.6 \times 10^{-34}) \times (3.0 \times 10^8)}{2.4 \times 10^{-16}} \\[2.0ex] &= \frac{6.6 \times 3.0}{2.4} \times \frac{10^{-34} \times 10^8}{10^{-16}} \\[2.0ex] &= \frac{19.8}{2.4} \times 10^{-34 + 8 – (-16)} \\[2.0ex] &= 8.25 \times 10^{-10}\,\text{m}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えるため、\(8.3 \times 10^{-10}\,\text{m}\) となります。

電子が持っているエネルギーを、すべて光のエネルギーに変えます。まず、電子のエネルギーを「ジュール」という標準的な単位に直します。次に、「エネルギー \(=\) 定数 \(\div\) 波長」という光の公式を使って、そのエネルギーに対応する波長を逆算しました。

答えは \(8.3 \times 10^{-10}\,\text{m}\) です。X線の波長は通常 \(10^{-10}\,\text{m}\)（オングストローム）のオーダーなので、妥当な数値です。

問(3)

思考の道筋とポイント
加速電圧 \(V\) を3倍にしたときの影響を考えます。
①連続X線の最短波長と、②特性X線の波長では、決定要因が全く異なります。

• 連続X線: 電子の運動エネルギー（つまり電圧 \(V\)）で決まる。
• 特性X線: 陽極の金属の種類（原子のエネルギー準位）で決まる。

この設問における重要なポイント

• 連続X線の最短波長: \(\lambda_0 = \displaystyle\frac{hc}{eV}\) （電圧 \(V\) に反比例）
• 特性X線の波長: 電圧 \(V\) に無関係（金属固有の値）

具体的な解説と立式
① 連続X線の最短波長
最短波長 \(\lambda_0\) は、以下の式で表されます。
$$ \lambda_0 = \frac{hc}{eV} $$
\(h, c, e\) は定数なので、\(\lambda_0\) は加速電圧 \(V\) に反比例します。
電圧 \(V\) を3倍にすると、分母が3倍になるため、最短波長は \(\displaystyle\frac{1}{3}\) 倍になります。

② 特性X線の波長
特性X線は、高速電子によって弾き飛ばされた内殻電子の空席に、外殻電子が落ち込んでくるときに発生します。その波長は、電子軌道のエネルギー準位差によって決まり、陽極の物質固有の値です。
したがって、加速電圧 \(V\) を変えても、特性X線の波長は変化しません（\(1\) 倍）。

① \(\lambda’ = \displaystyle\frac{hc}{e(3V)} = \frac{1}{3}\lambda_0\)
② 変化なし

① 電圧を3倍にすると、電子のパワーも3倍になります。パワーが3倍の電子からは、エネルギーが3倍の光子が生まれます。光子のエネルギーと波長は反比例（エネルギー大＝波長短）なので、波長は \(1/3\) になります。
② 特性X線は、金属原子が出す「悲鳴」のようなもので、その声の高さ（波長）は叩く強さ（電圧）ではなく、叩かれた相手（金属の種類）で決まります。だから電圧を変えても波長は変わりません。

①は \(\displaystyle\frac{1}{3}\) 倍、②は \(1\) 倍です。連続X線と特性X線の発生原理の違いを正しく理解していれば導ける結論です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 連続X線と特性X線の発生メカニズムの違い
  • 核心: X線スペクトルには、なだらかな山（連続X線）と鋭いピーク（特性X線）の2種類が混在しており、それぞれの起源が全く異なることを理解するのが最重要です。
  • 理解のポイント:
    • 連続X線: 電子が原子核の電場で急激に減速されるときに発生する（制動放射）。電子の運動エネルギー \(eV\) が光子エネルギー \(h\nu\) に変わるため、加速電圧 \(V\) に依存します。
    • 特性X線（固有X線）: 電子衝突によって内殻電子が弾き飛ばされ、その空孔に外殻電子が遷移するときに発生する。エネルギー差は原子固有のものなので、加速電圧 \(V\) には依存せず、ターゲット金属の種類（原子番号）で決まります。
• 最短波長の決定原理
  • 核心: 連続X線のスペクトルに「最短波長（限界）」が存在するのは、エネルギー保存則による制限です。
  • 理解のポイント:
    • 電子が持つエネルギー \(eV\) を、1回の衝突で全て光子1個に与えたとき、その光子は最大のエネルギー（\(E_{\text{max}} = eV\)）を持ちます。
    • \(E = hc/\lambda\) より、最大エネルギーは最短波長 \(\lambda_0 = hc/eV\) に対応します。これより短い波長は、エネルギー保存則を破るため存在しません。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • グラフの変化を問う問題:
    • 電圧 \(V\) を上げる: 最短波長 \(\lambda_0\) は左（短波長側）にシフトし、全体的な強度（山の高さ）も増します。ただし、特性X線の位置（ピークの波長）は変わりません。
    • ターゲット金属を変える: 特性X線の位置がシフトします（原子番号が大きいほど短波長側へ）。最短波長 \(\lambda_0\) は電圧が同じなら変わりません。
  • プランク定数の測定: 最短波長 \(\lambda_0\) と電圧 \(V\) の関係 \(\lambda_0 = \frac{hc}{eV}\) を利用して、実験データから \(h\) を求める問題。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 単位の確認: エネルギーが \(\text{eV}\) で与えられているか、\(\text{J}\) で与えられているか。計算には必ず \(\text{J}\) を使いますが、解答形式が \(\text{eV}\) の場合もあるので注意が必要です。
  2. 「最短」のキーワード: 「最短波長」とあれば、即座に \(eV = h\nu_{\text{max}} = \frac{hc}{\lambda_0}\) の式を連想しましょう。
  3. スペクトルの形状: グラフに鋭いピークがあれば、それは特性X線です。その位置が変わるかどうかは、電圧ではなく金属の種類に注目します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 特性X線の波長変化:
  • 誤解: 「電圧を上げればエネルギーが増えるから、特性X線の波長も短くなるはず」と考えてしまう。
  • 対策: 特性X線は「原子固有の指紋」のようなものだと覚えましょう。指紋は叩く強さ（電圧）では変わりません。変わるのは強度（ピークの高さ）だけです。
• 単位換算の失念:
  • 誤解: \(E = 1.5 \times 10^3\,\text{eV}\) をそのまま \(E = h\nu\) に代入してしまう。
  • 対策: プランク定数 \(h\) の単位は \(\text{J}\cdot\text{s}\) です。公式を使うときは必ずSI単位系（\(\text{J}\)）に統一する鉄則を守りましょう。\(1\,\text{eV} = 1.6 \times 10^{-19}\,\text{J}\) の換算は必須です。
• 計算時の桁数ミス:
  • 誤解: \(10^{-34}\) や \(10^{-19}\) といった極端な指数計算でミスをする。
  • 対策: 数値部分（\(6.6 \times 3.0 / 2.4\)）と指数部分（\(-34 + 8 – (-16)\)）を完全に分離して計算し、最後に合体させる手順を徹底しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 問(1)での公式選択（定義の利用）:
  • 選定理由: \(\text{eV}\) という単位の定義そのものを問われているため、公式というよりは定義に基づいた変換を行います。
  • 適用根拠: \(1\,\text{V}\) で加速された電子のエネルギーが \(1\,\text{eV}\) であるという定義から、\(1.5\,\text{kV}\) なら \(1.5\,\text{keV}\) と即答できます。
• 問(2)での公式選択（エネルギー保存則）:
  • 選定理由: 電子の運動エネルギーと光子の波長を結びつける必要があります。
  • 適用根拠: 最短波長は「エネルギーロスなしの完全変換」という理想的な極限状態で発生するため、\(K_{\text{電子}} = E_{\text{光子}}\) という等式が成立します。
• 問(3)での思考法（比例・反比例の抽出）:
  • 選定理由: 具体的な数値計算ではなく、変化の倍率（スケーリング）を問われています。
  • 適用根拠: 数式 \(\lambda_0 = \frac{hc}{eV}\) から、\(\lambda_0 \propto 1/V\) という関係を読み取るのが最も速く確実です。特性X線については、数式に \(V\) が含まれていない（原子の準位差 \(\Delta E\) で決まる）ことから不変と判断します。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 約分の活用:
  • (2)の計算では、\(6.6 \times 3.0 / 2.4\) が登場します。\(6.6\) と \(2.4\) は共に \(6\) の倍数（\(0.6\) の倍数）なので、\(11 \times 0.6\) と \(4 \times 0.6\) と見れば約分しやすくなります。あるいは \(3.0 / 2.4 = 1.25\) と計算してから \(6.6\) を掛けるのも手です。
• オーダー確認:
  • X線の波長は原子サイズ（\(\sim 10^{-10}\,\text{m}\)）程度になるはずです。計算結果が \(10^{-19}\) や \(10^{5}\) になったら、明らかに間違いなので見直しましょう。

577 ブラッグ反射

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「X線回折（ブラッグ反射）」です。結晶格子によるX線の干渉現象を扱い、結晶構造解析の基礎となる重要な単元です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
格子面間隔 \(d\) を求める問題です。
問題文で与えられた条件（波長 \(\lambda\)、角度 \(\theta\)、次数 \(n\)）を整理し、ブラッグの反射条件式に適用します。

この設問における重要なポイント

• ブラッグの反射条件: \(2d\sin\theta = n\lambda\)
• 与えられた値:
  • 波長 \(\lambda = 1.5 \times 10^{-10}\,\text{m}\)
  • 角度 \(\theta = 30^\circ\)
  • 次数 \(n = 2\)

具体的な解説と立式
ブラッグの反射条件式は以下の通りです。
$$ 2d\sin\theta = n\lambda $$
この式に、問題で与えられた値を代入します。
$$ 2d\sin 30^\circ = 2 \times (1.5 \times 10^{-10}) $$

\(\sin 30^\circ = \displaystyle\frac{1}{2}\) を代入して \(d\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
2d \times \frac{1}{2} &= 3.0 \times 10^{-10} \\[2.0ex] d &= 3.0 \times 10^{-10}\,\text{m}
\end{aligned}
$$

結晶の中には原子が規則正しく並んでいて、鏡のような「面」がたくさんあるとイメージしてください。X線が斜めに入ってくると、それぞれの面で反射します。隣り合う面で反射したX線同士が「強め合う（波の山と山が重なる）」条件が、ブラッグの式です。ここでは、その式に数字を当てはめて、面と面の間隔（\(d\)）を計算しました。

答えは \(3.0 \times 10^{-10}\,\text{m}\) です。原子の大きさや原子間距離は通常 \(10^{-10}\,\text{m}\)（オングストローム）のオーダーなので、妥当な数値です。

問(2)

思考の道筋とポイント
「入射X線と反射X線がなす角」を求める幾何学的な問題です。
ブラッグ反射における角度 \(\theta\) の定義（結晶面となす角）を正しく理解し、図を描いて確認することが重要です。

この設問における重要なポイント

• 角度 \(\theta\) の定義: 入射線と「格子面」のなす角。
• 反射の法則: 入射角と反射角は等しい。ただし、ここでの「反射角」も格子面となす角として考えます。

具体的な解説と立式
図を描いて考えます。
入射X線は格子面に対して角度 \(\theta = 30^\circ\) で入射します。
反射の法則により、反射X線も格子面に対して角度 \(\theta = 30^\circ\) で出ていきます。
入射X線の進行方向と反射X線の進行方向がなす角を \(\phi\) とすると、図形的関係から \(\phi\) は入射角 \(\theta\) と反射角 \(\theta\) の和になります。
$$ \phi = \theta + \theta = 2\theta $$

\(\theta = 30^\circ\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
\phi &= 2 \times 30^\circ \\[2.0ex] &= 60^\circ
\end{aligned}
$$

鏡に光を当てたときを想像してください。鏡の面に対して \(30^\circ\) の角度で光が入ってくると、反対側にも \(30^\circ\) の角度で跳ね返っていきます。入ってくる線と出ていく線の間の角度は、\(30^\circ\) と \(30^\circ\) を足して \(60^\circ\) になります。

答えは \(60^\circ\) です。図形的にも直感と一致する結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ブラッグの反射条件（\(2d\sin\theta = n\lambda\)）
  • 核心: 結晶格子によるX線の回折現象を記述する基本法則です。この式は、隣り合う格子面で反射されたX線の「経路差」が「波長の整数倍」になるときに強め合う（干渉）ことを表しています。
  • 理解のポイント:
    • 経路差 \(2d\sin\theta\): 図形的に、入射波と反射波の経路差が \(2d\sin\theta\) になることを導出できるようにしましょう。直角三角形の斜辺が \(d\) で、対辺が \(d\sin\theta\) となり、往復分で2倍になります。
    • 角度 \(\theta\) の定義: 光学（スネルの法則など）では法線とのなす角を入射角としますが、X線回折では格子面とのなす角を \(\theta\) とします。ここを混同しないことが最重要です。
• X線の波動性
  • 核心: X線が粒子（光子）としてだけでなく、波としての性質（干渉・回折）を持つことを示す現象です。
  • 理解のポイント:
    • 結晶内の原子間隔（\(d \sim 10^{-10}\,\text{m}\)）とX線の波長（\(\lambda \sim 10^{-10}\,\text{m}\)）が同程度であるため、回折現象が顕著に現れます。可視光では波長が長すぎてこの現象は起きません。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 粉末法（デバイ・シェラー法）: 多数の微結晶がランダムな向きを向いている試料にX線を当てると、特定の角度 \(2\theta\) の方向に円錐状に回折線が現れます。この場合も基本式は \(2d\sin\theta = n\lambda\) ですが、測定される角度が \(2\theta\)（回折角）であることを意識する必要があります。
  • ラウエ斑点: 単結晶に連続X線を当てると、特定の波長と角度の組み合わせで回折が起き、斑点状の模様が得られます。
  • 原子間距離の導出: 結晶構造（面心立方、体心立方など）と密度、アボガドロ定数から格子定数 \(a\) を求め、そこから面間隔 \(d\) を幾何学的に求める問題と組み合わされることがあります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 角度の定義: 問題文中の角度が「格子面となす角 \(\theta\)」なのか、「入射線と反射線のなす角 \(2\theta\)」なのか、「法線となす角 \(i\)」なのかを必ず図を描いて確認します。
  2. 次数の確認: 「\(n=1\)（一次反射）」なのか、「\(n=2\)（二次反射）」なのか、あるいは「強め合う反射のうち最小の角度」といった表現から \(n\) を特定する必要があります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 角度の取り違え:
  • 誤解: スネルの法則の癖で、法線とのなす角を \(\theta\) としてしまい、経路差を \(2d\cos\theta\) としてしまう。
  • 対策: ブラッグ反射の問題が出たら、反射的に「面とのなす角が \(\theta\)」と唱えながら図を描く習慣をつけましょう。
• 経路差の計算ミス:
  • 誤解: 経路差を \(d\sin\theta\)（片道分）だけにしてしまう。
  • 対策: 「行って帰ってくる」から2倍、と覚えましょう。
• 次数の見落とし:
  • 誤解: 常に \(n=1\) だと思い込んで計算してしまう。
  • 対策: 問題文に「\(n=2\)」や「2次の反射」と明記されていないか、あるいは「\(n\) を求めよ」という設問でないかを確認しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 問(1)での公式選択（ブラッグの条件）:
  • 選定理由: 「結晶」「X線」「強め合った」というキーワードが揃ったら、ブラッグの反射条件 \(2d\sin\theta = n\lambda\) 一択です。
  • 適用根拠: 結晶格子による波の干渉条件を記述する唯一の公式であり、与えられた物理量（\(d, \theta, n, \lambda\)）の関係を直接的に表しています。
• 問(2)での思考法（幾何学的関係）:
  • 選定理由: 物理法則というよりは、反射の法則に基づく幾何学的な問題です。
  • 適用根拠: 入射角と反射角が等しい（共に \(\theta\)）という反射の法則から、偏角（進行方向の変化）が \(2\theta\) になることは図形的に自明です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 三角関数の値:
  • \(\sin 30^\circ = 1/2\)、\(\sin 45^\circ = 1/\sqrt{2}\)、\(\sin 60^\circ = \sqrt{3}/2\) などの基本値は即座に出せるようにしておきましょう。
• 指数の処理:
  • \(10^{-10}\) というオーダーは原子物理特有です。計算途中で勝手に \(10^{-9}\) などに変えてしまわないよう、指数の足し引き（\(n\lambda\) の計算など）は慎重に行いましょう。
• 図の活用:
  • (2)のような角度の問題は、頭の中だけで考えると間違えやすいです。必ず簡単な図を描き、入射線、反射線、格子面、角度 \(\theta\) を書き込んで視覚的に確認しましょう。

578 コンプトン効果

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「コンプトン効果」です。X線（光子）と電子の衝突現象を、粒子同士の弾性衝突として扱い、運動量保存則とエネルギー保存則を用いて解析します。光の粒子性を決定づける重要な現象です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
光子を粒子として扱ったときのエネルギーと運動量の公式を答える基本問題です。
アインシュタインの光量子仮説とド・ブロイの関係式を思い出しましょう。

この設問における重要なポイント

• 光子のエネルギー: \(E = h\nu = \displaystyle\frac{hc}{\lambda}\)
• 光子の運動量: \(p = \displaystyle\frac{h}{\lambda}\)

具体的な解説と立式
波長 \(\lambda\) のX線光子が持つエネルギー \(E\) は、プランク定数 \(h\) と光速 \(c\) を用いて次のように表されます。
$$ E = \frac{hc}{\lambda} $$
また、運動量の大きさ \(p\) は次のように表されます。
$$ p = \frac{h}{\lambda} $$

計算は不要で、公式そのものが答えとなります。
エネルギー: \(\displaystyle\frac{hc}{\lambda}\), 運動量の大きさ: \(\displaystyle\frac{h}{\lambda}\)

光を「波」としてだけでなく「粒（ボール）」として見たとき、そのボール1個が持つ「威力（エネルギー）」と「勢い（運動量）」を式で表しました。波長が短いほど、エネルギーも運動量も大きくなります。

答えは エネルギー: \(\displaystyle\frac{hc}{\lambda}\), 運動量の大きさ: \(\displaystyle\frac{h}{\lambda}\) です。
エネルギーと運動量の次元を確認すると、\(E/p = c\) となり、相対論的なエネルギーと運動量の関係 \(E=pc\)（質量ゼロの粒子の場合）を満たしているため、物理的に妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
衝突前後の運動量保存則を立てます。
運動量はベクトル（向きを持つ量）なので、正負の符号に注意が必要です。
問題の設定では、入射X線は \(x\) 軸正の向き、散乱X線は \(x\) 軸負の向き、電子は \(x\) 軸正の向きに進みます。

この設問における重要なポイント

• 運動量保存則: \((\text{衝突前の運動量の和}) = (\text{衝突後の運動量の和})\)
• 符号の定義: \(x\) 軸正の向きを正とします。
  • 入射X線: \(+\displaystyle\frac{h}{\lambda}\)
  • 散乱X線: \(-\displaystyle\frac{h}{\lambda’}\) （負の向きに進むため）
  • 衝突後の電子: \(+mv\)

具体的な解説と立式
\(x\) 軸方向の運動量保存則を立てます。

• 衝突前:
  • X線光子: \(\displaystyle\frac{h}{\lambda}\)
  • 電子: \(0\) （静止しているため）
• 衝突後:
  • X線光子: \(-\displaystyle\frac{h}{\lambda’}\) （負の向きに進むためマイナスがつきます）
  • 電子: \(mv\)

よって、保存則の式は以下のようになります。
$$ \frac{h}{\lambda} = -\frac{h}{\lambda’} + mv $$

立式のみで完了です。
$$ \frac{h}{\lambda} = -\frac{h}{\lambda’} + mv $$

ビリヤードの球の衝突と同じように考えます。右向きに飛んできた光の玉が、止まっていた電子の玉にぶつかって、左向きに跳ね返りました。その反動で電子の玉は右向きに動き出します。「衝突前の勢いの合計」と「衝突後の勢いの合計」は変わらないというルール（運動量保存則）を式にしました。左向きの勢いはマイナスで表すのがポイントです。

答えは \(\displaystyle\frac{h}{\lambda} = -\frac{h}{\lambda’} + mv\) です。
各項の次元は運動量 \([\text{kg}\cdot\text{m/s}]\) で統一されています。また、入射光子の運動量 \(\displaystyle\frac{h}{\lambda}\) と散乱光子の運動量 \(-\displaystyle\frac{h}{\lambda’}\) の差が、電子の運動量 \(mv\) になっていることから、作用・反作用の法則とも整合しています。

問(3)

思考の道筋とポイント
衝突前後のエネルギー保存則を立てます。
エネルギーはスカラー量（大きさだけの量）なので、向きを気にする必要はありません。
単純に「前の合計 \(=\) 後の合計」とします。

この設問における重要なポイント

• エネルギー保存則: \((\text{衝突前のエネルギーの和}) = (\text{衝突後のエネルギーの和})\)
• 各粒子のエネルギー:
  • X線光子: \(\displaystyle\frac{hc}{\lambda}\)
  • 電子: \(\displaystyle\frac{1}{2}mv^2\)

具体的な解説と立式
エネルギー保存則を立てます。

• 衝突前:
  • X線光子: \(\displaystyle\frac{hc}{\lambda}\)
  • 電子: \(0\)
• 衝突後:
  • X線光子: \(\displaystyle\frac{hc}{\lambda’}\)
  • 電子: \(\displaystyle\frac{1}{2}mv^2\)

よって、保存則の式は以下のようになります。
$$ \frac{hc}{\lambda} = \frac{hc}{\lambda’} + \frac{1}{2}mv^2 $$

立式のみで完了です。
$$ \frac{hc}{\lambda} = \frac{hc}{\lambda’} + \frac{1}{2}mv^2 $$

エネルギーの貸し借りの式です。最初に光の玉が持っていたエネルギーの一部が、ぶつかった電子の玉に「運動エネルギー」として渡されました。残りのエネルギーを持って、光の玉は跳ね返っていきます。「最初のエネルギー」\(=\)「跳ね返った光のエネルギー」\(+\)「電子がもらったエネルギー」という式です。

答えは \(\displaystyle\frac{hc}{\lambda} = \frac{hc}{\lambda’} + \frac{1}{2}mv^2\) です。
各項の次元はエネルギー \([\text{J}]\) で統一されています。電子が運動エネルギーを得る分、散乱光子のエネルギーは入射光子より小さくなる（\(\lambda’ > \lambda\)）ことが式から読み取れ、物理的に妥当です。

問(4)

思考の道筋とポイント
(2)と(3)の式から \(v\) を消去し、\(\lambda’ – \lambda\) を求めます。
式変形のテクニックとして、(2)式を \(mv = \dots\) の形にして2乗し、(3)式を \(mv^2 = \dots\) の形にして代入する方法が定石です。
最後に、問題文で与えられた近似式 \(\displaystyle\frac{1}{\lambda^2} + \frac{1}{\lambda’^2} \approx \frac{2}{\lambda\lambda’}\) を利用します。

この設問における重要なポイント

• 連立方程式の解法: \(v\) を消去するために、\(m^2v^2\) の形を作って代入する。
• 近似式の適用: \(\lambda \approx \lambda’\) であることを利用して式を簡略化する。

具体的な解説と立式
(2)式より、
$$
\begin{aligned}
mv &= \frac{h}{\lambda} + \frac{h}{\lambda’} \\[2.0ex] mv &= h\left(\frac{1}{\lambda} + \frac{1}{\lambda’}\right)
\end{aligned}
$$
両辺を2乗します。
$$
\begin{aligned}
m^2v^2 &= h^2\left(\frac{1}{\lambda} + \frac{1}{\lambda’}\right)^2 \\[2.0ex] m^2v^2 &= h^2\left(\frac{1}{\lambda^2} + \frac{2}{\lambda\lambda’} + \frac{1}{\lambda’^2}\right) \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
(3)式より、
$$ \frac{1}{2}mv^2 = hc\left(\frac{1}{\lambda} – \frac{1}{\lambda’}\right) $$
両辺に \(2m\) を掛けて \(m^2v^2\) の形を作ります。
$$ m^2v^2 = 2mhc\left(\frac{1}{\lambda} – \frac{1}{\lambda’}\right) \quad \cdots ② $$
①と②の右辺を等しいと置きます。
$$ h^2\left(\frac{1}{\lambda^2} + \frac{2}{\lambda\lambda’} + \frac{1}{\lambda’^2}\right) = 2mhc\left(\frac{1}{\lambda} – \frac{1}{\lambda’}\right) $$

両辺を \(h\) で割り、左辺に近似式 \(\displaystyle\frac{1}{\lambda^2} + \frac{1}{\lambda’^2} \approx \frac{2}{\lambda\lambda’}\) を適用します。
左辺の中括弧内は、
$$
\begin{aligned}
\left(\frac{1}{\lambda^2} + \frac{1}{\lambda’^2}\right) + \frac{2}{\lambda\lambda’} &\approx \frac{2}{\lambda\lambda’} + \frac{2}{\lambda\lambda’} \\[2.0ex] &= \frac{4}{\lambda\lambda’}
\end{aligned}
$$
となるので、式は以下のようになります。
$$ h \cdot \frac{4}{\lambda\lambda’} = 2mc\left(\frac{1}{\lambda} – \frac{1}{\lambda’}\right) $$
右辺を通分します。
$$ \frac{4h}{\lambda\lambda’} = 2mc \cdot \frac{\lambda’ – \lambda}{\lambda\lambda’} $$
両辺に \(\lambda\lambda’\) を掛けて分母を払います。
$$ 4h = 2mc(\lambda’ – \lambda) $$
\(\lambda’ – \lambda\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\lambda’ – \lambda &= \frac{4h}{2mc} \\[2.0ex] &= \frac{2h}{mc}
\end{aligned}
$$

2つの式から、邪魔な文字 \(v\) を消すパズルです。片方の式を2乗してもう片方の式と合体させるのがコツです。途中で「波長の変化はごくわずか」という条件を使って、複雑な式を簡単な形に直しました（近似）。

答えは \(\displaystyle\frac{2h}{mc}\) です。
これはコンプトン波長 \(\displaystyle\frac{h}{mc}\) の2倍であり、散乱角 \(180^\circ\) の場合のコンプトンシフトの理論値 \(\Delta\lambda = \displaystyle\frac{h}{mc}(1 – \cos 180^\circ) = \frac{2h}{mc}\) と一致します。また、次元を確認すると、\(\displaystyle\frac{[\text{J}\cdot\text{s}]}{[\text{kg}]\cdot[\text{m/s}]} = \frac{[\text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}^2 \cdot \text{s}]}{[\text{kg}\cdot\text{m/s}]} = [\text{m}]\) となり、波長の次元として正しいです。

問(5)

思考の道筋とポイント
散乱X線の波長 \(\lambda’\) が入射X線の波長 \(\lambda\) より長くなる理由を、エネルギーの観点から説明します。
(3)のエネルギー保存則の式を見れば明らかです。

この設問における重要なポイント

• エネルギー保存則: \(E_{\text{入射}} = E_{\text{散乱}} + K_{\text{電子}}\)
• エネルギーと波長の関係: \(E = \displaystyle\frac{hc}{\lambda}\) （エネルギーが減ると波長は長くなる）

具体的な解説と立式
衝突によって、入射X線のエネルギーの一部が電子の運動エネルギーとして与えられます。
そのため、散乱X線のエネルギー \(E’\) は入射X線のエネルギー \(E\) よりも小さくなります（\(E’ < E\)）。
光子のエネルギーと波長は \(E = \displaystyle\frac{hc}{\lambda}\) の関係（反比例）にあるため、エネルギーが小さくなると波長は長くなります（\(\lambda’ > \lambda\)）。

記述問題のため計算なし。

光の玉が電子にぶつかって電子を弾き飛ばしたとき、自分の持っていたエネルギーの一部を電子にあげてしまいます。エネルギーが減ってしまった光の玉は、波長が伸びてしまいます（光の世界では、エネルギーが減る＝波長が伸びる、です）。

エネルギー保存則に基づいた妥当な説明です。電子がエネルギーを得る（\(K > 0\)）以上、光子のエネルギーは必ず減少し、波長は必ず長くなることが論理的に保証されます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 光の粒子性（エネルギーと運動量）
  • 核心: 光を「波」としてではなく、エネルギー \(E=h\nu\) と運動量 \(p=h/\lambda\) を持つ「粒子（光子）」として扱うことが全ての出発点です。
  • 理解のポイント:
    • エネルギー: \(E = h\nu = hc/\lambda\)
    • 運動量: \(p = h/\lambda\)
    • これらはアインシュタインの光量子仮説とド・ブロイの関係式に基づく基本公式であり、コンプトン効果の解析には不可欠です。
• 弾性衝突としての保存則（運動量・エネルギー）
  • 核心: コンプトン効果は、光子と電子の「弾性衝突」としてモデル化されます。したがって、力学の基本原理である「運動量保存則」と「エネルギー保存則」が成立します。
  • 理解のポイント:
    • 運動量保存則: ベクトル量として扱います。今回は1次元衝突なので、正負の符号で向きを区別します（入射方向を正、反射方向を負）。
    • エネルギー保存則: スカラー量として扱います。衝突前後の総エネルギー（光子のエネルギー＋電子の運動エネルギー）が等しいという式を立てます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 2次元散乱（斜め衝突）: 今回は1次元（正面衝突）ですが、光子が斜めに散乱される場合も頻出です。その場合は、\(x\) 軸方向と \(y\) 軸方向それぞれについて運動量保存則を立て、ベクトル図を描いて考えるのが定石です。
    • \(x\) 成分: \(\frac{h}{\lambda} = \frac{h}{\lambda’}\cos\theta + mv\cos\phi\)
    • \(y\) 成分: \(0 = \frac{h}{\lambda’}\sin\theta – mv\sin\phi\)
  • コンプトン波長の導出: 一般的な散乱角 \(\theta\) の場合、波長の変化は \(\Delta\lambda = \frac{h}{mc}(1-\cos\theta)\) となります。今回の問題は \(\theta=180^\circ\) の特例（\(\cos180^\circ=-1\)）であり、\(\Delta\lambda = \frac{2h}{mc}\) となることを確認しましょう。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 座標軸の設定: 運動量はベクトルなので、どの方向を正とするかを最初に明確にします。
  2. 近似の利用: 「\(\lambda’ – \lambda\) は小さい」といった記述があれば、計算の最終段階で近似式（\(\lambda \approx \lambda’\) など）を使うことを想定しておきます。
  3. 相対論的効果: 通常の入試問題では非相対論的（\(v \ll c\)）に扱いますが、電子の速さが光速に近い場合は、エネルギーを \(mc^2 + K\)、運動量を \(mv/\sqrt{1-(v/c)^2}\) として扱う必要があります（難関大レベル）。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 運動量の符号ミス:
  • 誤解: 散乱光子の運動量を、向きを考えずに \(\frac{h}{\lambda’}\) と正の値で書いてしまう。
  • 対策: 図を描き、矢印の向きを確認しましょう。「\(x\) 軸負の向き」なら必ずマイナスをつけます。
• エネルギーと運動量の混同:
  • 誤解: エネルギー保存則の式に運動量 \(mv\) を足したり、運動量保存則の式にエネルギー \(\frac{1}{2}mv^2\) を入れたりする（次元の不一致）。
  • 対策: 式を立てた直後に、各項の単位（次元）が揃っているか確認する癖をつけましょう。
• 計算の泥沼化:
  • 誤解: 連立方程式を解く際、\(v\) をそのまま代入しようとして計算が複雑になる。
  • 対策: 「\(v\) を消去する」ときは、ベクトル図の余弦定理や、\(m^2v^2\) の形を作って代入するテクニックが有効です。特にコンプトン効果では、運動量保存則の式を2乗してエネルギー保存則と組み合わせる手順が定石です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 問(1)での公式選択（定義）:
  • 選定理由: 光子を粒子として扱うための基本定義を問われています。
  • 適用根拠: 光量子仮説 \(E=h\nu\) と波動公式 \(c=\nu\lambda\) から \(E=hc/\lambda\)、および \(E=pc\) から \(p=h/\lambda\) が導かれます。
• 問(2)(3)での公式選択（保存則）:
  • 選定理由: 衝突現象における未知数（散乱後の状態）を決定するためには、保存則が最も強力なツールです。
  • 適用根拠: 外力が働かない系（光子＋電子）では運動量が保存され、弾性衝突とみなせるためエネルギーも保存されます。
• 問(4)での計算手法（近似）:
  • 選定理由: 厳密解を求めるのではなく、微小変化 \(\Delta\lambda\) を求める問題であるため。
  • 適用根拠: X線の波長変化は元の波長に比べて非常に小さい（\(\Delta\lambda \ll \lambda\)）ため、\(\lambda \lambda’ \approx \lambda^2\) や \(\frac{1}{\lambda} + \frac{1}{\lambda’} \approx \frac{2}{\lambda}\) といった近似が物理的に正当化されます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 式の変形:
  • 分数の中に分数が含まれるような複雑な式変形は避け、なるべく早めに分母を払って整式（\(A=B\) の形）に直してから計算を進めましょう。
• 近似のタイミング:
  • 最初から近似してしまうと誤差が大きくなることがあります。式変形を進め、最後に \(\lambda’ – \lambda\) の形が見えてきた段階で近似式を適用するのがコツです。
• 次元解析:
  • 答えの \(\frac{2h}{mc}\) の単位を確認します。
    • \(h\): \([\text{J}\cdot\text{s}] = [\text{N}\cdot\text{m}\cdot\text{s}] = [\text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}]\)
    • \(mc\): \([\text{kg}\cdot\text{m/s}]\)
    • 全体: \(\frac{[\text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}]}{[\text{kg}\cdot\text{m/s}]} = [\text{m}]\)
  • 波長の単位（メートル）になっているので、正しい可能性が高いです。

579 粒子の波動性

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「物質波（ド・ブロイ波）」です。電子のような粒子も、波としての性質（波動性）を持つという量子力学の基本概念を扱います。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
電子が電場から仕事をされて加速する現象です。
「電場がした仕事 \(=\) 電子の運動エネルギーの増加」という関係式を立てます。
初速度が \(0\) なので、計算はシンプルです。

この設問における重要なポイント

• 静電気力の仕事: \(W = eV\)
• 運動エネルギー: \(K = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2\)

具体的な解説と立式
電子（電荷 \(-e\)）が電位差 \(V\) の間を移動するとき、電場から \(eV\) の仕事をされます。
この仕事がすべて運動エネルギーに変わるため、以下の式が成り立ちます。
$$ eV = \frac{1}{2}mv^2 $$

この式を \(v\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
v^2 &= \frac{2eV}{m} \\[2.0ex] v &= \sqrt{\frac{2eV}{m}} \quad (v > 0)
\end{aligned}
$$

電子は電気の力で背中を押されて加速します。電圧 \(V\) というのは「電気的な落差」のようなもので、この落差を落ちることで電子はスピードアップします。そのときに得るエネルギー \(eV\) が、運動エネルギー \(\displaystyle\frac{1}{2}mv^2\) になります。

答えは \(\sqrt{\displaystyle\frac{2eV}{m}}\) です。
単位を確認すると、\(\sqrt{\displaystyle\frac{[\text{C}]\cdot[\text{J/C}]}{[\text{kg}]}} = \sqrt{\displaystyle\frac{[\text{J}]}{[\text{kg}]}} = \sqrt{\displaystyle\frac{[\text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}^2]}{[\text{kg}]}} = [\text{m/s}]\) となり、速さの単位として正しいです。

問(2)

思考の道筋とポイント
電子の運動量 \(p\) を求めます。
運動量の定義は \(p = mv\) です。(1)で求めた \(v\) を代入するだけですが、ルートの中に入れて整理するのが一般的です。

この設問における重要なポイント

• 運動量の定義: \(p = mv\)

具体的な解説と立式
運動量の定義式より、
$$ p = mv $$
これに(1)の結果 \(v = \sqrt{\displaystyle\frac{2eV}{m}}\) を代入します。

$$
\begin{aligned}
p &= m \times \sqrt{\frac{2eV}{m}} \\[2.0ex] &= \sqrt{m^2 \times \frac{2eV}{m}} \\[2.0ex] &= \sqrt{2meV}
\end{aligned}
$$

運動量とは「動きの勢い」のことです。質量 \(m\) と速さ \(v\) を掛け合わせることで求められます。先ほど求めた速さの式を使って計算しました。

答えは \(\sqrt{2meV}\) です。
エネルギー \(K = \displaystyle\frac{p^2}{2m}\) の関係式からも、\(p = \sqrt{2mK} = \sqrt{2meV}\) と導くことができ、整合しています。

問(3)

思考の道筋とポイント
電子波（物質波）の波長 \(\lambda\) を求めます。
ド・ブロイの関係式 \(\lambda = \displaystyle\frac{h}{p}\) を使います。
(2)で求めた運動量 \(p\) を代入します。

この設問における重要なポイント

• ド・ブロイの関係式: \(\lambda = \displaystyle\frac{h}{p}\)

具体的な解説と立式
ド・ブロイの関係式より、電子波の波長 \(\lambda\) は次のように表されます。
$$ \lambda = \frac{h}{p} $$
これに(2)の結果 \(p = \sqrt{2meV}\) を代入します。

$$ \lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}} $$

電子のような小さな粒は、波としての性質も持っています。その波長は、プランク定数 \(h\) を運動量 \(p\) で割ることで求められます。運動量が大きい（勢いよく飛んでいる）ほど、波長は短くなります。

答えは \(\displaystyle\frac{h}{\sqrt{2meV}}\) です。
電圧 \(V\) を大きくすると波長 \(\lambda\) が短くなることがわかります。これは電子顕微鏡の分解能を高める原理（波長が短いほど細かいものが見える）と一致しています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 物質波（ド・ブロイ波）の概念
  • 核心: 電子のような粒子も、ある条件下では波として振る舞うという量子力学の根幹をなす概念です。
  • 理解のポイント:
    • 波長 \(\lambda\) と運動量 \(p\) を結びつける式 \(\lambda = h/p\) が全てです。
    • 運動量 \(p\) が大きい（質量が大きい、または速い）ほど波長は短くなり、波動性は目立たなくなります（日常的な物体で波動性が見えない理由）。
• エネルギーと運動量の変換
  • 核心: 電場による加速で得たエネルギーを、運動量という別の物理量に変換するプロセスです。
  • 理解のポイント:
    • \(eV \to \frac{1}{2}mv^2 \to p=mv \to \lambda=h/p\) という一連の流れをスムーズに行えるようにしましょう。
    • 特に \(K = \frac{p^2}{2m}\) という関係式は、エネルギー \(K\) から直接運動量 \(p\) を求めるショートカットとして非常に有用です（\(p = \sqrt{2mK}\)）。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 電子線の回折（デバイ・シェラー環）: 今回求めた波長 \(\lambda\) の電子線を結晶に当て、ブラッグの条件 \(2d\sin\theta = n\lambda\) と組み合わせて回折現象を解析する問題が頻出です。
  • 電子顕微鏡の分解能: 光学顕微鏡の限界（波長程度までしか見えない）を超えるために、電圧 \(V\) を上げて電子波の波長 \(\lambda\) を短くするという原理説明に使われます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 粒子の種類: 電子だけでなく、陽子や中性子、あるいは原子核の場合もあります。質量 \(m\) や電荷 \(q\) が変わるだけで、基本式は同じです。
  2. 相対論的効果: 加速電圧 \(V\) が非常に高い場合（数100kV以上）、電子の速さが光速に近づくため、\(K = \frac{1}{2}mv^2\) が使えなくなります。その場合は相対論的エネルギー保存則 \(eV + mc^2 = \sqrt{(pc)^2 + (mc^2)^2}\) を使う必要があります（難関大レベル）。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 光子と電子の混同:
  • 誤解: 電子のエネルギーを \(E = h\nu = hc/\lambda\) と書いてしまう。
  • 対策: \(E = h\nu\) は「光子（質量ゼロ）」の式です。電子（質量あり）のエネルギーは \(K = p^2/2m\) です。粒子が何であるかを常に意識しましょう。
• 運動量と運動エネルギーの取り違え:
  • 誤解: ド・ブロイ波長の式にエネルギーを入れて \(\lambda = h/K\) と書いてしまう。
  • 対策: \(\lambda = h/p\) の \(p\) は運動量 \([\text{kg}\cdot\text{m/s}]\) です。次元解析（単位チェック）をすればミスに気づけます。
• ルートの計算:
  • 誤解: \(p = m \sqrt{\frac{2eV}{m}}\) を整理できず、そのままにしてしまう。
  • 対策: \(m = \sqrt{m^2}\) としてルートの中に入れ、約分して \(\sqrt{2meV}\) とシンプルにする計算テクニックを身につけましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 問(1)での公式選択（エネルギー保存則）:
  • 選定理由: 電位差による加速という現象を扱っているため。
  • 適用根拠: 静電気力（保存力）がする仕事 \(eV\) の分だけ電子の運動エネルギーが増えるという、仕事と運動エネルギーの関係に基づきます（静電気力による位置エネルギーまで含めれば、力学的エネルギーは保存されます）。
• 問(2)での公式選択（定義）:
  • 選定理由: 運動量を求めよという直接的な問いであるため。
  • 適用根拠: 運動量の定義 \(p=mv\) は、古典力学の範囲内（\(v \ll c\)）であれば常に成立します。
• 問(3)での公式選択（ド・ブロイの関係式）:
  • 選定理由: 「電子波の波長」という言葉が出たら、ド・ブロイ波長以外にありません。
  • 適用根拠: 運動量 \(p\) を持つ粒子は波長 \(\lambda = h/p\) の波として振る舞うという量子力学の基本原理を適用します。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• \(p = \sqrt{2mK}\) の活用:
  • いちいち \(v\) を求めてから \(mv\) を計算するのではなく、\(K = \frac{p^2}{2m}\) の関係式を覚えておくと、\(K=eV\) から即座に \(p=\sqrt{2meV}\) が導け、計算ミスも減ります。
• 次元確認:
  • 答えの \(\frac{h}{\sqrt{2meV}}\) の単位を確認しましょう。
    • \(h\): \([\text{J}\cdot\text{s}]\)
    • \(\sqrt{2meV}\): 運動量 \([\text{kg}\cdot\text{m/s}] = [\text{N}\cdot\text{s}] = [\text{J}\cdot\text{s}/\text{m}]\)
    • 全体: \(\frac{[\text{J}\cdot\text{s}]}{[\text{J}\cdot\text{s}/\text{m}]} = [\text{m}]\)
  • 波長の単位（メートル）になっているので、正しい可能性が高いです。

580 光がおよぼす力

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「光圧（光の圧力）」です。光を粒子（光子）として捉え、その衝突によって物体に力が及ぼされる現象を、力学の「運動量と力積の関係」を用いて解析します。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
光子1個が鏡に衝突して反射する際の運動量変化を考えます。
運動量はベクトルなので、向き（符号）に注意が必要です。
「運動量の変化 \(=\) 力積」の関係を使って、光子が受けた力積を求め、作用・反作用の法則から鏡が受ける力積を求めます。

この設問における重要なポイント

• 光子の運動量: \(p = \displaystyle\frac{h}{\lambda}\)
• 反射による運動量の変化: 入射方向を正とすると、反射後の運動量は負になります。
• 力積の定義: \((\text{後の運動量}) – (\text{前の運動量}) = (\text{受けた力積})\)

具体的な解説と立式
入射する光子の進行方向（鏡に向かう向き）を正とします。

• 衝突前の運動量: \(p_{\text{前}} = \displaystyle\frac{h}{\lambda}\)
• 衝突後の運動量: \(p_{\text{後}} = -\displaystyle\frac{h}{\lambda}\) （逆向きに反射するため）

光子が鏡から受けた力積 \(I\) は、運動量の変化に等しいので、
$$
\begin{aligned}
I &= p_{\text{後}} – p_{\text{前}} \\[2.0ex] &= \left(-\frac{h}{\lambda}\right) – \frac{h}{\lambda} \\[2.0ex] &= -\frac{2h}{\lambda}
\end{aligned}
$$
この力積 \(I\) は、光子が鏡から受けたものです。
作用・反作用の法則より、鏡が光子から受ける力積の大きさ \(|I’|\) は、\(|I|\) と等しくなります。
$$
\begin{aligned}
|I’| &= |I| \\[2.0ex] &= \left|-\frac{2h}{\lambda}\right|
\end{aligned}
$$

$$ |I’| = \frac{2h}{\lambda} $$

ボールを壁に投げつけて跳ね返る様子を想像してください。ボールは壁から力を受けて向きを変えます。光の粒（光子）も同じで、鏡にぶつかって跳ね返るときに鏡から「ドン」と押されます。その押された勢い（力積）の大きさは、行きと帰りの運動量の合計分になります。

答えは \(\displaystyle\frac{2h}{\lambda}\) です。
完全弾性衝突（はねかえり係数 \(1\)）の場合の力積 \(2mv\) に相当する形をしており、妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
1秒間に鏡の単位面積に入射する光子の数 \(n\) を求めます。
与えられているのは、単位面積・単位時間あたりの総エネルギー \(E\) です。
「総エネルギー \(=\) (光子1個のエネルギー) \(\times\) (光子の数)」という関係を使います。

この設問における重要なポイント

• 光子1個のエネルギー: \(\varepsilon = h\nu = \displaystyle\frac{hc}{\lambda}\)
• エネルギーの総和: \(E = n \times \varepsilon\)

具体的な解説と立式
光子1個のエネルギー \(\varepsilon\) は、
$$ \varepsilon = \frac{hc}{\lambda} $$
です。
1秒間に単位面積に入射する光子の数を \(n\) とすると、総エネルギー \(E\) は次のように表されます。
$$
\begin{aligned}
E &= n \times \varepsilon \\[2.0ex] &= n \times \frac{hc}{\lambda}
\end{aligned}
$$
この式を \(n\) について解きます。

$$
\begin{aligned}
n &= \frac{E}{\varepsilon} \\[2.0ex] &= \frac{E}{\frac{hc}{\lambda}} \\[2.0ex] &= \frac{E\lambda}{hc}
\end{aligned}
$$

例えば、1秒間に \(1000\) ジュールのエネルギーが届いていて、光の粒1個が \(2\) ジュールのエネルギーを持っているとしたら、粒は \(500\) 個届いているはずです。これと同じ計算を文字式で行いました。「全体のエネルギー」を「1個分のエネルギー」で割れば「個数」が出ます。

答えは \(\displaystyle\frac{E\lambda}{hc}\) です。
単位を確認すると、\(\displaystyle\frac{[\text{J}]\cdot[\text{m}]}{[\text{J}\cdot\text{s}]\cdot[\text{m/s}]} = \frac{[\text{J}\cdot\text{m}]}{[\text{J}\cdot\text{m}]} = [1]\)（無次元数）となり、個数を表す式として次元的に正しいです。

問(3)

思考の道筋とポイント
鏡が受ける「力」の大きさを求めます。
力学において、力 \(F\) は「単位時間あたりの運動量の変化」または「単位時間あたりに受ける力積」と定義されます。
(1)で「光子1個あたりの力積」、(2)で「1秒間あたりの光子の数」を求めたので、これらを掛け合わせれば「1秒間あたりの総力積（＝力）」が求まります。

この設問における重要なポイント

• 力の定義: \(F = \displaystyle\frac{\Delta P}{\Delta t}\) （単位時間あたりの力積）
• 総力積: \((\text{総力積}) = (\text{1個あたりの力積}) \times (\text{個数})\)

具体的な解説と立式
鏡が単位面積あたりに受ける力の大きさ \(F\) は、その面積に1秒間に衝突する光子群から受ける総力積に等しくなります。
$$ F = (\text{光子1個が及ぼす力積}) \times (\text{1秒間に入射する光子の数}) $$
これに(1)と(2)の結果を代入します。
$$ F = \frac{2h}{\lambda} \times n $$

$$
\begin{aligned}
F &= \frac{2h}{\lambda} \times \frac{E\lambda}{hc} \\[2.0ex] &= \frac{2h \cdot E\lambda}{\lambda \cdot hc} \\[2.0ex] &= \frac{2E}{c}
\end{aligned}
$$

1個のボールがぶつかるときの衝撃（力積）が分かっていて、1秒間に何個のボールがぶつかるかも分かっています。それらを掛け合わせれば、1秒間全体でどれくらいの衝撃を受け続けるか、つまり「押し続ける力」が計算できます。

答えは \(\displaystyle\frac{2E}{c}\) です。
この式は、光の圧力（光圧）を表す有名な式 \(P = \displaystyle\frac{2I}{c}\)（\(I\) は強度）と一致しています。波長 \(\lambda\) が消え、エネルギー \(E\) と光速 \(c\) だけで決まるシンプルな形になることが物理的に興味深い点です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 光の粒子性（運動量とエネルギー）
  • 核心: 光を「波」としてではなく、運動量 \(p=h/\lambda\) とエネルギー \(E=hc/\lambda\) を持つ「粒子（光子）」として扱うことで、力学的な衝突問題に帰着させることができます。
  • 理解のポイント:
    • 運動量: \(p = h/\lambda\) はド・ブロイの関係式そのものです。
    • エネルギー: \(E = h\nu = hc/\lambda\) は光量子仮説です。
    • この2つの式を自在に使いこなすことが、光の粒子性を扱う問題の基本です。
• 力積と圧力の微視的解釈
  • 核心: マクロな「圧力（力）」は、ミクロな「粒子衝突による力積の総和」として理解されます。これは気体分子運動論と全く同じロジックです。
  • 理解のポイント:
    • 1個の力積: \(\Delta p = 2p\)（完全弾性衝突の場合）。
    • 総力積（力）: \(F = (\text{1個の力積}) \times (\text{単位時間の衝突数})\)。
    • この「個数倍する」という操作が、ミクロとマクロをつなぐ架け橋です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 吸収される場合（黒体）: 鏡ではなく黒い物体に光が当たると、反射せずに吸収されます。この場合、反射後の運動量は \(0\) なので、運動量変化は \(p\) となり、受ける力は半分（\(E/c\)）になります。
  • 斜め入射: 光が角度 \(\theta\) で入射する場合、壁に垂直な成分だけが力積に寄与します。運動量変化は \(2p\cos\theta\) となり、受ける圧力は \(\cos^2\theta\) に比例する形になります（個数も \(\cos\theta\) 倍になるため）。
  • 気体分子運動論: 「壁に衝突する分子が及ぼす圧力」を求める問題と、思考プロセスは完全に同一です。\(mv\) が \(h/\lambda\) に置き換わっただけと考えれば、新しい公式を覚える必要はありません。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 反射か吸収か: 問題文の「鏡」「反射」という言葉を見逃さないようにしましょう。吸収なら係数が \(2\) ではなく \(1\) になります。
  2. 単位時間・単位面積: \(E\) が「1秒間・1m\(^2\)あたり」の値であることを確認します。もし「全体で \(W\) ワット」のように与えられたら、面積 \(S\) で割るなどの調整が必要です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 運動量の符号ミス:
  • 誤解: 運動量の変化を \(p – p = 0\) としてしまう。
  • 対策: 運動量はベクトルです。反射して向きが変われば、符号も逆転します。図を描いて矢印の向きを確認し、\(p – (-p) = 2p\) と計算しましょう。
• エネルギーと運動量の混同:
  • 誤解: 力積を求めるのにエネルギー保存則を使おうとしたり、エネルギーを求めるのに運動量を使おうとする。
  • 対策: 「力・時間・衝撃」に関わるなら運動量、「仕事・熱」に関わるならエネルギー、と使い分けを明確にしましょう。
• 個数計算のミス:
  • 誤解: 総エネルギー \(E\) をそのまま力積の計算に使ってしまう。
  • 対策: 力積は「1個あたり」で定義される量です。必ず「総エネルギー \(\div\) 1個のエネルギー」で個数を出し、それを掛けるという手順を踏みましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 問(1)での公式選択（運動量と力積）:
  • 選定理由: 「力積」を求めよという問いに対して、力が未知であるため \(F\Delta t\) は使えません。したがって、運動量の変化 \(\Delta p\) を使うしかありません。
  • 適用根拠: 運動方程式の積分形 \(\int F dt = \Delta p\) より、力積は運動量変化に等しいという原理は、光子に対しても成立します。
• 問(2)での公式選択（エネルギーの定義）:
  • 選定理由: 「数」を求めるために、エネルギーの総量と単価（1個分）の関係を使います。
  • 適用根拠: エネルギーはスカラー量であり、単純な足し算（積算）が成り立ちます。\(E_{\text{total}} = N \times E_{\text{single}}\) という関係は自明です。
• 問(3)での公式選択（力の定義）:
  • 選定理由: 「力」を求めたい。力学において力は「単位時間あたりの運動量変化」と定義されます。
  • 適用根拠: (1)で1個あたりの運動量変化、(2)で1秒あたりの個数が求まっているため、これらを組み合わせることで、定義通りに力を算出できます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式の整理:
  • (3)の計算では、\(\frac{2h}{\lambda} \times \frac{E\lambda}{hc}\) のように分数が並びます。慌てて計算せず、分子と分母を整理して \(\lambda\) や \(h\) が約分できることを見抜きましょう。
• 次元解析（単位チェック）:
  • 答えの \(\frac{2E}{c}\) の単位を確認します。
    • \(E\): \([\text{J}/\text{s}\cdot\text{m}^2] = [\text{N}\cdot\text{m}/\text{s}\cdot\text{m}^2] = [\text{N}/\text{m}\cdot\text{s}]\) （※問題文の \(E\) は単位面積・単位時間あたり）
    • \(c\): \([\text{m/s}]\)
    • 全体: \(\frac{[\text{N}/\text{m}\cdot\text{s}]}{[\text{m/s}]} = [\text{N}/\text{m}^2]\) （圧力の単位）
  • 問題文の「単位面積あたりに受ける力」は圧力のことなので、単位が一致しており正しいと判断できます。

ABOUT THE AUTHOR

共田 誠（まこと先生）

高校物理講師・プロ家庭教師 / 指導歴14年

上智大学理工学部物理学科卒。私立高校の非常勤講師として進学クラスから基礎クラスまで幅広く担当。大手家庭教師センター3社でプロ家庭教師を経験し、現在はオンライン専門で全国の高校生を個別指導中。

「暗記物理の撲滅」を掲げ、生徒の思考のクセを診断・矯正するドクター型アプローチで指導。表面的なテクニックではなく、初見の問題に強い思考力を育てる。

800+解説記事

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