「セミナー物理基礎＋物理2025」徹底解説！【第 Ⅴ 章 17】基本例題～基本問題437

基本例題

基本例題56 クーロンの法則

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「静電気力を含む物体のつりあい」です。力学の「力のつりあい」の知識と、電磁気学の「クーロンの法則」を融合させた、入試基礎レベルの重要問題です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
小球Aは静止しているので、働く力はつりあっています。まずは力を漏れなく見つけ出し、図示することが出発点です。
小球Aには「重力（下向き）」「糸の張力（糸の方向）」「静電気力（Bから反発する向き）」の3つの力が働いています。
模範解答のように、これら3つの力を矢印でつなげると閉じた三角形（力のベクトル図）ができることを利用するのが最も早道です。
この設問における重要なポイント

• 小球Aの質量は \(m = 2.0\,\text{g}\) なので、kg単位に直すと \(2.0 \times 10^{-3}\,\text{kg}\) です。
• 糸が鉛直方向から \(45^\circ\) 傾いているため、力のベクトル図は直角二等辺三角形になります。
• AとBはともに正電荷を持つ（Bは正電荷、Aは反発しているので正電荷）ため、静電気力は斥力（右向き）となります。

具体的な解説と立式
小球Aに働く力は以下の3つです。

1. 重力 \(mg\)：鉛直下向き
2. 静電気力 \(F\)：水平右向き（Bからの斥力）
3. 糸の張力 \(S\)：糸に沿って斜め左上向き

これら3つの力がつりあっているため、力のベクトルを順につなげると、一周して元の位置に戻る閉じた三角形が描けます。
重力は鉛直方向、静電気力は水平方向なので、この2つの力は直角に交わります。
糸の角度が \(45^\circ\) なので、このベクトル図は直角二等辺三角形になります。

直角二等辺三角形の辺の比（あるいは図形の性質）より、水平方向の辺（静電気力 \(F\)）の長さと、鉛直方向の辺（重力 \(mg\)）の長さは等しくなります。
したがって、力の大きさの関係式は以下のようになります。
$$ F = mg $$

数値を代入して計算します。質量 \(m\) は \(\text{kg}\) に換算する必要があることに注意してください。
$$
\begin{aligned}
F &= (2.0 \times 10^{-3}) \times 9.8 \\[2.0ex] &= 19.6 \times 10^{-3} \\[2.0ex] &= 1.96 \times 10^{-2}\,\text{N}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えるため、四捨五入します。
$$ F \approx 2.0 \times 10^{-2}\,\text{N} $$

天井からぶら下がったボールAが、横にあるボールBからの電気の力で押されて、斜めに持ち上がった状態で止まっています。
ボールAを下に引っ張る「重力」と、横に押す「電気の力」のバランスを考えます。糸がちょうど \(45^\circ\) 傾いているということは、下に引っ張る力と横に押す力がちょうど同じ大きさで釣り合っていることを意味します（直角二等辺三角形の形になるからです）。だから、重力を計算すれば、それがそのまま電気の力になります。

静電気力の大きさは \(2.0 \times 10^{-2}\,\text{N}\) です。
\(45^\circ\) という角度は、重力と静電気力が等しいときにのみ現れる角度であり、計算結果 \(F=mg\) は直感的にも妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
(1)で求めた静電気力 \(F\) の値を使って、小球Aの電荷 \(q\) を求めます。ここで使う道具は「クーロンの法則」です。
公式 \(F = k \frac{q_1 q_2}{r^2}\) に、わかっている数値を代入して方程式を解きます。
この設問における重要なポイント

• 静電気力の大きさ \(F\) は、(1)で求めた正確な値 \(1.96 \times 10^{-2}\,\text{N}\) を使用します（途中計算での丸め誤差を防ぐため）。
• 距離 \(r = 0.30\,\text{m}\) です。
• 小球Aの電荷を \(q\)、小球Bの電荷を \(Q = 1.0 \times 10^{-6}\,\text{C}\) とします。
• AとBは反発しているので同符号であり、Bが正なのでAも正電荷です。

具体的な解説と立式
クーロンの法則の公式は以下の通りです。
$$ F = k \frac{qQ}{r^2} $$
この式に、与えられた数値と(1)の結果を代入します。
$$ 1.96 \times 10^{-2} = (9.0 \times 10^9) \times \frac{q \times (1.0 \times 10^{-6})}{0.30^2} $$

まず、右辺の分母などを整理します。
$$
\begin{aligned}
1.96 \times 10^{-2} &= 9.0 \times 10^9 \times \frac{q \times 10^{-6}}{0.090} \\[2.0ex] 1.96 \times 10^{-2} &= 9.0 \times 10^9 \times \frac{q \times 10^{-6}}{9.0 \times 10^{-2}}
\end{aligned}
$$
右辺の係数を約分して整理します。
$$
\begin{aligned}
1.96 \times 10^{-2} &= \frac{9.0}{9.0} \times \frac{10^9 \times 10^{-6}}{10^{-2}} \times q \\[2.0ex] 1.96 \times 10^{-2} &= 1 \times 10^{9-6-(-2)} \times q \\[2.0ex] 1.96 \times 10^{-2} &= 10^5 \times q
\end{aligned}
$$
\(q\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
q &= \frac{1.96 \times 10^{-2}}{10^5} \\[2.0ex] &= 1.96 \times 10^{-7}\,\text{C}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えます。
$$ q \approx 2.0 \times 10^{-7}\,\text{C} $$

(1)で、「電気の力」がどれくらいの強さかがわかりました。クーロンの法則というルールブックには、「電気の力は、電気の量と距離で決まる」と書いてあります。
今は「力」と「距離」と「片方の電気の量」がわかっているので、残りの「もう片方の電気の量（Aの電荷）」を逆算して求めることができます。

小球Aの電荷は \(2.0 \times 10^{-7}\,\text{C}\) です。
\(10^{-7}\) というオーダーは、静電気の実験などで扱われる電荷量として妥当な範囲です（\(1\,\text{C}\) は非常に巨大な量であり、通常はマイクロクーロン \(\mu\text{C}\) 程度の量がよく扱われます）。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 力のつりあいとベクトル図の活用
  • 核心: 物体が静止しているとき、その物体に働くすべての力のベクトル和はゼロになります。この問題のように力が3つだけ働く場合、それらのベクトルを矢印でつなげると必ず「閉じた三角形」になります。
  • 理解のポイント:
    • 図形的性質の利用: 力のベクトル図が直角三角形や二等辺三角形などの特別な形になる場合、三平方の定理や三角比を使って、計算を大幅にショートカットできます。この問題では「直角二等辺三角形」になることに気づけるかが勝負の分かれ目でした。
    • 作図の重要性: 頭の中だけで考えず、必ず実際に矢印を描いてつなげてみることが重要です。
• クーロンの法則の正確な適用
  • 核心: 点電荷の間にはたらく静電気力の大きさ \(F\) は、それぞれの電荷の大きさ \(q_1, q_2\) の積に比例し、距離 \(r\) の2乗に反比例します。
  • 理解のポイント:
    • 距離の2乗: 分母が \(r\) ではなく \(r^2\) であることは間違いやすいポイントです。
    • 単位の確認: 距離は \(\text{m}\)、電荷は \(\text{C}\)、力は \(\text{N}\) というSI単位系で統一して計算する必要があります。特に \(\text{cm}\) や \(\text{g}\) で与えられた場合は換算が必須です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 角度が \(45^\circ\) 以外の場合: 糸の角度が \(30^\circ\) や \(60^\circ\) の場合でも、別解で示した「成分分解」の方法なら全く同じ手順で解けます。あるいは、ベクトル図が \(1:2:\sqrt{3}\) の直角三角形になることを利用しても解けます。
  • 電場の中にある電荷: 今回はBからの静電気力でしたが、一様な電場 \(E\) の中に電荷 \(q\) が置かれた場合も、受ける力は \(F=qE\) となり、あとは同様に力のつりあいで解くことができます。
  • 磁場中の電流が受ける力: 電荷ではなく、磁場中に吊るされた導線に電流を流して傾く問題も、受ける力が「アンペールの力」に変わるだけで、力学的な構造（力のつりあい）は全く同じです。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 「静止している」＝「力のつりあい」: 問題文に「静止した」というキーワードがあれば、即座に「力のつりあいの式を立てる」と反応しましょう。
  2. 力の種類を特定する: 重力（\(mg\)）は必ずあります。次に接触している物からの力（張力、垂直抗力）、そして離れていても働く力（静電気力、磁気力）の順に探すと漏れがなくなります。
  3. 幾何学的特徴を探す: 角度が \(30^\circ, 45^\circ, 60^\circ\) などの有名角であれば、図形的な解法が使える可能性が高いです。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 単位換算の忘れ:
  • 誤解: 質量 \(2.0\,\text{g}\) をそのまま公式の \(m\) に代入してしまう。
  • 対策: 物理の公式（\(F=ma\) や \(W=mg\)）における質量 \(m\) の単位は必ず \(\text{kg}\) です。問題文の数値にマーカーを引き、単位が基本単位（\(\text{kg}, \text{m}, \text{s}, \text{A}\)）になっているか確認する癖をつけましょう。\(1\,\text{g} = 10^{-3}\,\text{kg}\) です。
• 距離の2乗忘れ:
  • 誤解: クーロンの法則の計算で、分母を \(r^2\) ではなく \(r\) にしてしまう。
  • 対策: 公式を書き出すときに、意識的に \(r^2\) の「2」を大きく書くなどして注意を喚起しましょう。また、計算後に次元（単位）のチェックをすることでも防げます。
• 力の向きの勘違い:
  • 誤解: 電荷の符号を見落とし、引力なのに斥力（あるいはその逆）として作図してしまう。
  • 対策: 「同符号なら反発（斥力）、異符号なら引き合う（引力）」という原則を、図を描く前に必ず確認します。矢印の向きが逆だと、つりあいの式が全く変わってしまいます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 問(1)での公式選択（力のつりあい）:
  • 選定理由: 求めたいのは「静電気力の大きさ」ですが、電荷 \(q\) が未知なのでクーロンの法則 \(F = k \frac{qQ}{r^2}\) は使えません。そこで、もう一つの情報である「物体が静止している」という事実を使います。静止している物体に関する法則は「力のつりあい」です。
  • 適用根拠: 重力 \(mg\) は計算可能、張力の角度も既知です。これらと静電気力がつりあっているという関係から、未知の力 \(F\) を逆算できます。
• 問(2)での公式選択（クーロンの法則）:
  • 選定理由: 求めたいのは「電荷 \(q\)」です。電荷と力、距離を結びつける法則はクーロンの法則しかありません。
  • 適用根拠: (1)で静電気力 \(F\) の値が求まりました。距離 \(r\) と相手の電荷 \(Q\) もわかっています。したがって、クーロンの法則の式において未知数は \(q\) だけとなり、方程式を解くことができます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 指数計算を丁寧に行う:
  • クーロンの法則の計算では、\(10^9\) や \(10^{-6}\) といった指数の計算が頻出します。\(10\) の何乗になるか（指数の足し算・引き算）を、別の場所に書き出して慎重に計算しましょう。例えば \(10^9 \times 10^{-6} / 10^{-2} = 10^{9-6-(-2)} = 10^5\) のように。
• 文字式のまま計算を進める:
  • いきなり数値を代入せず、\(F = mg \tan \theta\) や \(q = \frac{Fr^2}{kQ}\) のように、文字式の状態で最後まで変形してから、最後に数値を代入すると計算ミスが減ります。また、約分できるものが見つけやすくなります。
• 常識的な値かチェックする:
  • 静電気の実験で扱う電荷は、通常 \(\mu\text{C}\)（\(10^{-6}\,\text{C}\)）程度のオーダーです。もし答えが \(10^{10}\,\text{C}\) のような巨大な値になったり、\(10^{-30}\,\text{C}\) のような極小の値になった場合は、どこかで計算を間違えている可能性が高いです。

基本例題57 電場の合成

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「点電荷がつくる電場と、その重ね合わせ（合成）」です。複数の電荷がある空間において、ある一点での電場がどのように決まるかを理解することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
まずは点Aの電荷が点Pにつくる電場だけを考えます。
必要な情報は「電荷の大きさ」と「点Aから点Pまでの距離」です。
座標から距離を計算し、公式に代入します。向きは「正電荷からは遠ざかる」というルールに従います。
この設問における重要なポイント

• 点Aの座標は \((-4.0, 0)\)、点Pの座標は \((0, 3.0)\) です。
• 距離 \(r\) は三平方の定理で求めます。\(3:4:5\) の直角三角形であることに気づくと計算が早いです。
• 電荷 \(Q = +5.0 \times 10^{-6}\,\text{C}\) は正なので、電場の向きはAからPへ向かう向きです。

具体的な解説と立式
まず、点Aから点Pまでの距離 \(r\) を求めます。
三平方の定理より、
$$ r = \sqrt{4.0^2 + 3.0^2} $$
次に、電場の強さ \(E_A\) を求めます。クーロンの法則の比例定数を \(k\)、電荷の大きさを \(Q\) とすると、公式は以下の通りです。
$$ E_A = k \frac{Q}{r^2} $$
この式に数値を代入します。

まず距離 \(r\) を確定させます。
$$
\begin{aligned}
r &= \sqrt{16.0 + 9.0} \\[2.0ex] &= \sqrt{25.0} \\[2.0ex] &= 5.0\,\text{m}
\end{aligned}
$$
次に電場の強さ \(E_A\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
E_A &= 9.0 \times 10^9 \times \frac{5.0 \times 10^{-6}}{5.0^2} \\[2.0ex] &= 9.0 \times 10^9 \times \frac{5.0 \times 10^{-6}}{25.0} \\[2.0ex] &= \frac{9.0 \times 5.0}{25.0} \times 10^{9-6} \\[2.0ex] &= \frac{45.0}{25.0} \times 10^3 \\[2.0ex] &= 1.8 \times 10^3\,\text{N/C}
\end{aligned}
$$
向きは、A（正電荷）からPへ向かう向きなので、「AからPに向かう向き」となります。

点Aにあるプラスの電気の粒が、点Pという場所にどれくらいの「電気的な力の影響（電場）」を及ぼしているかを計算します。
まず、AとPがどれくらい離れているかを計算すると \(5.0\,\text{m}\) だとわかります。
次に、「距離の2乗に反比例する」という公式を使って計算します。
プラスの電気からは電気の力が「湧き出す」ので、向きはAからPへ突き抜ける方向になります。

強さは \(1.8 \times 10^3\,\text{N/C}\)、向きはAからPに向かう向きです。
\(10^3\) というオーダーは、静電気の問題として一般的な範囲内の値です。

問(2)

思考の道筋とポイント
今度は点Bの電荷の影響も考え、AとBの影響を合わせます（合成）。
電場はベクトル（向きと大きさを持つ量）なので、単純な足し算ではなく、図を描いて矢印をつなぐ「ベクトルの合成」を行う必要があります。
AとBの電荷の大きさは等しく、Pまでの距離も等しいので、2つの電場の「強さ（矢印の長さ）」は同じです。この対称性を利用します。
この設問における重要なポイント

• 点Bの電荷は \(-5.0 \times 10^{-6}\,\text{C}\)（負電荷）なので、電場の向きはPからBへ向かう（吸い込まれる）向きです。
• 距離BPも \(5.0\,\text{m}\) なので、Bがつくる電場の強さ \(E_B\) は \(E_A\) と同じ \(1.8 \times 10^3\,\text{N/C}\) です。
• 図を描くと、合成電場はx軸方向（真横）になり、y軸方向（縦）の成分は打ち消し合うことがわかります。

具体的な解説と立式
Aがつくる電場ベクトルを \(\vec{E_A}\)、Bがつくる電場ベクトルを \(\vec{E_B}\) とします。
図より、\(\vec{E_A}\) は右上向き、\(\vec{E_B}\) は右下向きです。
x軸とAPのなす角を \(\theta\) とすると、図形の性質（3:4:5の三角形）から、
$$
\begin{aligned}
\cos \theta &= \frac{4.0}{5.0} \\[2.0ex] &= 0.80
\end{aligned}
$$
となります。

合成電場 \(\vec{E}\) のy成分（縦方向）は、上向きの \(E_A \sin \theta\) と下向きの \(E_B \sin \theta\) が同じ大きさなので打ち消し合って \(0\) になります。
x成分（横方向）は、どちらも右向きなので足し合わされます。
したがって、合成電場の大きさ \(E\) は \(E_A\) のx成分の2倍となります。
$$ E = 2 E_A \cos \theta $$

値を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
E &= 2 \times (1.8 \times 10^3) \times \frac{4.0}{5.0} \\[2.0ex] &= 3.6 \times 10^3 \times 0.80 \\[2.0ex] &= 2.88 \times 10^3\,\text{N/C}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えるため、3桁目を四捨五入します。
$$ E \approx 2.9 \times 10^3\,\text{N/C} $$
向きは、x成分のみが正の方向に残ったので、「x軸の正の向き」です。

A（プラス）はPを「あっち行け」と右上に押し、B（マイナス）はPを「こっち来い」と右下に引っ張ります。
この2つの力を合わせると、上向きの力と下向きの力はちょうど同じ強さなので打ち消し合ってなくなります。
結果として、右向きの力だけが残り、2人分合わさって強い力になります。
具体的には、それぞれの力の「右向き成分」を足し算すれば答えが出ます。

強さは \(2.9 \times 10^3\,\text{N/C}\)、向きはx軸の正の向きです。
単独の電場 \(1.8 \times 10^3\) よりも大きくなっていますが、単純な2倍（\(3.6 \times 10^3\)）よりは小さい値です。斜め方向に引き合っているため、効率が少し落ちている（係数 \(0.8\) がかかっている）と考えれば妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 電場の重ね合わせの原理
  • 核心: 複数の電荷が存在する空間において、ある点での電場は、それぞれの電荷が単独で存在すると仮定したときに作る電場ベクトルの「ベクトル和」になります。
  • 理解のポイント:
    • 独立性: Aの電荷が作る電場は、Bの電荷があろうとなかろうと変わりません。それぞれ独立に計算して良いのです。
    • ベクトル和: 電場は「大きさ」だけでなく「向き」を持つベクトル量です。単純な足し算（スカラー和）ではなく、平行四辺形の法則や成分分解を用いたベクトルの足し算を行う必要があります。
• 点電荷の電場の公式と向きの決定
  • 核心: 電場の強さは \(E = k \frac{|Q|}{r^2}\) で決まり、向きは電荷の符号で決まります。
  • 理解のポイント:
    • 正電荷: 自分から遠ざかる向き（湧き出し）。
    • 負電荷: 自分へ近づく向き（吸い込み）。
    • この「向きのルール」を間違えると、ベクトルの合成結果が全く異なるものになってしまいます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 正方形や正三角形の頂点に電荷がある場合: 3つ以上の電荷がある場合も原理は同じです。それぞれの電荷からのベクトルを描き、成分ごとに分解して \(x\) 成分の総和、\(y\) 成分の総和を計算すれば必ず解けます。
  • 電位を求める問題: 電場（ベクトル）とセットでよく出題されるのが電位（スカラー）です。電位の場合は向きを気にせず、単純な数値の足し算（\(V = k \frac{Q}{r}\) の和）になるので、混同しないようにしましょう。
  • クーロン力（静電気力）を求める問題: 「点Pに電荷 \(q\) を置いたときに受ける力」を問われたら、まず電場 \(\vec{E}\) を求めてから \(\vec{F} = q\vec{E}\) を使うのが定石です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 対称性を探す: 電荷の配置や大きさが対称であれば、特定の成分（例えば \(y\) 成分）が打ち消し合ってゼロになることがよくあります。これに気づくと計算量を大幅に減らせます。
  2. 図を大きく描く: ベクトルの合成ミスを防ぐには、正確で大きな図を描くことが一番です。特に角度 \(\theta\) がどこになるか、\(3:4:5\) などの有名比が隠れていないかを図から読み取ります。
  3. 成分分解の準備: 斜めのベクトルが出てきたら、すぐに \(\sin \theta, \cos \theta\) の値を準備しましょう。図形の辺の比から分数の形で求めておくと、計算が楽になります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 電場の向きの逆転:
  • 誤解: 負電荷がつくる電場の向きを、正電荷と同じ「遠ざかる向き」にしてしまう。
  • 対策: 問題用紙の電荷の記号（＋、－）に丸をつけ、矢印を描くときに「プラスは出る、マイナスは入る」と心の中で唱えながら描画しましょう。
• 距離の2乗忘れ:
  • 誤解: 公式の分母を \(r^2\) ではなく \(r\) にしてしまう（電位の公式 \(V=kQ/r\) と混同する）。
  • 対策: 電場（Forceの仲間、\(1/r^2\)）と電位（Energyの仲間、\(1/r\)）の違いを明確に意識します。単位（\(\text{N/C}\) と \(\text{V}\)）を確認することでも防げます。
• 単純な足し算をしてしまう:
  • 誤解: ベクトルであることを忘れ、電場の強さ \(E_A\) と \(E_B\) を単に足して \(E = E_A + E_B\) としてしまう。
  • 対策: 「電場は矢印（ベクトル）！」と強く意識します。一直線上にない限り、単純な足し算は絶対にNGです。必ず図を描いて、矢印をつなぐ操作を行ってください。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 問(1)での公式選択（点電荷の電場）:
  • 選定理由: 「点電荷」が作る電場を求める問題なので、定義式である \(E = k \frac{|Q|}{r^2}\) を使うのが唯一かつ最短のルートです。
  • 適用根拠: 電荷の大きさ \(Q\) と距離 \(r\) が与えられているため、直接代入して計算できます。
• 問(2)でのアプローチ選択（ベクトルの合成）:
  • 選定理由: 複数の電荷による電場は「重ね合わせ」で求まります。電場はベクトル量なので、数学的な「ベクトルの加法」を用いる必要があります。
  • 適用根拠: 模範解答では「対称性」を利用して \(y\) 成分の計算を省略し、\(x\) 成分のみを2倍するという効率的な方法を選んでいます。一方、別解の「成分分解」は、対称性がない場合でも通用する汎用的なアプローチです。状況に応じて使い分けるのがベストです。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 分数のまま計算する:
  • \(\cos \theta = 0.8\) と小数にするのも良いですが、\(\frac{4}{5}\) のまま計算したほうが約分しやすく、計算ミスが減る場合があります。特に \(r^2\) で割る計算などでは、分数の約分が威力を発揮します。
• 指数の処理を分離する:
  • \(9.0 \times 10^9\) や \(5.0 \times 10^{-6}\) などの計算では、数字部分（\(9.0 \times 5.0\)）と指数部分（\(10^{9-6}\)）を分けて計算用紙に書くとミスが激減します。
• オーダー（桁数）の確認:
  • 電場の強さは \(10^3 \sim 10^5\,\text{N/C}\) 程度になることが多いです。もし \(10^{-10}\) や \(10^{20}\) のような極端な値になったら、指数の計算（特に分母の \(r^2\) の処理）を間違えている可能性が高いので見直しましょう。

基本例題58 電場がする仕事

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「一様な電場中の荷電粒子の運動とエネルギー」です。コンデンサーの極板間のような一様な電場において、力とエネルギーの関係を理解することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
平行金属板の間には「一様な電場」ができています。一様な電場とは、場所によらず強さと向きが一定の電場のことです。
このとき、電場の強さ \(E\)、極板間の電圧（電位差）\(V\)、極板の間隔 \(d\) の間にはシンプルな比例関係が成り立ちます。
向きについては、電池のプラス極がつながっている方が高電位、マイナス極がつながっている方が低電位であり、電場は「高い方から低い方へ」向かいます。
この設問における重要なポイント

• 電圧 \(V = 100\,\text{V}\)。
• 間隔 \(d = 2.0 \times 10^{-2}\,\text{m}\)。
• 金属板Aは電池の正極（長い方）につながっているので高電位、Bは負極につながっているので低電位です。

具体的な解説と立式
一様な電場の強さ \(E\) を求める公式は以下の通りです。
$$ E = \frac{V}{d} $$
この式に数値を代入します。

向きについては、電位の高いA側から、電位の低いB側へ向かう向きとなります。

数値を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
E &= \frac{100}{2.0 \times 10^{-2}} \\[2.0ex] &= \frac{1.0 \times 10^2}{2.0 \times 10^{-2}} \\[2.0ex] &= 0.50 \times 10^{2 – (-2)} \\[2.0ex] &= 0.50 \times 10^4 \\[2.0ex] &= 5.0 \times 10^3\,\text{V/m}
\end{aligned}
$$
向きは、高電位のAから低電位のBへ向かう向きです。

電気の世界の「傾き（電場）」を求める問題です。
高さ（電圧）が \(100\,\text{V}\) 分だけ違う場所が、距離 \(2.0 \times 10^{-2}\,\text{m}\) だけ離れています。
この坂道の急さ（傾き）は、「高さ \(\div\) 距離」で計算できます。
また、水が高いところから低いところへ流れるように、電気的な力（電場の向き）も電圧が高いAから低いBへと向かいます。

電場の強さは \(5.0 \times 10^3\,\text{V/m}\)、向きはAからBの向きです。
単位は \(\text{V/m}\)（ボルト毎メートル）ですが、これは \(\text{N/C}\)（ニュートン毎クーロン）と同じ次元を持ちます。

問(2)

思考の道筋とポイント
電場の中に電荷を置くと、電荷は静電気力を受けます。その力の大きさは「電荷の量」と「その場所の電場の強さ」の掛け算で決まります。
向きについては、プラスの電荷は電場と同じ向き（流れに乗る向き）に力を受け、マイナスの電荷は逆向き（流れに逆らう向き）に力を受けます。
この設問における重要なポイント

• 電荷 \(q = 1.6 \times 10^{-19}\,\text{C}\)（正電荷）。
• 電場の強さ \(E = 5.0 \times 10^3\,\text{V/m}\)（(1)の結果）。
• 電荷が正（プラス）なので、力の向きは電場の向きと同じです。

具体的な解説と立式
静電気力の大きさ \(F\) を求める公式は以下の通りです。
$$ F = qE $$
この式に数値を代入します。

数値を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
F &= (1.6 \times 10^{-19}) \times (5.0 \times 10^3) \\[2.0ex] &= 1.6 \times 5.0 \times 10^{-19 + 3} \\[2.0ex] &= 8.0 \times 10^{-16}\,\text{N}
\end{aligned}
$$
向きは、正電荷なので電場と同じ「AからBの向き」です。

風（電場）の中にボール（電荷）を置くと、風に押されて力を受けます。
その力の大きさは、「ボールの大きさ（電気量）」と「風の強さ（電場）」を掛け合わせれば求まります。
今回はプラスの電気を持ったボールなので、風と同じ向き（AからBへ）に押されます。

力の大きさは \(8.0 \times 10^{-16}\,\text{N}\)、向きはAからBの向きです。
\(10^{-16}\) という非常に小さな値ですが、電子や陽子といったミクロな粒子にかかる力としては妥当な大きさです。

問(3)

思考の道筋とポイント
「仕事」を求める問題です。電気の世界では、「電圧（電位差）」という言葉自体が「\(1\,\text{C}\) の電荷を運ぶときに必要な仕事（エネルギー）」という意味を持っています。
したがって、運ぶ電荷量 \(q\) に、移動した間の電位差 \(V\) を掛けるだけで、仕事が求まります。これが最もスマートな解法です。
この設問における重要なポイント

• 運ぶ電荷 \(q = 1.6 \times 10^{-19}\,\text{C}\)。
• 移動する区間（AからB）の電位差 \(V = 100\,\text{V}\)。
• 力が及ぼす向き（A→B）と移動する向き（A→B）が同じなので、仕事は正の値になります。

具体的な解説と立式
静電気力がする仕事 \(W\) は、電荷 \(q\) と電位差 \(V\) を用いて以下のように表されます。
$$ W = qV $$
この式に数値を代入します。

数値を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
W &= (1.6 \times 10^{-19}) \times 100 \\[2.0ex] &= 1.6 \times 10^{-19} \times 1.0 \times 10^2 \\[2.0ex] &= 1.6 \times 10^{-17}\,\text{J}
\end{aligned}
$$

「電圧 \(100\,\text{V}\)」というのは、「電気を \(1\,\text{C}\) だけ運ぶと \(100\,\text{J}\) の仕事ができる」という落差のことです。
今回は運ぶ電気が \(1.6 \times 10^{-19}\,\text{C}\) なので、単純に掛け算をすれば全体の仕事量がわかります。

仕事は \(1.6 \times 10^{-17}\,\text{J}\) です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 一様な電場と電位差の関係
  • 核心: 平行平板コンデンサーのように、空間的に均一な電場（一様な電場）においては、電場の強さ \(E\)、距離 \(d\)、電位差 \(V\) の間に \(V = Ed\) という単純な比例関係が成り立ちます。
  • 理解のポイント:
    • 坂道のイメージ: 電位を「高さ」、電場を「坂の傾き」、距離を「水平距離」と考えると、\((\text{高さ}) = (\text{傾き}) \times (\text{距離})\) という直感的な理解が可能です。
    • 単位の整合性: \(E\) の単位 \(\text{V/m}\) は、まさに「\(1\,\text{m}\) あたりの電圧降下」を表しています。
• 静電気力と仕事の関係
  • 核心: 電荷 \(q\) が電場 \(E\) から受ける力は \(F = qE\) であり、この力が距離 \(d\) だけ移動するときにする仕事は \(W = Fd = qEd = qV\) となります。
  • 理解のポイント:
    • 力学との融合: 電気的な仕事 \(W=qV\) は、新しい概念ではなく、力学の仕事 \(W=Fx\) の言い換えに過ぎません。この等価性を理解していると、公式の暗記量が減り、応用力がつきます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 電子の加速: 今回は正電荷でしたが、電子（負電荷）が加速される問題も頻出です。その場合、力の向きが電場と逆になる点と、運動エネルギーの変化 \(\frac{1}{2}mv^2 = qV\)（エネルギー保存則）を使う点に注意が必要です。
  • 電場に対して斜めに入射する場合: 電荷が電場に対して垂直に入射すると、電場方向には等加速度運動、垂直方向には等速直線運動をし、放物線を描きます。これは重力場中の水平投射と全く同じ運動方程式で解けます。
  • 非一様な電場（点電荷まわりなど）: \(V=Ed\) が使えるのは「一様な電場」だけです。点電荷が作る電場のように場所によって強さが変わる場合は、積分が必要になるため、単純な掛け算では求められません（エネルギー保存則で解くのが定石です）。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 「一様な電場」か確認する: 平行金属板や「一様な電場」という記述があれば、迷わず \(V=Ed\) を使います。
  2. 電荷の符号をチェックする: 正電荷なら高電位→低電位へ、負電荷なら低電位→高電位へ力を受けます。これが仕事の正負や加速・減速を決定します。
  3. エネルギーの視点を持つ: 「速さを求めよ」と言われたら、運動方程式を立てて加速度から求めるよりも、仕事とエネルギーの関係（\(W = \Delta K\)）を使った方が圧倒的に速く解けることが多いです。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 公式の適用範囲ミス:
  • 誤解: 点電荷が作る電場の問題（距離の2乗に反比例する電場）で、うっかり \(V=Ed\) を使ってしまう。
  • 対策: \(V=Ed\) は「傾きが一定の坂道（一様な電場）」専用の公式です。曲面（点電荷の電位）には使えないことを強く意識しましょう。
• 仕事の符号ミス:
  • 誤解: 電荷が電場の力に逆らって動く場合（外力が仕事をする場合）と、電場の力で動く場合（電場が仕事をする場合）で、仕事のプラスマイナスを逆にしてしまう。
  • 対策: 「力が向いている方向に動けば仕事はプラス、逆ならマイナス」という力学の基本原則に立ち返ります。あるいは、正電荷が高電位から低電位へ落ちればエネルギーをもらう（仕事は正）、逆ならエネルギーを使う（仕事は負）とイメージします。
• 単位の次元解析忘れ:
  • 誤解: 電場 \(E\) と力 \(F\) と仕事 \(W\) の関係がごちゃごちゃになり、\(W = qE\) のような謎の式を作ってしまう。
  • 対策: 単位を確認しましょう。\(E [\text{N/C}]\)、\(F [\text{N}]\)、\(W [\text{J} = \text{N}\cdot\text{m}]\) です。\(E\) に \(q [\text{C}]\) を掛ければ \(F\) になり、さらに \(d [\text{m}]\) を掛ければ \(W\) になるという階層構造を意識します。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 問(1)での公式選択（\(E=V/d\)）:
  • 選定理由: 与えられた情報が「電圧 \(V\)」と「距離 \(d\)」であり、求めたいのが「一様な電場の強さ \(E\)」だからです。これらを直接結びつける関係式はこれしかありません。
  • 適用根拠: 問題文に「平行に置かれた」「一様な電場」とあるため、この公式の適用条件を満たしています。
• 問(3)での公式選択（\(W=qV\) vs \(W=Fx\)）:
  • 選定理由: どちらでも解けますが、\(W=qV\) の方が計算ステップが少なく、計算ミスのリスクが低いです。\(W=Fx\) を使うには一度 \(F\) を経由する必要があるため、\(F\) の計算を間違えていたら共倒れになります。
  • 適用根拠: 「電場がする仕事」は「位置エネルギーの減少量」と等しいので、位置エネルギーの定義式 \(U=qV\) の差分として計算するのが最も本質的です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 指数の計算を慎重に:
  • \(10^{-19}\) や \(10^{-2}\) など、桁数が大きく異なる数値の掛け算・割り算が頻出します。\(10\) の肩の数字（指数）の足し引きだけを別枠でメモして計算すると、桁間違いを防げます。
• 別解での検算:
  • 今回のように \(W=qV\) と \(W=Fx\) の2通りの方法がある場合、試験時間や勉強時間に余裕があれば、必ず両方で計算してみましょう。結果が一致すれば、その答えはほぼ確実に正解です。
• 図に情報を書き込む:
  • 問題文の数値をただ眺めるのではなく、図の中に「\(+100\,\text{V}\)」「\(0\,\text{V}\)」「\(\rightarrow E\)」「\(\rightarrow F\)」といった情報を書き込みます。視覚的に状況を整理することで、高電位・低電位の勘違いや力の向きのミスを減らせます。

基本例題59 電場中での粒子の運動

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「点電荷がつくる電場中での荷電粒子の運動」です。クーロン力による運動を、力学的エネルギー保存則を用いて解析する典型的な問題です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
2つの点電荷の間にはたらく力（静電気力）の大きさを求める問題です。
これは「クーロンの法則」そのものです。公式を正確に覚えているかが問われています。
電荷 \(Q\) と \(q\) はともに正（\(>0\)）なので、互いに反発し合う力（斥力）が働きますが、問われているのは「大きさ」だけなので、符号を気にする必要はありません。
この設問における重要なポイント

• 電荷量はそれぞれ \(Q\) と \(q\) です。
• 距離は \(r\) です。
• 比例定数は \(k\) です。

具体的な解説と立式
クーロンの法則の公式は以下の通りです。
$$ F = k \frac{q_1 q_2}{r^2} $$
この式に、問題で与えられた文字を代入します。

与えられた文字をそのまま代入します。
$$ F = k \frac{Qq}{r^2} $$
単位は力なので \(\text{N}\) をつけます。

電気を持った粒同士の間には力が働きます。その力の大きさは、「それぞれの電気の量の掛け算」に比例し、「距離の2乗」に反比例するというルールがあります。これを式にするだけです。

力の大きさは \(k \frac{Qq}{r^2}\,\text{N}\) です。
距離 \(r\) が分母の2乗にあるため、離れれば離れるほど急激に力が弱くなることがわかります。

問(2)

思考の道筋とポイント
粒子Bの固定を外すと、Aからの反発力（斥力）を受けて加速しながら遠ざかっていきます。
この運動は、力が距離によって変化する（\(1/r^2\) に比例して弱くなる）ため、等加速度運動ではありません。したがって、運動方程式 \(ma=F\) から加速度を求めて解くのは困難です（積分が必要になります）。
そこで、「エネルギー保存則」を使います。静電気力は保存力なので、運動エネルギーと位置エネルギーの総和は常に一定に保たれます。
「スタート地点（距離 \(r\)）」と「ゴール地点（無限遠）」でのエネルギーを書き出し、イコールで結びます。
この設問における重要なポイント

• 初期状態（距離 \(r\)）:
  • 速さは \(0\) なので、運動エネルギー \(K_0 = 0\) です。
  • 位置エネルギー \(U_0\) は、点電荷Aが作る電位 \(V = k \frac{Q}{r}\) に電荷 \(q\) があるので、\(U_0 = qV = k \frac{Qq}{r}\) です。
• 最終状態（無限遠）:
  • 速さを \(v\) とすると、運動エネルギー \(K = \frac{1}{2}mv^2\) です。
  • 無限遠では電位が \(0\) なので、位置エネルギー \(U = 0\) です。

具体的な解説と立式
力学的エネルギー保存則より、
$$
\begin{aligned}
(\text{はじめの運動エネルギー}) &+ (\text{はじめの位置エネルギー}) \\[2.0ex] = (\text{あとの運動エネルギー}) &+ (\text{あとの位置エネルギー})
\end{aligned}
$$
それぞれの値を代入して式を立てます。
$$ 0 + k \frac{Qq}{r} = \frac{1}{2}mv^2 + 0 $$

立てた式を \(v\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
k \frac{Qq}{r} &= \frac{1}{2}mv^2 \\[2.0ex] mv^2 &= \frac{2kQq}{r} \\[2.0ex] v^2 &= \frac{2kQq}{mr}
\end{aligned}
$$
\(v > 0\) なので、
$$ v = \sqrt{\frac{2kQq}{mr}} $$
単位は速さなので \(\text{m/s}\) をつけます。

最初は止まっていた粒子Bが、電気の反発力で押されてどんどんスピードアップしていきます。
「最初に持っていた電気の位置エネルギー」が、遠くへ行くにつれてすべて「スピードのエネルギー（運動エネルギー）」に変わったと考えます。
最初のエネルギーの量と、最後のエネルギーの量が同じだという式を作って、最後のスピードを計算します。

速さは \(\sqrt{\frac{2kQq}{mr}}\,\text{m/s}\) です。
式の中に \(Q, q\) が分子にあるので、電荷が大きいほど速くなる（反発力が強いから）ことがわかります。また、\(m\) が分母にあるので、質量が大きいほど加速しにくいことも読み取れます。これらは直感と一致します。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 力学的エネルギー保存則（電磁気バージョン）
  • 核心: 重力場での運動と同様に、静電気力のみを受けて運動する荷電粒子の系では、運動エネルギー \(K\) と静電気力による位置エネルギー \(U\) の和が保存されます。
  • 理解のポイント:
    • 保存力の確認: 静電気力（クーロン力）は保存力です。したがって、摩擦や空気抵抗がない限り、エネルギー保存則 \(K_1 + U_1 = K_2 + U_2\) が成立します。
    • 無限遠の扱い: 静電気力による位置エネルギーの基準点（\(U=0\)）は、通常「無限遠」に設定されます。これにより、距離 \(r\) でのエネルギーが \(U = k \frac{q_1 q_2}{r}\) というシンプルな形で表せます。
• 点電荷の電位と位置エネルギー
  • 核心: 点電荷 \(Q\) が作る電場中の距離 \(r\) の地点における電位は \(V = k \frac{Q}{r}\) であり、そこに電荷 \(q\) を置いたときの位置エネルギーは \(U = qV = k \frac{Qq}{r}\) となります。
  • 理解のポイント:
    • \(1/r\) と \(1/r^2\) の区別: 力 \(F\) は距離の2乗に反比例しますが、エネルギー \(U\)（および電位 \(V\)）は距離の1乗に反比例します。これを混同しないことが最も重要です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 最接近距離を求める問題: 今回とは逆に、無限遠から初速度 \(v_0\) で電荷 \(Q\) に向かって電荷 \(q\) を発射し、どこまで近づけるか（速さが \(0\) になる距離 \(r_{\text{min}}\)）を求める問題。これも全く同じエネルギー保存則の式で解けます。
  • ラザフォード散乱: 原子核（正電荷）にアルファ粒子（正電荷）をぶつける実験の解析も、基本はこのエネルギー保存則と運動量保存則の組み合わせです。
  • 万有引力とのアナロジー: 質量 \(M, m\) の天体運動の問題では、位置エネルギーが \(U = -G \frac{Mm}{r}\)（引力なのでマイナス）になりますが、数式の構造や解き方はクーロン力（\(U = k \frac{Qq}{r}\)）と完全に同じです。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 力が一定か変化するか: 力が距離によって変化する（\(F \propto 1/r^2\) など）場合、等加速度運動の公式は使えません。「エネルギー保存則」か「運動量保存則」の出番です。
  2. 無限遠というキーワード: 「無限遠まで飛び去った」「無限遠から飛んできた」という言葉があれば、その地点での位置エネルギーを \(0\) と置く合図です。
  3. 電荷の符号: \(Q\) と \(q\) が同符号なら斥力（位置エネルギーは正）、異符号なら引力（位置エネルギーは負）になります。引力の場合は、無限遠に飛び去るために必要な初速度（脱出速度）を問われることが多いです。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 公式の混同（\(r\) か \(r^2\) か）:
  • 誤解: 位置エネルギーの公式を \(U = k \frac{Qq}{r^2}\) と書いてしまう。あるいは力の公式を \(F = k \frac{Qq}{r}\) と書いてしまう。
  • 対策: 次元（単位）でチェックしましょう。エネルギー \([\text{J}] = [\text{N}\cdot\text{m}]\) なので、力 \([\text{N}]\) の式に距離 \([\text{m}]\) を掛けた形（分母の次数が1つ減る）になっているはずです。
• 運動方程式で解こうとする:
  • 誤解: \(F = ma\) から加速度 \(a\) を求め、等加速度運動の公式 \(v^2 – v_0^2 = 2ax\) に代入しようとする。
  • 対策: 加速度 \(a\) が一定でない（距離 \(r\) とともに変化する）ことに気づきましょう。変位とともに力が変わる運動は、高校物理ではエネルギー保存則で解くのが鉄則です。
• エネルギーの符号ミス:
  • 誤解: 引力の場合（異符号の電荷）でも位置エネルギーを正の値にしてしまう。
  • 対策: \(U = k \frac{Qq}{r}\) の \(Q, q\) には符号を含めて代入します。異符号なら \(U < 0\) となり、これは「無限遠よりもエネルギーが低い（束縛されている）」状態を表します。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 問(1)での公式選択（クーロンの法則）:
  • 選定理由: 2つの点電荷の間にはたらく「力」を求める問題なので、定義式であるクーロンの法則 \(F = k \frac{q_1 q_2}{r^2}\) を選択します。
  • 適用根拠: 点電荷であり、静止している（瞬間的な力を考える）ため、この法則がそのまま適用できます。
• 問(2)での公式選択（エネルギー保存則）:
  • 選定理由: 力が距離の関数として変化するため、時間追跡（運動方程式）は困難です。一方、始状態と終状態の情報（位置と速さ）のみが関心事であり、途中の経路や時間は問われていないため、エネルギー保存則が最適です。
  • 適用根拠: 静電気力は保存力であり、それ以外の非保存力（摩擦など）が仕事をしていないため、力学的エネルギー保存則が厳密に成立します。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま処理する:
  • この問題のように数値が与えられていない場合、最後まで文字式のまま計算することになります。分母・分子の取り違えや、平方根の中身の確認（次元解析）を常に行いましょう。例えば、速さ \(v\) の式なら、ルートの中身は \([\text{J}/\text{kg}] = [(\text{m/s})^2]\) の次元になっているはずです。
• 極限を考えてみる:
  • 答えが出たら、極端な場合を想定して検算します。例えば \(r \to \infty\)（最初から無限遠にある）なら、位置エネルギーがないので加速せず \(v=0\) になるはずです。求めた式 \(v = \sqrt{\frac{2kQq}{mr}}\) で \(r \to \infty\) とすると確かに \(0\) になります。逆に \(r \to 0\) なら無限大の反発力で \(v \to \infty\) になるはずで、これも一致します。

基本問題

434 電荷の保存と静電気力

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「導体球の接触による電荷の再分配とクーロン力」です。電荷保存則とクーロンの法則を組み合わせた、静電気学の基礎となる重要な問題です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
接触前の2つの導体球A, Bにはたらく静電気力を求めます。
必要な情報は「それぞれの電荷量」と「距離」です。これらをクーロンの法則の公式に代入します。
力の向き（引力か斥力か）は、電荷の符号を見て判断します。プラスとマイナスなら引き合い（引力）、プラス同士やマイナス同士なら反発（斥力）します。
この設問における重要なポイント

• Aの電荷は \(+2Q\)、Bの電荷は \(-4Q\) です。
• 距離は \(r\) です。
• 力の「大きさ」を求めるので、公式に代入する際は電荷の絶対値を使います。
• 符号が異なる（\(+\) と \(-\)）ので、引力になります。

具体的な解説と立式
クーロンの法則より、静電気力の大きさ \(F\) は以下の式で表されます。
$$ F = k \frac{|q_1||q_2|}{r^2} $$
ここに、\(q_1 = +2Q\)、\(q_2 = -4Q\) を代入します。

数値を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
F &= k \frac{|+2Q| \times |-4Q|}{r^2} \\[2.0ex] &= k \frac{2Q \times 4Q}{r^2} \\[2.0ex] &= k \frac{8Q^2}{r^2} \\[2.0ex] &= 8k \frac{Q^2}{r^2}
\end{aligned}
$$
電荷が異符号（プラスとマイナス）なので、力は引力です。

プラスの電気を持ったボールAと、マイナスの電気を持ったボールBが離れて置かれています。
プラスとマイナスは引き合うので、お互いに近づこうとする力（引力）が働きます。
その力の強さは、それぞれの電気の量を掛け算したものに比例します。今回は \(2 \times 4 = 8\) 倍の強さになります。

力の大きさは \(8k \frac{Q^2}{r^2}\)、種類は引力です。

問(2)

思考の道筋とポイント
導体球AとBを接触させると、電荷が移動します。
「同じ大きさで同じ材質」の導体球を接触させると、最終的に両方の電荷量は等しくなります。
このとき、「電気量保存の法則」により、接触前と接触後で電荷の合計値は変わりません。
つまり、「足して2で割る」ことで接触後の電荷量が求まります。
求めた新しい電荷量を使って、再びクーロンの法則で力を計算します。
この設問における重要なポイント

• 接触前の電荷の合計: \((+2Q) + (-4Q) = -2Q\)。
• 接触後の電荷: 合計を2等分するので、それぞれ \(-Q\) になります。
• 接触後は両方とも負電荷（同符号）になるため、力は斥力に変わります。

具体的な解説と立式
まず、接触後の各導体球の電荷 \(q’\) を求めます。電気量保存の法則より、
$$ q’ = \frac{(+2Q) + (-4Q)}{2} $$
次に、この電荷 \(q’\) を用いて、接触後の静電気力の大きさ \(F’\) を求めます。
$$ F’ = k \frac{|q’||q’|}{r^2} $$

まず電荷 \(q’\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
q’ &= \frac{-2Q}{2} \\[2.0ex] &= -Q
\end{aligned}
$$
接触後は、AもBも \(-Q\) の電荷を持ちます。

次に力 \(F’\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
F’ &= k \frac{|-Q| \times |-Q|}{r^2} \\[2.0ex] &= k \frac{Q \times Q}{r^2} \\[2.0ex] &= k \frac{Q^2}{r^2}
\end{aligned}
$$
両方とも負電荷（同符号）なので、力は斥力です。

2つのボールをくっつけると、電気が流れ込んで混ざり合います。
プラス \(2\) 個分とマイナス \(4\) 個分を混ぜると、プラスマイナスゼロで打ち消し合って、マイナス \(2\) 個分だけが残ります。
ボールは同じ形なので、この残ったマイナス \(2\) 個分を仲良く半分こします。つまり、両方ともマイナス \(1\) 個分（\(-Q\)）になります。
今度は両方ともマイナス同士なので、反発し合う力（斥力）が働きます。

力の大きさは \(k \frac{Q^2}{r^2}\)、種類は斥力です。
接触前は \(8\) 倍の係数がありましたが、接触して電荷が中和されたため、力が弱くなっていることがわかります。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 電気量保存の法則
  • 核心: 外部との電荷のやり取りがない「閉じた系」において、電荷の総和はどのような変化（接触、分離、移動など）を経ても常に一定に保たれます。
  • 理解のポイント:
    • 総和の計算: 正電荷と負電荷がある場合、符号を含めて単純に足し算します（代数和）。例えば \(+2Q\) と \(-4Q\) なら合計は \(-2Q\) です。
    • 不滅の原理: 電荷は突然消えたり現れたりしません。移動するだけです。
• 導体球の接触と電荷の再分配
  • 核心: 導体同士を接触させると、自由電子が移動し、導体全体の電位が等しくなるまで電荷の再分配が起こります。
  • 理解のポイント:
    • 等電位: 接触した導体は一つの大きな導体とみなせます。静電平衡状態では、導体全体が等電位になります。
    • 形状依存性: 「同じ大きさ・同じ材質」の球であれば、電荷は均等に（\(1:1\) に）分配されます。大きさが違う場合は、電気容量（キャパシタンス）の比に応じて分配されます（半径 \(R\) の球なら \(Q \propto R\)）。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 大きさが異なる導体球: 半径 \(r_1\) と \(r_2\) の導体球を接触させた場合、電荷は \(r_1 : r_2\) の比に分配されます。合計電荷 \(Q_{\text{total}}\) をこの比で比例配分すれば解けます。
  • 接地（アース）する問題: 導体を接地すると、その導体の電位は \(0\) になります。地球との間で電荷のやり取りが行われるため、導体単独での電荷保存則は成り立ちませんが、「導体＋地球」の系で考えれば保存されています。
  • 3つ以上の導体球: AとBを接触させ、次にBとCを接触させる…といった順次接触の問題では、接触のたびに「足して2で割る」操作を繰り返して、各段階での電荷を追跡します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 「接触」という言葉: これを見たら即座に「電気量保存則」と「等電位（電荷の再分配）」を連想します。
  2. 電荷の符号: クーロン力の向き（引力・斥力）や、電場の向きを決める重要な要素です。計算中は絶対値で扱い、最後に符号で向きを判断するのがミスを防ぐコツです。
  3. 導体の形状: 「同じ大きさ」と書いてあれば均等分配ですが、書いていなければ電気容量を考慮する必要があります（多くの基礎問題では同じ大きさです）。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 電荷の合計ミスの符号:
  • 誤解: \(+2Q\) と \(-4Q\) を足すときに、絶対値を足して \(6Q\) にしてしまう。
  • 対策: 電荷は符号付きの量（スカラー）です。数直線上の足し算と同じように、\((+2) + (-4) = -2\) と計算することを徹底しましょう。
• 力の種類の判定ミス:
  • 誤解: 接触後の電荷がマイナスになったので、引力だと勘違いしてしまう。
  • 対策: 力の種類（引力・斥力）は、電荷の「符号の組み合わせ」で決まります。両方ともマイナスなら「同符号」なので斥力です。「マイナス＝引力」という短絡的な覚え方は危険です。
• クーロンの法則の適用ミス:
  • 誤解: 接触後の電荷を求める式（足し算）と、力を求める式（掛け算）を混同してしまう。
  • 対策: 物理現象を段階に分けて考えます。「フェーズ1：接触して電荷が移動する（保存則・足し算）」「フェーズ2：離して力が働く（クーロンの法則・掛け算）」と区別して立式しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 問(1)での公式選択（クーロンの法則）:
  • 選定理由: 2つの点電荷の間にはたらく「力」を求める問題なので、クーロンの法則 \(F = k \frac{q_1 q_2}{r^2}\) 一択です。
  • 適用根拠: 導体球が「小さな」と記述されているため、電荷分布の偏りを無視して点電荷とみなして良いという合図です。
• 問(2)での公式選択（電気量保存則）:
  • 選定理由: 接触前後の電荷の変化を知る必要があります。外部との出入りがないため、総量が保存されるという原理を使います。
  • 適用根拠: 接触によって電荷が移動しても、消滅したり生成したりしないため、保存則が成立します。また、対称性から均等分配されるという条件も適用します。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 絶対値記号の活用:
  • クーロン力の計算では、電荷にマイナスが含まれていても、大きさだけを知りたい場合は絶対値記号 \(|q|\) をつけて計算式を書く癖をつけると、符号の混乱を防げます。
• 図を描いて電荷の移動を可視化:
  • 「A(\(+2\)) → B(\(-4\))」のような図を描き、接触後に「A(\(-1\))、B(\(-1\))」になった様子を書き込みます。合計が \(-2\) で変わっていないことを図の上で確認すれば、ケアレスミスはほぼゼロになります。
• 単位と文字の確認:
  • 答えに \(k\) や \(r^2\) が抜けていないか、次元（単位）を確認します。力 \(F\) の次元は \([k \cdot Q^2 / r^2]\) になっているはずです。

435 電気振り子

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「静電気力を含む物体のつりあい」です。力学の「力のつりあい」と電磁気学の「クーロンの法則」を融合させた、入試頻出の標準問題です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
小球Aは静止しているので、働く力はつりあっています。
まずは力を漏れなく見つけ出し、図示します。
小球Aには「重力 \(mg\)（下向き）」「糸の張力 \(T\)（糸の方向）」「静電気力 \(F\)（水平方向）」の3つの力が働いています。
模範解答のように、張力 \(T\) を水平成分と鉛直成分に分解し、それぞれの方向でつりあいの式を立てるのが王道です。
この設問における重要なポイント

• 小球AとBはともに正電荷なので、静電気力は反発力（斥力）となり、水平外向きに働きます。
• 鉛直方向のつりあいから張力 \(T\) を求め、それを水平方向の式に代入して \(T\) を消去します。

具体的な解説と立式
小球Aに働く力を水平方向と鉛直方向に分解して考えます。
張力の大きさを \(T\)、静電気力の大きさを \(F\) とします。

• 水平方向: 左向きの静電気力 \(F\) と、右向きの張力の水平成分 \(T \sin \theta\) がつりあっています。
  $$ F = T \sin \theta \quad \cdots ① $$
• 鉛直方向: 下向きの重力 \(mg\) と、上向きの張力の鉛直成分 \(T \cos \theta\) がつりあっています。
  $$ mg = T \cos \theta \quad \cdots ② $$

式①を式②で辺々割ることで、未知数である張力 \(T\) を消去します。
$$
\begin{aligned}
\frac{F}{mg} &= \frac{T \sin \theta}{T \cos \theta} \\[2.0ex] \frac{F}{mg} &= \tan \theta
\end{aligned}
$$
したがって、
$$ F = mg \tan \theta $$

ボールAを横に押している「電気の力」と、上に持ち上げている「糸の力」と、下に引っ張る「重力」がバランスを取っています。
糸の力を「横成分」と「縦成分」に分けて考えると、縦成分が重力を支え、横成分が電気の力と釣り合っていることがわかります。
計算すると、電気の力は重力に「傾きの度合い（タンジェント）」を掛けたものになることがわかります。

静電気力の大きさは \(mg \tan \theta\) です。
\(\theta = 0\) なら \(F=0\)（力がなければ開かない）、\(\theta\) が大きくなれば \(F\) も大きくなる（大きく開くには強い力が必要）という直感と一致します。

問(2)

思考の道筋とポイント
(1)で求めた静電気力 \(F\) の正体は、クーロン力です。
クーロンの法則の公式 \(F = k \frac{q_1 q_2}{r^2}\) を使い、(1)の結果と結びつけます。
ここで一番のポイントは、小球AとBの間の距離 \(r\) を、問題で与えられた \(l\) と \(\theta\) で正しく表すことです。
この設問における重要なポイント

• 小球AとBの間の距離 \(r\) は、図形の対称性から \(l \sin \theta\) の2倍、つまり \(2l \sin \theta\) です。
• 電荷はともに \(q\) なので、分子は \(q^2\) になります。

具体的な解説と立式
まず、小球間の距離 \(r\) を求めます。
天井の固定点から水平線を引くと、直角三角形ができ、その底辺は \(l \sin \theta\) です。AとBの距離はその2倍なので、
$$ r = 2l \sin \theta $$
次に、クーロンの法則の式を立てます。
$$
\begin{aligned}
F &= k \frac{q \times q}{r^2} \\[2.0ex] &= k \frac{q^2}{(2l \sin \theta)^2}
\end{aligned}
$$
この \(F\) が、(1)で求めた \(mg \tan \theta\) と等しいので、
$$ k \frac{q^2}{(2l \sin \theta)^2} = mg \tan \theta $$

\(q\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\frac{k q^2}{4l^2 \sin^2 \theta} &= mg \tan \theta \\[2.0ex] k q^2 &= 4l^2 \sin^2 \theta \cdot mg \tan \theta \\[2.0ex] q^2 &= \frac{4l^2 \sin^2 \theta \cdot mg \tan \theta}{k}
\end{aligned}
$$
\(q > 0\) なので、平方根をとります。
$$
\begin{aligned}
q &= \sqrt{\frac{4l^2 \sin^2 \theta \cdot mg \tan \theta}{k}} \\[2.0ex] &= 2l \sin \theta \sqrt{\frac{mg \tan \theta}{k}}
\end{aligned}
$$

(1)で計算した「電気の力」が、具体的にどんな式で表されるかを考えます。
クーロンの法則というルールブックには、「電気の力は距離の2乗に反比例する」と書いてあります。
ボールの間の距離は、糸の長さと角度を使って計算すると \(2l \sin \theta\) になります。
これらを組み合わせて方程式を作り、最後に \(q\)（電気の量）について解けば答えが出ます。

電荷 \(q\) は \(2l \sin \theta \sqrt{\frac{mg \tan \theta}{k}}\) です。
質量 \(m\) が大きいほど（重いほど）、同じ角度に開くためにはたくさんの電荷 \(q\) が必要なことがわかります。また、糸が長い（\(l\) が大きい）ほど、距離が遠くなるので、やはりたくさんの電荷が必要です。これらは物理的に妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 力のつりあいと成分分解
  • 核心: 静止している物体にはたらく力のベクトル和はゼロになります。斜めの力（張力など）がある場合、水平方向と鉛直方向に分解して、それぞれの方向で「右の力＝左の力」「上の力＝下の力」という式を立てるのが基本戦略です。
  • 理解のポイント:
    • 分解の軸: 通常は「重力方向（鉛直）」と「それに垂直な方向（水平）」を軸にとります。
    • 三角比の適用: 分解した成分が \(\sin\) なのか \(\cos\) なのかを、図を描いて慎重に判断します。角度 \(\theta\) の位置に注意しましょう。
• クーロンの法則と幾何学的距離
  • 核心: 静電気力の大きさは電荷間の距離の2乗に反比例します。この「距離 \(r\)」を、問題設定（糸の長さ \(l\) や角度 \(\theta\)）から幾何学的に正しく導き出す能力が問われます。
  • 理解のポイント:
    • 図形の読み取り: 二等辺三角形の底辺の長さなど、基本的な図形の性質を使って距離を数式化します。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 小球が接触している場合: 導体球を接触させてから離す問題では、電荷が等量分配（\(Q/2\) ずつ）されるという前段階が入りますが、離れた後のつりあいの計算は全く同じです。
  • 電場中での振り子: 点電荷同士の力ではなく、一様な電場 \(E\) 中に置かれた帯電球の振り子問題も頻出です。この場合、静電気力は \(F = qE\) となり、距離に依存しない定数力になるため、計算はより簡単になります（見かけの重力として扱えます）。
  • 微小角近似: 角度 \(\theta\) が非常に小さい場合、\(\sin \theta \approx \tan \theta \approx \theta\)、\(\cos \theta \approx 1\) という近似を使って解く問題もあります。問題文に「\(\theta\) は十分に小さい」とあったら近似の合図です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 力の図示: 何はともあれ、物体にはたらく全ての力を矢印で描きます。接触していない力（重力、静電気力、磁気力）を忘れないように。
  2. 未知数の確認: 何が与えられていて、何を求めたいのかを確認します。張力 \(T\) は通常求められていないので、連立方程式から消去する対象になります。
  3. 対称性の利用: 左右対称な図形なら、片方の小球についてだけ式を立てれば十分です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 距離の計算ミス:
  • 誤解: クーロンの法則の分母 \(r^2\) に、糸の長さ \(l\) をそのまま代入してしまう。あるいは、片側の距離 \(l \sin \theta\) を代入してしまう。
  • 対策: 公式の \(r\) は「電荷間の距離」です。図をよく見て、AとBがどれだけ離れているか（\(2l \sin \theta\)）を確認してから代入しましょう。
• 三角関数の取り違え:
  • 誤解: 水平成分を \(T \cos \theta\)、鉛直成分を \(T \sin \theta\) と逆にしてしまう。
  • 対策: \(\theta\) が \(0\) になったときを想像します。糸が垂れ下がれば張力は鉛直上向きになるはずです。\(T \cos 0 = T\)（鉛直）、\(T \sin 0 = 0\)（水平）となるので、鉛直が \(\cos\)、水平が \(\sin\) だと確認できます。
• 計算途中での根号の外し忘れ:
  • 誤解: \(q^2 = \dots\) まで求めて満足し、ルートをとるのを忘れて解答してしまう。
  • 対策: 求めたい物理量の次元（単位）を意識します。\(q^2\) のままでは単位が \([\text{C}^2]\) になってしまいます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 問(1)での公式選択（力のつりあい）:
  • 選定理由: 物体が「静止した」というキーワードがあるため、運動方程式（\(a=0\)）すなわち「力のつりあい」の式を立てるのが物理の鉄則です。
  • 適用根拠: 重力、張力、静電気力の3力が一点に作用してつりあっているため、成分分解またはベクトル閉三角形の方法が適用できます。
• 問(2)での公式選択（クーロンの法則）:
  • 選定理由: 静電気力の具体的な中身（電荷と距離の関係）を紐解く必要があるため、クーロンの法則を使います。
  • 適用根拠: 小球は大きさを持っていますが、通常の問題では点電荷とみなして良い（あるいは中心間の距離を考える）ため、点電荷の公式が適用できます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま整理する:
  • \(F\) や \(r\) といった文字を定義して、まずは \(F = k \frac{q^2}{r^2}\) のようにシンプルな形で式変形を進めます。最後に \(F = mg \tan \theta\) や \(r = 2l \sin \theta\) を代入すると、式が煩雑にならずミスが減ります。
• 別解での検算:
  • (1)で示したように、成分分解法とベクトル図法（タンジェント一発）の両方を知っていれば、片方で解いてもう片方で検算することができます。特に \(\tan \theta\) の関係はベクトル図なら一瞬で確認できるので強力な検算ツールになります。

436 静電誘導と誘電分極

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「静電誘導と誘電分極」です。導体と不導体（絶縁体）における電荷の振る舞いの違いを理解し、帯電体が近づいたときの電荷分布の変化を追跡することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
導体球AとBは接触しているので、電気的には「一つの細長い導体」として振る舞います。
ここに負（マイナス）に帯電した塩化ビニル管を近づけると、導体内の自由電子（マイナス）は反発力を受けます。
電子は塩化ビニル管からできるだけ遠くへ逃げようとするため、BからAへと移動します。
その結果、A側は電子過剰（負に帯電）、B側は電子不足（正に帯電）となります。この状態を「静電誘導」と呼びます。
この状態から、どのタイミングでAとBを切り離すかが運命の分かれ道です。
この設問における重要なポイント

• 操作(a): 塩化ビニル管がある状態でAとBを離す → 電子の偏りが固定される。
• 操作(b): 塩化ビニル管を遠ざけてからAとBを離す → 電子が元の場所に戻ってから離される。

具体的な解説と立式
(a) A, Bをはなした後、塩化ビニル管を遠ざけた場合

1. 塩化ビニル管（負）を近づけると、自由電子は反発してBからAへ移動します。
2. このとき、Aは負、Bは正に帯電しています。
3. この状態でAとBを切り離すと、移動した電子はAに閉じ込められ、Bに戻れなくなります。
4. その後、塩化ビニル管を遠ざけても、Aは負のまま、Bは正のままです。

(b) 塩化ビニル管を遠ざけた後、A, Bをはなした場合

1. 塩化ビニル管を近づけると、同様に電子はAへ移動します。
2. しかし、AとBがつながったまま塩化ビニル管を遠ざけると、反発力がなくなるため、電子は互いの反発力で均等に広がろうとし、元のB側へ戻ります。
3. 結果、AもBも電気的に中性（電荷 \(0\)）の状態に戻ります。
4. その後にAとBを切り離しても、どちらも帯電していません。

計算は不要で、現象の定性的な理解を問う問題です。

• (a) A: 負、B: 正
• (b) A: 0、B: 0

AとBがつながっているときは、電子にとって一つの部屋のようなものです。
マイナスの棒（お化け）がB側の窓に近づくと、電子たち（怖がりな子供たち）はA側の部屋の隅に逃げます。
(a) お化けがいる間に部屋の間のドアを閉めてしまうと、逃げた子供たちはAの部屋に閉じ込められ、Bの部屋は空っぽになります。だからAはマイナス、Bはプラスになります。
(b) お化けがいなくなってからドアを閉めるなら、子供たちは安心して部屋全体に広がるので、どちらの部屋も元の人数に戻ります。だからどちらも電荷はゼロです。

(a) A: 負、B: 正
(b) A: 0、B: 0
操作の順序によって結果が全く異なるという、静電誘導の実験における最も重要なポイントです。

問(2)

思考の道筋とポイント
今度はAとBが「不導体（絶縁体）」です。
不導体には「自由電子」が存在しません。電子は原子核の周りに強く束縛されており、隣の物体へ移動することができません。
したがって、塩化ビニル管を近づけても、BからAへ電子が移動することはあり得ません。
ただし、個々の原子の中で電子が少しだけ偏る「誘電分極」という現象は起きます。これにより、Bの表面（管に近い側）は正に、Aの表面（管から遠い側）は負に帯電したように見えます。
しかし、これはあくまで表面だけの話であり、AとBを切り離したときに電荷が移動して残るわけではありません。
この設問における重要なポイント

• 不導体では、物体間をまたぐ電荷の移動（自由電子の移動）は起こらない。
• 誘電分極は起こるが、外部電場がなくなれば元に戻るし、物体を分割してもそれぞれの物体は電気的に中性のままである。

具体的な解説と立式
不導体においては、電荷の担い手である電子が原子内に束縛されているため、導体のようにAとBの間を自由に行き来することができません。
塩化ビニル管を近づけると、誘電分極によってBの右端が正、Aの左端が負に帯電したようになりますが、AとBの接触面を通して正味の電荷移動は起こりません。
したがって、どのタイミングでAとBを切り離しても、Aが受け取った電子もなければ、Bが失った電子もありません。
よって、AもBも電荷は \(0\) のままです。

計算不要。
常に電荷は \(0\) です。

不導体（プラスチックやゴムなど）の中では、電子はそれぞれの親（原子核）と手をつないでいて、隣の家（別の物体）へ遊びに行くことができません。
お化け（塩化ビニル管）が来ても、その場で怖がって身をすくめる（誘電分極）だけで、Bの家からAの家へ逃げ出すことはできないのです。
だから、いつ家を切り離しても、住人の数は変わりません。

Aの電荷は \(0\) です。
導体と不導体の決定的な違いは「電荷（電子）が移動できるかどうか」です。この違いを明確に区別できているかが問われています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 静電誘導と自由電子の移動
  • 核心: 導体（金属など）の内部には自由に動き回れる「自由電子」が無数に存在します。外部から帯電体を近づけると、この自由電子が静電気力を受けて移動し、導体の表面に電荷の偏りが生じます。これが静電誘導です。
  • 理解のポイント:
    • 移動するのは電子だけ: 正電荷（原子核）は重くて動けません。常に「マイナスの電子が動く」ことでプラスやマイナスの帯電状態が決まることを忘れないでください。
    • 導体全体でバランス: 接触している複数の導体は、電気的には「ひとつの大きな導体」として振る舞います。
• 誘電分極と束縛電子
  • 核心: 不導体（絶縁体）には自由電子がありません。電子は原子核に束縛されています。外部電場がかかると、電子の軌道がわずかにずれて原子レベルでの電荷の偏りが生じます。これが誘電分極です。
  • 理解のポイント:
    • 移動できない: 誘電分極では、物体の端から端へ電子が長距離移動することはできません。あくまで「その場での整列」に留まります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 接地（アース）された導体: 導体球Bを指で触れたり、アース線につないだりする問題が頻出です。この場合、地球が巨大な導体（電子の貯蔵庫）となり、導体球と地球の間で電子のやり取りが行われます。
    • 解法: 「アースされた部分の電位は \(0\) になる」と考えます。負帯電体が近くにあれば、導体の電位を \(0\) に保つために、アースから電子が逃げ出します（結果、導体は正に帯電します）。
  • 箔検電器: 金属板と金属箔を用いた実験も、原理は全く同じ静電誘導です。指で触れる操作（接地）と、帯電棒を遠ざける操作の順序が鍵になります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 材質の確認: まず「導体」か「不導体（誘電体）」かを確認します。これで電子が移動できるかどうかが決まります。
  2. 操作の順序: 「離してから遠ざける」のか「遠ざけてから離す」のか。時系列に沿って、その瞬間に電子がどこにいるか、戻れる道があるかをコマ送りでイメージします。
  3. 帯電体の符号: 近づけるのが「負（塩化ビニル管など）」か「正（ガラス棒など）」か。これによって電子の移動方向（逃げるか寄ってくるか）が逆転します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 正電荷が移動すると考えてしまう:
  • 誤解: 「プラスの電気がBからAへ動いた」と考えてしまう。
  • 対策: 結果としては同じ電荷分布になりますが、物理現象としては誤りです。常に「電子（負電荷）が動く」と考える癖をつけましょう。特に質量変化を問われる問題などで致命傷になります。
• 不導体でも帯電すると勘違いする:
  • 誤解: 摩擦電気（接触帯電）と混同して、不導体でも接触させておけば電気が移ると考えてしまう。
  • 対策: 静電誘導（非接触での誘導）と摩擦帯電（接触による電子の剥ぎ取り）は別物です。この問題のように「近づけるだけ」の場合は、不導体間で電荷の受け渡しは起こりません。
• 「遠ざける」の意味を見落とす:
  • 誤解: 操作(b)で、塩化ビニル管を遠ざけた瞬間に電子が戻ることを忘れてしまう。
  • 対策: 帯電体（原因）がなくなれば、導体は最も安定な状態（電気的中性）に戻ろうとします。電子同士の反発力（斥力）が働くため、偏ったままではいられないのです。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 問(1)でのアプローチ選択（静電誘導の原理）:
  • 選定理由: 数値計算ではなく、現象の定性的な理解を問われているため、公式ではなく「原理」を適用します。
  • 適用根拠: 導体内の自由電子は、クーロン力によって容易に移動できるという性質に基づいています。
• 問(2)でのアプローチ選択（不導体の性質）:
  • 選定理由: 物質の電気的性質の根本的な違い（自由電子の有無）が問われているため。
  • 適用根拠: 不導体では電荷キャリア（電子）が移動できないため、巨視的な電荷の分離は起こり得ません。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 図を描いてコマ送り:
  • 頭の中だけで考えると順序がごちゃごちゃになります。
    1. 初期状態（プラスマイナス均等）
    2. 帯電体が来た状態（電子が偏った図）
    3. 分割した状態（偏ったまま分かれた図）
    4. 帯電体が去った状態
  • このように、ステップごとの図を簡単に描くことで、ミスを確実に防げます。特にプラスとマイナスの記号を書き込むのが有効です。

437 箔検電器

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「箔検電器を用いた静電誘導の実験」です。帯電体を近づけたり、接地（指で触れる）したりすることで、導体内の電荷がどのように移動し、箔が開閉するかを理解することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
帯電していない箔検電器に、負に帯電した塩化ビニル管を近づけます。
塩化ビニル管（マイナス）からの反発力（斥力）を受けて、金属板にある自由電子（マイナス）は、できるだけ遠くへ逃げようとします。
逃げ場所は「箔」しかありません。
その結果、金属板は電子不足（プラス）、箔は電子過剰（マイナス）になります。
この設問における重要なポイント

• 塩化ビニル管は負帯電体です。
• 自由電子は負電荷なので、負帯電体から反発力を受けます。
• 箔に溜まった負電荷同士が反発し合って箔が開きます。

具体的な解説と立式
負に帯電した塩化ビニル管を金属板に近づけると、金属板内の自由電子は斥力を受け、金属板から遠い箔の方へ移動します。
その結果、金属板は正に帯電し、箔は負に帯電します。
2枚の箔はともに負に帯電するため、互いに斥力を及ぼし合って開きます。

計算不要。
箔の電荷は「負」です。

マイナスの電気を持った棒（お化け）が上から近づいてきました。
金属板にいた電子たち（怖がりな子供たち）は、お化けから逃げるために下の方（箔）へ駆け込みます。
箔にはマイナスの電子がいっぱい集まるので、マイナス同士の反発力で箔がパッと開きます。

箔の電荷は「負」です。

問(2)

思考の道筋とポイント
この状態で金属板に指で触れます（接地します）。
指（人体）は導体であり、地球（アース）につながっています。
電子にとって、狭い「箔」よりも、広大な「地球」の方がはるかに遠くへ逃げられる場所です。
塩化ビニル管（マイナス）から逃げたい電子たちは、箔から戻ってきて、指を通って地球へと脱出します。
その結果、箔にあった過剰な電子はなくなり、箔は閉じます。
一方、金属板の正電荷は、塩化ビニル管の負電荷に引きつけられている（拘束されている）ため、そのまま残ります。
この設問における重要なポイント

• 指で触れる操作は「接地（アース）」を意味します。
• 電子は「箔」よりも遠い「地球」へ逃げようとします。
• 箔の電荷がなくなるため、箔は閉じます。

具体的な解説と立式
金属板に指で触れると、箔検電器は人体を通じて接地されます。
塩化ビニル管の負電荷からの斥力を受けていた自由電子は、より遠くへ逃げるために、箔から金属板、そして指を通って大地へと移動します。
これにより、箔の電荷は中和されて \(0\) になり、斥力がなくなるため箔は閉じます。
なお、金属板には塩化ビニル管の負電荷に引き寄せられた正電荷が残ります。

計算不要。
箔の開きは「閉じる」となります。

お化け（マイナス棒）がいる状態で、出口（指）を作ってあげます。
箔に逃げ込んでいた電子たちは、「もっと遠く（地球）へ逃げられるぞ！」と気づき、箔から出て指を通って逃げていきます。
箔から電子がいなくなるので、箔は閉じます。
ただし、金属板のプラス電気は、お化けに引き寄せられているので逃げずに残ります。

箔は閉じます。

問(3)

思考の道筋とポイント
まず指を離します。これで電子の逃げ道が断たれ、箔検電器全体の電荷量は「正（電子不足）」の状態に固定されます。
次に塩化ビニル管を遠ざけます。
すると、金属板に引きつけられていた正電荷（電子不足の状態）を縛り付ける力がなくなります。
正電荷同士は反発し合うので、金属板だけに留まらず、箔の方へも均等に広がろうとします。
その結果、箔にも正電荷が移動してきて、再び開きます。
この設問における重要なポイント

• 指を離した時点で、箔検電器全体が「正に帯電」した状態で孤立します。
• 塩化ビニル管を遠ざけると、電荷の偏りを維持する力がなくなります。
• 正電荷が全体に広がり、箔も正に帯電します。

具体的な解説と立式
指を離すと、大地への電子の移動経路が遮断されます。この時点で箔検電器全体は電子が不足しており、正に帯電しています。
次に塩化ビニル管を遠ざけると、金属板の正電荷を引き止めていた引力がなくなります。
正電荷は互いに反発し合い、導体全体に均一に分布しようとするため、一部が箔へと移動します。
その結果、箔は正に帯電し、正電荷同士の斥力によって再び開きます。

計算不要。
箔の開きは「開く」、電荷は「正」です。

出口（指）を閉じてから、お化け（マイナス棒）がいなくなりました。
金属板に残っていたプラス電気たちは、お化けがいなくなったので自由に動けるようになります。
プラス同士は仲が悪いので、狭い金属板に固まっているのを嫌がり、空いている箔の方へも広がっていきます。
箔にもプラス電気がやってくるので、プラス同士の反発力で箔が開きます。

箔は開き、電荷は正です。
この一連の操作（誘導→接地→切断→除去）によって、帯電体とは逆符号の電荷を導体に蓄えることができます。

問(4)

思考の道筋とポイント
現在、箔検電器全体は「正」に帯電しており、箔は開いています。
ここに新たな帯電体を近づけたとき、箔の電荷（正）が増えるか減るかを考えます。
(a) 正帯電体を近づける：金属板の電子が吸い寄せられ、箔の正電荷がさらに増えます。
(b) 負帯電体を近づける：金属板の電子が反発して箔へ逃げ、箔の正電荷を中和（減少）させます。
この設問における重要なポイント

• 現状：箔は正帯電。
• (a) 正を近づける → 静電誘導で電子が金属板へ移動 → 箔はさらに電子不足（正電荷増加） → さらに開く。
• (b) 負を近づける → 静電誘導で電子が箔へ移動 → 箔の電子不足が解消される（正電荷減少） → 閉じていく。

具体的な解説と立式
(a) 正に帯電した物体を近づける
正電荷からの引力により、箔にある自由電子が金属板へと引き寄せられます。
これにより、箔の電子不足がさらに深刻化し、正電荷の量が増加します。
正電荷同士の斥力が強まるため、箔はさらに大きく開きます。

(b) (1)の負に帯電した塩化ビニル管を近づける
負電荷からの斥力により、金属板にある自由電子が箔へと追いやられます。
箔に流れ込んだ電子は、そこにある正電荷と中和します（正電荷の量を減らします）。
正電荷が減少するため斥力が弱まり、箔は閉じていきます。
（※さらに近づけると、中和を超えて負に帯電し、再び開くこともあります）

計算不要。

今は箔検電器全体がプラスの状態です。
(a) プラスの棒を近づけると、電子（マイナス）が棒の方（上）へ吸い寄せられます。下（箔）はますます電子が足りなくなり、プラスが強まるので、もっと大きく開きます。
(b) マイナスの棒を近づけると、電子（マイナス）が棒から逃げて下（箔）へ降りてきます。降りてきた電子が箔のプラスを打ち消すので、プラスが弱まり、箔は閉じていきます。

(a) さらに大きく開く。
(b) 閉じていく。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 静電誘導と電荷の移動
  • 核心: 導体（箔検電器）に帯電体を近づけると、導体内の自由電子が移動し、帯電体に近い側に異種電荷、遠い側に同種電荷が現れます。
  • 理解のポイント:
    • 電子の動き: 常に「負電荷（電子）が動く」と考えます。正電荷（原子核）は動きません。
    • 箔の開閉: 箔が開くのは、2枚の箔に「同種の電荷」が溜まり、斥力が働くからです。電荷がなくなれば閉じます。
• 接地（アース）の役割
  • 核心: 導体を接地すると、地球との間で電子のやり取りが行われ、導体の電位が \(0\)（地球の電位）になります。
  • 理解のポイント:
    • 電子の逃げ道: 接地線（指）は、電子にとって無限に広い逃げ場所（または供給源）となります。
    • 拘束電荷と自由電荷: 帯電体に引きつけられている電荷（拘束電荷）は逃げませんが、反発している電荷（自由電荷）はアースへ逃げていきます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 帯電体の符号が逆の場合: 正に帯電したガラス棒を近づける問題では、電子の移動方向がすべて逆になります。しかし、「接地すると帯電体と逆符号に帯電する」という結論は変わりません。
  • 箔が閉じてから再び開く現象: 問(4)(b)でさらに負帯電体を近づけると、箔の正電荷が完全に中和されて一度閉じ、さらに電子が供給されて負に帯電し、再び開くことがあります。この「閉じて開く」プロセスは難関大でよく問われます。
  • はく検電器のシールド: 箔検電器のガラス瓶の内側に金属網（シールド）がある場合、外部電場の影響を受けなくなります（静電遮蔽）。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 初期状態の確認: 箔検電器は帯電しているか、中性か。
  2. 操作の順序: 「指を離す」のが先か、「帯電体を遠ざける」のが先か。これが最終的な帯電状態を決定します。
  3. 電子の移動: 常に「電子はどっちへ動きたがっているか？」を矢印でイメージします。帯電体から逃げるのか、吸い寄せられるのか。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 正電荷が動くと考えてしまう:
  • 誤解: 「プラスの電気が指から逃げた」と考えてしまう。
  • 対策: 結果は合っていても物理的に誤りです。「電子が指から入ってきた（プラスを中和した）」と考える癖をつけましょう。
• 接地＝電荷ゼロという思い込み:
  • 誤解: 接地すれば必ず電荷がなくなると考え、帯電体があるのに金属板の電荷もゼロにしてしまう。
  • 対策: 接地してゼロになるのは「電位」です。帯電体がある場合、電位をゼロにするために、あえて電荷（拘束電荷）が残る必要があります。
• 箔の電荷の正負:
  • 誤解: 箔が開いている＝プラスに帯電している、と思い込む。
  • 対策: 箔はプラスでもマイナスでも開きます。直前の操作で電子が「入ってきた」のか「出ていった」のかを追跡して符号を判断しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 問(1)〜(3)でのアプローチ選択（静電誘導の原理）:
  • 選定理由: 数値計算ではなく、電荷の分布と移動を定性的に問われているため、クーロン力による電子の移動原理を使います。
  • 適用根拠: 導体内の自由電子は、外部電場によって容易に移動できるため。
• 問(2)でのアプローチ選択（電位の概念）:
  • 選定理由: 接地による電荷の移動方向を間違いなく判断するため。
  • 適用根拠: 「負電荷のそばは電位が低い」「接地は電位ゼロ」という原則を使えば、電子（負電荷）が「低い方から高い方（アース）へ」流れることが自然に導けます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 図を描いてプラスマイナスを書き込む:
  • 頭の中だけで考えると、「電子が逃げたからプラス…いやマイナス？」と混乱します。
  • 検電器の図を書き、帯電体に近い側に「＋」、遠い側に「−」を書き込み、指を触れたら「−」が消える、といった具合に図で操作を追跡しましょう。
• ストーリーで覚える:
  • 「お化け（帯電体）が来た → 子供（電子）が逃げた → 出口（指）ができた → 子供が外へ逃げた → 出口が閉じた → お化けが去った → 家（検電器）は子供不足（プラス帯電）」というように、擬人化したストーリーで流れを理解すると忘れません。

ABOUT THE AUTHOR

共田 誠（まこと先生）

高校物理講師・プロ家庭教師 / 指導歴14年

上智大学理工学部物理学科卒。私立高校の非常勤講師として進学クラスから基礎クラスまで幅広く担当。大手家庭教師センター3社でプロ家庭教師を経験し、現在はオンライン専門で全国の高校生を個別指導中。

「暗記物理の撲滅」を掲げ、生徒の思考のクセを診断・矯正するドクター型アプローチで指導。表面的なテクニックではなく、初見の問題に強い思考力を育てる。

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14年指導歴

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