「セミナー物理基礎＋物理2025」徹底解説！【第 Ⅵ 章 21】基本例題～基本問題529

基本例題

基本例題73 誘導起電力

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「時間変化する磁場中のコイルに生じる誘導起電力」です。電磁誘導の法則をグラフと結びつけて理解し、正確に計算・描図する能力が問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

誘導起電力のグラフ化

思考の道筋とポイント
誘導起電力 \(V\) は、磁束 \(\phi\) の時間変化率に比例します。ここでは断面積 \(S\) が一定なので、磁束密度 \(B\) の時間変化率、つまり与えられた \(B-t\) グラフの「傾き」に注目します。傾きが一定の区間では誘導起電力も一定（定数）となり、傾きが \(0\) の区間では誘導起電力も \(0\) になります。
この設問における重要なポイント

• コイルの巻数 \(N = 500\)、断面積 \(S = 1.0 \times 10^{-3}\,\text{m}^2\)。
• 磁場 \(B\) は右向きを正、誘導起電力 \(V\) はXが高電位（Xがプラス極）となる場合を正とする。
• 時間区間を以下の3つに分けて考える。
  1. \(0 \le t \le 2.0 \times 10^{-2}\,\text{s}\)
  2. \(2.0 \times 10^{-2} \le t \le 4.0 \times 10^{-2}\,\text{s}\)
  3. \(4.0 \times 10^{-2} \le t \le 8.0 \times 10^{-2}\,\text{s}\)

具体的な解説と立式
各区間において、ファラデーの電磁誘導の法則に基づき、誘導起電力の大きさ \(|V|\) を求める式を立てます。
磁束の変化は \(\Delta \phi = \Delta B \times S\) なので、起電力の大きさの式は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
|V| &= \left| -N \frac{\Delta \phi}{\Delta t} \right| \\[2.0ex]
&= N S \left| \frac{\Delta B}{\Delta t} \right|
\end{aligned}
$$
ここで、\(\frac{\Delta B}{\Delta t}\) は \(B-t\) グラフの傾きに相当します。

1. 区間 \(0 \sim 2.0 \times 10^{-2}\,\text{s}\):
グラフより、\(B\) は \(0\) から \(2.0 \times 10^{-2}\,\text{T}\) まで増加しています。
$$ |V_1| = 500 \times (1.0 \times 10^{-3}) \times \left| \frac{2.0 \times 10^{-2} – 0}{2.0 \times 10^{-2} – 0} \right| $$
向きの判定（レンツの法則）:
右向きの磁束が増加しているため、それを妨げる「左向き」の磁束を作る向きに誘導電流を流そうとします。右手の法則より、電流は Y \(\rightarrow\) コイル \(\rightarrow\) X の向きに流れます。コイルを電池とみなすと、電流が出てくる端子 X が正極（高電位）となります。したがって、\(V_1\) は正の値です。

2. 区間 \(2.0 \times 10^{-2} \sim 4.0 \times 10^{-2}\,\text{s}\):
グラフより、\(B\) は一定です。
$$ |V_2| = 500 \times (1.0 \times 10^{-3}) \times \left| 0 \right| $$

3. 区間 \(4.0 \times 10^{-2} \sim 8.0 \times 10^{-2}\,\text{s}\):
グラフより、\(B\) は \(2.0 \times 10^{-2}\,\text{T}\) から \(0\) まで減少しています。
$$ |V_3| = 500 \times (1.0 \times 10^{-3}) \times \left| \frac{0 – 2.0 \times 10^{-2}}{8.0 \times 10^{-2} – 4.0 \times 10^{-2}} \right| $$
向きの判定（レンツの法則）:
右向きの磁束が減少しているため、それを補う「右向き」の磁束を作る向きに誘導電流を流そうとします。右手の法則より、電流は X \(\rightarrow\) コイル \(\rightarrow\) Y の向きに流れます。コイルを電池とみなすと、電流が出てくる端子 Y が正極となり、X は負極（低電位）となります。したがって、\(V_3\) は負の値です。

各区間の値を計算します。

1. 区間 \(0 \sim 2.0 \times 10^{-2}\,\text{s}\):
$$
\begin{aligned}
|V_1| &= 500 \times (1.0 \times 10^{-3}) \times \frac{2.0 \times 10^{-2}}{2.0 \times 10^{-2}} \\[2.0ex]
&= 0.50 \times 1.0 \\[2.0ex]
&= 0.50\,\text{V}
\end{aligned}
$$
向きは正なので、\(V_1 = 0.50\,\text{V}\)。

2. 区間 \(2.0 \times 10^{-2} \sim 4.0 \times 10^{-2}\,\text{s}\):
傾きが \(0\) なので、
$$ V_2 = 0\,\text{V} $$

3. 区間 \(4.0 \times 10^{-2} \sim 8.0 \times 10^{-2}\,\text{s}\):
$$
\begin{aligned}
|V_3| &= 500 \times (1.0 \times 10^{-3}) \times \left| \frac{-2.0 \times 10^{-2}}{4.0 \times 10^{-2}} \right| \\[2.0ex]
&= 0.50 \times \left| -0.50 \right| \\[2.0ex]
&= 0.50 \times 0.50 \\[2.0ex]
&= 0.25\,\text{V}
\end{aligned}
$$
向きは負なので、\(V_3 = -0.25\,\text{V}\)。

コイルの中を貫く磁場の強さが変わると、コイルは発電機（電池）に変身します。最初の区間では、磁場が急激に強くなっているので、その変化を打ち消そうと頑張って強い電気（\(0.50\,\text{V}\)）を作ります。このとき、X側がプラスになる向きに電気が生まれます。次の区間では、磁場の強さが変わらないので、コイルは発電しません（\(0\,\text{V}\)）。最後の区間では、磁場がゆっくり弱くなっているので、今度は減るのを食い止めようと逆向きに電気を作ります。変化がゆっくりなので、発電する力は最初より弱く（\(-0.25\,\text{V}\)）なります。

\(0 \sim 2.0 \times 10^{-2}\,\text{s}\) で \(V = 0.50\,\text{V}\)、\(2.0 \times 10^{-2} \sim 4.0 \times 10^{-2}\,\text{s}\) で \(V = 0\,\text{V}\)、\(4.0 \times 10^{-2} \sim 8.0 \times 10^{-2}\,\text{s}\) で \(V = -0.25\,\text{V}\) となりました。グラフの傾きが急なほど（変化が激しいほど）大きな電圧が生じ、傾きの正負が逆転すると電圧の正負も逆転するという物理的直感と一致しています。また、最後の区間は時間が2倍かかっている（変化が緩やか）ため、電圧の大きさは最初の区間の半分になっています。これも妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ファラデーの電磁誘導の法則とグラフの解釈
  • 核心: 誘導起電力の大きさ \(|V|\) が、磁束の時間変化率 \(\left| \frac{\Delta \phi}{\Delta t} \right|\) に比例するという法則です。本問のようにコイルの断面積 \(S\) が一定の場合、これは磁束密度 \(B\) の時間変化率、すなわち \(B-t\) グラフの傾きの大きさ に直結します。
  • 理解のポイント: 「グラフの傾きが急であるほど電圧（起電力）が大きくなる」「傾きがゼロ（水平）なら電圧もゼロになる」という視覚的な情報と数式を結びつけて理解することが重要です。
• レンツの法則による向きの判定
  • 核心: 自然界は「急激な変化を嫌う」という性質を持っています。磁束が増えればそれを打ち消そうとする向きに、減ればそれを補おうとする向きに磁場を作るよう、誘導電流が流れます。
  • 理解のポイント: 「現在の磁場の向き」だけで判断せず、「磁場の変化の向き（増えたか減ったか）」に注目するのがコツです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • コイルが磁場領域に出入りする問題: この場合、磁束密度 \(B\) は一定ですが、磁場中にあるコイルの面積 \(S\) が変化します。このときも \(\phi = BS\) の変化率を考えますが、横軸が時間 \(t\) ではなく位置 \(x\) のグラフを描かせる問題も頻出です。
  • 導体棒がレール上を動く問題: これも回路の面積 \(S\) が変化するパターンの一種です。ファラデーの法則でも解けますが、導体棒の速度 \(v\) を用いた公式 \(V = vBL\) を使う方が計算が速い場合があります。本問のように「回路自体が動かない」場合はファラデーの法則が基本です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 何が変化しているかを見抜く: 磁束 \(\phi = BS\) のうち、磁束密度 \(B\) が時間変化しているのか（本問）、面積 \(S\) が時間変化しているのか、あるいはコイルの角度が変わっているのかを確認します。
  2. グラフの「折れ点」をマークする: \(B-t\) グラフの傾きが変化する瞬間（折れ曲がる点）は、誘導起電力 \(V\) が不連続に変化する（ステップ状になる）瞬間です。ここが時間区分の境界になります。
  3. 正の向きの定義をチェックする: 問題文で「どちら向きの電流・電圧を正とするか」が指定されている場合、それに逆らわないよう細心の注意を払います。別解で示した「符号付き計算」は、この定義ミスを防ぐのに有効です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 磁束の「向き」と「変化」の混同:
  • 誤解: 「右向きの磁場だから、左向きに磁場を作る電流が流れる」と短絡的に考えてしまう。
  • 対策: 重要なのは「右向きの磁場が 増えているか、減っているか」です。「右向きが増加 \(\rightarrow\) 左向きに作る（反発）」「右向きが減少 \(\rightarrow\) 右向きに作る（維持）」という2ステップで必ず考えましょう。
• グラフ軸の指数（\(\times 10^{-n}\)）の見落とし:
  • 誤解: グラフの目盛りだけを見て、\(2.0\) や \(4.0\) という数値をそのまま計算に使ってしまう。
  • 対策: 軸のラベルにある \(\times 10^{-2}\) などの倍率を必ず丸で囲み、計算式に代入する際は最初から指数付きで書く癖をつけましょう。答えの桁がずれる原因の多くはこれです。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• ファラデーの電磁誘導の法則 \(V = -N \frac{\Delta \phi}{\Delta t}\) の選択:
  • 選定理由: コイルを貫く磁束が時間とともに変化する現象を扱っているためです。特に、導体棒が動くわけではなく、磁場そのものが変化する状況では、ローレンツ力（\(V=vBL\)）の観点よりもファラデーの法則の方が現象を直接的に記述でき、適用しやすいからです。
  • 適用根拠: 磁束 \(\phi\) が \(B \times S\) で表され、\(S\) が定数、\(B\) が時間の関数としてグラフで与えられているため、この公式の \(\frac{\Delta \phi}{\Delta t}\) を \(\frac{\Delta B}{\Delta t} \times S\) と変形して利用するのが最も論理的かつ効率的です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 指数の計算を分離する:
  • \(500 \times (1.0 \times 10^{-3}) \times \dots\) のような計算では、いきなり掛け算をするのではなく、仮数部（\(500 \times 1.0\)）と指数部（\(10^{-3}\)）を分けて整理してから計算するとミスが激減します。
• 傾きの計算は「後引く前」を徹底する:
  • 変化率 \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) を計算するときは、必ず \(\frac{y_{\text{後}} – y_{\text{前}}}{x_{\text{後}} – x_{\text{前}}}\) の順序を守りましょう。特に減少する区間（右下がりのグラフ）で、分子の引き算の順序を逆にして符号を間違えるミスが多発します。
• 物理的直感による検算:
  • 計算が終わったら、「グラフの傾きが急な区間ほど電圧の絶対値は大きくなっているか？」「傾きがない区間は電圧ゼロになっているか？」という直感的なチェックを必ず行いましょう。これだけで大きな計算ミスは発見できます。

基本例題74 磁場中を運動する導体棒

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「磁場中を運動する導体棒に生じる電磁誘導」です。電磁気学と力学が融合した最重要テーマの一つであり、入試でも頻出です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
導体棒が動くと、閉回路を貫く磁束が変化します。この変化を打ち消す向きに誘導電流が流れる（レンツの法則）ことを利用します。また、導体棒自体を「起電力を生じている電池」とみなすことが重要です。電池の内部では、電流は負極（低電位）から正極（高電位）に向かって流れることに注意しましょう。
この設問における重要なポイント

• 棒が右に動くと、回路の面積が増加する。
• 磁場は上向きである。
• レンツの法則により、磁束の増加を妨げる向きに磁場を作るよう電流が流れる。
• 電流を流す源（導体棒）において、電流が出ていく側が高電位である。

具体的な解説と立式
棒PQが右向きに動くと、抵抗 \(R\) と棒PQで作られる閉回路の面積が増加します。
磁場は上向きなので、回路を貫く「上向きの磁束」が増加することになります。

レンツの法則より、この増加を妨げるため、「下向きの磁場」を作る向きに誘導電流が流れます。
右ねじの法則より、下向きの磁場を作る電流の向きは、上から見て時計回りです。
したがって、回路を流れる電流の向きは \(P \rightarrow Q \rightarrow R \rightarrow P\) となります。
つまり、棒PQの中を流れる電流の向きは、\(P \rightarrow Q\) です。

ここで、棒PQを一つの電池とみなします。
電池を含む回路において、電流は電池の正極から出て、外部回路を通り、負極へと戻ります。
棒PQから電流がQ側へ出ていくということは、Q側が電池の正極（プラス極）に相当します。
したがって、Qの電位の方が高くなります。

（計算は不要で、論理的な推論のみで解答します）

棒が右に動くと、回路の枠が広がり、その中を通る上向きの磁力線が増えます。自然界には「変化を嫌う」という性質（レンツの法則）があるため、回路は増えた上向きの磁力線を打ち消そうとして、下向きの磁力線を自分で作ろうとします。右手を使い、親指を下に向けると、他の指は時計回りに回ります。これが電流の向きです。棒PQの部分ではPからQへ電流が流れるので、Q側が電気を送り出す出口、つまり「プラス極（高電位）」になります。

電流は \(P \rightarrow Q\) に流れ、Qが高電位となります。

問(2)

思考の道筋とポイント
まず、導体棒に生じる誘導起電力の大きさ \(V\) を求めます。これには公式 \(V=vBL\) を使うのが最も早いです。次に、この起電力によって抵抗 \(R\) を流れる電流 \(I\) を、オームの法則 \(V=RI\) を用いて計算します。
この設問における重要なポイント

• 誘導起電力の大きさは \(V = vBL\)。
• 回路全体の抵抗は \(R\) のみ（導線と棒の抵抗は無視）。
• オームの法則 \(I = V/R\) を適用する。

具体的な解説と立式
導体棒PQが速度 \(v\) で磁束密度 \(B\) の磁場を垂直に横切るとき、生じる誘導起電力の大きさ \(V\) は以下の式で表されます。
$$ V = vBL $$
この起電力 \(V\) によって、抵抗値 \(R\) の抵抗に電流 \(I\) が流れます。
オームの法則より、
$$ V = RI $$
したがって、電流 \(I\) は、
$$ I = \frac{V}{R} $$

起電力の式を電流の式に代入します。
$$
\begin{aligned}
I &= \frac{vBL}{R}
\end{aligned}
$$

この棒は、動くことで \(vBL\) という電圧を持つ電池になります。この電池に抵抗 \(R\) がつながれているので、流れる電流は「電圧 \(\div\) 抵抗」で計算できます。

電流の大きさは \(I = \frac{vBL}{R}\) です。速度 \(v\) や磁場 \(B\) が大きいほど電流が大きくなり、抵抗 \(R\) が大きいほど電流が小さくなるため、物理的にも妥当です。

問(3)

思考の道筋とポイント
導体棒は「一定の速さ \(v\)」で動いています。これは力がつりあっている状態（等速直線運動）を意味します。導体棒には、私たちが加える「外力」と、磁場中を流れる電流が受ける「電磁力」が働いています。この2つの力がつりあう条件式を立てます。
この設問における重要なポイント

• 導体棒は等速運動をしている \(\rightarrow\) 力のつりあいが成立。
• 電流 \(I\) が流れる導体棒は、磁場から力（電磁力）を受ける。
• 電磁力の大きさは \(F = IBL\)。
• 電磁力の向きはフレミングの左手の法則で決定する。

具体的な解説と立式
まず、導体棒PQが磁場から受ける電磁力 \(F_{\text{磁}}\) の向きと大きさを考えます。
電流は \(P \rightarrow Q\)（手前向き）に流れています。磁場は上向きです。
フレミングの左手の法則より、電磁力の向きは「左向き」です。
その大きさは、
$$ F_{\text{磁}} = IBL $$
導体棒を一定の速さで右向きに動かし続けるには、この左向きの電磁力とつりあうように、右向きの外力 \(F_{\text{外}}\) を加える必要があります。
力のつりあいの式（右向きを正）は以下のようになります。
$$ F_{\text{外}} – F_{\text{磁}} = 0 $$
よって、必要な外力の大きさは、
$$ F_{\text{外}} = F_{\text{磁}} = IBL $$

(2)で求めた \(I = \frac{vBL}{R}\) を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
F_{\text{外}} &= \left( \frac{vBL}{R} \right) \times B \times L \\[2.0ex]
&= \frac{vB^2L^2}{R}
\end{aligned}
$$

電流が流れている棒を磁石の中に置くと、棒は力を受けます（モーターの原理）。この力は、棒の動きを邪魔する向き（左向き）に働きます。棒を一定のスピードで右に動かし続けるには、この邪魔する力と同じ大きさの力で、右向きに引っ張り続ける必要があります。

必要な力の大きさは \(\frac{vB^2L^2}{R}\) です。速度 \(v\) が速いほど、磁場 \(B\) が強いほど、棒が長いほど、大きな力が必要になります。これは、発電量が増えるほど、手回し発電機のハンドルが重くなる現象と同じで、エネルギー保存の観点からも妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 電磁誘導とレンツの法則
  • 核心: 「磁束が変化すると、その変化を妨げる向きに誘導起電力が生じる」という自然界の基本原理です。本問では、導体棒の運動によって回路の面積が変化し、それが磁束の変化を引き起こすというプロセスを理解することが出発点です。
  • 理解のポイント: 導体棒自体が「電池」になるという視点を持つことが重要です。レンツの法則で電流の向きを決め、電流が出ていく側を「正極（高電位）」と定義する流れを確実にマスターしましょう。
• エネルギー変換の原理
  • 核心: 「力学的エネルギー（外力の仕事）」が「電気エネルギー（電力）」に変換され、最終的に「熱エネルギー（ジュール熱）」として消費されるというエネルギーの流れです。
  • 理解のポイント: (3)の別解で示したように、力のつりあいだけでなく、エネルギー保存則（仕事率＝消費電力）からも同じ結論が導かれることは、物理現象の整合性を理解する上で非常に重要です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 斜面上の導体棒: 重力が外力として働くパターンです。重力の斜面方向成分 \(mg \sin \theta\) と電磁力 \(IBL \cos \theta\)（磁場の向きによる）がつりあう終端速度を求める問題が頻出です。
  • コイル（一巻き）の引き出し: 導体棒ではなく、四角形のコイル全体が磁場領域に出入りする問題。辺ごとに生じる誘導起電力を考え、それらの和（または差）で回路全体の起電力を計算します。
  • コンデンサーを含む回路: 抵抗の代わりにコンデンサーがつながれている場合、電流は一瞬だけ流れ、コンデンサーが充電されると止まります。このとき、導体棒には等加速度運動が生じることがあります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 閉回路を見つける: どの部分が回路を形成しているかを確認し、その面積が時間とともにどう変化するか（増えるのか減るのか）を見極めます。
  2. 誘導起電力の向きを矢印で書き込む: レンツの法則やローレンツ力の考察から、導体棒に生じる起電力の向き（電池の向き）を矢印で図に書き込みます。これで回路問題として扱いやすくなります。
  3. 力の作図をする: 導体棒の運動を扱う場合は、必ず「電磁力 \(IBL\)」を書き忘れないようにしましょう。運動方向と逆向きに働くのが基本です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 電位の高低の判断ミス:
  • 誤解: 電流が流れる方向（\(P \to Q\)）を見て、水が高いところから低いところへ流れるイメージで「Pが高電位」と答えてしまう。
  • 対策: 導体棒は「抵抗」ではなく「電池」です。電池内部では、電流は負極（低）から正極（高）へ汲み上げられます。「電流が出ていく側が高電位」というルールを徹底しましょう。
• 電磁力の向きのミス:
  • 誤解: フレミングの左手の法則を使う際、中指（電流）と人差し指（磁場）の向きを逆にしてしまう、あるいは右手を使ってしまう。
  • 対策: 「電・磁・力（中・人・親）」の語呂合わせを確実に覚えるか、あるいは「電流ベクトル \(\vec{I}\) から磁場ベクトル \(\vec{B}\) へ回した右ねじが進む向き（外積 \(\vec{I} \times \vec{B}\)）」という数学的な定義で確認する方法も有効です。
• 公式適用の条件見落とし:
  • 誤解: 磁場に対して導体棒が斜めに動いているのに、そのまま \(V=vBL\) を使ってしまう。
  • 対策: 公式 \(V=vBL\) は、速度 \(v\)、磁場 \(B\)、棒 \(L\) が互いに垂直である場合にのみ成り立ちます。斜めの場合は、垂直成分（\(v \sin \theta\) など）を用いる必要があります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 誘導起電力 \(V=vBL\) の選択:
  • 選定理由: 導体棒が磁場中を運動する問題において、最も直接的に起電力を求められる公式だからです。ファラデーの法則 \(V = \frac{\Delta \phi}{\Delta t}\) から導出することも可能ですが、試験では \(V=vBL\) を公式として即座に適用するスピードが求められます。
  • 適用根拠: 磁束密度 \(B\) が一様で、導体棒が速度 \(v\) で磁場を垂直に切っているため、この公式がそのまま適用できます。
• 力のつりあい \(F_{\text{外}} = F_{\text{磁}}\) の選択:
  • 選定理由: 問題文に「一定の速さ \(v\) で動かした」というキーワードがあるためです。これは加速度が \(0\) であることを意味し、運動方程式 \(ma=F\) において \(a=0\)、つまり力がつりあっている状態を示唆しています。
  • 適用根拠: 導体棒に働く水平方向の力は、外力と電磁力の2つだけであるため、これらが等しいと置くのが最も自然な解法です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式の次元確認（単位チェック）:
  • 答えが出たら、単位を確認しましょう。例えば(3)の力 \(F\) の答えが \(\frac{vB^2L^2}{R}\) となりましたが、これが力の単位（N）になっているかを確認するのは難しいかもしれません。しかし、\(F = IBL\) の形と比較して、\(I\) が \(\frac{vBL}{R}\)（アンペア）に置き換わっていると考えれば、次元が合っていることが確認できます。
• 途中式の文字を丁寧に書く:
  • \(v\)（速度）と \(V\)（電圧）、\(l\)（リットルや長さ）と \(1\)（数字）など、紛らわしい文字を明確に書き分ける癖をつけましょう。特に電磁気では文字数が多くなるため、筆記体の \(\ell\) を使うなどの工夫が有効です。
• 別解による検算の習慣化:
  • (3)のように、力のつりあいとエネルギー保存則という全く異なるアプローチで同じ答えが出るかを確認することは、最強の検算テクニックです。試験本番でも、余裕があればぜひ実践してください。

基本例題75 自己誘導

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「RL回路の過渡現象と自己誘導」です。スイッチを入れた直後と十分時間が経過した後の回路の状態変化を理解することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
スイッチを入れた瞬間、コイルは「電流の変化を妨げる」という性質を最大限に発揮します。具体的には、電流が \(0\) から増えようとするのを全力で阻止するため、その瞬間だけ電流は \(0\) のままです。電流が \(0\) ならば、抵抗での電圧降下（\(RI\)）も \(0\) になります。この状態でキルヒホッフの法則を適用します。
この設問における重要なポイント

• スイッチを入れた直後、コイルに流れる電流 \(I = 0\)。
• 抵抗での電圧降下 \(V_R = R \times 0 = 0\,\text{V}\)。
• キルヒホッフの第2法則を用いて回路全体の電圧の関係式を立てる。

具体的な解説と立式
スイッチを閉じた直後、自己誘導の作用により、コイルには電流が流れません。
すなわち、回路を流れる電流は \(I = 0\,\text{A}\) です。
したがって、抵抗 \(R\) での電圧降下は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
V_R &= RI \\[2.0ex]
&= 50 \times 0 \\[2.0ex]
&= 0\,\text{V}
\end{aligned}
$$
コイルに生じる誘導起電力（逆起電力）の大きさを \(V_L\) とします。
電源の起電力を \(E = 20\,\text{V}\) とし、時計回りにキルヒホッフの第2法則（起電力の和 \(=\) 電圧降下の和）を適用します。
ここでは、コイルが電池（起電力 \(V_L\)）として振る舞い、その向きは電源と逆向き（電流の増加を妨げる向き）であると考えます。
あるいは、単純に回路の電位を追っていくと、電源で \(20\,\text{V}\) 上がり、抵抗で \(0\,\text{V}\) 下がり、コイルで \(V_L\) 下がって元の高さに戻ると考えられます。
$$ 20 – V_L = 0 $$

立てた式より、
$$
\begin{aligned}
V_L &= 20\,\text{V}
\end{aligned}
$$

スイッチを入れた瞬間、コイルは「通せんぼ」をして電流を全く通しません。電流が流れないので、抵抗は何もしません（電圧を使わない）。その結果、電池のパワー（\(20\,\text{V}\)）は、すべて「通せんぼ」しているコイルにかかることになります。つまり、コイルは電池と全く同じ強さで逆向きに押し返しているわけです。

コイルに生じる誘導起電力の大きさは \(20\,\text{V}\) です。電源電圧と等しい電圧が生じることで電流の流れ出しを阻止しているという解釈は物理的に妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
スイッチを入れてから十分に時間が経つと、電流の値は一定になり、変化しなくなります。自己誘導は「電流が変化するとき」にしか起こらないため、この状態ではコイルは何もしないただの導線になります。
この設問における重要なポイント

• 十分時間が経過 \(\rightarrow\) 電流 \(I\) は一定。
• 電流変化がないため、コイルの誘導起電力 \(V_L = -L \frac{\Delta I}{\Delta t} = 0\,\text{V}\)。
• コイルは単なる導線（ショート状態）とみなせる。
• コイルのエネルギーの公式 \(U = \frac{1}{2}LI^2\) を用いる。

具体的な解説と立式
十分に時間が経過すると、電流 \(I\) は一定値になります。
電流の時間変化率 \(\frac{\Delta I}{\Delta t} = 0\) なので、コイルの誘導起電力は \(0\,\text{V}\) です。
このとき、コイルは抵抗のない導線とみなせます。
回路は起電力 \(20\,\text{V}\) の電源と \(50\,\Omega\) の抵抗のみからなる単純な回路となります。
キルヒホッフの第2法則（またはオームの法則）より、以下の式が成り立ちます。
$$ 20 = 50 I $$
これにより電流 \(I\) を求めます。

次に、コイルに蓄えられるエネルギー \(U\) を求めます。
自己インダクタンス \(L = 4.0\,\text{H}\) と求めた電流 \(I\) を用いて、以下の式で計算します。
$$ U = \frac{1}{2} L I^2 $$

まず、電流 \(I\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
50 I &= 20 \\[2.0ex]
I &= \frac{20}{50} \\[2.0ex]
&= 0.40\,\text{A}
\end{aligned}
$$
次に、エネルギー \(U\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
U &= \frac{1}{2} \times 4.0 \times (0.40)^2 \\[2.0ex]
&= 2.0 \times 0.16 \\[2.0ex]
&= 0.32\,\text{J}
\end{aligned}
$$

ずっと待っていると、電流は落ち着いて一定の量だけ流れるようになります。こうなるとコイルはもう邪魔をしません。ただの銅線になります。だから、オームの法則を使って「\(20\,\text{V} \div 50\,\Omega\)」で電流が計算できます。
また、電流が流れているコイルは、磁場の形でエネルギーを貯め込んでいます。その量は公式に当てはめるだけで計算できます。

電流は \(0.40\,\text{A}\)、エネルギーは \(0.32\,\text{J}\) です。単位もそれぞれ \(\text{A}\)（アンペア）と \(\text{J}\)（ジュール）で正しく、数値も妥当な範囲です。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• コイルの過渡現象（スイッチON直後と十分時間経過後）
  • 核心: コイルは「電流の変化を嫌う」素子です。スイッチを入れた直後（電流 \(0 \to\) 増）は全力で抵抗し（断線状態）、時間が経って電流が一定になると何もしなくなります（導線状態）。この二面性を理解することが全てです。
  • 理解のポイント:
    • 直後: \(I=0\), \(V_L = E\)（電源電圧をフルに受ける）。
    • 十分後: \(I = E/R\), \(V_L = 0\)（ただの導線）。
• 自己誘導とエネルギー
  • 核心: コイルに電流が流れると、その周囲に磁場が形成されます。この磁場を作るためにエネルギーが必要であり、それが \(U = \frac{1}{2}LI^2\) として蓄えられます。
  • 理解のポイント: コンデンサーのエネルギー \(U = \frac{1}{2}CV^2\) と対比して覚えましょう。コンデンサーは電圧（電場）でエネルギーを蓄え、コイルは電流（磁場）でエネルギーを蓄えます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • スイッチを切った直後の挙動: スイッチを切ると、コイルは「電流を減らしたくない」ため、今まで流れていた電流を維持しようとします。このとき、コイルは起電力を持つ電池となり、スパーク（火花）が生じたり、ダイオードを通じて還流電流が流れたりします。
  • 交流回路におけるコイル: 交流電源につないだ場合、電流は常に変化し続けるため、コイルは常に抵抗（誘導リアクタンス \(X_L = \omega L\)）として振る舞います。直流回路の過渡現象との違いを明確に区別しましょう。
  • RL並列回路: 抵抗とコイルが並列につながっている場合、スイッチを入れた直後はコイル側に電流が流れず、全て抵抗側に流れます。十分時間が経つと、コイル側（抵抗なし）がショート状態となり、抵抗側には電流が流れなくなります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 「直後」か「十分時間が経過」かを確認する: 問題文のキーワードを探し、コイルの状態（断線 or 導線）を即座に決定します。
  2. 回路図を書き換える: 頭の中だけでなく、実際に「コイルを消した図（断線）」や「コイルを線にした図（導線）」を描くと、ミスが激減します。
  3. エネルギーの移動を追う: 電池がした仕事が、抵抗でのジュール熱とコイルの磁気エネルギーに分配されるというエネルギー保存の視点を持つと、検算に役立ちます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• スイッチON直後の電圧降下:
  • 誤解: 「電流が流れていないから電圧もかかっていない」と勘違いしてしまう。
  • 対策: 電流が \(0\) なのは「抵抗」での電圧降下が \(0\) だからです。回路全体で見れば、電源電圧はどこかで消費されなければなりません。それがコイル（断線箇所）の両端です。
• 誘導起電力の向き:
  • 誤解: コイルの起電力がどっち向きか分からなくなる。
  • 対策: 常に「変化を妨げる向き」です。電流が増えようとしているなら、それを押し戻す向き（電源と逆向き）に電池マークを描いて考えましょう。
• 単位のミス:
  • 誤解: 自己インダクタンス \(L\) の単位 \(\text{H}\)（ヘンリー）やエネルギー \(U\) の単位 \(\text{J}\)（ジュール）を書き忘れる。
  • 対策: 物理量の定義（\(V = -L \frac{\Delta I}{\Delta t}\) など）から単位の関係（\(\text{V} = \text{H} \cdot \text{A/s}\)）を確認する癖をつけましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• キルヒホッフの第2法則の選択:
  • 選定理由: 回路内の電圧の関係を厳密に記述する最も基本的な法則だからです。特に過渡現象のように、素子の役割（電池か抵抗か）が変化する場合でも、電圧の足し引きで確実に立式できます。
  • 適用根拠: 閉回路を一周したときの電位の変化の総和はゼロになるという原理に基づき、電源の昇圧と素子での降圧（または昇圧）を等式で結びます。
• エネルギー公式 \(U = \frac{1}{2}LI^2\) の選択:
  • 選定理由: コイルに蓄えられるエネルギーを問われた場合、電流 \(I\) と自己インダクタンス \(L\) が既知であれば、この公式一択です。
  • 適用根拠: 電流 \(I\) を \(0\) から \(I\) まで増加させる間に電源がコイルに対して行う仕事の総和を積分計算した結果がこの公式であり、定常状態のエネルギーを求めるのに適しています。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• \(0\) の扱いを丁寧にする:
  • \(V_R = 50 \times 0 = 0\) のように、\(0\) を掛ける計算も省略せずに書くことで、「なぜ \(0\) なのか（電流がないから）」という物理的理由を再確認できます。
• 回路図への書き込み:
  • 求めた値（電流 \(0.40\,\text{A}\) など）を回路図に書き込み、オームの法則 \(V=RI\) が各抵抗で成り立っているか、電圧の収支が合っているかを目視で確認しましょう。
• 桁数の確認:
  • \(0.40^2 = 0.16\) のような小数点の計算はミスしやすいポイントです。\(4 \times 4 = 16\) で、小数点が2つずれる、と指差し確認しましょう。

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