「セミナー物理基礎＋物理2025」徹底解説！【第 Ⅴ 章 18】基本問題458～464

基本問題

458 誘電体の挿入

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「誘電体の挿入によるコンデンサーの特性変化」です。誘電体を入れることで電気容量がどう変化するか、そして電源接続状態において静電エネルギーがどう変化するかを理解することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
静電エネルギー \(U\) を求める基本問題です。電気容量 \(C\) と電圧 \(V\) が与えられているので、これらを用いた公式を選択します。単位（\(\mu\text{F}\)）に注意して計算します。
この設問における重要なポイント

• 静電エネルギーの公式 \(U = \frac{1}{2}CV^2\) を正確に適用する。
• \(\mu\)（マイクロ）を \(10^{-6}\) に変換する。

具体的な解説と立式
求める静電エネルギーを \(U\) とします。
電気容量 \(C = 0.50\,\mu\text{F} = 0.50 \times 10^{-6}\,\text{F}\)、電圧 \(V = 10\,\text{V}\) です。
これらを公式 \(U = \frac{1}{2}CV^2\) に代入します。
$$
\begin{aligned}
U &= \frac{1}{2} \times (0.50 \times 10^{-6}) \times 10^2
\end{aligned}
$$

数値を計算します。
$$
\begin{aligned}
U &= \frac{1}{2} \times 0.50 \times 10^{-6} \times 100 \\[2.0ex] &= 0.25 \times 10^{-4} \\[2.0ex] &= 2.5 \times 10^{-5}\,\text{J}
\end{aligned}
$$

コンデンサーに電気を貯めると、エネルギーも一緒に貯まります。その量は、タンクの大きさ（容量）と圧力（電圧）の二乗に比例します。公式に数字を入れるだけの計算ですが、単位の変換を忘れないようにしましょう。

\(2.5 \times 10^{-5}\,\text{J}\) と求まりました。
エネルギーの単位はジュール（\(\text{J}\)）であり、計算結果の次元は \([\text{F}] \times [\text{V}]^2 = [\text{C}/\text{V}] \times [\text{V}]^2 = [\text{C} \cdot \text{V}] = [\text{J}]\) となり正しいです。また、電圧が \(10\,\text{V}\) と比較的低く、容量もマイクロファラドオーダーなので、エネルギーが \(10^{-5}\) のオーダーになるのは物理的に妥当な大きさです。

問(2)

思考の道筋とポイント
誘電体を挿入すると電気容量が変化します。比誘電率 \(\varepsilon_r = 2.0\) なので、容量は2倍になります。電池がつながったままなので電圧は \(10\,\text{V}\) のままです。新しい容量と元の電圧を使って、エネルギーを再計算します。
この設問における重要なポイント

• 比誘電率 \(\varepsilon_r\) の誘電体を入れると、電気容量は \(\varepsilon_r\) 倍になる（\(C’ = \varepsilon_r C\)）。
• 電池接続中は電圧 \(V\) が一定である。

具体的な解説と立式
まず、誘電体挿入後の電気容量 \(C’\) を求めます。比誘電率 \(\varepsilon_r = 2.0\) なので、
$$
\begin{aligned}
C’ &= \varepsilon_r C \\[2.0ex] &= 2.0 \times C
\end{aligned}
$$
次に、新しい静電エネルギー \(U’\) を求めます。電圧は \(V=10\,\text{V}\) のままなので、
$$
\begin{aligned}
U’ &= \frac{1}{2}C’V^2
\end{aligned}
$$

まず \(C’\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
C’ &= 2.0 \times (0.50 \times 10^{-6}) \\[2.0ex] &= 1.0 \times 10^{-6}\,\text{F}
\end{aligned}
$$
次に \(U’\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
U’ &= \frac{1}{2} \times (1.0 \times 10^{-6}) \times 10^2 \\[2.0ex] &= 0.50 \times 10^{-4} \\[2.0ex] &= 5.0 \times 10^{-5}\,\text{J}
\end{aligned}
$$

誘電体を入れると、電気が貯まりやすくなります。今回は比誘電率が2.0なので、容量は2倍になります。
電圧が変わらないまま容量が2倍になったので、貯まるエネルギーも増えます。新しい容量を使って計算し直します。

電気容量は \(1.0 \times 10^{-6}\,\text{F}\)、静電エネルギーは \(5.0 \times 10^{-5}\,\text{J}\) と求まりました。
比誘電率 \(\varepsilon_r > 1\) の誘電体を挿入したため、電気容量は増加しています。また、電圧 \(V\) が一定の条件下で容量 \(C\) が2倍になったため、エネルギー \(U = \frac{1}{2}CV^2\) も2倍（\(2.5 \times 10^{-5} \rightarrow 5.0 \times 10^{-5}\)）になっています。これは「容量が増えれば蓄えられるエネルギーも増える」という定性的な予測と完全に一致しており、計算結果は正しいと言えます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 誘電体の挿入と電気容量の変化
  • 核心: コンデンサーの極板間に誘電体（絶縁体）を入れると、誘電分極によって電場が弱められ、その結果として電気容量 \(C\) が増大します。
  • 理解のポイント: 比誘電率 \(\varepsilon_r\) の誘電体で満たすと、容量は真空時の \(\varepsilon_r\) 倍になります（\(C’ = \varepsilon_r C\)）。これはコンデンサーの性能を上げるための基本的な手法です。
• 電源接続時のエネルギー変化
  • 核心: 電池をつないだまま（\(V\) 一定）で容量 \(C\) を変化させると、静電エネルギー \(U = \frac{1}{2}CV^2\) も変化します。
  • 理解のポイント: \(V\) が一定なので、\(U\) は \(C\) に正比例します。つまり、容量が増えればエネルギーも増えます。この増えたエネルギーは、電池が供給した仕事によるものです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • スイッチを切ってから誘電体を挿入する場合: この場合は「電荷 \(Q\) が一定」になります。\(Q\) が一定で \(C\) が増えると、\(U = \frac{Q^2}{2C}\) よりエネルギーは減少します。この「\(V\) 一定」と「\(Q\) 一定」によるエネルギー増減の違いは頻出です。
  • 誘電体を途中まで挿入する場合: 極板間の一部にだけ誘電体が入っている問題。これは「真空のコンデンサー」と「誘電体入りのコンデンサー」の並列接続（または直列接続）とみなして合成容量を求めます。
  • 外力がする仕事: 誘電体を出し入れする際に外力が必要かどうかを問う問題。エネルギー変化 \(\Delta U\) と電池の仕事 \(W_{\text{電池}}\) から、外力の仕事 \(W_{\text{外}}\) を \(W_{\text{外}} = \Delta U – W_{\text{電池}}\) で求めます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. スイッチの状態を確認する: 「つないだまま」なら \(V\) 一定、「切ってから」なら \(Q\) 一定とメモします。
  2. 容量の変化率を確定する: 比誘電率 \(\varepsilon_r\) を確認し、\(C\) が何倍になるかを最初に計算します。
  3. エネルギーの公式を選ぶ: \(V\) 一定なら \(U = \frac{1}{2}CV^2\)、\(Q\) 一定なら \(U = \frac{Q^2}{2C}\) を使うと、変化の様子（増えるか減るか）が一目でわかります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 誘電率と比誘電率の混同:
  • 誤解: 公式 \(C = \varepsilon \frac{S}{d}\) の \(\varepsilon\) に、比誘電率 \(\varepsilon_r\) をそのまま代入してしまう。
  • 対策: 比誘電率 \(\varepsilon_r\) は「倍率」です。誘電体中の誘電率は \(\varepsilon = \varepsilon_r \varepsilon_0\) となることを忘れないようにしましょう。単位（\(\varepsilon_r\) は無次元）を確認するのも有効です。
• エネルギー変化の直感的な誤解:
  • 誤解: 「誘電体を入れるとエネルギーが減る」と丸暗記している。
  • 対策: エネルギーが増えるか減るかは、スイッチの状態（\(V\) 一定か \(Q\) 一定か）に依存します。丸暗記せず、必ず公式 \(U = \frac{1}{2}CV^2\) または \(U = \frac{Q^2}{2C}\) に基づいて判断しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（\(U = \frac{1}{2}CV^2\)）:
  • 選定理由: 与えられた物理量が \(C\) と \(V\) なので、これらを直接代入できるこの公式が最適です。
  • 適用根拠: 静電エネルギーの定義式であり、どのようなコンデンサーにも適用可能です。
• (2)での公式選択（\(C’ = \varepsilon_r C\)）:
  • 選定理由: 誘電体の挿入による容量変化を最も直接的に表す関係式だからです。
  • 適用根拠: 極板間全体を隙間なく誘電体で満たしているため、単純な倍率計算が適用できます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 比例計算の活用:
  • 別解で示したように、\(V\) が一定なら \(U \propto C\) という関係を使えば、\(U’ = \varepsilon_r U\) と瞬時に求まります。具体的な数値を代入して再計算するよりも、このような「比」を使った計算の方がミスが少なく、時間も短縮できます。
• オーダー（桁数）の確認:
  • 静電エネルギーは通常、非常に小さな値（\(10^{-6} \sim 10^{-3}\,\text{J}\) 程度）になります。もし \(10^5\,\text{J}\) のような巨大な値になったら、\(\mu\)（\(10^{-6}\)）の変換忘れなどを疑いましょう。

459 コンデンサーの直列接続

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「3つのコンデンサーの直列接続」です。複数のコンデンサーを直列につないだときの合成容量の計算方法と、各コンデンサーにかかる電圧の分配法則を理解することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
まずは合成容量を求めます。直列接続なので逆数の和を計算します。次に、各コンデンサーの電圧を求めるために、共通の電気量 \(Q\) を算出します。直列回路では「電荷が等しい」というのが最大のポイントです。
この設問における重要なポイント

• 直列接続の合成容量の公式 \(\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \dots\) を正確に適用する。
• 直列接続では、各コンデンサーの電気量 \(Q\) はすべて等しく、合成コンデンサーの電気量とも等しい。

具体的な解説と立式
ステップ1: 合成容量 \(C\) の計算
電気容量を \(C_1 = 2.0\,\mu\text{F}, C_2 = 3.0\,\mu\text{F}, C_3 = 6.0\,\mu\text{F}\) とします。
合成容量 \(C\) は以下の式で求められます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{C} &= \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}
\end{aligned}
$$

ステップ2: 電気量 \(Q\) の計算
電源電圧 \(V = 24\,\text{V}\) と合成容量 \(C\) を用いて、全電気量 \(Q\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
Q &= CV
\end{aligned}
$$

ステップ3: 各電圧 \(V_1, V_2, V_3\) の計算
各コンデンサーに蓄えられる電気量はすべて \(Q\) なので、各電圧は以下のように求められます。
$$
\begin{aligned}
V_1 &= \frac{Q}{C_1} \\
V_2 &= \frac{Q}{C_2} \\
V_3 &= \frac{Q}{C_3}
\end{aligned}
$$

まず合成容量を求めます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{C} &= \frac{1}{2.0} + \frac{1}{3.0} + \frac{1}{6.0} \\[2.0ex] &= \frac{3}{6.0} + \frac{2}{6.0} + \frac{1}{6.0} \\[2.0ex] &= \frac{6}{6.0} \\[2.0ex] &= 1.0
\end{aligned}
$$
よって、
$$
\begin{aligned}
C &= 1.0\,\mu\text{F}
\end{aligned}
$$
次に電気量 \(Q\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
Q &= 1.0\,\mu\text{F} \times 24\,\text{V} \\[2.0ex] &= 24\,\mu\text{C}
\end{aligned}
$$
最後に各電圧を求めます。
$$
\begin{aligned}
V_1 &= \frac{24\,\mu\text{C}}{2.0\,\mu\text{F}} = 12\,\text{V} \\[2.0ex] V_2 &= \frac{24\,\mu\text{C}}{3.0\,\mu\text{F}} = 8.0\,\text{V} \\[2.0ex] V_3 &= \frac{24\,\mu\text{C}}{6.0\,\mu\text{F}} = 4.0\,\text{V}
\end{aligned}
$$

3つのコンデンサーを直列につなぐと、全体の容量はそれぞれの容量よりも小さくなります。計算すると \(1.0\,\mu\text{F}\) になりました。
この「合体したコンデンサー」に \(24\,\text{V}\) の電圧をかけると、\(24\,\mu\text{C}\) の電気が貯まります。
直列つなぎのルールとして、それぞれのコンデンサーにも同じ \(24\,\mu\text{C}\) ずつ電気が貯まっています。
あとは「\(Q=CV\)」の式を変形した「\(V=Q/C\)」を使って、それぞれの電圧を計算するだけです。容量が小さいほど、電圧が高くなっているのがわかりますね。

合成容量: \(1.0\,\mu\text{F}\)
各電圧: \(12\,\text{V}, 8.0\,\text{V}, 4.0\,\text{V}\)
検算として、各電圧の和をとると \(12 + 8.0 + 4.0 = 24\,\text{V}\) となり、電源電圧と一致します。これはキルヒホッフの法則を満たしており、計算が正しいことを示しています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 直列接続における電荷の共通性
  • 核心: 直列に接続されたコンデンサーの極板間では、静電誘導によって電荷が移動するだけであり、外部からの電荷の出入りがありません。そのため、各コンデンサーに蓄えられる電気量 \(Q\) はすべて等しくなります。
  • 理解のポイント: 一番外側の極板に \(+Q\) と \(-Q\) が供給されると、その間の極板は「島」のように孤立しているため、プラスとマイナスが交互に誘導され、結果としてすべてのコンデンサーが同じ \(Q\) を持つことになります。
• 合成容量の計算則（逆数の和）
  • 核心: 直列接続では、全体の電圧 \(V\) が各コンデンサーの電圧の和 \(V = V_1 + V_2 + \dots\) となることから、合成容量 \(C\) は \(\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \dots\) という逆数の和で表されます。
  • 理解のポイント: 直列につなぐほど、極板間の距離が実質的に広がるイメージを持つと、容量が減る（逆数和になる）ことが直感的に理解できます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 耐電圧の問題: 各コンデンサーにかけられる最大電圧（耐電圧）が決まっている場合、直列接続したときに全体で何Vまでかけられるかを問う問題。分圧の法則（別解）を使って、どのコンデンサーが最初に限界に達するかを判定します。
  • 誘電体の部分挿入: 極板間の一部に誘電体を入れた場合、それを「誘電体あり」と「なし」の2つのコンデンサーの直列接続とみなして解く問題。本問と同じ合成容量の計算が基礎となります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 接続形式を見抜く: 一筆書きでたどれるなら直列、分岐して合流するなら並列です。
  2. 共通する物理量を見つける: 直列なら \(Q\) が共通、並列なら \(V\) が共通。これを手がかりに式を立てます。
  3. 容量の比と電圧の比の関係: 直列では \(V \propto 1/C\)（容量が小さいほど電圧大）、並列では \(Q \propto C\)（容量が大きいほど電荷大）という定性的な傾向を常に意識しておくと、計算ミスの発見に役立ちます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 合成容量の計算ミス:
  • 誤解: 抵抗の直列接続（足し算）と混同してしまう。あるいは、逆数の和を計算したあと、最後に逆数を取るのを忘れて \(1/C\) の値を答えにしてしまう。
  • 対策: 「コンデンサーの直列は抵抗の並列と同じ計算」と覚えるか、単位を確認する（\(1/C\) の単位は \(1/\text{F}\) なのでおかしいと気づく）。計算の最後に必ず「逆数を取る」ステップがあることを意識しましょう。
• 電荷の総和の誤解:
  • 誤解: 3つのコンデンサーに \(Q\) ずつ溜まっているから、全体で \(3Q\) の電荷が溜まっていると考えてしまう。
  • 対策: コンデンサー全体（合成コンデンサー）として外部から出し入れできる電荷はあくまで \(Q\) だけです。中の極板の電荷は内部で打ち消し合っている（プラスマイナスゼロ）と考えましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（\(\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \dots\)）:
  • 選定理由: 3つのコンデンサーが直列に接続されており、その全体の等価な容量を求める必要があるため、直列合成の公式を適用します。
  • 適用根拠: 回路図から、電荷の通り道が分岐せず一本道であることが確認できるため、直列接続と判断できます。
• 別解での公式選択（\(V_k \propto \frac{1}{C_k}\)）:
  • 選定理由: \(Q\) が共通であるという直列回路の強力な性質を利用することで、\(Q\) を求める手間を省き、電圧の比率だけで答えを出せるため、計算効率が良いからです。
  • 適用根拠: \(V = Q/C\) の式において \(Q\) が定数とみなせるため、\(V\) と \(C\) の反比例関係が成立します。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 通分の工夫:
  • \(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}\) のような計算では、最小公倍数（この場合は6）を見つけて一気に通分しましょう。
• 検算（キルヒホッフの法則）:
  • 求めた各電圧 \(V_1, V_2, V_3\) を足し合わせて、必ず電源電圧 \(V\) になるか確認しましょう。もしならなければ、どこかで計算ミスをしています。この「足して元に戻る」確認は、直列回路の問題では最強の検算ツールです。

460 耐電圧

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「コンデンサーの耐電圧と接続方法」です。複数のコンデンサーを接続したとき、回路全体としてどれだけの電圧まで耐えられるか（全体の耐電圧）を、並列接続と直列接続のそれぞれについて考える問題です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(並列接続)

思考の道筋とポイント
並列接続では、すべてのコンデンサーに同じ電圧がかかります。したがって、接続されたコンデンサーのうち、一つでも耐電圧を超えれば回路全体が破損します。つまり、最も耐電圧が低いコンデンサーが全体のボトルネックとなります。
この設問における重要なポイント

• 並列接続では \(V_1 = V_2 = V_{\text{全体}}\)。
• 全体の耐電圧は、各コンデンサーの耐電圧のうちの最小値となる。

具体的な解説と立式
コンデンサー1（\(C_1 = 10\,\mu\text{F}\)）の耐電圧を \(V_{1\text{最大}} = 3.0 \times 10^2\,\text{V}\)、コンデンサー2（\(C_2 = 30\,\mu\text{F}\)）の耐電圧を \(V_{2\text{最大}} = 2.0 \times 10^2\,\text{V}\) とします。
並列接続したときの全体の電圧を \(V\) とすると、
$$
\begin{aligned}
V_1 &= V \\
V_2 &= V
\end{aligned}
$$
両方のコンデンサーが破損しないための条件は、
$$
\begin{aligned}
V &\le V_{1\text{最大}} \quad \text{かつ} \quad V \le V_{2\text{最大}}
\end{aligned}
$$
したがって、全体の耐電圧 \(V_{\text{最大}}\) は、2つの耐電圧のうち小さい方の値となります。

\(V_{1\text{最大}} = 300\,\text{V}\)、\(V_{2\text{最大}} = 200\,\text{V}\) なので、小さい方の \(200\,\text{V}\) が全体の耐電圧となります。
$$
\begin{aligned}
V_{\text{最大}} &= 2.0 \times 10^2\,\text{V}
\end{aligned}
$$

並列につなぐということは、2つのコンデンサーに同じ電圧をかけるということです。片方は300Vまで耐えられますが、もう片方は200Vで壊れてしまいます。電圧を上げていくと、200Vになった時点で弱い方が壊れてしまうので、全体としても200Vまでしか耐えられません。

\(2.0 \times 10^2\,\text{V}\) と求まりました。弱い方の耐電圧で決まるという結論は妥当です。

問(直列接続)

思考の道筋とポイント
直列接続では、各コンデンサーにかかる電圧は異なります。また、蓄えられる電気量 \(Q\) が共通になります。
アプローチとしては、各コンデンサーが限界（耐電圧）まで充電されたときの電気量 \(Q_{\text{最大}}\) を計算し、その小さい方の \(Q\) が回路全体に蓄えられる最大電荷となります。そのときの全体の電圧を計算します。
この設問における重要なポイント

• 直列接続では \(Q_1 = Q_2 = Q_{\text{全体}}\)。
• 各コンデンサーの最大電荷 \(Q_{\text{最大}} = C V_{\text{最大}}\) を比較する。
• 小さい方の \(Q_{\text{最大}}\) に達したときが全体の限界。

具体的な解説と立式
まず、各コンデンサーが単独で耐えられる最大電荷量を計算します。
$$
\begin{aligned}
Q_{1\text{最大}} &= C_1 V_{1\text{最大}} \\
Q_{2\text{最大}} &= C_2 V_{2\text{最大}}
\end{aligned}
$$
直列接続では電荷が等しくなるため、全体として蓄えられる最大電荷 \(Q_{\text{限界}}\) は、これら2つの小さい方になります。
この電荷 \(Q_{\text{限界}}\) が蓄えられたとき、各コンデンサーにかかる電圧 \(V_1, V_2\) は、
$$
\begin{aligned}
V_1 &= \frac{Q_{\text{限界}}}{C_1} \\
V_2 &= \frac{Q_{\text{限界}}}{C_2}
\end{aligned}
$$
全体の耐電圧 \(V_{\text{最大}}\) はこれらの和になります。
$$
\begin{aligned}
V_{\text{最大}} &= V_1 + V_2
\end{aligned}
$$

まず最大電荷量を計算します。
$$
\begin{aligned}
Q_{1\text{最大}} &= (10 \times 10^{-6}) \times (3.0 \times 10^2) \\[2.0ex] &= 3.0 \times 10^{-3}\,\text{C} \\[2.0ex] Q_{2\text{最大}} &= (30 \times 10^{-6}) \times (2.0 \times 10^2) \\[2.0ex] &= 6.0 \times 10^{-3}\,\text{C}
\end{aligned}
$$
\(Q_{1\text{最大}} < Q_{2\text{最大}}\) なので、\(C_1\) の方が先に限界に達します。
よって、回路全体の最大電荷は \(Q_{\text{限界}} = 3.0 \times 10^{-3}\,\text{C}\) です。

このとき、各コンデンサーにかかる電圧は、
$$
\begin{aligned}
V_1 &= \frac{3.0 \times 10^{-3}}{10 \times 10^{-6}} \\[2.0ex] &= 3.0 \times 10^2\,\text{V} \quad (\text{これは} V_{1\text{最大}} \text{に等しい}) \\[2.0ex] V_2 &= \frac{3.0 \times 10^{-3}}{30 \times 10^{-6}} \\[2.0ex] &= 1.0 \times 10^2\,\text{V} \quad (\text{これは} V_{2\text{最大}} \text{より小さいのでOK})
\end{aligned}
$$
全体の耐電圧はこれらの和です。
$$
\begin{aligned}
V_{\text{最大}} &= (3.0 \times 10^2) + (1.0 \times 10^2) \\[2.0ex] &= 4.0 \times 10^2\,\text{V}
\end{aligned}
$$

直列につなぐと、それぞれのコンデンサーには同じ量の電気が貯まります。
\(C_1\) は \(3000\,\mu\text{C}\) まで、\(C_2\) は \(6000\,\mu\text{C}\) まで電気を貯められます。
同じ量しか貯められないので、少ない方の \(3000\,\mu\text{C}\) が貯まった時点で \(C_1\) が限界を迎えてしまいます。
このとき、\(C_1\) には限界の \(300\,\text{V}\) がかかっていますが、\(C_2\) にはまだ余裕があり \(100\,\text{V}\) しかかかっていません。
全体としては、この合計の \(400\,\text{V}\) まで耐えられることになります。

\(4.0 \times 10^2\,\text{V}\) と求まりました。
直列にすることで電圧が分散されるため、単独の耐電圧（300Vや200V）よりも高い電圧に耐えられるようになるという結果は、物理的に妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 耐電圧の決定要因（ボトルネックの特定）
  • 核心: 複数のコンデンサーを接続した回路全体の耐電圧は、最も早く限界（個別の耐電圧）に達するコンデンサーによって決まります。
  • 理解のポイント:
    • 並列接続: 電圧 \(V\) が共通なので、耐電圧が最も低いコンデンサーが全体の限界を決めます（弱い鎖の輪が全体の強度を決めるのと同じ）。
    • 直列接続: 電荷 \(Q\) が共通なので、最大電荷 \(Q_{\text{最大}} = CV_{\text{最大}}\) が最も小さいコンデンサーが全体の限界を決めます。
• 直列接続における電圧の不均等分配
  • 核心: 直列接続では、電圧は容量の逆数に比例して分配されます（\(V \propto 1/C\)）。
  • 理解のポイント: 容量が小さいコンデンサーほど、同じ電荷を蓄えるために高い電圧を必要とします。そのため、容量が小さいコンデンサーほど耐電圧を超えやすく、破損のリスクが高くなります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 3つ以上のコンデンサーの接続: 3つ以上になっても原理は同じです。並列なら最小の耐電圧を選び、直列なら各 \(Q_{\text{最大}}\) を計算して最小のものを選びます。
  • 複合回路（直並列混在）: まず並列部分の合成容量と耐電圧を求め、それを1つのコンデンサーとみなして直列部分の計算を行います。段階的に回路を簡略化していくのがコツです。
  • 絶縁破壊の連鎖: あるコンデンサーが破損（短絡）した後、残りのコンデンサーに過電圧がかかって次々と破損していく現象を考察する問題。耐電圧を超えた瞬間の挙動を理解するのに役立ちます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 接続形式を確認する: 並列なら「電圧共通」、直列なら「電荷共通」とメモします。
  2. 個別の限界値をリストアップする: 各コンデンサーの \(C\) と \(V_{\text{最大}}\) を書き出し、直列の場合は \(Q_{\text{最大}} = CV_{\text{最大}}\) も計算しておきます。
  3. ボトルネックを探す: 並列なら \(V_{\text{最大}}\) の最小値、直列なら \(Q_{\text{最大}}\) の最小値を持つコンデンサーを特定します。これが「一番弱い箇所」です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 直列接続の耐電圧の単純和:
  • 誤解: 「直列にすれば電圧が分かれるから、耐電圧は単純に足し算すればいい（\(300+200=500\)）」と考えてしまう。
  • 対策: これは容量が等しい場合や、電圧配分がたまたま耐電圧の比と一致する場合にしか成り立ちません。必ず「電圧の分配比」を考慮するか、電荷 \(Q\) を基準に考える必要があります。
• 容量と耐電圧の混同:
  • 誤解: 「容量が大きい方が丈夫（耐電圧が高い）」というイメージを持ってしまう。
  • 対策: 容量 \(C\)（電気を貯める広さ）と耐電圧 \(V_{\text{最大}}\)（絶縁の強さ）は全く別のパラメータです。問題文の数値をよく見て、それぞれ独立した値として扱いましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 並列接続での公式選択（\(V_{\text{最大}} = \min(V_{i\text{最大}})\)）:
  • 選定理由: 並列回路の電圧はすべて等しいため、最も低い耐電圧を超えた瞬間にそのコンデンサーが破損するからです。
  • 適用根拠: キルヒホッフの法則（閉回路の電圧則）により、並列部分の電圧が等しいことが保証されています。
• 直列接続での公式選択（\(Q_{\text{限界}} = \min(Q_{i\text{最大}})\)）:
  • 選定理由: 直列回路では電荷がすべて等しいため、最も蓄えられる電荷量が少ないコンデンサーが満杯になった時点で、それ以上充電できなくなる（限界に達する）からです。
  • 適用根拠: 電荷保存則により、直列接続された各コンデンサーの電荷量が等しいことが保証されています。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位の確認:
  • \(\mu\text{F}\)（マイクロファラド）の \(10^{-6}\) を計算に含めるか、あるいは比の計算で消去するかを意識しましょう。本問のように比で解く場合は \(\mu\) を無視しても答えは合いますが、電荷 \(Q\) を具体的に求める場合は必須です。
• 極端なケースの想定:
  • もし \(C_1\) が極端に小さかったら？ \(\rightarrow\) \(C_1\) にほとんどの電圧がかかるはず。
  • もし \(V_{1\text{最大}}\) が極端に小さかったら？ \(\rightarrow\) 全体の耐電圧も小さくなるはず。
  • このような思考実験を行うことで、計算結果の妥当性を直感的にチェックできます。

461 コンデンサーの接続

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「コンデンサーの直列・並列接続と回路計算」です。複数のコンデンサーが接続された回路において、合成容量を求めたり、各コンデンサーにかかる電圧や蓄えられる電気量を計算する手順をマスターすることが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
\(C_1\) と \(C_2\) は直列に接続されています。直列接続の合成容量の公式を用いて計算します。
この設問における重要なポイント

• 直列接続の合成容量は「逆数の和」で計算する。

具体的な解説と立式
\(C_1\) と \(C_2\) の合成容量を \(C’\) とします。直列接続の公式より、以下の式が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{C’} &= \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}
\end{aligned}
$$

\(C_1 = 20\,\mu\text{F}, C_2 = 30\,\mu\text{F}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{C’} &= \frac{1}{20} + \frac{1}{30} \\[2.0ex] &= \frac{3}{60} + \frac{2}{60} \\[2.0ex] &= \frac{5}{60} \\[2.0ex] &= \frac{1}{12}
\end{aligned}
$$
逆数をとって、
$$
\begin{aligned}
C’ &= 12\,\mu\text{F}
\end{aligned}
$$

\(C_1\) と \(C_2\) は直列につながっています。直列につなぐと、容量はそれぞれの容量よりも小さくなります。逆数の足し算をして、最後にまた逆数に戻すのを忘れないようにしましょう。

\(12\,\mu\text{F}\) と求まりました。直列合成後の容量は、元のどのコンデンサー（\(20\,\mu\text{F}\) と \(30\,\mu\text{F}\)）よりも小さくなるはずであり、\(12\) はその条件を満たしているので妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
回路全体を見ると、(1)で求めた「\(C_1\) と \(C_2\) の合成コンデンサー \(C’\)」と、「\(C_3\)」が並列に接続されています。並列接続の合成容量は単純な足し算で求められます。
この設問における重要なポイント

• 並列接続の合成容量は「和」で計算する。
• 回路の構造を「\(C’\) と \(C_3\) の並列」と見抜く。

具体的な解説と立式
全体の合成容量を \(C\) とします。\(C’\) と \(C_3\) は並列接続なので、以下の式が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
C &= C’ + C_3
\end{aligned}
$$

\(C’ = 12\,\mu\text{F}, C_3 = 40\,\mu\text{F}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
C &= 12 + 40 \\[2.0ex] &= 52\,\mu\text{F}
\end{aligned}
$$

上の段にある合体コンデンサー（\(C’\)）と、下の段にあるコンデンサー（\(C_3\)）は並列につながっています。並列につなぐと、電気を貯める場所が増えるので、容量は足し算になります。

\(52\,\mu\text{F}\) と求まりました。並列接続なので容量が増加しており、妥当な結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
スイッチSを閉じると、\(C_1\) と \(C_2\) の直列部分全体には電源電圧 \(E=20\,\text{V}\) がかかります。直列回路では、電圧は電気容量の逆数に比例して分配されます（分圧の法則）。これを利用して、\(C_1\) と \(C_2\) にかかる電圧を求めます。
この設問における重要なポイント

• 直列接続されたコンデンサーでは、電圧の比は電気容量の逆数の比になる（\(V_1 : V_2 = \frac{1}{C_1} : \frac{1}{C_2} = C_2 : C_1\)）。
• 全電圧 \(E\) は各部の電圧の和に等しい（\(E = V_1 + V_2\)）。

具体的な解説と立式
\(C_1\) にかかる電圧を \(V_1\)、\(C_2\) にかかる電圧を \(V_2\) とします。
直列接続における電圧の比は、電気容量の逆数の比に等しいので、以下の関係が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
V_1 : V_2 &= \frac{1}{C_1} : \frac{1}{C_2}
\end{aligned}
$$
また、電圧の和は電源電圧 \(E\) に等しいです。
$$
\begin{aligned}
V_1 + V_2 &= E
\end{aligned}
$$
これらより、\(V_1, V_2\) は全体 \(E\) を比で配分した値として求められます。

まず比を簡単にします。\(C_1 = 20\,\mu\text{F}, C_2 = 30\,\mu\text{F}\) です。
$$
\begin{aligned}
V_1 : V_2 &= \frac{1}{20} : \frac{1}{30} \\[2.0ex] &= \frac{3}{60} : \frac{2}{60} \\[2.0ex] &= 3 : 2
\end{aligned}
$$
電圧 \(E = 20\,\text{V}\) が \(3:2\) に分割されるので、
$$
\begin{aligned}
V_1 &= 20 \times \frac{3}{3+2} \\[2.0ex] &= 20 \times \frac{3}{5} \\[2.0ex] &= 12\,\text{V}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
V_2 &= 20 \times \frac{2}{3+2} \\[2.0ex] &= 20 \times \frac{2}{5} \\[2.0ex] &= 8.0\,\text{V}
\end{aligned}
$$

\(20\,\text{V}\) という電圧を、\(C_1\) と \(C_2\) で山分けします。容量が小さいほど電圧を多く必要とします。\(C_1\) は \(20\)、\(C_2\) は \(30\) なので、容量の比は \(2:3\) です。したがって、電圧の取り分は逆の \(3:2\) になります。\(20\,\text{V}\) を \(3:2\) に分ければ答えが出ます。

\(V_1 = 12\,\text{V}, V_2 = 8.0\,\text{V}\) と求まりました。和が \(20\,\text{V}\) になり、容量が小さい \(C_1\) の方が電圧が大きくなっているので、物理的に正しい結果です。

問(4)

思考の道筋とポイント
各コンデンサーの電気容量 \(C\) は既知であり、(3)の結果を使えば各コンデンサーにかかる電圧 \(V\) もわかります。あとは基本式 \(Q=CV\) に代入するだけです。\(C_3\) については、電源電圧 \(E\) がそのままかかっています。
この設問における重要なポイント

• \(C_1\) にかかる電圧は \(V_1 = 12\,\text{V}\)。
• \(C_2\) にかかる電圧は \(V_2 = 8.0\,\text{V}\)。
• \(C_3\) にかかる電圧は \(E = 20\,\text{V}\)。

具体的な解説と立式
\(C_1, C_2, C_3\) に蓄えられる電気量をそれぞれ \(Q_1, Q_2, Q_3\) とします。
$$
\begin{aligned}
Q_1 &= C_1 V_1 \\
Q_2 &= C_2 V_2 \\
Q_3 &= C_3 E
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
Q_1 &= (20 \times 10^{-6}) \times 12 \\[2.0ex] &= 240 \times 10^{-6} \\[2.0ex] &= 2.4 \times 10^{-4}\,\text{C}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
Q_2 &= (30 \times 10^{-6}) \times 8.0 \\[2.0ex] &= 240 \times 10^{-6} \\[2.0ex] &= 2.4 \times 10^{-4}\,\text{C}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
Q_3 &= (40 \times 10^{-6}) \times 20 \\[2.0ex] &= 800 \times 10^{-6} \\[2.0ex] &= 8.0 \times 10^{-4}\,\text{C}
\end{aligned}
$$

それぞれのコンデンサーについて、「容量」と「かかっている電圧」がわかったので、あとは掛け算をするだけです。\(C_1\) と \(C_2\) は直列なので、計算結果の電気量が同じになるはずです。\(C_3\) は電源と直接つながっているので、電源電圧をそのまま使います。

\(Q_1 = Q_2 = 2.4 \times 10^{-4}\,\text{C}\) となり、直列接続の性質（電荷等量）を満たしています。\(Q_3 = 8.0 \times 10^{-4}\,\text{C}\) も妥当な値です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• コンデンサーの直列・並列接続の合成則
  • 核心: 複数のコンデンサーを一つの等価なコンデンサーに置き換える（合成する）ことで、回路全体の挙動を単純化して解析する手法です。
  • 理解のポイント:
    • 並列接続: 電圧 \(V\) が共通で、電荷 \(Q\) が分散して蓄えられるため、容量は単純和 \(C = C_1 + C_2\) となり増加します（極板面積が増えるイメージ）。
    • 直列接続: 電荷 \(Q\) が共通（静電誘導による）で、電圧 \(V\) が分割されるため、容量は逆数の和 \(\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}\) となり減少します（極板間隔が広がるイメージ）。
• 電荷保存則と電位の概念（孤立部分の保存）
  • 核心: 回路中の導線でつながれただけの「島（孤立部分）」では、外部との電荷の出入りがないため、総電荷量が常に一定に保たれます。
  • 理解のポイント:
    • この法則は、スイッチの切り替えや複雑な回路網においても常に成立する強力な原理です。合成容量の公式が使えない（直列・並列の判別が難しい）場合でも、この法則とキルヒホッフの法則（電位の一周）を使えば必ず解けます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ブリッジ回路: コンデンサーが菱形に接続され、真ん中に橋渡しがある回路。直列・並列の単純な合成ができないため、(3)の別解で示した「電位を仮定して電荷保存則を立てる」方法（Y変換・\(\Delta\)変換を知らなくても解ける）が必須となります。
  • スイッチを含む回路: スイッチを切り替えて回路構成を変える問題。スイッチ操作の前後で「どの部分が孤立しているか」を見極め、その部分の電荷保存則を立てるのが定石です。
  • 金属板の挿入: コンデンサーの一部に金属板を入れる問題。金属板の部分は等電位（導線と同じ）になるため、実質的に2つのコンデンサーが直列接続されたものとみなせます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 合成できる部分を探す: まずは単純な並列・直列部分を見つけて合成し、回路図を簡略化します。
  2. 孤立部分を見つける: 導線でつながっているが電源やアースと直接つながっていない「島」を探し、その部分を囲んで「電荷保存」とメモします。
  3. 電位を仮定する: 接地点（アース）があればそこを \(0\,\text{V}\)、なければ電源の負極を \(0\,\text{V}\) とし、未知の点の電位を \(x, y, \dots\) と置いて方程式を立てる準備をします。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 合成公式の混同（抵抗との逆転）:
  • 誤解: 抵抗の合成公式（直列が和、並列が逆数和）と混同して、コンデンサーの直列を足し算してしまう。
  • 対策: 「コンデンサーはタンク」とイメージしましょう。並列に並べれば底面積が広がるので容量アップ（足し算）、直列につなげば縦に長くなる（極板間隔が増える）ので容量ダウン（逆数和）と直感的に覚えます。
• 電荷の符号ミス（保存則の立式時）:
  • 誤解: 電荷保存則の式を立てる際、極板の正負を適当に決めてしまい、符号が合わなくなる。
  • 対策: 未知の電位 \(v\) を置いた場合、常に \(Q = C(v – \text{隣の電位})\) のように「自分引く相手」で統一して立式し、その総和を \(0\)（または初期電荷）と置くと符号ミスが防げます。あるいは、図にプラス・マイナスを仮定して書き込み、その仮定に従って立式し、結果が負なら逆向きだったと解釈する方法も有効です。
• \(\mu\)（マイクロ）の計算忘れ:
  • 誤解: 最後の答えで \(\mu\) を付け忘れたり、計算途中で \(10^{-6}\) を落として桁を間違える。
  • 対策: 計算中は \(\mu\) を文字（定数）として扱い、最後まで残しておくのが安全です。例えば \(20\mu + 30\mu = 50\mu\) のように計算し、最後に数値が必要な場合だけ \(10^{-6}\) に置き換えます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（合成容量）:
  • 選定理由: 回路全体の等価な容量を求める問題であり、回路構造が明確に「並列部分」と「直列部分」に分解できるため、合成公式を順次適用するのが最も効率的です。
  • 適用根拠: \(C_1\) と \(C_2\) は電荷の通り道が一本道であるため直列、その合成 \(C’\) と \(C_3\) は両端の電位差が等しいため並列と判断できます。
• (3)での公式選択（分圧の法則 vs 電荷保存則）:
  • 選定理由（メイン解法）: 直列回路における電圧配分は、容量の逆比になるという性質（分圧）を使うと、方程式を立てずに比の計算だけで素早く解けるため、試験テクニックとして優れています。
  • 選定理由（別解）: 電荷保存則は、回路構造に依存しない普遍的な法則であり、応用問題や検算において絶対的な信頼性があるため採用しました。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 回路図への書き込み:
  • 問題用紙の回路図に、求めた合成容量や電圧、電荷の移動方向などを直接書き込みながら解きましょう。視覚的に情報を整理することで、取り違えミスを防げます。
• 単位の省略と復帰:
  • すべての容量が \(\mu\text{F}\) で統一されている場合、計算中は \(\mu\) を省略して係数だけで計算し、最後に単位を復活させる方法が計算用紙を汚さずミスも減らせます。ただし、単位が混在している場合（\(\text{mF}\) と \(\mu\text{F}\) など）は厳禁です。
• 検算（キルヒホッフの法則）:
  • (3)で求めた各電圧を足し合わせて、電源電圧に戻るか確認しましょう。\(V_1 + V_2 = 12 + 8.0 = 20\,\text{V}\) となり、電源電圧と一致することを確認すれば、計算の正しさを確信できます。

462 コンデンサーの切り換え

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「スイッチ操作によるコンデンサーの充放電とエネルギー収支」です。スイッチの切り替えによって回路の状態が変化したとき、電荷の移動、電圧の変化、そしてエネルギーの保存と損失（ジュール熱）について理解することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
スイッチSをA側に接続すると、電池 \(E\) とコンデンサー \(C_1\) だけの単純な回路になります。\(C_1\) は電圧 \(E\) で充電されます。
求めるものは3つです。
1. 電気量 \(Q_1\): \(Q=CV\) で計算。
2. 静電エネルギー \(U_1\): \(U=\frac{1}{2}CV^2\) で計算。
3. 電池がした仕事 \(W\): 電池を通過した電気量 \(Q_1\) と電圧 \(E\) の積で計算。
この設問における重要なポイント

• 電池がした仕事 \(W\) は、静電エネルギー \(U\) とは異なる（通常 \(W = 2U\) となる）。
• 差分 \(W – U\) は、充電過程で抵抗によりジュール熱として消費される。

具体的な解説と立式
電気量 \(Q_1\) は、
$$
\begin{aligned}
Q_1 &= C_1 E
\end{aligned}
$$
静電エネルギー \(U_1\) は、
$$
\begin{aligned}
U_1 &= \frac{1}{2} C_1 E^2
\end{aligned}
$$
電池がした仕事 \(W\) は、電池を通過した電気量が \(Q_1\) なので、
$$
\begin{aligned}
W &= Q_1 E
\end{aligned}
$$

\(C_1 = 10\,\mu\text{F} = 10 \times 10^{-6}\,\text{F}\)、\(E = 30\,\text{V}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
Q_1 &= (10 \times 10^{-6}) \times 30 \\[2.0ex] &= 3.0 \times 10^{-4}\,\text{C}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
U_1 &= \frac{1}{2} \times (10 \times 10^{-6}) \times 30^2 \\[2.0ex] &= 5.0 \times 10^{-6} \times 900 \\[2.0ex] &= 4500 \times 10^{-6} \\[2.0ex] &= 4.5 \times 10^{-3}\,\text{J}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
W &= (3.0 \times 10^{-4}) \times 30 \\[2.0ex] &= 90 \times 10^{-4} \\[2.0ex] &= 9.0 \times 10^{-3}\,\text{J}
\end{aligned}
$$

電池が頑張って \(3.0 \times 10^{-4}\,\text{C}\) の電気を運びました。その仕事量は \(9.0 \times 10^{-3}\,\text{J}\) です。
でも、コンデンサーに貯まったエネルギーは半分の \(4.5 \times 10^{-3}\,\text{J}\) だけです。残りの半分は、電気を運ぶ途中で熱（ジュール熱）として逃げてしまいました。

電気量 \(3.0 \times 10^{-4}\,\text{C}\)、エネルギー \(4.5 \times 10^{-3}\,\text{J}\)、仕事 \(9.0 \times 10^{-3}\,\text{J}\) と求まりました。
\(W = 2U_1\) の関係が成り立っており、計算は正しいです。

問(2)

思考の道筋とポイント
スイッチをB側に切り替えると、充電された \(C_1\) と未充電の \(C_2\) が接続されます。これは \(C_1\) と \(C_2\) の並列接続とみなせます。
電気量保存則（\(C_1\) の上側極板と \(C_2\) の上側極板の合計電荷は不変）と、並列接続の電圧共通条件を使って解きます。
この設問における重要なポイント

• スイッチ切り替え後、電気量の総和は保存される（\(Q_{1\text{後}} + Q_{2\text{後}} = Q_{1\text{前}}\)）。
• 並列接続なので、最終的な電圧 \(V’\) は等しくなる。

具体的な解説と立式
切り替え後の \(C_1, C_2\) の電気量を \(Q_{1\text{後}}, Q_{2\text{後}}\)、共通の電圧を \(V’\) とします。
電気量保存則より、
$$
\begin{aligned}
Q_{1\text{後}} + Q_{2\text{後}} &= Q_{1\text{前}} \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
電圧が等しいので、
$$
\begin{aligned}
V’ &= \frac{Q_{1\text{後}}}{C_1} = \frac{Q_{2\text{後}}}{C_2}
\end{aligned}
$$
これより、
$$
\begin{aligned}
\frac{Q_{1\text{後}}}{C_1} &= \frac{Q_{2\text{後}}}{C_2} \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$
式①、②を連立して \(Q_{1\text{後}}\) と \(V’\) を求めます。

式②より \(Q_{2\text{後}} = \frac{C_2}{C_1} Q_{1\text{後}}\)。これを式①に代入します。
$$
\begin{aligned}
Q_{1\text{後}} + \frac{C_2}{C_1} Q_{1\text{後}} &= Q_{1\text{前}} \\[2.0ex] \left( 1 + \frac{C_2}{C_1} \right) Q_{1\text{後}} &= Q_{1\text{前}} \\[2.0ex] \frac{C_1 + C_2}{C_1} Q_{1\text{後}} &= Q_{1\text{前}} \\[2.0ex] Q_{1\text{後}} &= \frac{C_1}{C_1 + C_2} Q_{1\text{前}}
\end{aligned}
$$
数値を代入します。\(C_1=10, C_2=5.0, Q_{1\text{前}}=3.0 \times 10^{-4}\) です。
$$
\begin{aligned}
Q_{1\text{後}} &= \frac{10}{10 + 5.0} \times (3.0 \times 10^{-4}) \\[2.0ex] &= \frac{10}{15} \times 3.0 \times 10^{-4} \\[2.0ex] &= \frac{2}{3} \times 3.0 \times 10^{-4} \\[2.0ex] &= 2.0 \times 10^{-4}\,\text{C}
\end{aligned}
$$
次に電圧 \(V’\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
V’ &= \frac{Q_{1\text{後}}}{C_1} \\[2.0ex] &= \frac{2.0 \times 10^{-4}}{10 \times 10^{-6}} \\[2.0ex] &= 0.20 \times 10^2 \\[2.0ex] &= 20\,\text{V}
\end{aligned}
$$

\(C_1\) に貯まっていた電気 \(Q_{1\text{前}}\) が、\(C_1\) と \(C_2\) の容量の比（\(10:5 = 2:1\)）に応じて分配されます。
\(Q_{1\text{前}}\) のうち \(2/3\) が \(C_1\) に残り、\(1/3\) が \(C_2\) に移動します。
残った電気量と容量から、新しい電圧を計算しました。

電気量 \(2.0 \times 10^{-4}\,\text{C}\)、電圧 \(20\,\text{V}\) と求まりました。
元の電圧 \(30\,\text{V}\) より下がっており、電荷が分散したことと整合します。

問(3)

思考の道筋とポイント
(2)で求めた電圧 \(V’=20\,\text{V}\) を使って、\(C_1\) と \(C_2\) の静電エネルギーをそれぞれ計算し、合計します。
この設問における重要なポイント

• 静電エネルギーは \(U = \frac{1}{2}CV^2\) で計算する。
• 合成容量を使ってまとめて計算してもよい（\(U_{\text{全}} = \frac{1}{2}C_{\text{合成}}V’^2\)）。

具体的な解説と立式
\(C_1\) のエネルギー \(U_{1\text{後}}\) と \(C_2\) のエネルギー \(U_{2\text{後}}\) の和 \(U_{\text{合計}}\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
U_{\text{合計}} &= \frac{1}{2} C_1 V’^2 + \frac{1}{2} C_2 V’^2 \\[2.0ex] &= \frac{1}{2} (C_1 + C_2) V’^2
\end{aligned}
$$

\(C_1+C_2 = 15\,\mu\text{F}, V’ = 20\,\text{V}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
U_{\text{合計}} &= \frac{1}{2} \times (15 \times 10^{-6}) \times 20^2 \\[2.0ex] &= 7.5 \times 10^{-6} \times 400 \\[2.0ex] &= 3000 \times 10^{-6} \\[2.0ex] &= 3.0 \times 10^{-3}\,\text{J}
\end{aligned}
$$

それぞれのコンデンサーに貯まっているエネルギーを計算して足し算します。電圧が同じなので、容量を足してからまとめて計算しても同じ結果になります。

\(3.0 \times 10^{-3}\,\text{J}\) と求まりました。
(1)のエネルギー \(4.5 \times 10^{-3}\,\text{J}\) よりも減っています。この減少分が次の設問のテーマです。

問(4)

思考の道筋とポイント
(1)で求めた「電池がした仕事 \(W\)」と「蓄えられた静電エネルギー \(U_1\)」が一致しない理由を問われています。通常、コンデンサーの充電回路には抵抗（導線抵抗や内部抵抗）が含まれており、電流が流れる際にジュール熱が発生します。エネルギー保存則に基づき、この熱エネルギーの分だけ蓄えられるエネルギーが少なくなります。
この設問における重要なポイント

• エネルギー保存則: \(W = U + \text{ジュール熱}\)。
• 抵抗がゼロでない限り、充電過程で必ずジュール熱が発生する。

具体的な解説と立式
電池がした仕事 \(W\) は、回路全体のエネルギー供給量です。
一方、コンデンサーに蓄えられたエネルギー \(U_1\) は、回路に保存されたエネルギーです。
その差 \(W – U_1\) は、充電中に回路の抵抗成分で発生したジュール熱として消費（散逸）されたエネルギーです。

計算は不要で、理由を記述します。
「電池がした仕事の一部が、導線の抵抗などによるジュール熱として失われたため。」

電池が一生懸命仕事をして電気を運びましたが、そのエネルギーがすべてコンデンサーに貯まるわけではありません。電気を運ぶとき、導線の抵抗との摩擦のようなもので熱が発生します。その熱としてエネルギーの一部が逃げてしまったため、仕事の量と貯まったエネルギーの量が一致しないのです。

物理的に妥当な説明です。一般に、抵抗値の大小に関わらず、定電圧源でコンデンサーを0から充電すると、電池の仕事のちょうど半分がジュール熱として失われます（\(W=2U\) の関係）。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• スイッチ切り替えと電気量保存則
  • 核心: スイッチを切り替えて回路の一部が孤立したとき、その孤立部分（島）にある電荷の総和は保存されます。
  • 理解のポイント: 本問では、スイッチをBに切り替えた後、\(C_1\) の上側極板と \(C_2\) の上側極板を含む部分が孤立します。外部との電荷のやり取りがないため、\(Q_{1\text{後}} + Q_{2\text{後}} = Q_{1\text{前}}\) が成立します。
• エネルギー保存則とジュール熱
  • 核心: 回路におけるエネルギー収支は、「供給されたエネルギー（電池の仕事）」＝「蓄えられたエネルギー（静電エネルギー）」＋「失われたエネルギー（ジュール熱）」で表されます。
  • 理解のポイント: コンデンサーの充電過程では、必ず電流が流れます。導線や電池には微小な抵抗が存在するため、電流が流れると必ずジュール熱が発生し、エネルギーの一部が熱として散逸します。そのため、電池の仕事がそのまま静電エネルギーになることはありません。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 抵抗を含む回路: 抵抗 \(R\) を通して充電する場合も、最終的なエネルギー収支は本問と同じです。抵抗値 \(R\) の大きさは、充電にかかる時間（時定数）には影響しますが、最終的なジュール熱の総量には影響しません。
  • コンデンサーの極板間引力による仕事: 極板が動く場合、外力がする仕事もエネルギー収支に加わります。\(W_{\text{電池}} + W_{\text{外力}} = \Delta U + Q_{\text{熱}}\) の式を立てられるようにしましょう。
  • 3つ以上のスイッチ切り替え: 複数のスイッチを順次切り替えていく問題でも、「その瞬間にどこが孤立しているか」を見抜き、保存則を適用する手順は変わりません。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 孤立部分を見つける: スイッチ操作の前後で、電荷が閉じ込められている区間を特定し、保存則の式を立てます。
  2. 最終状態の電圧分布を予測する: 十分時間が経過した後は電流が止まるため、並列部分は等電位になります。
  3. エネルギーの差分に注目する: 「仕事」と「エネルギー変化」の差を計算させられたら、それは十中八九「ジュール熱」のことです。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 電池の仕事と静電エネルギーの混同:
  • 誤解: 「電池が \(W\) の仕事をしたら、コンデンサーに \(W\) のエネルギーが貯まる」と思い込んでしまう。
  • 対策: \(W = QV\) と \(U = \frac{1}{2}QV\) の係数 \(1/2\) の違いを常に意識しましょう。残りの半分は熱として消えます。
• 保存則の適用範囲ミス:
  • 誤解: スイッチがつながっている部分も含めて電荷保存則を適用してしまう。
  • 対策: 電池につながっている部分は電荷が供給され続けるので保存されません。必ず「電池から切り離された部分」だけで保存則を立ててください。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (2)での公式選択（\(Q_{1\text{後}} + Q_{2\text{後}} = Q_{1\text{前}}\)）:
  • 選定理由: スイッチB側の回路が閉じた閉回路であり、外部（電池やアース）と接続されていないため、電荷の総量が不変であるという物理的制約（保存則）を利用するのが最も確実だからです。
  • 適用根拠: 電荷は消滅したり生成したりしないという電荷保存の原理に基づいています。
• (4)での公式選択（エネルギー保存則）:
  • 選定理由: 「仕事」と「エネルギー」の不一致を説明するためには、エネルギーの散逸（損失）を含めた保存則の観点から論じる必要があるからです。
  • 適用根拠: 物理学におけるエネルギー保存の法則は、熱エネルギーを含めれば常に成立する普遍的な法則です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 合成容量の活用（別解）:
  • (2)のように並列接続になることが明らかな場合、個別に連立方程式を解くよりも、合成容量を使って一気に電圧を求める方が計算ステップが減り、ミスも防げます。検算用としても非常に有効です。
• 単位の確認:
  • \(\mu\text{F}\)（マイクロファラド）の \(10^{-6}\) を計算の最後まで保持するか、あるいは \(Q\) も \(\mu\text{C}\) で扱って最後に直すか、自分なりのルールを決めておきましょう。エネルギー計算では \(\text{J}\) に直すため、\(10^{-6}\) を忘れると致命的です。

463 電気量の保存

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「充電済みコンデンサーの接続と電気量保存則」です。それぞれ異なる電圧で充電された2つのコンデンサーを接続したとき、電荷がどのように再分配されるかを、接続の向き（同符号か異符号か）に注意して計算することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
まずは接続前の準備として、\(C_1\) と \(C_2\) に蓄えられている電気量 \(Q_1, Q_2\) をそれぞれ計算します。
次に、同符号の極板同士を結んだ後の状態を考えます。プラス極板同士がつながった部分（孤立部分）の電荷の総和は、接続前の和 \(Q_1 + Q_2\) に等しくなります。
接続後は並列回路となるため、共通の電圧 \(V\) を持ちます。これらを用いて連立方程式を立てます。
この設問における重要なポイント

• 接続前の電気量を正確に計算する。
• 同符号接続なので、電荷の総和は「足し算」になる。
• 接続後は並列接続となり、電圧が等しくなる。

具体的な解説と立式
ステップ1: 接続前の電気量の計算
\(C_1\) の電気量を \(Q_1\)、\(C_2\) の電気量を \(Q_2\) とします。
$$
\begin{aligned}
Q_1 &= C_1 V_1 \\
Q_2 &= C_2 V_2
\end{aligned}
$$

ステップ2: 接続後の立式
接続後の \(C_1, C_2\) の電気量を \(Q_{1\text{後}}, Q_{2\text{後}}\)、共通の電圧を \(V\) とします。
電気量保存則より、
$$
\begin{aligned}
Q_{1\text{後}} + Q_{2\text{後}} &= Q_1 + Q_2 \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
また、\(Q_{1\text{後}} = C_1 V, Q_{2\text{後}} = C_2 V\) なので、これを式①に代入して \(V\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
C_1 V + C_2 V &= Q_1 + Q_2
\end{aligned}
$$

まず \(Q_1, Q_2\) を計算します。
\(C_1 = 2.0\,\mu\text{F}, V_1 = 2.0 \times 10^2\,\text{V}\)
\(C_2 = 3.0\,\mu\text{F}, V_2 = 1.0 \times 10^2\,\text{V}\)
$$
\begin{aligned}
Q_1 &= (2.0 \times 10^{-6}) \times (2.0 \times 10^2) \\[2.0ex] &= 4.0 \times 10^{-4}\,\text{C}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
Q_2 &= (3.0 \times 10^{-6}) \times (1.0 \times 10^2) \\[2.0ex] &= 3.0 \times 10^{-4}\,\text{C}
\end{aligned}
$$
次に電圧 \(V\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
(2.0 \times 10^{-6} + 3.0 \times 10^{-6}) V &= 4.0 \times 10^{-4} + 3.0 \times 10^{-4} \\[2.0ex] 5.0 \times 10^{-6} V &= 7.0 \times 10^{-4} \\[2.0ex] V &= \frac{7.0 \times 10^{-4}}{5.0 \times 10^{-6}} \\[2.0ex] &= 1.4 \times 10^2\,\text{V}
\end{aligned}
$$
最後に各電気量を求めます。
$$
\begin{aligned}
Q_{1\text{後}} &= C_1 V \\[2.0ex] &= (2.0 \times 10^{-6}) \times (1.4 \times 10^2) \\[2.0ex] &= 2.8 \times 10^{-4}\,\text{C}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
Q_{2\text{後}} &= C_2 V \\[2.0ex] &= (3.0 \times 10^{-6}) \times (1.4 \times 10^2) \\[2.0ex] &= 4.2 \times 10^{-4}\,\text{C}
\end{aligned}
$$

2つのコップにそれぞれ水（電気）が入っています。底のパイプをつないで（同符号接続）、水位（電圧）が同じになるまで放置しました。
水はこぼれないので、最終的な水の合計量は最初の合計量と同じです。
合計の水量を、2つのコップの底面積（容量）の合計で割れば、最終的な水位がわかります。

\(C_1: 2.8 \times 10^{-4}\,\text{C}, C_2: 4.2 \times 10^{-4}\,\text{C}\)、電圧 \(1.4 \times 10^2\,\text{V}\) と求まりました。
合計電荷 \(2.8+4.2=7.0\) は元の合計 \(4.0+3.0=7.0\) と一致しており、正しいです。

問(2)

思考の道筋とポイント
今度は異符号の極板同士をつなぎます。つまり、\(+Q_1\) と \(-Q_2\) がつながり、\(-Q_1\) と \(+Q_2\) がつながります。
プラスとマイナスの電荷が出会うと打ち消し合う（中和する）ため、保存される総電荷量は差の絶対値 \(|Q_1 – Q_2|\) になります。
あとは(1)と同様に、並列接続として計算します。
この設問における重要なポイント

• 異符号接続なので、電荷の総和は「引き算（差の絶対値）」になる。
• 電圧の向き（極性）は、電荷が多かった方（\(Q_1\)）の符号に従う。

具体的な解説と立式
接続後の \(C_1, C_2\) の電気量を \(Q_{1\text{後}}’, Q_{2\text{後}}’\)、共通の電圧を \(V’\) とします。
電気量保存則より、
$$
\begin{aligned}
Q_{1\text{後}}’ + Q_{2\text{後}}’ &= |Q_1 – Q_2| \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$
\(Q_{1\text{後}}’ = C_1 V’, Q_{2\text{後}}’ = C_2 V’\) を代入して \(V’\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
(C_1 + C_2) V’ &= |Q_1 – Q_2|
\end{aligned}
$$

\(Q_1 = 4.0 \times 10^{-4}\,\text{C}, Q_2 = 3.0 \times 10^{-4}\,\text{C}\) なので、
$$
\begin{aligned}
|Q_1 – Q_2| &= |4.0 \times 10^{-4} – 3.0 \times 10^{-4}| \\[2.0ex] &= 1.0 \times 10^{-4}\,\text{C}
\end{aligned}
$$
電圧 \(V’\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
(2.0 \times 10^{-6} + 3.0 \times 10^{-6}) V’ &= 1.0 \times 10^{-4} \\[2.0ex] 5.0 \times 10^{-6} V’ &= 1.0 \times 10^{-4} \\[2.0ex] V’ &= \frac{1.0 \times 10^{-4}}{5.0 \times 10^{-6}} \\[2.0ex] &= 0.20 \times 10^2 \\[2.0ex] &= 20\,\text{V}
\end{aligned}
$$
最後に各電気量を求めます。
$$
\begin{aligned}
Q_{1\text{後}}’ &= (2.0 \times 10^{-6}) \times 20 \\[2.0ex] &= 4.0 \times 10^{-5}\,\text{C}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
Q_{2\text{後}}’ &= (3.0 \times 10^{-6}) \times 20 \\[2.0ex] &= 6.0 \times 10^{-5}\,\text{C}
\end{aligned}
$$

プラスの電気とマイナスの電気をつなぐと、お互いに打ち消し合って消滅します。
\(C_1\) のプラス（4.0）と \(C_2\) のマイナス（3.0）が出会うと、差し引きでプラスの1.0だけが残ります。
この生き残った1.0の電気が、改めて2つのコンデンサーに分けられます。

\(C_1: 4.0 \times 10^{-5}\,\text{C}, C_2: 6.0 \times 10^{-5}\,\text{C}\)、電圧 \(20\,\text{V}\) と求まりました。
合計 \(4.0+6.0=10.0 (\times 10^{-5}) = 1.0 \times 10^{-4}\) となり、差分と一致しています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 接続の向きと電荷保存則（和と差）
  • 核心: 複数のコンデンサーを接続した際、孤立部分（島）の電荷の総和は保存されますが、その「総和」の計算方法は接続の向き（極性）に依存します。
  • 理解のポイント:
    • 同符号接続（＋と＋）: 電荷は単純に足し算されます（\(Q_{\text{合計}} = Q_1 + Q_2\)）。水槽の水位を合わせるイメージです。
    • 異符号接続（＋と－）: 電荷は互いに打ち消し合うため、差の絶対値になります（\(Q_{\text{合計}} = |Q_1 – Q_2|\)）。正負の電荷が中和して消滅するイメージです。
• 並列接続による等電位化
  • 核心: 導線で接続された極板同士は、最終的に同じ電位になります。これにより、接続後のコンデンサーは並列接続とみなせ、共通の電圧 \(V\) を持ちます。
  • 理解のポイント: 電荷の移動は電位差がなくなるまで続きます。最終状態では \(V_1 = V_2 = V\) となり、この \(V\) を求めることが問題解決の鍵となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 3つ以上のコンデンサー接続: 3つ以上になっても原理は同じです。孤立部分を見つけ、そこに含まれる全電荷の代数和（符号付きの和）を計算し、合成容量で割れば共通電圧が出ます。
  • スイッチを含む回路の切り替え: スイッチ操作のたびに「どの部分が孤立したか」を確認し、その都度保存則を適用します。前の状態の電荷が次の状態の初期値になります。
  • 未充電コンデンサーとの接続: 片方が未充電（\(Q_2=0\)）の場合も、本問の(1)の特殊ケース（\(Q_{\text{合計}} = Q_1 + 0\)）として処理できます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 接続前の電荷を計算する: \(Q=CV\) でそれぞれの電荷を数値として確定させます。
  2. 接続の極性を確認する: 図を見て、プラス極同士がつながっているか、プラスとマイナスがつながっているかを慎重に見極めます。
  3. 保存則の式を立てる: \(Q_1′ + Q_2′ = Q_{\text{合計}}\) の右辺に、(2)で判断した和または差を代入します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 異符号接続での符号ミス:
  • 誤解: 異符号接続でも単純に足し算してしまったり、引き算の順序を間違えて負の値にしてしまったりする。
  • 対策: 「異符号は打ち消し合う」と強く意識し、必ず絶対値 \(|Q_1 – Q_2|\) を取るようにしましょう。また、最終的な電圧の極性は、電荷が多かった方（勝った方）の符号に従います。
• 電圧の共通化の忘れ:
  • 誤解: 保存則の式 \(Q_1′ + Q_2′ = \text{一定}\) だけで満足してしまい、未知数が2つあるのに式が1つしかない状態に陥る。
  • 対策: 「接続後は並列 \(\rightarrow\) 電圧が同じ」という条件を必ずセットで使いましょう。\(Q_1′ = C_1 V, Q_2′ = C_2 V\) と置くことで、未知数を \(V\) だけに減らせます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)(2)での公式選択（\(Q_{\text{合計}} = Q_1 \pm Q_2\)）:
  • 選定理由: 外部電源から切り離された閉回路内での電荷の再分配問題であるため、電荷保存則が最も強力な拘束条件となるからです。
  • 適用根拠: 電荷は消滅も生成もしない（対消滅を除く）という物理の根本原理に基づいています。
• 別解での公式選択（\(V = Q_{\text{合計}} / C_{\text{合成}}\)）:
  • 選定理由: 並列接続されたコンデンサー群を「一つの大きな容器」とみなすことで、個別の電荷分布を気にせず、巨視的な視点から一発で電圧を決定できるため、計算効率が非常に良いからです。
  • 適用根拠: 並列接続の合成容量の定義 \(C_{\text{合成}} = \sum C_i\) と、全電荷 \(Q_{\text{合計}} = \sum Q_i\) の関係から導かれます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 合成容量法の活用（別解）:
  • 本問のような再分配問題では、別解の「全電荷を合成容量で割る」方法が圧倒的に速く、ミスも少ないです。検算用としてだけでなく、メインの解法としても積極的に使いましょう。
• 単位の省略と復帰:
  • \(\mu\)（マイクロ）などの接頭辞は、計算中は文字として扱い、最後に数値に戻すか、あるいは比の計算で消去すると、桁数のミスを防げます。ただし、電圧計算では \(\mu\) が残るので注意が必要です。

464 誘電体の挿入

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「誘電体の部分挿入によるコンデンサーの合成容量」です。極板間の一部に誘電体が挿入された状態を、複数のコンデンサーの接続（並列または直列）とみなして解析する方法を学びます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
図1のように極板間を左右に分割して誘電体を入れた場合、左側の真空部分と右側の誘電体部分は、同じ電圧 \(V\) がかかっています。したがって、これは2つのコンデンサーが並列に接続されているとみなせます。
元のコンデンサー（容量 \(C\)）と比較して、面積が半分（\(S/2\)）になっていることに注意して、それぞれの容量を求めます。
この設問における重要なポイント

• 極板に平行な分割は「並列接続」とみなす。
• 面積が半分になると、容量も半分になる（\(C \propto S\)）。
• 誘電体が入ると、容量は \(\varepsilon_r\) 倍になる。

具体的な解説と立式
元のコンデンサーの電気容量を \(C\) とします。
左半分（真空部分）のコンデンサーを \(C_L\)、右半分（誘電体部分）のコンデンサーを \(C_R\) とします。
面積が半分（\(S \rightarrow S/2\)）になったので、真空部分の容量は、
$$
\begin{aligned}
C_L &= \frac{1}{2}C
\end{aligned}
$$
右半分も面積は半分ですが、比誘電率 \(\varepsilon_r\) の誘電体が入っているため、容量はさらに \(\varepsilon_r\) 倍になります。
$$
\begin{aligned}
C_R &= \varepsilon_r \times \frac{1}{2}C = \frac{\varepsilon_r}{2}C
\end{aligned}
$$
これらは並列接続なので、合成容量 \(C_1\) は和で求められます。
$$
\begin{aligned}
C_1 &= C_L + C_R
\end{aligned}
$$
求める電気量 \(Q_1\) は、
$$
\begin{aligned}
Q_1 &= C_1 V
\end{aligned}
$$

合成容量 \(C_1\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
C_1 &= \frac{1}{2}C + \frac{\varepsilon_r}{2}C \\[2.0ex] &= \frac{1 + \varepsilon_r}{2}C
\end{aligned}
$$
電気量 \(Q_1\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
Q_1 &= \frac{1 + \varepsilon_r}{2}C \times V \\[2.0ex] &= \frac{(1 + \varepsilon_r)CV}{2}
\end{aligned}
$$

大きな1つのコンデンサーを、左右2つの小さなコンデンサーが並んでいると考えます。
左側は中身が空っぽで面積が半分なので、容量は元の半分です。
右側も面積は半分ですが、誘電体が入っているのでパワーアップして、容量は「半分の \(\varepsilon_r\) 倍」になります。
並列つなぎなので、これらを単純に足し合わせれば全体の容量になります。

\(\frac{(1 + \varepsilon_r)CV}{2}\) と求まりました。
もし \(\varepsilon_r = 1\)（全体が真空）なら、\(Q_1 = CV\) となり元の式に戻るので、正しい結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
図2のように極板間を上下に分割して誘電体を入れた場合、上側の真空部分と下側の誘電体部分は、電荷の通り道が一本道になっています（金属板が等電位面として機能します）。したがって、これは2つのコンデンサーが直列に接続されているとみなせます。
元のコンデンサーと比較して、間隔が半分（\(d/2\)）になっていることに注意して、それぞれの容量を求めます。
この設問における重要なポイント

• 極板に垂直な分割は「直列接続」とみなす。
• 間隔が半分になると、容量は2倍になる（\(C \propto 1/d\)）。
• 直列接続の合成容量は「逆数の和」で計算する。

具体的な解説と立式
上半分（真空部分）のコンデンサーを \(C_U\)、下半分（誘電体部分）のコンデンサーを \(C_D\) とします。
間隔が半分（\(d \rightarrow d/2\)）になったので、真空部分の容量は元の2倍になります。
$$
\begin{aligned}
C_U &= 2C
\end{aligned}
$$
下半分も間隔は半分ですが、誘電体が入っているため、容量はさらに \(\varepsilon_r\) 倍になります。
$$
\begin{aligned}
C_D &= \varepsilon_r \times 2C = 2\varepsilon_r C
\end{aligned}
$$
これらは直列接続なので、合成容量 \(C_2\) は以下の式で求められます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{C_2} &= \frac{1}{C_U} + \frac{1}{C_D}
\end{aligned}
$$
求める電気量 \(Q_2\) は、
$$
\begin{aligned}
Q_2 &= C_2 V
\end{aligned}
$$

合成容量 \(C_2\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{C_2} &= \frac{1}{2C} + \frac{1}{2\varepsilon_r C} \\[2.0ex] &= \frac{\varepsilon_r}{2\varepsilon_r C} + \frac{1}{2\varepsilon_r C} \\[2.0ex] &= \frac{\varepsilon_r + 1}{2\varepsilon_r C}
\end{aligned}
$$
逆数をとって、
$$
\begin{aligned}
C_2 &= \frac{2\varepsilon_r C}{1 + \varepsilon_r}
\end{aligned}
$$
電気量 \(Q_2\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
Q_2 &= \frac{2\varepsilon_r C}{1 + \varepsilon_r} \times V \\[2.0ex] &= \frac{2\varepsilon_r CV}{1 + \varepsilon_r}
\end{aligned}
$$

大きな1つのコンデンサーを、上下2つの薄いコンデンサーが積み重なっていると考えます。
上側は中身が空っぽで厚みが半分なので、容量は元の2倍になります（薄いほうが電気を貯めやすいからです）。
下側も厚みは半分ですが、誘電体が入っているのでさらにパワーアップして、容量は「2倍の \(\varepsilon_r\) 倍」になります。
直列つなぎなので、逆数の足し算で全体の容量を計算します。

\(\frac{2\varepsilon_r CV}{1 + \varepsilon_r}\) と求まりました。
もし \(\varepsilon_r = 1\) なら、\(Q_2 = \frac{2CV}{2} = CV\) となり元の式に戻るので、正しい結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 誘電体の部分挿入と等価回路
  • 核心: コンデンサーの一部に誘電体が入っている場合、それを「誘電体あり」と「なし」の2つの単純なコンデンサーの組み合わせ（合成）とみなして解析します。
  • 理解のポイント:
    • 極板に平行な分割（面積分割）: 電位差が共通になるため、並列接続とみなします。容量は面積比で分割されます。
    • 極板に垂直な分割（間隔分割）: 電荷の通り道が一本道になるため、直列接続とみなします。容量は間隔の逆比で分割されます。
• 金属板の挿入と等電位
  • 核心: 導体（金属板）を挿入すると、その内部は等電位になります。これは実質的に極板間隔が狭くなることと同じ効果を持ちます。
  • 理解のポイント: 図2のように金属板で仕切られた場合、金属板自体が新たな極板となり、上下2つのコンデンサーが直列につながっていると解釈できます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 誘電体を斜めに挿入する場合: 極板間隔 \(d\) が場所によって連続的に変化する問題。微小な並列コンデンサーの積分として扱います（難関大レベル）。
  • 複数の誘電体層: 3層以上の誘電体が重なっている場合も、同様に直列接続の合成として計算できます。
  • 誘電体が移動する場合: 誘電体を出し入れする際のエネルギー変化や外力の仕事を問う問題。本問で求めた合成容量 \(C(x)\) を用いてエネルギー \(U(x)\) を計算し、その変化から力を導きます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 分割の方向を見極める: 誘電体の境界線が極板に対して「垂直」なら並列、「平行」なら直列です。
  2. 容量の変化率を計算する: 分割された各部分について、面積 \(S\) が何倍、間隔 \(d\) が何倍、誘電率 \(\varepsilon\) が何倍になったかを確認し、それぞれの容量を \(C\) を使って表します。
  3. 合成公式を適用する: 並列なら足し算、直列なら逆数和で全体の容量を求めます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 直列と並列の判定ミス:
  • 誤解: 図の見た目だけで判断してしまい、境界線の向きと接続の関係を逆にしてしまう。
  • 対策: 「電位差が同じなら並列」「電荷の通り道が一本なら直列」という定義に立ち返って確認しましょう。金属板（等電位面）が挟まっている場合は直列の可能性が高いです。
• 合成容量の計算ミス（特に直列）:
  • 誤解: 直列接続の計算で、逆数を足した結果をそのまま答えにしてしまう（逆数に戻すのを忘れる）。
  • 対策: 単位を確認するか、あるいは「直列にすると容量は必ず元の最小値より小さくなる」という性質を使って検算しましょう。
• \(\varepsilon_r\) の適用忘れ:
  • 誤解: 誘電体が入っている部分の容量を計算する際、\(\varepsilon_r\) を掛け忘れて真空のまま計算してしまう。
  • 対策: 誘電体部分の容量には必ず添字（\(C_{\varepsilon}\) など）を付け、式の中に \(\varepsilon_r\) が含まれているか常にチェックしましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（\(C_{\text{合成}} = C_L + C_R\)）:
  • 選定理由: 誘電体の境界が極板に対して垂直であり、左右の領域で電位差が共通であるため、並列接続の合成公式を選択します。
  • 適用根拠: 並列接続の定義（電圧共通、電荷分散）を満たしているからです。
• (2)での公式選択（\(\frac{1}{C_{\text{合成}}} = \frac{1}{C_U} + \frac{1}{C_D}\)）:
  • 選定理由: 誘電体の境界（および金属板）が極板に対して平行であり、静電誘導によって電荷が直列に移動するため、直列接続の合成公式を選択します。
  • 適用根拠: 直列接続の定義（電荷共通、電圧分割）を満たしているからです。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま計算する:
  • 本問のように具体的な数値がない場合、\(C, \varepsilon_r\) などの文字を使って最後まで計算します。途中で勝手に数値を代入しないようにしましょう。
• 極限チェック（検算）:
  • 答えが出たら、\(\varepsilon_r = 1\)（誘電体なし）を代入してみましょう。(1)(2)ともに \(Q = CV\) に戻るはずです。もし戻らなければ、計算式に誤りがあります。このテクニックは非常に強力です。

ABOUT THE AUTHOR

共田 誠（まこと先生）

高校物理講師・プロ家庭教師 / 指導歴14年

上智大学理工学部物理学科卒。私立高校の非常勤講師として進学クラスから基礎クラスまで幅広く担当。大手家庭教師センター3社でプロ家庭教師を経験し、現在はオンライン専門で全国の高校生を個別指導中。

「暗記物理の撲滅」を掲げ、生徒の思考のクセを診断・矯正するドクター型アプローチで指導。表面的なテクニックではなく、初見の問題に強い思考力を育てる。

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14年指導歴

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