問題16 斜面に置かれた直方体のつりあい (17 東海大)
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
- 提示する別解
- 設問(2)の別解: 幾何学的解法（重力の作用線と安定性）
- 模範解答が力のモーメントのつりあい式を立てて計算するのに対し、別解では「重力の作用線が底面からはみ出すと倒れる」という幾何学的な条件を用いて、直感的に限界角を求めます。
- 設問(4)の後の別解: 微積分を用いた体系的解法（剛体の静止条件）
- 剛体の運動方程式（並進運動と回転運動）を基礎とし、静止し続けるための条件（力の総和が0、力のモーメントの総和が0）を原理から導出します。これにより、滑り出しと転倒の条件を統一的に扱います。
- 設問(2)の別解: 幾何学的解法（重力の作用線と安定性）
- 上記の別解が有益である理由
- 幾何学的解法: 複雑な計算を省略し、物体の形状（アスペクト比）を見るだけで転倒条件を即答できるため、検算やスピードアップに極めて有効です。
- 微積分の解法: 「なぜモーメントのつりあいを考えるのか」「なぜ任意の点周りで考えてよいのか」といった根本的な疑問に対し、ニュートン力学の原理から論理的に答える力を養います。
- 結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、最終的に得られる答えは模範解答と完全に一致します。
この問題のテーマは「斜面上の剛体の静止限界（滑り出しと転倒）」です。物体を質点ではなく大きさのある「剛体」として扱い、力がどこに作用するかを考慮する必要があります。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 力のつりあい: 物体が並進運動（平行移動）を始めないための条件です。
- 力のモーメントのつりあい: 物体が回転運動（転倒）を始めないための条件です。
- 静止摩擦力と最大摩擦力: 滑り出す直前、静止摩擦力は最大値 \(f_{\text{最大}} = \mu_0 N\) に達します。
- 作用点の移動: 剛体が傾くにつれて、垂直抗力の作用点は斜面下側の端へと移動していきます。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (1)では、静止している物体の斜面方向の力のつりあいを考えます。
- (2)では、「滑り出す条件」と「倒れる条件」をそれぞれ求め、滑り出しが先に起こるための不等式を作ります。
- (3)では、置き方を変えた場合の転倒条件を、モーメントのつりあいから求めます。
- (4)では、倒れる直前の角度における力のつりあいを計算します。
問(1)
思考の道筋とポイント
物体は斜面上で静止しています。このとき、物体にはたらく力はつりあっています。
まずは物体にはたらく力をすべて書き出し、斜面方向（平行）と斜面に垂直な方向に分解してつりあいの式を立てます。
この設問における重要なポイント
- 力の図示: 重力 \(Mg\)、垂直抗力 \(N\)、静止摩擦力 \(f\) の3つの力を正確に描きます。
- 座標軸の設定: 斜面に沿って下向きを \(x\) 軸、斜面に垂直上向きを \(y\) 軸とすると計算しやすくなります。
具体的な解説と立式
物体にはたらく力は以下の通りです。
- 重力: 大きさ \(Mg\)、鉛直下向き。
- 垂直抗力: 大きさ \(N\)、斜面から物体へ垂直上向き。
- 静止摩擦力: 大きさ \(f\)、物体が滑り落ちるのを防ぐため、斜面上向き。
斜面に平行な方向（\(x\) 軸方向）の力のつりあいを考えます。
斜面下向きを正とすると、重力の斜面方向成分は \(Mg \sin\theta\) です。
摩擦力 \(f\) は斜面上向きにはたらきます。
力のつりあいの式（下向きの力 = 上向きの力）は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
Mg \sin\theta &= f \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 力のつりあい: \(\vec{F}_{\text{合力}} = \vec{0}\)
式①より、摩擦力の大きさ \(f\) はそのまま求まります。
$$
\begin{aligned}
f &= Mg \sin\theta
\end{aligned}
$$
物体が坂道で止まっているのは、重力が物体を坂の下へ引っ張る力と、摩擦力が物体を支える力がちょうど同じ大きさで打ち消し合っているからです。
重力のうち、坂を滑り落ちようとする成分は \(Mg \sin\theta\) なので、摩擦力もこれと同じ大きさになります。
答えは \(Mg \sin\theta\) です。
\(\theta=0\)（水平）なら \(f=0\)、\(\theta\) が大きくなると \(f\) も大きくなるという結果は、直感と一致します。
問(2)
思考の道筋とポイント
「倒れることなく滑り出した」という現象を物理的に翻訳します。
これは、「滑り出し条件（最大摩擦力に達する）」が「転倒条件（モーメントのつりあいが破れる）」よりも小さい角度で満たされたことを意味します。
それぞれの限界となる角度を求め、比較します。
この設問における重要なポイント
- 滑り出し条件: 静止摩擦力が最大摩擦力 \(\mu_0 N\) に達したとき、物体は滑り出します。
- 転倒条件: 垂直抗力の作用点が物体の底面の端（点A）まで移動したとき、物体は倒れ始めます。このとき、点Aまわりのモーメントのつりあいが限界を迎えます。
具体的な解説と立式
まず、滑り出す限界の角を \(\theta_1\) とします。
斜面垂直方向の力のつりあい（上向きの力 = 下向きの力）より、
$$
\begin{aligned}
N &= Mg \cos\theta_1 \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$
滑り出す直前、摩擦力は最大摩擦力となるので、(1)の結果を用いて、
$$
\begin{aligned}
Mg \sin\theta_1 &= \mu_0 N \quad \cdots ③
\end{aligned}
$$
次に、倒れる限界の角を \(\theta_0\) とします。
図1の状態では、底面の幅は \(3a\)、高さは \(a\) です。重心の位置は底面から高さ \(a/2\)、左端Aから水平距離 \(3a/2\) の位置にあります。
倒れる直前、垂直抗力と摩擦力の作用点は斜面下側の端Aに集中します。
点Aまわりの力のモーメントのつりあい（反時計回りのモーメント = 時計回りのモーメント）を考えます。
重力を斜面成分 \(Mg \sin\theta_0\) と垂直成分 \(Mg \cos\theta_0\) に分解します。
- \(Mg \sin\theta_0\)（斜面下向き）は、重心（高さ \(a/2\)）にはたらき、点Aまわりに「反時計回り（転倒させる向き）」のモーメントを作ります。
- \(Mg \cos\theta_0\)（斜面垂直下向き）は、重心（水平距離 \(3a/2\)）にはたらき、点Aまわりに「時計回り（元に戻す向き）」のモーメントを作ります。
- 垂直抗力と摩擦力は点Aを通るため、モーメントは \(0\) です。
つりあいの式は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
Mg \sin\theta_0 \cdot \frac{a}{2} &= Mg \cos\theta_0 \cdot \frac{3a}{2} \quad \cdots ④
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 最大摩擦力: \(f_{\text{最大}} = \mu_0 N\)
- 力のモーメント: \(M = F \cdot l\) （力 \(\times\) 腕の長さ）
まず、滑り出し条件を整理します。式②を式③に代入します。
$$
\begin{aligned}
Mg \sin\theta_1 &= \mu_0 (Mg \cos\theta_1) \\[2.0ex]
\frac{\sin\theta_1}{\cos\theta_1} &= \mu_0 \\[2.0ex]
\tan\theta_1 &= \mu_0 \quad \cdots ⑤
\end{aligned}
$$
次に、転倒条件を整理します。式④の両辺を \(Mg \cos\theta_0 \cdot \frac{a}{2}\) で割ります。
$$
\begin{aligned}
\frac{\sin\theta_0}{\cos\theta_0} &= \frac{3a/2}{a/2} \\[2.0ex]
\tan\theta_0 &= 3 \quad \cdots ⑥
\end{aligned}
$$
問題文より「倒れることなく滑り出した」ので、滑り出し角 \(\theta_1\) は転倒角 \(\theta_0\) より小さいはずです。
$$
\begin{aligned}
\theta_1 &< \theta_0
\end{aligned}
$$
\(0 < \theta < 90^{\circ}\) の範囲で \(\tan\theta\) は単調増加するので、
$$
\begin{aligned}
\tan\theta_1 &< \tan\theta_0
\end{aligned}
$$
式⑤、⑥を代入して、
$$
\begin{aligned}
\mu_0 &< 3
\end{aligned}
$$
坂道を急にしていくと、「滑る」のが先か、「転ぶ」のが先か、という競争になります。
「滑る」タイミングは摩擦係数 \(\mu_0\) で決まり、「転ぶ」タイミングは物体の形（縦横比）で決まります。
今回は「転ぶ」よりも先に「滑った」ので、摩擦係数は転倒限界を表す数値（この物体では \(3\)）よりも小さかったということになります。
答えは \(\mu_0 < 3\) です。
もし \(\mu_0\) が非常に大きければ（例えば接着剤で止まっているような状態）、滑らずに角度が上がり続け、最終的に \(\tan\theta=3\) を超えた瞬間にゴロンと転がります。今回はそうならなかったので、摩擦がそこまで強くなかったということです。
思考の道筋とポイント
計算をせずとも、図形的に考えることができます。
物体が倒れる限界は、「重力の作用線（重心から鉛直下向きに引いた線）が、底面の端（点A）を越える瞬間」です。
この設問における重要なポイント
- 安定条件: 重力の作用線が底面（接地面）の内側を通っていれば、物体は倒れません。
- 幾何学的関係: 作用線が底面の端を通るとき、斜面の角度 \(\theta\) と物体の形状（幅と高さ）の間には単純な三角比の関係が成り立ちます。
具体的な解説と立式
倒れる瞬間の角度を \(\theta_0\) とします。
このとき、重心 \(G\) から引いた鉛直線は、底面の角 \(A\) を通ります。
図b（模範解答の図）のような直角三角形を考えます。
鉛直線と斜面の法線（底面に垂直な線）がなす角は \(\theta_0\) です。
この直角三角形において、
- 対辺（底面に平行な成分に対応）の長さは、重心の底面からの高さ \(a/2\) ではなく、重心の左端からの距離 \(3a/2\) です。
- 隣辺（底面に垂直な成分に対応）の長さは、重心の高さ \(a/2\) です。
ここで、直角三角形の向きに注意します。
重心 \(G\) から斜面に下ろした垂線の足を \(H\) とし、角 \(A\) を見ます。
倒れる瞬間、重力ベクトルは \(GA\) 方向を向きます。
斜面に垂直な線 \(GH\) と \(GA\) のなす角が \(\theta_0\) です。
直角三角形 \(GHA\) において、
$$
\begin{aligned}
GH &= \frac{a}{2} \quad (\text{重心の高さ}) \\[2.0ex]
HA &= \frac{3a}{2} \quad (\text{重心の水平位置})
\end{aligned}
$$
幾何学的な関係から、以下の式が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
\tan\theta_0 &= \frac{HA}{GH}
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 三角比の定義: \(\tan\theta = \frac{\text{対辺}}{\text{隣辺}}\)
値を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
\tan\theta_0 &= \frac{3a/2}{a/2} \\[2.0ex]
&= 3
\end{aligned}
$$
滑り出し条件は \(\tan\theta_1 = \mu_0\) なので、滑るのが先（\(\theta_1 < \theta_0\)）である条件は \(\mu_0 < 3\) となります。
物体の重心から真下に糸を垂らした様子を想像してください。
坂を傾けていくと、垂らした糸が底面の端っこ（点A）に近づいていきます。
糸が点Aを越えて外側に出ると、物体はコロンと倒れます。
この限界の角度は、物体の「幅」と「高さ」の比率だけで決まります。
計算式を立てずとも、物体の「幅」と「高さ」の比を見るだけで限界の角度（のタンジェント）が求まります。
幅が広いほど（\(3a\) が大きいほど）倒れにくく、背が高いほど（\(a\) が大きいほど）倒れやすいことが直感的に分かります。
問(3)
思考の道筋とポイント
今度は図2のように、短辺 \(BC\)（長さ \(a\)）を底面にして置きます。高さは \(3a\) になります。
「滑り出すことなく倒れた」ので、今度は転倒条件の方が先に満たされます。
問(2)と同様に、モーメントのつりあいから転倒限界の角 \(\theta_2\) を求めます。
この設問における重要なポイント
- 重心の位置の変化: 置き方を変えたことで、底面の幅は \(a\)、高さは \(3a\) に変わりました。
- 重心座標: 左下の角Bを原点とすると、重心の位置は底面から高さ \(3a/2\)、左端Bから水平距離 \(a/2\) です。
具体的な解説と立式
倒れる瞬間の角を \(\theta_2\) とします。
このとき、垂直抗力と摩擦力の作用点は、斜面下側の角Bにあります。
点Bまわりの力のモーメントのつりあい（反時計回りのモーメント = 時計回りのモーメント）を考えます。
重力を分解して考えます。
- \(Mg \sin\theta_2\)（斜面下向き）は、重心（高さ \(3a/2\)）にはたらき、点Bまわりに「反時計回り（転倒させる向き）」のモーメントを作ります。
- \(Mg \cos\theta_2\)（斜面垂直下向き）は、重心（水平距離 \(a/2\)）にはたらき、点Bまわりに「時計回り（元に戻す向き）」のモーメントを作ります。
つりあいの式は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
Mg \sin\theta_2 \cdot \frac{3a}{2} &= Mg \cos\theta_2 \cdot \frac{a}{2} \quad \cdots ⑦
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 力のモーメントのつりあい: \(\sum M = 0\)
式⑦の両辺を \(Mg \cos\theta_2 \cdot \frac{3a}{2}\) で割って整理します。
$$
\begin{aligned}
\frac{\sin\theta_2}{\cos\theta_2} &= \frac{a/2}{3a/2} \\[2.0ex]
\tan\theta_2 &= \frac{1}{3}
\end{aligned}
$$
縦置きにすると、背が高く（高さ \(3a\)）、足場が狭く（幅 \(a\)）なりました。
これだと少し傾けただけで重心が足場の外に出てしまい、すぐに倒れてしまいます。
計算結果の \(\tan\theta_2 = 1/3\) は、横置きのときの \(3\) に比べて非常に小さく、倒れやすくなっていることを示しています。
答えは \(1/3\) です。
別解の幾何学的解法を用いれば、\(\tan\theta_2 = \frac{\text{底面の半幅}}{\text{重心の高さ}} = \frac{a/2}{3a/2} = 1/3\) と瞬時に求まります。
問(4)
思考の道筋とポイント
「倒れ始める直前」であっても、物体はまだ静止しています。
したがって、力のつりあいの式は問(1)と同じ形になります。
ただし、角度は \(\theta_2\) です。問(3)で求めた \(\tan\theta_2\) の値を使って、具体的な摩擦力の大きさを計算します。
この設問における重要なポイント
- 静止状態: 倒れる寸前でも、滑り出していなければ静止摩擦力がはたらいています。
- 三角比の変換: \(\tan\theta\) の値から \(\sin\theta\) の値を求める必要があります。
具体的な解説と立式
斜面方向の力のつりあい（下向きの力 = 上向きの力）より、求める摩擦力 \(f_2\) は、
$$
\begin{aligned}
f_2 &= Mg \sin\theta_2 \quad \cdots ⑧
\end{aligned}
$$
ここで、問(3)より \(\tan\theta_2 = \frac{1}{3}\) です。
これに対応する直角三角形を描くと、底辺が \(3\)、高さが \(1\) となります。
三平方の定理より、斜辺の長さ \(L\) は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
L &= \sqrt{3^2 + 1^2}
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 力のつりあい: \(f = Mg \sin\theta\)
- 三角比の定義: \(\sin\theta = \frac{\text{対辺}}{\text{斜辺}}\)
- 三平方の定理: \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\)
斜辺の長さを計算します。
$$
\begin{aligned}
L &= \sqrt{10}
\end{aligned}
$$
したがって、\(\sin\theta_2\) の値は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
\sin\theta_2 &= \frac{\text{高さ}}{\text{斜辺}} \\[2.0ex]
&= \frac{1}{\sqrt{10}}
\end{aligned}
$$
求めた \(\sin\theta_2\) を式⑧に代入します。
$$
\begin{aligned}
f_2 &= Mg \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} \\[2.0ex]
&= \frac{1}{\sqrt{10}} Mg
\end{aligned}
$$
（有理化して \(\frac{\sqrt{10}}{10} Mg\) としても正解ですが、模範解答に合わせてこのままとします。）
倒れる寸前の角度 \(\theta_2\) で静止しているとき、摩擦力は重力の斜面成分を支えています。
角度 \(\theta_2\) は \(\tan\theta_2 = 1/3\) という関係を満たすので、そこから \(\sin\theta_2\) を計算し、重力 \(Mg\) に掛けることで摩擦力の大きさが求まります。
答えは \(\frac{1}{\sqrt{10}} Mg\) です。
\(\tan\theta = 1/3\) は約 \(18.4^{\circ}\) 程度の緩やかな坂です。このとき摩擦力は重力の約 \(1/3\) 程度（正確には \(1/\sqrt{10} \approx 1/3.16\)）で済んでいます。
思考の道筋とポイント
ここでは、個別のつりあい式を立てるのではなく、剛体の運動方程式から出発し、静止し続けるための一般的条件を導出します。
これにより、滑り出し条件と転倒条件が、それぞれ「並進運動」と「回転運動」の開始条件として統一的に理解できます。
この設問における重要なポイント
- 剛体の運動方程式:
- 並進運動: 重心の運動方程式 \(\frac{d\vec{P}}{dt} = \sum \vec{F}\)
- 回転運動: 角運動量の時間変化 \(\frac{d\vec{L}}{dt} = \sum \vec{N}\) （\(\vec{N}\) は力のモーメント）
- 静止条件: 静止し続けるためには、運動量 \(\vec{P}\) と角運動量 \(\vec{L}\) が共に \(\vec{0}\) であり続けなければなりません。つまり、\(\sum \vec{F} = \vec{0}\) かつ \(\sum \vec{N} = \vec{0}\) です。
具体的な解説と立式
斜面下向きを \(x\) 軸、斜面垂直上向きを \(y\) 軸とします。
剛体にはたらく外力は、重力 \(\vec{F}_g\)、垂直抗力 \(\vec{N}\)、摩擦力 \(\vec{f}\) です。
それぞれの作用点は、重力が重心 \(G\)、垂直抗力と摩擦力が底面上の点 \(P\)（左端から距離 \(x_p\)）とします。
1. 並進運動の静止条件（力のつりあい）
$$
\begin{aligned}
\frac{d\vec{P}}{dt} &= \vec{F}_g + \vec{N} + \vec{f} \\[2.0ex]
&= \vec{0}
\end{aligned}
$$
成分ごとに書くと、以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
x\text{成分}: \quad & Mg \sin\theta – f = 0 \quad \cdots (A) \\[2.0ex]
y\text{成分}: \quad & N – Mg \cos\theta = 0 \quad \cdots (B)
\end{aligned}
$$
2. 回転運動の静止条件（モーメントのつりあい）
任意の点（ここでは左下の角 \(A\) を原点とします）まわりの外力のモーメントの総和が \(0\) である必要があります。
重心 \(G\) の位置ベクトルを \(\vec{r}_G = (X_G, Y_G)\)、作用点 \(P\) の位置ベクトルを \(\vec{r}_P = (x_p, 0)\) とします。
重力 \(\vec{F}_g = (Mg\sin\theta, -Mg\cos\theta)\)
抗力合力 \(\vec{R} = (-f, N)\) （点 \(P\) に作用）
モーメントのつりあい（反時計回りを正）を考えます。
- 重力のモーメント: 重力の \(x\) 成分 \(Mg\sin\theta\) は腕 \(Y_G\) で反時計回り（転倒方向）。重力の \(y\) 成分 \(Mg\cos\theta\) は腕 \(X_G\) で時計回り（安定方向）。
- 垂直抗力のモーメント: \(N\) は腕 \(x_p\) で反時計回り。
- 摩擦力のモーメント: 作用線が原点を通るため \(0\)。
つりあい式は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
(\text{反時計回りのモーメント}) &= (\text{時計回りのモーメント}) \\[2.0ex]
Mg\sin\theta \cdot Y_G + N \cdot x_p &= Mg\cos\theta \cdot X_G \quad \cdots (C)
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 運動方程式: \(\frac{d\vec{P}}{dt} = \sum \vec{F}\)
- 回転の運動方程式: \(\frac{d\vec{L}}{dt} = \sum \vec{N}\)
式(C)を変形して、垂直抗力の作用点 \(x_p\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
N \cdot x_p &= Mg\cos\theta \cdot X_G – Mg\sin\theta \cdot Y_G
\end{aligned}
$$
ここから限界条件を導きます。
1. 滑り出し条件: 静止摩擦力 \(f\) が最大摩擦力 \(\mu_0 N\) を超えること。
式(A), (B)より \(f = Mg\sin\theta, N = Mg\cos\theta\) です。
$$
\begin{aligned}
Mg\sin\theta &> \mu_0 (Mg\cos\theta) \\[2.0ex]
\tan\theta &> \mu_0
\end{aligned}
$$
2. 転倒条件: 垂直抗力の作用点 \(x_p\) が底面の端（\(x_p = 0\)）に達すること。
式(C)で \(x_p=0\) とすると、左辺第2項が消えます。
$$
\begin{aligned}
Mg\sin\theta \cdot Y_G &= Mg\cos\theta \cdot X_G \\[2.0ex]
\tan\theta &= \frac{X_G}{Y_G}
\end{aligned}
$$
これが幾何学的解法で用いた \(\tan\theta = \frac{\text{底面の半幅}}{\text{重心の高さ}}\) の正体です。
剛体のつりあいを「力の合計がゼロ」と「回転力の合計がゼロ」という2つの式で表しました。
回転力の式を変形すると、「垂直抗力がどこで支えているか」を表す式になります。
坂が急になると、支える位置 \(x_p\) がどんどん端っこ（\(0\)）に近づいていき、\(0\) を超えると支えきれずに倒れます。これが転倒条件の数学的な意味です。
この一般式 \(\tan\theta = X_G / Y_G\) に、
- 問(2)の \(X_G=3a/2, Y_G=a/2\) を代入すれば \(\tan\theta = 3\)。
- 問(3)の \(X_G=a/2, Y_G=3a/2\) を代入すれば \(\tan\theta = 1/3\)。
となり、全ての設問の結果を統一的に導くことができます。
【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座
最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- 剛体の静止条件（力のつりあいとモーメントのつりあい）
- 核心: 大きさのある物体（剛体）が静止し続けるためには、「移動しない（力の和が0）」だけでなく、「回転しない（モーメントの和が0）」という条件も同時に満たす必要があります。
- 理解のポイント:
- 滑り出し: 静止摩擦力が最大摩擦力 \(\mu_0 N\) に達すると発生します。これは「力のつりあい」の問題です。
- 転倒: 重力の作用線が底面の支持範囲（底面内）から外れると発生します。これは「モーメントのつりあい」の問題です。
- 垂直抗力の作用点の移動
- 核心: 物体が傾くにつれて、垂直抗力の作用点は斜面下側の端へと移動していき、端に達した瞬間に転倒が始まります。
- 理解のポイント:
- 作用点の意味: 垂直抗力は底面全体に分布していますが、計算上は「作用点」という一点に合力がはたらくとみなせます。
- 限界状態: 倒れる直前、垂直抗力と摩擦力は底面の角（回転軸となる点）に集中します。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- 水平面上で物体を押す問題: 斜面ではなく、水平面上の物体を高い位置で押す場合も全く同じです。「押す力が摩擦に勝つ（滑る）」か「モーメントで倒す（転倒）」かの競合になります。
- トラックの荷台の荷物: 加速するトラックの荷台で、荷物が滑るか倒れるかを判定する問題。慣性力を導入すれば、本問の重力の斜面成分と同じ構図になります。
- 初見の問題での着眼点:
- 滑り出し条件の計算: \(\mu\) と \(\tan\theta\)（または外力との比）の関係式を導きます。
- 転倒条件の計算: 物体の幾何学的形状（幅 \(W\) と高さ \(H\) の比）から、\(\tan\theta = W/H\) のような限界条件を導きます。
- 大小比較: 上記2つの条件を比較し、どちらが先に起こるかを判定します。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 垂直抗力の作用点に関する誤解:
- 誤解: どんなに傾いても、垂直抗力は常に「底面の真ん中」にはたらいていると思い込んでモーメントを計算してしまう。
- 対策: 「倒れる直前＝作用点は端っこ」とセットで記憶します。一般の状態では作用点の位置 \(x\) を未知数として置く習慣をつけましょう。
- 三角比の定義の取り違え:
- 誤解: \(\tan\theta\) を求める際、常に「高さ/底辺」だと思い込み、図の向きが変わっても \(a/(3a)\) なのか \((3a)/a\) なのかを逆にしてしまう。
- 対策: 必ず図を描き、角度 \(\theta\) の位置を確認した上で、「対辺（向かい側の辺）」と「隣辺（隣の辺）」を特定し、\(\tan\theta = \text{対辺}/\text{隣辺}\) の定義に従って立式します。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- 転倒条件における「端点まわりのモーメント」:
- 選定理由: 倒れる直前には、垂直抗力 \(N\) と静止摩擦力 \(f\) の作用点が共に端点（回転軸）に集中するため、この点まわりのモーメントを考えれば \(N\) と \(f\) のモーメントを \(0\) にでき、計算が劇的に簡単になるからです。
- 適用根拠: 剛体のつりあいの式は、任意の点まわりで成立するため、計算が最も楽になる点を選んで構いません。
- 幾何学的解法（別解）:
- 選定理由: 複雑なモーメント計算を回避し、物体の形状（アスペクト比）を見るだけで瞬時に答えが出せるため、検算やマーク式試験で最強のツールになるからです。
- 適用根拠: 「重力の作用線が底面から外れると倒れる」という原理は、モーメントのつりあい条件と物理的に等価だからです。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 極端な形状での思考実験:
- 意識: 求めた答えが物理的直感と合っているか確認する。
- 実践: 例えば「すごく平べったい物体（幅広）」なら倒れにくいはず（\(\tan\theta\) 大）。「すごく細長い物体（背高）」なら倒れやすいはず（\(\tan\theta\) 小）。答えの分母分子がこれと合致しているかチェックします。
- 図への情報の書き込み:
- 意識: 視覚情報と数式をリンクさせる。
- 実践: 問題用紙の図に、重心の位置、重力の分解成分（\(Mg\sin\theta, Mg\cos\theta\)）、それぞれの腕の長さを直接書き込みます。頭の中だけで分解しようとするとミスが多発します。
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問題17 液体に浮く棒のつりあい (名城大 改)
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
- 提示する別解
- 設問(2)(d)の別解: 微積分を用いた体系的解法（分布荷重のモーメント積分）
- 模範解答は「浮力の作用点は液中部分の幾何学的中心（浮心）にある」という知識を前提としていますが、別解では浮力を「棒の各部分にはたらく分布力」として捉え、積分の定義に従ってモーメントを計算することで、作用点の位置を数学的に導出します。
- 設問(2)(d)の別解: 微積分を用いた体系的解法（分布荷重のモーメント積分）
- 上記の別解が有益である理由
- 微積分の解法: 「なぜ浮力の作用点は液中部分の中点になるのか？」という根本的な疑問に対し、物理原理（力のモーメントの定義）から厳密に答えることができます。これにより、形状が複雑な場合や密度が一様でない場合にも応用できる基礎力が身につきます。
- 結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、最終的に得られる答えは模範解答と完全に一致します。
この問題のテーマは「浮力を受ける剛体のつりあい」です。棒の一部が液体に浸かっているとき、重力、浮力、糸の張力がどのようにつりあっているかを、力のつりあいとモーメントのつりあいの両面から解析します。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- アルキメデスの原理: 流体中の物体は、その物体が押しのけた流体の重さに等しい大きさの浮力を受けます。
- 剛体のつりあい:
- 力のつりあい（並進運動しない条件）: \(\sum \vec{F} = \vec{0}\)
- 力のモーメントのつりあい（回転運動しない条件）: \(\sum \vec{M} = \vec{0}\)
- 重心と浮心: 重力は物体の「重心」に、浮力は物体が排除した流体の重心（浮心）に作用するとみなせます。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (1)では、棒の質量を密度と体積から求め、重力を計算します。
- (2)では、傾いて静止している棒について、幾何学的な関係から液中の長さを表し、A点まわりのモーメントのつりあいを立式して角度を求めます。
- (3)では、(2)で求めた関係式の極限（\(\theta=90^\circ\)）を考えます。
問(1)
ここから先が、他の受験生と差がつく重要パートです。
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