「セミナー物理基礎＋物理2025」徹底解説！【第 Ⅳ 章 14】基本例題～基本問題339

基本例題

基本例題45 横波の伝わり方

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「横波のグラフの読み取りと物理量の計算」です。波の形を表すグラフから、その波の基本的な性質（振幅、波長、速さなど）を読み解くための基礎が詰まった一問です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
この設問は、波のグラフと問題文から読み取れる情報を整理し、基本的な公式に当てはめて未知の物理量を計算する、波の基本問題です。\(y-x\)グラフから直接読み取れる「振幅」と「波長」、そして問題文の状況設定から読み解く「周期」を正確に把握することが出発点となります。
この設問における重要なポイント

• 振幅 \(A\) は、振動の中心（\(y=0\)）から山（または谷）の頂点までの高さです。
• 波長 \(\lambda\) は、同じ形の繰り返し1つ分の水平方向の長さです。
• 問題文の「Oが単振動を始めて、\(0.40\,\text{s}\)後」の波形が、ちょうど1波長分（\(x=0\) から \(x=4.0\,\text{m}\) まで）描かれている点に注目します。これは、波が1波長進むのに \(0.40\,\text{s}\) かかったことを意味し、これがそのまま周期 \(T\) となります。

具体的な解説と立式
まず、グラフから振幅 \(A\) と波長 \(\lambda\) を読み取ります。

• 振幅 \(A\): グラフの \(y\) 座標の最大値から、\(A = 0.20\,\text{m}\)
• 波長 \(\lambda\): グラフの1つの繰り返しパターンの長さから、\(\lambda = 4.0\,\text{m}\)

次に、問題文から周期 \(T\) を読み解きます。
原点Oが振動を始めてから \(t=0.40\,\text{s}\) で、波の先端が \(x=4.0\,\text{m}\) の位置にあります。波は1周期の時間 \(T\) で1波長の距離 \(\lambda\) を進みます。図の波はちょうど1波長分なので、波が伝わった時間は1周期に相当します。
したがって、周期 \(T\) は、
$$ T = 0.40\,\text{s} $$
最後に、これらの値を用いて振動数 \(f\) と波の速さ \(v\) を計算します。

• 振動数 \(f\): 周期 \(T\) との関係式は、
  $$ f = \frac{1}{T} $$
• 波の速さ \(v\): 振動数 \(f\) と波長 \(\lambda\) との関係式は、
  $$ v = f\lambda $$

• 振動数 \(f\) の計算
  $$
  \begin{aligned}
  f &= \frac{1}{0.40} \\[2.0ex] &= 2.5\,\text{Hz}
  \end{aligned}
  $$
• 波の速さ \(v\) の計算
  $$
  \begin{aligned}
  v &= f\lambda \\[2.0ex] &= 2.5 \times 4.0 \\[2.0ex] &= 10\,\text{m/s}
  \end{aligned}
  $$

まず、グラフの見た目から、波の高さ（振幅）が \(0.20\,\text{m}\) で、波1個の長さ（波長）が \(4.0\,\text{m}\) であることを読み取ります。次に、問題文を読むと「\(0.40\) 秒でちょうど波が1個できた」と書いてあるので、波が1回揺れるのにかかる時間（周期）は \(0.40\,\text{s}\) だと分かります。あとは公式に当てはめるだけ。「振動数」は1秒間に揺れる回数のことなので、周期の逆数を計算して \(2.5\,\text{Hz}\)。「速さ」は「振動数×波長」で計算できるので、\(2.5 \times 4.0\) で \(10\,\text{m/s}\) と求まります。

振幅 \(A=0.20\,\text{m}\)、波長 \(\lambda=4.0\,\text{m}\)、振動数 \(f=2.5\,\text{Hz}\)、波の速さ \(v=10\,\text{m/s}\) と求まりました。
波の速さは、波が \(0.40\,\text{s}\) で \(4.0\,\text{m}\) 進んだことから、\(v = (\text{距離}) \div (\text{時間}) = 4.0 \div 0.40 = 10\,\text{m/s}\) と直接計算することもでき、結果が一致することから妥当であると確認できます。

問(2)

思考の道筋とポイント
横波の重要な性質は、媒質そのものは波と一緒に進むのではなく、その場で上下（または前後）に振動するだけという点です。各点の媒質が次に「上」に動くか「下」に動くかを知るためには、波全体が少しだけ未来に進んだ様子を想像するのが最も簡単で確実な方法です。
この設問における重要なポイント

• 媒質の振動方向は、波の進行方向（この問題では \(+x\) 方向）と垂直な \(y\) 方向である。
• 振動の端、つまり変位が最大（山）または最小（谷）になる点では、媒質の速度は一瞬 \(0\) になる。
• 波を進行方向に少しだけずらした「微小時間後の波形」を描き、各点の \(y\) 座標がどちらに変化するかを調べる。

具体的な解説と立式
この波は \(+x\) 方向に進んでいます。そこで、図の波形（実線）を少しだけ右にずらした、微小時間後の波形（点線）を描き加えます。
（図は模範解答の指針にある図を参考にしてください）

この微小時間後の波形を見て、各点の媒質がどちらに動いたかを判断します。

• 点O (\(x=0\)):
  • 元の波形では \(y=0\) の位置にあります。微小時間後の波形を見ると、\(x=0\) の位置の変位は正の値になっています。したがって、点Oの媒質は上向きに動きます。
• 点a (\(x=1.0\)):
  • 谷の最も深い点です。単振動における折り返し点に相当するため、この瞬間、媒質の速度は \(0\) です。したがって、速さ0となります。
• 点b (\(x=2.0\)):
  • 元の波形では \(y=0\) の位置にあります。微小時間後の波形を見ると、\(x=2.0\) の位置の変位は負の値になっています。したがって、点bの媒質は下向きに動きます。
• 点c (\(x=3.0\)):
  • 山の最も高い点です。これも単振動における折り返し点なので、この瞬間の媒質の速度は \(0\) です。したがって、速さ0となります。

（作図による判断のため、計算過程はありません）

波が、まるでパラパラ漫画のように少しだけ右に動いた瞬間を想像してみましょう。元の位置にいた媒質の人は、新しい波の形に合わせて動くはずです。

• O地点にいた人は、これから山がやってくるので、上に動きます。
• a地点にいた人は、谷の底にいるので、ちょうど折り返し地点です。一瞬だけ動きが止まります。
• b地点にいた人は、これから谷がやってくるので、下に動きます。
• c地点にいた人は、山のてっぺんにいるので、こちらも折り返し地点で、一瞬動きが止まります。

各点の速度の向きは、O: 上向き, a: 速さ0, b: 下向き, c: 速さ0 と求まりました。これは、媒質がその場で単振動している様子（中心付近で速く、端で止まる）と矛盾しておらず、妥当な結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
波は、その形を保ったまま一定の速さで進むという性質があります。したがって、「ある時間後の波形」を問われたら、「その時間で波がどれだけの距離を進むか」を計算し、元の波形全体をその距離だけ平行移動させればよい、というシンプルな考え方で解くことができます。
この設問における重要なポイント

• 経過時間 \(0.20\,\text{s}\) が、周期 \(T=0.40\,\text{s}\) のちょうど半分（半周期）であることに気づくこと。
• 波は1周期で1波長進むので、半周期では半波長だけ進む、という関係を理解していること。

具体的な解説と立式
(1)で求めたように、この波の周期は \(T=0.40\,\text{s}\)、波長は \(\lambda=4.0\,\text{m}\) です。
図の時刻から \(0.20\,\text{s}\) 後の波形を考えます。
経過時間 \(0.20\,\text{s}\) は、周期 \(T\) の半分です。
$$ \frac{0.20\,\text{s}}{T} = \frac{0.20}{0.40} = \frac{1}{2} $$
波は1周期 \(T\) の間に1波長 \(\lambda\) 進むので、半周期 \(\frac{T}{2}\) の間には半波長 \(\frac{\lambda}{2}\) だけ進みます。
進む距離を計算すると、
$$ \frac{\lambda}{2} = \frac{4.0\,\text{m}}{2} = 2.0\,\text{m} $$
したがって、図に示された波形全体を、波の進行方向である \(+x\) 方向に \(2.0\,\text{m}\) だけ平行移動したものが答えとなります。

（別のアプローチ）
波の速さ \(v=10\,\text{m/s}\) を使って、\(0.20\,\text{s}\) 間に進む距離 \(d\) を直接計算することもできます。
$$
\begin{aligned}
d &= v \times t \\[2.0ex] &= 10\,\text{m/s} \times 0.20\,\text{s} \\[2.0ex] &= 2.0\,\text{m}
\end{aligned}
$$
やはり、波形を \(+x\) 方向に \(2.0\,\text{m}\) 平行移動すればよいことが分かります。

（上記で計算済み）

この波が1回揺れるのにかかる時間（周期）は \(0.40\) 秒でした。問題では「\(0.20\) 秒後」の様子を聞かれているので、ちょうど周期の半分の時間が経った後のことですね。波は、周期の半分の時間で、波長の半分の距離を進みます。波長は \(4.0\,\text{m}\) だったので、その半分の \(2.0\,\text{m}\) だけ、波全体の形をそっくりそのまま右にスライドさせた絵を描けば、それが答えになります。

元の波形の \(x=0\) にあった部分は \(x=2.0\,\text{m}\) へ、\(x=2.0\,\text{m}\) にあった部分は \(x=4.0\,\text{m}\) へ、波の先端があった \(x=4.0\,\text{m}\) は \(x=6.0\,\text{m}\) へと移動します。このように特徴的な点を移動させて滑らかに結ぶことで、正しい波形を描くことができます。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 波の基本性質のグラフからの読解
  • 核心: この問題の根幹は、波の一瞬を切り取ったスナップショットである \(y-x\) グラフから、波の持つ基本的な物理量（振幅、波長）を正確に読み取り、さらに問題文の情報（波の伝播時間）と組み合わせて、目に見えない物理量（周期、振動数、速さ）を導出する能力です。
  • 理解のポイント:
    • \(y-x\) グラフの意味: あくまで「ある時刻」における波の形であり、各媒質の位置（\(x\)）とその変位（\(y\)）の関係を示しています。このグラフから直接わかるのは空間的な情報（振幅 \(A\)、波長 \(\lambda\)）です。
    • 時間的情報の抽出: 時間的な情報（周期 \(T\)、振動数 \(f\)）は、\(y-x\) グラフだけでは分かりません。この問題では「原点Oが振動を始めてから \(0.40\,\text{s}\) 後に波の先端が \(x=4.0\,\text{m}\) に達した」という記述が、時間と空間を結びつける鍵となります。これにより、波が1波長 \(\lambda=4.0\,\text{m}\) 進むのにかかった時間が1周期 \(T=0.40\,\text{s}\) であると特定できます。
• 横波における媒質の運動の理解
  • 核心: 波はエネルギーと情報を伝えますが、媒質そのものは進行方向に移動しないという、波の最も基本的な性質を理解しているかどうかが問われます。
  • 理解のポイント:
    • 媒質の単振動: 横波の各媒質は、波の進行方向と垂直な方向に単振動しています。したがって、媒質の速度の向きは常に \(+y\) 方向か \(-y\) 方向（または速度 \(0\)）のいずれかです。
    • 速度の向きの判断法: 最も直感的で応用範囲が広いのが「微小時間後の波形を描く」方法です。波が少し進んだ未来を想像し、各媒質がどちらに動かざるを得ないかを視覚的に判断します。山の頂点や谷の底は、単振動の折り返し点にあたるため、速度が一瞬 \(0\) になることも重要なポイントです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • \(y-t\) グラフが与えられる問題: ある特定の位置（例えば \(x=0\)）の媒質の時間的な揺れ方を示す \(y-t\) グラフが与えられることがあります。このグラフからは、振幅 \(A\) と周期 \(T\) を直接読み取ることができますが、波長 \(\lambda\) は直接分かりません。\(y-x\) グラフと \(y-t\) グラフの違いを明確に区別することが重要です。
  • 波の式 (\(y = A \sin(\omega t – kx)\) など) が与えられる問題: グラフの代わりに数式で波が表現される問題です。式の中の係数から振幅 \(A\)、角振動数 \(\omega\)、波数 \(k\) を読み取り、そこから \(T=2\pi/\omega\), \(\lambda=2\pi/k\), \(v=\omega/k\) などの関係式を使って各物理量を計算します。
  • 縦波の問題: 波の進行方向と媒質の振動方向が平行な波です。媒質の変位をグラフで表す場合、横波と同じように見えますが、媒質の「密」な部分と「疎」な部分を判断する問題など、縦波特有の考察が必要になります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まずはグラフの種類を確認する: 縦軸と横軸が何を表しているか（\(y-x\) グラフか \(y-t\) グラフか）を最初に確認します。これが全ての出発点です。
  2. グラフから直接読み取れる量を確定させる:
     • \(y-x\) グラフなら、振幅 \(A\) と波長 \(\lambda\)。
     • \(y-t\) グラフなら、振幅 \(A\) と周期 \(T\)。
  3. 時間と空間を結びつける情報を探す: 問題文の中に、波の速さ \(v\) が直接与えられていたり、「\(t\) 秒後に波が \(d\) メートル進んだ」といった記述がないかを探します。これが、\(y-x\) グラフと \(y-t\) グラフの世界をつなぐ鍵となります。
  4. 媒質の速度を問われたら、波の進行方向を確認する: 媒質の速度の向きは、波がどちらに進んでいるか（\(+x\) 方向か \(-x\) 方向か）によって全く逆になります。問題文の指定や図の矢印を絶対に見落とさないようにします。
  5. 「微小時間後の波形」をイメージする: 媒質の速度の向きを判断する際の、最も確実で汎用的な思考ツールです。頭の中だけでなく、実際に問題用紙の図に薄く描き込んでみるとミスが減ります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• \(y-x\) グラフと \(y-t\) グラフの混同:
  • 誤解: \(y-x\) グラフの横軸を時間だと勘違いして周期を読み取ってしまう、あるいはその逆。
  • 対策: 問題を解き始める前に、必ず指差し確認で「縦軸は変位、横軸は位置」というように、軸の意味を声に出して確認する癖をつけましょう。
• 媒質が波と一緒に進むという誤解:
  • 誤解: 波が右に進むので、点bの媒質も右に進むと考えてしまう。
  • 対策: 「波は“形”や“状態”が伝わる現象であり、水面に浮かぶ葉っぱがその場で上下するだけのように、媒質自体は移動しない」という基本原則を常に念頭に置きましょう。横波なら上下振動、縦波なら前後振動です。
• 媒質の速度の向きの判断ミス:
  • 誤解: 山に近い点は上に、谷に近い点は下に動くと直感で判断してしまう。例えば、点Oは谷に向かっているので下向きだと勘違いするなど。
  • 対策: 直感に頼らず、必ず「微小時間後の波形を描く」という機械的な手順を踏むことが最も確実です。この一手間を惜しまないことが、正解への近道です。あるいは、別解で示した数式 \(u_y = -v \frac{dy}{dx}\) を覚えておき、グラフの傾きから論理的に判断する方法も有効です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（\(f=1/T\), \(v=f\lambda\)）:
  • 選定理由: 求めたいのは「振動数 \(f\)」と「波の速さ \(v\)」です。これらは波の最も基本的な性質を表す量であり、それらを結びつけるのが波の基本公式 \(v=f\lambda\) です。また、振動数 \(f\) は周期 \(T\) の逆数として定義されているため、\(f=1/T\) も基本中の基本として選択されます。
  • 適用根拠: グラフと問題文から、波の空間的なスケールである波長 \(\lambda\) と、時間的なスケールである周期 \(T\) が特定できました。この2つの基本量が分かれば、\(f\) と \(v\) は定義式と基本式から一意に定まります。したがって、これらの公式を適用するのは論理的に必然です。
• (2)でのアプローチ選択（微小時間後の波形）:
  • 選定理由: 求めたいのは「媒質の速度の向き」という、瞬間の運動状態です。これは、その点の媒質が次の瞬間にどちらへ動くか、という未来予測の問題と捉えることができます。
  • 適用根拠: 波は形を保ったまま一定速度で進むため、「微小時間後の波形」は元の波形を少しだけ平行移動した形になります。ある特定の \(x\) 座標に注目したとき、元の波形での \(y\) 座標と、微小時間後の波形での \(y\) 座標を比較すれば、その媒質の変位の時間変化（つまり速度の向き）が分かります。これは、速度の定義（単位時間あたりの変位）に最も忠実で、直感的なアプローチと言えます。
• (2)別解でのアプローチ選択（\(u_y = -v \frac{dy}{dx}\)）:
  • 選定理由: 媒質の速度 \(u_y\) を、波の全体的な性質（速さ \(v\)）とその場の局所的な形状（傾き \(\frac{dy}{dx}\)）から求めたい場合に、この公式は直接的な関係を与えてくれます。視覚的なイメージングではなく、数学的な関係性から答えを導きたい場合に最適な選択です。
  • 適用根拠: この公式は、波の一般的な数式 \(y(x,t) = f(x-vt)\) を時間 \(t\) で偏微分することで導出される、普遍的な関係式です。したがって、正弦波に限らず、あらゆる進行波に対して適用することができます。問題で与えられた情報（\(v\) の向きとグラフの傾き）から、未知の量（\(u_y\) の向き）を論理的に導出するための根拠となります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位の確認を徹底する:
  • グラフの軸に書かれている単位（[m]）を必ず確認しましょう。もし単位が [cm] であれば、計算前に [m] に直す必要があります。今回はその必要はありませんでしたが、常に意識する癖が大切です。
• 分数の計算を丁寧に行う:
  • (1)の振動数の計算で \(f = 1/0.40\) が出てきます。これを \(1/0.4\) と考えて \(10/4 = 2.5\) と落ち着いて計算しましょう。小数点の計算は、分数に直すとミスが減ることが多いです。
• 波の速さの検算:
  • (1)では \(v=f\lambda\) で速さを求めましたが、問題文の状況から「\(0.40\,\text{s}\) で \(4.0\,\text{m}\) 進んだ」ことが分かっているので、\(v = (\text{距離}) \div (\text{時間}) = 4.0 / 0.40 = 10\,\text{m/s}\) と直接計算することもできます。このように、異なる方法で計算して結果が一致するかを確認する（検算する）ことで、計算の信頼性が格段に上がります。
• 作図は大きく、丁寧に:
  • (2)や(3)のように作図が関わる問題では、フリーハンドで雑に描くと、特に媒質の速度の向きなどを誤って判断する原因になります。問題用紙の図が大きい場合はその上に、小さい場合はノートに大きく描き写し、定規などを使って丁寧に平行移動した波形を描くように心がけましょう。

基本例題46 縦波の横波表示

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「縦波の横波表示の解釈」です。空気の振動などを表す縦波は、そのまま図にすると非常に分かりにくいため、各点の変位を90度回転させて横波のように表示します。この特殊なグラフの意味を正しく理解し、実際の縦波の現象（密・疎、媒質の速度）と結びつける能力が問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(ア) 最も密の部分, (イ) 最も疎の部分

思考の道筋とポイント
この問題の核心は、一見すると横波に見えるグラフを、正しく縦波の物理現象に翻訳することです。グラフの縦軸の値が、媒質が「つり合いの位置から左右どちらに、どれだけズレたか」を表していることを理解することが出発点となります。各点のズレを矢印で可視化することで、媒質の混み具合（密度）が直感的に分かります。
この設問における重要なポイント

• グラフの縦軸が正の値 \(\rightarrow\) 媒質はつり合いの位置から右向き（\(+x\)方向）に変位。
• グラフの縦軸が負の値 \(\rightarrow\) 媒質はつり合いの位置から左向き（\(-x\)方向）に変位。
• 密な部分: 周囲の媒質が集まってくる場所。
• 疎な部分: 周囲の媒質が離れていく場所。

具体的な解説と立式
グラフから各点の変位の向きを読み取り、つり合いの位置からのズレを矢印で示します。（模範解答の指針の図を参照）

• 点a, c, e, g: 変位が \(0\) なので、ズレていない。
• 点b, f: 変位が正で最大なので、右向きに大きくズレている。
• 点d, h: 変位が負で最大なので、左向きに大きくズレている。

この変位の様子から、媒質の密度を考えます。

• (ア) 最も密の部分
  • 点c に注目すると、cの左側にある媒質（bなど）は右に変位し、cの右側にある媒質（dなど）は左に変位しています。つまり、点cに向かって両側から媒質が押し寄せてくる形になります。したがって、cは最も密な部分です。
  • 点g も同様に、左側のfは右に、右側のhは左に変位するため、gに媒質が集まってきて最も密になります。
• (イ) 最も疎の部分
  • 点a に注目すると、aの右側にある媒質（bなど）は右に変位し、aの左側にある媒質（図にはないが、前の波）は左に変位します。つまり、点aから両側へ媒質が離れていく形になります。したがって、aは最も疎な部分です。
  • 点e も同様に、左側のdは左に、右側のfは右に変位するため、eから媒質が遠ざかって最も疎になります。

（作図による判断のため、計算過程はありません）

縦波は、満員電車の乗客が電車の揺れで「混む場所（密）」と「空く場所（疎）」を繰り返すようなものです。この問題のグラフは、各乗客が「右にどれだけずれたか（縦軸プラス）」、「左にどれだけずれたか（縦軸マイナス）」を示したものです。それぞれの人のズレを矢印で描いてみると、cさんとgさんの周りには人が集まってきて最も混雑し、aさんとeさんの周りからは人が離れていって最も空いていることがわかります。

最も密な部分はc, g、最も疎な部分はa, eと判断できました。重要なのは、変位が0の点が密または疎の中心になるということです。変位が最大の点（b, d, f, h）は、単に最も大きくズレているだけで、密・疎の中心ではありません。

問(ウ) 速度0の部分, (エ) 左向きの速度が最大になる部分

思考の道筋とポイント
波が伝わるとき、媒質はその場で単振動（行ったり来たりする動き）をしています。したがって、媒質の速度を考えるには、単振動の性質を当てはめればよいのです。ブランコの動きをイメージすると分かりやすいでしょう。
この設問における重要なポイント

• 単振動の性質:
  • 変位が最大（振幅の位置）のとき、速度は一瞬 \(0\) になる（ブランコの折り返し点）。
  • 変位が \(0\)（振動の中心）のとき、速度の大きさは最大になる（ブランコの最下点）。
• 速度の向きの判断: 波が進行方向（右向き）に少し進んだ「微小時間後の波形」を描き、各点の変位が次に正になるか負になるかを見る。

具体的な解説と立式

• (ウ) 速度0の部分
  • 媒質の速度が \(0\) になるのは、単振動の折り返し点、つまり変位が最大になるときです。
  • グラフ上で変位が最大になるのは、山の頂点である b, f と、谷の底である d, h です。これらの点では、媒質はそれぞれ右端、左端まで動いて一瞬静止します。
• (エ) 左向きの速度が最大になる部分
  • まず、速度の大きさが最大になるのは、変位が \(0\) の点です。候補は a, c, e, g となります。
  • 次に、これらの点での速度の向きを調べます。波は右に進んでいるので、微小時間後の波形を、元の波形から少し右にずらして描きます。
  • 点a: 微小時間後、変位は負の値になります。負の変位は「左向き」の動きを意味するので、点aは左向きに動きます。
  • 点c: 微小時間後、変位は正の値になります。正の変位は「右向き」の動きを意味するので、点cは右向きに動きます。
  • 点e: 微小時間後、変位は負の値になります。したがって、点eは左向きに動きます。
  • 点g: 微小時間後、変位は正の値になります。したがって、点gは右向きに動きます。
  • 以上から、速度が最大で、かつ左向きなのは a, e です。

（作図による判断のため、計算過程はありません）

媒質の各点は、その場でブランコのように行ったり来たりしています。
(ウ) ブランコが一番高いところ（右端や左端）に来たとき、一瞬止まりますよね。それと同じで、変位が最大になる点b, d, f, hでは速度が \(0\) です。
(エ) ブランコが真ん中を通過するときが一番速いのと同じで、変位が \(0\) の点a, c, e, gで速度が最大になります。その中で「左向き」に動くのはどれか、波を少し右にずらしたパラパラ漫画を考えると、aとeがこれから左に動くタイミングであることがわかります。

媒質の運動を単振動として捉えることで、速度が0になる点と最大になる点を正しく判断できました。速度の向きは、横波のときと同様に「微小時間後の波形」を描く方法が有効です。

問(オ) aが1回振動し終わったとき、aから出た波が進んでいる点

思考の道筋とポイント
この設問は、波の基本的な定義である「周期」と「波長」の関係を理解しているかを問うものです。「1回の振動」という時間的な事象が、波の伝播という空間的な事象とどう結びつくかを考えます。
この設問における重要なポイント

• 媒質が1回振動するのにかかる時間 \(=\) 1周期 \(T\)。
• 波が1周期 \(T\) の間に進む距離 \(= \) 1波長 \(\lambda\)。

具体的な解説と立式

1. 「点aが1回振動し終わったとき」とは、時間が 1周期 \(T\) だけ経過したことを意味します。
2. 波は、1周期 \(T\) の間に 1波長 \(\lambda\) だけ進みます。
3. したがって、この問題は「点aから1波長だけ進んだ点はどこか？」という問いと同じです。
4. グラフを見ると、波の1つの繰り返しパターン（1波長）は、aからeまでの区間に相当します。
5. よって、aから出た波は、1周期後には点 e に到達しています。

（計算はありません）

a地点の人が1回だけ「行って、戻って」くる振動を終えるのにかかる時間を「1周期」と言います。波には、「1周期の間に、ちょうど波1個分（1波長）進む」という大事なルールがあります。グラフで波1個の長さを見てみると、aからeまでがちょうど1個分ですね。なので、aからスタートした波は、aの人が1回振動し終わったときには、e地点に到着している、というわけです。

周期と波長の定義から、答えはeと明確に求まります。これは波の最も基本的な性質の一つです。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 縦波の横波表示の正確な解釈
  • 核心: この問題の根幹は、縦波という物理現象を表現するために考案された「横波表示」という抽象的なグラフを、実際の媒質の物理的な動き（左右への変位）に正確に翻訳できる能力です。グラフの縦軸の正負が、実際の変位の向き（この問題では右/左）に対応していることを理解することが全ての始まりです。
  • 理解のポイント:
    • 変位の翻訳: グラフの山（正の変位最大）は「最も右にズレた点」、谷（負の変位最大）は「最も左にズレた点」を意味します。この翻訳作業が第一歩です。
    • 密・疎と変位の関係: 「密」や「疎」は、媒質の「集まり具合」を表す言葉です。これは個々の媒質の変位そのものではなく、変位の空間的な変化（グラフの傾き）によって決まります。具体的には、変位が0で、かつ周りから媒質が集まってくる点（変位グラフの傾きが負）が「密」、逆に変位が0で周りへ媒質が散っていく点（変位グラフの傾きが正）が「疎」となります。変位が最大の点が密・疎になるわけではない、という点が最重要です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 縦波の圧力変動グラフ: 縦波の変位グラフから、圧力（または密度）の変動グラフを描かせる問題。媒質が最も密な点（c, g）が圧力最大、最も疎な点（a, e）が圧力最小となり、変位のグラフとは位相が4分の1波長ずれたグラフになります。
  • 音波の定常波（気柱の共鳴）: 開管や閉管の中の音波（縦波）の定常波を考える問題。変位が最も大きくなる「腹」と、全く動かない「節」の位置を考えます。このとき、変位の腹は圧力の節に、変位の節は圧力の腹に対応するという関係性が重要になります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まず、グラフが「変位」を表していることを確認する: 縦波の問題では、グラフの縦軸が「変位」なのか「圧力」なのかで解釈が全く異なります。まずここを確認します。
  2. 変位の向きを定義する: 進行方向（右向き）への変位を正とするのが一般的です。グラフの縦軸の正負が、どちら向きの変位に対応するかを最初に明確にしましょう。
  3. 密・疎を判断する方法を確立する:
     • 基本は「各点の変位を矢印で図示し、集まり具合を見る」方法です。時間はかかりますが確実です。
     • 慣れてきたら「変位グラフの傾きが負で密、正で疎」という関係を使い、素早く判断します。
  4. 媒質の速度は単振動で考える: 速度が0になるのは変位が最大の点（山・谷）、速度が最大になるのは変位が0の点、という単振動の基本性質を機械的に適用します。
  5. 速度の向きは「微小時間後の波形」で判断する: これは横波でも縦波でも使える万能テクニックです。波を進行方向に少しずらして、各点の変位が次に正負どちらに変化するかを見ます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 変位最大の点を「密」または「疎」と誤解する:
  • 誤解: 点b（右への変位最大）が最も密、点d（左への変位最大）が最も疎、などと考えてしまう。
  • 対策: 「密・疎」は密度の話であり、変位の話ではないことを明確に区別しましょう。「密」は周りから集まってくる場所、「疎」は周りへ散っていく場所です。変位が0の点cは、左の媒質(b)が右に、右の媒質(d)が左に動くことで挟まれており、集まってくる中心点である、と正しく理解することが重要です。
• 変位0の点をすべて同じ状態だと考える:
  • 誤解: a, c, e, gはすべて変位0だから、物理的な状態も同じだと考えてしまう。
  • 対策: 変位が0でも、その点の周りの状況は全く異なります。a, eは周りの媒質が離れていく「疎」な点であり、c, gは集まってくる「密」な点です。また、速度の向きもa, eは左向き、c, gは右向きで逆になっています。
• グラフの見た目に惑わされて横波と勘違いする:
  • 誤解: グラフの山（b）の媒質は上に、谷（d）の媒質は下に動くと考えてしまう。
  • 対策: 問題文をよく読み、「縦波を、横波のように表したもの」という大前提を常に意識しましょう。グラフの縦軸はあくまで「x軸方向の変位」であり、y軸方向の動きではないことを自分に言い聞かせることが大切です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (ア)(イ)でのアプローチ選択（変位の図示）:
  • 選定理由: 「密」「疎」という言葉は、媒質の「密度」という物理的な状態を表します。この状態を最も直感的に理解する方法は、各媒質が実際にどう動いているか（変位しているか）を視覚化することです。
  • 適用根拠: 横波表示グラフは、各媒質の変位という情報を持っています。この情報を、実際のx軸上の変位の矢印に翻訳して図示することで、媒質の集まり具合、すなわち密度の状態を直接的に観察できます。これは定義に最も忠実なアプローチです。
• (ウ)(エ)でのアプローチ選択（単振動の性質と微小時間後の波形）:
  • 選定理由: 求めたいのは媒質の「速度」です。波の媒質は単振動しているので、その速度の性質は単振動の法則に従います。
  • 適用根拠:
    • 速度の大きさ: 単振動では、変位が最大の点で速度が0、変位が0の点で速度が最大になります。この普遍的な法則を適用することで、速度が0の点と最大になる点を特定できます。
    • 速度の向き: 速度の向きは、次の瞬間にどちらへ変位するかで決まります。波は形を保ったまま進むので、「微小時間後の波形」を考えることで、次の瞬間の変位を予測できます。これは速度の定義（時間変化）に基づいた、論理的で確実な方法です。
• (オ)でのアプローチ選択（周期と波長の定義）:
  • 選定理由: 「1回振動」という時間的な事象と、「波が進む」という空間的な事象の関係が問われています。この二つを結びつけるのが「周期」と「波長」の定義そのものです。
  • 適用根拠: 波の定義により、「媒質が1回振動する時間（=1周期）」の間に「波は波形1つ分（=1波長）進む」。この根源的な定義を適用すれば、答えは自明です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 変位の矢印を丁寧に描く:
  • (ア)(イ)を解く際に、各点の変位の矢印を、グラフの真下に丁寧に描きましょう。矢印の向き（右か左か）と大きさ（変位の大きさに比例）を意識して描くことで、視覚的な判断ミスを防げます。
• 微小時間後の波形を色を変えて描く:
  • (エ)で速度の向きを判断する際に、元の波形の上に、鉛筆や違う色のペンで「微小時間後の波形」を重ねて描くと、各点の変位の変化が非常に分かりやすくなります。
• 指差し確認で翻訳する:
  • グラフの点bを指さし、「ここは変位が正で最大。つまり、媒質は最も右にズレている点だ」というように、一つ一つの点の物理的な意味を口に出して確認する（セルフ・ナレーション）ことで、横波のイメージのまま解いてしまう誤解を防ぎます。
• 結論の自己チェック:
  • 「密な点はc, g。ここは変位が0だ。変位が最大のb, fではないな、OK」
  • 「左向き速度最大はa, e。ここは変位が0で、これから変位が負になる点だ。OK」
  • というように、得られた結論が物理的な性質（単振動の性質など）と矛盾していないかを最後に確認する癖をつけましょう。

基本例題47 波の干渉

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「2つの波源からの波の干渉」です。複数の波が重なり合うことで、特定の場所では常に大きく振動し（強めあい）、別の場所では全く振動しなくなる（弱めあい）という、波に特有の現象を扱います。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
点Pが強めあうか弱めあうかは、AからPまでの距離とBからPまでの距離の差、すなわち「経路差」によって決まります。この経路差を計算し、波の干渉条件と照らし合わせることで、P点の運命が分かります。
この設問における重要なポイント

• 波源A, Bは同位相で振動している。
• 経路差 \(L = |\overline{\text{AP}} – \overline{\text{BP}}|\) を計算する。
• 同位相の波源の場合の干渉条件:
  • 強めあう（腹）: 経路差 \(L = m\lambda\) （波長の整数倍）
  • 弱めあう（節）: 経路差 \(L = (m + \frac{1}{2})\lambda\) （波長の半整数倍、つまり半波長の奇数倍）
  • ここで \(m = 0, 1, 2, \dots\)

具体的な解説と立式
まず、与えられた情報から経路差を計算します。
波源Aから点Pまでの距離: \(\overline{\text{AP}} = 8.0\,\text{cm}\)
波源Bから点Pまでの距離: \(\overline{\text{BP}} = 5.0\,\text{cm}\)
経路差 \(L\) は、
$$
\begin{aligned}
L &= |\overline{\text{AP}} – \overline{\text{BP}}| \\[2.0ex] &= |8.0 – 5.0| \\[2.0ex] &= 3.0\,\text{cm}
\end{aligned}
$$
次に、この経路差が波長 \(\lambda = 2.0\,\text{cm}\) の何倍になっているかを調べます。
半波長は \(\lambda/2 = 1.0\,\text{cm}\) です。
経路差 \(L = 3.0\,\text{cm}\) を半波長で表すと、
$$
\begin{aligned}
L &= 3.0\,\text{cm} \\[2.0ex] &= 3 \times (1.0\,\text{cm}) \\[2.0ex] &= 3 \times \frac{\lambda}{2}
\end{aligned}
$$
経路差が半波長の3倍（奇数倍）なので、点Pは弱めあう条件を満たします。

（上記「具体的な解説と立式」で計算済み）

AさんとBさんが池のほとりで、同じタイミングで水面をポンと叩いて波を起こしている状況を想像してください。P地点には、Aさんからの波とBさんからの波の両方が届きます。Aさんからの距離は8cm、Bさんからは5cmなので、P地点に届く2つの波には \(8.0 – 5.0 = 3.0\,\text{cm}\) 分の「ズレ」が生じます。この波は、波1個の長さ（波長）が2.0cmなので、半分の長さは1.0cmです。距離のズレ3.0cmは、この半分の長さのちょうど3個分（奇数個分）にあたります。波の世界では、距離のズレが半波長の奇数個分だと、一方の波の山ともう一方の波の谷がちょうどぶつかり、互いに打ち消し合ってしまいます。そのため、P地点は全く振動しません。

経路差が半波長の奇数倍であることから、点Pでは2つの波が逆位相で重なり、常に打ち消しあうことが分かります。したがって、点Pは振動しません。

問(2)

思考の道筋とポイント
弱めあう点を連ねた線（節線）は、一方の波源からの山（実線）と、もう一方の波源からの谷（破線）が重なる点を結ぶことで描くことができます。図の上で、実線と破線の交点を丁寧に見つけていく作業になります。
この設問における重要なポイント

• 弱めあう点（節） \(= \) Aからの山（実線）とBからの谷（破線）の交点、またはAからの谷（破線）とBからの山（実線）の交点。
• 節線は、波源A, Bを結ぶ線分に関して対称なペアで現れる。
• 節線は、波源A, Bを焦点とする双曲線を描く。

具体的な解説と立式
作図は、図中の実線と破線の交点を拾い、それらを滑らかに結ぶことで行います。
次に、節線の本数を数えます。節線は、弱めあいの条件を満たす点の集まりです。
弱めあう条件は、経路差 \(L = |\overline{\text{AP}} – \overline{\text{BP}}|\) が半波長の奇数倍となることです。
$$
\begin{aligned}
L &= (m + \frac{1}{2})\lambda \\[2.0ex] &= (m + 0.5) \times 2.0 \\[2.0ex] &= 2m + 1.0 \quad (m=0, 1, 2, \dots)
\end{aligned}
$$
経路差 \(L\) は、波源A, Bの間では、波源間距離 \(6.0\,\text{cm}\) を超えることはありません。つまり、\(L < 6.0\,\text{cm}\) です。
この条件を満たす \(m\) を探します。

• \(m=0\) のとき: \(L = 1.0\,\text{cm}\)。この条件を満たす節線が存在します。
• \(m=1\) のとき: \(L = 3.0\,\text{cm}\)。この条件を満たす節線が存在します。
• \(m=2\) のとき: \(L = 5.0\,\text{cm}\)。この条件を満たす節線が存在します。
• \(m=3\) のとき: \(L = 7.0\,\text{cm}\)。これは \(6.0\,\text{cm}\) を超えるので、この節線はA, Bの間には存在しません。

したがって、A, Bの間には \(m=0, 1, 2\) に対応する3組の節線が存在します。
それぞれの組は、線分ABを挟んで上下（左右）対称に2本ずつあるため、合計の本数は \(3 \times 2 = 6\) 本となります。

（上記「具体的な解説と立式」で計算済み）

弱めあう場所は、Aさんからの波の「山」とBさんからの波の「谷」がちょうど出会う点です。図でいうと、実線と破線が交わっている点がすべて弱めあう点にあたります。これらの交点を拾って、同じ仲間同士を線で結んでいくと、何本かの曲線が描けます。これが節線です。全部で何本あるかは、AとBの間で起こりうる「弱めあいのパターン」が何種類あるかを数えればわかります。計算すると、距離の差が1cm, 3cm, 5cmの3つのパターンが見つかります。それぞれのパターンについて、Aに近い側とBに近い側の2本の線ができるので、合計で3種類×2本=6本となります。

図から山と谷が重なる点を結ぶと、模範解答のような6本の双曲線が描けます。また、条件式からの計算でも6本という結果が得られ、両者は一致します。

問(3)

思考の道筋とポイント
線分AB上では、Aから右向きに進む波と、Bから左向きに進む波が正面衝突しています。これは、逆向きに進む同じ波（振幅、波長、振動数が等しい）の重ね合わせなので、その場に止まって振動するように見える「定常波」ができます。この定常波の、全く振動しない点（節）の位置を求めれば、それが答えとなります。
この設問における重要なポイント

• 波源A, Bは同位相なので、線分ABの中央の点は常に強めあい、定常波の腹（最も大きく振動する点）になる。
• 波源A, B自身は、波を送り出す振動源なので、定常波の腹と考えることができる。
• 定常波では、腹と節の間隔は波長の4分の1 (\(\lambda/4\))、節と節の間隔は波長の2分の1 (\(\lambda/2\)) である。

具体的な解説と立式
波長 \(\lambda = 2.0\,\text{cm}\) なので、

• 腹と節の間隔は
  $$
  \begin{aligned}
  \frac{\lambda}{4} &= \frac{2.0}{4} \\[2.0ex] &= 0.5\,\text{cm}
  \end{aligned}
  $$
• 節と節の間隔は
  $$
  \begin{aligned}
  \frac{\lambda}{2} &= \frac{2.0}{2} \\[2.0ex] &= 1.0\,\text{cm}
  \end{aligned}
  $$

線分ABの長さは \(6.0\,\text{cm}\) なので、Aを原点 \(x=0\)、Bを \(x=6.0\) とします。
中央の点 \(x=3.0\) は腹です。
この中央の腹から、左右に \(\lambda/4 = 0.5\,\text{cm}\) だけ離れた位置に、最初の節が存在します。

• $$
  \begin{aligned}
  x &= 3.0 – 0.5 \\[2.0ex] &= 2.5\,\text{cm}
  \end{aligned}
  $$
• $$
  \begin{aligned}
  x &= 3.0 + 0.5 \\[2.0ex] &= 3.5\,\text{cm}
  \end{aligned}
  $$

これらの節から、さらに \(\lambda/2 = 1.0\,\text{cm}\) ごとに次の節が存在します。

• Aの方向へ:
  $$
  \begin{aligned}
  x &= 2.5 – 1.0 \\[2.0ex] &= 1.5\,\text{cm}
  \end{aligned}
  $$
  $$
  \begin{aligned}
  x &= 1.5 – 1.0 \\[2.0ex] &= 0.5\,\text{cm}
  \end{aligned}
  $$
• Bの方向へ:
  $$
  \begin{aligned}
  x &= 3.5 + 1.0 \\[2.0ex] &= 4.5\,\text{cm}
  \end{aligned}
  $$
  $$
  \begin{aligned}
  x &= 4.5 + 1.0 \\[2.0ex] &= 5.5\,\text{cm}
  \end{aligned}
  $$

したがって、節線が線分ABと交わる点は、Aから測って \(0.5, 1.5, 2.5, 3.5, 4.5, 5.5\,\text{cm}\) のところです。

（上記「具体的な解説と立式」で計算済み）

AさんとBさんの間には、波がぶつかり合ってできる「定常波」という特別な波ができています。これは、ギターの弦のように、全く揺れない「節」と、ものすごく揺れる「腹」が交互に並んだものです。AさんとBさんは同じタイミングで揺れているので、ちょうど真ん中の地点(Aから3.0cm)は、お互いの波が強めあって激しく揺れる「腹」になります。物理のルールで、「腹」と「節」は0.5cm間隔、「節」と「節」は1.0cm間隔で交互に並ぶことが決まっています。なので、真ん中の「腹」からスタートして、左右に0.5cm、1.5cm、2.5cm…と数えていくと、すべての「節」の位置がわかります。

線分AB上に6つの節が見つかりました。これは、(2)で求めた節線の本数が6本であることと対応しており、結果に整合性があります。各節線が線分ABを1回ずつ横切っていることがわかります。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 経路差による干渉条件の決定
  • 核心: この問題の根幹は、2つの波源からある点に到達する波の「経路差（距離の差）」が、波の重ね合わせの結果（強めあうか、弱めあうか）を決定するという、波の干渉における最も基本的な原理です。
  • 理解のポイント:
    • 同位相波源: 問題で与えられているように波源A, Bが同位相の場合、2つの波は同じタイミングで山として送り出されます。もしある点までの経路差がちょうど波長\(\lambda\)の整数倍（\(m\lambda\)）であれば、2つの波は山と山（または谷と谷）として出会い、強めあいます。
    • 弱めあいの条件: 経路差が半波長\(\lambda/2\)の奇数倍（\((m+1/2)\lambda\)）であれば、一方の波が山として到達するタイミングで、もう一方は谷として到達するため、互いに打ち消し合い、弱めあいます。この条件式を正しく記憶し、適用できることが全ての基本となります。
• 線分AB上の定常波
  • 核心: 2つの波源を結ぶ直線（線分AB）上では、互いに逆向きに進む同じ波が常に重なり合うため、「定常波」という特別な状態が生まれることを理解しているかが問われます。
  • 理解のポイント:
    • 腹と節: 定常波は、全く振動しない点（節）と、最も大きく振動する点（腹）が交互に並ぶという特徴を持ちます。
    • 間隔の規則性: 腹と節の間隔は\(\lambda/4\)、節と節（または腹と腹）の間隔は\(\lambda/2\)という極めてシンプルな規則性があります。この規則性を知っていれば、どこか1点の腹または節の位置が分かれば、他のすべての腹と節の位置を機械的に計算できます。同位相波源の場合、中央点が腹になるという事実が、その計算の出発点となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 逆位相の波源: 波源Aが山を出すタイミングで、波源Bが谷を出す「逆位相」の問題。この場合、強めあいと弱めあいの干渉条件が同位相の場合と完全に逆になります。（経路差\(m\lambda\)で弱めあい、\((m+1/2)\lambda\)で強めあう）
  • 光の干渉（ヤングの実験など）: 2つのスリットを通過した光がスクリーン上で干渉縞を作る問題。考え方は波の干渉と全く同じで、経路差を計算し、光の波長\(\lambda\)と比較して明線（強めあい）と暗線（弱めあい）の位置を求めます。
  • 薄膜による光の干渉: シャボン玉や水面の油膜が色づいて見える現象。膜の表面で反射する光と裏面で反射する光の経路差（と位相のずれ）によって、特定の色の光が強めあう（または弱めあう）ことで起こります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まず波源の位相を確認する: 問題文に「同位相」か「逆位相」か、必ず書いてあります。これを見落とすと、結論が全て逆になるため最重要です。
  2. 経路差を計算する: 干渉を考える点の、各波源からの距離を確認し、その差（経路差）を求めます。これが干渉条件を適用するための基本データです。
  3. 経路差と波長を比較する: 計算した経路差が、波長\(\lambda\)の何倍か、あるいは半波長\(\lambda/2\)の何倍かを調べます。整数倍か、半整数（奇数/2）倍かで運命が決まります。
  4. 節線・腹線の本数を問われたら:
     • 弱めあう条件（または強めあう条件）を満たす経路差が、波源間で何通り可能かを考えます。
     • 経路差の最大値は波源間距離\(\overline{\text{AB}}\)であることを利用し、条件式を満たす整数\(m\)がいくつ存在するかを数えます。
  5. 波源を結ぶ線分上の点を問われたら: 「定常波」の考え方が最も効率的です。中央点が腹か節か（同位相なら腹、逆位相なら節）を判断し、\(\lambda/4\)と\(\lambda/2\)の間隔ルールを適用します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 同位相と逆位相の条件を混同する:
  • 誤解: 経路差が\(m\lambda\)なら強めあい、と機械的に暗記してしまい、逆位相の問題でも同じ条件を使ってしまう。
  • 対策: 「同位相なら\(m\lambda\)で強めあい」と基本をしっかり覚えた上で、「逆位相はその逆」とセットで理解しましょう。問題を解く前に、ノートの隅に「同位相：\(m\lambda\rightarrow\)強」のようにメモ書きするのも有効です。
• 半波長の「奇数倍」を忘れる:
  • 誤解: 弱めあう条件を「経路差が半波長の整数倍」と勘違いしてしまう。\(m=2\)のとき経路差は\(\lambda\)となり、強めあいの条件と矛盾します。
  • 対策: 弱めあうのは、山と谷が出会うとき、つまり位相が\(\pi\)ずれているときです。これは経路差が\(\lambda/2, 3\lambda/2, 5\lambda/2, \dots\)となるときに対応します。必ず「半波長の奇数倍」であることを強調して覚えましょう。
• 定常波の腹と節の間隔を間違える:
  • 誤解: 腹と節の間隔を\(\lambda/2\)と勘違いしてしまう。
  • 対策: 定常波の波形をイメージしましょう。腹から隣の腹までが波長\(\lambda\)の半分(\(\lambda/2\))です。節はそのちょうど中間に位置するので、腹と節の間隔はそのさらに半分、つまり\(\lambda/4\)となります。この視覚的なイメージとセットで覚えると間違いにくくなります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（干渉条件式）:
  • 選定理由: 求めたいのは点Pの「振動状態」であり、これは2つの波が強めあうか弱めあうかという「干渉」の問題です。波の干渉を支配する物理法則は、経路差と波長の関係で記述される「干渉条件式」以外にありません。
  • 適用根拠: 問題で与えられているのは、点Pまでの各波源からの距離と波長です。これらはまさしく干渉条件式を構成する要素そのものです。与えられた情報から経路差を計算し、それを干渉条件式に代入することで、論理的に振動状態を決定できます。
• (2)でのアプローチ選択（作図と条件式）:
  • 選定理由: 求めたいのは「弱めあう点を連ねた線（節線）」です。これは、弱めあうという物理的条件を満たす点の集合を求める問題です。
  • 適用根拠:
    • 作図: 図が与えられている場合、弱めあう点（山と谷の交点）を視覚的に見つけるのが最も直接的です。これは、干渉の定義に最も忠実な方法です。
    • 条件式: 節線の本数を求めるには、作図に頼らずとも、弱めあいの条件式 \(L=(m+1/2)\lambda\) を満たす整数\(m\)が、物理的に可能な経路差の範囲内（\(L < \overline{\text{AB}}\)）にいくつ存在するかを数える方が、より網羅的で論理的です。
• (3)でのアプローチ選択（定常波）:
  • 選定理由: 考える対象が「2つの波源を結ぶ線分上」に限定されています。この特別な場所では、常に逆向きの同じ波が重なり合うため、「定常波」というよりシンプルで強力なモデルを適用できます。
  • 適用根拠: 定常波の腹と節の位置は、\(\lambda/4\)と\(\lambda/2\)という極めて単純な間隔ルールに従います。波源が同位相であることから中央点が「腹」であることが確定するため、この出発点と間隔ルールを適用すれば、全ての節の位置を効率的に、かつ網羅的に求めることができます。これは、一般的な干渉条件を考えるよりも、この特殊な状況に特化した、より洗練された解法と言えます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 数値を丁寧に代入する:
  • 干渉条件の式に、\(\lambda=2.0\)などの値を代入する際に、計算を焦らないこと。特に、\((m+1/2)\lambda\)の計算では、分配法則を間違えないように注意しましょう。
• 単位を揃える:
  • この問題では全ての長さの単位がcmで統一されていますが、問題によってはmとcmが混在している場合があります。計算を始める前に、必ず全ての単位を揃える癖をつけましょう。
• 整数\(m\)の範囲を確認する:
  • 干渉条件の\(m\)は、\(m=0, 1, 2, \dots\)という非負整数です。負の値は考えません。また、(2)の別解のように、経路差の物理的な上限（波源間距離）から、\(m\)が取りうる最大値を正しく見積もることが重要です。
• 定常波の間隔の計算ミスに注意:
  • \(\lambda/4\)と\(\lambda/2\)の計算は単純ですが、慌てていると間違えやすいポイントです。\(\lambda=2.0\,\text{cm}\)なら、\(\lambda/4=0.5\,\text{cm}\), \(\lambda/2=1.0\,\text{cm}\)と、最初に計算してメモしておくと良いでしょう。
• 答えの吟味:
  • (3)で求めた節の位置が、線分AB上（\(0\)から\(6.0\,\text{cm}\)の間）に収まっているか、また、中央の腹(\(3.0\,\text{cm}\))を挟んで対称な位置になっているかを確認することで、単純な計算ミスを発見できます。今回も、\(0.5\)と\(5.5\)、\(1.5\)と\(4.5\)、\(2.5\)と\(3.5\)が中央に対して対称なペアになっています。

基本例題48 波の屈折

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「波の屈折とホイヘンスの原理」です。波が速さの異なる媒質へ進むときに進行方向を変える「屈折」という現象を、作図と計算の両面から理解することを目的とします。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
この設問は、ホイヘンスの原理を正しく理解し、作図によって屈折現象を再現できるかを問うています。重要なのは、「波面上の各点から出た素元波が、同じ時間でどれだけ進むか」を考えることです。点Bが媒質Iの中を進む時間と、点Aが媒質IIの中を進む時間は等しいですが、速さが異なるため進む距離も異なります。この距離の違いが、波面が折れ曲がる原因となります。
この設問における重要なポイント

• 点Bが点Cに達するまでの時間を \(t\) とする。この間にBが進む距離は \(\overline{\text{BC}}\)。
• 同じ時間 \(t\) の間に、点Aから出た素元波は媒質IIの中を進む。
• 媒質IIの中での素元波の半径 \(r\) は、「媒質IIでの速さ \(v\)\(\times\)時間 \(t\)」で計算される。
• 屈折波の波面は、点Cから、点Aを中心とする半径 \(r\) の円（素元波）に引いた接線となる。
• 屈折波の射線は、新しい波面CDに垂直に引く。

具体的な解説と立式
1. まず、波面AB上の点Bが点Cに達するのにかかる時間を \(t\) とします。媒質Iでの波の速さは \(v_1 = 2v\) なので、Bが進む距離 \(\overline{\text{BC}}\) は、
$$
\begin{aligned}
\overline{\text{BC}} &= v_1 t \\[2.0ex] &= 2vt \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
2. この時間 \(t\) の間に、点Aから出た素元波は媒質IIの中を進みます。媒質IIでの波の速さは \(v_2 = v\) なので、この素元波が進む距離、すなわち素元波の半径を \(r\) とすると、
$$
\begin{aligned}
r &= v_2 t \\[2.0ex] &= vt \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$
3. 式①と②から、時間 \(t\) を消去して \(r\) と \(\overline{\text{BC}}\) の関係を求めます。
式①より \(t = \overline{\text{BC}}/(2v)\)。これを式②に代入すると、
$$
\begin{aligned}
r &= v \times \frac{\overline{\text{BC}}}{2v} \\[2.0ex] &= \frac{\overline{\text{BC}}}{2}
\end{aligned}
$$
これは、Aから広がる素元波の半径が、線分BCの長さのちょうど半分になることを意味します。
4. 以上の考察から、以下の手順で作図します。

• 点Aを中心として、半径が \(\overline{\text{BC}}/2\) となる円を描きます。これがAから出た素元波です。
• 点Cから、この円に対して接線を引きます。この接線CDが、求める屈折波の波面となります。（点Dは接点）
• 屈折波の射線は、波面に垂直なので、AとDを結んで延長した矢印が射線となります。

（作図のための準備計算であり、上記で完了）

徒競走で、選手たちが横一列のスタートライン（波面AB）から走り出すのをイメージしてください。Bさんは速い地面（媒質I）を走り、C地点まで到達します。一方、Aさんはスタートと同時に走りづらい地面（媒質II）に入ります。Aさんの速さはBさんの半分なので、BさんがCまで走るのと同じ時間で、AさんはBC間の距離の半分しか進めません。Aさんが進める範囲は、Aを中心とした円で表せます。この円と、Bさんのゴール地点Cを結ぶように引いた線が、新しいスタートライン（屈折波の波面CD）になります。

作図の結果、波は媒質IIに入ると進行方向が境界線の法線に近づくように折れ曲がりました。これは、速さが遅い媒質に入射する際の屈折現象として正しい振る舞いです。ホイヘンスの原理によって、この現象を正しく説明できることが確認できました。

問(2)

思考の道筋とポイント
媒質Iに対する媒質IIの屈折率は、それぞれの媒質中の波の速さの比で定義されます。問題文で与えられた速さの値を、定義式に代入するだけで計算できます。
この設問における重要なポイント

• 媒質Iに対する媒質IIの屈折率 \(n\)（または \(n_{12}\)）の定義式は、
  $$ n = \frac{\text{媒質Iでの速さ}}{\text{媒質IIでの速さ}} = \frac{v_1}{v_2} $$
  である。
• \(v_1 = 2v\), \(v_2 = v\) を正しく代入する。

具体的な解説と立式
媒質Iに対する媒質IIの屈折率を \(n\) とします。屈折の法則より、屈折率は2つの媒質における波の速さの比で表されます。
$$ n = \frac{v_1}{v_2} $$
ここに、媒質Iでの速さ \(v_1 = 2v\) と、媒質IIでの速さ \(v_2 = v\) を代入します。

$$
\begin{aligned}
n &= \frac{2v}{v} \\[2.0ex] &= 2
\end{aligned}
$$

「屈折率」とは、基準となる媒質（今回は媒質I）に比べて、もう一方の媒質（媒質II）がどれだけ波にとって「進みにくいか」を表す数値です。媒質Iでは速さ \(2v\) だったものが、媒質IIでは速さ \(v\) に落ちています。速さがちょうど半分になっているので、「進みにくさ」は2倍になったと考えられます。したがって、屈折率は2となります。

屈折率が \(n=2\) と求まりました。屈折率が1より大きいということは、媒質IIが媒質Iよりも波が伝わりにくい（光学的に密な）媒質であることを示しており、速さが \(2v\) から \(v\) に減少したという事実と一致しています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ホイヘンスの原理による波面の作図
  • 核心: この問題の根幹は、波の伝播を説明する基本モデルである「ホイヘンスの原理」を、屈折という具体的な現象に適用できる能力です。波面上の各点がそれぞれ新しい波源（素元波）となり、それらの素元波の重ね合わせ（包絡面）が次の波面を形成するという考え方を、作図によって体現することが求められます。
  • 理解のポイント:
    • 素元波の広がり: 屈折の鍵は、異なる媒質中では素元波の広がる速さが違うという点にあります。媒質Iに残っている波面上の点から出る素元波と、媒質IIに入った点から出る素元波は、同じ時間でも進む距離（半径）が異なります。
    • 作図の手順: (1)の解説にあるように、①ある時間\(t\)を設定し（通常は波面の一端が境界に達する時間）、②その時間\(t\)に各点がそれぞれの媒質中で進む距離を計算し、③それらを半径とする素元波を描き、④それらの素元波に共通な接線を引く、という手順を理解することが重要です。
• 屈折の法則
  • 核心: 波が異なる媒質に進む際に、その速さ、波長、進行方向（角度）がどのように変化するかを記述するのが屈折の法則です。特に、媒質Iに対する媒質IIの屈折率\(n\)が、速さの比\(v_1/v_2\)や波長の比\(\lambda_1/\lambda_2\)、そして入射角\(\theta_1\)と屈折角\(\theta_2\)の正弦（サイン）の比\(\sin\theta_1/\sin\theta_2\)に等しいという、一連の関係式を理解し、使いこなすことが核心です。
  • 理解のポイント:
    • 屈折率の意味: 屈折率\(n\)は、基準となる媒質（媒質I）に比べて、波がどれだけ「進みにくいか」を示す指標です。\(n>1\)なら、媒質IIは媒質Iより進みにくい（速さが遅くなる）ことを意味します。
    • 不変量: 屈折が起こっても、波源の振動は変わらないため、振動数\(f\)は一定に保たれます。速さ\(v\)と波長\(\lambda\)は屈折率に応じて変化しますが、\(v=f\lambda\)の関係から、\(v\)と\(\lambda\)は同じ比率で変化します。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 入射角・屈折角が与えられる問題: (1)で作図した三角形（ABCとADC）に注目すると、\(\angle\text{BAC}\)が入射角\(\theta_1\)、\(\angle\text{ACD}\)が屈折角\(\theta_2\)に対応します。これらの三角形から\(\sin\theta_1 = \overline{\text{BC}}/\overline{\text{AC}}\), \(\sin\theta_2 = \overline{\text{AD}}/\overline{\text{AC}}\)という関係が導け、ここから屈折の法則\(\sin\theta_1/\sin\theta_2 = v_1/v_2\)が証明できます。角度が与えられた場合は、この関係式を使います。
  • 全反射: 屈折率が大きい媒質から小さい媒質へ波が進むとき、入射角をある角度（臨界角）以上にすると、波は屈折せずにすべて反射される「全反射」という現象が起こります。臨界角の条件を屈折の法則から導く問題などがあります。
  • レンズやプリズム: 光がレンズやプリズムを通過する際にも屈折が起こります。これらの問題も、境界で屈折の法則を繰り返し適用することで解くことができます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 2つの媒質での速さ（または屈折率）を確認する: 問題文から、\(v_1, v_2\)（または\(n_1, n_2\)）の値を読み取ります。これが計算の基本データになります。
  2. 波面と射線の関係を意識する: 波の進行方向を示す「射線」と、波の山や谷を結んだ「波面」は常に垂直です。作図問題ではこの関係が非常に重要になります。
  3. ホイヘンスの原理を問われたら、時間の経過を考える: 「時間\(t\)の間に、波面上の各点はどこまで進むか？」という視点で考えます。速さが違う領域があれば、進む距離も違う、という点がポイントです。
  4. 屈折率を問われたら、定義式を思い出す: 媒質Iに対する媒質IIの屈折率\(n_{12}\)は、\(v_1/v_2\), \(\lambda_1/\lambda_2\), \(\sin\theta_1/\sin\theta_2\), \(n_2/n_1\)という4つの顔を持つことを思い出します。問題で与えられている物理量に応じて、最適な式を選択します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 屈折率の比の分子・分母を間違える:
  • 誤解: 屈折率\(n\)を\(v_2/v_1\)と逆に覚えてしまう。
  • 対策: 屈折率の物理的な意味を考えましょう。速さが遅くなるほど「進みにくい」ので屈折率は大きくなるはずです。したがって、速い方の速さ\(v_1\)が分子、遅い方の速さ\(v_2\)が分母に来る（\(n=v_1/v_2 > 1\)となる）と意味づけして覚えると間違いにくくなります。
• ホイヘンスの原理の作図ミス:
  • 誤解: 点Aから出る素元波の半径を、点Bが進んだ距離\(\overline{\text{BC}}\)と等しいとしてしまう。
  • 対策: 「同じ時間に進むが、速さが違うので距離は違う」という屈折の根本原理を常に意識しましょう。計算で求めた半径（この問題では\(\overline{\text{BC}}/2\)）を正確に作図に反映させることが重要です。
• 絶対屈折率と相対屈折率の混同:
  • 誤解: 問題で問われている「媒質Iに対する媒質IIの屈折率」が、媒質IIの絶対屈折率\(n_2\)のことだと勘違いしてしまう。
  • 対策: 「Aに対するBの〜」という表現は、Aを基準(1)としたときのBの性質を表す「相対的な」値です。物理ではこれを相対屈折率\(n_{12}\)と呼び、\(n_2/n_1\)で計算されると整理しておきましょう。単に「屈折率」と書かれている場合は、文脈から絶対か相対かを見極める必要があります（高校物理では相対屈折率を指すことが多いです）。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)でのアプローチ選択（ホイヘンスの原理）:
  • 選定理由: 求めたいのは「屈折波の波面」という、波の形状そのものです。波の形状が時間とともにどう変化し、伝播していくかを説明するための第一原理が「ホイヘンスの原理」です。したがって、波面の作図を求められた場合、この原理を用いるのは最も根本的で論理的な選択です。
  • 適用根拠: ホイヘンスの原理は、波の回折や干渉など、あらゆる波の振る舞いを説明できる普遍的なモデルです。特に、異なる媒質が接する境界での波面の変化を考える上で、各点からの素元波が異なる速さで広がる様子を考えるこのアプローチは、屈折現象の本質を的確に捉えています。
• (2)での公式選択（屈折の法則 \(n=v_1/v_2\)）:
  • 選定理由: 求めたいのは「屈折率」という、2つの媒質の関係性を表す物理量です。そして、問題で与えられているのは2つの媒質での「速さ」です。屈折率と速さの関係を直接結びつけるのが、屈折の法則の定義式\(n=v_1/v_2\)です。
  • 適用根拠: 屈折率は、まさに速さの比として定義されています。したがって、与えられた物理量（\(v_1, v_2\)）から求めたい物理量（\(n\)）を導出するための、最も直接的で無駄のない公式です。
• (2)別解でのアプローチ選択（絶対屈折率）:
  • 選定理由: 屈折という現象を、より普遍的で体系的な枠組みの中で理解したい場合に、このアプローチは有効です。個々の媒質が持つ「絶対屈折率」という性質を導入することで、なぜ速さの比が屈折率になるのかを、より深いレベルで説明できます。
  • 適用根拠: 物理法則\(n_1 v_1 = n_2 v_2\)は、「どの媒質においても、その媒質の絶対屈折率と光速の積は一定である」という、より基本的な法則（\(nv=c\), \(c\)は真空中の光速）の現れです。この普遍的な法則から出発し、求めたい相対屈折率\(n_{12}=n_2/n_1\)を導出するプロセスは、物理法則の階層構造を理解する上で非常に教育的です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま計算を進める:
  • (1)の作図の準備段階で、いきなり具体的な数値を考えるのではなく、まずは\(v_1, v_2, t\)といった文字を使って半径\(r\)と距離\(\overline{\text{BC}}\)の関係を導きましょう。\(r = (v_2/v_1)\overline{\text{BC}}\)という一般式を導いてから、最後に\(v_1=2v, v_2=v\)を代入する方が、見通しが良く、応用も効きます。
• 比の計算を確実に行う:
  • (2)の計算は\(n=2v/v\)という単純なものですが、これが分数になったり、複雑な数値になったりすることもあります。約分や割り算を丁寧に行い、ケアレスミスを防ぎましょう。
• 作図は定規とコンパスで:
  • フリーハンドで描くと、接線がずれたり、半径が不正確になったりして、正しい波面が描けません。試験本番では難しいかもしれませんが、学習段階では定規とコンパスを使って正確に作図する経験が、原理の深い理解につながります。
• 物理的にありえるか吟味する:
  • 計算の結果、屈折率が1未満になった場合（速い媒質から遅い媒質への屈折の場合）、どこかで分子と分母を間違えた可能性が高いです。また、屈折角が90度を超えたり、負の値になったりした場合も、計算ミスを疑うべきです。常に物理的に妥当な範囲の値になっているかを確認する癖をつけましょう。

基本問題

336 波の発生

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「波の基本性質と公式の理解」です。波を特徴づける基本的な物理量（速さ、振動数、波長、振幅）の関係を正しく理解し、波の速さが何によって決まるかという物理的本質を問う問題です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
波の速さ \(v\)、振動数 \(f\)、波長 \(\lambda\) は、\(v=f\lambda\) という一つの式で結びついています。このうち2つの量が分かっていれば、残りの1つは必ず計算できます。この問題では \(v\) と \(f\) が与えられているので、式を変形して \(\lambda\) を求めます。
この設問における重要なポイント

• 波の基本式 \(v=f\lambda\) を正しく使えること。
• 与えられた数値を正確に代入すること。

具体的な解説と立式
波の速さを \(v\)、振動数を \(f\)、波長を \(\lambda\) とすると、これらの間には次の関係式が成り立ちます。
$$ v = f\lambda $$
この式を波長 \(\lambda\) について解くと、
$$ \lambda = \frac{v}{f} $$
となります。ここに、問題文で与えられた \(v=20\,\text{m/s}\)、\(f=10\,\text{Hz}\) を代入します。

$$
\begin{aligned}
\lambda &= \frac{20}{10} \\[2.0ex] &= 2.0\,\text{m}
\end{aligned}
$$

波の「速さ」は、「1秒間に揺れる回数（振動数）」と「波1個の長さ（波長）」を掛け算したものです。今、速さが \(20\,\text{m/s}\) で、1秒間に \(10\) 回揺れることが分かっているので、波1個の長さを求めるには、速さを振動数で割り算すればOKです。\(20 \div 10 = 2\) なので、波長は \(2.0\,\text{m}\) となります。

計算により、波長は \(2.0\,\text{m}\) と求まりました。値は物理的に妥当な範囲です。

問(2)

思考の道筋とポイント
この設問は、計算問題ではなく、波の速さが何によって決まるかという物理的な性質を正しく理解しているかを問う知識問題です。波源の「揺らし方」と、波が伝わる「媒体の性質」を明確に区別して考えることが重要です。
この設問における重要なポイント

• 波の伝わる速さは、その波を伝えている媒質の性質（弦の種類、張力、空気の温度など）のみによって決まる。
• 波源の振動の仕方（振幅の大小や振動数の高低）は、波の速さに影響を与えない。

具体的な解説と立式
波の伝わる速さは、媒質の性質によって決まる物理量です。波源の振幅や振動数を変えても、同じ媒質（例えば同じ弦や同じ空気中）を伝わっている限り、波の速さは変化しません。

• 振幅を2倍にしたとき:
  • 振幅は波のエネルギーの大きさを変えますが、伝わる速さは変えません。したがって、速さは元の \(20\,\text{m/s}\) のままです。
• 振動数を2倍にしたとき:
  • 振動数は波源の揺れるペースを変えますが、伝わる速さは変えません。したがって、速さは元の \(20\,\text{m/s}\) のままです。

（計算はありません）

長い縄跳びの縄を誰かに持ってもらい、あなたが端を揺らして波を作る場面を想像してください。あなたが縄を「大きく揺らしても（振幅2倍）」、「速く揺らしても（振動数2倍）」、その波が縄の向こう端まで伝わっていく速さ自体は変わりません。波の速さを変えるには、縄をもっとピンと張るなど、「縄の状態（媒質）」を変えるしかないのです。したがって、どちらの場合も速さは変わりません。

振幅や振動数を変えても、媒質が同じであるため、波の速さは \(20\,\text{m/s}\) で不変です。これは波の基本的な性質です。

問(3)

思考の道筋とポイント
(2)の結果から、波の速さ \(v\) は \(20\,\text{m/s}\) のままであることが分かりました。この一定の速さ \(v\) と、変化した条件（振幅または振動数）を使って、再び波の基本式 \(v=f\lambda\) から波長 \(\lambda\) を求めます。
この設問における重要なポイント

• 波の速さ \(v\) は \(20\,\text{m/s}\) で一定である。
• 速さが一定のとき、振動数 \(f\) と波長 \(\lambda\) は反比例の関係 (\(\lambda = v/f\)) にある。
• 振幅は波長に直接影響しない。

具体的な解説と立式

• 振幅を2倍の \(0.20\,\text{m}\) にしたとき:
  • (2)より、速さ \(v\) は \(20\,\text{m/s}\) のままです。また、振動数 \(f\) も元の \(10\,\text{Hz}\) のままです。したがって、波長 \(\lambda\) は(1)で求めた値から変化しません。
    $$
    \begin{aligned}
    \lambda &= \frac{v}{f} \\[2.0ex] &= \frac{20}{10} \\[2.0ex] &= 2.0\,\text{m}
    \end{aligned}
    $$
• 振動数を2倍の \(20\,\text{Hz}\) にしたとき:
  • (2)より、速さ \(v\) は \(20\,\text{m/s}\) のままです。振動数は \(f’ = 20\,\text{Hz}\) に変化しました。このときの新しい波長を \(\lambda’\) とすると、
    $$
    \begin{aligned}
    \lambda’ &= \frac{v}{f’} \\[2.0ex] &= \frac{20}{20} \\[2.0ex] &= 1.0\,\text{m}
    \end{aligned}
    $$

（上記「具体的な解説と立式」で計算済み）

(2)の縄跳びの例えの続きです。

• 振幅を2倍にしたとき: 縄を揺らす大きさは変わりましたが、速さも揺らすペースも変わらないので、できあがる波1個の長さ（波長）も変わりません。
• 振動数を2倍にしたとき: 縄を伝わる速さは同じまま、揺らすペースだけを2倍にしました。すると、波が1個進む間に、あなたは波を2個作ってしまうことになります。その結果、できあがる波1個の長さ（波長）は、元の半分になってしまいます。

振幅を変えても速さと振動数が変わらないため、波長も不変です。一方、振動数を2倍にすると、速さが一定であるため、波長は半分になります。これは、\(v=f\lambda\) の関係から導かれる妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 波の速さの決定要因
  • 核心: この問題の根幹は、「波の伝わる速さは、波源の振動の仕方（振幅や振動数）によらず、波を伝える媒質の性質のみで決まる」という物理法則を理解しているかどうかにあります。これは波の分野における最も重要な基本原則の一つです。
  • 理解のポイント:
    • 媒質の役割: 波の速さは、媒質の復元力（元の形に戻ろうとする力）や慣性（動きにくさ）に関連する性質で決まります。例えば、弦を伝わる波の速さは、弦の張力（ピンと張る力）が強いほど速く、弦が重い（線密度が大きい）ほど遅くなります。これらは弦という媒質自体の性質です。
    • 波源の役割: 波源の振動は、波の形（波長）や波が持つエネルギーの大きさ（振幅）を決定しますが、媒質が波を「伝達する能力」そのものを変えることはできません。
• 波の基本式 \(v=f\lambda\)
  • 核心: 波の速さ\(v\)、振動数\(f\)、波長\(\lambda\)という3つの基本量を結びつける普遍的な関係式です。この式は、波の定義そのものから導かれます。
  • 理解のポイント:
    • 関係性: この式は、3つの量の間の関係を示しています。媒質の性質によって速さ\(v\)が決まり、波源によって振動数\(f\)が決まると、その結果として波長\(\lambda\)が\(\lambda=v/f\)という形で必然的に決まります。
    • 因果関係の理解: \(v=f\lambda\)という式の形だけを見ると、\(f\)が大きくなれば\(v\)も大きくなるように見えますが、これは誤解です。\(v\)は媒質によって固定されているため、波源が\(f\)を大きくすると、その分\(\lambda\)が小さくなる、という反比例の関係が正しい因果関係です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 媒質が変化する問題（屈折など）: 水面波が深い所から浅い所へ進む、光が空気中から水中へ進むなど、媒質が変わる状況。この場合、波の速さ\(v\)が変化します。しかし、波源は同じなので振動数\(f\)は不変です。その結果、\(v=f\lambda\)の関係から波長\(\lambda\)が変化します。
  • 弦を伝わる波の速さ: 弦の張力を\(S\)、線密度を\(\rho\)とすると、速さは\(v=\sqrt{S/\rho}\)で与えられます。「張力を4倍にしたら速さは何倍になるか？」といった問題では、この公式を適用します。張力や線密度が「媒質の性質」の具体例です。
  • 音速と温度: 空気を伝わる音の速さは、気温\(t\)[℃]を用いて\(v \approx 331.5 + 0.6t\)と表せます。「気温が上がると音の速さはどうなるか？」といった問題では、この関係を使います。気温が「媒質の性質」にあたります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まず「媒質」が変わったかを確認する: 問題文を読み、「同じ弦の上で」「同じ空気中で」など、媒質が一定であることを示す記述を探します。もし媒質が一定なら、速さ\(v\)はどんな操作をしても不変であると確定できます。
  2. 次に「波源」の操作を確認する: 「振幅を〜倍にした」「振動数を〜倍にした」という記述を探します。これが波の形やエネルギーにどう影響するかを考えます。
  3. 「不変量」は何かを特定する:
     • 媒質が同じ \(\rightarrow\) 速さ\(v\)が不変。
     • 波源が同じ \(\rightarrow\) 振動数\(f\)が不変。
  4. 波の基本式\(v=f\lambda\)で変化量を追う: 不変量と変化した量を式に当てはめ、求めたい量がどのように変化するかを計算します。例えば、\(v\)が一定で\(f\)が2倍になれば、\(\lambda\)は1/2倍にならざるを得ません。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 速さが振動数や振幅に依存すると誤解する:
  • 誤解: \(v=f\lambda\)の式を見て、振動数\(f\)が大きくなれば速さ\(v\)も大きくなると思ってしまう。また、大きな波は速いという日常感覚から、振幅が大きいと速いと考えてしまう。
  • 対策: 原因と結果を明確に区別することが重要です。「媒質の性質」と「波源の振動」が原因です。「媒質」が速さ\(v\)を決定し、「波源」が振動数\(f\)を決定します。その結果として、「波長\(\lambda\)」が\(\lambda=v/f\)で決まる、という因果関係のフローチャートを頭に描きましょう。速さは原因の一つであり、振動数の結果ではありません。
• すべての物理量が連動して変わると考えてしまう:
  • 誤解: 振動数を変えたら、速さも波長も全部変わるだろう、と漠然と考えてしまう。
  • 対策: 物理の問題では、条件を変化させるとき「何が固定されていて（不変で）、何が変化するのか」を切り分ける思考が極めて重要です。この問題では、媒質が固定されているため、速さ\(v\)が「不変の軸」となります。この軸を基準に他の量の変化を考えることで、論理的に答えを導けます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（\(v=f\lambda\)）:
  • 選定理由: 求めたい物理量は「波長\(\lambda\)」です。問題文で与えられているのは「速さ\(v\)」と「振動数\(f\)」です。この3つの物理量を結びつける唯一の基本法則が、波の基本式\(v=f\lambda\)です。したがって、この公式を選択するのは必然です。
  • 適用根拠: この公式は、波が「1秒間に\(f\)回振動し、1回の振動で波が1波長\(\lambda\)進む」という波の基本的な運動モデルから導かれる普遍的な関係式です。したがって、あらゆる進行波に対して無条件に適用できます。
• (2)でのアプローチ選択（物理法則の知識）:
  • 選定理由: 問われているのは「速さはいくらになるか」で、変化させる条件は「振幅」と「振動数」です。これは、数値を代入して計算する問題ではなく、「波の速さの決定要因」という物理法則の知識そのものを問う問題です。
  • 適用根拠: 「波の速さは媒質の性質のみに依存し、波源の振動（振幅、振動数）にはよらない」という、実験的に確立された物理法則が適用の根拠となります。この法則を知っていれば、計算するまでもなく「速さは変わらない」と結論できます。
• (3)での公式選択（\(v=f\lambda\)）:
  • 選定理由: (2)の考察により、速さ\(v\)は不変であることが分かりました。変化後の振動数\(f’\)が与えられ、そのときの波長\(\lambda’\)を求めたい状況です。再び、\(v, f, \lambda\)の3つの量を結びつける関係式が必要となるため、波の基本式\(v=f’\lambda’\)を選択します。
  • 適用根拠: 振動数が変わっても、波であることには変わりないため、基本式は同様に成り立ちます。(2)で特定した不変量（\(v\)）と、問題で与えられた変化量（\(f’\)）を用いて、未知の量（\(\lambda’\)）を求めるという、物理の典型的な思考プロセスを適用できます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位の整合性を確認する:
  • 計算の最後に単位が合っているかを確認しましょう。例えば(1)では、速さ(\(\text{m/s}\))を振動数(\(\text{Hz} = 1/\text{s}\))で割っているので、\((\text{m/s}) \div (1/\text{s}) = (\text{m/s}) \times \text{s} = \text{m}\)となり、確かに長さの単位になっていることが確認できます。
• 公式の変形を慎重に:
  • \(v=f\lambda\)から\(\lambda\)を求める際に、\(\lambda = v/f\)と正しく移項しましょう。単純な変形ですが、焦っていると分子と分母を間違えることがあります。
• 物理的な見通しを立てる:
  • (3)で振動数を2倍にした場合、「速さが同じなのに、1秒間にもっとたくさん（2倍）の波を送り出すのだから、波1個あたりの長さ（波長）は半分になるはずだ」という物理的なイメージを持ってから計算に取り掛かると、答えの妥当性を直感的に判断でき、ミスを発見しやすくなります。
• 問題文の情報を整理する:
  • 最初の状態（\(v=20, f=10, A=0.10\)）、操作1（\(A\)を2倍）、操作2（\(f\)を2倍）のように、条件が変化する問題では、それぞれの状況で各物理量がどうなっているかを簡単な表にまとめるのも有効です。これにより、頭の中が整理され、混乱を防げます。

337 波の要素

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「波のグラフ（y-xグラフ）の読解と、時間変化の考察」です。ある瞬間の波の形を表すグラフと、その後の時間変化の情報から、波の基本的な要素（振幅、波長、速さ、振動数、周期）をすべて導き出す総合的な問題です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
この設問は、y-xグラフの基本的な読み取り能力を問うものです。振幅と波長がグラフのどの部分に対応するかを正確に把握していれば、すぐに答えが分かります。
この設問における重要なポイント

• 振幅 \(A\): 振動の中心（x軸）から、最も変位が大きい点（山または谷）までの距離（y座標の絶対値の最大値）。
• 波長 \(\lambda\): 波の同じ形が繰り返される1サイクル分の長さ。例えば、山から隣の山までの水平距離。

具体的な解説と立式
\(t=0\,\text{s}\) の実線波形のグラフから、各値を直接読み取ります。

• 振幅 \(A\): グラフのy座標の最大値が \(0.50\) なので、振幅は \(A=0.50\,\text{m}\) です。
• 波長 \(\lambda\): グラフは \(x=0\) から \(x=8.0\,\text{m}\) までで、ちょうど1つの波形（山一つと谷一つ）を描いています。したがって、波長は \(\lambda=8.0\,\text{m}\) です。

（計算はありません）

グラフの見たままを答える問題です。「振幅」は波の高さのことで、グラフを見ると一番高いところが \(0.50\,\text{m}\) なので、これが答えです。「波長」は波1個分の長さのことで、グラフを見ると \(x=0\) から \(x=8.0\,\text{m}\) まででちょうど波が1個入っているので、\(8.0\,\text{m}\) が答えになります。

グラフから、振幅 \(A=0.50\,\text{m}\)、波長 \(\lambda=8.0\,\text{m}\) と読み取れました。

問(2)

思考の道筋とポイント
波の速さを求めるには、「どれだけの時間」で「どれだけの距離」を進んだかを知る必要があります。問題文から、実線波形が破線波形になるのに \(1.5\,\text{s}\) かかったことが分かっています。あとは、この間に波が何m進んだかをグラフから読み取れば、速さが計算できます。
この設問における重要なポイント

• 波は形を保ったまま進むので、波形上の分かりやすい点（例えば「山」）の移動を追跡する。
• 速さ \(v\)、振動数 \(f\)、波長 \(\lambda\) の間には \(v=f\lambda\) の関係がある。
• 振動数 \(f\) と周期 \(T\) の間には \(T=1/f\) の関係がある。

具体的な解説と立式
まず、波の速さ \(v\) を求めます。
実線波形（\(t=0\,\text{s}\)）の山は \(x=2.0\,\text{m}\) の位置にあります。
これが、破線波形（\(t=1.5\,\text{s}\)）になると、最も近い山は \(x=8.0\,\text{m}\) の位置に移動しています。（波は周期的ですが、「最初に」とあるので、最も近い同じ形の場所への移動を考えます）
したがって、波は \(1.5\,\text{s}\) の間に、
$$
\begin{aligned}
\Delta x &= 8.0 – 2.0 \\[2.0ex] &= 6.0\,\text{m}
\end{aligned}
$$
だけ進んだことが分かります。よって、波の速さ \(v\) は、
$$
\begin{aligned}
v &= \frac{\text{距離}}{\text{時間}} \\[2.0ex] &= \frac{6.0}{1.5}
\end{aligned}
$$
次に、この速さ \(v\) と(1)で求めた波長 \(\lambda=8.0\,\text{m}\) を使って、振動数 \(f\) を求めます。波の基本式 \(v=f\lambda\) より、
$$ f = \frac{v}{\lambda} $$
最後に、周期 \(T\) を求めます。
$$ T = \frac{1}{f} $$

• 速さ \(v\) の計算
  $$
  \begin{aligned}
  v &= \frac{6.0}{1.5} \\[2.0ex] &= 4.0\,\text{m/s}
  \end{aligned}
  $$
• 振動数 \(f\) の計算
  $$
  \begin{aligned}
  f &= \frac{4.0}{8.0} \\[2.0ex] &= 0.50\,\text{Hz}
  \end{aligned}
  $$
• 周期 \(T\) の計算
  $$
  \begin{aligned}
  T &= \frac{1}{0.50} \\[2.0ex] &= 2.0\,\text{s}
  \end{aligned}
  $$

波の速さを知るために、波の「山」に注目します。最初の波（実線）では \(x=2.0\,\text{m}\) にあった山が、\(1.5\) 秒後には \(x=8.0\,\text{m}\) の位置に動いています。つまり、\(1.5\) 秒で \(6.0\,\text{m}\) 進んだわけです。速さは「距離÷時間」なので、\(6.0 \div 1.5 = 4.0\,\text{m/s}\) となります。速さが分かれば、あとは公式を使って、振動数（1秒間に揺れる回数）と周期（1回揺れるのにかかる時間）も計算できます。

速さ \(4.0\,\text{m/s}\)、振動数 \(0.50\,\text{Hz}\)、周期 \(2.0\,\text{s}\) と求まりました。これらの値は \(v=f\lambda\) (\(4.0 = 0.50 \times 8.0\)) の関係を正しく満たしており、妥当な結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
\(t=0\,\text{s}\) の状態から \(3.0\,\text{s}\) 後の波形を問われています。(2)で求めた波の速さを使って、\(3.0\,\text{s}\) の間に波が何m進むかを計算し、実線波形をその分だけ平行移動させます。
この設問における重要なポイント

• 進む距離 \(d = v \times t\)。
• 波は1波長 \(\lambda\) 進むごとに元の形と同じになる。

具体的な解説と立式
波の速さは \(v=4.0\,\text{m/s}\) なので、\(3.0\,\text{s}\) の間に進む距離 \(d\) は、
$$
\begin{aligned}
d &= 4.0\,\text{m/s} \times 3.0\,\text{s} \\[2.0ex] &= 12\,\text{m}
\end{aligned}
$$
したがって、\(t=0\,\text{s}\) の実線波形を、x軸の正の向きに \(12\,\text{m}\) 平行移動したものが求める波形となります。
例えば、\(t=0\) で \(x=0\) にあった点は \(x=12\,\text{m}\) へ、\(x=2.0\,\text{m}\) にあった山は \(x=2.0+12=14\,\text{m}\) へ移動します。

（上記で計算済み）

この波は1秒間に \(4.0\,\text{m}\) のペースで進みます。なので、\(3.0\) 秒後には \(4.0 \times 3.0 = 12\,\text{m}\) 進んでいるはずです。元の実線のグラフ全体を、右に \(12\,\text{m}\) ずらして描けば、それが答えになります。

波長が \(8.0\,\text{m}\) なので、\(12\,\text{m}\) の移動は \(12/8.0 = 1.5\) 波長分の移動に相当します。1波長分進むと元の形に戻るので、実質的に半波長（\(4.0\,\text{m}\)）だけ進めた波形と同じになります。

問(4)

思考の道筋とポイント
正弦波は、空間的に1波長 \(\lambda\) ごとに同じ変位が繰り返されるという周期性を持っています。この性質を利用して、グラフの範囲外である \(x=30.0\,\text{m}\) の変位を、グラフの範囲内の点の変位に置き換えて考えます。
この設問における重要なポイント

• 位置 \(x\) の変位は、位置 \(x – n\lambda\) の変位と同じ（\(n\) は整数）。
• \(x=30.0\,\text{m}\) を波長 \(\lambda=8.0\,\text{m}\) で割った余りを考える。

具体的な解説と立式
求めたいのは \(t=0\,\text{s}\) における \(x=30.0\,\text{m}\) の変位です。
波長は \(\lambda=8.0\,\text{m}\) なので、波形は \(8.0\,\text{m}\) ごとに繰り返されます。
そこで、\(30.0\,\text{m}\) から \(8.0\,\text{m}\) を引けるだけ引いて、グラフの範囲内（\(0 \le x < 8.0\)）の座標に変換します。
$$ 30.0 = 3 \times 8.0 + 6.0 $$
この式は、\(x=30.0\,\text{m}\) の点が、\(x=6.0\,\text{m}\) の点からちょうど3波長分離れていることを意味します。
したがって、\(x=30.0\,\text{m}\) での変位は、\(x=6.0\,\text{m}\) での変位と等しくなります。
グラフ（実線）から \(x=6.0\,\text{m}\) の点の変位を読み取ると、谷の底なので \(-0.50\,\text{m}\) です。

（上記で計算済み）

波の景色は、\(8.0\,\text{m}\) ごとに全く同じものが繰り返されます。知りたいのは \(30.0\,\text{m}\) 地点の景色ですが、これは \(30.0 – 8.0 = 22.0\,\text{m}\) 地点、さらに引いて \(22.0 – 8.0 = 14.0\,\text{m}\) 地点、さらに引いて \(14.0 – 8.0 = 6.0\,\text{m}\) 地点の景色と全く同じです。グラフを見ると、\(x=6.0\,\text{m}\) 地点は谷の底で、変位は \(-0.50\,\text{m}\) となっています。

波の周期性を利用して、グラフ範囲外の点の変位を求めることができました。答えは \(-0.50\,\text{m}\) となります。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• y-xグラフと時間変化の統合的理解
  • 核心: この問題の根幹は、ある一瞬の波の形（空間情報）を示すy-xグラフと、「その波形が次にどう変化したか」という時間情報を結びつけて、波の持つ全ての基本要素（速さ、周期など）を明らかにする能力です。静的なグラフから動的な波の振る舞いを再構築するプロセスが問われています。
  • 理解のポイント:
    • 情報の分離と統合: まず、y-xグラフから読み取れる静的な情報（振幅\(A\)、波長\(\lambda\)）を確定させます。次に、問題文の「\(1.5\,\text{s}\)後に破線のようになった」という動的な情報から、波の移動距離\(\Delta x\)を読み取ります。最後に、これらの情報を統合し、速さの定義式 \(v = \Delta x / \Delta t\) を適用することで、波の動的な性質（速さ\(v\)）を初めて特定できます。
    • 基本公式への連鎖: 一旦、速さ\(v\)と波長\(\lambda\)が分かれば、あとは波の基本式\(v=f\lambda\)と周期・振動数の関係式\(T=1/f\)を用いることで、残りの物理量\(f\)と\(T\)が芋づる式に求まります。
• 波の周期性（空間的・時間的）
  • 核心: 正弦波が持つ「繰り返し」の性質を、空間（位置\(x\)）と時間（時刻\(t\)）の両面で理解し、応用できることが重要です。
  • 理解のポイント:
    • 空間的周期性: 波の形は、空間的に1波長\(\lambda\)ごとに全く同じ形が繰り返されます。問(4)のように、グラフの範囲外にある点の状態を知りたい場合、その位置から波長の整数倍だけずらした、グラフ範囲内の点の状態を見ればよい、という考え方につながります。
    • 時間的周期性: ある一点の媒質の振動は、時間的に1周期\(T\)ごとに全く同じ状態に戻ります。また、波形全体も1周期\(T\)の時間でちょうど1波長\(\lambda\)だけ進み、同じ位相の点が同じ場所に戻ってきます（ただし1波長先）。問(3)の別解のように、経過時間が周期の何倍かを考えることで、波の移動をシンプルに捉えることができます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • y-tグラフが与えられる問題: ある特定の位置の媒質の時間変化を示すグラフ。振幅\(A\)と周期\(T\)が直接読み取れます。もし、別の位置のy-tグラフや、ある時刻のy-xグラフが追加で与えられれば、それらの情報から波の速さや波長を特定できます。
  • 波の式を作成する問題: この問題で求めた\(A, \lambda, T\)などの値を使って、この波の変位\(y\)を位置\(x\)と時刻\(t\)の関数で表す式 \(y(x,t)\) を立てさせる問題。
  • 媒質の速度を問う問題: 「\(t=0\,\text{s}\)において、\(x=4.0\,\text{m}\)の媒質の速度の向きはどちらか？」といった問い。波の進行方向（\(+x\)方向）が分かっているので、「微小時間後の波形」を描くことで、各点の媒質が次に上下どちらに動くかを判断できます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. グラフの種類と軸の単位を確認する: まずは基本。y-xグラフかy-tグラフか、単位はmかcmか、sかmsか。
  2. グラフから直接読み取れる量を全て抜き出す: y-xグラフなら振幅\(A\)と波長\(\lambda\)。y-tグラフなら振幅\(A\)と周期\(T\)。
  3. 時間変化に関する記述を探す: 「\(t_1\)の波形が\(t_2\)にはこうなった」という情報が、速さ\(v\)を決定する最も重要な鍵です。この情報がないか、くまなく探します。
  4. 追跡する特徴点を決める: 波形が移動した距離を測るために、山、谷、\(y=0\)で傾きが正の点など、特徴的で分かりやすい点に目印をつけ、その点がどこへ移動したかを追跡します。
  5. 「最初に」という言葉に注意する: 波は周期的なので、移動先の候補は無限にあります。「最初にその形になる」という指定は、最も移動距離が短いものを選ぶことを意味します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• y-xグラフから周期や速さを直接読み取ろうとする:
  • 誤解: y-xグラフはあくまで「写真」のような静止した情報です。このグラフ一枚だけでは、波がどれくらいの速さで動いているか（速さ\(v\)）や、1点の媒質がどれくらいの時間で1回振動するか（周期\(T\)）は絶対に分かりません。
  • 対策: 「速さや周期を知るには、必ず時間の経過に関する情報が必要だ」と常に意識しましょう。この問題では「\(1.5\,\text{s}\)かかった」という記述がその情報にあたります。
• 波の移動距離の読み取りミス:
  • 誤解: 実線の山(\(x=2.0\))が、破線の谷(\(x=6.0\))に移動したと勘違いするなど、異なる位相の点へ移動したと考えてしまう。
  • 対策: 波は「形を保ったまま」進みます。したがって、必ず同じ位相の点（山なら山、谷なら谷）への移動を追跡しなければなりません。
• 波の速さと媒質の速さの混同:
  • 誤解: 波の速さ\(v\)は、媒質が上下に振動する速さのことだと考えてしまう。
  • 対策: 波の速さ\(v\)は、波形全体がx軸方向に進む「横方向の速さ」です。一方、媒質の速さは、各点の媒質がその場でy軸方向に振動する「縦方向の速さ」であり、全くの別物です。この2つを明確に区別しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)でのアプローチ選択（グラフの直接読解）:
  • 選定理由: 求めたいのは「振幅」と「波長」。これらはy-xグラフにおいて、それぞれ縦軸の最大値と横軸方向の1周期の長さとして定義されています。
  • 適用根拠: グラフの定義そのものから、値を直接読み取ることが最も合理的かつ直接的な方法です。公式を適用する以前の、基本的な情報収集の段階です。
• (2)での公式選択（速さの定義式と波の基本式）:
  • 選定理由: 求めたいのは「速さ」「振動数」「周期」です。まず「速さ」を求めるために、その定義である「距離÷時間」に立ち返ります。
  • 適用根拠: 問題文とグラフから、波が移動した距離\(\Delta x\)とそれに要した時間\(\Delta t\)が分かります。したがって、速さの定義式 \(v = \Delta x / \Delta t\) を適用するのが最も素直な論理展開です。速さ\(v\)が分かれば、(1)で求めた波長\(\lambda\)と合わせて、波の普遍的な関係式である\(v=f\lambda\)から振動数\(f\)を、さらに\(T=1/f\)から周期\(T\)を求めることができます。これは、既知の量から未知の量を順序立てて導出する、物理の王道的な思考プロセスです。
• (3)での公式選択（距離＝速さ×時間）:
  • 選定理由: 求めたいのは「\(3.0\,\text{s}\)後の波形」です。波は形を保ったまま一定速度で進む（並進運動する）という性質があります。
  • 適用根拠: ある時間後の位置を求めるには、「距離＝速さ×時間」という運動学の基本式を適用するのが自然です。(2)で求めた速さ\(v\)と経過時間\(t=3.0\,\text{s}\)から進む距離を計算し、元の波形を平行移動させることで、未来の波形を論理的に作図できます。
• (4)でのアプローチ選択（波の空間的周期性）:
  • 選定理由: 求めたいのは、グラフの描画範囲から大きく外れた位置の変位です。このような場合、波が持つ「周期性（繰り返し性）」という性質を利用するのが最も効率的です。
  • 適用根拠: 正弦波の変位は、位置\(x\)に関して波長\(\lambda\)を周期とする周期関数です。数学的に言えば、\(y(x) = y(x+\lambda)\)が成り立ちます。この性質を適用することで、\(x=30.0\,\text{m}\)という遠い位置の問題を、\(x=6.0\,\text{m}\)というグラフ範囲内の位置の問題に変換（帰着）させることができます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• グラフの目盛りを正確に読む:
  • 山や谷の位置、x軸との交点の座標など、グラフの数値を読み間違えないように注意しましょう。特に、1目盛りがいくつを表しているかを最初に確認することが重要です。
• 単位を常に意識する:
  • 速さの計算では、距離(m)と時間(s)の単位を確認します。最終的な答えの単位（m, m/s, Hz, s）が正しいか常にチェックする癖をつけましょう。
• 分数の計算を丁寧に行う:
  • (2)の速さの計算 \(v = 6.0/1.5\) は、分母・分子を10倍して \(60/15 = 4\) のように整数に直して計算するとミスが減ります。振動数の計算 \(f = 4.0/8.0\) も、\(1/2 = 0.5\) と慎重に行いましょう。
• 波長の整数倍の引き算（割り算の余り）:
  • (4)で \(30.0\,\text{m}\) の位置を考える際、\(30.0 \div 8.0 = 3\) 余り \(6.0\) のように、割り算とその余りを計算すると、対応するグラフ上の位置を機械的に、かつ正確に見つけることができます。
• 検算を行う:
  • (2)で求めた \(v, f, \lambda, T\) が、\(v=f\lambda\) と \(T=1/f\) の両方の関係式を矛盾なく満たしているかを確認しましょう。例えば、\(v=\lambda/T\) (\(4.0 = 8.0/2.0\)) も成り立っているかをチェックすることで、計算の信頼性が高まります。

338 横波の振動

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「横波のグラフ（y-xグラフ）の解釈と媒質の振動」です。ある瞬間の波の形を示したグラフから、各点の媒質がどのように振動しているか（速度の向きや大きさ、他の点との位相関係）を読み解く力を養う問題です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
横波の媒質が次にどちらに動くかを知るためには、波全体が少しだけ未来に進んだ様子を想像するのが最も簡単で確実な方法です。波が右に進むので、現在の波形を少し右にずらして描いてみましょう。
この設問における重要なポイント

• 波は形を保ったまま、進行方向（この問題では右向き）に進む。
• 媒質は波の進行方向には動かず、その場で上下（y軸方向）に振動する。
• 微小時間後の波形を描き、同じx座標でのy座標の変化を見る。

具体的な解説と立式
この波はx軸の正の向きに進んでいます。そこで、図の波形（実線）を少しだけ右にずらした、微小時間後の波形（破線）を描き加えます。（模範解答の解説中の図を参照）

この微小時間後の波形を見ると、点O（\(x=0\)）の位置において、媒質の変位は実線の \(y=0\) から、破線の正の値へと変化しています。
したがって、点Oの媒質は、この瞬間、y軸の正の向きに動いていることがわかります。

（作図による判断のため、計算過程はありません）

波が、まるでパラパラ漫画のように少しだけ右に動いた瞬間を想像してみましょう。点Oにいた人は、これから山がやってくるので、上に動くはずです。したがって、変位の向きはy軸の正の向きです。

作図により、点Oの変位の向きはy軸の正の向きであると判断できました。

問(2)

思考の道筋とポイント
媒質の各点は単振動をしています。単振動における速度の性質を思い出せば、速度が0になる点と最大になる点を特定できます。ブランコの動きをイメージすると分かりやすいでしょう。速度の向きは(1)と同様に判断します。
この設問における重要なポイント

• 速度が0になる点: 単振動の折り返し点。つまり、変位が最大または最小になる点（山の頂点、谷の底）。
• 速度の大きさが最大になる点: 単振動の中心。つまり、変位が0になる点。
• 速度の向き: 微小時間後の波形を描いて判断する。

具体的な解説と立式

• 媒質の速度が0の点
  媒質の速度が0になるのは、変位が最大になるときです。グラフ上で変位が最大（山の頂点）または最小（谷の底）になっているのは、点aと点cです。
• y軸の負の向きの速度が最大の点
  まず、速度の大きさが最大になるのは、変位が0の点です。グラフ上で変位が0の点は、O, b, dです。
  次に、これらの点での速度の向きを調べます。(1)と同様に微小時間後の波形を描いて考えると、
  • 点O: (1)で求めた通り、y軸の正の向きに動く。
  • 点b: 微小時間後、変位は負の値になる。したがって、y軸の負の向きに動く。
  • 点d: 微小時間後、変位は正の値になる。したがって、y軸の正の向きに動く。

  以上から、y軸の負の向きに速度が最大になるのは、点bです。

（作図による判断のため、計算過程はありません）

媒質の動きをブランコに例えてみましょう。「速度が0の点」は、ブランコが一番高いところに来て一瞬止まる場所と同じで、波の山のてっぺん(c)と谷の底(a)です。「速度が最大の点」は、ブランコが真ん中を通過するときと同じで、変位が0の点(O, b, d)です。このうち、「y軸の負の向き（下向き）」に動くのはどれか、波を少し右にずらしたパラパラ漫画を考えると、点bがこれから谷に向かって下に動くタイミングであることがわかります。

単振動の性質と、微小時間後の波形を描く方法を組み合わせることで、各点の運動状態を正しく判断できました。

問(3)

思考の道筋とポイント
「位相」とは、波の振動サイクルの中での位置を表すものです。同位相の点は、山なら山、谷なら谷、といったように、全く同じ振動状態にある点のことを指します。逆位相の点は、一方が山のときに他方が谷になるような、正反対の振動状態にある点です。
この設問における重要なポイント

• 同位相: 2点間の距離が波長の整数倍（\(n\lambda\), \(n=1, 2, \dots\)）
• 逆位相: 2点間の距離が波長の半整数倍（\((n+1/2)\lambda\), \(n=0, 1, \dots\)）、つまり半波長の奇数倍。

具体的な解説と立式
グラフから、1波長の長さ \(\lambda\) は、Oからdまでの距離に相当します。また、半波長の長さ \(\lambda/2\) は、Oからbまでの距離に相当します。

• 点Oと同位相の点
  点Oから1波長分離れた点を探します。グラフから、点dがちょうど1波長分離れていることがわかります。
• 点Oと逆位相の点
  点Oから半波長分離れた点を探します。グラフから、点bがちょうど半波長分離れていることがわかります。

（計算はありません）

「同位相」の点とは、動きが完全にシンクロしている「双子の兄弟」のような点です。波の景色は1波長ごとに繰り返されるので、点Oの双子は1波長分離れた点dになります。「逆位相」の点とは、動きが常に正反対になる「あまのじゃく」のような点です。点Oが上に動くとき、半波長分離れた点bは下に動きます。なので、点Oのあまのじゃくは点bです。

位相の定義に基づき、同位相の点はd、逆位相の点はbと正しく判断できました。

問(4)

思考の道筋とポイント
y-tグラフは、ある特定の「場所」の媒質の時間変化を記録したものです。このグラフを描くためには、まずスタート地点である\(t=0\)での変位をプロットし、その次の瞬間に変位が増加するのか減少するのか（速度の向き）を判断する必要があります。
この設問における重要なポイント

• y-tグラフは、ある一点（この問題では点b）の振動の様子を表す。
• グラフの出発点: \(t=0\)における点bの変位をy-xグラフから読み取る。
• グラフの最初の傾き: \(t=0\)における点bの速度の向きで決まる。速度が正なら傾きは正（右上がり）、速度が負なら傾きは負（右下がり）。

具体的な解説と立式
1. \(t=0\)での変位を求める:
y-xグラフを見ると、\(t=0\)において点bの変位は \(y=0\) です。したがって、y-tグラフは原点(\(t=0, y=0\))から始まります。
2. \(t=0\)での速度の向きを求める:
(2)で調べたように、\(t=0\)において点bの媒質の速度はy軸の負の向きです。これは、時間が少し経つと、点bの変位yが負の値になることを意味します。
3. グラフを描く:
以上の情報から、y-tグラフは「原点から始まり、その後yが負になる」ような形になります。これは、マイナスのサインカーブ（\(-A\sin(\omega t)\)の形）です。グラフの縦軸の最大値・最小値は振幅\(A, -A\)で、横軸は1周期で元の状態に戻るので、\(t=T\)で1サイクルが完了します。

（作図のため、計算過程はありません）

点bにいる人の動きを、ストップウォッチを持って観察するイメージです。スタートの瞬間（\(t=0\)）、bさんはちょうど真ん中の高さ（変位0）にいます。そして、(2)で調べたように、bさんはその直後、下（y軸負の向き）に動き始めます。この動きをグラフにすると、原点からスタートして、まず下に下がっていくカーブが描けます。あとは、ブランコのように行ったり来たりする動きを続ければ、模範解答のようなグラフになります。

\(t=0\)での変位と速度の向きから、y-tグラフの概形を正しく決定できました。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• y-xグラフと媒質の単振動の対応関係
  • 核心: この問題の根幹は、波の一瞬を切り取った静的な写真である「y-xグラフ」から、各点にいる媒質がその場でどのような「単振動」をしているかという動的な情報を正確に読み解く能力です。グラフ上の位置と、単振動のサイクルにおける位置（変位、速度）を対応させることが全てです。
  • 理解のポイント:
    • 変位と速度の関係: 媒質の運動は単振動そのものです。したがって、単振動の基本性質である「変位が最大（振動の両端）で速度が0」「変位が0（振動の中心）で速度が最大」という関係がそのまま適用できます。グラフの山・谷が速度0の点、x軸との交点が速度最大の点に対応します。
    • 速度の向きの決定: 速度の大きさが分かっても、向き（上向きか下向きか）はy-xグラフ一枚だけでは分かりません。これを決定するのが「波の進行方向」の情報です。「微小時間後の波形を描く」という操作は、この進行方向の情報を利用して、未来を予測し、現在の速度の向きを特定するための、最も重要で普遍的な思考ツールです。
• 位相の物理的意味
  • 核心: 「位相」という言葉を、単に「波長\(\lambda\)の整数倍離れた点」といった幾何学的な定義だけでなく、「振動の状態（変位と速度の組み合わせ）が同じ点」という物理的な意味で理解しているかが問われます。
  • 理解のポイント:
    • 同位相: 2つの点が同位相であるとは、それらの点が全く同じタイミングで山になり、谷になり、中心を同じ向きに通過する、つまり完全に同じ単振動をしている状態を指します。
    • 逆位相: 逆位相とは、一方が山のときに他方が谷、一方が中心を上向きに通過するときに他方が中心を下向きに通過する、つまり完全に正反対の単振動をしている状態を指します。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • y-tグラフからy-xグラフを描く問題: ある点（例：\(x=0\)）の振動の様子を示すy-tグラフが与えられ、ある時刻（例：\(t=T/4\)）の波形（y-xグラフ）を描かせる問題。y-tグラフから周期\(T\)を読み取り、波の速さ\(v\)が分かっていれば波長\(\lambda=vT\)が求まります。あとは、\(t=T/4\)の瞬間に\(x=0\)の点がどの変位・速度を持つかを特定し、そこから波長\(\lambda\)の正弦波を描きます。
  • 波の式を求める問題: グラフから振幅\(A\)、波長\(\lambda\)、周期\(T\)を読み取り、波の進行方向を考慮して、\(y(x,t) = A\sin(2\pi(\frac{t}{T} – \frac{x}{\lambda}))\) のような波の式を完成させる問題。
  • 縦波の問題: 縦波の変位を横波表示したグラフでも、考え方は全く同じです。媒質の速度の向きは左右方向になりますが、「微小時間後の波形」を描いて判断する方法や、単振動の性質はそのまま使えます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まず波の進行方向を確認する: 媒質の速度の向きは、波が右に進むか左に進むかで全て逆になります。図の矢印や問題文の記述を絶対に見落とさないようにします。
  2. 媒質の速度を問われたら、2段階で考える:
     • Step 1 (大きさ): 単振動の性質から、速度が0になる点（山・谷）と最大になる点（変位0）をまず分類します。
     • Step 2 (向き): 速度が最大になる点について、「微小時間後の波形」を描いて、変位が次に正になるか負になるかを確認し、向きを決定します。
  3. 位相を問われたら、2つの視点で考える:
     • 視点1 (距離): 基準点から\(\lambda\), \(2\lambda\), …離れた点が同位相、\(\lambda/2\), \(3\lambda/2\), …離れた点が逆位相。
     • 視点2 (状態): 基準点と「変位と速度の向き」が両方とも同じ点が同位相、変位が同じで速度が逆（または変位が逆で速度も逆）の点が逆位相。両方で確認すると確実です。
  4. y-tグラフを描くときは、初期状態を特定する: グラフを描きたい点の\(t=0\)での「変位（y切片）」と「速度の向き（\(t=0\)での傾きの符号）」の2つの情報をy-xグラフから正確に読み取ることが出発点です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 波の進行方向と媒質の振動方向の混同:
  • 誤解: 波が右に進むので、点Oの媒質も右に動くと考えてしまう。
  • 対策: 「横波」という言葉の意味を再確認しましょう。「波の進行方向」と「媒質の振動方向」が「横（垂直）」になっている波のことです。媒質はあくまでその場で上下（または前後）にしか動きません。
• 変位が0の点の速度の向きの判断ミス:
  • 誤解: 点bは山の右側にあるから上向きに動く、などと直感で判断してしまう。
  • 対策: 直感は当てになりません。必ず「微小時間後の波形を描く」という機械的な手順を踏むか、別解で示した関係式 \(u_y = -v \frac{dy}{dx}\) を使うか、どちらかの論理的な方法で判断する癖をつけましょう。
• y-xグラフとy-tグラフの混同:
  • 誤解: y-xグラフ（波形）と、(4)で描くy-tグラフ（単振動のグラフ）が同じ形になると考えてしまう。
  • 対策: 2つのグラフは全くの別物です。y-xグラフは「空間の写真」、y-tグラフは「一点のビデオ記録」とイメージを分けましょう。(4)の別解で示したように、y-xグラフを逆向きにたどった形がy-tグラフになる（波が\(+x\)方向に進む場合）という関係性を知っておくと、混同を防げます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)(2)でのアプローチ選択（微小時間後の波形）:
  • 選定理由: 求めたいのは「媒質の変位の向き（速度の向き）」です。これは、その点の媒質が次の瞬間にどちらへ動くか、という未来予測の問題です。
  • 適用根拠: 波は形を保ったまま一定速度で進むため、「微小時間後の波形」は元の波形を少しだけ平行移動した形になります。ある特定のx座標に注目したとき、元の波形でのy座標と、微小時間後の波形でのy座標を比較すれば、その媒質の変位の時間変化（つまり速度の向き）が分かります。これは、速度の定義に最も忠実で、直感的なアプローチです。
• (2)でのアプローチ選択（単振動の性質）:
  • 選定理由: 求めたいのは「速度が0の点」と「速度が最大の点」です。波の媒質の運動は「単振動」そのものであるため、単振動の速度に関する性質を適用するのが最も直接的です。
  • 適用根拠: 単振動では、エネルギー保存則から、運動エネルギーが0になる点（=速度が0）が位置エネルギー最大の点（=変位が最大）、逆に運動エネルギーが最大になる点（=速度が最大）が位置エネルギー0の点（=変位が0）となります。この物理法則が適用根拠です。
• (3)でのアプローチ選択（位相と距離の関係）:
  • 選定理由: 求めたいのは「同位相」「逆位相」の点です。位相のずれは、2点間の経路差と波長の関係で定義されています。
  • 適用根拠: 波の変位を表す式 \(y(x) = A\sin(2\pi x/\lambda)\) を考えると、\(x\)が\(\lambda\)ずれると位相（sinの中身）が\(2\pi\)ずれ、\(x\)が\(\lambda/2\)ずれると位相が\(\pi\)ずれます。位相が\(2\pi\)ずれると全く同じ振動状態（同位相）、\(\pi\)ずれると正反対の振動状態（逆位相）になります。この数学的な事実が、距離で位相を判断する根拠となります。
• (4)でのアプローチ選択（初期状態からの作図）:
  • 選定理由: 求めたいのは、ある点の振動の様子を示す「y-tグラフ」です。関数のグラフを描くには、その関数の特徴（特定の点での値や傾き）を知る必要があります。
  • 適用根拠: y-tグラフにおいて、\(t=0\)での値は「初期変位」、\(t=0\)での傾きは「初速度」に対応します。これらの初期条件をy-xグラフから読み取り、媒質の運動が単振動（サインカーブ）であることを利用してグラフ全体を描くのは、運動のグラフを描く際の基本的な手順です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 作図は大きく、丁寧に:
  • (1)や(2)で「微小時間後の波形」を描く際は、元の波形とずれていることがはっきり分かるように、少し大胆にずらして描くと判断しやすくなります。また、元の図が小さい場合はノートに大きく描き写してから考えるのが有効です。
• 言葉の定義を正確に:
  • 「同位相」「逆位相」といった物理用語の定義（距離の関係、振動状態の関係）を曖昧にせず、正確に覚えておくことが、(3)のような問題を確実に解くための鍵です。
• グラフの軸を確認する:
  • (4)でy-tグラフを描く際に、横軸が\(x\)ではなく\(t\)であることを強く意識しましょう。横軸の目盛りも、\(T/2\)や\(T\)といった時間の単位で入れることを忘れないようにします。
• 結論の自己チェック:
  • 例えば(2)で「速度が最大の点」としてbを選んだ後、「bは変位が0だから、単振動の性質と合っているな」「微小時間後の波形を描くと、確かに下に動くから、負の向きで合っているな」というように、自分の答えが物理法則や作図結果と矛盾していないかを再確認する癖をつけると、ケアレスミスが大幅に減ります。

339 波のグラフ

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「y-tグラフから波の要素を読み取り、波形（y-xグラフ）を作成する」ことです。ある一点の振動の様子（時間の記録）から、空間全体に広がる波の形を復元するという、y-xグラフとy-tグラフの関係性を深く理解するための重要な問題です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
与えられたグラフは、原点(\(x=0\))という一点の振動の様子を時間の経過とともに記録したy-tグラフです。周期は、この点が1回分の完全な振動（例えば、0→谷→0→山→0）を終えるのにかかる時間です。
この設問における重要なポイント

• y-tグラフの横軸は時間 \(t\) を表す。
• 周期 \(T\) は、グラフの1つの繰り返しパターンの時間的な長さ。

具体的な解説と立式
図のグラフは、原点(\(x=0\))の媒質の変位の時間変化を示しています。
グラフを見ると、媒質は \(t=0\) で変位 \(0\) の状態から振動を始め、\(t=0.10\,\text{s}\) で変位が最小（谷）、\(t=0.20\,\text{s}\) で変位 \(0\)、\(t=0.30\,\text{s}\) で変位が最大（山）となり、\(t=0.40\,\text{s}\) で再び変位 \(0\) から下向きに動き出す元の状態に戻って、1サイクルの振動を終えています。
したがって、周期 \(T\) はグラフから直接読み取ることができ、
$$ T = 0.40\,\text{s} $$
となります。

（計算はありません）

グラフは、原点にいる人の上下運動をビデオで撮ったようなものです。「周期」とは、この人が1回「下がって、上がって、元の位置に戻ってくる」までにかかる時間のことです。グラフを見ると、ちょうど \(0.40\) 秒で1往復しているのがわかるので、周期は \(0.40\,\text{s}\) です。

y-tグラフから、周期は \(0.40\,\text{s}\) と読み取れました。

問(2)

思考の道筋とポイント
波の速さ \(v\)、周期 \(T\)、波長 \(\lambda\) の間には \(\lambda=vT\) という関係があります。これは、波が1周期の時間でちょうど1波長分進むことを意味します。問題文で \(v\) が与えられ、(1)で \(T\) が分かったので、掛け算するだけで波長 \(\lambda\) が求まります。
この設問における重要なポイント

• 波の基本式 \(\lambda = vT\) を正しく使えること。
• 与えられた数値と(1)で求めた値を正確に代入すること。

具体的な解説と立式
波の速さを \(v\)、周期を \(T\)、波長を \(\lambda\) とすると、これらの間には次の関係式が成り立ちます。
$$ \lambda = vT $$
ここに、問題文で与えられた \(v=4.0\,\text{m/s}\) と、(1)で求めた \(T=0.40\,\text{s}\) を代入します。

$$
\begin{aligned}
\lambda &= 4.0 \times 0.40 \\[2.0ex] &= 1.6\,\text{m}
\end{aligned}
$$

波は \(4.0\,\text{m/s}\) の速さで進みます。そして、波1個が作り出されるのにかかる時間（周期）は \(0.40\) 秒です。ということは、波1個の長さ（波長）は、「速さ \(\times\) 時間」で計算できるので、\(4.0 \times 0.40 = 1.6\,\text{m}\) となります。

計算により、波長は \(1.6\,\text{m}\) と求まりました。

問(3)

思考の道筋とポイント
\(t=0.60\,\text{s}\) の瞬間の波形（y-xグラフ）を描く問題です。波は原点(\(x=0\))で発生し、x軸の正の向きに広がっていきます。まず、この瞬間に波の最前線（先端）がどこまで到達しているかを計算します。次に、波の形を決定します。y-tグラフから、原点は \(t=0\) で下向きに振動を始めることがわかるので、波形は「谷」から始まる形になります。
この設問における重要なポイント

• 波の先端の位置は \(x = vt\) で計算できる。
• 波の形は、波源の振動の様子がそのまま伝わったものになる。
• 原点(\(x=0\))のy-tグラフで \(t=0\) の直後に変位が負になる \(\rightarrow\) 波形は谷から始まる。

具体的な解説と立式
1. 波の先端の位置を求める
振動が始まってから \(t=0.60\,\text{s}\) 経過しているので、波の先端が到達する位置 \(x_{\text{先端}}\) は、
$$
\begin{aligned}
x_{\text{先端}} &= v \times t \\[2.0ex] &= 4.0\,\text{m/s} \times 0.60\,\text{s} \\[2.0ex] &= 2.4\,\text{m}
\end{aligned}
$$
2. 波の形を決定する
与えられたy-tグラフを見ると、原点(\(x=0\))は \(t=0\) の直後、変位が負の向きに変化します。これは、波源が「谷」から振動を始めたことを意味します。したがって、空間に伝わる波形も、先端から「谷、0、山、0、…」と続く形になります。
3. 波形を描く
波長は \(\lambda=1.6\,\text{m}\) です。波の先端が \(x=2.4\,\text{m}\) で、そこから左に向かって谷、山と続く波形を描きます。

• 先端: \(x=2.4\,\text{m}\) (\(y=0\))
• 最初の谷: 先端から \(\lambda/4\) だけ手前。\(x = 2.4 – 1.6/4 = 2.0\,\text{m}\)
• 次の変位0の点: \(x = 2.0 – 1.6/4 = 1.6\,\text{m}\)
• 最初の山: \(x = 1.6 – 1.6/4 = 1.2\,\text{m}\)
• 次の変位0の点: \(x = 1.2 – 1.6/4 = 0.8\,\text{m}\)
• 2番目の谷: \(x = 0.8 – 1.6/4 = 0.4\,\text{m}\)
• 原点: \(x = 0.4 – 1.6/4 = 0\,\text{m}\)

これらの点を滑らかに結ぶと、求める波形が得られます。

（上記で計算済み）

まず、波がどこまで進んだかを計算します。速さ \(4.0\,\text{m/s}\) で \(0.60\) 秒間進むので、波の最前線は \(x = 4.0 \times 0.60 = 2.4\,\text{m}\) の位置にいます。次に、どんな形の波かを考えます。スタート地点の原点の動きを見ると、最初に下に動いて「谷」を作っています。なので、伝わっていく波も、先頭から谷、山、谷…と続く形になります。この情報を元に、先端が \(x=2.4\,\text{m}\) になるようにグラフを描けば完成です。

波の先端の位置と、波源の初期の動きから、\(t=0.60\,\text{s}\) の波形を正しく作図できました。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• y-tグラフとy-xグラフの相互変換
  • 核心: この問題の根幹は、物理的に全く異なる二つのグラフ、すなわち「ある一点の振動の記録（y-tグラフ）」と「ある一瞬の波全体の形（y-xグラフ）」の関係性を正しく理解し、一方の情報からもう一方を導出する能力です。
  • 理解のポイント:
    • 情報の橋渡し: y-tグラフからは周期\(T\)が、y-xグラフからは波長\(\lambda\)が直接読み取れます。この二つの世界を結びつけるのが、媒質の性質で決まる「波の速さ\(v\)」です。波の基本式（\(v=f\lambda\) や \(\lambda=vT\)）は、この二つのグラフの情報を相互に翻訳するための「辞書」の役割を果たします。
    • 波源の役割: y-tグラフは波源（または特定の点）の振動の歴史そのものです。y-xグラフ（波形）は、この波源の振動の歴史が、時間を空間に変換しながら伝わっていった結果として形成されます。特に、y-tグラフの\(t=0\)付近の振る舞い（最初にどちらに動くか）が、y-xグラフの波の先端の形（山から始まるか谷から始まるか）を決定します。
• 波の伝播の基本原理
  • 核心: 波は波源で発生し、形を保ったまま一定の速さ\(v\)で媒質中を伝わっていく、という基本的な物理モデルを理解していることが重要です。
  • 理解のポイント:
    • 波の先端: 振動が始まってから時間\(t\)が経過したとき、波が到達できる最も遠い点（波の先端）の位置は、単純な運動学の式 \(x=vt\) で与えられます。
    • 波形の平行移動: ある時刻の波形が分かっていれば、その後の任意の時刻の波形は、元の波形を \(x=vt\) だけ進行方向に平行移動させることで得られます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • y-xグラフからy-tグラフを描く問題: 前問（338番）がこのパターンです。ある時刻の波形（y-xグラフ）が与えられ、特定の点（例：\(x=x_1\)）の振動の様子（y-tグラフ）を描かせます。この場合、まず\(t=0\)での\(x_1\)の変位と、その直後の速度の向きをy-xグラフから読み取り、y-tグラフの初期状態を決定します。
  • 負の向きに進む波: 波がx軸の負の向きに進む場合も考え方は同じですが、y-xグラフからy-tグラフを描く際に「波の進行方向と逆向き（正の向き）にy-xグラフをたどった形」がy-tグラフになるなど、方向の扱いに注意が必要です。
  • 波の式を求める問題: y-tグラフから周期\(T\)（→角振動数\(\omega=2\pi/T\)）を、計算で求めた波長\(\lambda\)から波数\(k=2\pi/\lambda\)を求め、\(y(x,t) = A\sin(\omega t – kx + \phi)\) のような波の式を完成させる問題。初期位相\(\phi\)は、\(t=0, x=0\)での状態から決定します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まずグラフの種類を断定する: 横軸が\(t\)ならy-tグラフ、\(x\)ならy-xグラフです。これが全ての思考の出発点です。
  2. y-tグラフから読み取れる情報を全て抜き出す: 振幅\(A\)、周期\(T\)、そして最も重要な「\(t=0\)の直後の動き（変位の符号）」。
  3. 与えられた情報と基本式を組み合わせる: 問題文で与えられた速さ\(v\)と、グラフから読み取った周期\(T\)を使って、未知の量である波長\(\lambda\)を\(\lambda=vT\)から計算します。
  4. y-xグラフを描くときは、2つの要素を考える:
     • 波の範囲: 波の先端がどこまで進んでいるか (\(x=vt\))。
     • 波の形: 波源が最初にどう動いたか（y-tグラフの原点付近の形）で、波の先頭が山か谷かを判断する。
  5. 波の先端と原点の関係を意識する: 時刻\(t\)における波形（y-xグラフ）において、原点(\(x=0\))の変位は、y-tグラフの時刻\(t\)の値をそのままプロットしたものです。波の先端(\(x=vt\))の変位は、y-tグラフの\(t=0\)の値に対応します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• y-tグラフを波形そのものだと誤解する:
  • 誤解: 与えられたy-tグラフの形を、そのままy-xグラフとして描いてしまう。
  • 対策: 2つのグラフは全くの別物であることを常に意識しましょう。y-tグラフは「時間の波」、y-xグラフは「空間の波」です。y-tグラフはあくまで波を作る設計図（波源の動き）であり、そこから速さ\(v\)を使って空間に展開したものがy-xグラフ（波形）である、という関係を理解することが重要です。
• 波の始まる形（山か谷か）を間違える:
  • 誤解: y-tグラフの最初の山の形を見て、波形も山から始まると考えてしまう。
  • 対策: y-tグラフの\(t=0\)の点とその直後の傾きに注目する癖をつけましょう。この問題では、\(t=0\)で変位0、直後の傾きが負（下に動く）なので、波の先端は変位0で、そこから波源側（左側）に向かって谷が形成される形になります。
• 波の進行方向と作図方向を間違える:
  • 誤解: 波は右に進むのに、波形を描く際に左端から描き始めてしまう。
  • 対策: 波は原点から発生し、右に進みます。時刻\(t\)の波形は、\(x=0\)から\(x=vt\)までの区間に存在します。作図する際は、まず波の先端の位置\(x=vt\)を確定させ、そこから原点に向かって（左向きに）波源の過去の振動の形を描き写していく、と考えると間違いがありません。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)でのアプローチ選択（グラフの直接読解）:
  • 選定理由: 求めたいのは「周期」。与えられているのは、ある点の振動の時間変化を示す「y-tグラフ」。周期はy-tグラフにおける1サイクルの時間として定義されています。
  • 適用根拠: グラフの定義そのものから、値を直接読み取ることが最も合理的です。
• (2)での公式選択（\(\lambda=vT\)）:
  • 選定理由: 求めたいのは「波長\(\lambda\)」。既知の量は「速さ\(v\)」と「周期\(T\)」です。この3つの物理量を結びつけるのが波の基本式です。
  • 適用根拠: 波は「1周期\(T\)の時間で1波長\(\lambda\)の距離を進む」という定義から、\(\lambda = v \times T\)という関係が直接導かれます。既知の量から未知の量を求めるための、最も直接的な公式です。
• (3)でのアプローチ選択（先端位置の計算と波形の決定）:
  • 選定理由: 求めたいのは、ある時刻の「波形（y-xグラフ）」。波形を決定するには、「どこに存在するか（範囲）」と「どんな形か」の2つの情報が必要です。
  • 適用根拠:
    • 範囲の決定: 波は速さ\(v\)で伝播するので、時刻\(t\)での先端位置は\(x=vt\)で与えられます。これは運動学の基本です。
    • 形の決定: 波形は波源の振動が伝わったものです。したがって、波源の振動の様子を示すy-tグラフの形が、空間的な波の形を決定します。特に、y-tグラフの\(t=0\)からの動きが、波の先端付近の形に対応します。この因果関係を適用することで、正しい波形を描くことができます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• グラフの目盛りを正確に読む:
  • (1)で周期を読む際に、1サイクルがどこからどこまでかを正確に捉えましょう。0から0.40まで、あるいは谷から谷（0.10から0.50）までなど、複数の箇所で確認すると確実です。
• 小数点の計算を慎重に:
  • (2)の\(\lambda = 4.0 \times 0.40\)や、(3)の\(x = 4.0 \times 0.60\)など、小数を含む掛け算は暗算に頼らず、筆算などで丁寧に行いましょう。
• 波長の整数倍・半端倍の計算:
  • (3)の模範解答のように、経過時間\(t=0.60\,\text{s}\)が周期\(T=0.40\,\text{s}\)の何倍か（\(1.5\)倍）を計算し、波が\(1.5\)波長進んだと考える方法は、見通しが良く検算にもなります。\(1.5 \times \lambda = 1.5 \times 1.6 = 2.4\,\text{m}\)となり、先端位置の計算結果と一致することを確認できます。
• 作図の際のポイント:
  • (3)で作図する際は、まず先端の位置(\(x=2.4\))をプロットします。次に、そこから1波長分(\(1.6\,\text{m}\))手前の点(\(x=0.8\))も同じ変位(0)であることをプロットします。そして、その中間の点(\(x=1.6\))が変位0の点、さらにその中間の点(\(x=1.2\)と\(x=2.0\))がそれぞれ山と谷になる、というように、波長を基準に特徴的な点をプロットしてから滑らかに結ぶと、正確な波形が描けます。

ABOUT THE AUTHOR

共田 誠（まこと先生）

高校物理講師・プロ家庭教師 / 指導歴14年

上智大学理工学部物理学科卒。私立高校の非常勤講師として進学クラスから基礎クラスまで幅広く担当。大手家庭教師センター3社でプロ家庭教師を経験し、現在はオンライン専門で全国の高校生を個別指導中。

「暗記物理の撲滅」を掲げ、生徒の思考のクセを診断・矯正するドクター型アプローチで指導。表面的なテクニックではなく、初見の問題に強い思考力を育てる。

800+解説記事

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