プロセス
1 周期と振動数、角振動数
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「単振動の基本的な物理量である周期・振動数・角振動数の関係」です。それぞれの物理量の定義と相互関係を正しく理解しているかが問われます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 周期(\(T\))の定義: 物体が\(1\)回振動するのにかかる時間。単位は秒[\(\text{s}\)]。
- 振動数(\(f\))の定義: \(1\)秒あたりに物体が振動する回数。単位はヘルツ[\(\text{Hz}\)]。
- 角振動数(\(\omega\))の定義: 単振動を円運動に対応させたときの角速度に相当する量。単位はラジアン毎秒[\(\text{rad/s}\)]。
- 周期、振動数、角振動数の相互関係: \(f = \displaystyle\frac{1}{T}\), \(\omega = \displaystyle\frac{2\pi}{T} = 2\pi f\)。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- 与えられた周期 \(T\) の値を使って、振動数 \(f\) と周期 \(T\) の関係式 \(f = \displaystyle\frac{1}{T}\) から \(f\) を求める。
- 次に、周期 \(T\) と角振動数 \(\omega\) の関係式 \(\omega = \displaystyle\frac{2\pi}{T}\) から \(\omega\) を求める。
思考の道筋とポイント
単振動の周期、振動数、角振動数は、互いに密接に関連する基本的な物理量です。それぞれの言葉の定義を正確に理解し、それらを結びつける関係式を正しく適用することが、この問題を解くための鍵となります。特に、周期 \(T\) が「\(1\)回あたりの時間」であるのに対し、振動数 \(f\) は「\(1\)時間あたりの回数」であるため、互いに逆数の関係にあるということを直感的に理解しておくことが重要です。
この設問における重要なポイント
- 周期 \(T\) [\(\text{s}\)]: \(1\)回の振動にかかる時間。
- 振動数 \(f\) [\(\text{Hz}\)]: \(1\)秒あたりの振動回数。周期とは \(f = \displaystyle\frac{1}{T}\) の関係があります。
- 角振動数 \(\omega\) [\(\text{rad/s}\)]: 位相の変化の速さを表します。\(1\)周期 \(T\) の間に位相が \(2\pi\) ラジアン進むことから、\(\omega = \displaystyle\frac{2\pi}{T}\) という関係が導かれます。
- また、上の\(2\)つの式から、\(\omega = 2\pi f\) という関係も成り立ちます。
具体的な解説と立式
この問題では、単振動の周期 \(T\) が \(0.25 \, \text{s}\) であると与えられています。この情報から、振動数 \(f\) と角振動数 \(\omega\) を求めます。
1. 振動数 \(f\) の導出
振動数 \(f\) は、\(1\)秒あたりの振動回数を表し、周期 \(T\)（\(1\)回の振動にかかる時間）の逆数として定義されます。したがって、以下の関係式が成り立ちます。
$$f = \frac{1}{T}$$
2. 角振動数 \(\omega\) の導出
角振動数 \(\omega\) は、単振動に対応する等速円運動の角速度であり、\(1\)周期 \(T\) の間に位相が \(2\pi\) ラジアンだけ変化することから、次のように定義されます。
$$\omega = \frac{2\pi}{T}$$
また、\(f = \displaystyle\frac{1}{T}\) の関係を用いると、角振動数 \(\omega\) は振動数 \(f\) を用いて \(\omega = 2\pi f\) とも表せます。今回は周期 \(T\) が直接与えられているので、\(\omega = \displaystyle\frac{2\pi}{T}\) を用いて計算します。
使用した物理公式
- 振動数と周期の関係: \(f = \displaystyle\frac{1}{T}\)
- 角振動数と周期の関係: \(\omega = \displaystyle\frac{2\pi}{T}\)
与えられた周期 \(T = 0.25 \, \text{s}\) を用いて、振動数 \(f\) と角振動数 \(\omega\) を計算します。
1. 振動数 \(f\) の計算
「具体的な解説と立式」で立てた式に、\(T = 0.25 \, \text{s}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
f &= \frac{1}{T} \\[2.0ex]
&= \frac{1}{0.25} \\[2.0ex]
&= 4.0 \, [\text{Hz}]
\end{aligned}
$$
2. 角振動数 \(\omega\) の計算
同様に、角振動数の式に \(T = 0.25 \, \text{s}\) を代入します。円周率 \(\pi\) の値として、模範解答と同様に \(\pi \approx 3.14\) を用います。
$$
\begin{aligned}
\omega &= \frac{2\pi}{T} \\[2.0ex]
&= \frac{2 \times 3.14}{0.25} \\[2.0ex]
&= \frac{6.28}{0.25} \\[2.0ex]
&= 25.12 \, [\text{rad/s}]
\end{aligned}
$$
問題文で与えられた周期 \(0.25 \, \text{s}\) は有効数字が\(2\)桁です。したがって、計算結果も有効数字\(2\)桁に丸めるのが適切です。\(25.12\) の小数第\(1\)位を四捨五入すると、\(25\) となります。
よって、角振動数は \(\omega \approx 25 \, \text{rad/s}\) です。
単振動の言葉の意味を、身近な例で考えてみましょう。
まず「周期が \(0.25\) 秒」というのは、「物体が\(1\)回ブルブルッと震えるのに \(0.25\) 秒かかる」という意味です。
では、「振動数は？」と聞かれたら、それは「じゃあ、\(1\)秒間なら何回ブルブルできるの？」という質問です。\(1\)回に \(0.25\) 秒かかるので、\(1\)秒間では \(1 \div 0.25 = 4\) 回ブルブルできますね。これが振動数 \(4.0 \, \text{Hz}\) です。
次に「角振動数は？」というのは、少し専門的になりますが、「このブルブルを円を描く動きに例えたら、どれくらいの速さで回っていることになる？」という質問です。物理の世界では、\(1\)周を \(2\pi\) という角度で表します。\(1\)周するのに \(0.25\) 秒かかるので、\(1\)秒あたりに進む角度は \(2\pi \div 0.25 = 8\pi\) となります。\(\pi\) はおよそ \(3.14\) なので、\(8 \times 3.14 = 25.12\)。だいたい \(25\) という速さになります。これが角振動数 \(25 \, \text{rad/s}\) です。
2 単振動の式と物理量
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「単振動の変位を表す式から、その運動の特性（振幅、周期など）を読み取る」ことです。単振動の一般式と問題で与えられた式を比較することで、各物理量を特定します。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 単振動の変位の一般式: \(x = A \sin(\omega t + \phi)\) の意味を理解していること。
- 振幅(\(A\)): 振動の中心からの最大変位。式のどの部分に対応するかを把握していること。
- 角振動数(\(\omega\)): 位相の変化の速さ。式のどの部分に対応するかを把握していること。
- 周期(\(T\))、振動数(\(f\))、角振動数(\(\omega\))の相互関係式: \(T = \displaystyle\frac{2\pi}{\omega}\) および \(f = \displaystyle\frac{1}{T}\)。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- 与えられた単振動の式 \(x = 0.5 \sin \pi t\) を、単振動の一般式 \(x = A \sin \omega t\) と比較する。
- 式の係数を比べることで、振幅 \(A\) と角振動数 \(\omega\) の値を直接読み取る。
- 読み取った角振動数 \(\omega\) の値から、関係式 \(T = \displaystyle\frac{2\pi}{\omega}\) を用いて周期 \(T\) を計算する。
- 計算した周期 \(T\) の値から、関係式 \(f = \displaystyle\frac{1}{T}\) を用いて振動数 \(f\) を計算する。
思考の道筋とポイント
単振動の運動は、\(x = A \sin \omega t\) や \(x = A \cos \omega t\) のような三角関数で記述されます。この式の形から、運動の様子を具体的にイメージできるようになることが重要です。特に、式に含まれる \(A\) と \(\omega\) という2つのパラメータが、それぞれ運動の何を決定しているのかを理解することが鍵となります。\(A\) は振動の大きさ（振れ幅）を、\(\omega\) は振動の速さ（振動の細かさ）を決定します。問題の式と一般式を並べて、どの部分がどの物理量に対応するのかを丁寧に見比べることから始めましょう。
この設問における重要なポイント
- 単振動の一般式: \(x = A \sin(\omega t + \phi)\)
- \(A\): 振幅 (Amplitude)。\(\sin\) 関数の最大値が \(1\) なので、変位 \(x\) の最大値は \(A\) となります。
- \(\omega\): 角振動数 (Angular frequency)。振動の速さを表し、周期や振動数と密接に関係します。
- \(t\): 時刻 (time)。
- \(\phi\): 初期位相 (Initial phase)。時刻 \(t=0\) での振動の状態を決めます。
- 問題の式 \(x = 0.5 \sin \pi t\) は、初期位相 \(\phi=0\) の場合に相当します。
- \(\sin\) の前にかかっている係数が振幅 \(A\) です。
- 時刻 \(t\) の前にかかっている係数が角振動数 \(\omega\) です。
- 周期 \(T\) と角振動数 \(\omega\) の関係: \(T = \displaystyle\frac{2\pi}{\omega}\)
- 振動数 \(f\) と周期 \(T\) の関係: \(f = \displaystyle\frac{1}{T}\)
具体的な解説と立式
単振動の変位 \(x\) を表す一般式は、振幅を \(A\)、角振動数を \(\omega\) とすると、\(x = A \sin \omega t\) と書けます（時刻 \(t=0\) で原点 \(x=0\) を正の向きに通過する場合）。
問題で与えられた式は \(x = 0.5 \sin \pi t\) です。
この2つの式を比較します。
$$x = A \sin \omega t$$
$$x = 0.5 \sin \pi t$$
式の形が全く同じであるため、係数を比較することで、振幅 \(A\) と角振動数 \(\omega\) が直ちに求まります。
- 振幅: \(A = 0.5 \, [\text{m}]\)
- 角振動数: \(\omega = \pi \, [\text{rad/s}]\)
次に、求めた角振動数 \(\omega\) を用いて周期 \(T\) を求めます。周期は、\(1\)回の振動にかかる時間であり、角振動数とは以下の関係があります。
$$T = \frac{2\pi}{\omega}$$
最後に、求めた周期 \(T\) を用いて振動数 \(f\) を求めます。振動数は、\(1\)秒あたりの振動回数であり、周期の逆数となります。
$$f = \frac{1}{T}$$
使用した物理公式
- 単振動の変位の式: \(x = A \sin \omega t\)
- 周期と角振動数の関係: \(T = \displaystyle\frac{2\pi}{\omega}\)
- 振動数と周期の関係: \(f = \displaystyle\frac{1}{T}\)
「具体的な解説と立式」で述べた方針に従って計算を進めます。
1. 振幅 \(A\) と角振動数 \(\omega\) の特定
\(x = 0.5 \sin \pi t\) と一般式 \(x = A \sin \omega t\) を比較して、
振幅 \(A = 0.5 \, [\text{m}]\)
角振動数 \(\omega = \pi \, [\text{rad/s}]\)
となります。
2. 周期 \(T\) の計算
公式 \(T = \displaystyle\frac{2\pi}{\omega}\) に、上で求めた \(\omega = \pi\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
T &= \frac{2\pi}{\omega} \\[2.0ex]
&= \frac{2\pi}{\pi} \\[2.0ex]
&= 2 \, [\text{s}]
\end{aligned}
$$
3. 振動数 \(f\) の計算
公式 \(f = \displaystyle\frac{1}{T}\) に、上で求めた \(T = 2 \, \text{s}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
f &= \frac{1}{T} \\[2.0ex]
&= \frac{1}{2} \\[2.0ex]
&= 0.5 \, [\text{Hz}]
\end{aligned}
$$
単振動の運動を表す式 \(x = 0.5 \sin \pi t\) は、いわば「運動の設計図」のようなものです。この設計図から、運動の具体的な特徴を読み解いていきます。
設計図の基本フォーマットは \(x = (\text{振幅}) \sin ((\text{角振動数}) \times t)\) です。
これと問題の式 \(x = 0.5 \sin (\pi \times t)\) を見比べると、パズルのように対応が分かります。
- 「振幅」は \(0.5 \, \text{m}\) です。これは、振動の中心から最大で \(0.5 \, \text{m}\) まで離れる、という意味です。
- 「角振動数」は \(\pi\) です。これは振動の速さを表す数字です。
- 「周期」は、この角振動数を使って計算します。「\(1\)往復にかかる時間」のことです。公式 \(T = 2\pi / \omega\) に \(\omega = \pi\) を入れると、\(T = 2\pi / \pi = 2\) 秒となります。
- 「振動数」は、「\(1\)秒間に何回往復するか」です。周期が \(2\) 秒（\(1\)往復に\(2\)秒かかる）なので、\(1\)秒間では半分の \(0.5\) 回往復することになります。これが振動数 \(0.5 \, \text{Hz}\) です。
3 単振動における物理量の最大・最小
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「単振動における各物理量（変位、速さ、加速度、復元力）がどの位置で最大・最小になるか」を定性的に理解することです。単振動の運動イメージや、関連する物理法則から考察します。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 単振動の基本的な運動イメージ: 振動の中心で最も速く、振動の端で一瞬静止することを理解している。
- 復元力の定義: 復元力 \(F\) は変位 \(x\) に比例し、向きが逆であること (\(F = -Kx\))。
- 運動方程式: 加速度 \(a\) は物体に働く力 \(F\) に比例すること (\(ma = F\))。
- 単振動における力学的エネルギー保存則: 運動エネルギーと（弾性）位置エネルギーの和が一定に保たれること。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (1) 速さ: ブランコの運動などをイメージし、どの位置で速さが \(0\) になり、どの位置で最大になるかを考える。または、力学的エネルギー保存則を用いて考察する。
- (2) 復元力の大きさ: 復元力の定義式 \(F = -Kx\) に着目し、力の大きさが変位の大きさに比例することから、最大・最小となる位置を特定する。
- (3) 加速度の大きさ: 運動方程式 \(ma = F\) に着目し、加速度の大きさが復元力の大きさに比例することから、(2)の結果を利用して最大・最小となる位置を特定する。
問(1) 速さ
思考の道筋とポイント
単振動する物体の速さが、振動のどの位置でどうなるかを考えます。最も直感的なのは、公園のブランコや振り子のような往復運動をイメージすることです。一番高い点（振動の端）では一瞬動きが止まり、一番低い点（振動の中心）を通過するときに最も速くなります。この直感的なイメージを、物理法則である「力学的エネルギー保存則」で裏付けることで、より深く理解することができます。
この設問における重要なポイント
- 振動の端 (点A, B): 運動の折り返し点。物体はここで一瞬だけ静止するため、速さは \(0\) となります。力学的には、運動エネルギーが \(0\) になり、位置エネルギーが最大になる点です。
- 振動の中心 (点O): 物体が最も速く通過する点。力学的には、位置エネルギーが \(0\)（基準）になり、蓄えられていたエネルギーがすべて運動エネルギーに変換されるため、速さが最大となります。
- 力学的エネルギー保存則: 単振動において、\((\text{運動エネルギー}) + (\text{位置エネルギー}) = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2 + \displaystyle\frac{1}{2}Kx^2 = \text{一定}\) が成り立ちます。
具体的な解説と立式
この問題は、物理的なイメージまたはエネルギー保存則から定性的に考察します。
アプローチ1：運動のイメージから考える
物体は点Aと点Bの間を往復運動します。点Aと点Bは運動の向きが変わる「折り返し点」です。向きを変えるためには、その瞬間に速さが \(0\) になる必要があります。したがって、速さが \(0\) となるのは点Aと点Bです。
一方、物体は振動の中心である点Oを通過するときに最も勢いがあります。これは、振動の端で蓄えられた位置エネルギーが、中心ですべて運動エネルギーに変わるためです。したがって、速さが最大となるのは点Oです。
アプローチ2：力学的エネルギー保存則から考える
単振動における力学的エネルギー \(E\) は、物体の質量を \(m\)、速さを \(v\)、ばね定数に相当する比例定数を \(K\)、変位を \(x\) として、
$$E = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}Kx^2$$
と表され、この値は常に一定です。
- 速さが \(0\) となる位置:
\(v=0\) のとき、運動エネルギーは \(0\) となります。エネルギー保存則から、このとき位置エネルギー \(\displaystyle\frac{1}{2}Kx^2\) が最大となる必要があります。位置エネルギーが最大になるのは、変位の大きさ \(|x|\) が最大となる振動の端、すなわち点Aと点Bです。 - 速さが最大となる位置:
速さ \(v\) が最大となるとき、運動エネルギー \(\displaystyle\frac{1}{2}mv^2\) は最大となります。エネルギー保存則から、このとき位置エネルギー \(\displaystyle\frac{1}{2}Kx^2\) が最小（\(0\)）となる必要があります。位置エネルギーが \(0\) になるのは、変位 \(x=0\) の振動の中心、すなわち点Oです。
使用した物理公式
- 単振動における力学的エネルギー保存則: \(E = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2 + \displaystyle\frac{1}{2}Kx^2 = \text{一定}\)
この設問は定性的な考察を問うものであり、具体的な計算過程はありません。上記の考察が解答プロセスとなります。
- 速さが \(0\) となる位置：点A, B
- 速さが最大となる位置：点O
公園のブランコを思い出してください。一番高いところまで上がると、一瞬止まってから反対側へ動き出しますよね。この「一瞬止まる場所」が、単振動の端である点Aと点Bにあたります。だから、速さは \(0\) です。
逆に、ブランコが一番低いところを通過するときが、一番スピードが出てスリルがあります。この「一番速い場所」が、振動の中心である点Oにあたります。だから、速さは最大になります。
問(2) 復元力の大きさ
思考の道筋とポイント
「復元力」とは、物体を振動の中心に引き戻そうとする力のことです。単振動では、この力の大きさは「中心からの距離（変位の大きさ）」に比例します。ばね振り子をイメージすると、ばねが自然長から最も伸びた（または縮んだ）ときに、元に戻ろうとする力が一番強くなるのと同じです。この関係を数式 \(F=-Kx\) から考えます。
この設問における重要なポイント
- 復元力の定義式: \(F = -Kx\)。ここで \(F\) は復元力、\(K\) は正の比例定数、\(x\) は振動の中心からの変位です。マイナス符号は、力の向きが変位の向きと常に逆（中心向き）であることを示します。
- 復元力の大きさ: 大きさだけを考えるので、絶対値をとって \(|F| = K|x|\) となります。つまり、力の大きさは変位の大きさ \(|x|\) に正比例します。
- 振動の中心 (点O): 変位 \(x=0\) なので、\(|F| = K \times 0 = 0\)。復元力の大きさは \(0\) です。
- 振動の端 (点A, B): 変位の大きさ \(|x|\) が最大なので、復元力の大きさ \(|F|\) も最大となります。
具体的な解説と立式
単振動を引き起こす復元力 \(F\) は、振動の中心からの変位 \(x\) を用いて \(F = -Kx\) と表されます。
この問題では「復元力の大きさ」を問われているので、力の向きは考えず、大きさ \(|F|\) に着目します。
$$|F| = |-Kx| = K|x|$$
この式は、復元力の大きさが、振動の中心からの距離 \(|x|\) に比例することを示しています。
- 復元力の大きさが \(0\) となる位置:
\(|F|=0\) となるのは、\(|x|=0\) のときです。これは振動の中心である点Oに他なりません。 - 復元力の大きさが最大となる位置:
\(|F|\) が最大となるのは、\(|x|\) が最大となるときです。これは物体が最も中心から離れた振動の端、すなわち点Aと点Bです。
使用した物理公式
- 復元力の定義式: \(F = -Kx\)
この設問は定性的な考察を問うものであり、具体的な計算過程はありません。上記の考察が解答プロセスとなります。
- 復元力の大きさが \(0\) となる位置：点O
- 復元力の大きさが最大となる位置：点A, B
ゴムひもの端におもりをつけて、びよんびよんと揺らすのを想像してみてください。
おもりがちょうど真ん中（点O）にあるとき、ゴムは自然な長さなので、どちらにも引っ張られません。つまり、力がかかっていないので、力の大きさは \(0\) です。
一方、おもりが一番端っこ（点Aや点B）まで来たとき、ゴムは最大限に伸びています。そのため、真ん中に戻ろうとする力が一番強くなります。これが、力の大きさが最大になる瞬間です。
問(3) 加速度の大きさ
思考の道筋とポイント
物体の「加速度」は、その物体に働く「力」によって生じます（運動方程式 \(ma=F\)）。したがって、加速度の性質は、力の性質と密接に関連しています。単振動の場合、物体に働く力は復元力だけです。そのため、加速度の大きさが最大・最小になる位置は、(2)で考えた復元力の大きさが最大・最小になる位置と完全に一致します。
この設問における重要なポイント
- 運動方程式: \(ma = F\)。加速度 \(a\) は力 \(F\) に比例し、質量 \(m\) に反比例します。
- 単振動の運動方程式: \(F\) に復元力 \(F=-Kx\) を代入すると、\(ma = -Kx\) となります。
- 加速度と変位の関係: 上の式を \(a\) について解くと、\(a = -\displaystyle\frac{K}{m}x\) となります。加速度は変位 \(x\) に比例し、向きは逆です。
- 加速度の大きさ: 大きさだけを考えると、\(|a| = \displaystyle\frac{K}{m}|x|\) となります。つまり、加速度の大きさは変位の大きさ \(|x|\) に正比例します。
具体的な解説と立式
物体の加速度 \(a\) は、ニュートンの運動方程式 \(ma=F\) に従います。単振動では、物体に働く力は復元力 \(F=-Kx\) のみです。
したがって、運動方程式は以下のようになります。
$$ma = -Kx$$
この式から、加速度 \(a\) は変位 \(x\) を用いて次のように表せます。
$$a = -\frac{K}{m}x$$
この問題では「加速度の大きさ」を問われているので、大きさ \(|a|\) に着目します。
$$|a| = \left|-\frac{K}{m}x\right| = \frac{K}{m}|x|$$
この式は、加速度の大きさが、振動の中心からの距離 \(|x|\) に比例することを示しています。この関係は、(2)で見た復元力の大きさと全く同じです。
- 加速度の大きさが \(0\) となる位置:
\(|a|=0\) となるのは、\(|x|=0\) のときです。これは振動の中心である点Oです。 - 加速度の大きさが最大となる位置:
\(|a|\) が最大となるのは、\(|x|\) が最大となるときです。これは振動の端である点Aと点Bです。
使用した物理公式
- 運動方程式: \(ma = F\)
- 単振動における加速度と変位の関係式: \(a = -\displaystyle\frac{K}{m}x\)
この設問は定性的な考察を問うものであり、具体的な計算過程はありません。上記の考察が解答プロセスとなります。
- 加速度の大きさが \(0\) となる位置：点O
- 加速度の大きさが最大となる位置：点A, B
「加速度」とは、簡単に言うと「速度をどれだけ変化させるか」という指標です。そして、速度を変化させる原因は「力」です。つまり、力が強いほど、加速度も大きくなります。
(2)で、力が一番強いのは端っこ（点A, B）で、力が \(0\) なのは真ん中（点O）だと分かりました。
したがって、加速度も全く同じになります。端っこ（点A, B）で最大になり、真ん中（点O）で \(0\) になります。
ここで注意したいのは、「真ん中（点O）では加速度が \(0\) なのに、速さは最大」という点です。これは、「真ん中を通過する一瞬だけは、速度が変化しない（最大のまま）」ということを意味しています。
4 ばね振り子の周期
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「ばね振り子の周期の計算」です。ばね定数とおもりの質量が与えられたときに、周期を求める公式を正しく適用できるかが問われます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- ばね振り子の周期の公式: \(T = 2\pi \sqrt{\displaystyle\frac{m}{k}}\) を正しく記憶していること。
- 単位の統一: 計算を行う前に、物理量をSI基本単位系（質量はkg、ばね定数はN/m）に揃えることの重要性。
- 物理計算における有効数字の扱い。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- 問題文で与えられた質量の単位をグラム(g)からキログラム(kg)に変換する。
- ばね振り子の周期の公式 \(T = 2\pi \sqrt{\displaystyle\frac{m}{k}}\) に、与えられたばね定数 \(k\) と質量 \(m\) の値を代入する。
- 計算結果を問題文の有効数字に合わせて整理する。
思考の道筋とポイント
ばね振り子の周期を求める問題は、公式を覚えていれば解ける典型的な問題です。しかし、単に公式を暗記するだけでなく、その公式が持つ物理的な意味を理解しておくことが応用力を高める上で重要です。周期の公式 \(T = 2\pi \sqrt{\displaystyle\frac{m}{k}}\) は、「おもりの質量 \(m\) が大きいほど周期は長く（動きがゆっくりに）なり、ばね定数 \(k\) が大きい（ばねが硬い）ほど周期は短く（動きが素早く）なる」ことを示しています。この直感的なイメージと公式を結びつけておきましょう。また、物理計算の基本として、計算前に単位をSI基本単位系に統一する習慣を身につけることが、ケアレスミスを防ぐ鍵となります。
この設問における重要なポイント
- ばね振り子の周期の公式: \(T = 2\pi \sqrt{\displaystyle\frac{m}{k}}\)
- \(T\): 周期 [\(\text{s}\)]
- \(m\): おもりの質量 [\(\text{kg}\)]
- \(k\): ばね定数 [\(\text{N/m}\)]
- 周期の性質: ばね振り子の周期は、振幅の大きさや重力加速度の大きさには依存しません。おもりを大きく引っ張っても小さく引っ張っても、\(1\)往復にかかる時間は同じです。
- 単位の統一: 物理の計算では、公式に値を代入する前に、すべての物理量をSI基本単位に変換するのが鉄則です。この問題では、質量をグラム[\(\text{g}\)]からキログラム[\(\text{kg}\)]に変換する必要があります。\(1 \, \text{kg} = 1000 \, \text{g}\) です。
具体的な解説と立式
この問題では、ばね定数 \(k\) とおもりの質量 \(m\) が与えられており、単振動の周期 \(T\) を求めます。
まず、与えられた物理量を整理し、単位をSI基本単位系に統一します。
- ばね定数: \(k = 2.5 \, \text{N/m}\)
- 質量: \(m = 100 \, \text{g}\)
質量をkgに変換します。
$$100 \, \text{g} = 0.100 \, \text{kg}$$
次に、ばね振り子の周期 \(T\) を求める公式を用います。
$$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$$
この式に、上で準備した \(k\) と \(m\) の値を代入することで、周期 \(T\) を計算できます。
使用した物理公式
- ばね振り子の周期の公式: \(T = 2\pi \sqrt{\displaystyle\frac{m}{k}}\)
「具体的な解説と立式」で立てた方針に従い、周期 \(T\) を計算します。
公式に \(m = 0.100 \, \text{kg}\), \(k = 2.5 \, \text{N/m}\) を代入します。円周率 \(\pi\) は \(3.14\) として計算します。
$$
\begin{aligned}
T &= 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \\[2.0ex]
&= 2 \times 3.14 \times \sqrt{\frac{0.100}{2.5}} \\[2.0ex]
&= 6.28 \times \sqrt{\frac{1}{25}} \\[2.0ex]
&= 6.28 \times \sqrt{\left(\frac{1}{5}\right)^2} \\[2.0ex]
&= 6.28 \times \frac{1}{5} \\[2.0ex]
&= 1.256 \, [\text{s}]
\end{aligned}
$$
問題文で与えられている数値 \(2.5 \, \text{N/m}\) は有効数字が\(2\)桁、\(100 \, \text{g}\) は有効数字が\(3\)桁（\(0.100 \, \text{kg}\) と考えられるため）です。計算結果は、有効数字の桁数が最も少ないものに合わせるのが原則なので、\(2\)桁に丸めます。
\(1.256\) の小数第\(2\)位の数字は \(5\) なので、これを四捨五入すると、小数第\(1\)位が繰り上がります。
したがって、周期 \(T\) は \(1.3 \, \text{s}\) となります。
ばねにおもりをぶら下げて、びよーんと揺らしたときに、「\(1\)往復するのに何秒かかりますか？」というのがこの問題です。
物理学には、この時間を計算するための便利な公式があります。それが \(T = 2\pi \sqrt{m/k}\) です。この公式は、「おもりが重い(\(m\))ほど時間は長くなり、ばねが硬い(\(k\))ほど時間は短くなる」という、直感的なイメージを数式にしたものです。
計算するときの注意点は一つだけ。公式で使う質量の単位は「kg」なので、問題の「\(100 \, \text{g}\)」を「\(0.100 \, \text{kg}\)」に直してから計算を始めます。
あとは、ばね定数 \(k=2.5\)、質量 \(m=0.100\) を公式に入れて計算するだけです。ルートの計算が少し面倒に見えますが、\(\sqrt{0.100/2.5} = \sqrt{1/25} = 1/5 = 0.2\) と簡単な分数になるので、落ち着いて計算すれば大丈夫です。
5 単振り子の周期
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「単振り子の周期の計算」です。糸の長さと重力加速度が与えられたときに、周期を求める公式を正しく適用できるかが問われます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 単振り子の周期の公式: \(T = 2\pi \sqrt{\displaystyle\frac{L}{g}}\) を正しく記憶していること。
- 周期が何に依存し、何に依存しないかの理解: 周期は糸の長さと重力加速度で決まり、おもりの質量や振幅にはよらないこと（振幅が小さい場合）。
- 「振れが小さいとき」という近似条件の意味。
- 物理計算における有効数字の扱い。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- 問題文で与えられた物理量（糸の長さ \(L\)、重力加速度 \(g\)）を確認する。
- 単振り子の周期の公式 \(T = 2\pi \sqrt{\displaystyle\frac{L}{g}}\) に、値を代入する。
- 計算結果を問題文の有効数字に合わせて整理する。
思考の道筋とポイント
単振り子の周期を求める問題も、ばね振り子と同様に公式を覚えていれば解ける典型問題です。ここでの重要なポイントは、周期の公式 \(T = 2\pi \sqrt{\displaystyle\frac{L}{g}}\) にはおもりの質量 \(m\) が含まれていないことです。つまり、単振り子の周期は、おもりの質量によらず、糸の長さ \(L\) とその場所の重力加速度 \(g\) だけで決まります。問題文に質量 \(100 \, \text{g}\) が書かれていますが、これは計算には使わない情報です。物理の問題では、このように不要な情報が含まれていることがあるため、どの物理量がどの公式で必要なのかを正しく理解しておくことが大切です。
この設問における重要なポイント
- 単振り子の周期の公式: \(T = 2\pi \sqrt{\displaystyle\frac{L}{g}}\) （ただし、振れ角が非常に小さい場合に成り立つ近似式）
- \(T\): 周期 [\(\text{s}\)]
- \(L\): 糸の長さ [\(\text{m}\)]
- \(g\): 重力加速度の大きさ [\(\text{m/s}^2\)]
- 周期の性質: 単振り子の周期は、糸の長さ \(L\) と重力加速度 \(g\) のみで決まります。振幅が十分に小さい範囲では、おもりの質量 \(m\) や振幅の大きさには依存しません。
- 「振れが小さいとき」という条件: この条件があることで、おもりの運動が単振動とみなすことができ、上記の周期の公式が適用可能になります。
具体的な解説と立式
この問題では、糸の長さ \(L\)、おもりの質量 \(m\)、重力加速度 \(g\) が与えられており、単振り子の周期 \(T\) を求めます。
まず、与えられた物理量を整理します。
- 糸の長さ: \(L = 0.20 \, \text{m}\)
- 重力加速度: \(g = 9.8 \, \text{m/s}^2\)
- 質量: \(m = 100 \, \text{g} = 0.100 \, \text{kg}\)
単振り子の周期は質量 \(m\) には依存しないため、計算には \(L\) と \(g\) の値のみを使用します。
単振り子の周期 \(T\) を求める公式は以下の通りです。
$$T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$$
この式に、\(L\) と \(g\) の値を代入することで、周期 \(T\) を計算できます。
使用した物理公式
- 単振り子の周期の公式: \(T = 2\pi \sqrt{\displaystyle\frac{L}{g}}\)
「具体的な解説と立式」で立てた方針に従い、周期 \(T\) を計算します。
公式に \(L = 0.20 \, \text{m}\), \(g = 9.8 \, \text{m/s}^2\) を代入します。円周率 \(\pi\) は \(3.14\) として計算します。
$$
\begin{aligned}
T &= 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \\[2.0ex]
&= 2 \times 3.14 \times \sqrt{\frac{0.20}{9.8}}
\end{aligned}
$$
ここで、ルートの中の計算を工夫します。
$$\frac{0.20}{9.8} = \frac{20}{980} = \frac{2}{98} = \frac{1}{49}$$
これを用いて計算を続けます。
$$
\begin{aligned}
T &= 2 \times 3.14 \times \sqrt{\frac{1}{49}} \\[2.0ex]
&= 6.28 \times \frac{1}{7} \\[2.0ex]
&\approx 0.8971… \, [\text{s}]
\end{aligned}
$$
問題文で与えられている数値 \(0.20 \, \text{m}\) と \(9.8 \, \text{m/s}^2\) は、どちらも有効数字が\(2\)桁です。したがって、計算結果も有効数字\(2\)桁に丸めます。
\(0.8971…\) の小数第\(3\)位の数字は \(7\) なので、これを四捨五入すると、小数第\(2\)位が繰り上がります。
したがって、周期 \(T\) は \(0.90 \, \text{s}\) となります。
公園にある大きな振り子時計や、ブランコをイメージしてください。これらが「\(1\)往復するのにかかる時間」を計算するのがこの問題です。
物理の世界では、この時間は「糸の長さ」と「その場所の重力」だけで決まることが分かっています。驚くことに、ぶら下がっているおもりの重さ（質量）は全く関係ありません。つまり、軽い人がブランコに乗っても、重い人が乗っても、\(1\)往復にかかる時間は同じなのです。
そのため、問題に「質量\(100 \, \text{g}\)」と書いてありますが、これは計算には使いません。
使うのは「糸の長さ \(L=0.20 \, \text{m}\)」と「重力加速度 \(g=9.8 \, \text{m/s}^2\)」だけです。これらを \(T = 2\pi \sqrt{L/g}\) という公式に入れると、答えが計算できます。
6 周期と重力加速度の関係
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「重力加速度が異なる環境における、単振り子とばね振り子の周期の変化」です。それぞれの周期の公式がどの物理量に依存しているかを理解することが鍵となります。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- ばね振り子の周期の公式: \(T = 2\pi \sqrt{\displaystyle\frac{m}{k}}\)
- 単振り子の周期の公式: \(T = 2\pi \sqrt{\displaystyle\frac{L}{g}}\)
- 各公式に含まれる物理量の意味の理解（周期が何に依存するか）。
- 地球と月では重力加速度 \(g\) の大きさが異なるという事実。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- ばね振り子の周期の公式を確認し、周期が重力加速度 \(g\) に依存するかどうかを判断する。
- 単振り子の周期の公式を確認し、周期が重力加速度 \(g\) に依存するかどうかを判断する。
- 上記の考察から、地球上と月面上で周期が変わらない方を選ぶ。
思考の道筋とポイント
この問題を解く核心は、「地球と月とで物理的に何が違うのか？」、そして「その違いが2種類の振り子の運動にどう影響するのか？」を考えることです。地球と月の最も大きな違いは、重力の強さ、すなわち重力加速度 \(g\) の大きさです。月面上の \(g\) は地球上の約 \(1/6\) です。
この違いを踏まえた上で、それぞれの振り子の周期の公式を見て、\(g\) が含まれているかどうかを確認します。公式に \(g\) が含まれていなければ、その振り子の周期は場所（重力）によらず一定であると言えます。
この設問における重要なポイント
- ばね振り子:
- 周期の公式: \(T_{\text{ばね}} = 2\pi \sqrt{\displaystyle\frac{m}{k}}\)
- 周期を決める要素: おもりの質量 \(m\) とばね定数 \(k\)。
- この公式には重力加速度 \(g\) が含まれていません。したがって、ばね振り子の周期は重力加速度の大きさに依存しません。
- 単振り子:
- 周期の公式: \(T_{\text{単}} = 2\pi \sqrt{\displaystyle\frac{L}{g}}\)
- 周期を決める要素: 糸の長さ \(L\) と重力加速度 \(g\)。
- この公式には重力加速度 \(g\) が分母に含まれています。したがって、単振り子の周期は重力加速度の大きさに依存します。
- 地球と月の比較:
- 月面の重力加速度 \(g_{\text{月}}\) は地球上の重力加速度 \(g_{\text{地球}}\) よりも小さいです (\(g_{\text{月}} \approx \displaystyle\frac{1}{6} g_{\text{地球}}\))。
具体的な解説と立式
この問題は、計算ではなく、物理法則の定性的な理解を問うものです。
1. ばね振り子の周期の考察
ばね振り子の周期は、公式 \(T_{\text{ばね}} = 2\pi \sqrt{\displaystyle\frac{m}{k}}\) で与えられます。
この式を構成する物理量は、おもりの質量 \(m\) とばね定数 \(k\) です。質量は物体固有の量であり、ばね定数はばね固有の量です。どちらも、測定する場所（地球か、月か、宇宙空間か）によって変化するものではありません。
式の中に重力加速度 \(g\) が含まれていないため、ばね振り子の周期は地球上と月面上で等しくなります。
2. 単振り子の周期の考察
単振り子の周期は、公式 \(T_{\text{単}} = 2\pi \sqrt{\displaystyle\frac{L}{g}}\) で与えられます。
この式には、分母に重力加速度 \(g\) が含まれています。これは、単振り子の復元力が重力に基づいているためです。
地球と月とでは重力加速度の大きさが異なり、\(g_{\text{地球}} > g_{\text{月}}\) です。
周期の公式から、周期 \(T\) は \(\sqrt{g}\) に反比例することがわかります。したがって、重力加速度 \(g\) が小さい月面上では、単振り子の周期は地球上よりも長くなります。
$$T_{\text{単, 月}} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{\text{月}}}} > 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{\text{地球}}}} = T_{\text{単, 地球}}$$
以上の考察から、地球上と月面上で周期が等しいのは、重力加速度 \(g\) の影響を受けない「ばね振り子」です。
使用した物理公式
- ばね振り子の周期: \(T = 2\pi \sqrt{\displaystyle\frac{m}{k}}\)
- 単振り子の周期: \(T = 2\pi \sqrt{\displaystyle\frac{L}{g}}\)
この問題には計算過程はありません。上記の概念的な比較そのものが解答プロセスとなります。
地球と月の最大の違いは「重力の強さ」です。月では物がふわふわ浮くように感じますよね。
ここで、2つの振り子が何によって動いているかを考えます。
「ばね振り子」は、ばねが伸びたり縮んだりする力（弾性力）で動いています。この力は、重力とは関係ありません。だから、重力が強い地球でも、弱い月でも、ばねの動きのペース（周期）は変わりません。
一方、「単振り子」（ブランコのようなもの）は、おもりを地球や月が引っ張る「重力」を使って揺れています。重力が弱い月では、おもりを引っ張る力が弱くなるので、動きがゆっくりになります。つまり、1往復にかかる時間（周期）が長くなります。
したがって、地球でも月でも周期が変わらないのは「ばね振り子」ということになります。
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