「センサー物理 3rd Edition」徹底解説！【Chapter 12】Step1 & 例題

Step1

1 空気中の音速

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「気温による音速の変化」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
音速を求める問題では、気温 \(t\) が与えられた場合、物理で頻出の近似公式を利用します。

1. 公式の確認: \(0 \, {}^\circ\text{C}\) のときの音速 \(331.5 \, \text{m/s}\) を基準とし、\(1 \, {}^\circ\text{C}\) 上昇するごとに \(0.6 \, \text{m/s}\) ずつ速くなるという関係式を思い出します。
2. 代入: 与えられた \(t = 20\) を式に代入します。
3. 計算: 小数の計算を正確に行います。

この設問における重要なポイント

• 定数の意味: 式中の \(331.5\) は \(0 \, {}^\circ\text{C}\) での音速、\(0.6\) は温度変化に対する補正係数です。
• 単位: 温度 \(t\) は絶対温度（ケルビン）ではなく、セルシウス温度（摂氏）を用います。

具体的な解説と立式
求める音速を \(V\) [\(\text{m/s}\)]、気温を \(t\) [\({}^\circ\text{C}\)] とします。
空気中の音速の公式は以下の通りです。
$$ V = 331.5 + 0.6t $$
問題文より、気温 \(t = 20 \, {}^\circ\text{C}\) です。これを上式に代入します。
$$ V = 331.5 + 0.6 \times 20 $$

代入した式を計算します。
$$
\begin{aligned}
V &= 331.5 + 0.6 \times 20 \\[2.0ex] &= 331.5 + 12.0 \\[2.0ex] &= 343.5
\end{aligned}
$$
したがって、音速は \(343.5 \, \text{m/s}\) です。

音は空気の粒（分子）が隣の粒を次々と押していくことで伝わります。
気温が高いと、空気の粒は熱エネルギーを持って活発に飛び回っています。粒の動きが速いと、隣の粒にぶつかって振動を伝えるのも速くなります。
具体的には、\(0 \, {}^\circ\text{C}\) のときは秒速約 \(331.5 \, \text{m}\) ですが、\(1 \, {}^\circ\text{C}\) 上がるごとに秒速 \(0.6 \, \text{m}\) ずつ速くなります。今回は \(20 \, {}^\circ\text{C}\) なので、\(0.6 \times 20 = 12 \, \text{m/s}\) だけ速くなっています。

2 音速と波長

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「可聴音の波長範囲の計算」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
「振動数の範囲」から「波長の範囲」を求める問題です。

1. 関係性の把握: \(v = f\lambda\) より \(\lambda = \frac{v}{f}\) です。分母の \(f\) が小さいほど \(\lambda\) は大きくなり、\(f\) が大きいほど \(\lambda\) は小さくなります。
2. 計算対象の特定:
   • 最も低い音（\(f_{\text{最小}} = 20 \, \text{Hz}\)） \(\rightarrow\) 最も長い波長 \(\lambda_{\text{最大}}\)
   • 最も高い音（\(f_{\text{最大}} = 2.0 \times 10^4 \, \text{Hz}\)） \(\rightarrow\) 最も短い波長 \(\lambda_{\text{最小}}\)
3. 有効数字: 問題文の数値（\(2.0 \times 10^4\), \(340\)）から、有効数字2桁で答えることを意識します。

この設問における重要なポイント

• 単位の確認: 振動数は \(\text{Hz}\)（\(1/\text{s}\)）、速さは \(\text{m/s}\) なので、計算結果の波長は \(\text{m}\) になります。
• 指数の扱い: \(2.0 \times 10^4\) のような指数表記の計算では、指数の法則に注意して計算します。

具体的な解説と立式
音速を \(v = 340 \, \text{m/s}\) とします。
可聴音の振動数範囲の下限を \(f_{\text{最小}} = 20 \, \text{Hz}\)、上限を \(f_{\text{最大}} = 2.0 \times 10^4 \, \text{Hz}\) とします。
求める波長の範囲を \(\lambda_{\text{最小}} \sim \lambda_{\text{最大}}\) とすると、波の基本公式 \(v = f\lambda\) より、以下の式が成り立ちます。

1. 最大波長 \(\lambda_{\text{最大}}\) の立式:
   $$ \lambda_{\text{最大}} = \frac{v}{f_{\text{最小}}} = \frac{340}{20} $$
2. 最小波長 \(\lambda_{\text{最小}}\) の立式:
   $$ \lambda_{\text{最小}} = \frac{v}{f_{\text{最大}}} = \frac{340}{2.0 \times 10^4} $$

1. 最大波長の計算:
   $$
   \begin{aligned}
   \lambda_{\text{最大}} &= \frac{340}{20} \\[2.0ex] &= 17 \, \text{m}
   \end{aligned}
   $$
2. 最小波長の計算:
   $$
   \begin{aligned}
   \lambda_{\text{最小}} &= \frac{340}{2.0 \times 10^4} \\[2.0ex] &= \frac{340}{20000} \\[2.0ex] &= \frac{3.4 \times 10^2}{2.0 \times 10^4} \\[2.0ex] &= 1.7 \times 10^{2-4} \\[2.0ex] &= 1.7 \times 10^{-2} \, \text{m}
   \end{aligned}
   $$

よって、求める波長の範囲は \(1.7 \times 10^{-2} \, \text{m}\) から \(17 \, \text{m}\) です。

音の高さ（振動数）と波の長さ（波長）はシーソーの関係にあります。
低い音（振動数が小さい）は、波長がとても長くなります。計算すると \(17 \, \text{m}\) にもなり、これは大型バスくらいの長さです。
高い音（振動数が大きい）は、波長がとても短くなります。計算すると \(1.7 \, \text{cm}\) （\(1.7 \times 10^{-2} \, \text{m}\)）くらいで、これは指の幅くらいの長さです。
人間は、この「バスの長さ」から「指の幅」までの波長の音を聞き取ることができるのです。

3 音の性質

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「音波の波動現象と振動現象の分類」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
物理用語の定義を正確に理解し、具体的な現象と結びつける力が問われます。

(1) 障害物の背後への音の伝播

• 状況: 目の前に大きな壁などの障害物があっても、その向こう側の音が聞こえる現象です。
• 考察: 波が障害物の端を通り抜ける際、その背後（影の部分）に回り込んで広がる現象を指します。
• 結論: これは「回折」の定義そのものです。音波は光波に比べて波長が長いため、日常的なサイズの障害物（建物や塀など）に対して顕著な回折を示します。

(2) 同じ振動数の音叉の共振

• 状況: 離れた場所にある2つの音叉の一方を鳴らすと、他方も自然に鳴り出す現象です。
• 考察: 物体にはそれぞれ振動しやすい特定の振動数（固有振動数）があります。外部から固有振動数と同じ振動数の波がやってくると、物体はエネルギーを効率よく吸収し、大きく振動し始めます。
• 結論: この現象を「共鳴」（または共振）と呼びます。

(3) 振動数がわずかに異なる音の干渉

• 状況: 2つの音を同時に鳴らすと、「ワーン、ワーン」と音が周期的に大きくなったり小さくなったりして聞こえる現象です。
• 考察: 振動数がわずかに異なる2つの波が重なり合うと、時間の経過とともに波の山と山が重なるタイミング（強め合い）と、山と谷が重なるタイミング（弱め合い）が交互に訪れます。これにより、音の大きさ（振幅）が時間的に変動します。
• 結論: この現象を「うなり」と呼びます。

(4) 壁による音の反射

• 状況: 舞台背面の壁によって、客席で音がよく聞こえるようになる現象です。
• 考察: 音源から後ろ向きに出た音が壁に当たり、向きを変えて客席側（前方向）へ進むことで、直接届く音と合わさり、音響エネルギーが有効に利用されます。波が進む媒体の端（境界面）で向きを変えて戻ってくる現象です。
• 結論: これは「反射」です。コンサートホールなどの音響設計では、反射板を利用して音を客席に均一に届ける工夫がなされています。

この設問における重要なポイント

• 回折と波長: 回折は、波長が障害物の大きさに比べて長いほど顕著に起こります。音が壁の裏まで聞こえるのは、音の波長（数cm〜数m）が壁のサイズに対して無視できない大きさだからです。
• うなりと干渉の違い: うなりは広い意味での「干渉」の一種ですが、特に「振動数が異なる」波が重なって「時間的に」強弱が生じる現象を指します。単に「干渉」と言う場合は、空間的な強弱の分布（干渉縞など）を指すことが多いです。

具体的な解説と立式
本問は用語選択問題であるため、数式による立式はありません。各現象の定義に基づき、以下のように判断します。

1. 「障害物の背後」に回り込む \(\rightarrow\) 回折
2. 「振動数が同じ」物体が振動し始める \(\rightarrow\) 共鳴
3. 「振動数が少しだけ異なる」音による周期的な強弱 \(\rightarrow\) うなり
4. 「壁」に当たって戻る（客席へ向かう） \(\rightarrow\) 反射

計算過程はありません。

• (1) 回折: 川の水が岩の後ろにも回り込んで流れるように、音も壁の後ろへ回り込みます。これのおかげで、姿が見えない人の声も聞くことができます。
• (2) 共鳴: ブランコを押すとき、揺れるタイミングに合わせて押すと大きく揺れますね。これと同じで、音叉の好きなリズム（振動数）と同じリズムの音が来ると、勝手に揺れ出します。
• (3) うなり: 2人の人が微妙に違うペースで歩いていると、足音が揃ったりバラバラになったりを繰り返します。音でも同じことが起き、音が大きくなったり小さくなったりします。
• (4) 反射: やまびこのように、音は壁に当たって跳ね返ります。ホールの壁はこの跳ね返りを利用して、声を遠くまで届ける役割をしています。

4 音波の干渉

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「2つの音源からの波の干渉」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
干渉の問題では、まず「音源の位相」を確認します。問題文に「同位相」とあるので、上記の標準的な干渉条件がそのまま使えます。

1. 経路差の計算: \(AO\) と \(BO\) の差の絶対値を求めます。
2. 条件判定: 求めた経路差を波長で割り、その値が整数になるか、\(x.5\) になるかを調べます。

この設問における重要なポイント

• 同位相: 2つの音源が同時に山を出し、同時に谷を出す状態です。
• 半波長の奇数倍: 模範解答にあるこの表現は、「波長の \((m + 0.5)\) 倍」と同じ意味です。例えば半波長 \(\frac{\lambda}{2}\) の \(1\) 倍、\(3\) 倍、\(5\) 倍 \(\dots\) は、波長 \(\lambda\) の \(0.5\) 倍、\(1.5\) 倍、\(2.5\) 倍 \(\dots\) に対応します。

具体的な解説と立式
音源Aから点Oまでの距離を \(L_A\)、音源Bから点Oまでの距離を \(L_B\) とします。
問題文より、以下の値が与えられています。
$$ L_A = 10.0 \, \text{m}, \quad L_B = 7.0 \, \text{m}, \quad \lambda = 2.0 \, \text{m} $$
経路差 \(\Delta L\) を立式します。
$$ \Delta L = |L_A – L_B| $$
この \(\Delta L\) が波長 \(\lambda\) の何倍かを調べるため、比 \(k\) を計算する式を立てます。
$$ k = \frac{\Delta L}{\lambda} $$

まず、経路差 \(\Delta L\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
\Delta L &= |10.0 – 7.0| \\[2.0ex] &= 3.0 \, \text{m}
\end{aligned}
$$
次に、この経路差が波長 \(\lambda = 2.0 \, \text{m}\) の何倍かを計算します。
$$
\begin{aligned}
k &= \frac{3.0}{2.0} \\[2.0ex] &= 1.5
\end{aligned}
$$
結果が \(1.5\) となったので、経路差は波長の \(1.5\) 倍です。
これを式で表すと以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
\Delta L &= 1.5 \lambda \\[2.0ex] &= (1 + 0.5)\lambda
\end{aligned}
$$
これは弱め合いの条件 \((m + 0.5)\lambda\) を満たしています（\(m=1\) の場合）。
また、模範解答のように「半波長 \(\frac{\lambda}{2}\)」を用いて表現すると以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
\Delta L &= 3.0 \\[2.0ex] &= 3 \times 1.0 \\[2.0ex] &= 3 \times \frac{2.0}{2} \\[2.0ex] &= 3 \times \frac{\lambda}{2}
\end{aligned}
$$
これは半波長の奇数（\(3\)）倍であることを示しています。
したがって、音は弱め合い、小さく聞こえます。

Aからの音とBからの音がO地点で出会うとき、「山と山」がぴったり合えば音は大きくなりますが、「山と谷」が重なると打ち消し合って音は小さくなります。
AとBからの距離の差は \(3.0 \, \text{m}\) です。
音の波長（波1つ分の長さ）は \(2.0 \, \text{m}\) なので、\(3.0 \, \text{m}\) の差というのは「波 \(1.5\) 個分」のズレになります。
「波 \(1\) 個分」のズレなら山と山が重なりますが、さらに「\(0.5\) 個分（半分）」ズレているので、ちょうど山と谷が重なってしまいます。だから音は小さく聞こえます。

5 クインケ管

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「クインケ管を用いた音波の干渉」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
クインケ管の問題では、「管を動かした距離」と「実際の経路差」の違いに注意が必要です。

1. 経路差の変化: C側の管を \(10 \, \text{cm}\) 動かすと、音波はC側を往復して通るため、経路は \(10 \times 2 = 20 \, \text{cm}\) だけ伸びます。
2. 干渉条件の変化: 「音が小さくなった」状態から、次にまた「音が小さくなった」状態になるまでの変化は、位相が \(2\pi\)（1周期分）回ったことを意味します。つまり、経路差が波長 \(\lambda\) 分だけ変化したということです。
3. 波長の特定: したがって、経路差の変化分 \(20 \, \text{cm}\) がそのまま波長 \(\lambda\) になります。

この設問における重要なポイント

• 「動かすごとに」の意味: これは周期的な変化を指しています。ある弱め合いの点から次の弱め合いの点までの間隔は、波長 \(\lambda\) に相当する経路差の変化に対応します。
• 単位の変換: 波長は \(\text{cm}\) で問われていますが、振動数の計算では音速が \(\text{m/s}\) なので、波長を \(\text{m}\) に換算する必要があります。

具体的な解説と立式

(1) 音の波長
管を動かした距離を \(\Delta x = 10 \, \text{cm}\) とします。
このとき、経路差の変化 \(\Delta L\) は往復分となるため、以下のようになります。
$$ \Delta L = 2 \Delta x $$
「\(10 \, \text{cm}\) 動かすごとに音が小さくなった」ということは、この経路差の変化 \(\Delta L\) が波長 \(\lambda\) に等しいことを意味します。（弱め合いから次の弱め合いまでの経路差の変化は \(\lambda\) です）
$$ \lambda = \Delta L $$

(2) 音の振動数
音速を \(V = 340 \, \text{m/s}\)、求めた波長を \(\lambda\)（\(\text{m}\)単位）、振動数を \(f\) とします。
波の基本公式 \(V = f\lambda\) より、振動数 \(f\) を求める式を立てます。
$$ f = \frac{V}{\lambda} $$

(1) 音の波長
経路差の変化を計算します。
$$
\begin{aligned}
\Delta L &= 2 \times 10 \\[2.0ex] &= 20 \, \text{cm}
\end{aligned}
$$
これが波長 \(\lambda\) となるので、
$$ \lambda = 20 \, \text{cm} $$

(2) 音の振動数
まず、波長をメートル単位に換算します。
$$
\begin{aligned}
\lambda &= 20 \, \text{cm} \\[2.0ex] &= 0.20 \, \text{m}
\end{aligned}
$$
これを波の基本公式に代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
f &= \frac{340}{0.20} \\[2.0ex] &= \frac{3400}{2} \\[2.0ex] &= 1700
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で表記します。
$$
\begin{aligned}
f &= 1.7 \times 10^3 \, \text{Hz}
\end{aligned}
$$

クインケ管は、音の通り道を2つに分けて、片方を遠回りさせる装置です。
U字管を \(10 \, \text{cm}\) 引っ張ると、音は「行き」と「帰り」で合計 \(20 \, \text{cm}\) 余分に走ることになります。
この \(20 \, \text{cm}\) 伸びるたびに「音が小さくなる」現象が繰り返されるということは、この \(20 \, \text{cm}\) がちょうど音の波1つ分の長さ（波長）になっているということです。
波長が分かれば、あとは「速さ \(\div\) 波長」で振動数（音の高さ）が計算できます。

6 音源が動く場合のドップラー効果

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「音源が移動する場合のドップラー効果による波長の変化」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
ドップラー効果の問題では、公式を丸暗記するだけでなく、「なぜ波長が変わるのか」というイメージを持つことが重要です。

1. 前方の波長: 音源が音を追いかけるように進むため、波と波の間隔が狭くなります。つまり、音速 \(V\) から音源の速さ \(v_s\) を引いた「見かけの速さ」を振動数 \(f\) で割る形になります。
2. 後方の波長: 音源が音から逃げるように進むため、波と波の間隔が広がります。こちらは音速 \(V\) に音源の速さ \(v_s\) を足したものを振動数 \(f\) で割る形になります。

この設問における重要なポイント

• 符号の扱い: 公式 \(\lambda’ = \frac{V – v_s}{f}\) において、\(v_s\) は「観測者に近づく向き」を正とします。後方の場合、音源は観測者から遠ざかるため、\(v_s\) にマイナスの値（\(-20\)）を代入すると考えると、統一的に理解できます。
• 有効数字: 問題文の数値（\(20\), \(640\), \(340\)）から、有効数字3桁で答えることが求められています。

具体的な解説と立式
音速を \(V = 340 \, \text{m/s}\)、音源（自動車）の速さを \(v_s = 20 \, \text{m/s}\)、振動数を \(f = 640 \, \text{Hz}\) とします。

(1) 前方での波長 \(\lambda_1\)
音源が進行方向（前方）に進むとき、波長は短くなります。
$$ \lambda_1 = \frac{V – v_s}{f} $$
これに値を代入します。
$$ \lambda_1 = \frac{340 – 20}{640} $$

(2) 後方での波長 \(\lambda_2\)
音源が進行方向と逆（後方）に進むとき、波長は長くなります。
$$ \lambda_2 = \frac{V + v_s}{f} $$
これに値を代入します。
$$ \lambda_2 = \frac{340 + 20}{640} $$

(1) 前方での波長
$$
\begin{aligned}
\lambda_1 &= \frac{340 – 20}{640} \\[2.0ex] &= \frac{320}{640} \\[2.0ex] &= 0.500 \, \text{m}
\end{aligned}
$$
有効数字3桁で答えるため、\(0.5\) ではなく \(0.500\) とします。

(2) 後方での波長
$$
\begin{aligned}
\lambda_2 &= \frac{340 + 20}{640} \\[2.0ex] &= \frac{360}{640} \\[2.0ex] &= \frac{36}{64} \\[2.0ex] &= \frac{9}{16} \\[2.0ex] &= 0.5625
\end{aligned}
$$
有効数字3桁で答えるため、小数第4位を四捨五入します。
$$ \lambda_2 \approx 0.563 \, \text{m} $$

救急車が近づいてくるとき、音が高く聞こえますよね。これは、救急車が音を出しながら進むことで、前のめりに音の波を押し縮めているからです。波が縮む（波長が短くなる）と、音は高く聞こえます。
逆に、通り過ぎた後は音が低く聞こえます。これは、救急車が音を置き去りにするように進むため、波が引き伸ばされて間隔が広がるからです。波が伸びる（波長が長くなる）と、音は低く聞こえます。
この問題では、その「縮んだ波長」と「伸びた波長」を具体的に計算しています。

7 音源が動く場合のドップラー効果

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「音源が移動する場合のドップラー効果による振動数の変化」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
ドップラー効果の振動数の変化は、波長の変化の結果として理解できます。

1. 前方: 音源が近づくため、波長が短くなります。波の速さ（音速）は変わらないので、波長が短くなった分、1秒間に耳に届く波の数（振動数）は増えます（音が高くなる）。
2. 後方: 音源が遠ざかるため、波長が長くなります。同様に、波長が長くなった分、振動数は減ります（音が低くなる）。

この設問における重要なポイント

• 公式の選択: 前問で波長を求めている場合は \(f = V/\lambda\) を使っても良いですが、ここではドップラー効果の公式を直接使って解く方法をメインとします。これにより、前問の計算結果に依存せず、独立して正解を導けます。
• 有効数字: 問題文の数値（\(20\), \(640\), \(340\)）から、有効数字3桁で答えることが求められています。

具体的な解説と立式
音速を \(V = 340 \, \text{m/s}\)、音源（自動車）の速さを \(v_s = 20 \, \text{m/s}\)、元の振動数を \(f_0 = 640 \, \text{Hz}\) とします。

(1) 前方での振動数 \(f\)
音源が観測者に近づく場合、分母が小さくなる（\(V – v_s\)）ことで振動数は大きくなります。
$$ f = \frac{V}{V – v_s} f_0 $$
これに値を代入します。
$$ f = \frac{340}{340 – 20} \times 640 $$

(2) 後方での振動数 \(f’\)
音源が観測者から遠ざかる場合、分母が大きくなる（\(V + v_s\)）ことで振動数は小さくなります。
$$ f’ = \frac{V}{V + v_s} f_0 $$
これに値を代入します。
$$ f’ = \frac{340}{340 + 20} \times 640 $$

(1) 前方での振動数
$$
\begin{aligned}
f &= \frac{340}{340 – 20} \times 640 \\[2.0ex] &= \frac{340}{320} \times 640 \\[2.0ex] &= 340 \times \frac{640}{320} \\[2.0ex] &= 340 \times 2 \\[2.0ex] &= 680 \, \text{Hz}
\end{aligned}
$$

(2) 後方での振動数
$$
\begin{aligned}
f’ &= \frac{340}{340 + 20} \times 640 \\[2.0ex] &= \frac{340}{360} \times 640 \\[2.0ex] &= \frac{34}{36} \times 640 \\[2.0ex] &= \frac{17}{18} \times 640 \\[2.0ex] &= \frac{10880}{18} \\[2.0ex] &= 604.44\dots
\end{aligned}
$$
有効数字3桁で答えるため、小数第1位を四捨五入します。
$$ f’ \approx 604 \, \text{Hz} $$

救急車が近づいてくるときは「ピーポー」の音が高く聞こえ、通り過ぎると低く聞こえます。
近づくときは、音の波がギュッと縮められて耳に届くので、1秒間に鼓膜を叩く回数（振動数）が増えます。計算すると、元の \(640 \, \text{Hz}\) が \(680 \, \text{Hz}\) にアップします。
遠ざかるときは、音の波が引き伸ばされて届くので、鼓膜を叩く回数が減ります。計算すると、\(640 \, \text{Hz}\) が約 \(604 \, \text{Hz}\) にダウンします。

8 観測者が動く場合のドップラー効果

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「観測者が移動する場合のドップラー効果」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
音源が動く場合と異なり、観測者が動く場合は「波長」は変化しません。変化するのは「観測者が受け取る波の速さ（相対速度）」です。

1. 波長の変化なし: 音源は静止しているため、空間に広がる波の波長 \(\lambda\) は一定（\(\lambda = V/f_0\)）です。
2. 相対速度の変化: 観測者が音から逃げるように動くため、観測者に対する音の相対速度は \(V – v_o\) となり、遅くなります。
3. 振動数の変化: 相対速度が小さくなるため、単位時間に観測者を通過する波の数が減り、振動数は小さくなります（音が低くなる）。

この設問における重要なポイント

• 公式の分子・分母: 観測者の移動は「分子」に影響します（音源の移動は「分母」）。
• 符号の選択: 遠ざかる場合は、相対速度が小さくなるので「マイナス」を選びます。

具体的な解説と立式
音速を \(V = 340 \, \text{m/s}\)、観測者の速さを \(v_o = 10 \, \text{m/s}\)、音源の振動数を \(f_0 = 680 \, \text{Hz}\) とします。
観測者が音源から遠ざかるため、ドップラー効果の公式は以下のようになります。
$$ f = \frac{V – v_o}{V} f_0 $$
これに値を代入します。
$$ f = \frac{340 – 10}{340} \times 680 $$

代入した式を計算します。
$$
\begin{aligned}
f &= \frac{340 – 10}{340} \times 680 \\[2.0ex] &= \frac{330}{340} \times 680 \\[2.0ex] &= 330 \times \frac{680}{340} \\[2.0ex] &= 330 \times 2 \\[2.0ex] &= 660
\end{aligned}
$$
したがって、観測される振動数は \(660 \, \text{Hz}\) です。

音源は止まっているので、空気中の波の形（波長）は変わりません。
しかし、あなたが音から逃げるように走っているため、音の波があなたに追いつくのが少し遅くなります。
具体的には、音速 \(340 \, \text{m/s}\) からあなたの速さ \(10 \, \text{m/s}\) を引いた \(330 \, \text{m/s}\) の速さで波がやってくるように感じます。
波のやってくるスピードが落ちた分だけ、1秒間に耳に届く波の数も減り、音は低く聞こえます。

例題

例題27 音波の屈折

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「波の屈折と波長の変化」です。音が空気中から水中へ進むときのように、異なる媒質へ波が伝わるときに、速さ、振動数、波長がどのように振る舞うかを理解することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

波長の計算と波面の選択

思考の道筋とポイント
この問題で最も重要なのは、「媒質が変わっても振動数 \(f\) は変化しない」という物理法則です。音源が \(1\) 秒間に \(680\) 回振動していれば、空気中の分子も、海水中の分子も、同じく \(1\) 秒間に \(680\) 回振動します。この共通の \(f\) と、それぞれの媒質での音速 \(v\) を使って、波長 \(\lambda\) を求めます。
この設問における重要なポイント

• 振動数 \(f = 680\,\text{Hz}\) は、空気中でも海水中でも一定である。
• 空気中の音速 \(v_1 = 340\,\text{m/s}\)。
• 海水中の音速 \(v_2 = 1530\,\text{m/s}\)。
• 波面の間隔は波長 \(\lambda\) を表している。

具体的な解説と立式
まず、波の基本公式 \(v = f\lambda\) を波長 \(\lambda\) について解いた形に変形します。
$$ \lambda = \frac{v}{f} $$
空気中の波長を \(\lambda_1\)、海水中の波長を \(\lambda_2\) とします。振動数 \(f\) は共通なので、それぞれの媒質について以下の式が成り立ちます。

空気中について：
$$ \lambda_1 = \frac{v_1}{f} $$
海水中について：
$$ \lambda_2 = \frac{v_2}{f} $$

与えられた数値を代入して計算します。

空気中の波長 \(\lambda_1\) の計算：
$$
\begin{aligned}
\lambda_1 &= \frac{340}{680} \\[2.0ex] &= \frac{1}{2} \\[2.0ex] &= 0.500\,\text{m}
\end{aligned}
$$
有効数字3桁で答えるため、\(0.500\,\text{m}\) とします。

海水中の波長 \(\lambda_2\) の計算：
$$
\begin{aligned}
\lambda_2 &= \frac{1530}{680} \\[2.0ex] &= \frac{153}{68} \\[2.0ex] &= 2.25\,\text{m}
\end{aligned}
$$
こちらは割り切れて \(2.25\,\text{m}\) となります。

図の選択：
計算結果より、\(\lambda_1 = 0.500\,\text{m}\)、\(\lambda_2 = 2.25\,\text{m}\) なので、\(\lambda_1 < \lambda_2\) です。
波面の間隔は波長を表すので、空気中（上側）よりも海水中（下側）の方が、波面の間隔が広くなっている図を選ぶ必要があります。

• 図(ア): 境界面の下側（海水中）で波面の間隔が広がっています。
• 図(イ): 境界面の下側（海水中）で波面の間隔が狭まっています（または向きが不自然です）。

したがって、正しい図は(ア)です。

音の「高さ（振動数）」は、空気を伝わるときも水の中を伝わるときも変わりません。しかし、水の中の方が音は圧倒的に速く進みます（約4.5倍）。
「速さ \(=\) 歩幅（波長） \(\times\) 回転数（振動数）」と考えると、回転数が同じで速さが速くなるということは、その分だけ「歩幅」が大きくなっているはずです。計算してみると、確かに水の中の方が波長（歩幅）が長くなっています。図を見ると、(ア)の方が水に入ってから波の縞模様の間隔（歩幅）が広くなっているので、こちらが正解です。

空気中の波長: \(0.500\,\text{m}\)
海水中の波長: \(2.25\,\text{m}\)
正しい図: (ア)

計算結果は模範解答と一致しています。また、一般に液体中の音速は気体中より速いため、波長が長くなるという定性的な性質とも合致します。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 波の基本公式の適用
  • 核心: 波の伝わり方を記述する最も基本的な式 \(v = f\lambda\) を使いこなすことです。この式は、波の速さ \(v\)、振動数 \(f\)、波長 \(\lambda\) の3つの要素が互いにどのように関係しているかを示しています。
  • 理解のポイント:
    • 式の意味: 「速さ \(=\) 振動数 \(\times\) 波長」という関係は、「1秒間に進む距離（速さ）」は、「1秒間に波が発生する回数（振動数）」と「波1つ分の長さ（波長）」の積に等しいことを意味します。
    • 変形: 求めたい物理量に合わせて、\(\lambda = \frac{v}{f}\) や \(f = \frac{v}{\lambda}\) のように式を柔軟に変形できることが重要です。
• 屈折における振動数の保存
  • 核心: 波が異なる媒質へ進むとき（屈折）、速さ \(v\) と波長 \(\lambda\) は変化しますが、振動数 \(f\) だけは絶対に変化しないという法則です。
  • 理解のポイント:
    • 理由: 振動数は波源（音源）が1秒間に何回振動するかで決まります。媒質が変わっても、波源のリズムが変わるわけではないため、振動数は保存されます。
    • 応用: この法則があるからこそ、空気中と海水中という異なる状況を、共通の \(f\) を介して結びつけて考えることができます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 光の屈折: 音波だけでなく、光波が空気からガラスや水に入射する場合も全く同じ原理が成り立ちます。光速 \(c\) が媒質によって変化し、振動数（色に対応）は変わりません。
  • 浅瀬への波の進入: 水面波が深い場所から浅い場所へ進むとき、速さが遅くなります。このときも振動数は変わらず、波長が短くなります。
  • 屈折率の計算: 屈折率 \(n\) が与えられた場合、\(n = \frac{v_1}{v_2} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}\) という関係式（スネルの法則の一部）を使って、速さや波長の比を求める問題に発展します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 何が変化して何が保存されるか: 媒質が変わる問題では、真っ先に「振動数 \(f\) は一定」と書き込みましょう。逆に、ドップラー効果のように波源や観測者が動く場合は「振動数が変化する」ことに注目します。
  2. 波面の図の意味: 図に描かれた平行線（波面）の間隔が「波長 \(\lambda\)」を表していることを即座に見抜く必要があります。間隔が広い＝波長が長い＝速さが速い、という連想ができるようにしましょう。
  3. 媒質の性質: 一般に、音波は「気体 ＜ 液体 ＜ 固体」の順に速くなります。逆に光波は「真空 ＞ 気体 ＞ 液体 ＞ 固体」の順に速くなることが多いです。この常識を知っていると、計算結果の妥当性をチェックできます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 振動数が変わると勘違いする:
  • 誤解: 「水の中に入ると音がこもって聞こえるから、振動数も変わるのではないか？」や「速さが変わるなら振動数も変わるはずだ」と直感的に考えてしまう。
  • 対策: 「振動数は波源の身分証明書」と覚えましょう。一度発生した波の振動数は、ドップラー効果が起きない限り、どこへ行っても変わりません。
• 波の基本公式の変形ミス:
  • 誤解: \(v = f\lambda\) を \(\lambda = vf\) や \(f = v\lambda\) と間違えて変形してしまう。
  • 対策: 単位を確認する癖をつけましょう。速さ \([\text{m/s}]\) \(=\) 振動数 \([1/\text{s}]\) \(\times\) 波長 \([\text{m}]\) と単位で考えると、関係式を間違えにくくなります。
• 波面図の読み取りミス:
  • 誤解: 波面の線の「向き」だけに注目してしまい、「間隔」が波長を表していることを見落とす。
  • 対策: 波面図が出たら、すぐに定規や指で線の間隔を確認し、「間隔 \(\lambda\)」と書き込む習慣をつけましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 波の基本公式 \(v = f\lambda\) の選択:
  • 選定理由: 与えられている物理量が「振動数 \(f\)」と「速さ \(v\)」であり、求めたいのが「波長 \(\lambda\)」です。これら3つを直接結びつける式は、物理学において \(v = f\lambda\) しかありません。
  • 適用根拠: この式は、あらゆる種類の波（音波、光波、水面波など）に対して、媒質の種類に関わらず常に成立する普遍的な法則です。したがって、空気中と海水中のそれぞれに対して、安心して適用できます。
• 振動数 \(f\) を共通とする判断:
  • 選定理由: 問題文には「空気中から海水中に伝わる」とあり、これは屈折現象です。屈折現象において保存される物理量は振動数のみです。
  • 適用根拠: 物理的なメカニズムとして、境界面での媒質の振動が次の媒質への波源となるため、振動のリズム（周波数）は強制的に一致させられます。この理屈に基づき、\(f_{\text{空気}} = f_{\text{海水}} = 680\,\text{Hz}\) として計算を進める判断をします。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 分数のまま計算する:
  • \(\lambda_1 = \frac{340}{680}\) を見た瞬間に筆算を始めるのではなく、まずは約分を考えましょう。\(340 \times 2 = 680\) に気づけば、瞬時に \(\frac{1}{2} = 0.5\) と計算でき、ミスのリスクを減らせます。
• 有効数字の確認:
  • 問題文の数値（\(680\), \(340\), \(1530\)）はすべて有効数字3桁（または2桁とも取れますが、解答が3桁なのでそれに合わせる）です。計算結果も \(0.5\) ではなく \(0.500\) と書くなど、桁数に注意を払いましょう。
• 物理的直感による検算:
  • 「水中の音速は空気中の約4.5倍」という知識があれば、波長も約4.5倍になるはずだと予測できます。\(0.5 \times 4.5 = 2.25\) となり、計算結果が正しいことを瞬時に確認できます。
• 単位の明記:
  • 計算の最後には必ず単位 \([\text{m}]\) を書きましょう。波長を求めているのに単位が \([\text{Hz}]\) や \([\text{m/s}]\) になっていたら、どこかで式を間違えています。

例題28 音波の干渉

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「音波の干渉」です。2つのスピーカーから出た音が重なり合うとき、場所によって音が強め合ったり（大きく聞こえる）、弱め合ったり（小さく聞こえる）する現象を扱います。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
まずは、干渉の条件を判定するための「物差し」となる波長 \(\lambda\) を求めます。音速 \(v\) と振動数 \(f\) が与えられているので、波の基本公式を使います。
この設問における重要なポイント

• 音速 \(v = 340\,\text{m/s}\)。
• 振動数 \(f = 680\,\text{Hz}\)。
• 波長 \(\lambda\) を求める。

具体的な解説と立式
波の基本公式 \(v = f\lambda\) を、波長 \(\lambda\) について解く形に変形して立式します。
$$ \lambda = \frac{v}{f} $$

数値を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
\lambda &= \frac{340}{680} \\[2.0ex] &= \frac{1}{2} \\[2.0ex] &= 0.500\,\text{m}
\end{aligned}
$$
有効数字を考慮して \(0.500\,\text{m}\) とします。

音の波1つ分の長さ（波長）を計算しました。1秒間に \(340\,\text{m}\) 進む音が、1秒間に \(680\) 回振動しているので、1回の振動で進む距離は \(340 \div 680\) で求められます。これが \(0.5\,\text{m}\) です。この長さが、あとで「強め合うか弱め合うか」を判断する大事な基準になります。

波長は \(0.500\,\text{m}\) です。

問(2)

思考の道筋とポイント
観測者Oの位置での音の干渉状態を調べます。ポイントは「2つのスピーカーからの距離の差」です。この差が波長 \(\lambda = 0.500\,\text{m}\) の何倍になっているかを確認します。スピーカーは「同位相」で音を出しているので、距離の差が波長の整数倍なら山と山が重なって強め合い、半波長ずれていれば山と谷が重なって弱め合います。
この設問における重要なポイント

• スピーカーAからの距離 \(l_A = 2.0\,\text{m}\)。
• スピーカーBからの距離 \(l_B = 3.0\,\text{m}\)。
• 波長 \(\lambda = 0.500\,\text{m}\)。
• 同位相の音源であるため、強め合う条件は「距離の差 \( = m\lambda\)」。

具体的な解説と立式
まず、距離の差（経路差） \(\Delta L\) を求めます。
$$ \Delta L = |l_A – l_B| $$
次に、この \(\Delta L\) が波長 \(\lambda\) の何倍かを調べます。つまり、以下の \(m\) を求めます。
$$ m = \frac{\Delta L}{\lambda} $$

距離の差を計算します。
$$
\begin{aligned}
\Delta L &= |2.0 – 3.0| \\[2.0ex] &= |-1.0| \\[2.0ex] &= 1.0\,\text{m}
\end{aligned}
$$
これが波長 \(\lambda = 0.500\,\text{m}\) の何倍かを確認します。
$$
\begin{aligned}
\frac{\Delta L}{\lambda} &= \frac{1.0}{0.500} \\[2.0ex] &= 2
\end{aligned}
$$
結果は整数 \(2\) となりました。
つまり、距離の差は波長の \(2\) 倍（整数倍）です。

Aからの距離とBからの距離を比べると、\(1.0\,\text{m}\) の差があります。
波1つ分の長さは \(0.5\,\text{m}\) なので、この差はちょうど波2つ分（\(0.5 \times 2 = 1.0\)）に相当します。
波がちょうど整数個分ずれて届くということは、Aからの波の「山」とBからの波の「山」がぴったり重なるということです。だから、音は強め合って大きく聞こえます。

距離の差 \(1.0\,\text{m}\) は波長 \(0.500\,\text{m}\) の整数倍（2倍）なので、条件を満たし、音は大きく聞こえます。

問(3)

思考の道筋とポイント
(2)と同様に、新しい位置での距離の差を計算し、それが波長の何倍になっているかを判定します。
この設問における重要なポイント

• スピーカーAからの距離 \(l’_A = 5.5\,\text{m}\)。
• スピーカーBからの距離 \(l’_B = 4.0\,\text{m}\)。
• 波長 \(\lambda = 0.500\,\text{m}\)。

具体的な解説と立式
距離の差（経路差） \(\Delta L’\) を求めます。
$$ \Delta L’ = |l’_A – l’_B| $$
これが波長 \(\lambda\) の何倍かを調べます。
$$ m’ = \frac{\Delta L’}{\lambda} $$

距離の差を計算します。
$$
\begin{aligned}
\Delta L’ &= |5.5 – 4.0| \\[2.0ex] &= 1.5\,\text{m}
\end{aligned}
$$
これが波長 \(\lambda = 0.500\,\text{m}\) の何倍かを確認します。
$$
\begin{aligned}
\frac{\Delta L’}{\lambda} &= \frac{1.5}{0.500} \\[2.0ex] &= 3
\end{aligned}
$$
結果は整数 \(3\) となりました。
つまり、距離の差は波長の \(3\) 倍（整数倍）です。

今度は距離の差が \(1.5\,\text{m}\) です。波長 \(0.5\,\text{m}\) で割ってみると、ちょうど \(3\) になります。つまり、波3つ分ずれて届くことになります。
波が整数個分ずれる場合は、やはり「山」と「山」が重なるタイミングがいっしょになるので、音は強め合います。

距離の差 \(1.5\,\text{m}\) は波長 \(0.500\,\text{m}\) の整数倍（3倍）なので、条件を満たし、音は大きく聞こえます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 波の干渉条件（経路差と波長の関係）
  • 核心: 2つの波源から出た波が一点で重なるとき、その地点での振幅（音の大きさ）は、2つの波源からの距離の差（経路差）によって決まります。
  • 理解のポイント:
    • 同位相の波源の場合:
      • 強め合う（腹）: 経路差が波長の整数倍（\(0, \lambda, 2\lambda, \dots\)）のとき。山と山、谷と谷が重なります。
      • 弱め合う（節）: 経路差が半波長の奇数倍（\(0.5\lambda, 1.5\lambda, 2.5\lambda, \dots\)）のとき。山と谷が重なって打ち消し合います。
    • 逆位相の波源の場合: 条件が逆転します（整数倍で弱め合い、半波長の奇数倍で強め合う）。問題文の「同位相」という条件を見落とさないことが重要です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 逆位相のスピーカー: 「一方のスピーカーの配線を逆につないだ」などの記述があれば、波源は逆位相になります。この場合、強め合いと弱め合いの条件式が入れ替わります。
  • 平面上の干渉模様（双曲線）: 観測者が直線上だけでなく平面上を動く場合、強め合う点をつないだ線（腹線）と弱め合う点をつないだ線（節線）は、2つの波源を焦点とする双曲線群を描きます。
  • 光の干渉（ヤングの実験など）: 音波だけでなく、光波でも全く同じ原理（経路差と波長の関係）で明線・暗線の条件を導きます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 波源の位相確認: まず最初に「同位相」か「逆位相」かを必ず確認し、アンダーラインを引きましょう。これが条件式の形を決定します。
  2. 波長の確保: 干渉の問題では波長 \(\lambda\) が「物差し」です。与えられていなければ、\(v=f\lambda\) から真っ先に計算して求めておきます。
  3. 経路差の計算: 観測点までの距離 \(l_1, l_2\) を幾何学的に求め（三平方の定理を使う場合もある）、その差 \(|l_1 – l_2|\) を計算します。
  4. 割り算で判定: 求めた経路差を波長 \(\lambda\) で割り算します。答えが整数なら強め合い、\(x.5\) なら弱め合いです。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 同位相と逆位相の混同:
  • 誤解: 常に「整数倍＝強め合い」と機械的に覚えてしまい、逆位相の問題で間違える。
  • 対策: 「同位相なら山と山が同時に出る→距離差が波長分なら山と山が合う」「逆位相なら山と谷が同時に出る→距離差が波長分なら山と谷が合う（弱め合う）」と、原理からイメージする癖をつけましょう。
• 経路差の計算ミス:
  • 誤解: 距離の差をとるときに、単純な引き算を間違えたり、絶対値をつけ忘れて負の値にしてしまう。
  • 対策: 必ず「大きい方引く小さい方」を意識するか、絶対値記号をつけて正の値として扱います。
• 半波長の偶数倍・奇数倍の表現:
  • 誤解: 「半波長の偶数倍」という表現に惑わされる。
  • 対策: 「半波長の偶数倍」は \(\frac{\lambda}{2} \times 2m = m\lambda\) なので、結局は「波長の整数倍」と同じ意味です。模範解答にあるこの表現は、弱め合う条件（半波長の奇数倍）と対比させるための表現ですが、実質は「整数倍」と理解して問題ありません。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 波の基本公式 \(v = f\lambda\) の選択:
  • 選定理由: 干渉の条件判定には「波長 \(\lambda\)」が不可欠ですが、問題文には \(v\) と \(f\) しか与えられていません。これらを結びつける唯一の式が \(v = f\lambda\) です。
  • 適用根拠: 音波の伝播において常に成立する基本式であり、ここから干渉の基準となる長さを導出します。
• 干渉条件 \(\Delta L = m\lambda\) の選択:
  • 選定理由: 「大きく聞こえるか小さく聞こえるか」という問いは、物理的には「強め合うか弱め合うか」を判定せよという意味です。これを判定する基準は経路差 \(\Delta L\) と波長 \(\lambda\) の関係しかありません。
  • 適用根拠: 2つの波源が同位相であるため、経路差が波長の整数倍であれば位相が揃って振幅が最大化（強め合い）し、半波長ずれていれば位相が逆転して振幅が最小化（弱め合い）するという波動の重ね合わせの原理に基づきます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 波長を先に求めてメモする:
  • (1)で求めた \(\lambda = 0.500\,\text{m}\) は、その後のすべての設問で使う定数です。問題用紙の目立つところに大きく「\(\lambda = 0.5\)」と書いておき、参照ミスを防ぎましょう。
• 割り算の結果を分数で確認:
  • 経路差を波長で割るとき、例えば \(1.5 \div 0.5\) なら、\(\frac{3}{2} \div \frac{1}{2} = 3\) のように分数で考えると、小数点の位置ミスを減らせます。
• 物理的な意味の確認:
  • 「距離の差が \(1.0\,\text{m}\) で波長が \(0.5\,\text{m}\) だから、波がちょうど2個入るな」と図をイメージして検算します。整数個ぴったり入るなら強め合い、半端が出るなら弱め合い、という直感と計算結果を照らし合わせましょう。

例題29 ドップラー効果とうなり

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「ドップラー効果とうなり」です。動く音源から直接届く音と、反射板で反射して届く音の振動数の違いを計算し、それらが重なったときに生じる「うなり」の回数を求める典型的な問題です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
音源Sが速さ \(v_S\) で右向き（反射板の方向）に進んでいます。観測者Oは音源の左側にいます。つまり、音源は観測者から「遠ざかる」動きをしています。音源が遠ざかるとき、音源の後方（観測者側）に出される波の波長は、静止しているときよりも長くなります。
この設問における重要なポイント

• 音速 \(V\)。
• 音源の速さ \(v_S\)。
• 音源の振動数 \(f\)。
• 音源は観測者から見て遠ざかる方向に動いている。
• 求めるのは波長 \(\lambda_1\)。

具体的な解説と立式
音源が速さ \(v_S\) で動くとき、1秒間に \(f\) 個の波を出しますが、その間に音源自身が \(v_S\) だけ進みます。
音源が波の進む向き（観測者に向かう向き）とは逆向きに動く場合、波長は伸びます。
公式としては、音源の速度ベクトルを波の進む向きを正として考えると、音源は負の向きに進んでいるので、分母の \(v_s\) に \(-v_S\) を代入する形になりますが、直感的には「遠ざかるから波長が伸びる」と考え、\(V\) に \(v_S\) を足した距離の中に \(f\) 個の波が詰まっていると考えます。

波長 \(\lambda_1\) を求める式は以下のようになります。
$$ \lambda_1 = \frac{V – (-v_S)}{f} $$
あるいは、遠ざかる場合の波長の公式として直接：
$$ \lambda_1 = \frac{V + v_S}{f} $$

式を整理します。
$$ \lambda_1 = \frac{V + v_S}{f} $$

音源が逃げながら音を出している状況です。音源が逃げることで、波と波の間隔（波長）が引き伸ばされます。1秒間に音は \(V\) 進み、音源は反対側に \(v_S\) 進むので、波の先端と音源の距離は \(V + v_S\) に広がります。この間に \(f\) 個の波が出ているので、1つ分の長さ（波長）は \((V + v_S) \div f\) となります。

波長は \(\frac{V + v_S}{f}\,\text{m}\) です。
分子が \(V + v_S\) となっており、静止時の波長 \(\frac{V}{f}\) よりも長くなっています。これは「音源が遠ざかると波長が伸びる」という物理的直感と一致しており、妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
(1)で求めた波長 \(\lambda_1\) の音が、速さ \(V\) で観測者に届きます。観測者は静止しているため、受け取る波の速さは \(V\) のままです。波の基本公式 \(V = f\lambda\) を使って、観測者が聞く振動数 \(f_1\) を求めます。
この設問における重要なポイント

• 音速 \(V\)。
• 波長 \(\lambda_1 = \frac{V + v_S}{f}\)。
• 観測者は静止している。

具体的な解説と立式
波の基本公式 \(V = f_1 \lambda_1\) より、振動数 \(f_1\) は以下のように表されます。
$$ f_1 = \frac{V}{\lambda_1} $$

(1)の結果を代入します。
$$
\begin{aligned}
f_1 &= \frac{V}{\frac{V + v_S}{f}} \\[2.0ex] &= \frac{V}{V + v_S}f
\end{aligned}
$$

伸びた波長 \(\lambda_1\) の波が、変わらない速さ \(V\) で観測者の耳に届きます。「速さ \(=\) 波長 \(\times\) 振動数」の関係から、波長が長くなった分、振動数は小さくなります（音が低く聞こえます）。計算結果も分母が \(V + v_S\) と大きくなっているので、元の振動数 \(f\) より小さくなっていることがわかります。

振動数は \(\frac{V}{V + v_S}f\,\text{Hz}\) です。
分母 \(V + v_S\) は分子 \(V\) より大きいため、\(f_1 < f\) となります。これは「遠ざかる音源の音は低く聞こえる」というドップラー効果の定性的な性質と一致しており、正しい結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
今度は音源の右側にある反射板Rについて考えます。音源は反射板に向かって近づいています。
まず、音源から反射板に向かう音の波長 \(\lambda_2\) を求めます。近づく場合は波長が縮みます。
次に、反射板が受け取る振動数 \(f_2\) を求めます。反射板は静止しているので、観測者と同じように考えます。
この設問における重要なポイント

• 音源は反射板に近づく向きに速さ \(v_S\) で動いている。
• 反射板は静止している。
• 近づく場合、波長は縮む。

具体的な解説と立式
音源が近づく場合、波長は縮みます。音の進む向き（右向き）を正とすると、音源の速度も正（\(+v_S\)）なので、公式通りに立式します。
$$ \lambda_2 = \frac{V – v_S}{f} $$
次に、反射板が受け取る振動数 \(f_2\) を求めます。波の速さは \(V\) なので、
$$ f_2 = \frac{V}{\lambda_2} $$

まず波長 \(\lambda_2\) はそのまま答えとなります。
$$ \lambda_2 = \frac{V – v_S}{f} $$
次に振動数 \(f_2\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
f_2 &= \frac{V}{\frac{V – v_S}{f}} \\[2.0ex] &= \frac{V}{V – v_S}f
\end{aligned}
$$

音源が反射板を追いかけながら音を出しているので、波と波の間隔が詰められます（波長が縮む）。そのため、反射板には短い波長の波が次々と届くことになり、振動数は元の音より高くなります。計算結果も分母が \(V – v_S\) と小さくなっているので、全体の値は大きくなっています。

波長は \(\frac{V – v_S}{f}\,\text{m}\)、振動数は \(\frac{V}{V – v_S}f\,\text{Hz}\) です。
波長については、分子が \(V – v_S\) となり、静止時より短くなっています。振動数については、分母が \(V – v_S\) となり、\(f_2 > f\) となっています。これらは「近づく音源からの音は波長が縮み、高く聞こえる」という事実と完全に整合します。

問(4)

思考の道筋とポイント
反射板で反射された音が観測者に届きます。
ここで重要なのは、「静止している反射板で反射するとき、振動数は変わらない」ということです。
つまり、反射板が受け取った振動数 \(f_2\) の音が、そのまま反射板から観測者に向かって送り出されます。反射板は新たな音源（二次音源）とみなせますが、この音源は静止しています。観測者も静止しています。したがって、ドップラー効果は起きず、振動数は \(f_2\) のままです。
この設問における重要なポイント

• 反射板は静止している。
• 観測者も静止している。
• 静止した物体での反射では振動数は変化しない。
• 反射音の振動数 \(f_3\) は \(f_2\) に等しい。

具体的な解説と立式
反射板が受け取った振動数 \(f_2\) がそのまま反射音の振動数 \(f_3\) となります。
$$ f_3 = f_2 $$

(3)の結果をそのまま使います。
$$ f_3 = \frac{V}{V – v_S}f $$

反射板は動いていないので、受け取ったリズム（振動数）そのままで音を跳ね返します。観測者も動いていないので、跳ね返ってきた音のリズムをそのまま聞きます。つまり、反射板に当たったときの高い音（\(f_2\)）がそのまま聞こえます。

振動数は \(\frac{V}{V – v_S}f\,\text{Hz}\) です。
反射板が静止しているため、反射前後で振動数が変わらないことは物理的に自明です。また、この振動数は(3)で求めた「近づく音源からの高い音」そのものであり、観測者が聞く反射音もまた高い音であるという結論は妥当です。

問(5)

思考の道筋とポイント
観測者は、音源から直接届く低い音 \(f_1\)（問2で導出）と、反射板から届く高い音 \(f_3\)（問4で導出）を同時に聞きます。振動数の異なる2つの音が重なると「うなり」が生じます。1秒間のうなりの回数 \(N\) は、2つの振動数の差の絶対値で求められます。
この設問における重要なポイント

• 直接音の振動数 \(f_1 = \frac{V}{V + v_S}f\)。
• 反射音の振動数 \(f_3 = \frac{V}{V – v_S}f\)。
• うなりの回数 \(N = |f_3 – f_1|\)。

具体的な解説と立式
うなりの公式より、
$$ N = |f_3 – f_1| $$
ここで、\(V – v_S < V + v_S\) なので、分母が小さい \(f_3\) の方が \(f_1\) より大きいです。したがって、絶対値の中身は \(f_3 – f_1\) となります。
$$ N = f_3 – f_1 $$

値を代入して通分し、計算します。
$$
\begin{aligned}
N &= \frac{V}{V – v_S}f – \frac{V}{V + v_S}f \\[2.0ex] &= Vf \left( \frac{1}{V – v_S} – \frac{1}{V + v_S} \right) \\[2.0ex] &= Vf \left( \frac{(V + v_S) – (V – v_S)}{(V – v_S)(V + v_S)} \right) \\[2.0ex] &= Vf \left( \frac{2v_S}{V^2 – v_S^2} \right) \\[2.0ex] &= \frac{2Vv_S}{V^2 – v_S^2}f
\end{aligned}
$$

直接届く「低い音」と、反射して届く「高い音」が混ざり合って、ワーンワーンといううなりが聞こえます。その回数は、高い方の振動数から低い方の振動数を引けば求められます。分数の引き算をして、きれいに整理すると答えが出ます。

うなりの回数は \(\frac{2Vv_S}{V^2 – v_S^2}f\,\text{回}\) です。
もし音源が静止していれば（\(v_S = 0\)）、分子が \(0\) となり、うなりは発生しません。これは物理的に正しいです。また、音源の速度 \(v_S\) が大きくなるほど分子が大きくなり、分母が小さくなるため、うなりの回数は急激に増えます。これも「速度差が大きいほどドップラー効果の差が大きくなる」という直感と一致します。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ドップラー効果の公式の適用
  • 核心: 音源や観測者が動くことによって、波長や振動数が変化する現象を定量的に扱う能力です。特に、音源が動く場合の波長の変化 \(\lambda’ = \frac{V \mp v_s}{f}\) と、観測者が受け取る振動数 \(f’ = \frac{V \pm v_o}{\lambda’}\) の関係を正しく理解し、状況に応じて使い分けることが求められます。
  • 理解のポイント:
    • 音源の移動: 音源が波を追いかける（近づく）と波長は縮み、逃げる（遠ざかる）と波長は伸びます。これがドップラー効果の根本原因です。
    • 観測者の移動: 観測者が波に向かって進むと、単位時間あたりに受け取る波の数が増え（振動数アップ）、逃げると減ります（振動数ダウン）。
• 反射板によるドップラー効果の解釈
  • 核心: 反射板を介した音の伝播を、「音源→反射板（観測者）」と「反射板（音源）→観測者」の2段階のプロセスとして分解するか、あるいは「鏡像（虚音源）」を用いて1段階で処理するかの選択と適用です。
  • 理解のポイント:
    • 2段階法: 反射板はまず音を聞く「耳」になり、次にその音を再放射する「口」になると考えます。静止した反射板なら、聞いた音をそのままの高さで再放射します。
    • 鏡像法: 反射板を鏡とみなし、鏡の向こうから虚音源がやってくると考えます。これにより、反射板が動いていない場合は計算を大幅に簡略化できます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 反射板が動く場合: 反射板自体が速度 \(v_R\) で動く問題では、鏡像法を使うと虚音源の速度が \(2v_R\) （音源静止時）や \(v_S + 2v_R\) （音源も動く時）のように変化します。鏡像法をマスターしておくと、こうした難問にも即座に対応できます。
  • 風が吹いている場合: 音速 \(V\) が風速 \(w\) の分だけ変化し、\(V+w\) や \(V-w\) となります。公式の \(V\) を置き換えるだけで対応可能です。
  • 斜め方向のドップラー効果: 音源の速度ベクトルのうち、観測者に向かう成分 \(v_S \cos\theta\) だけがドップラー効果に寄与します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 音源と観測者の位置関係と移動方向: 誰が誰に近づいているのか、遠ざかっているのかを図に矢印で書き込み、「近づく＝高くなる」「遠ざかる＝低くなる」という定性的な予測を立てます。
  2. 反射板の有無と動き: 反射板がある場合、それが静止しているか動いているかを確認します。静止していれば鏡像法が有効です。動いている場合は2段階法が確実ですが、鏡像法の上級テクニックも使えます。
  3. うなりの有無: 「うなり」という言葉が出たら、必ず2つの異なる振動数 \(f_1, f_2\) を求めて差をとる準備をします。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 公式の符号ミス:
  • 誤解: \(V – v_s\) なのか \(V + v_s\) なのか、分母と分子のどちらに速度が入るのかを丸暗記しようとして混乱する。
  • 対策: 「近づくときは音が高くなる（振動数が大きくなる）」、「遠ざかるときは音が低くなる（振動数が小さくなる）」という物理的直感を常に働かせます。例えば音源が近づくなら、振動数を大きくするために分母を小さく（\(V – v_s\)）する必要があります。
• 波長の計算ミス:
  • 誤解: 観測者が動く場合にも波長が変わると勘違いする。
  • 対策: 「波長が変わるのは音源が動くときだけ」と肝に銘じましょう。観測者が動いても、空間にある波の形（波長）自体は変わりません。単に波とすれ違う速さが変わるだけです。
  • うなりの計算での引き算の順序:
    • 誤解: \(f_1 – f_3\) なのか \(f_3 – f_1\) なのかを適当に決めて、負の値にしてしまう。
    • 対策: 必ず「高い音」から「低い音」を引くか、絶対値記号をつけて計算します。ドップラー効果の問題では、近づく音（高い）と遠ざかる音（低い）の差をとることが多いです。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• ドップラー効果の公式 \(f’ = \frac{V \pm v_o}{V \mp v_s}f\) の選択:
  • 選定理由: 音源や観測者の速度が与えられ、振動数の変化を問われているため、この公式以外に選択肢はありません。
  • 適用根拠: 音波の伝播において、媒質（空気）に対する音源と観測者の相対運動が振動数に与える影響を記述する普遍的な法則です。
• うなりの公式 \(N = |f_1 – f_2|\) の選択:
  • 選定理由: 「1秒間に何回のうなりを聞くか」という問いに対して、直接答えを与える定義式です。
  • 適用根拠: 振動数がわずかに異なる2つの波の重ね合わせ（干渉）によって生じる振幅の周期的な変動（うなり）の周波数は、数学的に2つの波の周波数差に等しくなることが証明されています。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま最後まで計算する:
  • この問題のように具体的な数値が与えられていない場合、文字式の変形力が問われます。通分や因数分解（特に \(V^2 – v_S^2 = (V-v_S)(V+v_S)\) の形）を丁寧に行いましょう。
• 次元解析（単位チェック）:
  • 求めた答えの次元を確認します。例えば振動数の答えが \(\frac{V}{V+v_S}f\) なら、分数の部分は速度÷速度で無次元になり、全体として \(f\)（Hz）の次元を持つので正しいと判断できます。もし \(V+v_S\) だけが残っていたら、単位が m/s になってしまうので間違いです。
• 極限を考える:
  • \(v_S = 0\) （音源が止まっている）としたとき、答えがどうなるか確認します。(1)なら \(\lambda = V/f\)、(2)なら \(f_1 = f\) となり、静止時の式に戻ります。もし戻らなければ計算ミスです。
  • \(v_S \to V\) （音源が音速で動く）としたとき、(3)の波長は0になり（衝撃波の発生）、(5)のうなりは無限大になります。こうした極端な場合の振る舞いが物理的に妥当か考えるのも有効な検算です。

例題30 音源が動く場合のドップラー効果

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「音源が動く場合のドップラー効果の原理導出」です。公式を単に適用するのではなく、なぜ振動数が変化して聞こえるのか、その物理的なメカニズム（波長の変化）を理解することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

①② 音波の個数と分布する距離

思考の道筋とポイント
まずは、時間 \(t\) の間に「何個の波が出たか」と「その波がどの範囲に存在しているか」を整理します。音源は波を出しながら進んでいるため、波の先頭と最後尾（音源の位置）の距離が縮まっていることに注目します。
この設問における重要なポイント

• 振動数 \(f\) は「1秒あたりの波の個数」であること。
• 音波の先頭は、音源の位置に関係なく速さ \(V\) で進むこと。
• 音源自身も速さ \(v_S\) で進んでいること。

具体的な解説と立式
① 波の個数について
振動数 \(f\,\text{Hz}\) は、1秒間に \(f\) 個の波を出すことを意味します。
したがって、時間 \(t\,\text{s}\) の間に出される波の個数 \(N\) は、以下の式で表されます。
$$
\begin{aligned}
N &= (\text{1秒あたりの個数}) \times (\text{時間}) \\[2.0ex] &= ft
\end{aligned}
$$
② 波が分布する距離について
時間 \(t\,\text{s}\) の間に、最初に出た波（先頭の波）は音源の初期位置から \(Vt\,\text{m}\) だけ進みます。
一方、この時間 \(t\,\text{s}\) の間に、音源自身も音波を追いかけるように \(v_S t\,\text{m}\) だけ進みます。
最後に出た波は、現在の音源の位置にあります。
したがって、\(ft\) 個の波が並んでいる空間の長さ（距離） \(L\) は、先頭の波の位置と現在の音源の位置の差となります。
$$
\begin{aligned}
L &= (\text{先頭の波が進んだ距離}) – (\text{音源が進んだ距離}) \\[2.0ex] &= Vt – v_S t \\[2.0ex] &= (V – v_S)t
\end{aligned}
$$

立式部分ですでに計算済みです。
① \(ft\)
② \((V – v_S)t\)

パン屋さんがパン（音波）を焼きながら走っている状況を想像してください。
1秒に \(f\) 個パンを焼くので、\(t\) 秒間では \(ft\) 個のパンが焼かれます（これが①）。
最初に焼いたパンはベルトコンベア（空気）に乗って速さ \(V\) で遠くへ運ばれますが、パン屋さん自身も速さ \(v_S\) で追いかけています。そのため、パンの列全体の長さは、止まっている時よりも短くなります。具体的には、「パンが運ばれた距離」から「パン屋さんが進んだ距離」を引いた長さの中に、すべてのパンが並ぶことになります（これが②）。

①は \(ft\)、②は \((V-v_S)t\) です。
\(V > v_S\) （音速の方が音源より速い）であれば、距離は正の値となり物理的に妥当です。もし \(v_S > V\) （超音速）なら、衝撃波が発生する特殊な状況になりますが、高校物理のドップラー効果では通常 \(V > v_S\) を前提とします。

③ 音波の波長

思考の道筋とポイント
波長とは「波1つ分の長さ」のことです。先ほど求めた「波の列全体の長さ」を「波の総数」で割れば、1つあたりの長さ（平均の長さ）が求まります。
この設問における重要なポイント

• 波長 \(\lambda = \frac{\text{波が存在する距離}}{\text{波の個数}}\) という定義式を利用する。
• 音源が動くことで、波長が元の波長 \(\lambda_0 = V/f\) よりも短くなっていることを確認する。

具体的な解説と立式
求める波長を \(\lambda\,\text{m}\) とします。
距離 \(L = (V – v_S)t\) の間に、\(N = ft\) 個の波が等間隔に並んでいます。
したがって、波長（波1個分の長さ）は以下の式で表されます。
$$
\begin{aligned}
\lambda &= \frac{\text{波が分布する距離}}{\text{波の個数}} \\[2.0ex] &= \frac{(V – v_S)t}{ft}
\end{aligned}
$$

分母と分子にある共通因数 \(t\) を約分します。
$$
\begin{aligned}
\lambda &= \frac{V – v_S}{f}
\end{aligned}
$$

先ほどのパン屋さんの例で言えば、パンの列が短くなったのに、パンの個数は変わっていません。ということは、パンとパンの間隔（波長）がギュッと詰まって狭くなったということです。全体の長さを個数で割れば、その狭くなった間隔を計算できます。

波長は \(\lambda = \frac{V-v_S}{f}\) となりました。
音源が止まっている場合（\(v_S=0\)）は \(\lambda = V/f\) となり、通常の波の式と一致します。音源が近づく（\(v_S > 0\)）と分子が小さくなるため、波長は短くなります。これはドップラー効果の定性的な理解（近づくと音が高くなる＝波長が短くなる）と一致します。

④ 音速の変化

思考の道筋とポイント
「音速」が決まる要因を正しく理解しているかが問われています。
この設問における重要なポイント

• 音波の伝わる速さは、媒質（この場合は静止している空気）の性質だけで決まる。
• 音源が動いていても、一度放たれた音波の速さは変わらない。

具体的な解説と立式
音波は空気という媒質の振動によって伝わります。音源の運動は波長（波の間隔）を変えますが、波そのものが空気を伝わる速さ \(V\) を変えることはありません。
したがって、静止している観測者が観測する音速は、元の音速 \(V\) のままです。

ボールを投げるときは、走りながら投げるとボールの速さは速くなります。しかし、音は「空気の揺れ」が伝わっていく現象なので、ボールとは違います。音源がどんなに速く動いても、空気中を伝わる音の速さは、空気の状態（温度など）が変わらない限り一定です。

音速は \(V\) のままです。これは波動現象の基本原理です。

⑤ 観測される振動数

思考の道筋とポイント
観測者の位置において、「波の速さ」と「波長」がわかれば、波の基本式を使って「振動数」を求めることができます。
この設問における重要なポイント

• 観測者にとっての音速は \(V\)（④の結果）。
• 観測者に届く波の波長は \(\lambda = \frac{V-v_S}{f}\)（③の結果）。
• 波の基本式 \(V = f\lambda\) は、どのような状況でも成立する。

具体的な解説と立式
観測者が聞く音の振動数を \(f’\,\text{Hz}\) とします。
観測者の地点での音速は \(V\)、波長は \(\lambda\) です。
波の基本式 \(V = f’\lambda\) より、振動数 \(f’\) は以下の式で表されます。
$$
\begin{aligned}
f’ &= \frac{V}{\lambda}
\end{aligned}
$$
これに③で求めた \(\lambda = \frac{V-v_S}{f}\) を代入します。

$$
\begin{aligned}
f’ &= \frac{V}{\displaystyle\frac{V – v_S}{f}} \\[2.0ex] &= V \times \frac{f}{V – v_S} \\[2.0ex] &= \frac{V}{V – v_S}f
\end{aligned}
$$

観測者の耳には、縮んだ間隔（短い波長）の波が、変わらない速さ \(V\) で次々と飛び込んできます。波の間隔が狭い分、同じ時間内により多くの波が耳に届くことになります。つまり、元の振動数 \(f\) よりも高い振動数（高い音）として聞こえるわけです。

振動数は \(f’ = \frac{V}{V-v_S}f\) となりました。
分母の \(V – v_S\) は \(V\) よりも小さいため、分数は1より大きくなります。つまり \(f’ > f\) となり、音源が近づくときは音が高くなるというドップラー効果の現象と一致します。また、\(v_S = 0\) なら \(f’ = f\) となり、矛盾しません。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ドップラー効果の幾何学的メカニズム
  • 核心: ドップラー効果の公式を単に暗記するのではなく、「なぜ振動数が変わるのか」という物理的背景を理解することです。音源が動く場合、その本質は「音源の移動によって波と波の間隔（波長 \(\lambda\)）が物理的に圧縮・伸長される」という幾何学的な変化にあります。
  • 理解のポイント:
    • 波長の決定権: 波長 \(\lambda\) は、音源が波を出した瞬間の状況（音源の速度 \(v_S\) と振動数 \(f\)）によって決定され、一度放たれた後は変化しません。
    • 振動数の変化: 観測者が聞く振動数 \(f’\) が変わるのは、観測者の耳に届く波の波長 \(\lambda’\) が変化しているか、あるいは観測者が波を受け取る相対的な速さが変化しているかのいずれか（または両方）です。この問題では前者が原因です。
• 音速の独立性（媒質依存性）
  • 核心: 音波の伝わる速さ \(V\) は、媒質（空気）の性質（温度や密度など）によってのみ決まり、音源や観測者の運動状態には一切影響されないという大原則です。
  • 理解のポイント:
    • ボール投げとの違い: 物体（ボール）を投げるときは初速度に投げる人の速度が加算されますが、波（音）の場合は加算されません。この直感的な違いを明確に区別することが重要です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 観測者が動く場合: 音源が静止して観測者が動く場合、波長 \(\lambda\) は変化しません。代わりに、観測者が波とすれ違う「相対的な音速」が変化します。この違いを見極めることが重要です。
  • 風が吹いている場合: 風速 \(w\) がある場合、地面に対する音速全体が \(V+w\)（追い風）や \(V-w\)（向かい風）に変化します。波長の計算でも、観測者の振動数計算でも、この「実効的な音速」を使います。
  • 反射板（動く壁）がある場合: 反射板を「観測者」かつ「新たな音源」とみなします。まず反射板が受け取る振動数を計算し、次にその振動数で音を出す音源として、反射音の振動数を計算する「2段階ドップラー」の手法を用います。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 誰が動いているか特定する: 音源が動けば「波長 \(\lambda\)」が変わり、観測者が動けば「相対音速」が変わります。
  2. 波の基本式 \(V=f\lambda\) を常に軸にする: どのような複雑な状況でも、\((\text{その場所での波の速さ}) = (\text{その場所での振動数}) \times (\text{その場所での波長})\) という関係は絶対です。
  3. 図を描いて波の詰まり具合をイメージする: 音源の進行方向前方では波が密（波長が短い）になり、後方では疎（波長が長い）になる様子を作図することで、式の符号ミスを防げます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 音速に音源の速度を足してしまう
  • 誤解: 音源が速さ \(v_S\) で動いているから、前方への音速も \(V + v_S\) になるだろうと考えてしまう。
  • 対策: 「音速は媒質が決める」と繰り返し唱えましょう。空気の状態が変わらない限り、音速 \(V\) は一定です。
• ドップラー効果の公式の符号ミス
  • 誤解: 公式 \(f’ = \frac{V \pm v_O}{V \mp v_S}f\) の分母・分子のプラスマイナスを逆に記憶してしまう、あるいは適用を間違える。
  • 対策: 公式の丸暗記に頼らず、定性的なチェックを行う癖をつけましょう。「音源が近づく \(\rightarrow\) 音が高くなるはず \(\rightarrow\) 分母が小さくなるはず \(\rightarrow\) \(V – v_S\) だ」という論理的確認が最強の対策です。
• 波長の計算で時間を考慮し忘れる
  • 誤解: 波長を求める際、単に \(V/f\) から \(v_S\) を引いてしまうなど、次元（単位）の合わない計算をしてしまう。
  • 対策: 別解で示したように「相対速度 \(\times\) 周期」と考えるか、模範解答のように「距離 \(\div\) 個数」と定義に戻って計算しましょう。単位が \([\text{m}]\) になることを常に確認します。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 波長の定義式 \(\lambda = \frac{\text{距離}}{\text{個数}}\) の選択
  • 選定理由: 設問①②で「波の個数」と「波が分布する距離」を求めさせているため、この流れに沿って波長を求めるには、波長の定義そのものを使うのが最も自然で論理的です。
  • 適用根拠: 波長とは「波1つ分の長さ」であり、これは「全体の長さ」を「波の数」で等分することで求められるという幾何学的な事実に基いています。
• 波の基本式 \(V = f\lambda\) の適用
  • 選定理由: 波動分野において、速さ \(V\)、振動数 \(f\)、波長 \(\lambda\) の3つの物理量をつなぐ関係式はこれしかありません。
  • 適用根拠: 観測者の位置においても、到来する波に対してこの物理法則は有効です。観測者にとっての音速 \(V\)（不変）と、到来する波の波長 \(\lambda’\)（変化済み）がわかれば、必然的に振動数 \(f’\) が導かれます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 極限による定性チェック
  • 計算結果が出たら、極端な場合を想定して答えが妥当か確認します。
  • \(v_S = 0\) の場合: 音源が止まっていれば \(f’ = \frac{V}{V}f = f\) となり、元の振動数に戻ります。これで式が正しい可能性が高まります。
  • \(v_S \to V\) の場合: 音源が音速に近づくと、分母 \((V-v_S)\) が \(0\) に近づき、\(f’ \to \infty\) となります。これは衝撃波が発生する状況に対応しており、物理的に意味のある挙動です。
• 次元解析（単位チェック）
  • 求めた式の右辺の単位が、左辺の物理量の単位と一致するか確認します。
  • 例えば波長の式 \(\lambda = \frac{V-v_S}{f}\) なら、単位は \(\frac{[\text{m/s}]}{[1/\text{s}]} = [\text{m}]\) となり、長さの単位になるので正しいと判断できます。
• 繁分数の処理
  • \(f’ = \frac{V}{\frac{V-v_S}{f}}\) のような繁分数を処理する際は、分母と分子に同じ数（この場合は \(f\)）を掛けて、分数を解消する手順を丁寧に書きましょう。暗算でやろうとすると、逆数にし忘れるなどのミスが起きやすくなります。

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