21限目：RLC共振回路とベクトル解法｜電磁気・最短攻略パック

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講義ノート（板書PDF）

講義ノート

【今回のポイント】

• RLC直列回路は「電流を基準に各素子の電圧を作り、足し合わせる」という1本の手順でインピーダンス \(Z\) が導ける。結果の式を形のまま記憶に預けるのではなく、導出の道筋をその場で再現できる状態を目指す。
• 電流が最大になる「共振」を、\(Z\) が最小になる条件として診断し、共振角周波数 \(\omega_0\) を自分で導けるようにする。
• 三角関数の合成（理解の幹）と、計算を省ける「ベクトル図（フェーザ図）」（実戦の主力）の2ルートが、同じ \(Z\) と位相に着くことを確かめる。

【講義解説】

RLC直列回路の電圧と位相のずれ

交流回路において、抵抗 \(R\)、コイル \(L\)、コンデンサー \(C\) を直列につないだ「RLC直列回路」を考える。最終的なゴールは、回路全体のインピーダンス \(Z\)——交流版の”通りにくさ”——を求めることだ。ここで多くの人がやってしまうのが、結果の式 \(Z = \sqrt{R^2 + \left( L\omega – \frac{1}{\omega C} \right)^2}\) を、出てきた形のままそっくり記憶に預けてしまうという対処である。これが今回まず診断しておきたい思考のクセだ。

結論から言えば、この \(Z\) は覚えるものではなく、たった1本の手順で毎回その場から導ける。① 直列回路で共通な「電流」を基準に置く → ② 各素子の電圧を、それぞれの定義法則（オームの法則・微分・積分）で作る → ③ 3つの電圧を足し合わせる。この道筋さえ手になじめば、\(Z\) も位相のズレ \(\phi\) も、記憶に頼らず再現できる。これが今回の処方箋である。

直列回路では各素子に流れる電流は共通であるが、各素子にかかる電圧の位相（タイミング）が異なるため、単純な足し算で全体の電圧を求めることはできない。ここで「なぜ足せないのか」を一度立ち止まって言葉にしてほしい。長さは同じでも向きが違う矢印を、数だけ見て足してしまうのと同じ誤りだからだ。だからこそ「電流を基準にそろえてから足す」という順序が効いてくる。

図: RLC直列回路。抵抗 \(R\)・コイル \(L\)・コンデンサー \(C\) を一列につなぐと電流 \(i\) は3つの素子で共通になり、素子ごとの違いは「かかる電圧の位相」だけに絞られる。

回路全体に流れる交流電流 \(i\) を、振幅 \(I_0\)、角周波数 \(\omega\) として以下のように仮定する。全体の電圧 \(V\) の位相 \(\omega t\) に対して、電流の位相が \(\phi\) だけ遅れていると設定する。

$$
\begin{aligned}
i &= I_0 \sin(\omega t – \phi)
\end{aligned}
$$

この電流 \(i\) を基準として、各素子にかかる電圧を計算していく。

① 抵抗にかかる電圧 \(V_R\)
抵抗では電流と電圧の位相は一致する。オームの法則より、以下のようになる。

$$
\begin{aligned}
V_R &= R i \\[2.0ex]
&= R I_0 \sin(\omega t – \phi)
\end{aligned}
$$

② コイルにかかる電圧 \(V_L\)
コイルにかかる電圧は、電流の時間微分に自己インダクタンス \(L\) をかけたものである。

$$
\begin{aligned}
V_L &= L \displaystyle\frac{di}{dt} \\[2.0ex]
&= L \displaystyle\frac{d}{dt} \{ I_0 \sin(\omega t – \phi) \} \\[2.0ex]
&= L \omega I_0 \cos(\omega t – \phi)
\end{aligned}
$$

③ コンデンサーにかかる電圧 \(V_C\)
コンデンサーに蓄えられる電気量 \(q\) は電流 \(i\) の積分で求まる。

$$
\begin{aligned}
q &= \int i dt \\[2.0ex]
&= \int I_0 \sin(\omega t – \phi) dt \\[2.0ex]
&= -\displaystyle\frac{I_0}{\omega} \cos(\omega t – \phi)
\end{aligned}
$$

これを用いて、コンデンサーの電圧 \(V_C\) を求める。

$$
\begin{aligned}
V_C &= \displaystyle\frac{q}{C} \\[2.0ex]
&= -\displaystyle\frac{I_0}{\omega C} \cos(\omega t – \phi)
\end{aligned}
$$

ここまでで、3つの電圧がすべて同じ基準 \(\omega t – \phi\) の \(\sin\) と \(\cos\) で書けた。抵抗は \(\sin\)、コイルとコンデンサーは \(\cos\)——つまり位相が \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) ずれた成分として現れている。ここで自分に一度問いかけてほしい。「なぜコイルとコンデンサーは同じ \(\cos\) なのに、符号だけが逆になったのか」。微分は位相を進め、積分は位相を遅らせる——その差がそのまま符号の逆転として式に現れている。これに答えられれば、あとはこれを足し合わせるだけだ。

三角関数の合成を用いたインピーダンスの導出

回路全体の電圧 \(V\) は、キルヒホッフの法則より各素子の電圧の和となる。

$$
\begin{aligned}
V &= V_R + V_L + V_C \\[2.0ex]
&= R I_0 \sin(\omega t – \phi) + L \omega I_0 \cos(\omega t – \phi) – \displaystyle\frac{I_0}{\omega C} \cos(\omega t – \phi) \\[2.0ex]
&= I_0 \left\{ R \sin(\omega t – \phi) + \left( L \omega – \displaystyle\frac{1}{\omega C} \right) \cos(\omega t – \phi) \right\}
\end{aligned}
$$

\(\sin\) の項（抵抗）と \(\cos\) の項（コイルとコンデンサーの差）が残った。ここで注目してほしいのは、コイルとコンデンサーが足し算ではなく引き算で1つにまとまったことだ。理由は難しくない。両者は同じ \(\cos\) なのに符号が逆——つまり互いに打ち消し合う関係にあるからである。この「\(\sin\) と \(\cos\) の足し算」を1つの \(\sin\) にまとめるのが、数学の「三角関数の合成公式」である。

ここで、数学の「三角関数の合成公式」を用いる。
\(\text{※補足：} a \sin x + b \cos x = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(x + \alpha) \quad \left( \text{ただし、} \tan \alpha = \displaystyle\frac{b}{a} \right)\)

この公式を適用すると、全体の電圧 \(V\) は次のように変形できる。

$$
\begin{aligned}
V &= I_0 \sqrt{ R^2 + \left( L \omega – \displaystyle\frac{1}{\omega C} \right)^2 } \sin(\omega t – \phi + \alpha)
\end{aligned}
$$

一方で、電源の電圧は \(V = V_0 \sin \omega t\) と設定していた。この式と合成した式を比較することで、振幅と位相の関係が導かれる。「振幅は振幅どうし、位相は位相どうしを見比べる」——交流の式を比較するときの基本姿勢だ。ここで何を見て何を呼び出すかを言葉にしておくと、「同じ \(\sin\) の形に整った2つの式が並んだ」を見たら「振幅どうし・位相どうしの比較」を呼び出す、となる。

まず、振幅部分を比較すると以下のようになる。

$$
\begin{aligned}
V_0 &= I_0 \sqrt{ R^2 + \left( L \omega – \displaystyle\frac{1}{\omega C} \right)^2 }
\end{aligned}
$$

インピーダンス \(Z\) は「電圧の振幅 \(\div\) 電流の振幅」で定義されるため、両辺を \(I_0\) で割ることでインピーダンスが求まる。

$$
\begin{aligned}
Z &= \displaystyle\frac{V_0}{I_0} \\[2.0ex]
&= \sqrt{ R^2 + \left( L \omega – \displaystyle\frac{1}{\omega C} \right)^2 }
\end{aligned}
$$

次に、位相部分を比較する。

$$
\begin{aligned}
\omega t &= \omega t – \phi + \alpha \\[2.0ex]
0 &= -\phi + \alpha \\[2.0ex]
\phi &= \alpha
\end{aligned}
$$

合成公式の条件 \(\tan \alpha = \displaystyle\frac{b}{a}\) より、位相のずれ \(\phi\) は次のように表される。

$$
\begin{aligned}
\tan \phi &= \displaystyle\frac{ L \omega – \displaystyle\frac{1}{\omega C} }{ R }
\end{aligned}
$$

この式は、分子が縦（コイルとコンデンサーの差）、分母が横（抵抗）という「縦 ÷ 横」の形をしている。三角関数の合成をたどった人にとっては、当たり前の結果でしかない。

直列共振回路と共振角周波数

RLC直列回路において、交流電源の角周波数 \(\omega\) を変化させると、回路に流れる電流の振幅 \(I_0\) も変化する。

$$
\begin{aligned}
I_0 &= \displaystyle\frac{V_0}{Z} \\[2.0ex]
&= \displaystyle\frac{V_0}{ \sqrt{ R^2 + \left( L \omega – \displaystyle\frac{1}{\omega C} \right)^2 } }
\end{aligned}
$$

この式において、電流の振幅 \(I_0\) が最大になるのは、分母のインピーダンスが最小になるときである。ここが今回いちばん診断したい思考のクセだ——「電流が最大」と「\(Z\) が最小」を別々の覚え事にせず、\(I_0 = V_0/Z\) という1つの割り算でつながっていると見抜けるかどうか。分母が小さいほど割り算の答えは大きくなる。だから \(Z\) を最も小さくする \(\omega\) を探せばよい。ルートの中のカッコの2乗部分が \(0\) になるとき、すなわち以下の条件を満たすとき、インピーダンスは最小値 \(R\) となる。

$$
\begin{aligned}
L \omega – \displaystyle\frac{1}{\omega C} &= 0
\end{aligned}
$$

このとき、回路には最大の電流が流れ、この現象を「共振」と呼ぶ。共振が起こるときの角周波数を共振角周波数 \(\omega_0\) といい、上の式を変形して求めることができる。

$$
\begin{aligned}
L \omega_0 &= \displaystyle\frac{1}{\omega_0 C} \\[2.0ex]
\omega_0^2 &= \displaystyle\frac{1}{LC} \\[2.0ex]
\omega_0 &= \displaystyle\frac{1}{\sqrt{LC}}
\end{aligned}
$$

この式に \(R\) が入っていないことに気づいただろうか。共振が起こる角周波数は、コイルとコンデンサーだけで決まり、抵抗の大きさには左右されない。抵抗が変えるのは「共振したときにどれだけ電流が流れるか（\(I_0 = V_0/R\)）」の方である。ここまで読み分けられれば、この講の骨格は手に入っている。

図: 共振の板書まとめ。\(L\omega – \frac{1}{\omega C} = 0\) でインピーダンスが最小値 \(R\) になり、\(I_0 = \frac{V_0}{Z}\) の電流が最大になる——共振角周波数 \(\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}\) はこの条件から出てくる。

練習問題の解説

① ベクトル図を用いたインピーダンスの簡単な求め方（問）

問題
抵抗値が \(R\) の抵抗、電気容量が \(C\) のコンデンサー、自己インダクタンスが \(L\) のコイルを直列につなぎ、角周波数 \(\omega\) の交流を流したとき、全体の合成インピーダンスはいくらか。また、電流と電圧の位相のずれ \(\phi\) を、\(\tan \phi\) の値で表せ。

解説
この問題で点検したい思考のクセは、「インピーダンスの公式」を暗記してそのまま書き写そうとすることだ。処方箋は、講義前半の三角関数の合成（理解の幹）と同じ答えを、計算を省ける「ベクトル図（フェーザ図）」でもう一度導くこと。2つのルートが同じ \(Z\) に着くと確かめられれば、公式は「覚えるもの」から「いつでも描けるもの」に変わる。

講義の前半では三角関数の合成を用いて厳密に計算したが、実戦では計算が非常に煩雑になる。そこで、「ベクトル図（フェーザ図）」を用いると、視覚的かつ簡単に合成電圧の振幅と位相のずれを求めることができる。

電流の位相を基準（右向きのベクトル）として、各素子の電圧の振幅を作図する。

• 抵抗の電圧振幅 \(R I_0\)：電流と同位相なので右向き。
• コイルの電圧振幅 \(L \omega I_0\)：電流より \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) 進むので上向き。
• コンデンサーの電圧振幅 \(\displaystyle\frac{I_0}{\omega C}\)：電流より \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) 遅れるので下向き。

上下のベクトル（コイルとコンデンサー）は一直線上にあるため、引き算で合成できる。上向きを正とすると、合成された縦方向のベクトルは \(\left( L \omega – \displaystyle\frac{1}{\omega C} \right) I_0\) となる。

これと横方向のベクトル \(R I_0\) を三平方の定理で合成したものが、全体の電圧振幅 \(V_0\) である。

$$
\begin{aligned}
V_0 &= \sqrt{ (R I_0)^2 + \left( L \omega I_0 – \displaystyle\frac{I_0}{\omega C} \right)^2 } \\[2.0ex]
&= I_0 \sqrt{ R^2 + \left( L \omega – \displaystyle\frac{1}{\omega C} \right)^2 }
\end{aligned}
$$

合成インピーダンス \(Z\) は \(Z = \displaystyle\frac{V_0}{I_0}\) であるため、以下のようになる。

$$
\begin{aligned}
Z &= \sqrt{ R^2 + \left( L \omega – \displaystyle\frac{1}{\omega C} \right)^2 }
\end{aligned}
$$

また、位相のずれ \(\phi\) については、ベクトル図の直角三角形の底辺と高さの比から \(\tan \phi\) を求める。

$$
\begin{aligned}
\tan \phi &= \displaystyle\frac{ \left( L \omega – \displaystyle\frac{1}{\omega C} \right) I_0 }{ R I_0 } \\[2.0ex]
&= \displaystyle\frac{ L \omega – \displaystyle\frac{1}{\omega C} }{ R }
\end{aligned}
$$

このように、ベクトル図を用いれば、面倒な三角関数の合成計算を一切行わずに、インピーダンスと位相のずれを導き出すことができる。講義前半の厳密な計算と、ここでのベクトル図が、寸分たがわず同じ \(Z\) と \(\tan\phi\) に着いたことを必ず見比べておこう。

【重要公式まとめ】

【記事限定 演習問題】

ここからは、この記事を読んでくれた方への「記事限定」の演習問題です。動画や板書には載っていない、思考のクセを点検するための10問を用意しました。答えを見る前に、まず「これは振幅の話か、位相の話か」「電流基準・合成・共振のどのステップか」を自分の言葉でつぶやいてから解いてみてください。

これで電磁気パック全21講は完結だ。最後に、経過観察の話をひとつだけしておきたい。今日つかんだ「電流基準 → 各素子 → 合成 → 共振」という道筋は、一度読んだだけでは思考のクセを上書きできない。無料で公開している解説記事や毎日のクイズは、自分の思考のクセを見つけるための診断にあたる。このパックはその診断に対する処方箋であり、まこラボや個別指導での伴走が経過観察にあたる。3日後にもう一度、何も見ずに \(Z\) と \(\omega_0\) を導き直してみてほしい。そこで詰まった場所こそが、あなたに残っている本当の思考のクセであり、考えて解ける物理への最短ルートである。

ABOUT THE AUTHOR

共田 誠（まこと先生）

高校物理講師・プロ家庭教師 / 指導歴14年

上智大学理工学部物理学科卒。私立高校の非常勤講師として進学クラスから基礎クラスまで幅広く担当。大手家庭教師センター3社でプロ家庭教師を経験し、現在はオンライン専門で全国の高校生を個別指導中。

「暗記物理の撲滅」を掲げ、生徒の思考のクセを診断・矯正するドクター型アプローチで指導。表面的なテクニックではなく、初見の問題に強い思考力を育てる。

800+解説記事

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14年指導歴

🎯現在、全6分野制覇を目指してプレミアムパックを制作中（5/6完成）。制作ロードマップを見る →

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