「リードα 物理基礎・物理 改訂版」徹底解説！【第27章】基本問題465～472

基本問題

465 変圧器と送電

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「変圧器の基本原理と送電における電力損失」です。変圧器によって電圧や電流がどのように変化するのか、そしてその変化が送電におけるエネルギーの損失にどう影響するのかを、数式を用いて定量的に理解することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
変圧器の一次側（入力側）と二次側（出力側）の物理量の関係を問う、基本的な問題です。変圧器の最も重要な2つの公式、「電圧と巻数の関係式」と「理想変圧器における電力保存則」を正しく適用することが鍵となります。
この設問における重要なポイント

• 電圧は巻数に比例する: \(V_{1e} : V_{2e} = N_1 : N_2\)
• 理想変圧器では、一次側の電力と二次側の電力が等しい: \(P_{1} = P_{2}\)、すなわち \(V_{1e}I_{1e} = V_{2e}I_{2e}\)
• 上記2つの関係から、電流は巻数に反比例する (\(I_{1e} : I_{2e} = N_2 : N_1\)) ことが導かれる。

具体的な解説と立式
まず、二次側の電圧 \(V_{2e}\) を求めます。変圧器の一次コイルと二次コイルの電圧比は、巻数比に等しくなります。
$$ V_{1e} : V_{2e} = N_1 : N_2 \quad \cdots ① $$
次に、二次側の電流 \(I_{2e}\) を求めます。問題文に「変圧器は理想的なもの」とあるので、一次側の電力 \(P_1 = V_{1e}I_{1e}\) と二次側の電力 \(P_2 = V_{2e}I_{2e}\) は等しくなります。
$$ V_{1e}I_{1e} = V_{2e}I_{2e} \quad \cdots ② $$

式①は比の式なので、内側の積と外側の積が等しいという関係から、
$$
\begin{aligned}
N_1 V_{2e} &= N_2 V_{1e} \\[2.0ex] V_{2e} &= \frac{N_2}{N_1}V_{1e}
\end{aligned}
$$
と、\(V_{2e}\) が求まります。

次に、式②を \(I_{2e}\) について解きます。
$$ I_{2e} = \frac{V_{1e}}{V_{2e}}I_{1e} $$
この式に、上で求めた \(V_{2e} = \displaystyle\frac{N_2}{N_1}V_{1e}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
I_{2e} &= \frac{V_{1e}}{\left( \displaystyle\frac{N_2}{N_1}V_{1e} \right)}I_{1e} \\[2.0ex] &= \frac{N_1}{N_2}I_{1e}
\end{aligned}
$$
と、\(I_{2e}\) が求まります。

変圧器は、コイルの「巻数」の比を使って、電圧を自由自在に変えることができる便利な装置です。ルールは単純で、電圧は巻数の数に比例します。つまり、二次側の巻数 \(N_2\) が一次側 \(N_1\) の2倍なら、電圧も2倍になります。
一方、エネルギーは勝手に増えたり減ったりはできません（これが「理想変圧器」の意味です）。電力（＝電圧×電流）は一定に保たれるので、電圧を2倍にしたら、その分、電流は2分の1にならなければつじつまが合いません。この関係を数式で表しているのがこの設問です。

二次側の電圧 \(V_{2e}\) は \(\displaystyle\frac{N_2}{N_1}V_{1e}\)、電流 \(I_{2e}\) は \(\displaystyle\frac{N_1}{N_2}I_{1e}\) となります。この結果は、電圧が巻数比に比例し、電流が巻数比に反比例するという変圧器の基本的な性質を示しており、物理的に妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
二次側の送電線で消費される電力を求める問題です。送電線には電気抵抗 \(R\) があり、そこに二次側の電流 \(I_{2e}\) が流れることで、ジュール熱として電力が消費されます。消費電力の公式 \(P = RI^2\) を正しく使えるかがポイントです。
この設問における重要なポイント

• 抵抗 \(R\) の導線に電流 \(I\) が流れるときの消費電力は \(P = RI^2\) で計算される。
• この問題では、送電線を流れる電流は二次側電流 \(I_{2e}\) である。

具体的な解説と立式
送電線の抵抗値は \(R\) です。この送電線を流れる電流は、(1)で考えた二次側の電流 \(I_{2e}\) です。
抵抗 \(R\) に電流 \(I_{2e}\) が流れるときの消費電力 \(P\) は、公式より次のように表せます。
$$ P = R I_{2e}^2 $$

上記の式に、(1)で求めた \(I_{2e} = \displaystyle\frac{N_1}{N_2}I_{1e}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
P &= R \left( \frac{N_1}{N_2}I_{1e} \right)^2 \\[2.0ex] &= R \left( \frac{N_1}{N_2} \right)^2 I_{1e}^2
\end{aligned}
$$
これ以上の計算は不要です。

電気を遠くまで運ぶ送電線も、完璧な導体ではなく、少しだけ電気抵抗があります。そのため、電流を流すと電線自体が熱を持ってしまい、エネルギーの一部が熱として捨てられてしまいます。これが「電力損失」です。この損失の大きさは、「（抵抗値）×（電流の2乗）」という式で計算できます。今、送電線には二次側の電流 \(I_{2e}\) が流れているので、(1)で求めた \(I_{2e}\) の式をこの電力損失の公式に代入すれば、答えが求まります。

送電線での消費電力 \(P\) は \(R \left(\displaystyle\frac{N_1}{N_2}\right)^2 I_{1e}^2\) と表せます。この式から、消費電力 \(P\) は二次コイルの巻数 \(N_2\) の2乗に反比例することがわかります。これは、\(N_2\) を大きくして送電電圧を高くすると、送電電流が減り、電力損失を電流の2乗の分だけ劇的に減らせることを意味しており、高電圧送電の原理を説明する重要な結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
(1)と(2)で導出した \(V_{2e}\), \(I_{2e}\), \(P\) の関係式を用いて、\(N_2\) を \(10\) 倍にしたとき、それぞれの物理量がどのように変化するかを考察する問題です。各物理量が \(N_2\) の何乗に比例、あるいは反比例するかに着目すれば、簡単に計算できます。
この設問における重要なポイント

• (1)の結果から、\(V_{2e}\) は \(N_2\) に比例する (\(V_{2e} \propto N_2\))。
• (1)の結果から、\(I_{2e}\) は \(N_2\) に反比例する (\(I_{2e} \propto \displaystyle\frac{1}{N_2}\))。
• (2)の結果から、\(P\) は \(N_2\) の2乗に反比例する (\(P \propto \displaystyle\frac{1}{N_2^2}\))。

具体的な解説と立式
(1), (2)で求めた関係式を再確認します。
$$ V_{2e} = \frac{N_2}{N_1}V_{1e} $$
$$ I_{2e} = \frac{N_1}{N_2}I_{1e} $$
$$ P = R \left(\frac{N_1}{N_2}\right)^2 I_{1e}^2 $$
これらの式において、\(N_1, V_{1e}, I_{1e}, R\) は一定であると考えます。
ここから、\(N_2\) の変化が \(V_{2e}, I_{2e}, P\) に与える影響を直接読み取ります。

\(N_2\) が \(10\) 倍になる、つまり新しい巻数を \(N_2′ = 10N_2\) とします。

• \(V_{2e}\) の変化:
  \(V_{2e}\) は \(N_2\) に比例するので、\(N_2\) が \(10\) 倍になれば \(V_{2e}\) も \(10\) 倍になります。
• \(I_{2e}\) の変化:
  \(I_{2e}\) は \(N_2\) に反比例するので、\(N_2\) が \(10\) 倍になれば \(I_{2e}\) は \(\displaystyle\frac{1}{10}\) 倍になります。
• \(P\) の変化:
  \(P\) は \(N_2^2\) に反比例するので、\(N_2\) が \(10\) 倍になれば \(P\) は \(\displaystyle\frac{1}{10^2} = \frac{1}{100}\) 倍になります。

(1)と(2)で作った「変圧器の性能カタログ」とも言える公式集を眺めながら、もし二次コイルの巻数 \(N_2\) を \(10\) 倍にしたらどうなるか、という思考実験です。

• \(V_{2e}\) の式を見ると、\(N_2\) は分子（掛け算側）にいるので、\(N_2\) が \(10\) 倍になれば \(V_{2e}\) もそのまま \(10\) 倍になります。
• \(I_{2e}\) の式を見ると、\(N_2\) は分母（割り算側）にいるので、\(N_2\) が \(10\) 倍になれば \(I_{2e}\) は逆に \(\displaystyle\frac{1}{10}\) 倍になります。
• \(P\) の式を見ると、\(N_2\) は分母にいて、さらに2乗されています。なので、\(N_2\) が \(10\) 倍になると、\(P\) は \(\displaystyle\frac{1}{10^2}\)、つまり \(\displaystyle\frac{1}{100}\) 倍になります。

二次コイルの巻数を \(10\) 倍にすると、送電電圧 \(V_{2e}\) は \(10\) 倍、送電電流 \(I_{2e}\) は \(\displaystyle\frac{1}{10}\) 倍、送電線での消費電力 \(P\) は \(\displaystyle\frac{1}{100}\) 倍になります。この結果は、発電所から電気を送る際に、変圧器で電圧を非常に高くする（高電圧送電）理由を明確に示しています。電圧を上げることで送電電流を大幅に減らし、送電ロスを最小限に抑えているのです。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 変圧器の基本原理:
  • 核心: この問題の根幹は、変圧器が「電圧と電流の大きさを、巻数比によって変換する装置」であることを理解しているかどうかにあります。
  • 理解のポイント:
    • 電圧変換: 電圧は巻数に単純に比例します (\(V_{2e} = \displaystyle\frac{N_2}{N_1}V_{1e}\))。巻数を増やせば電圧は上がり、減らせば下がります。
    • 電力保存と電流変換: 理想変圧器ではエネルギーは保存されるため、電力は一次側と二次側で変わりません (\(P_1 = P_2\))。この \(V_{1e}I_{1e} = V_{2e}I_{2e}\) という関係から、電圧を上げると電流は下がり、電圧を下げると電流は上がるという、反比例の関係 (\(I_{2e} = \displaystyle\frac{N_1}{N_2}I_{1e}\)) が導かれます。
• 高電圧送電のメリット:
  • 核心: 「なぜ電気は高い電圧で送られてくるのか？」という、実生活にも関わる送電の仕組みの物理的な理由を理解することが重要です。
  • 理解のポイント:
    • 電力損失の原因: 送電線には抵抗 \(R\) があるため、電流 \(I\) が流れると必ず \(P_{\text{損失}} = RI^2\) の電力損失（ジュール熱）が発生します。
    • 損失を減らす工夫: この損失を減らすには、抵抗 \(R\) を小さくするか、電流 \(I\) を小さくするしかありません。送電線の抵抗をゼロにするのは現実的ではないため、電流をできるだけ小さくすることが最も効果的です。
    • 変圧器の役割: 変圧器を使って送電電圧を非常に高くすると、その分だけ送電電流を小さくできます。電力損失は電流の「2乗」で効いてくるため、電流を \(\displaystyle\frac{1}{10}\) にすれば、損失は \(\displaystyle\frac{1}{100}\) にまで劇的に減らせるのです。これが高電圧送電の最大のメリットです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 変圧器の効率を問う問題: この問題では「理想変圧器」(\(P_1 = P_2\)) を扱いましたが、実際には変圧器内部でも熱損失があります。効率が \(\eta\) (\(<1\)) の変圧器では、二次側の電力は \(P_2 = \eta P_1\) となります。この条件で二次側の電流や電力損失を計算する問題に応用できます。
  • 送電元での発電電力を問う問題: 消費地で必要な電力が決まっている場合に、送電ロスを考慮して発電所ではどれだけの電力を発電する必要があるかを逆算する問題です。(\(P_{\text{発電}} = P_{\text{消費}} + P_{\text{損失}}\))
  • 直流回路との比較: 変圧器は電磁誘導を利用しているため、交流でしか機能しません。なぜ直流では変圧できないのか、その理由を問う問題や、直流送電のメリット・デメリットを考察する問題も考えられます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 「理想変圧器」のキーワードを確認: 問題文に「理想」とあれば、\(V_{1e}I_{1e} = V_{2e}I_{2e}\) が使えると判断します。「効率 \(\eta\)」などの記述があれば、\(P_2 = \eta P_1\) を使います。
  2. 何が一定で何が変化するかを整理: (3)のように「〜を何倍にしたら」という問題では、変化させる量（この場合は \(N_2\)）と、一定に保たれる量（\(N_1, V_{1e}, I_{1e}, R\)）を明確に区別します。
  3. 電力損失の式を正しく選択: 電力損失を計算する際、\(P=VI\) や \(P=\displaystyle\frac{V^2}{R}\) も公式としては存在しますが、送電線の問題では、送電線を流れる「電流」が損失の直接的な原因であるため、\(P=RI^2\) を使うのが最も考えやすく、間違いが少ないです。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 電圧と電流の比例関係の混同:
  • 誤解: 電圧も電流も、どちらも巻数に比例する、あるいは反比例すると勘違いしてしまう。
  • 対策: 「電圧は巻数に比例」という基本だけをまず覚えます。電流の関係式は、電力保存則 \(V_{1e}I_{1e} = V_{2e}I_{2e}\) からその場で導出する癖をつけましょう。\(V_{2e}\) に \( \displaystyle\frac{N_2}{N_1}V_{1e}\) を代入すれば、\(I_{2e}\) が \(N_2\) に反比例することが自然に導かれ、混同を防げます。
• 電力損失の計算で使う電流を間違える:
  • 誤解: 送電線の電力損失を計算するのに、一次側の電流 \(I_{1e}\) を使ってしまう。
  • 対策: 回路図をよく見て、「どの部分」で電力が消費されているかを常に意識します。この問題では、抵抗 \(R\) は二次側の回路に接続されているので、そこを流れる電流、すなわち \(I_{2e}\) を使って計算しなければならない、と物理的に判断します。
• (3)での比例計算のミス:
  • 誤解: \(P\) が \(N_2\) に反比例すると考え、答えを「\(\displaystyle\frac{1}{10}\) 倍」としてしまう。
  • 対策: 比例関係を考えるときは、必ず元の式に立ち返ることが重要です。\(P = R \left(\displaystyle\frac{N_1}{N_2}\right)^2 I_{1e}^2\) の式をよく見れば、\(P\) は \(N_2\) ではなく \(N_2^2\) に反比例していることが分かります。焦らず、式の形を正確に確認する習慣をつけましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 変圧器の電圧・電流公式:
  • 選定理由: (1)では、変圧器による電圧と電流の変化を問われているため、変圧器の動作原理を表す公式を直接用いるのが最も合理的です。
  • 適用根拠: 電圧と巻数比の関係はファラデーの電磁誘導の法則から導かれる変圧器の基本性質です。また、「理想変圧器」という条件は、エネルギー保存則が成り立つことを意味しており、これが一次側と二次側の電力(\(VI\))が等しいという関係式の物理的な根拠となります。
• 消費電力の公式 \(P=RI^2\):
  • 選定理由: (2)では送電線での「電力損失」が問われています。電力の公式には \(P=VI\), \(P=RI^2\), \(P=\displaystyle\frac{V^2}{R}\) の3つがありますが、この場面では \(P=RI^2\) が最適です。
  • 適用根拠: なぜなら、送電線の抵抗 \(R\) は一定値であり、(1)で求めた送電電流 \(I_{2e}\) を直接代入できるからです。もし \(P=V_{2e}I_{2e}\) を使おうとすると、この \(V_{2e}\) は変圧器の出力電圧であって、抵抗 \(R\) にかかる電圧ではないため、誤りです。また、\(P=\displaystyle\frac{V_R^2}{R}\) を使うには、抵抗 \(R\) にかかる電圧 \(V_R\) をわざわざ計算する必要があり、手間が増えます。したがって、原因である電流 \(I_{2e}\) と抵抗 \(R\) から直接計算できる \(P=RI^2\) を選ぶのが最も論理的です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま計算を進める: この問題のように、具体的な数値が与えられていない場合は、最後まで文字式のまま計算を進めるのが基本です。これにより、物理的な関係性（何に比例し、何に反比例するのか）が明確なまま答えを導くことができます。
• 比の式を分数に直す: (1)の \(V_{1e} : V_{2e} = N_1 : N_2\) のような比の式は、「内項の積＝外項の積」(\(N_1 V_{2e} = N_2 V_{1e}\)) の形に直してから、求めたい変数（この場合は \(V_{2e}\)）について解くと、計算ミスが減ります。
• 比例関係のチェック: (3)のような「〜倍になるか」という問題では、計算結果が出た後に、元の式との関係を再確認する癖をつけましょう。「\(V_{2e}\) は \(N_2\) の1乗に比例」「\(I_{2e}\) は \(N_2\) の-1乗に比例」「\(P\) は \(N_2\) の-2乗に比例」という関係が、自分の答え（10倍, \(\displaystyle\frac{1}{10}\)倍, \(\displaystyle\frac{1}{100}\)倍）と一致しているかを確認することで、単純な計算ミスや勘違いを発見できます。

466 リアクタンス

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「交流回路における抵抗とリアクタンス」です。抵抗、コイル、コンデンサーがそれぞれ交流電源に接続されたときの振る舞いの違い、特に周波数によって電流の流れやすさ（リアクタンス）がどう変わるかを理解することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
抵抗 \(R\)、コイル \(L\)、コンデンサー \(C\) のそれぞれに、同じ電圧 \(V_e = 60 \, \text{V}\) の交流電源が接続されています。各回路に流れる電流の実効値も分かっているので、直流回路のオームの法則 \(R = V/I\) と同じ形式の「交流におけるオームの法則」を適用して、各素子の抵抗値やリアクタンスを求めます。
この設問における重要なポイント

• 抵抗、コイル、コンデンサーのいずれにおいても、電圧、電流、抵抗（リアクタンス）の実効値の間には \(V_e = Z I_e\) の関係が成り立つ（\(Z\) は抵抗やリアクタンスの総称）。
• この関係を、求めたい量（\(R, X_L, X_C\)）について解けばよい。

具体的な解説と立式
各素子について、交流におけるオームの法則を立てます。

• 抵抗R:
  抵抗 \(R\) にかかる電圧の実効値は \(V_e = 60 \, \text{V}\)、流れる電流の実効値は \(I_R = 1.5 \, \text{A}\) です。したがって、
  $$ V_e = R I_R $$
• コイルL:
  コイルにかかる電圧の実効値は \(V_e = 60 \, \text{V}\)、流れる電流の実効値は \(I_L = 2.0 \, \text{A}\) です。コイルのリアクタンスを \(X_L\) とすると、
  $$ V_e = X_L I_L $$
• コンデンサーC:
  コンデンサーにかかる電圧の実効値は \(V_e = 60 \, \text{V}\)、流れる電流の実効値は \(I_C = 1.0 \, \text{A}\) です。コンデンサーのリアクタンスを \(X_C\) とすると、
  $$ V_e = X_C I_C $$

上記で立式した3つの式を、それぞれ \(R, X_L, X_C\) について解きます。

• 抵抗R:
  $$
  \begin{aligned}
  R &= \frac{V_e}{I_R} \\[2.0ex] &= \frac{60}{1.5} \\[2.0ex] &= 40 \, [\Omega] \end{aligned}
  $$
• コイルLのリアクタンス\(X_L\):
  $$
  \begin{aligned}
  X_L &= \frac{V_e}{I_L} \\[2.0ex] &= \frac{60}{2.0} \\[2.0ex] &= 30 \, [\Omega] \end{aligned}
  $$
• コンデンサーCのリアクタンス\(X_C\):
  $$
  \begin{aligned}
  X_C &= \frac{V_e}{I_C} \\[2.0ex] &= \frac{60}{1.0} \\[2.0ex] &= 60 \, [\Omega] \end{aligned}
  $$

この問題は、交流回路版の「オームの法則」の練習問題です。直流回路で「抵抗 \(=\) 電圧 \(\div\) 電流」と計算したのと全く同じように、交流回路でも「抵抗やリアクタンス \(=\) 電圧の実効値 \(\div\) 電流の実効値」という計算ができます。「リアクタンス」とは、コイルやコンデンサーが持つ、交流電流に対する「妨げ」の度合いのことで、単位は抵抗と同じオーム(\(\Omega\))です。図に示された電圧と電流の値を、それぞれの素子について公式に当てはめて計算するだけです。

抵抗値は \(R=40 \, \Omega\)、コイルのリアクタンスは \(X_L=30 \, \Omega\)、コンデンサーのリアクタンスは \(X_C=60 \, \Omega\) となります。与えられた電圧と電流の値から、基本的な公式を用いて妥当な値が計算できました。

問(2)

思考の道筋とポイント
交流電源の周波数を2倍にしたときに、各素子を流れる電流がどう変化するかを問う問題です。ポイントは、抵抗、コイル、コンデンサーが周波数の変化に対してどのように振る舞うか、その性質の違いを正確に理解しているかです。

1. 抵抗 \(R\) は周波数に依存しません。
2. コイルのリアクタンス \(X_L\) は周波数に比例します。
3. コンデンサーのリアクタンス \(X_C\) は周波数に反比例します。

これらの性質から、周波数が2倍になったときの新しいリアクタンスを求め、再度「交流におけるオームの法則」を使って新しい電流を計算します。
この設問における重要なポイント

• 抵抗値 \(R\) は周波数 \(f\) に依らない。
• コイルのリアクタンスは \(X_L = 2\pi f L\) であり、\(f\) に比例する。
• コンデンサーのリアクタンスは \(X_C = \displaystyle\frac{1}{2\pi f C}\) であり、\(f\) に反比例する。
• 電圧 \(V_e\) は一定のままなので、電流 \(I_e\) は抵抗・リアクタンスに反比例する (\(I_e = V_e/Z\))。

具体的な解説と立式
周波数を \(f\) から \(2f\) に変化させたときの、各素子の抵抗・リアクタンスの変化を考えます。

• 抵抗R:
  抵抗値 \(R\) は周波数に依存しないため、変化しません。したがって、流れる電流 \(I_R\) も変化しません。
  $$ I_R’ = I_R $$
• コイルL:
  コイルのリアクタンスは \(X_L = 2\pi f L\) なので、周波数 \(f\) に比例します。周波数が2倍になると、リアクタンス \(X_L\) も2倍になります。
  $$ X_L’ = 2 X_L $$
  このときの電流を \(I_L’\) とすると、\(I_L’ = \displaystyle\frac{V_e}{X_L’}\) となります。
• コンデンサーC:
  コンデンサーのリアクタンスは \(X_C = \displaystyle\frac{1}{2\pi f C}\) なので、周波数 \(f\) に反比例します。周波数が2倍になると、リアクタンス \(X_C\) は \(\displaystyle\frac{1}{2}\) 倍になります。
  $$ X_C’ = \frac{1}{2} X_C $$
  このときの電流を \(I_C’\) とすると、\(I_C’ = \displaystyle\frac{V_e}{X_C’}\) となります。

• 抵抗Rを流れる電流 \(I_R’\):
  抵抗値が変わらないので、電流も変わりません。
  $$ I_R’ = 1.5 \, [\text{A}] $$
• コイルLを流れる電流 \(I_L’\):
  元の電流は \(I_L = 2.0 \, \text{A}\) でした。新しいリアクタンスは \(X_L’ = 2X_L\) なので、新しい電流 \(I_L’\) は、
  $$
  \begin{aligned}
  I_L’ &= \frac{V_e}{X_L’} \\[2.0ex] &= \frac{V_e}{2X_L} \\[2.0ex] &= \frac{1}{2} \left( \frac{V_e}{X_L} \right) \\[2.0ex] &= \frac{1}{2} I_L \\[2.0ex] &= \frac{1}{2} \times 2.0 \\[2.0ex] &= 1.0 \, [\text{A}] \end{aligned}
  $$
• コンデンサーCを流れる電流 \(I_C’\):
  元の電流は \(I_C = 1.0 \, \text{A}\) でした。新しいリアクタンスは \(X_C’ = \displaystyle\frac{1}{2}X_C\) なので、新しい電流 \(I_C’\) は、
  $$
  \begin{aligned}
  I_C’ &= \frac{V_e}{X_C’} \\[2.0ex] &= \frac{V_e}{\frac{1}{2}X_C} \\[2.0ex] &= 2 \left( \frac{V_e}{X_C} \right) \\[2.0ex] &= 2 I_C \\[2.0ex] &= 2 \times 1.0 \\[2.0ex] &= 2.0 \, [\text{A}] \end{aligned}
  $$

交流の「周波数」とは、電気のプラス・マイナスが入れ替わる速さのことです。この速さが変わると、コイルとコンデンサーの振る舞いが変わります。

• 抵抗: 抵抗は周波数などお構いなしで、常に一定の邪魔をします。なので、周波数が変わっても電流は変わりません。
• コイル: コイルは変化を嫌う性質があり、周波数が高くなる（せわしなく変化する）ほど、電流を強く妨げます（リアクタンスが大きく）。周波数が2倍になると、妨げも2倍になるので、電流は半分に減ってしまいます。
• コンデンサー: コンデンサーは電気を溜める性質があり、周波数が高くなる（プラス・マイナスが素早く入れ替わる）ほど、次々に電荷が流れ込みやすくなります（リアクタンスが小さく）。周波数が2倍になると、妨げは半分になるので、電流は2倍に増えます。

周波数を2倍にすると、抵抗を流れる電流は変わらず \(1.5 \, \text{A}\)、コイルを流れる電流は半分の \(1.0 \, \text{A}\)、コンデンサーを流れる電流は2倍の \(2.0 \, \text{A}\) となります。この結果は、コイルが高周波ほど通しにくく、コンデンサーが高周波ほど通しやすいという、それぞれの素子の基本的な性質を明確に示しており、物理的に妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 交流回路における各素子の周波数依存性:
  • 核心: この問題の根幹は、抵抗・コイル・コンデンサーという3つの基本素子が、交流電源の周波数に対して全く異なる応答を示すことを理解することです。
  • 理解のポイント:
    • 抵抗 (R): 周波数に依存しない。直流でも交流でも、周波数が高くても低くても、その抵抗値は一定です。
    • コイル (L): リアクタンス \(X_L = 2\pi f L\) は周波数 \(f\) に比例する。コイルは電流の変化を妨げる性質（自己誘導）を持つため、周波数が高く、変化が激しいほど電流を通しにくくなります。「高周波の電流は苦手」と覚えましょう。
    • コンデンサー (C): リアクタンス \(X_C = \displaystyle\frac{1}{2\pi f C}\) は周波数 \(f\) に反比例する。コンデンサーは絶縁体ですが、交流では充放電を繰り返すことで電流が流れているように見えます。周波数が高く、プラス・マイナスが素早く入れ替わるほど、次々と電荷が流れ込みやすくなるため、電流を通しやすくなります。「高周波の電流は得意」と覚えましょう。
• 交流版オームの法則:
  • 核心: 直流回路で成り立つオームの法則 (\(V=RI\)) が、交流回路でも実効値を用いれば、抵抗だけでなくリアクタンスに対しても全く同じ形で適用できる (\(V_e = ZI_e\)) という事実を理解することが重要です。
  • 理解のポイント:
    • リアクタンス (\(X_L, X_C\)) は、直流回路における抵抗 \(R\) と同じ役割、つまり「電流の流れにくさ」を表す量だと考えられます。単位も同じオーム(\(\Omega\))です。
    • この法則を \(Z = V_e/I_e\) や \(I_e = V_e/Z\) のように変形することで、電圧・電流・リアクタンスのうち2つが分かれば残りの1つを計算できます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • RLC直列回路のインピーダンス: 抵抗、コイル、コンデンサーを直列につないだ回路全体の「抵抗のようなもの」（インピーダンス \(Z\)）を求める問題。\(Z = \sqrt{R^2 + (X_L – X_C)^2}\) という公式を使います。この問題の知識は、この公式の各項を計算するための基礎となります。
  • 共振回路: RLC直列回路で、\(X_L = X_C\) となる特定の周波数（共振周波数）でインピーダンスが最小になり、電流が最大になる現象を扱う問題。共振周波数 \(f_0 = \displaystyle\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\) を求める際にも、リアクタンスの周波数依存性の理解が不可欠です。
  • フィルター回路: コイルとコンデンサーの周波数特性を利用して、特定の周波数帯の信号だけを通したり、遮断したりする回路（ローパスフィルター、ハイパスフィルターなど）の動作原理を説明する問題。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 回路素子の特定: 回路にどの素子（R, L, C）が含まれているかを確認します。
  2. 周波数の変化の有無: 問題文で「周波数を変える」という操作があるかどうかに注目します。もしあれば、\(X_L\) と \(X_C\) が変化することを念頭に置きます。
  3. 求められているものは何か: (1)のようにリアクタンスそのものを問うているのか、(2)のように周波数変化後の電流を問うているのかを明確にします。後者の場合、「周波数変化 \(\rightarrow\) リアクタンス変化 \(\rightarrow\) 電流変化」という2段階の思考プロセスが必要になります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• コイルとコンデンサーの周波数特性の混同:
  • 誤解: どちらが周波数に比例し、どちらが反比例するのかを忘れてしまう、あるいは逆にしてしまう。
  • 対策: イメージで覚えるのが効果的です。コイルは「変化が嫌い」なので、せわしなく変化する高周波ほど通しにくい（リアクタンス大 \(\rightarrow\) \(f\) に比例）。コンデンサーは「どんどん電荷を溜めたい」ので、素早く入れ替わる高周波ほど流れやすい（リアクタンス小 \(\rightarrow\) \(f\) に反比例）。このイメージと公式 (\(X_L=2\pi fL\), \(X_C=1/(2\pi fC)\)) をセットで記憶しましょう。
• リアクタンスと電流の関係の勘違い:
  • 誤解: (2)で、コイルのリアクタンスが2倍になるから電流も2倍になる、と勘違いしてしまう。
  • 対策: リアクタンスは「電流の流れにくさ」である、という定義に立ち返りましょう。流れにくさが2倍になれば、当然、流れる電流は半分になります。オームの法則 \(I_e = V_e/Z\) からも、電流とリアクタンスは反比例の関係にあることが明らかです。
• 抵抗Rも周波数で変化させてしまう:
  • 誤解: コイルやコンデンサーと同様に、抵抗Rも周波数が変わると値が変わるのではないかと考えてしまう。
  • 対策: 「抵抗Rは周波数によらない」と明確に覚えましょう。これは抵抗という素子の基本的な性質です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 交流におけるオームの法則 (\(V_e = ZI_e\)):
  • 選定理由: (1)では、各素子にかかる電圧と流れる電流が既知で、未知の量が抵抗・リアクタンスです。この3つの量を結びつける最も基本的な関係式がオームの法則であるため、これを選択します。
  • 適用根拠: 交流回路は電圧や電流が時間的に変化するため複雑ですが、実効値という時間平均された量で考えれば、直流回路と非常によく似た単純な比例関係が成り立ちます。この法則は、複雑な交流現象をシンプルに扱うための強力な道具であり、適用は物理的に正当です。
• リアクタンスの周波数依存性の公式 (\(X_L=2\pi fL\), \(X_C=1/(2\pi fC)\)):
  • 選定理由: (2)では「周波数を2倍にする」という操作が行われます。この操作が回路にどのような影響を与えるかを記述する法則が必要であり、それがこれらの公式です。
  • 適用根拠: これらの公式は、電磁気学の基本法則（ファラデーの電磁誘導の法則やコンデンサーの基本式 \(Q=CV\)）を、正弦波交流という特定の状況下で数学的に解析した結果です。コイルの「変化を妨げる」性質や、コンデンサーの「電荷を蓄える」性質が、周波数 \(f\) という形で定量的に表現されています。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位を必ず書く: (1)の計算結果に \(40 \, \Omega\), \(30 \, \Omega\), \(60 \, \Omega\) のように、必ず単位「オーム(\(\Omega\))」を付ける習慣をつけましょう。これにより、自分が何を計算しているのか（抵抗なのか、電流なのか）を常に意識でき、ミスを防げます。

• 比例・反比例の関係を明確にする: (2)のような変化を問う問題では、計算を始める前に「\(X_L \propto f\), \(X_C \propto 1/f\), \(I_e \propto 1/Z\)」のように、文字で比例・反比例の関係を書き出してみるのが有効です。
  • 例：コイルの場合、「\(f \rightarrow 2f\) だから \(X_L \rightarrow 2X_L\)。\(I_L \propto 1/X_L\) だから \(I_L \rightarrow (1/2)I_L\)。よって元の電流の \(1/2\) 倍」というように、論理的なステップを言葉で確認しながら計算すると、勘違いによるミスが劇的に減ります。
• 分数の計算を丁寧に: コンデンサーの計算では、分母にさらに分数が来るような形（\(I_C’ = V_e / (X_C/2)\)）になりがちです。これを \(2(V_e/X_C)\) のように、落ち着いて正しく変形することが重要です。焦らず、一段階ずつ丁寧に式を整理しましょう。

467 交流回路

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「交流回路における各素子の位相関係と消費電力」です。抵抗、コイル、コンデンサーに交流電圧を加えたとき、流れる電流の瞬時値が電圧に対してどのような「位相のずれ」を持つか、また、それぞれの素子で消費される平均電力はいくらになるかを理解することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
抵抗に交流電圧 \(V = V_0 \sin(\omega t)\) を加えたときの電流と消費電力を求めます。抵抗の最も重要な性質は、電圧と電流の山と谷のタイミングが一致する、つまり「位相が同じ」であることです。この性質とオームの法則を使って電流の瞬時値を求め、平均消費電力は実効値を用いて計算します。
この設問における重要なポイント

• 抵抗を流れる電流の位相は、かかる電圧の位相と等しい。
• 電流の最大値 \(I_0\) は、電圧の最大値 \(V_0\) を抵抗値 \(R\) で割って求める (\(I_0 = V_0/R\))。
• 抵抗での平均消費電力は、実効値の積 \(P_R = I_e V_e\) で計算できる。実効値と最大値の関係 (\(I_e = I_0/\sqrt{2}\), \(V_e = V_0/\sqrt{2}\)) を利用する。

具体的な解説と立式

• 電流の瞬時値 \(I_R\):
  抵抗に流れる電流 \(I_R\) の位相は、電圧 \(V = V_0 \sin(\omega t)\) と同じです。電流の瞬時値は、オームの法則を瞬時値に適用して、
  $$ I_R = \frac{V}{R} $$
• 平均消費電力 \(\overline{P_R}\):
  抵抗で消費される電力の平均値は、電流と電圧の実効値 \(I_e, V_e\) の積で与えられます。
  $$ \overline{P_R} = I_e V_e $$
  ここで、電流と電圧の最大値をそれぞれ \(I_0, V_0\) とすると、実効値との間には \(I_e = \displaystyle\frac{I_0}{\sqrt{2}}\), \(V_e = \displaystyle\frac{V_0}{\sqrt{2}}\) の関係があります。

• 電流の瞬時値 \(I_R\):
  $$
  \begin{aligned}
  I_R &= \frac{V}{R} \\[2.0ex] &= \frac{V_0 \sin(\omega t)}{R} \\[2.0ex] &= \frac{V_0}{R} \sin(\omega t)
  \end{aligned}
  $$
• 平均消費電力 \(\overline{P_R}\):
  まず、電流の最大値は \(I_0 = \displaystyle\frac{V_0}{R}\) です。これを用いて平均電力を計算します。
  $$
  \begin{aligned}
  \overline{P_R} &= I_e V_e \\[2.0ex] &= \left( \frac{I_0}{\sqrt{2}} \right) \left( \frac{V_0}{\sqrt{2}} \right) \\[2.0ex] &= \frac{1}{2} I_0 V_0 \\[2.0ex] &= \frac{1}{2} \left( \frac{V_0}{R} \right) V_0 \\[2.0ex] &= \frac{V_0^2}{2R}
  \end{aligned}
  $$

抵抗は素直な素子で、電圧が大きくなればそれに比例して電流も大きくなり、タイミングのズレ（位相差）がありません。なので、電流の式は電圧の式 \(V = V_0 \sin(\omega t)\) を単純に抵抗 \(R\) で割るだけで求まります。
電力は「電圧×電流」で計算されますが、交流では常に変動しているので「平均」で考えます。抵抗の場合、この平均電力はちゃんとプラスの値を持ち、電気エネルギーが熱に変わっていることを示します。

抵抗に流れる電流の瞬時値は \(I_R = \displaystyle\frac{V_0}{R} \sin(\omega t)\)、平均消費電力は \(\overline{P_R} = \displaystyle\frac{V_0^2}{2R}\) となります。電流の位相が電圧と一致し、電力が消費されるという抵抗の性質を正しく数式で表現できています。

問(2)

思考の道筋とポイント
コイルに交流電圧 \(V = V_0 \sin(\omega t)\) を加えたときの電流と消費電力を求めます。コイルの性質は「電流の変化を妨げる」ことであり、その結果として「電流の位相が電圧より \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) 遅れる」という特徴が現れます。この位相の遅れと、コイルのリアクタンス \(X_L = \omega L\) を使って電流の瞬時値を求めます。
この設問における重要なポイント

• コイルを流れる電流の位相は、かかる電圧の位相より \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) 遅れる。
• 電流の最大値 \(I_0\) は、電圧の最大値 \(V_0\) をリアクタンス \(X_L\) で割って求める (\(I_0 = V_0/X_L\))。
• コイルのリアクタンスは \(X_L = \omega L\) である。
• 理想的なコイルでは、エネルギーを消費しないため、平均消費電力は0になる。

具体的な解説と立式

• 電流の瞬時値 \(I_L\):
  コイルを流れる電流 \(I_L\) の位相は、電圧 \(V = V_0 \sin(\omega t)\) より \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) 遅れます。したがって、電流の式のsinの中身は \((\omega t – \displaystyle\frac{\pi}{2})\) となります。
  電流の最大値 \(I_0\) は、電圧の最大値 \(V_0\) をコイルのリアクタンス \(X_L\) で割ったものです。
  $$ I_0 = \frac{V_0}{X_L} = \frac{V_0}{\omega L} $$
  これらを組み合わせて、電流の瞬時値は次のように表せます。
  $$ I_L = \frac{V_0}{\omega L} \sin\left(\omega t – \frac{\pi}{2}\right) $$
• 平均消費電力 \(\overline{P_L}\):
  コイルと電圧の間の位相差は \(\phi = \displaystyle\frac{\pi}{2}\) です。平均消費電力の一般式は \(\overline{P} = I_e V_e \cos\phi\) であり、\(\cos(\displaystyle\frac{\pi}{2}) = 0\) なので、
  $$ \overline{P_L} = 0 $$

• 電流の瞬時値 \(I_L\):
  立式したものがそのまま答えとなります。
  $$ I_L = \frac{V_0}{\omega L} \sin\left(\omega t – \frac{\pi}{2}\right) $$
  三角関数の公式 \(\sin(\theta – \displaystyle\frac{\pi}{2}) = -\cos\theta\) を用いると、\(-\displaystyle\frac{V_0}{\omega L}\cos(\omega t)\) とも表せます。
• 平均消費電力 \(\overline{P_L}\):
  位相差が \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) なので、計算するまでもなく0です。
  $$ \overline{P_L} = 0 $$

コイルは「あまのじゃく」な素子で、電圧のピークが来てから少し遅れて電流のピークが来ます。このタイミングのズレが、位相が「\(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) 遅れる」ということです。電流の大きさ（振幅）は、電圧の最大値をコイルの交流に対する抵抗であるリアクタンス \(X_L = \omega L\) で割ることで求まります。
コイルはエネルギーを磁気の形で一時的に蓄えたり放出したりするだけで、熱として消費はしません。そのため、平均すると消費電力はゼロになります。

コイルに流れる電流の瞬時値は \(I_L = \displaystyle\frac{V_0}{\omega L} \sin(\omega t – \frac{\pi}{2})\)、平均消費電力は \(0\) となります。電流の位相が電圧より \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) 遅れ、電力を消費しないというコイルの性質を正しく数式で表現できています。

問(3)

思考の道筋とポイント
コンデンサーに交流電圧 \(V = V_0 \sin(\omega t)\) を加えたときの電流と消費電力を求めます。コンデンサーの性質は「電圧の変化率に比例した電流が流れる」ことであり、その結果として「電流の位相が電圧より \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) 進む」という特徴が現れます。この位相の進みと、コンデンサーのリアクタンス \(X_C = \displaystyle\frac{1}{\omega C}\) を使って電流の瞬時値を求めます。
この設問における重要なポイント

• コンデンサーを流れる電流の位相は、かかる電圧の位相より \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) 進む。
• 電流の最大値 \(I_0\) は、電圧の最大値 \(V_0\) をリアクタンス \(X_C\) で割って求める (\(I_0 = V_0/X_C\))。
• コンデンサーのリアクタンスは \(X_C = \displaystyle\frac{1}{\omega C}\) である。
• 理想的なコンデンサーでは、エネルギーを消費しないため、平均消費電力は0になる。

具体的な解説と立式

• 電流の瞬時値 \(I_C\):
  コンデンサーを流れる電流 \(I_C\) の位相は、電圧 \(V = V_0 \sin(\omega t)\) より \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) 進みます。したがって、電流の式のsinの中身は \((\omega t + \displaystyle\frac{\pi}{2})\) となります。
  電流の最大値 \(I_0\) は、電圧の最大値 \(V_0\) をコンデンサーのリアクタンス \(X_C\) で割ったものです。
  $$ I_0 = \frac{V_0}{X_C} = \frac{V_0}{1/(\omega C)} = \omega C V_0 $$
  これらを組み合わせて、電流の瞬時値は次のように表せます。
  $$ I_C = \omega C V_0 \sin\left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right) $$
• 平均消費電力 \(\overline{P_C}\):
  コンデンサーと電圧の間の位相差は \(\phi = -\displaystyle\frac{\pi}{2}\) です。平均消費電力の一般式は \(\overline{P} = I_e V_e \cos\phi\) であり、\(\cos(-\displaystyle\frac{\pi}{2}) = 0\) なので、
  $$ \overline{P_C} = 0 $$

• 電流の瞬時値 \(I_C\):
  立式したものがそのまま答えとなります。
  $$ I_C = \omega C V_0 \sin\left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right) $$
  三角関数の公式 \(\sin(\theta + \displaystyle\frac{\pi}{2}) = \cos\theta\) を用いると、\(\omega C V_0 \cos(\omega t)\) とも表せます。
• 平均消費電力 \(\overline{P_C}\):
  位相差が \(\pm\displaystyle\frac{\pi}{2}\) なので、計算するまでもなく0です。
  $$ \overline{P_C} = 0 $$

コンデンサーは「せっかち」な素子で、電圧のピークが来る前に電流のピークが来てしまいます。このタイミングのズレが、位相が「\(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) 進む」ということです。電流の大きさ（振幅）は、電圧の最大値をコンデンサーのリアクタンス \(X_C = \displaystyle\frac{1}{\omega C}\) で割ることで求まります。
コンデンサーはエネルギーを電気の形で一時的に蓄えたり放出したりするだけで、熱として消費はしません。そのため、コイルと同様に平均すると消費電力はゼロになります。

コンデンサーに流れる電流の瞬時値は \(I_C = \omega C V_0 \sin(\omega t + \displaystyle\frac{\pi}{2})\)、平均消費電力は \(0\) となります。電流の位相が電圧より \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) 進み、電力を消費しないというコンデンサーの性質を正しく数式で表現できています。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 電圧と電流の位相差:
  • 核心: 交流回路を理解する上で最も重要な概念の一つが「位相差」です。抵抗、コイル、コンデンサーは、電圧の波に対して電流の波がどのようなタイミングで現れるかが全く異なります。この違いを正確に把握することが問題解決の鍵です。
  • 理解のポイント:
    • 抵抗: 位相差 \(0\)。電圧と電流は完全に同期しています（同相）。
    • コイル: 電流は電圧より位相が \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) (90°) 遅れます。電圧のピークの後に電流のピークが来ます。
    • コンデンサー: 電流は電圧より位相が \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) (90°) 進みます。電圧のピークの前に電流のピークが来ます。
• リアクタンスと電流の振幅:
  • 核心: 各素子を流れる電流の大きさ（振幅 \(I_0\)）は、電圧の振幅 \(V_0\) と、各素子の交流に対する「流れにくさ」（抵抗またはリアクタンス）で決まります。これは直流のオームの法則の考え方を拡張したものです。
  • 理解のポイント:
    • 抵抗: \(I_0 = \displaystyle\frac{V_0}{R}\)
    • コイル: \(I_0 = \displaystyle\frac{V_0}{X_L} = \frac{V_0}{\omega L}\)
    • コンデンサー: \(I_0 = \displaystyle\frac{V_0}{X_C} = \frac{V_0}{1/(\omega C)} = \omega C V_0\)
• 交流電力:
  • 核心: 交流回路では、エネルギーを消費するのは抵抗だけである、という事実を理解することが重要です。
  • 理解のポイント:
    • 抵抗: 平均消費電力 \(\overline{P_R} = I_e V_e = \displaystyle\frac{1}{2}I_0V_0 = \frac{V_0^2}{2R}\) で、常に正の値を持ち、電気エネルギーを熱エネルギーに変換します。
    • コイル・コンデンサー: 理想的なコイルとコンデンサーは、電源との間でエネルギーをやり取りする（蓄えたり放出したりする）だけで、全体としてエネルギーを消費しません。したがって、平均消費電力は \(0\) です。これは、電圧と電流の位相差が \(\pm\displaystyle\frac{\pi}{2}\) であるため、電力の一般式 \(\overline{P} = I_e V_e \cos\phi\) の \(\cos\phi\) が \(0\) になることからも説明できます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • RLC直列回路: 抵抗、コイル、コンデンサーを直列につないだ回路。各素子での電圧の瞬時値（\(v_R, v_L, v_C\)）を求め、それらを合成して回路全体の電圧を考える問題に応用できます。このとき、各電圧の位相が異なるため、ベクトル図（フェーザ図）を用いた足し算が必要になります。
  • 電力の時間変化: 平均電力だけでなく、瞬時電力 \(p(t) = v(t)i(t)\) のグラフを描かせる問題。抵抗では常に \(p(t) \ge 0\) ですが、コイルやコンデンサーでは \(p(t)\) が正負に振動し、その平均が0になることを視覚的に理解できます。
  • 共振回路の特性: RLC回路で共振が起こるとき、コイルとコンデンサーの電圧は大きさが等しく逆向きになるため打ち消し合い、回路全体の電圧が抵抗の電圧と等しくなる、といった現象の解析に応用できます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 問われているのは「瞬時値」か「実効値」か: 問題文をよく読み、\(V_0 \sin(\omega t)\) のような時刻 \(t\) の関数を求められているのか、単に大きさ（実効値や最大値）を求められているのかを区別します。「瞬時値」なら位相を考慮した \(\sin\) や \(\cos\) の式で、「実効値」なら単なる数値で答えます。
  2. 位相の「進み」か「遅れ」か: コイルは「遅れ」、コンデンサーは「進み」です。これを間違えると式の符号が逆になります。基準となる電圧の位相 \((\omega t)\) に対して、電流の位相を \((\omega t – \displaystyle\frac{\pi}{2})\) にするのか \((\omega t + \displaystyle\frac{\pi}{2})\) にするのかを慎重に判断します。
  3. 平均電力を問われたら: まず、どの素子についての電力かを考えます。抵抗であれば \(\displaystyle\frac{1}{2}I_0V_0\) を計算し、理想コイルやコンデンサーであれば、計算するまでもなく \(0\) と判断できます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 位相の進みと遅れの混同:
  • 誤解: コイルとコンデンサーのどちらの電流が進み、どちらが遅れるのかを混同する。
  • 対策: 語呂合わせで覚えるのが有効です。例えば「コイルは遅れる」「コンデンサーは進む」とそのまま覚えるか、電圧を基準に「CIVIL」（CではIがVより進み、LではVがIより進む）といった覚え方もあります。自分に合った方法で確実に記憶しましょう。
• リアクタンスの式の混同:
  • 誤解: \(X_L = \omega L\) と \(X_C = 1/(\omega C)\) を逆に覚えてしまう。
  • 対策: 前問と同様に、周波数との関係でイメージ記憶するのが有効です。コイルは高周波を通しにくい（リアクタンス大）ので周波数 \(\omega\) に比例するはず。コンデンサーは高周波を通しやすい（リアクタンス小）ので周波数 \(\omega\) に反比例するはず、と考えると公式の形を思い出しやすくなります。
• 最大値と実効値の混同:
  • 誤解: 平均電力を計算する際に、最大値の積 \(I_0 V_0\) をそのまま答えにしてしまう。
  • 対策: 「平均電力は実効値の積」と覚え、必ず \(\overline{P} = I_e V_e\) から出発する癖をつけましょう。そこから \(I_e=I_0/\sqrt{2}\), \(V_e=V_0/\sqrt{2}\) を代入して \(\displaystyle\frac{1}{2}I_0V_0\) を導く、という手順を踏めば、\(\displaystyle\frac{1}{2}\) を忘れるミスを防げます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 電流の瞬時値の式:
  • 選定理由: 問題が「電流の瞬時値」を求めているため、時刻 \(t\) の関数として電流を表す必要があります。そのためには、振幅（最大値）と位相の両方の情報を含む \(I(t) = I_0 \sin(\omega t + \phi)\) の形の式を用いる必要があります。
  • 適用根拠: この式の各部分は物理的な意味に基づいています。\(I_0\) はオームの法則から、\(\phi\) は各素子の電磁気学的な性質（自己誘導や静電容量）から決まる位相差です。これらを組み合わせることで、観測される電流の波形を数学的に正しく表現できます。
• 平均消費電力の公式:
  • 選定理由: 問題が「電力（平均値）」を求めているため、時間的に変動する瞬時電力 \(p(t)\) を1周期にわたって平均した値を計算する必要があります。
  • 適用根拠: 瞬時電力 \(p(t) = v(t)i(t)\) を数学的に積分して周期で割ると、\(\overline{P} = \displaystyle\frac{1}{2}I_0V_0\cos\phi = I_e V_e \cos\phi\) という結果が得られます。特に、\(\phi=0\) の抵抗では \(\overline{P_R} = I_e V_e\)、\(\phi=\pm\displaystyle\frac{\pi}{2}\) のコイルやコンデンサーでは \(\overline{P}=0\) となります。これは、エネルギーが消費されるためには電圧と電流の成分が同じ方向を向いている（同相成分がある）必要がある、という物理的な事実を反映しています。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• sinとcosの変換を正確に: 位相が \(\pm\displaystyle\frac{\pi}{2}\) ずれると、\(\sin\) は \(\cos\) に（またはその逆）に変換されます。三角関数の加法定理や公式 (\(\sin(\theta \pm \displaystyle\frac{\pi}{2})\)など) を正確に使いこなせるようにしておくことが重要です。自信がなければ、単位円を描いて確認する癖をつけましょう。
• 分数の計算を慎重に: コンデンサーの電流の最大値を求める \(I_0 = V_0 / X_C = V_0 / (1/\omega C)\) という計算は、分母に分数が来る典型的な形です。これを \(\omega C V_0\) と素早く正確に変形できるように、計算練習を積んでおきましょう。
• 式の構造を意識する: 電流の瞬時値を答える際は、\(I(t) = (\text{振幅}) \times \sin(\text{位相})\) という構造を常に意識します。「振幅」部分はオームの法則から、「位相」部分は電圧との位相差から、とパーツに分けて考えると、混乱せずに式を組み立てることができます。

468 交流回路

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「RL直列回路のインピーダンスと消費電力」です。抵抗とコイルが直列に接続された回路全体の交流に対する「流れにくさ」（インピーダンス）を計算し、それを用いて回路に流れる電流や消費電力を求める、交流回路の基本的な計算問題です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
回路全体のインピーダンス \(Z\) を求める問題です。インピーダンスは、抵抗 \(R\) とコイルのリアクタンス \(X_L\) を合成して求めます。ただし、これらは単純な足し算ではなく、電圧の位相のずれを考慮した、ピタゴラスの定理のような形で合成する必要があります。まずはコイルのリアクタンス \(X_L\) を計算し、それをインピーダンスの公式に代入します。
この設問における重要なポイント

• コイルのリアクタンスは \(X_L = \omega L\) で計算する。
• RL直列回路のインピーダンスは \(Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}\) で計算する。これは、RLC直列回路の一般式 \(Z = \sqrt{R^2 + (X_L – X_C)^2}\) で \(X_C=0\) とした場合に相当する。

具体的な解説と立式
まず、コイルのリアクタンス \(X_L\) を求めます。角周波数 \(\omega\) と自己インダクタンス \(L\) が与えられているので、
$$ X_L = \omega L $$
次に、この \(X_L\) と抵抗 \(R\) を用いて、回路全体のインピーダンス \(Z\) を求めます。RL直列回路のインピーダンスの公式は、
$$ Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} $$

与えられた値を代入して、まず \(X_L\) を計算します。
\(R = 30 \, \Omega\), \(L = 0.20 \, \text{H}\), \(\omega = 2.0 \times 10^2 \, \text{rad/s}\) です。
$$
\begin{aligned}
X_L &= \omega L \\[2.0ex] &= (2.0 \times 10^2) \times 0.20 \\[2.0ex] &= 40 \, [\Omega] \end{aligned}
$$
次に、この結果をインピーダンスの式に代入します。
$$
\begin{aligned}
Z &= \sqrt{R^2 + X_L^2} \\[2.0ex] &= \sqrt{30^2 + 40^2} \\[2.0ex] &= \sqrt{900 + 1600} \\[2.0ex] &= \sqrt{2500} \\[2.0ex] &= \sqrt{25 \times 100} \\[2.0ex] &= 5 \times 10 \\[2.0ex] &= 50 \, [\Omega] \end{aligned}
$$

交流回路で抵抗とコイルが直列につながっているとき、回路全体の電流の流れにくさ（インピーダンス）は、単純な足し算（\(30+40=70\Omega\)）にはなりません。なぜなら、抵抗にかかる電圧とコイルにかかる電圧では、波のタイミング（位相）がずれているからです。このズレを考慮すると、インピーダンスは、抵抗とリアクタンスを直角をなす2辺としたときの、斜辺の長さを求めるような計算（三平方の定理）になります。まずコイルの「流れにくさ」（リアクタンス）を計算し、それと抵抗の値を使って、公式に当てはめれば全体のインピーダンスが求まります。

回路全体のインピーダンスは \(Z=50 \, \Omega\) となります。抵抗が \(30 \, \Omega\)、リアクタンスが \(40 \, \Omega\) という、\(3:4:5\) の直角三角形の関係になる典型的な値であり、計算結果は妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
回路を流れる交流電流の実効値 \(I_e\) を求める問題です。回路全体のインピーダンス \(Z\) は、回路全体としての抵抗とみなすことができます。したがって、電源電圧の実効値 \(V_e\) とインピーダンス \(Z\) を使って、直流のオームの法則と全く同じ形の「交流におけるオームの法則」を適用すれば、電流の実効値が求まります。
この設問における重要なポイント

• 回路全体に流れる電流の実効値 \(I_e\) は、電源電圧の実効値 \(V_e\) を回路全体のインピーダンス \(Z\) で割ることで求められる。
• 公式は \(V_e = Z I_e\)。

具体的な解説と立式
交流回路全体におけるオームの法則を立てます。
$$ V_e = Z I_e $$
この式を、求めたい電流の実効値 \(I_e\) について解きます。
$$ I_e = \frac{V_e}{Z} $$

与えられた電圧の実効値 \(V_e = 10 \, \text{V}\) と、(1)で求めたインピーダンス \(Z = 50 \, \Omega\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
I_e &= \frac{10}{50} \\[2.0ex] &= 0.20 \, [\text{A}] \end{aligned}
$$

(1)で、この回路全体の電流の流れにくさ（インピーダンス）が \(50 \, \Omega\) であることがわかりました。電源の電圧は \(10 \, \text{V}\) です。あとは直流のオームの法則と全く同じで、「電流 = 電圧 ÷ 抵抗」を計算するだけです。つまり、\(10 \, \text{V}\) を \(50 \, \Omega\) で割れば、回路に流れる電流が求まります。

回路を流れる電流の実効値は \(I_e = 0.20 \, \text{A}\) となります。基本的な公式に数値を代入するだけであり、妥当な結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
回路全体の消費電力の時間平均 \(\overline{P}\) を求める問題です。交流回路において、エネルギーを熱として消費するのは抵抗だけです。理想的なコイルは、エネルギーを磁気の形で蓄えたり放出したりするだけで、平均すると電力を消費しません。したがって、回路全体の消費電力は、抵抗 \(R\) だけで消費される電力を計算すればよいことになります。
この設問における重要なポイント

• 交流回路において、平均的に電力を消費するのは抵抗のみである。
• 理想的なコイルの平均消費電力は0である。
• 抵抗での消費電力は、\(P_R = R I_e^2\) で計算できる。ここで \(I_e\) は抵抗を流れる電流の実効値であり、直列回路なので回路全体を流れる電流と等しい。

具体的な解説と立式
回路全体の平均消費電力 \(\overline{P}\) は、抵抗 \(R\) での平均消費電力 \(\overline{P_R}\) に等しくなります。
$$ \overline{P} = \overline{P_R} $$
抵抗での消費電力は、抵抗値 \(R\) と、そこを流れる電流の実効値 \(I_e\) の2乗の積で与えられます。
$$ \overline{P_R} = R I_e^2 $$

抵抗値 \(R = 30 \, \Omega\) と、(2)で求めた電流の実効値 \(I_e = 0.20 \, \text{A}\) を消費電力の公式に代入します。
$$
\begin{aligned}
\overline{P} &= R I_e^2 \\[2.0ex] &= 30 \times (0.20)^2 \\[2.0ex] &= 30 \times 0.04 \\[2.0ex] &= 1.2 \, [\text{W}] \end{aligned}
$$

この回路には抵抗とコイルがつながっていますが、電気を熱に変えて「消費」しているのは抵抗だけです。コイルは電気を磁気に変えて蓄え、また電気に戻すというやり取りをしているだけで、エネルギーを捨ててはいません。したがって、回路全体の消費電力を知りたいときは、コイルは無視して、抵抗部分だけでどれだけ電力が消費されているかを計算すればOKです。電力は「抵抗値 × (電流の2乗)」で計算できます。

この回路の平均消費電力は \(\overline{P} = 1.2 \, \text{W}\) となります。コイルは電力を消費しないという交流回路の重要な性質を正しく理解し、抵抗での消費電力のみを計算することで、妥当な結果が得られました。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• インピーダンスの概念と計算:
  • 核心: 交流回路において、複数の素子（抵抗、コイル、コンデンサー）が組み合わさったときの、回路全体の「電流の流れにくさ」を表すのがインピーダンス (\(Z\)) です。抵抗やリアクタンスを、位相差を考慮して合成した量であることを理解するのが最も重要です。
  • 理解のポイント:
    • 合成則: インピーダンスは、抵抗 \(R\) とリアクタンス (\(X_L, X_C\)) の単純な和ではなく、ベクトル的な和（三平方の定理のような形）で計算されます。RLC直列回路の一般式は \(Z = \sqrt{R^2 + (X_L – X_C)^2}\) です。
    • 特殊な場合: この問題のようなRL直列回路は、上記一般式でコンデンサーがない (\(X_C=0\)) 場合とみなせ、\(Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}\) となります。同様に、RC直列回路なら \(Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}\) となります。
• 交流回路における消費電力:
  • 核心: 交流回路全体で時間平均してエネルギーを消費するのは抵抗成分のみである、という大原則を理解することです。
  • 理解のポイント:
    • エネルギー消費の担い手: 抵抗はジュール熱 (\(RI_e^2\)) を発生させ、電気エネルギーを不可逆的に熱エネルギーに変換します。これが「消費」です。
    • エネルギーのキャッチボール: 理想的なコイルやコンデンサーは、それぞれ磁気エネルギーや静電エネルギーの形でエネルギーを一時的に蓄え、次の瞬間には電源に送り返すという「キャッチボール」をしているだけです。1周期で見ると、エネルギーの収支はゼロであり、消費電力は \(0\) です。
    • 回路全体の消費電力: したがって、RLC直列回路全体の平均消費電力を問われたら、コイルやコンデンサーは無視して、抵抗 \(R\) での消費電力 \(P = RI_e^2\) のみを計算すればよい、ということになります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • RC直列回路、RLC直列回路: この問題はRL直列回路でしたが、コンデンサーが加わったRC直列回路やRLC直列回路でも、インピーダンスの計算方法と消費電力の考え方は全く同じように適用できます。特にRLC直列回路では、\(X_L\) と \(X_C\) が互いに打ち消しあう効果を持つ点が重要になります。
  • 力率を求める問題: 回路の電圧と電流の位相差を \(\phi\) とするとき、\(\cos\phi\) を力率と呼びます。力率はインピーダンスのベクトル図から \(\cos\phi = \displaystyle\frac{R}{Z}\) と求めることができ、平均消費電力は \(\overline{P} = V_e I_e \cos\phi\) とも計算できます。本問の(3)は、この式を使っても解くことができます。
  • 共振回路: RLC直列回路で、\(X_L = X_C\) となる「共振」状態を扱う問題。このときインピーダンスは \(Z=R\) となって最小になり、電流が最大になります。この共振の条件を理解するには、本問のインピーダンスの考え方が基礎となります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 回路の接続方法と構成要素: まず、回路が直列か並列か、どの素子（R, L, C）で構成されているかを確認します。本問は「RL直列回路」です。
  2. 与えられている値の確認: 電圧・電流が「実効値」か「最大値」か、周波数が「\(f\) [Hz]」か「\(\omega\) [rad/s]」かを確認します。本問では実効値と角周波数 \(\omega\) が与えられています。
  3. インピーダンスの計算準備: インピーダンス \(Z\) を求めるには、\(R\), \(X_L\), \(X_C\) の値が必要です。\(R\) は直接与えられ、\(X_L\) は \(\omega L\)、\(X_C\) は \(1/(\omega C)\) で計算する、という手順を思い出します。
  4. 消費電力を問われたら: 回路に抵抗 \(R\) が含まれているかを確認します。含まれていれば、その抵抗での消費電力 \(RI_e^2\) を計算します。もし理想的なLC回路のように抵抗がなければ、消費電力は \(0\) です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• インピーダンスの単純な足し算:
  • 誤解: 直列接続なので、直流回路の合成抵抗のように \(Z = R + X_L\) と計算してしまう。
  • 対策: インピーダンスは、抵抗とリアクタンスの位相が \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) ずれていることを考慮した「ベクトルの和」であると強く意識します。そのため、大きさの計算は必ず三平方の定理の形 \(Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}\) になることを徹底しましょう。
• コイルの電力も計算に入れてしまう:
  • 誤解: 回路全体の消費電力を求める際に、抵抗の消費電力とコイルの消費電力を足そうとしてしまう（そしてコイルの消費電力が分からず混乱する）。
  • 対策: 「交流で電力を消費するのは抵抗だけ」という大原則を何度も唱えて覚えましょう。コイルとコンデンサーの平均消費電力は \(0\) です。したがって、回路全体の消費電力は、抵抗の消費電力と完全に等しくなります。
• 消費電力の計算式ミス:
  • 誤解: 消費電力の計算で、\(P = Z I_e^2\) のように、抵抗 \(R\) の代わりにインピーダンス \(Z\) を使ってしまう。
  • 対策: 消費電力は、あくまでエネルギーを熱に変える「抵抗」の働きによるものです。したがって、電力計算に使うのはインピーダンス \(Z\) ではなく、純粋な抵抗値 \(R\) です。\(P=RI_e^2\) という公式の形を正確に記憶しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• インピーダンスの公式 \(Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}\):
  • 選定理由: (1)では、複数の素子からなる回路全体の「流れにくさ」を一つの量として表現する必要があるため、インピーダンスの定義式を用います。
  • 適用根拠: この公式は、電圧のベクトル図（フェーザ図）から導かれます。抵抗にかかる電圧 \(V_R\) とコイルにかかる電圧 \(V_L\) は位相が \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) ずれています。直列回路では \(V_R\) と \(V_L\) のベクトル和が電源電圧 \(V_e\) となるため、三平方の定理から \(V_e^2 = V_R^2 + V_L^2\) が成り立ちます。この両辺を \(I_e^2\) で割ると、\( (V_e/I_e)^2 = (V_R/I_e)^2 + (V_L/I_e)^2 \) となり、\(Z^2 = R^2 + X_L^2\) というインピーダンスの関係式が導かれます。
• 消費電力の公式 \(P = RI_e^2\):
  • 選定理由: (3)では、回路が消費するエネルギーの時間平均を求める必要があります。この物理量を表すのが平均消費電力です。
  • 適用根拠: 回路全体の平均消費電力は、各素子の平均消費電力の和です。(\(\overline{P} = \overline{P_R} + \overline{P_L}\))。ここで、理想コイルの平均消費電力は \(\overline{P_L}=0\) であることが知られています。これは、コイルがエネルギーを消費せず、電源との間でやり取りするだけだからです。一方、抵抗の平均消費電力は \(\overline{P_R} = RI_e^2\) です。したがって、回路全体の消費電力は抵抗の消費電力のみとなり、\(P = RI_e^2\) を選択するのが論理的です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 計算の順序を儀式化する: RL直列回路の問題を解く際は、(1) \(X_L = \omega L\) を計算 \(\rightarrow\) (2) \(Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}\) を計算 \(\rightarrow\) (3) \(I_e = V_e/Z\) を計算 \(\rightarrow\) (4) \(P = RI_e^2\) を計算、という一連の流れを「儀式」として身につけてしまうと、迷いがなくなり、ミスが減ります。
• 平方根の計算を丁寧に行う: (1)の \(Z = \sqrt{30^2 + 40^2}\) のような計算では、まず二乗を計算し(\(900, 1600\))、足し算をし(\(2500\))、それから平方根を取る、という手順を焦らずに行います。特に、\( \sqrt{2500} = \sqrt{25 \times 100} = 5 \times 10 = 50 \) のように、大きな数の平方根は、平方数や10のべき乗に分解すると計算しやすくなります。
• 単位を意識した検算: (3)で \(P = 1.2\) と計算した後、単位が「W (ワット)」であることを確認します。もし、途中でインピーダンス \(Z\) を使って \(P=ZI_e^2 = 50 \times 0.2^2 = 2.0\) と間違えて計算した場合、答えの単位は「W」で一見正しそうですが、物理的な意味（電力を消費するのは抵抗のみ）を考え直せば、間違いに気づくことができます。常に物理的な意味と単位を意識することが、検算の精度を高めます。

469 交流回路

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「RC直列回路のインピーダンスとベクトル図（フェーザ図）」です。抵抗とコンデンサーが直列に接続された回路において、各素子にかかる電圧の位相がずれるため、回路全体の電圧は単純な足し算では求められません。このベクトル的な電圧の関係を理解し、インピーダンスや各部の電圧を計算することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
回路全体のインピーダンス \(Z\) を求める問題です。問題文で、回路全体にかかる電圧の実効値 \(V_e\) と、回路全体を流れる電流の実効値 \(I_e\) が与えられています。回路全体のインピーダンスは、これらの値を使って、直流のオームの法則と全く同じ形の「交流におけるオームの法則」を適用することで、直接計算できます。
この設問における重要なポイント

• 回路全体のインピーダンス \(Z\) は、回路全体の電圧の実効値 \(V_e\) を、回路全体を流れる電流の実効値 \(I_e\) で割ることで求められる。
• 公式は \(Z = V_e / I_e\)。

具体的な解説と立式
交流回路全体におけるオームの法則を立てます。
$$ V_e = Z I_e $$
この式を、求めたいインピーダンス \(Z\) について解きます。
$$ Z = \frac{V_e}{I_e} $$

与えられた電圧の実効値 \(V_e = 100 \, \text{V}\) と、電流の実効値 \(I_e = 0.50 \, \text{A}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
Z &= \frac{100}{0.50} \\[2.0ex] &= 200 \, [\Omega] \\[2.0ex] &= 2.0 \times 10^2 \, [\Omega] \end{aligned}
$$

インピーダンスとは、交流回路全体の「電流の流れにくさ」を表す量です。これは直流回路の「抵抗」と同じような役割を果たします。直流で「抵抗 = 電圧 ÷ 電流」と計算したように、交流でも「インピーダンス = 電圧の実効値 ÷ 電流の実効値」という、そっくりな式で計算できます。問題に与えられた電圧と電流の値をこの式に当てはめるだけです。

回路全体のインピーダンスは \(Z = 2.0 \times 10^2 \, \Omega\) となります。基本的な公式に数値を代入するだけであり、妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
コンデンサーCにかかる電圧の実効値 \(V_{Ce}\) を求める問題です。RC直列回路では、抵抗にかかる電圧 \(V_{Re}\) とコンデンサーにかかる電圧 \(V_{Ce}\) の単純な和は、電源電圧 \(V_e\) にはなりません。これは、\(V_{Re}\) と \(V_{Ce}\) の位相が \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) ずれているためです。このため、これらの電圧はベクトルとして扱い、三平方の定理 \(V_e^2 = V_{Re}^2 + V_{Ce}^2\) を用いて計算します。
この設問における重要なポイント

• 抵抗にかかる電圧 \(V_{Re}\) とコンデンサーにかかる電圧 \(V_{Ce}\) は、位相が \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) ずれている。
• 電源電圧 \(V_e\) との関係は、三平方の定理 \(V_e^2 = V_{Re}^2 + V_{Ce}^2\) で与えられる。
• まず抵抗にかかる電圧 \(V_{Re} = R I_e\) を計算し、それを使って \(V_{Ce}\) を求める。

具体的な解説と立式
まず、抵抗Rにかかる電圧の実効値 \(V_{Re}\) をオームの法則から求めます。
$$ V_{Re} = R I_e \quad \cdots ① $$
次に、抵抗の電圧 \(V_{Re}\)、コンデンサーの電圧 \(V_{Ce}\)、電源電圧 \(V_e\) の間には、ベクトル図（フェーザ図）で考えると三平方の定理が成り立ちます。
$$ V_e^2 = V_{Re}^2 + V_{Ce}^2 \quad \cdots ② $$
この式を \(V_{Ce}\) について解くことで、目的の値を求めます。

まず、式①を用いて \(V_{Re}\) を計算します。\(R=100 \, \Omega\), \(I_e = 0.50 \, \text{A}\) なので、
$$
\begin{aligned}
V_{Re} &= 100 \times 0.50 \\[2.0ex] &= 50 \, [\text{V}] \end{aligned}
$$
次に、式②を \(V_{Ce}\) について解き、値を代入します。\(V_e = 100 \, \text{V}\) です。
$$
\begin{aligned}
V_{Ce}^2 &= V_e^2 – V_{Re}^2 \\[2.0ex] V_{Ce} &= \sqrt{V_e^2 – V_{Re}^2} \\[2.0ex] &= \sqrt{100^2 – 50^2} \\[2.0ex] &= \sqrt{10000 – 2500} \\[2.0ex] &= \sqrt{7500} \\[2.0ex] &= \sqrt{2500 \times 3} \\[2.0ex] &= 50\sqrt{3} \, [\text{V}] \end{aligned}
$$
最後に、\(\sqrt{3} \approx 1.73\) として近似計算します。
$$
\begin{aligned}
V_{Ce} &\approx 50 \times 1.73 \\[2.0ex] &= 86.5 \, [\text{V}] \end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えると \(87 \, \text{V}\) となります。

直列回路なので、抵抗にかかる電圧とコンデンサーにかかる電圧を足すと電源電圧になる、と思いがちですが、交流ではそう単純ではありません。二つの電圧は波のタイミングがずれているため、ベクトル（矢印）として足し算する必要があります。抵抗の電圧の矢印とコンデンサーの電圧の矢印は直角をなす関係にあり、電源電圧の矢印はそれらを2辺とする直角三角形の斜辺にあたります。この関係（三平方の定理）を使って、コンデンサーにかかる電圧を計算します。

コンデンサーCにかかる電圧の実効値は \(V_{Ce} \approx 87 \, \text{V}\) となります。抵抗にかかる電圧 \(50 \, \text{V}\) と足すと \(137 \, \text{V}\) となり、電源電圧の \(100 \, \text{V}\) を超えますが、これは位相のずれを考えれば当然のことであり、物理的に妥当な結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
コンデンサーの電気容量 \(C\) を求める問題です。電気容量 \(C\) は、コンデンサーのリアクタンス \(X_C\) の公式 \(X_C = \displaystyle\frac{1}{2\pi f C}\) に含まれています。したがって、まず \(X_C\) の値を求め、その結果から \(C\) を逆算するという手順を取ります。\(X_C\) は、コンデンサーにかかる電圧 \(V_{Ce}\) と流れる電流 \(I_e\) から、オームの法則 \(X_C = V_{Ce}/I_e\) を用いて計算できます。
この設問における重要なポイント

• まず、コンデンサーのリアクタンス \(X_C\) を \(X_C = V_{Ce}/I_e\) から求める。
• 次に、リアクタンスの定義式 \(X_C = \displaystyle\frac{1}{2\pi f C}\) を \(C\) について解き、値を代入する。

具体的な解説と立式
まず、コンデンサー単体についてのオームの法則から、リアクタンス \(X_C\) を求めます。
$$ X_C = \frac{V_{Ce}}{I_e} \quad \cdots ① $$
次に、リアクタンス \(X_C\) と電気容量 \(C\) の関係式を立てます。
$$ X_C = \frac{1}{2\pi f C} \quad \cdots ② $$
式①と式②から \(X_C\) を消去し、\(C\) を求めます。

まず、式①に(2)で求めた \(V_{Ce} = 50\sqrt{3} \, \text{V}\) と \(I_e = 0.50 \, \text{A}\) を代入して \(X_C\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
X_C &= \frac{50\sqrt{3}}{0.50} \\[2.0ex] &= 100\sqrt{3} \, [\Omega] \end{aligned}
$$
次に、この結果を式②に代入して \(C\) を求めます。周波数 \(f=50 \, \text{Hz}\) です。
$$ 100\sqrt{3} = \frac{1}{2\pi \times 50 \times C} $$
$$ 100\sqrt{3} = \frac{1}{100\pi C} $$
この式を \(C\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
C &= \frac{1}{100\pi \times 100\sqrt{3}} \\[2.0ex] &= \frac{1}{\sqrt{3} \pi \times 10^4}
\end{aligned}
$$
最後に、\(\sqrt{3} \approx 1.73\), \(\pi \approx 3.14\) として近似計算します。
$$
\begin{aligned}
C &\approx \frac{1}{1.73 \times 3.14 \times 10^4} \\[2.0ex] &\approx \frac{1}{5.43 \times 10^4} \\[2.0ex] &\approx 0.184 \times 10^{-4} \, [\text{F}] \\[2.0ex] &= 1.84 \times 10^{-5} \, [\text{F}] \end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えると \(1.8 \times 10^{-5} \, \text{F}\) となります。

コンデンサーの性能を表す「電気容量 \(C\)」を求めるのがゴールです。\(C\) は、コンデンサーの交流に対する流れにくさである「リアクタンス \(X_C\)」の計算式の中に隠れています。そこで、まず \(X_C\) を求めることから始めます。\(X_C\) は、(2)で求めたコンデンサーの電圧と、回路に流れる電流を使って、オームの法則で計算できます。\(X_C\) の値がわかれば、あとはリアクタンスの公式を逆算して \(C\) を求めることができます。

コンデンサーの電気容量は \(C \approx 1.8 \times 10^{-5} \, \text{F}\) となります。2段階の計算を経ていますが、それぞれは基本的な公式の適用であり、妥当な結果です。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 電圧のベクトル和（フェーザ図）:
  • 核心: 直列交流回路において、各素子にかかる電圧（実効値）の単純な算術和は、電源電圧と一致しません。これは、各電圧の位相がずれているためです。この問題を解く上で最も重要なのは、これらの電圧をベクトルとして合成するという考え方です。
  • 理解のポイント:
    • 基準ベクトル: 直列回路では電流 \(I_e\) が共通なので、これを基準（通常は水平右向き）に考えます。
    • 各電圧ベクトル:
      • 抵抗の電圧 \(V_{Re}\) は電流と同相なので、\(I_e\) と同じ向きのベクトルになります。
      • コンデンサーの電圧 \(V_{Ce}\) は電流より位相が \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) 遅れるので、\(I_e\) の向きから時計回りに90°回転したベクトル（垂直下向き）になります。
    • 合成: 電源電圧 \(V_e\) は、これらのベクトル \(V_{Re}\) と \(V_{Ce}\) のベクトル和です。ベクトルが直交しているため、その大きさは三平方の定理 \(V_e^2 = V_{Re}^2 + V_{Ce}^2\) で求められます。
• インピーダンスとリアクタンスの関係:
  • 核心: 電圧のベクトル関係 \(V_e^2 = V_{Re}^2 + V_{Ce}^2\) の各項を共通の電流 \(I_e^2\) で割ることで、インピーダンスと抵抗、リアクタンスの間に全く同じ形の関係式 \(Z^2 = R^2 + X_C^2\) が導かれます。これもまた、三平方の定理の形をしています。
  • 理解のポイント:
    • 電圧のベクトル図を、そのままインピーダンスのベクトル図に読み替えることができます。
    • この関係式を使うことで、(2)の電圧計算を介さずに、\(Z\) と \(R\) から直接 \(X_C\) を求めることができます（別解のアプローチ）。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • RL直列回路、RLC直列回路: 本問はRC回路でしたが、コイルが加わっても基本的な考え方は同じです。RLC直列回路では、コイルの電圧 \(V_{Le}\)（電流より \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) 進む）とコンデンサーの電圧 \(V_{Ce}\)（電流より \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) 遅れる）が逆向きのベクトルになるため、まずこれらを打ち消し合わせてから抵抗の電圧と合成します。結果として、\(V_e^2 = V_{Re}^2 + (V_{Le} – V_{Ce})^2\) という関係になります。
  • 電圧と電流の位相差を求める問題: ベクトル図を描くことで、電源電圧 \(V_e\) と電流 \(I_e\) の間の位相差 \(\phi\) も求めることができます。本問のベクトル図から、\(\cos\phi = \displaystyle\frac{V_{Re}}{V_e} = \frac{R}{Z}\) や \(\tan\phi = \displaystyle\frac{V_{Ce}}{V_{Re}} = \frac{X_C}{R}\) といった関係が読み取れます。
  • 並列回路: R, L, Cが並列に接続された回路では、電圧が共通になるため、各素子を流れる電流をベクトルとして合成します。考え方は直列回路と双対的です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 接続方法の確認: まず「直列」か「並列」かを確認します。直列なら「電流が共通、電圧をベクトル和」、並列なら「電圧が共通、電流をベクトル和」と考えます。
  2. ベクトル図（フェーザ図）をイメージする: 直列回路の問題を見たら、頭の中ですぐに電圧のベクトル図を思い浮かべる癖をつけます。基準の電流、同相の \(V_{Re}\)、90°ずれる \(V_{Le}\) や \(V_{Ce}\) の関係をイメージできれば、立式の方針が立ちやすくなります。
  3. どの公式が近道か判断する: (3)のように、ある量を求めるのに複数のルート（電圧の関係式から行くか、インピーダンスの関係式から行くか）が存在する場合があります。どの設問で何が計算済みかを確認し、最も計算が楽なルートを選択する柔軟性が求められます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 電圧の単純な足し算:
  • 誤解: 直列回路だからといって、\(V_e = V_{Re} + V_{Ce}\) のように、各部の電圧を単純に足してしまう。
  • 対策: 「交流回路の直列接続では、電圧の和はベクトル和！」と強く記憶しましょう。各部の電圧の大きさを足すと電源電圧より大きくなることもあり得ます（本問でも \(50\,\text{V} + 87\,\text{V} > 100\,\text{V}\)）。この事実に慣れ、常に三平方の定理の形を思い出すことが重要です。
• インピーダンスとリアクタンスの混同:
  • 誤解: (1)でインピーダンスを求めるところを、コンデンサーのリアクタンスを求めてしまう。あるいはその逆。
  • 対策: 言葉の定義を正確に理解することが不可欠です。「リアクタンス」はコイルやコンデンサー単体の性質、「インピーダンス」は複数の素子を含む回路全体の性質です。問題が「回路全体の」と尋ねているのか、「コンデンサーCの」と尋ねているのかを注意深く読み取りましょう。
• 平方根の計算ミス:
  • 誤解: \(\sqrt{100^2 – 50^2}\) を \(\sqrt{(100-50)^2} = 50\) のように、誤った計算をしてしまう。
  • 対策: \(a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)\) の因数分解公式を利用すると、計算が楽になり、ミスも減ります。例えば、\(\sqrt{100^2 – 50^2} = \sqrt{(100-50)(100+50)} = \sqrt{50 \times 150} = \sqrt{7500}\) のように計算できます。大きな数の二乗を直接計算する前に、工夫できないか考える癖をつけましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 電圧のベクトル和 \(V_e^2 = V_{Re}^2 + V_{Ce}^2\):
  • 選定理由: (2)では、回路全体と各素子の電圧の関係を問われています。これらの電圧は位相が異なるため、その関係を正しく記述できるのはベクトル和の考え方しかありません。
  • 適用根拠: この関係は、各電圧の瞬時値 \(v(t) = v_R(t) + v_C(t)\) というキルヒホッフの法則に基づいています。\(v_R(t)\) と \(v_C(t)\) は同じ \(\sin\) 関数でも位相が \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) ずれているため、その合成波の振幅（最大値や実効値）は、三角関数の合成公式によって三平方の定理と同じ形になります。ベクトル図は、この数学的な関係を視覚的に分かりやすく表現したものです。
• リアクタンスの定義式 \(X_C = 1/(2\pi f C)\):
  • 選定理由: (3)では、コンデンサーの物理的な性能指標である「電気容量 \(C\)」を求めることが最終目標です。\(C\) を直接含む測定可能な量との関係式は、リアクタンスの定義式しかありません。
  • 適用根拠: この公式は、コンデンサーの基本式 \(Q=CV\) と電流の定義 \(I = dQ/dt\) から導かれます。交流電圧 \(V\) を加えたときに流れる電流 \(I\) を計算すると、その振幅の比 \(V_0/I_0\) が \(1/(\omega C)\) となります。これは、コンデンサーの構造と交流の周波数が、電流の流れにくさを決定するという物理的背景を数式化したものです。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 有効数字を最後に意識する: \(\sqrt{3}\) を含む計算では、最後まで文字や根号のまま計算を進め、最終的な答えを出す段階で初めて \(1.73\) などの近似値を代入するのが鉄則です。途中で丸めると、誤差が累積して最終的な答えがずれる原因になります。
• 比の利用: (2)の計算で、\(V_e=100\), \(V_{Re}=50\) となった時点で、電圧の比が \(V_{Re}:V_e = 50:100 = 1:2\) であることに気づくと、ベクトル図が辺の比 \(1:2\) の直角三角形であると分かります。したがって、残りの辺 \(V_{Ce}\) は \(V_{Re}\) の \(\sqrt{3}\) 倍、つまり \(50\sqrt{3}\) であることが暗算で分かります。\(1:2:\sqrt{3}\) や \(1:1:\sqrt{2}\) のような有名な直角三角形の辺の比に気づくと、計算を大幅に簡略化できます。
• 単位の換算に注意: この問題では使いませんが、電気容量の単位はマイクロファラド(\(\mu\text{F}\))やピコファラド(\(p\text{F}\))で与えられることも多いです。計算する際は、必ず基本単位であるファラド(\(\text{F}\))に直す（\(1\mu\text{F} = 10^{-6}\text{F}\)）ことを忘れないようにしましょう。

470 共振回路

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「RLC直列回路における各素子の電圧と共振現象」です。RLC直列回路において、電流を基準としたときの各素子にかかる電圧の瞬時値を、位相関係を正しく考慮して表現できるか、また、特定の条件で起こる「共振」という現象を数式で理解しているかが問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(ア) コンデンサーの電圧

思考の道筋とポイント
コンデンサーにかかる電圧 \(V_C\) の瞬時値を求めます。基準となる電流は \(I = I_0 \sin(\omega t)\) です。コンデンサーでは、電圧の位相は電流より \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) 遅れる、という性質を使います。また、電圧の最大値 \(V_{C0}\) は、電流の最大値 \(I_0\) とリアクタンス \(X_C\) の積で計算します。
この設問における重要なポイント

• コンデンサーの電圧は、電流より位相が \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) 遅れる。
• 電圧の最大値は \(V_{C0} = X_C I_0\)。
• コンデンサーのリアクタンスは \(X_C = \displaystyle\frac{1}{\omega C}\)。

具体的な解説と立式
コンデンサーにかかる電圧 \(V_C\) の位相は、電流 \(I = I_0 \sin(\omega t)\) より \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) 遅れます。したがって、電圧の式のsinの中身は \((\omega t – \displaystyle\frac{\pi}{2})\) となります。
電圧の最大値 \(V_{C0}\) は、
$$ V_{C0} = X_C I_0 = \frac{1}{\omega C} I_0 $$
これらを組み合わせて、電圧の瞬時値は次のように表せます。
$$ V_C = \frac{1}{\omega C} I_0 \sin\left(\omega t – \frac{\pi}{2}\right) $$

立式したものがそのまま答えとなります。これ以上の計算は不要です。

コンデンサーは、電圧のタイミングが電流のタイミングより少し遅れる「のんびり屋」な素子です。このタイミングのズレは、ちょうど90°（\(\displaystyle\frac{\pi}{2}\)）です。電圧の大きさ（振幅）は、電流の最大値に、コンデンサーの交流に対する流れにくさ（リアクタンス）を掛けることで計算できます。

コンデンサーの電圧の瞬時値が求められました。電流を基準としたときに電圧の位相が\(\displaystyle\frac{\pi}{2}\)遅れるという、コンデンサーの基本的な性質を正しく数式で表現できています。

問(イ) コイルの電圧

思考の道筋とポイント
コイルにかかる電圧 \(V_L\) の瞬時値を求めます。コイルでは、電圧の位相は電流より \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) 進む、という性質を使います。電圧の最大値 \(V_{L0}\) は、電流の最大値 \(I_0\) とリアクタンス \(X_L\) の積で計算します。
この設問における重要なポイント

• コイルの電圧は、電流より位相が \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) 進む。
• 電圧の最大値は \(V_{L0} = X_L I_0\)。
• コイルのリアクタンスは \(X_L = \omega L\)。

具体的な解説と立式
コイルにかかる電圧 \(V_L\) の位相は、電流 \(I = I_0 \sin(\omega t)\) より \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) 進みます。したがって、電圧の式のsinの中身は \((\omega t + \displaystyle\frac{\pi}{2})\) となります。
電圧の最大値 \(V_{L0}\) は、
$$ V_{L0} = X_L I_0 = \omega L I_0 $$
これらを組み合わせて、電圧の瞬時値は次のように表せます。
$$ V_L = \omega L I_0 \sin\left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right) $$

立式したものがそのまま答えとなります。これ以上の計算は不要です。

コイルは、電圧のタイミングが電流のタイミングより少し早い「せっかち」な素子です。このタイミングのズレは、ちょうど90°（\(\displaystyle\frac{\pi}{2}\)）です。電圧の大きさ（振幅）は、電流の最大値に、コイルの交流に対する流れにくさ（リアクタンス）を掛けることで計算できます。

コイルの電圧の瞬時値が求められました。電流を基準としたときに電圧の位相が\(\displaystyle\frac{\pi}{2}\)進むという、コイルの基本的な性質を正しく数式で表現できています。

問(ウ) 抵抗の電圧

思考の道筋とポイント
抵抗にかかる電圧 \(V_R\) の瞬時値を求めます。抵抗では、電圧と電流の位相は同じ（同相）です。電圧の最大値 \(V_{R0}\) は、オームの法則から電流の最大値 \(I_0\) と抵抗値 \(R\) の積で計算します。
この設問における重要なポイント

• 抵抗の電圧は、電流と同相である。
• 電圧の最大値は \(V_{R0} = R I_0\)。

具体的な解説と立式
抵抗にかかる電圧 \(V_R\) の位相は、電流 \(I = I_0 \sin(\omega t)\) と同じです。
電圧の最大値 \(V_{R0}\) は、
$$ V_{R0} = R I_0 $$
これらを組み合わせて、電圧の瞬時値は次のように表せます。
$$ V_R = R I_0 \sin(\omega t) $$

立式したものがそのまま答えとなります。これ以上の計算は不要です。

抵抗は「素直」な素子で、電圧と電流のタイミングは全く同じです。電圧の大きさは、おなじみのオームの法則で、抵抗値と電流の最大値を掛けるだけで求まります。

抵抗の電圧の瞬時値が求められました。電流と位相が一致するという、抵抗の基本的な性質を正しく数式で表現できています。

問(エ) 抵抗での平均消費電力

思考の道筋とポイント
抵抗で消費される電力の時間平均 \(\overline{P}\) を求めます。交流回路で平均的に電力を消費するのは抵抗のみです。平均電力は、電圧と電流の「実効値」の積で計算できます。
この設問における重要なポイント

• 平均消費電力は \(\overline{P} = I_e V_e\)。
• 実効値と最大値の関係は \(I_e = I_0/\sqrt{2}\), \(V_e = V_0/\sqrt{2}\)。
• 抵抗にかかる電圧の最大値は \(V_{R0} = R I_0\)。

具体的な解説と立式
抵抗での平均消費電力 \(\overline{P}\) は、抵抗を流れる電流の実効値 \(I_e\) と、抵抗にかかる電圧の実効値 \(V_{Re}\) の積で与えられます。
$$ \overline{P} = I_e V_{Re} $$
ここで、\(I_e = \displaystyle\frac{I_0}{\sqrt{2}}\) であり、抵抗にかかる電圧の最大値は \(V_{R0} = R I_0\) なので、その実効値は \(V_{Re} = \displaystyle\frac{V_{R0}}{\sqrt{2}} = \frac{R I_0}{\sqrt{2}}\) です。

$$
\begin{aligned}
\overline{P} &= I_e V_{Re} \\[2.0ex] &= \left( \frac{I_0}{\sqrt{2}} \right) \left( \frac{R I_0}{\sqrt{2}} \right) \\[2.0ex] &= \frac{R I_0^2}{2}
\end{aligned}
$$
あるいは、\(\overline{P} = \displaystyle\frac{1}{2} I_0 V_{R0}\) の公式から、
$$
\begin{aligned}
\overline{P} &= \frac{1}{2} I_0 (R I_0) \\[2.0ex] &= \frac{R I_0^2}{2}
\end{aligned}
$$
と計算することもできます。

交流回路でエネルギーを熱として消費するのは抵抗だけです。電力は「電圧×電流」で計算しますが、交流では常に値が変動するので「平均」で考えます。計算すると、電流の最大値の2乗に抵抗値を掛けて2で割った値になります。

抵抗で消費される平均電力が求められました。この値は、コイルとコンデンサーが理想的であれば、回路全体で消費される平均電力に等しくなります。

問(オ) 共振角周波数

思考の道筋とポイント
角周波数が \(\omega = \omega_0\) のとき、「ac間の電圧が常に0」になった、という条件から \(\omega_0\) を求めます。ac間とは、コンデンサーとコイルを合わせた区間です。したがって、この条件は、コンデンサーの電圧 \(V_C\) とコイルの電圧 \(V_L\) の和が、いかなる時刻 \(t\) においても0になることを意味します。
この設問における重要なポイント

• 「ac間の電圧が常に0」は、\(V_C + V_L = 0\) と数式で表現できる。
• この条件は、回路が「直列共振」していることを意味する。
• 直列共振は、コイルのリアクタンスとコンデンサーのリアクタンスが等しくなる (\(X_L = X_C\)) ときに起こる。

具体的な解説と立式
問題の条件は、
$$ V_C + V_L = 0 $$
です。この式に、(ア)と(イ)で求めた瞬時値の式を代入します。角周波数は \(\omega_0\) です。
$$ \frac{1}{\omega_0 C} I_0 \sin\left(\omega_0 t – \frac{\pi}{2}\right) + \omega_0 L I_0 \sin\left(\omega_0 t + \frac{\pi}{2}\right) = 0 $$
この式が、任意の時刻 \(t\) で常に成り立つための条件を考えます。

三角関数の公式を用いて式を整理します。
$$ \frac{1}{\omega_0 C} I_0 (-\cos(\omega_0 t)) + \omega_0 L I_0 (\cos(\omega_0 t)) = 0 $$
\(I_0 \cos(\omega_0 t)\) でくくります。
$$ \left( \omega_0 L – \frac{1}{\omega_0 C} \right) I_0 \cos(\omega_0 t) = 0 $$
この等式が、\(I_0 \neq 0\) であり、かつ時間とともに変化する \(\cos(\omega_0 t)\) の値によらず「常に」成り立つためには、括弧の中身が0でなければなりません。
$$ \omega_0 L – \frac{1}{\omega_0 C} = 0 $$
この式を \(\omega_0\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\omega_0 L &= \frac{1}{\omega_0 C} \\[2.0ex] \omega_0^2 &= \frac{1}{LC} \\[2.0ex] \omega_0 &= \frac{1}{\sqrt{LC}}
\end{aligned}
$$
(\(\omega_0 > 0\) なので、正の平方根をとります)

「ac間の電圧が常に0」とは、コンデンサーが生み出す電圧とコイルが生み出す電圧が、いつでも互いに打ち消し合っている状態を意味します。コンデンサーの電圧は電流より位相が \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) 遅れ、コイルの電圧は \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) 進むので、この二つの電圧はちょうど逆位相（山と谷が真逆）になります。この状態で、二つの電圧の大きさ（振幅）がぴったり等しくなれば、それらは完全に打ち消し合います。電圧の大きさが等しいということは、それぞれのリアクタンスが等しい (\(X_L = X_C\)) ということです。この条件から、特別な角周波数 \(\omega_0\) が求まります。この現象を「共振」と呼びます。

共振角周波数が \(\omega_0 = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{LC}}\) と求められました。この角周波数では、コイルとコンデンサーのリアクタンスが等しくなり、それぞれの電圧が互いに打ち消し合うため、回路全体のインピーダンスは抵抗Rのみとなって最小になります。これはRLC直列共振の最も重要な性質です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 電流基準での電圧の位相関係:
  • 核心: この問題は、これまでの問題とは逆に電流の位相を基準 (\(I=I_0\sin(\omega t)\)) として、各素子にかかる電圧の位相がどうなるかを問うています。この視点の切り替えが核心です。
  • 理解のポイント:
    • 抵抗: 電圧と電流は同相。\(V_R\) の位相は \((\omega t)\) のまま。
    • コイル: 電圧は電流より \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) 進む。\(V_L\) の位相は \((\omega t + \displaystyle\frac{\pi}{2})\) となる。
    • コンデンサー: 電圧は電流より \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) 遅れる。\(V_C\) の位相は \((\omega t – \displaystyle\frac{\pi}{2})\) となる。
    • (注: 電圧を基準に考えたときの「電流の進み/遅れ」とは、主語と目的語が逆転しているだけで、物理現象は同じです。)
• 直列共振の条件:
  • 核心: RLC直列回路において、特定の角周波数 \(\omega_0\) でコイルによる電圧とコンデンサーによる電圧が完全に打ち消し合う現象、これが「共振」です。
  • 理解のポイント:
    • 現象: \(V_L + V_C = 0\) が常に成り立つ。これは、\(V_L\) と \(V_C\) が「逆位相」かつ「同じ振幅」を持つことを意味します。
    • 条件: 上記の現象が起こる条件は、コイルのリアクタンスとコンデンサーのリアクタンスが等しくなることです。(\(X_L = X_C\))
    • 共振角周波数: この条件式 \(\omega_0 L = \displaystyle\frac{1}{\omega_0 C}\) を解くことで、共振が起こる角周波数 \(\omega_0 = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{LC}}\) が導かれます。この式は交流回路において最も重要な公式の一つです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • RLC直列回路のインピーダンスが最小になる条件: 共振時、\(X_L=X_C\) なので、インピーダンス \(Z = \sqrt{R^2 + (X_L – X_C)^2}\) は \(Z=R\) となり最小値を迎えます。このとき回路に流れる電流は最大になります。この性質を利用して、ラジオの同調回路などが作られています。
  • RLC直列回路の電圧と電流の位相差: 共振時には、\(V_L\) と \(V_C\) が打ち消しあうため、回路全体の電圧は抵抗の電圧 \(V_R\) と等しくなります。\(V_R\) は電流 \(I\) と同相なので、共振時には回路全体の電圧と電流が同相になります。
  • Q値（鋭さ）: 共振の鋭さを表す指標であるQ値を求める問題。\(Q = \displaystyle\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}\) で与えられ、共振時のコイルやコンデンサーの電圧が電源電圧のQ倍になる、といった応用につながります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 基準は何か: 問題文で与えられている式が「電圧」か「電流」かを確認します。\(I=I_0\sin(\omega t)\) とあれば、電流を基準に各電圧の位相を考えます。
  2. 「常に0」や「最大・最小」のキーワード: 「〜間の電圧が常に0」「電流が最大になった」「インピーダンスが最小になった」といった記述は、すべて「共振」を示唆するキーワードです。これらの言葉を見たら、即座に \(X_L=X_C\) という条件式を連想します。
  3. 問われているのは「瞬時値」か「最大値/実効値」か: (ア)〜(ウ)は瞬時値、(エ)は平均値（実効値から計算）です。問われている量に応じて、式の形（\(\sin\) を含むか、ただの大きさか）を正しく選択します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 電圧基準と電流基準の混同:
  • 誤解: 電圧を基準にしたときの位相関係（コイル電流は遅れる、コンデンサー電流は進む）と、電流を基準にしたときの位相関係（コイル電圧は進む、コンデンサー電圧は遅れる）を混同してしまう。
  • 対策: どちらか一方をしっかり覚え、もう一方はその逆の関係と理解するのが安全です。例えば「電圧はコイル(L)で進み(Lead)、コンデンサー(C)で遅れる(Lag)」と覚え、電流基準ならその逆、と考えることができます。
• 三角関数の公式の適用ミス:
  • 誤解: (オ)の計算で、\(\sin(\theta \pm \displaystyle\frac{\pi}{2})\) から \(\cos\theta\) への変換で符号を間違える。
  • 対策: 単位円を描いて確認する癖をつけるのが最も確実です。角度 \(\theta\) の位置から \(\pm 90^\circ\) 回転させたときの \(x\) 座標（\(\cos\)）と \(y\) 座標（\(\sin\)）の関係を目で見て確認すれば、符号ミスを防げます。
• 共振条件の丸暗記による弊害:
  • 誤解: \(\omega_0 = 1/\sqrt{LC}\) という公式だけを覚えていて、なぜそうなるのかを理解していないため、(オ)のような「ac間の電圧が0」という表現から共振条件を導けない。
  • 対策: 「共振とは \(V_L+V_C=0\) の状態であり、それは \(X_L=X_C\) を意味する」という物理的な意味合いとセットで公式を理解することが重要です。現象の根本を理解していれば、表現が変わっても対応できます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 各素子の電圧の瞬時値の式:
  • 選定理由: (ア)〜(ウ)では、時刻 \(t\) の関数である「瞬時値」を求めよ、と明確に指示されています。したがって、振幅（最大値）と位相の両方を含む \(V(t) = V_0 \sin(\omega t + \phi)\) の形の式を選択する必要があります。
  • 適用根拠: 各式の形は、電磁気学の基本法則に基づいています。電流を基準 (\(I \propto \sin\)) としたとき、抵抗の電圧はオームの法則から \(V_R \propto I \propto \sin\)、コイルの電圧はファラデーの法則から \(V_L \propto dI/dt \propto \cos\)、コンデンサーの電圧は \(Q=CV\) から \(V_C \propto \int I dt \propto -\cos\) となり、それぞれの位相関係が導かれます。
• 共振条件 \(V_C + V_L = 0\):
  • 選定理由: (オ)では、「ac間の電圧が常に0」という、これまでとは異なる形の条件が与えられています。この日本語の表現を、物理的な数式に翻訳する必要があります。「ac間の電圧」とは、点aと点cの電位差であり、これは \(V_C+V_L\) に他なりません。したがって、\(V_C+V_L=0\) という式を立てるのが最も直接的で論理的なアプローチです。
  • 適用根拠: キルヒホッフの第2法則（電圧則）は、回路のどの閉路についても、またどの時刻においても成り立ちます。\(V_C+V_L=0\) という条件は、この普遍的な法則を特定の状況に適用したものです。この式が任意の時刻 \(t\) で成り立つためには、係数部分が0になるしかない、という数学的な要請から、物理的な共振条件 (\(\omega_0 L = \displaystyle\frac{1}{\omega_0 C}\)) が導かれます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 式の構造をパーツごとに考える: (ア)〜(ウ)で瞬時値を求めるとき、式を「(最大値) \(\times\) \(\sin\)( (基準の位相) + (ずれ) )」というパーツの組み合わせと考えましょう。
  1. 「最大値」は \(RI_0\), \(\omega L I_0\), \(I_0/(\omega C)\) のどれか。
  2. 「基準の位相」は \(\omega t\)。
  3. 「ずれ」は \(0\), \(+\pi/2\), \(-\pi/2\) のどれか。

  このように分解して考えると、複雑な式も機械的に組み立てることができます。

• 文字式の整理を丁寧に行う: (オ)の計算では、多くの記号が登場します。\( \left( \omega_0 L – \displaystyle\frac{1}{\omega_0 C} \right) I_0 \cos(\omega_0 t) = 0 \) のような式まで整理できたら、「この式が常に成り立つためには？」と一呼吸おいて考えます。\(I_0\) は0ではなく、\(\cos(\omega_0 t)\) は時間で変化するから0ではない瞬間もある。したがって、定数である括弧の中が0になるしかない、という論理展開を丁寧に行うことが重要です。
• 次元（単位）の確認: (オ)で求めた \(\omega_0 = 1/\sqrt{LC}\) という結果が、本当に角周波数の次元になっているかを確認するのも有効な検算です。\(L\) の単位ヘンリー(H)は \([\text{V}\cdot\text{s}/\text{A}]\)、\(C\) の単位ファラド(F)は \([\text{A}\cdot\text{s}/\text{V}]\) なので、\(LC\) の次元は \([\text{s}^2]\) となります。したがって、\(\sqrt{LC}\) の次元は \([\text{s}]\) であり、\(1/\sqrt{LC}\) の次元は \([\text{s}^{-1}]\) となって、確かに角周波数 (rad/s) の次元と一致します。

471 電気振動

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「LC電気振動の基本法則の理解と応用」です。コンデンサーとコイルだけで構成された回路で、エネルギーがどのようにやり取りされ、電圧や電流がどのように時間変化するかを問う、電気振動の典型問題です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
LC回路の電気振動の周期 \(T\) は、自己インダクタンス \(L\) と電気容量 \(C\) のみで決まり、\(T=2\pi\sqrt{LC}\) という公式で与えられます。この問題では \(C\) を求めたいので、この公式を \(C\) について変形することが目標となります。そのためには周期 \(T\) の値が必要ですが、これは図2の電圧の時間変化のグラフから直接読み取ることができます。
この設問における重要なポイント

• LC回路の共振周期の公式は \(T=2\pi\sqrt{LC}\) である。
• グラフから物理量（この場合は周期 \(T\)）を正確に読み取る。
• 求める物理量（この場合は \(C\)）について式を変形してから、数値を代入する。

具体的な解説と立式
LC電気振動の周期 \(T\) は、自己インダクタンス \(L\) と電気容量 \(C\) を用いて以下のように表されます。
$$ T = 2\pi\sqrt{LC} $$
この式を、求めたい電気容量 \(C\) について解きます。まず、両辺を2乗して平方根を外します。
$$ T^2 = 4\pi^2 LC $$
この式を \(C\) について整理する準備ができました。

上記で立てた \(T^2 = 4\pi^2 LC\) の両辺を \(4\pi^2 L\) で割ることで、\(C\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
C &= \frac{T^2}{4\pi^2 L}
\end{aligned}
$$
ここで、図2のグラフから周期 \(T\) を読み取ります。グラフの波が1回振動して元の状態に戻るまでの時間は \(0.10 \, \text{s}\) です。したがって、\(T=0.10 \, \text{s}\) となります。
問題文より \(L=2.0 \, \text{H}\)、また円周率を \(\pi \approx 3.14\) として、これらの値を式に代入します。
$$
\begin{aligned}
C &= \frac{(0.10)^2}{4 \times (3.14)^2 \times 2.0} \\[2.0ex] &= \frac{0.01}{4 \times 9.8596 \times 2.0} \\[2.0ex] &= \frac{0.01}{78.8768} \\[2.0ex] &\approx 0.0001267… \\[2.0ex] &\approx 1.3 \times 10^{-4} \, \text{F}
\end{aligned}
$$

コンデンサーとコイルをつなぐと、電気が行ったり来たりする「電気の振り子」のような現象（電気振動）が起こります。その1往復にかかる時間（周期）は、コイルの性能 \(L\) とコンデンサーの性能 \(C\) だけで決まり、\(T=2\pi\sqrt{LC}\) という公式で計算できます。今回は、電圧の変化を示すグラフから周期 \(T\) が \(0.10\) 秒だと読み取れるので、この公式を「\(C=\dots\)」の形に逆算して、コンデンサーの性能 \(C\) を求める、という流れです。

電気容量 \(C\) は約 \(1.3 \times 10^{-4} \, \text{F}\) と求められました。問題で与えられている数値（\(6.0 \, \text{V}\), \(2.0 \, \text{H}\)）が有効数字2桁なので、答えも有効数字2桁で \(1.3 \times 10^{-4} \, \text{F}\) とするのが適切です。

問(2)

思考の道筋とポイント
この設問は、最大電流 \(I_0\) の計算と、電流 \(I\) のグラフ作成の2つの部分からなります。

最大電流 \(I_0\) の計算:
回路に抵抗がないため、電気的なエネルギーは熱として失われることなく保存されます。エネルギーは、コンデンサーの静電エネルギー \(\displaystyle\frac{1}{2}Cv^2\) とコイルの磁気エネルギー \(\displaystyle\frac{1}{2}Li^2\) の間でやり取りされます。コンデンサーのエネルギーが最大（電圧が \(V_0\) のとき）の瞬間のエネルギーと、コイルのエネルギーが最大（電流が \(I_0\) のとき）の瞬間のエネルギーが等しい、というエネルギー保存則を立式して \(I_0\) を求めます。

電流 \(I\) のグラフ作成:
電圧と電流の位相（タイミングのずれ）を考えます。図2より、\(t=0\) で電圧 \(v\) は最大です。このときコンデンサーは満充電状態で、まだ放電が始まっていないため電流は \(0\) です。その後、コンデンサーが放電を始めると電流が流れます。問題文で定義された電流の正の向き（C→S→L）は、放電時の電流の向きと一致するため、電流は正の値として増加していきます。このことから、電流のグラフは \(t=0\) で \(0\) から始まるサインカーブ（正弦波）になると判断できます。
この設問における重要なポイント

• LC回路ではエネルギー保存則が成り立つ: \(\displaystyle\frac{1}{2}Cv^2 + \frac{1}{2}LI^2 = (\text{一定})\)。
• コンデンサーのエネルギーが最大 \(\leftrightarrow\) コイルのエネルギーが \(0\)。
• コイルのエネルギーが最大 \(\leftrightarrow\) コンデンサーのエネルギーが \(0\)。
• 電流の位相は電圧の位相より \(\pi/2\) 遅れる。
• 電流の正の向きの定義を正しく解釈し、グラフの符号を決定する。

具体的な解説と立式
最大電流 \(I_0\) の計算:
回路の抵抗は \(0\) なので、LC回路内の全エネルギーは保存されます。
コンデンサーに蓄えられる静電エネルギーの最大値は、電圧が最大値 \(V_0\) のときで、\(\displaystyle\frac{1}{2}CV_0^2\) です。
一方、コイルに蓄えられる磁気エネルギーの最大値は、電流が最大値 \(I_0\) のときで、\(\displaystyle\frac{1}{2}LI_0^2\) です。
エネルギー保存則より、この2つの最大値は等しくなります。
$$ \frac{1}{2}CV_0^2 = \frac{1}{2}LI_0^2 $$

電流のグラフの形状:
\(t=0\) でコンデンサーの電圧 \(v\) は最大値 \(V_0\) です。このとき、電荷の移動は一瞬止まっているため、電流は \(I=0\) です。
\(t>0\) の微小時間後、コンデンサーは放電を開始し、上側極板の正電荷がC→S→Lの向きに流れ出します。問題文の定義ではこの向きが正なので、電流 \(I\) は \(0\) から正の方向へ増加していきます。
したがって、電流 \(I\) のグラフは、\(t=0\) で \(0\) から始まり、周期 \(T=0.10 \, \text{s}\) で振動するサインカーブ（正弦波）となります。これは、電圧 \(v\) のグラフ（コサインカーブ）に対して、位相が \(\pi/2\)（時間にして \(T/4\)）遅れていることに相当します。

エネルギー保存則の式 \(\displaystyle\frac{1}{2}CV_0^2 = \frac{1}{2}LI_0^2\) を \(I_0\) について解きます。両辺の \(\displaystyle\frac{1}{2}\) を消去します。
$$ LI_0^2 = CV_0^2 $$
\(I_0\) について解くと、
$$
\begin{aligned}
I_0^2 &= \frac{C}{L}V_0^2 \\[2.0ex] I_0 &= \sqrt{\frac{C}{L}} V_0
\end{aligned}
$$
ここで、(1)の計算過程で導出した関係式 \(C = \displaystyle\frac{T^2}{4\pi^2 L}\) を代入します。(1)で求めた \(C\) の近似値を使うよりも、文字式のまま代入する方が、計算誤差をなくし、しばしば計算が簡単になります。
$$
\begin{aligned}
I_0 &= \sqrt{\frac{1}{L} \left( \frac{T^2}{4\pi^2 L} \right)} V_0 \\[2.0ex] &= \sqrt{\frac{T^2}{4\pi^2 L^2}} V_0 \\[2.0ex] &= \frac{T}{2\pi L} V_0
\end{aligned}
$$
この式に、図2から読み取った \(V_0 = 6.0 \, \text{V}\), \(T = 0.10 \, \text{s}\)、および問題文の \(L=2.0 \, \text{H}\), \(\pi \approx 3.14\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
I_0 &= \frac{0.10 \times 6.0}{2 \times 3.14 \times 2.0} \\[2.0ex] &= \frac{0.60}{12.56} \\[2.0ex] &\approx 0.0477… \\[2.0ex] &\approx 4.8 \times 10^{-2} \, \text{A}
\end{aligned}
$$
電流のグラフは、周期 \(T=0.10 \, \text{s}\)、振幅 \(I_0 = 4.8 \times 10^{-2} \, \text{A}\) のサインカーブを描きます。具体的には、\(t=0.025 \, \text{s}\) で最大値、\(t=0.05 \, \text{s}\) で \(0\)、\(t=0.075 \, \text{s}\) で最小値（\(-I_0\)）、\(t=0.10 \, \text{s}\) で \(0\) に戻る波形となります。

最大電流の計算は、エネルギーのやり取りで考えます。電気振動は、コンデンサーに溜まった「電気のエネルギー」と、コイルに溜まる「磁気のエネルギー」が、互いに形を変えながら交換される現象です。回路に邪魔者（抵抗）がいないので、エネルギーの総量は常に同じです。したがって、「コンデンサーのエネルギーが満タン（最大）のときの量」と「コイルのエネルギーが満タン（最大）のときの量」は等しくなります。この等式を立てることで、最大電流を計算できます。
グラフの形は、タイミングのずれで考えます。電圧が最大のとき、電気はまだ流れ始めていないので電流はゼロです。電圧がゼロになるとき、最も勢いよく電気が流れているので電流は最大になります。この関係をグラフにすると、電圧のグラフ（cos波）を少し右にずらしたような形（sin波）になります。

最大電流は \(I_0 \approx 4.8 \times 10^{-2} \, \text{A}\) と求められました。電流のグラフは、電圧のグラフと位相が \(\pi/2\) ずれた、周期 \(0.10 \, \text{s}\)、振幅 \(4.8 \times 10^{-2} \, \text{A}\) のサインカーブとなり、物理的に妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• LC回路のエネルギー保存:
  • 核心: この問題の根幹は、抵抗が無視できるLC回路において、コンデンサーの静電エネルギーとコイルの磁気エネルギーの和が一定に保たれるという「エネルギー保存則」を理解し、応用することにあります。
  • 理解のポイント:
    • エネルギーの形態変換: 電気振動とは、エネルギーが静電エネルギー（コンデンサーに電荷が最大に蓄えられた状態）と磁気エネルギー（コイルに電流が最大に流れる状態）の間を行ったり来たりする現象です。
    • 最大値の関係: このエネルギー保存則から、静電エネルギーの最大値 \(\displaystyle\frac{1}{2}CV_0^2\) と磁気エネルギーの最大値 \(\displaystyle\frac{1}{2}LI_0^2\) は等しくなる、という非常に強力な関係式が導かれます。これが(2)の最大電流を求める鍵となります。
• 振動現象としての性質:
  • 核心: LC回路の振る舞いが、力学における「ばね振り子」と数学的に全く同じ単振動であることを理解することが重要です。
  • 理解のポイント:
    • 周期の公式: 振動の周期が \(T=2\pi\sqrt{LC}\) で与えられることは、ばね振り子の周期 \(T=2\pi\sqrt{m/k}\) と見事に対応しています。\(L\) が質量（慣性）、\(1/C\) がばね定数（復元力）に相当すると考えると、物理的イメージが掴みやすくなります。
    • 位相のずれ: 電圧 \(v\)（変位に相当）と電流 \(I\)（速度に相当）の位相が \(\pi/2\)（90度）ずれることも、単振動の性質そのものです。変位が最大のとき速度はゼロ、変位がゼロのとき速度は最大、という関係と同じです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • RLC回路の減衰振動: 回路に抵抗 \(R\) が加わったRLC回路の問題。この場合、エネルギーは抵抗でジュール熱として消費されるため、エネルギーは保存されず、振動は時間とともに減衰します。しかし、振動周期は \(T=2\pi\sqrt{LC}\) からわずかにずれるだけで、基本的な考え方は応用できます。
  • 特定の時刻におけるエネルギー比を求める問題: 「コンデンサーのエネルギーとコイルのエネルギーが等しくなる時刻を求めよ」といった問題。\(v(t)\) と \(I(t)\) の式を立て、\(\displaystyle\frac{1}{2}Cv(t)^2 = \frac{1}{2}LI(t)^2\) を解くことで求められます。
  • 外部から交流電源を接続する問題（共振回路）: LC回路に外部から周波数を変えられる交流電源を接続すると、電源の周波数がLC回路の固有振動数 \(f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})\) に一致したときに電流が最大になる「共振」が起こります。この共振周波数を計算する問題は、本質的に周期の公式を応用したものです。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 回路構成の確認: まず、回路に抵抗 \(R\) が含まれているかを確認します。\(R=0\) ならばエネルギー保存則が使え、振動は減衰しません。\(R>0\) ならばエネルギーは保存されず、減衰振動を考えます。
  2. グラフ情報の抽出: 電圧や電流のグラフが与えられたら、まず「周期 \(T\)」「振幅（最大値）」「初期位相（\(t=0\)での値と傾き）」の3点を読み取ることを徹底します。これだけで問題の大部分の情報が得られます。
  3. エネルギーか、瞬時値か: 最大値（\(I_0, V_0\)）を求めるだけなら、エネルギー保存則が最も簡単です。特定の時刻での値や、時間変化そのものを問われた場合は、(2)の別解のように \(v(t)\) や \(I(t)\) の瞬時値の式を立てるアプローチが有効です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 周期と角振動数の混同:
  • 誤解: 周期 \(T\) と角振動数 \(\omega\) の関係 \(T=2\pi/\omega\) を忘れ、計算式で取り違えてしまう。
  • 対策: 「\(T\) は1周の時間[s]」「\(\omega\) は1秒あたりの回転角度[rad/s]」と物理的な意味を常に意識します。公式 \(T=2\pi\sqrt{LC}\) と \(\omega = 1/\sqrt{LC}\) をセットで覚えておくと間違いが減ります。
• 電圧と電流の位相の勘違い:
  • 誤解: 電圧が最大のときに電流も最大になる、あるいはどちらが先に進むのかを混同してしまう。
  • 対策: 「コンデンサーが満充電（電圧最大）のときは、電荷の流れが止まっているので電流はゼロ」という物理現象のスタート地点を思い出すのが最も確実です。ここから電流が流れ始めるので、電流のピークは電圧のピークより遅れる（位相が遅れる）と判断できます。
• 電流の向きと符号のミス:
  • 誤解: 電流の正の向きの定義を無視して、機械的に \(I=dq/dt\) としてしまい、グラフの符号を間違える。
  • 対策: 問題文で電流の正の向きがどう定義されているかを必ず確認します。コンデンサーの（正の）電荷が減る向きを正とするなら \(I = -dq/dt\)、増える向きを正とするなら \(I = +dq/dt\) となります。この問題では前者でした。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 周期の公式 \(T=2\pi\sqrt{LC}\):
  • 選定理由: (1)では未知数が電気容量 \(C\) のみで、自己インダクタンス \(L\) は既知、周期 \(T\) はグラフから読み取れる、という状況でした。この3つの物理量を直接結びつける唯一の公式がこれであるため、選択は必然です。
  • 適用根拠: この公式は、LC回路の回路方程式（キルヒホッフの第2法則）を立て、それが単振動の微分方程式と同じ形になることから導かれます。したがって、抵抗のないLC回路であれば常に適用可能です。
• エネルギー保存則 \(\displaystyle\frac{1}{2}CV_0^2 = \frac{1}{2}LI_0^2\):
  • 選定理由: (2)で最大電流 \(I_0\) を求めるにあたり、電圧の最大値 \(V_0\) との関係を知る必要がありました。この法則は、時間という変数を介さずに、2つの状態（電圧最大時と電流最大時）の最大値を直接結びつけてくれるため、最もシンプルで計算が楽な方法です。
  • 適用根拠: この法則が成り立つ根拠は、回路にエネルギーを散逸させる要素（抵抗）が存在しないことです。抵抗がなければ、電磁エネルギーは他の形態に変化することなく、静電エネルギーと磁気エネルギーの間で完全に交換され続けるため、その総和は保存されます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式での整理を優先する: (2)の \(I_0\) の計算のように、(1)で求めた \(C\) の近似値をすぐに代入するのではなく、\(C = T^2/(4\pi^2 L)\) という文字式の関係を代入して整理を進めるのが賢明です。これにより、\(\pi\) や \(T\) がきれいに約分され、最終的な計算が非常に楽になります。また、途中の計算誤差の蓄積も防げます。
• 単位の確認: 電気容量の単位はファラド[F]、自己インダクタンスの単位はヘンリー[H]です。特に \(10^{-4}\) のような指数が出てきたときに、マイクロ(\(\mu\))やピコ(\(p\))などの接頭語と混同しないよう、基本単位で計算する癖をつけましょう。
• グラフの読み取りは慎重に: 周期を読み取る際、グラフの1山だけを見て \(0.05 \, \text{s}\) と誤読しないように注意が必要です。周期は「1回の完全な振動」にかかる時間なので、山から山、あるいは谷から谷までの時間（この場合は \(0.10 \, \text{s}\)）を正確に読み取ります。
• 有効数字の意識: 問題文で与えられている数値（\(6.0 \, \text{V}\), \(2.0 \, \text{H}\), \(0.10 \, \text{s}\)）はすべて有効数字2桁です。したがって、最終的な答えも有効数字2桁に丸めるのが適切です。計算途中では3桁程度まで残しておき、最後に四捨五入すると精度が保たれます。(\(\pi \approx 3.14\) を使うのはこのためです。)

472 電磁波

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「電磁波の基本的な性質の理解」です。電磁波が、空間を伝わる「電場」と「磁場」の波であり、それらの間には厳密な幾何学的関係があることを正しく理解しているかが問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

空欄補充と作図

思考の道筋とポイント
この問題は、電磁波の構造に関する基本的な知識を体系的に確認するものです。ポイントは、電場(\(\vec{E}\))、磁場(\(\vec{B}\))、そして進行方向(\(\vec{v}\))という3つのベクトルが、互いにどのような方向を向いているかを正確に把握することです。これらの関係は、「電磁波は、電場と磁場が互いに垂直に、かつ進行方向にも垂直に、同位相で振動する横波であり、その進行方向は \(\vec{E}\) から \(\vec{B}\) への右ねじの法則で決まる」という一文に集約されます。
この設問における重要なポイント

• 電磁波は、電場と磁場の振動からなる波である。
• 電磁波は横波であり、電場と磁場の振動方向は、進行方向に垂直である。
• 電場と磁場の振動方向は、互いに垂直である。
• 電場と磁場は、同じタイミングで山や谷を迎える（同位相である）。
• 進行方向は、電場の向きから磁場の向きへ右ねじを回したときに、ねじが進む向きと一致する。

具体的な解説と立式
1. 空欄補充について
問題文「電磁波の \(1\) と \(2\) の振動方向は、電磁波の進行方向に対して垂直な面内にあり、しかも、互いに垂直である。」という記述は、電磁波の基本的な性質そのものです。\(1\) と \(2\) には、電磁波を構成する2つの要素である「電場」と「磁場」が入ります。
続く「\(1\) の向きから \(2\) の向きにまわした右ねじの進む向きがこの電磁波の進行する向きである。」という記述は、進行方向を決定する法則です。物理学の慣例では、電場(\(\vec{E}\))から磁場(\(\vec{B}\))へ右ねじを回すことで進行方向を定義します。したがって、\(1\) に「電場」、\(2\) に「磁場」を入れるのが適切です。

2. 作図について
以下の手順で作図します。

1. 進行方向の確認: 問題文より、進行方向はz軸の正の向きです。
2. 電場の振動面の決定: 電場は進行方向(z軸)に垂直なxy平面内で振動します。最もシンプルに考えるため、電場の振動方向をx軸方向（つまりxz平面内での振動）と仮定します。
3. 磁場の振動面の決定: 磁場も進行方向(z軸)に垂直で、かつ電場(x軸方向)にも垂直でなければなりません。したがって、磁場の振動方向はy軸方向（つまりyz平面内での振動）となります。
4. 右ねじの法則の確認: この設定で右ねじの法則が成り立つか確認します。電場の正の向き(+x方向)から磁場の正の向き(+y方向)へ右ねじを回すと、ねじの進む向きは+z方向となり、問題の指定と一致します。これで、電場をx軸方向、磁場をy軸方向とする設定が正しいことが確定しました。
5. 波形の描画: 電場と磁場は同位相で振動するため、同じ形の波（正弦波）を、それぞれxz平面とyz平面に描きます。例えば、\(z=0\) で振幅が \(0\) となり、そこから \(z\) が増加するにつれて、電場は+x方向へ、磁場は+y方向へ、同時に振幅が大きくなるように描きます。
6. 矢印と名称の記入: 波の各点（特に山と谷）に、振動の向きを示す矢印を記入します。xz平面の波にはx軸に平行な矢印を、yz平面の波にはy軸に平行な矢印を描きます。最後に、それぞれの波に対応する括弧内に「電場」「磁場」と名称を記入します。

この問題には計算過程はありません。

電磁波は、目に見えない「電気の波（電場）」と「磁気の波（磁場）」がセットになって、空間を飛んでいく現象です。この2つの波と進行方向には、面白いルールがあります。
1. 3つの向き（電場、磁場、進行方向）は、お互いにすべて直角になっています。ちょうど部屋の隅っこみたいに、縦・横・奥行きの関係です。
2. 進行方向は、「電場の向き」から「磁場の向き」へ、右手の指をカールさせたときに親指が向く方向（右ねじの法則）と決まっています。
3. 2つの波は、足並みをそろえて振動します（同位相）。電場の波が一番高くなるとき、磁場の波も一番高くなります。
このルールに従って、問題用紙の図に波の形を書き込んでいくのがこの問題の目的です。

空欄には \(1\) 電場、\(2\) 磁場 が入ります。作図では、進行方向をz軸、電場の振動をxz平面、磁場の振動をyz平面にとり、同位相の正弦波を描くことで、電磁波のすべての性質を正しく表現できます。描かれた図が、電磁波の基本的な性質をすべて満たしていることを確認することが重要です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 電磁波の幾何学的構造:
  • 核心: この問題の根幹は、電磁波を構成する電場(\(\vec{E}\))、磁場(\(\vec{B}\))、進行方向(\(\vec{v}\))の3つのベクトルが、互いに直交する三次元的な関係（右手系）をなしているという、その幾何学的な構造を理解することです。
  • 理解のポイント:
    • 3つの「垂直」: 物理現象を理解する上で、以下の3つの垂直関係を明確に区別して覚えることが重要です。
      1. 電場の振動方向は、進行方向に垂直。
      2. 磁場の振動方向は、進行方向に垂直。
      3. 電場の振動方向と磁場の振動方向は、互いに垂直。
    • 進行方向の決定則: 上記の垂直関係だけでは、進行方向が2つ（例えば+z方向と-z方向）考えられます。それを一意に決定するのが「\(\vec{E}\)から\(\vec{B}\)への右ねじの法則」です。この法則が、3つのベクトルの向きの関係性を完全に定義します。
• 電場と磁場の同位相性:
  • 核心: 電場と磁場は、空間的に垂直なだけでなく、時間的（空間的）に完全に同期して振動する（同位相である）という性質を理解することが重要です。
  • 理解のポイント:
    • 原因と結果の連鎖: 電磁波は、変化する電場が磁場を生み、その変化する磁場がさらに電場を生む…という相互作用の連鎖によって空間を伝わります。この生成メカニズムにより、電場と磁場の強弱のタイミングは完全に一致します。
    • 作図への反映: この同位相性は、作図において「電場の波の山と磁場の波の山」「電場の波の谷と磁場の波の谷」が、進行方向の同じ位置に来るように描くことで表現されます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 偏光板を通過する電磁波: 電磁波が特定の方向にしか振動しない電場を通す「偏光板」を通過する問題。電磁波の電場成分だけに着目し、その振動方向と偏光板の透過軸のなす角度によって、通過後の電磁波の強度がどうなるかを考えます（マルスの法則）。
  • アンテナからの電磁波の放射: アンテナ（導線）に流れる交流電流が、その周りにどのような電場と磁場を作り、どの方向に電磁波として放射されるかを問う問題。アンテナの向きが電場の振動方向を決定する手がかりになります。
  • ポインティングベクトル: 電磁波が運ぶエネルギーの流れの向きと大きさを表す「ポインティングベクトル \(\vec{S}\)」は、\(\vec{S} \propto \vec{E} \times \vec{B}\) で定義されます。これは、エネルギーの流れの向きが電磁波の進行方向と一致することを示しており、本質的にこの問題で学んだ右ねじの法則と同じです。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 3つのベクトルのうち、2つを探す: 電磁波に関する問題では、通常、電場・磁場・進行方向のうち、少なくとも2つの向きに関する情報が与えられます。例えば、「進行方向は+z向き、電場はxy平面内で振動」など。
  2. 右手で関係性を確認: 与えられた2つの情報をもとに、右手の指（電場）、手のひら（磁場）、親指（進行方向）などを使って、残りの1つのベクトルの向きを決定します。
  3. 位相を意識する: 電場と磁場の強さや、それらが作る力の大きさを考える問題では、必ず「同位相」であることを念頭に置きます。電場が0の瞬間は、磁場も0です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 右ねじの法則の向きの間違い:
  • 誤解: 磁場から電場へ右ねじを回してしまう、あるいは左手を使ってしまう。
  • 対策: 「電場が先、磁場が後」と呪文のように覚えるのが有効です。「Eが先、Bが後」とアルファベット順で覚えても良いでしょう。必ず右手を使って、「電場→磁場」の順で指を回し、親指の向きが進行方向であることを繰り返し確認する練習をします。
• 縦波との混同:
  • 誤解: 電場や磁場が進行方向に平行に振動する成分があると勘違いしてしまう。
  • 対策: 電磁波は「横波」である、と明確に記憶します。音波のような「縦波（疎密波）」とは根本的に性質が異なることを意識し、振動方向は必ず進行方向と垂直な平面内（この問題ではxy平面）に限定されることを徹底します。
• 位相のずれの勘違い:
  • 誤解: LC回路の振動のように、電場と磁場の位相が \(\pi/2\) ずれていると勘違いしてしまう。
  • 対策: LC回路の振動と電磁波の伝播は、似ているようで異なる現象であることを区別します。LC回路では、エネルギーが静電エネルギーと磁気エネルギーの間で「時間的に」交互に変換されるため位相がずれます。一方、電磁波では、電場と磁場が「空間的に」互いを生成しあいながら一緒に進むため、位相はずれません。「LC回路は位相がずれる、電磁波は位相がそろう」と対比させて覚えましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 電磁波の基本法則の適用:
  • 選定理由: この問題は、電磁波の定義そのものを問うています。したがって、マクスウェル方程式から導かれる電磁波の基本的な性質（横波性、直交性、進行方向の法則、同位相性）を、知識として正しく適用することが求められます。特定の数式を選択するというよりは、これらの定性的な法則群を一つのパッケージとして適用します。
  • 適用根拠: これらの法則は、真空中のマクスウェル方程式という、電磁気学の最も基本的な法則から数学的に導出される結論です。したがって、電磁波が存在する限り、これらの性質は常に成り立っています。この問題は、その普遍的な法則を正しく理解しているかを確認するためのものです。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• この問題は計算を伴いませんが、作図における「正確さ」が計算の代わりとなります。
• 座標軸の丁寧な描画: 自分で作図する際は、まずx, y, zの三次元座標軸を、互いに垂直に見えるように丁寧に描くことが全ての基本です。
• 基準となる波から描く: まず、基準となる一方の波（例えば電場）をxz平面にきれいに描きます。次に、その波の山、谷、ゼロ点を基準にして、もう一方の波（磁場）をyz平面に描いていきます。これにより、同位相性が崩れるのを防げます。
• 矢印による向きの明示: 波形を描くだけでなく、振動の向きを示す矢印を必ず描き入れましょう。特に、波がx軸やy軸を横切る点（変位ゼロ）では、波の傾きから次の瞬間にどちらへ向かうのかを考え、その向きに矢印を描くと、より正確な理解を示すことができます。例えば、\(z=0\) で波が正の傾きを持つなら、矢印は+x（または+y）方向を向きます。

ABOUT THE AUTHOR

共田 誠（まこと先生）

高校物理講師・プロ家庭教師 / 指導歴14年

上智大学理工学部物理学科卒。私立高校の非常勤講師として進学クラスから基礎クラスまで幅広く担当。大手家庭教師センター3社でプロ家庭教師を経験し、現在はオンライン専門で全国の高校生を個別指導中。

「暗記物理の撲滅」を掲げ、生徒の思考のクセを診断・矯正するドクター型アプローチで指導。表面的なテクニックではなく、初見の問題に強い思考力を育てる。

800+解説記事

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