「セミナー物理基礎＋物理2025」徹底解説！【第 Ⅲ 章 12】基本問題292～300

基本問題

292 \(p-V\)グラフ

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「\(p-V\)グラフの読み取りと理想気体の状態変化」です。グラフから気体の状態量（圧力・体積）を正確に読み取り、各状態変化の特性（等温、定圧、定積）を見抜いて、適切な物理法則を適用する能力を養います。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
「CD間は、温度が一定の変化である」と明記されているため、これは等温変化です。したがって、ボイルの法則 \(pV = \text{一定}\) が成り立ちます。この「一定値」を求めるために、CD上のいずれかの点の圧力と体積の値をグラフから読み取ります。点C、点Dどちらの点を使っても同じ結果になります。
この設問における重要なポイント

• 等温変化では、ボイルの法則 \(pV = \text{一定}\) が成り立つ。
• グラフの軸の単位に注意して、状態CまたはDの圧力と体積を正確に読み取る。

具体的な解説と立式
CD間は等温変化なので、ボイルの法則より、この変化の間の任意の点 \((p, V)\) において、積 \(pV\) は一定の値をとります。
$$ pV = \text{一定} $$
この一定値を求めるため、グラフから状態Cの値を読み取ります。

• 圧力 \(p_C = 3.0 \times 10^5\,\text{Pa}\)
• 体積 \(V_C = 2.0 \times 10^{-3}\,\text{m}^3\)

したがって、CD間の関係式は、
$$ pV = p_C V_C $$
となります。

読み取った値を代入して、一定値を計算します。
$$
\begin{aligned}
pV &= (3.0 \times 10^5) \times (2.0 \times 10^{-3}) \\[2.0ex] &= 6.0 \times 10^{5-3} \\[2.0ex] &= 6.0 \times 10^2
\end{aligned}
$$
（検算として、状態Dの値 \(p_D = 2.0 \times 10^5\,\text{Pa}\), \(V_D = 3.0 \times 10^{-3}\,\text{m}^3\) を使っても、積は \(6.0 \times 10^2\) となり、一致します。）

温度が一定のとき、気体の圧力と体積には「掛け算すると常に同じ値になる」というルール（ボイルの法則）があります。この問題では、CDの間がそのルールに従うと教えてくれています。なので、C点（またはD点）の圧力と体積をグラフから読み取って掛け算すれば、その「同じ値」が求まり、関係式が完成します。

CD間での圧力 \(p\) と体積 \(V\) の関係は \(pV = 6.0 \times 10^2\) と表せます。この式の単位は \((\text{Pa}) \times (\text{m}^3) = (\text{N}/\text{m}^2) \times \text{m}^3 = \text{N}\cdot\text{m} = \text{J}\) となり、エネルギーの次元を持つことがわかります。これは状態方程式 \(pV=nRT\) の右辺と一致します。

問(2)

思考の道筋とポイント
状態Aと状態Bの温度を求めます。

• 状態Aの温度 \(T_A\): グラフから、A→Dの変化は圧力が \(p=2.0 \times 10^5\,\text{Pa}\) で一定の「定圧変化」です。したがって、シャルルの法則 \(\displaystyle\frac{V}{T} = \text{一定}\) が使えます。状態Aと状態Dを比較します。状態Dの温度はCD間と等しいので \(T_D = 9.0 \times 10^2\,\text{K}\) です。
• 状態Bの温度 \(T_B\): グラフから、B→Cの変化は圧力が \(p=3.0 \times 10^5\,\text{Pa}\) で一定の「定圧変化」です。同様にシャルルの法則が使えます。状態Bと状態Cを比較します。状態Cの温度は \(T_C = 9.0 \times 10^2\,\text{K}\) です。

この設問における重要なポイント

• \(p-V\)グラフで水平な直線は「定圧変化」を表し、シャルルの法則が適用できる。
• 比較する2つの状態を正しく選び、グラフから値を正確に読み取る。

具体的な解説と立式
【状態Aの温度 \(T_A\) の計算】

AD間は定圧変化なので、シャルルの法則より \(\displaystyle\frac{V_A}{T_A} = \frac{V_D}{T_D}\) が成り立ちます。
グラフから読み取る値は、

• \(V_A = 1.0 \times 10^{-3}\,\text{m}^3\)
• \(V_D = 3.0 \times 10^{-3}\,\text{m}^3\)

また、\(T_D = 9.0 \times 10^2\,\text{K}\) です。
よって、
$$ \frac{1.0 \times 10^{-3}}{T_A} = \frac{3.0 \times 10^{-3}}{9.0 \times 10^2} $$
【状態Bの温度 \(T_B\) の計算】

BC間は定圧変化なので、シャルルの法則より \(\displaystyle\frac{V_B}{T_B} = \frac{V_C}{T_C}\) が成り立ちます。
グラフから読み取る値は、

• \(V_B = 1.0 \times 10^{-3}\,\text{m}^3\)
• \(V_C = 2.0 \times 10^{-3}\,\text{m}^3\)

また、\(T_C = 9.0 \times 10^2\,\text{K}\) です。
よって、
$$ \frac{1.0 \times 10^{-3}}{T_B} = \frac{2.0 \times 10^{-3}}{9.0 \times 10^2} $$

【\(T_A\) の計算】

両辺の \(10^{-3}\) を消去すると、
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{T_A} &= \frac{3}{9.0 \times 10^2} \\[2.0ex] \frac{1}{T_A} &= \frac{1}{3.0 \times 10^2}
\end{aligned}
$$
したがって、
$$
\begin{aligned}
T_A &= 3.0 \times 10^2\,\text{K}
\end{aligned}
$$
【\(T_B\) の計算】

両辺の \(10^{-3}\) を消去すると、
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{T_B} &= \frac{2}{9.0 \times 10^2}
\end{aligned}
$$
したがって、
$$
\begin{aligned}
T_B &= \frac{9.0 \times 10^2}{2} \\[2.0ex] &= 4.5 \times 10^2\,\text{K}
\end{aligned}
$$

圧力が同じ仲間同士では、体積と（絶対）温度が比例するというルール（シャルルの法則）があります。A点とD点は圧力が同じ仲間なので、D点の体積がA点の3倍なら、温度も3倍のはずです。B点とC点も圧力が同じ仲間なので、C点の体積がB点の2倍なら、温度も2倍のはずです。この比例関係を使って、A点とB点の温度を計算します。

状態Aの温度は \(3.0 \times 10^2\,\text{K}\)、状態Bの温度は \(4.5 \times 10^2\,\text{K}\) と求まりました。
A→Bは体積一定で圧力が上昇しているので加熱（定積加熱）、B→Cは圧力一定で体積が増加しているので加熱（定圧加熱）です。したがって、温度は \(T_A < T_B < T_C\) の順に高くなるはずです。計算結果は \(3.0 \times 10^2 < 4.5 \times 10^2 < 9.0 \times 10^2\) となっており、物理的な変化の様子と矛盾しません。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• \(p-V\)グラフの解釈と状態変化の法則の適用
  • 核心: この問題の根幹は、\(p-V\)グラフという視覚情報から、気体の状態量（圧力・体積）を正確に読み取り、グラフの軌跡の形状から状態変化の種類（定圧、等温など）を判断し、それぞれに対応する物理法則（シャルルの法則、ボイルの法則など）を的確に選択・適用する能力です。
  • 理解のポイント:
    • グラフの読み取り: 縦軸が圧力 \(p\)、横軸が体積 \(V\) を表します。各点（A, B, C, D）が気体の特定の状態を示し、矢印で結ばれた線が状態変化のプロセスを表します。軸の単位（\(\times 10^5\,\text{Pa}\) など）を見落とさないことが極めて重要です。
    • グラフ形状と法則の対応:
      • 水平な線（AD, BC）: 圧力が一定なので「定圧変化」。シャルルの法則（\(\displaystyle\frac{V}{T} = \text{一定}\)）が適用できます。
      • 垂直な線（AB）: 体積が一定なので「定積変化」。ゲイ＝リュサックの法則（\(\displaystyle\frac{p}{T} = \text{一定}\)）が適用できます。
      • 反比例の曲線（CD）: 問題文で「温度が一定」と与えられており、「等温変化」。ボイルの法則（\(pV = \text{一定}\)）が適用できます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 熱力学第一法則との融合問題: グラフで囲まれた面積が気体が1サイクルで外部にした仕事を表すことを利用して、内部エネルギーの変化や吸収・放出した熱量を計算させる問題。
  • \(p-T\)グラフ、\(V-T\)グラフの問題: 異なる種類のグラフでも、考え方は同じです。グラフの形状から状態変化の種類を特定することが第一歩です。例えば、\(V-T\)グラフで原点を通る直線は「定圧変化」を表します。
  • 断熱変化を含むサイクル: \(p-V\)グラフ上で、等温変化の曲線よりも傾きが急な曲線で表される「断熱変化」を含むサイクル問題。ポアソンの法則（\(pV^\gamma = \text{一定}\)）や熱力学第一法則（\(Q=0\)）を用いて解析します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まずグラフの軸と単位を確認する: 何のグラフ（\(p-V\), \(p-T\), \(V-T\)）か、そして軸の単位は何かを最初に確認します。単位の見落としは致命的なミスにつながります。
  2. 各プロセス（A→Bなど）の種類を特定する: グラフの線の形状（水平、垂直、曲線）から、各状態変化が定圧、定積、等温、断熱のどれに該当するかを判断します。
  3. 状態量を表にまとめる: 各点（A, B, C, D）について、グラフから読み取れる圧力 \(p\) と体積 \(V\)、そして問題文で与えられたり計算で求めたりする温度 \(T\) を一覧表にすると、思考が整理され、計算ミスを防げます。
  4. 温度が既知の点を基準にする: この問題ではCD間の温度が与えられているので、点Cや点Dを基準点として、シャルルの法則などを用いて他の点の温度を計算していくのが定石です。
  5. 状態方程式という万能ツールを意識する: どの法則を使うか迷ったときや、より根本的に解きたいときは、気体の状態方程式 \(pV=nRT\) に立ち返るのが有効です。特に、ある一点の状態量（\(p, V, T\)）がすべて分かれば、その気体の物質量 \(n\)（あるいは \(nR\) の値）が特定でき、他のどの点の状態量も計算可能になります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• グラフの軸の単位の読み取りミス:
  • 誤解: 軸のラベルにある \(\times 10^5\) や \(\times 10^{-3}\) を見落とし、例えば点Cの圧力を \(3.0\,\text{Pa}\)、体積を \(2.0\,\text{m}^3\) として計算してしまう。
  • 対策: グラフ問題を解くときは、まず最初に軸の単位表記に大きな丸をつけるなどして、意識を強制的に向けさせましょう。「\(p_C = 3.0 \times 10^5\,\text{Pa}\)」のように、値を書き出す際に必ず単位とセットにする癖をつけることが最も効果的です。
• 比較する2つの状態の選択ミス:
  • 誤解: 例えば、A点とC点のように、定圧でも等温でもない関係の2点間で、シャルルの法則やボイルの法則を無理やり適用しようとしてしまう。
  • 対策: 各法則が成り立つ条件を正確に理解することが重要です。シャルルの法則は「圧力が一定の線上にある2点間」、ボイルの法則は「温度が一定の線上にある2点間」でのみ使えます。必ず、どの変化の法則を、どの区間に適用するのかを明確にしてから立式しましょう。
• シャルルの法則でセルシウス温度を使う:
  • 誤解: もし問題で温度がセルシウス温度で与えられた場合、絶対温度に変換せずに計算してしまう。
  • 対策: 「気体の法則で使う温度は、絶対温度」という熱力学の大原則を徹底しましょう。問題文に \(^\circ\text{C}\) が出てきたら、条件反射で \(+273\) をして絶対温度 \(\text{K}\) に直す習慣をつけることが不可欠です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（ボイルの法則）:
  • 選定理由: 問題文に「CD間は、温度が一定の変化である」と明確に指定されています。この「等温変化」における圧力と体積の関係を記述する法則が、ボイルの法則 \(pV=\text{一定}\) です。したがって、この条件に最も特化した公式を選択するのが合理的です。
  • 適用根拠: 「一定質量の理想気体」であり、かつ「温度が一定」という条件が揃っているため、気体の状態方程式 \(pV=nRT\) の右辺 \(nRT\) が定数となります。その結果、左辺の \(pV\) も定数とならなければならない、というのがボイルの法則を適用する論理的な根拠です。
• (2)での公式選択（シャルルの法則）:
  • 選定理由: グラフの形状から、AD間およびBC間は水平な直線、すなわち「定圧変化」であることが読み取れます。この定圧変化における体積と（絶対）温度の関係を記述する法則が、シャルルの法則 \(\displaystyle\frac{V}{T}=\text{一定}\) です。
  • 適用根拠: 「一定質量の理想気体」であり、かつ「圧力が一定」という条件が揃っているため、気体の状態方程式 \(pV=nRT\) を変形した \(\displaystyle\frac{V}{T}=\frac{nR}{p}\) の右辺が定数となります。その結果、左辺の \(\displaystyle\frac{V}{T}\) も定数とならなければならない、というのがシャルルの法則を適用する論理的な根拠です。
• 別解でのアプローチ選択（気体の状態方程式）:
  • 選定理由: ボイルの法則やシャルルの法則は、すべて状態方程式 \(pV=nRT\) から導かれる、いわば「子分」のようなものです。したがって、最も基本的で普遍的な「親分」である状態方程式から出発すれば、どんな状態変化も統一的に扱うことができます。特に、ある一点の状態量（\(p, V, T\)）がすべて分かっている場合、その気体の物質量 \(n\)（あるいは \(nR\) の値）を特定でき、他のどの点の状態量も直接計算できるため、非常に強力なアプローチとなります。
  • 適用根拠: 状態方程式は、理想気体のどの状態においても成立する普遍的な法則です。この法則の正しさが、あらゆる計算の出発点となる根拠を与えます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位を含めて値を書き出す:
  • グラフから値を読み取るときは、\(p_C = 3.0 \times 10^5\,\text{Pa}\) のように、必ず単位と指数をセットで書き出す癖をつけましょう。これにより、単位の見落としという初歩的かつ致命的なミスを防げます。
• 指数計算のルールを徹底する:
  • \((3.0 \times 10^5) \times (2.0 \times 10^{-3}) = (3.0 \times 2.0) \times 10^{5-3} = 6.0 \times 10^2\) のように、係数部分と指数部分を分けて計算すると、計算ミスが減り、検算もしやすくなります。
• 比例式は分数でスマートに解く:
  • (2)のシャルルの法則 \(\displaystyle\frac{V_A}{T_A} = \frac{V_D}{T_D}\) は、\(T_A = T_D \times \displaystyle\frac{V_A}{V_D}\) と変形できます。これに値を代入すると \(T_A = (9.0 \times 10^2) \times \displaystyle\frac{1.0 \times 10^{-3}}{3.0 \times 10^{-3}} = (9.0 \times 10^2) \times \frac{1}{3} = 3.0 \times 10^2\,\text{K}\) となります。これは「体積が \(1/3\) になったから、絶対温度も \(1/3\) になる」という物理的な意味が分かりやすく、計算も簡単です。
• 物理的な妥当性を吟味する（検算）:
  • 計算後、各点の温度の大小関係が、グラフの変化の様子と合っているかを確認しましょう。
    • A→B: 定積加熱（圧力が上がる）→ 温度は上がるはず (\(T_A < T_B\))。計算結果: \(3.0 \times 10^2 < 4.5 \times 10^2\), OK。
    • B→C: 定圧加熱（体積が増える）→ 温度は上がるはず (\(T_B < T_C\))。計算結果: \(4.5 \times 10^2 < 9.0 \times 10^2\), OK。
  • このように、サイクル全体で温度変化の辻褄が合っているかを確認することで、計算ミスを発見できる可能性が高まります。

293 理想気体の状態変化

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「理想気体の定圧変化における体積と温度の関係」です。気体の状態変化に関する法則を正しく理解し、それをグラフで表現する能力が問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題の核心は、問題文の「圧力を一定に保ちながら」という条件から、シャルルの法則が適用できることを見抜く点にあります。シャルルの法則によれば、体積 \(V\) と絶対温度 \(T\) は比例関係にあります。この比例関係をグラフで表現するとどうなるかを考え、適切な選択肢を選びます。
この設問における重要なポイント

• 圧力 \(p\) が一定（定圧変化）である。
• シャルルの法則 \(\frac{V}{T} = \text{一定}\) が成り立つ。
• 体積 \(V\) は絶対温度 \(T\) に比例する。

具体的な解説と立式
問題文には「圧力を一定に保ちながら状態を変化させる」とあります。これは定圧変化を意味します。
一定量の気体を定圧変化させるとき、体積 \(V\) と絶対温度 \(T\) の間にはシャルルの法則が成り立ちます。
シャルルの法則は、
$$
\begin{aligned}
\frac{V}{T} &= k \quad (k \text{は定数})
\end{aligned}
$$
と表されます。この式を変形すると、
$$
\begin{aligned}
V &= kT
\end{aligned}
$$
となります。
これは、体積 \(V\) が絶対温度 \(T\) に比例することを意味します。\(y=ax\) の形の一次関数のグラフが原点を通る直線になるのと同様に、\(V\) を縦軸、\(T\) を横軸にとった \(V\)-\(T\) グラフは、原点を通る直線になります。
したがって、選択肢の中でこの関係を正しく表しているのはウです。

この問題では、具体的な数値を代入する計算はありません。シャルルの法則の式 \(V=kT\) が、グラフ上では原点を通る直線に対応することを理解することが計算過程に相当します。

風船などを温めると膨らむように、気体は一般に温めると体積が増えます。物理学では、この関係をより正確に調べます。特に「圧力」を一定に保ったまま気体を温めると、その「体積 \(V\)」は「絶対温度 \(T\)」にきれいに比例して増えていくことが知られています。これを「シャルルの法則」と呼びます。比例の関係をグラフにすると、必ず原点を通る直線になります。選択肢の中で、原点を通る直線になっているのはウだけなので、これが答えになります。

シャルルの法則から、定圧条件下では体積 \(V\) と絶対温度 \(T\) は比例関係 \(V \propto T\) にあることが確認できました。この関係を表すグラフは原点を通る直線です。

• アは \(V\) が \(T\) に反比例する関係（ボイルの法則に対応）を示しています。
• イは非線形（指数関数的など）の増加を示しており、比例関係ではありません。
• ウは原点を通る直線であり、比例関係を正しく示しています。
• エは \(V\) が \(T\) によらず一定である関係（定積変化に対応）を示しています。

よって、ウが最も適切です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• シャルルの法則
  • 核心: この問題の根幹は、圧力が一定という条件下での気体の振る舞いを記述する「シャルルの法則」を理解しているかという点です。具体的には、一定量の気体の体積 \(V\) は、圧力 \(p\) が一定のとき、絶対温度 \(T\) に正比例する (\(V \propto T\)) という関係です。
  • 理解のポイント:
    • 物理的関係と数学的表現の結びつけ: 「体積 \(V\) が絶対温度 \(T\) に比例する」という物理法則が、数学的には一次関数 \(V=kT\) (\(k\) は比例定数) で表され、\(V\)-\(T\) グラフ上では「原点を通る直線」として描かれることを理解することが不可欠です。
    • 状態方程式からの導出: シャルルの法則は、より普遍的な「気体の状態方程式 \(pV=nRT\)」から導き出される特殊な場合と捉えることも重要です。状態方程式において、物質量 \(n\)、気体定数 \(R\)、そして圧力 \(p\) が一定であると考えると、式は \(V = (\displaystyle\frac{nR}{p})T\) と変形できます。ここでカッコ内はすべて定数なので、\(V\) が \(T\) に比例するという関係が導かれます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 定温変化（ボイルの法則）: 問題文に「温度を一定に保ちながら」とあれば、ボイルの法則 \(pV=\text{一定}\) が適用されます。このとき、圧力 \(p\) と体積 \(V\) は反比例の関係にあるため、\(p\)-\(V\) グラフは選択肢アのような双曲線を描きます。
  • 定積変化（ゲイ＝リュサックの法則）: 「体積を一定に保ちながら」という条件であれば、\(\displaystyle\frac{p}{T}=\text{一定}\) が成り立ちます。圧力 \(p\) と絶対温度 \(T\) が比例関係になるため、\(p\)-\(T\) グラフは原点を通る直線を描きます。
  • 断熱変化: 「外部との熱のやりとりがなく」という条件であれば、\(pV^\gamma = \text{一定}\) という関係（ポアソンの法則）に従います。\(p\)-\(V\) グラフ上では、等温変化のグラフ（双曲線）よりも傾きが急な曲線となります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まずは「不変条件」を探す: 問題文を読み、「圧力を一定に」「温度を一定に」「体積を一定に」といった、変化しない物理量（不変条件）は何かを真っ先に見つけ出します。これが、どの法則を使うかを決める最大の鍵です。
  2. 次に「変数」を確認する: どの物理量とどの物理量の関係について問われているのか（この問題では体積 \(V\) と絶対温度 \(T\)）を正確に把握します。
  3. 状態方程式を思考の出発点にする: 個別の法則（ボイル、シャルルなど）を忘れても、気体の状態方程式 \(pV=nRT\) さえ覚えていれば大丈夫です。この式に「不変条件」を適用し、求めたい「変数」間の関係式を導き出すのが最も確実で応用範囲の広いアプローチです。
  4. 関係式とグラフの形を対応させる: 導出した数式がどのようなグラフに対応するかを判断します。
     • 比例 (\(y=ax\)) → 原点を通る直線
     • 反比例 (\(y=a/x\)) → 双曲線
     • 一定 (\(y=a\)) → 横軸に平行な直線

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• セルシウス温度と絶対温度の混同:
  • 誤解: 気体の法則を考える際に、日常で使うセルシウス温度 \(t\,[^\circ\text{C}]\) と物理で使う絶対温度 \(T\,[\text{K}]\) を混同してしまう。
  • 対策: 「気体の体積や圧力は、絶対温度 \(T=0\,\text{K}\) でゼロになる」と覚えましょう。したがって、気体の法則に関するグラフは、必ず絶対温度 \(T\) を基準に考えます。もし横軸がセルシウス温度 \(t\) であれば、グラフは原点 (\(t=0\)) を通らず、\(t=-273\) の点で横軸と交わる直線 (\(V=k(t+273)\)) になるはずです。問題のグラフの軸が \(T\) なのか \(t\) なのかを必ず確認する癖をつけましょう。
• 比例・反比例とグラフの形の混同:
  • 誤解: 法則は正しく理解していても、比例関係のグラフはどれか、反比例関係のグラフはどれかを瞬時に判断できず、間違った選択肢を選んでしまう。
  • 対策: これは物理というより数学の基本です。「比例は原点を通る直線」「反比例は双曲線」という基本を再確認しましょう。物理現象を数式で表し、その数式をグラフで可視化するという一連の流れを意識して問題を解くことが大切です。
• 状態方程式の変形ミス:
  • 誤解: 状態方程式 \(pV=nRT\) を \(V\) について解く際に、\(V = \displaystyle\frac{p}{nR}T\) のように分母と分子を逆にしてしまい、誤った関係を導いてしまう。
  • 対策: 文字式の変形は、焦らず一つずつ丁寧に行いましょう。特に、どの文字が定数でどの文字が変数かを意識しながら式を整理することが重要です。「\(V\) を求めるのだから、\(p\) は邪魔だから両辺を \(p\) で割る」というように、操作の意味を考えながら変形するとミスが減ります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (主たる解法)での公式選択（シャルルの法則）:
  • 選定理由: 求めたいのは「体積 \(V\) と絶対温度 \(T\) の関係」であり、与えられた条件は「圧力が一定」です。この条件と変数に直接対応する物理法則が、まさにシャルルの法則 \(\displaystyle\frac{V}{T}=\text{一定}\) です。
  • 適用根拠: 問題で与えられた条件（定圧）と、問われている変数間の関係（\(V\) と \(T\)）に、シャルルの法則が完璧に合致しています。そのため、最も直接的かつ効率的に結論に到達できる選択肢となります。
• (別解)でのアプローチ選択（気体の状態方程式）:
  • 選定理由: 気体の状態方程式 \(pV=nRT\) は、ボイルの法則やシャルルの法則を内包する、より包括的で基本的な法則です。個別の法則を暗記していなくても、この一つの式からあらゆる状態変化を分析できるため、思考の出発点として非常に強力です。
  • 適用根拠: 理想気体の状態を記述する最も根本的な法則であるため、どのような状況にも適用が可能です。問題文の「一定量 (\(n=\text{一定}\))」「圧力を一定に (\(p=\text{一定}\))」という条件をこの方程式に適用することで、特殊な状況下での関係式 (\(V \propto T\)) を機械的に導き出すことができます。これは、一般的な原理から個別の現象を説明するという、物理学の王道的な思考プロセスです。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

この問題には具体的な計算はありませんが、類似の問題で計算が必要な場合のテクニックを解説します。

• まずは文字式で関係を導く:
  • いきなり数値を代入するのではなく、まずは \(pV=nRT\) を \(V = (\displaystyle\frac{nR}{p})T\) のように文字式のまま整理しましょう。こうすることで、物理量同士の関係性（この場合は \(V\) と \(T\) の比例関係）が明確になり、見通しが良くなります。
• 定数と変数を意識する:
  • 式を整理する際、問題の条件から「定数になる文字」(\(n, R, p\)) と「変化する文字（変数）」(\(V, T\)) を明確に区別する癖をつけましょう。定数部分を一つの塊として認識することで、式の本質的な構造を簡単に見抜くことができます。
• 単位の換算を徹底する:
  • 気体の計算で最も重要なのが単位です。特に温度は、問題文でセルシウス温度 \(t\,[^\circ\text{C}]\) で与えられていても、計算に使う前には必ず絶対温度 \(T\,[\text{K}] = t + 273\) に変換するルールを徹底してください。圧力 (\(\text{Pa}\)) や体積 (\(\text{m}^3\)) の単位も、気体定数 \(R\) の単位と揃える必要があります。
• グラフの概形を自分で描いてみる:
  • \(V=kT\) のような関係式が導かれたら、選択肢を見る前に、自分で簡単な \(V\)-\(T\) グラフを描いてみることをお勧めします。「\(T=0\) のとき \(V=0\) で、そこから伸びる直線だな」と一度自分で描くことで、選択肢との照合がより確実になり、ケアレスミスを防げます。

294 仕切られた容器内の気体

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「なめらかに動くピストンで仕切られた気体の状態変化」です。連結された2つの系の状態変化を、気体の法則と力学的なつり合い条件を組み合わせて解き明かす典型問題です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
気体の温度を上げると、気体分子の熱運動が激しくなります。これにより、分子がピストンに衝突する勢いと頻度が増し、結果として気体は膨張しようとします。この基本的な性質を考えれば、ピストンがどちらに動くかは明らかです。
この設問における重要なポイント

• 温度の上昇は、気体分子の熱運動のエネルギーが増加することを意味する。
• 熱運動が活発になると、気体は膨張する。

具体的な解説と立式
Bの気体の温度を \(T_0\) から \(T\) (\(T>T_0\)) に上昇させると、Bの気体分子の熱運動がより活発になります。その結果、Bの気体は膨張し、内部からピストンを押す力が強くなります。この力によって、ピストンはAの気体を圧縮しながらA側に移動します。

部屋Bをストーブで暖めるような状況を想像してください。部屋の中の空気（気体）は温められると膨らんで、部屋を仕切っている壁（ピストン）を、暖房していない部屋Aのほうへグイグイと押し返します。したがって、ピストンはA側に動きます。

温度を上げた側の気体が膨張し、もう一方の気体を圧縮するというのは、物理的に自然な現象です。したがって、ピストンはA側に移動するという結論は妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
この問題の核心は、2つの気体の状態変化を、1つの共通の変数（変化後の圧力 \(p\)）と求めたい変数（移動距離 \(x\)）で関連付けて連立方程式を立てることです。A, Bそれぞれについて、独立にボイル・シャルルの法則を適用し、最後に「圧力が等しい」という条件で2つの式を結びつけます。
この設問における重要なポイント

• ピストンがなめらかに動き、最終的に静止するため、変化後のAとBの気体の圧力は等しい。これを \(p\) とおく。
• ピストンの移動距離を \(x\) とおき、変化後のA, Bの体積を \(L, x\) を用いて表す。
• A, Bそれぞれの気体について、変化前と変化後でボイル・シャルルの法則を適用する。

具体的な解説と立式
ピストンの移動距離を \(x\) とします。(1)よりピストンはA側に移動するので、Aの長さは \(L-x\)、Bの長さは \(L+x\) となります。容器の断面積を \(S\) とすると、変化後の体積はそれぞれ \(V_A = S(L-x)\), \(V_B = S(L+x)\) です。
また、変化後のA, Bの気体の圧力をともに \(p\) とします。

• 気体Aについて
  • 変化前: 圧力 \(p_0\), 体積 \(V_0 = SL\), 温度 \(T_0\)
  • 変化後: 圧力 \(p\), 体積 \(V_A = S(L-x)\), 温度 \(T_0\) （Aの温度は保たれる）

  ボイル・シャルルの法則 \(\displaystyle\frac{pV}{T} = \text{一定}\) より、
  $$ \frac{p_0(SL)}{T_0} = \frac{p\{S(L-x)\}}{T_0} \quad \cdots ① $$

• 気体Bについて
  • 変化前: 圧力 \(p_0\), 体積 \(V_0 = SL\), 温度 \(T_0\)
  • 変化後: 圧力 \(p\), 体積 \(V_B = S(L+x)\), 温度 \(T\)

  ボイル・シャルルの法則より、
  $$ \frac{p_0(SL)}{T_0} = \frac{p\{S(L+x)\}}{T} \quad \cdots ② $$

これで、未知数 \(p\) と \(x\) を含む2本の式が立てられました。

式①と式②は、ともに左辺が \(\displaystyle\frac{p_0(SL)}{T_0}\) で等しいので、右辺同士も等しくなります。
$$
\begin{aligned}
\frac{p\{S(L-x)\}}{T_0} &= \frac{p\{S(L+x)\}}{T}
\end{aligned}
$$
この式の両辺から共通の \(pS\) を消去すると、
$$
\begin{aligned}
\frac{L-x}{T_0} &= \frac{L+x}{T}
\end{aligned}
$$
この式を \(x\) について解きます。両辺に \(T_0 T\) を掛けて分母を払うと、
$$
\begin{aligned}
T(L-x) &= T_0(L+x) \\[2.0ex] TL – Tx &= T_0L + T_0x \\[2.0ex] TL – T_0L &= Tx + T_0x \\[2.0ex] (T – T_0)L &= (T + T_0)x
\end{aligned}
$$
したがって、移動距離 \(x\) は、
$$
\begin{aligned}
x &= \frac{T-T_0}{T+T_0}L
\end{aligned}
$$
と求まります。

部屋Aと部屋B、それぞれについて「変化前の状態」と「変化後の状態」を比べるための式（ボイル・シャルルの法則）を立てます。このとき、ピストンが最終的に止まるということは、変化後のAとBの圧力が同じ値になっているはずです。この「圧力が同じ」という事実を手がかりにして2つの式を組み合わせると、未知数だった移動距離 \(x\) を計算することができます。

ピストンの移動距離は \(x = \displaystyle\frac{T-T_0}{T+T_0}L\) となりました。
この結果を吟味してみましょう。

• 問題の条件より \(T > T_0\) なので、分子の \((T-T_0)\) は正の値になります。分母の \((T+T_0)\) も正なので、\(x>0\) となります。これは、ピストンがA側に移動するという(1)の結果と矛盾しません。
• もし温度を変化させなかった場合、つまり \(T=T_0\) のとき、\(x=0\) となり、ピストンは動かないはずです。これも式を満たしており、妥当です。
• もしBをものすごく高温にした場合 (\(T \rightarrow \infty\))、\(x \rightarrow L\) となります。これはピストンがAの端まで押しやられることを意味し、物理的な直感とも合致します。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 複合的な物理法則の適用
  • 核心: この問題は、単一の法則で解けるものではなく、「気体の法則」と「力学的なつり合いの条件」という2つの異なる分野の物理法則を組み合わせて解く点に核心があります。
  • 理解のポイント:
    • 気体の法則（ボイル・シャルルの法則）: まず、A室、B室それぞれが独立した閉鎖系（気体の物質量が一定）であると捉え、状態変化の前後で \(\displaystyle\frac{pV}{T} = \text{一定}\) が成り立つことを適用します。これは、各気体の熱力学的な振る舞いを記述するものです。
    • 力のつり合い（圧力の均等）: 次に、「なめらかに動くピストン」が最終的に「静止した」という記述から、ピストンの両側から及ぼされる力がつり合っていると判断します。断面積が共通なので、これはA室とB室の気体の圧力が等しい (\(p_A = p_B\)) ことを意味します。これは、2つの系を結びつける力学的な条件です。
    • このように、2つの気体それぞれに熱力学の法則を適用し、それらを力学の法則で結びつけて連立方程式を解く、という複合的な思考プロセスがこの問題の根幹をなしています。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ピストンが固定されている場合: この場合、体積が一定の「定積変化」となります。力のつり合いを考える必要はなく、各気体についてゲイ＝リュサックの法則 (\(\displaystyle\frac{p}{T} = \text{一定}\)) を適用して変化後の圧力を求めます。
  • 鉛直に置かれたシリンダー内のピストン: ピストン自身の重さ \(mg\) を考慮する必要があります。力のつり合いの式は、例えば上側の気体の圧力を \(p_上\)、下側を \(p_下\) とすると、\(p_下 S = p_上 S + mg\) のようになります。圧力は等しくなりません。
  • ピストンがばねで連結されている場合: 力のつり合いの式に、ばねの弾性力 \(kx\) が加わります。例えば、\(p_A S = p_B S + kx\) のようになり、圧力差がピストンの位置に依存するようになります。
  • 容器が断熱材でできている場合: 外部との熱のやりとりがない「断熱変化」を考えます。この場合、熱力学第一法則 (\(\Delta U = Q + W\)) やポアソンの法則 (\(pV^\gamma = \text{一定}\)) を用いて解くことになります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まずはピストンの条件を確認する: 「なめらかに動く」のか、「固定」されているのか、「重さ」や「ばね」はあるのか。この力学的な拘束条件が、圧力の関係式を決定します。
  2. 次に熱的な条件を確認する: 各部屋は「等温」に保たれるのか、「加熱・冷却」されるのか、「断熱」されているのか。この熱力学的な条件が、適用すべき気体の法則（ボイル、シャルル、状態方程式など）を決定します。
  3. 状態量を整理する: 変化の「前」と「後」について、A室、B室それぞれの圧力 \(p\)、体積 \(V\)、温度 \(T\) を文字で設定し、表などにまとめると状況が整理しやすくなります。
  4. 立式の方針を立てる: 「各気体の状態変化の式」と「力のつり合いの式」を立て、未知数の数と式の数が合っているかを確認してから計算に進みます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 変化後の圧力を一定と勘違いする:
  • 誤解: 気体Aの温度が \(T_0\) で一定だから、圧力も一定だろうと考えてしまう。あるいは、初期圧力が \(p_0\) だったから、変化後も \(p_0\) のままだと思い込んでしまう。
  • 対策: ピストンが動くということは、両方の気体の体積が変化します。特にAは等温で圧縮されるので、ボイルの法則に従い圧力は必ず増加します。この問題で「等しい」のは、あくまで変化後の「Aの圧力とBの圧力」であり、それらは初期圧力 \(p_0\) とは異なる値 \(p\) になります。
• 体積の表現で符号を間違える:
  • 誤解: ピストンの移動距離を \(x\) としたとき、Aの体積を \(S(L+x)\)、Bの体積を \(S(L-x)\) のように、足し引きを逆にしてしまう。
  • 対策: (1)で考察したピストンの移動方向を信じることが重要です。「Bが膨張してAを押す」のだから、「Bの長さは増え (\(L+x\))」「Aの長さは減る (\(L-x\))」と、物理現象と数式をしっかり対応させましょう。簡単な図を描いて確認する癖をつけると確実です。
• ボイル・シャルルの法則の適用ミス:
  • 誤解: 気体Aの温度が一定なのでボイルの法則 \(p_0(SL) = p\{S(L-x)\}\) を立て、気体Bは温度が変わるのでシャルルの法則 \(\displaystyle\frac{SL}{T_0} = \frac{S(L+x)}{T}\) を立ててしまう。
  • 対策: シャルルの法則は「圧力が一定」のときにしか使えません。この問題ではBの圧力も変化するので、シャルルの法則は適用できません。Aは等温変化、Bは圧力も温度も体積も変わる一般的な変化です。このような場合は、両方の変化を統一的に扱えるボイル・シャルルの法則 \(\displaystyle\frac{pV}{T} = \text{一定}\) を使うのが最も安全で間違いがありません。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (2)での公式選択（ボイル・シャルルの法則）:
  • 選定理由: この問題は、気体が閉じ込められた状態（物質量 \(n\) が一定）で、初期状態から最終状態へ「変化」するプロセスを扱っています。物質量が一定の気体の状態変化を記述するのに最も適した法則が、ボイル・シャルルの法則 \(\displaystyle\frac{pV}{T} = \text{一定}\) です。
  • 適用根拠: A, Bの各気体はそれぞれ物質量が保存されているため、この法則を個別に適用できます。未知数が変化後の圧力 \(p\) と移動距離 \(x\) の2つであるのに対し、AとBで2本の独立した式を立てることができるため、連立方程式として解けるという見通しが立ちます。
• (2)別解でのアプローチ選択（気体の状態方程式）:
  • 選定理由: 気体の状態方程式 \(pV=nRT\) は、特定の状態における物理量の関係を記述する、より根本的な法則です。変化の前後を比較するのではなく、「変化後の平衡状態」そのものに着目して立式するアプローチです。
  • 適用根拠: 物質量 \(n\) が変化の前後で不変である、という物理的な事実をより直接的に利用します。まず初期状態から \(n\) を \(p_0, L, T_0\) で表し、次に変化後のA, Bの状態についてそれぞれ状態方程式を立てます。この2つの式に共通の \(n\) が含まれていることを利用して式を結合し、解を導きます。この方法は、法則の成り立ちをより深く理解することにつながります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式を有効活用する:
  • 問題文で与えられていない断面積 \(S\) は、計算の途中で必ず消去されるはずです。最初から最後まで文字 \(S\) のまま計算を進めることで、余計な変数を持ち込まずに済み、式がシンプルになります。
• 連立方程式は最も楽な方法で解く:
  • 模範解答のように、\(\displaystyle\frac{p_0(SL)}{T_0} = (\text{Aの変化後の項})\) と \(\displaystyle\frac{p_0(SL)}{T_0} = (\text{Bの変化後の項})\) という形に立式した場合、両式の右辺を直接イコールで結ぶのが最も賢い解法です。これにより、未知数 \(p\) と定数 \(p_0, S\) を一気に消去でき、計算が大幅に簡略化されます。
• 分数式の変形は慎重に:
  • \(\displaystyle\frac{L-x}{T_0} = \frac{L+x}{T}\) のような比例式が出てきたら、分母を払うのが基本です。両辺に \(T_0 T\) を掛けるか、「たすき掛け」をイメージして \(T(L-x) = T_0(L+x)\) と変形します。ここでの符号ミスが結果を大きく左右します。
• 答えの妥当性を吟味する（検算）:
  • 導出した答え \(x = \displaystyle\frac{T-T_0}{T+T_0}L\) が物理的に妥当かを確認しましょう。
    • 次元チェック: 右辺の分数は（温度）/（温度）で無次元。それに長さ \(L\) を掛けているので、全体として長さの次元となり、移動距離として正しいです。
    • 極端な場合を考える: もし \(T=T_0\) なら、分子がゼロになり \(x=0\)。ピストンは動かないはずなので、これは正しいです。もしBを非常に高温 (\(T \gg T_0\)) にすれば、分数の値は \(1\) に近づき、\(x \approx L\) となります。これはピストンがAの端まで移動することを意味し、直感とも合っています。このような吟味は、計算ミスを発見する強力な手段です。

295 気体の状態方程式

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「気体の状態方程式とボイル・シャルルの法則の具体的な計算への適用」です。与えられた状態量から、未知の状態量や物質量を計算する、気体分野の基本的な問題です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題には「変化後の体積」と「気体の物質量」という2つの問いがあります。
「変化後の体積」を求めるには、気体の量（物質量）が一定であるため、変化の前後を比較するボイル・シャルルの法則を使うのが効率的です。
一方、「気体の物質量 \(n\)」を求めるには、\(n\) が式の中に含まれている気体の状態方程式 \(pV=nRT\) を使う必要があります。
計算を始める前に、問題文で与えられているセルシウス温度を、すべて絶対温度に変換することが最も重要です。
この設問における重要なポイント

• 温度の単位は必ず絶対温度（K）を用いる。
• ボイル・シャルルの法則は、物質量 \(n\) が一定のときに、状態変化の前後を比較するのに便利である。
• 気体の状態方程式は、ある一瞬の状態における \(p, V, n, T\) の関係を表す万能の式である。

具体的な解説と立式
まず、与えられた値を整理し、温度を絶対温度に変換します。

• 変化前の状態（添字1）:
  • \(p_1 = 5.0 \times 10^5\,\text{Pa}\)
  • \(t_1 = 27\,^\circ\text{C} \rightarrow T_1 = 27 + 273 = 300\,\text{K}\)
  • \(V_1 = 2.0 \times 10^{-3}\,\text{m}^3\)
• 変化後の状態（添字2）:
  • \(p_2 = 2.0 \times 10^5\,\text{Pa}\)
  • \(t_2 = 77\,^\circ\text{C} \rightarrow T_2 = 77 + 273 = 350\,\text{K}\)
  • 求める体積を \(V_2\) とします。

• 体積 \(V_2\) の計算
  気体の量は一定なので、ボイル・シャルルの法則が成り立ちます。
  $$ \frac{p_1V_1}{T_1} = \frac{p_2V_2}{T_2} $$
• 物質量 \(n\) の計算
  初期状態について、気体の状態方程式を立てます。
  $$ p_1V_1 = nRT_1 $$
  これを \(n\) について解く形に整理します。
  $$ n = \frac{p_1V_1}{RT_1} $$

• • 体積 \(V_2\) の計算
    ボイル・シャルルの法則の式に、整理した値を代入します。
    $$
    \begin{aligned}
    \frac{(5.0 \times 10^5) \times (2.0 \times 10^{-3})}{300} &= \frac{(2.0 \times 10^5) \times V_2}{350}
    \end{aligned}
    $$
    この式を \(V_2\) について解きます。
    $$
    \begin{aligned}
    V_2 &= \frac{(5.0 \times 10^5) \times (2.0 \times 10^{-3}) \times 350}{300 \times (2.0 \times 10^5)} \\[2.0ex] &= \frac{5.0 \times 2.0 \times 350}{300 \times 2.0} \times \frac{10^5 \times 10^{-3}}{10^5} \\[2.0ex] &= \frac{3500}{600} \times 10^{-3} \\[2.0ex] &= \frac{35}{6} \times 10^{-3} \\[2.0ex] &\approx 5.833… \times 10^{-3}\,\text{m}^3
    \end{aligned}
    $$
    有効数字2桁に丸めて、\(V_2 = 5.8 \times 10^{-3}\,\text{m}^3\) となります。

• 物質量 \(n\) の計算
  状態方程式を整理した式に、初期状態の値を代入します。
  $$
  \begin{aligned}
  n &= \frac{p_1V_1}{RT_1} \\[2.0ex] &= \frac{(5.0 \times 10^5) \times (2.0 \times 10^{-3})}{8.3 \times 300} \\[2.0ex] &= \frac{10 \times 10^2}{8.3 \times 300} \\[2.0ex] &= \frac{1000}{2490} \\[2.0ex] &\approx 0.4016…\,\text{mol}
  \end{aligned}
  $$
  有効数字2桁に丸めて、\(n = 0.40\,\text{mol}\) となります。

気体の状態変化の問題は、まず温度を物理で使う「絶対温度」に直すのがお約束です。
次に、変化後の体積を求めるには、「変化の前と後を比べる公式」（ボイル・シャルルの法則）を使います。この公式に、変化前と変化後の圧力・体積・温度の値を当てはめて計算します。
最後に、気体の量（物質量）を求めるには、「その瞬間の状態を記述する万能公式」（状態方程式）を使います。例えば、変化前の圧力・体積・温度の値をこの公式に当てはめて計算すれば、答えが出ます。

変化後の体積は \(5.8 \times 10^{-3}\,\text{m}^3\)、物質量は \(0.40\,\text{mol}\) と求まりました。
温度が上昇し（\(300\,\text{K} \rightarrow 350\,\text{K}\)）、圧力が低下した（\(5.0 \times 10^5\,\text{Pa} \rightarrow 2.0 \times 10^5\,\text{Pa}\)）ことを考えます。温度の上昇は体積を増加させる効果があり、圧力の低下も体積を増加させる効果があります。したがって、体積が初期の \(2.0 \times 10^{-3}\,\text{m}^3\) から \(5.8 \times 10^{-3}\,\text{m}^3\) へと増加しているのは、物理的に妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 気体の基本法則の適切な使い分け
  • 核心: この問題の根幹は、気体の状態を記述する2つの重要な法則、「ボイル・シャルルの法則」と「気体の状態方程式」の役割を正確に理解し、問いに応じて適切に使い分ける能力です。
  • 理解のポイント:
    • ボイル・シャルルの法則 (\(\displaystyle\frac{pV}{T} = \text{一定}\)): この法則は、気体の量（物質量 \(n\)）が変化しないという条件下で、ある状態から別の状態へ「変化」したときの、変化前後の関係を結びつけることに特化しています。物質量 \(n\) を知らなくても、変化後の圧力、体積、温度のいずれかを計算するのに非常に便利です。
    • 気体の状態方程式 (\(pV=nRT\)): こちらは、ある「一瞬」の状態における圧力 \(p\)、体積 \(V\)、絶対温度 \(T\)、そして物質量 \(n\) という4つの物理量の関係を記述する、より普遍的で根本的な法則です。物質量 \(n\) や気体の質量などを求めたい場合は、この式を使わなければなりません。
    • 両者の関係: ボイル・シャルルの法則は、状態方程式 \(pV=nRT\) を変形した \(\displaystyle\frac{pV}{T} = nR\) において、物質量 \(n\) と気体定数 \(R\) が一定であることから導かれる、特殊なケースと理解することが重要です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 気体の密度や分子量を求める問題: 密度 \(\rho = \displaystyle\frac{m}{V}\) と、質量 \(m = nM\)（\(M\) はモル質量）の関係を使います。状態方程式 \(pV=nRT\) を変形すると、\(pM = \rho RT\) という式が得られ、密度やモル質量を計算できます。
  • 混合気体の問題: 複数の気体が混ざっている場合、ドルトンの分圧の法則（全圧は各成分気体の分圧の和に等しい）や、物質量、質量の足し算を考慮する必要があります。状態方程式は、混合気体全体に対しても、各成分気体に対しても立てることができます。
  • 気体のした仕事を求める問題: 定圧変化であれば、仕事 \(W = p\Delta V\) で簡単に計算できます。それ以外の変化では、\(p\)-\(V\) グラフを描き、そのグラフと \(V\) 軸で囲まれた面積を求めることで仕事を計算します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まずは問いを分析する: 何を求められているかを確認します。
     • 変化後の \(p, V, T\) のいずれか → ボイル・シャルルの法則が第一候補。
     • 物質量 \(n\)、質量 \(m\)、分子数 \(N\)、密度 \(\rho\) → 気体の状態方程式が必須。
  2. 次に条件を整理する: 問題文中の数値を、変化前と変化後に分けてリストアップします。
     • \(p_1, V_1, t_1\) → \(T_1\) に変換
     • \(p_2, V_2, t_2\) → \(T_2\) に変換
  3. 単位の統一を徹底する: 計算を始める前に、すべての単位をSI基本単位系（圧力: \(\text{Pa}\)、体積: \(\text{m}^3\)、温度: \(\text{K}\)）に揃えます。これは、気体定数 \(R=8.3\,\text{J/(mol}\cdot\text{K)}\) を使うための絶対条件です。
  4. 解法の戦略を立てる: 模範解答のように体積から求めるか、別解のように物質量から求めるか、どちらが計算しやすいかなどを考えます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• セルシウス温度のまま計算してしまう:
  • 誤解: 問題文に与えられた \(27\,^\circ\text{C}\) や \(77\,^\circ\text{C}\) を、そのまま公式に代入してしまう。
  • 対策: 「気体の計算では、温度は必ず絶対温度 \([\text{K}]\) を使う」というルールを鉄則としましょう。問題を読んだら、まず最初にセルシウス温度を絶対温度に変換する (\(T = t + 273\)) 作業を済ませてしまう癖をつけるのが最も効果的です。
• 有効数字の処理ミス:
  • 誤解: 計算の途中で中途半端に四捨五入してしまい、最終的な答えに誤差が生じる。または、答えの桁数を間違える。
  • 対策: 計算途中では、求められている有効数字よりも1桁多く残して計算を進めるのが安全です。最終的な答えを出す段階で、問題文で与えられた数値の中で最も有効数字の桁数が少ないものに合わせます（この問題では、\(5.0, 2.0, 27, 77, 8.3\) など、すべて2桁なので、答えも2桁にします）。
• 単位の換算ミス:
  • 誤解: 体積がリットル \([\text{L}]\) や \(cm^3\) で与えられた場合に、立方メートル \([\text{m}^3]\) への換算を忘れる、または間違える。
  • 対策: 気体定数 \(R=8.3\,\text{J/(mol}\cdot\text{K)}\) の単位に含まれるエネルギーの単位 \(\text{J}\) は \(\text{N}\cdot\text{m}\) であり、これは圧力 \(\text{Pa} (=\text{N/m}^2)\) と体積 \(\text{m}^3\) を掛け合わせた単位 (\(\text{N/m}^2 \cdot \text{m}^3 = \text{N}\cdot\text{m}\)) と一致します。この関係から、\(R=8.3\) を使う際は、圧力は \(\text{Pa}\)、体積は \(\text{m}^3\) でなければならないことを常に意識しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 体積を求める際の公式選択（ボイル・シャルルの法則）:
  • 選定理由: 求めたいのは「状態変化後の体積」。分かっているのは「変化前後の圧力と温度」。そして、気体は閉じ込められているので「物質量 \(n\) は一定」です。この「\(n\) が一定のときの状態変化」を扱うのに、最も直接的で効率的な公式がボイル・シャルルの法則です。
  • 適用根拠: この法則は、未知の物質量 \(n\) や気体定数 \(R\) を計算に含める必要がないため、式がシンプルになり、計算ミスを減らせます。変化前と変化後の2つの状態を直接結びつける架け橋として機能します。
• 物質量を求める際の公式選択（気体の状態方程式）:
  • 選定理由: 求めたいのは「物質量 \(n\)」そのものです。ボイル・シャルルの法則の式 \(\displaystyle\frac{pV}{T} = \text{一定}\) には \(n\) が陽には含まれていないため、この法則だけでは \(n\) の値を求めることはできません。\(n\) を含む唯一の基本法則が、気体の状態方程式 \(pV=nRT\) です。
  • 適用根拠: この方程式は、ある一時点での気体の状態量（\(p, V, T\)）が分かっていれば、その気体の量（\(n\)）を一意に決定できることを保証します。初期状態の数値を使っても、変化後の数値を使っても（体積が求まっていれば）、同じ \(n\) が計算できるはずであり、検算にも利用できます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 最初に値を整理し、単位を統一する:
  • 計算を始める前に、問題文の値を「変化前」「変化後」に分けて書き出し、すべての単位を \(Pa, m^3, K\) に揃える習慣をつけましょう。
    • \(p_1 = 5.0 \times 10^5\,\text{Pa}\), \(V_1 = 2.0 \times 10^{-3}\,\text{m}^3\), \(T_1 = 27+273=300\,\text{K}\)
    • \(p_2 = 2.0 \times 10^5\,\text{Pa}\), \(V_2 = ?\), \(T_2 = 77+273=350\,\text{K}\)
• 文字式で解いてから数値を代入する:
  • 例えば体積を求めるなら、まず \(V_2 = \displaystyle\frac{p_1V_1T_2}{p_2T_1}\) のように、求めたい変数について式を完全に変形してから、最後にまとめて数値を代入します。これにより、移項ミスや計算順序の間違いを防ぎ、式全体の構造を把握しやすくなります。
• 指数計算と数値計算を分離する:
  • \(10^5\) や \(10^{-3}\) のような指数（オーダー）の部分は、\(5.0\) や \(2.0\) といった数値部分とは分けて計算すると、桁数の間違いが劇的に減ります。
  • 例: \(\displaystyle\frac{(5.0 \times 10^5) \times (2.0 \times 10^{-3}) \times 350}{300 \times (2.0 \times 10^5)} = \frac{5.0 \times 2.0 \times 350}{300 \times 2.0} \times \frac{10^5 \times 10^{-3}}{10^5}\)
• 概算による検算を行う:
  • 計算結果が出たら、それが物理的に妥当な値か、大まかな計算で確認しましょう。
    • 体積: 温度は約 \(1.2\) 倍 (\(350/300\)) に、圧力は \(0.4\) 倍 (\(2/5\)) になっています。体積は温度に比例し圧力に反比例するので、元の体積の約 \(1.2 \div 0.4 = 3\) 倍になるはずです。\(2.0 \times 10^{-3} \times 3 = 6.0 \times 10^{-3}\)。計算結果の \(5.8 \times 10^{-3}\) は非常に近い値であり、妥当だと判断できます。
    • 物質量: \(n = \displaystyle\frac{pV}{RT} \approx \frac{(5 \times 10^5) \times (2 \times 10^{-3})}{8 \times 300} = \frac{1000}{2400} \approx 0.4\)。これも計算結果と一致します。

296 気体の状態方程式

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「ピストンの力のつり合いと気体の状態方程式の応用」です。力学的な条件（力のつり合い）から気体の圧力を決定し、その結果を熱力学の法則（状態方程式）に適用するという、分野をまたいだ総合的な思考力が問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
ピストンがなめらかに動き、静止しているという条件から、「ピストンにはたらく力がつり合っている」と考えます。ピストンにはたらく力を鉛直方向で考えると、(a)重力（下向き）、(b)大気圧が押す力（下向き）、(c)内部の気体が押す力（上向き）の3つがあります。これらの力のつり合いを立式します。
この設問における重要なポイント

• ピストンは静止しているので、力のつり合いが成立する。
• 大気圧 \(p_0\) がピストンの上面を押し、内部の気体の圧力 \(p\) がピストンの下面を押す。
• 力と圧力の関係は \((\text{力}) = (\text{圧力}) \times (\text{面積})\) である。

具体的な解説と立式
内部の気体の圧力を \(p\) とします。ピストンにはたらく力は以下の通りです。

• 下向きの力:
  • ピストンの重力: \(mg\)
  • 大気圧による力: \(p_0S\)
• 上向きの力:
  • 内部の気体による力: \(pS\)

ピストンにはたらく力のつり合いより、「上向きの力の和」=「下向きの力の和」なので、
$$
\begin{aligned}
pS &= p_0S + mg
\end{aligned}
$$
となります。

上記で立てた力のつり合いの式を、圧力 \(p\) について解きます。
両辺を断面積 \(S\) で割ると、
$$
\begin{aligned}
p &= \frac{p_0S + mg}{S} \\[2.0ex] &= p_0 + \frac{mg}{S}
\end{aligned}
$$
と求まります。

ピストンという「蓋」が宙に浮いて静止しているのは、下の気体が押し上げる力と、上の空気（大気）が押す力＋蓋自身の重さ、という2つの下向きの力がちょうど釣り合っているからです。この力のバランスの式を立てて、内部の気体の圧力（押し上げる強さ）を計算します。

内部の気体の圧力 \(p\) は、大気圧 \(p_0\) よりも、ピストンの重さ分の圧力 \(\displaystyle\frac{mg}{S}\) だけ大きいことがわかりました。これは、気体が大気を押し返すだけでなく、ピストン自体も支えなければならないため、物理的に妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
(1)で内部の気体の圧力 \(p\) がわかりました。問題文から物質量 \(n\) と温度 \(T_0\) も与えられています。圧力、体積、物質量、温度という4つの状態量を結びつける法則は、気体の状態方程式 \(pV=nRT\) です。この式を使い、未知の体積（から求められる高さ）を計算します。
この設問における重要なポイント

• 気体の体積 \(V\) は、断面積 \(S\) と高さ \(h\) を用いて \(V=Sh\) と表せる。
• 気体の状態方程式に、(1)で求めた圧力 \(p\) を代入する。

具体的な解説と立式
容器の底からピストンまでの高さを \(L_0\) とします。
このとき、内部の気体の体積 \(V_0\) は、
$$
\begin{aligned}
V_0 &= SL_0
\end{aligned}
$$
と表せます。
この気体の状態（圧力 \(p\)、体積 \(V_0\)、物質量 \(n\)、温度 \(T_0\)）について、気体の状態方程式を立てます。
$$
\begin{aligned}
pV_0 &= nRT_0
\end{aligned}
$$
この式に、(1)で求めた \(p = p_0 + \displaystyle\frac{mg}{S}\) と、\(V_0 = SL_0\) を代入すると、
$$
\begin{aligned}
\left( p_0 + \frac{mg}{S} \right) (SL_0) &= nRT_0
\end{aligned}
$$
となります。

上記で立てた式を、高さ \(L_0\) について解きます。
まず、左辺のカッコを展開しやすくするために、\(S\) をカッコの中に入れます。
$$
\begin{aligned}
\left\{ \left( p_0 + \frac{mg}{S} \right) S \right\} L_0 &= nRT_0 \\[2.0ex] (p_0S + mg)L_0 &= nRT_0
\end{aligned}
$$
両辺を \((p_0S + mg)\) で割ると、
$$
\begin{aligned}
L_0 &= \frac{nRT_0}{p_0S + mg}
\end{aligned}
$$
と求まります。

気体の状態を決定づける「万能の公式」が状態方程式です。(1)で求めた圧力や、問題文で与えられている気体の量や温度などの情報をこの公式にすべて代入します。すると、唯一わからないまま残っている「高さ」を計算することができます。

高さ \(L_0\) が求まりました。この式を見ると、気体の量 \(n\) や温度 \(T_0\) が大きいほど、気体は膨張して高さ \(L_0\) は大きくなります。逆に、大気圧 \(p_0\) やピストンの重さ \(mg\) が大きいほど、気体は圧縮されて高さ \(L_0\) は小さくなります。これらは物理的な直感と一致しており、妥当な結果であると言えます。

問(3)

思考の道筋とポイント
気体の温度を \(T_0\) から \(T_1\) に変化させます。このとき、ピストンにはたらく力（重力と大気圧による力）は変化しません。ピストンは最終的に再び静止するので、力のつり合いの関係も変わらず、したがって内部の気体の圧力は(1)で求めた \(p\) のまま一定です。このように、圧力が一定のまま温度と体積が変化する現象を「定圧変化」といいます。
(2)と同様に、変化後の状態について状態方程式を立てて解きます。
この設問における重要なポイント

• 温度を変化させても、大気圧とピストンの質量は変わらないため、内部の気体の圧力は一定である。
• 変化後の温度 \(T_1\) を使って、状態方程式を適用する。

具体的な解説と立式
温度を \(T_1\) に変化させたときの、容器の底からピストンまでの高さを \(L_1\) とします。
このとき、内部の気体の体積 \(V_1\) は、
$$
\begin{aligned}
V_1 &= SL_1
\end{aligned}
$$
です。
この変化は定圧変化なので、圧力は(1)で求めた \(p = p_0 + \displaystyle\frac{mg}{S}\) のままです。
変化後の状態（圧力 \(p\)、体積 \(V_1\)、物質量 \(n\)、温度 \(T_1\)）について、気体の状態方程式を立てると、
$$
\begin{aligned}
pV_1 &= nRT_1
\end{aligned}
$$
この式に、\(p = p_0 + \displaystyle\frac{mg}{S}\) と \(V_1 = SL_1\) を代入すると、
$$
\begin{aligned}
\left( p_0 + \frac{mg}{S} \right) (SL_1) &= nRT_1
\end{aligned}
$$
となります。

この式は、(2)の式の \(L_0\) が \(L_1\) に、\(T_0\) が \(T_1\) に置き換わっただけのものです。
したがって、(2)と全く同じ計算手順で \(L_1\) について解くと、
$$
\begin{aligned}
(p_0S + mg)L_1 &= nRT_1 \\[2.0ex] L_1 &= \frac{nRT_1}{p_0S + mg}
\end{aligned}
$$
と求まります。

気体を温めた後の状態についても、(2)と全く同じように「万能の公式」（状態方程式）を使えば高さを計算できます。このとき、ピストンという蓋にかかる重さなどの条件は変わらないので、圧力は(1)で求めたものと同じ値を使えるのがポイントです。あとは、温度の値を新しいものに入れ替えて計算するだけです。

(2)の結果 \(L_0 = \displaystyle\frac{nRT_0}{p_0S + mg}\) と比較すると、高さ \(L\) は絶対温度 \(T\) に比例していることがわかります (\(L \propto T\))。これは、圧力が一定のときの「シャルルの法則」(\(V \propto T\)) と同じ関係であり、この変化が定圧変化であることを裏付けています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 力学と熱力学の融合
  • 核心: この問題の根幹は、ピストンという物体に対する「力学的な力のつり合い」と、容器内の気体に対する「熱力学的な状態方程式」という、異なる分野の2つの基本法則を組み合わせて解く点にあります。
  • 理解のポイント:
    • 力学パート（力のつり合い）: まず、ピストンを一つの物体とみなし、それに働くすべての力（重力、大気圧による力、内部気体による力）を考え、静止していることから力のつり合いの式を立てます。このプロセスによって、内部の気体がどのような圧力にならなければならないかという、力学的な条件が決定されます。
    • 熱力学パート（状態方程式）: 次に、力学パートで決定された圧力 \(p\) を使って、気体の状態方程式 \(pV=nRT\) を適用します。これにより、気体の体積や、体積から計算できる高さなどが求まります。
    • このように、まず力学で圧力を縛り、その縛られた条件の下で熱力学の法則を考える、という二段階の思考プロセスがこの問題の核心です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ピストンが水平に置かれている場合: ピストンの重力は鉛直下向きに働くため、水平方向の力のつり合いには影響しません。したがって、内外の圧力がつり合う (\(p=p_0\)) ことになります。
  • 容器が逆さま（開口部が下）の場合: ピストンにはたらく力は、重力（下向き）、内部気体の力（下向き）、大気圧の力（上向き）となります。力のつり合いは \(p_0S = pS + mg\) となり、内部の圧力は \(p = p_0 – \displaystyle\frac{mg}{S}\) と、大気圧より低くなります。
  • 容器が加速度運動している場合（例: エレベーター内）: ピストンの運動方程式（または慣性力を考慮した力のつり合い）を考える必要があります。例えば、上向きに加速度 \(\alpha\) で上昇している場合、力のつり合いは \(pS = p_0S + mg + m\alpha\) となります。
  • U字管の問題: U字管で閉じ込められた気体の圧力は、液柱の重さによる圧力差 (\(\rho h g\)) を考慮した力のつり合いで決まります。例えば、\(p = p_0 + \rho h g\) のようになります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まずはピストン（または境界）の力学的状況を分析する: 「静止しているか？」「重さ、大気圧、ばねの力などはどの向きに働くか？」を考え、力のつり合いの式を立てます。これが圧力 \(p\) を決定する鍵です。
  2. 次に気体の状態量を整理する: \(p, V, n, T\) のうち、何が既知で、何が未知で、何が一定かを問題文から読み取ります。
  3. 体積と形状の関係を把握する: 求めたいのが高さ \(h\) や長さ \(L\) の場合、体積 \(V\) との関係式（例: \(V=Sh\)）を立てておきます。
  4. 適切な法則を選択して立式する: (1)で求めた圧力と、整理した状態量を使って、状態方程式 \(pV=nRT\) や、定圧変化ならシャルルの法則などを適用します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 圧力と力を混同する:
  • 誤解: 力のつり合いの式を立てる際に、圧力 \(p\) を力と勘違いして、\(p = p_0 + mg\) のような式を立ててしまう。
  • 対策: 力のつり合いは、あくまで「力 \([\text{N}]\)」の式であることを常に意識しましょう。圧力 \(p\,[\text{Pa}]\) は単位面積あたりの力なので、必ず面積 \(S\,[\text{m}^2]\) を掛けて力 \(F=pS\) に変換してから、力のつり合いの式に加えるという手順を徹底してください。
• 力の向きの間違い:
  • 誤解: 大気圧がピストンを押し上げる、あるいは内部の気体がピストンを押し下げるなど、力の向きを逆に考えてしまう。
  • 対策: 圧力は常に面を「押す」向きに働く、という原理を思い出しましょう。大気はピストンの「上面」を「下向き」に押し、内部の気体はピストンの「下面」を「上向き」に押します。簡単な図を自分で描いて、力の矢印を書き込むのが最も確実な対策です。
• (3)で圧力が変化すると考えてしまう:
  • 誤解: 温度が \(T_0\) から \(T_1\) に変わったのだから、圧力も変化するだろうと勘違いしてしまう。
  • 対策: (3)の状況でもう一度、ピストンにはたらく力を考えてみましょう。大気圧 \(p_0\) は変わらず、ピストンの重さ \(mg\) も変わりません。そしてピストンは最終的に静止します。ということは、力のつり合いの式は(1)と全く同じ形になるはずです。したがって、内部の圧力も(1)で求めた値のままで一定（定圧変化）である、と論理的に結論づけることが重要です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（力のつり合い）:
  • 選定理由: 求めたいのは「圧力」です。圧力は「力」と密接に関係しています。そして、問題の状況はピストンが「静止」していることです。物体の静止を記述する最も基本的な物理法則は「力のつり合い」であるため、これを選択するのは必然です。
  • 適用根拠: ピストンという一つの物体に着目し、それに働くすべての力（重力、大気圧による力、内部気体による力）を洗い出し、それらがつり合っているという物理的な事実を数式化することで、未知の力（ひいては圧力）を求めることができます。
• (2)での公式選択（気体の状態方程式）:
  • 選定理由: 求めたいのは「高さ（体積に関連する量）」です。(1)で「圧力」が求まり、問題文で「物質量」と「温度」が与えられています。これら \(p, V, n, T\) という4つの状態量を結びつける唯一の万能な法則が「気体の状態方程式」です。
  • 適用根拠: 気体の状態が（体積を除いて）確定しているため、この方程式を適用すれば、残りの状態量である体積（から計算できる高さ）が一意に決まる、という論理に基づいています。
• (3)別解でのアプローチ選択（シャルルの法則）:
  • 選定理由: (2)から(3)への「変化」に着目します。この変化の間、前述の通り圧力が一定（定圧変化）であることを見抜きました。定圧変化における体積と温度の関係を最も直接的に記述するのが「シャルルの法則」です。
  • 適用根拠: (2)の状態を初期状態、(3)の状態を最終状態と見なせば、シャルルの法則 \(\displaystyle\frac{V}{T} = \text{一定}\) を適用できます。状態方程式を毎回立てるよりも、変化の本質（この場合は \(V \propto T\)）を直接的に利用でき、計算がより簡潔になります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま計算を進める:
  • この問題のように、数値が与えられていない場合は必然的にそうなりますが、数値がある場合でも、まずは文字式のまま最終的な答えの形まで変形する癖をつけましょう。物理的な意味を見失いにくく、検算もしやすくなります。
• 式の整理を工夫する:
  • (2)の計算で、\(\left( p_0 + \displaystyle\frac{mg}{S} \right) (SL_0)\) を計算する際、先に \(S\) をカッコの中に入れて \((p_0S + mg)L_0\) と変形すると、分数が消えて見通しが良くなります。このような少しの工夫が計算ミスを防ぎ、思考をクリアにします。
• 次元の確認（単位のチェック）:
  • 計算結果の式が、物理的に正しい単位になっているかを確認する癖をつけましょう。
    • (1)の答え \(p_0 + \displaystyle\frac{mg}{S}\): \(p_0\) は圧力[\(Pa\)]。\(mg\) は力[\(N\)]、\(S\) は面積[\(m^2\)]なので、\(\displaystyle\frac{mg}{S}\) は \(N/m^2 = Pa\) となり、圧力の次元と一致します。
    • (2)の答え \(\displaystyle\frac{nRT_0}{p_0S + mg}\): 分子 \(nRT_0\) は \(pV\) と同じ次元なので、\((N/m^2) \cdot m^3 = N \cdot m\)。分母 \(p_0S + mg\) は力の次元 \(N\)。したがって、全体では \(\displaystyle\frac{N \cdot m}{N} = m\) となり、高さの次元と一致します。
• 結果の物理的な吟味:
  • (2)の答えの式を見て、物理的な直感と合っているかを確認します。例えば、気体の量を増やしたら (\(n\) を大きくしたら)、高さ \(L_0\) は大きくなるはずです。式を見ると \(n\) は分子にあるので、確かに大きくなります。逆に、ピストンを重くしたら (\(m\) を大きくしたら)、高さ \(L_0\) は小さくなるはずです。式を見ると \(m\) は分母にあるので、確かに小さくなります。このような吟味は、式の妥当性を確認する強力な手段です。

297 連結された容器内の気体

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「連結された容器内における気体の状態変化」です。部分的に温度が変化する際に、気体が容器間を移動し、最終的に圧力が均一な新しい平衡状態に達する、という典型的な問題です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題の核心は、容器Bを加熱した際に、気体分子がBからAへ移動するという点です。これにより、容器AとBの内部にある気体の物質量（分子の数）の配分が変化します。しかし、容器全体としては密閉されているため、AとBを合わせた気体の総物質量は変化しません。この「全体の物質量が保存される」という事実が、問題を解くための方程式を立てる上での最大の鍵となります。
この設問における重要なポイント

• 変化後、容器AとBの圧力は等しくなる。この圧力を \(p\) とおく。
• 系全体の物質量は、変化の前後で一定である。(\(n_{\text{全体}} = n_A + n_B\))
• 各部分（初期状態の全体、変化後のA、変化後のB）について、それぞれ状態方程式が適用できる。
• 計算前に、体積の単位をリットル(\(\text{L}\))から立方メートル(\(\text{m}^3\))に変換する。

具体的な解説と立式
まず、単位をSI基本単位系に変換します。
\(V_A = 4.0\,\text{L} = 4.0 \times 10^{-3}\,\text{m}^3\)
\(V_B = 2.0\,\text{L} = 2.0 \times 10^{-3}\,\text{m}^3\)

• 初期状態
  圧力 \(p_0 = 1.0 \times 10^5\,\text{Pa}\)、全体の体積 \(V_0 = V_A + V_B = 6.0 \times 10^{-3}\,\text{m}^3\)、温度 \(T_0 = 300\,\text{K}\) です。
  系全体の物質量を \(n\) とすると、状態方程式は、
  $$
  \begin{aligned}
  p_0(V_A+V_B) &= nRT_0 \quad \cdots ①
  \end{aligned}
  $$
• 変化後の状態
  最終的な圧力を \(p\) とします。容器AとBの物質量をそれぞれ \(n_A, n_B\) とします。
  • 容器A: 圧力 \(p\), 体積 \(V_A\), 温度 \(T_A = 300\,\text{K}\)
    状態方程式は、
    $$
    \begin{aligned}
    pV_A &= n_A R T_A \quad \cdots ②
    \end{aligned}
    $$
  • 容器B: 圧力 \(p\), 体積 \(V_B\), 温度 \(T_B = 600\,\text{K}\)
    状態方程式は、
    $$
    \begin{aligned}
    pV_B &= n_B R T_B \quad \cdots ③
    \end{aligned}
    $$
• 物質量保存則
  系全体の物質量は一定なので、
  $$
  \begin{aligned}
  n &= n_A + n_B \quad \cdots ④
  \end{aligned}
  $$

式①, ②, ③をそれぞれ物質量について解き、式④に代入します。

• 式①より: \(n = \displaystyle\frac{p_0(V_A+V_B)}{RT_0}\)
• 式②より: \(n_A = \displaystyle\frac{pV_A}{RT_A}\)
• 式③より: \(n_B = \displaystyle\frac{pV_B}{RT_B}\)

これらを式④に代入すると、
$$
\begin{aligned}
\frac{p_0(V_A+V_B)}{RT_0} &= \frac{pV_A}{RT_A} + \frac{pV_B}{RT_B}
\end{aligned}
$$
両辺の気体定数 \(R\) は消去できます。
$$
\begin{aligned}
\frac{p_0(V_A+V_B)}{T_0} &= \frac{pV_A}{T_A} + \frac{pV_B}{T_B}
\end{aligned}
$$
この式に数値を代入します。
$$
\begin{aligned}
\frac{(1.0 \times 10^5)(4.0 \times 10^{-3} + 2.0 \times 10^{-3})}{300} &= \frac{p(4.0 \times 10^{-3})}{300} + \frac{p(2.0 \times 10^{-3})}{600}
\end{aligned}
$$
両辺に共通する \(10^{-3}\) を消去します。
$$
\begin{aligned}
\frac{(1.0 \times 10^5) \times 6.0}{300} &= \frac{4.0p}{300} + \frac{2.0p}{600}
\end{aligned}
$$
計算を簡単にするため、両辺に \(600\) を掛けます。
$$
\begin{aligned}
(1.0 \times 10^5) \times 6.0 \times 2 &= (4.0p) \times 2 + 2.0p \\[2.0ex] 12 \times 10^5 &= 8.0p + 2.0p \\[2.0ex] 12 \times 10^5 &= 10p
\end{aligned}
$$
したがって、圧力 \(p\) は、
$$
\begin{aligned}
p &= \frac{12 \times 10^5}{10} \\[2.0ex] &= 1.2 \times 10^5\,\text{Pa}
\end{aligned}
$$
と求まります。

最初、部屋AとBには同じ温度・圧力の空気が入っています。Bだけをストーブで温めると、Bの空気は元気になってAの部屋に押し寄せます（気体分子が移動します）。しかし、建物全体からは誰も出ていかないので、空気の分子の総数は変わりません。この「分子の総数が同じ」ということを手がかりにして、「変化前の全体の分子数」と「変化後のAとBを合わせた分子数」をそれぞれ計算し、それらが等しいという方程式を立てます。これを解くことで、最終的な圧力が計算できます。

最終的な圧力は \(1.2 \times 10^5\,\text{Pa}\) となり、初期圧力 \(1.0 \times 10^5\,\text{Pa}\) よりも高くなりました。
これは、容器Bの温度を上げたことで、気体分子の熱運動が全体として活発になり、容器の壁を押す力が強くなったためと考えられ、物理的に妥当な結果です。もし容器Aも \(600\,\text{K}\) に加熱したとすれば、圧力は初期の2倍の \(2.0 \times 10^5\,\text{Pa}\) になるはずです。Aの温度は \(300\,\text{K}\) のままなので、圧力の増加がそれよりは穏やかになっていることも納得できます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 物質量保存則と状態方程式の組み合わせ
  • 核心: この問題の根幹は、2つの容器が連結されて気体が移動する状況において、「系全体の気体の総量（全物質量）は変化しない」という物質量保存の法則を基軸に考える点です。そして、その物質量を圧力・体積・温度と関連付けるために、各部分の状態について「気体の状態方程式」を適用します。
  • 理解のポイント:
    • 変化のメカニズム: Bを加熱すると、B内の気体分子の運動が激しくなり、一部がAへ移動します。その結果、Aの物質量は増加し、Bの物質量は減少します。
    • 不変量の発見: このように各部分の物質量は変化しますが、AとBを一つの「系」と見なせば、外部との気体の出入りはないため、系全体の物質量 \(n = n_A + n_B\) は一定に保たれます。これがこの問題を解くための最も重要な「保存則」です。
    • 平衡条件の理解: 気体の移動が終わり、系が新しい状態で落ち着いた（平衡に達した）とき、管で繋がっているためAとBの圧力は等しくなります。しかし、温度はそれぞれ \(300\,\text{K}\) と \(600\,\text{K}\) に保たれているため、均一にはなりません。
    • 立式の戦略: 「物質量保存の式 (\(n_{\text{初期}} = n_{A後} + n_{B後}\))」を立て、その各項を状態方程式 (\(n=pV/RT\)) を使って表現することで、未知の圧力 \(p\) に関する方程式を導き出します。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • コックで仕切られた容器: 最初は別々の状態にある2つの気体を、コックを開いて混合させる問題。これも、コックを開く前の各気体の物質量の和が、開いた後の混合気体の全物質量と等しい、という物質量保存則で解きます。
  • 気体の化学反応: 容器内で化学反応が起こる場合、反応式の係数比に従って各気体の物質量が変化します。この場合は、原子の数が保存されることを利用して、変化前後の物質量の関係を追います。
  • ピストンとの比較: なめらかに動くピストンで仕切られた問題（問294など）では、圧力は「力のつり合い」で決まります。一方、この問題のような細い管で連結された容器では、圧力は「均一になる」という条件で決まります。この力学的な条件の違いを明確に区別することが重要です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まずは「保存量」を探す: 問題の状況を読み解き、何が変化し、何が変化しない（保存される）のかを見抜きます。この問題では「全物質量」が保存量です。
  2. 次に「平衡条件」を考える: 変化が収まった最終状態で、系全体で何が均一になるのかを考えます。この問題では「圧力」です。
  3. 状態量を整理する: 「変化前」と「変化後」について、各部分（A, B, 全体）の圧力 \(p\)、体積 \(V\)、温度 \(T\)、物質量 \(n\) を文字で設定し、分かっている値と未知の値を整理します。
  4. 立式の基本方針を立てる: 「保存則の式」を立て、その式の各項を「状態方程式」などの基本法則で書き換えていく、という流れがこの種の複雑な問題の王道です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• ボイル・シャルルの法則の誤用:
  • 誤解: 容器Aや容器Bそれぞれについて、変化の前後でボイル・シャルルの法則 \(\displaystyle\frac{pV}{T} = \text{一定}\) を適用しようとしてしまう。
  • 対策: ボイル・シャルルの法則が成り立つ大前提は「物質量 \(n\) が一定」であることです。この問題では、BからAへ気体が移動するため、容器A単独でも容器B単独でも物質量は変化しています。したがって、各容器にこの法則は適用できません。常に法則の適用条件を意識する癖をつけましょう。
• 変化後の温度や物質量を平均してしまう:
  • 誤解: Aが \(300\,\text{K}\)、Bが \(600\,\text{K}\) なので、全体の温度は平均の \(450\,\text{K}\) になる、あるいは物質量はAとBに均等に分配される、と考えてしまう。
  • 対策: 問題文で「Aを \(300\,\text{K}\) に保ち、Bを \(600\,\text{K}\) に上昇させる」と明記されている通り、温度は均一にはなりません。また、物質量の分配は状態方程式 \(n=pV/RT\) に従って決まります。温度が低いAの方が、同じ圧力・体積あたりにより多くの気体分子が存在することになります。
• 単位換算を忘れる:
  • 誤解: 体積の単位 \(4.0\,\text{L}\) や \(2.0\,\text{L}\) を、そのまま状態方程式に代入してしまう。
  • 対策: 気体定数 \(R=8.3\,\text{J/(mol}\cdot\text{K)}\) を使う場合、すべての物理量をSI基本単位系に統一する必要があります。計算を始める前に、必ず \(1\,\text{L} = 10^{-3}\,\text{m}^3\) を用いて単位を換算する習慣をつけましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 公式選択（状態方程式と物質量保存則）:
  • 選定理由: この問題は、内部で物質の移動があるため、単一の閉鎖系として扱うことができません。しかし、系全体としては閉じられています。このような「部分的には開いているが、全体としては閉じている」系を分析するには、各部分の状態を記述する「状態方程式」と、系全体の不変量を結びつける「物質量保存則」という2つの法則を組み合わせるのが最も論理的です。
  • 適用根拠:
    • 状態方程式: 変化後のAとBは、それぞれ異なる状態（特に温度が違う）にあります。これらの状態を、共通の未知数である圧力 \(p\) を用いて数式で表現するために、状態方程式が不可欠です。
    • 物質量保存則: 変化前の全物質量と、変化後の各部分の物質量の和を結びつけることで、未知数 \(p\) を求めるための方程式そのものを作り出すことができます。これがなければ、問題を解くための式の数が足りなくなります。
• 別解のアプローチ選択（\(\sum \displaystyle\frac{pV}{T}\) の関係式）:
  • 選定理由: 物質量保存則 \(n_{\text{全体}} = n_A + n_B\) は、物理的に最も根源的な表現です。これを状態方程式 \(n=pV/RT\) を使って書き換えることで、より計算に適した実用的な形に変形できます。
  • 適用根拠: 状態方程式から、物質量 \(n\) は \(\displaystyle\frac{pV}{T}\) に比例することがわかります。したがって、「物質量の総和が一定」であることは、「\(\displaystyle\frac{pV}{T}\) の総和が一定」であることと数学的に等価です。この関係を用いることで、物質量 \(n\) や気体定数 \(R\) を途中の計算で陽に扱うことなく、直接圧力 \(p\) を求める方程式を立てることができます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま整理してから代入する:
  • いきなり数値を代入すると式が複雑に見えます。まず、別解で示したように \(\displaystyle\frac{p_0(V_A+V_B)}{T_0} = p \left( \frac{V_A}{T_A} + \frac{V_B}{T_B} \right)\) のように、求めたい \(p\) について整理された文字式の形を作ってから、最後に数値を代入する方が見通しが良くなります。
• 分数計算は分母を払う:
  • \(\displaystyle\frac{A}{300} + \frac{B}{600}\) のような式が出てきたら、通分しても良いですが、両辺に最小公倍数（この場合は \(600\)）を掛けて分母を払ってしまうのが、計算ミスを減らす上で効果的です。
• 共通因子は先に消去する:
  • この問題では、体積の単位換算で出てくる \(10^{-3}\) は、方程式の両辺に現れるため、最初に消去できます。これにより、計算が大幅に簡略化されます。
• 概算による検算:
  • 初期圧力は \(1.0 \times 10^5\,\text{Pa}\) です。もし系全体を \(600\,\text{K}\)（初期温度の2倍）に加熱すれば、圧力も2倍の \(2.0 \times 10^5\,\text{Pa}\) になるはずです。今回は、体積 \(6.0\,\text{L}\) のうち \(2.0\,\text{L}\)（全体の1/3）だけを \(600\,\text{K}\) に加熱しています。したがって、最終的な圧力は \(1.0 \times 10^5\,\text{Pa}\) と \(2.0 \times 10^5\,\text{Pa}\) の間になり、かつ \(1.0 \times 10^5\,\text{Pa}\) に近い値になるはずです。計算結果の \(1.2 \times 10^5\,\text{Pa}\) は、この大まかな予測と一致しており、妥当性が高いと判断できます。

298 連結された容器内の気体

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「コックで連結された容器内の気体の混合」です。状態の異なる2つの気体を混合した後の平衡状態を、物質量保存則と気体の状態方程式を用いて解析する典型問題です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
コックが閉じられている初期状態では、容器AとBはそれぞれ独立した気体とみなせます。それぞれの容器について、圧力、体積、温度が分かっているので、気体の状態方程式 \(pV=nRT\) を適用して物質量を計算します。計算にあたり、単位をSI基本単位系に揃えることが重要です。
この設問における重要なポイント

• 温度をセルシウス温度から絶対温度に変換する: \(T = t + 273\)。
• 体積をリットルから立方メートルに変換する: \(1\,\text{L} = 10^{-3}\,\text{m}^3\)。
• 容器A, Bそれぞれに状態方程式を適用する。

具体的な解説と立式
まず、与えられた値を整理し、単位を変換します。

• 温度: \(t = 27\,^\circ\text{C} \rightarrow T = 27 + 273 = 300\,\text{K}\)
• 容器A:
  • \(p_A = 1.0 \times 10^5\,\text{Pa}\)
  • \(V_A = 6.0\,\text{L} = 6.0 \times 10^{-3}\,\text{m}^3\)
• 容器B:
  • \(p_B = 2.5 \times 10^5\,\text{Pa}\)
  • \(V_B = 3.0\,\text{L} = 3.0 \times 10^{-3}\,\text{m}^3\)

気体の状態方程式 \(pV=nRT\) を \(n\) について解くと \(n = \displaystyle\frac{pV}{RT}\) となります。

• 容器Aの物質量 \(n_A\):
  $$
  \begin{aligned}
  n_A &= \frac{p_A V_A}{RT}
  \end{aligned}
  $$
• 容器Bの物質量 \(n_B\):
  $$
  \begin{aligned}
  n_B &= \frac{p_B V_B}{RT}
  \end{aligned}
  $$

• • \(n_A\) の計算
    $$
    \begin{aligned}
    n_A &= \frac{(1.0 \times 10^5) \times (6.0 \times 10^{-3})}{8.3 \times 300} \\[2.0ex] &= \frac{6.0 \times 10^2}{2490} \\[2.0ex] &\approx 0.2409…\,\text{mol}
    \end{aligned}
    $$
    有効数字2桁で、\(n_A = 0.24\,\text{mol}\) となります。

• \(n_B\) の計算
  $$
  \begin{aligned}
  n_B &= \frac{(2.5 \times 10^5) \times (3.0 \times 10^{-3})}{8.3 \times 300} \\[2.0ex] &= \frac{7.5 \times 10^2}{2490} \\[2.0ex] &\approx 0.3012…\,\text{mol}
  \end{aligned}
  $$
  有効数字2桁で、\(n_B = 0.30\,\text{mol}\) となります。

部屋Aと部屋Bに、それぞれどれくらいの量の空気が入っているかを計算します。部屋の広さ（容積）、空気の圧力、温度が分かっているので、「気体の万能公式」である状態方程式を使えば、それぞれの空気の量を求めることができます。

容器Aの物質量は \(0.24\,\text{mol}\)、容器Bの物質量は \(0.30\,\text{mol}\) と求まりました。値は物理的に妥当な範囲です。

問(2)

思考の道筋とポイント
コックを開くと、圧力の高いBから圧力の低いAへ気体が移動し、最終的に容器全体で圧力が均一になります。このとき、2つの容器を合わせた系全体で考えると、気体分子は外部に漏れていないので、全体の物質量は(1)で求めた \(n_A\) と \(n_B\) の和で一定です。また、全体の体積は \(V_A\) と \(V_B\) の和になります。この「系全体」について状態方程式を適用することで、最終的な圧力を求めます。
この設問における重要なポイント

• コックを開いた後、圧力は全体で均一になる。この圧力を \(p\) とおく。
• 全体の物質量は保存される: \(n = n_A + n_B\)。
• 全体の体積は和になる: \(V = V_A + V_B\)。
• 全体の温度は \(T = 300\,\text{K}\) で一定。

具体的な解説と立式
コックを開いた後の、容器全体の気体について考えます。

• 全体の物質量 \(n\):
  $$
  \begin{aligned}
  n &= n_A + n_B
  \end{aligned}
  $$
• 全体の体積 \(V\):
  $$
  \begin{aligned}
  V &= V_A + V_B
  \end{aligned}
  $$
• 全体の温度 \(T\): \(300\,\text{K}\)
• 求める圧力: \(p\)

系全体について気体の状態方程式を立てると、
$$
\begin{aligned}
pV &= nRT
\end{aligned}
$$
この式に、上記の関係を代入すると、
$$
\begin{aligned}
p(V_A + V_B) &= (n_A + n_B)RT
\end{aligned}
$$
となります。

上記で立てた式を \(p\) について解き、(1)で求めた \(n_A, n_B\) の値（丸める前の値が望ましい）を代入します。
$$
\begin{aligned}
p &= \frac{(n_A + n_B)RT}{V_A + V_B} \\[2.0ex] &= \frac{(0.2409… + 0.3012…) \times 8.3 \times 300}{6.0 \times 10^{-3} + 3.0 \times 10^{-3}} \\[2.0ex] &= \frac{0.5421… \times 2490}{9.0 \times 10^{-3}} \\[2.0ex] &\approx \frac{1350}{9.0 \times 10^{-3}} \\[2.0ex] &= 150 \times 10^3 \\[2.0ex] &= 1.5 \times 10^5\,\text{Pa}
\end{aligned}
$$

コックを開けると、AとBは一つの大きな部屋になります。この大きな部屋に入っている空気の総量は、(1)で計算したAとBの量を足し合わせたものです。この空気の総量と、部屋全体の広さ（容積）、そして温度の情報を使って、「万能公式」で最終的な部屋全体の圧力を計算します。

容器内の圧力は \(1.5 \times 10^5\,\text{Pa}\) となりました。この値は、初期圧力 \(p_A = 1.0 \times 10^5\,\text{Pa}\) と \(p_B = 2.5 \times 10^5\,\text{Pa}\) の間の値です。圧力の高い方から低い方へ気体が移動し、均一な圧力に落ち着いた結果として、物理的に妥当な値です。

問(3)

思考の道筋とポイント
BからAへ移動した空気の物質量は、Aの物質量がどれだけ増加したかを調べればわかります。そこで、コックを開いた後の状態について、容器Aの部分に着目し、状態方程式を適用して、変化後のAの物質量 \(n_A’\) を計算します。(1)で求めた変化前の物質量 \(n_A\) との差が、求める移動量です。
この設問における重要なポイント

• 変化後の容器Aの状態量は、圧力 \(p = 1.5 \times 10^5\,\text{Pa}\)、体積 \(V_A = 6.0 \times 10^{-3}\,\text{m}^3\)、温度 \(T = 300\,\text{K}\) である。
• 移動した物質量 \(\Delta n = (\text{変化後のAの物質量}) – (\text{変化前のAの物質量})\)。

具体的な解説と立式
コックを開いた後の、容器A内の気体の物質量を \(n_A’\) とします。
容器Aについて状態方程式を立てると、
$$
\begin{aligned}
pV_A &= n_A’RT
\end{aligned}
$$
これを \(n_A’\) について解くと、
$$
\begin{aligned}
n_A’ &= \frac{pV_A}{RT}
\end{aligned}
$$
BからAへ移動した物質量 \(\Delta n\) は、
$$
\begin{aligned}
\Delta n &= n_A’ – n_A
\end{aligned}
$$
となります。

まず、\(n_A’\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
n_A’ &= \frac{(1.5 \times 10^5) \times (6.0 \times 10^{-3})}{8.3 \times 300} \\[2.0ex] &= \frac{9.0 \times 10^2}{2490} \\[2.0ex] &\approx 0.3614…\,\text{mol}
\end{aligned}
$$
次に、移動した物質量 \(\Delta n\) を計算します。(1)で求めた \(n_A\) の値（丸める前の値）を用います。
$$
\begin{aligned}
\Delta n &= n_A’ – n_A \\[2.0ex] &= 0.3614… – 0.2409… \\[2.0ex] &= 0.1205…\,\text{mol}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で、\(\Delta n = 0.12\,\text{mol}\) となります。

コックを開けた後、部屋Aにどれくらいの量の空気が入っているかを計算します。(1)で計算した、コックを開ける前のAの空気の量と比べることで、どれだけ増えたかがわかります。この増えた分が、Bから引っ越してきた空気の量です。

BからAへ \(0.12\,\text{mol}\) の空気が移動したことがわかりました。初期圧力はBの方が高かったので、BからAへ気体が移動するという結果は物理的に自然です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 物質量保存則の適用
  • 核心: この問題の根幹は、コックで仕切られた2つの容器を1つの閉鎖系とみなし、「コックを開く前後で、系全体の気体の総量（全物質量）は変化しない」という物質量保存の法則を適用する点にあります。
  • 理解のポイント:
    • 気体の移動: コックを開くと、圧力の高い容器Bから圧力の低い容器Aへ気体分子が移動します。これにより、A内の物質量は増加し、B内の物質量は減少します。
    • 全体としての不変性: 各部分の物質量は変化しますが、系全体としては外部との物質の出入りがないため、AとBの物質量の和は常に一定に保たれます。
    • 立式のプロセス: この問題を解くための基本戦略は、「(Aの初期物質量) + (Bの初期物質量) = (Aの最終物質量) + (Bの最終物質量)」という保存則の式を立て、各項を気体の状態方程式 \(n=pV/RT\) を用いて表現することです。これにより、未知の物理量（最終圧力など）を求める方程式が完成します。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 連結容器で温度が変化する場合（問297）: この問題では温度が一定でしたが、片方の容器を加熱・冷却する問題もあります。その場合でも「物質量保存則」が根幹であることは変わりません。ただし、温度が一定でないため、別解で用いた「ボイルの法則＋分圧の法則」は使えず、状態方程式から \(n=pV/RT\) を使って立式する主たる解法が王道となります。
  • 気体の流出・流入: 容器に穴が開いていて気体が漏れ出す、あるいはボンベから気体を注入する問題。この場合は物質量が保存されないため、変化の各瞬間の状態方程式を立てて考える必要があります。
  • ピストンとの比較: なめらかに動くピストンで仕切られた問題では、最終的な圧力は「力のつり合い」によって決まります。一方、この問題のような連結容器では、最終的な圧力は「均一になる」という条件で決まります。この力学的な条件の違いを明確に区別することが重要です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まずは「系の定義」と「保存量」を探す: 問題の状況を読み解き、どこからどこまでを一つの「系」とみなすか、そしてその系で何が保存されるのか（この問題では「総物質量」）を特定します。
  2. 次に「平衡条件」を考える: 変化が収まった最終状態で、何が均一になるのかを考えます。この問題では「圧力」と「温度」が均一になります。
  3. 状態変化の種類を特定する: 等温、定圧、定積、断熱など、どのような変化が起こっているかを確認します。この問題は「等温変化」を伴う混合であるため、ボイルの法則や分圧の法則といったアプローチも可能になります。
  4. 状態量を整理する: 「変化前」と「変化後」について、各部分（A, B, 全体）の圧力 \(p\)、体積 \(V\)、温度 \(T\)、物質量 \(n\) を文字で設定し、既知の値と未知の値を整理すると、立式の方針が立てやすくなります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 物質量保存の式の立て間違い:
  • 誤解: 保存されるのは物質量（分子の数）であるにもかかわらず、圧力と体積の積の和が保存されると勘違いし、\(p_A V_A + p_B V_B = p (V_A + V_B)\) のような間違った式を立ててしまう。
  • 対策: 保存されるのは、あくまで目に見えない「分子の数」、すなわち「物質量 \(n\)」であると強く意識しましょう。必ず \(n_A + n_B = n_{\text{全体}}\) という基本に立ち返り、そこから状態方程式を使って式を変形するという手順を踏むことで、このような間違いを防げます。
• ボイルの法則の誤用:
  • 誤解: 容器Aについて、コックを開いても体積は \(V_A\) のままだと考え、\(p_A V_A = p V_A\) のような式を立ててしまう。
  • 対策: コックを開くと、Aに入っていた気体はBの空間にも広がることができます。したがって、Aの気体にとっての「体積」は、\(V_A\) から \(V_A + V_B\) に変化したと考える必要があります。同様に、Bの気体も全体に広がります。
• 移動量の計算ミス:
  • 誤解: (3)で移動量を計算する際に、変化前後の物質量の引き算の順序を間違え、符号をマイナスにしてしまう。
  • 対策: 移動量は「後の量」-「前の量」で計算する、という基本を徹底しましょう。この問題では、圧力の高いBから低いAへ気体が移動するので、Aの物質量は増加し、Bの物質量は減少するはずです。Aの増加量 \((n_A’ – n_A)\) と、Bの減少量 \((n_B – n_B’)\) が等しくなるはずなので、両方を計算して結果が一致するか確かめるのが良い検算になります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（気体の状態方程式）:
  • 選定理由: 求めたいのは「物質量 \(n\)」です。初期状態の「圧力 \(p\)」「体積 \(V\)」「温度 \(T\)」が与えられています。これら4つの物理量を結びつける唯一の基本法則が、気体の状態方程式 \(pV=nRT\) です。
  • 適用根拠: コックが開かれる前は、AとBはそれぞれ独立した閉鎖系とみなせるため、それぞれに状態方程式を適用して物質量を一意に決定できます。
• (2)での公式選択（物質量保存則＋状態方程式）:
  • 選定理由: 2つの系を混合する問題であり、その前後で「総物質量」が保存されます。この保存則を立式の中心に据えるのが最も基本的なアプローチです。
  • 適用根拠: 「総物質量が保存される」という物理法則を \(n_A + n_B = n_{\text{全体}}\) と立式し、各項を状態方程式で \(p, V, T\) を使って表現することで、未知数である最終圧力 \(p\) を含む方程式を構築できます。
• (2)別解でのアプローチ選択（ボイルの法則＋分圧の法則）:
  • 選定理由: 問題の特殊な条件である「温度が一定」に着目した解法です。等温条件下での気体の混合は、ドルトンの分圧の法則が有効な典型例です。
  • 適用根拠: ドルトンの分圧の法則は、「混合気体の全圧は、各成分気体が単独で全容積を占めたときの圧力（分圧）の和に等しい」という法則です。各成分気体の分圧は、温度が一定であるためボイルの法則 \(p_1V_1 = p_2V_2\) を使って簡単に計算できます。この2つの法則を組み合わせることで、物質量を介さずに直接圧力を求めることができます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位換算を計算の第一歩とする:
  • 問題を読んだら、まず \(27\,^\circ\text{C} \rightarrow 300\,\text{K}\)、\(6.0\,\text{L} \rightarrow 6.0 \times 10^{-3}\,\text{m}^3\) のように、すべての単位をSI基本単位系に変換する作業を済ませてしまいましょう。これが計算ミスを防ぐ最も確実な方法です。
• 共通項を有効活用する:
  • (1)の計算では、分母の \(RT = 8.3 \times 300 = 2490\) という値はAとBで共通です。先にこの値を計算しておくと、計算の手間が省けます。
  • (2)の別解の式は \(p = \displaystyle\frac{p_A V_A + p_B V_B}{V_A + V_B}\) と変形できます。これは、体積を重みとした「圧力の加重平均」を求める式と同じ形です。この形にしてから数値を代入すると、計算が一度で済み、見通しが良くなります。
• 丸め誤差を回避する:
  • (1)で求めた \(n_A, n_B\) を(2)や(3)で使う場合、\(0.24\,\text{mol}\) や \(0.30\,\text{mol}\) のような丸めた値ではなく、計算途中の分数（例: \(\displaystyle\frac{600}{2490}\)）のまま、あるいは有効数字を多めに取った値（例: \(0.2409…\)）を使って後続の計算を行うと、最終的な答えの精度が保たれます。
• 概算による検算を行う:
  • (2)の圧力は、初期圧力 \(1.0 \times 10^5\,\text{Pa}\) と \(2.5 \times 10^5\,\text{Pa}\) の間の値になるはずです。加重平均の考え方から、
    $$
    \begin{aligned}
    p &= \frac{1.0 \times 6.0 + 2.5 \times 3.0}{6.0 + 3.0} \times 10^5 \\[2.0ex] &= \frac{6.0 + 7.5}{9.0} \times 10^5 \\[2.0ex] &= \frac{13.5}{9.0} \times 10^5 \\[2.0ex] &= 1.5 \times 10^5\,\text{Pa}
    \end{aligned}
    $$
    と暗算レベルで検算できます。
  • (3)の移動量：温度と圧力が最終的に同じになるので、物質量は体積に比例して分配されます。全物質量 \(0.24+0.30=0.54\,\text{mol}\) が、体積比 \(V_A:V_B = 6:3 = 2:1\) で分配されるので、最終的なAの物質量は \(0.54 \times \displaystyle\frac{2}{3} = 0.36\,\text{mol}\) となるはずです。初期のAの物質量は \(0.24\,\text{mol}\) だったので、移動量は \(0.36 – 0.24 = 0.12\,\text{mol}\) と、こちらも暗算で答えを求めることができます。

299 気体分子の運動エネルギー

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「気体分子運動論の基本公式の適用」です。気体分子1個あたりの平均運動エネルギーや二乗平均速度が、温度や分子の質量とどのように関係しているかを、公式を用いて定量的に理解することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
ヘリウムとネオンの「1分子あたりの平均運動エネルギー」を比較します。このエネルギーを表す公式 \(\overline{K} = \displaystyle\frac{3}{2}kT\) を思い出し、この式の中で気体の種類によって値が変わる可能性のある変数は何かを考えます。公式から、平均運動エネルギーは絶対温度 \(T\) のみに依存し、気体の種類（原子量や質量）にはよらないことがわかります。
この設問における重要なポイント

• 1分子あたりの平均運動エネルギーは、気体の種類（質量）によらず、絶対温度 \(T\) だけで決まる。
• ヘリウムとネオンは、問題の条件下で同じ温度 (\(27\,^\circ\text{C}\)) である。

具体的な解説と立式
単原子分子理想気体の分子1個あたりの平均運動エネルギー \(\overline{K}\) は、絶対温度を \(T\)、ボルツマン定数を \(k\) として、
$$
\begin{aligned}
\overline{K} &= \frac{3}{2}kT
\end{aligned}
$$
と表されます。
ヘリウムとネオンは、ともに温度が \(27\,^\circ\text{C}\) であり、絶対温度 \(T\) が等しいです。したがって、1分子あたりの平均運動エネルギーも等しくなります。
ヘリウムの平均運動エネルギーを \(\overline{K}_{\text{He}}\)、ネオンの平均運動エネルギーを \(\overline{K}_{\text{Ne}}\) とすると、
$$
\begin{aligned}
\overline{K}_{\text{He}} &= \overline{K}_{\text{Ne}}
\end{aligned}
$$
となります。

両者の比を計算すると、
$$
\begin{aligned}
\frac{\overline{K}_{\text{He}}}{\overline{K}_{\text{Ne}}} &= 1
\end{aligned}
$$
よって、1倍となります。

気体分子の「元気のよさ（平均運動エネルギー）」は、その気体の温度だけで決まります。分子が重いか軽いかは関係ありません。ヘリウムとネオンは同じ温度なので、分子1個あたりの元気のよさは全く同じです。したがって答えは1倍です。

気体分子運動論の最も重要な結論の一つは、温度が分子の平均運動エネルギーの指標であるということです。同じ温度であれば、気体の種類によらず分子1個あたりの平均運動エネルギーは等しい、という結論は物理的に正しいです。

問(2)

思考の道筋とポイント
ヘリウムとネオンの「二乗平均速度」を比較します。二乗平均速度の公式 \(\sqrt{\overline{v^2}} = \sqrt{\displaystyle\frac{3kT}{m}}\) を使い、2つの気体の比を計算します。この公式から、二乗平均速度は絶対温度 \(T\) と分子の質量 \(m\) の両方に依存することがわかります。分子の質量 \(m\) の比は、原子量の比で代用できることを利用します。
この設問における重要なポイント

• 二乗平均速度は、絶対温度 \(T\) と分子の質量 \(m\) の両方に依存する。
• 温度が同じ場合、二乗平均速度は質量の平方根に反比例する (\(\sqrt{\overline{v^2}} \propto \displaystyle\frac{1}{\sqrt{m}}\))。
• 分子の質量比は原子量（または分子量）の比に等しい。

具体的な解説と立式
気体分子の二乗平均速度 \(\sqrt{\overline{v^2}}\) は、
$$
\begin{aligned}
\sqrt{\overline{v^2}} &= \sqrt{\frac{3kT}{m}}
\end{aligned}
$$
と表されます。
ヘリウムとネオンの二乗平均速度をそれぞれ \(\sqrt{\overline{v_{\text{He}}^2}}\), \(\sqrt{\overline{v_{\text{Ne}}^2}}\)、分子の質量を \(m_{\text{He}}\), \(m_{\text{Ne}}\) とします。温度 \(T\) は共通なので、両者の比をとると、
$$
\begin{aligned}
\frac{\sqrt{\overline{v_{\text{He}}^2}}}{\sqrt{\overline{v_{\text{Ne}}^2}}} &= \frac{\sqrt{\frac{3kT}{m_{\text{He}}}}}{\sqrt{\frac{3kT}{m_{\text{Ne}}}}} \\[2.0ex] &= \sqrt{\frac{m_{\text{Ne}}}{m_{\text{He}}}}
\end{aligned}
$$
となります。

分子の質量の比は原子量の比に等しいので、ヘリウムの原子量4、ネオンの原子量20を代入します。
$$
\begin{aligned}
\frac{\sqrt{\overline{v_{\text{He}}^2}}}{\sqrt{\overline{v_{\text{Ne}}^2}}} &= \sqrt{\frac{20}{4}} \\[2.0ex] &= \sqrt{5}
\end{aligned}
$$
よって、ヘリウム分子の二乗平均速度は、ネオン分子の \(\sqrt{5}\) 倍です。

同じ温度のとき、軽い分子ほど速く飛び回っています。ヘリウムはネオンより軽いので、速さはヘリウムの方が速くなります。どれくらい速いかを計算すると、質量の比の平方根（ルート）だけ速いことがわかります。

温度が同じなら、軽い分子ほど速く運動するという結果は物理的な直感と一致します。ヘリウムはネオンの \(4/20 = 1/5\) の質量なので、速度はその逆数の平方根である \(\sqrt{5}\) 倍速い、という結果は妥当です。

問(3)

思考の道筋とポイント
ヘリウムについて、2つの異なる温度での平均運動エネルギーを比較します。まず、与えられたセルシウス温度を絶対温度に変換することが必須です。その後、公式 \(\overline{K} = \displaystyle\frac{3}{2}kT\) を使ってそれぞれのエネルギーを計算し、その比をとります。
この設問における重要なポイント

• 気体分子運動論の計算では、必ず絶対温度を用いる。
• \(27\,^\circ\text{C} \rightarrow 300\,\text{K}\)
• \(327\,^\circ\text{C} \rightarrow 600\,\text{K}\)

具体的な解説と立式
まず、温度を絶対温度に変換します。

• 変化前の温度: \(T_1 = 27 + 273 = 300\,\text{K}\)
• 変化後の温度: \(T_2 = 327 + 273 = 600\,\text{K}\)

それぞれの温度における1分子あたりの平均運動エネルギーを \(\overline{K_1}\), \(\overline{K_2}\) とします。

• \(T_1 = 300\,\text{K}\) のとき:
  $$
  \begin{aligned}
  \overline{K_1} &= \frac{3}{2}k T_1 \\[2.0ex] &= \frac{3}{2}k (300)
  \end{aligned}
  $$
• \(T_2 = 600\,\text{K}\) のとき:
  $$
  \begin{aligned}
  \overline{K_2} &= \frac{3}{2}k T_2 \\[2.0ex] &= \frac{3}{2}k (600)
  \end{aligned}
  $$

2つのエネルギーの比を計算します。
$$
\begin{aligned}
\frac{\overline{K_2}}{\overline{K_1}} &= \frac{\frac{3}{2}k (600)}{\frac{3}{2}k (300)} \\[2.0ex] &= \frac{600}{300} \\[2.0ex] &= 2
\end{aligned}
$$
よって、2倍になります。

分子の元気のよさ（エネルギー）は「絶対温度」に比例します。温度を \(27\,^\circ\text{C}\) から \(327\,^\circ\text{C}\) に変えたとき、物理で使う絶対温度では \(300\,\text{K}\) から \(600\,\text{K}\) へと、ちょうど2倍になっています。だから、元気のよさも2倍になります。

絶対温度が2倍になると、1分子あたりの平均運動エネルギーも2倍になるという、単純な比例関係が確認できました。結果は妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 気体分子運動論の基本公式の理解と使い分け
  • 核心: この問題の根幹は、気体分子運動論における2つの重要な結論、「平均運動エネルギー」と「二乗平均速度」の公式を正しく理解し、それらが何に依存する物理量なのかを明確に区別できるかという点にあります。
  • 理解のポイント:
    • 1分子あたりの平均運動エネルギー (\(\overline{K} = \displaystyle\frac{3}{2}kT\)): この物理量は、気体の種類（分子の質量）には一切よらず、絶対温度 \(T\) のみに比例します。したがって、温度が同じであれば、どんなに重い分子でも軽い分子でも、1個あたりの平均的な運動エネルギーは全く同じになります。
    • 二乗平均速度 (\(\sqrt{\overline{v^2}} = \sqrt{\displaystyle\frac{3kT}{m}}\)): こちらは、絶対温度 \(T\) と分子1個の質量 \(m\) の両方に依存します。具体的には、温度が高いほど速く、分子が軽いほど速くなります。
    • この「エネルギーは温度のみ」「速度は温度と質量の両方」という依存性の違いを正確に把握することが、この問題を解くための絶対的な鍵となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 1molあたりの内部エネルギー (\(U = \displaystyle\frac{3}{2}RT\)): 単原子分子理想気体の場合、1molあたりの内部エネルギーは、気体の種類によらず絶対温度 \(T\) のみに比例します。これは、分子1個あたりのエネルギーにアボガドロ定数を掛けたものに相当します。
  • 気体中の音速 (\(v_s = \sqrt{\displaystyle\frac{\gamma RT}{M}}\)): 気体中を伝わる音の速さも、二乗平均速度と非常によく似た依存性を持ちます。すなわち、絶対温度 \(T\) の平方根に比例し、モル質量 \(M\) の平方根に反比例します。軽い気体ほど音は速く伝わります。
  • 混合気体のエネルギー: 異なる種類の気体を混合して熱平衡状態にした場合、全体の温度は均一になります。その結果、各種類の分子の「1分子あたりの平均運動エネルギー」もすべて等しくなります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まずは問われている物理量を確認する: 「エネルギー」について聞かれているのか、「速さ（速度）」について聞かれているのかを明確に区別します。
  2. 次に公式の依存性を思い出す: その物理量が「温度のみ」に依存するのか、「温度と質量」の両方に依存するのかを公式から判断します。
  3. 「比」を問われたら、変化しない量を消去する: 2つの状態の比を計算する場合、両者に共通する定数（ボルツマン定数 \(k\) や、共通の温度 \(T\) など）は、式を立てる段階で約分されて消えることを見越して、変化する量（質量 \(m\) や温度 \(T\)）の関係に注目します。
  4. 温度は必ず絶対温度に変換する: 問題文にセルシウス温度が出てきたら、他のことを考える前に、まず絶対温度に変換する癖をつけましょう。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• エネルギーと速度の依存性の混同:
  • 誤解: (1)でエネルギーが温度だけで決まることから、(2)の速度も温度だけで決まるだろうと勘違いし、「同じ温度だから速度も同じで1倍」と答えてしまう。
  • 対策: 平均運動エネルギーの定義式 \(\overline{K} = \displaystyle\frac{1}{2}m\overline{v^2}\) を常に意識しましょう。この式から、エネルギー \(\overline{K}\) が同じでも、質量 \(m\) が異なれば、速度の2乗平均 \(\overline{v^2}\) は異なることがわかります。「同じエネルギーなら、軽い（\(m\)が小さい）分子ほど速い（\(\overline{v^2}\)が大きい）」と覚えておくと間違いを防げます。
• セルシウス温度のまま比を計算してしまう:
  • 誤解: (3)で、温度が \(27\,^\circ\text{C}\) から \(327\,^\circ\text{C}\) に変化したのを見て、\(327 \div 27 \approx 12\) だから約12倍、と計算してしまう。
  • 対策: 「気体分子運動論の公式で使われる温度 \(T\) は、例外なく絶対温度である」ということを鉄則としましょう。計算を始める前に、必ず \(T = t + 273\) の変換を行うことを習慣づけるのが最も確実です。
• 速度と質量の関係の逆転:
  • 誤解: (2)で速度の比を計算する際に、質量の比をうっかり逆にして \(\sqrt{\displaystyle\frac{m_{\text{He}}}{m_{\text{Ne}}}} = \sqrt{\displaystyle\frac{4}{20}}\) と計算してしまう。
  • 対策: 公式 \(\sqrt{\overline{v^2}} = \sqrt{\displaystyle\frac{3kT}{m}}\) から、速度は質量の平方根に「反比例」することを確認しましょう。したがって、ヘリウムとネオンの速度の比は、ヘリウムとネオンの質量の比の「逆数の平方根」(\(\sqrt{\displaystyle\frac{m_{\text{Ne}}}{m_{\text{He}}}}\)) になると、論理的に導くことが重要です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（平均運動エネルギーの公式）:
  • 選定理由: 問われているのは「1分子あたりの平均運動エネルギー」です。この物理量を、マクロな量である「温度」と結びつけるのが、気体分子運動論の公式 \(\overline{K} = \displaystyle\frac{3}{2}kT\) です。
  • 適用根拠: この公式は、気体分子運動論から導かれる、温度の正体をミクロな分子の運動エネルギーとして説明する、最も根源的な関係式の一つです。問題の条件（単原子分子理想気体）を満たしており、直接適用できます。
• (2)での公式選択（二乗平均速度の公式）:
  • 選定理由: 問われているのは「二乗平均速度」です。この物理量を温度や質量と結びつけるのが \(\sqrt{\overline{v^2}} = \sqrt{\displaystyle\frac{3kT}{m}}\) です。
  • 適用根拠: この公式は、平均運動エネルギーの公式 \(\displaystyle\frac{1}{2}m\overline{v^2} = \frac{3}{2}kT\) を、速度について解き直したものです。したがって、温度と質量から速度を求めるための直接的な関係式として適用できます。別解のように、エネルギーの式から出発しても同じ結論に至ります。
• (3)でのアプローチ選択（比例関係の利用）:
  • 選定理由: 異なる2つの温度における「平均運動エネルギーの比」が問われています。
  • 適用根拠: 公式 \(\overline{K} = \displaystyle\frac{3}{2}kT\) から、\(\overline{K}\) と \(T\) は単純な比例関係 (\(\overline{K} \propto T\)) にあることがわかります。この物理的な本質を利用すれば、各温度でのエネルギーを具体的に計算しなくても、「エネルギーの比は絶対温度の比に等しい」という関係から、より直接的かつシンプルに答えを導き出すことができます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 比の計算は文字式で整理してから:
  • (2)のように比を求める問題では、まず \(\displaystyle\frac{\sqrt{\overline{v_{\text{He}}^2}}}{\sqrt{\overline{v_{\text{Ne}}^2}}} = \frac{\sqrt{3kT/m_{\text{He}}}}{\sqrt{3kT/m_{\text{Ne}}}}\) のように、文字式のまま分数の形で式を立てましょう。
  • 次に、共通の項（この場合は \(3kT\)）を約分で消去し、\(\sqrt{\displaystyle\frac{m_{\text{Ne}}}{m_{\text{He}}}}\) のように最もシンプルな形にしてから、最後に数値を代入します。この手順を踏むことで、計算ミスが減り、物理的な関係（反比例）も明確になります。
• 絶対温度への変換を計算の第一歩とする:
  • 問題文を読んだら、計算用紙の隅にでも、まず \(27\,^\circ\text{C} \rightarrow 300\,\text{K}\)、\(327\,^\circ\text{C} \rightarrow 600\,\text{K}\) のように、すべての温度を絶対温度に変換してメモしておくことを習慣にしましょう。
• 平方根の扱いを忘れない:
  • (2)で、速度の比は質量の比の「平方根」であることを忘れないようにしましょう。\(5\) 倍ではなく \(\sqrt{5}\) 倍です。
• 物理的な直感による検算:
  • 計算結果が出たら、それが直感と合っているかを確認しましょう。
    • (1) 同じ温度 → エネルギーは同じはず → 1倍。OK。
    • (2) ヘリウムはネオンより軽い → ヘリウムの方が速いはず → \(\sqrt{5}\) は1より大きいのでOK。
    • (3) 絶対温度が \(300\,\text{K}\) から \(600\,\text{K}\) へとちょうど2倍になった → エネルギーも2倍になるはず → 2倍。OK。
  • このような簡単なチェックで、多くのケアレスミスを発見できます。

300 窒素分子の運動

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「気体分子運動論に基づく具体的な計算」です。気体のマクロな性質（圧力や温度）と、それを構成する分子のミクロな運動（質量や速さ）とを結びつける、気体分子運動論の基本的な計算を網羅した問題です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
窒素分子1個の質量を求めます。「分子量28」とは、「窒素分子が1mol集まると28gになる」という意味です。そして、「1mol」とは「アボガドロ定数（\(6.0 \times 10^{23}\)）個の粒子の集まり」です。この2つの定義を結びつけることで、分子1個あたりの質量を計算できます。
この設問における重要なポイント

• モル質量 \(M\) は、分子量に単位 \(\text{g/mol}\) をつけたもの。計算ではkgに直す。
• 分子1個の質量 \(m = \displaystyle\frac{\text{モル質量 } M}{\text{アボガドロ定数 } N_A}\)。

具体的な解説と立式
窒素の分子量は28なので、モル質量 \(M\) は \(28\,\text{g/mol}\) です。SI単位系であるkgに直すと、\(M = 28 \times 10^{-3}\,\text{kg/mol}\) となります。
1molは \(N_A = 6.0 \times 10^{23}\) 個の分子の集まりなので、分子1個の質量 \(m\) は、
$$
\begin{aligned}
m &= \frac{M}{N_A}
\end{aligned}
$$
で計算できます。

数値を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
m &= \frac{28 \times 10^{-3}}{6.0 \times 10^{23}} \\[2.0ex] &= \frac{28}{6.0} \times 10^{-26} \\[2.0ex] &\approx 4.666… \times 10^{-26}\,\text{kg}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で、\(m = 4.7 \times 10^{-26}\,\text{kg}\) となります。

窒素分子が \(6.0 \times 10^{23}\) 個（ものすごい数！）集まって、ようやく \(28\,\text{g}\) の重さになります。では、そのうちのたった1個の重さは？と聞かれているので、全体の重さを個数で割り算すれば答えが出ます。

分子1個の質量が非常に小さい値になるのは当然です。オーダーが \(10^{-26}\,\text{kg}\) というのも、原子や分子の質量として典型的な大きさであり、妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
窒素分子の二乗平均速度を求めます。公式 \(\sqrt{\overline{v^2}} = \sqrt{\displaystyle\frac{3RT}{M}}\) を用いるのが最も直接的です。この公式は気体全体（1mol）に着目したもので、気体定数 \(R\) とモル質量 \(M\) を使います。計算には、セルシウス温度を絶対温度に変換すること、モル質量 \(M\) をkg単位で用いることが必要です。
この設問における重要なポイント

• 温度は必ず絶対温度 \(T\) を用いる: \(T = 7 + 273 = 280\,\text{K}\)。
• モル質量 \(M\) はkg単位で用いる: \(M = 28 \times 10^{-3}\,\text{kg/mol}\)。

具体的な解説と立式
窒素分子の二乗平均速度 \(\sqrt{\overline{v^2}}\) は、気体定数を \(R\)、絶対温度を \(T\)、モル質量を \(M\) として、
$$
\begin{aligned}
\sqrt{\overline{v^2}} &= \sqrt{\frac{3RT}{M}}
\end{aligned}
$$
と表されます。

まず、温度を絶対温度に変換します。
\(T = 7 + 273 = 280\,\text{K}\)

公式に各値を代入します。
$$
\begin{aligned}
\sqrt{\overline{v^2}} &= \sqrt{\frac{3 \times 8.3 \times 280}{28 \times 10^{-3}}} \\[2.0ex] &= \sqrt{\frac{3 \times 8.3 \times 280 \times 10^3}{28}} \\[2.0ex] &= \sqrt{3 \times 8.3 \times 10 \times 10^3} \\[2.0ex] &= \sqrt{24.9 \times 10^4} \\[2.0ex] &= \sqrt{24.9} \times \sqrt{10^4} \\[2.0ex] &= \sqrt{24.9} \times 10^2
\end{aligned}
$$
問題の指示より \(\sqrt{24.9} \approx 5.0\) を用いて、
$$
\begin{aligned}
\sqrt{\overline{v^2}} &\approx 5.0 \times 10^2\,\text{m/s}
\end{aligned}
$$
となります。

気体分子が平均してどれくらいの速さで飛び回っているかを計算します。これには便利な公式があり、「温度が高いほど」「分子が軽いほど」速くなります。公式に、気体の種類（窒素）、温度、そして物理の定数を当てはめて計算するだけです。

\(500\,\text{m/s}\) という速さは、音速（空気中で約 \(340\,\text{m/s}\)）より少し速い程度です。気体分子の運動速度が音速と同程度のオーダーであることはよく知られており、物理的に妥当な値です。

問(3)

思考の道筋とポイント
分子1個が壁に与える力積の大きさを求めます。まず、分子が壁から受ける力積を「運動量の変化」として計算します。作用・反作用の法則により、分子が壁に与える力積は、分子が受けた力積と大きさが同じで向きが逆になります。
この設問における重要なポイント

• 衝突は弾性衝突なので、速さは変わらず向きだけが反転する。
• 分子が壁に与える力積の大きさ = 分子が壁から受ける力積の大きさ = |分子の運動量の変化|。
• 運動量はベクトルなので、向きを正負で考える。

具体的な解説と立式
分子の速さを \(v = 5.0 \times 10^2\,\text{m/s}\)、質量を \(m = 4.7 \times 10^{-26}\,\text{kg}\) とします。
壁に垂直に入射し、はねかえるので、壁に垂直な方向をx軸とし、壁に向かう向きを正とします。

• 衝突前の運動量: \(p_{\text{前}} = mv\)
• 衝突後の運動量: \(p_{\text{後}} = -mv\)

分子の運動量の変化 \(\Delta p\) は、
$$
\begin{aligned}
\Delta p &= p_{\text{後}} – p_{\text{前}} \\[2.0ex] &= (-mv) – (mv) \\[2.0ex] &= -2mv
\end{aligned}
$$
これが分子が壁から受けた力積です。
分子が壁に与える力積は、この反作用なので \(+2mv\) となります。その大きさは、
$$
\begin{aligned}
I_1 &= 2mv
\end{aligned}
$$
です。

数値を代入して計算します。(1)で求めた丸める前の値を用います。
$$
\begin{aligned}
I_1 &= 2 \times (4.666… \times 10^{-26}) \times (5.0 \times 10^2) \\[2.0ex] &= 46.66… \times 10^{-24} \\[2.0ex] &\approx 4.7 \times 10^{-23}\,\text{N}\cdot\text{s}
\end{aligned}
$$

ボールを壁にぶつけて跳ね返らせると、ボールは壁から力を受け、同時に壁もボールから力を受けます。この「力×時間」の衝撃の大きさを力積といいます。分子が壁に与える力積は、分子の運動量がどれだけ変化したかを計算することで求められます。

分子1個が与える力積は非常に小さい値ですが、これが無数に集まることで、次に問われるような大きな圧力が発生します。値のオーダーも妥当です。

問(4)

思考の道筋とポイント
気体の圧力が、多数の分子の壁への衝突によって生じる、という気体分子運動論の根幹に関わる問題です。

1. まず、圧力 \(P\) から、壁の面積 \(S=1\,\text{m}^2\) が受ける力の大きさ \(F=PS\) を計算します。
2. 1秒間に壁が受ける力積の合計は \(F \times (1\,\text{s}) = F\) となります。
3. この力積の合計が、1秒間に衝突する \(n\) 個の分子が与える力積の総和に等しいと考えます。
4. (3)で求めた分子1個あたりの力積 \(I_1\) を使って、\(F = n \times I_1\) という関係式を立て、\(n\) を求めます。

この設問における重要なポイント

• 圧力 \(P\) は、単位面積あたりの力 \(F/S\) である。
• 1秒間に壁が受ける力積の合計は、壁が受ける力の大きさに等しい。
• （壁が受ける力積の合計） = （1秒間の衝突回数）×（1回の衝突で与えられる力積）。

具体的な解説と立式
圧力 \(P = 1.0 \times 10^5\,\text{Pa}\) が生じているとき、壁の面積 \(S=1\,\text{m}^2\) が受ける力の大きさ \(F\) は、
$$
\begin{aligned}
F &= PS \\[2.0ex] &= (1.0 \times 10^5) \times 1.0 \\[2.0ex] &= 1.0 \times 10^5\,\text{N}
\end{aligned}
$$
この力が、分子の衝突によって生じています。
1秒間に壁が受ける力積の合計の大きさ \(I_{\text{合計}}\) は、
$$
\begin{aligned}
I_{\text{合計}} &= F \times \Delta t \\[2.0ex] &= (1.0 \times 10^5) \times 1.0 \\[2.0ex] &= 1.0 \times 10^5\,\text{N}\cdot\text{s}
\end{aligned}
$$
となります。
毎秒 \(n\) 個の分子が壁に衝突しているとすると、これらの分子が1秒間に壁に与える力積の合計は、(3)で求めた1個あたりの力積 \(I_1\) を使って、
$$
\begin{aligned}
I_{\text{合計}} &= n \times I_1
\end{aligned}
$$
と表せます。
したがって、
$$
\begin{aligned}
1.0 \times 10^5 &= n \times (4.7 \times 10^{-23})
\end{aligned}
$$
という関係式が成り立ちます。

上記の関係式を \(n\) について解きます。(3)の丸める前の値を用います。
$$
\begin{aligned}
n &= \frac{1.0 \times 10^5}{4.666… \times 10^{-23}} \\[2.0ex] &\approx 0.2142… \times 10^{28} \\[2.0ex] &= 2.142… \times 10^{27}\,\text{個}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で、\(n = 2.1 \times 10^{27}\,\text{個}\) となります。

普段私たちが感じている1気圧という圧力は、実は無数の空気分子が猛烈な勢いで私たちの体にぶつかってくることで生じています。この問題では、「1気圧の圧力を生み出すためには、1平方メートルの壁に、1秒間に何個の分子がぶつかればいいですか？」と聞かれています。(3)で計算した「分子1個あたりの衝撃力（力積）」を使って、必要な回数を逆算します。

\(10^{27}\) 個という、非常に大きな数の分子が衝突していることがわかりました。マクロな現象である圧力が、ミクロな分子の膨大な数の衝突によって成り立っていることを示す、気体分子運動論の面白さがわかる結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• マクロな物理量とミクロな物理量の対応関係
  • 核心: この問題の根幹は、私たちが普段観測しているマクロな物理量（温度や圧力）が、目に見えないミクロな世界の分子の運動（質量や速度）によってどのように決まるのか、という気体分子運動論の基本的な考え方を、具体的な計算を通して理解する点にあります。
  • 理解のポイント:
    • 分子1個の質量: マクロな量である「モル質量（\(1\,\text{mol}\)あたりの質量）」を、ミクロとマクロをつなぐ「アボガドロ定数（\(1\,\text{mol}\)あたりの個数）」で割ることで、ミクロな「分子1個の質量」が求まります。
    • 二乗平均速度: マクロな量である「温度」が高いほど、ミクロな「分子の平均的な速さ」が大きくなるという関係を、公式を用いて定量的に結びつけます。
    • 力積と運動量: ミクロな「分子1個の衝突」によって壁に与えられる衝撃（力積）は、その分子の「運動量の変化」として計算されます。
    • 圧力の起源: マクロな量である「圧力」は、ミクロな「分子の衝突」が天文学的な回数だけ繰り返されることによって生じる、力積の総和として説明されます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 1分子あたりの平均運動エネルギーを求める問題: \(\overline{K} = \displaystyle\frac{3}{2}kT\) の公式を使います。これは温度のみに依存し、分子の質量にはよりません。
  • 気体の内部エネルギーを求める問題: 単原子分子理想気体の場合、\(n\,\text{mol}\) の内部エネルギーは \(U = \displaystyle\frac{3}{2}nRT\) で計算できます。
  • 圧力の導出公式を使う問題: 気体分子運動論の基本式 \(p = \displaystyle\frac{1}{3}\frac{N}{V}m\overline{v^2}\) を使うと、圧力、分子数、体積、質量、速度の関係を直接問う問題にも対応できます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まずはマクロかミクロかを見極める: 問われているのが気体全体の話（圧力、温度、気体定数\(R\)）か、分子1個の話（質量、速度、ボルツマン定数\(k\)）かを確認します。
  2. 計算の前に単位をSI基本単位系に統一する: 問題を読んだら、まず \(g \rightarrow kg\)、\(^\circ C \rightarrow K\) の変換を済ませてしまうのが鉄則です。
  3. 公式を正しく選択する:
     • 分子1個の質量 → モル質量 \(M\) とアボガドロ定数 \(N_A\)
     • 分子の速さ → 二乗平均速度の公式 (\(\sqrt{3RT/M}\) または \(\sqrt{3kT/m}\))
     • 衝突による力積 → 運動量の変化 (\(\Delta p\))
     • 圧力と衝突回数 → 圧力の定義 (\(F=PS\)) と力積の総和の関係 (\(F\Delta t = n \times I_1\))
  4. 定数を適切に使い分ける: 気体全体（mol単位）を扱う場合は気体定数 \(R\) とモル質量 \(M\)、分子1個を扱う場合はボルツマン定数 \(k\) と分子1個の質量 \(m\) を使うと、思考が整理しやすくなります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• モル質量の単位ミス:
  • 誤解: 分子量28をそのまま計算に使ってしまう。あるいは、\(28\,\text{g}\) を \(28\,\text{kg}\) と勘違いする。
  • 対策: 「分子量M」は「\(1\,\text{mol}\)あたりの質量がMグラム」という意味だと正確に覚えましょう。物理の計算では、必ずSI単位系の \(\text{kg}\) に直す (\(M \times 10^{-3}\,\text{kg/mol}\)) ことを徹底してください。
• 温度の単位ミス:
  • 誤解: セルシウス温度 \(7\,^\circ\text{C}\) をそのまま公式に代入してしまう。
  • 対策: 気体分子運動論の公式に出てくる温度 \(T\) は、例外なく「絶対温度」です。問題を読んだら、まず最初に \(T = t + 273\) の変換を行うことを計算の第一歩としましょう。
• 力積の計算での符号と向きの混同:
  • 誤解: 運動量の変化を計算する際に符号を間違える。また、分子が「受けた」力積と「与えた」力積を混同する。
  • 対策: 運動量はベクトルなので、必ず座標軸を設定し、「後の運動量 – 前の運動量」を計算する癖をつけましょう。分子が壁から受けた力積と、分子が壁に与えた力積は、作用・反作用の関係にあるため、大きさが等しく向きが逆になります。大きさを問われている場合は、絶対値をとれば良いと理解しましょう。
• (4)の立式の論理を飛ばしてしまう:
  • 誤解: 圧力と力積を直接結びつけようとして混乱する。
  • 対策: 「圧力 \(P\) → 力 \(F\) (\(F=PS\)) → 1秒間の力積の合計 \(I_{\text{合計}}\) (\(I_{\text{合計}}=F\times 1s\)) → 分子n個分の力積の合計 (\(I_{\text{合計}}=n \times I_1\))」という論理の連鎖を、一つずつ丁寧にたどって立式することが重要です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（モル質量とアボガドロ定数の定義）:
  • 選定理由: 求めたいのは「分子1個の質量」というミクロな量です。与えられているのは「分子量」というマクロな基準です。このミクロとマクロを結びつけるのが、モル質量とアボガドロ定数の定義です。
  • 適用根拠: モル質量 \(M\) は \(1\,\text{mol}\) あたりの質量、アボガドロ定数 \(N_A\) は \(1\,\text{mol}\) あたりの個数を表すため、その比 \(M/N_A\) が分子1個の質量を与えるというのは、これらの定義から直接導かれる必然的な関係です。
• (2)での公式選択（二乗平均速度の公式）:
  • 選定理由: 求めたいのは「分子の平均的な速さ」です。これをマクロな量である「温度」と結びつけるのが気体分子運動論の大きな成果であり、その関係をまとめたのが二乗平均速度の公式です。
  • 適用根拠: この公式は、気体の圧力の式 \(p = \displaystyle\frac{1}{3}\frac{N}{V}m\overline{v^2}\) と状態方程式 \(pV=nRT\) を組み合わせることで導出される、理論的に確立された関係式です。したがって、与えられた物理量から速度を計算するために直接適用できます。
• (3)での公式選択（運動量と力積の関係）:
  • 選定理由: 求めたいのは「壁に与える力積」です。力積は、直接測定が難しい「力×時間」を計算するよりも、衝突の結果として生じる「運動量の変化」から求めるのが力学の定石です。
  • 適用根拠: 運動量保存則の裏返しである「運動量と力積の関係 (\(\Delta \vec{p} = \vec{I}\))」は、ニュートンの運動方程式を時間で積分したものであり、衝突現象を解析する際の最も基本的な法則です。分子1個の衝突という、まさにこの法則が適用されるべき典型的な状況です。
• (4)でのアプローチ選択（圧力の定義と力積の総和）:
  • 選定理由: 「圧力」というマクロな現象と、「分子の衝突回数」というミクロな現象を結びつけたいからです。
  • 適用根拠: 圧力の正体は、無数の分子衝突による力積の総和を、時間と面積で割ったものである、という気体分子運動論の根本的な考え方に基づいています。「マクロな圧力から計算される力積の総和」と「ミクロな衝突1回あたりの力積の\(n\)倍」を等しいと置くことで、2つの世界を結びつける方程式を立てることができます。これは、圧力の微視的な起源を数式で表現するプロセスそのものです。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位換算を計算の第一歩とする:
  • 計算を始める前に、問題文で与えられた値をすべてSI基本単位系（\(g \rightarrow kg\), \(^\circ C \rightarrow K\) など）に変換して書き出す習慣をつけましょう。
• 指数計算と数値計算を分離する:
  • \(4.66 \times 10^{-26}\) のような数値は、\(4.66\) という数値部分と \(10^{-26}\) という指数部分を分けて計算すると、桁数の間違いが劇的に減ります。
• 平方根の計算を工夫する:
  • (2)の計算で、ルートの中が \(24.9 \times 10^4\) となったら、\(\sqrt{24.9} \times \sqrt{10^4}\) のように、ルートを外しやい形 (\(10\)の偶数乗) に変形してから計算を進めるとスムーズです。
• 計算途中では丸めない:
  • (1)で求めた質量を(3)や(4)で使う場合、\(4.7 \times 10^{-26}\) のような丸めた値ではなく、有効数字を1桁多く残した値（\(4.666…\)）で計算を進め、最後に指定された有効数字に丸めることで、計算の精度が保たれます。
• 概算による検算を行う:
  • 計算結果が出たら、大まかな値で検算する癖をつけましょう。
    • (2) 速度: \(\sqrt{3RT/M} \approx \sqrt{3 \times 8 \times 300 / (30 \times 10^{-3})} = \sqrt{24 \times 10^4} \approx 5 \times 10^2\,\text{m/s}\)。オーダーが合っています。
    • (3) 力積: \(2mv \approx 2 \times (5 \times 10^{-26}) \times (5 \times 10^2) = 50 \times 10^{-24} = 5 \times 10^{-23}\,\text{N}\cdot\text{s}\)。オーダーが合っています。
    • (4) 個数: \(n = F/I_1 \approx 10^5 / (5 \times 10^{-23}) = 0.2 \times 10^{28} = 2 \times 10^{27}\)。オーダーが合っており、桁違いのミスがないことを確認できます。

ABOUT THE AUTHOR

共田 誠（まこと先生）

高校物理講師・プロ家庭教師 / 指導歴14年

上智大学理工学部物理学科卒。私立高校の非常勤講師として進学クラスから基礎クラスまで幅広く担当。大手家庭教師センター3社でプロ家庭教師を経験し、現在はオンライン専門で全国の高校生を個別指導中。

「暗記物理の撲滅」を掲げ、生徒の思考のクセを診断・矯正するドクター型アプローチで指導。表面的なテクニックではなく、初見の問題に強い思考力を育てる。

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