「セミナー物理基礎＋物理2025」徹底解説！【第 Ⅴ 章 18】基本例題～基本問題457

基本例題

基本例題60 コンデンサーの電気容量と電気量

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「平行板コンデンサーの基本特性と誘電体の効果」です。コンデンサーの形状や極板間の物質によって電気容量がどう決まるか、そして回路条件（電源接続の有無）によって極板間の状態がどう変化するかを理解することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
まず、コンデンサーの形状（極板面積 \(S\) と間隔 \(d\)）と極板間の物質（真空：誘電率 \(\varepsilon_0\)）から、このコンデンサーの電気容量（キャパシタンス）を決定します。次に、電圧 \(V\) が与えられているので、コンデンサーの基本式を用いて電気量を求めます。
この設問における重要なポイント

• 平行板コンデンサーの電気容量は、極板面積 \(S\) に比例し、極板間隔 \(d\) に反比例する。
• 比例定数は真空の誘電率 \(\varepsilon_0\) である。

具体的な解説と立式
まず、極板間が真空であるときの電気容量を \(C_0\) とします。平行板コンデンサーの電気容量の公式より、以下の式が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
C_0 &= \varepsilon_0 \frac{S}{d}
\end{aligned}
$$
次に、求める電気量を \(Q_0\) とします。コンデンサーに蓄えられる電気量と電圧の関係式（\(Q=CV\)）より、以下の式を立てます。
$$
\begin{aligned}
Q_0 &= C_0 V
\end{aligned}
$$

上で立てた2つの式を組み合わせます。\(C_0\) の式を \(Q_0\) の式に代入します。
$$
\begin{aligned}
Q_0 &= \left( \varepsilon_0 \frac{S}{d} \right) \times V \\[2.0ex]
&= \frac{\varepsilon_0 S V}{d}
\end{aligned}
$$

コンデンサーというのは、電気を貯めるタンクのようなものです。このタンクの大きさ（電気容量）は、板が広いほど大きく、板の間隔が狭いほど大きくなります。ここでは、まずそのタンクの大きさを計算し、そこに電圧 \(V\) という圧力をかけたときに、どれくらいの電気 \(Q\) が貯まるかを計算しました。

電気量は \(\frac{\varepsilon_0 S V}{d}\,\text{C}\) と求まりました。
この式を見ると、面積 \(S\) が大きいほど、また電圧 \(V\) が高いほどたくさんの電気が貯まることがわかります。逆に間隔 \(d\) が広いと貯まりにくくなります。これはコンデンサーの一般的な性質と一致しており、妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
極板間を誘電体で満たしたときの電気容量の変化を問われています。「比誘電率 \(\varepsilon_r\)」という言葉の定義を思い出しましょう。これは、真空のときと比べて電気容量が何倍になるかを表す数値です。
この設問における重要なポイント

• 比誘電率 \(\varepsilon_r\) の誘電体を入れると、誘電率 \(\varepsilon\) は \(\varepsilon = \varepsilon_r \varepsilon_0\) となる。
• 結果として、電気容量は真空のときの \(\varepsilon_r\) 倍になる。

具体的な解説と立式
求める電気容量を \(C\) とします。比誘電率が \(\varepsilon_r\) である誘電体で満たされたコンデンサーの電気容量は、真空中の電気容量 \(C_0\) の \(\varepsilon_r\) 倍になります。したがって、以下の関係式が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
C &= \varepsilon_r C_0
\end{aligned}
$$

(1)で求めた \(C_0 = \varepsilon_0 \frac{S}{d}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
C &= \varepsilon_r \times \left( \varepsilon_0 \frac{S}{d} \right) \\[2.0ex]
&= \frac{\varepsilon_r \varepsilon_0 S}{d}
\end{aligned}
$$

極板の間に「誘電体」という電気を通しにくい物質を挟むと、電気がより貯まりやすくなります。「比誘電率 \(\varepsilon_r\)」というのは、真空のときと比べて「何倍貯まりやすくなるか」を表す数字です。ですから、単純にさっき求めた真空のときの容量に \(\varepsilon_r\) を掛ければ答えになります。

電気容量は \(\frac{\varepsilon_r \varepsilon_0 S}{d}\,\text{F}\) と求まりました。
\(\varepsilon_r > 1\) なので、真空のときよりも電気容量が増加しています。これは誘電体を入れると容量が増えるという物理現象と整合しています。

問(3)

思考の道筋とポイント
誘電体を入れた後の電気量を求めます。重要なのは「電源に接続したまま」という条件です。これは、コンデンサーにかかる電圧が変化しないことを意味します。変化したのは電気容量 \(C\) だけなので、これを使って新しい電気量 \(Q\) を計算します。
この設問における重要なポイント

• 直流電源に接続されたままなので、極板間の電位差（電圧）は \(V\) のままで一定である。
• 電気容量は(2)で求めた \(C\) に変化している。

具体的な解説と立式
求める電気量を \(Q\) とします。電源がつながっているので電圧は \(V\) のままです。新しい電気容量 \(C\) を用いて、コンデンサーの基本式を立てます。
$$
\begin{aligned}
Q &= CV
\end{aligned}
$$

(2)で求めた \(C = \frac{\varepsilon_r \varepsilon_0 S}{d}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
Q &= \left( \frac{\varepsilon_r \varepsilon_0 S}{d} \right) \times V \\[2.0ex]
&= \frac{\varepsilon_r \varepsilon_0 S V}{d}
\end{aligned}
$$

電源をつないだままなので、コンデンサーにかかる圧力（電圧）は変わりません。しかし、(2)で計算したように、タンクの大きさ（電気容量）は \(\varepsilon_r\) 倍に大きくなりました。同じ圧力でより大きなタンクに電気を貯めるので、貯まる電気の量も増えます。

電気量は \(\frac{\varepsilon_r \varepsilon_0 S V}{d}\,\text{C}\) と求まりました。
これは(1)で求めた真空中の電気量 \(Q_0\) の \(\varepsilon_r\) 倍になっています。容量が \(\varepsilon_r\) 倍になり、電圧が変わらないので、電気量も \(\varepsilon_r\) 倍になるのは当然であり、正しい結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 平行板コンデンサーの電気容量の決定要因
  • 核心: コンデンサーの性能（電気容量 \(C\)）は、その「形状」と「中身」で決まるという物理的直感を養うことです。
  • 理解のポイント:
    • 形状依存性: 極板面積 \(S\) が広いほど電荷を蓄える場所が増えるので \(C\) は大きくなり、極板間隔 \(d\) が狭いほどプラスとマイナスの引き合う力が強まるので \(C\) は大きくなります（\(C \propto \frac{S}{d}\)）。
    • 物質依存性: 極板間の物質が電気的に分極しやすい（比誘電率 \(\varepsilon_r\) が大きい）ほど、見かけ上の電荷を打ち消してさらに多くの電荷を蓄えられるようになります（\(C \propto \varepsilon\)）。
• 回路条件による保存量の違い（スイッチのON/OFF）
  • 核心: コンデンサーを含む回路問題では、「何が変化して、何が一定に保たれるか」を見極めることが最重要です。
  • 理解のポイント:
    • 電源接続あり（スイッチON）: 電源が常に電荷を供給・回収できるため、極板間の電位差（電圧 \(V\)）が電源電圧と等しく一定に保たれます。その代わり、電気量 \(Q\) は変化します。
    • 電源切断（スイッチOFF）: 電荷の逃げ場がないため、極板上の電気量 \(Q\) が一定に保たれます（電荷保存則）。その代わり、電位差 \(V\) は変化し得ます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 誘電体の部分挿入: 極板間の一部だけに誘電体が入っている問題。これは「真空のコンデンサー」と「誘電体入りのコンデンサー」が直列または並列に接続されているとみなして解きます。
    • 極板と平行に挿入 → 直列接続とみなす。
    • 極板と垂直に挿入 → 並列接続とみなす。
  • 極板間隔の変化: 電源をつないだまま（または切ってから）極板間隔 \(d\) を広げる操作。\(C\) が変化した結果、\(Q\) や \(V\) がどう変わるか、また外力がする仕事やエネルギー変化を問う問題に発展します。
  • 金属板の挿入: 誘電体ではなく導体（金属板）を入れる問題。導体内部は電場が \(0\) になるため、実質的に極板間隔 \(d\) が狭くなった（導体の厚み分だけ短絡された）コンデンサーとして扱います。
• 初見の問題での着眼点:
  1. コンデンサーの形状・物質の変化を確認する: \(S\), \(d\), \(\varepsilon\) のどれが変わったかを見て、新しい電気容量 \(C’\) をまず求めます。
  2. 回路の接続状態を確認する:
     • 「電池につないだまま」 → \(V\) が一定。\(Q = C’V\) で \(Q\) を求める。
     • 「充電してから電池を切った」 → \(Q\) が一定。\(V = Q/C’\) で \(V\) を求める。
  3. 変化の前後で比較する: 変化前の量（\(C_0, Q_0, V_0\)）を基準にして、変化後の量が何倍になったか、あるいは差分がいくらかを計算します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 誘電率と比誘電率の混同:
  • 誤解: 公式 \(C = \varepsilon \frac{S}{d}\) の \(\varepsilon\) に、比誘電率 \(\varepsilon_r\) をそのまま代入してしまう（\(C = \varepsilon_r \frac{S}{d}\) としてしまう）。
  • 対策: 「比誘電率 \(\varepsilon_r\)」は「真空の誘電率 \(\varepsilon_0\) に対する比」であることを常に意識しましょう。誘電体中の誘電率は必ず \(\varepsilon = \varepsilon_r \varepsilon_0\) となります。単位（\(\varepsilon_r\) は無次元、\(\varepsilon_0\) は \(\text{F/m}\)）を確認するのも有効です。
• 電源接続の有無による条件の取り違え:
  • 誤解: 誘電体を入れたら、電源がつながっていても「電気量 \(Q\) が保存される」と思い込んでしまう、あるいは逆に電源を切っているのに「電圧 \(V\) が変わらない」としてしまう。
  • 対策: 問題文の「電源に接続したまま」「スイッチを開いてから」というキーワードに必ずアンダーラインを引きましょう。そして、問題用紙の余白に大きく「\(V\) 一定」または「\(Q\) 一定」とメモする習慣をつけるとミスが激減します。
• 記号の定義の見落とし:
  • 誤解: 問題文で与えられた文字（例えば極板面積 \(A\)）を使わず、公式の文字（\(S\)）のまま解答してしまう。
  • 対策: 解答を書き始める前に、与えられた物理量記号をリストアップし、公式の文字と対応付けましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（電気容量の決定）:
  • 選定理由: 問題文に極板面積 \(S\)、間隔 \(d\)、真空の誘電率 \(\varepsilon_0\) が与えられています。これらはコンデンサーの構造そのものを表すパラメータであり、これらから電気容量を決定する唯一の式が \(C = \varepsilon \frac{S}{d}\) です。
  • 適用根拠: 平行板コンデンサーという形状が明記されているため、この公式が直接適用できます。
• (3)での公式選択（コンデンサーの基本式）:
  • 選定理由: 求めたいのは電気量 \(Q\) です。わかっているのは、(2)で求めた電気容量 \(C\) と、回路条件から決まる電圧 \(V\) です。これら3つの量をつなぐ基本関係式 \(Q=CV\) を使うのが最も自然で論理的です。
  • 適用根拠: コンデンサーの状態（\(Q, C, V\)）は常にこの式を満たします。特に、\(V\) が変化しないという条件が、この式を使って \(Q\) を求める決定的な根拠となります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま計算を進める:
  • 物理の問題では、具体的な数値が与えられず文字式のまま答えさせる問題（リテラル問題）が多くあります。この問題のように、\(C_0\) や \(Q_0\) といった中間変数を定義して計算を進めると、式がスッキリして見通しが良くなります。最後に与えられた文字（\(\varepsilon_0, S, d, V\) など）に戻すのを忘れないようにしましょう。
• 単位（次元）によるチェック:
  • 答えが出たら、単位を確認しましょう。
    • 電気容量 \(C\): \(\varepsilon_0 [\text{F/m}] \times S [\text{m}^2] / d [\text{m}] = [\text{F}]\) （正しい）
    • 電気量 \(Q\): \(C [\text{F}] \times V [\text{V}] = [\text{C}]\) （正しい）
  • もし \(S\) と \(d\) が逆になっていたりすると、単位が合わなくなるのでミスに気づけます。
• 倍率の直感的な確認:
  • (2)や(3)の結果が、\(\varepsilon_r\) 倍になっていることを確認します。\(\varepsilon_r > 1\) なので、誘電体を入れると容量や電気量が増えるはずです。もし分母に \(\varepsilon_r\) が来ていたら（値が小さくなっていたら）、直感と矛盾するので計算ミスを疑うことができます。

基本例題61 電気容量と静電エネルギー

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「コンデンサーの極板間隔変化に伴う諸量の変化」です。特に、電源を切り離した状態（電荷保存）での変化を正しく追跡できるかが問われています。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
静電エネルギー \(U\) を求める問題です。電気容量 \(C\) と電圧 \(V\) が与えられているので、これらを用いた公式を選択します。単位に注意して計算します（\(\mu\text{F} = 10^{-6}\,\text{F}\)）。
この設問における重要なポイント

• 静電エネルギーの公式 \(U = \frac{1}{2}CV^2\) を正確に記憶していること。
• 補助単位 \(\mu\)（マイクロ）を \(10^{-6}\) に正しく変換できること。

具体的な解説と立式
求める静電エネルギーを \(U\) とします。電気容量 \(C = 0.10\,\mu\text{F} = 0.10 \times 10^{-6}\,\text{F}\)、電圧 \(V = 4.0 \times 10^2\,\text{V}\) です。
公式 \(U = \frac{1}{2}CV^2\) に値を代入する式を立てます。
$$
\begin{aligned}
U &= \frac{1}{2} \times (0.10 \times 10^{-6}) \times (4.0 \times 10^2)^2
\end{aligned}
$$

指数部分の計算に注意して解きます。
$$
\begin{aligned}
U &= \frac{1}{2} \times (1.0 \times 10^{-7}) \times (16 \times 10^4) \\[2.0ex]
&= 0.5 \times 1.0 \times 16 \times 10^{-7} \times 10^4 \\[2.0ex]
&= 8.0 \times 10^{-3}\,\text{J}
\end{aligned}
$$

コンデンサーに電気を貯めると、そこにはエネルギーが蓄えられます。このエネルギーの大きさは、タンクの大きさ（容量 \(C\)）と、かけた圧力（電圧 \(V\)）で決まります。公式に数字を当てはめて計算するだけの基礎的な問題ですが、\(10^{-6}\) などの桁数の扱いに気をつけましょう。

\(8.0 \times 10^{-3}\,\text{J}\) と求まりました。エネルギーの値として妥当な範囲です。

問(2)

思考の道筋とポイント
極板間隔 \(d\) を変化させたときの電気容量 \(C\) の変化を問われています。平行板コンデンサーの電気容量の決定式 \(C = \varepsilon \frac{S}{d}\) を思い出しましょう。
この設問における重要なポイント

• 電気容量 \(C\) は極板間隔 \(d\) に反比例する。
• 間隔が2倍になれば、容量は半分になる。

具体的な解説と立式
元の電気容量を \(C\)、極板間隔を \(d\) とします。変化後の電気容量を \(C’\)、極板間隔を \(d’ = 2d\) とします。
平行板コンデンサーの公式 \(C = \varepsilon \frac{S}{d}\) より、以下の比が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
\frac{C’}{C} &= \frac{\varepsilon \frac{S}{2d}}{\varepsilon \frac{S}{d}} \\[2.0ex]
&= \frac{1}{2}
\end{aligned}
$$
したがって、
$$
\begin{aligned}
C’ &= \frac{1}{2}C
\end{aligned}
$$

\(C = 0.10\,\mu\text{F}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
C’ &= \frac{1}{2} \times 0.10 \\[2.0ex]
&= 0.050\,\mu\text{F}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で表記すると \(5.0 \times 10^{-2}\,\mu\text{F}\) です。

コンデンサーの板の間隔を広げると、プラスとマイナスの電気が引き合う力が弱まるため、電気を貯める能力（容量）は下がります。間隔が2倍になると、容量はちょうど半分になります。

\(5.0 \times 10^{-2}\,\mu\text{F}\) と求まりました。間隔を広げたので容量が減るという定性的な予測と一致しています。

問(3)

思考の道筋とポイント
「電源を切りはなした」という記述が最大のヒントです。これは、コンデンサーに蓄えられた電気量 \(Q\) が逃げ場を失い、一定に保たれることを意味します。\(Q\) が変わらない状態で \(C\) が変化したとき、\(V\) がどうなるかを \(Q=CV\) の関係式から導きます。
この設問における重要なポイント

• 電源切り離し \(\rightarrow\) 電気量 \(Q\) が保存される（一定）。
• \(Q = CV\) において \(Q\) が一定なら、\(V\) は \(C\) に反比例する。

具体的な解説と立式
変化後の電圧を \(V’\) とします。電気量保存則より、変化前後の電気量は等しいので、以下の式が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
C’V’ &= CV
\end{aligned}
$$
これを \(V’\) について解く形に変形します。
$$
\begin{aligned}
V’ &= \frac{C}{C’} V
\end{aligned}
$$

(2)より \(C’ = \frac{1}{2}C\) なので、これを代入します。
$$
\begin{aligned}
V’ &= \frac{C}{\frac{1}{2}C} V \\[2.0ex]
&= 2V
\end{aligned}
$$
\(V = 4.0 \times 10^2\,\text{V}\) を代入して値を求めます。
$$
\begin{aligned}
V’ &= 2 \times (4.0 \times 10^2) \\[2.0ex]
&= 8.0 \times 10^2\,\text{V}
\end{aligned}
$$

電気の量（\(Q\)）が変わらないまま、入れ物（\(C\)）が半分になってしまいました。同じ量の水を半分の大きさの細いコップに無理やり入れたら、水位（電圧 \(V\)）は2倍になりますよね。それと同じことが起きています。

\(8.0 \times 10^2\,\text{V}\) と求まりました。容量が減った分、電圧が上昇するという結果は物理的に妥当です。

問(4)

思考の道筋とポイント
静電エネルギーの変化量 \(\Delta U\) を求めます。変化後のエネルギー \(U’\) を計算し、(1)で求めた \(U\) との差を取るのが最も確実な方法です。
この設問における重要なポイント

• 変化量 \(\Delta U\) は \((\text{変化後}) – (\text{変化前})\) で計算する。
• 変化後のエネルギー \(U’\) は、変化後の容量 \(C’\) と電圧 \(V’\) を使って計算する。

具体的な解説と立式
変化後の静電エネルギーを \(U’\) とします。
$$
\begin{aligned}
U’ &= \frac{1}{2}C’V’^2
\end{aligned}
$$
求める変化量 \(\Delta U\) は以下の通りです。
$$
\begin{aligned}
\Delta U &= U’ – U
\end{aligned}
$$

まず \(U’\) を計算します。\(C’ = 5.0 \times 10^{-2}\,\mu\text{F} = 5.0 \times 10^{-8}\,\text{F}\)、\(V’ = 8.0 \times 10^2\,\text{V}\) です。
$$
\begin{aligned}
U’ &= \frac{1}{2} \times (5.0 \times 10^{-8}) \times (8.0 \times 10^2)^2 \\[2.0ex]
&= 2.5 \times 10^{-8} \times 64 \times 10^4 \\[2.0ex]
&= 160 \times 10^{-4} \\[2.0ex]
&= 1.6 \times 10^{-2}\,\text{J}
\end{aligned}
$$
次に変化量を計算します。(1)より \(U = 8.0 \times 10^{-3}\,\text{J} = 0.80 \times 10^{-2}\,\text{J}\) です。
$$
\begin{aligned}
\Delta U &= (1.6 \times 10^{-2}) – (0.80 \times 10^{-2}) \\[2.0ex]
&= 0.8 \times 10^{-2} \\[2.0ex]
&= 8.0 \times 10^{-3}\,\text{J}
\end{aligned}
$$
正の値なので、エネルギーは増加しました。

間隔を広げた後のエネルギーを計算して、前のエネルギーとの差を求めました。プラスとマイナスの電気が引き合っている極板を無理やり引き離すには力が必要です。その際に行った「仕事」の分だけ、コンデンサーのエネルギーが増えたのです。

\(8.0 \times 10^{-3}\,\text{J}\) 増加しました。外力が仕事をした分だけエネルギーが増えるので、増加という結果は正しいです。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 電源切り離し時の保存則（電荷保存則）
  • 核心: コンデンサーの問題において、スイッチ操作や回路変更があった場合、最も重要なのは「何が変化せず（保存され）、何が変化するか」を見極めることです。電源を切り離した場合、極板上の電荷は移動経路を失うため、電気量 \(Q\) が保存されます。
  • 理解のポイント:
    • 電源接続中: 電圧 \(V\) が一定（電源電圧に等しい）。\(Q\) は変化する。
    • 電源切断後: 電気量 \(Q\) が一定。\(V\) は変化する。
    • この違いを明確に区別し、問題文の「切りはなした」というキーワードに反応できるかが勝負の分かれ目です。
• 極板間隔変化とエネルギー収支
  • 核心: コンデンサーの極板間隔を変える操作は、静電エネルギーを変化させます。このエネルギー変化は、外力が極板を動かす際に行った仕事に由来します。
  • 理解のポイント:
    • 引力に逆らう仕事: 異符号の電荷を持つ極板間には引力が働いています。間隔を広げるには、この引力に逆らって外力が仕事をする必要があります。
    • エネルギー原理: （外力がした仕事）＝（静電エネルギーの増加分）。この関係を理解していれば、エネルギーが増加するという計算結果の妥当性を定性的に判断できます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 誘電体の出し入れ: 極板間隔を変える代わりに、誘電体を挿入したり引き抜いたりする問題。これも \(C\) が変化する操作であり、電源接続の有無によって \(Q\) か \(V\) のどちらかが保存されます。
  • 極板面積の変化（極板をずらす）: 極板を横にずらして対向面積 \(S\) を減らす問題。これも \(C \propto S\) なので \(C\) が変化し、同様の議論が可能です。
  • 複数のコンデンサー回路: スイッチを切った後、別のコンデンサーと接続する問題。この場合、回路全体の総電気量が保存される（電荷保存則）という形で応用されます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 操作の順序を時系列で整理する: 「充電」\(\rightarrow\)「スイッチ切断」\(\rightarrow\)「変形」なのか、「充電」\(\rightarrow\)「変形」\(\rightarrow\)「スイッチ切断」なのか。順序によって保存される量が異なります。
  2. 変化する物理量 \(C\) を最初に確定させる: \(d\) が2倍なら \(C\) は半分、\(\varepsilon_r\) の誘電体を入れたら \(C\) は \(\varepsilon_r\) 倍など、まずは容器（コンデンサー）の変化を確定させます。
  3. 保存量（\(Q\) または \(V\)）を軸に他の量を導く: 保存量と変化した \(C\) を使って、残りの未知数（\(V\) または \(Q\)、および \(U\)）を計算します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 公式の選択ミス（\(U = \frac{1}{2}CV^2\) の乱用）:
  • 誤解: どんな状況でもエネルギー計算に \(U = \frac{1}{2}CV^2\) を使ってしまう。
  • 対策: 電源を切った場合、\(V\) は変化してしまうため、\(V\) を求めてからでないとこの公式は使えません。一方、\(Q\) は一定なので、\(U = \frac{Q^2}{2C}\) を使えば、\(V\) を計算せずに直接エネルギー変化を追えます。状況に応じて「定数を含む公式」を選ぶのが鉄則です。
• 単位換算の忘れ（\(\mu\) の扱い）:
  • 誤解: \(\mu\text{F}\) の数値をそのまま計算式に入れてしまい、桁が \(10^{-6}\) ずれる。
  • 対策: 計算の最初に必ず \(10^{-6}\) に書き換えるか、あるいは最終的な答えまで \(\mu\) を記号として残し、最後に単位として処理するかのどちらかを徹底しましょう。エネルギー \(J\) を求める場合は、必ず基本単位（\(\text{F}, \text{V}, \text{C}\)）に直して計算するのが無難です。
• 変化量 \(\Delta U\) の符号ミス:
  • 誤解: 「変化量」と言われたときに、大きい方から小さい方を引いてしまい、符号（増加か減少か）を曖昧にする。
  • 対策: 変化量は常に \((\text{あと}) – (\text{まえ})\) で定義されます。計算結果がマイナスなら減少、プラスなら増加です。この定義を厳守しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (3)での公式選択（\(V’ = \frac{C}{C’}V\)）:
  • 選定理由: \(Q\) が一定という強力な条件があるため、\(Q\) を消去して \(C\) と \(V\) の関係だけに注目したいからです。\(Q=CV\) より \(CV = \text{一定}\) なので、\(C\) と \(V\) は反比例します。
  • 適用根拠: 電源が切断されているため、電荷保存則が成立することが根拠です。
• (4)別解での公式選択（\(U = \frac{Q^2}{2C}\)）:
  • 選定理由: \(Q\) が一定で \(C\) が変化する状況において、エネルギー \(U\) が \(C\) にどう依存するかを最も直接的に示している式だからです。
  • 適用根拠: \(V\) を経由せずに \(C\) の変化だけで \(U\) の変化を記述できるため、計算ステップが減り、ミスも減らせる論理的な選択です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 指数計算（\(10^n\)）の分離:
  • 数値部分（仮数部）と指数部分（\(10\)のべき乗）を分けて計算しましょう。例えば \((4.0 \times 10^2)^2\) は、\(4.0^2 \times (10^2)^2 = 16 \times 10^4\) と段階を踏むことでミスを防げます。
• 比の活用:
  • (2)や(3)のように、具体的な数値を代入する前に「2倍」「半分」といった比率で計算を進める方が圧倒的に速く、正確です。すべての物理量を具体的に計算するのは最後の手段と考えましょう。
• 検算としての定性予測:
  • 「極板を引き離すには力が要る \(\rightarrow\) 外力が仕事をする \(\rightarrow\) エネルギーは増えるはず」という予測を立てておけば、もし計算結果でエネルギーが減っていたら、即座にミスに気づけます。

基本例題62 コンデンサーの接続

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「コンデンサーの直列・並列接続と回路計算」です。複数のコンデンサーが接続された回路において、合成容量を求めたり、各コンデンサーにかかる電圧や蓄えられる電気量を計算する手順をマスターすることが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
回路全体の合成容量を求めるには、まず回路の構造を分解します。図を見ると、\(C_2\) と \(C_3\) が並列に接続されており、その塊（並列部分）が \(C_1\) と直列に接続されていることがわかります。計算の順序は「並列部分の合成」\(\rightarrow\)「全体の直列合成」です。
この設問における重要なポイント

• 並列接続の合成容量は「和」、直列接続の合成容量は「逆数の和」で計算する。
• 計算の順番を間違えない（まず並列、次に直列）。

具体的な解説と立式
まず、並列接続されている \(C_2\) と \(C_3\) の合成容量を \(C’\) とします。並列接続の公式より、以下の式が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
C’ &= C_2 + C_3
\end{aligned}
$$
次に、この \(C’\) と \(C_1\) が直列に接続されているので、全体の合成容量 \(C\) は直列接続の公式を用いて求めます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{C} &= \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C’}
\end{aligned}
$$

まず \(C’\) を計算します。\(C_2 = 2.0\,\mu\text{F}\), \(C_3 = 4.0\,\mu\text{F}\) です。
$$
\begin{aligned}
C’ &= 2.0 + 4.0 \\[2.0ex]
&= 6.0\,\mu\text{F}
\end{aligned}
$$
次に \(C\) を計算します。\(C_1 = 3.0\,\mu\text{F}\) です。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{C} &= \frac{1}{3.0} + \frac{1}{6.0} \\[2.0ex]
&= \frac{2}{6.0} + \frac{1}{6.0} \\[2.0ex]
&= \frac{3}{6.0} \\[2.0ex]
&= \frac{1}{2.0}
\end{aligned}
$$
逆数をとって、
$$
\begin{aligned}
C &= 2.0\,\mu\text{F}
\end{aligned}
$$

まず、右側の上下に並んだ2つのコンデンサー（\(C_2\) と \(C_3\)）を合体させます。並列なので容量は足し算で増えます。次に、その合体したものと左側のコンデンサー（\(C_1\)）を合体させます。こちらは直列なので、容量は減る計算（逆数の足し算）になります。

\(2.0\,\mu\text{F}\) と求まりました。直列合成後の容量は、元のどのコンデンサー（\(3.0\,\mu\text{F}\) と \(6.0\,\mu\text{F}\)）よりも小さくなるはずであり、\(2.0\) はその条件を満たしているので妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
YZ間の電圧、つまり並列部分（\(C’\)）にかかる電圧を求めます。直列回路では、各コンデンサーに蓄えられる電気量が等しくなるため、電圧は電気容量の逆数に比例して分配されます（分圧の法則）。これを利用して、電源電圧 \(V=30\,\text{V}\) を \(C_1\) と \(C’\) で分け合います。
この設問における重要なポイント

• 直列接続されたコンデンサーでは、電圧の比は電気容量の逆数の比になる（\(V_1 : V_2 = \frac{1}{C_1} : \frac{1}{C_2} = C_2 : C_1\)）。
• 全電圧 \(V\) は各部の電圧の和に等しい（\(V = V_1 + V_2\)）。

具体的な解説と立式
\(C_1\) にかかる電圧を \(V_1\)、並列部分（\(C’\)）にかかる電圧（YZ間の電圧）を \(V_2\) とします。
直列接続における電圧の比は、電気容量の逆数の比に等しいので、以下の関係が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
V_1 : V_2 &= \frac{1}{C_1} : \frac{1}{C’}
\end{aligned}
$$
また、電圧の和は電源電圧 \(V\) に等しいです。
$$
\begin{aligned}
V_1 + V_2 &= V
\end{aligned}
$$
これらより、\(V_2\) は全体 \(V\) を比で配分した値として求められます。
$$
\begin{aligned}
V_2 &= V \times \frac{\frac{1}{C’}}{\frac{1}{C_1} + \frac{1}{C’}}
\end{aligned}
$$
（あるいは、簡単な整数比に直してから計算します）

まず比を簡単にします。\(C_1 = 3.0\,\mu\text{F}\), \(C’ = 6.0\,\mu\text{F}\) です。
$$
\begin{aligned}
V_1 : V_2 &= \frac{1}{3.0} : \frac{1}{6.0} \\[2.0ex]
&= \frac{2}{6.0} : \frac{1}{6.0} \\[2.0ex]
&= 2 : 1
\end{aligned}
$$
電圧 \(V = 30\,\text{V}\) が \(2:1\) に分割されるので、\(V_2\) は全体の \(\frac{1}{2+1} = \frac{1}{3}\) です。
$$
\begin{aligned}
V_2 &= 30 \times \frac{1}{3} \\[2.0ex]
&= 10\,\text{V}
\end{aligned}
$$

\(30\,\text{V}\) という電圧を、左側の \(C_1\) と右側の合体コンデンサー \(C’\) で山分けします。コンデンサーは容量が小さいほど電圧を多く必要とします（同じ電気を貯めるのに高い圧力が必要だからです）。\(C_1\) は \(3.0\)、\(C’\) は \(6.0\) なので、容量の比は \(1:2\) です。したがって、電圧の取り分は逆の \(2:1\) になります。\(30\,\text{V}\) を \(2:1\) に分けたうちの「1」の方（小さい方）が答えです。

\(10\,\text{V}\) と求まりました。残りの \(20\,\text{V}\) は \(C_1\) にかかります。容量が大きい \(C’\) の方が電圧が小さくなっているので、物理的に正しい結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
各コンデンサーの電気容量 \(C\) は既知であり、(2)の結果を使えば各コンデンサーにかかる電圧 \(V\) もわかります。あとは基本式 \(Q=CV\) に代入するだけです。\(C_1\) にかかる電圧 \(V_1\) は、電源電圧から \(V_2\) を引いて求めます。
この設問における重要なポイント

• \(C_1\) にかかる電圧は \(V_1 = V – V_2\) である。
• \(C_2\) にかかる電圧は \(V_2\) そのものである。

具体的な解説と立式
\(C_1\) に蓄えられる電気量を \(Q_1\)、\(C_2\) に蓄えられる電気量を \(Q_2\) とします。
\(C_1\) にかかる電圧 \(V_1\) は、
$$
\begin{aligned}
V_1 &= V – V_2
\end{aligned}
$$
したがって、
$$
\begin{aligned}
Q_1 &= C_1 V_1
\end{aligned}
$$
\(C_2\) にかかる電圧は \(V_2\) なので、
$$
\begin{aligned}
Q_2 &= C_2 V_2
\end{aligned}
$$

まず \(V_1\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
V_1 &= 30 – 10 \\[2.0ex]
&= 20\,\text{V}
\end{aligned}
$$
次に \(Q_1\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
Q_1 &= (3.0 \times 10^{-6}) \times 20 \\[2.0ex]
&= 60 \times 10^{-6} \\[2.0ex]
&= 6.0 \times 10^{-5}\,\text{C}
\end{aligned}
$$
最後に \(Q_2\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
Q_2 &= (2.0 \times 10^{-6}) \times 10 \\[2.0ex]
&= 20 \times 10^{-6} \\[2.0ex]
&= 2.0 \times 10^{-5}\,\text{C}
\end{aligned}
$$

それぞれのコンデンサーについて、「容量」と「かかっている電圧」がわかったので、あとは掛け算をするだけです。\(C_1\) には \(20\,\text{V}\)、\(C_2\) には \(10\,\text{V}\) がかかっていることに注意しましょう。

\(Q_1 = 6.0 \times 10^{-5}\,\text{C}\)、\(Q_2 = 2.0 \times 10^{-5}\,\text{C}\) と求まりました。
ちなみに、\(C_3\) の電気量 \(Q_3\) も計算すると \(4.0 \times 10^{-6} \times 10 = 4.0 \times 10^{-5}\,\text{C}\) となり、\(Q_2 + Q_3 = 6.0 \times 10^{-5}\,\text{C}\) となります。これは直列接続された \(C_1\) の電気量 \(Q_1\) と一致しており、回路全体の電荷のバランスが取れていることが確認できます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• コンデンサーの直列・並列接続の合成則
  • 核心: 複数のコンデンサーを一つの等価なコンデンサーに置き換える（合成する）ことで、回路全体の挙動を単純化して解析する手法です。
  • 理解のポイント:
    • 並列接続: 電圧 \(V\) が共通で、電荷 \(Q\) が分散して蓄えられるため、容量は単純和 \(C = C_1 + C_2\) となり増加します（極板面積が増えるイメージ）。
    • 直列接続: 電荷 \(Q\) が共通（静電誘導による）で、電圧 \(V\) が分割されるため、容量は逆数の和 \(\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}\) となり減少します（極板間隔が広がるイメージ）。
• 電荷保存則と電位の概念（孤立部分の保存）
  • 核心: 回路中の導線でつながれただけの「島（孤立部分）」では、外部との電荷の出入りがないため、総電荷量が常に一定に保たれます。
  • 理解のポイント:
    • この法則は、スイッチの切り替えや複雑な回路網においても常に成立する強力な原理です。合成容量の公式が使えない（直列・並列の判別が難しい）場合でも、この法則とキルヒホッフの法則（電位の一周）を使えば必ず解けます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ブリッジ回路: コンデンサーが菱形に接続され、真ん中に橋渡しがある回路。直列・並列の単純な合成ができないため、(2)の別解で示した「電位を仮定して電荷保存則を立てる」方法（Y変換・\(\Delta\)変換を知らなくても解ける）が必須となります。
  • スイッチを含む回路: スイッチを切り替えて回路構成を変える問題。スイッチ操作の前後で「どの部分が孤立しているか」を見極め、その部分の電荷保存則を立てるのが定石です。
  • 金属板の挿入: コンデンサーの一部に金属板を入れる問題。金属板の部分は等電位（導線と同じ）になるため、実質的に2つのコンデンサーが直列接続されたものとみなせます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 合成できる部分を探す: まずは単純な並列・直列部分を見つけて合成し、回路図を簡略化します。
  2. 孤立部分を見つける: 導線でつながっているが電源やアースと直接つながっていない「島」を探し、その部分を囲んで「電荷保存」とメモします。
  3. 電位を仮定する: 接地点（アース）があればそこを \(0\,\text{V}\)、なければ電源の負極を \(0\,\text{V}\) とし、未知の点の電位を \(x, y, \dots\) と置いて方程式を立てる準備をします。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 合成公式の混同（抵抗との逆転）:
  • 誤解: 抵抗の合成公式（直列が和、並列が逆数和）と混同して、コンデンサーの直列を足し算してしまう。
  • 対策: 「コンデンサーはタンク」とイメージしましょう。並列に並べれば底面積が広がるので容量アップ（足し算）、直列につなげば縦に長くなる（極板間隔が増える）ので容量ダウン（逆数和）と直感的に覚えます。
• 電荷の符号ミス（保存則の立式時）:
  • 誤解: 電荷保存則の式を立てる際、極板の正負を適当に決めてしまい、符号が合わなくなる。
  • 対策: 未知の電位 \(v\) を置いた場合、常に \(Q = C(v – \text{隣の電位})\) のように「自分引く相手」で統一して立式し、その総和を \(0\)（または初期電荷）と置くと符号ミスが防げます。あるいは、図にプラス・マイナスを仮定して書き込み、その仮定に従って立式し、結果が負なら逆向きだったと解釈する方法も有効です。
• \(\mu\)（マイクロ）の計算忘れ:
  • 誤解: 最後の答えで \(\mu\) を付け忘れたり、計算途中で \(10^{-6}\) を落として桁を間違える。
  • 対策: 計算中は \(\mu\) を文字（定数）として扱い、最後まで残しておくのが安全です。例えば \(3.0\mu + 6.0\mu = 9.0\mu\) のように計算し、最後に数値が必要な場合だけ \(10^{-6}\) に置き換えます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（合成容量）:
  • 選定理由: 回路全体の等価な容量を求める問題であり、回路構造が明確に「並列部分」と「直列部分」に分解できるため、合成公式を順次適用するのが最も効率的です。
  • 適用根拠: \(C_2\) と \(C_3\) は両端の電位差が等しいため並列、その合成 \(C’\) と \(C_1\) は電荷の通り道が一本道であるため直列と判断できます。
• (2)での公式選択（分圧の法則 vs 電荷保存則）:
  • 選定理由（メイン解法）: 直列回路における電圧配分は、容量の逆比になるという性質（分圧）を使うと、方程式を立てずに比の計算だけで素早く解けるため、試験テクニックとして優れています。
  • 選定理由（別解）: 電荷保存則は、回路構造に依存しない普遍的な法則であり、応用問題や検算において絶対的な信頼性があるため採用しました。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 回路図への書き込み:
  • 問題用紙の回路図に、求めた合成容量や電圧、電荷の移動方向などを直接書き込みながら解きましょう。視覚的に情報を整理することで、取り違えミスを防げます。
• 単位の省略と復帰:
  • すべての容量が \(\mu\text{F}\) で統一されている場合、計算中は \(\mu\) を省略して係数だけで計算し、最後に単位を復活させる方法が計算用紙を汚さずミスも減らせます。ただし、単位が混在している場合（\(\text{mF}\) と \(\mu\text{F}\) など）は厳禁です。
• 検算（キルヒホッフの法則）:
  • (3)で求めた各電圧を足し合わせて、電源電圧に戻るか確認しましょう。\(V_1 + V_2 = 20 + 10 = 30\,\text{V}\) となり、電源電圧と一致することを確認すれば、計算の正しさを確信できます。

基本例題63 電気量の保存

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「スイッチ操作を含むコンデンサー回路と電気量保存則」です。スイッチの切り替えによって回路の状態が変化したとき、どの物理量が保存され、どの物理量が変化するかを見極めることが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
問題は1つの問いですが、プロセスは2段階に分かれます。
1. 充電フェーズ: \(S_1\) だけを閉じたとき、\(C_1\) にどれだけの電荷 \(Q\) が溜まるか。
2. 再分配フェーズ: \(S_1\) を切り \(S_2\) を閉じたとき、その電荷 \(Q\) が \(C_1\) と \(C_2\) にどう分配されるか。
重要なのは、フェーズ2において「電源から切り離されているため、電荷の総量は変わらない（保存される）」ことと、「並列になるため電圧が等しくなる」ことです。
この設問における重要なポイント

• \(S_1\) を切った時点で、回路は電源から切り離され、電荷の供給・流出がなくなる。
• \(S_2\) を閉じると、\(C_1\) に溜まっていた電荷の一部が \(C_2\) に移動するが、合計量は変わらない（\(Q = Q_1 + Q_2\)）。
• 十分時間が経過すると電荷の移動が止まり、\(C_1\) と \(C_2\) の電圧は等しくなる。

具体的な解説と立式
ステップ1: 初期の電荷 \(Q\) の計算
まず、\(S_1\) を閉じて \(C_1\) を充電したときの電気量 \(Q\) を求めます。電圧は \(V\) です。
$$
\begin{aligned}
Q &= C_1 V
\end{aligned}
$$

ステップ2: 再分配後の立式
\(S_1\) を切り \(S_2\) を閉じた後の \(C_1, C_2\) の電気量をそれぞれ \(Q_1, Q_2\) とします。
電気量保存則より、電荷の総和は保存されるので、
$$
\begin{aligned}
Q_1 + Q_2 &= Q \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
また、\(C_1\) と \(C_2\) は並列接続となり、電圧が等しくなるので、その電圧を \(V’\) とすると、
$$
\begin{aligned}
V’ &= \frac{Q_1}{C_1} = \frac{Q_2}{C_2}
\end{aligned}
$$
これより、以下の関係式が得られます。
$$
\begin{aligned}
\frac{Q_1}{C_1} &= \frac{Q_2}{C_2} \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$

まず、初期電荷 \(Q\) を計算します。\(C_1 = 2.0\,\mu\text{F}, V = 2.0 \times 10^2\,\text{V}\) です。
$$
\begin{aligned}
Q &= (2.0 \times 10^{-6}) \times (2.0 \times 10^2) \\[2.0ex]
&= 4.0 \times 10^{-4}\,\text{C}
\end{aligned}
$$
次に、式②を変形して \(Q_2\) を \(Q_1\) で表します。
$$
\begin{aligned}
Q_2 &= \frac{C_2}{C_1} Q_1 \\[2.0ex]
&= \frac{3.0}{2.0} Q_1 \\[2.0ex]
&= 1.5 Q_1
\end{aligned}
$$
これを式①に代入します。
$$
\begin{aligned}
Q_1 + 1.5 Q_1 &= 4.0 \times 10^{-4} \\[2.0ex]
2.5 Q_1 &= 4.0 \times 10^{-4} \\[2.0ex]
Q_1 &= \frac{4.0 \times 10^{-4}}{2.5} \\[2.0ex]
&= 1.6 \times 10^{-4}\,\text{C}
\end{aligned}
$$
最後に \(Q_2\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
Q_2 &= 1.5 \times (1.6 \times 10^{-4}) \\[2.0ex]
&= 2.4 \times 10^{-4}\,\text{C}
\end{aligned}
$$

最初に \(C_1\) というコップに水を満タン（\(4.0 \times 10^{-4}\,\text{C}\)）に入れました。次に、そのコップを蛇口（電源）から離し、空っぽの \(C_2\) という別のコップと底のパイプでつなぎました（\(S_2\) を閉じる）。すると、水は水位（電圧）が同じになるまで \(C_2\) に流れ込みます。水がこぼれたり湧いたりしない（保存則）ので、最終的に2つのコップに入っている水の合計は最初と同じです。このルールを使って計算しました。

\(Q_1 = 1.6 \times 10^{-4}\,\text{C}, Q_2 = 2.4 \times 10^{-4}\,\text{C}\) と求まりました。
和をとると \(1.6 + 2.4 = 4.0\) となり、元の電荷 \(4.0 \times 10^{-4}\,\text{C}\) と一致します。また、\(C_2\) の方が容量が大きい（\(3.0 > 2.0\)）ため、より多くの電荷を蓄えている（\(2.4 > 1.6\)）ことも物理的に妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 電気量保存則（孤立系の電荷保存）
  • 核心: 電源から切り離された導体部分（孤立部分）では、電荷の逃げ場も供給源もないため、その総量はどのような回路操作を行っても不変であるという法則です。
  • 理解のポイント:
    • スイッチ \(S_1\) を切った瞬間、\(C_1\) の上側極板を含む導線部分は電源から隔離されます。
    • その後 \(S_2\) を閉じても、この隔離されたエリア内（\(C_1\) 上側＋\(C_2\) 上側）で電荷が移動するだけで、エリア外への流出入はありません。したがって、\(Q_{\text{合計}} = Q_1 + Q_2 = \text{一定}\) が成立します。
• 並列接続による等電位化
  • 核心: 導線で接続された導体同士は、最終的に同じ電位になります。コンデンサーの上側同士、下側同士がつながれば、それは並列接続となり、両端の電圧（電位差）は等しくなります。
  • 理解のポイント:
    • 電荷は「電位の高い方から低い方へ」移動し、電位差がなくなると移動が止まります。これが「十分時間が経過した」状態であり、このとき \(V_1 = V_2\) が成立します。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 逆接続（異符号の極板をつなぐ）: 充電済みのコンデンサー同士を、プラス極とマイナス極がつながるように接続する問題。この場合、電荷保存則は \(Q_1 – Q_2 = Q_{\text{残}}\) のように「差」になります（正負の電荷が打ち消し合うため）。
  • 3つ以上のコンデンサー: 複数のスイッチとコンデンサーがある場合でも、基本は同じです。「どの部分が孤立しているか」を見抜き、その島ごとの電荷保存則を立てます。
  • 電圧が未知の再接続: 最初から電荷を持ったコンデンサーを接続する場合、合成容量の考え方（別解）を使うと、\(V’ = \frac{\sum Q}{\sum C}\) で一発で共通電圧が求まり、非常に有効です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. スイッチ操作の前後で「孤立する部分」を丸で囲む: 図に直接書き込み、その中にある電荷の総和を計算します。
  2. 接続の向き（極性）を確認する: プラス同士がつながるのか（和）、プラスとマイナスがつながるのか（差）を慎重に判断します。
  3. 最終状態の電圧分布を仮定する: 並列なら電圧共通、直列なら電荷共通など、最終的に落ち着く状態の特徴を利用して式を立てます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 電荷の移動方向の思い込み:
  • 誤解: 常に電荷は \(C_1\) から \(C_2\) へ流れると思い込む。
  • 対策: 元々 \(C_2\) にも電荷があった場合や、逆接続の場合は、どちらからどちらへ流れるか直感ではわかりにくいことがあります。必ず「保存則の式」を立てて、計算結果の符号や大小関係から判断しましょう。
• 電圧の等式忘れ:
  • 誤解: 保存則の式 \(Q_1 + Q_2 = Q\) だけで満足してしまい、未知数が2つあるのに式が1つしかない状態に陥る。
  • 対策: 未知数が \(Q_1, Q_2\) の2つなら、式も2つ必要です。「保存則」とセットで必ず「回路条件（電圧が等しい、一周の電位差がゼロなど）」の式を立てる癖をつけましょう。
• 合成容量の誤適用:
  • 誤解: 直列接続されたコンデンサーに電荷が再分配される場合でも、単純に並列の合成容量を使ってしまう。
  • 対策: 合成容量を使って電圧を一発で求めるテクニック（別解）は、あくまで「並列接続」になる場合に有効です。回路図をよく見て、最終的に並列になるか直列になるかを確認してください。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（保存則と電圧等式）:
  • 選定理由: 物理現象を最も忠実に記述する方法だからです。「電荷が逃げないから保存則」「つながっているから電圧が同じ」という2つの事実は、どんな複雑な回路でも揺るがない基本原理です。
  • 適用根拠: スイッチ操作によって回路構成が変わる問題では、変化の前後をつなぐ法則（保存則）と、変化後の静的な釣り合い条件（電圧等式）を組み合わせるのが王道です。
• 別解での公式選択（合成容量）:
  • 選定理由: 「電圧 \(V\) が共通である」という並列接続の性質に着目すると、複数のコンデンサーをまとめて1つの大きなコンデンサーとして扱えるため、計算が圧倒的に楽になるからです。
  • 適用根拠: \(S_2\) を閉じた後の回路図が、明らかに \(C_1\) と \(C_2\) の並列接続になっているため、合成容量の公式 \(C = C_1 + C_2\) が適用可能です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• \(\mu\)（マイクロ）の扱い:
  • この問題のようにすべての容量に \(\mu\) がついている場合、比の計算（\(Q_1 : Q_2 = C_1 : C_2\)）では \(\mu\) が約分されて消えることが多いです。無駄に \(10^{-6}\) を書き連ねず、係数だけで計算して最後に単位を合わせるのも一つの手です。ただし、電圧計算 \(V = Q/C\) では \(\mu\) が残るので注意が必要です。
• 検算（逆算）の実施:
  • 答えが出たら、\(Q_1 + Q_2\) を計算して元の \(Q\) に戻るか、また \(Q_1/C_1\) と \(Q_2/C_2\) が等しい電圧になるかを必ず確認しましょう。この2つのチェックを通れば、計算ミスはほぼ確実に防げます。

関連記事

高校物理・物理基礎が「わかる」→「解ける」へ｜有名問題集・オリジナル問題の解説なら「まことの物理教室」

[mathjax] SNSでのシェアはご自由にどうぞ。(上のボタンをクリック) ブログで引用する際には、こちらのリンクを添えてください。 【引用】https://makoto-physics-school.com […]

基本問題

455 コンデンサー

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「平行板コンデンサーの基本計算」です。コンデンサーの形状（面積と間隔）から電気容量を求め、さらに電圧を与えたときに蓄えられる電気量を計算する、最も基礎的な手順を確認します。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)