「セミナー物理基礎＋物理2025」徹底解説！【第 Ⅱ 章 10】基本問題244～250

基本問題

244 第1宇宙速度

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「第1宇宙速度の導出」です。物体が地球に落下することなく、地表すれすれを回り続けるために必要な速さを計算する問題であり、円運動の運動方程式の典型的な応用例です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
人工衛星が地表付近を円軌道で飛び続けるためには、その円運動に必要な「向心力」が、地球が人工衛星を引く「重力」とちょうど等しくなっている必要があります。この関係を表す運動方程式を立てることで、その速さを求めることができます。
この設問における重要なポイント

• 人工衛星は、地球の重力を向心力として等速円運動をしている。
• 軌道は「地表付近」なので、軌道半径は地球の半径 \(R\) とみなせる。
• 人工衛星に働く重力の大きさは、地表での値である \(mg\) を用いることができる。

具体的な解説と立式
人工衛星の質量を \(m\)、速さを \(v\) とします。

人工衛星は半径 \(R\) の円運動をしているので、運動方程式の左辺（質量×加速度）は \(m\displaystyle\frac{v^2}{R}\) となります。

この円運動の向心力となっているのは、地表付近での重力なので、その大きさは \(mg\) です。

したがって、運動方程式は以下のように立てられます。
$$
\begin{aligned}
m\frac{v^2}{R} &= mg
\end{aligned}
$$

上記で立てた運動方程式を \(v\) について解きます。

まず、両辺の \(m\) を消去すると、
$$
\begin{aligned}
\frac{v^2}{R} &= g
\end{aligned}
$$
両辺に \(R\) を掛けると、
$$
\begin{aligned}
v^2 &= gR
\end{aligned}
$$
\(v>0\) なので、両辺の平方根をとると、
$$
\begin{aligned}
v &= \sqrt{gR}
\end{aligned}
$$

人工衛星が地球に落ちてこずに周回できるのは、地球に引っ張られる重力が向心力となって、進む向きを地球の中心側へ曲げ続けているからです。速すぎると遠ざかってしまい、遅すぎると地面に落ちてしまいます。この「ちょうどいい速さ」を、円運動の運動方程式を解いて計算するのがこの問題です。

人工衛星の速さ、すなわち第1宇宙速度は \(v = \sqrt{gR}\) と求まりました。この式は、地球の重力加速度 \(g\) と半径 \(R\) だけで決まり、人工衛星自身の質量 \(m\) にはよらないことを示しています。これは、重い衛星も軽い衛星も、同じ軌道を飛ぶためには同じ速さが必要であることを意味します。

問(2)

思考の道筋とポイント
周期 \(T\) は、人工衛星が軌道を1周するのにかかる時間です。「時間 = 道のり ÷ 速さ」という基本的な関係を用います。1周の道のりは円周の長さ \(2\pi R\) であり、速さ \(v\) は(1)で求めた \(\sqrt{gR}\) です。
この設問における重要なポイント

• 周期の定義式は \(T = \displaystyle\frac{2\pi R}{v}\) である。
• (1)で求めた \(v = \sqrt{gR}\) を代入する。

具体的な解説と立式
周期 \(T\) は、円周 \(2\pi R\) を速さ \(v\) で進むのにかかる時間なので、
$$
\begin{aligned}
T &= \frac{2\pi R}{v}
\end{aligned}
$$
この式に、(1)で求めた \(v = \sqrt{gR}\) を代入します。

$$
\begin{aligned}
T &= \frac{2\pi R}{\sqrt{gR}}
\end{aligned}
$$
ここで、分子の \(R\) を \(\sqrt{R^2}\) と考えて根号の中に入れると、
$$
\begin{aligned}
T &= 2\pi \sqrt{\frac{R^2}{gR}} \\[2.0ex] &= 2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}
\end{aligned}
$$

(1)で人工衛星の速さがわかったので、あとは算数の問題です。1周の距離（円周）をその速さで割れば、1周するのにかかる時間が計算できます。

周期は \(T = 2\pi \sqrt{\displaystyle\frac{R}{g}}\) と求まりました。この式は、単振り子の周期の公式 \(T = 2\pi \sqrt{\displaystyle\frac{l}{g}}\) と非常によく似た形をしています。地球を半径 \(R\) の巨大な振り子と見なすような類推ができ、興味深い結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動方程式を用いた円運動の解析
  • 核心: この問題の根幹は、人工衛星が描く円運動を維持している「向心力」の正体が、地球が及ぼす「重力」であるという物理的状況を、運動方程式 \(ma=F\) という形で数式に落とし込む能力です。具体的には、運動方程式の左辺（\(m \times \text{加速度}\)）に円運動の加速度（\(a=\displaystyle\frac{v^2}{R}\)）を、右辺（力 \(F\)）にその原因である重力（\(mg\)）を代入し、\(m\displaystyle\frac{v^2}{R}=mg\) という等式を立てることが全てです。
  • 理解のポイント:
    • 向心力＝重力: 「向心力」は特別な力ではなく、円運動をさせるための「役割」の名前です。この問題では、地球の重力がその役割を100%担っています。
    • 「地表付近」という近似: 問題文の「地表付近」というキーワードが重要です。これにより、軌道半径を地球の半径 \(R\) とみなしてよく、また、働く重力の大きさを、より簡単な表現である \(mg\) を使ってよい、という近似が許されています。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 第二宇宙速度（地球脱出速度）: 地表から物体を打ち上げ、地球の重力を振り切って無限遠に到達させるために必要な最小初速度を求める問題。これは、地表での力学的エネルギー（運動エネルギー＋万有引力による位置エネルギー）が、無限遠でのエネルギー（ゼロ）以上になるというエネルギー保存則の観点から解きます。第1宇宙速度が \(\sqrt{gR}\) であるのに対し、第2宇宙速度は \(\sqrt{2gR}\) となり、\(\sqrt{2}\) 倍の関係があることは頻出のテーマです。
  • 任意の高度 \(h\) での円運動: 地表から高さ \(h\) の円軌道をまわる人工衛星の速さや周期を求める問題。この場合、軌道半径は \(R+h\) となり、向心力として重力 \(mg\) を使うことはできません。万有引力の法則 \(F=G\displaystyle\frac{Mm}{(R+h)^2}\) から出発する必要があります。その際、\(GM=gR^2\) という関係式を使って、答えを \(g\) と \(R\) で表現することが多いです。
  • 静止衛星: 赤道上空で、地球の自転と同じ周期（24時間）で公転し、地上から見ると静止しているように見える人工衛星。その軌道半径を求める問題では、周期 \(T\) が既知であるため、ケプラーの第3法則を用いるのが最も効率的です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 軌道の位置を確認する: 「地表付近」なのか、具体的な「高度 \(h\)」なのかをまず確認します。これにより、軌道半径（\(R\) か \(R+h\) か）と、向心力として \(mg\) が使えるかどうかが決まります。
  2. 与えられている文字を確認する: 問題文で与えられている定数が「重力加速度 \(g\) と地球半径 \(R\)」のペアなのか、「万有引力定数 \(G\) と地球質量 \(M\)」のペアなのかを見極めます。これによって、運動方程式の右辺を \(mg\) と書くか、\(G\displaystyle\frac{Mm}{R^2}\) と書くかの最初の方針が決まります。
  3. 求めたい物理量で解法を選択する:
     • 「速さ」を問われたら → まずは運動方程式を考える。
     • 「周期」を問われたら → 速さが分かっていれば \(T=\displaystyle\frac{2\pi r}{v}\) を、分かっていなければケプラーの第3法則を検討する。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 向心力と重力を別の力だと考えてしまう:
  • 誤解: 運動方程式を立てる際に、重力とは別に「向心力」という力が外から加わっていると考え、\(m\displaystyle\frac{v^2}{R} = mg + F_{\text{向心力}}\) のような誤った式を立ててしまう。
  • 対策: 向心力は力の「種類」ではなく「役割」であると繰り返し認識しましょう。この問題では、働く力は重力のみであり、その重力が「向心力」という役割を果たしています。したがって、運動方程式の右辺には重力 \(mg\) のみを記述します。
• 万有引力の公式を無理に使おうとする:
  • 誤解: 問題文に \(g\) と \(R\) しか与えられていないにもかかわらず、万有引力の公式 \(F=G\displaystyle\frac{Mm}{R^2}\) を使おうとして、未知数である \(G\) や \(M\) の扱いに困ってしまう。
  • 対策: 物理の問題では、原則として「問題文で与えられた文字だけで答えを表現する」必要があります。この問題では \(g\) が与えられているので、向心力（重力）は \(mg\) と表現するのが最も直接的で正しいアプローチです。
• 周期の計算での平方根の扱いのミス:
  • 誤解: (2)で \(T = \displaystyle\frac{2\pi R}{v} = \frac{2\pi R}{\sqrt{gR}}\) を計算する際に、分母と分子の \(R\) をどう処理すればよいか混乱し、\(T=2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{R^2}{gR}}\) の変形を誤ってしまう。
  • 対策: 根号の外にある文字は、2乗すれば根号の中に入れることができる（\(R = \sqrt{R^2}\)）という基本ルールを落ち着いて適用しましょう。これにより、根号の中だけで約分ができ、式がきれいになります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（運動方程式）:
  • 選定理由: 求めたいのは人工衛星の「速さ \(v\)」です。速さは運動の状態を表す量であり、その運動（円運動）の原因は「重力」です。運動の原因（力）と状態（加速度）を結びつける物理学の根本法則は、運動方程式 \(ma=F\) 以外にありません。
  • 適用根拠: 人工衛星が「等速円運動」をしているという事実から、その加速度 \(a\) は向心加速度 \(a=\displaystyle\frac{v^2}{R}\) でなければなりません。また、その円運動をさせている力が「地表付近での重力」であるという事実から、力 \(F\) は \(mg\) となります。これらの物理的な事実を、普遍的な法則である \(ma=F\) に適用することで、この状況を記述する具体的な方程式が得られます。
• (2)での公式選択（\(T = \displaystyle\frac{2\pi R}{v}\)）:
  • 選定理由: 求めたいのは「周期 \(T\)」です。(1)で「速さ \(v\)」が既知となりました。周期、速さ、半径は、円運動の運動学的な性質を記述する基本的な量であり、これらを結びつける最も直接的な関係式が \(T = \displaystyle\frac{2\pi R}{v}\) です。
  • 適用根拠: この公式は物理法則というより、言葉の定義に基づいています。「周期」とは「1周するのにかかる時間」であり、「速さ」は「単位時間に進む距離」です。したがって、「時間 = 距離 ÷ 速さ」という関係から、「周期 \(T\) = 1周の距離（円周）\(2\pi R\) ÷ 速さ \(v\)」が導かれます。この関係は、等速円運動である限り常に成り立つため、(1)の結果と組み合わせることが論理的に正当化されます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま計算を進める:
  • この問題は数値計算がありませんが、常に文字式のまま計算を進める癖をつけましょう。まず(1)で \(v=\sqrt{gR}\) という最終的な文字式を導き、そのきれいな結果を(2)の計算に利用します。
• 平方根の整理は丁寧に:
  • (2)の周期計算 \(T = \displaystyle\frac{2\pi R}{\sqrt{gR}}\) では、分母と分子に \(\sqrt{gR}\) を掛けて有理化する方法もありますが、分子の \(R\) を \(\sqrt{R^2}\) と考えて根号の中に入れる方が、計算が一行で済みスマートです。\(T = 2\pi \displaystyle\frac{\sqrt{R^2}}{\sqrt{gR}} = 2\pi \sqrt{\frac{R^2}{gR}} = 2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}\)。
• 物理的にありえない値でないか吟味する:
  • (1)で求めた速さ \(v=\sqrt{gR}\) に、人工衛星の質量 \(m\) が含まれていないことを確認します。重力も向心運動に必要な力も、どちらも質量 \(m\) に比例するため、最終的に速さが \(m\) によらないのは物理的に妥当です。
  • (2)で求めた周期 \(T=2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{R}{g}}\) の単位（次元）が、ちゃんと時間の単位になっているかを確認します。根号の中は \(\displaystyle\frac{[\text{m}]}{[\text{m/s}^2]} = [\text{s}^2]\) となり、その平方根は \([\text{s}]\) なので、正しく時間の単位になっています。このような単位のチェックは、式の形が正しいかを検証する強力な手段です。
• 別解による検算:
  • (1)の別解で示したように、万有引力の法則から出発し、\(GM=gR^2\) を使って変形しても同じ \(v=\sqrt{gR}\) にたどり着くことを確認できれば、答えに対する自信が深まります。同様に、(2)の答えがケプラーの第3法則からも導出できることを知っていれば、より多角的な視点から問題を見直すことができます。

245 人工衛星

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「任意の高度における人工衛星の運動解析」です。地表付近だけでなく、地球から離れた場所での重力や周期がどのように変化するかを、万有引力の法則と運動方程式を基に考察する、より一般的な問題です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
人工衛星が受ける重力の正体は、地球との間に働く万有引力です。万有引力の大きさは、地球の中心からの距離の2乗に反比例します。この法則を用いて、地表（距離 \(R\)）での重力と、軌道上（距離 \(nR\)）での重力の大きさをそれぞれ計算し、その比を求めます。
この設問における重要なポイント

• 地表での重力は、地球の中心からの距離が \(R\) のときの万有引力に等しい。
• 軌道上での重力は、地球の中心からの距離が \(nR\) のときの万有引力に等しい。
• 地表での重力 \(mg\) は、万有引力の法則で \(G\displaystyle\frac{Mm}{R^2}\) と表せる。

具体的な解説と立式
地球の質量を \(M\)、人工衛星の質量を \(m\)、万有引力定数を \(G\) とします。

地表で受ける重力の大きさ \(W_{\text{地表}}\) は、
$$
\begin{aligned}
W_{\text{地表}} &= mg
\end{aligned}
$$
であり、これは万有引力の法則より、
$$
\begin{aligned}
W_{\text{地表}} &= G\frac{Mm}{R^2}
\end{aligned}
$$
と等しくなります。

一方、地球の中心から距離 \(nR\) の円軌道上で受ける重力の大きさ \(W_{\text{軌道上}}\) は、その距離における万有引力に等しいので、
$$
\begin{aligned}
W_{\text{軌道上}} &= G\frac{Mm}{(nR)^2}
\end{aligned}
$$
となります。

求めたいのは、この \(W_{\text{軌道上}}\) が \(W_{\text{地表}}\) の何倍か、すなわち比 \(\displaystyle\frac{W_{\text{軌道上}}}{W_{\text{地表}}}\) です。

軌道上での重力の式を変形します。
$$
\begin{aligned}
W_{\text{軌道上}} &= G\frac{Mm}{n^2 R^2} \\[2.0ex] &= \frac{1}{n^2} \left(G\frac{Mm}{R^2}\right)
\end{aligned}
$$
ここで、\(G\displaystyle\frac{Mm}{R^2}\) は地表での重力 \(mg\) に等しいので、
$$
\begin{aligned}
W_{\text{軌道上}} &= \frac{1}{n^2} (mg) \\[2.0ex] &= \frac{1}{n^2} W_{\text{地表}}
\end{aligned}
$$
したがって、軌道上での重力は、地表での重力の \(\displaystyle\frac{1}{n^2}\) 倍になります。

重力は、地球の中心からの距離が遠くなるほど弱くなります。その弱まり方は単純な反比例ではなく、「距離の2乗」に反比例します。地表に比べて距離が \(n\) 倍の場所では、重力の強さは \(n\) の2乗、つまり \(n^2\) 分の1になってしまいます。

軌道上での重力は地表の \(\displaystyle\frac{1}{n^2}\) 倍と求まりました。\(n \ge 1\) なので、重力は地表にいるときが最大で、離れるほど急激に弱くなっていくことがわかります。これは物理的に妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
人工衛星は、軌道上での重力を向心力として等速円運動をしています。この運動について運動方程式を立て、周期を求めます。模範解答では角速度 \(\omega\) を用いていますが、ここではまず角速度で解き、別解として速さ \(v\) を用いる方法とケプラーの法則を用いる方法を示します。
この設問における重要なポイント

• 円運動の半径は \(nR\) である。
• 向心力は、(1)で求めた軌道上での重力 \(\displaystyle\frac{mg}{n^2}\) である。
• 周期 \(T\) と角速度 \(\omega\) の関係は \(T = \displaystyle\frac{2\pi}{\omega}\) である。

具体的な解説と立式
人工衛星の角速度を \(\omega\) とします。

半径 \(nR\) の円運動をしているので、運動方程式の左辺は \(m(nR)\omega^2\) となります。

向心力は軌道上での重力なので、その大きさは \(\displaystyle\frac{mg}{n^2}\) です。

したがって、運動方程式は、
$$
\begin{aligned}
m(nR)\omega^2 &= \frac{mg}{n^2}
\end{aligned}
$$
となります。この式を \(\omega\) について解き、周期の公式 \(T = \displaystyle\frac{2\pi}{\omega}\) に代入します。

まず、運動方程式を \(\omega\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\omega^2 &= \frac{mg}{n^2} \times \frac{1}{mnR} \\[2.0ex] &= \frac{g}{n^3 R}
\end{aligned}
$$
\(\omega > 0\) なので、
$$
\begin{aligned}
\omega &= \sqrt{\frac{g}{n^3 R}}
\end{aligned}
$$
これを周期の公式に代入します。
$$
\begin{aligned}
T &= \frac{2\pi}{\omega} \\[2.0ex] &= 2\pi \sqrt{\frac{n^3 R}{g}} \\[2.0ex] &= 2\pi n \sqrt{\frac{nR}{g}}
\end{aligned}
$$

人工衛星がその軌道を保って回り続けられるのは、軌道上での重力が向心力となって、進む向きを地球の中心側へ曲げ続けているからです。この円運動の運動方程式を立てることで、衛星が1周するのにかかる時間（周期）を計算することができます。

周期は \(T = 2\pi n \sqrt{\displaystyle\frac{nR}{g}}\) と求まりました。地表すれすれの場合 (\(n=1\)) は \(T = 2\pi \sqrt{\displaystyle\frac{R}{g}}\) となり、前問の結果と一致します。軌道半径が大きくなる（\(n\) が大きくなる）と、周期も長くなることがわかり、物理的に妥当な結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
軌道半径 \(nR\) の円軌道上での重力加速度の大きさを \(g’\) とします。この \(g’\) が \(n\) の関数としてどのように表されるかを求め、その関係をグラフにします。
この設問における重要なポイント

• 軌道上での重力は \(mg’\) と表せる。
• (1)の結果から、軌道上での重力は \(\displaystyle\frac{mg}{n^2}\) でもある。
• この2つの表現が等しいことから、\(g’\) と \(g\) の関係式が導かれる。

具体的な解説と立式
半径 \(nR\) の軌道上での重力加速度の大きさを \(g’\) とすると、その場所で質量 \(m\) の物体が受ける重力の大きさは \(mg’\) と書けます。

一方、(1)の結果から、この場所での重力の大きさは、地表での重力 \(mg\) の \(\displaystyle\frac{1}{n^2}\) 倍、すなわち \(\displaystyle\frac{mg}{n^2}\) です。

この2つの表現は同じ力を表しているので、
$$
\begin{aligned}
mg’ &= \frac{mg}{n^2}
\end{aligned}
$$
という等式が成り立ちます。

上記の式の両辺から \(m\) を消去すると、
$$
\begin{aligned}
g’ &= \frac{g}{n^2}
\end{aligned}
$$
となります。この関係式に基づいて、\(1 \le n \le 4\) の範囲でグラフを描きます。

いくつか具体的な点を計算します。

• \(n=1\) のとき: \(g’ = \displaystyle\frac{g}{1^2} = g\)
• \(n=2\) のとき: \(g’ = \displaystyle\frac{g}{2^2} = \frac{1}{4}g\)
• \(n=3\) のとき: \(g’ = \displaystyle\frac{g}{3^2} = \frac{1}{9}g\)
• \(n=4\) のとき: \(g’ = \displaystyle\frac{g}{4^2} = \frac{1}{16}g\)

これらの点 (\((1, g), (2, \displaystyle\frac{1}{4}g), (3, \displaystyle\frac{1}{9}g), (4, \displaystyle\frac{1}{16}g)\)) を座標平面上にプロットし、なめらかな曲線で結びます。

重力加速度、つまり「重りの落ちる勢い」も、地球から離れるほど弱くなります。その弱まり方が、距離の2乗に反比例するという関係になっています。この関係を、横軸を距離（の倍率 \(n\)）、縦軸を重力加速度 \(g’\) としてグラフに描く問題です。

グラフは、\(n\) が大きくなるにつれて急激に減少し、横軸に近づいていく曲線（反比例のグラフに似た形）になります。これは、重力が距離の2乗で弱まるという逆2乗則を正しく反映したグラフです。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 万有引力の逆2乗則と運動方程式の応用
  • 核心: この問題は、地表から離れた任意の高度での衛星の運動を扱っており、その根幹には2つの重要な物理法則があります。一つは、(1)と(3)で中心となる「万有引力の逆2乗則」、すなわち重力が中心からの距離の2乗に反比例して弱まるという法則です。もう一つは、(2)で中心となる「運動方程式」で、この弱まった重力が円運動の向心力として働くという関係を立式することです。
  • 理解のポイント:
    • 重力は一定ではない: 地表付近の問題では重力\(mg\)を一定として扱いますが、この問題のように地球の半径と同程度のスケールで高度が変化する場合、重力は一定ではなく、万有引力の法則に従って変化します。この違いを認識することが第一歩です。
    • \(GM=gR^2\) の活用: 問題文で与えられている文字は \(g\) と \(R\) であり、\(G\) や \(M\) ではありません。したがって、万有引力の法則を扱う際には、地表での関係式 \(mg = G\displaystyle\frac{Mm}{R^2}\) から導かれる \(GM=gR^2\) という関係を用いて、\(G\) や \(M\) を消去し、与えられた文字だけで式を表現する技術が不可欠です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 異なる軌道への遷移に必要なエネルギー: 半径 \(r_1\) の円軌道から半径 \(r_2\) の円軌道へ衛星を移動させるのに必要なエネルギー（仕事）を求める問題。各軌道での力学的エネルギー \(E = -G\displaystyle\frac{Mm}{2r}\) を計算し、その差 \(\Delta E = E_2 – E_1\) を求めます。この際も \(GM=gR^2\) を使って \(g\) と \(R\) で表現することが多いです。
  • 静止衛星の軌道半径: 地球の自転と同じ周期（\(T=\)24時間）で公転する静止衛星の軌道半径 \(r\) を求める問題。ケプラーの第3法則 \(\displaystyle\frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{GM}\) に、\(T\) と \(GM=gR^2\) を代入して \(r\) について解きます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 距離の基準を明確にする: 問題で使われている距離が「地表から」なのか「地球の中心から」なのかを厳密に区別します。万有引力の法則や運動方程式で使う距離 \(r\) は、常に「中心からの距離」です。
  2. 力の表現を選ぶ: 運動方程式を立てる際、向心力である重力をどう表現するかを考えます。
     • (1)の結果が使えるなら、\(\displaystyle\frac{mg}{n^2}\) のように \(g\) を使った表現が簡潔です。
     • ケプラーの法則など、\(G\) や \(M\) が含まれる公式を使う場合は、万有引力の法則 \(G\displaystyle\frac{Mm}{r^2}\) から出発し、最後に \(GM=gR^2\) で変換します。
  3. グラフ問題の定石: (3)のようにグラフを描く問題では、まず縦軸と横軸の変数の関係式（ここでは \(g’ = \displaystyle\frac{g}{n^2}\)）を導出します。次に、定義域（\(1 \le n \le 4\)）の端点やキリの良い点（\(n=1, 2, 3, 4\)）での値を計算してプロットし、関数の形（\(y=1/x^2\) 型の曲線）を意識して滑らかに結びます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 距離の逆2乗則の誤用:
  • 誤解: (1)で、距離が \(n\) 倍になったので重力は \(\displaystyle\frac{1}{n}\) 倍になると、単純な反比例で考えてしまう。
  • 対策: 万有引力の法則は「逆2乗の法則」であると強く意識しましょう。距離が \(n\) 倍なら、力は \(n^2\) に反比例して \(\displaystyle\frac{1}{n^2}\) 倍になります。
• 運動方程式における半径と力の不一致:
  • 誤解: (2)で運動方程式を立てる際、左辺の加速度の項では軌道半径 \(nR\) を正しく使うが、右辺の力の項では地表での重力 \(mg\) を誤って使ってしまう（\(m\displaystyle\frac{v^2}{nR} = mg\) など）。
  • 対策: 運動方程式の左辺と右辺は、同じ場所、同じ瞬間の物理量を記述しなければなりません。軌道半径 \(nR\) での運動を考えるなら、向心力もその場所での重力（(1)で求めた \(\displaystyle\frac{mg}{n^2}\)）を使わなければならない、という一貫性を常に意識しましょう。
• ケプラーの法則の誤用:
  • 誤解: (2)の別解でケプラーの第3法則を使う際に、地表すれすれの衛星（周期 \(T_0\), 半径 \(R\)）と比較して \(\displaystyle\frac{T^2}{(nR)^3} = \frac{T_0^2}{R^3}\) という比の式を立てようとするが、\(T_0\) の値が分からず混乱する。
  • 対策: ケプラーの法則には、比の形だけでなく、\(\displaystyle\frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{GM}\) という絶対的な形もあります。\(G\) や \(M\) が直接与えられていなくても、\(GM=gR^2\) という関係式を使えば \(g\) と \(R\) で表現できることを知っておくと、この形を有効に活用できます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（万有引力の法則）:
  • 選定理由: 「重力」が「地表の何倍になるか」という問いは、重力の大きさが距離によってどう変化するかを問うています。重力の正体は万有引力であり、その距離依存性を記述する唯一の法則が万有引力の法則（\(F \propto 1/r^2\)）だからです。
  • 適用根拠: 万有引力の法則は、地球の中心から任意の距離 \(r\) において普遍的に成り立つため、地表（\(r=R\)）と軌道上（\(r=nR\)）の両方に適用し、その結果を比較することが論理的に正当化されます。
• (2)での公式選択（運動方程式）:
  • 選定理由: 求めたいのは「周期」。周期は円運動の性質を表す量です。円運動の原因は「力」（軌道上での重力）であり、力と運動の関係を結びつけるのは運動方程式です。したがって、運動方程式から角速度 \(\omega\) や速さ \(v\) を求め、それを周期の定義式に代入するという流れが最も基本的です。
  • 適用根拠: 衛星は軌道上で安定した円運動をしているため、その運動は運動方程式によって記述されなければなりません。向心力として、その場所で実際に働いている力（(1)で求めた軌道上での重力）を正しく代入することで、その運動の具体的な様子（\(\omega\) や \(v\)）を決定できます。
• (3)での公式選択（重力加速度の定義）:
  • 選定理由: 求めたいのは「重力加速度 \(g’\)」。重力加速度とは、その場所での重力 \(W’\) と質量 \(m\) の間の比例定数として \(W’ = mg’\) と定義される量です。
  • 適用根拠: (1)で、その場所での重力 \(W’\) が \(W’ = \displaystyle\frac{mg}{n^2}\) と求められています。この式と定義式 \(W’ = mg’\) は、どちらも同じ力を表現しているため、等しいとおくことができます。\(mg’ = \displaystyle\frac{mg}{n^2}\) という等式から、未知数 \(g’\) を求めることができます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式の整理を丁寧に行う:
  • (2)で運動方程式 \(m(nR)\omega^2 = \displaystyle\frac{mg}{n^2}\) から \(\omega^2\) を求める際、\(\omega^2 = \displaystyle\frac{mg}{n^2 \cdot m n R} = \frac{g}{n^3 R}\) のように、分母に来る \(n\) の指数を間違えないよう、一つ一つ丁寧に項を移項しましょう。
• 平方根の整理を習慣づける:
  • (2)で \(T = 2\pi \sqrt{\displaystyle\frac{n^3 R}{g}}\) という答えが出た場合、根号の中に \(n^3 = n^2 \cdot n\) という2乗の項が含まれていることに気づきましょう。根号の外に出せるものは出す（\(T = 2\pi n \sqrt{\displaystyle\frac{nR}{g}}\)）のが、数式を最も簡潔な形で表現する上での作法です。
• グラフの軸と目盛りを確認する:
  • (3)でグラフを描く際は、まず縦軸が \(g’\)、横軸が \(n\) であることを確認します。次に、\(n=1\) のときに \(g’=g\) となる点を取り、これを基準に他の点をプロットします。例えば、\(n=2\) のときは \(g’=\displaystyle\frac{1}{4}g\) なので、縦軸の \(1/4\) の高さに点を打ちます。このように、基準となる点からの相対的な位置を意識すると、正確なグラフが描けます。
• 関数の形からグラフの概形を予測する:
  • \(g’ = \displaystyle\frac{g}{n^2}\) という関係式は、\(y = \displaystyle\frac{a}{x^2}\) という形の関数です。これは \(x\) が大きくなるにつれて \(y\) が急激にゼロに近づく曲線であり、直線になったり、途中で折れ曲がったりすることはありません。この関数の概形を知っていれば、プロットした点を滑らかな曲線で結ぶことに迷いがなくなります。

246 静止衛星

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「静止衛星の軌道計算」です。静止衛星という特殊な条件（地球の自転と同じ周期）から、その運動状態（角速度）や軌道の高さがどのように決まるかを、万有引力の法則と運動方程式を用いて導出する問題です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
角速度 \(\omega\) とは、単位時間あたりに回転する角度のことです。静止衛星は、周期 \(T\) [s] の時間で \(1\) 周、すなわち \(2\pi\) [rad] 回転します。この定義から、角速度を求めることができます。
この設問における重要なポイント

• 周期 \(T\) は、\(1\) 周するのにかかる時間である。
• \(1\) 周の角度は \(2\pi\) ラジアンである。
• 角速度は「回転した角度 ÷ かかった時間」で計算できる。

具体的な解説と立式
角速度 \(\omega\) の定義は、時間 \(\Delta t\) の間に \(\Delta \theta\) だけ回転したとき、\(\omega = \displaystyle\frac{\Delta \theta}{\Delta t}\) です。

静止衛星は、時間 \(T\) で \(1\) 周 (\(2\pi\) ラジアン) するので、
$$
\begin{aligned}
\omega &= \frac{2\pi}{T}
\end{aligned}
$$
となります。

この設問は公式を適用するだけなので、これ以上の計算は不要です。

「角速度」とは、回転の速さのことです。静止衛星は、地球の自転と同じ \(T\) 秒かけて \(1\) 周します。\(1\) 周は \(360\) 度、物理で使う単位では \(2\pi\) ラジアンです。したがって、回転の速さは「\(2\pi\) ラジアンを \(T\) 秒で割ったもの」になります。

静止衛星の角速度は、地球の自転周期 \(T\) だけで決まることがわかります。これは静止衛星の定義そのものを数式で表現したものです。

問(2)

思考の道筋とポイント
人工衛星は、地球からの万有引力を向心力として等速円運動をしています。この物理的な状況を運動方程式で表します。このとき、円運動の軌道半径が、地球の中心からの距離である \(R+h\) となることに注意が必要です。
この設問における重要なポイント

• 円運動の軌道半径は \(r = R+h\) である。
• 向心力は、万有引力 \(F = G\displaystyle\frac{Mm}{(R+h)^2}\) である。
• 運動方程式 \(mr\omega^2 = F\) に、\(r=R+h\) と(1)で求めた \(\omega = \displaystyle\frac{2\pi}{T}\) を代入する。

具体的な解説と立式
人工衛星の質量を \(m\) とします。

軌道半径 \(r = R+h\) で、角速度 \(\omega\) の等速円運動をしているので、運動方程式は、
$$
\begin{aligned}
mr\omega^2 &= F_{\text{万有引力}}
\end{aligned}
$$
となります。

左辺の \(r\) に \(R+h\) を、右辺の万有引力の公式に距離 \(R+h\) を代入すると、
$$
\begin{aligned}
m(R+h)\omega^2 &= G\frac{Mm}{(R+h)^2}
\end{aligned}
$$
となります。ここに、(1)で求めた \(\omega = \displaystyle\frac{2\pi}{T}\) を代入して、\(h\) について解きます。

運動方程式に \(\omega = \displaystyle\frac{2\pi}{T}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
m(R+h)\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 &= G\frac{Mm}{(R+h)^2}
\end{aligned}
$$
両辺の \(m\) を消去し、式を \(R+h\) について整理します。
$$
\begin{aligned}
(R+h) \frac{4\pi^2}{T^2} &= \frac{GM}{(R+h)^2}
\end{aligned}
$$
両辺に \((R+h)^2 T^2\) を掛け、\(4\pi^2\) で割ると、
$$
\begin{aligned}
(R+h)^3 &= \frac{GMT^2}{4\pi^2}
\end{aligned}
$$
両辺の3乗根をとると、
$$
\begin{aligned}
R+h &= \sqrt[3]{\frac{GMT^2}{4\pi^2}}
\end{aligned}
$$
最後に \(R\) を移項して、\(h\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
h &= \sqrt[3]{\frac{GMT^2}{4\pi^2}} – R
\end{aligned}
$$

静止衛星がその高さを保ち続けられるのは、地球に引かれる万有引力が向心力となって、衛星の進む向きを地球の中心側へ曲げ続けているからです。この円運動の運動方程式を立てます。この式には、求めたい「高さ \(h\)」が含まれているので、あとは数学の計算で \(h\) について解けば答えが出ます。

静止衛星の地上からの高さ \(h\) が、地球の質量 \(M\)、半径 \(R\)、自転周期 \(T\)、そして万有引力定数 \(G\) だけで決まることが示されました。これは、静止衛星の軌道はただ一つに決まることを意味しています。実際にこれらの値を代入すると、\(h\) は約 \(36000\,\text{km}\) となり、実際の静止衛星の軌道高度と一致します。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 静止衛星の条件と運動方程式の結合
  • 核心: この問題の根幹は、まず「静止衛星」という言葉から「公転周期が地球の自転周期 \(T\) と等しい」という物理的条件を読み取り、それを角速度 \(\omega = \displaystyle\frac{2\pi}{T}\) という数式に変換することです。次に、その衛星が安定して円軌道を飛び続けるための力学的な条件、すなわち「万有引力＝向心力」という運動方程式を立て、これら二つの式を結合して未知の量（軌道半径）を求めることにあります。
  • 理解のポイント:
    • 条件の数式化: 「静止しているように見える」という日常的な言葉を、「周期が等しい」という物理の言葉に翻訳する能力が問われます。
    • 軌道半径の決定: 衛星がどの高さ（軌道半径）を飛ぶかは、偶然ではなく、その周期（速さ）と中心天体の質量によって力学的に一意に決まります。運動方程式は、その決定メカニズムを記述するものです。
• 軌道半径の正しい設定
  • 核心: 万有引力の法則や円運動の公式で使われる距離 \(r\) は、常に「中心からの距離」です。この問題では、求めたいのが「地上からの高さ \(h\)」であるため、軌道半径 \(r\) を地球の半径 \(R\) と高さ \(h\) の和、すなわち \(r=R+h\) と正しく設定することが、計算を成功させるための決定的な鍵となります。
  • 理解のポイント:
    • 図による理解: 問題の図やヒントにも示されている通り、地球の中心、地表、衛星の位置関係を簡単な図で描くことで、\(r=R+h\) の関係は直感的に理解できます。
    • \(h\) と \(r\) の区別: \(h\) は地上からの高さ、\(r\) は力学計算で用いる中心からの距離。この2つを明確に区別し、最終的に \(r\) から \(h\) を求める（\(h=r-R\)）という手順を意識することが重要です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • GPS衛星: GPS衛星は周期が約12時間です。この周期 \(T\) を使って、静止衛星と全く同じ手順でその軌道半径や高さを計算する問題に応用できます。
  • 中心天体の質量計算: ある惑星の周りをまわる衛星の周期 \(T\) と軌道半径 \(r\) が観測された場合、ケプラーの第3法則（または運動方程式）を逆算して、中心惑星の質量 \(M\) を推定する問題。(\(M = \displaystyle\frac{4\pi^2 r^3}{GT^2}\))
• 初見の問題での着眼点:
  1. 「静止衛星」というキーワード: この言葉が出てきたら、即座に「周期 \(T\) が地球の自転周期と等しい」「赤道上空」という2つの条件を連想します。
  2. 「地上からの高さ \(h\)」: この言葉を見たら、運動方程式や万有引力の法則で使う軌道半径 \(r\) を、必ず \(r=R+h\) と置き換える準備をします。
  3. 周期 \(T\) が関わる問題での解法選択:
     • 運動方程式から解く: 力学の基本に忠実な方法。角速度 \(\omega\) または速さ \(v\) を使って立式します。
     • ケプラーの第3法則から解く: 周期 \(T\) と軌道半径 \(r\) の関係を直接結びつける最も効率的な方法。周期が与えられている、または問われている問題では、常にこの解法が使えないか検討すべきです。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 軌道半径 \(r\) の設定ミス:
  • 誤解: 運動方程式や万有引力の公式の距離に、求めたい高さ \(h\) や地球の半径 \(R\) をそのまま代入してしまう。
  • 対策: 「万有引力や円運動の中心は地球の中心である」という基本に立ち返りましょう。したがって、距離は常に中心からの距離 \(r=R+h\) を使わなければなりません。計算の最初に「軌道半径 \(r=R+h\)」と明記する癖をつけるとミスを防げます。
• 運動方程式の力の項のミス:
  • 誤解: 衛星に働く力を、地表での重力 \(mg\) と勘違いしてしまう。
  • 対策: \(mg\) はあくまで地表（中心から距離 \(R\)）での重力です。中心から距離 \(r=R+h\) の場所では、万有引力の法則に従って \(F=G\displaystyle\frac{Mm}{(R+h)^2}\) と正しく記述する必要があります。
• 最後の移項忘れ:
  • 誤解: 軌道半径 \(r=R+h\) を求めたところで満足してしまい、それを答えとしてしまう。
  • 対策: 問題が何を求めているか（この場合は「高さ \(h\)」）を常に意識しましょう。計算の最後に、求めた軌道半径 \(r\) から地球の半径 \(R\) を引く（\(h=r-R\)）という操作を忘れないように注意が必要です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（\(\omega = \displaystyle\frac{2\pi}{T}\)）:
  • 選定理由: 求めたいのは「角速度 \(\omega\)」。問題文の「静止衛星」という定義から、その「周期 \(T\)」が地球の自転周期と等しいことが分かっています。角速度と周期を結びつける最も基本的な関係式（定義式）が \(\omega = \displaystyle\frac{2\pi}{T}\) であるため、これを選択するのは必然です。
  • 適用根拠: この公式は、物理法則というよりは角速度と周期の定義そのものです。「周期 \(T\) 秒で1周（\(2\pi\) ラジアン）回転する運動」の角速度は、定義に従って \(\displaystyle\frac{2\pi}{T}\) となります。
• (2)での公式選択（運動方程式 \(mr\omega^2 = F\)）:
  • 選定理由: 求めたいのは「高さ \(h\)」、すなわち「軌道半径 \(r=R+h\)」です。軌道半径は、衛星の運動（角速度）と、その運動を支える力（万有引力）のバランスによって決まる力学的な量です。この力と運動の関係を記述する基本法則が運動方程式であるため、これを選択します。
  • 適用根拠: 衛星は安定した円運動をしているため、その運動は運動方程式によって記述されなければなりません。向心力として、その場所で実際に働いている万有引力を正しく代入し、(1)で求めた角速度の関係を用いることで、この状況に特有の軌道半径を求めることができます。
• (2)別解での公式選択（ケプラーの第3法則）:
  • 選定理由: 求めたいのは「軌道半径 \(r\)」で、分かっているのは「周期 \(T\)」です。ケプラーの第3法則は、まさにこの2つの量（周期と軌道半径）の関係を直接記述する法則です。運動方程式を立てて解くというプロセスをショートカットできるため、非常に効率的な選択肢となります。
  • 適用根拠: ケプラーの第3法則は、万有引力の法則と運動方程式から導出される普遍的な法則であり、地球の周りをまわる衛星にも当然適用できます。したがって、この法則を用いることは論理的に正当です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま整理する:
  • まずは \(h = \dots\) の形になるまで、すべての量を文字のまま計算を進めましょう。特に、\((R+h)^3 = \displaystyle\frac{GMT^2}{4\pi^2}\) のように、求めたい量を含む塊を整理してから、最後に3乗根をとったり移項したりする方が、計算の見通しが良くなります。
• 指数の計算を正確に:
  • \((R+h)^3\) のような3乗の項や、\(\sqrt[3]{\dots}\) という3乗根の計算が出てきます。これらの指数計算を落ち着いて行いましょう。
• 単位の確認:
  • 最終的に得られた答えの単位が、本当に長さの単位 \([\text{m}]\) になっているかを確認する（次元解析）と、式の形の正しさを検証できます。例えば、\(\sqrt[3]{\displaystyle\frac{GMT^2}{4\pi^2}}\) の中身の単位は \([\displaystyle\frac{(\text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2)\cdot\text{kg}\cdot\text{s}^2}{1}] = [\frac{(\text{kg}\cdot\text{m}/\text{s}^2)\cdot\text{m}^2\cdot\text{s}^2}{\text{kg}}] = [\text{m}^3]\) となり、その3乗根は正しく \([\text{m}]\) になります。
• 物理的な妥当性の吟味:
  • 計算の結果、\(h\) が負の値になったり、極端に小さい値になったりした場合は、計算ミスの可能性が高いです。静止衛星の軌道は地球の半径よりもかなり大きいことが知られているため、\(h\) は \(R\) よりも大きな正の値になるはずだ、という大まかな見当をつけておくと良いでしょう。

247 人工衛星の軌道

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「円運動の成立条件と重力の向き」です。なぜ静止衛星が赤道上空にしか存在できないのか、という具体的な疑問に対し、円運動に必要な「向心力」と、実際に働く「重力」の向きという、物理学の基本原理に立ち返って論理的に説明する問題です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題の核心は、「実際に働く力（重力）の向き」と「円運動に必要な力（向心力）の向き」の間に生じるズレを指摘することです。

もし日本の真上を回る円軌道が存在すると仮定すると、その円軌道の中心は地軸上にあり、地球の中心とは明らかに異なります。しかし、その軌道上の衛星に働く重力は、常に地球の中心を向いています。

つまり、「向心力として必要な力の向き（軌道中心向き）」と「実際に働く力の向き（地球中心向き）」が一致しません。この力の向きのズレを打ち消す力が他に働かない限り、衛星はその軌道を維持することができず、軌道から外れてしまいます。

この力の向きのズレがなくなる唯一の軌道が、赤道上空の円軌道であることを論理的に説明します。
この設問における重要なポイント

• 人工衛星に働く力は、地球の中心を向く重力のみである。
• 円運動に必要な向心力は、円軌道の中心を向く。
• 衛星が重力のみで安定した軌道を維持するためには、「重力の向き」と「向心力の向き」が常に一致しなければならない。
• したがって、「地球の中心」と「円軌道の中心」は一致する必要がある。
• 静止衛星は地軸の周りを回るので、上記の条件を満たすのは赤道上空の軌道のみである。

具体的な解説と立式
この問題は、物理法則の原理を説明する記述問題です。

ステップ1: 働く力（重力）の向きの確認

人工衛星に働く力は、地球による重力（万有引力）のみです。この力は、衛星がどの位置にあっても、常に「地球の中心」を向いています。

ステップ2: 必要な力（向心力）の向きの確認

人工衛星は円運動をします。物体が円運動を続けるためには、常にその「円軌道の中心」を向く力（向心力）が必要です。

ステップ3: 2つの力の向きの一致という条件

衛星が重力のみによって安定な円軌道を維持するためには、「働く力」である重力が、円運動に「必要な力」である向心力の役割を完全に果たさなければなりません。これは、常に「重力の向き」と「向心力の向き」が一致しなければならないことを意味します。

したがって、衛星が安定な円軌道を描くための絶対条件は、

「地球の中心」＝「円軌道の中心」

であることです。

ステップ4: 日本の真上の軌道がなぜ不可能なのか

図のように日本の真上を通る円軌道を考えると、その円軌道の中心は地軸上にありますが、地球の中心ではありません。

この軌道上の衛星に働く重力は「地球の中心」を向くため、「円軌道の中心」を向いていません。

この重力を分解すると、「軌道の中心を向く成分（向心力になろうとする部分）」と、「軌道面に対して垂直な成分（図では南向き）」に分けられます。この南向きの力の成分を打ち消す力が他に存在しないため、衛星はこの軌道を維持できず、赤道方向に引き寄せられてしまいます。

ステップ5: 静止衛星の軌道の特定

静止衛星は、地球の自転と同じ周期・同じ向きで、「地軸」の周りを回ります。

地軸の周りを回る円軌道のうち、ステップ3で導いた「円軌道の中心が地球の中心と一致する」という条件を満たすものは、赤道上空の円軌道以外に存在しません。

したがって、重力のみで運動する静止衛星は、赤道上空をまわらなければなりません。

ボールを紐で結んでぐるぐる回すときを想像してください。紐は常に円の中心である「あなたの手」に向かって張っています。この紐が引く力が、ボールを円運動させるための「向心力」です。
人工衛星の場合、この「紐」の役目をするのが地球の「重力」です。そして、重力は常に「地球の中心」に向かって衛星を引っぱります。
もし衛星が安定して回り続けるなら、「紐（重力）が引っぱる先」と「円運動の中心」は常に同じでなければなりません。つまり、「地球の中心」が「円運動の中心」になるような軌道しか飛べないのです。
日本の真上を回るような軌道だと、円運動の中心は地球の中心からズレてしまいます。それなのに重力は相変わらず地球の中心を向くので、力の向きがズレてしまい、衛星は軌道から外れてしまいます。
地球の自転に合わせて回り、かつ円運動の中心が地球の中心になる軌道は、世界でただ一つ、「赤道上空」しかないのです。

静止衛星が赤道上空を回らなければならない理由は、衛星に働く重力の向き（地球中心向き）と、円運動に必要な向心力の向き（円軌道の中心向き）が常に一致する必要があるから、とまとめられます。この論理は物理法則に則っており、妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 円運動の成立条件と力の向き
  • 核心: この問題の根幹は、物理現象を数式ではなく、基本原理に立ち返って言葉で説明する能力です。その核心となる原理は、「物体が安定した円運動を続けるためには、その物体に働く力の合力（この問題では重力のみ）が、常に円軌道の中心を向いていなければならない」という一点に尽きます。
  • 理解のポイント:
    • 向心力は合力: 向心力は特別な力ではなく、物体に働くすべての力の「合力」が円運動を維持するために果たしている役割の名前です。この問題では、働く力は重力しかないので、「重力＝向心力」でなければなりません。
    • 力の向きの一致: 上記の理由から、「重力が向かう先（＝地球の中心）」と「円運動に必要な向心力が向かうべき先（＝円軌道の中心）」が、常に一致している必要があります。この幾何学的な制約条件こそが、軌道を限定する根本的な理由です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 円錐振り子: 糸につるされたおもりが水平面内で円運動する問題。「なぜおもりは斜め上方に上がったまま円運動できるのか？」という問いに対し、「重力と糸の張力の合力が、水平方向、かつ円軌道の中心を向くことで向心力となり、鉛直方向の力はつり合っているから」と説明できます。これも、働く力の合力が向心力の役割を果たすという点で本問と共通しています。
  • バンクのあるカーブ: 自動車が傾いた（バンクのついた）路面のカーブを曲がる問題。「なぜ滑り落ちずに曲がれるのか？」という問いに対し、「重力と垂直抗力の合力が、水平方向、かつカーブの中心を向くことで向心力となるから」と説明できます。
• 初見の記述問題での着眼点:
  1. まず「運動の種類」を特定する: この問題では「円運動」です。
  2. その運動に必要な「力の条件」を思い出す: 円運動なら「向心力が必要」「向心力は円軌道の中心を向く」という基本原理を書き出します。
  3. 実際に「働いている力」をすべてリストアップする: この問題では「重力のみ」です。そして、それぞれの力の「向き」を明確にします（重力は地球の中心向き）。
  4. 「必要な力」と「働く力」を比較する: 「働く力（の合力）」が「必要な力（向心力）」の役割を果たせるか、特に「向き」が一致するかを検証します。
  5. 矛盾点や成立条件を言葉でまとめる: もし向きがズレていれば、その軌道は不可能であると結論づけます。向きが一致する特別な条件があれば、それが軌道の成立条件となります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 「遠心力」で説明しようとして混乱する:
  • 誤解: 「日本の真上では、重力と遠心力がつり合わないから」という説明を試みるが、力の分解や向きが複雑になり、論理が破綻してしまう。
  • 対策: 遠心力は回転座標系（非慣性系）で考える見かけの力であり、説明が複雑になりがちです。このような原理を問う問題では、静止した宇宙空間から見る立場（慣性系）で考え、「働く力（重力）が向心力の役割を果たせるか」という一点に絞って説明するのが最も明快で安全です。
• 「静止」という言葉に惑わされる:
  • 誤解: 「静止衛星は静止しているのだから、力がつり合っているはずだ」と考え、円運動の概念を忘れてしまう。
  • 対策: 静止衛星は「地上から見て」静止しているだけであり、宇宙から見れば地球の自転に合わせて高速で円運動しています。あくまで運動の一種であるという認識を忘れないようにしましょう。
• 結論だけを書いて理由を述べない:
  • 誤解: 「静止衛星は赤道上空を回るものだから」と、結論を事実として述べるだけで、なぜそうなるのかという物理的な理由（力の向きの一致）を説明しない。
  • 対策: 物理の記述問題では、結論よりも「なぜそう言えるのか」という論理的な根拠が最も重要です。「（仮定）→（法則・原理）→（結論）」という論理の流れを意識して文章を組み立てる練習をしましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• この問題では数式よりも物理原理が重要
  • 選定理由: この問題は「理由を説明せよ」という形式であり、数式を解く問題ではありません。したがって、特定の公式を選択するというよりは、物理学の最も基本的な「原理」や「法則」を言葉で正しく引用することが求められます。
  • 適用根拠:
    • 運動の法則（特に円運動）: ニュートンの運動法則は、あらゆる物体の運動を支配する基本法則です。その一部である円運動の成立条件（向心力の存在と向き）を、この問題の状況に適用するのは、物理的な議論の出発点として最も適切です。
    • 万有引力の法則: 人工衛星に働く力が万有引力（重力）であり、その向きが常に地球の中心を向く、というのも物理学の基本法則です。
  • 思考の流れ: この問題は、これら2つの独立した基本法則を並べてみて、「両方の法則を同時に満たすことができる状況は、どのような場合に限られるか？」と考える論理パズルのようなものです。その唯一の解が「円軌道の中心と地球の中心が一致する軌道」であり、さらに「静止衛星」という条件を加えると「赤道上空の軌道」に絞り込まれる、という思考プロセスをたどります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• この問題は計算問題ではないため、該当しません。
• 記述問題における注意点:
  • キーワードを明確に使う: 「重力」「向心力」「円軌道の中心」「地球の中心」といった、この問題の核心となる物理用語を正確に使い分け、明確に記述しましょう。
  • 論理的な接続詞を使う: 「（Aである）。したがって、（Bである）。」「（Aでなければならない）が、（Bである）ため、両者は一致しない。」のように、文と文の論理的なつながりを意識して書くことで、説得力のある説明になります。
  • 図を有効活用する: 頭の中で考えるだけでなく、問題の図に「重力の向きの矢印」と「向心力として必要な向きの矢印」を書き込んでみると、両者のズレが一目瞭然となり、何を説明すべきかが明確になります。

248 重力と位置エネルギー

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「任意の高さにおける重力と万有引力による位置エネルギー」です。地表付近で成り立つ物理法則（重力\(mg\)、位置エネルギー\(mgh\)）が、地球規模の大きなスケールではどのように修正されるかを、万有引力の法則を基に考察する問題です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
物体が受ける重力の正体は万有引力であり、その大きさは地球の中心からの距離の2乗に反比例します。まず、中心からの距離が \(R+h\) となる高さ \(h\) の点での万有引力の式を立てます。しかし、この式には問題で与えられていない \(G\) と \(M\) が含まれています。そこで、地表での重力と万有引力の関係式から導かれる \(GM=gR^2\) を利用して、これらの文字を消去します。
この設問における重要なポイント

• 高さ \(h\) の点では、地球の中心からの距離は \(R+h\) である。
• その点での重力（万有引力）の大きさは \(F = G\displaystyle\frac{Mm}{(R+h)^2}\) となる。
• 地表での関係式 \(mg = G\displaystyle\frac{Mm}{R^2}\) から、\(GM = gR^2\) が導かれる。

具体的な解説と立式
地球の質量を \(M\)、万有引力定数を \(G\) とします。

地表から高さ \(h\) の点にある質量 \(m\) の物体が受ける重力の大きさ \(F\) は、万有引力の法則より、
$$
\begin{aligned}
F &= G\frac{Mm}{(R+h)^2}
\end{aligned}
$$
と表せます。

一方、地表（高さ \(0\)）では、重力の大きさが \(mg\) であり、これは中心からの距離が \(R\) のときの万有引力に等しいので、
$$
\begin{aligned}
mg &= G\frac{Mm}{R^2}
\end{aligned}
$$
この式から、
$$
\begin{aligned}
GM &= gR^2
\end{aligned}
$$
という関係式が得られます。この関係式を使って、\(F\) の式から \(GM\) を消去します。

\(F\) の式に \(GM = gR^2\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
F &= \frac{(GM)m}{(R+h)^2} \\[2.0ex] &= \frac{(gR^2)m}{(R+h)^2} \\[2.0ex] &= \frac{R^2}{(R+h)^2}mg
\end{aligned}
$$

地球から遠ざかると重力は弱くなります。その弱まり方を計算する問題です。まず、万有引力の公式を使って高さ \(h\) での重力を表しますが、この式には未知の \(G\) や \(M\) が入っています。そこで、私たちが知っている地表での重力 \(mg\) の式と比較することで、未知の文字を消去し、問題で指定された文字だけの答えにします。

高さ \(h\) での重力は \(\left(\displaystyle\frac{R}{R+h}\right)^2 mg\) と求まりました。\(h=0\) を代入すると \(mg\) となり、地表での重力と一致します。また、\(h\) が大きくなるほど分母が大きくなるため、重力が小さくなることがわかり、物理的に妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
無限遠を基準にした万有引力による位置エネルギーの公式は \(U(r) = -G\displaystyle\frac{Mm}{r}\) です。この公式を用いて、地表（\(r=R\)）と高さ \(h\) の点（\(r=R+h\)）での位置エネルギーをそれぞれ求めます。その後、(1)と同様に \(GM=gR^2\) の関係式を使って \(G, M\) を消去し、両者の差（\(U_{h} – U_{\text{地表}}\)）を計算します。
この設問における重要なポイント

• 位置エネルギーの公式は \(U(r) = -G\displaystyle\frac{Mm}{r}\) であり、負号がつく。
• 地表での距離は \(R\)、高さ \(h\) での距離は \(R+h\)。
• \(GM=gR^2\) の関係式を用いて \(G, M\) を消去する。

具体的な解説と立式
無限遠を基準としたとき、地球の中心から距離 \(r\) の点にある質量 \(m\) の物体の位置エネルギー \(U(r)\) は、
$$
\begin{aligned}
U(r) &= -G\frac{Mm}{r}
\end{aligned}
$$
です。

これを用いて、地表での位置エネルギー \(U_{\text{地表}}\) と、高さ \(h\) での位置エネルギー \(U_h\) を表します。
$$
\begin{aligned}
U_{\text{地表}} &= -G\frac{Mm}{R}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
U_h &= -G\frac{Mm}{R+h}
\end{aligned}
$$
求めたいのは、これらの差 \(\Delta U = U_h – U_{\text{地表}}\) です。

まず、\(GM=gR^2\) を用いて \(U_{\text{地表}}\) と \(U_h\) を変形します。
$$
\begin{aligned}
U_{\text{地表}} &= -\frac{(GM)m}{R} = -\frac{(gR^2)m}{R} = -mgR
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
U_h &= -\frac{(GM)m}{R+h} = -\frac{(gR^2)m}{R+h} = -\frac{mgR^2}{R+h}
\end{aligned}
$$
これらの差を計算します。
$$
\begin{aligned}
\Delta U &= U_h – U_{\text{地表}} \\[2.0ex] &= \left(-\frac{mgR^2}{R+h}\right) – (-mgR) \\[2.0ex] &= mgR – \frac{mgR^2}{R+h} \\[2.0ex] &= mg \left(R – \frac{R^2}{R+h}\right)
\end{aligned}
$$
括弧の中を通分して計算します。
$$
\begin{aligned}
\Delta U &= mg \left(\frac{R(R+h) – R^2}{R+h}\right) \\[2.0ex] &= mg \left(\frac{R^2 + Rh – R^2}{R+h}\right) \\[2.0ex] &= mg \frac{Rh}{R+h} \\[2.0ex] &= \frac{mghR}{R+h}
\end{aligned}
$$

「位置エネルギーがどれだけ大きいか」とは、地表から高さ \(h\) まで物体を持ち上げるのに、どれだけのエネルギーが必要か、ということです。地表と上空とで、それぞれが持つ「位置エネルギー」を計算し、その差を求めることで答えが出ます。

位置エネルギーの差は \(\displaystyle\frac{mghR}{R+h}\) と求まりました。ここで、もし \(h\) が地球の半径 \(R\) に比べて非常に小さい場合 (\(h \ll R\)) を考えると、分母の \(R+h \approx R\) と近似できます。すると、\(\Delta U \approx \displaystyle\frac{mghR}{R} = mgh\) となります。これは、私たちが高校物理の初めで習う、地表付近での位置エネルギーの公式と一致します。このことから、\(mgh\) というおなじみの公式が、万有引力による位置エネルギーの近似式であることがわかります。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 万有引力の法則と地表での重力の接続
  • 核心: この問題の根幹は、地表から離れた場所での物理現象を、私たちがよく知る「地表での測定値（\(g, R\)）」と結びつけて記述する能力です。そのために、2つの異なる物理法則・表現を使いこなす必要があります。
    1. 万有引力の法則: 宇宙のどこでも成り立つ普遍的な法則（\(F=G\displaystyle\frac{Mm}{r^2}\), \(U=-G\displaystyle\frac{Mm}{r}\)）。
    2. 地表での重力: 地表という特殊な場所で成り立つ関係（\(F=mg\)）。
  • 理解のポイント:
    • 架け橋となる関係式 \(GM=gR^2\) : 上記2つを結びつけるのが、「地表での重力は万有引力に等しい」という物理的事実から導かれる関係式 \(GM=gR^2\) です。この式は、問題で与えられていない \(G\) や \(M\) を、与えられている \(g\) と \(R\) に変換するための「翻訳機」の役割を果たします。この翻訳機の使い方をマスターすることが、この種の問題を解く上での絶対的な鍵となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 第二宇宙速度（地球脱出速度）: 地表にある物体（位置エネルギー \(-G\displaystyle\frac{Mm}{R}\)）が、無限遠（位置エネルギー \(0\)）に到達するために必要な運動エネルギーを求める問題。エネルギー保存則を立て、\(GM=gR^2\) を用いて \(g\) と \(R\) で表現します。
  • 軌道遷移に必要なエネルギー: 半径 \(r_1\) の円軌道から半径 \(r_2\) の円軌道へ衛星を移動させるのに必要なエネルギーを求める問題。各軌道での力学的エネルギーの差を計算する際に、\(GM=gR^2\) を用いて \(g\) や \(R\) で表現することが求められます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 与えられている文字を確認する: 問題文で与えられている定数が「\(g, R\)」なのか「\(G, M\)」なのかをまず見ます。もし「\(g, R\)」が与えられていて、万有引力の法則を使う必要がある場合、ほぼ100%の確率で \(GM=gR^2\) の変換が必要になります。
  2. 距離の基準を明確にする: 問題で使われている距離が「地表からの高さ \(h\)」なのか「中心からの距離 \(r\)」なのかを厳密に区別します。万有引力の法則で使うのは常に後者（\(r=R+h\)）です。
  3. 近似の可能性を考える: (2)の答え \(\displaystyle\frac{mghR}{R+h}\) が、地表付近（\(h \ll R\)）では \(mgh\) になる、という近似は非常に重要です。この関係を知っていると、自分の答えが物理的に妥当かどうかを検算できます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 重力がどこでも \(mg\) だと勘違いする:
  • 誤解: 高さ \(h\) の点でも、物体に働く重力は \(mg\) であると誤解し、(1)の答えを \(mg\) としてしまう。
  • 対策: 重力加速度 \(g\) は地表での値です。地球から離れれば重力は弱まるため、\(mg\) という式は使えません。必ず万有引力の法則 \(F=G\displaystyle\frac{Mm}{r^2}\) に立ち返る癖をつけましょう。
• 位置エネルギーの公式を混同・誤用する:
  • 誤解: (2)で、地表付近で使う公式 \(mgh\) をそのまま使おうとしたり、万有引力による位置エネルギーの公式 \(U=-G\displaystyle\frac{Mm}{r}\) の負号を忘れたりする。
  • 対策: \(mgh\) は「地表を基準（\(U=0\)）とした近似式」、\(-G\displaystyle\frac{Mm}{r}\) は「無限遠を基準（\(U=0\)）とした厳密な式」であることを明確に区別しましょう。基準点が違うため、単純に比較することはできません。問題の指示通り、無限遠基準のエネルギーの「差」を計算する必要があります。
• \(GM=gR^2\) の変換ミス:
  • 誤解: この重要な関係式を忘れてしまい、\(G\) や \(M\) をどう消去すればよいか分からなくなる。あるいは、\(GM=gR\) のように次数を間違えて覚えてしまう。
  • 対策: この式は暗記するだけでなく、「地表での万有引力と重力が等しい」という物理的状況 \(G\displaystyle\frac{Mm}{R^2} = mg\) から、いつでも自分で導出できるようにしておくことが最も確実です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（万有引力の法則と \(GM=gR^2\)）:
  • 選定理由: 求めたいのは「高さ \(h\) での重力」。重力の大きさは中心からの距離に依存するため、その関係を記述する万有引力の法則 \(F=G\displaystyle\frac{Mm}{r^2}\) を選択します。しかし、答えは \(g, R\) などで表現する必要があるため、\(G, M\) を消去するための「翻訳機」として、地表での関係式から導かれる \(GM=gR^2\) を併せて用います。
  • 適用根拠: 万有引力の法則は宇宙のどこでも成り立ちます。また、\(GM=gR^2\) は地表という場所で観測された事実（重力加速度が \(g\) であること）を万有引力の法則と結びつけた、この問題設定における「事実」です。これらを組み合わせることは論理的に正当です。
• (2)での公式選択（位置エネルギーの公式 \(U=-G\displaystyle\frac{Mm}{r}\)）:
  • 選定理由: 求めたいのは「万有引力による位置エネルギー」の「差」です。したがって、その定義式である \(U=-G\displaystyle\frac{Mm}{r}\) を使うのが最も直接的です。
  • 適用根拠: この公式は、無限遠を基準として、万有引力がなす仕事から定義される普遍的な式です。地表（\(r=R\)）と高さ \(h\) の点（\(r=R+h\)）の両方にこの定義を適用し、その差を計算します。ここでも、最終的な答えの表現を問題の要求に合わせるため、\(GM=gR^2\) による文字の変換が必要となります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま整理してから代入する:
  • まずは万有引力の法則の式 \(F = G\displaystyle\frac{Mm}{(R+h)^2}\) を立て、次に \(GM=gR^2\) を代入して \(F = \displaystyle\frac{gR^2m}{(R+h)^2}\) という最終的な文字式の形を導き出してから、数値計算が必要な場合は数値を代入します。この手順が、式の構造を見失わないためのコツです。
• 共通因数でくくる:
  • (2)でエネルギーの差を計算する際、\(\Delta U = -mgR^2/(R+h) – (-mgR)\) となります。ここで、共通因数 \(mgR\) でくくると、\(\Delta U = mgR(1 – \displaystyle\frac{R}{R+h})\) となり、括弧の中の分数の計算に集中できます。これにより、計算ミスを減らし、式変形もスムーズになります。
• 近似による検算:
  • (2)で得られた答え \(\displaystyle\frac{mghR}{R+h}\) は、地表付近、すなわち \(h\) が \(R\) に比べて非常に小さい（\(h \ll R\)）という条件下で、分母が \(R+h \approx R\) と近似できます。すると、\(\Delta U \approx \displaystyle\frac{mghR}{R} = mgh\) となり、おなじみの位置エネルギーの公式に一致します。このことを知っていると、自分の答えの形が妥当であるかを強力に検証できます。
• 符号の確認:
  • (2)では、高さが上がる（地表→高さ \(h\)）ので、位置エネルギーは増加するはずです（負の値が0に近づく）。したがって、計算結果 \(\Delta U\) は正の値になるはずです。もし計算結果が負になった場合は、引き算の順序や符号の扱いでミスをしている可能性が高いです。

249 人工衛星の力学的エネルギー

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「任意の高度における人工衛星の力学的エネルギー」です。地表から大きく離れた円軌道をまわる人工衛星について、その速さと力学的エネルギーを、地表での重力加速度 \(g\) を用いて表現する問題です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
人工衛星は、地球からの万有引力を向心力として等速円運動をしています。まず、この物理的な状況を運動方程式で表現します。軌道半径が地表からの高さ \(R\) と地球半径 \(R\) の和である \(2R\) になることに注意が必要です。運動方程式には地球の質量 \(M\) や万有引力定数 \(G\) が現れますが、問題の要求は \(g\) と \(R\) を用いて表すことなので、地表での重力と万有引力の関係式 \(GM=gR^2\) を使って文字を変換します。
この設問における重要なポイント

• 軌道半径は、地球の中心からの距離なので \(r = R+h = R+R = 2R\)。
• 向心力は、距離 \(2R\) での万有引力 \(F = G\displaystyle\frac{Mm}{(2R)^2}\) である。
• 運動方程式 \(m\displaystyle\frac{v^2}{r} = F\) を立てる。
• \(GM=gR^2\) の関係式を用いて \(G, M\) を消去する。

具体的な解説と立式
地球の質量を \(M\)、万有引力定数を \(G\)、人工衛星の速さを \(v\) とします。

人工衛星は、地球の中心から距離 \(r=2R\) の円軌道を運動しています。

この円運動の向心力は万有引力なので、運動方程式は、
$$
\begin{aligned}
m\frac{v^2}{2R} &= G\frac{Mm}{(2R)^2}
\end{aligned}
$$
となります。

また、地表での重力と万有引力の関係から、
$$
\begin{aligned}
mg &= G\frac{Mm}{R^2}
\end{aligned}
$$
が成り立ち、これを変形すると \(GM = gR^2\) という関係式が得られます。

まず、運動方程式を \(v^2\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
v^2 &= G\frac{M}{2R}
\end{aligned}
$$
次に、この式に \(GM = gR^2\) を代入して \(GM\) を消去します。
$$
\begin{aligned}
v^2 &= \frac{gR^2}{2R} \\[2.0ex] &= \frac{gR}{2}
\end{aligned}
$$
\(v>0\) なので、両辺の平方根をとると、
$$
\begin{aligned}
v &= \sqrt{\frac{gR}{2}}
\end{aligned}
$$

人工衛星にはたらく力は地球からの万有引力だけで、これが向心力となって衛星を円軌道に引き留めています。この向心力と向心加速度を結ぶ運動方程式を立てて速さを計算します。ただし、答えに使える文字が指定されているので、地表での重力の式を使って、不要な文字（\(G, M\)）を消去する「文字の翻訳」作業が必要です。

速さは \(v = \sqrt{\displaystyle\frac{gR}{2}}\) と求まりました。地表すれすれを飛ぶ第1宇宙速度 \(\sqrt{gR}\) と比較すると、\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\) 倍、すなわち約 \(0.7\) 倍の速さになっています。軌道半径が大きいほど、円運動を維持するのに必要な速さは遅くなるという物理的な性質と一致しており、妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
力学的エネルギー \(E\) は、運動エネルギー \(K\) と万有引力による位置エネルギー \(U\) の和 (\(E=K+U\)) です。まず、それぞれのエネルギーを公式に従って計算します。位置エネルギーの計算には \(G, M\) が含まれるため、\(GM=gR^2\) を用いて \(g, R\) に変換します。運動エネルギーは(1)で求めた速さ \(v\) を用いて計算します。
この設問における重要なポイント

• 力学的エネルギー \(E = K + U\)。
• 運動エネルギー \(K = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2\)。
• 万有引力による位置エネルギー \(U = -G\displaystyle\frac{Mm}{r}\)（無限遠基準）。
• 軌道半径は \(r=2R\)。
• \(GM=gR^2\) の関係式を用いて \(G, M\) を消去する。

具体的な解説と立式
力学的エネルギー \(E\) は、運動エネルギー \(K\) と位置エネルギー \(U\) の和です。
$$
\begin{aligned}
E &= K + U
\end{aligned}
$$
1. 位置エネルギー \(U\) の計算

軌道半径 \(r=2R\) なので、位置エネルギーは、
$$
\begin{aligned}
U &= -G\frac{Mm}{2R}
\end{aligned}
$$
ここに \(GM=gR^2\) を代入すると、
$$
\begin{aligned}
U &= -\frac{(gR^2)m}{2R} \\[2.0ex] &= -\frac{mgR}{2}
\end{aligned}
$$
2. 運動エネルギー \(K\) の計算

(1)の結果から \(v^2 = \displaystyle\frac{gR}{2}\) なので、運動エネルギーは、
$$
\begin{aligned}
K &= \frac{1}{2}mv^2 \\[2.0ex] &= \frac{1}{2}m\left(\frac{gR}{2}\right) \\[2.0ex] &= \frac{mgR}{4}
\end{aligned}
$$

上記で求めた \(K\) と \(U\) を足し合わせます。
$$
\begin{aligned}
E &= K + U \\[2.0ex] &= \frac{mgR}{4} + \left(-\frac{mgR}{2}\right) \\[2.0ex] &= \frac{mgR}{4} – \frac{2mgR}{4} \\[2.0ex] &= -\frac{mgR}{4}
\end{aligned}
$$

人工衛星が持つエネルギーは、その速さによる「運動エネルギー」と、地球に引かれていることによる「位置エネルギー」の合計です。それぞれのエネルギーを(1)の結果なども使いながら計算し、最後に足し算します。位置エネルギーは、無限に遠い場所を基準にしているので、マイナスの値になることに注意が必要です。

力学的エネルギーは \(E = -\displaystyle\frac{mgR}{4}\) と求まりました。エネルギーが負の値であることは、人工衛星が地球の重力に束縛されている状態を意味し、物理的に妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 任意の高度における運動方程式と文字変換技術
  • 核心: この問題は、地表から離れた場所での物理現象を、私たちがよく知る「地表での測定値（\(g, R\)）」と結びつけて記述する能力を問うています。その核心は2段階の思考プロセスにあります。
    1. 運動方程式の立式: まず、軌道半径が \(2R\) であることを正確に把握し、その場所での万有引力 \(G\displaystyle\frac{Mm}{(2R)^2}\) が円運動の向心力として働く、という運動方程式を立てること。
    2. 文字の変換: 次に、万有引力の法則に含まれる \(G\) や \(M\) を、問題で与えられた文字 \(g, R\) に変換するため、地表での関係式 \(mg = G\displaystyle\frac{Mm}{R^2}\) から導かれる「翻訳機」\(GM=gR^2\) を使いこなすこと。
  • 理解のポイント:
    • 重力は距離で変化する: 地表から大きく離れた場所では、重力はもはや \(mg\) ではありません。万有引力の法則（逆2乗則）に従って弱まることを理解し、運動方程式の力の項を正しく設定することが第一歩です。
    • \(GM=gR^2\) の重要性: この関係式は、宇宙規模の物理量（\(G, M\)）と、地上の測定値（\(g, R\)）を結びつける非常に重要な架け橋です。この変換技術をマスターすることが、万有引力の応用問題を解く鍵となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 軌道遷移に必要なエネルギー: この軌道（半径 \(2R\)）から、さらに別の軌道（例えば半径 \(3R\)）へ衛星を移動させるのに必要なエネルギー（仕事）を求める問題。各軌道での力学的エネルギー \(E = -G\displaystyle\frac{Mm}{2r}\) を計算し、その差 \(\Delta E = E_2 – E_1\) を求めます。この際も \(GM=gR^2\) を使って \(g\) と \(R\) で表現することが多いです。
  • 無限遠への脱出エネルギー: この軌道を周回している衛星を、地球の重力圏から完全に脱出させる（無限遠に到達させる）ために、さらにどれだけのエネルギーを与える必要があるかを問う問題。現在の力学的エネルギーが \(E = -\displaystyle\frac{mgR}{4}\) なので、これを打ち消して合計エネルギーを \(0\) にするために必要なエネルギー、すなわち \(+\displaystyle\frac{mgR}{4}\) が答えとなります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 軌道半径 \(r\) を正確に把握する: 「地表からの高さ \(h\)」が与えられている場合、中心からの距離は \(r=R+h\) となります。この問題では \(h=R\) なので、軌道半径は \(r=2R\) です。これがすべての計算の出発点となります。
  2. 与えられている文字セットを確認する: 問題文で与えられている定数が「\(g, R\)」のセットなのか、「\(G, M\)」のセットなのかを見極めます。「\(g, R\)」セットの場合は、どこかで \(GM=gR^2\) の変換が必要になる、と予測できます。
  3. 円軌道特有のエネルギー関係式を疑う: (2)のように力学的エネルギーを問われた場合、別解で示した \(E = -K = \displaystyle\frac{1}{2}U\) という関係が使えないか常に検討しましょう。運動エネルギー \(K\) か位置エネルギー \(U\) のどちらか一方を計算するだけで済むため、計算が速くなり、ミスも減ります。検算にも非常に有効です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 軌道半径の設定ミス:
  • 誤解: 運動方程式やエネルギーの公式に出てくる距離 \(r\) に、地球の半径 \(R\) をそのまま代入してしまう。
  • 対策: 問題文を注意深く読み、「地表から高さ \(R\)」であることを確認しましょう。万有引力や円運動の中心は地球の中心なので、距離は常に中心からの距離、すなわち \(r = R+R = 2R\) を使わなければなりません。
• 向心力（重力）の大きさのミス:
  • 誤解: 軌道半径が \(2R\) の場所でも、向心力として働く重力の大きさを地表での値 \(mg\) と勘違いしてしまう。（誤った式: \(m\displaystyle\frac{v^2}{2R} = mg\)）
  • 対策: 重力は中心からの距離の2乗に反比例して弱まることを思い出しましょう。距離が2倍になれば、力は \(\displaystyle\frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}\) 倍になります。したがって、この軌道での重力（向心力）は \(\displaystyle\frac{1}{4}mg\) です（別解1のアプローチ）。あるいは、基本に忠実に万有引力の公式 \(G\displaystyle\frac{Mm}{(2R)^2}\) を使うのが最も確実です。
• エネルギー計算での符号ミス:
  • 誤解: 万有引力による位置エネルギー \(U = -G\displaystyle\frac{Mm}{r}\) の負号を忘れてしまう。あるいは、力学的エネルギーの計算で \(E = K+U\) の足し算を間違える。
  • 対策: 万有引力のような引力によって束縛されている物体の位置エネルギーは、無限遠を基準にすると必ず負の値になります。また、力学的エネルギーも負の値になります（束縛状態）。最終的な答えの符号が負になっているかを確認する癖をつけましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（運動方程式 + \(GM=gR^2\)）:
  • 選定理由: 求めたいのは「速さ」。運動の状態（速さ）とその原因（万有引力）を結びつけるのは運動方程式です。しかし、答えは \(g, R\) で表現する必要があるため、万有引力の法則に含まれる \(G, M\) を消去するための「翻訳機」として、地表での関係式から導かれる \(GM=gR^2\) が必要になります。
  • 適用根拠: 衛星は安定した円運動をしているため、運動方程式が適用できます。また、\(GM=gR^2\) は地表での観測事実を万有引力の法則と結びつけたものであり、この問題設定で常に成り立つ関係式です。これら2つを組み合わせることで、問題の要求に合った答えを導出できます。
• (2)での公式選択（\(E=K+U\)）:
  • 選定理由: 求めたいのは「力学的エネルギー」。その定義は「運動エネルギーと位置エネルギーの和」なので、\(E=K+U\) から出発するのは必然です。
  • 適用根拠: \(K=\displaystyle\frac{1}{2}mv^2\) と \(U=-G\displaystyle\frac{Mm}{r}\) は、それぞれのエネルギーの定義式です。これらに、この軌道特有の物理量（\(r=2R\)、(1)で求めた \(v\)）を代入し、さらに \(GM=gR^2\) で文字を変換することで、問題の要求に合った答えを導出できます。
• (2)別解での公式選択（\(E=-K=\displaystyle\frac{1}{2}U\)）:
  • 選定理由: 計算を簡略化し、検算にも利用するため。この関係式は、万有引力のような逆2乗則の力による円運動で常に成り立つことが知られています。
  • 適用根拠: この関係式は、運動方程式 \(m\displaystyle\frac{v^2}{r} = G\frac{Mm}{r^2}\) から導かれる運動エネルギー \(K = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2 = G\frac{Mm}{2r}\) と、位置エネルギーの定義 \(U = -G\displaystyle\frac{Mm}{r}\) を比較することで数学的に証明できます（\(K = -\displaystyle\frac{1}{2}U\)）。したがって、運動方程式が成り立つ円軌道であれば、この関係式も常に成り立ちます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• \(v^2\) の塊で代入する:
  • (1)で \(v^2 = \displaystyle\frac{gR}{2}\) という関係式を導き出したら、(2)の運動エネルギーの計算では \(v\) の平方根の形を代入するのではなく、\(K = \displaystyle\frac{1}{2}m(v^2) = \frac{1}{2}m(\frac{gR}{2})\) のように、\(v^2\) の塊をそのまま代入する方が計算が楽でミスが少なくなります。
• 共通因数でくくる:
  • (2)で \(E = \displaystyle\frac{mgR}{4} – \frac{mgR}{2}\) を計算する際、共通因数 \(mgR\) でくくると、\(E = mgR \left(\displaystyle\frac{1}{4} – \frac{1}{2}\right) = mgR \left(-\frac{1}{4}\right)\) となり、分数の係数計算に集中できます。
• 別解による検算:
  • (2)で運動エネルギー \(K = \displaystyle\frac{mgR}{4}\) と位置エネルギー \(U = -\displaystyle\frac{mgR}{2}\) を両方計算したら、それらが \(K = -\displaystyle\frac{1}{2}U\) の関係を満たしているか確認しましょう。\(-\displaystyle\frac{1}{2}U = -\frac{1}{2}(-\frac{mgR}{2}) = \frac{mgR}{4} = K\) となり、成り立っています。この確認ができれば、計算が正しい可能性は非常に高いです。
• 符号の最終確認:
  • 最終的に求めた力学的エネルギー \(E\) が負になっているかを確認します。衛星は地球に束縛されているので、力学的エネルギーは必ず負になります。もし計算結果が正になっていたら、位置エネルギーの符号や、足し算の過程でミスをしている可能性が高いです。

250 第2宇宙速度

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「力学的エネルギー保存則を用いた脱出速度の計算」です。地表から物体を打ち上げたときに、どこまで上昇できるか、さらには地球の重力を振り切って無限の彼方へ飛び去る（脱出する）ためにはどれだけの速さが必要か（第2宇宙速度）を、エネルギーの観点から考察する問題です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
物体が上昇している間、働く力は保存力である重力（万有引力）のみなので、力学的エネルギーは保存されます。したがって、「打ち上げ直後」と「最高点に達した瞬間」の2つの時点で力学的エネルギーが等しい、という式を立てます。最高点では一瞬速度が \(0\) になることがポイントです。
この設問における重要なポイント

• 力学的エネルギー保存則を用いる。
• 最高点では、物体の速さは \(0\) になる。
• 位置エネルギーは、無限遠を基準とした万有引力による位置エネルギー \(U(r) = -G\displaystyle\frac{Mm}{r}\) を用いる。
• 打ち上げ直後の地球中心からの距離は \(R\)、最高点での距離は \(R+h\)。
• 最終的に \(GM=gR^2\) の関係式を用いて、答えを \(g, R, h\) で表す。

具体的な解説と立式
物体の質量を \(m\)、地球の質量を \(M\)、万有引力定数を \(G\) とします。

力学的エネルギー保存則より、「打ち上げ直後の力学的エネルギー」と「高さ \(h\) の最高点での力学的エネルギー」は等しくなります。

• 打ち上げ直後（距離 \(R\)）の力学的エネルギー \(E_1\)
  • 運動エネルギー: \(\displaystyle\frac{1}{2}mv_1^2\)
  • 位置エネルギー: \(-G\displaystyle\frac{Mm}{R}\)

  $$ E_1 = \frac{1}{2}mv_1^2 – G\frac{Mm}{R} $$

• 最高点（距離 \(R+h\)）での力学的エネルギー \(E_2\)
  • 運動エネルギー: \(0\) （最高点では一瞬静止する）
  • 位置エネルギー: \(-G\displaystyle\frac{Mm}{R+h}\)

  $$ E_2 = -G\frac{Mm}{R+h} $$

エネルギー保存則 \(E_1 = E_2\) より、
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}mv_1^2 – G\frac{Mm}{R} &= -G\frac{Mm}{R+h}
\end{aligned}
$$
この式を \(v_1\) について解きます。

まず、エネルギー保存の式を \(v_1\) について整理します。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}mv_1^2 &= G\frac{Mm}{R} – G\frac{Mm}{R+h} \\[2.0ex] &= GMm\left(\frac{1}{R} – \frac{1}{R+h}\right) \\[2.0ex] &= GMm\left(\frac{(R+h)-R}{R(R+h)}\right) \\[2.0ex] &= GMm\frac{h}{R(R+h)}
\end{aligned}
$$
両辺の \(m\) を消去し、\(2\) を掛けると、
$$
\begin{aligned}
v_1^2 &= \frac{2GMh}{R(R+h)}
\end{aligned}
$$
ここで、地表での重力と万有引力の関係 \(mg = G\displaystyle\frac{Mm}{R^2}\) から得られる \(GM = gR^2\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
v_1^2 &= \frac{2(gR^2)h}{R(R+h)} \\[2.0ex] &= \frac{2gRh}{R+h}
\end{aligned}
$$
\(v_1 > 0\) なので、
$$
\begin{aligned}
v_1 &= \sqrt{\frac{2gRh}{R+h}}
\end{aligned}
$$

ロケットを打ち上げる状況をエネルギーの観点から考えます。打ち上げた瞬間の「運動エネルギー」という財産が、上昇するにつれて重力に逆らうために使われ、「位置エネルギー」という借金の返済に充てられていきます。最高点 \(h\) は、運動エネルギーをすべて使い果たして、一瞬止まってしまう点です。このエネルギーの収支が釣り合うという式を立てて、最初の速さを計算します。

初速 \(v_1\) が \(\sqrt{\displaystyle\frac{2gRh}{R+h}}\) と求まりました。この式は、もし \(h\) が地球の半径 \(R\) に比べて非常に小さい場合 (\(h \ll R\))、分母の \(R+h \approx R\) と近似でき、\(v_1 \approx \sqrt{\displaystyle\frac{2gRh}{R}} = \sqrt{2gh}\) となります。これは、地表付近で重力が一定 (\(mg\))、位置エネルギーが \(mgh\) とみなせる場合の公式 \(\displaystyle\frac{1}{2}mv_1^2 = mgh\) から得られる結果と一致し、式の妥当性を示しています。

問(2)

思考の道筋とポイント
「無限遠方まで飛び去る」とは、(1)で考えた最高点の高さ \(h\) が無限大 (\(h \to \infty\)) になる場合に相当します。したがって、(1)で導出した初速 \(v_1\) の式において、\(h\) を無限大に近づけたときの極限値を計算することで、第2宇宙速度 \(v_2\) を求めることができます。
この設問における重要なポイント

• 無限遠方への到達は、\(h \to \infty\) の極限として考える。
• 極限を計算しやすくするため、(1)の式の分母・分子を \(h\) で割る。

具体的な解説と立式
(1)で求めた、高さ \(h\) まで到達するための初速 \(v_1\) の式は、
$$
\begin{aligned}
v_1 &= \sqrt{\frac{2gRh}{R+h}}
\end{aligned}
$$
です。第2宇宙速度 \(v_2\) は、この式で \(h \to \infty\) としたときの極限値です。
$$
\begin{aligned}
v_2 &= \lim_{h \to \infty} \sqrt{\frac{2gRh}{R+h}}
\end{aligned}
$$

極限を計算するために、根号の中の分母・分子を \(h\) で割ります。
$$
\begin{aligned}
v_2 &= \lim_{h \to \infty} \sqrt{\frac{2gR}{\frac{R+h}{h}}} \\[2.0ex] &= \lim_{h \to \infty} \sqrt{\frac{2gR}{\frac{R}{h} + 1}}
\end{aligned}
$$
ここで、\(h \to \infty\) のとき、\(\displaystyle\frac{R}{h} \to 0\) となるので、
$$
\begin{aligned}
v_2 &= \sqrt{\frac{2gR}{0 + 1}} \\[2.0ex] &= \sqrt{2gR}
\end{aligned}
$$

(1)で作った「高さ \(h\) まで行くための速度計算機」に、行き先として「無限に遠い場所（\(h=\infty\)）」を入力したらどうなるか、を計算する方法です。数式を少し変形して \(h\) を無限大にすると、答えが求まります。

第2宇宙速度は \(v_2 = \sqrt{2gR}\) と求まりました。地表すれすれを回る第1宇宙速度 \(v_1 = \sqrt{gR}\) と比較すると、ちょうど \(\sqrt{2}\) 倍の関係になっています。これは非常に重要で有名な関係です。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 宇宙規模での力学的エネルギー保存則
  • 核心: この問題の根幹は、地球から大きく離れる物体の運動を解析するために、「力学的エネルギー保存則」を正しく適用することです。特に重要なのは、地表付近で使っていた位置エネルギーの公式 \(mgh\) はもはや使えず、宇宙のどこでも通用する「万有引力による位置エネルギー \(U = -G\displaystyle\frac{Mm}{r}\)」を用いなければならない、という点です。
  • 理解のポイント:
    • 働く力は保存力のみ: 物体が打ち上げられてから最高点に達するまで、働く力は地球の重力（万有引力）のみです。空気抵抗などを無視すれば、重力は保存力なので、運動の前後で力学的エネルギー（運動エネルギー＋位置エネルギー）の合計は一定に保たれます。
    • 位置エネルギーの正しい選択: \(mgh\) は、重力 \(mg\) が一定であるとみなせる狭い範囲でのみ成り立つ「近似式」です。この問題のように、地球の半径に匹敵するほど大きく移動する場合、重力は距離とともに弱まるため、その効果を正しく反映した厳密な位置エネルギーの公式 \(U = -G\displaystyle\frac{Mm}{r}\) を使う必要があります。
• \(GM=gR^2\) を用いた文字変換
  • 核心: 問題で与えられている文字は地上の測定値である \(g\) と \(R\) です。しかし、万有引力の法則には宇宙規模の定数である \(G\) と \(M\) が含まれています。これら2つの異なる世界の物理量を結びつける「架け橋」となるのが、地表での力のつりあいから導かれる関係式 \(GM=gR^2\) です。この「文字の翻訳」技術を使いこなすことが、問題を解く上でのもう一つの核心です。
  • 理解のポイント:
    • 異なる文字セットの橋渡し: 物理の問題では、与えられた文字だけで答えを表現する必要があります。万有引力の問題では、しばしば「\(G, M, R\)」のセットと「\(g, R\)」のセットが登場します。\(GM=gR^2\) は、これら2つのセットを自在に行き来するための必須ツールです。
    • 式の物理的意味: この関係式は、単なる数学的な置き換えではありません。「地球の質量 \(M\) と万有引力定数 \(G\) がもたらす重力場の強さは、地表においては重力加速度 \(g\) という形で観測される」という物理的な事実を数式で表現したものです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 人工衛星の打ち上げエネルギー: 地表から静止している人工衛星を、ある特定の円軌道に乗せるために必要なエネルギーを求める問題。地表での力学的エネルギー（位置エネルギーのみ）と、軌道上での力学的エネルギー（運動エネルギー＋位置エネルギー）の差を計算します。
  • 惑星探査機のスイングバイ: 探査機が惑星に接近し、その重力を利用して加速・減速する技術。これも、惑星との相対運動における力学的エネルギー保存則で説明できます。
  • ある高さからの自由落下: 高さ \(h\) の点から物体を静かに放したとき、地表に到達する速さを求める問題。本問(1)のエネルギー保存則を逆向きに適用するだけで解くことができます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 「打ち上げ」「落下」「最高点」などのキーワード: これらの言葉は、物体の位置と速さが変化する運動を示唆しており、力学的エネルギー保存則が有効な場面であることが多いです。
  2. 運動のスケールを判断する: 移動距離 \(h\) が地球の半径 \(R\) に比べて無視できるほど小さいか、同程度の大きさかを考えます。後者であれば、万有引力による位置エネルギー \(U=-G\displaystyle\frac{Mm}{r}\) の出番です。
  3. 「無限遠」「脱出する」というキーワード: これらは、第2宇宙速度に関連する問題であることを示唆します。物理的な条件は「無限遠での力学的エネルギーが \(0\) 以上」となることです。最小の初速を問われた場合は、無限遠でのエネルギーがちょうど \(0\) になるとして式を立てます。
  4. 与えられている定数を確認する: 与えられているのが \(g, R\) なのか \(G, M\) なのかで、最終的な答えの形が決まります。\(g, R\) で答える必要がある場合は、必ず \(GM=gR^2\) の変換が必要になると心構えをしておきましょう。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 位置エネルギーの公式を \(mgh\) と勘違いする:
  • 誤解: (1)で力学的エネルギー保存則を立てる際に、安易に \(\displaystyle\frac{1}{2}mv_1^2 = mgh\) という地表付近の公式を使ってしまう。
  • 対策: \(mgh\) は \(g\) が一定とみなせる狭い範囲でのみ成り立つ「近似式」であることを理解しましょう。地球の半径と同程度のスケールで高さが変化する問題では、重力が距離とともに弱まる効果を考慮した、厳密な万有引力による位置エネルギーの「差」を計算する必要があります。
• 万有引力による位置エネルギーの負号を忘れる:
  • 誤解: 位置エネルギーの公式を \(U = +G\displaystyle\frac{Mm}{r}\) と間違えてしまい、エネルギー保存則の符号を間違える。
  • 対策: 無限遠が基準（\(U=0\)）であり、そこから引力に引かれて近づいてきた状態は、基準よりもエネルギー的に低い（安定な）状態である、と物理的な意味を理解しましょう。したがって、有限の距離にある物体の位置エネルギーは必ず負になります。
• (2)の極限計算で混乱する:
  • 誤解: (1)の答えの式で \(h \to \infty\) の極限をとる際に、\(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\) の不定形となり、どう計算すればよいか分からなくなる。
  • 対策: \(h \to \infty\) の極限では、分母・分子を \(h\) で割って \(\displaystyle\frac{1}{h}\) の形を作り出し、\(\displaystyle\frac{1}{h} \to 0\) を利用するのが数学の定石です。また、別解で示したように、「無限遠でエネルギーが0」という物理的な条件から直接立式する方が、本質的で間違いにくいことも知っておくと良いでしょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)(2)での公式選択（力学的エネルギー保存則）:
  • 選定理由: この問題は、物体の「速さ」と「位置（高さ）」の関係を問うています。運動の途中経過（時間や加速度）には触れず、始点と終点の状態だけを比較する場合、力学的エネルギー保存則は最も強力で直接的なツールです。運動方程式で解こうとすると、加速度が一定でないため積分の計算が必要になり、高校物理の範囲では通常扱いません。
  • 適用根拠: 物体に働く力は保存力である重力（万有引力）のみです（空気抵抗は無視）。保存力のみが仕事をする場合、系の力学的エネルギーは保存される、という物理学の大原則を適用しています。
• 位置エネルギーの公式選択（\(U=-G\displaystyle\frac{Mm}{r}\)）:
  • 選定理由: (1)で \(h\)、(2)で無限遠という、地球の半径 \(R\) と同等かそれ以上の大きなスケールでの位置の変化を扱っています。このような場合、重力が一定とみなせる地表付近での近似式 \(mgh\) は使えません。万有引力の法則に基づいた、宇宙規模で普遍的に成り立つ厳密な位置エネルギーの定義式 \(U=-G\displaystyle\frac{Mm}{r}\) を選択する必要があります。
  • 適用根拠: この公式は、無限遠を基準点（\(U=0\)）として、そこから距離 \(r\) の点まで万有引力がする仕事によって定義されています。基準点が明確で、宇宙のどこでも一貫して使えるため、このような問題に適用するのに最適です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま整理してから代入する:
  • (1)のエネルギー保存則の式 \(\displaystyle\frac{1}{2}mv_1^2 – G\frac{Mm}{R} = -G\frac{Mm}{R+h}\) を、まずは \(v_1^2 = \dots\) の形になるまで、文字のまま丁寧に整理しましょう。
• 共通因数でくくる:
  • 式を整理する際、\(\displaystyle\frac{1}{2}mv_1^2 = GMm\left(\frac{1}{R} – \frac{1}{R+h}\right)\) のように、共通因数 \(GMm\) でくくると、括弧の中の分数の計算に集中でき、ミスを減らせます。
• 近似による検算:
  • (1)で得られた答え \(v_1 = \sqrt{\displaystyle\frac{2gRh}{R+h}}\) が、地表付近の条件（\(h \ll R\)）で、よく知る公式から導かれる \(v_1 \approx \sqrt{2gh}\) に一致することを確認する作業は、非常に有効な検算方法です。
• 第1宇宙速度との比較による検算:
  • (2)で求めた第2宇宙速度 \(v_2 = \sqrt{2gR}\) が、地表すれすれを回る第1宇宙速度 \(v_{\text{第1}} = \sqrt{gR}\) のちょうど \(\sqrt{2}\) 倍になっていることを確認しましょう。この有名な関係を知っていれば、答えに自信を持つことができます。
• 符号の最終確認:
  • エネルギー保存則の式を立てる際、位置エネルギーの項には必ず負号がついているかを確認します。最終的な答え（速さ）は正の値になるはずなので、計算途中で \(v^2\) が負になった場合は、どこかで符号のミスをしています。

ABOUT THE AUTHOR

共田 誠（まこと先生）

高校物理講師・プロ家庭教師 / 指導歴14年

上智大学理工学部物理学科卒。私立高校の非常勤講師として進学クラスから基礎クラスまで幅広く担当。大手家庭教師センター3社でプロ家庭教師を経験し、現在はオンライン専門で全国の高校生を個別指導中。

「暗記物理の撲滅」を掲げ、生徒の思考のクセを診断・矯正するドクター型アプローチで指導。表面的なテクニックではなく、初見の問題に強い思考力を育てる。

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