今回の問題
dynamics#37【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「斜面上の力のつり合いと仕事」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 力のつり合い: 物体が「静かに」動く、つまり等速直線運動をする場合、物体にはたらく力の合力は \(0\) となります。
- 仕事の定義: 力 \(\vec{F}\) が物体にした仕事 \(W\) は、物体の変位を \(\vec{x}\) とすると、\(W = |\vec{F}| |\vec{x}| \cos\alpha\) で与えられます。ここで \(\alpha\) は力 \(\vec{F}\) と変位 \(\vec{x}\) のなす角です。
- 重力による位置エネルギーと仕事の関係: 重力が物体にする仕事 \(W_{\text{重力}}\) は、物体の位置エネルギーの変化 \(\Delta U_g\) を用いて \(W_{\text{重力}} = -\Delta U_g\) と表されます。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (1)では、物体にはたらく力を図示し、斜面に平行な方向の力のつり合いの式を立てて、引く力 \(F\) の大きさを求めます。
- (2), (3), (4)では、それぞれの力がする仕事を、仕事の定義式 \(W = (\text{力}) \times (\text{距離}) \times \cos\alpha\) に従って計算します。(3)については、位置エネルギーを用いた別のアプローチも考えられます。
問(1)
思考の道筋とポイント
物体を「静かに」引き上げるという記述がポイントです。これは、物体が加速しないで、つり合いの状態を保ったままゆっくりと動くことを意味します。したがって、物体にはたらく力は、斜面に平行な方向と垂直な方向でそれぞれつり合っていると考えられます。まずは物体にはたらく力をすべて図示し、斜面に平行な方向の力のつり合いの式を立てます。
この設問における重要なポイント
- 「静かに」動かす \(\rightarrow\) 力のつり合いが成り立っている。
- 力を斜面に平行な成分と垂直な成分に分解して考える。
- 物体にはたらく力は、引く力 \(F\)、重力 \(mg\)、垂直抗力 \(N\) の3つである。
具体的な解説と立式
物体にはたらく力は、斜面に沿って上向きの引く力 \(F\)、鉛直下向きの重力 \(mg\)、斜面から受ける垂直抗力 \(N\) の3つです。
これらの力のうち、重力 \(mg\) を斜面に平行な成分と垂直な成分に分解します。
- 斜面に平行な成分: \(mg \sin\theta\) （斜面下向き）
- 斜面に垂直な成分: \(mg \cos\theta\) （斜面に垂直で下向き）
物体は斜面に沿って静かに引き上げられるので、斜面に平行な方向の力はつり合っています。したがって、斜面上向きの力と下向きの力が等しくなります。
$$ F = mg \sin\theta \quad \cdots ① $$
これが求める力の大きさです。
（参考：斜面に垂直な方向の力のつり合いは \(N = mg \cos\theta\) となりますが、この設問では不要です。）
- 力のつり合いの式
この設問では、立式した式①がそのまま答えとなります。特に計算は必要ありません。
物体をゆっくり引き上げるためには、物体が斜面を滑り落ちようとする力と、ちょうど同じ大きさの力で引っ張る必要があります。物体が滑り落ちようとする力は、重力 \(mg\) のうち、斜面に平行な成分である \(mg \sin\theta\) です。したがって、引く力 \(F\) の大きさは \(mg \sin\theta\) となります。
引く力 \(F\) の大きさは \(mg \sin\theta\) です。これは、斜面の傾き \(\theta\) が大きくなるほど、また物体の質量 \(m\) が大きくなるほど、必要な力が大きくなることを示しており、直感とも一致する妥当な結果です。
問(2)
思考の道筋とポイント
力 \(F\) が物体にする仕事 \(W\) を求めます。仕事の定義は「（力の大きさ）\(\times\)（力の向きに動いた距離）」です。この問題では、力 \(F\) の向きと物体が動いた向き（斜面に沿って上向き）が同じなので、単純に力の大きさと移動距離をかければ仕事が求まります。
この設問における重要なポイント
- 仕事の定義式 \(W = Fx \cos\alpha\) を正しく適用する。
- 力の向きと移動の向きが同じ場合、\(\alpha=0\) なので \(\cos\alpha=1\) となる。
具体的な解説と立式
仕事の定義式は \(W = (\text{力の大きさ}) \times (\text{移動距離}) \times \cos\alpha\) です。
ここで、
- 力の大きさは(1)で求めた \(F = mg \sin\theta\)
- 移動距離は \(L\)
- 力 \(F\) の向きと移動の向きは同じ（斜面に沿って上向き）なので、なす角 \(\alpha\) は \(0^\circ\) です。したがって、\(\cos 0^\circ = 1\) となります。
これらを仕事の定義式に代入すると、
$$
\begin{aligned}
W &= F \cdot L \cdot \cos 0^\circ \\[2.0ex]&= (mg \sin\theta) \cdot L \cdot 1
\end{aligned}
$$
- 仕事の定義: \(W = Fx \cos\alpha\)
立式した式を整理します。
$$ W = mgL \sin\theta $$
これが求める仕事です。
仕事は、加えた力と、その力の向きにどれだけ動かしたかの積で計算されます。今回は、\(F = mg \sin\theta\) という力で、力の向きにそのまま \(L\) だけ動かしたので、仕事 \(W\) はこの2つを掛け合わせた \(mgL \sin\theta\) となります。
力 \(F\) がする仕事は \(W = mgL \sin\theta\) です。単位はジュール\([\text{J}]\)です。すべての物理量が正の値なので、仕事も正の値となり、力が物体の運動を助ける向きにはたらいたことを示しています。
問(3)
思考の道筋とポイント
重力が物体にする仕事 \(W’\) を求めます。ここでも仕事の定義式 \(W = Fx \cos\alpha\) を使います。重力の向きは鉛直下向き、物体の移動の向きは斜面に沿って上向きです。この2つのベクトルのなす角 \(\alpha\) を正確に求めることが鍵となります。
この設問における重要なポイント
- 重力の向き（鉛直下向き）と移動の向き（斜面に沿って上向き）のなす角を正しく把握する。
- なす角 \(\alpha\) は \(90^\circ + \theta\) となる。
具体的な解説と立式
仕事の定義式 \(W’ = (\text{力の大きさ}) \times (\text{移動距離}) \times \cos\alpha\) を用います。
- 力の大きさは重力 \(mg\)
- 移動距離は \(L\)
- 重力の向き（鉛直下向き）と移動の向き（斜面に沿って上向き）のなす角 \(\alpha\) は、図を考えると \(90^\circ + \theta\) となります。
したがって、仕事 \(W’\) は、
$$ W’ = mg \cdot L \cdot \cos(90^\circ + \theta) $$
ここで、三角関数の公式 \(\cos(90^\circ + \theta) = -\sin\theta\) を用います。
$$
\begin{aligned}
W’ &= mgL(-\sin\theta) \\[2.0ex]&= -mgL \sin\theta
\end{aligned}
$$
- 仕事の定義: \(W = Fx \cos\alpha\)
- 三角関数の公式: \(\cos(90^\circ + \theta) = -\sin\theta\)
立式した式がそのまま答えとなります。
$$ W’ = -mgL \sin\theta $$
重力は物体を下に引っ張ろうとしますが、物体は斜め上に動いています。このように、力の向きと動く向きが逆らう方向の場合、その力がする仕事はマイナスになります。計算すると、その値は \(-mgL \sin\theta\) となります。これは、(2)で求めた引く力がした仕事とちょうど符号が逆になっています。
重力がする仕事は \(W’ = -mgL \sin\theta\) です。仕事が負の値になるのは、重力が物体の運動を妨げる向きにはたらいているためで、物理的に妥当な結果です。
思考の道筋とポイント
重力は保存力なので、その仕事は位置エネルギーの変化で計算できます。仕事と位置エネルギーの関係式 \(W_{\text{重力}} = – \Delta U_g = -(U_{\text{後}} – U_{\text{前}})\) を利用します。まず、物体が斜面に沿って \(L\) だけ引き上げられたときの高さの変化を求めます。
この設問における重要なポイント
- 重力がする仕事は、位置エネルギーの変化量のマイナスに等しい (\(W_{\text{重力}} = -\Delta U_g\))。
- 高さの変化 \(\Delta h\) を、移動距離 \(L\) と傾斜角 \(\theta\) を用いて表す。
具体的な解説と立式
物体が斜面に沿って距離 \(L\) だけ移動したとき、高さは \(h = L \sin\theta\) だけ増加します。
最初の位置の高さを \(0\) とすると、引き上げられた後の高さは \(L \sin\theta\) です。
重力による位置エネルギーの基準を最初の位置にとると、
- 移動前の位置エネルギー \(U_{\text{前}} = 0\)
- 移動後の位置エネルギー \(U_{\text{後}} = mgh = mg(L \sin\theta)\)
重力がする仕事 \(W’\) は、位置エネルギーの変化 \(\Delta U_g = U_{\text{後}} – U_{\text{前}}\) を用いて、
$$ W’ = -\Delta U_g = -(U_{\text{後}} – U_{\text{前}}) $$
と表されます。
- 重力による位置エネルギー: \(U_g = mgh\)
- 仕事と位置エネルギーの関係: \(W_{\text{保存力}} = -\Delta U\)
各値を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
W’ &= -(mgL \sin\theta – 0) \\[2.0ex]&= -mgL \sin\theta
\end{aligned}
$$
となり、メインの解法と同じ結果が得られます。
重力がする仕事は、「物体の位置エネルギーがどれだけ増えたか」のマイナスで計算することもできます。物体は高さ \(L \sin\theta\) だけ上に移動したので、位置エネルギーは \(mg \times (L \sin\theta)\) だけ増えました。したがって、重力がした仕事は、この値にマイナスをつけた \(-mgL \sin\theta\) となります。
メインの解法と同じく、\(W’ = -mgL \sin\theta\) という結果が得られました。重力のような保存力がする仕事は、経路によらず始点と終点の位置だけで決まるため、位置エネルギーを用いて計算する方が簡単な場合も多いです。
問(4)
思考の道筋とポイント
斜面からの垂直抗力が物体にする仕事 \(W”\) を求めます。ここでも仕事の定義式 \(W = Fx \cos\alpha\) を使います。垂直抗力の向きと、物体の移動の向きの関係を考えます。
この設問における重要なポイント
- 垂直抗力は、常に運動する面に垂直な向きにはたらく。
- 力の向きと移動の向きが垂直（なす角が \(90^\circ\)）の場合、その力がする仕事は \(0\) になる。
具体的な解説と立式
仕事の定義式 \(W” = (\text{力の大きさ}) \times (\text{移動距離}) \times \cos\alpha\) を用います。
- 力の大きさは垂直抗力 \(N\) （(1)の参考で触れたように \(N=mg\cos\theta\) ですが、大きさは分からなくても計算できます）
- 移動距離は \(L\)
- 垂直抗力 \(N\) の向きは斜面に垂直な上向き、移動の向きは斜面に沿った上向きです。したがって、この2つのベクトルのなす角 \(\alpha\) は \(90^\circ\) です。
これらを式に代入すると、
$$ W” = N \cdot L \cdot \cos 90^\circ $$
\(\cos 90^\circ = 0\) なので、
$$
\begin{aligned}
W” &= N \cdot L \cdot 0 \\[2.0ex]&= 0
\end{aligned}
$$
- 仕事の定義: \(W = Fx \cos\alpha\)
立式した式より、仕事は \(0\) となります。
$$ W” = 0 $$
垂直抗力は、物体が進む方向に対して常に垂直（直角）な向きにはたらいています。力が物体の進行方向に対して全く貢献していない（助けも邪魔もしていない）場合、その力がする仕事はゼロになります。
垂直抗力がする仕事は \(W” = 0\) です。これは、垂直抗力の向きが常に物体の変位の向きと直交しているためです。物理的に妥当な結果です。
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【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座
最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- 力のつり合いと仕事の定義の正確な理解:
- 核心: この問題は、力学の基本である「力のつり合い」と「仕事の定義」を、斜面という典型的な設定で正しく適用できるかを問うています。「静かに」という言葉から力のつり合いを見抜くこと、そして各力がする仕事を計算する際に、力と変位の「向き」を正確に考慮できることが最も重要です。
- 理解のポイント: 特に仕事の計算では、\(W = Fx \cos\alpha\) の \(\alpha\) が「力と変位のなす角」であることを徹底して意識することが大切です。重力のように、力の向きと移動方向が斜めになる場合に、この角度を正しく設定できるかが得点を分けます。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- 摩擦がある場合: もし斜面が「なめらか」でなく、動摩擦係数 \(\mu’\) が与えられていたら、物体にはたらく力に動摩擦力 \(\mu’N\) が加わります。引き上げるときは斜面下向きに、下ろすときは斜面上向きにはたらくので、力のつり合いの式が変わってきます。
- 加速度運動する場合: 「静かに」ではなく、「加速度 \(a\) で」引き上げる場合、力のつり合いではなく運動方程式 \(ma = F – mg\sin\theta\) を立てることになります。
- 仕事とエネルギーの関係を問う問題: 「物体が得た運動エネルギーはいくらか」「全体のエネルギー収支はどうなっているか」といった問いに発展することがあります。その際は、「（外力がした仕事の総和）\( = \)(運動エネルギーの変化)」というエネルギー原理を適用します。
- 初見の問題での着眼点:
- 運動の状態を確認: まず「静かに」「等速で」動くのか、「加速度運動」するのかを問題文から読み取ります。これで「力のつり合い」か「運動方程式」か、方針が決まります。
- 物体にはたらく力をすべて図示: 重力、垂直抗力、張力、摩擦力など、考えられる力を漏れなく書き出します。
- 座標軸の設定: 斜面の問題では、斜面に平行・垂直な方向を軸に取ると、力を分解するのが重力だけで済むため、計算が楽になります。
- 仕事の計算での角度の確認: 仕事を求めるときは、必ず「どの力」がする仕事かを明確にし、その力のベクトルと変位のベクトルの図を描いて、なす角 \(\alpha\) を慎重に確認します。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 重力の成分分解のミス:
- 誤解: \(mg\sin\theta\) と \(mg\cos\theta\) を取り違える。
- 対策: 傾斜角 \(\theta\) を極端に小さく（ほぼ水平）した場合を想像します。このとき、斜面に平行な成分はほぼ \(0\) に、垂直な成分はほぼ \(mg\) になるはずです。\(\theta \rightarrow 0\) のとき \(\sin\theta \rightarrow 0\), \(\cos\theta \rightarrow 1\) なので、平行成分が \(\sin\theta\)、垂直成分が \(\cos\theta\) であると確認できます。
- 仕事の計算における角度 \(\alpha\) の誤解:
- 誤解: 重力がする仕事を計算する際に、角度を \(\theta\) や \(90^\circ-\theta\) と間違えてしまう。
- 対策: 必ず力のベクトルと変位のベクトルを同じ始点から描き、その間の角度を直接見る癖をつけましょう。この問題では、鉛直下向きの矢印と斜め上の矢印の間の角度なので、\(90^\circ+\theta\) となります。
- 仕事の正負の混同:
- 誤解: 重力がした仕事を正の値にしてしまう。
- 対策: 力が物体の運動を「助ける」向き（変位と同じ方向の成分を持つ）なら仕事は正、運動を「妨げる」向き（変位と逆方向の成分を持つ）なら仕事は負、と物理的な意味で覚えましょう。物体を引き上げるとき、重力は明らかに運動を妨げているので、仕事は負になるはずです。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- 力のつり合い (\(\sum \vec{F} = 0\)):
- 選定理由: 問題文に「静かに」とあるため、物体の速度は一定（この場合はほぼ \(0\)）と見なせます。速度が一定ということは加速度が \(0\) なので、運動方程式 \(m\vec{a} = \sum \vec{F}\) において \(\vec{a}=0\) となり、力の合力が \(0\) である「力のつり合い」の式を適用するのが最も直接的です。
- 適用根拠: これはニュートンの運動法則の特別な場合に相当し、静止または等速直線運動している物体に適用される普遍的な法則です。
- 仕事の定義式 (\(W = Fx \cos\alpha\)):
- 選定理由: 問題が「仕事 \(W\) を求めよ」と直接的に問うているため、仕事の定義式を用いるのが最も基本的な解法です。
- 適用根拠: この式は、力が物体の位置を変化させる効果を定量的に評価するための物理的な定義そのものです。力の「どの成分」が「どれだけの距離」にわたって作用したかを表しており、エネルギー変化を考える上での基礎となります。
- 仕事と位置エネルギーの関係 (\(W_{\text{保存力}} = -\Delta U\)):
- 選定理由: (3)で問われている「重力がする仕事」は、保存力である重力に関する計算なので、この関係式が使えます。特に、力の向きと変位の向きが複雑な角度をなす場合、高さの変化というスカラー量だけで計算できるため、計算ミスを減らせる利点があります。
- 適用根拠: この関係式は、保存力の定義から導かれるものです。保存力がする仕事は経路によらないという性質を持つため、始点と終点の位置エネルギーの差だけで仕事が決まる、ということを数式で表現したものです。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 単位を意識する: 力は\([\text{N}]\), 距離は\([\text{m}]\), 仕事は\([\text{J}]\)です。例えば、\(mgL\sin\theta\) の単位を考えると、\(\text{kg} \cdot \text{m}/\text{s}^2 \cdot \text{m} = \text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}^2 = \text{J}\) となり、仕事の単位と一致することを確認できます。
- 図を丁寧に描く: 力の分解や、仕事の角度を考える際は、フリーハンドでも良いので、大きく分かりやすい図を描くことが重要です。特に角度の関係は、図がないと頭の中だけで処理するのは困難です。
- 三角関数の公式の確認: \(\cos(90^\circ+\theta) = -\sin\theta\) のような公式に自信がない場合は、加法定理 \(\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta – \sin\alpha\sin\beta\) から導出する（\(\cos(90^\circ)\cos\theta – \sin(90^\circ)\sin\theta = 0 \cdot \cos\theta – 1 \cdot \sin\theta = -\sin\theta\)）か、単位円を描いて確認する癖をつけると、うろ覚えによるミスを防げます。
- 複数のアプローチで検算: (3)のように、仕事の定義から計算する方法と、位置エネルギーから計算する方法の2通りで解ける問題は、両方で計算してみて答えが一致するか確かめるのが最も強力な検算方法です。
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