プロセス
1 光の屈折
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「光の屈折」です。異なる媒質へ光が進む際の進路の曲がり方と、波長の変化を扱います。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 屈折の法則（相対屈折率）: 媒質1から媒質2へ光が入射するとき、入射角 \(\theta_1\) と屈折角 \(\theta_2\) の間には \(\displaystyle\frac{\sin \theta_1}{\sin \theta_2} = n_{12}\) が成り立ちます。
- 相対屈折率と絶対屈折率の関係: 媒質1に対する媒質2の相対屈折率 \(n_{12}\) は、それぞれの絶対屈折率 \(n_1, n_2\) を用いて \(n_{12} = \displaystyle\frac{n_2}{n_1}\) と表されます。
- 波長と屈折率の関係: 光の波長も屈折率に応じて変化し、\(\displaystyle\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = n_{12}\) が成り立ちます。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- まず、与えられた絶対屈折率から、空気に対するガラスの相対屈折率 \(n_{12}\) を求めます。
- 次に、屈折の法則を用いて、入射角と屈折角の関係式を立て、屈折角 \(\theta_2\) を求めます。
- 最後に、波長の比の関係式を用いて、ガラス中の波長 \(\lambda_2\) を求めます。
屈折角およびガラス中での光の波長
思考の道筋とポイント
まず、問題文の情報を整理します。
- 媒質1（空気）: 絶対屈折率 \(n_1 = 1\), 入射角 \(\theta_1 = 45^\circ\), 波長 \(\lambda_1 = 6.0 \times 10^{-7} \, \text{m}\)
- 媒質2（ガラス）: 絶対屈折率 \(n_2 = \sqrt{2}\)
- 求めるもの: 屈折角 \(\theta_2\), ガラス中の波長 \(\lambda_2\)
模範解答の方針に従い、まずは「相対屈折率 \(n_{12}\)」を計算します。これは「空気に対してガラスがどれくらい光を曲げやすいか」を示す指標です。
その後、屈折の法則の公式 \(\displaystyle\frac{\sin \theta_1}{\sin \theta_2} = n_{12}\) と \(\displaystyle\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = n_{12}\) に当てはめて計算します。
この設問における重要なポイント
- 相対屈折率の定義: \(n_{12}\) は「1に対する2の屈折率」であり、絶対屈折率の比では \(\displaystyle\frac{n_2}{n_1}\) （2が上、1が下）となります。
- 屈折の法則の公式: 角度や波長の比は \(\displaystyle\frac{\sin \theta_1}{\sin \theta_2} = \displaystyle\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = n_{12}\) （1が上、2が下）となります。この上下関係（添字の1と2の位置）を混同しないように注意が必要です。
- 有効数字: 与えられた波長が \(6.0 \times 10^{-7} \, \text{m}\) （2桁）なので、最終的な答えも有効数字2桁で記述します。
具体的な解説と立式
1. 相対屈折率 \(n_{12}\) の導出
まず、空気（媒質1）に対するガラス（媒質2）の相対屈折率 \(n_{12}\) を求めます。
$$ n_{12} = \frac{n_2}{n_1} $$
数値を代入します。
$$ n_{12} = \frac{\sqrt{2}}{1} = \sqrt{2} $$
2. 屈折角 \(\theta_2\) の導出
屈折の法則 \(\displaystyle\frac{\sin \theta_1}{\sin \theta_2} = n_{12}\) を用いて立式します。
$$ \frac{\sin 45^\circ}{\sin \theta_2} = \sqrt{2} $$
3. ガラス中の波長 \(\lambda_2\) の導出
波長の関係式 \(\displaystyle\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = n_{12}\) を用いて立式します。
$$ \frac{6.0 \times 10^{-7}}{\lambda_2} = \sqrt{2} $$
使用した物理公式
- 相対屈折率の定義:
$$ n_{12} = \frac{n_2}{n_1} $$ - 屈折の法則:
$$ \frac{\sin \theta_1}{\sin \theta_2} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2} = n_{12} $$
1. 屈折角 \(\theta_2\) の計算
先ほど立てた式を \(\sin \theta_2\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\frac{\sin 45^\circ}{\sin \theta_2} &= \sqrt{2} \\[2.0ex]
\sin \theta_2 &= \frac{\sin 45^\circ}{\sqrt{2}} \\[2.0ex]
&= \frac{1/\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\[2.0ex]
&= \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} \\[2.0ex]
&= \frac{1}{2}
\end{aligned}
$$
\(0^\circ < \theta_2 < 90^\circ\) の範囲で \(\sin \theta_2 = 0.5\) となる角度は、
$$ \theta_2 = 30^\circ $$
2. ガラス中の波長 \(\lambda_2\) の計算
先ほど立てた式を \(\lambda_2\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\frac{6.0 \times 10^{-7}}{\lambda_2} &= \sqrt{2} \\[2.0ex]
\lambda_2 &= \frac{6.0 \times 10^{-7}}{\sqrt{2}} \\[2.0ex]
&= \frac{6.0}{\sqrt{2}} \times 10^{-7}
\end{aligned}
$$
分母を有理化して計算を進めます。
$$
\begin{aligned}
\lambda_2 &= \frac{6.0 \times \sqrt{2}}{2} \times 10^{-7} \\[2.0ex]
&= 3.0 \sqrt{2} \times 10^{-7}
\end{aligned}
$$
ここで、\(\sqrt{2} \approx 1.41\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
\lambda_2 &\approx 3.0 \times 1.41 \times 10^{-7} \\[2.0ex]
&= 4.23 \times 10^{-7}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えるため、3桁目を四捨五入します。
$$ \lambda_2 = 4.2 \times 10^{-7} \, \text{m} $$
光が空気からガラスに入ると、進みにくくなるためスピードが落ちます。
スピードが落ちると、光の波の列が詰まるため、波長は短くなります。計算結果も \(6.0 \to 4.2\) と短くなっているので、感覚とも合っていますね。
また、進みにくい場所に入るとき、光は「近道」をしようとして、境界面の法線（垂直な線）に近づくように折れ曲がります。そのため、入射角 \(45^\circ\) よりも小さい \(30^\circ\) という屈折角になります。
思考の道筋とポイント
屈折の法則には、分数の形（相対屈折率）だけでなく、積の形 \(n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2\) もあります。
この解法では、相対屈折率 \(n_{12}\) を経由せず、各媒質の「絶対屈折率」と「角度（または波長）」を直接結びつけます。
「媒質1での物理量の積」と「媒質2での物理量の積」が等しいという形で立式するため、分母と分子を逆にするミスを防ぎやすいのが特徴です。
この設問における重要なポイント
- 積の形の屈折の法則: \(n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2\) の形を使います。「(その場所の屈折率) \(\times\) (その場所の角度のサイン) = 一定」と覚えると間違いがありません。
- 波長の保存則: \(n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2\) の形を使います。これも「(その場所の屈折率) \(\times\) (その場所の波長) = 一定」という形です。
- 対称性: 式の左辺と右辺が同じ形をしているため、媒質の順番（1から2へ、あるいは2から1へ）を気にする必要がありません。
具体的な解説と立式
1. 屈折角 \(\theta_2\) の導出
空気側（媒質1）とガラス側（媒質2）で、屈折率と正弦の積が等しいと置きます。
$$ n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2 $$
数値を代入して立式します。
$$ 1 \cdot \sin 45^\circ = \sqrt{2} \cdot \sin \theta_2 $$
2. ガラス中の波長 \(\lambda_2\) の導出
同様に、屈折率と波長の積が等しいと置きます。
$$ n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2 $$
数値を代入して立式します。
$$ 1 \cdot (6.0 \times 10^{-7}) = \sqrt{2} \cdot \lambda_2 $$
使用した物理公式
- 屈折の法則（絶対屈折率表示）:
$$ n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2 $$ - 屈折率と波長の関係:
$$ n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2 $$
1. 屈折角 \(\theta_2\) の計算
先ほど立てた式を \(\sin \theta_2\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
1 \cdot \sin 45^\circ &= \sqrt{2} \cdot \sin \theta_2 \\[2.0ex]
\frac{1}{\sqrt{2}} &= \sqrt{2} \sin \theta_2 \\[2.0ex]
\sin \theta_2 &= \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} \\[2.0ex]
\sin \theta_2 &= \frac{1}{2}
\end{aligned}
$$
\(0^\circ < \theta_2 < 90^\circ\) の範囲で \(\sin \theta_2 = 0.5\) となる角度は、
$$ \theta_2 = 30^\circ $$
2. ガラス中の波長 \(\lambda_2\) の計算
先ほど立てた式を \(\lambda_2\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
1 \cdot (6.0 \times 10^{-7}) &= \sqrt{2} \cdot \lambda_2 \\[2.0ex]
\lambda_2 &= \frac{6.0 \times 10^{-7}}{\sqrt{2}} \\[2.0ex]
&= \frac{6.0}{\sqrt{2}} \times 10^{-7}
\end{aligned}
$$
これ以降の計算はメインの解法と同じになります。
$$
\begin{aligned}
\lambda_2 &= 3.0 \sqrt{2} \times 10^{-7} \\[2.0ex]
&\approx 4.23 \times 10^{-7}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えます。
$$ \lambda_2 = 4.2 \times 10^{-7} \, \text{m} $$
この解法では、「媒質が変わっても保存される量（\(n \times \sin\theta\) や \(n \times \lambda\)）」に着目しています。
分数の式変形が苦手な場合や、媒質が3つ以上重なっている場合（空気→油→水など）には、この「積の形」の方が式を立てやすく、計算ミスも減らせるのでおすすめです。
どちらの解法を使っても、物理的な意味と結果は全く同じになります。
2 相対屈折率
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「相対屈折率の定義と計算」です。2つの媒質の絶対屈折率から、一方に対する他方の相対屈折率を求めます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 相対屈折率の定義: 媒質1に対する媒質2の相対屈折率 \(n_{12}\) は、それぞれの絶対屈折率 \(n_1, n_2\) を用いて \(n_{12} = \displaystyle\frac{n_2}{n_1}\) と定義されます。
- 言葉の定義: 「Aに対するBの相対屈折率」と言われた場合、Aが基準（分母）、Bが対象（分子）となります。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- 問題文から、基準となる媒質（水）と対象となる媒質（ガラス）を特定します。
- それぞれの絶対屈折率の値を整理します。
- 相対屈折率の定義式に代入し、繁分数（分数の分数）を計算して答えを求めます。
水に対するガラスの相対屈折率
思考の道筋とポイント
まず、与えられた数値を整理します。
- 媒質1（水）の絶対屈折率: \(n_{\text{水}} = \displaystyle\frac{4}{3}\)
- 媒質2（ガラス）の絶対屈折率: \(n_{\text{ガラス}} = \displaystyle\frac{3}{2}\)
求めるものは「水に対するガラスの相対屈折率」です。
日本語の表現において、「〜に対する」という部分が基準（分母）になります。つまり、「水を基準としたときのガラスの屈折率」を求めます。
この設問における重要なポイント
- 公式の適用: 相対屈折率 \(n_{AB}\) （Aに対するBの屈折率）は、\(\displaystyle\frac{n_B}{n_A}\) です。添字の順序と分数の上下関係（後ろのBが上、前のAが下）を正確に把握することが最重要です。「相手（A）が下」と覚えるとミスが減ります。
- 繁分数の計算: 分数の中に分数が含まれる計算になるため、逆数をかける形に直して丁寧に計算します。
具体的な解説と立式
求める相対屈折率を \(n_{\text{水}\to\text{ガラス}}\) とします。
定義より、これはガラスの絶対屈折率を水の絶対屈折率で割ったものになります。
$$ n_{\text{水}\to\text{ガラス}} = \frac{n_{\text{ガラス}}}{n_{\text{水}}} $$
問題文で与えられた値を代入します。
$$ n_{\text{水}\to\text{ガラス}} = \frac{3/2}{4/3} $$
使用した物理公式
- 相対屈折率の定義:
$$ n_{12} = \frac{n_2}{n_1} $$
式を計算します。分数の割り算は、割る数の逆数をかけることと同じです。
$$
\begin{aligned}
n_{\text{水}\to\text{ガラス}} &= \frac{3/2}{4/3} \\[2.0ex]
&= \frac{3}{2} \div \frac{4}{3} \\[2.0ex]
&= \frac{3}{2} \times \frac{3}{4} \\[2.0ex]
&= \frac{3 \times 3}{2 \times 4} \\[2.0ex]
&= \frac{9}{8}
\end{aligned}
$$
「絶対屈折率」というのは、実は「真空に対する」屈折率のことです。
この問題では、基準を「真空」から「水」に変えています。
基準が変わるということは、新しい基準の値で割り算をして「比」を取り直すということです。
例えば、1ドル＝150円、1ユーロ＝160円のとき、「ドルに対するユーロの価値」を知りたければ、\(160 \div 150\) を計算しますよね。それと同じで、\((\text{ガラスの屈折率}) \div (\text{水の屈折率})\) を計算すればよいのです。
思考の道筋とポイント
もし相対屈折率の定義式 \(n_{12} = n_2/n_1\) を忘れてしまった場合や、どっちが分母か不安になった場合は、より基本的な「屈折の法則」から導くことができます。
屈折の法則の「積の形」\(n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2\) は非常に覚えやすく、ここから相対屈折率の意味を再構築できます。
この設問における重要なポイント
- 相対屈折率の物理的意味: 相対屈折率 \(n_{12}\) は、屈折の法則において \(\displaystyle\frac{\sin \theta_1}{\sin \theta_2}\) と等しい量として定義されます。
- 式の変形: 積の法則 \(n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2\) を変形して、\(\displaystyle\frac{\sin \theta_1}{\sin \theta_2}\) の形を作れば、自然と右辺に絶対屈折率の比が現れます。
具体的な解説と立式
水（媒質1）からガラス（媒質2）へ光が進むときの屈折の法則を、積の形で書きます。
$$ n_{\text{水}} \sin \theta_{\text{水}} = n_{\text{ガラス}} \sin \theta_{\text{ガラス}} $$
ここで、相対屈折率 \(n_{\text{水}\to\text{ガラス}}\) は、定義により \(\displaystyle\frac{\sin \theta_{\text{水}}}{\sin \theta_{\text{ガラス}}}\) と等しいです。
上記の式を変形して、この形を作ります。
$$ \frac{\sin \theta_{\text{水}}}{\sin \theta_{\text{ガラス}}} = \frac{n_{\text{ガラス}}}{n_{\text{水}}} $$
右辺が求める相対屈折率の計算式そのものです。
$$ n_{\text{水}\to\text{ガラス}} = \frac{n_{\text{ガラス}}}{n_{\text{水}}} $$
これに数値を代入します。
$$ n_{\text{水}\to\text{ガラス}} = \frac{3/2}{4/3} $$
使用した物理公式
- 屈折の法則（積の形）:
$$ n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2 $$
計算はメインの解法と同様です。
$$
\begin{aligned}
n_{\text{水}\to\text{ガラス}} &= \frac{3}{2} \times \frac{3}{4} \\[2.0ex]
&= \frac{9}{8}
\end{aligned}
$$
公式を丸暗記しようとすると、「どっちが分母だっけ？」と迷うことがあります。
そんなときは、「\(n \times \sin\theta\) は一定」という屈折の法則の基本形を思い出してください。
この式を変形するだけで、自然と「逆の比（\(n_2/n_1\)）」の形が出てきます。物理の公式は繋がっているので、基本から辿れるようにしておくと強いです。
3 凸レンズによる結像
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「凸レンズによる結像」です。レンズの公式を用いて、物体と像の位置関係を計算します。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- レンズの公式: 物体までの距離 \(a\)、像までの距離 \(b\)、焦点距離 \(f\) の間には、\(\displaystyle\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}\) が成り立ちます。
- 符号の約束:
- 凸レンズの場合、焦点距離 \(f\) は正の値をとります。
- レンズの後方（光が進む側）に実像ができる場合、\(b\) は正の値になります。
- レンズの前方（物体と同じ側）に虚像ができる場合、\(b\) は負の値になります。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- 問題文から、物体までの距離 \(a\) と焦点距離 \(f\) の値を読み取ります。
- レンズの公式に値を代入し、像までの距離 \(b\) を求めます。
- 得られた \(b\) の符号から、像ができる位置（前方か後方か）を判断します。
像の位置
思考の道筋とポイント
まず、与えられた数値を整理します。
- 焦点距離: \(f = 15 \, \text{cm}\) （凸レンズなので正）
- 物体までの距離: \(a = 30 \, \text{cm}\) （レンズの前方）
- 求めるもの: 像の位置（距離 \(b\) と方向）
レンズの公式 \(\displaystyle\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}\) を用いて \(b\) を計算します。
計算結果の \(b\) が正なら「レンズの後方（実像）」、負なら「レンズの前方（虚像）」に像ができます。
この設問における重要なポイント
- 公式への代入: \(a, b, f\) の単位を揃えて代入します（今回は全て cm なのでそのままでOK）。
- 結果の解釈: 計算で求めた \(b\) の値だけでなく、その符号が持つ物理的な意味（位置関係）を正しく言葉で表現することが重要です。
具体的な解説と立式
レンズの公式を用います。
$$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f} $$
問題文の数値を代入します。
$$ \frac{1}{30} + \frac{1}{b} = \frac{1}{15} $$
使用した物理公式
- レンズの公式:
$$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f} $$
式を \(b\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{b} &= \frac{1}{15} – \frac{1}{30} \\[2.0ex]
&= \frac{2}{30} – \frac{1}{30} \\[2.0ex]
&= \frac{1}{30}
\end{aligned}
$$
よって、
$$ b = 30 \, \text{cm} $$
\(b\) の値が正であるため、像はレンズの後方にできます。
レンズの公式を使って計算すると、\(b = 30\) という結果が出ました。
この「プラス」という符号は、レンズを通り抜けた向こう側（後方）に光が集まって像ができることを意味しています。これを「実像」と呼びます。
もし計算結果がマイナスだったら、物体と同じ側に「虚像」ができていることになります。今回はプラスなので、レンズの後方 \(30 \, \text{cm}\) の位置にスクリーンを置けば、くっきりとした像が映ります。
思考の道筋とポイント
レンズの公式を機械的に解くだけでなく、物体が置かれた位置の特殊性（焦点距離との関係）に着目することで、計算を簡略化し、物理的な直感を養うことができます。
特に、物体が焦点距離の2倍の位置（\(2f\)）にあるケースは、凸レンズの結像において最も基本的かつ重要なパターンです。
この設問における重要なポイント
- 位置関係の把握: 物体の位置 \(a=30 \, \text{cm}\) が、焦点距離 \(f=15 \, \text{cm}\) のちょうど2倍（\(2f\)）であることに気づくことが出発点です。
- \(2f\) の法則: 凸レンズにおいて、物体を \(2f\) の位置に置くと、像は必ず反対側の \(2f\) の位置にでき、その大きさは物体と同じ（倍率 \(m=1\)）になります。
具体的な解説と立式
まず、物体の位置 \(a\) と焦点距離 \(f\) の関係を確認します。
$$ a = 30 \, \text{cm}, \quad f = 15 \, \text{cm} $$
これより、物体は \(2f\) の位置にあることがわかります。
$$ a = 2f $$
凸レンズの結像特性（対称性）により、物体が \(2f\) の位置にあるとき、像の位置 \(b\) もまた \(2f\) となります。
$$ b = 2f $$
また、像はレンズの後方（実像）に形成されます。
使用した物理公式
- 凸レンズの結像特性（\(2f\) の位置）:
$$ a = 2f \rightarrow b = 2f $$
関係式に値を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
b &= 2 \times 15 \\[2.0ex]
&= 30 \, \text{cm}
\end{aligned}
$$
像の位置はレンズの後方です。
レンズの実験で一番きれいな結果が出るのが、この「\(2f\) の位置」です。
焦点距離の2倍の距離に物を置くと、反対側の同じ距離（焦点距離の2倍）に、全く同じ大きさの像ができます。
この「\(2f\) \(\leftrightarrow\) \(2f\)」の関係は、テストでよく出る特別なパターンなので、覚えておくと検算にも役立ちますし、瞬時に答えを出すこともできます。
4 凹レンズによる結像
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「凹レンズによる結像」です。凹レンズの性質とレンズの公式を用いて、像の位置と大きさを計算します。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- レンズの公式: 物体までの距離 \(a\)、像までの距離 \(b\)、焦点距離 \(f\) の間には、\(\displaystyle\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}\) が成り立ちます。
- 凹レンズの符号の約束:
- 凹レンズの場合、焦点距離 \(f\) は負の値として扱います（\(f < 0\)）。
- 凹レンズでは常に虚像ができるため、像の位置 \(b\) も計算結果は負になります。
- 倍率の公式: 倍率 \(m\) は、\(m = \left| \displaystyle\frac{b}{a} \right|\) で求められます。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- 問題文から、物体までの距離 \(a\) と焦点距離 \(f\) の値を読み取ります。このとき、凹レンズであるため \(f\) にマイナスの符号をつけることに注意します。
- レンズの公式に値を代入し、像までの距離 \(b\) を求めます。
- 倍率の公式を用いて倍率 \(m\) を計算し、物体の大きさに掛けて像の大きさを求めます。
虚像の位置と大きさ
思考の道筋とポイント
まず、与えられた数値を整理します。
- 焦点距離: \(60 \, \text{cm}\) ですが、凹レンズなので公式には \(f = -60\) を代入します。
- 物体までの距離: \(a = 30 \, \text{cm}\)
- 物体の大きさ: \(3.0 \, \text{cm}\)
- 求めるもの: 像の位置（距離 \(b\) と方向）、像の大きさ
レンズの公式 \(\displaystyle\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}\) を用いて \(b\) を計算します。
次に、倍率 \(m = \left| \displaystyle\frac{b}{a} \right|\) を計算し、像の大きさを求めます。
この設問における重要なポイント
- 符号の扱い: 凹レンズの焦点距離は必ず負として扱います。これを忘れると全く異なる結果（凸レンズの計算）になってしまいます。
- 虚像の意味: 計算結果の \(b\) が負になることは、像が物体と同じ側（レンズの前方）にできる「虚像」であることを意味します。
- 倍率の計算: 倍率は距離の比の絶対値です。
具体的な解説と立式
1. 像の位置の計算
レンズの公式を用います。凹レンズなので焦点距離を \(-60\) とします。
$$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f} $$
数値を代入します。
$$ \frac{1}{30} + \frac{1}{b} = -\frac{1}{60} $$
2. 像の大きさの計算
倍率 \(m\) の公式を用います。
$$ m = \left| \frac{b}{a} \right| $$
像の大きさ \(H’\) は、物体の大きさ \(H\) に倍率を掛けたものです。
$$ H’ = m \times H $$
使用した物理公式
- レンズの公式（凹レンズ）:
$$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = -\frac{1}{|f|} $$ - 倍率の公式:
$$ m = \left| \frac{b}{a} \right| $$
1. 像の位置 \(b\) の計算
先ほど立てた式を \(b\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{b} &= -\frac{1}{60} – \frac{1}{30} \\[2.0ex]
&= -\frac{1}{60} – \frac{2}{60} \\[2.0ex]
&= -\frac{3}{60} \\[2.0ex]
&= -\frac{1}{20}
\end{aligned}
$$
よって、
$$ b = -20 \, \text{cm} $$
負の値なので、像はレンズの前方 \(20 \, \text{cm}\) の位置にできます。
2. 像の大きさの計算
まず倍率 \(m\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
m &= \left| \frac{-20}{30} \right| \\[2.0ex]
&= \frac{2}{3}
\end{aligned}
$$
これに物体の大きさ \(3.0 \, \text{cm}\) を掛けます。
$$
\begin{aligned}
\text{像の大きさ} &= 3.0 \times \frac{2}{3} \\[2.0ex]
&= 2.0 \, \text{cm}
\end{aligned}
$$
凹レンズは、光を広げるレンズです。そのため、光が集まってできる「実像」を作ることはできず、常に物体と同じ側に「虚像」を作ります。
計算で \(f\) にマイナスをつけるのは、「光を広げる（焦点を結ばない）」という性質を表すためです。
結果として \(b\) もマイナスになり、これは「レンズの向こう側には像ができない（手前に見える）」ことを意味します。また、凹レンズを通して見ると物は必ず小さく見えますが、計算結果も \(3.0 \to 2.0\) と小さくなっており、整合しています。
思考の道筋とポイント
レンズの結像問題には、一般的なレンズの公式（ガウスの公式）の他に、「ニュートンの公式」と呼ばれる別の形式の公式があります。
これは、焦点からの距離を基準にして物体と像の位置関係を表すものです。
計算がシンプルになる場合があり、検算用としても有用です。
この設問における重要なポイント
- 変数の定義: ニュートンの公式 \(xx’ = f^2\) において、\(x\) は「物体から前側焦点までの距離」、\(x’\) は「像から後側焦点までの距離」です。
- 凹レンズへの適用: 凹レンズの場合、焦点の位置が凸レンズと逆転する（前側焦点がレンズの後方、後側焦点がレンズの前方にある）ため、距離 \(x, x’\) の取り方に注意が必要です。
- 倍率の計算: ニュートンの公式を用いた場合、倍率 \(m\) は \(m = \left| \displaystyle\frac{f}{x} \right| = \left| \displaystyle\frac{x’}{f} \right|\) で表されます。
具体的な解説と立式
1. 像の位置の計算
凹レンズの場合、物体側の焦点（前側焦点 \(F\)）はレンズの後方 \(60 \, \text{cm}\) にあります。
物体はレンズの前方 \(30 \, \text{cm}\) にあるので、物体から前側焦点までの距離 \(x\) は、
$$ x = 30 + 60 = 90 \, \text{cm} $$
ニュートンの公式 \(xx’ = f^2\) （ここでは \(f\) は焦点距離の大きさ）を用います。
$$ 90 \cdot x’ = 60^2 $$
ここで求まる \(x’\) は、像から後側焦点（レンズの前方 \(60 \, \text{cm}\)）までの距離です。
2. 像の大きさの計算
倍率 \(m\) は以下の式で求められます。
$$ m = \frac{f}{x} $$
これを用いて像の大きさを求めます。
$$ H’ = m \times H $$
使用した物理公式
- ニュートンの公式:
$$ xx’ = f^2 $$ - 倍率（ニュートンの公式版）:
$$ m = \frac{f}{x} $$
1. 像の位置の計算
まず \(x’\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
90 \cdot x’ &= 3600 \\[2.0ex]
x’ &= \frac{3600}{90} \\[2.0ex]
&= 40 \, \text{cm}
\end{aligned}
$$
像は、後側焦点（レンズの前方 \(60 \, \text{cm}\)）から、さらにレンズ側に \(40 \, \text{cm}\) 寄った位置にできます。
したがって、レンズからの距離 \(|b|\) は、
$$
\begin{aligned}
|b| &= 60 – 40 \\[2.0ex]
&= 20 \, \text{cm}
\end{aligned}
$$
位置はレンズの前方 \(20 \, \text{cm}\) です。
2. 像の大きさの計算
倍率 \(m\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
m &= \frac{60}{90} \\[2.0ex]
&= \frac{2}{3}
\end{aligned}
$$
像の大きさは、
$$
\begin{aligned}
H’ &= 3.0 \times \frac{2}{3} \\[2.0ex]
&= 2.0 \, \text{cm}
\end{aligned}
$$
この「ニュートンの公式」を使う方法は、レンズの中心ではなく「焦点」を基準に距離を測る方法です。
凹レンズの場合、焦点の位置関係が少しややこしいですが、「倍率＝焦点距離÷(物体から焦点までの距離)」という関係式（\(m=f/x\)）は非常に強力です。
今回の場合、\(f=60\)、\(x=30+60=90\) なので、いきなり \(m = 60/90 = 2/3\) と倍率が出せます。
倍率さえ分かれば、像の大きさも位置もすぐに分かるので、慣れるとこちらの方が速いこともあります。
5 凹面鏡による結像
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「凹面鏡による結像」です。凹面鏡の性質と写像公式を用いて、像の位置と大きさを計算します。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 球面鏡の公式: 物体までの距離 \(a\)、像までの距離 \(b\)、焦点距離 \(f\) の間には、レンズの公式と同様に \(\displaystyle\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}\) が成り立ちます。
- 符号の約束:
- 凹面鏡の場合、焦点距離 \(f\) は正の値として扱います（光を集める性質があるため、凸レンズと類似）。
- 鏡の前方（物体と同じ側）に実像ができる場合、\(b\) は正の値になります。
- 鏡の後方（鏡の裏側）に虚像ができる場合、\(b\) は負の値になります。
- 倍率の公式: 倍率 \(m\) は、\(m = \left| \displaystyle\frac{b}{a} \right|\) で求められます。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- 問題文から、物体までの距離 \(a\) と焦点距離 \(f\) の値を読み取ります。凹面鏡なので \(f\) は正の値です。
- 球面鏡の公式に値を代入し、像までの距離 \(b\) を求めます。
- 倍率の公式を用いて倍率 \(m\) を計算し、物体の大きさに掛けて像の大きさを求めます。
像の位置と大きさ
思考の道筋とポイント
まず、与えられた数値を整理します。
- 焦点距離: \(f = 20 \, \text{cm}\) （凹面鏡なので正）
- 物体までの距離: \(a = 60 \, \text{cm}\)
- 物体の大きさ: \(3.0 \, \text{cm}\)
- 求めるもの: 像の位置（距離 \(b\) と方向）、像の大きさ
球面鏡の公式 \(\displaystyle\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}\) を用いて \(b\) を計算します。
次に、倍率 \(m = \left| \displaystyle\frac{b}{a} \right|\) を計算し、像の大きさを求めます。
この設問における重要なポイント
- 凹面鏡と凸レンズの類似性: 凹面鏡は光を集める性質があり、数式上は凸レンズと全く同じ扱いができます。
- 実像の位置: 鏡の場合、光が反射して戻ってくる側にできる像が「実像」です。つまり、物体と同じ側（前方）にできる像が実像となり、\(b > 0\) となります。レンズとは「前方・後方」の意味合いが逆になる点に注意が必要です。
具体的な解説と立式
1. 像の位置の計算
球面鏡の公式を用います。
$$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f} $$
数値を代入します。
$$ \frac{1}{60} + \frac{1}{b} = \frac{1}{20} $$
2. 像の大きさの計算
倍率 \(m\) の公式を用います。
$$ m = \left| \frac{b}{a} \right| $$
像の大きさ \(H’\) は、物体の大きさ \(H\) に倍率を掛けたものです。
$$ H’ = m \times H $$
使用した物理公式
- 球面鏡の公式:
$$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f} $$ - 倍率の公式:
$$ m = \left| \frac{b}{a} \right| $$
1. 像の位置 \(b\) の計算
先ほど立てた式を \(b\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{b} &= \frac{1}{20} – \frac{1}{60} \\[2.0ex]
&= \frac{3}{60} – \frac{1}{60} \\[2.0ex]
&= \frac{2}{60} \\[2.0ex]
&= \frac{1}{30}
\end{aligned}
$$
よって、
$$ b = 30 \, \text{cm} $$
\(b\) の値が正であるため、像は鏡の前方（物体と同じ側）にできます。
2. 像の大きさの計算
まず倍率 \(m\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
m &= \left| \frac{30}{60} \right| \\[2.0ex]
&= 0.50
\end{aligned}
$$
これに物体の大きさ \(3.0 \, \text{cm}\) を掛けます。
$$
\begin{aligned}
\text{像の大きさ} &= 3.0 \times 0.50 \\[2.0ex]
&= 1.5 \, \text{cm}
\end{aligned}
$$
凹面鏡は、スプーンの内側のような形をした鏡です。光を集める性質があり、凸レンズとよく似た働きをします。
計算式も凸レンズと全く同じものが使えます。
今回の計算結果 \(b=30\) はプラスなので、鏡の前（反射側）に実像ができることを意味しています。
また、倍率が \(0.5\) なので、像の大きさは元の半分になります。
思考の道筋とポイント
計算だけでなく、光の進み方を作図することで像の位置と大きさを求めることもできます。
凹面鏡における代表的な光線の進み方を利用します。
1. 光軸に平行な光は、反射した後、焦点を通る。
2. 球心（鏡の曲率中心、焦点距離の2倍の位置）を通る光は、反射した後、来た道をそのまま戻る。
3. 焦点を通って鏡に入射した光は、反射した後、光軸に平行に進む。
この設問における重要なポイント
- 球心の位置: 焦点距離 \(f=20\) なので、球心 \(C\) は鏡から \(2f=40\) の位置にあります。
- 物体の位置: 物体は \(a=60\) の位置にあり、これは球心よりも外側（\(a > 2f\)）です。
- 結像パターン: 物体が球心より外側にあるとき、像は焦点と球心の間（\(f < b < 2f\)）にでき、倒立縮小実像となります。
具体的な解説と立式
物体（高さ \(H\)）の先端から出た光のうち、光軸に平行な光と、焦点を通る光の2本を考えます。
これらの反射光が交わる点が像の位置です。
幾何学的な相似関係を利用すると、以下の関係が成り立ちます。
$$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f} $$
また、倍率についても、
$$ m = \frac{b}{a} $$
が幾何学的に導かれます。
ここでは、物体の位置 \(a=60\) が \(3f\) （焦点距離の3倍）であることに着目します。
$$ a = 3f $$
これを公式に代入すると、
$$ \frac{1}{3f} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f} $$
となり、\(b\) を \(f\) を用いて表すことができます。
使用した物理公式
- 球面鏡の公式:
$$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f} $$
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{b} &= \frac{1}{f} – \frac{1}{3f} \\[2.0ex]
&= \frac{3}{3f} – \frac{1}{3f} \\[2.0ex]
&= \frac{2}{3f}
\end{aligned}
$$
よって、
$$ b = \frac{3}{2}f $$
\(f = 20 \, \text{cm}\) を代入すると、
$$
\begin{aligned}
b &= \frac{3}{2} \times 20 \\[2.0ex]
&= 30 \, \text{cm}
\end{aligned}
$$
倍率は、
$$
\begin{aligned}
m &= \frac{b}{a} = \frac{1.5f}{3f} = 0.5
\end{aligned}
$$
像の大きさは、
$$ 3.0 \times 0.5 = 1.5 \, \text{cm} $$
物体が焦点距離の3倍（\(3f\)）という遠い場所にあるとき、像は焦点距離の1.5倍（\(1.5f\)）の場所にできます。
「遠くにあるものは、近くに小さく映る」というカメラのような原理です。
この「\(3f \to 1.5f\)」という関係も、整数の比できれいに決まるパターンの一つです。
6 ヤングの実験
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「ヤングの実験（光の干渉）」です。2つのスリットから出た光が干渉し、明線や暗線を作る条件を考えます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 光の干渉条件: 2つの光波が強め合う（明線になる）条件は、経路差が波長の整数倍になることです。
$$ \text{経路差} = m\lambda \quad (m = 0, 1, 2, \dots) $$ - 経路差の意味: 2つのスリット \(S_1, S_2\) からスクリーン上の点 \(P\) までの距離の差 \(|S_1P – S_2P|\) が経路差です。
- 次数の意味: 整数 \(m\) は干渉縞の次数を表します。\(m=0\) は中央の明線、\(m=1\) はその隣（1次）の明線に対応します。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- 問題文から、中央の明線（経路差0）の「隣の明線」が何次の明線に相当するかを判断します。
- 干渉条件式を用いて、その次数に対応する経路差を求めます。
経路差 \(|S_1P – S_2P|\)
思考の道筋とポイント
まず、問題文の状況を整理します。
- 経路差が0の点（スクリーン中央）には明線ができている。これは \(m=0\) の明線です。
- 点 \(P\) は、その「隣の明線」の位置です。
- 求めるもの: 点 \(P\) における経路差 \(|S_1P – S_2P|\)
明線ができる条件は「経路差が波長 \(\lambda\) の整数倍」です。
中央（\(m=0\)）の隣ということは、次に条件を満たす最小の整数、つまり \(m=1\) の場合を考えればよいことになります。
この設問における重要なポイント
- 明線の条件: 「山と山」「谷と谷」が重なるときに強め合います。これが起こるのは、波のズレ（経路差）が波長 \(\lambda\) のぴったり整数倍のときです。
- 「隣」の意味: \(m=0\) （経路差0）の隣は、\(m=1\) （経路差 \(1\lambda\)）または \(m=-1\) （経路差 \(-1\lambda\)）です。距離の差（絶対値）を問われているので、大きさは \(\lambda\) になります。
具体的な解説と立式
光の干渉において、明線ができる条件（強め合う条件）は以下の通りです。
$$ |S_1P – S_2P| = m\lambda \quad (m = 0, 1, 2, \dots) $$
ここで、\(m\) は明線の次数を表す整数です。
問題文より、スクリーン中央の明線は経路差が0、つまり \(m=0\) の明線です。
その「隣の明線」は、\(m\) が1つ増えた（または減った）ものなので、\(m=1\) に対応します。
したがって、求める経路差は \(m=1\) を代入して求められます。
$$ |S_1P – S_2P| = 1 \times \lambda $$
使用した物理公式
- ヤングの実験の明線条件:
$$ \text{経路差} = m\lambda \quad (m = 0, 1, 2, \dots) $$
式に \(m=1\) を代入するだけです。
$$ |S_1P – S_2P| = \lambda $$
2つのスリットから出た光は、スクリーンまでの距離が違うため、到着するタイミングがズレます。
このズレ（経路差）が全くない（0）ときは、同時に到着して強め合います（中央の明線）。
そこから少し場所をずらすと、ズレが生じます。ズレがちょうど「波1つ分（\(\lambda\)）」になったとき、再び波の山と山が揃って強め合います。これが「隣の明線」です。
つまり、隣の明線までの経路差は、波長1つ分（\(\lambda\)）ということになります。
思考の道筋とポイント
経路差だけでなく、「位相差」という観点からも同じ結論を導けます。
波の干渉は、位相（波のタイミング）がどれだけズレているかで決まります。
位相差が \(2\pi\) （360度）の整数倍であれば、波形は重なり合って強め合います。
このアプローチは、波の性質をより根本的に理解するのに役立ちます。
この設問における重要なポイント
- 位相差と経路差の関係: 経路差 \(x\) と位相差 \(\delta\) の間には、\(\delta = 2\pi \frac{x}{\lambda}\) の関係があります。これは「経路差が波長 \(\lambda\) の何倍か」を「角度 \(2\pi\) の何倍か」に変換する式です。
- 強め合う位相差: 位相差が \(0, 2\pi, 4\pi, \dots\) のときに明線になります。\(0\) の次は \(2\pi\) です。
具体的な解説と立式
中央の明線では、2つの波の位相は完全に揃っており、位相差は0です。
隣の明線になるためには、位相が一周回って再び揃う必要があります。つまり、位相差が \(2\pi\) になる点です。
位相差 \(\delta\) と経路差 \(\Delta L\) の関係式を用います。
$$ \delta = 2\pi \frac{\Delta L}{\lambda} $$
ここで、隣の明線条件として、位相差 \(\delta = 2\pi\) を代入します。
$$ 2\pi = 2\pi \frac{\Delta L}{\lambda} $$
使用した物理公式
- 位相差と経路差の関係式:
$$ \delta = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta L $$ - 強め合う位相差の条件:
$$ \delta = 2m\pi \quad (m=0, 1, 2, \dots) $$
立てた式を \(\Delta L\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
2\pi &= \frac{2\pi}{\lambda} \Delta L \\[2.0ex]
1 &= \frac{\Delta L}{\lambda} \\[2.0ex]
\Delta L &= \lambda
\end{aligned}
$$
よって、経路差は \(\lambda\) です。
「位相」というのは、波のサイクルのどこにいるか（山なのか谷なのか）を表す時計の針のようなものです。
中央では2つの波の時計の針がぴったり合っています（位相差0）。
場所を移動すると針がズレていきますが、ちょうど時計が1周分（\(2\pi\)）ズレると、再び針の位置が揃います。これが隣の明線です。
「時計1周分のズレ」というのは、距離で言うと「波長1つ分（\(\lambda\)）」に相当します。
7 回折格子による光の回折
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「回折格子による光の干渉」です。回折格子における明線の発生条件を理解し、格子定数の定義から波長を導き出します。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 回折格子: 多数の平行なスリット（すじ）が等間隔に並んだ光学素子。
- 格子定数 \(d\): 隣り合うスリット（すじ）同士の間隔。
- 回折格子の明線の条件: 隣り合う光の経路差が波長の整数倍になるとき、光は強め合います。
条件式: \(d \sin \theta = m \lambda \quad (m = 0, 1, 2, \dots)\)
基本的なアプローチは以下の通りです。
- 問題文の「\(1 \, \text{mm}\) あたり \(200\) 本」という情報から、格子定数 \(d\)（スリット1つ分の間隔）を計算します。
- 回折格子の明線の条件式 \(d \sin \theta = m \lambda\) に、求めた \(d\) と与えられた角度 \(\theta\)、次数 \(m\) を代入して立式します。
- 式を解いて、単色光の波長 \(\lambda\) を求めます。
思考の道筋とポイント
まず、回折格子の問題で最も重要なパラメータである「格子定数 \(d\)」を求めます。問題文には直接 \(d\) の値は書かれておらず、「\(1 \, \text{mm}\) あたり \(200\) 本のすじ」という形で与えられています。これは、「\(1 \, \text{mm}\) という長さを \(200\) 等分した長さが、すじ1本分の間隔（格子定数）である」ことを意味します。
次に、物理量「波長」を求めるために、回折格子の干渉条件式を使います。「1次の明線」とあるので、次数 \(m=1\) を採用します。
最後に、単位に注意して計算を行います。長さの単位はメートル \([\text{m}]\) に統一するのが鉄則です。
この設問における重要なポイント
- 単位の変換: \(1 \, \text{mm} = 1 \times 10^{-3} \, \text{m}\) です。計算ミスを防ぐため、最初からメートル単位に直して計算することをお勧めします。
- 格子定数の定義: \(N\) 本のすじが長さ \(L\) の中にあるとき、格子定数 \(d\) は \(d = \displaystyle\frac{L}{N}\) で求められます。
- 次数の選定: 「1次の明線」とは、中央の明線（\(m=0\)）の隣にできる明線のことで、\(m=1\) に対応します。
具体的な解説と立式
まず、格子定数 \(d\) を求めます。
\(1 \, \text{mm}\) \((= 1 \times 10^{-3} \, \text{m})\) の間に \(200\) 本のすじがあるので、すじの間隔 \(d\) は以下のように表せます。
$$ d = \frac{1 \times 10^{-3}}{200} $$
次に、求める波長を \(\lambda\) と置きます。
回折格子に垂直に光が入射し、角度 \(\theta = 6.9^\circ\) の方向に \(m=1\) 次の明線が生じたので、明線の条件式 \(d \sin \theta = m \lambda\) を適用します。
ここで、\(m=1\)、\(\sin 6.9^\circ = 0.12\) です。
これらを条件式に代入して、波長 \(\lambda\) を求める方程式を立てます。
$$ d \times 0.12 = 1 \times \lambda $$
これに先ほどの \(d\) の式を代入すると、以下のようになります。
$$ \left( \frac{1 \times 10^{-3}}{200} \right) \times 0.12 = \lambda $$
使用した物理公式
- 格子定数の計算:
$$ d = \frac{\text{長さ}}{\text{その長さに含まれる本数}} $$ - 回折格子の明線の条件式:
$$ d \sin \theta = m \lambda \quad (m = 0, 1, 2, \dots) $$
ここで、\(d\) は格子定数、\(\theta\) は回折角、\(m\) は次数、\(\lambda\) は波長です。
立てた式から \(\lambda\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
\lambda &= \frac{1 \times 10^{-3}}{200} \times 0.12 \\[2.0ex]
&= \frac{1 \times 10^{-3}}{2 \times 10^2} \times (1.2 \times 10^{-1}) \\[2.0ex]
&= \frac{1}{2} \times 1.2 \times \frac{10^{-3} \times 10^{-1}}{10^2} \\[2.0ex]
&= 0.5 \times 1.2 \times 10^{-3-1-2} \\[2.0ex]
&= 0.60 \times 10^{-6} \\[2.0ex]
&= 6.0 \times 10^{-1} \times 10^{-6} \\[2.0ex]
&= 6.0 \times 10^{-7} \, \text{m}
\end{aligned}
$$
回折格子というのは、とても細かいスリット（隙間）がたくさん並んだものです。ここに光を通すと、それぞれのスリットから出た光が広がりながら進み、互いに重なり合います。
特定の方向（角度 \(\theta\)）では、隣り合うスリットから出た光の「山」と「山」がぴったり重なり合って、光が強め合います。これが「明線」です。
この問題では、「\(1 \, \text{mm}\) に \(200\) 本」という密度からスリットの間隔（\(d\)）を割り出し、それが光の波長（\(\lambda\)）とどのような関係（\(d \sin \theta = \lambda\)）になっているかを計算しました。角度 \(\theta\) が決まれば、そこから光の波長を逆算できる、というのがこの実験の原理です。
思考の道筋とポイント
もし「\(d \sin \theta = m \lambda\)」という公式を忘れてしまっても、光の干渉の原理（経路差）から導き出すことができます。隣り合うスリットを通る光の行路差（道のりの差）に着目します。
この設問における重要なポイント
- 経路差の幾何学的理解: 平行光線が角度 \(\theta\) で進むとき、隣り合うスリットからの光の経路差は、スリット間隔 \(d\) を斜辺とする直角三角形の高さに相当します。
- 強め合う条件: 経路差が波長 \(\lambda\) の整数倍であれば、波の位相が揃って強め合います。
具体的な解説と立式
隣り合う2つのスリットの間隔を \(d\) とします。
入射光に対して角度 \(\theta\) の方向に進む2つの光線を考えます。
一方のスリットから出た光に対して、もう一方のスリットから出た光は、スリットの位置のずれにより余分に距離を進む必要があります。
図形的に考えると、この余分な距離（経路差）は \(d \sin \theta\) となります。
光が強め合う（明線になる）ためには、この経路差が波長 \(\lambda\) の整数倍（\(m\) 倍）である必要があります。
したがって、以下の関係が成り立ちます。
$$ \text{経路差} = d \sin \theta = m \lambda $$
今回は1次の明線なので \(m=1\) とし、\(d\) の値と \(\sin \theta\) の値を代入します。
$$ \left( \frac{1 \times 10^{-3}}{200} \right) \times 0.12 = 1 \times \lambda $$
立式された方程式はメインの解説と全く同じになるため、計算結果も同様になります。
$$
\begin{aligned}
\lambda &= \frac{1 \times 10^{-3}}{200} \times 0.12 \\[2.0ex]
&= 6.0 \times 10^{-7} \, \text{m}
\end{aligned}
$$
公式を丸暗記していなくても、「隣の光との距離の差（経路差）が、波長何個分ズレているか？」と考えれば式を作れます。
図を描いてみると、隣り合う光のスタート地点のズレが直角三角形の辺として現れ、その長さが \(d \sin \theta\) になることがわかります。これが波長 \(\lambda\) ぴったり1個分（\(m=1\)）の長さであれば、波の山と山が揃って明るくなるのです。
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