プロセス
1 静電誘導と静電気力
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「静電誘導と導体にはたらく静電気力」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 静電誘導: 導体に帯電体を近づけると、導体内の自由電子が移動し、帯電体に近い側に異符号、遠い側に同符号の電荷が現れる現象。
- クーロンの法則: 2つの点電荷の間にはたらく静電気力の大きさは、電荷量の積に比例し、距離の2乗に反比例する。
- 力の合成: 物体にはたらく正味の力（合力）の向きに物体は動き出す。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- まず、負に帯電したストローを近づけたとき、アルミ缶（導体）内部の電荷がどのように移動するかを図示します。
- 次に、ストローとアルミ缶の各部分（近い側・遠い側）の間にはたらく静電気力の向き（引力か斥力か）を特定します。
- 最後に、距離の違いによる力の大きさの関係を比較し、アルミ缶全体にはたらく合力の向きを判断します。
思考の道筋とポイント
- 対象の性質: アルミ缶は金属製なので「導体」です。導体内部には、自由に移動できる「自由電子（負電荷）」が無数に存在します。
- 電荷の移動: 負に帯電したストローが近づくと、アルミ缶の中の自由電子はストローの負電荷から反発力（斥力）を受けます。その結果、自由電子はストローから遠い側（缶の奥側）へ移動します。
- 電荷の分布: 電子が移動した結果、ストローに近い側は電子不足となり「正」に帯電し、遠い側は電子過剰となり「負」に帯電します。これが静電誘導です。
- 力の向き:
- ストロー（負）と缶の近い側（正）の間には、異符号なので「引力」がはたらきます。
- ストロー（負）と缶の遠い側（負）の間には、同符号なので「斥力」がはたらきます。
- 力の大きさの比較: 静電気力は距離が近いほど強くなります。引力がはたらく場所の方が距離が近いため、引力は斥力よりも大きくなります。
- 結論: 引力が斥力に勝るため、アルミ缶全体としてはストローに近づく向きに力を受けます。
この設問における重要なポイント
- 導体と不導体の違い: 導体（金属など）では自由電子が移動して静電誘導が起こります。不導体（プラスチックなど）では誘電分極が起こりますが、結果として引力がはたらく点は共通しています。
- 距離依存性: クーロン力（静電気力）は距離の2乗に反比例して急激に弱まるため、わずかな距離の差でも力の大きさに明確な差が生じます。
具体的な解説と立式
ここでは、クーロンの法則を用いて、はたらく力の大小関係を数式で表現し、物理的な根拠を明確にします。
クーロンの法則より、電気量 \(q_1, q_2\) を持つ2つの点電荷間の距離が \(r\) のとき、その間にはたらく静電気力の大きさ \(F\) は、クーロンの法則の比例定数を \(k\) として以下の式で表されます。
$$ F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2} $$
今、ストローの電荷を \(-Q \ (Q>0)\)、アルミ缶の近い側に誘起された正電荷を \(+q\)、遠い側に移動した負電荷を \(-q \ (q>0)\) とモデル化します（電荷保存則より、誘起される正負の電荷量の絶対値は等しいと考えます）。
また、ストローから近い側の電荷までの距離を \(r_{\text{近}}\)、遠い側の電荷までの距離を \(r_{\text{遠}}\) とします。配置より明らかに以下の関係が成り立ちます。
$$ r_{\text{近}} < r_{\text{遠}} $$
このとき、ストローが缶の近い側（正電荷）から受ける引力の大きさ \(F_{\text{引}}\) と、遠い側（負電荷）から受ける斥力の大きさ \(F_{\text{斥}}\) は、それぞれ次のように立式できます。
$$ \begin{aligned} F_{\text{引}} &= k \frac{|-Q \cdot (+q)|}{r_{\text{近}}^2} \\[2.0ex] &= k \frac{Qq}{r_{\text{近}}^2} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} F_{\text{斥}} &= k \frac{|-Q \cdot (-q)|}{r_{\text{遠}}^2} \\[2.0ex] &= k \frac{Qq}{r_{\text{遠}}^2} \end{aligned} $$
アルミ缶にはたらく合力 \(F_{\text{合}}\) を、ストローに近づく向き（引力の向き）を正として立式します。
$$ \begin{aligned} F_{\text{合}} &= (\text{近づく向きの力}) – (\text{遠ざかる向きの力}) \\[2.0ex] &= F_{\text{引}} – F_{\text{斥}} \end{aligned} $$
使用した物理公式
- クーロンの法則: \(F = k \displaystyle\frac{|q_1 q_2|}{r^2}\)
先ほど立てた式に基づいて、合力の符号（向き）を確認します。
\(r_{\text{近}} < r_{\text{遠}}\) であり、\(r > 0\) なので、2乗しても大小関係は変わりません。
$$ r_{\text{近}}^2 < r_{\text{遠}}^2 $$ 分母が小さい分数の値は大きくなるため、力の大きさの関係は以下のようになります。 $$ \begin{aligned} \frac{1}{r_{\text{近}}^2} &> \frac{1}{r_{\text{遠}}^2} \\[2.0ex] k \frac{Qq}{r_{\text{近}}^2} &> k \frac{Qq}{r_{\text{遠}}^2} \end{aligned} $$
よって、次の関係が成り立ちます。
$$ F_{\text{引}} > F_{\text{斥}} $$
これより、合力 \(F_{\text{合}}\) は次のように計算されます。
$$ \begin{aligned} F_{\text{合}} &= F_{\text{引}} – F_{\text{斥}} \\[2.0ex] &> 0 \end{aligned} $$
合力が正の値、つまり「近づく向き」であることが示されました。
綱引きをイメージしてみましょう。
ストロー君（マイナス）が、アルミ缶の手前にいる「プラス・チーム」と、奥にいる「マイナス・チーム」の両方と同時に綱引きをしています。
- ストロー君とプラス・チーム（手前）は引き合います（好き）。
- ストロー君とマイナス・チーム（奥）は押し合います（嫌い）。
ここで重要なのは「距離」です。プラス・チームの方がストロー君のすぐ近くにいるので、お互いに引き合う力はとても強く伝わります。一方、マイナス・チームは遠くにいるので、押し合う力は少し弱くなります。
「強い引き合い」と「弱い押し合い」が同時に起こると、結果として「引き合う力」が勝ちます。だから、アルミ缶はストローの方へゴロゴロと転がっていくのです。
思考の道筋とポイント
メインの解説では「電荷と電荷の力」として考えましたが、ここでは「電場の中に置かれた電荷が受ける力」という視点で考えます。
- 負に帯電したストローは、周囲に「自分に向かう向き」の電場を作ります。
- この電場の強さは、ストローに近いほど強く、遠ざかると弱くなります。
- アルミ缶の近い側（正電荷）と遠い側（負電荷）が、この電場から受ける力を考えます。
この設問における重要なポイント
- 電場の定義: 電場 \(E\) とは、\(+1 \ \text{C}\) の電荷が受ける静電気力のことです。
- 電場から受ける力: 電荷 \(q\) が電場 \(E\) から受ける力は \(F = qE\) です。
具体的な解説と立式
ストローが作る電場の強さを \(E(r)\) とします（\(r\) はストローからの距離）。
負電荷が作る電場なので、電場の向きはストローに向かう向きです。また、距離 \(r\) が小さいほど電場は強くなります。
$$ E(r_{\text{近}}) > E(r_{\text{遠}}) $$
アルミ缶の電荷 \(+q\)（近い側）と \(-q\)（遠い側）が電場から受ける力 \(F\) は、公式 \(F = qE\) より求められます。
- 近い側の正電荷 \(+q\) が受ける力 \(F_{\text{近}}\):
電場の向き（ストローに向かう向き）に力を受けます。
$$ F_{\text{近}} = q E(r_{\text{近}}) $$ - 遠い側の負電荷 \(-q\) が受ける力 \(F_{\text{遠}}\):
電場と逆向き（ストローから遠ざかる向き）に力を受けます。
$$ F_{\text{遠}} = q E(r_{\text{遠}}) $$
使用した物理公式
- 電場から受ける力: \(F = qE\)
合力 \(F_{\text{合}}\) をストローに向かう向きを正として計算します。
$$ \begin{aligned} F_{\text{合}} &= F_{\text{近}} – F_{\text{遠}} \\[2.0ex] &= q E(r_{\text{近}}) – q E(r_{\text{遠}}) \\[2.0ex] &= q \{ E(r_{\text{近}}) – E(r_{\text{遠}}) \} \end{aligned} $$
ここで、近い場所ほど電場は強い（\(E(r_{\text{近}}) > E(r_{\text{遠}})\)）ため、カッコ内は正になります。
$$ E(r_{\text{近}}) – E(r_{\text{遠}}) > 0 $$
したがって、
$$ F_{\text{合}} > 0 $$
となり、アルミ缶は電場の強い方、つまりストローに近づく向きに動きます。
ストローの周りには、電気的な「流れ（電場）」ができていて、ストローに近いほどその流れは激しくなっています。
アルミ缶の手前にあるプラスの電気は、その激しい流れに乗ってストローの方へ強く流されます。
一方、奥にあるマイナスの電気は、流れに逆らおうとしますが、奥の方は流れが緩やかなので、その力は弱いです。
結果として、激しい流れに乗ったプラスの電気の勢いが勝り、缶全体がストローの方へ動きます。
2 電荷の移動と電気量保存則
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「摩擦帯電と電子の移動」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 静電気の発生: 異なる物質をこすり合わせると、一方から他方へ電子が移動し、正負に帯電する。
- 電子の性質: 電子は負の電荷を持ち、その電気量の大きさ（電気素量）は \(e = 1.6 \times 10^{-19} \, \text{C}\) である。
- 電気量保存の法則: 電荷の移動の前後で、系全体の電気量の総和は変わらない。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- まず、帯電した符号（正か負か）を見て、電子が「入ってきた」のか「出ていった」のかを判断し、移動の向きを決定します。
- 次に、生じた電気量の大きさを電子1個分の電気量（電気素量）で割り算し、移動した電子の個数を計算します。
思考の道筋とポイント
- 移動する粒子の特定: 原子の構造上、原子核（陽子）は重くて動けませんが、電子は軽くて移動しやすい性質があります。したがって、帯電の原因は常に「電子の移動」です。
- 移動の向きの判定:
- 電子は「負（マイナス）」の電荷を持っています。
- 塩化ビニル管は「負」に帯電しました。これは、負の電荷を持つ電子が過剰になったことを意味します。
- つまり、電子は相手（毛皮）から塩化ビニル管へ移動してきました。
- 個数の計算:
- 全体の電気量の大きさは、移動した電子の個数に比例します。
- 「全体の電気量の大きさ」を「電子1個の電気量の大きさ（電気素量）」で割ることで、個数を求めます。
この設問における重要なポイント
- 電気量の量子化: どのような帯電体であっても、その電気量は電気素量 \(e\) の整数倍になります（\(Q = ne\)）。
- 正負の符号の意味: 「正に帯電」＝電子が不足している状態、「負に帯電」＝電子が過剰な状態、と理解することが重要です。
具体的な解説と立式
まず、電子の移動方向を決定します。
塩化ビニル管に生じた電荷 \(Q\) は負の値（\(-4.8 \times 10^{-6} \, \text{C}\)）です。
物体が負に帯電するのは、負の電荷を持つ電子を受け取った場合です。
したがって、電子は毛皮から塩化ビニル管へ移動しました。
次に、移動した電子の個数 \(N\) を求めます。
電子1個の持つ電気量は \(-e = -1.6 \times 10^{-19} \, \text{C}\) です。
\(N\) 個の電子が移動したことによって生じた総電気量が \(Q\) なので、以下の関係式が成り立ちます。
$$ Q = N \times (-e) $$
ここで、個数 \(N\) を求めるために、両辺の絶対値（大きさ）をとって立式するのが計算ミスを防ぐコツです。
$$ |Q| = N \times e $$
この式に値を代入します。
$$ |-4.8 \times 10^{-6}| = N \times (1.6 \times 10^{-19}) $$
使用した物理公式
- 電気量と電子の個数の関係: \(|Q| = N e\)
先ほどの式を \(N\) について解き、計算を進めます。
$$ \begin{aligned} N &= \frac{|-4.8 \times 10^{-6}|}{1.6 \times 10^{-19}} \\[2.0ex] &= \frac{4.8 \times 10^{-6}}{1.6 \times 10^{-19}} \end{aligned} $$
数値を仮数部（数字の部分）と指数部（10の何乗の部分）に分けて計算します。
$$ \begin{aligned} N &= \frac{4.8}{1.6} \times \frac{10^{-6}}{10^{-19}} \\[2.0ex] &= 3.0 \times 10^{-6 – (-19)} \\[2.0ex] &= 3.0 \times 10^{-6 + 19} \\[2.0ex] &= 3.0 \times 10^{13} \end{aligned} $$
したがって、移動した電子の数は \(3.0 \times 10^{13}\) 個です。
電子を「マイナスの借金カード」だと考えてみましょう。
塩化ビニル管さんは、最初はお金も借金もない状態（プラスマイナスゼロ）でした。
ところが、毛皮さんとこすれ合った後、塩化ビニル管さんは「マイナスの借金」を抱えてしまいました（負に帯電）。
借金が増えたということは、誰かから「借金カード」を押し付けられたということです。つまり、カード（電子）は毛皮さんから塩化ビニル管さんへ移動しました。
借金の総額（\(4.8 \times 10^{-6}\)）を、カード1枚あたりの額面（\(1.6 \times 10^{-19}\)）で割れば、何枚のカードを押し付けられたかが分かります。
思考の道筋とポイント
メインの解説では塩化ビニル管（受け取り側）に着目しましたが、ここでは毛皮（渡した側）の変化に着目して解きます。
- 電気量保存の法則: こする前、両者の電気量の合計は \(0\) でした。こすった後も、2つの物体の電気量の合計は \(0\) のまま保存されます。
- 毛皮の電気量: 塩化ビニル管が負になった分だけ、毛皮は正に帯電しているはずです。
- 正帯電の意味: 正に帯電するということは、電子が失われた（出ていった）ことを意味します。
この設問における重要なポイント
- 電気量保存の法則: 閉じた系（外部とのやり取りがない系）では、電荷の総和は常に一定です。
具体的な解説と立式
電気量保存の法則より、こすった後の「塩化ビニル管の電荷」と「毛皮の電荷」の和は \(0\) になります。
塩化ビニル管の電荷を \(Q_{\text{管}}\)、毛皮の電荷を \(Q_{\text{毛}}\) とすると、
$$ Q_{\text{管}} + Q_{\text{毛}} = 0 $$
より、
$$ \begin{aligned} Q_{\text{毛}} &= -Q_{\text{管}} \\[2.0ex] &= -(-4.8 \times 10^{-6}) \\[2.0ex] &= +4.8 \times 10^{-6} \, \text{C} \end{aligned} $$
毛皮は正の電荷を持ちました。これは、毛皮から電子が失われたことを意味します。つまり、電子は毛皮から塩化ビニル管へ移動しました。
失われた電子の個数を \(N\) とすると、失った電子の総電気量の大きさは毛皮の正電荷の大きさに等しいので、
$$ N \times e = Q_{\text{毛}} $$
と立式できます。
使用した物理公式
- 電気量保存の法則: \(Q_{\text{前}} = Q_{\text{後}}\)
数値を代入して \(N\) を求めます。
$$ \begin{aligned} N &= \frac{Q_{\text{毛}}}{e} \\[2.0ex] &= \frac{4.8 \times 10^{-6}}{1.6 \times 10^{-19}} \\[2.0ex] &= 3.0 \times 10^{13} \end{aligned} $$
結果はメインの解法と一致します。
2人で「電子」というボールを交換していると考えます。
最初は2人ともボールを同じ数だけ持っていてバランスが取れていました。
こすり合わせた後、塩化ビニル管側が「マイナス」になったということは、ボールが増えたということです。
逆に言えば、相手の毛皮側はボールが減って「プラス」になったはずです。
毛皮側から見て「ボールが何個減ったか？」を計算しても、移動したボールの数は同じになります。
3 クーロンの法則
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「点電荷の間にはたらく静電気力（クーロン力）」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- クーロンの法則: 2つの点電荷の間にはたらく力の大きさは、両者の電気量の積に比例し、距離の2乗に反比例する。
- 力の向き（符号則）: 同符号の電荷同士は反発し合い（斥力）、異符号の電荷同士は引き合う（引力）。
- 作用・反作用の法則: 2つの電荷が及ぼし合う力は、大きさが等しく、互いに逆向きである。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- まず、2つの帯電球の符号（プラス・マイナス）を確認し、力の向き（引力か斥力か）を判定します。
- 次に、クーロンの法則の公式に与えられた数値を代入し、力の大きさを計算します。
思考の道筋とポイント
- 力の向きの判定:
- 一方の電荷は \(+2.0 \times 10^{-6} \, \text{C}\)（正）、もう一方は \(-3.0 \times 10^{-6} \, \text{C}\)（負）です。
- 「プラス」と「マイナス」の組み合わせ、つまり異符号なので、お互いに引き合う「引力」がはたらきます。
- 力の大きさの計算:
- クーロンの法則 \(F = k \displaystyle\frac{|q_1 q_2|}{r^2}\) を使用します。
- 力の「大きさ」を求めるので、電荷 \(q_1, q_2\) は絶対値（符号なしの大きさ）で計算します。
- 距離 \(r\) は \(3.0 \, \text{m}\) です。単位が \(\text{m}\) であることを確認します（もし \(\text{cm}\) なら換算が必要ですが、今回は不要です）。
この設問における重要なポイント
- 比例定数 \(k\) の扱い: 問題文で与えられた \(k = 9.0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\) を正確に使用します。
- 指数計算: \(10^{-6}\) や \(10^9\) といった指数の計算が出てくるため、数字部分と指数部分を分けて整理するとミスが減ります。
具体的な解説と立式
静電気力の大きさを \(F\)、比例定数を \(k\)、2つの電荷の電気量を \(q_1, q_2\)、距離を \(r\) とします。
与えられた値は以下の通りです。
$$ \begin{aligned} k &= 9.0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2 \\ q_1 &= +2.0 \times 10^{-6} \, \text{C} \\ q_2 &= -3.0 \times 10^{-6} \, \text{C} \\ r &= 3.0 \, \text{m} \end{aligned} $$
クーロンの法則より、力の大きさ \(F\) は次のように立式できます。
$$ \begin{aligned} F &= k \frac{|q_1 q_2|}{r^2} \\[2.0ex] &= (9.0 \times 10^9) \times \frac{|(2.0 \times 10^{-6}) \times (-3.0 \times 10^{-6})|}{(3.0)^2} \end{aligned} $$
使用した物理公式
- クーロンの法則: \(F = k \displaystyle\frac{|q_1 q_2|}{r^2}\)
立式した式を計算していきます。
まず、絶対値の中身を計算し、分母を展開します。
$$ F = (9.0 \times 10^9) \times \frac{2.0 \times 10^{-6} \times 3.0 \times 10^{-6}}{9.0} $$
次に、数値を「係数部分（数字）」と「10のべき乗部分」に分けて整理します。
$$ \begin{aligned} F &= \frac{9.0 \times 2.0 \times 3.0}{9.0} \times 10^{9} \times 10^{-6} \times 10^{-6} \\[2.0ex] &= (2.0 \times 3.0) \times 10^{9 – 6 – 6} \\[2.0ex] &= 6.0 \times 10^{-3} \, \text{N} \end{aligned} $$
力の向きについては、異符号（正と負）の電荷間にはたらく力なので「引力」となります。
磁石のN極とS極が引き合うように、電気の世界でも「プラス」と「マイナス」は引き合います。これを「引力」と呼びます。
力の強さは、電気の量が大きいほど強くなり、距離が離れるほど弱くなります。
今回は公式という「計算ルール」に数字を当てはめるだけで正確な力が求まります。数字が少し複雑に見えますが、\(10\) の何乗という部分はまとめて計算すれば怖くありません。
思考の道筋とポイント
クーロンの法則の公式に直接代入する代わりに、「一方の電荷が作る電場」を考え、その電場から「もう一方の電荷が受ける力」を計算します。
- 電荷A（\(+2.0 \times 10^{-6} \, \text{C}\)）が、距離 \(3.0 \, \text{m}\) の地点に作る電場の強さ \(E\) を求めます。
- その電場 \(E\) の中に、電荷B（\(-3.0 \times 10^{-6} \, \text{C}\)）を置いたときに受ける力 \(F = qE\) を計算します。
この手順を踏むことで、静電気力の背後にある「場の相互作用」という物理的本質が見えてきます。
この設問における重要なポイント
- 電場の重ね合わせ: 複数の電荷がある場合、それぞれの電荷が作る電場をベクトルとして足し合わせることで、合成電場を求めることができます（今回は2つだけなので単純です）。
具体的な解説と立式
まず、電荷 \(q_1 = +2.0 \times 10^{-6} \, \text{C}\) が距離 \(r = 3.0 \, \text{m}\) の地点に作る電場の強さ \(E_1\) を求めます。
電場の公式 \(E = k \displaystyle\frac{|Q|}{r^2}\) より、
$$ \begin{aligned} E_1 &= k \frac{|q_1|}{r^2} \\[2.0ex] &= (9.0 \times 10^9) \times \frac{2.0 \times 10^{-6}}{3.0^2} \end{aligned} $$
次に、この電場 \(E_1\) から電荷 \(q_2 = -3.0 \times 10^{-6} \, \text{C}\) が受ける力の大きさ \(F\) を求めます。
力と電場の関係式 \(F = |q|E\) より、
$$ \begin{aligned} F &= |q_2| E_1 \\[2.0ex] &= |-3.0 \times 10^{-6}| \times E_1 \end{aligned} $$
これらを組み合わせると、
$$ F = (3.0 \times 10^{-6}) \times \left( (9.0 \times 10^9) \times \frac{2.0 \times 10^{-6}}{3.0^2} \right) $$
となり、これはクーロンの法則の式と完全に一致します。
使用した物理公式
- 点電荷が作る電場: \(E = k \displaystyle\frac{|Q|}{r^2}\)
- 電場から受ける力: \(F = qE\)
電場 \(E_1\) の値を先に計算してみましょう。
$$ \begin{aligned} E_1 &= 9.0 \times 10^9 \times \frac{2.0 \times 10^{-6}}{9.0} \\[2.0ex] &= 2.0 \times 10^3 \, \text{N/C} \end{aligned} $$
この電場は、正電荷 \(q_1\) が作るものなので、\(q_1\) から遠ざかる向きです。
次に、力 \(F\) を計算します。
$$ \begin{aligned} F &= |q_2| E_1 \\[2.0ex] &= (3.0 \times 10^{-6}) \times (2.0 \times 10^3) \\[2.0ex] &= 6.0 \times 10^{-3} \, \text{N} \end{aligned} $$
負電荷 \(q_2\) は電場と逆向き（つまり \(q_1\) に近づく向き）に力を受けるため、これは「引力」となります。
「力」がいきなり遠くへ伝わるのではなく、「場」という空間の歪みが力を伝えていると考えます。
- プラスの球が、周りの空間に「電気の坂道（電場）」を作ります。
- その坂道にマイナスの球を置くと、坂道を転がるように力を受けます。
この2段階で考えても、計算結果は全く同じになります。
4 電場の強さと向き
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「電場の定義と静電気力」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 電場の定義: 電場とは、\(+1 \, \text{C}\) の正電荷が受ける静電気力のことです。
- 電場と力の関係: 電荷 \(q\) が電場 \(\vec{E}\) から受ける力 \(\vec{F}\) は、\(\vec{F} = q\vec{E}\) で表されます。
- 力の向き:
- 正電荷 (\(q > 0\)) は、電場と同じ向きに力を受けます。
- 負電荷 (\(q < 0\)) は、電場と逆向きに力を受けます。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- まず、電荷の符号（正か負か）と、実際に受けた力の向きから、電場の向きを決定します。
- 次に、力の大きさと電荷の大きさ（絶対値）を用いて、電場の強さを計算します。
思考の道筋とポイント
- 電場の向きの決定:
- 置かれた電荷は \(-2.0 \times 10^{-6} \, \text{C}\) であり、「負電荷」です。
- 負電荷は、電場と「逆向き」に力を受けます。
- 問題文より、力の向きは「右向き」です。
- したがって、電場の向きは力の逆、つまり「左向き」となります。
- 電場の強さの計算:
- 公式 \(F = |q|E\) を変形して \(E = \displaystyle\frac{F}{|q|}\) とします。
- 力の大きさ \(F = 6.0 \times 10^{-4} \, \text{N}\) と、電荷の大きさ \(|q| = |-2.0 \times 10^{-6}| \, \text{C}\) を代入して計算します。
この設問における重要なポイント
- 電場の向きの定義: 電場の向きは「正電荷が力を受ける向き」と定義されています。そのため、負電荷が受ける力の向きとは逆になります。
- 計算時の符号: 電場の「強さ（大きさ）」を求める計算では、電荷のマイナス符号は外して（絶対値をとって）計算します。向きは別途、符号の正負から判断するのが最も確実な方法です。
具体的な解説と立式
電場の強さを \(E\)、向きを符号で考えます（右向きを正とします）。
電荷 \(q = -2.0 \times 10^{-6} \, \text{C}\) が受ける力 \(F\) は、電場 \(E\) を用いて次のように表されます。
$$ F = qE $$
ここで、力の大きさ \(|F|\) と電場の強さ \(|E|\) の関係に着目すると、以下の式が成り立ちます。
$$ |F| = |q| |E| $$
よって、電場の強さ \(|E|\) は次のように立式できます。
$$ |E| = \frac{|F|}{|q|} $$
使用した物理公式
- 電場から受ける力: \(\vec{F} = q\vec{E}\)
- 力の大きさ: \(F = |q|E\)
与えられた数値を代入して計算します。
$$ \begin{aligned} |E| &= \frac{6.0 \times 10^{-4}}{|-2.0 \times 10^{-6}|} \\[2.0ex] &= \frac{6.0 \times 10^{-4}}{2.0 \times 10^{-6}} \\[2.0ex] &= \frac{6.0}{2.0} \times 10^{-4 – (-6)} \\[2.0ex] &= 3.0 \times 10^{2} \, \text{N/C} \end{aligned} $$
次に、向きを考えます。
負電荷が右向きに力を受けているため、電場の向きは力と逆向き、すなわち左向きです。
「電場」とは「電気の流れ」のようなものだとイメージしてください。
- プラスの電気は、流れ（電場）に乗って同じ向きに流されます。
- マイナスの電気は、へそ曲がりなので、流れ（電場）に逆らって逆向きに進もうとします。
今回、マイナスの電気が「右」に動かされました。ということは、元の流れ（電場）は逆の「左」に向かっていたはずです。
強さの計算は、「どれくらいの力で押されたか」を「電気の量」で割り算すれば求まります。
思考の道筋とポイント
メインの解説では大きさと向きを別々に考えましたが、ここでは符号を含めたベクトル（1次元なので正負の符号）として一貫して扱います。
- 右向きを正（\(+\)）とする座標軸を設定します。
- 力 \(F\) は右向きなので正の値、電荷 \(q\) は負の値です。
- 式 \(F = qE\) に符号を含めたまま代入し、\(E\) の符号から向きを判断します。
この設問における重要なポイント
- 符号の扱い: ベクトル方程式 \(\vec{F} = q\vec{E}\) は、1次元の場合、符号付きのスカラー式 \(F = qE\) として扱えます。このとき、\(F\) と \(E\) の符号が向きを表します。
具体的な解説と立式
右向きを正とします。
力 \(F = +6.0 \times 10^{-4} \, \text{N}\)
電荷 \(q = -2.0 \times 10^{-6} \, \text{C}\)
電場を \(E\) とすると、関係式 \(F = qE\) より、
$$ +6.0 \times 10^{-4} = (-2.0 \times 10^{-6}) \times E $$
と立式できます。
使用した物理公式
- 電場と力の関係式（符号付き）: \(F = qE\)
この式を \(E\) について解きます。
$$ \begin{aligned} E &= \frac{+6.0 \times 10^{-4}}{-2.0 \times 10^{-6}} \\[2.0ex] &= – \left( \frac{6.0}{2.0} \right) \times 10^{-4 – (-6)} \\[2.0ex] &= -3.0 \times 10^{2} \, \text{N/C} \end{aligned} $$
計算結果が負の値（\(-3.0 \times 10^2\)）となりました。
これは、電場の向きが負の向き、つまり「左向き」であることを示しています。
大きさは絶対値をとって \(3.0 \times 10^2 \, \text{N/C}\) です。
数直線をイメージして、右をプラス、左をマイナスと決めます。
「力 \(=\) 電気 \(\times\) 電場」という式は、プラスマイナスの符号も含めて常に成り立ちます。
「プラス（右向きの力） \(=\) マイナス（電気） \(\times\) ？」
この「？」に入るのは、マイナス（左向き）でなければ計算が合いません（マイナス \(\times\) マイナス \(=\) プラス）。
だから電場は左向きだと分かります。
5 点電荷が作る電場
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「点電荷が周囲に作る電場」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 点電荷が作る電場の公式: 電気量 \(Q\) の点電荷から距離 \(r\) 離れた点の電場の強さ \(E\) は、クーロンの法則の比例定数を \(k\) として \(E = k \displaystyle\frac{|Q|}{r^2}\) で表される。
- 電場の性質: 電場の強さは、電荷の電気量に比例し、距離の2乗に反比例する。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- 問題文で与えられた物理量（電気量 \(Q\)、距離 \(r\)）を整理します。
- 点電荷が作る電場の公式に数値を代入し、計算します。特に、距離の2乗や指数の計算に注意が必要です。
思考の道筋とポイント
- 公式の選択:
- 「点電荷」から「ある距離」離れた点の「電場の強さ」を求める問題です。
- したがって、公式 \(E = k \displaystyle\frac{|Q|}{r^2}\) を使用します。
- 数値の確認:
- 比例定数 \(k = 9.0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)
- 電気量 \(Q = +8.0 \times 10^{-6} \, \text{C}\)
- 距離 \(r = 0.60 \, \text{m}\)
- 計算の準備:
- 電場の「強さ」を求めるため、電気量 \(Q\) は絶対値を用います（今回は正なのでそのまま）。
- 距離 \(r\) は2乗する必要があるため、\(0.60^2\) の計算が必要です。
この設問における重要なポイント
- 距離の2乗に反比例: 電場の強さは距離が離れると急激に弱くなります。計算において分母が \(r^2\) であることを忘れないようにしましょう。
- 有効数字と指数表記: 物理では非常に大きな数や小さな数を扱うため、\(A \times 10^n\) の形で計算を進めるのが基本です。
具体的な解説と立式
求める電場の強さを \(E\) とします。
点電荷が作る電場の公式 \(E = k \displaystyle\frac{|Q|}{r^2}\) に、与えられた値を代入して立式します。
$$ E = (9.0 \times 10^9) \times \frac{|8.0 \times 10^{-6}|}{(0.60)^2} $$
使用した物理公式
- 点電荷が作る電場の強さ: \(E = k \displaystyle\frac{|Q|}{r^2}\)
立式した式を計算していきます。
まず、分母の2乗を計算し、分子の数値を整理します。
$$ \begin{aligned} E &= 9.0 \times 10^9 \times \frac{8.0 \times 10^{-6}}{0.36} \\[2.0ex] &= \frac{9.0 \times 8.0}{0.36} \times 10^{9-6} \end{aligned} $$
ここで、分母の小数を解消するために、分母分子を100倍するか、指数を使って整理します。ここでは \(0.36 = 36 \times 10^{-2}\) と変形して計算します。
$$ \begin{aligned} E &= \frac{72}{36 \times 10^{-2}} \times 10^3 \\[2.0ex] &= \frac{72}{36} \times \frac{10^3}{10^{-2}} \\[2.0ex] &= 2.0 \times 10^{3 – (-2)} \\[2.0ex] &= 2.0 \times 10^5 \, \text{N/C} \end{aligned} $$
焚き火をイメージしてください。
- 「電荷」は「焚き火」そのものです。
- 「電場」は、その焚き火から感じる「熱さ」のようなものです。
焚き火（電荷）が大きければ大きいほど、熱さ（電場）は強くなります。
また、焚き火から離れれば離れるほど、熱さは急激に弱くなります（距離の2乗に反比例）。
この問題では、「どれくらいの大きさの焚き火」から「どれくらい離れているか」という情報を使って、その場所での「熱さ（電場の強さ）」を計算しました。
思考の道筋とポイント
もし「点電荷の電場の公式 \(E = k \frac{Q}{r^2}\)」を忘れてしまっても、電場の定義とクーロンの法則さえ覚えていれば解くことができます。
- 電場の定義: 電場とは、その場所に置いた \(+1 \, \text{C}\) の点電荷が受ける静電気力のことです。
- クーロンの法則: 2つの電荷間にはたらく力は \(F = k \displaystyle\frac{q_1 q_2}{r^2}\) です。
- 適用: 一方の電荷を問題の電荷 \(Q\)、もう一方を試験電荷 \(q = +1 \, \text{C}\) として、クーロンの法則を適用します。
この設問における重要なポイント
- 定義の重要性: 物理公式の多くは、基本的な定義から導かれます。定義に戻ることで、公式を忘れても対応できる応用力が身につきます。
具体的な解説と立式
求める電場の強さ \(E\) は、距離 \(r = 0.60 \, \text{m}\) の点に置いた \(q = +1 \, \text{C}\) の電荷が、元の電荷 \(Q = +8.0 \times 10^{-6} \, \text{C}\) から受ける静電気力の大きさ \(F\) に等しいです。
クーロンの法則より、
$$ \begin{aligned} F &= k \frac{|Q \cdot q|}{r^2} \\[2.0ex] &= (9.0 \times 10^9) \times \frac{|(8.0 \times 10^{-6}) \times 1|}{(0.60)^2} \end{aligned} $$
この \(F\) の値がそのまま電場の強さ \(E\) となります。
使用した物理公式
- クーロンの法則: \(F = k \displaystyle\frac{|q_1 q_2|}{r^2}\)
式はメインの解説と全く同じ形になります。
$$ \begin{aligned} E &= F \\[2.0ex] &= \frac{9.0 \times 8.0}{0.36} \times 10^3 \\[2.0ex] &= 2.0 \times 10^5 \, \text{N/C} \end{aligned} $$
公式を丸暗記していなくても、定義から導けることが確認できました。
「この場所の電場はいくらか？」と聞かれたら、「もしここに \(+1\) クーロンの電気を置いたら、どれくらいの力で押されるか？」と翻訳できます。
実際に \(+1\) クーロンを置いたつもりになって、クーロンの法則（力の公式）を使って計算すれば、それがそのまま答えになります。
6 電位と仕事
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「電位と静電気力による仕事」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 電位の定義: 電位とは、\(+1 \, \text{C}\) の正電荷が持つ静電気力による位置エネルギーのことです。
- 仕事とエネルギーの関係: 外力が電荷に対して正の仕事をすると、その分だけ電荷の位置エネルギー（静電ポテンシャルエネルギー）が増加します。
- 電位差と仕事の公式: 電荷 \(q\) を電位差 \(V\) だけ移動させるのに必要な仕事 \(W\) は、\(W = qV\) で表されます。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (ア) 仕事の正負から、エネルギーが増えたか減ったかを判断し、電位の高低を決定します。
- (イ) 仕事の公式 \(W = qV\) を用いて、電位差 \(V\) を計算します。
思考の道筋とポイント
- エネルギーの変化:
- 「静電気力に逆らって仕事をした」ということは、外力が無理やり電荷を動かしたことを意味します。
- 重力に逆らって物体を持ち上げると位置エネルギーが増えるのと同様に、静電気力に逆らって電荷を運ぶと、その電荷の静電気力による位置エネルギーは増加します。
- 電位の高低:
- 運んだ電荷は \(+2.0 \, \text{C}\)（正電荷）です。
- 正電荷の位置エネルギーが増加したということは、移動先の方が電位が高いことを意味します。
- AからBへ運んでエネルギーが増えたので、Bの方が電位が高いです。
- 電位差の計算:
- 公式 \(W = qV\) を変形して \(V = \displaystyle\frac{W}{q}\) とします。
- 仕事 \(W = 30 \, \text{J}\)、電荷 \(q = 2.0 \, \text{C}\) を代入します。
この設問における重要なポイント
- 重力とのアナロジー: 電位は「高さ」、正電荷は「質量のある物体」と考えると分かりやすいです。物体を低いところから高いところへ持ち上げるには、重力に逆らって仕事をする必要があります。
- 「逆らって」の意味: 「静電気力に逆らって仕事をした」＝「外力が正の仕事をした」＝「位置エネルギーが増加した」というつながりを理解しましょう。
具体的な解説と立式
(ア)
正電荷 \(q = +2.0 \, \text{C}\) を点Aから点Bへ運ぶのに、外力が正の仕事 \(W = 30 \, \text{J}\) をしました。
これは、電荷の位置エネルギーが増加したことを意味します。
正電荷の場合、電位が高いほど位置エネルギーが高くなります。
したがって、移動後の点Bの方が点Aよりも電位が高いです。
(イ)
2点間の電位差を \(V\) とします。
外力がした仕事 \(W\) と、運んだ電荷 \(q\)、電位差 \(V\) の間には以下の関係が成り立ちます。
$$ W = qV $$
この式を \(V\) について解き、数値を代入します。
$$ V = \frac{W}{q} $$
使用した物理公式
- 静電気力による位置エネルギーの変化（仕事）: \(W = qV\)
(イ)
$$ \begin{aligned} V &= \frac{30}{2.0} \\[2.0ex] &= 15 \, \text{V} \end{aligned} $$
(ア)
電気の世界の「高さ」を「電位」と呼びます。
プラスの電気を「重い荷物」だと想像してください。
荷物をA地点からB地点へ運ぶのに、「よいしょ、よいしょ」と力を入れて仕事をする必要があったということは、坂道を登っていた（低いところから高いところへ運んでいた）ということです。
だから、行き先のB地点の方が「高さ（電位）」が高いのです。
(イ)
「\(1\) クーロンの荷物を \(1\) メートル持ち上げる（電位を \(1 \, \text{V}\) 上げる）のに必要なエネルギー」が決まっています。
今回は \(2\) クーロンの荷物を運んで、\(30\) ジュールのエネルギーを使いました。
\(2\) クーロンで \(30\) ジュール使ったなら、\(1\) クーロンあたり \(15\) ジュール使ったことになります。
つまり、高さ（電位差）は \(15 \, \text{V}\) 分だけ登ったということです。
思考の道筋とポイント
メインの解説では「仕事」と「電位差」の関係を直感的に扱いましたが、ここでは「エネルギー保存則（仕事とエネルギーの関係）」を用いて、より厳密に数式化して解きます。
- 状態の定義: 点Aの電位を \(V_A\)、点Bの電位を \(V_B\) と定義します。
- ポテンシャルエネルギー: 電荷 \(q\) が点Aにあるときの静電ポテンシャルエネルギーは \(U_A = qV_A\)、点Bにあるときは \(U_B = qV_B\) です。
- エネルギー原理: 「外力がした仕事 \(W_{\text{外}}\)」は、「力学的エネルギーの増加分」に等しいです（運動エネルギーの変化がないと仮定して）。
この設問における重要なポイント
- エネルギー原理: \((\text{後のエネルギー}) – (\text{前のエネルギー}) = (\text{外力がした仕事})\) という物理の基本原理を適用します。
- 符号の厳密性: \(q\) や \(W\) の正負を数式にそのまま代入することで、感覚に頼らず論理的に大小関係を導けます。
具体的な解説と立式
エネルギーの原理より、以下の式が成り立ちます。
$$ U_B – U_A = W_{\text{外}} $$
ここに静電ポテンシャルエネルギーの定義式 \(U = qV\) を代入します。
$$ qV_B – qV_A = W_{\text{外}} $$
左辺を \(q\) でくくります。
$$ q(V_B – V_A) = W_{\text{外}} $$
(ア)
与えられた数値 \(q = +2.0 \, \text{C} > 0\)、\(W_{\text{外}} = 30 \, \text{J} > 0\) を考慮して、電位差 \(V_B – V_A\) の符号を調べます。
$$ V_B – V_A = \frac{W_{\text{外}}}{q} $$
右辺が正の値同士の割り算なので、結果も正になります。
$$ V_B – V_A > 0 $$
したがって、\(V_B > V_A\) となり、Bの方が電位が高いことが分かります。
(イ)
求める電位差 \(V\) は \(V_B – V_A\) のことなので、そのまま計算します。
$$ V = \frac{W_{\text{外}}}{q} $$
使用した物理公式
- 静電ポテンシャルエネルギー: \(U = qV\)
- 仕事とエネルギーの関係: \(\Delta U = W_{\text{外}}\)
(イ)
$$ \begin{aligned} V &= \frac{30}{2.0} \\[2.0ex] &= 15 \, \text{V} \end{aligned} $$
「エネルギーの貯金」で考えてみましょう。
外から仕事をしてもらう（働いてもらう）と、その分だけ自分のエネルギー貯金が増えます。
AからBへ行く間に \(30\) ジュールの仕事をしてもらったので、Bに着いたときにはAにいたときよりエネルギーが \(30\) ジュール増えています。
プラスの電気にとって、エネルギーが増えるということは、より高い電位の場所へ行ったということです。
数式を使っても、この「貯金が増えた」という事実は変わりません。
7 一様な電場と静電気力
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「一様な電場と電荷の運動」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 一様な電場: 平行極板間のように、場所によらず強さと向きが一定の電場。
- 電場と電位差の関係: 距離 \(d\) 離れた2点間の電位差が \(V\) であるとき、その間の一様な電場の強さ \(E\) は \(E = \displaystyle\frac{V}{d}\) で表される。
- 電場から受ける力: 電荷 \(q\) が電場 \(E\) から受ける力の大きさ \(F\) は \(F = |q|E\) である。
- 力の向き: 正電荷は電場の向き（電位が下がる向き）に、負電荷は電場と逆向き（電位が上がる向き）に力を受ける。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- まず、極板間の距離と電圧から、一様な電場の強さを計算します。
- 次に、求めた電場の強さと電荷の大きさを用いて、静電気力の大きさを計算します。
- 最後に、電荷の符号（負電荷）に着目し、電場の向き（電位の高い方から低い方へ向かう）との関係から力の向きを判断します。
思考の道筋とポイント
- 電場の強さの計算:
- 平行極板間には「一様な電場」が生じます。
- このとき、電場の強さ \(E\)、電圧 \(V\)、極板間隔 \(d\) の間には \(V = Ed\) という関係があります。
- これを変形して \(E = \displaystyle\frac{V}{d}\) とし、与えられた数値を代入します。
- 力の大きさの計算:
- 電場 \(E\) の中にある電荷 \(q\) が受ける力の大きさ \(F\) は、\(F = |q|E\) で求められます。
- 電荷は \(-2.0 \times 10^{-6} \, \text{C}\) なので、絶対値をとって計算します。
- 力の向きの判定:
- 電場の向き: 電位が高い方から低い方へ向かいます。
- 負電荷の性質: 電場と「逆向き」に力を受けます。
- つまり、負電荷は「電位が低い方から高い方へ」向かう力を受けます。
この設問における重要なポイント
- 単位の確認: 電場の単位 \([\text{V/m}]\) は、公式 \(E = V/d\) そのものを表しています。また、力との関係式 \(F=qE\) から導かれる \([\text{N/C}]\) と等価です（\(1 \, \text{V/m} = 1 \, \text{N/C}\)）。
- 電位の坂道: 電位を「高さ」と考えると、電場は「下り坂の勾配」です。正電荷（ボール）は坂を転がり落ちますが、負電荷（ヘリウム風船のようなもの）は坂を登ろうとします。
具体的な解説と立式
(1) 電場の強さ
極板間の電圧を \(V = 300 \, \text{V}\)、距離を \(d = 5.0 \times 10^{-2} \, \text{m}\) とします。
一様な電場の強さ \(E\) は以下の式で求められます。
$$ E = \frac{V}{d} $$
(2) 力の大きさ
電荷の大きさ \(|q| = |-2.0 \times 10^{-6}| \, \text{C}\) と、先ほど求めた電場 \(E\) を用いて、力の大きさ \(F\) を立式します。
$$ F = |q|E $$
(3) 力の向き
電場は「電位が高い方 \(\rightarrow\) 低い方」に向いています。
負電荷は電場と逆向きに力を受けるため、その向きは「電位が低い方 \(\rightarrow\) 高い方」となります。
使用した物理公式
- 一様な電場と電位差の関係: \(V = Ed\)
- 電場から受ける力: \(F = qE\)
(1) 電場の強さ
$$ \begin{aligned} E &= \frac{300}{5.0 \times 10^{-2}} \\[2.0ex] &= \frac{3.0 \times 10^2}{5.0 \times 10^{-2}} \\[2.0ex] &= \frac{30}{5.0} \times \frac{10^1}{10^{-2}} \\[2.0ex] &= 6.0 \times 10^3 \, \text{V/m} \end{aligned} $$
(2) 力の大きさ
$$ \begin{aligned} F &= (2.0 \times 10^{-6}) \times (6.0 \times 10^3) \\[2.0ex] &= 12 \times 10^{-3} \\[2.0ex] &= 1.2 \times 10^{-2} \, \text{N} \end{aligned} $$
(3) 力の向き
負電荷は電場（電位が下がる向き）と逆向きに力を受けるため、「電位が高くなる向き」です。
- 電場の強さ: \(1\) メートルあたり何ボルト変化するか、という「電圧の傾き」を計算しています。\(5 \, \text{cm}\) で \(300 \, \text{V}\) 変化するので、\(1 \, \text{m}\) ならもっと大きな変化になります。
- 力の大きさ: 「電場 \(=\) 風の強さ」、「電荷 \(=\) 帆の大きさ」と考えると、「力 \(=\) 風の強さ \(\times\) 帆の大きさ」で計算できます。
- 力の向き:
- プラスの電気は、素直なので「電圧が高い \(\rightarrow\) 低い」という流れに乗って動きます。
- マイナスの電気は、あまのじゃくなので流れに逆らって「電圧が低い \(\rightarrow\) 高い」方へ動きます。
思考の道筋とポイント
「力」を直接求めるのではなく、「仕事」を経由して求めるアプローチです。
- 仮想的な移動: 電荷 \(q\) を極板間の距離 \(d\) だけ、電位差 \(V\) に逆らって（あるいは従って）移動させたと仮定します。
- 仕事の計算: このとき静電気力がする仕事の大きさ \(W\) は、\(W = |q|V\) です。
- 力と仕事の関係: 一方で、仕事は「力 \(\times\) 距離」でも表せます。つまり \(W = Fd\) です。
- 力の導出: \(Fd = |q|V\) という等式から \(F\) を求めます。
この設問における重要なポイント
- 仕事の定義の等価性: 「電位差による仕事 \(qV\)」と「力学的な仕事 \(Fd\)」は、物理的に同じ現象を異なる視点から記述したものであり、その値は必ず一致します。
- 電場を経由しないメリット: 電場 \(E\) を計算するステップを省略できるため、計算ミスを減らせる可能性があります。
具体的な解説と立式
電荷 \(q\) が極板間（距離 \(d\)、電位差 \(V\)）を移動するとき、静電気力がする仕事の大きさ \(W\) は以下の2通りで表せます。
- 電位差を用いた表現: \(W = |q|V\)
- 力と距離を用いた表現: \(W = Fd\)
これらは等しいので、以下の等式が成り立ちます。
$$ Fd = |q|V $$
これより、力 \(F\) は次のように求められます。
$$ F = \frac{|q|V}{d} $$
この式は、メインの解説で用いた \(E = V/d\) と \(F = |q|E\) を組み合わせたものと同じですが、電場 \(E\) を明示的に計算せずに力を求めることができます。
使用した物理公式
- 静電気力の仕事: \(W = qV\)
- 力学的な仕事: \(W = Fd\)
数値を代入します。
$$ \begin{aligned} F &= \frac{|-2.0 \times 10^{-6}| \times 300}{5.0 \times 10^{-2}} \\[2.0ex] &= \frac{2.0 \times 10^{-6} \times 3.0 \times 10^2}{5.0 \times 10^{-2}} \\[2.0ex] &= \frac{6.0}{5.0} \times 10^{-6 + 2 – (-2)} \\[2.0ex] &= 1.2 \times 10^{-2} \, \text{N} \end{aligned} $$
結果はメインの解説と一致します。
「エネルギー」の視点で考えます。
この空間には、端から端まで移動すると \(300 \, \text{V}\) 分のエネルギー差があります。
電荷 \(q\) がこの差を移動するときに得られる（または失う）エネルギー全体を計算し、それを距離で割り算することで、「\(1\) メートルあたりどれくらいの力で押されているか」を逆算しています。
8 等電位線と電場の強さ
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「等電位線と電場の強さの関係」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 等電位線: 電位の等しい点を結んだ線。地図の等高線に相当します。
- 電場の強さと等電位線の間隔: 電場の強さ \(E\) は、電位の勾配（傾き）の大きさに対応します。
- 関係式: 電位差 \(V\)、距離 \(d\) とすると、電場の強さ \(E\) は概ね \(E \approx \displaystyle\frac{V}{d}\) で表されます。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- 等電位線の間隔が「狭い」場所と「広い」場所を見分けます。
- 間隔が狭いほど、単位距離あたりの電位の変化（傾き）が大きいため、電場が強いと判断します。
思考の道筋とポイント
- 地図の等高線との比較:
- 等電位線を「山の等高線」と考えてみましょう。
- 等高線の間隔が狭いところは「急な坂（勾配がきつい）」です。
- 等高線の間隔が広いところは「緩やかな坂（勾配がゆるい）」です。
- 電場の定義との対応:
- 電場とは、電気的な「坂の急さ（傾き）」のことです。
- したがって、「等電位線の間隔が狭い」＝「坂が急」＝「電場が強い」となります。
- 各点の比較:
- 図を見て、点A、B、Cの周りの等電位線の間隔を比較します。
- 点A付近：線と線の間隔が最も狭い（密になっている）。
- 点B付近：線と線の間隔が最も広い（疎になっている）。
- 点C付近：その中間くらい。
この設問における重要なポイント
- 密度の意味: 等電位線の密度が高い（線が密集している）場所ほど、電場は強くなります。
- 数式による理解: \(E = V/d\) の式において、等しい電位差 \(V\)（隣り合う線の電位差は一定）に対して、間隔 \(d\) が小さいほど、電場 \(E\) は大きくなります。
具体的な解説と立式
等電位線は、等しい電位差 \(V_0\) ごとに描かれています。
ある点付近での等電位線の間隔を \(d\) とすると、その場所での電場の強さ \(E\) は、以下の式で近似的に表されます。
$$ E = \frac{V_0}{d} $$
この式から、間隔 \(d\) が小さい（狭い）ほど、電場 \(E\) は大きくなる（強い）ことが分かります。
図より、各点付近の等電位線の間隔 \(d_A, d_B, d_C\) の大小関係を読み取ると、
$$ d_A < d_C < d_B $$ となっています。 分母が小さいほど値は大きくなるため、電場の強さ \(E_A, E_B, E_C\) の大小関係は逆になります。 $$ E_A > E_C > E_B $$
使用した物理公式
- 電場と電位差の関係: \(E = \displaystyle\frac{V}{d}\)
具体的な数値計算はありません。図の幾何学的な特徴（間隔の大小）から、物理量（電場の強さ）の大小を判断します。
- A点周辺: 間隔が最も狭い \(\rightarrow\) 電場最強
- B点周辺: 間隔が最も広い \(\rightarrow\) 電場最弱
- C点周辺: 中間
等電位線の図は、地図の「等高線」と全く同じ読み方ができます。
- 線が詰まっているところは「急な崖」です。ボールを置いたら勢いよく転がります。つまり、電気的な力（電場）が強い場所です。
- 線がスカスカなところは「なだらかな平原」です。ボールはゆっくり転がります。つまり、電気的な力（電場）が弱い場所です。
図を見ると、Aの周りが一番線が詰まっていて（急な崖）、Bの周りが一番スカスカ（なだらか）ですね。だから、Aが一番強く、Bが一番弱いです。
思考の道筋とポイント
等電位線の図を、横から見た「電位のグラフ（断面図）」に変換して考えます。
- 断面図の作成: A, B, Cを通るような直線をイメージし、その線上での電位の変化をグラフにします。
- 傾きの比較: グラフの接線の傾きが「電場の強さ」に対応します。
この設問における重要なポイント
- 視覚化: 2次元の等高線図を3次元的な「山」の形としてイメージすることで、直感的な理解を深めます。
具体的な解説と立式
中心に電荷（例えば正電荷）があり、そこから広がる電位の山を考えます。
中心に近いほど山は高く、急峻です。
- 点Aは中心に近く、山の斜面が急な部分に位置しています。
- 点Bは中心から遠く、山の裾野のなだらかな部分に位置しています。
- 点Cはその中腹です。
電場の強さ \(E\) は、電位 \(V\) のグラフの傾きの大きさ \(|-\frac{\Delta V}{\Delta x}|\) に相当します。
山の斜面が急なほど傾きが大きいので、中心に近いAが最も傾きが大きく（電場が強く）、遠いBが最も傾きが小さい（電場が弱い）ことが視覚的に分かります。
使用した物理公式
- 電場の定義（電位勾配）: \(E = -\displaystyle\frac{\Delta V}{\Delta x}\)
計算は不要ですが、概念的には以下の通りです。
$$ E \propto \text{山の斜面の傾き} $$
傾き: A \(>\) C \(>\) B
よって、電場の強さ: A \(>\) C \(>\) B
この図は、真ん中に高い山がある地図だと思ってください。
Aさんは山の頂上近くの急斜面にいます。
Bさんは山のふもとの平らなところにいます。
Cさんはその中間です。
「電場の強さ」とは「地面の傾き」のことです。誰の立っている場所が一番傾いていますか？
当然、頂上に近いAさんの場所が一番急で、ふもとのBさんの場所が一番平らですね。
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