「セミナー物理基礎＋物理2025」徹底解説！【第 Ⅳ 章 16】基本例題～基本問題398

基本例題

基本例題52 臨界角と見かけの深さ

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「光の屈折と全反射」です。水中の物体が浮き上がって見える現象や、水中から空が見える範囲が限られる現象を、物理法則を用いて定量的に理解することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
点光源Pから出た光は、水面で屈折して広がりながら空気中へ出ていきます。観測者は、この屈折した光を逆延長した点P’に光源があるように錯覚します。このP’の深さ \(h’\) を求めるには、光の経路における角度の関係と、幾何学的な深さの関係を結びつける必要があります。角度が小さいという条件を利用して、三角関数の近似を行います。
この設問における重要なポイント

• 光は水（屈折率 \(n\)）から空気（屈折率 \(1\)）へ進む。
• 水中の入射角を \(\theta_2\)、空気中の屈折角を \(\theta_1\) とする（模範解答の図に準拠）。
• 観測者は真上近くから見ているため、角度 \(\theta_1, \theta_2\) は非常に小さい。
• 近似式 \(\sin \theta \approx \tan \theta\) を利用して、角度の比を辺の長さの比に変換する。

具体的な解説と立式
まず、屈折の法則を立てます。水側の屈折率を \(n\)、入射角を \(\theta_2\)、空気側の屈折率を \(1\)、屈折角を \(\theta_1\) とします。
$$
\begin{aligned}
n \sin \theta_2 &= 1 \sin \theta_1 \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
次に、問題文で与えられた近似 \(\sin \theta \approx \tan \theta\) を用いて、式①を書き換えます。
$$
\begin{aligned}
n \tan \theta_2 &\approx 1 \tan \theta_1 \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$
ここで、図の幾何学的関係に着目します。水面上の光の出口をB、点光源Pの真上の水面点をAとします。線分ABの長さを \(x\) と置くと、直角三角形の辺の比（タンジェントの定義）から以下の関係が成り立ちます。

• 実深さ \(h\) の三角形ABPにおいて:
  $$
  \begin{aligned}
  \tan \theta_2 &= \frac{\text{AB}}{\text{AP}} \\[2.0ex] &= \frac{x}{h}
  \end{aligned}
  $$
• 見かけの深さ \(h’\) の三角形ABP’において:
  $$
  \begin{aligned}
  \tan \theta_1 &= \frac{\text{AB}}{\text{AP}’} \\[2.0ex] &= \frac{x}{h’}
  \end{aligned}
  $$

これらを式②に代入して、\(h’\) を求めます。

式②に \(\tan \theta\) の式を代入します。
$$
\begin{aligned}
n \cdot \frac{x}{h} &= 1 \cdot \frac{x}{h’} \\[2.0ex] \frac{n}{h} &= \frac{1}{h’}
\end{aligned}
$$
両辺の逆数をとるか、たすき掛けをして \(h’\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
h’ &= \frac{h}{n}
\end{aligned}
$$

水の中にある物体を見ると、実際よりも浅い位置にあるように見えます。これは、光が水から空気に出るときに「水面に近い方へ」折れ曲がるためです。私たちの目は、光が直進してきたと判断するので、折れ曲がる前の延長線上に物体があると感じてしまうのです。計算の結果、見かけの深さは実際の深さを屈折率 \(n\) で割った値になることがわかりました。水（\(n \approx 1.33\)）の場合、実際の深さの約 \(3/4\) の深さに見えることになります。

見かけの深さは \(h’ = \frac{h}{n}\) となりました。\(n > 1\) なので \(h’ < h\) となり、実際より浅く見えるという日常感覚とも一致します。

問(2)

思考の道筋とポイント
点光源から出た光が水面ですべて反射され、空気中に出なくなる現象を「全反射」といいます。円板で光を遮るということは、円板の外側では光が全反射するようにすればよいということです。つまり、円板の縁（ふち）ギリギリを通る光が、ちょうど全反射の限界（屈折角が \(90^\circ\)）になる条件を考えます。
この設問における重要なポイント

• 円板の半径を \(r\) とする。
• 円板の端Bに入射する光の入射角を臨界角 \(\theta_c\) とする。
• 臨界角 \(\theta_c\) では、屈折角が \(90^\circ\) となる。
• 屈折の法則と、図形の幾何学的関係（三平方の定理など）を連立させて \(r\) を求める。

具体的な解説と立式
まず、円板の端Bにおける屈折の法則を立てます。入射角を \(\theta_c\)、屈折角を \(90^\circ\) とします。
$$
\begin{aligned}
n \sin \theta_c &= 1 \sin 90^\circ \quad \cdots ③
\end{aligned}
$$
次に、図の直角三角形ABPに着目して、\(\sin \theta_c\) を \(r\) と \(h\) で表します。
三平方の定理より、斜辺PBの長さは \(\sqrt{h^2 + r^2}\) です。
サインの定義（対辺/斜辺）より、
$$
\begin{aligned}
\sin \theta_c &= \frac{\text{AB}}{\text{PB}} \\[2.0ex] &= \frac{r}{\sqrt{h^2 + r^2}} \quad \cdots ④
\end{aligned}
$$
式③と式④を連立して \(r\) を求めます。

まず、式③から \(\sin \theta_c\) の値を求めます。\(\sin 90^\circ = 1\) なので、
$$
\begin{aligned}
n \sin \theta_c &= 1 \\[2.0ex] \sin \theta_c &= \frac{1}{n}
\end{aligned}
$$
これを式④と等置します。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{n} &= \frac{r}{\sqrt{h^2 + r^2}}
\end{aligned}
$$
両辺を2乗してルートを外します。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{n^2} &= \frac{r^2}{h^2 + r^2}
\end{aligned}
$$
分母を払って整理します。
$$
\begin{aligned}
h^2 + r^2 &= n^2 r^2 \\[2.0ex] h^2 &= n^2 r^2 – r^2 \\[2.0ex] h^2 &= (n^2 – 1)r^2
\end{aligned}
$$
\(r^2\) について解き、\(r > 0\) より平方根をとります。
$$
\begin{aligned}
r^2 &= \frac{h^2}{n^2 – 1} \\[2.0ex] r &= \frac{h}{\sqrt{n^2 – 1}}
\end{aligned}
$$

水中のライトの真上に円板を置いて光を隠したい場合、円板からはみ出した光がすべて水面で反射されて戻ってくるようにする必要があります。光が水面に対して浅い角度で当たると、外に出られずに反射されます（全反射）。円板の端っこに向かう光が、ちょうどこの「出られなくなるギリギリの角度」になるような大きさの円板を選べばよいのです。

円板の最小半径は \(r = \frac{h}{\sqrt{n^2 – 1}}\) と求まりました。屈折率 \(n\) が大きいほど分母が大きくなり、必要な半径 \(r\) は小さくなります。これは、屈折率が大きいほど光が曲がりやすく、全反射も起こりやすいため、小さな円板でも光を隠せることを意味しており、物理的に妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 屈折の法則の正確な運用と近軸近似
  • 核心: 異なる媒質の境界で光が折れ曲がる現象を、\(n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2\) という数式で正確に記述できるかが問われています。特に(1)では、角度が小さい場合に成り立つ近似 \(\sin \theta \approx \tan \theta\) を用いて、物理的な角度の関係を幾何学的な長さの比（深さの比）に変換するプロセスが重要です。
  • 理解のポイント:
    • 媒質の対応: どの屈折率がどの角度に対応するかを間違えないこと。常に「(媒質1の屈折率) \(\times\) (媒質1の角度のサイン) \(=\) (媒質2の屈折率) \(\times\) (媒質2の角度のサイン)」の形で立式するとミスが減ります。
    • 近軸光線の意味: 「真上近くから見る」という条件が、数学的には \(\theta \approx 0\) を意味し、これが \(\sin \theta \approx \tan \theta\) という近似の根拠になることを理解しましょう。
• 全反射と臨界角の物理的意味
  • 核心: 光が屈折率の大きい媒質から小さい媒質へ進む際、入射角がある値（臨界角）を超えると、光が境界面を透過できずにすべて反射される現象（全反射）を理解することです。
  • 理解のポイント:
    • 臨界角の定義: 屈折角がちょうど \(90^\circ\) になるときの入射角が臨界角 \(\theta_c\) です。このとき、屈折光は境界面に沿って進むことになります。
    • 条件式: 全反射が起こる条件は、\(\sin \theta > \frac{n_{\text{小}}}{n_{\text{大}}}\) です。この問題では \(n_{\text{小}}=1\), \(n_{\text{大}}=n\) なので、\(\sin \theta > 1/n\) となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 水中から見た空の範囲（スネルの窓）: 水中の観測者が水面を見上げると、円形の窓を通して空が見える現象。本問の(2)と逆の視点ですが、物理的な構造は全く同じです。臨界角 \(\theta_c\) で円の半径が決まります。
  • 光ファイバーの原理: 芯（コア）の屈折率を鞘（クラッド）より大きくし、境界面での全反射を利用して光を遠くまで伝える技術。これも「屈折率大 \(\rightarrow\) 小」への入射と全反射条件が鍵です。
  • 平行平板ガラスによる光のずれ: ガラスに入射した光が、反対側から出るときに平行にずれる問題。2回の屈折の法則適用が必要です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まずは光路図を大きく正確に描く: 境界面に対して法線（垂直な線）を引き、入射角と屈折角を明確に図示します。光がどちらに曲がるか（法線に近づくか遠ざかるか）は、屈折率の大小関係で決まります。
  2. 幾何学的条件を見抜く: 物理の問題であると同時に、図形の問題でもあります。直角三角形を見つけ出し、三平方の定理や三角比（\(\sin, \cos, \tan\)）を使って、角度と辺の長さの関係式を作ります。
  3. 「限界」や「ギリギリ」という言葉に反応する: 「光がもれないように」「ちょうど見えなくなる」といった表現は、屈折角が \(90^\circ\) になる臨界角の状態を示唆しています。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 屈折の法則における屈折率の取り違え:
  • 誤解: 公式を \(\frac{\sin \theta_1}{\sin \theta_2} = n\) と丸暗記していると、\(n\) が \(n_{12}\) なのか \(n_{21}\) なのか、あるいは絶対屈折率の比なのか混乱しやすいです。
  • 対策: 分数形ではなく、常に \(n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2\) の積の形で覚えることを強く推奨します。「自分のいる場所の屈折率とサインの積は一定」と覚えれば、間違いようがありません。
• 近似式の適用条件の見落とし:
  • 誤解: どんな角度でも \(\sin \theta = \tan \theta\) が成り立つと勘違いしたり、逆にいつ近似を使っていいかわからなくなること。
  • 対策: 問題文に「\(\theta\) が十分に小さいとき」や「真上から見る」という記述がある場合のみ使用可能です。この近似は、角度が小さいほど精度が高くなります。
• 全反射の条件の不等号ミス:
  • 誤解: 全反射する条件を \(\sin \theta < 1/n\) としてしまう。
  • 対策: 臨界角 \(\theta_c\) は「屈折角が \(90^\circ\) になるときの入射角」です。全反射するには、それよりも「深く」入射する必要があるため、入射角 \(\theta\) は \(\theta_c\) より大きくなければなりません（\(\theta > \theta_c\)）。サインは単調増加関数（\(0^\circ < \theta < 90^\circ\)）なので、\(\sin \theta > \sin \theta_c\) となります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（屈折の法則と近軸近似）:
  • 選定理由: 光が媒質を移動する際の経路の変化を扱うため、屈折の法則は必須です。さらに、求めたいのが「深さ（長さ）」であり、与えられているのが「角度」の情報であるため、これらを結びつけるために三角比の定義と近似式が必要です。
  • 適用根拠: 観測者が「真上近く」にいるという設定が、入射角・屈折角が微小であることを保証しており、\(\sin \theta \approx \tan \theta\) の近似を正当化します。これにより、複雑な逆三角関数を使わずに、単純な比の計算で解くことができます。
• (2)での公式選択（全反射の条件）:
  • 選定理由: 「空気中へ光がもれない」という条件は、物理的には「水面での屈折光が存在しない」ことを意味します。これは全反射の現象そのものです。
  • 適用根拠: 光が屈折率の大きい水（\(n > 1\)）から小さい空気（\(n=1\)）へ進むため、全反射が起こり得ます。その境界となるのが屈折角 \(90^\circ\) の瞬間であり、このときの入射角（臨界角）を求めるために屈折の法則を用います。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 三角関数の変換を慎重に:
  • 別解で示したように、\(\sin\) から \(\tan\) を求める際は、直角三角形を描いて考えるか、相互関係 \(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\sqrt{1-\sin^2 \theta}}\) を丁寧に計算しましょう。暗算で済ませようとすると、ルートの中身や分母分子を取り違えるミスが起きやすいです。
• 次元解析（単位チェック）による検算:
  • 最終的な答えの次元を確認します。(1)の答え \(h/n\) は、\(h\)（長さ）を \(n\)（無次元）で割っているので、単位は「長さ」になり正しいです。(2)の答え \(r = \frac{h}{\sqrt{n^2-1}}\) も、分母の \(\sqrt{n^2-1}\) は無次元なので、全体として「長さ」の次元を持ちます。もし \(r = h \sqrt{n^2-1}\) のような式になっていたら、次元は合っていますが、\(n=1\)（水がない）のときに \(r=0\) となり、光が遮蔽されるという意味で直感的に正しいかチェックできます（実際は \(n \to 1\) で \(r \to \infty\) となるべきなので、このチェックでミスに気づけます）。
• 極限的な状況を想定する:
  • \(n=1\) のときどうなるか？ (1)では \(h’ = h\) となり、水がなければ深さは変わらないので正しいです。(2)では分母が \(0\) になり \(r \to \infty\) となります。屈折率差がないと全反射は起きないので、無限に大きな円板が必要という意味で正しいです。
  • \(n\) が非常に大きいときどうなるか？ (1)では \(h’ \to 0\) となり、極端に浅く見えます。(2)では \(r \to 0\) となり、少しの傾きで全反射するので小さな円板で済むことになり、これも物理的直感と合致します。

基本例題53 凸レンズ

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「凸レンズによる結像」です。レンズの公式を用いて、物体の位置から像の位置や種類、大きさを導き出す手順をマスターすることが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

像の位置・種類・大きさ

思考の道筋とポイント
まず、与えられた条件をレンズの公式の記号に対応させます。凸レンズの前方に物体があるので \(a > 0\)、凸レンズなので焦点距離は \(f > 0\) として扱います。これらを公式に代入して未知数 \(b\) を求めます。\(b\) の値が正ならレンズの反対側（後方）に実像ができ、負なら物体と同じ側（前方）に虚像ができると判断します。最後に倍率を計算して像の大きさを求めます。
この設問における重要なポイント

• 凸レンズの焦点距離 \(f\) は正の値（\(+12\,\text{cm}\)）として扱う。
• 物体はレンズの前方にあるので \(a\) は正の値（\(+30\,\text{cm}\)）。
• 像の位置 \(b\) は計算結果の符号で判断する（正なら実像、負なら虚像）。
• 倍率 \(m\) は距離の比の絶対値で計算する。

具体的な解説と立式
レンズの公式を用います。物体までの距離を \(a = 30\,\text{cm}\)、像までの距離を \(b\)（未知数）、焦点距離を \(f = 12\,\text{cm}\) とします。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{30} + \frac{1}{b} &= \frac{1}{12} \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
次に、像の倍率 \(m\) を求める式を立てます。
$$
\begin{aligned}
m &= \left| \frac{b}{30} \right| \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$
像の大きさ \(H’\) は、物体の大きさ \(H = 3.0\,\text{cm}\) に倍率 \(m\) を掛けることで求められます。
$$
\begin{aligned}
H’ &= 3.0 \times m \quad \cdots ③
\end{aligned}
$$

まず、式①から \(b\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{b} &= \frac{1}{12} – \frac{1}{30} \\[2.0ex] &= \frac{5}{60} – \frac{2}{60} \\[2.0ex] &= \frac{3}{60} \\[2.0ex] &= \frac{1}{20}
\end{aligned}
$$
よって、
$$
\begin{aligned}
b &= 20\,\text{cm}
\end{aligned}
$$
\(b > 0\) なので、像はレンズの後方 \(20\,\text{cm}\) の位置にできる実像です。

次に、求めた \(b\) を式②に代入して倍率 \(m\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
m &= \left| \frac{20}{30} \right| \\[2.0ex] &= \frac{2}{3}
\end{aligned}
$$
最後に、式③を用いて像の大きさ \(H’\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
H’ &= 3.0 \times \frac{2}{3} \\[2.0ex] &= 2.0\,\text{cm}
\end{aligned}
$$

焦点距離 \(12\,\text{cm}\) のレンズに対して、それよりも遠い \(30\,\text{cm}\) の場所に物体を置きました。この場合、光はレンズを通った後に一点に集まり、スクリーンを置けばそこに像が映ります。これを「実像」と呼びます。計算してみると、レンズの反対側 \(20\,\text{cm}\) の場所に光が集まることがわかりました。また、距離の比を見ると \(20/30\) なので、像の大きさは元の物体の \(2/3\) に縮小されます。

像の位置: レンズの後方 \(20\,\text{cm}\)
像の種類: 実像
像の大きさ: \(2.0\,\text{cm}\)

\(b\) が正の値になったので実像という判断は妥当です。また、物体が焦点距離の2倍（\(2f = 24\,\text{cm}\)）より外側（\(30\,\text{cm}\)）にあるため、像は焦点距離の2倍より内側（\(f < b < 2f\)）にでき、かつ縮小されるという一般的な性質とも一致しています（\(12 < 20 < 24\) なので正しい）。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• レンズの公式（写像公式）の適用
  • 核心: レンズによる結像現象は、物体距離 \(a\)、像距離 \(b\)、焦点距離 \(f\) の間に成り立つ \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}\) という単純な代数方程式に集約されます。この式は、光線の幾何学的な経路（相似な三角形の関係）から導かれる普遍的な法則です。
  • 理解のポイント:
    • 符号の規則: この公式を使いこなす鍵は「符号」です。凸レンズなら \(f > 0\)、凹レンズなら \(f < 0\)。実像（レンズの後方）なら \(b > 0\)、虚像（レンズの前方）なら \(b < 0\) となります。このルールを厳守することで、あらゆるケースに対応できます。
    • 物理的意味: \(\frac{1}{a}\) は物体から出る光の広がり具合（曲率）、\(\frac{1}{f}\) はレンズが光を曲げる能力（屈折力）、\(\frac{1}{b}\) は像へ集まる光の収束具合を表しています。「広がる光をレンズが曲げて収束させる」という物理現象が、この足し算の式で表現されています。
• 倍率の定義と計算
  • 核心: 像の大きさは、物体距離と像距離の比率だけで決まります。倍率 \(m = \left| \frac{b}{a} \right|\) は、幾何学的な相似比そのものです。
  • 理解のポイント:
    • 距離と大きさの比例関係: 像が遠くにできるほど（\(b\) が大きいほど）、像は大きくなります。逆に、像が近くにできるほど小さくなります。これは、プロジェクターをスクリーンから離すと画面が大きくなるのと同じ原理です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 凹レンズの問題: 焦点距離 \(f\) を負の値（例: \(f = -12\)）として公式に代入するだけで、全く同じ手順で解けます。凹レンズでは常に \(b < 0\) となり、正立虚像ができることが計算から確認できます。
  • 組み合わせレンズ: 2枚のレンズがある場合、1枚目のレンズで作った像を「2枚目のレンズにとっての物体」とみなして、レンズの公式を2回繰り返して適用します。このとき、1枚目の像が2枚目のレンズの後方にできる場合、物体距離 \(a\) を負として扱う「虚物体」の考え方が必要になることがあります。
  • 球面鏡（凹面鏡・凸面鏡）: 鏡の公式も \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}\) で、レンズと全く同じ形をしています。ただし、光が反射して戻ってくるため、実像と虚像のできる位置（前方・後方）の定義がレンズとは逆になる点に注意が必要です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. レンズの種類と焦点距離の符号を確認する: 凸レンズなら \(f > 0\)、凹レンズなら \(f < 0\) を最初に確定させます。
  2. 物体の位置と焦点の位置関係を把握する: 物体が焦点より外側（\(a > f\)）なら実像、内側（\(a < f\)）なら虚像ができると予測を立ててから計算に入ると、符号ミスに気づきやすくなります。
  3. 単位を統一する: 全て \(\text{cm}\) で計算するか、\(\text{m}\) に直すか統一します。通常は \(\text{cm}\) のままで問題ありませんが、ジオプトリー（\(D = 1/f[\text{m}]\)) が絡む場合は \(\text{m}\) への換算が必須です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 符号の取り違え:
  • 誤解: 虚像の場合の \(b\) を正の値として計算してしまったり、凹レンズの \(f\) を正としてしまうミスが頻発します。
  • 対策: 「レンズの前方（光が入ってくる側）にあるものは \(a>0\)、\(b<0\)（虚像）」「レンズの後方（光が出ていく側）にあるものは \(b>0\)（実像）」という基本ルールを、図を描いて確認しながら適用しましょう。また、計算結果の \(b\) が負になったら「あ、虚像だ」と即座に翻訳できるようにしましょう。
• 逆数の計算ミス:
  • 誤解: \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}\) を通分せずに計算したり、最後に逆数を取るのを忘れて \(1/b\) の値をそのまま答えにしてしまう（例: \(1/b = 1/20\) なのに答えを \(1/20\,\text{cm}\) と書いてしまう）。
  • 対策: 通分は慎重に行い、必ず「\(1/b = \dots\)」の形まで変形してから、最後に「よって \(b = \dots\)」と逆数を取る手順をルーチン化しましょう。
• 像の種類の判定ミス:
  • 誤解: 「倒立＝実像」「正立＝虚像」という対応関係を忘れてしまう。
  • 対策: 実像は実際に光が集まるのでスクリーンに映りますが、上下左右が逆（倒立）になります。虚像は光が集まらないのでスクリーンには映らず、レンズ越しに覗いたときだけ見え、向きはそのまま（正立）です。このセット（実像・倒立、虚像・正立）を呪文のように覚えておきましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• レンズの公式の選択:
  • 選定理由: 物体の位置と焦点距離から、像の位置を定量的に求めるための唯一にして最強のツールだからです。作図（別解1）でも解けますが、数値計算には公式の方が圧倒的に速く正確です。
  • 適用根拠: 問題文で「焦点距離」「物体の位置」という幾何学的なパラメータが与えられているため、これらを結びつけるレンズの公式が直接適用可能です。
• ニュートンの公式（別解2）の選択:
  • 選定理由: 特に「焦点からの距離」が計算しやすい場合（整数になる場合など）や、倍率計算を素早く行いたい場合に有効です。
  • 適用根拠: 物体距離 \(a\) と焦点距離 \(f\) の差が暗算で求まる場合、\(xx’ = f^2\) は分数の足し算を回避できるため、計算ミスのリスクを減らせる賢い選択肢となります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 通分の際の最小公倍数:
  • \(\frac{1}{30}\) と \(\frac{1}{12}\) の通分では、分母を単に掛け合わせた \(360\) ではなく、最小公倍数 \(60\) を使うと計算が楽になります。\(12 = 2^2 \times 3\), \(30 = 2 \times 3 \times 5\) なので、最小公倍数は \(2^2 \times 3 \times 5 = 60\) です。
• 概算による検算:
  • \(a = 30\), \(f = 12\) のとき、\(a\) は \(2f = 24\) より大きいです。凸レンズの性質として、物体が \(2f\) より遠くにあるとき、像は \(f\) と \(2f\) の間（\(12 < b < 24\)）にでき、縮小されるはずです。計算結果 \(b=20\) はこの範囲に収まっており、倍率 \(2/3\) も縮小を表しているので、計算が正しいと確信できます。
• 単位の確認:
  • 全ての長さの単位が \(\text{cm}\) で統一されているか確認します。もし \(\text{mm}\) や \(\text{m}\) が混在していたら、計算前に必ず統一します。答えの単位も忘れずに付けましょう。

基本例題54 ヤングの実験

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「光の干渉（ヤングの実験）」です。2つのスリットから出た光が重なり合い、強め合ったり弱め合ったりして干渉縞を作る現象を、数式を用いて解析します。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
光の干渉において、明線ができる条件と暗線ができる条件を数式で表します。2つのスリット \(S_1, S_2\) から点Pまでの距離の差（経路差）が、波長のどのような倍数になっているかが決定要因です。\(S_1, S_2\) は同位相の波源であることに注意します。
この設問における重要なポイント

• \(S_1\) と \(S_2\) から出る光は同位相である。
• 強め合う条件（明線）: 経路差が波長 \(\lambda\) の整数倍。
• 弱め合う条件（暗線）: 経路差が波長 \(\lambda\) の半整数倍（半波長の奇数倍）。
• \(m\) は \(0\) 以上の整数（\(0, 1, 2, \dots\)）として与えられている。

具体的な解説と立式
経路差を \(|\overline{S_1\text{P}} – \overline{S_2\text{P}}|\) とします。
明線ができる条件は、経路差が波長 \(\lambda\) の整数倍になることです。
$$
\begin{aligned}
|\overline{S_1\text{P}} – \overline{S_2\text{P}}| &= m\lambda \quad (m=0, 1, 2, \dots)
\end{aligned}
$$
暗線ができる条件は、経路差が波長 \(\lambda\) の \(m + 0.5\) 倍になることです。
$$
\begin{aligned}
|\overline{S_1\text{P}} – \overline{S_2\text{P}}| &= \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda \quad (m=0, 1, 2, \dots)
\end{aligned}
$$

立式そのものが答えとなります。特に計算過程はありません。

2つの波が重なるとき、山と山（あるいは谷と谷）が重なれば波は大きくなります（明線）。これは、片方の波がもう片方よりちょうど「波1個分、2個分…」遅れて到着した場合に起こります。逆に、山と谷が重なれば波は打ち消し合います（暗線）。これは、遅れが「波0.5個分、1.5個分…」といった中途半端な場合に起こります。

明線の条件: \(m\lambda\)、暗線の条件: \((m + \frac{1}{2})\lambda\)。これは波動一般に成り立つ基本的な干渉条件と一致しています。

問(2)

思考の道筋とポイント
経路差 \(|\overline{S_1\text{P}} – \overline{S_2\text{P}}|\) を、実験装置のパラメータ \(d, L, x\) で表します。そのままでは計算が難しいため、\(L \gg d, L \gg x\) という条件を利用して近似を行います。図形的に考えると、\(S_1\text{P}\) と \(S_2\text{P}\) はほぼ平行とみなせるため、\(S_2\) から \(S_1\text{P}\) に下ろした垂線の足までの距離が経路差に相当します。
この設問における重要なポイント

• \(S_1\text{P}\) と \(S_2\text{P}\) を平行光線とみなす近似を行う。
• 図中の直角三角形に着目し、角度 \(\theta\) を定義する。
• \(\sin \theta \approx \tan \theta\) の近似を用いる。

具体的な解説と立式
図のように、\(S_2\) から \(S_1\text{P}\) に垂線を下ろし、その足をHとします。\(L \gg d\) なので、\(S_1\text{P}\) と \(S_2\text{P}\) はほぼ平行とみなせます。このとき、経路差は線分 \(S_1\text{H}\) の長さに等しくなります。
スリットの中心と点Pを結ぶ線が中心軸となす角を \(\theta\) とすると、幾何学的な関係から \(\angle S_1 S_2 \text{H} \approx \theta\) となります。
よって、経路差は以下のように表せます。
$$
\begin{aligned}
|\overline{S_1\text{P}} – \overline{S_2\text{P}}| &\approx d \sin \theta \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
また、\(\theta\) は非常に小さいので、以下の近似が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
\sin \theta &\approx \tan \theta \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$
図の大きな直角三角形（底辺 \(L\)、高さ \(x\)）に着目すると、\(\tan \theta\) は次のように表せます。
$$
\begin{aligned}
\tan \theta &= \frac{x}{L} \quad \cdots ③
\end{aligned}
$$
これらを組み合わせて式を立てます。

式①、②、③より、
$$
\begin{aligned}
|\overline{S_1\text{P}} – \overline{S_2\text{P}}| &\approx d \tan \theta \\[2.0ex] &= d \cdot \frac{x}{L} \\[2.0ex] &= \frac{dx}{L}
\end{aligned}
$$

スクリーンまでの距離 \(L\) がとても遠いので、点Pに向かう2本の光の線は、ほとんど平行な線に見えます。このとき、2本の線の長さの違い（経路差）は、スリットの間隔 \(d\) と角度 \(\theta\) を使って \(d \sin \theta\) と書けます。さらに角度が小さいときは、サインとタンジェントの値がほぼ同じになるので、\(d \tan \theta\) と書き換えられます。タンジェントは「底辺分の高さ」つまり \(x/L\) なので、結局、経路差は \(\frac{dx}{L}\) という簡単な式になります。

経路差は \(\frac{dx}{L}\) と求まりました。\(x=0\)（中心）で経路差が0になることや、\(x\) が大きくなるほど経路差が大きくなることなど、物理的な直感と一致します。

問(3)

思考の道筋とポイント
(1)で求めた明線の条件式と、(2)で求めた経路差の式を連立させて、\(m\) 番目の明線の位置 \(x_m\) を求めます。その後、隣り合う明線（\(m\) 番目と \(m+1\) 番目）の間隔 \(\Delta x\) を計算します。
この設問における重要なポイント

• 明線の条件: 経路差 \(= m\lambda\)
• 経路差の式: \(\frac{dx}{L}\)
• 明線の間隔 \(\Delta x = x_{m+1} – x_m\)

具体的な解説と立式
\(m\) 番目の明線の位置を \(x_m\) とします。(1)と(2)の結果より、以下の等式が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
\frac{d x_m}{L} &= m\lambda \quad \cdots ④
\end{aligned}
$$
この式から \(x_m\) を求め、さらに \(x_{m+1}\) を求めて、その差 \(\Delta x\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
\Delta x &= x_{m+1} – x_m \quad \cdots ⑤
\end{aligned}
$$

式④より、\(x_m\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
x_m &= \frac{mL\lambda}{d}
\end{aligned}
$$
同様に、\(m+1\) 番目の明線の位置 \(x_{m+1}\) は、
$$
\begin{aligned}
x_{m+1} &= \frac{(m+1)L\lambda}{d}
\end{aligned}
$$
式⑤に代入して間隔 \(\Delta x\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\Delta x &= \frac{(m+1)L\lambda}{d} – \frac{mL\lambda}{d} \\[2.0ex] &= \frac{L\lambda}{d} ( (m+1) – m ) \\[2.0ex] &= \frac{L\lambda}{d}
\end{aligned}
$$

先ほど求めた「経路差」の式が、「波長の整数倍」になるときに明線ができます。この方程式を解くと、明線ができる場所 \(x\) がわかります。\(m=0\) のとき、\(m=1\) のとき、\(m=2\) のとき…と順番に場所を計算していくと、明線は等間隔に並んでいることがわかります。その間隔は、スクリーンまでの距離 \(L\) や波長 \(\lambda\) が大きいほど広がり、スリット間隔 \(d\) が広いほど狭くなることが式から読み取れます。

明線間隔は \(\Delta x = \frac{L\lambda}{d}\) となりました。この式はヤングの実験における最も基本的かつ重要な公式です。\(m\) に依存しない定数であることから、干渉縞が等間隔になることが示されています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 波の干渉条件と位相差
  • 核心: 2つの波源から出た波が空間の一点で重なり合うとき、その強弱は「波の山と山が重なるか、山と谷が重なるか」で決まります。これを決定づけるのが、2つの波がその点に到達するまでの「道のりの差（経路差）」です。
  • 理解のポイント:
    • 同位相の波源: \(S_1\) と \(S_2\) から出る波のタイミングが揃っている（同位相）場合、経路差が波長 \(\lambda\) の整数倍（\(0, \lambda, 2\lambda \dots\)）なら強め合い、半波長の奇数倍（\(\lambda/2, 3\lambda/2 \dots\)）なら弱め合います。
    • 逆位相の波源: もし波源が逆位相（片方が山のときもう片方が谷）なら、条件が逆転します。問題文で「同位相」か「逆位相」かを確認する癖をつけましょう。
• 経路差の幾何学的近似
  • 核心: ヤングの実験のような光学配置では、波長 \(\lambda\) やスリット間隔 \(d\) がスクリーンまでの距離 \(L\) に比べて極めて小さいため、厳密な計算ではなく近似計算が必須となります。
  • 理解のポイント:
    • 近似の正当性: \(L \gg d\) という条件が、\(S_1\text{P}\) と \(S_2\text{P}\) を平行とみなす根拠となり、\(L \gg x\) という条件が \(\sin \theta \approx \tan \theta\) という近似を正当化します。この2段階の近似を経て、複雑な平方根の式が \(\frac{dx}{L}\) という単純な一次式に帰着することを理解しましょう。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 回折格子: スリットが多数並んだ場合です。隣り合うスリット間の経路差はヤングの実験と同じ \(d \sin \theta\) ですが、明線が非常に鋭くなる点が異なります。
  • 単スリット回折: スリット幅 \(a\) 自体による干渉を考える場合、経路差の考え方をスリット内の無数の点波源に拡張します。暗線の条件が \(a \sin \theta = m\lambda\) （\(m \neq 0\)）となり、ヤングの実験の明線条件と形が似ているため混同しないよう注意が必要です。
  • ロイド鏡・フレネルの複プリズム: 1つの光源から、鏡やプリズムを使って「虚光源」を作り出し、実質的に2つの波源からの干渉を作り出す実験です。幾何学的な配置が変わるだけで、干渉の原理は全く同じです。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 経路差の発生源を見抜く: どこで道のりの差が生まれているかを図から読み取ります。ヤングの実験ならスリット後の直角三角形、薄膜干渉なら膜の往復部分など。
  2. 位相のずれ（反射）を確認する: 光が反射する場合、屈折率が小さい媒質から大きい媒質への反射（固定端反射相当）では位相が \(\pi\) （半波長分）ずれます。これにより、干渉条件（明暗）が逆転する可能性があります。
  3. 幾何学的近似の適用可否: \(L \gg d\) などの条件があれば、迷わず近似を使います。逆に、この条件がない場合（スリット間隔が広い場合など）は、三平方の定理をそのまま使うか、双曲線としての解析が必要になる場合があります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• \(m\) の数え間違い:
  • 誤解: 明線の次数 \(m\) を \(1\) から始めてしまい、中央の明線（\(m=0\)）を忘れる、あるいは暗線の \(m=0\) の位置（最初の暗線）を間違える。
  • 対策: 中央（経路差0）が \(m=0\) の明線であることを基準にします。暗線は、中央明線のすぐ隣が \(m=0\) （経路差 \(\lambda/2\)）です。数直線を描いて \(0, \lambda/2, \lambda, 3\lambda/2 \dots\) とプロットすると間違いません。
• 近似式の混同:
  • 誤解: \(\Delta x = \frac{L\lambda}{d}\) という公式だけを丸暗記し、条件が変わった問題（例えばスリットとスクリーンの間に屈折率 \(n\) の媒質が入った場合など）で対応できなくなる。
  • 対策: 公式の暗記ではなく、「経路差 \(= m\lambda\)」という原理から導出するプロセスをマスターしましょう。媒質中では波長が \(\lambda/n\) に縮むため、条件式は \(\frac{dx}{L} = m \frac{\lambda}{n}\) となり、間隔も \(1/n\) 倍になります。
• 経路差 \(\Delta L\) と明線間隔 \(\Delta x\) の混同:
  • 誤解: 経路差 \(\frac{dx}{L}\) を求めているのに、それを明線間隔だと思い込んでしまう。
  • 対策: 記号の意味を明確にしましょう。経路差は「ある点Pでの2つの光の道のりの差」、明線間隔は「スクリーン上の縞模様のピッチ」です。次元（単位）はどちらも長さですが、物理的な意味が異なります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 近似式 \(\sin \theta \approx \tan \theta\) の選択:
  • 選定理由: 経路差 \(d \sin \theta\) を、スクリーン上の座標 \(x\) と結びつけるためです。\(\sin \theta\) のままでは \(x\) が出てきませんが、\(\tan \theta = x/L\) と変換することで、観測可能な量 \(x\) で記述できます。
  • 適用根拠: 問題文の \(x \ll L\) という条件が、この近似の数学的な正当性を保証しています。
• 干渉条件式の選択:
  • 選定理由: 波の重ね合わせの原理に基づき、位相差が \(0\) （同位相）なら振幅が最大（強め合い）、\(\pi\) （逆位相）なら振幅が最小（弱め合い）になるという物理法則を数式化したものです。
  • 適用根拠: 光を波として扱う波動光学の領域では、この干渉条件が全ての現象の出発点となります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式の次元確認:
  • 答えの \(\Delta x = \frac{L\lambda}{d}\) の次元を確認します。\(L\) [m], \(\lambda\) [m], \(d\) [m] なので、\(\frac{[\text{m}] \cdot [\text{m}]}{[\text{m}]} = [\text{m}]\) となり、長さの次元を持っています。もし \(d\) が分子に来ていたら次元がおかしくなるので、ミスに気づけます。
• 比例・反比例の直感チェック:
  • 波長 \(\lambda\) が長い（赤い光）ほど、回折現象が顕著になり、縞間隔 \(\Delta x\) は広がるはずです。式 \(\Delta x \propto \lambda\) はこれと一致します。
  • スリット間隔 \(d\) を広げると、2つの波源が離れるため、干渉縞は細かくなる（狭くなる）はずです。式 \(\Delta x \propto 1/d\) はこれと一致します。
• 近似計算の練習:
  • \((1+x)^n \approx 1+nx\) の近似は物理で頻出です。特に \(n=1/2\) （ルート）や \(n=-1\) （逆数）の場合をスムーズに使えるように練習しておきましょう。別解のような厳密な導出ができると、自信を持って近似を使えるようになります。

基本例題55 薄膜の干渉

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「薄膜による光の干渉」です。シャボン玉や油膜が色づいて見える現象の原理であり、光の反射に伴う位相のずれと、経路差による干渉条件を正しく組み合わせることが求められます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
まず、薄膜の上面と下面で反射する光の位相がずれるかどうかを確認します。

• 上面: 空気（\(n=1\)）\(\rightarrow\) 薄膜（\(n=1.5\)）。屈折率小 \(\rightarrow\) 大 なので、位相は \(\pi\) ずれます。
• 下面: 薄膜（\(n=1.5\)）\(\rightarrow\) ガラス（\(n=1.4\)）。屈折率大 \(\rightarrow\) 小 なので、位相はずれません。

片方だけ位相が \(\pi\) ずれるため、干渉条件が逆転します（経路差が半波長の奇数倍で強め合い）。
経路差は往復分の \(2d\) ですが、これは薄膜中の距離なので、薄膜中の波長 \(\lambda’ = \lambda/n\) を基準に考えるか、光路長 \(2nd\) を用いて真空中の波長 \(\lambda\) を基準に考えます。
この設問における重要なポイント

• 屈折率の大小関係: 空気(\(1\)) \(<\) 薄膜(\(1.5\)) \(>\) ガラス(\(1.4\))。
• 反射による位相のずれ: 上面で \(\pi\) ずれ、下面でずれない。合計で \(\pi\) ずれる。
• 強め合う条件: （光路差）\(=\) （半波長の奇数倍）。
• 最小の厚さ: \(m=0\) の場合を考える。

具体的な解説と立式
薄膜の屈折率を \(n=1.5\)、厚さを \(d\)、真空中の波長を \(\lambda = 6.0 \times 10^{-7}\,\text{m}\) とします。
薄膜中の波長は \(\lambda’ = \frac{\lambda}{n}\) です。
往復の幾何学的距離は \(2d\) です。
反射による位相のずれを考慮すると、強め合う条件は「経路差が半波長の奇数倍」となります。
$$
\begin{aligned}
2d &= \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda’ \quad (m=0, 1, 2, \dots) \\[2.0ex] &= \frac{2m+1}{2} \cdot \frac{\lambda}{n} \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
最小の厚さを求めるので、\(m=0\) を代入して \(d\) について解きます。

式①に \(m=0\) を代入し、\(d\) について整理します。
$$
\begin{aligned}
2d &= \frac{1}{2} \cdot \frac{\lambda}{n} \\[2.0ex] d &= \frac{\lambda}{4n}
\end{aligned}
$$
数値を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
d &= \frac{6.0 \times 10^{-7}}{4 \times 1.5} \\[2.0ex] &= \frac{6.0 \times 10^{-7}}{6.0} \\[2.0ex] &= 1.0 \times 10^{-7}\,\text{m}
\end{aligned}
$$

光が膜の表面で反射するとき、硬い壁に当たったように跳ね返る（位相が反転する）場合と、柔らかい壁に当たったように跳ね返る（位相が変わらない）場合があります。今回は、表面では「硬い壁」反射、裏面では「柔らかい壁」反射が起きます。片方だけひっくり返るので、本来なら山と山が重なって強め合うはずのタイミング（波長1個分の遅れ）で、山と谷が重なって弱め合ってしまいます。逆に、波長半分だけ遅れたとき（本来なら弱め合うとき）に、ひっくり返ったおかげで強め合います。一番薄い膜でこれが起きるのは、往復でちょうど「波長の半分」の距離を進んだときです。

最小の膜厚は \(1.0 \times 10^{-7}\,\text{m}\) となりました。これは可視光の波長の数分の一程度であり、シャボン玉などの薄膜として妥当な厚さです。

問(2)

思考の道筋とポイント
ガラスの屈折率が \(1.6\) に変わったことで、下面での反射の条件が変わります。

• 上面: 空気(\(1\)) \(\rightarrow\) 薄膜(\(1.5\))。位相 \(\pi\) ずれ（変化なし）。
• 下面: 薄膜(\(1.5\)) \(\rightarrow\) ガラス(\(1.6\))。屈折率小 \(\rightarrow\) 大 に変わったため、位相が \(\pi\) ずれるようになります。

上面と下面の両方で位相が \(\pi\) ずれるため、相対的な位相のずれはなくなります（\(2\pi\) ずれは \(0\) ずれと同じ）。したがって、干渉条件は「経路差が波長の整数倍で強め合い」という通常の条件に戻ります。
(1)で求めた厚さ \(d\) は、(1)の条件（半波長の奇数倍）を満たすものでした。条件式が逆転した今、この厚さではどうなるかを判断します。
この設問における重要なポイント

• 屈折率の大小関係: 空気(\(1\)) \(<\) 薄膜(\(1.5\)) \(<\) ガラス(\(1.6\))。
• 反射による位相のずれ: 上面で \(\pi\) ずれ、下面でも \(\pi\) ずれ。
• 相対的な位相差: なし（同位相）。
• (1)の条件式 \(2nd = \frac{1}{2}\lambda\) が、今回の「弱め合う条件」に一致することを見抜く。

具体的な解説と立式
今回の条件では、上面、下面ともに位相が \(\pi\) ずれるため、反射光同士の位相のずれはキャンセルされます。
したがって、強め合う条件は
$$
\begin{aligned}
2nd &= m\lambda
\end{aligned}
$$
弱め合う条件は
$$
\begin{aligned}
2nd &= \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda
\end{aligned}
$$
となります。
(1)で求めた厚さ \(d\) は、\(2nd = \frac{1}{2}\lambda\) を満たすものでした。これは、上記の「弱め合う条件」の \(m=0\) の場合に相当します。

(1)の結果 \(2nd = 0.5\lambda\) を、今回の条件に照らし合わせます。
光路差 \(0.5\lambda\) は半波長の奇数倍なので、位相差のない干渉においては「弱め合い」の条件を満たします。

ガラスを屈折率の高いものに変えると、膜の裏側での反射も「硬い壁」反射に変わります。すると、表側も裏側もひっくり返るので、結局、2つの光のタイミングのズレは元通り（距離の分だけ）になります。(1)では「ひっくり返ったから強め合っていた」のですが、今回は「ひっくり返らなくなった（両方ひっくり返った）」ので、同じ距離だと逆に弱め合うことになります。

反射光は弱め合います。屈折率の大小関係が単調増加（小\(\rightarrow\)中\(\rightarrow\)大）する場合、反射防止膜（コーティング）として機能することがわかります。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 反射による位相のずれ（固定端反射と自由端反射）
  • 核心: 光が異なる媒質の境界面で反射するとき、屈折率が「小さい媒質から大きい媒質」へ向かう反射（\(n_1 < n_2\)）では、位相が \(\pi\)（半波長分）ずれます。これを固定端反射とみなせます。逆に「大きい媒質から小さい媒質」へ向かう反射（\(n_1 > n_2\)）では、位相はずれません（自由端反射）。
  • 理解のポイント:
    • 判定の基準: 常に「向こう側の屈折率」と比較します。向こうが硬い（屈折率大）なら反転、柔らかい（屈折率小）ならそのまま、とイメージしましょう。
    • 干渉条件への影響: 2つの反射光のうち、片方だけが反転する場合は条件式が逆転（\(m\lambda\) で暗、\((m+0.5)\lambda\) で明）します。両方反転、あるいは両方そのままなら、条件式は通常通りです。
• 光路長（光学的距離）の概念
  • 核心: 媒質中での光の進み遅れを考慮するために、幾何学的な距離 \(L\) に屈折率 \(n\) を掛けた「光路長 \(nL\)」を用います。これにより、すべての距離を「真空中の距離」に換算して統一的に扱えます。
  • 理解のポイント:
    • 波長の短縮: 屈折率 \(n\) の媒質中では、光の速さが \(1/n\) になり、波長も \(\lambda’ = \lambda/n\) に縮みます。
    • 経路差の計算: 「媒質中の波長 \(\lambda’\) で距離 \(L\) を測る」ことと、「真空中の波長 \(\lambda\) で距離 \(nL\) を測る」ことは等価です。計算ミスを防ぐには、後者の光路長方式が推奨されます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ニュートンリング: 平面ガラスの上に凸レンズを置いた装置。空気層の厚さが変化することで干渉縞ができます。中心付近では空気層が極めて薄く、上面（ガラス\(\rightarrow\)空気）は位相変化なし、下面（空気\(\rightarrow\)ガラス）は位相 \(\pi\) 変化なので、中心は必ず暗点になります。
  • くさび形空気層: 2枚のガラス板の片側に紙などを挟んで隙間を作ったもの。ニュートンリングと同様に、等厚干渉縞が観察されます。
  • 反射防止膜（コーティング）: メガネやカメラのレンズに使われる技術。本問の(2)のように、屈折率を段階的に変化させる（空気 \(<\) 膜 \(<\) レンズ）ことで、両面とも位相を反転させ、特定の波長の反射光を弱め合わせます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 屈折率の大小関係を書き込む: 図に \(n=1, n=1.5, n=1.4\) などの数値を書き込み、境界面ごとに不等号（\(<\) や \(>\)）を記入します。
  2. 位相の変化を矢印でメモする: 反射点ごとに「\(\pi\) ずれ」「なし」を明記します。
  3. 往復か片道かを確認する: 薄膜干渉は通常「往復」ですが、透過光の干渉を問われる場合もあります。透過光の場合、反射回数が異なるため位相条件が変わることに注意が必要です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 経路差 \(2d\) と光路差 \(2nd\) の混同:
  • 誤解: 媒質中なのに屈折率 \(n\) を掛け忘れて \(2d = m\lambda\) と立式してしまう。
  • 対策: 「膜の中を通っている！」と強く意識し、必ず \(n\) を掛ける癖をつけましょう。あるいは、別解のように常に光路長で考える習慣をつけるとミスが激減します。
• \(m=0\) の取り扱い:
  • 誤解: 「最小の厚さ」と聞かれて \(m=1\) を代入してしまう。
  • 対策: \(m\) は \(0\) 以上の整数（\(0, 1, 2 \dots\)）です。式を立てた後、\(m=0\) を代入して \(d\) が正の値になるか、物理的に意味があるかを確認しましょう。ただし、暗線の条件などで \(2nd = m\lambda\) となった場合、\(m=0\) だと \(d=0\)（膜がない）になってしまうため、その場合は \(m=1\) が最小解となります。
• 波長 \(\lambda\) の基準:
  • 誤解: 問題文で与えられた波長が「真空中」のものか「媒質中」のものかを確認せずに計算する。
  • 対策: 通常は真空中の波長が与えられますが、稀に「水中での波長」が与えられることもあります。単位や文脈をよく読みましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 光路長 \(2nd\) の選択:
  • 選定理由: 異なる媒質（空気、膜、ガラス）が混在する系において、干渉条件を統一的に記述するためです。
  • 適用根拠: 光の位相の進み具合は、時間 \(t\) に比例します。距離 \(L\) を進む時間 \(t = L/v = L/(c/n) = nL/c\) は、光路長 \(nL\) に比例するため、光路長を比較することが位相差を比較することに直結します。
• 位相差 \(\pi\) の加算:
  • 選定理由: 幾何学的な距離の差だけでは説明できない、反射による物理的な位相の反転を数式に反映させるためです。
  • 適用根拠: マクスウェル方程式から導かれる境界条件により、屈折率の低い側から高い側への反射では電場の位相が反転することが証明されています。高校物理ではこれを事実として受け入れ、条件式に \(\lambda/2\) を加える（または \(m\) と \(m+1/2\) を入れ替える）操作として適用します。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• \(m\) の偶奇性チェック:
  • 条件式を立てた後、「\(m=0\) のときどうなるか？」を定性的に考えます。例えば(1)では、膜が極限まで薄い（\(d \to 0\)）とき、経路差は \(0\) ですが、位相反転があるため干渉して弱め合う（暗くなる）はずです。求めた式 \(2nd = (m+0.5)\lambda\) で \(d \to 0\) は満たせないので、\(d=0\) は暗線条件（\(2nd = m\lambda\)）に含まれるべきです。このように極限状態で検算できます。
• 数値計算の指数処理:
  • \(6.0 \times 10^{-7}\) のような指数表記の計算では、仮数部（\(6.0\)）と指数部（\(10^{-7}\)）を分けて計算し、最後に合体させるとミスが減ります。また、可視光の波長（\(4 \sim 7 \times 10^{-7}\,\text{m}\)）や膜の厚さ（\(10^{-7}\,\text{m}\) オーダー）の相場観を持っておくと、桁違いのミスに気づけます。

基本問題

393 フィゾーの光速測定

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「フィゾーの光速測定実験」です。1849年にフィゾーが行った、地上で初めて光速を測定した歴史的な実験の原理を理解し、光の速さと回転体の運動の関係を数式で表現することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
光は光源から出て、歯車の隙間を通り、鏡で反射して戻ってきます。この往復の道のりは、片道 \(L\) の2倍、つまり \(2L\) です。光の速さは \(c\) で一定なので、「時間 \(=\) 距離 \(\div\) 速さ」の公式を使って時間を求めます。
この設問における重要なポイント

• 往復距離は \(2L\) である。
• 光速は \(c\) である。
• 等速直線運動の公式 \(x = vt\) （または \(t = x/v\)）を用いる。

具体的な解説と立式
光が歯車と鏡の間を往復する距離は \(2L\) です。
光の速さは \(c\) なので、往復にかかる時間 \(t_1\) は以下の式で表されます。
$$
\begin{aligned}
t_1 &= \frac{\text{往復距離}}{\text{速さ}} \\[2.0ex] &= \frac{2L}{c}
\end{aligned}
$$

立式そのものが答えとなります。

光が鏡まで行って帰ってくるまでの時間を計算します。距離は往復で \(2L\) メートル、速さは秒速 \(c\) メートルなので、距離を速さで割れば時間が出ます。

時間は \(t_1 = \frac{2L}{c}\) [s] となります。次元を確認すると、\([\text{m}] / [\text{m/s}] = [\text{s}]\) となり正しいです。

問(2)

思考の道筋とポイント
「初めて反射光が戻らなくなった」という状況を具体的にイメージします。
1. 光が「歯の隙間A」を通って鏡に向かいます。
2. 光が鏡まで往復している間に、歯車は少しだけ回転します。
3. 戻ってきた光が、ちょうど「隙間Aの隣にある歯B」にぶつかって遮られます。
つまり、光が往復する時間 \(t_1\) と、歯車が「隙間から隣の歯まで」回転する時間 \(t_2\) が等しくなる条件を考えます。
歯車には \(n\) 個の歯があり、歯と隙間は同じ幅であると仮定するのが一般的です（問題文の図や文脈から、歯と隙間が交互に並んでいると考えます）。すると、歯車1周（\(360^\circ\)）には、歯が \(n\) 個、隙間が \(n\) 個、合計 \(2n\) 個の区画があることになります。
したがって、「隙間から隣の歯まで」の回転は、1周の \(1/(2n)\) に相当します。
この設問における重要なポイント

• 歯車の歯数は \(n\) 個。
• 歯と隙間の数は合計で \(2n\) 個（歯 \(n\) 個 \(+\) 隙間 \(n\) 個）。
• 「隙間」から「隣の歯」までの移動は、歯車全体の \(1/(2n)\) 回転に相当する。
• 歯車の回転数は毎秒 \(f\) 回なので、1回転にかかる時間は \(1/f\) 秒。
• 光が遮られる条件: \(t_1 = t_2\)。

具体的な解説と立式
まず、歯車が「隙間」から「隣の歯」まで回転するのにかかる時間 \(t_2\) を求めます。
歯車は1秒間に \(f\) 回転するので、1回転にかかる時間（周期）は \(1/f\) 秒です。
歯車には \(n\) 個の歯と \(n\) 個の隙間があり、これらが等間隔に並んでいるとすると、全周は \(2n\) 等分されています。
「隙間」から「隣の歯」までの移動は、この \(2n\) 等分された区画の1つ分に相当するので、その回転にかかる時間は1回転の時間の \(1/(2n)\) 倍です。
$$
\begin{aligned}
t_2 &= \frac{1}{f} \times \frac{1}{2n} \\[2.0ex] &= \frac{1}{2nf} \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
光が遮られる条件は、光の往復時間 \(t_1\) と歯車の回転時間 \(t_2\) が等しくなることです。
(1)の結果 \(t_1 = \frac{2L}{c}\) と式①を用いて等式を立てます。
$$
\begin{aligned}
\frac{2L}{c} &= \frac{1}{2nf} \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$
この式を \(c\) について解きます。

式②を変形して \(c\) を求めます。
両辺の逆数をとると、
$$
\begin{aligned}
\frac{c}{2L} &= 2nf
\end{aligned}
$$
両辺に \(2L\) を掛けると、
$$
\begin{aligned}
c &= 2nf \times 2L \\[2.0ex] &= 4nfL
\end{aligned}
$$

光が「行って帰ってくる」間に、歯車が「カチッ」と1目盛り分（隙間から歯へ）だけ動けば、帰ってきた光は歯にぶつかって通れません。
歯車には \(n\) 個の歯があるので、隙間も \(n\) 個あります。つまり、歯車1周は「歯、隙間、歯、隙間…」と合計 \(2n\) 個のステップに分かれています。
歯車は1秒間に \(f\) 回まわるので、1周するのに \(1/f\) 秒かかります。
1ステップ（隙間から歯へ）動くのにかかる時間は、1周の時間の \(2n\) 分の1なので、\(\frac{1}{2nf}\) 秒です。
この時間が、光の往復時間 \(\frac{2L}{c}\) と同じになればよいので、方程式を立てて \(c\) を計算します。

光速は \(c = 4nfL\) [m/s] と求まりました。
単位を確認すると、\(n\) [個]（無次元）、\(f\) [1/s]、\(L\) [m] なので、\([1/s] \times [\text{m}] = [\text{m/s}]\) となり正しいです。
また、回転数 \(f\) が速いほど、あるいは距離 \(L\) が長いほど、測定される光速 \(c\) が大きくても間に合う（遮られる）という関係も物理的に妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 光の往復時間と等速直線運動
  • 核心: 光速測定の基本原理は、既知の距離 \(2L\) を光が移動するのにかかる時間 \(t\) を測定し、\(c = 2L/t\) から光速を求めることです。フィゾーの実験では、この極めて短い時間 \(t\) を、歯車の回転という機械的な運動の時間スケールに変換して測定可能にした点が画期的です。
  • 理解のポイント:
    • 往復距離: 鏡を使うことで、光路長は片道 \(L\) ではなく往復 \(2L\) になります。これを忘れると答えが2倍ずれてしまいます。
• 回転運動と時間の同期
  • 核心: 「光が往復する時間」と「歯車が次の歯まで回転する時間」が一致した瞬間に、観測者から光が見えなくなる（暗くなる）という現象を利用しています。これは、2つの異なる物理現象（光の伝播と歯車の回転）の時間を同期させる（イコールで結ぶ）という発想です。
  • 理解のポイント:
    • 歯車の幾何学: 歯車1周には「歯」と「隙間」が交互に並んでいます。歯数 \(n\) の場合、全周は \(2n\) 個の区画（歯 \(n\) 個 \(+\) 隙間 \(n\) 個）に分割されます。したがって、隣の区画（隙間 \(\to\) 歯）への移動は \(1/(2n)\) 回転に相当します。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • フーコーの実験（回転鏡法）: 歯車の代わりに高速回転する鏡を用い、光の往復中に鏡が回転することで生じる反射光の角度のずれから光速を測定します。これも「光の往復時間」と「回転体の動き」を結びつける点で原理は同じです。
  • マイケルソン・モーリーの実験: 光速そのものではなく、光速の方向依存性（エーテルの風）を検出するために、直交する2方向の光の干渉を利用します。往復時間の差を考える点が共通しています。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 「何が何を遮るのか」を時系列で追う: 光が出る \(\to\) 隙間を通る \(\to\) 鏡で反射 \(\to\) 戻ってくる \(\to\) 歯にぶつかる。このストーリーを頭の中で再生し、どのタイミングで遮断が起きるかを特定します。
  2. 「初めて」の意味を考える: 問題文に「はじめて反射光がもどらなくなった」とある場合、それは歯車が最小単位（隙間 \(\to\) 隣の歯）だけ動いたことを意味します。もし「再び見えるようになった」なら、隙間 \(\to\) 次の隙間（2ステップ分）動いたことになります。
  3. 周期性と条件式: 一般に、\(m\) 回目に暗くなる条件は、回転角が \((2m-1) \times (\text{1区画の角度})\) のような形になります。数列的な思考が必要になる場合もあります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 歯車の区画数の数え間違い:
  • 誤解: 歯数が \(n\) だから、1周は \(n\) 等分されていると考えてしまい、\(1/n\) 回転として計算する。
  • 対策: 図をよく見てください。歯と歯の間には必ず隙間があります。「歯」と「隙間」がセットで1周期ではなく、光が通る・通らないの切り替えは「歯」と「隙間」の境界で起こります。したがって、区画数は \(2n\) です。
• 往復距離のミス:
  • 誤解: 距離 \(L\) をそのまま使って \(t = L/c\) としてしまう。
  • 対策: 「鏡で反射して戻ってくる」という記述を見たら、即座に「往復 \(2L\)」と書き込みましょう。
• 単位の次元ミス:
  • 誤解: 回転数 \(f\) [回/秒] と周期 \(T\) [秒] の関係 \(T=1/f\) を逆にしてしまう。
  • 対策: 単位を確認します。\(f\) は \([1/\text{s}]\)、\(T\) は \([\text{s}]\) です。\(fT = 1\) （回数 \(\times\) 1回の時間 \(=\) 1秒）という関係を覚えておくと間違いません。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(t = \frac{2L}{c}\) の選択:
  • 選定理由: 光速 \(c\) は一定（等速直線運動）なので、距離を速さで割るだけの最も基本的な公式が適用されます。
  • 適用根拠: 媒質中の屈折率などが言及されていないため、真空中（または空気中）の光速 \(c\) をそのまま用います。
• \(t = \frac{1}{2nf}\) の導出（回転運動）:
  • 選定理由: 歯車の回転という周期的な運動において、特定の角度（1区画分）だけ動く時間を求めるためです。
  • 適用根拠: 歯車が等速回転しているため、回転角度は時間に比例します。全体の時間（\(1/f\)）に、全体の角度に対する部分の角度の割合（\(1/2n\)）を掛けることで求められます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま計算する:
  • 具体的な数値（\(L=8.63\,\text{km}\) など）が与えられていても、最後まで \(L, n, f, c\) などの文字のままで式変形を行い、最後に代入します。これにより、計算ミスを減らし、次元チェックも容易になります。
• 次元解析（単位チェック）:
  • 答えの \(c = 4nfL\) の次元を確認します。
    • \(n\): 無次元（個数）
    • \(f\): \([\text{s}^{-1}]\)
    • \(L\): \([\text{m}]\)
    • 全体: \([\text{m/s}]\)
  • これにより、例えば \(c = \frac{nfL}{2}\) のようなミス（係数の間違いは検出できませんが、変数の配置ミスなど）を防げます。係数の \(4\) は、「往復の \(2\)」と「区画の \(2\)」から来ていることを意識すると確実です。

394 光の屈折

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「光の反射と屈折」です。異なる媒質の境界面で光がどのように振る舞うか、反射の法則と屈折の法則を用いて定量的に理解し、作図できることが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
まず、図から入射角 \(\theta_0\) の情報を読み取ります。入射光線と法線（縦の線）がなす角が入射角です。図の円の半径を斜辺とする直角三角形を見つけ、その辺の比から \(\sin \theta_0\) を求めます。次に、反射の法則「入射角＝反射角」を使って \(\sin \theta_1\) を答えます。
この設問における重要なポイント

• 入射角、反射角は「法線（境界面に垂直な線）」とのなす角である。
• 図の目盛りから直角三角形の辺の長さを読み取る。
• 反射の法則: \(\theta_1 = \theta_0\)。

具体的な解説と立式
図の円の半径を \(r\) とします。目盛りを見ると、円と入射光線の交点から法線までの水平距離（対辺）は4目盛り分、法線方向の距離（隣辺）は3目盛り分です。
三平方の定理より、斜辺（半径）の長さは \(\sqrt{3^2 + 4^2} = 5\) 目盛り分に相当します。
入射角 \(\theta_0\) について、サインの定義より
$$
\begin{aligned}
\sin \theta_0 &= \frac{\text{対辺}}{\text{斜辺}} \\[2.0ex] &= \frac{4}{5}
\end{aligned}
$$
反射の法則より、反射角 \(\theta_1\) は入射角 \(\theta_0\) と等しいので、
$$
\begin{aligned}
\theta_1 &= \theta_0
\end{aligned}
$$
したがって、
$$
\begin{aligned}
\sin \theta_1 &= \sin \theta_0 \\[2.0ex] &= \frac{4}{5}
\end{aligned}
$$

立式過程で計算済みです。

図を見ると、光が入ってくる角度は、横に4マス、縦に3マスの直角三角形の角度になっています。この三角形の斜めの長さは「3:4:5」の有名な三角形なので5マス分です。サイン（\(\sin\)）は「斜めの長さ分の横の長さ」なので、\(4/5\) になります。鏡のように反射するとき、光は入ってきた角度と同じ角度で跳ね返るので、反射する角度のサインも同じ \(4/5\) です。

\(\sin \theta_1 = 4/5\) となりました。\(0 < \sin \theta < 1\) の範囲に収まっており、妥当な値です。

問(2)

思考の道筋とポイント
光が空気（媒質1）から水（媒質2）へ進むときの屈折を考えます。屈折の法則 \(n_1 \sin \theta_0 = n_2 \sin \theta_2\) を用います。空気の屈折率 \(n_1 = 1\)、水の屈折率 \(n_2 = 4/3\)、そして(1)で求めた \(\sin \theta_0 = 4/5\) を代入して、\(\sin \theta_2\) を求めます。
この設問における重要なポイント

• 空気の屈折率 \(n_1 = 1\)。
• 水の屈折率 \(n_2 = 4/3\)。
• 屈折の法則を正しく適用する。

具体的な解説と立式
屈折の法則より、以下の式が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
n_1 \sin \theta_0 &= n_2 \sin \theta_2 \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
与えられた値を代入します。
$$
\begin{aligned}
1 \times \frac{4}{5} &= \frac{4}{3} \times \sin \theta_2
\end{aligned}
$$

式①を \(\sin \theta_2\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\frac{4}{5} &= \frac{4}{3} \sin \theta_2 \\[2.0ex] \sin \theta_2 &= \frac{4}{5} \times \frac{3}{4} \\[2.0ex] &= \frac{3}{5}
\end{aligned}
$$

光が空気から水に入るとき、進むスピードが遅くなるため、光の進路が曲がります。この曲がり具合には「屈折率×サインの値は変わらない」というルールがあります。空気側での値は \(1 \times (4/5) = 4/5\) です。水側では屈折率が \(4/3\) なので、\((4/3) \times (\text{サインの値}) = 4/5\) となるように計算すると、サインの値は \(3/5\) になります。

\(\sin \theta_2 = 3/5\) となりました。入射側の \(4/5\) より小さい値になっており、屈折率の大きい媒質へ進む際に角度が小さくなる（法線に近づく）という物理的性質と一致しています。

問(3)

思考の道筋とポイント
(1)と(2)で求めたサインの値をもとに、反射光と屈折光を作図します。
反射光: \(\sin \theta_1 = 4/5\)。これは入射光と左右対称な形になります。
屈折光: \(\sin \theta_2 = 3/5\)。これは、斜辺（半径）が5目盛りのとき、対辺（水平距離）が3目盛りになることを意味します。
この設問における重要なポイント

• 反射光は入射光と線対称（法線に関して対称）。
• 屈折光は、円との交点の水平座標（法線からの距離）が3目盛りになる点を通る。

具体的な解説と立式
反射光:
入射光は円周上の点（左上、水平距離-4、垂直距離3）を通っています。反射光は法線に対して対称なので、円周上の点（右上、水平距離4、垂直距離3）を通る直線を引きます。

屈折光:
\(\sin \theta_2 = 3/5\) なので、円の半径を5とすると、法線からの距離（水平距離）は3となります。
水中の領域（下半分）で、水平距離が3となる円周上の点（右下、水平距離3、垂直距離-4）を探し、原点からその点へ直線を引きます。
ちなみに、このとき垂直距離は \(\sqrt{5^2 – 3^2} = 4\) となり、ちょうど目盛りの交点を通ることが確認できます。

計算は不要で、作図のみです。

反射光は、鏡に映ったように反対側に同じ角度で跳ね返る線を引きます。横に4マス行ったところを通ります。
屈折光は、さっき計算したサインの値 \(3/5\) を使います。これは「斜め5マス進むと横に3マス進む」という意味です。円の半径はちょうど5マスなので、水の中で横に3マスのところにある円周上の点を見つけて、そこに向かって線を引けばOKです。

反射光は第1象限の(4, 3)を通る線、屈折光は第4象限の(3, -4)を通る線となります。屈折光が入射光の延長線より内側（法線側）に曲がっていることが視覚的にも確認できます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 屈折の法則の普遍性
  • 核心: 異なる媒質の境界において、光（波動）の進行方向が変化する現象を支配する法則です。\(n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2\) という式は、光だけでなく音波や水面波など、あらゆる波動現象に適用できる普遍的な関係式です。
  • 理解のポイント:
    • 保存量: 「屈折率 \(\times\) サイン」という量が、境界を越えても保存される（値が変わらない）と解釈すると覚えやすいです。
    • 物理的背景: この法則は、波の速さが媒質によって異なること（\(v = c/n\)）と、波面の連続性（ホイヘンスの原理）から必然的に導かれます。
• 三角比と幾何学的関係のリンク
  • 核心: 物理の問題でありながら、図形から情報を読み取る幾何学的な能力が問われます。特に、円の半径を斜辺とする直角三角形を見出し、その辺の比から \(\sin \theta\) を直接読み取るスキルは、波動分野の作図問題で頻出です。
  • 理解のポイント:
    • 座標とサイン: 円周上の点 \((x, y)\) と原点を結ぶ線分が \(y\) 軸となす角 \(\theta\) について、\(\sin \theta = |x|/r\) （\(r\) は半径）となる関係を直感的に使えるようにしましょう。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 全反射の臨界角: 光が屈折率の大きい媒質から小さい媒質へ進むとき（例: 水 \(\to\) 空気）、屈折角が \(90^\circ\) （\(\sin \theta_2 = 1\)）になる条件を考えます。本問の逆パターンですが、使う式は同じ \(n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2\) です。
  • 平行平板ガラスによる光のずれ: 空気 \(\to\) ガラス \(\to\) 空気 と進む場合、2回の屈折を経て光線は元の方向と平行になります。それぞれの界面で屈折の法則を立てて連立させます。
  • プリズムによる分散: 波長によって屈折率 \(n\) がわずかに異なるため、屈折角 \(\theta_2\) に差が生じ、色が分かれる現象です。基本原理はこの問題と全く同じです。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 法線を引く: 境界面に対して垂直な線（法線）を必ず引きます。すべての角度（入射角、反射角、屈折角）は、この法線とのなす角で定義されます。境界面とのなす角ではないことに注意！
  2. 屈折率の大小を確認する: \(n_1 < n_2\) ならば \(\theta_1 > \theta_2\) （法線に近づく）、\(n_1 > n_2\) ならば \(\theta_1 < \theta_2\) （法線から遠ざかる）という定性的なチェックを最初に行います。
  3. グリッド（目盛り）を利用する: 図に方眼や目盛りがある場合は、角度を分度器で測るのではなく、直角三角形の辺の比（座標）として処理することを意図しています。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 角度の定義ミス:
  • 誤解: 光線と「境界面」のなす角を \(\theta\) として計算してしまう。
  • 対策: 「角度は常に法線（縦線）から測る」と呪文のように唱えましょう。図に \(\theta\) を書き込むときは、必ず法線との間の弧を描く癖をつけます。
• 屈折率の比の逆転:
  • 誤解: \(\frac{\sin \theta_1}{\sin \theta_2} = \frac{n_1}{n_2}\) と書いてしまう（正しくは逆比 \(\frac{n_2}{n_1}\)）。
  • 対策: 分数形は覚えにくいので避けましょう。\(n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2\) という積の形なら、添字が揃うので間違いようがありません。
• 作図の不正確さ:
  • 誤解: なんとなくフリーハンドで曲げて描いてしまう。
  • 対策: 本問のように数値（\(\sin \theta = 3/5\)）が決まっている場合は、必ずその座標（\(x=3\)）を通るように定規を使って正確に描きます。採点者は「線が通るべき点を通っているか」を見ています。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 屈折の法則 \(n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2\) の選択:
  • 選定理由: 異なる媒質間での光の進行方向の変化（角度の関係）を定量的に扱うための唯一の基本法則だからです。
  • 適用根拠: 波動光学ではなく幾何光学の範囲で、波長や干渉を考慮せず、光線の経路のみを追跡する問題であるため、この法則が直接適用されます。
• 三角比の定義 \(\sin \theta = \text{対辺}/\text{斜辺}\) の選択:
  • 選定理由: 角度そのものの値（\(30^\circ\) や \(45^\circ\) など）が与えられておらず、代わりにグリッド上の座標が与えられているためです。
  • 適用根拠: 直角三角形の辺の長さが整数比（3:4:5）になっていることから、三角関数表を使わずに厳密な値を計算できる設定になっています。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• ピタゴラス数の暗記:
  • \(3:4:5\)、\(5:12:13\)、\(1:1:\sqrt{2}\)、\(1:\sqrt{3}:2\) などの基本的な直角三角形の比を覚えておくと、計算の手間が省け、検算も速くなります。本問では \(3:4:5\) がそのまま使われています。
• 範囲チェック:
  • 求めた \(\sin \theta\) の値が必ず \(-1\) から \(1\) の間（通常は \(0\) から \(1\)）に収まっているか確認します。もし \(1.2\) などの値が出たら、斜辺と対辺を取り違えているか、屈折の法則の分母分子を間違えています。
• 対称性の利用:
  • 反射光の作図では、計算しなくても「法線に対して折り返す」だけで描けます。屈折光の作図でも、\(x\) 座標と \(y\) 座標の符号を意識する（第4象限に行くはず）ことで、ケアレスミスを防げます。

395 屈折率と光

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「媒質中での光の性質」です。光が真空中から物質（媒質）中に入るとき、その速さ、波長、振動数がどのように変化するか（あるいは変化しないか）を、屈折率の定義に基づいて理解することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

波長・速さ・振動数

思考の道筋とポイント
まず、屈折率 \(n=1.5\) の意味を思い出します。屈折率とは「光の進みにくさ」を表す指標であり、媒質中では光の速さが \(1/n\) になり、波長もぎゅっと縮んで \(1/n\) になります。一方で、振動数（1秒間に波が振動する回数）は、波源が刻むリズムそのものなので、どこへ行っても変わりません。
この設問における重要なポイント

• 真空中の波長 \(\lambda = 6.0 \times 10^{-7}\,\text{m}\)。
• 真空中の速さ \(c = 3.0 \times 10^8\,\text{m/s}\)。
• ガラスの屈折率 \(n = 1.5\)。
• 媒質中の波長 \(\lambda’ = \lambda / n\)。
• 媒質中の速さ \(v = c / n\)。
• 振動数 \(f\) は不変、かつ \(f = v / \lambda’\) または \(f = c / \lambda\)。

具体的な解説と立式
まず、ガラス中の波長 \(\lambda’\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\lambda’ &= \frac{\lambda}{n} \\[2.0ex] &= \frac{6.0 \times 10^{-7}}{1.5}
\end{aligned}
$$
次に、ガラス中の速さ \(v\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
v &= \frac{c}{n} \\[2.0ex] &= \frac{3.0 \times 10^8}{1.5}
\end{aligned}
$$
最後に、振動数 \(f\) を求めます。波の基本式 \(v = f\lambda’\) より、
$$
\begin{aligned}
f &= \frac{v}{\lambda’}
\end{aligned}
$$
これに先ほど求めた \(v\) と \(\lambda’\) を代入します。

波長 \(\lambda’\) の計算:
$$
\begin{aligned}
\lambda’ &= \frac{6.0 \times 10^{-7}}{1.5} \\[2.0ex] &= 4.0 \times 10^{-7}\,\text{m}
\end{aligned}
$$
速さ \(v\) の計算:
$$
\begin{aligned}
v &= \frac{3.0 \times 10^8}{1.5} \\[2.0ex] &= 2.0 \times 10^8\,\text{m/s}
\end{aligned}
$$
振動数 \(f\) の計算:
$$
\begin{aligned}
f &= \frac{2.0 \times 10^8}{4.0 \times 10^{-7}} \\[2.0ex] &= 0.50 \times 10^{15} \\[2.0ex] &= 5.0 \times 10^{14}\,\text{Hz}
\end{aligned}
$$

光がガラスの中に入ると、動きにくくなってスピードが落ちます。屈折率 \(1.5\) というのは、スピードが \(1.5\) 分の \(1\) になるという意味です。スピードが落ちると、後ろから来る波がつっかえて、波と波の間隔（波長）も \(1.5\) 分の \(1\) に縮まります。でも、波のリズム（振動数）だけは変わりません。計算では、元の値を \(1.5\) で割って、最後にリズムを計算します。

波長: \(4.0 \times 10^{-7}\,\text{m}\)
速さ: \(2.0 \times 10^8\,\text{m/s}\)
振動数: \(5.0 \times 10^{14}\,\text{Hz}\)

波長と速さが真空中の値より小さくなっており、物理的に妥当です。振動数のオーダー \(10^{14}\,\text{Hz}\) も可視光として適切な範囲です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 屈折率の物理的意味
  • 核心: 屈折率 \(n\) は単なる「光を曲げる度合い」ではなく、「光の速さが真空中と比べてどれだけ遅くなるか」を表す比率（\(n = c/v\)）です。この定義こそが、屈折現象のすべての出発点です。
  • 理解のポイント:
    • 速さと波長の連動: 速さが \(1/n\) になると、波長も連動して \(1/n\) になります。これは、行列のできている遊園地のアトラクションで、乗り場の手前で歩く速度が遅くなると、人と人の間隔（波長）が詰まるのと同じ理屈です。
• 振動数の不変性
  • 核心: 波が異なる媒質へ進むとき、速さと波長は変化しますが、振動数 \(f\) だけは絶対に変化しません。
  • 理解のポイント:
    • 境界条件: 境界面において、媒質1側の波が1回振動すれば、媒質2側の波も強制的に1回振動させられます。波源のリズムは途切れることなく伝わるため、振動数は保存されるのです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 音波の屈折: 光だけでなく音波でも同様の計算問題が出ます。ただし、音波の場合は温度によって速さが変わるなど、屈折率の決まり方が異なりますが、\(v=f\lambda\) や振動数不変の原則は同じです。
  • 光の分散: プリズムなどで色（波長）によって屈折率 \(n\) が異なる現象。\(n\) が波長 \(\lambda\) の関数（\(n(\lambda)\)）として与えられた場合でも、特定の波長に対して本問と同じ計算を行えばOKです。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 「真空中の値」か「媒質中の値」かを区別する: 問題文の数値がどちらなのかを明確にします。添字（\(\lambda_0, \lambda’\) など）をつけて区別するとミスが減ります。
  2. 屈折率 \(n\) の定義を確認する: 通常は真空に対する絶対屈折率ですが、相対屈折率 \(n_{12}\) が与えられる場合もあります。\(n_{12} = v_1/v_2 = n_2/n_1\) の関係を思い出しましょう。
  3. 振動数は「波源」を見る: 振動数を問われたら、媒質の変化に惑わされず、波源の情報（または真空中の情報）から計算するのが最短ルートです。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 振動数も \(1/n\) にしてしまう:
  • 誤解: 速さも波長も \(1/n\) になるのだから、振動数もついでに \(1/n\) になるだろうと思い込んでしまう。
  • 対策: 「振動数は波のID（身分証明書）」と覚えましょう。赤色の光はガラスに入っても赤色のまま（振動数が変わらないから）です。もし振動数が変わったら色が変わってしまいます。
• 指数計算のミス:
  • 誤解: \(10^{-7}\) や \(10^8\) の割り算で、指数の符号を間違える（例: \(10^8 / 10^{-7} = 10^1\) としてしまう）。
  • 対策: 割り算は指数の引き算です。\(8 – (-7) = 15\) となることを丁寧に確認しましょう。
• 単位の次元ミス:
  • 誤解: 波長 \([\text{m}]\) と速さ \([\text{m/s}]\) を掛けて振動数を出そうとする（正しくは速さ \(\div\) 波長）。
  • 対策: 単位だけで計算してみます。\([\text{m/s}] \div [\text{m}] = [1/\text{s}] = [\text{Hz}]\) となり正しいことがわかります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(\lambda’ = \lambda/n, v = c/n\) の選択:
  • 選定理由: 媒質中での光の振る舞いを記述する定義式そのものだからです。
  • 適用根拠: 問題文で「屈折率 \(1.5\) のガラス」と明記されているため、定義に従って数値を割るだけで求められます。
• \(f = c/\lambda\) （別解）の選択:
  • 選定理由: 振動数の不変性を利用した、最も計算リスクの少ない方法だからです。
  • 適用根拠: 媒質中の値（\(\lambda’, v\)）は計算結果であり、もしそこで計算ミスをしていたら振動数も間違ってしまいます。問題文で与えられた確定値（\(c, \lambda\)）を使う方が、信頼性が高く、計算ステップも減らせます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 有効数字の確認:
  • 問題文の数値が \(6.0, 3.0, 1.5\) とすべて2桁なので、答えも2桁（\(4.0, 2.0, 5.0\)）で答えます。\(4 \times 10^{-7}\) と書くと減点される可能性があります。
• オーダー（桁数）の常識を持つ:
  • 可視光の波長は \(10^{-7}\,\text{m}\) （数百ナノメートル）、光速は \(10^8\,\text{m/s}\)、振動数は \(10^{14} \sim 10^{15}\,\text{Hz}\) 程度です。計算結果がこの範囲から大きく外れたら（例: 振動数が \(10^5\) になった）、どこかで計算ミスをしている証拠です。

396 光の屈折

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「光の屈折と見かけの深さ」です。屈折の法則を用いて媒質の屈折率を求める手順と、近軸光線近似を用いて見かけの深さを計算する手法をマスターすることが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
まず、問題文の状況を図に描いて角度の関係を整理します。入射角が \(60^\circ\) なので、反射の法則より反射角も \(60^\circ\) です。反射光と屈折光のなす角が \(90^\circ\) であることから、境界面（水平線）を基準にして屈折角を計算できます。最後に屈折の法則を使って屈折率 \(n\) を求めます。
この設問における重要なポイント

• 入射角 \(i = 60^\circ\)。
• 反射の法則より、反射角 \(i’ = 60^\circ\)。
• 反射光と屈折光のなす角が \(90^\circ\)。
• 境界面の法線（垂直線）を含めた角度の和が \(180^\circ\) であることを利用する。

具体的な解説と立式
反射の法則より、反射角は入射角と等しく \(60^\circ\) です。
図のように、境界面に立てた法線（垂直線）と光線のなす角を考えます。
反射光と屈折光のなす角が \(90^\circ\) なので、反射角 \(60^\circ\) と屈折角 \(r\) の和は \(90^\circ\) になります（反射光と屈折光が直交する場合、反射角 \(+\) 屈折角 \(= 90^\circ\) という幾何学的関係が成り立ちます）。
よって、屈折角 \(r\) は、
$$
\begin{aligned}
r &= 90^\circ – 60^\circ \\[2.0ex] &= 30^\circ
\end{aligned}
$$
空気の屈折率を \(1\)、ガラスの屈折率を \(n\) とし、屈折の法則を立てます。
$$
\begin{aligned}
1 \times \sin 60^\circ &= n \times \sin 30^\circ \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$

式①より \(n\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
n &= \frac{\sin 60^\circ}{\sin 30^\circ} \\[2.0ex] &= \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} \\[2.0ex] &= \sqrt{3}
\end{aligned}
$$
\(\sqrt{3} \approx 1.73\) なので、有効数字2桁で答えます。
$$
\begin{aligned}
n &\approx 1.7
\end{aligned}
$$

光がガラスに入るとき、一部は反射し、一部は中に入っていきます（屈折）。反射した光と中に入った光がちょうど直角（90度）に開いているとき、角度の計算をすると、中に入った光の角度（屈折角）は30度になることがわかります。あとは「屈折率×サインの値は変わらない」というルール（屈折の法則）を使って計算すれば、ガラスの屈折率が出せます。

屈折率は \(n = 1.7\) となりました。ガラスの屈折率として一般的な値（1.5〜1.9程度）の範囲内であり、妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
「真上近くから見る」という条件は、入射角や屈折角が非常に小さいことを意味します。このとき、\(\sin \theta \approx \tan \theta\) という近似が使えます。
見かけの深さ \(d’\) と実深さ \(d\) の関係を導きます。図を描いて、共通の水平距離（光の出口から直下の点までの距離）を媒介変数として、深さと角度（タンジェント）の関係式を作ります。
この設問における重要なポイント

• 近軸光線近似: \(\sin \theta \approx \tan \theta\)。
• 屈折の法則: \(n \sin \theta_2 = 1 \sin \theta_1\) （ガラスから空気へ出る光を考える）。
• 幾何学的関係: \(\tan \theta = (\text{水平距離}) / (\text{深さ})\)。

具体的な解説と立式
ガラスの底にある点Pから出た光が、水面で屈折して空気中に出ていく経路を考えます。
ガラス中の入射角を \(\theta_2\)、空気中の屈折角を \(\theta_1\) とします。
屈折の法則より、
$$
\begin{aligned}
n \sin \theta_2 &= 1 \sin \theta_1 \quad \cdots ③
\end{aligned}
$$
角度が小さいので \(\sin \theta \approx \tan \theta\) と近似します。
$$
\begin{aligned}
n \tan \theta_2 &\approx 1 \tan \theta_1 \quad \cdots ④
\end{aligned}
$$
ここで、光が水面から出てくる点と、点Pの真上の点との距離を \(x\) とします。
実深さ \(d = 6.0\,\text{mm}\) の直角三角形より、
$$
\begin{aligned}
\tan \theta_2 &= \frac{x}{d}
\end{aligned}
$$
見かけの深さ \(d’\) の直角三角形（浮き上がって見える点P’からの光）より、
$$
\begin{aligned}
\tan \theta_1 &= \frac{x}{d’}
\end{aligned}
$$
これらを式④に代入します。

$$
\begin{aligned}
n \cdot \frac{x}{d} &= 1 \cdot \frac{x}{d’} \\[2.0ex] \frac{n}{d} &= \frac{1}{d’} \\[2.0ex] d’ &= \frac{d}{n}
\end{aligned}
$$
数値を代入します。(1)より \(n = \sqrt{3}\)、\(d = 6.0\,\text{mm}\) です。
$$
\begin{aligned}
d’ &= \frac{6.0}{\sqrt{3}} \\[2.0ex] &= \frac{6.0 \sqrt{3}}{3} \\[2.0ex] &= 2.0 \sqrt{3} \\[2.0ex] &= 2.0 \times 1.732\dots \\[2.0ex] &= 3.464\dots
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えます。
$$
\begin{aligned}
d’ &\approx 3.5\,\text{mm}
\end{aligned}
$$

水やガラスの中にある物体は、実際よりも浅いところにあるように見えます。これは光が折れ曲がるせいで、目が「もっと浅いところから光が来た」と勘違いするからです。計算すると、見かけの深さは「実際の深さ \(\div\) 屈折率」になることがわかります。ガラスの屈折率は約1.7なので、実際の6mmを1.7で割ると、だいたい3.5mmくらいの深さに見えることになります。

見かけの深さは \(3.5\,\text{mm}\) となりました。屈折率 \(n > 1\) なので、実深さより浅くなる（浮き上がって見える）という定性的な性質と一致しています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 反射光と屈折光の直交条件（ブリュースターの法則）
  • 核心: 光が境界面に入射するとき、反射光と屈折光のなす角が \(90^\circ\) になる特別な入射角（ブリュースター角）が存在します。このとき、幾何学的な関係から \(\theta_1 + \theta_2 = 90^\circ\) が成り立ち、屈折の法則と組み合わせることで \(\tan \theta_1 = n\) という美しい関係式が導かれます。
  • 理解のポイント:
    • 偏光との関連: この条件のとき、反射光は特定の方向に振動する偏光成分（S偏光）のみとなり、もう一方の成分（P偏光）は反射されずにすべて透過します。これが偏光サングラスの原理などに応用されています。
• 近軸光線近似による見かけの深さ
  • 核心: 「真上から見る」という条件は、入射角 \(\theta\) が極めて小さい（\(\theta \approx 0\)）ことを意味します。このとき、\(\sin \theta \approx \tan \theta \approx \theta\) という近似が成り立ち、複雑な三角関数の式が単純な比の式（\(d’ = d/n\)）に帰着します。
  • 理解のポイント:
    • 深さの比: 見かけの深さ \(d’\) と実深さ \(d\) の比は、屈折率の逆比になります（\(d’/d = 1/n\)）。「屈折率が大きいほど、底が浅く見える（浮き上がって見える）」と直感的に理解しましょう。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 水中の魚の位置: 空中の鳥から見た水中の魚の深さ（本問と同じ \(d/n\)）や、逆に水中の魚から見た空中の鳥の高さ（\(nh\) になり、高く見えます）を求める問題。
  • 平行平板ガラス越しの観察: ガラス板を通して向こう側の物体を見ると、物体が手前に浮き上がって見えます。浮き上がる距離 \(\Delta d\) は、\(d – d’ = d(1 – 1/n)\) で求められます。
  • 顕微鏡のピント合わせ: ガラス板を置くとピントがずれるため、鏡筒を動かして調整する問題。ずれた距離が見かけの深さの変化に対応します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 角度の関係を図示する: 「反射光と屈折光が直交」のような幾何学的な条件が与えられたら、必ず図を描いて \(90^\circ\) マークを入れ、角度の足し算引き算を行います。
  2. 近似のキーワードを探す: 「真上から」「ほぼ垂直に」といった言葉があれば、迷わず \(\sin \theta \approx \tan \theta\) の近似を使います。
  3. 屈折率の定義を確認する: 相対屈折率 \(n_{12}\) なのか絶対屈折率 \(n\) なのかを確認します。本問のように空気（\(n=1\)）に対する屈折率なら、そのまま \(n\) を使えます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 屈折率の分母分子の取り違え:
  • 誤解: 見かけの深さを \(d’ = nd\) と計算してしまう。
  • 対策: 「水中の物体は浮き上がって見える（浅くなる）」という日常経験を思い出しましょう。\(n > 1\) なので、\(nd\) だと深くなってしまいます。浅くなるには割る必要があります。
• 近似式の適用範囲:
  • 誤解: 角度が大きい場合（例えば \(60^\circ\)）でも \(\sin \theta \approx \tan \theta\) を使ってしまう。
  • 対策: この近似が使えるのは「角度が十分に小さいとき」だけです。(1)のような \(60^\circ\) の設定では絶対に使ってはいけません。(2)のように「真上近くから」という限定がある場合のみ有効です。
• 有効数字とルートの処理:
  • 誤解: \(\sqrt{3} = 1.732\) を早い段階で代入して計算誤差を広げてしまう。
  • 対策: 可能な限りルートのまま計算を進め、最後の最後で数値を代入します。本問でも \(d’ = 6.0/\sqrt{3} = 2.0\sqrt{3}\) と変形してから \(1.73\) を掛ける方が計算が楽で正確です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• ブリュースターの法則（別解）の選択:
  • 選定理由: 「反射光と屈折光が直交」という条件は、まさにこの法則が成り立つ状況そのものだからです。
  • 適用根拠: 幾何学的に角度を求めて屈折の法則を使う手順を、\(\tan i = n\) という一つの式に圧縮できるため、計算時間を大幅に短縮できます。
• 近似式 \(\sin \theta \approx \tan \theta\) の選択:
  • 選定理由: 深さ \(d\)（縦の長さ）と水平距離 \(x\)（横の長さ）を結びつけるには、\(\tan \theta = x/d\) が最適だからです。屈折の法則は \(\sin\) で記述されるため、両者を繋ぐためにこの近似が必要不可欠です。
  • 適用根拠: 物理的な配置（真上からの観察）が、数学的な近似条件（微小角）を満たしているため、正当化されます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 図形的な検算:
  • (1)で求めた \(n=\sqrt{3} \approx 1.73\) が、ガラスの屈折率として妥当か（1より大きく、ダイヤモンドの2.4よりは小さいか）を確認します。
  • (2)で求めた \(d’ = 3.5\,\text{mm}\) が、元の \(6.0\,\text{mm}\) より小さくなっているかを確認します。
• 三角比の値の暗記:
  • \(\sin 60^\circ = \sqrt{3}/2\), \(\sin 30^\circ = 1/2\) などの基本値は瞬時に出せるようにしておきましょう。また、\(\sqrt{3} \approx 1.73\) （人並みに奢れや）などの近似値も必須です。

397 屈折と臨界角

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「多層膜における光の屈折と全反射」です。異なる屈折率を持つ複数の媒質を光が通過する際、各界面での屈折の法則と、全反射が起こる条件（臨界角）を正しく理解し、適用することが求められます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
「水に対するガラスの屈折率」とは、水を基準（媒質1）としたときのガラス（媒質2）の相対屈折率のことです。相対屈折率の定義 \(n_{12} = n_2 / n_1\) を用います。
この設問における重要なポイント

• 水の屈折率 \(n_{\text{水}} = 4/3\)。
• ガラスの屈折率 \(n_{\text{ガラス}} = 3/2\)。
• 相対屈折率の定義: \(n_{\text{水} \to \text{ガラス}} = \frac{n_{\text{ガラス}}}{n_{\text{水}}}\)。

具体的な解説と立式
水に対するガラスの屈折率 \(n\) は、ガラスの絶対屈折率を水の絶対屈折率で割ったものです。
$$
\begin{aligned}
n &= \frac{n_{\text{ガラス}}}{n_{\text{水}}} \\[2.0ex] &= \frac{3/2}{4/3}
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
n &= \frac{3}{2} \times \frac{3}{4} \\[2.0ex] &= \frac{9}{8}
\end{aligned}
$$

「Aに対するBの屈折率」と聞かれたら、「Bの屈折率 \(\div\) Aの屈折率」を計算します。今回はガラスの屈折率を水の屈折率で割ればOKです。分数の割り算なので、ひっくり返して掛け算します。

答えは \(9/8\) です。\(1\) より大きいので、ガラスの方が水より光を強く曲げる（光速が遅い）ことがわかります。

問(2)

思考の道筋とポイント
ガラスから空気へ光が進むときの全反射を考えます。全反射が起こり始めるギリギリの入射角を臨界角 \(\theta_c\) といいます。このとき、屈折角は \(90^\circ\) になります。屈折の法則を用いて \(\sin \theta_c\) を求めます。
この設問における重要なポイント

• 入射側: ガラス（\(n_{\text{ガラス}} = 3/2\)）、入射角 \(\theta_c\)。
• 屈折側: 空気（\(n_{\text{空気}} = 1\)）、屈折角 \(90^\circ\)。
• 屈折の法則: \(n_{\text{ガラス}} \sin \theta_c = n_{\text{空気}} \sin 90^\circ\)。

具体的な解説と立式
ガラスから空気への界面において、入射角が臨界角 \(\theta_c\) のとき、屈折角は \(90^\circ\) となります。
屈折の法則より、
$$
\begin{aligned}
n_{\text{ガラス}} \sin \theta_c &= n_{\text{空気}} \sin 90^\circ \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
数値を代入します。
$$
\begin{aligned}
\frac{3}{2} \sin \theta_c &= 1 \times 1
\end{aligned}
$$

式①より \(\sin \theta_c\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\sin \theta_c &= \frac{1}{3/2} \\[2.0ex] &= \frac{2}{3}
\end{aligned}
$$

ガラスの中から外（空気）に出ようとする光は、角度が浅すぎると外に出られずに反射されてしまいます（全反射）。ギリギリ外に出られる限界の角度（臨界角）では、光は水面に沿って（屈折角90度で）進みます。「ガラスの屈折率 \(\times\) サイン(臨界角) \(=\) 空気の屈折率 \(\times\) サイン(90度)」という式を立てて計算します。

\(\sin \theta_c = 2/3\) となりました。\(0 < 2/3 < 1\) なので、角度として存在しうる値です。

問(3)

思考の道筋とポイント
光が空気中へ透過するためには、ガラス-空気界面での入射角 \(\theta_2\) が、(2)で求めた臨界角 \(\theta_c\) より小さくなければなりません（\(\theta_2 < \theta_c\)）。
一方、水-ガラス界面での屈折の法則から、最初の入射角 \(\theta_1\) とガラス中の屈折角 \(\theta_2\) の関係がわかります。
これらを組み合わせて、\(\sin \theta_1\) の条件を求めます。
また、\(\sin \theta_1\) は \(0\) 以上であること（入射角は非負）も忘れないようにします。
この設問における重要なポイント

• 条件1: ガラス-空気界面で全反射しない \(\Rightarrow \sin \theta_2 < \sin \theta_c = 2/3\)。
• 条件2: 水-ガラス界面での屈折の法則 \(n_{\text{水}} \sin \theta_1 = n_{\text{ガラス}} \sin \theta_2\)。
• 条件3: 入射角の定義域 \(0^\circ \le \theta_1 < 90^\circ\) より \(0 \le \sin \theta_1 < 1\)。

具体的な解説と立式
まず、水-ガラス界面での屈折の法則を立てます。
$$
\begin{aligned}
n_{\text{水}} \sin \theta_1 &= n_{\text{ガラス}} \sin \theta_2 \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$
次に、ガラス-空気界面で全反射しない条件を考えます。ガラス中の入射角 \(\theta_2\) が臨界角 \(\theta_c\) より小さければよいので、サインは単調増加関数（\(0^\circ < \theta < 90^\circ\)）であることから、
$$
\begin{aligned}
\sin \theta_2 &< \sin \theta_c \quad \cdots ③
\end{aligned}
$$
(2)より \(\sin \theta_c = 2/3\) です。
式②を変形して \(\sin \theta_2\) を \(\sin \theta_1\) で表し、式③に代入します。

式②より、
$$
\begin{aligned}
\frac{4}{3} \sin \theta_1 &= \frac{3}{2} \sin \theta_2 \\[2.0ex] \sin \theta_2 &= \frac{4/3}{3/2} \sin \theta_1 \\[2.0ex] &= \frac{8}{9} \sin \theta_1
\end{aligned}
$$
これを式③に代入します。
$$
\begin{aligned}
\frac{8}{9} \sin \theta_1 &< \frac{2}{3}
\end{aligned}
$$
両辺に \(9/8\) を掛けて整理します。
$$
\begin{aligned}
\sin \theta_1 &< \frac{2}{3} \times \frac{9}{8} \\[2.0ex] \sin \theta_1 &< \frac{3}{4}
\end{aligned}
$$
また、入射角 \(\theta_1\) は \(0^\circ\) 以上なので、\(\sin \theta_1 \ge 0\) です。
よって、求める範囲は
$$
\begin{aligned}
0 \le \sin \theta_1 &< \frac{3}{4}
\end{aligned}
$$

光が最終的に空気中に出るためには、途中のガラスから空気に出るところで全反射してはいけません。そのためには、ガラスの中での角度 \(\theta_2\) がある値（臨界角）より小さくないといけません。
ガラスの中の角度 \(\theta_2\) は、最初の水からの入射角 \(\theta_1\) によって決まります。屈折の法則を使って \(\theta_2\) と \(\theta_1\) の関係式を作り、「\(\theta_2\) が小さい」という条件を「\(\theta_1\) が小さい」という条件に書き換えます。

範囲は \(0 \le \sin \theta_1 < 3/4\) となりました。上限の \(3/4\) は \(1\) より小さいので、物理的に可能な範囲です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 全反射と臨界角の条件
  • 核心: 光が屈折率の大きい媒質から小さい媒質へ進むとき、入射角がある値（臨界角 \(\theta_c\)）を超えると、光は境界面を透過できずにすべて反射されます。この現象を全反射といいます。
  • 理解のポイント:
    • 臨界角の定義: 屈折角がちょうど \(90^\circ\) になるときの入射角です。屈折の法則 \(n_1 \sin \theta_c = n_2 \sin 90^\circ\) から、\(\sin \theta_c = n_2/n_1\) （\(n_1 > n_2\)）と導かれます。
    • 条件式: 全反射が起こる条件は \(\sin \theta > n_2/n_1\)、起こらない（透過する）条件は \(\sin \theta < n_2/n_1\) です。
• 平行多層膜における屈折の法則の連鎖性
  • 核心: 境界面が互いに平行な多層膜では、中間の層を飛ばして、最初と最後の媒質だけで屈折の法則 \(n_1 \sin \theta_1 = n_k \sin \theta_k\) が成り立ちます。
  • 理解のポイント:
    • 角度の保存: 各層での屈折の法則 \(n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2 = n_3 \sin \theta_3 = \dots\) が連鎖するため、中間の層の厚さや屈折率に関わらず、最終的な出射角は最初の入射角と両端の屈折率だけで決まります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 光ファイバー: コア（屈折率大）とクラッド（屈折率小）の構造で、全反射を繰り返して光を伝送します。入射角の条件を求める問題は本問の(3)と全く同じ構造です。
  • 蜃気楼・逃げ水: 空気の温度差によって屈折率が連続的に変化し、光が曲がって全反射のような現象を起こします。多層膜の層を無限に薄くした極限として理解できます。
  • プリズム内の全反射: 直角プリズムなどで光の進行方向を \(90^\circ\) や \(180^\circ\) 変える仕組み。ガラス（\(n \approx 1.5\)）から空気（\(n=1\)）への臨界角が約 \(42^\circ\) であることを利用しています。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 屈折率の大小関係をチェックする: 光が「密（\(n\)大）\(\to\) 疎（\(n\)小）」に進む箇所を探します。そこが全反射の危険地帯です。本問ではガラス\(\to\)空気が該当します。
  2. 臨界角を計算しておく: 全反射の可能性がある界面について、\(\sin \theta_c = n_{\text{小}}/n_{\text{大}}\) を計算しておくと、その後の議論がスムーズになります。
  3. 最終的なゴールから逆算する: 「透過するためには？」と問われたら、「最後の界面で全反射しない条件」を出発点にし、それを屈折の法則で最初の入射角まで遡らせます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 相対屈折率の定義ミス:
  • 誤解: 「Aに対するBの屈折率」を \(n_A/n_B\) と逆にしてしまう。
  • 対策: \(n_{AB} = n_B/n_A\) です。「に対する」がついている方が分母（基準）に来ると覚えましょう。あるいは、屈折の法則 \(n_A \sin \theta_A = n_B \sin \theta_B\) を変形して \(\frac{\sin \theta_A}{\sin \theta_B} = \frac{n_B}{n_A} = n_{AB}\) と導くのが確実です。
• 不等号の向きの混乱:
  • 誤解: 全反射する条件としない条件で、不等号 \(<\) と \(>\) を逆にしてしまう。
  • 対策: 臨界角 \(\theta_c\) は「ギリギリ通れる限界」です。それより浅い（角度が小さい）なら通れる、深い（角度が大きい）なら通れない、と図形的にイメージしましょう。サインは角度と共に大きくなるので、\(\sin \theta < \sin \theta_c\) なら透過、\(\sin \theta > \sin \theta_c\) なら全反射です。
• \(\sin \theta\) の範囲忘れ:
  • 誤解: 計算結果 \(\sin \theta < 3/4\) だけを答えてしまう。
  • 対策: \(\sin \theta\) は物理的に \(0\) 以上（入射角は非負）である必要があります。必ず \(0 \le \sin \theta\) の下限を付け加えましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 屈折の法則 \(n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2\) の選択:
  • 選定理由: 異なる媒質間での光の進行方向の変化を記述する唯一の基本法則だからです。
  • 適用根拠: 境界面での角度の関係を定量的に結びつけるために必須です。
• 全反射条件 \(\sin \theta_c = n_2/n_1\) の選択:
  • 選定理由: 「透過するために」「全反射しないように」といった条件設定がある場合、境界となる臨界角の計算が必要不可欠だからです。
  • 適用根拠: 屈折角が \(90^\circ\) になるという物理的極限状態を数式化したものです。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 分数のまま計算する:
  • \(4/3\) や \(3/2\) を \(1.33\) や \(1.5\) に直さず、分数のまま計算します。約分が効いて計算が楽になることが多く、誤差も出ません。
• 途中式の文字化:
  • いきなり数値を代入せず、\(n_1, n_2, n_3\) のまま式変形を行い、最後に代入します。例えば別解のように \(n_1 \sin \theta_1 < n_3\) というシンプルな形が見えれば、計算ミスをする余地がなくなります。
• 物理的妥当性の吟味:
  • (1)の答え \(9/8\) は \(1\) より大きいですが、ガラスの方が水より屈折率が大きいので妥当です。
  • (3)の答え \(3/4\) は \(1\) より小さいので、サインの値としてあり得ます。もし \(4/3\) などになったら間違いです。

398 光の屈折と経路

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「多層膜における光の屈折と経路作図」です。異なる屈折率を持つ複数の媒質を光が通過する際、各界面で光がどのように折れ曲がるかを、屈折の法則を用いて定量的に計算し、正確に作図する能力が問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

光の屈折と経路

思考の道筋とポイント
光は「真空 \(\to\) 媒質1 \(\to\) 媒質2 \(\to\) 真空」という順に進みます。各境界面で屈折の法則を適用し、次の媒質へ進む角度を順番に計算していきます。境界面が平行なので、ある層での屈折角がそのまま次の層への入射角になることに注意します。
この設問における重要なポイント

• 真空の屈折率 \(n_0 = 1\)。
• 媒質1の屈折率 \(n_1 = \sqrt{3/2}\)。
• 媒質2の屈折率 \(n_2 = \sqrt{3}\)。
• 最初の入射角 \(i = 60^\circ\)。
• 各界面で \(n_{\text{入}} \sin \theta_{\text{入}} = n_{\text{出}} \sin \theta_{\text{出}}\) が成り立つ。

具体的な解説と立式
1. 真空 \(\to\) 媒質1
入射角は \(60^\circ\) です。媒質1中の屈折角を \(\theta_1\) とします。
屈折の法則より、
$$
\begin{aligned}
1 \times \sin 60^\circ &= n_1 \sin \theta_1 \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$

2. 媒質1 \(\to\) 媒質2
境界面が平行なので、媒質1から媒質2への入射角は \(\theta_1\) となります。媒質2中の屈折角を \(\theta_2\) とします。
屈折の法則より、
$$
\begin{aligned}
n_1 \sin \theta_1 &= n_2 \sin \theta_2 \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$

3. 媒質2 \(\to\) 真空
同様に、媒質2から真空への入射角は \(\theta_2\) となります。真空への出射角を \(\theta_3\) とします。
屈折の法則より、
$$
\begin{aligned}
n_2 \sin \theta_2 &= 1 \times \sin \theta_3 \quad \cdots ③
\end{aligned}
$$

式①より \(\theta_1\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\sin \theta_1 &= \frac{\sin 60^\circ}{n_1} \\[2.0ex] &= \frac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{3/2}} \\[2.0ex] &= \frac{\sqrt{3}}{2} \times \sqrt{\frac{2}{3}} \\[2.0ex] &= \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{aligned}
$$
よって、\(\theta_1 = 45^\circ\) です。

式②より \(\theta_2\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\sin \theta_2 &= \frac{n_1 \sin \theta_1}{n_2} \\[2.0ex] &= \frac{\sqrt{3/2} \times (1/\sqrt{2})}{\sqrt{3}} \\[2.0ex] &= \frac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{3}} \\[2.0ex] &= \frac{1}{2}
\end{aligned}
$$
よって、\(\theta_2 = 30^\circ\) です。

式③より \(\theta_3\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\sin \theta_3 &= n_2 \sin \theta_2 \\[2.0ex] &= \sqrt{3} \times \frac{1}{2} \\[2.0ex] &= \frac{\sqrt{3}}{2}
\end{aligned}
$$
よって、\(\theta_3 = 60^\circ\) です。

以上の結果をもとに作図します。

• 真空 \(\to\) 媒質1: \(60^\circ \to 45^\circ\) （法線に近づく）
• 媒質1 \(\to\) 媒質2: \(45^\circ \to 30^\circ\) （さらに法線に近づく）
• 媒質2 \(\to\) 真空: \(30^\circ \to 60^\circ\) （法線から遠ざかり、元の角度に戻る）

光が空気（真空）からガラスのような透明な板に入るとき、光は曲がります。
まず、真空から媒質1に入るとき、屈折率が大きくなるので、光はブレーキがかかるように内側（法線側）に曲がります。計算すると角度は60度から45度になります。
次に、媒質1からさらに屈折率の大きい媒質2に入るとき、もっとブレーキがかかって、さらに内側に曲がります。角度は45度から30度になります。
最後に、媒質2から真空に出るとき、今度はアクセル全開で元の速さに戻るので、外側に大きく曲がります。計算すると、最初の入射角と同じ60度に戻ることがわかります。
これらを定規と分度器を使うイメージで丁寧に描けば完成です。

作図結果は模範解答の図2のようになります。
各段階での角度の変化（\(60^\circ \to 45^\circ \to 30^\circ \to 60^\circ\)）は、屈折率の大小関係（\(1 < \sqrt{1.5} < \sqrt{3}\)）と整合しています。屈折率が大きいほど角度が小さくなる（法線に近づく）ことが確認できます。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 屈折の法則（スネルの法則）の連鎖性
  • 核心: 平行な多層膜において、光が屈折を繰り返しながら進むとき、各層での「屈折率 \(n\) \(\times\) 入射角のサイン \(\sin \theta\)」の値は常に一定に保たれます（\(n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2 = \dots\)）。
  • 理解のポイント:
    • 保存量としての解釈: エネルギー保存則のように、\(n \sin \theta\) という量が保存されると考えると、中間の層を飛び越えて計算できる理由が腑に落ちます。
    • 平行移動の原理: 最終的な媒質が最初の媒質と同じ（真空\(\to\)媒質\(\to\)真空）であれば、光線は元の進行方向と平行になります（角度が戻る）。ただし、位置はずれます（平行移動）。
• 屈折率と角度の大小関係
  • 核心: 屈折率 \(n\) が大きいほど、角度 \(\theta\) は小さくなります（法線に近づく）。逆に、\(n\) が小さいほど \(\theta\) は大きくなります（法線から遠ざかる）。
  • 理解のポイント:
    • ブレーキとアクセル: 屈折率が大きい＝光速が遅い＝ブレーキがかかる＝内側に曲がる。屈折率が小さい＝光速が速い＝アクセルを踏む＝外側に膨らむ。このイメージで作図のミスを防げます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 平行平板ガラス: 空気\(\to\)ガラス\(\to\)空気の最も基本的なパターン。入射光と出射光が平行になることを証明させたり、横ずれの距離を計算させる問題が頻出です。
  • 大気差（大気による屈折）: 地球の大気を層状の多層膜とみなし、星の光が曲がって見える現象。地表での観測角度から、宇宙空間での真の方向を推定する際に、この連鎖性が使われます。
  • 光ファイバーの開口数: コアに入射する光が全反射条件を満たすための、外部からの最大入射角（受光角）を求める問題。空気\(\to\)コア\(\to\)クラッドという多層構造として解析します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 境界面が平行か確認する: 平行であれば、\(n \sin \theta = \text{一定}\) が使えます。もしプリズムのように境界面が傾いている場合は、幾何学的に入射角を再計算する必要があります。
  2. 屈折率の大小を可視化する: 図の脇に \(n_1 < n_2\) などの不等号を書き込み、光が「閉じる（法線に寄る）」のか「開く（法線から離れる）」のかを矢印でメモします。
  3. 全反射の可能性を疑う: 屈折率が大きい層から小さい層へ進むとき（本問では媒質2\(\to\)真空）、角度によっては全反射して外に出られない可能性があります。臨界角 \(\sin \theta_c = n_{\text{小}}/n_{\text{大}}\) をチェックする癖をつけましょう（本問では \(\sin 30^\circ = 0.5 < 1/\sqrt{3} \approx 0.577\) なのでセーフです）。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 角度の定義ミス:
  • 誤解: 境界面とのなす角を使ってしまう。
  • 対策: 「角度は常に法線（縦線）から測る」を徹底します。作図の際も、法線との間の角度に \(\theta\) を記入します。
• 計算順序の非効率化:
  • 誤解: \(\theta_1\) を求めて、その値を \(\theta_2\) の計算に使い、さらに \(\theta_3\) へ…と数珠つなぎに計算する。
  • 対策: 途中で計算ミスをすると、その後の全てが間違ってしまいます。別解のように、各層の角度を「最初の入射角」から直接計算する（\(n_0 \sin \theta_0 = n_k \sin \theta_k\)）ことで、誤差の伝播を防ぎ、計算も速くなります。
• 作図の不正確さ:
  • 誤解: 角度の大小関係（\(60^\circ > 45^\circ > 30^\circ\)）を無視して、適当に折れ線を描いてしまう。
  • 対策: 分度器で測る必要はありませんが、大小関係は明確に表現します。特に、最初と最後の線が平行に見えるように描くことは、採点者への重要なアピールポイントです。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 屈折の法則 \(n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2\) の選択:
  • 選定理由: 異なる媒質間での光の進行方向の変化を定量的に扱うための唯一の基本法則だからです。
  • 適用根拠: 幾何光学の範囲で、波長や干渉を考慮せず、光線の経路のみを追跡する問題であるため、この法則が直接適用されます。
• 連鎖式 \(n_0 \sin \theta_0 = n_k \sin \theta_k\) （別解）の選択:
  • 選定理由: 平行多層膜という特定の条件下で使える強力なショートカットだからです。
  • 適用根拠: 境界面が平行であるため、ある層の屈折角と次の層の入射角が錯角の関係で等しくなり、スネルの法則が連鎖的に成立することが保証されています。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 有名角のサイン・コサイン:
  • \(30^\circ, 45^\circ, 60^\circ\) の三角比（\(1/2, 1/\sqrt{2}, \sqrt{3}/2\)）は、分母の有理化を含めて瞬時に変換できるようにしておきます。本問のように \(\sqrt{3/2}\) などの係数が掛かると複雑に見えますが、落ち着いて約分すればきれいな値になります。
• 検算のテクニック:
  • 最終的な出射角が \(60^\circ\) に戻ったことを確認した時点で、「計算は合っている可能性が高い」と判断できます。もし戻らなかったら、どこかで計算ミスをしているか、媒質の順序を間違えています。

ABOUT THE AUTHOR

共田 誠（まこと先生）

高校物理講師・プロ家庭教師 / 指導歴14年

上智大学理工学部物理学科卒。私立高校の非常勤講師として進学クラスから基礎クラスまで幅広く担当。大手家庭教師センター3社でプロ家庭教師を経験し、現在はオンライン専門で全国の高校生を個別指導中。

「暗記物理の撲滅」を掲げ、生徒の思考のクセを診断・矯正するドクター型アプローチで指導。表面的なテクニックではなく、初見の問題に強い思考力を育てる。

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