「セミナー物理基礎＋物理2025」徹底解説！【第 Ⅳ 章 16】基本問題409～416

基本問題

409 ヤングの実験

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「ヤングの干渉実験」です。光が波としての性質（回折と干渉）を持つことを示す歴史的にも重要な実験であり、経路差の導出から干渉縞の考察まで、波動分野の基礎が詰まっています。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
まず、スリット \(\text{S}_1\)、\(\text{S}_2\) からスクリーン上の点 \(\text{R}\) までの距離 \(\overline{\text{S}_1\text{R}}\) と \(\overline{\text{S}_2\text{R}}\) を、三平方の定理を使って厳密に立式します。
次に、問題文で与えられた近似式 \((1+h)^n \approx 1+nh\) （ただし \(|h| \ll 1\)）を利用して、ルートを外します。
最後に、2つの距離の差（経路差）を計算します。
この設問における重要なポイント

• 直角三角形を見つけ出し、三平方の定理を正しく適用すること。
• 近似式を使える形（\(1 + \text{微小量}\) の形）に変形するテクニック。
• \(x\) や \(d\) が \(L\) に比べて十分に小さいという条件 \(x, d \ll L\) を利用すること。

具体的な解説と立式
図より、点 \(\text{R}\) の座標を \(x\) とすると、スリット \(\text{S}_1\)（座標 \(-d/2\)）と点 \(\text{R}\) の間の垂直方向の距離は \(x + \frac{d}{2}\) です。同様に、スリット \(\text{S}_2\)（座標 \(d/2\)）と点 \(\text{R}\) の間の距離は \(|x – \frac{d}{2}|\) です。
スクリーンまでの水平距離は \(L\) なので、三平方の定理より、それぞれの距離は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
\overline{\text{S}_1\text{R}} &= \sqrt{L^2 + \left(x + \frac{d}{2}\right)^2} \\[2.0ex] \overline{\text{S}_2\text{R}} &= \sqrt{L^2 + \left(x – \frac{d}{2}\right)^2}
\end{aligned}
$$
ここで、近似式 \((1+h)^{\frac{1}{2}} \approx 1 + \frac{1}{2}h\) を利用するために、根号の中身を \(L^2\) でくくり出し、\(1 + (\dots)\) の形に変形します。
$$
\begin{aligned}
\overline{\text{S}_1\text{R}} &= \sqrt{L^2 \left\{ 1 + \left( \frac{x + d/2}{L} \right)^2 \right\}} \\[2.0ex] &= L \left\{ 1 + \left( \frac{x + d/2}{L} \right)^2 \right\}^{\frac{1}{2}}
\end{aligned}
$$
同様に、
$$
\begin{aligned}
\overline{\text{S}_2\text{R}} &= L \left\{ 1 + \left( \frac{x – d/2}{L} \right)^2 \right\}^{\frac{1}{2}}
\end{aligned}
$$

近似式を用いて計算を進めます。ここで、\(h = \left( \frac{x \pm d/2}{L} \right)^2\)、\(n = \frac{1}{2}\) に対応します。
$$
\begin{aligned}
\overline{\text{S}_1\text{R}} &\approx L \left\{ 1 + \frac{1}{2} \left( \frac{x + d/2}{L} \right)^2 \right\} \\[2.0ex] &= L + \frac{L}{2} \cdot \frac{(x + d/2)^2}{L^2} \\[2.0ex] &= L + \frac{(x + d/2)^2}{2L}
\end{aligned}
$$
同様に、
$$
\begin{aligned}
\overline{\text{S}_2\text{R}} &\approx L + \frac{(x – d/2)^2}{2L}
\end{aligned}
$$
求める経路差 \(|\overline{\text{S}_1\text{R}} – \overline{\text{S}_2\text{R}}|\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
|\overline{\text{S}_1\text{R}} – \overline{\text{S}_2\text{R}}| &= \left| \left( L + \frac{(x + d/2)^2}{2L} \right) – \left( L + \frac{(x – d/2)^2}{2L} \right) \right| \\[2.0ex] &= \frac{1}{2L} \left| (x + d/2)^2 – (x – d/2)^2 \right| \\[2.0ex] &= \frac{1}{2L} \left| \left( x^2 + xd + \frac{d^2}{4} \right) – \left( x^2 – xd + \frac{d^2}{4} \right) \right| \\[2.0ex] &= \frac{1}{2L} \cdot 2xd \\[2.0ex] &= \frac{dx}{L}
\end{aligned}
$$

スリットからスクリーン上の点までの距離を、直角三角形の斜辺として計算します。ただし、そのまま引き算するとルートが残って計算できないので、「スクリーンまでの距離 \(L\) がとても長い」ということを利用して、「ルート付きの式」を「ルートなしの簡単な式」に書き換える（近似する）テクニックを使います。その結果、経路の差は非常にシンプルな形になります。

経路差は \(d\frac{x}{L}\) と求まりました。これは \(x\) に比例しており、中心から離れるほど経路差が大きくなることを示しています。次元を確認すると、\([L] \cdot [L] / [L] = [L]\) となり、長さの次元を持っているため妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
干渉縞の明線ができる条件は、「経路差が波長の整数倍になること」です。(1)で求めた経路差の式を使って、\(m\) 番目の明線の位置 \(x_m\) を求めます。
次に、隣り合う明線の間隔 \(\Delta x\) を計算します。これは \(m+1\) 番目の位置と \(m\) 番目の位置の差です。
最後に、与えられた数値（\(d, L, \Delta x\)）を代入して、波長 \(\lambda\) を求めます。
この設問における重要なポイント

• 明線の干渉条件: \(\text{経路差} = m\lambda\) （\(m\) は整数）
• 明線間隔 \(\Delta x\) の定義: \(\Delta x = x_{m+1} – x_m\)
• 数値計算における単位の統一と指数の扱い。

具体的な解説と立式
まず、明線ができる条件式を立てます。経路差が波長 \(\lambda\) の整数倍 \(m\lambda\) になるとき、光は強め合います。
$$
\begin{aligned}
d\frac{x}{L} &= m\lambda \quad (m = 0, 1, 2, \dots)
\end{aligned}
$$
この式を \(x\) について解き、\(m\) 番目の明線の位置 \(x_m\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
x_m &= \frac{mL\lambda}{d}
\end{aligned}
$$
隣り合う明線の間隔 \(\Delta x\) は、\(m+1\) 番目の明線と \(m\) 番目の明線の位置の差です。
$$
\begin{aligned}
\Delta x &= x_{m+1} – x_m
\end{aligned}
$$

まず、\(\Delta x\) を \(\lambda\) を用いて表します。
$$
\begin{aligned}
\Delta x &= \frac{(m+1)L\lambda}{d} – \frac{mL\lambda}{d} \\[2.0ex] &= \frac{L\lambda}{d} (m+1 – m) \\[2.0ex] &= \frac{L\lambda}{d}
\end{aligned}
$$
この式を \(\lambda\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\lambda &= \frac{d \Delta x}{L}
\end{aligned}
$$
与えられた数値 \(d = 4.0 \times 10^{-4}\,\text{m}\)、\(L = 2.0\,\text{m}\)、\(\Delta x = 3.0 \times 10^{-3}\,\text{m}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
\lambda &= \frac{(4.0 \times 10^{-4}) \times (3.0 \times 10^{-3})}{2.0} \\[2.0ex] &= \frac{12.0 \times 10^{-7}}{2.0} \\[2.0ex] &= 6.0 \times 10^{-7}\,\text{m}
\end{aligned}
$$

「経路差が波長の何倍か」によって、光が強め合う場所が決まります。計算すると、強め合う場所（明線）は等間隔に並ぶことがわかります。この間隔の広さは、光の波長と装置のサイズ（スリット間隔やスクリーンまでの距離）で決まります。逆に、間隔を測れば、目に見えない光の波長を計算で求めることができます。

波長は \(6.0 \times 10^{-7}\,\text{m}\) と求まりました。これは可視光線（橙色〜赤色付近）の波長として妥当な値です。

問(3)

思考の道筋とポイント
(2)で導出した明線間隔の式 \(\Delta x = \frac{L\lambda}{d}\) に基づいて考察します。\(L\) と \(d\) は一定なので、\(\Delta x\) は波長 \(\lambda\) に比例します。したがって、波長が大きい色ほど、明線間隔 \(\Delta x\) は大きくなります。可視光線の色の順序（赤、緑、紫）と波長の大小関係を思い出して答えます。
この設問における重要なポイント

• 明線間隔 \(\Delta x\) と波長 \(\lambda\) の比例関係: \(\Delta x \propto \lambda\)
• 可視光線の波長の大小関係: 赤 \(>\) 緑 \(>\) 紫

具体的な解説と立式
明線間隔の式は以下の通りです。
$$
\begin{aligned}
\Delta x &= \frac{L\lambda}{d}
\end{aligned}
$$
この式より、\(\Delta x\) は波長 \(\lambda\) に比例することがわかります。
$$
\begin{aligned}
\Delta x &\propto \lambda
\end{aligned}
$$
したがって、波長 \(\lambda\) が大きい順に、\(\Delta x\) も大きくなります。

可視光線の波長は、一般的に以下の順序で小さくなります。
赤（約 \(700\,\text{nm}\)） \(>\) 緑（約 \(550\,\text{nm}\)） \(>\) 紫（約 \(400\,\text{nm}\)）
よって、\(\Delta x\) が大きい順（波長が大きい順）に並べると、赤、緑、紫となります。

縞模様の間隔は、光の波長に比例して広くなります。つまり、波長の長い光ほど縞模様は広がり、波長の短い光ほど縞模様は細かくなります。虹の色で言うと、赤が一番波長が長く、紫が一番短いので、縞の間隔も赤が一番広く、紫が一番狭くなります。

波長の長い順に並べるという物理的な推論に基づき、赤、緑、紫という順序が得られました。これは一般的な知識とも合致します。

問(4)

思考の道筋とポイント
装置全体を水中に入れると、光の速さが遅くなり、それに伴って波長が変化します。屈折率 \(n\) の媒質中での波長 \(\lambda’\) と真空（空気）中での波長 \(\lambda\) の関係式を思い出します。そして、変化した波長 \(\lambda’\) を明線間隔の式に代入して、\(\Delta x\) がどう変化するかを判断します。
この設問における重要なポイント

• 媒質中での波長の変化: \(\lambda’ = \frac{\lambda}{n}\)
• 水の屈折率 \(n\) は空気の屈折率（約1）より大きい（\(n > 1\)）。

具体的な解説と立式
屈折率 \(n\) の水中における光の波長 \(\lambda’\) は、空気中の波長 \(\lambda\) を用いて以下のように表されます。
$$
\begin{aligned}
\lambda’ &= \frac{\lambda}{n}
\end{aligned}
$$
水中での明線間隔 \(\Delta x’\) は、この波長 \(\lambda’\) を用いて表されます。
$$
\begin{aligned}
\Delta x’ &= \frac{L\lambda’}{d}
\end{aligned}
$$

\(\lambda’\) の式を \(\Delta x’\) の式に代入します。
$$
\begin{aligned}
\Delta x’ &= \frac{L}{d} \cdot \frac{\lambda}{n} \\[2.0ex] &= \frac{1}{n} \cdot \frac{L\lambda}{d} \\[2.0ex] &= \frac{1}{n} \Delta x
\end{aligned}
$$
水の屈折率は \(n > 1\) なので、\(\frac{1}{n} < 1\) となります。
したがって、
$$
\begin{aligned}
\Delta x’ &< \Delta x
\end{aligned}
$$
となり、明線の間隔は小さくなります。

水の中では光の進むスピードが落ちるため、波の「歩幅（波長）」が短くなります（ギュッと縮むイメージです）。縞模様の間隔は波長に比例するので、波長が縮むと、縞模様の間隔も同様に狭くなります。

屈折率 \(n > 1\) の媒質中では波長が短くなるため、干渉縞の間隔も狭くなるという結論は物理的に妥当です。

問(5)

思考の道筋とポイント
白色光は、様々な波長の光（赤〜紫）が混ざった光です。中心（\(m=0\)）では全ての色の光が強め合うため白色に見えますが、1次の明線（\(m=1\)）の位置 \(x_1 = \frac{L\lambda}{d}\) は波長によって異なります。(3)で考察したように、波長が短い紫色は中心近くに、波長が長い赤色は中心から遠くに明線を作ります。これにより、色が分離して虹のように見えます。
この設問における重要なポイント

• 白色光は連続スペクトル（様々な波長の光の混合）である。
• 0次の明線（\(x=0\)）は波長によらず同じ位置にできるため、色が混ざって白色になる。
• 1次以上の明線は、波長によってできる位置がずれる（色分散）。

具体的な解説と立式
\(m=1\) の明線（1次の明線）の位置 \(x_1\) は、波長 \(\lambda\) に依存します。
$$
\begin{aligned}
x_1 &= \frac{L\lambda}{d}
\end{aligned}
$$
この式から、\(x_1\) は \(\lambda\) に比例します。
$$
\begin{aligned}
x_1 &\propto \lambda
\end{aligned}
$$

波長の大小関係は \(\lambda_{\text{紫}} < \lambda_{\text{赤}}\) です。
したがって、1次の明線ができる位置 \(x_1\) についても、以下の関係が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
x_{1(\text{紫})} < x_{1(\text{赤})}
\end{aligned}
$$
つまり、スクリーン中心 \(\text{O}\) から見て、波長の短い紫色の明線が近い側に、波長の長い赤色の明線が遠い側に現れます。その間の波長の光（青、緑、黄、橙）も順に並ぶため、全体として色づいて見えます。

白い光はいろいろな色の光のチームです。真ん中のゴール（0次）には全員同時に着くので白く見えますが、次のゴール（1次）は、波長の短い紫チームが手前に、波長の長い赤チームが奥に到着します。その結果、光が色ごとに分けられて、中心から外側に向かって紫から赤へと色が変化する虹のような縞模様が見えます。

波長による回折角の違い（分散）により、白色光を用いた干渉実験では明線が色づく現象が説明できました。中心に近い側が紫、遠い側が赤という順序も、波長と位置の比例関係から正しく導かれています。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 経路差の導出と干渉条件の適用
  • 核心: ヤングの実験に限らず、干渉問題のゴールは常に「(光路差) = (波長の整数倍 または 半波長の奇数倍)」という式を作ることです。この問題では、幾何学的な条件から経路差 \(d\frac{x}{L}\) を導き出し、それを明線の条件 \(m\lambda\) と結びつけるプロセスが全ての土台となります。
  • 理解のポイント:
    • 幾何学的アプローチ: 経路差は、スリットとスクリーンの位置関係（直角三角形）から三平方の定理を用いて導かれます。
    • 近似の必然性: \(L\) が非常に大きいため、厳密な計算ではなく近似計算が必須となります。この「物理的な状況に応じた数学的処理」が物理の核心部分です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 回折格子: スリットが多数になった場合です。経路差の式は \(d\sin\theta\) となりますが、\(x \ll L\) の近似を使えば \(d\frac{x}{L}\) となり、ヤングの実験と同じ形になります。
  • ロイド鏡やフレネルの複プリズム: 装置は違いますが、結局は「2つの光源からの光の干渉」に帰着します。虚光源の位置を特定し、ヤングの実験と同様に \(d\)（光源間距離）と \(L\)（スクリーン距離）を設定すれば、同じ式が使えます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まずは経路差（光路差）の特定: どこで距離の差が生まれているかを図形的に探します。
  2. 屈折率と反射の確認: 光が媒質を通る場合は「光路長（幾何学的距離 \(\times\) 屈折率）」を考えます。また、固定端反射（屈折率の小さい媒質から大きい媒質への反射）がある場合は、位相が \(\pi\)（半波長分）ずれることに注意が必要です。ヤングの実験では反射がないので考慮不要ですが、薄膜干渉などでは必須です。
  3. 近似の可否: 「十分に遠い」「十分に小さい」というキーワードがあれば、近似計算の出番です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 近似式の適用ミス:
  • 誤解: \(\sqrt{1+h} \approx 1+h\) と、係数 \(\frac{1}{2}\) を忘れて計算してしまう。
  • 対策: \((1+h)^n \approx 1+nh\) という一般式を記憶し、ルートの場合は \(n=\frac{1}{2}\) であることを意識して、必ず \(\frac{1}{2}\) を掛ける癖をつけましょう。
• 媒質中の波長の取り違え:
  • 誤解: 水中での波長を \(\lambda’ = n\lambda\) と大きくしてしまう。
  • 対策: 「屈折率 \(n\) の媒質中では光の進みが遅くなる（抵抗があるイメージ）」\(\rightarrow\) 「速さが \(1/n\) 倍になる」\(\rightarrow\) 「振動数は変わらないので、波長も \(1/n\) 倍に縮む」という論理鎖で覚えましょう。
• 明線間隔と座標の混同:
  • 誤解: 明線の位置 \(x_m\) を求めて、それをそのまま明線間隔 \(\Delta x\) だと勘違いする。
  • 対策: \(x_m\) は原点からの距離、\(\Delta x\) は隣り合う縞の距離です。必ず \(\Delta x = x_{m+1} – x_m\) の引き算を行うか、\(m\) に比例する係数部分が間隔であると理解しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 問(1)での公式選択（三平方の定理と近似式）:
  • 選定理由: 求めたいのは斜めの距離を含む「経路差」です。直交座標系（\(L\) と \(x\)）において斜めの長さを厳密に記述できるのは三平方の定理だけです。しかし、そのままでは差をとってもルートが消えず計算が進まないため、\(x \ll L\) という物理的条件を利用して式を簡略化する近似式が必要不可欠となります。
  • 適用根拠: 問題の図に直角三角形が存在すること、および問題文に「\(x\) は \(L\) よりも十分に小さく」という近似適用のための条件が明記されていることが根拠です。
• 問(2)での公式選択（干渉条件）:
  • 選定理由: 求めたいのは「明線（強め合う点）」の位置や波長です。波動光学において、明線ができる条件を記述する法則は「経路差 \(=\) 波長の整数倍」という干渉条件以外にありません。
  • 適用根拠: 2つのスリットから出た光（可干渉光）がスクリーン上で重なり合っている状況であり、波の重ね合わせの原理が成立するためです。
• 問(1)別解でのアプローチ選択（図形的な近似）:
  • 選定理由: 複雑な代数計算（ルートの展開など）を回避し、幾何学的な位置関係から直感的に経路差を求めたい場合に有効なアプローチです。
  • 適用根拠: 「スクリーンまでの距離 \(L\) がスリット間隔 \(d\) に比べて十分に大きい（\(L \gg d\)）」という条件により、2本の光線が実質的に平行であるとみなせるため、垂線を下ろして経路差を直角三角形の辺として扱えることが根拠となります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま最後まで計算する:
  • 問(2)でいきなり数値を代入せず、まず \(\lambda = \frac{d\Delta x}{L}\) という文字式を導いてから代入しましょう。これにより、式の形から物理的な意味（比例・反比例）を確認でき、計算ミスも減らせます。
• 指数の取り扱いに注意:
  • \(d = 4.0 \times 10^{-4}\)、\(\Delta x = 3.0 \times 10^{-3}\) のように、桁数が異なる数値の掛け算が出てきます。指数部分（\(10^{-4} \times 10^{-3} = 10^{-7}\)）と仮数部分（\(4.0 \times 3.0 = 12.0\)）を分けて計算し、最後に合わせる手順を徹底しましょう。
• 単位の確認:
  • 全ての長さの単位がメートル \([\text{m}]\) に統一されているか確認します。問題によっては \([\text{mm}]\) や \([\text{cm}]\) が混在することがあるので要注意です。

410 回折格子

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「回折格子による光の干渉」です。多数のスリットを持つ回折格子を通った光が、特定の方向で強め合う現象を扱います。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
まず、回折格子の明線の条件式 \(d\sin\theta = m\lambda\) を立てて、格子定数（すじの間隔）\(d\) を求めます。
次に、求めた \(d\) を使って、\(1.0\,\text{cm}\) の中に何本のすじが入っているかを計算します。このとき、単位（\(\text{m}\) と \(\text{cm}\)）の扱いに注意が必要です。
この設問における重要なポイント

• 明線の条件式: \(d\sin\theta = m\lambda\)
• 入射角 \(\theta = 30^\circ\)、次数 \(m = 4\)、波長 \(\lambda = 5.0 \times 10^{-7}\,\text{m}\) を代入する。
• 最後に \(1.0\,\text{cm} = 1.0 \times 10^{-2}\,\text{m}\) として単位を揃えて割り算する。

具体的な解説と立式
格子定数を \(d\) とします。隣り合うスリットからの光の経路差は \(d\sin\theta\) で表されます。これが波長 \(\lambda\) の整数倍 \(m\lambda\) になるとき、明線が生じます。
したがって、明線の条件式は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
d\sin\theta &= m\lambda
\end{aligned}
$$
ここに、問題で与えられた値 \(\theta = 30^\circ\)、\(m = 4\)、\(\lambda = 5.0 \times 10^{-7}\,\text{m}\) を代入して、\(d\) を求める式を立てます。
$$
\begin{aligned}
d \sin 30^\circ &= 4 \times (5.0 \times 10^{-7})
\end{aligned}
$$

まず、格子定数 \(d\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
d \times \frac{1}{2} &= 20.0 \times 10^{-7} \\[2.0ex] d &= 40.0 \times 10^{-7} \\[2.0ex] &= 4.0 \times 10^{-6}\,\text{m}
\end{aligned}
$$
次に、\(1.0\,\text{cm}\) あたりのすじの本数 \(N\) を求めます。
\(1.0\,\text{cm} = 1.0 \times 10^{-2}\,\text{m}\) なので、この長さを格子定数 \(d\) で割ります。
$$
\begin{aligned}
N &= \frac{1.0 \times 10^{-2}}{d} \\[2.0ex] &= \frac{1.0 \times 10^{-2}}{4.0 \times 10^{-6}} \\[2.0ex] &= \frac{1.0}{4.0} \times 10^{4} \\[2.0ex] &= 0.25 \times 10^{4} \\[2.0ex] &= 2.5 \times 10^{3}\,\text{本}
\end{aligned}
$$

回折格子とは、とても細かい隙間（スリット）がたくさん並んだものです。光が特定の方向に強め合う条件（公式）を使って、まず隙間の間隔（格子定数）を計算します。
計算の結果、隙間の間隔は \(4.0 \times 10^{-6}\,\text{m}\)（4マイクロメートル）だとわかりました。
問われているのは「\(1\,\text{cm}\) の中に隙間が何本あるか」なので、\(1\,\text{cm}\) という長さを、隙間1つ分の幅で割り算すれば、本数が出てきます。

答えは \(2.5 \times 10^3\,\text{本}\) です。\(1\,\text{cm}\) に数千本というオーダーは、一般的な回折格子のスペックとして妥当な値です。

問(2)

思考の道筋とポイント
「すじの本数が多くなる」ということは、すじがより密集することを意味します。つまり、格子定数（すじの間隔）\(d\) は小さくなります。
このとき、干渉条件式 \(d\sin\theta = m\lambda\) において、\(d\) が小さくなった場合に角度 \(\theta\) がどう変化するかを考察します。\(m\) と \(\lambda\) は変化しません。
この設問における重要なポイント

• すじの本数が増える \(\rightarrow\) 格子定数 \(d\) が小さくなる。
• 式変形により \(\sin\theta\) と \(d\) の関係（反比例）を見抜く。
• \(0^\circ \le \theta \le 90^\circ\) の範囲では、\(\sin\theta\) が大きくなれば \(\theta\) も大きくなる。

具体的な解説と立式
まず、すじの本数が増えたときの格子定数 \(d\) の変化を確認します。単位長さあたりの本数が増えるということは、すじ1本あたりの間隔は狭くなるため、\(d\) は小さくなります。
次に、干渉条件式を \(\sin\theta\) について解いた形に変形して考えます。
$$
\begin{aligned}
\sin\theta &= \frac{m\lambda}{d}
\end{aligned}
$$
この式の右辺において、次数 \(m\)（\(=4\)）と波長 \(\lambda\) は一定です。

式 \(\sin\theta = \frac{m\lambda}{d}\) において、分母の \(d\) が小さくなると、分数全体の値（つまり \(\sin\theta\)）は大きくなります。
$$
\begin{aligned}
d \text{が小さくなる} &\rightarrow \sin\theta \text{は大きくなる}
\end{aligned}
$$
\(0^\circ < \theta < 90^\circ\) の範囲において、\(\sin\theta\) が大きくなると、角度 \(\theta\) も大きくなります。
したがって、4次の明線が得られる角度は \(30^\circ\) よりも大きくなります。

すじの本数を増やすということは、隙間の間隔 \(d\) を狭くするということです。
光の干渉では、隙間が狭くなればなるほど、光はより大きく広がろうとします（回折角が大きくなります）。
数式で見ても、\(d \times \sin\theta = \text{一定}\) という関係があるので、\(d\) が小さくなれば、バランスを取るために \(\sin\theta\)（つまり角度 \(\theta\)）は大きくならなければなりません。

すじの間隔が狭くなると回折角が大きくなるという物理的直感とも一致します。よって、角度は大きくなります。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 回折格子の干渉条件
  • 核心: 回折格子における明線の条件式 \(d\sin\theta = m\lambda\) が全ての出発点です。この式は、隣り合うスリットを通る光の経路差 \(d\sin\theta\) が波長 \(\lambda\) の整数倍 \(m\) になるときに、波が強め合うことを表しています。
  • 理解のポイント:
    • 経路差の幾何学的意味: 図を描いて、隣り合う光線の経路差が直角三角形の辺として \(d\sin\theta\) になることを確認しましょう。
    • 格子定数 \(d\) の定義: \(d\) は「スリットの間隔」であり、「\(1\,\text{cm}\) あたりの本数」の逆数であることを理解するのが鍵です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 白色光を入射させる問題: 波長 \(\lambda\) によって回折角 \(\theta\) が異なるため、スペクトル（虹色の縞）が生じます。式 \(\sin\theta = \frac{m\lambda}{d}\) から、波長が大きい（赤色）ほど角度 \(\theta\) が大きくなることが分かります。
  • 垂直ではなく斜めに入射させる問題: 入射角を \(i\)、回折角を \(\theta\) とすると、経路差が \(d(\sin\theta – \sin i)\) （または \(+\)）のように変化します。基本原理（経路差＝波長の整数倍）に戻って図を描けば対応できます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 格子定数 \(d\) の算出: 問題文で直接 \(d\) が与えられず、「\(1\,\text{mm}\) あたり \(N\) 本」のように与えられることが多いです。まずは \(d = \frac{1}{N}\) （単位に注意）を計算する準備をしましょう。
  2. 次数の確認: 「\(m\) 次の明線」という記述を見逃さないようにしましょう。特に \(m=0\) は直進光、\(m=1, 2, \dots\) が回折光です。
  3. 角度の範囲: \(\sin\theta \le 1\) という数学的な制約から、観測可能な最大の次数 \(m\) を求める問題も頻出です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 単位換算のミス:
  • 誤解: 「\(1\,\text{cm}\) あたり」という条件を、そのままメートル単位の計算式に混ぜてしまう。
  • 対策: 物理公式（SI単位系）では長さはメートル \([\text{m}]\) が基本です。\(1\,\text{cm} = 10^{-2}\,\text{m}\) や \(1\,\text{mm} = 10^{-3}\,\text{m}\) の換算を、計算の最初の段階で確実に行いましょう。
• 格子定数と本数の関係の混同:
  • 誤解: 本数 \(N\) が増えると格子定数 \(d\) も増える（あるいは比例する）と勘違いする。
  • 対策: 「\(d\) は隙間の幅」とイメージしましょう。同じ長さにたくさんの線を引けば（\(N\) 増）、当然隙間は狭くなります（\(d\) 減）。\(d = \frac{1}{N}\) という反比例の関係を常に意識してください。
  • \(\sin\theta\) と \(\theta\) の関係:
    • 誤解: \(\sin\theta\) が大きくなると \(\theta\) がどうなるか瞬時に判断できない。
    • 対策: \(0^\circ \le \theta \le 90^\circ\) の範囲では、\(\sin\theta\) は単調増加関数です。つまり、\(\sin\theta\) が大きければ \(\theta\) も大きいと即断できるようにしておきましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 問(1)での公式選択（回折格子の干渉条件）:
  • 選定理由: 問題設定が「回折格子」であり、「明線が得られた」という現象を扱っているため、回折格子の明線条件式 \(d\sin\theta = m\lambda\) を選択するのは必然です。
  • 適用根拠: 多数のスリットからの光が干渉して強め合う条件を記述する唯一の基本式だからです。
• 問(2)でのアプローチ選択（数式による定性評価）:
  • 選定理由: 具体的な数値を求めるのではなく、「大きいか小さいか」という変化の傾向（定性的な変化）を問われています。
  • 適用根拠: 干渉条件式 \(d\sin\theta = m\lambda\) を変形して \(\sin\theta = \frac{m\lambda}{d}\) とすることで、\(d\) の変化が直接 \(\sin\theta\)（そして \(\theta\)）にどう影響するかを論理的に説明できるからです。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 指数計算を丁寧に行う:
  • \(10^{-7}\) や \(10^{-6}\) といった小さな数が頻出します。\(4 \times (5.0 \times 10^{-7}) = 20.0 \times 10^{-7} = 2.0 \times 10^{-6}\) のように、指数部分と仮数部分を整理して計算する癖をつけましょう。
• 割り算を分数で行う:
  • \(N = \frac{1.0 \times 10^{-2}}{4.0 \times 10^{-6}}\) の計算では、いきなり小数で割るのではなく、\(\frac{1}{4} \times \frac{10^{-2}}{10^{-6}} = 0.25 \times 10^4\) のように、係数と10の累乗を分けて処理するとミスが激減します。
• 最終的な単位の確認:
  • 答えが「本」なのか「m」なのか、問われている物理量に合わせて単位を書き添えることで、次元の不整合（例：長さを求めているのに本数になっているなど）に気づくことができます。

411 回折格子

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「回折格子による光の干渉とスペクトル」です。回折格子を通った光が干渉して明線を作る条件と、白色光を用いた場合に色が分離する現象（分光）を扱います。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
まず、回折格子の明線の条件式 \(d\sin\theta = m\lambda\) を立てます。ここでは1次の明線なので \(m=1\) です。
次に、問題文で与えられた近似 \(\sin\theta \approx \tan\theta\) を利用します。
さらに、図から \(\tan\theta\) を \(x\) と \(L\) で表し、これらを組み合わせて \(\lambda\) を求めます。
この設問における重要なポイント

• 干渉条件式: \(d\sin\theta = m\lambda\)
• 近似と幾何学的関係: \(\sin\theta \approx \tan\theta = \frac{x}{L}\)
• 次数 \(m=1\) の適用。

具体的な解説と立式
回折格子の明線の条件式は、格子定数を \(d\)、回折角を \(\theta\)、次数を \(m\)、波長を \(\lambda\) として以下のように表されます。
$$
\begin{aligned}
d\sin\theta &= m\lambda
\end{aligned}
$$
ここで、1次の明線を考えているので \(m=1\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
d\sin\theta &= 1 \times \lambda
\end{aligned}
$$
また、\(\theta\) が十分に小さいとき、\(\sin\theta \approx \tan\theta\) が成り立ちます。図の直角三角形に着目すると、\(\tan\theta\) は以下のように表せます。
$$
\begin{aligned}
\tan\theta &= \frac{x}{L}
\end{aligned}
$$
これらを組み合わせて立式します。
$$
\begin{aligned}
d \cdot \frac{x}{L} &= \lambda
\end{aligned}
$$

立てた式を \(\lambda\) について整理するだけです。
$$
\begin{aligned}
\lambda &= d \frac{x}{L}
\end{aligned}
$$

回折格子の公式 \(d\sin\theta = \lambda\)（\(m=1\)の場合）を使います。ここで、角度 \(\theta\) がとても小さいときは、\(\sin\theta\) を \(\tan\theta\)（底辺分の高さ、つまり \(x/L\)）と置き換えて計算してよいというルールを使います。これらを組み合わせると、波長 \(\lambda\) を長さ \(x, L, d\) だけで表すことができます。

波長 \(\lambda\) は \(d\frac{x}{L}\) と表されました。次元を確認すると、\([L] \cdot [L] / [L] = [L]\) となり、長さの次元を持っているため妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
白色光は、様々な波長の光（可視光線）の混合光です。
「最も明るい明線」とは、回折せずに直進する光（0次明線、\(m=0\)）のことです。ここでは波長によらず全ての光が同じ場所に到達します。
「1次の明線」の位置 \(x\) は、(1)で求めた式 \(\lambda = d\frac{x}{L}\) を変形して \(x = \frac{L\lambda}{d}\) とすることで、波長 \(\lambda\) に依存することがわかります。波長が短い光（紫）と長い光（赤）で \(x\) がどう違うかを考えます。
この設問における重要なポイント

• 0次明線（\(m=0\)）: 経路差が0なので、波長に関係なく全ての光が強め合う。
• 1次明線（\(m=1\)）: 位置 \(x\) は波長 \(\lambda\) に比例する（\(x \propto \lambda\)）。
• 可視光線の波長の大小関係: 紫（短） \(<\) 赤（長）。

具体的な解説と立式
【最も明るい明線（0次明線）について】
最も明るい明線は、入射光の延長線上（\(x=0\)）にできる0次の明線（\(m=0\)）です。
干渉条件式 \(d\sin\theta = 0 \times \lambda = 0\) より、波長 \(\lambda\) によらず常に \(\theta = 0\) となります。
したがって、全ての色（波長）の光が同じ位置で重なり合うため、元の光と同じ色に見えます。

【1次の明線について】
(1)の結果 \(\lambda = d\frac{x}{L}\) を \(x\) について解くと、以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
x &= \frac{L\lambda}{d}
\end{aligned}
$$
この式から、明線の位置 \(x\) は波長 \(\lambda\) に比例することがわかります。
$$
\begin{aligned}
x &\propto \lambda
\end{aligned}
$$
可視光線の波長は、紫が最も短く、赤が最も長いです（\(\lambda_{\text{紫}} < \lambda_{\text{赤}}\)）。
したがって、明線の位置 \(x\) も以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
x_{\text{紫}} < x_{\text{赤}}
\end{aligned}
$$
つまり、中心（最も明るい明線）に近い側に紫色の明線ができ、遠い側に赤色の明線ができます。その間には虹色（スペクトル）が並びます。

（計算というよりは論理的推論が主となります）
0次明線: 全波長が集合 \(\rightarrow\) 白色
1次明線: \(x \propto \lambda\) かつ \(\lambda_{\text{紫}} < \lambda_{\text{赤}}\) より、内側（\(x\)小）が紫、外側（\(x\)大）が赤。

真ん中の明線（0次）には、すべての色の光が寄り道せずに真っ直ぐ届くので、全部混ざって元の白色に見えます。
一方、1次の明線は、波長によって曲がる角度が違います。波長の短い紫色はあまり曲がらず近くに、波長の長い赤色は大きく曲がって遠くに届きます。その結果、光が色ごとに分けられて、内側が紫、外側が赤の虹色に見えます。

最も明るい明線は白色、1次の明線は内側（最も明るい明線側）が紫、外側が赤に色づいて見えます。これはプリズムや回折格子を通した白色光の典型的な見え方と一致します。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 回折格子の干渉条件と近似計算
  • 核心: 回折格子の問題は、干渉条件式 \(d\sin\theta = m\lambda\) が全ての基本です。さらに、実験室レベルの配置では回折角 \(\theta\) が非常に小さくなることが多いため、\(\sin\theta \approx \tan\theta \approx \frac{x}{L}\) という近似式を組み合わせて使うことが定石となります。
  • 理解のポイント:
    • 物理的意味: \(d\sin\theta\) は隣り合うスリットを通る光の経路差を表しています。
    • 近似の妥当性: \(L \gg x\) のとき、直角三角形の斜辺 \(L’\) と底辺 \(L\) がほぼ等しくなるため、\(\sin\theta = x/L’\) と \(\tan\theta = x/L\) がほぼ等しくなります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ヤングの実験: スリットが2つだけの場合ですが、経路差の導出 \(d\sin\theta \approx d\frac{x}{L}\) や明線の位置 \(x = \frac{mL\lambda}{d}\) の形は回折格子と全く同じです。ただし、回折格子の方が明線が鋭く明るいという特徴があります。
  • 単スリットの回折: スリット幅 \(a\) の単スリットの場合、暗線の条件が \(a\sin\theta = m\lambda\) （\(m \neq 0\)）となり、回折格子の明線条件と形が似ていますが意味が逆になるので注意が必要です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 近似の指示を確認: 問題文に「\(\theta\) は十分に小さく」や「\(\sin\theta \approx \tan\theta\)」という記述があるか確認します。あれば、迷わず \(x/L\) を代入します。
  2. 白色光のスペクトル: 「白色光」というキーワードが出たら、波長による回折角の違い（分散）を問われる可能性が高いです。「\(x \propto \lambda\)」の関係式を導き、赤（長波長）が外側、紫（短波長）が内側になることを即座に想起できるようにしましょう。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 次数 \(m\) の取り違え:
  • 誤解: 0次明線（\(m=0\)）を忘れて、1次明線を「最も明るい明線」と勘違いしたり、次数の数え方を間違える。
  • 対策: \(m=0\) は直進光（経路差0）、\(m=1\) はその隣、と順番に整理しましょう。特に白色光の場合、\(m=0\) だけが色づかない（白色）という特徴は重要です。
• 波長と色の関係の逆転:
  • 誤解: 紫の方が波長が長いと勘違いして、スペクトルの並び順を逆にしてしまう。
  • 対策: 「赤外線（熱線）＝波長が長い」「紫外線（高エネルギー）＝波長が短い」というイメージや、虹の配色（赤が外側）を覚えておきましょう。可視光線は概ね \(380\,\text{nm}\)（紫）〜 \(780\,\text{nm}\)（赤）です。
• 近似式の無条件適用:
  • 誤解: どんな場合でも \(\sin\theta \approx \tan\theta\) が使えると思い込む。
  • 対策: この近似が使えるのは \(\theta\) が小さい（\(x \ll L\)）場合のみです。回折角が大きい場合（例えば \(30^\circ\) や \(45^\circ\)）は、近似を使わずに三角関数そのままで計算する必要があります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 問(1)での公式選択（干渉条件と近似）:
  • 選定理由: 回折格子による明線の位置を問われているため、基本となる干渉条件式 \(d\sin\theta = m\lambda\) が必要です。さらに、\(x\) と \(L\) を用いて表すよう指示があり、近似式も与えられているため、これらを組み合わせる方針が確定します。
  • 適用根拠: 問題文の「1次の明線（\(m=1\)）」および「\(\sin\theta \approx \tan\theta\)」という条件に合致します。
• 問(2)でのアプローチ選択（比例関係の考察）:
  • 選定理由: 具体的な数値計算ではなく、色の並び順（定性的な配置）を問われています。そのため、明線の位置 \(x\) が波長 \(\lambda\) にどう依存するかを示す関数関係（\(x \propto \lambda\)）を導くのが最適です。
  • 適用根拠: (1)で導出した式を変形することで、物理量間の依存関係が明確になるためです。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式の変形を確実に行う:
  • いきなり数値を代入せず、まずは \(\lambda = d\frac{x}{L}\) や \(x = \frac{L\lambda}{d}\) のように、求めたい文字について式を解いた形（主語を変える）を作りましょう。これにより、比例・反比例の関係が見えやすくなり、ケアレスミスも減ります。
• 次元の確認（次元解析）:
  • 求めた式 \(\lambda = d\frac{x}{L}\) の右辺の単位を確認します。\([\text{m}] \times \frac{[\text{m}]}{[\text{m}]} = [\text{m}]\) となり、左辺の波長（長さ）と一致していることを確認する癖をつけましょう。もし \(x = \frac{d\lambda}{L}\) のように間違っていたら、単位が合わないのですぐに気づけます。

412 光学距離

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「光学距離（光路長）」です。光が媒質中を進むとき、見かけ上の距離（幾何学的な距離）よりも「光にとっての距離」が長くなるという概念を扱います。これは、ヤングの実験や薄膜干渉など、光の干渉問題を解く上で基礎となる非常に重要な考え方です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
光学距離（光路長）とは、「光が媒質中を進むのにかかる時間と同じ時間で、真空中を進んだとしたらどれだけの距離になるか」を表す量です。
屈折率 \(n\) の媒質中では、光の進み方は真空中に比べて \(n\) 倍「遅く」なります（あるいは波長が \(1/n\) 倍に縮みます）。そのため、距離的な換算としては \(n\) 倍の長さがあるのと同じことになります。
この設問における重要なポイント

• 光学距離の定義: \(\text{光学距離} = \text{屈折率} \times \text{幾何学的距離}\)
• 屈折率 \(n\) の媒質中での距離 \(d\) は、光学距離 \(nd\) に相当する。

具体的な解説と立式
屈折率 \(n\) の媒質中にある距離 \(d\) の区間を、光学的距離（光路長）に換算します。
定義より、光学距離は屈折率と幾何学的距離の積で表されます。
$$
\begin{aligned}
\text{光学距離} &= n \times d
\end{aligned}
$$

計算は定義式そのものです。
$$
\begin{aligned}
\text{光学距離} &= nd
\end{aligned}
$$

光にとって、ガラスや水の中は「歩きにくい泥道」のようなものです。真空中（舗装された道路）と同じ時間で進める距離を基準にすると、屈折率 \(n\) の物質の中にある距離 \(d\) は、真空中の距離 \(nd\) に相当します。つまり、実際の厚さの \(n\) 倍の距離があるのと同じことになります。これを「光学距離」と呼びます。

答えは \(nd\) です。屈折率 \(n\) は通常1より大きいので、光学距離は実際の厚さ \(d\) よりも長くなります。これは光が媒質中で遅くなることと整合しています。

問(2)

思考の道筋とポイント
(1)で求めた光学距離 \(nd\) を利用します。光学距離とは「その媒質中を進む時間と同じ時間で、真空中を進む距離」のことでした。
つまり、「平板中を光が進む時間」は、「真空中を距離 \(nd\) だけ進む時間」と等しいわけです。
真空中の光速は \(c\) なので、時間 \(=\) 距離 \(\div\) 速さ の関係を使って計算できます。
この設問における重要なポイント

• 光学距離の意味: 媒質中の時間 \(t\) \(=\) 真空中で光学距離を進む時間。
• 等速直線運動の公式: \(t = \frac{x}{v}\)

具体的な解説と立式
求める時間を \(t\) とします。
光学距離の定義より、平板中を時間 \(t\) で進む距離 \(d\) は、真空中を同じ時間 \(t\) で進む距離 \(nd\) に相当します。
真空中の光速は \(c\) なので、距離 \(nd\) を速さ \(c\) で進むのにかかる時間が求める時間 \(t\) です。
$$
\begin{aligned}
t &= \frac{nd}{c}
\end{aligned}
$$

式をそのまま記述します。
$$
\begin{aligned}
t &= \frac{nd}{c}
\end{aligned}
$$

(1)で、この平板は光にとって「真空中の距離 \(nd\) 分の道のり」と同じだとわかりました。真空中の光の速さは \(c\) です。
「道のり \(nd\)」を「速さ \(c\)」で進むので、かかる時間は「道のり \(\div\) 速さ」で計算できます。

時間は \(\frac{nd}{c}\) となりました。次元を確認すると、\(\frac{[1] \cdot [L]}{[L]/[T]} = [T]\) となり、時間の次元を持っています。また、\(n > 1\) なので、真空中を距離 \(d\) 進む時間 \(\frac{d}{c}\) よりも時間がかかっていることがわかります。これは媒質中で光が遅くなることと一致します。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 光学距離（光路長）の概念と屈折率の定義
  • 核心: 光学距離 \(nd\) は、単なる計算上のテクニックではなく、「光の位相の進み具合」を真空中に換算して統一的に扱うための物理量です。屈折率 \(n\) の媒質中では光速が \(1/n\) になり、波長も \(1/n\) に縮みます。そのため、距離 \(d\) を進む間に光の波（位相）は真空中の \(n\) 倍多く振動します。これが「距離が \(n\) 倍あるのと同じ」という意味の本質です。
  • 理解のポイント:
    • 屈折率の定義: \(n = \frac{c}{v}\) （\(c\): 真空中の光速, \(v\): 媒質中の光速）。ここから \(v = c/n\) が導かれます。
    • 光学距離の定義: \(L = nd\)。これは「時間 \(t\) をかけて進む距離」を「もし真空中だったらどれだけ進んでいたか」に変換したものです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ヤングの実験（媒質挿入）: スリットの片側に薄いガラス板（厚さ \(d\), 屈折率 \(n\)）を置く問題。このとき、その経路の光路長が \((n-1)d\) だけ伸びる（空気中の距離 \(d\) が \(nd\) に置き換わるため、差は \(nd – d\)）ことを利用して、干渉縞のズレを計算します。
  • 薄膜干渉: 油膜やシャボン玉の干渉問題。膜の中を往復する距離 \(2d\) を光学距離 \(2nd\) に換算し、さらに反射による位相のズレ（固定端反射で \(\pi\) ズレるか）を考慮して干渉条件を立てます。
  • レンズのコーティング: 反射防止膜の厚さを決める問題。これも薄膜干渉の一種で、光学距離 \(2nd\) が半波長の奇数倍になる条件を使います。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 媒質の有無: 光の経路に空気以外の物質（ガラス、水など）があるか確認します。あれば即座に「光学距離 \(nd\)」への換算を意識します。
  2. 時間の計算: 「通過する時間」を問われたら、(2)のように光学距離を \(c\) で割るか、実距離を \(v=c/n\) で割るかの二択です。どちらも同じ結果になりますが、干渉問題では光学距離の方が便利です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 光学距離と実距離の混同:
  • 誤解: 干渉条件式 \(2d\cos\theta = m\lambda\) などを使う際、媒質中なのに \(n\) を掛け忘れて実距離 \(d\) のまま計算してしまう。
  • 対策: 「媒質中では距離が伸びる！」と強くイメージし、距離 \(d\) を見たら反射的に \(nd\) に書き換える癖をつけましょう。
• 波長の短縮の考慮漏れ:
  • 誤解: 媒質中でも波長は真空中の \(\lambda\) のままだと考えてしまう。
  • 対策: 光学距離を使わない場合（実距離 \(d\) で考える場合）、波長の方を \(\lambda’ = \lambda/n\) に縮めて計算する必要があります。どちらのアプローチ（距離を \(n\) 倍するか、波長を \(1/n\) 倍するか）をとっているのか、常に意識しましょう。通常は距離を \(n\) 倍する（光学距離）方が計算ミスが少ないです。
• 光速の変化の方向:
  • 誤解: 媒質中の方が光速が速くなると勘違いする（\(v = nc\) としてしまう）。
  • 対策: 「真空中が宇宙最速」という大原則を思い出しましょう。物質中では抵抗を受けて遅くなるイメージで、必ず \(v < c\) （つまり \(v = c/n\)）となります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 問(1)での公式選択（光学距離の定義）:
  • 選定理由: 「光学距離を求めよ」という直接的な問いかけに対し、その定義式 \(L = nd\) を用いるのは必然です。
  • 適用根拠: 問題文に屈折率 \(n\) と厚さ \(d\) が与えられており、定義にそのまま当てはめることができます。
• 問(2)での公式選択（等速直線運動の公式）:
  • 選定理由: 時間を求める問題であり、光は媒質中を一定の速さで進むため、基本のきほんである \(t = \frac{\text{距離}}{\text{速さ}}\) を選択します。
  • 適用根拠: 光学距離 \(nd\) を使う場合は「距離 \(nd\)、速さ \(c\)」のセット、実距離 \(d\) を使う場合は「距離 \(d\)、速さ \(c/n\)」のセットで適用します。どちらも物理的に正しいアプローチです。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 次元の確認（次元解析）:
  • 答えが \(\frac{nd}{c}\) になったとき、単位を確認します。\([\text{m}] / [\text{m/s}] = [\text{s}]\) となり、時間の単位になっていることで安心できます。もし \(ndc\) なら \([\text{m}^2/\text{s}]\) となり間違いに気づけます。
• 文字の役割を意識する:
  • \(n\) は無次元量（単位なし）、\(d\) は長さ、\(c\) は速さです。これらを意識しながら式変形を行うと、あり得ない形の式（例えば \(n\) と \(d\) を足すなど）が出てきた瞬間にミスを検出できます。

413 レンズのコーティング

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「薄膜による光の干渉（反射防止膜）」です。メガネやカメラのレンズ表面に見られるコーティングの原理であり、光の反射による位相のずれと、経路差による干渉条件を組み合わせる応用問題です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
光が異なる媒質の境界面で反射するとき、位相がずれるかどうかは「屈折率の大小関係」で決まります。

• 入射側の屈折率 \(<\) 透過側の屈折率 \(\rightarrow\) 固定端反射（位相が \(\pi\) ずれる）
• 入射側の屈折率 \(>\) 透過側の屈折率 \(\rightarrow\) 自由端反射（位相はずれない）

問題文より、各媒質の屈折率は以下の通りです。
空気 (\(n=1\)) \(<\) 薄膜 (\(n\)) \(<\) レンズ (\(1.8\))
この大小関係をもとに、各点での反射を判定します。
この設問における重要なポイント

• 屈折率の大小関係: 空気 \(<\) 薄膜 \(<\) レンズ
• 固定端反射（小 \(\rightarrow\) 大）: ずれる
• 自由端反射（大 \(\rightarrow\) 小）: ずれない

具体的な解説と立式
各点での反射について、媒質の屈折率の大小関係を確認します。
空気の屈折率を \(n_{\text{空気}} = 1\)、薄膜の屈折率を \(n\)、レンズの屈折率を \(n_{\text{レンズ}} = 1.8\) とします。
問題文より \(1 < n < 1.8\) です。

• 点A: 薄膜からレンズへの反射です。\(n < 1.8\) なので、屈折率の小さい媒質から大きい媒質への反射（固定端反射）となり、位相は ずれる。
• 点B: 薄膜から空気への反射です。\(n > 1\) なので、屈折率の大きい媒質から小さい媒質への反射（自由端反射）となり、位相は ずれない。
• 点C: 空気から薄膜への反射です。\(1 < n\) なので、屈折率の小さい媒質から大きい媒質への反射（固定端反射）となり、位相は ずれる。
• 点D: 薄膜からレンズへの反射です。\(n < 1.8\) なので、屈折率の小さい媒質から大きい媒質への反射（固定端反射）となり、位相は ずれる。

（計算は不要で、大小関係の判定のみです）

光が反射するとき、「硬い壁（屈折率が大きい物質）」にぶつかって跳ね返るときは、波の形がひっくり返ります（位相がずれる）。逆に、「柔らかい壁（屈折率が小さい物質）」の端で跳ね返るときは、波の形はそのままです。
空気より薄膜、薄膜よりレンズの方が「硬い（屈折率が大きい）」ので、空気\(\rightarrow\)薄膜、薄膜\(\rightarrow\)レンズの反射では位相がずれます。逆向きの反射ではずれません。

A: ずれる, B: ずれない, C: ずれる, D: ずれる
これは屈折率の大小関係 \(1 < n < 1.8\) と整合しています。

問(2)

思考の道筋とポイント
反射光が弱め合う条件を求めます。干渉するのは、薄膜の表面（点C）で反射した光と、薄膜の裏面（点D）で反射して戻ってきた光です。

1. 経路差: 薄膜を往復するので、幾何学的な距離は \(2d\) です。
2. 位相のずれ:
   • 表面反射（点C）: 空気\(\rightarrow\)薄膜なので、位相が \(\pi\) ずれます。
   • 裏面反射（点D）: 薄膜\(\rightarrow\)レンズなので、位相が \(\pi\) ずれます。
   • 両方とも \(\pi\) ずれるため、反射による位相の「相対的なずれ」は \(0\) です。
3. 条件式: 相対的なずれがないので、経路差（光路差）が半波長の奇数倍になれば弱め合います。

この設問における重要なポイント

• 2つの反射光の位相のずれが同じ（共に \(\pi\)）なので、条件式は反転しない。
• 弱め合う条件: 光路差 \(=\) 半波長の奇数倍 \((m + 1/2)\lambda\)
• 模範解答のアプローチ: 媒質中の波長 \(\lambda’ = \lambda/n\) を使う。

具体的な解説と立式
薄膜中での波長を \(\lambda’\) とすると、\(\lambda’ = \frac{\lambda}{n}\) です。
2つの反射光の経路差は、薄膜の往復距離 \(2d\) です。
反射による位相のずれは、両方の光で \(\pi\) ずつ生じるため、互いにキャンセルされて影響しません。
したがって、弱め合う条件は「経路差が媒質中の半波長の奇数倍」となります。
$$
\begin{aligned}
2d &= (2m + 1) \frac{\lambda’}{2}
\end{aligned}
$$
ここで \(\lambda’ = \frac{\lambda}{n}\) を代入して整理します。

$$
\begin{aligned}
2d &= (2m + 1) \frac{\lambda}{2n} \\[2.0ex] 2d &= \left( m + \frac{1}{2} \right) \frac{\lambda}{n} \\[2.0ex] d &= \frac{1}{2} \left( m + \frac{1}{2} \right) \frac{\lambda}{n} \\[2.0ex] &= \left( m + \frac{1}{2} \right) \frac{\lambda}{2n}
\end{aligned}
$$

薄膜の表面で跳ね返る光と、奥まで行って跳ね返ってくる光が合流します。奥まで行く光は、往復で \(2d\) だけ余分に走ります。
今回は、両方の反射で波がひっくり返る（位相がずれる）ので、条件は「余分な道のりが、波長の半分（半波長）の奇数倍なら、山と谷が重なって消える」という普通の弱め合いの条件になります。ただし、薄膜の中では波長が縮んでいることに注意して計算します。

答えは \(\left( m + \frac{1}{2} \right) \frac{\lambda}{2n}\) です。これは反射防止膜（ARコーティング）の原理そのものです。

問(3)

思考の道筋とポイント
透過光の干渉を考えます。

1. 透過光1: まっすぐ通り抜ける光（A\(\rightarrow\)透過）。
2. 透過光2: 薄膜内で1回往復してから通り抜ける光（A\(\rightarrow\)B\(\rightarrow\)A\(\rightarrow\)透過）。

この2つの光の干渉を考えます。

• 経路差: 薄膜の往復分 \(2d\)（光学距離 \(2nd\)）。
• 位相のずれ:
  • 透過光1: 反射なし。
  • 透過光2: 点A（固定端反射、\(\pi\) ずれ）と点B（自由端反射、ずれなし）で反射。合計で \(\pi\) ずれる。
• 条件式: 相対的な位相のずれが \(\pi\) あるので、強め合う条件と弱め合う条件が逆転します。

(2)で「経路差が半波長の奇数倍」という条件が成立しているとき、通常なら弱め合いますが、位相が \(\pi\) ずれているため、逆に強め合います。
この設問における重要なポイント

• 透過光の干渉では、片方の光だけが固定端反射を1回経験するため、条件が逆転する。
• (2)の条件（反射光が弱め合う）のもとでは、透過光は強め合う。

具体的な解説と立式
透過光同士の干渉を考えます。
光路差は反射光の場合と同じく \(2nd\) です。
しかし、反射による位相のずれを考えると、直進する光は反射しませんが、往復する光は点A（固定端）と点B（自由端）で反射するため、位相が \(\pi\) ずれます。
したがって、2つの透過光の間には \(\pi\) の位相差が生じます。
(2)の条件式 \(2nd = (m + 1/2)\lambda\) が成り立っているとき、光路差による位相のずれは \(\pi\)（の奇数倍）です。
これに反射による位相のずれ \(\pi\) を加えると、合計の位相差は \(2\pi\)（の整数倍）となり、波の山と山が重なります。
よって、透過光は強め合います。

（定性的な考察のため計算は不要）

通り抜ける光には、「そのまま通り抜ける光」と「膜の中で一回往復してから通り抜ける光」があります。
往復する光は、膜の中で2回反射しますが、そのうち1回だけ「硬い壁」での反射（固定端反射）をするので、波がひっくり返ります。
(2)の条件では、距離の差だけで波が半波長ずれていますが、反射でさらにもう半波長ずれるので、合計で1波長分ずれることになります。1波長ずれるということは、波の山と山が重なるので、強め合います。

透過光は強め合っています。これは「反射光が消えた分、エネルギーが透過光に移動した」と解釈できます。

問(4)

思考の道筋とポイント
(2)で求めた式 \(d = \left( m + \frac{1}{2} \right) \frac{\lambda}{2n}\) を使います。
「透過光が強め合う」条件は、(3)で考察した通り、(2)の「反射光が弱め合う」条件と同じです。
したがって、この式を満たす最小の \(d\) を求めればよいことになります。
\(d\) が最小になるのは、\(m\) が最小の非負整数、つまり \(m=0\) のときです。
この設問における重要なポイント

• 透過光が強め合う条件 \(=\) 反射光が弱め合う条件（式①）。
• 最小の \(d\) を求めるには、\(m=0\) を代入する。

具体的な解説と立式
透過光が強め合う条件は、(2)で求めた反射光が弱め合う条件式と同じです。
$$
\begin{aligned}
d &= \left( m + \frac{1}{2} \right) \frac{\lambda}{2n}
\end{aligned}
$$
\(d > 0\) で最小となるのは \(m=0\) のときです。
$$
\begin{aligned}
d &= \frac{1}{2} \cdot \frac{\lambda}{2n} = \frac{\lambda}{4n}
\end{aligned}
$$
これに \(n = 1.4\)、\(\lambda = 5.6 \times 10^{-7}\,\text{m}\) を代入します。

$$
\begin{aligned}
d &= \frac{5.6 \times 10^{-7}}{4 \times 1.4} \\[2.0ex] &= \frac{5.6 \times 10^{-7}}{5.6} \\[2.0ex] &= 1.0 \times 10^{-7}\,\text{m}
\end{aligned}
$$

反射防止膜が一番薄くて済むのはどんなときか計算します。
先ほど作った式で、整数 \(m\) に一番小さい \(0\) を入れます。すると、膜の厚さは「波長の \(1/4\)（を屈折率で割ったもの）」であればよいことがわかります。これに数値を当てはめて計算します。

答えは \(1.0 \times 10^{-7}\,\text{m}\) です。これは \(100\,\text{nm}\) であり、可視光の波長（数百nm）に対して妥当な薄膜の厚さです。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 反射による位相のずれと干渉条件
  • 核心: 光の干渉問題において最も重要なのは、「経路差（光路差）」と「反射による位相のずれ」の2点を正しく評価することです。特に、屈折率の大小関係によって位相が \(\pi\) ずれるかどうかが決まる「固定端反射・自由端反射」の法則は、干渉条件式（強め合い・弱め合い）を決定づける決定的な要素です。
  • 理解のポイント:
    • 固定端反射: 屈折率 小 \(\rightarrow\) 大 の反射。位相が \(\pi\) ずれる（山が谷になる）。
    • 自由端反射: 屈折率 大 \(\rightarrow\) 小 の反射。位相はずれない。
    • 干渉条件の逆転: 2つの光の位相のずれが異なれば、強め合いと弱め合いの条件式が逆転します。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ニュートンリング: レンズと平面ガラスの間の空気層での干渉。反射の一方が固定端、他方が自由端となるため、中心（接触点）が暗くなる（弱め合う）のが特徴です。
  • くさび形空気層: 2枚のガラス板の間の空気層での干渉。これも反射の位相ずれが重要になります。
  • シャボン玉の色: 膜の厚さが場所によって変わるため、干渉条件を満たす波長（色）が変わり、虹色に見えます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 屈折率の大小関係のチェック: まず最初に、光が通る媒質の屈折率を順に書き出し、各境界面での反射が「小\(\rightarrow\)大」か「大\(\rightarrow\)小」かを確認して、位相のずれをメモします。
  2. 光路差の計算: 往復距離 \(2d\) を基本とし、斜め入射の場合は \(2d\cos\theta\) となることに注意します。
  3. 条件式の組み立て: 「光路差 \(+\) 位相のずれ分 \(=\) \(m\lambda\)」という基本形に当てはめます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 位相のずれの判定ミス:
  • 誤解: 「反射すれば必ず位相がずれる」あるいは「硬いもの（レンズなど）で反射するときだけずれる」といった曖昧な記憶で判断してしまう。
  • 対策: 必ず「屈折率の大小」で判断するルールを徹底しましょう。「小から大へ入ろうとして跳ね返されるときは \(\pi\) ずれる」と覚えます。
• 波長の取り違え:
  • 誤解: 媒質中でも真空中の波長 \(\lambda\) をそのまま使って \(2d = m\lambda\) と立式してしまう。
  • 対策: 「媒質中では波長が縮む（\(\lambda/n\)）」か、あるいは「距離が伸びる（\(nd\)）」のどちらかのアプローチを必ず取るようにしましょう。光学距離 \(2nd\) を使う方がミスが少ないです。
• 透過光と反射光の混同:
  • 誤解: 反射光の干渉条件をそのまま透過光にも適用してしまう。
  • 対策: エネルギー保存則を思い出し、「反射光が強め合えば透過光は弱め合う（逆になる）」という関係を常に意識しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 問(2)での公式選択（干渉条件）:
  • 選定理由: 「反射光が弱め合う」という現象を記述するため、波の干渉条件式が必要です。
  • 適用根拠: 2つの光がコヒーレント（干渉可能）であり、光路差と位相のずれが明確に定義できるため、干渉の基本式を適用します。
• 問(3)でのアプローチ選択（エネルギー保存則）:
  • 選定理由: 透過光の干渉を真面目に計算することも可能ですが、反射光の結果を利用して定性的に判断する方が迅速かつ確実です。
  • 適用根拠: 光の吸収がない理想的な系では、エネルギー保存則 \(I_{\text{in}} = I_{\text{ref}} + I_{\text{trans}}\) が厳密に成立するため、反射光 \(I_{\text{ref}}\) が最小なら透過光 \(I_{\text{trans}}\) は最大になるという論理が使えます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• \(m\) の値の確認:
  • 最小の厚さを求める際、\(m=0\) なのか \(m=1\) なのかを慎重に判断します。\(d > 0\) という物理的な制約から、式を満たす最小の非負整数を選びます。
  • 数値代入前の式変形:
    • \(d = \frac{\lambda}{4n}\) のように、文字式の状態で最後まで変形してから数値を代入します。これにより、計算の手間が減り、検算もしやすくなります。
  • 単位の確認:
    • 波長が \(\text{nm}\) 単位で与えられることも多いので、\(\text{m}\) 単位に換算する際の指数（\(10^{-9}\)）に注意しましょう。この問題では最初から \(\text{m}\) なのでそのまま計算できます。

414 薄膜の干渉

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「薄膜による光の干渉（斜め入射）」です。油膜やシャボン玉が虹色に見える現象の原理であり、光の屈折、反射による位相のずれ、そして幾何学的な経路差の計算を組み合わせた総合的な問題です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
屈折率 \(n\) の媒質中では、光の速さが \(1/n\) 倍になります。振動数は変化しないため、波の基本式 \(v = f\lambda\) より、波長も \(1/n\) 倍になります。
この設問における重要なポイント

• 屈折率 \(n\) の定義: \(n = \frac{c}{v} = \frac{\lambda}{\lambda’}\)
• 媒質中での波長の変化: \(\lambda’ = \frac{\lambda}{n}\)

具体的な解説と立式
真空中の波長を \(\lambda\)、屈折率 \(n\) の油膜中の波長を \(\lambda’\) とします。
屈折率の定義より、媒質中の波長は真空中の波長の \(1/n\) 倍になります。
$$
\begin{aligned}
\lambda’ &= \frac{\lambda}{n}
\end{aligned}
$$

計算は定義式そのものです。
$$
\begin{aligned}
\lambda’ &= \frac{\lambda}{n}
\end{aligned}
$$

光が空気から油や水に入ると、進むスピードが遅くなります。波の振動するテンポ（振動数）は変わらないので、スピードが落ちた分だけ、波の歩幅（波長）が縮まります。屈折率 \(n\) の場所では、波長は \(1/n\) になります。

答えは \(\frac{\lambda}{n}\) です。\(n > 1\) なので波長は短くなります。

問(2)

思考の道筋とポイント
反射による位相のずれは、境界面を挟んだ2つの媒質の屈折率の大小関係で決まります。

• 点C: 油（\(n\)）と水（\(n_{\text{水}}\)）の境界。問題文より \(n > n_{\text{水}}\) です。
• 点D: 空気（\(n_{\text{空気}}=1\)）と油（\(n\)）の境界。通常 \(n > 1\) です。

この大小関係をもとに、固定端反射か自由端反射かを判定します。
この設問における重要なポイント

• 屈折率の大小関係: 空気(\(1\)) \(<\) 水(\(n_{\text{水}}\)) \(<\) 油(\(n\))
  • 点C: 油(\(n\)) \(\rightarrow\) 水(\(n_{\text{水}}\)) （大 \(\rightarrow\) 小）
  • 点D: 空気(\(1\)) \(\rightarrow\) 油(\(n\)) （小 \(\rightarrow\) 大）
• 固定端反射（小 \(\rightarrow\) 大）: 位相が \(\pi\) ずれる。
• 自由端反射（大 \(\rightarrow\) 小）: 位相はずれない（\(0\)）。

具体的な解説と立式
各点での反射について考えます。

• 点C: 油膜中を進んできた光が、水との境界面で反射します。問題文より、油の屈折率 \(n\) は水の屈折率よりも大きいです（\(n > n_{\text{水}}\)）。
  • 屈折率の大きい媒質から小さい媒質への反射（自由端反射）となるため、位相の変化は 0 です。
• 点D: 空気中を進んできた光が、油膜との境界面で反射します。油の屈折率 \(n\) は空気の屈折率 \(1\) よりも大きいです（\(n > 1\)）。
  • 屈折率の小さい媒質から大きい媒質への反射（固定端反射）となるため、位相の変化は \(\pi\) です。

（計算は不要で、大小関係の判定のみです）

点Cでは、屈折率が大きい油から小さい水へ向かう光が反射するので、「柔らかい壁」での反射と同じで位相はずれません。
点Dでは、屈折率が小さい空気から大きい油へ向かう光が反射するので、「硬い壁」での反射と同じで位相が \(\pi\)（半波長分）ずれます。

C: 0, D: \(\pi\)
これは屈折率の大小関係と整合しています。

問(3)

思考の道筋とポイント
幾何学的な経路差を求めます。図の点A’から点Dに下ろした垂線の足までの距離は等しい（波面が揃っている）ので、油膜の中に入った光が余分に通る距離は \(\overline{\text{BC}} + \overline{\text{CD}}\) です。
模範解答のように、点Dの鏡像（点D’）をとると、\(\overline{\text{CD}} = \overline{\text{CD’}}\) となり、\(\overline{\text{BC}} + \overline{\text{CD}} = \overline{\text{BD’}}\) と一直線の距離に置き換えられます。
三角形 \(\text{BDD’}\) に着目して、この長さを \(d\) と \(\theta_2\) で表します。
この設問における重要なポイント

• 鏡像の利用: 反射の法則（入射角＝反射角）により、反射光の経路を直線の延長として扱える。
• 直角三角形の発見: \(\triangle \text{BDD’}\) は直角三角形であり、\(\angle \text{BD’D} = \theta_2\) となる。
• 辺の長さ: \(\overline{\text{DD’}} = 2d\)

具体的な解説と立式
図のように、油膜の裏面（水との境界）を対称軸として、点Dの鏡像点D’をとります。
反射の法則より、\(\overline{\text{CD}} = \overline{\text{CD’}}\) です。
したがって、求める経路の長さは
$$
\begin{aligned}
\overline{\text{BC}} + \overline{\text{CD}} &= \overline{\text{BC}} + \overline{\text{CD’}} = \overline{\text{BD’}}
\end{aligned}
$$
となります。
ここで、\(\triangle \text{BDD’}\) に着目します。
線分 \(\text{DD’}\) は油膜の厚さ \(d\) の2倍なので、\(\overline{\text{DD’}} = 2d\) です。
また、幾何学的な関係から \(\angle \text{BD’D} = \theta_2\) となります（錯角の関係）。
直角三角形 \(\text{BDD’}\) において、\(\angle \text{DBD’} = 90^\circ\) です。
したがって、
$$
\begin{aligned}
\overline{\text{BD’}} &= \overline{\text{DD’}} \cos\theta_2
\end{aligned}
$$
となります。

$$
\begin{aligned}
\overline{\text{BC}} + \overline{\text{CD}} &= 2d \cos\theta_2
\end{aligned}
$$

光が油膜の中で折れ曲がって進む距離を計算します。鏡に映った像（鏡像）を考えると、折れ曲がった線（BC+CD）をまっすぐな線（BD’）として扱えます。
できた直角三角形の斜辺が \(2d\)（膜の厚さの2倍）で、角度が \(\theta_2\) なので、コサインを使って長さを求められます。

答えは \(2d\cos\theta_2\) です。垂直入射（\(\theta_2 = 0\)）のときは \(2d\) となり、往復距離と一致するので妥当です。

問(4)

思考の道筋とポイント
強め合う条件を求めます。

1. 経路差: (3)で求めた幾何学的距離 \(2d\cos\theta_2\) です。
2. 位相のずれ:
   • 点Cでの反射: ずれなし（0）。
   • 点Dでの反射: \(\pi\) ずれる。
   • 相対的なずれは \(\pi\) です。
3. 条件式: 相対的なずれが \(\pi\) なので、経路差が「媒質中の半波長の奇数倍」になれば強め合います。
   • 通常、経路差が波長の整数倍で強め合いますが、位相が \(\pi\) ずれているため条件が逆転します。

この設問における重要なポイント

• 経路差: \(2d\cos\theta_2\)
• 位相のずれ: \(\pi\) （条件が逆転する）
• 強め合う条件: 経路差 \(=\) 半波長の奇数倍 \((m + 1/2)\lambda’\)
• 媒質中の波長 \(\lambda’ = \lambda/n\) を使う。

具体的な解説と立式
2つの光の経路差は \(2d\cos\theta_2\) です。
点Dでの反射により位相が \(\pi\) ずれるため、強め合う条件は「経路差が媒質中の半波長の奇数倍」となります。
媒質中の波長は \(\lambda’ = \frac{\lambda}{n}\) なので、条件式は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
2d\cos\theta_2 &= (2m + 1) \frac{\lambda’}{2}
\end{aligned}
$$
これを変形して、
$$
\begin{aligned}
2d\cos\theta_2 &= \left( m + \frac{1}{2} \right) \frac{\lambda}{n}
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
2d\cos\theta_2 &= \left( m + \frac{1}{2} \right) \frac{\lambda}{n}
\end{aligned}
$$

光の通り道の差は \(2d\cos\theta_2\) です。
片方の光だけ反射で波がひっくり返っている（位相がずれている）ので、通り道の差が「波長の半分（半波長）の奇数倍」のときに、逆に山と山が揃って強め合います。
ただし、油膜の中なので、波長は \(\lambda/n\) に縮んでいることに注意して式を作ります。

答えは \(2d\cos\theta_2 = \left( m + \frac{1}{2} \right) \frac{\lambda}{n}\) です。これは薄膜干渉の基本的な公式と一致します。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 薄膜干渉における経路差と位相のずれ
  • 核心: 薄膜干渉の問題は、「幾何学的な経路差の計算」と「反射による位相のずれの判定」の2つの要素を正しく組み合わせることで解けます。特に斜め入射の場合、経路差が \(2d\cos\theta_2\) （\(\theta_2\) は屈折角）になることは、導出過程を含めて理解しておくべき最重要事項です。
  • 理解のポイント:
    • 経路差の導出: 鏡像を利用して折れ曲がった経路を直線化し、直角三角形を見つける手法は、幾何光学の強力なツールです。
    • 位相のずれ: 屈折率の大小関係（小\(\rightarrow\)大なら \(\pi\) ずれる）を各反射点で確実にチェックする習慣が不可欠です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • くさび形空気層: ガラス板の間に挟まれた空気層の厚さが変化する場合。経路差 \(2d\) が場所によって変わるため、等厚干渉縞が生じます。
  • ニュートンリング: 球面と平面の間の空気層。中心からの距離 \(r\) と厚さ \(d\) の関係 \(d \approx r^2/2R\) を使って干渉条件を立てます。
  • マイケルソン干渉計: ハーフミラーを使って光を分割し、直交する2つの経路の差で干渉させる装置。原理は薄膜干渉と同じです。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 屈折率のチェック: まず最初に、光が通る媒質の屈折率を順に書き出し、反射点での位相のずれ（0か\(\pi\)か）をメモします。
  2. 入射角と屈折角: 斜め入射の場合、屈折の法則 \(n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2\) を使って角度の関係を整理しておきます。
  3. 経路差の公式: 薄膜干渉なら \(2nd\cos\theta_2\) （光学距離）を即座に思い出せるようにしておくと、検算や見通しを立てるのに役立ちます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 屈折角 \(\theta_2\) ではなく入射角 \(\theta_1\) を使ってしまう:
  • 誤解: 経路差の式に \(2d\cos\theta_1\) と書いてしまう。
  • 対策: 膜の中での経路を考えているので、膜の中の角度（屈折角 \(\theta_2\)）を使うのが自然です。図を描いて、どこの角度を使っているか常に意識しましょう。
• 位相のずれによる条件の逆転忘れ:
  • 誤解: 「強め合い＝整数倍」と機械的に覚えていて、位相のずれを考慮し忘れる。
  • 対策: 「経路差 \(+\) 位相のずれ分 \(=\) \(m\lambda\)」という基本式に立ち返るか、「片方だけ固定端反射なら条件逆転」というルールを指差し確認しましょう。
• 光学距離と幾何学的距離の混同:
  • 誤解: \(2d\cos\theta_2 = m\lambda\) （左辺に \(n\) がない）としてしまう。
  • 対策: 左辺を幾何学的距離にするなら右辺は媒質中の波長 \(\lambda/n\)、左辺を光学距離にするなら右辺は真空中の波長 \(\lambda\) です。次元（単位）だけでなく、「媒質補正」がどこに入っているかを確認しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 問(3)でのアプローチ選択（鏡像法）:
  • 選定理由: 反射を含む光の経路長を求める際、鏡像をとって経路を直線化するのは、最短経路（フェルマーの原理）や幾何学的関係を視覚的に把握するのに最も効率的な方法です。
  • 適用根拠: 平面での反射においては、入射角と反射角が等しいため、鏡像点までの距離が反射経路の長さに等しくなるという幾何学的性質が厳密に成り立ちます。
• 問(4)での公式選択（干渉条件）:
  • 選定理由: 「強め合う条件」を問われているため、波の干渉の基本式が必要です。
  • 適用根拠: 2つの光がコヒーレントであり、経路差と位相差が特定できているため、干渉条件式を適用できます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 図を描く習慣:
  • 頭の中だけで考えず、必ず光の経路図を描き、屈折率の大小や角度 \(\theta\) を書き込みましょう。特に鏡像を作図することで、経路差の計算ミスは激減します。
• 三角関数の確認:
  • \(\cos\theta\) なのか \(\sin\theta\) なのか、直角三角形のどこの辺を求めているのかを常に確認します。「斜辺 \(\times \cos\) ＝ 隣辺」という関係を体に染み込ませましょう。
• 次元の確認:
  • 最後に求めた式の両辺の次元が合っているか確認します。\(2d\cos\theta_2\)（長さ） \(=\) \(m\lambda/n\)（長さ）となっているのでOKです。もし \(n\) が分子にあったらおかしいと気づけます。

415 くさび形空気層の干渉

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「くさび形空気層による光の干渉」です。2枚のガラス板の間にできる薄い空気層（くさび形）での干渉現象を扱います。ニュートンリングと並んで、薄膜干渉の代表的な応用例です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
反射光が強め合う条件を求めます。干渉するのは、ガラス板Aの下面で反射した光と、ガラス板Bの上面で反射した光です。

1. 経路差: 空気層を往復するので、幾何学的な距離は \(2d\) です。
2. 位相のずれ:
   • ガラス板A下面での反射: ガラス（大）\(\rightarrow\) 空気（小）なので、自由端反射（位相はずれない）。
   • ガラス板B上面での反射: 空気（小）\(\rightarrow\) ガラス（大）なので、固定端反射（位相が \(\pi\) ずれる）。
   • 相対的なずれは \(\pi\) です。
3. 条件式: 相対的なずれが \(\pi\) なので、経路差が「半波長の奇数倍」になれば強め合います。

この設問における重要なポイント

• 反射の位相変化: A下面（なし）、B上面（\(\pi\) ずれ）。
• 強め合う条件: 経路差 \(=\) 半波長の奇数倍 \((m + 1/2)\lambda\)

具体的な解説と立式
2つの反射光の経路差は、空気層の往復距離 \(2d\) です。
反射による位相の変化を確認します。

• ガラス板Aの下面での反射は、屈折率の大きいガラスから小さい空気への反射なので、位相はずれません。
• ガラス板Bの上面での反射は、屈折率の小さい空気から大きいガラスへの反射なので、位相が \(\pi\) ずれます。

したがって、2つの光の位相差は \(\pi\) となり、強め合う条件は「経路差が半波長の奇数倍」となります。
$$
\begin{aligned}
2d &= \left( m + \frac{1}{2} \right) \lambda \quad (m = 0, 1, 2, \dots)
\end{aligned}
$$

式をそのまま記述します。
$$
\begin{aligned}
2d &= \left( m + \frac{1}{2} \right) \lambda
\end{aligned}
$$

上のガラス板の裏側で跳ね返る光と、下のガラス板の表側で跳ね返る光が合流します。下のガラス板での反射だけ、波がひっくり返ります（位相がずれます）。
そのため、通り道の差（往復分の \(2d\)）が「波長の半分（半波長）の奇数倍」のときに、逆に山と山が揃って強め合います。

答えは \(2d = \left( m + \frac{1}{2} \right) \lambda\) です。これはくさび形空気層やニュートンリングにおける典型的な明線条件です。

問(2)

思考の道筋とポイント
図の幾何学的な関係から、空気層の厚さ \(d\) を求めます。
接点Oを頂点とする大きな直角三角形（底辺 \(L\)、高さ \(D\)）と、点Pを含む小さな直角三角形（底辺 \(x\)、高さ \(d\)）は相似です。
相似比を利用して \(d\) を表します。
この設問における重要なポイント

• 三角形の相似: \(d : x = D : L\)

具体的な解説と立式
図において、底辺 \(L\)、高さ \(D\) の直角三角形と、底辺 \(x\)、高さ \(d\) の直角三角形は相似です。
したがって、以下の比例式が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
\frac{d}{x} &= \frac{D}{L}
\end{aligned}
$$
これを \(d\) について解きます。

$$
\begin{aligned}
d &= \frac{xD}{L}
\end{aligned}
$$

ガラス板の隙間は、接点Oから離れるほど一定の割合で広がっていきます。
距離 \(L\) で厚さが \(D\) になるので、距離 \(x\) の地点での厚さ \(d\) は、比例計算で求められます。

答えは \(d = \frac{xD}{L}\) です。\(x=0\) で \(d=0\)、\(x=L\) で \(d=D\) となり、妥当です。

問(3)

思考の道筋とポイント
点O付近では \(x \approx 0\) なので、空気層の厚さ \(d \approx 0\) とみなせます。
このとき、経路差 \(2d\) はほぼ \(0\) になります。
しかし、(1)で確認したように、反射による位相のずれが \(\pi\) あるため、経路差が \(0\) でも波は逆位相（山と谷）で重なり合います。
したがって、弱め合い、暗線となります。
この設問における重要なポイント

• 接点Oでは \(d=0\)、経路差 \(0\)。
• 位相のずれが \(\pi\) あるため、経路差 \(0\) で弱め合う。

具体的な解説と立式
点O付近では \(x \approx 0\) なので、空気層の厚さは \(d \approx 0\) です。
したがって、経路差 \(2d \approx 0\) となります。
しかし、2つの反射光の間には反射による位相のずれ \(\pi\) が存在します。
経路差が \(0\) で位相差が \(\pi\) なので、2つの光は逆位相で重なり合い、弱め合います。
よって、暗線になります。

（定性的な考察のため計算は不要）

接点Oではガラス板同士がくっついているので、隙間はありません。光の通り道の差もゼロです。
しかし、片方の光だけ反射で波がひっくり返っているので、通り道の差がなくても、山と谷が重なって打ち消し合います。だから暗くなります。

暗線になります。これはニュートンリングの中心が暗くなるのと同じ理由です。

問(4)

思考の道筋とポイント
明線の間隔 \(\Delta x\) を求めます。
まず、(1)の条件式に(2)の \(d\) を代入して、\(m\) 番目の明線の位置 \(x_m\) を求めます。
次に、隣り合う明線の間隔 \(\Delta x = x_{m+1} – x_m\) を計算します。
この設問における重要なポイント

• 明線の位置 \(x_m\) の導出: \(2 \cdot \frac{x_m D}{L} = (m + 1/2)\lambda\)
• 明線間隔の定義: \(\Delta x = x_{m+1} – x_m\)

具体的な解説と立式
(1)の条件式 \(2d = (m + 1/2)\lambda\) に、(2)の結果 \(d = \frac{xD}{L}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
2 \cdot \frac{x D}{L} &= \left( m + \frac{1}{2} \right) \lambda
\end{aligned}
$$
この式を \(x\) について解き、\(m\) 番目の明線の位置 \(x_m\) とします。
$$
\begin{aligned}
x_m &= \left( m + \frac{1}{2} \right) \frac{L\lambda}{2D}
\end{aligned}
$$
隣り合う明線の間隔 \(\Delta x\) は、
$$
\begin{aligned}
\Delta x &= x_{m+1} – x_m
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
\Delta x &= \left( m + 1 + \frac{1}{2} \right) \frac{L\lambda}{2D} – \left( m + \frac{1}{2} \right) \frac{L\lambda}{2D} \\[2.0ex] &= \left\{ \left( m + 1 + \frac{1}{2} \right) – \left( m + \frac{1}{2} \right) \right\} \frac{L\lambda}{2D} \\[2.0ex] &= 1 \cdot \frac{L\lambda}{2D} \\[2.0ex] &= \frac{L\lambda}{2D}
\end{aligned}
$$

明線ができる場所 \(x\) の式を作ると、\(x\) は整数 \(m\) に比例して増えていくことがわかります。
つまり、明線は等間隔に並びます。その間隔は、\(m\) が \(1\) 増えたときに \(x\) がどれだけ増えるかを計算すれば求まります。

答えは \(\frac{L\lambda}{2D}\) です。波長 \(\lambda\) が長いほど、またくさびの角度が小さい（\(D/L\) が小さい）ほど、間隔は広くなります。

問(5)

思考の道筋とポイント
空気層が屈折率 \(n\) の液体で満たされると、光の波長が変化します。
液中での波長 \(\lambda’\) は、真空中の波長 \(\lambda\) の \(1/n\) 倍になります。
(4)で求めた明線間隔の式において、\(\lambda\) を \(\lambda’\) に置き換えることで、新しい間隔 \(\Delta x’\) を求めます。
なお、ガラスの屈折率は \(n\) より大きいので、反射による位相のずれの関係（A下面：自由端、B上面：固定端）は変わりません。
この設問における重要なポイント

• 媒質中の波長: \(\lambda’ = \frac{\lambda}{n}\)
• 位相のずれの関係は変わらない（ガラス \(> n > 1\)）。
• 明線間隔の式 \(\Delta x = \frac{L\lambda}{2D}\) の \(\lambda\) を \(\lambda’\) に置換する。

具体的な解説と立式
屈折率 \(n\) の液体中では、光の波長は \(\lambda’ = \frac{\lambda}{n}\) となります。
ガラスの屈折率は \(n\) より大きいため、反射における位相のずれ（A下面で変化なし、B上面で \(\pi\) 変化）は空気の場合と同じです。
したがって、明線間隔の式も同じ形になり、単に波長 \(\lambda\) が \(\lambda’\) に変わるだけです。
新しい明線間隔 \(\Delta x’\) は、
$$
\begin{aligned}
\Delta x’ &= \frac{L\lambda’}{2D}
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
\Delta x’ &= \frac{L}{2D} \cdot \frac{\lambda}{n} \\[2.0ex] &= \frac{L\lambda}{2nD}
\end{aligned}
$$

隙間を液体で満たすと、光の波長が \(1/n\) に縮みます。
縞模様の間隔は波長に比例するので、波長が縮んだ分だけ、縞模様の間隔も狭くなります。
計算式では、元の答えの \(\lambda\) を \(\lambda/n\) に置き換えるだけでOKです。

答えは \(\frac{L\lambda}{2nD}\) です。屈折率 \(n\) の液体を入れると、干渉縞の間隔は \(1/n\) 倍に狭くなります。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• くさび形空気層における干渉条件
  • 核心: くさび形空気層の干渉は、薄膜干渉の応用であり、「経路差 \(2d\)」と「反射による位相のずれ \(\pi\)」の2つが決定的な要素です。特に、厚さ \(d\) が場所 \(x\) によって変化するため、干渉条件を満たす場所が縞模様として現れる点が特徴です。
  • 理解のポイント:
    • 位相のずれ: 上のガラス板（空気\(\rightarrow\)ガラス）と下のガラス板（ガラス\(\rightarrow\)空気）の反射の違いにより、片方だけ位相が \(\pi\) ずれるため、干渉条件が逆転します。
    • 幾何学的関係: 厚さ \(d\) と位置 \(x\) の比例関係（相似）を利用して、干渉条件式を \(x\) の関数に変換します。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ニュートンリング: 球面と平面の間の空気層。\(d \approx r^2/2R\) という関係式を使う以外は、くさび形空気層と全く同じ論理で解けます。中心が暗くなるのも同じ理由です。
  • マイケルソン干渉計: 鏡を傾けてくさび形の干渉縞を作る場合があり、原理は共通しています。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 接点の明暗: 接点（\(d=0\)）が暗線なら、反射による位相のずれが \(\pi\)（奇数回 \(\pi\) ずれ）ある証拠です。逆に明線なら、位相のずれがない（または \(2\pi\)）ことになります。
  2. 媒質の変化: 間に液体を入れたり、ガラス板を持ち上げたりしたときの変化を問われたら、「光路差 \(2nd\)」の変化に注目します。\(n\) が増えれば波長が縮み、縞間隔は狭くなります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 明線間隔の計算ミス:
  • 誤解: \(x_m\) を求めた後、引き算をせずにそのまま答えにしてしまう。
  • 対策: 「間隔」を問われたら必ず \(\Delta x = x_{m+1} – x_m\) の操作を行うか、\(m\) の係数部分を抜き出すという意識を持ちましょう。
• 位相のずれの判定ミス:
  • 誤解: 「ガラス板の反射だからずれる」と単純化してしまい、Aの下面（ガラス\(\rightarrow\)空気）でもずれると勘違いする。
  • 対策: 必ず「屈折率の大小」で判断します。「大\(\rightarrow\)小」なら自由端反射でずれません。
• 媒質中の波長の適用忘れ:
  • 誤解: 液体を入れても波長 \(\lambda\) のままで計算してしまう。
  • 対策: 「媒質が変われば波長も変わる」を鉄則とし、\(\lambda’ = \lambda/n\) に置き換えるか、光学距離 \(nd\) を使う習慣をつけましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 問(1)での公式選択（干渉条件）:
  • 選定理由: 「強め合う条件」を問われているため、波の干渉の基本式が必要です。
  • 適用根拠: 2つの反射光がコヒーレントであり、経路差と位相差が特定できているため、干渉条件式を適用できます。
• 問(2)でのアプローチ選択（幾何学的相似）:
  • 選定理由: 物理的な干渉条件ではなく、装置の幾何学的な構造（厚さと位置の関係）を問われているため、図形の相似を利用します。
  • 適用根拠: ガラス板が平面であり、くさび形が直角三角形の相似形をなしていることから、比例関係が成立します。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式の整理:
  • \(2d = (m+1/2)\lambda\) と \(d = xD/L\) を連立する際、いきなり \(x\) について解こうとせず、一度代入した式を書いてから変形するとミスが減ります。
• 次元の確認:
  • 答えの \(\Delta x = \frac{L\lambda}{2D}\) の次元を確認します。\(\frac{[\text{m}] \cdot [\text{m}]}{[\text{m}]} = [\text{m}]\) となり、長さの次元になっているのでOKです。もし \(D\) が分子にあったら無次元になってしまい間違いに気づけます。

416 ニュートンリング

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「ニュートンリング」です。平凸レンズと平面ガラスの間にできる空気層での光の干渉現象を扱います。くさび形空気層と同様に、薄膜干渉の代表的な応用例であり、レンズの曲率半径 \(R\) と干渉縞の半径 \(r\) の関係を理解することが重要です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
図の直角三角形 \(\triangle \text{OAD}\) に着目し、三平方の定理を適用します。
\(\overline{\text{OA}} = R\)、\(\overline{\text{OD}} = R-d\)、\(\overline{\text{AD}} = r\) です。
\(R \gg d\) という条件を利用して、近似計算を行い \(d\) を求めます。
この設問における重要なポイント

• 三平方の定理: \(R^2 = (R-d)^2 + r^2\)
• 近似式: \((1+h)^n \approx 1+nh\) または \(d^2 \approx 0\)（\(d\) は \(R, r\) に比べて非常に小さい）

具体的な解説と立式
図の直角三角形 \(\triangle \text{OAD}\) において、三平方の定理より
$$
\begin{aligned}
R^2 &= (R-d)^2 + r^2
\end{aligned}
$$
右辺を展開します。
$$
\begin{aligned}
R^2 &= R^2 – 2Rd + d^2 + r^2
\end{aligned}
$$
両辺から \(R^2\) を引き、\(d^2\) は \(2Rd\) や \(r^2\) に比べて非常に小さい（高次の微小量）として無視すると、
$$
\begin{aligned}
0 &\approx -2Rd + r^2
\end{aligned}
$$
これを \(d\) について解きます。

$$
\begin{aligned}
2Rd &\approx r^2 \\[2.0ex] d &\approx \frac{r^2}{2R}
\end{aligned}
$$

レンズの表面は球面なので、中心から離れるほどガラス板との隙間 \(d\) は広がります。
直角三角形の定理を使って計算すると、隙間 \(d\) は、中心からの距離 \(r\) の2乗に比例し、レンズの曲がり具合 \(R\) に反比例することがわかります。
計算の途中で「\(d\) はとても小さいので、\(d\) の2乗はもっと小さくて無視できる」という近似を使います。

答えは \(\frac{r^2}{2R}\) です。\(r=0\) で \(d=0\) となり、\(R\) が大きい（平らに近い）ほど \(d\) が小さくなるので妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
反射光の干渉条件を求めます。

1. 経路差: 空気層を往復するので \(2d\) です。(1)の結果を使って \(r\) で表すと \(\frac{r^2}{R}\) になります。
2. 位相のずれ:
   • レンズ下面（ガラス\(\rightarrow\)空気）: 自由端反射（ずれなし）。
   • 平面ガラス上面（空気\(\rightarrow\)ガラス）: 固定端反射（\(\pi\) ずれる）。
   • 相対的なずれは \(\pi\) です。
3. 条件式: 位相が \(\pi\) ずれているため、強め合う条件と弱め合う条件が通常と逆転します。

この設問における重要なポイント

• 経路差: \(2d = \frac{r^2}{R}\)
• 位相のずれ: \(\pi\) （条件逆転）
• 強め合う: 経路差 \(=\) 半波長の奇数倍
• 弱め合う: 経路差 \(=\) 波長の整数倍

具体的な解説と立式
2つの反射光の経路差は \(2d = \frac{r^2}{R}\) です。
反射による位相のずれは、平面ガラス上面での反射のみ \(\pi\) ずれるため、相対的に \(\pi\) のずれがあります。
したがって、

• 強め合う条件: 経路差が半波長の奇数倍
  $$
  \begin{aligned}
  \frac{r^2}{R} &= \left( m + \frac{1}{2} \right) \lambda
  \end{aligned}
  $$
• 弱め合う条件: 経路差が波長の整数倍
  $$
  \begin{aligned}
  \frac{r^2}{R} &= m\lambda
  \end{aligned}
  $$
  （ただし \(m=0, 1, 2, \dots\)）

式をそのまま記述します。
強め合う: \(\frac{r^2}{R} = \left( m + \frac{1}{2} \right) \lambda\)
弱め合う: \(\frac{r^2}{R} = m\lambda\)

光の通り道の差は \(2d\) ですが、これを \(r\) を使って書き直すと \(r^2/R\) になります。
片方の反射で波がひっくり返っているので、

• 通り道の差が「波長の半分、1.5倍、2.5倍…」のときに、山と山が合わさって明るくなります（強め合う）。
• 通り道の差が「波長の1倍、2倍、3倍…（0倍も含む）」のときに、山と谷が合わさって暗くなります（弱め合う）。

強め合う条件: \(\frac{r^2}{R} = \left( m + \frac{1}{2} \right) \lambda\)
弱め合う条件: \(\frac{r^2}{R} = m\lambda\)
これはニュートンリングの基本的な公式です。

問(3)

思考の道筋とポイント
レンズの中心Cは \(r=0\) の点です。
(2)で求めた条件式に \(r=0\) を代入して、どちらが成り立つかを確認します。
あるいは、経路差 \(2d=0\) で位相差が \(\pi\) であることから直接判断します。
この設問における重要なポイント

• \(r=0\) のとき、経路差は \(0\)。
• 位相差が \(\pi\) なので、逆位相で重なり合う。

具体的な解説と立式
中心Cでは \(r=0\) です。
弱め合う条件式 \(\frac{r^2}{R} = m\lambda\) において、\(m=0\) とすれば \(0=0\) となり成り立ちます。
一方、強め合う条件式では \(0 = \frac{1}{2}\lambda\) となり成り立ちません。
したがって、中心Cは暗くなります。
物理的には、経路差が0でも反射で位相が \(\pi\) ずれているため、打ち消し合うからです。

暗い。これは反射光の位相のずれが \(\pi\) であることの直接的な証拠です。

問(4)

思考の道筋とポイント
「中心から数えて5番目の明環」の半径 \(r\) を求めます。
強め合う条件式 \(\frac{r^2}{R} = \left( m + \frac{1}{2} \right) \lambda\) を使います。
ここで、\(m\) の値に注意が必要です。
\(m=0\) が1番目の明環、\(m=1\) が2番目…となるので、5番目は \(m=4\) です。
この設問における重要なポイント

• 5番目の明環 \(\rightarrow\) \(m=4\) （\(m\) は0から始まるため）
• 条件式: \(r = \sqrt{\left( m + \frac{1}{2} \right) R\lambda}\)

具体的な解説と立式
強め合う条件式より、
$$
\begin{aligned}
r &= \sqrt{\left( m + \frac{1}{2} \right) R\lambda}
\end{aligned}
$$
中心から数えて5番目の明環は、\(m=0, 1, 2, 3, 4\) より \(m=4\) に対応します。
これに \(R=100\,\text{m}\)、\(\lambda=5.0 \times 10^{-7}\,\text{m}\) を代入します。

$$
\begin{aligned}
r &= \sqrt{\left( 4 + \frac{1}{2} \right) \times 100 \times 5.0 \times 10^{-7}} \\[2.0ex] &= \sqrt{4.5 \times 5.0 \times 10^{-5}} \\[2.0ex] &= \sqrt{22.5 \times 10^{-5}} \\[2.0ex] &= \sqrt{2.25 \times 10^{-4}} \\[2.0ex] &= \sqrt{2.25} \times 10^{-2} \\[2.0ex] &= 1.5 \times 10^{-2}\,\text{m}
\end{aligned}
$$

明るい輪っかの半径を計算する式に、数字を当てはめます。
「5番目」というのは、\(m=0\) から数え始めるので \(m=4\) のときのことです。
計算すると、半径は \(1.5\,\text{cm}\) になります。

答えは \(1.5 \times 10^{-2}\,\text{m}\) です。\(R\) が非常に大きい（\(100\,\text{m}\)）ため、干渉縞の間隔は比較的広くなり、肉眼でも観察しやすいサイズになっています。

問(5)

思考の道筋とポイント
空気層が屈折率 \(n=1.5\) の液体で満たされます。
ガラスの屈折率は通常1.5程度ですが、問題文に「ガラスとレンズの屈折率は1.5よりも大きい」とあるため、反射による位相のずれの関係（下面：自由端、上面：固定端）は変わりません。
変化するのは波長です。液中での波長 \(\lambda’\) は \(\lambda/n\) になります。
(4)の式 \(r = \sqrt{(m+1/2)R\lambda}\) の \(\lambda\) が小さくなるので、\(r\) も小さくなります。
この設問における重要なポイント

• 位相のずれの関係は変わらない。
• 波長が \(\lambda’ = \lambda/n\) に縮む。
• \(r \propto \sqrt{\lambda}\) なので、\(\lambda\) が小さくなれば \(r\) も小さくなる。

具体的な解説と立式
屈折率 \(n=1.5\) の液体中では、波長は \(\lambda’ = \frac{\lambda}{n}\) となり、元の波長より短くなります。
明環の半径の式は \(r = \sqrt{\left( m + \frac{1}{2} \right) R\lambda’}\) となります。
波長が短くなるため、半径 \(r\) も小さくなります。

$$
\begin{aligned}
r’ &= \sqrt{\left( m + \frac{1}{2} \right) R \frac{\lambda}{n}} = \frac{1}{\sqrt{n}} r
\end{aligned}
$$
\(n > 1\) なので \(r’ < r\) です。

隙間を液体で満たすと、光の波長が縮みます。
縞模様の半径は波長のルートに比例するので、波長が縮むと、縞模様全体が中心に向かって縮こまります。つまり、半径は小さくなります。

小さい。屈折率の高い媒質中では波長が短くなり、干渉縞が密になるため、同じ次数の縞は内側に移動します。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ニュートンリングにおける干渉条件と近似計算
  • 核心: ニュートンリングは、平凸レンズと平面ガラスの間にできる空気層の厚さ \(d\) が、中心からの距離 \(r\) に応じて変化することを利用した干渉現象です。核心となるのは、幾何学的な近似式 \(d \approx r^2/2R\) と、反射による位相のずれ \(\pi\) を組み合わせた干渉条件式です。
  • 理解のポイント:
    • 近似の導出: \(R \gg d\) という条件から、三平方の定理または方べきの定理を用いて \(d\) と \(r\) の関係を導くプロセスは必須です。
    • 中心の暗線: 接点（\(d=0\)）で暗くなるのは、反射による位相のずれが \(\pi\) あるためです。これがニュートンリングの最大の特徴です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • くさび形空気層: \(d\) が \(x\) に比例する (\(d \propto x\)) のに対し、ニュートンリングでは \(d\) が \(r\) の2乗に比例する (\(d \propto r^2\)) 点が異なりますが、干渉の原理は全く同じです。
  • レンズを持ち上げる: レンズを少し持ち上げると、光路差が \(2(d+h)\) になり、縞模様が中心に向かって吸い込まれるように移動します。
  • 透過光の干渉: 反射光ではなく透過光を見る場合、位相のずれの関係が逆転するため、明暗が入れ替わります（中心が明るくなる）。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 中心の明暗: まず中心（\(r=0\)）が明るいか暗いかを確認します。暗ければ位相のずれあり、明るければなし（または \(2\pi\)）です。
  2. 媒質の変化: 間に液体を入れると、光路差が \(n\) 倍になり、波長が \(1/n\) 倍になったのと同じ効果が生じます。結果として縞間隔（半径）は縮小します。
  3. \(m\) の数え方: 中心が暗線（\(m=0\)）の場合、1番目の明環は \(m=0\)、2番目は \(m=1\) となることに注意が必要です。問題文の定義（\(m=0, 1, \dots\)）をよく確認しましょう。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 近似式の適用ミス:
  • 誤解: \(d \approx r^2/2R\) の係数 \(1/2\) を忘れて \(r^2/R\) としてしまう。
  • 対策: 三平方の定理 \(R^2 = (R-d)^2 + r^2\) を展開して、\(2Rd \approx r^2\) となる過程を一度は手で計算して確認しましょう。
• 明環の次数の数え間違い:
  • 誤解: 「5番目の明環」を \(m=5\) として計算してしまう。
  • 対策: \(m=0\) が1番目であることを指折り数えて確認するか、一般項 \(m\) が \(m+1\) 番目に対応することを意識しましょう。
• 平方根の計算ミス:
  • 誤解: \(r^2\) を求めた後、ルートを開くのを忘れたり、指数の計算（\(10^{-7} \times 100 = 10^{-5}\) など）を間違える。
  • 対策: 指数は偶数乗になるように調整してからルートを開く（例: \(\sqrt{22.5 \times 10^{-5}} = \sqrt{2.25 \times 10^{-4}} = 1.5 \times 10^{-2}\)）テクニックを使いましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 問(1)でのアプローチ選択（三平方の定理 vs 方べきの定理）:
  • 選定理由: どちらも幾何学的に正しいアプローチです。三平方の定理は直角三角形を見つけやすく汎用的ですが、近似計算が必要です。方べきの定理は円の性質を直接使うため計算が楽ですが、定理自体を覚えている必要があります。
  • 適用根拠: レンズ断面が円の一部であり、\(d\) が微小であるという条件から、どちらの方法も有効です。
• 問(2)での公式選択（干渉条件）:
  • 選定理由: 「強め合う・弱め合う」条件を問われているため、波の干渉の基本式が必要です。
  • 適用根拠: 2つの反射光がコヒーレントであり、経路差と位相差が特定できているため、干渉条件式を適用できます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 指数計算の工夫:
  • 物理定数（波長など）は \(10^{-7}\) などの小さな値が多いです。計算の最後までは \(10^{-7}\) のまま保持し、最後にまとめて計算するとミスが減ります。
• 次元の確認:
  • 答えの \(r = \sqrt{(m+1/2)R\lambda}\) の次元を確認します。\(\sqrt{[\text{m}] \cdot [\text{m}]} = [\text{m}]\) となり、長さの次元になっているのでOKです。もしルートの中に \(R\) がなかったら \(\sqrt{[\text{m}]}\) となりおかしいと気づけます。

ABOUT THE AUTHOR

共田 誠（まこと先生）

高校物理講師・プロ家庭教師 / 指導歴14年

上智大学理工学部物理学科卒。私立高校の非常勤講師として進学クラスから基礎クラスまで幅広く担当。大手家庭教師センター3社でプロ家庭教師を経験し、現在はオンライン専門で全国の高校生を個別指導中。

「暗記物理の撲滅」を掲げ、生徒の思考のクセを診断・矯正するドクター型アプローチで指導。表面的なテクニックではなく、初見の問題に強い思考力を育てる。

800+解説記事

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