「セミナー物理基礎＋物理2025」徹底解説！【第 Ⅳ 章 16】発展例題～発展問題425

発展例題

発展例題33 組みあわせレンズ

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「組み合わせレンズによる像の形成」です。2枚のレンズが並んでいる場合でも、光は順番にレンズを通過していくため、1枚ずつ順を追って考えるのが基本です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

像の位置と大きさ

思考の道筋とポイント
この問題は2段階のステップで解きます。
第1ステップでは、物体から出た光がレンズAを通過してどこに像を結ぶかを計算します。
第2ステップでは、その「Aによる像」を新たな光源（物体）とみなして、レンズBによって最終的にどこに像ができるかを計算します。
特に重要なのは、Aによる像からレンズBまでの距離を正確に読み取ることです。
この設問における重要なポイント

• レンズAの前方にある物体距離 \(a_1 = 16\,\text{cm}\)。
• レンズAの焦点距離 \(f_A = 12\,\text{cm}\)。
• レンズAとBの間隔 \(d = 63\,\text{cm}\)。
• レンズBの焦点距離 \(f_B = 10\,\text{cm}\)。
• Aによる像が実像の場合、その位置からレンズBまでの距離が、Bにとっての物体距離 \(a_2\) となる。

具体的な解説と立式
ステップ1：レンズAによる結像
レンズAに関して、物体までの距離を \(a_1\)、像までの距離を \(b_1\)、焦点距離を \(f_A\) とします。
写像公式 \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}\) より、以下の式が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{16} + \frac{1}{b_1} &= \frac{1}{12} \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$

ステップ2：レンズBにとっての物体距離の設定
レンズAによって作られる像の位置 \(b_1\) が求まると、レンズBにとっての物体距離 \(a_2\) が決まります。レンズ間の距離は \(63\,\text{cm}\) なので、幾何学的な関係から以下の式が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
a_2 &= 63 – b_1 \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$

ステップ3：レンズBによる結像
レンズBに関して、物体（Aの像）までの距離を \(a_2\)、最終的な像までの距離を \(b_2\)、焦点距離を \(f_B\) とします。
写像公式より、以下の式が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{a_2} + \frac{1}{b_2} &= \frac{1}{10} \quad \cdots ③
\end{aligned}
$$

ステップ4：倍率と像の大きさ
レンズAによる倍率を \(m_A\)、レンズBによる倍率を \(m_B\) とすると、それぞれの倍率は以下の式で表されます。
$$
\begin{aligned}
m_A &= \left| \frac{b_1}{a_1} \right| \\[2.0ex] m_B &= \left| \frac{b_2}{a_2} \right|
\end{aligned}
$$
全体の倍率 \(m\) はこれらの積となります。
$$
\begin{aligned}
m &= m_A \times m_B
\end{aligned}
$$
求める像の大きさ \(H’\) は、元の物体の大きさ \(H = 2.0\,\text{cm}\) に倍率を掛けたものです。
$$
\begin{aligned}
H’ &= H \times m
\end{aligned}
$$

まず、式①を用いて \(b_1\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{b_1} &= \frac{1}{12} – \frac{1}{16} \\[2.0ex] &= \frac{4}{48} – \frac{3}{48} \\[2.0ex] &= \frac{1}{48}
\end{aligned}
$$
したがって、
$$
\begin{aligned}
b_1 &= 48\,\text{cm}
\end{aligned}
$$
\(b_1 > 0\) なので、レンズAの後方 \(48\,\text{cm}\) の位置に実像ができます。

次に、式②を用いて \(a_2\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
a_2 &= 63 – 48 \\[2.0ex] &= 15\,\text{cm}
\end{aligned}
$$
これは、レンズAによる実像が、レンズBの前方 \(15\,\text{cm}\) の位置にあることを意味します。これをレンズBにとっての物体とみなします。

続いて、式③に \(a_2 = 15\) を代入して \(b_2\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{15} + \frac{1}{b_2} &= \frac{1}{10} \\[2.0ex] \frac{1}{b_2} &= \frac{1}{10} – \frac{1}{15} \\[2.0ex] &= \frac{3}{30} – \frac{2}{30} \\[2.0ex] &= \frac{1}{30}
\end{aligned}
$$
したがって、
$$
\begin{aligned}
b_2 &= 30\,\text{cm}
\end{aligned}
$$
\(b_2 > 0\) なので、レンズBの後方 \(30\,\text{cm}\) の位置に実像ができます。

最後に、倍率と像の大きさを計算します。
$$
\begin{aligned}
m &= \left| \frac{48}{16} \right| \times \left| \frac{30}{15} \right| \\[2.0ex] &= 3.0 \times 2.0 \\[2.0ex] &= 6.0\,\text{倍}
\end{aligned}
$$
像の大きさ \(H’\) は、
$$
\begin{aligned}
H’ &= 2.0 \times 6.0 \\[2.0ex] &= 12\,\text{cm}
\end{aligned}
$$

2枚のレンズがあるときは、リレーのように考えます。
まず、1枚目のレンズAが光を集めて像を作ります。計算の結果、Aの後ろ \(48\,\text{cm}\) のところに像ができることがわかりました。
次に、2枚目のレンズBは、この「Aが作った像」を自分の目の前にある物体だと思って、さらに光を屈折させます。レンズAとBの間は \(63\,\text{cm}\) 離れているので、Aの後ろ \(48\,\text{cm}\) にある像は、Bから見ると \(63 – 48 = 15\,\text{cm}\) 前にあることになります。
この「\(15\,\text{cm}\) 前にある物体」に対してBがどこに像を作るかを計算すると、Bの後ろ \(30\,\text{cm}\) であることがわかります。
大きさについては、Aで3倍に拡大され、さらにBで2倍に拡大されるので、トータルで \(3 \times 2 = 6\) 倍になります。

最終的な像の位置はレンズBの後方 \(30\,\text{cm}\)、大きさは \(12\,\text{cm}\) です。
\(b_2\) が正の値であることから、最終的にできる像は実像です。また、倍率が正の積（倒立 \(\times\) 倒立 ＝ 正立）となるため、元の物体に対して正立の実像となります（※注：通常、実像は倒立ですが、2回倒立すると元に戻って正立になります）。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 組み合わせレンズにおける「像の連鎖」の理解
  • 核心: 複数のレンズが並んでいる場合、「前のレンズによって作られた像が、次のレンズにとっての物体（光源）として振る舞う」という原理が全てです。光はレンズAを通過した後、あたかもその像の位置から光が出ている（あるいはそこへ向かっている）かのように進み、レンズBに入射します。
  • 理解のポイント:
    • 段階的な思考: 一気に答えを出そうとせず、レンズ1枚ごとの結像プロセスを独立した問題として解き、それをリレーのようにつなぐ思考力が問われます。
    • 座標のリセット: レンズAの計算が終わったら、一度座標系をリセットし、レンズBを中心に新たな物体距離 \(a_2\) と像距離 \(b_2\) を定義し直す柔軟性が必要です。
• レンズの公式（写像公式）と符号規約の正確な運用
  • 核心: \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}\) という単純な式の中に、実像・虚像、凸レンズ・凹レンズの区別が符号（プラス・マイナス）として凝縮されています。
  • 理解のポイント:
    • 実像と虚像: \(b > 0\) ならばレンズの後方に光が集まる「実像」、\(b < 0\) ならばレンズの前方から光が出ているように見える「虚像」です。この符号の意味を幾何学的な光の経路と結びつけて理解していることが不可欠です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 顕微鏡や望遠鏡の原理: これらは組み合わせレンズの典型例です。対物レンズで実像を作り、その実像を接眼レンズ（虫眼鏡の役割）の焦点距離の内側に配置して、拡大された虚像を見る仕組みです。本問と同じく「像を物体とみなす」アプローチで解けます。
  • 凹レンズを含む組み合わせ: 凸レンズと凹レンズの組み合わせでも手順は同じです。凹レンズの場合、焦点距離 \(f\) を負の値（例: \(f = -10\)）として公式に代入する点だけが異なります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 必ず光路図の概略を描く: 計算を始める前に、平行光線が焦点を通る様子や、レンズの中心を通る光線をフリーハンドで描き、像がどのあたり（レンズの間なのか、後ろなのか）にできそうか予測を立てます。
  2. レンズ間の距離 \(d\) に注目する: 1枚目の像がどこにできるか（\(b_1\)）と、レンズ間距離 \(d\) の大小関係が重要です。
     • \(b_1 < d\) の場合: 1枚目の像（実像）は2枚目のレンズの手前にできます（本問のケース）。2枚目の物体距離は \(a_2 = d – b_1\) となります。
     • \(b_1 > d\) の場合: 1枚目の像が2枚目のレンズを飛び越えて後ろにできる場合（虚物体）もあります。この場合、\(a_2\) を負の値として扱うなど高度な処理が必要になりますが、まずは「位置関係を数直線上で整理する」ことが第一歩です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 2枚目の物体距離 \(a_2\) の計算ミス
  • 誤解: 何も考えずに「物体距離は常に正」と思い込み、位置関係を確認せずに計算してしまう。あるいは、\(a_2 = b_1 – d\) なのか \(d – b_1\) なのか混乱する。
  • 対策: 必ず図を描き、レンズA、レンズB、そして「Aの像」の位置を数直線上にプロットしましょう。「レンズBから見て、Aの像は前方（光が入ってくる側）何 \(\text{cm}\) にあるか？」を視覚的に確認すれば、\(a_2 = 63 – 48 = 15\) という式が自然に出てきます。
• 倍率の計算に関する誤解
  • 誤解: 全体の倍率を、各レンズの倍率の「和」だと勘違いしてしまう（\(m = m_A + m_B\)）。
  • 対策: 倍率は「掛け算」です。Aで3倍に拡大され、その拡大されたものをBがさらに2倍にするなら、全体では \(3 \times 2 = 6\) 倍になります。拡大コピーを2回繰り返す状況をイメージしましょう。
• 逆数の取り忘れ
  • 誤解: \(\frac{1}{b} = \frac{1}{30}\) まで計算して、安心して答えを \(\frac{1}{30}\,\text{cm}\) と書いてしまうケアレスミス。
  • 対策: 求めるのは \(b\) です。計算の最後に必ず「逆数を取る」というステップがあることを意識し、単位（\(\text{cm}\)）をつける前に数値の妥当性（\(0.03\,\text{cm}\) なのか \(30\,\text{cm}\) なのか）を直感的にチェックしましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（写像公式 vs ニュートンの公式）
  • 選定理由: 模範解答では写像公式 \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}\) を採用しています。これは、レンズの中心を基準（原点）とする座標系が直感的で、レンズ間距離 \(d\) との足し引き（\(a_2 = d – b_1\)）がしやすいからです。
  • 適用根拠: 物体や像の位置がレンズの中心から測った距離として与えられている場合、この公式が最もスタンダードで汎用性が高いです。
• 別解でのアプローチ選択（ニュートンの公式）
  • 選定理由: 別解では \(xx’ = f^2\) を用いました。これは、焦点位置が明確で、物体が焦点の外側にある場合に計算が非常に速くなるからです。
  • 適用根拠: 分数の足し算・引き算（通分）が苦手な場合や、検算を行いたい場合に強力な武器になります。特に「倍率」を求める際、\(m = \frac{f}{x}\) と単純な割り算で求まるのが利点です。状況に応じて使い分けることで、計算ミスを減らせます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 分数計算を最後まで維持する
  • 途中で \(1/16 = 0.0625\) のように小数に直すと、計算が煩雑になり誤差やミスのもとになります。\(\frac{1}{b} = \frac{1}{12} – \frac{1}{16} = \frac{4}{48} – \frac{3}{48} = \frac{1}{48}\) のように、分数のまま通分して計算し、最後に逆数を取るのが鉄則です。
• 符号の確認による自己検算
  • 計算結果の \(b\) が正なら実像、負なら虚像です。
  • 凸レンズの場合、「焦点より外側に物体があれば実像（\(b>0\)）」「焦点より内側なら虚像（\(b<0\)）」という定性的な性質と、計算結果の符号が一致しているか必ず確認しましょう。例えば、本問のレンズBでは物体距離 \(15\,\text{cm}\) が焦点距離 \(10\,\text{cm}\) より大きいので、必ず実像（\(b>0\)）になるはずです。もし計算結果がマイナスになったら、どこかで間違えています。
• 作図による大まかなチェック
  • 正確な定規がなくても、フリーハンドで光路図を描いてみましょう。「Aの像はAとBの間くらいにできそうだ」「Bの像はBの少し後ろにできそうだ」という直感と、計算結果（\(b_1=48\), \(b_2=30\)）が大きく矛盾していないか確認することで、桁違いのミスを防げます。

発展例題34 ヤングの実験

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「薄膜が挿入されたヤングの実験」です。光の干渉において最も重要な概念の一つである「光路長（光学距離）」の理解を問う良問です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

中央の明線のずれ

思考の道筋とポイント
中央明線とは、スリットAを出た光とスリットBを出た光が「同時に到着する点」、つまり「光路差が0になる点」のことです。
通常（何も置いていないとき）は、幾何学的に等距離にあるスクリーン中央Oがその点になります。
しかし、今回はスリットBの直後に屈折率 \(n > 1\) の薄膜があります。光は屈折率が大きい物質中では進む速さが遅くなるため、同じ距離を進むのにより多くの時間がかかります。これを「光路長が伸びる」と表現します。
B側の光路長が伸びてしまったので、バランスを取って光路差を0にするためには、幾何学的な距離を調整して「B側の距離を短く（A側の距離を長く）」してあげる必要があります。
したがって、明線はBに近い側（下側）にずれると予測できます。これを数式で定量的に求めます。
この設問における重要なポイント

• 屈折率 \(n\) の媒質中での厚さ \(a\) の光路長は \(na\) である。
• 薄膜があることによる光路長の増加分は \(na – a = (n-1)a\) である。
• スクリーン上の位置 \(x’\) における幾何学的な経路差は \(\frac{dx’}{L}\) で表される。
• 中央明線の条件は \((\text{Aからの光路長}) = (\text{Bからの光路長})\) である。

具体的な解説と立式
まず、中央明線ができる位置を \(O’\) とし、スクリーン中央 \(O\) から下向きに距離 \(x’\) だけずれた位置にあると仮定します。
この点 \(O’\) において、スリットAからの光とスリットBからの光の光路長が等しくなるという式（等光路長の原理）を立てます。

スリットAから \(O’\) までの光路長は、すべて空気中（屈折率1）を通るので、幾何学的な距離 \(AO’\) そのままです。
$$
\begin{aligned}
\text{Aの光路長} &= AO’
\end{aligned}
$$
スリットBから \(O’\) までの光路長は、厚さ \(a\) の薄膜部分と、それ以外の空気中の部分 \((BO’ – a)\) の和になります。薄膜部分の光路長は \(na\) となるので、
$$
\begin{aligned}
\text{Bの光路長} &= (BO’ – a) + na
\end{aligned}
$$
中央明線ではこれらが等しいので、以下の式が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
AO’ &= (BO’ – a) + na \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
また、ヤングの実験における幾何学的な経路差の公式より、\(O\) から距離 \(x’\) 離れた点での経路差 \(AO’ – BO’\) は以下のように近似されます（\(O’\) が下側にあるため \(AO’ > BO’\)）。
$$
\begin{aligned}
AO’ – BO’ &= \frac{dx’}{L} \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$

式①を変形して、幾何学的な距離の差 \(AO’ – BO’\) について整理します。
$$
\begin{aligned}
AO’ &= BO’ – a + na \\[2.0ex] AO’ – BO’ &= na – a \\[2.0ex] AO’ – BO’ &= (n-1)a
\end{aligned}
$$
この式の左辺に、式②の幾何学的近似を代入します。
$$
\begin{aligned}
\frac{dx’}{L} &= (n-1)a
\end{aligned}
$$
この方程式を \(x’\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
dx’ &= L(n-1)a \\[2.0ex] x’ &= \frac{(n-1)aL}{d}
\end{aligned}
$$
ここで、\(n > 1\) より \(n-1 > 0\)、また \(a, L, d\) はすべて正の値なので、\(x’ > 0\) となります。
最初に \(x’\) を「下向きのずれ」と仮定して計算し、結果が正の値となったため、仮定通り下側にずれることがわかります。

スリットBの前にガラスのような薄い膜を置くと、そこを通る光はスピードダウンしてしまいます。つまり、Bを通る光はAを通る光に比べて「遅刻」してしまうのです。
中央の明るい線（明線）は、Aからの光とBからの光が「よーいドン」でスタートして、同時にゴールできる場所です。
Bが遅刻する分、Bにとって有利な場所、つまりBに近い場所（ゴールまでの距離が短い場所）でないと、同時には着けません。
だから、中央の明線はBに近い方、つまり「下側」にずれることになります。
計算では、「Bが遅刻した時間（距離換算）」と「場所をずらしてBの距離を短くした分」がちょうど釣り合う場所を探しています。

中央の明線は、下側に \(\frac{(n-1)aL}{d}\) だけずれます。
結果の式を見ると、膜が厚いほど（\(a\) が大きいほど）、あるいは屈折率が大きいほど（\(n\) が大きいほど）、ずれ \(x’\) は大きくなります。これは、遅れが大きくなるほど、よりBに近い位置で補正しなければならないという直感と一致します。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 光路長（光学距離）の概念と計算
  • 核心: 光の干渉を考える際、単純な「幾何学的な距離（定規で測った長さ）」ではなく、「光路長（屈折率 \(n \times\) 距離）」を用いなければならないという点です。これは、媒質中では光の速さが \(1/n\) になり、同じ距離を進むのにより多くの時間がかかる（位相が遅れる）ことを距離に換算して表現するためです。
  • 理解のポイント:
    • 真空換算: 光路長とは「その媒質中を進む時間と同じ時間で、真空中ならどれだけ進めるか」という換算距離です。
    • 差分計算: 屈折率 \(n\) の物質を厚さ \(a\) だけ通ると、空気中（\(n=1\)）を通る場合に比べて、光路長は \(na – 1 \times a = (n-1)a\) だけ「伸びる」という計算が瞬時にできることが重要です。
• 干渉条件の一般化（光路差の合成）
  • 核心: 干渉現象の本質は「2つの波の位相差（光路差）」です。この光路差は、「幾何学的な経路差（\(\frac{dx}{L}\)）」と「媒質による光路差（\((n-1)a\)）」の和（または差）で構成されることを理解し、それらを統合して条件式を立てる能力が問われます。
  • 理解のポイント:
    • 独立性: 幾何学的な要因と媒質の要因は独立しており、それぞれ計算して足し合わせることができます。
    • 符号の管理: どちらの経路が長くなるのか（遅れるのか）を常に意識し、引き算の順序を間違えないようにすることが重要です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • くさび形空気層（薄膜）の干渉: ガラス板の間に薄いフィルムを挟む問題などでも、「厚さ \(d\) の部分を往復するときの光路差 \(2nd\)」や「反射による位相のずれ」を考慮する点で、光路長の考え方は共通しています。
  • マイケルソン干渉計: 片方の光路にガラス板を挿入して干渉縞の移動を観察する実験は、本問と全く同じ原理（光路長の増加による位相差の変化）に基づいています。
  • 容器内の気体の屈折率測定: スリットの片側に気体を入れた容器を置き、気圧を変えて干渉縞の移動数を数える問題も、本問の \(n\) が変化するバージョンと言えます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 「何が」光路差を生んでいるか特定する: 経路の長さが違うのか、途中に何か物質があるのか、あるいは反射による位相の反転があるのか。要因をリストアップします。
  2. 基準点（光路差0の点）の移動方向を予測する: 「障害物（屈折率の高いもの）がある側は遅れる」→「遅れを取り戻すために距離を短くする必要がある」→「障害物がある側に縞がずれる」というロジックで、計算前に答えの当たりをつけます。
  3. 近似式の適用可否を確認する: \(d \ll L\) や \(x \ll L\) といった条件がある場合、\(\sqrt{L^2+x^2} – L \approx \frac{x^2}{2L}\) や \(\frac{dx}{L}\) といった近似式が使える準備をしておきます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 光路長の「伸び」の計算ミス
  • 誤解: 薄膜部分の光路長 \(na\) だけを足してしまい、元々あった空気の分 \(a\) を引き忘れる（光路差を \(na\) としてしまう）。
  • 対策: 「変化分」に着目しましょう。薄膜を置くことで「空気 \(a\) がガラス \(na\) に置き換わった」と考えれば、変化量は \(na – a = (n-1)a\) であることが明確になります。
• 符号（ずれる方向）の混乱
  • 誤解: 式変形の途中でプラスマイナスが分からなくなり、結局どちらにずれるのか逆にしてしまう。
  • 対策: 数式だけに頼らず、必ず定性的な予測（「遅れる側にずれる」）とセットで考えましょう。また、座標軸（上向き正か下向き正か）を最初に明確に定義し、図に矢印で書き込むことでミスを防げます。
• 屈折率 \(n\) の大小関係の無視
  • 誤解: \(n < 1\) の場合（例えば真空中の実験で一部に気体がある場合など）でも、機械的に同じ方向にずれると思い込む。
  • 対策: \(n-1\) の符号が重要です。もし \(n < 1\) ならば光路長は「縮む」ので、逆に遠ざかる方向にずれます。常に \((n-1)\) の正負を確認する癖をつけましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（光路長の定義式）
  • 選定理由: 問題文に「屈折率 \(n\)」「厚さ \(a\)」というキーワードがあり、これらが光の進み方に与える影響を定量化する必要があります。これを扱うツールは「光路長 \(L_{\text{opt}} = nL\)」しかありません。
  • 適用根拠: 幾何学的な距離だけでは、媒質による光速の違いを反映できないため、すべての距離を「真空中の距離」に換算して統一的に扱うためにこの公式を選択します。
• 別解でのアプローチ選択（干渉条件の一般式）
  • 選定理由: 「中央の明線」という特定の点だけでなく、干渉縞全体の様子（明線間隔など）を理解したい場合や、\(m\) 次の明線の位置を問われる可能性がある場合に有効です。
  • 適用根拠: 干渉現象はすべて \(\Delta = m\lambda\)（または \((m+1/2)\lambda\)）という一つの式に帰着します。個別の状況（薄膜挿入）をこの一般式の中に「項」として組み込むことで、物理現象を統一的な視点で捉えることができます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式の次元確認（単位チェック）
  • 答えとして出た \(\frac{(n-1)aL}{d}\) の次元を確認しましょう。
  • \(n-1\) は無次元、\(a\) は長さ \([L]\)、\(L\) は長さ \([L]\)、\(d\) は長さ \([L]\) です。
  • 全体では \(\frac{[L] \times [L]}{[L]} = [L]\) となり、長さの次元を持っています。もし \(L\) が分母に来ていたりすると次元がおかしくなるので、ミスに気づけます。
• 極端な場合の想定
  • \(n=1\) （薄膜がない、ただの空気）としてみましょう。答えは \(0\) になり、ずれないという当たり前の結果と一致します。
  • \(a=0\) （薄膜がない）としても、答えは \(0\) になります。
  • このような簡単なチェックで、式の形が正しいかどうかの確信度を上げることができます。
• 近似式の導出練習
  • \(\frac{dx}{L}\) という近似式は暗記するだけでなく、三平方の定理とマクローリン展開（\((1+x)^\alpha \approx 1+\alpha x\)）を使って自力で導出できるようにしておきましょう。これにより、近似が使える条件（\(x \ll L\)）を深く理解でき、適用ミスを防げます。

発展問題

417 光ファイバーの原理

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「光ファイバーの原理（全反射）」です。屈折率の異なる媒質を組み合わせることで、光を内部に閉じ込めて遠くまで伝送する仕組みを数式で解析します。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
端Aにおける光の屈折を考えます。光は真空（屈折率 \(1\)）からガラス（屈折率 \(1.5\)）へ入射します。
入射角は \(\theta\)、屈折角は \(\theta’\) です。
屈折の法則を適用して関係式を求めます。
この設問における重要なポイント

• 真空の屈折率は \(1\) である。
• ガラスの屈折率は \(1.5\) である。
• 屈折の法則 \(n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2\) を適用する。

具体的な解説と立式
端Aにおける屈折の法則を適用します。
$$
\begin{aligned}
(\text{真空の屈折率}) \times \sin(\text{入射角}) &= (\text{ガラスの屈折率}) \times \sin(\text{屈折角})
\end{aligned}
$$
より、以下の式が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
1 \times \sin\theta &= 1.5 \times \sin\theta’ \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$

式①を \(\sin\theta’\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
1.5 \sin\theta’ &= \sin\theta \\[2.0ex] \sin\theta’ &= \frac{\sin\theta}{1.5}
\end{aligned}
$$

空気（真空）からガラスに入るとき、光は曲がります。その曲がり具合を表すのが屈折の法則です。「屈折率 \(\times\) サイン角度」の値が、境界の向こうとこっちで等しくなるというルールを使います。

\(\sin\theta’ = \frac{\sin\theta}{1.5}\) と求まりました。
\(1.5 > 1\) なので \(\sin\theta’ < \sin\theta\) となり、\(\theta’ < \theta\) です。光が法線に近づく方向に屈折しており、物理的に妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
次に、ガラス内部を進んだ光が、上下の媒質（屈折率 \(n\)）との境界面に到達したときのことを考えます。
まず、図形の幾何学的な関係から、この境界面への入射角を特定する必要があります。
次に、その入射角に対して全反射の条件「\(\sin(\text{入射角}) > \frac{\text{屈折率小}}{\text{屈折率大}}\)」を適用します。
この設問における重要なポイント

• ガラス板の表面と端面Aは垂直であるため、屈折角 \(\theta’\) と境界面への入射角 \(\alpha\) の和は \(90^\circ\) になる。
• 全反射は、屈折率が大きい媒質（ガラス: \(1.5\)）から小さい媒質（媒質: \(n\)）へ進むときに起こる。
• 全反射の条件は、入射角のサインが臨界角のサイン（\(\frac{n}{1.5}\)）より大きいことである。

具体的な解説と立式
図より、端Aでの屈折角が \(\theta’\) のとき、上下の境界面への入射角を \(\alpha\) とすると、直角三角形の関係から以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
\alpha &= 90^\circ – \theta’
\end{aligned}
$$
全反射が起こるための条件は、
$$
\begin{aligned}
\sin\alpha &> \frac{n}{1.5}
\end{aligned}
$$
です。ここに \(\alpha = 90^\circ – \theta’\) を代入して立式します。
$$
\begin{aligned}
\sin(90^\circ – \theta’) &> \frac{n}{1.5} \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$

式②の左辺を変形します。
$$
\begin{aligned}
\sin(90^\circ – \theta’) &= \cos\theta’
\end{aligned}
$$
これを式②に代入すると、
$$
\begin{aligned}
\cos\theta’ &> \frac{n}{1.5}
\end{aligned}
$$

光がガラスの中を進んで壁（上下の境界面）にぶつかるとき、その角度（入射角）が浅すぎると光は外に漏れてしまいます。ある角度以上でぶつかると、鏡のように全て反射されます（全反射）。
図を見ると、最初の屈折角 \(\theta’\) と、壁への入射角は足して90度になる関係があります。これを使って、壁への入射角を \(\theta’\) で表し、全反射する条件式を作ります。

条件は \(\cos\theta’ > \frac{n}{1.5}\) です。
\(\theta’\) が小さい（光が真っ直ぐに近い）ほど \(\cos\theta’\) は大きくなり、条件を満たしやすくなります。これは、\(\theta’\) が小さいほど壁への入射角 \(90^\circ – \theta’\) が大きくなり、全反射しやすくなるという物理的直感と一致します。

問(3)

思考の道筋とポイント
(1)の結果（\(\sin\theta’\) の式）と(2)の結果（\(\cos\theta’\) の式）を組み合わせて、\(\theta’\) を消去します。
三角関数の基本公式 \(\sin^2x + \cos^2x = 1\) を利用するのが定石です。
この設問における重要なポイント

• \(\sin\theta’ = \frac{\sin\theta}{1.5}\)
• \(\cos\theta’ > \frac{n}{1.5}\)
• \(\sin^2\theta’ + \cos^2\theta’ = 1\)

具体的な解説と立式
三角関数の相互関係より、
$$
\begin{aligned}
\sin^2\theta’ + \cos^2\theta’ &= 1
\end{aligned}
$$
これより、
$$
\begin{aligned}
\cos^2\theta’ &= 1 – \sin^2\theta’
\end{aligned}
$$
(2)の条件式 \(\cos\theta’ > \frac{n}{1.5}\) の両辺は正なので、2乗しても不等号の向きは変わりません。
$$
\begin{aligned}
\cos^2\theta’ &> \left( \frac{n}{1.5} \right)^2 \quad \cdots ③
\end{aligned}
$$
この式③に、\(\cos^2\theta’ = 1 – \sin^2\theta’\) を代入し、さらに(1)の結果 \(\sin\theta’ = \frac{\sin\theta}{1.5}\) を代入して立式します。
$$
\begin{aligned}
1 – \left( \frac{\sin\theta}{1.5} \right)^2 &> \left( \frac{n}{1.5} \right)^2
\end{aligned}
$$

不等式を \(\sin\theta\) について整理します。
$$
\begin{aligned}
1 – \frac{\sin^2\theta}{1.5^2} &> \frac{n^2}{1.5^2} \\[2.0ex] \text{両辺に } 1.5^2 \text{ を掛けて} \quad 1.5^2 – \sin^2\theta &> n^2 \\[2.0ex] \sin^2\theta &< 1.5^2 – n^2
\end{aligned}
$$
\(0^\circ \le \theta < 90^\circ\) より \(\sin\theta \ge 0\) です。また、\(n < 1.5\) より \(1.5^2 – n^2 > 0\) なので、平方根をとることができます。
$$
\begin{aligned}
\sin\theta &< \sqrt{1.5^2 – n^2}
\end{aligned}
$$

「サイン」と「コサイン」は、2乗して足すと1になるという強力な関係を持っています。これを使うと、媒介変数である \(\theta’\) を消し去り、最初の入射角 \(\theta\) と屈折率 \(n\) だけの関係式を作ることができます。

条件は \(\sin\theta < \sqrt{1.5^2 – n^2}\) です。
この式は、入射角 \(\theta\) がある値より小さければ（あまり斜めから入れなければ）、全反射して光が伝わることを示しています。

問(4)

思考の道筋とポイント
「入射角 \(\theta\) によらず」とは、どのような \(\theta\) (\(0^\circ \le \theta < 90^\circ\)) であっても、常に(3)の条件が満たされることを意味します。
\(\sin\theta\) のとりうる最大値を考え、それでもなお不等式が成立するような \(n\) の条件を求めます。
この設問における重要なポイント

• 入射角 \(\theta\) の範囲は \(0^\circ \le \theta < 90^\circ\)（問題文の図や文脈から \(90^\circ\) 未満と考えるのが自然ですが、極限として \(90^\circ\) まで考慮します）。
• \(\sin\theta\) の最大値は \(1\) である。
• 不等式 \(A < B\) が常に成り立つ条件は、「\(A\) の最大値 \(< B\)」である。

具体的な解説と立式
(3)で求めた条件式は以下の通りです。
$$
\begin{aligned}
\sin\theta &< \sqrt{1.5^2 – n^2}
\end{aligned}
$$
この不等式が、あらゆる \(\theta\) について成り立つためには、左辺 \(\sin\theta\) の最大値よりも右辺が大きければよいことになります。
\(\sin\theta\) の最大値は \(1\) （\(\theta = 90^\circ\) のとき）なので、求める条件式は、
$$
\begin{aligned}
1 &< \sqrt{1.5^2 – n^2}
\end{aligned}
$$

不等式を \(n\) について解きます。両辺とも正なので2乗します。
$$
\begin{aligned}
1^2 &< 1.5^2 – n^2 \\[2.0ex] 1 &< 2.25 – n^2 \\[2.0ex] n^2 &< 2.25 – 1 \\[2.0ex] n^2 &< 1.25
\end{aligned}
$$
\(n > 0\) より、
$$
\begin{aligned}
n &< \sqrt{1.25}
\end{aligned}
$$
ここで、\(\sqrt{1.25}\) の値を計算します。
$$
\begin{aligned}
\sqrt{1.25} &= \sqrt{\frac{5}{4}} \\[2.0ex] &= \frac{\sqrt{5}}{2} \\[2.0ex] &\approx \frac{2.236}{2} \\[2.0ex] &= 1.118
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えるため、第3位を四捨五入します。
$$
\begin{aligned}
n &< 1.1
\end{aligned}
$$

どんな角度で光を入れても全反射してほしい、ということは、「一番全反射しにくい角度」で光を入れたときでも大丈夫なら、他のどんな角度でも大丈夫だということです。
一番厳しい条件は、\(\sin\theta\) が一番大きくなるとき、つまり \(\theta\) が \(90^\circ\) に近いときです。この「最悪のケース」でも条件をクリアできるように、外側の屈折率 \(n\) を小さくする必要があります。

\(n < 1.1\) となりました。
クラッド（外側の媒質）の屈折率 \(n\) をコア（中心のガラス）の屈折率 \(1.5\) よりも十分に小さくする（差を大きくする）ことで、どんな角度の光でも閉じ込められるようになります。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 屈折の法則と全反射の条件の連動
  • 核心: 光ファイバーの原理は、「入り口での屈折」と「内部での全反射」という2つの現象が連動して成り立っています。これらを結びつけるのが、幾何学的な角度の関係（\(\alpha = 90^\circ – \theta’\)）です。
  • 理解のポイント:
    • 屈折の法則: 境界面での光の曲がり方を \(n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2\) で記述します。
    • 全反射: 屈折率が大きい媒質から小さい媒質へ進むとき、ある角度以上で光が閉じ込められる現象です。条件式 \(\sin i > \frac{n_{\text{小}}}{n_{\text{大}}}\) を正確に記憶し、適用できることが不可欠です。
• 三角関数の相互関係による変数の消去
  • 核心: 物理の問題では、直接測定できない中間変数（ここでは屈折角 \(\theta’\)）を消去して、制御可能な変数（入射角 \(\theta\)）と定数（屈折率 \(n\)）だけの関係式を導くことが頻出です。そのための最強のツールが \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) です。
  • 理解のポイント:
    • \(\sin(90^\circ – \theta) = \cos\theta\) という変換公式とセットで使いこなせるようにしましょう。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 光ファイバーの曲げ損失: ファイバーが曲がっている場合、幾何学的な関係が変わり、全反射条件が厳しくなります。この場合も「幾何学的関係から入射角を特定する」という基本手順は同じです。
  • 水槽の底から見た景色（全反射の円窓）: 水中から水面を見上げると、ある角度以上は全反射して水上の景色が見えなくなる問題。これも全反射の臨界角を求める典型問題です。
  • プリズム内の光路: プリズムに入射した光が内部で全反射するかどうかを判定する問題。これも「屈折→幾何学的関係→全反射判定」という全く同じフローで解けます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 屈折率の大小関係を確認する: 全反射は必ず「大 \(\rightarrow\) 小」の境界でしか起きません。問題文の \(n < 1.5\) という条件がその前提を示しています。
  2. 角度の関係を図に書き込む: 入射角、屈折角、反射角を記号で図に書き込み、直角三角形や錯角の関係を見つけて、角度同士の等式（\(\alpha + \beta = 90^\circ\) など）を作ります。
  3. 「常に成り立つ条件」＝「最悪のケースでも成り立つ条件」と翻訳する: 「入射角によらず」や「あらゆる場所で」といった文言があれば、関数の最大値・最小値を考える問題（不等式の評価）に帰着させます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 全反射の条件式の不等号の向き
  • 誤解: \(\sin i < \frac{n_{\text{小}}}{n_{\text{大}}}\) と逆にしてしまう。
  • 対策: 「入射角 \(i\) が大きいほど全反射しやすい（鏡に近づく）」というイメージを持ちましょう。つまり、\(i\) がある値（臨界角）より「大きい」ときに全反射します。
• 屈折率の分母・分子の取り違え
  • 誤解: \(\frac{n_{\text{大}}}{n_{\text{小}}}\) としてしまうと、値が1を超えてしまい、\(\sin\theta\) の値としてあり得なくなります（アークサインが定義できない）。
  • 対策: \(\sin\theta\) は必ず1以下なので、右辺の分数は必ず「小さい数 \(\div\) 大きい数」でなければならない、と覚えておけばミスを防げます。
• \(\sin(90^\circ – \theta)\) の変換ミス
  • 誤解: \(\sin(90^\circ – \theta) = \sin\theta\) や \(-\cos\theta\) などと間違える。
  • 対策: 単位円を描くか、直角三角形の鋭角を入れ替えるイメージで \(\sin(90^\circ – \theta) = \cos\theta\) を確実に導けるようにしましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（屈折の法則）
  • 選定理由: 異なる媒質の境界で光が折れ曲がる現象を扱っているため、屈折の法則以外に選択肢はありません。
  • 適用根拠: 入射側の屈折率（真空: 1）と屈折側の屈折率（ガラス: 1.5）が明確に与えられているため、そのまま公式に代入できます。
• (3)での公式選択（三角関数の相互関係）
  • 選定理由: (1)で \(\sin\theta’\)、(2)で \(\cos\theta’\) が出てきており、この \(\theta’\) を消去したいという数学的な要請から、両者を結びつける \(\sin^2 + \cos^2 = 1\) が選ばれます。
  • 適用根拠: 物理的な意味というよりは、数式処理上の必然性による選択です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 近似値の計算
  • \(\sqrt{1.25}\) のような計算では、\(\sqrt{1} = 1\)、\(\sqrt{1.21} = 1.1\)、\(\sqrt{1.44} = 1.2\) といった既知の平方数との比較で当たりをつけると、大きな計算ミスを防げます。今回は \(1.25\) が \(1.21\) に近いので、\(1.1\) ちょいくらいだな、と予想できます。
• 不等式の向きのチェック
  • 最後に求めた \(n < 1.1\) という条件が物理的に妥当か考えます。\(n\) が小さい（1に近い）ほど、ガラス（1.5）との屈折率差が大きくなり、全反射しやすくなります。つまり「\(n\) はある値より小さくなければならない」という不等号の向きは正しいと確認できます。

418 組みあわせレンズ

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「顕微鏡の原理（組み合わせレンズ）」です。対物レンズで実像を作り、その実像を接眼レンズでさらに拡大して虚像として観察する仕組みを、数式を用いて解析します。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
レンズ \(L_1\) について、物体距離 \(x\)、像距離 \(y\)、焦点距離 \(f_1\) の関係をレンズの公式で表します。
\(x > f_1\) という条件は、物体が焦点の外側にあることを示しており、実像ができる（\(y > 0\)）ことの保証となっています。
この設問における重要なポイント

• 物体距離 \(a = x\)
• 像距離 \(b = y\)
• 焦点距離 \(f = f_1\)
• レンズの公式 \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}\) を適用する。

具体的な解説と立式
レンズ \(L_1\) に関してレンズの公式を立てます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} &= \frac{1}{f_1} \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$

式①を \(y\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{y} &= \frac{1}{f_1} – \frac{1}{x} \\[2.0ex] &= \frac{x – f_1}{f_1 x} \\[2.0ex] y &= \frac{f_1 x}{x – f_1}
\end{aligned}
$$

レンズの公式を使って、像ができる位置 \(y\) を計算するだけの基本的な問題です。通分して逆数を取る操作を間違えないようにしましょう。

\(y = \frac{f_1 x}{x – f_1}\) です。
\(x > f_1\) なので分母は正となり、\(y > 0\)（実像）であることが確認できます。

問(2)

思考の道筋とポイント
レンズ \(L_1\) による倍率 \(m_1\) を求めます。倍率は像距離と物体距離の比の絶対値です。
この設問における重要なポイント

• 倍率の公式 \(m = \left| \frac{b}{a} \right|\) を適用する。
• (1)で求めた \(y\) の式を代入する。

具体的な解説と立式
倍率の公式より、
$$
\begin{aligned}
m_1 &= \left| \frac{y}{x} \right|
\end{aligned}
$$
\(x > 0, y > 0\) なので絶対値記号はそのまま外せます。
$$
\begin{aligned}
m_1 &= \frac{y}{x} \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$

式②に(1)の結果を代入します。
$$
\begin{aligned}
m_1 &= \frac{1}{x} \times \frac{f_1 x}{x – f_1} \\[2.0ex] &= \frac{f_1}{x – f_1}
\end{aligned}
$$

倍率は「像までの距離 \(\div\) 物体までの距離」で計算できます。さっき求めた \(y\) を \(x\) で割るだけです。

\(m_1 = \frac{f_1}{x – f_1}\) です。
\(x\) が \(f_1\) に近いほど（焦点に近いほど）、分母が小さくなり倍率が大きくなることがわかります。

問(3)

思考の道筋とポイント
レンズ \(L_1\) が作った実像 \(P_1 Q_1\) は、レンズ \(L_2\) にとっての物体となります。
レンズ \(L_2\) によって「虚像」ができるための条件は、この物体 \(P_1 Q_1\) がレンズ \(L_2\) の「焦点の内側」にあることです。
まず、レンズ \(L_2\) から物体 \(P_1 Q_1\) までの距離を \(d\) と \(y\) を使って表し、それが焦点距離 \(f_2\) より小さければよいという不等式を立てます。
この設問における重要なポイント

• レンズ \(L_1\) と \(L_2\) の距離は \(d\)。
• \(L_1\) から実像 \(P_1 Q_1\) までの距離は \(y\)。
• したがって、\(L_2\) から物体 \(P_1 Q_1\) までの距離は \(d – y\) となる。
• 凸レンズで虚像ができる条件: 物体距離 \(< f\)

具体的な解説と立式
レンズ \(L_2\) にとっての物体距離 \(a_2\) は、図より
$$
\begin{aligned}
a_2 &= d – y
\end{aligned}
$$
となります。
レンズ \(L_2\) によって虚像ができる条件は、物体が焦点距離 \(f_2\) よりもレンズに近いこと、すなわち \(a_2 < f_2\) です。
$$
\begin{aligned}
d – y &< f_2 \quad \cdots ③
\end{aligned}
$$

式③に(1)の \(y\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
d – \frac{f_1 x}{x – f_1} &< f_2
\end{aligned}
$$

2枚目のレンズ（接眼レンズ）で拡大された虚像を見るためには、虫眼鏡の使い方と同じで、見る対象（ここでは1枚目のレンズが作った像）を焦点より内側に置く必要があります。
レンズ間の距離 \(d\) から1枚目の像距離 \(y\) を引いた残りの距離が、2枚目のレンズにとっての「対象までの距離」です。これが焦点距離 \(f_2\) より小さければOKです。

条件式は \(d – \frac{f_1 x}{x – f_1} < f_2\) です。

問(4)

思考の道筋とポイント
レンズ \(L_2\) についてレンズの公式を立てます。
物体距離は \(d – y\)、像距離は虚像なので \(-z\) （\(z\) は距離なので正の値、公式には負の値として代入）とします。
この式から \(d\) を求めます。
この設問における重要なポイント

• レンズ \(L_2\) の物体距離 \(a = d – y\)
• レンズ \(L_2\) の像距離 \(b = -z\) （虚像はレンズの前方にできるため負）
• 焦点距離 \(f = f_2\)

具体的な解説と立式
レンズ \(L_2\) に関してレンズの公式を立てます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{d – y} + \frac{1}{-z} &= \frac{1}{f_2} \quad \cdots ④
\end{aligned}
$$

式④を \(d\) について解くために変形します。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{d – y} &= \frac{1}{f_2} + \frac{1}{z} \\[2.0ex] &= \frac{z + f_2}{f_2 z}
\end{aligned}
$$
逆数を取ります。
$$
\begin{aligned}
d – y &= \frac{f_2 z}{z + f_2} \\[2.0ex] d &= \frac{f_2 z}{z + f_2} + y
\end{aligned}
$$
問題文の指示により、\(y\) はそのまま用いてよいので、これで答えとなります。

2枚目のレンズについて、公式通りに計算するだけです。ただし、できるのが「虚像」なので、像までの距離 \(z\) にマイナスをつけて公式に入れる点だけ注意が必要です。

\(d = \frac{f_2 z}{z + f_2} + y\) です。

問(5)

思考の道筋とポイント
組み合わせレンズ全体の倍率 \(m_{12}\) は、各レンズの倍率 \(m_1\) と \(m_2\) の積で表されます。
\(m_1\) は(2)で求めています。\(m_2\) を \(L_2\) の物体距離 \(d-y\) と像距離 \(z\) を使って表し、(4)の結果を利用して整理します。
この設問における重要なポイント

• 全体の倍率 \(m_{12} = m_1 \times m_2\)
• \(m_2 = \left| \frac{-z}{d – y} \right| = \frac{z}{d – y}\)

具体的な解説と立式
レンズ \(L_2\) の倍率 \(m_2\) は、
$$
\begin{aligned}
m_2 &= \frac{z}{d – y}
\end{aligned}
$$
ここで、(4)の計算過程より \(d – y = \frac{f_2 z}{z + f_2}\) なので、これを代入します。
$$
\begin{aligned}
m_2 &= z \div \frac{f_2 z}{z + f_2} \\[2.0ex] &= z \times \frac{z + f_2}{f_2 z} \\[2.0ex] &= \frac{z + f_2}{f_2}
\end{aligned}
$$
全体の倍率 \(m_{12}\) は、
$$
\begin{aligned}
m_{12} &= m_1 \times m_2
\end{aligned}
$$

(2)の結果 \(m_1 = \frac{f_1}{x – f_1}\) と、上で求めた \(m_2\) を掛け合わせます。
$$
\begin{aligned}
m_{12} &= \frac{f_1}{x – f_1} \times \frac{z + f_2}{f_2} \\[2.0ex] &= \frac{f_1 (z + f_2)}{f_2 (x – f_1)}
\end{aligned}
$$

顕微鏡の倍率は「対物レンズの倍率 \(\times\) 接眼レンズの倍率」です。
対物レンズの倍率は(2)で求めました。接眼レンズの倍率を計算して、最後に掛け算すれば完了です。

\(m_{12} = \frac{f_1 (z + f_2)}{f_2 (x – f_1)}\) です。
この式を見ると、焦点距離の短い対物レンズ（\(f_1\) 小）と接眼レンズ（\(f_2\) 小）を使い、物体を焦点ギリギリ（\(x \approx f_1\)）に置くことで、非常に大きな倍率が得られるという顕微鏡の設計原理が読み取れます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 組み合わせレンズにおける「像の連鎖」の理解
  • 核心: 複数のレンズが並んでいる場合、「前のレンズによって作られた像が、次のレンズにとっての物体（光源）として振る舞う」という原理が全てです。光はレンズAを通過した後、あたかもその像の位置から光が出ている（あるいはそこへ向かっている）かのように進み、レンズBに入射します。
  • 理解のポイント:
    • 段階的な思考: 一気に答えを出そうとせず、レンズ1枚ごとの結像プロセスを独立した問題として解き、それをリレーのようにつなぐ思考力が問われます。
    • 座標のリセット: レンズAの計算が終わったら、一度座標系をリセットし、レンズBを中心に新たな物体距離 \(a_2\) と像距離 \(b_2\) を定義し直す柔軟性が必要です。
• 実像と虚像の条件と符号の扱い
  • 核心: レンズの公式 \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}\) において、\(b\) の符号が像の性質（実像か虚像か）を決定します。また、幾何学的には「物体が焦点の内側か外側か」が決定的な要因となります。
  • 理解のポイント:
    • 凸レンズの性質: 物体が焦点の外側なら実像（倒立）、内側なら虚像（正立）ができるという基本性質を、数式（\(a < f \Rightarrow b < 0\)）と図形の両方で理解しておく必要があります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 望遠鏡（ケプラー式、ガリレオ式）: 顕微鏡と同様に、対物レンズで実像を作り、接眼レンズで拡大する仕組みです。ガリレオ式では接眼レンズに凹レンズを使うため、焦点距離 \(f\) の符号に注意が必要ですが、基本的な「像の連鎖」の考え方は同じです。
  • レンズと鏡の組み合わせ: レンズを通った光が鏡で反射し、再びレンズを通るような問題でも、「鏡による像」を次の「レンズの物体」とみなす手順は変わりません。
• 初見の問題での着眼点:
  1. レンズ間の距離 \(d\) と像の位置関係を整理する: 1枚目の像がどこにできるか（\(y\)）と、レンズ間距離 \(d\) の大小関係が重要です。\(y < d\) ならば実像が2枚目の手前にでき（実物体）、\(y > d\) ならば実像が2枚目の後ろにできる（虚物体）ことになります。本問は \(y < d\) のケースです。
  2. 最終的な像の種類（実像か虚像か）を確認する: 問題文に「虚像ができる」とあれば、接眼レンズの物体は焦点の内側になければならない、と即座に条件を絞り込めます。
  3. 倍率の定義を確認する: 角度倍率なのか、横倍率なのか。本問のようなレンズの配置では通常「横倍率」の積として計算します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 2枚目の物体距離の計算ミス
  • 誤解: 2枚目のレンズ \(L_2\) にとっての物体距離を、単純に \(y\) や \(x\) を使って表そうとして、レンズ間距離 \(d\) を考慮し忘れる。
  • 対策: 必ず図を描き、\(L_1\)、\(L_2\)、そして「\(L_1\) の像」の位置を数直線上にプロットしましょう。「\(L_2\) から見て、\(L_1\) の像は前方何 \(\text{cm}\) にあるか？」を視覚的に確認すれば、\(d – y\) という式が自然に出てきます。
• 虚像の像距離の符号ミス
  • 誤解: 虚像の距離 \(z\) が与えられたとき、レンズの公式にそのまま \(+z\) を代入してしまう。
  • 対策: レンズの公式において、像距離 \(b\) は「レンズの後方（光が出ていく側）」を正とします。虚像はレンズの前方（物体側）にできるので、公式には必ず負の値（\(-z\)）として代入しなければなりません。
• 倍率の計算での絶対値の扱い
  • 誤解: 倍率の公式 \(m = \frac{b}{a}\) （符号込み）と \(m = \left| \frac{b}{a} \right|\) （大きさの比）を混同し、マイナスの倍率が出てきて混乱する。
  • 対策: 「倍率」と聞かれたら通常は大きさの比（正の値）を答えます。倒立か正立かは符号で判断しますが、大きさの計算では絶対値をつけて処理するのが無難です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)(4)での公式選択（レンズの公式）
  • 選定理由: 物体距離、像距離、焦点距離の関係を記述する基本法則であり、これ以外に選択肢はありません。
  • 適用根拠: 近軸光線近似が成り立つ薄肉レンズという前提（高校物理の標準的な設定）において、この公式は厳密に成り立ちます。
• (3)でのアプローチ選択（幾何学的条件 vs 数式条件）
  • 選定理由: 「虚像ができる」という定性的な条件を数式化する必要があります。
  • 適用根拠: 凸レンズにおいて虚像ができるのは「物体が焦点の内側にあるとき」という幾何学的な事実を使うのが最も直感的で早いです（別解のアプローチ）。もちろん、レンズの公式 \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}\) において \(b < 0\) となる条件（\(\frac{1}{a} > \frac{1}{f} \Rightarrow a < f\)）を導いても同じ結果になります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式の次元確認（単位チェック）
  • 答えとして出た \(\frac{f_1 x}{x – f_1}\) の次元を確認しましょう。
  • 分子は \([L]^2\)、分母は \([L]\) なので、全体で \([L]\)（長さ）の次元になります。もし \(f_1 x\) が \(f_1 + x\) になっていたりすると次元が合わないので、ミスに気づけます。
• 極端な場合の想定
  • \(x \rightarrow f_1\) （物体を焦点に近づける）とどうなるか？
  • 式では \(y \rightarrow \infty\) となります。これは焦点にある物体の像は無限遠にできるという物理的事実と一致します。
  • \(x \rightarrow \infty\) （物体を無限遠に置く）とどうなるか？
  • 式では \(y \rightarrow f_1\) となります。無限遠からの光は焦点に集まるという事実と一致します。
• 繁分数の処理
  • (4)や(5)で出てくる \(\frac{1}{\frac{1}{A} + \frac{1}{B}}\) のような繁分数は、計算ミスの温床です。
  • 小まめに通分する（\(\frac{AB}{A+B}\) の形にする）か、逆数のまま計算を進めて最後にひっくり返すなど、自分なりの確実な手順を確立しておきましょう。

419 凹面鏡の式

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「凹面鏡による結像公式の導出」です。レンズの公式と同様の式が、鏡の反射においても成り立つことを、幾何光学の基本原理（反射の法則）と近似計算を用いて証明します。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
図中の三角形 \(\triangle ACP\) と \(\triangle PCB\) に着目します。
反射の法則より、入射角と反射角はともに \(\varepsilon\) です。
三角形の外角の定理を使って、\(\alpha, \beta, \gamma\) と \(\varepsilon\) の関係式を2つ作り、そこから \(\varepsilon\) を消去します。
この設問における重要なポイント

• 反射の法則: 入射角 \(\angle APC = \varepsilon\)、反射角 \(\angle CPB = \varepsilon\)。
• 外角の定理: \(\triangle ACP\) において外角 \(\gamma = \alpha + \varepsilon\)。
• 外角の定理: \(\triangle PCB\) において外角 \(\beta = \gamma + \varepsilon\)。

具体的な解説と立式
\(\triangle ACP\) において、外角の定理より、
$$
\begin{aligned}
\gamma &= \alpha + \varepsilon \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
\(\triangle PCB\) において、外角の定理より、
$$
\begin{aligned}
\beta &= \gamma + \varepsilon \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$
式①より \(\varepsilon = \gamma – \alpha\) です。これを式②に代入して \(\varepsilon\) を消去します。
$$
\begin{aligned}
\beta &= \gamma + (\gamma – \alpha)
\end{aligned}
$$

上の式を整理して \(\alpha + \beta\) の形にします。
$$
\begin{aligned}
\beta &= 2\gamma – \alpha \\[2.0ex] \alpha + \beta &= 2\gamma
\end{aligned}
$$

光の反射のルール（入射角＝反射角）と、三角形の角度のルール（外角は内角の和）をパズルのように組み合わせる問題です。
中心角 \(\gamma\) は入射角 \(\alpha\) より大きく、反射角 \(\beta\) は中心角 \(\gamma\) よりさらに大きいという関係があり、実は \(\gamma\) が \(\alpha\) と \(\beta\) のちょうど真ん中の値（平均）になっていることを示しています。

\(\alpha + \beta = 2\gamma\) となりました。
これは \(\gamma – \alpha = \beta – \gamma\) と変形でき、角度が等差数列的な関係にあることを示唆しています。

問(2)

思考の道筋とポイント
「光軸の近くを通る光線」という条件は、点Pが点Oに非常に近い、つまり高さ \(h\) が \(a, b, R\) に比べて非常に小さいことを意味します。
このとき、角度 \(\alpha, \beta, \gamma\) は微小となり、\(\tan\theta \approx \theta\) の近似が使えます。
また、点Hは点Oに限りなく近づくため、\(AH \approx AO = a\)、\(BH \approx BO = b\)、\(CH \approx CO = R\) と近似できます。
この設問における重要なポイント

• 近似式 \(\alpha \approx \tan\alpha = \frac{PH}{AH}\)
• 近似 \(AH \approx a, BH \approx b, CH \approx R\) （\(h \ll a, b, R\) のため \(OH\) を無視）

具体的な解説と立式
直角三角形 \(\triangle PAH\) に着目すると、
$$
\begin{aligned}
\tan\alpha &= \frac{PH}{AH} \\[2.0ex] &= \frac{h}{a – OH}
\end{aligned}
$$
ここで \(h \gg OH\) （問題文の条件、あるいは \(P\) が \(O\) に近いことから \(OH \approx 0\)）より、\(a – OH \approx a\) と近似します。
$$
\begin{aligned}
\alpha &\approx \tan\alpha \\[2.0ex] &\approx \frac{h}{a}
\end{aligned}
$$
同様に、直角三角形 \(\triangle PBH\) に着目して、
$$
\begin{aligned}
\beta &\approx \tan\beta \\[2.0ex] &= \frac{PH}{BH} \\[2.0ex] &\approx \frac{h}{b}
\end{aligned}
$$
直角三角形 \(\triangle PCH\) に着目して、
$$
\begin{aligned}
\gamma &\approx \tan\gamma \\[2.0ex] &= \frac{PH}{CH} \\[2.0ex] &\approx \frac{h}{R}
\end{aligned}
$$
（※問題文では \(\sin\gamma\) の近似も示唆されていますが、\(\tan\) で統一して考えるのが自然です。\(PC \approx R\) とすれば \(\sin\) でも同じ結果になります。）

それぞれの近似式を整理します。
$$
\begin{aligned}
\alpha &= \frac{h}{a}, \quad \beta = \frac{h}{b}, \quad \gamma = \frac{h}{R}
\end{aligned}
$$

鏡のカーブがとても緩やかで、光が中心軸スレスレを通る場合を考えます。
このとき、角度は「高さ \(\div\) 底辺」で計算できます（タンジェントの定義）。
さらに、鏡の曲がり具合（\(OH\)）は無視できるほど小さいので、底辺の長さは光軸上の距離（\(a, b, R\)）そのままでいいよ、という近似を使っています。

角度が距離の逆数に比例する形になりました。距離が遠いほど角度は小さくなるので、物理的に妥当です。

問(3)

思考の道筋とポイント
(1)で求めた角度の関係式 \(\alpha + \beta = 2\gamma\) に、(2)で求めた距離による表現を代入します。
共通因数の \(h\) を約分して整理します。
この設問における重要なポイント

• \(\alpha + \beta = 2\gamma\)
• \(\alpha = \frac{h}{a}, \beta = \frac{h}{b}, \gamma = \frac{h}{R}\)

具体的な解説と立式
関係式に代入します。
$$
\begin{aligned}
\frac{h}{a} + \frac{h}{b} &= 2 \times \frac{h}{R}
\end{aligned}
$$

両辺を \(h\) （\(h \neq 0\)）で割ります。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} &= \frac{2}{R}
\end{aligned}
$$

角度の関係式を、距離の関係式に翻訳しました。
「物体までの距離の逆数」と「像までの距離の逆数」を足すと、「半径の逆数の2倍」になるという、シンプルで美しい法則（凹面鏡の公式）が導かれました。

\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{2}{R}\) です。
これはレンズの公式 \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}\) と非常に似た形をしています。

問(4)

思考の道筋とポイント
(3)で導いた式 \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{2}{R}\) を、一般的な写像公式（レンズの公式） \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}\) と比較します。
右辺の係数を対応させることで、焦点距離 \(f\) を \(R\) で表します。
この設問における重要なポイント

• 凹面鏡の公式: \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{2}{R}\)
• 一般的な写像公式: \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}\)

具体的な解説と立式
2つの式を比較します。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{f} &= \frac{2}{R}
\end{aligned}
$$

逆数を取って \(f\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
f &= \frac{R}{2}
\end{aligned}
$$

レンズの公式と同じ形をしているので、「右辺の値」が「焦点距離の逆数」に相当するはずです。
\(\frac{2}{R}\) が \(\frac{1}{f}\) と同じ意味を持つので、\(f\) は \(R\) の半分になります。

\(f = \frac{R}{2}\) です。
凹面鏡の焦点距離は、球面の半径のちょうど半分になることがわかりました。これは幾何光学における重要な基本性質です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 反射の法則と幾何学的関係の融合
  • 核心: 鏡による結像現象は、すべて「入射角＝反射角」という単純な反射の法則から導かれます。この物理法則を、三角形の外角の定理や錯角といった幾何学的なツールを使って、距離の関係式（写像公式）へと翻訳するプロセスが本問の全てです。
  • 理解のポイント:
    • 角度の連鎖: 入射角・反射角 \(\varepsilon\) を媒介として、物体側の角度 \(\alpha\)、中心角 \(\gamma\)、像側の角度 \(\beta\) が \(\alpha + \beta = 2\gamma\) という美しい等差数列の関係で結ばれていることに気づくことが重要です。
• 近軸光線近似（\(\tan\theta \approx \theta\)）の威力
  • 核心: 球面鏡やレンズが理想的な結像（一点から出た光が一点に集まる）をするのは、あくまで光軸に近い範囲（近軸領域）に限られます。この物理的制約を数式上で表現するのが \(\tan\theta \approx \sin\theta \approx \theta\) という近似です。
  • 理解のポイント:
    • 弧と弦の同一視: 近似によって、曲がった鏡面（弧）を真っ直ぐな線（弦や接線）とみなし、直角三角形の三角比を適用できるようにしています。これが \(\alpha \approx \frac{h}{a}\) という式の正体です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 凸面鏡の結像公式: 鏡が凸面の場合でも、焦点距離 \(f\) や像距離 \(b\) を負の値として扱うことで、全く同じ公式 \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}\) が使えます。導出過程も、図形が左右反転するだけで本質は同じです。
  • レンズのメーカー公式（磨き砂の公式）の導出: レンズの曲率半径 \(R_1, R_2\) と屈折率 \(n\) から焦点距離を求める公式の導出も、本問と同様に「屈折の法則 \(\times\) 近軸近似 \(\times\) 外角の定理」の組み合わせで行われます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 角度の関係式を徹底的に探す: 光線図において、三角形の外角、平行線の錯角、二等辺三角形の底角などを見つけ出し、角度同士の等式をできるだけ多く作ります。
  2. 微小量の近似を恐れない: 「十分に小さい」「光軸に近い」というキーワードが出たら、迷わず \(\tan\theta \approx \theta\) や \(1-\cos\theta \approx 0\) （あるいは2次近似 \(\theta^2/2\)）を使います。
  3. 最終形を予想する: 結像の問題であれば、最終的には \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \text{定数}\) の形になるはずです。ゴールから逆算して、変数をどう消去すればよいか考えるのも有効です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 符号の取り扱い（実像と虚像）
  • 誤解: 凹面鏡でも物体が焦点の内側にあると虚像（\(b < 0\)）ができますが、本問の導出過程（図）は実像（\(b > 0\)）を前提としています。虚像の場合に公式を適用する際、符号を間違えやすいです。
  • 対策: 「鏡の前方（光が来る側）が正」という鏡特有の符号ルールをレンズ（後方が正）と区別して覚えましょう。あるいは、図を描いて幾何学的に解く（相似な三角形を見つける）方が確実な場合もあります。
  • 近似の適用範囲の誤認
    • 誤解: 鏡の端の方（\(h\) が大きい場所）でもこの公式が成り立つと思ってしまう。
    • 対策: \(f = R/2\) はあくまで近似式です。実際には「球面収差」が生じ、焦点は一点に集まりません。この物理的な限界を知っておくことは、より高度な問題（放物面鏡など）への理解につながります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（外角の定理）
  • 選定理由: 3つの角度（\(\alpha, \beta, \gamma\)）と媒介変数（\(\varepsilon\)）の関係をシンプルに記述できるため。内角の和（\(180^\circ\)）を使うよりも式がスッキリします。
  • 適用根拠: ユークリッド幾何学の基本定理であり、平面図形の問題では常に有効です。
• (2)での公式選択（タンジェントの近似）
  • 選定理由: 角度を長さ（\(h, a, b, R\)）に変換したい場合、直角三角形の辺の比である三角比（特に \(\tan\)）を使うのが必然です。
  • 適用根拠: 問題文で「\(h \gg OH\)」や近似式が明示されているため、これに従うのが定石です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 図への書き込み
  • 頭の中だけで角度の計算をしようとせず、図に \(\alpha + \varepsilon\)、\(\gamma – \alpha\) などを直接書き込みましょう。視覚的に確認することで、符号ミスや足し引きの間違いが激減します。
• 次元の確認
  • 最後に導出した \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{2}{R}\) の次元を確認します。
  • 左辺は \([L]^{-1}\)、右辺も \([L]^{-1}\) で一致しています。もし \(\frac{R}{2}\) （次元 \([L]\)）になっていたら、逆数を取り忘れていることに気づけます。
• 特殊なケースでの検算
  • 平面鏡（\(R \rightarrow \infty\)）の場合を考えてみます。
  • 公式に \(R \rightarrow \infty\) を代入すると、\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 0 \Rightarrow b = -a\) となります。
  • これは「平面鏡の像は、鏡の後ろ側（虚像）の同じ距離にできる」という事実と完全に一致します。これにより、公式の正しさが強く裏付けられます。

420 凸レンズと凹面鏡

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「レンズと球面鏡を組み合わせた光学系の結像」です。光が複数の光学素子（レンズや鏡）を通過・反射する場合、一つひとつの素子による像を順に求め、その像を次の素子の物体として扱うという連鎖的なアプローチが基本となります。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
まずは凹面鏡単体での結像を考えます。物体は鏡の前方にあり、焦点距離も与えられているため、基本的な写像公式を適用するだけの標準的な問題です。
この設問における重要なポイント

• 凹面鏡の焦点距離 \(f\) は正の値（\(f = 20\,\text{cm}\)）として扱います。
• 物体と鏡の距離 \(a\) を図から正しく読み取ります。
• 計算された像の位置 \(b\) の符号から、実像（\(b > 0\)）か虚像（\(b < 0\)）かを判定します。

具体的な解説と立式
まず、鏡から物体までの距離 \(a\) を求めます。
レンズと鏡の間隔は \(40\,\text{cm}\)、物体はレンズの右側 \(10\,\text{cm}\) にあるので、鏡から見ると物体は \(40 – 10 = 30\,\text{cm}\) の位置にあります。
したがって、以下の値を用います。

• 物体までの距離: \(a = 30\,\text{cm}\)
• 焦点距離: \(f = 20\,\text{cm}\)

写像公式 \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}\) に代入して、像までの距離 \(b_1\) を求める式を立てます。
$$ \frac{1}{30} + \frac{1}{b_1} = \frac{1}{20} $$

まず、\(b_1\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{b_1} &= \frac{1}{20} – \frac{1}{30} \\[2.0ex] &= \frac{3}{60} – \frac{2}{60} \\[2.0ex] &= \frac{1}{60}
\end{aligned}
$$
よって、
$$ b_1 = 60\,\text{cm} $$
\(b_1 > 0\) なので、像は鏡の前方（反射光が進む側、つまり左側）にできる実像です。

次に、倍率 \(m_1\) と像の大きさ \(H_1\) を求めます。物体の大きさを \(H_0 = 2.0\,\text{cm}\) とします。
$$
\begin{aligned}
m_1 &= \left| \frac{b_1}{a} \right| \\[2.0ex] &= \frac{60}{30} \\[2.0ex] &= 2.0\,\text{倍}
\end{aligned}
$$
像の大きさは、
$$
\begin{aligned}
H_1 &= H_0 \times m_1 \\[2.0ex] &= 2.0 \times 2.0 \\[2.0ex] &= 4.0\,\text{cm}
\end{aligned}
$$
実像は常に倒立像となります。

凹面鏡の前に物体を置いたときの像を求める基本的な問題です。公式に数値を当てはめて計算すると、鏡から \(60\,\text{cm}\) の位置に像ができることがわかります。プラスの値が出たので、実際に光が集まってできる「実像」です。実像は、元の物体と上下が逆さま（倒立）になります。大きさは元の2倍になります。

像の位置は凹面鏡の前方 \(60\,\text{cm}\)、大きさは \(4.0\,\text{cm}\)、倒立の実像です。
物体が焦点（\(20\,\text{cm}\)）と球心（\(2f = 40\,\text{cm}\)）の間にあるとき、像は球心の外側に拡大された実像ができるという幾何光学の性質とも一致しています。

問(2)

思考の道筋とポイント
(1)で求めた「凹面鏡による像」を、今度は凸レンズにとっての「物体」として扱います。ここで最も重要なのは、光の進む向きと物体の位置関係です。凹面鏡で反射した光は右から左へ進み、レンズに入射します。一方、(1)の像はレンズを通り越した左側にできるはずのものでした。このように、レンズに入射する光がレンズの後方（光の進む先）に向かって収束する場合、その物体を「虚物体」として扱い、\(a < 0\) とします。
この設問における重要なポイント

• 光は右（鏡側）から左へ進み、凸レンズに入射する。
• (1)の像は鏡の前方 \(60\,\text{cm}\) の位置にある。
• レンズは鏡から \(40\,\text{cm}\) の位置にあるため、(1)の像はレンズの左側 \(60 – 40 = 20\,\text{cm}\) の位置にある。
• 光が入射する側（右側）を前方、出ていく側（左側）を後方とする。
• 物体（(1)の像）がレンズの後方（左側）にあるため、これは「虚物体」であり、\(a = -20\,\text{cm}\) とする。

具体的な解説と立式
まず、レンズにとっての物体位置 \(a\) を決定します。
(1)の像は鏡から左へ \(60\,\text{cm}\) の位置にあります。レンズは鏡から左へ \(40\,\text{cm}\) の位置にあります。
したがって、この像（レンズにとっての物体）は、レンズから見てさらに左へ \(20\,\text{cm}\) の位置にあります。
光は右から左へ進んでいるため、レンズの左側は「光の進む先（後方）」です。物体が後方にあるため、これは虚物体となります。

• 物体までの距離: \(a = -20\,\text{cm}\)
• 凸レンズの焦点距離: \(f = 20\,\text{cm}\)

写像公式 \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}\) に代入して、像までの距離 \(b_2\) を求める式を立てます。
$$ \frac{1}{-20} + \frac{1}{b_2} = \frac{1}{20} $$

まず、\(b_2\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{b_2} &= \frac{1}{20} – \frac{1}{-20} \\[2.0ex] &= \frac{1}{20} + \frac{1}{20} \\[2.0ex] &= \frac{2}{20} \\[2.0ex] &= \frac{1}{10}
\end{aligned}
$$
よって、
$$ b_2 = 10\,\text{cm} $$
\(b_2 > 0\) なので、像はレンズの後方（光が出ていく側、つまり左側）にできる実像です。
位置は、レンズの左側 \(10\,\text{cm}\) です。

次に、倍率 \(m_2\) と最終的な像の大きさ \(H_2\) を求めます。(1)の像の大きさ \(H_1 = 4.0\,\text{cm}\) を物体サイズとして用います。
$$
\begin{aligned}
m_2 &= \left| \frac{b_2}{a} \right| \\[2.0ex] &= \left| \frac{10}{-20} \right| \\[2.0ex] &= 0.50\,\text{倍}
\end{aligned}
$$
像の大きさは、
$$
\begin{aligned}
H_2 &= H_1 \times m_2 \\[2.0ex] &= 4.0 \times 0.50 \\[2.0ex] &= 2.0\,\text{cm}
\end{aligned}
$$
最後に、像の向き（正立か倒立か）を判定します。
全体の倍率 \(m\) は、各段階の倍率の積で考えます。
1回目の結像（凹面鏡）は倒立実像だったので、倍率は負（\(m_1 = -2.0\)）と考えます。
2回目の結像（凸レンズ）の倍率は、以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
m’ &= -\frac{b}{a} \\[2.0ex] &= -\frac{10}{-20} \\[2.0ex] &= +0.5
\end{aligned}
$$
全体の倍率は、
$$
\begin{aligned}
m_{\text{total}} &= m_1 \times m’ \\[2.0ex] &= (-2.0) \times (+0.5) \\[2.0ex] &= -1.0
\end{aligned}
$$
全体の倍率が負なので、最終的な像は元の物体に対して「倒立」となります。

凹面鏡で反射した光は、本来ならレンズの左側 \(20\,\text{cm}\) の位置に集まるはずでした。しかし、その手前に凸レンズがあるため、光はさらに強く曲げられて、もっと手前（レンズの左側 \(10\,\text{cm}\)）で集まります。このように「レンズを通り過ぎた先に集まろうとする光」を扱うときは、物体の位置 \(a\) をマイナス（\(-20\,\text{cm}\)）にして計算します。計算の結果、像はレンズの左側 \(10\,\text{cm}\) にでき、大きさは半分の \(2.0\,\text{cm}\) になることがわかります。向きは、1回目の「逆さま」の状態がそのまま維持されるので、倒立です。

像の位置はレンズの左側 \(10\,\text{cm}\)、大きさは \(2.0\,\text{cm}\)、実像、倒立です。
凸レンズは光を集める性質があるため、本来集まるはずだった点（\(20\,\text{cm}\) 先）よりも手前（\(10\,\text{cm}\) 先）に像ができるという結果は、物理的直感とも合致します。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 連鎖的な結像の考え方
  • 核心: 複数のレンズや鏡がある光学系では、「前の素子によってできた像が、次の素子にとっての物体になる」という原則が全てです。一度に全体を考えるのではなく、光の進む順序に従ってステップごとに問題を分割して解く力が問われます。
  • 理解のポイント:
    • 像の役割転換: 1段目の計算で求めた像の位置 \(b_1\) が、2段目の計算における物体位置 \(a_2\) を決める基準になります。このとき、単に数値を代入するのではなく、素子間の距離を考慮して座標を変換する必要があります。
• 虚物体の概念と符号規則
  • 核心: レンズや鏡に入射する光束が収束光束である場合（＝素子を通り過ぎた後に一点に集まるはずだった場合）、その集まる点を「虚物体」と呼び、物体距離 \(a\) を負の値として扱います。
  • 理解のポイント:
    • 光の向きと前後: 常に「光が入ってくる側」を前方、「光が出ていく側」を後方と定義します（教科書によっては逆の場合もあるので注意が必要ですが、本解説では入射側を基準としました）。物体が後方（光の進む先）にある場合が \(a < 0\) です。
    • 物理的意味: 凸レンズの手前に虚物体がある（収束光が入射する）と、凸レンズの集光作用によって、光は本来の収束点よりもさらに手前（レンズに近い位置）で結像します。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 2枚のレンズの組み合わせ（望遠鏡や顕微鏡）: 対物レンズでできた像を接眼レンズで拡大して見る仕組みは、本問と全く同じ構造です。1枚目の像が2枚目の焦点の内側にできるか外側にできるかで、最終的な像が実像か虚像かが変わります。
  • レンズと平面鏡の組み合わせ: レンズを通った光が平面鏡で反射し、再びレンズを通る問題。光が往復するため、レンズを2回通過することになりますが、これも「レンズ1回目→鏡→レンズ2回目」と3ステップに分解すれば解けます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 光の経路を矢印で描く: まず、光がどの順序でどの素子を通るかを矢印で図示します。これにより、計算の順番と、各ステップでの「前方・後方」が明確になります。
  2. 素子間の距離を確認する: 素子Aと素子Bの距離 \(L\) は、座標変換の鍵です。素子Aによる像の位置 \(b_A\) が求まったら、素子Bにとっての物体位置 \(a_B\) は、位置関係に応じて \(L – b_A\) や \(b_A – L\) などになります。図を描いて幾何学的に距離を確認しましょう。
  3. 収束か発散かを見極める: 次の素子に入射する光が「一点から広がっている（発散）」なら実物体（\(a>0\)）、「一点に向かって集まっている（収束）」なら虚物体（\(a<0\)）です。これを見抜くことが符号ミスの最大の防止策です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 符号の取り違え（特に虚物体）:
  • 誤解: 「物体は常に \(a>0\)」と思い込んでしまい、(2)のようなケースでも \(a=20\) として計算してしまう。
  • 対策: 「物体がレンズのどちら側にあるか」ではなく、「光の進む向きに対して、物体が手前（未到達）にあるか奥（通過後）にあるか」で判断します。光の進む先に物体がある場合は必ず \(a<0\) です。
• 倒立・正立の判定ミス:
  • 誤解: 途中の像の向きを考慮せず、最後の計算結果の倍率の符号だけで判断してしまう。あるいは、図の見た目でなんとなく決めてしまう。
  • 対策: 倍率の積 \(m_{\text{total}} = m_1 \times m_2 \times \dots\) を計算するのが確実です。各ステップでの倍率 \(m_i = -b_i/a_i\) の符号を含めて掛け合わせ、最終的な符号が負なら倒立、正なら正立です。
• 座標系の混乱:
  • 誤解: 光が右から左へ進むとき、座標軸の正負をどう取るかで混乱し、\(b\) の正負の意味（実像か虚像か）を間違える。
  • 対策: 「光が出ていく側が、実像ができる領域（\(b>0\)）」と覚えるのが汎用的です。レンズなら透過側、鏡なら反射側（手前）が \(b>0\) の領域です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 写像公式 \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}\) の選択:
  • 選定理由: 求めたいのは「像の位置 \(b\)」であり、与えられているのは「物体の位置 \(a\)」と「焦点距離 \(f\)」です。これら3つの幾何学的な関係を結びつける唯一かつ最強のツールが写像公式です。
  • 適用根拠: この公式は、近軸光線近似（光軸に近い光線のみを考える）の下で、凸レンズ、凹レンズ、凸面鏡、凹面鏡のすべてに共通して使えます。ただし、\(a, b, f\) の符号を正しく設定することが適用の絶対条件です。
• ニュートンの公式 \(xx’ = f^2\) の選択（別解）:
  • 選定理由: 焦点位置が明確で、物体や像の位置を「焦点からの距離」として捉えやすい場合、分数の計算を避けて積の計算だけで済むため、計算ミスを減らせます。
  • 適用根拠: 写像公式と数学的に等価であり、特に焦点距離 \(f\) が整数の場合や、倍率計算が絡む場合に威力を発揮します。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 分数の計算を丁寧に行う:
  • 写像公式は逆数の和の形をしているため、通分が必要です。\(1/b = 1/f – 1/a\) の計算では、最小公倍数を見つけて慎重に通分しましょう。例えば、\(1/20 – 1/30 = 3/60 – 2/60 = 1/60\) のように、途中式を省略せずに書くことが重要です。
• 符号の確認を習慣化する:
  • 式を立てる段階で、\(a, b, f\) の符号を指差し確認します。「凹面鏡だから \(f>0\)」「虚物体だから \(a<0\)」と声に出して確認するだけで、ケアレスミスは激減します。
• 物理的な妥当性の吟味:
  • 計算結果が出たら、図を描いて光線の様子と矛盾しないか確認します。「凸レンズに収束光が入射したのだから、像は焦点距離よりも近くにできるはずだ（\(b < f\)）」といった直感的な予測と、計算結果（\(10\,\text{cm} < 20\,\text{cm}\)）が一致しているかを確認しましょう。

421 棒の浮き上がり

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「光の屈折による見かけの深さ（浮き上がり現象）」です。水中の物体が実際よりも浅い位置にあるように見える現象を、光の屈折の法則と幾何学的な関係を用いて数式で導出します。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
光が水中から空気中へ進む際の屈折の法則を適用します。問題文で「空気に対する水の屈折率を \(n\)」と定義されています。これは、空気の絶対屈折率を \(1\) としたときの水の絶対屈折率が \(n\) であることと同義です。
この設問における重要なポイント

• 入射角は水中の角度 \(\theta_1\) です。
• 屈折角は空気中の角度 \(\theta_2\) です。
• 空気の屈折率を \(1\)、水の屈折率を \(n\) とします。

具体的な解説と立式
屈折の法則 \(n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2\) を適用します。
水中（屈折率 \(n\)）から空気中（屈折率 \(1\)）へ光が進むので、
$$ n \sin\theta_1 = 1 \times \sin\theta_2 $$
この式を \(n\) について解きます。

$$
\begin{aligned}
n \sin\theta_1 &= \sin\theta_2 \\[2.0ex] n &= \frac{\sin\theta_2}{\sin\theta_1}
\end{aligned}
$$

水の中から空気へ光が出ていくときの「曲がり具合」を表す式を作ります。「水の屈折率 × 水の中の角度のサイン ＝ 空気の屈折率 × 空気の中の角度のサイン」という関係が成り立ちます。空気の屈折率は \(1\) なので、これを式にして \(n\) について整理すれば答えになります。

\(n = \frac{\sin\theta_2}{\sin\theta_1}\) と求まりました。
通常、水中から空気中へ出る場合、屈折角 \(\theta_2\) は入射角 \(\theta_1\) より大きくなります（\(\sin\theta_2 > \sin\theta_1\)）。したがって \(n > 1\) となり、水の屈折率が1より大きいという事実と整合します。

問(2)

思考の道筋とポイント
図形的な関係を見つける問題です。図の中に直角三角形を見つけ出し、辺の長さと角度の関係を三角比（タンジェント）を使って表します。
この設問における重要なポイント

• 注目する直角三角形は2つあります。
  1. 実際の深さ \(d\) を高さ、水平距離 \(x\) を底辺とする直角三角形（頂角が \(\theta_1\)）。
  2. 見かけの深さ \(d’\) を高さ、水平距離 \(x\) を底辺とする直角三角形（頂角が \(\theta_2\)）。
• 図の幾何学的関係から、錯角や同位角を用いて、直角三角形の頂角がそれぞれ \(\theta_1, \theta_2\) に等しいことを見抜きます。

具体的な解説と立式
まず、実際の点Pを含む直角三角形に注目します。
鉛直方向の辺の長さは \(d\)、水平方向の辺の長さは \(x\) です。
頂点の角は、入射角 \(\theta_1\) と錯角の関係にあるため \(\theta_1\) です。
直角三角形の辺の比より、
$$ \tan\theta_1 = \frac{x}{d} $$
したがって、
$$ \frac{x}{d} = \tan\theta_1 $$

次に、見かけの点P’を含む直角三角形に注目します。
鉛直方向の辺の長さは \(d’\)、水平方向の辺の長さは \(x\) です。
頂点の角は、屈折角 \(\theta_2\) と対頂角および錯角の関係（あるいは同位角）から \(\theta_2\) となります。
直角三角形の辺の比より、
$$ \tan\theta_2 = \frac{x}{d’} $$
したがって、
$$ \frac{x}{d’} = \tan\theta_2 $$

それぞれの式を変形する必要はなく、立式した形がそのまま答えの形に近いですが、問題文の要求に合わせて整理します。
$$ \frac{x}{d} = \tan\theta_1 $$
$$ \frac{x}{d’} = \tan\theta_2 $$

図を見て、直角三角形を探します。縦の長さが \(d\)、横の長さが \(x\) の三角形の上の角は \(\theta_1\) と同じです。だから「横 ÷ 縦」つまり \(x/d\) は \(\tan\theta_1\) になります。同じように、縦が \(d’\)、横が \(x\) の三角形の上の角は \(\theta_2\) なので、\(x/d’\) は \(\tan\theta_2\) になります。

幾何学的な関係を正しく数式に変換できました。

問(3)

思考の道筋とポイント
(2)で求めた2つの式から、共通の変数である \(x\) を消去して、\(d, d’, \theta_1, \theta_2\) の関係式を作ります。
この設問における重要なポイント

• 2つの式をそれぞれ \(x = \dots\) の形に変形して等置するか、辺々を割り算することで \(x\) を消去します。

具体的な解説と立式
(2)の2つの式は以下の通りです。
$$ x = d \tan\theta_1 \quad \cdots ① $$
$$ x = d’ \tan\theta_2 \quad \cdots ② $$
①と②の右辺を等しいと置きます。
$$ d \tan\theta_1 = d’ \tan\theta_2 $$

得られた式を \(d/d’\) の形（あるいは問題文の意図に沿った形）に整理します。
$$
\begin{aligned}
d \tan\theta_1 &= d’ \tan\theta_2 \\[2.0ex] \frac{d}{d’} &= \frac{\tan\theta_2}{\tan\theta_1}
\end{aligned}
$$

さっき作った2つの式には、どちらも \(x\)（横の距離）が入っています。この \(x\) は同じ長さなので、2つの式をつなげることができます。「\(d \times \tan\theta_1\)」と「\(d’ \times \tan\theta_2\)」が等しいという式を作って、整理すると関係式ができあがります。

\(d \tan\theta_1 = d’ \tan\theta_2\) という関係が得られました。これは、深さと角度のタンジェントが反比例の関係にあることを示しています。

問(4)

思考の道筋とポイント
「真上近くから見る」という条件は、角度 \(\theta_1, \theta_2\) が非常に小さいことを意味します。このとき、近似式 \(\sin\alpha \approx \tan\alpha\) が使えるので、これを利用して(3)の式を(1)の屈折率 \(n\) を使った式に書き換えます。
この設問における重要なポイント

• 近似式 \(\tan\theta \approx \sin\theta\) を用いて、(3)の結果の \(\tan\) を \(\sin\) に置き換えます。
• (1)の結果 \(n = \frac{\sin\theta_2}{\sin\theta_1}\) を利用して、式を \(n\) で表します。

具体的な解説と立式
(3)で求めた式は以下の通りです。
$$ \frac{d}{d’} = \frac{\tan\theta_2}{\tan\theta_1} $$
ここで、\(\theta_1, \theta_2\) が十分に小さいとき、\(\tan\theta_1 \approx \sin\theta_1\)、\(\tan\theta_2 \approx \sin\theta_2\) と近似できます。
これを代入すると、
$$ \frac{d}{d’} \approx \frac{\sin\theta_2}{\sin\theta_1} $$
また、(1)より \(n = \frac{\sin\theta_2}{\sin\theta_1}\) なので、右辺は \(n\) に置き換えられます。
$$ \frac{d}{d’} = n $$

$$
\begin{aligned}
\frac{d}{d’} &= n \\[2.0ex] d’ &= \frac{d}{n}
\end{aligned}
$$

真上から見るときは角度がとても小さいので、「タンジェント」を「サイン」に置き換えても計算結果はほとんど変わりません。(3)の式のタンジェントをサインに書き換えると、ちょうど(1)で求めた屈折率 \(n\) の式と同じ形が出てきます。これを使って式を整理すると、「見かけの深さは、実際の深さを屈折率で割ったものになる」ということがわかります。

\(d’ = \frac{d}{n}\) という重要な公式が導かれました。水の場合 \(n \approx 1.33\) なので、\(d’ \approx \frac{3}{4}d\) となり、水中の物体は実際の深さの約3/4の深さに浮き上がって見えることがわかります。これは日常経験（お風呂の底が浅く見えるなど）とも一致します。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 屈折の法則（スネルの法則）の適用
  • 核心: 異なる媒質の境界で光が折れ曲がる現象を定量的に記述する法則です。この問題では、水中から空気中へ光が進む際の角度の関係を決定づける最も基本的な法則として機能します。
  • 理解のポイント:
    • 媒質ごとの対応: \(n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2\) の形（別解で提示）で理解しておくと、どちらが分母でどちらが分子か迷うことがなくなります。「屈折率 × \(\sin(\text{角})\) は一定」という保存則のようなイメージを持つと応用が利きます。
    • 屈折率の定義: 「空気に対する水の屈折率 \(n\)」という表現が、相対屈折率 \(n_{21}\) を指しているのか、絶対屈折率の比 \(n_{\text{水}}/n_{\text{空気}}\) を指しているのかを正しく読み取る力が問われます。
• 近軸光線近似による幾何学的解析
  • 核心: 「真上近くから見る」という物理的状況を、「角度 \(\theta\) が十分に小さい」という数学的条件に翻訳し、\(\sin\theta \approx \tan\theta \approx \theta\) という近似を用いて複雑な式を単純化するプロセスです。
  • 理解のポイント:
    • 近似の妥当性: 角度が小さい範囲では、直角三角形の斜辺と底辺（高さ）の長さがほぼ等しくなるため、\(\sin\)（対辺/斜辺）と \(\tan\)（対辺/底辺）の値が近づくことを直感的に理解しておきましょう。
    • 物理的意味: この近似によって初めて、「見かけの深さ \(d’\) は見る角度によらず一定（\(d/n\)）」という結論が得られます。逆に言えば、斜めから見ると見かけの深さは変わる（浮き上がり方が変わる）ことも示唆しています。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ガラス越しの物体の観察: 水の代わりにガラスブロックを通して物体を見る問題でも、全く同じ考え方（\(d’ = d/n\)）が使えます。ガラスの厚さ \(d\) 分だけ光路が短縮されたように見えます。
  • 顕微鏡のピント合わせ: プレパラートの上にカバーガラスを乗せるとピントがずれる問題。これもガラスの厚さと屈折率による浮き上がり現象として解けます。
  • 複数の媒質が重なる場合: 水の上に油が浮いている場合などは、それぞれの層での浮き上がり量（\(d_i/n_i\)）を足し合わせることで、全体の浮き上がり量を求められます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 光の経路を作図する: 物体から出た光がどのように屈折して目に届くか、定規を使って丁寧に作図します。特に、屈折後の光線を逆向きに延長して「見かけの像（虚像）」の位置を特定することが重要です。
  2. 直角三角形を見つける: 幾何光学の問題は、最終的には図形問題に帰着します。深さや距離を辺に持つ直角三角形を見つけ、角度との関係を三角比で表すのが定石です。
  3. 近似の指示を見逃さない: 「真上から見る」「角度が小さい」といった文言があれば、必ず \(\sin\theta \approx \tan\theta\) の近似を使います。これにより、計算が劇的に簡単になります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 屈折率の定義の取り違え:
  • 誤解: \(n = \frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2}\) なのか \(n = \frac{\sin\theta_2}{\sin\theta_1}\) なのか、どっちがどっちか分からなくなる。
  • 対策: 公式を丸暗記するのではなく、\(n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2\) の形を使いましょう。また、物理的な感覚として「屈折率が大きい媒質（水）の方が角度は小さい（光が閉じ込められるイメージ）」を持っておくと、\(\sin\theta_1 < \sin\theta_2\) だから \(n > 1\) になるはず、と検算できます。
• 近似計算のタイミング:
  • 誤解: 最初から \(\sin\) と \(\tan\) を混同して式を立ててしまう。
  • 対策: まずは厳密な式（(2)や(3)の段階）を立て、最後に「\(\theta\) が小さい」という条件を適用して近似を行うという手順を守りましょう。論理の飛躍を防げます。
  • 見かけの深さの物理的意味:
    • 誤解: 物体が実際に移動していると勘違いする。
    • 対策: あくまで「光の経路が変化した結果、目が錯覚を起こしてそこにあるように見える」だけです。これを意識することで、作図の際に点線（虚像への光線）と実線（実際の光線）を使い分ける重要性が理解できます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 屈折の法則の選択:
  • 選定理由: 異なる媒質間での光の進行方向の変化（角度の関係）を扱う問題だからです。
  • 適用根拠: 水と空気の境界面において、波動の連続性から導かれるこの法則は常に成立します。
• 三角比（\(\tan\)）の選択:
  • 選定理由: 図形的にわかっているのが「深さ（縦）」と「水平距離（横）」だからです。斜めの距離（光路長）は未知かつ計算が面倒なので、斜辺を使わない \(\tan\) が最適です。
  • 適用根拠: 直角三角形の辺の比として定義される三角比は、幾何学的な配置を数式化する標準的なツールです。
• 近似式 \(\sin\theta \approx \tan\theta\) の選択:
  • 選定理由: 厳密な式（\(\tan\) の比）と屈折の法則（\(\sin\) の比）を結びつけるためです。
  • 適用根拠: 問題文に「\(\alpha\) が十分に小さいとき」という明示的な条件があるため、数学的に正当化されます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 図に情報を書き込む:
  • 角度 \(\theta_1, \theta_2\) や長さ \(d, d’, x\) を図に直接書き込みましょう。特に錯角や同位角を使って、直角三角形の内部に角度を移動させるプロセスを図示することで、\(\tan\) の定義（対辺/隣辺）を間違えるミスを防げます。
• 単位と次元の確認:
  • 最後に求めた \(d’ = d/n\) の式で、\(n\) は無次元量、\(d\) と \(d’\) は長さの次元を持っています。次元が合っているか確認しましょう。また、\(n > 1\) なので \(d’ < d\) となり、「浮き上がる（浅くなる）」という現象と符号が合っているかも確認します。
• アルファベットの類似に注意:
  • \(d\) と \(d’\)、\(\theta_1\) と \(\theta_2\) など、似た記号が多く登場します。添字やダッシュを見落とさないよう、丁寧に記述する癖をつけましょう。特に分数の分母分子でこれらが入れ替わると致命的です。

422 マイケルソン干渉計

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「マイケルソン干渉計を用いた微小変位の測定」です。光の干渉を利用することで、光の波長レベル（ナノメートルオーダー）の非常に小さな距離の変化を精密に測定できる仕組みを学びます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
移動ミラーに向かう光bの経路に注目します。ミラーが距離 \(s\) だけ遠ざかると、光は行きで \(s\)、帰りで \(s\)、合計で余分に距離を進むことになります。
この設問における重要なポイント

• 光は移動ミラーまで往復しています。
• 片道の距離が \(s\) 伸びると、往復の距離は \(2s\) 伸びます。

具体的な解説と立式
移動ミラーが図の右向きに距離 \(s\) だけ移動したとします。
光bはハーフミラーから移動ミラーまで進み、反射して戻ってきます。
移動前と比べて、行きの経路が \(s\) 長くなり、帰りの経路も \(s\) 長くなります。
したがって、経路の長さの増加分 \(\Delta L\) は以下のようになります。
$$ \Delta L = s + s $$

$$
\begin{aligned}
\Delta L &= 2s
\end{aligned}
$$

鏡が \(s\) だけ奥に下がると、光はそこまで行くのに \(s\) 余分に歩き、帰ってくるのにも \(s\) 余分に歩くことになります。往復なので、合計で \(2s\) だけ道のりが長くなります。

経路の長さの変化は \(2s\) です。これはマイケルソン干渉計の基本原理であり、移動距離の2倍の感度で経路差が変化することを意味します。

問(2)

思考の道筋とポイント
経路差が変化すると、検出器で観測される光の干渉状態（明るさ）が変化します。
「強めあい」から始まり、「弱めあい」→「強めあい」→「弱めあい」と変化したという情報から、経路差がどれだけ変化したかを波長 \(\lambda\) を単位として読み取ります。
この設問における重要なポイント

• 経路差の変化 \(\Delta L = 2s\) です。
• 干渉条件より、経路差が \(\lambda\) 変化すると、干渉の状態は一巡（強→強）します。
• 経路差が \(\frac{\lambda}{2}\) 変化すると、干渉の状態は反転（強→弱、または弱→強）します。
• 観測された変化の順序: 強(始) \(\rightarrow\) 弱 \(\rightarrow\) 強 \(\rightarrow\) 弱(終)。

具体的な解説と立式
まず、干渉の状態変化を経路差の変化に対応させます。

1. 初期状態: 「強めあい」が観測されたので、このときの経路差は波長の整数倍です。
2. 1回目の変化（強 \(\rightarrow\) 弱）: 経路差が \(\frac{\lambda}{2}\) だけ変化しました。
3. 2回目の変化（弱 \(\rightarrow\) 強）: さらに経路差が \(\frac{\lambda}{2}\) だけ変化しました。
4. 3回目の変化（強 \(\rightarrow\) 弱）: さらに経路差が \(\frac{\lambda}{2}\) だけ変化し、最終状態に至りました。

合計すると、経路差の変化分 \(2s\) は、半波長 \(\frac{\lambda}{2}\) の3回分に相当します。
したがって、以下の関係式が成り立ちます。
$$ 2s = 3 \times \frac{\lambda}{2} $$

この式から \(s\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
2s &= \frac{3}{2}\lambda \\[2.0ex] s &= \frac{3}{4}\lambda
\end{aligned}
$$
ここに波長 \(\lambda = 6.4 \times 10^{-7}\,\text{m}\) を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
s &= \frac{3}{4} \times (6.4 \times 10^{-7}) \\[2.0ex] &= 3 \times (1.6 \times 10^{-7}) \\[2.0ex] &= 4.8 \times 10^{-7}\,\text{m}
\end{aligned}
$$

光の干渉では、道のりの差（経路差）が「波長1個分」変わると、明るい状態から次の明るい状態へ戻ります。「波長半分」変わると、明るい状態から暗い状態へ変わります。
今回は「明るい \(\rightarrow\) 暗い \(\rightarrow\) 明るい \(\rightarrow\) 暗い」と変化しました。
これは、「半波長 \(\rightarrow\) 半波長 \(\rightarrow\) 半波長」と、合計で半波長3回分の道のりの変化があったことを意味します。
(1)で求めたように、道のりの変化は \(2s\) なので、\(2s\) が半波長の3倍に等しいという式を作って計算します。

\(s = 4.8 \times 10^{-7}\,\text{m}\) と求まりました。
可視光の波長程度の非常に小さな移動距離ですが、干渉計を使えばこのように明暗の変化として検出できることがわかります。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 光の干渉条件と経路差の関係
  • 核心: 2つの光波が重なり合うとき、その強弱（明暗）は2つの波の「山と山が重なるか、山と谷が重なるか」で決まります。これを決定づけるのが、光源から観測点までの道のりの差である「経路差」です。
  • 理解のポイント:
    • 強めあいの条件: 経路差 \(= m\lambda\) （波長の整数倍）。波の位相が揃い、振幅が最大になります。
    • 弱めあいの条件: 経路差 \(= (m + \frac{1}{2})\lambda\) （半波長の奇数倍）。波の位相が逆になり、振幅が打ち消し合います。
    • 変化の対応: 経路差が \(\lambda\) 変化すると干渉縞は1つずれ（明→明）、\(\lambda/2\) 変化すると明暗が反転します。この「変化量」に着目することが、動的な干渉問題を解く鍵です。
• マイケルソン干渉計の幾何学的構造
  • 核心: ハーフミラーを用いて1つの光を直交する2つの経路に分割し、それぞれを鏡で反射させて再び合成する構造です。一方の鏡を動かすことで、精密に経路差を制御・変化させることができます。
  • 理解のポイント:
    • 往復による倍増効果: ミラーが距離 \(s\) 動くと、光路長はその往復分である \(2s\) だけ変化します。この「係数2」を忘れないことが、マイケルソン干渉計の問題における最大の注意点です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 屈折率の変化による干渉: 経路の途中にガラス板や気体セルを挿入し、屈折率 \(n\) を変化させる問題。この場合、幾何学的な距離 \(L\) は変わらなくても、光路長（光学距離）\(nL\) が変化するため、実質的な経路差が生じます。変化量は \(\Delta(nL) = (n-1)L\) などとなります。
  • 重力波検出器: マイケルソン干渉計の巨大版です。空間の歪みによって腕の長さがわずかに変化し、干渉縞がずれる原理は本問と全く同じです。
  • 薄膜干渉の厚さ変化: くさび形空気層の干渉などで、観測位置をずらすと膜厚 \(d\) が変化し、明暗が入れ替わる問題。これも \(2d\) の変化と干渉条件を結びつける点で共通しています。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 経路差を生む原因を特定する: 「距離の変化」なのか「屈折率の変化」なのか、あるいはその両方なのかを見極めます。
  2. 「往復」か「片道」かを確認する: 反射を用いる系（マイケルソン干渉計、薄膜干渉、ニュートンリングなど）では、光路長の変化は幾何学的変化の「2倍」になることがほとんどです。一方、ヤングの実験などは「片道」の差です。
  3. 明暗の変化回数を数える: 「明→暗→明…」という変化を、「半波長 \(\lambda/2\) ずつのステップ」としてカウントします。これにより、複雑な計算なしに経路差の変化量を波長単位で把握できます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 係数「2」の忘れ:
  • 誤解: ミラーが \(s\) 動いたから、経路差も \(s\) 変化したと考えてしまう。
  • 対策: 必ず光の経路図を指でなぞり、「行き」と「帰り」の両方で距離が変わっていることを確認しましょう。「反射＝往復＝2倍」という連想を定着させます。
• 干渉条件の取り違え:
  • 誤解: 強めあいの条件を \((m+1/2)\lambda\)、弱めあいを \(m\lambda\) と逆にしてしまう。あるいは、反射による位相のずれ（固定端反射）を考慮すべき場面で忘れてしまう。
  • 対策: 本問のように「同じ種類の反射」をする場合は位相差を気にする必要はありませんが、薄膜干渉などでは「屈折率の大小関係」を見て、固定端反射（位相 \(\pi\) ずれ）が起きる回数を確認する必要があります。回数の差が奇数なら条件式が逆転します。
• 変化の回数の数え間違い:
  • 誤解: 「明→暗→明」を「2回変化したから \(2\lambda\)」とカウントしてしまう。
  • 対策: 「明→暗」で \(0.5\lambda\)、「暗→明」で \(0.5\lambda\) と、最小単位（半波長）ごとに刻んで足し合わせるのが確実です。「明→明」の1サイクルが \(1\lambda\) です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 経路差の変化 \(\Delta L = 2s\) の選択:
  • 選定理由: 幾何学的な配置から直接導かれる関係式であり、物理現象の記述の出発点だからです。
  • 適用根拠: 光が直進し、鏡で反射して戻るという幾何光学の基本原理に基づいています。
• 干渉条件の変化 \(2s = N \times (\lambda/2)\) の選択:
  • 選定理由: 観測されたデータ（明暗の変化回数 \(N\)）と、求めたい物理量（移動距離 \(s\)）を直接結びつける式だからです。
  • 適用根拠: 波動光学における干渉の原理（重ね合わせの原理）により、経路差が半波長変わるごとに位相が \(\pi\) ずれ、振幅の強弱が反転することは普遍的に成り立ちます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 波長のオーダー感覚を持つ:
  • 可視光の波長は \(10^{-7}\,\text{m}\) （数百ナノメートル）のオーダーです。計算結果が \(10^{-3}\,\text{m}\)（ミリメートル）や \(10^{-10}\,\text{m}\)（オングストローム）になったら、どこかで桁を間違えている可能性が高いと疑いましょう。
• 分数計算を活用する:
  • \(s = \frac{3}{4}\lambda\) のように、最後まで文字式のまま分数で計算し、最後に数値を代入します。\(0.75\) と小数にするよりも、約分が見えやすくなり計算ミスが減ります。
• 単位の確認:
  • 波長 \(\lambda\) はメートル単位で与えられていますが、問題によってはナノメートル（\(\text{nm}\)）の場合もあります。\(1\,\text{nm} = 10^{-9}\,\text{m}\) の換算をスムーズに行えるようにしておきましょう。

423 ヤングの実験

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「ヤングの実験における干渉縞の変化」です。光の干渉の基本であるヤングの実験を題材に、光源の位置やスクリーンの位置を変えたときに干渉縞がどのように変化するかを考察します。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
ヤングの実験における経路差の導出は、物理の定番中の定番です。直角三角形を見つけ、三平方の定理で斜辺の長さを表し、近似式を使ってルートを外すという一連の手順を確実に実行します。
この設問における重要なポイント

• 点Pは点Oより下側にあり、\(\overline{\text{OP}} = x\) です。
• 点Aからスクリーンに下ろした垂線の足と点Pの距離は \(x + \frac{d}{2}\) です。
• 点Bからスクリーンに下ろした垂線の足と点Pの距離は \(x – \frac{d}{2}\) です。
• 近似式 \(\sqrt{1+\alpha} \approx 1+\frac{1}{2}\alpha\) （ただし \(|\alpha| \ll 1\)）を利用するために、式を \(\sqrt{L^2 + \dots} = L\sqrt{1 + (\dots/L)^2}\) の形に変形します。

具体的な解説と立式
まず、\(\overline{\text{AP}}\) の長さを求めます。
点Aからスクリーンに垂線を下ろすと、底辺 \(L\)、高さ \(x + \frac{d}{2}\) の直角三角形ができます。（点Pは点Oより下側にあり、点Aは点Oより上側にあるため、縦方向の距離は \(x\) と \(d/2\) の和になります）
三平方の定理より、
$$ \overline{\text{AP}} = \sqrt{L^2 + \left(x + \frac{d}{2}\right)^2} $$
これを近似するために変形します。
$$
\begin{aligned}
\overline{\text{AP}} &= L \sqrt{1 + \left(\frac{x + d/2}{L}\right)^2} \\[2.0ex] &\approx L \left\{ 1 + \frac{1}{2} \left(\frac{x + d/2}{L}\right)^2 \right\} \\[2.0ex] &= L + \frac{(x + d/2)^2}{2L}
\end{aligned}
$$
同様に、\(\overline{\text{BP}}\) の長さを求めます。
点Bからスクリーンに垂線を下ろすと、底辺 \(L\)、高さ \(x – \frac{d}{2}\) の直角三角形ができます。（点Pも点Bも点Oより下側にあり、点Pの方が遠いため、縦方向の距離は \(x\) と \(d/2\) の差になります。ただし、\(x\) と \(d/2\) の大小関係によらず2乗するので結果は同じですが、図より \(x > d/2\) と見なせます）
$$
\begin{aligned}
\overline{\text{BP}} &= \sqrt{L^2 + \left(x – \frac{d}{2}\right)^2} \\[2.0ex] &\approx L \left\{ 1 + \frac{1}{2} \left(\frac{x – d/2}{L}\right)^2 \right\} \\[2.0ex] &= L + \frac{(x – d/2)^2}{2L}
\end{aligned}
$$
求める経路差 \(\overline{\text{AP}} – \overline{\text{BP}}\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
\overline{\text{AP}} – \overline{\text{BP}} &= \left\{ L + \frac{(x + d/2)^2}{2L} \right\} – \left\{ L + \frac{(x – d/2)^2}{2L} \right\} \\[2.0ex] &= \frac{1}{2L} \left\{ \left(x + \frac{d}{2}\right)^2 – \left(x – \frac{d}{2}\right)^2 \right\}
\end{aligned}
$$

中括弧の中を展開して整理します。
$$
\begin{aligned}
\left(x + \frac{d}{2}\right)^2 – \left(x – \frac{d}{2}\right)^2 &= \left(x^2 + dx + \frac{d^2}{4}\right) – \left(x^2 – dx + \frac{d^2}{4}\right) \\[2.0ex] &= 2dx
\end{aligned}
$$
これを元の式に戻します。
$$
\begin{aligned}
\overline{\text{AP}} – \overline{\text{BP}} &= \frac{1}{2L} \times 2dx \\[2.0ex] &= \frac{dx}{L}
\end{aligned}
$$
あるいは \(d\frac{x}{L}\) と書きます。

スリットAとBからスクリーン上の点Pまでの距離の差を計算します。直角三角形の斜辺の長さを求める公式（三平方の定理）を使いますが、そのままではルートが入って計算しにくいので、「\(L\) がとても長い」という条件を使って近似（ルートを外すテクニック）を使います。丁寧に計算すると、距離の差は \(d \times x \div L\) というシンプルな式になります。

経路差は \(d\frac{x}{L}\) と求まりました。これはヤングの実験における基本的な公式であり、次元を確認しても \([\text{L}] \cdot [\text{L}] / [\text{L}] = [\text{L}]\) となっており正しいです。

問(2)

思考の道筋とポイント
光源Sを移動させると、スリットAとBに光が届くタイミング（位相）がずれます。この「光源側の経路差」と「スクリーン側の経路差」が組み合わさって干渉が起きます。
「明暗が反転した」ということは、元々強めあっていた場所（例えばスクリーン中心O）が弱めあいになった、つまり全体の干渉条件が半波長 \(\lambda/2\) だけずれたことを意味します。
この設問における重要なポイント

• 光源側の経路差 \(|\overline{\text{SA}} – \overline{\text{SB}}|\) を(1)と同様に求めます。
• 明暗が反転する条件は、この経路差が半波長の奇数倍になることです。
• \(N=0, 1, 2, \dots\) を用いて一般化します。

具体的な解説と立式
まず、光源側の経路差 \(|\overline{\text{SA}} – \overline{\text{SB}}|\) を求めます。
これは(1)の状況と対称的です。スリット間隔 \(d\)、距離 \(l\)、ずれ \(y\) なので、(1)の公式 \(d\frac{x}{L}\) の文字を置き換えて、
$$ |\overline{\text{SA}} – \overline{\text{SB}}| = d\frac{y}{l} $$
となります。
次に、明暗反転の条件を考えます。
スリットA、Bに届く光の位相差が \(\pi\)（経路差が \(\lambda/2\)）のとき、スクリーン中心（元々経路差0で明線だった場所）は暗線になります。
一般に、明暗が反転するのは、追加された経路差が半波長の奇数倍になったときです。
したがって、以下の条件式が成り立ちます。
$$ d\frac{y}{l} = \left(N + \frac{1}{2}\right)\lambda \quad (N=0, 1, 2, \dots) $$

この式を \(y\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
d\frac{y}{l} &= \left(N + \frac{1}{2}\right)\lambda \\[2.0ex] y &= \left(N + \frac{1}{2}\right) \frac{l\lambda}{d}
\end{aligned}
$$

光源を動かすと、スリットAとBに光が着くまでに距離の差が生まれます。この差が「波長の半分」になると、Aからの光とBからの光が逆のタイミング（山と谷）でスタートすることになり、スクリーンでの明暗がひっくり返ります。
光源側の距離の差は、(1)と同じ計算で \(d \times y \div l\) になります。これが半波長 \(\lambda/2\) の奇数倍（1倍、3倍、5倍…）になるときに反転が起きるので、その式を作って \(y\) を求めます。

\(y = (N + \frac{1}{2})\frac{l\lambda}{d}\) と求まりました。
\(N=0\) のとき \(y = \frac{l\lambda}{2d}\) であり、これは光源側での干渉縞間隔 \(\frac{l\lambda}{d}\) の半分だけずらしたことに相当します。縞を半分ずらせば明暗が反転するのは直感的にも正しいです。

問(3)

思考の道筋とポイント
スクリーンを移動させると、\(L\) が変化します。
点Pの位置 \(x\) は固定されていますが、\(L\) が大きくなると、干渉縞の間隔 \(\Delta x = \frac{L\lambda}{d}\) が広がるため、明線・暗線の位置が外側に移動していきます。
その結果、点Pを通過する明線の次数が変化します。
「\(m\) 次の明線」だった点Pが、一度暗くなって「再び明るくなり始めて最も明るくなった」ということは、隣の「\(m-1\) 次の明線」が点Pの位置までやってきたことを意味します。
この設問における重要なポイント

• 初期状態: 距離 \(L\) のとき、点P（位置 \(x\)）は \(m\) 次の明線。
  • 条件式: \(d\frac{x}{L} = m\lambda\)
• 最終状態: 距離 \(L + \Delta L\) のとき、点P（位置 \(x\)）は \(m-1\) 次の明線。
  • 条件式: \(d\frac{x}{L + \Delta L} = (m-1)\lambda\)
• \(x, d, \lambda\) は変化しません。

具体的な解説と立式
初期状態における明線の条件式は、
$$ d\frac{x}{L} = m\lambda \quad \cdots ① $$
スクリーンを \(\Delta L\) だけ遠ざけたとき、点Pには \(m-1\) 次の明線が来ます。
（\(L\) が増えると右辺の \(m\) は減る必要があるため、\(m+1\) ではなく \(m-1\) です。あるいは、縞間隔が広がるので、中心に近い次数の低い明線が外側のPまで広がってくるとイメージしてもよいです。）
このときの条件式は、
$$ d\frac{x}{L + \Delta L} = (m-1)\lambda \quad \cdots ② $$

①式より、
$$ x = \frac{m\lambda L}{d} $$
これを②式に代入して \(x\) を消去します。（あるいは①÷②をする）
$$
\begin{aligned}
d \frac{1}{L + \Delta L} \cdot \frac{m\lambda L}{d} &= (m-1)\lambda \\[2.0ex] \frac{mL}{L + \Delta L} &= m-1
\end{aligned}
$$
これを \(\Delta L\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
mL &= (m-1)(L + \Delta L) \\[2.0ex] mL &= (m-1)L + (m-1)\Delta L \\[2.0ex] mL – (m-1)L &= (m-1)\Delta L \\[2.0ex] \{m – (m-1)\}L &= (m-1)\Delta L \\[2.0ex] L &= (m-1)\Delta L \\[2.0ex] \Delta L &= \frac{L}{m-1}
\end{aligned}
$$

スクリーンを遠ざけると、映っている縞模様全体が拡大されます。すると、点Pにあった「\(m\)番目の明るい線」は外へ逃げていき、代わりに内側にあった「\(m-1\)番目の明るい線」が点Pの位置まで広がってきます。
最初の状態の式と、\(m-1\)番目の線が来たときの式を立てて、連立方程式を解くことで、どれだけスクリーンを動かしたか（\(\Delta L\)）を計算できます。

\(\Delta L = \frac{L}{m-1}\) と求まりました。
\(m=1\) のときは分母が0になりますが、これは1次の明線がPにある場合、スクリーンをどれだけ遠ざけても0次の明線（中心）はP（中心からずれた位置）には来ないため、解なしとなることと整合します（\(m>1\) という条件があります）。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 経路差の幾何学的導出と近似
  • 核心: ヤングの実験において、2つのスリットからスクリーン上の点までの距離の差（経路差）が、幾何学的な配置と近似計算によって \(d\frac{x}{L}\) というシンプルな形で表されることです。
  • 理解のポイント:
    • 近似の条件: \(L \gg d, x\) という条件があるからこそ、\(\sqrt{1+\alpha} \approx 1+\frac{1}{2}\alpha\) や \(\sin\theta \approx \tan\theta\) といった近似が使えます。この条件が成り立つ物理的状況（スリット間隔はミリ以下、スクリーン距離はメートル単位）をイメージできることが重要です。
    • 普遍性: この \(d\frac{x}{L}\) という形は、回折格子や二重スリット以外の干渉問題でも、同様の幾何学的配置であれば頻繁に登場します。
• 光源の移動と位相差の関係
  • 核心: 光源Sが移動すると、スリットA、Bに到達する時点で既に光に位相差（経路差）が生じていることです。この「初期位相のずれ」が、スクリーン上の干渉縞全体をシフトさせたり、明暗を反転させたりする原因となります。
  • 理解のポイント:
    • 経路差の加算: 全体の経路差は「光源〜スリットの経路差」と「スリット〜スクリーンの経路差」の和（または差）になります。光源が動くと前者が変化し、スクリーン上の干渉縞の位置 \(x\) が変化してバランスを取ろうとします。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 媒質による光路長の変化: スリットの片側に薄いガラス板（屈折率 \(n\)、厚さ \(t\)）を置く問題。幾何学的な距離は変わりませんが、光路長が \((n-1)t\) だけ伸びるため、実質的な経路差が生じ、干渉縞がずれます。
  • ロイド鏡: 鏡による反射を用いて、直接光と反射光（位相が \(\pi\) ずれる）を干渉させる実験。鏡像を仮想的な2つ目のスリットとみなせば、ヤングの実験と同じ幾何学的配置（\(d\frac{x}{L}\)）に帰着できます。
  • フレネルの複プリズム: プリズムによる屈折で虚光源を2つ作り出し、それらをスリットとみなして干渉させる実験。これも幾何学的にはヤングの実験と等価です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 経路差の発生源を探す: 「幾何学的な距離の差」なのか、「屈折率の違いによる光路長の差」なのか、「反射による位相のずれ」なのかを特定します。
  2. 近似が使えるか確認する: \(L \gg d\) のような大小関係があれば、迷わず近似を使います。特に \(\sqrt{L^2+x^2} \approx L + \frac{x^2}{2L}\) は必須テクニックです。
  3. 干渉縞のシフト方向を予測する: 光源が上に動けば、下側のスリットへの経路が長くなるため、その遅れを取り戻せる下側（下のスリットに近い側）へ干渉縞はずれます（光源の移動と逆向き）。こうした定性的な予測は、計算ミスの発見に役立ちます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 経路差の符号と絶対値:
  • 誤解: \(\overline{\text{AP}} – \overline{\text{BP}}\) なのか \(\overline{\text{BP}} – \overline{\text{AP}}\) なのか、符号を適当に扱ってしまう。
  • 対策: 図を見て「どちらが遠いか」を常に意識しましょう。通常は「(遠い方) – (近い方)」で正の経路差を定義しますが、座標軸の向きによっては負になることもあります。問題文の定義（\(x\) 軸の正の向きなど）に従うことが重要です。
• 近似式の適用ミス:
  • 誤解: \(\sqrt{L^2+x^2} \approx L + x\) のように、1次の項で近似してしまう。
  • 対策: \(\sqrt{1+\alpha} \approx 1+\frac{1}{2}\alpha\) の \(\alpha\) は微小量でなければなりません。\(L\) をくくり出して \(\alpha = (x/L)^2\) という形を作ってから適用する手順を徹底しましょう。
• 明線条件と暗線条件の混同:
  • 誤解: \(m\lambda\) が明線か暗線か、反射の有無や位相のずれによって混乱する。
  • 対策: 基本は「\(m\lambda\) で強めあい」ですが、固定端反射が1回ある場合や、スリット通過時点で位相が \(\pi\) ずれている場合は条件が逆転します。本問の(2)のように「明暗が反転した」という記述があれば、条件式が入れ替わった（経路差が \(\lambda/2\) ずれた）と解釈します。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 近似式 \(\sqrt{1+\alpha} \approx 1+\frac{1}{2}\alpha\) の選択:
  • 選定理由: 三平方の定理で現れるルートを外し、\(x\) の1次または2次の式として扱うためです。
  • 適用根拠: \(x, d \ll L\) という物理的条件が、数学的な近似の正当性を保証しています。
• 干渉条件 \(d\frac{x}{L} = m\lambda\) の選択:
  • 選定理由: 経路差と波長の関係から、スクリーン上の明線の位置を特定する唯一の式だからです。
  • 適用根拠: 波動の重ね合わせの原理により、位相差が \(2\pi\) の整数倍（経路差が波長の整数倍）のときに振幅が最大になることは普遍的に成り立ちます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま計算する:
  • \(L, d, \lambda\) などの文字のまま最後まで計算し、最後に数値を代入する（本問は数値なしですが）習慣をつけましょう。途中で数値を代入すると、約分できることに気づかなかったり、次元の確認ができなくなったりします。
• 次元の確認（次元解析）:
  • 経路差 \(d\frac{x}{L}\) の単位は \([\text{m}] \cdot [\text{m}] / [\text{m}] = [\text{m}]\) で長さの次元です。もし \(d\frac{L}{x}\) と書いてしまったら無次元になり、間違いに気づけます。
• 比の感覚を持つ:
  • (3)のように「\(m\) 次が \(m-1\) 次になった」という変化は、\(L\) と \(m\) が反比例の関係（\(L \cdot m \approx \text{一定}\)）にあることを示唆しています。\(L\) が増えれば \(m\)（同じ位置に来る次数）は減るはずだ、という直感は計算の指針になります。

424 ロイド鏡

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「ロイド鏡による光の干渉」です。平面鏡による反射を利用して、1つの光源から「直接届く光」と「反射して届く光」の2つの光を作り出し、それらを干渉させる実験です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
光の反射の作図問題です。「入射角＝反射角」となるように作図するのが基本ですが、定規だけで正確に描くには、鏡像（虚光源）を利用するのが定石です。
この設問における重要なポイント

• 直接波は、光源Sから点Eへ直線を引くだけです。
• 反射波は、鏡面ACに関して光源Sと対称な点S’（虚光源）を取り、S’から点Eへ直線を引きます。この直線と鏡面ACとの交点Dが反射点となります。
• 実際の光線はS→D→Eと進みます。

具体的な解説と立式

1. 直接届く光: 光源Sと点Eを定規で結び、矢印を描きます。これが直接波の経路です。
2. 反射して届く光:
   • まず、平面鏡ACの延長線に対して、光源Sと線対称な位置に点S’を取ります。これが虚光源です。
   • 点S’と点Eを結ぶ直線を薄く（あるいは点線で）引きます。
   • この直線と平面鏡ACとの交点をDとします。
   • SからDへ、そしてDからEへと実線を引きます。これが反射波の経路です。
   • 図には、S’からDへの点線も残しておくと、反射の法則（入射角＝反射角）が成り立っていることが幾何学的に明示されます。

（作図問題のため計算なし）

直接行く光は、そのまま真っ直ぐ線を引くだけです。
鏡で反射する光を描くときは、鏡の向こう側に「鏡の中の光源（S’）」を考えると簡単です。S’からゴール（E）に向かって線を引くと、鏡とぶつかる場所（D）が見つかります。光はSからDへ行って、そこで跳ね返ってEに行きます。

模範解答の図と同様に、SからEへの直線と、S→D→Eという折れ線が描かれます。S’DとSDの長さが等しいこと、および対頂角の関係から、入射角と反射角が等しくなっていることが確認できます。

問(2)

思考の道筋とポイント
2つの光の経路の長さを計算し、その差を求めます。
直接波の経路長は \(\overline{\text{SE}}\)、反射波の経路長は \(\overline{\text{SDE}}\) です。
ここで重要なのは、作図で用いた虚光源S’の性質です。対称性より \(\overline{\text{SD}} = \overline{\text{S’D}}\) なので、反射波の経路長は \(\overline{\text{S’E}}\)（直線距離）と等しくなります。
これにより、問題は「点Sからの距離と点S’からの距離の差」を求める幾何学問題に帰着します。
この設問における重要なポイント

• 直接波の経路長: \(\overline{\text{SE}} = \sqrt{L^2 + (x-d)^2}\)
• 反射波の経路長: \(\overline{\text{SDE}} = \overline{\text{S’E}} = \sqrt{L^2 + (x+d)^2}\)
  • 点Sの高さは \(d\)、点S’の高さは \(-d\)（鏡面からの距離）です。点Eの高さは \(x\) です。
  • したがって、SとEの縦方向の距離は \(|x-d|\)、S’とEの縦方向の距離は \(x+d\) です。
• 近似式 \((1+h)^n \approx 1+nh\) を用いてルートを開きます（\(n=1/2\)）。

具体的な解説と立式
まず、直接波の経路長 \(\overline{\text{SE}}\) を求めます。
三平方の定理より、
$$ \overline{\text{SE}} = \sqrt{L^2 + (x-d)^2} $$
これを近似するために変形します。
$$
\begin{aligned}
\overline{\text{SE}} &= L \sqrt{1 + \left(\frac{x-d}{L}\right)^2} \\[2.0ex] &\approx L \left\{ 1 + \frac{1}{2} \left(\frac{x-d}{L}\right)^2 \right\} \\[2.0ex] &= L + \frac{(x-d)^2}{2L}
\end{aligned}
$$
次に、反射波の経路長 \(\overline{\text{S’E}}\) を求めます。
$$ \overline{\text{S’E}} = \sqrt{L^2 + (x+d)^2} $$
同様に近似します。
$$
\begin{aligned}
\overline{\text{S’E}} &= L \sqrt{1 + \left(\frac{x+d}{L}\right)^2} \\[2.0ex] &\approx L \left\{ 1 + \frac{1}{2} \left(\frac{x+d}{L}\right)^2 \right\} \\[2.0ex] &= L + \frac{(x+d)^2}{2L}
\end{aligned}
$$
経路差 \(\Delta L = \overline{\text{S’E}} – \overline{\text{SE}}\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
\Delta L &= \left\{ L + \frac{(x+d)^2}{2L} \right\} – \left\{ L + \frac{(x-d)^2}{2L} \right\} \\[2.0ex] &= \frac{1}{2L} \left\{ (x+d)^2 – (x-d)^2 \right\}
\end{aligned}
$$

中括弧の中を展開して整理します。
$$
\begin{aligned}
(x+d)^2 – (x-d)^2 &= (x^2 + 2dx + d^2) – (x^2 – 2dx + d^2) \\[2.0ex] &= 4dx
\end{aligned}
$$
これを元の式に戻します。
$$
\begin{aligned}
\Delta L &= \frac{1}{2L} \times 4dx \\[2.0ex] &= \frac{2dx}{L}
\end{aligned}
$$
あるいは \(2d\frac{x}{L}\) と書きます。

直接届く光と、鏡で反射して届く光の「道のりの差」を計算します。反射する光の道のりは、鏡の向こうにあるS’からの距離と同じです。
三平方の定理を使ってそれぞれの距離を式にし、「\(L\) がとても長い」という条件を使ってルートを外す近似計算を行います。
丁寧に引き算すると、差は \(2d \times x \div L\) というシンプルな形になります。

経路差は \(2d\frac{x}{L}\) と求まりました。
これは、スリット間隔が \(2d\)（SとS’の間隔）であるヤングの実験の経路差の公式 \((\text{スリット間隔}) \times \frac{x}{L}\) と完全に一致します。

問(3)

思考の道筋とポイント
「輝点（明線）」ができる条件を求めます。
ここで最も重要なのは、反射光の位相の変化です。
鏡（屈折率が大きい媒質）での反射は「固定端反射」となり、位相が \(\pi\)（半波長分）ずれます。
一方、直接光は位相の変化がありません。
したがって、2つの光の干渉条件は、通常のヤングの実験とは逆転します。
「経路差が半波長の奇数倍」のときに強めあい（明線）、「波長の整数倍」のときに弱めあい（暗線）となります。
この設問における重要なポイント

• 反射による位相変化: \(\pi\) ずれる（固定端反射）。
• 強めあいの条件: 経路差 \(= (m + \frac{1}{2})\lambda\) （\(m=0, 1, 2, \dots\)）。
• 「点Cに最も近い輝点」: \(x\) が最小となる正の値、つまり \(m=0\) の場合を求めます。

具体的な解説と立式
鏡での反射により、反射光の位相は \(\pi\) ずれます。
そのため、強めあう条件（輝点となる条件）は、経路差が半波長の奇数倍になるときです。
$$ \Delta L = \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda \quad (m=0, 1, 2, \dots) $$
(2)の結果 \(\Delta L = \frac{2dx}{L}\) を代入します。
$$ \frac{2dx}{L} = \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda $$
「点Cに最も近い輝点」とは、\(x\) が最も小さい（0に近い）輝点のことなので、\(m=0\) を選びます。
$$ \frac{2dx}{L} = \frac{1}{2}\lambda $$

この式を \(x\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\frac{2dx}{L} &= \frac{\lambda}{2} \\[2.0ex] x &= \frac{\lambda}{2} \times \frac{L}{2d} \\[2.0ex] &= \frac{L\lambda}{4d}
\end{aligned}
$$

普通の干渉なら「道のりの差が波長の整数倍」で明るくなりますが、今回は鏡での反射で波がひっくり返る（位相がずれる）ため、条件が逆になります。「道のりの差が半波長の奇数倍（0.5倍、1.5倍…）」のときに明るくなります。
一番近い明るい点を探しているので、一番小さい「0.5倍（半波長）」のときの \(x\) を計算します。

\(x = \frac{L\lambda}{4d}\) と求まりました。
通常のヤングの実験（スリット間隔 \(2d\)）であれば、最初の明線は \(x = \frac{L\lambda}{2d}\) ですが、ロイド鏡では条件が反転しているため、その半分の位置（暗線になるはずだった位置）に明線が来ていることがわかります。
また、\(x=0\)（点C）では経路差が0ですが、位相差が \(\pi\) あるため暗点となります。これもロイド鏡の特徴と一致します。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 鏡像（虚光源）を用いた等価回路的思考
  • 核心: 平面鏡による反射光を、鏡の向こう側にある「虚光源」から出た光とみなすことで、複雑な反射の問題をシンプルな「2つの光源からの干渉（ヤングの実験）」に帰着させる思考法です。
  • 理解のポイント:
    • 幾何学的等価性: 鏡像S’の位置は、鏡面に対して実光源Sと対称な点になります。これにより、反射点Dを経由する経路長 \(\overline{\text{SDE}}\) は、直線距離 \(\overline{\text{S’E}}\) と等しくなります。
    • ヤングの実験との対応: 実光源Sと虚光源S’を2つのスリットとみなせば、スリット間隔 \(2d\) のヤングの実験と全く同じ幾何学的配置になります。
• 固定端反射による位相の反転
  • 核心: 光が屈折率の小さい媒質（空気）から大きい媒質（鏡）で反射する際、位相が \(\pi\)（半波長分）ずれる現象です。これが干渉条件を逆転させる決定的な要因となります。
  • 理解のポイント:
    • 条件の逆転: 通常の干渉（ヤングの実験など）では「経路差 \(= m\lambda\)」で明線になりますが、片方の光だけが固定端反射をするロイド鏡では、この条件で暗線になります。逆に「経路差 \(= (m+1/2)\lambda\)」で明線になります。
    • 接点での暗線: 鏡との接点（\(x=0\)）では経路差は0ですが、位相差が \(\pi\) あるため、必ず暗線になります。これはロイド鏡の最も顕著な特徴です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • フレネルの複プリズム: 頂角の小さなプリズムで屈折させ、1つの光源から2つの虚光源を作り出す実験。これも幾何学的にはヤングの実験と等価ですが、反射を含まないため位相の反転はありません。
  • ビレーの分割レンズ: 凸レンズを半分に切ってずらし、2つの実像（新たな光源）を作る実験。これもヤングの実験に帰着できます。
  • 水面波の干渉（壁による反射）: 波源の近くに壁がある場合、壁の向こうの虚波源からの波との干渉が起きます。固定端反射か自由端反射かによって条件が変わります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 虚光源を探す: 鏡やプリズム、レンズによって「光がどこから来るように見えるか」を考え、虚光源の位置を特定します。
  2. ヤングの実験に帰着させる: 2つの光源（実光源と虚光源、あるいは2つの虚光源）の間隔 \(D\) を求め、公式 \(\Delta L = D\frac{x}{L}\) を適用します。
  3. 反射の回数と種類を確認する: 経路の途中で反射がある場合、それが固定端反射（位相 \(\pi\) ずれ）か自由端反射（位相変化なし）かを確認します。2つの経路での「位相ずれの回数の差」が奇数なら、干渉条件が逆転します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• スリット間隔の取り違え:
  • 誤解: ヤングの実験の公式を使おうとして、スリット間隔を \(d\) としてしまう。
  • 対策: 虚光源S’は鏡の向こう側にあるため、実光源Sとの距離は \(2d\) になります。図を描いて、2つの光源の距離を物理的に確認しましょう。
• 干渉条件の逆転忘れ:
  • 誤解: 経路差の計算までは完璧なのに、最後の条件式で通常の「\(m\lambda\) で明線」を使ってしまう。
  • 対策: 「鏡による反射」というキーワードを見たら、即座に「位相反転！条件逆転！」と反応できるように条件付けしましょう。特に \(x=0\) で暗くなることを確認するのが有効なチェック方法です。
• 近似計算の精度:
  • 誤解: \(\sqrt{L^2+(x+d)^2} \approx L + x + d\) のように乱暴な近似をしてしまう。
  • 対策: 必ず \(\sqrt{1+\alpha} \approx 1+\frac{1}{2}\alpha\) の形に変形してから近似します。2次の項 \((x+d)^2/2L\) まで残さないと、差を取ったときに0になってしまいます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 経路差 \(\Delta L = \frac{2dx}{L}\) の選択:
  • 選定理由: 幾何学的な配置から導かれる必然的な結果であり、干渉の状態を決める唯一のパラメータだからです。
  • 適用根拠: \(L \gg d, x\) という近似条件が成立しているため、ヤングの実験と同様の近似式が適用可能です。
• 明線条件 \(\Delta L = (m+\frac{1}{2})\lambda\) の選択:
  • 選定理由: 求めたいのが「輝点（明線）」の位置であり、かつ反射による位相反転があるためです。
  • 適用根拠: 波動の重ね合わせの原理において、位相差が \(2m\pi\)（同位相）で強めあうことは不変ですが、経路差による位相遅れに加えて反射による位相ジャンプ \(\pi\) があるため、結果として経路差の条件式が見かけ上逆転します。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 展開公式の活用:
  • \((x+d)^2 – (x-d)^2 = 4dx\) という展開結果は、干渉の問題で頻出です。いちいち展開せずに \(A^2 – B^2 = (A+B)(A-B)\) を利用して \((2x)(2d) = 4dx\) と暗算できるようにしておくと、計算ミスが減りスピードも上がります。
• 次元の確認:
  • 答えの \(x = \frac{L\lambda}{4d}\) の次元を確認します。\([\text{L}] \cdot [\text{L}] / [\text{L}] = [\text{L}]\) で長さの次元になっています。もし \(d\) が分子に来ていたら次元がおかしくなるので、すぐに気づけます。
• \(m=0\) の確認:
  • 「最も近い輝点」という条件に対して、\(m=0\) を代入して妥当な値（正の値など）になるか確認します。もし \(m=1\) から始まる式を立てていたら、\(x\) が大きくなりすぎるなどの違和感に気づけるはずです。

425 回折格子

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「反射型回折格子による光の干渉」です。CDやDVDの表面が虹色に見える現象などに応用されている原理です。透過型回折格子と同様に、隣り合う溝からの反射光の経路差が波長の整数倍になるときに強めあうという条件を用います。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
図2の幾何学的関係を読み解きます。
経路1と経路2の光路長の違い（経路差）は、入射側での差 \(\overline{\text{BC}}\) と反射側での差 \(\overline{\text{AD}}\) の組み合わせで決まります。
図を見ると、経路2の方が反射点Cに到達するまでに \(\overline{\text{BC}}\) だけ余分に進んでいますが、反射後は経路1の方が \(\overline{\text{AD}}\) だけ余分に進んでいます。
したがって、正味の経路差はこれら2つの長さの差になります。
この設問における重要なポイント

• 直角三角形ABCとADCに着目します。
• 斜辺はともに格子定数（溝の間隔）\(d\) です。
• 角度 \(\angle \text{BAC} = i\)、\(\angle \text{DCA} = r\) であることを図から読み取ります（波面と光線は直交するため）。

具体的な解説と立式
まず、直角三角形ADCに着目して \(\overline{\text{AD}}\) を求めます。
斜辺は \(\overline{\text{AC}} = d\) です。
角度 \(\angle \text{DCA} = r\) なので、
$$ \overline{\text{AD}} = d \sin r \quad \cdots ① $$
次に、直角三角形ABCに着目して \(\overline{\text{BC}}\) を求めます。
斜辺は \(\overline{\text{AC}} = d\) です。
角度 \(\angle \text{BAC} = i\) なので、
$$ \overline{\text{BC}} = d \sin i \quad \cdots ② $$
経路差は、これら2つの長さの差の絶対値となります。
$$
\begin{aligned}
\text{経路差} &= |\overline{\text{AD}} – \overline{\text{BC}}| \\[2.0ex] &= |d \sin r – d \sin i| \\[2.0ex] &= |d(\sin r – \sin i)| \quad \cdots ③
\end{aligned}
$$
光が強めあう条件は、この経路差が波長 \(\lambda\) の整数倍になることです。
$$ \text{経路差} = m\lambda \quad (m \text{は整数}) $$
したがって、空欄④には「整数」が入ります。

（導出過程そのものが解答）

隣り合う溝（AとC）で反射する光の「道のりの差」を計算します。
図を見ると、直角三角形が2つ隠れています。
1つ目の三角形（ADC）から、反射して出ていく側の道のりの差は \(d \sin r\) だとわかります。
2つ目の三角形（ABC）から、入ってくる側の道のりの差は \(d \sin i\) だとわかります。
全体の道のりの差は、この2つの引き算になります。
この差が「波長の整数倍」になるとき、波の山と山が重なって光が強めあいます。

① \(d \sin r\)、② \(d \sin i\)、③ \(|d(\sin r – \sin i)|\)、④ 整数
これらは反射型回折格子の基本的な公式の導出過程そのものです。

問(2)

思考の道筋とポイント
(1)で導いた式に具体的な数値を代入して波長 \(\lambda\) を求めます。
「入射角 \(i=45^\circ\) のとき、反射角 \(45^\circ\) で反射して強めあう」というのは、\(i=r=45^\circ\) の場合であり、これは正反射（0次光、\(m=0\)）に対応します。このとき経路差は0です。
「すぐ隣の強めあう回折光」は \(r=50^\circ\) なので、これは1次光（\(m=1\) または \(m=-1\)）に対応します。
経路差の絶対値が波長 \(\lambda\) に等しくなるという式を立てて計算します。
この設問における重要なポイント

• \(i = 45^\circ\)
• \(r = 50^\circ\)
• \(d = 1.0 \times 10^{-2}\,\text{mm}\)
• 求めるのは波長 \(\lambda\)（単位はmm）
• \(r > i\) なので、\(\sin r > \sin i\) となり、経路差は \(d(\sin r – \sin i)\) と正の値になります。これがちょうど \(1\lambda\) に相当します。

具体的な解説と立式
\(i=45^\circ, r=50^\circ\) のとき、経路差は波長 \(\lambda\) の1倍になります。
(1)の③の式より、
$$ \lambda = |d(\sin 50^\circ – \sin 45^\circ)| $$
ここで、\(50^\circ > 45^\circ\) より \(\sin 50^\circ > \sin 45^\circ\) なので、絶対値の中身は正です。
$$ \lambda = d(\sin 50^\circ – \sin 45^\circ) $$

与えられた数値を代入します。
\(d = 1.0 \times 10^{-2}\,\text{mm}\)
\(\sin 50^\circ = 0.766\)
\(\sin 45^\circ = 0.707\)
$$
\begin{aligned}
\lambda &= 1.0 \times 10^{-2} \times (0.766 – 0.707) \\[2.0ex] &= 1.0 \times 10^{-2} \times 0.059 \\[2.0ex] &= 5.9 \times 10^{-4}\,\text{mm}
\end{aligned}
$$

普通の反射（入射角＝反射角＝45度）のときは、道のりの差がゼロで強めあっています。
そこから角度を少しずらして50度にしたとき、再び強めあったということは、道のりの差がちょうど「波長1個分」になったということです。
さっき作った式に、角度45度と50度、そして溝の間隔 \(d\) を入れて計算すれば、波長が出てきます。

\(\lambda = 5.9 \times 10^{-4}\,\text{mm}\) と求まりました。
これをメートルに換算すると \(5.9 \times 10^{-7}\,\text{m} = 590\,\text{nm}\) となり、可視光（オレンジ色付近）の波長として妥当な値です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 経路差の幾何学的導出
  • 核心: 回折格子における干渉条件を導くために、隣り合うスリット（または反射面）からの光の経路差を、幾何学的な図形（直角三角形）を用いて数式化するプロセスです。
  • 理解のポイント:
    • 波面と光線の直交性: 入射波面と反射波面（回折波面）を描き、それらが光線と直交することを利用して直角三角形を見つけます。これにより、経路差が \(d \sin\theta\) の形で表されることが視覚的に理解できます。
    • 透過型と反射型の違い: 透過型では経路差が \(d \sin\theta\)（垂直入射の場合）ですが、反射型や斜め入射の場合は、入射側と出射側の両方で経路差が生じるため、それらの差（または和）を取る必要があります。
• 干渉条件と次数の意味
  • 核心: 経路差が波長の整数倍 \(m\lambda\) になるときに強めあうという条件式において、整数 \(m\)（次数）が物理的に何を意味するかを理解することです。
  • 理解のポイント:
    • 0次光の意味: \(m=0\) は経路差が0の場合、つまり正反射（反射型）や直進光（透過型）に対応します。
    • 高次光の出現: \(m=\pm 1, \pm 2, \dots\) は、経路差が \(\pm \lambda, \pm 2\lambda, \dots\) となる方向に現れる回折光に対応します。次数が上がるほど回折角は大きくなります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 透過型回折格子の斜め入射: 入射光が格子面に対して角度 \(i\) で入射する場合。反射型と全く同じ考え方で、経路差は \(d(\sin r – \sin i)\) （符号は定義による）となります。
  • 結晶によるX線回折（ブラッグ反射）: 原理は同じですが、結晶格子面での反射を考えるため、経路差の式が \(2d \sin\theta\) （\(\theta\) は格子面となす角）となります。角度の定義（法線から測るか面から測るか）の違いに注意が必要です。
  • 複数の波長を含む光（白色光）の回折: 波長によって回折角が異なるため、スペクトル（虹）が生じます。\(d \sin\theta = m\lambda\) より、波長 \(\lambda\) が大きい（赤色）ほど回折角 \(\theta\) も大きくなることがわかります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 直角三角形を探す: どのような光学系であっても、平行光線の干渉問題では「波面」と「光線」が作る直角三角形を見つけることが第一歩です。
  2. 経路差の正負を確認する: 入射側と出射側で、どちらの光路が長いかを図で確認し、経路差が「差」になるのか「和」になるのかを判断します。本問のように一方が長く他方が短い場合は「差」になります。
  3. 次数 \(m\) を特定する: 「隣り合う明線」や「最初の明線」といった記述から、\(m\) の変化量（\(\Delta m = 1\)）を読み取ります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 経路差の式の丸暗記による適用ミス:
  • 誤解: 回折格子といえば \(d \sin\theta\) だと思い込み、斜め入射や反射型でもそのまま使ってしまう。
  • 対策: 必ず図を描いて、入射側の経路差 \(d \sin i\) と出射側の経路差 \(d \sin r\) を個別に求め、それらを足し引きして全体の経路差を導出する手順を踏みましょう。
• 角度の定義の確認不足:
  • 誤解: 入射角や回折角が「法線からの角度」なのか「面からの角度」なのかを確認せずに計算してしまう。
  • 対策: 問題文の図をよく見て、角度がどこを基準に測られているかを指差し確認します。特にX線回折（ブラッグの条件）との混同に注意が必要です。
• 単位換算のミス:
  • 誤解: 格子定数 \(d\) が \(\text{mm}\) 単位、波長 \(\lambda\) が \(\text{nm}\) 単位などで与えられたとき、単位を揃えずに計算してしまう。
  • 対策: 計算前に全ての長さをメートル（\(\text{m}\)）またはミリメートル（\(\text{mm}\)）に統一します。指数表記（\(10^{-3}, 10^{-9}\) など）を活用してミスを防ぎましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 経路差 \(|d(\sin r – \sin i)|\) の導出:
  • 選定理由: 既成の公式を当てはめるのではなく、問題の図形的状況（反射型、斜め入射）に合わせて物理法則（ホイヘンスの原理や幾何光学）から導く必要があるからです。
  • 適用根拠: 平行光線近似が成り立つ遠方（またはレンズの焦点面上）での干渉を考えているため、直角三角形による経路差の計算が正当化されます。
• 干渉条件 \(m\lambda\) の選択:
  • 選定理由: 「強めあう」という条件を満たすための普遍的な物理法則だからです。
  • 適用根拠: 経路差が波長の整数倍であれば、波の位相が揃って振幅が最大になる（強めあう）ことは、波動一般に成り立つ原理です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 三角比の値の確認:
  • \(\sin 45^\circ \approx 0.707\)、\(\sin 60^\circ \approx 0.866\) などの代表的な値や、問題文で与えられた近似値（\(\sin 50^\circ = 0.766\)）を正しく代入します。書き写し間違いに注意しましょう。
• 絶対値の処理:
  • 経路差の式に絶対値が含まれる場合、角度の大小関係（\(r > i\) か \(r < i\) か）を図から判断して、中身が正になるように式を立てると計算がスムーズになります。
• 有効数字の扱い:
  • 途中の計算では桁数を多めに取り、最後に四捨五入して指定された桁数（本問では2桁）に合わせます。早すぎる丸めは誤差の原因になります。

ABOUT THE AUTHOR

共田 誠（まこと先生）

高校物理講師・プロ家庭教師 / 指導歴14年

上智大学理工学部物理学科卒。私立高校の非常勤講師として進学クラスから基礎クラスまで幅広く担当。大手家庭教師センター3社でプロ家庭教師を経験し、現在はオンライン専門で全国の高校生を個別指導中。

「暗記物理の撲滅」を掲げ、生徒の思考のクセを診断・矯正するドクター型アプローチで指導。表面的なテクニックではなく、初見の問題に強い思考力を育てる。

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