「セミナー物理基礎＋物理2025」徹底解説！【第 Ⅳ 章 16】基本問題399～408

基本問題

399 反射と屈折

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「プリズムにおける光の反射と屈折」です。直角二等辺三角形のプリズムに入射する光が、各界面でどのように振る舞うか（屈折して外に出るか、全反射して中に留まるか）を、屈折の法則と全反射の条件を用いて解析し、作図する能力が問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
光は左側の面（点A）に垂直に入射します。垂直入射（入射角 \(0^\circ\)）なので、屈折せずに直進します。
次に斜面（点B）に到達します。直角二等辺三角形の幾何学的性質から、ここでの入射角は \(45^\circ\) です。
ガラス（\(n=\sqrt{3}\)）から空気（\(n=1\)）への入射なので、全反射の可能性があります。屈折の法則を立てて検証します。
もし全反射なら、反射角 \(45^\circ\) で進み、上側の面（点C）に垂直に入射して外に出ます。
この設問における重要なポイント

• 点A: 入射角 \(0^\circ\) \(\Rightarrow\) 直進。
• 点B: 入射角 \(45^\circ\)。ガラス(\(\sqrt{3}\)) \(\to\) 空気(\(1\))。全反射の判定が必要。
• 点C: 入射角 \(0^\circ\) \(\Rightarrow\) 直進。

具体的な解説と立式
【点Aでの屈折】
光はガラス面に垂直に入射するので、入射角は \(0^\circ\) です。屈折の法則より屈折角も \(0^\circ\) となり、光は直進します。

【点Bでの反射・屈折】
直進した光は斜面上の点Bに到達します。図形の幾何学的関係より、法線とのなす角（入射角）は \(45^\circ\) です。
屈折角を \(\theta_1\) とし、屈折の法則を立てます。
$$
\begin{aligned}
\sqrt{3} \sin 45^\circ &= 1 \times \sin \theta_1 \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
式①より \(\sin \theta_1\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
\sin \theta_1 &= \sqrt{3} \times \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2.0ex] &= \sqrt{\frac{3}{2}}
\end{aligned}
$$
ここで、\(\sqrt{1.5} > 1\) なので、\(\sin \theta_1 > 1\) となります。
サインの値が1を超えることはないため、屈折光は存在しません。すなわち、全反射が起こります。
反射の法則より、反射角は入射角と同じ \(45^\circ\) です。

【点Cでの屈折】
点Bで全反射した光は、入射光と \(90^\circ\) の角度をなして上向きに進みます。
図形的に考えると、この光は上側の面（点C）に対して垂直に入射します。
入射角は \(0^\circ\) なので、光は屈折せずに直進し、空気中へ出ていきます。

上記解説内で完結しています。

まず、光はプリズムに真っ直ぐ入るので、そのまま曲がらずに進みます。
次に、斜めの壁にぶつかります。このとき、ガラスから空気に出ようとしますが、角度が浅すぎる（45度）ため、外に出られずに全部跳ね返されます（全反射）。計算してみると、外に出るための角度が存在しないことがわかります。
跳ね返った光は真上に向かい、上の面に真っ直ぐぶつかるので、そのまま外に出ます。
結果として、光はプリズムの中で直角に曲がって出てくることになります。

光路は図1のようになります。直角プリズムによる全反射を利用して光の進行方向を90度変える、典型的な光学素子の動作と一致しています。

問(2)

思考の道筋とポイント
光は左側の面（点A）に \(60^\circ\) の入射角で入ります。屈折の法則で屈折角を求めます。
屈折した光は上側の面（点B）に到達します。幾何学的に入射角を求め、全反射するかどうか判定します。
点Bでの反射光（または屈折光）が斜面（点C）に到達したときの振る舞いを解析します。
図(2)のプリズムは、左下の角が \(60^\circ\)、右上の角が \(30^\circ\) の直角三角形です。
この設問における重要なポイント

• 点A: 入射角 \(60^\circ\)。空気(\(1\)) \(\to\) ガラス(\(\sqrt{3}\))。屈折角を計算。
• 点B: 幾何学的に入射角を特定。ガラス(\(\sqrt{3}\)) \(\to\) 空気(\(1\))。全反射判定。
• 点C: 幾何学的に入射角を特定。ガラス(\(\sqrt{3}\)) \(\to\) 空気(\(1\))。屈折角を計算。

具体的な解説と立式
【点Aでの屈折】
入射角は \(60^\circ\) です。屈折角を \(\theta_1\) とします。
屈折の法則より、
$$
\begin{aligned}
1 \times \sin 60^\circ &= \sqrt{3} \times \sin \theta_1 \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$
式②より \(\theta_1\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\sin \theta_1 &= \frac{1}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \\[2.0ex] &= \frac{1}{2}
\end{aligned}
$$
よって、\(\theta_1 = 30^\circ\) です。

【点Bでの反射・屈折】
点Aでの屈折角が \(30^\circ\) なので、光線は水平に対して \(30^\circ\) 上向きに進みます。
点Bは上側の水平な面にあります。この面に対する法線は鉛直方向です。
したがって、点Bでの入射角は \(90^\circ – 30^\circ = 60^\circ\) となります。
入射角 \(60^\circ\) でガラスから空気へ進みます。屈折角を \(\theta_2\) とします。
$$
\begin{aligned}
\sqrt{3} \sin 60^\circ &= 1 \times \sin \theta_2 \quad \cdots ③
\end{aligned}
$$
式③より \(\sin \theta_2\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
\sin \theta_2 &= \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \\[2.0ex] &= \frac{3}{2}
\end{aligned}
$$
\(\sin \theta_2 = 1.5 > 1\) なので、ここでも全反射が起こります。
反射角は \(60^\circ\) です。

【点Cでの屈折】
点Bで全反射した光は、斜面（点C）に向かいます。
幾何学的関係から、点Cでの入射角を求めます。
点Bでの反射角が \(60^\circ\) なので、反射光は水平面（上側の面）と \(30^\circ\) の角をなして下向きに進みます。
点Cにおける法線は、斜面（水平と \(30^\circ\) の角をなす）に対して垂直なので、水平面とは \(60^\circ\) の角をなします。
図形的に角度を追うと、光線と水平面のなす角が \(30^\circ\)、法線と水平面のなす角が \(60^\circ\) なので、点Cでの入射角 \(\theta_3\) は \(30^\circ\) となります（詳細は図3を参照）。
屈折角を \(\theta_4\) とします。
$$
\begin{aligned}
\sqrt{3} \sin 30^\circ &= 1 \times \sin \theta_4 \quad \cdots ④
\end{aligned}
$$
式④より \(\theta_4\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\sin \theta_4 &= \sqrt{3} \times \frac{1}{2} \\[2.0ex] &= \frac{\sqrt{3}}{2}
\end{aligned}
$$
よって、\(\theta_4 = 60^\circ\) です。
光は斜面から \(60^\circ\) の角度で空気中へ出ていきます。

上記解説内で完結しています。

1. 入り口（点A）: 空気からガラスへ入るとき、光は内側に曲がります。計算すると、60度で入った光は30度になります。
2. 上面（点B）: 30度で進んできた光が上の面に当たります。法線（垂直な線）との角度を測ると、ここでの入射角は60度になります。ガラスから空気へ出ようとしますが、計算するとサインの値が1を超えてしまうため、ここでも全反射します。
3. 斜面（点C）: 全反射した光は斜面に向かいます。角度を追っていくと、斜面には30度で入射することがわかります。最後にガラスから空気へ出るとき、屈折の法則を使うと、60度の角度で外に出ていくことがわかります。

光路は図2のようになります。点Aで屈折、点Bで全反射、点Cで屈折して出ていく複雑な経路ですが、一つ一つ法則を適用すれば確実に解けます。最終的に \(60^\circ\) で出ていくのは、点Aでの入射角と同じ値であり、対称性を感じさせます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 全反射の条件と臨界角
  • 核心: 光が屈折率の大きい媒質から小さい媒質へ進むとき、入射角がある値（臨界角 \(\theta_c\)）を超えると、光は境界面を透過できずにすべて反射されます。この現象を全反射といいます。
  • 理解のポイント:
    • 臨界角の定義: 屈折角がちょうど \(90^\circ\) になるときの入射角です。屈折の法則 \(n_1 \sin \theta_c = n_2 \sin 90^\circ\) から、\(\sin \theta_c = n_2/n_1\) （\(n_1 > n_2\)）と導かれます。
    • 判定方法: 屈折の法則で計算した \(\sin \theta_{\text{屈折}}\) が \(1\) を超える場合、あるいは入射角が臨界角より大きい場合に全反射と判定します。
• 幾何学的関係の把握
  • 核心: プリズムのような多面体では、ある面での屈折・反射角が次の面での入射角を決定します。この連鎖を追うためには、三角形の内角の和や錯角、法線との関係などの幾何学的知識が不可欠です。
  • 理解のポイント:
    • 法線の作図: 各界面で必ず法線（面に垂直な線）を引き、角度はすべて法線基準で測ります。
    • 角度の追跡: 「反射角＝入射角」や「直角三角形の鋭角」などを利用して、次々と角度を求めていきます。図を大きく描くことがミスを防ぐコツです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 光ファイバー: コア内での全反射を繰り返して光を伝送する仕組み。入射角の条件を求める問題は本問の応用です。
  • 虹の原理: 水滴内での屈折と反射（全反射ではないが、反射光の強度が角度に依存）によって色が分かれる現象。球形プリズムとして解析します。
  • ダイヤモンドの輝き: 屈折率が非常に大きいため臨界角が小さく、内部に入った光が全反射を繰り返して上面から出てくる現象。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 屈折率の大小を確認する: 光が「密（\(n\)大）\(\to\) 疎（\(n\)小）」に進む箇所を探します。そこが全反射の危険地帯です。
  2. 臨界角を計算しておく: 全反射の可能性がある界面について、\(\sin \theta_c = n_{\text{小}}/n_{\text{大}}\) を計算しておくと、その後の議論がスムーズになります。
  3. 角度を具体的に書き込む: 図に \(30^\circ, 45^\circ, 60^\circ\) などの角度を書き込み、幾何学的に矛盾がないか確認しながら進めます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 角度の定義ミス:
  • 誤解: 境界面とのなす角を入射角として計算してしまう。
  • 対策: 「角度は常に法線（縦線）から測る」を徹底します。特にプリズムの斜面では法線も斜めになるので注意が必要です。
• 全反射の見落とし:
  • 誤解: 屈折の法則で \(\sin \theta > 1\) となったときに計算ミスだと思ってしまう、あるいは無理やり \(\sin \theta = 1\) としてしまう。
  • 対策: \(\sin \theta > 1\) は「屈折光が存在しない＝全反射」という物理的なメッセージです。計算結果を信じて全反射と判定しましょう。
• 図形の読み取りミス:
  • 誤解: 直角二等辺三角形だと思い込んで \(45^\circ\) を使ってしまう（実際は \(30^\circ-60^\circ-90^\circ\) の場合など）。
  • 対策: 問題文や図の角度指定を慎重に読み取ります。特に直角マークや角度の数値を指差し確認しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 屈折の法則 \(n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2\) の選択:
  • 選定理由: 異なる媒質間での光の進行方向の変化を定量的に扱うための唯一の基本法則だからです。
  • 適用根拠: 幾何光学の範囲で、波長や干渉を考慮せず、光線の経路のみを追跡する問題であるため、この法則が直接適用されます。
• 全反射条件 \(\sin \theta > 1\) の選択:
  • 選定理由: 屈折光が存在し得ない状況を数式的に判断するためです。
  • 適用根拠: サインの値は必ず \(1\) 以下でなければならないという数学的制約と、物理的な現象（全反射）が対応しています。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 有名角のサイン・コサイン:
  • \(30^\circ, 45^\circ, 60^\circ\) の三角比（\(1/2, 1/\sqrt{2}, \sqrt{3}/2\)）は、分母の有理化を含めて瞬時に変換できるようにしておきます。
  • \(\sqrt{2} \approx 1.41, \sqrt{3} \approx 1.73\) などの近似値を知っておくと、\(\sin \theta > 1\) の判定が素早くできます（例: \(\sqrt{3}/2 \times \sqrt{3} = 1.5 > 1\)）。
• 図形的な検算:
  • 作図した光路が、屈折の法則（密\(\to\)疎で法線から離れる、疎\(\to\)密で法線に近づく）や反射の法則（入射角＝反射角）を満たしているか、目視でチェックします。極端におかしい角度になっていないか確認しましょう。

400 レンズと像

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「レンズによる結像の作図」です。凸レンズと凹レンズの基本的な性質を理解し、代表的な光線の進み方を作図することで、像の位置や種類（実像・虚像、正立・倒立）を特定する能力が問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(a)

思考の道筋とポイント
凸レンズの前方、焦点距離の2倍よりも遠い位置に物体があります。この場合、レンズの後方（焦点と2倍焦点の間）に倒立実像ができるはずです。代表的な3本の光線のうち2本を選んで作図し、交点を求めます。
この設問における重要なポイント

• レンズの種類: 凸レンズ。
• 物体の位置: 焦点 \(F’\) の外側。
• 作図すべき光線: 平行光線、中心を通る光線、焦点を通る光線。

具体的な解説と立式
点A’から出る以下の2本の光線を作図します。

1. 光軸に平行な光線: レンズで屈折した後、後方の焦点 \(F\) を通るように直線を引きます。
2. レンズの中心を通る光線: そのまま直進させます。

（3本目として、前方の焦点 \(F’\) を通る光線を描き、屈折後に光軸と平行に進ませても構いません。3本とも同じ点で交わります。）
これら2本の光線がレンズの後方で交わる点が、像の先端となります。交点から光軸に垂線を下ろし、矢印を描きます。

計算は不要で、作図のみです。

凸レンズの基本的な使い方のひとつです。遠くにある物体の光を集めて、反対側のスクリーンに映すような状況です。
「まっすぐ行って焦点へ曲がる線」と「真ん中を突っ切る線」の2本を描くと、レンズの向こう側でぶつかります。そこが像のできる場所です。上下逆さまの像（倒立実像）になります。

作図の結果、レンズの後方（焦点 \(F\) より外側）に倒立実像ができます。これはカメラや眼の網膜に像を結ぶ原理と同じです。

問(b)

思考の道筋とポイント
凸レンズの前方、焦点 \(F’\) よりも内側（レンズに近い位置）に物体があります。この場合、光線はレンズの後方で広がってしまい交わりません。観察者から見ると、光線がレンズの前方から出ているように見えるため、正立虚像ができます。これを虫眼鏡（ルーペ）の原理といいます。
この設問における重要なポイント

• レンズの種類: 凸レンズ。
• 物体の位置: 焦点 \(F’\) の内側。
• 作図の工夫: 屈折後の光線を逆方向に延長して交点を見つける。

具体的な解説と立式
点A’から出る以下の2本の光線を作図します。

1. 光軸に平行な光線: レンズで屈折した後、後方の焦点 \(F\) を通るように進みます。
2. レンズの中心を通る光線: そのまま直進させます。

この2本の光線はレンズの後方で広がっていくため、交わりません。そこで、屈折後の光線を点線でレンズの前方（物体側）へ延長します。
延長線が交わる点が、像の先端となります。交点から光軸に垂線を下ろし、矢印を描きます。

計算は不要で、作図のみです。

虫眼鏡で物を拡大して見るときの状況です。物体をレンズに近づけすぎると、光は集まらずに広がってしまいます。でも、その広がった光を逆向きにたどっていくと、元の物体よりも後ろのほうで交わります。そこにあたかも大きな物体があるかのように見えます。これが虚像です。

作図の結果、物体の後方（レンズから見て遠い側）に、物体よりも大きな正立虚像ができます。

問(c)

思考の道筋とポイント
凹レンズの場合、物体の位置に関わらず、常に正立虚像ができます。光軸に平行な光線が「焦点から出てきたように」広がる性質を利用します。
この設問における重要なポイント

• レンズの種類: 凹レンズ。
• 光線の進み方: 平行光線は発散する（前方の焦点 \(F’\) から出たように進む）。
• 作図の工夫: 屈折後の光線を逆方向に延長する。

具体的な解説と立式
点A’から出る以下の2本の光線を作図します。

1. 光軸に平行な光線: レンズで屈折した後、前方の焦点 \(F’\) から出たかのように広がって進みます。作図上は、点線で \(F’\) とレンズ上の入射点を結び、その延長線を描きます。
2. レンズの中心を通る光線: そのまま直進させます。

（3本目として、後方の焦点 \(F\) に向かう光線を描き、屈折後に光軸と平行に進ませ、それを逆延長しても構いません。）
1の光線の延長線（点線）と、2の光線が交わる点が、像の先端となります。

計算は不要で、作図のみです。

凹レンズは光を広げるレンズです。「まっすぐ来た光は、手前の焦点からビームが出たみたいに広がる」というルールで描きます。中心を通る線と交わるところを探すと、必ず物体よりも小さくて、レンズに近い場所に像ができます。これはドアののぞき穴（ドアスコープ）などで使われる原理です。

作図の結果、物体とレンズの間に、物体よりも小さな正立虚像ができます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• レンズの作図ルール（3本の代表光線）
  • 核心: どのような複雑な物体からの光も、以下の3つの基本ルールに従って進みます。これらを作図することで、計算せずとも像の位置や大きさを特定できます。
    1. 平行光線: 光軸に平行に入射した光は、屈折後に焦点を通る（凹レンズの場合は焦点から出たように進む）。
    2. 中心光線: レンズの中心（光学的中心）を通る光は、直進する。
    3. 焦点光線: 焦点を通って（凹レンズの場合は焦点に向かって）入射した光は、屈折後に光軸に平行に進む。
  • 理解のポイント:
    • 2本で十分: 像の位置を決めるには、これら3本のうち任意の2本の交点を見つければ十分です。通常は「平行光線」と「中心光線」が描きやすく、ミスが少ないです。
• 実像と虚像の幾何学的意味
  • 核心: 「光線が実際に交わる」か「延長線が交わる」かが決定的な違いです。
  • 理解のポイント:
    • 実像: レンズを通過した光が一点に集まる場所。スクリーンを置けば像が映ります。倒立します。
    • 虚像: レンズを通過した光が広がってしまい、逆方向にたどると一点から出ているように見える場所。スクリーンには映りませんが、肉眼で覗くと見えます。正立します。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 組み合わせレンズ: 2枚のレンズがある場合、1枚目の像を作図し、それを2枚目のレンズにとっての「物体」として再度作図します。1枚目の実像が2枚目の焦点の内側にできると、最終的に虚像になるなど、ステップごとの追跡が必要です。
  • 球面鏡（凹面鏡・凸面鏡）: レンズと全く同じ3本のルール（平行\(\to\)焦点、中心\(\to\)反射角等しい、焦点\(\to\)平行）で作図できます。ただし、光が戻ってくる点に注意が必要です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. レンズの種類を確認する: 矢印の形（\(\updownarrow\) なら凸、\(\leftrightarrow\) のような形なら凹）や断面図を見て、凸レンズか凹レンズかを即座に判断します。
  2. 焦点の位置をマークする: \(F\) と \(F’\) がどこにあるかを確認します。特に凹レンズでは、平行光線が「手前の焦点 \(F’\)」から出るように広がるため、どちらの焦点を使うかが重要です。
  3. 物体の位置を確認する: 焦点距離 \(f\) に対して、物体が \(2f\) より遠いか、\(f\) と \(2f\) の間か、\(f\) より近いかを見極めます。これにより、像が拡大されるか縮小されるか、実像か虚像かの予測がつきます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 凹レンズの焦点の取り違え:
  • 誤解: 平行光線を屈折させた後、誤って「後方の焦点 \(F\)」に通してしまう（凸レンズと同じにしてしまう）。
  • 対策: 凹レンズは「光を広げるレンズ」です。光が内側に集まったらおかしいと気づきましょう。「手前の焦点 \(F’\) からビームが出る」イメージを持ちます。
• 虚像の作図忘れ:
  • 誤解: 光線が交わらない（広がっていく）のを見て、「像はできない」と答えてしまう。
  • 対策: 光線が広がってしまったら、即座に定規を当てて「逆方向に点線で延長」します。必ずどこかで交わります。
• 矢印の向き:
  • 誤解: 像の位置は合っているのに、矢印の向き（上下）を書き忘れたり間違えたりする。
  • 対策: 交点は「矢印の先端」です。そこから光軸に向かって垂線を下ろすので、光軸より下なら下向き矢印、上なら上向き矢印になります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 作図法の選択:
  • 選定理由: 問題文で「作図せよ」と指示されている場合はもちろんですが、計算問題であっても、像の大まかな位置や種類（倒立・正立）を直感的に把握するために最強のツールです。
  • 適用根拠: 幾何光学の基本原理（スネルの法則の近似）に基づいているため、近軸光線（光軸に近い光）である限り常に正しい結果を与えます。
• レンズの公式（別解）の選択:
  • 選定理由: 作図が正しいかどうかの検算や、具体的な数値（倍率など）を知りたい場合に有効です。
  • 適用根拠: 作図と数式は表裏一体の関係にあり、\(a, b, f\) の符号や大小関係が、図上の位置関係と完全にリンクしているためです。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 定規を使う習慣:
  • フリーハンドで描くと、光線が曲がって交点の位置が大きくずれることがあります。特に「平行」や「中心を通る直線」は定規で正確に引く練習をしましょう。
• 典型パターンの暗記:
  • 凸レンズ:
    • \(2f\) より遠い \(\to\) \(f\) と \(2f\) の間に倒立縮小実像
    • \(2f\) の位置 \(\to\) \(2f\) の位置に倒立等大実像
    • \(f\) と \(2f\) の間 \(\to\) \(2f\) より遠くに倒立拡大実像
    • \(f\) より近い \(\to\) 後方に正立拡大虚像
  • 凹レンズ:
    • 常に正立縮小虚像
  • これらを覚えておけば、作図した瞬間に「あ、変だぞ」と気づけます。

401 凸レンズの実像

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「凸レンズによる実像の向き」です。凸レンズによってスクリーン上にできる実像が、元の物体に対してどのような向き（倒立）になるかを理解することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

凸レンズの実像

思考の道筋とポイント
まず、凸レンズによってスクリーンに像ができていることから、これは「実像」であることを確認します。凸レンズの実像は必ず「倒立」します。
次に、「倒立」が具体的にどういうことかを考えます。単に上下がひっくり返るだけでなく、左右もひっくり返ります。つまり、原点を中心とした点対称な変換が行われます。
光源の矢印は \(x\) 軸正方向（右）と \(y\) 軸正方向（上）を向いています。これが点対称に移動するとどうなるかをイメージします。
この設問における重要なポイント

• スクリーンに像ができる \(\Rightarrow\) 実像である。
• 凸レンズの実像 \(\Rightarrow\) 倒立像（上下左右が逆）である。
• 光源の矢印の向き: \(x\) 軸正（右）、\(y\) 軸正（上）。
• 倒立像の矢印の向き: \(x\) 軸負（左）、\(y\) 軸負（下）。

具体的な解説と立式
物体（光源）は凸レンズの焦点の外側に置かれています。このとき、レンズの後方に置かれたスクリーン上には実像が結ばれます。
凸レンズによる実像は、物体に対して倒立の関係にあります。
「倒立」とは、上下が逆になるだけでなく、左右も逆になることを意味します。
光源の矢印は、

• \(x\) 軸の正の向き（右向き）
• \(y\) 軸の正の向き（上向き）

を向いています。
したがって、スクリーン上の像の矢印は、

• \(x\) 軸の負の向き（左向き）
• \(y\) 軸の負の向き（下向き）

を向くことになります。
これに該当する図は③です。

計算は不要で、定性的な判断のみです。

凸レンズを通してスクリーンに映る像は、カメラや映画館のスクリーンと同じで、元の景色がひっくり返って映ります。
「ひっくり返る」というのは、上が下になるだけでなく、右が左になります。
元の矢印は「右」と「上」を向いているので、ひっくり返った像は「左」と「下」を向くことになります。
だから、左と下を向いている矢印が描かれている③が正解です。

正解は③です。
①は左右が逆転しているが上下はそのまま、②は上下が逆転しているが左右はそのまま、④は上下左右ともそのまま（正立）です。倒立実像の性質（上下左右逆転）を満たすのは③のみです。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 凸レンズによる実像の性質
  • 核心: 凸レンズによってスクリーン上に結ばれる実像は、必ず「倒立像」になります。これは、レンズの中心を通る光線が直進することから幾何学的に必然です。
  • 理解のポイント:
    • 点対称性: 「倒立」とは、単に上下が逆になるだけでなく、レンズの中心（光軸）を原点とした点対称な変換（180度回転）を意味します。したがって、上下だけでなく左右も逆転します。
    • 実像の条件: 物体が焦点の外側にあるときのみ実像ができます。焦点の内側にあるときは正立虚像となり、スクリーンには映りません。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 顕微鏡や望遠鏡の像: 対物レンズでできた倒立実像を、接眼レンズ（ルーペ）で拡大して見る仕組みです。最終的に目に見える像が倒立か正立かを追跡する際に、この「倒立＝点対称」の理解が役立ちます。
  • ピンホールカメラ: レンズを使わず小さな穴を通す場合も、光が直進するため倒立実像ができます。原理は凸レンズの中心を通る光線と同じです。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 像の種類を特定する: 「スクリーンに映る」というキーワードがあれば、それは間違いなく実像です。凸レンズの実像なら倒立、凹面鏡の実像も倒立です。
  2. 座標軸の向きを確認する: 問題によっては、スクリーン上の座標軸の取り方が特殊な場合があります（例：レンズ側から見て右を正とするか、スクリーン裏から見て右を正とするか）。本問では「観測者がレンズ側からスクリーンを見る」と視点が指定されているので、それに従います。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 「上下逆」だけで判断してしまう:
  • 誤解: 「倒立」と聞いて、上下だけひっくり返して左右はそのままにしてしまう（鏡に映った像と混同する）。
  • 対策: 「倒立＝180度回転」と覚えましょう。紙に矢印を描いて、それをくるっと180度回してみると、上下も左右も逆になることが体感できます。
• 視点の混乱:
  • 誤解: スクリーンを「裏から透かして見る」のか「表（レンズ側）から見る」のかで左右が逆転するため、混乱する。
  • 対策: 問題文の指示「レンズ側からスクリーンを見る」を絶対視します。これは、自分がレンズの位置に立って、スクリーン上の絵を見ている状況です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 定性的な判断（倒立の性質）の選択:
  • 選定理由: 具体的な数値（焦点距離や物体の位置）が与えられておらず、選択肢を選ぶ形式であるため、計算よりも性質の理解を問う問題だからです。
  • 適用根拠: 「凸レンズの実像は倒立」という事実は、幾何光学の基本原理として確立されており、これだけで正解を導くのに十分です。
• 倍率の公式 \(m = -b/a\) （別解）の選択:
  • 選定理由: 「倒立」の意味を数学的に厳密に確認したい場合や、像の大きさまで問われる場合に有効です。
  • 適用根拠: 負の倍率は座標の反転（\(x \to -x, y \to -y\)）を意味するため、上下左右の逆転を数式で表現できます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 作図による確認:
  • 計算や知識だけでなく、簡単な図を描いて確認する癖をつけましょう。矢印の先端からレンズの中心を通る直線を引けば、像が反対側（下・左）に行くことが一目瞭然です。

402 凸レンズ

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「凸レンズによる結像」です。レンズの公式を用いて像の位置や大きさを定量的に求めるとともに、レンズの一部を遮蔽したときの影響について定性的に理解することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
まず、問題文から与えられた値を整理します。凸レンズなので焦点距離 \(f\) は正の値です。物体はレンズの前方にあるので \(a\) も正です。これらをレンズの公式に代入して像の位置 \(b\) を求めます。\(b\) の符号が正ならレンズの後方に実像ができ、負なら前方に虚像ができます。また、倍率 \(m\) を計算して像の大きさを求めます。実像なら倒立、虚像なら正立であることも思い出しましょう。
この設問における重要なポイント

• 焦点距離 \(f = 20\,\text{cm}\) （凸レンズなので正）。
• 物体距離 \(a = 30\,\text{cm}\)。
• 物体の大きさ \(H = 4.0\,\text{cm}\)。
• レンズの公式 \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}\) を用いる。
• 倍率 \(m = \left| \frac{b}{a} \right|\)。

具体的な解説と立式
レンズの公式に値を代入します。像までの距離を \(b\) とします。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{30} + \frac{1}{b} &= \frac{1}{20} \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
倍率 \(m\) の式は以下の通りです。
$$
\begin{aligned}
m &= \left| \frac{b}{30} \right| \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$

式①より \(b\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{b} &= \frac{1}{20} – \frac{1}{30} \\[2.0ex] &= \frac{3}{60} – \frac{2}{60} \\[2.0ex] &= \frac{1}{60}
\end{aligned}
$$
よって、
$$
\begin{aligned}
b &= 60\,\text{cm}
\end{aligned}
$$
\(b > 0\) なので、像はレンズの後方 \(60\,\text{cm}\) の位置にできます。また、凸レンズで \(b > 0\) なので実像であり、実像は必ず倒立します。

次に、式②より倍率 \(m\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
m &= \left| \frac{60}{30} \right| \\[2.0ex] &= 2.0
\end{aligned}
$$
像の大きさ \(H’\) は、
$$
\begin{aligned}
H’ &= 4.0 \times 2.0 \\[2.0ex] &= 8.0\,\text{cm}
\end{aligned}
$$

焦点距離20cmのレンズに対して、30cmのところに物体を置きました。これは焦点（20cm）よりも遠い場所なので、レンズの反対側に「実像」ができます。計算すると、レンズから60cm離れた場所に光が集まることがわかります。距離が2倍（30cm \(\to\) 60cm）になったので、像の大きさも2倍（4cm \(\to\) 8cm）に拡大されます。実像なので、上下逆さま（倒立）になります。

物体が焦点距離の2倍（\(2f = 40\,\text{cm}\)）より内側（\(f < a < 2f\)）にあるため、像は \(2f\) より遠く（\(b > 2f\)）に拡大されてできるはずです。計算結果（\(b=60 > 40\)、倍率2倍）はこの性質と一致しています。

問(2)

思考の道筋とポイント
「レンズの上半分を覆う」という操作が、結像にどのような影響を与えるかを考えます。
よくある誤解は「像の上半分が消える」というものですが、これは間違いです。
物体の一点から出た光は、レンズのあらゆる部分（上半分も下半分も）を通って、像の一点に集まります。
したがって、上半分を塞いでも、下半分を通る光は依然として同じ場所に集まり、完全な像を作ります。
ただし、集まる光の総量が減るため、像の明るさは変化します。
この設問における重要なポイント

• 物体の一点から出た光は、レンズ全体に広がって進む。
• レンズのどの部分を通った光も、同じ像点に収束する。
• 遮蔽板は光の「経路の一部」を遮るだけで、「像の一部」を削るわけではない。
• 通過する光量が減ると、像は暗くなる。

具体的な解説と立式
物体上の任意の一点から出た光は、放射状に広がり、レンズの全面に入射します。
レンズを通過した光はすべて屈折して、像面上の対応する一点に集まります。
レンズの上半分を紙で覆うと、上半分を通るはずだった光線は遮られますが、下半分を通る光線はそのまま通過し、これまでと同じ位置に集まります。
したがって、像の形や位置は変わりません（像が欠けることはありません）。
しかし、像を作るために集まる光の量が半分（面積比で概算）になるため、像全体が暗くなります。

計算は不要で、定性的な考察のみです。

レンズは、たくさんの光の道筋を束ねて一点に集める装置です。上半分を隠しても、下半分を通る道筋は生きているので、光はちゃんと元の場所に集まります。だから、像の形は変わりません。でも、集まる光の量が減ってしまうので、出来上がった像は少し暗くなってしまいます。

像の形や位置は変わらず、明るさだけが暗くなります。これはカメラの絞りを絞った状態と同じ原理です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• レンズの公式と倍率の公式
  • 核心: 凸レンズによる結像現象は、物体距離 \(a\)、像距離 \(b\)、焦点距離 \(f\) の間に成り立つ \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}\) という関係式で記述されます。また、像の大きさは倍率 \(m = |\frac{b}{a}|\) で決まります。
  • 理解のポイント:
    • 符号の規則: 凸レンズでは \(f > 0\)、実像（レンズの後方）では \(b > 0\)、虚像（レンズの前方）では \(b < 0\) となります。この符号が像の種類（実像・虚像、倒立・正立）を決定します。
    • 物理的意味: この公式は、光線がレンズによって屈折し、一点に収束する（または一点から発散するように見える）幾何学的な性質を集約したものです。
• 結像の原理（光の集まり方）
  • 核心: 物体の一点から出た光は、レンズの全領域を通って像の一点に集まります。特定の経路（例えば上半分）だけが特定の像部分（例えば下半分）を作っているわけではありません。
  • 理解のポイント:
    • 全体性: レンズのどの部分を切り取っても、そこを通る光だけで完全な像を結ぶことができます。ただし、光量が減るため像は暗くなります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 絞りの効果: カメラの絞りを小さくすると、レンズの有効面積が減り、像は暗くなりますが、被写界深度（ピントが合う範囲）が深くなるという効果もあります。本問の(2)は絞りの原理そのものです。
  • レンズの一部欠損: レンズが割れていたり、汚れがついていたりしても、像の形自体は欠けません。全体的にぼやけたり暗くなったりするだけです。
  • 組み合わせレンズ: 2枚のレンズがある場合、1枚目の像を2枚目の物体として扱います。このとき、1枚目の像が実像か虚像かによって、2枚目の物体距離 \(a\) の扱いが変わります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. \(a\) と \(f\) の大小関係を見る: \(a > 2f\) なら縮小実像、\(a = 2f\) なら等大実像、\(f < a < 2f\) なら拡大実像、\(a < f\) なら拡大虚像です。計算前に予測を立てることでミスを防げます。
  2. 単位を確認する: 全て \(\text{cm}\) で統一されているか確認します。ジオプトリー（\(D = 1/f[\text{m}]\)) が絡む場合は \(\text{m}\) への換算が必要です。
  3. 「覆う」「隠す」という言葉に反応する: これは「像が欠けるか？」というひっかけ問題の合図です。「欠けない、暗くなるだけ」と即答できるようにしておきましょう。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 像が欠けるという誤解:
  • 誤解: レンズの上半分を隠すと、像の下半分（倒立像なので）が消えると考えてしまう。
  • 対策: 「物体の一点から出た光は、レンズ全体に広がって進む」という図をイメージしましょう。上半分がダメでも下半分を通って同じゴール（像点）にたどり着けます。
• 倍率の計算ミス:
  • 誤解: 倍率 \(m\) を \(a/b\) と逆にしてしまう。
  • 対策: \(m = b/a\) です。「像の距離 \(b\) が遠いほど、像は大きく広がる（プロジェクターの原理）」とイメージして、\(b\) が分子に来ることを覚えましょう。
• ニュートンの公式の適用ミス:
  • 誤解: \(x\) や \(x’\) をレンズ中心からの距離だと思ってしまう。
  • 対策: ニュートンの公式 \(xx’ = f^2\) における \(x, x’\) は「焦点からの距離」です。必ず図を描いて、焦点 \(F, F’\) を基準に距離を測る癖をつけましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• レンズの公式 \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}\) の選択:
  • 選定理由: 物体距離 \(a\) と焦点距離 \(f\) が与えられており、像距離 \(b\) を求める最も標準的な問題だからです。
  • 適用根拠: 近軸光線近似が成り立つ範囲での幾何光学の基本法則です。
• ニュートンの公式 \(xx’ = f^2\) （別解）の選択:
  • 選定理由: \(a\) と \(f\) の差（\(x = a – f\)）が暗算で簡単に求まる場合（\(30-20=10\) など）、分数の計算を避けて掛け算だけで解けるため、計算ミスを減らせます。
  • 適用根拠: レンズの公式を座標変換したものであり、物理的に等価です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 通分の工夫:
  • \(\frac{1}{20} – \frac{1}{30}\) の計算では、分母を単に掛けた \(600\) ではなく、最小公倍数 \(60\) を使うと計算が楽になります。\(3/60 – 2/60 = 1/60\) となり、暗算でも解けます。
• 符号の確認:
  • 計算結果の \(b\) が正になったら「実像・倒立」、負になったら「虚像・正立」と、必ず物理的な意味とセットで確認します。もし \(a > f\) なのに \(b < 0\) になったら計算ミスです。

403 凹レンズ

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「凹レンズによる結像」です。レンズの公式を用いて像の位置や大きさを定量的に求め、像の種類（実像・虚像、正立・倒立）を判定することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

凹レンズ

思考の道筋とポイント
まず、問題文から与えられた値を整理します。凹レンズなので焦点距離 \(f\) は負の値（\(-60\,\text{cm}\)）として扱います。物体はレンズの前方にあるので \(a\) は正（\(20\,\text{cm}\)）です。これらをレンズの公式に代入して像の位置 \(b\) を求めます。凹レンズの場合、必ず \(b < 0\) となり、レンズの前方に虚像ができるはずです。また、倍率 \(m\) を計算して像の大きさを求めます。虚像は必ず正立します。
この設問における重要なポイント

• 焦点距離 \(f = -60\,\text{cm}\) （凹レンズなので負）。
• 物体距離 \(a = 20\,\text{cm}\)。
• 物体の大きさ \(H = 6.0\,\text{cm}\)。
• レンズの公式 \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}\) を用いる。
• 倍率 \(m = \left| \frac{b}{a} \right|\)。

具体的な解説と立式
レンズの公式に値を代入します。像までの距離を \(b\) とします。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{20} + \frac{1}{b} &= -\frac{1}{60} \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
倍率 \(m\) の式は以下の通りです。
$$
\begin{aligned}
m &= \left| \frac{b}{20} \right| \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$

式①より \(b\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{b} &= -\frac{1}{60} – \frac{1}{20} \\[2.0ex] &= -\frac{1}{60} – \frac{3}{60} \\[2.0ex] &= -\frac{4}{60} \\[2.0ex] &= -\frac{1}{15}
\end{aligned}
$$
よって、
$$
\begin{aligned}
b &= -15\,\text{cm}
\end{aligned}
$$
\(b < 0\) なので、像はレンズの前方 \(15\,\text{cm}\) の位置にできます。また、\(b < 0\) なので虚像であり、虚像は必ず正立します。

次に、式②より倍率 \(m\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
m &= \left| \frac{-15}{20} \right| \\[2.0ex] &= \frac{3}{4} \\[2.0ex] &= 0.75
\end{aligned}
$$
像の大きさ \(H’\) は、
$$
\begin{aligned}
H’ &= 6.0 \times 0.75 \\[2.0ex] &= 4.5\,\text{cm}
\end{aligned}
$$

焦点距離60cmの凹レンズに対して、20cmのところに物体を置きました。凹レンズは光を広げる性質があるので、光が集まることはなく、レンズの手前（物体と同じ側）に「虚像」ができます。計算すると、レンズから15cm離れた場所に像が見えることがわかります。距離が近くなった分（20cm \(\to\) 15cm）、像の大きさも小さくなり（6cm \(\to\) 4.5cm）、縮小されます。虚像なので、上下の向きはそのまま（正立）です。

凹レンズでは常に物体よりも小さく、レンズに近い位置に正立虚像ができるという性質があります。計算結果（\(|b|=15 < 20\)、倍率 \(0.75 < 1\)）はこの性質と一致しています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 凹レンズの結像特性
  • 核心: 凹レンズは光を発散させる性質を持ち、物体がどこにあっても常に「正立・縮小・虚像」を作ります。この普遍的な性質を理解しているかどうかが問われます。
  • 理解のポイント:
    • 符号の規則: 凹レンズの焦点距離 \(f\) は必ず負の値として扱います。これにより、レンズの公式 \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}\) において、\(a > 0\) ならば必ず \(b < 0\) （虚像）となることが数学的に保証されます。
    • 虚像の位置: 像は必ず物体と同じ側（レンズの前方）にでき、かつ焦点の内側（\(|b| < |f|\)）に位置します。
• 倍率の公式と像の大きさ
  • 核心: 像の大きさは倍率 \(m = |\frac{b}{a}|\) で決まります。凹レンズでは常に \(|b| < a\) となるため、倍率は必ず1より小さく（\(m < 1\)）、像は縮小されます。
  • 理解のポイント:
    • 縮小の理由: 光が発散するため、見かけ上の光の出所（虚像）は、実際の物体よりもレンズに近くなります。視角の関係から、近くにあるのに小さく見える＝縮小されている、と理解できます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 凸面鏡: 凹レンズと同様に光を発散させる光学素子です。焦点距離を負として扱う点、常に正立縮小虚像を作る点など、数式上の扱いは凹レンズと完全に同じです。
  • 眼鏡（近視補正）: 近視の眼は焦点距離が短くなっているため、凹レンズを用いて光を発散させ、網膜上に正しく像を結ばせます。このとき、遠くの物体（\(a \to \infty\)）の虚像を、眼の遠点（明視できる最遠点）に作るように計算します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. レンズの種類を特定する: 「凹レンズ」という言葉を見たら、即座に \(f < 0\) とメモします。
  2. 像の性質を予測する: 凹レンズなら計算する前から「正立・縮小・虚像」で確定です。もし計算結果が実像（\(b > 0\)）や拡大像（\(m > 1\)）になったら、計算ミスを疑う強力な根拠になります。
  3. 単位を確認する: 全て \(\text{cm}\) で統一されているか確認します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 焦点距離の符号ミス:
  • 誤解: 凹レンズでも \(f > 0\) として計算してしまう。
  • 対策: 「凹レンズはネガティブ（負）」と覚えましょう。あるいは、光線が広がる図をイメージし、焦点が光の進行方向とは逆側（マイナス側）にあることを思い出します。
• 虚像の位置の表現:
  • 誤解: \(b = -15\) と出たとき、答えに「\(-15\,\text{cm}\)」と書いてしまう。
  • 対策: 物理量としての距離は正の値です。「レンズの前方 \(15\,\text{cm}\)」のように、位置（前方・後方）と大きさ（絶対値）を分けて答えるのが作法です。
• ニュートンの公式の適用ミス（凹レンズの場合）:
  • 誤解: 凸レンズと同じ感覚で \(x = a – f\) としてしまう。
  • 対策: 凹レンズでは焦点の位置が逆転しています。図を描いて、物体と焦点の距離 \(x\) を幾何学的に確認するのが確実です。自信がなければガウスの公式（\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}\)）を使うのが無難です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• レンズの公式 \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}\) の選択:
  • 選定理由: 物体距離 \(a\) と焦点距離 \(f\) から像距離 \(b\) を求める、最も汎用的で間違いにくい方法だからです。
  • 適用根拠: 凹レンズであることを \(f < 0\) で表現するだけで、凸レンズと全く同じ式が使えるため、統一的な理解が可能です。
• 倍率公式 \(m = |\frac{b}{a}|\) の選択:
  • 選定理由: 像の大きさを求めるには倍率が必要です。
  • 適用根拠: 幾何学的な相似比から導かれる公式であり、実像・虚像に関わらず常に成立します。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 符号付き計算の徹底:
  • \(\frac{1}{b} = -\frac{1}{60} – \frac{1}{20}\) のように、マイナスの符号を明示的に書いて計算します。暗算で符号を処理しようとするとミスのもとです。
  • 通分は慎重に: \(-\frac{1}{60} – \frac{3}{60} = -\frac{4}{60}\) と、分母を揃えてから分子を足し引きします。
• 常識的なチェック:
  • 「凹レンズで拡大像」はあり得ません。「凹レンズで実像」もあり得ません。計算結果が出たら、この物理的常識と照らし合わせるだけで、ケアレスミスの9割は防げます。

404 虫めがね

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「虫眼鏡（ルーペ）の原理」です。凸レンズの焦点の内側に物体を置いたときにできる正立虚像の性質を、幾何学的な作図と数式の両面から理解することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
図から相似な三角形を見つけ出し、辺の比の関係式を作ります。
注目すべき光線は2本です。

1. 物体PQの先端Pから光軸に平行に進み、レンズで屈折して後方焦点Fを通る光線（の逆延長線）。
2. 物体PQの先端Pからレンズの中心Oを通って直進する光線（の逆延長線）。

これらが交わる点P’が虚像の先端です。
相似な三角形の組を2つ見つけ、共通の辺（像の大きさ P’Q’）を利用して式を繋げます。
この設問における重要なポイント

• \(\triangle \text{OPQ} \sim \triangle \text{OP}’\text{Q}’\) （中心を通る光線に関連）
• \(\triangle \text{FPO}” \sim \triangle \text{FP}’\text{Q}’\) （焦点を通る光線に関連。ただしO”はレンズ上の点）
• 共通の比率 \(P’Q’/PQ\) を媒介にして式をまとめる。

具体的な解説と立式
まず、レンズの中心Oを通る光線に着目します。
\(\triangle \text{OPQ}\) と \(\triangle \text{OP}’\text{Q}’\) は相似です。
相似比より、以下の関係が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
\frac{\text{P}’\text{Q}’}{\text{PQ}} &= \frac{\text{OQ}’}{\text{OQ}} \\[2.0ex] &= \frac{b}{a} \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
次に、光軸に平行に進み、屈折後に後方焦点Fを通る光線に着目します。
レンズ上の入射点をP”とすると、\(\text{P}”\text{O} = \text{PQ}\) です。
\(\triangle \text{FP}”\text{O}\) と \(\triangle \text{FP}’\text{Q}’\) は相似です。
焦点Fから像Q’までの距離は \(f + b\) なので、相似比より以下の関係が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
\frac{\text{P}’\text{Q}’}{\text{P}”\text{O}} &= \frac{\text{FQ}’}{\text{FO}} \\[2.0ex] \frac{\text{P}’\text{Q}’}{\text{PQ}} &= \frac{f + b}{f} \\[2.0ex] &= 1 + \frac{b}{f} \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$
式①と式②より、
$$
\begin{aligned}
\frac{b}{a} &= 1 + \frac{b}{f}
\end{aligned}
$$
この式を整理して、\(1/a, 1/b, 1/f\) の形にします。

両辺を \(b\) で割ります。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{a} &= \frac{1}{b} + \frac{1}{f}
\end{aligned}
$$
\(1/b\) を左辺に移項します。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{a} – \frac{1}{b} &= \frac{1}{f}
\end{aligned}
$$

図の中に隠れている「形は同じだけど大きさが違う三角形（相似な三角形）」を2組見つけます。
1つ目は、レンズの中心を頂点とする小さな三角形と大きな三角形のペア。これで「像の大きさ」と「距離 \(b\)」の関係がわかります。
2つ目は、焦点を頂点とするペア。これで「像の大きさ」と「焦点距離 \(f\) ＋距離 \(b\)」の関係がわかります。
この2つの関係を合体させると、\(a, b, f\) だけの式が出来上がります。

関係式は \(\frac{1}{a} – \frac{1}{b} = \frac{1}{f}\) となりました。これは一般的なレンズの公式 \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b’} = \frac{1}{f}\) において、虚像の位置 \(b’\) を \(-b\) （\(b>0\)）と置き換えたものと一致しており、正しい結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
(1)で求めた式に、与えられた数値 \(f=6.0\,\text{cm}\)、\(b=24\,\text{cm}\) を代入して、物体距離 \(a\) を求めます。
その後、倍率の公式 \(m = b/a\) を用いて倍率を計算します。
「像は目から24cmの位置」とありますが、レンズを目に密着させている（直前に置いている）ので、レンズから像までの距離も \(b=24\,\text{cm}\) とみなせます。
この設問における重要なポイント

• \(f = 6.0\,\text{cm}\)。
• \(b = 24\,\text{cm}\) （明視の距離に近い値）。
• 倍率 \(m = \frac{b}{a}\)。

具体的な解説と立式
(1)の式 \(\frac{1}{a} – \frac{1}{b} = \frac{1}{f}\) に数値を代入して \(a\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{a} – \frac{1}{24} &= \frac{1}{6.0} \quad \cdots ③
\end{aligned}
$$
倍率 \(m\) は以下の式で求められます。
$$
\begin{aligned}
m &= \frac{b}{a} \quad \cdots ④
\end{aligned}
$$

式③より \(1/a\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{a} &= \frac{1}{6.0} + \frac{1}{24} \\[2.0ex] &= \frac{4}{24} + \frac{1}{24} \\[2.0ex] &= \frac{5}{24}
\end{aligned}
$$
よって、
$$
\begin{aligned}
a &= \frac{24}{5}\,\text{cm}
\end{aligned}
$$
これを式④に代入して倍率 \(m\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
m &= \frac{24}{24/5} \\[2.0ex] &= 24 \times \frac{5}{24} \\[2.0ex] &= 5.0
\end{aligned}
$$

まず、物体をどこに置けばよいか（\(a\)）を計算します。焦点距離6cmのレンズを使って、24cm先に像を作りたいので、さっき作った式に当てはめます。計算すると、物体はレンズから4.8cm（24/5 cm）のところに置けばいいとわかります。
倍率は「像の距離 \(\div\) 物体の距離」で計算できます。24cm \(\div\) 4.8cm を計算すると、ちょうど5倍になります。

倍率は \(5.0\) 倍となりました。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 凸レンズによる虚像の形成（虫眼鏡の原理）
  • 核心: 凸レンズの焦点距離 \(f\) よりも内側（\(a < f\)）に物体を置くと、レンズの前方に正立虚像ができます。この虚像は物体よりも大きく、レンズを通して見ることで拡大観察が可能になります。これが虫眼鏡の原理です。
  • 理解のポイント:
    • 虚像の位置: 虚像は物体と同じ側（レンズの前方）にできます。レンズの公式 \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b’} = \frac{1}{f}\) において、\(b’\) が負になることが虚像を意味します。
    • 明視の距離: 虫眼鏡で物体を最も大きく、かつ楽に見るためには、虚像を目から明視の距離（約25cm）の位置に作るのが一般的です。本問の \(b=24\,\text{cm}\) はこの状況を想定しています。
• 幾何光学における相似の利用
  • 核心: レンズの公式は、光線の経路が作る直角三角形の相似比から導かれます。公式を忘れても、作図と相似比から関係式を再構築できることが重要です。
  • 理解のポイント:
    • 2つの相似: 「中心を通る光線」が作る相似（倍率 \(m = b/a\) に対応）と、「焦点を通る光線」が作る相似（\(m = 1 + b/f\) に対応）の2つを組み合わせることで、レンズの公式が導かれます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 顕微鏡・望遠鏡: 複数のレンズを組み合わせる光学機器では、接眼レンズが虫眼鏡の役割を果たします。対物レンズで作った実像を、接眼レンズの焦点の内側に配置し、拡大された虚像として観察します。
  • 老眼鏡（遠視補正）: 凸レンズを使って、近くの物体の虚像を少し遠く（明視の距離より遠く）に作り、ピントを合わせやすくします。原理は虫眼鏡と同じです。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 実像か虚像かを見極める: 「スクリーンに映る」なら実像、「レンズを通して見る」なら虚像の可能性が高いです。また、\(a < f\) なら確実に虚像です。
  2. 符号の定義を確認する: レンズの公式を使う際、虚像の位置 \(b’\) を負とするか、距離 \(b\) を正として公式を変形するか（本問のパターン）を確認します。一般的には \(b’ < 0\) として標準公式を使う方が汎用性が高いです。
  3. 倍率の定義を思い出す: 倍率は \(m = |b’/a|\) です。虚像の場合も距離の比で計算できます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 符号の混乱:
  • 誤解: 虚像だからといって、焦点距離 \(f\) まで負にしてしまう（凹レンズと混同する）。
  • 対策: 凸レンズなら常に \(f > 0\) です。虚像の影響が出るのは像の位置 \(b’\) だけです。
• \(b\) の意味の取り違え:
  • 誤解: 問題文の \(b\) を座標（負の値）だと思い込み、公式にそのまま代入して \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}\) と書いてしまう。
  • 対策: 問題文に「距離 \(b\)」とあったら、それは正の値です。虚像なら座標は \(-b\) になるので、公式は \(\frac{1}{a} – \frac{1}{b} = \frac{1}{f}\) となります。
• 倍率の計算ミス:
  • 誤解: 倍率を \(a/b\) と逆にしてしまう。
  • 対策: \(m = b/a\) です。「像が遠くにできるほど大きくなる（プロジェクターの原理）」とイメージして、\(b\) が分子に来ることを覚えましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 相似比からの導出（設問1）の選択:
  • 選定理由: 問題文で「図から求めよ」と指示されているため、幾何学的なアプローチが必須です。
  • 適用根拠: 光の直進性とレンズの結像作用により、相似な三角形が形成されることは幾何光学の基礎です。
• 倍率公式 \(m = 1 + b/f\) （別解）の選択:
  • 選定理由: \(a\) を計算する手間を省き、直接倍率を求められるため、計算ミスを減らせます。
  • 適用根拠: (1)の導出過程で自然に現れる式であり、虫眼鏡の倍率を表す標準的な式として知られています。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 分数の計算:
  • \(\frac{1}{a} = \frac{1}{6} + \frac{1}{24}\) のような計算では、通分して \(\frac{4+1}{24} = \frac{5}{24}\) とし、最後に逆数を取るのを忘れないようにします。\(a = 24/5 = 4.8\) と小数に直すのも有効です。
• 単位の確認:
  • 全て \(\text{cm}\) で統一されているか確認します。もしジオプトリー（\(D\)）が絡む場合は \(\text{m}\) への換算が必要です。

405 球面鏡による像

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「球面鏡による結像の作図」です。凹面鏡と凸面鏡の基本的な性質を理解し、代表的な光線の進み方を作図することで、像の位置や種類（実像・虚像、正立・倒立）を特定する能力が問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
凹面鏡の前方、球面の中心Cよりも外側に物体があります。この場合、鏡の前方（CとFの間）に倒立実像ができるはずです。代表的な4本の光線のうち2本を選んで作図し、交点を求めます。
この設問における重要なポイント

• 鏡の種類: 凹面鏡。
• 物体の位置: 球面の中心Cの外側。
• 作図すべき光線: 平行光線、焦点を通る光線、中心を通る光線、頂点で反射する光線。

具体的な解説と立式
点A’から出る以下の2本の光線を作図します。

1. 光軸に平行な光線: 鏡面で反射した後、焦点Fを通るように直線を引きます。
2. 焦点Fを通る光線: 鏡面で反射した後、光軸に平行に進むように直線を引きます。

（3本目として、球面の中心Cを通る光線を描き、反射後に同じ経路を戻るようにしても構いません。4本目として、頂点Oで反射する光線を描き、入射角と反射角が等しくなるようにしても構いません。）
これら2本の光線が鏡の前方で交わる点が、像の先端となります。交点から光軸に垂線を下ろし、矢印を描きます。

計算は不要で、作図のみです。

凹面鏡は光を集める鏡です。遠くにある物体の光を集めて、手前に像を作ります。
「まっすぐ行って焦点へ跳ね返る線」と「焦点を通ってまっすぐ跳ね返る線」の2本を描くと、鏡の手前でぶつかります。そこが像のできる場所です。上下逆さまの像（倒立実像）になります。

作図の結果、鏡の前方（中心Cと焦点Fの間）に倒立実像ができます。

問(2)

思考の道筋とポイント
凸面鏡の場合、物体の位置に関わらず、常に鏡の後方に正立虚像ができます。光軸に平行な光線が「焦点から出てきたように」広がる性質を利用します。
この設問における重要なポイント

• 鏡の種類: 凸面鏡。
• 光線の進み方: 平行光線は発散する（後方の焦点Fから出たように進む）。
• 作図の工夫: 反射後の光線を鏡の後方へ延長する。

具体的な解説と立式
点A’から出る以下の2本の光線を作図します。

1. 光軸に平行な光線: 鏡面で反射した後、後方の焦点Fから出たかのように広がって進みます。作図上は、点線でFと鏡面上の入射点を結び、その延長線を描きます。
2. 球面の中心Cに向かう光線: 鏡面に対して垂直に入射するため、反射後は同じ経路を戻ります。この光線を鏡の後方へ点線で延長すると、中心Cを通ります。

（3本目として、焦点Fに向かう光線を描き、反射後に光軸と平行に進ませ、それを逆延長しても構いません。）
1の光線の延長線（点線）と、2の光線の延長線（点線）が交わる点が、像の先端となります。

計算は不要で、作図のみです。

凸面鏡は光を広げる鏡です。カーブミラーなどがこれにあたります。「まっすぐ来た光は、鏡の奥の焦点からビームが出たみたいに広がる」というルールで描きます。中心に向かう線と交わるところを探すと、必ず物体よりも小さくて、鏡の奥に像ができます。

作図の結果、鏡の後方（鏡面と焦点Fの間）に、物体よりも小さな正立虚像ができます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 球面鏡の作図ルール（4本の代表光線）
  • 核心: 球面鏡による結像も、レンズと同様に幾何光学の基本ルールに従います。反射の法則に基づいた以下の4本の光線のうち、2本を作図すれば像の位置が決まります。
    1. 平行光線: 光軸に平行に入射した光は、反射後に焦点を通る（凸面鏡の場合は焦点から出たように進む）。
    2. 焦点光線: 焦点を通って（凸面鏡の場合は焦点に向かって）入射した光は、反射後に光軸に平行に進む。
    3. 中心光線: 球面の中心を通る（向かう）光は、鏡面に垂直に入射するため、同じ経路を戻る。
    4. 頂点光線: 鏡の頂点に入射した光は、光軸に対して対称に反射する（入射角＝反射角）。
  • 理解のポイント:
    • レンズとの類似性: 凹面鏡は凸レンズ（収束作用）、凸面鏡は凹レンズ（発散作用）と対応しています。光が透過するか反射するかの違いはありますが、数式や作図のロジックは非常に似ています。
• 実像と虚像の幾何学的意味
  • 核心: 「反射光が実際に交わる」か「延長線が交わる」かが決定的な違いです。
  • 理解のポイント:
    • 実像: 鏡の前方で光が集まる場所。スクリーンに映ります。
    • 虚像: 鏡の後方（鏡の中）から光が出ているように見える場所。スクリーンには映りません。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 放物面鏡: 球面鏡は近軸光線（光軸に近い光）に対してのみ一点に収束しますが、放物面鏡は平行光線を厳密に一点（焦点）に集めます。パラボラアンテナや望遠鏡に使われますが、作図の基本は球面鏡と同じです。
  • 組み合わせ光学系: レンズと鏡を組み合わせた問題（反射望遠鏡など）。光が往復するため、座標軸の向きに注意が必要ですが、要素ごとに順を追って作図・計算すれば解けます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 鏡の種類を確認する: 凹面鏡（光を集める）か凸面鏡（光を広げる）かを判断します。
  2. 焦点と中心の位置をマークする: \(F\) と \(C\) がどこにあるかを確認します。\(C\) は球面の中心で、\(F\) は \(O\) と \(C\) の中点です（\(f = R/2\)）。
  3. 物体の位置を確認する: 焦点距離 \(f\) に対して、物体がどこにあるかを見極めます。凹面鏡の場合、\(f\) より内側なら拡大虚像（化粧鏡）、\(f\) と \(2f\) の間なら拡大実像、\(2f\) より外側なら縮小実像になります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 凸面鏡の焦点の取り違え:
  • 誤解: 平行光線を反射させた後、誤って「手前の焦点」に通してしまう（凹面鏡と同じにしてしまう）。
  • 対策: 凸面鏡は「光を広げる鏡」です。光が内側に集まったらおかしいと気づきましょう。「鏡の奥の焦点からビームが出る」イメージを持ちます。
• 中心の位置の誤解:
  • 誤解: 球面の中心 \(C\) と焦点 \(F\) の関係を逆にしてしまう、あるいは \(C\) を焦点だと思ってしまう。
  • 対策: \(C\) は「円の中心」なので、そこから鏡面に引いた線はすべて「半径＝法線」になります。したがって、\(C\) を通る光は垂直に入射して跳ね返ります。\(F\) はその半分の距離にある点です。
• 虚像の作図忘れ:
  • 誤解: 反射光が交わらない（広がっていく）のを見て、「像はできない」と答えてしまう。
  • 対策: 光線が広がってしまったら、即座に定規を当てて「鏡の奥へ点線で延長」します。必ずどこかで交わります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 作図法の選択:
  • 選定理由: 像の大まかな位置や種類（倒立・正立）を直感的に把握するために最強のツールです。
  • 適用根拠: 反射の法則に基づいているため、近軸光線である限り常に正しい結果を与えます。
• 球面鏡の公式（別解）の選択:
  • 選定理由: 作図が正しいかどうかの検算や、具体的な数値（倍率など）を知りたい場合に有効です。
  • 適用根拠: レンズの公式と全く同じ形 \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}\) が使えます。ただし、鏡の後方を負とする符号規則に注意が必要です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 定規を使う習慣:
  • フリーハンドで描くと、光線が曲がって交点の位置が大きくずれることがあります。特に「平行」や「中心を通る直線」は定規で正確に引く練習をしましょう。
• 典型パターンの暗記:
  • 凹面鏡:
    • \(C\) より遠い \(\to\) \(F\) と \(C\) の間に倒立縮小実像
    • \(C\) の位置 \(\to\) \(C\) の位置に倒立等大実像
    • \(F\) と \(C\) の間 \(\to\) \(C\) より遠くに倒立拡大実像
    • \(F\) より近い \(\to\) 鏡の奥に正立拡大虚像
  • 凸面鏡:
    • 常に鏡の奥に正立縮小虚像
  • これらを覚えておけば、作図した瞬間に「あ、変だぞ」と気づけます。

406 凹面鏡

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「凹面鏡による結像」です。球面鏡の公式を用いて像の位置や大きさを定量的に求めるとともに、物体の位置を変化させたときの像の振る舞いを定性的に理解することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
凹面鏡の焦点距離 \(f=10\,\text{cm}\) は正の値です。
(I)の場合、物体は焦点の外側（\(a=30 > f\)）にあるので、実像ができると予想されます。
(II)の場合、物体は焦点の内側（\(a=5.0 < f\)）にあるので、虚像ができると予想されます。
それぞれのケースについて、球面鏡の公式に値を代入して \(b\) を求め、倍率 \(m\) を計算します。
この設問における重要なポイント

• 焦点距離 \(f = 10\,\text{cm}\)。
• 物体の大きさ \(H = 6.0\,\text{cm}\)。
• (I) \(a = 30\,\text{cm}\)。
• (II) \(a = 5.0\,\text{cm}\)。
• 球面鏡の公式 \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}\) を用いる。
• 倍率 \(m = \left| \frac{b}{a} \right|\)。

具体的な解説と立式
(I) \(a = 30\,\text{cm}\) の場合
球面鏡の公式より、
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{30} + \frac{1}{b} &= \frac{1}{10} \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
(II) \(a = 5.0\,\text{cm}\) の場合
球面鏡の公式より、
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{5.0} + \frac{1}{b} &= \frac{1}{10} \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$

(I)の計算
式①より \(b\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{b} &= \frac{1}{10} – \frac{1}{30} \\[2.0ex] &= \frac{3}{30} – \frac{1}{30} \\[2.0ex] &= \frac{2}{30} \\[2.0ex] &= \frac{1}{15}
\end{aligned}
$$
よって、\(b = 15\,\text{cm}\)。
\(b > 0\) なので、像の位置は凹面鏡の前方 \(15\,\text{cm}\) です。
倍率 \(m\) は、
$$
\begin{aligned}
m &= \left| \frac{15}{30} \right| \\[2.0ex] &= 0.50
\end{aligned}
$$
像の大きさ \(H’\) は、
$$
\begin{aligned}
H’ &= 6.0 \times 0.50 \\[2.0ex] &= 3.0\,\text{cm}
\end{aligned}
$$

(II)の計算
式②より \(b\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{b} &= \frac{1}{10} – \frac{1}{5.0} \\[2.0ex] &= \frac{1}{10} – \frac{2}{10} \\[2.0ex] &= -\frac{1}{10}
\end{aligned}
$$
よって、\(b = -10\,\text{cm}\)。
\(b < 0\) なので、像の位置は凹面鏡の後方 \(10\,\text{cm}\) です。
倍率 \(m\) は、
$$
\begin{aligned}
m &= \left| \frac{-10}{5.0} \right| \\[2.0ex] &= 2.0
\end{aligned}
$$
像の大きさ \(H’\) は、
$$
\begin{aligned}
H’ &= 6.0 \times 2.0 \\[2.0ex] &= 12\,\text{cm}
\end{aligned}
$$

(I)では、焦点距離10cmの鏡に対して30cmのところに物体を置きました。焦点より遠いので、鏡の手前に実像ができます。計算すると、鏡から15cmの場所に、半分の大きさ（3.0cm）の像ができることがわかります。
(II)では、5.0cmのところに物体を置きました。これは焦点（10cm）より近いので、鏡の奥に虚像ができます。計算すると、鏡の奥10cmの場所に、2倍の大きさ（12cm）の像ができることがわかります。

(I)は \(a > 2f\) なので \(f < b < 2f\) かつ縮小像、(II)は \(a < f\) なので拡大虚像となるはずであり、計算結果はこれと一致しています。

問(2)

思考の道筋とポイント
(1)で求めた像の位置 \(b\) の符号と、倍率 \(m\) の意味から判断します。
\(b > 0\) なら実像（倒立）、\(b < 0\) なら虚像（正立）です。
この設問における重要なポイント

• (I) \(b = 15 > 0\) \(\Rightarrow\) 実像、倒立。
• (II) \(b = -10 < 0\) \(\Rightarrow\) 虚像、正立。

具体的な解説と立式
(I)では \(b > 0\) なので、光線が実際に交わってできる実像です。実像は必ず倒立します。
(II)では \(b < 0\) なので、光線の延長線が交わってできる虚像です。虚像は必ず正立します。

計算は不要です。

鏡の手前にできる像は、スクリーンに映る「実像」で、逆さまになります。鏡の奥に見える像は、鏡の中にあるように見える「虚像」で、向きはそのままです。

(I) 実像、倒立
(II) 虚像、正立

問(3)

思考の道筋とポイント
物体を鏡に近づけるということは、\(a\) を小さくすることを意味します。
このとき、像の位置 \(b\) と倍率 \(m\) がどう変化するかを考えます。
(I)では \(a > f\) の範囲で \(a\) が減少、(II)では \(a < f\) の範囲で \(a\) が減少します。
作図で考えるのが直感的ですが、数式の性質からも判断できます。
この設問における重要なポイント

• (I) \(a\) が減少すると、\(1/a\) は増加。\(1/b = 1/f – 1/a\) は減少するので、\(b\) は増加（遠ざかる）。倍率 \(m = b/a\) は、分子が増加し分母が減少するので増加（大きくなる）。
• (II) \(a\) が減少すると、\(1/a\) は増加。\(1/b = 1/f – 1/a\) は負の値として絶対値が増加（より小さくなる）。つまり \(b\) は \(0\) に近づく。倍率 \(m = |b/a|\) は減少（小さくなる）。

具体的な解説と立式
(I)の場合
物体を鏡に近づけると、\(a\) が小さくなります。
レンズの公式 \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}\) において、\(1/a\) が大きくなるため、一定値 \(1/f\) を保つには \(1/b\) が小さくなる必要があります。つまり \(b\) は大きくなります（像は遠ざかる）。
倍率 \(m = \frac{b}{a}\) は、分子 \(b\) が大きくなり、分母 \(a\) が小さくなるため、全体として大きくなります。

(II)の場合
物体を鏡に近づけると、\(a\) が小さくなります。
虚像の場合、\(b\) は負の値です。\(a\) が \(0\) に近づくにつれて、像も鏡面（\(b=0\)）に近づいていきます（平面鏡に近づく極限を考えるとわかりやすいです）。
倍率 \(m = \left| \frac{b}{a} \right|\) について、物体が鏡面に接するとき（\(a \to 0\)）、像も鏡面に接し（\(b \to 0\)）、倍率は \(1\) に近づきます。現在の倍率は \(2.0\) なので、そこから \(1\) に向かって小さくなります。

計算は不要で、定性的な考察のみです。

(I) 実像の場合、物体を焦点に近づけていくと、像はどんどん遠くへ逃げていき、大きさは巨大になっていきます。
(II) 虚像の場合、物体を鏡にペタッとくっつけると、鏡の中の像もペタッとくっついて、大きさは実物と同じ（等倍）になります。今は2倍に拡大されている状態なので、そこから鏡に近づけると、像は小さくなって等倍に近づいていきます。

(I) 大きくなる
(II) 小さくなる

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 凹面鏡の結像特性
  • 核心: 凹面鏡は凸レンズと同じく「光を集める」性質を持ちます。そのため、結像のパターン（実像・虚像の条件）や公式の形は凸レンズと完全に一致します。
  • 理解のポイント:
    • 焦点距離の符号: 凹面鏡は \(f > 0\) です（凸面鏡は \(f < 0\)）。
    • 像の分類:
      • \(a > f\) （焦点の外側） \(\Rightarrow\) 倒立実像（鏡の前方）
      • \(a < f\) （焦点の内側） \(\Rightarrow\) 正立虚像（鏡の後方）
      • \(a = f\) （焦点上） \(\Rightarrow\) 像はできない（無限遠）
• 像の移動と倍率の変化
  • 核心: 物体を動かしたとき、像がどちらに動き、大きさがどう変わるかは、レンズの公式のグラフ（双曲線）の性質から理解できます。
  • 理解のポイント:
    • 焦点への接近: 物体が焦点に近づくほど、像は無限遠へ逃げようとし、倍率は無限大に発散します。
    • 鏡面への接近: 物体が鏡面に近づくほど、像も鏡面に近づき、倍率は \(1\)（等倍）に収束します。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 凸レンズの問題: 凹面鏡の問題は、そのまま凸レンズの問題に置き換え可能です。「鏡の前方」を「レンズの後方」、「鏡の後方」を「レンズの前方」と読み替えるだけで、全く同じ解法が通用します。
  • 自動車のヘッドライト: 光源を焦点に置くと、反射光が平行光線になる性質を利用しています。これは \(a=f\) の逆過程です。
  • 化粧鏡・歯科用ミラー: 凹面鏡の拡大虚像（\(a < f\)）を利用して、顔や歯を大きく映しています。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 鏡の種類と焦点距離の符号を確認する: 凹面鏡なら \(f > 0\)、凸面鏡なら \(f < 0\) です。
  2. 物体の位置と焦点の位置関係をチェックする: \(a\) と \(f\) の大小関係で、実像か虚像かが決まります。計算前に予測を立てましょう。
  3. 変化の方向性を問われたら極限を考える: 「近づけたとき」などの問いには、\(a \to f\) や \(a \to 0\) の極限状態を想像すると、増減の方向が直感的にわかります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 鏡の前方・後方の混同:
  • 誤解: レンズと鏡で「実像・虚像」のできる場所（前後）が逆になるため、混乱しやすい。
  • 対策: 「実像＝光が集まる場所」と覚えましょう。鏡なら反射して手前に集まるので「前方」、レンズなら通過して向こうに集まるので「後方」です。
• 倍率の変化の勘違い:
  • 誤解: 「近づければ常に大きく見える」と思い込む。
  • 対策: 虚像の場合は、鏡に近づくほど像は小さくなります（等倍に近づく）。平面鏡に顔を近づけても大きさは変わらない（倍率1のまま）ことを基準に考えると、凹面鏡の拡大効果が薄れていくイメージが持てます。
• ニュートンの公式の座標原点:
  • 誤解: \(x\) を鏡面からの距離だと思ってしまう。
  • 対策: \(x\) は「焦点からの距離」です。必ず図を描いて、焦点 \(F\) を基準に距離を測る癖をつけましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 球面鏡の公式 \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}\) の選択:
  • 選定理由: 物体距離 \(a\) と焦点距離 \(f\) から像距離 \(b\) を求める、最も標準的で汎用性の高い方法だからです。
  • 適用根拠: 近軸光線近似が成り立つ範囲での幾何光学の基本法則です。
• 倍率の関数 \(m = \frac{f}{|a-f|}\) （別解）の選択:
  • 選定理由: 像の大きさの変化（増減）を議論する際、\(a\) が分母にあるだけのシンプルな形になるため、判断ミスを防げるからです。
  • 適用根拠: レンズの公式を変形しただけなので、物理的に等価です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 通分の工夫:
  • \(\frac{1}{10} – \frac{1}{30}\) の計算では、分母を \(30\) に揃えて \(\frac{3-1}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}\) とするのが定石です。
• 符号の確認:
  • 計算結果の \(b\) が正なら実像、負なら虚像。これが事前の予測（\(a\) と \(f\) の大小関係）と一致しているか必ず確認します。もし \(a < f\) なのに \(b > 0\) になったら計算ミスです。

407 凸面鏡

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「凸面鏡による結像」です。球面鏡の公式を用いて像の位置や大きさを定量的に求め、像の種類（実像・虚像、正立・倒立）を判定することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
まず、問題文から与えられた値を整理します。凸面鏡なので焦点距離 \(f\) は負の値（\(-20\,\text{cm}\)）として扱います。物体は鏡の前方にあるので \(a\) は正（\(60\,\text{cm}\)）です。これらを球面鏡の公式に代入して像の位置 \(b\) を求めます。凸面鏡の場合、必ず \(b < 0\) となり、鏡の後方に虚像ができるはずです。また、倍率 \(m\) を計算して像の大きさを求めます。
この設問における重要なポイント

• 焦点距離 \(f = -20\,\text{cm}\) （凸面鏡なので負）。
• 物体距離 \(a = 60\,\text{cm}\)。
• 物体の大きさ \(H = 8.0\,\text{cm}\)。
• 球面鏡の公式 \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}\) を用いる。
• 倍率 \(m = \left| \frac{b}{a} \right|\)。

具体的な解説と立式
球面鏡の公式に値を代入します。像までの距離を \(b\) とします。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{60} + \frac{1}{b} &= -\frac{1}{20} \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
倍率 \(m\) の式は以下の通りです。
$$
\begin{aligned}
m &= \left| \frac{b}{60} \right| \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$

式①より \(b\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{b} &= -\frac{1}{20} – \frac{1}{60} \\[2.0ex] &= -\frac{3}{60} – \frac{1}{60} \\[2.0ex] &= -\frac{4}{60} \\[2.0ex] &= -\frac{1}{15}
\end{aligned}
$$
よって、
$$
\begin{aligned}
b &= -15\,\text{cm}
\end{aligned}
$$
\(b < 0\) なので、像は鏡の後方 \(15\,\text{cm}\) の位置にできます。

次に、式②より倍率 \(m\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
m &= \left| \frac{-15}{60} \right| \\[2.0ex] &= \frac{1}{4} \\[2.0ex] &= 0.25
\end{aligned}
$$
像の大きさ \(H’\) は、
$$
\begin{aligned}
H’ &= 8.0 \times 0.25 \\[2.0ex] &= 2.0\,\text{cm}
\end{aligned}
$$

焦点距離20cmの凸面鏡に対して、60cmのところに物体を置きました。凸面鏡は光を広げる性質があるので、光が集まることはなく、鏡の奥（後方）に「虚像」ができます。計算すると、鏡の奥15cmの場所に像が見えることがわかります。距離が近くなった分（60cm \(\to\) 15cm）、像の大きさも小さくなり（8cm \(\to\) 2cm）、縮小されます。

凸面鏡では常に物体よりも小さく、鏡に近い位置（焦点の内側）に虚像ができるという性質があります。計算結果（\(|b|=15 < 20\)、倍率 \(0.25 < 1\)）はこの性質と一致しています。

問(2)

思考の道筋とポイント
(1)で求めた像の位置 \(b\) の符号と、倍率 \(m\) の意味から判断します。
\(b > 0\) なら実像（倒立）、\(b < 0\) なら虚像（正立）です。
凸面鏡は常に正立虚像を作ります。
この設問における重要なポイント

• \(b = -15 < 0\) \(\Rightarrow\) 虚像。
• 虚像は必ず正立する。

具体的な解説と立式
(1)の結果より \(b < 0\) なので、光線の延長線が交わってできる虚像です。
虚像は必ず正立します。

計算は不要です。

鏡の奥に見える像は、鏡の中にあるように見える「虚像」で、向きはそのまま（正立）です。カーブミラーに映る景色が逆さまにならないのと同じです。

虚像、正立

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 凸面鏡の結像特性
  • 核心: 凸面鏡は光を発散させる性質を持ち、物体がどこにあっても常に「正立・縮小・虚像」を作ります。この普遍的な性質を理解しているかどうかが問われます。
  • 理解のポイント:
    • 符号の規則: 凸面鏡の焦点距離 \(f\) は必ず負の値として扱います。これにより、球面鏡の公式 \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}\) において、\(a > 0\) ならば必ず \(b < 0\) （虚像）となることが数学的に保証されます。
    • 虚像の位置: 像は必ず鏡の後方（鏡の中）にでき、かつ焦点の内側（\(|b| < |f|\)）に位置します。
• 倍率の公式と像の大きさ
  • 核心: 像の大きさは倍率 \(m = |\frac{b}{a}|\) で決まります。凸面鏡では常に \(|b| < a\) となるため、倍率は必ず1より小さく（\(m < 1\)）、像は縮小されます。
  • 理解のポイント:
    • 視野の拡大: 像が縮小されるということは、同じ大きさの鏡の中に、より広い範囲の景色が映り込むことを意味します。これがカーブミラーやサイドミラーに凸面鏡が使われる理由です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 凹レンズ: 凸面鏡と同様に光を発散させる光学素子です。焦点距離を負として扱う点、常に正立縮小虚像を作る点など、数式上の扱いは凸面鏡と完全に同じです。
  • 自動車のサイドミラー: 「実際の距離より近く見えます」という注意書きがある場合がありますが、これは凸面鏡による縮小虚像が遠くにあるように錯覚されるためです（実際には虚像の位置は鏡のすぐ奥なので、距離感のズレに注意が必要です）。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 鏡の種類を特定する: 「凸面鏡」という言葉を見たら、即座に \(f < 0\) とメモします。
  2. 像の性質を予測する: 凸面鏡なら計算する前から「正立・縮小・虚像」で確定です。もし計算結果が実像（\(b > 0\)）や拡大像（\(m > 1\)）になったら、計算ミスを疑う強力な根拠になります。
  3. 単位を確認する: 全て \(\text{cm}\) で統一されているか確認します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 焦点距離の符号ミス:
  • 誤解: 凸面鏡でも \(f > 0\) として計算してしまう。
  • 対策: 「凸面鏡はネガティブ（負）」と覚えましょう。あるいは、光線が広がる図をイメージし、焦点が光の進行方向（反射方向）とは逆側（鏡の奥）にあることを思い出します。
• 虚像の位置の表現:
  • 誤解: \(b = -15\) と出たとき、答えに「\(-15\,\text{cm}\)」と書いてしまう。
  • 対策: 物理量としての距離は正の値です。「鏡の後方 \(15\,\text{cm}\)」のように、位置（前方・後方）と大きさ（絶対値）を分けて答えるのが作法です。
• ニュートンの公式の適用ミス（凸面鏡の場合）:
  • 誤解: 凹面鏡と同じ感覚で \(x = a – f\) としてしまう。
  • 対策: 凸面鏡では焦点が鏡の奥にあります。物体は鏡の手前にあるので、焦点までの距離 \(x\) は \(a + |f|\) になります。図を描いて確認するのが確実です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 球面鏡の公式 \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}\) の選択:
  • 選定理由: 物体距離 \(a\) と焦点距離 \(f\) から像距離 \(b\) を求める、最も汎用的で間違いにくい方法だからです。
  • 適用根拠: 凸面鏡であることを \(f < 0\) で表現するだけで、凹面鏡やレンズと全く同じ式が使えるため、統一的な理解が可能です。
• 倍率公式 \(m = |\frac{b}{a}|\) の選択:
  • 選定理由: 像の大きさを求めるには倍率が必要です。
  • 適用根拠: 幾何学的な相似比から導かれる公式であり、実像・虚像に関わらず常に成立します。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 符号付き計算の徹底:
  • \(\frac{1}{b} = -\frac{1}{20} – \frac{1}{60}\) のように、マイナスの符号を明示的に書いて計算します。暗算で符号を処理しようとするとミスのもとです。
  • 通分は慎重に: \(-\frac{3}{60} – \frac{1}{60} = -\frac{4}{60}\) と、分母を揃えてから分子を足し引きします。
• 常識的なチェック:
  • 「凸面鏡で拡大像」はあり得ません。「凸面鏡で実像」もあり得ません。計算結果が出たら、この物理的常識と照らし合わせるだけで、ケアレスミスの9割は防げます。

408 凹面鏡の焦点距離

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「凹面鏡の焦点距離と平行光線の関係」です。無限遠にある物体からの光が平行光線とみなせること、そして平行光線が凹面鏡で反射して焦点に集まるという基本的な性質を理解することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

凹面鏡の焦点距離

思考の道筋とポイント
まず、光源である「月」が非常に遠くにあることに注目します。遠くの点から来る光は、ほとんど広がらずに平行に進んでくると考えられます。
次に、凹面鏡の性質を思い出します。凹面鏡は、光軸に平行に入ってきた光を一点（焦点）に集める性質があります。
したがって、月からの光が集まって像を結んだ場所（スクリーン）こそが、まさに焦点の位置であると判断できます。
この設問における重要なポイント

• 光源（月）は無限遠にあるとみなせる \(\Rightarrow\) 入射光は平行光線。
• 平行光線は凹面鏡で反射した後、焦点に集まる。
• 像（実像）ができる位置 \(=\) 焦点の位置。
• 鏡からスクリーンまでの距離 \(=\) 焦点距離。

具体的な解説と立式
月は地球から非常に遠い距離にあるため、月から凹面鏡に届く光は、光軸に対して平行な光線とみなすことができます。
凹面鏡の性質として、光軸に平行に入射した光線は、鏡面で反射した後、すべて焦点に集まります。
光が集まる点に実像ができるため、スクリーンに月の像がくっきりと映ったということは、そのスクリーンの位置が焦点であることを意味します。
したがって、凹面鏡からスクリーンまでの距離 \(18.0\,\text{cm}\) が、そのまま焦点距離 \(f\) となります。
$$
\begin{aligned}
f &= 18\,\text{cm}
\end{aligned}
$$

計算は不要で、物理的性質からの判断のみです。

月のようにすごく遠くにあるものからの光は、まっすぐ平行に飛んできます。
凹面鏡は、まっすぐ飛んできた光を「焦点」という一点に集める性質があります。
実験では、鏡から18cmのところに置いたスクリーンに光が集まって月の形（像）が映りました。
つまり、この「18cmの場所」が光の集まる場所、すなわち「焦点」だということです。
だから、焦点までの距離（焦点距離）は18cmになります。

焦点距離は \(18\,\text{cm}\) です。
これは、太陽光を集めて紙を焦がす実験などで、光が最も小さく集まる点が焦点であることと同じ原理です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 平行光線と焦点の関係
  • 核心: 「無限遠からの光＝平行光線」であり、「平行光線は焦点に集まる」という幾何光学の基本原理が全てです。
  • 理解のポイント:
    • 無限遠の近似: 厳密には月からの光もわずかに広がっていますが、地球までの距離（約38万km）に対して鏡の大きさ（数cm〜数十cm）が圧倒的に小さいため、平行とみなして差し支えありません。
    • 焦点の定義: そもそも焦点とは「光軸に平行な光線が集まる点」として定義されています。したがって、平行光線が入射して像を結んだ場所があれば、そこが定義通りの焦点です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 太陽光による集光: 虫眼鏡（凸レンズ）や凹面鏡で太陽の光を集めて紙を焦がす実験。紙が最も明るく小さく光る位置が焦点であり、レンズから紙までの距離が焦点距離です。
  • 星の観測（望遠鏡）: 望遠鏡の対物レンズ（または主鏡）は、無限遠にある星の像を焦点面に作ります。
  • カメラの無限遠ピント: カメラのレンズを「\(\infty\)」マークに合わせると、レンズの中心からフィルム（センサー）までの距離がちょうど焦点距離になります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 「遠くの」「太陽」「月」「星」というキーワードを探す: これらはすべて「入射光は平行光線」「物体距離 \(a = \infty\)」と翻訳できます。
  2. 「像ができた位置」を探す: 平行光線が入射している場合、像ができる位置（スクリーンやフィルムの位置）は、そのまま焦点の位置です。
  3. 鏡かレンズかを確認する: 凹面鏡と凸レンズは光を集める（実像を作る）のでスクリーンに映りますが、凸面鏡と凹レンズは光を広げる（虚像を作る）のでスクリーンには映りません。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 焦点距離と曲率半径の混同:
  • 誤解: 焦点距離 \(f\) と球面の半径 \(R\) を同じものだと思ってしまう。
  • 対策: \(f = R/2\) （焦点距離は半径の半分）という関係を常に意識しましょう。中心 \(C\) と焦点 \(F\) は別の点です。
• 像の大きさの誤解:
  • 誤解: 平行光線が集まるなら、像は点（大きさゼロ）になるはずでは？なぜ月の「像」が見えるの？
  • 対策: 光軸に平行な光は一点（焦点）に集まりますが、月の端から来る光は光軸に対してわずかに角度を持って平行に入射します。そのため、焦点と同じ平面上の少しずれた位置に集まり、全体として大きさのある像（月の形）を作ります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 定性的な判断（焦点の定義）の選択:
  • 選定理由: 計算が不要で、物理現象の本質を突いているため、最も速く確実に解けるからです。
  • 適用根拠: 「平行光線は焦点に集まる」という事実は、公式を導く以前の前提（定義）だからです。
• 球面鏡の公式（極限操作）の選択:
  • 選定理由: 「遠く」という条件を数式で厳密に扱いたい場合や、記述式で論理の飛躍を防ぎたい場合に有効です。
  • 適用根拠: \(a \to \infty\) の極限をとることで、一般式から特殊な状況（平行光線入射）を自然に導出できます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位の確認:
  • 答えの単位が \(\text{cm}\) なのか \(\text{m}\) なのかを確認します。問題文が \(\text{cm}\) なら \(\text{cm}\) で答えるのが無難です。
• 常識的な数値感覚:
  • 実験室レベルの凹面鏡の焦点距離は、数cm〜数十cm程度が一般的です。もし計算結果が \(10^{-7}\,\text{m}\) や \(1000\,\text{km}\) になったら、何かが間違っています。

ABOUT THE AUTHOR

共田 誠（まこと先生）

高校物理講師・プロ家庭教師 / 指導歴14年

上智大学理工学部物理学科卒。私立高校の非常勤講師として進学クラスから基礎クラスまで幅広く担当。大手家庭教師センター3社でプロ家庭教師を経験し、現在はオンライン専門で全国の高校生を個別指導中。

「暗記物理の撲滅」を掲げ、生徒の思考のクセを診断・矯正するドクター型アプローチで指導。表面的なテクニックではなく、初見の問題に強い思考力を育てる。

800+解説記事

1.1万+YouTube登録者

6プレミアムパック

14年指導歴

🎯高校物理の全6分野、プレミアムパックが完成しました。制作の記録を見る →

指導哲学を読む個別指導についてYouTubeチャンネル