「センサー物理 3rd Edition」徹底解説！【Chapter 11】Step2

Step 2

140 波の干渉

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「波の干渉」です。2つの波源から広がる波が重なり合ったとき、場所によって波が強め合ったり弱め合ったりする現象を扱います。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
点Cにおける合成波の振幅を求めるには、点Aからの波と点Bからの波が、点Cでどのように重なり合うか（強め合うか弱め合うか）を判定する必要があります。その判断基準となるのが「経路差」です。

この設問における重要なポイント

• 波長 \(\lambda = 5.0\,\text{cm}\)。
• 1つの波の振幅 \(A = 0.40\,\text{cm}\)。
• 波源A, Bは同位相で振動している。
• 点Cまでの距離: \(AC = 30.0\,\text{cm}\), \(BC = 37.5\,\text{cm}\)。

具体的な解説と立式
まず、2つの波源A, Bから点Cまでの距離の差（経路差） \(\Delta l\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
\Delta l &= |AC – BC|
\end{aligned}
$$
次に、この経路差が半波長 \(\frac{\lambda}{2}\) の何倍になっているかを調べます。
半波長の長さは以下の通りです。
$$
\begin{aligned}
\frac{\lambda}{2} &= \frac{5.0}{2} \\[2.0ex] &= 2.5\,\text{cm}
\end{aligned}
$$
経路差 \(\Delta l\) を半波長で割り、その倍数 \(n\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
n &= \frac{\Delta l}{\lambda / 2}
\end{aligned}
$$
波源が同位相の場合：

• \(n\) が偶数（\(0, 2, 4, \dots\)）なら、強め合って腹となります。振幅は \(2A\) です。
• \(n\) が奇数（\(1, 3, 5, \dots\)）なら、弱め合って節となります。振幅は \(0\) です。

経路差を計算します。
$$
\begin{aligned}
\Delta l &= |30.0 – 37.5| \\[2.0ex] &= 7.5\,\text{cm}
\end{aligned}
$$
これが半波長 \(2.5\,\text{cm}\) の何倍かを計算します。
$$
\begin{aligned}
n &= \frac{7.5}{2.5} \\[2.0ex] &= 3
\end{aligned}
$$
\(3\) は奇数です。
したがって、点Cでは波が弱め合い、節となります。
合成波の振幅 \(A_{\text{合成}}\) は、打ち消し合うため \(0\) になります。
$$
\begin{aligned}
A_{\text{合成}} &= 0\,\text{cm}
\end{aligned}
$$

Aから来た波とBから来た波がC地点で合流します。Aからの距離とBからの距離の差は \(7.5\,\text{cm}\) です。
波の基本単位である波長は \(5.0\,\text{cm}\) なので、半分の長さ（半波長）は \(2.5\,\text{cm}\) です。
距離の差 \(7.5\,\text{cm}\) は、半波長 \(2.5\,\text{cm}\) のちょうど3個分（奇数個分）にあたります。
半波長分のズレというのは「山と谷が重なる」状態を意味します。奇数個分のズレでも同様に山と谷が重なるため、波はお互いに打ち消し合って消えてしまいます。

経路差が半波長の奇数倍であるため、弱め合って振幅は0となります。これは物理的に妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
問(1)と同様に、点Dにおける経路差を計算し、干渉条件に当てはめて振幅を求めます。

この設問における重要なポイント

• 点Dまでの距離: \(AD = 25.0\,\text{cm}\), \(BD = 30.0\,\text{cm}\)。
• 強め合う場合、合成波の振幅は2つの波の振幅の和 \(A + A = 2A\) となる。

具体的な解説と立式
まず、経路差 \(\Delta l\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
\Delta l &= |AD – BD|
\end{aligned}
$$
次に、この経路差が半波長 \(\frac{\lambda}{2} = 2.5\,\text{cm}\) の何倍かを調べます。
$$
\begin{aligned}
n &= \frac{\Delta l}{2.5}
\end{aligned}
$$

経路差を計算します。
$$
\begin{aligned}
\Delta l &= |25.0 – 30.0| \\[2.0ex] &= 5.0\,\text{cm}
\end{aligned}
$$
これが半波長 \(2.5\,\text{cm}\) の何倍かを計算します。
$$
\begin{aligned}
n &= \frac{5.0}{2.5} \\[2.0ex] &= 2
\end{aligned}
$$
\(2\) は偶数です。
したがって、点Dでは波が強め合い、腹となります。
合成波の振幅 \(A_{\text{合成}}\) は、元の振幅 \(0.40\,\text{cm}\) の2倍になります。
$$
\begin{aligned}
A_{\text{合成}} &= 0.40 + 0.40 \\[2.0ex] &= 0.80\,\text{cm}
\end{aligned}
$$

Aからの距離とBからの距離の差は \(5.0\,\text{cm}\) です。
これは半波長 \(2.5\,\text{cm}\) のちょうど2個分（偶数個分）です。
半波長2個分というのは、1波長分（\(5.0\,\text{cm}\)）と同じです。波1つ分まるまるずれても、結局は山と山、谷と谷が重なるタイミングは合い、波は強め合います。
振幅は2つの波が協力して2倍の高さになります。

経路差が半波長の偶数倍（波長の整数倍）であるため、強め合って振幅は2倍となります。妥当な結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
波源A, Bが「逆位相」で振動する場合、片方が山を出した瞬間に、もう片方は谷を出しています。これにより、空間全体での干渉の条件（強め合う・弱め合う）が、同位相の場合と比べてすべて逆転します。

この設問における重要なポイント

• 逆位相の波源の場合、干渉条件が入れ替わる。
• 強め合う条件: 経路差が半波長の奇数倍（波長の \(x.5\) 倍）。
• 弱め合う条件: 経路差が半波長の偶数倍（波長の整数倍）。

具体的な解説と立式
逆位相の場合、以下のようになります。

• 点C（経路差 \(7.5\,\text{cm}\)）:
  (1)では「弱め合う（節）」でしたが、条件が逆転するため、逆位相の場合は「強め合う（腹）」になります。
• 点D（経路差 \(5.0\,\text{cm}\)）:
  (2)では「強め合う（腹）」でしたが、条件が逆転するため、逆位相の場合は「弱め合う（節）」になります。

• 点Cでの振幅:
  強め合うため、振幅の和になります。
  $$
  \begin{aligned}
  0.40 + 0.40 &= 0.80\,\text{cm}
  \end{aligned}
  $$
• 点Dでの振幅:
  弱め合うため、振幅の差（打ち消し合い）になります。
  $$
  \begin{aligned}
  0.40 – 0.40 &= 0\,\text{cm}
  \end{aligned}
  $$

波源の動きが「あべこべ（逆位相）」になると、これまで強め合っていた場所では、片方の波の山ともう片方の波の谷が出会うことになり、弱め合うようになります。逆に、これまで弱め合っていた場所では、タイミングがずれていた分が波源の逆転で補正され、山と山が出会うようになり、強め合うようになります。
つまり、(1)と(2)の結果がちょうど逆になります。

同位相と逆位相で干渉パターンが反転することは、波の干渉の基本的な性質であり、結果は妥当です。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 波の干渉条件の完全理解
  • 核心: 2つの波源からの波が重なり合うとき、その地点での振幅を決めるのは「経路差」と「波長」の関係だけです。この関係式（干渉条件）を正確に適用できるかが勝負です。
  • 理解のポイント:
    • 経路差 \(\Delta l = |l_1 – l_2|\) を計算することが第一歩です。
    • 同位相の波源の場合:
      • 経路差が半波長の偶数倍（波長の整数倍） \(\rightarrow\) 強め合う（腹）
      • 経路差が半波長の奇数倍（波長の整数+0.5倍） \(\rightarrow\) 弱め合う（節）
    • この条件は、波の山と山が重なるか、山と谷が重なるかという物理的なイメージと直結しています。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 逆位相の波源: 今回の問(3)のように、波源が逆位相の場合、干渉条件が完全に入れ替わります。「逆位相なら条件逆転」と即座に反応できるようにしましょう。
  • 異なる振幅の波: もし2つの波の振幅が異なる（例: \(A_1, A_2\)）場合、強め合うときの振幅は \(A_1 + A_2\)、弱め合うときの振幅は \(|A_1 – A_2|\) となります。節でも振幅が0にならない点に注意が必要です。
  • 平面上の干渉（双曲線）: 点Cや点Dだけでなく、強め合う点全体をつなぐと双曲線になります。経路差が一定の点の集合が双曲線であることを知っていると、図形的な問題にも対応できます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 波源の位相確認: まず最初に「同位相」か「逆位相」かを確認します。これが全ての出発点です。
  2. 波長 \(\lambda\) の特定: 問題文に直接与えられていない場合は、\(v = f\lambda\) などの公式から最初に波長を求めておきましょう。全ての長さの基準は波長です。
  3. 経路差の計算: 観測点までの距離の差を計算し、それが波長の何倍になっているかをチェックします。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 「半波長の偶数倍・奇数倍」の混乱:
  • 誤解: 「偶数倍だから弱め合う？」と逆に覚えてしまったり、混乱してしまう。
  • 対策: 「経路差0（偶数倍の代表）」を考えましょう。同位相なら、距離の差がないので同時に山が届き、強め合います。つまり「偶数倍＝強め合う」と導けます。あるいは、別解のように「波長の整数倍＝強め合う」と覚える方がシンプルでミスが少ないです。
• 振幅の計算ミス:
  • 誤解: 強め合うときの振幅を2乗してしまったり、エネルギー（振幅の2乗）と混同してしまう。
  • 対策: 波の重ね合わせの原理は、単純な足し算です。変位 \(y = y_1 + y_2\) なので、振幅も \(A + A = 2A\) となります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)(2)での公式選択（経路差と干渉条件）:
  • 選定理由: 問われているのは「ある一点での合成波の振幅」です。波の干渉において、振幅を決める唯一の要因は「2つの波の位相差（ズレ）」であり、それは「経路差」によって決まります。したがって、経路差 \(\Delta l\) を計算し、干渉条件式に当てはめるアプローチが必然となります。
  • 適用根拠: 波源からの距離が具体的に与えられているため、幾何学的に経路差を計算可能です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位の確認:
  • 全て \(\text{cm}\) で統一されているか確認しましょう。もし \(\text{m}\) と \(\text{cm}\) が混在していたら、計算前に必ず統一します。
• 割り算の活用:
  • 経路差を波長（または半波長）で割るとき、分数ではなく小数で計算すると、\(1.5\) や \(2.0\) といった結果が見やすく、判定ミスを防げます。
  • 例: \(7.5 \div 5.0 = 1.5\) \(\rightarrow\) 「.5」がついているから逆位相（弱め合う）と即断できます。

141 定在波の節の数

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「定常波（定在波）の節の数」です。2つの波源から発生した波が干渉してできる定常波において、振動しない点（節）がいくつできるかを数える問題です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

同位相の場合

思考の道筋とポイント
波源A, Bが同位相で振動している場合、両方からの距離が等しい中点では、波の山と山（または谷と谷）が同時に届き、強め合います。つまり、中点は定常波の「腹」になります。ここを基準に、節の位置を探します。

この設問における重要なポイント

• 波長 \(\lambda = 4.0\,\text{cm}\)。
• 波源間の距離 \(L = 7.0\,\text{cm}\)。
• 中点は「腹」。
• 腹から隣の節までの距離は \(\frac{\lambda}{4}\)。
• 節と節の間隔は \(\frac{\lambda}{2}\)。

具体的な解説と立式
まず、中点Mの状態を確認します。同位相の波源からの距離が等しいため、中点Mは「腹」となります。
次に、中点Mから最も近い節までの距離 \(d_1\) を求めます。腹と節の間隔は波長の \(\frac{1}{4}\) なので、
$$
\begin{aligned}
d_1 &= \frac{\lambda}{4}
\end{aligned}
$$
さらに、その隣の節までの間隔 \(d_2\) は波長の \(\frac{1}{2}\) なので、
$$
\begin{aligned}
d_2 &= \frac{\lambda}{2}
\end{aligned}
$$
中点を原点 \(0\) とし、波源A, Bに向かう方向の距離を考えます。波源までの距離は片側 \(3.5\,\text{cm}\) です。この範囲内にある節を数えます。

数値を代入します。
$$
\begin{aligned}
d_1 &= \frac{4.0}{4} \\[2.0ex] &= 1.0\,\text{cm}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
d_2 &= \frac{4.0}{2} \\[2.0ex] &= 2.0\,\text{cm}
\end{aligned}
$$
中点（腹）から左右に \(1.0\,\text{cm}\) 離れた位置に最初の節があります。
さらにそこから \(2.0\,\text{cm}\) 外側に次の節があります。
中点からの距離が \(3.5\,\text{cm}\) 未満（波源の間）にある節の位置を列挙します。

• 右側（B側）:
  1. \(1.0\,\text{cm}\) の地点（節）
  2. \(1.0 + 2.0 = 3.0\,\text{cm}\) の地点（節）
  3. \(3.0 + 2.0 = 5.0\,\text{cm}\) （\(3.5\,\text{cm}\) を超えるため範囲外）

  よって、右側に2個。

• 左側（A側）:
  対称性より、同様に2個。

合計個数は、
$$
\begin{aligned}
\text{合計} &= 2 + 2 \\[2.0ex] &= 4\,\text{個}
\end{aligned}
$$

2つの波源が同じタイミング（同位相）で揺れているとき、真ん中の地点は波が強め合って大きく揺れる「腹」になります。
定常波では、「腹」の隣には必ず「節（揺れない点）」があり、その距離は波長の4分の1（\(1.0\,\text{cm}\)）です。
さらにその外側には、波長の半分（\(2.0\,\text{cm}\)）ごとに節が並びます。
真ん中からスタートして、端っこ（\(3.5\,\text{cm}\) 先の波源）にぶつかるまでに節がいくつあるか数えると、片側に2つずつ、合計で4つ見つかります。

答えは4個です。波源間の距離 \(7.0\,\text{cm}\) に対して、節の位置 \(\pm 1.0, \pm 3.0\) は全て範囲内に収まっており、妥当です。

逆位相の場合

思考の道筋とポイント
波源A, Bが逆位相（片方が山ならもう片方は谷）の場合、中点では常に山と谷が出会うため、打ち消し合って「節」になります。ここを基準に節の位置を探します。

この設問における重要なポイント

• 逆位相の場合、中点は「節」。
• 節と節の間隔は \(\frac{\lambda}{2}\)。

具体的な解説と立式
中点Mは「節」となります。
ここを基準（1つ目の節）として、隣の節までの間隔 \(d\) を考えます。
$$
\begin{aligned}
d &= \frac{\lambda}{2}
\end{aligned}
$$
中点から左右に距離 \(d\) ごとに節が現れます。

数値を代入します。
$$
\begin{aligned}
d &= \frac{4.0}{2} \\[2.0ex] &= 2.0\,\text{cm}
\end{aligned}
$$
中点（位置 \(0\)）に1つ目の節があります。
そこから左右に \(2.0\,\text{cm}\) ごとに節があります。
範囲（片側 \(3.5\,\text{cm}\) 未満）にある節を数えます。

1. 中点 \(0\,\text{cm}\) （節）
2. 右側 \(2.0\,\text{cm}\) の地点（節）
3. 右側 \(2.0 + 2.0 = 4.0\,\text{cm}\) （範囲外）
4. 左側 \(2.0\,\text{cm}\) の地点（節）
5. 左側 \(4.0\,\text{cm}\) （範囲外）

合計個数は、
$$
\begin{aligned}
\text{合計} &= 1 + 1 + 1 \\[2.0ex] &= 3\,\text{個}
\end{aligned}
$$
（中点1個 ＋ 右側1個 ＋ 左側1個）

波源の動きが逆（逆位相）になると、真ん中の地点では常に打ち消し合って「節」になります。
定常波の節と節の間隔は波長の半分（\(2.0\,\text{cm}\)）です。
真ん中に1つ、そこから右に \(2.0\,\text{cm}\) 行ったところに1つ、左に \(2.0\,\text{cm}\) 行ったところに1つ。
さらに外側に行こうとすると波源（\(3.5\,\text{cm}\)）を越えてしまうので、全部で3個になります。

答えは3個です。同位相のときと比べて、中点の状態が反転したことで個数が変化しました。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 定常波の空間的性質の把握
  • 核心: 進行方向が逆の同じ波が重なると、空間に固定された振動パターンである「定常波」が生まれます。この定常波の「腹」と「節」の配置規則を知っていることが、問題を解く鍵となります。
  • 理解のポイント:
    • 腹と節は交互に等間隔で並びます。
    • 隣り合う腹と腹（または節と節）の間隔は半波長 \(\frac{\lambda}{2}\) です。
    • 隣り合う腹と節の間隔は \(\frac{\lambda}{4}\) です。
    • この「\(\frac{\lambda}{2}\)」と「\(\frac{\lambda}{4}\)」という数字は、定常波の問題では必ず使う定数です。
• 波の干渉条件の完全理解
  • 核心: 2つの波源からの波が重なり合うとき、その強め合い・弱め合いを決めるのは「経路差」と「波長」の関係だけです。この関係式（干渉条件）を正確に記憶し、適用できることが全てです。
  • 理解のポイント:
    • 経路差 \(\Delta l = |l_1 – l_2|\) が波長 \(\lambda\) の整数倍 \(m\lambda\) ならば、山と山が重なって強め合います（同位相の場合）。
    • 経路差が半波長の奇数倍 \((m + \frac{1}{2})\lambda\) ならば、山と谷が重なって弱め合います（同位相の場合）。
    • この条件式は、単なる数式ではなく、「波の山と谷がどう重なるか」という物理的なイメージと直結させて理解しましょう。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 逆位相の波源: 今回の問(2)のように、波源が逆位相（片方が山を出したとき、もう片方が谷を出す）の場合、干渉条件が完全に入れ替わります。つまり、整数倍で節、半整数倍で腹になります。「逆位相なら条件逆転」と即座に反応できるようにしましょう。
  • 平面上の干渉（双曲線）: 線分上だけでなく、平面全体での干渉を問われることがあります。この場合、強め合う点（または弱め合う点）の集合は双曲線を描きます。節線の本数を問われたら、まずは2波源を結ぶ線分上の節の数を数えるのが鉄則です。
  • 異なる振幅や波長: もし振幅が異なる場合、節でも振幅は0にならず、最小値（差）になります。波長が異なる場合は、定常波ではなく「うなり」のような複雑な干渉模様になりますが、高校物理では稀です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 波源の位相確認: まず最初に「同位相」か「逆位相」かを確認します。これが全ての出発点です。
  2. 中点の状態チェック: 2つの波源の中点は、経路差が0の特別な点です。同位相なら必ず腹、逆位相なら必ず節になります。ここを基準（原点）にして考えると、数え間違いを防げます。
  3. 波長 \(\lambda\) の計算: 問題文に直接与えられていない場合は、\(v = f\lambda\) などの公式から最初に波長を求めておきましょう。全ての長さの基準は波長です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 腹と節の条件の取り違え:
  • 誤解: 「\(m\lambda\) が節だったっけ？腹だったっけ？」と混乱してしまう。
  • 対策: 「経路差0（\(m=0\)）のとき」を考えましょう。同位相なら、距離の差がないので同時に山が届き、強め合います。つまり「整数倍＝強め合う」と導けます。丸暗記ではなく、極端な例でその場で導出するのが確実です。
• 端点の扱いのミス:
  • 誤解: 波源の位置そのものを数に含めるかどうか迷う。
  • 対策: 問題文の「\(S_1, S_2\) を結ぶ線分上」という表現に注意します。通常、波源の位置では波の発生源としての振る舞いが優先されるため、干渉の議論からは除外されることが多いですが、厳密には不等号（\(<\) か \(\le\) か）で判断します。今回の解説のように、波源の位置と節の位置が一致しない場合は問題になりませんが、一致する場合は問題文の微妙なニュアンス（「間」なのか「上」なのか）を読み取る必要があります。
• 節の間隔を \(\lambda\) と勘違いする:
  • 誤解: 波長が \(\lambda\) だから、節も \(\lambda\) ごとに現れると思い込む。
  • 対策: 定常波の1波長分には、山（腹）と谷（腹）が1つずつ含まれます。つまり、腹は2回現れます。よって、腹（節）の間隔は \(\frac{\lambda}{2}\) です。図を描いて確認する癖をつけましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)(2)でのアプローチ選択（中点基準の数え上げ vs 不等式）:
  • 選定理由: 模範解答が採用している「中点から順に数える」方法は、物理的な現象（定常波の形）をイメージしやすく、数が少ない場合には直感的でミスが少ないため推奨されます。一方、別解の「不等式」は、数が非常に多い場合や、波源間距離が文字式で与えられた場合に威力を発揮します。
  • 適用根拠: 今回は節の数が4個と少ないため、中点（腹）を基準に \(\frac{\lambda}{4}\), \(\frac{\lambda}{2}\) と距離を足していく方法が最も確実で早いです。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 図を描いて可視化する:
  • 頭の中だけで \(\frac{\lambda}{4}\) や \(\frac{\lambda}{2}\) を足していくと、個数を1つずらす（植木算のミス）可能性が高いです。簡単な数直線を描き、中点に「腹」と書き込み、そこから定規の目盛りのように節の位置をマークしていくと、数え間違いは激減します。
• 単位の確認:
  • 全て \(\text{cm}\) で統一されているか確認しましょう。もし \(\text{m}\) と \(\text{cm}\) が混在していたら、計算前に必ず統一します。
• 対称性の利用:
  • 中点を中心に左右対称であることを利用すれば、片側だけ数えて2倍するだけで済みます。計算量が半分になれば、ミスする確率も半分になります。ただし、中点そのものがカウント対象（例えば中点が節の場合の節の数）である場合は、2倍してから1を足すのを忘れないように注意が必要です。

142 波の干渉

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「波の干渉」です。2つの波源から広がる波が重なり合ったとき、場所によって波が強め合ったり弱め合ったりする現象を扱います。特に、波面図を用いた干渉の理解と、定常波の節の数の数え上げがポイントです。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
波面図において、実線は「山」、破線は「谷」を表しています。波が重なって大きく振動する（強め合う）のは、「山と山」または「谷と谷」が重なる点です。逆に、「山と谷」が重なる点は打ち消し合って振動しません。

この設問における重要なポイント

• 実線＝山、破線＝谷。
• 強め合う点（腹）: 実線と実線の交点（山＋山）、または破線と破線の交点（谷＋谷）。
• 弱め合う点（節）: 実線と破線の交点（山＋谷）。
• 強め合う点の振幅は、元の振幅の2倍。

具体的な解説と立式
図中の各点を確認します。

• \(P_1\): 実線（山）と実線（山）の交点 \(\rightarrow\) 強め合う（大きく振動する）。
• \(P_2\): 実線（山）と破線（谷）の交点 \(\rightarrow\) 弱め合う（振動しない）。
• \(P_3\): 破線（谷）と破線（谷）の交点 \(\rightarrow\) 強め合う（大きく振動する）。
• \(P_4\): 実線（山）と破線（谷）の交点 \(\rightarrow\) 弱め合う（振動しない）。

したがって、大きく振動する点は \(P_1\) と \(P_3\) です。
振幅について：
元の波の振幅は \(0.30\,\text{cm}\) です。
強め合う点での振幅は、2つの波の振幅の和になります。
$$
\begin{aligned}
A_{\text{合成}} &= 0.30 + 0.30 \\[2.0ex] &= 0.60\,\text{cm}
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
A_{\text{合成}} &= 2 \times 0.30 \\[2.0ex] &= 0.60\,\text{cm}
\end{aligned}
$$

図の実線は波の「高いところ（山）」、点線は「低いところ（谷）」を表しています。
波が重なって一番激しく揺れるのは、「高いところ同士」がぶつかった場所（さらに高くなる）か、「低いところ同士」がぶつかった場所（さらに低くなる）です。
図を見ると、\(P_1\) は山と山、\(P_3\) は谷と谷が重なっているので、これらが正解です。
高さ（振幅）は、2つの波が合体するので2倍になります。

図の読み取りと重ね合わせの原理から、\(P_1, P_3\) が強め合う点であり、振幅は \(0.60\,\text{cm}\) となります。

問(2)

思考の道筋とポイント
経路差（距離の差）が与えられているので、それが波長の何倍になっているかを確認し、干渉条件に当てはめます。

この設問における重要なポイント

• 経路差 \(\Delta l = 3.0\,\text{cm}\)。
• 波長 \(\lambda = 2.0\,\text{cm}\)。
• 半波長 \(\frac{\lambda}{2} = 1.0\,\text{cm}\)。

具体的な解説と立式
経路差 \(\Delta l = 3.0\,\text{cm}\) が半波長 \(1.0\,\text{cm}\) の何倍かを計算します。
$$
\begin{aligned}
n &= \frac{\Delta l}{\lambda / 2}
\end{aligned}
$$
波源が同位相の場合：

• \(n\) が偶数 \(\rightarrow\) 強め合う（腹）。
• \(n\) が奇数 \(\rightarrow\) 弱め合う（節）。

$$
\begin{aligned}
n &= \frac{3.0}{1.0} \\[2.0ex] &= 3
\end{aligned}
$$
\(3\) は奇数です。
したがって、波は弱め合い、節となります。つまり、振動しません。

距離の差 \(3.0\,\text{cm}\) は、半波長 \(1.0\,\text{cm}\) の3個分です。
半波長分のズレは「山と谷が重なる」ことを意味します。奇数個分のズレでも同じように山と谷が重なるため、波は打ち消し合って消えてしまいます。

経路差が半波長の奇数倍であるため、弱め合って振動しないという結論は妥当です。

問(3)

思考の道筋とポイント
(2)の条件（経路差が \(3.0\,\text{cm}\)）を満たす点の集合を図示します。2定点からの距離の差が一定である点の軌跡は「双曲線」になります。

この設問における重要なポイント

• 経路差一定の軌跡は双曲線。
• 線分 \(S_1S_2\) 上での位置を特定し、そこを通る双曲線を描く。
• 線分 \(S_1S_2\) 上では、\(S_1\) からの距離 \(x\) とすると、\(S_2\) からの距離は \(7.0 – x\)。
• 経路差 \(|x – (7.0 – x)| = 3.0\)。

具体的な解説と立式
まず、線分 \(S_1S_2\) 上で条件を満たす点を探します。
\(S_1\) からの距離を \(x\) とすると、\(S_2\) からの距離は \(7.0 – x\) です。
経路差が \(3.0\) なので、
$$
\begin{aligned}
|x – (7.0 – x)| &= 3.0 \\[2.0ex] |2x – 7.0| &= 3.0
\end{aligned}
$$
これを解くと、
$$
\begin{aligned}
2x – 7.0 &= \pm 3.0 \\[2.0ex] 2x &= 10.0, 4.0 \\[2.0ex] x &= 5.0, 2.0
\end{aligned}
$$
つまり、\(S_1\) から \(2.0\,\text{cm}\) の点と \(5.0\,\text{cm}\) の点の2箇所を通ります。
これらの点を通り、\(S_1, S_2\) を焦点とする双曲線を描きます。

上記参照。

2つの波源の間で、距離の差が \(3.0\,\text{cm}\) になる場所を探すと、\(S_1\) から \(2.0\,\text{cm}\) のところと \(5.0\,\text{cm}\) のところが見つかります。この2点を通るように、波源を囲むようなカーブ（双曲線）を描けばOKです。

解説図（模範解答の右図）にあるように、\(S_1, S_2\) の間を通る2本の曲線となります。

問(4)

思考の道筋とポイント
線分 \(S_1S_2\) 上にできる定常波の節の数を数えます。同位相の波源なので、中点は腹になります。

この設問における重要なポイント

• 波長 \(\lambda = 2.0\,\text{cm}\)。
• 波源間距離 \(L = 7.0\,\text{cm}\)。
• 中点は腹。
• 腹と節の間隔 \(\frac{\lambda}{4} = 0.5\,\text{cm}\)。
• 節と節の間隔 \(\frac{\lambda}{2} = 1.0\,\text{cm}\)。

具体的な解説と立式
中点M（腹）から最も近い節までの距離 \(d_1\) は、
$$
\begin{aligned}
d_1 &= \frac{\lambda}{4} \\[2.0ex] &= 0.5\,\text{cm}
\end{aligned}
$$
その隣の節までの間隔 \(d_2\) は、
$$
\begin{aligned}
d_2 &= \frac{\lambda}{2} \\[2.0ex] &= 1.0\,\text{cm}
\end{aligned}
$$
中点（位置 \(0\)）から片側 \(3.5\,\text{cm}\) の範囲にある節を数えます。

1. \(0.5\,\text{cm}\) （節）
2. \(0.5 + 1.0 = 1.5\,\text{cm}\) （節）
3. \(1.5 + 1.0 = 2.5\,\text{cm}\) （節）
4. \(2.5 + 1.0 = 3.5\,\text{cm}\) （波源の位置。ただし問題文より \(S_1, S_2\) は除くため含まない）

よって、片側に3個ずつあります。
合計個数は、
$$
\begin{aligned}
3 + 3 &= 6\,\text{個}
\end{aligned}
$$

上記参照。

真ん中は「腹」です。そこから \(0.5\,\text{cm}\) 横に最初の「節」があります。あとは \(1.0\,\text{cm}\) ごとに節が並びます。
\(0.5, 1.5, 2.5\) と数えていくと、次は \(3.5\) ですが、ここはちょうど波源の位置なので除外します。
片側に3個ずつあるので、合計6個です。

答えは6個です。波源の位置がちょうど節の条件に当てはまる場合、問題文の「除く」という指示が重要になります。

問(5)

思考の道筋とポイント
逆位相の場合、干渉条件が逆転します。中点は「節」になります。

この設問における重要なポイント

• 逆位相の場合、中点は節。
• 節と節の間隔は \(\frac{\lambda}{2} = 1.0\,\text{cm}\)。

具体的な解説と立式
中点（位置 \(0\)）は節です。
そこから \(1.0\,\text{cm}\) ごとに節が現れます。
範囲（片側 \(3.5\,\text{cm}\) 未満）にある節を数えます。

1. \(0\,\text{cm}\) （節）
2. \(1.0\,\text{cm}\) （節）
3. \(2.0\,\text{cm}\) （節）
4. \(3.0\,\text{cm}\) （節）
5. \(4.0\,\text{cm}\) （範囲外）

片側に3個ずつと、真ん中に1個あります。
合計個数は、
$$
\begin{aligned}
3 + 3 + 1 &= 7\,\text{個}
\end{aligned}
$$

上記参照。

逆位相だと真ん中が「節」になります。あとは \(1.0\,\text{cm}\) ごとに節が並びます。
真ん中、\(1.0, 2.0, 3.0\) と数えられます。次は \(4.0\) で波源の外に出てしまいます。
真ん中の1個と、左右に3個ずつで、合計7個です。

答えは7個です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 波の干渉条件の完全理解
  • 核心: 2つの波源からの波が重なり合うとき、その強め合い・弱め合いを決めるのは「経路差」と「波長」の関係だけです。この関係式（干渉条件）を正確に記憶し、適用できることが全てです。
  • 理解のポイント:
    • 経路差 \(\Delta l = |l_1 – l_2|\) が波長 \(\lambda\) の整数倍 \(m\lambda\) ならば、山と山が重なって強め合います（同位相の場合）。
    • 経路差が半波長の奇数倍 \((m + \frac{1}{2})\lambda\) ならば、山と谷が重なって弱め合います（同位相の場合）。
    • この条件式は、単なる数式ではなく、「波の山と谷がどう重なるか」という物理的なイメージと直結させて理解しましょう。
• 定常波の空間的性質の把握
  • 核心: 進行方向が逆の同じ波が重なると、空間に固定された振動パターンである「定常波」が生まれます。この定常波の「腹」と「節」の配置規則を知っていることが、問題を解く鍵となります。
  • 理解のポイント:
    • 腹と節は交互に等間隔で並びます。
    • 隣り合う腹と腹（または節と節）の間隔は半波長 \(\frac{\lambda}{2}\) です。
    • 隣り合う腹と節の間隔は \(\frac{\lambda}{4}\) です。
    • この「\(\frac{\lambda}{2}\)」と「\(\frac{\lambda}{4}\)」という数字は、定常波の問題では必ず使う定数です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 逆位相の波源: 今回の問(5)のように、波源が逆位相（片方が山を出したとき、もう片方が谷を出す）の場合、干渉条件が完全に入れ替わります。つまり、整数倍で節、半整数倍で腹になります。「逆位相なら条件逆転」と即座に反応できるようにしましょう。
  • 平面上の干渉（双曲線）: 線分上だけでなく、平面全体での干渉を問われることがあります。この場合、強め合う点（または弱め合う点）の集合は双曲線を描きます。節線の本数を問われたら、まずは2波源を結ぶ線分上の節の数を数えるのが鉄則です。
  • 異なる振幅や波長: もし振幅が異なる場合、節でも振幅は0にならず、最小値（差）になります。波長が異なる場合は、定常波ではなく「うなり」のような複雑な干渉模様になりますが、高校物理では稀です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 波源の位相確認: まず最初に「同位相」か「逆位相」かを確認します。これが全ての出発点です。
  2. 中点の状態チェック: 2つの波源の中点は、経路差が0の特別な点です。同位相なら必ず腹、逆位相なら必ず節になります。ここを基準（原点）にして考えると、数え間違いを防げます。
  3. 波長 \(\lambda\) の計算: 問題文に直接与えられていない場合は、\(v = f\lambda\) などの公式から最初に波長を求めておきましょう。全ての長さの基準は波長です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 腹と節の条件の取り違え:
  • 誤解: 「\(m\lambda\) が節だったっけ？腹だったっけ？」と混乱してしまう。
  • 対策: 「経路差0（\(m=0\)）のとき」を考えましょう。同位相なら、距離の差がないので同時に山が届き、強め合います。つまり「整数倍＝強め合う」と導けます。丸暗記ではなく、極端な例でその場で導出するのが確実です。
• 端点の扱いのミス:
  • 誤解: 波源の位置そのものを数に含めるかどうか迷う。
  • 対策: 問題文の「\(S_1, S_2\) を結ぶ線分上」という表現に注意します。通常、波源の位置では波の発生源としての振る舞いが優先されるため、干渉の議論からは除外されることが多いですが、厳密には不等号（\(<\) か \(\le\) か）で判断します。今回の解説のように、波源の位置と節の位置が一致しない場合は問題になりませんが、一致する場合は問題文の微妙なニュアンス（「間」なのか「上」なのか）を読み取る必要があります。
• 節の間隔を \(\lambda\) と勘違いする:
  • 誤解: 波長が \(\lambda\) だから、節も \(\lambda\) ごとに現れると思い込む。
  • 対策: 定常波の1波長分には、山（腹）と谷（腹）が1つずつ含まれます。つまり、腹は2回現れます。よって、腹（節）の間隔は \(\frac{\lambda}{2}\) です。図を描いて確認する癖をつけましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（重ね合わせの原理）:
  • 選定理由: 波面図から直接、山と山、谷と谷の重なりを読み取る問題です。数式よりも、波の重ね合わせの原理（変位の和）を視覚的に適用することが求められています。
  • 適用根拠: 波面図が与えられているため、各点での位相（山か谷か）が明確であり、重ね合わせの結果を直接判断できます。
• (4)(5)でのアプローチ選択（中点基準の数え上げ vs 不等式）:
  • 選定理由: 模範解答が採用している「中点から順に数える」方法は、物理的な現象（定常波の形）をイメージしやすく、数が少ない場合には直感的でミスが少ないため推奨されます。一方、別解の「不等式」は、数が非常に多い場合や、波源間距離が文字式で与えられた場合に威力を発揮します。
  • 適用根拠: 今回は節の数が6個、7個と比較的少ないため、中点（腹または節）を基準に \(\frac{\lambda}{4}\), \(\frac{\lambda}{2}\) と距離を足していく方法が最も確実で早いです。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 図を描いて可視化する:
  • 頭の中だけで \(\frac{\lambda}{4}\) や \(\frac{\lambda}{2}\) を足していくと、個数を1つずらす（植木算のミス）可能性が高いです。簡単な数直線を描き、中点に「腹」と書き込み、そこから定規の目盛りのように節の位置をマークしていくと、数え間違いは激減します。
• 単位の確認:
  • 全て \(\text{cm}\) で統一されているか確認しましょう。もし \(\text{m}\) と \(\text{cm}\) が混在していたら、計算前に必ず統一します。
• 対称性の利用:
  • 中点を中心に左右対称であることを利用すれば、片側だけ数えて2倍するだけで済みます。計算量が半分になれば、ミスする確率も半分になります。ただし、中点そのものがカウント対象（例えば中点が節の場合の節の数）である場合は、2倍してから1を足すのを忘れないように注意が必要です。

143 波の反射と屈折

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「波の反射と屈折」です。波が異なる媒質の境界に入射したとき、一部は反射し、一部は屈折して透過します。このときの波面や進行方向の変化を作図し、物理量（速さ、波長、屈折率）を計算することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
波の反射において、最も基本的なルールは「入射角＝反射角」です。また、波面は常に波の進行方向（射線）と垂直です。これらを利用して作図します。

この設問における重要なポイント

• 入射角 \(i = 30^\circ\)。
• 反射の法則より、反射角 \(j = 30^\circ\)。
• 波面は射線（進行方向を表す線）に垂直である。
• 反射波の位相はずれない（山は山のまま反射する）。

具体的な解説と立式
作図の手順は以下の通りです。

1. 入射点（入射線と境界面の交点）に法線（境界面に垂直な点線）を立てます。
2. 入射線と法線のなす角が入射角 \(30^\circ\) であることを確認します。
3. 法線に対して入射線と反対側に、法線とのなす角が \(30^\circ\) となるように反射線を引きます（反射の法則）。
4. 入射波の波面と境界面の交点を通るように、反射線に対して垂直な直線を引きます。これが反射波の波面です。
5. 必要に応じて、波面を平行移動して他の波面も描きます。

なし（作図のみ）

ボールを壁に投げたときと同じように、波も壁（境界面）に当たると跳ね返ります。このとき、入ってきた角度と同じ角度で跳ね返っていきます（入射角30度なら反射角も30度）。
波の「面」は、進む方向に対して常に垂直（90度）です。跳ね返る方向（反射線）を決めてから、それに直角になるように線を引けば、それが反射波の波面になります。

入射角と同じ角度で反射し、進行方向に垂直な波面が描かれていることを確認します。

問(2)

思考の道筋とポイント
屈折率（相対屈折率）を求める問題です。入射角と屈折角が与えられているので、屈折の法則を直接適用します。

この設問における重要なポイント

• 入射角 \(i = 30^\circ\)。
• 屈折角 \(r = 60^\circ\)。
• 求めるのは媒質Iに対する媒質IIの屈折率 \(n_{12}\)。

具体的な解説と立式
屈折の法則より、相対屈折率 \(n_{12}\) は入射角 \(i\) と屈折角 \(r\) の正弦（sin）の比で表されます。
$$
\begin{aligned}
n_{12} &= \frac{\sin i}{\sin r}
\end{aligned}
$$
これに角度を代入します。

$$
\begin{aligned}
n_{12} &= \frac{\sin 30^\circ}{\sin 60^\circ} \\[2.0ex] &= \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} \\[2.0ex] &= \frac{1}{\sqrt{3}}
\end{aligned}
$$
ここで、\(\sqrt{3} \approx 1.73\) として計算します。
$$
\begin{aligned}
n_{12} &\approx \frac{1}{1.73} \\[2.0ex] &= 0.578\dots
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えるため、小数第3位を四捨五入します。
$$
\begin{aligned}
n_{12} &\approx 0.58
\end{aligned}
$$

波が折れ曲がる度合いを表すのが屈折率です。入射する角度のサインと、屈折して出ていく角度のサインの割り算で求められます。
30度で入って60度で出ていくので、\(\sin 30^\circ\) を \(\sin 60^\circ\) で割ります。計算すると \(1/\sqrt{3}\) になり、これを小数に直すと約 \(0.58\) です。

屈折角が入射角より大きい（\(60^\circ > 30^\circ\)）ので、波は境界面から遠ざかる方向に曲がっています。これは、媒質IIの方が波が速く進む（屈折率が小さい）ことを意味します。計算結果 \(0.58 < 1\) はこの定性的な性質と一致しています。

問(3)

思考の道筋とポイント
まず、媒質Iでの波の速さ \(v_1\) を波の基本式から求めます。次に、(2)で求めた屈折率（または屈折の法則）を使って、媒質IIでの速さ \(v_2\) を求めます。

この設問における重要なポイント

• 振動数 \(f = 5.0\,\text{Hz}\)。
• 媒質Iでの波長 \(\lambda_1 = 2.0\,\text{cm}\)。
• 屈折の法則: \(n_{12} = \frac{v_1}{v_2}\)。

具体的な解説と立式
まず、媒質Iでの速さ \(v_1\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
v_1 &= f\lambda_1
\end{aligned}
$$
次に、屈折の法則を用いて媒質IIでの速さ \(v_2\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\frac{v_1}{v_2} &= n_{12} \\[2.0ex] v_2 &= \frac{v_1}{n_{12}}
\end{aligned}
$$
ここで、\(n_{12} = \frac{1}{\sqrt{3}}\) を用いると計算が楽になります。

\(v_1\) の計算:
$$
\begin{aligned}
v_1 &= 5.0 \times 2.0 \\[2.0ex] &= 10\,\text{cm/s}
\end{aligned}
$$
\(v_2\) の計算:
$$
\begin{aligned}
v_2 &= \frac{10}{1/\sqrt{3}} \\[2.0ex] &= 10\sqrt{3}
\end{aligned}
$$
\(\sqrt{3} \approx 1.73\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
v_2 &\approx 10 \times 1.73 \\[2.0ex] &= 17.3\,\text{cm/s}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えます。
$$
\begin{aligned}
v_2 &\approx 17\,\text{cm/s}
\end{aligned}
$$

まず、媒質Iでの波の速さは、「1秒間に波が何回振動するか（振動数）」と「波1つ分の長さ（波長）」を掛ければ求まります。\(5 \times 2 = 10\) です。
次に、媒質IIでの速さですが、(2)で求めた屈折率 \(0.58\)（正確には \(1/\sqrt{3}\)）を使います。屈折率が \(1\) より小さいということは、媒質IIの方が速いということです。計算すると、約 \(1.73\) 倍速くなり、\(17\,\text{cm/s}\) になります。

\(v_2 > v_1\) となっており、屈折角が入射角より大きいことと整合しています。

問(4)

思考の道筋とポイント
屈折波（媒質IIでの波）の波長 \(\lambda_2\) を求めます。屈折の法則を使うのが一般的です。

この設問における重要なポイント

• 媒質Iでの波長 \(\lambda_1 = 2.0\,\text{cm}\)。
• 屈折の法則: \(n_{12} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}\)。

具体的な解説と立式
屈折の法則より、
$$
\begin{aligned}
\frac{\lambda_1}{\lambda_2} &= n_{12}
\end{aligned}
$$
これを変形して \(\lambda_2\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\lambda_2 &= \frac{\lambda_1}{n_{12}}
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
\lambda_2 &= \frac{2.0}{1/\sqrt{3}} \\[2.0ex] &= 2.0\sqrt{3}
\end{aligned}
$$
\(\sqrt{3} \approx 1.73\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
\lambda_2 &\approx 2.0 \times 1.73 \\[2.0ex] &= 3.46\,\text{cm}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えます。
$$
\begin{aligned}
\lambda_2 &\approx 3.5\,\text{cm}
\end{aligned}
$$

波長も速さと同じように変化します。媒質IIに入ると波は速くなるので、その分だけ波長も伸びます。
計算すると、元の \(2.0\,\text{cm}\) が約 \(1.73\) 倍に伸びて、\(3.5\,\text{cm}\) になります。

波長が長くなっており、速さが速くなったことと整合しています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 屈折の法則の完全理解
  • 核心: 異なる媒質間での波の振る舞いを記述する最も重要な法則です。入射角、屈折角、速さ、波長、屈折率の間の比例・反比例関係を一挙に表します。
  • 理解のポイント:
    • \(\frac{\sin i}{\sin r} = \frac{v_1}{v_2} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2} = n_{12}\) という一連の等式を暗記するだけでなく、それぞれの項が何を意味するかを理解しましょう。
    • 特に「速さが遅くなると、角度（法線とのなす角）は小さくなり、波長は短くなる」という定性的なイメージを持つことが重要です。
• 波の反射の法則と作図
  • 核心: 「入射角＝反射角」という単純な法則ですが、これを波面図として正しく描けるかが問われます。
  • 理解のポイント:
    • 波面は常に進行方向（射線）と垂直です。
    • 反射波の作図では、まず反射線（進行方向）を描き、それに垂直な線を引くという手順を徹底しましょう。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 全反射の問題: 屈折角が \(90^\circ\) になるとき、光（波）は境界面から外に出られなくなります。これは「遅い媒質から速い媒質へ」進むとき（\(n_1 > n_2\)）にのみ起こります。屈折の法則で \(\sin r = 1\) と置くことで臨界角を求められます。
  • プリズムを通る光: ガラスのプリズムを通る光は、2回の屈折を経て大きく曲げられます。それぞれの面で丁寧に屈折の法則を適用し、偏角（どれだけ曲がったか）を計算する問題が頻出です。
  • 光ファイバー: 全反射の原理を応用した技術です。芯（コア）の屈折率を鞘（クラッド）より高くすることで、光を閉じ込めて遠くまで運びます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 媒質の「硬さ（疎密）」を見極める: 波の速さが与えられていれば、どちらが「速い（疎）」でどちらが「遅い（密）」かを即座に判断します。
  2. 法線を引く: 境界面に対して垂直な線（法線）を必ず引きましょう。入射角や屈折角は、境界面ではなく「法線」とのなす角です。ここを間違えると全て計算が狂います。
  3. 比例関係の確認: 「速いほう＝角度が大きい＝波長が長い」「遅いほう＝角度が小さい＝波長が短い」という大小関係を常に意識して、計算結果がそれに合っているか確認します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 入射角・屈折角の定義ミス:
  • 誤解: 波の進行方向と「境界面」とのなす角を \(i\) や \(r\) としてしまう。
  • 対策: 物理における角度は、基本的に「法線（垂線）」とのなす角です。図を描くときは、まず法線を点線で引き、そこからの角度を測る癖をつけましょう。
• 相対屈折率の添字の混乱:
  • 誤解: \(n_{12}\) が \(\frac{n_1}{n_2}\) なのか \(\frac{n_2}{n_1}\) なのか分からなくなる。
  • 対策: \(n_{12}\) は「媒質1に対する媒質2の屈折率」であり、定義は \(\frac{v_1}{v_2}\) です。絶対屈折率との関係は逆比になり、\(\frac{n_2}{n_1}\) です。「1から2へ行くとき、速度は \(v_1/v_2\) 倍、屈折率は \(n_2/n_1\) 倍」と整理して覚えましょう。あるいは、常に \(n_1 \sin i = n_2 \sin r\) の形（屈折の法則の対称形）で使うとミスが減ります。
• 振動数が変わるという誤解:
  • 誤解: 媒質が変わって速さが変わると、振動数も変わると思ってしまう。
  • 対策: 振動数は「波源」が決めるものであり、一度出た波の振動数は媒質が変わっても絶対に変わりません。これは波の基本原理です。「色は変わらない（光の場合）」「音の高さは変わらない（音の場合）」と覚えましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (2)での公式選択（屈折の法則）:
  • 選定理由: 入射角と屈折角が与えられており、屈折率を求める問題なので、これらを直接結びつける屈折の法則が最適です。
  • 適用根拠: 角度の情報だけで屈折率を決定できる唯一の法則です。
• (3)(4)での公式選択（波の基本式 vs 屈折の法則）:
  • 選定理由: どちらを使っても解けますが、波の基本式 \(v=f\lambda\) は「振動数不変」という物理的背景を意識しやすく、屈折の法則は「比の関係」として機械的に計算しやすいという特徴があります。
  • 適用根拠: 振動数が既知であるため、波の基本式を使うことで、屈折現象とは独立して各媒質での物理量を計算できます。一方、屈折の法則を使えば、振動数を経由せずに比率だけで計算できます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 対称形の式の活用:
  • \(n_1 \sin i = n_2 \sin r\) や \(n_1 v_1 = n_2 v_2\) のような対称形の式を使うと、分母分子の取り違えミスを劇的に減らせます。「自分の場所の値を掛ける」と覚えると簡単です。
• 単位の確認:
  • 速さが \(\text{cm/s}\)、波長が \(\text{cm}\) で統一されているか確認します。もし \(\text{m}\) などが混ざっていたら、計算前に必ず統一しましょう。
• ルートの計算:
  • 途中計算では \(\sqrt{3}\) などの無理数をそのまま残し、最後の最後で近似値を代入すると、計算誤差が少なくなります。

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