「セミナー物理基礎＋物理2025」徹底解説！【第 Ⅳ 章 14】プロセス

プロセス

1 単振動の周期

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「単振動の周期と振動数の関係」です。それぞれの物理量の定義に立ち返って考えます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
単振動の基本的な性質を問う問題です。「\(1.0\)\(\text{s}\) 間に\(20\)回振動する」という情報が何を表しているかを正確に読み取ることが第一歩です。これは「\(1\)秒あたりの振動回数」、すなわち「振動数 \(f\)」を直接与えていると解釈できます。求める量は「\(1\)回の振動に要する時間」、すなわち「周期 \(T\)」です。振動数と周期が互いに逆数の関係にあることを理解していれば、すぐに計算できます。問題文の数値「\(1.0\)\(\text{s}\)」「\(20\)回」の有効数字にも注意が必要です。\(1.0\)は\(2\)桁、\(20\)は整数で回数を表しているので、計算結果は\(1.0\)に合わせて\(2\)桁で答えるのが適切です。

この設問における重要なポイント

• 周期 \(T\) [\(\text{s}\)]: \(1\)回の完全な振動（例えば、おもりが元の位置に戻り、同じ向きに運動を始めるまで）にかかる時間。単位は秒 [\(\text{s}\)]。
• 振動数 \(f\) [\(\text{Hz}\)]: \(1\)秒間に振動する回数。単位はヘルツ [\(\text{Hz}\)]。\(1\) \(\text{Hz}\) は\(1\)秒間に\(1\)回振動することを意味します。
• 関係式: \(T = \displaystyle\frac{1}{f}\) または \(f = \displaystyle\frac{1}{T}\)。周期と振動数は互いに逆数の関係にあります。この関係は波の分野でも非常に重要になります。

具体的な解説と立式
まず、問題文から振動数 \(f\) を求めます。
振動数の定義は「\(1\)秒間あたりの振動の回数」です。
問題文には「\(1.0\)\(\text{s}\) 間に\(20\)回振動する」とあるので、\(1\)秒あたりの振動回数は\(20\)回です。
したがって、振動数 \(f\) は、
$$
f = 20 \, [\text{Hz}] $$
次に、求めたい量である周期 \(T\)（\(1\)回の振動に要する時間）を計算します。
周期 \(T\) と振動数 \(f\) の間には以下の関係式が成り立ちます。
$$
T = \displaystyle\frac{1}{f} \quad \cdots ①
$$

「具体的な解説と立式」で立てた式①に、求めた振動数 \(f\) の値を代入します。
$$
\begin{aligned}
T &= \displaystyle\frac{1}{20} \\[2.0ex] &= 0.050 \, [\text{s}] \end{aligned}
$$
問題文の「\(1.0\)\(\text{s}\)」が有効数字\(2\)桁であるため、答えも有効数字\(2\)桁で表現します。
\(0.050\) を指数形式で表すと \(5.0 \times 10^{-2}\) となります。
$$
T = 5.0 \times 10^{-2} \, [\text{s}] $$

「\(1.0\)秒で\(20\)回振動する」ということは、\(20\)回の振動をひとまとめにして、その全体にかかる時間が\(1.0\)秒だということです。
知りたいのは「\(1\)回分の振動にかかる時間」です。
これは、全体の時間 \(1.0\)秒を、回数の\(20\)回で割り算すれば求まります。
ちょうど、\(20\)個で\(100\)円のお菓子があったら、\(1\)個あたりの値段は \(100 \div 20 = 5\)円と計算するのと同じ考え方です。
なので、\(1.0 \div 20 = 0.050\) となり、\(1\)回あたり \(0.050\)秒かかることが分かります。

2 単振動の振動数

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「単振動の周期と振動数の関係」です。それぞれの物理量の定義に立ち返って考えます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
周期 \(T\) が与えられ、振動数 \(f\) を求める問題です。周期と振動数が互いに逆数の関係にあること、すなわち \(f = \displaystyle\frac{1}{T}\) という関係式を理解しているかが問われます。この関係式に与えられた周期の値を代入するだけで答えが求まります。また、問題文の数値「\(0.20\)\(\text{s}\)」が有効数字\(2\)桁であるため、計算結果もそれに合わせて有効数字\(2\)桁で表現する必要があります。

この設問における重要なポイント

• 周期 \(T\) [\(\text{s}\)]: \(1\)回の振動にかかる時間。
• 振動数 \(f\) [\(\text{Hz}\)]: \(1\)秒間に振動する回数。
• 関係式: \(f = \displaystyle\frac{1}{T}\)。この式は、周期が短い（\(1\)回の振動にかかる時間が短い）ほど、\(1\)秒間にたくさんの回数振動できる（振動数が大きい）という直感的な物理的イメージと一致します。

具体的な解説と立式
問題文より、単振動の周期 \(T\) は \(0.20\)\(\text{s}\) です。
求めたい量は振動数 \(f\) です。
周期 \(T\) と振動数 \(f\) の間には以下の関係式が成り立ちます。
$$
f = \displaystyle\frac{1}{T} \quad \cdots ①
$$

「具体的な解説と立式」で立てた式①に、問題文で与えられた周期 \(T = 0.20 \, \text{s}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
f &= \displaystyle\frac{1}{0.20} \\[2.0ex] &= \displaystyle\frac{1}{2.0 \times 10^{-1}} \\[2.0ex] &= 0.50 \times 10^{1} \\[2.0ex] &= 5.0 \, [\text{Hz}] \end{aligned}
$$
問題文の「\(0.20\)\(\text{s}\)」が有効数字\(2\)桁なので、答えも有効数字\(2\)桁で \(5.0 \, \text{Hz}\) となります。

「周期が \(0.20\)秒」というのは、「\(1\)回振動するのに \(0.20\)秒かかる」という意味です。
ここで知りたいのは、「じゃあ、\(1\)秒間では何回振動できるの？」ということです。
これは、\(1\)秒という時間を、\(1\)回あたりにかかる時間（\(0.20\)秒）で割り算すれば求まります。
例えば、「\(1\)個のパンを食べるのに \(0.20\)分かかる人が、\(1\)分間で何個のパンを食べられるか？」という問題と同じ考え方です。
計算は \(1 \div 0.20 = 5\) となります。つまり、\(1\)秒間に\(5\)回振動できるということです。物理では有効数字を考えて \(5.0\)回とし、単位をつけて \(5.0 \, \text{Hz}\) と答えます。

3 波のグラフの読み取り

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「波のグラフ（\(y-x\)グラフ）の読み取り」です。グラフから波の基本的な物理量を読み取る方法を学びます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
波の問題では、まず与えられたグラフが何を表しているかを確認することが最も重要です。この問題のグラフは、縦軸が変位 \(y\)、横軸が位置 \(x\) の「\(y-x\)グラフ」です。これは、ある瞬間の波の形を写真に撮ったものだとイメージすると分かりやすいです。
「振幅」は、波の高さそのものではなく、振動の中心（\(x\)軸）から最も離れた点（山または谷）までの距離を指します。グラフの \(y\) 軸の最大値または最小値の絶対値を見れば分かります。
「波長」は、波一つ分の長さです。グラフ上で同じ形の繰り返しが始まるまでの距離を読み取ります。例えば、「山の頂上から次の山の頂上まで」や「谷の底から次の谷の底まで」の水平距離が波長にあたります。あるいは、\(x=0\) から出発して、波が上下に一回振動して元の状態に戻るまでの水平距離を読み取っても構いません。

この設問における重要なポイント

• \(y-x\)グラフ: ある時刻 \(t\) における、各位置 \(x\) での媒質の変位 \(y\) を示したグラフ。波の「形」そのものを表します。
• 振幅 \(A\) [\(\text{m}\)]: 媒質の振動の中心（つりあいの位置、\(y=0\) の線）からの変位の最大値です。グラフの山の高さ、または谷の深さに相当します。
• 波長 \(\lambda\) [\(\text{m}\)]: 波が空間的に1周期分進む距離です。グラフ上では、同じ位相を持つ隣り合う2点間の距離（例：山と隣の山、谷と隣の谷の間の距離）として現れます。

具体的な解説と立式
この問題は、グラフから値を直接読み取るため、計算式を立てるというよりは定義に従って値を探すプロセスになります。

1. 振幅 \(A\) の求め方
振幅は、振動の中心（\(x\)軸）からの変位 \(y\) の最大値です。
グラフを見ると、変位 \(y\) の最大値は \(+0.30 \, \text{m}\)（山の頂上）、最小値は \(-0.30 \, \text{m}\)（谷の底）です。
したがって、振幅 \(A\) はその絶対値なので、
$$
A = 0.30 \, [\text{m}] $$
となります。

2. 波長 \(\lambda\) の求め方
波長は、波形が1サイクルするのに必要な長さです。グラフからいくつかの方法で読み取れます。

• 方法1：谷と谷の間隔から読み取る
  グラフには、\(x=1.0 \, \text{m}\) の位置に谷があり、その次の谷は \(x=5.0 \, \text{m}\) の位置にあります。この隣り合う谷と谷の水平距離が1波長です。
  $$
  \lambda = 5.0 \, [\text{m}] – 1.0 \, [\text{m}] = 4.0 \, [\text{m}] $$
• 方法2：原点から1周期分を読み取る
  \(x=0\) の点では、変位は \(0\) で、媒質はこの後マイナス方向（谷）へ動きます。波形を追っていくと、再び変位が \(0\) になり、媒質がマイナス方向へ動こうとするのは \(x=4.0 \, \text{m}\) の点です。この \(x=0\) から \(x=4.0 \, \text{m}\) までが波一つ分にあたります。
  $$
  \lambda = 4.0 \, [\text{m}] $$

この問題はグラフの読み取りが主であり、計算過程は「具体的な解説と立式」で述べた引き算のみです。

• 振幅: グラフの \(y\) 軸の最大値から、\(A = 0.30 \, \text{m}\)。
• 波長: グラフの \(x\) 軸から、隣り合う谷の間隔を計算して、\(\lambda = 5.0 – 1.0 = 4.0 \, \text{m}\)。

波のグラフは、海に浮かぶ波を横からパシャリと撮った「写真」だと思ってください。

• 振幅: 「波の高さ」のことですが、物理では「穏やかな水面（\(x\)軸の線）から、波の一番てっぺん（山）までの高さ」を指します。グラフを見ると、一番高いところが \(0.30\) なので、振幅は \(0.30 \, \text{m}\) です。一番深い谷底までの深さも同じく \(0.30 \, \text{m}\) です。
• 波長: 「波の一区切り」の長さのことです。例えば、波の谷底から次の谷底までの長さを測れば、それが波長になります。グラフを見ると、最初の谷底は \(x=1.0\) の場所にあり、次の谷底は \(x=5.0\) の場所にあります。なので、その間の長さは \(5.0 – 1.0 = 4.0\) となり、波長は \(4.0 \, \text{m}\) だと分かります。

4 波の基本式

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「波の基本式の適用」です。波の3要素である速さ、振動数、波長の関係を理解し、式を正しく使うことが目的です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
波の速さ \(v\)、振動数 \(f\)、波長 \(\lambda\) の3つの物理量の関係を表す「波の基本式 \(v=f\lambda\)」を正しく使えるかが問われる問題です。この式は、波の分野で最も基本的かつ重要な公式の一つであり、必ず覚えておく必要があります。
式の意味を物理的に理解することも大切です。振動数 \(f\) は「1秒間に波がいくつ作られるか」、波長 \(\lambda\) は「波1つの長さ」を表します。したがって、\(f \times \lambda\) は「(1秒間に作られる波の数) × (波1つの長さ)」となり、これはまさに「1秒間に波が進む距離」、すなわち速さ \(v\) を表していると解釈できます。
問題文の数値は \(2.5 \, \text{m}\) と \(8.0 \, \text{Hz}\) で、どちらも有効数字2桁です。したがって、計算結果も有効数字2桁で答える必要があります。

この設問における重要なポイント

• 波の速さ \(v\) [\(\text{m/s}\)]: 波形（位相）が媒質を伝わる速さ。
• 振動数 \(f\) [\(\text{Hz}\)]: 1秒間に波源が振動する回数。1秒間に波がいくつ生成されるかを表します。
• 波長 \(\lambda\) [\(\text{m}\)]: 1回の振動で生成される波の長さ。
• 波の基本式 \(v=f\lambda\): この式は、速さの基本定義「速さ = 距離 ÷ 時間」から導かれます。波は1周期 \(T\) の間に1波長 \(\lambda\) 進むので、\(v = \displaystyle\frac{\lambda}{T}\) と表せます。ここで、周期と振動数の関係式 \(f = \displaystyle\frac{1}{T}\) を用いると、\(v=f\lambda\) が得られます。

具体的な解説と立式
問題文より、波長 \(\lambda = 2.5 \, \text{m}\)、振動数 \(f = 8.0 \, \text{Hz}\) が与えられています。
波の速さ \(v\)、振動数 \(f\)、波長 \(\lambda\) の間には、以下の「波の基本式」が成り立ちます。
$$
v = f \lambda \quad \cdots ①
$$

「具体的な解説と立式」で立てた式①に、与えられた値を代入します。
$$
\begin{aligned}
v &= 8.0 \times 2.5 \\[2.0ex] &= 20 \, [\text{m/s}] \end{aligned}
$$
計算に用いた数値 \(8.0\) と \(2.5\) はどちらも有効数字2桁なので、計算結果も有効数字2桁で表します。\(20\) はこの場合、有効数字2桁として扱います。

波の速さを求めるのは、電車に例えて考えると分かりやすいです。
「振動数 \(f=8.0 \, \text{Hz}\)」は、「1秒間に8両の車両が連結されて出発する」ことに例えられます。
「波長 \(\lambda=2.5 \, \text{m}\)」は、「車両1両の長さが2.5mである」ことに例えられます。
では、この電車の先頭は1秒間にどれだけ進むでしょうか？
1秒間に8両が連結され、1両の長さが2.5mなので、1秒間に進む距離は \(8.0 \times 2.5 = 20 \, \text{m}\) となります。
したがって、波の速さは \(20 \, \text{m/s}\) となります。

5 正弦波の式

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「正弦波の式からの物理量の読み取り」です。与えられた波の式と、正弦波の一般式を比較することで、波の基本的な性質を明らかにします。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
波の式が与えられた問題では、まずその式がどの一般式の形に対応するのかを見抜くことが重要です。この問題で与えられた式 \(y=0.5\sin2\pi\left(\displaystyle\frac{t}{2}-\displaystyle\frac{x}{6}\right)\) は、教科書で学ぶ最も基本的な正弦波の一般式 \(y=A\sin2\pi\left(\displaystyle\frac{t}{T}-\displaystyle\frac{x}{\lambda}\right)\) と全く同じ構造をしています。
このことに気づけば、あとはパズルのように対応する部分を見比べていくだけで、振幅 \(A\)、周期 \(T\)、波長 \(\lambda\) が次々と判明します。最後に、波の速さ \(v\) を問われていますが、これも周期と波長が分かっていれば、基本公式 \(v=\lambda/T\) から簡単に計算できます。

この設問における重要なポイント

• 正弦波の式: \(y(x,t) = A\sin2\pi\left(\displaystyle\frac{t}{T}-\displaystyle\frac{x}{\lambda}\right)\)
  • \(A\): 振幅 (Amplitude)。振動の最大変位を表します。
  • \(T\): 周期 (Period)。1回の振動にかかる時間を表します。
  • \(\lambda\): 波長 (Wavelength)。波1つ分の長さを表します。
  • \(t\) の分母が周期 \(T\)、\(x\) の分母が波長 \(\lambda\) に対応します。
  • かっこの中の符号がマイナス（\(\displaystyle\frac{t}{T}-\displaystyle\frac{x}{\lambda}\)）の場合、波は \(x\) 軸の正の向きに進むことを示します。

具体的な解説と立式
与えられた波の式を式①、正弦波の一般式を式②とします。
$$
y=0.5\sin2\pi\left(\displaystyle\frac{t}{2}-\displaystyle\frac{x}{6}\right) \quad \cdots ①
$$
$$
y=A\sin2\pi\left(\displaystyle\frac{t}{T}-\displaystyle\frac{x}{\lambda}\right) \quad \cdots ②
$$
式①と式②の形を注意深く見比べ、対応する部分を特定します。

(ア) 振幅 \(A\) の導出
\(\sin\) の直前にある係数が振幅を表します。式①と②を比較すると、
$$
A = 0.5 \, [\text{m}] $$
とわかります。

(イ) 周期 \(T\) の導出
\(t\) を含む項を比較します。式②では \(\displaystyle\frac{t}{T}\) となっている部分が、式①では \(\displaystyle\frac{t}{2}\) となっています。したがって、
$$
T = 2 \, [\text{s}] $$
とわかります。

(ウ) 波長 \(\lambda\) の導出
\(x\) を含む項を比較します。式②では \(\displaystyle\frac{x}{\lambda}\) となっている部分が、式①では \(\displaystyle\frac{x}{6}\) となっています。したがって、
$$
\lambda = 6 \, [\text{m}] $$
とわかります。

(エ) 波の速さ \(v\) の導出
波の速さ \(v\) は、波長 \(\lambda\) と周期 \(T\) を用いて \(v = \displaystyle\frac{\lambda}{T}\) と表せます。

(ア), (イ), (ウ) は上記の係数比較から直接求まります。
(エ) 波の速さ \(v\) は、(イ)と(ウ)で求めた値を使って計算します。
$$
\begin{aligned}
v &= \displaystyle\frac{\lambda}{T} \\[2.0ex] &= \displaystyle\frac{6}{2} \\[2.0ex] &= 3 \, [\text{m/s}] \end{aligned}
$$

波の式は、その波のプロフィール（特徴）がすべて書かれた「設計図」のようなものです。
物理には、\(y=A\sin2\pi\left(\displaystyle\frac{t}{T}-\displaystyle\frac{x}{\lambda}\right)\) という、波の設計図の「お手本」があります。このお手本では、\(A\)が「振幅」、\(T\)が「周期」、\(\lambda\)が「波長」を表すことになっています。
今回の問題で与えられた設計図 \(y=0.5\sin2\pi\left(\displaystyle\frac{t}{2}-\displaystyle\frac{x}{6}\right)\) と、お手本をじっくり見比べてみましょう。

• お手本の \(A\) の場所には、\(0.5\) が入っています。→ (ア) 振幅は \(0.5 \, \text{m}\)
• お手本の \(T\) の場所には、\(2\) が入っています。→ (イ) 周期は \(2 \, \text{s}\)
• お手本の \(\lambda\) の場所には、\(6\) が入っています。→ (ウ) 波長は \(6 \, \text{m}\)

このように、見比べるだけで答えが分かります。
最後に(エ)の速さですが、波は「\(1\)周期(\(T\))の時間で\(1\)波長(\(\lambda\))進む」という性質があるので、速さは「距離÷時間」つまり「波長÷周期」で計算できます。
速さ \( = 6 \, \text{m} \div 2 \, \text{s} = 3 \, \text{m/s}\) となります。

6 波の重ね合わせ

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「波の重ね合わせの原理」です。2つの波が重なったときにどのような波形になるかを作図します。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
複数の波が同じ場所にやってきたとき、それらは互いに影響を与えずに通り過ぎていきます（波の独立性）。そして、波が重なっている瞬間だけ、各点の媒質の変位（揺れの大きさ）は、それぞれの波の変位を単純に足し合わせたものになります。これが「重ね合わせの原理」です。
作図問題では、すべての点の変位を計算する必要はありません。波の形が変わる「特徴的な点」、例えば、波の始まりと終わり、山の頂上などに注目します。これらの点での合成変位を求め、あとは直線で結べば、効率よく正確な合成波を描くことができます。この問題では、図に示されたまさにその瞬間の合成波を求めます。

この設問における重要なポイント

• 重ね合わせの原理: 複数の波が同じ点で重なるとき、その点の合成波の変位は、各波の変位の和に等しい。式で書くと \(y = y_1 + y_2\) となります。
• 波の独立性: 重ね合った後、それぞれの波は形を変えることなく、元の速さ・向きで進み続けます。
• 作図のコツ: \(x\)軸上のいくつかの点（特に波の形が折れ曲がる点）を選び、それぞれの点での実線の波の変位 \(y_1\) と破線の波の変位 \(y_2\) を足し算します。

具体的な解説と立式
この問題は作図なので、数式を立てるというよりは、図の上で足し算を行います。図のグリッドの縦1マスを変位\(1\)、横1マスを距離\(1\)とします。実線の波の変位を \(y_1\)、破線の波の変位を \(y_2\) とし、合成波の変位を \(y = y_1 + y_2\) として求めていきます。
グリッドの縦線を左から \(x=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\) と名前を付けて考えます。

• 点 \(x=2\):
  • 実線の波の変位は \(y_1=0\)。
  • 破線の波の変位は \(y_2=0\)。
  • 合成波の変位: \(y = 0 + 0 = 0\)。
• 点 \(x=3\) (実線の波の頂点):
  • 実線の波の変位は \(y_1=1\)。
  • 破線の波の変位は \(y_2=0\)。
  • 合成波の変位: \(y = 1 + 0 = 1\)。
• 点 \(x=3.5\) (重なっている領域の中間点):
  • 実線の波は \(x=3\) の頂点から \(x=4\) のすそ野へ下る途中なので、変位は \(y_1=0.5\)。
  • 破線の波は \(x=3\) のすそ野から \(x=4\) の頂点へ上る途中なので、変位は \(y_2=0.5\)。
  • 合成波の変位: \(y = 0.5 + 0.5 = 1\)。
• 点 \(x=4\) (破線の波の頂点):
  • 実線の波の変位は \(y_1=0\)。
  • 破線の波の変位は \(y_2=1\)。
  • 合成波の変位: \(y = 0 + 1 = 1\)。
• 点 \(x=5\):
  • 実線の波の変位は \(y_1=0\)。
  • 破線の波の変位は \(y_2=0\)。
  • 合成波の変位: \(y = 0 + 0 = 0\)。

これらの計算結果から、点\((2,0)\), \((3,1)\), \((4,1)\), \((5,0)\) をプロットし、直線で結ぶと、高さ1の台形の波形が描けます。

この問題は作図が主であり、計算過程は「具体的な解説と立式」で述べた各点での変位の足し算そのものです。

• \(x=2\) での合成変位: \(0+0=0\)
• \(x=3\) での合成変位: \(1+0=1\)
• \(x=3.5\) での合成変位: \(0.5+0.5=1\)
• \(x=4\) での合成変位: \(0+1=1\)
• \(x=5\) での合成変位: \(0+0=0\)

これらの点を結ぶことで、模範解答の図が得られます。

2つの波がぶつかっても、お互いを壊したりせず、通り過ぎていきます。ただ、重なっている瞬間だけ、お互いの高さを足し合わせた「合体した姿」になります。これが「重ね合わせ」です。
作図するには、方眼紙の縦線に沿って「実線の波の高さ」と「破線の波の高さ」を足し算してみましょう。

• 例えば、左から4番目の縦線（実線の波の山のてっぺん）を見てみましょう。実線の波の高さは1マスですが、破線の波はまだ地面にあるので高さは0です。なので、合計の高さは \(1+0=1\)マスです。
• 左から5番目の縦線（破線の波の山のてっぺん）も同じように考えると、合計の高さは \(0+1=1\)マスです。
• ちょうど2つの山の真ん中では、実線の波も破線の波も高さが0.5マスなので、合計の高さは \(0.5+0.5=1\)マスになります。

こうして、いくつかの場所で高さを足し算して点を打ち、それらの点を線で結ぶと、てっぺんが平らな台形の波が描けます。

7 波の干渉

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「波の干渉条件」です。2つの波源から出た波が、ある点で強めあうか弱めあうかを、経路差と波長の関係から判断します。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
2つの波源から出た波が、ある点で出会ったときにどうなるかを考える、干渉の典型的な問題です。ポイントは「経路差」と「波長」の関係を正しく理解しているかです。
まず、2つの波源から点Pまでの距離の差、すなわち「経路差」を計算します。次に、この経路差の中に、波がちょうど何個分入るか、あるいは半端な数（例えば4.5個など）になるかを考えます。
波源が「同位相」（山と山、谷と谷を同時に出す）の場合、経路差がちょうど波長 \(\lambda\) の整数倍（\(0, \lambda, 2\lambda, \dots\)）であれば、点Pには山と山（または谷と谷）が同時に到着するため、波は強めあいます。一方、経路差が半波長 \(\lambda/2\) の奇数倍（\(0.5\lambda, 1.5\lambda, \dots\)）であれば、片方の波が山で到着するとき、もう片方は谷で到着するため、波は弱めあいます。
この判定には、模範解答のように「経路差が半波長の偶数倍か奇数倍か」で判断する方法が計算しやすく、間違いが少ないためおすすめです。

この設問における重要なポイント

• 干渉: 複数の波が重なり合い、互いに強めあったり弱めあったりする現象。
• 経路差: 2つの波源から観測点Pまでの距離の差。\(|\text{AP} – \text{BP}|\) で計算されます。
• 同位相の波源: 2つの波源が同じタイミングで振動を始める（山と山、谷と谷を同時に送り出す）場合。
• 強めあう条件（同位相）: 経路差が波長の整数倍、または半波長の偶数倍のとき。
  $$ \text{経路差} = m\lambda = \displaystyle\frac{\lambda}{2} \times (2m) \quad (m=0, 1, 2, \dots) $$
• 弱めあう条件（同位相）: 経路差が波長の半整数倍、または半波長の奇数倍のとき。
  $$ \text{経路差} = (m+\displaystyle\frac{1}{2})\lambda = \displaystyle\frac{\lambda}{2} \times (2m+1) \quad (m=0, 1, 2, \dots) $$

具体的な解説と立式
問題文より、波源A, Bは同位相で、波長は \(\lambda = 2 \, \text{cm}\) です。
観測点Pまでの距離は、\(\text{AP} = 20 \, \text{cm}\)、\(\text{BP} = 11 \, \text{cm}\) です。
まず、2つの波源から点Pまでの経路差 \(\Delta L\) を計算します。
$$
\Delta L = |\text{AP} – \text{BP}| \quad \cdots ①
$$
次に、この経路差 \(\Delta L\) が、半波長 \(\displaystyle\frac{\lambda}{2}\) の何倍になっているかを調べ、その倍数が偶数か奇数かを判定します。

まず、式①を用いて経路差 \(\Delta L\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
\Delta L &= |\text{AP} – \text{BP}| \\[2.0ex] &= |20 – 11| \\[2.0ex] &= 9 \, [\text{cm}] \end{aligned}
$$
次に、半波長の長さを計算します。
$$
\begin{aligned}
\displaystyle\frac{\lambda}{2} &= \displaystyle\frac{2}{2} \\[2.0ex] &= 1 \, [\text{cm}] \end{aligned}
$$
最後に、経路差 \(9 \, \text{cm}\) が半波長 \(1 \, \text{cm}\) の何倍かを計算します。
$$
\begin{aligned}
\displaystyle\frac{\Delta L}{(\lambda/2)} &= \displaystyle\frac{9}{1} \\[2.0ex] &= 9
\end{aligned}
$$
この結果、経路差は半波長の\(9\)倍であることがわかります。\(9\)は奇数なので、点Pでは波は弱めあいます。

A地点とB地点から、池に石を「せーの」で同時に投げ込んでいる様子を想像してください。これが「同位相」です。
P地点で、Aからの波とBからの波が出会います。
AからPまでは \(20 \, \text{cm}\)、BからPまでは \(11 \, \text{cm}\) なので、Aからの波の方が \(20 – 11 = 9 \, \text{cm}\) だけ長い距離を旅してきます。この距離の差を「経路差」と呼びます。
波の「1セット」の長さ（波長）は \(2 \, \text{cm}\) なので、波の「半セット」の長さ（半波長）は \(1 \, \text{cm}\) です。
この「半セット」が、経路差 \(9 \, \text{cm}\) の中にちょうど \(9\) 個入ることになります。
「せーの」で出発した波が、片方はもう片方より「半セット×奇数個」分だけ遠回りしてくる場合、ちょうど「山」と「谷」がぶつかることになります。山と谷が重なると、お互いを打ち消しあって水面はほとんど揺れなくなります。これを「弱めあう」と言います。

8 波の屈折

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「波の屈折と入射角・屈折角の定義」です。図から正しく角度を読み取り、定義に従って入射角と屈折角を求めることが目的です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
波の屈折の問題では、与えられた角度が何を指しているかを正確に見抜くことが全てです。入射角・屈折角は「射線と法線のなす角」と定義されますが、計算を簡単にするための非常に便利な性質があります。それは、「入射角は、入射波の波面と境界面のなす角に等しい」、そして「屈折角は、屈折波の波面と境界面のなす角に等しい」というものです。
この問題では、まさしくこの性質を使うことが想定されています。入射側で与えられている \(60^\circ\) は「入射波面と境界面のなす角」です。同様に、屈折側で与えられている \(30^\circ\) も、図の描き方は紛らわしいですが、問題の構成上「屈折波面と境界面のなす角」を示していると解釈するのが最も自然で論理的です。この視点に立てば、計算は不要で、図から値を直接読み取るだけで答えにたどり着けます。

この設問における重要なポイント

• 法線: 媒質の境界面に対して垂直に立てた補助線。
• 射線: 波の進行方向を表す矢印。
• 波面: 波の同じ位相の点を連ねた線（山の頂などを結んだ線）。
• 射線と波面の関係: 射線と波面は常に直角（\(90^\circ\)）に交わります。
• 入射角 \(i\): 入射波の射線と法線のなす角。
• 屈折角 \(r\): 屈折波の射線と法線のなす角。
• 【最重要】角度の読み替え:
  • 入射角 \(i\) = 入射波面と境界面のなす角
  • 屈折角 \(r\) = 屈折波面と境界面のなす角

具体的な解説と立式
この問題は、上記の「角度の読み替え」の性質を理解していれば、複雑な計算は不要です。

1. 入射角 \(i\) の求め方
「入射角は、入射波面と境界面のなす角に等しい」という性質を用います。
問題図から、入射波の波面（媒質Ⅰ内の平行な実線）と境界面のなす角は \(60^\circ\) であることが直接読み取れます。
したがって、入射角 \(i\) は、
$$
i = 60^\circ
$$
となります。

2. 屈折角 \(r\) の求め方
「屈折角は、屈折波の波面と境界面のなす角に等しい」という性質を用います。
問題図の \(30^\circ\) は、その位置から「屈折波の射線と境界面のなす角」を示しているように見えますが、これは誤解を招きやすい描き方です。問題の構成（入射側で波面との角度が与えられていること）から判断して、この \(30^\circ\) は「屈折波の波面（媒質Ⅱ内の平行な実線）と境界面のなす角」を表していると解釈するのが正解です。
したがって、屈折角 \(r\) は、
$$
r = 30^\circ
$$
となります。

この問題には計算過程はありません。上記の性質に基づいて、図から値を直接読み取ることが解答プロセスとなります。

• 入射角: 図の \(60^\circ\) を読み取る。
• 屈折角: 図の \(30^\circ\) を読み取る。

波が曲がる角度の問題には、簡単な見つけ方があります。
角度は本来、波の進む向き（矢印）と境界面に垂直な線（点線）の間で測るルールですが、実はもっと簡単な方法があります。それは、波の「しわ（波面）」と境界面の間の角度を見る方法です。

• 入射角: 入射してくる波の「しわ」と境界面の間の角度は、図で \(60^\circ\) と示されています。これがそのまま入射角の答えになります。
• 屈折角: 同じように、曲がった後の波の「しわ」と境界面の間の角度が屈折角になります。図では \(30^\circ\) と示されているのが、この角度に対応します。なので、屈折角は \(30^\circ\) です。

このように、「しわと境界面の角度」に注目すれば、計算なしで答えが分かります。

9 屈折率と波の物理量

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「屈折率と波の物理量（速さ・波長・振動数）の関係」です。波がある媒質から別の媒質へ進む（屈折する）際に、各物理量がどのように変化するかを理解します。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
波が異なる媒質に進む「屈折」という現象で、どの物理量が変化し、どの物理量が変化しないのかを理解することが核心です。
まず、最も重要な原則は「振動数は変化しない」ということです。振動数は波を生み出す波源の振動によって決まるため、波が伝わる途中で媒質が変わっても、波の「リズム」そのものが変わることはありません。
次に、屈折率は波の「進みにくさ」を表す指標と考えることができます。媒質Ⅰに対する媒質Ⅱの屈折率が \(4/3\) ということは、媒質Ⅱは媒質Ⅰよりも波が進みにくいことを意味します。具体的には、速さは屈折率に反比例して遅くなります。
最後に、波の基本式 \(v=f\lambda\) を考えます。振動数 \(f\) が一定のまま速さ \(v\) が変化するので、この等式を成り立たせるためには、波長 \(\lambda\) も速さ \(v\) と同じ割合で変化する必要があります。

この設問における重要なポイント

• 屈折率 \(n_{12}\): 媒質Ⅰに対する媒質Ⅱの相対屈折率。速さの比 \(n_{12} = \displaystyle\frac{v_1}{v_2}\) と波長の比 \(n_{12} = \displaystyle\frac{\lambda_1}{\lambda_2}\) で定義されます。
• 振動数 \(f\) の不変性: 媒質が変わっても、波の振動数は変化しません。(\(f_1 = f_2\))。これは、境界面で波が滑らかにつながるために、単位時間あたりに境界面を通過する波の数が同じでなければならないためです。
• 速さ \(v\) と波長 \(\lambda\) の変化: 振動数が一定なので、波の基本式 \(v=f\lambda\) より、速さ \(v\) と波長 \(\lambda\) は比例関係にあります。つまり、速さが半分になれば、波長も半分になります。

具体的な解説と立式
媒質Ⅰでの波の速さ、波長、振動数をそれぞれ \(v_1, \lambda_1, f_1\) とします。
媒質Ⅱでの波の速さ、波長、振動数をそれぞれ \(v_2, \lambda_2, f_2\) とします。
問題文より、媒質Ⅰに対する媒質Ⅱの屈折率 \(n_{12}\) は、
$$
n_{12} = \displaystyle\frac{4}{3}
$$
です。

速さについて
屈折の法則より、屈折率と速さの間には次の関係があります。
$$
n_{12} = \displaystyle\frac{v_1}{v_2} \quad \cdots ①
$$

波長について
同様に、屈折率と波長の間には次の関係があります。
$$
n_{12} = \displaystyle\frac{\lambda_1}{\lambda_2} \quad \cdots ②
$$

振動数について
屈折の前後で振動数は変化しません。
$$
f_2 = f_1 \quad \cdots ③
$$

速さの倍率
式①に屈折率の値を代入します。
$$
\begin{aligned}
\displaystyle\frac{4}{3} &= \displaystyle\frac{v_1}{v_2} \\[2.0ex] 4v_2 &= 3v_1 \\[2.0ex] v_2 &= \displaystyle\frac{3}{4}v_1
\end{aligned}
$$
したがって、媒質Ⅱでの速さは、媒質Ⅰでの速さの \(\displaystyle\frac{3}{4}\) 倍になります。

波長の倍率
式②に屈折率の値を代入します。
$$
\begin{aligned}
\displaystyle\frac{4}{3} &= \displaystyle\frac{\lambda_1}{\lambda_2} \\[2.0ex] 4\lambda_2 &= 3\lambda_1 \\[2.0ex] \lambda_2 &= \displaystyle\frac{3}{4}\lambda_1
\end{aligned}
$$
したがって、媒質Ⅱでの波長は、媒質Ⅰでの波長の \(\displaystyle\frac{3}{4}\) 倍になります。

振動数の倍率
式③より、\(f_2\) は \(f_1\) の \(1\) 倍です。

波が空気中から水中に進むときのように、進む物質が変わることを「屈折」と言います。

• 振動数: 波のリズム（1秒間に何回振動するか）は、波を作り出す大元（波源）で決まります。一度出発した波のリズムは途中で変わらないので、振動数は「1倍」のままです。
• 速さ: 「屈折率が \(4/3\)」というのは、媒質Ⅱが媒質Ⅰより「\(4/3\) 倍だけ波が進みにくい」という意味だと考えましょう。進みにくさが \(4/3\) 倍になるので、速さはその逆数の「\(3/4\) 倍」に遅くなります。
• 波長: 波の基本ルールに「速さ = 振動数 × 波長」があります。今、振動数は変わらず（1倍）、速さが \(3/4\) 倍になりました。この式のつじつまを合わせるためには、波長も同じく「\(3/4\) 倍」になる必要があります。

ABOUT THE AUTHOR

共田 誠（まこと先生）

高校物理講師・プロ家庭教師 / 指導歴14年

上智大学理工学部物理学科卒。私立高校の非常勤講師として進学クラスから基礎クラスまで幅広く担当。大手家庭教師センター3社でプロ家庭教師を経験し、現在はオンライン専門で全国の高校生を個別指導中。

「暗記物理の撲滅」を掲げ、生徒の思考のクセを診断・矯正するドクター型アプローチで指導。表面的なテクニックではなく、初見の問題に強い思考力を育てる。

800+解説記事

1.1万+YouTube登録者

6プレミアムパック

14年指導歴

🎯高校物理の全6分野、プレミアムパックが完成しました。制作の記録を見る →

指導哲学を読む個別指導についてYouTubeチャンネル