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講義ノート（板書PDF）
「力の図示→運動方程式→解く」を根本から組み直すドクター型講義
講義ノート
【今回のポイント】
- 等速直線運動とは、同じ速さで一本道をまっすぐ進む運動のこと
- \(x\text{-}t\) グラフ（位置と時刻の関係）では右上がりの直線になる
- \(v\text{-}t\) グラフ（速度と時刻の関係）では横一文字の直線になる
- \(v\text{-}t\) グラフの面積が移動距離を表す（速さ×時間と同じ計算）
【講義解説】
等速直線運動とは
等速直線運動とは、同じ速さで一本道をまっすぐ進む運動のことである。漢字の通り、「等しい速さ」で「直線的」に進む運動である。
中学校で学んだ速さの問題と基本的には変わらない。ずっと一定のスピードでまっすぐ進むだけの、最もシンプルな運動である。
ではなぜ、いちばん簡単な運動にわざわざ1講を使うのか。答えはこの講で覚えるのは運動ではなくグラフの読み方だからである。速さが変わらない運動でグラフの読み方を身につけておけば、次の講で速さが変わり始めても同じ読み方が使える。
ここで最初の診断をしておきたい。グラフの問題を見たとき、あなたは何を最初に見ているだろうか。縦軸が何かを確かめる前に線の形だけを見ているなら、それが直すべき思考のクセである。
症状：グラフを見て「右上がりだから速くなっている」と反射的に答えてしまう。
診断：グラフの形だけを見て、縦軸が何かを見ていない状態。同じ右上がりでも、縦軸が位置なら「進んでいる」、縦軸が速度なら「速くなっている」で意味がまったく違う。
処方箋：線を見る前に、必ず縦軸のラベルを声に出す。「縦は位置」「縦は速度」——この一言だけで、この講の失点はほぼ無くなる。
経過観察：この記事の演習を解くとき、答えが合ったかどうかではなく縦軸を先に確かめたかを自分で点検してほしい。
🩺 要点整理
等速直線運動は、力学でいちばん単純な運動である。押さえるのは次の2つ。
この講で身につけるのは運動そのものではなく、運動をグラフでどう読むかである。速さが変わらないうちに読み方を固めておくと、速さが変わり始める第3限以降でそのまま使える。
🧠 見ずに思い出そう
次の2つを、ノートを閉じたまま言えるだろうか。
① 「等速直線運動」の2つの条件は何か
② なぜ最初にいちばん単純な運動を扱うのか
①で詰まったなら、この節の定義に戻ればよい。②で詰まったのがいちばん重要で、その場合は「何のためにやっているか」を持たずに手順だけ追っているという診断になる。戻る場所が①と②で違うので、どちらで詰まったかを覚えておいてほしい。
2種類のグラフ（\(x\text{-}t\) グラフと \(v\text{-}t\) グラフ）
物体の運動を表すグラフには2種類ある。ここでは速さ \(5\,\text{m}/\text{s}\) で運動している物体を例に見ていく。
大事なのは2種類あるのは運動が2つあるからではなく、同じ1つの運動を2通りの物差しで測っているからという点である。第1限で「位置」と「距離」が同じ運動の別の測り方だったのと、まったく同じ構図である。
同じ人の走りを、2つの装置で記録すると思ってほしい。
1つ目は今どこにいるかを記録する装置。時間が経つほど地点は先へ進むので、記録は右上がりになる。
2つ目は今どれくらいの速さかを記録する装置。速さは変わらないので、記録はずっと同じ高さのままである。
図: 同じ運動でも、位置で記録するか速さで記録するかで線の形が変わる
線の形が違うのに同じ運動——ここが飲み込めれば、この講の半分は終わりである。
\(x\text{-}t\) グラフ（位置−時刻グラフ）
縦軸が \(x\)（位置）、横軸が \(t\)（時刻）のグラフである。
\(0\) 秒のときに \(0\,\text{m}\) 地点にいて、\(1\) 秒ごとに \(5\,\text{m}\) ずつ進む。\(t=1\) のとき \(x=5\)、\(t=2\) のとき \(x=10\)、\(t=3\) のとき \(x=15\) と点を打ってつなぐと、右上がりの直線になる。一定のリズムで位置が変化していくので、まっすぐな線になるのである。
\(v\text{-}t\) グラフ（速度−時刻グラフ）
縦軸が \(v\)（速度）、横軸が \(t\)（時刻）のグラフである。
\(0\) 秒のときも、\(1\) 秒のときも、\(2\) 秒のときも、ずっと速度は \(5\,\text{m}/\text{s}\) である。何秒経っても \(v\) の値は変わらないので、横一文字の直線になる。
同じ運動を、2つのグラフで数値まで書き出して見比べてみる。
\(x\text{-}t\) グラフに打つ点は、\((1, 5)\)、\((2, 10)\)、\((3, 15)\)。点はどんどん上がっていく。
\(v\text{-}t\) グラフに打つ点は、\((1, 5)\)、\((2, 5)\)、\((3, 5)\)。点は同じ高さに並ぶ。
同じ運動なのに、片方は増え続け、もう片方は変わらない。増えているのは「進んだ地点」で、変わらないのは「1秒あたりの進み」である。この2つを混ぜると、グラフの読み間違いが起きる。
図: 同じ運動の \(x\text{-}t\) グラフ（右上がり）と \(v\text{-}t\) グラフ（横一文字）
🩺 要点整理
同じ運動でも、記録する物差しが2つある。
線の形が違っても運動は1つである。線を見る前に縦軸のラベルを読む——この順番を守るだけで、この講の取りこぼしはほぼ無くなる。
よくあるつまずき
症状：グラフが横一文字なのを見て「止まっている」と答えてしまう。
診断：線の形だけで意味を決めている状態。同じ横一文字でも、縦軸が位置なら「止まっている」、縦軸が速度なら「同じ速さで走り続けている」で、意味が正反対になる。
処方箋：答える前に「縦は位置か、速度か」と自分に一言たずねる。速度のグラフで止まっているのは、高さが \(0\) のときだけ——この但し書きを1つ持っておけば、取り違えは起きない。
🧠 見ずに思い出そう
ノートを閉じて、次の問いに答えてみよう。
① \(x\text{-}t\) グラフと \(v\text{-}t\) グラフは、それぞれどんな質問に答えているか
② 等速直線運動のとき、2つのグラフはそれぞれどんな形になるか
②だけ言えたなら形を覚えているだけかもしれない。①が言えて初めて、形を思い出せなくてもその場で導ける。①で詰まったならこの節の冒頭へ、②で詰まったなら図へ戻る。
\(v\text{-}t\) グラフの面積＝移動距離
\(v\text{-}t\) グラフには非常に重要な性質がある。グラフの面積が、そのまま移動距離になるのである。
「面積が距離になる」と言われると、公式として覚えたくなるかもしれない。だがこれは覚える規則ではなく、掛け算の意味をそのまま図にしただけである。次にその理由を見る。
なぜそうなるのか。たとえば速さ \(5\,\text{m}/\text{s}\) で \(3\) 秒間進んだときの移動距離を考えると、次のようになる。
$$
\begin{aligned}
x &= 5 \times 3 \\[2.0ex]
&= 15\,\text{m}
\end{aligned}
$$
一方、\(v\text{-}t\) グラフで \(t=0\) から \(t=3\) までの面積を求めると、縦が \(5\)、横が \(3\) の長方形の面積になるので、\(5 \times 3 = 15\) となる。
つまり、「速さ×時間」の計算と「縦×横」の面積の計算はまったく同じことをしている。したがって、\(v\text{-}t\) グラフの面積は移動距離を表す。
なぜ掛け算が面積になるのか、積み木で考えてみる。
速さ \(5\,\text{m}/\text{s}\) とは「1秒ごとに \(5\,\text{m}\) の進みが1つ手に入る」ということ。3秒なら、その進みが3つ手に入る。
図: 1秒ぶんの進みを秒数だけつなげたものが、移動距離
足し算をまとめたものが掛け算で、その掛け算を図にしたものが長方形の面積である。だから「面積＝距離」は新しい規則ではなく、同じことの言い換えにすぎない。
等速直線運動ではずっとスピードが一定なのであまり効果を感じないかもしれないが、次の講義で扱う「加速するパターン」のときに、この知識が非常に役に立つ。
そこでは速さが刻々と変わるので、「速さ×時間」の掛け算はもう使えない。使えなくなっても面積の読み方だけは生き残る——それが、この性質をいま押さえておく理由である。
🔗 関連単元
「面積で読む」という道具は、この講で終わりではない。第3限（3限目：加速度と等加速度運動の3公式）では速さが刻々と変わるため「速さ×時間」の掛け算が使えなくなるが、\(v\text{-}t\) グラフの面積で読む方法はそのまま生き残る。第4限ではその面積を三角形や台形として読み取っていく。本講で身につけた「縦×横＝進んだ距離」が、そこでの土台になる。
練習問題の解説
① 等速直線運動の距離と \(v\text{-}t\) グラフ（問10）
問題
ある新幹線は、時速 \(200\) キロメートルで走り、\(2\) 時間半で東京から大阪まで到着する。東京と大阪の距離はいくらか。また、その距離を \(v\text{-}t\) グラフで表せ。
解説
まず距離を計算する。速度は \(200\,\text{km}/\text{h}\)、時間は \(2.5\,\text{h}\) である。
$$
\begin{aligned}
x &= 200 \times 2.5 \\[2.0ex]
&= 500\,\text{km}
\end{aligned}
$$
次に \(v\text{-}t\) グラフを描く。縦軸を \(v\,[\text{km}/\text{h}]\)、横軸を \(t\,[\text{h}]\) とする。速度はずっと \(200\,\text{km}/\text{h}\) なので、\(v=200\) の横一文字の直線を引く。
図: 問1：速度が変わらないので \(v=200\) の横一文字。囲まれた長方形の面積が距離
距離を \(v\text{-}t\) グラフから求める場合は、\(t=2.5\) からまっすぐ上に点線を引き、グラフとぶつかったところで囲まれた長方形の面積を調べる。縦が \(200\)、横が \(2.5\) なので、面積は \(200 \times 2.5 = 500\) となり、先ほど計算した距離と一致する。
東京と大阪の距離：\(500\,\text{km}\) ／ \(v\text{-}t\) グラフ：\(v=200\,\text{km}/\text{h}\) の横一文字の直線
② 等速直線運動の位置と変位（問11）
問題
x軸上を正の向きに \(2.5\,\text{m}/\text{s}\) の一定の速度で運動している物体が、時刻 \(0\,\text{s}\) に原点Oを通過したとする。時刻 \(3.0\,\text{s}\) での物体の位置を求めよ。また \(3.0\,\text{s}\) から \(5.0\,\text{s}\) までの間の変位を求めよ。\(v\text{-}t\) グラフを用いること。
解説
まず状況を整理する。\(t=0\,\text{s}\) で原点（\(x=0\)）を通過し、速度はずっと \(2.5\,\text{m}/\text{s}\) である。\(v\text{-}t\) グラフを描くと、\(v=2.5\) の横一文字の直線になる。
図: 問2：正の向きに \(2.5\,\text{m}/\text{s}\) で進む物体の状況
図: 問2：面積を前半と後半に分けて読む
前半: 時刻 \(3.0\,\text{s}\) での位置
\(t=0\) から \(t=3.0\) までの \(v\text{-}t\) グラフの面積を求める。縦が \(2.5\)、横が \(3.0\) の長方形である。
$$
\begin{aligned}
x_3 &= 2.5 \times 3.0 \\[2.0ex]
&= 7.5\,\text{m}
\end{aligned}
$$
原点から正の向きに \(7.5\,\text{m}\) 移動したので、位置は \(7.5\,\text{m}\) である。
後半: \(3.0\,\text{s}\) から \(5.0\,\text{s}\) までの変位
\(t=3.0\) から \(t=5.0\) までの面積を求める。横の長さは \(5.0 – 3.0 = 2.0\,\text{s}\) である。
$$
\begin{aligned}
\Delta x &= 2.5 \times 2.0 \\[2.0ex]
&= 5.0\,\text{m}
\end{aligned}
$$
正の向きに移動しているので、変位は \(+5.0\,\text{m}\) である。
時刻 \(3.0\,\text{s}\) での位置：\(7.5\,\text{m}\) ／ \(3.0\,\text{s}\) から \(5.0\,\text{s}\) までの変位：\(+5.0\,\text{m}\)
【重要公式まとめ】
等速直線運動の移動距離
$$
\begin{aligned}
x &= v \times t
\end{aligned}
$$
\(x\): 移動距離、\(v\): 速度、\(t\): 時間
図: 移動距離の各文字が、\(v\text{-}t\) グラフのどこを指すか
\(v\text{-}t\) グラフの面積 ＝ 移動距離
\(v\text{-}t\) グラフで囲まれた部分の面積が、その時間内の移動距離を表す。
図: 面積を数値で読むと、掛け算の答えと一致する
【記事限定 演習問題】
この講の内容だけで解ける問題を用意した。答えを見る前に、まず縦軸が何かを声に出して確かめるところからやってみてほしい。
📝 記事限定 演習問題①（単位をそろえてから掛ける）
自動車が \(54\,\text{km}/\text{h}\) の一定の速さで \(20\) 秒間走った。進んだ距離は何 \(\text{m}\) か。
解答と思考プロセスを見る
速さの単位は時速、時間の単位は秒である。そろっていない数はそのまま掛けられないので、まず秒速に直す。
$$
\begin{aligned}
v &= \displaystyle\frac{54 \times 1000}{3600} \\[2.0ex]
&= 15\,\text{m}/\text{s}
\end{aligned}
$$
そろえてから掛ける。
$$
\begin{aligned}
x &= 15 \times 20 \\[2.0ex]
&= 300\,\text{m}
\end{aligned}
$$
答えは \(300\,\text{m}\)。
もし直さずに \(54 \times 20 = 1080\) としてしまうと、単位は「\(\text{km}\cdot\text{s}/\text{h}\)」という意味のない量になる。桁が合わない答えが出たら、まず単位を疑う。
📝 記事限定 演習問題②（面積から距離を読む）
ある物体の \(v\text{-}t\) グラフは、\(t=0\) から \(t=8.0\,\text{s}\) まで \(v=4.0\,\text{m}/\text{s}\) の横一文字の直線だった。この \(8.0\) 秒間の移動距離を求めよ。
解答と思考プロセスを見る
縦が \(4.0\)、横が \(8.0\) の長方形の面積を求めればよい。
$$
\begin{aligned}
x &= 4.0 \times 8.0 \\[2.0ex]
&= 32\,\text{m}
\end{aligned}
$$
答えは \(32\,\text{m}\)。
このとき「面積の公式」を思い出す必要はない。「1秒で \(4.0\,\text{m}\) 進むのを8回ぶん」と読めば同じ式が出る。式の出どころを言葉で言えるかどうかが、次の講で効いてくる。
📝 記事限定 演習問題③（傾きから速さを読む）
ある物体の \(x\text{-}t\) グラフは原点を通る直線で、\(t=4.0\,\text{s}\) のとき \(x=30\,\text{m}\) を通った。この物体の速さを求めよ。
解答と思考プロセスを見る
\(x\text{-}t\) グラフでは、面積ではなく傾きが速さを表す。第1限の \(v = \displaystyle\frac{\Delta x}{\Delta t}\) をそのまま使う。
$$
\begin{aligned}
v &= \displaystyle\frac{30 – 0}{4.0 – 0} \\[2.0ex]
&= 7.5\,\text{m}/\text{s}
\end{aligned}
$$
答えは \(7.5\,\text{m}/\text{s}\)。
\(x\text{-}t\) は傾き、\(v\text{-}t\) は面積——この対応を混ぜると、②と③で同じ計算をしてしまう。縦軸を先に確かめる習慣が、ここで効く。
📝 記事限定 演習問題④（区間が2つに分かれる場合）
ある物体の \(v\text{-}t\) グラフは、\(t=0\) から \(t=3.0\,\text{s}\) までは \(v=2.0\,\text{m}/\text{s}\)、\(t=3.0\,\text{s}\) から \(t=7.0\,\text{s}\) までは \(v=5.0\,\text{m}/\text{s}\) の横一文字だった。\(7.0\) 秒間の移動距離を求めよ。
解答と思考プロセスを見る
速さが途中で変わっているので、「速さ×時間」を一度で済ませることはできない。だが面積なら、2つの長方形に分けて足せばよい。
前半（\(3.0\) 秒間）の面積。
$$
\begin{aligned}
x_1 &= 2.0 \times 3.0 \\[2.0ex]
&= 6.0\,\text{m}
\end{aligned}
$$
後半（\(7.0 – 3.0 = 4.0\) 秒間）の面積。
$$
\begin{aligned}
x_2 &= 5.0 \times 4.0 \\[2.0ex]
&= 20\,\text{m}
\end{aligned}
$$
合計する。
$$
\begin{aligned}
x &= 6.0 + 20 \\[2.0ex]
&= 26\,\text{m}
\end{aligned}
$$
答えは \(26\,\text{m}\)。
ここが面積という読み方の値打ちである。掛け算1回では手が止まるのに、面積なら形を分けて足すだけで進める。次の講で速さが連続的に変わっても、同じ考え方がそのまま使える。
📝 記事限定 演習問題⑤（グラフを見分ける）
「あるグラフが横一文字だった」という情報だけが与えられた。この物体は止まっていると判断してよいか。理由とともに答えよ。
解答と思考プロセスを見る
判断できない。縦軸が何かが分からないからである。
縦軸が速度（\(v\text{-}t\)）なら、横一文字は「速さが変わらない」＝同じ速さで走り続けているという意味。止まっているのは、その高さが \(v=0\) のときだけ。
縦軸が位置（\(x\text{-}t\)）なら、横一文字は「位置が変わらない」＝本当に止まっている。
答えは「縦軸が \(x\) なら止まっている、縦軸が \(v\) なら一定の速さで動いている」。
同じ形の線が正反対の意味を持つ——だから線を見る前に縦軸を見るのである。
📝 記事限定 演習問題⑥（逆算する）
一定の速さで走る電車が、\(12\) 分間で \(18\,\text{km}\) 進んだ。この電車の速さは何 \(\text{m}/\text{s}\) か。
解答と思考プロセスを見る
求めたいのは秒速なので、距離を \(\text{m}\)、時間を \(\text{s}\) にそろえてから割る。
\(18\,\text{km} = 18000\,\text{m}\)、\(12\) 分 \(= 12 \times 60 = 720\,\text{s}\)。
$$
\begin{aligned}
v &= \displaystyle\frac{18000}{720} \\[2.0ex]
&= 25\,\text{m}/\text{s}
\end{aligned}
$$
答えは \(25\,\text{m}/\text{s}\)。
検算のコツを1つ。\(25\,\text{m}/\text{s}\) は \(3.6\) 倍して \(90\,\text{km}/\text{h}\)。電車の速さとして無理のない値である。最後に日常の感覚へ戻して確かめると、桁を1つ間違えたときに自分で気づける。
以下のテキストをコピーして、「まことAI」にそのまま貼り付けてみてください。別の角度からわかりやすく解説してくれます。
タップ（クリック）すると答えが表示されます。
Q1. 「等速直線運動」とは、どのような運動のことでしょうか？漢字の意味から2つの特徴を答えてください。
「等速」＝スピードが変わらない、「直線」＝曲がらずにまっすぐ進む、という物理の中で最もシンプルな運動です。
Q2. 等速直線運動をしているとき、縦軸に速度（\(v\)）、横軸に時間（\(t\)）をとった「\(v\text{-}t\)グラフ」はどのような形の線になりますか？
時間がどれだけ経っても速度がずっと一定で変わらないため、グラフは上がったり下がったりせず、真横にまっすぐな線になります。
Q3. 物理において非常に重要な性質です。\(v\text{-}t\)グラフにおいて、グラフの線によって囲まれた部分の「面積」は、何を表しているでしょうか？
長方形の面積は「縦×横」で計算しますが、これは「速さ×時間」を計算しているのと全く同じです。そのため、面積が移動距離を表すことになります。次回の講義の「加速する運動」でもこの考え方が大活躍します。
「AIを使ったことがない」「どう質問していいか分からない」という方も大丈夫！以下のステップに沿って進めるだけで、まこと先生の分身があなたのスマホに現れ、分かるまでトコトン付き合ってくれます。
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普段お使いのブラウザやアプリで、無料のAI（ChatGPTやGeminiなど）を開きます。
入力欄に先ほどコピーした文章をそのまま貼り付け、一番下の入力欄を自分の言葉に書き換えてから送信してください。
💡 ヒント：「自分なりに考えたこと」は、「摩擦力の向きがどっちになるか分からない」「運動方程式の立て方が分からない」など、素直な気持ちでOKです！
まことAIから返信が来たら、そこからが本番です！一度の質問で終わらせず、LINEで先生と話すように会話を続けてみましょう。
💬 こんな風に返信してみて！（質問のコツ）
力の分解は分かったけど、斜面の問題でどの方向に分解すればいいか分からない！ → 分かった部分と、分からない部分を切り分けて伝える！
ごめん、やっぱりイメージできない！エレベーターに乗る例え話で説明してみて！ → 自分の好きなスポーツや身近な現象に例えてもらう！
要するに、作用反作用って別々の物体に働く力だから釣り合いとは違うってことだよね？ → 自分の言葉でまとめ直して、合っているか確認してもらう！
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