「セミナー物理基礎＋物理2025」徹底解説！【第 Ⅳ 章 15】発展例題～発展問題392

発展例題

発展例題31 クントの実験

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「クントの実験と定常波の性質」です。音波の速さを測定する有名な実験を題材に、定常波の発生条件と波の基本公式の理解を深めます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(ア)(イ)

思考の道筋とポイント
定常波において、媒質がどのように拘束されているか（境界条件）によって、節と腹の位置が決まります。「固定されている＝動けない＝変位が \(0\)」であり、「端が自由＝大きく動ける＝変位が最大」と考えます。
この設問における重要なポイント

• 固定端: 媒質が固定されて動けない点は、定常波の節となる。
• 自由端: 媒質が自由に振動できる端は、定常波の腹となる。

具体的な解説と立式
金属棒の中点Mは固定されています。固定されているということは、その点は振動できないことを意味します。したがって、点Mは定常波の「節」となります。
一方、金属棒の両端A、Bは固定されておらず、自由に振動することができます。したがって、両端は定常波の「腹」となります。

計算は不要で、物理的状況からの判断となります。

波の「節」は全く動かない点、「腹」は一番激しく動く点のことです。棒の真ん中（点M）は万力などでガッチリ固定されているので、動きようがありません。だからここは「節」です。逆に、棒の両端は何にも触れていないので、自由にブルブル震えることができます。だからここは「腹」になります。

点Mは節、両端は腹となります。これは棒の縦振動における基本的な境界条件と一致します。

問(ウ)

思考の道筋とポイント
ガラス管内のコルク粉末は、空気中の定常波によって動かされ、特定のパターンを作ります。このパターンの繰り返し間隔 \(r\) は、定常波の半波長に相当します。これより空気中の波長 \(\lambda\) を求め、波の基本公式 \(V = f\lambda\) を用いて振動数 \(f\) を求めます。
この設問における重要なポイント

• コルク粉末の模様の間隔 \(r\) は、半波長 \(\frac{\lambda}{2}\) に等しい。
• 音速 \(V\)、振動数 \(f\)、波長 \(\lambda\) の関係式 \(V = f\lambda\) を用いる。

具体的な解説と立式
ガラス管内の気柱に生じた定常波の波長を \(\lambda\) とします。
問題文より、コルクの粉末は \(r\) ごとに同じ模様を繰り返しています。定常波の形状（変位や圧力変化）は半波長ごとに繰り返されるため、この距離 \(r\) は半波長に相当します。
したがって、以下の関係が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
\frac{\lambda}{2} &= r
\end{aligned}
$$
これより、波長は \(\lambda = 2r\) となります。
求める振動数を \(f\) とすると、波の基本公式より、以下の関係が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
V &= f\lambda
\end{aligned}
$$
この式を \(f\) について解きます。

まず、波長 \(\lambda\) を \(r\) で表します。
$$
\begin{aligned}
\lambda &= 2r
\end{aligned}
$$
次に、波の基本公式に代入して \(f\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
f &= \frac{V}{\lambda} \\[2.0ex] &= \frac{V}{2r}
\end{aligned}
$$

ガラス管の中では、音が響いて「定常波」という波ができています。この波の山と谷のリズムに合わせてコルクの粉が動きます。粉の模様が \(r\) メートルごとに繰り返されているということは、波の「半分の長さ」が \(r\) だということです。つまり、波1つ分の長さ（波長）は \(2r\) になります。「速さ＝波長×振動数」という決まりがあるので、「振動数＝速さ÷波長」と計算すれば答えが出ます。

振動数は \(f = \frac{V}{2r}\,\text{Hz}\) と求まりました。単位を確認すると、\([\text{m/s}] / [\text{m}] = [1/\text{s}] = [\text{Hz}]\) となり正しいです。

問(エ)

思考の道筋とポイント
金属棒の中を伝わる波の速さを求めます。金属棒は「基本振動」をしているため、その長さ \(L\) と波長 \(\lambda’\) の幾何学的な関係を見抜くことが第一です。次に、重要な物理法則である「波が媒質を変えても振動数は変わらない」ことを利用します。(ウ)で求めた振動数 \(f\) をそのまま使い、\(v = f\lambda’\) で計算します。
この設問における重要なポイント

• 金属棒の振動は基本振動であり、中央が節、両端が腹である。
• 節から腹までの距離は \(\frac{\lambda’}{4}\) なので、腹から腹（間に節が1つ）の距離は \(\frac{\lambda’}{2}\) である。
• 金属棒の長さ \(L\) が半波長 \(\frac{\lambda’}{2}\) に相当する。
• 金属棒の振動数と、空気中の音波の振動数は等しい。

具体的な解説と立式
求める金属中の縦波の速さを \(v\)、波長を \(\lambda’\) とします。
金属棒は中央が節、両端が腹の基本振動をしています。この形状は、定常波の「腹・節・腹」という構成になり、これはちょうど半波長分に相当します。
したがって、棒の長さ \(L\) と波長 \(\lambda’\) の関係は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
\frac{\lambda’}{2} &= L
\end{aligned}
$$
これより、金属中の波長は \(\lambda’ = 2L\) です。
振動数は空気中と同じ \(f = \frac{V}{2r}\) なので、波の基本公式を用いて速さ \(v\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
v &= f\lambda’
\end{aligned}
$$

波長 \(\lambda’ = 2L\) と、(ウ)で求めた \(f = \frac{V}{2r}\) を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
v &= \frac{V}{2r} \times 2L \\[2.0ex] &= \frac{2VL}{2r} \\[2.0ex] &= \frac{VL}{r}
\end{aligned}
$$

金属棒も波を伝えています。棒の長さ \(L\) の中に、ちょうど「波の半分」が収まっている状態（基本振動）です。つまり、金属の中での波1つ分の長さ（波長）は、棒の長さの2倍、\(2L\) になります。この波の振動数（1秒間の振動回数）は、さっき求めた空気中の振動数と同じです。「速さ＝振動数×波長」なので、これらを掛け算すれば金属の中での音の速さが分かります。

速さは \(v = \frac{VL}{r}\,\text{m/s}\) と求まりました。一般に金属中の音速は空気中より速いですが、\(L\)（棒の長さ）は通常 \(r\)（空気中の半波長）より長いため、\(v > V\) となり、物理的直感とも合致します。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 定常波の境界条件と波形の理解
  • 核心: 定常波の問題では、媒質の端が「固定端」か「自由端」かを見極めることが全ての出発点です。固定端は変位がゼロの「節」、自由端は変位が最大の「腹」になります。この境界条件から、媒質の中にどのような波形（基本振動や倍振動）ができているかを決定します。
  • 理解のポイント:
    • 節と腹の間隔: 定常波において、隣り合う節と節、または腹と腹の間隔は半波長 \(\frac{\lambda}{2}\) です。節と腹の間隔はその半分の \(\frac{\lambda}{4}\) です。この幾何学的な関係を常に頭に描けるようにしましょう。
    • 振動モードの特定: 「基本振動」とは、その境界条件を満たす最も波長の長い（振動数の低い）波形のことです。本問の金属棒のように「中央固定・両端自由」なら、中央が節、両端が腹となる最もシンプルな形、つまり棒全体が半波長分になる形が基本振動です。
• 波動の基本公式と媒質間の伝播
  • 核心: 波の性質を記述する最も重要な式 \(v = f\lambda\) を使いこなすことです。特に、波が異なる媒質へ伝わるとき（例：金属棒→空気）の振る舞いを理解しているかが問われます。
  • 理解のポイント:
    • 振動数の保存: 波源が同じであれば、波がどの媒質を伝わろうとも、振動数 \(f\) は変化しません。これは「1秒間に波源が揺れた回数だけ、波も揺れて伝わっていく」と考えれば自然です。
    • 速さと波長の変化: 媒質が変わると波の速さ \(v\) が変わります。\(v = f\lambda\) の関係から、\(f\) が一定なら、速さ \(v\) が変化した分だけ波長 \(\lambda\) も変化（比例）することになります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 気柱の共鳴（閉管・開管）: 閉管は「片方が閉じた（固定端）、片方が開いた（自由端）」、開管は「両方が開いた（自由端）」気柱です。本問の金属棒（中央固定・両端自由）は、中央で切って考えれば「片方固定・片方自由」の閉管2つ分とみなすこともできます。このように、境界条件を整理すれば、気柱の問題も弦の振動もすべて同じ原理で解けます。
  • 弦の振動: 弦の両端が固定されている場合（両端固定）は、両端が節になります。基本振動は弦の長さが半波長になります。
  • 異なる媒質の接合: 密度の違うロープをつないで波を送る実験や、光の屈折なども、「振動数が変わらず、速さと波長が変わる」という点で本問と同じ構造を持っています。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 境界条件をチェックする: 「固定されている」「閉じている」→ 節。「自由である」「開いている」→ 腹。まずはこれを図に書き込みます。
  2. 波形を描く: 節と腹の位置に合わせて、正弦波の概形を描きます。基本振動なら最もシンプルな形、2倍振動なら節を一つ増やすなどして描きます。
  3. 長さと波長の関係式を作る: 図から、「媒質の長さ \(L\) が半波長 \(\frac{\lambda}{2}\) の何個分か」を読み取り、\(L = n \times \frac{\lambda}{2}\) のような式を立てます。これが解法の土台になります。
  4. 共通する物理量を見つける: 複数の媒質が登場する場合、「何が変わって何が変わらないか」を意識します。通常は振動数 \(f\) が共通です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 節と腹の取り違え:
  • 誤解: 「端っこはいつも節だ」とか「真ん中はいつも腹だ」と思い込んでしまう。
  • 対策: 必ず「動けるか、動けないか」という物理的な状況から判断します。固定されていれば節、自由なら腹です。本問のように「中央を固定してこする」場合は、中央が節になります。
• 波長と半波長の混同:
  • 誤解: 節と節の間隔 \(r\) をそのまま波長 \(\lambda\) として計算してしまう。
  • 対策: 定常波の図を描いて確認しましょう。波1つ分（山と谷のセット）の長さが波長です。節から次の節までは、山（または谷）1つ分しかないので、半波長 \(\frac{\lambda}{2}\) です。「\(r = \frac{\lambda}{2}\)」という式を必ず一度書いてから変形する癖をつけるとミスが減ります。
• 振動数が変わると勘違いする:
  • 誤解: 音速が変わるのだから、振動数も変わるのではないかと考えてしまう。
  • 対策: 「振動数は波源（リズムの発生源）が決める」と覚えましょう。一度発生したリズムは、途中で勝手に早くなったり遅くなったりしません。変化するのは「歩幅（波長）」と「進む速さ（音速）」だけです。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (ウ)での公式選択（波の基本公式）:
  • 選定理由: 求めたいのは「振動数 \(f\)」です。分かっているのは「音速 \(V\)」と、図から読み取れる「波長 \(\lambda\)（に関連する長さ \(r\)）」です。これら3つの量をつなぐ式は \(V = f\lambda\) しかありません。
  • 適用根拠: 定常波であっても、それを構成する進行波の速さ、振動数、波長の関係は \(V = f\lambda\) で記述されます。
• (エ)での公式選択（幾何学的関係と基本公式）:
  • 選定理由: 金属中の「速さ \(v\)」を知りたいですが、直接測定する手段がありません。しかし、「振動数 \(f\)」は空気中と同じであり、「波長 \(\lambda’\)」は棒の長さ \(L\) から幾何学的に決まります。したがって、まずは図形的に \(\lambda’\) を求め、次に \(v = f\lambda’\) を使うという2段階の論理構成になります。
  • 適用根拠: 金属棒が「基本振動」しているという条件が、波長を一意に決定する根拠となります。もし「2倍振動」なら波長は変わりますが、公式の選択自体は変わりません。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま計算を進める:
  • 本問のように具体的な数値が与えられていない問題では、最後まで文字式で計算します。途中で勝手な数値を代入したりせず、\(V, L, r\) などの文字を丁寧に扱いましょう。
• 単位による次元解析（検算）:
  • 答えが出たら、単位を確認します。(ウ)の答え \(\frac{V}{2r}\) は \([\text{m/s}] / [\text{m}] = [1/\text{s}] = [\text{Hz}]\) で振動数の単位になっています。(エ)の答え \(\frac{VL}{r}\) は \([\text{m/s}] \times [\text{m}] / [\text{m}] = [\text{m/s}]\) で速さの単位になっています。もし \(\frac{Vr}{L}\) のような答えになっていたら、単位が合わないのですぐにミスに気づけます。
• 比例関係の活用（別解の視点）:
  • \(v = f\lambda\) の計算をする際、\(f\) を代入して分数をこねくり回すよりも、「速さは波長に比例する」という視点を持つと、\(\frac{v}{V} = \frac{\lambda’}{\lambda}\) という比の式が立てられます。これなら分数の計算ミスを減らせるだけでなく、物理的な意味も確認しながら進められます。

発展例題32 反射板とドップラー効果

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「反射板によるドップラー効果」です。動く反射板は、「音を受け取る観測者」と「音を反射する（再放出する）音源」の2つの役割を同時に果たします。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
反射板Rは、音源Sからの音を受け取り、それを反射して観測者Oに送ります。この過程を2つのステップに分解して考えます。
ステップ1: 静止した音源Sから、動く反射板R（観測者）へ音が伝わる。
ステップ2: 動く反射板R（音源）から、静止した観測者Oへ音が伝わる。
それぞれのステップでドップラー効果の公式を適用します。
この設問における重要なポイント

• 音の伝わる向きを正として速度の符号を考える。
• ステップ1では、音は右向き（S→R）に進む。Rは音源に向かって動くので、観測者が近づくケース。
• ステップ2では、音は左向き（R→O）に進む。Rは観測者に向かって動くので、音源が近づくケース。

具体的な解説と立式
ステップ1: S（静止）→ R（動く観測者）
音源Sは静止しており、反射板Rは速さ \(v_0\) で音源に近づいています。
音速を \(V\) とします。
観測者が音源に近づく場合、相対的に波の速さが速くなるため、振動数は高くなります。
反射板Rが受け取る音の振動数を \(f_1\) とすると、ドップラー効果の公式より、以下の式が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
f_1 &= \frac{V+v_0}{V} f_0 \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
ステップ2: R（動く音源）→ O（静止）
反射板Rは、受け取った振動数 \(f_1\) の音をそのまま反射します。つまり、Rは振動数 \(f_1\) の音源として振る舞います。
今度は、音源Rが速さ \(v_0\) で静止した観測者Oに近づいています。
音源が観測者に近づく場合、波長が縮むため、振動数は高くなります。
観測者Oが聞く反射音の振動数を \(f_2\) とすると、ドップラー効果の公式より、以下の式が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
f_2 &= \frac{V}{V-v_0} f_1 \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$

式①を式②に代入して \(f_2\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
f_2 &= \frac{V}{V-v_0} \times f_1 \\[2.0ex] &= \frac{V}{V-v_0} \times \left( \frac{V+v_0}{V} f_0 \right) \\[2.0ex] &= \frac{V}{V-v_0} \cdot \frac{V+v_0}{V} f_0 \\[2.0ex] &= \frac{V+v_0}{V-v_0} f_0
\end{aligned}
$$

反射板が動いているときは、「受け取るとき」と「送り返すとき」の2回、音の高さが変わるチャンスがあります。まず、反射板が音源に向かって走っていくので、反射板にとっては音が猛スピードでぶつかってくるように感じます。だから、受け取るリズム（振動数）は速くなります。次に、その速いリズムのまま反射板が音を跳ね返しますが、反射板自身が観測者に向かって走りながら音を出すので、音の波が前方にギュッと圧縮されます。これでさらにリズムが速くなります。結果として、2回分の効果で音はかなり高くなって聞こえます。

答えは \(f_2 = \frac{V+v_0}{V-v_0} f_0\) です。分母が \(V-v_0\)（小さい）、分子が \(V+v_0\)（大きい）なので、係数は1より大きくなります。反射板が近づいてくるので音が高くなるという直感と一致します。

問(2)

思考の道筋とポイント
「音源が音を出した時間」と「観測者が音を聞いた時間」は、ドップラー効果が起こる状況では異なります。しかし、「波の数」は保存されます。音源が100個の波を出せば、観測者も必ず100個の波を受け取ります（途中で波が消滅しない限り）。この「波の数の保存」を利用するのが最もスマートな解法です。
この設問における重要なポイント

• 音源Sが発した波の総数 \(N_{\text{S}}\) は、\((\text{振動数}) \times (\text{時間})\) で表される。
• 観測者Oが受け取る波の総数 \(N_{\text{O}}\) も同様に表される。
• \(N_{\text{S}} = N_{\text{O}}\) が成り立つ。

具体的な解説と立式
音源Sは振動数 \(f_0\) で \(t_0\) 秒間音を出しました。この間に発生した波の総数 \(N_{\text{S}}\) は、以下の式で表されます。
$$
\begin{aligned}
N_{\text{S}} &= f_0 t_0
\end{aligned}
$$
一方、観測者Oはこの \(N_{\text{S}}\) 個の波を、振動数 \(f_2\) の音として聞きます。Oが音を聞く時間を \(t\) とすると、受け取る波の総数 \(N_{\text{O}}\) は、以下の式で表されます。
$$
\begin{aligned}
N_{\text{O}} &= f_2 t
\end{aligned}
$$
波の総数は変わらないので、以下の等式が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
N_{\text{O}} &= N_{\text{S}}
\end{aligned}
$$
すなわち、
$$
\begin{aligned}
f_2 t &= f_0 t_0
\end{aligned}
$$

上の式より \(t\) を求め、(1)の結果を代入します。
$$
\begin{aligned}
t &= \frac{f_0}{f_2} t_0 \\[2.0ex] &= \frac{f_0}{\frac{V+v_0}{V-v_0} f_0} t_0 \\[2.0ex] &= \frac{V-v_0}{V+v_0} t_0
\end{aligned}
$$

例えば、音源が1秒間に100個の波を出すとして、3秒間出し続けたら、合計300個の波が空間に放たれます。観測者はこの300個の波を全部受け取ります。でも、観測者にはドップラー効果で音が高く（振動数が大きく）聞こえています。つまり、1秒間に受け取る波の数が例えば150個に増えているわけです。300個の波を、毎秒150個のペースで受け取ったら、何秒で受け取り終わるでしょうか？ \(300 \div 150 = 2\) 秒ですね。このように、音が高く聞こえる（振動数が大きい）ときは、その分、聞く時間は短くなります。逆もまた然りです。

答えは \(t = \frac{V-v_0}{V+v_0} t_0\) です。\(V-v_0 < V+v_0\) なので、\(t < t_0\) となります。振動数が高くなった（波が詰め込まれた）分、再生時間が短縮されたということであり、物理的に妥当です。早回し再生と同じ理屈です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ドップラー効果の2段階適用（反射板の役割）
  • 核心: 動く反射板は、単なる壁ではなく、「動く観測者」と「動く音源」の2つの役割を瞬時に切り替えるデバイスとして機能します。
  • 理解のポイント:
    • ステップ1（受信）: 反射板はまず、音源からの音を受け取る「観測者」として振る舞います。このとき、反射板が音源に近づく（または遠ざかる）速度に応じて、受け取る振動数が変化します。
    • ステップ2（送信）: 次に、反射板はその受け取った振動数の音をそのまま再放出する「音源」として振る舞います。このとき、反射板自身の動きによって、放出される音の波長が変化し、最終的な振動数が決まります。
• 波の数の保存則
  • 核心: 音源が発した波の総数と、観測者が受け取る波の総数は、途中で波が消滅したり生成されたりしない限り、常に等しくなります。
  • 理解のポイント:
    • 時間と振動数の関係: 「波の総数 = 振動数 × 時間」という関係式は、ドップラー効果の問題で時間を問われた際の最強の武器です。振動数が \(k\) 倍になれば、聞く時間は \(1/k\) 倍になるという逆比の関係を直感的に理解しましょう。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 風がある場合のドップラー効果: 風速 \(w\) がある場合、音速を \(V+w\)（追い風）や \(V-w\)（向かい風）に置き換えて計算します。反射板の問題と組み合わせられることも多いので注意が必要です。
  • 斜め方向のドップラー効果: 音源や観測者が斜めに動く場合、速度ベクトルを「音源と観測者を結ぶ直線方向」に分解し、その成分だけを公式の速度として使います。
  • うなりとドップラー効果: 直接音と反射音を同時に聞く場合、振動数のわずかな違いによって「うなり」が生じます。うなりの回数 \(f = |f_1 – f_2|\) を求める問題は頻出です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 誰が動いているか整理する: 音源S、観測者O、反射板Rのそれぞれの速度を書き出します。
  2. 音の伝わる経路を矢印で描く: 「S→R」と「R→O」のように、音がどの順序で誰から誰へ伝わるかを明確にします。
  3. 符号を間違えない: ドップラー効果の公式 \(f’ = \frac{V-v_o}{V-v_s}f\) において、速度 \(v_o, v_s\) は「音の進む向き」を正とします。経路ごとに正の向きが変わることに注意しましょう。
  4. 時間を問われたら「波の数」: 「何秒間聞こえるか」という問いを見たら、すぐに「波の数の保存」を思い出してください。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 速度の符号ミス:
  • 誤解: 「右向きが常に正」だと思い込んでしまう。
  • 対策: ドップラー効果では、常に「音源から観測者へ向かう向き」が正です。反射板の問題では、行き（S→R）と帰り（R→O）で音の進む向きが逆になるため、正の向きも逆転します。図に矢印を書き込み、その矢印の向きを正として速度の符号を決めましょう。
• 公式の適用ミス:
  • 誤解: 反射板の速度を、分母と分子のどちらに入れるか迷う、あるいは逆に入れてしまう。
  • 対策: 「近づくときは音が高くなる」という定性的なチェックを必ず行いましょう。反射板が音源に近づくなら受信振動数は高くなる（分子が大きくなる）、反射板が観測者に近づくなら送信振動数は高くなる（分母が小さくなる）はずです。
• 波長と振動数の混同:
  • 誤解: 観測者が動くときも波長が変わると勘違いしてしまう。
  • 対策: 「波長を変えるのは音源の動きだけ」「相対速度を変えるのは観測者の動きだけ」と明確に区別しましょう。別解のアプローチ（波長と相対速度を追う方法）を一度自分で導出してみると、この区別が深く理解できます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（ドップラー効果の公式）:
  • 選定理由: 音源や観測者が動いている状況で、振動数の変化を求められているため、ドップラー効果の公式が第一選択となります。
  • 適用根拠: 反射現象を「受信」と「再放出」の2段階プロセスとみなすことで、それぞれの段階で標準的なドップラー効果の公式を適用できます。
• (2)での公式選択（波の数の保存）:
  • 選定理由: 「時間」を求められていますが、運動方程式や等加速度運動の公式を使う場面ではありません。波動現象特有の「波の連続性」に着目する必要があります。
  • 適用根拠: 音源と観測者の間で波が途切れたり溜まったりしない定常的な状態では、単位時間あたりの波の通過数（振動数）と時間の積が保存されるという物理法則に基づいています。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま計算する:
  • 本問のように数値が与えられていない問題はもちろん、数値がある問題でも、最後の最後まで文字式で計算を進めましょう。\(V\) や \(v_0\) が約分で消えることに気づけたり、次元（単位）のチェックができたりと、メリットが大きいです。
• 極限を考えて検算する:
  • \(v_0 = 0\) （反射板が止まっている）としたらどうなるか？ → \(f_2 = f_0\), \(t = t_0\) となり、当たり前の結果と一致します。
  • \(v_0 \to V\) （反射板が音速で近づく）としたら？ → \(f_2 \to \infty\), \(t \to 0\) となります。衝撃波のような状態で、一瞬ですべての音が到達するという極端な状況とも整合します。
• 分数計算のケアレスミス防止:
  • 繁分数（分数の分数）が出てきたときは、慌てず分母・分子に共通の項（例えば \(V-v_0\)）を掛けて、平易な形に直してから計算を進めましょう。書き写しミスを防ぐため、イコールを縦に揃えて書くのも有効です。

発展問題

384 弦の振動

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「弦の固有振動」です。ギターなどの弦楽器を題材に、弦の押さえ方（境界条件の変化）によって振動数（音の高さ）がどのように変化するかを考察します。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1) 強く押さえた場合

思考の道筋とポイント
弦の長さの \(3/4\) の場所を「強く」押さえると、そこが新しい固定端になります。つまり、弦の振動できる部分の長さが短くなります。弦の張力や太さは変わらないので、波の速さ \(v\) は一定のままです。短くなった弦で基本振動が起こると考え、その波長と振動数を求めます。
この設問における重要なポイント

• 強く押さえた点は固定端となり、振動範囲は左側の \(\frac{3}{4}L\) の部分のみとなる。
• 弦の状態（張り具合）は変わらないので、波の速さ \(v\) は変化しない。
• 振動部分は「両端が固定端」の基本振動（腹が1つ）をする。

具体的な解説と立式
弦の全長を \(L\)、波の速さを \(v\) とします。
まず、何も押さえていないとき（はじめの状態）は、長さ \(L\) の弦で基本振動が生じています。基本振動の波長 \(\lambda_0\) は弦の長さの2倍なので、以下の関係があります。
$$
\begin{aligned}
\lambda_0 &= 2L
\end{aligned}
$$
このときの振動数が \(f_0 = 3.3 \times 10^2\,\text{Hz}\) なので、波の基本公式 \(v = f\lambda\) より、以下の式が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
v &= f_0 \times 2L \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
次に、図1のように弦の長さの \(3/4\) の場所を強く押さえた場合を考えます。
振動する部分の長さ \(L_1\) は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
L_1 &= \frac{3}{4}L
\end{aligned}
$$
この部分で基本振動が起こるので、その波長 \(\lambda_1\) は長さ \(L_1\) の2倍です。
$$
\begin{aligned}
\lambda_1 &= 2 L_1
\end{aligned}
$$
すなわち、
$$
\begin{aligned}
\lambda_1 &= 2 \times \frac{3}{4}L \\[2.0ex] &= \frac{3}{2}L
\end{aligned}
$$
求める振動数を \(f_1\) とすると、波の速さ \(v\) は変わらないので、以下の式が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
v &= f_1 \lambda_1
\end{aligned}
$$
すなわち、
$$
\begin{aligned}
v &= f_1 \times \frac{3}{2}L \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$

式①と式②から \(v\) と \(L\) を消去して \(f_1\) を求めます。
式① \(=\) 式② より、
$$
\begin{aligned}
f_0 \times 2L &= f_1 \times \frac{3}{2}L
\end{aligned}
$$
両辺を \(L\) で割り、整理します。
$$
\begin{aligned}
2 f_0 &= \frac{3}{2} f_1
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
f_1 &= 2 f_0 \times \frac{2}{3} \\[2.0ex] &= \frac{4}{3} f_0
\end{aligned}
$$
ここで \(f_0 = 3.3 \times 10^2\,\text{Hz}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
f_1 &= \frac{4}{3} \times 3.3 \times 10^2 \\[2.0ex] &= 4 \times 1.1 \times 10^2 \\[2.0ex] &= 4.4 \times 10^2\,\text{Hz}
\end{aligned}
$$

ギターの弦を指でギュッと押さえると、弦の震える部分が短くなります。今回は元の長さの \(3/4\) の長さになりました。弦を伝わる波の速さは変わらないので、通り道（波長）が短くなれば、その分だけ行ったり来たりする回数（振動数）は増えます。具体的には、長さが \(3/4\) 倍になると、振動数はその逆数の \(4/3\) 倍になります。元の振動数 \(330\,\text{Hz}\) の \(4/3\) 倍を計算すれば答えが出ます。

答えは \(4.4 \times 10^2\,\text{Hz}\) です。弦が短くなると音が高くなる（振動数が増える）という日常的な感覚とも一致します。

問(2) 軽く押さえた場合

思考の道筋とポイント
「軽く」押さえる場合、弦はそこで分断されず、全体（長さ \(L\)）がつながったまま振動します。ただし、指で触れた点は振動できないため、強制的に「節」になります。
図2を見ると、弦全体の中に波の山（ループ）がいくつあるかを確認できます。押さえた点は左端から \(3/4 L\) の位置（右端から \(1/4 L\) の位置）です。ここが節になるためには、節と節の間隔（半波長）が \(1/4 L\) になるような定常波ができているはずです。
この設問における重要なポイント

• 軽く押さえると、弦全体の長さ \(L\) で振動するが、押さえた点が節になる。
• 節と節の間隔（ループ1つの長さ）は半波長 \(\frac{\lambda}{2}\) である。
• 図2より、弦全体 \(L\) が4つのループに分割されている（4倍振動）。

具体的な解説と立式
図2より、弦全体に定常波が生じており、押さえた点が節になっています。
右端（固定端）から押さえた点（節）までの距離は、以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
L – \frac{3}{4}L &= \frac{1}{4}L
\end{aligned}
$$
この区間 \(\frac{1}{4}L\) が、定常波の「節から隣の節まで」の1区間（ループ1つ分）に相当します。
定常波のループ1つの長さは半波長 \(\frac{\lambda_2}{2}\) なので、以下の関係が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
\frac{\lambda_2}{2} &= \frac{1}{4}L
\end{aligned}
$$
これより、このときの波長 \(\lambda_2\) は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
\lambda_2 &= \frac{1}{2}L
\end{aligned}
$$
求める振動数を \(f_2\) とすると、波の速さ \(v\) は変わらないので、波の基本公式より以下の式が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
v &= f_2 \lambda_2
\end{aligned}
$$
すなわち、
$$
\begin{aligned}
v &= f_2 \times \frac{1}{2}L \quad \cdots ③
\end{aligned}
$$

式①（\(v = f_0 \times 2L\)）と式③を用いて、\(f_2\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
f_0 \times 2L &= f_2 \times \frac{1}{2}L
\end{aligned}
$$
両辺を \(L\) で割り、整理します。
$$
\begin{aligned}
2 f_0 &= \frac{1}{2} f_2
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
f_2 &= 4 f_0
\end{aligned}
$$
数値を代入します。
$$
\begin{aligned}
f_2 &= 4 \times 3.3 \times 10^2 \\[2.0ex] &= 13.2 \times 10^2 \\[2.0ex] &= 1.32 \times 10^3\,\text{Hz}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えます。
$$
\begin{aligned}
f_2 &= 1.3 \times 10^3\,\text{Hz}
\end{aligned}
$$

軽く触れると、そこが「動かない点（節）」になります。右端から \(1/4\) の場所に触れたので、弦全体は \(1/4\) の長さを単位とした4つのブロックに分かれて振動することになります。元の基本振動は弦全体で1つの大きなブロック（腹が1つ）でしたが、今回は4つの小さなブロック（腹が4つ）になりました。波の長さ（波長）が \(1/4\) になったので、振動数は4倍になります。

答えは \(1.3 \times 10^3\,\text{Hz}\) です。基本振動数のちょうど4倍になっています。これは「4倍音」と呼ばれる音で、ギターなどの弦楽器で「ハーモニクス（フラジオレット）」奏法として知られる現象です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 弦の固有振動と境界条件
  • 核心: 弦の振動問題は、「どこが固定されているか（節になるか）」という境界条件がすべてを決定します。
  • 理解のポイント:
    • 強く押さえる: 弦の実質的な長さが変わります。新しい固定端ができ、そこから先は振動しません。短くなった弦での基本振動を考えます。
    • 軽く押さえる: 弦の長さは変わりませんが、振動モードが制限されます。押さえた点が「節」になるような倍振動（高調波）しか存在できなくなります。
• 波の速さと振動数の関係
  • 核心: 「波の速さ \(v\) は媒質（弦の状態）で決まる」という大原則です。
  • 理解のポイント:
    • \(v\) の決定要因: 弦の張力 \(S\) と線密度 \(\rho\) によって \(v = \sqrt{S/\rho}\) と決まります。指で押さえるだけでは \(S\) も \(\rho\) も変わらないので、\(v\) は一定です。
    • \(v = f\lambda\) の運用: \(v\) が一定なので、波長 \(\lambda\) が短くなれば、その分だけ振動数 \(f\) が大きくなる（反比例する）という関係が成り立ちます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 開管・閉管の気柱共鳴: 弦の「両端固定」は気柱の「両端開口（開管）」や「片方閉・片方開（閉管）」と数理的に似ています。「管の長さが変わる（ピストン操作）」や「穴を開ける（リコーダーの指穴）」といった操作は、本問の「強く押さえる」「軽く押さえる」と対応させて考えられます。
  • 弦の張力を変える問題: ペグを回して張力を変える場合、波の速さ \(v\) 自体が変化します。この場合は \(v \propto \sqrt{S}\) の関係を使って新しい \(v\) を求めてから、\(v=f\lambda\) を適用します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 「何が変わって何が変わらないか」を見極める: 弦の問題では、たいてい「波の速さ \(v\)」が一定か、「振動数 \(f\)」が一定（音叉で強制振動させる場合など）かのどちらかです。本問は「はじく」ので、弦の長さやモードに応じて \(f\) が変わる（\(v\) は一定）タイプです。
  2. 図を描いて腹の数を数える: 特に倍振動の問題では、計算式をこねくり回すより、図を描いて「腹がいくつあるか（何倍振動か）」を視覚的に捉える方が圧倒的に速く、ミスも少なくなります。
  3. 「軽く触れる」の意味: これは「強制的に節を作る」という操作です。触れた位置が \(L/n\) の場所なら、\(n\) 倍振動（またはその倍数）が励起されます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 「強く押さえる」と「軽く押さえる」の混同:
  • 誤解: どちらも弦が短くなると思ってしまう、あるいはどちらも倍振動だと思ってしまう。
  • 対策: 「強く」＝「切断（短縮）」、「軽く」＝「節の追加（倍振動）」とキーワードで区別しましょう。強く押さえたら、その向こう側の弦は死にます。軽く押さえたら、向こう側も一緒に共鳴して震えます。
• 波長計算のミス:
  • 誤解: 弦の長さ \(L\) をそのまま波長 \(\lambda\) としてしまう。
  • 対策: 基本振動（腹1つ）の波長は \(2L\) です。「行って帰って1波長」のイメージを持つか、必ず図を描いて「山1つ分だから半波長 \(\lambda/2 = L\)」のように確認する癖をつけましょう。
• 逆数の取り忘れ:
  • 誤解: 弦が \(3/4\) 倍になったから、振動数も \(3/4\) 倍にしてしまう。
  • 対策: 「短い弦ほど高い音が出る（ソプラノ歌手の声帯は短い、コントラバスの弦は長い）」という直感を常に働かせましょう。長さが短くなったら、振動数は必ず増える（大きくなる）はずです。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（\(v=f\lambda\) の連立または反比例）:
  • 選定理由: 弦の状態（張力・密度）が変わらないため、波の速さ \(v\) が共通の定数として扱えます。共通の \(v\) を介して、変化前後の \(f\) と \(\lambda\)（または \(L\)）を結びつけるのが最も論理的です。
  • 適用根拠: 物理現象として、弦の長さ \(L\) が波長 \(\lambda\) を決定し、その \(\lambda\) と一定の \(v\) が振動数 \(f\) を決定するという因果関係があります。
• (2)での公式選択（倍振動の性質 \(f_n = n f_0\)）:
  • 選定理由: 複雑な波長計算を経由せずとも、「モード（腹の数）」さえ分かれば振動数が決まるという固有振動の性質を利用する方が、計算ステップが減り、ミスが防げるからです。
  • 適用根拠: 波動方程式の解として、両端固定の弦には基本振動数の整数倍の振動数を持つモードしか存在できないことが保証されています。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 比の計算を活用する:
  • \(f = v/\lambda\) に数値を代入して割り算をするのは最後の手段です。\(f_1/f_0 = \lambda_0/\lambda_1\) のように比の形に持ち込めば、\(v\) や \(2\) などの定数が消え、分数の掛け算だけで済みます。
• 図形的な検算:
  • (2)で求めた答えが、基本振動数の整数倍になっているか確認しましょう。もし \(1.5\) 倍のような半端な数字になったら、何かが間違っています（弦の固有振動は必ず整数倍です）。
• 単位の確認:
  • 最後に \(\text{Hz}\) をつけるのを忘れずに。また、\(10^2\) や \(10^3\) などの指数部分の計算ミス（桁ズレ）に注意しましょう。\(3.3 \times 4 = 13.2\) なので、\(1.32 \times 10^3\) と桁が一つ上がる点などは要注意です。

385 弦の振動

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「異なる線密度の弦における定常波」です。太さ（重さ）の違う2本の弦をつないで振動させたとき、それぞれの部分でどのような波が生じるか、そしてそれらがどのようにつながっているかを考察します。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
定常波の波形から波長を読み取ります。図を見ると、AB間、BC間ともに、両端が節で中央に腹が1つある「基本振動」の形をしています。「節から隣の節まで」の距離は、半波長 \(\frac{\lambda}{2}\) に相当します。
この設問における重要なポイント

• AB間の距離 \(2L\) は、AB部分の半波長 \(\frac{\lambda_1}{2}\) に等しい。
• BC間の距離 \(L\) は、BC部分の半波長 \(\frac{\lambda_2}{2}\) に等しい。

具体的な解説と立式
AB部分について考えます。
図より、AB間（長さ \(2L\)）には定常波のループ（腹）が1つできています。ループ1つの長さは半波長なので、以下の関係が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
\frac{\lambda_1}{2} &= 2L
\end{aligned}
$$
これより、AB部分の波長 \(\lambda_1\) は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
\lambda_1 &= 4L
\end{aligned}
$$
BC部分について考えます。
同様に、BC間（長さ \(L\)）にもループが1つできています。
$$
\begin{aligned}
\frac{\lambda_2}{2} &= L
\end{aligned}
$$
これより、BC部分の波長 \(\lambda_2\) は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
\lambda_2 &= 2L
\end{aligned}
$$

上記の立式により、計算は完了しています。

波の「山」1つ分の長さは、波長の半分です。AB間には山が1つあり、その長さが \(2L\) なので、波長（山と谷のセット）はその2倍の \(4L\) です。BC間には山が1つあり、その長さが \(L\) なので、波長はその2倍の \(2L\) です。

答えは \(\lambda_1 = 4L\), \(\lambda_2 = 2L\) です。ABの方が弦が長いので、波長も長くなっていることがわかります。

問(2)

思考の道筋とポイント
弦を伝わる横波の速さ \(v\) を求める公式を適用します。この公式は、弦の張力 \(S\) と線密度 \(\rho\)（1mあたりの質量）だけで決まります。問題文より、張力はどちらも \(S\) で共通ですが、線密度は \(\rho_1\) と \(\rho_2\) で異なります。
この設問における重要なポイント

• 弦を伝わる波の速さの公式: \(v = \sqrt{\frac{S}{\rho}}\)
• 張力 \(S\) はAB、BCで共通である（滑車などを介さず直列につながっているため）。

具体的な解説と立式
弦を伝わる横波の速さ \(v\) は、張力を \(S\)、線密度を \(\rho\) として、以下の式で表されます。
$$
\begin{aligned}
v &= \sqrt{\frac{S}{\rho}}
\end{aligned}
$$
この公式をAB部分、BC部分それぞれに適用します。
AB部分の速さ \(v_1\) は、線密度が \(\rho_1\) なので、
$$
\begin{aligned}
v_1 &= \sqrt{\frac{S}{\rho_1}}
\end{aligned}
$$
BC部分の速さ \(v_2\) は、線密度が \(\rho_2\) なので、
$$
\begin{aligned}
v_2 &= \sqrt{\frac{S}{\rho_2}}
\end{aligned}
$$

公式への代入のみです。

弦を伝わる波の速さは、「弦をピンと張る力（張力）」が強いほど速くなり、「弦の重さ（線密度）」が重いほど遅くなるという性質があります。これを数式にしたのが \(v = \sqrt{\frac{S}{\rho}}\) です。それぞれの線密度を代入すれば答えになります。

答えは \(v_1 = \sqrt{\frac{S}{\rho_1}}, v_2 = \sqrt{\frac{S}{\rho_2}}\) です。線密度が大きい（重い）ほど、分母が大きくなるので速さは遅くなります。

問(3)

思考の道筋とポイント
波の基本公式 \(v = f\lambda\) を使って振動数 \(f_1\) を求めます。(1)で求めた波長 \(\lambda_1\) と、(2)で求めた速さ \(v_1\) を代入します。
この設問における重要なポイント

• 波の基本公式: \(v = f\lambda\) より、\(f = \frac{v}{\lambda}\)

具体的な解説と立式
AB部分について、波の基本公式 \(v_1 = f_1 \lambda_1\) が成り立ちます。
これを \(f_1\) について解くと、以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
f_1 &= \frac{v_1}{\lambda_1}
\end{aligned}
$$

(1)の結果 \(\lambda_1 = 4L\) と、(2)の結果 \(v_1 = \sqrt{\frac{S}{\rho_1}}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
f_1 &= \frac{\sqrt{\frac{S}{\rho_1}}}{4L} \\[2.0ex] &= \frac{1}{4L} \sqrt{\frac{S}{\rho_1}}
\end{aligned}
$$

「速さ＝振動数×波長」なので、「振動数＝速さ÷波長」です。さっき求めた速さ \(v_1\) を、さっき求めた波長 \(4L\) で割るだけです。

答えは \(f_1 = \frac{1}{4L} \sqrt{\frac{S}{\rho_1}}\) です。弦が長い（\(L\)が大きい）ほど、また重い（\(\rho_1\)が大きい）ほど、振動数（音の高さ）は低くなることが式から読み取れます。これは経験則とも一致します。

問(4)

思考の道筋とポイント
AB部分とBC部分は接続点Bでつながっており、一緒に振動しています。したがって、振動数は等しくなります（\(f_1 = f_2\)）。BC部分の振動数 \(f_2\) も(3)と同様に求め、それらを等号で結ぶことで線密度の比を求めます。
この設問における重要なポイント

• 接続された弦の振動数は、すべての部分で等しい（\(f_1 = f_2\)）。
• \(f_2\) も \(f_1\) と同様に \(f_2 = \frac{v_2}{\lambda_2}\) で求められる。

具体的な解説と立式
まず、BC部分の振動数 \(f_2\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
f_2 &= \frac{v_2}{\lambda_2} \\[2.0ex] &= \frac{\sqrt{\frac{S}{\rho_2}}}{2L} \\[2.0ex] &= \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{S}{\rho_2}}
\end{aligned}
$$
AB部分とBC部分の振動数は等しいので、以下の式が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
f_1 &= f_2
\end{aligned}
$$
すなわち、
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{4L} \sqrt{\frac{S}{\rho_1}} &= \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{S}{\rho_2}}
\end{aligned}
$$

上の等式を整理して、\(\frac{\rho_1}{\rho_2}\) を求めます。
両辺を2乗します。
$$
\begin{aligned}
\left( \frac{1}{4L} \right)^2 \frac{S}{\rho_1} &= \left( \frac{1}{2L} \right)^2 \frac{S}{\rho_2} \\[2.0ex] \frac{1}{16L^2} \cdot \frac{S}{\rho_1} &= \frac{1}{4L^2} \cdot \frac{S}{\rho_2}
\end{aligned}
$$
両辺に \(16L^2\) を掛け、\(S\) で割ります。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{\rho_1} &= \frac{4}{\rho_2}
\end{aligned}
$$
両辺に \(\rho_1\) を掛け、4で割ります（または逆数を取って整理します）。
$$
\begin{aligned}
\frac{\rho_1}{\rho_2} &= \frac{1}{4}
\end{aligned}
$$

つながった弦は同じテンポ（振動数）で揺れます。AB部分は波長が長い（\(4L\)）ので、同じテンポで揺れるためには、波が速く伝わる必要があります。一方、BC部分は波長が短い（\(2L\)）ので、波はゆっくりでも間に合います。計算してみると、AB部分の方が波長が2倍長いので、速さも2倍必要だとわかります。速さが2倍になるには、軽さ（線密度の逆数）が4倍必要です。つまり、線密度は \(1/4\) になります。

答えは \(\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{1}{4}\) です。AB部分の方が波長が長い（\(4L\)）のに、BC部分（\(2L\)）と同じ振動数で振動しているということは、AB部分の方が波の速さが速い（軽い）はずです。計算結果 \(\rho_1 < \rho_2\) はこの直感と一致します。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 接続された弦の振動特性
  • 核心: 異なる弦をつないでも、接続点が離れずに一緒に運動している限り、振動数 \(f\) はすべての部分で共通になります。これがこの問題を解くための最強の拘束条件です。
  • 理解のポイント:
    • 振動数の共通性: 振動源が一つであれば、それがどんな媒質を伝わっても、あるいは媒質が途中で変わっても、リズム（振動数）は保存されます。
    • 波長と速さの変化: 振動数が一定であるため、波の速さ \(v\) が変化すると、それに比例して波長 \(\lambda\) も変化します（\(v = f\lambda\) より）。つまり、速い波ほど波長が長くなります。
• 弦を伝わる波の速さの決定要因
  • 核心: 波の速さ \(v\) は、外部から与えられるものではなく、媒質の性質（張力 \(S\) と線密度 \(\rho\)）によって決まります。
  • 理解のポイント:
    • 公式 \(v = \sqrt{S/\rho}\): この式は、「ピンと張るほど速い（\(S\) 大 → \(v\) 大）」「軽いほど速い（\(\rho\) 小 → \(v\) 大）」という直感と結びつけて覚えましょう。
    • 張力の共通性: 滑車などを介さず、一本道でつながっている弦では、張力 \(S\) はどこでも同じです。したがって、速さの違いは線密度 \(\rho\) の違いのみに由来します。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 弦の太さが変わる問題: 本問のように異なる弦をつなぐケースや、テーパー状に太さが変わる弦などが該当します。常に「振動数一定」と「\(v = \sqrt{S/\rho}\)」が鍵になります。
  • 光の屈折（媒質の変化）: 光が空気から水へ進むときも、「振動数は変わらず、速さと波長が変わる」という点で本問と全く同じ構造を持っています。屈折率 \(n\) は波の速さの逆比（\(n = c/v\)）に対応します。
  • 浅水波の伝播: 水深が変わると波の速さが変わりますが、振動数は変わりません。これも物理的な構造は同じです。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 接続点（境界）の挙動を見る: 接続点が「節」になっているか「腹」になっているかを確認します。本問では図から明らかに「節」ですが、問題によっては接続点が振動する場合もあります。
  2. 共通する物理量を探す: 「一本の弦だから張力 \(S\) は共通」「つながって揺れているから振動数 \(f\) は共通」といった、変化しない量を見つけることが解法の突破口になります。
  3. 波長を幾何学的に読み取る: 計算する前に、図を見て「こっちの波長はあっちの2倍だな」といった比率を読み取っておくと、検算にもなり、別解のような素早い解法にもつながります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 波長と弦の長さの混同:
  • 誤解: 弦の長さ \(2L\) や \(L\) をそのまま波長だと思ってしまう。
  • 対策: 必ず「波1つ分（山＋谷）」の長さを確認しましょう。本問のような基本振動（山1つ）の場合、弦の長さは半波長 \(\lambda/2\) です。
• 密度の比の取り違え:
  • 誤解: \(v \propto \sqrt{1/\rho}\) なので、速さが2倍なら密度も2倍（あるいは1/2倍）と安易に考えてしまう。
  • 対策: 2乗・平方根の関係に注意しましょう。速さが2倍なら、ルートの中身は4倍（または1/4倍）である必要があります。「速い＝軽い」なので、速さが2倍なら密度は \(1/4\) です。
• 添字の混乱:
  • 誤解: \(\rho_1\) と \(\rho_2\)、\(v_1\) と \(v_2\) を逆にしてしまう。
  • 対策: 「1はAB（左側）、2はBC（右側）」と図に書き込み、常に確認しながら式変形しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (2)での公式選択（\(v = \sqrt{S/\rho}\)）:
  • 選定理由: 波の速さを決定する物理的要因（張力と線密度）が与えられているため、この公式以外に選択肢はありません。
  • 適用根拠: これは弦を伝わる横波の力学的な性質から導かれる基本原理であり、どのような境界条件（固定端など）であっても、波が伝わる限り常に成立します。
  • (4)での公式選択（\(f_1 = f_2\) による等式）:
    • 選定理由: 未知数である線密度の比 \(\rho_1/\rho_2\) を求めるには、\(\rho_1\) と \(\rho_2\) を含む等式が必要です。その等式を作るための物理的条件が「接続点での振動の連続性（振動数が等しい）」です。
    • 適用根拠: 接続点がちぎれずに運動している以上、左側の弦が1回揺れる間に右側の弦も必ず1回揺れます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• ルートの計算を後回しにする:
  • \(\sqrt{S/\rho}\) を最初から代入して計算すると式が煩雑になります。\(v_1, v_2\) のまま計算を進め、最後に代入するか、あるいは両辺を2乗してルートを消してから整理するとミスが減ります。
• 比例関係で検算する:
  • 別解のように、「波長が2倍 → 速さも2倍 → 密度は1/4」というロジックで検算を行いましょう。数式変形で得られた答え（\(\rho_1/\rho_2 = 1/4\)）が、この直感的なロジックと一致していれば、計算ミスの可能性はほぼゼロです。
• 次元の確認:
  • 振動数の式 \(\frac{1}{L}\sqrt{\frac{S}{\rho}}\) の次元を確認してみましょう。
    • \(S\)（力）: \(\text{kg} \cdot \text{m/s}^2\)
    • \(\rho\)（線密度）: \(\text{kg/m}\)
    • \(S/\rho\): \(\text{m}^2/\text{s}^2\) （速さの2乗）
    • \(\sqrt{S/\rho}\): \(\text{m/s}\) （速さ）
    • \(\frac{1}{L}\sqrt{S/\rho}\): \(\frac{1}{\text{m}} \cdot \text{m/s} = \frac{1}{\text{s}} = \text{Hz}\)
    • 正しい次元になっていることが確認できます。

386 気柱の共鳴

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「気柱の共鳴」です。閉管（片方が閉じた管）と開管（両端が開いた管）における定常波の発生条件と、管の長さや振動数が変化したときの共鳴モードの変化を考察します。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
まず、振動数 \(f_1\) の音で共鳴したときの様子を考えます。ピストンを動かして「最初に共鳴した」位置が \(L_1\) なので、これは閉管の基本振動（1/4波長）に対応します。次に、「次に共鳴した」位置が \(L_2\) なので、これは3倍振動（3/4波長）に対応します。
この状態でピストンを固定し（管の長さ \(L_2\) で固定）、振動数を \(f_1\) から上げていきます。振動数を上げると波長は短くなります。\(L_2\) の長さの中に、より多くの波が収まるような次の共鳴モード（5倍振動）を探します。
この設問における重要なポイント

• 閉管の開口端は腹、閉口端（ピストン）は節となる。
• 最初の共鳴（基本振動）では、管の長さ \(L_1\) が \(\frac{\lambda}{4}\) に等しい。
• 次の共鳴（3倍振動）では、管の長さ \(L_2\) が \(\frac{3\lambda}{4}\) に等しい。
• 管の長さを \(L_2\) に固定して振動数を上げると、波長が短くなり、次に共鳴するのは5倍振動である。

具体的な解説と立式
まず、振動数 \(f_1\) のときの波長 \(\lambda_1\) を求めます。
ピストン位置 \(L_1\) で最初の共鳴（基本振動）が起こったので、図1のように管の長さ \(L_1\) は波長の1/4倍です。
$$
\begin{aligned}
L_1 &= \frac{\lambda_1}{4}
\end{aligned}
$$
よって、波長は \(\lambda_1 = 4L_1\) です。
音速を \(V\) とすると、波の基本公式 \(V = f\lambda\) より、\(f_1\) は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
f_1 &= \frac{V}{\lambda_1} \\[2.0ex] &= \frac{V}{4L_1} \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
次に、ピストンを \(L_2\) まで動かしたとき、2回目の共鳴（3倍振動）が起こりました。
このときの管の長さ \(L_2\) は、波長 \(\lambda_1\) の3/4倍です（図2）。
$$
\begin{aligned}
L_2 &= \frac{3\lambda_1}{4} \\[2.0ex] &= 3L_1
\end{aligned}
$$
この状態でピストンを固定し、振動数を上げていきます。
振動数を上げると波長は短くなります。次に共鳴するのは、図3のように管の中に波がもう一つ増えた状態、つまり5倍振動です。
このときの新しい波長を \(\lambda_2\) とすると、管の長さ \(L_2\) は波長の5/4倍になります。
$$
\begin{aligned}
L_2 &= \frac{5\lambda_2}{4}
\end{aligned}
$$
これより、\(\lambda_2\) は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
\lambda_2 &= \frac{4L_2}{5}
\end{aligned}
$$
ここで \(L_2 = 3L_1\) を代入すると、
$$
\begin{aligned}
\lambda_2 &= \frac{4(3L_1)}{5} \\[2.0ex] &= \frac{12L_1}{5}
\end{aligned}
$$
求める振動数 \(f_2\) は、\(V = f_2 \lambda_2\) より、
$$
\begin{aligned}
f_2 &= \frac{V}{\lambda_2}
\end{aligned}
$$

求めた \(\lambda_2\) を代入して \(f_2\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
f_2 &= \frac{V}{\frac{12L_1}{5}} \\[2.0ex] &= \frac{5V}{12L_1}
\end{aligned}
$$

まず、最初の実験で「基本の音（\(f_1\)）」の波の長さがわかります。管の長さ \(L_1\) が波の長さの1/4なので、波の長さは \(4L_1\) です。これを使って \(f_1\) を式にします。次に、管を長くして \(L_2\) にしたとき、3倍振動（波が0.75個分入る）で共鳴していました。この長さ \(L_2\) のまま、音を高くしていく（波を短くしていく）と、次に共鳴するのは波が1.25個分（5/4個分）入るときです。このときの波の長さを計算し、それを使って新しい振動数 \(f_2\) を求めます。

答えは \(f_1 = \frac{V}{4L_1}, f_2 = \frac{5V}{12L_1}\) です。\(f_2\) は \(f_1\) の \(\frac{5}{3}\) 倍になっています。3倍振動の状態から5倍振動の状態へ移行したので、振動数が \(5/3\) 倍になるのは妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
ピストンを抜き取ると、管は両端が開いた「開管」になります。管の長さは \(L\) です。開管の基本振動（最も低い振動数で共鳴する状態）は、両端が腹となり、管の中央に節が1つある形です。このときの波長 \(\lambda_0\) を求め、振動数 \(f_0\) を計算し、\(f_1\) との比を求めます。
この設問における重要なポイント

• 開管の基本振動では、管の長さ \(L\) が半波長 \(\frac{\lambda_0}{2}\) に等しい。
• 比較対象の \(f_1\) は \(f_1 = \frac{V}{4L_1}\) である。

具体的な解説と立式
図4のように、長さ \(L\) の開管における基本振動では、管の長さが半波長に相当します。
$$
\begin{aligned}
L &= \frac{\lambda_0}{2}
\end{aligned}
$$
よって、このときの波長は \(\lambda_0 = 2L\) です。
求める振動数 \(f_0\) は、\(V = f_0 \lambda_0\) より、
$$
\begin{aligned}
f_0 &= \frac{V}{\lambda_0} \\[2.0ex] &= \frac{V}{2L}
\end{aligned}
$$
求める倍率は \(\frac{f_0}{f_1}\) です。

\(f_0\) を \(f_1\) で割ります。
$$
\begin{aligned}
\frac{f_0}{f_1} &= \frac{\frac{V}{2L}}{\frac{V}{4L_1}} \\[2.0ex] &= \frac{V}{2L} \times \frac{4L_1}{V} \\[2.0ex] &= \frac{2L_1}{L}
\end{aligned}
$$

ピストンを抜くと、管の両側が開いた状態（開管）になります。このとき、一番低い音（基本振動）は、管の長さ \(L\) がちょうど「波の半分」になるときに出ます。つまり波長は \(2L\) です。このときの振動数 \(f_0\) を計算して、最初の振動数 \(f_1\) と割り算して比べます。

答えは \(\frac{2L_1}{L}\) 倍です。\(L_1\) は管の長さ \(L\) の一部（1/4波長分）なので、\(L_1 < L\) ですが、具体的な大小関係は \(L\) の値によります。例えば \(L\) が非常に長ければ倍率は小さくなります。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 気柱の共鳴条件と境界条件
  • 核心: 気柱の共鳴問題は、「管の端が開いているか閉じているか」で決まる境界条件がすべてです。
  • 理解のポイント:
    • 閉口端（壁やピストン）: 空気が動けないので、変位の「節」になります。
    • 開口端（管の口）: 空気が自由に動けるので、変位の「腹」になります。
    • モードの決定: この「節」と「腹」の条件を満たす定常波のうち、最も波長が長いものが基本振動、次に長いものが倍振動（3倍、5倍…）となります。
• 振動数と波長の関係
  • 核心: 音速 \(V\) が一定である限り、振動数 \(f\) と波長 \(\lambda\) は反比例の関係（\(V=f\lambda\)）にあります。
  • 理解のポイント:
    • 振動数を上げる \(\rightarrow\) 波長が短くなる \(\rightarrow\) 管の中により多くの波が詰め込まれる（高次のモードになる）。この因果関係をイメージできることが重要です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 開口端補正がある問題: 本問では無視されていますが、実際には腹の位置は管口より少し外側に出ます。このズレを \(\Delta L\) として、\(L + \Delta L = \frac{\lambda}{4}\) のように式を立てる問題も頻出です。2つの共鳴位置の差（\(L_2 – L_1 = \lambda/2\)）を利用して \(\Delta L\) を消去するテクニックが有効です。
  • 水位を変える問題: ピストンを動かす代わりに、管に水を入れて水位を変えることで気柱の長さを調節する問題です。物理的には本問と全く同じ「閉管」の問題として扱えます。
  • 温度が変わる問題: 気温が変わると音速 \(V\) が変わります（\(V \approx 331.5 + 0.6t\)）。この場合、振動数 \(f\) が一定でも波長 \(\lambda\) が変化し、共鳴位置がずれます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 管の種類を見極める: 「片方閉じている（閉管）」か「両方開いている（開管）」かを確認します。閉管なら奇数倍振動、開管なら整数倍振動です。
  2. 図を描く: 必ず管の図を描き、節と腹の位置を書き込みます。そして、正弦波の曲線を書き入れて、「波の何分の一が管に入っているか」を視覚的に確認します。
  3. 変化の順序を追う: 「長さを変える」のか「振動数を変える」のか、操作の順序を整理します。本問のように「長さを変えて共鳴点を見つけ、そこで固定して振動数を変える」という複合的な操作には特に注意が必要です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 閉管と開管の倍振動の混同:
  • 誤解: 閉管でも「2倍振動」や「4倍振動」があると思ってしまう。
  • 対策: 閉管は「節・腹」のセット（1/4波長）が基本単位なので、奇数個分しか入りません（1, 3, 5…）。偶数倍振動が存在するのは開管（腹・腹）や弦（節・節）の場合だけです。図を描けば一目瞭然です。
• 波の数え間違い:
  • 誤解: 腹から次の腹までを1波長と数えてしまう。
  • 対策: 「腹から腹」は半波長 \(\lambda/2\) です。「行って帰って1波長」のイメージを持つか、正弦波の1周期分（山と谷）を描いて確認しましょう。
• 振動数の変化方向の勘違い:
  • 誤解: 振動数を上げると波長が長くなると思ってしまう。
  • 対策: \(f = V/\lambda\) の式を思い出すか、「高い音（高周波）は波が細かい」という日常感覚と結びつけましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（\(L = \frac{n}{4}\lambda\) と \(V=f\lambda\)）:
  • 選定理由: 気柱の長さ \(L\) と波長 \(\lambda\) の幾何学的な関係（共鳴条件）が問題の出発点であり、そこから振動数 \(f\) を求めるには波の基本公式が必要です。
  • 適用根拠: 定常波の節と腹の位置関係は、波動の干渉条件から導かれる普遍的なものであり、音波においても厳密に成立します。
• (1)別解でのアプローチ（比例関係）:
  • 選定理由: 物理現象の本質（モードの変化）だけに着目し、中間の計算を省略できるためです。
  • 適用根拠: 音速 \(V\) が一定という条件下では、\(f\) と \(\lambda\) の反比例関係は絶対です。波長が \(3/5\) 倍になれば振動数は \(5/3\) 倍になる、という論理は数式変形と同等の厳密さを持ちます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま進める:
  • 本問のように具体的な数値がない問題では、\(L_1, V\) などの文字を最後まで保持します。途中で勝手に \(1\) などを代入しないようにしましょう。
• 答えの次元確認:
  • 振動数の答えが \(\frac{V}{L}\) の形（速さ÷長さ＝1/時間）になっているか確認します。もし \(\frac{L}{V}\) や \(\frac{V}{L^2}\) になっていたら間違いです。
• 倍率の妥当性チェック:
  • (1)で求めた \(f_2\) が \(f_1\) より大きくなっているか（\(5/3 > 1\)）を確認します。「振動数を徐々に大きくすると」という問題文の条件と整合しているかをチェックする習慣をつけましょう。

387 気柱の共鳴

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「気柱の共鳴と開口端補正」です。ピストンを用いた閉管の共鳴実験を通じて、定常波の波長、振動数、そして開口端補正（管口から腹までの距離）を求めます。また、定常波における空気の密度変化についても考察します。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
ピストンを動かして共鳴点を探す実験です。「最初にjの位置」「次にkの位置」で共鳴したということは、jが基本振動（に近い状態）、kが3倍振動（に近い状態）に対応します。重要なのは、どちらの共鳴でも「管口側の腹の位置（開口端補正）」は変わらないということです。したがって、2つの共鳴点の位置の差（k – j）は、定常波の「節から次の節まで」の距離、すなわち半波長 \(\frac{\lambda}{2}\) に正確に一致します。これを利用するのが最も簡単です。
この設問における重要なポイント

• 共鳴点jとkは、定常波の隣り合う「節」の位置に対応する。
• 隣り合う節と節の間隔は、半波長 \(\frac{\lambda}{2}\) である。
• 開口端補正 \(\Delta l\) は未知だが、差をとることで消去できる。

具体的な解説と立式
ピストンが位置jにあるときと、位置kにあるとき、ピストンの位置は定常波の「節」になっています。
jとkは隣り合う共鳴点なので、この間の距離は半波長 \(\frac{\lambda}{2}\) に相当します。
管口iからjまでの距離を \(l_1 = 33.5\,\text{cm}\)、kまでの距離を \(l_2 = 101.5\,\text{cm}\) とすると、以下の関係が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
\frac{\lambda}{2} &= l_2 – l_1
\end{aligned}
$$
これより、波長 \(\lambda\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\lambda &= 2(l_2 – l_1)
\end{aligned}
$$
振動数 \(f\) は、音速 \(V = 340\,\text{m/s}\) と波長 \(\lambda\) を用いて、波の基本公式 \(V = f\lambda\) より求めます。
$$
\begin{aligned}
f &= \frac{V}{\lambda}
\end{aligned}
$$

まず、波長 \(\lambda\) を計算します。単位をcmからmに直して計算します。
$$
\begin{aligned}
\frac{\lambda}{2} &= 101.5 – 33.5 \\[2.0ex] &= 68.0\,\text{cm} \\[2.0ex] &= 0.680\,\text{m}
\end{aligned}
$$
よって、
$$
\begin{aligned}
\lambda &= 2 \times 0.680 \\[2.0ex] &= 1.36\,\text{m}
\end{aligned}
$$
次に、振動数 \(f\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
f &= \frac{340}{1.36} \\[2.0ex] &= \frac{34000}{136} \\[2.0ex] &= 250\,\text{Hz}
\end{aligned}
$$
有効数字3桁で答えます。
$$
\begin{aligned}
f &= 2.50 \times 10^2\,\text{Hz}
\end{aligned}
$$

ピストンを引いていくと、「ワーン」と音が大きくなる場所がいくつか見つかります。これが共鳴点です。共鳴点と次の共鳴点の間隔は、必ず「波長の半分」になります。これは、定常波の形（節と腹の繰り返し）から決まるルールです。今回の実験では、その間隔が \(101.5 – 33.5 = 68.0\,\text{cm}\) でした。つまり、波長の半分が \(68.0\,\text{cm}\) なので、波長は \(136\,\text{cm} = 1.36\,\text{m}\) です。あとは「速さ＝振動数×波長」の公式を使えば、振動数も計算できます。

答えは \(\lambda = 1.36\,\text{m}, f = 2.50 \times 10^2\,\text{Hz}\) です。音速 \(340\,\text{m/s}\) に対して妥当な波長と振動数の値です。

問(2)

思考の道筋とポイント
ピストンがkの位置にあるとき、管内には3倍振動の定常波ができています。ピストン（閉口端）は「節」です。そこから管口に向かって見ていくと、最初の「腹」はピストンから \(\frac{\lambda}{4}\) の距離にあります。次の「節」は \(\frac{\lambda}{2}\) の距離、その次の「腹」は \(\frac{3\lambda}{4}\) の距離にあります。
問われているのは「管内の腹」の位置です。図1を見ると、ピストンkから \(\frac{\lambda}{4}\) だけ戻った位置に腹があることがわかります（あるいは、管口近くの腹から \(\frac{\lambda}{2}\) だけ奥に入った位置）。ここでは、ピストンkの位置（管口から \(101.5\,\text{cm}\)）を基準に考えます。
この設問における重要なポイント

• ピストンkは節である。
• 節から隣の腹までの距離は \(\frac{\lambda}{4}\) である。
• 節から隣の節までの距離は \(\frac{\lambda}{2}\) である。
• 3倍振動では、管内に腹が1つ存在する（管口付近の腹を除く）。

具体的な解説と立式
ピストンkの位置は節です。ここから管口側に向かって、最初の腹は \(\frac{\lambda}{4}\) の位置（管の中ほど）にあり、その先 \(\frac{\lambda}{4}\) で節（jの位置）、さらに \(\frac{\lambda}{4}\) 先の腹は管口の外にあります。
3倍振動の定常波は「管口付近（腹）- 節 – 腹 – 節（k）」という形をしています。
したがって、管内に存在する腹は、ピストンk（節）から \(\frac{\lambda}{4}\) だけ戻った位置にあります。
管口iからこの腹までの距離 \(x\) は、ピストンまでの距離 \(l_2\) から \(\frac{\lambda}{4}\) を引いたものになります。
$$
\begin{aligned}
x &= l_2 – \frac{\lambda}{4}
\end{aligned}
$$

\(l_2 = 101.5\,\text{cm}\)、\(\lambda = 136\,\text{cm}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
x &= 101.5 – \frac{136}{4} \\[2.0ex] &= 101.5 – 34.0 \\[2.0ex] &= 67.5\,\text{cm} \\[2.0ex] &= 0.675\,\text{m}
\end{aligned}
$$

ピストンkの位置は「節（動きゼロ）」です。そこから音源の方へ戻っていくと、波の形に従って「腹（動き最大）」→「節」→「腹」…と繰り返します。「節」から隣の「腹」までの距離は、波長の1/4です。ピストンkの位置（\(101.5\,\text{cm}\)）から、波長の1/4（\(34.0\,\text{cm}\)）だけ戻ったところが、管の中にある「腹」の位置です。

答えは \(0.675\,\text{m}\) です。\(j\) の位置（\(33.5\,\text{cm}\)）が節だったので、その隣の腹は \(33.5 + 34.0 = 67.5\,\text{cm}\) と計算しても同じ結果になります。

問(3)

思考の道筋とポイント
「管口iから管外の腹までの距離」とは、すなわち開口端補正 \(\Delta l\) のことです。(1)の別解で立てた式 \(l_1 + \Delta l = \frac{\lambda}{4}\) を使えば一発で求まります。あるいは、ピストンjの位置（節）から \(\frac{\lambda}{4}\) だけ管口側に戻った位置が腹なので、その位置と管口iとの差を計算します。
この設問における重要なポイント

• 開口端補正 \(\Delta l\) は、管口から外側の腹までの距離である。
• 基本振動（位置j）において、腹から節（ピストン）までの距離は \(\frac{\lambda}{4}\) である。

具体的な解説と立式
位置j（\(l_1 = 33.5\,\text{cm}\)）での共鳴は基本振動なので、管外の腹からピストンjまでの距離は \(\frac{\lambda}{4}\) です。
管口iから管外の腹までの距離（開口端補正）を \(\Delta l\) とすると、以下の関係が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
l_1 + \Delta l &= \frac{\lambda}{4}
\end{aligned}
$$
これより、
$$
\begin{aligned}
\Delta l &= \frac{\lambda}{4} – l_1
\end{aligned}
$$

数値を代入します。
$$
\begin{aligned}
\Delta l &= \frac{136}{4} – 33.5 \\[2.0ex] &= 34.0 – 33.5 \\[2.0ex] &= 0.5\,\text{cm} \\[2.0ex] &= 5 \times 10^{-3}\,\text{m}
\end{aligned}
$$

一番短い共鳴（基本振動）のとき、ピストンjは「節」です。そこから波長の1/4（\(34.0\,\text{cm}\)）だけ戻ったところが「腹」です。ところが、管の長さ（管口からピストンjまで）は \(33.5\,\text{cm}\) しかありません。つまり、「腹」の位置は管口よりも \(34.0 – 33.5 = 0.5\,\text{cm}\) だけ外側にはみ出していることになります。このはみ出した距離を答えます。

答えは \(5 \times 10^{-3}\,\text{m}\) です。開口端補正は通常、管の半径の0.6倍程度のごく短い距離になります。\(0.5\,\text{cm}\) という値は物理的に妥当です。

問(4)

思考の道筋とポイント
定常波における「変位」と「密度変化（圧力変化）」の関係を問う問題です。縦波の定常波では、媒質が最も激しく動く「変位の腹」では、密度は変化しません（周りと同じように動いているだけ）。逆に、媒質が全く動かない「変位の節」では、両側から媒質が押し寄せてきたり（密）、両側へ逃げていったり（疎）するため、密度変化が最大になります。位置jは定常波の「節」です。
この設問における重要なポイント

• 変位の節 \(\Leftrightarrow\) 密度変化（圧力変化）が最大
• 変位の腹 \(\Leftrightarrow\) 密度変化（圧力変化）が最小（ゼロ）

具体的な解説と立式
位置jは、定常波の「節」にあたります。
節の位置では、媒質の変位は常にゼロですが、その両側の媒質は逆向きに変位します。
ある瞬間には両側から空気が押し寄せてきて「密」になり、半周期後には両側へ空気が引いていって「疎」になります。
したがって、位置jでは空気の密度が時間とともに最も激しく変化します。

計算は不要で、物理的性質の記述となります。

音の波は、空気がギュッと詰まったり（密）、スカスカになったり（疎）して伝わります。定常波の「節」は、空気の粒自体は動かない場所ですが、両隣の空気が押し寄せてきたり引いていったりするので、混雑具合（密度）が一番激しく変わる場所です。逆に「腹」は、空気の粒が大きく動く場所ですが、みんな一緒に動くので、混雑具合はあまり変わりません。jは「節」なので、密度変化は最大になります。

jの位置は密度変化が最大の場所です。これは縦波の定常波の基本的な性質です。

問(5)

思考の道筋とポイント
(4)の逆を考えます。密度変化がない場所とは、すなわち「変位の腹」のことです。ピストンkの位置にあるとき（3倍振動）、腹はどこにあるかを答えます。3倍振動の定常波は「腹（管外）- 節 – 腹（管内）- 節（k）」という配置になっています。管内の腹は、jとkのちょうど中間に位置します。
この設問における重要なポイント

• 密度変化がない場所 \(\Leftrightarrow\) 変位の腹
• 3倍振動において、管内の腹は2つの節（jとkに対応する位置）の中点にある。

具体的な解説と立式
密度の変化が起こらない場所は、定常波の「腹」の位置です。
腹の位置では、空気はその場所を中心に大きく振動しますが、周りの空気も一緒に同じ方向に動くため、空気が圧縮されたり膨張したりすることがありません。
ピストンがkの位置にあるとき、管内にはjの位置（節）とkの位置（節）の間に、一つの腹が存在します。
節と節の間隔は \(\frac{\lambda}{2}\) であり、そのちょうど中間（\(\frac{\lambda}{4}\) の位置）が腹になります。
したがって、求める場所はjとkの中間点です。

計算は不要で、物理的性質の記述となります。

密度変化がない場所＝「腹」です。ピストンkのとき、管の中には「腹」が一つあります。それは、2つの「節」（jとk）のちょうど真ん中です。

jとkの中間点が腹であり、密度変化がない場所です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 開口端補正を含む気柱の共鳴
  • 核心: 実際の気柱共鳴では、定常波の腹は管口ぴったりではなく、少し外側（開口端補正 \(\Delta l\)）にできます。このズレを考慮して共鳴条件を立てる必要があります。
  • 理解のポイント:
    • 腹の位置: 管口から \(\Delta l\) だけ外側。
    • 共鳴条件式: 管の長さを \(L\) とすると、基本振動なら \(L + \Delta l = \frac{\lambda}{4}\)、3倍振動なら \(L + \Delta l = \frac{3\lambda}{4}\) となります。
    • 差をとる意味: 2つの共鳴位置の差 \(l_2 – l_1\) をとると、未知数 \(\Delta l\) が消去され、純粋に半波長 \(\frac{\lambda}{2}\) だけが残ります。これが実験で波長を求める定石です。
• 縦波の定常波における変位と密度
  • 核心: 音波は縦波（疎密波）であり、変位の定常波と密度の定常波は位相が \(\pi/2\) ずれています。
  • 理解のポイント:
    • 変位の節 \(\rightarrow\) 密度変化最大: 両側から媒質が押し寄せるため、圧力変動が最も激しい場所です（鼓膜やマイクが感知するのはここ）。
    • 変位の腹 \(\rightarrow\) 密度変化最小: 媒質が大きく動くものの、周囲と一緒に動くため疎密が生じません。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • クインケ管の実験: 2つの経路に分かれた音が干渉する実験ですが、経路差が半波長の偶数倍か奇数倍かで強め合い・弱め合いが決まります。本問の「差をとって波長を求める」考え方が応用できます。
  • 閉管の開口端補正を求める実験: 本問そのものですが、音叉の振動数を変えて共鳴長を測定し、グラフ（\(L\) vs \(1/f\)）を描いて傾きから音速、切片から開口端補正を求める問題も頻出です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 「差」に注目する: 共鳴点が複数与えられたら、まずはその間隔を計算します。それが \(\lambda/2\) です。
  2. 開口端補正の有無を確認する: 「開口端補正は無視できる」と書いていなければ、必ず \(\Delta l\) を考慮した式を立てます。
  3. 節と腹の位置関係を整理する: 閉口端は必ず節、開口端付近は必ず腹。この基本ルールから定常波の形を描きます。
  4. 縦波のイメージを持つ: 「変位」のグラフだけでなく、「密度（疎密）」の様子を頭の中でアニメーションさせると、(4)(5)のような定性的な問いにも即答できます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 開口端補正の符号ミス:
  • 誤解: \(L – \Delta l = \frac{\lambda}{4}\) と引いてしまう。
  • 対策: 「腹は管の外側にある」\(\rightarrow\) 「波の長さ（\(\lambda/4\)）の方が管（\(L\)）より長い」\(\rightarrow\) \(L < \frac{\lambda}{4}\) と大小関係を確認しましょう。足りない分を足すので \(L + \Delta l\) です。
• 節と腹の数え間違い:
  • 誤解: 3倍振動のとき、管内に腹が2つあると思ってしまう。
  • 対策: 管口の腹は「管外（または境界）」にあるので、「管内」と言われたら除外します。図を正確に描いて、境界線の内側にある腹の数を数えましょう。
• 密度変化と変位の混同:
  • 誤解: 大きく動く場所（腹）こそ密度が大きく変わると思ってしまう。
  • 対策: 満員電車をイメージしてください。全員が一斉に右に動いても混雑率は変わりません（腹）。両側から人が押し寄せてきて動けない場所こそ、圧死しそうになります（節）。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（\(l_2 – l_1 = \lambda/2\)）:
  • 選定理由: 未知の開口端補正 \(\Delta l\) を含まずに波長を決定できる唯一の幾何学的関係だからです。
  • 適用根拠: 定常波の周期性（節と節の間隔は一定）に基づいています。
• (1)別解でのアプローチ（連立方程式）:
  • 選定理由: 物理的状況をそのまま数式に翻訳する最も素直な方法だからです。
  • 適用根拠: 各共鳴点における境界条件（閉口端＝節、開口端補正位置＝腹）を個別に立式し、数学的に処理することで解を得ます。
• (4)(5)での思考法（変位と密度の関係）:
  • 選定理由: 数式で解くよりも、縦波の物理的モデル（粒子の運動）に基づいて定性的に判断する方が確実だからです。
  • 適用根拠: 連続の式（質量保存則）から導かれる、変位の空間微分が密度変化に対応するという物理法則に基づいています。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位換算の徹底:
  • 問題文は \(\text{cm}\)、音速は \(\text{m/s}\) で与えられています。計算の初期段階で \(\text{m}\) に統一するか、最後に \(\times 10^{-2}\) を忘れないようにしましょう。本問では \(136\,\text{cm} = 1.36\,\text{m}\) への変換が必須です。
• 有効数字の確認:
  • 問題文の数値（\(33.5, 101.5, 340\)）から、有効数字は3桁です。答えも3桁（\(2.50 \times 10^2\)）で記述します。
• 引き算の検算:
  • \(101.5 – 33.5 = 68.0\) のような単純な引き算こそ、筆算で確認するか、逆算（\(68.0 + 33.5 = 101.5\)）してミスを防ぎましょう。

388 気柱の共鳴

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「両端が閉じた気柱の共鳴」です。通常、気柱の共鳴実験では片方が開いた管（閉管）や両端が開いた管（開管）を使いますが、この問題では両端が閉じています。この場合、境界条件はどうなるのか、どのような定常波ができるのかを考察します。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
まず、この気柱がどのような振動モードを持つかを判断します。両端が閉じている（膜とふた）ので、両端が「節」となる定常波ができます。これは両端固定の弦と同じ条件です。
次に、観測された2つの共鳴振動数 \(519\,\text{Hz}\) と \(692\,\text{Hz}\) の関係を調べます。問題文に「ほかの振動数では共鳴はおこっていない」とあるので、これらは連続する倍振動（例えば3倍振動と4倍振動など）であると考えられます。
高い方の \(692\,\text{Hz}\) が \(m\) 倍振動だとすると、低い方の \(519\,\text{Hz}\) は \((m-1)\) 倍振動です。この比から \(m\) を決定します。
\(m\) が決まれば、管の長さ \(L=1.00\,\text{m}\) の中に半波長が \(m\) 個入っていることから波長が求まり、節の位置も特定できます。
この設問における重要なポイント

• 両端が閉じているため、両端が節となる定常波が生じる。
• 共鳴振動数は基本振動数の整数倍になる（\(f_m = m f_1\)）。
• \(519\,\text{Hz}\) と \(692\,\text{Hz}\) は連続する倍振動である。

具体的な解説と立式
管の両端は節となるので、弦の固有振動と同様に考えます。
基本振動数を \(f_1\) とすると、\(m\) 倍振動の振動数は \(m f_1\) と表されます。
\(692\,\text{Hz}\) のときに \(m\) 倍振動が生じていると仮定すると、その一つ下の共鳴である \(519\,\text{Hz}\) のときは \((m-1)\) 倍振動が生じていることになります。
したがって、以下の関係が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
692 &= m f_1 \quad \cdots ① \\
519 &= (m-1) f_1 \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$
式①を式②で割って \(f_1\) を消去し、\(m\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\frac{692}{519} &= \frac{m}{m-1}
\end{aligned}
$$
この方程式を解くと、
$$
\begin{aligned}
692(m-1) &= 519m \\
692m – 692 &= 519m \\
(692 – 519)m &= 692 \\
173m &= 692 \\
m &= 4
\end{aligned}
$$
よって、\(692\,\text{Hz}\) のときは4倍振動であることがわかります。
4倍振動では、管の長さ \(L=1.00\,\text{m}\) の中に、定常波のループ（半波長 \(\frac{\lambda_4}{2}\)）が4つ入っています。
$$
\begin{aligned}
L &= 4 \times \frac{\lambda_4}{2} \\[2.0ex] &= 2\lambda_4
\end{aligned}
$$
これより、波長 \(\lambda_4\) は、
$$
\begin{aligned}
\lambda_4 &= \frac{L}{2} \\[2.0ex] &= \frac{1.00}{2} \\[2.0ex] &= 0.500\,\text{m}
\end{aligned}
$$
節の位置は、左端（\(x=0\)）から半波長 \(\frac{\lambda_4}{2} = 0.250\,\text{m}\) ごとに現れます。
左端も節であることを忘れずに含めます。

節の位置 \(x\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
\frac{\lambda_4}{2} &= 0.250\,\text{m}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
x_0 &= 0\,\text{m} \\
x_1 &= 0.250\,\text{m} \\
x_2 &= 0.250 \times 2 = 0.500\,\text{m} \\
x_3 &= 0.250 \times 3 = 0.750\,\text{m} \\
x_4 &= 0.250 \times 4 = 1.00\,\text{m}
\end{aligned}
$$

この管は両端が閉じているので、両端が「動かない点（節）」になります。実験で見つかった2つの音（\(519\,\text{Hz}\) と \(692\,\text{Hz}\)）の比をとってみると、ちょうど \(3:4\) になっています（\(519 \div 173 = 3\)、\(692 \div 173 = 4\)）。つまり、\(692\,\text{Hz}\) のときは「4倍振動」という、波の山が4つある状態です。\(1\,\text{m}\) の管の中に山が4つあるので、山1つの長さは \(0.25\,\text{m}\) です。節は山の端っこ（動きゼロの点）なので、\(0\,\text{m}\) からスタートして \(0.25\,\text{m}\) おきに現れます。

節の位置は \(0\,\text{m}, 0.250\,\text{m}, 0.500\,\text{m}, 0.750\,\text{m}, 1.00\,\text{m}\) です。両端（\(0\,\text{m}\) と \(1.00\,\text{m}\)）が含まれていること、等間隔であることを確認します。

問(2)

思考の道筋とポイント
(1)で、振動数 \(f = 692\,\text{Hz}\) のときの波長が \(\lambda = 0.500\,\text{m}\) であることがわかりました。あとは波の基本公式 \(V = f\lambda\) に代入するだけです。
この設問における重要なポイント

• 波の基本公式: \(V = f\lambda\)

具体的な解説と立式
音速 \(V\) は、振動数 \(f\) と波長 \(\lambda\) の積で表されます。
$$
\begin{aligned}
V &= f\lambda
\end{aligned}
$$

数値を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
V &= 692 \times 0.500 \\[2.0ex] &= 346\,\text{m/s}
\end{aligned}
$$

「速さ＝振動数×波長」の公式を使います。振動数は \(692\)回/秒、波長（波1つ分の長さ）は \(0.500\,\text{m}\) なので、掛け算すれば1秒間に進む距離（速さ）が出ます。

答えは \(346\,\text{m/s}\) です。空気中の音速として一般的な値（約 \(340\,\text{m/s}\)）に近いので、妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 両端固定の気柱の共鳴条件
  • 核心: 気柱の共鳴は「開いているか閉じているか」で決まります。本問のように両端が閉じている場合、両端は空気が動けないため「節」になります。これは両端固定の弦と全く同じ境界条件です。
  • 理解のポイント:
    • 節と節の間隔: 定常波において、隣り合う節と節の間隔は常に半波長 \(\frac{\lambda}{2}\) です。
    • 共鳴条件式: 管の長さ \(L\) の中に半波長が整数個（\(m\) 個）入る条件、すなわち \(L = m \times \frac{\lambda}{2}\) が成立します。
• 固有振動数の整数倍則
  • 核心: 基本振動数 \(f_1\) が決まれば、高次の固有振動数はその整数倍（\(2f_1, 3f_1, \dots\)）になります。
  • 理解のポイント:
    • 差が基本振動数: 隣り合う固有振動数の差 \(f_{m} – f_{m-1}\) は、常に基本振動数 \(f_1\) に等しくなります。これを知っていると、連立方程式を解かずに次数を特定できます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • クントの実験: 金属棒の振動で気柱を共鳴させる実験ですが、気柱の両端が閉じている場合や、片方がピストン（閉口端）の場合など、境界条件のバリエーションがあります。常に「端が動けるか（腹）動けないか（節）」を確認しましょう。
  • 弦の振動: 両端固定の弦は、本問と数理的に完全に等価です。弦の長さ、張力、線密度から波の速さを求める問題と組み合わされることが多いです。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 境界条件をチェックする: 「ふた」「膜（微小振動）」「ピストン」はすべて閉口端（節）です。「開口部」だけが腹です。
  2. 振動数の比を見る: 複数の共鳴振動数が与えられたら、それらの比（例: \(519:692 \approx 3:4\)）や差（\(173\)）を計算してみます。整数比が見つかれば、それが倍振動の次数です。
  3. 図を描く: 計算だけで済ませず、管の中に波（サインカーブ）を描き込んで、節と腹の位置関係を視覚的に確認しましょう。特に「節の位置」を問われたときは、図が最強の武器になります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 開管・閉管との混同:
  • 誤解: 「気柱だから片方は開いているはず」と思い込み、閉管の公式（奇数倍振動）を適用してしまう。
  • 対策: 問題文の「ふたで閉じて」「膜を張り」という記述を見逃さないようにしましょう。両端が閉じているなら、偶数倍振動も存在します。
• 節の位置の数え間違い:
  • 誤解: 両端を含めるのを忘れたり、間隔の個数と節の個数（植木算）を間違えたりする。
  • 対策: \(m\) 倍振動なら、節の数は \(m+1\) 個です。\(0\) からスタートして \(L\) まで、座標を書き出すのが確実です。
• 波長と半波長の取り違え:
  • 誤解: 節の間隔を波長 \(\lambda\) だと思ってしまう。
  • 対策: 「行って帰って1波長」です。節から節は「片道」なので半波長 \(\lambda/2\) です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（\(L = \frac{m}{2}\lambda\) と \(f_m = m f_1\)）:
  • 選定理由: 境界条件（両端固定）から導かれる幾何学的な制約（長さ \(L\) に半波長が整数個入る）が、物理現象の根本だからです。
  • 適用根拠: 定常波が存在するためには、境界での位相条件（節＝変位ゼロ）を満たす必要があります。
• (1)別解でのアプローチ（差をとる）:
  • 選定理由: 固有振動のスペクトル構造（等間隔に並ぶ）に着目した、より俯瞰的な視点からの解法です。
  • 適用根拠: 波動方程式の線形性から、固有振動数が整数倍になることは保証されています。
• (2)での公式選択（\(V = f\lambda\)）:
  • 選定理由: 波動現象における最も基本的かつ普遍的な関係式だからです。
  • 適用根拠: 振動数 \(f\) と波長 \(\lambda\) が独立に求まれば、その積として伝播速度 \(V\) が一意に定まります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 割り算の検算:
  • \(692 \div 519\) のような割り算は、分数 \(\frac{692}{519}\) にして約分するか、あるいは差 \(173\) を求めてから \(173 \times 3 = 519, 173 \times 4 = 692\) と掛け算で確認すると確実です。
• 単位の確認:
  • 波長や位置は \(\text{m}\)、振動数は \(\text{Hz}\)、速さは \(\text{m/s}\) です。特に \(\text{cm}\) と \(\text{m}\) の混在に注意しましょう（本問はすべて \(\text{m}\) なので安全ですが）。
• 物理的妥当性のチェック:
  • 音速が \(346\,\text{m/s}\) と出たら、「だいたい \(340\) くらいだから合ってそうだ」と判断します。もし \(3400\) や \(34\) になったら桁間違いを疑いましょう。

389 スピード測定装置

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「反射波のドップラー効果とうなり」です。動く車が音波を反射する現象を、観測者としての受信と音源としての送信の2段階プロセスとして捉え、さらに直接音と反射音の干渉によるうなりを考察します。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
車は、測定装置からの音を受け取り、それを反射して測定装置に戻します。この過程を2つのステップに分解して考えます。
ステップ1: 静止した測定装置から、動く車（観測者）へ音が伝わる。
ステップ2: 動く車（音源）から、静止した測定装置（観測者）へ音が伝わる。
それぞれのステップでドップラー効果の公式を適用します。
この設問における重要なポイント

• 音の伝わる向きを正として速度の符号を考える。
• ステップ1では、音は右向き（装置→車）に進む。車は音源に向かって動くので、観測者が近づくケース。
• ステップ2では、音は左向き（車→装置）に進む。車は観測者に向かって動くので、音源が近づくケース。

具体的な解説と立式
ステップ1: 装置（静止）→ 車（動く観測者）
測定装置は静止しており、車は速さ \(v\) で音源に近づいています。
音速を \(V\) とします。
観測者が音源に近づく場合、相対的に波の速さが速くなるため、振動数は高くなります。
車が受け取る音の振動数を \(f_1\) とすると、ドップラー効果の公式より、以下の式が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
f_1 &= \frac{V+v}{V} f_0 \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
ステップ2: 車（動く音源）→ 装置（静止）
車は、受け取った振動数 \(f_1\) の音をそのまま反射します。つまり、車は振動数 \(f_1\) の音源として振る舞います。
今度は、音源である車が速さ \(v\) で静止した測定装置に近づいています。
音源が観測者に近づく場合、波長が縮むため、振動数は高くなります。
測定装置が観測する反射音の振動数を \(f\) とすると、ドップラー効果の公式より、以下の式が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
f &= \frac{V}{V-v} f_1 \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$

式①を式②に代入して \(f\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
f &= \frac{V}{V-v} \times f_1 \\[2.0ex] &= \frac{V}{V-v} \times \left( \frac{V+v}{V} f_0 \right) \\[2.0ex] &= \frac{V}{V-v} \cdot \frac{V+v}{V} f_0 \\[2.0ex] &= \frac{V+v}{V-v} f_0
\end{aligned}
$$

車が近づいてくるときは、「受け取るとき」と「送り返すとき」の2回、音が高くなるチャンスがあります。まず、車が音源に向かって走っていくので、車にとっては音が猛スピードでぶつかってくるように感じます。だから、受け取るリズム（振動数）は速くなります。次に、その速いリズムのまま車が音を跳ね返しますが、車自身が測定装置に向かって走りながら音を出すので、音の波が前方にギュッと圧縮されます。これでさらにリズムが速くなります。結果として、2回分の効果で音はかなり高くなって聞こえます。

答えは \(f = \frac{V+v}{V-v} f_0\) です。分母が \(V-v\)（小さい）、分子が \(V+v\)（大きい）なので、係数は1より大きくなります。車が近づいてくるので音が高くなるという直感と一致します。

問(2)

思考の道筋とポイント
測定装置では、自分が送り出した音（振動数 \(f_0\)）と、車から戻ってきた反射音（振動数 \(f\)）の2つの音が重なり合います。\(f > f_0\) なので、この2つの音の振動数の差 \(f – f_0\) が、単位時間あたりのうなりの回数 \(N\) になります。この関係式を立て、\(v\) について解きます。
この設問における重要なポイント

• うなりの回数 \(N = |f – f_0|\)
• 反射音の方が高いので \(N = f – f_0\)
• 与えられた数値: \(f_0 = 20000\,\text{Hz}, N = 2500\,\text{回/s}, V = 340\,\text{m/s}\)

具体的な解説と立式
単位時間あたりのうなりの回数を \(N\) とします。
反射音の振動数 \(f\) は \(f_0\) より大きいので、以下の式が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
N &= f – f_0
\end{aligned}
$$
(1)の結果を代入します。
$$
\begin{aligned}
N &= \frac{V+v}{V-v} f_0 – f_0
\end{aligned}
$$
この方程式を \(v\) について解きます。

まず、式を整理して \(v\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
N &= \left( \frac{V+v}{V-v} – 1 \right) f_0 \\[2.0ex] &= \frac{(V+v) – (V-v)}{V-v} f_0 \\[2.0ex] &= \frac{2v}{V-v} f_0
\end{aligned}
$$
両辺に \(V-v\) を掛けます。
$$
\begin{aligned}
N(V-v) &= 2v f_0 \\[2.0ex] NV – Nv &= 2v f_0 \\[2.0ex] NV &= 2v f_0 + Nv \\[2.0ex] NV &= v(2f_0 + N)
\end{aligned}
$$
よって、
$$
\begin{aligned}
v &= \frac{NV}{2f_0 + N}
\end{aligned}
$$
数値を代入します。
$$
\begin{aligned}
v &= \frac{2500 \times 340}{2 \times 20000 + 2500} \\[2.0ex] &= \frac{850000}{40000 + 2500} \\[2.0ex] &= \frac{850000}{42500} \\[2.0ex] &= \frac{850}{42.5} \\[2.0ex] &= 20\,\text{m/s}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えます。
$$
\begin{aligned}
v &= 20\,\text{m/s}
\end{aligned}
$$

「うなり」とは、高さの微妙に違う2つの音が重なったときに「ワンワンワン」と聞こえる現象です。1秒間の「ワンワン」の回数は、2つの音の振動数の引き算で決まります。ここでは、元の音（\(20000\,\text{Hz}\)）と、車から跳ね返ってきた高い音の差が、1秒間に \(2500\) 回でした。つまり、跳ね返ってきた音は \(22500\,\text{Hz}\) だったということです。(1)で作った式を使って、どのくらいのスピードで車が走っていれば音が \(22500\,\text{Hz}\) になるかを逆算します。

答えは \(20\,\text{m/s}\) です。時速に直すと \(72\,\text{km/h}\) なので、車のスピードとして妥当な値です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 反射波のドップラー効果
  • 核心: 動く反射体によるドップラー効果は、「受信」と「送信」の2段階プロセスとして理解することが不可欠です。
  • 理解のポイント:
    • ステップ1（受信）: 反射体はまず「動く観測者」として音を受け取ります。このとき、反射体が音源に近づく速度に応じて、受け取る振動数が高くなります。
    • ステップ2（送信）: 次に、反射体はその受け取った振動数の音をそのまま再放出する「動く音源」として振る舞います。このとき、反射体が観測者に近づく速度に応じて、放出される音の波長が縮み、さらに振動数が高くなります。
    • 結果: 2回のドップラー効果が掛け合わされるため、振動数の変化は1回の場合よりも大きくなります。
• うなりと振動数差
  • 核心: 振動数のわずかに異なる2つの波が重なると、その差の周波数で振幅が変動する「うなり」が生じます。
  • 理解のポイント:
    • うなりの回数 \(N = |f_1 – f_2|\): この公式は、波の重ね合わせの原理から導かれます。本問のように、元の音と反射音を干渉させて速度を測定する技術（ドップラーレーダーなど）の基礎原理です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 医療用超音波検査（エコー）: 血液（赤血球）からの反射波を利用して血流速度を測定します。原理は本問と全く同じです。
  • スピードガン（野球など）: 電波（マイクロ波）を使いますが、ドップラー効果の式は同じです。
  • 風がある場合の反射: 音速 \(V\) が風速 \(w\) によって \(V+w\) や \(V-w\) に変わります。行きと帰りで音速が変わる点に注意が必要です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 誰が動いているか整理する: 音源、観測者、反射体のそれぞれの速度ベクトルを図に書き込みます。
  2. 音の経路を矢印で描く: 「音源→反射体」と「反射体→観測者」の2つの矢印を描き、それぞれの区間でドップラー効果の公式を適用します。
  3. 符号を間違えない: ドップラー効果の公式 \(f’ = \frac{V-v_o}{V-v_s}f\) において、速度 \(v_o, v_s\) は「音の進む向き」を正とします。反射の場合、行きと帰りで音の進む向きが逆転するため、正の向きも逆転することに注意しましょう。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 公式の適用ミス:
  • 誤解: 反射体の速度を、分母と分子のどちらに入れるか迷う、あるいは逆に入れてしまう。
  • 対策: 「近づくときは音が高くなる」という定性的なチェックを必ず行いましょう。反射体が音源に近づくなら受信振動数は高くなる（分子が大きくなる）、反射体が観測者に近づくなら送信振動数は高くなる（分母が小さくなる）はずです。
• うなりの回数の定義:
  • 誤解: うなりの回数を \(f_1 + f_2\) と足してしまったり、単に \(f\) と書いてしまったりする。
  • 対策: 「うなり＝差」と覚えましょう。また、どちらが高い音かを確認して、必ず正の値になるように引き算します（\(|f_1 – f_2|\)）。
• 近似式の乱用:
  • 誤解: どんな場合でも \(\Delta f \approx \frac{2v}{V}f_0\) が使えると思ってしまう。
  • 対策: 近似式は \(v \ll V\) のときのみ有効です。本問の(2)のように \(v\) が \(20\,\text{m/s}\) 程度で \(V=340\,\text{m/s}\) の場合、誤差が数%出ることがあります。問題文で「近似を用いよ」と指示がない限り、厳密式で解くのが安全です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（ドップラー効果の公式）:
  • 選定理由: 音源や観測者が動いている状況で、振動数の変化を求められているため、ドップラー効果の公式が第一選択となります。
  • 適用根拠: 反射現象を「受信」と「再放出」の2段階プロセスとみなすことで、それぞれの段階で標準的なドップラー効果の公式を適用できます。
• (2)での公式選択（うなりの公式）:
  • 選定理由: 「うなりの回数」というキーワードが出たら、迷わず \(N = |f_1 – f_2|\) を使います。
  • 適用根拠: 2つの波の重ね合わせによって振幅が周期的に変化する現象（うなり）の数学的記述に基づいています。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま計算する:
  • 数値を代入するのは最後の最後です。途中で代入すると、式が複雑になり、約分できる項を見落とす原因になります。特に本問の(2)では、\(f_0\) や \(V\) を文字のまま扱うことで、式の構造が見やすくなります。
• 繁分数の処理:
  • \(f = \frac{V}{V-v} \times \frac{V+v}{V} f_0\) のような計算では、分母と分子にある \(V\) を早めに約分して、\(\frac{V+v}{V-v} f_0\) というシンプルな形に整理しましょう。
• 単位の確認:
  • 振動数は \(\text{Hz}\)（回/秒）、速さは \(\text{m/s}\) です。うなりの回数も \(\text{Hz}\) と同じ次元であることを意識すると、式の左右で単位が合っているか確認できます。

390 斜め方向のドップラー効果

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「斜め方向のドップラー効果」です。音源や観測者が一直線上になく、斜めに移動する場合のドップラー効果を扱います。速度ベクトルを分解し、音の進行方向成分だけがドップラー効果に寄与することを理解するのが鍵です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
音源が動く場合のドップラー効果です。点Aで音を出した瞬間、音源は観測者Cに向かって斜めに近づいています。この「近づく速さ」を正確に見積もる必要があります。点Bで音を出した瞬間、音源の移動方向（AB方向）と音の進行方向（BC方向）は垂直です。このとき、音源は観測者に近づいても遠ざかってもいません。
この設問における重要なポイント

• ドップラー効果に寄与するのは、音源と観測者を結ぶ直線方向の速度成分のみである。
• 点Aでは、音源の速度 \(v\) のうち、AC方向の成分 \(v \cos \theta\) が有効になる。
• 点Bでは、音源の速度 \(v\) はBC方向と垂直なので、BC方向の成分は \(0\) である。

具体的な解説と立式
点Aでの振動数 \(f_{\text{A}}\) を求めます。
音源は速さ \(v\) で右向きに動いています。観測者Cは点Aから見て右下方向にあります。
音源と観測者を結ぶ直線AC方向の速度成分 \(v_s\) を考えます。
図1のように、速度ベクトル \(v\) と直線ACのなす角は \(\theta\) なので、AC方向の成分は \(v \cos \theta\) となります。
音源は観測者に近づいているので、この成分は正として扱います。
ドップラー効果の公式より、以下の式が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
f_{\text{A}} &= \frac{V}{V – v \cos \theta} f
\end{aligned}
$$
点Bでの振動数 \(f_{\text{B}}\) を求めます。
音源は点Bを通過する瞬間も右向きに動いています。観測者Cは点Bの真下にあります。
音源と観測者を結ぶ直線BC方向の速度成分を考えます。
音源の速度ベクトル（右向き）と直線BC（下向き）は垂直なので、BC方向の成分は \(0\) です。
つまり、この瞬間、音源は観測者に近づきも遠ざかりもしていません。
したがって、ドップラー効果は起こらず、振動数は変化しません。
$$
\begin{aligned}
f_{\text{B}} &= f
\end{aligned}
$$

上記の立式により、計算は完了しています。

ドップラー効果は、「音源が観測者に近づく（または遠ざかる）」ときに起こります。点Aでは、音源は右へ動いていますが、斜め下にある観測者から見ても「近づいてくる」ように見えます。その「近づく速さ」は、真横に動く速さ \(v\) よりも少し割引かれて \(v \cos \theta\) になります。これを使って計算します。点Bでは、音源は観測者の目の前を横切る瞬間です。この一瞬だけは、近づきも遠ざかりもしないので、音の高さは変わりません（救急車が目の前を通り過ぎる瞬間に音が変わる、その変わり目の瞬間です）。

点Aでの振動数は \(\frac{V}{V – v \cos \theta} f\)、点Bでの振動数は \(f\) です。点Aでは分母が \(V\) より小さくなるため、振動数は \(f\) より大きくなります（近づくので音が高くなる）。これは直感と一致します。

問(2)

思考の道筋とポイント
今度は観測者が動く場合のドップラー効果です。音源は点Cで静止しており、観測者が点Aを通過する瞬間を考えます。観測者は速さ \(v\) で右向きに動いています。音源Cは観測者から見て右下方向にあります。観測者の速度ベクトルを「音源と観測者を結ぶ直線AC方向」に分解し、その成分を公式に代入します。
この設問における重要なポイント

• 観測者の速度 \(v\) のうち、AC方向の成分 \(v \cos \theta\) がドップラー効果に寄与する。
• 観測者は音源に「近づく」向きに移動している成分を持っている。
• 観測者が動く場合のドップラー効果の公式 \(f’ = \frac{V + v_o}{V} f\) （\(v_o\) は音源に近づく速さ）を用いる。

具体的な解説と立式
点Aにおいて、観測者は速さ \(v\) で右向きに動いています。
音源Cと観測者Aを結ぶ直線AC方向の速度成分を考えます。
図2のように、速度ベクトル \(v\) と直線ACのなす角は \(\theta\) なので、AC方向の成分は \(v \cos \theta\) です。
この成分の向きは、音源Cに近づく向きです（図2の \(v \cos \theta\) の矢印は、音源Cに向かう方向を向いています）。
観測者が動く場合のドップラー効果の公式は、音源に近づく速さを \(v_o\) として、以下の式で表されます。
$$
\begin{aligned}
f’ &= \frac{V + v_o}{V} f
\end{aligned}
$$
今回は近づいているので、\(v_o = v \cos \theta\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
f_{\text{C}} &= \frac{V + v \cos \theta}{V} f
\end{aligned}
$$

観測者の速度 \(v\) のAC方向成分（音源に近づく成分）は \(v \cos \theta\) です。
これを公式に代入します。
$$
\begin{aligned}
f_{\text{C}} &= \frac{V + v \cos \theta}{V} f
\end{aligned}
$$

観測者が動く場合も、音源と観測者を結ぶ直線上の動きだけが関係します。点Aでは、観測者は右へ動いていますが、これは斜め下にある音源Cに「近づく」動きを含んでいます。その「近づく速さ」は、角度 \(\theta\) を使って \(v \cos \theta\) と計算できます。観測者が音源に近づくと、音の波とすれ違う回数が増えるので、音は高く聞こえます。元の高さ \(f\) に、近づく効果 \((V + v \cos \theta)/V\) を掛け算して答えを出します。

答えは \(\frac{V + v \cos \theta}{V} f\) です。分子が \(V\) より大きくなるので、振動数は高くなります。観測者が音源に向かう成分を持っていることと一致します。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ドップラー効果における速度成分の分解
  • 核心: ドップラー効果に寄与するのは、音源と観測者を結ぶ直線方向（視線方向）の速度成分のみです。
  • 理解のポイント:
    • 視線方向の成分: 音源や観測者の速度ベクトル \(\vec{v}\) を、視線方向とそれに垂直な方向に分解します。視線方向の成分 \(v \cos \theta\) だけが公式の \(v_s\) や \(v_o\) になります。
    • 垂直成分の影響: 視線方向に垂直な成分は、音源と観測者の距離を変える効果（瞬間の変化率）を持たないため、ドップラー効果には一切寄与しません。
• 音源移動と観測者移動の違い
  • 核心: 音源が動くときは「波長」が変化し、観測者が動くときは「相対速度」が変化します。
  • 理解のポイント:
    • 音源移動: 波が進行方向に圧縮（または伸長）されるため、空間的な波長 \(\lambda\) が変わります。
    • 観測者移動: 空間的な波長 \(\lambda\) は変わらず、観測者が波とすれ違う速さ（相対速度）が変わることで、時間的な振動数 \(f\) が変わります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 円運動する音源: 音源が円周上を動き、観測者が遠方にいる場合など。円の接線方向の速度を視線方向に分解して考えます。
  • 通過時の振動数変化: 音源が観測者の近くを直線的に通過する場合、角度 \(\theta\) が刻々と変化するため、振動数も連続的に変化します。最も高くなるのは接近時（\(\theta \to 0\)）、最も低くなるのは遠ざかる時（\(\theta \to 180^\circ\)）、元の振動数になるのは最接近点（\(\theta = 90^\circ\)）で発した音です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 直線を引く: まず、音源と観測者を結ぶ直線を引きます。これが「音の通り道」です。
  2. 角度を見つける: 速度ベクトルと、引いた直線のなす角 \(\theta\) を見つけます。
  3. 分解する: 速度 \(v\) に \(\cos \theta\) を掛けて、直線方向の成分を求めます。
  4. 近づくか遠ざかるか判定する: 分解した矢印の向きを見て、相手に近づく向きなら「振動数アップ（音源なら分母マイナス、観測者なら分子プラス）」、遠ざかる向きなら「振動数ダウン」と判断します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 角度の取り違え:
  • 誤解: 図に与えられた角度 \(\theta\) をそのまま \(\cos \theta\) に使ってしまう。
  • 対策: 必ず「速度ベクトル」と「音源・観測者を結ぶ線」のなす角を確認しましょう。問題によっては \(\sin \theta\) になる場合もあります（例えば \(\theta\) が垂直線との角度の場合など）。
• 符号のミス:
  • 誤解: 公式の \(v_s, v_o\) に代入する際、プラスかマイナスかで迷う。
  • 対策: 「近づくときは音が高くなる」「遠ざかるときは音が低くなる」という定性的なチェックを必ず行いましょう。計算結果がこの直感と逆になったら、符号が間違っています。
• 最接近時の勘違い:
  • 誤解: 最接近した瞬間（点B）でもドップラー効果が起こると思ってしまう。
  • 対策: 最接近した点（点B）では、速度ベクトルが視線方向と垂直になります。つまり、視線方向の成分がゼロになるため、そこで発した音はドップラー効果を受けず、元の振動数 \(f\) で観測されます（観測者に届くのは距離÷音速だけ後です）。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（音源移動の公式）:
  • 選定理由: 音源が動いており、観測者が静止しているため。
  • 適用根拠: 音源の速度成分 \(v \cos \theta\) が波長を短縮させる効果を持つため、\(f’ = \frac{V}{V – v_s} f\) の公式が適用されます。
• (2)での公式選択（観測者移動の公式）:
  • 選定理由: 観測者が動いており、音源が静止しているため。
  • 適用根拠: 観測者の速度成分 \(v \cos \theta\) が波との相対速度を増加させる効果を持つため、\(f’ = \frac{V + v_o}{V} f\) の公式が適用されます。
• 別解でのアプローチ（原理的解法）:
  • 選定理由: 公式の形を忘れた場合や、現象の本質を理解するために有効だからです。
  • 適用根拠: ドップラー効果は「波長の短縮」と「相対速度の変化」という2つの物理的要因に分解できるため、それぞれを個別に計算しても正しい結果が得られます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 図を描いて成分を確認する:
  • 頭の中だけで分解せず、必ず図に矢印を描き込み、直角三角形を作って \(\cos\) か \(\sin\) かを確認しましょう。
• 極限を考えて検算する:
  • \(\theta = 0\) のとき（一直線上を近づく）はどうなるか？ \(\cos 0 = 1\) なので、通常のドップラー効果の式 \(f’ = \frac{V}{V-v}f\) に戻ります。
  • \(\theta = 90^\circ\) のとき（横切る）はどうなるか？ \(\cos 90^\circ = 0\) なので、\(f’ = f\) となり、ドップラー効果が消えます。
  • このような極限チェックを行うことで、式の形が正しいかどうかの強力な検算になります。

391 円運動とドップラー効果

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「円運動する音源によるドップラー効果」です。音源が円周上を動くとき、観測者から見た音源の速度（視線方向の成分）は刻々と変化します。各点における速度ベクトルを正しく分解し、ドップラー効果の公式に適用することが求められます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(A, E)

思考の道筋とポイント
点Aと点Eは、観測者Pから引いた接線の接点です。接線の性質より、半径OAと接線PAは垂直です。音源の速度ベクトルは接線方向（PA方向）を向いています。つまり、点Aでは音源はPから「遠ざかる」向きに、点EではPに「近づく」向きに、速さ \(v\) そのままで動いています。
この設問における重要なポイント

• 接線方向の速度ベクトルは、視線方向（PA, PE）と一致する。
• 点Aでは遠ざかる向き、点Eでは近づく向きである。
• 速度成分の大きさは \(v\) そのものである。

具体的な解説と立式
点Aにおいて、音源の速度ベクトルは接線方向、すなわち直線PA上にあります。
向きは時計回りなので、Pから見て遠ざかる向きです。
音源が観測者から遠ざかる速さは \(v_s = -v\) （近づく向きを正とする場合）または \(v\) （遠ざかる向きとして公式を使い分ける場合）です。
ここでは、音源が観測者に向かう向きを正として、公式 \(f’ = \frac{V}{V – v_s} f\) を用います。
点Aでは \(v_s = -v\) なので、
$$
\begin{aligned}
f_{\text{A}} &= \frac{V}{V – (-v)} f \\[2.0ex] &= \frac{V}{V + v} f
\end{aligned}
$$
点Eにおいて、音源の速度ベクトルは接線方向、すなわち直線PE上にあります。
向きは時計回りなので、Pに向かって近づく向きです。
点Eでは \(v_s = v\) なので、
$$
\begin{aligned}
f_{\text{E}} &= \frac{V}{V – v} f
\end{aligned}
$$

上記の立式により、計算は完了しています。

点Aと点Eは、円の「端っこ」に見える点です。ここでは、音源がちょうど観測者Pとの直線上を動いています。点Aでは、音源はPから真っ直ぐ遠ざかっています。だから音は低くなります。点Eでは、音源はPに向かって真っ直ぐ近づいています。だから音は高くなります。速度の分解などをする必要はなく、速さ \(v\) をそのまま公式に使えばOKです。

\(f_{\text{A}} = \frac{V}{V + v} f\), \(f_{\text{E}} = \frac{V}{V – v} f\) です。遠ざかるAで振動数が下がり、近づくEで振動数が上がるので妥当です。

問(B, D)

思考の道筋とポイント
点Bと点Dは、中心Oを通る鉛直線上の点です。ここでの速度ベクトルは水平方向（接線方向）を向いています。一方、観測者Pは点Oと同じ高さにあります。したがって、音源と観測者を結ぶ直線（PBまたはPD）は斜めになります。速度ベクトルをこの斜めの直線方向に分解する必要があります。
この設問における重要なポイント

• 点Bでの速度ベクトルは右向き、点Dでの速度ベクトルは左向きである。
• 直線PB（またはPD）と水平線のなす角を \(\phi\) とすると、視線方向の成分は \(v \cos \phi\) となる。
• \(\cos \phi\) の値は、直角三角形PBO（またはPDO）の辺の比から求められる。

具体的な解説と立式
点Bについて考えます。
音源は点Bで右向きに速さ \(v\) で動いています。観測者Pは点Bの左下にあります。
直線PBと水平線（速度ベクトルの方向）のなす角を \(\phi\) とします。
図2のように、速度 \(v\) のPB方向成分は \(v \cos \phi\) です。
この成分の向きは、Pから遠ざかる向きです。
したがって、\(v_s = -v \cos \phi\) として公式に代入します。
$$
\begin{aligned}
f_{\text{B}} &= \frac{V}{V – (-v \cos \phi)} f \\[2.0ex] &= \frac{V}{V + v \cos \phi} f
\end{aligned}
$$
ここで、\(\cos \phi\) を求めます。
直角三角形PBOにおいて、\(\angle \text{BPO} = \phi\) です（錯角）。
辺の長さは、\(\text{PO} = L\)、\(\text{BO} = R\) です。
三平方の定理より、斜辺 \(\text{PB} = \sqrt{L^2 + R^2}\) です。
よって、
$$
\begin{aligned}
\cos \phi &= \frac{\text{PO}}{\text{PB}} \\[2.0ex] &= \frac{L}{\sqrt{L^2 + R^2}}
\end{aligned}
$$
これを \(f_{\text{B}}\) の式に代入します。
$$
\begin{aligned}
f_{\text{B}} &= \frac{V}{V + v \frac{L}{\sqrt{L^2 + R^2}}} f
\end{aligned}
$$
分母・分子に \(\sqrt{L^2 + R^2}\) を掛けて整理する形もありますが、模範解答の形に合わせます。
$$
\begin{aligned}
f_{\text{B}} &= \frac{V}{V + \frac{L}{\sqrt{L^2 + R^2}} v} f
\end{aligned}
$$
点Dについて考えます。
音源は点Dで左向きに速さ \(v\) で動いています。観測者Pは点Dの左上にあります。
直線PDと水平線のなす角も \(\phi\) です（対称性より）。
速度 \(v\) のPD方向成分は \(v \cos \phi\) です。
この成分の向きは、Pに近づく向きです。
したがって、\(v_s = v \cos \phi\) として公式に代入します。
$$
\begin{aligned}
f_{\text{D}} &= \frac{V}{V – v \cos \phi} f
\end{aligned}
$$
同様に \(\cos \phi\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
f_{\text{D}} &= \frac{V}{V – \frac{L}{\sqrt{L^2 + R^2}} v} f
\end{aligned}
$$

上記の立式により、計算は完了しています。

点Bでは、音源は右へ動いていますが、Pから見ると「斜めに遠ざかっている」ように見えます。その「遠ざかる速さ」は、真横に動く速さ \(v\) に \(\cos \phi\) を掛けたものになります。\(\cos \phi\) は、直角三角形の辺の比（底辺÷斜辺）から計算できます。点Dでは、音源は左へ動いており、Pから見ると「斜めに近づいている」ように見えます。同様に「近づく速さ」を計算して公式に当てはめます。

\(f_{\text{B}} = \frac{V}{V + \frac{L}{\sqrt{L^2 + R^2}} v} f\), \(f_{\text{D}} = \frac{V}{V – \frac{L}{\sqrt{L^2 + R^2}} v} f\) です。Bでは遠ざかるので振動数が下がり、Dでは近づくので振動数が上がります。

問(C, F)

思考の道筋とポイント
点Cと点Fは、観測者Pと中心Oを結ぶ直線上の点です。ここでの速度ベクトルは鉛直方向（接線方向）を向いています。一方、音源と観測者を結ぶ直線（PCまたはPF）は水平方向です。つまり、速度ベクトルと視線方向は垂直です。
この設問における重要なポイント

• 速度ベクトルと視線方向が垂直な場合、視線方向の速度成分は \(0\) である。
• ドップラー効果は起こらない。

具体的な解説と立式
点Cにおいて、音源の速度ベクトルは下向きです。
観測者Pは点Cの左側にあり、視線方向は水平です。
速度ベクトル（鉛直）と視線方向（水平）は垂直なので、視線方向の速度成分は \(0\) です。
したがって、ドップラー効果は起こらず、振動数は変化しません。
$$
\begin{aligned}
f_{\text{C}} &= f
\end{aligned}
$$
点Fにおいても同様に、音源の速度ベクトル（上向き）と視線方向（水平）は垂直です。
よって、
$$
\begin{aligned}
f_{\text{F}} &= f
\end{aligned}
$$

計算は不要です。

点Cと点Fでは、音源は観測者の目の前を横切るように動いています。この瞬間だけは、近づきも遠ざかりもしないので、音の高さは変わりません。

\(f_{\text{C}} = f, f_{\text{F}} = f\) です。視線方向の速度成分がないため、妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 円運動における速度ベクトルとドップラー効果
  • 核心: 円運動する音源の速度ベクトルは常に接線方向を向きます。ドップラー効果に寄与するのは、この速度ベクトルの「観測者に向かう視線方向成分」だけです。
  • 理解のポイント:
    • 接線方向の速度: 円周上の任意の点において、速度ベクトルは半径と垂直です。
    • 成分分解: 速度ベクトルを「視線方向」と「それに垂直な方向」に分解します。垂直成分はドップラー効果に寄与しません。
    • 最大・最小・ゼロ: 視線方向成分が最大になる点（接点A, E）でドップラーシフトは最大になり、ゼロになる点（C, F）でドップラー効果は消失します。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 楕円軌道や放物線軌道: 軌道が円でなくても、「速度ベクトルは接線方向」という原則は変わりません。接線と視線のなす角を見極めれば解けます。
  • 観測者が動く場合: 観測者が円周上を動く場合や、音源と観測者が共に動く場合も、それぞれの速度ベクトルを視線方向に分解して公式に当てはめるだけです。
  • 光のドップラー効果: 天体の回転速度をスペクトル線のズレから求める問題も、本問と同じ原理（視線速度成分の測定）に基づいています。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 接線を引く: まず、音源の位置における軌道の接線（速度ベクトルの方向）を引きます。
  2. 視線を引く: 音源と観測者を結ぶ直線（視線）を引きます。
  3. 角度を見つける: 接線と視線のなす角、あるいは半径と視線のなす角など、幾何学的な関係から分解に必要な角度を見つけます。
  4. 相似を利用する: 角度が直接与えられていない場合、速度ベクトルの分解図と位置関係の図形が相似になることが多いです（別解のアプローチ）。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 速度の向きの勘違い:
  • 誤解: 点BやDで、速度ベクトルが中心Oを向いている（向心力と混同）と思ってしまう。
  • 対策: 「速度は接線方向、力（加速度）は中心方向」と明確に区別しましょう。ドップラー効果に関係するのは速度です。
• 分解成分の取り違え:
  • 誤解: \(\cos \phi\) と \(\sin \phi\) を逆にしてしまう。
  • 対策: 図に直角三角形を描き、\(\phi\) がどこの角かを確認して、「\(\phi\) を挟む辺が \(\cos\)」と指差し確認しましょう。
• 符号のミス:
  • 誤解: 遠ざかっているのに分母をマイナスにしてしまう。
  • 対策: 「遠ざかる \(\to\) 音が低くなる \(\to\) 分母は大きくなるはず \(\to\) プラス」という定性的なチェックを必ず行いましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 公式選択（音源移動の公式）:
  • 選定理由: 音源が動いており、観測者が静止しているため。
  • 適用根拠: 音源の速度の視線方向成分 \(v_s\) が波長を変化させるため、\(f’ = \frac{V}{V – v_s} f\) が適用されます。
• 別解でのアプローチ（幾何学的解法）:
  • 選定理由: 三角関数を使わずに、図形の相似比から直接速度成分を求められるため、計算ミスを減らせるからです。
  • 適用根拠: 速度ベクトルは変位ベクトルの時間微分であり、微小時間における変位の向き（接線方向）と位置関係の幾何学的構造は密接に関連しています。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 図を大きく描く:
  • 速度の分解を行う際は、図を大きく描き、角度や直角記号を丁寧に書き込みましょう。小さな図では \(\phi\) の位置を見誤りやすくなります。
• 文字式のまま進める:
  • \(\cos \phi\) や \(\sin \phi\) のまま計算を進め、最後に \(\frac{L}{\sqrt{L^2+R^2}}\) などを代入する方が、式が煩雑にならずミスを防げます。
• 対称性の利用:
  • 点Bと点D、点Aと点Eなどは、幾何学的に対称な位置関係にあります。一方の結果が出たら、符号を変えるだけで他方の結果が得られることが多いです（検算にもなります）。

392 ドップラー効果

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「直線運動する音源によるドップラー効果」です。観測者が音源の軌道上にある場合（A）と、軌道から離れた位置にある場合（B）の違いを比較し、振動数の時間変化をグラフで理解することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
観測者Aは道路のすぐ脇にいます。車（音源）はAに向かって一直線に近づいてきます。この場合、音源と観測者を結ぶ直線と、音源の移動方向は一致しています（角度 \(0\)）。したがって、音源の速さ \(v\) をそのままドップラー効果の公式に代入できます。
この設問における重要なポイント

• 音源が観測者に近づく向きに速さ \(v\) で動いている。
• 観測者は静止している。
• 音源が近づく場合、波長が縮むため、振動数は高くなる。

具体的な解説と立式
音源（車）は速さ \(v\) で静止している観測者Aに近づいています。
音速を \(V\)、元の振動数を \(f_0\) とします。
音源が動く場合のドップラー効果の公式より、観測者Aが聞く振動数 \(f_{\text{A}}\) は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
f_{\text{A}} &= \frac{V}{V – v} f_0
\end{aligned}
$$

上記の立式により、計算は完了しています。

車がAさんに向かって真っ直ぐ走ってきます。車は音を出しながら進むので、前のめりになった音の波がギュッと縮められます。波が縮むと、Aさんの耳にはたくさんの波が届くことになるので、音は高く聞こえます。その度合いは、音速 \(V\) と車の速さ \(v\) を使って \(\frac{V}{V-v}\) 倍になります。

答えは \(f_{\text{A}} = \frac{V}{V – v} f_0\) です。分母が \(V-v\) で小さくなるので、振動数は \(f_0\) より大きくなります。近づくときは音が高くなるという直感と一致します。

問(2)

思考の道筋とポイント
「車がAの位置を通過する瞬間に、Aが聞く音の振動数とBが聞く音の振動数は同じであった」という条件を解析します。
1. Aが聞く音: 車がAを通過する瞬間、Aは車との距離がゼロなので、その瞬間に発せられた音を聞きます。この瞬間、車はAに対して相対速度を持たない（真横を通過する）ため、ドップラー効果は働かず、振動数は \(f_0\) です。
2. Bが聞く音: 問題文より、このときBが聞く音の振動数も \(f_0\) でした。
3. Bが \(f_0\) を聞く条件: ドップラー効果が起こらないのは、音源の速度ベクトルが視線方向と垂直なときです。つまり、車が図1の点O（Bの正面）を通過した瞬間に発した音を聞いているときです。
4. 時間の整合性: 車が点Oで発した音がBに届くまでの時間と、車が点Oから点Aまで移動する時間が等しいことになります。
この設問における重要なポイント

• Aが聞く音が \(f_0\) になるのは、車がAを通過する瞬間である。
• Bが聞く音が \(f_0\) になるのは、車が点O（Bの正面）を通過した瞬間に発した音である。
• 「音がOからBへ進む時間」と「車がOからAへ進む時間」が等しい。

具体的な解説と立式
車が点Oを通過した時刻を \(t=0\) とします。
このとき発せられた音（振動数 \(f_0\)）が距離 \(d\) 離れたBに到達する時刻 \(t\) は、
$$
\begin{aligned}
t &= \frac{d}{V}
\end{aligned}
$$
一方、この時刻 \(t\) に、車は点Aを通過しており、その瞬間にAが聞く音も \(f_0\) でした。
つまり、車は時間 \(t\) の間に点Oから点Aまで移動しました。
OA間の距離は、車の速さ \(v\) と時間 \(t\) の積です。
$$
\begin{aligned}
\text{OA} &= vt \\[2.0ex] &= \frac{vd}{V}
\end{aligned}
$$
求めたいのはAとBの間の距離 \(\text{AB}\) です。
\(\triangle \text{OAB}\) は直角三角形なので、三平方の定理より、
$$
\begin{aligned}
\text{AB} &= \sqrt{\text{OA}^2 + \text{OB}^2}
\end{aligned}
$$
ここで \(\text{OB} = d\) です。

\(\text{OA} = \frac{vd}{V}\) を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
\text{AB} &= \sqrt{\left( \frac{vd}{V} \right)^2 + d^2} \\[2.0ex] &= \sqrt{\frac{v^2 d^2}{V^2} + d^2} \\[2.0ex] &= \sqrt{d^2 \left( \frac{v^2}{V^2} + 1 \right)} \\[2.0ex] &= d \sqrt{1 + \left( \frac{v}{V} \right)^2}
\end{aligned}
$$

Bさんが「元の高さの音（\(f_0\)）」を聞くのは、車がBさんの真正面（点O）を通ったときに出した音です。この音がBさんに届くまでに、車はさらに先へ進んでAさんのところ（点A）まで行きました。その瞬間、Aさんも「元の高さの音」を聞きました（車が目の前を通る瞬間だから）。つまり、「音がOからBへ行く時間」と「車がOからAへ行く時間」が同じだったということです。これを使ってOからAまでの距離を計算し、最後に三平方の定理でAとBの距離を求めます。

答えは \(d \sqrt{1 + \left( \frac{v}{V} \right)^2}\) です。\(v=0\) なら \(\text{AB}=d\) となり、車が動いていなければAとOが一致するので正しいです。

問(3)

思考の道筋とポイント
観測者AとBそれぞれについて、振動数の時間変化を考えます。
Aの場合：車はAに向かって一直線に近づき、Aを通過して一直線に遠ざかります。近づくときは一定の振動数 \(f_{\text{high}} = \frac{V}{V-v}f_0\)、遠ざかるときは一定の振動数 \(f_{\text{low}} = \frac{V}{V+v}f_0\) です。通過する瞬間に急激に切り替わります。
Bの場合：車は遠方から近づいてきますが、一直線ではありません。視線方向と速度ベクトルのなす角 \(\theta\) は刻々と変化します。十分遠方では \(\theta \approx 0\) なので \(f \approx f_{\text{high}}\) です。近づくにつれて \(\theta\) が大きくなり、視線方向の速度成分 \(v \cos \theta\) は小さくなります。点O（最接近点）を通過するとき、\(\theta = 90^\circ\) となり、速度成分は \(0\) になります。このとき出した音の振動数が \(f = f_0\) です（Bに届くのは \(d/V\) だけ後です）。その後、遠ざかるにつれて \(\theta\) はさらに大きくなり、速度成分は負の方向に大きくなります。十分遠方では \(\theta \approx 180^\circ\) なので \(f \approx f_{\text{low}}\) です。つまり、振動数は \(f_{\text{high}}\) から \(f_{\text{low}}\) へとなめらかに連続的に変化します。
この設問における重要なポイント

• Aは軌道上なので、振動数は階段状に変化する（不連続）。
• Bは軌道から離れているので、振動数はなめらかに変化する（連続）。
• どちらも最大値は \(\frac{V}{V-v}f_0\)、最小値は \(\frac{V}{V+v}f_0\) に漸近する。

具体的な解説
観測者Aについて：
車が近づく間は、ドップラー効果により一定の高い振動数 \(f_1 = \frac{V}{V-v}f_0\) が観測されます。
車がAを通過した直後から、車は遠ざかるため、一定の低い振動数 \(f_2 = \frac{V}{V+v}f_0\) が観測されます。
したがって、振動数は \(f_1\) から \(f_2\) へと急激に（階段状に）変化します。
これに該当するグラフは ③ です。

観測者Bについて：
車とBを結ぶ直線と、車の進行方向のなす角を \(\theta\) とします。
観測される振動数 \(f_{\text{B}}\) は、\(f_{\text{B}} = \frac{V}{V – v \cos \theta} f_0\) です。
車が遠くから近づくとき、\(\theta\) は \(0\) に近く、\(\cos \theta \approx 1\) なので \(f_{\text{B}} \approx f_1\) です。
車が近づくにつれて \(\theta\) は大きくなり、\(\cos \theta\) は小さくなるため、\(f_{\text{B}}\) は徐々に下がります。
車がBの正面（点O）を通過するときに出した音では、\(\theta = 90^\circ\) で \(\cos \theta = 0\) となり、\(f_{\text{B}} = f_0\) となります（Bに届くのは \(d/V\) だけ後です）。
その後、車が遠ざかると \(\theta\) は \(90^\circ\) を超えて大きくなり、\(\cos \theta\) は負の値になります。\(f_{\text{B}}\) はさらに下がります。
十分遠ざかると \(\theta \approx 180^\circ\) で \(\cos \theta \approx -1\) となり、\(f_{\text{B}} \approx f_2\) に近づきます。
このように、振動数はなめらかに減少します。
これに該当するグラフは ④ です。

計算は不要で、定性的なグラフ選択となります。

Aさんは道路のすぐ脇にいるので、車が目の前を通る瞬間に「キーン」から「ガーン」へと音が急激に変わります。だからグラフはカクンと落ちる形（③）になります。Bさんは道路から離れているので、音の変化はもっと緩やかです。「キーン」からだんだん下がって、目の前を通るときに出した音が少し遅れて元の高さで届き、さらにだんだん下がって「ガーン」になります。だからグラフはなめらかな曲線（④）になります。

Aは③、Bは④です。軌道上の観測者と軌道外の観測者の違いを正しく反映しています。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 直線運動する音源によるドップラー効果
  • 核心: 音源が一直線上を動くとき、観測者の位置によって振動数の変化パターンが異なります。
  • 理解のポイント:
    • 軌道上の観測者（A）: 視線方向と速度ベクトルが常に一致（または逆向き）するため、振動数は一定値から一定値へと不連続に変化します。
    • 軌道外の観測者（B）: 視線方向と速度ベクトルのなす角 \(\theta\) が連続的に変化するため、振動数も連続的に変化します。
• 視線方向成分の分解
  • 核心: ドップラー効果に寄与するのは、音源の速度ベクトルのうち「観測者に向かう視線方向成分」だけです。
  • 理解のポイント:
    • 成分 \(v \cos \theta\): 角度 \(\theta\) が \(0^\circ\)（接近）から \(90^\circ\)（最接近）、\(180^\circ\)（遠ざかる）へと変化するにつれて、\(\cos \theta\) は \(1 \to 0 \to -1\) と変化し、これが振動数のなめらかな変化を生み出します。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 列車や飛行機の通過音: 「キーン」から「ガーン」へと音が下がる現象（ドップラーシフト）は、観測者が軌道から離れているために起こる連続的な変化です。
  • 人工衛星の通信: 地上局から見た衛星の視線速度が変化するため、通信周波数の補正が必要になります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 観測者の位置を確認する: 音源の通り道の上にいるか、離れているかを見ます。離れていれば、角度 \(\theta\) を導入して成分分解する必要があります。
  2. 最接近点に注目する: 音源が観測者に最も近づく点（垂線の足）では、速度ベクトルと視線が垂直になります。この瞬間に発した音はドップラー効果を受けず、元の振動数 \(f_0\) で観測されます（観測者に届くのは距離÷音速だけ後です）。
  3. 時間差を考慮する: 「ある瞬間に発した音」と「ある瞬間に聞く音」には、距離 \(r\) に応じた時間差 \(r/V\) があります。特に高速移動する音源では、この時間差による位置ズレが重要になります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 通過時の振動数変化:
  • 誤解: 目の前を通過するとき、振動数が最大になると思ってしまう。
  • 対策: 振動数が最大になるのは「最も速く近づいているとき（遠方）」です。通過時（最接近点）に出した音は「近づきも遠ざかりもしない」ときの音なので、振動数は中間の値（元の高さ）になります（聞こえるのは距離÷音速だけ後です）。その後、遠ざかるにつれて振動数は下がります。
• 距離と時間の混同:
  • 誤解: 音源が点Oにいるときに発した音を、その瞬間にBが聞くと思ってしまう。
  • 対策: 音速は有限です。距離 \(d\) 離れていれば、必ず \(d/V\) の遅れが生じます。この間に音源は \(v \times (d/V)\) だけ進んでしまうことを図に描いて確認しましょう。
• グラフの形状:
  • 誤解: 振動数の変化が直線的だと思ってしまう。
  • 対策: \(\cos \theta\) の変化は非線形なので、グラフは曲線になります。特に最接近点付近での変化率が最大になります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（通常のドップラー効果）:
  • 選定理由: 視線方向と移動方向が一致しているため、角度を考慮する必要がない最も基本的なケースだからです。
  • 適用根拠: 1次元の運動として扱えるため、標準的な公式 \(f’ = \frac{V}{V-v}f_0\) がそのまま使えます。
• (2)での思考法（幾何学的関係と時間差）:
  • 選定理由: 「振動数が同じ」という条件を物理的に解釈すると、「ドップラー効果がゼロになる瞬間」と「相対速度がゼロになる瞬間」を結びつける必要があるからです。
  • 適用根拠: 音波の伝播（\(d=Vt\)）と音源の移動（\(x=vt\)）が同時に進行する現象なので、時間を媒介変数として距離の関係式を導くのが論理的です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 三平方の定理の活用:
  • 直角三角形が出てきたら、すぐに \(a^2 + b^2 = c^2\) を思い出しましょう。特に物理では、速度ベクトルや位置ベクトルを分解する際に頻出です。
• 次元の確認:
  • 答えの \(\sqrt{1 + (v/V)^2}\) の中身が無次元（単位なし）になっているか確認します。速さ÷速さなのでOKです。もし \(1 + v/V\) のようになっていたら、次元が合わない（1は無次元、v/Vも無次元…あれ？これだと次元は合いますが、三平方の形ではないので怪しいと気づけます）。
• 極限チェック:
  • \(v \to 0\) のとき、答えが \(d\) になるか確認します。車が止まっていれば AとOは一致するので、距離は \(d\) になるはずです。式がこの条件を満たしているかチェックしましょう。

ABOUT THE AUTHOR

共田 誠（まこと先生）

高校物理講師・プロ家庭教師 / 指導歴14年

上智大学理工学部物理学科卒。私立高校の非常勤講師として進学クラスから基礎クラスまで幅広く担当。大手家庭教師センター3社でプロ家庭教師を経験し、現在はオンライン専門で全国の高校生を個別指導中。

「暗記物理の撲滅」を掲げ、生徒の思考のクセを診断・矯正するドクター型アプローチで指導。表面的なテクニックではなく、初見の問題に強い思考力を育てる。

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