「物理のエッセンス(熱・電磁気・原子)」徹底解説（電磁気51〜55問）：物理の”土台”を固める！完全マスター講座

電磁気範囲 51～55

51 電流計と電圧計

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「電圧計の測定範囲の拡大（倍率器の設計）」です。与えられた電圧計の基本性能（内部抵抗と最大測定電圧）を元に、より大きな電圧を測定できるように直列抵抗（倍率器）を追加する際の設計計算が問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

倍率器の設計

思考の道筋とポイント
元の電圧計は最大 \(10 \, \text{V}\) までしか測定できません。これを \(100 \, \text{V}\) まで測定できるようにするには、電圧の大部分（\(100 – 10 = 90 \, \text{V}\)）を別の抵抗に負担してもらう必要があります。電圧を複数の部品で分担させる（分圧する）ためには、抵抗を「直列」に接続します。この追加した抵抗を「倍率器」と呼びます。

設計の鍵は、まず「元の電圧計がどれだけの電流まで耐えられるか」を知ることです。これは、元の電圧計の最大電圧と内部抵抗からオームの法則で計算できます。この電流値が、改造後の回路全体に流せる電流の上限となります。

次に、この電流上限を守りつつ、回路全体で \(100 \, \text{V}\) の電圧に耐えられるように、追加する抵抗 \(r\) の値を決定します。追加した抵抗 \(r\) にかかる電圧（\(90 \, \text{V}\)）と、そこを流れる電流（先ほど計算した上限値）がわかっているので、オームの法則から \(r\) の値を求めることができます。
この設問における重要なポイント

• 電圧の測定範囲を広げる（電圧を分ける）ためには「直列」に抵抗を追加する。
• 元の電圧計の最大目盛電流（フルスケール電流）を最初に計算することが出発点。
• 直列接続なので、元の電圧計と追加した抵抗に流れる電流は等しい。
• 全体の電圧は、各部分の電圧の和に等しい（電圧則）。

具体的な解説と立式
元の電圧計は、内部抵抗 \(R_V = 5 \, \text{k}\Omega\)、最大測定電圧 \(V_V = 10 \, \text{V}\) です。
この電圧計の針が最大目盛まで振れるときに流れる電流（最大目盛電流）を \(I_{\text{max}}\) とすると、オームの法則より、
$$
\begin{aligned}
I_{\text{max}} &= \frac{V_V}{R_V}
\end{aligned}
$$
この電圧計に、抵抗 \(r\) を直列に接続し、新しい電圧計とします。
この新しい電圧計全体に、測定したい最大電圧 \(V_{\text{max}} = 100 \, \text{V}\) がかかったとき、回路に流れる電流がちょうど \(I_{\text{max}}\) になるように \(r\) を設計します。
直列接続なので、抵抗 \(r\) にも同じ電流 \(I_{\text{max}}\) が流れます。
キルヒホッフの第2法則（電圧則）より、全体の電圧 \(V_{\text{max}}\) は、元の電圧計にかかる電圧 \(V_V\) と、抵抗 \(r\) にかかる電圧 \(V_r\) の和になります。
$$
\begin{aligned}
V_{\text{max}} &= V_V + V_r
\end{aligned}
$$
ここで、\(V_V\) は元の電圧計の最大値である \(10 \, \text{V}\) です。したがって、抵抗 \(r\) にかかる電圧 \(V_r\) は、
$$
\begin{aligned}
V_r &= V_{\text{max}} – V_V
\end{aligned}
$$
抵抗 \(r\) についてオームの法則を適用すると、
$$
\begin{aligned}
V_r &= r I_{\text{max}}
\end{aligned}
$$
この式から \(r\) を求めることができます。

まず、最大目盛電流 \(I_{\text{max}}\) を計算します。計算を簡単にするため、単位は V, kΩ, mA の組み合わせで計算します。
$$
\begin{aligned}
I_{\text{max}} &= \frac{10 \, \text{V}}{5 \, \text{k}\Omega} \\[2.0ex]
&= 2 \, \text{mA}
\end{aligned}
$$
次に、抵抗 \(r\) にかかる電圧 \(V_r\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
V_r &= 100 \, \text{V} – 10 \, \text{V} \\[2.0ex]
&= 90 \, \text{V}
\end{aligned}
$$
最後に、抵抗 \(r\) の値をオームの法則から求めます。
$$
\begin{aligned}
r &= \frac{V_r}{I_{\text{max}}} \\[2.0ex]
&= \frac{90 \, \text{V}}{2 \, \text{mA}} \\[2.0ex]
&= 45 \, \text{k}\Omega
\end{aligned}
$$

元の電圧計は \(10 \, \text{V}\) までしか測れない小さな電圧計です。これを \(100 \, \text{V}\) まで測れるようにパワーアップさせたい、というのが今回のミッションです。
大きな電圧を分担して受け止めてもらうために、「用心棒」となる抵抗 \(r\) を直列につなぎます。
チーム全体で \(100 \, \text{V}\) の電圧がかかったとき、元の電圧計君には彼の限界である \(10 \, \text{V}\) だけを担当させ、残りの \(90 \, \text{V}\) はすべて用心棒の抵抗 \(r\) に引き受けてもらいます。
まず、元の電圧計君が \(10 \, \text{V}\) を担当しているとき、彼の中をどれくらいの電流が流れているかを計算します（答えは \(2 \, \text{mA}\)）。直列なので、用心棒の \(r\) にも同じ量の電流が流れています。
用心棒 \(r\) は「\(90 \, \text{V}\) の電圧を引き受けつつ、\(2 \, \text{mA}\) の電流を流している」ということがわかったので、オームの法則から彼の抵抗値を計算することができます。

\(45 \, \text{k}\Omega\) の抵抗を、元の電圧計に直列に接続すればよいことがわかりました。追加する抵抗（倍率器）の抵抗値は、元の電圧計の内部抵抗よりも大きくなるのが一般的です。\(45 \, \text{k}\Omega\) は \(5 \, \text{k}\Omega\) より大きいので、妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 測定器の機能拡張の基本原理:
  • 核心: この問題の根幹は、一つの基本的な測定器（ガルバノメーター、ここでは内部抵抗を持つ電流計）を基に、抵抗器を組み合わせることで異なる機能や測定範囲を持つ別の測定器を作り出す「分流器」と「倍率器」の設計原理を理解することにあります。
  • 理解のポイント:
    • 電流計の拡張（分流器）: 電流を「分ける」ことが目的。そのためには抵抗を並列に接続し、キルヒホッフの電流則を利用します。立式の鍵は「並列部分の電圧が等しい」ことです。
    • 電圧計への改造（倍率器）: 電圧を「分ける」ことが目的。そのためには抵抗を直列に接続し、キルヒホッフの電圧則（または回路全体のオームの法則）を利用します。立式の鍵は「直列回路に流れる電流が等しい」ことです。
• 測定器のフルスケール特性の活用:
  • 核心: 測定器の改造設計は、必ず元の測定器が性能限界（最大目盛、フルスケール）に達した状態を基準に行います。
  • 理解のポイント:
    • 設計基準: 「測定したい最大値（例: \(50 \, \text{mA}\)や\(10 \, \text{V}\)）が入力されたときに、ちょうど元の電流計の針が最大目盛（\(10 \, \text{mA}\)）を指す」ように、追加する抵抗の値を決定します。この限界状態を考えることが、設計方程式を立てるための出発点となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 多重レンジの電流計・電圧計: 複数の抵抗と切り替えスイッチを組み合わせ、一台で様々な測定範囲（例: 10mA, 100mA, 1A）を持つ電流計や電圧計を設計する問題。各レンジについて、本問と同じ考え方を繰り返し適用します。
  • テスター（回路計）の設計: 電流、電圧、抵抗を測定できるテスターの内部回路を設計する問題。電流計モードでは分流器、電圧計モードでは倍率器の原理が使われています。
  • 未知の内部抵抗を持つ電流計の改造: 「最大目盛10mAの電流計を改造して最大1Aまで測れるようにしたら、0.1Ωの抵抗が必要だった。元の電流計の内部抵抗はいくらか？」といった、逆算問題にも応用できます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 「何を」「どうしたいか」を明確にする:
     • 電流の測定範囲を広げたい → 「分流」が目的 → 並列に抵抗を追加。
     • 電圧を測れるようにしたい（または電圧の測定範囲を広げたい） → 「分圧」が目的 → 直列に抵抗を追加。

     この「目的と接続方法の対応」を瞬時に判断することが第一歩です。

  2. 限界状態の図を描く: 測定したい最大値が入力され、元の電流計がフルスケールになっている状態の回路図を描き、各部分の電流値や電圧値を書き込みます。
  3. 適切な法則を選択する:
     • 並列接続（分流器）の場合 → 「電圧が等しい」という関係式を立てる。
     • 直列接続（倍率器）の場合 → 回路全体にオームの法則を適用する、または電圧の比と抵抗の比の関係（別解2）を利用する。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 分流器と倍率器の接続方法の混同:
  • 誤解: 電流を測りたいのに直列に、電圧を測りたいのに並列に抵抗を接続してしまう。
  • 対策: 「電流は分ける、電圧も分ける」という目的を常に意識します。川の流れ（電流）を分けるにはバイパス水路（並列）が必要で、崖の高さ（電圧）をいくつかの段差に分けるには階段（直列）が必要、というイメージを持つと混同しにくくなります。
• 電流計を電圧計に改造する際の思考の混乱:
  • 誤解: 元が電流計であるため、電圧を測るという発想に切り替えられず、どう抵抗をつなげばよいか分からなくなる。
  • 対策: 「内部抵抗\(r_A\)、最大\(I_A\)まで流せる部品」という、元の測定器の正体に立ち返ります。この部品に直列に抵抗をつなぎ、「全体で\(V_{\text{max}}\)の電圧がかかったときに、流れる電流がちょうど\(I_A\)になる」という条件を満たすだけの問題だと、シンプルに捉え直します。
• 単位の換算ミス:
  • 誤解: mA（ミリアンペア）をA（アンペア）に直す際に、\(10^{-2}\)や\(10^{-6}\)など、桁を間違える。
  • 対策: 「m（ミリ）は \(10^{-3}\)」と正確に記憶し、計算前にすべての単位をSI基本単位に直すことを徹底します。あるいは、前問の別解のように、V, kΩ, mAの単位系で計算するテクニックを習得するのも有効です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 分流器設計での「並列部分の電圧一定」の選択:
  • 選定理由: 分流器の設計では、2つの未知数（分流器の抵抗値\(r\)、分流器を流れる電流\(I_r\)）があります。これらを決定するには2つの独立した方程式が必要です。1つは分岐点における「キルヒホッフの電流則」。もう1つは、並列回路の最も基本的な性質である「各分岐路の電圧降下が等しい」という関係式です。この2つを連立させるのが最も合理的です。
  • 適用根拠: 同じ2点間に接続されている以上、その2点間の電位差はどの経路を通っても同じ値になる、という電位の定義そのものに基づいています。
• 倍率器設計での「回路全体のオームの法則」の選択:
  • 選定理由: 倍率器の設計では、改造後の測定器全体を「一つの大きな抵抗器」と見なすことができます。この「大きな抵抗器」の両端にかかる最大電圧\(V_{\text{max}}\)と、そのときに流れる最大電流\(I_A\)が分かっている状況です。したがって、この測定器全体に対してオームの法則 \(V_{\text{max}} = R_{\text{全体}} I_A\) を適用するのが最も直接的です。\(R_{\text{全体}}\)が\(r_A+r\)と表せることから、未知数\(r\)を求めることができます。
  • 適用根拠: オームの法則は、個々の抵抗だけでなく、複数の抵抗からなる回路の一部分や回路全体に対しても、その部分の合成抵抗と両端の電圧、流れる電流の関係として成り立ちます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 図を必ず描く: 問題文を読んだら、必ず改造後の回路図を描きましょう。分流器なら並列に、倍率器なら直列に抵抗を追加した図を描き、わかっている電流値や電圧値を書き込むことで、状況が整理され、立式ミスを防げます。
• 単位の扱いのルール化: 計算前に「すべてSI単位に直す」か、「V, kΩ, mAで統一する」か、自分の計算ルールを明確に決めておきましょう。行き当たりばったりで単位を扱うと、必ずどこかで間違えます。
• 答えの桁感を吟味する:
  • 分流器の抵抗\(r\): 元の電流計の内部抵抗\(r_A\)より小さくなるはず（多くの電流を流すため）。
  • 倍率器の抵抗\(r\): 元の電流計の内部抵抗\(r_A\)よりずっと大きくなるはず（多くの電圧を負担するため）。

  計算結果がこの傾向と合っているかを確認するだけで、単純な計算ミスに気づくことができます。

52 ジュール熱

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「直流回路における消費電力の計算」です。回路の各部分を流れる電流や電圧を正しく求めた上で、消費電力の公式を適切に使いこなせるかが問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

抵抗での消費電力の総和

思考の道筋とポイント
抵抗で消費される電力の総和を求めるには、まず各抵抗でどれだけの電力が消費されているかを個別に計算し、それらを足し合わせるのが最も基本的なアプローチです。
消費電力を計算するためには、各抵抗の「抵抗値」と「流れる電流」あるいは「かかる電圧」の情報が必要です。抵抗値は与えられているので、各抵抗を流れる電流を求めることが最初のステップになります。

そのためには、まず回路全体の構造を把握します。この回路は、\(20 \, \Omega\) と \(30 \, \Omega\) の抵抗が並列接続されており、その全体に \(40 \, \Omega\) の抵抗が直列接続されています。
この構造から、まず回路全体の合成抵抗を計算し、電源電圧 \(26 \, \text{V}\) を用いて回路全体を流れる主電流（これは \(40 \, \Omega\) の抵抗を流れる電流に等しい）を求めます。
次に、この主電流が並列部分でどのように分岐するかを計算し、\(20 \, \Omega\) と \(30 \, \Omega\) の抵抗を流れる電流をそれぞれ求めます。
すべての抵抗について電流値がわかれば、消費電力の公式 \(P=RI^2\) を使って各抵抗の消費電力を計算し、最後にそれらを合計します。
この設問における重要なポイント

• 消費電力の公式 (\(P=VI=RI^2=\displaystyle\frac{V^2}{R}\)) を正しく使いこなすこと。
• 直列・並列回路における電流・電圧の基本的な関係を正確に適用すること。
• 計算ステップが多くなるため、一つ一つの計算を丁寧に行うこと。

具体的な解説と立式
まず、回路の各部分を流れる電流を求めます。

1. \(20 \, \Omega\) と \(30 \, \Omega\) の並列部分の合成抵抗 \(R_{\text{並列}}\) を求めます。
   $$
   \begin{aligned}
   \frac{1}{R_{\text{並列}}} &= \frac{1}{20} + \frac{1}{30}
   \end{aligned}
   $$
2. 回路全体の合成抵抗 \(R_{\text{全体}}\) を求めます。\(40 \, \Omega\) の抵抗と \(R_{\text{並列}}\) が直列接続されています。
   $$
   \begin{aligned}
   R_{\text{全体}} &= 40 + R_{\text{並列}}
   \end{aligned}
   $$
3. 回路全体を流れる主電流 \(I_{\text{全体}}\) を、電源電圧 \(E=26 \, \text{V}\) と全体の合成抵抗 \(R_{\text{全体}}\) から、オームの法則を用いて求めます。この電流は \(40 \, \Omega\) の抵抗を流れる電流 \(I_{40}\) に等しいです。
   $$
   \begin{aligned}
   I_{\text{全体}} &= \frac{E}{R_{\text{全体}}}
   \end{aligned}
   $$
4. 並列部分にかかる電圧 \(V_{\text{並列}}\) を計算します。
   $$
   \begin{aligned}
   V_{\text{並列}} &= R_{\text{並列}} I_{\text{全体}}
   \end{aligned}
   $$
5. \(20 \, \Omega\) と \(30 \, \Omega\) の抵抗を流れる電流 \(I_{20}\), \(I_{30}\) を、\(V_{\text{並列}}\) を用いてそれぞれ計算します。
   $$
   \begin{aligned}
   I_{20} = \frac{V_{\text{並列}}}{20}, \quad I_{30} = \frac{V_{\text{並列}}}{30}
   \end{aligned}
   $$
6. 各抵抗の消費電力 \(P_{40}, P_{20}, P_{30}\) を、公式 \(P=RI^2\) を用いて計算します。
   $$
   \begin{aligned}
   P_{40} = 40 \cdot I_{40}^2, \quad P_{20} = 20 \cdot I_{20}^2, \quad P_{30} = 30 \cdot I_{30}^2
   \end{aligned}
   $$
7. 最後に、これらの総和 \(P_{\text{合計}}\) を求めます。
   $$
   \begin{aligned}
   P_{\text{合計}} &= P_{40} + P_{20} + P_{30}
   \end{aligned}
   $$

1. 並列部分の合成抵抗 \(R_{\text{並列}}\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{R_{\text{並列}}} &= \frac{1}{20} + \frac{1}{30} \\[2.0ex]
&= \frac{3+2}{60} \\[2.0ex]
&= \frac{5}{60} \\[2.0ex]
&= \frac{1}{12}
\end{aligned}
$$
よって、
$$
\begin{aligned}
R_{\text{並列}} &= 12 \, \Omega
\end{aligned}
$$
2. 回路全体の合成抵抗 \(R_{\text{全体}}\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
R_{\text{全体}} &= 40 \, \Omega + 12 \, \Omega \\[2.0ex]
&= 52 \, \Omega
\end{aligned}
$$
3. 主電流 \(I_{\text{全体}}\) を計算します。これが \(I_{40}\) となります。
$$
\begin{aligned}
I_{40} &= I_{\text{全体}} \\[2.0ex]
&= \frac{26 \, \text{V}}{52 \, \Omega} \\[2.0ex]
&= 0.5 \, \text{A}
\end{aligned}
$$
4. 並列部分にかかる電圧 \(V_{\text{並列}}\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
V_{\text{並列}} &= 12 \, \Omega \times 0.5 \, \text{A} \\[2.0ex]
&= 6 \, \text{V}
\end{aligned}
$$
5. \(I_{20}\) と \(I_{30}\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
I_{20} &= \frac{6 \, \text{V}}{20 \, \Omega} \\[2.0ex]
&= 0.3 \, \text{A}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
I_{30} &= \frac{6 \, \text{V}}{30 \, \Omega} \\[2.0ex]
&= 0.2 \, \text{A}
\end{aligned}
$$
(検算: \(I_{20} + I_{30} = 0.3 + 0.2 = 0.5 \, \text{A} = I_{\text{全体}}\)。正しい。)

6. 各抵抗の消費電力を計算します。
$$
\begin{aligned}
P_{40} &= 40 \, \Omega \times (0.5 \, \text{A})^2 \\[2.0ex]
&= 40 \times 0.25 \\[2.0ex]
&= 10 \, \text{W}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
P_{20} &= 20 \, \Omega \times (0.3 \, \text{A})^2 \\[2.0ex]
&= 20 \times 0.09 \\[2.0ex]
&= 1.8 \, \text{W}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
P_{30} &= 30 \, \Omega \times (0.2 \, \text{A})^2 \\[2.0ex]
&= 30 \times 0.04 \\[2.0ex]
&= 1.2 \, \text{W}
\end{aligned}
$$
7. 総消費電力 \(P_{\text{合計}}\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
P_{\text{合計}} &= 10 \, \text{W} + 1.8 \, \text{W} + 1.2 \, \text{W} \\[2.0ex]
&= 13 \, \text{W}
\end{aligned}
$$

回路にある3つの抵抗（電熱線のようなもの）が、全体でどれくらいの熱を発生させるか（電気を消費するか）を計算する問題です。
まず、回路のどの部分にどれくらいの量の電気が流れているか（電流）を計算します。そのためには、まず3つの抵抗を1つの「まとめ抵抗」と考えて、回路全体を流れるメインの電流を求めます。計算すると、メインの電流は \(0.5 \, \text{A}\) です。
このメイン電流は、途中で2つの道に分かれます。計算すると、一方向には \(0.3 \, \text{A}\)、もう一方向には \(0.2 \, \text{A}\) が流れることがわかります。
これで、3つの抵抗それぞれを流れる電流がわかったので、各抵抗について「抵抗値 × (電流)²」を計算して、それぞれの消費電力を出します。
最後に、3つの抵抗の消費電力を全部足し合わせれば、答えの \(13 \, \text{W}\) が出ます。

各抵抗の消費電力を個別に計算し、それらを合計することで、総消費電力は \(13 \, \text{W}\) と求められました。計算過程はやや長くなりますが、一つ一つのステップは基本的な法則の適用であり、丁寧に行えば確実に答えにたどり着けます。この結果は、後述する別解によって簡単に検算することができます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• エネルギー保存則の回路への応用:
  • 核心: この問題の根幹は、回路におけるエネルギーの流れを理解し、それを電力という形で定量的に扱うことにあります。特に、「電池が供給するエネルギー（電力）は、回路内の全抵抗で消費されるエネルギー（電力）の総和に等しい」というエネルギー保存則が、最も本質的な物理法則です。
  • 理解のポイント:
    • 供給側: 電池は化学エネルギーを電気エネルギーに変換し、電荷を電位の高い方へ押し上げることで、回路にエネルギーを供給します。その仕事率が「供給電力 \(P=VI\)’」です。
    • 消費側: 抵抗は、流れる電子と陽イオンの衝突によって電気エネルギーを熱エネルギー（ジュール熱）に変換します。その変換率が「消費電力 \(P=RI^2\)’」です。
    • 保存則: 閉じた回路ではエネルギーの逃げ場がないため、単位時間あたりに供給されるエネルギーと消費されるエネルギーは必ず釣り合います。この視点を持つことが、別解1のようなエレガントな解法につながります。
• 複数の電力公式の使い分け:
  • 核心: 消費電力を表す3つの公式 \(P=VI\), \(P=RI^2\), \(P=\frac{V^2}{R}\) は、すべて等価ですが、問題の状況に応じて最も計算が楽になる公式を選択する能力が重要です。
  • 理解のポイント:
    • \(P=RI^2\): 各抵抗を流れる「電流」が分かっている場合に最も便利です。主たる解法で使われました。
    • \(P=VI\): 回路全体など、「電圧」と「電流」の両方が分かっている場合に便利です。別解1で電池の供給電力を求める際に使われました。
    • \(P=\frac{V^2}{R}\): 各抵抗にかかる「電圧」が分かっている場合や、別解2のように「全体の電圧」と「全体の合成抵抗」が分かっている場合に便利です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 特定の抵抗での消費電力を問う問題: 「\(20 \, \Omega\)の抵抗での消費電力はいくらか？」といった問題。本問の主たる解法のように、その抵抗を流れる電流またはかかる電圧を正確に求めることが目標になります。
  • 消費電力が最大になる条件を求める問題: 可変抵抗を含む回路で、「抵抗Rで消費される電力が最大になるときのRの値はいくらか」といった問題。電力の式を立て、それをRの関数として微分して最大値を求める、といった数学的なアプローチが必要になります。
  • コンデンサーの充電エネルギーとの関連: 抵抗での消費電力（ジュール熱）はエネルギーが失われる現象ですが、コンデンサーに蓄えられる静電エネルギー \(\frac{1}{2}CV^2\) はエネルギーが保存される現象です。この違いを意識することが重要です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 何を問われているかを明確にする: 「特定の抵抗」での消費電力か、「回路全体」での総消費電力かを確認します。
  2. 「総消費電力」を問われた場合の戦略:
     • 真っ先に「電池の供給電力で解けないか？」と考えます（別解1）。そのためには、主電流を求める必要があります。
     • 次に「全体の合成抵抗で解けないか？」と考えます（別解2）。そのためには、全体の合成抵抗を求める必要があります。
     • これらが困難な場合に初めて、各抵抗の消費電力を個別に計算する、という手順で考えると効率的です。
  3. どの公式が最も楽かを見極める: 回路の構造を見て、各部分の「電流」と「電圧」のどちらが求めやすいかを判断し、使う電力公式を選択します。並列部分では電圧が共通なので\(P=\frac{V^2}{R}\)が、直列部分では電流が共通なので\(P=RI^2\)が使いやすい傾向にあります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 電流と電圧の取り違え:
  • 誤解: 並列部分で電流が等しいと勘違いしたり、直列部分で電圧が等しいと勘違いしてしまう。
  • 対策: 「直列は電流が一定、電圧が分かれる」「並列は電圧が一定、電流が分かれる」という基本中の基本を、回路図を見るたびに唱えるようにして徹底します。
• 2乗の計算ミス:
  • 誤解: \(P=RI^2\) の計算で、\(I\)の2乗を忘れてしまう。特に、\(I=0.5\)A のときに \(0.5^2=2.5\) のように間違えやすい。
  • 対策: \(0.5^2 = (1/2)^2 = 1/4 = 0.25\) のように、小数は分数に直して考えるとミスが減ります。また、計算の際には、公式を声に出して「アール、アイ、二乗」と確認する癖をつけるのが有効です。
• 合成抵抗での電力計算の誤り:
  • 誤解: 例えば、並列部分の合成抵抗\(R_p\)と主電流\(I_{\text{all}}\)を使って、\(P=R_p I_{\text{all}}^2\) のように、部分的な抵抗値と全体の電流値を組み合わせてしまう。
  • 対策: 電力公式の \(V, I, R\) は、必ず「同じ部分に関する物理量」でなければならない、という大原則を徹底します。全体の電力を計算するなら、全体の電圧、全体の電流、全体の抵抗を使います。部分の電力を計算するなら、その部分の電圧、電流、抵抗を使います。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 主たる解法での \(P=RI^2\) の選択:
  • 選定理由: この解法では、まず回路の各部分を流れる「電流」をすべて計算するプロセスを踏みます。したがって、各抵抗について「抵抗値\(R\)」と「電流\(I\)」が既知の状態になります。この2つの情報から直接電力を計算できる公式は \(P=RI^2\) なので、これを選択するのが最も合理的です。
  • 適用根拠: この公式は、オームの法則 \(V=RI\) を電力の基本定義 \(P=VI\) に代入することで得られます (\(P=(RI)I=RI^2\))。物理的に完全に正当化された関係式です。
• 別解1での \(P=VI\) の選択:
  • 選定理由: この解法では、「電池」というエネルギー供給源に着目します。電池については、その両端の電圧\(V\)（起電力）と、そこから流れ出す電流\(I\)（主電流）が分かっています。この2つの情報から直接電力を計算できるのは \(P=VI\) です。
  • 適用根拠: \(P=VI\) は、電力の最も基本的な定義式です。単位電荷\(q\)が電位差\(V\)を移動する際に得るエネルギーは\(qV\)であり、単位時間あたりに流れる電荷の量（電流）が\(I=q/t\)なので、単位時間あたりのエネルギー（仕事率＝電力）は \(P = (qV)/t = V(q/t) = VI\) となります。
• 別解2での \(P=\frac{V^2}{R}\) の選択:
  • 選定理由: この解法では、回路全体を「一つの合成抵抗」と見なします。この合成抵抗については、その両端にかかる電圧\(V\)（電源電圧）と、抵抗値\(R\)（合成抵抗）が分かっています。この2つの情報から直接電力を計算できるのは \(P=\frac{V^2}{R}\) です。
  • 適用根拠: この公式は、オームの法則 \(I=V/R\) を電力の基本定義 \(P=VI\) に代入することで得られます (\(P=V(V/R)=V^2/R\))。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 回路の単純化から始める: 複雑な回路を見たら、まず並列部分を一つの合成抵抗に置き換えるなど、回路図をよりシンプルな形に描き直すことから始めましょう。全体像が把握しやすくなり、計算の見通しが立ちます。
• 分岐電流の計算は比を使う: 主たる解法では並列部分の電圧を計算してから各電流を求めましたが、並列回路では電流は抵抗値の逆比に分配されます。\(20\Omega:30\Omega = 2:3\) なので、電流は \(3:2\) に分配されます。主電流 \(0.5\)A を \(3:2\) に分けると、\(0.3\)A と \(0.2\)A になる、と暗算レベルで計算することも可能です。
• 答えの桁感を持つ: 例えば、\(100\)Wの電球は非常に明るい、というような日常感覚を持っておくと、計算結果が \(1300\)W のようになったときに「何かおかしい」と気づくことができます。物理的な量のスケール感を養うことも、ミスを防ぐ上で重要です。

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53 ジュール熱

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「内部抵抗を持つ電源から取り出せる最大電力」です。外部に接続する抵抗\(R\)の値を変えると、回路を流れる電流と抵抗\(R\)にかかる電圧が変化し、その結果として抵抗\(R\)での消費電力も変化します。この消費電力が最大になる条件を求める、典型的な最大・最小問題です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

消費電力\(P\)の導出