問題の確認
wave#09各設問の思考プロセス
この問題は、2つの波源から出た波が重なり合う「波の干渉」がテーマです。干渉の結果、波が強め合うか、弱め合うかを判断することができれば、合成波の振幅を求めることができます。
干渉の様子を決める重要なポイントは2つあります。
- 経路差: 観測点P（またはQ）までの2つの波源A, Bからの距離の差。
- 波源の位相: 2つの波源が同じタイミングで振動しているか（同位相）、逆のタイミングで振動しているか（逆位相）。
まず、干渉の条件式を確認しましょう。波長を \(\lambda\)、経路差を \(\Delta L\) とすると、
波源が同位相の場合
- 強め合う条件: \(\Delta L = m\lambda \quad (m=0, 1, 2, \dots)\)
- 弱め合う条件: \(\Delta L = (m + \displaystyle\frac{1}{2})\lambda \quad (m=0, 1, 2, \dots)\)
波源が逆位相の場合（条件が逆転！）
- 強め合う条件: \(\Delta L = (m + \displaystyle\frac{1}{2})\lambda\)
- 弱め合う条件: \(\Delta L = m\lambda\)
この問題では、2つの波の振幅がともに1cmなので、強め合う点の振幅は \(1+1=2\,\text{cm}\)、弱め合う点の振幅は \(|1-1|=0\,\text{cm}\) となります。
問題を解く手順は以下の通りです。
- 経路差を計算する:
まず、各設問で使う点Pと点Qの経路差を計算しておきます。
点Pの経路差 \(\Delta L_P = |15 – 7| = 8\,\text{cm}\)
点Qの経路差 \(\Delta L_Q = |17 – 7| = 10\,\text{cm}\) - 経路差が波長の何倍か調べる:
計算した経路差が、波長 \(\lambda = 4\,\text{cm}\) の整数倍 (\(m\lambda\)) なのか、半整数倍 (\((m+1/2)\lambda\)) なのかを判定します。 - 干渉条件を適用する:
各設問の「同位相」か「逆位相」かの条件を確認し、上で判定した結果と組み合わせて、強め合うか弱め合うかを決定します。 - 振幅を求める:
強め合うなら2cm、弱め合うなら0cmと結論づけます。
各設問の具体的な解説と解答
(1) 波源が同位相の場合の点P
問われている内容の明確化
波源A, Bが同位相で振動しているとき、点P（Aから7cm, Bから15cm）での合成波の振幅を求めます。
具体的な解説と立式
点Pでの干渉を考えます。まず、点Pの経路差 \(\Delta L_P\) が波長 \(\lambda\) の何倍になっているかを確認します。
- 経路差: \(\Delta L_P = |15 – 7| = 8 \, \text{cm}\)
- 波長: \(\lambda = 4 \, \text{cm}\)
経路差と波長の関係は、
$$\frac{\Delta L_P}{\lambda} = \frac{8 \, \text{cm}}{4 \, \text{cm}} = 2$$
となり、\(\Delta L_P = 2\lambda\) です。これは経路差が波長の整数倍 (\(m=2\)) であることを示します。
波源は同位相なので、経路差が波長の整数倍のとき、波は強め合います。
合成波の振幅 \(A_P\) は、元の波の振幅 \(A_0 = 1 \, \text{cm}\) の和となります。
$$A_P = A_0 + A_0 \quad \cdots ①$$
使用した物理公式: 同位相での干渉条件
- 強め合い: \(\Delta L = m\lambda\)
- 弱め合い: \(\Delta L = (m + \displaystyle\frac{1}{2})\lambda\)
計算過程
式①に、\(A_0 = 1 \, \text{cm}\) を代入します。
$$A_P = 1 \, \text{cm} + 1 \, \text{cm} = 2 \, \text{cm}$$
この設問における重要なポイント
- 波源が同位相の場合、経路差が \(m\lambda\) なら強め合う。
\(2 \, \text{cm}\)
(2) 波源が同位相の場合の点Q
問われている内容の明確化
波源A, Bが同位相で振動しているとき、点Q（Aから7cm, Bから17cm）での合成波の振幅を求めます。
具体的な解説と立式
点Qでの干渉を考えます。まず、点Qの経路差 \(\Delta L_Q\) が波長 \(\lambda\) の何倍になっているかを確認します。
- 経路差: \(\Delta L_Q = |17 – 7| = 10 \, \text{cm}\)
- 波長: \(\lambda = 4 \, \text{cm}\)
経路差と波長の関係は、
$$\frac{\Delta L_Q}{\lambda} = \frac{10 \, \text{cm}}{4 \, \text{cm}} = 2.5 = 2 + \frac{1}{2}$$
となり、\(\Delta L_Q = (2 + \frac{1}{2})\lambda\) です。これは経路差が波長の半整数倍 (\(m=2\)) であることを示します。
波源は同位相なので、経路差が波長の半整数倍のとき、波は弱め合います。
合成波の振幅 \(A_Q\) は、元の波の振幅 \(A_0 = 1 \, \text{cm}\) の差の絶対値となります。
$$A_Q = |A_0 – A_0| \quad \cdots ②$$
使用した物理公式: 同位相での干渉条件
- 強め合い: \(\Delta L = m\lambda\)
- 弱め合い: \(\Delta L = (m + \displaystyle\frac{1}{2})\lambda\)
計算過程
式②に、\(A_0 = 1 \, \text{cm}\) を代入します。
$$A_Q = |1 \, \text{cm} – 1 \, \text{cm}| = 0 \, \text{cm}$$
この設問における重要なポイント
- 波源が同位相の場合、経路差が \((m+\frac{1}{2})\lambda\) なら弱め合う。
\(0 \, \text{cm}\)
(3) 波源が逆位相の場合の点P
問われている内容の明確化
波源A, Bが逆位相で振動しているとき、点Pでの合成波の振幅を求めます。
具体的な解説と立式
点Pでの干渉を考えます。経路差は(1)と同じく \(\Delta L_P = 8 \, \text{cm} = 2\lambda\) で、波長の整数倍です。
しかし、今回は波源が逆位相なので、干渉条件が同位相の場合と逆になります。
したがって、経路差が波長の整数倍 (\(m\lambda\)) のとき、波は弱め合います。
合成波の振幅 \(A_P\) は、元の波の振幅 \(A_0 = 1 \, \text{cm}\) の差の絶対値となります。
$$A_P = |A_0 – A_0| \quad \cdots ③$$
使用した物理公式: 逆位相での干渉条件
- 強め合い: \(\Delta L = (m + \displaystyle\frac{1}{2})\lambda\)
- 弱め合い: \(\Delta L = m\lambda\)
計算過程
式③に、\(A_0 = 1 \, \text{cm}\) を代入します。
$$A_P = |1 \, \text{cm} – 1 \, \text{cm}| = 0 \, \text{cm}$$
この設問における重要なポイント
- 波源が逆位相の場合、干渉条件が同位相と逆転する。経路差が \(m\lambda\) なら弱め合う。
\(0 \, \text{cm}\)
(4) 波源が逆位相の場合の点Q
問われている内容の明確化
波源A, Bが逆位相で振動しているとき、点Qでの合成波の振幅を求めます。
具体的な解説と立式
点Qでの干渉を考えます。経路差は(2)と同じく \(\Delta L_Q = 10 \, \text{cm} = (2 + \frac{1}{2})\lambda\) で、波長の半整数倍です。
波源が逆位相なので、干渉条件は逆転します。
したがって、経路差が波長の半整数倍 (\((m+1/2)\lambda\)) のとき、波は強め合います。
合成波の振幅 \(A_Q\) は、元の波の振幅 \(A_0 = 1 \, \text{cm}\) の和となります。
$$A_Q = A_0 + A_0 \quad \cdots ④$$
使用した物理公式: 逆位相での干渉条件
- 強め合い: \(\Delta L = (m + \displaystyle\frac{1}{2})\lambda\)
- 弱め合い: \(\Delta L = m\lambda\)
計算過程
式④に、\(A_0 = 1 \, \text{cm}\) を代入します。
$$A_Q = 1 \, \text{cm} + 1 \, \text{cm} = 2 \, \text{cm}$$
この設問における重要なポイント
- 波源が逆位相の場合、干渉条件が同位相と逆転する。経路差が \((m+\frac{1}{2})\lambda\) なら強め合う。
\(2 \, \text{cm}\)
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問題全体を通して理解しておくべき重要な物理概念や法則
- 波の干渉: 複数の波が同じ場所で重なり合う現象。重なり合った結果の波（合成波）の振幅は、元の波の変位の和で決まる（重ね合わせの原理）。
- 経路差: 2つの波源からある点までの距離の差。干渉の結果を左右する最も重要な要因の一つ。
- 位相: 波の振動のタイミングを表すもの。「同位相」は2つの波源が同じタイミングで振動すること（例：同時に山になる）。「逆位相」は逆のタイミングで振動すること（例：一方が山のとき、他方が谷になる）。
- 干渉の条件:
- 同位相源: 経路差が \(m\lambda\) で強め合い、\((m+1/2)\lambda\) で弱め合う。
- 逆位相源: 経路差が \((m+1/2)\lambda\) で強め合い、\(m\lambda\) で弱め合う。
類似の問題を解く上でのヒントや注意点
- 最初に経路差を計算する: 問題を解き始める前に、各点での経路差を計算しておくと、思考が整理され、計算がスムーズに進みます。
- 波源の位相を確認する癖をつける: 干渉問題を解くときは、まず「同位相か、逆位相か」を確認することが最も重要です。ここを間違えると、すべての答えが逆になってしまいます。
- 条件式を正しく覚える: 同位相の場合の条件式（強め合いは \(m\lambda\), 弱め合いは \((m+1/2)\lambda\)）をしっかり覚え、逆位相はその逆、と整理しておくと混乱しにくいです。
よくある誤解や間違いやすいポイント
- 同位相と逆位相の条件の混同: 最も多い間違いです。問題文をよく読み、どちらの条件が適用されるのかを慎重に判断してください。「逆位相なら条件が逆！」と覚えておきましょう。
- 経路差の計算ミス: 単純な引き算ですが、焦ると間違えることがあります。落ち着いて計算しましょう。
- 波長の半整数倍の判断ミス: 経路差を波長で割ったときに、2.5 のような「xx.5」の形になれば半整数倍です。例えば、経路差が10cm、波長が4cmなら、10/4 = 2.5 なので、\((2+1/2)\lambda\) となります。
- 振幅と強さの混同: この問題では「振幅」を問われていますが、「強さ」（一般に振幅の2乗に比例）を問われることもあります。問題が何を求めているのかを正確に把握することが大切です。
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