無料でしっかり基礎固め！高校物理 問題演習「波の干渉：強め合いと弱め合いの条件」【高校物理対応】

問題の確認

各設問の思考プロセス

この問題は、2つの波源から出た波が重なり合う「波の干渉」がテーマです。干渉の結果、波が強め合うか、弱め合うかを判断することができれば、合成波の振幅を求めることができます。

干渉の様子を決める重要なポイントは2つあります。

1. 経路差: 観測点P（またはQ）までの2つの波源A, Bからの距離の差。
2. 波源の位相: 2つの波源が同じタイミングで振動しているか（同位相）、逆のタイミングで振動しているか（逆位相）。

まず、干渉の条件式を確認しましょう。波長を \(\lambda\)、経路差を \(\Delta L\) とすると、

この問題では、2つの波の振幅がともに1cmなので、強め合う点の振幅は \(1+1=2\,\text{cm}\)、弱め合う点の振幅は \(|1-1|=0\,\text{cm}\) となります。

問題を解く手順は以下の通りです。

1. 経路差を計算する:
   まず、各設問で使う点Pと点Qの経路差を計算しておきます。
   点Pの経路差 \(\Delta L_P = |15 – 7| = 8\,\text{cm}\)
   点Qの経路差 \(\Delta L_Q = |17 – 7| = 10\,\text{cm}\)
2. 経路差が波長の何倍か調べる:
   計算した経路差が、波長 \(\lambda = 4\,\text{cm}\) の整数倍 (\(m\lambda\)) なのか、半整数倍 (\((m+1/2)\lambda\)) なのかを判定します。
3. 干渉条件を適用する:
   各設問の「同位相」か「逆位相」かの条件を確認し、上で判定した結果と組み合わせて、強め合うか弱め合うかを決定します。
4. 振幅を求める:
   強め合うなら2cm、弱め合うなら0cmと結論づけます。

各設問の具体的な解説と解答

(1) 波源が同位相の場合の点P

問われている内容の明確化
波源A, Bが同位相で振動しているとき、点P（Aから7cm, Bから15cm）での合成波の振幅を求めます。

具体的な解説と立式
点Pでの干渉を考えます。まず、点Pの経路差 \(\Delta L_P\) が波長 \(\lambda\) の何倍になっているかを確認します。

• 経路差: \(\Delta L_P = |15 – 7| = 8 \, \text{cm}\)
• 波長: \(\lambda = 4 \, \text{cm}\)

経路差と波長の関係は、
$$\frac{\Delta L_P}{\lambda} = \frac{8 \, \text{cm}}{4 \, \text{cm}} = 2$$
となり、\(\Delta L_P = 2\lambda\) です。これは経路差が波長の整数倍 (\(m=2\)) であることを示します。

波源は同位相なので、経路差が波長の整数倍のとき、波は強め合います。
合成波の振幅 \(A_P\) は、元の波の振幅 \(A_0 = 1 \, \text{cm}\) の和となります。
$$A_P = A_0 + A_0 \quad \cdots ①$$

計算過程
式①に、\(A_0 = 1 \, \text{cm}\) を代入します。
$$A_P = 1 \, \text{cm} + 1 \, \text{cm} = 2 \, \text{cm}$$

(2) 波源が同位相の場合の点Q

問われている内容の明確化
波源A, Bが同位相で振動しているとき、点Q（Aから7cm, Bから17cm）での合成波の振幅を求めます。

具体的な解説と立式
点Qでの干渉を考えます。まず、点Qの経路差 \(\Delta L_Q\) が波長 \(\lambda\) の何倍になっているかを確認します。

• 経路差: \(\Delta L_Q = |17 – 7| = 10 \, \text{cm}\)
• 波長: \(\lambda = 4 \, \text{cm}\)

経路差と波長の関係は、
$$\frac{\Delta L_Q}{\lambda} = \frac{10 \, \text{cm}}{4 \, \text{cm}} = 2.5 = 2 + \frac{1}{2}$$
となり、\(\Delta L_Q = (2 + \frac{1}{2})\lambda\) です。これは経路差が波長の半整数倍 (\(m=2\)) であることを示します。

波源は同位相なので、経路差が波長の半整数倍のとき、波は弱め合います。
合成波の振幅 \(A_Q\) は、元の波の振幅 \(A_0 = 1 \, \text{cm}\) の差の絶対値となります。
$$A_Q = |A_0 – A_0| \quad \cdots ②$$

計算過程
式②に、\(A_0 = 1 \, \text{cm}\) を代入します。
$$A_Q = |1 \, \text{cm} – 1 \, \text{cm}| = 0 \, \text{cm}$$

(3) 波源が逆位相の場合の点P

問われている内容の明確化
波源A, Bが逆位相で振動しているとき、点Pでの合成波の振幅を求めます。

具体的な解説と立式
点Pでの干渉を考えます。経路差は(1)と同じく \(\Delta L_P = 8 \, \text{cm} = 2\lambda\) で、波長の整数倍です。
しかし、今回は波源が逆位相なので、干渉条件が同位相の場合と逆になります。
したがって、経路差が波長の整数倍 (\(m\lambda\)) のとき、波は弱め合います。
合成波の振幅 \(A_P\) は、元の波の振幅 \(A_0 = 1 \, \text{cm}\) の差の絶対値となります。
$$A_P = |A_0 – A_0| \quad \cdots ③$$

計算過程
式③に、\(A_0 = 1 \, \text{cm}\) を代入します。
$$A_P = |1 \, \text{cm} – 1 \, \text{cm}| = 0 \, \text{cm}$$

(4) 波源が逆位相の場合の点Q

問われている内容の明確化
波源A, Bが逆位相で振動しているとき、点Qでの合成波の振幅を求めます。

具体的な解説と立式
点Qでの干渉を考えます。経路差は(2)と同じく \(\Delta L_Q = 10 \, \text{cm} = (2 + \frac{1}{2})\lambda\) で、波長の半整数倍です。
波源が逆位相なので、干渉条件は逆転します。
したがって、経路差が波長の半整数倍 (\((m+1/2)\lambda\)) のとき、波は強め合います。
合成波の振幅 \(A_Q\) は、元の波の振幅 \(A_0 = 1 \, \text{cm}\) の和となります。
$$A_Q = A_0 + A_0 \quad \cdots ④$$

計算過程
式④に、\(A_0 = 1 \, \text{cm}\) を代入します。
$$A_Q = 1 \, \text{cm} + 1 \, \text{cm} = 2 \, \text{cm}$$

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