「リードα 物理基礎・物理 改訂版」徹底解説！【第28章】基本例題～基本問題482

基本例題

基本例題94 電場による電子の偏向

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「一様な電場中における荷電粒子の運動」です。これは、重力場における物体の放物運動と全く同じ考え方で解くことができる典型問題です。運動を電場に垂直な方向と平行な方向に分解し、それぞれの方向で運動の法則を適用することが基本となります。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
電子が電場内を通り抜ける時間 \(t\) を求める問題です。電子に働く力は\(y\)方向のみであり、\(x\)方向には力が働きません。したがって、\(x\)方向の速度は入射したときの初速度 \(v_0\) のままで一定です。この「\(x\)方向は等速直線運動である」という点が最大のポイントです。
この設問における重要なポイント

• \(x\)方向には力が働かないため、加速度は \(0\) である。
• したがって、\(x\)方向の運動は速度 \(v_0\) の等速直線運動となる。
• 「距離 = 速さ × 時間」の関係式を適用する。

具体的な解説と立式
\(x\)方向の運動に着目します。電子は\(x\)方向に長さ \(l\) の距離を、一定の速さ \(v_0\) で進みます。求める時間を \(t\) とすると、等速直線運動の公式から以下の関係が成り立ちます。
$$ l = v_0 t $$

上記で立式した \(l = v_0 t\) の両辺を \(v_0\) で割ることで、\(t\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
t &= \frac{l}{v_0}
\end{aligned}
$$

電子の運動を、横方向（\(x\)方向）と縦方向（\(y\)方向）に分けて考えます。この問題では、縦方向にだけ力が働いているので、横方向の速さは全く変化しません。つまり、横方向にはずっと同じ速さ \(v_0\) で進み続けます。長さ \(l\) の区間を速さ \(v_0\) で通り過ぎるのにかかる時間は、小学校でも習う「時間 = 距離 ÷ 速さ」の計算で求めることができます。

電子が電場内を通り抜ける時間 \(t\) は \(\displaystyle\frac{l}{v_0}\) となります。この式は、初速度 \(v_0\) が速いほど、また電場の領域 \(l\) が短いほど、通過時間が短くなることを示しており、直感的に妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
電子の加速度 \(a\) を求める問題です。加速度は、物体に働く力によって生じます（運動方程式 \(ma=F\)）。したがって、まずは電子に働く力を特定し、その力を運動方程式に適用します。この問題で電子に働く力は、電場による静電気力のみです。
この設問における重要なポイント

• 電子の電気量は負 (\(-e\)) である。
• 負の電荷は、電場の向きと「逆向き」に力を受ける。
• 電場は\(y\)軸の負の向きなので、電子が受ける力は\(y\)軸の正の向きとなる。

具体的な解説と立式
電子は電気量 \(q=-e\) を持つ荷電粒子です。\(y\)軸の負の向きに大きさ \(E\) の電場があるので、電子は\(y\)軸の「正」の向きに力を受けます。その力の大きさ \(F\) は、
$$ F = |-e|E = eE $$
この力が働くのは\(y\)方向のみなので、\(y\)方向の運動方程式を立てます。加速度を \(a\) とすると、
$$ ma = F $$
したがって、
$$ ma = eE $$

上記で立式した \(ma = eE\) の両辺を \(m\) で割ることで、加速度 \(a\) の大きさを求めます。
$$
\begin{aligned}
a &= \frac{eE}{m}
\end{aligned}
$$
力の向きが\(y\)軸の正の向きであるため、加速度の向きも\(y\)軸の正の向きとなります。

加速度の原因は「力」です。電子はマイナスの電気を持っているので、プラスからマイナスへ向かう電場の向きとは逆向きに力を受けます。今回は電場が下向き（\(y\)軸負の向き）なので、電子は上向き（\(y\)軸正の向き）に引っ張られます。この力の大きさが \(eE\) です。ニュートンの法則「\(ma=F\)」にこの力を当てはめれば、加速度 \(a\) の大きさが計算できます。力の向きがそのまま加速度の向きになります。

加速度の大きさは \(\displaystyle\frac{eE}{m}\)、向きは\(y\)軸の正の向きとなります。この結果は、電場 \(E\) が強いほど、また粒子の質量 \(m\) が軽いほど、加速度が大きくなることを示しており、物理的に妥当です。

問(3)

思考の道筋とポイント
電場を通り抜けた点Pの\(y\)座標を求める問題です。\(y\)方向の運動は、(2)で求めた一定の加速度 \(a\) で、初速度 \(0\) から始まる「等加速度直線運動」です。この運動をしていた時間は、(1)で求めた時間 \(t\) です。したがって、等加速度直線運動の変位の公式に、これらの値を代入することで\(y\)座標を求めることができます。
この設問における重要なポイント

• \(y\)方向の運動は、初速度 \(v_{0y}=0\) の等加速度直線運動である。
• 加速度は(2)で求めた \(a = \displaystyle\frac{eE}{m}\)。
• 運動時間は(1)で求めた \(t = \displaystyle\frac{l}{v_0}\)。
• 変位の公式 \(y = v_{0y}t + \displaystyle\frac{1}{2}at^2\) を利用する。

具体的な解説と立式
\(y\)方向の運動は初速度 \(v_{0y}=0\) の等加速度直線運動なので、時刻 \(t\) における\(y\)座標は以下の式で与えられます。
$$ y = \frac{1}{2}at^2 $$

上記の式に、(1)で求めた \(t = \displaystyle\frac{l}{v_0}\) と、(2)で求めた \(a = \displaystyle\frac{eE}{m}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
y &= \frac{1}{2} a t^2 \\[2.0ex] &= \frac{1}{2} \left( \frac{eE}{m} \right) \left( \frac{l}{v_0} \right)^2 \\[2.0ex] &= \frac{eEl^2}{2mv_0^2}
\end{aligned}
$$

\(y\)方向の動きは、静止した状態から一定の力で上向きに引っ張られ続ける運動です。これは、物を静かに手放したときの自由落下と同じ種類の運動（等加速度直線運動）と見なせます。どれだけ移動したか（\(y\)座標）は、「\(\displaystyle\frac{1}{2} \times (\text{加速度}) \times (\text{時間})^2\)」という公式で計算できます。(1)で求めた時間と(2)で求めた加速度をこの公式に代入すれば、答えが求まります。

点Pの\(y\)座標は \(\displaystyle\frac{eEl^2}{2mv_0^2}\) となります。この式から、初速度 \(v_0\) が大きいほど電場内にいる時間が短くなるため、\(y\)方向のズレは小さくなる（\(v_0^2\) に反比例する）ことがわかります。これは物理的な直感と一致する妥当な結果です。

問(4)

思考の道筋とポイント
点Pで軌道が\(x\)軸となす角 \(\theta\) の正接 (\(\tan\theta\)) を求める問題です。軌道の傾きは、その点での速度ベクトルの傾きに等しく、速度の\(y\)成分と\(x\)成分の比 \(\displaystyle\frac{v_y}{v_x}\) で与えられます。したがって、点P（電場を通り抜けた瞬間）における速度の\(x\)成分 \(v_x\) と\(y\)成分 \(v_y\) をそれぞれ求め、その比を計算します。
この設問における重要なポイント

• 軌道の傾きは速度の傾きに等しい: \(\tan\theta = \displaystyle\frac{v_y}{v_x}\)。
• \(x\)方向の速度 \(v_x\) は、等速運動なので常に \(v_0\) のままである。
• \(y\)方向の速度 \(v_y\) は、等加速度運動の速度の公式 \(v_y = v_{0y} + at\) を使って計算する。

具体的な解説と立式
点Pにおける速度の\(x\)成分 \(v_x\) は、初速度のままで変化しません。
$$ v_x = v_0 $$
点Pにおける速度の\(y\)成分 \(v_y\) は、初速度 \(v_{0y}=0\)、加速度 \(a\) の等加速度運動を時間 \(t\) だけ続けた後の速度なので、
$$ v_y = at $$
したがって、\(\tan\theta\) はこれらの比で表されます。
$$ \tan\theta = \frac{v_y}{v_x} $$

まず、\(v_y\) を具体的に計算します。(1)の \(t = \displaystyle\frac{l}{v_0}\) と(2)の \(a = \displaystyle\frac{eE}{m}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
v_y &= at \\[2.0ex] &= \left( \frac{eE}{m} \right) \left( \frac{l}{v_0} \right) \\[2.0ex] &= \frac{eEl}{mv_0}
\end{aligned}
$$
次に、この \(v_y\) と \(v_x=v_0\) を用いて \(\tan\theta\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
\tan\theta &= \frac{v_y}{v_x} \\[2.0ex] &= \frac{\displaystyle\frac{eEl}{mv_0}}{v_0} \\[2.0ex] &= \frac{eEl}{mv_0^2}
\end{aligned}
$$

軌道の傾きは、その瞬間の「進んでいる方向」の傾き、つまり「速度の傾き」と同じです。速度は横方向（\(x\)方向）と縦方向（\(y\)方向）の成分に分解できます。傾き \(\tan\theta\) は、「縦方向の速さ ÷ 横方向の速さ」で計算できます。横方向の速さは最初からずっと \(v_0\) で一定です。一方、縦方向の速さは、上向きに加速され続けるので「加速度 × 時間」で計算できます。それぞれの速さを求めて割り算すれば、傾きが求まります。

軌道と\(x\)軸のなす角の正接は \(\tan\theta = \displaystyle\frac{eEl}{mv_0^2}\) となります。この結果は、(3)で求めた\(y\)座標 \(y = \displaystyle\frac{eEl^2}{2mv_0^2}\) を使うと \(\tan\theta = \displaystyle\frac{2y}{l}\) と書くこともできます。これは、原点と点Pを結ぶ直線の傾き \(\displaystyle\frac{y}{l}\) のちょうど2倍になっており、放物線の幾何学的な性質と一致する興味深い結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動の独立性（重ね合わせの原理）:
  • 核心: この問題の根幹は、2次元の運動を「互いに影響を与えない、直交する2つの1次元運動の組み合わせ」として捉えることにあります。
  • 理解のポイント:
    • \(x\)方向（力を受けない方向）: 力が働かないので、加速度は \(0\)。したがって、初速度 \(v_0\) のまま進み続ける「等速直線運動」となります。
    • \(y\)方向（力を受ける方向）: 一様な電場から一定の力 \(F=eE\) を受け続けるので、加速度 \(a=\displaystyle\frac{eE}{m}\) が一定の「等加速度直線運動」となります。
    • 合成運動: この2つの単純な運動を同時に起こした結果が、観測される放物線軌道です。これは、水平方向に投げ出した物体が重力によって放物線を描く「水平投射」と全く同じ物理構造をしています。
• 力と運動の関係（運動方程式）:
  • 核心: 粒子の運動がどのように変化するか（加速度）は、粒子にどのような力が働くかによって決まる、というニュートンの運動法則を正しく適用することが重要です。
  • 理解のポイント:
    • 力の特定: 運動を考える前に、まず粒子に働く力を全てリストアップします。この問題では静電気力のみです（重力は通常無視します）。
    • 力の向き: 電荷の符号が重要です。電子（\(q=-e\)）は負電荷なので、電場 \(E\) とは逆向きに力を受けます。この向きを間違えると、運動の向きが全て逆になってしまいます。
    • 運動方程式の適用: 特定した力を運動方程式 \(ma=F\) に代入し、加速度を求めます。この加速度が、その後の運動（等加速度直線運動）を決定づけます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 水平投射・斜方投射: 重力という一様な力が働く場での物体の運動は、本問と全く同じ解法で解けます。電場 \(E\) を重力加速度 \(g\) に、静電気力 \(eE\) を重力 \(mg\) に読み替えれば、全ての式が対応します。
  • 磁場中での荷電粒子の運動（ローレンツ力）: 磁場から受ける力は速度に垂直なため、等速円運動をします。電場と磁場が両方存在する領域では、静電気力とローレンツ力の合力を考え、運動方程式を立てて運動を解析します。
  • ブラウン管・オシロスコープの原理: 本問の構造は、電子銃から出た電子を電場で曲げてスクリーンに当てるブラウン管の基本原理そのものです。偏向電圧と電子の到達位置の関係を問う問題は、本問の直接的な応用です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 運動の分解: 荷電粒子が電場や磁場中で運動する問題を見たら、まず「運動を座標軸に沿って分解できないか？」と考えます。特に、力が特定の軸方向にしか働かない場合は、必ず運動を分解します。
  2. 力の向きの確認: 荷電粒子の電荷の符号（正か負か）を真っ先に確認します。これにより、電場や磁場から受ける力の向きが決まります。図に力の矢印を書き込むとミスが減ります。
  3. 時間 \(t\) の役割: 多くの問題では、力を受けない方向の等速直線運動から時間 \(t\) を求め、それを力を受ける方向の運動の式に代入する、という流れで解けます。時間 \(t\) が2つの運動を結びつける「共通の物差し」の役割を果たします。
  4. 軌跡の方程式という選択肢: もし問題が最終的な位置や角度だけを問い、途中の時間を問うていない場合、「軌跡の方程式を立てて時間 \(t\) を消去する」という別解のアプローチが有効な場合があります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 静電気力の向きの間違い:
  • 誤解: 電荷の符号を考慮せず、常に電場の向きに力が働くと勘違いしてしまう。
  • 対策: 「正電荷は電場と同じ向き、負電荷は電場と逆向き」と呪文のように覚えることが重要です。問題文で「電子」と出てきたら、すぐに「負電荷 \(\rightarrow\) 力は電場と逆向き」と頭の中で変換する癖をつけましょう。
• 運動の種類の混同:
  • 誤解: \(x\)方向も\(y\)方向も同じ等加速度運動としてしまったり、逆に両方とも等速運動としてしまったりする。
  • 対策: 各方向について、「力は働いているか？」「働いているなら一定か？」を自問自答します。「力なし \(\rightarrow\) 等速運動」「一定の力 \(\rightarrow\) 等加速度運動」という対応関係を明確に意識することが不可欠です。
• 初速度の扱い:
  • 誤解: \(y\)方向の運動を考える際に、初速度を \(v_0\) と勘違いして公式に代入してしまう。
  • 対策: 初速度 \(v_0\) はあくまで\(x\)方向の成分です。\(y\)方向には初速度が与えられていないので、\(v_{0y}=0\) です。運動を分解した際には、初速度も各成分に分解して考えることを徹底しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)で等速直線運動の式 \(l=v_0 t\) を使う理由:
  • 選定理由: \(x\)方向には力が働いていないため、加速度が生じません。加速度が \(0\) の運動は等速直線運動であり、その運動を記述する最も単純な関係式が「距離 = 速さ × 時間」だからです。
  • 適用根拠: 運動の独立性により、\(y\)方向で何が起きていようと、\(x\)方向の運動には影響を与えません。したがって、\(x\)方向だけに注目してこの単純な式を適用することが物理的に正当化されます。
• (3)で等加速度直線運動の式 \(y = \frac{1}{2}at^2\) を使う理由:
  • 選定理由: \(y\)方向には一定の力 \(eE\) が働き続けるため、加速度 \(a\) が一定となります。初速度 \(0\) で一定の加速度の運動によって生じる変位を求める公式が、これだからです。
  • 適用根拠: (2)で運動方程式から加速度 \(a\) が一定値であることが保証され、(1)でその運動が続く時間 \(t\) が求められています。\(y\)方向の運動の初期条件（初速度 \(0\)）と運動の法則（等加速度）と運動時間（\(t\)）が全て揃っているので、この公式を適用して変位を計算することができます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま計算を進める: この問題のように、多くの物理量が文字で与えられている場合、途中で数値を代入するよりも、最後まで文字式のまま計算を進める方がはるかに効率的で、ミスも少なくなります。
  1. (3)の計算では、\(a\) と \(t\) にそれぞれの式を「代入」するだけにとどめ、整理します。
  2. (4)の計算でも、\(v_y = at\) を計算してから \(v_x\) で割る、という手順を踏むことで、分数の計算が一度で済み、シンプルになります。
• 分数の整理を丁寧に行う:
  • (4)の計算で \(\tan\theta = \displaystyle\frac{v_y}{v_x}\) のように分母にさらに変数が来る場合、慌てずに「分母を逆数にして掛ける」と考えるか、「分母と分子に同じものを掛ける」と考えると、ミスなく整理できます。
• 単位や次元での検算:
  • 例えば(3)で求めた\(y\)座標の式 \(\displaystyle\frac{eEl^2}{2mv_0^2}\) の次元（単位）をチェックしてみましょう。\(eE\) は力（次元 \([MLT^{-2}]\))、\(l\) は長さ（\([L]\)）、\(m\) は質量（\([M]\)）、\(v_0\) は速さ（\([LT^{-1}]\)) です。
  • 式の次元は \(\displaystyle\frac{[MLT^{-2}] \cdot [L]^2}{[M] \cdot [LT^{-1}]^2} = \displaystyle\frac{[ML^3T^{-2}]}{[M][L^2T^{-2}]} = [L]\) となり、確かに長さの次元になっています。このように、最終的な答えの次元が求めている物理量の次元と一致するかを確認する癖をつけると、大きな間違いに気づくことができます。

基本例題95 磁場による電子の偏向

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「一様な磁場中における荷電粒子の運動」です。磁場から受けるローレンツ力は常に粒子の進行方向と垂直に働くため、粒子は等速円運動をします。この基本原理を理解し、円運動の運動方程式と幾何学的な考察を組み合わせることが鍵となります。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
磁場中で運動する荷電粒子はローレンツ力を受けます。ローレンツ力は常に速度の向きと垂直に働くため、粒子に対して仕事をしません。したがって、粒子の運動エネルギー、すなわち速さは変化しません。一定の速さで、常に進行方向を曲げられ続ける運動、これが等速円運動です。この円運動の向心力の役割を果たしているのがローレンツ力です。この関係を運動方程式として立式します。
この設問における重要なポイント

• 磁場から受ける力はローレンツ力 \(f = |q|vB\)。
• 電子は負電荷なので、フレミングの左手の法則を適用する際、電流の向きは電子の運動方向（\(+x\)方向）と逆（\(-x\)方向）と考える。これにより、力の向きは\(y\)軸の負の向き（円の中心方向）となる。
• このローレンツ力が向心力となり、電子は等速円運動をする。

具体的な解説と立式
電子の速さは \(v_0\) で一定なので、電子が受けるローレンツ力の大きさ \(f\) は、
$$ f = ev_0 B $$
この力が向心力となって、電子は半径 \(r\) の等速円運動をします。円運動の運動方程式は、
$$ m\frac{v_0^2}{r} = f $$
したがって、これら2つの式から以下の関係が成り立ちます。
$$ m\frac{v_0^2}{r} = ev_0 B $$

上記で立式した運動方程式の両辺を \(v_0\) で割り、\(r\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
m\frac{v_0}{r} &= eB \\[2.0ex] r &= \frac{mv_0}{eB}
\end{aligned}
$$

磁場の中に入った電子は、磁石の力（ローレンツ力）を受けます。この力は、電子が進む向きに対して常に真横から働き、進路をぐいっと曲げ続けます。その結果、電子はきれいな円を描いて運動します。このとき、円運動をさせるために中心に向かって引っ張り続ける力（向心力）の正体が、ローレンツ力です。「向心力 = ローレンツ力」として式を立てることで、円の半径を計算できます。

軌道の半径 \(r\) は \(\displaystyle\frac{mv_0}{eB}\) となります。この式は、電子の運動量 \(mv_0\) が大きいほど曲がりにくく（半径が大きく）、電気量 \(e\) や磁場 \(B\) が大きいほど強く曲げられる（半径が小さく）ことを示しており、物理的に妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
図に示された三角形\(\triangle\)PQRは、円の中心R、磁場を出る点P、そしてPから\(y\)軸に下ろした垂線の足Qからなる直角三角形です。この三角形に三平方の定理を適用し、辺の長さを \(r, l, y\) を用いて表します。その後、問題の指示に従って「\(y\)が十分小さい」という条件から \(y^2 \approx 0\) という近似を用いて \(y\) を求めます。
この設問における重要なポイント

• \(\triangle\)PQRは、\(\angle\)PQR \( = 90^\circ\) の直角三角形である。
• 斜辺PRの長さは円の半径 \(r\)。
• 辺PQの長さは \(l\)。
• 辺QRの長さは、円の半径 \(r\) から \(y\) を引いた \(r-y\)。

具体的な解説と立式
直角三角形\(\triangle\)PQRに三平方の定理を適用します。
$$ (\text{PR})^2 = (\text{PQ})^2 + (\text{QR})^2 $$
各辺の長さを \(r, l, y\) で表すと、
$$ r^2 = l^2 + (r-y)^2 $$

立式した \(r^2 = l^2 + (r-y)^2\) を展開します。
$$
\begin{aligned}
r^2 &= l^2 + (r^2 – 2ry + y^2)
\end{aligned}
$$
ここで、問題の条件「\(y\)が十分小さい」を使い、\(y^2\) の項を \(0\) と近似します (\(y^2 \approx 0\))。
$$
\begin{aligned}
r^2 &\approx l^2 + r^2 – 2ry
\end{aligned}
$$
両辺の \(r^2\) を消去し、\(y\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
0 &\approx l^2 – 2ry \\[2.0ex] 2ry &\approx l^2 \\[2.0ex] y &\approx \frac{l^2}{2r}
\end{aligned}
$$
最後に、(1)で求めた \(r = \displaystyle\frac{mv_0}{eB}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
y &\approx \frac{l^2}{2} \cdot \frac{1}{r} \\[2.0ex] &= \frac{l^2}{2} \cdot \frac{eB}{mv_0} \\[2.0ex] &= \frac{eBl^2}{2mv_0}
\end{aligned}
$$

図の中にある直角三角形（\(\triangle\)PQR）に注目し、中学校で習うピタゴラスの定理（三平方の定理）を使います。3つの辺の長さを、半径\(r\)、横に進んだ距離\(l\)、縦にずれた距離\(y\)を使って表し、式を立てます。このままだと計算が少し複雑ですが、問題文に「\(y\)はとても小さいので、\(y\)の2乗は無視してよい」というヒントがあります。この近似を使うと式が簡単になり、\(y\)の値を求めることができます。

\(y\)座標は \(\displaystyle\frac{eBl^2}{2mv_0}\) となります。この結果は、磁場を通過する距離 \(l\) が長いほど、また円運動の半径 \(r\) が小さい（強く曲げられる）ほど、\(y\)方向へのズレが大きくなることを示しており、直感と一致します。

問(3)

思考の道筋とポイント
点Pでの軌道と\(x\)軸がなす角 \(\theta\) の正接 \(\tan\theta\) を求めます。点Pでの速度ベクトルは円の接線方向を向いており、その接線と\(x\)軸のなす角が \(\theta\) です。図の幾何学的な関係を考えると、円の中心Rと点Pを結ぶ半径が\(y\)軸となす角も \(\theta\) になります。この角度 \(\theta\) を含む直角三角形\(\triangle\)PQRに着目し、\(\sin\theta\) を \(l\) と \(r\) で表します。最後に、問題の指示通り \(\tan\theta \approx \sin\theta\) の近似を用います。
この設問における重要なポイント

• 点Pでの接線と\(x\)軸のなす角 \(\theta\) は、半径RPと\(y\)軸のなす角 \(\theta\) に等しい。
• 直角三角形\(\triangle\)PQRにおいて、\(\sin\theta = \displaystyle\frac{\text{対辺}}{\text{斜辺}} = \frac{\text{PQ}}{\text{PR}} = \frac{l}{r}\)。
• \(\theta\)が十分小さいとき、\(\tan\theta \approx \sin\theta\) という近似が成り立つ。

具体的な解説と立式
図の直角三角形\(\triangle\)PQRにおいて、斜辺はPR、対辺はPQです。これらの長さはそれぞれ \(r\) と \(l\) なので、\(\sin\theta\) は次のように表せます。
$$ \sin\theta = \frac{l}{r} $$
問題の条件より、\(\theta\)が十分小さいとき \(\tan\theta \approx \sin\theta\) と近似できるので、
$$ \tan\theta \approx \frac{l}{r} $$

上記で立式した \(\tan\theta \approx \displaystyle\frac{l}{r}\) に、(1)で求めた \(r = \displaystyle\frac{mv_0}{eB}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
\tan\theta &\approx l \cdot \frac{1}{r} \\[2.0ex] &= l \cdot \frac{eB}{mv_0} \\[2.0ex] &= \frac{eBl}{mv_0}
\end{aligned}
$$

軌道の傾きを表す角度 \(\theta\) は、図をよく見ると、\(\triangle\)PQRの中にも現れています。この直角三角形に注目すると、三角関数（サイン）の定義から \(\sin\theta\) が「\(l \div r\)」で計算できることがわかります。問題文に「\(\theta\)は小さいので \(\tan\theta\) と \(\sin\theta\) はほぼ同じと考えてよい」というヒントがあるので、この \(\sin\theta\) の値がそのまま求めたい \(\tan\theta\) の答えになります。

\(\tan\theta\) は \(\displaystyle\frac{eBl}{mv_0}\) となります。この値は、磁場を通過する距離 \(l\) に比例し、円運動の半径 \(r\) に反比例します。これは、軌道が直線に近い（\(l\)が小さい、または\(r\)が大きい）ほど傾きが小さくなることを意味し、直感的に妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ローレンツ力と円運動:
  • 核心: 磁場中を運動する荷電粒子が受けるローレンツ力は、常に速度ベクトルと垂直であるという性質を理解することが全ての出発点です。
  • 理解のポイント:
    • 力の性質: 速度と垂直な力は、粒子の運動エネルギー（速さ）を変えることはなく、運動の向きだけを変えます。
    • 運動形態: この結果、磁場が一様で、初速度が磁場に垂直な場合、粒子は「等速円運動」をします。
    • 運動方程式: この円運動を維持するための向心力の正体がローレンツ力であるため、円運動の運動方程式 \(m\displaystyle\frac{v^2}{r} = F\) に、ローレンツ力の式 \(F=|q|vB\) を代入することで、運動の半径 \(r\) や周期 \(T\) を求めることができます。
• 近似計算の物理的意味:
  • 核心: この問題で使われる \(y^2 \approx 0\) や \(\tan\theta \approx \sin\theta\) といった近似は、単なる数学的操作ではなく、「電子の軌道が、円弧のごく一部であり、直線に非常に近い」という物理的状況を数式に反映させたものです。
  • 理解のポイント:
    • \(y^2 \approx 0\) の意味: \(y\)方向のズレが、磁場を通過する距離 \(l\) や円運動の半径 \(r\) に比べて非常に小さいことを意味します。
    • \(\tan\theta \approx \sin\theta\) の意味: 軌道の傾きが非常に小さい、つまり軌道が\(x\)軸とほとんど平行であることを意味します。
    • 物理的条件との対応: これらの近似が使えるのは、初速度 \(v_0\) が大きい、あるいは磁場 \(B\) が弱いなどの理由で、電子が大きく曲げられずに磁場領域を通過する場合です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 質量分析器: 異なる質量のイオンを同じように加速して磁場に入れると、質量によって円運動の半径が変わることを利用して、同位体を分離する装置です。本問の(1)の式が直接応用されます。
  • サイクロトロン: 荷電粒子を磁場で円運動させながら、電場で加速を繰り返す装置です。円運動の周期が速さによらない（\(T = \frac{2\pi m}{qB}\)）という性質が利用されます。
  • 速度選択器: 直交する電場と磁場をかけた領域で、静電気力とローレンツ力が釣り合う特定の速さの粒子だけが直進できることを利用します。\(qE = qvB \rightarrow v=E/B\) という関係が鍵になります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 力の向きを最優先で決定: 荷電粒子が磁場に入ったら、まずフレミングの左手の法則を使ってローレンツ力の向きを確認します。電荷の符号（正か負か）を絶対に間違えないように注意し、図に力の矢印を書き込みます。
  2. 運動の種類を判断: 力の向きが常に速度と垂直なら「等速円運動」。電場も存在し、力が複雑な場合は、運動を成分に分解して考えるか、エネルギー保存則などを検討します。
  3. 幾何学的関係を図から読み取る: 円運動の問題では、軌道の図から半径、中心、角度などの関係を読み取り、三平方の定理や三角関数を適用する場面が多くあります。補助線を引いて直角三角形を見つけるのが定石です。
  4. 近似の条件を確認: 問題文に「\(y\)は\(l\)に比べて十分小さい」や「\(\theta\)は微小角」などの記述があれば、それは近似計算を用いるサインです。どの項を無視できるか、どの近似式が使えるかを考えます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• フレミングの左手の法則の誤用:
  • 誤解: 電子の運動方向をそのまま電流の向きとして法則を適用してしまう。
  • 対策: 「電子（負電荷）の運動方向と、電流の向きは逆」というルールを徹底します。問題で電子が出てきたら、まず頭の中で「電流は逆向き」と変換してから、フレミングの左手の法則を使いましょう。
• 近似の過剰適用・適用ミス:
  • 誤解: \(y^2\) を無視する際に、\(y\) 自体も \(0\) としてしまい、\(2ry\) の項まで消してしまう。
  • 対策: 近似は「微小量の高次の項（2乗、3乗など）を無視する」のが基本です。\(y\) が小さいからといって \(y\) そのものを \(0\) にしてはいけません。\(y\) に比べて \(y^2\) が「はるかに小さい」から無視できる、という大小関係を意識することが重要です。
• 幾何学的関係の誤認:
  • 誤解: 図中の角度 \(\theta\) の位置を勘違いし、\(\sin\theta\) を \(\displaystyle\frac{y}{l}\) や \(\displaystyle\frac{y}{r}\) などと間違えてしまう。
  • 対策: 円の接線と半径が垂直であることなど、図形の基本的な性質を丁寧に確認します。どの角が \(\theta\) と等しくなるのか（錯角、同位角、直角三角形の性質など）を図に書き込みながら、ゆっくりと確認する癖をつけましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)で円運動の運動方程式を使う理由:
  • 選定理由: 磁場から受けるローレンツ力が常に速度と垂直である、という物理法則から、運動形態が「等速円運動」であると確定します。等速円運動の力学的関係を記述する基本法則が、運動方程式 \(m\displaystyle\frac{v^2}{r} = F\) だからです。
  • 適用根拠: 観測される円運動は、必ず中心に向かう「向心力」によって引き起こされています。この問題では、その向心力の供給源がローレンツ力以外に存在しないため、\(F\) をローレンツ力 \(ev_0B\) で置き換えることが物理的に正当化されます。
• (2)で三平方の定理を使う理由:
  • 選定理由: 問題で問われている \(y\) は、図中の直角三角形 \(\triangle\)PQR の辺の長さに関連しています。直角三角形の3辺の長さの関係を表す最も基本的な数学的ツールが三平方の定理だからです。
  • 適用根拠: 図に示された点P, Q, Rは、それぞれ円周上の点、垂線の足、円の中心であり、これらの位置関係から \(\triangle\)PQR が直角三角形であることは幾何学的に明らかです。したがって、この三角形に数学の定理を適用することに何の問題もありません。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 近似計算のタイミング:
  • (2)の計算では、まず厳密な式 \(r^2 = l^2 + (r-y)^2\) を立て、展開してから \(y^2 \approx 0\) の近似を適用します。最初から \(r \approx r-y\) のように安易な近似をすると、重要な項が消えてしまう危険があります。まず正確な式を立て、その後で「どの項が他に比べて小さいか」を吟味して無視する、という手順が安全です。
• 文字式の整理を優先する:
  • (2)や(3)の計算では、まず \(y\) や \(\tan\theta\) を \(l\) と \(r\) の関係式で表し、最後に(1)で求めた \(r\) の式を代入するのが最も見通しが良いです。最初から \(r\) に \(\displaystyle\frac{mv_0}{eB}\) を代入して計算を始めると、式が非常に複雑になり、計算ミスを誘発します。
• 分数の逆数をとる操作を慎重に:
  • (2)の最終段階で \(y \approx \displaystyle\frac{l^2}{2r}\) に \(r\) を代入する際、\(r\) は分母にあるため、代入するのは \(r\) の「逆数」です。\( \displaystyle\frac{1}{r} = \frac{eB}{mv_0} \) となり、これを掛けることになります。分母への代入は、逆数を掛ける操作だと意識するとミスが減ります。

基本例題96 光電効果

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「光電効果の実験データの解釈」です。アインシュタインの光電効果の式を、実験結果であるグラフと結びつけ、グラフの傾きや切片から物理的な定数（仕事関数、プランク定数）を読み取る能力が問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
限界波長\(\lambda_0\)とは、光電効果が起こるぎりぎりの波長、すなわち最も長い波長のことです。波長が長いということは、振動数が小さいということなので、これは限界振動数\(\nu_0\)に対応します。限界振動数\(\nu_0\)は、飛び出す光電子の運動エネルギーがちょうど\(0\)になるときの振動数です。運動エネルギーが\(0\)ということは、それを阻止するための電圧（阻止電圧\(V_0\)）も\(0\)でよい、ということです。したがって、グラフ上で\(V_0=0\)となる点が限界振動数\(\nu_0\)を示しています。
この設問における重要なポイント

• 限界振動数\(\nu_0\)は、光電子の最大運動エネルギーが\(0\)になる点の振動数である。
• 光電子の最大運動エネルギーが\(0\)のとき、阻止電圧\(V_0\)も\(0\)である。
• したがって、グラフと横軸（\(\nu\)軸）との交点が限界振動数\(\nu_0\)を表す。
• 波の基本式 \(c = \nu_0 \lambda_0\) を用いて、振動数を波長に変換する。

具体的な解説と立式
グラフより、阻止電圧\(V_0\)が\(0\) [V]になるのは、振動数\(\nu\)が\(4.5 \times 10^{14}\) [Hz]のときです。これが限界振動数\(\nu_0\)です。
$$ \nu_0 = 4.5 \times 10^{14} \, [\text{Hz}] $$
光の速さ\(c\)、限界振動数\(\nu_0\)、限界波長\(\lambda_0\)の間には、次の関係があります。
$$ c = \nu_0 \lambda_0 $$

上記の関係式を\(\lambda_0\)について解き、数値を代入します。
$$
\begin{aligned}
\lambda_0 &= \frac{c}{\nu_0} \\[2.0ex] &= \frac{3.0 \times 10^8}{4.5 \times 10^{14}} \\[2.0ex] &= \frac{3.0}{4.5} \times 10^{-6} \\[2.0ex] &\approx 0.667 \times 10^{-6} \, [\text{m}] \\[2.0ex] &\approx 6.7 \times 10^{-7} \, [\text{m}] \end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えます。

光電子が飛び出すためには、光に最低限のエネルギーが必要です。その最低限のエネルギーに対応する振動数が「限界振動数」です。グラフを見ると、電圧をかけなくても電流が流れ始める（つまり、かろうじて光電子が飛び出す）振動数は \(4.5 \times 10^{14}\) Hz だとわかります。この振動数を、光の速さを使って波長に変換すれば、それが答えの「限界波長」になります。

限界波長\(\lambda_0\)は約\(6.7 \times 10^{-7}\) m（\(670\) nm）と求まりました。これは可視光線の赤色光あたりの波長であり、物理的に妥当な値です。

問(2)

思考の道筋とポイント
金属Kの仕事関数\(W\)を求めます。光電効果の基本式 \(K_{\text{最大}} = h\nu – W\) と、阻止電圧との関係式 \(K_{\text{最大}} = eV_0\) を組み合わせます。すると、\(eV_0 = h\nu – W\) となります。この式をグラフの形、すなわち\(V_0\)を縦軸、\(\nu\)を横軸とする一次関数の形 \(V_0 = (\text{傾き})\nu + (\text{切片})\) に変形します。これにより、グラフの縦軸切片が仕事関数\(W\)とどのように関係するかがわかります。
この設問における重要なポイント

• 光電効果の式と阻止電圧の式を連立させ、\(V_0\)と\(\nu\)の関係式を導く。
• \(eV_0 = h\nu – W \) なので、\( V_0 = \displaystyle\frac{h}{e}\nu – \frac{W}{e}\)
• この式から、グラフの縦軸切片（\(\nu=0\)のときの\(V_0\)）が \(-\displaystyle\frac{W}{e}\) に等しいことを読み取る。

具体的な解説と立式
光電効果の式 \(K_{\text{最大}} = h\nu – W\) と、阻止電圧の関係式 \(K_{\text{最大}} = eV_0\) より、
$$ eV_0 = h\nu – W $$
この式の両辺を \(e\) で割ると、
$$ V_0 = \frac{h}{e}\nu – \frac{W}{e} $$
この式は、\(V_0\)を縦軸、\(\nu\)を横軸にとったときの一次関数を表しており、その縦軸切片は \(-\displaystyle\frac{W}{e}\) です。
図2のグラフを延長した破線より、縦軸切片は \(-1.8\) [V] です。したがって、
$$ -\frac{W}{e} = -1.8 $$

上記で立式した関係式を\(W\)について解き、電子の電気素量 \(e = 1.6 \times 10^{-19}\) [C] を代入します。
$$
\begin{aligned}
W &= 1.8 e \\[2.0ex] &= 1.8 \times (1.6 \times 10^{-19}) \\[2.0ex] &= 2.88 \times 10^{-19} \, [\text{J}] \\[2.0ex] &\approx 2.9 \times 10^{-19} \, [\text{J}] \end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えます。

光電効果の法則をグラフの形に合うように変形すると、グラフの縦軸との交点（切片）が、仕事関数\(W\)を電気素量\(e\)で割ってマイナスをつけたもの（\(-\frac{W}{e}\)）になることがわかります。グラフから切片は \(-1.8\) Vだと読み取れるので、この関係を使って計算すれば仕事関数\(W\)が求まります。

仕事関数\(W\)は約\(2.9 \times 10^{-19}\) Jと求まりました。これは一般的な金属の仕事関数として妥当な大きさの値です。

問(3)

思考の道筋とポイント
プランク定数\(h\)を求めます。(2)と同様に、関係式 \(V_0 = \displaystyle\frac{h}{e}\nu – \frac{W}{e}\) に着目します。この式から、グラフの傾きが \(\displaystyle\frac{h}{e}\) に対応することがわかります。グラフから傾きを計算し、その値と電気素量\(e\)を用いてプランク定数\(h\)を算出します。
この設問における重要なポイント

• 関係式 \(V_0 = \displaystyle\frac{h}{e}\nu – \frac{W}{e}\) より、グラフの傾きは \(\displaystyle\frac{h}{e}\) に等しい。
• グラフの傾きは、読み取りやすい2点を選んで「縦軸の変化量 ÷ 横軸の変化量」で計算する。

具体的な解説と立式
関係式 \(V_0 = \displaystyle\frac{h}{e}\nu – \frac{W}{e}\) より、グラフの傾きは \(\displaystyle\frac{h}{e}\) です。
グラフから傾きを計算するために、2つの点を読み取ります。
– 点1: 横軸との交点 \((\nu_1, V_{0,1}) = (4.5 \times 10^{14}, 0)\)
– 点2: 縦軸との切片 \((\nu_2, V_{0,2}) = (0, -1.8)\)
これらの2点から傾きを求めます。
$$ \text{傾き} = \frac{\Delta V_0}{\Delta \nu} = \frac{V_{0,1} – V_{0,2}}{\nu_1 – \nu_2} = \frac{0 – (-1.8)}{4.5 \times 10^{14} – 0} $$
この傾きが \(\displaystyle\frac{h}{e}\) に等しいので、
$$ \frac{h}{e} = \frac{1.8}{4.5 \times 10^{14}} $$

上記の関係式を\(h\)について解き、数値を代入します。
$$
\begin{aligned}
h &= \frac{1.8}{4.5 \times 10^{14}} \times e \\[2.0ex] &= \frac{1.8}{4.5} \times 10^{-14} \times (1.6 \times 10^{-19}) \\[2.0ex] &= 0.4 \times 10^{-14} \times (1.6 \times 10^{-19}) \\[2.0ex] &= 0.64 \times 10^{-33} \, [\text{J}\cdot\text{s}] \\[2.0ex] &= 6.4 \times 10^{-34} \, [\text{J}\cdot\text{s}] \end{aligned}
$$

(2)で使った式 \(V_0 = \frac{h}{e}\nu – \frac{W}{e}\) を見ると、グラフの「傾き」がプランク定数\(h\)を電気素量\(e\)で割ったもの（\(\frac{h}{e}\)）になっていることがわかります。グラフから2点を選んで傾きを計算し、その値に電気素量\(e\)を掛ければ、プランク定数\(h\)が求まります。

プランク定数\(h\)は約\(6.4 \times 10^{-34}\) J·sと求まりました。これは現在知られているプランク定数の値 \(6.626 \times 10^{-34}\) J·s に非常に近く、実験データとして妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• アインシュタインの光電効果の式:
  • 核心: この問題全体を貫く最も重要な法則は、アインシュタインが提唱した光電効果の式 \(K_{\text{最大}} = h\nu – W\) です。これは、光を粒子（光子）と捉え、そのエネルギーが \(h\nu\) で与えられるという量子論の根幹をなす考え方に基づいています。
  • 理解のポイント:
    • エネルギーの収支: 光子1個が電子1個にエネルギーを全て与える「1対1の衝突」をイメージします。光子のエネルギー \(h\nu\) の一部が、電子を金属から引き出すための「通行料」（仕事関数 \(W\)）として使われ、残りが電子の飛び出す運動エネルギー \(K_{\text{最大}}\) になります。
    • 限界振動数の存在: 光子のエネルギー \(h\nu\) が仕事関数 \(W\) より小さいと、電子は飛び出すことすらできません。光電効果が起こる最低限のエネルギーは \(h\nu_0 = W\) であり、これが限界振動数 \(\nu_0\) が存在する理由です。
• 阻止電圧と運動エネルギーの関係:
  • 核心: 飛び出してきた光電子の運動エネルギーを測定するための巧妙な方法が、逆電圧（阻止電圧 \(V_0\)）をかけることです。\(K_{\text{最大}} = eV_0\) という関係式は、エネルギーの単位をジュール[J]から電子ボルト[eV]に変換する役割も果たしています。
  • 理解のポイント:
    • 仕事とエネルギー: 電子が電位差 \(V_0\) に逆らって移動するとき、電場からされる仕事は \(-eV_0\) です。最も元気な電子が持つ運動エネルギー \(K_{\text{最大}}\) が、この負の仕事によってちょうど \(0\) になるとき、電流が止まります。エネルギー保存則から \(0 – K_{\text{最大}} = -eV_0\)、すなわち \(K_{\text{最大}} = eV_0\) となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 異なる金属での光電効果: 金属の種類が変わると、仕事関数 \(W\) が変わります。これにより、グラフは傾き（\(\frac{h}{e}\)）が同じまま、平行移動します。限界振動数や切片がどう変わるかを問う問題に応用できます。
  • X線の発生（逆光電効果）: 高速の電子を金属にぶつけてX線を発生させる現象は、光電効果の逆過程と見なせます。電子の運動エネルギーがX線光子のエネルギーに変換されると考え、\(eV = h\nu_{\text{最大}}\) のような関係式から、発生するX線の最短波長（最大振動数）を求める問題に応用できます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. グラフの軸を確認する: まず、縦軸と横軸がどの物理量を表しているかを確認します。この問題では \(V_0\) と \(\nu\) です。
  2. 物理法則をグラフの形に変換: 関連する物理法則（この場合は \(eV_0 = h\nu – W\)）を、グラフの形である \(y=ax+b\) の形式（\(V_0 = \frac{h}{e}\nu – \frac{W}{e}\)）に変形します。
  3. 傾きと切片の物理的意味を特定: 変形した式と \(y=ax+b\) を比較し、傾き \(a\) が \(\frac{h}{e}\) に、y切片 \(b\) が \(-\frac{W}{e}\) に対応することを把握します。
  4. グラフから値を読み取る: 傾き、切片、特定の点の座標など、計算に必要な値をグラフから正確に読み取ります。軸の単位（例: \(\times 10^{14}\) Hz）を見落とさないように注意します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 仕事関数と切片の符号ミス:
  • 誤解: グラフの切片が \(-1.8\) V なので、\(W = -1.8\) Jなどと勘違いしてしまう。
  • 対策: 必ず物理法則の式 \(V_0 = \frac{h}{e}\nu – \frac{W}{e}\) に立ち返り、「切片は \(-\frac{W}{e}\) である」ことを確認します。したがって、\(-\frac{W}{e} = -1.8\) となり、マイナス符号が両辺で打ち消し合います。仕事関数 \(W\) はエネルギーなので、必ず正の値になります。
• 電気素量 \(e\) の扱い:
  • 誤解: \(K_{\text{最大}} = V_0\) としたり、\(h\) を計算する際に \(e\) を掛け忘れたりする。
  • 対策: エネルギーの単位を常に意識することが重要です。\(V_0\) は電圧[V]であり、エネルギー[J]ではありません。エネルギーに変換するには電気素量 \(e\) を掛けて \(eV_0\) とする必要があります。グラフの傾きも同様に \(\frac{h}{e}\) であり、\(h\) ではないことを式から確認する癖をつけましょう。
• グラフの軸の単位の見落とし:
  • 誤解: 横軸の値を \(4.5\) として計算してしまう。
  • 対策: グラフの軸には必ず単位が付記されています。この問題では \(\nu \, [\times 10^{14} \text{Hz}]\) となっているので、読み取った値 \(4.5\) は、実際には \(4.5 \times 10^{14}\) Hz であることを意味します。この \(10^{14}\) を計算に入れないと、桁が全く合わなくなります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (2)で縦軸切片、(3)で傾きを使う理由:
  • 選定理由: 光電効果の式をグラフの形 \(V_0 = \frac{h}{e}\nu – \frac{W}{e}\) に変形すると、未知の物理定数である \(W\) と \(h\) が、それぞれグラフの「切片」と「傾き」という幾何学的な特徴に、非常にきれいな形で分離されて現れるからです。
  • 適用根拠:
    • 切片の利用: 縦軸切片は \(\nu=0\) の点であり、式に \(\nu=0\) を代入すると \(h\) の項が消え、\(V_0 = -\frac{W}{e}\) となり \(W\) だけを独立して求めることができます。
    • 傾きの利用: 傾きは \(\nu\) の係数であり、\(W\) の値に依存しません。したがって、グラフの傾きを計算すれば、\(h\) だけを独立して求めることができます。このように、求めたい量だけをうまく分離できるため、このアプローチは非常に合理的です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 有効数字の意識: 問題文で与えられている物理定数やグラフから読み取れる値の有効数字（この問題では2桁）を確認し、最終的な答えもそれに合わせることを徹底します。計算途中では1桁多くとっておき、最後に四捨五入すると精度が保たれます。
• 単位を含めて計算する癖:
  • (3)の計算で、\(h = (\text{傾き}) \times e\) を計算する際、単位も一緒に考えてみましょう。傾きの単位は [V]/[Hz]、\(e\) の単位は [C] です。したがって、\(h\) の単位は \([\text{V}] \cdot [\text{C}] / [\text{Hz}]\) となります。ここで、\(W=qV\) より \([\text{J}]=[\text{C}][\text{V}]\) であり、Hzは \(1/\text{s}\) なので、単位は \([\text{J}] / [1/\text{s}] = [\text{J}\cdot\text{s}]\) となり、プランク定数の単位と正しく一致します。このような単位チェックは、式の立て間違いを防ぐのに役立ちます。
• 連立方程式のアプローチを常に持つ:
  • 別解で示したように、グラフの問題は「グラフ上の2点を式に代入して連立方程式を解く」という方法でも必ず解けます。傾きや切片の意味が瞬時に分からなかったり、読み取りにくかったりした場合でも、この代数的なアプローチを知っていれば、落ち着いて問題を解くことができます。これは非常に汎用性の高い「保険」の解法となります。

基本例題97 X線の発生と性質

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「X線の発生原理とスペクトルの解釈」です。電子を加速してターゲットに衝突させることでX線が発生する、という現象について、エネルギー保存則や物質波の概念を適用して理解を深めることが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
陰極を初速\(0\)で出た電子（電気量\(-e\)）が、陽極との電位差\(V\)によって加速されます。このとき、静電気力がする仕事が電子の運動エネルギーに変換されます。このエネルギー保存の関係から、運動エネルギー\(E\)と速さ\(v\)を求めます。さらに、運動する電子は物質波（ド・ブロイ波）としての性質も持つため、その運動量から波長\(\lambda_e\)を計算します。
この設問における重要なポイント

• 電子が電場からされる仕事は \(W = |(-e)|V = eV\)。
• エネルギー保存則より、運動エネルギー\(E\)はされた仕事\(eV\)に等しい。
• 運動エネルギーの定義式 \(E = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2\) を用いて速さ\(v\)を求める。
• ド・ブロイ波の波長は \(\lambda_e = \displaystyle\frac{h}{p} = \frac{h}{mv}\)。

具体的な解説と立式
電子が電位差\(V\)で加速されるとき、静電気力がする仕事は\(eV\)です。これがそのまま電子の運動エネルギー\(E\)になります。
$$ E = eV $$
次に、この運動エネルギー\(E\)を用いて速さ\(v\)を求めます。
$$ E = \frac{1}{2}mv^2 $$
したがって、
$$ \frac{1}{2}mv^2 = eV $$
最後に、電子の運動量\(p=mv\)を用いて、ド・ブロイ波の波長\(\lambda_e\)を求めます。
$$ \lambda_e = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv} $$

まず、速さ\(v\)を求めます。
$$
\begin{aligned}
v^2 &= \frac{2eV}{m} \\[2.0ex] v &= \sqrt{\frac{2eV}{m}}
\end{aligned}
$$
次に、波長\(\lambda_e\)を求めます。\(v\)を代入するよりも、運動エネルギー\(E\)との関係式 \(E = \displaystyle\frac{p^2}{2m}\) を使うと計算が簡単です。
$$ p = \sqrt{2mE} $$
\(E=eV\)なので、
$$ p = \sqrt{2meV} $$
これをド・ブロイ波の式に代入します。
$$
\begin{aligned}
\lambda_e &= \frac{h}{p} \\[2.0ex] &= \frac{h}{\sqrt{2meV}}
\end{aligned}
$$

電子は、電圧\(V\)という「坂」を転がり落ちることで加速されます。このとき電子が得る運動エネルギー\(E\)は、位置エネルギーの減少分である\(eV\)に等しくなります。運動エネルギーがわかれば、速さ\(v\)は公式 \(E=\frac{1}{2}mv^2\) から計算できます。また、運動する粒子は波の性質も持っており、その波長\(\lambda_e\)は、運動量が大きいほど短くなるという関係（\(\lambda_e = h/p\)）から計算できます。

電子の運動エネルギーは\(E=eV\)、速さは\(v=\sqrt{\frac{2eV}{m}}\)、電子波の波長は\(\lambda_e = \frac{h}{\sqrt{2meV}}\)と求まりました。これらの式は、加速電圧\(V\)が大きいほど、電子はより大きなエネルギーと速さを持ち、物質波としての波長は短くなることを示しており、物理的に妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
発生するX線の最短波長\(\lambda_X\)を求めます。X線は、陽極に衝突した電子が急減速することによって、その運動エネルギーが電磁波（光子）のエネルギーに変換されて発生します。電子が持つ運動エネルギー\(E=eV\)が、失われることなく、すべて1個のX線光子のエネルギーに変換されたとき、その光子のエネルギーは最大になります。光子のエネルギーと波長は反比例の関係（\(E=\frac{hc}{\lambda}\)）にあるため、エネルギーが最大のとき、波長は最短になります。これが最短波長\(\lambda_X\)（図中の\(\lambda_1\)）です。
この設問における重要なポイント

• エネルギー保存則: (電子の運動エネルギー) = (発生したX線光子のエネルギー)
• 最短波長 \(\leftrightarrow\) 最大エネルギー \(\leftrightarrow\) 電子の運動エネルギーが100%光子に変換
• このときのエネルギー保存式は \(eV = h\nu_{\text{最大}} = \displaystyle\frac{hc}{\lambda_X}\)

具体的な解説と立式
電子が持つ運動エネルギー\(E=eV\)が、すべて1個のX線光子のエネルギーに変換されると考えます。このときのX線の波長が最短波長\(\lambda_X\)となります。
$$ (\text{電子の運動エネルギー}) = (\text{X線光子1個のエネルギー}) $$
$$ eV = \frac{hc}{\lambda_X} $$

上記の関係式を\(\lambda_X\)について解きます。
$$
\begin{aligned}
\lambda_X &= \frac{hc}{eV}
\end{aligned}
$$

陽極にぶつかった電子は、その運動エネルギーを失い、代わりにX線という光を発生させます。一番効率よくエネルギーが変換された場合、つまり電子の運動エネルギーがまるごと1個のX線光子のエネルギーになったとき、最もエネルギーの高い（＝波長が最も短い）X線が生まれます。この「電子のエネルギー = X線のエネルギー」という等式を立てることで、最短波長を計算できます。

X線の最短波長は\(\lambda_X = \displaystyle\frac{hc}{eV}\)と求まりました。この波長は、デュエン-ハントの法則として知られています。加速電圧\(V\)が高いほど、電子のエネルギーが大きくなるため、発生するX線の最短波長は短くなる、という関係を示しています。

問(3)

思考の道筋とポイント
加速電圧\(V\)を増大させたときの、各波長\(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\)の変化を考察します。これには、それぞれの波長のX線がどのようにして発生するのか、その原理を理解している必要があります。
– \(\lambda_1\): これは(2)で求めた最短波長\(\lambda_X\)です。その発生原理は、電子の運動エネルギーが直接光子に変換される「制動放射」です。
– \(\lambda_2, \lambda_3\): これらは「特性X線（固有X線）」のピークです。これは、加速された電子がターゲット原子の内殻電子を弾き飛ばし、その空席に外側の電子が遷移する際に放出される光子です。
この設問における重要なポイント

• \(\lambda_1\)（連続X線の最短波長）: \(\lambda_1 = \displaystyle\frac{hc}{eV}\) で与えられるため、加速電圧\(V\)に反比例して変化する。
• \(\lambda_2, \lambda_3\)（特性X線）: この波長は、ターゲット原子のエネルギー準位の差によって決まる。エネルギー準位は原子に固有の値であるため、加速電圧\(V\)には依存しない。

具体的な解説と立式
– \(\lambda_1\)について:
(2)の結果より、\(\lambda_1 = \lambda_X = \displaystyle\frac{hc}{eV}\)です。この式から、\(\lambda_1\)は加速電圧\(V\)に反比例します。したがって、\(V\)を増大させると\(\lambda_1\)は減少（変化）します。

– \(\lambda_2, \lambda_3\)について:
これらは特性X線であり、そのエネルギー（波長）は陽極に使われている金属原子のエネルギー準位間の差で決まります。このエネルギー準位は、その原子に固有のものであり、ぶつかってくる電子のエネルギー（つまり加速電圧\(V\)）には依存しません。したがって、\(V\)を増大させても\(\lambda_2, \lambda_3\)は変化しません。（ただし、\(V\)が小さすぎて内殻電子を弾き飛ばすエネルギーに満たない場合は、特性X線自体が発生しません。）

計算は不要です。

X線には2種類あります。一つは、電子がブレーキをかけられることで発生する「連続X線」で、その最短波長が\(\lambda_1\)です。これは電子のエネルギーに直接関係するので、加速電圧\(V\)を変えると\(\lambda_1\)も変わります。もう一つは、陽極の原子から放出される「特性X線」で、\(\lambda_2, \lambda_3\)がそれにあたります。これは原子の種類によって決まる「固有の光」なので、電子のエネルギーを変えても、この光の色（波長）は変わりません。

\(\lambda_1\)は変化し（具体的には短くなる）、\(\lambda_2, \lambda_3\)は変化しません。この違いを理解することは、X線スペクトルの本質を捉える上で非常に重要です。

問(4)

思考の道筋とポイント
X線の性質について、知っていることを3つ挙げる知識問題です。X線は、可視光線よりもはるかに波長が短く、エネルギーが高い電磁波です。その高いエネルギーに由来する性質を思い浮かべます。
この設問における重要なポイント

• X線は高エネルギーの電磁波である。
• 高エネルギーゆえに、物質を通り抜ける能力（透過力）が高い。
• 高エネルギーゆえに、原子から電子を弾き飛ばす能力（電離作用）がある。
• 写真フィルムを感光させる作用は、光（電磁波）の共通の性質。

具体的な解説と立式
X線の主な性質として、以下のようなものが挙げられます。
1. 透過力が強い: 物質を構成する原子の間をすり抜けやすいため、レントゲン写真のように体内の様子を撮影できる。
2. 電離作用: 原子の軌道電子を弾き飛ばし、原子をイオン化する作用がある。これにより、気体を電離させたり、生物の細胞に損傷を与えたりする。
3. 写真作用: 写真フィルムを感光させる。これは可視光線など他の電磁波と共通の性質。
4. 蛍光作用: 特定の物質（蛍光物質）に当たると、その物質に可視光などを発光させる。

計算は不要です。

X線は、病院のレントゲン撮影で使われるように、体を通り抜ける強い力（透過力）を持っています。また、原子にぶつかると電子を弾き飛ばす性質（電離作用）があり、これが放射線として扱われる理由の一つです。さらに、普通の光と同じように、写真フィルムを黒くしたり（写真作用）、蛍光物質を光らせたり（蛍光作用）する性質も持っています。

上記の性質の中から3つを選んで記述すれば正解となります。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• エネルギー保存則の二つの側面:
  • 核心: この問題は、異なる二つの物理現象におけるエネルギー保存則の適用が根幹をなしています。
  • 理解のポイント:
    1. 電子の加速過程: 電子が電位差\(V\)で加速される場面では、「静電気力による仕事が、電子の運動エネルギーに変換される」というエネルギー保存則が適用されます。(\(eV = \frac{1}{2}mv^2\))
    2. X線の発生過程: 加速された電子が陽極に衝突する場面では、「電子の運動エネルギーが、X線光子のエネルギーに変換される」というエネルギー保存則が適用されます。(\(\frac{1}{2}mv^2 = \frac{hc}{\lambda}\))
  • 統合的理解: これら二つの過程を繋ぎ合わせることで、加速電圧\(V\)と発生するX線の最短波長\(\lambda_X\)を直接結びつける関係式 \(eV = \displaystyle\frac{hc}{\lambda_X}\) が導かれます。これは「逆光電効果」とも呼ばれる現象の基本式です。
• X線スペクトルの二重構造:
  • 核心: X線のスペクトルが、性質の異なる二種類のX線から成り立っていることを理解することが重要です。
  • 理解のポイント:
    1. 連続X線（制動放射）: 加速された電子が陽極の原子核の近くを通り、急ブレーキをかけられる（制動される）ことで放出される電磁波です。失うエネルギーは様々なので、波長も連続的な分布を持ちます。その最短波長\(\lambda_1\)は、電子の全運動エネルギーが失われた場合に相当し、加速電圧\(V\)に依存します。
    2. 特性X線（固有X線）: 加速された電子が陽極原子の内殻電子を弾き飛ばし、その空席に外殻の電子が落ち込む（遷移する）際に放出される電磁波です。放出されるエネルギーは原子固有のエネルギー準位の差で決まるため、波長も陽極の材質（ターゲット）に固有の値（\(\lambda_2, \lambda_3\)など）となり、加速電圧\(V\)には依存しません。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 光電効果: 本問は光電効果（光を当てて電子を飛び出させる）の「逆」の現象です。光電効果では \(K_{\text{最大}} = h\nu – W\) であったのに対し、本問では \(eV = K_{\text{最大}}\) と \(K_{\text{最大}} \rightarrow h\nu\) という関係を使います。両者のエネルギー変換の方向性を対比して理解すると、記憶が定着します。
  • ボーアの原子模型: 特性X線の発生原理は、ボーア模型における電子のエネルギー準位間の遷移と光の放出と同じです。特性X線のエネルギー \(E = h\nu\) は、遷移前の準位のエネルギー \(E_n\) と遷移後の準位のエネルギー \(E_m\) の差、\(h\nu = E_n – E_m\) で与えられます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. エネルギーの流れを追う: 「電子が加速される \(\rightarrow\) 運動エネルギーを得る \(\rightarrow\) 陽極に衝突 \(\rightarrow\) エネルギーを失う \(\rightarrow\) X線が放出される」という一連のエネルギー変換のプロセスを時系列で追いかけます。
  2. スペクトルの種類を識別する: グラフが与えられたら、なだらかな山（連続X線）と鋭いピーク（特性X線）をまず見分けます。
  3. 最短波長に注目する: なだらかな山の左端（立ち上がり部分）が最短波長\(\lambda_1\)です。この波長は、電子の初期の運動エネルギーが全て光子に変わったという「エネルギー変換効率100%」の特別な点に対応することを思い出します。
  4. 電圧と波長の関係を問われたら: 最短波長\(\lambda_1\)は電圧\(V\)に依存する（\(\lambda_1 \propto 1/V\)）が、特性X線の波長\(\lambda_2, \lambda_3\)は電圧\(V\)に依存しない、という原理的な違いを基に考えます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 電子の波長とX線の波長の混同:
  • 誤解: (1)で求めた電子のド・ブロイ波長\(\lambda_e\)と、(2)で求めたX線の最短波長\(\lambda_X\)を同じものだと考えてしまう。
  • 対策: これらは全く異なるものです。\(\lambda_e\)は「運動する電子自身が持つ波としての性質」の波長であり、\(\lambda_X\)は「電子がエネルギーを失った結果として発生した光（電磁波）」の波長です。主体が「電子」なのか「光子」なのかを明確に区別しましょう。
• 特性X線と電圧の関係の誤解:
  • 誤解: 加速電圧\(V\)を上げれば、特性X線のエネルギーも高くなる（波長が短くなる）と勘違いしてしまう。
  • 対策: 特性X線の波長は、あくまで陽極原子の「エネルギー準位の差」で決まる「指紋」のようなものです。電圧\(V\)は、電子が原子を励起させるための「入場券」の役割は果たしますが、放出される光の色（波長）自体を変えることはできません。ただし、電圧が低すぎて特性X線を出すのに必要なエネルギー（励起エネルギー）に満たない場合は、ピーク自体が現れません。
• エネルギーの単位の混乱:
  • 誤解: 電子のエネルギーを\(V\) [V]のまま計算したり、\(eV\) [J]とすべきところを混同したりする。
  • 対策: \(V\)は電位差（電圧）で単位は[V]、\(e\)は電気素量で単位は[C]、\(eV\)は仕事やエネルギーで単位は[J]です。物理計算の基本単位は[J]なので、常に\(eV\)の形でエネルギーを扱うことを徹底します。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)でド・ブロイ波の式 \(\lambda_e = h/p\) を使う理由:
  • 選定理由: 問題が「電子波の波長」を問うているからです。運動する粒子が持つ波動性（物質波）の波長を記述する唯一の公式がド・ブロイの式です。
  • 適用根拠: 20世紀初頭の物理学により、電子のような粒子も波のように振る舞うことが確立されました。その運動量\(p\)と波長\(\lambda\)を結びつける関係式が \(\lambda=h/p\) であり、この問題の電子にも適用できます。
• (2)で光子のエネルギーの式 \(E=hc/\lambda\) を使う理由:
  • 選定理由: 問題が「X線の最短波長」を問うているからです。X線は電磁波の一種であり、そのエネルギーは光子という粒子のエネルギーとして記述されます。光子のエネルギーと波長を結びつけるのがこの公式です。
  • 適用根拠: X線の発生は、電子の運動エネルギーが光子のエネルギーに変換される現象です。エネルギー保存則を適用する際、変換後のエネルギーを記述するためにこの公式が必要となります。特に、電子の運動エネルギーが最大値(\(eV\))のとき、発生する光子のエネルギーも最大値(\(h\nu_{\text{最大}}\))となり、波長は最短(\(\lambda_X\))となります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 数式の関係性を整理する: この問題では、\(E, V, v, p, \lambda_e, \lambda_X\)など多くの記号が登場します。計算を始める前に、これらの関係性を整理すると見通しが良くなります。
  • \(E=eV = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{p^2}{2m}\) （電子に関するエネルギーの関係）
  • \(\lambda_e = h/p\) （電子の波動性）
  • \(E_{\text{光子}} = hc/\lambda_X\) （X線の粒子性）
  • \(eV = hc/\lambda_X\) （最短波長を与えるエネルギー保存則）
• 平方根の計算を工夫する:
  • (1)で\(\lambda_e\)を求める際、\(v=\sqrt{2eV/m}\)を\(\lambda_e=h/mv\)に代入すると、\(\lambda_e = h/(m\sqrt{2eV/m}) = h/\sqrt{m^2 \cdot 2eV/m} = h/\sqrt{2meV}\)となります。このように、ルートの外にある文字をルートの中に入れる計算はミスしやすいので、(解説本文のように)先に\(p=\sqrt{2mE}\)の関係を使って運動量をエネルギーで表してから代入する方が、計算がシンプルになりミスを減らせます。
• 反比例の関係を意識する:
  • (3)で\(\lambda_1\)の変化を考える際、\(\lambda_1 = hc/eV\)という式から、「\(\lambda_1\)は\(V\)に反比例する」と読み取ることが重要です。これにより、「\(V\)が増大するなら、\(\lambda_1\)は減少する」と直感的に判断でき、計算間違いや符号ミスを防げます。

基本例題98 電子線の回折

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「電子の波動性とブラッグ反射」です。電子が粒子であると同時に波（物質波）としての性質も持つことを前提とし、その波が結晶格子によって回折・干渉される現象を扱います。これは、電子の波動性を実証した歴史的にも重要な実験（デビソン・ガーマーの実験）の原理に基づいています。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
電子の運動量\(p\)を、与えられた運動エネルギー\(E\)で表す問題です。運動エネルギーの定義式 \(E = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2\) と、運動量の定義式 \(p=mv\) を組み合わせることで、\(E\)と\(p\)の関係式を導出します。
この設問における重要なポイント

• 運動エネルギー: \(E = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2\)
• 運動量: \(p = mv\)
• 上記2式から速さ\(v\)を消去して、\(E\)と\(p\)の関係式を導く。

具体的な解説と立式
運動エネルギーの式 \(E = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2\) を、運動量 \(p=mv\) を使って書き換えます。
式を変形して \(v = \displaystyle\frac{p}{m}\) とし、これを運動エネルギーの式に代入します。
$$ E = \frac{1}{2}m \left( \frac{p}{m} \right)^2 $$

上記で立式した関係式を整理します。
$$
\begin{aligned}
E &= \frac{1}{2}m \frac{p^2}{m^2} \\[2.0ex] &= \frac{p^2}{2m}
\end{aligned}
$$
この式を\(p\)について解きます。運動量\(p\)は正の値なので、
$$
\begin{aligned}
p^2 &= 2mE \\[2.0ex] p &= \sqrt{2mE}
\end{aligned}
$$

運動エネルギー\(E\)と運動量\(p\)は、どちらも物体の運動の勢いを表す量ですが、定義式が異なります。この2つの定義式をうまく組み合わせる（数学的には連立させて速さ\(v\)を消去する）ことで、運動エネルギー\(E\)から運動量\(p\)を計算するための関係式を作ることができます。

電子の運動量\(p\)は \(\sqrt{2mE}\) と表せます。この式は、質量\(m\)や運動エネルギー\(E\)が大きいほど運動量も大きくなるという直感的なイメージと一致しており、妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
電子線の波長\(\lambda\)を運動エネルギー\(E\)で表す問題です。運動する電子は、ド・ブロイ波（物質波）として振る舞い、その波長は運動量\(p\)に反比例します (\(\lambda = \frac{h}{p}\))。(1)で運動量\(p\)を\(E\)で表す式をすでに求めているので、それをこのド・ブロイ波の式に代入するだけです。
この設問における重要なポイント

• 電子は波としての性質（波動性）を持つ。
• その波長（ド・ブロイ波長）は \(\lambda = \displaystyle\frac{h}{p}\) で与えられる。
• (1)で求めた \(p = \sqrt{2mE}\) を代入する。

具体的な解説と立式
ド・ブロイ波の波長の公式は以下の通りです。
$$ \lambda = \frac{h}{p} $$
この式の\(p\)に、(1)で求めた \(p=\sqrt{2mE}\) を代入します。
$$ \lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}} $$

これ以上の計算は不要です。

運動している電子は、実は波としての顔も持っています。その波の波長は、(1)で求めた運動量\(p\)を使って「プランク定数\(h\) ÷ 運動量\(p\)」という簡単な式で計算できます。(1)の答えをこの式に代入すれば、波長をエネルギー\(E\)で表すことができます。

電子線の波長\(\lambda\)は \(\displaystyle\frac{h}{\sqrt{2mE}}\) と表せます。この式は、電子のエネルギー\(E\)が大きいほど、その波動性としての波長は短くなることを示しています。これは、粒子性が強い（エネルギーが高い）ほど波動性が弱まる（波長が短い）という、量子力学の基本的な性質を表す妥当な結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
運動エネルギー\(E\)を、他の与えられた量で表す問題です。この問題の核心は、電子線を「波」とみなし、結晶格子による回折現象に「ブラッグの反射条件」を適用することです。隣り合う格子面で反射された波が強め合う条件を立式し、そこに(2)で求めた波長\(\lambda\)の式を代入することで、\(E\)を求めることができます。
この設問における重要なポイント

• 電子線は波長\(\lambda\)の波として結晶に入射する。
• 隣り合う格子面（間隔\(d\)）で反射した波の経路差は \(2d\sin\theta\) である。
• 反射強度が極大になるのは、経路差が波長の整数倍になるとき（ブラッグの条件: \(2d\sin\theta = n\lambda\)）。
• 「初めて極大」となるのは、\(n=1\) の場合である。

具体的な解説と立式
電子線を波長\(\lambda\)の波と考えると、結晶格子による反射はブラッグの条件に従います。
$$ 2d\sin\theta = n\lambda \quad (n=1, 2, 3, \dots) $$
問題文より、\(\theta = \theta_0\) のときに「初めて」反射強度が極大になったので、これは \(n=1\) の場合に相当します。
$$ 2d\sin\theta_0 = 1 \cdot \lambda $$
したがって、電子線の波長\(\lambda\)は、
$$ \lambda = 2d\sin\theta_0 $$
この\(\lambda\)は、(2)で求めた \(\lambda = \displaystyle\frac{h}{\sqrt{2mE}}\) と等しいはずなので、これらを等しいとおきます。
$$ 2d\sin\theta_0 = \frac{h}{\sqrt{2mE}} $$

上記で立式した関係式の両辺を2乗して、根号（ルート）を外します。
$$
\begin{aligned}
(2d\sin\theta_0)^2 &= \left( \frac{h}{\sqrt{2mE}} \right)^2 \\[2.0ex] 4d^2\sin^2\theta_0 &= \frac{h^2}{2mE}
\end{aligned}
$$
この式を\(E\)について解きます。
$$
\begin{aligned}
E &= \frac{h^2}{2m \cdot 4d^2\sin^2\theta_0} \\[2.0ex] &= \frac{h^2}{8md^2\sin^2\theta_0}
\end{aligned}
$$

電子の波が結晶の規則正しい原子の層で反射されるとき、特定の角度でだけ波が強め合います。これが「ブラッグ反射」です。強め合う条件は「\(2d\sin\theta = n\lambda\)」という式で与えられます。問題では「初めて」強め合ったとあるので、\(n=1\)の場合を考えます。この条件式と、(2)で求めた波長の式を組み合わせることで、エネルギー\(E\)を求めることができます。

運動エネルギー\(E\)は \(\displaystyle\frac{h^2}{8md^2\sin^2\theta_0}\) と表せます。この式は、特定の角度\(\theta_0\)でブラッグ反射が観測されたとき、その電子が持っていたエネルギーを逆算できることを示しています。これは、電子線回折を用いて物質の構造を調べたり、粒子のエネルギーを測定したりする際の基本原理となります。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 電子の粒子性と波動性の二重奏:
  • 核心: この問題は、電子という一つの存在が持つ「粒子」と「波」という二つの顔を、一連の設問の中で巧みに使い分けることで解かれます。この二重性を理解することが、現代物理学の入り口となります。
  • 理解のポイント:
    • 粒子としての電子 (問1): 運動エネルギー \(E = \frac{1}{2}mv^2\) や運動量 \(p=mv\) を考えるとき、我々は電子を質量\(m\)を持つ「粒」として扱っています。
    • 波としての電子 (問2, 3): ド・ブロイ波長 \(\lambda = h/p\) を考えたり、ブラッグの反射条件 \(2d\sin\theta = n\lambda\) を適用したりするとき、我々は電子を波長\(\lambda\)を持つ「波」として扱っています。
  • 橋渡し役: これら二つの描像を結びつけるのが、プランク定数\(h\)を含むド・ブロイの関係式 \(\lambda = h/p\) です。この式があるからこそ、粒子の情報（運動量\(p\)）から波の情報（波長\(\lambda\)）へ、またその逆へと変換できるのです。
• ブラッグの条件の普遍性:
  • 核心: ブラッグの反射条件 \(2d\sin\theta = n\lambda\) は、元々X線の結晶による回折で発見されたものですが、波であれば何にでも適用できる普遍的な法則です。
  • 理解のポイント:
    • 条件の本質: この式は、周期的な構造（格子面間隔\(d\)）を持つ媒質に対して、波（波長\(\lambda\)）が入射したときに、反射波が強め合う干渉を起こすための幾何学的な条件を表しています。
    • 電子線への適用: 電子も波の性質を持つため、X線と全く同じようにこの条件式が成り立ちます。電子線を波長\(\lambda\)の波とみなせば、そのまま公式を適用できます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • X線回折: 本問の電子線をX線に置き換えれば、そのままX線回折の問題になります。その場合、(1)(2)のような設問はなく、X線の波長\(\lambda\)が与えられて、ブラッグの条件から格子面間隔\(d\)を求めたりする問題になります。
  • 中性子線回折: 電子だけでなく、中性子のような他の粒子も波動性を持ちます。中性子線の回折実験も、本問と全く同じ枠組みで解析することができます。
  • 電子顕微鏡の分解能: 電子顕微鏡が高倍率を実現できるのは、電子線の波長を非常に短くできるためです。電子のエネルギー\(E\)を大きくする（加速電圧を高くする）と、波長\(\lambda = h/\sqrt{2mE}\)が短くなり、より細かいものを見分ける能力（分解能）が向上します。この関係を問う問題に応用できます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 主役は「粒子」か「波」か？: 問題文を読み、今問われている現象が、電子の粒子的な側面（エネルギー、運動量など）に注目しているのか、波動的な側面（波長、干渉、回折など）に注目しているのかを判断します。
  2. エネルギーと運動量の関係式を準備: 粒子的な側面を扱う問題では、\(E=p^2/2m\) という関係式が非常に役立ちます。速さ\(v\)を介さずにエネルギーと運動量を直接結びつけられるため、計算が簡略化できます。
  3. ブラッグの条件を思い出す: 「結晶」「格子面間隔\(d\)」「反射」「強度が極大」といったキーワードが出てきたら、即座にブラッグの条件 \(2d\sin\theta = n\lambda\) を連想します。
  4. 「初めて極大」は \(n=1\) : 強め合いの条件を考える問題で、「初めて」「1次回折」などの言葉があれば、それは干渉の次数\(n\)が\(1\)であることを意味します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 運動エネルギーと運動量の関係式の混同:
  • 誤解: \(E=p^2/2m\) の式をうろ覚えで、\(E=p^2/m\) や \(E=p/2m\) などと間違えてしまう。
  • 対策: もし公式を忘れたら、基本に立ち返って導出する癖をつけましょう。\(E=\frac{1}{2}mv^2\) と \(p=mv\) から \(v=p/m\) を代入すれば、\(E=\frac{1}{2}m(p/m)^2 = p^2/2m\) とすぐに導けます。この一手間が確実性を高めます。
• ブラッグの条件の角度\(\theta\)の誤認:
  • 誤解: ブラッグの条件で使う角度\(\theta\)を、入射線と格子面の法線とのなす角（入射角）と勘違いしてしまう。
  • 対策: ブラッグの条件で使われる\(\theta\)は、入射線と格子面とのなす角（すれすれの角）である、と正確に定義を覚えることが重要です。図で必ず確認する癖をつけましょう。
• \(n=1\) の見落とし:
  • 誤解: 「初めて極大」という条件を読み飛ばし、\(2d\sin\theta_0 = n\lambda\) のまま計算を進めてしまい、\(n\)が残った答えを出してしまう。
  • 対策: 干渉や回折の問題では、強め合う条件の次数\(n\)を特定することが非常に重要です。問題文の「初めて」「2番目に」といった副詞に印をつけ、次数を確定させることを意識しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)で \(E=p^2/2m\) を使う理由:
  • 選定理由: 問題が、運動エネルギー\(E\)と運動量\(p\)という、速さ\(v\)を含まない2つの量だけの関係を問うているからです。この2つの量を直接結びつけるのが \(E=p^2/2m\) という関係式です。
  • 適用根拠: この式は、運動エネルギーと運動量の定義式から、速さ\(v\)を代数的に消去して得られる恒等式です。したがって、非相対論的な（光速に比べて十分に遅い）粒子であれば、どんな粒子にも適用できます。
• (3)でブラッグの条件 \(2d\sin\theta = n\lambda\) を使う理由:
  • 選定理由: 問題の状況が「結晶格子（周期構造）による電子線（波）の反射」であり、「強度が極大」というキーワードがあるからです。これは、波の干渉によって特定の方向にだけ強く反射される現象であり、それを記述する法則がブラッグの条件です。
  • 適用根拠: 電子がド・ブロイ波長\(\lambda\)を持つ波として振る舞うという物理的な事実に基づいています。電子線を波とみなすことで、光学における回折格子や薄膜の干渉と全く同じ考え方（経路差が波長の整数倍で強め合う）を適用することが正当化されます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 段階的な代入: (3)の計算では、いきなり最終的な答えを目指すのではなく、
  1. ブラッグの条件から \(\lambda = 2d\sin\theta_0\) を導く。
  2. (2)の結果 \(\lambda = h/\sqrt{2mE}\) と等しいとおく。
  3. 最後に、この等式を\(E\)について解く。

  というように、段階を踏んで計算を進めるのが安全です。一つ一つのステップが単純になり、見通しが良くなります。

• 両辺を2乗するタイミング:
  • \(\sqrt{2mE}\) のような平方根を含む式を扱う場合、式を整理してから最後に2乗するのが基本です。\(2d\sin\theta_0 = h/\sqrt{2mE}\) の形にしてから両辺を2乗すると、\((2d\sin\theta_0)^2 = h^2/(2mE)\) となり、すっきりと平方根を消去できます。
• 文字の整理:
  • 最終的な答えを出す前に、分母と分子で同じ文字がないか、数字の部分は正しく計算されているかを確認します。例えば、(3)の答えの分母にある \(8\) は、\(2^2 \times 2 = 8\) から来ています。このような係数の計算は、注意深く行いましょう。

基本問題

477 放電

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「真空放電と陰極線の性質」です。放電管内の気圧を下げていくと、放電の様子がどのように変化していくかを段階的に理解しているかが問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
管内に希薄な気体が残っている状態での放電現象について問われています。このときの発光は、電子が気体分子に衝突することで起こり、その光の色は気体の種類に依存するのが特徴です。この一連の現象の正しい名称を覚えているかがポイントとなります。
この設問における重要なポイント

• 低圧の気体中での放電を「真空放電」または「グロー放電」と呼びます。
• 発光は、電極間で加速された電子が気体分子に衝突し、気体分子をエネルギーの高い状態（励起状態）にすることで起こります。
• 励起された分子が元の安定な状態に戻る際に、気体の種類に固有の色の光を放出します。ネオンサインはこの原理を利用しています。

具体的な解説と立式
管内に残っている気体分子に対し、電極間で高電圧によって加速された電子が衝突します。衝突によってエネルギーを受け取った気体分子は、エネルギーの高い不安定な状態である「励起状態」になります。

励起状態の分子は、すぐに元の安定な状態である「基底状態」に戻ろうとします。その際、余分なエネルギーを光として放出します。この一連の現象が、気体に特有な色の光を発する放電の正体です。このような低圧気体中での放電を真空放電（またはグロー放電）と呼びます。

この設問は知識を問うものであり、計算過程はありません。

管の中に少しだけ空気が残っている状態で高い電圧をかけると、電極から飛び出した電子が空気の粒にぶつかります。ぶつかられた空気の粒は一種の興奮状態になり（励起して）、そのあと落ち着くときに（基底状態に戻るときに）光を出します。これが、街で見るネオンサインなどが光るのと同じ仕組みです。この現象を「真空放電」と呼びます。

管内に希薄な気体が残っているときに、気体に特有な色の光を発する放電は「真空放電」と呼ばれます。これは物理学における基本的な現象名であり、正しく覚えておく必要があります。

問(2)

思考の道筋とポイント
真空度を上げ、気体分子がほとんどなくなった状態での発光現象について問われています。発光する場所が(1)の「管全体」から「ガラス管壁」に変わった点に着目することが重要です。これにより、発光の原因が気体分子から別のものに変わったと推測できます。その原因が何であるかを考えることで、色の依存性も明らかになります。
この設問における重要なポイント

• 真空度を上げると、電子の運動を妨げる気体分子が非常に少なくなり、電子は気体分子と衝突しにくくなります。
• 電子は電場によって妨げられることなく長い距離を加速され、高速になってガラス管壁に到達します。
• この高速電子がガラス管壁に衝突することで、ガラス自体が励起されて発光します。この現象を「蛍光」と呼びます。
• 蛍光の色は、衝突される物質（この場合はガラス）の種類によって決まります。

具体的な解説と立式
真空ポンプで管内の気体をさらに抜いて真空度を上げていくと、電子の運動を妨げる気体分子がほとんどなくなります。その結果、電子は電極間の電場で大きく加速され、高い運動エネルギーを持って直進し、最終的にガラス管の壁に衝突します。

この高速電子の衝突によって、ガラス管を構成する原子がエネルギーを受け取って励起され、光を放出します。これが蛍光と呼ばれる現象です。発光の原因はガラス管そのものであるため、その光の色は、管内にごくわずかに残っている気体の種類には依存しません。ガラスの材質を変えれば、蛍光の色は変わります。

この設問は知識を問うものであり、計算過程はありません。

管の中の空気をほとんどなくしてしまうと、電子は邪魔されずに猛スピードで飛んでいくことができます。この猛スピードの電子がガラスの壁に激突すると、今度はガラス自体が光り始めます。これが蛍光です。光っているのはガラスなので、もともと管の中にどんな種類の空気が入っていたかは、光の色に関係ありません。

蛍光の色は、発光体であるガラスの種類に依存し、管内の気体の種類にはよりません。したがって、「異なるか」という問いに対しては「よらない（異ならない）」と答えるのが適切です。

問(3)

思考の道筋とポイント
(2)の考察に基づき、ガラス管壁を光らせている原因となっている粒子が何かを特定する問題です。陰極から放出され、ガラス管壁まで到達する粒子が何かを答えます。これは、原子物理学の基礎となる重要な発見の歴史に関連する知識です。
この設問における重要なポイント

• 高電圧をかけた放電管の陰極（負極）からは、負の電荷を持つ粒子が放出されます。
• この粒子の流れは、発見当初「陰極線」と呼ばれていました。
• 後のトムソンの実験などにより、陰極線の正体は「電子」であることが明らかにされました。

具体的な解説と立式
(2)で考察したように、ガラス管壁に衝突して蛍光を発生させているのは、電極から放出され、高電圧によって高速に加速された粒子です。

この粒子は、陰極から放出されることから「陰極線」と名付けられました。その後の研究により、陰極線は負の電荷を持つ粒子の流れであり、その粒子の正体は「電子」であることがトムソンによって突き止められました。したがって、管壁にぶつかっている粒子は電子です。

この設問は知識を問うものであり、計算過程はありません。

ガラスの壁にぶつかって光らせている粒の正体は、マイナスの電気を帯びたとても小さな粒、「電子」です。この電子の流れのことを、昔の科学者は「陰極線」と呼んでいました。どちらで答えても正解です。

ガラス管壁に衝突して蛍光を発生させている粒子は電子です。問題の解答としては「電子」が最も的確ですが、歴史的な名称である「陰極線の粒子」と答えても良いでしょう。

問(4)

思考の道筋とポイント
(3)で特定した粒子（電子）が、どちらの電極からどちらの電極へ向かうかを問う問題です。電子の持つ電荷の性質と、図の電源の接続から決まる電場の向きを考えれば、運動方向は一意に決まります。
この設問における重要なポイント

• 回路図における電源の記号は、長い方が正極（電位が高い）、短い方が負極（電位が低い）を表します。
• 図から、電極Aは電源の負極に、電極Bは正極に接続されています。したがって、Aが陰極、Bが陽極となります。
• 電子は負の電荷を持つため、負の電極（陰極）から反発され、正の電極（陽極）に引きつけられるように電場から力を受けます。

具体的な解説と立式
(3)で特定した粒子は電子であり、負の電荷 (\(-e\)) を持っています。

次に、図の電源の接続を確認します。電極Aは電源の負極（短い線）に、電極Bは電源の正極（長い線）に接続されています。したがって、電極Aが陰極、電極Bが陽極として機能します。

管内には、陽極Bから陰極Aの向きに電場ができています。負の電荷を持つ電子は、この電場から電場とは逆向き、つまり陰極から陽極の向きに力を受けます。その結果、電子は陰極である電極Aから放出され、陽極である電極Bに向かって加速されて飛んでいきます。

この設問は知識を問うものであり、計算過程はありません。

電子はマイナスの電気を持っています。一方、図の電池を見ると、電極Aはマイナス側、電極Bはプラス側につながっています。磁石のN極とS極が引き合うように、電気の世界ではマイナスのものはプラスのものに引きつけられます。そのため、電子はマイナスの電極Aから飛び出して、プラスの電極Bに向かって飛んでいくのです。

電子は陰極Aから陽極Bへ向かって飛行します。これは、電子が負の電荷を持つことと、電場の向きから考えて妥当な結論です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 真空放電の段階的変化:
  • 核心: この問題の根幹は、放電管内の気圧（真空度）を変化させたときに、放電の様子がどのように変わるかを理解することにあります。
  • 理解のポイント:
    • 低真空（気体が少し残っている状態）: 電子が気体分子に衝突し、気体分子そのものを発光させます（真空放電）。光の色は気体の種類に依存します。これは、原子のエネルギー準位が気体の種類によって異なるためです。
    • 高真空（気体がほとんどない状態）: 電子は気体分子にほとんど衝突せず、電場によって高速に加速されます。この高速電子がガラス管壁に衝突し、ガラス自体を発光させます（蛍光）。このとき、陰極から直進する電子の流れを「陰極線」と呼びます。
• 陰極線の正体と性質:
  • 核心: 「陰極線とは、陰極から放出された負の電荷を持つ電子の流れである」という事実を理解することが重要です。
  • 理解のポイント:
    • 正体: 陰極線の正体は電子 (\(e^-\)) です。
    • 電荷: 電子は負の電荷を持っています。
    • 運動: 負の電荷を持つため、電場とは逆向きに力を受けます。つまり、電位の低い陰極から反発され、電位の高い陽極に向かって加速されます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • クルックス管の実験: 陰極線の性質（直進性、障害物の影を作る、磁場で曲がるなど）を問う問題。本質は陰極線が電子の流れであることを理解していれば解けます。
  • トムソンの実験（比電荷の測定）: 電場と磁場をかけて陰極線を曲げ、その曲がり具合から電子の比電荷 \(e/m\) を求める問題。電子が荷電粒子であり、ローレンツ力を受けることを応用します。
  • ミリカンの油滴の実験: 電子の電気素量 \(e\) を測定する実験。電場中の荷電粒子の運動という点で共通しています。
  • 光電効果: 金属に光を当てると電子が飛び出す現象。電子が物質から放出されるという点で、本問の陰極からの電子放出と関連付けて理解すると深まります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 気圧（真空度）の確認: 問題文が「希薄な気体」「真空度を上げる」など、どの段階の放電を扱っているかをまず確認します。これにより、発光の原因が「気体分子」なのか「管壁（蛍光）」なのかを判断します。
  2. 電源の極性の確認: 回路図から、どちらの電極が陽極（正極、＋）で、どちらが陰極（負極、－）かを確認します。電源の記号（長い方が＋、短い方が－）を正確に読み取ることが第一歩です。
  3. 粒子の電荷を考える: 問題で扱っている粒子（この場合は電子）の電荷が正か負かを考えます。正の粒子（陽イオンなど）なら電場と同じ向きに、負の粒子（電子）なら電場と逆向きに力を受ける、という基本原則を適用します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 真空放電と蛍光の混同:
  • 誤解: 気圧に関わらず、放電管の発光はすべて同じ原理で起こると考えてしまう。
  • 対策: 「気体が光るのが真空放電」「ガラスが光るのが蛍光」と、発光する「主体」を明確に区別して覚えることが重要です。気圧が低い（気体分子が多い）→電子が気体にぶつかる→気体が光る。気圧が極端に低い（気体分子が少ない）→電子が気体にぶつからない→ガラスにぶつかる→ガラスが光る、という因果関係で理解しましょう。
• 陽極線との混同:
  • 誤解: 放電管内では電子（陰極線）しか運動していないと考えてしまう。
  • 対策: 実際には、電子が気体分子に衝突して電離させると、正の電荷を持つ陽イオンも生成されます。この陽イオンが陰極に向かう流れを「陽極線」と呼びます。問題が「陰極から出る粒子」を問うているのか、「陽極に向かう粒子」を問うているのかを正確に読み取ることが大切です。
• 電源の極性の読み間違い:
  • 誤解: 電源の記号の長短の意味を逆に覚えてしまい、陽極と陰極を取り違える。
  • 対策: 「長い方がプラス（＋）、電位が高い」「短い方がマイナス（－）、電位が低い」と、記号のルールを確実に暗記してください。これは電気回路の最も基本的な約束事です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 電場中の荷電粒子の運動法則の適用:
  • 選定理由: (4)では、電子の運動方向を決定する必要がありました。電子は電荷を持つ粒子であり、放電管内には電源によって電場が形成されています。したがって、荷電粒子が電場から受ける力に関する法則を適用するのが最も直接的です。
  • 適用根拠: 荷電粒子が受ける静電気力は \(F=qE\) で表されます。ここで \(q\) は粒子の電荷、\(E\) は電場の強さです。電子の場合、電荷は \(q = -e\) と負であるため、力の向きは電場の向き \(E\) とは逆になります。電場は電位の高い陽極から低い陰極へ向かうため、電子は陰極から陽極へ向かう力を受ける、と論理的に結論付けられます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• この問題には定量的な計算は含まれませんが、物理現象を正しく理解するための思考のステップが重要です。
• 現象の段階的イメージ: 放電管の真空ポンプを動かし、中の気体が徐々に抜かれていく様子を頭の中で動画のようにイメージする練習をしましょう。「最初は管全体がぼんやり光る」→「だんだん光が陰極側に集まり、模様ができる（ストリーマなど）」→「さらに抜くと、光が消えてガラス壁が緑色に光り始める」という一連の流れを視覚的に捉えることで、知識が定着しやすくなります。
• 図と記号の丁寧な確認: (4)のような問題では、図の電源の向きや電極のラベル（A, B）を注意深く確認することが全てです。焦って読み飛ばさず、指でなぞりながら「Aは負極、Bは正極」と一つ一つ確認する癖をつけましょう。
• 原理原則に立ち返る: 「なぜ電子はAからBへ飛ぶのか？」と問われたときに、「陰極から出るから」という知識だけでなく、「電子は負の電荷を持つ。Aは負極、Bは正極。負の電荷は正の電極に引かれる。だからAからBへ飛ぶ」というように、より基本的な原理（電荷と電場の相互作用）にまで分解して説明できるかを確認する習慣が、応用力を高めます。

478 陰極線と磁場

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「磁場中を運動する荷電粒子が受ける力（ローレンツ力）」です。陰極線の正体と、磁場中の電流が受ける力に関する基本的な知識が総合的に問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

空欄 1 – 4

思考の道筋とポイント
この部分は、陰極線の基本的な性質と、それに関連する電流の定義を正確に理解しているかを確認する知識問題です。電極の極性、粒子の電荷、運動方向、電流の向き、という4つの要素の間の関係を論理的に繋げることが重要です。
この設問における重要なポイント

• 電極Kは電源の負極に接続されているため「陰極」、電極Pは正極に接続されているため「陽極」です。
• 陰極線は、陰極から放出される粒子の流れです。
• 陰極線の正体は、負の電荷を持つ「電子」です。
• 負の電荷を持つ粒子は、電場から力を受けて電位の高い方（陽極）へ向かって加速されます。
• 物理学における「電流の向き」は、正の電荷の流れの向きと定義されているため、負の電荷である電子の流れの向きとは逆になります。

具体的な解説と立式
(1) 問題文より、電極Kは電源の負極（陰極）、電極Pは正極（陽極）です。陰極線は陰極から放出されるため、その進行方向は陰極Kから陽極Pへ向かう向き、すなわち「イ. K→P」となります。

(2), (3) 陰極線の正体は、負の電荷を帯びた「電子」という粒子です。したがって、空欄(2)は「負」、空欄(3)は「電子」が入ります。

(4) 電流の向きは、正の電荷の流れの向きと定義されています。陰極線は負の電荷を持つ電子の流れであり、その向きはK→Pです。したがって、電流の向きはこれとは逆の「ア. P→K」となります。

この設問は知識を問うものであり、計算過程はありません。

(1) 陰極線は、その名の通り「陰極」から出発します。図ではKがマイナス極（陰極）なので、陰極線はKからPへ向かいます。
(2), (3) 陰極線の正体は、マイナスの電気を持った「電子」という小さな粒です。
(4) 電気の世界では、「電流の向き」はプラスの電気が流れる向きと決められています。電子はマイナスの粒なので、電子の流れる向き（K→P）と電流の向きは逆になります。よって、電流の向きはP→Kです。

陰極線の性質と電流の定義に基づき、各空欄を埋めました。
(1) 陰極線は陰極Kから陽極Pへ向かう（イ）。
(2) 電荷は負。
(3) 粒子は電子。
(4) 電流の向きは電子の動きと逆でP→K（ア）。
これらは物理の基本的な定義と一致しており、妥当な結論です。

空欄 5 – 6

思考の道筋とポイント
磁場中を流れる電流が受ける力の向きを、フレミングの左手の法則を用いて決定する問題です。電流、磁場、力の3つの方向を、図の立体的な配置に合わせて正しく設定できるかが鍵となります。
この設問における重要なポイント

• 電流の向き: (4)で求めた通り、P→K（画面の右から左へ）。
• 磁場の向き: 磁石のN極からS極へ向かう向き。図では、N極が奥、S極が手前にあると解釈できるため、磁場の向きは「奥から手前へ」。
• 力の向き: 上記の2つの向きをフレミングの左手の法則に適用して求める。

具体的な解説と立式
(5) フレミングの左手の法則を用いて、陰極線が受ける力の向きを求めます。

1. 左手の中指を「電流の向き」に合わせます。電流はP→Kなので、中指を画面の右から左に向けます。
2. 次に、人差し指を「磁場の向き」に合わせます。磁場はN極（奥）からS極（手前）へ向かうので、人差し指を画面の奥から手前に向けます。
3. このとき、親指が向く方向が「力の向き」です。親指は「上向き」を指します。

(6) 陰極線（電子の流れ）は、K→Pの向き（左から右）に進みながら、常に上向きの力を受け続けます。その結果、陰極線の軌道は上側に湾曲します。したがって、蛍光板に現れる軌跡は「b」のようになります。

この設問は法則の適用を問うものであり、計算過程はありません。

(5) ここでは有名な「フレミングの左手の法則」を使います。「電・磁・力（でん・じ・りょく）」と覚えます。
・「電」流は中指：P→Kなので、右から左へ。
・「磁」場は人差し指：N極からS極なので、奥から手前へ。
・左手をこの形にすると、親指が「力」の方向、つまり「上向き」を指します。

(6) 電子は、まっすぐ進もうとしながらも、常に上向きに引っ張られることになります。そのため、軌道はだんだん上に曲がっていき、コース「b」を通ることになります。

フレミングの左手の法則を正しく適用することで、力の向きは上向き、軌道はbとなることが導かれました。これは磁場中の荷電粒子の運動として妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 電流と電子の運動方向の関係:
  • 核心: 「電流の向き」は、歴史的な経緯から「正の電荷が流れる向き」と定義されています。そのため、負の電荷を持つ電子の流れ（陰極線など）とは向きが逆になります。この定義を正確に理解し、混同しないことが全ての出発点です。
  • 理解のポイント:
    • 電子の運動方向: 電位の低い方（陰極）から高い方（陽極）へ。
    • 電流の向き: 電子の運動方向とは逆。電位の高い方（陽極）から低い方（陰極）へ。
• 磁場中の荷電粒子が受ける力（ローレンツ力）:
  • 核心: 磁場中を運動する荷電粒子は、その運動方向と磁場の方向の両方に垂直な向きに力を受けます。この力がローレンツ力です。
  • 理解のポイント:
    • フレミングの左手の法則: ローレンツ力を「電流」を基準に考えた、覚えやすい法則です。中指（電流）、人差し指（磁場）、親指（力）の関係を正しく適用することが重要です。
    • 力の向きの決定要因: 力の向きは、「電流の向き」と「磁場の向き」の2つによって決まります。どちらか一方の向きが逆になると、力の向きも逆になります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ホール効果: 導体や半導体に電流を流しながら磁場をかけると、ローレンツ力によって電荷が偏り、導体の側面に電位差が生じる現象。キャリア（電荷を運ぶ粒子）が正か負かを判断する問題に応用されます。
  • サイクロトロン・質量分析器: 磁場中で荷電粒子を円運動させ、その半径や周期から粒子の質量や電荷を分析する装置。ローレンツ力が向心力として働くことを利用します。
  • モーターの原理: 磁場中のコイルに電流を流し、ローレンツ力によってコイルを回転させる装置。本問の原理を応用した最も身近な例の一つです。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 荷電粒子の特定: まず、動いている粒子が何か（電子か、陽イオンか）、その電荷は正か負かを確認します。
  2. 運動方向と電流方向の整理: 粒子の運動方向を矢印で描き、それとは逆向きに電流の方向を矢印で描き込むと、混乱が防げます。
  3. 磁場の向きの特定: 磁石のN極とS極の位置を正確に把握し、N極からS極へ向かう磁場の向きを空間的にイメージします。図に矢印で描き込むのが有効です。
  4. 法則の適用: フレミングの左手の法則（またはローレンツ力）を、整理した電流と磁場の向きに慎重に適用します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 電流の向きと電子の向きの混同:
  • 誤解: フレミングの左手の法則の中指に、電子の運動方向をそのまま当てはめてしまう。
  • 対策: 「フレミングの左手の法則は、あくまで電流（正電荷の流れ）のための法則」と強く意識することが重要です。問題に電子が出てきたら、「①電子の向きを特定 → ②電流の向きはその逆、と変換 → ③フレミングの法則を適用」という3ステップを必ず踏むように習慣づけましょう。
• 左右の手の混同:
  • 誤解: フレミングの「左手」の法則と、電磁誘導などで使う「右手」の法則を混同してしまう。
  • 対策: 「左手は力（モーター）、右手は起電力（発電機）」のように、語呂合わせで覚えるのが効果的です。「FBI（力・磁場・電流）」を左手に当てはめるなど、自分なりの覚え方を見つけるのも良いでしょう。
• 空間認識の誤り:
  • 誤解: 図に描かれた立体的な磁石の配置を平面として捉えてしまい、磁場の向き（手前⇔奥）を正しく認識できない。
  • 対策: 自分の手やペンなどを使って、問題の図と同じ立体配置を実際に作ってみることが非常に有効です。自分の手を動かすことで、空間的な方向感覚が掴みやすくなります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• フレミングの左手の法則の選定:
  • 選定理由: (5)では、「磁場」の中を「電流」が流れるときに受ける「力」の向きを問われています。この3つの要素（磁場、電流、力）の関係性を直接的に示してくれるのがフレミングの左手の法則であり、この問題を解く上で最も標準的で直感的なツールです。
  • 適用根拠: この法則は、無数の荷電粒子（電子）が受けるローレンツ力の合力を、マクロな「電流」が受ける力として表現したものです。したがって、磁場中を流れる電流という物理現象に対して、この法則を適用することは完全に正当化されます。
• ローレンツ力の法則（別解）:
  • 選定理由: フレミングの法則の根源にある、より基本的な法則に立ち返るアプローチです。特に、負電荷の粒子を扱う際に「電流の向きに変換する」というステップを省略し、粒子の速度と電荷から直接力を求めたい場合に有効です。
  • 適用根拠: ローレンツ力 \( \vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B}) \) は、電磁気学における基本法則の一つです。個々の荷電粒子が磁場から受ける力を記述する最も正確な表現であり、ミクロな視点から現象を解析する際に適用されます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• この問題は計算がありませんが、法則の適用ミスが失点に直結します。
• 指差し確認の徹底: フレミングの法則を使うときは、焦らずに一本ずつ指の向きを確認しましょう。「中指、電流、P→K、よし」「人差し指、磁場、N→S、奥→手前、よし」「すると親指は…上向き」というように、声に出しながら確認するとミスが激減します。
• 図への書き込み: 問題用紙の図に、ためらわずに矢印を書き込みましょう。「電子の向き \(\vec{v}\)」「電流の向き \(I\)」「磁場の向き \(\vec{B}\)」の3つのベクトルを書き込むだけで、頭の中が整理され、法則を適用しやすくなります。
• 逆から考える検算: もし軌道が「c（下向き）」になったと仮定すると、力は下向きです。フレミングの左手で親指を下に、人差し指を奥から手前に向けると、中指は右から左（P→K）を向きます。これは電流の向きと一致します。このように、逆から考えて矛盾がないかを確認するのも有効な検算方法です。

479 電場と磁場による電子の偏向

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「電場と磁場中での荷電粒子の運動」です。電場による等加速度運動と、電場と磁場が共存する中での力のつりあい（速度選別器の原理）という、電磁気学における重要な2つの状況を正しく分析できるかが問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
極板間で電子が受ける力は、電場による静電気力のみです。この力を特定し、ニュートンの運動方程式 \(ma=F\) を適用することで、加速度を求めます。
この設問における重要なポイント

• 電子の電荷は \(-e\) です。
• 電場の向きはy軸の負の向きです。
• 負の電荷は、電場とは逆向きに力を受けます。したがって、電子が受ける静電気力の向きはy軸の正の向きになります。
• 静電気力の大きさは \(F=eE\) です。

具体的な解説と立式
電子は電荷 \(-e\) を持つため、y軸負の向きの電場 \(\vec{E}\) から、y軸正の向きに大きさ \(F = eE\) の静電気力を受けます。
電子の質量を \(m\)、y軸方向の加速度の大きさを \(a\) として、y軸方向の運動方程式を立てます。
$$ ma = eE $$

上記で立式した \(ma = eE\) の両辺を \(m\) で割ることで、加速度 \(a\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
a &= \frac{eE}{m}
\end{aligned}
$$

電子はマイナスの電気を持っているので、プラスの極板Fに引きつけられ、マイナスの極板Gから反発されます。その結果、電子はy軸のプラス方向（上向き）に力を受けます。この力の大きさは \(eE\) です。運動方程式「質量 \(\times\) 加速度 = 力」に当てはめると、\(ma = eE\) となり、ここから加速度 \(a\) が計算できます。

電子の加速度の大きさ \(a\) は \(\displaystyle\frac{eE}{m}\) となります。この加速度の向きはy軸の正の向きです。これは物理法則に則った妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
電子の運動を、極板内と極板外の2つの区間に分けて考えます。
区間1（極板内、\(0 \le x \le l\)）: x方向は初速度 \(v_0\) の等速直線運動、y方向は初速度0、加速度 \(a\) の等加速度直線運動。
区間2（極板外、\(l < x \le L+l/2\)）: 電場も磁場もないため、力を受けない。したがって、極板を出た瞬間の速度で等速直線運動をします。
最終的なy座標 \(y_s\) は、区間1でのy方向の変位 \(y_1\) と、区間2でのy方向の変位 \(y_2\) の和として求められます。
この設問における重要なポイント

• x方向の運動は常に速さ \(v_0\) の等速直線運動であるため、移動にかかる時間は \((\text{時間}) = (\text{水平距離}) / v_0\) で計算できます。
• 極板を出た瞬間のy方向の速度が、その後の等速直線運動のy成分となります。
• 図を正確に読み取り、極板を出てから蛍光面までの水平距離が \( (L+l/2) – l = L – l/2 \) であることを把握することが重要です。

具体的な解説と立式
1. 極板内での運動（変位 \(y_1\) の計算）
電子が極板間（長さ \(l\)）を通過するのにかかる時間 \(t_1\) は、x方向の運動に着目すると、
$$ l = v_0 t_1 $$
となり、これより \(t_1\) は、
$$ t_1 = \frac{l}{v_0} $$
この間にy方向に進む距離 \(y_1\) は、初速度0の等加速度運動の公式 \(y = \frac{1}{2}at^2\) を用いて、
$$ y_1 = \frac{1}{2} a t_1^2 $$
また、極板を出る瞬間のy方向の速度 \(v_y\) は、\(v=at\) より、
$$ v_y = a t_1 $$

2. 極板外での運動（変位 \(y_2\) の計算）
極板を出た後、電子は力を受けずに等速直線運動をします。蛍光面Sに到達するまでにかかる時間 \(t_2\) は、水平距離が \(L-l/2\) であることから、
$$ L – \frac{l}{2} = v_0 t_2 $$
となり、これより \(t_2\) は、
$$ t_2 = \frac{L – l/2}{v_0} $$
この間、y方向には速度 \(v_y\) の等速直線運動をするため、y方向に進む距離 \(y_2\) は、
$$ y_2 = v_y t_2 $$

3. 全変位 \(y_s\) の計算
蛍光面でのy座標 \(y_s\) は、\(y_1\) と \(y_2\) の和です。
$$ y_s = y_1 + y_2 \quad \cdots ① $$

まず、\(y_1, v_y, y_2\) を \(e, E, m, v_0, l, L\) を用いて表します。
(1)の結果 \(a = \displaystyle\frac{eE}{m}\) を用いて、\(y_1\) は、
$$
\begin{aligned}
y_1 &= \frac{1}{2} a t_1^2 \\[2.0ex] &= \frac{1}{2} \left( \frac{eE}{m} \right) \left( \frac{l}{v_0} \right)^2 \\[2.0ex] &= \frac{eEl^2}{2mv_0^2}
\end{aligned}
$$
同様に \(v_y\) は、
$$
\begin{aligned}
v_y &= a t_1 \\[2.0ex] &= \left( \frac{eE}{m} \right) \left( \frac{l}{v_0} \right) \\[2.0ex] &= \frac{eEl}{mv_0}
\end{aligned}
$$
したがって、\(y_2\) は、
$$
\begin{aligned}
y_2 &= v_y t_2 \\[2.0ex] &= \left( \frac{eEl}{mv_0} \right) \left( \frac{L – l/2}{v_0} \right) \\[2.0ex] &= \frac{eEl(L-l/2)}{mv_0^2} \\[2.0ex] &= \frac{eElL}{mv_0^2} – \frac{eEl^2}{2mv_0^2}
\end{aligned}
$$
最後に、①式に代入して \(y_s\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
y_s &= y_1 + y_2 \\[2.0ex] &= \left( \frac{eEl^2}{2mv_0^2} \right) + \left( \frac{eElL}{mv_0^2} – \frac{eEl^2}{2mv_0^2} \right) \\[2.0ex] &= \frac{eElL}{mv_0^2}
\end{aligned}
$$

電子の旅を2つのパートに分けます。前半は極板の間で、上向きにぐいっと加速されながら進む「放物線コース」。後半は極板を出た後で、力を受けないので、飛び出した瞬間の向きのまままっすぐ進む「直線コース」です。それぞれのコースでy方向にどれだけ進んだか（\(y_1\)と\(y_2\)）を計算し、最後にそれらを足し合わせることで、ゴール地点のy座標 \(y_s\) がわかります。

電子が蛍光面に当たった位置のy座標 \(y_s\) は \(\displaystyle\frac{eElL}{mv_0^2}\) となります。変位が電場の強さ \(E\)、極板の長さ \(l\)、距離 \(L\) に比例し、速さ \(v_0\) の2乗に反比例するという、物理的に妥当な関係式が得られました。

問(3)

思考の道筋とポイント
電子が軌道を曲げられずに直進するということは、電子にはたらく合力が0であることを意味します。電場による静電気力と、加えた磁場によるローレンツ力が、大きさが等しく逆向きになってつりあっていると考えます。
この設問における重要なポイント

• 静電気力の向きはy軸正の向き、大きさは \(eE\)。
• 電子が直進するためには、ローレンツ力がy軸負の向きにはたらく必要がある。
• ローレンツ力の大きさは \(F=qvB\) で、この場合は \(F=ev_0B\)。
• 力の向きから、フレミングの左手の法則（またはローレンツ力の法則）を用いて磁場の向きを決定する。

具体的な解説と立式
電子が直進するためには、y軸正の向きにはたらく静電気力 \(eE\) と、磁場から受けるローレンツ力 \(ev_0B\) がつりあう必要があります。したがって、ローレンツ力はy軸負の向きにはたらかなければなりません。
力の大きさのつりあいの式は、
$$ ev_0B = eE \quad \cdots ② $$
次に、磁場の向きをフレミングの左手の法則で決定します。

• 力の向き（親指）: ローレンツ力の向きであるy軸負の向き（下向き）。
• 電流の向き（中指）: 電子の運動（x軸正の向き）とは逆の、x軸負の向き（左向き）。

左手の親指を下向き、中指を左向きにすると、人差し指（磁場の向き）は、紙面に垂直に表から裏を向きます。

②式 \(ev_0B = eE\) の両辺を \(ev_0\) で割って、磁束密度の大きさ \(B\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
B &= \frac{E}{v_0}
\end{aligned}
$$

電子をまっすぐ進ませるには、電場が電子を上に引っ張る力と、磁場が電子を下に引っ張る力がちょうど同じ強さになればよい、ということです。この「力のつりあい」の条件から磁場の強さ \(B\) がわかります。また、磁場が「下向き」の力を生むためには、磁石をどの向きに置けばよいかを「フレミングの左手の法則」を使って探します。

磁束密度の大きさは \(B = \displaystyle\frac{E}{v_0}\)、向きは紙面に垂直に表から裏の向きとなります。このように電場と磁場を直交させて特定の速さの粒子だけを直進させる装置は「速度選別器」と呼ばれ、物理学で広く利用されています。

問(4)

思考の道筋とポイント
(2)で求めた \(y_s\) の式と、(3)で求めた \(B\) と \(v_0\) の関係式を用いて、実験では測定が難しい初速度 \(v_0\) を消去し、測定可能な量 \(E, B, l, L, y_s\) で比電荷 \(\displaystyle\frac{e}{m}\) を表します。
この設問における重要なポイント

• 使用する式は \(y_s = \displaystyle\frac{eElL}{mv_0^2}\) と \(v_0 = \displaystyle\frac{E}{B}\)。
• ゴールは \(\displaystyle\frac{e}{m} = \dots\) の形に式を変形すること。

具体的な解説と立式
(2)の解答で得られた式を、比電荷 \(\displaystyle\frac{e}{m}\) を使って書き直します。
$$ y_s = \left( \frac{e}{m} \right) \frac{ElL}{v_0^2} \quad \cdots ③ $$
(3)で得られた関係式は、
$$ v_0 = \frac{E}{B} \quad \cdots ④ $$
④式を③式に代入して \(v_0\) を消去します。

$$
\begin{aligned}
y_s &= \left( \frac{e}{m} \right) \frac{ElL}{\left( \displaystyle\frac{E}{B} \right)^2} \\[2.0ex] &= \left( \frac{e}{m} \right) \frac{ElL}{ \displaystyle\frac{E^2}{B^2} } \\[2.0ex] &= \left( \frac{e}{m} \right) \frac{ElL B^2}{E^2} \\[2.0ex] &= \left( \frac{e}{m} \right) \frac{B^2lL}{E}
\end{aligned}
$$
この式を \(\displaystyle\frac{e}{m}\) について解きます。両辺に \(\displaystyle\frac{E}{B^2lL}\) を掛けると、
$$
\begin{aligned}
\frac{e}{m} &= \frac{Ey_s}{B^2lL}
\end{aligned}
$$

物理の実験では、直接測るのが難しい量（この問題では電子の質量 \(m\) や電荷 \(e\)）を、測定しやすい量（電場の強さ \(E\) や磁場の強さ \(B\)、長さ \(l, L\)、ずれ \(y_s\) など）から計算で求めることがよくあります。この問題は、その計算過程をなぞるものです。(2)と(3)で立てた2つの式を合体させて、邪魔な \(v_0\) を消去し、求めたい \(\displaystyle\frac{e}{m}\) の形に整理するパズルのような作業です。

電子の比電荷は \(\displaystyle\frac{e}{m} = \displaystyle\frac{Ey_s}{B^2lL}\) と表せます。この式は、J.J.トムソンが電子の比電荷を測定した実験の原理に非常に近いものであり、歴史的にも重要な意味を持つ関係式です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 荷電粒子の運動の分離と合成:
  • 核心: この問題の根幹は、電場や磁場中での荷電粒子の複雑な運動を、単純な運動の組み合わせとして分析することにあります。
  • 理解のポイント:
    • 運動の分解: 粒子の運動を、力を受ける方向（y軸方向）と受けない方向（x軸方向）に分解して考えます。x方向は常に等速直線運動、y方向は状況に応じて等加速度運動や力のつりあいを考えます。
    • 運動の合成: (2)のように、異なる種類の運動（等加速度運動＋等速直線運動）をする区間がある場合、それぞれの区間での変位を独立に計算し、最後にそれらを足し合わせる（合成する）ことで、全体の変位を求めることができます。
• 力のつりあいによる速度選別:
  • 核心: 「特定の条件下で粒子が直進する」という記述は、「粒子にはたらく合力が0である」という力のつりあいのサインです。
  • 理解のポイント:
    • 静電気力とローレンツ力: 電場による力 \(F_E = qE\) と磁場による力 \(F_B = qvB\) は、どちらも荷電粒子にはたらく力ですが、性質が異なります。静電気力は粒子の速度によらず一定ですが、ローレンツ力は速度に比例します。
    • 速度選別器の原理: 電場と磁場を直交させると、静電気力とローレンツ力を逆向きにはたらかせることができます。このとき、\(qE = qvB\)、すなわち \(v = E/B\) となる特定の速さの粒子だけが、2つの力がつりあって直進できます。この原理は、特定の速度を持つ粒子だけを選び出す「速度選別器」として応用されます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 質量分析器: 速度選別器で速度を揃えたイオンを、今度は磁場だけの領域に入射させ、円運動の半径から質量を分析する装置。ローレンツ力が向心力として働く（\(m\frac{v^2}{r} = qvB\)）ことを利用します。
  • サイクロトロン: 磁場中で荷電粒子を円運動させながら、電場で加速を繰り返す装置。ローレンツ力による円運動と、電場による加速の組み合わせです。
  • 斜方投射との類似: (1)と(2)の極板内の運動は、重力下での斜方投射（水平方向は等速、鉛直方向は等加速度）と全く同じ数学的構造をしています。重力加速度 \(g\) が、電場による加速度 \(a=qE/m\) に置き換わっただけと見なせます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 運動区間の分割: 荷電粒子にはたらく力が変化する場所（例：極板の出入り口）を見つけ、運動を複数の区間に分割します。
  2. 各区間での運動の種類を特定: 各区間について、「力を受けるか、受けないか」「受けるなら何の力か」「その結果、どのような運動（等速、等加速度、円運動など）をするか」を判断します。
  3. 座標軸の設定と運動の分解: 座標軸を設定し、運動を各軸の成分に分解して、それぞれの軸について運動方程式や運動の公式を立てます。
  4. 「直進する」というキーワードに注目: この言葉があれば、即座に「力のつりあい」を連想し、つりあいの式を立てます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 極板を出た後の運動の誤解:
  • 誤解: 極板を出た後も、電場による加速度が持続すると考えてしまう。または、y方向に速度0で進むと考えてしまう。
  • 対策: 力の源である電場は極板間にしか存在しないことを意識します。極板を出た瞬間、粒子にはたらく力は0になります。運動の法則によれば、力を受けない物体は、その時点での速度を保ったまま等速直線運動を続けます。したがって、「極板を出た瞬間の速度ベクトル」がその後の運動を決定します。
• ローレンツ力の向きの混同:
  • 誤解: フレミングの左手の法則を適用する際に、電流の向き（正電荷の向き）と電子の運動方向を混同する。
  • 対策: 「電子の運動方向」と「電流の向き」は逆である、という定義を徹底します。問題に電子が出てきたら、まず「電流の向き」を矢印で図に描き込んでから、フレミングの法則を適用する癖をつけましょう。
• 変数の代入ミス:
  • 誤解: (4)のような計算で、\(v_0\) を代入する際に2乗を忘れるなど、複雑な式変形でミスをする。
  • 対策: いきなり数値を代入せず、まずは文字式のまま整理を進めるのが鉄則です。特に分数の割り算は、逆数を掛ける形に直してから計算するとミスが減ります。 \(y_s = (\frac{e}{m}) \frac{ElL}{v_0^2}\) と \(v_0^2 = (\frac{E}{B})^2\) のように、代入する形をあらかじめ整えてから計算に臨むと見通しが良くなります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 運動方程式 \(ma=F\) の選定:
  • 選定理由: (1)では、力が一定（静電気力 \(eE\)）である状況下での「加速度」を問われています。力と加速度の関係を直接結びつけるのは、運動の第二法則である運動方程式が最も基本的かつ直接的です。
  • 適用根拠: 電子がニュートン力学に従う粒子であり、電場から力を受けて運動状態を変化させる、という物理モデルに基づいています。
• 運動の公式（等速・等加速度）の選定:
  • 選定理由: (2)では、特定の時間後の「位置」や「速度」を求める必要があります。運動の種類（等速・等加速度）が特定できている場合、これらの公式を用いることで、時間と位置・速度の関係を効率的に計算できます。
  • 適用根拠: これらの公式は、運動方程式を時間で積分することによって導出されるものであり、加速度が一定（または0）という条件下で厳密に成り立ちます。
• 力のつりあいの式の選定:
  • 選定理由: (3)では、「電子が直進する」という条件が与えられています。これは運動状態が変化しない（加速度が0）ことを意味し、運動方程式 \(ma=F\) において \(a=0\)、すなわち合力 \(F=0\) であることを示唆します。したがって、複数の力がはたらいている場合は、それらのベクトル和が0になるという「力のつりあい」の式を立てるのが最も適切なアプローチです。
  • 適用根拠: 慣性の法則（運動の第一法則）に基づき、物体にはたらく合力が0であれば、その物体は静止し続けるか、等速直線運動を続けます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 運動の2区間を図で整理する: (2)を解く前に、問題の図の横に、電子の軌跡を模式的に描き、区間1（放物線）と区間2（直線）を明記しましょう。それぞれの区間での変位 \(y_1, y_2\) や、接続点での速度 \(v_y\) などを図に書き込むことで、計算の見通しが格段に良くなります。
• 文字式のまま計算を進める: (2)や(4)のように複数のステップを踏む計算では、途中で数値を代入せず、最後まで文字式のまま計算を進めることが重要です。これにより、物理的な意味が見えやすくなるだけでなく、約分によって計算が楽になることが多いです。
• 単位（次元）による検算: 例えば(2)の答え \(\displaystyle\frac{eElL}{mv_0^2}\) の単位を考えます。\(eE\) は力 \([\text{N}]\)、\(lL\) は面積 \([\text{m}^2]\)、\(m\) は質量 \([\text{kg}]\)、\(v_0^2\) は速さの2乗 \([\text{m}^2/\text{s}^2]\) です。力の単位は \([\text{N}]=[\text{kg}\cdot\text{m}/\text{s}^2]\) なので、全体の単位は \(\displaystyle\frac{[\text{kg}\cdot\text{m}/\text{s}^2] \cdot [\text{m}^2]}{[\text{kg}] \cdot [\text{m}^2/\text{s}^2]} = [\text{m}]\) となり、確かに長さの次元になっていることが確認できます。このような次元解析は、計算ミスを発見する強力な手段です。
• 比の形を意識する: (4)では \(\displaystyle\frac{e}{m}\) を求めます。最初から \(y_s = (\frac{e}{m}) \times (\dots)\) のように、求めたい量をひとかたまりとして扱う意識を持つと、式変形のゴールが明確になり、計算ミスを減らすことができます。

480 磁場による電子の偏向

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「磁場中を運動する荷電粒子が受ける力（ローレンツ力）」です。荷電粒子が磁場から受けるローレンツ力を向心力として等速円運動する、という典型的な状況を扱います。この現象は、質量分析器やサイクロトロンなど、科学技術の様々な場面で応用されています。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

電子の比電荷を求める

思考の道筋とポイント
磁場中を運動する荷電粒子は、ローレンツ力という力を受けます。この問題では、電子が磁場に垂直に入射しているため、ローレンツ力は常に電子の進行方向に対して垂直に働きます。進行方向を常に変えるが、速さを変えない力、これが円運動の向心力の役割を果たします。この「ローレンツ力＝向心力」という関係性から運動方程式を立てることが、この問題を解くための核心です。また、電子は負の電荷を持つため、力の向きをフレミングの左手の法則で考える際には、電流の向きを電子の速度と逆向きにする、という点に注意が必要です。
この設問における重要なポイント

• 荷電粒子が磁場から受けるローレンツ力の大きさは \(f = qvB\) で与えられる（速度と磁場が垂直な場合）。電子の場合、電荷の大きさは電気素量 \(e\) なので \(f = evB\) となる。
• 等速円運動の運動方程式は \(m\displaystyle\frac{v^2}{R} = (\text{向心力})\) である。
• 電子の比電荷とは、電気素量 \(e\) と電子の質量 \(m\) の比、すなわち \(\displaystyle\frac{e}{m}\) のことである。

具体的な解説と立式
電子の質量を \(m\)、電気素量を \(e\) とします。電子の電荷は \(-e\) ですが、ローレンツ力の大きさの公式では電荷の大きさ \(q=e\) を用います。
電子は磁束密度 \(B\) の磁場に速さ \(v\) で垂直に入射するので、受けるローレンツ力の大きさ \(f\) は、
$$ f = evB \quad \cdots ① $$
となります。

このローレンツ力 \(f\) が向心力となって、電子は半径 \(R\) の等速円運動をします。したがって、円運動の運動方程式は次のように立てられます。
$$ m\frac{v^2}{R} = f \quad \cdots ② $$
①、②より、ローレンツ力 \(f\) を消去して、電子の運動に関する方程式を立てます。
$$ m\frac{v^2}{R} = evB $$

上記で立式した運動方程式 \(m\displaystyle\frac{v^2}{R} = evB\) を、電子の比電荷 \(\displaystyle\frac{e}{m}\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
m\frac{v^2}{R} &= evB \\[2.0ex] \end{aligned}
$$
両辺を \(v\) (\(v \neq 0\)) で割ると、
$$
\begin{aligned}
m\frac{v}{R} &= eB \\[2.0ex] \end{aligned}
$$
この式を \(\displaystyle\frac{e}{m}\) の形にするために、両辺を \(m\) で割り、さらに \(B\) で割ります。
$$
\begin{aligned}
\frac{v}{R} &= \frac{e}{m} B \\[2.0ex] \frac{e}{m} &= \frac{v}{BR}
\end{aligned}
$$
したがって、電子の比電荷は \(\displaystyle\frac{v}{BR}\) となります。

磁石が作る見えない力の領域（磁場）に、電子が飛び込むと、電子は進む向きを曲げられます。この力のことを「ローレンツ力」と呼びます。この力は、電子が進む方向に対して常に直角に働くという面白い性質を持っています。
常に進行方向の真横から力を受け続けると、物体はどうなるでしょうか？ まるで、ボールの真横を蹴り続けて向きを変えさせるように、電子はぐるっと向きを変え続け、きれいな円を描いて運動します。
物理学では、このような円運動を分析するための専用の式（運動方程式）があります。この問題は、「電子を円運動させている力の正体はローレンツ力である」という関係を、その運動方程式に当てはめて、あとは数学的に式を整理していくだけで解くことができます。

電子の比電荷 \(\displaystyle\frac{e}{m}\) は \(\displaystyle\frac{v}{BR}\) と表せます。この結果は、比電荷が実験的に測定可能な量（速さ \(v\)、磁束密度 \(B\)、軌道半径 \(R\)）だけで決まることを示しています。実際に、この原理は粒子の種類を特定する質量分析器に応用されています。式の妥当性を考えると、例えば磁場 \(B\) を強くすれば、より強く曲げられるので半径 \(R\) は小さくなるはずです。式 \(\displaystyle\frac{e}{m} = \frac{v}{BR}\) を変形すると \(R = \displaystyle\frac{mv}{eB}\) となり、\(B\) が大きいほど \(R\) が小さくなる関係が確認でき、物理的な直感と一致します。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ローレンツ力と円運動の融合:
  • 核心: この問題の根幹は、磁場中を運動する荷電粒子が受ける「ローレンツ力」が、その粒子を「等速円運動」させるための「向心力」として働く、という物理現象を正しく理解し、数式で表現することにあります。
  • 理解のポイント:
    • ローレンツ力 (\(f=qvB\)): 荷電粒子が磁場を横切るときに受ける、運動を妨げるのではなく進路を曲げるための力です。力の向きは常に速度ベクトルと磁場ベクトルの両方に垂直です。
    • 向心力: 物体を円運動させるために、常に円の中心方向を向き続ける力のことです。この力があるからこそ、物体は直進せずに軌道を曲げ続けます。
    • 融合: この問題では、ローレンツ力がまさに向心力の役割を完全に担っています。この「\((\text{ローレンツ力}) = (\text{向心力})\)」という等式を立てることが、問題を解くための出発点となります。
• 負電荷の扱いの正確性:
  • 核心: ローレンツ力の向きを考える際、電子が負の電荷を持つことを正しく考慮できるかが重要です。
  • 理解のポイント:
    • フレミングの左手の法則: この法則は「正の電荷の流れ（＝電流）」を基準に作られています。
    • 電子の場合の適用: 電子（負電荷）の運動の向きは、電流の向きとは逆になります。したがって、フレミングの左手の法則を適用する際は、中指（電流の向き）を電子の速度ベクトルと「逆向き」に合わせる必要があります。これを怠ると、力の向きを正反対に間違えてしまいます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 質量分析器: 異なる質量（または電荷）の粒子を同じ速さで同じ磁場に入射させると、軌道半径 \(R\) が異なります（\(R = \displaystyle\frac{mv}{qB}\) より、\(R\) は質量 \(m\) に比例し、電荷 \(q\) に反比例）。この半径の違いを利用して粒子を分離・特定する問題に応用されます。
  • サイクロトロン（加速器）: 荷電粒子を磁場で円運動させながら、特定の箇所で電場をかけて加速する装置です。円運動の周期 \(T = \displaystyle\frac{2\pi m}{qB}\) が速さ \(v\) や半径 \(R\) によらない、という性質を利用しています。周期を求める問題は、本質的にこの問題と同じ考え方から出発します。
  • 速度選択器: 直交する電場と磁場をかけた空間に荷電粒子を入射させ、電場による力と磁場による力（ローレンツ力）が釣り合う特定の速さの粒子だけを直進させる装置です。\(qE = qvB\) より \(v=E/B\) となる粒子を選び出す問題に応用されます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 粒子の電荷の正負を確認: まず、問題となっている粒子が正電荷（陽子など）か負電荷（電子など）かを確認します。これにより、力の向きの考え方が決まります。
  2. 速度と磁場の角度を確認: 粒子が磁場に対して垂直に入射しているか、斜めに入射しているかを確認します。垂直なら「円運動」、斜めなら「らせん運動」になります。
  3. 力の役割を特定: 粒子が受けている力（この場合はローレンツ力）が、どのような運動（この場合は円運動）を引き起こしているかを見抜きます。「ローレンツ力＝向心力」の関係が基本パターンです。
  4. 求める量を明確にする: 問題が求めているのは、半径 \(R\) なのか、周期 \(T\) なのか、比電荷 \(\displaystyle\frac{q}{m}\) なのかを最初に確認し、そのゴールに向かって式を変形していきます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• フレミングの法則の向きの間違い:
  • 誤解: 電子の運動方向をそのまま電流の方向としてフレミングの左手の法則を適用してしまい、力の向きを逆にしてしまう。
  • 対策: 「電子の運動の向き」と「電流の向き」は逆である、と常に意識することが重要です。「負電荷を見たら、まず電流の向きは逆！」と頭の中で唱える癖をつけましょう。あるいは、ローレンツ力のベクトル式 \(\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})\) で考え、電荷 \(q\) に負の値（\(-e\)）を代入すると、力の向きが正電荷の場合と逆転することを理解するのも有効です。
• 運動方程式の立て間違い:
  • 誤解: 円運動の運動方程式の形を \(m \displaystyle\frac{v}{R} = f\) や \(ma = evB\) のように、速度を2乗し忘れたり、加速度の形を間違えたりする。
  • 対策: 円運動の加速度（向心加速度）が \(a = \displaystyle\frac{v^2}{R}\) であることを正確に記憶することが不可欠です。運動方程式 \(ma=F\) の \(a\) に、この \(a = \displaystyle\frac{v^2}{R}\) を代入する、という手順を常に踏むことで、式の形を間違えるのを防げます。
• 文字の混同:
  • 誤解: 速さ \(v\) と電圧 \(V\) を混同したり、半径 \(r\) と抵抗 \(R\) を混同したりする。
  • 対策: 問題で使われている文字が何を表す物理量なのかを、一つ一つ確認しながら立式する習慣をつけましょう。特に、大文字と小文字が異なる意味を持つ場合（例: \(r\) と \(R\)）は注意が必要です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 円運動の運動方程式の選定:
  • 選定理由: 問題文に「半径 \(R\) の円運動をした」と明記されています。物理において、運動の種類が特定されれば、その運動を記述する基本法則（この場合は運動方程式）を用いるのが定石です。円運動という現象を数式で表現するために、円運動の運動方程式 \(m\displaystyle\frac{v^2}{R} = F\) を選択するのは最も論理的な選択です。
  • 適用根拠: この方程式の右辺 \(F\) は「向心力」、すなわち円運動を実現させている力の正体を表します。今回の問題では、電子を曲げている力の原因は磁場によるローレンツ力以外に存在しません。したがって、向心力 \(F\) をローレンツ力 \(f=evB\) で置き換えることが物理的に正当化されます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま計算を進める: この問題のように、具体的な数値が与えられていない場合は、最後まで文字式のまま計算を進めます。これは計算ミスを防ぐ基本です。
• 求める形を意識した式変形: 最終的に求めたいのは「比電荷 \(\displaystyle\frac{e}{m}\)」という形です。運動方程式 \(m\displaystyle\frac{v^2}{R} = evB\) を立てた後、やみくもに変形するのではなく、「左辺に \(\displaystyle\frac{e}{m}\) を作るにはどうすればよいか？」というゴールから逆算して式変形を行います。
  1. まず、\(e\) と \(m\) をそれぞれ式の片側に集めることを考えます。
  2. \(m\displaystyle\frac{v^2}{R} = evB\) の両辺を \(m\) で割ると、右辺に \(\displaystyle\frac{e}{m}\) の形が見えてきます: \(\displaystyle\frac{v^2}{R} = \frac{e}{m} vB\)。
  3. あとは、邪魔な \(vB\) を左辺に移せば（両辺を \(vB\) で割れば）完成です。
• 約分の丁寧な確認: \(m\displaystyle\frac{v^2}{R} = evB\) の両辺を \(v\) で割る際に、左辺の \(v^2\) が \(v\) になることを確実に確認します。単純な計算ですが、焦っていると見落としがちです。一つ一つの操作をゆっくり確実に行うことが、結果的に最も速く正確な答えにたどり着くコツです。

481 ミリカンの実験

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「ミリカンの油滴実験」であり、力のつり合いを利用して電気素量の基本性を探った歴史的に重要な実験が題材です。物体に働く力（重力、空気抵抗力、静電気力）を正しく分析し、力のつり合いの式を立てて解く能力が問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
電場がないとき、油滴は重力によって落下を始めますが、速さが増すにつれて上向きの空気抵抗力も大きくなります。やがて、下向きの重力と上向きの空気抵抗力の大きさが等しくなると、合力がゼロになり、油滴は一定の速さ（終端速度）で落下するようになります。「等速で落下する」という記述から、力がつり合っていると判断し、つり合いの式を立てることが出発点です。
この設問における重要なポイント

• 「等速」というキーワードは「加速度がゼロ」、すなわち「働く力の合力がゼロ（力のつり合い）」を意味する。
• 油滴に働く力は、鉛直下向きの重力 \(mg\) と、鉛直上向きの空気抵抗力 \(kv\) の2つのみ。
• 力のつり合いから、\(mg = kv\) という関係式が成り立つ。

具体的な解説と立式
油滴の質量を \(m\)、重力加速度の大きさを \(g\) とすると、油滴に働く重力の大きさは \(mg\) で、鉛直下向きです。
一方、油滴が速さ \(v\) で落下しているとき、空気抵抗力は \(kv\) の大きさで、運動を妨げる向き、すなわち鉛直上向きに働きます。ここで、比例定数 \(k\) は問題文より \(k=3.5 \times 10^{-11} \, \text{kg/s}\) です。

油滴が等速で落下しているため、これらの力はつり合っています。したがって、
$$ mg = kv $$
という関係式が成り立ちます。

上記で立式した \(mg = kv\) を、速さ \(v\) について解きます。
$$ v = \frac{mg}{k} $$
与えられた数値を代入します: \(m = 2.8 \times 10^{-15} \, \text{kg}\), \(g = 9.8 \, \text{m/s}^2\), \(k = 3.5 \times 10^{-11} \, \text{kg/s}\)。
$$
\begin{aligned}
v &= \frac{(2.8 \times 10^{-15}) \times 9.8}{3.5 \times 10^{-11}} \\[2.0ex] &= \frac{2.8 \times 9.8}{3.5} \times 10^{-15 – (-11)} \\[2.0ex] &= (0.8 \times 9.8) \times 10^{-4} \\[2.0ex] &= 7.84 \times 10^{-4}
\end{aligned}
$$
有効数字は2桁なので、\(7.8 \times 10^{-4} \, \text{m/s}\) となります。

雨粒が空から降ってくるとき、最初はどんどん速くなりますが、空気の抵抗があるため、ある程度の速さになるとそれ以上は速くなりません。これは、スピードが上がるほど空気抵抗が強くなり、いつか「下向きに引っぱる重力」と「上向きに押し返す空気抵抗」の大きさが同じになって、力がつり合うからです。この問題の小さな油滴も全く同じで、重力と空気抵抗がつり合ったときの一定の速さを計算で求めています。

電場がないときの油滴の終端速度は \(7.8 \times 10^{-4} \, \text{m/s}\) と求められました。非常にゆっくりとした速度ですが、これは空気中を落下する微小な油滴の運動としては物理的に妥当な値です。

問(2)

思考の道筋とポイント
鉛直下向きに電場を加えたところ、落下速度が(1)の \(0.60\) 倍に「減少」したことが最大のヒントです。落下速度が遅くなったということは、全体として上向きの力が強くなったことを意味します。空気抵抗力は速度に比例するため、速度が減少すれば抵抗力も減少します。それにもかかわらず上向きの力が強くなったということは、新たに加わった「静電気力」が上向きに働いたに違いありません。
電場は下向きなので、上向きの静電気力を受けるためには、油滴の電荷は「負」であると結論付けられます。
この考察のもと、新しい速度 \(v’ = 0.60v\) での力のつり合いの式を立てます。このとき、(1)で導いた関係式 \(mg=kv\) を代入することで、計算を大幅に簡略化できる点が、この問題をスマートに解く鍵となります。
この設問における重要なポイント

• 落下速度が減少したことから、静電気力が鉛直上向きに働いたと推論する。
• 電場 \(E\) が下向きで、静電気力 \(F_e\) が上向きであるため、油滴の電荷 \(q\) は負であると判断する。
• 新しい状況での力のつり合いを考える：下向きの力（重力）と上向きの力の和（静電気力＋新しい空気抵抗力）が等しい。
• 計算の工夫として、(1)の関係式 \(mg=kv\) を利用して文字を消去する。

具体的な解説と立式
油滴の持つ電気量の大きさを \(q_0\) (\(q_0 > 0\)) とします。上記の考察から、油滴は負の電荷を持つため、その電気量は \(q = -q_0\) と表せます。
鉛直下向きに強さ \(E\) の電場が加えられているため、負に帯電した油滴は、電場と逆向き、すなわち鉛直上向きに大きさ \(F_e = q_0 E\) の静電気力を受けます。

このとき、油滴は新しい速さ \(v’ = 0.60v\) で等速落下しているので、再び力がつり合っています。働く力は以下の通りです。

• 下向きの力：重力 \(mg\)
• 上向きの力：静電気力 \(q_0 E\) と、新しい空気抵抗力 \(f’ = k v’ = k(0.60v)\)

したがって、力のつり合いの式は、
$$ mg = q_0 E + k(0.60v) $$
となります。

上記で立式した \(mg = q_0 E + k(0.60v)\) に、(1)の結果である \(mg = kv\) を代入して \(kv\) を消去します。
$$
\begin{aligned}
mg &= q_0 E + 0.60 (kv) \\[2.0ex] mg &= q_0 E + 0.60 (mg)
\end{aligned}
$$
この式を \(q_0\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
q_0 E &= mg – 0.60mg \\[2.0ex] q_0 E &= 0.40mg \\[2.0ex] q_0 &= \frac{0.40mg}{E}
\end{aligned}
$$
与えられた数値を代入します: \(m = 2.8 \times 10^{-15} \, \text{kg}\), \(g = 9.8 \, \text{m/s}^2\), \(E = 7.0 \times 10^3 \, \text{V/m}\)。
$$
\begin{aligned}
q_0 &= \frac{0.40 \times (2.8 \times 10^{-15}) \times 9.8}{7.0 \times 10^3} \\[2.0ex] &= \frac{0.40 \times 2.8 \times 9.8}{7.0} \times 10^{-15-3} \\[2.0ex] &= (0.40 \times 0.40 \times 9.8) \times 10^{-18} \\[2.0ex] &= (0.16 \times 9.8) \times 10^{-18} \\[2.0ex] &= 1.568 \times 10^{-18}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁に丸めると \(q_0 \approx 1.6 \times 10^{-18} \, \text{C}\) となります。
最初に考察したように、油滴の電荷は負であるため、求める電気量 \(q\) は、
$$ q = -q_0 = -1.6 \times 10^{-18} \, \text{C} $$

(1)では、油滴は「重力」と「空気抵抗」がつり合って一定の速さで落ちていました。
(2)では、下向きに電場（電気の力が発生する空間）をかけます。すると、油滴の落ちるスピードが遅くなりました。これは、油滴に上向きの「静電気力」が新たに加わったからです。
下向きの電場で上向きの力を受けるということは、理科で習うように、油滴はマイナス（負）の電気を持っている証拠です。
この状態でも油滴は一定の速さで落ちているので、やはり力はつり合っています。つり合いの関係は「下向きの重力 = 上向きの静電気力 + 上向きの空気抵抗」となります。この式を立て、(1)の結果をうまく利用して計算すると、油滴が持っている電気の量が求められます。

油滴の電気量は \(-1.6 \times 10^{-18} \, \text{C}\) と求められました。この値は、電気素量 \(e = 1.60 \times 10^{-19} \, \text{C}\) のちょうど10倍に近いです（\(1.568 \times 10^{-18} \approx 9.8 \times e\)）。ミリカンの実験では、このように油滴の電気量が電気素量の整数倍になることが発見され、電気の量には最小単位（電気素量）があることの強力な証拠となりました。符号が負であることも、落下速度が減少したという実験事実と矛盾しません。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 力のつり合いの応用:
  • 核心: この問題の根幹は、異なる状況下（電場の有無）における「力のつり合い」を正しく立式し、連立させて解くことにあります。特に、物体が「等速直線運動」をしているという情報から、「合力ゼロ」という物理状態を即座に見抜くことが最も重要です。
  • 理解のポイント:
    • 状況(1) 電場なし: 油滴に働く力は「重力」と「空気抵抗力」の2つ。つり合いの式は \(mg = kv\)。
    • 状況(2) 電場あり: 油滴に働く力は「重力」「静電気力」「空気抵抗力」の3つ。つり合いの式は \(mg = q_0 E + k(0.60v)\)。
    • 核心的な操作: これら2つの状況で成り立つ2本の式を連立方程式とみなし、未知数（この場合は \(q_0\)）を求めるのが問題解決の王道です。
• 物理現象からの力の向きの推論:
  • 核心: 「電場を加えたら落下速度が減少した」という実験事実から、新たに追加された静電気力の「向き」を論理的に推論するプロセスが重要です。
  • 理解のポイント:
    • 原因と結果: 速度が減少した（結果）のは、上向きの力が強くなった（原因）から。
    • 力の分析: 速度が減少すると空気抵抗力（上向き）はむしろ弱くなる。それでも全体として上向きの力が強くなったのは、静電気力が上向きに働いたからに他ならない。
    • 電荷の決定: 電場は下向き。上向きの静電気力を受けるのは「負」の電荷。この一連の思考プロセスが、物理問題を解く上での醍醐味です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 電場を逆向きにかける問題: もし電場を上向きにかけたらどうなるか？ 油滴が負電荷なら静電気力は下向きに働き、落下速度は増加します。力のつり合いの式は \(mg + q_0 E = kv”\) のようになります。
  • 油滴を静止させる問題: 電場の強さを調整して油滴を空中に静止させる問題。この場合、速度がゼロなので空気抵抗力もゼロになります。力のつり合いは非常にシンプルで、\(mg = q_0 E\) となります。
  • 浮力を考慮する問題: より精密な実験では、空気の浮力も考慮します。その場合、重力のかわりに「重力と浮力の合力」を考え、つり合いの式を立てることになります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 状況の変化を把握する: 問題文を読み、(1)の状態と(2)の状態で「何が変わり、何が変わらないか」を整理します。この問題では、加えた力（静電気力）が変わり、その結果として速度と空気抵抗力が変わりました。一方、質量 \(m\) や重力 \(g\)、抵抗の係数 \(k\) は変わりません。
  2. 力の図示を徹底する: 各状況について、物体に働く力をすべて矢印で図に描き出すことを習慣にします。力の向き、種類、大きさを視覚化することで、立式ミスを劇的に減らせます。
  3. 連立方程式の利用を疑う: 複数の状況設定がある問題では、それぞれの状況で立てた式を連立させて解くのが定石です。特に、模範解答のように一方の式（\(mg=kv\)）をもう一方の式に代入して文字を消去するテクニックは、計算を簡略化する上で非常に強力です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 静電気力の向きの間違い:
  • 誤解: 電荷の正負を考慮せず、電場と同じ向きに静電気力が働くと早合点してしまう。
  • 対策: 「正電荷は電場と同じ向き、負電荷は電場と逆向きに力を受ける」という基本原則を徹底的に覚えることが不可欠です。問題文の「速度が減少した」というヒントから、力の向きを物理的に考察する癖をつけることで、機械的な間違いを防げます。
• 空気抵抗力の扱いの間違い:
  • 誤解: (2)の状況でも、空気抵抗力を(1)と同じ \(kv\) のまま計算してしまう。
  • 対策: 空気抵抗力は「速さに比例する」という定義を常に意識します。速さが \(v’ = 0.60v\) に変わったのだから、空気抵抗力も \(f’ = kv’ = k(0.60v)\) に変わる、という当然の事実を見落とさないように注意しましょう。
• 計算の工夫をしないことによるミス:
  • 誤解: (2)のつり合いの式に、すべての数値を最初から代入して計算しようとする（別解のアプローチ）。
  • 対策: 別解のアプローチも間違いではありませんが、計算が複雑になり、計算ミスや桁数間違いのリスクが高まります。模範解答のように、(1)のつり合いの関係式 \(mg=kv\) を使って「\(kv\) を \(mg\) で置き換える」という操作をすることで、扱う文字や数値が減り、計算が劇的に楽になります。複数の状況設定がある問題では、このような「文字消去」ができないか、常に考えるようにしましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力のつり合いの式の選定:
  • 選定理由: (1), (2)ともに問題文に「等速で落下」という記述があります。物理学において「等速」は「加速度ゼロ」を意味し、ニュートンの運動法則 \(ma=F\) によれば、加速度 \(a\) がゼロなら合力 \(F\) もゼロでなければなりません。これが「力のつり合い」の状態です。したがって、この法則を数式で表現した「力のつり合いの式」を選択するのが、最も直接的で論理的なアプローチです。
  • 適用根拠: (1)では重力と空気抵抗力が、(2)では重力、空気抵抗力、静電気力が、それぞれ油滴に働く力のすべてです。これらのベクトル和がゼロになる、という条件を立式することで、未知の物理量（速さや電気量）を既知の量と関係づけることができます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 有効数字を意識した計算:
  • 問題文で与えられている数値はすべて有効数字2桁（\(2.8, 9.8, 3.5, 7.0, 0.60\)）です。したがって、最終的な答えも有効数字2桁で答える必要があります。
  • 計算の途中では、有効数字より1桁多く（3桁程度）残して計算を進め、最後に四捨五入するのが基本です。例えば、(1)の \(v=7.84 \times 10^{-4}\) や(2)の \(q_0 = 1.568 \times 10^{-18}\) は、途中の値として適切です。
• 指数の計算を制する:
  • \(10^A \times 10^B = 10^{A+B}\)、\(10^A \div 10^B = 10^{A-B}\) という指数法則を確実にマスターしましょう。特に、分母にある指数の引き算（例: \(10^{-15} \div 10^{-11} = 10^{-15 – (-11)} = 10^{-4}\)）は符号ミスをしやすいので要注意です。
  • 計算を始める前に、数値部分と指数部分を分けて書く（例: \(\displaystyle\frac{2.8 \times 9.8}{3.5} \times \frac{10^{-15}}{10^{-11}}\)）と、思考が整理されミスが減ります。
• 文字式による簡略化の徹底:
  • この問題の最大の教訓は、(2)の計算で \(mg=kv\) を代入するテクニックです。これにより、\(k\) や \(v\) の具体的な数値を扱う必要がなくなり、\(m, g, E\) だけで計算を進めることができます。
  • 物理の問題では、このように「前の設問で導いた関係式」が後の設問を解く鍵になることが頻繁にあります。常に「前の結果をうまく使えないか？」と考える癖をつけることが、計算を楽にし、ミスを減らすための最強の武器になります。

482 ミリカンの実験

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは、前問に引き続き「ミリカンの実験」です。今回は、空気抵抗力の具体的なモデル（半径と速さの積に比例）が与えられ、2つの異なる状況（電場なしでの落下、電場ありでの上昇）における力のつり合いを数式で表現し、それらを連立させて未知の電気量を求める、という一連の思考プロセスを問うています。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(ア)

思考の道筋とポイント
油滴が一定の速さ \(v_1\) で「落下」している状況を考えます。「一定の速さ」というキーワードから、油滴に働く力はつり合っていると判断します。このとき油滴に働く力は、鉛直下向きの「重力」と、運動を妨げる向き（鉛直上向き）の「空気抵抗力」の2つです。これらの力がつり合う条件を式で表します。
この設問における重要なポイント

• 等速落下なので、力の合力はゼロ。
• 働く力は、下向きの重力 \(mg\) と上向きの空気抵抗力 \(krv_1\)。
• 力のつり合いの式は、\((\text{上向きの力の総和}) = (\text{下向きの力の総和})\)。

具体的な解説と立式
油滴の質量を \(m\)、重力加速度の大きさを \(g\) とすると、油滴に働く重力は \(mg\) で、鉛直下向きです。
油滴は速さ \(v_1\) で落下しているので、空気抵抗力は \(krv_1\) の大きさで、運動方向とは逆の鉛直上向きに働きます。

油滴は等速直線運動をしているため、これらの力はつり合っています。
$$ mg = krv_1 $$
問題の空欄の形式に合わせるため、移項して右辺をゼロにします。
$$ mg – krv_1 = 0 $$

この設問では立式のみが求められており、これ以上の計算は不要です。

油滴が一定のスピードでまっすぐ下に落ちている状態です。このとき、地球が油滴を下に引っ張る「重力」と、空気が油滴の動きを邪魔しようと上に押し返す「空気抵抗」の力が、ちょうど同じ大きさで引き合っている（つり合っている）と考えられます。この「重力＝空気抵抗」という関係を数式で表します。

油滴の落下時における力のつり合いの式は \(mg – krv_1 = 0\) となります。これは、重力と空気抵抗力が等しいことを示す、物理的に妥当な式です。

問(イ)

思考の道筋とポイント
次に、電圧 \(V\) を加えたことで油滴が一定の速さ \(v_2\) で「上昇」している状況を考えます。この場合も「一定の速さ」なので、力がつり合っています。働く力は、油滴を上昇させる原因である上向きの「静電気力」と、それに対抗する下向きの「重力」および「空気抵抗力」の3つです。空気抵抗力は常に運動と逆向きに働くため、上昇している今回は下向きになる点に注意が必要です。
この設問における重要なポイント

• 等速上昇なので、力の合力はゼロ。
• 働く力は3つ：上向きの静電気力 \(qE\)、下向きの重力 \(mg\)、下向きの空気抵抗力 \(krv_2\)。
• 平行電極板間の電場の強さは \(E = \displaystyle\frac{V}{d}\) で与えられる。
• 力のつり合いの式は、\((\text{上向きの力の総和}) = (\text{下向きの力の総和})\)。

具体的な解説と立式
油滴を上昇させている力は、上向きの静電気力です。その大きさ \(F_e\) は、電気量を \(q\)、電場の強さを \(E\) として \(F_e = qE\) と表せます。平行電極板間の電場の強さ \(E\) は、電圧 \(V\) と間隔 \(d\) を用いて \(E = \displaystyle\frac{V}{d}\) と書けるので、静電気力の大きさは \(q\displaystyle\frac{V}{d}\) となります。

この静電気力に対して、下向きに働く力が2つあります。

1. 重力: \(mg\)
2. 空気抵抗力: 速さ \(v_2\) で上昇しているので、大きさ \(krv_2\) で下向きに働きます。

これらの3つの力がつり合っているので、
$$ q\frac{V}{d} = mg + krv_2 $$
が成り立ちます。問題の空欄の形式に合わせて移項すると、
$$ mg + krv_2 – q\frac{V}{d} = 0 $$

この設問では立式のみが求められており、これ以上の計算は不要です。

今度は、電気の力を使って油滴を上に持ち上げ、一定のスピードで上昇させている状態です。このときも力がつり合っており、「上向きに持ち上げる電気の力」と、「下向きに引っ張る重力」と「下向きに働く空気の抵抗」の合計が等しくなっています。この関係を数式で表します。

油滴の上昇時における力のつり合いの式は \(mg + krv_2 – q\displaystyle\frac{V}{d} = 0\) となります。上向きの力と下向きの力の和が等しいことを示す、物理的に妥当な式です。

問(ウ)

思考の道筋とポイント
(ア)と(イ)で立てた2つの力のつり合いの式を使って、電気量 \(q\) を求めます。この2つの式には、直接測定することが難しい物理量である質量 \(m\) が含まれています。そこで、(ア)の式から得られる \(mg\) の関係式を(イ)の式に代入することで、\(m\) と \(g\) を消去し、\(q\) を問題文で指定された測定可能な物理量（\(k, r, v_1, v_2, d, V\)）だけで表すことを目指します。
この設問における重要なポイント

• (ア)と(イ)の2式を連立方程式として解く。
• (ア)の式 \(mg – krv_1 = 0\) を変形して得られる \(mg = krv_1\) を利用する。
• この関係式を(イ)の式に代入し、\(mg\) を消去する。

具体的な解説と立式
(ア)で立てた力のつり合いの式は、
$$ mg – krv_1 = 0 $$
より
$$ mg = krv_1 \quad \cdots ① $$
(イ)で立てた力のつり合いの式は、
$$ mg + krv_2 – q\frac{V}{d} = 0 \quad \cdots ② $$
式②に式①を代入して、\(mg\) を消去します。
$$ (krv_1) + krv_2 – q\frac{V}{d} = 0 $$

上記で立式した方程式を、\(q\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
krv_1 + krv_2 – q\frac{V}{d} &= 0 \\[2.0ex] q\frac{V}{d} &= krv_1 + krv_2 \\[2.0ex] \end{aligned}
$$
右辺を共通因数 \(kr\) でくくります。
$$
\begin{aligned}
q\frac{V}{d} &= kr(v_1 + v_2) \\[2.0ex] \end{aligned}
$$
最後に、両辺に \(\displaystyle\frac{d}{V}\) を掛けて \(q\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
q &= \frac{krd(v_1 + v_2)}{V}
\end{aligned}
$$

(ア)と(イ)で、2つの場面についての力のつり合いの式を作りました。この2つの式をうまく組み合わせることで、直接測るのが難しい「油滴の重さ \(mg\)」を計算から消すことができます。(ア)の式から「重さ \(mg\) は、実は \(krv_1\) という量と全く同じ大きさだ」ということがわかります。この情報を(イ)の式の \(mg\) の部分と入れ替えてあげる（代入する）と、式の中から \(mg\) が消え、電気量 \(q\) を、実験で測定できる量だけで表す式が完成します。

電気量 \(q\) は \(\displaystyle\frac{krd(v_1 + v_2)}{V}\) と表せました。この式は、電気量 \(q\) が、比例定数 \(k\)、油滴の半径 \(r\)、落下速度 \(v_1\)、上昇速度 \(v_2\)、極板間隔 \(d\)、電圧 \(V\) という、すべて実験的に測定可能な量で決定できることを示しています。これにより、測定困難な質量 \(m\) を知ることなく電気量を求めることが可能になり、ミリカンの実験の根幹をなす式となっています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 複数状況下での「力のつり合い」の連立:
  • 核心: この問題は、単一の力のつり合いを解くだけでなく、2つの異なる物理状況（電場なしでの落下、電場ありでの上昇）それぞれについて力のつり合いを立式し、それらを「連立方程式」として解く能力を試しています。
  • 理解のポイント:
    • 式(ア) \(mg = krv_1\): これは油滴の質量 \(m\) という直接測定が困難な量を、測定可能な量（\(k, r, v_1\)）と結びつける「関係式」の役割を果たします。
    • 式(イ) \(q\frac{V}{d} = mg + krv_2\): こちらは未知の電気量 \(q\) を含む、本題の式です。
    • 連立による解決: 式(イ)に単独では測定不能な \(mg\) が含まれていますが、式(ア)を代入することで \(mg\) を消去できます。これにより、未知数 \(q\) をすべて測定可能な量だけで表現できるようになります。この「測定不能な量を、他の測定可能な量との関係式を使って消去する」という考え方は、物理学の実験や理論において非常に重要なテクニックです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 異なる電圧での運動: 電圧 \(V\) をかけたときに速さ \(v_2\) で上昇し、電圧を \(2V\) にしたら速さ \(v_3\) で上昇した、というような問題。この場合も、それぞれの状況で力のつり合いの式を立て、連立させることで解くことができます。
  • 電荷が変化する問題: X線を照射するなどして油滴の電荷 \(q\) が \(q’\) に変化し、上昇速度が \(v_2\) から \(v_3\) に変わった、という問題。この場合も、変化前と変化後で力のつり合いの式を立て、\(mg\) を消去することで電荷の変化量 \((q’-q)\) を求めることができます。これは電気素量の存在を示す上で重要な実験です。
  • ストークスの法則: より現実に近いモデルとして、空気抵抗の比例定数 \(k\) が \(k=6\pi\eta\)（\(\eta\)は空気の粘性率）で与えられる「ストークスの法則」を用いる問題もあります。本質的な解法は同じですが、代入する文字式がより具体的になります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 状況の数を数える: 問題文にいくつの異なる状況（例：落下、上昇、静止など）が設定されているかを確認します。状況が2つあれば、2本のつり合いの式を立てる可能性が高いです。
  2. 各状況での力の図示: それぞれの状況について、物体に働く力をすべてベクトルで図示します。特に「速度の向き」を明確にし、それによって「空気抵抗力の向き」が決まることを意識します。
  3. 消去すべき文字を特定する: 問題の最終的なゴール（例: \(q\) を \(k, r, v_1, …\) で表す）を確認し、そのゴールに含まれていない文字（この問題では \(m, g\)）が、連立によって消去すべきターゲットであると見定めます。
  4. 式の整理: 連立方程式を解く際は、まず「\((\text{消去したい文字}) = (\text{その他の文字})\)」という形に一方の式を整理してから、もう一方の式に代入すると、計算の見通しが良くなります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 空気抵抗力の向きの間違い:
  • 誤解: 油滴が上昇している(イ)の状況で、空気抵抗力を(ア)と同じ上向きだと勘違いしてしまう。
  • 対策: 「空気抵抗力は、常に速度ベクトルと逆向きに働く」という大原則を徹底します。図を描く際に、まず速度の矢印（\(v_1\) は下向き、\(v_2\) は上向き）を確定させ、次にその矢印と必ず逆向きに空気抵抗力の矢印を描く、という手順を習慣化しましょう。
• 静電気力の式の混同:
  • 誤解: 静電気力の式 \(F=qE\) と、電場と電位の関係式 \(E=\displaystyle\frac{V}{d}\) を混同したり、どちらか一方を忘れたりする。
  • 対策: 「力は \(qE\)\(（キュー・イー）\)」、「電場は \(V/d\)\(（ディー分のブイ）\)」と、2つの式をセットで正確に記憶することが重要です。最終的に力のつり合いで使うのは「力」なので、\(F = qE = q\displaystyle\frac{V}{d}\) という一連の流れを意識すると間違いが減ります。
• 連立方程式の計算ミス:
  • 誤解: \(mg = krv_1\) を代入する際に、符号を間違えたり、移項を間違えたりする。
  • 対策: 代入操作は慎重に行いましょう。\(mg + krv_2 – q\displaystyle\frac{V}{d} = 0\) の \(mg\) の部分を、丸ごと \((krv_1)\) で置き換えるイメージを持つと安全です。 \((krv_1) + krv_2 – q\displaystyle\frac{V}{d} = 0\) となり、ここから \(q\) について解く際には、一つ一つの項を丁寧に移項し、最後に \(q\) の係数で割る、という基本操作を忠実に実行します。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力のつり合いの式の連立:
  • 選定理由: (ウ)では、未知数 \(q\) を、測定可能な量だけで表現することが求められています。(ア)と(イ)で立てた2つの式には、未知数が \(m\) と \(q\) の2つ（\(g\)は定数とみなす）含まれています。中学校で習うように、2つの未知数を含む連立方程式を解くには、2本の独立した方程式が必要です。したがって、(ア)と(イ)の2つの式を連立させて解く、という方針が数学的に自然な選択となります。
  • 適用根拠: 物理的に、油滴の質量 \(m\) は(ア)の状況でも(イ)の状況でも変化しない不変量です。この不変な物理量を介して2つの異なる状況を結びつけ、一方の式で得られた \(m\) に関する情報を、もう一方の式で利用することは完全に正当化されます。この操作により、測定が困難な \(m\) を計算過程から消去し、測定可能な量だけの関係式を導くことができるのです。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 共通因数でくくる: (ウ)の計算過程で \(krv_1 + krv_2\) という項が出てきます。これを \(kr(v_1 + v_2)\) と共通因数でくくることで、式がシンプルになり、見た目がすっきりして後の操作がしやすくなります。複雑な文字式計算では、常に共通因数でくくれないか意識する癖をつけましょう。
• ゴールから逆算する思考: 最終的に求めたいのは \(q=\dots\) の形です。\(q\displaystyle\frac{V}{d} = kr(v_1 + v_2)\) の式までたどり着いたら、「\(q\) だけを左辺に残すにはどうすればよいか？」と考えます。答えは「係数である \(\displaystyle\frac{V}{d}\) の逆数、つまり \(\displaystyle\frac{d}{V}\) を両辺に掛ければよい」となります。このゴールから逆算する思考法は、複雑な式変形でのミスを防ぎます。
• 単位の確認（次元解析）: 最終的に得られた式 \(q = \displaystyle\frac{krd(v_1+v_2)}{V}\) の単位が、本当に電気量（クーロン）の単位になっているかを確認する（次元解析）のも、上級者向けの検算テクニックです。複雑な計算ですが、これにより式の構造的な間違いを発見できることがあります。

ABOUT THE AUTHOR

共田 誠（まこと先生）

高校物理講師・プロ家庭教師 / 指導歴14年

上智大学理工学部物理学科卒。私立高校の非常勤講師として進学クラスから基礎クラスまで幅広く担当。大手家庭教師センター3社でプロ家庭教師を経験し、現在はオンライン専門で全国の高校生を個別指導中。

「暗記物理の撲滅」を掲げ、生徒の思考のクセを診断・矯正するドクター型アプローチで指導。表面的なテクニックではなく、初見の問題に強い思考力を育てる。

800+解説記事

1.1万+YouTube登録者

6プレミアムパック

14年指導歴

🎯高校物理の全6分野、プレミアムパックが完成しました。制作の記録を見る →

指導哲学を読む個別指導についてYouTubeチャンネル