「セミナー物理基礎＋物理2025」徹底解説！【第 Ⅲ 章 13】発展例題～発展問題328

発展例題

発展例題26 ピストンの移動

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「断熱容器内の、熱を通す仕切りによる気体の状態変化」です。複数の気体が相互作用しながら平衡状態に達する問題の典型例であり、熱力学の法則を的確に適用する能力が問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題の核心は、2つの重要な保存則を見抜くことです。一つは「容器全体の体積の保存」、もう一つは「系全体の内部エネルギーの保存」です。さらに、壁が動いて静止したとき、左右の圧力が等しくなるという「力のつり合い」の条件も鍵となります。単原子分子理想気体の内部エネルギーが \(U=\frac{3}{2}pV\) と表せることを利用して、温度や物質量を直接計算せずに解くのが最も効率的な方法です。

この設問における重要なポイント

• 仕切壁が静止 \(\rightarrow\) 左右の圧力が等しい。
• 容器が断熱材 \(\rightarrow\) 左右の気体を合わせた系全体の内部エネルギーが保存される。
• 容器の壁は固定 \(\rightarrow\) 左右の気体の体積の和は一定。
• 単原子分子理想気体の内部エネルギーは \(U=\frac{3}{2}pV\)。

具体的な解説と立式
仕切壁が移動して静止した後の、左右の気体の圧力を \(p\)、体積をそれぞれ \(V_1\), \(V_2\) とします。

はじめの状態における内部エネルギーの和 \(U_{\text{初}}\) は、
$$
\begin{aligned}
U_{\text{初}} &= (\text{左側の内部エネルギー}) + (\text{右側の内部エネルギー}) \\[2.0ex] &= \frac{3}{2}p_0(4V_0) + \frac{3}{2}(2p_0)V_0
\end{aligned}
$$

後の状態における内部エネルギーの和 \(U_{\text{後}}\) は、
$$
\begin{aligned}
U_{\text{後}} &= \frac{3}{2}pV_1 + \frac{3}{2}pV_2
\end{aligned}
$$
共通因数でくくると、
$$
\begin{aligned}
U_{\text{後}} &= \frac{3}{2}p(V_1 + V_2)
\end{aligned}
$$

容器全体が断熱されているため、内部エネルギーの和は保存されます。したがって、\(U_{\text{初}} = U_{\text{後}}\) より、
$$ \frac{3}{2}p_0(4V_0) + \frac{3}{2}(2p_0)V_0 = \frac{3}{2}p(V_1 + V_2) \quad \cdots ① $$

また、容器全体の体積は変わらないので、
$$
\begin{aligned}
V_1 + V_2 &= 4V_0 + V_0 \\[2.0ex] &= 5V_0 \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$
これで、未知数 \(p, V_1, V_2\) を含む2本の式が立てられました。

まず、式①の両辺を \(\frac{3}{2}\) で割ります。
$$
\begin{aligned}
p_0(4V_0) + (2p_0)V_0 &= p(V_1 + V_2) \\[2.0ex] 4p_0V_0 + 2p_0V_0 &= p(V_1 + V_2) \\[2.0ex] 6p_0V_0 &= p(V_1 + V_2) \quad \cdots ③
\end{aligned}
$$
次に、この式③に、体積の関係式②を代入します。
$$
\begin{aligned}
6p_0V_0 &= p(5V_0)
\end{aligned}
$$
両辺を \(5V_0\) で割って、圧力 \(p\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
p &= \frac{6p_0V_0}{5V_0} \\[2.0ex] p &= \frac{6}{5}p_0
\end{aligned}
$$

断熱された箱の中で、熱を通す仕切りが動く状況を考えます。はじめは左右で圧力も体積も違いますが、仕切りを自由にすると、圧力の強い右側が左側を押し始めます。仕切りが止まるのは、左右からの「押す力（圧力）」が同じになったときです。また、箱全体が魔法瓶のようになっているので、気体が持っているエネルギーの合計は、仕切りが動く前と後で変わりません。この「エネルギーの合計が同じ」という式を立てることで、最終的につり合ったときの圧力を計算することができます。

最終的な圧力は \(p=\frac{6}{5}p_0\) と求まりました。
この値は、はじめの圧力 \(p_0\) と \(2p_0\) の間の値であり、物理的に妥当な結果です。特に、この結果は体積で重みづけした平均圧力 \(\frac{p_0 \cdot 4V_0 + 2p_0 \cdot V_0}{4V_0+V_0} = \frac{6p_0V_0}{5V_0} = \frac{6}{5}p_0\) と一致しています。これは、内部エネルギー保存則（\(U \propto pV\)）から導かれる、理にかなった結論です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 複合的な物理法則の適用
  • 核心: この問題の根幹は、一つの閉じた系の中で起こる状態変化を、「力のつり合い」「熱的平衡」「エネルギー保存」という複数の異なる物理法則を組み合わせて解析する能力です。これらの法則が、それぞれ気体のどの状態量（圧力、温度、内部エネルギー）に対応するのかを正確に理解することが求められます。
  • 理解のポイント:
    • 力学的つり合い: 「仕切壁が静止した」という記述は、壁に働く左右からの力がつり合ったことを意味します。気体の場合、これは「左右の圧力が等しくなる」という条件に翻訳されます。
    • 熱的平衡: 「熱を通す仕切壁」という記述は、左右の気体間で熱エネルギーの移動が可能であることを示します。十分な時間が経てば、両者の温度は等しくなり、「熱的平衡」の状態に達します。
    • エネルギー保存則: 「断熱材で覆われた容器」という記述は、容器全体（左右の気体を合わせた系）と外部との間で熱のやり取りがないことを意味します。また、系は外部に仕事をしないため、熱力学第一法則 \(\Delta U = Q + W\) において \(Q=0, W=0\) となり、系全体の内部エネルギーの和 \(\Delta U = 0\)、つまり内部エネルギーの和が保存されることになります。
• 内部エネルギーの式の選択
  • 核心: 単原子分子理想気体の内部エネルギーを、\(U = \frac{3}{2}nRT\) と \(U = \frac{3}{2}pV\) の二通りで表現できることを理解し、問題の状況に応じて最適な式を選択することです。
  • 理解のポイント:
    • 模範解答の選択: 模範解答では \(U = \frac{3}{2}pV\) を採用しています。これは、問題で与えられているのが圧力 \(p\) と体積 \(V\) であり、求めたいのも最終的な圧力 \(p\) だからです。この式を使うことで、未知数である物質量 \(n\) や温度 \(T\) を計算の途中で登場させることなく、直接 \(p\) と \(V\) の関係式だけで解くことができ、計算が非常に簡潔になります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 壁が断熱材の場合: もし仕切壁が「断熱材」でできていれば、左右の気体間で熱の移動は起こりません。壁が動くことで互いに仕事を及ぼし合いますが、最終的に温度が等しくなるとは限りません。この場合でも、系全体の内部エネルギーは保存されます。
  • 壁が固定で加熱される場合: 壁が固定されていて、片方の気体がヒーターなどで加熱される問題。この場合、体積は変化しないので気体は仕事をしませんが、外部から熱量 \(Q\) を受け取るため内部エネルギーは増加します。熱力学第一法則 \(\Delta U = Q\) を適用します。
  • ピストンが外気に接している場合: シリンダーに封入された気体が、外気に接したピストンを動かす問題。この場合、気体は外部に対して仕事をしたり、されたりします。外圧が一定であれば、ピストンがゆっくり動く限り、内部の圧力は外圧とつり合った状態を保ちます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 容器と壁の性質を徹底的に確認する:
     • 容器: 「断熱」か「等温（熱をよく通す）」か？ → これが系全体のエネルギー保存や温度変化のルールを決めます。
     • 壁（ピストン）: 「断熱」か「熱を通す」か？ → これが系の内部での熱移動の有無、つまり最終的な温度の関係を決めます。
     • 壁（ピストン）: 「固定」か「自由に動ける」か？ → これが体積変化の有無や、最終的な圧力の関係を決めます。
  2. 気体の種類を特定する:
     • 「単原子分子」「二原子分子」のどちらか？ → これによって内部エネルギーの式（\(U=\frac{3}{2}nRT\) か \(U=\frac{5}{2}nRT\) か）が決まります。問題文に指定がなければ、単原子分子と考えることが多いです。
  3. 保存される量を見抜く:
     • 容器が密閉されていれば、左右の物質量の和 \(n_{\text{左}}+n_{\text{右}}\) は保存されます。
     • 容器の大きさが変わらなければ、左右の体積の和 \(V_1+V_2\) は保存されます。
     • 容器全体が断熱されていれば、左右の内部エネルギーの和 \(U_1+U_2\) は保存されます。
  4. 解法の戦略を立てる:
     • 最終的な圧力や体積だけが問われているか？ → 模範解答のように \(U=\frac{3}{2}pV\) を使ってエネルギー保存則を立てるのが早いか？
     • 最終的な温度や、途中のプロセスへの理解も問われているか？ → 別解のように状態方程式 \(pV=nRT\) から物質量の比を求め、物理的状態を段階的に明らかにしていく方が確実か？

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 個々の気体の内部エネルギーが保存されると誤解する:
  • 誤解: 「断熱容器だからエネルギーは保存される」と考え、左側の気体の内部エネルギーと、右側の気体の内部エネルギーが、それぞれ変化の前後で等しいとしてしまう。
  • 対策: 壁が動くとき、一方の気体は膨張して仕事をし（内部エネルギー減少）、もう一方は圧縮されて仕事をされます（内部エネルギー増加）。また、熱を通す壁を介して熱が移動します。したがって、個々の気体の内部エネルギーは保存されません。保存されるのは、あくまで左右の気体をひとまとめにした「系全体の内部エネルギーの和」であると正確に理解しましょう。
• 状態方程式を異なる状態で適用してしまう:
  • 誤解: 状態方程式 \(pV=nRT\) を立てる際に、変化前の圧力 \(p_0\) と変化後の体積 \(V_1\) を同じ式に入れてしまうなど、異なる時点の状態量を混同してしまう。
  • 対策: 状態方程式は、ある特定の瞬間の「状態」を記述する式です。「はじめの左側」「はじめの右側」「あとの左側」「あとの右側」というように、どの気体のどの時点について式を立てているのかを、添え字などで明確に区別する癖をつけましょう。
• 「容器が断熱」と「壁が熱を通す」の役割を混同する:
  • 誤解: 「容器が断熱」という言葉に引きずられて、仕切壁も断熱であるかのように錯覚し、最終的に左右の温度が等しくなるという条件を見落としてしまう。
  • 対策: 「容器が断熱」は、系全体と「外部」との熱のやり取りがないことを意味します。一方、「壁が熱を通す」は、「系の内部」での熱のやり取りがあることを意味します。この「外部」と「内部」の区別を意識することで、条件を正しく使い分けることができます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (主たる解法)での公式選択（内部エネルギー保存則と \(U=\frac{3}{2}pV\)）:
  • 選定理由: 求めたい物理量は最終的な「圧力 \(p\)」です。問題の最も重要な条件は「断熱容器」であり、これは「系全体の内部エネルギーの和が保存される」ことを直接的に示唆します。したがって、エネルギー保存則を立式の中心に据えるのは自然な流れです。
  • 適用根拠: 内部エネルギーの表現には \(U=\frac{3}{2}nRT\) と \(U=\frac{3}{2}pV\) の2種類があります。ここで、もし \(U=\frac{3}{2}nRT\) を使うと、未知数として物質量 \(n\) と最終温度 \(T_{\text{後}}\) が現れ、式が複雑になります。一方、問題で与えられているのは圧力と体積であり、求めたいのも圧力です。\(U=\frac{3}{2}pV\) を使えば、未知数を圧力 \(p\) と体積 \(V_1, V_2\) のみに限定できます。さらに、\(V_1+V_2\) は全体の体積として既知であるため、この選択が最も効率的に答えにたどり着く道筋となります。
• (別解)でのアプローチ選択（状態方程式 \(pV=nRT\) の先行利用）:
  • 選定理由: 模範解答がマクロなエネルギー収支に着目するのに対し、よりミクロな視点、つまり気体の「物質量 \(n\)」や「温度 \(T\)」といった状態量の変化から物理現象を解き明かしたい場合に有効な選択です。状態方程式は気体の振る舞いを記述する最も基本的な法則であり、ここから出発することで、より詳細な物理的洞察が得られます。
  • 適用根拠:
    1. 初期条件の活用: 「はじめ、両者の気体の温度は等しい」という条件は、状態方程式 \(pV=nRT\) を使うことで、左右の「物質量の比 \(n_{\text{左}}/n_{\text{右}}\)」を特定するために利用できます。
    2. 最終条件の活用: 「壁が自由に動き（圧力が等しい）」かつ「熱を通す（温度が等しい）」という最終状態の条件を再び状態方程式に適用すると、今度は「体積の比 \(V_1/V_2\)」が先ほど求めた物質量の比に等しくなることが導かれます。
    3. 全体の統合: 体積比と、体積の和が一定であることから、最終的な体積 \(V_1, V_2\) が具体的に求まります。ここまで準備が整えば、あとは主たる解法と同様にエネルギー保存則を用いることで、確実かつ明快に最終的な圧力を求めることができます。このアプローチは、なぜその体積比に落ち着くのかという物理的背景まで明らかにできる点で優れています。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま計算を進める:
  • \(p_0, V_0\) などの文字のまま、式の整理を進めましょう。はじめから数値を代入すると、式が持つ物理的な意味が失われ、間違いに気づきにくくなります。文字式で最終的な形を導いてから値を代入する方が、検算も容易です。
• 共通因数で式を簡潔にする:
  • 内部エネルギーの和を計算する際、\(\frac{3}{2}\) や、後の状態における圧力 \(p\) などは共通因数になります。これらを括りだすことで、\(U_{\text{後}} = \frac{3}{2}p(V_1+V_2)\) のように式が非常に見やすくなり、計算ミスを減らせます。
• 単位（次元）による検算:
  • 最終的に求めた答えの単位が、求めたい物理量の単位と一致しているかを確認する癖をつけましょう。この問題では、圧力 \(p\) を求めているので、答えは \(p_0\) の定数倍、つまり圧力の単位（次元）を持つはずです。もし \(p_0 V_0\) のような項が残っていたら、計算のどこかで体積 \(V\) を消し忘れている可能性が高いです。
• 物理的に妥当な値か吟味する:
  • 計算結果が出たら、それが物理的にありえる値かどうかを考えます。最終的な圧力 \(p = \frac{6}{5}p_0 = 1.2 p_0\) は、はじめの圧力 \(p_0\) と \(2p_0\) の間に収まっています。もしこの範囲から外れた値が出た場合、それは物理的に考えにくいため、計算過程を見直すきっかけになります。
• 比の計算は慎重に:
  • 別解のように状態方程式の比をとる場合、どの項が分子でどの項が分母かを明確にし、約分を丁寧に行いましょう。簡単な分数計算ほど、うっかりミスが起こりやすいポイントです。

発展例題27 \(p-V\)グラフと\(T-V\)グラフ

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「理想気体の状態変化とグラフの読み替え」です。気体の状態変化を表す \(p-V\) グラフから、各状態における物理量を計算し、それを別の種類のグラフ（\(T-V\) グラフ）に変換する能力を養います。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
まず、グラフから読み取れる情報（圧力、体積）と問題文で与えられた情報（Aの温度、B→Cが等温変化）を整理します。状態Aと状態Bでは、圧力と体積がともに分かっており、Aの温度も既知です。気体はシリンダーに閉じ込められているので物質量は一定です。したがって、ボイル・シャルルの法則 \(\frac{pV}{T} = \text{一定}\) を使うことで、未知の温度 \(T_B\) を求めることができます。\(T_C\) は、B→Cが等温変化であるという条件から直ちにわかります。

この設問における重要なポイント

• A→Bは体積が \(V_0\) で一定の「定積変化」。
• B→Cは温度が一定の「等温変化」。
• C→Aは圧力が \(p_0\) で一定の「定圧変化」。
• 閉じ込められた気体なので、物質量 \(n\) は常に一定。
• ボイル・シャルルの法則: \(\frac{p_1V_1}{T_1} = \frac{p_2V_2}{T_2}\)。

具体的な解説と立式
状態A, B, Cにおける圧力、体積、絶対温度をそれぞれ (\(p_A, V_A, T_A\)), (\(p_B, V_B, T_B\)), (\(p_C, V_C, T_C\)) とします。
グラフと問題文から、以下の値がわかります。

• 状態A: \(p_A = p_0\), \(V_A = V_0\), \(T_A = T_0\)
• 状態B: \(p_B = 3p_0\), \(V_B = V_0\), \(T_B = ?\)
• 状態C: \(p_C = p_0\), \(V_C = 3V_0\), \(T_C = ?\)

状態Aと状態Bについて、ボイル・シャルルの法則を適用します。
$$
\begin{aligned}
\frac{p_A V_A}{T_A} &= \frac{p_B V_B}{T_B}
\end{aligned}
$$
値を代入すると、
$$
\begin{aligned}
\frac{p_0 V_0}{T_0} &= \frac{(3p_0) V_0}{T_B} \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
次に、B→Cの過程は等温変化なので、
$$
\begin{aligned}
T_C &= T_B \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$

まず、式①を \(T_B\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\frac{p_0 V_0}{T_0} &= \frac{3p_0 V_0}{T_B} \\[2.0ex] T_B \cdot (p_0 V_0) &= T_0 \cdot (3p_0 V_0)
\end{aligned}
$$
両辺を \(p_0 V_0\) で割ると、
$$
\begin{aligned}
T_B &= 3T_0
\end{aligned}
$$
次に、式②より、Cにおける絶対温度 \(T_C\) は、
$$
\begin{aligned}
T_C &= 3T_0
\end{aligned}
$$

気体の状態は「圧力、体積、温度」の3つの要素で決まります。この3つは「\((\text{圧力} \times \text{体積}) \div \text{温度}\)」が常に一定になる、という法則で結びついています。今回は、A地点とB地点の「圧力」と「体積」がグラフからわかっているので、この法則を使ってB地点の温度を計算できます。計算すると、B地点の温度はA地点の3倍になります。また、BからCへは「等温変化」という指示があるので、C地点の温度はB地点と同じです。

Bにおける絶対温度は \(3T_0\)、Cにおける絶対温度は \(3T_0\) と求まりました。
A→Bの過程は定積変化（体積一定）です。このとき、状態方程式 \(pV=nRT\) より圧力と絶対温度は比例します (\(p \propto T\))。圧力が \(p_0\) から \(3p_0\) へと3倍になっているので、絶対温度も \(T_0\) から \(3T_0\) へと3倍になるはずで、計算結果と一致します。B→Cは等温変化なので、温度が \(3T_0\) のままであることも妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
このサイクルの \(T-V\) グラフを描くには、A→B、B→C、C→Aの各過程において、絶対温度 \(T\) と体積 \(V\) がどのような関係にあるかを調べる必要があります。
まず、(1)で求めた温度とグラフから読み取れる体積を用いて、A, B, C各点の \(T-V\) 平面上での座標を確定させます。
次に、各過程がどのような変化（定積、等温、定圧）であるかに注目し、\(T\) と \(V\) の関係式を導き、それらがグラフ上でどのような線（垂直線、水平線、原点を通る直線など）になるかを判断して、各点を結びます。

この設問における重要なポイント

• A→B (定積変化): \(V\) が一定なので、\(T-V\) グラフでは縦軸に平行な直線（垂直線）になる。
• B→C (等温変化): \(T\) が一定なので、\(T-V\) グラフでは横軸に平行な直線（水平線）になる。
• C→A (定圧変化): \(p\) が一定。状態方程式 \(pV=nRT\) より \(T = (\frac{p}{nR})V\) となり、\(T\) は \(V\) に比例する。したがって、\(T-V\) グラフでは原点を通る直線になる。

具体的な解説と立式
各点の \(T-V\) 平面における座標は以下の通りです。

• A: (\(V_A, T_A\)) = (\(V_0, T_0\))
• B: (\(V_B, T_B\)) = (\(V_0, 3T_0\))
• C: (\(V_C, T_C\)) = (\(3V_0, 3T_0\))

各過程の \(T\) と \(V\) の関係を考えます。

• A→Bの過程:
  定積変化であり、体積は \(V=V_0\) のまま一定です。温度は \(T_0\) から \(3T_0\) に上昇します。これは \(T-V\) グラフ上で、点(\(V_0, T_0\))から点(\(V_0, 3T_0\))へ引いた、\(T\)軸に平行な線分に対応します。
• B→Cの過程:
  等温変化であり、温度は \(T=3T_0\) のまま一定です。体積は \(V_0\) から \(3V_0\) に増加します。これは \(T-V\) グラフ上で、点(\(V_0, 3T_0\))から点(\(3V_0, 3T_0\))へ引いた、\(V\)軸に平行な線分に対応します。
• C→Aの過程:
  定圧変化であり、圧力は \(p=p_0\) のまま一定です。理想気体の状態方程式 \(pV=nRT\) に \(p=p_0\) を代入すると、
  $$
  \begin{aligned}
  p_0V &= nRT
  \end{aligned}
  $$
  これを \(T\) について整理すると、
  $$
  \begin{aligned}
  T &= \frac{p_0}{nR} V
  \end{aligned}
  $$
  ここで、\(nR\) は定数なので、\(T\) は \(V\) に比例します。したがって、この過程は \(T-V\) グラフ上で原点Oを通る直線の一部となります。点C(\(3V_0, 3T_0\))と点A(\(V_0, T_0\))を結ぶ線分です。
  （ちなみに、状態Aの関係式 \(p_0V_0=nRT_0\) から \(nR = \frac{p_0V_0}{T_0}\) を代入すると、\(T = \frac{p_0}{(p_0V_0/T_0)}V = \frac{T_0}{V_0}V\) となり、傾きが \(\frac{T_0}{V_0}\) の直線であることがより明確になります。）

以上の3つの過程を合わせることで、\(T-V\) グラフが完成します。

この設問はグラフを描画するものであり、計算は上記「具体的な解説と立式」の通りです。各点の座標をプロットし、過程ごとの線の形状を判断して結びます。

\(p-V\) グラフという「圧力と体積の地図」を、「温度と体積の地図」である \(T-V\) グラフに描き直す作業です。

1. まず、A, B, Cという3つの地点が、新しい地図の上でどの座標になるかを計算します。
2. 次に、AからBへの移動（体積が変わらず温度だけ上がる）、BからCへの移動（温度が変わらず体積だけ増える）、CからAへの移動（特別なルールに従って、体積が減ると温度も下がる）が、それぞれどんな形の道筋になるかを考えます。
3. 最後に、これらの道筋をつなぎ合わせれば、新しい地図の完成です。

描かれたグラフは、三角形を描きます。A→Bは垂直な線分、B→Cは水平な線分、C→Aは原点に向かう直線の一部となっており、各過程の物理的な性質を正しく表現しています。特に、C→Aの過程が直線になること、そしてその直線が原点を通ることを理解しているかが重要です。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 理想気体の状態方程式とそれから導かれる関係
  • 核心: この問題の根幹は、理想気体の状態（圧力 \(p\)、体積 \(V\)、絶対温度 \(T\)）を支配する最も基本的な法則である状態方程式 \(pV=nRT\) を理解し、それを様々な状況に応じて使いこなす能力です。ボイル・シャルルの法則 \(\frac{pV}{T}=\text{一定}\) や、各過程（定積・定圧・等温）における変数間の比例関係は、すべて状態方程式から導かれます。
  • 理解のポイント:
    • 状態方程式は万能: どんな平衡状態にある気体にも適用できる、熱力学の出発点となる法則です。
    • ボイル・シャルルの法則は便利な道具: 物質量 \(n\) が一定のとき、2つの状態を比較するのに特化した便利な関係式です。状態方程式から \(nR = \frac{pV}{T}\) が一定であることを利用して導かれます。
    • 各過程の性質: 定積（\(V\)一定）、定圧（\(p\)一定）、等温（\(T\)一定）という条件を状態方程式に適用することで、残りの2つの変数がどのような関係（例：定圧なら \(T \propto V\)）になるかを導き出せます。
• グラフの物理的意味の読解と変換
  • 核心: \(p-V\) グラフに描かれた点や線が、それぞれ気体の「状態」と「状態変化の過程」を意味することを理解し、その情報を別の種類のグラフ（\(T-V\) グラフ）に正確に翻訳することです。
  • 理解のポイント:
    • 点は「状態」: グラフ上の点A, B, Cは、それぞれ特定の圧力、体積、温度を持つ気体の状態を表します。
    • 線は「過程」: 点と点を結ぶ線は、気体がどのように変化したか（定積、定圧、等温など）を表します。
    • グラフの変換: あるグラフから別のグラフへ変換するには、各点の座標を計算し、各過程における軸の変数間の関係式（例：\(T \propto V\)）を導出して、それらがどのような線種（直線、曲線など）になるかを判断する必要があります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 他のグラフへの変換: \(p-V\) グラフから \(p-T\) グラフへ、あるいは \(T-V\) グラフから \(p-V\) グラフへなど、あらゆる組み合わせの変換問題。
  • 断熱変化を含むサイクル: \(p-V\) グラフ上で、等温変化の曲線（\(p \propto 1/V\)）よりも傾きが急な断熱変化の曲線（\(p \propto 1/V^\gamma\)）が含まれる問題。
  • 熱効率の計算: サイクル全体で気体が外部にした仕事（\(p-V\) グラフが囲む面積）や、吸収した熱量を計算し、熱効率 \(\eta = \frac{W}{Q_{\text{in}}}\) を求める問題。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まずグラフの軸を確認する: 横軸と縦軸がどの物理量（\(p, V, T\)）を表しているかを最初に確認します。
  2. 各過程の種類を特定する: グラフの線の形状から、各過程が「定積」「定圧」「等温」のどれに当たるかを判断します。
     • \(p-V\) グラフ: 縦線→定積、横線→定圧、反比例の曲線→等温。
     • \(T-V\) グラフ: 縦線→定積、横線→等温、原点を通る直線→定圧。
  3. 状態量を整理する: A, B, Cなどの特徴的な点について、(\(p, V, T\)) の値を、わかっているものと未知のものに分けて書き出すと、見通しが良くなります。
  4. 計算の起点となる状態を見つける: 問題文やグラフから、(\(p, V, T\)) のうちできるだけ多くの情報が与えられている状態（この問題では状態A）を見つけ、そこから計算を始めます。
  5. 適切な法則を選択する:
     • 2状態間の関係を知りたい場合: 物質量が一定なら、ボイル・シャルルの法則が最も手早く計算できます。
     • グラフの線の関係式を知りたい場合: 状態方程式 \(pV=nRT\) に、その過程の条件（例：\(p=\text{一定}\)）を代入して、軸となっている2変数の関係を導きます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 温度を摂氏温度で計算してしまう:
  • 誤解: 状態方程式やボイル・シャルルの法則の \(T\) に、問題で与えられた摂氏温度 [\(^\circ\text{C}\)] の値をそのまま代入してしまう。
  • 対策: 熱力学で用いる温度は、必ず「絶対温度 [K]」です。これは物理法則の根幹に関わるルールなので、機械的に変換する癖をつけましょう（\(T[\text{K}] = t[^\circ\text{C}] + 273\)）。
• グラフの形状を丸暗記して混同する:
  • 誤解: 「定圧変化は横線」のように単純に暗記し、\(p-V\) グラフでも \(T-V\) グラフでも横線を描いてしまう。
  • 対策: グラフの形状は、その都度、状態方程式から導出する習慣をつけましょう。「C→Aは定圧（\(p\)が一定）だから、状態方程式 \(pV=nRT\) より \(T = (\frac{p}{nR})V\)。\(T\) と \(V\) は比例関係なので、\(T-V\) グラフでは原点を通る直線になる」という論理的な思考プロセスが、ミスを防ぐ最善の策です。
• 等温変化と断熱変化の曲線を混同する:
  • 誤解: \(p-V\) グラフ上で、双曲線のように見える曲線が、等温変化なのか断熱変化なのか区別できない。
  • 対策: 同じ点から圧縮または膨張する場合、断熱変化の曲線の方が等温変化の曲線よりも傾きが急になります。これは、断熱圧縮では温度が上昇するため、同じ体積変化でも圧力の上昇がより大きくなるため、と理由とセットで理解しておくと忘れにくくなります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（ボイル・シャルルの法則）:
  • 選定理由: 求めたいのは状態Bの温度 \(T_B\) であり、比較対象として状態Aの情報が完全に与えられています。このように「2つの状態」を比較する場面で、かつ気体の「物質量が一定」である場合に、最も直接的に答えを導けるのがボイル・シャルルの法則です。
  • 適用根拠: 状態方程式 \(pV=nRT\) から、\(nR = \frac{pV}{T}\) となります。閉じ込められた気体では \(n\) と \(R\) は定数なので、\(\frac{pV}{T}\) の値がどの状態でも一定になります。これがボイル・シャルルの法則 \(\frac{p_A V_A}{T_A} = \frac{p_B V_B}{T_B}\) を適用できる根拠です。
• (1)別解でのアプローチ選択（状態方程式）:
  • 選定理由: ボイル・シャルルの法則が状態方程式から導かれる、より基本的な関係であることを確認するため、あるいは法則を忘れてしまった場合でも解けるようにするためです。
  • 適用根拠: 状態方程式 \(pV=nRT\) は、いかなる平衡状態においても成立する普遍的な法則です。状態Aと状態Bそれぞれについてこの式を立て、両者に共通する定数項 \(nR\) を消去することで、結果的にボイル・シャルルの法則と同じ関係式を導き出し、解を求めることができます。より根本的で応用範囲の広いアプローチです。
• (2)での公式選択（状態方程式）:
  • 選定理由: 求めたいのは \(T-V\) グラフ、すなわち「絶対温度 \(T\) と体積 \(V\) の関係」です。複数の物理変数（\(p, V, T\)）の関係性を記述する法則は、状態方程式以外にありません。
  • 適用根拠: 各過程（定積、定圧、等温）における条件を、状態方程式 \(pV=nRT\) に代入することで、求めたい2変数（この場合は \(T\) と \(V\)）の関係式を導き出すことができます。例えば、定圧過程（C→A）では \(p=p_0\)（定数）なので、式は \(T = (\frac{p_0}{nR})V\) と変形できます。これは \(T\) が \(V\) に比例することを示しており、\(T-V\) グラフ上で原点を通る直線になることの論理的な根拠となります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 添え字を明確に使い分ける:
  • \(p_A, V_A, T_A\) や \(p_B, V_B, T_B\) のように、どの状態における物理量なのかを添え字で明確に区別しましょう。これにより、計算途中で異なる状態の値をうっかり代入してしまうミスを防げます。
• 比の計算は分数で整理する:
  • ボイル・シャルルの法則を \(T_B\) について解く場合、いきなり数値を代入するのではなく、\(T_B = T_A \times \frac{p_B}{p_A} \times \frac{V_B}{V_A}\) のように文字式のまま変形すると、物理的な意味（圧力が何倍に、体積が何倍になったか）が分かりやすくなり、検算も容易になります。
  • この問題では、\(T_B = T_0 \times \frac{3p_0}{p_0} \times \frac{V_0}{V_0} = T_0 \times 3 \times 1 = 3T_0\) と、暗算レベルで確認できます。
• グラフの整合性を確認する:
  • (2)でグラフを描き終えたら、セルフチェックを行いましょう。
    • 点の座標: A, B, Cの各点が、(1)で求めた、あるいはグラフから読み取った正しい (\(V, T\)) 座標にプロットされているか。
    • 線の形状: A→Bは定積なので垂直か？ B→Cは等温なので水平か？ C→Aは定圧なので原点を通る直線になっているか？
    • サイクルの向き: 矢印が A→B→C→A の順になっているか。
  • これらの簡単な確認で、多くのミスを発見できます。
• 物理的な妥当性を吟味する:
  • A→B（定積加熱）では、気体は熱を吸収して温度が上がるはずです。計算結果 \(T_B = 3T_0 > T_0\) はこれと一致します。
  • B→C（等温膨張）では、気体は外部に仕事をしながら、同じ分だけ熱を吸収して温度を維持します。
  • C→A（定圧冷却）では、気体は熱を放出され、収縮して温度が下がるはずです。\(T_A = T_0 < T_C\) はこれと一致します。
  • このように、各過程での熱の出入りや仕事の関係を大まかに考えることで、計算結果が物理的に妥当かどうかを判断できます。

発展例-題28 \(p-V\)グラフと熱効率

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「\(p-V\)グラフで表される熱サイクルと熱効率」です。理想気体の状態変化について、仕事、内部エネルギー、熱量の関係を定量的に計算し、熱機関としての性能（熱効率）を評価する、熱力学の総合的な問題です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
1サイクルで気体がした仕事の和 \(W’\) は、各過程（A→B, B→C, C→D, D→A）で気体がした仕事の総和です。気体が仕事をするのは体積が変化する過程のみです。したがって、定圧膨張であるB→Cの過程と、定圧圧縮であるD→Aの過程の仕事に着目します。A→BとC→Dは体積が一定の定積変化なので、気体は仕事をしません。

この設問における重要なポイント

• 気体がする仕事は \(W = p\Delta V\) で計算される（定圧変化の場合）。
• 体積が増加（膨張）すれば、気体は正の仕事をする (\(W>0\))。
• 体積が減少（圧縮）すれば、気体は負の仕事をする (\(W<0\))。
• 体積が一定（定積変化）ならば、仕事はゼロ (\(W=0\))。

具体的な解説と立式
1サイクルでの仕事の和 \(W’\) は、各過程の仕事の和で表されます。
$$
\begin{aligned}
W’ &= W_{\text{A→B}} + W_{\text{B→C}} + W_{\text{C→D}} + W_{\text{D→A}}
\end{aligned}
$$
各過程の仕事を計算します。

• A→Bの過程: 定積変化 (\(\Delta V = 0\)) なので、\(W_{\text{A→B}} = 0\)。
• B→Cの過程: 定圧変化 (\(p=2p_0\)) で、体積が \(V_0\) から \(2V_0\) に増加するので、
  $$
  \begin{aligned}
  W_{\text{B→C}} &= 2p_0 \times (2V_0 – V_0) \\[2.0ex] &= 2p_0V_0
  \end{aligned}
  $$
• C→Dの過程: 定積変化 (\(\Delta V = 0\)) なので、\(W_{\text{C→D}} = 0\)。
• D→Aの過程: 定圧変化 (\(p=p_0\)) で、体積が \(2V_0\) から \(V_0\) に減少するので、
  $$
  \begin{aligned}
  W_{\text{D→A}} &= p_0 \times (V_0 – 2V_0) \\[2.0ex] &= -p_0V_0
  \end{aligned}
  $$

したがって、仕事の和 \(W’\) は、
$$
\begin{aligned}
W’ &= 0 + 2p_0V_0 + 0 + (-p_0V_0)
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
W’ &= 2p_0V_0 – p_0V_0 \\[2.0ex] &= p_0V_0
\end{aligned}
$$

気体は、膨らむときには外部を押しのけて「プラスの仕事」をし、縮むときには外部から押されて「マイナスの仕事」をします。このサイクルでは、B→Cの過程で大きく膨らみ（プラスの仕事）、D→Aの過程で小さく縮みます（マイナスの仕事）。このプラスとマイナスを合計したものが、1サイクル全体での正味の仕事になります。

仕事の和は \(p_0V_0\) となり、正の値でした。これは、サイクルが時計回りであることから、全体として気体が外部に正の仕事をしたことを意味しており、物理的に妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
気体が吸収した熱量を求めるには、モル比熱を用いた公式 \(Q = nC\Delta T\) を使うのが基本です。この公式を使うためには、各状態の温度を知る必要があります。状態Aの温度が \(T_0\) と与えられているので、これを基準に、状態Bと状態Cの温度 \(T_B, T_C\) を求めます。気体の物質量は \(n=1\,\text{mol}\) で一定なので、ボイル・シャルルの法則（または状態方程式）が使えます。温度が求まったら、A→Bが定積変化、B→Cが定圧変化であることに注意して、それぞれに適したモル比熱（\(C_V, C_p\)）を使って熱量を計算します。

この設問における重要なポイント

• 単原子分子理想気体のモル比熱は、定積モル比熱 \(C_V = \frac{3}{2}R\)、定圧モル比熱 \(C_p = \frac{5}{2}R\)。
• A→Bは定積変化なので \(Q_{\text{A→B}} = nC_V\Delta T\)。
• B→Cは定圧変化なので \(Q_{\text{B→C}} = nC_p\Delta T\)。

具体的な解説と立式
まず、状態B, Cの温度を求めます。気体は \(1\,\text{mol}\) なので、状態Aについて状態方程式を立てると、
$$
\begin{aligned}
p_0V_0 &= 1 \cdot RT_0 \\[2.0ex] &= RT_0
\end{aligned}
$$
この関係は後で使います。
状態Aと状態Bについてボイル・シャルルの法則を適用します。
$$
\begin{aligned}
\frac{p_A V_A}{T_A} &= \frac{p_B V_B}{T_B}
\end{aligned}
$$
値を代入すると、
$$
\begin{aligned}
\frac{p_0 V_0}{T_0} &= \frac{(2p_0) V_0}{T_B}
\end{aligned}
$$
状態Aと状態Cについても同様に、
$$
\begin{aligned}
\frac{p_A V_A}{T_A} &= \frac{p_C V_C}{T_C}
\end{aligned}
$$
値を代入すると、
$$
\begin{aligned}
\frac{p_0 V_0}{T_0} &= \frac{(2p_0) (2V_0)}{T_C}
\end{aligned}
$$
次に、各過程で吸収した熱量を計算します。

• A→Bの過程（定積変化）:
  $$
  \begin{aligned}
  Q_{\text{A→B}} &= nC_V(T_B – T_A) \\[2.0ex] &= 1 \times \frac{3}{2}R \times (T_B – T_0)
  \end{aligned}
  $$
• B→Cの過程（定圧変化）:
  $$
  \begin{aligned}
  Q_{\text{B→C}} &= nC_p(T_C – T_B) \\[2.0ex] &= 1 \times \frac{5}{2}R \times (T_C – T_B)
  \end{aligned}
  $$

まず、温度を計算します。

• \(T_B\) の計算:
  $$
  \begin{aligned}
  \frac{p_0 V_0}{T_0} &= \frac{2p_0 V_0}{T_B} \\[2.0ex] T_B &= 2T_0
  \end{aligned}
  $$
• \(T_C\) の計算:
  $$
  \begin{aligned}
  \frac{p_0 V_0}{T_0} &= \frac{4p_0 V_0}{T_C} \\[2.0ex] T_C &= 4T_0
  \end{aligned}
  $$

次に、これらの温度を使って熱量を計算します。

• \(Q_{\text{A→B}}\) の計算:
  $$
  \begin{aligned}
  Q_{\text{A→B}} &= \frac{3}{2}R(2T_0 – T_0) \\[2.0ex] &= \frac{3}{2}RT_0
  \end{aligned}
  $$
• \(Q_{\text{B→C}}\) の計算:
  $$
  \begin{aligned}
  Q_{\text{B→C}} &= \frac{5}{2}R(4T_0 – 2T_0) \\[2.0ex] &= \frac{5}{2}R(2T_0) \\[2.0ex] &= 5RT_0
  \end{aligned}
  $$

気体に熱を加えると温度が上がります。AからBへは、体積を変えずに圧力を上げる（定積変化）という方法で熱を加えます。BからCへは、圧力を変えずに体積を膨らませる（定圧変化）という方法で熱を加えます。この「熱の加え方」によって計算式が違うので、それぞれの場面に合った公式を使って、加えられた熱の量を計算します。

A→B、B→Cの過程はいずれも温度が上昇しているため、気体は熱を吸収しており、計算結果が正の値になるのは妥当です。

問(3)

思考の道筋とポイント
熱効率 \(e\) は、熱機関が吸収した熱エネルギー \(Q_{\text{in}}\) のうち、どれだけの割合を仕事 \(W’\) に変換できたかを示す指標です。定義式は \(e = \frac{W’}{Q_{\text{in}}}\) です。
まず、このサイクルで熱を「吸収」している過程を特定します。熱の吸収・放出は温度変化で判断でき、温度が上昇する過程で熱を吸収します。A→BとB→Cでは温度が上昇しているので、これらが熱吸収過程です。C→DとD→Aでは温度が下降するので熱放出過程です。
したがって、吸収した熱量の総和 \(Q_{\text{in}}\) は、(2)で求めた \(Q_{\text{A→B}}\) と \(Q_{\text{B→C}}\) の和になります。
(1)で求めた仕事 \(W’\) と、この \(Q_{\text{in}}\) を定義式に代入して熱効率を計算します。

この設問における重要なポイント

• 熱効率の定義: \(e = \frac{W’}{Q_{\text{in}}}\)。
• \(Q_{\text{in}}\) は、サイクル中で気体が吸収した熱量の総和（プラスのQの合計）。
• \(W’\) は、1サイクルで気体がした正味の仕事。

具体的な解説と立式
1サイクルで吸収した熱量の総和 \(Q_{\text{in}}\) は、
$$
\begin{aligned}
Q_{\text{in}} &= Q_{\text{A→B}} + Q_{\text{B→C}}
\end{aligned}
$$
(2)の結果を用いると、
$$
\begin{aligned}
Q_{\text{in}} &= \frac{3}{2}RT_0 + 5RT_0
\end{aligned}
$$
1サイクルで気体がした仕事 \(W’\) は、(1)の結果より、
$$
\begin{aligned}
W’ &= p_0V_0
\end{aligned}
$$
熱効率 \(e\) の定義式にこれらを代入します。
$$
\begin{aligned}
e &= \frac{W’}{Q_{\text{in}}} \\[2.0ex] &= \frac{p_0V_0}{\frac{3}{2}RT_0 + 5RT_0}
\end{aligned}
$$
ここで、状態Aにおける状態方程式 \(p_0V_0 = nRT_0\) に \(n=1\,\text{mol}\) を代入すると、\(p_0V_0 = RT_0\) となります。この関係を使って式を整理します。

$$
\begin{aligned}
Q_{\text{in}} &= \frac{3}{2}RT_0 + \frac{10}{2}RT_0 \\[2.0ex] &= \frac{13}{2}RT_0
\end{aligned}
$$
熱効率の式に \(W’ = p_0V_0 = RT_0\) と \(Q_{\text{in}}\) を代入すると、
$$
\begin{aligned}
e &= \frac{RT_0}{\frac{13}{2}RT_0} \\[2.0ex] &= \frac{1}{13/2} \\[2.0ex] &= \frac{2}{13}
\end{aligned}
$$
これを小数で計算し、有効数字2桁で求めます。
$$
\begin{aligned}
e &= \frac{2}{13} \\[2.0ex] &\approx 0.1538…
\end{aligned}
$$
有効数字2桁に丸めると、\(0.15\) となります。

この気体のサイクルを一つのエンジンと見なしたときの「燃費」を計算します。燃費は「（エンジンがした仕事）÷（消費した燃料）」で決まります。ここで「エンジンがした仕事」は(1)で計算した \(W’\)、「消費した燃料」は(2)で計算した、エンジンが吸収した熱の合計 \(Q_{\text{in}}\) にあたります。これらの値を割り算して、エンジンの効率を求めます。

熱効率は \(e=2/13 \approx 0.15\) と求まりました。これは、吸収した熱エネルギーのうち、約15%しか仕事に変換できず、残りの85%は熱として捨てられていることを意味します。熱効率は必ず1より小さくなるため、この結果は妥当です。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 熱力学第一法則のサイクルへの適用
  • 核心: この問題の根幹は、熱力学の基本法則である \(\Delta U = Q – W\) を、A→B→C→D→Aという一連の閉じたサイクル全体にわたって適用し、エネルギーの収支を定量的に分析する能力です。仕事、熱、内部エネルギーという3つの重要な物理量が、各過程でどのように変化し、互いにどう関係しているかを理解することが求められます。
  • 理解のポイント:
    • 過程ごとの分析: 熱力学第一法則は、A→BやB→Cといった個々の過程に適用できます。
    • サイクル全体での分析: 1サイクル後には気体は元の状態Aに戻るため、温度も元に戻ります。したがって、1サイクル全体での内部エネルギーの変化はゼロ (\(\Delta U_{\text{cycle}} = 0\)) です。このことから、\(0 = Q’ – W’\)、つまり \(W’ = Q’\) という関係が成り立ちます。ここで \(W’\) は正味の仕事、\(Q’\) は正味の熱量 (\(Q_{\text{in}} – Q_{\text{out}}\)) です。
• 熱効率の物理的意味の理解
  • 核心: 熱機関が、吸収した熱エネルギーをどれだけ効率よく仕事に変換できるかを示す指標が「熱効率」であることを理解し、その定義式 \(e = \frac{W’}{Q_{\text{in}}}\) を正しく運用することです。
  • 理解のポイント:
    • \(W’\)（成果）: 気体が1サイクルで外部にした正味の仕事。\(p-V\)グラフが囲む面積に相当します。
    • \(Q_{\text{in}}\)（コスト）: 気体が1サイクル中に外部の高温熱源から吸収した熱量の「総和」。温度が上昇する過程で吸収した熱量をすべて足し合わせます。放出した熱量は含めません。
    • 効率の本質: 効率とは常に「得られた成果 ÷ 投じたコスト」であり、熱効率の定義式もこの考え方に基づいています。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 異なる形状のサイクル: 三角形や台形、あるいは等温変化や断熱変化の曲線を含む、より複雑な形状のサイクル問題。基本的な考え方は同じで、各過程の種類を特定し、仕事と熱を計算します。
  • 冷凍サイクル（逆サイクル）: \(p-V\)グラフを反時計回りに回るサイクル。この場合、外部から仕事をされることで低温部分から熱を奪い、高温部分へ熱を放出するヒートポンプや冷凍機として機能します。
  • カルノーサイクル: 最も熱効率が高いとされる理想的な熱サイクル。2つの等温変化と2つの断熱変化で構成されます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 各点の状態量（p, V, T）をすべて求める: 問題で与えられた基準点（この問題ではA点）の状態方程式 \(p_AV_A=nRT_A\) を出発点とし、ボイル・シャルルの法則などを使って、サイクル上のすべての特徴的な点（B, C, D）の温度を最初に計算してしまうのが定石です。これが後続のすべての計算の土台となります。
  2. 熱の吸収過程と放出過程を区別する: 各過程で温度が上昇しているか (\(\Delta T > 0\))、下降しているか (\(\Delta T < 0\)) を確認します。温度が上昇する過程が「熱吸収過程」であり、熱効率の計算に必要な \(Q_{\text{in}}\) は、これらの過程で吸収した熱量の合計です。
  3. 仕事の計算方法を選択する:
     • 図形が単純な場合: サイクルが囲む面積を計算するのが最も速くて確実です。
     • 図形が複雑な場合: 各過程の仕事 \(W\) を \(p\Delta V\) や積分で計算し、それらを足し合わせる基本に立ち返ります。
  4. 熱量の計算方法を選択する:
     • 定積・定圧変化の場合: モル比熱の公式 \(Q=nC\Delta T\) を使うのが最も効率的です。
     • 等温変化の場合: \(\Delta U=0\) なので、熱力学第一法則より \(Q=W\) となります。仕事 \(W\) は \(nRT\ln(V_f/V_i)\) で計算します。
     • 断熱変化の場合: \(Q=0\) です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• \(Q_{\text{in}}\) の計算で、放出した熱量を引いてしまう:
  • 誤解: 1サイクルで吸収した正味の熱量（吸収量－放出量）を分母に使ってしまう。
  • 対策: 熱効率の定義を正しく理解しましょう。分母の \(Q_{\text{in}}\) は、あくまで外部の高温熱源から「もらった熱エネルギーの総量」です。エンジンを動かすために投入したコスト全体と考えるのが分かりやすいです。したがって、温度が上昇する過程のQ（正の値）だけを足し合わせます。
• 仕事の符号の混同:
  • 誤解: 膨張過程（B→C）と圧縮過程（D→A）の仕事の符号を取り違えたり、足し合わせる際に間違えたりする。
  • 対策: 「体積が増えれば気体は正の仕事、体積が減れば負の仕事」という原則を徹底します。また、\(p-V\)グラフでは「時計回りのサイクルは正味の仕事が正、反時計回りは負」と覚えておくと、最終的な符号の検算に役立ちます。
• モル比熱の使い分けミス:
  • 誤解: 定積変化なのに定圧モル比熱 \(C_p\) を使ってしまう、あるいはその逆。
  • 対策: 「定積（Volumeが一定）→ \(C_V\)」「定圧（Pressureが一定）→ \(C_p\)」と、頭文字と関連付けて覚えましょう。また、なぜ \(C_p\) が \(C_V\) より大きいのか（定圧変化では熱が内部エネルギー増加と外部への仕事の両方に使われるため）を理解しておくと、より間違いにくくなります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（面積法）:
  • 選定理由: 求めたいのは1サイクル全体の「仕事の和 \(W’\)」です。各過程の仕事を個別に計算して足し合わせるよりも、サイクルが囲む面積を計算する方が圧倒的に速く、計算ミスも少ないため、こちらを選択するのが合理的です。
  • 適用根拠: 気体がする仕事 \(W\) は、数学的には圧力 \(p\) を体積 \(V\) で積分した値 \(\int p dV\) で定義されます。これをサイクル全体で計算すると、結果的にサイクルが囲む領域の面積と等しくなります。この物理的・数学的な背景が、面積法を適用する根拠です。
• (2)での公式選択（モル比熱の公式）:
  • 選定理由: 求めたいのは定積変化（A→B）と定圧変化（B→C）という、種類が明確な過程で吸収した「熱量 \(Q\)」です。このような特定の過程における熱量を計算するために、まさに定義されたのがモル比熱です。
  • 適用根拠: モル比熱 \(C\) は「気体 \(1\,\text{mol}\) の温度を \(1\,\text{K}\) 上昇させるのに必要な熱量」と定義されています。したがって、\(n\,\text{mol}\) の気体の温度を \(\Delta T\) だけ上昇させるのに必要な熱量は \(Q=nC\Delta T\) となります。A→Bは定積、B→Cは定圧なので、それぞれに対応する \(C_V, C_p\) を用いるのが最も直接的な解法です。
• (3)での公式選択（熱効率の定義式）:
  • 選定理由: 求めたいのは「熱効率 \(e\)」であり、これは熱機関の性能を表す物理量です。この量を計算するための式は、定義式 \(e = \frac{W’}{Q_{\text{in}}}\) 以外にありません。
  • 適用根拠: この式は、熱力学第二法則に関連する熱機関の効率の定義そのものです。(1)で「成果」である \(W’\) を、(2)で「コスト」である \(Q_{\text{in}}\) の一部を計算しているため、それらを組み合わせて定義式に当てはめるのは、問題の流れとして必然です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 各点の状態量を一覧にする:
  • 計算を始める前に、A, B, C, Dの各点について、圧力、体積、温度を表にまとめると、全体像が把握しやすくなり、計算ミスを防げます。
    

    状態	圧力 \(p\)	体積 \(V\)	絶対温度 \(T\)
    A	\(p_0\)	\(V_0\)	\(T_0\)
    B	\(2p_0\)	\(V_0\)	\(2T_0\)
    C	\(2p_0\)	\(2V_0\)	\(4T_0\)
    D	\(p_0\)	\(2V_0\)	\(2T_0\)

• 文字式のまま計算を進める:
  • (3)の計算では、\(W’ = p_0V_0\) と \(Q_{\text{in}} = \frac{13}{2}RT_0\) のように、単位系が異なる文字が混在します。ここで焦らず、状態Aの状態方程式 \(p_0V_0 = RT_0\) を使ってどちらかに統一することで、きれいに約分できます。最後まで文字式で計算し、最後に数値を代入するのが鉄則です。
• 分数の計算を丁寧に行う:
  • \(Q_{\text{in}}\) の計算 \(\frac{3}{2}RT_0 + 5RT_0\) や、熱効率の計算 \(\frac{1}{13/2}\) など、基本的な分数計算が含まれます。通分や逆数の計算は、暗算に頼らず一手間かけて筆算するなど、慎重に行いましょう。
• 最終的な値の吟味:
  • 熱効率 \(e\) は、理論上 \(0 < e < 1\) の範囲の値をとります。計算結果が1を超えたり、負になったりした場合は、\(W’\) と \(Q_{\text{in}}\) のどちらか、あるいは両方の計算が間違っていることが確実です。特に、\(Q_{\text{in}}\) の計算で放熱過程を含めていないか、再確認しましょう。

発展問題

324 仕切られた円筒容器

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「断熱系内における力学的エネルギーと内部エネルギーの保存」です。壁の移動に伴う位置エネルギーの変化が、気体の内部エネルギー（熱エネルギー）に変換される様子を、エネルギー保存則を用いて解き明かす問題です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
部屋Aに閉じ込められた気体の状態について、物質量 \(n=1\,\text{mol}\)、絶対温度 \(T=T_0\) が与えられています。体積 \(V\) は、底面積 \(S\) と高さ \(L\) から \(V=SL\) と求められます。圧力 \(p\)、体積 \(V\)、物質量 \(n\)、絶対温度 \(T\) の4つの状態量を結びつける法則は、理想気体の状態方程式 \(pV=nRT\) です。これに既知の値を代入すれば、未知の圧力 \(p_A\) を求めることができます。

この設問における重要なポイント

• 理想気体の状態方程式 \(pV=nRT\) を用いる。
• 部屋Aの体積は \(V_A = SL\)。
• 物質量は \(n=1\,\text{mol}\)。

具体的な解説と立式
部屋Aの気体の圧力を \(p_A\) とします。
部屋Aの体積 \(V_A\) は、底面積 \(S\) と高さ \(L\) の積なので、
$$
\begin{aligned}
V_A &= SL
\end{aligned}
$$
部屋Aの気体について、理想気体の状態方程式 \(pV=nRT\) を立てます。
$$
\begin{aligned}
p_A V_A &= nRT_A
\end{aligned}
$$
ここに、\(V_A=SL\), \(n=1\), \(T_A=T_0\) を代入すると、
$$
\begin{aligned}
p_A (SL) &= 1 \cdot RT_0
\end{aligned}
$$

上記の式を \(p_A\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
p_A &= \frac{RT_0}{SL}
\end{aligned}
$$

気体の状態は「圧力・体積・量・温度」の4つの要素で決まっていて、それらの間には常に成り立つ関係式（状態方程式）があります。今、部屋Aの気体について「体積・量・温度」の3つがわかっているので、この関係式を使えば残りの「圧力」を計算することができます。

圧力 \(p_A\) が \(\frac{RT_0}{SL}\) と求まりました。各物理量と矛盾しない妥当な結果です。ちなみに、部屋Bも同じ条件なので、初期状態では \(p_B = p_A\) となっています。

問(2)

思考の道筋とポイント
この問題の核心は、「容器が断熱材で囲まれ、壁の固定を外した」という状況設定から、エネルギー保存則を適用することに気づくことです。
容器全体が断熱されているため、外部との熱のやり取りはありません。また、容器の体積は一定なので、系全体として外部に仕事をすることもありません。したがって、系（気体A + 気体B + 壁）が持つエネルギーの総和は、変化の前後で保存されます。
この系のエネルギーは、気体が持つ「内部エネルギー」と、壁が持つ「位置エネルギー」の2種類です。壁が \(\Delta L\) だけゆっくりと下に移動したことで、壁の「位置エネルギー」は減少します。エネルギー保存則により、この減少した分のエネルギーは、気体の「内部エネルギー」の増加に変換されたと考えられます。このエネルギーの収支を等式で結びます。

この設問における重要なポイント

• 断熱された閉鎖系では、(内部エネルギー) + (力学的エネルギー) の和が保存される。
• 壁の位置エネルギーの減少分が、気体AとBの内部エネルギーの増加分に等しい。
• 気体の内部エネルギーの変化は \(\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T\)。
• 壁の位置エネルギーの変化は \(\Delta E_p = mg\Delta h\)。

具体的な解説と立式
エネルギー保存則より、変化の前後でのエネルギーの総和は等しくなります。
$$ (\text{はじめの全エネルギー}) = (\text{あとの全エネルギー}) $$
これをエネルギーの変化量で考えると、
$$ (\text{全エネルギーの変化量}) = 0 $$
全エネルギーは、気体の内部エネルギーと壁の位置エネルギーの和なので、
$$ \Delta U_{\text{気体A}} + \Delta U_{\text{気体B}} + \Delta E_{p, \text{壁}} = 0 $$
各項を計算します。

• 気体の内部エネルギーの変化:
  気体AとBは、ともに \(1\,\text{mol}\) で、温度が \(T_0\) から \(T_0+\Delta T\) へと \(\Delta T\) だけ上昇しました。したがって、内部エネルギーの増加量はそれぞれ、
  $$
  \begin{aligned}
  \Delta U_A &= \frac{3}{2} \times 1 \cdot R \times \Delta T \\[2.0ex] &= \frac{3}{2}R\Delta T
  \end{aligned}
  $$
  $$
  \begin{aligned}
  \Delta U_B &= \frac{3}{2} \times 1 \cdot R \times \Delta T \\[2.0ex] &= \frac{3}{2}R\Delta T
  \end{aligned}
  $$
  よって、気体全体の内部エネルギーの増加量は、
  $$
  \begin{aligned}
  \Delta U_{\text{気体合計}} &= \Delta U_A + \Delta U_B \\[2.0ex] &= 3R\Delta T
  \end{aligned}
  $$
• 壁の位置エネルギーの変化:
  壁は質量 \(M\) で、高さが \(\Delta L\) だけ減少しました。したがって、位置エネルギーの変化量は、
  $$
  \begin{aligned}
  \Delta E_{p, \text{壁}} &= M g (-\Delta L) \\[2.0ex] &= -Mg\Delta L
  \end{aligned}
  $$

これらの結果をエネルギー保存則の式に代入します。
$$
\begin{aligned}
(3R\Delta T) + (-Mg\Delta L) &= 0
\end{aligned}
$$

上記の式を \(\Delta T\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
3R\Delta T – Mg\Delta L &= 0 \\[2.0ex] 3R\Delta T &= Mg\Delta L \\[2.0ex] \Delta T &= \frac{Mg\Delta L}{3R}
\end{aligned}
$$

魔法瓶のように断熱された容器の中では、エネルギーの総量は変わりません。今回は、重い壁が下に落ちることで、「位置エネルギー」が失われました。失われたエネルギーは消えてしまうわけではなく、別の形に変わります。今回は、そのエネルギーが気体を温めるための「熱エネルギー（内部エネルギー）」に姿を変えたのです。この「失われた位置エネルギー」と「増えた内部エネルギー」が等しいという式を立てることで、温度がどれだけ上がったかを計算できます。

温度上昇 \(\Delta T\) が、壁の質量 \(M\)、重力加速度 \(g\)、移動距離 \(\Delta L\) に比例し、気体定数 \(R\) に反比例するという結果が得られました。これは、壁が重く、たくさん移動するほど多くのエネルギーが供給され、温度がたくさん上がるという直感と一致しており、妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• エネルギー保存則（力学的エネルギーと内部エネルギーの総和の保存）
  • 核心: この問題の根幹は、「断熱材で囲まれた容器」という記述から、系全体（この場合は気体A, Bと壁）が外部とエネルギーのやり取りをしない「孤立系」であると見抜き、その系内部でエネルギーの形態が変化しても総量は一定に保たれるという「エネルギー保存則」を適用することです。
  • 理解のポイント:
    • 孤立系の特定: 外部との熱のやり取りがなく（断熱）、外部への仕事もしない（容器固定）系では、エネルギーは外部に逃げもせず、外部から入ってもきません。
    • エネルギー形態の変換: 系内部では、エネルギーの形態が変わることが許されます。この問題では、壁が落下することで失われた「力学的エネルギー（位置エネルギー）」が、気体を圧縮・加熱することで気体の「内部エネルギー（熱エネルギー）」に変換されています。
    • 保存則の立式: 「減少したエネルギーの総和」＝「増加したエネルギーの総和」という関係、あるいは「（系全体のエネルギー変化量）＝０」という関係を数式にすることで、問題を解くことができます。具体的には、\(\Delta U_{\text{気体}} + \Delta E_{p, \text{壁}} = 0\) という式が核心となります。
• 理想気体の状態方程式と内部エネルギーの式
  • 核心: 気体の状態（圧力、体積、温度）を記述する状態方程式 \(pV=nRT\) と、その内部エネルギーが絶対温度だけで決まるという関係式 \(U=\frac{3}{2}nRT\) を正確に使いこなすことです。
  • 理解のポイント:
    • 状態方程式の役割: (1)では、気体の状態量を特定するために直接使われます。(2)では、内部エネルギーの変化量を温度変化 \(\Delta T\) と結びつけるための基礎となります。
    • 内部エネルギーの役割: エネルギー保存則を立式する際に、気体が持つエネルギーとして登場します。その変化量 \(\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T\) が、温度変化 \(\Delta T\) と直結しているため、この問題の最終的な答えを導くための鍵となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ばね付きピストン: 壁の代わりにばねで支えられたピストンが動く問題。この場合、位置エネルギーの変化の代わりに、ばねの「弾性エネルギー」の変化 (\(\frac{1}{2}kx^2\)) が内部エネルギーの変化に関わってきます。
  • ヒーターでの加熱: 断熱容器内の気体をヒーターで加熱する問題。この場合は孤立系ではなく、外部から電気エネルギー（熱量 \(Q\) として供給）が与えられます。熱力学第一法則 \(\Delta U = Q – W\) を適用します。
  • ピストンが外部にする仕事: 断熱容器のピストンが外のおもりを持ち上げるなど、外部に仕事をする問題。この場合、気体の内部エネルギーの減少が、外部への仕事とピストンの位置エネルギー増加の和に等しくなります。
  • 気体の混合: 断熱容器内の仕切りを外して、異なる温度や圧力の気体を混合させる問題。この場合も、混合の前後で系全体の内部エネルギーの和は保存されます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まず系の境界を明確にする: 「どこまでを一つの系とみなすか」を最初に決めます。この問題では「気体A, 気体B, 壁」の3つをまとめて一つの系と考えるのが最もシンプルです。
  2. 外部とのエネルギーのやり取りを確認する:
     • 「断熱材」「断熱容器」→ 外部との熱のやり取り \(Q_{\text{外部}}=0\)。
     • 「容器が固定」「体積一定」→ 外部への仕事 \(W_{\text{外部}}=0\)。
     • この2つの条件が揃っていれば、系全体のエネルギー保存則が使える可能性が非常に高いです。
  3. 系内部に存在するエネルギー形態をすべてリストアップする:
     • 気体 → 内部エネルギー (\(U = \frac{3}{2}nRT\))
     • 質量のある物体（壁、ピストン）→ 力学的エネルギー（位置エネルギー \(mgh\), 運動エネルギー \(\frac{1}{2}mv^2\)）
     • ばね → 弾性エネルギー (\(\frac{1}{2}kx^2\))
  4. エネルギーの変換関係を考える: 「何が減って、何が増えたか？」という観点でエネルギーの収支を考えます。「減少したエネルギーの和」＝「増加したエネルギーの和」という等式を立てるのが、直感的で間違いにくい方法です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• エネルギー保存則の適用範囲を間違える:
  • 誤解: 気体Aだけ、あるいは気体AとBの合計だけでエネルギーが保存されると考えてしまう。
  • 対策: 壁も質量を持ち、位置エネルギーが変化していることを見落とさないようにしましょう。エネルギー保存則を適用する際は、エネルギーが変化する「すべての要素」を系に含める必要があります。この問題では、壁もエネルギー変換の主役の一人です。
• 位置エネルギーの符号ミス:
  • 誤解: 位置エネルギーが「減少」したにもかかわらず、エネルギー保存の式 \(\Delta U + \Delta E_p = 0\) において、\(\Delta E_p\) に正の値 \(Mg\Delta L\) を代入してしまう。
  • 対策: 変化量は常に「（あとの状態量）－（はじめの状態量）」で定義されることを徹底しましょう。はじめの高さを基準 \(0\) とすると、あとの高さは \(-\Delta L\) なので、位置エネルギーの変化は \(Mg(-\Delta L) – Mg(0) = -Mg\Delta L\) となり、符号ミスを防げます。あるいは、「減少量＝増加量」という言葉の式を立て、\((\text{位置エネルギーの減少量}) = Mg\Delta L\)、\((\text{内部エネルギーの増加量}) = 3R\Delta T\) として、\(Mg\Delta L = 3R\Delta T\) と立式するのも有効です。
• 内部エネルギーの計算で物質量を間違える:
  • 誤解: 気体AとBの合計の内部エネルギー変化を計算する際に、物質量を \(1\,\text{mol}\) のまま計算してしまう（\(2\,\text{mol}\) 分を考え忘れる）。
  • 対策: 内部エネルギーは物質量に比例する量です。系全体の内部エネルギー変化を考えるなら、系全体の物質量（\(n_A+n_B = 2\,\text{mol}\)）を使って \(\Delta U_{\text{合計}} = \frac{3}{2}(n_A+n_B)R\Delta T\) と計算するのが確実です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（状態方程式）:
  • 選定理由: 求めたいのは「圧力 \(p\)\_A」です。問題文から、部屋Aの気体の「体積 \(V_A=SL\)」「物質量 \(n=1\)」「温度 \(T_A=T_0\)」が与えられています。これら4つの状態量を結びつける唯一の基本法則が理想気体の状態方程式 \(pV=nRT\) であるため、この公式を選択するのは必然です。
  • 適用根拠: 問題で扱っているのが「理想気体」であり、その平衡状態における関係を問われているため、状態方程式を適用できます。
• (2)での公式選択（エネルギー保存則）:
  • 選定理由: 問題設定が「断熱材で囲まれた容器」であり、外部とのエネルギーのやり取りがないことを強く示唆しています。また、内部では「壁の移動（力学的エネルギー変化）」と「気体の温度変化（内部エネルギー変化）」という、異なる種類のエネルギー変化が同時に起きています。このような複数のエネルギー形態が関わる閉鎖系では、個々の法則（力のつり合いや熱力学第一法則）を個別に追うよりも、系全体のエネルギー総量が保存されるという、より上位の法則（エネルギー保存則）を用いるのが最も強力かつ簡潔な解法となります。
  • 適用根拠: 熱力学第一法則 \(\Delta U = Q – W\) において、系全体（気体A, B + 壁）を考えると、外部との熱のやり取りがないので \(Q=0\)、外部への仕事もないので \(W=0\)。よって、系全体の総エネルギーの変化はゼロです。ここでいう「総エネルギー」とは、気体の内部エネルギーと壁の力学的エネルギーの和を指します。したがって、\(\Delta (U_{\text{気体}} + E_{p, \text{壁}}) = 0\)、すなわち \(\Delta U_{\text{気体}} + \Delta E_{p, \text{壁}} = 0\) が成立します。これがエネルギー保存則を適用する直接の根拠となります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• エネルギーの収支を言葉で確認する:
  • 立式する前に、「壁の位置エネルギーが減って、その分、気体AとBの内部エネルギーが増えた」というように、エネルギーの流れを日本語で確認する癖をつけましょう。このワンクッションを置くことで、各項の符号ミスを劇的に減らすことができます。
• 変化量は「あと－はじめ」を徹底する:
  • \(\Delta T = (T_0+\Delta T) – T_0 = \Delta T\)。
  • \(\Delta h = (\text{あとの高さ}) – (\text{はじめの高さ}) = -\Delta L\)。
  • この定義に機械的に従えば、エネルギー変化の符号は自動的に正しく決まります。
• 単位（次元）による検算:
  • 最終的に求めた \(\Delta T = \frac{Mg\Delta L}{3R}\) の単位が、本当に温度 [K] になっているかを確認しましょう。
  • 右辺の単位: \(\displaystyle\frac{[\text{kg}] \cdot [\text{m/s}^2] \cdot [\text{m}]}{[\text{J/(mol}\cdot\text{K)}]} = \frac{[\text{N}\cdot\text{m}]}{[\text{J/K}]} = \frac{[\text{J}]}{[\text{J/K}]} = [\text{K}]\)。
  • 単位が正しく温度になっていることから、式の形がもっともらしいと判断できます。
• 物理的にありえない値でないか吟味する:
  • 壁の質量 \(M\) が大きいほど、落下距離 \(\Delta L\) が大きいほど、より多くの位置エネルギーが内部エネルギーに変換されるので、温度上昇 \(\Delta T\) は大きくなるはずです。計算式はそうなっているか？ → 分子にあるのでOK。
  • 気体の量が多い（\(n\) が大きい）ほど、同じエネルギーをもらっても温まりにくいので \(\Delta T\) は小さくなるはずです。この問題では \(n\) は定数ですが、もし変数なら分母に来るはずです。\(R\) は \(n\) とセットで \(nR\) として内部エネルギーの式に出てくるので、\(R\) が分母にあるのは妥当です。
  • このような簡単な吟味で、式の致命的な間違いを発見できます。

325 内部エネルギーの保存

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「断熱容器で連結された複数気体の混合と断熱自由膨張」です。複数の気体が混ざり合う際のエネルギー保存則の適用方法と、気体が真空へ膨張する特殊な過程（断熱自由膨張）の性質を理解することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
コックAを開けると、容器IとIIの気体が混ざり合います。容器全体は断熱材で囲まれているため、外部との熱のやり取りはありません。また、気体は容器の外に膨張するわけではないので、外部に対して仕事をすることもありません。したがって、容器IとIIの気体をひとまとめにした「系」で考えると、この系の内部エネルギーの総和は、コックを開ける前後で保存されます。このエネルギー保存則を立式することで、最終的な温度を求めます。

この設問における重要なポイント

• 系（容器I + 容器II）は断熱されており、外部に仕事をしない → 内部エネルギーの和が保存される。
• 単原子分子理想気体の内部エネルギーは \(U = \frac{3}{2}nRT\)。
• 混合後の全体の物質量は \(n_1+n_2\)。

具体的な解説と立式
コックAを開けた後の平衡状態での温度を \(T_A\) とします。
内部エネルギー保存則より、「（開栓前の内部エネルギーの和）＝（開栓後の内部エネルギーの和）」が成り立ちます。

• 開栓前の内部エネルギーの和 \(U_{\text{初}}\):
  $$
  \begin{aligned}
  U_{\text{初}} &= U_1 + U_2 \\[2.0ex] &= \frac{3}{2}n_1RT_1 + \frac{3}{2}n_2RT_2
  \end{aligned}
  $$
• 開栓後の内部エネルギーの和 \(U_{\text{後}}\):
  全体の物質量は \(n_1+n_2\)、温度は \(T_A\) で一様になるので、
  $$
  \begin{aligned}
  U_{\text{後}} &= \frac{3}{2}(n_1+n_2)RT_A
  \end{aligned}
  $$

\(U_{\text{初}} = U_{\text{後}}\) より、
$$
\begin{aligned}
\frac{3}{2}n_1RT_1 + \frac{3}{2}n_2RT_2 &= \frac{3}{2}(n_1+n_2)RT_A
\end{aligned}
$$

上記の両辺から共通項の \(\frac{3}{2}R\) を消去します。
$$
\begin{aligned}
n_1T_1 + n_2T_2 &= (n_1+n_2)T_A
\end{aligned}
$$
これを \(T_A\) について解くと、
$$
\begin{aligned}
T_A &= \frac{n_1T_1+n_2T_2}{n_1+n_2}
\end{aligned}
$$

温度の違う2種類の気体を、断熱された容器の中で混ぜ合わせる状況です。外部に熱が逃げたり、外部から熱が入ってきたりしないので、気体が持っているエネルギーの合計は混ぜる前と後で変わりません。この「エネルギー合計一定」のルールを使って、混ざり合った後の最終的な温度を計算します。

最終温度 \(T_A\) は、初期温度 \(T_1\) と \(T_2\) を、それぞれの物質量 \(n_1, n_2\) で重みづけした平均（加重平均）の形になっています。これは物理的に妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
(1)の平衡状態では、容器IとIIの内部はどこも同じ圧力 \(p_A\)、同じ温度 \(T_A\) になっています。この状態で、容器Iと容器IIそれぞれについて理想気体の状態方程式を立てます。2つの式を比較すると、物質量が体積に比例する関係にあることがわかります。全体の物質量は \(n_1+n_2\) で変わらないので、この総量を体積の比 \(V_1:V_2\) で比例配分することで、それぞれの容器内の物質量を求めることができます。

この設問における重要なポイント

• 平衡状態では、連結された容器内の圧力と温度は均一になる。
• 状態方程式 \(pV=nRT\) において、\(p\) と \(T\) が一定ならば、物質量 \(n\) は体積 \(V\) に比例する (\(n \propto V\))。

具体的な解説と立式
平衡状態における容器I, II内の気体の物質量を、それぞれ \(n_{1A}, n_{2A}\) とします。

• 容器Iについて: \(p_A V_1 = n_{1A} R T_A \quad \cdots ①\)
• 容器IIについて: \(p_A V_2 = n_{2A} R T_A \quad \cdots ②\)

式①を式②で割ると、
$$
\begin{aligned}
\frac{p_A V_1}{p_A V_2} &= \frac{n_{1A} R T_A}{n_{2A} R T_A}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
\frac{V_1}{V_2} &= \frac{n_{1A}}{n_{2A}}
\end{aligned}
$$
これは、物質量の比が体積の比に等しいこと (\(n_{1A}:n_{2A} = V_1:V_2\)) を示しています。
全体の物質量 \(n_1+n_2\) をこの比で配分します。

• 容器Iの物質量 \(n_{1A}\):
  $$
  \begin{aligned}
  n_{1A} &= (n_1+n_2) \times \frac{V_1}{V_1+V_2}
  \end{aligned}
  $$
• 容器IIの物質量 \(n_{2A}\):
  $$
  \begin{aligned}
  n_{2A} &= (n_1+n_2) \times \frac{V_2}{V_1+V_2}
  \end{aligned}
  $$

上記の立式がそのまま答えとなります。

気体が混ざって落ち着いた後は、どの部屋も同じ混み具合（圧力）と温度になります。そうなると、広い部屋（体積が大きい）ほど、たくさんの気体分子（物質量が多い）が存在するのは自然なことです。全体の気体の量を、部屋の広さの比率で分け与える計算をします。

物質量が体積に比例して配分されるという、直感に合った妥当な結果が得られました。

問(3)

思考の道筋とポイント
この設問は、(1)と(2)の考え方を、容器I, II, IIIの3つの系に拡張したものです。
まず、最終的な温度を求めます。コックA, Bをすべて開けると、3つの容器の気体が混ざり合います。系全体（I+II+III）は断熱されており、外部に仕事をしないので、内部エネルギーの総和が保存されます。これを用いて最終温度 \(T_B\) を求めます。
次に、容器Iの物質量を求めます。平衡状態では圧力・温度が均一になるので、物質量は体積比 \(V_1:V_2:V_3\) で配分されます。
最後に、圧力を求めます。系全体（体積 \(V_1+V_2+V_3\)、物質量 \(n_1+n_2+n_3\)、温度 \(T_B\)）について状態方程式を立てることで、最終的な圧力 \(p_B\) を計算します。

この設問における重要なポイント

• (1), (2)の考え方を3つの容器に拡張する。
• 内部エネルギー保存則から最終温度を求める。
• 物質量は体積比で配分される。
• 圧力は系全体の状態方程式から求める。

具体的な解説と立式

• 温度 \(T_B\) の計算:
  内部エネルギー保存則より、
  $$
  \begin{aligned}
  \frac{3}{2}n_1RT_1 + \frac{3}{2}n_2RT_2 + \frac{3}{2}n_3RT_3 &= \frac{3}{2}(n_1+n_2+n_3)RT_B
  \end{aligned}
  $$
• 容器Iの物質量 \(n_{1B}\) の計算:
  全体の物質量 \(n_1+n_2+n_3\) を体積比で配分して、
  $$
  \begin{aligned}
  n_{1B} &= (n_1+n_2+n_3) \frac{V_1}{V_1+V_2+V_3}
  \end{aligned}
  $$
• 圧力 \(p_B\) の計算:
  系全体の状態方程式 \(p_B V_{\text{全体}} = n_{\text{全体}} R T_B\) より、
  $$
  \begin{aligned}
  p_B (V_1+V_2+V_3) &= (n_1+n_2+n_3) R T_B
  \end{aligned}
  $$

• 温度 \(T_B\) の計算:
  $$
  \begin{aligned}
  T_B &= \frac{n_1T_1+n_2T_2+n_3T_3}{n_1+n_2+n_3}
  \end{aligned}
  $$
• 物質量 \(n_{1B}\) の計算:
  立式がそのまま答えです。
• 圧力 \(p_B\) の計算:
  状態方程式に求めた \(T_B\) を代入します。
  $$
  \begin{aligned}
  p_B &= \frac{(n_1+n_2+n_3)R}{V_1+V_2+V_3} T_B \\[2.0ex] &= \frac{(n_1+n_2+n_3)R}{V_1+V_2+V_3} \cdot \frac{n_1T_1+n_2T_2+n_3T_3}{n_1+n_2+n_3} \\[2.0ex] &= \frac{n_1T_1+n_2T_2+n_3T_3}{V_1+V_2+V_3}R
  \end{aligned}
  $$

(1)と(2)で2つの部屋について行った計算を、3つの部屋に広げただけです。手順は全く同じで、まずエネルギーの合計から最終温度を計算し、次に部屋の広さの比率で気体の量を分け、最後に全体の状況を万能公式（状態方程式）に当てはめて圧力を計算します。

(1), (2)と同様に、温度は加重平均、物質量は比例配分という妥当な結果が得られました。圧力の式も、状態方程式の形を保っており、物理的に正しいです。

問(4)

思考の道筋とポイント
この問題は2段階の操作からなります。

1. コックAを開ける: これは(1)と全く同じ状況です。容器IとIIの気体が混合し、平衡状態に達します。このときの温度は(1)で求めた \(T_A\) です。
2. コックBを開ける: 次に、この状態からコックBを開けます。容器IIIは真空なので、容器I, IIに満たされていた気体（温度 \(T_A\)、物質量 \(n_1+n_2\)）が、何もない空間である容器IIIへ広がっていきます。この現象は「断熱自由膨張」と呼ばれます。
   断熱自由膨張では、気体は何かを押しのけて膨張するわけではないので、外部に対して仕事をしません (\(W=0\))。また、容器全体は断熱されているので、熱の出入りもありません (\(Q=0\))。
   熱力学第一法則 \(\Delta U = Q – W\) に \(Q=0, W=0\) を代入すると、内部エネルギーの変化は \(\Delta U = 0\) となります。
   理想気体の内部エネルギーは絶対温度のみに依存するため、\(\Delta U = 0\) はすなわち温度が変化しないこと (\(\Delta T = 0\)) を意味します。
   したがって、コックBを開けても、気体の温度は \(T_A\) のまま変化しません。

この設問における重要なポイント

• 真空への膨張は「断熱自由膨張」である。
• 断熱自由膨張では、気体は仕事をしない (\(W=0\))。
• 熱力学第一法則より、理想気体の内部エネルギーは変化せず (\(\Delta U=0\))、温度も変化しない (\(\Delta T=0\))。

具体的な解説と立式
上記の物理的考察により、コックBを開けた後の最終的な温度は、コックBを開ける前の温度、すなわち(1)で求めた \(T_A\) と等しくなります。
$$
\begin{aligned}
T_{\text{最終}} &= T_A \\[2.0ex] &= \frac{n_1T_1+n_2T_2}{n_1+n_2}
\end{aligned}
$$

計算は不要で、物理法則から結論が導かれます。

気体が真空の空間に広がるとき、気体は何かを押しのける必要がないので「仕事」をしません。また、容器は魔法瓶（断熱材）でできているので、熱が出入りすることもありません。仕事もせず、熱のやり取りもないので、気体が持っているエネルギー（内部エネルギー）は全く変化しません。気体の内部エネルギーは温度と直結しているので、結果として温度も全く変わらないのです。

断熱自由膨張という重要な物理現象の性質を正しく理解し、適用することで結論が導かれました。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 内部エネルギー保存則
  • 核心: この問題の根幹は、「断熱材で囲まれた容器」内で「コックを開ける」という操作が、外部との熱のやり取りも外部への仕事もない状況（孤立系）を作り出すことを理解し、その結果として系全体の内部エネルギーの総和が保存されるという法則を適用することです。
  • 理解のポイント:
    • 孤立系の条件: 熱力学第一法則 \(\Delta U = Q – W\) において、断熱材で囲まれているため外部との熱のやり取りがなく \(Q=0\)。また、容器の壁は動かないため外部に仕事をせず \(W=0\)。したがって、系全体の内部エネルギーの変化は \(\Delta U_{\text{全体}} = 0\) となります。
    • エネルギーの再分配: 内部エネルギー保存則は、エネルギーが消えたり増えたりしないことを保証します。コックを開けることで、各気体が持っていた内部エネルギーが系全体で混ざり合い、均一な温度になるまで再分配される、と解釈できます。
• 断熱自由膨張の物理的性質
  • 核心: (4)で問われる「真空への膨張」が、断熱自由膨張と呼ばれる特殊な過程であり、その際に理想気体の温度は変化しないという重要な物理的性質を理解していることです。
  • 理解のポイント:
    • 仕事がゼロ: 気体は膨張しますが、その先には何も（真空）ないため、何かを押しのける必要がありません。したがって、外部にする仕事は \(W=0\) です。
    • 内部エネルギーが不変: 断熱（\(Q=0\)）かつ仕事がゼロ（\(W=0\)）なので、熱力学第一法則から内部エネルギーの変化は \(\Delta U=0\) となります。
    • 温度が不変: 理想気体の内部エネルギーは絶対温度のみに依存する（\(U=\frac{3}{2}nRT\)）ため、\(\Delta U=0\) ならば \(\Delta T=0\)、つまり温度は変化しません。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ピストンで仕切られた気体の混合: なめらかに動くピストンで仕切られた2つの気体を混合させる問題。この場合、ピストンが動くことで気体間で仕事のやり取りが発生するため、単純な内部エネルギー保存則だけでは解けず、力のつり合いなども考慮する必要があります。
  • 化学反応を伴う混合: 混合によって化学反応が起こり、反応熱が発生または吸収される問題。この場合、内部エネルギー保存則の式に反応熱の項を追加する必要があります。
  • 実在気体の断熱自由膨張: 実在気体の場合、分子間力に逆らって膨張するために内部エネルギーが使われるため、わずかに温度が変化します（ジュール＝トムソン効果）。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 系の境界と外部とのやり取りをまず確認する: 問題文の「断熱材」「コックを開ける」「固定された容器」といったキーワードから、系が外部とエネルギー（熱や仕事）のやり取りをするのか、しないのか（孤立系か）を最初に見極めます。これが法則選択の最大の分かれ道です。
  2. 保存される量を見抜く:
     • 孤立系の場合: 内部エネルギーの総和が保存されます。
     • 密閉容器の場合: 物質量の総和が保存されます。
  3. 平衡状態の条件を考える: コックを開けて十分な時間が経った「平衡状態」では、連結された空間内では圧力と温度がどこでも均一になっている、という強力な条件が使えます。
  4. 特殊な過程がないか探す: 「真空へ」という記述は「断熱自由膨張」を示唆します。この場合、\(W=0\) かつ \(\Delta T=0\) という非常にシンプルな性質が使えるため、解法が一気に簡単になります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• ボイル・シャルルの法則の誤用:
  • 誤解: 異なる気体を混合する際に、物質量 \(n\) が変化するにもかかわらず、安易にボイル・シャルルの法則 \(\frac{pV}{T}=\text{一定}\) を使おうとしてしまう。
  • 対策: ボイル・シャルルの法則は「一定量の気体」（\(n\)が一定）という大前提があって初めて成り立つ法則です。気体の混合のように物質量が変わる（あるいは考える対象の物質量が変わる）場合は、より基本となる内部エネルギー保存則や状態方程式に立ち返る必要があります。
• 内部エネルギーと温度の関係の誤解:
  • 誤解: 内部エネルギーが保存されるからといって、各気体の温度が一定のまま、あるいは単純な算術平均になると考えてしまう。
  • 対策: 内部エネルギーは \(U = \frac{3}{2}nRT\) であり、物質量 \(n\) と温度 \(T\) の「積」に比例します。保存されるのは \(n_1T_1 + n_2T_2 + \dots\) という「\(nT\)の和」です。したがって、最終温度は物質量で重みづけされた「加重平均」\(\frac{n_1T_1+n_2T_2}{n_1+n_2}\) になることを正確に理解しましょう。
• 断熱自由膨張での仕事の誤解:
  • 誤解: 気体が膨張したのだから、必ず外部に仕事をしたと考えてしまう。
  • 対策: 仕事の定義は「力 × 距離」、気体の場合は「外部の圧力 × 体積変化」です。真空には圧力がなく、気体は何かを押しのけて膨張しているわけではありません。したがって、外部にする仕事はゼロであると正しく理解することが重要です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1), (3)温度計算での公式選択（内部エネルギー保存則）:
  • 選定理由: 「断熱容器」で「コックを開ける」という操作は、外部とのエネルギーのやり取りがない系内部での状態変化を示唆します。求めたいのは混合後の「温度」であり、温度は内部エネルギーと直結しています。したがって、内部エネルギーの総和が保存されるという法則を立式するのが最も直接的で本質的な解法です。
  • 適用根拠: 熱力学第一法則 \(\Delta U = Q – W\) において、系全体を考えると、断熱なので \(Q=0\)、外部への体積変化もないので \(W=0\)。よって \(\Delta U_{\text{全体}} = 0\) が成立します。これが内部エネルギー保存則を適用する根拠です。
• (2), (3)物質量計算での公式選択（状態方程式）:
  • 選定理由: 求めたいのは、平衡状態に達した後の各容器内の「物質量」です。平衡状態では、連結された容器内では「圧力」と「温度」が均一になるという強い条件があります。圧力、温度、物質量、体積を結びつける法則は状態方程式 \(pV=nRT\) のみです。
  • 適用根拠: 平衡状態の容器IとIIそれぞれに状態方程式を立てます。\(p\)と\(T\)が共通であることから、\(n = (\frac{p}{RT})V\) となり、\(n\) が \(V\) に比例するという関係を導き出せます。全体の物質量が保存されることと合わせ、比例配分で解を求めることができます。
• (4)でのアプローチ選択（断熱自由膨張の性質）:
  • 選定理由: 「真空への膨張」というキーワードは、熱力学における特殊だが重要な過程「断熱自由膨張」を指します。この現象には「理想気体の温度は変化しない」という極めてシンプルな結論があります。この物理的性質を知っていれば、複雑な計算なしに答えを導けるため、最も効率的なアプローチとなります。
  • 適用根拠: 断熱(\(Q=0\))かつ真空への膨張(\(W=0\))であるため、熱力学第一法則から \(\Delta U=0\)。理想気体の内部エネルギーは温度のみの関数であるため、\(\Delta U=0\) ならば \(\Delta T=0\) となります。これが物理的性質を適用する論理的な根拠です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 添え字を丁寧につける:
  • \(n_1, T_1, V_1\), \(n_2, T_2, V_2\) や、混合後の \(T_A, n_{1A}\) など、どの気体のどの状態の物理量なのかを添え字で明確に区別しましょう。これにより、式の意味が明確になり、代入ミスを防げます。
• 共通項を先に消去する:
  • (1)や(3)の内部エネルギー保存則の式では、両辺に共通して \(\frac{3}{2}R\) が現れます。計算を始める前にこれらを消去することで、式がシンプルになり、計算が楽になります。
• 加重平均の形を意識する:
  • (1)や(3)で求めた最終温度は \(T = \frac{n_1T_1+n_2T_2+\dots}{n_1+n_2+\dots}\) という加重平均の形になります。この形を覚えておくと、立式が正しいかの検算になります。もし分母が \(V_1+V_2\) などになっていたら、どこかで間違えている可能性が高いです。
• 比例配分の計算を確実に行う:
  • (2)や(3)の物質量の計算は、全体の量に「全体の体積のうち、その容器が占める割合」を掛ける計算です。\(n_{1A} = (n_1+n_2) \times \frac{V_1}{V_1+V_2}\) のように、どの部分がどの割合に対応するのかを意識して立式しましょう。
• 一般式を活用する:
  • (4)の別解のように、前の設問で導いた一般式が後の設問の特殊なケースになっていないかを確認する視点を持つと良いでしょう。これにより、検算ができたり、より深い理解につながったりすることがあります。

326 気体の状態変化

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「\(p-V\)グラフにおける様々な熱力学過程の解析」です。グラフで与えられた状態変化について、仕事、内部エネルギー、熱量の3つの重要な物理量を、熱力学第一法則を軸に計算し、それらの関係を深く理解することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
状態Sの圧力 \(p_0\)、体積 \(V_0\)、温度 \(T_0\) が基準として与えられています。容器に閉じ込められた一定量の気体なので、物質量 \(n\) は常に一定です。したがって、2つの状態間で成り立つボイル・シャルルの法則 \(\frac{pV}{T} = \text{一定}\) を用いるのが最も効率的です。状態Sと、温度を求めたい各状態（A, B, D）を組にして式を立てます。

この設問における重要なポイント

• 物質量 \(n\) が一定なので、ボイル・シャルルの法則が適用できる。
• グラフから各状態の圧力 \(p\) と体積 \(V\) を正確に読み取る。

具体的な解説と立式
状態Sと各状態について、ボイル・シャルルの法則 \(\frac{p_1V_1}{T_1} = \frac{p_2V_2}{T_2}\) を適用します。

• 状態Aの温度 \(T_A\): S(\(p_0, V_0, T_0\))とA(\(p_1, V_0, T_A\))を比較して、
  $$
  \begin{aligned}
  \frac{p_0 V_0}{T_0} &= \frac{p_1 V_0}{T_A}
  \end{aligned}
  $$
• 状態Bの温度 \(T_B\): S(\(p_0, V_0, T_0\))とB(\(p_0, V_1, T_B\))を比較して、
  $$
  \begin{aligned}
  \frac{p_0 V_0}{T_0} &= \frac{p_0 V_1}{T_B}
  \end{aligned}
  $$
• 状態Dの温度 \(T_D\): S(\(p_0, V_0, T_0\))とD(\(p_1, V_1, T_D\))を比較して、
  $$
  \begin{aligned}
  \frac{p_0 V_0}{T_0} &= \frac{p_1 V_1}{T_D}
  \end{aligned}
  $$

各々の式を、求めたい温度について解きます。

• \(T_A\) の計算:
  $$
  \begin{aligned}
  p_0 V_0 T_A &= p_1 V_0 T_0 \\[2.0ex] T_A &= \frac{p_1}{p_0}T_0
  \end{aligned}
  $$
• \(T_B\) の計算:
  $$
  \begin{aligned}
  p_0 V_0 T_B &= p_0 V_1 T_0 \\[2.0ex] T_B &= \frac{V_1}{V_0}T_0
  \end{aligned}
  $$
• \(T_D\) の計算:
  $$
  \begin{aligned}
  p_0 V_0 T_D &= p_1 V_1 T_0 \\[2.0ex] T_D &= \frac{p_1 V_1}{p_0 V_0}T_0
  \end{aligned}
  $$

気体の状態を表す「圧力、体積、温度」の3つの値は、互いに関連しあっています。基準となるS地点での3つの値がわかっているので、それとの比較によって、A, B, D各地点の未知の温度を計算することができます。

各状態の温度が、初期状態の物理量を用いて正しく表現できました。特に、Aは定積冷却、Bは定圧加熱に対応する温度変化となっており、妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
S→Bの過程は、圧力が \(p_0\) で一定の「定圧変化」です。この過程における仕事、内部エネルギーの増加、熱量を順に求めます。

1. 気体がした仕事 \(W_{SB}\): 定圧変化なので、公式 \(W_{\text{した仕事}}=p\Delta V\) を使って計算します。
2. 内部エネルギーの増加 \(\Delta U_{SB}\): 単原子分子理想気体の内部エネルギーは \(U=\frac{3}{2}pV\) と表せます。この変化量 \(\Delta U = U_B – U_S\) を計算します。
3. 熱量 \(Q_{SB}\): 熱力学第一法則 \(\Delta U = Q – W_{\text{した仕事}}\) を \(Q = \Delta U + W_{\text{した仕事}}\) と変形し、上で求めた \(\Delta U_{SB}\) と \(W_{SB}\) を足し合わせます。

この設問における重要なポイント

• S→Bは定圧変化。
• 気体がした仕事は \(W_{\text{した仕事}}=p\Delta V\)。
• 内部エネルギーは \(U=\frac{3}{2}pV\)。
• 熱力学第一法則は \(\Delta U = Q – W_{\text{した仕事}}\)。

具体的な解説と立式

• 気体がした仕事 \(W_{SB}\):
  圧力 \(p_0\) で体積が \(V_0\) から \(V_1\) に変化したので、
  $$
  \begin{aligned}
  W_{SB} &= p_0 (V_1 – V_0)
  \end{aligned}
  $$
• 内部エネルギーの増加 \(\Delta U_{SB}\):
  $$
  \begin{aligned}
  \Delta U_{SB} &= U_B – U_S
  \end{aligned}
  $$
  $$
  \begin{aligned}
  \Delta U_{SB} &= \frac{3}{2}p_B V_B – \frac{3}{2}p_S V_S
  \end{aligned}
  $$
  状態Bは(\(p_0, V_1\))、状態Sは(\(p_0, V_0\))なので、
  $$
  \begin{aligned}
  \Delta U_{SB} &= \frac{3}{2}p_0 V_1 – \frac{3}{2}p_0 V_0
  \end{aligned}
  $$
• 熱量 \(Q_{SB}\):
  熱力学第一法則より、
  $$
  \begin{aligned}
  Q_{SB} &= \Delta U_{SB} + W_{SB}
  \end{aligned}
  $$

• 内部エネルギーの増加 \(\Delta U_{SB}\):
  $$
  \begin{aligned}
  \Delta U_{SB} &= \frac{3}{2}(p_0 V_1 – p_0 V_0) \\[2.0ex] &= \frac{3}{2}p_0(V_1 – V_0)
  \end{aligned}
  $$
• 熱量 \(Q_{SB}\):
  $$
  \begin{aligned}
  Q_{SB} &= \frac{3}{2}p_0(V_1 – V_0) + p_0(V_1 – V_0) \\[2.0ex] &= \left(\frac{3}{2} + 1\right)p_0(V_1 – V_0) \\[2.0ex] &= \frac{5}{2}p_0(V_1 – V_0)
  \end{aligned}
  $$

気体を一定の圧力で温めて膨らませる過程です。加えた熱エネルギーは、2つの役割を果たします。一つは気体を膨らませて外部に「仕事」をさせること、もう一つは気体自身の温度を上げて「内部エネルギー」を増やすことです。この「仕事」と「内部エネルギー増加」をそれぞれ計算し、最後にそれらを足し合わせると、最初に加えた「熱量」がわかります。

仕事、内部エネルギー増加、熱量がすべて正の値となり、定圧加熱で膨張する過程として物理的に妥当な結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
S→Dの過程は「断熱変化」です。断熱変化とは、定義により、外部との熱のやり取りがない（\(Q=0\)）変化です。この条件を熱力学第一法則 \(\Delta U = Q – W_{\text{した仕事}}\) に適用すると、\(\Delta U = -W_{\text{した仕事}}\) という関係が得られます。つまり、気体が外部にした仕事 \(W_{SD}\) は、内部エネルギーの「減少量」(\(-\Delta U_{SD}\))に等しくなります。

この設問における重要なポイント

• 断熱変化では \(Q=0\)。
• 熱力学第一法則より \(W_{\text{した仕事}} = -\Delta U\)。
• \(\Delta U = U_D – U_S = \frac{3}{2}(p_D V_D – p_S V_S)\)。

具体的な解説と立式
S→Dは断熱変化なので、気体に加えられた熱量 \(Q_{SD}\) はゼロです。
$$
\begin{aligned}
Q_{SD} &= 0
\end{aligned}
$$
熱力学第一法則 \(\Delta U_{SD} = Q_{SD} – W_{SD}\) より、
$$
\begin{aligned}
\Delta U_{SD} &= 0 – W_{SD} \\[2.0ex] &= -W_{SD}
\end{aligned}
$$
したがって、求めたい気体がした仕事 \(W_{SD}\) は、
$$
\begin{aligned}
W_{SD} &= -\Delta U_{SD} \\[2.0ex] &= -(U_D – U_S)
\end{aligned}
$$
内部エネルギーの式 \(U=\frac{3}{2}pV\) を用いて、
$$
\begin{aligned}
W_{SD} &= -\left(\frac{3}{2}p_D V_D – \frac{3}{2}p_S V_S\right)
\end{aligned}
$$
状態Dは(\(p_1, V_1\))、状態Sは(\(p_0, V_0\))なので、
$$
\begin{aligned}
W_{SD} &= -\left(\frac{3}{2}p_1 V_1 – \frac{3}{2}p_0 V_0\right)
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
W_{SD} &= -\frac{3}{2}(p_1 V_1 – p_0 V_0) \\[2.0ex] &= \frac{3}{2}(p_0 V_0 – p_1 V_1)
\end{aligned}
$$

断熱されたまま気体が膨張するとき、気体は外部に仕事をするためのエネルギーを、自分自身の内部から持ち出すしかありません。この「持ち出したエネルギー」が内部エネルギーの減少量であり、それがそのまま「外部にした仕事」の量と等しくなります。

気体がした仕事 \(W_{SD}\) が、始点と終点の状態量だけで決まる内部エネルギーの変化によって表されました。断熱膨張では温度が下がるので \(\Delta U < 0\) となり、仕事 \(W_{\text{した仕事}} = -\Delta U\) は正の値となります。これは体積が増加していることと一致し、妥当です。

問(4)

思考の道筋とポイント
(ア)～(エ)の4つの過程は、すべて始点がS、終点がDです。気体の内部エネルギーは状態だけで決まる量なので、始点と終点が同じであれば、途中の経路が違っても内部エネルギーの変化 \(\Delta U_{SD} = U_D – U_S\) はすべての過程で共通です。
熱力学第一法則 \(\Delta U = Q – W_{\text{した仕事}}\) を変形すると \(Q = \Delta U + W_{\text{した仕事}}\) となります。
各過程で気体に加えられた熱量の合計 \(Q_{\text{total}}\) は、
$$
\begin{aligned}
Q_{\text{total}} &= \Delta U_{SD} + W_{\text{total}}
\end{aligned}
$$
となります。\(\Delta U_{SD}\) がすべての過程で同じ値なので、\(Q_{\text{total}}\) が大きい順は、気体が外部にした仕事の合計 \(W_{\text{total}}\) が大きい順と同じになります。
気体がした仕事は、\(p-V\) グラフとV軸で囲まれた面積で表されます。したがって、4つの過程のグラフが囲む面積の大小を比較すれば、それがそのまま熱量の大小の順序になります。

この設問における重要なポイント

• 始点と終点が同じなら、内部エネルギーの変化 \(\Delta U\) は経路によらず一定。
• 熱力学第一法則より、\(\Delta U\) が一定なら、熱量 \(Q\) の大小は気体がした仕事 \(W\) の大小で決まる。
• 気体がした仕事 \(W\) は \(p-V\) グラフの面積で視覚的に比較できる。

具体的な解説と立式
各過程で気体がした仕事 \(W\) は、\(p-V\) グラフの曲線とV軸で囲まれた面積に相当します。

• (ア) S→A→D: 気体がした仕事は \(W_{(\text{ア})} = W_{SA} + W_{AD} = 0 + p_1(V_1-V_0)\)。
• (イ) S→B→D: 気体がした仕事は \(W_{(\text{イ})} = W_{SB} + W_{BD} = p_0(V_1-V_0) + 0\)。
• (ウ) S→C→D: 気体がした仕事は曲線SCと線分CDの下側の面積。
• (エ) S→D: 気体がした仕事は曲線SDの下側の面積。

グラフを比較すると、面積の大きさは明らかに (イ) > (ウ) > (エ) > (ア) の順になっています。

• (イ)の経路は最も外側を通るため、面積が最大。
• (ア)の経路は最も内側を通るため、面積が最小。
• (ウ)の等温曲線は、(イ)の定圧線より下にあります。
• (エ)の断熱曲線は、等温曲線よりも傾きが急で、さらに下にあります。

したがって、気体がした仕事の大小関係は \(W_{(\text{イ})} > W_{(\text{ウ})} > W_{(\text{エ})} > W_{(\text{ア})}\) となります。
熱量 \(Q\) の大小もこの順序と同じになります。

視覚的な面積比較により順序を決定するため、具体的な計算は不要です。

S地点からD地点まで、4つの異なるハイキングコースで行くことを考えます。どのコースで行っても、出発点とゴール地点の「標高差」（内部エネルギーの変化）は同じです。熱力学のルールでは、「体に加えた熱量」＝「標高差」＋「外部にした仕事」となります。標高差が同じなので、より多くの「仕事」をしたコースほど、より多くの「熱量」を体に加えたことになります。気体の「仕事」はグラフの面積で表されるので、単純に地図上で各コースが囲む面積を比べれば、熱量の大きい順がわかります。

グラフの面積比較という物理的に正しいアプローチで、大小関係を明確に判断できました。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 熱力学第一法則の多角的な応用
  • 核心: この問題の根幹は、熱力学の基本法則である \(\Delta U = Q – W_{\text{した仕事}}\) を、定圧、断熱といった様々な過程に適用し、仕事、内部エネルギー、熱量の関係を自在に計算する能力です。この法則が、3つの物理量のうち2つが分かれば残りの1つを求められるという、強力な関係式であることを理解することが求められます。
  • 理解のポイント:
    • 関係性の理解: 気体に加えられた熱エネルギー(\(Q\))は、「内部エネルギーを増加させる(\(\Delta U\))」か、「外部に仕事をする(\(W_{\text{した仕事}}\))」かの2通りに使われる、というエネルギー保存則の現れです。
    • 式の変形: 問題に応じて \(Q = \Delta U + W_{\text{した仕事}}\) や \(W_{\text{した仕事}} = Q – \Delta U\) のように、求めたい量に合わせて式を柔軟に変形して使います。
• 内部エネルギーが「状態量」であることの理解
  • 核心: (4)を解く上で最も重要な概念です。気体の内部エネルギーは、その瞬間の状態（理想気体の場合は温度）だけで決まり、そこに至るまでの「経路（過程）」には依存しません。したがって、始点と終点が同じであれば、どのような経路をたどっても内部エネルギーの変化量(\(\Delta U\))は全く同じになります。
  • 理解のポイント:
    • 状態量 vs 経路に依存する量: 内部エネルギー(\(U\))は状態量ですが、仕事(\(W\))や熱量(\(Q\))は経路によって値が変わります。坂道の頂上と麓の「標高差」(\(\Delta U\))はどの道を通っても同じですが、「消費カロリー」(\(Q\))や「した仕事」(\(W\))は道筋によって変わるのと同じです。
    • 熱量比較への応用: 熱力学第一法則 \(Q = \Delta U + W_{\text{した仕事}}\) において、\(\Delta U\)が一定ならば、熱量\(Q\)の大小は、経路によって変わる仕事\(W_{\text{した仕事}}\)の大小だけで決まる、という結論を導き出せます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 熱サイクルの効率計算: A→B→C→…→A のように元の状態に戻るサイクルで、吸収した熱量と正味の仕事から熱効率を求める問題。
  • 異なるグラフへの変換: \(p-V\)グラフを \(T-V\)グラフや \(p-T\)グラフに描き変える問題。各過程の性質を正しく理解しているかが問われます。
  • ポアソンの法則を使う断熱変化: 断熱変化の過程で、\(pV^\gamma = \text{一定}\) や \(TV^{\gamma-1} = \text{一定}\) といったポアソンの法則を用いて、変化後の状態量を具体的に計算する問題。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 各過程の性質を特定する: グラフの形状から、各線分や曲線が「定積」「定圧」「等温」「断熱」のどれに対応するかを最初に確定させます。
  2. 各点の状態量（p, V, T）を把握する: 基準となる点（この問題ではS）の \(p, V, T\) をもとに、ボイル・シャルルの法則や状態方程式を使って、他のすべての特徴的な点の \(p, V, T\) を計算しておくと、後の計算がスムーズに進みます。
  3. W, ΔU, Q のうち、最も計算しやすいものから攻める:
     • 仕事 \(W_{\text{した仕事}}\): 定圧なら \(p\Delta V\)。定積なら \(0\)。断熱なら \(-\Delta U\)。\(p-V\)グラフの面積計算も常に有効な手段です。
     • 内部エネルギー変化 \(\Delta U\): 経路によらないので、常に始点と終点の情報だけで計算できます。単原子分子なら \(\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T = \frac{3}{2}\Delta(pV)\) がいつでも使えます。
     • 熱量 \(Q\): 断熱なら \(0\)。定積なら \(nC_V\Delta T\)。定圧なら \(nC_p\Delta T\)。等温なら \(\Delta U=0\) なので \(Q=W_{\text{した仕事}}\)。
  4. 残りの1つを熱力学第一法則で求める: 3つの量のうち2つが分かれば、残りは \(\Delta U = Q – W_{\text{した仕事}}\) に代入するだけで求まります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 仕事の正負と定義の混同:
  • 誤解: 熱力学第一法則の \(W\) が「気体がした仕事」なのか「された仕事」なのかを混同し、符号を間違える。
  • 対策: 自分が使う熱力学第一法則の式の \(W\) がどちらを指すのかを常に意識しましょう。本解説のように \(\Delta U = Q – W_{\text{した仕事}}\) と定義する場合、「体積が増加（膨張）→気体は正の仕事をした」「体積が減少（圧縮）→気体は負の仕事をした（＝正の仕事をされた）」というルールを徹底します。
• 内部エネルギーが経路に依存すると誤解する:
  • 誤解: (4)で、S→A→DとS→B→Dでは途中の経路が違うので、内部エネルギーの変化 \(\Delta U\) も異なると考えてしまう。
  • 対策: 「内部エネルギーは状態量である」という大原則を思い出しましょう。山の標高差が登山ルートによらないのと同じで、始点と終点が同じなら \(\Delta U\) は必ず同じ値になります。これがこの問題の最大の鍵です。
• 断熱変化と等温変化の曲線の混同:
  • 誤解: \(p-V\)グラフ上で、2つの曲線のどちらが断熱でどちらが等温か分からなくなる。
  • 対策: 同じ点から膨張（または圧縮）する場合、「断熱変化の曲線の方が等温変化の曲線よりも傾きが急になる」と覚えましょう。これは、断熱膨張では仕事をするために内部エネルギーを消費して温度が下がるため、同じ体積変化でも圧力の低下がより大きくなるためです。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（ボイル・シャルルの法則）:
  • 選定理由: 求めたいのは各状態の「温度」で、比較の基準となる状態Sの情報が揃っています。気体の物質量が一定であるため、2つの状態間の関係を直接結びつけるボイル・シャルルの法則が最も手早く計算できます。
  • 適用根拠: 状態方程式 \(pV=nRT\) から \(nR = \frac{pV}{T}\) が導かれ、\(n, R\) が定数であることから \(\frac{pV}{T}\) が一定となるため、この法則が適用できます。
• (2)でのアプローチ選択（W, ΔU を先に計算し、Q を求める）:
  • 選定理由: S→Bは「定圧変化」であり、仕事 \(W_{\text{した仕事}}\) は \(p\Delta V\) で簡単に計算できます。また、内部エネルギー変化 \(\Delta U\) は、始点と終点の \(pV\) の値から \(\frac{3}{2}\Delta(pV)\) で簡単に計算できます。このように \(W\) と \(\Delta U\) が容易に求まる場合、熱力学第一法則 \(Q = \Delta U + W_{\text{した仕事}}\) を使って残りの \(Q\) を求めるのが最も自然な思考の流れです。
  • 適用根拠: 熱力学第一法則はあらゆる過程で成り立つ普遍的な法則であり、\(W\) と \(\Delta U\) が求まれば、\(Q\) を求めるための最も確実な根拠となります。
• (3)での公式選択（\(W_{\text{した仕事}} = -\Delta U\)）:
  • 選定理由: S→Dは「断熱変化」であり、その定義は \(Q=0\) です。求めたいのは仕事 \(W_{SD}\) です。熱力学第一法則 \(\Delta U = Q – W_{\text{した仕事}}\) に \(Q=0\) を代入すると、\(W_{\text{した仕事}} = -\Delta U\) という直接的な関係式が得られます。
  • 適用根拠: 断熱変化の定義 (\(Q=0\)) と、普遍的な法則である熱力学第一法則を組み合わせることで、この過程に特有の \(W\) と \(\Delta U\) の関係式が導かれます。
• (4)でのアプローチ選択（面積比較）:
  • 選定理由: 求めたいのは「熱量 \(Q\) の大小関係」です。すべての過程で始点と終点が同じであることから、\(\Delta U\) が一定であると気づくことが第一歩です。すると、熱力学第一法則 \(Q = \Delta U + W_{\text{した仕事}}\) から、\(Q\) の大小は \(W_{\text{した仕事}}\) の大小に等しいことがわかります。そして、仕事の大小は \(p-V\)グラフの面積の大小で視覚的に判断できるため、このアプローチが最も明快です。
  • 適用根拠: 「\(\Delta U\)が状態量であること」「仕事がグラフの面積で表されること」という2つの物理的な事実と、それらを結びつける熱力学第一法則が、この解法の論理的な根拠となっています。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 変化量は「あと－はじめ」を徹底する:
  • 仕事の計算で \(\Delta V = V_1 – V_0\)、内部エネルギーの計算で \(\Delta(pV) = p_B V_B – p_S V_S\) のように、「変化後の量－変化前の量」という定義を機械的に適用しましょう。これにより、仕事や内部エネルギー変化の符号を自然に正しく計算できます。
• 単位と文字を統一して計算する:
  • (2)の別解のように、温度 \(T\) を使って計算する場合と、\(p, V\) を使って計算する場合があります。状態方程式 \(pV=nRT\) を使えば両者は相互に変換できることを意識し、計算しやすい方の変数に統一して計算を進めるとミスが減ります。
• 物理的な妥当性を常に吟味する:
  • 膨張過程 (S→B, S→Dなど): 体積が増えているので、気体がした仕事 \(W\) は正のはず。
  • 温度上昇過程 (S→B): 温度が上がっているので、内部エネルギー変化 \(\Delta U\) は正のはず。
  • 断熱膨張 (S→D): 外部に仕事をするエネルギーは内部エネルギーから供給されるので、温度は下がり \(\Delta U\) は負のはず。
  • 計算結果の符号が、こうした物理的な直感と一致しているかを常に確認する癖をつけましょう。
• グラフの情報を正確に読み取る:
  • 各点の圧力や体積の値をグラフから読み取る際に、\(p_0\) と \(p_1\)、\(V_0\) と \(V_1\) を取り違えないように注意しましょう。簡単なことですが、焦っていると意外に起こりやすいミスです。

327 熱力学の第1法則と\(p-V\)グラフ

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「熱力学第一法則と\(p-V\)グラフ」です。グラフで与えられた状態変化について、仕事、内部エネルギー、熱量の3つの重要な物理量を、熱力学第一法則を軸に計算し、それらの関係を深く理解することが目的の総合問題です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
状態Cの圧力 \(p_0\)、体積 \(V_0\)、温度 \(T_1\) が基準として与えられています。容器に閉じ込められた一定量(\(1\,\text{mol}\))の気体なので、物質量 \(n\) は常に一定です。したがって、2つの状態間で成り立つボイル・シャルルの法則 \(\frac{pV}{T} = \text{一定}\) を用いるのが最も効率的です。状態Cと、温度を求めたい各状態（A, B）を組にして式を立てます。

この設問における重要なポイント

• 物質量 \(n\) が一定なので、ボイル・シャルルの法則が適用できる。
• グラフから各状態の圧力 \(p\) と体積 \(V\) を正確に読み取る。

具体的な解説と立式
状態Cと各状態について、ボイル・シャルルの法則 \(\frac{p_1V_1}{T_1} = \frac{p_2V_2}{T_2}\) を適用します。

• 状態Aの温度 \(T_A\): C(\(p_0, V_0, T_1\))とA(\(4p_0, V_0, T_A\))を比較して、
  $$
  \begin{aligned}
  \frac{p_0 V_0}{T_1} &= \frac{(4p_0) V_0}{T_A}
  \end{aligned}
  $$
• 状態Bの温度 \(T_B\): C(\(p_0, V_0, T_1\))とB(\(p_0, 4V_0, T_B\))を比較して、
  $$
  \begin{aligned}
  \frac{p_0 V_0}{T_1} &= \frac{p_0 (4V_0)}{T_B}
  \end{aligned}
  $$

各々の式を、求めたい温度について解きます。

• \(T_A\) の計算:
  $$
  \begin{aligned}
  p_0 V_0 T_A &= (4p_0) V_0 T_1 \\[2.0ex] T_A &= 4T_1
  \end{aligned}
  $$
• \(T_B\) の計算:
  $$
  \begin{aligned}
  p_0 V_0 T_B &= p_0 (4V_0) T_1 \\[2.0ex] T_B &= 4T_1
  \end{aligned}
  $$

気体の状態を表す「圧力、体積、温度」の3つの値は、互いに関連しあっています。基準となるC地点での3つの値がわかっているので、それとの比較によって、A地点とB地点の未知の温度を計算することができます。

状態Aと状態Bの温度はともに \(4T_1\) と求まりました。A→Bの過程は、始点と終点の温度が同じですが、途中の温度は変化します。このような変化は等温変化とは呼びません。

問(2)

思考の道筋とポイント
B→CとC→Aの各過程で気体が吸収した熱量を求めます。ここでは、熱力学第一法則 \(Q = \Delta U + W_{\text{した仕事}}\) を用います。各過程について、内部エネルギーの変化 \(\Delta U\) と気体がした仕事 \(W_{\text{した仕事}}\) をそれぞれ計算し、それらを足し合わせることで熱量 \(Q\) を求めます。

この設問における重要なポイント

• B→Cは定圧変化、C→Aは定積変化。
• 内部エネルギーの変化は \(\Delta U = \frac{3}{2}\Delta(pV)\)。
• 気体がした仕事は、定圧変化では \(W_{\text{した仕事}}=p\Delta V\)、定積変化では \(W_{\text{した仕事}}=0\)。

具体的な解説と立式

• B→Cの過程（定圧変化）:
  • 内部エネルギーの変化 \(\Delta U_{BC}\):
    $$
    \begin{aligned}
    \Delta U_{BC} &= U_C – U_B \\[2.0ex] &= \frac{3}{2}p_C V_C – \frac{3}{2}p_B V_B
    \end{aligned}
    $$
    状態Cは(\(p_0, V_0\))、状態Bは(\(p_0, 4V_0\))なので、
    $$
    \begin{aligned}
    \Delta U_{BC} &= \frac{3}{2}p_0 V_0 – \frac{3}{2}p_0 (4V_0)
    \end{aligned}
    $$
  • 気体がした仕事 \(W_{BC}\):
    $$
    \begin{aligned}
    W_{BC} &= p_0 (V_C – V_B) \\[2.0ex] &= p_0(V_0 – 4V_0)
    \end{aligned}
    $$
  • 熱量 \(Q_{BC}\):
    $$
    \begin{aligned}
    Q_{BC} &= \Delta U_{BC} + W_{BC}
    \end{aligned}
    $$
• C→Aの過程（定積変化）:
  • 内部エネルギーの変化 \(\Delta U_{CA}\):
    $$
    \begin{aligned}
    \Delta U_{CA} &= U_A – U_C \\[2.0ex] &= \frac{3}{2}p_A V_A – \frac{3}{2}p_C V_C
    \end{aligned}
    $$
    状態Aは(\(4p_0, V_0\))、状態Cは(\(p_0, V_0\))なので、
    $$
    \begin{aligned}
    \Delta U_{CA} &= \frac{3}{2}(4p_0) V_0 – \frac{3}{2}p_0 V_0
    \end{aligned}
    $$
  • 気体がした仕事 \(W_{CA}\): 体積が一定なので、
    $$
    \begin{aligned}
    W_{CA} &= 0
    \end{aligned}
    $$
  • 熱量 \(Q_{CA}\):
    $$
    \begin{aligned}
    Q_{CA} &= \Delta U_{CA} + W_{CA}
    \end{aligned}
    $$

• B→Cの過程:
  $$
  \begin{aligned}
  \Delta U_{BC} &= \frac{3}{2}p_0V_0 – 6p_0V_0 \\[2.0ex] &= -\frac{9}{2}p_0V_0
  \end{aligned}
  $$
  $$
  \begin{aligned}
  W_{BC} &= -3p_0V_0
  \end{aligned}
  $$
  $$
  \begin{aligned}
  Q_{BC} &= -\frac{9}{2}p_0V_0 + (-3p_0V_0) \\[2.0ex] &= -\frac{15}{2}p_0V_0
  \end{aligned}
  $$
• C→Aの過程:
  $$
  \begin{aligned}
  \Delta U_{CA} &= 6p_0V_0 – \frac{3}{2}p_0V_0 \\[2.0ex] &= \frac{9}{2}p_0V_0
  \end{aligned}
  $$
  $$
  \begin{aligned}
  Q_{CA} &= \frac{9}{2}p_0V_0 + 0 \\[2.0ex] &= \frac{9}{2}p_0V_0
  \end{aligned}
  $$

気体の状態が変わるときに出入りする熱の量を計算します。加えた熱は「気体の温度を上げる（内部エネルギー増）」と「気体を膨張させる（仕事をする）」の2つに使われます。B→Cでは気体が縮みながら冷えるので、内部エネルギーも減り、仕事もマイナス（仕事をされる）なので、結果として大量の熱を放出します。C→Aでは、体積を変えずに温めるので、加えられた熱はすべて内部エネルギーの増加だけに使われます。

\(Q_{BC}\) は負、\(Q_{CA}\) は正となりました。B→Cは定圧冷却、C→Aは定積加熱の過程であり、温度変化（\(T_B=4T_1 \rightarrow T_C=T_1\), \(T_C=T_1 \rightarrow T_A=4T_1\)）と一致しており、妥当な結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
1サイクルで気体がする仕事 \(W’\) は、\(p-V\)グラフ上でサイクルが囲む閉じた領域の面積に等しいという性質を利用します。この問題のサイクルは三角形を描いているため、その面積を計算するだけで簡単に仕事を求めることができます。

この設問における重要なポイント

• 1サイクルで気体がした仕事 \(W’\) は、\(p-V\)グラフが囲む面積に等しい。
• サイクルが時計回りなら \(W’ > 0\)、反時計回りなら \(W’ < 0\)。

具体的な解説と立式
サイクルが囲む図形は、底辺が \(4V_0 – V_0\)、高さが \(4p_0 – p_0\) の三角形です。
したがって、気体がした仕事 \(W’\) はこの三角形の面積に等しくなります。
$$
\begin{aligned}
W’ &= \frac{1}{2} \times (\text{底辺}) \times (\text{高さ}) \\[2.0ex] &= \frac{1}{2} \times (4V_0 – V_0) \times (4p_0 – p_0)
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
W’ &= \frac{1}{2} \times (3V_0) \times (3p_0) \\[2.0ex] &= \frac{9}{2}p_0V_0
\end{aligned}
$$

\(p-V\)グラフで描かれたサイクルの「輪っか」の内側の面積は、気体が1回のサイクルで稼ぎ出した仕事の量そのものを表します。今回はきれいな三角形なので、単純に「底辺×高さ÷2」で面積を計算すれば、それがそのまま答えになります。

サイクルは時計回りなので、気体は外部に正の仕事をしたことになり、計算結果が正であることと一致します。

問(4)

思考の道筋とポイント
過程A→Bは、\(p-V\)グラフ上で2点A(\(V_0, 4p_0\))とB(\(4V_0, p_0\))を結ぶ直線です。これは、圧力 \(p\) が体積 \(V\) の1次関数で表せることを意味します。数学の「2点を通る直線の式」を求める公式を使って、\(p\) を \(V\) の関数として表します。

この設問における重要なポイント

• 2点 (\(x_1, y_1\)), (\(x_2, y_2\)) を通る直線の式は \(y – y_1 = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}(x – x_1)\)。

具体的な解説と立式
2点A(\(V_0, 4p_0\)), B(\(4V_0, p_0\))を通る直線の式を求めます。この直線の傾き \(m\) は、
$$
\begin{aligned}
m &= \frac{p_0 – 4p_0}{4V_0 – V_0} \\[2.0ex] &= \frac{-3p_0}{3V_0} \\[2.0ex] &= -\frac{p_0}{V_0}
\end{aligned}
$$
点A(\(V_0, 4p_0\))を通り、傾きが \(m\) の直線の式は、
$$
\begin{aligned}
p – 4p_0 &= m(V – V_0) \\[2.0ex] p – 4p_0 &= -\frac{p_0}{V_0}(V – V_0)
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
p &= -\frac{p_0}{V_0}(V – V_0) + 4p_0 \\[2.0ex] &= -\frac{p_0}{V_0}V + p_0 + 4p_0 \\[2.0ex] &= -\frac{p_0}{V_0}V + 5p_0
\end{aligned}
$$

グラフ上のA地点とB地点を結ぶ直線コースが、数式でどのように表されるかを答える問題です。これは物理というより数学の問題で、2つの点の座標がわかっているときに、その2点を通る直線の式を求める計算をします。

得られた式は \(p\) が \(V\) の1次関数になっており、直線の式として正しい形をしています。\(V=V_0\) を代入すると \(p=4p_0\)、\(V=4V_0\) を代入すると \(p=p_0\) となり、点Aと点Bを正しく通ることが確認できます。

問(5)

思考の道筋とポイント
A→Bの過程における絶対温度 \(T\) を考えます。理想気体の状態方程式 \(pV=nRT\) より、\(T = \frac{pV}{nR}\) です。ここで \(n=1\) なので \(T = \frac{pV}{R}\) となります。
この式に、(4)で求めた \(p\) を \(V\) の関数として代入すると、温度 \(T\) を体積 \(V\) の関数として表すことができます。これは \(V\) の2次関数になるため、平方完成（または微分）によって最大値を求めることができます。

この設問における重要なポイント

• 状態方程式から \(T\) を \(p, V\) で表す: \(T = \frac{pV}{R}\)。
• (4)の結果を代入し、\(T\) を \(V\) の2次関数にする。
• 2次関数の最大値を求める（平方完成）。

具体的な解説と立式
状態方程式 \(pV=RT\) より、
$$
\begin{aligned}
T &= \frac{pV}{R}
\end{aligned}
$$
(4)で求めた \(p = -\frac{p_0}{V_0}V + 5p_0\) を代入すると、
$$
\begin{aligned}
T(V) &= \frac{1}{R} \left( -\frac{p_0}{V_0}V + 5p_0 \right) V \\[2.0ex] &= \frac{1}{R} \left( -\frac{p_0}{V_0}V^2 + 5p_0V \right)
\end{aligned}
$$
これは上に凸の2次関数なので、最大値を持ちます。平方完成して最大値を求めます。
$$
\begin{aligned}
T(V) &= -\frac{p_0}{RV_0} \left( V^2 – 5V_0V \right)
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
T(V) &= -\frac{p_0}{RV_0} \left\{ \left( V – \frac{5}{2}V_0 \right)^2 – \left( \frac{5}{2}V_0 \right)^2 \right\} \\[2.0ex] &= -\frac{p_0}{RV_0} \left( V – \frac{5}{2}V_0 \right)^2 + \frac{p_0}{RV_0} \cdot \frac{25}{4}V_0^2 \\[2.0ex] &= -\frac{p_0}{RV_0} \left( V – \frac{5}{2}V_0 \right)^2 + \frac{25p_0V_0}{4R}
\end{aligned}
$$
この式から、温度 \(T\) は \(V = \frac{5}{2}V_0\) のときに最大値をとることがわかります。
最大値 \(T_{\text{max}}\) は、
$$
\begin{aligned}
T_{\text{max}} &= \frac{25p_0V_0}{4R}
\end{aligned}
$$
ここで、状態Cの状態方程式 \(p_0V_0 = RT_1\) を用いて \(R\) を消去すると、
$$
\begin{aligned}
T_{\text{max}} &= \frac{25}{4} \cdot \frac{p_0V_0}{R} \\[2.0ex] &= \frac{25}{4}T_1
\end{aligned}
$$

A地点からB地点へ移動する間、温度は一度上がってから下がります。この「温度の山の頂上」がどこにあるか、そしてそのときの温度はいくつか、という問題です。まず、温度を体積の関数として数式で表します。すると、これが数学で習う2次関数の形になるので、グラフの頂点を求める計算（平方完成）をすることで、温度が最大になる場所（体積）とそのときの温度を求めることができます。

温度が最大になる体積 \(V = \frac{5}{2}V_0\) は、AとBの体積 \(V_0\) と \(4V_0\) のちょうど中間にあります。これは、\(T\) が \(V\) の2次関数で、そのグラフが軸に対して対称であることから妥当な結果です。最大温度は \(\frac{25}{4}T_1 = 6.25T_1\) であり、始点・終点の温度 \(4T_1\) よりも高い値となっています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 熱力学第一法則の多角的な応用
  • 核心: この問題の根幹は、熱力学の基本法則である \(\Delta U = Q – W_{\text{した仕事}}\) を、定圧、定積、そして圧力が直線的に変化する過程に適用し、仕事、内部エネルギー、熱量の関係を自在に計算する能力です。この法則が、3つの物理量のうち2つが分かれば残りの1つを求められるという、強力な関係式であることを理解することが求められます。
  • 理解のポイント:
    • 関係性の理解: 気体に加えられた熱エネルギー(\(Q\))は、「内部エネルギーを増加させる(\(\Delta U\))」か、「外部に仕事をする(\(W_{\text{した仕事}}\))」かの2通りに使われる、というエネルギー保存則の現れです。
    • 式の変形: 問題に応じて \(Q = \Delta U + W_{\text{した仕事}}\) や \(W_{\text{した仕事}} = Q – \Delta U\) のように、求めたい量に合わせて式を柔軟に変形して使います。
• 内部エネルギーが「状態量」であることの理解
  • 核心: 気体の内部エネルギーは、その瞬間の状態（理想気体の場合は温度、あるいは \(pV\) の積）だけで決まり、そこに至るまでの「経路（過程）」には依存しません。したがって、始点と終点が同じであれば、どのような経路をたどっても内部エネルギーの変化量(\(\Delta U\))は全く同じになります。
  • 理解のポイント:
    • 状態量 vs 経路に依存する量: 内部エネルギー(\(U\))は状態量ですが、仕事(\(W\))や熱量(\(Q\))は経路によって値が変わります。坂道の頂上と麓の「標高差」(\(\Delta U\))はどの道を通っても同じですが、「消費カロリー」(\(Q\))や「した仕事」(\(W\))は道筋によって変わるのと同じです。
    • 計算への応用: \(\Delta U\) は常に \(\Delta U = U_{\text{終}} – U_{\text{始}}\) で計算できます。例えば、\(\Delta U_{BC} = U_C – U_B = \frac{3}{2}p_0V_0 – \frac{3}{2}p_0(4V_0)\) のように、途中の過程を気にせず始点と終点の情報だけで計算できるのが強みです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 断熱変化や等温変化を含むサイクル: \(p-V\)グラフ上で曲線を描く過程が含まれる問題。仕事の計算に積分が必要になったり、ポアソンの法則が関係したりします。
  • 熱効率の計算: (3)で求めたサイクル全体の仕事 \(W’\) と、サイクル全体で気体が吸収した熱量 \(Q_{\text{in}}\) から、熱効率 \(e = \frac{W’}{Q_{\text{in}}}\) を求める問題。この場合の \(Q_{\text{in}}\) は、(2)の \(Q_{CA}\) だけでなく、A→Bの途中（\(V=\frac{25}{8}V_0\) まで）で吸収する熱も含みます（\(Q_{CA}\) だけを使うと \(e=1\) となってしまい、ありえません）。
  • 過程の途中の状態量: (5)のように、ある過程の途中で特定の物理量（温度、内部エネルギーなど）が最大・最小になる条件を問う問題。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 各過程の性質を特定する: グラフの形状から、各線分や曲線が「定積」「定圧」「等温」「断熱」あるいはそれ以外のどのような変化（この問題のA→Bのような線形変化）に対応するかを最初に確定させます。
  2. 各点の状態量（p, V, T）を把握する: 基準となる点（この問題ではC）の \(p, V, T\) をもとに、ボイル・シャルルの法則や状態方程式を使って、他のすべての特徴的な点の \(p, V, T\) を計算しておくと、後の計算がスムーズに進みます。
  3. W, ΔU, Q のうち、最も計算しやすいものから攻める:
     • 仕事 \(W_{\text{した仕事}}\): 定圧なら \(p\Delta V\)。定積なら \(0\)。\(p-V\)グラフの面積計算は常に有効な手段です（台形や三角形の面積）。
     • 内部エネルギー変化 \(\Delta U\): 経路によらないので、常に始点と終点の情報だけで計算できます。単原子分子なら \(\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T = \frac{3}{2}\Delta(pV)\) がいつでも使えます。
     • 熱量 \(Q\): 定積なら \(nC_V\Delta T\)。定圧なら \(nC_p\Delta T\)。それ以外の過程では、\(\Delta U\) と \(W\) を計算して熱力学第一法則から求めるのが基本です。
  4. 過程の途中の状態を問われたら関数にする: (4), (5)のように過程の途中の状態について問われたら、まず \(p\) を \(V\) の関数で表し（\(p(V)\)）、それを状態方程式に代入して \(T\) を \(V\) の関数（\(T(V)\)）で表す、という手順が定石です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 仕事の正負と定義の混同:
  • 誤解: 熱力学第一法則の \(W\) が「気体がした仕事」なのか「された仕事」なのかを混同し、符号を間違える。
  • 対策: 自分が使う熱力学第一法則の式の \(W\) がどちらを指すのかを常に意識しましょう。本解説のように \(\Delta U = Q – W_{\text{した仕事}}\) と定義する場合、「体積が増加（膨張）→気体は正の仕事をした」「体積が減少（圧縮）→気体は負の仕事をした（＝正の仕事をされた）」というルールを徹底します。
• サイクル全体の仕事と各過程の仕事の混同:
  • 誤解: (3)でサイクル全体の仕事を求める際に、A→Bの過程の仕事（台形の面積）だけを計算してしまう。
  • 対策: サイクル全体の仕事は、サイクルが「囲む」面積です。各過程の仕事は、その過程の線と「V軸との間の」面積です。この2つは明確に区別しましょう。サイクル全体の仕事は、各過程の仕事の「代数和」(\(W_{AB} + W_{BC} + W_{CA}\))に等しいことも理解しておくと、検算に役立ちます。
• A→Bを等温変化と誤解する:
  • 誤解: (1)で \(T_A=T_B\) と計算されたことから、A→Bの過程を等温変化だと思い込んでしまう。
  • 対策: 等温変化とは「過程のすべての点で温度が一定」な変化であり、\(p-V\)グラフ上では反比例の曲線を描きます。A→Bは直線であり、(5)で計算するように途中の温度は \(4T_1\) より高くなります。始点と終点の温度が同じでも、途中の温度が変化する場合は等温変化ではありません。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（ボイル・シャルルの法則）:
  • 選定理由: 求めたいのは各状態の「温度」で、比較の基準となる状態Cの情報が揃っています。気体の物質量が一定であるため、2つの状態間の関係を直接結びつけるボイル・シャルルの法則が最も手早く計算できます。
  • 適用根拠: 状態方程式 \(pV=nRT\) から \(nR = \frac{pV}{T}\) が導かれ、\(n, R\) が定数であることから \(\frac{pV}{T}\) が一定となるため、この法則が適用できます。
• (2)でのアプローチ選択（熱力学第一法則）:
  • 選定理由: 求めたいのは「熱量 \(Q\)」です。B→Cは定圧、C→Aは定積と、過程の性質が明確です。これらの過程では、仕事 \(W_{\text{した仕事}}\)（\(p\Delta V\) または \(0\)）と内部エネルギー変化 \(\Delta U\)（\(\frac{3}{2}\Delta(pV)\)）がそれぞれ簡単に計算できます。このように \(W\) と \(\Delta U\) が容易に求まる場合、熱力学第一法則 \(Q = \Delta U + W_{\text{した仕事}}\) を使って残りの \(Q\) を求めるのが最も基本的な思考の流れです。
  • 適用根拠: 熱力学第一法則はあらゆる過程で成り立つ普遍的な法則であり、\(W\) と \(\Delta U\) が求まれば、\(Q\) を求めるための最も確実な根拠となります。
• (3)での公式選択（面積法）:
  • 選定理由: 求めたいのは1サイクル全体の「仕事の和 \(W’\)」です。\(p-V\)グラフ上でサイクルが囲む面積は、正味の仕事に等しいという便利な性質があります。図形が単純な三角形であるため、面積を計算するのが最も速く、計算ミスも少ないため、この方法を選択するのが合理的です。
  • 適用根拠: 気体がする仕事 \(W\) は、数学的には圧力 \(p\) を体積 \(V\) で積分した値 \(\int p dV\) で定義されます。これをサイクル全体で計算すると、結果的にサイクルが囲む領域の面積と等しくなります。
• (5)でのアプローチ選択（2次関数の最大値問題）:
  • 選定理由: 求めたいのは、ある過程の途中における「温度の最大値」です。これは、温度 \(T\) を、過程の変数（この場合は体積 \(V\)）の関数 \(T(V)\) として表現し、その関数の最大値を求める問題に帰着します。
  • 適用根拠: 状態方程式 \(T = \frac{pV}{R}\) に、(4)で求めた \(p(V)\) の関係式を代入することで、\(T(V)\) を導出できます。得られた関数が数学的に扱える形（今回は2次関数）であれば、平方完成や微分といった数学的な手法を適用して最大値を求めることができます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 変化量は「あと－はじめ」を徹底する:
  • 仕事の計算で \(\Delta V = V_{\text{終}} – V_{\text{始}}\)、内部エネルギーの計算で \(\Delta U = U_{\text{終}} – U_{\text{始}}\) のように、「変化後の量－変化前の量」という定義を機械的に適用しましょう。これにより、仕事や内部エネルギー変化の符号を自然に正しく計算できます。例えば \(W_{BC} = p_0(V_C – V_B) = p_0(V_0 – 4V_0) = -3p_0V_0\) となり、負の仕事（仕事をされた）であることが自動的に出てきます。
• 単位と文字を統一して計算する:
  • (2)の別解のように、温度 \(T\) を使って計算する場合と、\(p, V\) を使って計算する場合があります。状態方程式 \(p_0V_0 = RT_1\) を使えば両者は相互に変換できることを意識し、計算しやすい方の変数に統一して計算を進めるとミスが減ります。
• 物理的な妥当性を常に吟味する:
  • B→C（定圧圧縮）: 体積が減るので、気体がした仕事 \(W\) は負のはず。温度も下がるので \(\Delta U\) も負。したがって熱量 \(Q = \Delta U + W\) は負（熱を放出）のはず。
  • C→A（定積加熱）: 体積一定なので仕事 \(W\) はゼロ。温度が上がるので \(\Delta U\) は正。したがって熱量 \(Q = \Delta U\) は正（熱を吸収）のはず。
  • 計算結果の符号が、こうした物理的な直感と一致しているかを常に確認する癖をつけましょう。
• 2次関数の平方完成を丁寧に行う:
  • (5)の計算では、係数に \(p_0, V_0, R\) などが含まれ、式が複雑に見えますが、落ち着いて共通因数を括りだし、平方完成の定石通りに計算を進めましょう。特に、括弧の外に出す際の係数の掛け忘れに注意が必要です。

328 気体の状態変化と熱機関

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「カルノーサイクルにおける仕事、熱、内部エネルギーの関係と熱効率」です。理想的な熱機関であるカルノーサイクルを題材に、等温変化と断熱変化の性質を深く理解し、熱力学第一法則を適用してエネルギーの収支を定量的に分析する、熱力学の総合的な問題です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
A→B, B→C, C→D, D→Aの各過程について、その性質（等温か断熱か）を特定し、熱力学第一法則を適用します。模範解答に倣い、ここでは熱力学第一法則を \(\Delta U = Q + W_{\text{された仕事}}\) の形で用います。気体が外部へする仕事 \(W_{\text{した仕事}}\) は、気体が外部からされる仕事 \(W_{\text{された仕事}}\) とは符号が逆 (\(W_{\text{した仕事}} = -W_{\text{された仕事}}\)) であることに注意します。

この設問における重要なポイント

• 等温変化: \(\Delta U = 0\)。
• 断熱変化: \(Q = 0\)。
• 内部エネルギーの変化: \(\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T\)。
• 熱力学第一法則: \(\Delta U = Q + W_{\text{された仕事}}\)。
• \(W_{\text{した仕事}} = -W_{\text{された仕事}}\)。

具体的な解説と立式

• A→Bの過程 (等温圧縮):
  • 温度が \(T_0\) で一定なので、内部エネルギーの変化はゼロです。
    $$
    \begin{aligned}
    \Delta U_{AB} &= 0
    \end{aligned}
    $$
  • 気体は低温熱源へ熱量 \(Q_0\) を放出するので、\(Q_{AB} = -Q_0\)。
  • 熱力学第一法則より、
    $$
    \begin{aligned}
    \Delta U_{AB} &= Q_{AB} + W_{AB, \text{された仕事}}
    \end{aligned}
    $$
    $$
    \begin{aligned}
    0 &= -Q_0 + W_{AB, \text{された仕事}}
    \end{aligned}
    $$
• B→Cの過程 (断熱圧縮):
  • 断熱変化なので、熱の出入りはありません。
    $$
    \begin{aligned}
    Q_{BC} &= 0
    \end{aligned}
    $$
  • 温度が \(T_0\) から \(T_1\) に変化するので、内部エネルギーの変化は、
    $$
    \begin{aligned}
    \Delta U_{BC} &= \frac{3}{2}nR(T_C – T_B) \\[2.0ex] &= \frac{3}{2} \cdot 1 \cdot R(T_1 – T_0) \\[2.0ex] &= \frac{3}{2}R(T_1 – T_0)
    \end{aligned}
    $$
  • 熱力学第一法則より、
    $$
    \begin{aligned}
    \Delta U_{BC} &= Q_{BC} + W_{BC, \text{された仕事}}
    \end{aligned}
    $$
    $$
    \begin{aligned}
    \frac{3}{2}R(T_1 – T_0) &= 0 + W_{BC, \text{された仕事}}
    \end{aligned}
    $$
• C→Dの過程 (等温膨張):
  • 温度が \(T_1\) で一定なので、内部エネルギーの変化はゼロです。
    $$
    \begin{aligned}
    \Delta U_{CD} &= 0
    \end{aligned}
    $$
  • 気体は高温熱源から熱量 \(Q_1\) を吸収するので、\(Q_{CD} = Q_1\)。
  • 熱力学第一法則より、
    $$
    \begin{aligned}
    \Delta U_{CD} &= Q_{CD} + W_{CD, \text{された仕事}}
    \end{aligned}
    $$
    $$
    \begin{aligned}
    0 &= Q_1 + W_{CD, \text{された仕事}}
    \end{aligned}
    $$
• D→Aの過程 (断熱膨張):
  • 断熱変化なので、熱の出入りはありません。
    $$
    \begin{aligned}
    Q_{DA} &= 0
    \end{aligned}
    $$
  • 温度が \(T_1\) から \(T_0\) に変化するので、内部エネルギーの変化は、
    $$
    \begin{aligned}
    \Delta U_{DA} &= \frac{3}{2}nR(T_A – T_D) \\[2.0ex] &= \frac{3}{2}R(T_0 – T_1) \\[2.0ex] &= -\frac{3}{2}R(T_1 – T_0)
    \end{aligned}
    $$
  • 熱力学第一法則より、
    $$
    \begin{aligned}
    \Delta U_{DA} &= Q_{DA} + W_{DA, \text{された仕事}}
    \end{aligned}
    $$
    $$
    \begin{aligned}
    -\frac{3}{2}R(T_1 – T_0) &= 0 + W_{DA, \text{された仕事}}
    \end{aligned}
    $$

各過程について、気体が外部へする仕事 \(W_{\text{した仕事}} = -W_{\text{された仕事}}\) を求めます。

• A→B: \(W_{AB, \text{された仕事}} = Q_0\)。よって \(W_{AB, \text{した仕事}} = -Q_0\)。
• B→C: \(W_{BC, \text{された仕事}} = \frac{3}{2}R(T_1 – T_0)\)。よって \(W_{BC, \text{した仕事}} = -\frac{3}{2}R(T_1 – T_0)\)。
• C→D: \(W_{CD, \text{された仕事}} = -Q_1\)。よって \(W_{CD, \text{した仕事}} = Q_1\)。
• D→A: \(W_{DA, \text{された仕事}} = -\frac{3}{2}R(T_1 – T_0)\)。よって \(W_{DA, \text{した仕事}} = \frac{3}{2}R(T_1 – T_0)\)。

このエンジンは4つの工程を繰り返します。「(A→B)冷やしながら縮める」「(B→C)断熱してさらに縮める」「(C→D)温めながら膨らませる」「(D→A)断熱してさらに膨らませる」です。各工程で、気体のエネルギーがどれだけ変化したか、そして気体がどれだけ仕事をした（された）かを、物理法則に当てはめて一つずつ計算していきます。

各過程の \(\Delta U\) と \(W_{\text{した仕事}}\) が求められました。

• A→B (等温圧縮): \(\Delta U=0\), \(W_{\text{した仕事}}<0\) (仕事をされる)。
• B→C (断熱圧縮): \(\Delta U>0\) (温度上昇), \(W_{\text{した仕事}}<0\) (仕事をされる)。
• C→D (等温膨張): \(\Delta U=0\), \(W_{\text{した仕事}}>0\) (仕事をする)。
• D→A (断熱膨張): \(\Delta U<0\) (温度下降), \(W_{\text{した仕事}}>0\) (仕事をする)。

これらの符号は、各過程の物理的な状況と一致しており、妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
熱機関が1サイクルの間に外部へする仕事 \(W’_{\text{サイクル}}\) は、(1)で求めた各過程で気体が外部へした仕事の総和です。

この設問における重要なポイント

• サイクル全体の仕事は、各過程の仕事の和。

具体的な解説と立式
$$
\begin{aligned}
W’_{\text{サイクル}} &= W_{AB, \text{した仕事}} + W_{BC, \text{した仕事}} + W_{CD, \text{した仕事}} + W_{DA, \text{した仕事}}
\end{aligned}
$$
(1)で求めた値を代入します。
$$
\begin{aligned}
W’_{\text{サイクル}} &= (-Q_0) + \left(-\frac{3}{2}R(T_1 – T_0)\right) + (Q_1) + \left(\frac{3}{2}R(T_1 – T_0)\right)
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
W’_{\text{サイクル}} &= -Q_0 – \frac{3}{2}R(T_1 – T_0) + Q_1 + \frac{3}{2}R(T_1 – T_0) \\[2.0ex] &= Q_1 – Q_0
\end{aligned}
$$

エンジンが1サイクル（4工程）を終えたときに、合計でどれだけの仕事をしたかを計算します。4つの工程での仕事（プラスもマイナスもある）をすべて足し合わせるだけです。

1サイクルで気体がした正味の仕事は、吸収した熱量 \(Q_1\) と放出した熱量 \(Q_0\) の差に等しくなりました。これは熱機関におけるエネルギー保存則を表す重要な関係式です。

問(3)

思考の道筋とポイント
熱機関の熱効率 \(e\) は、投入した熱エネルギーのうち、どれだけの割合を仕事に変換できたかを示す指標です。定義式は \(e = \frac{W’_{\text{した仕事}}}{Q_{\text{吸収}}}\) です。
このサイクルで気体が熱を「吸収」するのは、高温熱源に接しているC→Dの過程のみです。したがって、吸収した熱量の総和 \(Q_{\text{吸収}}\) は \(Q_1\) です。
(2)で求めた1サイクルの仕事 \(W’_{\text{サイクル}}\) と、この \(Q_{\text{吸収}}\) を定義式に代入します。

この設問における重要なポイント

• 熱効率の定義: \(e = \frac{W’_{\text{した仕事}}}{Q_{\text{吸収}}}\)。
• \(Q_{\text{吸収}}\) は、サイクル中で気体が吸収した熱量の総和。

具体的な解説と立式
熱効率 \(e\) の定義式は、
$$
\begin{aligned}
e &= \frac{W’_{\text{サイクル}}}{Q_{\text{吸収}}}
\end{aligned}
$$
(2)の結果より、\(W’_{\text{サイクル}} = Q_1 – Q_0\)。
このサイクルで熱を吸収する過程はC→Dのみなので、
$$
\begin{aligned}
Q_{\text{吸収}} &= Q_{CD} \\[2.0ex] &= Q_1
\end{aligned}
$$
これらを代入すると、
$$
\begin{aligned}
e &= \frac{Q_1 – Q_0}{Q_1}
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
e &= \frac{Q_1}{Q_1} – \frac{Q_0}{Q_1} \\[2.0ex] &= 1 – \frac{Q_0}{Q_1}
\end{aligned}
$$

このエンジンの「燃費」（熱効率）を計算します。燃費は「（エンジンがした仕事）÷（消費した燃料）」で決まります。ここで「エンジンがした仕事」は(2)で計算した \(Q_1 – Q_0\)、「消費した燃料」はエンジンが高温の熱源から吸収した熱 \(Q_1\) にあたります。これらの値を割り算して、エンジンの効率を求めます。

熱効率が \(1 – \frac{Q_0}{Q_1}\) と求まりました。これは熱効率の一般的な表現であり、吸収した熱 \(Q_1\) のうち、放出した熱 \(Q_0\) の分だけ仕事にならずに捨てられた、という物理的意味を明快に表しています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 熱力学第一法則の体系的理解と応用
  • 核心: この問題の根幹は、熱力学の基本法則である \(\Delta U = Q – W_{\text{した仕事}}\) を、等温変化と断熱変化という異なる性質を持つ過程に正しく適用できるかという点にあります。さらに、1サイクル後には元の状態に戻るという性質を利用し、法則をサイクル全体に適用する視点も重要です。
  • 理解のポイント:
    • 各過程への適用: 熱力学第一法則は、A→BやB→Cといった個々の過程に適用できます。その際、各過程の性質（等温なら\(\Delta U=0\)、断熱なら\(Q=0\)）を第一法則に代入することで、未知の量を求めるのが基本戦略となります。
    • サイクル全体への適用: 1サイクル後には気体は元の状態に戻るため、温度も元に戻ります。内部エネルギーは温度で決まるため、サイクル全体での内部エネルギーの変化はゼロ (\(\Delta U_{\text{サイクル}} = 0\)) です。この性質を熱力学第一法則に適用すると、\(0 = Q_{\text{サイクル}} – W’_{\text{サイクル}}\)、つまり \(W’_{\text{サイクル}} = Q_{\text{サイクル}} = Q_{\text{吸収}} – Q_{\text{放出}}\) という、熱機関のエネルギー収支を表す最も重要な関係が導かれます。
• 等温変化と断熱変化の物理的性質
  • 核心: カルノーサイクルを構成する2つの基本的な状態変化、「等温変化」と「断熱変化」の性質を正確に理解していることが不可欠です。
  • 理解のポイント:
    • 等温変化: 温度が一定の変化です。理想気体の場合、内部エネルギーは温度のみに依存するため、内部エネルギーは変化しません (\(\Delta U=0\))。したがって、熱力学第一法則は \(Q = W_{\text{した仕事}}\) となり、吸収した熱がすべて外部への仕事に使われる（または、された仕事がすべて熱として放出される）ことを意味します。
    • 断熱変化: 外部との熱のやり取りがない変化 (\(Q=0\)) です。このとき、熱力学第一法則は \(\Delta U = -W_{\text{した仕事}}\) となります。気体が外部に仕事をする（膨張する）と内部エネルギーが減少し（温度が下がり）、外部から仕事をされる（圧縮される）と内部エネルギーが増加する（温度が上がる）ことを意味します。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • カルノーサイクル以外のサイクル: 定積変化や定圧変化を含むサイクル（オットーサイクル、ディーゼルサイクル、スターリングサイクルなど）。基本的な考え方は同じで、各過程の性質を特定し、\(\Delta U, W, Q\)を計算します。
  • 冷凍サイクル（逆カルノーサイクル）: \(p-V\)グラフを反時計回りに回るサイクル。この場合、外部から仕事をされることで低温部分から熱を奪い、高温部分へ熱を放出するヒートポンプや冷凍機として機能します。このときの性能は「成績係数(COP)」で評価されます。
  • 熱効率を温度で表す問題: カルノーサイクルの場合、熱効率は \(e = 1 – \frac{T_0}{T_1}\) と高温熱源と低温熱源の温度だけで決まるという重要な性質があります。この関係式の導出や利用を問う問題も頻出です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 各過程の性質を特定する: 問題文の「等温変化」「断熱変化」というキーワードを絶対に見逃さないでください。これが法則適用の出発点になります。
  2. 熱の出入りと仕事の符号を判断する:
     • 熱: 等温膨張(C→D)では高温熱源から吸収(\(Q>0\))、等温圧縮(A→B)では低温熱源へ放出(\(Q<0\))。断熱過程では\(Q=0\)。
     • 仕事: 体積が増加（膨張）する過程(C→D, D→A)では気体は正の仕事をし(\(W_{\text{した仕事}}>0\))、体積が減少（圧縮）する過程(A→B, B→C)では負の仕事（仕事をされる, \(W_{\text{した仕事}}<0\))をします。
  3. \(\Delta U\)の符号を判断する: 温度が上昇する過程(B→C)では\(\Delta U > 0\)、下降する過程(D→A)では\(\Delta U < 0\)、一定の過程(A→B, C→D)では\(\Delta U = 0\)。
  4. これらの符号関係を最初に整理しておくと、計算ミスを発見しやすくなります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 仕事の正負と定義の混同:
  • 誤解: 熱力学第一法則の \(W\) が「気体がした仕事」なのか「された仕事」なのかを混同し、符号を間違える。模範解答のように \(W_{\text{された仕事}}\) を使う形式と、教科書で一般的な \(W_{\text{した仕事}}\) を使う形式が混在するため、特に注意が必要です。
  • 対策: 自分が使う熱力学第一法則の式の \(W\) がどちらを指すのかを常に意識し、一貫して使いましょう。\(W_{\text{した仕事}} = -W_{\text{された仕事}}\) の関係を明確に理解し、問題で問われているのがどちらなのかを確認する癖をつけることが重要です。
• 断熱変化と等温変化の性質の混同:
  • 誤解: 断熱変化なのに \(\Delta U=0\) としたり、等温変化なのに \(Q=0\) としたりする。
  • 対策: 「断熱」→熱を断つ→\(Q=0\)。「等温」→温度が等しい→理想気体なら\(\Delta U=0\)。言葉の意味と物理量を正確に対応させて覚えましょう。
• 熱効率の分母の誤解:
  • 誤解: 熱効率の分母 \(Q_{\text{吸収}}\) に、サイクル全体での正味の熱量 \(Q_1 – Q_0\) を使ってしまう。
  • 対策: 熱効率は「得られた成果（仕事）÷ 投じたコスト（吸収した熱）」であると理解しましょう。コストは高温熱源から吸収した熱量 \(Q_1\) のみであり、低温熱源へ捨てた熱量 \(Q_0\) はコストには含まれません。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（熱力学第一法則と各過程の性質）:
  • 選定理由: 求めたいのは \(\Delta U\) と \(W\)。問題文で各過程が「等温」か「断熱」かが指定されています。これは、熱力学第一法則 \(\Delta U = Q – W_{\text{した仕事}}\) の3変数のうち、\(\Delta U=0\) または \(Q=0\) という強力な制約を与えるものです。この制約を利用するのが最も直接的な解法です。
  • 適用根拠: 熱力学第一法則はあらゆる過程で成り立ちます。等温変化では \(\Delta T=0\) なので \(\Delta U=0\)。断熱変化では定義から \(Q=0\)。これらの事実を組み合わせることで、未知数を減らし、式を解くことができます。
• (2)での公式選択（各過程の仕事の和 or サイクル全体のエネルギー保存）:
  • 選定理由（和を計算）: (1)で各過程の仕事がすべて求まっているため、それらを単純に足し合わせるのが最も素直な流れです。
  • 選定理由（エネルギー保存）: 「サイクル」というキーワードから、始点と終点が同じであり \(\Delta U_{\text{サイクル}}=0\) であることに気づけば、熱力学第一法則をサイクル全体に適用できます。これにより、各過程の複雑な仕事の計算をせずとも、熱の収支だけで仕事が求まります。より物理的本質に根差したエレガントな解法です。
  • 適用根拠: 内部エネルギーが状態量であるという物理的な事実が、\(\Delta U_{\text{サイクル}}=0\) の根拠となります。
• (3)での公式選択（熱効率の定義式）:
  • 選定理由: 求めたいのは「熱効率 \(e\)」であり、これを計算するための式は定義式 \(e = \frac{W’}{Q_{\text{吸収}}}\) 以外にありません。
  • 適用根拠: この式は熱機関の性能を評価するための定義そのものです。(2)で「成果」である \(W’\) を、問題文と(1)から「コスト」である \(Q_{\text{吸収}}=Q_1\) を特定しているため、それらを定義式に当てはめるのは必然です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 表を作成して整理する:
  • (1)のように、各過程（A→B, B→C, …）を行、各物理量（\(Q, W, \Delta U\)）を列とする表を作成し、分かった値から埋めていくと、全体像が把握しやすく、計算ミスや見落としを防げます。
• 符号の物理的意味を常に確認する:
  • 計算結果が出たら、その符号が物理現象と合っているか確認する癖をつけましょう。
    • 圧縮過程 → 体積減少 → \(W_{\text{した仕事}}\) は負のはず。
    • 膨張過程 → 体積増加 → \(W_{\text{した仕事}}\) は正のはず。
    • 温度上昇 → \(\Delta U\) は正のはず。
    • 温度下降 → \(\Delta U\) は負のはず。
    • 熱を吸収 → \(Q\) は正のはず。
    • 熱を放出 → \(Q\) は負のはず。
• 文字式のまま計算を進める:
  • この問題では具体的な数値は出てきませんが、\(Q_1, Q_0, R, T_1, T_0\) などの文字のまま計算を進めましょう。特に(2)の計算では、途中で \(\pm \frac{3}{2}R(T_1-T_0)\) の項が相殺されることが、文字式のままだからこそ明確にわかります。
• 定義を正確に思い出す:
  • 特に熱効率の計算では、分母が \(Q_1\) なのか \(Q_1-Q_0\) なのか混乱しやすいです。定義（投入した熱に対する仕事の割合）に立ち返ることで、正しい式を選択できます。
• 関係式を複数用いて検算する:
  • 例えば、(2)で仕事の和を計算した結果 \(Q_1-Q_0\) が、サイクル全体の熱の収支 \(Q_{\text{サイクル}}\) と一致しているかを確認します。このように、異なるアプローチで同じ結論が得られることを確認するのは、非常に有効な検算方法です。

ABOUT THE AUTHOR

共田 誠（まこと先生）

高校物理講師・プロ家庭教師 / 指導歴14年

上智大学理工学部物理学科卒。私立高校の非常勤講師として進学クラスから基礎クラスまで幅広く担当。大手家庭教師センター3社でプロ家庭教師を経験し、現在はオンライン専門で全国の高校生を個別指導中。

「暗記物理の撲滅」を掲げ、生徒の思考のクセを診断・矯正するドクター型アプローチで指導。表面的なテクニックではなく、初見の問題に強い思考力を育てる。

800+解説記事

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