「セミナー物理基礎＋物理2025」徹底解説！【第 Ⅳ 章 14】基本問題340～347

基本問題

340 \(y-x\)グラフと\(y-t\)グラフ

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「正弦波の\(y-x\)グラフと\(y-t\)グラフの解釈」です。波の基本的な性質を理解する上で最も重要なグラフの読み取り問題であり、波長、周期、振幅、速さ、媒質の振動方向といった基本量を正確に把握する能力が問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
波の速さを求めるには、波長\(\lambda\)と周期\(T\)が必要です。\(y-x\)グラフは波の空間的な広がりを、\(y-t\)グラフは時間的な繰り返しを表しています。それぞれのグラフから対応する物理量を正確に読み取ることができれば、公式に代入するだけで答えが求まります。
この設問における重要なポイント

• 図1（\(y-x\)グラフ）から波長\(\lambda\)を読み取る。波長は、波1つ分の長さ。
• 図2（\(y-t\)グラフ）から周期\(T\)を読み取る。周期は、媒質が1回振動するのにかかる時間。
• 波の速さ\(v\)、波長\(\lambda\)、周期\(T\)の関係式 \(v = \lambda / T\) を用いる。

具体的な解説と立式

• 図1からの波長の読み取り:
  図1は、\(t=0\)における波形を示しています。グラフを見ると、同じ形が繰り返される空間的な長さ（波長）は \(2.0\,\text{m}\) であることがわかります。
  $$ \lambda = 2.0\,\text{m} $$
• 図2からの周期の読み取り:
  図2は、ある位置の媒質の時間変化を示しています。グラフを見ると、媒質が1回振動して元の状態に戻るまでの時間（周期）は \(0.10\,\text{s}\) であることがわかります。
  $$ T = 0.10\,\text{s} $$
• 速さの計算:
  波の基本式 \(v = \lambda / T\) に、読み取った値を代入します。

$$
\begin{aligned}
v &= \frac{2.0}{0.10} \\[2.0ex] &= 20\,\text{m/s}
\end{aligned}
$$

波の速さを知りたいときは、「波の1ステップの長さ（波長）」と「1ステップにかかる時間（周期）」を調べればOKです。図1という波の「地図」から1ステップの長さが\(2.0\,\text{m}\)だとわかり、図2というある地点の「タイムスケジュール」から1ステップに\(0.10\,\text{s}\)かかることがわかります。あとは「速さ＝距離÷時間」の計算をするだけです。

波の速さは \(20\,\text{m/s}\) と求まりました。これは物理的に妥当な値です。

問(2)

思考の道筋とポイント
図2のグラフがどの場所の振動を表しているかを特定する問題です。鍵となるのは、\(t=0\) の瞬間の状態です。図2から「\(t=0\)の変位」と「\(t=0\)の直後の変位の向き（つまり速度の向き）」を読み取ります。次に、図1の波形が\(t=0\)のものであることと、波が\(x\)軸正の向きに進むことを利用して、図1上の各点でこの条件を満たす場所を探します。
この設問における重要なポイント

• 図2から、\(t=0\)での媒質の変位\(y\)と速度の向きを特定する。
• 波の進行方向が分かっている場合、\(y-x\)グラフを少しだけ未来に進めることで、各媒質の速度の向きがわかる。
• 図1の \(0 \le x \le 2.0\,\text{m}\) の範囲で、図2の\(t=0\)の状態と一致する点を見つける。

具体的な解説と立式

1. 図2の分析:
   図2の\(y-t\)グラフを見ると、
   • 時刻 \(t=0\) で、変位は \(y=0\)。
   • 時刻 \(t=0\) の直後、変位\(y\)は正の値になっています。これは、\(t=0\)の瞬間の媒質の速度が\(y\)軸の正の向きであることを意味します。
2. 図1の分析:
   図1は\(t=0\)の波形です。問題文より、この波は\(x\)軸の正の向きに進みます。
   この波形が微小時間 \(\Delta t\) だけ経過した後の様子を想像します。波形全体が少しだけ右にずれます（模範解答の図の破線）。
   この「ずれた波形」を見ることで、\(t=0\)の瞬間に各媒質がどちらに動こうとしていたかがわかります。
   • \(x=0\): \(y=0\)。微小時間後、変位は負になるので、速度は負の向き。
   • \(x=0.5\,\text{m}\): \(y=0.20\,\text{m}\)（山）。速度は\(0\)。
   • \(x=1.0\,\text{m}\): \(y=0\)。微小時間後、変位は正になるので、速度は正の向き。
   • \(x=1.5\,\text{m}\): \(y=-0.20\,\text{m}\)（谷）。速度は\(0\)。
   • \(x=2.0\,\text{m}\): \(y=0\)。微小時間後、変位は負になるので、速度は負の向き。
3. 条件との照合:
   図2から読み取った条件「\(t=0\)で\(y=0\)かつ速度が正の向き」と、図1の分析結果を照らし合わせます。
   この条件に一致するのは、\(x=1.0\,\text{m}\) の位置です。

(計算は不要)

図2は、ある場所の「実況中継」です。この中継を見ると、「時刻\(0\)秒の瞬間、変位が\(0\)で、これから上に動こうとしている」ということがわかります。一方、図1は時刻\(0\)秒の波全体の「集合写真」です。この写真の中で、「変位が\(0\)で、これから上に動く場所」はどこかを探すゲームです。波が右に進むことを考えると、写真の波をほんの少し右にずらして見れば、各点が次にどこへ動くかがわかります。そうすると、条件にピッタリ合うのは\(x=1.0\,\text{m}\)の場所だと見つけられます。

図2の振動をしている位置は \(x=1.0\,\text{m}\) であると特定できました。\(0 \le x \le 2.0\,\text{m}\) の範囲にも収まっており、妥当な結論です。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• \(y-x\)グラフと\(y-t\)グラフの相関理解
  • 核心: 波の現象を記述する2つの基本的なグラフ、すなわち「ある瞬間の空間的な波形（\(y-x\)グラフ）」と「ある地点の時間的な振動（\(y-t\)グラフ）」を正しく解釈し、両者を結びつける能力がこの問題の根幹です。これらは波という現象の異なる側面を切り取ったものにすぎず、本質は同じ一つの運動であると理解することが重要です。
  • 理解のポイント:
    • \(y-x\)グラフは波の「スナップ写真」です。ここからは、波の空間的な繰り返しパターンである波長\(\lambda\)と、振動の大きさである振幅\(A\)が読み取れます。
    • \(y-t\)グラフは特定地点の「定点観測ビデオ」です。ここからは、振動の時間的な繰り返しパターンである周期\(T\)と、振幅\(A\)が読み取れます。
• 波の基本公式の適用
  • 核心: 読み取った物理量（波長\(\lambda\)と周期\(T\)）を用いて、波の最も基本的な性質である「速さ\(v\)」を計算することです。
  • 理解のポイント:
    • 速さ\(v\)、波長\(\lambda\)、周期\(T\)の関係式 \(v = \lambda / T\) は、「波が1波長\(\lambda\)の距離を進むのに、ちょうど1周期\(T\)の時間がかかる」という波の定義そのものを数式化したものです。この関係を理解していれば、公式を暗記するまでもなく自然に導き出せます。
• 媒質の振動方向の特定
  • 核心: 波の進行方向が与えられたときに、\(y-x\)グラフ上の各点が次にどちらの向きに動くかを判断することです。
  • 理解のポイント:
    • 横波では、媒質は波の進行方向には移動せず、その場で上下（あるいは前後）に振動するだけです。
    • 最も直感的な判断方法は、「波形を進行方向に少しだけずらして描いてみる」ことです。元の位置にいた媒質が、ずらした後の波形のどの高さにいるかを見ることで、その媒質の動きの向き（速度の向き）が分かります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 波の進行方向が逆（負の向き）の問題: この場合、媒質の振動方向を判断する際に、波形を「左」にずらして考えます。波の式を立てる場合は、\(y(x,t) = f(t+x/v)\) の形になります。
  • \(y-t\)グラフが異なる初期位相を持つ問題: 図2のグラフが \(\cos\) 型や \(-\sin\) 型、\(-\cos\) 型で与えられることがあります。この場合も、\(t=0\)での変位と速度の向きを正確に読み取ることが鍵となります。
  • \(y-x\)グラフが \(t=0\) 以外の時刻で与えられる問題: 例えば「\(t=1.0\,\text{s}\)の波形」が与えられた場合、\(t=0\)の波形を推測するか、位相のズレを考慮して波の式を立てる必要があります。
  • 縦波（疎密波）の問題: \(y-x\)グラフを媒質の変位と読み替えることで、媒質が最も密な点（\(y\)の傾きが最小）や最も疎な点（\(y\)の傾きが最大）を特定する問題に応用できます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まずはグラフの軸を確認する: 横軸が位置\(x\)なのか時間\(t\)なのかを最初に確認します。これがすべての出発点です。
  2. グラフから読み取れる物理量をすべて抜き出す:
     • \(y-x\)グラフ → 波長\(\lambda\)、振幅\(A\)
     • \(y-t\)グラフ → 周期\(T\)、振幅\(A\)

     これらを問題用紙の余白にメモしておくと、思考が整理されます。

  3. 媒質の速度の向きを問われたら、波形をずらす: 問題文で波の進行方向が指定されていることを確認し、その方向に波形を微小時間分だけ平行移動させた図を書き込みます。矢印で各点の動きを示せば、間違いが起こりにくくなります。
  4. 2つのグラフを結びつける条件を探す: (2)のような問題では、2つのグラフをつなぐ「共通の事実」を探します。この問題では「\(t=0\)の瞬間」が共通点でした。\(t=0\)における一方のグラフの情報（変位と速度）が、もう一方のグラフのどこに対応するかを探す、という視点で考えます。
  5. 視覚的な解法が難しい場合は、数式に頼る: グラフの形が複雑であったり、必要な点が目盛り上にない場合は、波の一般式を立てて代数的に解くアプローチを検討します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• \(y-x\)グラフと\(y-t\)グラフの混同:
  • 誤解: \(y-x\)グラフの山から山までの距離を「周期」、\(y-t\)グラフの山から山までの時間を「波長」と勘違いしてしまう。
  • 対策: グラフの横軸の意味を常に意識しましょう。「\(x\)はspace（空間）、\(t\)はtime（時間）」と覚え、空間の繰り返しが「波長」、時間の繰り返しが「周期」であると、言葉の定義とセットで記憶します。
• 媒質の移動方向の誤解:
  • 誤解: 波が右に進むので、媒質も（振動しながら）右に移動していくと考えてしまう。
  • 対策: 横波の媒質は「その場」で振動するだけ、という大原則を思い出しましょう。海の波で浮き輪が上下するだけで流されていかないのと同じです。波は「形（位相）」が伝わる現象であり、「物質」が移動する現象ではないことを理解することが重要です。
• 速度の向きの判断ミス:
  • 誤解: \(y-x\)グラフで、\(x\)軸より上にある点は上向きに、下にある点は下向きに動くと考えてしまう。
  • 対策: 媒質の速度の向きは、変位\(y\)の正負ではなく、波の進行方向によって決まります。必ず「波形を少しずらす」という操作を行って判断する癖をつけましょう。例えば、\(x\)軸正の向きに進む波では、山の少し手前（左側）の点は下向き、山の少し先（右側）の点は上向きに動きます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（\(v = \lambda / T\)）:
  • 選定理由: 求めたい物理量は「速さ\(v\)」です。問題で与えられているのは、波の空間的な情報（\(y-x\)グラフ）と時間的な情報（\(y-t\)グラフ）です。これらの情報から直接読み取れる物理量である「波長\(\lambda\)」と「周期\(T\)」を用いて、速さを定義する最も基本的で直接的な関係式が \(v = \lambda / T\) であるため、これを選択するのが必然です。
  • 適用根拠: この公式は、波が「1周期\(T\)という時間をかけて1波長\(\lambda\)という距離を進む」という、波の運動の定義そのものです。この定義はあらゆる波に共通して成り立つため、正弦波であるこの問題に問題なく適用できます。
• (2)でのアプローチ選択（微小時間後の波形を考える）:
  • 選定理由: 求めたいのは「図2の振動をしている媒質の場所\(x\)」です。図2からわかるのは「\(t=0\)での変位と速度の向き」という情報です。この「速度の向き」という動的な情報を、静的な\(y-x\)グラフ上で判断するための最も直感的で簡単な方法が、「波形を少しだけ未来に進めてみる」という思考実験だからです。
  • 適用根拠: 波が進行するということは、波形（位相）がその形を保ったまま、一定の速さで移動していくことを意味します。したがって、微小時間後の波形は、元の波形を進行方向にわずかに平行移動させたものとして描くことができます。この物理的な事実が、この解法の正しさを保証しています。
• (2)別解でのアプローチ選択（波の式を立てる）:
  • 選定理由: グラフから読み取った情報を、\(y(x,t)\)という一つの数式に集約することで、視覚的な判断や思考実験に頼らず、数学的な手続きだけで厳密に答えを導き出したい場合に選択します。特に、グラフの読み取りが難しい場合や、より一般的な状況を解析する際に強力な武器となります。
  • 適用根拠: 正弦波の運動は、数学的には正弦関数（sinまたはcos）で完全に記述できます。図1と図2で与えられた情報は、この関数のパラメータ（振幅\(A\)、波長\(\lambda\)、周期\(T\)）と初期条件（初期位相\(\delta\)）を決定するためのものです。関数形が確定すれば、それはその波のすべての情報を内包しているため、問題の条件を満たす\(x\)を方程式を解くことで求めることができます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• グラフの目盛りを二度見する:
  • 読み取るべき値の目盛りを指でしっかり押さえ、その数値と単位を正確に読み取ります。特に、\(0.1\), \(0.01\)などの小数点の位置や、\(m\)と\(cm\)、\(s\)と\(ms\)といった単位の接頭辞は見落としやすいポイントです。
• 単位を意識した立式と計算:
  • (1)の計算で、\(v = 2.0\,\text{m} / 0.10\,\text{s}\) のように、数値だけでなく単位も一緒に書く癖をつけると、最終的な答えの単位が正しく \(\text{m/s}\) になるかを確認でき、単純な代入ミスを防げます。
• 物理的なイメージと照らし合わせる:
  • (2)で \(x=1.0\,\text{m}\) という答えが出たら、図1のその場所をもう一度見てみましょう。\(x=1.0\,\text{m}\)は、波が右に進むとこれから山に向かって上がっていく場所です。これは図2の\(t=0\)の状況（\(y=0\)から正の方向へ動く）と確かに一致します。このような簡単な吟味で、答えの妥当性を確認できます。
• 別解による検算:
  • (2)は複数のアプローチが可能です。もし試験時間に残りがれば、主たる解法（波形をずらす）で得た答えを、別解（波の式や位相の追跡）で検算してみるのが理想的です。異なる方法で同じ結論に至れば、その答えはほぼ間違いありません。
• 波の式の初期位相決定は慎重に:
  • 別解1のように波の式を立てる場合、初期位相\(\delta\)の決定が最も間違いやすい部分です。\(y(0,0)=0\) という条件だけでは \(\delta=0\) か \(\pi\) か決まりません。\(t=0\)での速度の向き（\(y-t\)グラフの傾き）や、\(x=0\)での波形の傾き（\(y-x\)グラフの傾き）といった、もう一つの条件を使って初めて一意に定まることを忘れないようにしましょう。

341 縦波の横波表示

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「縦波の変位の可視化（横波表示）」です。縦波は媒質の密度の変化が伝わる波であり、そのままだと波形として直感的に捉えにくいです。そこで、各媒質のつりあいの位置からの「変位」を、見慣れた横波のような形のグラフに変換する手法を学びます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
縦波は媒質の疎密の波であり、その状態を視覚的に理解するのは難しい場合があります。そこで、各媒質が「つりあいの位置からどちらの向きに、どれだけずれているか」という「変位」の情報に着目します。この変位の情報を、あたかも横波の変位であるかのようにグラフに表示する手法が「横波表示」です。この問題は、その変換ルールを正しく適用できるかを問うています。「右へのずれ（正の変位）はグラフの上方向（\(y\)が正）へ」「左へのずれ（負の変位）はグラフの下方向（\(y\)が負）へ」という変換ルールを、図に示された各点に適用していきます。
この設問における重要なポイント

• 各媒質の「つりあいの位置」（図(a)の黒点）が、グラフの横軸（\(x\)軸）の位置に対応する。
• 各媒質の「変位の向きと大きさ」（図(b)の矢印）が、グラフの縦軸（\(y\)軸）の値に対応する。
• 変位が\(0\)の点は、グラフが\(x\)軸と交わる点。
• 変位が正で最大の点は、グラフの山の頂点。
• 変位が負で最大の点は、グラフの谷の底。

具体的な解説と立式（作図の手順）

1. 図(a)に示されている、等間隔に並んだ媒質のつりあいの位置が、これから描くグラフの\(x\)軸の各点の位置に対応します。
2. 図(b)の下に描かれている、各媒質の変位を示す矢印に注目します。この矢印の始点が各媒質のつりあいの位置、矢印の向きと長さが変位の向きと大きさを表しています。
3. 問題文の指示「\(x\)軸の正の向きの変位を\(y\)軸の正の向きへ, \(x\)軸の負の向きの変位を\(y\)軸の負の向きに移し」に従い、各媒質の変位をグラフ上にプロットしていきます。左から順に見ていきましょう。
   • 1番目（左端）の媒質: 右向き（正）の矢印で、変位が最大。よって、グラフの山の頂点となる、正で最大の\(y\)の値を持つ点をプロットします。
   • 2番目の媒質: 右向き（正）の短い矢印。よって、少しだけ正の\(y\)の値を持つ点をプロットします。
   • 3番目の媒質: 矢印がなく、変位は\(0\)。よって、グラフ上の対応する\(x\)の位置に、\(y=0\)の点をプロットします。
   • 4番目の媒質: 左向き（負）の短い矢印。よって、少しだけ負の\(y\)の値を持つ点をプロットします。
   • 5番目の媒質: 左向き（負）の長い矢印で、変位が負で最大。よって、グラフの谷の底となる、負で最大の\(y\)の値を持つ点をプロットします。
   • 6番目の媒質: 左向き（負）の短い矢印。少しだけ負の\(y\)の値を持つ点をプロットします。
   • 7番目の媒質: 変位が\(0\)。よって、\(y=0\)の点をプロットします。
   このように、残りのすべての点についても同様にプロットを続けます。
4. 最後に、プロットしたすべての点を滑らかな正弦曲線で結び、グラフを完成させます。

(作図問題のため、計算過程はありません)

ばねの伸び縮みで伝わる波（縦波）は、見ただけでは波の形がよく分かりません。そこで、波の様子を分かりやすく「翻訳」する方法が、この問題でやっていることです。それぞれの点が「元の場所から、右にどれだけズレたか、左にどれだけズレたか」を調べます。そして、「右へのズレ」をグラフの「上方向の高さ」に、「左へのズレ」をグラフの「下方向の深さ」に置き換えて、点々を打っていきます。すべての点についてこの作業を行うと、見慣れた波の形（横波のようなグラフ）が現れます。これは、縦波の情報を、見やすい横波のグラフというフォーマットに変換する作業なのです。

作図により、縦波の変位を横波表示のグラフに変換することができました。完成したグラフは、模範解答の図に示されているピンク色の曲線のようになります。
このグラフから、重要なことがわかります。

• 媒質の変位が最大となる場所（グラフの山や谷）は、媒質が最も大きく動いている点です。
• 一方、媒質の密度が最も高くなる「密」の部分は、グラフが\(x\)軸を負の傾きで横切る点（3番目の媒質の位置）に対応します。なぜなら、この点の右側の媒質は左に（負に）変位し、左側の媒質は右に（正に）変位しているため、この点に媒質が集まってくるからです。
• 逆に、密度が最も低くなる「疎」の部分は、グラフが\(x\)軸を正の傾きで横切る点（7番目の媒質の位置）に対応します。この点からは、左右の媒質が両方とも離れていくように変位しているためです。

このように、変位が最大の点と密度が最大の点は一致しない、ということを理解することが、縦波の横波表示をマスターする上で非常に重要です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 縦波の変位と媒質の密度の関係
  • 核心: この問題の根幹は、縦波における媒質の「変位」と「密度」という2つの異なる物理量の関係を理解することです。横波表示は、目に見えない「変位」をグラフ化する手段であり、そのグラフから目に見える「密度」の変化を読み解く能力が問われます。
  • 理解のポイント:
    • 変位: 各媒質が、つりあいの位置からどれだけズレているかを表すベクトル量です。横波表示では、この\(x\)方向の変位を\(y\)軸の値に変換します。
    • 密度: ある領域にどれだけ媒質が詰まっているかを表すスカラー量です。媒質が集まってくる場所が「密」、媒質が散っていく場所が「疎」となります。
    • 重要な関係: 媒質の密度が最大（密）または最小（疎）になる場所は、変位が\(0\)の場所です。逆に、変位が最大になる場所（横波表示の山や谷）では、媒質の密度はつりあいの状態と同じになります。この関係性を正確に理解することが核心です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 横波表示グラフから縦波の変位や疎密を答える問題: 今回とは逆の変換です。グラフの\(y\)の値が正なら右向きの変位、負なら左向きの変位の矢印を描きます。また、グラフの傾きが負で最大になる点（\(x\)軸を負の傾きで横切る点）が最も密な点、傾きが正で最大になる点が最も疎な点であることを見抜きます。
  • 音波の問題: 音波は空気の疎密が伝わる縦波の代表例です。音圧が最大・最小になる点と、空気分子の変位の関係を問う問題は、この問題と全く同じ考え方で解くことができます。
  • 波の進行を伴う問題: 「この瞬間の後、最も密になる点はどちらに動くか」といった問題。横波表示グラフに波の進行方向（例えば右向き）を仮定し、波形を少しずらして考えます。最も密な点（\(y=0\)で傾きが負）の媒質の変位は\(0\)ですが、次の瞬間には正の変位（右向き＝波の進行方向への動き）をすることがわかります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まずは「変位」の定義を再確認する: 問題で示されている矢印やグラフが、媒質の「位置」なのか「変位」なのかを明確に区別します。変位は必ず「つりあいの位置から」のズレです。
  2. 変換ルールを問題文から正確に読み取る: 「\(x\)軸正の変位を\(y\)軸正へ」というルールは絶対です。問題によっては逆の定義がされる可能性もゼロではないので、必ず確認します。
  3. 密・疎を判断するときは「変位」ではなく「変位の変化率（グラフの傾き）」に着目する:
     • 媒質が集まる（密）→ 左からは右向きの変位、右からは左向きの変位。これは、変位が正から負に変化する場所、つまり横波表示グラフの傾きが負である場所を意味します。特に、変位が\(0\)で傾きが負の点が最も密になります。
     • 媒質が離れる（疎）→ 左へは左向きの変位、右へは右向きの変位。これは、変位が負から正に変化する場所、つまり横波表示グラフの傾きが正である場所を意味します。特に、変位が\(0\)で傾きが正の点が最も疎になります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 変位が最大の点が、最も密または疎であるという誤解:
  • 誤解: 横波表示グラフの山の頂点（正の変位最大）が最も密で、谷の底（負の変位最大）が最も疎だと考えてしまう。
  • 対策: 変位が最大の点（山の頂点）を考えてみましょう。その点のすぐ左の媒質も、すぐ右の媒質も、ほぼ同じ大きさで右向きに変位しています。つまり、媒質は全体として「平行移動」しているだけで、間隔はほとんど変わっていません。したがって、密度はつりあいの状態とほぼ同じです。「密・疎」は媒質の「集まり具合」であり、変位の大きさそのものではないことを理解しましょう。
• 変位\(0\)の点が常に同じ状態であるという誤解:
  • 誤解: 変位が\(0\)の点は、媒質が動いておらず、密度も平常であると考えてしまう。
  • 対策: 変位が\(0\)の点には、「密」な点と「疎」な点の2種類があります。横波表示グラフで\(x\)軸と交わる点でも、グラフが右下がりの点（傾きが負）は「密」、右上がりの点（傾きが正）は「疎」です。変位が\(0\)という情報だけでは不十分で、その周りの媒質がどのように動いているか（グラフの傾き）まで見る必要があります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• この問題でのアプローチ選択（ルールに基づく作図）:
  • 選定理由: この問題は物理法則を応用して未知の量を計算するものではなく、縦波の「変位」という物理量を、横波表示という別の形式に「翻訳（変換）」する手順そのものを問うています。したがって、選択すべきは物理公式ではなく、問題文で与えられた「翻訳のルール」です。
  • 適用根拠: 縦波の横波表示は、物理現象を人間が直感的に理解しやすくするために考案された表現方法です。その表現には、「\(x\)軸正の変位を\(y\)軸正の値に対応させる」という約束事（定義）があります。この問題は、その約束事を正しく理解し、図に適用できるかを確認するものです。したがって、このルールに従って一つ一つの点の変位をグラフにプロットしていくことが、唯一の正しい解法となります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• (この問題は作図が中心であり、計算ミスは発生しにくいですが、作図における注意点を挙げます)
• 1点ずつ丁寧に対応させる:
  • 焦って全体を一度に描こうとせず、図(a)の1番目の点、2番目の点…と順番に、図(b)の変位の矢印を確認し、グラフ用紙にプロットしていく、という地道な作業を確実に行いましょう。指で場所を押さえながら作業すると、位置の対応ミスを防げます。
• 変位の大きさを相対的に捉える:
  • 矢印の長さを正確に測る必要はありませんが、「変位\(0\)」「変位が最大」「その中間」の3段階くらいを意識してプロットすると、綺麗な正弦曲線が描きやすくなります。
• 密部・疎部の位置を書き込んで検算する:
  • グラフを描き終えた後、模範解答のように「密」「疎」の位置を書き込んでみましょう。例えば、3番目の媒質の位置は、左の媒質(2番目)が右に、右の媒質(4番目)が左に変位しているので、確かに「密」になっています。このように物理的な意味と照らし合わせることで、作図の正しさを確認できます。

342 縦波の表し方

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「縦波の横波表示グラフの読解」です。縦波の変位を可視化したグラフを見て、媒質の変位、密度、振動速度といった物理的な状態を正しく読み取る能力を養うことが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
「最も密な部分」とは、媒質が最も密集している場所のことです。横波表示グラフは媒質の「変位」を表しているので、この変位の様子から、媒質がどの点に集まってくるのかを考えます。ある点に着目したとき、その点のすぐ左側の媒質が右向きに、すぐ右側の媒質が左向きに変位していれば、その点に媒質が集まってくることになります。
この設問における重要なポイント

• 横波表示グラフの\(y\)が正の領域では、媒質は\(x\)軸正の向き（右向き）に変位している。
• 横波表示グラフの\(y\)が負の領域では、媒質は\(x\)軸負の向き（左向き）に変位している。
• 「密」な点では、左右から媒質がその点に向かってくる。

具体的な解説と立式
グラフ上の各点について、その周辺の媒質の動きを考えます。

• 点O: Oのすぐ左側（原点に近い側）では\(y>0\)なので、媒質は右向きに変位しています。Oのすぐ右側（Aに近い側）では\(y<0\)なので、媒質は左向きに変位しています。したがって、媒質はOに向かって集まってくるため、Oは密な部分です。
• 点B: Bのすぐ左側（Aに近い側）では\(y<0\)なので、媒質は左向きに変位しています。Bのすぐ右側（Cに近い側）では\(y>0\)なので、媒質は右向きに変位しています。したがって、媒質はBから離れていくため、Bは疎な部分です。
• 点D: Dのすぐ左側（Cに近い側）では\(y>0\)なので、媒質は右向きに変位しています。Dのすぐ右側（Eに近い側）では\(y<0\)なので、媒質は左向きに変位しています。したがって、媒質はDに向かって集まってくるため、Dは密な部分です。

よって、最も密な部分はO, Dとなります。

(計算は不要)

「密」になる場所を探すのは、いわば「満員電車」の中心を探すようなものです。横波表示グラフは、各乗客（媒質）が「元の位置から右にずれたか、左にずれたか」を示しています。ある場所が混雑するのは、その場所の左側にいる人が右にずれ、右側にいる人が左にずれて、みんながそこに集まってくるときです。グラフでこの条件に合う場所を探すと、OとDが見つかります。

最も密な部分はO, Dであると判断できました。これは、変位が\(0\)で、かつグラフの傾きが負になっている点に対応します。

問(2)

思考の道筋とポイント
この問題は、横波表示グラフの定義を正しく理解しているかを確認するものです。問題文とグラフの定義から、「変位が\(x\)軸の正の向きに最大」という条件が、グラフ上で何を意味するのかを直接的に読み取ります。
この設問における重要なポイント

• 横波表示では、\(y\)軸の正の向きが、\(x\)軸の正の向きの変位に対応する。
• 「変位が\(x\)軸の正の向きに最大」とは、グラフの\(y\)座標が正の最大値をとる点のこと。

具体的な解説と立式
グラフ上で、\(y\)座標が正の最大値をとっている点を探します。
それは、波の山の頂点である点Cです。

(計算は不要)

このグラフは、右方向へのズレを「高さ」で表すというルールで作られています。「右方向へのズレが一番大きい場所はどこですか？」と聞かれているので、単純にグラフの高さが一番高い場所（山のてっぺん）を探せばよく、それは点Cです。

変位が\(x\)軸の正の向きに最大の部分はCであると判断できました。

問(3)

思考の道筋とポイント
「振動の速さ」と「速度の向き」の2つの条件を満たす点を探します。まず、媒質の振動は単振動なので、速さが最大になる場所を特定します。次に、波が\(x\)軸正の向きに進むことを利用して、微小時間後の波形を描き、速度の向きが「波の進行する向き（\(x\)軸正の向き）」と一致する点を選び出します。
この設問における重要なポイント

• 媒質の振動の速さは、変位が\(0\)の点（振動の中心）で最大になる。
• 速度の向きは、波形を進行方向に少しずらすことで判断できる。
• 「波の進行する向き」とは\(x\)軸正の向きであり、横波表示では\(y\)軸正の向きの速度に対応する。

具体的な解説と立式

1. 速さが最大の点を探す:
   媒質の速さが最大になるのは、変位が\(0\)の点です。グラフ上で\(y=0\)となる点は、O, B, Dです。
2. 速度の向きを調べる:
   問題文より、波は\(x\)軸の正の向き（右向き）に進みます。そこで、現在の波形（実線）が微小時間後にどうなるか（破線）を、少し右にずらして描きます（模範解答の図2参照）。
   • 点O: 微小時間後、変位は正の値になる（破線が実線より上にある）。つまり、速度は\(y\)軸正の向き。これは「波の進行する向き（\(x\)軸正の向き）」の速度に対応するため、条件に合います。
   • 点B: 微小時間後、変位は負の値になる（破線が実線より下にある）。つまり、速度は\(y\)軸負の向き。これは条件に合いません。
   • 点D: 微小時間後、変位は正の値になる（破線が実線より上にある）。つまり、速度は\(y\)軸正の向き。これも条件に合います。

以上より、2つの条件をともに満たすのはO, Dです。

(計算は不要)

まず、「一番スピードが出ている」場所を探します。これはブランコが一番下に来たときと同じで、振動の中心（高さ\(0\)の場所）であるO, B, Dが候補です。次に、その中でも「波が進むのと同じ向き（右向き）に動いている」場所を探します。波全体をパラパラ漫画のように少しだけ右に動かしてみると、OとDは上に（＝右向きの動きに相当）、Bは下に（＝左向きの動きに相当）動こうとしていることがわかります。よって、条件に合うのはOとDです。

振動の速さが波の進行する向きに最大の部分はO, Dであると判断できました。

問(4)

思考の道筋とポイント
媒質の振動は単振動です。単振動において、物体の速さが\(0\)になる瞬間はいつかを考えれば、すぐに答えがわかります。
この設問における重要なポイント

• 単振動では、速さは振動の折り返し点（変位が最大の点）で\(0\)になる。
• 横波表示グラフの「山」と「谷」が、変位が最大になる点に対応する。

具体的な解説と立式
媒質の振動の速さが\(0\)になるのは、変位が最大になるときです。
グラフ上で変位\(y\)が最大値または最小値をとる点を探します。

• 点A, E: 変位が負の向きに最大（谷の底）。
• 点C: 変位が正の向きに最大（山の頂点）。

したがって、速さが\(0\)になる部分はA, C, Eです。

(計算は不要)

ブランコに乗っているとき、一番高いところまで上がると、一瞬だけ動きが止まってから反対方向に動き出します。媒質の振動もこれと同じです。振動の端っこ、つまりズレが最大になる場所で速さが\(0\)になります。グラフで言うと、一番高い山の頂点(C)と、一番深い谷の底(A, E)がその場所にあたります。

振動の速さが\(0\)の部分はA, C, Eであると判断できました。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 横波表示グラフの多角的解釈
  • 核心: この問題の根幹は、一枚の「横波表示グラフ」から、縦波に関する複数の異なる物理量（変位、密度、速度）を正確に読み解く能力です。グラフの「縦軸の値（高さ）」が変位を、「傾き」が密度変化や速度を、そして「波形の時間変化」が速度の向きを示す、というように、グラフの様々な側面が異なる物理情報に対応していることを理解することが核心です。
  • 理解のポイント:
    • グラフの値 \(y\) → 変位: グラフの縦軸の値は、定義そのもの。\(y>0\)なら右向きの変位、\(y<0\)なら左向きの変位。
    • グラフの傾き \(\frac{dy}{dx}\) → 密度変化: 傾きが負の場所は媒質が集まる「密」、正の場所は媒質が離れる「疎」。
    • 単振動の性質 → 速さの大きさ: 変位が\(0\)の点（\(x\)軸との交点）で速さは最大、変位が最大の点（山と谷）で速さは\(0\)。
    • 波形の移動 → 速度の向き: 波を進行方向に少しずらすことで、各点が次に上下どちらに動くか（＝媒質が左右どちらに動くか）がわかる。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 縦波の変位の図から横波表示グラフを描かせる問題: 前問(341)のように、今回とは逆の変換を問う問題。
  • 音波（空気の圧力）との関連問題: 音波は縦波であり、媒質の「密」な部分が「圧力の高い」部分に対応します。横波表示グラフから「最も圧力の高い点はどこか？」と問われたら、(1)の「最も密な部分」と同じ答えになります。
  • 波の進行方向が逆（負の向き）の場合: (3)で速度の向きを判断する際に、波形を「左」にずらして考える必要があります。その結果、速度が正の向きになるのは点Bになります。
  • ある瞬間の後、特定の状態になる点を問う問題: 「この瞬間の後、初めて最も密になる点はどこか？」のような問題。各点の振動の位相を考え、次にその状態になるまでの時間を比較する必要があります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まず、グラフの縦軸が「変位」であることを再確認する: これが全ての解釈の出発点です。
  2. 問われている物理量に応じて、グラフのどこに着目するかを切り替える:
     • 「変位」を問われたら → グラフの高さ（\(y\)の値）をそのまま見る。
     • 「密・疎」を問われたら → グラフの傾きを見る（負で密、正で疎）。あるいは、\(x\)軸との交点の周りの変位を考える。
     • 「速さの大きさ」を問われたら → 単振動の知識を使い、高さ（変位）から判断する（\(y=0\)で最大、\(y\)が最大で\(0\)）。
     • 「速度の向き」を問われたら → 波形を進行方向にずらして、上下どちらに動くかを見る。
  3. 情報をグラフに書き込む: 設問を解きながら、各点（O〜E）の状態（密、疎、速度の向きなど）をグラフの近くにメモしていくと、思考が整理され、後の設問を解く際に役立ちます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 変位が最大の点が、最も密または疎であるという誤解:
  • 誤解: 横波表示グラフの山の頂点(C)が最も媒質が詰まっている（密）、谷の底(A, E)が最もスカスカ（疎）だと直感的に考えてしまう。
  • 対策: 変位が最大の点では、その周辺の媒質もほぼ同じように大きくずれているため、媒質間の「間隔」はつりあいの状態とほとんど変わりません。したがって密度は平常です。「密・疎」は媒質の「集まり具合」であり、「ズレの大きさ」ではないことを明確に区別しましょう。
• 変位\(0\)の点が常に同じ状態であるという誤解:
  • 誤解: 変位が\(0\)の点（O, B, D）は、媒質が元の位置にいるので、すべて同じ状態（速さが最大で密度は平常）だと考えてしまう。
  • 対策: 変位が\(0\)でも、その周りの媒質が「集まってくる」のか「離れていく」のかで状況が全く異なります。グラフの傾きが負の点(O, D)は「密」、傾きが正の点(B)は「疎」です。変位が\(0\)という情報だけでは不十分で、その空間的な変化（傾き）まで見る必要があります。
• 媒質の振動速度と波の進行速度の混同:
  • 誤解: 波は一定の速さで右に進むので、媒質も常に右向きに動いていると考えてしまう。
  • 対策: 媒質は「その場」で左右に振動（単振動）しているだけであり、波と一緒に進んでいくわけではありません。波の進行速度\(v\)は波形が伝わる速さ（定数）であり、媒質の振動速度\(v_y\)は単振動の速さ（常に変化する変数）です。両者は全くの別物です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1) 密度の判断でのアプローチ選択（変位の図を想像する）:
  • 選定理由: 「密」という言葉の物理的な定義（媒質が集まっている状態）に最も忠実な思考法だからです。横波表示グラフを、頭の中で元の縦波の変位の矢印に「逆翻訳」し、定義と照らし合わせることで、物理現象に即した確実な答えが得られます。
  • 適用根拠: 横波表示は縦波の変位を可視化したものです。その表示のルール（\(y>0\)なら右向き変位など）は定義なので、そのルールに従って元の姿を復元することは論理的に正しい手順です。
• (3) 速度の向きの判断でのアプローチ選択（波形をずらす）:
  • 選定理由: 波が進行するということは、「波形がその形を保ったまま平行移動していく」という現象です。この物理現象を、紙の上で最も直感的に、かつ簡単にシミュレーションする方法が「波形を少しずらして描いてみる」ことだからです。
  • 適用根拠: この方法は、波の運動方程式の解が \(y=f(x-vt)\) という形で書けること（波形が形を保って速さ\(v\)で進むこと）を、図形的に利用しています。微小時間後の波形は元の波形を進行方向にわずかに平行移動させたものになる、という物理的な事実が、この解法の正しさを保証しています。
• (4) 速さが0の点の判断でのアプローチ選択（単振動の性質）:
  • 選定理由: 波を伝える各媒質は、その場で単振動を行っています。速さが\(0\)になる点を問われているので、単振動の運動で速さが\(0\)になるのはどのような点かを考えるのが最も直接的です。
  • 適用根拠: 単振動では、運動エネルギーと位置エネルギーの和が保存されます。速さが\(0\)になるのは運動エネルギーが\(0\)になるときであり、それはエネルギーがすべて位置エネルギーに変換された点、すなわち振動の中心から最も離れた「折り返し点（変位が最大の点）」です。この物理法則を適用しています。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• (この問題は計算がありませんが、判断ミスを防ぐためのテクニックを挙げます)
• 情報をグラフに積極的に書き込む:
  • 問題用紙のグラフの余白に、各点（O〜E）の状態をメモしましょう。例えば、(1)を解きながらOとDに「密」、Bに「疎」と書き込み、(4)を解きながらA, C, Eに「速さ0」と書き込むことで、思考が整理され、後の設問との関連も見えやすくなります。
  • (3)を解く際には、実際に薄い線で少し右にずらした波形を描き込み、各点の上下の動きを矢印で示すと、視覚的に判断できて間違いが減ります。
• 表を作成して思考を整理する:
  • もし頭が混乱したら、次のような簡単な表を作って整理するのも有効です。
    

    点	変位\(y\)	傾き\(\frac{dy}{dx}\)	密/疎	速さ	速度の向き
    O	0	負	密	最大	正
    A	負で最大	0	平常	0	–
    B	0	正	疎	最大	負
    C	正で最大	0	平常	0	–
    D	0	負	密	最大	正

• 物理的なイメージと最終チェック:
  • 自分の出した答えが、物理的におかしくないか最後に確認しましょう。
  • 例：「最も密な点(O, D)」と「速度が進行方向に最大の点(O, D)」が一致した。→ 密な点では媒質がぶつかり合って押し出す力が強そうなので、進行方向に速さが最大なのは妥当かもしれない、といった吟味ができます。
  • 例：「変位が最大の点(A, C, E)」と「速さが0の点(A, C, E)」が一致した。→ 振動の折り返し点で速さが0になるのは単振動の基本なので、これは正しい、と確認できます。

343 正弦波の式

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「正弦波のグラフの読み取りと数式化」です。波のグラフには2種類（\(y-x\) グラフと \(y-t\) グラフ）ありますが、それぞれの意味を正しく理解し、波の式を自在に扱えるようになることが目標です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
まず、与えられたグラフが何を表しているかを確認します。これは \(y-t\) グラフ（ある一点の変位の時間変化）なので、横軸の目盛りから直接「周期 \(T\)」を読み取ることができます。波長 \(\lambda\) はグラフから直接読み取れないので、波の基本公式 \(v = \frac{\lambda}{T}\) を変形して計算します。
この設問における重要なポイント

• \(y-t\) グラフの山から山（または谷から谷、あるいは波形が1周する間隔）の横軸の長さが周期 \(T\) である。
• 波の速さ \(v\) は問題文で与えられている（\(2.0\,\text{m/s}\)）。

具体的な解説と立式
図の \(y-t\) グラフを見ると、時刻 \(t=0\) で変位 \(y=0\) から始まり、一度山となって谷となり、再び \(y=0\) に戻って正の向きに動き出そうとするまでの時間が \(0.50\,\text{s}\) であることが読み取れます。これが波の周期 \(T\) です。
$$ T = 0.50\,\text{s} $$
次に、波長 \(\lambda\) を求めます。波の速さを \(v\)、波長を \(\lambda\)、周期を \(T\) とすると、以下の関係式が成り立ちます。
$$ v = \frac{\lambda}{T} $$
この式を \(\lambda\) について解く形に変形して立式します。
$$ \lambda = v \times T $$

数値を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
\lambda &= 2.0 \times 0.50 \\[2.0ex] &= 1.0\,\text{m}
\end{aligned}
$$

グラフの横軸は「時間」なので、波が1回うねって元の状態に戻るまでの時間、つまり「周期」が \(0.50\) 秒だとすぐにわかります。波は1秒間に \(2.0\,\text{m}\) 進む速さを持っています。1回のうねりに \(0.50\) 秒かかるということは、その間に波が進む距離（これが波長です）は、速さ \(\times\) 時間で計算できます。

周期は \(0.50\,\text{s}\)、波長は \(1.0\,\text{m}\) です。速さが \(2.0\,\text{m/s}\) なので、\(0.50\) 秒で \(1.0\,\text{m}\) 進むというのは辻褄が合っています。

問(2)

思考の道筋とポイント
\(x=0\) という特定の場所での媒質の動きを数式にします。これは単振動の式 \(y = A \sin(\omega t + \phi_0)\) を決定する問題です。グラフから振幅 \(A\) と、\(t=0\) での波の状態（初期位相 \(\phi_0\)）を読み取ります。
この設問における重要なポイント

• グラフの縦軸の最大値が振幅 \(A\) である。
• \(t=0\) のとき \(y=0\) であり、その後 \(y\) が正の方向に増加していることから、サインカーブ（\(\sin\)）の形そのままである（初期位相が \(0\)）。
• 角振動数 \(\omega\) は \(\frac{2\pi}{T}\) で求められる。

具体的な解説と立式
グラフより、振幅 \(A\) は以下の通り読み取れます。
$$ A = 0.10\,\text{m} $$
また、周期 \(T = 0.50\,\text{s}\) なので、角振動数 \(\omega\) を求めます。
$$ \omega = \frac{2\pi}{T} $$
グラフは原点を通る正弦波（サイン波）なので、変位 \(y\) は以下の式で表されます。
$$ y = A \sin \omega t = A \sin \frac{2\pi}{T}t $$

値を代入して式を完成させます。
$$
\begin{aligned}
y &= 0.10 \sin \left( \frac{2\pi}{0.50} t \right) \\[2.0ex] &= 0.10 \sin \left( \frac{2\pi}{1/2} t \right) \\[2.0ex] &= 0.10 \sin 4\pi t
\end{aligned}
$$
単位は \([\text{m}]\) です。

この波の高さ（振幅）は \(0.10\,\text{m}\) です。また、\(0.50\) 秒で1回転（\(2\pi\) ラジアン）するペースで振動しているので、1秒あたりでは \(4\pi\) ラジアン回転することになります。スタート地点（\(t=0\)）でゼロからプラスに向かっているので、素直な \(\sin\) のグラフになります。これらを組み合わせると答えの式になります。

求まった式 \(y = 0.10 \sin 4\pi t\) において、\(t=0.50\) を代入すると \(\sin 2\pi = 0\) となり、周期性と矛盾しません。また振幅も \(0.10\) となっています。

問(3)

思考の道筋とポイント
今度は \(x=0\) だけでなく、任意の位置 \(x\) での式を求めます。波は \(x\) 軸の正の向きに進んでいるので、位置 \(x\) にある媒質は、原点 \(x=0\) にある媒質よりも「遅れて」同じ動きをします。この「時間の遅れ」を数式に組み込みます。
この設問における重要なポイント

• 波の速さは \(v = 2.0\,\text{m/s}\)。
• 原点 \(x=0\) から位置 \(x\) まで波が伝わるのにかかる時間 \(\Delta t\) は、距離 \(\div\) 速さ で求められる。
• 「位置 \(x\) での時刻 \(t\) の変位」は、「原点 \(x=0\) での時刻 \(t – \Delta t\) の変位」と等しい。つまり、過去の原点の動きを真似しているということ。

具体的な解説と立式
原点から位置 \(x\) まで波が進むのにかかる時間 \(\Delta t\) は、
$$ \Delta t = \frac{x}{v} = \frac{x}{2.0}\,\text{s} $$
です。
位置 \(x\) の媒質は、原点よりも時間 \(\Delta t\) だけ遅れて振動します。したがって、位置 \(x\)、時刻 \(t\) における変位 \(y\) は、(2)で求めた原点の式の時刻 \(t\) を、\((t – \Delta t)\) に置き換えることで得られます。
$$ y = 0.10 \sin 4\pi (t – \Delta t) $$

\(\Delta t = \frac{x}{2.0}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
y &= 0.10 \sin 4\pi \left( t – \frac{x}{2.0} \right)
\end{aligned}
$$
これ以上展開する必要はありませんが、展開して \(4\pi t – 2\pi x\) としても正解です。模範解答の形式に合わせると、上記の形のまま答えるのが一般的です。

波は「動きが伝わっていく現象」です。川の上流（\(x=0\)）で石を投げ込んで波を作ったとします。下流（位置 \(x\)）にいる人は、少し時間が経ってからその波を感じますよね？ その「待ち時間」は、距離 \(x\) を波の速さ \(2.0\) で割った分だけかかります。つまり、今のあなたの場所（\(x\)）での波の高さは、少し前の時間（\(t – \text{待ち時間}\)）に上流（\(x=0\)）で起きていた波の高さと同じなのです。だから、(2)の式の時間の部分を引き算して調整すればよいのです。

得られた式 \(y = 0.10 \sin 4\pi (t – \frac{x}{2.0})\) は、\(x=0\) を代入すると(2)の式に戻ります。これは整合性が取れています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• \(y-t\) グラフと \(y-x\) グラフの識別と情報の抽出
  • 核心: 波のグラフには2種類あります。横軸が時間 \(t\) の \(y-t\) グラフからは「周期 \(T\)」が、横軸が位置 \(x\) の \(y-x\) グラフからは「波長 \(\lambda\)」が読み取れます。この2つを明確に区別し、必要な情報を正しく抽出することが出発点です。
  • 理解のポイント:
    • \(y-t\) グラフ: 「ある一箇所（今回は \(x=0\)）」での媒質の動き（単振動）をビデオ撮影したようなもの。時間の経過とともに変位がどう変わるかを表します。
    • \(y-x\) グラフ: 「ある一瞬」での波全体の形（波形）を写真撮影したようなもの。空間的な波の形状を表します。
• 波の伝播と位相の遅れ
  • 核心: 波が伝わるとは、波源（原点）の振動が時間をかけて空間的に広がっていく現象です。正の向きに進む波では、位置 \(x\) での振動は、原点での振動よりも時間 \(\Delta t = \frac{x}{v}\) だけ「遅れて」発生します。
  • 理解のポイント:
    • 過去の再現: 位置 \(x\) での時刻 \(t\) の変位は、原点での「少し昔（時刻 \(t – \frac{x}{v}\)）」の変位と同じです。この物理的直感が、数式 \(y(x, t) = y(0, t – \frac{x}{v})\) の意味を理解する鍵です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • \(y-x\) グラフが与えられた場合: 横軸から波長 \(\lambda\) を読み取ります。周期 \(T\) は \(v = \frac{\lambda}{T}\) から計算します。また、グラフは \(t=0\) の波形を表すことが多いので、そこから原点 \(x=0\) の媒質が次の瞬間にどちらに動くかを予測し、\(y-t\) の式を立てる必要があります。
  • 負の向きに進む波: 波が \(x\) 軸の負の向きに進む場合、位置 \(x\) の振動は原点よりも時間 \(\frac{x}{v}\) だけ「早く」起こっている（あるいは原点の未来の動きを先取りしている）と考えます。数式では \(t\) を \(t + \frac{x}{v}\) に置き換えます。
  • 初期位相がある場合: \(t=0\) で \(y=0\) でない、あるいは \(y=0\) だが負の向きに動く場合などは、\(\sin(\omega t + \phi_0)\) や \(\cos \omega t\) などの形になります。グラフのスタート地点の形状を見て判断します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 横軸の単位を確認する: 横軸が \([\text{s}]\) なら周期 \(T\)、\([\text{m}]\) なら波長 \(\lambda\) がわかります。ここを間違えると全て崩壊します。
  2. 進行方向を確認する: 「正の向き」なら \(t – \frac{x}{v}\)（マイナス）、「負の向き」なら \(t + \frac{x}{v}\)（プラス）です。
  3. 原点の動きを追う: \(x=0\) の媒質が \(t=0\) からどのように動くか（上がって下がるか、下がって上がるか）で、\(\sin\) の前の符号や位相が決まります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• グラフの種類の混同:
  • 誤解: \(y-t\) グラフの山の頂点間の距離を見て「波長 \(\lambda\)」だと思い込んでしまう。
  • 対策: 必ず横軸のラベル（\(t\) か \(x\) か）と単位（\(\text{s}\) か \(\text{m}\) か）を指差し確認します。「時間は周期、距離は波長」と唱えましょう。
• 波の式の符号ミス:
  • 誤解: 公式を丸暗記していて、進行方向に関わらず常にマイナス \(t – \frac{x}{v}\) としてしまう、あるいは括弧のくくり方を間違えて \(4\pi t – \frac{x}{2.0}\) のように \(x\) の係数を間違える。
  • 対策: 「正の向きに進む＝平行移動」なので、関数の引数は \(\left( t – \frac{x}{v} \right)\) の形になることを意識します。また、別解で示した一般式 \(y = A \sin 2\pi \left( \frac{t}{T} – \frac{x}{\lambda} \right)\) を覚えておくと、符号や係数のミスを劇的に減らせます。
• 単位の換算忘れ:
  • 誤解: 振幅が \(\text{cm}\) で与えられているのに、そのまま \(\text{m}\) の式に代入してしまう。
  • 対策: 問題文の単位と解答に要求される単位を確認し、必要なら最初にすべてSI単位系（\(\text{m}, \text{s}, \text{kg}\)）に統一してから計算を始めます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 波の基本公式 \(v = \frac{\lambda}{T}\):
  • 選定理由: (1)では、グラフから直接読み取れる「周期 \(T\)」と、求めたい「波長 \(\lambda\)」をつなぐ架け橋が必要です。速さ \(v\) が与えられているため、これら3つの物理量を結ぶ唯一の基本公式を選択します。
  • 適用根拠: 波の速さは一定（等速）であるという前提のもと、距離（波長）＝速さ \(\times\) 時間（周期）という関係が成り立ちます。
• 変数の置き換え \(t \rightarrow t – \frac{x}{v}\):
  • 選定理由: (3)では、空間的に離れた場所への「波の移動」を数式で表現する必要があります。波動現象において、波形が崩れずに進む場合、それは数学的な「平行移動」に対応します。
  • 適用根拠: 時間 \(t\) の関数 \(f(t)\) を時間軸方向に \(\Delta t\) だけ遅らせる（右にずらす）操作は、\(f(t – \Delta t)\) と記述されます。物理的には、距離 \(x\) を速さ \(v\) で進む遅れ時間が \(\Delta t = \frac{x}{v}\) であるため、この置き換えが正当化されます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• • \(\pi\) の扱い:
    • 波の式では、位相部分に \(\pi\) が含まれるのが普通です。途中で \(3.14\) などに直さず、最後まで \(\pi\) のまま計算を進めます。
  • 端点での検算:
    • 求めた式に \(x=0\) を代入して、(2)で求めた原点の式に戻るか必ず確認しましょう。また、\(t=0, x=0\) を代入して \(y=0\) になるかなど、グラフの初期状態と一致するかをチェックするだけで、多くのミスを防げます。
  • 次元解析（単位チェック）:
    • \(\sin(\dots)\) の中身（位相）は無次元（単位なし、ラジアン）でなければなりません。例えば \(4\pi \left( t – \frac{x}{2.0} \right)\) なら、\(t\) は \([\text{s}]\)、\(\frac{x}{2.0}\) は \(\frac{[\text{m}]}{[\text{m/s}]} = [\text{s}]\) なので、全体として時間の単位になり、角振動数（単位は \([1/\text{s}]\)）と掛け合わされて無次元になります。もし \(t – x\) のような式になっていたら、秒とメートルを引き算しているので間違いだとすぐに気づけます。

344 正弦波の式

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「正弦波の式の解析とグラフ化」です。与えられた数式から波の性質（振幅、周期、波長、速さ）を読み取り、特定の時刻における波の形（波形）をグラフにする力を養います。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
与えられた波の式と、教科書などで学ぶ「正弦波の一般式」を見比べます。式の形を揃えることで、各物理量（振幅、周期、波長）に対応する部分を特定します。
この設問における重要なポイント

• 正弦波の一般式（正の向きに進む波）は \( y = A \sin 2\pi \left( \frac{t}{T} – \frac{x}{\lambda} \right) \) である。
• 与えられた式 \( y = 2.0 \sin 2\pi(t – 0.50x) \) を上記の形に変形する。

具体的な解説と立式
正弦波の一般式は以下の通りです。
$$ y = A \sin 2\pi \left( \frac{t}{T} – \frac{x}{\lambda} \right) $$
ここで、\(A\) は振幅、\(T\) は周期、\(\lambda\) は波長です。

一方、問題で与えられた式は以下の通りです。
$$ y = 2.0 \sin 2\pi (t – 0.50x) $$
この式を一般式と比較しやすいように、括弧の中身を分数を用いた形に変形します。\(t\) の係数を \(\frac{1}{T}\)、\(x\) の係数を \(\frac{1}{\lambda}\) の形に合わせます。
$$ y = 2.0 \sin 2\pi \left( \frac{t}{1.0} – \frac{0.50x}{1.0} \right) $$
さらに \(x\) の項を変形して、分母に数値が来るようにします。\(0.50 = \frac{1}{2.0}\) なので、以下のようになります。
$$ y = 2.0 \sin 2\pi \left( \frac{t}{1.0} – \frac{x}{2.0} \right) $$
これで一般式と完全に同じ形になりました。

変形した式と一般式を項ごとに比較します。

• 振幅 \(A\)（\(\sin\) の前の係数）:
  $$ A = 2.0\,\text{m} $$
• 周期 \(T\)（\(t\) の分母）:
  $$ T = 1.0\,\text{s} $$
• 波長 \(\lambda\)（\(x\) の分母）:
  $$ \lambda = 2.0\,\text{m} $$

波の式は一見複雑に見えますが、決まった「型」があります。「\(t\) を周期で割る」「\(x\) を波長で割る」というルールで作られているので、与えられた式を無理やりその「型」にはめ込むように変形すれば、隠れていた周期や波長の数字が浮き出てきます。

振幅 \(2.0\,\text{m}\)、周期 \(1.0\,\text{s}\)、波長 \(2.0\,\text{m}\) と求まりました。単位も問題文の指定（\(\text{m}, \text{s}\)）と整合しています。

問(2)

思考の道筋とポイント
波の速さ \(v\) を求める問題です。(1)で波長 \(\lambda\) と周期 \(T\) がわかっているので、波の基本公式に代入するだけで求められます。
この設問における重要なポイント

• 波の基本公式 \( v = \frac{\lambda}{T} \) を使用する。

具体的な解説と立式
波の速さ \(v\)、波長 \(\lambda\)、周期 \(T\) の関係式は以下の通りです。
$$ v = \frac{\lambda}{T} $$

(1)の結果 \(\lambda = 2.0\,\text{m}\), \(T = 1.0\,\text{s}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
v &= \frac{2.0}{1.0} \\[2.0ex] &= 2.0\,\text{m/s}
\end{aligned}
$$

波長とは「波1つ分の長さ」、周期とは「波1つが進むのにかかる時間」です。速さは「距離 \(\div\) 時間」なので、波長を周期で割れば、波が進む速さが求まります。

速さは \(2.0\,\text{m/s}\) です。

問(3)

思考の道筋とポイント
「\(t=0\,\text{s}\) における波形」を描くということは、波の式において時間を \(t=0\) に固定し、\(y\) を \(x\) の関数としてグラフにするということです。
この設問における重要なポイント

• 波の式に \(t=0\) を代入して、\(y\) と \(x\) の関係式を作る。
• 三角関数の性質 \(\sin(-\theta) = -\sin\theta\) を利用して式を整理する。
• 得られた関数のグラフ（振幅、周期、初期位相）を正確に描く。

具体的な解説と立式
与えられた式 \( y = 2.0 \sin 2\pi(t – 0.50x) \) に \(t=0\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
y &= 2.0 \sin 2\pi(0 – 0.50x) \\[2.0ex] &= 2.0 \sin (-1.0\pi x) \\[2.0ex] &= 2.0 \sin (-\pi x)
\end{aligned}
$$
ここで、\(\sin(-\theta) = -\sin\theta\) の関係を用いると、以下のようになります。
$$ y = -2.0 \sin \pi x $$
この式は、以下の特徴を持つ正弦波を表します。

• 振幅: \(2.0\,\text{m}\)
• 空間的な周期（波長）: \(2\pi \div \pi = 2.0\,\text{m}\) （(1)の結果と一致）
• 波形: マイナスのサインカーブ（原点から下向きに始まる）

グラフを描くための主要な点の座標を計算します。

• \(x=0\) のとき:
  $$ y = -2.0 \sin 0 = 0 $$
• \(x=0.50\) のとき:
  $$
  \begin{aligned}
  y &= -2.0 \sin (0.50\pi) \\[2.0ex] &= -2.0 \times 1 \\[2.0ex] &= -2.0
  \end{aligned}
  $$
• \(x=1.0\) のとき:
  $$ y = -2.0 \sin (\pi) = 0 $$
• \(x=1.5\) のとき:
  $$
  \begin{aligned}
  y &= -2.0 \sin (1.5\pi) \\[2.0ex] &= -2.0 \times (-1) \\[2.0ex] &= 2.0
  \end{aligned}
  $$
• \(x=2.0\) のとき:
  $$ y = -2.0 \sin (2\pi) = 0 $$

「\(t=0\) の波形」とは、時刻 \(0\) の瞬間に波の写真を撮ったときの形のことです。式の中の \(t\) を \(0\) にしてしまえば、\(y\) は \(x\) だけの式になります。計算すると \(y = -2.0 \sin \pi x\) となり、これは「原点から下に向かってスタートする、高さ \(2.0\)、長さ \(2.0\) の波」を表しています。

横軸に \(x\)、縦軸に \(y\) をとり、原点 \((0, 0)\) を通り、\(x=0.5\) で谷 \(-2.0\)、\(x=1.0\) で \(0\)、\(x=1.5\) で山 \(2.0\)、\(x=2.0\) で \(0\) となる正弦波を描きます。これは模範解答の図と一致します。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 正弦波の一般式と係数の物理的意味
  • 核心: 正弦波の式 \( y = A \sin 2\pi \left( \frac{t}{T} – \frac{x}{\lambda} \right) \) は、単なる数式ではなく、波の物理的性質（振幅 \(A\)、周期 \(T\)、波長 \(\lambda\)）をすべて含んだ「波の設計図」です。この式の形を理解し、与えられた式と対応させることで、波の全貌を解明できます。
  • 理解のポイント:
    • 時間の項 \(\frac{t}{T}\): 時間 \(t\) が周期 \(T\) 進むごとに位相が \(2\pi\) 進む（1回振動する）ことを表します。
    • 空間の項 \(\frac{x}{\lambda}\): 位置 \(x\) が波長 \(\lambda\) 進むごとに位相が \(2\pi\) 遅れる（波形が1つ分ずれる）ことを表します。
    • マイナスの意味: \(\left( \frac{t}{T} – \frac{x}{\lambda} \right)\) のマイナス符号は、波が \(x\) 軸の「正の向き」に進んでいることを示しています。
• 波形グラフ（\(y-x\)）の作成原理
  • 核心: 「ある時刻の波形」とは、波の式 \(y(x, t)\) において時間 \(t\) を定数（今回は \(t=0\)）としたときの、\(x\) の関数 \(y(x)\) のグラフです。
  • 理解のポイント:
    • スナップショット: 動画（\(y(x, t)\)）を一時停止（\(t\) 固定）して、その瞬間の静止画（\(y-x\) グラフ）を見るイメージです。
    • 数式操作: \(t=0\) を代入するだけで、複雑な2変数関数がシンプルな1変数関数（ただのサインカーブ）になります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 負の向きに進む波: 式が \( y = A \sin 2\pi \left( \frac{t}{T} + \frac{x}{\lambda} \right) \) のように、括弧の中がプラスになっている場合は、波が負の向きに進んでいます。この場合も係数の比較方法は同じです。
  • 余弦波（\(\cos\)）の場合: \( y = A \cos 2\pi (\dots) \) の形であっても、振幅や周期、波長の読み取り方は全く同じです。ただし、グラフを描く際はコサインカーブ（\(t=0, x=0\) で最大値 \(A\) から始まる）になる点に注意が必要です。
  • 角振動数 \(\omega\) や波数 \(k\) が与えられる場合: 式が \( y = A \sin (\omega t – kx) \) の形で与えられることもあります。この場合は、\(\omega = \frac{2\pi}{T}\)、\(k = \frac{2\pi}{\lambda}\) の関係を使って \(T\) や \(\lambda\) を求めます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 変数の係数を見る: \(t\) の前にある数字と、\(x\) の前にある数字に注目します。これらが周期と波長の逆数に関係しています。
  2. 括弧の外の係数を見る: \(\sin\) の中身が \(2\pi (\dots)\) なのか、単に \((\dots)\) なのかを確認します。\(2\pi\) が外に出ていない場合は、中の係数に \(2\pi\) が含まれている（例: \(\omega t\)）と考えます。
  3. 単位を確認する: 問題文で \(t[\text{s}]\)、\(x[\text{m}]\) と指定されているか確認します。稀に \(x[\text{cm}]\) などの場合があり、そのときは波長の単位も変わります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 周期と波長の取り違え:
  • 誤解: \(t\) の係数が波長、\(x\) の係数が周期だとうっかり逆にしてしまう。
  • 対策: 「時間は周期 \(T\)、場所は波長 \(\lambda\)」と唱えながら、単位（秒とメートル）を意識して対応させます。また、一般式 \( \frac{t}{T} – \frac{x}{\lambda} \) を書いて、分母に来るのがそれぞれの物理量であることを視覚的に確認しましょう。
• グラフの初期位相のミス:
  • 誤解: (3)で \(t=0\) を代入した結果、\( y = -2.0 \sin \pi x \) とマイナスがついているのに、いつもの癖で原点から上に上がるサインカーブを描いてしまう。
  • 対策: \(x=0\) の次は、少し進んだ \(x\)（例えば \(x=0.1\)）を代入して \(y\) がプラスになるかマイナスになるかを確認する「微小変位チェック」が有効です。今回は \(x\) が少し増えると \(-\sin\) なので \(y\) は負になります。
• 速さの計算ミス:
  • 誤解: \(v = \frac{T}{\lambda}\) と分母分子を逆にしてしまう。
  • 対策: 単位で検算します。\([\text{m/s}]\) になるには、\([\text{m}] \div [\text{s}]\) でなければなりません。つまり \(\lambda \div T\) です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 係数比較法（一般式との比較）:
  • 選定理由: (1)では、未知の物理量（\(A, T, \lambda\)）を含む数式からそれらの値を特定する必要があります。最も確実で汎用性が高いのは、定義式（一般式）と問題の式を「型合わせ」して係数を比べる方法です。
  • 適用根拠: 物理現象を表す数式の構造は普遍的です。変数の係数が持つ物理的な意味（次元や役割）が一致していなければならないため、この比較は数学的に厳密な解法となります。
• \(t=0\) の代入:
  • 選定理由: (3)で求められているのは「\(t=0\) における波形」です。これは物理的な条件設定そのものであり、数式操作としては変数 \(t\) に \(0\) を代入することに他なりません。
  • 適用根拠: 波の式 \(y(x, t)\) は、任意の位置 \(x\) と任意の時刻 \(t\) における変位を与える万能な式です。特定の条件（\(t=0\)）を知りたければ、その条件を式に適用するだけで答えが得られます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 分数の形への変形:
  • \(0.50x\) を見て、すぐに \(\frac{x}{2.0}\) と分数に直す感覚を養いましょう。小数のままだと一般式 \(\frac{x}{\lambda}\) との比較が見えにくくなります。「逆数をとる」という操作に慣れておくとスムーズです。
• 主要な点の座標計算:
  • グラフを描くときは、適当にフリーハンドで描くのではなく、必ず \(x=0, \frac{\lambda}{4}, \frac{\lambda}{2}, \frac{3\lambda}{4}, \lambda\) （今回の場合は \(0, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0\)）の5点の値を計算してプロットしてから、それらを滑らかにつなぐようにしましょう。これでグラフの形を間違えることはなくなります。
• 単位の確認:
  • 最後に答えを書くとき、振幅には \(\text{m}\)、周期には \(\text{s}\)、波長には \(\text{m}\)、速さには \(\text{m/s}\) を忘れずにつけます。数字だけ合っていても単位がないと減点対象になることがあります。

345 正弦波の式と位相

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「正弦波の波形（\(y-x\) グラフ）の解析と位相の理解」です。ある瞬間の波の写真（波形）から、波の性質を読み取り、数式化し、時間経過による変化を追跡する能力が問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
与えられたグラフは \(t=0\) における \(y-x\) グラフです。グラフの形状から幾何学的な情報を読み取ります。
この設問における重要なポイント

• グラフの山の高さ（または谷の深さ）が振幅 \(A\) です。
• 波が1つ分の長さ（山から山、または \(y=0\) から始まって元の状態に戻るまでの距離）が波長 \(\lambda\) です。
• 周期 \(T=0.40\,\text{s}\) は問題文で与えられています。

具体的な解説と立式
グラフより、振幅 \(A\) と波長 \(\lambda\) を読み取ります。

• 振幅 \(A\): \(y\) 軸の最大値より、\(0.10\,\text{m}\)。
• 波長 \(\lambda\): 原点 \(x=0\) から始まり、一度谷となって山となり、再び \(y=0\) に戻って同じ波形を繰り返すまでの距離（図では \(x=4.0\) まで）より、\(4.0\,\text{m}\)。

次に、波の速さ \(v\) を求めます。波長 \(\lambda\) と周期 \(T\) の関係式より、
$$ v = \frac{\lambda}{T} $$

値を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
v &= \frac{4.0}{0.40} \\[2.0ex] &= 10\,\text{m/s}
\end{aligned}
$$

グラフの縦の幅の半分が「振幅」、横の繰り返しの長さが「波長」です。図を見ると、高さは \(0.10\)、横の長さは \(4.0\) で一区切りついているのがわかります。波の速さは「波長 \(\div\) 周期」で計算できるので、割り算をするだけです。

振幅 \(0.10\,\text{m}\)、波長 \(4.0\,\text{m}\)、速さ \(10\,\text{m/s}\) です。

問(2)

思考の道筋とポイント
「媒質の速度」とは、その場所にある物質が上下に振動する速さと向きのことです。波全体が右に動くとき、各点の媒質が次にどちら（上か下か）に動くかを考えます。
この設問における重要なポイント

• 波は \(x\) 軸の正の向き（右）に進んでいる。
• 「微小時間後の波形」を描く手法が最も確実である。

具体的な解説と立式
現在の波形（実線）を、進行方向（右側）に少しだけずらした波形（点線）を描きます。
\(x=0\) の点に注目すると、ずらした後の波形（点線）は、元の波形（実線）よりも上側（\(y\) 軸の正の方向）にあります。
これは、時間が少し経過すると、\(x=0\) の媒質が上に移動することを意味します。したがって、速度の向きは \(y\) 軸の正の向きです。

波のグラフを、そのまま右にちょっとだけスライドさせてみてください。すると、原点 \(x=0\) のところにあった線は、上に行きましたか？下に行きましたか？ 右にずらすと、原点付近のグラフは上に持ち上がりますね。つまり、ここの媒質はこれから「上」に向かって動こうとしているのです。

速度の向きは \(y\) 軸の正の向きです。

問(3)

思考の道筋とポイント
正弦波の式を求めます。振幅 \(A\)、周期 \(T\)、波長 \(\lambda\) がすべて揃っているので、一般式に代入するのが最も早道です。また、(2)の結果から初期位相を確認します。
この設問における重要なポイント

• 正の向きに進む正弦波の一般式: \(y = A \sin 2\pi \left( \frac{t}{T} – \frac{x}{\lambda} \right)\)
• \(t=0, x=0\) で \(y=0\) かつ速度が正なので、\(\sin\) 関数（\(+\sin\)）で表せる。

具体的な解説と立式
(1)より、\(A=0.10\,\text{m}\), \(T=0.40\,\text{s}\), \(\lambda=4.0\,\text{m}\) です。
また、(2)より \(x=0\) の媒質は \(t=0\) から正の向きに動き出すため、原点の振動は \(y = A \sin \frac{2\pi}{T}t\) と表せます（初期位相は \(0\)）。
したがって、\(x\) 軸の正の向きに進む波の式は以下のようになります。
$$ y = 0.10 \sin 2\pi \left( \frac{t}{0.40} – \frac{x}{4.0} \right) $$

括弧の中を整理します。
$$
\begin{aligned}
y &= 0.10 \sin 2\pi \left( 2.5t – \frac{x}{4.0} \right) \\[2.0ex] &= 0.10 \sin \pi \left( 5.0t – \frac{x}{2.0} \right)
\end{aligned}
$$
模範解答のように \(2\pi\) を中に入れて整理しても、一般式の形のままでも正解ですが、ここでは模範解答の形式に合わせます。

波の式の「型」である \(y = A \sin 2\pi (\frac{t}{T} – \frac{x}{\lambda})\) に、わかっている数字（\(A=0.10, T=0.40, \lambda=4.0\)）をあてはめるだけです。

\(y = 0.10 \sin \pi \left( 5.0t – \frac{x}{2.0} \right)\) となります。

問(4)

思考の道筋とポイント
位相とは「波のサイクルのどこにいるか」を表す角度です。1波長 \(\lambda\) 離れると位相は \(2\pi\) ずれます。波は右に進むので、右にある点ほど動き出しが遅くなり、位相は「遅れ」ます。
この設問における重要なポイント

• 位相差 \(\Delta \phi\) と距離 \(\Delta x\) の関係: \(\Delta \phi = 2\pi \frac{\Delta x}{\lambda}\)
• 波源から遠い（\(x\) が大きい）方が位相は遅れている。

具体的な解説と立式
2点間の距離 \(\Delta x\) は、
$$ \Delta x = 3.0 – 1.0 = 2.0\,\text{m} $$
波長は \(\lambda = 4.0\,\text{m}\) なので、この距離は半波長分（\(\frac{\lambda}{2}\)）に相当します。
位相差 \(\Delta \phi\) は以下の式で求められます。
$$ \Delta \phi = 2\pi \times \frac{\Delta x}{\lambda} $$
また、波は \(x\) 軸の正の向きに進むため、下流にある \(x=3.0\,\text{m}\) の方が位相が遅れています。

値を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
\Delta \phi &= 2\pi \times \frac{2.0}{4.0} \\[2.0ex] &= 2\pi \times 0.50 \\[2.0ex] &= \pi\,\text{rad}
\end{aligned}
$$

波長 \(4.0\,\text{m}\) で \(1\) 周（\(2\pi\)）分のズレが生じます。今回の2点の距離は \(2.0\,\text{m}\) なので、ちょうど波長の半分です。だからズレ（位相差）も \(1\) 周の半分、つまり \(\pi\) になります。波は左から右へ伝わるので、右にある \(x=3.0\,\text{m}\) の方が、動きが後から伝わってくるため「遅れて」います。

\(x=3.0\,\text{m}\) の位置が \(\pi\,\text{rad}\) 遅れています。

問(5)

思考の道筋とポイント
時間が経過すると波形は平行移動します。経過時間 \(0.10\,\text{s}\) が周期 \(0.40\,\text{s}\) の何倍かを考え、その分だけ波形をずらします。また、位相の進みは時間の経過に比例します。
この設問における重要なポイント

• 経過時間 \(\Delta t = 0.10\,\text{s}\) は、周期 \(T = 0.40\,\text{s}\) の \(\frac{1}{4}\) 倍である。
• 波形は1周期で1波長進むので、\(\frac{1}{4}\) 周期では \(\frac{1}{4}\) 波長だけ進む。
• 位相は1周期で \(2\pi\) 進む。

具体的な解説と立式
経過時間 \(\Delta t = 0.10\,\text{s}\) と周期 \(T = 0.40\,\text{s}\) の比をとります。
$$ \frac{\Delta t}{T} = \frac{0.10}{0.40} = \frac{1}{4} $$
したがって、波形は波長 \(\lambda = 4.0\,\text{m}\) の \(\frac{1}{4}\) だけ右に進みます。
進む距離 \(\Delta x\) は、
$$ \Delta x = \frac{1}{4} \lambda = \frac{1}{4} \times 4.0 = 1.0\,\text{m} $$
また、位相の進み \(\Delta \phi\) は、\(1\) 周期で \(2\pi\) 進むことから、
$$ \Delta \phi = 2\pi \times \frac{\Delta t}{T} $$

位相の進みを計算します。
$$
\begin{aligned}
\Delta \phi &= 2\pi \times \frac{1}{4} \\[2.0ex] &= \frac{\pi}{2}\,\text{rad}
\end{aligned}
$$
グラフの描画については、元のグラフ（\(t=0\)）を右に \(1.0\,\text{m}\) 平行移動させます。
元のグラフで \(x=0\) にあった \(y=0\) の点は \(x=1.0\) に移動し、\(x=1.0\) にあった谷の底は \(x=2.0\) に移動します。
結果として、\(x=0\) では山（\(y=0.10\)）から始まるコサインカーブのような形になります。

\(0.10\) 秒という時間は、周期 \(0.40\) 秒のちょうど4分の1です。だから、波の形も波長の4分の1（\(1.0\,\text{m}\)）だけ右にズレます。位相（角度）で言うと、1周（\(360\)度＝\(2\pi\)）の4分の1なので、\(90\)度（\(\frac{\pi}{2}\)）だけ進むことになります。

波形は図の通り（\(x=0\) で \(y=0.10\) となる余弦波形状）。位相は \(\frac{\pi}{2}\,\text{rad}\) 進みます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 波のグラフの幾何学的意味と物理量の対応
  • 核心: \(y-x\) グラフ（波形）は、ある瞬間の波の空間的な形状を表します。このグラフの幾何学的な特徴量（高さ、繰り返し間隔）が、物理量（振幅 \(A\)、波長 \(\lambda\)）と直接対応していることを理解するのが出発点です。
  • 理解のポイント:
    • 振幅 \(A\): 振動の中心（\(y=0\)）から最大変位までの距離。
    • 波長 \(\lambda\): 波形が一つ分（位相が \(2\pi\) 変化する区間）の長さ。
• 位相差と距離・時間の比例関係
  • 核心: 「位相」は抽象的な概念ですが、距離や時間と線形な比例関係にあります。「1波長 \(\lambda\) 離れると \(2\pi\) ずれる」「1周期 \(T\) 経過すると \(2\pi\) 進む」という基準さえ持っていれば、任意の距離や時間に対する位相の変化を比率計算で求められます。
  • 理解のポイント:
    • 空間的位相差: \(\Delta \phi = 2\pi \frac{\Delta x}{\lambda}\)
    • 時間的位相変化: \(\Delta \phi = 2\pi \frac{\Delta t}{T}\)

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • \(y-t\) グラフとの複合問題: \(y-x\) グラフだけでなく、ある位置での時間変化を表す \(y-t\) グラフが与えられる場合があります。その場合は、\(y-t\) グラフから周期 \(T\) を読み取り、\(y-x\) グラフから波長 \(\lambda\) を読み取って、\(v = \lambda / T\) で結びつけます。
  • 定常波の問題: 進行波だけでなく、逆向きに進む波と重なって定常波ができる問題でも、基本となるのは個々の進行波の式やグラフの理解です。
  • 媒質の速度・加速度: (2)のように媒質の速度の向きを問うだけでなく、速度が最大になる位置（変位 \(y=0\) の点）や、加速度が最大になる位置（変位 \(y\) が最大・最小の点）を問う問題も頻出です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. グラフの横軸を確認: \(x\)（位置）なのか \(t\)（時間）なのかを真っ先に確認します。これで読み取れる情報（波長か周期か）が決まります。
  2. 進行方向の矢印: 波が右に進むか左に進むかで、微小時間後の波形の描き方や、位相の遅れ・進みの関係が逆転します。
  3. 初期条件: \(t=0\) や \(x=0\) でのグラフの値（\(0\) なのか、山なのか、谷なのか）を見て、\(\sin\) か \(\cos\) か、符号はプラスかマイナスかを判断します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 媒質の動きと波の進行の混同:
  • 誤解: 波が右に進むからといって、媒質（点）も右に動くと勘違いしてしまう。
  • 対策: 「波はエネルギーや形の移動、媒質はその場での振動」と区別します。媒質の動きを知りたければ、必ず「微小時間後の波形」を重ねて描く習慣をつけましょう。
• 位相の「遅れ」と「進み」の混乱:
  • 誤解: \(x\) が大きい（右側にある）方が「進んでいる」という言葉の響きから、位相も「進んでいる」と逆の解釈をしてしまう。
  • 対策: 「波源から遠いほど、動き出しが遅くなる＝位相が遅れる」という因果関係で覚えます。あるいは、数式 \( -kx \) のマイナス符号が「遅れ」を意味していると数学的に理解します。
• 単位の不整合:
  • 誤解: グラフの目盛りが \(\text{cm}\) なのに、計算式にそのまま代入して \(\text{m/s}\) の答えと合わなくなる。
  • 対策: グラフの軸ラベルにある単位（\([\text{m}]\) や \([\times 10^{-2}\,\text{m}]\) など）を必ず確認し、計算前にすべてSI単位系に統一します。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 微小時間後の波形描画（媒質の速度判定）:
  • 選定理由: 媒質の速度の向きを問われた際、数式（速度 \(v_y = \frac{dy}{dt}\)）で微分して考えるのは高校物理では高度になりがちです。視覚的かつ直感的に誤りなく判断できる「波形ずらし法」が最適解です。
  • 適用根拠: 波の進行に伴い、波形全体が平行移動するという波動の基本的性質に基づいています。
• 比率による位相差計算:
  • 選定理由: 位相差を求める際、わざわざ波の式全体に値を代入して計算するのは手間がかかります。距離と波長の比率（\(\Delta x / \lambda\)）さえわかれば、それに \(2\pi\) を掛けるだけで瞬時に求まるため、効率的です。
  • 適用根拠: 均質な媒質中を進む正弦波では、位相の変化は距離に対して一様に（線形に）起こるため、比例計算が成立します。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• グラフへの書き込み:
  • 問題用紙のグラフは見るだけでなく、振幅や波長の値を直接書き込んだり、(2)のように点線で少しずらした波形を描き込んだりして活用しましょう。視覚化することでケアレスミスが激減します。
• 代表点でのチェック:
  • (5)で波形を描いた後、例えば \(x=0\) の点が \(t=0\) の状態から \(1/4\) 周期分進んで山（最大値）になっているかなど、特徴的な点が正しく移動しているかを確認します。
• \(\pi\) の扱い:
  • 位相の計算では \(\pi\) が残ることが多いです。無理に \(3.14\) に直さず、\(\pi\) のまま計算を進め、最終的な答えの形式（\(\pi\) を含むか、数値にするか）を問題文や選択肢に合わせて調整します。

346 波の重ねあわせ

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「波の重ね合わせの原理」です。2つの波が重なり合ったとき、媒質の変位はそれぞれの波の変位の和になるという単純かつ強力な原理を、作図を通して体感することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
波A（実線）と波B（点線）の変位を足し合わせます。グラフのマス目を利用して、具体的な数値を読み取りながら進めると確実です。特に、どちらかの変位が \(0\) になる点や、両方の変位が等しい点に注目すると作図が楽になります。
この設問における重要なポイント

• 変位が0の点: 一方の波の変位が \(0\) なら、合成波の変位はもう一方の波の変位と等しくなります（\(y_A + 0 = y_A\)）。
• 変位が等しい点: 交点など、\(y_A = y_B\) となる点では、合成波の変位は \(2y_A\) となります。
• 変位が逆符号で等しい点: \(y_A = -y_B\) となる点では、合成波の変位は \(0\) になります。

具体的な解説と立式
グラフの横軸の1目盛りを \(1\) 単位、縦軸の1目盛りを \(1\) 単位として考えます。
いくつかの \(x\) 座標について、合成変位 \(y\) を計算します。

1. \(x=0\) の点:
   • 波A: \(y_A = 0\)
   • 波B: \(y_B = -1\)（目測）
   • 合成変位: \(y = 0 + (-1) = -1\)
2. \(x=1\) の点（波Aの山）:
   • 波A: \(y_A = 1\)
   • 波B: \(y_B = 0\)
   • 合成変位: \(y = 1 + 0 = 1\)
3. \(x=1.5\) の点（交点）:
   • 波A: \(y_A \approx 0.7\)
   • 波B: \(y_B \approx 0.7\)
   • 合成変位: \(y \approx 0.7 + 0.7 = 1.4\)
   • （実際には \(\sin(\pi/4) \approx 0.707\) なので、合成波の最大値は \(\sqrt{2} \approx 1.41\) となります）
4. \(x=2\) の点（波Bの山）:
   • 波A: \(y_A = 0\)
   • 波B: \(y_B = 1\)
   • 合成変位: \(y = 0 + 1 = 1\)
5. \(x=3\) の点（波Aの谷）:
   • 波A: \(y_A = -1\)
   • 波B: \(y_B = 0\)
   • 合成変位: \(y = -1 + 0 = -1\)

このようにして求めた点をプロットし、正弦波の形になるように滑らかに結びます。

上記の「具体的な解説と立式」での各点の足し算が計算過程そのものです。
特に、合成波の振幅が元の波の振幅よりも大きくなること、位相（山や谷の位置）がずれることに注意して描画します。

2つの波のグラフを「足し算」します。縦の線（グリッド線）ごとに、実線の高さと点線の高さを読み取って、合計した高さに新しい点を打ちます。例えば、実線が高さ \(1\)、点線が高さ \(0\) なら、合計は \(1\) です。実線が \(0.7\)、点線も \(0.7\) なら、合計は \(1.4\) です。こうして打った点をつないでいくと、元の波よりも背の高い、新しい波の形ができあがります。

合成波は、元の波AやBよりも振幅が大きく（約1.4倍）、波Aと波Bの中間の位置に山や谷を持つ正弦波となります。模範解答の図と一致します。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 重ね合わせの原理
  • 核心: 波動現象における最も基本的かつ重要な原理です。「2つの波が重なるとき、ある地点での媒質の変位は、それぞれの波が単独で存在した場合の変位の和になる」という単純な足し算の法則です。
  • 理解のポイント:
    • 線形性: 波Aの高さが \(y_A\)、波Bの高さが \(y_B\) なら、合成波の高さは \(y = y_A + y_B\) です。これは波の高さだけでなく、速度や加速度など他の物理量にも適用されます（線形波動の場合）。
    • 独立性: 重ね合わさった後、波Aと波Bはお互いに影響を与え合うことなく、元の形を保ったまま通り過ぎます（波の独立性）。この問題では「ある瞬間」の合成波を描くだけですが、この背後には独立性があります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • パルス波の衝突: 三角形や四角形のパルス波が互いに向かって進み、衝突する瞬間の波形を描く問題。これも全く同じ「重ね合わせの原理」で作図します。
  • 定常波の形成: 逆向きに進む同じ振幅・波長の正弦波が重なると定常波ができます。この問題の波Aと波Bが逆向きに進んでいると仮定すれば、その瞬間の定常波の形を描いていることになります。
  • うなり: 振動数がわずかに異なる2つの波の重ね合わせ。これも原理は同じですが、振幅が周期的に変化する現象として現れます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 特徴的な点を探す: グラフ全体を漫然と見るのではなく、「変位が0の点」「山や谷の頂点」「交点」をマークします。
  2. 足し算のルールを適用:
     • \(0 + (\text{何か}) = (\text{何か})\)
     • \((\text{正の値}) + (\text{正の値}) = (\text{より大きな正の値})\)
     • \((\text{正の値}) + (\text{負の値}) = (\text{打ち消し合い})\)
  3. 対称性の利用: 波Aと波Bが対称的な配置（例えば山と谷が重なるなど）であれば、合成波は直線（変位0）になる可能性があります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 波の進行と合成の混同:
  • 誤解: 波Aと波Bが動いていることを意識しすぎて、頭の中で動かしながら足そうとして混乱する。
  • 対策: 問題は「ある瞬間」の波形を求めています。時間を止めて、静止画としてグラフの足し算を行うことに集中しましょう。
• 振幅の単純な足し算ミス:
  • 誤解: 合成波の振幅は常に \(2\) 倍になると思い込む。
  • 対策: 位相差（波のズレ）によって合成波の振幅は変わります。完全に重なれば \(2\) 倍ですが、逆位相なら \(0\) になります。この問題のようにズレている場合は、\(1\) 倍から \(2\) 倍の間の値（今回は \(\sqrt{2}\) 倍）になります。必ず交点などの値を具体的に足して確認しましょう。
• 目分量の誤差:
  • 誤解: フリーハンドで適当に曲線を引いてしまい、山や谷の位置（位相）がずれる。
  • 対策: 少なくとも「山頂の位置」と「ゼロ点（\(x\) 軸との交点）」は正確にプロットしてから線を結びましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 重ね合わせの原理 \(y = y_A + y_B\):
  • 選定理由: 複数の波が同時に存在する場合の媒質の変位を求めるための唯一にして絶対的な法則です。
  • 適用根拠: 波動現象の線形性に基づきます。高校物理で扱う波は基本的に線形波（振幅が極端に大きくない波）なので、この単純な加算則が常に成立します。
• 三角関数の合成（別解）:
  • 選定理由: 幾何学的な作図だけでなく、数式として振幅や位相の値を厳密に求めたい場合に有効です。
  • 適用根拠: 正弦波は三角関数で記述できるため、波の重ね合わせは数学的には三角関数の加法定理や和積の公式を用いた計算に帰着されます。これにより、\(\sqrt{2}\) 倍という具体的な数値根拠が得られます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• グリッドの活用:
  • グラフ用紙のマス目（グリッド）は計算の補助線です。\(x=0, 1, 2, \dots\) と整数ごとの値を読み取るだけでなく、\(x=0.5, 1.5\) などの中間点も活用して、プロットする点の数を増やすとグラフの精度が上がります。
• 符号の確認:
  • 波Bのように変位が負になる部分がある場合、足し算の符号ミス（例：\(1 + (-1)\) を \(1+1\) にしてしまうなど）に注意が必要です。「引き算」ではなく「負の値を足す」という意識を持つとミスが減ります。
• 定性的なチェック:
  • 描き終わった後、合成波の形が「波Aと波Bの中間的な形」になっているか確認します。極端に形が歪んでいたり、元の波より振幅が小さくなっているべき場所で大きくなっていたりしないか、直感的な違和感を大切にしましょう。

347 定常波の腹と節

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「定常波の形成と性質」です。互いに逆向きに進む同じ波長・振幅の正弦波が重なると、進まない波（定常波）ができることを理解し、その「腹（振幅最大点）」と「節（振幅ゼロ点）」の位置を特定することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
図の瞬間（\(t=0\) とします）では、波Aと波Bは互いに逆位相（上下逆）になっており、重ね合わせるとすべての場所で変位が \(0\) になってしまいます。これではどこが腹でどこが節かわかりません。そこで、波を少し進めてみます。
この設問における重要なポイント

• 波Aは右（正の向き）へ、波Bは左（負の向き）へ進む。
• \(1/4\) 周期（\(T/4\)）経過すると、波は \(1/4\) 波長（\(\lambda/4\)）だけ進む。
• 山と山が重なる点が「腹」、常に変位が0の点が「節」。

具体的な解説と立式
波長は \(\lambda = 4\,\text{m}\) です。
\(1/4\) 周期後の波形を考えます。このとき、波はそれぞれ \(\lambda/4 = 1\,\text{m}\) だけ進みます。

• 波A（実線）: 右へ \(1\,\text{m}\) 進みます。
  • 現在 \(x=3\) にある山は、\(x=4\) に移動します。
• 波B（点線）: 左へ \(1\,\text{m}\) 進みます。
  • 現在 \(x=9\) にある山は、\(x=8\) に移動します。
  • 波Bは周期的なので、\(x=9\) が山なら、\(4\,\text{m}\) 離れた \(x=5\) も山です。
  • したがって、現在 \(x=5\) にある（はずの）山は、左へ \(1\,\text{m}\) 進んで \(x=4\) に移動します。

この結果、\(1/4\) 周期後には、\(x=4\) の位置で波Aの山と波Bの山が重なります。
山と山が重なる点は、大きく振動する点、すなわち「腹」です。
よって、\(x=4\) は腹の位置です。

腹の位置 \(x=4\) がわかれば、節の位置はそこから \(\lambda/4 = 1\,\text{m}\) ずれた位置です。
節の位置: \(4 \pm 1 = 3, 5\)
隣り合う節の間隔は \(\lambda/2 = 2\,\text{m}\) なので、節の位置は \(2\,\text{m}\) おきに現れます。
\(x=3, 5\) を基準に \(2\,\text{m}\) ずつずらしていくと、
\( \dots, 1, 3, 5, 7, 9, \dots \)
となります。
範囲は \(0 \sim 10\,\text{m}\) なので、該当するのは \(1, 3, 5, 7, 9\,\text{m}\) です。

1. 腹の位置の特定: \(x=4\)（山と山が重なる）
2. 節の位置の計算: \(4 \pm \frac{4}{4} = 3, 5\)
3. 数列の作成: \(3\) から \(2\) ずつ減らす \(\rightarrow 1\)。\(5\) から \(2\) ずつ増やす \(\rightarrow 7, 9\)。
4. 範囲内の抽出: \(1, 3, 5, 7, 9\)

今の図だと、実線と点線がちょうど反対の形をしていて、足し算すると全部ゼロになってしまいます。これでは様子がわからないので、ちょっとだけ時間を進めてみましょう。実線を右に1マス、点線を左に1マスずらします。すると、\(x=4\) のところで、実線の山と点線の山が重なります。山と山が重なるところは、すごく大きく揺れる場所、つまり「腹」です。「節（全然揺れない場所）」は、腹と腹のちょうど真ん中にあります。波の長さ（波長）が \(4\,\text{m}\) なので、腹から \(1\,\text{m}\) 横にずれたところが節です。\(x=4\) が腹なら、\(x=3\) と \(x=5\) が節です。あとは \(2\,\text{m}\) おきに節が並ぶので、\(1, 3, 5, 7, 9\) となります。

節の位置は \(1, 3, 5, 7, 9\,\text{m}\) です。これらは等間隔（\(2\,\text{m}\)）に並んでおり、定常波の性質と一致します。

問(2)

思考の道筋とポイント
腹の位置は、節と節のちょうど真ん中です。また、腹の振幅は元の波の振幅の2倍になります。
この設問における重要なポイント

• 腹の位置: 節の位置から \(\lambda/4 = 1\,\text{m}\) ずれた点。
• 腹の振幅: \(2A\)。

具体的な解説と立式
(1)より、節は \(x = 1, 3, 5, 7, 9\) です。
腹はこれらの間の点および両端の点なので、
\(x = 0, 2, 4, 6, 8, 10\)
となります。
数を数えると、\(6\) 個です。

腹の位置での振幅は、元の波の振幅 \(A=0.3\,\text{m}\) の2倍になります。
$$ \text{腹の振幅} = 2A = 2 \times 0.3 = 0.6\,\text{m} $$

• 腹の数: \(0, 2, 4, 6, 8, 10\) の6点。
• 振幅: \(0.3 \times 2 = 0.6\)

節（揺れない点）の間に、一番激しく揺れる点（腹）があります。節が \(1, 3, 5\dots\) と奇数の場所にあるので、腹は \(0, 2, 4\dots\) と偶数の場所にあります。\(0\) から \(10\) まで数えると全部で6個あります。腹では、2つの波の山と山が重なるので、高さは元の波の2倍になります。

腹の数は6個、振幅は \(0.6\,\text{m}\) です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 定常波の形成メカニズム
  • 核心: 定常波は、互いに逆向きに進む「同じ波長・同じ振幅・同じ速さ」の2つの進行波が重なり合うことで形成されます。このとき、波形が進んでいるようには見えず、その場で振動しているように見えるのが特徴です。
  • 理解のポイント:
    • 腹（Antinode）: 2つの波の変位が常に強め合う（同位相で重なる）点。振幅は最大（元の波の2倍）になります。
    • 節（Node）: 2つの波の変位が常に打ち消し合う（逆位相で重なる）点。振幅は常に0（静止点）になります。
• 腹と節の位置関係
  • 核心: 腹と節は等間隔に交互に並びます。その間隔は波長 \(\lambda\) によって一意に決まります。
  • 理解のポイント:
    • 腹と腹（節と節）の間隔: \(\lambda/2\)
    • 腹と節の間隔: \(\lambda/4\)
    • この幾何学的な関係を覚えておけば、1箇所でも腹（または節）の位置がわかれば、芋づる式にすべての位置を特定できます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 壁による反射: 固定端反射や自由端反射の問題は、実質的に「入射波」と「反射波」が重なって定常波ができる問題と同じです。固定端は必ず「節」、自由端は必ず「腹」になるという境界条件がヒントになります。
  • 気柱の共鳴・弦の振動: これらも定常波の応用です。開口端が腹、閉口端が節（厳密には開口端補正あり）という条件から、波長や振動数を求めます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 波を進めてみる: \(t=0\) で変位が0になっていて判断できないときは、頭の中で（あるいは図に描いて）波を少しだけ（\(\lambda/4\) 程度）進めてみます。山と山が重なる場所が見つかれば、そこが「腹」です。
  2. 波の式を立てる: グラフの形状から \(y = \pm A \sin kx\) などの式を立て、加法定理（和積の公式）を使って合成波の式を作ります。式ができれば、\(\sin\) や \(\cos\) が0になる条件から節の位置を数学的に導けます。
  3. 境界条件を探す: もし壁や端がある問題なら、そこが節か腹かを確認します。そこを基準点として \(\lambda/2\) ごとに点を打っていけば位置がわかります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 腹と節の間隔の勘違い:
  • 誤解: 腹と腹の間隔を \(1\) 波長（\(\lambda\)）だと思い込んでしまう。
  • 対策: 定常波の「一塊（ループ）」は半波長（\(\lambda/2\)）であることを図を描いて確認します。元の進行波の波長と、定常波の形状の波長（見かけ上の繰り返し）を混同しないようにしましょう。
• 振幅の倍増忘れ:
  • 誤解: 定常波の振幅を元の波と同じ \(A\) だと答えてしまう。
  • 対策: 腹では山と山が重なるので、高さは \(A+A=2A\) になることを常に意識します。
• 端点の数え忘れ:
  • 誤解: 範囲 \(0 \sim 10\,\text{m}\) で腹の数を数えるとき、\(x=0\) や \(x=10\) が腹である場合に、それを含めるのを忘れてしまう。
  • 対策: 数列（\(0, 2, 4, \dots\)）を書き出した後、範囲の端（\(\le\) か \(<\) か）をよく見て、端点が含まれるかどうかを慎重に判断します。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 微小時間後の作図法:
  • 選定理由: \(t=0\) のスナップショットだけでは情報が不足している（変位が全域で0）ため、時間を動かして情報を引き出す必要があります。
  • 適用根拠: 波の進行速度 \(v\) は一定なので、時間 \(t\) 経過後の波形は距離 \(vt\) だけ平行移動します。特に \(T/4\) 経過後は \(\lambda/4\) 進むので、山と谷の位置関係が逆転し、腹の位置が明確になります。
• 和積の公式（別解）:
  • 選定理由: 幾何学的な直感に頼らず、代数的に厳密に解きたい場合に有効です。特に、波の位相が複雑な場合や、振幅が異なる波の重ね合わせ（定常波にはなりませんが）などに応用が利きます。
  • 適用根拠: 波動の重ね合わせの原理（線形性）により、波の式は単純な足し算になります。正弦波同士の足し算は、三角関数の恒等式を用いて「空間依存項」と「時間依存項」の積に変形できるため、定常波の性質（節の位置など）を解析的に導出できます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 数列の書き出し:
  • 節や腹の位置を求めるとき、頭の中だけで計算せず、\(1, 3, 5, \dots\) のように数列を紙に書き出しましょう。書き出すことで、個数の数え間違いや、範囲外の点を含めてしまうミスを防げます。
• 図へのプロット:
  • 求めた節や腹の位置を、問題用紙の図に「×（節）」や「○（腹）」で書き込んでみます。等間隔に並んでいるか、波の形と矛盾していないかを目視で確認することで、計算ミスに気づけます。
• 単位の確認:
  • 振幅や位置の単位（\(\text{m}\)）を忘れずに付けます。特に振幅は \(2\) 倍することを忘れないように、答えを書く直前に「\(2A\)」とメモしておくと良いでしょう。

ABOUT THE AUTHOR

共田 誠（まこと先生）

高校物理講師・プロ家庭教師 / 指導歴14年

上智大学理工学部物理学科卒。私立高校の非常勤講師として進学クラスから基礎クラスまで幅広く担当。大手家庭教師センター3社でプロ家庭教師を経験し、現在はオンライン専門で全国の高校生を個別指導中。

「暗記物理の撲滅」を掲げ、生徒の思考のクセを診断・矯正するドクター型アプローチで指導。表面的なテクニックではなく、初見の問題に強い思考力を育てる。

800+解説記事

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