「セミナー物理基礎＋物理2025」徹底解説！【第 Ⅲ 章 12】発展例題～発展問題306

発展例題

発展例題24 容器から逃げる気体

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「開いた容器内における気体の状態変化」です。容器の口が開いているために、加熱の過程で圧力が一定に保たれる（定圧変化）というのが最大の特徴です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
この問題の最も重要な設定は「口の開いたフラスコ」という点です。フラスコの内と外は常に大気とつながっているため、内部の空気が外部から押される力（大気圧）と、外部の空気を押し返す力（内部の気体の圧力）は常につり合っています。したがって、フラスコ内の圧力は、温める前も温めた後も、常に外部の大気圧と等しくなります。
この設問における重要なポイント

• フラスコの口が開いているため、内部の空気は外部の大気と自由に出入りできる。
• この結果、フラスコ内部の圧力は常に大気圧と等しく保たれる。

具体的な解説と立式
フラスコは圧力 \(p_1\,[\text{Pa}]\) の大気中に置かれています。

• 温める前: フラスコ内の空気の圧力は、外部の大気圧と等しいので \(p_1\,[\text{Pa}]\) です。
• 温めた後: フラスコをゆっくり温めると、中の空気は膨張して一部が外部に逃げ出します。この過程でもフラスコの口は開いたままなので、内外の圧力はつり合った状態が保たれます。したがって、温めた後のフラスコ内の空気の圧力も、外部の大気圧と等しい \(p_1\,[\text{Pa}]\) となります。

使用した物理公式

計算は不要です。

部屋のドアを開けっ放しにして、ストーブをつけたと考えてみてください。部屋の空気は温められて膨張し、一部は廊下に出ていくかもしれませんが、部屋の中の気圧が廊下より高くなったり低くなったりすることはありません。それと同じで、口の開いたフラスコの中の圧力は、温めても温めなくても、常に外の空気の圧力（大気圧）と同じになります。

温める前と後におけるフラスコ内の空気の圧力は、いずれも大気圧 \(p_1\) に等しいと結論付けられます。これは物理的に妥当な状況です。

問(2)

思考の道筋とポイント
フラスコを温めると、中の空気が膨張して一部が外へ逃げ出します。これは、フラスコという一定の容積の中に存在できる気体の物質量が、温度の上昇によって減少することを意味します。この問題では、温める前にフラスコ内にあった空気の質量 \(m\) と、逃げ出した空気の質量 \(\Delta m\) の比 \(\frac{\Delta m}{m}\) を求めます。
空気の分子の種類は変わらないので、質量の比は物質量の比に等しくなります。そこで、温める前と後のフラスコ内の気体の物質量をそれぞれ求め、その関係から答えを導きます。
この設問における重要なポイント

• フラスコの容積 \(V\) と、フラスコ内の圧力 \(p_1\) は、温める前後で一定である。
• 変化するのは、フラスコ内の気体の温度 \(T\) と物質量 \(n\) である。
• 気体の状態方程式を立てる際は、セルシウス温度 \(t\,[^\circ\text{C}]\) ではなく、絶対温度 \(T\,[\text{K}]\) を用いる必要がある。(\(T = t + 273\))
• 求める質量の比 \(\frac{\Delta m}{m}\) は、物質量の比 \(\frac{n_1 – n_2}{n_1}\) に等しい。

具体的な解説と立式
フラスコの容積を \(V\,[\text{m}^3]\)、気体定数を \(R\,[\text{J/(mol}\cdot\text{K)}]\) とします。
温める前の温度を \(T_1\)、物質量を \(n_1\) とし、温めた後の温度を \(T_2\)、物質量を \(n_2\) とします。
絶対温度で表すと、
$$ T_1 = 273 + t_1 \,[\text{K}] $$
$$ T_2 = 273 + t_2 \,[\text{K}] $$
温める前と後のフラスコ内の気体について、それぞれ気体の状態方程式を立てます。

• 温める前:
  $$ p_1 V = n_1 R T_1 \quad \cdots ① $$
• 温めた後:
  $$ p_1 V = n_2 R T_2 \quad \cdots ② $$

温める前にあった空気の質量を \(m\)、逃げた空気の質量を \(\Delta m\) とします。空気のモル質量を \(M\) とすると、\(m = M n_1\)、\(\Delta m = M(n_1 – n_2)\) となります。
よって、求める比は、
$$ \frac{\Delta m}{m} = \frac{M(n_1 – n_2)}{M n_1} = \frac{n_1 – n_2}{n_1} = 1 – \frac{n_2}{n_1} $$

式①と式②の左辺は等しいので、
$$
\begin{aligned}
n_1 R T_1 &= n_2 R T_2 \\[2.0ex] n_1 T_1 &= n_2 T_2
\end{aligned}
$$
この式から、物質量の比 \(\frac{n_2}{n_1}\) を求めると、
$$ \frac{n_2}{n_1} = \frac{T_1}{T_2} $$
これを求める質量の比の式に代入します。
$$
\begin{aligned}
\frac{\Delta m}{m} &= 1 – \frac{n_2}{n_1} \\[2.0ex] &= 1 – \frac{T_1}{T_2} \\[2.0ex] &= \frac{T_2 – T_1}{T_2}
\end{aligned}
$$
最後に、絶対温度 \(T_1, T_2\) をセルシウス温度 \(t_1, t_2\) に戻します。
$$
\begin{aligned}
\frac{\Delta m}{m} &= \frac{(273 + t_2) – (273 + t_1)}{273 + t_2} \\[2.0ex] &= \frac{t_2 – t_1}{273 + t_2}
\end{aligned}
$$

フラスコという「部屋」の広さ（容積）は決まっています。はじめ、この部屋は \(t_1\) 度という温度で、\(n_1\) 人の空気分子で満員でした。次にストーブで部屋を \(t_2\) 度まで温めると、一人一人の分子が元気に動き回るようになり、より広いスペースを必要とします。部屋の広さは変わらないので、全員は部屋にいることができず、一部の分子が部屋の外に追い出されてしまいます。その結果、部屋の中には \(n_2\) 人の分子しか残れませんでした。このとき、追い出された分子の数は、もともといた分子の数の何倍ですか？という問題です。状態方程式というルールを使って、この割合を計算します。

大気中へ逃げた空気の質量は、温める前にフラスコ内にあった空気の質量の \(\frac{t_2 – t_1}{273 + t_2}\) 倍となります。
この結果から、温度差 \((t_2 – t_1)\) が大きいほど、また最終的な絶対温度 \(T_2\) が大きいほど、逃げる気体の割合が大きくなることがわかります。これは物理的な直感とも一致しており、妥当な結論です。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 開口容器における気体の状態方程式の適用
  • 核心: この問題の根幹は、「口の開いた容器」という物理的状況を正しく解釈し、気体の状態方程式に適用する能力です。容器の口が開いているため、内部の気体は外部の大気と自由に出入りでき、圧力は常に大気圧と等しく保たれます。この「定圧」という条件下で、温度変化によって容器内の気体の「物質量」が変化する、という点がポイントです。
  • 理解のポイント:
    • 圧力の決定要因: 密閉容器であれば、温度を上げると圧力が増加します。しかし、本問のように口が開いている場合、圧力は外部環境（大気圧）によって決定されます。この違いを明確に理解することが第一歩です。
    • 状態量の整理: 状態方程式 \(PV=nRT\) を用いる際に、加熱の前後で「変化しない量」と「変化する量」を正確に区別することが重要です。本問では、圧力 \(P\) と容器の容積 \(V\) は一定ですが、温度 \(T\) とフラスコ内の気体の物質量 \(n\) が変化します。この関係を数式に落とし込むことができれば、問題は解決します。
• 絶対温度の使用
  • 核心: 気体の状態方程式やシャルルの法則など、気体の性質を記述する公式では、温度は必ず絶対温度（ケルビン）を用いなければならないという基本原則の理解です。
  • 理解のポイント:
    • 物理的意味: 気体分子の運動エネルギーは、絶対温度に比例します。セルシウス温度は \(0^\circ\text{C}\) を基準にしていますが、物理的なエネルギーの観点からは絶対零度（\(0\,\text{K}\)）が基準となります。公式の物理的な背景を理解していれば、絶対温度を使うのは当然のこととして受け入れられます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 水中に沈めたコップ内の空気: コップを逆さまにして水中に沈めていく問題。この場合、コップ内の空気は閉じ込められているので物質量 \(n\) は一定ですが、深くなるにつれて水圧がかかるため圧力 \(P\) が増加し、体積 \(V\) が減少します。ボイルの法則やボイル・シャルルの法則が適用できる典型例です。
  • 熱気球の浮力: 熱気球は、下部が開いており、内部の空気をバーナーで温めます。内部の圧力は外部の大気圧とほぼ等しい（定圧）とみなせ、本問と非常に似た状況です。温めることで内部の空気の密度が小さくなり、アルキメデスの原理によって浮力を得ます。
  • 自由に動くピストン付きシリンダー: ピストンに蓋をされたシリンダー内の気体を加熱する問題。ピストンが自由に動ける場合、ピストンにかかる内外の力のつり合いから、内部の気体の圧力は一定に保たれます（定圧変化）。これも本問と考え方が共通しています。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 容器の口は開いているか、閉じているか？: まずこの点を確認します。これが、圧力が一定（大気圧）とみなせるか、あるいは変化するのかを判断する最大の分かれ道です。
  2. 気体は漏れ出すか、閉じ込められているか？: 次に、気体の物質量 \(n\) が一定か、変化するかを見極めます。問題文の「逃げる」「漏れる」「出入りする」といった言葉がヒントになります。
  3. 状態変化で一定に保たれる量は何か？: 圧力 \(P\)、体積 \(V\)、温度 \(T\)、物質量 \(n\) のうち、どれが一定でどれが変数かを整理します。
     • \(n\) が一定 → ボイル・シャルルの法則 \(\frac{PV}{T} = \text{一定}\) が基本。
     • \(n\) が変化 → 状態方程式 \(PV=nRT\) を変化の前後で立てて比較するのが基本。
  4. 考察の対象を工夫できないか？: 別解のように、一見すると物質量が変化する問題でも、考察の対象を「はじめにあった気体全体」のように変更することで、物質量一定の系として扱える場合があります。これにより、シャルルの法則のようなよりシンプルな法則が適用できることがあります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• セルシウス温度を公式に代入してしまう:
  • 誤解: 問題で与えられたセルシウス温度 \(t_1, t_2\) を、そのまま状態方程式やシャルルの法則の \(T\) に代入してしまう。
  • 対策: 「気体の計算、温度は絶対ケルビン！」と覚えましょう。計算を始める前に、まず \(T_1 = t_1 + 273\), \(T_2 = t_2 + 273\) と変換する癖をつけることが最も効果的です。
• 圧力が変化すると考えてしまう:
  • 誤解: 「気体を温めたのだから、圧力は高くなるはずだ」と、密閉容器の場合と同じように考えてしまう。
  • 対策: 「口が開いている」という言葉の物理的な意味を常に意識しましょう。フラスコの内と外はつながっており、もし圧力差があれば気体は高い方から低い方へ流れてすぐに圧力が等しくなります。「ゆっくり温める」という記述も、常に内外の圧力がつり合った状態で変化が進むことを示唆しています。
• 物質量が一定だと勘違いしてボイル・シャルルの法則を適用する:
  • 誤解: 気体の状態変化の問題だからと、機械的にボイル・シャルルの法則 \(\frac{p_1V_1}{T_1} = \frac{p_2V_2}{T_2}\) を使おうとする。
  • 対策: ボイル・シャルルの法則が成り立つ大前提は「気体の物質量 \(n\) が一定」であることです。問題文をよく読み、「空気が大気中へ逃げる」という記述から、物質量 \(n\) が変化していることを見抜く必要があります。どの法則がどの条件下で成り立つのかを正確に理解しておくことが重要です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)でのアプローチ選択（物理的考察）:
  • 選定理由: 求められているのは「圧力」です。そして、問題の状況は「口の開いた容器が大気中にある」というものです。これは、特定の計算式を適用する以前の、圧力の基本的な性質に関する問いです。
  • 適用根拠: 圧力とは、単位面積あたりに及ぼす力のことです。フラスコの内外の空気は接触しており、もし圧力に差があれば、その差を解消する向きに空気が流れます。問題では「ゆっくり温める」とあり、これは常に内外の圧力がつり合った状態（等しい状態）を保ちながら変化することを意味します。したがって、フラスコ内の圧力は常に外部の大気圧に等しい、という物理的な考察から結論が導かれます。
• (2)での公式選択（気体の状態方程式）:
  • 選定理由: 求めたいのは「逃げた気体の質量の割合」であり、これは「物質量の変化の割合」に置き換えられます。気体の状態量である圧力 \(P\)、体積 \(V\)、物質量 \(n\)、温度 \(T\) の関係を記述する法則が必要です。
  • 適用根拠: この問題では、加熱によって物質量 \(n\) が変化します。ボイルの法則やシャルルの法則は、物質量 \(n\) が一定であることを前提としているため、そのままでは適用できません。物質量 \(n\) を変数として明確に扱える最も普遍的な法則は、気体の状態方程式 \(PV=nRT\) です。したがって、変化の前と後のそれぞれの状態について状態方程式を立て、それらを比較することで、物質量の変化を求めるのが最も論理的で確実な方法です。
• (2)別解でのアプローチ選択（シャルルの法則）:
  • 選定理由: 状態方程式よりもシンプルな法則で解けないか、という視点からのアプローチです。シャルルの法則は「定圧」かつ「物質量一定」の条件下で成り立ちます。
  • 適用根拠: この問題は「定圧」ですが、フラスコ内に着目すると「物質量変化」が起こっています。しかし、ここで発想を転換し、考察の対象を「フラスコ内」から「はじめにフラスコ内にあった気体全体（後に逃げ出す分も含む）」へと広げます。この「気体の集団」の物質量 \(n_1\) は、加熱されても変化しません。そして、この集団は常に大気圧 \(p_1\) のもとで温度変化するので、「定圧」かつ「物質量一定」というシャルルの法則の適用条件を満たします。このように、考察対象を工夫することで、より具体的な法則を適用できる場合があります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま計算を進める:
  • \(T_1 = 273+t_1\), \(T_2 = 273+t_2\) のように、まずは文字（\(T_1, T_2\)）のまま計算を進めましょう。\(1 – \frac{T_1}{T_2} = \frac{T_2-T_1}{T_2}\) という関係式を導いてから、最後に \(T_2-T_1 = (273+t_2) – (273+t_1) = t_2-t_1\) を代入する方が、計算の見通しが格段に良くなります。
• 比の計算は割り算で:
  • \(p_1V = n_1RT_1\) と \(p_1V = n_2RT_2\) のように、共通の項を多く含む2つの式がある場合、両辺を割り算することで効率的に関係式を導けます。
  • \(\frac{p_1V}{p_1V} = \frac{n_1RT_1}{n_2RT_2}\) より \(1 = \frac{n_1T_1}{n_2T_2}\) となり、\(n_1T_1 = n_2T_2\) がすぐに得られます。
• 求める量を最初に数式で表現する:
  • 問題で問われている「逃げた空気の質量の、もとの質量の何倍か」を、まず数式で \(\frac{\Delta m}{m}\) と置きます。次に、これを物理量（物質量）で \(\frac{n_1-n_2}{n_1} = 1 – \frac{n_2}{n_1}\) と表現します。こうすることで、計算のゴールが「物質量の比 \(\frac{n_2}{n_1}\) を求めること」であると明確になり、思考の道筋が立ちやすくなります。
• 単位による検算:
  • 最終的な答えは「〜倍」なので、単位のない無次元量になるはずです。得られた結果 \(\frac{t_2-t_1}{273+t_2}\) の分子は温度差なので単位は \([\text{K}]\) または \([^\circ\text{C}]\)、分母は絶対温度なので単位は \([\text{K}]\) です。温度差の \(1\,\text{K}\) は \(1^\circ\text{C}\) に等しいので、単位は \(\frac{[\text{K}]}{[\text{K}]}\) となり、正しく無次元量になっていることが確認できます。
• 極端な状況で結果を吟味する:
  • もし温めなかったら？ (\(t_2 = t_1\)) → 逃げる空気は \(0\) のはず。式に代入すると、分子が \(t_1-t_1=0\) となり、結果は \(0\) 倍。正しいです。
  • もし無限の温度まで加熱したら？ (\(t_2 \to \infty\)) → ほとんど全ての空気が逃げ出すはずなので、比は \(1\) に近づくはず。式の形を \(\frac{t_2-t_1}{t_2+273} = \frac{1-t_1/t_2}{1+273/t_2}\) と変形すると、\(t_2 \to \infty\) のとき、確かに \(1\) に収束します。このように、物理的にありえる極端な状況を考えてみることで、答えの妥当性をチェックできます。

発展例題25 気体の分子運動

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「気体の圧力の微視的起源の解明」です。ふだん私たちが感じている気体の圧力というマクロな現象が、目に見えない多数の分子の運動（ミクロな現象）によってどのように生み出されているのかを、力学の基本法則から導き出す過程を学びます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
壁Aが1個の分子から受ける「平均の力」を求めます。分子は壁Aに衝突しては跳ね返り、向かいの壁に衝突してまた戻ってきて、再び壁Aに衝突する、という繰り返し運動をしています。この断続的な衝突によって壁が受ける力を、長時間でならしたものが平均の力です。
これを計算するために、まず「1回の衝突で壁がどれだけの力積を受けるか」を計算し、次に「衝突から次の衝突までどれくらいの時間がかかるか」を計算します。平均の力は、力積をこの時間間隔で割ることで求められます。
この設問における重要なポイント

• 分子と壁の衝突は弾性衝突なので、衝突の前後で分子の速さは変わらない。
• 壁に垂直な速度成分（この場合はx成分）のみ、向きが反転する。(\(v_x \to -v_x\))
• 分子が壁Aに衝突してから、次に壁Aに衝突するまでに進む距離は、壁との往復距離 \(2L\) である。

具体的な解説と立式
1個の分子（質量 \(m\)、速度のx成分 \(v_x\)）が壁Aに衝突する状況を考えます。

• 1回の衝突による分子の運動量変化
  衝突前後の分子の速度のx成分は、それぞれ \(v_x\), \(-v_x\) です。したがって、衝突による分子の運動量のx成分の変化 \(\Delta p_x\) は、
  $$
  \begin{aligned}
  \Delta p_x &= (\text{衝突後の運動量}) – (\text{衝突前の運動量}) \\[2.0ex] &= (-mv_x) – (mv_x) \\[2.0ex] &= -2mv_x
  \end{aligned}
  $$
• 1回の衝突で壁Aが受ける力積
  作用・反作用の法則により、壁Aが分子から受ける力積は、分子が受けた力積と大きさが等しく向きが逆になります。したがって、壁Aが受ける力積 \(I\) は、
  $$
  \begin{aligned}
  I &= – \Delta p_x \\[2.0ex] &= 2mv_x
  \end{aligned}
  $$
• 衝突の時間間隔
  分子は壁Aに衝突した後、速さ \(v_x\) で反対側の壁まで距離 \(L\) を進み、跳ね返って再び速さ \(v_x\) で壁Aまで距離 \(L\) を戻ってきます。したがって、壁Aに一度衝突してから次に衝突するまでの時間 \(\Delta t\) は、
  $$ \Delta t = \frac{2L}{v_x} $$
• 壁Aが受ける平均の力
  壁Aは、\(\Delta t\) 秒ごとに \(I = 2mv_x\) の力積を受け続けます。したがって、壁Aが受ける平均の力の大きさ \(f\) は、
  $$ f = \frac{I}{\Delta t} $$

上記で立てた式に、それぞれの値を代入します。
$$
\begin{aligned}
f &= \frac{2mv_x}{\Delta t} \\[2.0ex] &= \frac{2mv_x}{2L/v_x} \\[2.0ex] &= 2mv_x \times \frac{v_x}{2L} \\[2.0ex] &= \frac{mv_x^2}{L}
\end{aligned}
$$

壁に向かって、繰り返しボールを投げつける状況を想像してください。壁が受ける平均的な衝撃の強さ（力）は、どう決まるでしょうか？それは、「1回ごとのボールの衝撃の強さ（力積）」と、「どれくらいひんぱんにボールがぶつかるか（衝突頻度）」で決まります。この問題では、速いボール(\(v_x\)が大きい)ほど、1回の衝撃が強いだけでなく、壁との往復も速いので衝突頻度も高くなります。この両方の効果を計算して、平均の力を求めています。

1個の分子から壁Aが受ける力の大きさは \(f = \frac{mv_x^2}{L}\) と求まりました。
この式は、分子の速度のx成分 \(v_x\) が大きいほど力が強くなることを示しています。これは、\(v_x\) が大きいと1回の衝突で与える力積が大きくなる効果と、衝突の時間間隔が短くなる（頻度が高くなる）効果の両方が働くため、\(v_x\) の2乗に比例するという結果になっており、物理的に妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
容器内には \(N\) 個の分子があり、それぞれの分子が壁Aに力を及ぼしています。壁Aが受ける力の合計 \(F\) は、個々の分子が及ぼす力の総和です。ただし、\(N\) 個の分子はそれぞれ異なる速度を持っています。そこで、すべての分子の速度のx成分の「二乗の平均」\(\overline{v_x^2}\) という統計的な量を使って、全体の力を表現します。
この設問における重要なポイント

• 壁Aが受ける力の合計 \(F\) は、\(N\) 個の分子それぞれが及ぼす力の和である。
• 速度のx成分の二乗平均 \(\overline{v_x^2}\) の定義を正しく理解して用いる。
  \(\overline{v_x^2} = \frac{v_{x1}^2 + v_{x2}^2 + \dots + v_{xN}^2}{N}\)

具体的な解説と立式
\(N\) 個の分子の速度のx成分を、それぞれ \(v_{x1}, v_{x2}, \dots, v_{xN}\) とします。
(1)の結果から、\(i\) 番目の分子が壁Aに及ぼす力の大きさ \(f_i\) は、
$$ f_i = \frac{mv_{xi}^2}{L} $$
壁Aが受ける力の合計 \(F\) は、これらすべての分子からの力の和です。
$$
\begin{aligned}
F &= f_1 + f_2 + \dots + f_N \\[2.0ex] &= \frac{mv_{x1}^2}{L} + \frac{mv_{x2}^2}{L} + \dots + \frac{mv_{xN}^2}{L} \\[2.0ex] &= \frac{m}{L} (v_{x1}^2 + v_{x2}^2 + \dots + v_{xN}^2)
\end{aligned}
$$
ここで、問題で与えられている速度のx成分の二乗平均 \(\overline{v_x^2}\) の定義式から、
$$ v_{x1}^2 + v_{x2}^2 + \dots + v_{xN}^2 = N \overline{v_x^2} $$
この関係を使って、\(F\) の式を書き換えます。

$$
\begin{aligned}
F &= \frac{m}{L} (N \overline{v_x^2}) \\[2.0ex] &= \frac{Nm\overline{v_x^2}}{L}
\end{aligned}
$$

(1)で、分子1個が壁を押す力を計算しました。この設問では、それを単純に \(N\) 個分、足し合わせます。ただし、分子たちの速さは一人一人バラバラです。そこで、「平均的な速さの二乗」という代表選手を連れてきて、「\(N\) 個の分子全体の力は、この代表選手 \(N\) 人分の力と同じだ」と考えることで、式をスッキリとまとめています。

\(N\) 個の分子全体から壁Aが受ける力の大きさは \(F = \frac{Nm\overline{v_x^2}}{L}\) と求まりました。この力は、分子の数 \(N\) に比例し、分子の平均的な運動の激しさ（\(\overline{v_x^2}\)）に比例します。これは物理的な直感と一致しており、妥当な結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
まず、圧力 \(p\) を定義に従って計算します。圧力は、単位面積あたりに働く力の大きさなので、(2)で求めた力 \(F\) を壁Aの面積 \(L^2\) で割れば求まります。
次に、得られた圧力の式には \(\overline{v_x^2}\) というx方向だけの情報しか含まれていません。しかし、実際の分子はx, y, zの3次元空間を自由に動き回っています。そこで、「分子の運動はどの方向にも偏りがない（等方性）」という物理的な仮定を導入し、\(\overline{v_x^2}\) を、より普遍的な量である「速さの二乗平均 \(\overline{v^2}\)」を使って表します。
この設問における重要なポイント

• 圧力の定義: \(p = \frac{(\text{力})}{(\text{面積})}\)
• 分子運動の等方性: 分子の運動に特定の方向への偏りはないため、平均的に見れば \(\overline{v_x^2} = \overline{v_y^2} = \overline{v_z^2}\) が成り立つ。
• 速さと速度成分の関係: \(v^2 = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2\)

具体的な解説と立式

• 圧力の計算
  (2)で求めた力 \(F = \frac{Nm\overline{v_x^2}}{L}\) を、壁Aの面積 \(S=L^2\) で割ることで、圧力 \(p\) を求めます。
  $$
  \begin{aligned}
  p &= \frac{F}{S} \\[2.0ex] &= \frac{F}{L^2}
  \end{aligned}
  $$
• \(\overline{v_x^2}\) と \(\overline{v^2}\) の関係
  分子の速さ \(v\) と、速度の各成分 \(v_x, v_y, v_z\) の間には、三平方の定理から次の関係が成り立ちます。
  $$ v^2 = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2 $$
  この式の両辺の平均をとると、
  $$
  \begin{aligned}
  \overline{v^2} &= \overline{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2} \\[2.0ex] &= \overline{v_x^2} + \overline{v_y^2} + \overline{v_z^2}
  \end{aligned}
  $$
  ここで、分子の運動はランダムで、特定の方向に偏りがない（等方性）と仮定すると、各方向の速度の二乗平均は等しくなります。
  $$ \overline{v_x^2} = \overline{v_y^2} = \overline{v_z^2} $$
  したがって、
  $$
  \begin{aligned}
  \overline{v^2} &= \overline{v_x^2} + \overline{v_x^2} + \overline{v_x^2} \\[2.0ex] &= 3\overline{v_x^2}
  \end{aligned}
  $$
  この式から、\(\overline{v_x^2}\) を \(\overline{v^2}\) で表すことができます。
  $$ \overline{v_x^2} = \frac{1}{3}\overline{v^2} $$

まず、圧力 \(p\) を \(\overline{v_x^2}\) を用いて表します。
$$
\begin{aligned}
p &= \frac{F}{L^2} \\[2.0ex] &= \frac{1}{L^2} \left( \frac{Nm\overline{v_x^2}}{L} \right) \\[2.0ex] &= \frac{Nm\overline{v_x^2}}{L^3}
\end{aligned}
$$
次に、この式に \(\overline{v_x^2} = \frac{1}{3}\overline{v^2}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
p &= \frac{Nm}{L^3} \left( \frac{1}{3}\overline{v^2} \right) \\[2.0ex] &= \frac{Nm\overline{v^2}}{3L^3}
\end{aligned}
$$

(2)で壁全体が受ける力を計算したので、それを壁の面積で割って「圧力（単位面積あたりの力）」に直します。これで答えの半分は完成です。
残りの半分は、式の見た目を整える作業です。今までの式はx方向のことしか考えていませんでしたが、分子は縦横無尽に動き回っています。分子の動きに偏りはないはずなので、「x方向の運動エネルギーは、全体の運動エネルギーのちょうど3分の1だろう」という考え方を使って、式をx方向だけに依存しない、より一般的な「速さ」を使った形に書き換えます。

壁Aが受ける圧力は \(p = \frac{Nm\overline{v^2}}{3L^3}\) と求まりました。
この式は、気体分子運動論における最も重要な結果の一つです。容器の体積を \(V=L^3\) とすると、\(p = \frac{Nm\overline{v^2}}{3V}\) となり、\(PV = \frac{1}{3}Nm\overline{v^2}\) と変形できます。これは、圧力や体積といったマクロな量と、分子の運動というミクロな量を結びつける基本公式です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 圧力の微視的モデル化
  • 核心: 気体の圧力という、普段私たちがマクロな量として捉えているものが、実は無数の気体分子が壁に衝突することによって生じる「力積の集まり」であることを、力学の基本法則から説明する点にあります。目に見えないミクロな世界の現象（分子の運動）と、目に見えるマクロな世界の現象（圧力）とを結びつける、気体分子運動論の根幹的な考え方です。
  • 理解のポイント:
    • 力の起源: 壁が受ける力は、1個1個の分子が衝突の際に壁に与える力積が、無数に、そして連続的に蓄積された結果であると理解します。
    • モデル化: 複雑な分子の動きを「壁との往復運動」という単純なモデルに置き換えて計算を進める、という物理学的な思考プロセスを学びます。
• 平均操作の重要性
  • 核心: \(10^{23}\) 個オーダーという膨大な数の分子の運動を、一つ一つ追跡することは不可能です。そこで、「二乗平均速度」のような統計的な代表値を用いることで、分子集団全体の振る舞いを現実的に記述します。この「平均」という考え方こそが、個々の粒子の力学と、集団の熱力学とをつなぐ鍵となります。
  • 理解のポイント:
    • なぜ二乗平均か: 速度の平均 \(\overline{v_x}\) は、左右に動く分子が同数いるため \(0\) になってしまい、運動の激しさを表せません。一方で、運動エネルギーは速度の2乗に比例するため、\(v_x^2\) の平均である \(\overline{v_x^2}\) が、気体のエネルギーや圧力を議論する上で意味のある量となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 気体の内部エネルギーの導出: この問題で得られた結果 \(PV = \frac{1}{3}Nm\overline{v^2}\) と、理想気体の状態方程式 \(PV=nRT\) を組み合わせることで、単原子分子理想気体の内部エネルギー \(U = N \times \frac{1}{2}m\overline{v^2} = \frac{3}{2}nRT\) を導出する問題。これは最重要の派生問題です。
  • 壁が動く場合（断熱圧縮・膨張）: 壁が気体を圧縮するように動いている場合、分子は動く壁に衝突してより速く跳ね返されます（速さが増す）。逆に気体が膨張して壁が遠ざかる場合、分子は遅く跳ね返されます（速さが減る）。これは、気体の断熱変化における温度変化の微視的な説明に対応します。
  • 分子の放出によるロケットの推力: 容器の壁に小さな穴を開け、そこから分子が噴出する状況。噴出する分子が失う運動量の反作用として、容器全体が推力を受けます。これも運動量と力積の考え方を応用する問題です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まずは1個の粒子から考える: 多数の粒子を扱う問題では、いきなり全体を考えず、まず「粒子1個」の運動に着目するのが定石です。1個の粒子が起こす現象（例: 1回の衝突での力積）を正確に分析します。
  2. 時間平均を考える: 衝突のように瞬間的に起こる現象が繰り返される場合、その効果を「単位時間あたり」にならす、あるいは「1周期あたり」で平均化するという視点が重要になります。
  3. 全体に拡張する（\(N\)倍と平均操作）: 1個の粒子についての結果が出たら、それを粒子数 \(N\) 倍して全体に拡張します。このとき、粒子ごとの性質の違い（例: 速度のばらつき）を「平均値」で代表させる、という統計的な処理が必要になります。
  4. 等方性を利用する: 3次元空間でのランダムな運動を扱う場合、x, y, zの各方向は対等である（等方性）という仮定が、式を簡潔にする上で非常に有効な武器となります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 力積と力の混同:
  • 誤解: 1回の衝突で壁が受ける力は \(2mv_x\) であると考えてしまう。
  • 対策: \(2mv_x\) はあくまで運動量の変化量、すなわち「力積」です。力は「単位時間あたりの力積」であり、次元が異なります。力積を衝突の時間間隔で割る、という操作を忘れないようにしましょう。
• 往復距離の間違い:
  • 誤解: 分子が壁Aに衝突する時間間隔を計算する際、移動距離を \(L\) と考えてしまい、時間を \(L/v_x\) としてしまう。
  • 対策: 分子が「次に」壁Aに衝突するためには、向かいの壁まで行って帰ってくる必要があります。頭の中で分子の動きをシミュレーションし、移動距離が往復の \(2L\) であることを確実にイメージしましょう。
• 速度の平均と二乗平均の混同:
  • 誤解: 圧力の計算で、速度の二乗平均 \(\overline{v_x^2}\) ではなく、速度の平均の二乗 \((\overline{v_x})^2\) を使おうとしてしまう。
  • 対策: 分子は左右両方向に同じように運動しているため、速度のx成分の平均 \(\overline{v_x}\) は \(0\) になります。圧力を生み出すのは運動の「激しさ」であり、それは運動エネルギーに比例する \(v_x^2\) で評価されます。したがって、意味のある平均は \(\overline{v_x^2}\) の方であると理解しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)でのアプローチ選択（力積 ÷ 時間）:
  • 選定理由: 求めたいのは「平均の力」です。分子の衝突は非常に短時間に起こるため、衝突中の力の大きさ \(F(t)\) は複雑に変化し、直接求めることは困難です。しかし、力学の基本法則である「力積＝運動量の変化」を用いれば、衝突前後の運動量という比較的計算しやすい量から、衝突全体で与えられた力積を求めることができます。
  • 適用根拠: この力積が周期的に（時間 \(\Delta t\) ごとに）与えられるとモデル化することで、複雑な力の時間変化を考えずに済みます。力積という「時間積分された量」を、あえて時間で割ることで、我々が知りたい「平均の力」という量に変換しているのです。これは、瞬間的な現象を平均的な量として扱うための、物理学における非常に強力で基本的な思考法です。
• (2)でのアプローチ選択（総和と平均値）:
  • 選定理由: 求めたいのは「\(N\) 個の分子からの力の合計」です。\(N\) 個の分子の速度は全てバラバラなので、個々の力を単純に \(N\) 倍することはできません。そこで、集団全体の特徴を代表する統計的な量が必要になります。
  • 適用根拠: 「平均値」は、まさにそのような集団の代表値です。各分子が及ぼす力の和 \((f_1+f_2+\dots+f_N)\) を、\(N \times (\text{力の平均値})\) と考えることができます。力の式 \(f_i = mv_{xi}^2/L\) から、力の平均値は速度の二乗平均 \(\overline{v_x^2}\) で表せることがわかります。このように、個別の要素の和を「全体の個数 × 平均値」で置き換えるのは、統計的な考え方の基本です。
• (3)でのアプローチ選択（等方性の仮定）:
  • 選定理由: (2)で求めた力や圧力の式は、\(\overline{v_x^2}\) という「x方向」に限定されたミクロな量で記述されています。しかし、圧力というマクロな量は、どの方向から測っても同じ値になるはずです。したがって、式をより普遍的で方向によらない量（速さ \(v\)）で表現し直す必要があります。
  • 適用根拠: 「等方性（どの方向も対等である）」という仮定は、この目的を達成するための論理的な橋渡しです。この仮定を置くことで、\(\overline{v_x^2}\) という一つの成分の情報から、全体の運動の激しさを表す \(\overline{v^2}\) へと、情報を拡張することができます。これにより、特定の壁（x壁）だけでなく、あらゆる壁に適用できる一般的な圧力の公式が導かれます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字の添え字やバーを明確に書く:
  • \(v_x\)（ある1個の分子の速度成分）、\(\overline{v_x}\)（速度成分の平均）、\(\overline{v_x^2}\)（速度成分の二乗平均）は、すべて異なる物理量です。計算の途中で混同しないよう、意識して正確に書き分けましょう。
• 繁分数の計算は慎重に:
  • (1)の計算に出てくる \(f = \frac{2mv_x}{2L/v_x}\) のような分母に分数が含まれる形は、計算ミスの元です。分母の逆数を掛ける形、すなわち \(f = 2mv_x \times \frac{v_x}{2L}\) に直してから計算すると、間違いが大幅に減ります。
• 物理的な意味での検算:
  • 最終的に得られた圧力の式 \(p = \frac{Nm\overline{v^2}}{3L^3}\) を見て、その物理的な意味を吟味しましょう。
    • 分子の数 \(N\) が増えれば、壁への衝突回数が増えるので圧力は高くなるはず → 式と一致（\(p \propto N\)）。
    • 分子の質量 \(m\) や平均の速さ \(\overline{v^2}\) が増えれば、1回あたりの衝撃が強くなるので圧力は高くなるはず → 式と一致（\(p \propto m\overline{v^2}\)）。
    • 容器の体積 \(V=L^3\) が大きくなれば、分子が壁に衝突する頻度が下がるので圧力は低くなるはず → 式と一致（\(p \propto 1/L^3\)）。
  • このように、直感的な物理的振る舞いと数式が一致しているかを確認する癖をつけると、大きな間違いに気づくことができます。

発展問題

301 連結されたピストン

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「連結されたピストンにはたらく力のつりあいと気体の状態変化」です。断面積の異なるピストンが連結されているため、それぞれの気体や大気が及ぼす力も異なる大きさになる点を正確に扱うことが重要です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
連結されたピストンは全体として静止しています。したがって、ピストン全体を一つの物体とみなしたとき、この物体にはたらく水平方向の力はつり合っているはずです。
この物体に水平方向にはたらく力は、以下の4つです。

• シリンダーA内の気体が、A側ピストンを左から右へ押す力
• 大気が、A側ピストンを右から左へ押す力
• シリンダーB内の気体が、B側ピストンを右から左へ押す力
• 大気が、B側ピストンを左から右へ押す力

これらの力のつりあいを立式します。
この設問における重要なポイント

• ピストンは静止しているので、力のつりあいが成立する。
• 力は「圧力 × 面積」(\(F=pS\)) の関係を使って計算する。
• A側ピストン（面積\(S\)）とB側ピストン（面積\(2S\)）で、力が働く面積が異なることに注意する。
• 大気は、A側ピストンの外側とB側ピストンの外側の両方から力を及ぼす。

具体的な解説と立式
ピストン全体にはたらく水平方向の力を考えます。Bの気体の圧力を \(p_B\) とします。

• ピストン全体を右向きに押す力の和
  • Aの気体が押す力: \(pS\)
  • 大気がB側ピストンを押す力: \(p_0 \cdot 2S\)
• ピストン全体を左向きに押す力の和
  • 大気がA側ピストンを押す力: \(p_0 S\)
  • Bの気体が押す力: \(p_B \cdot 2S\)

ピストンは静止しているので、これらの力の和はつり合っています。
$$ (\text{右向きの力の和}) = (\text{左向きの力の和}) $$
$$ pS + p_0 \cdot 2S = p_0 S + p_B \cdot 2S $$

上記で立てた力のつりあいの式を \(p_B\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
pS + 2p_0 S &= p_0 S + 2p_B S
\end{aligned}
$$
両辺を \(S\) で割ると、
$$
\begin{aligned}
p + 2p_0 &= p_0 + 2p_B \\[2.0ex] 2p_B &= p + 2p_0 – p_0 \\[2.0ex] 2p_B &= p + p_0 \\[2.0ex] p_B &= \frac{p + p_0}{2}
\end{aligned}
$$

左右の大きさの違うピストンが棒でつながって、綱引きをしているような状況です。ピストンが止まっているので、右へ引くチームの力と、左へ引くチームの力が等しくなっています。
右へ引くチームは「Aの気体」と「Bの外の大気」です。左へ引くチームは「Aの外の大気」と「Bの気体」です。それぞれのチームの力の合計が等しい、という式を立てて計算すれば、Bの気体の圧力がわかります。

Bの気体の圧力は \(p_B = \frac{p+p_0}{2}\) と求まりました。これは、Aの気体の圧力 \(p\) と大気圧 \(p_0\) の平均値になっています。この関係は、ピストンの面積比が \(1:2\) であることから生じており、物理的に妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
この設問は2段階の思考プロセスで解くことができます。
第一段階として、シリンダーA内の気体に着目します。この気体は、ヒーターで温められることで状態が変化しますが、シリンダーに閉じ込められているため物質量は一定です。したがって、変化の前後でボイル・シャルルの法則が成り立ちます。これを用いて、変化後のAの気体の圧力 \(p_A’\) を求めます。
第二段階として、変化後にピストンが再び静止した状態に着目します。この状態では、(1)と全く同じように、ピストン全体にはたらく力のつりあいが成立しています。このつりあいの式を、変化後の圧力 \(p_A’\) と \(p_B’\) を用いて立てることで、\(p_B’\) を計算します。
この設問における重要なポイント

• Aの気体の状態変化について、変化前と変化後の(圧力, 体積, 温度)を正しく整理する。
  • 変化前: \(p, V, T\)
  • 変化後: \(p_A’, V’ = V+Sx, T’\)
• Bの気体の体積変化は、ピストンの断面積が \(2S\) であることから \(-2Sx\) となることに注意する（この問題ではBの体積は直接使わない）。
• 変化後の力のつりあいの式は、(1)の式の \(p\) と \(p_B\) を、それぞれ \(p_A’\) と \(p_B’\) に置き換えたものになる。

具体的な解説と立式

• 第一段階: Aの気体の状態変化
  Aの気体について、ボイル・シャルルの法則 \(\frac{PV}{T} = \text{一定}\) を適用します。
  • 変化前の状態: 圧力 \(p\), 体積 \(V\), 温度 \(T\)
  • 変化後の状態: 圧力 \(p_A’\), 体積 \(V’ = V+Sx\), 温度 \(T’\)

  したがって、次の関係式が成り立ちます。
  $$ \frac{pV}{T} = \frac{p_A'(V+Sx)}{T’} \quad \cdots ③ $$

• 第二段階: 変化後の力のつりあい
  ピストンが距離 \(x\) 移動して静止したとき、再びピストン全体にはたらく力のつりあいを考えます。これは(1)の状況と全く同じで、圧力が変化後の値に変わっただけです。
  • 右向きの力の和: \(p_A’ S + p_0 \cdot 2S\)
  • 左向きの力の和: \(p_0 S + p_B’ \cdot 2S\)

  力のつりあいから、
  $$ p_A’ S + p_0 \cdot 2S = p_0 S + p_B’ \cdot 2S \quad \cdots ④ $$

まず、式③から \(p_A’\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
p_A'(V+Sx) &= \frac{pVT’}{T} \\[2.0ex] p_A’ &= \frac{pVT’}{(V+Sx)T}
\end{aligned}
$$
これがAの気体の圧力の答えです。

次に、式④を \(p_B’\) について解きます。この計算は(1)と全く同じです。
$$
\begin{aligned}
p_A’ S + 2p_0 S &= p_0 S + 2p_B’ S \\[2.0ex] p_A’ + 2p_0 &= p_0 + 2p_B’ \\[2.0ex] 2p_B’ &= p_A’ + p_0 \\[2.0ex] p_B’ &= \frac{p_A’ + p_0}{2}
\end{aligned}
$$
最後に、この式に上で求めた \(p_A’\) の式を代入します。
$$
\begin{aligned}
p_B’ &= \frac{1}{2} \left( p_A’ + p_0 \right) \\[2.0ex] &= \frac{1}{2} \left\{ \frac{pVT’}{(V+Sx)T} + p_0 \right\}
\end{aligned}
$$
これがBの気体の圧力の答えです。

まず、Aの部屋だけを考えます。Aの部屋はヒーターで温められ、体積も \(V\) から \(V+Sx\) へと広くなりました。このとき、中の気体の圧力も \(p\) から新しい値 \(p_A’\) に変わります。この新しい圧力 \(p_A’\) を、気体のルール（ボイル・シャルルの法則）を使って計算するのが第一段階です。
次に、ピストンが移動を終えて止まったので、(1)と全く同じように、左右のチームの力のつりあいを考えます。ただし、今度はAの気体の圧力が新しい値 \(p_A’\) になっています。この新しい力のつりあいの式から、Bの気体の新しい圧力 \(p_B’\) を計算するのが第二段階です。

Aの気体の圧力は \(p_A’ = \frac{pVT’}{(V+Sx)T}\)、Bの気体の圧力は \(p_B’ = \frac{1}{2} \left\{ \frac{pVT’}{(V+Sx)T} + p_0 \right\}\) と求まりました。
Aの圧力 \(p_A’\) は、温度の上昇（\(T’/T > 1\)）によって増加する効果と、体積の増加（\(V+Sx > V\)）によって減少する効果の両方を受け、どちらが優勢かはこの式だけでは分かりません。
一方、Bの圧力 \(p_B’\) は、Aの圧力 \(p_A’\) が決まれば自動的に決まるという関係（\(p_B’ = (p_A’+p_0)/2\)）を保っています。これは、ピストンが静止している限り常に成り立つ関係式です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 力のつりあい
  • 核心: この問題の根幹は、ピストンが「静止している」という条件から、ピストンにはたらく全ての水平方向の力の合計がゼロである、という「力のつりあい」の法則を正しく立式できることです。特に、断面積の異なるピストンに、気体や大気が及ぼす力を「圧力×面積」として正確に計算することが求められます。
  • 理解のポイント:
    • 力の要素の特定: ピストンにはたらく力は、シリンダーA内の気体、シリンダーB内の気体、そして両側からの大気の4種類です。これらを漏れなく数え上げることが第一歩です。
    • 力の大きさの計算: それぞれの力は \(F=pS\) で計算されますが、A側ピストンの面積は \(S\)、B側ピストンの面積は \(2S\) と異なるため、どの圧力がどの面積にはたらくのかを正確に対応させる必要があります。
    • 一体の物体: 連結されたピストンは一体として動くため、全体を一つの物体とみなして力のつりあいを考えると、連結棒にはたらく内力を考慮する必要がなくなり、立式が簡潔になります。
• ボイル・シャルルの法則
  • 核心: 設問(2)では、シリンダーA内の気体が加熱によって状態を変化させます。このとき、気体はシリンダー内に閉じ込められており、物質量は変化しません。このような状況下で、気体の圧力(\(P\))、体積(\(V\))、絶対温度(\(T\))の間の関係を記述するのがボイル・シャルルの法則 \(\frac{PV}{T} = \text{一定}\) です。
  • 理解のポイント:
    • 適用条件: この法則が使えるのは「閉じ込められた一定量の気体」に対してのみです。問題文から物質量が変化しないことを読み取ることが重要です。
    • 状態量の整理: 変化の前と後で、\(P, V, T\) の値がそれぞれどうなっているかを正確に整理し、法則に代入することが求められます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • U字管内の液体と気体: U字管に閉じ込められた気体の圧力は、左右の液面の高さの差によって生じる圧力（\(\rho h g\))と、大気圧とのつりあいによって決まります。これも圧力のつりあいを考える問題です。
  • ばね付きピストン: ピストンにばねが取り付けられている場合、力のつりあいの式に、ばねの弾性力（\(kx\))が加わります。気体の状態変化に伴ってピストンが移動すると、ばねの伸び縮みも変化するため、弾性力も変化します。
  • ピストンが加速度運動する場合: もしピストンが「静止」ではなく、ある加速度で動いている場合、力のつりあいではなく運動方程式 \(Ma = F\) を立てます。ここで \(M\) はピストン全体の質量、\(F\) はピストンにはたらく力の合力です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. ピストンは静止しているか？動いているか？: 問題文の「静止した」「ゆっくり動いて静止した」という言葉を確認します。これが「力のつりあい」を使うのか、「運動方程式」を使うのかの判断基準になります。
  2. 力を及ぼす要素をすべてリストアップする: 図を見て、ピストンに力を及ぼしているものをすべて洗い出します（内部の気体、外部の大気、ばね、重力など）。
  3. 力の働く面積を確認する: 特に断面積が異なるピストンや、複雑な形状の物体では、「どの圧力が」「どの面積に」作用しているのかを慎重に確認します。
  4. 気体の状態変化はあるか？: 「温める」「冷やす」「ピストンを動かす」などの操作があれば、気体の状態変化が起こります。その気体が閉じ込められている（物質量一定）なら、ボイル・シャルルの法則の出番です。
  5. 一体とみなせるか？: 複数の物体が連結されて一緒に動く場合、まずは全体を一つの物体とみなして力のつりあいを考えてみるのが有効な戦略です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 大気圧の考慮漏れ、または片側しか考えない:
  • 誤解: シリンダー内部の気体の圧力だけを考えてしまい、外側から押している大気圧を忘れてしまう。あるいは、大気圧は片方のピストンにしかはたらかないと誤解する。
  • 対策: ピストンは必ず「内側」と「外側」の面を持ちます。図をよく見て、大気に接している面がどこにあるかを確認しましょう。この問題では、A側ピストンの右面とB側ピストンの左面が大気に接しており、両方から力を受けます。
• 力の働く面積の間違い:
  • 誤解: Bの気体が及ぼす力を \(p_B S\) と計算したり、大気がB側ピストンに及ぼす力を \(p_0 S\) と計算してしまう。
  • 対策: \(F=pS\) を適用する際は、必ず「どの圧力が、どの面積に作用しているか」を指差し確認する癖をつけましょう。A側は面積 \(S\)、B側は面積 \(2S\) です。これを図に書き込むとミスを防げます。
• 力の向きの間違い:
  • 誤解: 圧力による力の向きを混乱してしまう。
  • 対策: 「気体（液体も含む）は、接する面を常に垂直に押す」という大原則を思い出しましょう。Aの気体はピストンを右に押し、Bの気体はピストンを左に押します。大気はA側ピストンを左に、B側ピストンを右に押します。力の矢印を図に書き込むことで、向きの間違いを防げます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（力のつりあい）:
  • 選定理由: 問題文に「ピストンは静止していた」と明確に記述されています。力学において、「静止」や「等速直線運動」というキーワードは、物体にはたらく力の合力がゼロであることを意味し、これは「力のつりあい」の法則を適用すべき最も直接的な合図です。
  • 適用根拠: ピストンにはたらく力は「圧力」に起因するため、力のつりあいを圧力と面積を用いた \(F=pS\) の形で表現する必要があります。連結されたピストンを一体とみなすことで、未知数である連結棒の内力を考慮から外し、求めたい \(p_B\) を含む一つの式を立てることができるため、このアプローチが最も合理的です。
• (2)での公式選択（ボイル・シャルルの法則と力のつりあい）:
  • 選定理由: この設問では、①「Aの気体が加熱されて状態が変化する」という熱力学的なプロセスと、②「変化後にピストンが再び静止する」という力学的な状態が組み合わさっています。したがって、それぞれの局面に対応する物理法則を選択する必要があります。
  • 適用根拠（①状態変化）: Aの気体はシリンダーに閉じ込められており、その物質量は一定です。このような「一定量の気体」の状態変化（\(P, V, T\) の変化）を記述する法則は、ボイル・シャルルの法則 \(\frac{PV}{T} = \text{一定}\) です。これにより、変化後の圧力 \(p_A’\) を他の既知の量で表現することができます。
  • 適用根拠（②静止状態）: 変化後もピストンは「静止」しているので、(1)と全く同じ論理で「力のつりあい」の法則が適用できます。これにより、変化後の圧力 \(p_A’\) と \(p_B’\) の間に成り立つ関係式が得られます。①で導いた \(p_A’\) の式を、この②の関係式に代入することで、最終的に求めたい \(p_B’\) を計算することができます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 力の図示を徹底する:
  • 問題の図に、ピストンにはたらくすべての力を矢印で書き込みましょう。矢印の横に \(pS\) や \(p_0 \cdot 2S\) のように力の大きさを具体的に書き添えることで、立式のミスを劇的に減らすことができます。
• つりあいの式は「右向きの和＝左向きの和」で立てる:
  • すべての力を左辺に集めて「\(=0\)」とする形式よりも、「右向きの力の和」と「左向きの力の和」をそれぞれまとめてからイコールで結ぶ方が、力の向きを意識しやすく、符号ミスを防げます。
• 共通因数で先に割る:
  • (1)のつりあいの式 \(pS + 2p_0 S = p_0 S + 2p_B S\) では、すべての項に共通の \(S\) が含まれています。計算を始める前に両辺を \(S\) で割ることで、式が \(p + 2p_0 = p_0 + 2p_B\) となり、非常に見通しが良く、計算しやすくなります。
• 関係式を有効活用する:
  • (2)では、ピストンが静止している限り常に \(p_B’ = \frac{p_A’ + p_0}{2}\) という関係が成り立つことを見抜くことが重要です。この関係式を先に導いておけば、あとは \(p_A’\) をボイル・シャルルの法則で求めることに集中でき、思考のステップが明確になります。
• 代入は計算の最後に行う:
  • (2)で \(p_B’\) を求める際、\(p_A’ = \frac{pVT’}{(V+Sx)T}\) という複雑な式を計算の途中で代入すると、式全体が長くなってミスしやすくなります。まず \(p_B’ = \frac{p_A’ + p_0}{2}\) というシンプルな関係を導き、最後にこの \(p_A’\) に具体的な式を代入する、という手順を踏むと、計算が整理され、検算もしやすくなります。

302 容器から逃げる気体

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「開いた容器における気体の状態変化と、その後の密閉された気体の状態変化」です。コックが開いている間は圧力一定で物質量が変化し、コックを閉じた後は物質量一定で圧力が変化するという、2段階のプロセスを正確に理解することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
フラスコを湯につける際、コックは開いたままです。これは、フラスコ内部の圧力が常に外部の大気圧と等しく保たれることを意味します。この圧力一定の状況で温度を上げると、気体は膨張し、フラスコの容積を超えた分が外へ逃げ出します。つまり、フラスコ内に残る気体の物質量が減少します。
この問題では、逃げた空気の割合を問われているので、加熱前の物質量 \(n_1\) と加熱後の物質量 \(n_2\) を求め、その減少率 \(\frac{n_1 – n_2}{n_1}\) を計算します。
この設問における重要なポイント

• コックが開いている間は、圧力は常に大気圧 \(p_0 = 1.0 \times 10^5\,\text{Pa}\) で一定。
• フラスコの容積 \(V = 1.0 \times 10^{-3}\,\text{m}^3\) も一定。
• 変化するのは、温度 \(T\) とフラスコ内の気体の物質量 \(n\)。
• 温度は必ず絶対温度に変換して計算する。
  • 加熱前: \(T_1 = 27 + 273 = 300\,\text{K}\)
  • 加熱後: \(T_2 = 100 + 273 = 373\,\text{K}\)

具体的な解説と立式
気体定数を \(R\) とします。

• 加熱前の状態（状態1）
  圧力 \(p_0\), 容積 \(V\), 温度 \(T_1\), 物質量 \(n_1\) の気体について、状態方程式は、
  $$ p_0 V = n_1 R T_1 \quad \cdots ① $$
• 加熱後の状態（状態2）
  圧力 \(p_0\), 容積 \(V\), 温度 \(T_2\), 物質量 \(n_2\) の気体について、状態方程式は、
  $$ p_0 V = n_2 R T_2 \quad \cdots ② $$
• 逃げた空気の割合
  求める割合は、物質量の減少率に等しく、次のように表せます。
  $$
  \begin{aligned}
  (\text{割合}) &= \frac{n_1 – n_2}{n_1} \\[2.0ex] &= 1 – \frac{n_2}{n_1}
  \end{aligned}
  $$

式①と式②の左辺は等しいので、
$$
\begin{aligned}
n_1 R T_1 &= n_2 R T_2 \\[2.0ex] n_1 T_1 &= n_2 T_2
\end{aligned}
$$
この式から、物質量の比 \(\frac{n_2}{n_1}\) を求めると、
$$
\begin{aligned}
\frac{n_2}{n_1} &= \frac{T_1}{T_2} \\[2.0ex] &= \frac{300}{373}
\end{aligned}
$$
これを求める割合の式に代入します。
$$
\begin{aligned}
(\text{割合}) &= 1 – \frac{n_2}{n_1} \\[2.0ex] &= 1 – \frac{300}{373} \\[2.0ex] &= \frac{373 – 300}{373} \\[2.0ex] &= \frac{73}{373} \\[2.0ex] &\approx 0.1956…
\end{aligned}
$$
問題では「何%か」と問われているので、100倍して有効数字2桁で答えます。
$$ 0.1956… \times 100 \approx 19.6 \approx 20\,\% $$

フラスコという部屋の定員は、温度によって変わります。はじめ \(27^\circ\text{C}\) のときは、ある人数（物質量 \(n_1\)）の空気が部屋の中にいました。次に部屋を \(100^\circ\text{C}\) まで温めると、一人一人が元気に動き回るようになり、同じ部屋にはより少ない人数（物質量 \(n_2\)）しかいられなくなります。このとき、部屋から追い出されてしまった人の割合を計算する問題です。

フラスコ内の空気の約 \(20\%\) が外に逃げた、という結果が得られました。温度を上げることで気体が膨張し、開いた口から一部が逃げ出すという現象を、定量的に評価したことになります。結果は物理的に妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
コックを閉じた瞬間から、フラスコ内の空気は外部と遮断され、その物質量 \(n_2\) は一定に保たれます。この状態で、フラスコを湯から出して \(27^\circ\text{C}\) の空気中に放置すると、温度が下がります。
フラスコの容積は変わらないので、この過程は「物質量と体積が一定」の変化、すなわち定積変化です。したがって、ボイル・シャルルの法則 \(\frac{PV}{T} = \text{一定}\) を用いて、冷却後の圧力を求めることができます。
この設問における重要なポイント

• コックを閉じた後は、フラスコ内の気体の物質量は一定となる。
• 冷却の過程で、フラスコの容積 \(V\) も一定である。
• 状態変化の前後で、(圧力, 体積, 温度)を正しく整理する。
  • 冷却前（状態2）: \(p_2 = 1.0 \times 10^5\,\text{Pa}\), \(V\), \(T_2 = 373\,\text{K}\)
  • 冷却後（状態3）: \(p_3 = ?\), \(V\), \(T_3 = 300\,\text{K}\)

具体的な解説と立式
コックを閉じた直後（状態2）と、十分に冷却された後（状態3）の気体について、ボイル・シャルルの法則を適用します。
$$ \frac{p_2 V}{T_2} = \frac{p_3 V}{T_3} $$
フラスコの容積 \(V\) は一定なので、両辺から \(V\) を消去できます。
$$ \frac{p_2}{T_2} = \frac{p_3}{T_3} $$

上記の式を \(p_3\) について解き、数値を代入します。
$$
\begin{aligned}
p_3 &= p_2 \times \frac{T_3}{T_2} \\[2.0ex] &= (1.0 \times 10^5) \times \frac{300}{373} \\[2.0ex] &\approx 0.8042… \times 10^5 \\[2.0ex] &\approx 8.042 \times 10^4 \,\text{Pa}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えると、\(8.0 \times 10^4\,\text{Pa}\) となります。

\(100^\circ\text{C}\) の熱い空気が入ったフラスコに、ピシャッと栓（コックを閉じる）をしました。このフラスコを、\(27^\circ\text{C}\) の涼しい部屋に置いておくと、中の空気も冷えて元気がなくなります。その結果、フラスコの内側から壁を押す力が弱まり、圧力が下がります。この下がった後の圧力がいくらになるかを計算する問題です。

冷却後の圧力は \(8.0 \times 10^4\,\text{Pa}\) となり、大気圧 \(1.0 \times 10^5\,\text{Pa}\) よりも低くなりました。これは、高温の気体を閉じ込めてから冷却したために、内部の圧力が外部より低くなったことを意味しており、物理的に妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 気体の状態変化における法則の使い分け
  • 核心: この問題は、(1)と(2)で気体の置かれている状況が根本的に異なることを見抜き、それぞれに適した物理法則を正しく選択・適用する能力を問うています。具体的には、「コックが開いている（開口系）」状況と「コックが閉じている（閉鎖系）」状況の違いを理解することが核心です。
  • 理解のポイント:
    • 開口系（問1）: コックが開いている間、フラスコ内の気体は外部の大気と自由に出入りできます。その結果、圧力は常に大気圧と等しく保たれますが、温度変化によってフラスコ内の気体の「物質量」が変化します。この「物質量が変化する」状況を扱えるのは、気体の状態方程式 \(PV=nRT\) です。
    • 閉鎖系（問2）: コックを閉じた瞬間から、フラスコ内の気体は閉じ込められ、外部との物質の出入りがなくなります。その結果、「物質量」が一定に保たれます。この「物質量が一定」という条件下での状態変化を記述するのに最も便利なのが、ボイル・シャルルの法則 \(\frac{PV}{T} = \text{一定}\) です。
• 絶対温度の必須性
  • 核心: 気体の状態方程式やボイル・シャルルの法則など、気体の熱力学的な振る舞いを記述する全ての公式において、温度はセルシウス温度（摂氏）ではなく、必ず絶対温度（ケルビン）を用いなければならないという、熱力学の基本中の基本です。
  • 理解のポイント:
    • 物理的意味: 気体分子の平均運動エネルギーは、セルシウス温度ではなく絶対温度に比例します。物理法則は、このような物理的本質に基づいているため、絶対温度を用いることが必然となります。計算を始める前に、まず全てのセルシウス温度を絶対温度に変換する癖をつけることが重要です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 熱気球: 熱気球は下部が開いており、内部の空気を温めることで密度を下げて浮力を得ます。内部の圧力は常時、外部の大気圧とほぼ等しいとみなせるため、本問(1)と全く同じ「圧力一定、物質量変化」のモデルが適用できます。
  • 注射器の先端を塞いでピストンを動かす: 注射器の先端を指で塞ぎ、ピストンを押したり引いたりする状況。これは、内部の気体の「物質量一定」の条件下で、圧力と体積を変化させる操作であり、本問(2)と同様にボイル・シャルルの法則（特に温度が一定ならボイルの法則）が適用できます。
  • タイヤに空気を入れる: タイヤに空気を入れる操作は、体積がほぼ一定のまま、外部から気体を送り込むことで「物質量」を増やし、圧力を上げるプロセスです。これは状態方程式を応用して考える問題です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 容器は開いているか、閉じているか？: 問題文の「コックを開いたまま」「コックを閉めて」といったキーワードに真っ先に注目します。これが、圧力が一定で物質量が変化するのか、物質量が一定で圧力が変化するのかを見分ける最大のポイントです。
  2. 状態変化の前後で、P, V, T, n はどうなるか？: 各プロセス（加熱、冷却など）の前後で、圧力、体積、温度、物質量のうち、どれが一定で、どれが変化するのかを明確に整理します。
     • (1) 加熱前 → 加熱後: \(P\)一定, \(V\)一定, \(T\)変化, \(n\)変化
     • (2) 冷却前 → 冷却後: \(P\)変化, \(V\)一定, \(T\)変化, \(n\)一定
  3. どの法則を選択するか？: 上記の整理に基づき、適切な法則を選択します。
     • \(n\) が変化するプロセスが含まれる場合 → 気体の状態方程式 \(PV=nRT\) を各状態で立てて比較する。
     • \(n\) が一定のプロセスの場合 → ボイル・シャルルの法則 \(\frac{PV}{T} = \text{一定}\) を使うと計算が早い。
  4. 考察の対象を広げる視点: (1)の別解のように、フラスコ内に「残った」気体ではなく、「はじめにあった」気体全体を一つの系とみなすことで、物質量一定のシャルルの法則を適用できる場合があります。このような視点の切り替えができると、解法の選択肢が広がります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• セルシウス温度を公式に代入してしまう:
  • 誤解: 問題で与えられた \(27^\circ\text{C}\) や \(100^\circ\text{C}\) を、そのまま状態方程式やボイル・シャルルの法則の \(T\) に代入してしまう。
  • 対策: 「気体の計算、温度は絶対ケルビン！」と徹底的に体に覚えさせましょう。問題を読み始めたら、まず \(T_1 = 27 + 273 = 300\,\text{K}\), \(T_2 = 100 + 273 = 373\,\text{K}\) と、問題用紙の余白に書き出してしまうのが最も確実な対策です。
• (1)でボイル・シャルルの法則を誤用する:
  • 誤解: 気体の状態変化の問題だからと、深く考えずにボイル・シャルルの法則 \(\frac{p_1V_1}{T_1} = \frac{p_2V_2}{T_2}\) を使おうとしてしまう。
  • 対策: ボイル・シャルルの法則が成り立つ大前提は「気体の物質量 \(n\) が一定」であることです。問題文の「空気が外に逃げた」という記述から、この前提が崩れていることを見抜く必要があります。法則が成り立つ「条件」を常に意識することが重要です。
• (2)で圧力が大気圧のままだと勘違いする:
  • 誤解: (1)で圧力が大気圧と等しかったため、(2)で冷却した後も圧力が大気圧に戻ると考えてしまう。
  • 対策: 「コックを閉めて」という操作が持つ物理的な意味を正確に理解しましょう。この操作によって、フラスコは外部の世界から「隔離」され、独立した密閉容器になります。したがって、内部の圧力はもはや外部の大気圧とは無関係に、内部の気体の状態（物質量、体積、温度）だけで決まります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（気体の状態方程式）:
  • 選定理由: 求めたいのは「逃げた空気の割合」であり、これは「物質量の変化率」を計算することに他なりません。気体の状態変化を扱い、かつ物質量 \(n\) を変数として陽に含んでいる基本法則は、気体の状態方程式 \(PV=nRT\) です。
  • 適用根拠: 「コックが開いている」ため、加熱によって気体が膨張し、フラスコからあふれ出る、すなわち物質量 \(n\) が変化します。物質量が一定であることを前提とするボイル・シャルルの法則は使えません。したがって、変化の前と後のそれぞれの状態で状態方程式を立て、それらを比較することで物質量の変化を捉える、というアプローチが論理的に必然となります。
• (2)での公式選択（ボイル・シャルルの法則）:
  • 選定理由: 求めたいのは、冷却後のフラスコ内の圧力です。このプロセスは「コックを閉めた後」に起こります。
  • 適用根拠: 「コックを閉めた」という操作により、フラスコ内の気体は閉じ込められ、物質量 \(n\) が一定になります。また、フラスコの容積 \(V\) も一定です。このように、物質量が一定の気体の状態変化を扱う場合、状態方程式 \(PV=nRT\) から導かれる \(\frac{PV}{T} = \text{一定}\) という関係（ボイル・シャルルの法則）を用いるのが最も直接的で計算も簡潔になります。別解で示したように状態方程式を2回使っても解けますが、ボイル・シャルルの法則は、まさにこのような状況のために用意された便利な公式と言えます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 絶対温度への変換を計算の第一歩とする:
  • 問題文を読んだら、計算を始める前に、まず与えられたセルシウス温度をすべて絶対温度に変換してメモしておきましょう。\(27^\circ\text{C} \to 300\,\text{K}\), \(100^\circ\text{C} \to 373\,\text{K}\)。これを習慣化するだけで、うっかりミスが激減します。
• 比の計算を有効活用する:
  • (1)では、\(n_1 R T_1 = n_2 R T_2\) という関係から、いきなり数値を代入するのではなく、まず \(\frac{n_2}{n_1} = \frac{T_1}{T_2}\) という比の形を導きましょう。これにより、圧力 \(p_0\)、容積 \(V\)、気体定数 \(R\) の具体的な値を計算に使う必要がなくなり、式がシンプルになって計算ミスを防げます。
• 有効数字を意識する:
  • この問題で与えられている数値は \(1.0 \times 10^{-3}\) (2桁), \(1.0 \times 10^5\) (2桁), \(27\) (2桁), \(100\) (3桁) です。計算結果の信頼性は、最も信頼性の低い（有効数字の桁数が少ない）数値に依存するため、最終的な答えは有効数字2桁でまとめるのが適切です。
  • 途中の計算では、有効数字より1桁多く（例えば3桁）で計算を進め、最後に四捨五入すると、丸め誤差によるズレを防げます。例: \(73 \div 373 \approx 0.196\), \(1.0 \times 300 \div 373 \approx 0.804\)。
• 物理的な結果を吟味する:
  • 計算が終わったら、その答えが物理的に妥当か一瞬考えてみましょう。
    • (1) 温めたら気体は膨張して逃げるはずなので、逃げた割合は正の値になるはず。OK。
    • (2) 高温の気体を閉じ込めてから冷やしたのだから、分子の運動は不活発になり、圧力は大気圧より低くなるはず。計算結果の \(8.0 \times 10^4\,\text{Pa}\) は、大気圧 \(1.0 \times 10^5\,\text{Pa}\) より確かに小さい。OK。
  • このような簡単なチェックで、桁違いのミスなどに気づくことができます。

303 熱気球

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「熱気球の浮揚原理と気体の状態方程式」です。アルキメデスの原理による浮力と、気体の状態方程式を用いて空気の密度（＝重さ）を温度と関連付けることで、熱気球が浮き上がる条件を定量的に解析します。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
浮力の大きさは、アルキメデスの原理「物体が押しのけた流体の重さに等しい」に従って計算します。この問題では、熱気球の風船部（容積\(V\)）が押しのけている流体は「地表の大気」です。したがって、体積\(V\)の地表の大気の重さを計算すれば、それが浮力の大きさになります。
この設問における重要なポイント

• 押しのけた流体は密度\(\rho_0\)の大気である。
• 押しのけた体積は風船部の容積\(V\)である。
• 重さは「質量 × 重力加速度」で、質量は「密度 × 体積」で計算する。

具体的な解説と立式
熱気球が押しのけた大気の質量を \(m_{\text{air}}\) とすると、
$$
\begin{aligned}
m_{\text{air}} &= (\text{密度}) \times (\text{体積}) \\[2.0ex] &= \rho_0 V
\end{aligned}
$$
アルキメデスの原理より、熱気球が受ける浮力の大きさ \(F_{\text{浮力}}\) は、この質量が受ける重力に等しいので、
$$ F_{\text{浮力}} = m_{\text{air}} g $$

$$
\begin{aligned}
F_{\text{浮力}} &= (\rho_0 V) g \\[2.0ex] &= \rho_0 V g
\end{aligned}
$$

お風呂で体を沈めると体が軽くなったように感じるのが浮力です。熱気球も同じで、巨大な風船が空気を押しのけている分だけ、周りの空気から上向きに押し上げられる力（浮力）を受けます。アルキメデスの原理によれば、この力の大きさは、熱気球が押しのけた空気の重さと全く同じになります。

熱気球が受ける浮力の大きさは \(\rho_0 V g\) と求まりました。これはアルキメデスの原理の公式そのものであり、妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
密度\(\rho_0\)は、空気の質量を体積で割ることで求められます。問題では空気1molの質量が\(m_0\)と与えられているので、地表の条件下（圧力\(p_0\)、温度\(T_0\)）で空気1molが占める体積\(V_0\)を求めれば、密度を計算できます。1molの気体の体積は、理想気体の状態方程式から求めることができます。
この設問における重要なポイント

• 密度 \(\rho_0 = \frac{\text{1molの質量}}{\text{1molの体積}} = \frac{m_0}{V_0}\) の関係を使う。
• 1molの気体について、状態方程式 \(PV=nRT\) に \(n=1\) を適用する。

具体的な解説と立式
地表における空気1molの体積を\(V_0\)とします。この気体にはたらく圧力は\(p_0\)、絶対温度は\(T_0\)です。
理想気体の状態方程式 \(PV=nRT\) に、\(P=p_0\), \(V=V_0\), \(n=1\), \(T=T_0\) を代入すると、
$$ p_0 V_0 = 1 \cdot R T_0 $$
この式から、1molの体積\(V_0\)が求まります。
地表の大気の密度\(\rho_0\)は、1molの質量\(m_0\)を1molの体積\(V_0\)で割ることで得られます。
$$ \rho_0 = \frac{m_0}{V_0} $$

まず、状態方程式から\(V_0\)を求めます。
$$ V_0 = \frac{R T_0}{p_0} $$
次に、これを密度の定義式に代入します。
$$
\begin{aligned}
\rho_0 &= \frac{m_0}{V_0} \\[2.0ex] &= \frac{m_0}{(R T_0 / p_0)} \\[2.0ex] &= \frac{m_0 p_0}{R T_0}
\end{aligned}
$$

密度の計算には「質量」と「体積」が必要です。ここでは基準として空気1molというグループ（質量\(m_0\)）を考えます。このグループが地表でどれくらいの大きさの場所（体積\(V_0\)）を占めるかを、気体のルールブックである状態方程式を使って計算し、最後に「質量÷体積」で密度を求めています。

地表の大気の密度が \(\rho_0 = \frac{m_0 p_0}{R T_0}\) と表せました。この式は、圧力が高いほど、また温度が低いほど、気体の密度が大きくなるという直感的な性質を正しく反映しています。

問(3)

思考の道筋とポイント
熱気球全体が受ける重力は、「熱気球全体の質量 × 重力加速度 \(g\)」で計算できます。熱気球全体の質量は、「風船部内の空気の質量」と「空気以外の部分（ゴンドラなど）の質量 \(M\)」の合計です。風船部内の空気の質量は、その密度\(\rho_1\)と容積\(V\)から計算できます。
この設問における重要なポイント

• 全体の質量 = (内部の空気の質量) + (機体の質量)
• 内部の空気の質量 = (内部の空気の密度) × (容積) = \(\rho_1 V\)

具体的な解説と立式
上昇を始めたときの、風船部内の空気の質量を \(m_1\) とすると、
$$ m_1 = \rho_1 V $$
熱気球全体の質量 \(M_{\text{全体}}\) は、この空気の質量 \(m_1\) と、空気以外の質量 \(M\) の和なので、
$$
\begin{aligned}
M_{\text{全体}} &= m_1 + M \\[2.0ex] &= \rho_1 V + M
\end{aligned}
$$
したがって、熱気球全体が受ける重力の大きさ \(W\) は、
$$ W = M_{\text{全体}} g $$

$$
\begin{aligned}
W &= (\rho_1 V + M) g
\end{aligned}
$$

熱気球全体の重さを計算します。熱気球は、ゴンドラなどの機材（質量\(M\)）と、風船の中に入っている温かい空気（質量\(\rho_1 V\)）でできています。この2つの質量を足し合わせたものに、重力加速度\(g\)を掛けたものが、全体の重力（重さ）です。

熱気球全体の重力は \(( \rho_1 V + M ) g\) と求まりました。これは重力の定義に従った素直な立式であり、妥当な結果です。

問(4)

思考の道筋とポイント
(2)と全く同じ考え方で、今度は温度が\(T_1\)になったときの空気の密度\(\rho_1\)を計算します。熱気球の内部は下部が開いているため、圧力は外部の大気圧\(p_0\)と常に等しくなっています。したがって、圧力\(p_0\)、温度\(T_1\)における空気の密度を求め、(2)で求めた\(\rho_0\)との関係を導きます。
この設問における重要なポイント

• 熱気球内部の圧力は、外部の大気圧\(p_0\)と等しい。
• (2)と同様に、1molの気体に着目して状態方程式を適用する。

具体的な解説と立式
温度\(T_1\)、圧力\(p_0\)における空気1molの体積を\(V_1\)とします。
理想気体の状態方程式より、
$$ p_0 V_1 = 1 \cdot R T_1 $$
このときの空気の密度\(\rho_1\)は、
$$ \rho_1 = \frac{m_0}{V_1} $$
一方、(2)の結果から、地表の大気の密度\(\rho_0\)は、
$$ \rho_0 = \frac{m_0 p_0}{R T_0} $$
これらの式から、\(\rho_1\)を\(\rho_0, T_0, T_1\)で表します。

まず、状態方程式から\(V_1\)を求め、\(\rho_1\)を計算します。
$$ V_1 = \frac{R T_1}{p_0} $$
$$
\begin{aligned}
\rho_1 &= \frac{m_0}{V_1} \\[2.0ex] &= \frac{m_0}{(R T_1 / p_0)} \\[2.0ex] &= \frac{m_0 p_0}{R T_1}
\end{aligned}
$$
ここで、(2)の結果 \(\rho_0 = \frac{m_0 p_0}{R T_0}\) と比較するために、2つの式の比をとります。
$$
\begin{aligned}
\frac{\rho_1}{\rho_0} &= \frac{m_0 p_0 / (R T_1)}{m_0 p_0 / (R T_0)} \\[2.0ex] &= \frac{1/T_1}{1/T_0} \\[2.0ex] &= \frac{T_0}{T_1}
\end{aligned}
$$
したがって、
$$ \rho_1 = \rho_0 \frac{T_0}{T_1} $$

温かい空気は密度が小さくなりますが、どれくらい小さくなるかを計算します。(2)で考えた地表の冷たい空気と、今考えたい風船の中の温かい空気を比べます。どちらも周りから押される圧力は同じ（大気圧）なので、気体の性質（シャルルの法則）から「密度と絶対温度は反比例する」ことがわかります。この関係を使って、温かい空気の密度を計算します。

\(\rho_1 = \rho_0 \frac{T_0}{T_1}\) という関係が得られました。これは、温度が高くなるほど（\(T_1 > T_0\)）、密度が小さくなる（\(\rho_1 < \rho_0\)）ことを示しており、物理的な直感と一致します。

問(5)

思考の道筋とポイント
「熱気球が上昇を始めた」という記述は、物理的には「熱気球にはたらく上向きの力と下向きの力がつり合った」瞬間を指します。上向きの力は(1)で求めた浮力、下向きの力は(3)で求めた熱気球全体の重力です。この力のつりあいの式を立て、(4)で求めた密度の関係式を代入することで、未知数である温度\(T_1\)を求めます。
この設問における重要なポイント

• 上昇を始める瞬間は、力のつりあいが成立する: (浮力) = (全体の重力)。
• (1), (3), (4)で求めた式をすべて総動員して解く。

具体的な解説と立式
上昇を始める瞬間、力のつりあいの式は、
$$ F_{\text{浮力}} = W $$
(1)と(3)の結果を代入すると、
$$ \rho_0 V g = (\rho_1 V + M) g $$
この式に、(4)で求めた \(\rho_1 = \rho_0 \frac{T_0}{T_1}\) の関係を代入して、\(T_1\)について解きます。

まず、力のつりあいの式の両辺から\(g\)を消去します。
$$ \rho_0 V = \rho_1 V + M $$
次に、\(\rho_1\)を代入します。
$$ \rho_0 V = \left( \rho_0 \frac{T_0}{T_1} \right) V + M $$
この方程式を\(T_1\)について解きます。
$$
\begin{aligned}
\rho_0 V – M &= \frac{\rho_0 V T_0}{T_1} \\[2.0ex] T_1 (\rho_0 V – M) &= \rho_0 V T_0 \\[2.0ex] T_1 &= \frac{\rho_0 V T_0}{\rho_0 V – M}
\end{aligned}
$$

熱気球がフワッと地面を離れる瞬間は、上向きに押し上げる力（浮力）と、下向きに引っ張る力（全体の重さ）がちょうど等しくなったときです。この「浮力＝重さ」という釣り合いの式が、この問題の最終的なゴールです。この式に、今まで(1)から(4)で一生懸命計算してきた部品（浮力、重さ、密度の関係）をすべてはめ込んで、最後の謎である温度\(T_1\)を解き明かします。

風船内部の空気の絶対温度\(T_1\)が \(\frac{\rho_0 V T_0}{\rho_0 V – M}\) と求まりました。
この式を吟味すると、分母の \(\rho_0 V – M\) は、浮力（\(\rho_0 V g\)）を生み出す質量から機体の質量\(M\)を引いたものであり、これは「内部の空気を除いて、どれだけ浮き上がらせる余裕があるか」を表します。この余裕が小さいほど（\(M\)が大きいほど）、分母が小さくなり、必要な温度\(T_1\)は非常に高くなることがわかります。これは物理的に妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 3つの物理法則の連携
  • 核心: この問題は、一見複雑に見えますが、実は「アルキメデスの原理」「力のつりあい」「理想気体の状態方程式」という3つの異なる分野の基本法則を、論理的に連携させて解く典型例です。熱気球という一つの現象を、これらの法則を用いて多角的に分析し、最終的に一つの結論に統合するプロセスそのものが、この問題の核心です。
  • 理解のポイント:
    • 浮力（流体力学）: 熱気球がなぜ浮くのか？という問いには、アルキメデスの原理が答えます。これが上向きの力を決定します。
    • 重力とつりあい（力学）: 熱気球がどれだけ重いのか？という問いには、重力の計算が必要です。そして、「上昇を始める」という運動の状態を、力のつりあいの式が数学的に表現します。
    • 密度（熱力学）: なぜ温めると軽くなるのか？という問いには、理想気体の状態方程式が答えます。これにより、温度と密度（＝軽さ）が関係づけられ、人間がコントロールできる「温度」というパラメータが、力のつりあいの式に組み込まれます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 水中に沈む物体の浮沈: 氷が水に浮く問題や、鉄の船が浮く問題など。物体の密度と、周りの流体（水）の密度を比較し、浮力と重力の大小関係を考える点で本質は同じです。
  • ヘリウムガスを入れた風船: 風船内部のヘリウムガスの密度が、外部の空気の密度より小さいために浮力を得ます。熱で密度をコントロールする熱気球に対し、はじめから密度の小さい気体を使う例です。
  • 潜水艦の浮沈制御: 潜水艦は、バラストタンクに水を入れたり排出したりすることで、全体の平均密度を変化させ、浮力を調整して潜航・浮上します。これも浮力と重力の制御という点で共通しています。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 「浮力」という言葉が出てきたら？: 即座に「アルキメデスの原理」を連想します。「物体が押しのけた流体の体積と、その流体の密度」が計算の鍵になると考えます。
  2. 「静止している」「上昇を始める」という状態は？: これは「力のつりあい」を立式せよ、という合図です。物体にはたらく全ての上向きの力と下向きの力を図示し、それらの大きさが等しいという式を立てます。
  3. 気体の「密度」「質量」「温度」が関わる場合は？: これは「理想気体の状態方程式」の出番です。特に、密度\(\rho\)が関係する問題では、状態方程式を \(\rho = \frac{m_0 P}{RT}\) の形に変形できないか、あるいは圧力一定なら \(\rho T = \text{一定}\) の関係が使えないかを検討します。
  4. 容器の口は開いているか？: 熱気球のように下部が開いている場合、内部の圧力は常に外部の大気圧と等しい、という「定圧条件」が成り立ちます。これが計算を大幅に簡略化する鍵となります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 浮力の計算で、内部の空気の密度を使ってしまう:
  • 誤解: 浮力は熱気球自身が生み出すものだと考え、内部の温かい空気の密度\(\rho_1\)を使って \(F_{\text{浮力}} = \rho_1 V g\) と計算してしまう。
  • 対策: 浮力は「周りの流体」が物体を押し上げる力です。したがって、必ず「外部の流体の密度」（この場合は大気の密度\(\rho_0\)）を使います。「浮力は周りが決める」と覚えましょう。
• 全体の重力の計算で、内部の空気の質量を忘れる:
  • 誤解: 熱気球の重さとして、ゴンドラなどの機体の質量\(M\)だけを考えてしまい、重力を\(Mg\)としてしまう。
  • 対策: 熱気球は「機体」と「内部の空気」を合わせたものが一つの物体です。重力を計算する際は、必ず内部の空気の質量（\(\rho_1 V\)）も足し合わせる必要があります。
• 圧力も変化すると考えてしまう:
  • 誤解: 内部の空気を加熱したので、密閉容器のように圧力も上昇するだろうと考えてしまう。
  • 対策: 問題文の「風船の下部には小さな開口部があり、内部と外部の空気の圧力は常に等しい」という記述を見落とさないことが重要です。この「定圧条件」が、シャルルの法則（密度版）などを適用できる根拠となります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（アルキメデスの原理）:
  • 選定理由: 求めたいのは「浮力」です。流体中にある物体が受ける浮力の大きさを定義する法則は、アルキメデスの原理以外にありません。したがって、この公式を選択するのは必然です。
  • 適用根拠: 熱気球は「大気」という流体の中にあり、その体積\(V\)の分だけ大気を押しのけています。したがって、体積\(V\)、密度\(\rho_0\)の大気が受ける重力 \(\rho_0 V g\) が、浮力の大きさとしてそのまま適用できます。
• (2), (4)での公式選択（理想気体の状態方程式）:
  • 選定理由: 求めたいのは、気体の「密度」と他の状態量（圧力、温度）との関係です。これらのマクロな量と、気体のミクロな性質（モル質量 \(m_0\)）を結びつける唯一の基本法則が、理想気体の状態方程式 \(PV=nRT\) です。
  • 適用根拠: 密度\(\rho\)は \(\frac{m}{V}\) で定義され、物質量\(n\)は \(\frac{m}{m_0}\) で質量と関連付けられます。これらの関係を状態方程式に組み込むことで、密度を他の変数で表す式を導出できます。これは、状態方程式という基本法則から、特定の目的に合わせた応用公式を導き出すプロセスです。
• (5)での公式選択（力のつりあい）:
  • 選定理由: 問題の条件は「熱気球が上昇を始めた」です。これは、運動状態の変化の瞬間を捉えたものであり、力学の問題です。物体が静止状態から動き出す瞬間は、それまで下向きに卓越していた力が、上向きの力とちょうど「つり合った」瞬間と解釈できます。
  • 適用根拠: この問題の全ての要素を統合する最終的な方程式が、この力のつりあいの式です。上向きの力（浮力）と下向きの力（全体の重力）を等しいと置くことで、(1)から(4)で求めた各物理量の関係式を一つの数式にまとめることができます。これにより、未知数であった温度\(T_1\)を、他の既知の量で表すことが可能になります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 比の計算をうまく使う:
  • (4)で\(\rho_1\)と\(\rho_0\)の関係を求める際、それぞれの密度を愚直に計算するのではなく、\(\rho_1 = \frac{m_0 p_0}{R T_1}\) と \(\rho_0 = \frac{m_0 p_0}{R T_0}\) の比をとる（割り算する）と、共通項である \(\frac{m_0 p_0}{R}\) がきれいに消去され、\(\frac{\rho_1}{\rho_0} = \frac{T_0}{T_1}\) という非常にシンプルな関係式が瞬時に得られます。これは計算ミスを減らし、時間も短縮する有効なテクニックです。
• 文字式のまま整理してから代入する:
  • (5)の計算では、まず力のつりあいの式を \(\rho_0 V g = (\rho_1 V + M) g\) と立て、両辺の\(g\)を消去して \(\rho_0 V = \rho_1 V + M\) と整理します。次に、この式に \(\rho_1 = \rho_0 \frac{T_0}{T_1}\) を代入します。このように、式をできるだけ簡単な形にしてから次の代入を行うことで、計算の見通しが良くなります。
• 単位（次元）による検算:
  • (5)で求めた \(T_1 = \frac{\rho_0 V T_0}{\rho_0 V – M}\) の単位が、本当に温度の単位 \([\text{K}]\) になっているか確認しましょう。分子の単位は \([\text{kg/m}^3] \cdot [\text{m}^3] \cdot [\text{K}] = [\text{kg}\cdot\text{K}]\)。分母の \(\rho_0 V\) と \(M\) はどちらも質量の単位 \([\text{kg}]\) なので、その差も \([\text{kg}]\)。したがって、全体の単位は \(\frac{[\text{kg}\cdot\text{K}]}{[\text{kg}]} = [\text{K}]\) となり、正しく温度の単位になっていることが確認できます。
• 物理的にありえない値でないか吟味する:
  • (5)の式の分母は \(\rho_0 V – M\) です。ここで \(\rho_0 V\) は熱気球が押しのけた空気の質量、すなわち浮力によって支えられる最大の質量を表します。もし機体の質量\(M\)がこれより大きい（\(M > \rho_0 V\)）場合、分母が負になり、\(T_1\)も負のありえない値になります。これは、「機体が重すぎると、どんなに内部の空気を加熱して軽くしても（内部空気の質量をゼロに近づけても）浮き上がれない」という物理的な事実と一致しており、式の妥当性を示しています。

304 連結された容器内の気体

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「連結された容器とピストンにおける気体の状態変化」です。なめらかに動くピストンによって保たれる「圧力のつりあい」と、コックの開閉によって変化する「物質量の保存」の条件を、気体の状態方程式と組み合わせて解き明かす複合的な問題です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
図1の状態におけるC室の気体について、圧力以外の状態量（物質量 \(n\)、体積 \(2V\)、温度 \(T\)）がすべて与えられています。したがって、理想気体の状態方程式 \(PV=nRT\) を適用することで、圧力 \(p\) を求めることができます。
この設問における重要なポイント

• C室の気体の状態量を正確に把握する。
  • 圧力: \(p\)
  • 体積: \(2V\)
  • 物質量: \(n\)
  • 温度: \(T\)
• 理想気体の状態方程式を正しく適用する。

具体的な解説と立式
C室の気体について、理想気体の状態方程式 \(PV=nRT\) を立てます。
$$ p \cdot (2V) = nRT $$

上記で立てた式を \(p\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
2pV &= nRT \\[2.0ex] p &= \frac{nRT}{2V}
\end{aligned}
$$

Cの部屋の気体の情報（人数、広さ、元気さ）がすべてわかっているので、気体のルールブックである状態方程式に当てはめるだけで、壁を押す力（圧力）が計算できます。

C室の気体の圧力 \(p\) が、与えられた文字 \(n, R, T, V\) を用いて \(\frac{nRT}{2V}\) と表せました。これは状態方程式を素直に適用した結果であり、妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
図1において、B室とC室を隔てるピストンは「なめらかに動き、静止している」とあります。これは、ピストンが両側から受ける力がつり合っていることを意味します。ピストンの断面積は両側で同じなので、B室の気体の圧力 \(p_B\) とC室の気体の圧力 \(p_C\) は等しくなります。
B室の圧力が分かれば、与えられている体積 \(V\) と温度 \(2T\) を使って、B室の気体の状態方程式から物質量 \(n_B\) を求めることができます。
この設問における重要なポイント

• 「なめらかに動くピストンが静止」という条件から、両側の圧力が等しい（\(p_B = p_C\)）ことがわかる。
• B室の気体の状態量を正確に把握する。
  • 圧力: \(p_B = p\)
  • 体積: \(V\)
  • 物質量: \(n_B\)
  • 温度: \(2T\)

具体的な解説と立式
ピストンにはたらく力のつりあいから、B室の圧力 \(p_B\) はC室の圧力 \(p\) と等しくなります。
$$ p_B = p $$
B室の気体について、理想気体の状態方程式 \(PV=nRT\) を立てます。
$$ p_B \cdot V = n_B R (2T) $$

B室の状態方程式に \(p_B = p = \frac{nRT}{2V}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
\left(\frac{nRT}{2V}\right) \cdot V &= n_B R (2T) \\[2.0ex] \frac{nRT}{2} &= 2n_B RT
\end{aligned}
$$
両辺を \(RT\) で割ると、
$$
\begin{aligned}
\frac{n}{2} &= 2n_B \\[2.0ex] n_B &= \frac{1}{4}n
\end{aligned}
$$

ピストンが止まっているということは、Bの部屋とCの部屋が同じ力で押し合っているということです。つまり、圧力が同じです。これでBの部屋の圧力、広さ、元気さがわかったので、状態方程式から中にいる人数（物質量）を計算します。

B室の気体の物質量は \(n_B = \frac{1}{4}n\) と求まりました。C室に比べて体積が半分、温度が2倍なので、物質量は \(\frac{1/2}{2} = \frac{1}{4}\) 倍になるという関係が成り立っており、妥当な結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
コックを開ける前後で、C室の気体はピストンによって閉じ込められたままです。したがって、C室の気体の物質量は \(n\) で変化しません。
図1の状態（変化前）と図2の状態（変化後）について、C室の状態量が分かっているので、状態方程式を適用して変化後の温度 \(T_C’\) を求めます。
この設問における重要なポイント

• C室の気体の物質量 \(n\) は、コックの開閉によらず一定である。
• 変化前後のC室の状態量を整理する。
  • 変化前: 圧力 \(p\), 体積 \(2V\), 温度 \(T\), 物質量 \(n\)
  • 変化後: 圧力 \(6p\), 体積 \(V\), 温度 \(T_C’\), 物質量 \(n\)

具体的な解説と立式
図2の状態のC室について、理想気体の状態方程式 \(PV=nRT\) を立てます。
$$ (6p) \cdot V = n R T_C’ $$

上記で立てた式に、(1)で求めた \(p = \frac{nRT}{2V}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
6 \left(\frac{nRT}{2V}\right) V &= n R T_C’ \\[2.0ex] 3nRT &= nRT_C’
\end{aligned}
$$
両辺を \(nR\) で割ると、
$$ T_C’ = 3T $$

Cの部屋は、ピストンに押されて体積が半分になり、圧力は6倍になりました。でも、中にいる人数は変わっていません。このとき、中の気体の元気さ（温度）はどうなったかを、気体のルールブック（状態方程式）を使って計算します。

C室の温度は \(3T\) となりました。状態変化の前後で、\(PV\) の値が \(p \cdot 2V = 2pV\) から \(6p \cdot V = 6pV\) へと3倍になっています。物質量が一定なので、ボイル・シャルルの法則から温度も3倍になるはずであり、結果は妥当です。

問(4)

思考の道筋とポイント
コックを開けると、A室とB室はつながって一つの気体（A+B室）とみなせます。このA+B室の気体の合計の物質量は、コックを開ける前のA室とB室の物質量の和に等しく、変化の前後で保存されます。
図2の状態ではピストンが静止しているので、A+B室の圧力はC室の圧力と等しく \(6p\) となります。
また、容器全体の体積は \(V+V+2V=4V\) で一定なので、図2でC室の体積が \(V\) になったことから、A+B室の体積は \(4V-V=3V\) とわかります。
これでA+B室の圧力、体積、物質量がわかったので、状態方程式を適用して温度 \(T_{AB}\) を求めることができます。
この設問における重要なポイント

• コックを開くとAとBは一つの系となり、圧力と温度は均一になる。
• A+B系の合計物質量は保存される。
• ピストンが静止しているので、A+B室の圧力はC室の圧力と等しい。
• 容器全体の体積は保存される。

具体的な解説と立式

• A+B室の合計物質量 \(N_{AB}\)
  コックを開ける前のA室、B室の物質量の和に等しいので、
  $$
  \begin{aligned}
  N_{AB} &= n_A + n_B \\[2.0ex] &= 2n + \frac{1}{4}n \\[2.0ex] &= \frac{9}{4}n
  \end{aligned}
  $$
• 図2におけるA+B室の状態量
  • 圧力 \(p_{AB}’\): ピストンが静止しているので、C室の圧力と等しく \(p_{AB}’ = 6p\)。
  • 体積 \(V_{AB}’\): 全体積 \(4V\) からC室の体積 \(V\) を引いて求めます。
    $$
    \begin{aligned}
    V_{AB}’ &= 4V – V \\[2.0ex] &= 3V
    \end{aligned}
    $$
  • 温度: \(T_{AB}\)
• A+B室の状態方程式
  これらの状態量を用いて、A+B室全体について状態方程式を立てます。
  $$ p_{AB}’ \cdot V_{AB}’ = N_{AB} R T_{AB} $$

A+B室の状態方程式に、各値を代入します。
$$
\begin{aligned}
(6p) \cdot (3V) &= \left(\frac{9}{4}n\right) R T_{AB} \\[2.0ex] 18pV &= \frac{9}{4}n R T_{AB}
\end{aligned}
$$
この式に、(1)で求めた \(p = \frac{nRT}{2V}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
18 \left(\frac{nRT}{2V}\right) V &= \frac{9}{4}n R T_{AB} \\[2.0ex] 9nRT &= \frac{9}{4}n R T_{AB}
\end{aligned}
$$
両辺を \(\frac{9}{4}nR\) で割ると、
$$
\begin{aligned}
4T &= T_{AB}
\end{aligned}
$$

コックを開けてAとBの部屋がつながり、一つの大きな部屋になりました。この新しい部屋の人数（合計物質量）、広さ、壁を押す力（圧力）がすべてわかっています。そこで、状態方程式を使えば、この部屋の気体の元気さ（温度）を計算できます。

A室とB室を合わせた気体の温度は \(4T\) と求まりました。各要素を一つずつ論理的に積み上げていくことで、複雑に見える問題も解くことができる典型例です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 複合的な条件下での状態方程式の適用
  • 核心: この問題の根幹は、単一の気体の状態変化だけでなく、「なめらかに動くピストン」や「コックの開閉」といった複数の物理的条件が組み合わさった状況で、それぞれの部分系（A室、B室、C室）や全体（A+B室）に対して、気体の状態方程式を的確に適用する能力です。
  • 理解のポイント:
    • ピストン → 圧力のつりあい: 「なめらかに動くピストンが静止」している場合、それはピストンの両側の圧力が等しいことを意味します。これにより、隣接する部屋の圧力に関係性が生まれます。
    • コックの開閉 → 物質量の保存/非保存: コックが閉じている間、各部屋の気体の物質量は一定です。コックを開くと、つながった部屋同士で気体が混合し、それぞれの部屋の物質量は変化しますが、つながった系全体の合計物質量は保存されます。
    • 断熱壁 → 独立した温度: 容器やピストンが断熱材でできているため、各部屋の温度は独立して変化し得ます。コックを開けてつながったA室とB室は最終的に同じ温度になりますが、C室は異なる温度を保ちます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • U字管で連結された容器: 異なる状態の気体が入った2つの容器を、U字管で連結する問題。U字管内の液柱のつりあいから両容器の圧力差がわかり、コックを開けると気体が混合します。
  • ばね付きピストンで仕切られた容器: ピストンにばねがついている場合、力のつりあいの式にばねの弾性力 \(kx\) が加わります。ピストンの位置 \(x\) が気体の体積を決定し、同時にばねの力も決定するため、力学と熱力学がより密接に連動します。
  • 化学反応を伴う気体の状態変化: 容器内で気体が化学反応を起こし、物質量が変化する問題。反応式の係数比から物質量の変化を計算し、状態方程式に適用する必要があります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 図を2段階（or それ以上）に分ける: 問題文の操作（「コックを開ける」など）に応じて、図1（変化前）と図2（変化後）のように、状態を明確に区別して図示し、それぞれの状態量を整理します。
  2. 「不変量」は何かを探す: 各プロセスで「何が一定に保たれるか」を見抜くことが最重要です。
     • 閉じ込められた系か？ → 物質量 \(n\) が一定 → ボイル・シャルルの法則が使えるかも？
     • コックを開いて混合したか？ → 合計の物質量 \(n_A+n_B\) が一定。
     • 容器全体の体積は変わらないか？ → 体積の和 \(V_A+V_B+V_C\) が一定。
  3. 「束縛条件」は何かを探す: 複数の部分系を関係づける条件を見つけます。
     • なめらかなピストンがあるか？ → 隣接する部屋の圧力が等しい (\(p_B=p_C\))。
  4. 状態方程式を立てる部屋を選ぶ: 状態方程式はどの部屋についても立てられますが、未知数が最も少なくなる部屋から手をつけるのが定石です。(1)ではC室、(2)ではB室、(3)ではC室、(4)ではA+B室、というように、その時点で最も情報が多い系を選ぶのが効率的です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• ピストンによる圧力の関係を見落とす:
  • 誤解: B室とC室の圧力が独立に決まるものとして考えてしまい、関係性を見いだせない。
  • 対策: 「なめらかに動くピストン」という言葉は、単なる仕切りではなく、「両側の圧力を等しく保つ装置」という物理的な意味を持つことを常に意識しましょう。ピストンが静止しているなら、必ず力のつりあいを考え、圧力の関係式を導くのが第一歩です。
• コックを開けた後の物質量の扱い:
  • 誤解: コックを開けた後も、A室とB室の物質量がそれぞれ \(2n\) と \(\frac{1}{4}n\) のままだと考えてしまう。
  • 対策: コックを開けると、気体は自由に移動して混ざり合います。もはや元の部屋の区別はなくなり、A室とB室は一体の空間となります。変化しないのは、あくまで「合計の」物質量であることを理解しましょう。
• 温度がすべての部屋で同じだと勘違いする:
  • 誤解: 最終的にすべての部屋A, B, Cの温度が同じになると考えてしまう。
  • 対策: 問題文の「ピストンと容器、細い管は断熱材でつくられている」という条件を見落とさないようにしましょう。これにより、A+B室の系とC室の系は熱的に独立しており、それぞれ異なる温度に達することが許されます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（状態方程式）:
  • 選定理由: C室の圧力 \(p\) を求めたい。C室については、物質量\(n\)、体積\(2V\)、温度\(T\)という3つの状態量が与えられています。これら4つの状態量 \(P, V, n, T\) を結びつける唯一の法則が、理想気体の状態方程式です。
  • 適用根拠: 未知数が \(p\) のみであり、他の変数はすべて既知であるため、状態方程式を立てれば直接 \(p\) を解くことができます。
• (2)での公式選択（力のつりあい ＋ 状態方程式）:
  • 選定理由: B室の物質量 \(n_B\) を求めたい。状態方程式 \(p_B V = n_B R (2T)\) を立てると、未知数が \(p_B\) と \(n_B\) の2つになります。したがって、もう一つ別の関係式が必要です。
  • 適用根拠: そのもう一つの関係式を与えてくれるのが、「ピストンが静止している」という力学的な条件です。これにより \(p_B = p_C = p\) という関係（力のつりあい）が導かれます。(1)で求めた \(p\) を使うことで、B室の状態方程式の未知数が \(n_B\) だけになり、解を求めることができます。
• (3)での公式選択（ボイル・シャルルの法則 or 状態方程式）:
  • 選定理由: C室の変化後の温度 \(T_C’\) を求めたい。C室はピストンで閉じられており、物質量 \(n\) は一定です。
  • 適用根拠: 物質量が一定の気体の状態変化なので、ボイル・シャルルの法則 \(\frac{PV}{T}=\text{一定}\) を使うのが最も簡潔です（別解）。あるいは、状態方程式というより基本的な法則に立ち返り、変化前と変化後の2つの状態でそれぞれ式を立て、\(n\) が共通であることを利用して連立方程式として解くことも可能です（模範解答）。どちらも本質的には同じことをしています。
• (4)での公式選択（物質量保存 ＋ 力のつりあい ＋ 状態方程式）:
  • 選定理由: A+B室の温度 \(T_{AB}\) を求めたい。このためには、A+B室の状態方程式を立てる必要がありますが、そのためにはA+B室の圧力、体積、合計物質量を知る必要があります。
  • 適用根拠:
    • 合計物質量: 「コックを開けて混合した」という操作から、合計物質量は変化前の和に等しい（物質量保存）として計算できます。
    • 圧力: 「ピストンが静止した」という条件から、A+B室の圧力はC室の圧力 \(6p\) と等しい（力のつりあい）とわかります。
    • 体積: 「容器全体の体積が不変」であることから、全体の体積 \(4V\) からC室の体積 \(V\) を引くことで、A+B室の体積が \(3V\) であると決まります。
    • これら3つの条件から得られた圧力、体積、物質量を状態方程式に代入することで、最終的に温度 \(T_{AB}\) を求めることができます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 既知の文字式を有効活用する:
  • (2)以降の計算では、(1)で求めた \(p = \frac{nRT}{2V}\) という関係式が何度も登場します。計算の途中では \(p\) のまま進め、最後の最後にこの式を代入することで、式全体が煩雑になるのを防ぎ、見通しを良くすることができます。
• 両辺の共通項を素早く消去する:
  • (2)の計算過程 \(\left(\frac{nRT}{2V}\right) V = 2n_B RT\) では、両辺に共通する \(RT\) をすぐに消去することで、\( \frac{n}{2V}V = 2n_B \) となり、\( \frac{n}{2} = 2n_B \) と計算が大幅に簡略化されます。常に共通因数がないか意識する癖をつけましょう。
• 分数の計算を丁寧に行う:
  • (4)で合計物質量を計算する際、\(2n + \frac{1}{4}n = \frac{8}{4}n + \frac{1}{4}n = \frac{9}{4}n\) のような基本的な通分の計算を焦らず確実に行いましょう。
• 最終的な答えの次元を確認する:
  • (1)で圧力を求めたら、答えの \(\frac{nRT}{V}\) が圧力の次元になっているか（\(PV=nRT\)から自明）。(2)で物質量を求めたら、答えが \(n\) の定数倍になっているか。(3), (4)で温度を求めたら、答えが \(T\) の定数倍になっているか。このような簡単なチェックで、大きな間違いを防ぐことができます。

305 気体の分子運動論と圧力

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「気体分子運動論による圧力と内部エネルギーの導出」です。気体の圧力や温度といったマクロな量が、多数の分子のミクロな運動によってどのように決まるのかを、力学の基本法則から段階的に導出するプロセスを学びます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
この設問は、気体の圧力がどのように生じるかを、1個の分子の運動から出発して段階的に導出するプロセスを穴埋め形式で問うています。各ステップの物理的な意味を正確に理解することが重要です。

(ア) 衝突時間間隔

この設問における重要なポイント

• 分子は壁Sと弾性衝突するため、速度のx成分の大きさ \(v_x\) は変わらない。
• 分子が壁Sに衝突してから、次に壁Sに衝突するまでには、反対側の壁まで行って戻ってくる「往復運動」をする。
• 往復距離は \(2L\) である。

具体的な解説と立式
分子は速さ \(v_x\) でx軸方向に往復運動をします。壁Sに衝突してから次に壁Sに衝突するまでの移動距離は \(2L\) です。したがって、かかる時間 \(\Delta t\) は、
$$
\begin{aligned}
\Delta t &= \frac{\text{距離}}{\text{速さ}} \\[2.0ex] &= \frac{2L}{v_x}
\end{aligned}
$$

(イ) 時間 \(t\) の間の衝突回数

この設問における重要なポイント

• 衝突回数は、全体の時間 \(t\) を1回の衝突にかかる時間（時間間隔）で割ることで求められる。

具体的な解説と立式
時間 \(t\) の間に壁Sに衝突する回数 \(n_{\text{衝突}}\) は、時間 \(t\) を(ア)で求めた時間間隔 \(\Delta t\) で割ることで求められます。
$$ n_{\text{衝突}} = \frac{t}{\Delta t} $$

$$
\begin{aligned}
n_{\text{衝突}} &= \frac{t}{2L/v_x} \\[2.0ex] &= \frac{v_x t}{2L}
\end{aligned}
$$

(ウ) 1個の分子から受ける平均の力

この設問における重要なポイント

• 1回の衝突で壁Sが受ける力積は、分子の運動量変化の反作用に等しい。
• 平均の力は、力積を衝突の時間間隔で割ることで求められる。

具体的な解説と立式

• 1回の衝突による分子の運動量変化
  衝突前後の分子の速度のx成分は \(v_x, -v_x\) なので、運動量のx成分の変化は、
  $$
  \begin{aligned}
  \Delta p_x &= (\text{衝突後の運動量}) – (\text{衝突前の運動量}) \\[2.0ex] &= (-mv_x) – (mv_x) \\[2.0ex] &= -2mv_x
  \end{aligned}
  $$
• 1回の衝突で壁Sが受ける力積
  作用・反作用の法則より、壁Sが受ける力積 \(I\) は、
  $$
  \begin{aligned}
  I &= – \Delta p_x \\[2.0ex] &= 2mv_x
  \end{aligned}
  $$
• 壁Sが受ける平均の力
  壁Sは、時間間隔 \(\Delta t = \frac{2L}{v_x}\) ごとに力積 \(I\) を受けるので、平均の力 \(f\) は、
  $$ f = \frac{I}{\Delta t} $$

$$
\begin{aligned}
f &= \frac{2mv_x}{2L/v_x} \\[2.0ex] &= \frac{mv_x^2}{L}
\end{aligned}
$$

(エ) 全分子から受ける力

この設問における重要なポイント

• 全分子からの力の合計は、各分子からの力の和で与えられる。
• 分子の速度は様々なので、平均値を用いて全体の力を表現する。
• 分子運動の等方性 (\(\overline{v_x^2} = \overline{v_y^2} = \overline{v_z^2}\)) を利用して、x成分の運動を全体の運動と結びつける。

具体的な解説と立式
\(N\)個の分子の速度のx成分を \(v_{x1}, v_{x2}, \dots, v_{xN}\) とすると、壁Sが受ける力の合計 \(F\) は、
$$
\begin{aligned}
F &= f_1 + f_2 + \dots + f_N \\[2.0ex] &= \frac{mv_{x1}^2}{L} + \frac{mv_{x2}^2}{L} + \dots + \frac{mv_{xN}^2}{L} \\[2.0ex] &= \frac{m}{L} (v_{x1}^2 + v_{x2}^2 + \dots + v_{xN}^2)
\end{aligned}
$$
速度のx成分の二乗平均 \(\overline{v_x^2}\) の定義 \(\overline{v_x^2} = \frac{v_{x1}^2 + \dots + v_{xN}^2}{N}\) より、
$$ v_{x1}^2 + v_{x2}^2 + \dots + v_{xN}^2 = N\overline{v_x^2} $$
よって、
$$
\begin{aligned}
F &= \frac{m}{L} (N\overline{v_x^2}) \\[2.0ex] &= \frac{Nm\overline{v_x^2}}{L}
\end{aligned}
$$
ここで、分子運動の等方性から \(\overline{v_x^2} = \overline{v_y^2} = \overline{v_z^2}\) であり、速さの二乗平均 \(\overline{v^2}\) との関係は、
$$
\begin{aligned}
\overline{v^2} &= \overline{v_x^2} + \overline{v_y^2} + \overline{v_z^2} \\[2.0ex] &= 3\overline{v_x^2}
\end{aligned}
$$
したがって、
$$ \overline{v_x^2} = \frac{1}{3}\overline{v^2} $$
これを \(F\) の式に代入します。

$$
\begin{aligned}
F &= \frac{Nm}{L} \left( \frac{1}{3}\overline{v^2} \right) \\[2.0ex] &= \frac{Nm\overline{v^2}}{3L}
\end{aligned}
$$

(オ) 圧力

この設問における重要なポイント

• 圧力は、力を面積で割ることで定義される。(\(p = F/S\))

具体的な解説と立式
圧力 \(p\) は、(エ)で求めた力 \(F\) を壁Sの面積 \(L^2\) で割ることで求められます。
$$ p = \frac{F}{L^2} $$

$$
\begin{aligned}
p &= \frac{1}{L^2} \left( \frac{Nm\overline{v^2}}{3L} \right) \\[2.0ex] &= \frac{Nm\overline{v^2}}{3L^3}
\end{aligned}
$$

問(2)

思考の道筋とポイント
(1)で導出した圧力の式と、理想気体の状態方程式という2つの異なるアプローチから得られた「圧力」に関する式を比較することで、ミクロな量（分子の運動エネルギー）とマクロな量（絶対温度）の関係を導き出します。
この設問における重要なポイント

• (1)の結果を \(pV\) の形に変形する。
• 理想気体の状態方程式 \(pV=nRT\) を、問題の条件（\(n=1\))に合わせて適用する。
• 2つの式を等しいと置き、分子1個の運動エネルギーの平均値 \(\frac{1}{2}m\overline{v^2}\) の形に整理する。

具体的な解説と立式
(1)の(オ)の結果から、
$$ p = \frac{Nm\overline{v^2}}{3L^3} $$
容器の体積は \(V=L^3\) なので、両辺に \(V\) を掛けると、
$$ pV = \frac{1}{3}Nm\overline{v^2} \quad \cdots ① $$
一方、1molの理想気体に関する状態方程式は、
$$
\begin{aligned}
pV &= 1 \cdot RT \\[2.0ex] &= RT \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$
式①と式②の左辺は等しいので、右辺も等しくなります。
$$ \frac{1}{3}Nm\overline{v^2} = RT $$

上記の関係式を、分子1個の運動エネルギーの平均値 \(\frac{1}{2}m\overline{v^2}\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{3}Nm\overline{v^2} &= RT \\[2.0ex] m\overline{v^2} &= \frac{3RT}{N}
\end{aligned}
$$
両辺を2で割ると、
$$ \frac{1}{2}m\overline{v^2} = \frac{3R}{2N}T $$

(1)では、分子の運動というミクロな視点から圧力の式を作りました。一方、状態方程式は、温度や圧力といったマクロな実験結果から作られた式です。この2つの式は、同じ「圧力」という現象を異なる角度から説明しているだけなので、本質的には同じはずです。そこで、2つの式をイコールで結び、式を整理することで、分子1個の運動エネルギー（ミクロな量）が、気体全体の温度（マクロな量）と比例するという、非常に重要な関係が明らかになります。

分子1個の運動エネルギーの平均値が、絶対温度 \(T\) に比例するという、気体分子運動論の根幹をなす重要な関係式が導かれました。ここで \(\frac{R}{N}\) はボルツマン定数 \(k_B\) と呼ばれる物理定数で、比例定数 \(\frac{3R}{2N}\) は \(\frac{3}{2}k_B\) に当たります。

問(3)

思考の道筋とポイント
(2)で導いた関係式を利用して、速さの二乗平均 \(\overline{v^2}\) を求めます。与えられた数値を代入して計算しますが、単位の換算に注意が必要です。
この設問における重要なポイント

• (2)の結果を変形して \(\overline{v^2}\) の式を導く。
• \(mN\) は、分子1個の質量 \(m\) とアボガドロ定数 \(N\) の積なので、「1molあたりの質量（モル質量）」に等しい。
• 質量の単位をグラム(g)からキログラム(kg)に変換する。
• 温度は絶対温度を用いる。\(0^\circ\text{C} = 273\,\text{K}\)。

具体的な解説と立式
(2)の結果 \(\frac{1}{2}m\overline{v^2} = \frac{3R}{2N}T\) の両辺に \(\frac{2}{m}\) を掛けると、
$$ \overline{v^2} = \frac{3RT}{mN} $$
ここに、与えられた値を代入します。

• \(R = 8.3\,\text{J/(mol}\cdot\text{K)}\)
• \(T = 0 + 273 = 273\,\text{K}\)
• \(mN = 4.0\,\text{g} = 4.0 \times 10^{-3}\,\text{kg}\)

$$
\begin{aligned}
\overline{v^2} &= \frac{3 \times 8.3 \times 273}{4.0 \times 10^{-3}} \\[2.0ex] &= \frac{6801.3}{4.0 \times 10^{-3}} \\[2.0ex] &= 1700.325 \times 10^3 \\[2.0ex] &\approx 1.70 \times 10^6 \,\text{m}^2/\text{s}^2
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えると、\(1.7 \times 10^6\,\text{m}^2/\text{s}^2\) となります。

(2)で、分子の運動エネルギーと温度の関係式がわかりました。この式を使えば、温度がわかれば分子がどれくらい激しく動き回っているか（速さの二乗平均）を計算できます。今回は \(0^\circ\text{C}\) のヘリウムについて、具体的な数値を代入して計算する問題です。

\(0^\circ\text{C}\) のヘリウム分子の速さの二乗平均は \(1.7 \times 10^6\,\text{m}^2/\text{s}^2\) と求まりました。この値の平方根（二乗平均速度）をとると約 \(1.3 \times 10^3\,\text{m/s}\) となり、音速を超える非常に高速な値となります。これは、軽いヘリウム分子が常温で激しく飛び回っていることを示しており、物理的に妥当な大きさです。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 圧力の微視的モデル化と統計的処理
  • 核心: 気体の圧力というマクロな現象が、無数の分子が壁に衝突することによって生じる力積の集まりであることを、力学の基本法則（運動量と力積）から説明する点にあります。さらに、\(10^{23}\)個オーダーという膨大な数の分子の運動を、一つ一つ追跡する代わりに「二乗平均」などの統計的な代表値を用いて集団全体の振る舞いを記述する、という物理学的な思考プロセスが核心です。
  • 理解のポイント:
    • 力の起源: 壁が受ける力は、1個の分子が壁との往復運動の間に与え続ける「平均の力」を、全分子分足し合わせたものであると理解します。
    • モデル化と平均化: 複雑な分子の動きを「壁との往復運動」という単純なモデルに置き換え、さらに速度のばらつきを「二乗平均速度」で代表させる、という2段階の抽象化が行われています。
• ミクロな量とマクロな量の橋渡し
  • 核心: 分子運動論から導かれた圧力の式（ミクロな分子の運動エネルギーを含む）と、実験則である理想気体の状態方程式（マクロな量である温度を含む）を比較することで、これまで無関係に見えた「分子1個の運動エネルギー」と「気体全体の絶対温度」が、実は直接比例するという根源的な関係を導き出す点です。
  • 理解のポイント:
    • 異なる視点の統合: 力学的なモデルから導いた \(pV = \frac{1}{3}Nm\overline{v^2}\) と、熱力学的な実験則である \(pV=nRT\) は、同じ \(pV\) という現象を異なる視点から記述したものです。これらを等しいと置くことで、2つの視点をつなぐことができます。
    • 温度の正体: この問題を通して、「温度とは、実はその物質を構成する分子の平均運動エネルギーの激しさを表す指標である」という、温度の物理的な本質が明らかになります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 気体の内部エネルギーの導出: この問題の(2)の結果は、単原子分子理想気体の内部エネルギー \(U\) を求めるための最重要ステップです。内部エネルギーは全分子の運動エネルギーの合計なので、\(U = N \times (\frac{1}{2}m\overline{v^2}) = N \times (\frac{3R}{2N}T) = \frac{3}{2}RT\)（1molの場合）と導出できます。
  • 二乗平均速度の計算: (3)のように、具体的な気体の種類と温度が与えられ、その分子の平均的な速さを計算する問題。\(mN\)がモル質量に相当することに注意すれば、様々な気体に応用できます。
  • 混合気体: 質量の異なる2種類の気体が混合している場合。熱平衡状態では、両気体の「温度」が等しくなります。これは、(2)の結果から、分子の種類によらず「平均運動エネルギー」が等しくなることを意味します。したがって、質量の軽い分子の方が、二乗平均速度は大きくなります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まずは1個の粒子から考える: 多数の粒子を扱う問題では、いきなり全体を考えず、まず「粒子1個」の運動に着目するのが定石です。1個の粒子が起こす現象（例: 1回の衝突での力積、衝突周期）を正確に分析します。
  2. 時間平均の概念を適用する: 衝突のように瞬間的に起こる現象が繰り返される場合、その効果を「単位時間あたり」にならす、あるいは「1周期あたり」で平均化するという視点が重要になります。
  3. 全体に拡張し、平均操作を行う: 1個の粒子についての結果が出たら、それを粒子数 \(N\) 倍して全体に拡張します。このとき、粒子ごとの性質の違い（例: 速度のばらつき）を「平均値」で代表させる、という統計的な処理を行います。
  4. 等方性を利用する: 3次元空間でのランダムな運動を扱う場合、x, y, zの各方向は対等である（等方性）という仮定 (\(\overline{v_x^2} = \overline{v_y^2} = \overline{v_z^2}\)) が、式を簡潔にする上で非常に有効な武器となります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 力積と力の混同:
  • 誤解: 1回の衝突で壁が受ける力は \(2mv_x\) であると考えてしまう。
  • 対策: \(2mv_x\) はあくまで運動量の変化量、すなわち「力積」です。力は「単位時間あたりの力積」であり、次元が異なります。力積を衝突の時間間隔で割る、という操作を忘れないようにしましょう。
• 往復距離の間違い:
  • 誤解: 分子が壁Sに衝突する時間間隔を計算する際、移動距離を \(L\) と考えてしまい、時間を \(L/v_x\) としてしまう。
  • 対策: 分子が「次に」壁Sに衝突するためには、向かいの壁まで行って帰ってくる必要があります。頭の中で分子の動きをシミュレーションし、移動距離が往復の \(2L\) であることを確実にイメージしましょう。
• 速度の平均と二乗平均の混同:
  • 誤解: 圧力の計算で、速度の二乗平均 \(\overline{v_x^2}\) ではなく、速度の平均の二乗 \((\overline{v_x})^2\) を使おうとしてしまう。
  • 対策: 分子は左右両方向に同じように運動しているため、速度のx成分の平均 \(\overline{v_x}\) は \(0\) になります。圧力を生み出すのは運動の「激しさ」であり、それは運動エネルギーに比例する \(v_x^2\) で評価されます。したがって、意味のある平均は \(\overline{v_x^2}\) の方であると理解しましょう。
• \(mN\) の意味の誤解:
  • 誤解: (3)の計算で、\(m\) にヘリウム1molの質量 \(4.0\,\text{g}\) を代入し、\(N\) にアボガドロ定数 \(6.0 \times 10^{23}\) をさらに掛けてしまう。
  • 対策: 式中の \(mN\) という積は、「分子1個の質量 × 1molあたりの分子数」なので、これ全体が「1molあたりの質量（モル質量）」を表します。したがって、\(mN\) をひとまとまりとして扱い、ここに \(4.0\,\text{g}\) を（kgに換算して）代入するのが正しいです。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)でのアプローチ選択（力積と平均の力）:
  • 選定理由: 求めたいのは、分子の衝突によって壁が受ける「圧力」、その前段階として「力」です。分子の衝突は瞬間的な現象で、その間の力を直接求めるのは困難です。しかし、力学には「力積＝運動量の変化」という、衝突前後の状態だけで計算できる強力な関係式があります。
  • 適用根拠: まず、運動量の変化から1回の衝突による力積を求めます。次に、この衝突が周期的に繰り返されるとモデル化し、力積をその周期（時間間隔）で割ることで「平均の力」を定義します。これは、複雑な瞬間的現象を、扱いやすい平均的な量に置き換えるための、物理学における非常に重要で基本的な思考法です。
• (2)でのアプローチ選択（状態方程式との比較）:
  • 選定理由: 求めたいのは「分子1個の運動エネルギーの平均値」と「絶対温度 \(T\)」の関係です。これらはそれぞれミクロな世界の量とマクロな世界の量であり、両者を結びつける論理的な架け橋が必要です。
  • 適用根拠: (1)で導出した圧力の式 \(p = \frac{Nm\overline{v^2}}{3V}\) は、ミクロな分子運動から出発した理論的な帰結です。一方、理想気体の状態方程式 \(pV=nRT\) は、マクロな測定に基づく実験的な法則です。この2つの式は、どちらも同じ「気体の圧力」という現象を記述しているはずなので、両者を等しいと置くことができます。この等式を整理することで、一方の式にしかなかった「運動エネルギー」と、もう一方の式にしかなかった「絶対温度」の関係性を明らかにすることができるのです。
• (3)でのアプローチ選択（(2)の結果の応用）:
  • 選定理由: 具体的な気体（ヘリウム）と温度（\(0^\circ\text{C}\)）における「速さの二乗平均」を求めたい。
  • 適用根拠: (2)で、分子のミクロな運動とマクロな温度を結びつける普遍的な関係式 \(\frac{1}{2}m\overline{v^2} = \frac{3R}{2N}T\) をすでに導出しています。この式はあらゆる理想気体に適用できるため、あとは与えられた数値を代入するだけで、目的の量を計算することができます。これは、一度導いた一般法則を、具体的な個別事例に適用するプロセスです。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位換算を計算の最初に行う:
  • (3)では、モル質量が \(4.0\,\text{g}\)、温度が \(0^\circ\text{C}\) と与えられています。計算を始める前に、必ず力学の基本単位（SI単位系）に変換しましょう。\(mN = 4.0 \times 10^{-3}\,\text{kg}\)、\(T = 273\,\text{K}\)。これを怠ると、桁が大きくずれてしまいます。
• 文字の区別を明確にする:
  • \(v_x\)（ある1個の分子の速度成分）、\(\overline{v^2}\)（全分子の速さの二乗平均）、\(\overline{v_x^2}\)（速度x成分の二乗平均）は、すべて異なる物理量です。計算の途中で混同しないよう、バーや添え字を意識して正確に書き分けましょう。
• 繁分数の計算は逆数を掛ける:
  • (ウ)の計算に出てくる \(f = \frac{2mv_x}{2L/v_x}\) のような分母に分数が含まれる形は、計算ミスの元です。分母の逆数を掛ける形、すなわち \(f = 2mv_x \times \frac{v_x}{2L}\) に直してから計算すると、間違いが大幅に減ります。
• 物理的な意味で検算する:
  • (エ)で求めた力の式 \(F = \frac{Nm\overline{v^2}}{3L}\) が、物理的に妥当か考えましょう。分子の数 \(N\)、質量 \(m\)、運動の激しさ \(\overline{v^2}\) が大きいほど力は強くなり、容器の辺の長さ \(L\) が大きいほど衝突頻度が減って力は弱くなる。これは直感と一致しています。
• \(mN\) を \(M_{\text{mol}}\) と置き換えてみる:
  • (3)の計算式 \(\overline{v^2} = \frac{3RT}{mN}\) は、\(mN\) がモル質量 \(M_{\text{mol}}\) であることを使うと、\(\overline{v^2} = \frac{3RT}{M_{mol}}\) と書けます。この形の方が見慣れている人も多く、検算しやすくなる場合があります。

306 球形容器内の気体分子

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「球形容器内の気体分子運動論」です。個々の分子のミクロな運動（質量、速さ）から、気体全体の圧力や温度といったマクロな性質を導き出す、気体分子運動論の基本的な考え方を一通り体験する問題構成になっています。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
分子の運動量の「変化」を問われているので、衝突後の運動量から衝突前の運動量をベクトルとして引き算します。弾性衝突なので速さは変わりませんが、向きが変わることに注意が必要です。速度ベクトルを器壁に垂直な成分と平行な成分に分解し、それぞれの成分の変化を考えるのが最も簡単な方法です。
この設問における重要なポイント

• 弾性衝突なので、衝突の前後で分子の速さ \(v\) は変化しない。
• 反射の法則と同様に、入射角と反射角は等しく \(\theta\) となる。
• 運動量の変化を考える際は、器壁に平行な成分と垂直な成分に分解すると考えやすい。
• 器壁に平行な速度成分 \(v\sin\theta\) は、衝突によって変化しない。
• 器壁に垂直な速度成分 \(v\cos\theta\) は、衝突によって向きが正反対になる。

具体的な解説と立式
運動量の変化 \(\Delta \vec{p} = \vec{p}_{\text{後}} – \vec{p}_{\text{前}}\) を計算します。速度ベクトルを、器壁に垂直な方向（半径方向）と平行な方向（接線方向）に分解して考えます。

• 器壁に垂直な方向（半径方向）
  • 衝突前の速度成分: 分子は器壁に近づいています。これは図において、中心Oから点Pへ向かう向きです。その大きさは \(v\cos\theta\) です。
  • 衝突後の速度成分: 分子は器壁から遠ざかります。これは点Pから中心Oへ向かう向きです。弾性衝突なので、その大きさは同じく \(v\cos\theta\) です。
• 器壁に平行な方向（接線方向）
  • 速度成分は \(v\sin\theta\) のままで変化しません。

したがって、運動量の変化は器壁に垂直な方向の成分のみで生じます。
ここで、衝突前に分子が器壁に近づく向き（OからPへ向かう向き）を正とします。

• 衝突前の運動量（垂直成分）: \(+mv\cos\theta\)
• 衝突後の運動量（垂直成分）: \(-mv\cos\theta\)

よって、垂直方向の運動量の変化 \(\Delta p_{\perp}\) は、
$$
\begin{aligned}
\Delta p_{\perp} &= (\text{後の運動量}) – (\text{前の運動量}) \\[2.0ex] &= (-mv\cos\theta) – (+mv\cos\theta) \\[2.0ex] &= -2mv\cos\theta
\end{aligned}
$$
この負号は、運動量の変化の向きが負の向き、すなわちPからOへ向かう向きであることを示しています。これは、分子が器壁からP→Oの向きに力を受けたことを意味します。
求められているのは運動量の変化の「大きさ」なので、その絶対値をとります。
$$
\begin{aligned}
|\Delta p_{\perp}| &= |-2mv\cos\theta| \\[2.0ex] &= 2mv\cos\theta
\end{aligned}
$$

上記の立式により、計算は完了しています。
$$ \text{運動量の変化の大きさ} = 2mv\cos\theta $$

ボールを壁に斜めにぶつける状況を想像してください。ボールが壁にまっすぐ向かっていく勢い（速度の垂直成分）だけが、衝突によって向きが真逆になって跳ね返ります。壁と平行な方向の勢いは変わりません。この「まっすぐ向かう勢いの変化」がどれくらいの大きさかを計算する問題です。

運動量の変化の大きさは \(2mv\cos\theta\) と求まりました。この変化の向きは、分子が器壁から力を受けた向き（PからOへ向かう向き）です。この力の反作用として、分子が器壁に力を及ぼすことになります。

問(2)

思考の道筋とポイント
分子は力を受けずに等速直線運動をするため、点Pで衝突した後の軌跡は直線になります。この直線は球の弦にあたります。図形的にこの弦の長さを求めれば、それが次に器壁に衝突するまでに進む距離となります。
この設問における重要なポイント

• 分子は衝突と衝突の間では、外力を受けずに等速直線運動をする。
• 衝突点P、球の中心O、次の衝突点を結んでできる三角形は、半径を等しい辺とする二等辺三角形になる。

具体的な解説と立式
図において、分子の軌跡である弦と、衝突点Pと中心Oを結ぶ半径 \(r\) がなす角は \(\theta\) です（入射角と錯角の関係）。
中心Oからこの弦に垂線を下ろすと、弦は二等分されます。この垂線、半径、弦の半分でできる直角三角形に着目します。

• 斜辺: 半径 \(r\)
• 弦と半径がなす角: \(\theta\)

この直角三角形において、弦の半分の長さは \(r\cos\theta\) となります。
したがって、弦全体の長さ、すなわち次に衝突するまでに進む距離 \(L\) はその \(2\)倍となります。
$$ L = 2r\cos\theta $$

上記の立式により、計算は完了しています。

球の内側をピンポン玉が跳ね返る様子をイメージしてください。1回壁に当たってから、次に壁に当たるまで、玉はまっすぐ進みます。そのまっすぐ進む距離を、円と直線の図形の性質を使って計算する問題です。

次に衝突するまでに進む距離は \(2r\cos\theta\) と求まりました。この結果を吟味してみましょう。もし \(\theta=0\) なら（壁に垂直に衝突）、距離は \(2r\) となり、球の直径を往復することに対応します。もし \(\theta\) が \(90^\circ\) に近づけば（壁すれすれに衝突）、距離は \(0\) に近づき、これも直感と一致します。

問(3)

思考の道筋とポイント
(2)で1回の衝突から次の衝突までに進む距離がわかりました。分子は一定の速さ \(v\) で運動しているので、「時間 = 距離 ÷ 速さ」の関係から、衝突から次の衝突までにかかる時間（時間間隔）が計算できます。1秒あたりの衝突回数は、この時間間隔の逆数をとれば求まります。
この設問における重要なポイント

• 分子は速さ \(v\) で等速直線運動をする。
• 衝突の時間間隔 \(\Delta t\) は、\(\Delta t = (\text{距離}) / (\text{速さ})\)。
• 1秒あたりの回数（頻度） \(N_1\) は、\(N_1 = 1 / \Delta t\)。

具体的な解説と立式
1回の衝突から次の衝突までにかかる時間 \(\Delta t\) は、(2)で求めた距離 \(2r\cos\theta\) を速さ \(v\) で割ることで求められます。
$$ \Delta t = \frac{2r\cos\theta}{v} $$
したがって、1秒あたりに器壁に衝突する回数 \(N_1\) は、この \(\Delta t\) の逆数となります。
$$ N_1 = \frac{1}{\Delta t} = \frac{1}{\displaystyle\frac{2r\cos\theta}{v}} $$

$$
\begin{aligned}
N_1 &= \frac{1}{\displaystyle\frac{2r\cos\theta}{v}} \\[2.0ex] &= \frac{v}{2r\cos\theta}
\end{aligned}
$$

「1回壁に当たるのに何秒かかるか」が分かれば、その逆数をとることで「1秒あたりに何回壁に当たるか」が計算できます。例えば、1回の衝突に \(0.1\)秒かかるなら、1秒あたりには \(1/0.1 = 10\)回衝突する、という計算と同じです。

衝突回数は \(\displaystyle\frac{v}{2r\cos\theta}\) と求まりました。分子の速さ \(v\) が大きいほど、また容器の半径 \(r\) が小さいほど、衝突回数が多くなるというのは直感的に理解できます。

問(4)

思考の道筋とポイント
器壁が受ける「平均の力」は、「単位時間あたりに受ける力積の合計」に等しいと考えます。分子が器壁に与える1回あたりの力積の大きさは、(1)で求めた分子の運動量の変化の大きさに等しくなります（作用・反作用の法則）。したがって、「(1回の衝突で与える力積) × (1秒あたりの衝突回数)」を計算すれば、平均の力が求まります。
この設問における重要なポイント

• 平均の力 \(\bar{f}\) は、単位時間あたりの力積の合計に等しい。
• 1秒間の平均の力は、1秒間に与えられる力積の総和と考えることができる。
• 分子が器壁に与える力積の大きさは、(1)で求めた運動量の変化の大きさ \(2mv\cos\theta\) に等しい。

具体的な解説と立式
1回の衝突で分子が器壁に与える力積の大きさ \(I\) は、(1)の結果から、
$$ I = 2mv\cos\theta $$
1秒あたりの衝突回数 \(N_1\) は、(3)の結果から、
$$ N_1 = \frac{v}{2r\cos\theta} $$
したがって、器壁が1個の分子から1秒間に受ける力積の合計、すなわち平均の力の大きさ \(\bar{f}\) は、この2つの量の積で与えられます。
$$ \bar{f} = I \times N_1 = (2mv\cos\theta) \times \left(\frac{v}{2r\cos\theta}\right) $$

$$
\begin{aligned}
\bar{f} &= (2mv\cos\theta) \times \left(\frac{v}{2r\cos\theta}\right) \\[2.0ex] &= \frac{2mv^2\cos\theta}{2r\cos\theta} \\[2.0ex] &= \frac{mv^2}{r}
\end{aligned}
$$

壁が受ける衝撃の平均的な強さは、「1発のパンチの強さ（1回の力積）」と「1秒間に何発パンチされるか（衝突回数）」の掛け算で決まります。この問題では、この2つを掛け合わせることで、分子が壁を平均してどれくらいの力で押し続けているかを計算します。

平均の力の大きさは \(\bar{f} = \displaystyle\frac{mv^2}{r}\) と求まりました。興味深いことに、この結果は衝突角 \(\theta\) に依存しません。これは、\(\theta\) が大きい（浅い角度での衝突）ほど1回の衝突で与える力積は小さくなりますが、その分だけ衝突頻度が高くなり、両者の効果がちょうど打ち消し合うためです。この \(\displaystyle\frac{mv^2}{r}\) という形は、円運動における向心力と同じ形をしています。

問(5)

思考の道筋とポイント
(4)で、速さ \(v\) の分子1個が器壁に与える平均の力が求まりました。実際の気体には、様々な速さを持つ多数の分子が存在します。そこで、まず速さ \(v^2\) をその平均値である \(\overline{v^2}\) に置き換えます。次に、容器内にある全分子の数を掛けることで、器壁が気体分子全体から受ける力の総和を求めます。
この設問における重要なポイント

• 実際の気体分子の速さは一様ではないため、平均的な値 \(\overline{v^2}\) を用いて考える。
• 1個の分子が与える力の平均は、(4)の結果の \(v^2\) を \(\overline{v^2}\) で置き換えて \(\displaystyle\frac{m\overline{v^2}}{r}\) と考えられる。
• 分子の総数 \(N\) は、物質量 \(n\) とアボガドロ定数 \(N_A\) の積、\(N = nN_A\) で求められる。

具体的な解説と立式
1個の分子が器壁に与える力の大きさの平均は、\(v^2\) を速さの二乗平均 \(\overline{v^2}\) に置き換えて、
$$ \bar{f} = \frac{m\overline{v^2}}{r} $$
容器内に含まれる気体分子の総数 \(N\) は、
$$ N = nN_A $$
気体分子全体が器壁に与える力の大きさ \(F\) は、1個あたりの平均の力に分子の総数を掛けることで求められます。
$$ F = \bar{f} \times N = \frac{m\overline{v^2}}{r} \times nN_A $$

$$
\begin{aligned}
F &= \frac{m\overline{v^2}}{r} \times nN_A \\[2.0ex] &= \frac{m\overline{v^2} \cdot nN_A}{r}
\end{aligned}
$$

(4)で計算したのは、たった1個の分子が壁を押す力でした。この問題では、容器の中にいる全ての分子（\(nN_A\) 個）が一斉に壁を押したときの、合計の力を計算します。単純に「1個あたりの力 × 全員の数」を計算すればOKです。ただし、分子の速さはバラバラなので、平均の速さ（の二乗）を使って計算します。

気体分子全体が器壁に与える力の大きさは \(\displaystyle\frac{m\overline{v^2} \cdot nN_A}{r}\) と求まりました。分子の数 \(nN_A\) が多いほど、また分子の平均的な速さ \(\sqrt{\overline{v^2}}\) が大きいほど、力が強くなるという直感に合った結果です。

問(6)

思考の道筋とポイント
圧力 \(p\) は、単位面積あたりに働く力の大きさと定義されます。(5)で器壁全体が受ける力の総和 \(F\) を求めたので、これを器壁の表面積 \(S\) で割れば圧力が計算できます。球の表面積の公式 \(S=4\pi r^2\) を使う必要があります。
この設問における重要なポイント

• 圧力の定義: \(p = \displaystyle\frac{F}{S}\) （力 ÷ 面積）
• 球の体積: \(V = \displaystyle\frac{4}{3}\pi r^3\)
• 球の表面積: \(S = 4\pi r^2\)

具体的な解説と立式
圧力 \(p\) は、(5)で求めた力の大きさ \(F\) を、球の表面積 \(S = 4\pi r^2\) で割ることで求められます。
$$ p = \frac{F}{S} = \frac{\displaystyle\frac{m\overline{v^2} \cdot nN_A}{r}}{4\pi r^2} $$
問題文で与えられている容器の体積 \(V\) を用いて表すため、式を整理します。

$$
\begin{aligned}
p &= \frac{m\overline{v^2} \cdot nN_A}{r \cdot 4\pi r^2} \\[2.0ex] &= \frac{m\overline{v^2} \cdot nN_A}{4\pi r^3}
\end{aligned}
$$
ここで、球の体積 \(V = \displaystyle\frac{4}{3}\pi r^3\) より、\(4\pi r^3 = 3V\) の関係があります。これを代入すると、
$$
\begin{aligned}
p &= \frac{m\overline{v^2} \cdot nN_A}{3V}
\end{aligned}
$$

風船がパンパンに膨らんでいるのは、中の空気が内側から壁を押しているからです。その押す強さ（圧力）は、「空気全体が壁を押す合計の力」を「風船の表面積」で割ることで計算できます。この問題でも同じ計算をしています。

圧力 \(p\) は \(\displaystyle\frac{m\overline{v^2} \cdot nN_A}{3V}\) と求まりました。この式を \(pV = \displaystyle\frac{1}{3}nN_A m\overline{v^2}\) と変形すると、気体の圧力と体積の積が、分子の数と平均運動エネルギーに関係していることがわかります。これは気体分子運動論の非常に重要な結論です。

問(7)

思考の道筋とポイント
(6)で導出した分子運動論に基づく圧力の式と、実験則である理想気体の状態方程式 \(pV=nRT\) を比較します。両者は同じ気体の状態を表しているはずなので、等しいとおくことができます。この等式を整理することで、分子1個あたりの平均運動エネルギーと絶対温度 \(T\) の関係を導き出します。
この設問における重要なポイント

• 分子運動論の結果: \(pV = \displaystyle\frac{1}{3}nN_A m\overline{v^2}\)
• 理想気体の状態方程式: \(pV = nRT\)
• 分子1個の平均運動エネルギー: \(\bar{K} = \displaystyle\frac{1}{2}m\overline{v^2}\)

具体的な解説と立式
(6)の結果を変形すると、
$$ pV = \frac{1}{3}nN_A m\overline{v^2} \quad \cdots ① $$
一方、理想気体の状態方程式は、
$$ pV = nRT \quad \cdots ② $$
式①と式②は等しいので、
$$ \frac{1}{3}nN_A m\overline{v^2} = nRT $$
この式を、分子1個の平均運動エネルギー \(\bar{K} = \displaystyle\frac{1}{2}m\overline{v^2}\) が現れるように変形します。

$$ \frac{1}{3}nN_A m\overline{v^2} = nRT $$
両辺の \(n\) を消去します。
$$ \frac{1}{3}N_A m\overline{v^2} = RT $$
左辺に \(\displaystyle\frac{1}{2}m\overline{v^2}\) の形を作るため、式を次のように変形します。
$$ \frac{2}{3}N_A \left(\frac{1}{2}m\overline{v^2}\right) = RT $$
したがって、分子1個の平均運動エネルギー \(\displaystyle\frac{1}{2}m\overline{v^2}\) は、
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}m\overline{v^2} &= RT \times \frac{3}{2N_A} \\[2.0ex] &= \frac{3R}{2N_A}T
\end{aligned}
$$

物理学には、気体を「たくさんの粒の集まり」として見るミクロな視点（分子運動論）と、「圧力や体積、温度で測れる大きなかたまり」として見るマクロな視点（熱力学）の2つがあります。この問題では、両方の視点から導かれた式を「イコール」で結びつけることで、ミクロな世界の量（分子の運動エネルギー）とマクロな世界の量（温度）の間にどんな関係があるのかを明らかにします。

分子1個の平均運動エネルギーは \(\displaystyle\frac{3R}{2N_A}T\) と求まりました。この結果は、気体分子の平均運動エネルギーが、気体の種類（分子の質量 \(m\) など）によらず、絶対温度 \(T\) だけが決まるという非常に重要な事実を示しています。温度が高いほど、分子は激しく動き回っている、という直感的なイメージを数式で裏付けるものです。また、\(k_B = \displaystyle\frac{R}{N_A}\) をボルツマン定数と定義すると、平均運動エネルギーは \(\displaystyle\frac{3}{2}k_B T\) とも表されます。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ミクロな分子運動とマクロな物理量の接続
  • 核心: この問題の根幹は、目に見えない個々の分子の「力学的な運動」（ミクロな視点）が、どのようにして気体全体の「圧力」や「温度」といった測定可能な物理量（マクロな視点）を生み出すのか、その橋渡しをする「気体分子運動論」の論理展開を理解することです。
  • 理解のポイント:
    • 圧力の正体: 気体の圧力とは、無数の気体分子が絶え間なく器壁に衝突し、力積を及ぼし続けることによって生じる、平均的な力のことです。
    • 温度の正体: 気体の絶対温度とは、気体分子の平均運動エネルギーの激しさを表す指標です。
• 運動量と力積の関係
  • 核心: 圧力の起源である「力」を計算するための出発点です。1個の分子が1回の衝突で器壁に及ぼす力積は、その分子の運動量の変化に等しいという物理法則を正しく適用することが求められます。
  • 理解のポイント:
    • ベクトルとしての計算: 運動量はベクトル量であるため、衝突前後の運動量の「差」はベクトルとして計算する必要があります。速度を器壁に垂直な成分と平行な成分に分解して考えるのが定石です。
    • 平均の力への展開: 1回の衝突で与える力積と、単位時間あたりの衝突回数を掛け合わせることで、1個の分子が及ぼす「平均の力」を導出できます。
• 理想気体の状態方程式との比較
  • 核心: 分子運動論というミクロな理論から導かれた圧力の式と、実験則である理想気体の状態方程式 \(pV=nRT\) というマクロな法則を結びつけることで、ミクロな物理量（分子の平均運動エネルギー）とマクロな物理量（絶対温度）の関係を導き出します。
  • 理解のポイント:
    • 異なる視点の統合: 同じ「理想気体」という対象を、ミクロとマクロという異なる視点から記述した2つの式を「等しい」とおくことで、両者の世界観を繋ぐことができます。
    • 普遍的な結論: この比較から得られる「分子の平均運動エネルギーは絶対温度にのみ比例する」という結論は、気体の種類によらない普遍的なものです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 立方体容器内の気体分子運動: 最も典型的なパターンです。分子の速度をx, y, z成分に分解し、1つの壁（例えばyz平面）への衝突を考えます。このとき、速度の二乗平均の間に \(\overline{v^2} = \overline{v_x^2} + \overline{v_y^2} + \overline{v_z^2}\) という関係と、気体の運動の等方性から \(\overline{v_x^2} = \overline{v_y^2} = \overline{v_z^2} = \frac{1}{3}\overline{v^2}\) が成り立つことを利用するのが定石です。本問の球形容器は、この成分分解が不要な点で少し特殊ですが、基本的な考え方は全く同じです。
  • 気体の内部エネルギーの導出: 単原子分子理想気体の場合、内部エネルギー \(U\) は全分子の運動エネルギーの総和に等しいと考えられます。本問(7)の結果を利用して、\(U = N \times (\text{1分子の平均運動エネルギー}) = nN_A \times (\frac{3R}{2N_A}T) = \frac{3}{2}nRT\) を導出させる問題は頻出です。
  • 二乗平均速度の計算: \(\sqrt{\overline{v^2}}\) を、具体的な気体（水素、酸素など）や特定の温度について計算させる問題です。\(\frac{1}{2}m\overline{v^2} = \frac{3}{2}k_B T\) の関係から \(\sqrt{\overline{v^2}} = \sqrt{\frac{3k_B T}{m}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}\)（\(M=mN_A\)はモル質量）という関係式を導き、温度や分子量との関係を考察させます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まずは1分子・1衝突から: 気体分子運動論の問題は、必ず「1個の分子が」「1回衝突する」場面からスタートします。ここで器壁に垂直な方向の運動量変化（＝力積）を正確に計算することが全ての土台です。
  2. 次に衝突頻度を求める: その分子が単位時間あたりに何回壁に衝突するかを考えます。これは分子の「速さ」と「衝突から次の衝突までの距離」で決まります。
  3. 平均の力を計算する: 「1回の力積」と「衝突頻度」を掛け合わせれば、1個の分子が及ぼす平均の力が求まります。
  4. 全体に拡張する: 1分子あたりの力に、全分子数 \(N=nN_A\) を掛け合わせます。このとき、分子の速さがバラバラであることを考慮し、\(v^2\) をその平均値 \(\overline{v^2}\) に置き換える、という操作を忘れないようにします。
  5. マクロな量と結びつける: 最後に、全分子が及ぼす力 \(F\) を器壁の面積 \(S\) で割って圧力 \(p\) を求め、得られた式を状態方程式 \(pV=nRT\) と比較して温度 \(T\) との関係を導き出します。この一連の流れが気体分子運動論の王道です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 運動量の変化をスカラー計算してしまう:
  • 誤解: 弾性衝突なので衝突前後の速さは同じ \(v\) だから、運動量の大きさも \(mv\) で同じ。よって変化は \(mv – mv = 0\) だと考えてしまう。
  • 対策: 運動量は向きを持つ「ベクトル量」であることを常に意識しましょう。運動量の変化は \(\Delta \vec{p} = \vec{p}_{\text{後}} – \vec{p}_{\text{前}}\) というベクトルの引き算です。計算ミスを防ぐには、必ず座標軸を設定するか、この問題のように「壁に垂直な成分」と「平行な成分」に分解し、それぞれの方向で変化を考えるのが最も確実です。
• \(\theta\) の役割についての混乱:
  • 誤解: (4)で平均の力を計算した際に、それまでずっと式に含まれていた \(\cos\theta\) がきれいに消えてしまうことに戸惑い、自分の計算が間違っているのではないかと不安になる。
  • 対策: なぜ \(\cos\theta\) が消えるのかを物理的に理解しておくことが重要です。衝突角 \(\theta\) が大きい（壁をかすめるような衝突）ほど、1回の衝突で壁に垂直な方向の運動量変化 \(2mv\cos\theta\) は小さくなります。しかし、同時に衝突から次の衝突までの距離 \(2r\cos\theta\) も短くなるため、衝突頻度 \(v/(2r\cos\theta)\) は逆に大きくなります。この「1回の衝撃は弱くなるが、衝突回数は増える」という2つの効果が、球形容器の場合は偶然にも完全に打ち消し合うのです。この仕組みを理解していれば、自信を持って計算を進められます。
• 平均の取り方の誤解（\(\overline{v^2}\) と \((\overline{v})^2\) の混同）:
  • 誤解: 速さの二乗の平均 \(\overline{v^2}\) と、平均の速さの二乗 \((\overline{v})^2\) を同じものだと考えてしまう。
  • 対策: これらは数学的に異なる量です（常に \(\overline{v^2} \ge (\overline{v})^2\) が成り立ちます）。気体の圧力や内部エネルギーを決定するのは、運動エネルギー \(\frac{1}{2}mv^2\) の平均です。そのため、物理的に重要になるのは \(v^2\) の平均である \(\overline{v^2}\)（二乗平均速度）の方である、と明確に区別して覚えておきましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（運動量の変化の定義式）:
  • 選定理由: 設問で「運動量の変化の大きさ」が直接問われています。これを求めるには、運動量の変化の定義式 \(\Delta \vec{p} = \vec{p}_{\text{後}} – \vec{p}_{\text{前}}\) を使うのが最も直接的です。衝突によって分子が壁から受けた「力積」を間接的に計算していることと同じ意味を持ちます。
  • 適用根拠: 衝突は、短い時間に力が働く現象です。このような現象を分析する上で、力と運動状態の変化を結びつける「運動量と力積」の概念は非常に有効です。
• (4)でのアプローチ選択（平均の力の導出）:
  • 選定理由: 分子の衝突は瞬間的で、その瞬間に働く力（撃力）を直接求めるのは困難です。そこで、視点を変えて「一定時間あたりに壁が受ける力積の合計」を考え、それを時間で割ることで「平均の力」を求めるというアプローチをとります。
  • 適用根拠: 「平均の力 \(\bar{f}\) × 時間 \(\Delta t\) = その間の力積の合計」という関係に基づいています。時間を \(1\)秒とすれば、\(\bar{f} = (\text{1秒間の力積の合計})\) となります。そして、1秒間の力積の合計は「1回の衝突で与える力積」×「1秒間の衝突回数」として、(1)と(3)の結果から計算できる量だけで表すことができます。
• (6)での公式選択（圧力の定義式）:
  • 選定理由: 求めたい物理量は「圧力 \(p\)」です。圧力の物理的な定義は「単位面積あたりに垂直に働く力の大きさ」であり、数式では \(p=F/S\) と表されます。
  • 適用根拠: (5)で器壁全体が受ける力の総和 \(F\) を計算しているため、あとはそれを器壁の総面積 \(S\) で割るという定義にそのまま従うのが、論理的な手順となります。
• (7)でのアプローチ選択（状態方程式との比較）:
  • 選定理由: 求めたいのは「分子の平均運動エネルギー」と「絶対温度 \(T\)」という、ミクロとマクロの物理量を結びつける関係式です。絶対温度 \(T\) が登場する最も重要な巨視的な法則は、理想気体の状態方程式 \(pV=nRT\) です。
  • 適用根拠: (6)までに導出した圧力の式は、分子の運動というミクロな世界の法則から導かれた結論です。一方、状態方程式は実験から得られたマクロな世界の法則です。同じ「理想気体」という対象を異なる視点から記述した2つの式は、当然ながら同じ物理状態を表しているはずです。したがって、両者を等しいとおくことで、2つの世界観を結びつける関係式を導き出すことができます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま計算を進める:
  • この問題はすべて文字式ですが、仮に数値が与えられていたとしても、まずは文字のまま最後まで計算し、最後に数値を代入する癖をつけましょう。特に(4)のように、途中で特定の文字（この場合は \(\cos\theta\)）が打ち消し合って消える場合、最初から数値を代入していると、この重要な物理的帰結を見逃してしまい、理解が浅くなる可能性があります。
• 単位や次元（ディメンション）の確認:
  • 計算の各段階で、式の両辺の次元が合っているかを確認する癖をつけましょう。例えば、(4)で力を求めているのに、計算結果が \(mv^2\)（エネルギーの次元）になっていたらおかしいと気づけます。\(r\)（長さの次元）で割ることで、正しく \([MLT^{-2}]\) という力の次元になっていることを確認できます。同様に、(6)で求めた圧力の次元 \([ML^{-1}T^{-2}]\) が、計算式の次元と一致することも確かめられます。
• 極端な場合を代入して検算する（吟味）:
  • (2)で求めた衝突間の距離 \(L = 2r\cos\theta\) を例にとります。もし \(\theta=0\)（壁に垂直に衝突）なら、\(\cos 0 = 1\) なので \(L=2r\) となり、球の直径をまっすぐ往復する状況と一致します。もし \(\theta \to 90^\circ\)（壁をかすめるように衝突）なら、\(\cos 90^\circ = 0\) なので \(L \to 0\) となり、すぐに次の衝突が起こる状況と一致します。このように、極端な状況を考えてみることで、式の妥当性を検証できます。
• 分数が入れ子になる計算を丁寧に行う:
  • (3)の \(N_1 = 1 / \Delta t\) や(6)の \(p = F/S\) のように、分数が入れ子になる計算（分数の逆数をとる、分数をさらに何かで割るなど）は、符号や分子・分母の取り違えが起こりやすいポイントです。焦らずに一段階ずつ、\(A \div \displaystyle\frac{B}{C} = A \times \frac{C}{B}\) のように、逆数の掛け算に直してから計算すると確実です。

ABOUT THE AUTHOR

共田 誠（まこと先生）

高校物理講師・プロ家庭教師 / 指導歴14年

上智大学理工学部物理学科卒。私立高校の非常勤講師として進学クラスから基礎クラスまで幅広く担当。大手家庭教師センター3社でプロ家庭教師を経験し、現在はオンライン専門で全国の高校生を個別指導中。

「暗記物理の撲滅」を掲げ、生徒の思考のクセを診断・矯正するドクター型アプローチで指導。表面的なテクニックではなく、初見の問題に強い思考力を育てる。

800+解説記事

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