未来の得点力へ！物理基礎 問題演習「抵抗の並列接続と合成抵抗」【高校物理対応】

今回の問題

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「直流回路の基本（並列接続）」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
抵抗 \(R_1\) と \(R_2\) は並列に接続されています。並列接続の最も重要な特徴は、接続された各素子（この場合は抵抗）の両端の電位差（電圧）が等しくなることです。図から、抵抗 \(R_1\) と \(R_2\) の両端は、どちらも電池の両極に直接つながっています。したがって、\(R_1\) にかかる電圧と \(R_2\) にかかる電圧は、ともに電池の起電力 \(E\) に等しくなります。この関係とオームの法則 \(V=RI\) を用いれば、各抵抗を流れる電流 \(I_1\) と \(I_2\) を計算できます。
この設問における重要なポイント

• 並列回路では、各分岐部分にかかる電圧は等しい。
• この回路では、抵抗 \(R_1\) と \(R_2\) にかかる電圧は、ともに電源電圧 \(E\) である。
• オームの法則 \(I = \displaystyle\frac{V}{R}\) を正しく適用する。

具体的な解説と立式
抵抗 \(R_1\) と \(R_2\) は並列に接続されているため、それぞれの両端にかかる電圧は等しく、電池の起電力 \(E\) になります。
抵抗 \(R_1\) にかかる電圧を \(V_1\)、流れる電流を \(I_1\) とすると、オームの法則より、
$$ V_1 = R_1 I_1 $$
ここで、\(V_1 = E\) なので、
$$ E = R_1 I_1 \quad \cdots ① $$
同様に、抵抗 \(R_2\) にかかる電圧を \(V_2\)、流れる電流を \(I_2\) とすると、オームの法則より、
$$ V_2 = R_2 I_2 $$
ここで、\(V_2 = E\) なので、
$$ E = R_2 I_2 \quad \cdots ② $$
これらの式を \(I_1\) と \(I_2\) について解きます。

式①から、\(I_1\) を求めます。
$$ I_1 = \frac{E}{R_1} \text{ [A]} $$
式②から、\(I_2\) を求めます。
$$ I_2 = \frac{E}{R_2} \text{ [A]} $$

並列つなぎの回路では、枝分かれしたそれぞれの抵抗に、電源と同じ大きさの電圧がかかります。この問題では、\(R_1\) にも \(R_2\) にも、電池の電圧 \(E\) がそのままかかっています。オームの法則は「電流＝電圧÷抵抗」なので、\(R_1\) を流れる電流 \(I_1\) は \(E \div R_1\)、\(R_2\) を流れる電流 \(I_2\) は \(E \div R_2\) で計算できます。

抵抗 \(R_1\) を流れる電流は \(I_1 = \displaystyle\frac{E}{R_1}\)、抵抗 \(R_2\) を流れる電流は \(I_2 = \displaystyle\frac{E}{R_2}\) となります。単位はアンペア[A]であり、物理的に妥当な表現です。

問(2)

思考の道筋とポイント
電池から流れ出る電流 \(I\) は、回路の分岐点Aで \(I_1\) と \(I_2\) の2つの電流に分かれます。これは、キルヒホッフの第1法則（電流則）が成り立つ場面です。この法則は「分岐点に流れ込む電流の合計と、流れ出す電流の合計は等しい」というもので、電荷の保存則に基づいています。したがって、\(I = I_1 + I_2\) という関係式が成り立ちます。(1)で求めた \(I_1\) と \(I_2\) の式を代入することで、電流 \(I\) を求めることができます。
この設問における重要なポイント

• キルヒホッフの第1法則（電流則）: 分岐点での電流の保存則 \(I_{\text{in}} = I_{\text{out}}\)。
• (1)で求めた結果を正しく代入する。

具体的な解説と立式
回路の分岐点Aにおいて、キルヒホッフの第1法則を適用します。
点Aに流入する電流は \(I\) のみです。
点Aから流出する電流は \(I_1\) と \(I_2\) です。
したがって、次の関係式が成り立ちます。
$$ I = I_1 + I_2 \quad \cdots ③ $$
この式に、(1)で求めた \(I_1 = \displaystyle\frac{E}{R_1}\) と \(I_2 = \displaystyle\frac{E}{R_2}\) を代入します。

式③に(1)の結果を代入します。
$$
\begin{aligned}
I &= I_1 + I_2 \\[2.0ex] &= \frac{E}{R_1} + \frac{E}{R_2}
\end{aligned}
$$
この式を共通因数 \(E\) でくくり、通分して整理します。
$$
\begin{aligned}
I &= E \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right) \\[2.0ex] &= E \left( \frac{R_2 + R_1}{R_1 R_2} \right) \\[2.0ex] &= \frac{R_1 + R_2}{R_1 R_2} E \text{ [A]}
\end{aligned}
$$

電池から出発した電流 \(I\) は、A地点で二手に分かれます（\(I_1\) と \(I_2\)）。そして、B地点で再び合流します。これは、川の流れが中州で二手に分かれてまた合流するのと同じで、分かれる前の全体の流量は、分かれた後の2つの流れの合計になります。つまり、\(I = I_1 + I_2\) です。(1)で求めた \(I_1\) と \(I_2\) を足し合わせれば、全体の電流 \(I\) がわかります。

電池を流れる電流は \(I = \left( \displaystyle\frac{1}{R_1} + \displaystyle\frac{1}{R_2} \right)E = \displaystyle\frac{R_1 + R_2}{R_1 R_2} E\) となります。単位はアンペア[A]です。結果は \(E\), \(R_1\), \(R_2\) を用いて正しく表現されています。

問(3)

思考の道筋とポイント
AB間の合成抵抗 \(R\) とは、AB間の抵抗のまとまり（この場合は \(R_1\) と \(R_2\) の並列部分）を、あたかも一つの抵抗であるかのように見なしたときの抵抗値のことです。回路全体で見ると、電圧 \(E\) の電池に合成抵抗 \(R\) が接続されている、と考えることができます。したがって、回路全体にオームの法則 \(E = RI\) を適用することで、合成抵抗 \(R\) を求めることができます。すでに(2)で全体の電流 \(I\) を求めているので、この関係式から \(R\) を計算するのが自然な流れです。
この設問における重要なポイント

• 合成抵抗の概念: 回路の一部または全体を、等価な一つの抵抗とみなす。
• 回路全体に対するオームの法則の適用: \(V_{\text{全体}} = R_{\text{合成}} I_{\text{全体}}\)。
• 設問(2)で求めた電流 \(I\) の式を正しく利用する。

具体的な解説と立式
AB間の抵抗部分全体を、一つの合成抵抗 \(R\) とみなします。このとき、回路全体は、起電力 \(E\) の電池に抵抗 \(R\) が接続された単純な回路と等価になります。
この等価な回路にオームの法則を適用すると、
$$ E = R I \quad \cdots ④ $$
が成り立ちます。この式を \(R\) について解くと、
$$ R = \frac{E}{I} $$
となります。ここに、(2)で求めた \(I = \displaystyle\frac{R_1 + R_2}{R_1 R_2} E\) を代入して \(R\) を計算します。

\(R = \displaystyle\frac{E}{I}\) の式に、\(I = \displaystyle\frac{R_1 + R_2}{R_1 R_2} E\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
R &= \frac{E}{I} \\[2.0ex] &= \frac{E}{\left( \displaystyle\frac{R_1 + R_2}{R_1 R_2} \right) E} \\[2.0ex] &= E \times \frac{R_1 R_2}{(R_1 + R_2)E} \\[2.0ex] &= \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} \text{ [}\Omega\text{]}
\end{aligned}
$$
分母と分子の \(E\) が約分されて、抵抗値のみの式となります。

合成抵抗 \(R\) は、回路全体の「通りにくさ」を表すものです。オームの法則「電圧＝抵抗×電流」を回路全体に当てはめて、「全体の抵抗＝全体の電圧÷全体の電流」という関係から計算できます。全体の電圧は \(E\)、全体の電流は(2)で求めた \(I\) なので、\(R = E \div I\) を計算します。

AB間の合成抵抗は \(R = \displaystyle\frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}\) となります。これは、並列接続の合成抵抗の公式から導かれる結果と一致しており、物理的に正しいです。単位はオーム[\(\Omega\)]です。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• オームの法則とキルヒホッフの法則の連携:
  • 核心: この問題は、直流回路の二大巨頭である「オームの法則 (\(V=RI\))」と「キルヒホッフの法則（特に電流則）」を、いかに的確に使い分けるかが問われています。
  • 理解のポイント: 「並列だから電圧が等しい」というキルヒホッフの第2法則の帰結をまず見抜き、それとオームの法則を組み合わせて各部分の電流(\(I_1, I_2\))を求める。次に、「分岐点では電流が保存される」というキルヒホッフの第1法則を使って全体の電流(\(I\))を求める。この一連の流れが、回路問題の基本的な思考パターンです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 直並列回路: 直列部分と並列部分が混在した回路。この場合、まず並列部分の合成抵抗を求め、それを一つの抵抗とみなして直列回路として解く、という段階的なアプローチが有効です。
  • 内部抵抗のある電池: 電池に内部抵抗 \(r\) がある場合、電池の端子電圧は起電力 \(E\) ではなく \(V = E – Ir\) となります。並列部分にかかる電圧はこの端子電圧 \(V\) になるため注意が必要です。
  • コンデンサーを含む回路: 定常状態ではコンデンサーに電流は流れないため、コンデンサーを含む枝は断線しているとみなして回路を解きます。
  • 具体的な数値問題: \(R_1=10\Omega, R_2=15\Omega, E=5.0\text{V}\) のように具体的な値が与えられた場合も、まずは文字式で解いてから最後に値を代入する癖をつけると、検算がしやすく応用も効きます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 回路の接続形態を把握: まず、各素子が直列なのか並列なのかを正確に見極めます。分岐点と合流点をマークすると分かりやすくなります。
  2. 電圧が等しい場所を探す: 並列接続の部分を見つけたら、その両端の電圧が等しいことを利用できないか考えます。
  3. 電流の流れを追う: 電池の正極から電流がどう流れ、どこで分岐し、どこで合流して負極に戻るかを矢印で書き込み、キルヒホッフの第1法則を立てる準備をします。
  4. 閉回路（ループ）を見つける: キルヒホッフの第2法則（電圧則）を使うために、回路内の独立した閉回路をいくつか見つけます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 並列と直列の混同:
  • 誤解: 並列接続なのに、かかる電圧が異なると考えたり、流れる電流が等しいと勘違いしたりする。
  • 対策: 「並列＝電圧が共通、電流は分岐」「直列＝電流が共通、電圧は分配」という基本原則を、図とセットで何度も確認して体に染み込ませましょう。
• 合成抵抗の公式の逆数忘れ:
  • 誤解: 並列接続の合成抵抗を計算する際、\(\displaystyle\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\) を計算した後、逆数をとるのを忘れて \(\displaystyle\frac{R_1+R_2}{R_1R_2}\) を答えにしてしまう。
  • 対策: 求めたのはあくまで \(\displaystyle\frac{1}{R}\) であり、欲しいのは \(R\) であることを常に意識する。「最後にひっくり返す！」と覚えておきましょう。また、単位を考えると、抵抗の逆数（ジーメンス）になっていることからも間違いに気づけます。
• 文字計算での通分ミス:
  • 誤解: \(I = \displaystyle\frac{E}{R_1} + \displaystyle\frac{E}{R_2}\) のような計算で、通分を焦って \(I = \displaystyle\frac{E}{R_1+R_2}\) のように間違える。
  • 対策: 分数の足し算は、小学校で習った通分のルールに忠実に従うこと。焦らず、一つ一つのステップを丁寧に書き下すことがミスを防ぐ最善策です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• オームの法則 \(V=RI\):
  • 選定理由: これは抵抗という素子の性質を定義する、最も基本的な関係式です。抵抗、電圧、電流のうち2つが分かっていれば、残りの1つを求めることができます。
  • 適用根拠: 回路の「ある一部分」に着目したときに使います。例えば、「抵抗 \(R_1\) だけ」に注目して \(V_1=R_1I_1\) を立てる、あるいは「回路全体」に注目して \(E=RI\) を立てる、というように適用範囲を明確に意識することが重要です。
• キルヒホッフの第1法則（電流則）:
  • 選定理由: 回路に分岐点がある場合、電流の関係を記述するために必須の法則です。
  • 適用根拠: これは「電荷保存則」の現れです。電流とは電荷の流れなので、途中で電荷が消えたり湧き出たりしない限り、分岐点に入ってくる量と出ていく量は同じになる、という物理的な大原則に基づいています。
• 並列合成抵抗の公式 \(\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\):
  • 選定理由: 並列部分をひとまとめにして回路を単純化したい場合に、非常に強力なツールとなります。
  • 適用根拠: この公式は、オームの法則とキルヒホッフの法則から導出されます。具体的には、全体の電流 \(I\) は各電流の和 \(I=I_1+I_2\) であり、オームの法則から \(I=\frac{V}{R}\), \(I_1=\frac{V}{R_1}\), \(I_2=\frac{V}{R_2}\) となります（並列なので電圧Vは共通）。これらを代入すると \(\frac{V}{R} = \frac{V}{R_1} + \frac{V}{R_2}\) となり、両辺を \(V\) で割ることで公式が導かれます。公式の成り立ちを理解しておくと、忘れにくくなります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式で最後まで計算する: (3)の計算で、\(R = E/I\) に \(I\) の式を代入する際、\(I = \displaystyle\frac{E}{R_1} + \displaystyle\frac{E}{R_2}\) のまま代入するのではなく、(2)で整理した \(I = \displaystyle\frac{R_1+R_2}{R_1R_2}E\) の形を使って代入すると、分数の処理が一度で済み、計算が楽になります。
• 単位を意識する: 計算結果の単位がどうなるかを常に考える癖をつけましょう。例えば、合成抵抗を求めているのに、答えの単位が[A]や[V]になるような式変形をしていたら、どこかで間違っている証拠です。
• 検算を行う: (3)で求めた合成抵抗 \(R = \displaystyle\frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}\) を使って、全体の電流 \(I = E/R\) を計算してみます。\(I = E \div \displaystyle\frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \displaystyle\frac{E(R_1+R_2)}{R_1R_2}\)。これは(2)で求めた \(I\) の式と一致します。このように、異なるアプローチで同じ結果が得られることを確認することで、計算の信頼性が大幅に向上します。
• 極端な場合を考える: 例えば、もし \(R_2\) が非常に大きい（\(R_2 \rightarrow \infty\)、つまり断線）としたらどうなるか？合成抵抗の式は \(R = \displaystyle\frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{R_1}{R_1/R_2 + 1} \rightarrow R_1\) となり、\(R_1\) だけの回路になるので当然の結果です。もし \(R_2=0\)（短絡）なら、\(R=0\) となり、電流はすべて抵抗のない \(R_2\) 側を流れるので、これも妥当です。このような思考実験は、式の妥当性を確認する良い習慣です。

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ABOUT THE AUTHOR

共田 誠（まこと先生）

高校物理講師・プロ家庭教師 / 指導歴14年

上智大学理工学部物理学科卒。私立高校の非常勤講師として進学クラスから基礎クラスまで幅広く担当。大手家庭教師センター3社でプロ家庭教師を経験し、現在はオンライン専門で全国の高校生を個別指導中。

「暗記物理の撲滅」を掲げ、生徒の思考のクセを診断・矯正するドクター型アプローチで指導。表面的なテクニックではなく、初見の問題に強い思考力を育てる。

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