「リードα 物理基礎・物理 改訂版」徹底解説！【第21章】応用問題

370 帯電した小球のつりあい

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、荷電粒子にはたらく静電気力、重力、そして糸の張力の3つが釣り合っている状況を分析します。それぞれの力を正しく理解し、ベクトルとして扱えるかが問われます。また、点電荷がつくる電場と電位の計算、そしてそれらの重ね合わせの原理も重要なテーマです。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「静電気力と重力がはたらく中での荷電粒子のつりあい」です。複数の力をベクトルとして正しく扱い、つりあいの条件を適用することが全体の鍵となります。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
AとBの間には、互いに反発しあう静電気力（斥力）がはたらきます。この力の大きさをクーロンの法則を用いて計算します。そのためには、まずAとBの間の直線距離を求める必要があります。図の幾何学的な関係から距離を正しく導出することが第一歩です。

この設問における重要なポイント

• 小球間の距離: 図より、点Oから下ろした鉛直線と小球A（またはB）との水平距離は \(l\sin\theta\) です。したがって、小球AとBの間の距離 \(r\) はその2倍、\(r = 2l\sin\theta\) となります。
• クーロンの法則: 距離 \(r\) 離れた2つの電荷 \(q_1, q_2\) にはたらく静電気力 \(F\) の大きさは \(F = k\displaystyle\frac{|q_1 q_2|}{r^2}\) で与えられます。

具体的な解説と立式
求める静電気力の大きさを \(F\) とします。まず、小球AとBの間の距離 \(r\) を求めます。
図から、A, Bそれぞれの水平位置は、点Oの真下から測って \(l\sin\theta\) だけ離れています。
したがって、A-B間の距離 \(r\) は、
$$ r = 2l\sin\theta \quad \cdots ① $$
クーロンの法則より、この2つの小球間にはたらく静電気力 \(F\) の大きさは、
$$ F = k\frac{q \cdot q}{r^2} = k\frac{q^2}{r^2} \quad \cdots ② $$

②式に①式を代入して \(F\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
F &= k\frac{q^2}{(2l\sin\theta)^2} \\[2.0ex] &= \frac{kq^2}{4l^2\sin^2\theta}
\end{aligned}
$$

プラスの電気を帯びた2つの玉AとBは、お互いに反発しあいます。この反発力の大きさを求める問題です。力の大きさは、2つの玉の間の「距離」がわからないと計算できません。まず、図形の問題として、三角比を使ってAとBの間の距離を求めます。その距離をクーロンの法則の公式に代入すれば、力の大きさが計算できます。

Aの電荷がBの電荷に及ぼす静電気力の大きさは \(\displaystyle\frac{kq^2}{4l^2\sin^2\theta}\) です。これはBがAに及ぼす力と大きさが等しく、向きが逆です（作用・反作用の関係）。

問(2)

思考の道筋とポイント
電場はベクトル量です。点Oには、電荷Aが作る電場 \(\vec{E}_{\text{A}}\) と電荷Bが作る電場 \(\vec{E}_{\text{B}}\) が存在します。求める合成電場 \(\vec{E}\) は、この2つのベクトルを足し合わせたもの（\(\vec{E} = \vec{E}_{\text{A}} + \vec{E}_{\text{B}}\)）です。図の対称性から、合成電場の向きをまず考察し、その後、ベクトルの成分計算によって強さを求めます。

この設問における重要なポイント

• 電場の向き: 正電荷は、自身の位置から放射状に遠ざかる向きに電場をつくります。したがって、AがOにつくる電場 \(\vec{E}_{\text{A}}\) はAからOへ向かう向き、BがOにつくる電場 \(\vec{E}_{\text{B}}\) はBからOへ向かう向きです。
• ベクトルの合成: \(\vec{E}_{\text{A}}\) と \(\vec{E}_{\text{B}}\) は大きさが等しく、鉛直線に対して対称な向きを向いています。そのため、水平成分は互いに打ち消し合い、鉛直成分のみが残ります。

具体的な解説と立式
点Oにおける、小球Aによる電場を \(\vec{E}_{\text{A}}\)、小球Bによる電場を \(\vec{E}_{\text{B}}\) とします。
点電荷 \(q\) から距離 \(r\) の点につくられる電場の強さの公式 \(E = k\displaystyle\frac{q}{r^2}\) を用います。
A, BともにO点からの距離は \(l\) なので、それぞれの電場の強さ \(E_{\text{A}}\), \(E_{\text{B}}\) は等しく、
$$ E_{\text{A}} = E_{\text{B}} = k\frac{q}{l^2} \quad \cdots ① $$
電場の向きは、\(\vec{E}_{\text{A}}\) がA→O方向、\(\vec{E}_{\text{B}}\) がB→O方向です。
合成電場 \(\vec{E}\) を考えます。図aからわかるように、\(\vec{E}_{\text{A}}\) と \(\vec{E}_{\text{B}}\) の水平成分は大きさが同じで逆向きのため、打ち消し合います。鉛直上向きの成分は加算されます。
したがって、合成電場の向きは鉛直上向きとなります。
その強さ \(E\) は、それぞれの電場の鉛直成分の和に等しくなります。
$$ E = E_{\text{A}}\cos\theta + E_{\text{B}}\cos\theta \quad \cdots ② $$

②式に①式の値を代入して \(E\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
E &= \left(k\frac{q}{l^2}\right)\cos\theta + \left(k\frac{q}{l^2}\right)\cos\theta \\[2.0ex] &= 2 \cdot k\frac{q}{l^2} \cdot \cos\theta \\[2.0ex] &= \frac{2kq\cos\theta}{l^2}
\end{aligned}
$$

もし天井のO点にプラスの電気を帯びた小さな粒を置いたら、どちら向きに力を受けるかを考える問題です。Aの玉（プラス）とBの玉（プラス）は、どちらもO点に置いた粒を反発します。AはA→Oの向きに、BはB→Oの向きに力を及ぼします。この2つの力は、ちょうど綱引きのように斜め上向きに働きます。左右に引っ張る成分は打ち消し合うので、合わさった力は真上を向きます。この真上を向く力の大きさを計算します。

合成電場の向きは鉛直上向き、強さは \(\displaystyle\frac{2kq\cos\theta}{l^2}\) です。
\(\theta=0\) のとき（A,Bが真下にあるとき）、\(\cos\theta=1\) で電場は最大値 \(\displaystyle\frac{2kq}{l^2}\) となり、\(\theta=90^\circ\) のとき（A,Bが水平に並んだとき）、\(\cos\theta=0\) で鉛直成分は0となり、物理的に妥当です。

問(3)

思考の道筋とポイント
電位はスカラー量です。したがって、点Oにおける合成電位 \(V\) は、Aが作る電位 \(V_{\text{A}}\) とBが作る電位 \(V_{\text{B}}\) の単純な足し算（スカラー和）で求められます。ベクトルのような向きの考慮は不要です。

この設問における重要なポイント

• 電位はスカラー: 電位には向きがありません。複数の電荷が作る電位は、それぞれの電位を単純に足し合わせるだけでOKです。
• 点電荷の電位: 点電荷 \(q\) から距離 \(r\) の点の電位は \(V = k\displaystyle\frac{q}{r}\) で与えられます。

具体的な解説と立式
点Oにおける、小球Aによる電位を \(V_{\text{A}}\)、小球Bによる電位を \(V_{\text{B}}\) とします。
点電荷 \(q\) から距離 \(r\) の点につくられる電位の公式 \(V = k\displaystyle\frac{q}{r}\) を用います。
A, BともにO点からの距離は \(l\) なので、それぞれの電位は、
$$ V_{\text{A}} = k\frac{q}{l} \quad \cdots ① $$
$$ V_{\text{B}} = k\frac{q}{l} \quad \cdots ② $$
電位はスカラー量なので、点Oでの合成電位 \(V\) はこれらの和となります。
$$ V = V_{\text{A}} + V_{\text{B}} \quad \cdots ③ $$

③式に①式と②式の値を代入して \(V\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
V &= k\frac{q}{l} + k\frac{q}{l} \\[2.0ex] &= \frac{2kq}{l}
\end{aligned}
$$

電位は「電気的な位置エネルギーの高さ」のようなものです。Aの玉がO点につくる「高さ」と、Bの玉がO点につくる「高さ」を単純に足し算すれば、O点の総合的な「電気的な高さ」がわかります。向きを考える必要がないので、計算はとてもシンプルです。

点Oの電位は \(\displaystyle\frac{2kq}{l}\) です。電位は距離に反比例するため、この結果は妥当です。

問(4), (5)

思考の道筋とポイント
小球Aは静止しているため、Aにはたらく全ての力のベクトル和はゼロになります（力のつりあい）。Aにはたらく力は、①糸の張力 \(\vec{T}\)、②重力 \(m\vec{g}\)、③Bからの静電気力 \(\vec{F}\) の3つです。これらの力のつりあいを考えるために、力を水平方向と鉛直方向に分解し、それぞれの方向で「力の和がゼロ」という式を立てます。得られた2つの連立方程式を解くことで、未知数である張力 \(T\) と質量 \(m\) を求めます。

この設問における重要なポイント

• 力の図示: 小球Aにはたらく3つの力を、向きと作用点を正確に図示することが最も重要です。張力は糸に沿って斜め上向き、重力は鉛直下向き、静電気力は水平右向きです。
• 力の分解: 斜めを向いている張力 \(\vec{T}\) を、水平成分 \(T\sin\theta\) と鉛直成分 \(T\cos\theta\) に分解します。
• つりあいの立式: 水平方向と鉛直方向、それぞれの力の合計がゼロになるように式を立てます。
  • 水平: (右向きの力) – (左向きの力) = 0
  • 鉛直: (上向きの力) – (下向きの力) = 0

具体的な解説と立式
小球Aの質量を \(m\)、糸の張力の大きさを \(T\) とします。小球Aにはたらく力は以下の3つです。

1. 糸の張力 \(\vec{T}\) （糸に沿って斜め上向き）
2. 重力 \(m\vec{g}\) （鉛直下向き）
3. 静電気力 \(\vec{F}\) （水平右向き、(1)で計算済み）

これらの力がつりあっているので、水平方向と鉛直方向の成分に分けてつりあいの式を立てます。
水平方向の力のつりあい:
$$ T\sin\theta – F = 0 \quad \cdots ① $$
鉛直方向の力のつりあい:
$$ T\cos\theta – mg = 0 \quad \cdots ② $$

問(4) 張力 \(T\) の計算
①式を \(T\) について解きます。
$$ T = \frac{F}{\sin\theta} $$
この式に、問(1)で求めた \(F = \displaystyle\frac{kq^2}{4l^2\sin^2\theta}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
T &= \frac{1}{\sin\theta} \cdot \left( \frac{kq^2}{4l^2\sin^2\theta} \right) \\[2.0ex] &= \frac{kq^2}{4l^2\sin^3\theta}
\end{aligned}
$$

問(5) 質量 \(m\) の計算
②式を \(m\) について解きます。
$$ m = \frac{T\cos\theta}{g} $$
この式に、上で求めた \(T = \displaystyle\frac{kq^2}{4l^2\sin^3\theta}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
m &= \frac{1}{g} \cdot \left( \frac{kq^2}{4l^2\sin^3\theta} \right) \cdot \cos\theta \\[2.0ex] &= \frac{kq^2\cos\theta}{4gl^2\sin^3\theta}
\end{aligned}
$$
ここで、\(\tan\theta = \displaystyle\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\) の関係を用いると、\(\displaystyle\frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{1}{\tan\theta}\) なので、式をよりシンプルにできます。
$$
\begin{aligned}
m &= \frac{kq^2}{4gl^2\sin^2\theta} \cdot \frac{\cos\theta}{\sin\theta} \\[2.0ex] &= \frac{kq^2}{4gl^2\sin^2\theta\tan\theta}
\end{aligned}
$$

空中に静止している小球Aには、斜め上に引っ張る「糸の力」、真下に引っ張る「重力」、真横に押す「電気の力」の3つが働いて、完璧にバランスが取れています。このバランスを数式にするため、斜めの力を「横方向の分」と「縦方向の分」に分けます。そして、「左右の力のつりあい」と「上下の力のつりあい」という2つのルールで式を立てます。この2つの式を解くことで、未知数だった「糸の力」と「質量」を求めることができます。

(4) Aにはたらく糸の張力の大きさは \(\displaystyle\frac{kq^2}{4l^2\sin^3\theta}\) です。
(5) Aの質量は \(\displaystyle\frac{kq^2}{4gl^2\sin^2\theta\tan\theta}\) です。
\(\theta\) が小さいとき、\(\sin\theta \approx \tan\theta \approx \theta\) となり、\(T \propto 1/\theta^3\), \(m \propto 1/\theta^3\) となります。角度が少しでも開くためには、非常に大きな張力と質量が必要になることが示唆され、物理的な直感と合致します。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 力のつりあい:
  • 核心: 物体が「静止している」という条件は、その物体にはたらく全ての力のベクトル和がゼロであることを意味します。この問題では、小球Aにはたらく「重力」「静電気力」「張力」の3つの力がつりあっています。
  • 理解のポイント: つりあいを式にするには、ベクトルを成分に分解するのが基本です。水平方向の力の和=0、鉛直方向の力の和=0、という2本の式を立てて連立させるのが王道のアプローチです。
• 電場と電位の重ね合わせの原理:
  • 核心: 複数の電荷が空間のある点につくる電場や電位は、それぞれの電荷が単独でつくるものの「重ね合わせ」で求められます。
  • 理解のポイント: 最も重要なのは、電場がベクトル量（向きを持つ量）であり、電位がスカラー量（大きさだけの量）であるという違いです。したがって、電場を合成するときはベクトルの和（力の合成と同じ）を、電位を合成するときは単純なスカラーの和（ただの足し算）を計算する必要があります。この区別が曖昧だと、(2)と(3)で必ず間違えます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ばねと荷電粒子: 糸の代わりにばねで小球を吊るし、静電気力と弾性力、重力がつりあう問題。
  • 斜面上の荷電粒子: 摩擦のある斜面上に置かれた荷電粒子が、重力、垂直抗力、静電気力、摩擦力によって静止している問題。
  • ローレンツ力との複合問題: 電場だけでなく磁場もかかっている空間で、荷電粒子がローレンツ力、静電気力、重力などを受けて運動または静止する問題。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 物体にはたらく力を全て図示する: これが力学問題の絶対的な第一歩です。重力、張力、静電気力など、考えられる力を漏れなく矢印で描き込みます。
  2. 座標軸を適切に設定する: 水平・鉛直方向のつりあいを考えるなら、水平・鉛直にx-y軸を取るのが最も素直です。
  3. 電場と電位の違いを常に意識する: 問題で電場と電位の両方が問われたら、「ベクトル和」と「スカラー和」というキーワードを頭の中で復唱し、計算方法を混同しないようにします。
  4. 幾何学的な関係を読み取る: クーロンの法則や電場の計算には、電荷間の距離が必要です。図形から三角比などを使って正確に距離を求めることが、計算の前提となります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 電場と電位の計算の混同:
  • 誤解: 電場の合成をスカラー和で計算したり（\(E = E_A + E_B\)）、電位の合成でベクトルの分解を考えたりしてしまう。
  • 対策: 「電場は力（ベクトル）、電位はエネルギー（スカラー）」という物理的なイメージと結びつけて覚えましょう。電場は「+1Cの電荷が受ける力」、電位は「+1Cの電荷が持つ位置エネルギー」です。力は向きが重要ですが、エネルギーの足し算に向きは関係ありません。
• 力の分解における \(\sin\theta\) と \(\cos\theta\) の取り違え:
  • 誤解: 張力\(T\)の鉛直成分を\(T\sin\theta\)、水平成分を\(T\cos\theta\)としてしまう。
  • 対策: 角度\(\theta\)がどの角かを正確に図で確認し、「\(\theta\)を挟む辺が\(\cos\theta\)成分」「\(\theta\)の向かい側の辺が\(\sin\theta\)成分」というように、直角三角形との対応関係をその都度確認する癖をつけましょう。
• クーロンの法則で用いる距離の間違い:
  • 誤解: 小球AとBの間の距離を、糸の長さ\(l\)だと勘違いしてしまう。
  • 対策: クーロンの法則は2つの電荷の「直線距離」で決まります。図をよく見て、A-B間の距離は\(l\)ではなく、\(2l\sin\theta\)であることを幾何学的に導出するプロセスを省略しないことが重要です。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 力の図示: この問題の最重要スキルです。小球Aを点で描き、その点から「重力（真下）」「静電気力（真横）」「張力（斜め上）」の3本の矢印を生やす図を、何よりも先に描きましょう。全ての思考はこの図から始まります。
  • 力のベクトル三角形: 別解で用いた考え方です。3つの力のベクトル（矢印）を、頭と尾が繋がるように移動させてみましょう（\(\vec{F}\)の終点から\(m\vec{g}\)を開始し、その終点から\(\vec{T}\)を開始すると、始点に戻ってくる）。すると、辺の長さが\(F, mg, T\)に対応する直角三角形が描けます。この図を描くことで、力のつりあいが「閉じた多角形」として視覚的に理解でき、三角比の関係が一目瞭然になります。
  • 電場の合成の図示: 点Oに「+1Cの試験電荷」を置いたと想像します。小球A（正電荷）はこの試験電荷をA→Oの向きに反発し、B（正電荷）もB→Oの向きに反発します。この2つの反発力（ベクトル）を矢印で描き、平行四辺形を作図すると、その対角線が合成電場を表します。図の対称性から、対角線が真上を向くことが直感的に理解できます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力のつりあい:
  • 選定理由: 問題文に「静止した」とあるためです。これは物体が加速していない（加速度\(\vec{a}=\vec{0}\)）ことを意味し、運動方程式（\(m\vec{a} = \vec{F}_{\text{合力}}\)）が、力のつりあいの式（\(\vec{F}_{\text{合力}} = \vec{0}\)）となるからです。
  • 適用根拠: ニュートンの運動法則は、我々の身の回りの力学現象を記述する根源的な法則です。
• クーロンの法則 (\(F = k\displaystyle\frac{q_1 q_2}{r^2}\)):
  • 選定理由: 「電荷」にはたらく「静電気力」の大きさを計算するための、電磁気学における基本法則だからです。
  • 適用根拠: 2つの点電荷間に働く力を記述する、実験的に確立された法則です。
• 力のベクトル三角形と三角比:
  • 選定理由: 3つの力（特に、互いに直交する2力と残りの1力）がつりあう状況で、成分分解と連立方程式の計算を簡略化し、幾何学的な関係から直接力の比を求めるために選択します。
  • 適用根拠: ベクトルの和がゼロであること（\(\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}=\vec{0}\)）と、ベクトルを図形的に配置すると閉じた三角形になることは、数学的に等価です。したがって、力のつりあいの問題を、図形の辺の比の問題に置き換えることができます。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) 静電気力の計算:
   • 戦略: クーロンの法則を適用する。そのためにまず電荷間距離を求める。
   • フロー: ①図の幾何学的関係からA-B間の距離 \(r = 2l\sin\theta\) を導出 → ②クーロンの法則 \(F = k\frac{q^2}{r^2}\) に代入して \(F\) を計算。
2. (2), (3) 電場・電位の計算:
   • 戦略: 重ね合わせの原理を、電場（ベクトル和）と電位（スカラー和）の違いを意識して適用する。
   • フロー: ①A, BからOまでの距離が \(l\) であることを確認 → ②A, BがOにつくる電場 \(E_A, E_B\) と電位 \(V_A, V_B\) をそれぞれ計算 → ③電場はベクトルとして合成（対称性から鉛直成分の和を計算）、電位はスカラーとして単純に足し算する。
3. (4), (5) 張力・質量の計算（主たる解法）:
   • 戦略: 力のつりあいを成分分解して連立方程式を解く。
   • フロー: ①Aにはたらく3力（張力、重力、静電気力）を図示 → ②張力を水平・鉛直成分に分解 → ③水平方向のつりあいの式を立て、(4)の張力\(T\)を求める → ④鉛直方向のつりあいの式を立て、(5)の質量\(m\)を求める。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 分数の代入は慎重に: (4)の計算で \(T = \displaystyle\frac{F}{\sin\theta}\) に \(F = \displaystyle\frac{kq^2}{4l^2\sin^2\theta}\) を代入する際、焦って暗算すると分母・分子を間違いやすいです。\(T = \left( \displaystyle\frac{kq^2}{4l^2\sin^2\theta} \right) \div \sin\theta = \left( \displaystyle\frac{kq^2}{4l^2\sin^2\theta} \right) \times \displaystyle\frac{1}{\sin\theta}\) のように、割り算を逆数の掛け算に直すステップを挟むと、\(\sin^3\theta\) が分母に来ることが明確になり、ミスを防げます。
• 文字が多い式の整理: 最終的な答えは \(m = \displaystyle\frac{kq^2}{4gl^2\sin^2\theta\tan\theta}\) のように多くの文字を含みます。計算過程で、数字、定数(\(k, g\))、変数(\(l, q, \theta\))を混同しないよう、一つ一つの項を丁寧に書き写しましょう。
• 三角関数の関係式を使いこなす: (5)の答えは \(\displaystyle\frac{kq^2\cos\theta}{4gl^2\sin^3\theta}\) のままでも間違いではありませんが、模範解答のように \(\tan\theta\) を使って整理すると、より簡潔で見通しが良くなります。\(\displaystyle\frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{1}{\tan\theta}\) の関係に気づけるように、普段から意識しておきましょう。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討（極限チェック）:
  • もし \(\theta \rightarrow 0\) なら: 2つの小球がほぼ接している状態。このとき \(\sin\theta \rightarrow 0\) なので、張力 \(T\) と質量 \(m\) の式の分母がゼロに近づき、\(T \rightarrow \infty\), \(m \rightarrow \infty\) となります。これは「ごくわずかでも糸を開くためには、非常に強い斥力が必要で、それを支えるためには巨大な張力と重さが必要になる」という直感に合致します。
  • もし \(\theta \rightarrow 90^\circ\) なら: 糸が水平になる状態。このとき \(\cos\theta \rightarrow 0\) です。鉛直方向のつりあいの式 \(T\cos\theta = mg\) から、右辺の \(mg\) がゼロでない限り、この式は成り立ちません。つまり、重力がある限り糸が完全に水平になることはない、という物理的に正しい結論を導けます。
• 別解との比較:
  • この問題では、(4)(5)を「成分分解」で解く方法と、「力のベクトル三角形」で解く方法がありました。全く異なるアプローチにもかかわらず、最終的に全く同じ答えにたどり着きました。これは、両方の解法の正しさと、自分の計算の正確さを裏付ける強力な証拠となります。

371 一様な電場内での荷電粒子の運動

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、一様な電場と重力場が共存する空間での荷電粒子の運動を扱います。電位や静電気力がする仕事の定義を正しく理解しているか、そして水平方向（等加速度運動）と鉛直方向（重力下での運動）の運動を独立して分析できるかが問われます。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「電場と重力場における荷電粒子の運動」です。電場による力と重力を分けて考えることが基本となります。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
電場の向きと電位の高低関係、そして一様な電場における電位差の公式 \(V=Ed\) を正しく使えるかが問われます。電場は「電位の坂」を下る向きに生じることを理解していれば、電位の高い点はすぐに判断できます。電位差を計算する際の距離 \(d\) は、電場の向きに沿って測った距離であることに注意が必要です。

この設問における重要なポイント

• 電場と電位の関係: 電場は、電位が高い方から低い方へ向かって生じます。
• 電位差の計算: 一様な電場 \(E\) において、電場の向きに沿った距離 \(d\) だけ離れた2点間の電位差 \(V\) は \(V=Ed\) で与えられます。
• 幾何学的関係: 点Pと点Rの電位差を考える際、重要なのは電場方向の距離、すなわち水平距離です。図から、P-R間の水平距離は \(l\cos\theta\) となります。

具体的な解説と立式
電場は水平右向きに生じているため、電位は左側（面A側）が高く、右側（面B側）が低くなります。点Pは点Rよりも左側にあります。より正確には、点Pと点Rの電位差は、PとQの電位差に等しくなります（RとQは同じ鉛直面上にあるため、等電位面上にある）。点Pは面A上に、点Qは面B上にあるため、点Pの方が電位が高いです。

次に、電位差 \(V\) を求めます。求める電位差は、点Pと点Rの電位差ですが、これは点Pと点Qの電位差に等しいです。
点Pと点Qの、電場の向きに沿った距離（水平距離） \(d\) は、図より、
$$ d = l\cos\theta \quad \cdots ① $$
一様な電場と電位差の関係式 \(V=Ed\) を用いて、電位差 \(V\) は、
$$ V = E \cdot d \quad \cdots ② $$

②式に①式を代入して \(V\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
V &= E \cdot (l\cos\theta) \\[2.0ex] &= El\cos\theta
\end{aligned}
$$

電場は「電気的な坂道」のようなもので、必ず高い方から低い方へ向かいます。この問題では電場が右向きなので、電気的な坂は左が高く右が低いことになります。P点とR点を比べると、P点の方が左側にあるので、P点の方が電位が高いです。電位差（坂の高さの差）は、「坂の傾き（電場の強さ \(E\)）」に「坂の向きに沿って進んだ距離（水平距離 \(d\)）」を掛けることで計算できます。

電位が高いのは点Pで、その電位差は \(El\cos\theta\) です。この結果は、電場の定義と公式に沿ったものであり、妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
静電気力がする仕事 \(W\) を計算する問題です。仕事の定義式 \(W = Fx\cos\phi\) を用いて直接計算する方法が模範解答のアプローチです。ここで \(F\) は静電気力の大きさ、\(x\) は移動距離、\(\phi\) は力と移動の向きのなす角です。

この設問における重要なポイント

• 静電気力: 正電荷 \(q\) が電場 \(E\) から受ける静電気力 \(F\) の大きさは \(F=qE\) で、向きは電場の向きと同じ（右向き）です。
• 仕事の計算: 荷電粒子MはQ→Pへ、つまり右から左へ移動します。移動の向きは左向き、静電気力は右向きなので、力と移動の向きのなす角は \(180^\circ\) です。

具体的な解説と立式
荷電粒子Mが受ける静電気力の大きさ \(F\) は、
$$ F = qE \quad \cdots ① $$
この力の向きは、電場と同じく水平右向きです。
Mを点Qから点Pへ移すとき、移動距離は \(l\cos\theta\) で、移動の向きは水平左向きです。
静電気力 \(\vec{F}\) の向き（右向き）と移動の向き（左向き）のなす角は \(180^\circ\) です。
仕事の定義式 \(W = (\text{力の大きさ}) \times (\text{距離}) \times \cos(\text{なす角})\) より、静電気力がする仕事 \(W_{\text{QP}}\) は、
$$ W_{\text{QP}} = F \cdot (l\cos\theta) \cdot \cos(180^\circ) \quad \cdots ② $$

②式に①式の \(F=qE\) と \(\cos(180^\circ)=-1\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
W_{\text{QP}} &= (qE) \cdot (l\cos\theta) \cdot (-1) \\[2.0ex] &= -qEl\cos\theta
\end{aligned}
$$

荷電粒子をQからPへ動かすとき、電気の力がする仕事を計算します。電気の力は右向きに粒子を引っ張っていますが、粒子はそれに逆らって左向きに動きます。このように、力の向きと反対に物体が動くとき、その力がする仕事はマイナスになります。仕事の大きさは「力の大きさ」×「移動距離」で計算します。

仕事 \(W_{\text{QP}}\) は \(-qEl\cos\theta\) となり、負の値です。これは、静電気力（右向き）に逆らって移動（左向き）させているため、物理的に妥当な結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
問(2)と同様に、静電気力がする仕事を計算します。今回はR→Pという斜めの経路ですが、静電気力は保存力なので、仕事は経路に依らず、始点と終点の電位差のみで決まります。この性質を知っていれば、R→Pの仕事はQ→Pの仕事と等しくなると即座に分かります。ここでは、模範解答に従い、仕事の定義から計算してみます。

この設問における重要なポイント

• 仕事の定義の適用: 力 \(\vec{F}\) と変位 \(\vec{l}\) のなす角が \(\phi\) のとき、仕事は \(W = |\vec{F}| |\vec{l}| \cos\phi\) です。
• ベクトルの成分: 仕事を計算するもう一つの方法は、力を変位の方向の成分に分解することです。静電気力 \(\vec{F}\)（水平右向き）の、変位PRの方向の成分は \(F\cos\theta\) です。ただし、この成分の向きはP→Rの向きです。
• 力と変位の向き: 実際の移動はR→Pなので、力のPR方向成分とは逆向きです。したがって、なす角は \(180^\circ\) となります。

具体的な解説と立式
荷電粒子Mが受ける静電気力 \(\vec{F}\) は、大きさ \(qE\) で水平右向きです。
Mを点Rから点Pへ移すとき、移動経路はR→Pで、距離は \(l\) です。
模範解答で採用されている、力を移動方向に射影する方法で考えます。
静電気力 \(F\) のPR方向の成分の大きさは \(F\cos\theta\) です。この成分の向きはP→Rの向きです。
粒子はR→Pへ、距離 \(l\) だけ移動します。これは力の成分の向きと逆向きなので、なす角は \(180^\circ\) です。
したがって、仕事 \(W_{\text{RP}}\) は、
$$
\begin{aligned}
W_{\text{RP}} &= (F\cos\theta) \cdot l \cdot \cos(180^\circ) \\[2.0ex] &= (qE\cos\theta) \cdot l \cdot (-1) \\[2.0ex] &= -qEl\cos\theta
\end{aligned}
$$

上記立式で計算は完了しています。
$$ W_{\text{RP}} = -qEl\cos\theta $$

今度はRからPへ、斜めに粒子を動かします。このときも、右向きに働く電気の力に逆らって左方向へ動いている成分があります。電気の力がする仕事は、実は移動経路がまっすぐでも斜めでも関係なく、結局「横方向にどれだけ動いたか」だけで決まります。R→Pの移動は、横方向にはQ→Pと同じだけ動いているので、仕事の量も(2)と全く同じになります。

仕事 \(W_{\text{RP}}\) は \(-qEl\cos\theta\) となり、(2)の \(W_{\text{QP}}\) と完全に一致しました。これは静電気力が保存力であり、その仕事が経路に依らないことを示しています。物理的に非常に重要な性質の現れです。

問(4)

思考の道筋とポイント
P点で静かにはなされた荷電粒子は、水平方向には静電気力 \(F=qE\) を受けて等加速度運動をします。鉛直方向には重力のみが働きますが、この設問では水平方向の運動（面Bへの到達）のみが問われているため、鉛直方向の運動は無視して考えます。

この設問における重要なポイント

• 運動の分離: 水平方向の運動と鉛直方向の運動は独立しています。
• 水平方向の運動: 初速度0、一定の力 \(F=qE\) を受ける等加速度直線運動です。
• 運動方程式と運動学の公式: 運動方程式 \(ma=F\) から加速度 \(a\) を求め、等加速度運動の公式 \(x = v_0 t + \frac{1}{2}at^2\) を使って時間 \(t\) を求めます。

具体的な解説と立式
荷電粒子Mにはたらく水平方向の力は、静電気力 \(F=qE\) のみです。
水平方向の運動方程式を立て、加速度 \(a\) を求めます。
$$ ma = qE \quad \cdots ① $$
よって、
$$ a = \frac{qE}{m} \quad \cdots ② $$
粒子は点Pから面Bまで、水平方向に距離 \(l\cos\theta\) を移動します。
初速度は0なので、等加速度直線運動の変位の式 \(x = \frac{1}{2}at^2\) を用いて、
$$ l\cos\theta = \frac{1}{2}at^2 \quad \cdots ③ $$

③式に②式の \(a\) を代入し、\(t\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
l\cos\theta &= \frac{1}{2} \left(\frac{qE}{m}\right) t^2 \\[2.0ex] t^2 &= \frac{2ml\cos\theta}{qE}
\end{aligned}
$$
\(t>0\) なので、
$$ t = \sqrt{\frac{2ml\cos\theta}{qE}} $$

P点に置いた粒子は、電気の力で右向きに引っ張られて加速していきます。これは、坂道をボールが転がり落ちるのと同じ「等加速度運動」です。まず、運動方程式（ニュートンの第二法則）から加速度を計算します。次に、P点から面Bまでの距離を、この加速度で進むのにかかる時間を、運動学の公式を使って計算します。

時間は \(\sqrt{\frac{2ml\cos\theta}{qE}}\) となります。質量 \(m\) が大きいほど、また電気量 \(q\) や電場 \(E\) が小さいほど、時間がかかるという結果は、物理的な直感と一致しています。

問(5)

思考の道筋とポイント
この運動は、水平方向には(4)と同じ等加速度運動、鉛直方向には初速度 \(v_0\) の鉛直投げ上げ運動を組み合わせた「放物運動」のような運動になります。粒子が点Qに到達するということは、(4)で求めた時間 \(t\) が経過したときに、ちょうど鉛直方向の変位が0になっていればよい、と考えます。

この設問における重要なポイント

• 運動の合成: 水平方向の運動と鉛直方向の運動を、同じ時間 \(t\) で結びつけて考えます。
• 鉛直方向の運動: 初速度 \(v_0\) で上向き、重力加速度 \(g\) が下向きにはたらく鉛直投げ上げ運動です。
• 到達条件: 時間 \(t\) 後の鉛直方向の変位 \(y\) が0になることが、点Qに到達するための条件です。

具体的な解説と立式
粒子がPからQに到達するまでの時間は、水平距離 \(l\cos\theta\) を移動する時間なので、(4)で求めた \(t\) と同じです。
$$ t = \sqrt{\frac{2ml\cos\theta}{qE}} \quad \cdots ① $$
この時間 \(t\) の間に、鉛直方向の運動を考えます。初速度 \(v_0\) の鉛直投げ上げなので、時間 \(t\) 後の鉛直変位 \(y\) は、
$$ y = v_0 t – \frac{1}{2}gt^2 \quad \cdots ② $$
点Qに到達するとき、鉛直変位は \(y=0\) となります。
$$ 0 = v_0 t – \frac{1}{2}gt^2 $$
\(t>0\) なので、両辺を \(t\) で割ることができます。
$$ v_0 – \frac{1}{2}gt = 0 $$
よって、
$$ v_0 = \frac{1}{2}gt \quad \cdots ③ $$

③式に①式の \(t\) を代入して \(v_0\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
v_0 &= \frac{g}{2} \sqrt{\frac{2ml\cos\theta}{qE}} \\[2.0ex] &= g \sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{2ml\cos\theta}{qE}} \\[2.0ex] &= g \sqrt{\frac{ml\cos\theta}{2qE}}
\end{aligned}
$$

P点から真上に投げ上げた粒子が、電気の力で右に流されながら、ちょうどQ点に落ちてくるための初速度を求める問題です。まず、粒子がPからQの真横まで移動するのにかかる時間は(4)で計算済みです。この時間と全く同じ時間で、投げ上げた粒子が元の高さに戻ってくればOKです。鉛直投げ上げ運動で、ある時間後に元の高さに戻るための初速度を、運動学の公式を使って計算します。

初速度 \(v_0\) は \(g \sqrt{\frac{ml\cos\theta}{2qE}}\) となります。重力 \(g\) が大きいほど、また水平方向の移動に時間がかかる（\(m\) が大きい、\(qE\) が小さい）ほど、高く打ち上げる必要があり、\(v_0\) が大きくなるという結果は物理的に妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動の独立性（運動の分離）:
  • 核心: 荷電粒子にはたらく力が、水平方向（静電気力）と鉛直方向（重力）で互いに直交し、独立しています。このため、全体の運動を「水平方向の等加速度運動」と「鉛直方向の投げ上げ運動」という2つの単純な運動の組み合わせとして分析できます。
  • 理解のポイント: この考え方は、斜方投射を水平方向の等速直線運動と鉛直方向の鉛直投げ上げに分けて考えるのと全く同じです。複雑な運動も、直交する成分に分解すれば、それぞれを個別に扱うことができる、という力学の非常に強力な原則です。
• 仕事とエネルギーの関係:
  • 核心: 静電気力がする仕事は、仕事の定義式 \(W=Fx\cos\phi\) からも、電位差を用いた関係式 \(W=q(V_{\text{始}}-V_{\text{終}})\) からも求めることができます。
  • 理解のポイント: 特に、静電気力は「保存力」であるため、その仕事は移動経路に依らず、始点と終点の位置（電位差）だけで決まるという性質が重要です。(2)のQ→Pの仕事と(3)のR→Pの仕事が同じ値になるのは、この性質の現れです。このことを理解していれば、(3)は計算するまでもなく(2)と同じ答えになると分かります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 斜方投射と一様電場: 荷電粒子を斜めに打ち出す問題。重力と静電気力が同じ向き（または逆向き）に働く場合、見かけの重力加速度が変わっただけの斜方投射として扱えます。
  • 磁場中での荷電粒子の運動（ローレンツ力）: 電場に加えて磁場もかかっている場合。荷電粒子は速度に垂直な向きにローレンツ力を受け、円運動やらせん運動をします。
  • コンデンサー内の電子の運動: 極板間の電場は一様とみなせるため、この問題と考え方は同じです。電子（負電荷）なので、力の向きが電場と逆になる点に注意が必要です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 力の方向を分析する: まず、物体にはたらく力（この問題では静電気力と重力）を全て図示します。それらの力がどの方向を向いているかを確認します。
  2. 運動を分解できないか検討する: 力が互いに直交する成分に分けられる場合、「運動の分離」が使えないか考えます。これが最も強力な解法になることが多いです。
  3. エネルギー保存則が使えるか検討する: 始点と終点の状態だけが問われている場合（特に、速さを問う問題）、エネルギー保存則が有効なことが多いです。ただし、この問題の(5)のように、複数の力が異なる方向に働く場合は、運動学の公式の方が簡潔な場合もあるため、両方のアプローチを念頭に置くことが重要です。
  4. 「仕事」が問われたら、2つのルートを考える: 仕事を問われたら、①仕事の定義 \(W=Fx\cos\phi\) で計算するルートと、②電位差 \(W=qV\) で計算するルートの2つを常に思い浮かべましょう。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 電位差を計算するときの距離 \(d\) の取り方:
  • 誤解: \(V=Ed\) の公式を使う際に、2点間の直線距離をそのまま \(d\) としてしまう。例えば、P-R間の電位差を \(El\) と計算してしまう。
  • 対策: 公式 \(V=Ed\) の \(d\) は、必ず「電場の向きに沿った距離」であることを徹底しましょう。電場に垂直な方向（この問題では鉛直方向）に移動しても電位は変化しません。したがって、P-R間の電位差は、P-Q間の電位差と同じになります。
• 仕事の符号の間違い:
  • 誤解: 静電気力がする仕事の正負を間違える。
  • 対策: 力の向きと移動の向きを常に図示して確認しましょう。同じ向きなら仕事は正、逆向きなら負、直角ならゼロです。また、「電位」で考える方法も有効です。正電荷が電位の高い方へ移動するとき、力に逆らうので仕事は負。電位の低い方へ移動するとき、力と同じ向きなので仕事は正、と覚えましょう。
• 水平運動と鉛直運動の混同:
  • 誤解: (4)で水平方向の運動を考えるべきなのに、重力の影響を入れてしまったり、(5)で鉛直方向の運動を考えるべきなのに、静電気力の影響を入れてしまったりする。
  • 対策: 「水平方向の運動方程式」「鉛直方向の運動方程式」と、はっきりと分けて式を立てる習慣をつけましょう。そして、両者を結びつけるのは時間 \(t\) のみである、と意識することが重要です。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 等電位線をイメージする: 電場が水平右向きなので、等電位線（面）はそれに垂直な鉛直面になります。面Aや面Bが等電位面です。点Qと点Rは同じ鉛直線上にあるので、同じ等電位面上にあり、\(V_{\text{Q}}=V_{\text{R}}\) であることが視覚的に理解できます。このイメージがあれば、(3)の仕事が(2)と同じになる理由も直感的にわかります。
  • 運動の軌跡を図示する: (5)の運動は、P点から鉛直上向きに打ち上げられ、右向きの静電気力によって軌道が曲げられ、ちょうどQ点に着地する放物線に似た軌道を描きます。この軌跡をイメージすることで、「水平方向には \(l\cos\theta\) 進み」「鉛直方向には元の高さに戻ってくる」という2つの条件を、時間 \(t\) で結びつければよい、という解法の道筋が見えやすくなります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(V=Ed\) (一様な電場と電位差):
  • 選定理由: 問題文に「一様な電場」と明記されており、電位差を求める必要があるため、この公式が最も直接的です。
  • 適用根拠: 電場の定義 \(E = – \frac{dV}{dx}\) を、電場が一定の条件で積分した結果がこの式です。一様な電場という特殊な状況下で成り立つ、非常に便利な関係式です。
• 運動方程式 \(ma=F\) と運動学の公式:
  • 選定理由: 粒子が「力を受けて運動する」という、まさに力学の根幹をなす現象だからです。特に、力が一定（静電気力も重力も一定）であるため、加速度も一定となり、等加速度運動の公式が全面的に適用できます。
  • 適用根拠: 運動の第2法則は、力の効果（加速度）を記述する基本法則です。等加速度運動の公式は、この法則を積分して得られる、時間、変位、速度の関係式であり、加速度が一定の運動を解析するための標準的なツールです。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) 電位差の計算:
   • 戦略: 電場の向きから電位の高低を判断し、公式 \(V=Ed\) を適用する。
   • フロー: ①電場は左から右へ向かうので、Pの方がRより電位が高いと判断 → ②PとRの電場方向の距離 \(d=l\cos\theta\) を求める → ③\(V=Ed\) に代入して電位差を計算。
2. (2), (3) 仕事の計算:
   • 戦略: 仕事の定義式 \(W=Fx\cos\phi\) を使うか、電位差の関係式 \(W=qV\) を使う。
   • フロー（定義式）: ①静電気力 \(F=qE\) を計算 → ②移動経路と力の向きのなす角 \(\phi\) を特定 → ③\(W=F \cdot (\text{距離}) \cdot \cos\phi\) に代入。
   • フロー（電位差）: ①始点と終点の電位差 \(V_{\text{始}}-V_{\text{終}}\) を(1)の結果から求める → ②\(W=q(V_{\text{始}}-V_{\text{終}})\) に代入。
3. (4), (5) 運動の解析:
   • 戦略: 運動を水平と鉛直に分離し、それぞれを等加速度運動として扱う。時間 \(t\) を共通のパラメータとして両者を結びつける。
   • フロー: ①【水平】運動方程式から加速度 \(a\) を求める → ②【水平】変位の公式から面Bまでの時間 \(t\) を計算（(4)の答え） → ③【鉛直】鉛直投げ上げの変位の式を立てる → ④【鉛直】時間 \(t\) のときに変位 \(y=0\) となる条件から、初速度 \(v_0\) を計算（(5)の答え）。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 平方根の計算: (5)の計算で、\(v_0 = \frac{g}{2} \sqrt{\dots}\) のように、ルートの外にある係数を中に入れる際は、2乗して入れる（\(\frac{g}{2} = \sqrt{\frac{g^2}{4}}\)）ことを忘れないようにしましょう。これにより、ルートの中身を正しく約分できます。
• 文字の代入は最後に: (5)の計算では、まず \(v_0 = \frac{1}{2}gt\) という関係式を導き、最後に(4)で求めた \(t\) の具体的な式を代入しています。このように、計算の最終段階まで記号のまま計算を進めることで、途中の式が簡潔になり、見通しが良くなってミスが減ります。
• 単位や次元の確認: 例えば、(5)で求めた \(v_0\) の次元が速度の次元 ([L][T]\(^{-1}\)) になっているかを確認する（次元解析）のも有効な検算方法です。\(g\sqrt{ml/qE}\) の次元を考えると、\(g\)が[L][T]\(^{-2}\)、\(qE\)が力[M][L][T]\(^{-2}\)、\(m\)が[M]、\(l\)が[L]なので、\(\sqrt{ml/qE}\) は \(\sqrt{[M][L]/([M][L][T]^{-2})} = \sqrt{[T]^2} = [T]\) となり、\(g\sqrt{ml/qE}\) の次元は [L][T]\(^{-2}\) \(\times\) [T] = [L][T]\(^{-1}\) となり、速度の次元と一致します。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (4) 時間 \(t\): もし電場 \(E\) や電荷 \(q\) が非常に大きければ、水平方向の力が強くなるので、面Bに到達する時間 \(t\) は短くなるはずです。式の形 \(t = \sqrt{\frac{2ml\cos\theta}{qE}}\) は、分母に \(qE\) があるため、この直感と一致しています。
  • (5) 初速度 \(v_0\): もし重力 \(g\) がなければ、鉛直方向に力を受けないので、初速度は \(v_0=0\) でよいはずです。式の形 \(v_0 = g \sqrt{\dots}\) は、\(g=0\) のとき \(v_0=0\) となり、この直感と一致しています。また、もし電場 \(E\) が非常に強ければ、水平方向の移動時間が非常に短くなるため、その短い時間で元の高さに戻るには、小さな初速度 \(v_0\) で足りるはずです（投げ上げてから元の高さに戻るまでの時間は \(\frac{2v_0}{g}\) だからです）。式の分母に \(\sqrt{E}\) があり、\(E\) が大きいほど \(v_0\) は小さくなるので、この直感とも一致します。
• 別解との比較:
  • (2), (3)の仕事は、「仕事の定義」と「電位差」という2つの異なるアプローチで計算でき、結果が一致しました。これにより、仕事と電位の関係 (\(W=qV\)) の理解が深まり、計算の正しさも確認できます。

372 帯電した棒がつくる電場

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、無限に長い直線状の電荷分布が作る電場について、ガウスの法則を用いて考察するものです。ガウスの法則の概念と、それを利用して対称性の良い電荷分布が作る電場を計算する能力が問われます。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「ガウスの法則を用いた、対称性の良い電荷分布が作る電場の計算」です。問題の誘導に従い、ガウスの法則を段階的に適用していきます。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(ア)

思考の道筋とポイント
ガウスの法則 \(N = 4\pi k_0 Q\) を使って、円筒面を貫く電気力線の本数 \(N\) を求めます。この法則を適用するためには、まず円筒の内部に含まれる総電気量 \(Q\) を求める必要があります。線電荷密度 \(\rho\) の意味を正しく理解することが鍵です。

この設問における重要なポイント

• 内部電荷の計算: 線電荷密度は「1mあたりの電気量」です。したがって、長さ \(L\) の部分に含まれる総電気量 \(Q\) は、\(Q = \rho \times L\) となります。
• ガウスの法則の適用: 上で求めた \(Q\) を、ガウスの法則の公式 \(N = 4\pi k_0 Q\) に代入します。
• 対称性からの考察: 棒は十分に長く、一様に帯電しているため、電気力線は棒に垂直な方向にのみ、放射状に広がります。したがって、円筒の上面と下面（蓋の部分）を貫く電気力線は0本と考えることができます。よって、ガウス面である円筒全体を貫く電気力線の本数は、すべて側面を貫くことになります。

具体的な解説と立式
ガウスの法則を適用するために、まず、長さ \(L\)、半径 \(r\) の円筒の内部に含まれる総電気量 \(Q\) を求めます。
棒の線電荷密度は \(\rho\) [C/m] なので、長さ \(L\) [m] の部分が持つ電気量 \(Q\) は、
$$ Q = \rho L \quad \cdots ① $$
ガウスの法則によれば、電荷 \(Q\) から出る電気力線の総本数 \(N\) は、
$$ N = 4\pi k_0 Q \quad \cdots ② $$
対称性から、これらの電気力線はすべて円筒の側面を垂直に貫きます。したがって、側面を貫く電気力線の本数はこの \(N\) に等しくなります。

②式に①式を代入して、側面を貫く電気力線の本数 \(N\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
N &= 4\pi k_0 (\rho L) \\[2.0ex] &= 4\pi k_0 \rho L
\end{aligned}
$$

ガウスの法則は、「ある領域をすっぽり覆う架空の箱（この問題では円筒）を考えたとき、箱の表面から湧き出てくる電気力線の総本数は、箱の中に入っている電気の量だけで決まる」という便利なルールです。まず、円筒の中に入っている電気の量を計算します。これは「1mあたりの電気量 \(\rho\)」に「円筒の長さ \(L\)」を掛けるだけです。次に、その電気量をガウスの法則の公式に当てはめれば、電気力線の本数が求まります。

円筒の側面を貫く電気力線の本数は \(4\pi k_0 \rho L\) 本です。電気力線の本数は、内部の電気量 \(\rho L\) に比例するという、ガウスの法則の基本的な関係を示しています。

問(イ)

思考の道筋とポイント
電場の強さ \(E\) は、「単位面積あたりを垂直に貫く電気力線の本数」として定義されます。つまり、電気力線の「密度」が電場の強さを表します。(ア)で求めた電気力線の総本数を、その電気力線が貫いている面の面積（円筒の側面積）で割ることで、電場の強さを求めることができます。

この設問における重要なポイント

• 電場の定義: 電場の強さ \(E\) は、電気力線の面密度に等しい。\(E = \displaystyle\frac{N}{S}\)
• 側面積の計算: 半径 \(r\)、長さ \(L\) の円筒の側面積 \(S\) は、展開すると縦 \(L\)、横 \(2\pi r\) の長方形になるため、\(S = 2\pi r L\) となります。

具体的な解説と立式
電場の強さ \(E\) は、単位面積を垂直に貫く電気力線の本数で定義されます。
棒からの距離が \(r\) の点、すなわち円筒の側面における電場の強さ \(E\) は、(ア)で求めた側面を貫く電気力線の本数 \(N\) を、側面の面積 \(S\) で割ることで求められます。
$$ E = \frac{N}{S} \quad \cdots ① $$
円筒の側面積 \(S\) は、
$$ S = 2\pi r L \quad \cdots ② $$
(ア)で求めた電気力線の本数は、
$$ N = 4\pi k_0 \rho L \quad \cdots ③ $$

①式に②式と③式を代入して、電場の強さ \(E\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
E &= \frac{4\pi k_0 \rho L}{2\pi r L} \\[2.0ex] &= \frac{2k_0 \rho}{r}
\end{aligned}
$$

電場の強さは、電気力線がどれくらい混み合っているか、という「密度」で表されます。(ア)で、円筒の側面全体を貫く電気力線の総本数を計算しました。この総本数を、側面全体の面積で割ってあげることで、「1平方メートルあたりの電気力線の本数」がわかります。これが、そのまま電場の強さになります。

棒から距離 \(r\) の位置での電場の強さは \(\displaystyle\frac{2k_0 \rho}{r}\) です。この結果は、電場の強さが距離 \(r\) に反比例することを示しています。点電荷の電場が \(r^2\) に反比例するのとは異なる、重要な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ガウスの法則 (\(N = 4\pi k_0 Q\)):
  • 核心: この問題の根幹をなす法則です。「任意の閉じた曲面（ガウス面）を貫く電気力線の正味の本数は、その曲面内部にある電気量の総和 \(Q\) に比例する」という、電場の基本的な性質を表します。
  • 理解のポイント: この法則の強力な点は、内部の電荷の配置や、外部にどんな電荷があろうとも、内部の総電荷だけで電気力線の総本数が決まるという点です。複雑な電荷分布でも、対称性の良いガウス面を適切に設定することで、電場の計算が劇的に簡単になります。
• 電場の強さと電気力線密度の関係 (\(E = N/S\)):
  • 核心: 電場の強さ \(E\) は、物理的には「その場所での電気力線の混み具合（面密度）」として定義されます。
  • 理解のポイント: ガウスの法則が電気力線の「総本数」を与えるのに対し、この関係式は「密度」と「強さ」を結びつけます。ガウスの法則とこの定義を組み合わせること（別解のアプローチ \(ES = 4\pi k_0 Q\)）が、電場を求める際の定石となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 球対称な電荷分布: 中身の詰まった球や、球殻状に電荷が分布している場合。ガウス面として、同心球を考えることで、球の外側や内側の電場を計算できます。
  • 無限に広い板状の電荷分布: 無限に広い平面に電荷が一様に分布している場合。ガウス面として、板を貫く円柱や角柱を考えることで、場所によらない一様な電場が作られることを導けます。
  • 導体球や導体殻: 導体内部の電場がゼロであるという性質とガウスの法則を組み合わせることで、導体表面の電荷分布などを解析する問題。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 電荷分布の対称性を見抜く: ガウスの法則が有効なのは、電荷分布に対称性がある場合です。問題文から「無限に長い（円筒対称）」「球状（球対称）」「無限に広い（平面対称）」といったキーワードを読み取り、どのような対称性があるかをまず把握します。
  2. 適切なガウス面を設定する: 見抜いた対称性に合わせて、ガウス面を選びます。円筒対称なら「円筒」、球対称なら「球面」が基本です。ガウス面上で電場の強さが一定になり、かつ電場ベクトルが面に垂直（または平行）になるように設定するのがコツです。
  3. ガウス面の内部にある電荷を正確に計算する: 設定したガウス面の中に、どれだけの電気量が含まれているかを計算します。体積電荷密度、面電荷密度、線電荷密度など、与えられた密度に応じて正しく計算することが重要です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 内部電荷の計算ミス:
  • 誤解: 線電荷密度 \(\rho\) [C/m] を、そのまま電気量 \(Q\) として使ってしまう。
  • 対策: 密度の単位を常に意識しましょう。\(\rho\) は「1mあたり」の電気量なので、長さ \(L\) の部分の電気量は \(\rho \times L\) となります。体積密度なら体積を、面積密度なら面積を掛ける必要があります。
• 面積の計算ミス:
  • 誤解: 円筒の側面積を、円の面積 \(\pi r^2\) や球の表面積 \(4\pi r^2\) と混同してしまう。
  • 対策: 円筒の側面を展開すると、縦が \(L\)、横が円周 \(2\pi r\) の長方形になることをイメージしましょう。これにより、側面積は \(2\pi r L\) であることが確実にわかります。
• ガウスの法則の適用範囲の誤解:
  • 誤解: ガウスの法則はどんな状況でも使える万能な法則だと考え、対称性のない電荷分布（例：有限の長さの棒）に対しても無理に適用しようとする。
  • 対策: ガウスの法則自体は常に成り立ちますが、「電場の計算」に使えるのは、対称性によって \(E\) がガウス面上で一定とみなせる場合に限られる、と理解しましょう。対称性がない場合は、クーロンの法則を積分するなど、別の複雑な計算が必要になります。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 電気力線の放射状の広がり: 「十分に長い棒」から出る電気力線は、棒の上下方向の影響が打ち消しあうため、棒に垂直な方向に、まるでハリネズミの針のように放射状に広がっていく様子をイメージします。このイメージがあれば、円筒の上面と下面を貫く電気力線が0であり、側面だけを考えればよいことが直感的に理解できます。
  • ガウス面としての円筒: 帯電した棒を芯にして、トイレットペーパーをかぶせるようなイメージで、ガウス面である円筒を想像します。芯（棒）から放射状に出た電気力線が、トイレットペーパーの側面を垂直に突き抜けていく様子を思い浮かべると、電場と側面が垂直であることや、側面上で電場の強さが一定であることが納得しやすくなります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• ガウスの法則 (\(N = 4\pi k_0 Q\)):
  • 選定理由: 点電荷ではなく、「無限に長い棒」という連続的に分布した電荷が作る電場を求める問題だからです。このような対称性の良い電荷分布に対して、クーロンの法則を積分するよりもはるかに簡単に電場を求めることができる、最も強力なツールがガウスの法則です。
  • 適用根拠: この法則は、クーロンの法則と等価な、電場に関する基本法則（マクスウェル方程式の一つ）です。電荷が存在すれば、そのまわりに必ずこの法則に従う電場が形成されます。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (ア) 電気力線の本数の計算:
   • 戦略: ガウスの法則を適用する。
   • フロー: ①ガウス面（円筒）内部の総電荷 \(Q\) を計算する (\(Q=\rho L\)) → ②ガウスの法則の公式 \(N=4\pi k_0 Q\) に代入する → ③対称性から、この \(N\) がすべて側面を貫く本数であると結論づける。
2. (イ) 電場の強さの計算:
   • 戦略: 電場の強さが電気力線の密度であることを利用する。
   • フロー: ①(ア)で求めた本数 \(N\) を分子にする → ②電気力線が貫く面積、すなわち円筒の側面積 \(S=2\pi rL\) を計算し、分母にする → ③\(E = N/S\) を計算する。
3. 別解のロジカルフロー:
   • 戦略: 「電気力線の本数」を仲介として、2つの物理法則を等式で結び、直接電場を求める。
   • フロー: ①電場の定義から \(N=ES\) を立式 → ②ガウスの法則から \(N=4\pi k_0 Q\) を立式 → ③両式を結合して \(ES = 4\pi k_0 Q\) という方程式を作る → ④この方程式を解いて \(E\) を求める（(イ)の答え） → ⑤求めた \(E\) または \(Q\) を使って \(N\) を計算する（(ア)の答え）。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字の約分を丁寧に行う: (イ)の計算 \(E = \frac{4\pi k_0 \rho L}{2\pi r L}\) では、多くの文字や定数が含まれます。数字（4と2）、定数（\(\pi\)、\(k_0\)）、変数（\(\rho, L, r\)）を一つずつ確認しながら、落ち着いて約分しましょう。特に、分母と分子の両方にある \(L\) や \(\pi\) を消し忘れないように注意が必要です。
• 最終的な式の形を意識する: (イ)の答え \(\displaystyle\frac{2k_0 \rho}{r}\) は、点電荷の電場 \(k_0 \frac{Q}{r^2}\) と形が似ていますが、距離への依存性が \(1/r\) と \(1/r^2\) で異なります。このような代表的な結果の形を覚えておくと、自分の計算結果が妥当かどうかを判断する一つの材料になります。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (イ) 電場の強さ: 電場の強さが \(\displaystyle\frac{2k_0 \rho}{r}\) となり、距離 \(r\) に反比例するという結果。これは、電荷が線状に分布しているため、点電荷 (\(1/r^2\)) ほど急激には弱まらず、しかし距離が離れると弱まる、という直感に合致します。また、線電荷密度 \(\rho\) が大きいほど電場が強くなるという点も妥当です。
  • 次元の確認: \(k_0\) の単位は [N·m²/C²]、\(\rho\) の単位は [C/m]、\(r\) の単位は [m] です。したがって、\(\frac{k_0 \rho}{r}\) の単位は \(\frac{[\text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2] \cdot [\text{C}/\text{m}]}{[\text{m}]} = [\text{N}/\text{C}]\) となり、これは電場の強さの単位と正しく一致します。
• 別解との比較:
  • この問題では、「(ア)→(イ)」の順で解く方法と、「(イ)→(ア)」の順で解く別解がありました。異なる思考プロセスを経ても同じ結論に達したことは、ガウスの法則と電場の定義の関係性を正しく理解できていることの証拠となります。

373 帯電した球体がつくる電場

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、球対称な電荷分布が作る電場を、ガウスの法則を用いて求める典型問題です。(1), (2)では「導体球」、(3)では「一様に帯電した絶縁体の球」と、異なる状況設定における電場の違いを理解することが重要です。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「ガウスの法則を用いた球対称な電場の計算」です。導体と絶縁体（一様帯電）での電荷分布の違いが、内部の電場にどう影響するかを理解することが核心です。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
導体の最も基本的な性質に関する問題です。静電誘導により、導体内部の自由電子が移動し、外部から加えられた電場や、自身の持つ電荷が作る電場を打ち消します。その結果、静電状態にある導体の内部では、電場は常にゼロになります。

この設問における重要なポイント

• 導体の静電平衡: 導体が静電状態（電荷の移動が止まった状態）にあるとき、導体内部のどの点においても電場の強さは0です。
• 電荷の分布: 導体に与えられた過剰な電荷（この問題では \(Q\)）は、互いに反発しあって最も離れようとするため、すべて導体の表面に分布します。

具体的な解説と立式
静電状態にある導体の内部では、電場は存在しません。もし電場が存在すると、導体内の自由電子がその電場から力を受けて移動を開始してしまい、「静電状態」という仮定に反するからです。
したがって、導体球Aの内部 (\(0 < r < a\)) における電場の強さは0です。

ガウスの法則で考えても同じ結論に至ります。
導体球Aの内部に、中心O、半径\(r\) (\(r<a\))の球面（ガウス面）を考えます。導体に与えられた電荷 \(Q\) はすべて表面に分布するため、このガウス面の内部にある電気量は0です。
$$ Q_{\text{内部}} = 0 $$
ガウスの法則 \(N = 4\pi k Q_{\text{内部}}\) より、このガウス面を貫く電気力線の本数 \(N\) は、
$$
\begin{aligned}
N &= 4\pi k \cdot 0 \\[2.0ex] &= 0
\end{aligned}
$$
電気力線が0本なので、電場の強さも0となります。

上記の考察により、計算は不要です。
電場の強さは \(0\) [N/C]。

金属のような「導体」の中では、電気は自由に動き回れます。もし導体の内部に電場（電気的な力の流れ）があったら、中の電子がその力で動き出してしまい、落ち着いた状態（静電状態）にはなれません。したがって、落ち着いている導体の内部では、電場は必ずゼロになっています。

導体球内部の電場は \(0\) [N/C] です。これは導体の基本的な性質であり、必ず覚えておくべき重要な結論です。

問(2)

思考の道筋とポイント
導体球の外側の電場を、ガウスの法則を用いて求めます。電場を求めたい点（中心から距離 \(r\)）を通るような、球対称なガウス面（中心O、半径\(r\)の球面）を設定するのが定石です。

この設問における重要なポイント

• ガウス面の設定: 導体球Aを同心円状に囲む、半径 \(r\) (\(r>a\)) の球面Sをガウス面として考えます。
• 対称性: 電荷分布が球対称なので、電場は中心Oから放射状に外向きで、ガウス面S上ではどこでも同じ強さ \(E\) を持ちます。
• ガウスの法則の適用: ガウス面Sを貫く電気力線の総本数 \(N\) は、\(N=ES\) と \(N=4\pi k Q_{\text{内部}}\) の2通りで表せます。これらを等しいとおいて \(E\) を求めます。

具体的な解説と立式
導体球Aの中心Oから距離 \(r\) (\(r>a\)) の点を含む、半径 \(r\) の球面Sをガウス面として設定します。
対称性から、この球面S上での電場の強さ \(E\) は一定で、向きは動径方向（面に垂直）です。
電場の定義から、球面Sを貫く電気力線の本数 \(N\) は、
$$ N = E \times S = E \cdot (4\pi r^2) \quad \cdots ① $$
一方、ガウスの法則より、電気力線の本数 \(N\) は、ガウス面の内部にある総電気量 \(Q_{\text{内部}}\) を用いて表せます。
ガウス面Sの内部には、導体球Aの持つすべての電荷 \(Q\) が含まれているので、
$$ Q_{\text{内部}} = Q $$
よって、
$$ N = 4\pi k Q_{\text{内部}} = 4\pi k Q \quad \cdots ② $$
①と②は同じ \(N\) を表しているので、
$$ E \cdot (4\pi r^2) = 4\pi k Q \quad \cdots ③ $$

③式を \(E\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
E \cdot (4\pi r^2) &= 4\pi k Q \\[2.0ex] E &= \frac{4\pi k Q}{4\pi r^2} \\[2.0ex] &= \frac{kQ}{r^2}
\end{aligned}
$$

球の外側の電場を調べます。ガウスの法則を使うと、面白いことがわかります。球対称に分布した電荷が作る電場は、まるでそのすべての電荷が中心の一点に集まっているかのように振る舞います。つまり、この問題は「中心Oに点電荷Qが置かれているときに、距離rの点にできる電場の強さは？」という、点電荷の電場の問題と全く同じになります。

導体球Aの外部の電場の強さは \(\displaystyle\frac{kQ}{r^2}\) です。これは、中心に点電荷 \(Q\) が存在する場合の電場の式と全く同じです。球対称な電荷分布がつくる外部の電場は、全電荷が中心に集中した点電荷がつくる電場と同じになる、という非常に重要な結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
今度は、電荷が体積全体に一様に分布している球の内部の電場を求めます。考え方は(2)と同じで、ガウスの法則を適用します。ただし、ガウス面の内部に含まれる電荷量を計算する際に、体積電荷密度 \(\rho\) を使う点が異なります。

この設問における重要なポイント

• ガウス面の設定: 球体Bの内部に、中心O、半径 \(r\) (\(r \le a\)) の球面S’をガウス面として考えます。
• 内部電荷の計算: ガウス面S’の内部、すなわち半径 \(r\) の球の体積は \(\frac{4}{3}\pi r^3\) です。体積電荷密度が \(\rho\) なので、この中にある電気量 \(Q’\) は、\(Q’ = \rho \times (\text{体積})\) で計算します。
• 問題文のヒント: 「点Pでの電場は、Oを中心とした半径rの球面の内部にある電荷がつくる電場に等しい」という記述は、ガウスの法則の帰結（球殻定理）を言い換えたものです。このヒントに従い、半径 \(r\) の球面の内側の電荷だけを考えればよいことがわかります。

具体的な解説と立式
球体Bの中心Oから距離 \(r\) (\(r \le a\)) の点Pを含む、半径 \(r\) の球面S’をガウス面として設定します。
この球面S’上での電場の強さを \(E’\) とします。対称性から \(E’\) はS’上で一定です。
電場の定義から、球面S’を貫く電気力線の本数 \(N’\) は、
$$ N’ = E’ \times S’ = E’ \cdot (4\pi r^2) \quad \cdots ① $$
次に、ガウスの法則を適用するために、ガウス面S’の内部にある電気量 \(Q’\) を計算します。
半径 \(r\) の球の体積は \(\frac{4}{3}\pi r^3\) で、体積電荷密度は \(\rho\) なので、
$$ Q’ = \rho \times \left(\frac{4}{3}\pi r^3\right) = \frac{4}{3}\pi r^3 \rho \quad \cdots ② $$
ガウスの法則より、電気力線の本数 \(N’\) は、
$$ N’ = 4\pi k Q’ \quad \cdots ③ $$
①と③は同じ \(N’\) を表しているので、
$$ E’ \cdot (4\pi r^2) = 4\pi k Q’ \quad \cdots ④ $$

④式に②式の \(Q’\) を代入し、\(E’\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
E’ \cdot (4\pi r^2) &= 4\pi k \left( \frac{4}{3}\pi r^3 \rho \right) \\[2.0ex] E’ &= \frac{4\pi k}{4\pi r^2} \left( \frac{4}{3}\pi r^3 \rho \right) \\[2.0ex] E’ &= \frac{k}{r^2} \left( \frac{4}{3}\pi r^3 \rho \right) \\[2.0ex] E’ &= \frac{4}{3}\pi k \rho r
\end{aligned}
$$

今度は、中身まで電荷がぎっしり詰まった球の内部の電場を考えます。この場合もガウスの法則を使います。中心から距離 \(r\) の点の電場を調べたいので、半径 \(r\) の小さな球面を考えます。この電場の強さを決めるのは、この小さな球面の中に入っている電気の量だけです。外側にある電気は、不思議なことに全く影響を与えません。まず、小さな球面の中の電気の量を計算し、それをガウスの法則に当てはめて電場の強さを求めます。

球体Bの内部の電場の強さは \(\displaystyle\frac{4}{3}\pi k \rho r\) です。この結果は、電場の強さが中心からの距離 \(r\) に比例することを示しています。中心(\(r=0\))では電場は0で、球の表面(\(r=a\))に向かうにつれて線形に増加していきます。これは導体球の場合（内部の電場は常に0）とは全く異なる、非常に重要な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ガウスの法則と球対称性:
  • 核心: この問題は、ガウスの法則が球対称な電荷分布に対してどれほど強力なツールであるかを示す絶好の例です。ガウスの法則 \(ES = 4\pi k Q_{\text{内部}}\) を用いることで、複雑な積分計算なしに電場を求めることができます。
  • 理解のポイント: 鍵は「対称性」を最大限に利用することです。球対称な電荷分布が作る電場は、必ず中心から放射状になり、中心からの距離が同じ点では強さも同じになります。この性質のおかげで、ガウス面として同心球面を考えると、計算が \(E \times (球の表面積)\) という単純な掛け算に帰着します。
• 導体と絶縁体（一様帯電）の電荷分布の違い:
  • 核心: 同じ球体でも、導体か絶縁体かによって電荷の分布が全く異なり、それが内部の電場に決定的な違いを生みます。
  • 理解のポイント:
    • 導体: 電荷は互いに反発し、表面にしか存在できません。そのため、内部にガウス面をとると内部電荷は常にゼロとなり、内部の電場もゼロになります。
    • 絶縁体（一様帯電）: 電荷は体積全体に固定されて分布しています。そのため、内部にガウス面をとると、その体積に応じた電荷が内部に含まれることになり、ゼロではない電場が生じます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 多重球殻構造: 半径の異なる導体球殻が何層にも重なっている問題。各領域（殻の内側、殻の間、最も外側など）でガウス面を考え、内部にある総電荷を慎重に数え上げることで、各領域の電場を計算できます。
  • 無限に長い同軸円筒: 中心の導体円柱と、それを取り囲む導体円筒からなる構造。ガウス面として同軸円筒を考えることで、円筒間の電場などを計算できます。（前問372の応用）
  • 万有引力への応用: 実は、質量が作る重力場についても全く同じ形でガウスの法則が成り立ちます。球対称な星の内部や外部の重力（加速度）を計算する問題は、この問題の電場を重力に、電荷を質量に置き換えるだけで、全く同じ手法で解くことができます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 導体か絶縁体かを確認する: 問題文を読み、対象が「導体」なのか、電荷が「一様に分布」しているのか（絶縁体を意味する）を最初に確認します。これにより、電荷が表面のみにあるのか、体積全体にあるのかが決まります。
  2. 電場を求めたい場所は、球の内側か外側か: 求めたい点（距離\(r\)）が、帯電球の半径\(a\)より小さいか大きいかで、ガウス面の内部に含まれる電荷の計算方法が変わります。
  3. ガウス面の内部の電荷 \(Q_{\text{内部}}\) を慎重に計算する:
     • 外部 (\(r>a\)): ガウス面は球全体を覆うので、\(Q_{\text{内部}}\) は球が持つ総電荷に等しくなります。
     • 内部 (\(r<a\)): ガウス面は球の一部しか覆いません。導体なら\(Q_{\text{内部}}=0\)。一様帯電なら、ガウス面の体積分の電荷だけを密度を使って計算する必要があります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 導体と絶縁体の電場の混同:
  • 誤解: 導体球の内部にも電場があると考えてしまったり、逆に一様帯電球の内部の電場をゼロだと勘違いしたりする。
  • 対策: 「導体内部は電場ゼロ」という大原則をまず覚えましょう。そして、なぜそうなるのか（電荷が表面に移動するから）という理由とセットで理解します。絶縁体はそのような電荷移動が起きないため、内部にも電場が存在しうると区別して考えましょう。
• 内部電荷 \(Q’\) の計算ミス:
  • 誤解: (3)で、半径\(r\)のガウス面を考えているのに、内部電荷を球全体の電荷（密度×全体の体積）で計算してしまう。
  • 対策: ガウスの法則は、あくまで「ガウス面の内部にある電荷」だけに関係する法則です。ガウス面の外側にある電荷は、ガウス面を貫く正味の電気力線には影響しません。常に「今考えているガウス面の内側には、どれだけの電荷があるか？」を自問自答する癖をつけましょう。
• 距離 \(r\) の依存性の混同:
  • 誤解: 球の外側でも内側でも、電場は \(1/r^2\) に比例する（あるいは \(r\) に比例する）と勘違いする。
  • 対策: 結果を丸暗記するのではなく、なぜそうなるのかを導出過程とセットで理解しましょう。
    • 外部 (\(r>a\)): 内部電荷が \(Q\) で一定なので、\(E \propto Q/r^2\) となる。
    • 内部 (\(r<a\)): 内部電荷が \(Q’ \propto r^3\) と \(r\) と共に増えるため、\(E \propto Q’/r^2 \propto r^3/r^2 = r\) となり、\(r\) に比例する。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 電場のグラフ化: 横軸に中心からの距離 \(r\)、縦軸に電場の強さ \(E\) をとってグラフを描いてみると、理解が深まります。
    • 導体球A: \(r<a\) で \(E=0\)。\(r=a\) で不連続にジャンプし、\(r>a\) では \(E=kQ/r^2\) に従って減少。
    • 球体B: \(r<a\) で \(E \propto r\) の直線で増加。\(r=a\) で外部の電場 \(E \propto 1/r^2\) のグラフに滑らかに接続し、その後は減少。

    この2つのグラフの違いを視覚的に捉えることで、両者の物理的な違いが明確になります。

  • ガウス面を玉ねぎの皮に見立てる: (3)で、球体Bを玉ねぎに見立てます。中心から距離 \(r\) の点の電場を考えることは、半径 \(r\) のところで玉ねぎの皮をむくイメージです。その点の電場に影響するのは、むいた皮の内側にある部分（電荷）だけであり、外側の皮（電荷）は電場に影響しない（球殻定理）、というイメージを持つと、計算の見通しが良くなります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(ES = 4\pi k Q_{\text{内部}}\) (ガウスの法則の応用形):
  • 選定理由: この問題のように、高い対称性を持つ電荷分布が作る電場を計算するために、特別にカスタマイズされた最も強力な公式だからです。
  • 適用根拠: これは、①ガウスの法則 \(N=4\pi k Q_{\text{内部}}\) と、②電場の定義 \(E=N/S\) という2つの普遍的な法則を、対称性の良い状況下で組み合わせたものです。したがって、対称性さえ満たされていれば、常にこの関係式を用いて \(E\) を求めることができます。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) 導体球・内部:
   • 戦略: 導体の静電平衡の性質を適用する。
   • フロー: ①「静電状態の導体内部の電場は0である」という法則を思い出す → ②結論 \(E=0\)。
2. (2) 導体球・外部:
   • 戦略: ガウスの法則を適用する。
   • フロー: ①半径 \(r (>a)\) の球面をガウス面として設定 → ②ガウス面内部の電荷は \(Q_{\text{内部}}=Q\) → ③ガウス面の面積は \(S=4\pi r^2\) → ④\(ES = 4\pi k Q_{\text{内部}}\) の式に代入し、\(E\) について解く。
3. (3) 一様帯電球・内部:
   • 戦略: ガウスの法則を適用する。内部電荷の計算が鍵。
   • フロー: ①半径 \(r (\le a)\) の球面をガウス面として設定 → ②ガウス面内部の電荷を計算する (\(Q’ = \rho \times \frac{4}{3}\pi r^3\)) → ③ガウス面の面積は \(S=4\pi r^2\) → ④\(E’S = 4\pi k Q’\) の式に代入し、\(E’\) について解く。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• \(\pi\) や \(r\) の次数を慎重に扱う: (3)の計算では、\(E’ \cdot (4\pi r^2) = 4\pi k ( \frac{4}{3}\pi r^3 \rho )\) のように、\(\pi\) や \(r\) が複数回登場し、次数も異なります。両辺を割るときに、指数計算を間違えないように、一つ一つ丁寧に消していくことが重要です。例えば、右辺の \(r^3\) と左辺の \(r^2\) を約分して、右辺に \(r\) が一つ残ることを明確に意識しましょう。
• 定数はまとめて扱う: \(\frac{4}{3}\pi k \rho\) のような部分は、計算の最後まで一つの塊として扱っても良いでしょう。\(E’ = (\frac{4}{3}\pi k \rho) \cdot r\) のように、距離 \(r\) との比例関係を明確に意識することで、計算の見通しが良くなります。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 境界での連続性を確認する:
  • (3)で求めた内部の電場 \(E’ = \frac{4}{3}\pi k \rho r\) において、\(r=a\) を代入してみましょう。\(E’_{r=a} = \frac{4}{3}\pi k \rho a\)。
  • 一方、球体Bの外部(\(r>a\))の電場も(2)と同様に計算できます。球Bの総電荷は \(Q_B = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi a^3\) なので、外部の電場は \(E_{\text{外部}} = \frac{k Q_B}{r^2} = \frac{k}{r^2} (\rho \frac{4}{3}\pi a^3)\)。これに \(r=a\) を代入すると、\(E_{\text{外部}, r=a} = \frac{k}{a^2} (\rho \frac{4}{3}\pi a^3) = \frac{4}{3}\pi k \rho a\)。
  • 内部の電場の \(r=a\) での値と、外部の電場の \(r=a\) での値が一致しました。このように、電場が境界 (\(r=a\)) で滑らかにつながっていることは、計算の正しさを裏付ける強力な証拠になります。（導体球の場合は表面に電荷が密集しているため、電場は不連続になります。）

374 導体球殻と電場

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、中心に点電荷を置いた導体球殻が作る電場について、静電誘導とガウスの法則の観点から考察するものです。導体の性質を正しく理解し、それによって生じる電場の分布を正しくイメージできるかが問われます。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「静電誘導と導体球殻が作る電場」です。導体の性質とガウスの法則を組み合わせることで、一見複雑に見える系の電場を領域ごとに分析していきます。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
中心の正電荷 \(+Q\) が、金属球殻にどのような影響を与えるかを考えます。金属球殻は導体なので、内部の自由電子が力を受けて移動します。この「静電誘導」の結果、どのような電荷分布になるかを、「導体内部の電場は0」という絶対的なルールから導き出します。

この設問における重要なポイント

• 静電誘導: 中心の正電荷 \(+Q\) は、金属球殻内の自由電子（負電荷）を引き寄せ、原子核などに束縛された正電荷を反発させます。
• 導体内部の電場は0: このルールを達成するために、電荷が再配置されます。具体的には、金属球殻の内部（\(2R < r < 3R\) の領域）にガウス面を考えると、その内部の電場が0であるためには、ガウス面の内部にある総電荷が0でなければなりません。
• 電気量保存則: 金属球殻はもともと帯電していないので、誘導によって内側と外側に電荷が現れても、その合計は0でなければなりません。

具体的な解説と立式
1. 中心に正の点電荷 \(+Q\) があるため、金属球殻内の自由電子（負電荷）が引き寄せられ、内側表面（半径 \(2R\) の面）に集まります。
2. このとき、金属球殻の内部（\(2R < r < 3R\) の領域）では電場が0にならなければなりません。この領域にガウス面（中心O、半径 \(r\) の球面）をとって考えると、電場が0であるためには、このガウス面の内部にある総電荷が0である必要があります。ガウス面の内部には、中心の点電荷 \(+Q\) と、内側表面に集まった電荷 \(Q_{\text{内}}\) があります。したがって、
$$ Q + Q_{\text{内}} = 0 $$
これを解くと、
$$ Q_{\text{内}} = -Q $$
となり、内側表面には \(-Q\) の電荷が一様に分布します。
3. 金属球殻は全体として電気的に中性（総電荷0）でした。内側表面に \(-Q\) の電荷が現れたので、電気量保存則から、外側表面（半径 \(3R\) の面）には \(+Q\) の電荷が現れなければなりません。これにより、球殻全体の電荷の合計は \((-Q) + (+Q) = 0\) となり、つじつまが合います。

したがって、電荷分布は以下のようになります。

• 内側表面 (半径 \(2R\)): \(-Q\) の電荷が一様に分布する。
• 外側表面 (半径 \(3R\)): \(+Q\) の電荷が一様に分布する。
• 金属内部 (\(2R < r < 3R\)): 電荷は現れない。

上記の考察により、計算は不要です。

中心にプラスの電荷を置くと、金属球殻の中にあるマイナスの電気（電子）が引き寄せられて内側に集まります。このとき、金属の中の電場をちょうどゼロにするために、ピッタリ \(-Q\) の電気が集まります。もともと金属球殻はプラスマイナスゼロだったので、内側にマイナスが集まった分、外側にはプラスの電気が押し出されます。その結果、外側には \(+Q\) の電気が分布することになります。

金属球殻の内側表面に\(-Q\)、外側表面に\(+Q\)が分布するという結論は、静電誘導と導体の性質から導かれる必然的な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
空間を以下の3つの領域に分けて、それぞれの電場の強さ \(E\) を考えます。
1. 領域1: 球殻の空洞部分 (\(0 < r < 2R\)) 2. 領域2: 金属球殻の内部 (\(2R \le r \le 3R\)) 3. 領域3: 球殻の外側 (\(r > 3R\))

それぞれの領域で、中心O、半径\(r\)の球面をガウス面として設定し、電場を計算します。

この設問における重要なポイント

• 領域1 (\(0 < r < 2R\)): ガウス面の内部にある電荷は、中心の点電荷 \(+Q\) のみです。
• 領域2 (\(2R \le r \le 3R\)): この領域は導体の内部なので、電場は0です。
• 領域3 (\(r > 3R\)): ガウス面の内部にある電荷は、中心の \(+Q\)、内側表面の \(-Q\)、外側表面の \(+Q\) の合計です。

具体的な解説と立式
各領域で、中心O、半径\(r\)の球面をガウス面として考え、\(ES = 4\pi k Q_{\text{内部}}\) を適用します。

領域1: \(0 < r < 2R\) (球殻の空洞部分)

• ガウス面内部の電荷: \(Q_{\text{内部}} = Q\)
• ガウスの法則: \(E \cdot (4\pi r^2) = 4\pi k Q\)
• 電場の強さ: \(E = \displaystyle\frac{kQ}{r^2}\)
  この領域の電場は、中心の点電荷が作る電場そのものです。

領域2: \(2R \le r \le 3R\) (金属球殻の内部)

• 導体の内部なので、議論の余地なく電場の強さは \(E=0\) です。
• ガウスの法則で確認: ガウス面内部の電荷は、中心の \(+Q\) と内側表面の \(-Q\) の合計なので、\(Q_{\text{内部}} = Q + (-Q) = 0\)。よって、\(E \cdot (4\pi r^2) = 0\) となり、\(E=0\) が導かれます。

領域3: \(r > 3R\) (球殻の外側)

• ガウス面内部の電荷: 中心(\(+Q\)) + 内側表面(\(-Q\)) + 外側表面(\(+Q\)) なので、\(Q_{\text{内部}} = Q – Q + Q = Q\)。
• ガウスの法則: \(E \cdot (4\pi r^2) = 4\pi k Q\)
• 電場の強さ: \(E = \displaystyle\frac{kQ}{r^2}\)
  この領域の電場は、まるで中心に点電荷 \(+Q\) が一つだけあるかのような電場になります。

結果のまとめ
$$
E =
\begin{cases}
\displaystyle\frac{kQ}{r^2} & (0 < r < 2R) \\ 0 & (2R \le r \le 3R) \\ \displaystyle\frac{kQ}{r^2} & (r > 3R)
\end{cases}
$$
この結果をグラフで表現すると、

• \(0 < r < 2R\) の区間では、\(1/r^2\) に従って減少する曲線。
• \(2R \le r \le 3R\) の区間では、電場は0。
• \(r > 3R\) の区間では、再び \(1/r^2\) に従って減少する曲線。\(r=3R\) の点で、電場は0から \(kQ/(3R)^2\) へと不連続にジャンプします。

この特徴を持つグラフは ② です。

上記の考察により、計算は完了しています。

電場の様子を3つの場所に分けて見ていきます。
1. 球の中心から内側の表面まで: ここには中心の \(+Q\) の影響しかないので、普通の点電荷が作る電場と同じで、距離の2乗に反比例して弱まっていきます。
2. 金属球殻の中: ここは導体の内部なので、電場は必ずゼロになります。
3. 球殻の外側: 外から見ると、中の \(+Q\) と内側の \(-Q\) は打ち消し合って見えなくなり、結局、外側の表面にある \(+Q\) の影響だけが見えます。これは、まるで中心に \(+Q\) があるのと同じことなので、電場は再び距離の2乗に反比例して弱まっていきます。
この3つの状況をつなぎ合わせると、グラフ②の形になります。

グラフは②が正しいです。特に、導体内部で電場が0になること、そして導体の外側では、内部の電荷の複雑な配置に関わらず、総電荷が中心に集まったかのように振る舞う（静電遮蔽）という、導体の重要な性質がよく現れた結果となっています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 導体の性質（静電誘導と内部電場ゼロ）:
  • 核心: この問題の全ては「静電状態にある導体の内部は電場がゼロになる」という一点に集約されます。この絶対的なルールを満たすために、導体内の自由電子が移動し、電荷の再配置（静電誘導）が起こります。
  • 理解のポイント: (1)の電荷分布も、(2)のグラフで \(2R < r < 3R\) の電場がゼロになるのも、すべてこの性質から導かれます。なぜ電場がゼロになるのか（内部に誘起された電場が外部の電場を打ち消すため）というメカニズムまで理解しておくと、応用力がつきます。
• ガウスの法則の応用:
  • 核心: 各領域の電場を計算する上で、ガウスの法則が強力な計算ツールとなります。特に「球対称な電荷分布が作る電場は、その電荷がすべて中心に集まった点電荷が作る電場と同じになる」という法則の帰結が、繰り返し使われます。
  • 理解のポイント: ガウスの法則を適用する際は、常に「自分が設定したガウス面の内側にある総電荷はいくつか？」を正確に数え上げることが最も重要です。この問題では、領域によって数えるべき電荷が変わる点がポイントです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 接地（アース）された導体球殻: 導体球殻が接地されている場合、地球と導体の間で電荷が自由に移動できます。この場合、球殻の外側表面の電位が0に保たれるように電荷が分布します（この問題では、外側表面の電荷は0になります）。
  • 導体球に電荷を与えた場合: この問題では球殻は帯電していませんでしたが、最初に電荷を与えられている場合もあります。その場合、(1)で内側と外側に電荷が分離した後も、球殻全体の電荷の合計が初期値と等しくなるように、電気量保存則を適用します。
  • 同軸ケーブル: 無限に長い同軸円筒導体も、この問題と考え方は同じです。ガウス面として円筒を考え、「導体内部は電場ゼロ」という性質を適用します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 領域を明確に分割する: 構造が変化する境界（この問題では \(r=2R\) と \(r=3R\)）で空間を分割し、各領域で別々に電場を考える、という方針を立てます。
  2. 各領域の \(Q_{\text{内部}}\) を特定する: 分割した各領域にガウス面を設定した場合、その内部に含まれる総電荷がいくつか、をまず最初に確定させます。
     • 空洞部分: 中心の点電荷のみ。
     • 導体内部: 中心の点電荷＋内側表面の誘導電荷。
     • 外部: 全ての電荷の合計。
  3. グラフの不連続点をチェックする: 電荷が面状に分布している場所（この問題では \(r=2R\) と \(r=3R\) の表面）では、電場のグラフが不連続にジャンプする可能性があります。特に導体の表面では、電場が0から急に立ち上がることが多いです。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 静電遮蔽の誤解:
  • 誤解: 「導体で囲むと、中の電場は外に影響しない」と単純に考えてしまい、\(r>3R\) の領域で電場が0になるグラフ（④）を選んでしまう。
  • 対策: 静電遮蔽は、正しくは「導体で囲むと、”外部”の電場の影響が”内部”に及ばなくなる」という効果です。逆に、”内部”の電荷が作る電場は、導体を貫通して”外部”に影響を及ぼします。この問題では、外側表面に \(+Q\) の電荷が誘導されるため、外部に電場ができます。
• 導体内部の電荷の存在:
  • 誤解: (1)で、金属球殻の内部（\(2R<r<3R\)の体積部分）にも電荷が分布すると考えてしまう。
  • 対策: 導体に与えられた、あるいは誘導された「過剰な」電荷は、必ず表面にのみ存在します。導体の体積部分には電荷は現れない、と覚えておきましょう。
• グラフの形の勘違い:
  • 誤解: 点電荷が作る電場が \(1/r^2\) に比例して減少することを忘れ、直線的に減少するなどの誤ったグラフを選んでしまう。
  • 対策: 点電荷がつくる電場・電位、直線電荷がつくる電場など、基本的な電荷分布がつくる電場の距離依存性（\(1/r^2\) や \(1/r\) など）は、公式として正確に覚えておきましょう。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 電気力線で考える:
    1. 中心の \(+Q\) から、\(4\pi k Q\) 本の電気力線が放射状に出ます。
    2. これらの電気力線は、球殻の内側表面 (\(r=2R\)) に到達します。電気力線は負電荷で終わるので、内側表面には \(-Q\) の電荷があることがわかります。
    3. 導体内部 (\(2R<r<3R\)) は電場が0なので、電気力線は存在しません。
    4. 球殻の外側表面 (\(r=3R\)) からは、再び電気力線が湧き出します。球殻全体の電荷は0なので、内側で吸収された分の電気力線が、外側から同じ本数だけ湧き出すと考えます。したがって、外側表面からは \(4\pi k Q\) 本の電気力線が放射状に出ていきます。これは、外側表面に \(+Q\) の電荷があることを意味します。

    この電気力線の流れを追うことで、電荷分布と電場の様子を直感的に理解できます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 導体内部の電場 \(E=0\):
  • 選定理由: 問題に「金属球殻」とあるため、これは「導体」の性質を問う問題であると判断します。静電状態における導体の性質として、内部電場がゼロであることは最も基本的かつ重要な法則です。
  • 適用根拠: もし内部に電場があれば、自由電子が力を受けて移動し続け、それは「静電状態」ではないからです。静止しているという事実から、内部の合力（電場）がゼロであると結論付けられます。
• ガウスの法則 (\(ES = 4\pi k Q_{\text{内部}}\)):
  • 選定理由: 点電荷や球殻など、「球対称」な電荷分布が作る電場を計算する上で、最も簡単かつ強力な方法だからです。
  • 適用根拠: 対称性から、ガウス面（球面）上で電場の強さ \(E\) が一定とみなせるため、この簡略化された関係式が使えます。これにより、各領域の電場を機械的に計算することが可能になります。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) 電荷分布の決定:
   • 戦略: 静電誘導と導体の性質から、内側・外側表面の電荷を決定する。
   • フロー: ①導体内部(\(2R<r<3R\))の電場が0であることに着目 → ②この領域のガウス面を考え、内部の総電荷が0になる必要があると判断 → ③中心電荷\(+Q\)を打ち消すため、内側表面に\(-Q\)が誘導されると結論 → ④電気量保存則から、外側表面に\(+Q\)が誘導されると結論。
2. (2) 電場グラフの選択:
   • 戦略: 空間を3つの領域に分け、それぞれで電場の式を求め、グラフの形を特定する。
   • フロー:
     1. 領域1 (\(r<2R\)): ガウス面内部の電荷は\(+Q\)のみ。\(E=kQ/r^2\)を導出。
     2. 領域2 (\(2R \le r \le 3R\)): 導体内部なので\(E=0\)。
     3. 領域3 (\(r>3R\)): ガウス面内部の総電荷は\(Q-Q+Q=Q\)。\(E=kQ/r^2\)を導出。
     4. これらの結果を統合し、グラフ②が正しいと判断する。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 定性的理解を優先する: この問題は、複雑な計算よりも物理法則の定性的な理解が重要です。計算を始める前に、「導体内部はゼロ」「外側は点電荷と同じ」といった大まかな振る舞いを予測することで、選択肢を絞り込み、ケアレスミスを防げます。
• グラフの読み取り: グラフ問題では、縦軸と横軸が何を表しているかをまず確認します。また、特定の点（\(r=2R, 3R\)など）での値や、グラフの連続・不連続性に注目することが、正しい選択肢を見つける鍵となります。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • 電場の不連続性: \(r=2R\) と \(r=3R\) の点で電場が不連続になっています。これは、これらの表面に電荷が「面状に」分布しているためです。面電荷が存在する場所では、電場は不連続になる、という一般的な性質と一致しており、妥当な結果です。
  • 無限遠での振る舞い: \(r \rightarrow \infty\) で、電場 \(E=kQ/r^2\) は0に近づきます。これは、十分に遠くから見れば、電荷の存在が感じられなくなるという物理的な直感と一致します。

375 電位

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、複数の点電荷が作る電場と電位について、その中での荷電粒子の運動をエネルギーの観点から考察する問題です。電位の重ね合わせ、仕事とエネルギーの関係、そして電位のグラフをポテンシャルエネルギーの地形として解釈する能力が問われます。
この問題の核心は、電位（スカラー）と電場（ベクトル）の概念を正しく使い分け、荷電粒子の運動をエネルギー保存則と結びつけて考えることです。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「複数の点電荷が作る電場・電位中での荷電粒子の運動」です。電位のグラフをポテンシャルエネルギーの地形に見立てて考えると、現象を直感的に理解しやすくなります。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
静電気力がする仕事は、公式 \(W = q(V_{\text{始}} – V_{\text{終}})\) を用いて計算するのが最も簡単です。そのためには、まず始点である負の無限遠と、終点である点 \((-3a, 0)\) の電位をそれぞれ求める必要があります。電位はスカラー量なので、各点電荷が作る電位を単純に足し合わせるだけで計算できます。

この設問における重要なポイント

• 電位の重ね合わせ: 点 \((-3a, 0)\) の電位は、点 \((a, 0)\) の電荷 \(Q\) が作る電位と、点 \((-a, 0)\) の電荷 \(-4Q\) が作る電位の和で求められます。
• 仕事の公式: 静電気力がする仕事 \(W\) は、動かす電荷 \(q\)、始点の電位 \(V_{\text{始}}\)、終点の電位 \(V_{\text{終}}\) を用いて \(W = q(V_{\text{始}} – V_{\text{終}})\) と表されます。符号の扱いに注意が必要です。

具体的な解説と立式
まず、終点である点 \(P(-3a, 0)\) の電位 \(V_{P}\) を求めます。
点 \(P\) と電荷 \(Q\) との距離 \(r_1\) は \(r_1 = |-3a – a| = 4a\)、点 \(P\) と電荷 \(-4Q\) との距離 \(r_2\) は \(r_2 = |-3a – (-a)| = 2a\) です。
したがって、点 \(P\) での電位 \(V_{P}\) は、重ね合わせの原理より、
$$ V_{P} = k\frac{Q}{r_1} + k\frac{-4Q}{r_2} \quad \cdots ① $$
次に、静電気力がする仕事 \(W\) を求めます。動かす小球の電気量は \(q = -Q\)、始点は負の無限遠（\(V_{\text{始}} = 0\)）、終点は点P（\(V_{\text{終}} = V_{P}\)）です。仕事の公式は、
$$ W = q(V_{\text{始}} – V_{\text{終}}) \quad \cdots ② $$

まず①式に \(r_1=4a\), \(r_2=2a\) を代入して、電位 \(V_{P}\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
V_{P} &= k\frac{Q}{4a} + k\frac{-4Q}{2a} \\[2.0ex] &= k\frac{Q}{4a} – \frac{2kQ}{a} \\[2.0ex] &= k\frac{Q}{4a} – \frac{8kQ}{4a} \\[2.0ex] &= -\frac{7kQ}{4a}
\end{aligned}
$$
この結果と \(q=-Q\), \(V_{\text{始}}=0\), \(V_{\text{終}}=V_P\) を②式に代入して、仕事 \(W\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
W &= (-Q)(0 – V_{P}) \\[2.0ex] &= QV_P \\[2.0ex] &= Q \times \left(-\frac{7kQ}{4a}\right) \\[2.0ex] &= -\frac{7kQ^2}{4a}
\end{aligned}
$$
※模範解答の答えは \( \displaystyle\frac{7kQ^2}{4a} \) となっていますが、物理法則に基づくと静電気力がする仕事は負の値となります。これは、x軸の負の領域で \(-Q\) の小球が受ける力は負の向きであり、移動の向き（正）と逆であるためです。したがって、本解説では物理的に正しい \( -\displaystyle\frac{7kQ^2}{4a} \) を解答とします。

電位を「電気的な高さ」に例えてみましょう。無限遠という基準の高さ（0 m）の場所から、電荷 \(-Q\) のボールを、高さが \(-\displaystyle\frac{7kQ}{4a}\) [V] である地点 \((-3a, 0)\) まで動かすことを考えます。ボールは静電気力という「見えない力」に引かれながら動きます。このとき、静電気力がした仕事の量を計算するのがこの問題です。力の向きと動く向きが逆なので、仕事はマイナスになります。

静電気力がする仕事は \(-\displaystyle\frac{7kQ^2}{4a}\) です。
小球はx軸の正の向きに動きますが、小球が受ける静電気力はx軸の負の向きです（電荷Qからの引力より、電荷-4Qからの斥力の方が強いため）。力と移動の向きが逆なので、静電気力がする仕事は負の値になります。したがって、計算結果が負であることは物理的に妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
小球の速さが最大になるのは、小球の加速度が0になるとき、すなわち小球に働く静電気力が0になる点です。小球の電荷を \(q > 0\) とすると、受ける力は \(F=qE\) と表せるので、力が0になる点とは、電場 \(E\) が0になる点に他なりません。したがって、x軸上で電場が0になる点を求めます。

この設問における重要なポイント

• 速さ最大と力の関係: 物体の速さが最大になるのは、加速から減速に切り替わる点、つまり合力が0になる点です。
• 電場の重ね合わせ: 電場はベクトル量です。x軸上では、各電荷が作る電場のx成分を、向きを考慮して足し合わせる（代数和をとる）ことで合成電場が求まります。

具体的な解説と立式
点 \((a, 0)\) のわずかに正側に置かれた小球は、x軸の正の向きに動き始めます。この小球の速さが最大になる点（\(x > a\)）の座標を求めます。
x軸上の点 \((x, 0)\) における合成電場 \(E(x)\) は、各電荷が作る電場の和で与えられます。
$$ E(x) = k\frac{Q}{(x-a)^2} + k\frac{-4Q}{(x+a)^2} \quad \cdots ① $$
速さが最大になるのは、力が0、すなわち電場 \(E(x)\) が0になるときなので、
$$ E(x) = 0 \quad \cdots ② $$
を解きます。

②式に①式を代入して、方程式を解きます。
$$
\begin{aligned}
k\frac{Q}{(x-a)^2} + k\frac{-4Q}{(x+a)^2} &= 0 \\[2.0ex] k\frac{Q}{(x-a)^2} &= k\frac{4Q}{(x+a)^2} \\[2.0ex] \frac{1}{(x-a)^2} &= \frac{4}{(x+a)^2}
\end{aligned}
$$
両辺に \((x-a)^2(x+a)^2\) を掛けて整理すると、
$$ (x+a)^2 = 4(x-a)^2 $$
両辺の平方根をとります。ここで、\(x>a\) という条件から \(x+a > 0\) かつ \(x-a > 0\) なので、
$$ x+a = 2(x-a) $$
これを \(x\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
x+a &= 2x – 2a \\[2.0ex] -x &= -3a \\[2.0ex] x &= 3a
\end{aligned}
$$
この点は \(x>a\) の条件を満たしています。

正の電荷を持つ小球は、同じ正の電荷 \(Q\) からは反発され（右向きの力）、負の電荷 \(-4Q\) からは引きつけられます（左向きの力）。スタート直後は \(Q\) に近いので反発力が強く、右向きに加速します。しかし、遠ざかるにつれて \(Q\) からの反発力は弱まり、逆に \(-4Q\) からの引力が相対的に強くなります。やがて、この右向きの力と左向きの力がちょうどつりあう点があり、そこを境に今度は減速が始まります。この「加速」と「減速」の切り替わりポイントである「力がつりあう点」で、小球のスピードは最大になります。

速さが最大になる点のx座標は \(3a\) です。
\(a < x < 3a\) の範囲では \(E(x) > 0\) となり小球は加速し、\(x > 3a\) の範囲では \(E(x) < 0\) となり小球は減速します。したがって、\(x=3a\) で速さが最大になるという結果は物理的に妥当です。

問(3)

思考の道筋とポイント
小球を点 \((x, 0)\) に静かに置いたときの全エネルギーは、その点の位置エネルギー \(U(x) = qV(x)\) のみです。この小球が無限遠に到達できない、ということは、小球が持つ全エネルギーが、無限遠でのポテンシャルエネルギー \(U(∞)\) よりも低い状態であることを意味します。問題の条件から \(V(∞)=0\) なので、\(U(∞)=0\) です。したがって、\(U(x) < 0\) となる条件を求めればよいことになります。

この設問における重要なポイント

• エネルギーによる束縛: 物体は、自身の全エネルギーよりも高いポテンシャルエネルギーの領域には進入できません。
• 無限遠のポテンシャル: 問題の定義により、無限遠の電位は0です。
• 不等式の処理: \(x>a\) という条件を考慮して、不等式を正しく解く必要があります。

具体的な解説と立式
小球を置いた点 \((x, 0)\) (\(x>a\)) での電位を \(V(x)\) とします。小球は初速度0で置かれるので、その全エネルギー \(E_{\text{全}}\) は位置エネルギー \(U(x)=qV(x)\) のみです。
無限遠に到達しないための条件は、小球の全エネルギーが無限遠のポテンシャルエネルギー（0）より小さいことなので、
$$ qV(x) < 0 $$
小球の電荷 \(q\) は正なので、この条件は次のように簡単になります。
$$ V(x) < 0 \quad \cdots ① $$
ここで、電位 \(V(x)\) は、
$$ V(x) = k\frac{Q}{x-a} + k\frac{-4Q}{x+a} \quad \cdots ② $$

まず②式の \(V(x)\) を整理します。
$$
\begin{aligned}
V(x) &= k\frac{Q}{x-a} + k\frac{-4Q}{x+a} \\[2.0ex] &= kQ\left(\frac{1}{x-a} – \frac{4}{x+a}\right) \\[2.0ex] &= kQ \frac{(x+a) – 4(x-a)}{(x-a)(x+a)} \\[2.0ex] &= kQ \frac{x+a – 4x+4a}{x^2-a^2} \\[2.0ex] &= kQ \frac{-3x+5a}{x^2-a^2}
\end{aligned}
$$
この結果を①式の不等式に代入します。
$$ kQ \frac{-3x+5a}{x^2-a^2} < 0 $$ 問題の条件から \(k>0\), \(Q>0\) です。また、\(x>a\) なので、分母の \(x^2-a^2 = (x-a)(x+a)\) は正の値です。
したがって、不等式が成り立つためには、分子が負であればよいことになります。
$$ -3x+5a < 0 $$
これを \(x\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
-3x &< -5a \\[2.0ex] x &> \frac{5}{3}a
\end{aligned}
$$
これは \(x>a\) (\(a = \frac{3}{3}a\)) という前提条件も満たしています。

再び、電位のグラフを坂道に例えます。無限遠の地点は、高さが0メートルの広大な平地だと考えます。小球をスタートさせた地点が、この平地よりも低い「くぼ地」や「穴」（電位がマイナスの領域）の中であれば、小球は坂を上りきれず、無限遠の平地までたどり着くことはできません。この問題は、「どの範囲に小球を置けば、スタート地点がこの”くぼ地”の中になりますか？」と尋ねているのと同じです。

小球が無限遠に到達しないための条件は \(x > \displaystyle\frac{5}{3}a\) です。
電位 \(V(x)\) のグラフを考えると、\(x=a\) で正の無限大に発散し、\(x=\displaystyle\frac{5}{3}a\) で0になり、\(x=3a\) で負の極小値をとり、その後 \(x \rightarrow \infty\) で0に近づきます。したがって、\(x > \displaystyle\frac{5}{3}a\) の領域は電位が負となり、この領域に置かれた正電荷の小球はエネルギー的に束縛され、無限遠には到達できません。よって、この結果は物理的に妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 電位（スカラー）と電場（ベクトル）の二刀流:
  • 核心: この問題は、電位と電場の両方の概念を適切に使い分けることが求められます。電位はスカラー量で、重ね合わせは単純な代数和で計算でき、エネルギー（仕事）の議論に直結します。一方、電場はベクトル量で、重ね合わせはベクトルの合成となり、力の議論に直結します。
  • 理解のポイント: (1)の仕事の計算では電位を、(2)の力のつり合いの計算では電場を用いるのが最も直接的です。そして、(3)の束縛条件では再びエネルギー（電位）の視点に戻ります。このように、問われている内容に応じて最適な物理量を選択する能力が核心です。
• ポテンシャルエネルギーの地形的解釈:
  • 核心: 電位 \(V(x)\) のグラフは、正電荷が感じるポテンシャルエネルギー \(U(x)=qV(x)\) の「地形」そのものです。この地形をイメージすることで、荷電粒子の運動を直感的に理解できます。
  • 理解のポイント:
    • 坂を下る方向（\(-\displaystyle\frac{dU}{dx}\) の方向）に力を受ける。
    • 谷底（極小点）で速さが最大になる。
    • 丘（極大点）を越えられなければ、その領域に束縛される。
    • (2)の別解や(3)の解説は、まさにこの地形的解釈を数式で表現したものです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 万有引力によるポテンシャル: 複数の天体（例：地球と月）が作る重力ポテンシャル中での探査機の運動。重力ポテンシャルが電位に、万有引力が静電気力に対応します。ラグランジュ点の問題などは本質的に同じ考え方です。
  • 分子間力ポテンシャル（レナード・ジョーンズ型など）: 2原子分子の結合エネルギーや振動を考える問題。原子間の距離に応じて引力と斥力が働き、安定な結合距離（ポテンシャルが極小）が存在します。
  • 電気双極子: 正負の電荷が対になったものが作る電場や電位。遠方では電場が距離の3乗に反比例するなど、特徴的な振る舞いをします。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 座標軸と原点を設定する: まず、電荷の位置関係を把握するために座標軸を設定します。
  2. 電位 \(V(x)\) と電場 \(E(x)\) の一般式を立てる: 問題を解き始める前に、まず任意の点 \(x\) における電位と電場の式を、重ね合わせの原理を使って書き下しておくと、後の設問で見通しが良くなります。
  3. エネルギー図（ポテンシャル曲線）を概算する: \(x \rightarrow \pm \infty\)、電荷の位置、電位が0になる点などをプロットし、ポテンシャル \(V(x)\) の概形を描いてみます。これにより、粒子の運動全体を視覚的に把握でき、計算ミスを発見しやすくなります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 電位と電場の混同:
  • 誤解: 電位の計算で距離の2乗を使ったり、電場の計算で距離の1乗を使ったりする。
  • 対策: 「ポテンシャルエネルギーは \(F \cdot r\) に対応し、力は \(1/r^2\) に比例するから、エネルギー（電位）は \(1/r\) に比例する」というように、力とエネルギーの関係から次元を意識して覚えると間違いが減ります。
• スカラー和とベクトル和の混同:
  • 誤解: 電場を計算する際に、向きを考えずに大きさを単純に足し引きしてしまう。
  • 対策: 「電位は高さ（スカラー）、電場は坂の傾きと向き（ベクトル）」というイメージを定着させましょう。計算する前に、各電荷が作る電場のベクトルを矢印で図に描き込み、向きを確認する習慣をつけることが有効です。
• 仕事の公式の符号ミス:
  • 誤解: \(W = q(V_{\text{終}} – V_{\text{始}})\) のように、始点と終点を逆にしてしまう。
  • 対策: 仕事の定義 \(W = -\Delta U = -(U_{\text{終}} – U_{\text{始}}) = U_{\text{始}} – U_{\text{終}}\) から、\(W = qV_{\text{始}} – qV_{\text{終}} = q(V_{\text{始}} – V_{\text{終}})\) と、必ず定義から導出する癖をつけると安全です。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 電位のグラフを描く: この問題で最も有効な図は、x軸上の電位 \(V(x)\) のグラフです。
    1. \(x=a\) と \(x=-a\) には電荷があるので、そこで電位は無限大に発散します（\(Q>0\) なので \(x=a\) で正の無限大、\(-4Q<0\) なので \(x=-a\) で負の無限大）。
    2. \(x \rightarrow \pm \infty\) では \(V \rightarrow 0\) になります。
    3. \(V(x)=0\) となる点（(3)で求めた \(x=5a/3\) など）を求めます。
    4. \(E(x)=0\) となる極値点（(2)で求めた \(x=3a\)）を求めます。
    5. これらの点を滑らかにつなぐことで、ポテンシャル地形の全体像が浮かび上がります。正電荷の小球はこの地形の上を転がるボールのように振る舞います。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 発散と収束を明確に: 電荷の位置での発散と、無限遠での0への収束をはっきりと描きます。
  • 極値の位置関係: \(V=0\) となる点と極小点の位置関係（この問題では \(5a/3 < 3a\)）を正しく描くことで、エネルギー的に束縛される領域が視覚的に理解できます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 電位の重ね合わせ \(V = \sum k\frac{q_i}{r_i}\):
  • 選定理由: 電位はスカラー量であり、重ね合わせの原理が単純な和で成り立つため、複数の電荷が作るポテンシャルエネルギー場を計算するのに最も簡単で強力なツールだからです。
  • 適用根拠: 電場が線形性（重ね合わせが成り立つ）を持つことから導かれる、電磁気学の基本原理です。
• 仕事の公式 \(W = q(V_{\text{始}} – V_{\text{終}})\):
  • 選定理由: (1)のように、経路によらず始点と終点の状態だけで決まる量を計算する場合、保存力である静電気力の性質を最大限に活かせるこの公式が最適です。経路を積分して仕事を求めるより圧倒的に計算が楽になります。
  • 適用根拠: 静電気力が保存力であること、そして位置エネルギーの定義 \(U=qV\) から直接導かれます。
• 力のつり合い（電場ゼロ） \(E=0\):
  • 選定理由: (2)で問われている「速さが最大」という条件は、力学的に「力が0」に翻訳できます。力は電場 \(E\) に比例するため、\(E=0\) を解くのが最も直接的なアプローチです。
  • 適用根拠: 運動方程式 \(ma = F = qE\) において、速度が極値をとる（最大または最小）条件は加速度 \(a=0\) であるためです。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) 仕事の計算:
   • 戦略: 仕事の公式 \(W = q(V_{\text{始}} – V_{\text{終}})\) を使う。
   • フロー: ①終点 \((-3a, 0)\) の電位 \(V_P\) を重ね合わせで計算 → ②始点（無限遠）の電位は0 → ③公式に \(q=-Q\), \(V_{\text{始}}=0\), \(V_{\text{終}}=V_P\) を代入して \(W\) を計算。
2. (2) 速さ最大の点の計算:
   • 戦略: 力が0、すなわち電場 \(E(x)=0\) となる点を求める。
   • フロー: ①x軸上の任意の点 \(x\) での電場 \(E(x)\) を、ベクトルの重ね合わせで立式 → ②\(E(x)=0\) という方程式を立てる → ③方程式を \(x\) について解く。
3. (3) 無限遠に到達しない条件の計算:
   • 戦略: エネルギー保存則を使い、初期の全エネルギーが無限遠のエネルギーより小さいという条件を立てる。
   • フロー: ①初期位置 \(x\) での全エネルギーは \(E_{\text{全}} = qV(x)\) → ②無限遠でのエネルギーは0 → ③\(qV(x) < 0\) という不等式を立てる（\(q>0\) なので \(V(x)<0\)） → ④\(V(x)\) の式を代入し、\(x>a\) の条件に注意して不等式を解く。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 符号のダブルチェック: 電荷の符号（\(Q\) と \(-4Q\)）、仕事の公式の符号、電場の向き（ベクトルの符号）、不等式の符号など、この問題は符号ミスが多発します。計算の各ステップで「この符号は物理的に正しいか？」と自問自答する習慣をつけましょう。
• 平方根の処理: (2)の計算で \((x+a)^2 = 4(x-a)^2\) から平方根をとる際、安易に \(x+a = \pm 2(x-a)\) とせず、問題の条件（\(x>a\)）から \(x+a>0\) かつ \(x-a>0\) であることを確認し、正の平方根のみをとる、という論理的なステップを踏むことが重要です。
• 分数の不等式: (3)の \(kQ \frac{-3x+5a}{x^2-a^2} < 0\) のような計算では、分母の符号をまず確定させることが鉄則です。\(x>a\) より分母は正なので、分子の符号だけを考えればよい、と問題を単純化することで、ミスを減らせます。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (1) 仕事: 小球は \(-Q\)、電荷は \(Q\) と \(-4Q\)。\(x=-3a\) の位置では、\(Q\) からの引力（距離 \(4a\)）よりも \(-4Q\) からの斥力（距離 \(2a\)）が圧倒的に強いです。したがって、小球は負の向きに力を受けます。これを正の向きに動かすので、静電気力がする仕事は負になるはずです。計算結果 \(-\frac{7kQ^2}{4a}\) が負であることは妥当です。
  • (2) 速さ最大点: \(x=a\) のすぐ近くでは \(Q\) からの強い斥力で加速しますが、遠くに行くと \(-4Q\) からの引力が優勢になり減速に転じます。その間に力のつり合い点があるはずで、\(x=3a\) という具体的な値が得られたのは妥当です。
  • (3) 束縛条件: 電位のグラフを考えると、\(x=a\) 付近はポテンシャルの「山」ですが、\(x=3a\) 付近は「谷」になっています。無限遠（標高0）に到達できないのは、この「谷」の底が標高0より低い（\(V<0\)）領域にいる場合です。\(x > 5a/3\) という条件は、この「谷」の領域に対応しており、物理的に妥当です。
• 別解との比較:
  • (2)において、「電場が0」という力の視点と、「電位が極小」というエネルギーの視点が、\(E = -dV/dx\) という関係を通じて数学的に完全に一致することを確認できました。これは、力学と電磁気学を貫く普遍的な原理の現れであり、解法の正しさを強力に裏付けています。

376 電場・電位

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、2つの点電荷が作る電場と電位を、ベクトルとスカラーの性質を正しく理解して計算する能力を問うています。特に、電場ベクトルの成分分解と合成、そして等電位線が作る図形（円）の方程式を導出するプロセスが重要です。
この問題の核心は、「電場はベクトル量であり、合成は成分ごとに行う」「電位はスカラー量であり、合成は単純な和で行う」という基本原理を、具体的な座標空間で正確に適用することです。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「複数の点電荷が作る電場と電位の合成」です。ベクトル量である電場と、スカラー量である電位の扱いの違いを明確に意識することが攻略の鍵です。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
点Bにおける電場を求めるには、まず原点Oの電荷\(-Q\)が作る電場\(\vec{E}_O\)と、点Aの電荷\(+2Q\)が作る電場\(\vec{E}_A\)をそれぞれベクトルとして考えます。次に、これらのベクトルをx成分とy成分に分解し、対応する成分同士を足し合わせることで、合成電場\(\vec{E}\)のx成分\(E_x\)とy成分\(E_y\)を求めます。

この設問における重要なポイント

• 電場のベクトル性: 電場は大きさと向きを持つベクトルです。各電荷が作る電場の向きを正しく作図することが第一歩です。
• ベクトルの分解と合成: 斜め向きのベクトル（この場合は\(\vec{E}_A\)）は、x成分とy成分に分解して扱います。合成電場の各成分は、元の電場の各成分の和になります（\(E_x = E_{Ox} + E_{Ax}\), \(E_y = E_{Oy} + E_{Ay}\)）。

具体的な解説と立式
点Bの座標は\((0, a)\)です。
1. 電荷\(-Q\)（原点O）が点Bに作る電場\(\vec{E}_O\):
距離は \(a\)、大きさは \(E_O = k\displaystyle\frac{Q}{a^2}\)、向きはy軸負の向きです。
$$ E_{Ox} = 0 \quad \cdots ① $$
$$ E_{Oy} = -k\frac{Q}{a^2} \quad \cdots ② $$

2. 電荷\(+2Q\)（点A\((a, 0)\)）が点Bに作る電場\(\vec{E}_A\):
距離は \(AB = \sqrt{a^2+a^2} = \sqrt{2}a\)、大きさは \(E_A = k\displaystyle\frac{2Q}{(\sqrt{2}a)^2} = k\displaystyle\frac{Q}{a^2}\)です。
向きはAからBへ向かう向きで、x軸正の向きとのなす角は135°です。
$$ E_{Ax} = E_A \cos 135^\circ \quad \cdots ③ $$
$$ E_{Ay} = E_A \sin 135^\circ \quad \cdots ④ $$

3. 合成電場\(\vec{E}\)の成分:
$$ E_x = E_{Ox} + E_{Ax} \quad \cdots ⑤ $$
$$ E_y = E_{Oy} + E_{Ay} \quad \cdots ⑥ $$

まず、\(\vec{E}_A\)の成分を計算します。
$$
\begin{aligned}
E_{Ax} &= \left(k\frac{Q}{a^2}\right) \times \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \\[2.0ex] &= -\frac{\sqrt{2}kQ}{2a^2}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
E_{Ay} &= \left(k\frac{Q}{a^2}\right) \times \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \\[2.0ex] &= \frac{\sqrt{2}kQ}{2a^2}
\end{aligned}
$$
次に、合成電場の成分を計算します。
$$
\begin{aligned}
E_x &= 0 + \left(-\frac{\sqrt{2}kQ}{2a^2}\right) \\[2.0ex] &= -\frac{\sqrt{2}kQ}{2a^2}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
E_y &= -k\frac{Q}{a^2} + \frac{\sqrt{2}kQ}{2a^2} \\[2.0ex] &= \frac{-2kQ + \sqrt{2}kQ}{2a^2} \\[2.0ex] &= \frac{(\sqrt{2}-2)kQ}{2a^2}
\end{aligned}
$$
※模範解答の\(E_y\)の分子は\((2-\sqrt{2})\)となっていますが、これは大きさの計算で符号を反転させたものと思われます。本解説ではベクトルのy成分として負の値である \(\displaystyle\frac{(\sqrt{2}-2)kQ}{2a^2}\) を採用します。

点Bに置かれたプラスの試験電荷が、どちらの方向にどれくらいの力を受けるかを調べる問題です。原点のマイナス電荷からは「真下に引っ張られる力」を受けます。点Aのプラス電荷からは「左斜め上に突き飛ばされる力」を受けます。この「真下の力」と「左斜め上の力」を合体させると、最終的にどの方向の力になるかを、x方向（横向き）とy方向（縦向き）に分けて計算します。

点Bにおける電場のx成分は \(E_x = -\displaystyle\frac{\sqrt{2}kQ}{2a^2}\)、y成分は \(E_y = \displaystyle\frac{(\sqrt{2}-2)kQ}{2a^2}\) です。
\(E_x\)は負、\(E_y\)も負（\(\sqrt{2} \approx 1.414 < 2\)なので）となり、合成電場は左下を向きます。これは、\(\vec{E}_O\)（真下）と\(\vec{E}_A\)（左斜め上）のベクトル和を考えると、\(\vec{E}_O\)のy成分の大きさ \(kQ/a^2\) が \(\vec{E}_A\)のy成分の大きさ \(\sqrt{2}kQ/(2a^2)\) よりも大きいため、y成分の合計は負になることから、物理的に妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
x軸上で電位が0Vになる点を探します。電位はスカラー量なので、x軸上の任意の点P\((x, 0)\)における電位は、電荷\(-Q\)が作る電位\(V_O\)と電荷\(+2Q\)が作る電位\(V_A\)の単純な和で表せます。この和が0になるという方程式を立てて、\(x\)について解きます。距離の計算では、絶対値を使うことに注意が必要です。

この設問における重要なポイント

• 電位のスカラー性: 電位の合成は、各電荷が作る電位の代数和で計算できます。ベクトルのような向きの考慮は不要です。
• 距離の扱い: 点Pと各電荷との距離は、Pの座標\(x\)によって表現が変わる可能性があるため、絶対値記号を使って一般的に立式します。

具体的な解説と立式
x軸上の任意の点をP\((x, 0)\)とします。点Pにおける電位\(V_P\)は、
$$ V_P = k\frac{-Q}{|x|} + k\frac{2Q}{|x-a|} \quad \cdots ① $$
電位が0Vになる条件は \(V_P = 0\) なので、
$$ k\frac{-Q}{|x|} + k\frac{2Q}{|x-a|} = 0 \quad \cdots ② $$

②式を解きます。
$$
\begin{aligned}
k\frac{2Q}{|x-a|} &= k\frac{Q}{|x|} \\[2.0ex] \frac{2}{|x-a|} &= \frac{1}{|x|} \\[2.0ex] 2|x| &= |x-a|
\end{aligned}
$$
両辺を2乗して絶対値を外します。
$$
\begin{aligned}
4x^2 &= (x-a)^2 \\[2.0ex] 4x^2 &= x^2 – 2ax + a^2 \\[2.0ex] 3x^2 + 2ax – a^2 &= 0
\end{aligned}
$$
この2次方程式を因数分解します。
$$ (3x – a)(x + a) = 0 $$
よって、解は、
$$ x = \frac{a}{3}, \quad x = -a $$

x軸の上を歩きながら、電位が0になる「標高0メートル」の地点を探す問題です。電位は、マイナス電荷の近くではマイナス（谷）、プラス電荷の近くではプラス（山）になります。したがって、「谷」と「山」の間には、必ず標高が0になる地点が存在します。この問題では、2つの電荷の間に1点、そして電荷の外側（マイナス電荷側）にもう1点、合計2ヶ所の「標高0メートル」地点が見つかります。

x軸上で電位が0Vになる点のx座標は \(\displaystyle\frac{a}{3}\) と \(-a\) です。
\(x=a/3\)はOとAを1:2に内分する点であり、\(x=-a\)はOとAを1:2に外分する点です。距離の逆数に比例する電位が、電荷の比2:1を打ち消す位置として、これらの点は妥当であると考えられます。

問(3)

思考の道筋とポイント
xy平面上で電位が0Vになる点の集合（等電位線）を求めます。考え方は(2)と同じですが、今度は対象が平面上の任意の点C\((x, y)\)になります。点Cと各電荷との距離を三平方の定理を使って求め、電位の和が0になるという式を立てます。この式を整理していくと、円の方程式が現れます。

この設問における重要なポイント

• 平面上の距離: 点\((x_1, y_1)\)と\((x_2, y_2)\)の距離は \(\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\) で計算します。
• 円の方程式への変形: 根号（ルート）を含む式を2乗して整理し、\(x\)と\(y\)について平方完成することで、円の中心座標と半径を求めます。

具体的な解説と立式
xy平面上の任意の点をC\((x, y)\)とします。点Cにおける電位\(V_C\)は、
$$ V_C = k\frac{-Q}{\sqrt{x^2+y^2}} + k\frac{2Q}{\sqrt{(x-a)^2+y^2}} \quad \cdots ① $$
電位が0Vになる条件は \(V_C = 0\) なので、
$$ k\frac{-Q}{\sqrt{x^2+y^2}} + k\frac{2Q}{\sqrt{(x-a)^2+y^2}} = 0 \quad \cdots ② $$

②式を整理します。
$$
\begin{aligned}
\frac{2}{\sqrt{(x-a)^2+y^2}} &= \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} \\[2.0ex] 2\sqrt{x^2+y^2} &= \sqrt{(x-a)^2+y^2}
\end{aligned}
$$
両辺を2乗します。
$$
\begin{aligned}
4(x^2+y^2) &= (x-a)^2+y^2 \\[2.0ex] 4x^2+4y^2 &= x^2-2ax+a^2+y^2 \\[2.0ex] 3x^2+2ax+3y^2-a^2 &= 0
\end{aligned}
$$
円の方程式の形にするため、まず全体を3で割ります。
$$ x^2 + \frac{2a}{3}x + y^2 – \frac{a^2}{3} = 0 $$
次に、\(x\)について平方完成を行います。
$$
\begin{aligned}
\left(x + \frac{a}{3}\right)^2 – \left(\frac{a}{3}\right)^2 + y^2 – \frac{a^2}{3} &= 0 \\[2.0ex] \left(x + \frac{a}{3}\right)^2 + y^2 &= \frac{a^2}{9} + \frac{a^2}{3} \\[2.0ex] \left(x + \frac{a}{3}\right)^2 + y^2 &= \frac{a^2+3a^2}{9} \\[2.0ex] \left(x + \frac{a}{3}\right)^2 + y^2 &= \frac{4a^2}{9} \\[2.0ex] \left(x + \frac{a}{3}\right)^2 + y^2 &= \left(\frac{2a}{3}\right)^2
\end{aligned}
$$
これは、中心が点\((-\displaystyle\frac{a}{3}, 0)\)、半径が \(\displaystyle\frac{2a}{3}\) の円を表します。

(2)ではx軸という直線の上だけで「標高0メートル」地点を探しましたが、今度はxy平面全体で探します。すると、「標高0メートル」の地点は無数に見つかり、それらを線でつなぐと、ある円になることがわかります。この円の方程式を計算で求めるのがこの問題です。

電位が0Vとなる等電位線は、中心\((-\displaystyle\frac{a}{3}, 0)\)、半径\(\displaystyle\frac{2a}{3}\)の円です。
この円は、(2)で求めた2点 \(x=a/3\) と \(x=-a\) を通ります。
中心\((-\displaystyle\frac{a}{3}, 0)\)から点\((a/3, 0)\)までの距離は \(a/3 – (-a/3) = 2a/3\)。
中心\((-\displaystyle\frac{a}{3}, 0)\)から点\((-a, 0)\)までの距離は \(-a/3 – (-a) = 2a/3\)。
どちらも半径に等しく、つじつまが合います。したがって、この円は物理的に妥当な軌跡です。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 電場（ベクトル）と電位（スカラー）の扱いの違いの徹底:
  • 核心: この問題は、電場と電位という2つの物理量の根本的な性質の違いを理解しているかを試しています。電場はベクトル量であり、その合成は「ベクトルの和」として、成分ごとに計算する必要があります。一方、電位はスカラー量であり、その合成は単純な「代数和」で済みます。
  • 理解のポイント: (1)では、各電荷が作る電場ベクトルを図示し、三角比を用いて成分に分解してから足し合わせるという、ベクトルの作法に忠実な操作が求められます。対照的に、(2)と(3)では、各電荷が作る電位を単純に足し算するだけで立式が完了します。この違いを意識することが、この問題群を攻略する第一歩です。
• 物理的条件から数学的図形への翻訳能力:
  • 核心: (3)で問われる「等電位線」は、物理的な条件（電位が一定）を満たす点の集合が、数学的な図形（この場合は円）に対応するという典型例です。
  • 理解のポイント: 「\(V_C=0\)」という物理条件を、座標\((x, y)\)を用いた数式で表現し、それを根気よく整理・変形することで「\((x-p)^2+(y-q)^2=r^2\)」という円の方程式を導き出すプロセスは、物理と数学をつなぐ重要な思考訓練です。別解で示したアポロニウスの円の知識は、この翻訳をよりエレガントに行うためのショートカットと言えます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 電気双極子が作る電場・電位: 正負の等しい電気量の電荷が微小な距離を隔てて置かれている場合。遠方での電場や電位を求める問題は、本問と同様のベクトル・スカラー計算の応用です。
  • 四重極子など、より複雑な電荷配置: 正方形の頂点などに電荷を配置した場合の、中心や軸上での電場・電位を求める問題。対称性をうまく利用して計算を簡略化する視点が加わります。
  • 重力場における等ポテンシャル線: 2つの天体が作る重力場において、等しい重力ポテンシャルを持つ点を結んだ線。これも本問(3)と全く同じ数学的構造を持ちます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まず作図する: 電荷の配置と、電場や電位を求めたい点の位置関係を、座標平面上に正確に図示します。
  2. ベクトルかスカラーか判断する: 問われているのが「電場」ならベクトルの矢印を、「電位」ならスカラー計算の準備をします。特に電場の場合は、各電荷が作る電場ベクトルの向きを矢印で描き込むことが極めて重要です。
  3. 対称性を探す: 電荷の配置や点の位置に対称性があれば、計算が大幅に楽になることがあります。例えば、x軸上の点では電場のy成分が打ち消し合う、といった性質が使えないか検討します。
  4. 距離を文字で置く: 計算が複雑になりそうな場合、各電荷からの距離を一旦\(r_1, r_2\)などと置いて立式し、最後に具体的な座標の式を代入すると、見通しが良くなることがあります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 電場ベクトルの成分分解ミス:
  • 誤解: (1)で\(\vec{E}_A\)を分解する際、角度（45°）の取り方を間違え、\(\sin\)と\(\cos\)を取り違える。または、成分の符号（正負）を間違える。
  • 対策: 必ずベクトルを図示し、その矢印の向きから「x成分は負、y成分は正」のように符号を先に判断する習慣をつけましょう。角度も、x軸の正の向きからの角度（反時計回りを正）で統一するか、直角三角形を描いて辺の比から求めるか、自分の得意な方法を確立しておくことが重要です。
• 絶対値の外し忘れ・外し間違い:
  • 誤解: (2)で距離を計算する際に、\(|x|\)や\(|x-a|\)とすべきところを、安易に\(x\)や\(x-a\)としてしまい、解の一部を見逃す。
  • 対策: 座標が負になる可能性や、位置関係が複数パターン考えられる場合は、必ず絶対値をつけて立式する癖をつけましょう。方程式を解いた後、得られた解が物理的に妥当か（例えば、電荷間に存在するかなど）を吟味することも有効な検算になります。
• 平方完成の計算ミス:
  • 誤解: (3)の式変形で、平方完成の際の定数項の扱いや、係数の処理を間違える。
  • 対策: \(3x^2+2ax+\dots=0\)のような式は、まず最高次の係数（この場合は3）で全体を割ってから平方完成に取り掛かると、計算がシンプルになりミスを減らせます。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 電場ベクトル図: (1)では、点Bに各電荷が作る電場ベクトル\(\vec{E}_O\), \(\vec{E}_A\)を矢印で正確に描くことが全てです。ベクトルの合成は、平行四辺形の法則を使って図示することで、合成後のベクトルの向き（左下）を直感的に把握でき、計算結果の妥当性チェックに役立ちます。
  • 電位の地形図（等高線）: (3)で求めた円は、電位という「電気的な高さ」の地形図における「標高0メートルの等高線」です。電荷\(-Q\)の周りは深い谷、電荷\(+2Q\)の周りは高い山になっており、その山の麓をぐるりと一周する形で標高0メートルの線が引かれている、というイメージを持つと理解が深まります。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • ベクトルの長さ: 電場の大きさは距離の2乗に反比例します。作図する際、距離が遠い方の電場ベクトルは短く描くなど、大まかな大小関係を反映させると、より現実に近い図になります。
  • 円と電荷の位置関係: (3)で求めた円が、(2)で求めた2点（内分点・外分点）を正確に通っているか、また、電荷自身は円の内側や外側のどちらにあるのか、といった位置関係を正確に描くことが重要です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 電場のベクトル合成:
  • 選定理由: 電場は力（ベクトル）の概念を拡張したものであり、複数の力が働くとき、その合力はベクトルの和で与えられるという力学の基本原理に基づいています。したがって、電場の合成もベクトル和で計算するのが物理的に正しい唯一の方法です。
  • 適用根拠: 重ね合わせの原理として知られ、マクスウェル方程式の線形性から保証される、電磁気学の根幹をなす法則です。
• 電位のスカラー和 \(V = \sum V_i\):
  • 選定理由: 電位はエネルギー（スカラー）に関連する量であり、エネルギーの総量は単純な足し算で求まります。このスカラーとしての性質により、複雑な向きの計算を回避できるため、エネルギーや仕事、あるいは電位そのものを問われた際には最も効率的なアプローチとなります。
  • 適用根拠: これも重ね合わせの原理の一側面です。各電荷が作るポテンシャルエネルギーの和が、全体のポテンシャルエネルギーとなることから導かれます。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) 電場の成分計算:
   • 戦略: 各電荷が作る電場ベクトルを求め、成分分解して足し合わせる。
   • フロー: ①\(\vec{E}_O\)の大きさと向きを求め、成分\((E_{Ox}, E_{Oy})\)を決定 → ②\(\vec{E}_A\)の大きさと向きを求め、三角比で成分\((E_{Ax}, E_{Ay})\)を計算 → ③\(E_x = E_{Ox} + E_{Ax}\), \(E_y = E_{Oy} + E_{Ay}\)として合成。
2. (2) x軸上の電位ゼロ点:
   • 戦略: x軸上の点の電位をスカラー和で表し、=0の方程式を解く。
   • フロー: ①任意の点\((x,0)\)と各電荷の距離を絶対値で表現 → ②電位の和の式 \(V(x)=0\) を立式 → ③絶対値を外すために両辺を2乗し、得られたxの2次方程式を解く。
3. (3) 等電位線の図示:
   • 戦略: xy平面上の点の電位をスカラー和で表し、=0の式を円の方程式に変形する。
   • フロー: ①任意の点\((x,y)\)と各電荷の距離を三平方の定理で表現 → ②電位の和の式 \(V(x,y)=0\) を立式 → ③根号を消すために移項して両辺を2乗 → ④式を展開・整理し、平方完成して円の中心と半径を特定 → ⑤図示する。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位円の活用: (1)の成分分解で\(\cos 135^\circ\)や\(\sin 135^\circ\)の値が必要になったとき、迷わず単位円を描いて符号と値を視覚的に確認する癖をつけましょう。これにより、単純な暗記事故を防げます。
• 因数分解を試みる: (2)で得られた2次方程式 \(3x^2 + 2ax – a^2 = 0\) は、解の公式に頼る前に、まずたすき掛けなどで因数分解できないか試みましょう。多くの場合、きれいに因数分解できるように作られています。
• 別解による検算: (3)のように、代数的な解法（平方完成）と幾何学的な解法（アポロニウスの円）の両方を知っている場合、一方で解いた後、もう一方の方法で検算することができます。これは計算の正確性を担保する上で非常に強力なテクニックです。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (1) 電場の向き: 電荷\(-Q\)は下に引き、電荷\(+2Q\)は左上に押します。下向きの力の方が強そう（距離が近く、電荷の比も1:2程度なので）なので、合成電場が左下を向くという結果は直感に合っています。
  • (2) 電位ゼロ点の位置: 電荷\(-Q\)と\(+2Q\)の間では、\(+2Q\)の影響が強いので、電位が0になる点は\(-Q\)側に寄るはずです。\(x=a/3\)はOとAの間にあり、Oに近いので妥当です。また、Oの左側では、\(-Q\)の影響（負の電位）と\(+2Q\)の影響（正の電位）が釣り合う点があるはずで、\(x=-a\)という解も妥当性があります。
  • (3) 円の位置: (2)で求めた2点を直径の両端とする円が描かれるのがアポロニウスの円です。計算結果が、この2点を通る円になっていることを確認することで、解答の正しさを強く確信できます。中心が\(-a/3\)、半径が\(2a/3\)の円は、確かに\(x=a/3\)と\(x=-a\)の2点を通ります。

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共田 誠（まこと先生）

高校物理講師・プロ家庭教師 / 指導歴14年

上智大学理工学部物理学科卒。私立高校の非常勤講師として進学クラスから基礎クラスまで幅広く担当。大手家庭教師センター3社でプロ家庭教師を経験し、現在はオンライン専門で全国の高校生を個別指導中。

「暗記物理の撲滅」を掲げ、生徒の思考のクセを診断・矯正するドクター型アプローチで指導。表面的なテクニックではなく、初見の問題に強い思考力を育てる。

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