問題94 回折格子 (22 岡山大)
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
- 提示する別解
- 設問(1)および(5)の別解: 微積分を用いた体系的解法（光路長関数の微分）
- 模範解答が図形的な幾何関係（直角三角形）から個別に経路差を求めているのに対し、別解では「光路長関数」を定義し、その位置微分（勾配）から一般的に経路差を導出します。
- 設問(1)および(5)の別解: 微積分を用いた体系的解法（光路長関数の微分）
- 上記の別解が有益である理由
- 透過型（問1）と反射型（問5）を、全く同じ「光路長の微分」という原理で統一的に理解できます。
- 図形のパズルに頼らず、座標と角度の関係から機械的に導出できるため、複雑な配置（斜め入射など）にも応用が利きます。
- 結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、最終的に得られる関係式は模範解答と完全に一致します。
この問題のテーマは「回折格子による光の干渉」です。多数のスリットから出る光が干渉し合い、鋭い明線（スペクトル）を作る現象を扱います。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 光の干渉条件: 複数の光波が重なり合うとき、経路差（光路差）が波長の整数倍であれば強め合い（明線）、半整数倍であれば弱め合います（暗線）。
- 回折格子の原理: 隣り合うスリットからの光の経路差 \(d\sin\theta\) が \(m\lambda\) になるとき、強い明線が生じます。
- 近似計算: 角度 \(\theta\) が小さいとき、\(\sin\theta \approx \tan\theta \approx y/L\) の近似が成り立ちます。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (1)では、幾何学的な作図から隣り合う光線の経路差を求め、干渉条件式を立てます。
- (2)では、小角近似を用いて角度 \(\theta\) を座標 \(y\) に変換し、明線の位置を導出します。
- (3)では、具体的な数値を代入して計算します。単位の換算に注意が必要です。
- (4)では、波長による回折角の違いからスペクトルの並び順と幅を考察します。
- (5)では、反射型回折格子における経路差を入射側と反射側に分けて考え、条件式を導きます。
問(1)
思考の道筋とポイント
回折格子における明線の条件を求めます。
回折格子では、多数のスリットから出る光が互いに干渉し合います。特定の方向（角度 \(\theta\)）において、隣り合うスリットからの光の「経路差（光路差）」が波長 \(\lambda\) の整数倍になるとき、波の山と山が重なり合って強め合い、明線が生じます。
この設問における重要なポイント
- 平行光線の近似: スクリーンまでの距離 \(L\) がスリット間隔 \(d\) に比べて十分に大きい（\(L \gg d\)）ため、スクリーン上の点Pに向かう光線は互いに平行であるとみなせます。
- 経路差の作図: 隣り合う光線に対して垂線を下ろし、直角三角形を作ることで経路差を可視化します。
具体的な解説と立式
図aに着目します。
隣り合う2つのスリット（間隔 \(d\)）から、角度 \(\theta\) の方向へ進む2つの光線を考えます。
入射光は格子面に垂直に入射しているため、スリットに到達するまでは位相が揃っています（経路差 \(0\)）。
スリット通過後、上のスリットから出る光線に対して、下のスリットから出る光線から垂線を下ろします。
このときできる直角三角形の斜辺は \(d\) であり、鋭角の一つが \(\theta\) となります。
したがって、隣り合う光線の経路差 \(\Delta L\) は以下のように表せます。
$$
\begin{aligned}
\Delta L &= d \sin\theta
\end{aligned}
$$
1番目の明線（\(m=1\)）となる条件は、この経路差が波長 \(\lambda\) のちょうど1倍になることです。
$$
\begin{aligned}
(\text{経路差}) &= 1 \times (\text{波長})
\end{aligned}
$$
これに \(\Delta L\) を代入して立式します。
$$
\begin{aligned}
d \sin\theta &= \lambda
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 回折格子の干渉条件: \(d \sin\theta = m\lambda\) （\(m=0, 1, 2, \dots\)）
立式した式そのものが答えとなります。
$$
\begin{aligned}
d \sin\theta &= \lambda
\end{aligned}
$$
隣り合う穴から出た光は、斜め方向に進むと距離に差が生まれます。この距離のズレ（経路差）が、ちょうど波1つ分（\(\lambda\)）になると、波の山同士がぴったり重なって強め合います。図の直角三角形を見ると、そのズレの長さは \(d \sin\theta\) であることがわかります。
関係式は \(d \sin\theta = \lambda\) です。
\(\theta=0\) のときは経路差 \(0\) で \(0\) 次の明線となりますが、今回は「1番目の明線」なので右辺は \(\lambda\) となります。次元を確認すると、左辺は長さ \([\text{L}]\) 、右辺も長さ \([\text{L}]\) で一致しています。
思考の道筋とポイント
幾何学的な作図に頼らず、座標を用いて光路長を関数化し、その微分から位相差を導きます。
スリットの位置を座標 \(y\) で表し、その位置を通る光の光路長 \(S(y)\) を定義します。
隣り合うスリット（間隔 \(d\)）間の光路差は、光路長関数の変化率（微分）に \(d\) を掛けたものとして近似できます。
この設問における重要なポイント
- 光路長関数 \(S(y)\): 基準点（原点）を通る光に対する、位置 \(y\) を通る光の光路差。
- 微分の物理的意味: \(\displaystyle\frac{dS}{dy}\) は、スリット位置がずれたときの光路長の変化率を表します。
具体的な解説と立式
格子面に沿って上向きに \(y\) 軸をとります。原点 \(O\) を基準とします。
入射光は \(y\) 軸に垂直（\(x\) 軸方向）に進むため、すべての \(y\) において入射時の光路差はありません。
透過後、角度 \(\theta\)（\(x\) 軸から \(y\) 軸方向へ測る）で進む光を考えます。
位置 \(y\)（\(y>0\)）にあるスリットを通る光は、原点 \(y=0\) を通る光に比べて、スクリーンまでの距離が短くなります。
図aを見ると、光線は上向きに進んでおり、上のスリットの方がスクリーンに近いことがわかります。
その短縮距離は \(y \sin\theta\) です。
よって、光路長関数 \(S(y)\)（原点基準の短縮分）は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
S(y) &= y \sin\theta
\end{aligned}
$$
隣り合うスリット間の距離は \(d\) なので、光路差 \(\Delta S\) は微分を用いて次のように表せます。
$$
\begin{aligned}
\Delta S &\approx \frac{dS}{dy} \cdot d
\end{aligned}
$$
これが波長 \(\lambda\) の整数倍であれば強め合います。1番目の明線なので \(1 \cdot \lambda\) と等置します。
$$
\begin{aligned}
\frac{dS}{dy} \cdot d &= \lambda
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 微分の定義: \(\Delta f \approx f'(x) \Delta x\)
まず、\(S(y)\) を \(y\) で微分します。
$$
\begin{aligned}
\frac{dS}{dy} &= \frac{d}{dy}(y \sin\theta) \\[2.0ex]
&= \sin\theta
\end{aligned}
$$
これを立式した式に代入します。
$$
\begin{aligned}
\sin\theta \cdot d &= \lambda \\[2.0ex]
d \sin\theta &= \lambda
\end{aligned}
$$
「位置が \(y\) ずれると、光が進む距離はどう変わるか？」を数式（関数）で表しました。その変化の割合（傾き）を計算すると、ちょうど \(\sin\theta\) になります。スリットの間隔 \(d\) だけずれたときの距離の変化が、波長と一致する条件を求めました。
幾何学的な解法と同じ結果が得られました。この考え方は、後の設問(5)で威力を発揮します。
問(2)
思考の道筋とポイント
問(1)で求めた関係式と、問題文で与えられた近似式 \(\sin\theta \approx \tan\theta\) を組み合わせて、スクリーン上の距離 \(y_1, y_2\) を求めます。
\(y_1\) は1番目の明線（\(m=1\)）、\(y_2\) は2番目の明線（\(m=2\)）に対応します。
この設問における重要なポイント
- 小角近似: \(\theta\) が十分に小さいとき、\(\sin\theta \approx \tan\theta \approx \displaystyle\frac{y}{L}\) が成り立ちます。
- 次数の対応: \(m=1\) が \(y_1\)、\(m=2\) が \(y_2\) に対応します。
具体的な解説と立式
図1より、原点 \(O\) から明線までの距離を \(y\)、スクリーンまでの距離を \(L\) とすると、幾何学的な関係から以下の式が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
\tan\theta &= \frac{y}{L}
\end{aligned}
$$
問題文の近似 \(\sin\theta \approx \tan\theta\) を用いると、問(1)の条件式 \(d \sin\theta = m\lambda\) は次のように書き換えられます。
$$
\begin{aligned}
d \cdot \frac{y}{L} &= m\lambda \quad (m=1, 2, \dots)
\end{aligned}
$$
この式について、\(m=1\) のときの \(y\) を \(y_1\)、\(m=2\) のときの \(y\) を \(y_2\) とします。
$$
\begin{aligned}
d \cdot \frac{y_1}{L} &= 1 \cdot \lambda \quad \cdots ① \\[2.0ex]
d \cdot \frac{y_2}{L} &= 2 \cdot \lambda \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 近似式: \(\sin\theta \approx \tan\theta = \displaystyle\frac{y}{L}\)
式①より \(y_1\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
y_1 &= \frac{L\lambda}{d}
\end{aligned}
$$
式②より \(y_2\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
y_2 &= \frac{2L\lambda}{d}
\end{aligned}
$$
角度 \(\theta\) が小さいとき、サインとタンジェントはほぼ同じ値になります。これを利用して、角度の式を長さ \(y\) と \(L\) の式に書き換えました。1番目の明線は波長1つ分、2番目の明線は波長2つ分のズレに対応するので、距離 \(y\) も単純に2倍になります。
\(y_1 = \displaystyle\frac{L\lambda}{d}\)、\(y_2 = \displaystyle\frac{2L\lambda}{d}\) です。
波長 \(\lambda\) が長いほど、またスクリーン距離 \(L\) が遠いほど、明線の間隔は広がります。逆にスリット間隔 \(d\) が広いと明線間隔は狭くなります。これは回折の一般的性質と一致します。
問(3)
思考の道筋とポイント
問(2)で導出した \(y_1\) の式に、具体的な数値を代入して計算します。
単位の変換（mm \(\to\) m）と有効数字（3桁）に注意が必要です。
この設問における重要なポイント
- 単位の統一: 格子定数 \(d\) が「1mm当たり20本」という形で与えられているため、これをメートル単位の長さ \(d\) に変換する必要があります。
- 指数計算: \(10\) のべき乗の計算を正確に行います。
具体的な解説と立式
まず、格子定数（スリット間隔）\(d\) を求めます。
1mm（\(= 1.00 \times 10^{-3}\,\text{m}\)）の中に20本の刻線があるため、1本あたりの間隔 \(d\) は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
d &= \frac{1.00 \times 10^{-3}\,\text{m}}{20}
\end{aligned}
$$
これを問(2)の式 \(y_1 = \displaystyle\frac{L\lambda}{d}\) に代入します。
与えられた値は \(L = 1\,\text{m}\)、\(\lambda = 5.32 \times 10^{-7}\,\text{m}\) です。
$$
\begin{aligned}
y_1 &= \frac{1 \cdot (5.32 \times 10^{-7})}{\frac{1.00 \times 10^{-3}}{20}}
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 特になし（代入計算）
まず \(d\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
d &= \frac{1.00 \times 10^{-3}}{20} \\[2.0ex]
&= 0.05 \times 10^{-3} \\[2.0ex]
&= 5.00 \times 10^{-5}\,\text{m}
\end{aligned}
$$
これを \(y_1\) の式に代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
y_1 &= \frac{1 \times 5.32 \times 10^{-7}}{5.00 \times 10^{-5}} \\[2.0ex]
&= \frac{5.32}{5.00} \times 10^{-7 – (-5)} \\[2.0ex]
&= 1.064 \times 10^{-2}\,\text{m}
\end{aligned}
$$
有効数字3桁で答えるため、4桁目を四捨五入します。
$$
\begin{aligned}
y_1 &\approx 1.06 \times 10^{-2}\,\text{m}
\end{aligned}
$$
公式に数字を当てはめるだけの計算問題ですが、単位に罠があります。「1mmに20本」から「1本の間隔は何メートルか」を正しく計算するのがポイントです。あとは指数の計算ミスに気をつけて割り算を行います。
答えは \(1.06 \times 10^{-2}\,\text{m}\)（約1cm）です。
実験室規模（1mのスクリーン）で1cm程度のズレというのは、観測しやすい妥当な数値です。
問(4)
思考の道筋とポイント
白色光を用いた場合のスペクトル（虹色）の並び順と、帯の幅の変化を考えます。
白色光は様々な波長の光を含んでおり、可視光では紫（波長が短い）から赤（波長が長い）までの範囲があります。
この設問における重要なポイント
- 波長と位置の関係: \(y_1 = \displaystyle\frac{L\lambda}{d}\) より、位置 \(y\) は波長 \(\lambda\) に比例します。
- 帯の幅: 帯の幅は、その次数の明線における「赤の波長の位置」と「紫の波長の位置」の差で決まります。
具体的な解説と立式
空欄 [ ア ] について
問(2)の結果 \(y = \displaystyle\frac{mL\lambda}{d}\) より、同じ次数 \(m\) であれば、波長 \(\lambda\) が小さいほど \(y\) は小さく（原点 \(O\) に近く）、波長 \(\lambda\) が大きいほど \(y\) は大きく（原点 \(O\) から遠く）なります。
可視光線において、紫色の波長は最も短く、赤色の波長は最も長いです。
したがって、点 \(O\) に近い内側から順に「紫 \(\to\) 赤」と並びます。これは選択肢の②に相当します。
空欄 [ イ ] について
白色光の波長範囲を \(\lambda_{\text{紫}} \le \lambda \le \lambda_{\text{赤}}\) とします。
\(m\) 番目の明線の帯の幅 \(w_m\) は、赤色の位置 \(y_{m,\text{赤}}\) と紫色の位置 \(y_{m,\text{紫}}\) の差です。
$$
\begin{aligned}
w_m &= y_{m,\text{赤}} – y_{m,\text{紫}} \\[2.0ex]
&= \frac{mL\lambda_{\text{赤}}}{d} – \frac{mL\lambda_{\text{紫}}}{d} \\[2.0ex]
&= \frac{mL}{d} (\lambda_{\text{赤}} – \lambda_{\text{紫}})
\end{aligned}
$$
これより、1番目の帯の幅 \(w_1\)（\(m=1\)）と2番目の帯の幅 \(w_2\)（\(m=2\)）の比を求めます。
$$
\begin{aligned}
w_1 &= \frac{1 \cdot L}{d} (\lambda_{\text{赤}} – \lambda_{\text{紫}}) \\[2.0ex]
w_2 &= \frac{2 \cdot L}{d} (\lambda_{\text{赤}} – \lambda_{\text{紫}})
\end{aligned}
$$
比をとると、
$$
\begin{aligned}
\frac{w_2}{w_1} &= 2
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 明線の位置: \(y \propto m\lambda\)
上記の立式過程で計算は完了しています。
\(w_2 = 2 w_1\) なので、倍率は \(2\) です。
回折格子による虹は、波長によって曲がる角度が違うためにできます。波長が長い赤色ほど大きく曲がるので、外側が赤、内側が紫になります。
また、2番目の虹は1番目の虹の2倍の位置にできますが、その「幅」も単純に2倍に引き伸ばされます。
ア: ②、イ: 2。
次数が高くなるとスペクトルは広がり、やがて隣の次数のスペクトルと重なり合うようになります。
問(5)
思考の道筋とポイント
反射型回折格子の問題です。図2および図c, dを参考に、入射光と反射光（回折光）の経路差を幾何学的に求めます。
入射側での経路差と、反射側での経路差の「差」が波長の整数倍になる条件を探します。
この設問における重要なポイント
- 入射側の経路差: 図cより、下の光線（II）の方が上の光線（I）より \(d \sin\alpha\) だけ長い距離を進みます。
- 反射側の経路差: 図dより、上の光線（I）の方が下の光線（II）より \(d \sin\beta\) だけ長い距離を進みます。
- 全経路差: 光線Iと光線IIのトータルの道のりの差を計算します。
具体的な解説と立式
隣り合う2つの溝（間隔 \(d\)）に入射する光線I（上側）と光線II（下側）を考えます。
入射過程（図c）:
波面（点線）から格子面までの距離を比較すると、光線IIは光線Iよりも余分に距離を進みます。その差 \(\Delta L_{\text{入}}\) は直角三角形より以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
\Delta L_{\text{入}} &= d \sin\alpha
\end{aligned}
$$
反射過程（図d）:
格子面から反射波面（点線）までの距離を比較すると、今度は光線Iの方が光線IIよりも余分に距離を進みます。その差 \(\Delta L_{\text{出}}\) は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
\Delta L_{\text{出}} &= d \sin\beta
\end{aligned}
$$
全経路差:
光線IIは入射時に \(d \sin\alpha\) 遅れましたが、光線Iは反射時に \(d \sin\beta\) 遅れました。
互いの遅れを相殺した残りが、最終的な経路差 \(\Delta L\) となります。
$$
\begin{aligned}
\Delta L &= | \Delta L_{\text{出}} – \Delta L_{\text{入}} |
\end{aligned}
$$
これに各経路差を代入します。
$$
\begin{aligned}
\Delta L &= | d \sin\beta – d \sin\alpha |
\end{aligned}
$$
問題文より \(\beta > \alpha > 0\) なので、\(\sin\beta > \sin\alpha\) です。したがって絶対値を外すと以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
\Delta L &= d(\sin\beta – \sin\alpha)
\end{aligned}
$$
これが1番目の明線（1波長分の差）となる条件なので、\(\lambda\) と等置します。
$$
\begin{aligned}
d(\sin\beta – \sin\alpha) &= \lambda
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 反射型回折格子の経路差: \(d(\sin\beta – \sin\alpha)\)
立式した式がそのまま答えとなります。
$$
\begin{aligned}
d(\sin\beta – \sin\alpha) &= \lambda
\end{aligned}
$$
光のレースを想像してください。
スタート（入射）では、下のコース（II）の方が距離が長く、\(d \sin\alpha\) だけ遅れをとります。
しかしゴール（反射）に向かうときは、上のコース（I）の方が距離が長く、\(d \sin\beta\) だけ遅れをとります。
最終的な勝負（位相差）は、この2つの遅れの「差引き」で決まります。反射角 \(\beta\) の方が大きいので、上のコースの遅れの方が大きく、トータルでは上のコースの方が長く走ったことになります。その差が波長1つ分になれば、ゴールで同時に到着（強め合い）します。
答えは \(d(\sin\beta – \sin\alpha) = \lambda\) です。
もし \(\alpha = \beta\)（正反射）なら、左辺は \(0\) となり、経路差なし（\(0\) 次の明線）となります。これは鏡の反射の法則と一致しており、物理的に妥当です。
思考の道筋とポイント
問(1)の別解と同様に、座標 \(y\) を用いて光路長関数 \(S(y)\) を定義し、その微分から経路差を導出します。
この方法を用いると、「どっちが長いか」という図形的なパズルに悩まされることなく、符号を含めて自動的に正しい式が得られます。
この設問における重要なポイント
- 光路長関数 \(S(y)\): 入射光の光路長変化と、反射光の光路長変化の和として定義します。
- 符号の定義: 座標軸の向きと光の進行方向の関係から、光路長の増減（符号）を慎重に決定します。
具体的な解説と立式
図2に合わせて、格子面に沿って下向きに \(y\) 軸をとります。原点 \(O\) を基準とします。
入射光:
右上から角度 \(\alpha\) で入射します。
位置 \(y\)（\(y>0\)）の点は、原点よりも光源から遠い位置にあります。
波面は進行方向に垂直なので、\(y\) 軸上の点 \(y\) は原点に対して \(y \sin\alpha\) だけ「奥」にあります。
つまり、位置 \(y\) に到達するまでに、光は余分に \(y \sin\alpha\) の距離を進みます。
$$
\begin{aligned}
S_{\text{入}}(y) &= + y \sin\alpha
\end{aligned}
$$
反射光:
右下へ角度 \(\beta\) で反射します。
位置 \(y\)（\(y>0\)）の点から出る光は、原点から出る光に比べて、反射波面までの距離が短くなります。
図dを見ると、下側の光線（II）の方が反射波面に近いです。
その短縮距離は \(y \sin\beta\) です。つまり、光路長は短くなります。
$$
\begin{aligned}
S_{\text{出}}(y) &= – y \sin\beta
\end{aligned}
$$
全光路長関数:
位置 \(y\) を経由する光の、原点経由に対する光路長差 \(S(y)\) は、これら2つの和です。
$$
\begin{aligned}
S(y) &= S_{\text{入}}(y) + S_{\text{出}}(y)
\end{aligned}
$$
これに各関数を代入します。
$$
\begin{aligned}
S(y) &= y \sin\alpha – y \sin\beta \\[2.0ex]
&= -y (\sin\beta – \sin\alpha)
\end{aligned}
$$
隣り合うスリット（\(y=d\)）間の光路差の大きさ \(|\Delta S|\) が \(\lambda\) であればよいので、微分を用いて立式します。
$$
\begin{aligned}
|\Delta S| &\approx \left| \frac{dS}{dy} \cdot d \right|
\end{aligned}
$$
これを \(\lambda\) と等置します。
$$
\begin{aligned}
\left| \frac{dS}{dy} \cdot d \right| &= \lambda
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 光路長関数の微分: \(\Delta S \approx S'(y) d\)
まず、\(S(y)\) を \(y\) で微分します。
$$
\begin{aligned}
\frac{dS}{dy} &= \frac{d}{dy} \{ -y (\sin\beta – \sin\alpha) \} \\[2.0ex]
&= -(\sin\beta – \sin\alpha)
\end{aligned}
$$
これを立式した式に代入し、絶対値をとります。
$$
\begin{aligned}
| -(\sin\beta – \sin\alpha) \cdot d | &= \lambda
\end{aligned}
$$
問題文より \(\beta > \alpha\) なので、\(\sin\beta > \sin\alpha\) です。したがって絶対値の中身は負の値となります。
$$
\begin{aligned}
(\sin\beta – \sin\alpha) \cdot d &= \lambda \\[2.0ex]
d(\sin\beta – \sin\alpha) &= \lambda
\end{aligned}
$$
「入射するときは下の方が \(y \sin\alpha\) だけ余計に歩く」「反射するときは下の方が \(y \sin\beta\) だけ近道できる」ということを数式にしました。
トータルで見ると、近道分の方が大きい（\(\beta > \alpha\)）ので、下を通る光の方が距離が短くなります。その差が波長と一致する条件を計算しました。
幾何学的な解法と完全に一致しました。
この「光路長関数」の考え方は、レンズや鏡の結像公式を導く際（フェルマーの原理）にも使われる、非常に強力で一般的な手法です。
【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座
最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- 回折格子における光の干渉条件
- 核心: 隣り合うスリットから出る光の経路差（光路差）が、波長の整数倍になるときに強め合い、明線が生じるという原理です。
- 理解のポイント:
- 経路差の幾何学的導出: 平行光線近似（\(L \gg d\)）の下で、隣り合う光線に垂線を下ろして直角三角形を作り、経路差 \(d \sin\theta\) を求めます。
- 次数の意味: \(m=0\) は経路差なし（中央明線）、\(m=1\) は1波長分のズレ、\(m=2\) は2波長分のズレに対応します。
- 光路長関数と微分の関係（別解の視点）
- 核心: 光路長を位置の関数 \(S(y)\) として捉えると、経路差はその微分（勾配）にスリット間隔 \(d\) を掛けたものとして統一的に理解できます。
- 理解のポイント:
- 一般化: 透過型でも反射型でも、あるいは斜め入射でも、「位置 \(y\) による光路長の変化率」を計算すれば、自動的に干渉条件が導かれます。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- 斜め入射の透過型回折格子: 入射光が角度を持って入ってくる場合、入射側の経路差と出射側の経路差の和（または差）を考える必要があります。問(5)の反射型と同じロジックで解けます。
- 反射型回折格子（CD/DVDの表面など）: 今回の問(5)そのものです。入射角と反射角が異なる場合の経路差を、幾何学的または関数的に処理します。
- ヤングの実験: スリットが2つだけの場合ですが、原理は全く同じです。\(d \sin\theta \approx d \tan\theta = dy/L\) の近似式が頻出です。
- 初見の問題での着眼点:
- 経路差の作図: まずは隣り合う光線を描き、垂線を下ろして直角三角形を見つけます。「どこが余分に距離を走っているか」を視覚的に特定します。
- 近似の適用: \(\theta\) が小さいという記述があれば、迷わず \(\sin\theta \approx \tan\theta \approx y/L\) を使います。
- 単位の確認: 「1mmあたり何本」という表記は、必ず「1本あたりの間隔 \(d\) [\(\text{m}\)]」に変換してから計算に入ります。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 格子定数 \(d\) の計算ミス:
- 誤解: 「1mmに20本」を見て、\(d = 20\) や \(d = 1/20\) [\(\text{mm}\)] と計算し、メートルへの換算（\(\times 10^{-3}\)）を忘れる。
- 対策: 必ず単位を書きながら計算します。\(1\,\text{mm} = 10^{-3}\,\text{m}\) なので、\(d = (10^{-3}\,\text{m}) / 20\) と立式する癖をつけましょう。
- 経路差の足し引きの判断ミス（問5など）:
- 誤解: 入射側の経路差と反射側の経路差を、常に足せばいい（または引けばいい）と思い込む。
- 対策: 図を描いて、「下の光線が入射で遅れた分」と「上の光線が反射で遅れた分」が相殺し合うのか、助長し合うのかを確認します。あるいは、別解の「光路長関数」を使えば、符号のミスを自動的に防げます。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- 問(2)での近似式 \(\sin\theta \approx \tan\theta\) の利用:
- 選定理由: 問題文で明示的に指示されているため、これに従うのが絶対です。また、\(y\) を求めたい場合、\(\sin\theta\) のままでは計算できないため、\(y/L\) を含む \(\tan\theta\) への変換が必須です。
- 適用根拠: \(L \gg y\)（スクリーンまでの距離に対して明線の位置が十分に近い）という物理的条件が満たされているため、数学的に正当化されます。
- 問(5)別解での光路長関数の微分:
- 選定理由: 幾何学的なパズル（どっちが長いか）を避けて、機械的な計算で確実に正解を導くためです。特に符号のミスを防ぐのに有効です。
- 適用根拠: 光路長の変化が連続的であり、スリット間隔 \(d\) が巨視的な変化に対して十分小さいとみなせるため、微分の定義 \(\Delta S \approx S’ d\) が適用可能です。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 指数の計算管理:
- 意識: \(10^{-7}\) や \(10^{-3}\) などの指数計算は、最もミスが起きやすい箇所です。
- 実践: 数字部分（\(5.32/5.00\) など）と指数部分（\(10^{-7}/10^{-5}\) など）を分けて計算し、最後に合体させます。途中でごちゃ混ぜにしないことが鉄則です。
- 次元解析（単位チェック）:
- 意識: 求めた式の右辺と左辺で、単位が合っているかを常に確認します。
- 実践: 例えば \(y = L\lambda/d\) なら、\([\text{m}] \cdot [\text{m}] / [\text{m}] = [\text{m}]\) となり、長さの次元になっているのでOKです。もし \(d\) が分子にあったら \([\text{m}]^{-1}\) になってしまい、間違いに気づけます。
問題95 薄膜による光の干渉 (17 大阪府大 改)
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
- 提示する別解
- 設問(8)の別解: 微積分を用いた体系的解法（位相差関数の解析）
- 模範解答が個別の物理的考察（光路差の増減）から次数の変化を判断するのに対し、別解では位相差関数 \(\delta(d, \lambda, i)\) を定義し、その偏微分を用いて干渉条件の変化を数学的かつ体系的に導出します。
- このアプローチにより、設問(2)、(3)、(8)で問われている「条件の変化」を一貫した論理で説明します。
- 設問(8)の別解: 微積分を用いた体系的解法（位相差関数の解析）
- 上記の別解が有益である理由
- 「光路差が縮むから次数が下がる」といった定性的な直感を、微分の符号によって厳密に裏付けることができます。
- 複数の変数が同時に変化するような複雑な応用問題に対しても、数式操作だけで確実に答えを導ける汎用性を持ちます。
- 結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、最終的に得られる答えは模範解答と完全に一致します。
この問題のテーマは「薄膜による光の干渉」です。屈折率の異なる媒質（空気、薄膜、ガラス）が層状に重なっている系において、反射光同士が強め合ったり弱め合ったりする現象を扱います。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 光路長（光学距離）: 媒質中を進む光の「距離 \(\times\) 屈折率」で表される量。位相の進み具合を真空中の距離に換算したものです。
- 反射による位相の変化: 屈折率が小さい媒質から大きい媒質へ入射して反射する場合（固定端反射）、位相が \(\pi\)（半波長分）ずれます。逆の場合（自由端反射）はずれません。
- 干渉条件: 2つの光の光路差が波長の整数倍なら強め合い、半整数倍なら弱め合うというのが基本ですが、反射による位相のずれを考慮して最終的な条件式を立てる必要があります。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (1)〜(4)では、垂直入射の場合を考えます。光路差は単純に往復距離となりますが、反射での位相変化に注意して干渉条件を立式します。
- (5)〜(8)では、斜め入射の場合を考えます。幾何学的な考察から光路差を導出し、入射角の変化が干渉条件にどう影響するかを解析します。
問(1)
思考の道筋とポイント
屈折率 \(n\) の媒質中では、光の進む速さが \(1/n\) 倍になり、振動数は変化しません。その結果、波長も変化します。
この設問における重要なポイント
- 波の基本式: \(v = f\lambda\)
- 屈折率の定義: 絶対屈折率 \(n\) の媒質中での光速 \(v\) は、真空中の光速 \(c\) を用いて \(v = c/n\) と表されます。
- 振動数不変の原理: 光が異なる媒質へ進んでも、振動数 \(f\) は変化しません。
具体的な解説と立式
真空中の光速を \(c\)、振動数を \(f\) とします。
空気の屈折率は \(1\) なので、空気中の波長 \(\lambda_0\) について以下の関係が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
c &= f \lambda_0 \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
屈折率 \(n_1\) の薄膜中での光速を \(v_1\)、波長を \(\lambda_1\) とします。振動数は \(f\) のまま変わりません。
$$
\begin{aligned}
v_1 &= f \lambda_1 \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$
また、屈折率の定義より、以下の関係があります。
$$
\begin{aligned}
v_1 &= \frac{c}{n_1} \quad \cdots ③
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 波の基本式: \(v = f\lambda\)
- 屈折率と光速の関係: \(n = \frac{c}{v}\)
式②に式③を代入します。
$$
\begin{aligned}
\frac{c}{n_1} &= f \lambda_1
\end{aligned}
$$
これに式①より \(c = f \lambda_0\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
\frac{f \lambda_0}{n_1} &= f \lambda_1
\end{aligned}
$$
両辺を \(f\) で割って \(\lambda_1\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\lambda_1 &= \frac{\lambda_0}{n_1}
\end{aligned}
$$
光は「混雑した場所（屈折率が高い場所）」に行くと、進むスピードが遅くなります。でも、光の振動のリズム（振動数）は変わりません。
スピードが落ちるのにリズムが同じということは、歩幅（波長）が小さくなるということです。
具体的には、屈折率 \(n_1\) の場所では、波長は \(1/n_1\) に縮みます。
答えは \(\lambda_1 = \frac{\lambda_0}{n_1}\) です。
\(n_1 > 1\) なので、波長は空気中より短くなります。これは物理的に正しい結果です。
問(2)
思考の道筋とポイント
薄膜の上面と下面で反射した2つの光の干渉を考えます。
まず、光路差（経路差 \(\times\) 屈折率）を求めます。
次に、反射による位相のずれを確認し、強め合う条件式を立てます。
最後に、厚さ \(d\) を \(0\) から増やしていったときの「\(k\) 回目の極大」が、整数 \(m\) のどの値に対応するかを慎重に判断します。
この設問における重要なポイント
- 反射の位相変化:
- 屈折率 小 \(\rightarrow\) 大 の反射（固定端反射）: 位相が \(\pi\) ずれる（波長で言うと \(\lambda/2\) ずれる）。
- 屈折率 大 \(\rightarrow\) 小 の反射（自由端反射）: 位相はずれない。
- 問題の設定: \(1 < n_1\) かつ \(n_1 > n_2\) です。
- 次数の対応: 「\(k\) 回目」と「整数 \(m\)」の対応関係はずれることがあるので、必ず \(d\) の最小値から順に確認します。
具体的な解説と立式
まず、反射による位相の変化を確認します。
- 光線①（上面反射）: 空気（\(n=1\)）から薄膜（\(n=n_1\)）への反射です。\(1 < n_1\) なので、位相は \(\pi\) ずれます。
- 光線②（下面反射）: 薄膜（\(n=n_1\)）からガラス（\(n=n_2\)）への反射です。\(n_1 > n_2\) なので、位相はずれません。
2つの光の間には、反射によって合計 \(\pi\) の位相差（半波長のずれ）が生じます。
次に、光路差を考えます。
垂直入射なので、往復距離は \(2d\) です。薄膜中の屈折率は \(n_1\) なので、光路差 \(\Delta L\) は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
\Delta L &= 2 n_1 d
\end{aligned}
$$
強め合う条件（明るくなる条件）を立式します。
反射で半波長ずれているため、「光路差が半波長の奇数倍」のときに強め合います。整数 \(m\) (\(m=0, 1, 2, \dots\)) を用いて表すと以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
2 n_1 d &= \left( m + \frac{1}{2} \right) \lambda_0 \quad \cdots ④
\end{aligned}
$$
ここで、\(k\) 回目の極大について考えます。
\(d\) を \(0\) から増やしていくとき、式④を満たす最小の \(d\) は \(m=0\) のときです。
- 1回目の極大 (\(k=1\)): \(m=0\)
- 2回目の極大 (\(k=2\)): \(m=1\)
- …
- \(k\) 回目の極大: \(m = k – 1\)
したがって、\(k\) 回目の極大における厚さ \(d_k\) を求める式は、式④の \(m\) に \(k-1\) を代入したものになります。
$$
\begin{aligned}
2 n_1 d_k &= \left( (k-1) + \frac{1}{2} \right) \lambda_0 \quad \cdots ⑤
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 光路差: \(\Delta L = 2nd\)
- 反射の位相変化の法則
- 干渉条件（逆位相の場合）: \(\Delta L = (m + 1/2)\lambda\)
式⑤を整理して \(d_k\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
2 n_1 d_k &= \left( k – 1 + 0.5 \right) \lambda_0 \\[2.0ex]
2 n_1 d_k &= \left( k – \frac{1}{2} \right) \lambda_0 \\[2.0ex]
2 n_1 d_k &= \frac{2k – 1}{2} \lambda_0
\end{aligned}
$$
両辺を \(2n_1\) で割ります。
$$
\begin{aligned}
d_k &= \frac{2k – 1}{4 n_1} \lambda_0
\end{aligned}
$$
薄膜の上面では光が「硬い壁」に当たったように跳ね返るため、波の山と谷がひっくり返ります。一方、下面では「柔らかい壁」に当たるため、ひっくり返りません。
このため、膜の厚さがゼロ（光路差ゼロ）だと、ひっくり返った波とそのままの波が重なって打ち消し合い、暗くなります。
膜を厚くしていくと、往復の距離が稼がれていき、ちょうど「半波長分」の距離差がついたところで、ひっくり返った波がもう一度ひっくり返ったような状態になり、強め合って初めて明るくなります。これが1回目（\(m=0\)）です。
さらに厚くして距離差が「1.5波長分」になると2回目（\(m=1\)）の明るい状態になります。
このように数えていくと、\(k\) 回目は \(m=k-1\) に対応することがわかります。
答えは \(d_k = \frac{2k-1}{4n_1}\lambda_0\) です。
\(k=1\) のとき \(d_1 = \frac{\lambda_0}{4n_1}\) となり、往復光路差 \(2n_1 d_1 = \lambda_0/2\) となるため、反射の位相ずれと合わせて1波長分の差となり強め合います。これは妥当です。
問(3)
思考の道筋とポイント
今度は厚さ \(d_k\) を固定し、波長 \(\lambda\) を変化させます。
波長が変わると、同じ光路差の中に含まれる「波の数」が変わるため、干渉の状態が変わります。
「一度暗くなった後、再び明るくなり極大となった」という記述から、干渉の次数 \(m\) がどのように変化したかを読み取ります。
この設問における重要なポイント
- 光路差は一定: 厚さ \(d_k\) は固定されているので、左辺 \(2n_1 d_k\) の値は変わりません。
- 波長と次数の関係: \(2n_1 d = (m + 1/2)\lambda\) において、左辺が一定なら、\(\lambda\) が小さくなると \((m + 1/2)\) は大きくならなければなりません。
- 次数の変化: 「再び極大」とは、次数 \(m\) が隣の整数に移ったことを意味します。
具体的な解説と立式
厚さ \(d_k\) における干渉条件式は以下の通りです。
$$
\begin{aligned}
2 n_1 d_k &= \left( m + \frac{1}{2} \right) \lambda
\end{aligned}
$$
初期状態（波長 \(\lambda_0\)）では、問(2)より次数は \(m = k-1\) でした。
$$
\begin{aligned}
2 n_1 d_k &= \left( k – 1 + \frac{1}{2} \right) \lambda_0 \quad \cdots ⑥
\end{aligned}
$$
波長を \(\lambda_0\) から短くしていくと、右辺の \(\lambda\) が減少するため、等式を保つには括弧内の \((m + 1/2)\) が増加する必要があります。
「一度暗くなった後、再び明るくなり極大」になったということは、次数 \(m\) が \(1\) つ増えたことを意味します。
つまり、新しい次数は \(m’ = (k-1) + 1 = k\) となります。
このときの波長を \(\lambda_2\) とすると、以下の式が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
2 n_1 d_k &= \left( k + \frac{1}{2} \right) \lambda_2 \quad \cdots ⑦
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 干渉条件: \(2n_1 d = (m + 1/2)\lambda\)
式⑥と式⑦の左辺は共に \(2n_1 d_k\) で等しいので、右辺同士を等号で結びます。
$$
\begin{aligned}
\left( k – \frac{1}{2} \right) \lambda_0 &= \left( k + \frac{1}{2} \right) \lambda_2
\end{aligned}
$$
分数を整理します。
$$
\begin{aligned}
\frac{2k – 1}{2} \lambda_0 &= \frac{2k + 1}{2} \lambda_2
\end{aligned}
$$
両辺を2倍し、\(\lambda_2\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
(2k – 1) \lambda_0 &= (2k + 1) \lambda_2 \\[2.0ex]
\lambda_2 &= \frac{2k – 1}{2k + 1} \lambda_0
\end{aligned}
$$
膜の厚さは決まっています。この「決まった距離」の中に、波が何個入るかを考えます。
波長を短くするということは、波の歩幅を小さくすることです。そうすると、同じ距離の中に入る波の数は増えます。
最初は「\(k-1\) 番目の極大」の状態でしたが、波長を縮めていくと、波の数がちょうど1個分増えて、「\(k\) 番目の極大」の状態になります。
式の上では、波長 \(\lambda\) が減った分、係数（次数）が増えてバランスを取っていることになります。
答えは \(\lambda_2 = \frac{2k-1}{2k+1}\lambda_0\) です。
分母 \(2k+1\) は分子 \(2k-1\) より大きいため、\(\lambda_2 < \lambda_0\) となります。これは「波長を短くしていくと」という問題文の条件と一致しており、妥当です。
問(4)
思考の道筋とポイント
問(3)で導いた関係式に具体的な数値を代入し、整数 \(k\) を決定します。
その後、問(2)の式を用いて厚さ \(d_k\) を計算します。
この設問における重要なポイント
- \(k\) は整数であること: 計算結果が整数（または整数に極めて近い値）になるはずです。
- 単位の変換: 波長は \(\text{nm}\)（ナノメートル）で与えられていますが、最終的な厚さは \(\text{m}\) で答えるのが一般的です（あるいは問題の指示に従いますが、ここでは有効数字2桁の科学的表記で答えます）。\(1\,\text{nm} = 10^{-9}\,\text{m}\) です。
具体的な解説と立式
与えられた数値は以下の通りです。
\(\lambda_0 = 500\,\text{nm}\)
\(\lambda_2 = 433\,\text{nm}\)
\(n_1 = 2.0\)
問(3)の結果 \(\lambda_2 = \frac{2k-1}{2k+1}\lambda_0\) に値を代入します。
$$
\begin{aligned}
433 &= \frac{2k – 1}{2k + 1} \times 500
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 問(3)の結果
式を変形して \(k\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
433 (2k + 1) &= 500 (2k – 1) \\[2.0ex]
866 k + 433 &= 1000 k – 500 \\[2.0ex]
1000 k – 866 k &= 433 + 500 \\[2.0ex]
134 k &= 933 \\[2.0ex]
k &= \frac{933}{134} \\[2.0ex]
k &\approx 6.96
\end{aligned}
$$
\(k\) は整数（極大の回数）なので、\(k=7\) と判断できます。
次に、問(2)の結果 \(d_k = \frac{2k-1}{4n_1}\lambda_0\) に \(k=7\) などの値を代入して \(d_k\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
d_7 &= \frac{2 \times 7 – 1}{4 \times 2.0} \times 500 \times 10^{-9}\,\text{m} \\[2.0ex]
&= \frac{13}{8} \times 500 \times 10^{-9}\,\text{m} \\[2.0ex]
&= 1.625 \times 500 \times 10^{-9}\,\text{m} \\[2.0ex]
&= 812.5 \times 10^{-9}\,\text{m} \\[2.0ex]
&= 8.125 \times 10^{-7}\,\text{m}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えます。
$$
\begin{aligned}
d_k &\approx 8.1 \times 10^{-7}\,\text{m}
\end{aligned}
$$
前の問で作った式に、具体的な数字を入れて計算するだけです。
計算すると \(k\) が \(6.96\) となりましたが、回数は整数でなければならないので、これは測定誤差などを含んだ値であり、正解は \(7\) 回目であると判断します。
その \(k=7\) を使って、膜の厚さを計算します。
\(k\) がほぼ整数値になったことから、計算過程は正しいと判断できます。
厚さ \(8.1 \times 10^{-7}\,\text{m}\) は \(810\,\text{nm}\) 程度であり、光の波長と同程度のオーダーなので、薄膜として妥当な厚さです。
問(5)
思考の道筋とポイント
光が空気から薄膜へ入射する際の屈折の法則（スネルの法則）を立式します。
この設問における重要なポイント
- 屈折の法則: \(n_A \sin \theta_A = n_B \sin \theta_B\)
- 空気の屈折率は \(1\) です。
具体的な解説と立式
図aを参照します。
空気（屈折率 \(1\)）からの入射角は \(i\) です。
薄膜（屈折率 \(n_1\)）への屈折角は \(r\) です。
屈折の法則より、以下の関係が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
1 \cdot \sin i &= n_1 \sin r
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 屈折の法則: \(n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2\)
式を整理するだけです。
$$
\begin{aligned}
\sin i &= n_1 \sin r
\end{aligned}
$$
光が折れ曲がるときのルール（屈折の法則）を式にする問題です。
「屈折率 \(\times\) サイン角度」の値が、境界の向こうとこっちで等しくなります。
基本的な法則の確認です。
問(6)
思考の道筋とポイント
斜め入射の場合の干渉条件を求めます。
図bを用いて幾何学的に光路差を導出し、反射の位相変化を考慮して条件式を立てます。
この設問における重要なポイント
- 光路差の導出: 図bにおいて、反射光①と反射光②の位相差を考えます。
- 入射波面: 点 \(A_1\) と点 \(A_2\) は同位相です。
- 反射波面: 点 \(B_1\) と点 \(B_2\) は同位相です。
- 模範解答の解説にあるように、\(A_1 B_1\) の光路長と \(A_2 B_2\) の光路長は等しくなります。
- したがって、光線①と光線②の経路差 \(\Delta l\) は、薄膜内での余分な経路 \(B_1 C + C B_2\) となります。
- 幾何学的な考察により、この経路差は線分 \(B_1 B_2’\) の長さに等しく、\(B_1 B_2′ = 2d \cos r\) となることを用います。
- 位相変化: 垂直入射のときと同じく、上面反射で \(\pi\) ずれ、下面反射でずれません。
具体的な解説と立式
図bにおいて、光線①と光線②が平行に出ていくとき、点 \(B_1\) と点 \(B_2\) は同一波面上にあり、同位相です。
また、入射時の点 \(A_1\) と点 \(A_2\) も同一波面上にあり、同位相です。
模範解答の解説に基づくと、光線①と光線②の経路差 \(\Delta l\) は、薄膜内の経路 \(B_1 C\) と \(C B_2\) の和になります。
$$
\begin{aligned}
\Delta l &= B_1 C + C B_2
\end{aligned}
$$
ここで、点 \(B_2\) から薄膜の下面に垂線を下ろし、その延長線と光線 \(A_1 C\) の延長線との交点を \(B_2’\) とします。
三角形 \(C B_2 D\) と三角形 \(C B_2′ D\) は合同（\(D\) は垂線の足）なので、\(C B_2 = C B_2’\) です。
よって、経路差は一直線の線分 \(B_1 B_2’\) の長さになります。
$$
\begin{aligned}
\Delta l &= B_1 C + C B_2′ \\[2.0ex]
&= B_1 B_2′
\end{aligned}
$$
図bの幾何学的関係（直角三角形 \(B_1 B_2 B_2’\) において \(\angle B_1 = 90^\circ\)、\(\angle B_2 B_2′ B_1 = r\)）より、以下の関係が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
B_1 B_2′ &= B_2 B_2′ \cos r
\end{aligned}
$$
ここで \(B_2 B_2′ = 2d\) なので、経路差は \(2d \cos r\) となります。
光路差 \(\Delta L\) はこれに屈折率 \(n_1\) をかけたものです。
$$
\begin{aligned}
\Delta L &= 2 n_1 d \cos r
\end{aligned}
$$
反射による位相変化は問(2)と同様、上面で \(\pi\) ずれ、下面でずれません。合計で \(\pi\) ずれます。
したがって、強め合う条件は「光路差が半波長の奇数倍」となります。
波長は \(\lambda_3\) なので、整数 \(m\) を用いて以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
2 n_1 d \cos r &= \left( m + \frac{1}{2} \right) \lambda_3
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 斜め入射の光路差: \(\Delta L = 2nd \cos r\)
- 干渉条件（逆位相）: \(\Delta L = (m + 1/2)\lambda\)
立式した式がそのまま答えとなります。
$$
\begin{aligned}
2 n_1 d \cos r &= \left( m + \frac{1}{2} \right) \lambda_3
\end{aligned}
$$
斜めに光が入ると、膜の中を進む距離は長くなりますが、その分、反射する位置もずれるため、空気中を進む距離との兼ね合いで計算が複雑になります。
しかし、幾何学的に計算すると、結局「往復距離 \(2d\) に \(\cos r\) を掛けたもの」が実質的な距離の差（経路差）になることが知られています。
これに屈折率 \(n_1\) を掛けて光路差とし、あとは垂直のときと同じように「半波長ずれているから、半波長の奇数倍で明るくなる」という条件を作ります。
\(r=0\)（垂直入射）とすると \(\cos 0 = 1\) となり、\(2n_1 d = (m+1/2)\lambda_3\) となって問(2)の式と一致します。整合性が取れています。
問(7)
思考の道筋とポイント
問(6)の式の \(\cos r\) を、問(5)の屈折の法則を用いて \(i\) の式に書き換えます。
この設問における重要なポイント
- 三角関数の相互関係: \(\cos r = \sqrt{1 – \sin^2 r}\)
- 屈折の法則の変形: \(\sin r = \frac{\sin i}{n_1}\)
具体的な解説と立式
問(6)の条件式は以下の通りです。
$$
\begin{aligned}
2 n_1 d \cos r &= \left( m + \frac{1}{2} \right) \lambda_3 \quad \cdots ⑧
\end{aligned}
$$
問(5)より \(\sin r = \frac{\sin i}{n_1}\) なので、\(\cos r\) は以下のように表せます（\(0 < r < 90^\circ\) なので \(\cos r > 0\)）。
$$
\begin{aligned}
\cos r &= \sqrt{1 – \sin^2 r} \\[2.0ex]
&= \sqrt{1 – \left( \frac{\sin i}{n_1} \right)^2} \\[2.0ex]
&= \sqrt{\frac{n_1^2 – \sin^2 i}{n_1^2}} \\[2.0ex]
&= \frac{\sqrt{n_1^2 – \sin^2 i}}{n_1}
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)
これを式⑧に代入します。
$$
\begin{aligned}
2 n_1 d \cdot \frac{\sqrt{n_1^2 – \sin^2 i}}{n_1} &= \left( m + \frac{1}{2} \right) \lambda_3
\end{aligned}
$$
左辺の \(n_1\) が約分されます。
$$
\begin{aligned}
2 d \sqrt{n_1^2 – \sin^2 i} &= \left( m + \frac{1}{2} \right) \lambda_3
\end{aligned}
$$
式の中に残っている屈折角 \(r\) を、入射角 \(i\) を使って書き直す計算問題です。
サインとコサインの関係式と、さっき求めた屈折の法則を使って代入し、整理します。
式から \(n_1\) が消えたように見えますが、ルートの中に残っています。
\(i=0\) を代入すると \(2d \sqrt{n_1^2} = 2n_1 d\) となり、垂直入射の式に戻ります。正しい変形です。
問(8)
思考の道筋とポイント
入射角 \(i\) を \(0\) から大きくしていくと、光路差がどう変化するかを考え、次数の変化を特定します。
「一度暗くなった後、再び明るくなり極大」という現象から、次数 \(m\) が増えたのか減ったのかを判断するのが最大のポイントです。
この設問における重要なポイント
- 光路差の増減: 式 \(2 d \sqrt{n_1^2 – \sin^2 i}\) において、\(i\) が増えると \(\sin^2 i\) が増えるため、ルートの中身は減ります。つまり、入射角を大きくすると光路差は減少します。
- 次数の変化: 光路差（左辺）が減るなら、等式を成り立たせるためには右辺の次数 \(m\) も減らなければなりません。
- 変化のステップ: \(i=0\) で極大（次数 \(m\)） \(\rightarrow\) 暗くなる \(\rightarrow\) 再び極大（次数 \(m-1\)）。
具体的な解説と立式
垂直入射（\(i=0\)）のとき、ある整数 \(m\) (\(m \ge 1\)) で極大になっていたとします。
$$
\begin{aligned}
2 n_1 d &= \left( m + \frac{1}{2} \right) \lambda_3 \quad \cdots ⑨
\end{aligned}
$$
入射角 \(i\) を大きくしていくと、問(7)の左辺 \(2 d \sqrt{n_1^2 – \sin^2 i}\) は減少します。
左辺が減少するので、再び等式が成り立つ（極大になる）ためには、右辺の係数も減少しなければなりません。
「一度暗くなった後、再び明るくなり極大」になったとき、次数は \(m\) から \(1\) つ減って \(m-1\) になっています。
このときの入射角を \(i_1\) とすると、以下の式が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
2 d \sqrt{n_1^2 – \sin^2 i_1} &= \left( (m-1) + \frac{1}{2} \right) \lambda_3 \\[2.0ex]
&= \left( m – \frac{1}{2} \right) \lambda_3 \quad \cdots ⑩
\end{aligned}
$$
求めるのは \(i_1, n_1, m\) の関係式なので、式⑨と式⑩から \(d\) と \(\lambda_3\) を消去する形を目指します。
使用した物理公式
- 問(7)の結果
式⑩を式⑨で辺々割ります。
$$
\begin{aligned}
\frac{2 d \sqrt{n_1^2 – \sin^2 i_1}}{2 n_1 d} &= \frac{(m – 1/2) \lambda_3}{(m + 1/2) \lambda_3}
\end{aligned}
$$
左辺の \(2d\) と右辺の \(\lambda_3\) を約分します。
$$
\begin{aligned}
\frac{\sqrt{n_1^2 – \sin^2 i_1}}{n_1} &= \frac{m – 1/2}{m + 1/2}
\end{aligned}
$$
右辺の分母分子を2倍して整理します。
$$
\begin{aligned}
\frac{\sqrt{n_1^2 – \sin^2 i_1}}{n_1} &= \frac{2m – 1}{2m + 1}
\end{aligned}
$$
これが求める関係式です。
斜めから見ると、膜の中を通る距離は伸びますが、反射点のズレの効果で、トータルの光路差（波のズレ）は逆に縮んでしまいます。
ズレが縮んでいく過程で、最初は「\(m\) 番目の強め合い」だったのが、ズレが減って「\(m-1\) 番目の強め合い」の条件にマッチした瞬間が、今回の「再び明るくなった」ときです。
最初の式と、次数を1つ下げた新しい式を見比べて、関係式を作ります。
\(i_1 > 0\) なので左辺は \(1\) より小さくなります（分子 \(<\) 分母）。
右辺も \(\frac{2m-1}{2m+1}\) なので \(1\) より小さいです。
また、\(m\) が大きいほど右辺は \(1\) に近づき、\(i_1\) は \(0\) に近づきます。これは高次の干渉縞ほど中心（垂直）近くに現れることと整合します。
思考の道筋とポイント
干渉現象の本質は「位相差」にあります。
ここでは、位相差 \(\delta\) を、膜厚 \(d\)、波長 \(\lambda\)、入射角 \(i\) の関数として定義し、各変数が変化したときの \(\delta\) の増減（偏微分）を調べることで、干渉条件（次数 \(m\)）の変化を統一的に導出します。
この設問における重要なポイント
- 位相差関数: 光路差 \(\Delta L\) に基づく位相差は \(\frac{2\pi}{\lambda} \Delta L\) です。これに反射の位相変化を加えます。
- 干渉条件: 強め合う条件は \(\delta = 2m\pi\) （\(m\) は整数）です。
- 微分の意味: \(\delta\) の微分が正なら、変数の増加とともに位相差は増え、次数 \(m\) も増える方向に進みます。負なら逆です。
具体的な解説と立式
光路差は \(\Delta L = 2n_1 d \cos r\) です。
反射による位相変化は、上面で \(\pi\)（進む）、下面で \(0\) なので、相対的な位相のずれは \(-\pi\) とします（\(+\pi\) でも本質は同じです）。
位相差関数 \(\delta(d, \lambda, i)\) を以下のように定義します。
$$
\begin{aligned}
\delta &= \frac{2\pi}{\lambda} (2n_1 d \cos r) – \pi \\[2.0ex]
&= \frac{4\pi n_1 d}{\lambda} \sqrt{1 – \frac{\sin^2 i}{n_1^2}} – \pi
\end{aligned}
$$
強め合う条件は、ある整数 \(m\) を用いて \(\delta = 2m\pi\) となることです。
$$
\begin{aligned}
\frac{4\pi n_1 d \cos r}{\lambda} – \pi &= 2m\pi \\[2.0ex]
\frac{4\pi n_1 d \cos r}{\lambda} &= (2m+1)\pi \\[2.0ex]
2n_1 d \cos r &= \left( m + \frac{1}{2} \right) \lambda
\end{aligned}
$$
これは通常の干渉条件式と一致します。ここから各設問の変化を解析します。
1. 設問(2)の解析（\(d\) の変化）
\(d\) 以外の変数を固定し、\(d\) で偏微分します。
$$
\begin{aligned}
\frac{\partial \delta}{\partial d} &= \frac{4\pi n_1 \cos r}{\lambda} > 0
\end{aligned}
$$
\(d\) が増えると \(\delta\) は単調に増加します。
\(\delta\) が \(2\pi\) 増えるごとに、次数 \(m\) は \(1\) つずつ増えます（\(0 \to 1 \to 2 \dots\)）。
よって、\(k\) 回目の極大は、\(m\) が小さい方から \(k\) 番目の値、つまり \(m = k-1\) に対応します。
2. 設問(3)の解析（\(\lambda\) の変化）
\(\lambda\) で偏微分します。
$$
\begin{aligned}
\frac{\partial \delta}{\partial \lambda} &= – \frac{4\pi n_1 d \cos r}{\lambda^2} < 0
\end{aligned}
$$
\(\lambda\) が減ると（変化量 \(<0\)）、\(\delta\) は増加します（変化量 \(>0\)）。
「再び極大」になるということは、\(\delta\) が増えて次の \(2\pi\) の倍数に達したことを意味します。
つまり、次数 \(m\) は \(1\) つ増加します（\(k-1 \to k\)）。
3. 設問(8)の解析（\(i\) の変化）
\(i\) で偏微分します。ルートの中身が減少するため、全体も減少します。
$$
\begin{aligned}
\frac{\partial \delta}{\partial i} &= \frac{4\pi n_1 d}{\lambda} \cdot \frac{\partial}{\partial i} \left( \sqrt{1 – \frac{\sin^2 i}{n_1^2}} \right) \\[2.0ex]
&= \frac{4\pi n_1 d}{\lambda} \cdot \frac{1}{2\sqrt{\dots}} \cdot \left( – \frac{2\sin i \cos i}{n_1^2} \right) < 0 \quad (\text{for } i > 0)
\end{aligned}
$$
\(i\) が増えると \(\delta\) は減少します。
「再び極大」になるということは、\(\delta\) が減って下の \(2\pi\) の倍数に達したことを意味します。
つまり、次数 \(m\) は \(1\) つ減少します（\(m \to m-1\)）。
使用した物理・数学公式
- 位相差の定義: \(\delta = kL + \Delta\phi\)
- 偏微分の符号による増減判定
設問(8)について、次数が \(m \to m-1\) に変化した条件式を立てます。
初期状態（\(i=0\)）:
$$
\begin{aligned}
\delta(0) &= 2m\pi \quad \Rightarrow \quad 2n_1 d = \left( m + \frac{1}{2} \right) \lambda_3
\end{aligned}
$$
変化後（\(i=i_1\)）:
$$
\begin{aligned}
\delta(i_1) &= 2(m-1)\pi \quad \Rightarrow \quad 2n_1 d \cos r_1 = \left( m – 1 + \frac{1}{2} \right) \lambda_3
\end{aligned}
$$
これらを連立することで、メイン解法と同じ結果が得られます。
干渉の条件を「位相差」という一つの数値で監視します。
この数値が \(2\pi\)（360度）の整数倍になるときだけ明るくなります。
計算の結果、膜を厚くしたり波長を短くしたりすると位相差は「増える」ことがわかり、逆に入射角を大きくすると位相差は「減る」ことがわかりました。
位相差が増えて次のチャンスが来れば「次数アップ」、減って前のチャンスに戻れば「次数ダウン」です。
このルールを使えば、どんな変化が起きても迷わずに次の状態を予測できます。
全ての設問における次数の変化（増えるか減るか）が、数式上の微分の符号と完全に一致しました。
これにより、物理的な直感だけでなく、数学的な裏付けを持って解答することができます。
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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- 光路差（光学距離差）と反射による位相のずれ
- 核心: 干渉条件を決めるのは、単なる幾何学的な距離の差ではなく、屈折率を掛けた「光路差」と、媒質の境界での反射に伴う「位相のジャンプ（\(\pi\) のずれ）」の組み合わせである。
- 理解のポイント:
- 光路長: 屈折率 \(n\) の媒質中を距離 \(L\) 進むと、真空中の \(nL\) に相当する位相の進みが生じる。
- 固定端反射: 屈折率が「小 \(\rightarrow\) 大」の境界で反射すると、位相が \(\pi\)（半波長分）ずれる。
- 自由端反射: 屈折率が「大 \(\rightarrow\) 小」の境界で反射すると、位相はずれない。
- 干渉条件の動的な変化と次数のシフト
- 核心: 膜厚 \(d\)、波長 \(\lambda\)、入射角 \(i\) が連続的に変化するとき、光路差（または位相差）の増減に応じて、観測される干渉縞の次数 \(m\) が整数単位でシフトする。
- 理解のポイント:
- バランスの法則: 干渉条件式 \((\text{光路差}) = (m + \alpha)\lambda\) において、左辺が増えれば右辺の \(m\) も増え、左辺が減れば \(m\) も減るという等式のバランス感覚を持つことが重要。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- くさび形空気層（ニュートンリングなど）: 膜厚 \(d\) が場所によって変化する問題。本問の \(2nd\) の式において \(d\) を変数 \(x\) の関数とみなすだけで、全く同じ論理で解ける。
- 屈折率の大小関係が異なるパターン: \(n_1 < n_2\) の場合など。反射の位相条件が変わる（両方ずれる、あるいは両方ずれない）ため、干渉条件式の右辺が \((m+1/2)\lambda\) になるか \(m\lambda\) になるかが逆転する。
- 初見の問題での着眼点:
- 反射の位相チェック: 問題文の屈折率の大小関係（\(1, n_1, n_2\)）を見て、上面反射と下面反射のそれぞれで位相が \(\pi\) ずれるかどうかを最初に図に書き込む。
- 光路差の増減の方向性: 斜め入射の場合、「角度がつくと光路差は縮む（\(\cos r\) 倍になる）」という直感を持っておくことで、計算結果の妥当性を即座に判断できる。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 斜め入射における光路差の誤認:
- 誤解: 「斜めに進む方が距離が長くなるから、光路差も増えるはずだ」と直感的に思い込み、次数が増えると考えてしまう。
- 対策: 幾何学的な経路差の導出（\(2nd \cos r\)）を理解するか、あるいは「斜め入射では波面のズレにより実質的な光路差は減少する」という事実を知識として定着させる。
- 極大の回数 \(k\) と次数 \(m\) の混同:
- 誤解: 「1回目の極大は必ず \(m=1\) だ」と思い込み、\(m=0\) の可能性を考慮せずに立式してしまう。
- 対策: 必ず \(d=0\)（または最小値）の状態からスタートし、最初の極大が \(m=0\) なのか \(m=1\) なのかを具体的に確認してから、\(k\) 回目を \(m\) で表す習慣をつける。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- 幾何学的考察による光路差の導出（問6）:
- 選定理由: 問題の誘導に従い、図形の性質（直角三角形や波面の直交性）を利用して物理現象を記述するため。公式 \(\Delta L = 2nd \cos r\) を丸暗記しているだけでは、導出過程を問われた際に対応できない。
- 適用根拠: 平行平面膜における反射光の干渉であれば、ホイヘンスの原理および幾何光学の法則に基づき常に成立する。
- 微積分を用いた位相差解析（別解）:
- 選定理由: 複数の変数（\(d, \lambda, i\)）が変化する複雑な状況において、「増えるか減るか」を定性的な直感に頼らず、微分の符号で機械的かつ厳密に判定できるため。
- 適用根拠: 位相差関数が各変数に対して連続かつ微分可能である領域において有効。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 極限的なケースでの検算:
- 意識: 導出した複雑な式が、単純な既知の状況と矛盾しないかを確認する。
- 実践: 斜め入射の式（問7や問8）において、入射角 \(i=0\) を代入し、垂直入射の式（問2）と一致するかどうかを必ず確認する。
- 次元解析（ディメンションチェック）:
- 意識: 物理量の単位が合っているか、無次元の係数が正しく扱われているか。
- 実践: 最終的な答えにおいて、波長 \(\lambda\) や厚さ \(d\) は長さの次元を持ち、屈折率 \(n\) や \(\sin, \cos\) は無次元であることを確認する。例えば \(d = \dots\) の右辺が長さの次元になっていなければ計算ミスを疑う。
波の本質を「なぜ？」から理解するドクター型講義
問題96 くさび形領域による光の干渉 (佐賀大 改)
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
- 提示する別解
- 設問(3)の別解: 幾何学的考察を用いた解法
- 模範解答にある通り、数式計算ではなく「光路差が1波長分増えると明線が1つ増える」という物理的直感と図形の相似を利用して解きます。
- 設問(8)の別解1: 幾何学的考察を用いた解法
- 模範解答にある通り、明線の移動を「くさびの平行移動」として図形的に捉えて解きます。
- 設問(6)〜(8)の別解2: 微積分を用いた体系的解法（位相差関数の全微分）
- 位相差関数 \(\Phi(x, z)\) を定義し、その全微分を解析することで、明線の移動方向や移動量を統一的に導出します。
- 設問(3)の別解: 幾何学的考察を用いた解法
- 上記の別解が有益である理由
- 幾何学的解法は、計算量を減らし、現象を直感的に捉える力を養います。
- 微積分を用いた解法は、変数が複数変化する複雑な状況（ガラスが動く、角度が変わるなど）でも、迷わず機械的に正解を導ける強力なツールとなります。
- 結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、最終的に得られる答えは模範解答と完全に一致します。
この問題のテーマは「くさび形空気層による光の干渉」です。わずかに傾いた2枚のガラス板の間にできる空気層で、光が反射して干渉縞を作る現象を扱います。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 光路差（光学距離差）: 幾何学的な距離に屈折率 \(n\) を掛けたもの。空気中では \(n=1\) なので距離そのものとなります。
- 反射による位相の変化:
- 屈折率 小 \(\rightarrow\) 大 の反射（固定端反射）: 位相が \(\pi\)（半波長分）ずれます。
- 屈折率 大 \(\rightarrow\) 小 の反射（自由端反射）: 位相はずれません。
- 干渉条件: 2つの光の位相差が \(2\pi\) の整数倍（光路差が波長の整数倍）なら強め合い、\(\pi\) の奇数倍（光路差が半波長の奇数倍）なら弱め合います。ただし、反射による位相のずれを考慮する必要があります。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (1)〜(3)では、幾何学的な関係（相似）から空気層の厚さを求め、干渉条件式を立てて縞の間隔を導出します。
- (4)では、透過光の干渉を考えます。反射回数と位相変化の違いに着目します。
- (5)では、媒質が液体に変わった場合の変化（光路長と反射の位相変化）を考慮します。
- (6)〜(8)では、ガラス板を動かしたときの干渉縞の移動を、光路差の変化または幾何学的な位置関係から解析します。
問(1)
思考の道筋とポイント
まず、位置 \(x\) における空気層の厚さ \(d\) を幾何学的に求めます。
次に、光が空気層を往復する距離を計算し、光路差を求めます。
この設問における重要なポイント
- 三角形の相似: 図1のくさび形は、直角三角形とみなせます。
- 光路差の定義: 空気中（屈折率 \(n=1\)）なので、往復距離がそのまま光路差になります。
具体的な解説と立式
2枚のガラスが接する位置を原点とし、水平方向に \(x\) だけ離れた位置での空気層の厚さを \(d\) とします。
図1より、底辺 \(L\)、高さ \(D\) の直角三角形と、底辺 \(x\)、高さ \(d\) の直角三角形は相似です。
したがって、以下の比が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
d : x &= D : L
\end{aligned}
$$
これより、厚さ \(d\) は次のように表せます。
$$
\begin{aligned}
d &= \frac{Dx}{L} \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
上のガラスの下面で反射する光と、下のガラスの上面で反射する光の経路差は、空気層の往復距離 \(2d\) です。
空気の屈折率は \(1\) なので、光路差 \(p\) は経路差と等しくなります。
$$
\begin{aligned}
p &= 2d
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 三角形の相似比
- 光路差: \(p = 2nd\)
式①を \(p=2d\) に代入します。
$$
\begin{aligned}
p &= 2 \cdot \frac{Dx}{L} \\[2.0ex]
&= \frac{2Dx}{L}
\end{aligned}
$$
ガラスの隙間は、右に行くほど一定の割合で広がっています。
全体で長さ \(L\) のときに厚さ \(D\) なので、距離 \(x\) の場所での厚さは、比の計算で \(\frac{Dx}{L}\) とわかります。
光はこの隙間を行って帰ってくるので、距離の差（光路差）はその2倍になります。
答えは \(p = \frac{2Dx}{L}\) です。\(x=0\) で \(0\)、\(x=L\) で \(2D\) となり、妥当です。
問(2)
思考の道筋とポイント
2つの反射光の位相のずれを確認し、強め合う条件（明線条件）を立式します。
この設問における重要なポイント
- 反射の位相変化のルール:
- 上のガラス下面での反射: ガラス（\(n=1.4\)）\(\rightarrow\) 空気（\(n=1.0\)）。屈折率が大きい方から小さい方への反射なので、自由端反射となり、位相は変化しません。
- 下のガラス上面での反射: 空気（\(n=1.0\)）\(\rightarrow\) ガラス（\(n=1.4\)）。屈折率が小さい方から大きい方への反射なので、固定端反射となり、位相が \(\pi\)（半波長分）ずれます。
- 合成位相差: 片方だけ \(\pi\) ずれるため、光路差が「半波長の奇数倍」のときに強め合い、「波長の整数倍」のときに弱め合います。
具体的な解説と立式
2つの反射光の間には、反射によって \(\pi\) の位相差が生じます。
したがって、光路差 \(p\) が半波長 \(\frac{\lambda}{2}\) の奇数倍のときに強め合って明るくなります。
整数 \(m\) (\(m=0, 1, 2, \dots\)) を用いて、条件式は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
p &= \left( 2m + 1 \right) \frac{\lambda}{2} \\[2.0ex]
&= \left( m + \frac{1}{2} \right) \lambda
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 干渉条件（逆位相の場合）: 光路差 \(= (m + 1/2)\lambda\)
立式した式がそのまま答えとなります。
$$
\begin{aligned}
p &= \left( m + \frac{1}{2} \right) \lambda
\end{aligned}
$$
2つの光のうち、片方は「硬い壁（ガラス）」で跳ね返るので波がひっくり返りますが、もう片方は「柔らかい壁（空気）」で跳ね返るのでひっくり返りません。
このため、距離の差がゼロでも波は逆向きになって打ち消し合います（暗くなる）。
逆に、距離の差が「半波長分」あると、ひっくり返った波がもう一度ずれて元に戻るような形になり、強め合って明るくなります。
つまり、「半波長、1.5波長、2.5波長…」のときに明るくなります。
\(m=0\) のとき \(p=\lambda/2\)。これは最小の光路差で強め合う条件です。妥当です。
問(3)
思考の道筋とポイント
問(2)の条件式に問(1)の \(p\) を代入し、\(m\) 番目の明線の位置 \(x_m\) を求めます。
隣り合う明線の間隔 \(\Delta x\) は、\(x_{m+1} – x_m\) として計算します。
この設問における重要なポイント
- 等間隔性: くさび形空気層による干渉縞は等間隔になります。
具体的な解説と立式
問(1)と問(2)の結果より、以下の式が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
\frac{2Dx}{L} &= \left( m + \frac{1}{2} \right) \lambda
\end{aligned}
$$
これを \(x\) について解き、\(m\) 番目の明線の位置 \(x_m\) とします。
$$
\begin{aligned}
x_m &= \left( m + \frac{1}{2} \right) \frac{L\lambda}{2D} \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$
隣り合う明線の間隔 \(\Delta x\) は、\(m+1\) 番目の位置と \(m\) 番目の位置の差です。
$$
\begin{aligned}
\Delta x &= x_{m+1} – x_m
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 特になし
式②を用いて計算します。
$$
\begin{aligned}
\Delta x &= \left( m + 1 + \frac{1}{2} \right) \frac{L\lambda}{2D} – \left( m + \frac{1}{2} \right) \frac{L\lambda}{2D} \\[2.0ex]
&= \left\{ \left( m + \frac{3}{2} \right) – \left( m + \frac{1}{2} \right) \right\} \frac{L\lambda}{2D} \\[2.0ex]
&= 1 \cdot \frac{L\lambda}{2D} \\[2.0ex]
&= \frac{L\lambda}{2D}
\end{aligned}
$$
明線ができる場所の式を作って、\(m\) 番目と \(m+1\) 番目の場所の距離を引き算しました。
結果は \(m\) によらない定数になるので、縞模様は等間隔に並ぶことがわかります。
答えは \(\frac{L\lambda}{2D}\) です。波長 \(\lambda\) が長いほど間隔は広がり、くさびの角度（\(D/L\)）が大きいほど間隔は狭くなります。物理的直感と一致します。
思考の道筋とポイント
数式計算ではなく、「光路差が1波長分増えると、干渉の次数が1つ上がる」という物理的性質を利用します。
この設問における重要なポイント
- 厚さの変化と光路差: 空気層の厚さが \(d\) 増えると、往復の光路差は \(2d\) 増えます。
- 明線の条件: 隣の明線に移るには、光路差が \(\lambda\) だけ増える必要があります。つまり、厚さは \(\lambda/2\) だけ増える必要があります。
具体的な解説と立式
隣り合う明線の間隔を \(\Delta x\) とします。
水平距離が \(\Delta x\) 進む間に、空気層の厚さは \(\frac{\lambda}{2}\) だけ増加します。
図1のくさび形全体の三角形（底辺 \(L\)、高さ \(D\)）と、縞間隔に対応する部分の三角形（底辺 \(\Delta x\)、高さ \(\lambda/2\)）は相似です。
したがって、以下の比が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
\Delta x : \frac{\lambda}{2} &= L : D
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 三角形の相似比
$$
\begin{aligned}
\Delta x \cdot D &= \frac{\lambda}{2} \cdot L \\[2.0ex]
\Delta x &= \frac{L\lambda}{2D}
\end{aligned}
$$
明線が1つ隣に移るということは、光の通り道がちょうど1波長分長くなったということです。
往復で1波長分なので、片道（厚さ）は半波長分増えればよいことになります。
くさびの形から、「どれだけ横に進めば厚さが半波長分増えるか？」を比の計算で求めれば、それが縞の間隔になります。
メイン解法と同じ結果が得られました。計算量が少なく、直感的に理解しやすい解法です。
問(4)
思考の道筋とポイント
透過光の干渉を考えます。透過光の干渉は、主に「直接透過する光」と「空気層内で1往復反射してから透過する光」の重ね合わせで起こります。
それぞれの反射における位相変化を慎重に追跡し、条件式を立てます。
この設問における重要なポイント
- 干渉する2つの光:
- 透過光A: 上ガラス \(\to\) 空気層 \(\to\) 下ガラス と直進して透過。反射しないため位相変化なし。
- 透過光B: 上ガラス透過 \(\to\) 空気層透過 \(\to\) 下ガラス上面で反射 \(\to\) 空気層逆行 \(\to\) 上ガラス下面で反射 \(\to\) 空気層透過 \(\to\) 下ガラス透過。
- 反射の位相変化の再確認:
- 下ガラス上面での反射: 空気（\(n=1\)）\(\rightarrow\) ガラス（\(n=1.4\)）。固定端反射。位相変化 \(\pi\)。
- 上ガラス下面での反射（透過光Bの場合）: 空気層側からガラスに向かって反射します。つまり 空気（\(n=1\)）\(\rightarrow\) ガラス（\(n=1.4\)）。これも固定端反射です。位相変化 \(\pi\)。
- 合計の位相変化: 透過光Bは2回の固定端反射を経るため、位相変化の合計は \(\pi + \pi = 2\pi\)（つまり変化なし）となります。
具体的な解説と立式
透過光Aと透過光Bの経路差は、空気層の往復分 \(2d\) です。光路差 \(p = 2d\) です。
位相変化について考えます。
透過光Aは反射しないため位相変化はありません。
透過光Bは、下ガラス上面（空気\(\to\)ガラス）と上ガラス下面（空気\(\to\)ガラス）で2回反射します。どちらも屈折率が小さい方から大きい方への反射なので固定端反射となり、それぞれ位相が \(\pi\) ずれます。
合計の位相のずれは \(2\pi\) となり、実質的に位相の変化はありません。
したがって、2つの光の位相差は光路差のみで決まります。
強め合う条件は、光路差が波長の整数倍になることです。
$$
\begin{aligned}
p &= m \lambda \quad (m=0, 1, 2, \dots)
\end{aligned}
$$
ここで、\(p = \frac{2Dx}{L}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
\frac{2Dx}{L} &= m \lambda
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 干渉条件（同位相の場合）: 光路差 \(= m\lambda\)
立式した式がそのまま答えとなります。
$$
\begin{aligned}
\frac{2Dx}{L} &= m \lambda
\end{aligned}
$$
透過光の場合、まっすぐ抜ける光と、内部で「ジグザグ」に1往復してから抜ける光が干渉します。
ジグザグする光は2回反射しますが、どちらも「空気からガラス」への反射なので、2回とも波がひっくり返ります。
2回ひっくり返ると元に戻るので、結局、反射による波のずれはありません。
だから、距離の差が波長の整数倍（ぴったり重なる）のときに明るくなります。
これは反射光（問2）の条件（半波長ずれる）とは逆の結果になります。エネルギー保存則から考えても、反射光が明るい場所では透過光は暗くなり、逆もまた然りなので、つじつまが合います。
反射光の条件 \(p=(m+1/2)\lambda\) と比較すると、明暗の条件が入れ替わっています。これは反射光と透過光のエネルギー保存の関係（反射が強ければ透過は弱い）と整合します。
問(5)
思考の道筋とポイント
空気の代わりに液体（\(n=1.5\)）を満たした場合の変化を考えます。
1. 光路差の変化: 距離 \(2d\) に屈折率 \(n\) が掛かります。
2. 反射の位相変化の再確認: 屈折率の大小関係が変わるため、位相のずれが変わる可能性があります。
この設問における重要なポイント
- 屈折率の関係: 上ガラス(\(1.4\)) \(<\) 液体(\(1.5\)) \(>\) 下ガラス(\(1.4\))。
- 反射の位相変化:
- 上ガラス下面反射（ガラス1.4 \(\to\) 液体1.5）: 小\(\to\)大。固定端反射。位相変化 \(\pi\)。
- 下ガラス上面反射（液体1.5 \(\to\) ガラス1.4）: 大\(\to\)小。自由端反射。位相変化なし。
- 合成位相差: 片方だけ \(\pi\) ずれるため、条件式は空気の場合（問2）と同じ形（逆位相干渉）になります。
具体的な解説と立式
液体の屈折率を \(n=1.5\) とします。
反射の位相変化を確認します。
- 上ガラス下面反射: \(1.4 \to 1.5\) なので固定端（\(\pi\) ずれ）。
- 下ガラス上面反射: \(1.5 \to 1.4\) なので自由端（変化なし）。
よって、2つの光の位相差は \(\pi\) です。強め合う条件は、光路差が半波長の奇数倍となります。
光路差は、往復距離 \(2d\) に屈折率 \(n\) を掛けた \(2nd\) です。
$$
\begin{aligned}
2nd &= \left( m + \frac{1}{2} \right) \lambda
\end{aligned}
$$
ここで \(d = \frac{Dx}{L}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
2n \frac{Dx}{L} &= \left( m + \frac{1}{2} \right) \lambda
\end{aligned}
$$
干渉縞の間隔 \(\Delta x’\) は、問(3)と同様に \(m\) 番目と \(m+1\) 番目の差をとることで求まります。
$$
\begin{aligned}
\Delta x’ &= \frac{L\lambda}{2nD}
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 光路差: \(2nd\)
- 干渉縞間隔: \(\Delta x’ = \frac{L\lambda}{2nD}\)
与えられた数値を代入します。
\(L = 1.0\,\text{m}\)
\(\lambda = 6.3 \times 10^{-7}\,\text{m}\)
\(n = 1.5\)
\(D = 1.0 \times 10^{-5}\,\text{m}\)
$$
\begin{aligned}
\Delta x’ &= \frac{1.0 \times 6.3 \times 10^{-7}}{2 \times 1.5 \times 1.0 \times 10^{-5}} \\[2.0ex]
&= \frac{6.3 \times 10^{-7}}{3.0 \times 10^{-5}} \\[2.0ex]
&= 2.1 \times 10^{-2}\,\text{m}
\end{aligned}
$$
液体を入れると、光の進む「距離の重み（光路長）」が1.5倍になります。
また、反射のルールも変わりますが、確認してみると「片方だけひっくり返る」という状況は空気のときと同じでした。
なので、計算式としては、距離の部分に屈折率 \(n\) が入るだけの変更になります。
数値を代入して計算します。
答えは \(2.1 \times 10^{-2}\,\text{m}\) です。有効数字2桁で答えます。
問(6)
思考の道筋とポイント
下のガラスを平行に下降させると、空気層の厚さ \(d\) が全体的に増加します。
ある位置 \(x\) に注目したとき、光路差 \(2d\) がどう変化し、それによって干渉縞がどう移動するかを考えます。
この設問における重要なポイント
- 等厚干渉縞: この干渉縞は「厚さが等しい場所」にできます。
- 厚さの増加: ガラスを下げると、同じ位置 \(x\) での厚さは増えます。
- 縞の移動: 「同じ厚さ（同じ干渉条件）」になる場所はどこへ移動するかを考えます。
具体的な解説と立式
\(m\) 番目の明線ができる条件は、空気層の厚さが特定の厚さ \(d_m\) になることです。
下のガラスを下に動かすと、全体的に空気層が厚くなります。
もともと厚さ \(d_m\) だった位置 \(x\) は、ガラスが下がったことで厚さが \(d_m\) より大きくなってしまいます。
再び厚さが \(d_m\) になる場所（＝同じ明線が見える場所）を探すと、それは空気層がより薄い方、つまりくさびの先端側（左側）になります。
したがって、干渉縞は左に移動します。
干渉縞は「空気の厚さが同じ場所」にできます。
下のガラスを下げると、全体的に空気が厚くなります。
さっきまでと同じ厚さの場所を探そうとすると、くさびの狭い方（左側）へずれる必要があります。
だから、縞模様全体が左へ動いて見えます。
厚い方へ変化したので、薄い場所を探して左へ動く。妥当です。
問(7)
思考の道筋とポイント
干渉縞の間隔 \(\Delta x\) が何によって決まっているかを確認します。
この設問における重要なポイント
- 間隔の式: 問(3)より \(\Delta x = \frac{L\lambda}{2D}\) です。
- 変数の変化: 下のガラスを「水平に保ったまま」下降させたので、\(L\) や \(D\)（くさびの傾き）は変化していません。
具体的な解説と立式
干渉縞の間隔 \(\Delta x\) は、くさびの傾き（\(D/L\)）と波長によって決まります。
下のガラスを平行移動させても、ガラス同士のなす角度（傾き）は変わりません。
したがって、干渉縞の間隔は変化しません。
縞の間隔は、くさびの「傾き具合」で決まります。
ガラスを平行に下げても傾きは変わらないので、縞の間隔も変わりません。
傾きが変わらなければ、厚さが増えるペース（勾配）も変わらないので、縞の間隔も変わりません。
問(8)
思考の道筋とポイント
明線が左に \(l\) だけ移動したという情報から、下のガラスをどれだけ下げたか（\(\Delta d\)）を求めます。
「移動後の位置での厚さ」が「移動前の位置での厚さ」と等しいという関係式を立てます。
この設問における重要なポイント
- 移動の条件: 明線が移動したということは、移動先での「新しい厚さ」が、元の場所での「古い厚さ」と等しいということです。
- 厚さの式:
- 元の状態: \(d(x) = \frac{D}{L}x\)
- 下降後の状態: \(d_{new}(x) = \frac{D}{L}x + \Delta d\) （\(\Delta d\) は下降距離）
具体的な解説と立式
下のガラスを \(\Delta d\) だけ下降させたとします。
位置 \(x\) における空気層の厚さは、元々は \(d = \frac{Dx}{L}\) でした。
下降後、位置 \(x\) における厚さは \(d’ = \frac{Dx}{L} + \Delta d\) になります。
問題文より、明線は左に \(l\) 移動しました。つまり、元の位置 \(x\) にあった明線は、新しい位置 \(x-l\) に移動しました。
これは、「新しい状態での位置 \(x-l\) の厚さ」が、「元の状態での位置 \(x\) の厚さ」に等しいことを意味します。
$$
\begin{aligned}
(\text{位置 } x-l \text{ での新しい厚さ}) &= (\text{位置 } x \text{ での元の厚さ}) \\[2.0ex]
\frac{D(x-l)}{L} + \Delta d &= \frac{Dx}{L}
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 特になし（幾何学的関係）
式を \(\Delta d\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\frac{Dx}{L} – \frac{Dl}{L} + \Delta d &= \frac{Dx}{L} \\[2.0ex]
\Delta d &= \frac{Dl}{L}
\end{aligned}
$$
明線が左に \(l\) 動いたということは、左に \(l\) 行った場所の厚さが、さっきまでの厚さと同じになったということです。
左に行くと、くさびの形から厚さは \(\frac{Dl}{L}\) だけ薄くなります。
でも、ガラスを下に下げた分（\(\Delta d\)）だけ厚くなっています。
「薄くなった分」と「厚くした分」がちょうど打ち消し合って、同じ厚さになったと考えられます。
だから、下げた距離は \(\frac{Dl}{L}\) です。
答えは \(\frac{Dl}{L}\) です。移動量 \(l\) が大きいほど、たくさん下げたことになるので妥当です。
思考の道筋とポイント
明線の移動を、くさび形領域全体の平行移動として図形的に捉えます。
この設問における重要なポイント
- 相似な三角形: 下のガラスを \(\Delta d\) 下げることは、くさび形全体を下にずらすことと同じです。
- 移動の補償: 厚さが増えた分をキャンセルするために、厚さが薄い方（左）へ移動します。
具体的な解説と立式
下のガラスの移動により空気層の厚さが \(\Delta d\) だけ増加しました。
元の厚さと同じ場所を探すために、左に \(l\) だけ移動しました。
これは、図1のくさびの先端付近にできる小さな直角三角形（底辺 \(l\)、高さ \(\Delta d\)）が、全体の大きな直角三角形（底辺 \(L\)、高さ \(D\)）と相似であることを意味します。
したがって、以下の比が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
l : \Delta d &= L : D
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 三角形の相似比
$$
\begin{aligned}
\Delta d \cdot L &= l \cdot D \\[2.0ex]
\Delta d &= \frac{Dl}{L}
\end{aligned}
$$
ガラスを下げた分だけ厚さが増えますが、左に動くと厚さが減ります。
この「増えた分」と「減った分」が釣り合う場所を探す問題です。
くさびの形（三角形）の相似を使えば、下げた距離と横に動いた距離の比率は、くさび全体の高さと底辺の比率と同じになることがわかります。
メイン解法と同じ結果が得られました。図形的に考えることで、計算の手間を省けます。
思考の道筋とポイント
設問(6)〜(8)の現象を、位相差関数 \(\Phi(x, z)\) の全微分を用いて一括して解析します。
ここで \(z\) は下のガラスの鉛直方向の位置（下向き正）とします。
この設問における重要なポイント
- 位相差関数: 空気層の厚さ \(d(x, z) = \frac{D}{L}x + z\) に基づき、位相差 \(\Phi\) を定義します。
- 明線の移動: 明線は \(\Phi = \text{一定}\) の等高線上に存在します。全微分 \(d\Phi = 0\) を解くことで移動方向と量が求まります。
具体的な解説と立式
空気層の厚さ \(d\) は、水平位置 \(x\) と下のガラスの下降距離 \(z\) の関数です。
$$
\begin{aligned}
d(x, z) &= \frac{D}{L}x + z
\end{aligned}
$$
反射光の位相差 \(\Phi\) は、光路差 \(2d\) に基づく項と反射の位相変化 \(\pi\) の和です。
$$
\begin{aligned}
\Phi(x, z) &= \frac{2\pi}{\lambda} (2d) + \pi \\[2.0ex]
&= \frac{4\pi}{\lambda} \left( \frac{D}{L}x + z \right) + \pi
\end{aligned}
$$
1. 設問(6)の解析（移動方向）
明線の位置（\(\Phi = \text{一定}\)）を追跡するため、全微分をとって \(0\) と置きます。
$$
\begin{aligned}
d\Phi &= \frac{\partial \Phi}{\partial x} dx + \frac{\partial \Phi}{\partial z} dz = 0 \\[2.0ex]
&= \frac{4\pi}{\lambda} \left( \frac{D}{L} dx + dz \right) = 0
\end{aligned}
$$
ガラスを下げた（\(dz > 0\)）とき、明線の移動方向 \(dx\) は、
$$
\begin{aligned}
\frac{D}{L} dx &= -dz \\[2.0ex]
dx &= – \frac{L}{D} dz
\end{aligned}
$$
\(dz > 0\) なので \(dx < 0\) となり、明線は左（\(x\) 減少方向）へ移動します。
2. 設問(7)の解析（間隔の変化）
干渉縞の間隔 \(\Delta x\) は、\(x\) 方向の勾配 \(\frac{\partial \Phi}{\partial x}\) に反比例します。
$$
\begin{aligned}
\frac{\partial \Phi}{\partial x} &= \frac{4\pi D}{\lambda L}
\end{aligned}
$$
この値は \(z\)（ガラスの位置）を含まない定数です。
したがって、ガラスを動かしても縞の間隔は変化しません。
3. 設問(8)の解析（移動量）
先ほどの全微分の式において、明線の移動量が \(l\)（左へ \(l\) なので \(dx = -l\)）、ガラスの移動量が \(\Delta d\)（\(dz = \Delta d\)）であるとします。
$$
\begin{aligned}
\frac{D}{L} (-l) + \Delta d &= 0
\end{aligned}
$$
これを \(\Delta d\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\Delta d &= \frac{Dl}{L}
\end{aligned}
$$
使用した物理・数学公式
- 位相差の定義
- 全微分の公式: \(df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy\)
計算過程は解説内で示しました。
干渉の状態を決める「位相差」という数値を関数として作りました。
この数値が変わらないように \(x\)（場所）と \(z\)（ガラスの高さ）を調整する関係式（全微分）を作ると、
「ガラスを下げると \(x\) はマイナス方向（左）へ動く」「その比率は一定」ということが数式から一発でわかります。
複雑な図を描かなくても、計算だけで動きを完全に予測できる強力な方法です。
全ての設問に対し、幾何学的解法と同じ結果が得られました。
特に移動量と移動方向の関係が \(dx = – \frac{L}{D} dz\) というシンプルな式で表されることが確認できました。
【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座
最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- くさび形空気層における光路差と干渉条件
- 核心: わずかに傾いた2枚のガラス板の間にできる空気層の厚さ \(d\) は、水平位置 \(x\) に比例して変化する（\(d \propto x\)）。この厚さの変化が光路差 \(2d\) の変化を生み、等間隔の干渉縞を形成する。
- 理解のポイント:
- 幾何学的関係: 直角三角形の相似により、\(d = \frac{D}{L}x\) と表せる。
- 反射の位相変化: 屈折率の大小関係（空気\(\to\)ガラスは固定端、ガラス\(\to\)空気は自由端）により、一方の反射でのみ位相が \(\pi\) ずれるため、光路差が半波長の奇数倍で明線となる。
- 干渉縞の移動と位相差の保存
- 核心: ガラス板を動かしたり媒質を変えたりしても、明線（または暗線）は常に「位相差が一定（\(2m\pi\) または \((2m+1)\pi\)）」となる条件を満たす場所に現れる。
- 理解のポイント:
- 移動の原理: 条件が変化して位相差が増えたら、位相差を減らす方向（厚さが薄い方）へ縞が移動して、元の位相差をキープしようとする。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- ニュートンリング: くさび形空気層の「直線版」に対し、球面レンズによる「円形版」の干渉。\(d \approx \frac{r^2}{2R}\) の近似式を使う点が異なるが、反射の位相変化や明暗の条件の考え方は全く同じ。
- 熱膨張による縞の移動: ガラス板を温めて膨張させたり、スペーサー（金属箔）が熱膨張する場合。厚さ \(D\) が変化するので、縞の間隔や位置が変わる。本問の「ガラスを動かす」操作と同じく、厚さの変化量 \(\Delta d\) に着目すれば解ける。
- 初見の問題での着眼点:
- 反射の位相チェック: まず最初に、上面反射と下面反射のそれぞれの界面で、屈折率が「小\(\to\)大」か「大\(\to\)小」かを確認し、位相のずれ（\(\pi\) か \(0\) か）を確定させる。
- 光路差の増減: 「厚さが増える」「屈折率が増える」「角度がつく」などの変化が起きたとき、光路差がどう変わるかを定性的に把握し、縞がどちらに動くかを予測する。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 透過光と反射光の条件の混同:
- 誤解: 「干渉といえば \(m\lambda\) が明線」と機械的に覚えていて、反射光（逆位相干渉）の問題なのに透過光（同位相干渉）の条件を使ってしまう。
- 対策: 必ず反射ごとの位相変化をチェックし、「合計で \(\pi\) ずれるなら逆（\(m+1/2\)）、\(2\pi\) または \(0\) ならそのまま（\(m\)）」と毎回導出する癖をつける。
- 縞の移動方向の判断ミス:
- 誤解: 「ガラスを下げて広くなったから、縞も広がって右に動く」と直感で答えてしまう。
- 対策: 「明線は同じ厚さの場所を探して動く」という原理を思い出す。厚くなったなら、元の厚さがある「薄い方（左）」へ逃げると論理的に考える。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- 幾何学的考察による縞間隔の導出（問3別解）:
- 選定理由: \(x_m\) の式を作って引き算するよりも、「厚さが \(\lambda/2\) 増えるごとに縞が1本」という物理的意味に基づいた比の計算の方が、計算ミスが少なく直感的だから。
- 適用根拠: くさびの傾きが一定（直線的）であるため、厚さの変化と水平距離の変化が比例関係にあることから適用可能。
- 微積分を用いた位相差解析（問8別解）:
- 選定理由: ガラスの移動と縞の移動の関係が複雑に見える場合でも、全微分 \(d\Phi=0\) という数学的操作だけで、符号（方向）も含めて自動的に答えが出るため。
- 適用根拠: 位相差が位置 \(x\) やパラメータ \(z\) の連続関数として記述できる場合、その等高線（明線）の移動は全微分で記述できる。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 次元解析（ディメンションチェック）:
- 意識: 答えの式の単位が合っているか確認する。
- 実践: 例えば縞間隔 \(\Delta x\) の答えが \(\frac{L\lambda}{2D}\) なら、\(\frac{[\text{L}][\text{L}]}{[\text{L}]} = [\text{L}]\) で長さの次元になりOK。もし \(D\) が分子にあったら無次元になりNG。
- 極限的なケースでの検算:
- 意識: パラメータを極端な値にしたとき、物理的に当たり前の結果になるか。
- 実践: \(D \to 0\)（くさびを閉じる）とすると、\(\Delta x \to \infty\)（縞の間隔が無限大＝一色になる）となり、正しい挙動を示すか確認する。
PREMIUM
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