問題97 ニュートンリング (21 千葉大 改)
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
- 提示する別解
- 設問(2)の別解1: 方べきの定理を用いた近似導出
- 模範解答は三平方の定理と二項近似を用いていますが、円の幾何学的性質である「方べきの定理」を用いることで、より直感的かつ迅速に近似式を導出します。
- 設問(2)の別解2: 微積分（マクローリン展開）を用いた体系的解法
- 近似式 \(\sqrt{1+x} \approx 1+\frac{x}{2}\) を公式として適用するのではなく、関数の微分係数を用いた級数展開（マクローリン展開）の第1次近似として数学的に導出します。
- 設問(2)の別解1: 方べきの定理を用いた近似導出
- 上記の別解が有益である理由
- 方べきの定理: 物理の問題において、図形的性質を見抜くことで計算量を大幅に減らす「物理的直感」を養います。特にレンズの曲率半径と厚さの関係では頻出の手法です。
- 微積分: 物理における「近似」が、数学的には「曲線の接線による近似」であることを理解し、大学物理への架け橋となります。
- 結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、最終的な近似式は模範解答と一致します。
この問題のテーマは「ニュートンリング（空気層の干渉）」です。球面と平面の間にできる薄い空気層での光の干渉を扱います。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 薄膜干渉の原理: 光路差（経路差 \(\times\) 屈折率）によって光が強め合ったり弱め合ったりします。
- 反射時の位相変化: 屈折率が「小さい媒質 \(\rightarrow\) 大きい媒質」の境界で反射すると、位相が \(\pi\)（半波長分）ずれます。逆の場合はずれません。
- 幾何学的近似: レンズの曲率半径 \(R\) が非常に大きい場合、空気層の厚さ \(d\) と中心からの距離 \(r\) の間に \(d \approx \frac{r^2}{2R}\) の関係が成り立ちます。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (1)(2)では、図形の幾何学的関係から空気層の厚さ \(d\) を導出します。
- (3)(4)では、光路差と反射の位相変化を考慮して、明環の条件式を立てます。
- (5)(6)では、レンズを動かしたときの光路差の変化を追跡し、縞模様の移動を解析します。
- (7)〜(9)では、媒質が変わった場合や透過光の場合の位相変化の違いを考察します。
問(1)
思考の道筋とポイント
図a に着目します。
レンズの球面、中心軸、および点Qを通る水平線によって直角三角形が形成されています。
この直角三角形に対して三平方の定理を適用し、厳密な幾何学的関係式を導きます。
この設問における重要なポイント
- 直角三角形の発見: 球面の中心、レンズとガラスの接点Oの真上の点、点Qの関係を図から読み取ります。
- 辺の長さの特定: 斜辺は球の半径 \(R\)、底辺は中心からの距離 \(r\)、高さは \(R-d\) となります。
具体的な解説と立式
図aにおいて、球面の中心を頂点とし、点Qを含む直角三角形を考えます。
各辺の長さは以下の通りです。
- 斜辺: レンズの半径 \(R\)
- 底辺: 中心軸からの距離 \(r\)
- 高さ: 球面の中心から点Oまでの距離 \(R\) から、空気層の厚さ \(d\) を引いた \(R-d\)
三平方の定理より、以下の関係が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
R^2 &= r^2 + (R-d)^2
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 三平方の定理: \(c^2 = a^2 + b^2\)
上式を \(d\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
(R-d)^2 &= R^2 – r^2 \\[2.0ex]
R-d &= \sqrt{R^2 – r^2} \quad (\text{※ } R-d > 0 \text{より}) \\[2.0ex]
d &= R – \sqrt{R^2 – r^2}
\end{aligned}
$$
レンズの丸みを計算するために、直角三角形を使いました。
「半径の2乗」は「横の距離の2乗」と「縦の距離の2乗」の足し算になるというピタゴラスの定理（三平方の定理）を使って、レンズの表面がどれくらい浮いているか（\(d\)）を計算しました。
答えは \(d = R – \sqrt{R^2 – r^2}\) です。
\(r=0\) のとき \(d=0\) となり、接点Oで接触していることと一致します。
\(r=R\) のとき \(d=R\) となり、半球の端であることを示しており、幾何学的に正しい結果です。
問(2)
思考の道筋とポイント
問(1)で求めた厳密解に対し、\(r \ll R\) （レンズが非常に平べったい）という条件の下で近似を行います。
問題文で与えられた近似式 \(\sqrt{1+x} \approx 1 + \frac{x}{2}\) を利用できる形に変形します。
この設問における重要なポイント
- 近似式の適用形への変形: \(\sqrt{R^2 – r^2}\) のままでは公式が使えないため、\(R\) を根号の外に出して \(\sqrt{1 – (r/R)^2}\) の形を作ります。
- 微小量の特定: \(x = -(r/R)^2\) とみなして公式を適用します。
具体的な解説と立式
問(1)の結果を変形します。
$$
\begin{aligned}
d &= R – \sqrt{R^2\left(1 – \frac{r^2}{R^2}\right)} \\[2.0ex]
&= R – R\sqrt{1 + \left( -\frac{r^2}{R^2} \right)}
\end{aligned}
$$
ここで、\(r \ll R\) より \(\left| -\frac{r^2}{R^2} \right| \ll 1\) なので、近似式 \(\sqrt{1+x} \approx 1 + \frac{x}{2}\) を適用します。
使用した物理公式
- 近似式: \(\sqrt{1+x} \approx 1 + \frac{x}{2}\) （\(|x| \ll 1\)）
$$
\begin{aligned}
d &\approx R – R\left\{ 1 + \frac{1}{2}\left( -\frac{r^2}{R^2} \right) \right\} \\[2.0ex]
&= R – \left( R – \frac{r^2}{2R} \right) \\[2.0ex]
&= \frac{r^2}{2R}
\end{aligned}
$$
問題文の形式 \(d = Ar^2\) と比較すると、
$$
\begin{aligned}
A &= \frac{1}{2R}
\end{aligned}
$$
レンズのカーブは、中心付近では放物線（二次関数）とみなせます。
複雑なルートの計算を、「1よりとても小さい数」の性質を使って簡単な足し算・引き算に直しました。これにより、空気の厚さ \(d\) は中心からの距離 \(r\) の2乗に比例することがわかりました。
\(A = \frac{1}{2R}\) です。
\(R\) が大きい（カーブが緩やか）ほど \(A\) は小さくなり、同じ距離 \(r\) でも厚さ \(d\) が薄くなるため、物理的直感と一致します。
思考の道筋とポイント
円の幾何学的性質である「方べきの定理」を利用します。
図aを完全な円として想像し、弦と直径の交差関係に着目します。
この設問における重要なポイント
- 方べきの定理の適用: 円の弦が直交するとき、交点で分割された線分の積は等しくなります。
- 微小項の無視: \(d^2\) のような微小量の2乗項を無視することで近似を行います。
具体的な解説と立式
図aにおいて、点Qから下ろした垂線と直径の交点を考えます。
水平方向の弦の長さは \(2r\) であり、交点で \(r\) と \(r\) に分割されます。
垂直方向の直径は \(2R\) であり、交点で \(d\) と \(2R-d\) に分割されます。
方べきの定理より、以下の関係が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
r \cdot r &= d \cdot (2R – d)
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 方べきの定理
$$
\begin{aligned}
r^2 &= 2Rd – d^2
\end{aligned}
$$
ここで、\(d \ll R\) なので、\(d^2\) は \(2Rd\) に比べて極めて小さく、無視できます（\(d^2 \approx 0\)）。
$$
\begin{aligned}
r^2 &\approx 2Rd \\[2.0ex]
d &\approx \frac{r^2}{2R}
\end{aligned}
$$
よって、\(A = \frac{1}{2R}\) となります。
円の中で十字に交わる線の長さの関係（方べきの定理）を使いました。
「\(d\) はとても小さいので、2回掛けたらもっと小さくなって無視できる」と考えると、面倒なルート計算なしで一瞬で答えが出ます。
メインの解法と同じ結果が得られました。計算量が圧倒的に少なく、検算にも最適です。
思考の道筋とポイント
近似式を公式として暗記するのではなく、関数の微分を用いて導出します。
円の方程式を \(y\) について解き、\(x=0\) 周りでマクローリン展開（テイラー展開）します。
この設問における重要なポイント
- マクローリン展開: 関数 \(f(x)\) の \(x \approx 0\) での振る舞いは、\(f(x) \approx f(0) + f'(0)x + \frac{1}{2}f”(0)x^2\) で近似できます。
具体的な解説と立式
円の方程式 \(x^2 + (y-R)^2 = R^2\) （中心 \((0, R)\)、原点で接する円）を考えます。
下半分の円弧を表す式は以下の通りです。
$$
\begin{aligned}
y &= R – \sqrt{R^2 – x^2}
\end{aligned}
$$
ここで、\(f(x) = \sqrt{R^2 – x^2}\) とおき、\(x=0\) 付近で1次近似（接線近似）ではなく、2次の項まで考慮した展開を行います。
あるいは、\((1+u)^\alpha\) のマクローリン展開を利用します。
$$
\begin{aligned}
(1+u)^\alpha &\approx 1 + \alpha u \quad (|u| \ll 1)
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- マクローリン展開（二項展開の一般化）
$$
\begin{aligned}
\sqrt{R^2 – x^2} &= R\left( 1 – \frac{x^2}{R^2} \right)^{\frac{1}{2}}
\end{aligned}
$$
ここで \(u = -\frac{x^2}{R^2}\), \(\alpha = \frac{1}{2}\) として展開公式を適用します。
$$
\begin{aligned}
\left( 1 – \frac{x^2}{R^2} \right)^{\frac{1}{2}} &\approx 1 + \frac{1}{2}\left( -\frac{x^2}{R^2} \right) \\[2.0ex]
&= 1 – \frac{x^2}{2R^2}
\end{aligned}
$$
これを元の式に戻します。
$$
\begin{aligned}
y &= R – R\left( 1 – \frac{x^2}{2R^2} \right) \\[2.0ex]
&= R – R + \frac{x^2}{2R} \\[2.0ex]
&= \frac{x^2}{2R}
\end{aligned}
$$
\(x\) を \(r\)、\(y\) を \(d\) と読み替えれば、\(d \approx \frac{r^2}{2R}\) が得られます。
「近似」とは数学的には「曲線を多項式で書き直すこと」です。
円の式を微分を使って展開すると、一番影響の大きい項として「2乗の項」が出てきます。これが放物線近似の正体です。
数学的原理から導出しても、同じ結果 \(A = \frac{1}{2R}\) に至ります。
問(3)
思考の道筋とポイント
反射光が強め合う条件（明環）を求めます。
考慮すべき要素は「経路差（幾何学的距離の差）」と「反射による位相のずれ」の2点です。
この設問における重要なポイント
- 経路差: 空気層を往復するので \(2d\) です。空気の屈折率は \(1\) なので光路差も \(2d\) です。
- 反射の位相変化:
- レンズ下面（ガラス \(\rightarrow\) 空気）: 屈折率 大 \(\rightarrow\) 小 なので自由端反射（位相変化なし）。
- 平面ガラス上面（空気 \(\rightarrow\) ガラス）: 屈折率 小 \(\rightarrow\) 大 なので固定端反射（位相 \(\pi\) 変化）。
- 干渉条件: 片方だけ位相が \(\pi\) ずれるため、光路差が「半波長の奇数倍」のときに強め合います。
具体的な解説と立式
2つの反射光の間の光路差は \(2d\) です。
反射による位相のずれの合計は \(\pi\) （半波長分 \(\frac{\lambda}{2}\) の光路差に相当）です。
したがって、強め合う条件（明環）は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
2d + \frac{\lambda}{2} &= m\lambda \quad (m=1, 2, 3, \dots)
\end{aligned}
$$
または、位相差 \(\pi\) を考慮して「光路差が半波長の奇数倍」と立式しても同じです。
$$
\begin{aligned}
2d &= \left( m – \frac{1}{2} \right)\lambda
\end{aligned}
$$
※中心（\(d=0\)）は \(2d=0\) であり、条件式を満たさない（暗くなる）ため、\(m=1\) から始まるという設定と整合します。
使用した物理公式
- 反射の位相変化: 低屈折率側からの反射（固定端）で \(\pi\) ずれる。
- 干渉条件: \(2d = (m – \frac{1}{2})\lambda\) （明環、位相差 \(\pi\) あり）
上式を \(d\) について解き、\(d = Bm + C\) の形にします。
$$
\begin{aligned}
2d &= m\lambda – \frac{1}{2}\lambda \\[2.0ex]
d &= \frac{\lambda}{2}m – \frac{\lambda}{4}
\end{aligned}
$$
これより、
$$
\begin{aligned}
B &= \frac{\lambda}{2}, \quad C = -\frac{\lambda}{4}
\end{aligned}
$$
光は波なので、山と山が重なると明るくなります。
空気の層を往復する距離（\(2d\)）に加えて、反射するときに波がひっくり返る現象（半波長分のずれ）を考慮しました。
その結果、「往復距離」が「波長の整数倍」から「半波長分ずれた長さ」になるときに、波の山と山が揃って明るくなることがわかりました。
\(B = \frac{\lambda}{2}, C = -\frac{\lambda}{4}\) です。
\(m=1\) のとき \(d = \lambda/4\)、往復 \(2d = \lambda/2\)。反射のずれ \(\lambda/2\) と合わせて1波長分となり、強め合います。妥当です。
問(4)
思考の道筋とポイント
問(2)の幾何学的関係 \(d = Ar^2\) と、問(3)の光学的条件 \(d = Bm + C\) を連立させて、半径 \(r\) を求めます。
この設問における重要なポイント
- 式の連立: \(Ar^2 = Bm + C\) を \(r\) について解くだけです。
具体的な解説と立式
問(2)より \(d = Ar^2\)、問(3)より \(d = \frac{\lambda}{2}m – \frac{\lambda}{4}\) です。
これらを等置します。
$$
\begin{aligned}
Ar^2 &= \frac{\lambda}{2}m – \frac{\lambda}{4}
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- なし（代入計算のみ）
$$
\begin{aligned}
Ar^2 &= \frac{\lambda}{2}\left( m – \frac{1}{2} \right) \\[2.0ex]
r^2 &= \frac{\lambda}{2A}\left( m – \frac{1}{2} \right) \\[2.0ex]
r &= \sqrt{\frac{\lambda}{2A}\left( m – \frac{1}{2} \right)}
\end{aligned}
$$
※問題文の指示通り \(A\) を用いて答えます。
「レンズの形から決まる厚さ」と「光が強め合うために必要な厚さ」が一致する場所が、明るいリングが見える場所です。その場所（中心からの距離 \(r\)）を計算しました。
\(m\) が大きくなると \(r\) も大きくなり、外側ほどリングの間隔が狭くなる（\(\sqrt{m}\) に比例するため）というニュートンリングの特徴を表しています。
問(5)
思考の道筋とポイント
レンズを \(h\) だけ持ち上げると、空気層の厚さが全体的に \(h\) 増加します。
「\(m=1\) の明環の半径が半分になった」という条件から方程式を立てて \(h\) を求めます。
この設問における重要なポイント
- 厚さの変化: 中心からの距離 \(r\) での空気層の厚さは \(d(r) + h = Ar^2 + h\) になります。
- 条件の適用:
- 移動前: 半径 \(r_1\)、厚さ \(Ar_1^2\)。
- 移動後: 半径 \(r_1′ = \frac{r_1}{2}\)、厚さ \(A(r_1′)^2 + h\)。
- どちらも \(m=1\) の明環なので、必要な光路差（厚さ）は同じです。
具体的な解説と立式
\(m=1\) の明環ができるための空気層の厚さを \(d_1\) とします。
問(3)より、\(2d_1 = (1 – \frac{1}{2})\lambda = \frac{\lambda}{2}\) なので、\(d_1 = \frac{\lambda}{4}\) で一定です。
移動前の半径を \(r_1\) とすると、
$$
\begin{aligned}
Ar_1^2 &= \frac{\lambda}{4} \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
移動後の半径 \(r_1’\) は \(r_1′ = \frac{r_1}{2}\) であり、この位置でのレンズとガラスの距離は \(A(r_1′)^2 + h\) です。これが再び \(d_1\) に等しくなるので、
$$
\begin{aligned}
A\left( \frac{r_1}{2} \right)^2 + h &= \frac{\lambda}{4} \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 干渉条件（厚さ一定）
式①を式②に代入して \(h\) を求めます。
式①より \(Ar_1^2 = \frac{\lambda}{4}\)。
式②を展開します。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{4}Ar_1^2 + h &= \frac{\lambda}{4}
\end{aligned}
$$
これに \(Ar_1^2 = \frac{\lambda}{4}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{4}\left( \frac{\lambda}{4} \right) + h &= \frac{\lambda}{4} \\[2.0ex]
\frac{\lambda}{16} + h &= \frac{\lambda}{4} \\[2.0ex]
h &= \frac{\lambda}{4} – \frac{\lambda}{16} \\[2.0ex]
&= \frac{4\lambda – \lambda}{16} \\[2.0ex]
&= \frac{3}{16}\lambda
\end{aligned}
$$
レンズを持ち上げると、同じ厚さになる場所（明るくなる場所）は中心寄りに移動します。
「半径が半分になる場所」まで明るいリングが移動したということは、その分だけレンズを持ち上げて隙間を埋めたということです。その持ち上げた量を計算しました。
答えは \(h = \frac{3}{16}\lambda\) です。
元の厚さ \(\lambda/4\) の大部分を \(h\) で稼いだため、レンズの曲面による寄与が減り、半径が小さくなったと解釈できます。
問(6)
思考の道筋とポイント
「離す前と同じ縞模様が初めて現れた」という現象を物理的に翻訳します。
これは、ある位置 \(r\) において、光路差がちょうど1波長分 \(\lambda\) だけ増加し、干渉の次数 \(m\) が1つずれた状態（\(m\) 番目のリングの位置に \(m+1\) 番目のリングが来た状態、あるいはその逆）を意味します。
この設問における重要なポイント
- 縞模様の一致: レンズを離すと光路差は増えるため、リングは中心から湧き出すように外へ移動するのではなく、外側のリングが内側へ移動する…いや、逆です。
- 中心付近（\(d\)小）: \(2d = (m-0.5)\lambda\)。\(d\) が増えると、同じ \(m\) を満たすには \(r\) は小さくなる必要があります（内側へ移動）。
- 「同じ縞模様」とは、元の \(m\) 番目の明環の位置に、別の次数の明環が重なることです。
- レンズを \(h’\) 上昇させると、往復の光路差は \(2h’\) 増加します。
- この増加分が波長 \(\lambda\) の整数倍であれば、干渉条件の位相関係が元に戻り、同じ模様に見えます。
- 「初めて」なので、\(2h’ = \lambda\) です。
具体的な解説と立式
レンズを \(h’\) だけ離すと、任意の位置 \(r\) における光路差は \(2h’\) だけ増加します。
縞模様が元の状態と一致するためには、この光路差の増加分が波長 \(\lambda\) の整数倍であればよいです（位相差が \(2\pi\) の整数倍変化する）。
「初めて」現れたときなので、光路差の増加は1波長分です。
$$
\begin{aligned}
2h’ &= \lambda
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 光路差の変化と干渉条件の周期性
$$
\begin{aligned}
h’ &= \frac{\lambda}{2}
\end{aligned}
$$
レンズを持ち上げると、光の通り道が長くなります。
その長くなった分（往復分）がちょうど「光の波1つ分」になると、波の山と谷のタイミングが元通りになり、見た目の縞模様が全く同じになります。
答えは \(h’ = \frac{\lambda}{2}\) です。
往復で \(\lambda\) なので、片道 \(\lambda/2\) です。これは定在波の腹一つ分の移動に相当し、物理的に妥当です。
問(7)
思考の道筋とポイント
空気の代わりに屈折率 \(n\) の液体で満たします。
光路差は光学的距離（幾何学的距離 \(\times\) 屈折率）で考える必要があります。
また、反射の位相変化が変化しないか確認します。
この設問における重要なポイント
- 光路差の変化: 往復距離 \(2d\) に対し、屈折率 \(n\) がかかるため、光路差は \(2nd\) となります。
- 位相変化の確認:
- レンズ下面（ガラス \(n_0\) \(\rightarrow\) 液体 \(n\)）: \(n_0 > n\) なので自由端反射（変化なし）。
- 平面ガラス上面（液体 \(n\) \(\rightarrow\) ガラス \(n_0\)）: \(n < n_0\) なので固定端反射（\(\pi\) 変化）。
- したがって、位相変化の状況は空気の場合（片方だけ \(\pi\) ずれ）と同じです。
具体的な解説と立式
光路差は \(2nd\) となります。
位相変化は空気中と同様に合計 \(\pi\) ずれるため、明環の条件は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
2nd &= \left( m – \frac{1}{2} \right)\lambda
\end{aligned}
$$
これに \(d = Ar^2\) を代入して \(r\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
2n(Ar^2) &= \left( m – \frac{1}{2} \right)\lambda
\end{aligned}
$$
最も近い明環なので \(m=1\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
2nAr^2 &= \frac{\lambda}{2}
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 光路長（光学距離）: \(L = nl\)
- 屈折率と反射の位相変化
$$
\begin{aligned}
r^2 &= \frac{\lambda}{4nA} \\[2.0ex]
r &= \sqrt{\frac{\lambda}{4nA}}
\end{aligned}
$$
液体の屈折率 \(n\) の分だけ、光にとっては距離が \(n\) 倍に伸びたように感じられます。
また、反射のルール（位相の反転）は空気の時と同じでした。
そのため、式の中で距離 \(d\) を \(nd\) に置き換えて計算しました。
答えは \(r = \sqrt{\frac{\lambda}{4nA}}\) です。
屈折率 \(n\) が大きいほど波長が縮む（\(\lambda’ = \lambda/n\)）ため、同じ干渉条件を満たす隙間 \(d\) は小さくて済み、半径 \(r\) は小さくなります。式は \(n\) が分母にあるため、これと整合します。
問(8)
思考の道筋とポイント
中心（\(d=0\)）における明暗を問われています。
\(d=0\) なので光路差は \(0\) です。明暗は「反射による位相変化」の組み合わせだけで決まります。
この設問における重要なポイント
- 位相差の判定: 2つの反射面での位相変化の有無を調べ、その差が \(0\) なら強め合い（明）、\(\pi\) なら弱め合い（暗）となります。
- 条件:
- レンズの屈折率: \(n_0\)
- 平面ガラスの屈折率: \(n_0\)
- 液体の屈折率: \(n\)
具体的な解説と立式
ケース1: \(n > n_0\) のとき
- レンズ下面での反射（\(n_0 \rightarrow n\)）: 屈折率 小 \(\rightarrow\) 大 なので固定端反射（位相 \(\pi\) 変化）。
- 平面ガラス上面での反射（\(n \rightarrow n_0\)）: 屈折率 大 \(\rightarrow\) 小 なので自由端反射（位相変化なし）。
- 位相差の合計: \(\pi\)
- 結果: 光路差0で位相差 \(\pi\) なので弱め合う（暗）。 \(\rightarrow\) ①
ケース2: \(1 < n < n_0\) のとき
- レンズ下面での反射（\(n_0 \rightarrow n\)）: 屈折率 大 \(\rightarrow\) 小 なので自由端反射（位相変化なし）。
- 平面ガラス上面での反射（\(n \rightarrow n_0\)）: 屈折率 小 \(\rightarrow\) 大 なので固定端反射（位相 \(\pi\) 変化）。
- 位相差の合計: \(\pi\)
- 結果: 光路差0で位相差 \(\pi\) なので弱め合う（暗）。 \(\rightarrow\) ①
使用した物理公式
- 反射の位相変化（屈折率の大小関係）
- \(n > n_0\): 位相差 \(\pi\) \(\rightarrow\) 暗
- \(1 < n < n_0\): 位相差 \(\pi\) \(\rightarrow\) 暗
中心では隙間がないので、光の距離の差はありません。
しかし、反射するときの「波のひっくり返り」が、片方の面だけで起こるため、波の山と谷が重なって打ち消し合います。これは液体の屈折率がレンズより大きくても小さくても同じ結果になります。
どちらの場合も、片方の反射だけが固定端反射となるため、中心は暗くなります。
問(9)
思考の道筋とポイント
透過光の干渉を考えます。
エネルギー保存則の観点から、反射光が「暗」になる条件では、透過しなかったエネルギーが透過光に回るため、透過光は「明」になります。
あるいは、直接的に透過光の干渉（直進光と、内部で2回反射して遅れて出てくる光の干渉）を考えます。
この設問における重要なポイント
- エネルギー保存則: 吸収がない場合、(反射光強度) + (透過光強度) = (入射光強度) = 一定。反射が弱め合う（暗）なら透過は強め合う（明）。
- 直接考察（別解的思考）:
- 透過光1: そのまま通過。
- 透過光2: 液体層内で2回反射して通過。
- 2回の反射における位相変化を追跡します。
具体的な解説と立式
エネルギー保存則によるアプローチ
問(8)より、どちらの条件でも反射光の中心は「暗」です。
したがって、反射されなかった光は透過するため、透過光の中心は「明」となります。
直接考察によるアプローチ（確認）
透過光の干渉は、直進する光と、液体層内で2回反射（下面で反射 \(\rightarrow\) 上面で反射）して出ていく光との干渉です。
- ケース1: \(n > n_0\) のとき
- 反射1（平面ガラス上面 \(n \rightarrow n_0\)）: 大 \(\rightarrow\) 小 \(\Rightarrow\) 自由端（なし）。
- 反射2（レンズ下面 \(n \rightarrow n_0\)）: 大 \(\rightarrow\) 小 \(\Rightarrow\) 自由端（なし）。
- 位相変化の合計: 0。光路差0で位相差0 \(\Rightarrow\) 強め合う（明）。
- ケース2: \(1 < n < n_0\) のとき
- 反射1（平面ガラス上面 \(n \rightarrow n_0\)）: 小 \(\rightarrow\) 大 \(\Rightarrow\) 固定端（\(\pi\)）。
- 反射2（レンズ下面 \(n \rightarrow n_0\)）: 小 \(\rightarrow\) 大 \(\Rightarrow\) 固定端（\(\pi\)）。
- 位相変化の合計: \(2\pi\)（つまり0）。光路差0で位相差0 \(\Rightarrow\) 強め合う（明）。
使用した物理公式
- エネルギー保存則
- 透過光の干渉条件
- \(n > n_0\): 位相差 0 \(\rightarrow\) 明
- \(1 < n < n_0\): 位相差 0 \(\rightarrow\) 明
反射光が暗いということは、光が跳ね返ってこないということです。
消えた光はどこへ行ったかというと、そのまま通り抜けています。だから、下から見ると明るく見えます。
どちらのアプローチでも、中心は明るくなることが確認できました。
【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座
最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- 薄膜干渉の原理（光路差と位相変化）
- 核心: 干渉の明暗は、「幾何学的な往復距離」だけでなく、「媒質の屈折率による光路の伸び」と「反射による位相の反転」の3要素の組み合わせで決まる。
- 理解のポイント:
- 光路長（光学距離）: 距離 \(L\) を進むとき、光にとっては \(nL\) の距離に相当する。
- 位相の反転: 「屈折率小 \(\rightarrow\) 大」の反射でのみ、位相が \(\pi\)（半波長分）ずれる。これを忘れると明暗が逆になる。
- ニュートンリングの幾何学（球面近似）
- 核心: 球面と平面の間の微小な隙間 \(d\) は、中心からの距離 \(r\) の2乗に比例する（放物線近似）。
- 理解のポイント:
- 近似式: \(d \approx \frac{r^2}{2R}\) は、三平方の定理または方べきの定理から導かれる物理数学の基本形である。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- くさび形空気層: 2枚の平面ガラスを片側だけ挟んで隙間を作る問題。\(d\) が位置 \(x\) に比例（\(d = x \tan \theta\)）するため、縞模様は等間隔の直線になる。
- 薄膜の屈折率変化: 石鹸膜や油膜のように、膜自体の屈折率が周囲と異なる場合。反射の位相変化のパターン（自由端・固定端の組み合わせ）が変わるため、明暗条件の逆転に注意が必要。
- 初見の問題での着眼点:
- 反射面の屈折率チェック: 図のすべての境界面に、屈折率の大小関係（\(n_1 < n_2\) など）と、反射の種類（固定端か自由端か）を矢印で書き込む。
- 幾何学的条件の立式: 干渉条件を考える前に、隙間の厚さ \(d\) を位置座標（\(r\) や \(x\)）でどう表すか、図形的な関係式を最初に確定させる。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 光路差と経路差の混同:
- 誤解: 液体中（屈折率 \(n\)）でも、往復距離 \(2d\) をそのまま干渉条件式に使ってしまう。
- 対策: 媒質中では必ず「光路長 = 屈折率 × 距離」と唱え、\(2nd\) と書く癖をつける。\(n\) を掛け忘れるミスは致命的。
- 明暗条件式の丸暗記による適用ミス:
- 誤解: 「強め合い＝整数倍」「弱め合い＝半整数倍」と機械的に暗記して適用し、位相の反転を考慮し忘れる。
- 対策: 公式を覚えるのではなく、「光路差 \(+\) 位相変化分 \(=\) 整数倍」という原理から毎回立式する。特に反射による \(\pi\) ずれの回数が奇数回なら、条件が逆転することをその場で確認する。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- 方べきの定理による近似（別解）:
- 選定理由: 三平方の定理と二項近似を用いる標準的な手法に比べ、計算プロセスが圧倒的に短く、計算ミスのリスクを減らせるため。
- 適用根拠: \(d \ll R\) という条件において、\(d^2\) の項を無視することは、二項近似の1次項をとることと数学的に等価であるため。
- エネルギー保存則による透過光の考察:
- 選定理由: 透過光の多重反射をまともに計算すると複雑になるが、エネルギー保存則を使えば「反射光の裏返し」として即答できるため。
- 適用根拠: 光の吸収がない理想的な媒質であれば、入射エネルギーは反射と透過に二分されるため。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 次元解析（ディメンションチェック）:
- 意識: 導出した式の単位が正しいか常に疑う。
- 実践: 例えば \(d \approx \frac{r^2}{2R}\) なら、\(\frac{[\text{L}]^2}{[\text{L}]} = [\text{L}]\) で長さの次元になっている。もし \(d \approx \frac{r}{2R}\) なら無次元になり間違いだと気づける。
- 極限的なケースでの検算:
- 意識: 変数が極端な値をとったとき、物理的に当たり前の結果になるか確認する。
- 実践: \(n=1\) と置けば空気中の式に戻るか？ \(R \to \infty\)（平面ガラス）なら \(d \to 0\) になるか？ \(m\) が増えれば \(r\) が増えるか？ これらを確認するだけでケアレスミスを激減できる。
問題98 マイケルソン干渉計 (24 横浜市大 改)
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
- 提示する別解
- 全設問共通の別解: 位相差を用いた体系的解法
- 模範解答は「光路差」を用いて干渉条件を考えていますが、別解では光の波動性をより厳密に記述する「位相差」を用いてアプローチします。
- 波動関数 \(y = A \sin(kx – \omega t)\) を定義し、経路による位相のずれ \(\Delta \phi\) を計算することで、干渉条件を数理的に導出します。
- 全設問共通の別解: 位相差を用いた体系的解法
- 上記の別解が有益である理由
- 位相差: 「光路差が波長の整数倍」という条件が、なぜ強め合いになるのかを「波の重なり」の原理から深く理解できます。また、反射による位相の反転などが絡む複雑な問題でも、位相差で考えることで統一的に処理できます。
- 結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、最終的な結論は模範解答と完全に一致します。
この問題のテーマは「マイケルソン干渉計」です。光を2つの経路に分割し、それぞれの光路長（光学距離）を変化させることで生じる干渉縞の移動を観測します。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 光路長（光学距離）: 屈折率 \(n\) の媒質中を距離 \(d\) 進むとき、光にとっては真空中の距離 \(nd\) に相当します。
- 光路差と干渉条件: 2つの光の光路差が波長 \(\lambda\) の整数倍のとき強め合い（明線）、半整数倍のとき弱め合います（暗線）。
- マイケルソン干渉計の構造: 光が往復するため、鏡の移動距離や媒質の厚さの「2倍」が光路差に寄与します。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (1)では、鏡の移動による幾何学的な距離の変化から光路差を求めます。
- (2)では、薄膜挿入による光路長の変化（\(nd – d\)）を計算します。
- (3)では、気体の屈折率変化による光路差の変化と、観測される縞の移動回数を結びつけます。
- (4)では、屈折率と密度の比例関係を用いて、標準状態での屈折率を算出します。
問(1)
思考の道筋とポイント
図1および図aに着目します。
マイケルソン干渉計では、光は半透明鏡Hで分割され、鏡M1とM2で反射して戻ってきます。
M2を動かすと、HからM2までの往復距離が変化します。
光の強度が「極大」になるのは、2つの光が強め合っているときです。
M2を \(L_1\) 移動させたとき、再び極大になったということは、光路差の変化が波長の整数倍になったことを意味します。
この設問における重要なポイント
- 往復経路: 光はM2に向かって進み、反射して戻ってくるため、M2が距離 \(x\) 動くと、経路の長さは \(2x\) 変化します。
- 干渉の周期性: 光路差が \(\lambda_0\) 変化するごとに、明暗のパターンが1周期分変化します。
具体的な解説と立式
M2を光線方向に距離 \(L_1\) だけ移動させたとします。
このとき、往復の経路長の変化 \(\Delta L\) は、移動距離の2倍となります。
$$
\begin{aligned}
\Delta L &= 2L_1
\end{aligned}
$$
移動前が極大（強め合い）であり、移動後も極大となったことから、この光路差の変化 \(\Delta L\) は、波長 \(\lambda_0\) の自然数 \(m\) 倍である必要があります。
したがって、以下の関係式が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
2L_1 &= m\lambda_0
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 干渉の条件（強め合い）: 光路差 \(= m\lambda\)
上式を \(L_1\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
L_1 &= \frac{m\lambda_0}{2}
\end{aligned}
$$
鏡を動かすと、光の通り道が伸びたり縮んだりします。
行って帰ってくるので、鏡を \(1\) 動かすと、光の距離は \(2\) 変わります。
光の波の山と山が重なると明るくなりますが、距離が「波長1つ分」変わると、また山と山が重なって明るくなります。
今回は「\(m\) 回分」明るい状態が繰り返されたと考えられるので、往復の距離変化 \(2L_1\) が波長 \(\lambda_0\) の \(m\) 倍になります。
答えは \(L_1 = \frac{m\lambda_0}{2}\) です。
\(m=1\) のとき、鏡を半波長分動かすと往復で1波長分変わり、干渉縞が1つずれるという基本的な性質と一致します。
問(2)
思考の道筋とポイント
図bに着目します。
HとM1の間に薄膜（厚さ \(d\)、屈折率 \(n_1\)）を挿入します。
薄膜がある部分では、光の進む速さが遅くなるため、光路長（光学的な距離）が伸びます。
挿入前（真空）と挿入後（薄膜あり）での光路差の変化量を求めます。
この設問における重要なポイント
- 光路長（光学距離）: 屈折率 \(n\) の媒質中の距離 \(d\) は、真空中の距離 \(nd\) に相当します。
- 差分をとる: 「薄膜がある状態の光路長」から「薄膜がない状態（真空）の光路長」を引くことで、変化量を求めます。
- 往復: ここでも光は薄膜を往復して通過することに注意します。
具体的な解説と立式
薄膜の厚さを \(d\)、屈折率を \(n_1\) とします。
薄膜を通過する部分の、片道の光路長の変化を考えます。
- 薄膜挿入後の光路長: \(n_1 d\)
- 薄膜挿入前の光路長（真空）: \(1 \cdot d\)
したがって、片道分の光路長の変化（増加分）は \(n_1 d – d\) です。
光は薄膜を往復するため、全体の光路差の変化量 \(\Delta \mathcal{L}\) はこの2倍になります。
$$
\begin{aligned}
\Delta \mathcal{L} &= 2(n_1 d – d)
\end{aligned}
$$
これを整理して立式します。
$$
\begin{aligned}
\Delta \mathcal{L} &= 2(n_1 – 1)d
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 光路長: \(L = nd\)
式変形のみです。
$$
\begin{aligned}
\Delta \mathcal{L} &= 2(n_1 – 1)d
\end{aligned}
$$
ガラスのような物質の中では、光はゆっくり進みます。これは距離が伸びたのと同じ効果があります。
厚さ \(d\) の薄膜を入れると、その部分の距離は \(d\) ではなく \(n_1 d\) になったとみなせます。
元々は真空（距離 \(d\)）だったので、差し引きで \((n_1 – 1)d\) だけ距離が伸びました。
行って帰ってくるので、その2倍の変化が生じます。
答えは \(2(n_1 – 1)d\) です。
\(n_1 > 1\) なので正の値となり、光路長が伸びていることを示しています。物理的に妥当です。
問(3)
思考の道筋とポイント
図2に着目します。
容器A（長さ \(L_2\)）の中に気体（アルゴン）を注入していきます。
最初は真空（\(n=1\)）で、最終的に屈折率 \(n_2\) になります。
この過程で光路長が徐々に変化し、干渉縞が移動します。
「極大が \(p\) 回繰り返された」ということは、光路差が波長 \(\lambda_0\) の \(p\) 倍だけ変化したことを意味します。
この設問における重要なポイント
- 連続的な変化: 気体を注入すると屈折率は \(1\) から \(n_2\) まで連続的に増加します。
- 縞のカウント: 光路差が \(1\lambda_0\) 増えるごとに、明線が1回通り過ぎます（明 \(\to\) 暗 \(\to\) 明）。\(p\) 回繰り返されたなら、光路差の変化量は \(p\lambda_0\) です。
具体的な解説と立式
容器Aの部分における、気体注入前後の光路差の変化量 \(\Delta \mathcal{L}_A\) を考えます。
問(2)と同様に、厚さ \(L_2\) の部分が真空（屈折率 \(1\)）から気体（屈折率 \(n_2\)）に変わったと考えればよいです。
往復を考慮すると、光路差の変化量は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
\Delta \mathcal{L}_A &= 2(n_2 – 1)L_2
\end{aligned}
$$
この変化量が、波長 \(\lambda_0\) の \(p\) 倍に等しいとき、極大が \(p\) 回観測されます。
$$
\begin{aligned}
2(n_2 – 1)L_2 &= p\lambda_0
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 光路差の変化と干渉縞の移動: \(\Delta \mathcal{L} = p\lambda\)
上式を \(n_2\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
2(n_2 – 1)L_2 &= p\lambda_0 \\[2.0ex]
n_2 – 1 &= \frac{p\lambda_0}{2L_2} \\[2.0ex]
n_2 &= 1 + \frac{p\lambda_0}{2L_2}
\end{aligned}
$$
容器の中にガスを入れると、中を通る光の速度が少しずつ遅くなり、光路長が伸びていきます。
光路長が「波長1つ分」伸びるたびに、検出器では「明るい \(\to\) 暗い \(\to\) 明るい」という変化が1回起きます。
\(p\) 回明るくなったということは、光路長が波長の \(p\) 倍だけ伸びたということです。
この関係を使って、ガスの屈折率を計算しました。
答えは \(n_2 = 1 + \frac{p\lambda_0}{2L_2}\) です。
\(p=0\)（ガスを入れない）なら \(n_2=1\) となり、真空の状態と一致します。
問(4)
思考の道筋とポイント
問(3)の結果と、問題文で与えられた「\(n-1\) の値は気体の密度に比例する」という条件を利用します。
(3)の状態（実験状態）と、求めたい標準状態（\(0^\circ\text{C}\)、1気圧）の2つの状態について、密度を比較し、比例計算を行います。
この設問における重要なポイント
- 状態の比較:
- 状態2（実験時）: 体積 \(V_2 = 4.5\,\text{L}\)、物質量 \(n_{\text{mol}} = 0.10\,\text{mol}\)、屈折率 \(n_2\)。
- 状態3（標準状態）: \(1\,\text{mol}\) あたりの体積 \(V_3 = 22.4\,\text{L}\)、屈折率 \(n_3\)。
- 密度の比: 密度 \(\rho\) は「単位体積あたりの質量（または物質量）」です。同じ気体なら、密度比は「単位体積あたりのモル数」の比と同じです。
具体的な解説と立式
アルゴンのモル質量を \(M\,[\text{g}/\text{mol}]\) とします。
状態2（実験時）の密度 \(\rho_2\)
\(0.10\,\text{mol}\) の気体が \(4.5\,\text{L}\) に入っているので、
$$
\begin{aligned}
\rho_2 &= \frac{0.10 \times M}{4.5}
\end{aligned}
$$
状態3（標準状態）の密度 \(\rho_3\)
\(1\,\text{mol}\) の気体が \(22.4\,\text{L}\) を占めるので、
$$
\begin{aligned}
\rho_3 &= \frac{1 \times M}{22.4}
\end{aligned}
$$
比例関係の立式
\(n-1\) は密度に比例するので、以下の比例式が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
(n_3 – 1) : (n_2 – 1) &= \rho_3 : \rho_2
\end{aligned}
$$
これを変形して \(n_3 – 1\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
n_3 – 1 &= (n_2 – 1) \times \frac{\rho_3}{\rho_2}
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 密度の定義: \(\rho = \frac{m}{V}\)
- 比例関係: \(y \propto x \Rightarrow \frac{y_1}{y_2} = \frac{x_1}{x_2}\)
まず、密度の比 \(\frac{\rho_3}{\rho_2}\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
\frac{\rho_3}{\rho_2} &= \frac{\frac{M}{22.4}}{\frac{0.10 \times M}{4.5}} \\[2.0ex]
&= \frac{1}{22.4} \times \frac{4.5}{0.10} \\[2.0ex]
&= \frac{4.5}{2.24}
\end{aligned}
$$
次に、問(3)の結果 \(n_2 – 1 = \frac{p\lambda_0}{2L_2}\) を用いて \(n_3 – 1\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
n_3 – 1 &= \frac{p\lambda_0}{2L_2} \times \frac{4.5}{2.24}
\end{aligned}
$$
与えられた数値を代入します。
\(p = 95\), \(\lambda_0 = 0.59 \times 10^{-6}\,\text{m}\), \(L_2 = 0.20\,\text{m}\)。
$$
\begin{aligned}
n_3 – 1 &= \frac{95 \times 0.59 \times 10^{-6}}{2 \times 0.20} \times \frac{4.5}{2.24} \\[2.0ex]
&= \frac{56.05 \times 10^{-6}}{0.40} \times 2.0089\dots
\end{aligned}
$$
ここで、計算を整理します。
$$
\begin{aligned}
n_3 – 1 &= \frac{95 \times 0.59 \times 10^{-6} \times 4.5}{2 \times 0.20 \times 2.24} \\[2.0ex]
&= \frac{252.225 \times 10^{-6}}{0.896} \\[2.0ex]
&\approx 281.5 \times 10^{-6} \\[2.0ex]
&= 2.815 \times 10^{-4}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えます。
$$
\begin{aligned}
n_3 – 1 &\approx 2.8 \times 10^{-4}
\end{aligned}
$$
屈折率から1を引いた値は、気体の濃さ（密度）に比例します。
実験の状態と、求めたい標準状態（\(0^\circ\text{C}\)、1気圧）のそれぞれで気体の密度を計算し、その比率を使って屈折率を換算しました。
実験では気体が薄かったため屈折率の変化は小さいですが、標準状態では密度が高くなるため、その分だけ屈折率の変化も大きくなります。
答えは \(2.8 \times 10^{-4}\) です。
気体の屈折率は1に非常に近く、\(n-1\) は \(10^{-4}\) 程度のオーダーになることが知られています（空気で約 \(3 \times 10^{-4}\)）。この結果は物理的に妥当な値です。
思考の道筋とポイント
光路差の代わりに「位相差」を用いて干渉条件を記述します。
光の波動関数を考え、経路による位相の進みを計算し、検出器Dでの位相差が \(2\pi\) の整数倍になる条件（強め合い）を導きます。
この設問における重要なポイント
- 位相の変化: 距離 \(x\) 進むと位相は \(kx\) 進みます（波数 \(k = \frac{2\pi}{\lambda}\)）。
- 媒質中の波数: 屈折率 \(n\) の媒質中では波長が \(\lambda = \lambda_0/n\) となるため、波数は \(nk_0\) となります（\(k_0 = \frac{2\pi}{\lambda_0}\)）。
- 位相差と干渉: 位相差 \(\Delta \phi = 2m\pi\) のとき強め合います。
具体的な解説と立式
問(1)の解説
M2への往復経路における位相変化 \(\phi\) を考えます。
距離 \(L\) の往復（距離 \(2L\)）による位相変化は、
$$
\begin{aligned}
\phi &= k_0 (2L) = \frac{2\pi}{\lambda_0} (2L)
\end{aligned}
$$
M2が \(L_1\) 移動したときの位相変化の増分 \(\Delta \phi\) は、
$$
\begin{aligned}
\Delta \phi &= \frac{2\pi}{\lambda_0} (2L_1)
\end{aligned}
$$
再び極大になる条件は、位相が \(2\pi\) の整数倍（\(m\) 回転分）回ったときなので、
$$
\begin{aligned}
\frac{4\pi L_1}{\lambda_0} &= 2m\pi
\end{aligned}
$$
これを解くと、
$$
\begin{aligned}
L_1 &= \frac{m\lambda_0}{2}
\end{aligned}
$$
問(2)の解説
薄膜（厚さ \(d\)、屈折率 \(n_1\)）がある部分の往復の位相変化 \(\phi_{\text{in}}\) は、
$$
\begin{aligned}
\phi_{\text{in}} &= 2 \times (n_1 k_0 d) = 2 n_1 \frac{2\pi}{\lambda_0} d
\end{aligned}
$$
薄膜がない場合（真空）の位相変化 \(\phi_{\text{vac}}\) は、
$$
\begin{aligned}
\phi_{\text{vac}} &= 2 \times (1 \cdot k_0 d) = 2 \frac{2\pi}{\lambda_0} d
\end{aligned}
$$
位相差の変化量（光路差に相当する位相のずれ）は、
$$
\begin{aligned}
\Delta \phi &= \phi_{\text{in}} – \phi_{\text{vac}} = \frac{4\pi}{\lambda_0} (n_1 – 1)d
\end{aligned}
$$
これを光路差 \(\Delta \mathcal{L}\) に換算するには、\(\Delta \phi = k_0 \Delta \mathcal{L}\) の関係を使います。
$$
\begin{aligned}
\frac{2\pi}{\lambda_0} \Delta \mathcal{L} &= \frac{4\pi}{\lambda_0} (n_1 – 1)d
\end{aligned}
$$
よって、
$$
\begin{aligned}
\Delta \mathcal{L} &= 2(n_1 – 1)d
\end{aligned}
$$
問(3)の解説
容器A（長さ \(L_2\)）の部分での位相変化を考えます。
真空（\(n=1\)）から気体（\(n=n_2\)）に変化したときの位相差の変化 \(\Delta \phi\) は、問(2)と同様に、
$$
\begin{aligned}
\Delta \phi &= \frac{4\pi}{\lambda_0} (n_2 – 1)L_2
\end{aligned}
$$
極大が \(p\) 回観測されたということは、位相が \(2\pi\) の \(p\) 倍だけ回ったことを意味します。
$$
\begin{aligned}
\frac{4\pi}{\lambda_0} (n_2 – 1)L_2 &= 2p\pi
\end{aligned}
$$
これを \(n_2\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\frac{2(n_2 – 1)L_2}{\lambda_0} &= p \\[2.0ex]
n_2 – 1 &= \frac{p\lambda_0}{2L_2} \\[2.0ex]
n_2 &= 1 + \frac{p\lambda_0}{2L_2}
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 位相の定義: \(\phi = kx\)
- 波数: \(k = \frac{2\pi}{\lambda}\)
- 干渉条件（位相）: \(\Delta \phi = 2m\pi\)
「距離」の代わりに「波の回転角度（位相）」を使って計算しました。
波長1つ分進むと、位相は \(360^\circ\)（\(2\pi\) ラジアン）回転します。
鏡を動かしたりガスを入れたりして、位相が何回転したかを計算し、それが整数の回転数（\(m\) や \(p\)）になる条件を求めました。
やっていることは光路差の計算と同じですが、波の性質に立ち返ったより本質的な解法です。
全ての設問において、光路差を用いた解法と全く同じ結果が得られました。
【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座
最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- 光路長（光学距離）と光路差
- 核心: 幾何学的な距離 \(L\) ではなく、屈折率 \(n\) を掛けた「光路長 \(nL\)」が干渉現象を支配する。
- 理解のポイント:
- 媒質中の波長: 屈折率 \(n\) の媒質中では光の速さが \(1/n\) になり、波長も \(\lambda/n\) に縮む。
- 位相の進み: 真空中と同じ距離でも、媒質中では波の数が \(n\) 倍多く詰まっているため、位相が余分に進む。
- マイケルソン干渉計の往復構造
- 核心: 光が分割された後、鏡で反射して戻ってくるため、経路の変化は必ず「往復分（2倍）」で効いてくる。
- 理解のポイント:
- 移動距離と光路差: 鏡を \(x\) 動かすと、光路差は \(2x\) 変化する。
- 薄膜挿入: 厚さ \(d\) の薄膜を入れると、光路長は \(2(n-1)d\) 変化する。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- ファブリ・ペロー干渉計: 多重反射を利用する干渉計。基本原理は同じだが、反射回数が多いため鋭い干渉縞が得られる。
- 薄膜干渉（くさび形など）: 膜の厚さが場所によって変わる場合。\(2nd \cos \theta\) の式を使うが、垂直入射なら \(2nd\) で同じ形になる。
- 初見の問題での着眼点:
- 光の経路をなぞる: 光源から出て検出器に戻るまでの2つの経路を指でなぞり、どこが共通でどこが違うかを特定する。
- 変化する部分だけを取り出す: 全体の光路長を計算する必要はない。「鏡が動いた部分」や「気体が入った部分」の差分だけを計算すればよい。
- 屈折率の大小関係: 反射時の位相の反転（固定端反射）があるかどうかを確認する。マイケルソン干渉計では通常、両方の経路で同じ回数の反射をするか、補償板で調整されているため、位相差は光路差のみで決まることが多い。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 往復の「2倍」の忘れ:
- 誤解: 鏡を \(L\) 動かしたとき、光路差も \(L\) だと思い込んでしまう。
- 対策: 図に「行き」と「帰り」の矢印を書き込み、必ず「往復」であることを視覚的に確認する。
- 光路長の変化の計算ミス:
- 誤解: 薄膜を入れたときの変化を \(nd\) としてしまう（元の空気の分 \(d\) を引き忘れる）。
- 対策: 「変化量」を問われたら、必ず「(後の状態) – (前の状態)」という引き算の式を立てる。\(nd – 1 \cdot d = (n-1)d\) と丁寧に書く。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- 位相差を用いた解法（別解）:
- 選定理由: 光路差の概念が曖昧な場合や、反射による位相のずれが複雑な場合に、最も原理的で間違いのない方法だから。
- 適用根拠: 波動関数 \(y = A \sin(kx – \omega t)\) に基づき、経路ごとの位相の進み \(kx\) を直接計算することで、干渉条件を数学的に厳密に導出できる。
- 密度の比を用いた屈折率の換算:
- 選定理由: 状態方程式 \(PV=nRT\) を使うよりも、「密度比」に着目したほうが計算がシンプルになるため。
- 適用根拠: \(n-1\) が密度 \(\rho\) に比例するという実験事実（グラッドストーン・デールの法則）に基づいている。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- オーダー（桁数）の確認:
- 意識: 気体の屈折率は \(1\) に非常に近い（\(n-1 \approx 10^{-4}\)）。
- 実践: 計算結果が \(1.5\) や \(0.01\) のようになったら、どこかで桁を間違えている可能性が高い。\(10^{-4}\) のオーダーになっているか確認する。
- 単位の換算:
- 意識: 波長 \(\mu\text{m}\) と距離 \(\text{m}\) が混在している。
- 実践: 全て \(\text{m}\) に統一するか、指数表記（\(10^{-6}\)）を使って計算する。特に \(p\lambda\) の計算で桁ミスが起きやすいので注意。
波の本質を「なぜ？」から理解するドクター型講義
問題99 ピンホールカメラによる像のぼやけ幅 (22 名古屋工大 改)
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
- 提示する別解
- 設問(5)の別解1: 相加相乗平均を用いた解法
- 模範解答は微分を用いて最小値を求めていますが、別解では関数 \(D(d)\) の形が \(A/d + d\) であることに着目し、相加相乗平均の不等式を用いて最小値をより簡潔に導出します。
- 設問(5)の別解2: 微分を用いた体系的解法（一括解説）
- 設問(4)で誘導されている「微小変化を用いた微分の定義」に基づく解法を、より一般的な微分の計算として体系的に解説します。
- 設問(5)の別解1: 相加相乗平均を用いた解法
- 上記の別解が有益である理由
- 相加相乗平均: 物理の問題で頻出する \(y = a/x + bx\) 型の関数の最小値問題において、微分計算を回避し、瞬時に答えを出す強力なツールとなります。
- 微積分: 物理量の変化率や極値を求める際に、微積分が普遍的な道具であることを再確認し、数学と物理の結びつきを強化します。
- 結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、最終的な結論は模範解答と完全に一致します。
この問題のテーマは「ピンホールカメラの解像度と回折現象」です。幾何光学的な「光の直進性」と波動光学的な「回折による広がり」という、相反する2つの性質が競合する中で、像が最も鮮明になる（ぼやけ幅が最小になる）最適な穴の大きさを探求します。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 光の回折: 光が狭い隙間を通るとき、直進せずに背後へ回り込む現象。隙間が狭いほど回折角は大きくなります。
- 単スリットの回折条件: スリット幅 \(d\)、回折角 \(\theta\) のとき、光路差 \(\frac{d}{2} \sin \theta\) が半波長 \(\frac{\lambda}{2}\) となるときに弱め合い（暗線）が生じます。
- 幾何光学的なぼやけ: 穴の大きさ \(d\) そのものが像の大きさとして反映されます。
- 最適化問題: 2つのぼやけ要因（回折による広がり \(\propto 1/d\) と幾何学的な広がり \(\propto d\)）の和を最小にする \(d\) を求めます。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (1)では、回折によって光が広がり、初めて暗くなる角度 \(\theta_1\) を求めます。
- (2)では、回折によるスクリーン上の広がり幅のみを計算します。
- (3)では、(2)の結果にスリット幅そのものによる広がり幅を加え、全体のぼやけ幅 \(D\) を \(d\) の関数 \(D(d)\) として整理します。
- (4)(5)では、微分（または微小変化の近似）を用いて、\(D(d)\) が最小となる \(d\) を求めます。
問(1)
思考の道筋とポイント
図3および図aに着目します。
スリット（幅 \(d\)）を通った光が回折し、角度 \(\theta_1\) 方向で初めて暗くなる条件を考えます。
問題文の誘導に従い、スリットの上端Aと中心Bを通る2つの光線の干渉を考えます。
この2つの光線が互いに逆位相（光路差が半波長）であれば、打ち消し合って暗くなります。
この設問における重要なポイント
- 光路差の幾何学的導出: スリット幅 \(d\) に対し、AとBの間隔は \(d/2\) です。角度 \(\theta_1\) 方向へ進む光の光路差は \(\frac{d}{2} \sin \theta_1\) となります。
- 暗線の条件: 光路差が \(\frac{\lambda}{2}\) のとき、波の山と谷が重なり、強度が0になります。
- 近似: \(\theta_1\) は非常に小さいので、\(\sin \theta_1 \approx \theta_1\) を用います。
具体的な解説と立式
図aを参照します。
スリットの上端Aと中心Bを通る光線について考えます。
AとBの間隔は \(\frac{d}{2}\) です。
回折角 \(\theta_1\) 方向へ進むとき、Bを通る光線はAを通る光線より、幾何学的に \(\frac{d}{2} \sin \theta_1\) だけ長い距離を進みます。
この光路差が半波長 \(\frac{\lambda}{2}\) に等しいとき、2つの光は弱め合います。
$$
\begin{aligned}
\frac{d}{2} \sin \theta_1 &= \frac{\lambda}{2}
\end{aligned}
$$
ここで、\(\theta_1\) は十分に小さいので、\(\sin \theta_1 \approx \theta_1\) と近似します。
$$
\begin{aligned}
\frac{d}{2} \theta_1 &= \frac{\lambda}{2}
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 単スリットの回折条件（暗線）: \(\frac{d}{2} \sin \theta = \frac{\lambda}{2}\)
- 近似公式: \(\sin \theta \approx \theta\)
上式を \(\theta_1\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\frac{d}{2} \theta_1 &= \frac{\lambda}{2} \\[2.0ex]
d \theta_1 &= \lambda \\[2.0ex]
\theta_1 &= \frac{\lambda}{d}
\end{aligned}
$$
狭い隙間を通った光は広がります。
隙間の「上半分からの光」と「下半分からの光」が、ある角度でちょうど打ち消し合う現象が起きます。
その角度 \(\theta_1\) を計算すると、波長 \(\lambda\) を隙間の幅 \(d\) で割った値になることがわかりました。
つまり、隙間が狭いほど（\(d\) が小さいほど）、光は大きく広がります（\(\theta_1\) が大きくなる）。
答えは \(\theta_1 = \frac{\lambda}{d}\) です。
\(d\) が小さくなると \(\theta_1\) が大きくなるという回折の性質と一致しています。
問(2)
思考の道筋とポイント
図bおよび図5に着目します。
問題文の指示通り、まずは「回折による像のぼやけ幅」のみを求めます。
角度 \(\theta_1\) で広がる光が、距離 \(f\) 離れたスクリーン上でどれだけの幅になるかを幾何学的に求めます。
スリット幅 \(d\) の影響はここでは考慮しません。
この設問における重要なポイント
- 回折による広がり幅: 中心から角度 \(\theta_1\) 方向に広がるので、片側の広がりは \(f \tan \theta_1\) です。全体の広がり（ぼやけ幅）は、上側 \(\theta_1\) と下側 \(-\theta_1\) の範囲なので、\(2 \times f \tan \theta_1\) となります。
- 近似: \(\tan \theta_1 \approx \theta_1\) を用います。
具体的な解説と立式
回折によるスクリーン上の広がり幅 \(W_{\text{回折}}\) を求めます。
図bより、中心から片側への広がりは \(f \tan \theta_1\) です。
全体の広がりはその2倍なので、
$$
\begin{aligned}
W_{\text{回折}} &= 2 f \tan \theta_1
\end{aligned}
$$
ここで、\(\theta_1\) は微小なので \(\tan \theta_1 \approx \theta_1\) とし、さらに問(1)の結果 \(\theta_1 = \frac{\lambda}{d}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
W_{\text{回折}} &\approx 2 f \theta_1 \\[2.0ex]
&= 2 f \frac{\lambda}{d} \\[2.0ex]
&= \frac{2f\lambda}{d}
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 幾何学的関係: \(x = f \tan \theta\)
- 近似公式: \(\tan \theta \approx \theta\)
式変形のみです。
$$
\begin{aligned}
W_{\text{回折}} &= \frac{2f\lambda}{d}
\end{aligned}
$$
スクリーン上の像のぼやけのうち、光が波として広がる「回折」による部分だけを計算しました。
中心から上下に角度 \(\theta_1\) ずつ広がるので、スクリーン上での幅はその2倍になります。
計算の結果、このぼやけ幅は穴の大きさ \(d\) に反比例することがわかりました。つまり、穴を小さくすればするほど、回折によるぼやけはひどくなります。
答えは \(\frac{2f\lambda}{d}\) です。
\(d\) が小さいほどぼやけ幅が大きくなるという回折の性質を正しく表しています。
次元を確認すると、\(\frac{[\text{L}][\text{L}]}{[\text{L}]} = [\text{L}]\) となり、長さの次元を持っています。妥当です。
問(3)
思考の道筋とポイント
問題文の「次に、回折の影響に加えてスリット幅分のぼやけも考慮しよう」という指示に従います。
問(2)で求めた「回折によるぼやけ幅」に、「スリット幅 \(d\)」を加えたものが、全体のぼやけ幅 \(D(d)\) となります。
この設問における重要なポイント
- 全体のぼやけ幅の定義: \(D(d) = (\text{回折によるぼやけ幅}) + (\text{スリット幅})\)
- 関数の定義: \(D(d) = \frac{2f\lambda}{d} + d\)
具体的な解説と立式
問(2)の結果にスリット幅 \(d\) を加えます。
$$
\begin{aligned}
D(d) &= \frac{2f\lambda}{d} + d
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- なし
$$
\begin{aligned}
D(d) &= \frac{2f\lambda}{d} + d
\end{aligned}
$$
前の問題で求めた「回折ボケ」に、穴の大きさそのものによる「幾何学的ボケ」を足し合わせました。
これが、実際に写真に写る像のトータルのぼやけ幅になります。
答えは \(D(d) = \frac{2f\lambda}{d} + d\) です。
\(d \to 0\) で \(D \to \infty\)（回折ボケ支配）、\(d \to \infty\) で \(D \to \infty\)（幾何学的ボケ支配）となり、中間に最小値を持つことが予想されます。
問(4)
思考の道筋とポイント
\(D(d)\) の増分 \(D(d+\Delta d) – D(d)\) を計算し、近似式を用いて \(\Delta d\) の1次の項まで求めます。
これは、微分 \(D'(d)\) を定義に従って計算するプロセスの分子部分に相当します。
この設問における重要なポイント
- 関数の代入: \(D(d+\Delta d) = \frac{2f\lambda}{d+\Delta d} + (d+\Delta d)\)
- 近似式の利用: \(\frac{1}{d+\Delta d} = \frac{1}{d(1+\frac{\Delta d}{d})} = \frac{1}{d} (1+\frac{\Delta d}{d})^{-1} \approx \frac{1}{d} (1 – \frac{\Delta d}{d})\)
- ここで、近似公式 \((1+x)^{-1} \approx 1-x\) （\(|x| \ll 1\)）を利用します。
具体的な解説と立式
まず、\(D(d+\Delta d)\) を書き下します。
$$
\begin{aligned}
D(d+\Delta d) &= \frac{2f\lambda}{d+\Delta d} + (d+\Delta d)
\end{aligned}
$$
第1項を変形し、近似公式を適用します。
$$
\begin{aligned}
\frac{2f\lambda}{d+\Delta d} &= \frac{2f\lambda}{d \left( 1 + \frac{\Delta d}{d} \right)} \\[2.0ex]
&= \frac{2f\lambda}{d} \left( 1 + \frac{\Delta d}{d} \right)^{-1} \\[2.0ex]
&\approx \frac{2f\lambda}{d} \left( 1 – \frac{\Delta d}{d} \right) \\[2.0ex]
&= \frac{2f\lambda}{d} – \frac{2f\lambda}{d^2} \Delta d
\end{aligned}
$$
これを用いて、差分 \(D(d+\Delta d) – D(d)\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
D(d+\Delta d) – D(d) &\approx \left( \frac{2f\lambda}{d} – \frac{2f\lambda}{d^2} \Delta d + d + \Delta d \right) – \left( \frac{2f\lambda}{d} + d \right)
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 近似公式: \((1+x)^{-1} \approx 1-x\)
括弧を展開して整理します。
$$
\begin{aligned}
D(d+\Delta d) – D(d) &\approx \frac{2f\lambda}{d} – \frac{2f\lambda}{d^2} \Delta d + d + \Delta d – \frac{2f\lambda}{d} – d \\[2.0ex]
&= -\frac{2f\lambda}{d^2} \Delta d + \Delta d \\[2.0ex]
&= \left( 1 – \frac{2f\lambda}{d^2} \right) \Delta d
\end{aligned}
$$
穴の大きさをほんの少し（\(\Delta d\)）だけ変えたとき、ぼやけ幅がどれくらい変わるかを計算しました。
分数の計算が複雑になるので、「\(1/(1+x)\) はだいたい \(1-x\)」という便利な近似を使って、計算しやすい形に直しました。
答えは \(\left( 1 – \frac{2f\lambda}{d^2} \right) \Delta d\) です。
これは \(D'(d) \Delta d\) の形になっており、微分の定義と一致します。
係数部分の次元を確認すると、\(1\)（無次元）と \(\frac{[\text{L}][\text{L}]}{[\text{L}]^2}\)（無次元）の差なので無次元となり、全体として \(\Delta d\)（長さ）と同じ次元を持ちます。妥当です。
問(5)
思考の道筋とポイント
\(D\) を最小にする \(d\) を求めます。
問(4)の結果は、\(D(d)\) の変化量（増分）を表しています。
関数が最小値をとるとき、その変化率は0になります（極値の条件）。
つまり、問(4)の \(\Delta d\) の係数が0になる条件を求めればよいです。
この設問における重要なポイント
- 最小値の条件: 増分が0になる、すなわち \(\left( 1 – \frac{2f\lambda}{d^2} \right) = 0\) となる \(d\) で極値（最小値）をとります。
- 増減の確認:
- \(d\) が小さいとき: \(1 – \frac{2f\lambda}{d^2} < 0\) \(\Rightarrow\) \(D\) は減少。
- \(d\) が大きいとき: \(1 – \frac{2f\lambda}{d^2} > 0\) \(\Rightarrow\) \(D\) は増加。
- よって、係数が0の点で最小になります。
具体的な解説と立式
\(D(d)\) が最小値をとるとき、微小変化に対する増分は0になります。
問(4)の結果より、
$$
\begin{aligned}
1 – \frac{2f\lambda}{d^2} &= 0
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 極値の条件: \(f'(x) = 0\)
上式を \(d\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\frac{2f\lambda}{d^2} &= 1 \\[2.0ex]
d^2 &= 2f\lambda \\[2.0ex]
d &= \sqrt{2f\lambda} \quad (d>0)
\end{aligned}
$$
ぼやけ幅の変化量がゼロになる瞬間、つまり「減り続けて、増え始める折り返し地点」を探しました。
計算の結果、穴の大きさが \(\sqrt{2f\lambda}\) のときに、ぼやけが最も小さく、一番きれいな写真が撮れることがわかりました。
答えは \(d = \sqrt{2f\lambda}\) です。
波長 \(\lambda\) が短いほど、また焦点距離 \(f\) が短いほど、最適な穴のサイズは小さくなります。
例えば \(f=10\,\text{cm}\), \(\lambda=500\,\text{nm}\) とすると、\(d \approx \sqrt{2 \times 0.1 \times 5 \times 10^{-7}} = \sqrt{10^{-7}} \approx 0.3\,\text{mm}\) となり、現実的なピンホールのサイズと一致します。
思考の道筋とポイント
関数 \(D(d) = \frac{2f\lambda}{d} + d\) の形に着目します。
\(d > 0\) であり、第1項も第2項も正の値です。
積が定数になる2つの正の数の和の最小値を求める問題なので、相加相乗平均の不等式が利用できます。
この設問における重要なポイント
- 相加相乗平均の不等式: \(a > 0, b > 0\) のとき、\(a + b \ge 2\sqrt{ab}\)。等号成立は \(a = b\) のとき。
具体的な解説と立式
\(d > 0\) なので、\(\frac{2f\lambda}{d} > 0\) です。
相加相乗平均の関係より、
$$
\begin{aligned}
D(d) &= \frac{2f\lambda}{d} + d \\[2.0ex]
&\ge 2\sqrt{\frac{2f\lambda}{d} \cdot d} \\[2.0ex]
&= 2\sqrt{2f\lambda}
\end{aligned}
$$
最小値をとるのは等号が成立するときなので、
$$
\begin{aligned}
\frac{2f\lambda}{d} &= d
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 相加相乗平均の不等式
$$
\begin{aligned}
d^2 &= 2f\lambda \\[2.0ex]
d &= \sqrt{2f\lambda}
\end{aligned}
$$
「足して最小、掛けて一定」のパターンには、数学の「相加相乗平均」というテクニックが使えます。
これを使うと、微分などの面倒な計算をせずに、一発で最小値とその条件を求めることができます。
メインの解法と全く同じ結果が得られました。計算量が少なく、非常に効率的な解法です。
思考の道筋とポイント
設問(4)の誘導は、実質的に関数の微分を行っていることに他なりません。
ここでは、微分の公式を用いて \(D(d)\) を直接微分し、増減表を書いて最小値を求める一般的な手順を示します。
この設問における重要なポイント
- 微分の公式: \((x^n)’ = n x^{n-1}\)。特に \((1/x)’ = -1/x^2\)。
- 極値の判定: 導関数 \(D'(d)\) の符号の変化を調べます。
具体的な解説と立式
関数 \(D(d) = 2f\lambda d^{-1} + d\) を \(d\) で微分します。
$$
\begin{aligned}
D'(d) &= 2f\lambda (-1) d^{-2} + 1 \\[2.0ex]
&= -\frac{2f\lambda}{d^2} + 1
\end{aligned}
$$
\(D'(d) = 0\) となる \(d\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
1 – \frac{2f\lambda}{d^2} &= 0
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 微分の公式
$$
\begin{aligned}
d^2 &= 2f\lambda \\[2.0ex]
d &= \sqrt{2f\lambda}
\end{aligned}
$$
増減表は以下のようになります。
\(d < \sqrt{2f\lambda}\) のとき \(D'(d) < 0\) （減少） \(d > \sqrt{2f\lambda}\) のとき \(D'(d) > 0\) （増加）
よって、\(d = \sqrt{2f\lambda}\) で最小値をとります。
関数のグラフの傾きを求める計算（微分）を行いました。
傾きがマイナスからプラスに変わる底の部分（傾きゼロの点）が、ぼやけ幅が最小になるポイントです。
誘導に従った場合と同じ結果が得られました。物理現象の最適化問題において、微分は非常に強力なツールです。
【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座
最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- 回折と幾何光学のトレードオフ
- 核心: 穴を小さくすれば幾何学的なボケは減るが、波動性による回折ボケが増える。逆に穴を大きくすれば回折ボケは減るが、幾何学的なボケが増える。この「あちらを立てればこちらが立たず」の関係（トレードオフ）が物理現象の本質です。
- 理解のポイント:
- 回折の広がり: \(\theta \approx \lambda/d\) （\(d\) に反比例）
- 幾何学的広がり: \(d\) （\(d\) に比例）
- 最適解: 両者の寄与が同程度になるとき（\(d \approx \lambda/d \Rightarrow d \approx \sqrt{\lambda}\)）に最小値をとる。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- 光学顕微鏡の分解能: レンズの開口数と回折限界の関係。本問と同様に、回折が解像度の限界を決めます。
- 不確定性原理: 位置を正確に決めようとすると（\(\Delta x\) 小）、運動量の不確定さが増す（\(\Delta p\) 大）。\(d\) と \(\theta\) の関係は、量子力学の不確定性原理と数理的に同等です。
- 初見の問題での着眼点:
- 相反する2つの要因を探す: 「一方を良くすると他方が悪くなる」要素を見つけ出し、和の形 \(y = A/x + Bx\) で表せないか考える。
- 最小値問題への帰着: 式が立てば、あとは相加相乗平均か微分を使って最小値を求めるだけの数学の問題になります。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 近似式の適用ミス:
- 誤解: \(\frac{1}{d+\Delta d}\) をどう展開していいかわからず、計算が止まってしまう。
- 対策: \((1+x)^n \approx 1+nx\) は物理近似の王様です。特に \(n=-1\) のケース（\(\frac{1}{1+x} \approx 1-x\)）は頻出なので、息をするように使えるようにしましょう。
- 回折角の定義の勘違い:
- 誤解: 暗線条件 \(\frac{d}{2}\sin\theta = \frac{\lambda}{2}\) の \(\frac{d}{2}\) を忘れて \(d\sin\theta = \lambda\) としてしまう。
- 対策: 単スリットの回折では、スリットを「半分」に分割して干渉を考えることを図を描いて確認しましょう。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- 相加相乗平均（別解）:
- 選定理由: \(y = A/x + Bx\) の形を見た瞬間、微分よりも圧倒的に速く最小値を求められるため。
- 適用根拠: \(d > 0\) であり、各項が正であるため、不等式の適用条件を満たす。
- 微分の定義による増分計算（設問4）:
- 選定理由: 問題文の誘導に従うため。また、物理現象の変化率を捉える最も基礎的な手法であるため。
- 適用根拠: \(D(d)\) が滑らかな関数であり、微小変化に対して線形近似が可能であるため。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 次元解析（ディメンションチェック）:
- 意識: 答えの次元が合っているか常に確認する。
- 実践: \(d = \sqrt{2f\lambda}\) なら、\(\sqrt{[\text{L}][\text{L}]} = [\text{L}]\) で長さの次元になる。もし \(d = 2f\lambda\) なら \([\text{L}]^2\)（面積）になり間違いだと気づける。
- 極限の振る舞いチェック:
- 意識: 変数を極端に大きくしたり小さくしたりして、物理的直感と合うか確認する。
- 実践: \(d \to 0\) で \(D \to \infty\)（回折でボケボケ）、\(d \to \infty\) で \(D \to \infty\)（穴がデカすぎてボケボケ）。式がこの挙動を示しているか確認する。
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