「重要問題集」徹底解説（126〜130問）：未来の得点力へ！完全マスター講座

問題126 (法政大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、無限に長い直線電流\(I_1\)が、その近くに置かれた正方形のループ電流\(I_2\)に及ぼす力を分析する問題です。ループの各辺が受ける力を個別に、あるいは合力として考察し、最終的にループ全体が受ける力の合力を求めます。力の計算には積分的な考え方が含まれており、物理法則の深い理解が求められます。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「直線電流とループ電流の相互作用」です。ループの各辺が直線電流から受ける力を計算し、それらをベクトル的に合成することが中心となります。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

1. 無限長直線電流がつくる磁場: \(H = \displaystyle\frac{I}{2\pi r}\) の公式を使い、場所によって強さが変わる磁場を計算します。
2. 電流が磁場から受ける力: \(F=IBl\) の公式と、磁束密度と磁場の関係 \(B=\mu_0 H\) を用いて、各辺が受ける力を計算します。
3. 力のベクトル和: ループ全体が受ける力は、4つの辺がそれぞれ受ける力のベクトル和です。対称性から打ち消しあう成分を見抜くことが重要です。
4. 積分: 導線BCやDAのように、場所によって受ける力の大きさが変わる場合、本来は微小部分が受ける力を積分して全体の力を求めます。この問題では、その考え方の一部が問われます。

基本的なアプローチは以下の通りです。

1. まず、直線電流\(I_1\)に平行な辺ABとCDが受ける力を計算します。これらは辺全体で受ける磁場が一定なので、計算は単純です（ア、イ、ウ、エ）。
2. 次に、直線電流\(I_1\)に垂直な辺BCとDAが受ける力を考えます。これらの辺は場所によって\(I_1\)からの距離が変わり、受ける磁場の強さも向きも変わるため、微小部分に分けて考えます（オ、カ）。
3. 最後に、4辺が受ける力を全てベクトル的に足し合わせ、ループ全体の合力を求めます。対称性から、BCとDAが受ける力は互いに打ち消しあうことを見抜きます（キ）。

ア、イ、ウ

思考の道筋とポイント
導線ABが受ける力を求める問題です。(1)と同様に、まず導線ABの位置に導線Lの電流\(I_1\)がどのような磁場をつくっているかを計算し、その磁場からABが受ける力を求めます。
この設問における重要なポイント

• 無限長直線電流がつくる磁場の公式: \(H = \displaystyle\frac{I}{2\pi r}\)
• 磁場と磁束密度の関係: \(B = \mu_0 H\)
• 電流が磁場から受ける力の公式: \(F = IBl\)
• 向きを決定する法則: 右ねじの法則（磁場の向き）、フレミングの左手の法則（力の向き）

具体的な解説と立式

ア: 導線Lの電流\(I_1\)が、距離\(r\)離れた導線ABの位置につくる磁場の強さ\(H_{\text{AB}}\)は、
$$ H_{\text{AB}} = \frac{I_1}{2\pi r} $$

イ: この磁場による磁束密度は \(B_{\text{AB}} = \mu_0 H_{\text{AB}}\) です。導線ABの長さは\(2r\)で、電流\(I_2\)が流れているので、受ける力の大きさ\(F_{\text{AB}}\)は、
$$ F_{\text{AB}} = I_2 B_{\text{AB}} (2r) $$

ウ: 力の向きを考えます。

• \(I_1\)がABの位置につくる磁場の向き: 右ねじの法則より、紙面の奥から手前に向かう向き。
• 導線ABを流れる電流\(I_2\)の向き: 図の左向き（-x方向）。

フレミングの左手の法則を適用すると、力の向きがわかります。

ア:
$$ H_{\text{AB}} = \frac{I_1}{2\pi r} $$

イ:
$$
\begin{aligned}
F_{\text{AB}} &= I_2 B_{\text{AB}} (2r) \\[2.0ex]
&= I_2 (\mu_0 H_{\text{AB}}) (2r) \\[2.0ex]
&= I_2 \mu_0 \left( \frac{I_1}{2\pi r} \right) (2r) \\[2.0ex]
&= \frac{\mu_0 I_1 I_2}{\pi}
\end{aligned}
$$

ウ: フレミングの左手の法則より、

• 電流（中指）: 左向き
• 磁場（人差し指）: 紙面の奥から手前向き

とすると、力（親指）は導線Lに近づく向き、つまり図の下向き（-y方向）を向きます。これは図2の③に相当します。

まず、導線ABがある場所に、直線電流\(I_1\)がどれくらいの強さの磁場をつくっているかを公式で計算します（ア）。次に、その磁場の中で電流\(I_2\)を流している導線AB（長さ\(2r\)）が、どれくらいの大きさの力を受けるかを力の公式で計算します（イ）。最後に、フレミングの左手の法則を使って、その力の向きを調べます（ウ）。

ア: \(\displaystyle\frac{I_1}{2\pi r}\)
イ: \(\displaystyle\frac{\mu_0 I_1 I_2}{\pi}\)
ウ: ③
導線Lと導線ABには平行で同じ向きの電流が流れていると見なせる部分があり、引力が働くはずです。計算結果の向きはLに近づく向きであり、引力と一致するため妥当です。

エ

思考の道筋とポイント
導線ABと導線CDが受ける力の合力を求めます。導線CDが受ける力\(F_{\text{CD}}\)の大きさと向きを、ABの場合と同様に計算し、\(F_{\text{AB}}\)とベクトル的に合成します。
この設問における重要なポイント

• 力のベクトル和: 2つの力が逆向きであれば、合力の大きさは力の大きさの差となる。
• 距離の変化: 導線CDは導線Lからの距離がABと異なるため、受ける磁場の強さも力の大きさも異なります。

具体的な解説と立式

Step 1: 導線CDが受ける力\(F_{\text{CD}}\)を求める。
導線CDは、導線Lから \(r+2r=3r\) の距離にあります。
この位置での磁場の強さ\(H_{\text{CD}}\)は、
$$ H_{\text{CD}} = \frac{I_1}{2\pi(3r)} = \frac{1}{3} \left( \frac{I_1}{2\pi r} \right) = \frac{1}{3} H_{\text{AB}} $$
したがって、導線CDが受ける力の大きさ\(F_{\text{CD}}\)は、
$$ F_{\text{CD}} = I_2 (\mu_0 H_{\text{CD}}) (2r) = I_2 \mu_0 \left( \frac{1}{3} H_{\text{AB}} \right) (2r) = \frac{1}{3} F_{\text{AB}} $$
力の向きは、フレミングの左手の法則で考えます。

• 電流\(I_2\)の向き: 図の右向き（+x方向）。
• 磁場の向き: 紙面の奥から手前向き。

よって、力は導線Lから遠ざかる向き、つまり図の上向き（+y方向）となります。

Step 2: 合力を求める。
力\(F_{\text{AB}}\)は下向き（大きさ\(F_{\text{AB}}\)）、力\(F_{\text{CD}}\)は上向き（大きさ\(\frac{1}{3}F_{\text{AB}}\)）です。
2つの力は逆向きなので、合力の大きさ\(F_{\text{AC}}\)は、
$$ F_{\text{AC}} = F_{\text{AB}} – F_{\text{CD}} = F_{\text{AB}} – \frac{1}{3}F_{\text{AB}} $$

$$
\begin{aligned}
F_{\text{AC}} &= F_{\text{AB}} – \frac{1}{3}F_{\text{AB}} \\[2.0ex]
&= \frac{2}{3}F_{\text{AB}}
\end{aligned}
$$
したがって、合力の大きさは\(F_{\text{AB}}\)の\(\displaystyle\frac{2}{3}\)倍です。

導線CDが受ける力も、ABと同じ手順で計算します。ただし、Lからの距離が3倍になっているので、磁場は1/3になり、力も1/3になります。ABが受ける力は「下向き」、CDが受ける力は「上向き」なので、綱引きのように逆向きの力を合わせると、その差が合力となります。

エ: \(\displaystyle\frac{2}{3}\)
導線Lに近いABの方が強い力を受けるため、合力はABが引かれる向き（下向き）になるはずです。計算結果も正の値であり、妥当です。

オ、カ

思考の道筋とポイント
導線BCのように、直線電流Lに対して垂直な導線を考えます。この導線は、場所によってLからの距離\(x\)が異なるため、受ける磁場の強さと向きが連続的に変化します。そのため、まず微小部分\(\Delta x\)を取り出して、そこが受ける力\(\Delta F_{\text{BC}}\)を考えます。
この設問における重要なポイント

• 微小部分への分割: 連続的に変化する量を扱う際の基本的な考え方。
• 力の成分: 磁場と電流が直交していない場合、力の向きは両者に垂直な方向になる。

具体的な解説と立式

オ: 導線BC上で、Lから距離\(x\)の位置にある長さ\(\Delta x\)の微小部分を考えます。
この位置での磁場の強さ\(H_x\)は、
$$ H_x = \frac{I_1}{2\pi x} $$
この微小部分が受ける力の大きさ\(\Delta F_{\text{BC}}\)は、
$$ \Delta F_{\text{BC}} = I_2 (\mu_0 H_x) \Delta x = I_2 \mu_0 \left( \frac{I_1}{2\pi x} \right) \Delta x $$
この式を、\(F_{\text{AB}} = \displaystyle\frac{\mu_0 I_1 I_2}{\pi}\) を使って表し、倍率を求めます。
$$ \Delta F_{\text{BC}} = \left( \frac{\mu_0 I_1 I_2}{\pi} \right) \frac{\Delta x}{2x} = F_{\text{AB}} \frac{\Delta x}{2x} $$

カ: 力の向きをフレミングの左手の法則で考えます。

• 電流\(I_2\)の向き: 図の上向き（+y方向）。
• 磁場の向き: 紙面の奥から手前向き。

よって、力\(\Delta F_{\text{BC}}\)の向きは、図の右向き（+x方向）となります。これは図2の①に相当します。

オ:
$$
\begin{aligned}
\Delta F_{\text{BC}} &= I_2 \mu_0 \frac{I_1}{2\pi x} \Delta x \\[2.0ex]
&= \frac{\mu_0 I_1 I_2}{\pi} \cdot \frac{\Delta x}{2x} \\[2.0ex]
&= F_{\text{AB}} \cdot \frac{\Delta x}{2x}
\end{aligned}
$$
したがって、\(\Delta F_{\text{BC}}\)は\(F_{\text{AB}}\)の\(\displaystyle\frac{\Delta x}{2x}\)倍です。

導線BCは、場所によってLからの距離が違うので、一括で力を計算できません。そこで、BCを細かく切り刻んだ「微小部分\(\Delta x\)」に注目します。この微小部分が受ける力の大きさを計算し、基準となる力\(F_{\text{AB}}\)の何倍になっているかを式変形して求めます（オ）。力の向きは、これまで通りフレミングの左手の法則で調べます（カ）。

オ: \(\displaystyle\frac{\Delta x}{2x}\)
カ: ①
導線BC全体が受ける力は、この微小な力を\(x=r\)から\(x=3r\)まで積分することで求められますが、この問題ではそこまでは問われていません。

キ

思考の道筋とポイント
ループABCD全体が受ける力の合力を求めます。これは、4つの辺AB, BC, CD, DAがそれぞれ受ける力のベクトル和です。
この設問における重要なポイント

• 対称性: 導線BCと導線DAは、直線電流Lに対して対称的な位置関係にあります。
• 力の打ち消し: 対称性から、BCが受ける力とDAが受ける力は、大きさが等しく向きが逆になり、互いに打ち消しあうことを見抜くことが重要です。

具体的な解説と立式

Step 1: 導線BCとDAが受ける力を比較する。
導線DAについても、BCと同様に微小部分に分けて力を考えることができます。
BC上の点(x, y)とDA上の点(x, -y)を比較すると、

• Lからの距離はどちらも同じ\(x\)。
• 磁場の強さ、向きはどちらも同じ。
• 電流の向きは、BCでは上向き（+y方向）、DAでは下向き（-y方向）で逆。

フレミングの左手の法則を適用すると、BC上の微小部分が受ける力は右向き（+x方向）、DA上の対応する微小部分が受ける力は左向き（-x方向）となります。
これを導線全体で合計（積分）すると、導線BC全体が受ける力と導線DA全体が受ける力は、大きさが等しく向きが真逆になります。
したがって、BCとDAが受ける力の合力は0です。

Step 2: ループ全体の合力を求める。
ループ全体の合力は、4辺が受ける力のベクトル和です。
$$ \vec{F}_{\text{total}} = \vec{F}_{\text{AB}} + \vec{F}_{\text{BC}} + \vec{F}_{\text{CD}} + \vec{F}_{\text{DA}} $$
ここで、\(\vec{F}_{\text{BC}} + \vec{F}_{\text{DA}} = 0\) なので、
$$ \vec{F}_{\text{total}} = \vec{F}_{\text{AB}} + \vec{F}_{\text{CD}} $$
この合力の大きさは、設問「エ」で既に計算済みです。
$$ F_{\text{total}} = F_{\text{AB}} – F_{\text{CD}} = \frac{2}{3}F_{\text{AB}} $$

上記の考察により、ループ全体が受ける力の合力の大きさは、設問「エ」で求めたABとCDの合力の大きさに等しくなります。
$$ F_{\text{total}} = \frac{2}{3}F_{\text{AB}} $$
したがって、合力の大きさは\(F_{\text{AB}}\)の\(\displaystyle\frac{2}{3}\)倍です。

ループ全体が受ける力を考えます。辺BCが受ける力（右向き）と辺DAが受ける力（左向き）は、形が対称的なので、きれいに打ち消しあって合計0になります。したがって、ループ全体が受ける力は、結局、辺ABが受ける力（下向き）と辺CDが受ける力（上向き）の合計だけを考えればよいことになります。この計算は「エ」で既に行っており、結果は\(F_{\text{AB}}\)の2/3倍でした。

キ: \(\displaystyle\frac{2}{3}\)
BCとDAの力が打ち消しあうという対称性からの考察は、この種の問題で頻出する重要なテクニックです。これにより、複雑な積分計算を回避して結論に至ることができます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• アンペールの法則（直線電流がつくる磁場）:
  • 核心: 無限長直線電流\(I_1\)がつくる磁場が、距離に反比例して \(H = \displaystyle\frac{I_1}{2\pi x}\) と変化すること。これが全ての力の計算の根源です。ループの各点が異なる強さの磁場に置かれていることが、この問題の複雑さの源泉です。
  • 理解のポイント: 磁場が一様でないため、力を受ける導線の場所によって力の大きさが変わる、という点をしっかり認識することが第一歩です。
• 電流が磁場から受ける力（\(F=IBl\)）:
  • 核心: 磁場\(B\)の中で電流\(I_2\)が流れる導線が力を受ける、という基本法則。この問題では、ループの各辺について、電流の向きと磁場の向きから力の大きさと向きを決定するために使われます。
  • 理解のポイント: \(B\)は\(I_1\)がつくり、\(I\)はループを流れる\(I_2\)であるという、作用・反作用の関係とは異なる「磁場を介した相互作用」の構造を理解することが重要です。
• ベクトル和と対称性:
  • 核心: ループ全体が受ける力は、4つの辺が受ける力の「ベクトル和」であるということ。特に（キ）では、辺BCとDAが受ける力が対称性から互いに打ち消しあうことを見抜くのが最大のポイントです。
  • 理解のポイント: 複雑な計算に見えても、対称性を見つけることで計算を大幅に簡略化できる場合があります。物理の問題では、図形の対称性に注目する癖をつけることが有効です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ループを動かす問題: この問題の配置で、ループを動かしたときに発生する誘導起電力を求める問題。ループを貫く磁束の変化率（\(\Phi = \int B dS\), \(V = -\frac{d\Phi}{dt}\)）を計算する必要があり、積分計算が必須となります。
  • ループが回転する問題: 直線電流のつくる磁場の中で、ループが軸周りに回転するときのトルク（力のモーメント）を求める問題。各辺が受ける力の大きさと作用点を考え、モーメントを計算する必要があります。
  • 異なる形状のループ: ループが長方形や三角形の場合でも、各辺が受ける力をベクトル的に合成するという基本方針は同じです。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 磁場の一様性を確認する: まず、力を受ける導線が置かれている場所の磁場が、一様か非一様かを確認します。非一様（場所によって強さや向きが変わる）であれば、積分的な考え方が必要になります。
  2. 対称性を探す: 図形や電流の配置に対称性がないかを探します。対称性があれば、力の成分が打ち消しあったり、計算が簡略化されたりすることが多いです。
  3. 座標軸を設定し、ベクトルで考える: 力はベクトル量なので、座標軸を設定し、各力のx成分、y成分を計算して最後に合成する、というアプローチが確実です。この問題では、x方向の力（BCとDA）とy方向の力（ABとCD）に分けて考えられました。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 非一様な磁場での力の計算ミス:
  • 誤解: 辺BCが受ける力を計算する際に、中心点の磁場や平均の磁場を使って安易に \(F=IBl\) を適用してしまう。
  • 対策: 磁場が非一様な場合、力も場所によって変わるため、原則として積分が必要であると認識すること。（オ）のように微小部分で考えるのが正しいアプローチです。
• 力の向きの判断ミス:
  • 誤解: フレミングの左手の法則を適用する際に、電流や磁場の向きを間違える。特に、磁場の向きが紙面に垂直な場合に混乱しやすい。
  • 対策: 図に「電流」「磁場」「力」のベクトルを、それぞれ異なる種類の矢印（実線、破線など）で書き込み、指の向きと一つ一つ対応させながら確認する。焦らず、ゆっくり適用することが重要です。
• 合力の計算での単純な足し算:
  • 誤解: 各辺が受ける力の大きさを計算した後、向きを考慮せずに単純に足してしまう。
  • 対策: 力はベクトルであることを常に意識する。各力の向きを図に矢印で描き込み、それを見ながら「同じ向きなら足し算、逆向きなら引き算、斜めなら成分分解」というベクトル演算の基本に忠実に従う。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 磁力線の密度で磁場の強弱をイメージ: 直線電流Lの周りに、Lに近いほど密に、遠いほど疎になるような同心円状の磁力線を描くと、「ABは強い磁場、CDは弱い磁場、BCやDAは場所によって強さが変わる磁場」に置かれていることが視覚的に理解できます。
  • 力のベクトル図: （キ）を考える際に、ループの図とは別に、力のベクトルだけを抜き出した図（原点から出る4本の力ベクトル）を描くと、ベクトル和の計算が見やすくなります。BCとDAの力がx軸上で対称、ABとCDの力がy軸上で非対称であることが一目瞭然になります。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 座標軸の活用: 問題で与えられた座標軸を有効に使い、力の向きを「+x方向」「-y方向」のように成分で表現すると、合成の際に混乱が少なくなります。
  • 記号の統一: 導線ABが受ける力を\(F_{\text{AB}}\)、その位置での磁場を\(H_{\text{AB}}\)のように、添字を使ってどの部分に関する量なのかを明確に区別して記述すると、思考が整理されます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(H = \displaystyle\frac{I}{2\pi r}\)（直線電流の磁場）:
  • 選定理由: 問題の力の源泉である、直線電流\(I_1\)がつくる磁場を計算するために必須の公式。
  • 適用根拠: アンペールの法則から導かれる、この状況設定における最も基本的な公式です。
• \(F = IBl\)（電流が受ける力）:
  • 選定理由: 磁場の中で電流が受ける「力」の大きさを問われているため。
  • 適用根拠: 磁場が一様で、電流と磁場が直交する場合の力の公式。辺ABとCDでは磁場が一様なため直接使えます。辺BCとDAでは、微小部分\(\Delta x\)では磁場が一様とみなせるため、\(\Delta F = I_2 B_x \Delta x\) の形で適用します。
• 対称性の利用（積分計算の回避）:
  • 選定理由: （キ）で、辺BCとDAが受ける力を真面目に積分計算するのは大変なため。
  • 適用根拠: 図形の対称性と物理法則の対称性から、BCとDAが受ける力は大きさが等しく逆向きになることが明らかです。これにより、複雑な計算をせずに合力が0になると結論できます。試験では、このような計算回避のテクニックが時間短縮に繋がります。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. ア〜ウ (辺ABの力):
   • 戦略: 基本公式を順に適用。
   • フロー: ①LがABの位置につくる磁場\(H_{\text{AB}}\)を計算。②\(B_{\text{AB}}=\mu_0 H_{\text{AB}}\)で磁束密度に。③\(F_{\text{AB}}=I_2 B_{\text{AB}} (2r)\)で力を計算。④フレミングの法則で向きを決定。
2. エ (ABとCDの合力):
   • 戦略: CDの力を計算し、ABの力とベクトル的に合成。
   • フロー: ①LがCDの位置につくる磁場\(H_{\text{CD}}\)と力\(F_{\text{CD}}\)を計算。②\(F_{\text{CD}}\)と\(F_{\text{AB}}\)の向きが逆であることを確認。③合力 = \(F_{\text{AB}} – F_{\text{CD}}\)。④\(F_{\text{AB}}\)との比を求める。
3. オ, カ (辺BCの微小部分の力):
   • 戦略: 任意の位置xにある微小部分\(\Delta x\)に注目して力を計算。
   • フロー: ①距離xでの磁場\(H_x\)を計算。②微小な力\(\Delta F_{\text{BC}} = I_2 (\mu_0 H_x) \Delta x\)を立式。③\(F_{\text{AB}}\)で割って倍率を求める。④フレミングの法則で向きを決定。
4. キ (全体の合力):
   • 戦略: 対称性を利用して、計算を簡略化する。
   • フロー: ①辺BCとDAが受ける力は、対称性から大きさが等しく逆向きなので、合力は0になると判断。②したがって、全体の合力はABとCDの合力に等しいと結論。③「エ」の結果をそのまま引用する。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 基準を明確にする: （エ, オ, キ）のように「\(F_{\text{AB}}\)の何倍か」を問う問題では、基準となる\(F_{\text{AB}}\)の式（\(\frac{\mu_0 I_1 I_2}{\pi}\)）を最初に明確に書き出しておき、他の力の式を計算するたびに、この基準の形でくくり出せないか意識すると、式変形がスムーズに進みます。
• 文字の整理: \(\mu_0, \pi, I_1, I_2, r\)など多くの文字が登場します。計算過程で書き間違えたり、消し忘れたりしないよう、注意深く式を扱いましょう。
• 検算: 平行な電流（ABとL）は引力、反平行な電流（CDとL）は斥力、という基本的な性質と、計算結果（力の向き）が一致しているかを確認するだけでも、単純なミスを発見できます。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • （エ, キ）合力の向き: 導線Lに近い辺ABが受ける引力は、遠い辺CDが受ける斥力よりも強いはずです（磁場は距離に反比例するため）。したがって、ループ全体としては、Lに引き寄せられる向きの力が残るはずです。計算結果（合力は\(F_{\text{AB}}\)と同じ向き）と一致しており、妥当です。
  • （キ）BCとDAの力の相殺: BC上の各部分が受ける力（右向き）と、DA上の対応する部分が受ける力（左向き）は、Lからの距離が同じなので、磁場の強さも同じです。したがって、力の大きさも等しくなり、向きが逆なので打ち消しあう、という論理は物理的に完全に正しいです。
• もし電流の向きが逆だったら？:
  • もしループ電流\(I_2\)の向きが逆（A→D→C→B→A）だったらどうなるか考えてみましょう。ABは斥力、CDは引力を受け、BCは左向き、DAは右向きの力を受けます。この場合もBCとDAの力は相殺し、全体の合力は斥力（上向き）で、大きさは同じく\(F_{\text{AB}}\)の\(\frac{2}{3}\)倍になります。このように、条件を変えて考察することで、法則の理解が深まります。

問題127 (群馬大 改)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、一様な磁場中に入射した荷電粒子の運動を扱う、電磁気学の典型的な問題です。初速度の向きによって、運動が等速円運動になる場合と、らせん運動になる場合の両方を考察します。ローレンツ力を向心力とする運動方程式の立式と、速度の成分分解が鍵となります。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「磁場中の荷電粒子の運動」です。ローレンツ力の性質を正しく理解し、運動を記述することが中心となります。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

1. ローレンツ力: 荷電粒子が磁場から受ける力。力の大きさは \(f=qvB\sin\phi\)（\(\phi\)は速度\(\vec{v}\)と磁場\(\vec{B}\)のなす角）、向きはフレミングの左手の法則で決まります。ローレンツ力は常に速度と垂直なため、仕事をせず、粒子の運動エネルギー（速さ）を変えません。
2. 円運動の運動方程式: 磁場に垂直に入射した荷電粒子は、ローレンツ力を向心力として等速円運動をします。運動方程式は \(m\displaystyle\frac{v^2}{r} = f\) となります。
3. 運動の分解: 速度ベクトルが磁場に対して斜めの場合、運動を「磁場に平行な成分」と「磁場に垂直な成分」に分解して考えます。平行成分は力を受けず等速直線運動を、垂直成分は等速円運動をします。
4. らせん運動: 上記の等速直線運動と等速円運動が合成されると、粒子は「らせん運動」をします。

基本的なアプローチは以下の通りです。

1. まず、ローレンツ力の公式とフレミングの左手の法則を適用し、力の大きさと向きを求めます（問1）。
2. 力の向きから円運動の中心がどの方向にあるかを考え、運動の軌跡を図示します（問2）。
3. 円運動の運動方程式を立て、半径と周期を求めます（問3）。
4. 速度を磁場に平行・垂直な成分に分解し、それぞれの方向でどのような運動をするかを考えます（問4）。
5. らせん運動の1周期の時間（円運動の周期）と、その間に磁場平行方向に進む距離（ピッチ）を計算します（問5）。

問(1)

思考の道筋とポイント
荷電粒子が磁場から受ける力、すなわちローレンツ力の大きさと向きを求める基本的な問題です。公式とフレミングの左手の法則を正しく適用します。
この設問における重要なポイント

• ローレンツ力の公式: \(f=qvB\)。この問題では、速度\(\vec{v}\)（x軸向き）と磁場\(\vec{B}\)（y軸向き）が直交しているので、\(\sin 90^\circ = 1\)です。
• フレミングの左手の法則: 力の向きを決定します。正電荷（\(Q>0\)）なので、電流の向きは速度の向きと同じと考えてよいです。

具体的な解説と立式
力の大きさ\(f\)は、ローレンツ力の公式より、
$$ f = QvB $$
力の向きは、フレミングの左手の法則を適用します。

• 電流（中指）の向き: 速度の向きなので、x軸の正の向き。
• 磁場（人差し指）の向き: y軸の正の向き。
• 力（親指）の向き: z軸の正の向き（紙面の裏から表へ向かう向き）。

立式がそのまま結論となります。
大きさ: \(f = QvB\)
向き: z軸の正の向き

磁場の中で動く荷電粒子が受ける「ローレンツ力」の大きさと向きを答える問題です。大きさは公式 \(f=QvB\) に当てはめるだけです。向きは、フレミングの左手の法則を使って、「電流（速度）」「磁場」「力」の3つの向きの関係から求めます。

大きさは \(QvB\)、向きはz軸の正の向き。物理法則を正しく適用した結果であり、妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
(1)で求めた力の向きを手がかりに、円運動の軌跡を考えます。力は常に運動の中心を向く（向心力）という性質を利用します。
この設問における重要なポイント

• 向心力の向き: 円運動では、力は常に円の中心を向きます。
• ローレンツ力の性質: ローレンツ力は常に速度ベクトルに垂直です。
• 座標系の見方: 各図がどの方向から見た図であるかを正しく理解することが重要です。

具体的な解説と立式
粒子は原点Oでx軸正の向きに打ち出され、直後にz軸正の向きに力を受けます。
円運動の向心力は常に円の中心を向くので、円の中心はz軸の正の領域にあることがわかります。
運動はxz平面内で起こります（速度がx成分、力がz成分を持つため）。
したがって、軌跡はxz平面内での円運動となり、その中心はz軸の正の側にあります。
これを満たす図は④です。

• 図①, ②: yz平面またはxy平面での運動を描いており、不適切。
• 図③: y軸が紙面に垂直な図で、xz平面内の運動を表しています。しかし、原点Oでx軸正の向きに進む粒子が受ける力はz軸正の向きなので、円の中心はz軸の正の側にあるはずです。図③は中心がz軸の負の側にあるため不適切。
• 図④: y軸が紙面に垂直な図で、xz平面内の運動を表しています。原点Oでx軸正の向きに進む粒子が、z軸正の向きに力を受け、中心がz軸上にある円軌道を描いており、適切です。

上記の考察により、適切な図は④であると判断できます。

粒子はx軸方向に進み始めた瞬間、z軸方向に「蹴られ」ます。この「蹴る力」が常に行く手の内側（円の中心）に向かって働き続けることで、粒子はぐるぐると円を描きます。最初にz軸のプラス方向に蹴られたので、円の中心はz軸のプラス側にあるはずです。この条件に合う図を選びます。

軌跡は④です。力の向きと円運動の性質から、論理的に正しい選択です。

問(3)

思考の道筋とポイント
等速円運動の運動方程式を立てて、半径\(r\)と周期\(T\)を求めます。ローレンツ力が向心力の役割を果たしていることがポイントです。
この設問における重要なポイント

• 円運動の運動方程式: \(m\displaystyle\frac{v^2}{r} = (\text{向心力})\)
• 周期の定義: \(T = \displaystyle\frac{(\text{円周の長さ})}{(\text{速さ})} = \frac{2\pi r}{v}\)

具体的な解説と立式
荷電粒子は、速さ\(v\)で半径\(r\)の等速円運動をします。向心力は(1)で求めたローレンツ力\(f=QvB\)です。
運動方程式は、
$$ m\frac{v^2}{r} = QvB $$
この式を\(r\)について解くことで、半径が求まります。
周期\(T\)は、求めた半径\(r\)を使って、
$$ T = \frac{2\pi r}{v} $$
の式から計算します。

半径\(r\)の計算:
$$
\begin{aligned}
m\frac{v^2}{r} &= QvB \\[2.0ex]
\frac{mv}{r} &= QB \\[2.0ex]
r &= \frac{mv}{QB}
\end{aligned}
$$
周期\(T\)の計算:
$$
\begin{aligned}
T &= \frac{2\pi r}{v} \\[2.0ex]
&= \frac{2\pi}{v} \left( \frac{mv}{QB} \right) \\[2.0ex]
&= \frac{2\pi m}{QB}
\end{aligned}
$$

円運動を続けるためには、外に飛び出そうとする勢い（慣性）と、中心に引っ張る力（向心力）が釣り合っている必要があります。この「力のつりあい」の式（運動方程式）を立てます。この式を解くと、円の半径が計算できます。周期は、その半径の円をぐるっと一周するのにかかる時間のことなので、「円周の長さ ÷ 速さ」で計算できます。

半径 \(r = \displaystyle\frac{mv}{QB}\)、周期 \(T = \displaystyle\frac{2\pi m}{QB}\)。
周期\(T\)が速さ\(v\)によらないという点は、磁場中での円運動の重要な特徴です。速い粒子ほど大きな円を描く（\(r\)は\(v\)に比例）ため、一周にかかる時間は同じになる、という物理的意味とも一致しており、妥当な結果です。

問(4)

思考の道筋とポイント
速度が磁場に対して斜め向きの場合、運動を「磁場に平行な成分」と「磁場に垂直な成分」に分解して考えるのが定石です。それぞれの成分がどのような運動をするかを答えます。
この設問における重要なポイント

• 運動の分解: 複雑な運動を、単純な運動の合成として捉える。
• ローレンツ力の性質: 磁場に平行な速度成分はローレンツ力に寄与しない（力を受けない）。

具体的な解説と立式
初速度\(\vec{v’}\)を、磁場\(\vec{B}\)（y軸向き）に垂直な成分と平行な成分に分解します。

• 磁場に垂直な面内では: x成分 \(v’_x = v’\cos\theta\)が磁場と直交するため、ローレンツ力を向心力とする運動をします。これはxz平面内での「等速円運動」です。よって、アは③。
• 磁場に平行な方向では: y成分 \(v’_y = v’\sin\theta\)が磁場と平行なため、ローレンツ力は働きません（\(f=QvB\sin 0^\circ = 0\)）。したがって、y軸方向には力が作用せず、初速度のまま進み続ける「等速度運動」をします。よって、イは①。
• 合成された運動は: xz平面での円運動と、y軸方向への等速直線運動が同時に起こるため、粒子は全体としてバネのような軌道、すなわち「らせん運動」をします。よって、ウは④。

上記の考察により、ア:③, イ:①, ウ:④ となります。

斜めに打ち出されたボールが、放物線を描きながらも「横方向には一定の速さで進み、縦方向には重力で加速する」と分解して考えるのと同じです。この問題では、粒子は「磁場に垂直な面（xz平面）ではクルクルと円運動」をしながら、「磁場に沿った方向（y軸方向）にはスーッと等速で進む」という2つの運動を同時に行います。この2つを合成すると、バネのような「らせん運動」になります。

ア: ③ 等速円運動, イ: ① 等速度運動, ウ: ④ らせん運動。
磁場中の荷電粒子の運動に関する基本的な理解を問う問題であり、論理的に妥当な結論です。

問(5)

思考の道筋とポイント
粒子がy軸を横切る距離を求めます。これは、らせん運動の「ピッチ」（1巻き分の長さ）を求めることに相当します。
ピッチは、「円運動を1周する時間（周期）」と「その間に磁場と平行に進む速度」の積で計算できます。
この設問における重要なポイント

• らせん運動の周期: らせん運動の周期は、その射影である円運動の周期に等しい。
• 周期の普遍性: (3)で示したように、周期は速度の大きさによらず、質量、電気量、磁場で決まる。

具体的な解説と立式

Step 1: らせん運動の周期\(T’\)を求める。
らせん運動の周期は、xz平面内での円運動の周期と同じです。円運動の速度成分は \(v’_\perp = v’_x = v’\cos\theta\) です。
(3)で求めた周期の公式 \(T = \displaystyle\frac{2\pi m}{QB}\) は、速度の大きさによらないため、この場合もそのまま適用できます。
$$ T’ = \frac{2\pi m}{QB} $$

Step 2: y軸方向に移動する距離を求める。
粒子は、周期\(T’\)の時間だけ、y軸方向に速さ \(v’_y = v’\sin\theta\) で等速直線運動をします。
したがって、求める距離（ピッチ）\(L\)は、
$$ L = v’_y \times T’ $$

$$
\begin{aligned}
L &= v’_y \times T’ \\[2.0ex]
&= (v’\sin\theta) \times \left( \frac{2\pi m}{QB} \right) \\[2.0ex]
&= \frac{2\pi m v’ \sin\theta}{QB}
\end{aligned}
$$

粒子が「クルッ」と1周して元の位置（y軸上）に戻ってくるまでの時間を計算します。この時間は(3)で求めた周期と同じです。その時間の間、粒子はy軸方向にも一定の速さで進んでいるので、「y方向の速さ × 1周にかかる時間」を計算すれば、y軸方向にどれだけ進んだかがわかります。

移動距離は \(\displaystyle\frac{2\pi m v’ \sin\theta}{QB}\) です。
各物理量の次元を確認すると、\(\frac{[kg][m/s]}{[C][T]} = \frac{[kg][m/s]}{[C][N/(A \cdot m)]} = \frac{[kg][m/s]}{[C][N/((C/s) \cdot m)]} = [m]\) となり、距離の次元と一致します。計算は妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ローレンツ力:
  • 核心: 磁場中で運動する荷電粒子が受ける力 \(f=qvB\sin\phi\) であり、その向きはフレミングの左手の法則に従うこと。この力は常に速度と垂直であるため、仕事をせず、粒子の速さを変えないという性質が極めて重要です。
  • 理解のポイント: この「仕事をしない」という性質が、運動が「等速」円運動や「等速」直線運動になる根拠です。
• 運動の分解:
  • 核心: 速度ベクトル\(\vec{v}\)を、磁場\(\vec{B}\)に「平行な成分」と「垂直な成分」に分解して考えること。これが、らせん運動のような複雑な運動を理解するための鍵です。
  • 理解のポイント:
    • 垂直成分: ローレンツ力を向心力とする等速円運動の原因となる。
    • 平行成分: 力を受けないため、等速直線運動を続ける。
• 円運動の運動方程式:
  • 核心: ローレンツ力を向心力として、\(m\displaystyle\frac{v^2}{r} = f\) という運動方程式を立てること。これにより、円運動の半径や周期といった具体的な数値を導出できます。
  • 理解のポイント: これは、力学における円運動の知識と、電磁気学におけるローレンツ力の知識を結びつける重要な架け橋です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 速度選別機: 電場と磁場を垂直にかけ、ローレンツ力と静電気力が釣り合う（\(\vec{F} = q\vec{E} + q\vec{v} \times \vec{B} = 0\)）特定の速度の粒子だけを直進させる装置。
  • サイクロトロン: 半円形の電極（ディー）内で磁場による円運動をさせ、電極間を通過するたびに電場で加速させる装置。周期が速度によらない性質を利用しています。
  • 質量分析器: 磁場中で円運動させ、その半径が質量に依存すること（\(r = \frac{mv}{QB}\)）を利用して、同位体などの質量を分離・測定する装置。
• 初見の問題での着眼点:
  1. \(\vec{v}\)と\(\vec{B}\)の角度を確認: まず、初速度ベクトルと磁場ベクトルのなす角度\(\phi\)を確認します。
     • \(\phi=90^\circ\) \(\rightarrow\) 等速円運動
     • \(\phi=0^\circ\) or \(180^\circ\) \(\rightarrow\) 力を受けず、等速直線運動
     • \(0^\circ < \phi < 90^\circ\) \(\rightarrow\) らせん運動（運動の分解が必要）
  2. 力の向きを最初に決定: フレミングの左手の法則を使い、粒子がどちらに曲がるかを最初に把握します。これにより、円運動の中心がどの方向にあるか、軌跡の概形をイメージできます。
  3. 周期が速度によらないことを活用: 周期 \(T = \displaystyle\frac{2\pi m}{QB}\) は、円運動の速度成分の大きさによらない普遍的な値です。らせん運動の問題（問5）でも、円運動の速度成分が\(v\)から\(v’\cos\theta\)に変わっても、周期は変わらないという点が計算の鍵になります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 正負の電荷の扱い:
  • 誤解: 負電荷（電子など）の場合も、正電荷と同じようにフレミングの左手の法則を適用してしまう。
  • 対策: 負電荷の場合、電流の向きは「速度と逆向き」と考えます。または、フレミングの左手の法則で出た力の向きを、最後に「逆向き」にする、と覚えておきましょう。
• らせん運動の半径と周期の計算ミス:
  • 誤解: らせん運動の半径を計算する運動方程式 \(m\displaystyle\frac{v_\perp^2}{r} = Q v_\perp B\) に、元の速さ\(v’\)を代入してしまう。周期の計算で、磁場に平行な速度成分を使ってしまう。
  • 対策: 「円運動をするのは、あくまで磁場に垂直な速度成分\(v_\perp\)である」という原則を徹底します。半径の計算には\(v_\perp\)を、周期の計算には質量\(m\)と電気量\(Q\)（速度は不要）を、ピッチの計算には周期\(T\)と平行な速度成分\(v_\parallel\)を使う、と役割分担を明確にしましょう。
• 三角関数の選択ミス:
  • 誤解: 速度を分解する際に、\(\cos\theta\)と\(\sin\theta\)を取り違える。
  • 対策: 必ず図を描き、角度\(\theta\)がどちらの辺に接しているかを確認して、「\(\theta\)を挟む辺が\(\cos\theta\)」と機械的に判断します。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 3次元座標でのベクトル図: x, y, z軸を描き、そこに速度ベクトル\(\vec{v}\)と磁場ベクトル\(\vec{B}\)を矢印で描き入れます。次に、フレミングの左手の法則を使って、力のベクトル\(\vec{f}\)を描き加えます。この3つのベクトルの立体的な関係を視覚化することが、運動を正しく理解する第一歩です。
  • 運動の射影: らせん運動を、xz平面（円運動）とy軸（等速直線運動）に射影した図をイメージします。スクリーンに映し出された影のように、「xzスクリーンには円が、yスクリーンには点が往復するように見える」と考えると、運動の分解が直感的に理解できます。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 視点の明記: (2)の選択肢のように、どの方向から見た図（どの軸が紙面に垂直か）なのかを明確に意識することが重要です。自分で図を描く際も、「y軸正の方向から見る」などと視点を定めると、軌跡を描きやすくなります。
  • 円運動の中心: 力の向きが分かれば、円運動の中心の位置が特定できます。軌跡の図には、中心点も描き込むと、半径との関係が明確になります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(f=QvB\)（ローレンツ力）:
  • 選定理由: (1)で磁場から受ける「力」を問われているため。また、(3)で円運動の「向心力」として必要になるため。
  • 適用根拠: 磁場中を運動する荷電粒子に働く力を定義する、最も基本的な法則です。
• \(m\displaystyle\frac{v^2}{r} = f\)（円運動の運動方程式）:
  • 選定理由: (3)で円運動の「半径」を求めるため。向心力と慣性力（遠心力）のつり合いを表すこの式が、半径\(r\)と他の物理量とを結びつけます。
  • 適用根拠: ニュートンの第二法則 \(ma=F\) を、円運動の場合（加速度 \(a=\frac{v^2}{r}\)）に適用したものです。
• \(T = \displaystyle\frac{2\pi r}{v}\)（周期の公式）:
  • 選定理由: (3)で円運動の「周期」を求めるため。
  • 適用根拠: 周期の定義そのものです。「距離＝速さ×時間」から導かれます。
• 運動の分解（ベクトル分解）:
  • 選定理由: (4), (5)で、速度が磁場に対して斜めになっているため。このままでは運動を記述できないので、互いに独立した単純な運動（等速円運動と等速直線運動）に分解して解析する必要があります。
  • 適用根拠: ベクトルの性質に基づき、一つの運動を複数の独立した運動の合成として扱えるという、物理学における強力な解析手法です。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1)〜(3) 垂直入射（円運動）:
   • 戦略: 法則を順に適用し、運動を特定する。
   • フロー: ①ローレンツ力の式で力の大きさを計算。②フレミングの法則で力の向きを決定。③力の向きから軌跡の概形を判断。④運動方程式 \(m\frac{v^2}{r}=QvB\) を立てる。⑤式を解いて半径\(r\)を求める。⑥\(T=\frac{2\pi r}{v}\) に代入して周期\(T\)を求める。
2. (4)〜(5) 斜め入射（らせん運動）:
   • 戦略: 運動を分解し、各成分を解析して合成する。
   • フロー: ①速度\(\vec{v’}\)を磁場に垂直な成分\(v’_\perp = v’\cos\theta\)と平行な成分\(v’_\parallel = v’\sin\theta\)に分解。②垂直方向は「等速円運動」、平行方向は「等速直線運動」と判断（ア, イ）。③合成して「らせん運動」と結論（ウ）。④らせんの周期は円運動の周期と同じで、速度によらないため(3)の結果 \(T’ = \frac{2\pi m}{QB}\) を使う。⑤ピッチ（求める距離）= \(v’_\parallel \times T’\) を計算する。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位の確認: 最終的な答えの単位が、求められている物理量の単位（m, sなど）と一致するかを確認する習慣をつけましょう。次元解析は、式の形が正しいかどうかの強力なチェック手段です。
• 文字の書き間違い: \(v\)と\(v’\)、\(r\)と\(r’\)など、似た記号を混同しないように注意深く記述しましょう。
• 周期の公式の暗記: 周期 \(T = \displaystyle\frac{2\pi m}{QB}\) は、速度\(v\)や半径\(r\)を含まない、非常に重要な結果です。この形を覚えておくと、(5)のような問題で、周期を再計算する手間が省け、計算ミスも減らせます。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (3) 周期: 周期\(T\)が速さ\(v\)によらない、という結果について、「なぜか？」を考えてみましょう。速い粒子はローレンツ力も強くなる（\(f \propto v\)）が、円運動を維持するための向心力もより多く必要になる（\(F \propto v^2\)）。しかし、半径も大きくなる（\(r \propto v\)）ため、結果的に \(m\frac{v^2}{r} \propto \frac{v^2}{v} \propto v\) となり、力の\(v\)への比例関係と一致します。そして、大きな円周を速く回るため、一周の時間は同じになる、と納得できます。
  • (5) ピッチ: もし\(\theta=0^\circ\)なら、\(v’_\parallel=0\)となりピッチは0、つまり円運動になります。もし\(\theta=90^\circ\)なら、\(v’_\perp=0\)となり円運動せず、y軸上を等速直線運動します。これらの極端な場合を考え、式がそれらの状況と一致するかを確認することで、答えの妥当性を吟味できます。

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問題128 (浜松医大)