「セミナー物理基礎＋物理2025」徹底解説！【第 Ⅱ 章 7】基本問題191～200

基本問題

191 ばねと分裂

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「分裂現象における運動量保存則とエネルギー保存則」です。静止している物体が内力によって複数の部分に分かれる「分裂」は、運動量保存則が適用される典型的な例です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
この問題は、静止していた物体が内部の力（ばねの力）によって2つに分かれる「分裂」の典型例です。台車AとB、そしてばねを一つの「系」として考えると、ばねがAとBを押し広げる力は「内力」です。水平方向には摩擦などの外力が働かないとみなせるため、この系の運動量の和は分裂の前後で保存されます。この「運動量保存則」を立式して、台車Bの速さを求めます。
この設問における重要なポイント

• 運動量はベクトル量（向きを持つ量）であるため、正の向きを決め、速度の符号に注意して立式する。
• 分裂前、系全体は静止しているので、運動量の和は \(0\)。
• 分裂後も、系の運動量の和は \(0\) に保たれる。

具体的な解説と立式
台車Aの質量を \(m_A = 1.0\,\text{kg}\)、台車Bの質量を \(m_B = 2.0\,\text{kg}\) とします。
分裂後の台車Aの速度を \(v_A’\)、台車Bの速度を \(v_B’\) とします。

運動は水平方向の1次元運動なので、水平右向きを正の向きと定めます。

• 分裂前:
  AもBも静止しているので、速度は \(v_A = 0\)、\(v_B = 0\) です。
  したがって、分裂前の運動量の和 \(P_{\text{前}}\) は、
  $$
  \begin{aligned}
  P_{\text{前}} &= m_A v_A + m_B v_B \\[2.0ex] &= 1.0 \times 0 + 2.0 \times 0 \\[2.0ex] &= 0
  \end{aligned}
  $$
• 分裂後:
  台車Aは左向きに速さ \(1.0\,\text{m/s}\) で動くので、その速度は \(v_A’ = -1.0\,\text{m/s}\) となります。
  台車Bの速度は未知数 \(v_B’\) です。
  したがって、分裂後の運動量の和 \(P_{\text{後}}\) は、
  $$
  \begin{aligned}
  P_{\text{後}} &= m_A v_A’ + m_B v_B’ \\[2.0ex] &= 1.0 \times (-1.0) + 2.0 \times v_B’
  \end{aligned}
  $$

運動量保存則より、\(P_{\text{前}} = P_{\text{後}}\) なので、
$$ 0 = 1.0 \times (-1.0) + 2.0 \times v_B’ $$

上記で立てた運動量保存則の式を \(v_B’\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
0 &= 1.0 \times (-1.0) + 2.0 \times v_B’ \\[2.0ex] 0 &= -1.0 + 2.0 v_B’ \\[2.0ex] 2.0 v_B’ &= 1.0 \\[2.0ex] v_B’ &= \frac{1.0}{2.0} \\[2.0ex] v_B’ &= 0.50\,\text{m/s}
\end{aligned}
$$
速度 \(v_B’\) が正の値で求まったので、台車Bは右向きに動くことがわかります。問題で問われているのは「速さ」なので、絶対値をとって \(0.50\,\text{m/s}\) となります。

スケートボードに乗った大人（B）と子供（A）が、お互いをぐっと押し合った状況を想像してみてください。押し合った後、子供（軽いA）は速く後ろに下がり、大人（重いB）はゆっくりと後ろに下がりますよね。この問題もそれと同じです。分裂前は全体が止まっていたので「勢いの合計（運動量）」はゼロです。分裂後も、Aが左向きに持つ「勢い」と、Bが右向きに持つ「勢い」がちょうど打ち消し合って、合計がゼロになるように動きます。このつりあいの式から、Bの速さが計算できます。

台車Bの速さは \(0.50\,\text{m/s}\) と求まりました。計算結果の速度が正の値であったことから、BはAとは逆の右向きに動くという物理的に妥当な結果が得られました。また、質量がAの2倍であるBの速さが、Aの速さの半分になっていることも、運動量保存則から期待される通りの結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
ばねが蓄えていたエネルギーを求めます。この分裂現象では、ばねの弾性力という「保存力」だけが仕事をするため、系全体の力学的エネルギーは保存されます。
分裂前は、台車は静止しており運動エネルギーは \(0\) です。系のエネルギーはすべて、押し縮められたばねの弾性エネルギーとして蓄えられています。
分裂後、ばねは自然長に戻り（弾性エネルギーは \(0\) になり）、蓄えられていたエネルギーはすべて台車AとBの運動エネルギーに変換されます。
したがって、「ばねが蓄えていたエネルギー」は「分裂後のAとBの運動エネルギーの和」に等しくなります。
この設問における重要なポイント

• ばねの弾性力は保存力であり、分裂の前後で系全体の力学的エネルギーは保存される。
• 分裂前: エネルギーはすべてばねの弾性エネルギー。
• 分裂後: エネルギーはすべてAとBの運動エネルギー。
• 運動エネルギーの計算では、速さ（速度の大きさ）を用いる。

具体的な解説と立式
ばねが蓄えていたエネルギーを \(U\) とします。
分裂後の台車Aの速さは \(v_A’ = 1.0\,\text{m/s}\)、(1)で求めた台車Bの速さは \(v_B’ = 0.50\,\text{m/s}\) です。

力学的エネルギー保存則を考えます。

• 分裂前の力学的エネルギー \(E_{\text{前}}\):
  運動エネルギーは \(0\) なので、ばねの弾性エネルギー \(U\) のみです。
  \(E_{\text{前}} = U\)
• 分裂後の力学的エネルギー \(E_{\text{後}}\):
  ばねは自然長に戻るので弾性エネルギーは \(0\) です。AとBの運動エネルギーの和になります。
  $$
  \begin{aligned}
  E_{\text{後}} &= (\text{Aの運動エネルギー}) + (\text{Bの運動エネルギー}) \\[2.0ex] &= \frac{1}{2}m_A (v_A’)^2 + \frac{1}{2}m_B (v_B’)^2
  \end{aligned}
  $$

力学的エネルギー保存則 \(E_{\text{前}} = E_{\text{後}}\) より、
$$ U = \frac{1}{2}m_A (v_A’)^2 + \frac{1}{2}m_B (v_B’)^2 $$

上記で立てた式に、それぞれの値を代入して \(U\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
U &= \frac{1}{2} \times 1.0 \times (1.0)^2 + \frac{1}{2} \times 2.0 \times (0.50)^2 \\[2.0ex] &= \frac{1}{2} \times 1.0 \times 1.0 + \frac{1}{2} \times 2.0 \times 0.25 \\[2.0ex] &= 0.50 + 1.0 \times 0.25 \\[2.0ex] &= 0.50 + 0.25 \\[2.0ex] &= 0.75\,\text{J}
\end{aligned}
$$

最初にぎゅっと押し縮められたばねは、元に戻ろうとする「エネルギー」を溜め込んでいます。糸が切られた瞬間、この溜め込まれていたエネルギーが解放されて、台車AとBを動かすための「スピードのエネルギー（運動エネルギー）」に姿を変えます。エネルギーはなくなったり、勝手に増えたりしないので、「最初にばねが持っていたエネルギー」の量は、「分裂後にAとBが持っている運動エネルギーの合計」とぴったり同じになります。AとBの運動エネルギーをそれぞれ計算して足し合わせれば、答えが求まります。

ばねが蓄えていたエネルギーは \(0.75\,\text{J}\) と求まりました。エネルギーは正の値であり、物理的に妥当な結果です。このエネルギーが、分裂後の2つの物体の運動を生み出す源となったことがわかります。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動量保存則
  • 核心: この問題の根幹は、複数の物体からなる系に「外力が働かない」とき、その系全体の運動量の合計は、内部でどのような力が働こうとも（分裂、合体など）、現象の前後で一定に保たれるという法則です。特に、静止状態からの分裂では、分裂前の運動量がゼロであるため、分裂後の各部分の運動量のベクトル和もゼロになります。
  • 理解のポイント:
    • 内力と外力の区別: ばねが台車AとBを押し合う力は、AとBを一つの系として見たときの「内力」です。運動量保存則は、この内力によっては変化せず、系の外部から働く「外力」（この場合は摩擦力など、ただし問題では無視できる）がない場合に成立します。
    • ベクトルとしての運動量: 運動量は \(m\vec{v}\) で定義されるベクトル量（向きと大きさを持つ量）です。したがって、運動量保存則を適用する際は、必ず座標軸（正の向き）を設定し、速度の符号を考慮して立式する必要があります。
• 力学的エネルギー保存則
  • 核心: ばねの弾性力や重力のような「保存力」だけが仕事をする場合、系全体の力学的エネルギー（運動エネルギーと位置エネルギーの和）は一定に保たれるという法則です。この問題では、分裂によってばねの弾性エネルギーが、そっくりそのまま台車AとBの運動エネルギーに変換される、というエネルギーの形態変化を捉えるために用います。
  • 理解のポイント:
    • エネルギーの変換: 分裂前は、系のエネルギーはすべてばねの弾性エネルギー \(U\) として蓄えられています。分裂後は、ばねが自然長に戻るため弾性エネルギーはゼロになり、その分がすべて台車AとBの運動エネルギー \(K_A + K_B\) に変わります。\(U \rightarrow K_A + K_B\) というエネルギーの移り変わりを数式にしたものが、この問題におけるエネルギー保存則の応用です。
    • 運動量保存則との違い: 運動量保存則がベクトルの和の保存を扱うのに対し、エネルギー保存則はスカラー（向きのない量）の和の保存を扱います。両者は独立した物理法則であり、問題に応じて適切に使い分けることが重要です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 衝突と合体: 2つの物体が衝突して一体となって運動する場合。これも内力のみが働く現象なので運動量保存則が成り立ちます。ただし、通常は衝突の際に熱や音が発生するため、力学的エネルギーは保存されません（非弾性衝突）。
  • ロケットの推進: ロケットが燃料を後方に噴射し、その反作用で前方に加速する現象。これも「分裂」の一種と見なせます。「ロケット本体＋噴射ガス」を一つの系と考えると、運動量保存則が成り立ちます。
  • 人が動く台車の上を歩く問題: 「人＋台車」を一つの系と見なすと、人が右に歩けば台車は左に動きます。水平方向に外力が働かなければ、系全体の重心の位置は変わらず、運動量も保存されます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 現象の種類を特定する: まず、問題で起きている現象が「分裂」「合体」「衝突」のどれに当てはまるかを見極めます。
  2. 外力の有無を確認する: 次に、系全体に外力が働いているかを確認します。特に、運動量保存則を使いたい方向（この問題では水平方向）に、摩擦力や空気抵抗などの外力がないかを確認します。「なめらかな水平面」などの記述は、運動量保存則が使えることを示唆する重要な手がかりです。
  3. エネルギー保存の可否を判断する: 仕事をする力が保存力（重力、弾性力、静電気力）のみか、それとも非保存力（摩擦力、人が押す力、衝突時の内部抵抗力など）が含まれるかを確認します。ばねが介在する分裂や、完全弾性衝突では力学的エネルギーが保存されますが、非弾性衝突や合体では保存されません。
  4. 座標軸（正の向き）を設定する: 運動量保存則を立式する前に、必ず「右向きを正」のように座標軸を設定します。これにより、速度の符号ミスを防ぎます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 運動量とエネルギーの法則を混同する:
  • 誤解: 運動量が保存されるなら、力学的エネルギーも必ず保存されるだろうと考えてしまう。
  • 対策: 「運動量保存」と「エネルギー保存」は全く別の法則であると明確に区別しましょう。例えば、粘土の塊が合体するような非弾性衝突では、運動量は保存されますが、力学的エネルギーは熱エネルギーなどに変わってしまい保存されません。法則が成立するための条件（外力がないか、非保存力が仕事をしないか）をそれぞれ正確に覚えることが重要です。
• 速度と速さの取り違え:
  • 誤解: 運動量の計算 \(mv\) で、向きを考えずに速さ（常に正の値）を代入してしまう。
  • 対策: 運動量はベクトル（向きを持つ量）なので、必ず設定した正の向きに対する「速度」（正負の値）を用いる癖をつけましょう。一方で、運動エネルギー \( \displaystyle\frac{1}{2}mv^2 \) はスカラー（向きのない量）なので、向きに関係なく「速さ」の2乗を計算します。この違いを常に意識することがミスを防ぐ鍵です。
• 分裂後の運動エネルギーの計算ミス:
  • 誤解: 分裂後の運動エネルギーを、質量を合計して \( \displaystyle\frac{1}{2}(m_A+m_B)v^2 \) のように、あたかも一つの物体であるかのように計算してしまう。
  • 対策: 分裂後は、AとBはそれぞれ異なる速度で運動する「2つの別々の物体」です。エネルギーはスカラー量なので、それぞれの物体の運動エネルギー（\( \displaystyle\frac{1}{2}m_A v_A’^2 \) と \( \displaystyle\frac{1}{2}m_B v_B’^2 \)）を個別に計算し、それらを単純に足し合わせる、という手順を徹底してください。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（運動量保存則）:
  • 選定理由: 問題は「分裂」後の物体の「速さ」を問うています。分裂や衝突のように、物体同士が内力を及ぼしあう現象で、前後の速度の関係を知りたい場合、運動量保存則が最も直接的で強力な法則です。ばねの力や作用時間などが分からなくても、分裂前後の状態だけで立式できるのが最大の利点です。
  • 適用根拠: 問題の状況設定（なめらかな水平面上で、ばねという内力によって分裂）から、水平方向には外力が働かないことがわかります。これは、運動量保存則が成立するための絶対条件です。未知数が台車Bの速度 \(v_B’\) の一つであるのに対し、運動量保存則から一本の方程式が得られるため、問題を解くことができます。
• (2)での公式選択（力学的エネルギー保存則）:
  • 選定理由: 求めたいものが「ばねが蓄えていたエネルギー」であり、エネルギーに関する問いです。したがって、エネルギーの観点からアプローチするのが最も自然な思考の流れです。
  • 適用根拠: この分裂現象で仕事をする力は、ばねの弾性力のみです。弾性力は保存力であるため、系全体の力学的エネルギー（運動エネルギー＋弾性エネルギー）は保存されます。この物理的な事実が、エネルギー保存則を適用する根拠となります。「分裂前の弾性エネルギーが、分裂後の運動エネルギーの和に変換された」という関係式を立てることで、(1)で求めた速度を使って、未知のエネルギーを計算することができます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 式を立ててから数値を代入する:
  • まずは \(m_A v_A + m_B v_B = m_A v_A’ + m_B v_B’\) のように、文字式のまま法則を書き出しましょう。ここから \(v_B’ = -\displaystyle\frac{m_A}{m_B}v_A’\) のように解いてから数値を代入すると、物理的な意味（速度が質量の逆比になることなど）を確認でき、検算にも役立ちます。
• 符号の確認を徹底する:
  • (1)で右向きを正と決めたら、左向きに進む台車Aの速度は \(v_A’ = -1.0\,\text{m/s}\) となります。立式する際、このマイナス符号を付け忘れるのが最も多いミスです。式を立てた後、各項の符号が物理的な状況と合っているか、指差し確認するくらいの慎重さが大切です。
• 2乗の計算を丁寧に行う:
  • (2)の運動エネルギーの計算では、速度の2乗が出てきます。特に \( (0.50)^2 = 0.25 \) のような小数の計算は、焦っていると間違えやすいポイントです。暗算に自信がなければ、計算用紙の隅で筆算するなど、確実な方法で計算しましょう。
• 単位の確認:
  • 計算に使う数値の単位が、基本単位（質量は \(\text{kg}\)、速度は \(\text{m/s}\)）に揃っているかを確認する癖をつけましょう。最終的にエネルギーを求めたら、単位が \(\text{J}\) になっているかを確認します。
• 物理的にありえない値でないか吟味する:
  • (1)の計算結果が、もし \(v_B’ < 0\) （左向き）になったら、明らかに物理的におかしいと気づくべきです。静止状態からの分裂では、各部分は互いに逆方向に飛び散るはずです。
  • (2)でエネルギーが負の値になったら、100%計算ミスです。運動エネルギーや弾性エネルギーが負になることはありません。このような基本的な物理原則に照らして、自分の答えを吟味する習慣が重要です。

192 ロケットの分離

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「相対速度と運動量保存則を組み合わせた分裂問題」です。運動する物体から別の物体が分離するような、複数の物体が絡む運動を解析する際には、系全体で成り立つ保存則と、物体間の相対的な運動の関係を正しく立式することが重要になります。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
この設問の核心は、問題文で与えられた「相対的な速さ」という情報を、物理法則で扱える「相対速度」の式に正しく翻訳することです。「Aに対するBの相対速度」は「Bの速度 – Aの速度」(\(v_B – v_A\))という定義を正確に適用します。速度は向きを持つベクトル量なので、最初に正の向きを定め、どちらの向きに動いているかに注意して符号を決めることが重要です。
この設問における重要なポイント

• ロケットの進行方向を正とする。
• 宇宙船Sの速度を \(v_S\)、エンジンEの速度を \(v_E\) とおく。
• 「宇宙船Sに対するエンジンEの相対的な速さが \(u\)」であり、エンジンEは宇宙船Sから見て後方（負の向き）に遠ざかるので、その相対速度は \(-u\) となる。

具体的な解説と立式
分離後の宇宙船SとエンジンEの運動の向き、つまりロケットの進む向きを正とします。
分離後の宇宙船Sの速度を \(v_S\)、エンジンEの速度を \(v_E\) とします。

「宇宙船Sに対するエンジンEの相対速度」は、相対速度の定義から \(v_E – v_S\) と表されます。
問題文には「宇宙船Sに対するエンジンEの相対的な速さは \(u\)」とあり、エンジンEは宇宙船Sから見て後方に分離される、つまり負の向きに速さ \(u\) で遠ざかることを意味します。
したがって、相対速度は \(-u\) となります。
よって、以下の関係式が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
v_E – v_S &= -u
\end{aligned}
$$
この式を、設問で問われているエンジンEの速さ（この場合は速度 \(v_E\)）について解きます。
$$
\begin{aligned}
v_E &= v_S – u
\end{aligned}
$$

立式の過程で既に答えは導かれています。式を移項することで、エンジンEの速度 \(v_E\) が求められます。
$$
\begin{aligned}
v_E – v_S &= -u \\[2.0ex] v_E &= v_S – u
\end{aligned}
$$

宇宙船Sに乗っている宇宙飛行士から、切り離されたエンジンEがどのように見えるかを考えてみましょう。宇宙船S自身は \(v_S\) という猛スピードで前に進んでいます。その宇宙船から見ると、エンジンEは「後ろ向きに \(u\) の速さ」で遠ざかっていきます。ということは、宇宙空間に静止している観測者から見ると、エンジンEの実際の速度 \(v_E\) は、宇宙船Sの速度 \(v_S\) よりも \(u\) だけ遅い、ということになります。これを数式で表したのが \(v_E = v_S – u\) です。

エンジンEの速度は \(v_E = v_S – u\) と表せました。問題文には「分離後のエンジンEの進む向きは、宇宙船Sの進む向きと同じであった」と書かれています。これは、エンジンEの速度 \(v_E\) が正であることを意味します (\(v_E > 0\))。したがって、\(v_S – u > 0\)、すなわち \(v_S > u\) という条件が隠されていることがわかります。これは、宇宙船が非常に高速であるため、エンジンを後方に噴射しても、外部から見ればエンジンもまだ前進している、という状況を表しています。

問(2)

思考の道筋とポイント
宇宙船SとエンジンEを一つの「系」とみなします。分離は、2物体が互いに力を及ぼしあう内部の現象（内力によるもの）です。系の進行方向には外部から力が働かないため、分離の前後で系全体の運動量の和は保存されます。この運動量保存則の式を立て、(1)で求めたエンジン速度 \(v_E\) と宇宙船速度 \(v_S\) の関係式を代入することで、未知数である \(v_S\) を解くことができます。
この設問における重要なポイント

• 分離前の系の質量は \((m+M)\)、速度は \(V\)。
• 分離後の宇宙船Sの質量は \(m\)、速度は \(v_S\)。
• 分離後のエンジンEの質量は \(M\)、速度は \(v_E\)。
• (1)で求めた関係式 \(v_E = v_S – u\) を利用する。

具体的な解説と立式
(1)と同様に、ロケットの進む向きを正とします。
宇宙船SとエンジンEを一つの系として、分離前後での運動量保存則を考えます。

• 分離前の運動量 \(P_{\text{前}}\):
  系全体の質量は \((m+M)\)、速度は \(V\) なので、
  $$
  \begin{aligned}
  P_{\text{前}} &= (m+M)V
  \end{aligned}
  $$
• 分離後の運動量 \(P_{\text{後}}\):
  宇宙船S（質量 \(m\)、速度 \(v_S\)）とエンジンE（質量 \(M\)、速度 \(v_E\)）の運動量の和なので、
  $$
  \begin{aligned}
  P_{\text{後}} &= mv_S + Mv_E
  \end{aligned}
  $$

運動量保存則 \(P_{\text{前}} = P_{\text{後}}\) より、
$$ (m+M)V = mv_S + Mv_E \quad \cdots ① $$
この式に、(1)で求めた関係式 \(v_E = v_S – u\) を代入して \(v_S\) を求めます。

式①に \(v_E = v_S – u\) を代入し、\(v_S\) について整理します。
$$
\begin{aligned}
(m+M)V &= mv_S + M(v_S – u) \\[2.0ex] (m+M)V &= mv_S + Mv_S – Mu \\[2.0ex] (m+M)V + Mu &= (m+M)v_S \\[2.0ex] v_S &= \frac{(m+M)V + Mu}{m+M} \\[2.0ex] v_S &= V + \frac{M}{m+M}u
\end{aligned}
$$

ロケット全体を一つのグループとして考えます。分離というイベントは、グループ内部での出来事なので、グループ全体の「勢いの合計（運動量）」は変わりません。「分離前の勢い」は「（全体の質量）×（速さ\(V\)）」です。「分離後の勢い」は「（宇宙船Sの勢い）＋（エンジンEの勢い）」です。この二つが等しいという式を立て、(1)でわかったエンジンEの速度の関係を使うと、宇宙船Sの新しい速さ \(v_S\) が計算できます。エンジンを後方に強く押し出す（\(u\) が大きい）ほど、宇宙船はより加速できる（\(v_S\) が大きくなる）ことが式からわかります。

分離後の宇宙船Sの速さは \(v_S = V + \displaystyle\frac{M}{m+M}u\) と求まりました。この結果は、宇宙船の速度が、分離前の速度 \(V\) に、分離によって得られた追加の速度 \(\displaystyle\frac{M}{m+M}u\) が加わった形になっていることを示しています。\(M\), \(m\), \(u\) はすべて正の値なので、\(v_S > V\) となり、宇宙船がエンジンを分離することによって加速したことがわかります。これは物理的に妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動量保存則
  • 核心: この問題の根幹は、複数の物体からなる系に「外力が働かない」とき、その系全体の運動量の合計は、内部でどのような力が働こうとも（この問題では分離）、現象の前後で一定に保たれるという法則です。宇宙空間でのロケットの分離は、外力が無視できるため、この法則を適用するのに最適な状況です。
  • 理解のポイント:
    • 内力による現象: 宇宙船SとエンジンEが互いに押し合う力は、2物体を一つの系として見たときの「内力」です。運動量保存則は、この内力によって系の運動量が変化しないことを保証します。
    • 座標系の選択: 運動量保存則は、静止している座標系（静止系）だけでなく、一定速度で動いている座標系（慣性系）でも同様に成り立ちます。別解で示したように、分離前のロケットと共に動く座標系を選ぶと、分離前の運動量がゼロとなり、計算が簡潔になる場合があります。
• 相対速度の概念
  • 核心: 複数の物体が運動している状況を正確に記述するためには、ある物体から見た別の物体の速度、すなわち「相対速度」の概念が不可欠です。「Aに対するBの相対速度は \(v_B – v_A\)」という定義式を、ベクトルの向き（符号）を考慮して正しく使いこなすことが、この問題を解くためのもう一つの鍵です。
  • 理解のポイント:
    • 基準の明確化: 「誰から見た速度か」を常に意識することが重要です。問題文の「宇宙船Sに対するエンジンEの相対的な速さ」という表現から、基準は宇宙船Sであり、そのSから見てEが後方（負の向き）に速さ \(u\) で動いていることを読み取り、相対速度を \(-u\) と設定するプロセスが最も重要です。
    • 絶対速度への変換: 相対速度の情報（\(v_E – v_S = -u\)）と、運動量保存則で必要となる絶対速度（静止系から見た速度 \(v_E, v_S\)）とを結びつけることで、問題を解くための方程式を完成させることができます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 動く台車からの物体の射出: 一定速度で動く台車の上から、前方または後方にボールを投げ出す問題。これも「台車＋ボール」を一つの系として運動量保存則が使えます。ボールの速度は「台車に対する相対速度」で与えられることが多いです。
  • 船の上を人が歩く問題: 止まっている船の上を人が歩くと、船は逆向きに動きます。これも「人＋船」の系で運動量保存則が成り立ちます。人が船に対して持つ速度（相対速度）が計算の鍵となります。
  • 二段式ロケットの分離: 一段目のロケットを切り離し、二段目を点火してさらに加速する状況。各分離の段階で、その時点でのロケット全体を系として運動量保存則を適用できます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 系を定義する: まず、どの物体をまとめて一つの「系」と見なすかを決めます。通常は、相互に力を及ぼしあう物体全体（この問題では宇宙船S＋エンジンE）を系とします。
  2. 外力の有無を確認する: 系全体に外力が働いていないか（または無視できるか）を確認します。これにより、運動量保存則が適用可能か判断します。
  3. 座標軸（正の向き）を設定する: 運動は1次元か2次元かを確認し、正の向きを定めます。これは速度の符号を決定するために不可欠です。
  4. 相対速度の関係を整理する: 問題文に「〜に対する相対速度」という記述があれば、すぐに定義式 \(v_{AB} = v_B – v_A\) を書き出し、与えられた情報を数式に変換します。特に、向き（符号）に注意します。
  5. 保存則を立式する: 分離（または合体、衝突）の前後で、系の運動量の和が等しいという式を立てます。
  6. 連立して解く: 相対速度の式と運動量保存則の式を連立させて、未知の速度を求めます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 相対速度の符号ミス:
  • 誤解: 「相対的な速さ \(u\)」と書かれているため、相対速度を \(+u\) と置いてしまう。
  • 対策: 相対速度はベクトルです。必ず「どちらから見て、どちらが、どの向きに」動いているかを図でイメージしましょう。この問題では「Sから見てEが後方（負の向き）に」動くので、相対速度は \(-u\) となります。この符号の判断が最大の関門です。
• 運動量保存則の立式ミス:
  • 誤解: 分離後のエンジンEの速度を、宇宙船Sの速度 \(v_S\) とは無関係な別の未知数として扱い、式が解けなくなってしまう。
  • 対策: 未知数は少ない方が良いです。(1)で導いた \(v_E = v_S – u\) という関係は、未知数を一つ減らすための重要なステップです。運動量保存則を立てる際には、この関係を代入して、未知数を \(v_S\) のみにすることを意識しましょう。
• 座標系の混同:
  • 誤解: 静止系で運動量保存則を立てているのに、一部の速度を相対速度で代入してしまうなど、異なる座標系での値を混ぜて計算してしまう。
  • 対策: 主たる解法のように静止系で解くなら、全ての速度を静止系での値（\(V, v_S, v_E\)）で統一して立式します。別解のように運動座標系で解くなら、全ての速度をその座標系での値（\(0, v’_S, v’_E\)）で統一します。計算の途中で座標系を混ぜないように、一貫した視点を保つことが重要です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（相対速度の定義式）:
  • 選定理由: 問題文に「宇宙船Sに対するエンジンEの相対的な速さ」という、二物体間の相対的な運動に関する情報が与えられています。この情報を、物理法則で扱える絶対速度（静止系から見た速度）と結びつけるための唯一のツールが、相対速度の定義式 \(v_{AB} = v_B – v_A\) です。
  • 適用根拠: 求めたいのはエンジンEの速度 \(v_E\) であり、それを \(v_S\) と \(u\) で表すことが要求されています。相対速度の定義式は、まさにこれら3つの物理量の関係を直接的に記述する式であるため、これを選択するのは必然です。
• (2)での公式選択（運動量保存則）:
  • 選定理由: 「分離」という現象で、分離後の物体の「速さ」を求めたい状況です。分離は内力によって起こり、外力が働かないため、運動量保存則が適用できる典型的な場面です。力や加速度、時間を考えることなく、現象の前後だけの状態で立式できるため、最も効率的なアプローチです。
  • 適用根拠: 宇宙船SとエンジンEを一つの系とみなすと、分離の際に働く力は内力のみです。宇宙空間では外力は働かない（または無視できる）ため、運動量保存則が厳密に成り立ちます。これが、この法則を適用する物理的な根拠です。未知数が \(v_S\) の一つ（\(v_E\) は \(v_S\) で表せるため）であるのに対し、運動量保存則から一本の方程式が得られるため、問題を解くことができます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま計算を進める:
  • この問題のように数値が与えられていない場合、必然的に文字式での計算になります。分配法則 \(M(v_S – u) = Mv_S – Mu\) や、移項、共通因数でくくる \(mv_S + Mv_S = (m+M)v_S\) などの基本的な計算を、焦らず丁寧に行うことが重要です。
• 求める変数について整理する:
  • 最終的に求めたいのは \(v_S\) です。計算の途中で、\(v_S\) を含む項を左辺に、それ以外の項を右辺に集めるなど、ゴールを意識して式を整理する癖をつけましょう。
• 分数の計算を丁寧に行う:
  • 最終段階で \(\displaystyle\frac{(m+M)V + Mu}{m+M}\) のような分数が出てきます。これを \(\displaystyle\frac{(m+M)V}{m+M} + \displaystyle\frac{Mu}{m+M}\) のように2つの項に分けることで、\(V + \displaystyle\frac{M}{m+M}u\) という見通しの良い形に変形できます。計算結果はできるだけシンプルな形で表すように心がけましょう。
• 極端な場合を考えて検算する:
  • 例えば、もしエンジンEの質量 \(M\) がゼロだったらどうなるか考えてみましょう。答えの式に \(M=0\) を代入すると、\(v_S = V + \frac{0}{m+0}u = V\) となり、分離しても速度が変わらないという妥当な結果になります。
  • もし相対的な速さ \(u\) がゼロだったらどうでしょう。\(u=0\) を代入すると、\(v_S = V\) となり、これもまた分離しても加速しないという直感に合う結果です。このように、極端なケースを代入して物理的に妥当な結果になるかを確認するのも、有効な検算方法です。

193 重心の運動

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「内力のみが働く系の重心の運動」です。複数の物体からなる系（物体グループ）において、内部の力だけで全体の重心の位置を動かすことはできない、という重要な物理法則を理解することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題の核心は、「人と台を一つの系として見たとき、水平方向に外力が働くか？」という点を見抜くことです。床は「なめらか」なので摩擦力は働きません。人が歩くために台を蹴る力と、その反作用として台が人を押し返す力は、あくまで「人と台」というグループ内部での力のやり取り（内力）に過ぎません。グループの外から水平方向の力が加わらない限り、グループ全体の重心を動かすことはできません。最初に重心が静止していたのであれば、その後もずっと同じ場所に静止し続けます。
この設問における重要なポイント

• 「台と人をまとめて1つの物体系」と考える。
• 水平面がなめらかなので、系に働く水平方向の外力は \(0\)。
• 系の重心の速度は一定に保たれる。
• 初期状態で重心は原点Oで静止していたので、その速度は \(0\)。

具体的な解説と立式
人と台を一つの系とみなします。
人が歩くとき、足は台を後方（x軸負の向き）に蹴ります。作用・反作用の法則により、台は人を前方（x軸正の向き）に同じ大きさの力で押し返します。この力によって人は前進します。

これらの力は、人と台の間で及ぼしあう力であり、系全体で考えれば「内力」です。
一方、水平面はなめらかなので、台と水平面の間の摩擦力は \(0\) です。したがって、この系に働く水平方向の「外力」は \(0\) ということになります。

物体系に働く外力の合力が \(0\) の場合、その系の全運動量は保存されます。
系の重心の速度 \(v_G\) は、系の全運動量を \(P_{\text{全}}\)、全質量を \(M_{\text{全}}\) とすると、
$$ v_G = \frac{P_{\text{全}}}{M_{\text{全}}} $$
と表されます。
運動量 \(P_{\text{全}}\) が保存される（一定である）ため、重心の速度 \(v_G\) も一定に保たれます。

この問題では、初期状態で人と台は静止しており、系の重心も原点Oで静止していました。つまり、初期の重心速度は \(v_G = 0\) です。
したがって、人が歩いている間も、歩き終わって端Bに達したときも、系の重心の速度は \(0\) のままであり、その位置は初期位置である原点Oから動くことはありません。

この問題は、上記の定性的な考察によって結論を導くことができます。
初期の重心位置: \(x_G = 0\)
初期の重心速度: \(v_G = 0\)
水平方向の外力がないため、重心速度 \(v_G\) は常に \(0\) のままです。
したがって、人が端Bに達したときの重心の位置も \(x_G = 0\) となります。

岸に固定されていないボートの上で、人がボートの端から端まで歩く状況を想像してみてください。人が右に歩くと、ボートはその分だけ左に動きますよね。このとき、もし空から「人とボートを合わせたグループ全体」の中心点（重心）を見ていたら、その中心点は全く動いていないのです。人が右に動いた効果と、ボートが左に動いた効果がちょうど打ち消し合って、全体の中心点の位置を保ちます。この問題も全く同じで、人が右端Bに動いた分、台が左に動くことで、全体としての重心の位置は最初の場所（原点O）からピクリとも動かないのです。

結論として、物体系の重心の位置は \(x=0\) のままです。これは、内力だけでは系の重心を動かすことができないという、力学における重要な原理「重心運動の法則」を示しています。人が動くことで台が逆向きに動き、重心の位置を不変に保つという現象は、物理的に妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 重心運動の法則（運動量保存則の帰結）
  • 核心: この問題の根幹は、「複数の物体からなる系に、ある方向の外力が働かない場合、その方向における系の重心の運動状態（速度）は変化しない」という法則です。これは、運動量保存則を別の視点から表現したものです。
  • 理解のポイント:
    • 静止した重心は動き出さない: 特に、この問題のように初期状態で系全体が静止している場合、重心の速度はゼロです。外力が働かなければ、重心の速度はゼロのまま、つまり重心の位置は全く動きません。
    • 内力では重心を動かせない: 人が台を歩くために台を蹴る力や、その反作用は、すべて「人と台」という系の中での力のやり取り（内力）です。内力は、系内部の各部分の相対的な位置関係を変えることはできますが、系全体の重心を加速させることはできません。
    • 外力の役割: もし床に摩擦があれば、それは系に対する水平方向の「外力」となります。この場合、運動量は保存されず、重心の位置も変化します。したがって、「なめらかな水平面上」という条件が、この法則を適用するための決定的な鍵となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 岸に固定されていないボートの上を人が歩く問題: 人が一方の端からもう一方の端へ歩くと、ボートは逆向きに動きます。このとき「人とボート」を一つの系と見なせば、水平方向の外力がないため、系の重心の位置は動きません。
  • 宇宙空間で宇宙飛行士が道具を投げる問題: 宇宙飛行士が道具を前方に投げると、宇宙飛行士自身は後方に動きます。「宇宙飛行士と道具」の系の重心は、投げる前後で同じ位置に留まり続けます（あるいは等速直線運動を続けます）。
  • 動く板の上で物体が滑る問題: なめらかな床の上の板の上を、物体が摩擦を受けながら滑る場合。「板と物体」を系と見なせば、水平方向の外力は働かないため、系の重心は動きません（または等速直線運動を続けます）。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まず「系」を定義する: 問題文中のどの物体をまとめて一つのグループ（系）と考えるかを明確にします。（例：「人と台」）
  2. 外力の有無を判断する: 次に、その系に対して、考えている方向（この問題では水平方向）に外力が働くかどうかを確認します。「なめらかな」「宇宙空間で」といったキーワードは、外力がゼロであることを示す重要なヒントです。
  3. 系の初期状態を確認する: 系全体が最初に静止していたか、あるいは一定の速度で動いていたかを確認します。これにより、重心の初期速度が決まります。
  4. 重心運動の法則を適用する: 外力が働かないことを確認したら、「重心の速度は一定」という法則を適用します。初期状態が静止なら、重心はずっと静止し続けます。
  5. 定量計算への応用: もし「台がどれだけ動いたか？」などを計算する必要がある場合は、「重心の位置が変わらない」という事実から方程式を立てます。つまり、（初期の重心位置）=（人が動いた後の重心位置） という式を、重心の公式 \(x_G = \displaystyle\frac{m_1x_1 + m_2x_2}{m_1+m_2}\) を使って立式し、未知の変数を解きます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 内力と外力を混同してしまう:
  • 誤解: 人が台を蹴る力で、系全体が前に進むのではないかと考えてしまう。
  • 対策: 常に「系」の境界線を意識する癖をつけましょう。人が台を蹴る力と、台が人を押し返す力は、系の内部での作用・反作用のペアであり、内力です。内力は系全体の運動量を変化させません。外力とは、摩擦力や空気抵抗のように、系の外部から加えられる力のことです。
• 重心が動かないという結論が直感に反すると感じる:
  • 誤解: 人が右に移動したのだから、全体の重心も少しは右にずれるはずだ、と直感で判断してしまう。
  • 対策: 人が右に動くとき、その反作用で「台が必ず左に動く」という事実を忘れないようにしましょう。この台の動きが、人の動きによる重心の移動効果を完全に打ち消します。図を描いて、人が右に動いた後の台の（左にずれた）位置を想像してみると、重心が動かないことを納得しやすくなります。
• 法則の適用条件を忘れてしまう:
  • 誤解: どんな状況でも、物体系の重心は動かないものだと一般化してしまう。
  • 対策: 「重心の速度が一定」という法則が成り立つのは、「系に働く外力の合力がゼロ」のときだけです。もし床に摩擦があれば、それは系にとって明確な外力となり、運動量は保存されず、重心も動きます（最終的には摩擦力によって全体が静止します）。法則は、それが成り立つ条件とセットで正確に覚えることが重要です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 公式選択（重心運動の法則）:
  • 選定理由: この問題は、系内部で物体が動いた後の「系全体の重心の位置」という、マクロな視点での変化を問うています。個々の物体（人や台）の運動を運動方程式で追うのは非常に複雑ですが、系全体の重心の運動に注目すると、問題は非常にシンプルになります。複数の物体が内力を及ぼしあいながら運動する系を扱う場合、まず重心の運動を考えるのは非常に有効なアプローチです。
  • 適用根拠: 問題の「なめらかな水平面上」という設定が、水平方向の外力がゼロであることを保証しています。これは、「重心の速度が一定である」という法則を適用するための絶対的な物理的根拠です。さらに、「初めに重心は原点Oにあった」という初期条件から、重心の初期速度がゼロであることがわかります。これらの根拠が揃っているため、重心の位置は動かないと断定できます。この問題は、計算能力ではなく、この物理法則を正しく理解し、適用できるかを試す思考問題です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• この問題は定性的な問いであり、直接的な計算はありません。しかし、この原理を使った定量的な問題（例：「台はどちらに何m動くか？」）でミスを防ぐためのテクニックは以下の通りです。
• 座標原点と正の向きを明確にする:
  • 定量計算を行う際は、まず最初に「どこを原点(\(x=0\))とするか」「どちら向きを正とするか」を図に明記しましょう。これを怠ると、位置の符号で必ず混乱します。
• 各物体の位置座標を正確に表現する:
  • 例えば、人が動いた後の台の中心の座標を \(x_{\text{台}}\) と置いた場合、人の座標は台の端の位置、つまり \(x_{\text{台}} + L/2\) （\(L\)は台の長さ）のように、基準となる変数を使って正確に表現する練習をしましょう。
• 重心の公式を機械的に適用する:
  • 重心の位置が変わらないことから、（初期の重心位置）=（変化後の重心位置） という式を立てます。そして、重心の公式 \(x_G = \displaystyle\frac{m_1x_1 + m_2x_2 + \dots}{m_1+m_2+\dots}\) に、それぞれの物体の質量と、上で定義した位置座標を正確に代入します。
• 物理的な直感で検算する:
  • 計算の結果、人が右に動いたのに台も右に動く、という答えが出たら、それは100%間違いです。人が動いた方向と台が動く方向は必ず逆になるはずです。このように、計算結果が物理的な直感と合っているかを確認する癖をつけることが重要です。

194 平面上での衝突

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「平面衝突における運動量保存則」です。運動が2次元（平面）になるだけで、基本的な考え方は1次元の衝突と同じです。運動量がベクトル量であることを正しく理解し、互いに直交する2つの方向（成分）に分解して考えることがポイントになります。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
2次元の衝突問題を解く際の定石は、運動を互いに直交する2つの方向（x, y方向）に分解し、それぞれの方向で独立に運動量保存則を立てることです。物体AとBを一つの「系」とみなすと、衝突時に及ぼしあう力は内力であり、水平面はなめらかなので水平方向の外力は働きません。したがって、系の全運動量は保存されます。運動量がベクトル量であるため、「全運動量ベクトルが保存される」ということは、「全運動量のx成分が保存される」かつ「全運動量のy成分が保存される」ということを意味します。
この設問における重要なポイント

• なめらかな水平面上での運動なので、水平方向の外力は \(0\)。
• 運動量保存則が、x軸方向とy軸方向のそれぞれで独立に成り立つ。
• 衝突後のAの運動はy軸方向のみ、Bの運動はx軸方向のみに限定されているため、立式が非常にシンプルになる。

具体的な解説と立式
東向きをx軸の正の向き、北向きをy軸の正の向きとします。
物体Aの質量を \(m_A = 2.0\,\text{kg}\)、物体Bの質量を \(m_B = 3.0\,\text{kg}\) とします。
衝突後のAの速さを \(v_A’\)、Bの速さを \(v_B’\) とします。

• x軸方向の運動量保存則
  • 衝突前:
    • Aのx方向運動量: \(m_A v_{Ax} = 2.0 \times 6.0 = 12.0\,\text{kg}\cdot\text{m/s}\)
    • Bのx方向運動量: \(m_B v_{Bx} = 3.0 \times 0 = 0\)
    • 和: \(12.0 + 0 = 12.0\)
  • 衝突後:
    • Aは北向き（y軸方向）に進むので、x方向の速度成分は \(0\)。運動量は \(0\)。
    • Bは東向き（x軸方向）に進むので、x方向の速度は \(v_B’\)。運動量は \(m_B v_B’ = 3.0 v_B’\)。
    • 和: \(0 + 3.0 v_B’\)
  • 運動量保存則 (衝突前の和) = (衝突後の和) より、
    $$ 12.0 = 3.0 v_B’ $$
• y軸方向の運動量保存則
  • 衝突前:
    • Aのy方向運動量: \(m_A v_{Ay} = 2.0 \times 0 = 0\)
    • Bのy方向運動量: \(m_B v_{By} = 3.0 \times 2.0 = 6.0\,\text{kg}\cdot\text{m/s}\)
    • 和: \(0 + 6.0 = 6.0\)
  • 衝突後:
    • Aは北向き（y軸方向）に進むので、y方向の速度は \(v_A’\)。運動量は \(m_A v_A’ = 2.0 v_A’\)。
    • Bは東向き（x軸方向）に進むので、y方向の速度成分は \(0\)。運動量は \(0\)。
    • 和: \(2.0 v_A’ + 0\)
  • 運動量保存則 (衝突前の和) = (衝突後の和) より、
    $$ 6.0 = 2.0 v_A’ $$

上記で立てた2本の式をそれぞれ解きます。

• \(v_B’\) の計算
  x軸方向の運動量保存則の式から、
  $$
  \begin{aligned}
  12.0 &= 3.0 v_B’ \\[2.0ex] v_B’ &= \frac{12.0}{3.0} \\[2.0ex] v_B’ &= 4.0\,\text{m/s}
  \end{aligned}
  $$
• \(v_A’\) の計算
  y軸方向の運動量保存則の式から、
  $$
  \begin{aligned}
  6.0 &= 2.0 v_A’ \\[2.0ex] v_A’ &= \frac{6.0}{2.0} \\[2.0ex] v_A’ &= 3.0\,\text{m/s}
  \end{aligned}
  $$

この衝突は、まるで物体AとBが持っていた「東向きの勢い」と「北向きの勢い」を交換したかのように見えます。
衝突前、「東向きの勢い」はすべてAが持っていました。衝突後は、その勢いをすべてBが引き継ぎました。したがって、「衝突前のAの東向き勢い」＝「衝突後のBの東向き勢い」という式が成り立ちます。
同様に、衝突前、「北向きの勢い」はすべてBが持っていました。衝突後は、その勢いをすべてAが引き継ぎました。したがって、「衝突前のBの北向き勢い」＝「衝突後のAの北向き勢い」という式が成り立ちます。
この2つの等式を解くだけで、それぞれの速さが求まります。

衝突後の速さは、Aが \(3.0\,\text{m/s}\)、Bが \(4.0\,\text{m/s}\) と求まりました。
ちなみに、この衝突は力学的エネルギーが保存しない「非弾性衝突」です。
衝突前の運動エネルギーの和は、\(\displaystyle\frac{1}{2}(2.0)(6.0)^2 + \frac{1}{2}(3.0)(2.0)^2 = 36 + 6 = 42\,\text{J}\)。
衝突後の運動エネルギーの和は、\(\displaystyle\frac{1}{2}(2.0)(3.0)^2 + \frac{1}{2}(3.0)(4.0)^2 = 9 + 24 = 33\,\text{J}\)。
衝突によって \(9\,\text{J}\) のエネルギーが熱や音に変わったことがわかります。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動量保存則の成分分解
  • 核心: 平面上の運動は、互いに直交する2つの独立した1次元運動の集まりとして扱うことができる、という物理学の重要な考え方です。運動量保存則というベクトルについての法則を、扱いやすいスカラーの式（x成分の式とy成分の式）に落とし込むことが、この問題の根幹をなすアプローチです。
  • 理解のポイント:
    • 独立性: x方向の運動はx方向の力だけで決まり、y方向の運動はy方向の力だけで決まります。衝突の際に働く内力も、そのx成分はx方向の運動量だけを変化させ、y成分はy方向の運動量だけを変化させます。系全体で見れば、内力のx成分の和、y成分の和はそれぞれゼロになるため、各方向の運動量が保存されます。
    • ベクトルとしての保存: 「運動量ベクトルが保存される」とは、「運動量ベクトルの大きさと向きが共に変わらない」ことを意味します。これは、「ベクトルのx成分とy成分が、それぞれ保存される」ことと数学的に全く同じことです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 斜め衝突: 衝突後の物体が、座標軸と斜めの方向に進む問題。この場合、衝突後の速度を \(v’_{Ax}\), \(v’_{Ay}\) のように成分で未知数とおくか、速さ \(v’_A\) と角度 \(\theta\) を未知数として \(v’_A \cos\theta\), \(v’_A \sin\theta\) のように表します。未知数が増えるため、運動量保存則の2本の式だけでは解けず、「力学的エネルギー保存則（弾性衝突の場合）」や「反発係数の式」などの追加条件が必要になります。
  • 平面上での分裂: 静止していた物体が、内力によって複数の破片に分かれて飛び散る問題。分裂前の運動量はゼロなので、分裂後の全運動量もゼロベクトルになる必要があります。つまり、分裂後の各破片の運動量ベクトルをすべて足し合わせると、始点と終点が一致する閉じた多角形になります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まずは座標軸を設定する: 問題の状況を見て、計算が最も簡単になるように座標軸を設定します。多くの場合、衝突前の物体の進行方向の一つを軸に取ると良いでしょう。
  2. 衝突前後の状態を図示する: 各物体の質量と速度ベクトルを、衝突前と後でそれぞれ図に描き込みます。特に、速度を成分に分解した様子を書き込むと、立式ミスを防げます。
  3. 運動量保存則を成分ごとに立式する: 「x方向の運動量の和」と「y方向の運動量の和」が、それぞれ衝突の前後で等しいという式を、注意深く立てます。
  4. 未知数の数と式の数を確認する: 立てた方程式の数で、すべての未知数が解けるかを確認します。もし式が足りなければ、エネルギー保存則などの他の条件が使えないかを検討します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• ベクトルをスカラーのように扱ってしまう:
  • 誤解: 運動量を向きのない量（スカラー）と勘違いし、速さの和が保存されるかのような式を立ててしまう。例えば、\(m_A v_A + m_B v_B = m_A v’_A + m_B v’_B\) のように計算してしまう。
  • 対策: 「運動量はベクトル量である」ということを徹底的に意識しましょう。平面上の問題では、必ずx, yの成分に分けて考える癖をつけることが、この種の誤りを防ぐ最も確実な方法です。
• 成分分解のミス:
  • 誤解: 斜め方向の速度を成分分解するときに、\(\sin\theta\) と \(\cos\theta\) を取り違える。
  • 対策: 速度ベクトルの矢印と座標軸で直角三角形を描き、「角度 \(\theta\) を挟む辺がコサイン（\(\cos\)）、向かい合う辺がサイン（\(\sin\)）」という基本を常に確認するようにしましょう。この問題では幸い、すべての運動が軸に沿っているため、このミスは起こりません。
• x成分とy成分の混同:
  • 誤解: x方向の運動量保存の式を立てる際に、y方向の速度成分を誤って入れてしまう。
  • 対策: 衝突前後の状態を、x成分とy成分に分けて表にまとめると効果的です。（例）
    

    	Aのx成分	Bのx成分	Aのy成分	Bのy成分
    衝突前	\(12.0\)	\(0\)	\(0\)	\(6.0\)
    衝突後	\(0\)	\(3.0v_B’\)	\(2.0v_A’\)	\(0\)

    このように整理すれば、x方向の列（左2つ）とy方向の列（右2つ）をそれぞれ縦に見るだけで、混同なく式を立てることができます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 公式選択（運動量保存則）:
  • 選定理由: 問題は「衝突」という、物体同士がごく短時間に力を及ぼしあう現象を扱っています。このような現象の前後の速度の関係を問われた場合、運動量保存則が最も強力なツールとなります。衝突中に働く力（撃力）の大きさや作用時間が分からなくても、前後の状態だけで関係式を立てられるからです。
  • 適用根拠: 「なめらかな水平面上」という記述により、衝突の前後で系に働く水平方向の外力がゼロであることが保証されています。これが、運動量保存則を適用する物理的な根拠です。
• アプローチ選択（成分分解）:
  • 選定理由: 運動量保存則は、本来ベクトルに関する一つの法則（\(\vec{P}_{\text{前}} = \vec{P}_{\text{後}}\)）です。しかし、ベクトル方程式をそのまま計算するのは高校数学の範囲では困難です。そこで、ベクトルを互いに独立な成分に分解することで、ベクトル方程式を、我々が扱い慣れているスカラーの方程式（x成分の式とy成分の式）に変換します。これは、2次元以上のベクトル問題を解くための、数学的かつ物理的な基本戦略です。
  • 適用根拠: 座標軸をどのように設定しても、ベクトルをその成分に分解することは常に数学的に可能です。特に、互いに直交する軸に分解すると、各軸方向の運動が互いに干渉しないため、物理的な解析が非常に容易になります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 状態を整理してから立式する:
  • 上記の「要注意！」で示したように、衝突前後の各物体の質量、速度のx, y成分を表にまとめるのは非常に有効です。頭の中だけで処理しようとせず、情報を書き出して視覚化することで、ケアレスミスを劇的に減らせます。
• x方向とy方向の計算を明確に分ける:
  • 計算用紙を半分に区切るなどして、左側にはx方向の計算、右側にはy方向の計算だけを書くようにすると、情報が混ざるのを防げます。
• 単位を省略せずに書く:
  • 立式の段階では、\(2.0\,\text{kg} \times 6.0\,\text{m/s} = 3.0\,\text{kg} \times v_B’\) のように単位を書いておくと、両辺の単位が運動量（\(\text{kg}\cdot\text{m/s}\)）になっているかを確認でき、立式ミスに気づきやすくなります。
• 概算による検算:
  • この問題は数値がシンプルなので、暗算レベルでの検算が可能です。
    「x方向の運動量は \(2 \times 6 = 12\)。衝突後は質量 \(3\) のBがこれを全部持つから、速さは \(12 \div 3 = 4\)。合っているな。」
    「y方向の運動量は \(3 \times 2 = 6\)。衝突後は質量 \(2\) のAがこれを全部持つから、速さは \(6 \div 2 = 3\)。合っているな。」
    このように、計算結果が妥当かどうかを素早く確認する習慣をつけましょう。

195 反発係数

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「反発係数と力学的エネルギー保存則の連携」です。衝突現象そのものではなく、その前後の運動（自由落下や投げ上げ）における高さの情報から、間接的に反発係数を求める典型問題です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
反発係数を求めるには、衝突直前と直後の「速さ」が必要です。しかし、問題で与えられているのは「高さ」の情報です。そこで、小球が空中を運動している間は力学的エネルギーが保存されることを利用して、「高さ」の情報を「速さ」の情報に変換します。この変換ができれば、あとは反発係数の定義式に当てはめるだけです。
この設問における重要なポイント

• 運動を3つの局面に分解して考える: ①高さ \(h_1\) からの自由落下、②床との衝突、③高さ \(h_2\) までの上昇。
• 局面①と③では力学的エネルギー保存則が成り立つ。
• 局面②では反発係数の定義式を適用する。
• 衝突では一般に力学的エネルギーは保存されない（熱や音に変わる）ため、衝突の前後を通してエネルギー保存則を立ててはいけない。

具体的な解説と立式
小球の質量を \(m\)、重力加速度の大きさを \(g\) とします。床の高さを位置エネルギーの基準（高さ \(0\)）とします。

• 衝突直前の速さ \(v_1\) の導出
  高さ \(h_1 = 1.0\,\text{m}\) の位置から静かに落とすので、初速度は \(0\)。このときの力学的エネルギーは位置エネルギーのみです。床に衝突する直前の速さを \(v_1\) とすると、このときの力学的エネルギーは運動エネルギーのみです。
  力学的エネルギー保存則より、
  $$
  \begin{aligned}
  (\text{はじめの位置エネルギー}) &= (\text{衝突直前の運動エネルギー}) \\[2.0ex] mgh_1 &= \frac{1}{2}mv_1^2
  \end{aligned}
  $$
• 衝突直後の速さ \(v_2\) の導出
  床との衝突直後の速さを \(v_2\) とします。このときの力学的エネルギーは運動エネルギーのみです。その後、高さ \(h_2 = 0.64\,\text{m}\) の最高点まで上昇したとき、速さは \(0\) になり、力学的エネルギーは位置エネルギーのみとなります。
  力学的エネルギー保存則より、
  $$
  \begin{aligned}
  (\text{衝突直後の運動エネルギー}) &= (\text{最高点での位置エネルギー}) \\[2.0ex] \frac{1}{2}mv_2^2 &= mgh_2
  \end{aligned}
  $$
• 反発係数 \(e\) の計算
  反発係数の定義式は、衝突前後の速さの比で与えられます。
  $$
  \begin{aligned}
  e &= \frac{v_2}{v_1}
  \end{aligned}
  $$

まず、エネルギー保存則の式から \(v_1\) と \(v_2\) をそれぞれ \(h_1\), \(h_2\) で表します。
\(mgh_1 = \displaystyle\frac{1}{2}mv_1^2\) より、\(v_1^2 = 2gh_1\)。\(v_1 > 0\) なので、
$$ v_1 = \sqrt{2gh_1} \quad \cdots ① $$
\(\displaystyle\frac{1}{2}mv_2^2 = mgh_2\) より、\(v_2^2 = 2gh_2\)。\(v_2 > 0\) なので、
$$ v_2 = \sqrt{2gh_2} \quad \cdots ② $$
これらの式を反発係数の定義式に代入します。
$$
\begin{aligned}
e &= \frac{v_2}{v_1} \\[2.0ex] &= \frac{\sqrt{2gh_2}}{\sqrt{2gh_1}} \\[2.0ex] &= \sqrt{\frac{2gh_2}{2gh_1}} \\[2.0ex] &= \sqrt{\frac{h_2}{h_1}}
\end{aligned}
$$
この関係式に、\(h_1 = 1.0\,\text{m}\), \(h_2 = 0.64\,\text{m}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
e &= \sqrt{\frac{0.64}{1.0}} \\[2.0ex] &= \sqrt{0.64} \\[2.0ex] &= \sqrt{(0.80)^2} \\[2.0ex] &= 0.80
\end{aligned}
$$

ボールがはね返る元気の良さ（反発係数）は、「ぶつかった直後のスピード」が「ぶつかる直前のスピード」の何倍かで決まります。でも、この問題にはスピードが書かれていません。代わりに、スピードの源である「落とした高さ」と、スピードの結果である「はね上がった高さ」がわかっています。物理の法則（エネルギー保存則）を使うと、高さからスピードを計算できるので、まずそれぞれの高さをスピードに変換します。そして、スピードの比を計算すれば、反発係数が求められます。

小球と床の間の反発係数は \(e=0.80\) と求まりました。反発係数は \(0 \le e \le 1\) の範囲の値をとるため、物理的に妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
小球と床の材質は変わらないので、(1)で求めた反発係数 \(e=0.80\) は2回目の衝突でも同じ値になります。1回目にはね上がった高さ \(h_2\) が、2回目の落下の開始高度となります。これらを用いて、2回目にはね上がる高さ \(h_3\) を計算します。(1)で導出した以下の「反発係数と高さの関係式」を使うと効率的です。
$$ e = \sqrt{\frac{\text{はね上がる高さ}}{\text{落とす高さ}}} $$
この設問における重要なポイント

• 反発係数 \(e\) は衝突ごとに一定である。
• 1回目のはね上がり高さ \(h_2\) が、2回目の落下高さになる。
• はね上がる高さは、衝突のたびに \(e^2\) 倍になる。

具体的な解説と立式
2回目の衝突について考えます。

• 落とす高さ: \(h_2 = 0.64\,\text{m}\)
• はね上がる高さ: \(h_3\) （未知数）
• 反発係数: \(e = 0.80\)

(1)の計算過程で導いた反発係数と高さの関係を、この2回目の衝突に適用します。
$$
\begin{aligned}
e &= \sqrt{\frac{h_3}{h_2}}
\end{aligned}
$$
この式を \(h_3\) について解くと、
$$
\begin{aligned}
h_3 &= e^2 h_2
\end{aligned}
$$

上記で立てた式に、\(e=0.80\), \(h_2 = 0.64\,\text{m}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
h_3 &= (0.80)^2 \times 0.64 \\[2.0ex] &= 0.64 \times 0.64 \\[2.0ex] &= 0.4096
\end{aligned}
$$
問題文の有効数字が2桁であるため、答えも有効数字2桁に丸めます。
$$ h_3 \approx 0.41\,\text{m} $$

ボールがはね返るたびに、高さは一定の割合で低くなっていきます。その割合は、(1)で計算した反発係数 \(e\) を使って「\(e\) の2乗」倍、つまり \(0.80^2 = 0.64\) 倍になることがわかっています。したがって、2回目にはね上がる高さは、1回目のはね上がり高さ \(0.64\,\text{m}\) の、さらに \(0.64\) 倍になります。\(0.64\,\text{m} \times 0.64\) を計算すれば答えが出ます。

2回目にはね上がる高さは \(0.41\,\text{m}\) と求まりました。\(h_3 < h_2\) であり、衝突のたびにエネルギーが失われていく様子を正しく反映した、妥当な結果です。はね上がる高さの列 \(h_2, h_3, \dots\) は、公比 \(e^2\) の等比数列をなすことがわかります。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 反発係数と力学的エネルギー保存則の組み合わせ
  • 核心: この問題は、2つの異なる物理法則が支配する局面を正しく見極め、それらを連携させて解く能力を試しています。具体的には、「衝突の瞬間」は反発係数の法則が支配し、「空中を運動している間」は力学的エネルギー保存則が支配します。
  • 理解のポイント:
    • 法則の使い分け: 衝突の瞬間は（\(e\) が1より小さいので）力学的エネルギーの一部が熱や音に変わるため、力学的エネルギー保存則は使えません。ここでは衝突前後の速さの関係を表す「反発係数」の定義式を用います。一方、小球が落下したり、はね上がったりしている空中運動の間は、重力という保存力しか働かないため、「力学的エネルギー保存則」が使えます。
    • 高さと速さの橋渡し: 力学的エネルギー保存則は、この問題において「高さ」という位置エネルギーの情報を、「速さ」という運動エネルギーの情報に変換するための重要な「橋渡し」の役割を果たしています。この変換によって初めて、反発係数の式に代入できる速さの値を求めることができます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 斜めに床や壁と衝突する問題: 速度を壁（床）に垂直な成分と平行な成分に分解します。反発係数の式が適用されるのは「垂直成分」のみです。平行成分は（摩擦がなければ）変化しません。衝突後の速度は、変化した垂直成分と変化しない平行成分を再び合成して求めます。
  • 振り子が最下点で壁に衝突する問題: 振り子の最も高い位置での位置エネルギーが、最下点での運動エネルギーに変換されることを利用して、衝突直前の速さを求めます。その後、反発係数の式を使って衝突直後の速さを計算し、再びエネルギー保存則を使って、はね返った後に振り子が到達する最高点の高さを求めます。
  • 複数回はね返る運動: はね上がる高さは、衝突のたびに \(e^2\) 倍になります（\(h_2=e^2h_1, h_3=e^2h_2, \dots\)）。これは公比 \(e^2\) の等比数列をなします。これを利用して、n回目のはね上がる高さを求めたり、静止するまでの総時間や総移動距離を無限等比級数の和として計算する応用問題もあります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 運動を局面（フェーズ）に分解する: まず、一連の運動を「自由落下」「衝突」「上昇」のように、物理法則が切り替わるポイントで区切ります。
  2. 各局面で適用すべき法則を判断する: 「空中運動」の局面では力学的エネルギー保存則、「衝突」の局面では反発係数の定義式（および運動量保存則）を適用することを決定します。
  3. 「高さ」と「速さ」の変換を意識する: 問題で与えられているのが「高さ」で、求めたい反発係数に必要なのが「速さ」であることから、エネルギー保存則を使って両者を結びつける必要がある、という思考の流れを組み立てます。
  4. 反発係数の定義を正確に思い出す: 床が動かない場合は、反発係数は単純に「衝突後の速さ / 衝突前の速さ」となります。この定義に忠実に立式します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 衝突の前後を通してエネルギー保存則を立ててしまう:
  • 誤解: 落下前の位置エネルギー \(mgh_1\) が、はね上がり後の位置エネルギー \(mgh_2\) に等しい、というような誤った式を立ててしまう。
  • 対策: 反発係数 \(e\) が1より小さい衝突（本問は \(e=0.80\)）では、ボールが変形したり、音が鳴ったり、熱が発生したりして、力学的エネルギーは必ず失われる（減少する）と肝に銘じましょう。弾性衝突（\(e=1\)）でない限り、力学的エネルギー保存則を、衝突の瞬間を「またいで」適用することはできません。
• 反発係数の式を高さの比だと勘違いする:
  • 誤解: 反発係数は速さの比なので、安直に \(e = h_2/h_1\) と考えてしまう。
  • 対策: 反発係数は、あくまで「速さ」の比（\(e=v_2/v_1\)）であるという定義を正確に覚えてください。高さとの関係式 \(e = \sqrt{h_2/h_1}\) は、エネルギー保存則を使って導出される「結果」であり、公式として丸暗記するのではなく、導出過程を理解しておくことが重要です。
• 2回目のはね上がる高さを \(e\) 倍と考えてしまう:
  • 誤解: (2)で、2回目のはね上がる高さ \(h_3\) を、\(h_3 = eh_2\) と計算してしまう。
  • 対策: はね上がる高さ \(h\) は運動エネルギー \(K\) に比例し（\(h \propto K\)）、運動エネルギーは速さ \(v\) の2乗に比例します（\(K \propto v^2\)）。衝突によって速さが \(e\) 倍になるので、運動エネルギーは \(e^2\) 倍になります。したがって、はね上がる高さも \(e^2\) 倍になる、という論理的なつながりを理解しましょう。\(h_3 = e^2 h_2\) が正しい関係です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（力学的エネルギー保存則と反発係数の定義）:
  • 選定理由: 最終的に求めたいのは「反発係数」なので、その定義式 \(e=v_2/v_1\) を使うことがゴールとなります。しかし、この式に必要な「速さ」(\(v_1, v_2\))が問題文にありません。代わりに与えられているのは「高さ」(\(h_1, h_2\))です。そこで、この未知の「速さ」と既知の「高さ」を結びつける法則が必要になります。空中運動において、速さ（運動エネルギー）と高さ（位置エネルギー）の関係を記述する法則は、力学的エネルギー保存則です。
  • 適用根拠: 小球が空中を運動している間は、働く力は重力のみです（空気抵抗は無視）。重力は保存力なので、力学的エネルギー保存則を適用することができます。この法則を用いて \(h_1 \rightarrow v_1\)、\(h_2 \rightarrow v_2\) という変換を行い、反発係数の定義式に代入するという、論理的な手順が成り立ちます。
• (2)での公式選択（(1)で導いた関係式）:
  • 選定理由: 2回目の衝突も、1回目の衝突と全く同じ物理現象の繰り返しです。したがって、(1)の考察で導き出した「反発係数と高さの関係式」(\(e = \sqrt{h_{\text{後}}/h_{\text{前}}}\))を再度利用するのが最も効率的です。
  • 適用根拠: 小球と床の材質や状態が変わらない限り、反発係数 \(e\) は衝突のたびに一定の値をとると考えられます。1回目の衝突で成り立った物理法則の組み合わせは、2回目の衝突でも同様に成り立つため、そこから導かれた関係式も同様に適用できる、という根拠に基づいています。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式で先に解く習慣をつける:
  • 模範解答のように、まず \(e = \sqrt{h_2/h_1}\) という関係式を文字のまま導出しましょう。その後に数値を代入する方が、途中で \(g=9.8\) のような具体的な数値計算が入らず、式がシンプルで見通しが良くなり、計算ミスを減らせます。
• 平方根の計算を確実に行う:
  • \( \sqrt{0.64} \) のような計算は、\(0.64 = 64/100 = (8/10)^2 = (0.8)^2\) のように、分数や指数に直してから考えると確実です。
• 2乗の計算を丁寧に行う:
  • (2)の計算 \(h_3 = e^2 h_2\) で、\(e=0.80\), \(h_2=0.64\) を代入する際に、\(0.80^2 = 0.64\) となります。つまり \(h_3 = 0.64 \times 0.64\) という計算になります。\(64 \times 64 = 4096\) を筆算するなどして、\(0.4096\) という値を正確に出しましょう。
• 有効数字を最後に意識する:
  • 問題文で与えられている数値が \(1.0\,\text{m}\), \(0.64\,\text{m}\) ともに有効数字2桁です。したがって、最終的な答えも有効数字2桁に揃える必要があります。\(0.4096\) を四捨五入して \(0.41\,\text{m}\) とします。特に(1)の答えを \(0.8\) と書くと減点対象になりかねないので、\(0.80\) と2桁で答える意識が重要です。
• 物理的な妥当性を吟味する:
  • 計算後、(1)の反発係数 \(e\) が \(0 \le e \le 1\) の範囲に入っているか、(2)のはね上がる高さ \(h_3\) が、落とす高さ \(h_2\) よりも小さくなっているかを確認しましょう。この簡単なチェックで、大きな間違いは防げます。

196 斜めの衝突

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「斜め衝突における速度の成分分解と反発係数」です。床や壁に斜めに衝突する問題は、速度を衝突面に「平行な成分」と「垂直な成分」に分解して考えるのが定石です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
斜め衝突の問題を解く最大のコツは、運動を衝突面に「平行な方向」と「垂直な方向」の2つに分けて、それぞれ独立に考えることです。
ボールが床から受ける力（垂直抗力）は、床に垂直な方向にしか働きません。そのため、ボールの速度変化も垂直な方向にしか起こりません。
したがって、反発係数が関係してくるのは「垂直な方向の速度成分」だけであり、摩擦がなければ「平行な方向の速度成分」は全く変化しない、という点が核心となります。
この設問における重要なポイント

• 床に平行な方向（水平方向）と、床に垂直な方向（鉛直方向）に速度を分解する。
• 水平方向の速度成分は、衝突の前後で等しい。
• 鉛直方向については、（衝突後の速度成分）= \(e \times\)（衝突前の速度成分） という反発係数の関係式が成り立つ。

具体的な解説と立式
衝突前のボールの速さを \(v_0 = 2.0\,\text{m/s}\)、衝突後の速さを \(v\) とします。
床に平行な向きをx軸、床に垂直で上向きをy軸とします。

• 衝突前の速度成分
  • x成分: \(v_x = v_0 \cos 60^\circ\)
  • y成分（大きさ）: \(v_y = v_0 \sin 60^\circ\)
• 衝突後の速度成分
  • x成分: \(v_x’ = v \cos 30^\circ\)
  • y成分（大きさ）: \(v_y’ = v \sin 30^\circ\)

物理法則を適用して、2本の関係式を立てます。

• 水平方向（x軸方向）
  床に平行な方向の速さは変化しないので、
  $$
  \begin{aligned}
  v_x’ &= v_x
  \end{aligned}
  $$
  $$ v \cos 30^\circ = v_0 \cos 60^\circ \quad \cdots ① $$
• 鉛直方向（y軸方向）
  反発係数の定義より、衝突後の速さは衝突前の速さの \(e\) 倍になります。
  $$
  \begin{aligned}
  v_y’ &= e v_y
  \end{aligned}
  $$
  $$ v \sin 30^\circ = e (v_0 \sin 60^\circ) \quad \cdots ② $$

未知数が \(v\) と \(e\) の2つで、式が2本立てられたので、これを解きます。
式②を式①で辺々割ると、未知数 \(v\) と既知数 \(v_0\) が同時に消去できます。
$$
\begin{aligned}
\frac{v \sin 30^\circ}{v \cos 30^\circ} &= \frac{e (v_0 \sin 60^\circ)}{v_0 \cos 60^\circ} \\[2.0ex] \tan 30^\circ &= e \tan 60^\circ
\end{aligned}
$$
この式を \(e\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
e &= \frac{\tan 30^\circ}{\tan 60^\circ} \\[2.0ex] &= \frac{1/\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\[2.0ex] &= \frac{1}{3} \\[2.0ex] &\approx 0.333\dots
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えるため、\(0.33\) となります。

ボールの斜めの動きを、「横方向の動き」と「縦方向の動き」に分解して考えます。
問題文から、「横方向のスピード」は衝突してもツルツル滑るだけなので変わりません。
一方、「縦方向のスピード」は、床にぶつかってはね返るので、元気の良さ（反発係数 \(e\)）の分だけ小さくなります。つまり、はね返った後の縦スピードは、ぶつかる前の縦スピードの \(e\) 倍になります。
この「横方向のスピードは同じ」と「縦方向のスピードは \(e\) 倍」という2つのルールを使って計算すると、反発係数 \(e\) が求まります。

ボールと床の間の反発係数は \(0.33\) と求まりました。
反発係数は \(0 \le e \le 1\) の範囲の値をとるため、物理的に妥当な結果です。
衝突によって鉛直方向の速度成分が大きく減少し、その結果として衝突後の進行方向の角度が \(30^\circ\) と浅くなった（水平に近くなった）ことが、この反発係数の値に反映されています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 斜め衝突における速度の成分分解
  • 核心: この問題の根幹は、2次元の衝突現象を、物理的に意味のある2つの1次元運動に分解して解析する能力です。具体的には、速度ベクトルを衝突面に「平行な成分」と「垂直な成分」に分解し、それぞれの成分が異なる物理法則に従うことを見抜くことが核心となります。
  • 理解のポイント:
    • 力の働く方向と働かない方向: ボールが床から受ける力（垂直抗力）は、床に「垂直な方向」にしか働きません。したがって、速度が変化するのもこの方向だけです。一方、床に「平行な方向」には（摩擦がなければ）力が働かないため、こちらの速度成分は変化しません。
    • 法則の使い分け: このように、力が働く「垂直成分」には反発係数の法則を適用し、力が働かない「平行成分」は保存される（速度が変化しない）という、2つの異なるルールをそれぞれの成分に正しく適用することが、斜め衝突を解くための鍵となります。これは、斜方投射を等速直線運動（水平方向）と自由落下運動（鉛直方向）に分けて考えるのと同じ、物理学の基本的な思考法です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 壁との斜め衝突: 床との衝突と全く同じです。壁面に平行な方向と垂直な方向に速度を分解して考えます。
  • 動く壁との斜め衝突: 壁が動いている場合、反発係数の式は壁との相対速度で定義されます。つまり、壁に垂直な方向の速度成分について、（衝突後の相対速度）= \(-e \times\)（衝突前の相対速度） という式を立てる必要があります。
  • 摩擦のある床との衝突: 床に平行な方向にも力（動摩擦力）が働くため、平行方向の速度成分も変化（通常は減少）します。この場合、運動量と力積の関係など、別の法則を考慮する必要があります（高校物理の発展的な内容）。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 衝突面を見つける: まず、ボールが衝突する面（床、壁など）を特定します。
  2. 適切な座標軸を設定する: 衝突面に「平行な方向」をx軸、「垂直な方向」をy軸と設定するのが定石です。これが最も重要な第一歩です。
  3. 衝突前後の速度ベクトルを図示し、成分分解する: 問題の図に、衝突前後の速度ベクトルをx, y成分に分解した補助線を書き込みます。三角比（sin, cos）を使って各成分の大きさを文字式で表します。
  4. 2つの法則を立式する:
     • 平行（x）方向: （衝突前の速度成分）=（衝突後の速度成分）
     • 垂直（y）方向: （衝突後の速度成分）= \(e \times\)（衝突前の速度成分）
  5. 連立して解く: 立てた2本の式を使って、未知数（この問題では反発係数 \(e\)）を求めます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 速度を分解せずに反発係数の式を立ててしまう:
  • 誤解: 反発係数は速さの比であると考え、斜めの速度そのものを使って \(e = v/v_0\) のような式を立ててしまう。
  • 対策: 反発係数は、あくまで「衝突面に垂直な速度成分」の比である、と徹底的に覚えましょう。「斜め衝突を見たら、まず分解」を合言葉にしてください。
• 三角比（sin, cos）の取り違え:
  • 誤解: 角度が与えられると、機械的にx成分をcos、y成分をsinと覚えてしまい、角度の定義位置によっては間違えてしまう。
  • 対策: 必ず図を描き、速度ベクトルとその成分で直角三角形を作りましょう。そして、「角度θを挟む辺がcosθ」「角度θの向かい側の辺がsinθ」という基本に立ち返って確認する癖をつけます。この問題では、床とのなす角が与えられているため、水平（平行）成分がcos、鉛直（垂直）成分がsinとなります。
• 水平成分と垂直成分の法則を混同する:
  • 誤解: どちらの成分が保存されて、どちらに反発係数が適用されるのかを混同してしまう。
  • 対策: 「力が働く方向に速度が変わり、その変わり具合が反発係数」「力が働かない方向は速度が変わらない」という物理的な理由をセットで理解しましょう。床からの力は垂直にしか働かないので、垂直成分が反発係数で変化し、水平成分は変化しない、と論理的に導けます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• アプローチ選択（速度の成分分解）:
  • 選定理由: 2次元のベクトル量をそのまま扱うのは複雑です。しかし、ベクトルは互いに直交する成分に分解でき、各成分は独立に扱うことができます。力が働く方向（垂直）と働かない方向（平行）で物理現象が明確に異なるため、この方向に分解することで、複雑な斜め衝突を、単純な1次元の法則の組み合わせとして解析できるようになります。
  • 適用根拠: ベクトルの重ね合わせの原理に基づき、平面上の運動は常に2つの直交する方向の運動の合成として記述できます。これは数学的に保証されており、物理現象を解析する上で非常に強力な手法です。
• 公式選択（反発係数の定義を垂直成分に適用）:
  • 選定理由: 衝突によって速度を変化させる原因は、床がボールに及ぼす力（垂直抗力）です。この力は床に垂直な方向にしか働きません。したがって、反発の度合いを示す反発係数が影響を及ぼすのも、この垂直方向の速度成分だけです。
  • 適用根拠: 運動の法則（\(ma=F\)）より、力が働く方向にのみ加速度が生じ、速度が変化します。力が働かない方向には加速度が生じず、速度は一定です。この基本原則が、垂直成分にのみ反発係数を適用し、水平成分は保存されると考える物理的な根拠となります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 三角関数の値を正確に使う:
  • \(\cos 60^\circ = 1/2\), \(\sin 60^\circ = \sqrt{3}/2\), \(\cos 30^\circ = \sqrt{3}/2\), \(\sin 30^\circ = 1/2\) といった基本的な三角比の値は、素早く正確に使えるようにしておく必要があります。
• 文字式の割り算を丁寧に行う:
  • 模範解答のように、2本の式を辺々割り算するアプローチは非常にスマートですが、計算ミスをしやすいポイントでもあります。分母と分子にどの項が来るのか、どの文字が約分されて消えるのかを、一行ずつ丁寧に書き出して確認しましょう。
• 分数の計算を確実に行う:
  • 最終的に \(\displaystyle\frac{\tan 30^\circ}{\tan 60^\circ}\) のような計算が出てきます。ここで \(\tan 30^\circ = 1/\sqrt{3}\), \(\tan 60^\circ = \sqrt{3}\) を代入し、\(\displaystyle\frac{1/\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3}\) という計算を落ち着いて行いましょう。
• 有効数字の処理:
  • 問題文の速さが \(2.0\,\text{m/s}\) と有効数字2桁で与えられています。計算結果の \(1/3 = 0.333\dots\) も、有効数字2桁に丸めて \(0.33\) と答える必要があります。
• 物理的な吟味:
  • 衝突前は床との角度が \(60^\circ\) だったのが、衝突後は \(30^\circ\) と浅くなっています。これは、水平成分に比べて鉛直成分がより大きく減少したことを意味しており、反発係数 \(e\) が \(1\) より小さいという計算結果と矛盾しません。もし角度が深くなるような結果が出たら、どこかで計算ミスをしている可能性が高いです。

197 壁との衝突

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「斜方投射と壁との垂直衝突」です。斜めに打ち出された物体が、その軌道の途中で壁と衝突する複合的な問題であり、斜方投射の運動解析と反発係数の法則を正しく組み合わせる能力が問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
この設問の鍵は、問題文中の「壁に垂直に衝突」という言葉を物理的に翻訳することです。これは、衝突の瞬間、小球の速度が水平方向のみを向いており、鉛直方向の速度成分が \(0\) になっていることを意味します。斜方投射において鉛直方向の速度が \(0\) になるのは「最高点」だけです。したがって、点Pから最高点Qに達するまでの時間を求めればよいことになります。鉛直方向の運動は、初速度 \(v_y\)、加速度 \(-g\) の鉛直投げ上げ運動なので、速度が \(0\) になるまでの時間を計算します。
この設問における重要なポイント

• 壁への垂直衝突 \(\rightarrow\) 衝突点が軌道の最高点である。
• 最高点 \(\rightarrow\) 鉛直方向の速度が \(0\) である。
• 鉛直方向の運動は、初速度 \(v_y\)、重力加速度 \(-g\) の等加速度直線運動とみなせる。

具体的な解説と立式
鉛直上向きを正の向きとします。
小球の鉛直方向の運動は、初速度 \(v_y\)、加速度 \(-g\) の等加速度直線運動です。
時刻 \(t\) における鉛直方向の速度を \(v_{y}(t)\) とすると、公式 \(v = v_0 + at\) より、
$$
\begin{aligned}
v_{y}(t) &= v_y – gt
\end{aligned}
$$
点Qは最高点なので、ここでの鉛直方向の速度は \(0\) です。PからQに達するまでの時間を \(t\) とすると、
$$
\begin{aligned}
0 &= v_y – gt
\end{aligned}
$$

上記で立てた式を \(t\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
gt &= v_y \\[2.0ex] t &= \frac{v_y}{g}
\end{aligned}
$$

ボールを真上に投げると、一番高いところで一瞬止まりますよね。この問題も同じで、「壁に垂直にぶつかる」というのは、ちょうどボールが一番高い点に達した瞬間に、そこに壁があった、ということです。したがって、初めの縦方向のスピード \(v_y\) が、重力によってだんだん遅くなって、ちょうど \(0\) になるまでの時間を計算すればよいのです。

PからQに達するまでの時間は \(t = \displaystyle\frac{v_y}{g}\) と求まりました。時間が鉛直方向の初速度 \(v_y\) に比例し、重力加速度 \(g\) に反比例するという、物理的に妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
初速度の鉛直成分 \(v_y\) と水平成分 \(v_x\) を、与えられた文字で表します。
まず \(v_y\) については、鉛直方向の運動に着目します。初速度 \(v_y\) で打ち出された小球が、高さ \(h\) の最高点に達したことがわかっています。時間を含まない公式 \(v^2 – v_0^2 = 2ax\) を使うと、(1)の結果を介さずに直接 \(v_y\) を \(h\) と \(g\) で表せます。
次に \(v_x\) については、水平方向の運動に着目します。水平方向には距離 \(S\) を、最高点に達するまでの時間 \(t\) で等速直線運動しています。\(v_x = S/t\) の関係を使います。この \(t\) には、(1)の結果 \(t=v_y/g\) を用い、さらに先ほど求めた \(v_y\) の関係式を代入することで、\(v_x\) を \(S, h, g\) で表します。
この設問における重要なポイント

• 鉛直方向の運動: 初速度 \(v_y\)、最高点の高さ \(h\)、最高点での鉛直速度 \(0\)。
• 水平方向の運動: 速度 \(v_x\)（一定）、移動距離 \(S\)、移動時間 \(t\)。

具体的な解説と立式

• \(v_y\) の導出
  鉛直上向きを正とします。鉛直方向の運動について、時間を含まない公式 \(v^2 – v_0^2 = 2ax\) を適用します。
  最高点Qでの速度は \(v=0\)、初速度は \(v_y\)、加速度は \(-g\)、変位は \(h\) なので、
  $$
  \begin{aligned}
  0^2 – v_y^2 &= 2(-g)h
  \end{aligned}
  $$
• \(v_x\) の導出
  水平方向の運動は、速さ \(v_x\) の等速直線運動です。距離 \(S\) を時間 \(t\) で進むので、
  $$
  \begin{aligned}
  S &= v_x t
  \end{aligned}
  $$
  ここで、時間は(1)で求めた \(t = v_y/g\) です。さらに、上で求めた \(v_y\) の関係式も用います。

• \(v_y\) の計算
  $$
  \begin{aligned}
  -v_y^2 &= -2gh \\[2.0ex] v_y^2 &= 2gh
  \end{aligned}
  $$
  \(v_y > 0\) なので、
  $$
  \begin{aligned}
  v_y &= \sqrt{2gh}
  \end{aligned}
  $$
• \(v_x\) の計算
  まず、P→Qの時間 \(t\) を \(h, g\) で表します。
  $$
  \begin{aligned}
  t &= \frac{v_y}{g} \\[2.0ex] &= \frac{\sqrt{2gh}}{g} \\[2.0ex] &= \sqrt{\frac{2gh}{g^2}} \\[2.0ex] &= \sqrt{\frac{2h}{g}}
  \end{aligned}
  $$
  この時間を \(S = v_x t\) に代入して \(v_x\) を求めます。
  $$
  \begin{aligned}
  v_x &= \frac{S}{t} \\[2.0ex] &= \frac{S}{\sqrt{2h/g}} \\[2.0ex] &= S \sqrt{\frac{g}{2h}}
  \end{aligned}
  $$

• \(v_y\): 高さ \(h\) までボールを投げ上げるには、どれくらいの縦方向の初スピードが必要か？という問いと同じです。ボールが持つ最初の運動エネルギーが、最高点ですべて位置エネルギーに変わる、というエネルギーの考え方からも計算できます。
• \(v_x\): ボールが空中にいる時間（最高点に達するまでの時間）と、その間に進んだ横方向の距離 \(S\) がわかっているので、「距離 ÷ 時間」という小学校で習った速さの公式で、横方向のスピード \(v_x\) が計算できます。

初速度の成分は \(v_x = S\sqrt{\displaystyle\frac{g}{2h}}\)、\(v_y = \sqrt{2gh}\) と求まりました。\(v_y\) がより高い \(h\) に到達するためにはより大きい必要があること、\(v_x\) がより遠い \(S\) に到達するためにはより大きい必要があることなど、物理的な直感と一致する結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
点Qから点Rに到達するまでの時間を求めます。点Qは最高点、点Rは床の上の点です。これは、最高点から床まで落下する時間と考えることができます。
斜方投射のような放物運動では、運動に上下の対称性があります。つまり、打ち上げ点Pから最高点Qまで上昇するのにかかる時間と、最高点Qから同じ高さの点（この場合は床）まで落下するのにかかる時間は等しくなります。
この設問における重要なポイント

• 放物運動の対称性により、上昇時間と下降時間は等しい。
• Q→Rの時間は、P→Qの時間と等しい。

具体的な解説と立式
運動の対称性から、小球が最高点Qから床の点Rまで落下する時間は、点Pから最高点Qまで上昇する時間と等しいです。
P→Qの時間は、(2)の計算過程で求めた通り、
$$
\begin{aligned}
t &= \sqrt{\frac{2h}{g}}
\end{aligned}
$$
です。したがって、Q→Rの時間もこれと等しくなります。

(2)の結果をそのまま用います。
$$
\begin{aligned}
t_{\text{Q→R}} &= t_{\text{P→Q}} \\[2.0ex] &= \sqrt{\frac{2h}{g}}
\end{aligned}
$$

ボールを投げ上げて、また手でキャッチする時を想像してください。「ボールが手から離れて一番高い点まで行く時間」と、「一番高い点から手に戻ってくるまでの時間」は、空気抵抗がなければ全く同じになります。この問題もそれと同じで、Pから最高点Qまでの時間と、Qから地面のRまでの時間はぴったり同じです。

Q→Rの時間は \(\sqrt{\displaystyle\frac{2h}{g}}\) と求まりました。これは高さ \(h\) から物体を自由落下させたときにかかる時間と同じであり、物理的に妥当な結果です。

問(4)

思考の道筋とポイント
壁から点Rまでの距離を求めます。この距離は、壁に衝突した後の小球が、Q→Rの時間だけ水平方向に進んだ距離です。
まず、衝突直後の水平方向の速さ \(v_x’\) を求める必要があります。衝突は鉛直な壁との衝突なので、衝突面に垂直な方向、つまり「水平方向」の速度が反発係数の影響を受けます。衝突直後の速さは、衝突直前の速さの \(e\) 倍になります。
この速さ \(v_x’\) で、(3)で求めた時間だけ等速直線運動するので、距離を計算します。
この設問における重要なポイント

• 衝突面に垂直な方向は「水平方向」である。
• 衝突後の水平方向の速さは \(v_x’ = e v_x\)。向きは逆になる。
• 衝突後の水平運動は、速さ \(v_x’\) の等速直線運動である。
• 運動時間は、(3)で求めたQ→Rの時間である。

具体的な解説と立式
壁との衝突直後の水平方向の速さを \(v_x’\) とします。反発係数の定義より、
$$
\begin{aligned}
v_x’ &= e v_x
\end{aligned}
$$
小球は、この速さ \(v_x’\) で、(3)で求めた時間 \(t = \sqrt{\displaystyle\frac{2h}{g}}\) だけ等速直線運動します。
壁からRまでの距離を \(x\) とすると、
$$
\begin{aligned}
x &= v_x’ t
\end{aligned}
$$
この式に、\(v_x’ = e v_x\) と、(2)で求めた \(v_x = S\sqrt{\displaystyle\frac{g}{2h}}\) を代入して計算します。

$$
\begin{aligned}
x &= v_x’ t \\[2.0ex] &= (e v_x) t \\[2.0ex] &= e \left( S \sqrt{\frac{g}{2h}} \right) \left( \sqrt{\frac{2h}{g}} \right) \\[2.0ex] &= eS \left( \sqrt{\frac{g}{2h} \times \frac{2h}{g}} \right) \\[2.0ex] &= eS \sqrt{1} \\[2.0ex] &= eS
\end{aligned}
$$
問題文より \(e=0.60\) なので、
$$
\begin{aligned}
x &= 0.60S
\end{aligned}
$$

壁にぶつかると、ボールの横方向のスピードが弱まります。どれくらい弱まるかは反発係数で決まっていて、今回は \(0.60\) 倍になります。ボールが壁にぶつかってから地面に落ちるまでの時間は(3)でわかっているので、「\(0.60\) 倍になった横スピード × 落ちるまでの時間」を計算すれば、壁からどれだけ離れた地点に着地するかがわかります。計算してみると、面白いことに、最初の水平距離 \(S\) のちょうど \(0.60\) 倍になります。

壁からRまでの距離は \(0.60S\) と求まりました。はね返り後の水平距離が、反発係数と元の水平距離だけで決まるという、非常にすっきりした結果になりました。これは、水平速度が \(e\) 倍になり、滞空時間は変わらないためです。物理的に妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 斜方投射の運動の分解と「垂直衝突」の解釈
  • 核心: この問題の根幹は、一見複雑な2次元の運動を、互いに独立した2つの単純な1次元運動（水平方向の等速直線運動と鉛直方向の鉛直投げ上げ）に分解して解析する能力です。さらに、「壁に垂直に衝突する」という日本語の条件を、「衝突点で鉛直方向の速度成分がゼロになる」、すなわち「衝突点が軌道の最高点である」と物理的に正しく翻訳できるかどうかが、問題を解く上での最大の鍵となります。
  • 理解のポイント:
    • 運動の独立性: 水平方向の運動と鉛直方向の運動は、時間 \(t\) を共有するだけで、互いに干渉しません。水平方向は一定の速さで進み続け、鉛直方向は重力の影響を受けて減速・加速します。
    • 最高点の条件: 物体を斜めまたは真上に投げ上げたとき、最高点に達した瞬間だけ、鉛直方向の速度がゼロになります。この物理的な事実と、「壁に垂直に衝突する」という条件を結びつけることが不可欠です。
• 反発係数の正しい適用方向
  • 核心: 反発係数は、常に「衝突面に垂直な方向」の速度成分にのみ適用される、という原則を理解していることです。
  • 理解のポイント:
    • 力の働く方向: 衝突の際、壁がボールに及ぼす力は壁面に垂直（この問題では水平方向）です。したがって、速度が変化するのもこの水平方向のみです。
    • 法則の使い分け: このため、水平方向の速度成分には反発係数の法則（\(v_x’ = e v_x\)）を適用し、鉛直方向の速度成分は衝突の前後で変化しない（最高点なので衝突の瞬間はゼロのまま）と判断します。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 床との斜め衝突: 水平方向と鉛直方向の役割が逆転します。床に平行な「水平方向」の速度成分は変化せず、床に垂直な「鉛直方向」の速度成分に反発係数が適用されます。
  • 最高点以外での壁との衝突: 衝突時の鉛直速度がゼロではないため、より一般的な計算が必要です。まずPから衝突点までの時間 \(t_1\) を水平距離から求め、その時間における鉛直速度 \(v_y(t_1)\) を計算します。衝突後は、水平速度が \(ev_x\) に、鉛直速度が \(v_y(t_1)\) のままの新たな斜方投射として、地面に落下するまでの運動を解析します。
  • 運動の対称性が崩れる問題: 例えば、打ち出した点Pより高い位置にある壁に衝突する場合など。この場合、上昇時間と下降時間は等しくなりません。基本に立ち返り、それぞれの区間で等加速度運動の公式を適用して時間を計算する必要があります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まず運動を水平・鉛直に分解する: 斜方投射の問題を見たら、機械的に運動を水平と鉛直に分解する方針を立てます。
  2. 衝突条件を物理的に翻訳する: 「垂直に衝突」「弾性衝突」「角度\(\theta\)ではねかえる」など、問題文中の衝突に関する条件が、速度の各成分にどのような制約を与えるかを数式に変換します。「垂直に衝突 \(\rightarrow\) 鉛直速度ゼロ \(\rightarrow\) 最高点」の流れは最重要パターンです。
  3. 衝突面を特定し、反発係数の適用方向を決める: 衝突面が鉛直（壁）か水平（床）かを確認し、反発係数を水平成分と鉛直成分のどちらに適用すべきかを明確にします。
  4. 時間 \(t\) を媒介変数として活用する: 水平方向の運動（等速）と鉛直方向の運動（等加速度）は、時間 \(t\) を通じてつながっています。一方の運動から時間を求め、それをもう一方の運動の解析に利用するという流れを常に意識します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 「垂直に衝突」の意味を取り違える:
  • 誤解: 鉛直上向きに進んでいた物体が壁にぶつかる、などと誤解してしまう。
  • 対策: 必ず図を描いて速度ベクトルを考えましょう。「壁に垂直」とは、速度ベクトルが壁と90°の角度をなし、完全に水平方向を向いている状態を指します。したがって、その瞬間の鉛直速度成分はゼロである、と論理的に理解することが重要です。
• 反発係数を適用する方向を間違える:
  • 誤解: 反発係数は常に鉛直方向（上下方向）に使うものだと思い込み、この問題でも鉛直速度に \(e\) を掛けてしまう。
  • 対策: 反発係数は「衝突面に垂直な成分」に適用される、という原則を徹底しましょう。相手が「鉛直な壁」なら「水平成分」に、相手が「水平な床」なら「鉛直成分」に適用します。毎回、衝突面を確認する癖をつけることがミスを防ぎます。
• 運動の対称性の誤用:
  • 誤解: 最高点以外で衝突した場合や、打ち上げ地点と落下地点の高さが異なる場合でも、安易に上昇時間と下降時間が等しいと考えてしまう。
  • 対策: 運動の対称性が成り立つのは、上昇運動と下降運動が「同じ高さの区間」で行われる場合のみです。この問題ではPとRが同じ高さなので対称性が使えますが、条件が異なれば使えない場合もあると認識し、その際は基本公式に立ち返って計算する必要があります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（\(v = v_0 + at\)）:
  • 選定理由: 鉛直方向の運動について、初速度 \(v_y\) と最終速度 \(0\) がわかっており、「時間 \(t\)」を求めたい状況です。これらの物理量（\(v, v_0, a, t\)）を最もシンプルに結びつけるのがこの公式です。
  • 適用根拠: 鉛直方向の運動は、重力のみが働く等加速度直線運動であるため、この公式を適用できます。
• (2)での公式選択（\(v^2 – v_0^2 = 2ax\) と \(x=vt\)）:
  • \(v_y\)の導出: 鉛直方向について、初速度 \(v_y\)、最終速度 \(0\)、変位 \(h\) が関係しています。時間 \(t\) を使わずにこれらの量を直接結びつける公式が \(v^2 – v_0^2 = 2ax\) であり、最も効率的です。
  • \(v_x\)の導出: 水平方向は、速さ \(v_x\) で距離 \(S\) を時間 \(t\) で進む等速直線運動です。速さを求めるには、距離と時間の関係式 \(x=vt\) を使うのが必然です。
• (3)でのアプローチ選択（運動の対称性）:
  • 選定理由: P→Qの上昇運動とQ→Rの下降運動は、同じ高さ \(h\) の区間を重力のみを受けて運動するため、時間的に完全に対称です。この物理的な洞察を利用することで、再計算の手間を省き、最も速くかつエレガントに解くことができます。
  • 適用根拠: 鉛直方向の運動方程式が時間反転に対して対称な形をしていることに起因します。
• (4)での公式選択（反発係数の定義と \(x=vt\)）:
  • 選定理由: 壁との「衝突」後の運動を考えるため、まず衝突現象を記述する「反発係数」の定義式で衝突後の速度を求めます。衝突後は水平方向に力が働かない「等速直線運動」なので、距離を求めるには \(x=vt\) を使います。
  • 適用根拠: 壁との衝突では、壁に垂直な水平方向の速度が変化します。その変化の割合が反発係数 \(e\) で与えられます。衝突後は、変化した後の速度で等速直線運動を続けるため、これらの公式の選択が論理的に導かれます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま計算を進める:
  • (4)の計算が典型例です。\(v_x\) や \(t\) に(2)で求めた複雑な式をすぐに代入するのではなく、まず \(x = v_x’ t = (e v_x) t\) と文字のまま式を立てます。最後に \(v_x = S/t\) の関係を思い出すと、\(x = e(S/t)t = eS\) となり、複雑な平方根の計算をすることなく、非常にシンプルに結果が導かれます。
• 平方根の扱いに慣れる:
  • \(\displaystyle\frac{\sqrt{2gh}}{g}\) を \(\sqrt{\displaystyle\frac{2h}{g}}\) に変形するなど、平方根の内外に文字を出し入れする計算をスムーズにできるように練習しましょう。分母の \(g\) を \(\sqrt{g^2}\) と考えてルートの中に入れるのがコツです。
• 単位の次元を確認する（次元解析）:
  • 例えば(2)で求めた \(v_x = S\sqrt{g/2h}\) の単位が、ちゃんと速度 (\(\text{m/s}\)) になっているかを確認する癖をつけましょう。\(S\) の単位は \(\text{m}\)、\(\sqrt{g/h}\) の単位は \(\sqrt{(\text{m/s}^2)/\text{m}} = \sqrt{1/\text{s}^2} = 1/\text{s}\) です。よって、\(S\sqrt{g/h}\) の単位は \(\text{m} \times (1/\text{s}) = \text{m/s}\) となり、式が正しそうだと確認できます。
• 物理的な意味から結果を吟味する:
  • (4)の答えが \(x=eS\) となりました。これは、滞空時間は衝突の前後で変わらず、水平速度だけが \(e\) 倍になったのだから、はね返り後に進む水平距離も元の水平距離の \(e\) 倍になる、という物理的な直感と完全に一致します。もし計算結果に \(h\) や \(g\) が残っていたら、どこかで計算ミスをしている可能性を疑うべきです。

198 衝突とエネルギー

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「1次元衝突における運動量保存則とエネルギー」です。一直線上での2物体の衝突を扱う最も基本的な問題であり、運動量保存則と反発係数の式を連立させて解くという、衝突問題の基本定石をマスターすることが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
1次元の衝突問題で、衝突後の2つの物体の速度を求める問題の最も基本的な解法パターンです。未知数が \(v_A\) と \(v_B\) の2つなので、物理法則から独立な式を2本立てる必要があります。それが「運動量保存則」と「反発係数の式」です。この2つの式を連立させて解くことで、未知数を求めることができます。
この設問における重要なポイント

• • 運動方向（右向き）を正として、速度の符号に注意する。
  • 運動量保存則の式を正しく立てる。
  • 反発係数の定義式
    $$ e = -\frac{\text{衝突後の相対速度}}{\text{衝突前の相対速度}} $$
    を正しく立てる。特に、定義に含まれるマイナス符号を忘れないように注意する。

具体的な解説と立式
物体Aの質量を \(m_A = 1.0\,\text{kg}\)、物体Bの質量を \(m_B = 2.0\,\text{kg}\) とします。
衝突前の速度を \(v_{A0} = 2.0\,\text{m/s}\), \(v_{B0} = 8.0\,\text{m/s}\) とします。
衝突後の速度を \(v_A\), \(v_B\) とします。（設問の表記に合わせます）
水平右向きを正の向きとします。

• 運動量保存則
  衝突前後の系の全運動量は等しいので、
  $$
  \begin{aligned}
  m_A v_{A0} + m_B v_{B0} &= m_A v_A + m_B v_B
  \end{aligned}
  $$
• 反発係数の式
  反発係数 \(e=0.50\) の定義式は、
  $$
  \begin{aligned}
  e &= -\frac{v_A – v_B}{v_{A0} – v_{B0}}
  \end{aligned}
  $$

これで、未知数 \(v_A\), \(v_B\) を含む2本の連立方程式が立てられました。

各値を代入して連立方程式を解きます。

• 運動量保存則の式:
  $$
  \begin{aligned}
  1.0 \times 2.0 + 2.0 \times 8.0 &= 1.0 \times v_A + 2.0 \times v_B \\[2.0ex] 2.0 + 16.0 &= v_A + 2v_B \\[2.0ex] 18 &= v_A + 2v_B \quad \cdots ①
  \end{aligned}
  $$
• 反発係数の式:
  $$
  \begin{aligned}
  0.50 &= -\frac{v_A – v_B}{2.0 – 8.0} \\[2.0ex] 0.50 &= -\frac{v_A – v_B}{-6.0} \\[2.0ex] 0.50 &= \frac{v_A – v_B}{6.0} \\[2.0ex] 3.0 &= v_A – v_B \quad \cdots ②
  \end{aligned}
  $$

式①から式②を引くと、
$$
\begin{aligned}
(18) – (3.0) &= (v_A + 2v_B) – (v_A – v_B) \\[2.0ex] 15 &= 3v_B \\[2.0ex] v_B &= 5.0\,\text{m/s}
\end{aligned}
$$
この結果を式②に代入すると、
$$
\begin{aligned}
3.0 &= v_A – 5.0 \\[2.0ex] v_A &= 3.0 + 5.0 \\[2.0ex] v_A &= 8.0\,\text{m/s}
\end{aligned}
$$

2つのボールがぶつかる時、守られるべきルールが2つあります。1つ目は「全体の勢いの合計は変わらない」というルール（運動量保存則）。2つ目は「2つのボールが離れていく速さは、近づいてくる速さの \(e\) 倍になる」というルール（反発係数）です。この2つのルールを数式にして、中学校で習った連立方程式として解けば、衝突後のそれぞれのボールの速さがわかります。

衝突後の速さは、Aが \(v_A = 8.0\,\text{m/s}\)、Bが \(v_B = 5.0\,\text{m/s}\) と求まりました。
衝突前はBの方が速かった(\(v_{B0} > v_{A0}\))ですが、衝突後はAの方が速く(\(v_A > v_B\))なり、2物体は離れていきます。また、速いBが遅いAに追突した結果、Bは減速し、Aは加速しています。これは物理的に妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
衝突によって「失われた」力学的エネルギーを求めます。水平面上での運動なので、位置エネルギーは変化しません。したがって、運動エネルギーの変化だけを考えればよいです。「失われたエネルギー」は、常に「衝突前のエネルギーの和」から「衝突後のエネルギーの和」を引くことで計算します。
この設問における重要なポイント

• 失われたエネルギー \(= (\text{前の運動エネルギーの和}) – (\text{後の運動エネルギーの和})\)。
• (1)で求めた衝突後の速度 \(v_A\), \(v_B\) を用いる。

具体的な解説と立式
失われた力学的エネルギーを \(\Delta E\) とします。
衝突前の運動エネルギーの和 \(K_{\text{前}}\) は、
$$
\begin{aligned}
K_{\text{前}} &= \frac{1}{2}m_A v_{A0}^2 + \frac{1}{2}m_B v_{B0}^2
\end{aligned}
$$
衝突後の運動エネルギーの和 \(K_{\text{後}}\) は、
$$
\begin{aligned}
K_{\text{後}} &= \frac{1}{2}m_A v_A^2 + \frac{1}{2}m_B v_B^2
\end{aligned}
$$
失われたエネルギーは、これらの差です。
$$
\begin{aligned}
\Delta E &= K_{\text{前}} – K_{\text{後}}
\end{aligned}
$$

各値を代入して計算します。

• 衝突前の運動エネルギーの和:
  $$
  \begin{aligned}
  K_{\text{前}} &= \frac{1}{2} \times 1.0 \times (2.0)^2 + \frac{1}{2} \times 2.0 \times (8.0)^2 \\[2.0ex] &= \frac{1}{2} \times 4.0 + 1.0 \times 64.0 \\[2.0ex] &= 2.0 + 64.0 \\[2.0ex] &= 66.0\,\text{J}
  \end{aligned}
  $$
• 衝突後の運動エネルギーの和:
  $$
  \begin{aligned}
  K_{\text{後}} &= \frac{1}{2} \times 1.0 \times (8.0)^2 + \frac{1}{2} \times 2.0 \times (5.0)^2 \\[2.0ex] &= \frac{1}{2} \times 64.0 + 1.0 \times 25.0 \\[2.0ex] &= 32.0 + 25.0 \\[2.0ex] &= 57.0\,\text{J}
  \end{aligned}
  $$
• 失われたエネルギー:
  $$
  \begin{aligned}
  \Delta E &= K_{\text{前}} – K_{\text{後}} \\[2.0ex] &= 66.0 – 57.0 \\[2.0ex] &= 9.0\,\text{J}
  \end{aligned}
  $$

有効数字を考慮して \(9\,\text{J}\) となります。

衝突の際には、ボールがへこんだり、音が鳴ったり、熱が出たりして、スピードのためのエネルギー（運動エネルギー）の一部が失われます。この問題では、その失われたエネルギーの量を計算します。やり方は簡単で、「衝突前のスピードエネルギーの合計」と「衝突後のスピードエネルギーの合計」をそれぞれ計算し、その差額を求めるだけです。

衝突によって \(9\,\text{J}\) の力学的エネルギーが失われたことがわかりました。反発係数が \(e=0.50\) であり、\(1\) より小さい非弾性衝突なので、エネルギーが失われるのは当然です。もし \(e=1\) の弾性衝突であれば、失われるエネルギーは \(0\) になるはずです。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 1次元衝突における2大法則の連立
  • 核心: この問題の根幹は、1次元の衝突現象を解析するための2つの基本法則、「運動量保存則」と「反発係数の定義式」を正しく立式し、それらを連立方程式として解く能力です。これは、衝突問題を解く上での最も基本的かつ重要な手順です。
  • 理解のポイント:
    • 運動量保存則: 「なめらかな水平面上」という条件から、物体系（A+B）に水平方向の外力が働かないことがわかります。したがって、衝突という内力が働くだけでは、系全体の運動量の合計は変化しません。
    • 反発係数の式: 衝突の「性質」を表すのが反発係数です。この式は、衝突後の相対速度が、衝突前の相対速度とどのような関係にあるかを記述します。\(e=1\) ならエネルギーが保存される弾性衝突、\(e<1\) ならエネルギーが失われる非弾性衝突となります。
    • なぜ2つの式が必要か: 衝突後の速度という未知数が \(v_A\) と \(v_B\) の2つあるため、それらを特定するには独立した方程式が2本必要になります。その2本の方程式を物理法則から見つけ出すのが、この問題の核心です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 弾性衝突: 反発係数 \(e=1\) の場合。運動量保存則に加えて、力学的エネルギー保存則も成り立ちます。反発係数の式の代わりにエネルギー保存則の式を連立させても解くことができます。
  • 完全非弾性衝突（合体）: 反発係数 \(e=0\) の場合。衝突後、2物体は一体となって同じ速度で運動します（\(v_A = v_B\)）。この関係式と運動量保存則を連立させます。
  • 壁との衝突: 壁は質量が非常に大きく、速度が \(0\) のままと考えます。運動量保存則は使えませんが、反発係数の式が \(e = -\displaystyle\frac{v’}{v}\)（衝突後の速度 / 衝突前の速度）と簡略化され、衝突後の速度を直接計算できます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まず座標軸（正の向き）を設定する: 1次元の運動では、速度の符号が非常に重要です。最初にどちら向きを正とするかを明確に決めます。
  2. 未知数を確認する: 何を求めたいのかを把握します。通常は衝突後の各物体の速度です。
  3. 未知数の数だけ方程式を立てる準備をする: 未知数が2つなら、式も2つ必要だと考えます。衝突問題では、その2つはほぼ常に「運動量保存則」と「反発係数の式」です。
  4. 各法則を慎重に立式する:
     • 運動量保存則: (前の運動量の和) = (後の運動量の和)
     • 反発係数の式: \(e = -\displaystyle\frac{(\text{後の相対速度})}{(\text{前の相対速度})}\)
  5. エネルギーに関する問いがあるか確認する: 「失われたエネルギー」や「弾性衝突か非弾性衝突か」を問われた場合は、衝突前後の運動エネルギーをそれぞれ計算し、比較します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 反発係数の式のマイナス符号を忘れる:
  • 誤解: \(e = \displaystyle\frac{v_A – v_B}{v_{A0} – v_{B0}}\) のように、定義式の冒頭にあるマイナス符号を忘れてしまう。
  • 対策: 反発係数の式は \(e = -\displaystyle\frac{\text{衝突後の相対速度}}{\text{衝突前の相対速度}}\) と言葉で覚えましょう。通常、衝突前後の相対速度は向きが逆になるため、比をとると負になります。反発係数 \(e\) は正の値なので、それを正にするためのマイナス符号である、と意味を理解しておくと忘れにくくなります。
• 運動量保存則で速度の符号を間違える:
  • 誤解: 速度の向きを考慮せず、すべて正の値（速さ）として式を立ててしまう。
  • 対策: 最初に設定した「正の向き」を絶対的な基準としましょう。そして、各物体の速度がその向きと同じなら正、逆なら負の値を代入する、というルールを機械的に適用する癖をつけます。（この問題では全ての速度が正の向きです。）
• 失われたエネルギーの計算で引き算の順序を間違える:
  • 誤解: 「後のエネルギー」から「前のエネルギー」を引いてしまい、答えが負になって混乱する。
  • 対策: 「失われた」エネルギーは、消費されてなくなった量なので、必ず正の値になります。したがって、必ず「前（大きい方）のエネルギー」から「後（小さい方）のエネルギー」を引く、と覚えておきましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（運動量保存則と反発係数の式）:
  • 選定理由: 求めたい未知数が、衝突後の速度 \(v_A\) と \(v_B\) の2つです。したがって、これら2つの未知数を含む独立した方程式が2本必要になります。衝突という物理現象を記述する最も基本的な法則が、「外力がなければ運動量は保存される」という運動量保存則と、「衝突の性質を定義する」反発係数の式です。この2つを用いることで、未知数2つに対して方程式2本という、解ける条件が整います。
  • 適用根拠: 「なめらかな水平面」という条件が、運動量保存則を適用する根拠となります。「反発係数が \(0.50\)」という条件が、反発係数の式を適用する直接的な根拠です。
• (2)での公式選択（運動エネルギーの定義式）:
  • 選定理由: 問われているのが「失われた力学的エネルギー」です。水平面上の運動なので位置エネルギーは考えなくてよく、運動エネルギーの変化を調べればよいことになります。したがって、運動エネルギーの定義式 \(K = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2\) を用いて、衝突の前後で運動エネルギーの総和がどれだけ変化した（減少した）かを計算するのが、最も直接的で自然なアプローチです。
  • 適用根拠: 「失われた量」は、定義上「変化前の量」から「変化後の量」を引くことで求められます。物理法則というよりは、言葉の定義に基づいた計算です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 連立方程式は筆算で確実に:
  • 式①と式②を上下に並べて書き、加減法で解くのが確実です。項を揃えて書くことで、符号のミスや足し忘れ・引き忘れを防げます。
• 反発係数の式を先に整理する:
  • 反発係数の式は、分母を払って \(e(v_{A0} – v_{B0}) = -(v_A – v_B)\) のように、分数のない形に整理してから計算を始めると、ミスが減ります。この問題では \(3.0 = v_A – v_B\) のように、非常にシンプルな形になります。
• エネルギー計算は項ごとに丁寧に行う:
  • (2)の計算では、4つの運動エネルギーの項（衝突前のA, B、衝突後のA, B）が出てきます。焦って一度に計算しようとせず、一つ一つの項を確実に計算し、最後に足し引きするようにしましょう。
• 概算による検算:
  • (1)で求めた速度を、運動量保存則の式①に代入して検算してみましょう。\(v_A + 2v_B = 8.0 + 2 \times 5.0 = 8.0 + 10.0 = 18\)。元の式の右辺と一致するので、計算は合っている可能性が高いです。
• 物理的にありえない値でないか吟味する:
  • (1)の結果、\(v_A = 8.0\,\text{m/s}\), \(v_B = 5.0\,\text{m/s}\) となり、衝突後にAがBを追い抜くことはなく、2物体は離れていきます（\(v_A > v_B\)）。もし \(v_A < v_B\) となっていたら、衝突後にAがBにめり込んでいくことになり、物理的におかしいと気づくべきです。
  • (2)の結果、失われたエネルギーが正の値になっています。もし負になったら、衝突によってエネルギーが増えたことになり、計算ミスを疑うべきです。

199 さまざまな衝突

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「等質量物体の1次元衝突と反発係数」です。反発係数が異なる3つのケース（弾性衝突、非弾性衝突、完全非弾性衝突）について、衝突後の物体の運動とエネルギーの変化を比較検討することで、反発係数の物理的な意味を深く理解することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、反発係数 \(e\) の値だけが異なる3つの設問からなります。したがって、最初に \(e\) を文字のまま使って、衝突後の速度 \(v_A, v_B\) を一般的に表す式を導出してしまうのが最も効率的です。導出した一般式に、各設問の \(e\) の値を代入するだけで、速度が機械的に求まります。エネルギー変化量も同様に計算します。
この設問における重要なポイント

• 運動方向（右向き）を正とする。
• 質量が等しい（\(m_A = m_B = m\)）という条件をうまく利用する。
• 運動量保存則と反発係数の式を連立させて、衝突後の速度の一般式を導出する。

具体的な解説と立式
衝突前のAの速度の向きを正とします。衝突前の速度は \(v_{A0} = v\), \(v_{B0} = 0\)。衝突後の速度をそれぞれ \(v_A, v_B\) とします。質量はともに \(m\) です。

• 運動量保存則
  衝突前後の系の全運動量は等しいので、
  $$
  \begin{aligned}
  m v_{A0} + m v_{B0} &= m v_A + m v_B \\[2.0ex] mv + m \cdot 0 &= m v_A + m v_B
  \end{aligned}
  $$
  両辺を \(m\) で割ると、
  $$
  \begin{aligned}
  v &= v_A + v_B \quad \cdots ①
  \end{aligned}
  $$
• 反発係数の式
  反発係数 \(e\) の定義式は、
  $$
  \begin{aligned}
  e &= -\frac{v_A – v_B}{v_{A0} – v_{B0}} \\[2.0ex] e &= -\frac{v_A – v_B}{v – 0}
  \end{aligned}
  $$
  分母を払うと、
  $$
  \begin{aligned}
  ev &= -(v_A – v_B) \\[2.0ex] ev &= v_B – v_A \quad \cdots ②
  \end{aligned}
  $$

これで、未知数 \(v_A, v_B\) を含む2本の連立方程式が立てられました。これを解いて一般式を求めます。

式①と式②を連立させて \(v_A, v_B\) を求めます。

• \(v_B\) の導出
  式①＋式②より、
  $$
  \begin{aligned}
  v + ev &= (v_A + v_B) + (v_B – v_A) \\[2.0ex] (1+e)v &= 2v_B \\[2.0ex] v_B &= \frac{1+e}{2}v
  \end{aligned}
  $$
• \(v_A\) の導出
  式①－式②より、
  $$
  \begin{aligned}
  v – ev &= (v_A + v_B) – (v_B – v_A) \\[2.0ex] (1-e)v &= 2v_A \\[2.0ex] v_A &= \frac{1-e}{2}v
  \end{aligned}
  $$

これで、衝突後の速度を表す一般式が求まりました。

問(1) \(e=1\) の場合（弾性衝突）

計算過程

• 速度の計算
  導出した一般式に \(e=1\) を代入します。
  $$
  \begin{aligned}
  v_A &= \frac{1-1}{2}v \\[2.0ex] &= 0\,\text{m/s}
  \end{aligned}
  $$
  $$
  \begin{aligned}
  v_B &= \frac{1+1}{2}v \\[2.0ex] &= v\,\text{m/s}
  \end{aligned}
  $$
• エネルギー変化量の計算
  変化量 \(\Delta E = (\text{後のエネルギー}) – (\text{前のエネルギー})\)
  $$
  \begin{aligned}
  \Delta E &= \left( \frac{1}{2}m v_A^2 + \frac{1}{2}m v_B^2 \right) – \left( \frac{1}{2}m v^2 + \frac{1}{2}m \cdot 0^2 \right) \\[2.0ex] &= \left( \frac{1}{2}m \cdot 0^2 + \frac{1}{2}m v^2 \right) – \frac{1}{2}m v^2 \\[2.0ex] &= \frac{1}{2}m v^2 – \frac{1}{2}m v^2 \\[2.0ex] &= 0\,\text{J}
  \end{aligned}
  $$

\(e=1\) は最もよくはね返る「弾性衝突」です。同じ重さのビリヤードの球で、止まっている球にまっすぐ当てると、当てた方の球が止まって、当てられた方の球が同じ速さで飛び出していきます。これと全く同じ現象で、AとBが速度を交換します。エネルギーのロスは全くありません。

等しい質量の物体が弾性衝突すると、速度が交換されるという有名な結果が得られました。力学的エネルギーも保存されており、\(e=1\) が弾性衝突であることを裏付けています。

問(2) \(e=3/5\) の場合（非弾性衝突）

計算過程

• 速度の計算
  一般式に \(e=3/5\) を代入します。
  $$
  \begin{aligned}
  v_A &= \frac{1 – 3/5}{2}v \\[2.0ex] &= \frac{2/5}{2}v \\[2.0ex] &= \frac{1}{5}v\,\text{m/s}
  \end{aligned}
  $$
  $$
  \begin{aligned}
  v_B &= \frac{1 + 3/5}{2}v \\[2.0ex] &= \frac{8/5}{2}v \\[2.0ex] &= \frac{4}{5}v\,\text{m/s}
  \end{aligned}
  $$
• エネルギー変化量の計算
  $$
  \begin{aligned}
  \Delta E &= \left\{ \frac{1}{2}m \left(\frac{1}{5}v\right)^2 + \frac{1}{2}m \left(\frac{4}{5}v\right)^2 \right\} – \frac{1}{2}m v^2 \\[2.0ex] &= \frac{1}{2}m v^2 \left\{ \left(\frac{1}{5}\right)^2 + \left(\frac{4}{5}\right)^2 \right\} – \frac{1}{2}m v^2 \\[2.0ex] &= \frac{1}{2}m v^2 \left( \frac{1}{25} + \frac{16}{25} \right) – \frac{1}{2}m v^2 \\[2.0ex] &= \frac{1}{2}m v^2 \left( \frac{17}{25} \right) – \frac{1}{2}m v^2 \\[2.0ex] &= \frac{1}{2}m v^2 \left( \frac{17}{25} – 1 \right) \\[2.0ex] &= \frac{1}{2}m v^2 \left( -\frac{8}{25} \right) \\[2.0ex] &= -\frac{4}{25}mv^2\,\text{J}
  \end{aligned}
  $$

\(e=3/5\) は、弾性衝突よりははね返りが悪い衝突です。そのため、Aは完全には止まらずに少し前に進み、BはAが止まる場合よりは遅い速度で進みます。衝突の際にエネルギーが少し失われるため、エネルギーの変化量はマイナスの値になります。

衝突後もAは前進を続け、BはAより速く進むため、2物体は離れていきます。エネルギー変化量が負の値となり、非弾性衝突で力学的エネルギーが失われたことを示しています。

問(3) \(e=0\) の場合（完全非弾性衝突）

計算過程

• 速度の計算
  一般式に \(e=0\) を代入します。
  $$
  \begin{aligned}
  v_A &= \frac{1-0}{2}v \\[2.0ex] &= \frac{1}{2}v\,\text{m/s}
  \end{aligned}
  $$
  $$
  \begin{aligned}
  v_B &= \frac{1+0}{2}v \\[2.0ex] &= \frac{1}{2}v\,\text{m/s}
  \end{aligned}
  $$
• エネルギー変化量の計算
  衝突後、AとBは一体となって速さ \(\frac{1}{2}v\) で運動します。全体の質量は \(2m\) です。
  $$
  \begin{aligned}
  \Delta E &= \frac{1}{2}(2m)\left(\frac{1}{2}v\right)^2 – \frac{1}{2}m v^2 \\[2.0ex] &= m \left(\frac{1}{4}v^2\right) – \frac{1}{2}m v^2 \\[2.0ex] &= \frac{1}{4}m v^2 – \frac{1}{2}m v^2 \\[2.0ex] &= -\frac{1}{4}mv^2\,\text{J}
  \end{aligned}
  $$

\(e=0\) は全くはね返らない「完全非弾性衝突」です。これは、粘土の塊同士がぶつかって、合体して一緒に動くようなイメージです。衝突後、AとBは同じ速さになります。このとき、失われるエネルギーが最も大きくなります。

衝突後の速度が \(v_A = v_B\) となり、2物体が一体化することが確認できました。エネルギーの損失も \(-\displaystyle\frac{1}{4}mv^2 = -\frac{6.25}{25}mv^2\) となり、(2)の \(-\displaystyle\frac{4}{25}mv^2\) よりも大きい（絶対値が大きい）ことがわかります。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 1次元衝突における2大法則の連立
  • 核心: この問題の根幹は、1次元の衝突現象を解析するための2つの基本法則、「運動量保存則」と「反発係数の定義式」を正しく立式し、それらを連立方程式として解く能力です。これは、衝突問題を解く上での最も基本的かつ重要な手順です。
  • 理解のポイント:
    • 運動量保存則: 「なめらかな水平面上」という条件から、物体系（A+B）に水平方向の外力が働かないことがわかります。したがって、衝突という内力が働くだけでは、系全体の運動量の合計は変化しません。
    • 反発係数の式: 衝突の「性質」を表すのが反発係数です。この式は、衝突後の相対速度が、衝突前の相対速度とどのような関係にあるかを記述します。\(e=1\) ならエネルギーが保存される弾性衝突、\(e<1\) ならエネルギーが失われる非弾性衝突となります。
    • なぜ2つの式が必要か: 衝突後の速度という未知数が \(v_A, v_B\) の2つあるため、それらを特定するには独立した方程式が2本必要になります。その2本の方程式を物理法則から見つけ出すのが、この問題の核心です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 質量が異なる物体の衝突: この問題のように質量が等しい場合は計算が簡単になりますが、質量が異なる場合でも、運動量保存則と反発係数の式を連立させるという解法の本質は全く同じです。
  • 壁との衝突: 壁は質量が非常に大きく、速度が \(0\) のままと考えます。運動量保存則は使えませんが、反発係数の式が \(e = -\displaystyle\frac{v’}{v}\)（衝突後の速度 / 衝突前の速度）と簡略化され、衝突後の速度を直接計算できます。
  • 分裂現象: 2つの物体がばねなどで押し合って離れる場合。これは反発係数の概念が使えない代わりに、運動量保存則とエネルギー保存則（ばねの弾性エネルギーが運動エネルギーに変わる）を連立させて解く問題パターンです。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まず質量が等しいか確認する: 質量が等しい場合、運動量保存則の式が \(v_{A0} + v_{B0} = v_A + v_B\) のように、速度の和の保存式に簡略化され、計算が大幅に楽になります。
  2. 反発係数 \(e\) の値を確認する:
     • \(e=1\)（弾性衝突）: エネルギーが保存される特別な場合。
     • \(e=0\)（完全非弾性衝突）: 衝突後、2物体は一体となって同じ速度で運動する（\(v_A = v_B\)）。
     • \(0 < e < 1\)（非弾性衝突）: 通常の衝突。エネルギーは失われる。
  3. 一般式を先に導出する戦略: この問題のように、条件を変えて複数回計算する必要がある場合、最初に \(e\) などの文字を含んだまま一般式を解いてしまうのが非常に有効です。あとは値を代入するだけで済みます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 反発係数の式のマイナス符号を忘れる:
  • 誤解: \(e = \displaystyle\frac{v_A – v_B}{v_{A0} – v_{B0}}\) のように、定義式の冒頭にあるマイナス符号を忘れてしまう。
  • 対策: 反発係数の式は \(e = -\displaystyle\frac{\text{衝突後の相対速度}}{\text{衝突前の相対速度}}\) と言葉で覚えましょう。通常、衝突前後の相対速度は向きが逆になるため、比をとると負になります。反発係数 \(e\) は正の値なので、それを正にするためのマイナス符号である、と意味を理解しておくと忘れにくくなります。
• エネルギー「変化量」の定義を間違える:
  • 誤解: エネルギーの「変化量」を求める際に、「失われたエネルギー」と同じつもりで「前のエネルギー」から「後のエネルギー」を引いてしまう。
  • 対策: エネルギー「変化量」は、物理学の慣例として常に「後の量」ひく「前の量」(\(\Delta E = E_{\text{後}} – E_{\text{前}}\))で定義されます。衝突でエネルギーが失われる場合、\(E_{\text{後}} < E_{\text{前}}\) なので、変化量は必ず負の値になります。もし「失われたエネルギーはいくらか」と正の値で問われた場合は、この変化量の絶対値をとるか、「前のエネルギー」から「後のエネルギー」を引きます。
• 等質量・弾性衝突の「速度交換」をいつでも使えると勘違いする:
  • 誤解: 質量が等しければ、いつでも速度が交換されると思い込んでしまう。
  • 対策: 「速度交換」が起こるのは、「質量が等しい」かつ「弾性衝突（\(e=1\)）」という2つの条件が揃ったときだけです。この問題の(1)がまさにその例ですが、(2)や(3)では成り立たないことを確認しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 速度を求める問題での公式選択（運動量保存則と反発係数の式）:
  • 選定理由: 求めたい未知数が、衝突後の速度 \(v_A\) と \(v_B\) の2つです。したがって、これら2つの未知数を含む独立した方程式が2本必要になります。衝突という物理現象を記述する最も基本的な法則が、「外力がなければ運動量は保存される」という運動量保存則と、「衝突の性質を定義する」反発係数の式です。この2つを用いることで、未知数2つに対して方程式2本という、解ける条件が整います。
  • 適用根拠: 「なめらかな水平面」という条件が、運動量保存則を適用する根拠となります。「反発係数 \(e\) が与えられている」という条件が、反発係数の式を適用する直接的な根拠です。
• エネルギー変化量を求める問題での公式選択（運動エネルギーの定義式）:
  • 選定理由: 問われているのが「力学的エネルギーの変化量」です。水平面上の運動なので位置エネルギーは考えなくてよく、運動エネルギーの変化を調べればよいことになります。したがって、運動エネルギーの定義式 \(K = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2\) を用いて、衝突の前後で運動エネルギーの総和がどれだけ変化したかを計算するのが、最も直接的で自然なアプローチです。
  • 適用根拠: 「変化量」は、定義上「変化後の量」から「変化前の量」を引くことで求められます。物理法則というよりは、言葉の定義に基づいた計算です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 一般式を先に導出する戦略:
  • 個別の数値を代入する前に、まず文字式（\(m, v, e\) など）のまま解いて一般式を導出する癖をつけましょう。これにより、問題の構造がクリアになり、複数の設問を効率よく、かつ統一的に解くことができます。検算も非常にしやすくなります。
• 連立方程式の加減法を確実に行う:
  • この問題の計算過程のように、式①と式②を足したり引いたりして未知数を一つずつ消去するのが、最も確実で間違いの少ない方法です。
• エネルギー計算での共通因数の活用:
  • (2)のエネルギー変化量の計算で、\(\Delta E = \frac{1}{2}m v^2 \left( (\frac{1}{5})^2 + (\frac{4}{5})^2 – 1 \right)\) のように、共通因数 \(\frac{1}{2}mv^2\) でくくりだしてから計算すると、計算量が減り、ミスも少なくなります。
• 物理的な意味から結果を吟味する:
  • \(e=1\)（弾性衝突）でエネルギー変化が \(0\)。
  • \(e=0\)（完全非弾性衝突）でエネルギー損失が最大。
  • \(0 < e < 1\)（非弾性衝突）では、エネルギー損失はその中間。
  • 今回の計算結果、(1) \(0\)、(2) \(-\displaystyle\frac{4}{25}mv^2 = -0.16mv^2\)、(3) \(-\displaystyle\frac{1}{4}mv^2 = -0.25mv^2\) は、この物理的な大小関係と一致しており、妥当であることがわかります。

200 合体とエネルギー

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「完全非弾性衝突（合体）と、その後の力学的エネルギー保存」です。2つの異なる物理法則が適用される局面を正しく見分け、それらを連携させて解く典型問題です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
弾丸と物体が一体となる「完全非弾性衝突」です。問題文に「衝突は瞬間的におこった」とあるのが重要なヒントです。これは、衝突しているごく短い時間の間には、物体はほとんど動かず、ばねもほとんど縮まないと解釈できます。したがって、衝突の瞬間には、ばねの力や摩擦力などの外力は無視でき、「弾丸＋物体」を一つの系とみなすと、運動量が保存されると考えます。
この設問における重要なポイント

• 衝突は瞬間的であり、その間、外力（ばねの力）は無視できる。
• 「弾丸＋物体」の系で、衝突直前と直後で運動量が保存される。
• 衝突後、弾丸と物体は一体となって同じ速度で運動する。

具体的な解説と立式
右向きを正とします。
衝突前の弾丸の質量を \(m\)、速度を \(v_0\)。物体の質量を \(M\)、速度を \(0\)。
衝突後、一体となった物体の質量は \((m+M)\)、その速度を \(v\) とします。

運動量保存則より、
$$
\begin{aligned}
(\text{衝突前の運動量の和}) &= (\text{衝突後の運動量の和})
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
mv_0 + M \cdot 0 &= (m+M)v
\end{aligned}
$$

上記で立てた式を \(v\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
mv_0 &= (m+M)v \\[2.0ex] v &= \frac{mv_0}{m+M}
\end{aligned}
$$

軽い弾丸が持っていた「勢い」(\(mv_0\))を、衝突後に合体して重くなった物体全体(\(m+M\))で分け合う、と考えることができます。全体の勢いは変わらないので、重くなった分だけスピードが遅くなります。

一体となった直後の速さは \(v = \displaystyle\frac{mv_0}{m+M}\) と求まりました。速度が正の値なので、右向きに運動することがわかります。また、全体の質量 \((m+M)\) が大きいほど、衝突後の速さ \(v\) は小さくなるという、物理的に妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
衝突によって「失われた」力学的エネルギーを求めます。これは、衝突が完全非弾性衝突（合体）であるため、運動エネルギーの一部が熱や音、物体の変形エネルギーに変わったことを意味します。「失われたエネルギー」は、「衝突前の運動エネルギーの和」から「衝突後の運動エネルギーの和」を引くことで計算できます。
この設問における重要なポイント

• 失われたエネルギー \(= (\text{前の運動エネルギーの和}) – (\text{後の運動エネルギーの和})\)。
• 衝突では力学的エネルギーは保存されない。
• (1)で求めた衝突後の速さ \(v\) を用いる。

具体的な解説と立式
失われた力学的エネルギーを \(\Delta E_{\text{失}}\) とします。

• 衝突前の運動エネルギーの和 \(K_{\text{前}}\):
  弾丸の運動エネルギーのみです。
  $$
  \begin{aligned}
  K_{\text{前}} &= \frac{1}{2}mv_0^2
  \end{aligned}
  $$
• 衝突後の運動エネルギーの和 \(K_{\text{後}}\):
  一体となった物体の運動エネルギーです。
  $$
  \begin{aligned}
  K_{\text{後}} &= \frac{1}{2}(m+M)v^2
  \end{aligned}
  $$

失われたエネルギーは、これらの差です。
$$
\begin{aligned}
\Delta E_{\text{失}} &= K_{\text{前}} – K_{\text{後}}
\end{aligned}
$$

(1)で求めた \(v = \displaystyle\frac{mv_0}{m+M}\) を \(K_{\text{後}}\) の式に代入し、差を計算します。
$$
\begin{aligned}
\Delta E_{\text{失}} &= \frac{1}{2}mv_0^2 – \frac{1}{2}(m+M)\left(\frac{mv_0}{m+M}\right)^2 \\[2.0ex] &= \frac{1}{2}mv_0^2 – \frac{1}{2}(m+M)\frac{m^2v_0^2}{(m+M)^2} \\[2.0ex] &= \frac{1}{2}mv_0^2 – \frac{1}{2}\frac{m^2v_0^2}{m+M} \\[2.0ex] &= \frac{1}{2}mv_0^2 \left(1 – \frac{m}{m+M}\right) \\[2.0ex] &= \frac{1}{2}mv_0^2 \left(\frac{(m+M)-m}{m+M}\right) \\[2.0ex] &= \frac{1}{2}mv_0^2 \left(\frac{M}{m+M}\right) \\[2.0ex] &= \frac{Mmv_0^2}{2(m+M)}
\end{aligned}
$$

衝突の前後で、スピードエネルギーがどれだけ減ったかを計算します。衝突前は弾丸だけがスピードエネルギーを持っていました。衝突後は、合体した物体がスピードエネルギーを持っています。この「前のエネルギー」から「後のエネルギー」を差し引いた分が、衝突の際の音や熱に変わって失われたエネルギーです。

失われたエネルギーは \(\displaystyle\frac{Mmv_0^2}{2(m+M)}\) と求まりました。これは正の値であり、エネルギーが失われたことを示しています。完全非弾性衝突では必ずエネルギーが失われるため、妥当な結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
「衝突後」から「ばねが最大に縮む」までの、第2の局面に注目します。この区間では、物体に働く水平方向の力はばねの弾性力のみです。弾性力は保存力なので、この区間では力学的エネルギー（運動エネルギーと弾性エネルギーの和）が保存されます。「衝突直後」の状態と、「ばねが最大に縮んだ」状態の2つの時点でエネルギー保存則の式を立てます。
この設問における重要なポイント

• 考える区間を「衝突後」に限定する。この区間では力学的エネルギーが保存される。
• 衝突直後の状態: 運動エネルギー \(\displaystyle\frac{1}{2}(m+M)v^2\)、弾性エネルギー \(0\)。
• ばねが最大に縮んだ状態: 速さが \(0\) になるので運動エネルギー \(0\)、弾性エネルギー \(\displaystyle\frac{1}{2}kx^2\)。

具体的な解説と立式
ばねの最大の縮みを \(x\) とします。
「衝突直後」と「最大圧縮時」の2つの状態で、力学的エネルギー保存則を立てます。
$$
\begin{aligned}
(\text{衝突直後の力学的エネルギー}) &= (\text{最大圧縮時の力学的エネルギー})
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
(\text{運動エネルギー}) &+ (\text{弾性エネルギー}) \\[2.0ex] = (\text{運動エネルギー}) &+ (\text{弾性エネルギー})
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}(m+M)v^2 + 0 &= 0 + \frac{1}{2}kx^2
\end{aligned}
$$

上記で立てた式に、(1)で求めた \(v = \displaystyle\frac{mv_0}{m+M}\) を代入し、\(x\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}(m+M)\left(\frac{mv_0}{m+M}\right)^2 &= \frac{1}{2}kx^2 \\[2.0ex] (m+M)\frac{m^2v_0^2}{(m+M)^2} &= kx^2 \\[2.0ex] \frac{m^2v_0^2}{m+M} &= kx^2 \\[2.0ex] x^2 &= \frac{m^2v_0^2}{k(m+M)}
\end{aligned}
$$
\(x > 0\) なので、平方根をとって、
$$
\begin{aligned}
x &= \sqrt{\frac{m^2v_0^2}{k(m+M)}} \\[2.0ex] &= \frac{mv_0}{\sqrt{k(m+M)}}
\end{aligned}
$$

衝突直後、合体した物体はスピードを持っています。このスピードのエネルギーが、ばねを押し縮める仕事に使われます。そして、すべてのスピードエネルギーが、ばねの「縮むエネルギー（弾性エネルギー）」に変換された瞬間に、物体は一瞬停止します。このときが、ばねが最も縮んだときです。「衝突直後のスピードエネルギー」＝「最大に縮んだときのばねのエネルギー」という等式を立てて計算します。

ばねの最大の縮みは \(x = \displaystyle\frac{mv_0}{\sqrt{k(m+M)}}\) と求まりました。弾丸の運動量 \(mv_0\) が大きいほど、ばねはよく縮むこと、また、ばねが硬い（\(k\)が大きい）ほど、あるいは全体の質量 \((m+M)\) が大きいほど、縮みにくいことが式から読み取れ、物理的に妥当な結果です。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動の局面の分割と、各局面での法則の正しい適用
  • 核心: この問題の根幹は、一連の物理現象を「衝突の瞬間」と「衝突後の運動」という2つの異なる局面に正しく分割し、それぞれの局面に適した物理法則を使い分ける能力です。
  • 理解のポイント:
    • 局面1（衝突の瞬間）: 「衝突は瞬間的」という記述から、衝突中に働く撃力に比べてばねの力（外力）は無視できると判断します。したがって、外力が働かないとみなせるこの瞬間には「運動量保存則」が成り立ちます。しかし、合体（完全非弾性衝突）するため、「力学的エネルギー保存則」は成り立ちません。
    • 局面2（衝突後の運動）: 衝突が終わった後、一体となった物体がばねを縮めていく運動では、仕事をする力は保存力であるばねの弾性力のみです。したがって、この区間では「力学的エネルギー保存則」が成り立ちます。しかし、ばねから常に力を受け続けるため、系の運動量は保存されません。
    • 法則のバトンタッチ: このように、運動量保存則で「衝突直後」の速度を求め、その速度を初期値として力学的エネルギー保存則に引き継ぐ、「法則のバトンタッチ」がこの問題を解くための思考の流れとなります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 弾道振り子: ぶら下がっているおもりに弾丸が撃ち込まれ、一体となって振り上がる問題。これも「衝突の瞬間（運動量保存）」→「その後の振り子運動（力学的エネルギー保存）」という2段階で解く典型例です。
  • 摩擦のある面上での合体と運動: 衝突の瞬間は運動量保存則が使えますが、衝突後は動摩擦力（非保存力）が仕事をするため、力学的エネルギーは保存されません。この場合は「仕事とエネルギーの関係（エネルギー原理）」を用いて、動摩擦力がした仕事の分だけ力学的エネルギーが減少する、という式を立てます。
  • ばねにつながれた物体同士の衝突: ばねにつながれた静止物体に、別の物体が衝突する場合。衝突の瞬間は2物体系で運動量保存則を考えます。衝突後の運動は、2物体がばねを介して振動する連成振動となり、より複雑な解析が必要になりますが、系全体のエネルギー保存則は有効です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 現象を時系列で分解する: まず、一連の出来事を「衝突」「衝突後」のように時間で区切ります。
  2. 各局面で働く力を分析する:
     • 衝突の瞬間: 「瞬間的」という言葉に注目します。内力（撃力）が支配的で、外力（ばねの力、重力など有限の力）は無視できると判断し、運動量保存則の適用を考えます。
     • 衝突後: どのような力が仕事をするかを確認します。保存力（ばねの力、重力）のみならエネルギー保存則。非保存力（摩擦力）も働くなら仕事とエネルギーの関係、と考えます。
  3. エネルギーが保存される区間とされない区間を明確に区別する: 衝突の瞬間はエネルギーが失われる（非弾性衝突の場合）。衝突後は保存される。この区別が最大のポイントです。
  4. 状態を定義する: 「衝突直前」「衝突直後」「最大圧縮時」など、キーとなる状態を定義し、それぞれの状態での運動エネルギーや位置エネルギー（弾性エネルギー）を書き出します。
  5. 法則を適用して状態間をつなぐ:
     • 「衝突直前」→「衝突直後」：運動量保存則
     • 「衝突直後」→「最大圧縮時」：力学的エネルギー保存則

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 全区間でエネルギー保存則を立ててしまう:
  • 誤解: 弾丸の最初の運動エネルギーが、すべてばねの弾性エネルギーに変わると考えて、\(\displaystyle\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}kx^2\) という誤った式を立ててしまう。
  • 対策: 「合体」する衝突（完全非弾性衝突）は、力学的エネルギーが必ず失われる現象であると肝に銘じましょう。「衝突の瞬間」をまたいで力学的エネルギー保存則を立ててはいけない、と強く意識することが最も重要です。力学的エネルギーが保存されるのは、あくまで「衝突が終わった後」の区間だけです。
• 運動量保存則を適用する区間を間違える:
  • 誤解: 衝突後からばねが最大に縮むまでの間も、運動量が保存されると考えてしまう。
  • 対策: 運動量保存則が成り立つのは「外力が働かない（または無視できる）」ときだけです。衝突後は、ばねから常に力を受け続けるため、系の運動量は保存されません（減速していきます）。運動量保存則が使えるのは、外力（ばねの力）が無視できる「衝突の直前と直後」の一瞬だけであると理解しましょう。
• 最大圧縮時の速度をゼロと考えない:
  • 誤解: ばねが最も縮んだときも、まだ動いているのではないかと考えてしまう。
  • 対策: 「最大」の縮みとは、それ以上縮めなくなる、つまり一瞬速度がゼロになる折り返し点である、と定義を理解しましょう。もし速度が残っていれば、その物体はさらに縮む方向に運動を続けるはずです。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（運動量保存則）:
  • 選定理由: 「衝突」という、力が複雑に働く短時間の現象で、衝突後の「速度」を求めたい状況です。衝突中に働く撃力は不明なので運動方程式は使えません。しかし、「衝突は瞬間的」で外力が無視できるため、運動量保存則が適用できます。未知数が衝突後の速度 \(v\) の一つに対し、運動量保存則から一本の式が得られるため、解くことができます。
  • 適用根拠: 「なめらかな水平面」で「衝突は瞬間的」という条件から、衝突の直前直後において、系に働く外力（ばねの力）の力積は無視できるほど小さいとみなせます。これが運動量保存則を適用する物理的な根拠となります。
• (2)での公式選択（運動エネルギーの定義式）:
  • 選定理由: 「失われた力学的エネルギー」を問われています。これはエネルギーに関する問いなので、エネルギーの定義式を使うのが最も直接的です。
  • 適用根拠: 「失われた量」は「前の量」ひく「後の量」で計算されます。衝突前後の運動エネルギーをそれぞれ \(K = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2\) で計算し、その差をとることで求めます。
• (3)での公式選択（力学的エネルギー保存則）:
  • 選定理由: 「衝突後」の運動で、「速さ」とばねの「縮み（位置）」の関係を知りたい状況です。運動エネルギーと弾性エネルギー（位置エネルギー）の関係を記述する法則は、力学的エネルギー保存則です。
  • 適用根拠: 衝突後の運動では、仕事をする力はばねの弾性力のみです（垂直抗力と重力は仕事をしません）。弾性力は保存力なので、この区間では力学的エネルギーが保存されます。これが法則を適用する物理的な根拠となります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま計算を進める:
  • (2)や(3)の計算で、(1)で求めた \(v = \displaystyle\frac{mv_0}{m+M}\) をすぐに代入するのではなく、まずは \(K_{\text{後}} = \frac{1}{2}(m+M)v^2\) のように文字 \(v\) のまま式を立て、最後に代入する方が見通しがよくなります。
• 共通因数でくくる:
  • (2)の計算で、\(\Delta E_{\text{失}} = \frac{1}{2}mv_0^2 – \frac{1}{2}\displaystyle\frac{m^2v_0^2}{m+M}\) となった後、共通因数 \(\frac{1}{2}mv_0^2\) でくくると、\(\frac{1}{2}mv_0^2 (1 – \displaystyle\frac{m}{m+M})\) となり、括弧の中の通分だけで済むため計算が楽になります。
• 平方根の計算を丁寧に行う:
  • (3)の最後で \(x^2 = \displaystyle\frac{m^2v_0^2}{k(m+M)}\) から平方根をとる際に、分子の \(m^2v_0^2\) は \((mv_0)^2\) であることを意識し、ルートの外に出せるものと出せないものを正確に区別しましょう。
• 単位や次元の確認（次元解析）:
  • (3)で求めた \(x = \displaystyle\frac{mv_0}{\sqrt{k(m+M)}}\) の単位が、ちゃんと長さ(\(\text{m}\))になっているかを確認する癖をつけましょう。
    • 分子 \(mv_0\) の単位：\(\text{kg} \cdot \text{m/s}\)
    • 分母 \(\sqrt{k(m+M)}\) の単位：ばね定数 \(k\) の単位は \(N/m = (kg \cdot m/s^2)/m = kg/s^2\)。よって、\(\sqrt{(kg/s^2) \cdot kg} = \sqrt{kg^2/s^2} = kg/s\)。
    • 全体の単位：\((\text{kg} \cdot \text{m/s}) / (\text{kg/s}) = \text{m}\)。単位は合っていることが確認できます。
• 物理的にありえない値でないか吟味する:
  • (2)で失われたエネルギーが正の値になっているか（負になったらおかしい）。
  • (3)で \(x^2\) が負になっていないか。

  これらの簡単なチェックで、大きな計算ミスを発見できます。

ABOUT THE AUTHOR

共田 誠（まこと先生）

高校物理講師・プロ家庭教師 / 指導歴14年

上智大学理工学部物理学科卒。私立高校の非常勤講師として進学クラスから基礎クラスまで幅広く担当。大手家庭教師センター3社でプロ家庭教師を経験し、現在はオンライン専門で全国の高校生を個別指導中。

「暗記物理の撲滅」を掲げ、生徒の思考のクセを診断・矯正するドクター型アプローチで指導。表面的なテクニックではなく、初見の問題に強い思考力を育てる。

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