「セミナー物理基礎＋物理2025」徹底解説！【第 Ⅲ 章 13】基本例題～基本問題313

2025年11月15日
2026年10月29日
問題演習
問題演習, 基礎, 熱力学, 高校物理

問題演習

11月、中間の×を生んだ考え方のクセは、期末にもついてきます。

範囲が変わっても、×を生んだ考え方のクセは次の単元へ持ち越されます。答案の×を1つずつ「どの順番で考えたか」に戻して、期末で同じ転び方をしない準備を。

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1 基本例題
2 基本問題

基本例題

基本例題41 内部エネルギーの保存

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

【相違点に関する注記】

提示する別解
- 設問(1),(2)の別解: 圧力を先に求める解法
  - 模範解答が温度を先に求め、その結果を使って圧力を計算するのに対し、別解では内部エネルギー保存則から圧力を直接求め、その結果を用いて温度を計算します。
上記の別解が有益である理由
- 物理的本質の深化: 内部エネルギー保存則が、温度($U=\frac{3}{2}nRT$)だけでなく圧力($U=\frac{3}{2}pV$)とも直接結びつけられることを理解することで、物理法則の多面的な見方を養えます。
- 思考の柔軟性向上: 設問の順番通りに解くのではなく、どの物理量を先に求めると効率的かを考える良い訓練になります。
- 解法の選択肢拡大: 状態方程式とエネルギー保存則の組み合わせ方を学ぶことで、複雑な問題に対応できる引き出しが増えます。
結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、計算の順序が異なるだけで、最終的に得られる答えは模範解答と完全に一致します。

この問題のテーマは「断熱された容器内での気体の混合とエネルギー保存」です。異なる状態の気体を混合したときに、最終的にどのような状態に落ち着くかを考える問題で、熱力学の基本法則を正しく適用できるかが問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

熱力学第一法則と内部エネルギー保存: 周囲と熱のやりとりがなく(断熱)、体積変化による仕事もない場合、系全体の内部エネルギーは保存されるという法則を理解していること。
理想気体の内部エネルギーの公式: 単原子分子理想気体の内部エネルギーが、絶対温度と物質量に比例すること ($U = \frac{3}{2}nRT$) を知っていること。
理想気体の状態方程式: 気体の圧力、体積、物質量、温度の関係を表す基本式 ($pV=nRT$) を使いこなせること。
混合後の気体の状態: コックを開いて十分に時間が経つと、気体は容器全体に広がり、温度と圧力は場所によらず均一になることを理解していること。

基本的なアプローチは以下の通りです。

(1)では、容器AとBの気体を一つの「系」とみなします。この系は外部から断熱されており、外部への仕事もしないため、系全体の内部エネルギーはコックを開く前後で保存されます。この「内部エネルギー保存則」の式を立てて、混合後の温度を求めます。
(2)では、(1)で求めた混合後の温度を使います。気体全体について、全体の体積、全体の物質量、そして求めた温度が分かっているので、理想気体の状態方程式にこれらの値を代入して、全体の圧力を計算します。

問(1)

思考の道筋とポイント
この問題の核心は、「周囲と熱のやりとりはない」という記述から、容器AとBの気体を合わせた系全体の内部エネルギーが保存されることを見抜く点にあります。コックを開く前と後で、内部エネルギーの合計値が等しいという式を立てます。単原子分子なので、内部エネルギーの公式 $U = \frac{3}{2}nRT$ を使って立式し、未知数である混合後の温度 $T$ を求めます。
この設問における重要なポイント

系全体（Aの気体 + Bの気体）は、外部と熱のやりとりがない（$Q=0$）。
気体は容器の外に対して仕事をしない（$W=0$）。
熱力学第一法則 $\Delta U = Q+W$ より、系全体の内部エネルギーの変化 $\Delta U$ は $0$、すなわち内部エネルギーは保存される。
混合後は、容器内の気体は全体で一つの均一な温度 $T$ になる。

具体的な解説と立式
コックを開く前の容器A、B内の気体の内部エネルギーをそれぞれ $U_A$、$U_B$ とします。

容器Aの内部エネルギー:
$$
\begin{aligned}
U_A &= \frac{3}{2}n_A R T_A
\end{aligned}
$$
容器Bの内部エネルギー:
$$
\begin{aligned}
U_B &= \frac{3}{2}n_B R T_B
\end{aligned}
$$

したがって、コックを開く前の内部エネルギーの和 $U_{\text{前}}$ は、
$$
\begin{aligned}
U_{\text{前}} &= U_A + U_B \\[2.0ex] &= \frac{3}{2}n_A R T_A + \frac{3}{2}n_B R T_B
\end{aligned}
$$
次に、コックを開いて十分に時間が経過した後の状態を考えます。気体は混合され、全体の物質量は $n = n_A + n_B$、温度は全体で均一な $T$ になります。このときの内部エネルギーの和 $U_{\text{後}}$ は、
$$
\begin{aligned}
U_{\text{後}} &= \frac{3}{2}(n_A + n_B)RT
\end{aligned}
$$
内部エネルギー保存則より $U_{\text{前}} = U_{\text{後}}$ が成り立つので、以下の式が立てられます。
$$ \frac{3}{2}n_A R T_A + \frac{3}{2}n_B R T_B = \frac{3}{2}(n_A + n_B)RT \quad \cdots ① $$

使用した物理公式

理想気体の内部エネルギー: $U = \frac{3}{2}nRT$
熱力学第一法則: $\Delta U = Q+W$ （から導かれる内部エネルギー保存則）

計算過程

式①の両辺に共通する $\frac{3}{2}R$ を消去すると、式は簡単になります。
$$
\begin{aligned}
n_A T_A + n_B T_B &= (n_A + n_B)T
\end{aligned}
$$
この式に、問題文で与えられた値を代入します。
$n_A = 2.0\,\text{mol}$, $T_A = 300\,\text{K}$, $n_B = 3.0\,\text{mol}$, $T_B = 400\,\text{K}$ です。
$$
\begin{aligned}
(2.0 \times 300) + (3.0 \times 400) &= (2.0 + 3.0) \times T \\[2.0ex] 600 + 1200 &= 5.0 T \\[2.0ex] 1800 &= 5.0 T \\[2.0ex] T &= \frac{1800}{5.0} \\[2.0ex] T &= 360\,\text{K}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えるため、$3.6 \times 10^2\,\text{K}$ となります。

この設問の平易な説明

容器AとBに入っている気体がそれぞれ持っている「熱エネルギー」を考えます。コックを開けて2つの気体が混ざっても、容器全体が魔法瓶のようになっているので、エネルギーは外に逃げません。つまり、「混ぜる前のエネルギーの合計」と「混ざった後のエネルギーの合計」は同じになります。このエネルギーのつりあいの式を立てて、混ざった後の最終的な温度を計算する、という流れです。

結論と吟味

混合後の温度は $360\,\text{K}$ と求まりました。この値は、はじめの温度である $300\,\text{K}$ と $400\,\text{K}$ の間の値です。また、物質量の多い($3.0\,\text{mol}$)気体Bの温度($400\,\text{K}$)により近い値になっており、物理的に妥当な結果であると言えます。もし物質量が同じであれば、ちょうど中間の $350\,\text{K}$ になります。

解答 (1) 温度: $3.6 \times 10^2\,\text{K}$

問(2)

思考の道筋とポイント
設問(1)で、コックを開いた後の気体全体の温度が $T=360\,\text{K}$ であることがわかりました。気体全体を一つの系として見ると、「全体の体積」「全体の物質量」「全体の温度」の3つの量が分かっていることになります。これらの関係を結びつけるのは理想気体の状態方程式 $pV=nRT$ です。この式を使えば、残る未知数である「全体の圧力 $p$」を求めることができます。
この設問における重要なポイント

混合後の気体は、容器AとBを合わせた体積全体に広がっている。
全体の体積 $V = V_A + V_B$。
全体の物質量 $n = n_A + n_B$。
全体の温度 $T$ は(1)で求めた値を使う。

具体的な解説と立式
混合後の気体全体について、理想気体の状態方程式を適用します。

圧力: $p$
体積: $V = V_A + V_B = 4.0 \times 10^{-2} + 6.0 \times 10^{-2} = 10.0 \times 10^{-2}\,\text{m}^3$
物質量: $n = n_A + n_B = 2.0 + 3.0 = 5.0\,\text{mol}$
気体定数: $R = 8.3\,\text{J/(mol}\cdot\text{K)}$
温度: $T = 360\,\text{K}$ （(1)の結果より）

これらの量を状態方程式 $pV=nRT$ に当てはめると、以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
p \times (V_A + V_B) = (n_A + n_B)RT
\end{aligned}
$$

使用した物理公式

理想気体の状態方程式: $pV=nRT$

計算過程

上記で立てた式に、具体的な数値を代入して $p$ を計算します。
$$
\begin{aligned}
p \times (4.0 \times 10^{-2} + 6.0 \times 10^{-2}) &= (2.0 + 3.0) \times 8.3 \times 360 \\[2.0ex] p \times (10.0 \times 10^{-2}) &= 5.0 \times 8.3 \times 360 \\[2.0ex] p \times 0.10 &= 14940 \\[2.0ex] p &= \frac{14940}{0.10} \\[2.0ex] p &= 149400\,\text{Pa} \\[2.0ex] p &= 1.494 \times 10^5\,\text{Pa}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えるため、$1.5 \times 10^5\,\text{Pa}$ となります。

この設問の平易な説明

(1)で、混ざった後の気体の「温度」がわかりました。気体はAとBを合わせた広い部屋（全体の体積）に、AとBの分子を合わせた数（全体の物質量）だけ存在しています。この「体積」「物質量」「温度」の3点セットがわかれば、おなじみの公式 $pV=nRT$ を使って、残りの「圧力」を計算することができます。

結論と吟味

圧力は $1.5 \times 10^5\,\text{Pa}$ と求まりました。参考までに、混合前の圧力を計算すると $p_A = \frac{n_A R T_A}{V_A} \approx 1.2 \times 10^5\,\text{Pa}$、$p_B = \frac{n_B R T_B}{V_B} \approx 1.7 \times 10^5\,\text{Pa}$ となり、混合後の圧力はこの間の値になっています。これは物理的に妥当な結果です。

解答 (2) 圧力: $1.5 \times 10^5\,\text{Pa}$

別解: 内部エネルギー保存則から圧力を先に求める解法

思考の道筋とポイント
模範解答では(1)で温度を求め、(2)で圧力という順で解きましたが、物理法則の立て方を工夫すれば、(2)の圧力を先に求めることも可能です。ここでも鍵となるのは内部エネルギー保存則ですが、変化後の内部エネルギーを温度 $T$ ではなく圧力 $p$ を使って $U=\frac{3}{2}pV$ の形で表現します。これにより、温度を経由せずに圧力を直接求める式を立てることができます。
この設問における重要なポイント

内部エネルギー保存則 $U_{\text{前}} = U_{\text{後}}$ を利用する。
変化前の内部エネルギーは $U_{\text{前}} = \frac{3}{2}n_A R T_A + \frac{3}{2}n_B R T_B$。
変化後の内部エネルギーは、状態方程式 $p V_{\text{全体}} = n_{\text{全体}} R T$ を使うと、$U_{\text{後}} = \frac{3}{2}n_{\text{全体}} R T = \frac{3}{2}p V_{\text{全体}}$ と表せる。
これにより、温度 $T$ を未知数として含まない、圧力 $p$ に関する方程式を立てられる。

具体的な解説と立式
内部エネルギー保存則より、(変化前の内部エネルギーの和) = (変化後の内部エネルギー) です。
変化前の内部エネルギーの和 $U_{\text{前}}$ は、
$$
\begin{aligned}
U_{\text{前}} &= \frac{3}{2}n_A R T_A + \frac{3}{2}n_B R T_B
\end{aligned}
$$
変化後の全体の体積を $V = V_A+V_B$、圧力を $p$ とします。変化後の内部エネルギー $U_{\text{後}}$ は、
$$
\begin{aligned}
U_{\text{後}} &= \frac{3}{2}p(V_A+V_B)
\end{aligned}
$$
$U_{\text{前}} = U_{\text{後}}$ より、
$$
\begin{aligned}
\frac{3}{2}n_A R T_A + \frac{3}{2}n_B R T_B = \frac{3}{2}p(V_A+V_B)
\end{aligned}
$$
この式からまず圧力 $p$ を求めます。これが設問(2)の答えになります。
次に、求めた圧力 $p$ を使い、気体全体の状態方程式 $p(V_A+V_B) = (n_A+n_B)RT$ から温度 $T$ を求めます。これが設問(1)の答えになります。

使用した物理公式

理想気体の内部エネルギー: $U = \frac{3}{2}nRT$
理想気体の状態方程式: $pV=nRT$

計算過程

圧力 $p$ の計算 (設問(2)を先に解く)
エネルギー保存の式から $\frac{3}{2}$ を消去します。
$$
\begin{aligned}
n_A R T_A + n_B R T_B &= p(V_A+V_B)
\end{aligned}
$$
この式を $p$ について解き、値を代入します。
$$
\begin{aligned}
p &= \frac{n_A R T_A + n_B R T_B}{V_A+V_B} \\[2.0ex] &= \frac{(2.0 \times 8.3 \times 300) + (3.0 \times 8.3 \times 400)}{4.0 \times 10^{-2} + 6.0 \times 10^{-2}} \\[2.0ex] &= \frac{4980 + 9960}{10.0 \times 10^{-2}} \\[2.0ex] &= \frac{14940}{0.10} \\[2.0ex] &= 149400\,\text{Pa} \\[2.0ex] &= 1.494 \times 10^5\,\text{Pa}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で $1.5 \times 10^5\,\text{Pa}$ となります。
温度 $T$ の計算 (設問(1)を次に解く)
気体全体の状態方程式 $p(V_A+V_B) = (n_A+n_B)RT$ を $T$ について解きます。
$$
\begin{aligned}
T &= \frac{p(V_A+V_B)}{(n_A+n_B)R}
\end{aligned}
$$
先に求めた $p$ の精密な値 $149400\,\text{Pa}$ を使って計算します。
$$
\begin{aligned}
T &= \frac{149400 \times (10.0 \times 10^{-2})}{(2.0+3.0) \times 8.3} \\[2.0ex] &= \frac{14940}{5.0 \times 8.3} \\[2.0ex] &= \frac{14940}{41.5} \\[2.0ex] &= 360\,\text{K}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で $3.6 \times 10^2\,\text{K}$ となります。

この設問の平易な説明

模範解答とは逆の順番で解く方法です。まず、エネルギー保存の法則を使って、いきなりゴール地点の圧力（設問(2)の答え）を計算します。そのあとで、圧力もわかったので、状態方程式を使って温度（設問(1)の答え）を計算します。どちらから解いても同じ答えにたどり着きます。

結論と吟味

主たる解法と完全に同じ結果が得られました。この方法は、設問の順番にこだわらず、物理法則を柔軟に適用して解を求める良い練習になります。また、内部エネルギーが $nRT$ だけでなく $pV$ によっても表現できることを活用する良い例です。

解答 (1) 温度: $3.6 \times 10^2\,\text{K}$

解答 (2) 圧力: $1.5 \times 10^5\,\text{Pa}$

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

断熱系における内部エネルギー保存則
- 核心: この問題の根幹は、「周囲と熱のやりとりはなく」という一文から、容器AとBの気体を合わせた系全体が「断熱系」であると見抜くことです。断熱系内では、外部との熱の出入り($Q$)がありません。さらに、コックを開くだけで気体が容器内で広がるだけで、容器の壁を押して外部に仕事をすることもありません($W=0$)。熱力学第一法則 $\Delta U = Q+W$ に従うと、$Q=0$ かつ $W=0$ なので、内部エネルギーの変化 $\Delta U$ は $0$ となります。これが「内部エネルギーが保存される」ことの物理的な意味です。
- 理解のポイント:
  - 保存されるのは「エネルギーの合計」: コックを開く前のAの内部エネルギーとBの内部エネルギーの「和」が、混合後の気体全体の内部エネルギーと等しくなります。温度や圧力が保存されるわけではない点に注意が必要です。
  - 内部エネルギーの正しい公式: 問題文に「単原子分子からなる理想気体」とあるため、内部エネルギーの公式として $U = \frac{3}{2}nRT$ を選択します。もし二原子分子であれば $U = \frac{5}{2}nRT$ を使う必要があります。
理想気体の状態方程式の適用
- 核心: 内部エネルギー保存則によって混合後の温度が求まった後、その状態における圧力を求めるために、気体の状態を記述するもう一つの基本法則である理想気体の状態方程式 $pV=nRT$ を適用します。
- 理解のポイント:
  - 状態の区別: 状態方程式を適用する際は、「どの状態」について考えているのかを常に意識することが重要です。この問題では、「コックを開く前のAの状態」「コックを開く前のBの状態」「コックを開いた後の全体の状態」の3つを明確に区別し、それぞれの状態に対応する $p, V, n, T$ の値を正しく使う必要があります。
  - 混合後の変数の扱い: 混合後は、体積は $V_A+V_B$、物質量は $n_A+n_B$ となり、温度と圧力は全体で均一な $T$ と $p$ になります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

応用できる類似問題のパターン:
- 断熱されたピストンで仕切られた気体: 断熱シリンダー内を、動くことができる断熱ピストンで2室に分け、それぞれに気体を入れる問題。ピストンが動いて静止した場合、両室の圧力が等しくなります。この過程でピストンは一方の気体から仕事をされ、もう一方の気体に仕事をするため、各部屋の内部エネルギーは保存されませんが、シリンダー全体を一つの系と見なせば、外部との熱や仕事のやりとりはないため、系全体の内部エネルギーは保存されます。
- 真空への断熱自由膨張: 断熱容器の一方に気体を入れ、もう一方を真空にしておき、仕切りを外す問題。気体は真空中に広がるため、外部に対して仕事をしません($W=0$)。断熱なので $Q=0$ でもあり、この場合も内部エネルギーが保存されます。結果として、理想気体であれば温度は変化しません。
- 異なる種類の気体の混合: 単原子分子気体と二原子分子気体を混合する問題。内部エネルギー保存則を立てる際に、それぞれの内部エネルギーを $U_1 = \frac{3}{2}n_1RT_1$、$U_2 = \frac{5}{2}n_2RT_2$ と正しく計算する必要があります。
初見の問題での着眼点:
1. まずは「断熱」のキーワードを探す: 問題文に「断熱」「熱のやりとりはない」「熱をよく通さない」などの記述があれば、熱力学第一法則、特にエネルギー保存則が使えないかを第一に考えます。
2. 体積変化と「仕事」の有無を確認する: ピストンが動いたり、容器自体が膨張したりするなど、気体が外部に対して仕事をする（または、される）状況かどうかを確認します。仕事の有無によって、熱力学第一法則 $\Delta U = Q+W$ の $W$ の扱いが変わります。
3. 気体の種類（単原子分子か、二原子分子か）をチェックする: この確認を怠ると、内部エネルギーの公式 $U = \frac{3}{2}nRT$ や定積モル比熱 $C_V$ の値を間違え、その後の計算がすべて無駄になってしまいます。
4. どの物理量を先に求めるか戦略を立てる: 模範解答のように温度から求めるのが素直ですが、別解のように圧力から求めることも可能です。内部エネルギーの公式には $U=\frac{3}{2}nRT$ と $U=\frac{3}{2}pV$ の2つの表現があることを念頭に置き、どちらの未知数を先に求めると計算が楽になるかを見通す力を養うと応用が利きます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

温度が平均されると誤解してしまう:
- 誤解: 混合後の温度を、単純に2つの温度の算術平均、つまり $(300\,\text{K} + 400\,\text{K}) / 2 = 350\,\text{K}$ と計算してしまう。
- 対策: 保存されるのはエネルギーであり、温度ではありません。内部エネルギーは物質量 $n$ に比例するため、物質量の多い方の気体の温度に強く影響されます。実際には、混合後の温度は物質量を重みとした「加重平均」 $T = \frac{n_A T_A + n_B T_B}{n_A + n_B}$ となります。この式を覚えるのではなく、「内部エネルギーの合計が保存される」という根本原理から毎回立式する癖をつけましょう。
内部エネルギー保存則をどんな状況でも適用してしまう:
- 誤解: 気体が混ざる問題では、常に内部エネルギーが保存されると思い込んでしまう。
- 対策: 内部エネルギーが保存されるのは、あくまで「断熱($Q=0$)」かつ「外部への仕事なし($W=0$)」という厳しい条件が満たされる場合のみです。例えば、容器の底をヒーターで加熱しながら混合すれば $Q \neq 0$ ですし、ピストンが動いて外部のものを押せば $W \neq 0$ となり、内部エネルギーは保存されません。必ず問題文の条件をよく読んで、熱力学第一法則に立ち返って考えることが重要です。
状態方程式の変数を混同する:
- 誤解: 混合後の全体の圧力 $p$ を計算する際に、なぜか容器Aだけの体積 $V_A$ や物質量 $n_A$ を使ってしまう。
- 対策: 状態方程式 $pV=nRT$ は、ある特定の均一な状態にある気体にのみ適用できる「状態の法則」です。混合後の状態を考えるのであれば、式に含まれる $p, V, n, T$ はすべて「混合後の全体の値」でなければなりません。つまり、圧力は $p_{\text{全体}}$、体積は $V_{\text{全体}} = V_A+V_B$、物質量は $n_{\text{全体}} = n_A+n_B$、温度は $T_{\text{全体}}$ を使う、という対応関係を徹底しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

(1)での公式選択（内部エネルギー保存則）:
- 選定理由: 求めたいのは混合後の「温度 $T$」です。そして、問題文には「断熱」という極めて重要な条件が与えられています。この条件は、エネルギーの出入りがないことを示唆しており、このような状況での状態変化を解析するための最も強力な法則が「エネルギー保存則」です。特に、理想気体の内部エネルギーは温度と直接結びつく ($U=\frac{3}{2}nRT$) ため、内部エネルギー保存則を立てれば、温度 $T$ を直接求める方程式が得られると予測できます。したがって、この公式選択は論理的必然です。
- 適用根拠: 熱力学の基本法則である熱力学第一法則 $\Delta U = Q+W$ が全ての熱現象の出発点です。問題文の「周囲と熱のやりとりはなく」から $Q=0$、そして「コックを開く」という操作は外部に仕事をしないため $W=0$ と判断できます。これにより $\Delta U = 0$、すなわち $U_{\text{前}} = U_{\text{後}}$ という内部エネルギー保存則を適用する根拠が確立されます。
(2)での公式選択（理想気体の状態方程式）:
- 選定理由: (1)で混合後の温度 $T$ が求まりました。これにより、混合後の気体の状態を特徴づける4つの物理量（圧力 $p$、体積 $V$、物質量 $n$、温度 $T$）のうち、$V$ (=$V_A+V_B$)、$n$ (=$n_A+n_B$)、$T$ の3つが既知となりました。残る未知数は圧力 $p$ のみです。これら4つの物理量を結びつける関係式は、理想気体の状態方程式 $pV=nRT$ しかありません。したがって、この公式を選択するのは唯一かつ最適な選択です。
- 適用根拠: コックを開いて十分に時間が経った後、気体は容器全体で熱的に平衡な状態に達します。つまり、容器内のどこをとっても圧力と温度は均一になっています。このように、気体全体が単一の $p$ と $T$ で記述できる状態になっているため、気体全体を一つの系として状態方程式を適用することが正当化されます。
別解でのアプローチ選択（内部エネルギーの $pV$ 表現）:
- 選定理由: 内部エネルギーの公式 $U=\frac{3}{2}nRT$ と状態方程式 $pV=nRT$ は、理想気体において常に成り立つ2つの基本関係です。これらを組み合わせると、$nRT$ を消去して $U=\frac{3}{2}pV$ という別の表現を得ることができます。この表現を使えば、内部エネルギー保存則の式に温度 $T$ ではなく圧力 $p$ を登場させることが可能です。これにより、設問(1)を飛ばして設問(2)の圧力を直接求めるという、異なる道筋での解法が可能になります。
- 適用根拠: 物理法則は、数学的な式変形によってその正しさを失いません。$U=\frac{3}{2}nRT$ と $pV=nRT$ が両方とも正しい以上、それらを連立させて得られる $U=\frac{3}{2}pV$ もまた、理想気体の状態を正しく記述する式です。この式をエネルギー保存則に適用することは、物理的にも数学的にも完全に正当です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

文字式で最後まで計算する:
- (1)の内部エネルギー保存則を立てた際、$ \frac{3}{2}n_A R T_A + \frac{3}{2}n_B R T_B = \frac{3}{2}(n_A + n_B)RT $ の段階でいきなり数値を代入すると、$8.3$ などの半端な数を何度も計算することになります。まず両辺の $\frac{3}{2}R$ を約分して $ n_A T_A + n_B T_B = (n_A + n_B)T $ という最もシンプルな形にしてから数値を代入する方が、計算が格段に楽になり、ミスも減ります。
単位の次元を確認する:
- 例えば、(2)で圧力を求める際に $p = \frac{(n_A+n_B)RT}{V_A+V_B}$ を計算しますが、右辺の単位が本当に圧力の単位 $\text{Pa} = \text{N/m}^2$ になっているかを確認する癖をつけましょう。 $\frac{\text{mol} \cdot \text{J/(mol}\cdot\text{K)} \cdot \text{K}}{\text{m}^3} = \frac{\text{J}}{\text{m}^3} = \frac{\text{N}\cdot\text{m}}{\text{m}^3} = \frac{\text{N}}{\text{m}^2}$ となり、確かに圧力の単位になっています。
指数計算はまとめて処理する:
- (2)の計算では、体積に $10^{-2}$ が含まれます。$p = \frac{5.0 \times 8.3 \times 360}{10.0 \times 10^{-2}}$ のように、まずは指数以外の部分を計算し、最後に指数の部分を処理すると、桁の勘違いを防ぎやすくなります。
概算による検算:
- (1) 温度: 物質量が $2.0\,\text{mol}$ と $3.0\,\text{mol}$ なので、温度は $300\,\text{K}$ と $400\,\text{K}$ の間を $3:2$ に内分する点になります。全幅 $100\,\text{K}$ を5等分($20\,\text{K}$)し、$300\,\text{K}$ から3つ分進んだ点なので、$300 + 20 \times 3 = 360\,\text{K}$。計算結果と一致します。
- (2) 圧力: 気体定数を $R \approx 8.0$ として概算します。$p = \frac{nRT}{V} \approx \frac{5.0 \times 8.0 \times 360}{0.1} = 40 \times 3600 = 144000\,\text{Pa} = 1.44 \times 10^5\,\text{Pa}$。計算結果の $1.49 \times 10^5\,\text{Pa}$ と非常に近い値であり、大きな間違いがないことが確認できます。
物理的にありえない値でないか吟味する:
- (1)で求めた温度 $360\,\text{K}$ が、初期温度である $300\,\text{K}$ と $400\,\text{K}$ の間の値になっているかを確認します。もしこの範囲外の値（例えば $280\,\text{K}$ や $420\,\text{K}$）が出た場合、エネルギー保存の法則に反するため、計算ミスの可能性が極めて高いです。

基本例題42 定圧変化

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

【相違点に関する注記】

提示する別解
- 設問(1)の別解: 状態方程式を用いる解法
  - 模範解答がシャルルの法則を用いるのに対し、別解ではより普遍的な理想気体の状態方程式から温度を求めます。
- 設問(3),(4)の別解: 仕事を先に計算し、熱力学第一法則から熱量を求める解法
  - 模範解答が定圧モル比熱の公式を用いて熱量(3)を先に求め、熱力学第一法則から仕事(4)を計算するのに対し、別解では仕事の定義式から仕事(4)を先に計算し、その結果を用いて熱力学第一法則から熱量(3)を求めます。
上記の別解が有益である理由
- 物理的本質の深化: シャルルの法則が状態方程式の特殊な場合に過ぎないことや、定圧変化で与えられた熱量が内部エネルギーの増加と外部への仕事に分配されるという熱力学第一法則の物理的意味を、計算過程を通じてより直接的に理解できます。
- 解法の選択肢拡大: シャルルの法則や定圧モル比熱($C_p$)の公式を忘れてしまった場合でも、より基本的な法則（状態方程式、熱力学第一法則、仕事の定義）から答えを導出できることを学び、応用力が身につきます。
- 思考の柔軟性向上: 設問の番号順に解くのではなく、どの物理量をどの法則から求めるのが最も本質的か、あるいは計算がしやすいかを考える良い訓練になります。
結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、計算の順序や思考の出発点が異なるだけで、最終的に得られる答えは模範解答と完全に一致します。

この問題のテーマは「定圧変化における熱力学計算」です。ピストン付きシリンダー内の気体が、圧力を一定に保ったまま加熱され膨張する、という熱力学の最も基本的な過程の一つです。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

理想気体の状態方程式とシャルルの法則: 圧力一定の条件下では、体積と絶対温度が比例するという関係 ($V/T = \text{一定}$) を理解していること。
理想気体の内部エネルギーの公式: 単原子分子理想気体の内部エネルギーが絶対温度のみに依存し、その変化量が $\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T$ で計算できること。
熱力学第一法則: 気体に加えられた熱量($Q$)、内部エネルギーの変化($\Delta U$)、気体が外部にした仕事($W’$)の関係式 $\Delta U = Q – W’$ を正しく適用できること。
定圧変化における熱量と仕事: 定圧変化で気体が吸収する熱量は $Q=nC_p\Delta T$、外部にする仕事は $W’=p\Delta V$ で計算できることを理解していること。

基本的なアプローチは以下の通りです。

(1)では、圧力が一定なのでシャルルの法則を用いて、体積が2倍になったときの絶対温度を求め、セルシウス温度に変換します。
(2)では、(1)で求めた温度変化 $\Delta T$ を使って、単原子分子理想気体の内部エネルギーの増加量 $\Delta U$ を公式から計算します。
(3)では、定圧変化なので定圧モル比熱 $C_p$ を用いて、気体が吸収した熱量 $Q$ を計算します。
(4)では、(2)と(3)で求めた $\Delta U$ と $Q$ を熱力学第一法則の式に代入して、気体が外部にした仕事 $W’$ を求めます。

問(1)

思考の道筋とポイント
「圧力を一定に保ち」という条件から、この変化は定圧変化です。定圧変化では、シャルルの法則により、気体の体積 $V$ は絶対温度 $T$ に比例します。この法則を用いて、体積が $2$ 倍になった後の絶対温度を求めます。最後に、問題で問われているセルシウス温度 $[^\circ\text{C}]$ に変換することを忘れないように注意が必要です。
この設問における重要なポイント

定圧変化では、シャルルの法則 $\frac{V}{T} = \text{一定}$ が成り立つ。
法則で使う温度は、必ず絶対温度 $T\,[\text{K}]$ である。
絶対温度 $T\,[\text{K}]$ とセルシウス温度 $t\,[^\circ\text{C}]$ の関係は $T = t + 273$。

具体的な解説と立式
変化前の気体の体積を $V_1$、絶対温度を $T_1$ とします。変化後の体積を $V_2$、絶対温度を $T_2$ とします。
問題の条件より、$V_2 = 2V_1$ です。
また、変化前の温度は $t_1 = 27^\circ\text{C}$ なので、絶対温度に変換すると、
$$
\begin{aligned}
T_1 &= 27 + 273 \\[2.0ex] &= 300\,\text{K}
\end{aligned}
$$
シャルルの法則より、
$$ \frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} $$
この式を $T_2$ について解きます。

使用した物理公式

シャルルの法則: $\frac{V}{T} = \text{一定}$
絶対温度とセルシウス温度の関係: $T = t + 273$

計算過程

シャルルの法則の式に $V_2 = 2V_1$ と $T_1 = 300\,\text{K}$ を代入します。
$$
\begin{aligned}
\frac{V_1}{300} &= \frac{2V_1}{T_2}
\end{aligned}
$$
両辺の $V_1$ を消去して $T_2$ について解くと、
$$
\begin{aligned}
T_2 &= 2 \times 300 \\[2.0ex] &= 600\,\text{K}
\end{aligned}
$$
これは絶対温度なので、セルシウス温度 $t_2$ に変換します。
$$
\begin{aligned}
t_2 &= T_2 – 273 \\[2.0ex] &= 600 – 273 \\[2.0ex] &= 327^\circ\text{C}
\end{aligned}
$$

この設問の平易な説明

風船を温めると膨らむように、気体は温めると体積が増えます。今回は、圧力を変えずに体積をきっちり2倍にしました。そのためには、温度をどれくらい上げればよいかを計算します。物理の法則では「絶対温度」という特別なものさしを使うので、まず摂氏($^\circ\text{C}$)を絶対温度($\text{K}$)に直します。体積が2倍になるなら、絶対温度も2倍になる、という単純な比例計算です。最後に、計算結果をまた摂氏に戻してあげます。

結論と吟味

変化後の温度は $327^\circ\text{C}$ と求まりました。体積を膨張させるために温度を上げたので、初めの $27^\circ\text{C}$ より高くなっており、妥当な結果です。

解答 (1) $327^\circ\text{C}$

別解: 状態方程式を用いる解法

思考の道筋とポイント
シャルルの法則は、より普遍的な理想気体の状態方程式 $pV=nRT$ から導かれる特殊な場合の法則です。ここでは、シャルルの法則を直接使わずに、変化の前と後でそれぞれ状態方程式を立て、それらを比較することで変化後の温度を求めます。
この設問における重要なポイント

変化の前後で、圧力 $p$、物質量 $n$、気体定数 $R$ は一定である。
変化前と変化後の状態で、それぞれ状態方程式を立てる。

具体的な解説と立式
変化前の状態（体積 $V_1$, 温度 $T_1$）と変化後の状態（体積 $V_2$, 温度 $T_2$）について、それぞれ状態方程式を立てます。圧力 $p$ は一定です。

変化前:
$$ pV_1 = nRT_1 \quad \cdots ① $$
変化後:
$$ pV_2 = nRT_2 \quad \cdots ② $$

問題の条件は $V_2 = 2V_1$ です。これらの式から $T_2$ を求めます。

使用した物理公式

理想気体の状態方程式: $pV=nRT$

計算過程

式②を式①で辺々割り算すると、
$$
\begin{aligned}
\frac{pV_2}{pV_1} &= \frac{nRT_2}{nRT_1}
\end{aligned}
$$
一定である $p, n, R$ が約分され、
$$
\begin{aligned}
\frac{V_2}{V_1} &= \frac{T_2}{T_1}
\end{aligned}
$$
これはシャルルの法則と同じ形です。この式に $V_2 = 2V_1$ と $T_1 = 300\,\text{K}$ を代入します。
$$
\begin{aligned}
\frac{2V_1}{V_1} &= \frac{T_2}{300} \\[2.0ex] 2 &= \frac{T_2}{300} \\[2.0ex] T_2 &= 600\,\text{K}
\end{aligned}
$$
これをセルシウス温度に変換すると、$t_2 = 327^\circ\text{C}$ となり、主たる解法と同じ結果が得られます。

この設問の平易な説明

気体の状態を表す万能の公式「状態方程式」を使っても解くことができます。変化する前と後でそれぞれ公式を立てて、2つの式を比べる（割り算する）と、変化しなかった量（圧力など）が消えて、体積と温度だけの関係式が残ります。これは結局シャルルの法則と同じことですが、より基本的な法則から出発する方法です。

結論と吟味

状態方程式という、より基本的な法則から出発しても、シャルルの法則を用いた場合と全く同じ結果が得られました。これは、シャルルの法則が状態方程式に含まれる関係であることを示しています。

解答 (1) $327^\circ\text{C}$

問(2)

思考の道筋とポイント
単原子分子からなる理想気体の内部エネルギーは、気体分子の運動エネルギーの合計であり、絶対温度 $T$ のみに比例します。したがって、内部エネルギーの増加量 $\Delta U$ は、温度の上昇分 $\Delta T$ に比例します。公式 $\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T$ を使って計算します。
この設問における重要なポイント

理想気体の内部エネルギーは、温度が変化しない限り変化しない。
単原子分子理想気体の場合、内部エネルギーの変化は $\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T$。
$\Delta T$ は絶対温度での変化量。セルシウス温度の差と等しい。

具体的な解説と立式
(1)の結果から、温度は $T_1 = 300\,\text{K}$ から $T_2 = 600\,\text{K}$ に変化しました。
したがって、温度の上昇 $\Delta T$ は、
$$
\begin{aligned}
\Delta T &= T_2 – T_1 \\[2.0ex] &= 600 – 300 \\[2.0ex] &= 300\,\text{K}
\end{aligned}
$$
単原子分子理想気体の内部エネルギーの増加 $\Delta U$ の公式に、$n=1.0\,\text{mol}$, $R=8.3\,\text{J/(mol}\cdot\text{K)}$, $\Delta T = 300\,\text{K}$ を代入します。
$$
\begin{aligned}
\Delta U &= \frac{3}{2}nR\Delta T
\end{aligned}
$$

使用した物理公式

単原子分子理想気体の内部エネルギーの変化: $\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T$

計算過程

$$
\begin{aligned}
\Delta U &= \frac{3}{2} \times 1.0 \times 8.3 \times 300 \\[2.0ex] &= 1.5 \times 8.3 \times 300 \\[2.0ex] &= 3735\,\text{J}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えるため、$3.7 \times 10^3\,\text{J}$ となります。

この設問の平易な説明

気体の温度が上がったということは、気体の中のつぶつぶ（分子）がより激しく動き回るようになったということです。「内部エネルギー」とは、この分子の運動の激しさを表すエネルギーのことです。温度がどれだけ上がったかが分かれば、分子の運動がどれだけ激しくなったか、つまり内部エネルギーがどれだけ増えたかを計算できます。

結論と吟味

温度が上昇しているので、内部エネルギーが増加する($\Delta U > 0$)のは当然です。計算結果は正の値であり、物理的に妥当です。

解答 (2) $3.7 \times 10^3\,\text{J}$

問(3)

思考の道筋とポイント
定圧変化において気体が吸収した熱量 $Q$ を求めるには、定圧モル比熱 $C_p$ を用いるのが定石です。公式は $Q = nC_p\Delta T$ です。単原子分子理想気体の場合、定圧モル比熱は $C_p = \frac{5}{2}R$ となることが知られています。これを用いて計算します。
この設問における重要なポイント

定圧変化で吸収する熱量は $Q = nC_p\Delta T$。
単原子分子理想気体の定圧モル比熱は $C_p = \frac{5}{2}R$。

具体的な解説と立式
単原子分子理想気体の定圧モル比熱 $C_p$ は、
$$
\begin{aligned}
C_p &= \frac{5}{2}R
\end{aligned}
$$
これを用いて、熱量 $Q$ を計算します。
$$
\begin{aligned}
Q &= nC_p\Delta T \\[2.0ex] &= n \left(\frac{5}{2}R\right) \Delta T
\end{aligned}
$$
この式に、$n=1.0\,\text{mol}$, $R=8.3\,\text{J/(mol}\cdot\text{K)}$, $\Delta T = 300\,\text{K}$ を代入します。

使用した物理公式

定圧変化における熱量: $Q = nC_p\Delta T$
単原子分子理想気体の定圧モル比熱: $C_p = \frac{5}{2}R$

計算過程

$$
\begin{aligned}
Q &= \frac{5}{2} \times 1.0 \times 8.3 \times 300 \\[2.0ex] &= 2.5 \times 8.3 \times 300 \\[2.0ex] &= 6225\,\text{J}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えるため、$6.2 \times 10^3\,\text{J}$ となります。

この設問の平易な説明

気体を温めて膨張させるためには、外部から熱エネルギーを与えてあげる必要があります。この設問では、その与えた熱エネルギーの総量を計算します。圧力が一定のまま温める場合には、専用の計算公式があり、それに数値を当てはめれば答えが出ます。

結論と吟味

気体を加熱しているので、熱を得る($Q > 0$)のは当然です。計算結果は正の値であり、物理的に妥当です。また、内部エネルギーの増加 $\Delta U$ よりも大きな値になっており、与えた熱の一部が後述する「仕事」にも使われたことを示唆しています。

解答 (3) $6.2 \times 10^3\,\text{J}$

問(4)

思考の道筋とポイント
気体が外部にした仕事 $W’$ を求めます。これまでの設問で、内部エネルギーの増加 $\Delta U$ と気体が吸収した熱量 $Q$ が求まっています。これらの3つの量 ($\Delta U, Q, W’$) を結びつけるのが、熱力学第一法則 $\Delta U = Q – W’$ です。この式を変形して $W’$ を計算します。
この設問における重要なポイント

熱力学第一法則はエネルギー保存則を表す。
$\Delta U = Q – W’$ の $W’$ は、気体が「外部にした」仕事である。
各項の符号の意味を正しく理解する（$Q>0$: 熱を吸収, $\Delta U>0$: 温度上昇, $W’>0$: 膨張して仕事をする）。

具体的な解説と立式
熱力学第一法則は、
$$ \Delta U = Q – W’ $$
です。この式を $W’$ について解くと、
$$ W’ = Q – \Delta U $$
この式に、(2)で求めた $\Delta U = 3735\,\text{J}$ と (3)で求めた $Q = 6225\,\text{J}$ を代入します。

使用した物理公式

熱力学第一法則: $\Delta U = Q – W’$

計算過程

$$
\begin{aligned}
W’ &= 6225 – 3735 \\[2.0ex] &= 2490\,\text{J}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えるため、$2.5 \times 10^3\,\text{J}$ となります。

この設問の平易な説明

気体にストーブで熱($Q$)を与えたとします。その熱エネルギーは、2つの役割を果たします。一つは気体自身の温度を上げる（内部エネルギーを増やす $\Delta U$）こと、もう一つはピストンを押して体積を大きくする（外部に仕事をする $W’$）ことです。エネルギー保存の法則から、「与えた熱の総量」から「温度上昇に使われた分」を差し引けば、「仕事に使われた分」が計算できます。

結論と吟味

気体は体積が2倍に膨張しているので、外部に対して正の仕事をしたはずです。計算結果が $W’ > 0$ となったことは、物理的な状況と一致しています。

解答 (4) $2.5 \times 10^3\,\text{J}$

別解: 設問(3),(4) 仕事を先に計算する解法

思考の道筋とポイント
設問(4)の「気体が外部にした仕事 $W’$」を、熱力学第一法則ではなく、仕事の定義式から先に計算します。定圧変化なので、仕事は $W’ = p\Delta V$ で計算できます。さらに、理想気体の状態方程式を用いると、この式は $W’ = nR\Delta T$ と変形でき、より計算が容易になります。仕事 $W’$ が求まれば、設問(3)の熱量 $Q$ は、熱力学第一法則 $Q = \Delta U + W’$ から求めることができます。
この設問における重要なポイント

定圧変化で気体がする仕事は $W’ = p\Delta V$。
理想気体の状態方程式 $pV=nRT$ を使うと、定圧変化の仕事は $W’ = nR\Delta T$ と表せる。
熱力学第一法則 $Q = \Delta U + W’$ を使えば、内部エネルギーの増加と仕事の和から熱量を求められる。

具体的な解説と立式
まず、設問(4)の仕事 $W’$ を計算します。
定圧変化なので、圧力 $p$ は一定です。体積が $V_1$ から $V_2$ に変化したときの仕事 $W’$ は、
$$
\begin{aligned}
W’ &= p(V_2 – V_1) \\[2.0ex] &= pV_2 – pV_1
\end{aligned}
$$
ここで、理想気体の状態方程式 $pV=nRT$ を用いると、$pV_1 = nRT_1$、$pV_2 = nRT_2$ と書けるので、
$$
\begin{aligned}
W’ &= nRT_2 – nRT_1 \\[2.0ex] &= nR(T_2 – T_1) \\[2.0ex] &= nR\Delta T
\end{aligned}
$$
次に、この結果を使って設問(3)の熱量 $Q$ を計算します。熱力学第一法則 $\Delta U = Q – W’$ より、
$$
\begin{aligned}
Q &= \Delta U + W’
\end{aligned}
$$
となります。

使用した物理公式

定圧変化の仕事: $W’ = p\Delta V = nR\Delta T$
熱力学第一法則: $\Delta U = Q – W’$

計算過程

仕事 $W’$ の計算 (設問(4))
$W’ = nR\Delta T$ の式に、$n=1.0\,\text{mol}$, $R=8.3\,\text{J/(mol}\cdot\text{K)}$, $\Delta T = 300\,\text{K}$ を代入します。
$$
\begin{aligned}
W’ &= 1.0 \times 8.3 \times 300 \\[2.0ex] &= 2490\,\text{J}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で $2.5 \times 10^3\,\text{J}$ となります。
熱量 $Q$ の計算 (設問(3))
$Q = \Delta U + W’$ の式に、(2)で求めた $\Delta U = 3735\,\text{J}$ と、上で計算した $W’ = 2490\,\text{J}$ を代入します。
$$
\begin{aligned}
Q &= 3735 + 2490 \\[2.0ex] &= 6225\,\text{J}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で $6.2 \times 10^3\,\text{J}$ となります。

この設問の平易な説明

設問の順番を入れ替えて解く方法です。(4)の「仕事」を、まずピストンを押す力と距離から直接計算します。次に(3)の「熱量」を考えます。気体に与えた熱は、「気体の温度を上げる」ためと「ピストンを押す仕事をする」ための両方に使われるので、この2つを足し合わせれば、与えた熱の総量がわかる、という考え方です。

結論と吟味

主たる解法と完全に同じ結果が得られました。この別解は、定圧モル比熱 $C_p = \frac{5}{2}R$ という公式が、内部エネルギーの増加分($\Delta U \propto \frac{3}{2}R$)と仕事の分($W’ \propto R$)の和から成り立っている ($\frac{3}{2}R + R = \frac{5}{2}R$) という物理的な背景を明確に示しており、理解を深める上で非常に有益です。

解答 (3) $6.2 \times 10^3\,\text{J}$

解答 (4) $2.5 \times 10^3\,\text{J}$

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

熱力学第一法則 ($\Delta U = Q – W’$)
- 核心: この問題全体を貫く最も重要な法則です。これは「エネルギー保存則」の熱現象バージョンであり、「気体の内部エネルギーの増加分($\Delta U$)は、外部から吸収した熱量($Q$)から、気体が外部にした仕事($W’$)を差し引いたものに等しい」という関係を表します。この法則を軸に、各物理量を計算していくことが基本戦略となります。
- 理解のポイント:
  - エネルギーの収支関係: $Q = \Delta U + W’$ と変形すると、「供給された熱エネルギー($Q$)が、内部エネルギーの増加($\Delta U$)と外部への仕事($W’$)という2つの用途に分配される」という、エネルギーの収支関係として直感的に理解できます。
  - 各項の定義と符号: $\Delta U$, $Q$, $W’$ の3つの量が、それぞれ何を意味し、どのような場合に正負の値をとるのかを正確に把握することが不可欠です。
理想気体の状態方程式と内部エネルギーの公式
- 核心: 熱力学第一法則の各項を具体的に計算するための「部品」となる法則です。特に、理想気体の内部エネルギーが温度だけで決まる ($\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T$) という事実は、熱力学の問題を解く上で極めて重要です。また、状態方程式 ($pV=nRT$) は、気体の状態変化を追跡し、仕事などを計算する際の土台となります。
- 理解のポイント:
  - 状態量と変化量: 状態方程式は気体のある一瞬の「状態」を記述するのに対し、熱力学第一法則や内部エネルギーの公式は、ある状態から別の状態への「変化」を記述します。この区別を意識することが重要です。
  - 気体の種類: 内部エネルギーの公式の係数($\frac{3}{2}$)やモル比熱の値は、気体が単原子分子か二原子分子かによって異なります。問題文の条件を必ず確認する必要があります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

応用できる類似問題のパターン:
- 定積変化: 体積を一定に保ったまま加熱・冷却する問題。この場合、気体は外部に仕事をしないので $W’=0$ となります。熱力学第一法則は $\Delta U = Q$ となり、与えられた熱がすべて内部エネルギーの増加に使われます。
- 等温変化: 温度を一定に保ったまま体積を変化させる問題。この場合、温度が変化しないので内部エネルギーも変化せず $\Delta U=0$ となります。熱力学第一法則は $0 = Q – W’$、すなわち $Q=W’$ となり、吸収した熱がすべて外部への仕事に使われます。
- 断熱変化: 外部との熱のやりとりを遮断して体積を変化させる問題。この場合、$Q=0$ なので熱力学第一法則は $\Delta U = -W’$ となります。気体が膨張して仕事($W’>0$)をすると、内部エネルギーが減少し($\Delta U<0$)、温度が下がります。
- サイクル（循環過程）: 気体がいくつかの状態変化を経て元の状態に戻る問題。1サイクル全体で考えると、温度が元に戻るので内部エネルギーの変化は $\Delta U = 0$ です。したがって、$Q=W’$ となり、1サイクルで気体が吸収した正味の熱量が、外部にした正味の仕事に等しくなります。
初見の問題での着眼点:
1. まず「何変化」かを見極める: 問題文から「圧力が一定（定圧）」「体積が一定（定積）」「温度が一定（等温）」「熱の出入りがない（断熱）」のどれに該当するかを最初に特定します。これにより、使うべき公式や、$ \Delta U, Q, W’ $ のうちどれかが $0$ になるなどの条件が絞り込めます。
2. P-Vグラフをイメージする: 状態変化をP-Vグラフ上で考えると、視覚的に理解しやすくなります。特に、気体がした仕事 $W’$ は、グラフとV軸で囲まれた面積に相当します。定圧変化なら長方形、等温・断熱変化なら曲線の下の面積です。
3. 熱力学第一法則を常に念頭に置く: どの物理量を問われていても、最終的には熱力学第一法則 $\Delta U = Q – W’$ に帰着することがほとんどです。この式を立式し、未知数が何か、既知の量は何か、そして既知でない量をどうやって計算するか、という思考の設計図を描くことが重要です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

温度の単位換算ミス:
- 誤解: シャルルの法則や状態方程式、内部エネルギーの公式に、セルシウス温度($^\circ\text{C}$)をそのまま代入してしまう。
- 対策: 熱力学で使われる公式の温度 $T$ は、ほぼすべて「絶対温度($\text{K}$)」です。問題文で温度が $^\circ\text{C}$ で与えられたら、計算を始める前にまず $T = t + 273$ を使って絶対温度に変換する癖をつけましょう。ただし、温度「変化」$\Delta T$ に関しては、$\Delta T = \Delta t$ なので、セルシウス温度の差をそのまま使っても構いません。
仕事の符号の混同:
- 誤解: 気体が「した」仕事と「された」仕事を取り違え、熱力学第一法則の符号を間違える。
- 対策: 物理では、気体が外部にした仕事を $W’$ (または $W_{\text{out}}$)、外部からされた仕事を $W$ (または $W_{\text{in}}$) として区別することがあります。法則の形も $\Delta U = Q – W’$ や $\Delta U = Q + W$ のように変わります。自分がどちらの定義で立式しているのかを常に明確に意識することが重要です。「膨張すれば気体は仕事をし($W’>0$)、圧縮されれば仕事をされる($W>0$)」という物理的なイメージを持つと間違いが減ります。
モル比熱の混同:
- 誤解: 定圧変化なのに定積モル比熱 $C_V = \frac{3}{2}R$ を使って熱量を計算してしまう（またはその逆）。
- 対策: 「定圧」変化には「定圧」モル比熱 $C_p$, 「定積」変化には「定積」モル比熱 $C_V$ を使う、という対応を確実に覚えましょう。$C_p$ の方が $C_V$ より大きい ($C_p = C_V + R$) のは、定圧変化では外部への仕事にもエネルギーを消費するため、同じ温度を上げるのにより多くの熱が必要だから、という理由付けも理解しておくと忘れにくくなります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

(1)での公式選択（シャルルの法則）:
- 選定理由: 問題の条件が「圧力一定」であり、知りたいのが「体積と温度の関係」だからです。この条件に特化した物理法則がシャルルの法則 $\frac{V}{T}=\text{一定}$ です。より根源的な理想気体の状態方程式 $pV=nRT$ から出発し、$p, n, R$ が定数であることから導いても同じ結論に至ります。
- 適用根拠: 理想気体というモデルが、現実の気体の振る舞いをよく近似できる範囲で、この法則は常に成り立ちます。
(2)での公式選択（内部エネルギーの公式）:
- 選定理由: 求めたいのが「内部エネルギーの変化 $\Delta U$」であり、(1)で「温度変化 $\Delta T$」が分かったからです。理想気体の内部エネルギーは温度のみの関数であるため、$\Delta T$ から $\Delta U$ を計算する公式 $\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T$ を選択するのが最も直接的です。
- 適用根拠: 問題文に「単原子分子からなる理想気体」と明記されていることが、係数 $\frac{3}{2}$ を持つこの公式を適用する直接的な根拠となります。
(3)での公式選択（定圧モル比熱の公式）:
- 選定理由: 求めたいのが「熱量 $Q$」であり、変化が「定圧変化」であることが分かっているからです。定圧変化における熱量を、物質量 $n$ と温度変化 $\Delta T$ から求めるために定義された量が「定圧モル比熱 $C_p$」であり、公式 $Q=nC_p\Delta T$ はその定義そのものです。
- 適用根拠: 単原子分子理想気体の場合、$C_p = \frac{5}{2}R$ であるという物理的な事実が、この公式を具体的に計算するための根拠となります。
(4)での公式選択（熱力学第一法則）:
- 選定理由: 求めたいのが「仕事 $W’$」であり、ここまでの計算で、熱力学第一法則 $\Delta U = Q – W’$ を構成する他の2つの量、$\Delta U$ と $Q$ がすでに求まっているからです。3つの量のうち2つが分かっていれば、残りの1つはこの法則から計算できます。
- 適用根拠: 熱力学第一法則は、あらゆる熱力学的な過程に適用できる普遍的なエネルギー保存則であり、この問題の定圧変化も例外ではないため、無条件に適用できます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

有効数字の扱いは最後に:
- 計算途中では、$3735\,\text{J}$ や $6225\,\text{J}$ のように、有効数字より1桁多く残しておきましょう。例えば(4)の計算で、丸めた後の $3.7 \times 10^3$ と $6.2 \times 10^3$ を使うと、$W’ = (6.2-3.7)\times 10^3 = 2.5 \times 10^3$ となりますが、より正確な値で計算した $2490$ を丸めた $2.5 \times 10^3$ とは意味合いが異なります。途中で丸めると誤差が大きくなる可能性があるため、最終的な答えを出す段階で指定された有効数字に揃えるのが原則です。
分数のまま計算する:
- $\frac{3}{2}$ や $\frac{5}{2}$ を $1.5$ や $2.5$ の小数に直して計算しても良いですが、場合によっては分数のままの方が計算が楽なこともあります。例えば、$\Delta T = 200\,\text{K}$ だった場合、$\frac{3}{2} \times 200 = 3 \times 100 = 300$ のように、先に約分することで暗算が容易になります。
関係式による検算:
- 別解で示したように、定圧変化では $W’ = nR\Delta T$ が成り立ちます。主たる解法で $W’$ を求めた後、この式でも検算してみましょう。$W’ = 1.0 \times 8.3 \times 300 = 2490\,\text{J}$。(4)の答えと一致しており、計算が正しいことを裏付けられます。
- 同様に、$Q = \Delta U + W’$ の関係も検算に使えます。$3735 + 2490 = 6225\,\text{J}$。(3)の答えと一致します。このように、複数の物理法則が相互に関連していることを利用して検算する癖をつけると、ミスの発見率が格段に上がります。

基本例題43 $p$-$V$グラフ

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

【相違点に関する注記】

提示する別解
- 設問(2)の別解: 状態方程式を用いてBの温度を求める解法
  - 模範解答がボイル・シャルルの法則を用いるのに対し、別解ではより基本的な理想気体の状態方程式からB点の温度を直接求めます。
- 設問(3)の別解: 仕事の公式 $W’=nR\Delta T$ を用いる解法
  - 模範解答が仕事の定義式 $W=-p\Delta V$ を用いるのに対し、別解では状態方程式から導かれる関係式 $W’=nR\Delta T$ を用いて、温度変化から仕事を計算します。
- 設問(4)の別解: 点Cの状態量を用いて関係式を導出する解法
  - 模範解答が点Bの状態量を用いて等温変化の関係式を求めるのに対し、別解では同じ等温線上にある点Cの状態量を用いても同じ関係式が導出できることを示します。
上記の別解が有益である理由
- 物理的本質の深化: ボイル・シャルルの法則が状態方程式の特殊な場合に過ぎないことや、定圧変化における仕事が温度変化とも結びついていることを理解できます。
- 解法の選択肢拡大: 複数の物理法則を連携させることで、一つの物理量を多様なアプローチで求められることを学び、問題解決能力の幅が広がります。
- 検算能力の向上: 等温線上ではどの点の $pV$ の積も一定であることなどを利用し、異なる点の情報から計算することで、自身の解答を検算する視点が得られます。
結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、計算過程や思考の出発点が異なるだけで、最終的に得られる答えは模範解答と完全に一致します。

この問題のテーマは「$p$-$V$グラフの読解と熱力学サイクルの解析」です。グラフから気体の状態変化を読み取り、各過程における物理量を計算する典型問題です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

$p$-$V$グラフの理解: グラフの縦軸が圧力、横軸が体積を表し、グラフ上の点が気体の状態、点を結ぶ線が状態変化の過程を表すことを理解していること。
理想気体の状態方程式: 気体の状態量 ($p, V, n, T$) を結びつける基本法則 $pV=nRT$ を使いこなせること。
熱力学の各過程の性質:
- 定積変化 (A→B): 体積一定。気体は仕事をしない ($W’=0$)。
- 等温変化 (B→C): 温度一定。内部エネルギーは変化しない ($\Delta U=0$)。
- 定圧変化 (C→A): 圧力一定。仕事は $W’=p\Delta V$ で計算できる。
熱力学第一法則: エネルギー保存則 $\Delta U = Q – W’$ を用いて、熱、仕事、内部エネルギー変化の関係を計算できること。

基本的なアプローチは以下の通りです。

(1)では、グラフから読み取れる状態Aの圧力、体積と、問題文で与えられた温度を用いて、理想気体の状態方程式から物質量を求めます。
(2)では、まず状態Bの温度を求めます。次に、A→Bが定積変化であることから、吸収した熱量は内部エネルギーの変化に等しいことを利用して計算します。
(3)では、C→Aが定圧変化であることから、仕事の公式 $W=-p\Delta V$ を用いて、気体がされた仕事を計算します。
(4)では、B→Cが等温変化であることから、ボイルの法則 ($pV=\text{一定}$) を用いて、圧力と体積の関係式を導きます。

問(1)

思考の道筋とポイント
気体の物質量 $n$ を求めるには、理想気体の状態方程式 $pV=nRT$ を使います。この式を使うには、ある一つの状態における圧力 $p$、体積 $V$、温度 $T$ の3つの値が必要です。問題の条件から、状態Aについてはこれらすべての値が分かっているので、状態Aについて状態方程式を立てて $n$ を求めます。
この設問における重要なポイント

グラフの軸の単位に注意する。圧力は $\times 10^5\,\text{Pa}$、体積は $\times 10^{-3}\,\text{m}^3$ となっている。
状態方程式に代入する値の単位をSI単位系に揃える。

具体的な解説と立式
$p$-$V$グラフから、状態Aの圧力 $p_A$ と体積 $V_A$ を読み取ります。

圧力: $p_A = 1.0 \times 10^5\,\text{Pa}$
体積: $V_A = 8.3 \times 10^{-3}\,\text{m}^3$

問題文より、状態Aの温度 $T_A$ は、

温度: $T_A = 200\,\text{K}$

これらの値を理想気体の状態方程式 $pV=nRT$ に代入します。
$$
\begin{aligned}
p_A V_A &= n R T_A
\end{aligned}
$$
この式を $n$ について解きます。

使用した物理公式

理想気体の状態方程式: $pV=nRT$

計算過程

$n$ についての式に変形します。
$$
\begin{aligned}
n &= \frac{p_A V_A}{R T_A}
\end{aligned}
$$
値を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
n &= \frac{(1.0 \times 10^5) \times (8.3 \times 10^{-3})}{8.3 \times 200} \\[2.0ex] &= \frac{1.0 \times 10^2}{200} \\[2.0ex] &= \frac{100}{200} \\[2.0ex] &= 0.50\,\text{mol}
\end{aligned}
$$

この設問の平易な説明

気体の性質を調べるための万能な公式が「状態方程式」です。この公式を使えば、気体の「圧力」「体積」「温度」の3点セットが分かっているときに、その気体がどれくらいの量（物質量）あるのかを計算できます。グラフからA地点の3点セットの値を読み取って、公式に当てはめるだけです。

結論と吟味

気体の物質量は $0.50\,\text{mol}$ と求まりました。計算過程で気体定数 $R=8.3$ がきれいに約分できたことから、値の妥当性がうかがえます。

解答 (1) $0.50\,\text{mol}$

問(2)

思考の道筋とポイント
A→Bの過程は、グラフから体積が一定の「定積変化」であることがわかります。定積変化で気体が吸収する熱量 $Q_{AB}$ は、公式 $Q = nC_V\Delta T$ で計算できます。ここで $C_V$ は定積モル比熱で、単原子分子理想気体の場合は $C_V = \frac{3}{2}R$ です。
この計算には温度変化 $\Delta T = T_B – T_A$ が必要なので、まず状態Bの温度 $T_B$ を求める必要があります。模範解答ではボイル・シャルルの法則を使っています。
この設問における重要なポイント

A→Bは定積変化。
定積変化で吸収する熱量は、内部エネルギーの増加に等しい ($Q_{AB} = \Delta U_{AB}$)。
単原子分子の定積モル比熱は $C_V = \frac{3}{2}R$。
まず状態Bの温度 $T_B$ を求める必要がある。

具体的な解説と立式
まず、状態Bの温度 $T_B$ を求めます。AとBの状態でボイル・シャルルの法則 $\frac{pV}{T} = \text{一定}$ を適用します。
$$
\begin{aligned}
\frac{p_A V_A}{T_A} &= \frac{p_B V_B}{T_B}
\end{aligned}
$$
グラフから $p_A = 1.0 \times 10^5\,\text{Pa}$, $V_A = 8.3 \times 10^{-3}\,\text{m}^3$, $p_B = 2.0 \times 10^5\,\text{Pa}$, $V_B = 8.3 \times 10^{-3}\,\text{m}^3$ であり、$T_A = 200\,\text{K}$ です。

次に、吸収した熱量 $Q_{AB}$ を計算します。A→Bは定積変化なので、気体がする仕事は $0$ です。熱力学第一法則より、吸収した熱量はすべて内部エネルギーの増加になります。
$$
\begin{aligned}
Q_{AB} &= \Delta U_{AB}
\end{aligned}
$$
内部エネルギーの増加は、定積モル比熱 $C_V$ を用いて次のように表せます。
$$
\begin{aligned}
\Delta U_{AB} &= nC_V \Delta T
\end{aligned}
$$
単原子分子理想気体では $C_V = \frac{3}{2}R$ なので、
$$
\begin{aligned}
Q_{AB} &= n \left(\frac{3}{2}R\right) (T_B – T_A)
\end{aligned}
$$

使用した物理公式

ボイル・シャルルの法則: $\frac{pV}{T} = \text{一定}$
定積変化における熱量: $Q = nC_V\Delta T$
単原子分子の定積モル比熱: $C_V = \frac{3}{2}R$

計算過程

温度 $T_B$ の計算
ボイル・シャルルの法則の式に値を代入します。$V_A = V_B$ なので、式は $\frac{p_A}{T_A} = \frac{p_B}{T_B}$ と簡単になります。
$$
\begin{aligned}
\frac{1.0 \times 10^5}{200} &= \frac{2.0 \times 10^5}{T_B}
\end{aligned}
$$
これを $T_B$ について解くと、
$$
\begin{aligned}
T_B &= 200 \times \frac{2.0 \times 10^5}{1.0 \times 10^5} \\[2.0ex] &= 400\,\text{K}
\end{aligned}
$$
熱量 $Q_{AB}$ の計算
$n=0.50\,\text{mol}$, $R=8.3\,\text{J/(mol}\cdot\text{K)}$, $T_A=200\,\text{K}$, $T_B=400\,\text{K}$ を熱量の式に代入します。
$$
\begin{aligned}
Q_{AB} &= \frac{3}{2} n R (T_B – T_A) \\[2.0ex] &= \frac{3}{2} \times 0.50 \times 8.3 \times (400 – 200) \\[2.0ex] &= 1.5 \times 0.50 \times 8.3 \times 200 \\[2.0ex] &= 1245\,\text{J}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えるため、$1.2 \times 10^3\,\text{J}$ となります。

この設問の平易な説明

AからBへは、体積を変えずに圧力を上げています。これは、容器を密閉したまま火で温めるような状況です。まず、圧力が2倍になったことで、温度が何Kになったかを計算します。次に、その温度上昇のために、どれだけの熱量を外部から与える必要があったかを計算します。

結論と吟味

温度が $200\,\text{K}$ から $400\,\text{K}$ に上昇しているので、外部から熱を吸収したはずです。計算結果が $Q_{AB} > 0$ となったことは、物理的な状況と一致しています。

解答 (2) $1.2 \times 10^3\,\text{J}$

別解: 状態方程式を用いてBの温度を求める解法

思考の道筋とポイント
状態Bの温度 $T_B$ を求める際に、ボイル・シャルルの法則の代わりに、状態Bについて直接、理想気体の状態方程式を立てて計算します。(1)で物質量 $n$ は求まっているので、$p_B, V_B, n, R$ から $T_B$ を計算できます。この方法も、より基本的な法則から出発するアプローチとして有効です。
この設問における重要なポイント

状態Bの $p_B, V_B$ をグラフから正確に読み取る。
(1)で求めた物質量 $n$ を用いる。
状態方程式を $T_B$ について解き、値を代入する。

具体的な解説と立式
状態Bについて、理想気体の状態方程式 $p_B V_B = n R T_B$ を立てます。これを $T_B$ について解くと、
$$
\begin{aligned}
T_B &= \frac{p_B V_B}{n R}
\end{aligned}
$$
この式に、$p_B = 2.0 \times 10^5\,\text{Pa}$, $V_B = 8.3 \times 10^{-3}\,\text{m}^3$, $n=0.50\,\text{mol}$, $R=8.3\,\text{J/(mol}\cdot\text{K)}$ を代入します。

使用した物理公式

理想気体の状態方程式: $pV=nRT$

計算過程

$$
\begin{aligned}
T_B &= \frac{(2.0 \times 10^5) \times (8.3 \times 10^{-3})}{0.50 \times 8.3} \\[2.0ex] &= \frac{2.0 \times 10^2}{0.50} \\[2.0ex] &= 400\,\text{K}
\end{aligned}
$$
この $T_B=400\,\text{K}$ という結果は主たる解法と一致します。この後の熱量 $Q_{AB}$ の計算は主たる解法と全く同じ手順になり、$Q_{AB} = 1.2 \times 10^3\,\text{J}$ が得られます。

この設問の平易な説明

B地点の温度を知るために、ボイル・シャルルの法則の代わりに、より万能な「状態方程式」を使う方法です。B地点の圧力と体積をグラフから読み取り、(1)で計算した気体の量と合わせて公式に当てはめれば、B地点の温度が直接計算できます。

結論と吟味

状態方程式から直接計算しても、ボイル・シャルルの法則を使っても、同じ温度が求まります。これは、ボイル・シャルルの法則が状態方程式から導かれる関係だからです。どちらの方法でも解けることを知っておくと、思考の幅が広がります。

解答 (2) $1.2 \times 10^3\,\text{J}$

問(3)

思考の道筋とポイント
C→Aの過程は、グラフから圧力が一定の「定圧変化」です。この過程で気体が「された」仕事 $W_{CA}$ を求めます。気体が「外部にした」仕事を $W’_{CA}$ とすると、$W’_{CA} = p \Delta V = p_A (V_A – V_C)$ となります。気体が「された」仕事 $W_{CA}$ は、この $W’_{CA}$ の符号を逆にしたもの、すなわち $W_{CA} = -W’_{CA}$ です。模範解答で使われている $W = -p\Delta V$ はこの関係を直接表す公式です。
この設問における重要なポイント

C→Aは定圧変化。
気体が「された」仕事 $W$ と「した」仕事 $W’$ の関係は $W = -W’$。
C→Aは体積が減少する「圧縮」過程である。

具体的な解説と立式
C→Aの過程は圧力 $p_A = 1.0 \times 10^5\,\text{Pa}$ で一定です。
体積は $V_C = 16.6 \times 10^{-3}\,\text{m}^3$ から $V_A = 8.3 \times 10^{-3}\,\text{m}^3$ へ変化します。
体積変化 $\Delta V$ は、
$$
\begin{aligned}
\Delta V &= V_{\text{後}} – V_{\text{前}} \\[2.0ex] &= V_A – V_C
\end{aligned}
$$
気体が「された」仕事 $W_{CA}$ は、$W = -p\Delta V$ の公式で計算します。
$$
\begin{aligned}
W_{CA} &= -p_A \Delta V \\[2.0ex] &= -p_A (V_A – V_C)
\end{aligned}
$$

使用した物理公式

定圧変化で気体がされた仕事: $W = -p\Delta V$

計算過程

$$
\begin{aligned}
W_{CA} &= -(1.0 \times 10^5) \times (8.3 \times 10^{-3} – 16.6 \times 10^{-3}) \\[2.0ex] &= -(1.0 \times 10^5) \times (-8.3 \times 10^{-3}) \\[2.0ex] &= 8.3 \times 10^2\,\text{J}
\end{aligned}
$$

この設問の平易な説明

CからAへは、ピストンが押されて気体の体積が縮んでいます。これは、外部が気体に対して力を加えて押し込んだ、つまり気体が「仕事をされた」状況です。仕事の量は「圧力 × 体積の変化量」で計算できます。

結論と吟味

気体は圧縮されているので、外部から正の仕事をされています。計算結果が $W_{CA} > 0$ となったことは、物理的な状況と一致しています。

解答 (3) $8.3 \times 10^2\,\text{J}$

別解: 仕事の公式 $W’=nR\Delta T$ を用いる解法

思考の道筋とポイント
定圧変化で気体が「した」仕事 $W’$ は、$W’ = nR\Delta T$ でも計算できます。まずC→Aの温度変化 $\Delta T_{CA} = T_A – T_C$ を求め、そこから「した」仕事 $W’_{CA}$ を計算し、最後に符号を反転させて「された」仕事 $W_{CA}$ を求めます。この方法は、体積の値を使わずに仕事を計算できる点で有用です。
この設問における重要なポイント

定圧変化で気体が「した」仕事は $W’ = nR\Delta T$ で計算できる。
まず、状態Cの温度 $T_C$ を求める必要がある。
「された」仕事 $W$ は、「した」仕事 $W’$ の $ -1 $ 倍である。

具体的な解説と立式
まず、状態Cの温度 $T_C$ を求めます。B→Cは等温変化なので、$T_C = T_B$ です。(2)で $T_B = 400\,\text{K}$ と求めているので、$T_C = 400\,\text{K}$ です。

C→Aの温度変化 $\Delta T_{CA}$ は、
$$
\begin{aligned}
\Delta T_{CA} &= T_A – T_C \\[2.0ex] &= 200 – 400 \\[2.0ex] &= -200\,\text{K}
\end{aligned}
$$
気体が「した」仕事 $W’_{CA}$ は、
$$
\begin{aligned}
W’_{CA} &= nR\Delta T_{CA}
\end{aligned}
$$
求めたいのは気体が「された」仕事 $W_{CA}$ なので、
$$
\begin{aligned}
W_{CA} &= -W’_{CA}
\end{aligned}
$$

使用した物理公式

定圧変化で気体がした仕事: $W’ = nR\Delta T$
された仕事とした仕事の関係: $W = -W’$

計算過程

まず「した」仕事 $W’_{CA}$ を計算します。
$$
\begin{aligned}
W’_{CA} &= 0.50 \times 8.3 \times (-200) \\[2.0ex] &= -830\,\text{J}
\end{aligned}
$$
したがって、「された」仕事 $W_{CA}$ は、
$$
\begin{aligned}
W_{CA} &= -(-830) \\[2.0ex] &= 830\,\text{J} \\[2.0ex] &= 8.3 \times 10^2\,\text{J}
\end{aligned}
$$

この設問の平易な説明

仕事の量を計算する別の方法です。C→Aでは圧力を一定に保ったまま気体を冷やしているので、温度が下がり、それにともなって体積も縮みます。この「温度の変化量」からも仕事の量を計算することができます。まず「した」仕事を計算し、その符号をひっくり返して「された」仕事を求めます。

結論と吟味

主たる解法の結果と完全に一致しました。仕事の計算は、$p\Delta V$ からでも $nR\Delta T$ からでも可能です。どちらの方法でも同じ結果が得られることを確認することで、理解が深まります。

解答 (3) $8.3 \times 10^2\,\text{J}$

問(4)

思考の道筋とポイント
B→Cの過程は、問題文に「温度一定」とあるので「等温変化」です。等温変化では、ボイルの法則により、圧力 $p$ と体積 $V$ の積は一定になります ($pV = \text{一定}$)。この一定値を、状態Bの $p_B$ と $V_B$ の値を使って計算すれば、関係式が求まります。
この設問における重要なポイント

B→Cは等温変化。
等温変化ではボイルの法則 $pV = \text{一定}$ が成り立つ。

具体的な解説と立式
ボイルの法則より、B→Cの過程では常に $pV$ の値は一定です。この一定値は、状態Bの圧力と体積の積 $p_B V_B$ に等しいです。
$$
\begin{aligned}
pV &= p_B V_B
\end{aligned}
$$
グラフから $p_B = 2.0 \times 10^5\,\text{Pa}$, $V_B = 8.3 \times 10^{-3}\,\text{m}^3$ を読み取り、代入します。

使用した物理公式

ボイルの法則: $pV = \text{一定}$

計算過程

$$
\begin{aligned}
pV &= (2.0 \times 10^5) \times (8.3 \times 10^{-3}) \\[2.0ex] &= 16.6 \times 10^2 \\[2.0ex] &= 1660
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えるため、$1.7 \times 10^3$ となります。
したがって、関係式は $pV = 1.7 \times 10^3$ です。

この設問の平易な説明

BからCへの変化は、温度を一定に保ったまま、ゆっくりピストンを引いていくような状況です。このとき、圧力と体積は「反比例」の関係になります。この関係を「$p \times V = (\text{ある決まった数})$」という数式で表します。その決まった数を、B地点の値を使って計算します。

結論と吟味

関係式 $pV = 1.7 \times 10^3$ が求まりました。これは $p$ と $V$ が反比例することを表す双曲線の方程式であり、グラフのB→Cの曲線と整合性がとれています。

解答 (4) $pV = 1.7 \times 10^3$

別解: 点Cの状態量を用いて関係式を導出する解法

思考の道筋とポイント
B→Cの等温線上にあるどの点でも $pV$ の積は一定なので、点Cの状態量 $p_C, V_C$ を使って計算しても同じ結果になるはずです。これは、計算結果の検算としても有効なアプローチです。
この設問における重要なポイント

等温線上では、どの点の $pV$ の積も等しい。
点Cの $p_C, V_C$ をグラフから正確に読み取る。

具体的な解説と立式
ボイルの法則より、B→Cの過程で成り立つ $pV = \text{一定}$ の関係式の一定値は、状態Cの圧力と体積の積 $p_C V_C$ にも等しいです。
$$
\begin{aligned}
pV &= p_C V_C
\end{aligned}
$$
グラフから $p_C = 1.0 \times 10^5\,\text{Pa}$, $V_C = 16.6 \times 10^{-3}\,\text{m}^3$ を読み取り、代入します。

使用した物理公式

ボイルの法則: $pV = \text{一定}$

計算過程

$$
\begin{aligned}
pV &= (1.0 \times 10^5) \times (16.6 \times 10^{-3}) \\[2.0ex] &= 16.6 \times 10^2 \\[2.0ex] &= 1660
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で $1.7 \times 10^3$ となり、主たる解法と完全に一致します。

この設問の平易な説明

B地点の代わりに、同じ線上にあるC地点のデータを使っても、同じ答えが出ます。温度が同じなら、どこでも「圧力 × 体積」の値は同じになる、という法則の確認です。

結論と吟味

等温線上にある点Bと点C、どちらのデータを使っても同じ関係式が導かれることを確認できました。これはボイルの法則が正しく成り立っていることを示しており、グラフの読み取りが正確であったことの裏付けにもなります。

解答 (4) $pV = 1.7 \times 10^3$

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

$p$-$V$グラフの読解と基本法則の連携
- 核心: この問題の根幹は、まず$p$-$V$グラフという「図」から物理的な情報を正確に読み取る能力です。グラフ上の各点(A, B, C)が気体の「状態」を、各点を結ぶ線(A→B, B→C, C→A)が「状態変化の過程」を表していることを理解し、それぞれの過程が定積・等温・定圧のどれに該当するかを特定することが全ての出発点となります。その上で、読み取った情報と熱力学の基本法則（状態方程式、熱力学第一法則）を有機的に結びつけて、未知の物理量を解き明かしていく思考プロセスが問われます。
- 理解のポイント:
  - グラフと法則の対応: グラフの「点（状態）」に関する計算（例：物質量$n$や未知の温度$T$を求める）には状態方程式 $pV=nRT$ を、グラフの「線（過程）」に関する計算（例：熱$Q$や仕事$W’$を求める）には熱力学第一法則 $\Delta U = Q – W’$ と各過程の公式を適用する、という使い分けを意識することが重要です。
  - 過程の特定: グラフの線が縦軸に平行（垂直）なら体積一定の「定積変化」、横軸に平行（水平）なら圧力一定の「定圧変化」、反比例の曲線（双曲線）なら温度一定の「等温変化」であると瞬時に判断できるようにします。
熱力学第一法則 ($\Delta U = Q – W’$)
- 核心: 各状態変化におけるエネルギーの出入りを計算するための中心的な法則です。気体の内部エネルギーの変化($\Delta U$)、吸収した熱量($Q$)、外部にした仕事($W’$)という3つの要素の関係性を表すエネルギー保存則であり、この問題のように複数の過程を解析する際には不可欠なツールとなります。
- 理解のポイント:
  - 過程ごとの適用: 熱力学第一法則は、A→B、B→C、C→Aといった各過程「ごと」に適用します。それぞれの過程で $\Delta U, Q, W’$ のうち、何がゼロになるか、あるいは簡単に計算できるかを見極めることが解法の鍵となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

応用できる類似問題のパターン:
- 断熱変化を含むサイクル: $p$-$V$グラフ上で、等温変化の曲線よりも傾きが急な曲線で表されるのが断熱変化です。この過程では $Q=0$ となるため、熱力学第一法則は $\Delta U = -W’$ となります。
- サイクル全体の仕事と熱: 気体がA→B→C→Aと一周して元の状態に戻る場合、サイクル全体の内部エネルギー変化は $\Delta U_{\text{cycle}} = 0$ です。したがって、熱力学第一法則は $Q_{\text{net}} = W’_{\text{net}}$ となります。これは「1サイクルで気体が吸収した正味の熱量が、外部にした正味の仕事に等しい」ことを意味します。
- サイクルが囲む面積: サイクル全体の仕事 $W’_{\text{net}}$ は、$p$-$V$グラフ上でサイクルが囲む閉じたループの面積に等しくなります。サイクルが時計回りなら気体は正味の仕事をし($W’_{\text{net}} > 0$)、反時計回りなら正味の仕事をされます($W’_{\text{net}} < 0$)。
- 熱効率を問う問題: このサイクルを熱機関とみなした場合、その熱効率 $e$ は「（1サイクルでした正味の仕事）÷（1サイクルで吸収した熱量の合計）」、すなわち $e = \frac{W’_{\text{net}}}{Q_{\text{in}}}$ で計算されます。
初見の問題での着眼点:
1. グラフの軸の単位を最優先で確認する: 圧力や体積の軸に $\times 10^5$ や $\times 10^{-3}$ のような指数が付いていないか、必ず最初に確認します。これを見落とすと、以降の計算がすべて無意味になります。
2. 各過程の種類を特定する: A→B、B→C、C→Aがそれぞれ「定積」「等温」「定圧」「断熱」のどれに当たるかを、グラフの形状から判断し、問題用紙の余白に書き込んでおきます。
3. 状態量をリストアップする: 各点（A, B, C）について、$p, V, T$ の値を書き出すための表を作成すると便利です。最初はグラフから読み取れる値と問題文で与えられた値を埋め、計算で分かった値を随時追記していくことで、情報が整理され思考がクリアになります。
4. どの法則から手をつけるか判断する:
  - 物質量 $n$ や未知の温度 $T$ を求めたい → まずは状態方程式 $pV=nRT$ を考える。
  - 熱量 $Q$、内部エネルギー $\Delta U$、仕事 $W’$ を求めたい → 熱力学第一法則 $\Delta U = Q – W’$ を基本に据え、各過程の性質（例：定積なら $W’=0$、等温なら $\Delta U=0$）を利用して式を簡略化できないか考える。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

グラフの軸の単位の見落とし:
- 誤解: 軸の数値だけを見て、$p_A=1.0\,\text{Pa}$, $V_A=8.3\,\text{m}^3$ のように計算してしまう。
- 対策: 計算を始める前に、必ずグラフの軸のラベル全体（例: $p\,[\times 10^5\,\text{Pa}]$) を指差し確認する癖をつけましょう。読み取った値に、指定された倍率を掛けることを忘れないようにします。
仕事の符号の混同:
- 誤解: (3)で「された仕事」を問われているのに、体積変化から計算した「した仕事」をそのまま答えてしまう。
- 対策: 「体積が増加（膨張）すれば、気体は外部に正の仕事をし($W’>0$)」「体積が減少（圧縮）すれば、気体は外部から正の仕事をされる($W>0$)」という物理的イメージを常に持つことが重要です。数式上では $W = -W’$ の関係が成り立ちます。$p$-$V$グラフでは、過程が右に進めば $W’>0$、左に進めば $W'<0$ と視覚的に判断できます。
内部エネルギー変化の誤解:
- 誤解: どんな過程でも内部エネルギーは変化する、あるいは、サイクルだから常にゼロだと考えてしまう。
- 対策: 理想気体の内部エネルギーは絶対温度だけで決まります。したがって、内部エネルギーが変化しない($\Delta U = 0$)のは「等温変化」の過程だけです（サイクル全体で始点と終点の温度が同じ場合も $\Delta U_{\text{cycle}}=0$ となります）。温度が上がる過程（A→B）では $\Delta U > 0$、温度が下がる過程（C→A）では $\Delta U < 0$ となります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

(1)での公式選択（理想気体の状態方程式）:
- 選定理由: 求めたいのは「物質量 $n$」です。そして、状態Aという一つの「点」において、圧力 $p$、体積 $V$、温度 $T$ の3つの状態量がすべて判明しています。これら4つの物理量を結びつける唯一の法則が、理想気体の状態方程式 $pV=nRT$ です。したがって、この公式を選択するのは必然です。
- 適用根拠: 問題文に「理想気体」と明記されているため、この方程式を適用することが正当化されます。
(2)での公式選択（ボイル・シャルルの法則＋定積変化の熱量の公式）:
- 選定理由: 求めたいのはA→Bの過程で吸収した「熱量 $Q_{AB}$」です。A→Bは「定積変化」なので、気体は仕事をしません($W’_{AB}=0$)。熱力学第一法則は $\Delta U_{AB} = Q_{AB}$ となり、熱量を求めるには内部エネルギーの変化を計算すればよい、と分かります。内部エネルギーの変化は $\Delta U = nC_V\Delta T$ で計算できるため、温度変化 $\Delta T = T_B – T_A$ が必要になります。そこで、まず $T_B$ を求めるために、AとBの2状態を比較するボイル・シャルルの法則が選択されます。
- 適用根拠: (1)で求めた物質量 $n$ が変化しない閉じた系であるため、ボイル・シャルルの法則が適用できます。また、「単原子分子」という指定があるため、定積モル比熱として $C_V = \frac{3}{2}R$ を用いることができます。
(3)での公式選択（定圧変化の仕事の公式）:
- 選定理由: 求めたいのはC→Aの過程で「された仕事 $W_{CA}$」です。この過程は「定圧変化」であり、その仕事は $p$ と $\Delta V$ から直接計算できます。したがって、仕事の定義から導かれる公式 $W = -p\Delta V$ を選択するのが最も直接的で効率的です。
- 適用根拠: グラフから圧力が一定であることが読み取れるため、この公式が適用できます。
(4)での公式選択（ボイルの法則）:
- 選定理由: 求めたいのはB→Cの過程における「$p$ と $V$ の関係式」です。この過程は「等温変化」であると指定されています。等温変化における圧力と体積の関係を記述する法則が、ボイルの法則 $pV = \text{一定}$ です。
- 適用根拠: 問題文に「B→Cは温度一定であった」と明記されていることが、この法則を適用する直接的な根拠となります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

状態量を表にまとめる:
- 計算を始める前に、以下のような表を作成し、分かっている値を書き込むことを強く推奨します。空欄を埋めていくことで、次に何をすべきかが明確になります。
  
  状態 $p\,[\times 10^5\,\text{Pa}]$ $V\,[\times 10^{-3}\,\text{m}^3]$ $T\,[\text{K}]$
  
  A $1.0$ $8.3$ $200$
  
  B $2.0$ $8.3$ ($400$)
  
  C ($1.0$) ($16.6$) ($400$)
単位を含めて立式する:
- 慣れないうちは、$n = \frac{(1.0 \times 10^5\,\text{Pa}) \times (8.3 \times 10^{-3}\,\text{m}^3)}{(8.3\,\text{J/(mol}\cdot\text{K)}) \times (200\,\text{K})}$ のように単位も一緒に書くと、単位が正しく約分されて $\text{mol}$ になるかを確認でき、ケアレスミスを防げます。
指数計算を丁寧に行う:
- $10^5 \times 10^{-3} = 10^{5-3} = 10^2$ のような指数法則の計算は、焦ると間違えやすいポイントです。落ち着いて処理しましょう。
物理的な妥当性の吟味:
- A→B: 定積で加熱しているので、圧力と温度が上がるはず。($p_B > p_A$, $T_B > T_A$) → OK。
- B→C: 等温で膨張しているので、圧力は下がるはず。($p_C < p_B$) → OK。
- C→A: 定圧で冷却（圧縮）しているので、温度は下がるはず。($T_A < T_C$) → OK。
- このように、各過程で状態量が物理的に妥当な変化をしているかを確認するだけで、大きな間違いに気づくことができます。
サイクル全体の検算:
- 1サイクル後の内部エネルギー変化がゼロになるかを確認するのも有効な検算です。$\Delta U_{\text{cycle}} = \Delta U_{AB} + \Delta U_{BC} + \Delta U_{CA}$。
- $\Delta U_{AB} = 1245\,\text{J}$。B→Cは等温なので $\Delta U_{BC}=0$。C→Aは温度が $400\,\text{K} \to 200\,\text{K}$ に下がるので、$\Delta U_{CA} = \frac{3}{2}nR(T_A-T_C) = -1245\,\text{J}$。
- よって、$\Delta U_{\text{cycle}} = 1245 + 0 + (-1245) = 0$。計算全体に矛盾がないことが確認できます。

状態	\(p\,[\times 10^5\,\text{Pa}]\)	\(V\,[\times 10^{-3}\,\text{m}^3]\)	\(T\,[\text{K}]\)
A	\(1.0\)	\(8.3\)	\(200\)
B	\(2.0\)	\(8.3\)	(\(400\))
C	(\(1.0\))	(\(16.6\))	(\(400\))

基本例題44 断熱変化

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

【相違点に関する注記】

提示する別解
- 設問(1)の別解: 圧力と体積から内部エネルギーを計算する解法
  - 模範解答が温度変化から内部エネルギーの増加を計算するのに対し、別解では設問(3)を先に解いて体積を求め、内部エネルギーの公式 $U=\frac{3}{2}pV$ を用いて計算します。
- 設問(2)の別解: 気体が「した仕事」を用いて計算する解法
  - 模範解答が熱力学第一法則を $\Delta U = Q+W$ (Wは「された仕事」) の形で用いるのに対し、別解では $Q = \Delta U + W’$ (W’は「した仕事」) の形で用い、圧縮過程で気体がする仕事が負になることから「された仕事」を求めます。
上記の別解が有益である理由
- 物理的本質の深化: 理想気体の内部エネルギーが温度($T$)だけでなく圧力($p$)と体積($V$)の積によっても表現できることや、熱力学第一法則の異なる表現（「された仕事」を使うか「した仕事」を使うか）と符号の関係を深く理解できます。
- 思考の柔軟性向上: 設問の番号順に解くという固定観念を外し、問題全体を見渡して解きやすい設問から手をつけるという戦略的な思考を訓練できます。
- 解法の選択肢拡大: 教科書や参考書によって異なる熱力学第一法則の表記法に惑わされず、どちらの形式でも自在に問題を解く能力が養われます。
結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、計算過程や思考の出発点が異なるだけで、最終的に得られる答えは模範解答と完全に一致します。

この問題のテーマは「断熱変化における熱力学計算」です。外部との熱のやりとりがない状態で気体を圧縮・膨張させたときに、内部エネルギーや仕事がどうなるかを問う問題です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

断熱変化の理解: 「断熱的」とは、外部との熱の出入りがゼロ ($Q=0$) である変化のこと。
熱力学第一法則: 気体のエネルギー保存則 ($\Delta U = Q+W$) を正しく理解し、断熱変化の条件を適用できること。
理想気体の内部エネルギーの公式: 単原子分子理想気体の内部エネルギーが絶対温度に比例し、その変化量が $\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T$ で計算できること。
理想気体の状態方程式: 気体の状態量 ($p, V, n, T$) を結びつける基本法則 $pV=nRT$ を使いこなせること。

基本的なアプローチは以下の通りです。

(1)では、状態AとBの温度変化が与えられているので、単原子分子理想気体の内部エネルギーの増加量の公式に値を代入して計算します。
(2)では、この変化が「断熱変化」($Q=0$)であることに着目します。熱力学第一法則 $\Delta U = Q+W$ (Wはされた仕事) にこの条件を適用すると、された仕事が内部エネルギーの増加に等しいことがわかります。
(3)では、状態Bの圧力、温度、物質量がすべて分かっているので、理想気体の状態方程式を用いて体積を計算します。

問(1)

思考の道筋とポイント
単原子分子からなる理想気体の内部エネルギーは、絶対温度 $T$ のみに依存します。したがって、内部エネルギーの増加量 $\Delta U$ は、温度の上昇分 $\Delta T$ に比例します。問題文で変化前後の温度が与えられているので、公式 $\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T$ を使って直接計算できます。
この設問における重要なポイント

単原子分子理想気体の内部エネルギーの変化は $\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T$。
$\Delta T$ は変化後の温度から変化前の温度を引いたもの ($\Delta T = T_B – T_A$)。

具体的な解説と立式
問題文で与えられている値は以下の通りです。

物質量: $n = 0.10\,\text{mol}$
気体定数: $R = 8.3\,\text{J/(mol}\cdot\text{K)}$
状態Aの温度: $T_A = 500\,\text{K}$
状態Bの温度: $T_B = 900\,\text{K}$

温度変化 $\Delta T$ は、
$$
\begin{aligned}
\Delta T &= T_B – T_A \\[2.0ex] &= 900 – 500 \\[2.0ex] &= 400\,\text{K}
\end{aligned}
$$
単原子分子理想気体の内部エネルギーの増加 $\Delta U$ の公式に、これらの値を代入します。
$$
\begin{aligned}
\Delta U &= \frac{3}{2}nR\Delta T
\end{aligned}
$$

使用した物理公式

単原子分子理想気体の内部エネルギーの変化: $\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T$

計算過程

$$
\begin{aligned}
\Delta U &= \frac{3}{2} \times 0.10 \times 8.3 \times 400 \\[2.0ex] &= 1.5 \times 0.10 \times 8.3 \times 400 \\[2.0ex] &= 498\,\text{J}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えるため、$5.0 \times 10^2\,\text{J}$ となります。

この設問の平易な説明

気体の「内部エネルギー」は、その気体の温度で決まります。今回は気体の温度が $500\,\text{K}$ から $900\,\text{K}$ に上がったので、内部エネルギーもその分だけ増えたはずです。どれくらい増えたかを、専用の公式を使って計算します。

結論と吟味

温度が上昇しているので、内部エネルギーが増加する ($\Delta U > 0$) のは物理的に妥当です。

解答 (1) $5.0 \times 10^2\,\text{J}$

問(2)

思考の道筋とポイント
この問題の核心は「断熱的に変化させた」という記述です。これは、気体と外部との間で熱のやりとりがなかった ($Q=0$) ことを意味します。この条件を、熱力学第一法則 $\Delta U = Q + W$ (ここで $W$ は気体が「された」仕事) に適用します。すると、された仕事 $W$ が内部エネルギーの増加 $\Delta U$ に等しいことがわかります。
この設問における重要なポイント

断熱変化では、熱の出入りがないので $Q=0$。
熱力学第一法則は $\Delta U = Q + W$。
上記2点より、断熱変化では $\Delta U = W$ が成り立つ。

具体的な解説と立式
熱力学第一法則は、気体がされた仕事を $W$ とすると、
$$ \Delta U = Q + W $$
と表されます。
断熱変化なので、外部との熱のやりとりは $0$ です。
$$ Q = 0 $$
したがって、熱力学第一法則は、
$$
\begin{aligned}
\Delta U &= 0 + W
\end{aligned}
$$
となり、
$$
\begin{aligned}
W &= \Delta U
\end{aligned}
$$
が成り立ちます。つまり、気体がされた仕事は、(1)で求めた内部エネルギーの増加に等しくなります。

使用した物理公式

熱力学第一法則: $\Delta U = Q + W$

計算過程

(1)で求めた $\Delta U = 498\,\text{J}$ を用います。
$$
\begin{aligned}
W &= \Delta U \\[2.0ex] &= 498\,\text{J}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えるため、$5.0 \times 10^2\,\text{J}$ となります。

この設問の平易な説明

「断熱」とは、熱が逃げたり入ってきたりしない魔法瓶のような状態のことです。このような状態で気体を無理やり押し縮める（仕事をする）と、加えたエネルギーは熱として逃げることができないため、すべて気体の温度を上げるために使われます。つまり、「気体がされた仕事」の分だけ、そのまま「内部エネルギーが増加」します。

結論と吟味

グラフを見ると、気体は体積が $V_A$ から $V_B$ へと減少、つまり圧縮されています。気体が圧縮されるとき、外部から仕事をされるので、$W$ が正の値になるのは物理的に妥当です。

解答 (2) $5.0 \times 10^2\,\text{J}$

別解: 気体が「した仕事」を用いて計算する解法

思考の道筋とポイント
熱力学第一法則には、気体が「した仕事」 $W’$ を用いた $Q = \Delta U + W’$ という表記もあります。この形式で立式し、断熱変化 ($Q=0$) の条件を適用します。そこから「した仕事」 $W’$ を求め、最後に符号を反転させて「された仕事」 $W$ を求めます。
この設問における重要なポイント

熱力学第一法則の別表記: $Q = \Delta U + W’$。
断熱変化では $Q=0$。
「された仕事」 $W$ と「した仕事」 $W’$ の関係は $W = -W’$。

具体的な解説と立式
熱力学第一法則を、気体が「した仕事」 $W’$ を用いて表すと、
$$ Q = \Delta U + W’ $$
となります。断熱変化なので $Q=0$ ですから、
$$
\begin{aligned}
0 &= \Delta U + W’
\end{aligned}
$$
したがって、「した仕事」 $W’$ は、
$$
\begin{aligned}
W’ &= -\Delta U
\end{aligned}
$$
となります。求めたいのは「された仕事」 $W$ なので、$W = -W’$ の関係を使います。
$$
\begin{aligned}
W &= -W’ \\[2.0ex] &= -(-\Delta U) \\[2.0ex] &= \Delta U
\end{aligned}
$$
結局、主たる解法と同じ結論に至ります。

使用した物理公式

熱力学第一法則（別表記）: $Q = \Delta U + W’$
された仕事とした仕事の関係: $W = -W’$

計算過程

(1)で求めた $\Delta U = 498\,\text{J}$ を用いて、まず「した仕事」 $W’$ を計算します。
$$
\begin{aligned}
W’ &= -498\,\text{J}
\end{aligned}
$$
次に、「された仕事」 $W$ を求めます。
$$
\begin{aligned}
W &= -W’ \\[2.0ex] &= -(-498) \\[2.0ex] &= 498\,\text{J}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で $5.0 \times 10^2\,\text{J}$ となります。

この設問の平易な説明

熱力学のエネルギー保存則には、主人公を「気体がされた仕事」にするか「気体がした仕事」にするかで、式のプラス・マイナスが少し違うバージョンがあります。この別解では、「した仕事」が主人公の公式を使っています。気体は圧縮されて「仕事」を「された」ので、「した仕事」はマイナスの値になります。最後にその符号をひっくり返して「された仕事」を求めています。

結論と吟味

熱力学第一法則のどちらの表記を用いても、符号の定義を正しく理解していれば、全く同じ結果が得られます。自分が使い慣れた方の公式で一貫して解くことが重要です。

解答 (2) $5.0 \times 10^2\,\text{J}$

問(3)

思考の道筋とポイント
状態Bにおける気体の体積 $V_B$ を求めます。状態Bについては、圧力 $p_B$、温度 $T_B$、そして物質量 $n$ がすべて分かっています。これらの状態量を結びつける理想気体の状態方程式 $pV=nRT$ を用いれば、未知数である体積 $V_B$ を計算することができます。
この設問における重要なポイント

状態Bの圧力、温度、物質量の値を正確に把握する。
理想気体の状態方程式 $pV=nRT$ を $V$ について解く。
計算時に単位をSI単位系に統一する。

具体的な解説と立式
状態Bにおける各値は以下の通りです。

圧力: $p_B = 3.0 \times 10^5\,\text{Pa}$
温度: $T_B = 900\,\text{K}$
物質量: $n = 0.10\,\text{mol}$
気体定数: $R = 8.3\,\text{J/(mol}\cdot\text{K)}$

これらの値を、状態Bについての理想気体の状態方程式に代入します。
$$
\begin{aligned}
p_B V_B &= n R T_B
\end{aligned}
$$
この式を $V_B$ について解きます。

使用した物理公式

理想気体の状態方程式: $pV=nRT$

計算過程

$$
\begin{aligned}
V_B &= \frac{n R T_B}{p_B} \\[2.0ex] &= \frac{0.10 \times 8.3 \times 900}{3.0 \times 10^5} \\[2.0ex] &= \frac{747}{3.0 \times 10^5} \\[2.0ex] &= 249 \times 10^{-5} \\[2.0ex] &= 2.49 \times 10^{-3}\,\text{m}^3
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えるため、$2.5 \times 10^{-3}\,\text{m}^3$ となります。

この設問の平易な説明

気体の状態Bについて、「圧力」「温度」「量（物質量）」の3つの情報がわかっています。これらの情報を使えば、万能公式である「状態方程式」を用いて、残る1つの情報である「体積」を計算することができます。

結論と吟味

断熱圧縮により、気体の体積は減少するはずです。参考として状態Aの体積を計算すると $V_A = \frac{nRT_A}{p_A} = \frac{0.10 \times 8.3 \times 500}{1.0 \times 10^5} = 4.15 \times 10^{-3}\,\text{m}^3$ となり、$V_B < V_A$ であることが確認できます。計算結果は物理的に妥当です。

解答 (3) $2.5 \times 10^{-3}\,\text{m}^3$

別解: 設問(1) 圧力と体積から内部エネルギーを計算する解法

思考の道筋とポイント
設問の順序を入れ替えて、まず(3)と同様に状態AとBの体積を計算します。理想気体の内部エネルギーは $U=\frac{3}{2}nRT$ だけでなく、状態方程式 $pV=nRT$ を組み合わせることで $U=\frac{3}{2}pV$ とも表せます。この関係式を用いて、内部エネルギーの増加 $\Delta U = U_B – U_A = \frac{3}{2}(p_B V_B – p_A V_A)$ を計算します。
この設問における重要なポイント

内部エネルギーは $U=\frac{3}{2}pV$ とも表せる。
この計算には、まず状態Aと状態Bの両方の体積を求める必要がある。

具体的な解説と立式
まず、状態Aと状態Bの体積を、それぞれ状態方程式を用いて計算します。

状態Aの体積 $V_A$:
$$
\begin{aligned}
V_A &= \frac{n R T_A}{p_A}
\end{aligned}
$$
状態Bの体積 $V_B$:
$$
\begin{aligned}
V_B &= \frac{n R T_B}{p_B}
\end{aligned}
$$

次に、内部エネルギーの増加 $\Delta U$ を、圧力と体積を用いて計算します。
$$
\begin{aligned}
\Delta U &= U_B – U_A \\[2.0ex] &= \frac{3}{2}p_B V_B – \frac{3}{2}p_A V_A \\[2.0ex] &= \frac{3}{2}(p_B V_B – p_A V_A)
\end{aligned}
$$

使用した物理公式

理想気体の状態方程式: $pV=nRT$
単原子分子理想気体の内部エネルギー: $U=\frac{3}{2}pV$

計算過程

体積の計算
$$
\begin{aligned}
V_A &= \frac{0.10 \times 8.3 \times 500}{1.0 \times 10^5} \\[2.0ex] &= 4.15 \times 10^{-3}\,\text{m}^3
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
V_B &= \frac{0.10 \times 8.3 \times 900}{3.0 \times 10^5} \\[2.0ex] &= 2.49 \times 10^{-3}\,\text{m}^3
\end{aligned}
$$
内部エネルギーの増加 $\Delta U$ の計算
$$
\begin{aligned}
\Delta U &= \frac{3}{2} \left( (3.0 \times 10^5 \times 2.49 \times 10^{-3}) – (1.0 \times 10^5 \times 4.15 \times 10^{-3}) \right) \\[2.0ex] &= \frac{3}{2} (7.47 \times 10^2 – 4.15 \times 10^2) \\[2.0ex] &= \frac{3}{2} (3.32 \times 10^2) \\[2.0ex] &= 1.5 \times 332 \\[2.0ex] &= 498\,\text{J}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で $5.0 \times 10^2\,\text{J}$ となり、主たる解法と一致します。

この設問の平易な説明

内部エネルギーは「温度」から計算するのが一般的ですが、「圧力と体積のペア」からも計算できます。この別解では、まずA地点とB地点それぞれの体積を計算し、それぞれの地点での「圧力×体積」という値を求めます。その差をとることで、内部エネルギーがどれだけ増えたかを計算する方法です。

結論と吟味

主たる解法と完全に同じ結果が得られました。これにより、内部エネルギーの計算方法が複数あり、問題の条件に応じて使い分けられることが確認できます。

解答 (1) $5.0 \times 10^2\,\text{J}$

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

断熱変化における熱力学第一法則
- 核心: この問題の根幹は、「断熱的に変化させた」という一文から、熱の出入りがゼロ ($Q=0$) であると即座に判断することです。この条件を熱力学の基本法則である熱力学第一法則 ($\Delta U = Q+W$) に適用すると、式は $\Delta U = W$ (Wはされた仕事) という非常にシンプルな形になります。これは「断熱圧縮では、外部からされた仕事がすべて内部エネルギーの増加に変わる」という断熱変化の本質を直接表しています。
- 理解のポイント:
  - エネルギーの変換: 断熱変化は、仕事と内部エネルギーが直接変換される過程です。外部から仕事をされれば（圧縮）、そのエネルギーは内部エネルギーに変わり温度が上昇します。逆に外部へ仕事をすれば（膨張）、内部エネルギーを消費して仕事をするため温度が下降します。
  - 仕事の定義: この問題の模範解答では、熱力学第一法則の $W$ を「気体が外部からされた仕事」として扱っています。圧縮過程では外部が気体を押すので、気体は正の仕事をされます。
理想気体の内部エネルギーの公式
- 核心: 熱力学第一法則を具体的に計算するための重要な部品です。理想気体の内部エネルギーは絶対温度だけで決まるため、その変化量 $\Delta U$ は温度変化 $\Delta T$ から直接計算できます。特に、問題文の「単原子分子」という条件から、公式 $\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T$ を選択することが鍵となります。
- 理解のポイント:
  - 温度変化との直結: 内部エネルギーの変化を問われたら、まず温度変化を考えます。この問題では初めから温度が与えられているため、この公式を使えば直ちに $\Delta U$ を計算できます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

応用できる類似問題のパターン:
- 断熱膨張: 断熱圧縮の逆の過程です。例えば、エアダスターの缶から気体を噴出させると缶が冷たくなるのは、気体が外部へ仕事（膨張）をすることで内部エネルギーが減少し、温度が下がる断熱膨張の一例です。この場合、$W$ は負の値（仕事をされるのではなく、する）となり、$\Delta U$ も負になります。
- ポアソンの法則を用いる問題: 断熱変化では、$pV^\gamma = \text{一定}$ という関係（ポアソンの法則）が成り立ちます（$\gamma$ は比熱比で、単原子分子なら $\frac{5}{3}$）。この問題では温度が与えられていたため不要でしたが、温度が未知の場合にはこの法則を使って状態量を計算する必要があります。
- 等温変化とのグラフ比較: $p$-$V$グラフ上で、断熱変化を表す曲線は、等温変化を表す曲線（反比例のグラフ）よりも傾きが急になります。これは、断熱圧縮では温度が上昇するため、同じ体積変化でも等温変化より圧力が高くなるためです。
初見の問題での着眼点:
1. まず「断熱」のキーワードを探す: 問題文に「断熱」とあれば、反射的に $Q=0$ とし、熱力学第一法則が $\Delta U = W$ (または $\Delta U = -W’$) となることを念頭に置きます。
2. 「圧縮」か「膨張」かを見極める: グラフの矢印の向き（体積が減少か増加か）や、問題文の記述から、気体が仕事をされたのか、したのかを判断します。これにより、$W$ や $\Delta U$ の符号を予測できます。この問題では圧縮なので、$W>0$, $\Delta U>0$ となります。
3. 与えられた状態量を確認する: 変化の前後の状態で、$p, V, T$ のうちどの量が与えられているかを確認します。
  - 温度が分かっていれば → $\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T$ から内部エネルギーを計算するのが早い。
  - 圧力と体積が分かっていれば → ポアソンの法則や状態方程式を駆使して未知の量を求める必要がある。
4. 設問の順番にこだわらない: 例えば、(1)で $\Delta U$ を求めるのに温度が必要だが与えられていない、しかし(3)で体積を求めれば $\Delta U = \frac{3}{2}(p_B V_B – p_A V_A)$ で計算できる、といったケースもあります。解ける設問から解いていく戦略も有効です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

断熱変化と等温変化の混同:
- 誤解: 「断熱」を「温度が一定」と勘違いし、$\Delta U = 0$ と置いてしまう。
- 対策: 「断熱」はあくまで「熱の出入りがない($Q=0$)」という意味です。熱の逃げ場がない状態で圧縮されれば、エネルギーが内部に溜まるので必ず温度は上昇します。逆に膨張すれば、内部のエネルギーを使って仕事をするので温度は下降します。「断熱 $\neq$ 等温」と強く意識しましょう。
仕事の符号の混同:
- 誤解: 「された仕事」を問われているのに、感覚的に「した仕事」を計算して符号を間違える。
- 対策: 熱力学第一法則の $W$ が「された仕事」なのか「した仕事」なのか、自分が使っている式の定義を常に明確にすることが最も重要です。物理的なイメージとして、「気体がエネルギーを得る（＝仕事をされる）なら $W$ は正」「気体がエネルギーを失う（＝仕事をする）なら $W$ は負」と考えると、$\Delta U = Q+W$ の式と整合性がとれます。
内部エネルギーの公式の係数ミス:
- 誤解: 気体の種類に関わらず、常に $\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T$ を使ってしまう。
- 対策: この公式の係数 $\frac{3}{2}$ は「単原子分子」の場合に限定されます。問題文に「単原子分子」という記述があるかを必ず指差し確認する癖をつけましょう。もし「二原子分子」であれば、係数は $\frac{5}{2}$ になります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

(1)での公式選択（内部エネルギーの公式）:
- 選定理由: 求めたいのは「内部エネルギーの増加 $\Delta U$」であり、問題文で変化前後の「温度 $T_A, T_B$」が直接与えられています。理想気体の内部エネルギーは温度だけで決まるため、この2つの物理量を直接結びつける公式 $\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T$ を選択するのが最も合理的かつ効率的です。
- 適用根拠: 問題文に「単原子分子からなる理想気体」と明記されていることが、係数 $\frac{3}{2}$ を持つこの公式を適用する直接的な根拠となります。
(2)での公式選択（熱力学第一法則）:
- 選定理由: 求めたいのは「された仕事 $W$」です。そして、この問題の最も重要な条件は「断熱変化」であることです。この条件 ($Q=0$) を最大限に活用できるのが、熱力学第一法則 $\Delta U = Q+W$ です。この法則に $Q=0$ を代入すれば、(1)で求めた $\Delta U$ と求めたい $W$ が $ \Delta U = W $ という形で直接結びつきます。
- 適用根拠: 熱力学第一法則は、あらゆる熱力学的な過程に適用できる普遍的なエネルギー保存則であり、この問題の断熱変化も例外ではないため、無条件に適用できます。
(3)での公式選択（理想気体の状態方程式）:
- 選定理由: 求めたいのは状態Bにおける「体積 $V_B$」です。状態Bという一つの「点（状態）」について、他の3つの状態量（圧力 $p_B$、温度 $T_B$、物質量 $n$）がすべて既知です。ある一つの状態における4つの物理量 $p, V, n, T$ を関係づける法則は、理想気体の状態方程式 $pV=nRT$ しかありません。
- 適用根拠: 問題文に「理想気体」と明記されていることが、この方程式を適用する根拠となります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

単位と接頭語の確認を徹底する:
- 計算を始める前に、圧力の単位が $\text{Pa}$ であること、グラフの軸に $\times 10^5$ のような倍率がついていることを確認します。これらの値を計算式に正しく反映させることが、正確な計算の第一歩です。
有効数字の意識:
- 問題文で与えられている物理量（$0.10\,\text{mol}$, $1.0\times 10^5\,\text{Pa}$ など）は有効数字2桁です。したがって、最終的な答えも有効数字2桁に揃える必要があります。計算途中では $498\,\text{J}$ のように少し多めに桁を残しておき、最後に四捨五入するのが基本です。
物理的な妥当性を常に吟味する:
- 計算結果が出たら、それが物理的にありえるかどうかを考えます。
  - (1) 断熱圧縮で温度が $500\,\text{K} \to 900\,\text{K}$ と上昇しているので、内部エネルギーは増加するはず。→ $\Delta U > 0$ であり、OK。
  - (2) 気体は圧縮されているので、外部から仕事を「された」はず。→ $W > 0$ であり、OK。
  - (3) 断熱圧縮なので、体積は減少するはず。計算結果が初期体積 $V_A$ より小さくなっているかを確認する。($V_A = 4.15 \times 10^{-3}\,\text{m}^3$ に対し $V_B = 2.5 \times 10^{-3}\,\text{m}^3$ なのでOK)
概算による検算:
- 気体定数を $R \approx 8.0\,\text{J/(mol}\cdot\text{K)}$ として、大まかな値を計算してみます。
  - (1) $\Delta U \approx 1.5 \times 0.1 \times 8.0 \times 400 = 480\,\text{J}$。計算結果の $498\,\text{J}$ と近い値です。
  - (3) $V_B \approx \frac{0.1 \times 8.0 \times 900}{3.0 \times 10^5} = \frac{720}{3.0 \times 10^5} = 240 \times 10^{-5} = 2.4 \times 10^{-3}\,\text{m}^3$。計算結果の $2.49 \times 10^{-3}\,\text{m}^3$ と非常に近く、桁違いのミスがないことを確認できます。

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基本問題

307 内部エネルギー

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

【相違点に関する注記】

提示する別解
- 物質量計算の別解: 理想気体の状態方程式を用いる解法
  - 模範解答が標準状態における気体のモル体積の知識を用いて物質量を求めるのに対し、別解ではより基本的な物理法則である理想気体の状態方程式から物質量を計算します。
- 内部エネルギー変化計算の別解: 圧力と体積の関係式を用いる解法
  - 模範解答が温度変化から内部エネルギーの変化量を計算するのに対し、別解では内部エネルギーを圧力と体積で表す公式 $U=\frac{3}{2}pV$ を用いて計算します。
上記の別解が有益である理由
- 物理的本質の深化: 標準状態のモル体積という知識が、理想気体の状態方程式というより普遍的な法則から導かれることを理解できます。また、内部エネルギーの表現方法が複数あることを学び、物理法則の多面的な見方を養えます。
- 解法の選択肢拡大: モル体積の値を忘れてしまった場合でも、状態方程式という基本法則に立ち返って問題を解く力が身につきます。
- 思考の柔軟性向上: 求める物理量に応じて、どの公式やアプローチを選択すればよいかを考える良い訓練になります。
結果への影響
- 用いる近似の度合いによって計算途中の値にわずかな差が出ることがありますが、物理的な思考プロセスは同じであり、最終的に得られる答えは有効数字の範囲で完全に一致します。

この問題のテーマは「定積変化における内部エネルギーの変化」です。気体の状態変化の中でも基本的な過程について、物理法則を正しく適用して物理量を計算することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

理想気体の状態方程式: 気体の初期状態 ($p, V, T$) から、その物質量 $n$ を計算できること。
理想気体の内部エネルギーの公式: 単原子分子理想気体の内部エネルギーが絶対温度にのみ依存し、その変化量が $\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T$ で計算できること。
定積変化の理解: 体積が一定の変化では、気体は外部に対して仕事をしない ($W’=0$) ことを理解していること。
温度の単位: 熱力学の計算では、セルシウス温度 ($^\circ\text{C}$) を絶対温度 ($\text{K}$) に変換して用いる必要があること。

基本的なアプローチは以下の通りです。

まず、気体の内部エネルギーの変化量を計算するために必要な、気体の物質量 $n$ を求めます。これは、初期状態の圧力、体積、温度が与えられていることから、理想気体の状態方程式、あるいは標準状態のモル体積の知識を用いて計算します。
次に、アルゴンが単原子分子であることから、内部エネルギーの変化量の公式 $\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T$ に、求めた物質量 $n$ と問題で与えられた温度変化 $\Delta T$ を代入して答えを求めます。

思考の道筋とポイント
この問題の核心は、内部エネルギーの変化量を求める公式 $\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T$ を正しく適用することです。この公式を使うためには、物質量 $n$ と温度変化 $\Delta T$ の2つの値が必要です。温度変化は問題文からすぐにわかりますが、物質量 $n$ は与えられていません。そこで、まず初期状態の情報 ($p, V, T$) を使って $n$ を計算し、その結果を内部エネルギーの公式に代入するという、2段階の思考プロセスが必要になります。
この設問における重要なポイント

アルゴンは単原子分子であるため、内部エネルギーの公式の係数は $\frac{3}{2}$ となる。
計算に用いる温度は、必ず絶対温度 ($\text{K}$) に変換する。ただし、温度「変化」$\Delta T$ は、絶対温度の差とセルシウス温度の差が等しいので、$\Delta T = 10\,\text{K}$ としてよい。
物質量 $n$ を求める方法として、①標準状態のモル体積の知識を使う、②理想気体の状態方程式を使う、の2つのアプローチがある。

具体的な解説と立式
ステップ1: 物質量 $n$ の計算
模範解答では、標準状態（$0^\circ\text{C}$, 1気圧）における $1\,\text{mol}$ の気体の体積が $2.24 \times 10^{-2}\,\text{m}^3$ (22.4L) であることを利用します。問題の初期状態は $0^\circ\text{C}$, $1.0 \times 10^5\,\text{Pa}$ であり、これは標準状態とほぼ同じとみなせます。
与えられた体積 $V = 4.48 \times 10^{-2}\,\text{m}^3$ を、モル体積 $V_m = 2.24 \times 10^{-2}\,\text{m}^3\text{/mol}$ で割ることで、物質量 $n$ を求めます。
$$
\begin{aligned}
n &= \frac{V}{V_m}
\end{aligned}
$$

ステップ2: 内部エネルギーの変化 $\Delta U$ の計算
温度は $0^\circ\text{C}$ から $10^\circ\text{C}$ に変化したので、温度変化 $\Delta T$ は、
$$
\begin{aligned}
\Delta T &= 10 – 0 \\[2.0ex] &= 10^\circ\text{C} \\[2.0ex] &= 10\,\text{K}
\end{aligned}
$$
アルゴンは単原子分子なので、内部エネルギーの変化 $\Delta U$ は以下の公式で与えられます。
$$ \Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T $$

使用した物理公式

標準状態における気体のモル体積: $V_m = 2.24 \times 10^{-2}\,\text{m}^3\text{/mol}$
単原子分子理想気体の内部エネルギーの変化: $\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T$

計算過程

物質量 $n$ の計算
$$
\begin{aligned}
n &= \frac{4.48 \times 10^{-2}}{2.24 \times 10^{-2}} \\[2.0ex] &= 2.00\,\text{mol}
\end{aligned}
$$
内部エネルギーの変化 $\Delta U$ の計算
求めた $n=2.00\,\text{mol}$ と、$\Delta T = 10\,\text{K}$, $R=8.3\,\text{J/(mol}\cdot\text{K)}$ を公式に代入します。
$$
\begin{aligned}
\Delta U &= \frac{3}{2} \times 2.00 \times 8.3 \times 10 \\[2.0ex] &= 249\,\text{J}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えるため、$2.5 \times 10^2\,\text{J}$ となります。

この設問の平易な説明

気体の内部エネルギー（＝分子の運動の激しさ）は、温度で決まります。今回は温度が $10^\circ\text{C}$ 上がったので、内部エネルギーもその分だけ増えたはずです。どれくらい増えるかは、そこにある気体の「量（物質量）」に比例します。そこで、まず「はじめの状態」の情報から気体が全部で何モルあるのかを計算します。次に、その物質量を使って、温度が $10^\circ\text{C}$ 上がったときに内部エネルギーがどれだけ増えるかを計算する、という2段階の手順で答えを求めます。

結論と吟味

温度が上昇しているので、内部エネルギーが増加する ($\Delta U > 0$) という結果は物理的に妥当です。

解答 $2.5 \times 10^2\,\text{J}$

別解: 理想気体の状態方程式で物質量を求める解法

思考の道筋とポイント
物質量 $n$ を求める際に、標準状態のモル体積という知識に頼らず、より基本的な物理法則である「理想気体の状態方程式」 $pV=nRT$ を用います。初期状態の $p, V, T$ がすべて分かっているので、この式から直接 $n$ を計算することができます。
この設問における重要なポイント

状態方程式を用いる際は、温度を必ず絶対温度 ($\text{K}$) に変換する。
$0^\circ\text{C} = 273\,\text{K}$。

具体的な解説と立式
初期状態について、理想気体の状態方程式を立てます。

圧力: $p_0 = 1.0 \times 10^5\,\text{Pa}$
体積: $V_0 = 4.48 \times 10^{-2}\,\text{m}^3$
温度: $T_0 = 0 + 273 = 273\,\text{K}$

状態方程式は、
$$ p_0 V_0 = n R T_0 $$
この式を $n$ について解き、その後の内部エネルギー変化の計算は主たる解法と同じです。

使用した物理公式

理想気体の状態方程式: $pV=nRT$

計算過程

物質量 $n$ の計算
$$
\begin{aligned}
n &= \frac{p_0 V_0}{R T_0} \\[2.0ex] &= \frac{(1.0 \times 10^5) \times (4.48 \times 10^{-2})}{8.3 \times 273} \\[2.0ex] &= \frac{4480}{2265.9} \\[2.0ex] &\approx 1.977\,\text{mol}
\end{aligned}
$$
この値は、主たる解法で求めた $2.00\,\text{mol}$ とわずかに異なります。これは、問題文の圧力 $1.0 \times 10^5\,\text{Pa}$ が、標準大気圧 $1.013 \times 10^5\,\text{Pa}$ の近似値であるためです。ここでは、この $n \approx 1.98\,\text{mol}$ を使って計算を進めます。
内部エネルギーの変化 $\Delta U$ の計算
$$
\begin{aligned}
\Delta U &= \frac{3}{2}nR\Delta T \\[2.0ex] &= \frac{3}{2} \times 1.977 \times 8.3 \times 10 \\[2.0ex] &\approx 246.1\,\text{J}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えると $2.5 \times 10^2\,\text{J}$ となり、主たる解法の結果と一致します。

この設問の平易な説明

気体の量を計算するのに、標準状態の知識（化学でよく使う）ではなく、物理の万能公式である「状態方程式」を使う方法です。はじめの状態の圧力、体積、温度を公式に当てはめて計算します。問題の数値の丸め方のせいで、途中の計算結果は少しズレますが、最終的な答えは同じになります。

結論と吟味

より厳密な物理法則である状態方程式を用いても、最終的な答えは有効数字の範囲で一致しました。これにより、どちらのアプローチも有効であることが確認できます。

解答 $2.5 \times 10^2\,\text{J}$

別解: 圧力と体積の関係式で内部エネルギーを計算する解法

思考の道筋とポイント
内部エネルギーの変化を、温度ではなく圧力と体積で計算する方法です。内部エネルギーは $U=\frac{3}{2}pV$ とも表せるので、変化量は $\Delta U = \frac{3}{2}\Delta(pV)$ となります。この問題は定積変化なので、$\Delta U = \frac{3}{2}V\Delta p$ となり、圧力の変化量から計算できます。
この設問における重要なポイント

内部エネルギーの別公式: $U=\frac{3}{2}pV$。
定積変化では体積 $V$ は一定。
変化後の圧力 $p_1$ を求める必要がある。

具体的な解説と立式
まず、変化後の圧力 $p_1$ を求めます。体積が一定なので、ボイル・シャルルの法則 $\frac{pV}{T}=\text{一定}$ は $\frac{p}{T}=\text{一定}$ となります（ゲイ＝リュサックの法則）。
$$ \frac{p_0}{T_0} = \frac{p_1}{T_1} $$
ここで、$T_0 = 273\,\text{K}$, $T_1 = 10+273 = 283\,\text{K}$, $p_0 = 1.0 \times 10^5\,\text{Pa}$ です。

次に、内部エネルギーの変化 $\Delta U$ を計算します。
$$
\begin{aligned}
\Delta U &= U_1 – U_0 \\[2.0ex] &= \frac{3}{2}p_1 V_0 – \frac{3}{2}p_0 V_0 \\[2.0ex] &= \frac{3}{2}(p_1 – p_0)V_0
\end{aligned}
$$

使用した物理公式

ゲイ＝リュサックの法則（定積変化）: $\frac{p}{T} = \text{一定}$
単原子分子理想気体の内部エネルギー: $U=\frac{3}{2}pV$

計算過程

変化後の圧力 $p_1$ の計算
$$
\begin{aligned}
p_1 &= p_0 \times \frac{T_1}{T_0} \\[2.0ex] &= (1.0 \times 10^5) \times \frac{283}{273} \\[2.0ex] &\approx 1.0366 \times 10^5\,\text{Pa}
\end{aligned}
$$
内部エネルギーの変化 $\Delta U$ の計算
$$
\begin{aligned}
\Delta U &= \frac{3}{2}(1.0366 \times 10^5 – 1.0 \times 10^5) \times (4.48 \times 10^{-2}) \\[2.0ex] &= \frac{3}{2} \times (0.0366 \times 10^5) \times (4.48 \times 10^{-2}) \\[2.0ex] &= 1.5 \times 3660 \times 4.48 \times 10^{-2} \\[2.0ex] &\approx 246.1\,\text{J}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で $2.5 \times 10^2\,\text{J}$ となり、他の解法と一致します。

この設問の平易な説明

内部エネルギーを計算する、もう一つの方法です。温度の代わりに「圧力」の変化に注目します。体積が一定のまま気体を温めると、中の圧力が上がります。この圧力の上昇分と体積を掛け合わせることでも、内部エネルギーがどれだけ増えたかを計算することができます。

結論と吟味

温度、圧力、体積という異なる物理量から出発しても、物理法則を正しく適用すれば同じ結論にたどり着くことが確認できました。これは物理法則の整合性の高さを示しています。

解答 $2.5 \times 10^2\,\text{J}$

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

内部エネルギー変化の計算手順の確立
- 核心: この問題の根幹は、一見すると単純な内部エネルギー変化の計算に見えますが、その計算に必要な「部品」がすべて揃っているわけではない、という点にあります。核心は、①求めたい物理量（$\Delta U$）を計算するための公式（$\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T$）を特定し、②その公式に必要な未確定の物理量（物質量 $n$）を、③問題文の別の情報（初期状態の $p, V, T$）から別の物理法則（状態方程式など）を用いて導出する、という2段階の思考プロセスを正確に実行できるかどうかにあります。
- 理解のポイント:
  - 部品集めの意識: 物理の問題を解くことは、料理のレシピに似ています。最終的な料理（答え）を作るために、まず必要な材料（物理量）をリストアップし、足りないものがあれば、別の方法で手に入れる（計算する）という手順を踏む意識が重要です。
  - アルゴン＝単原子分子: ヘリウム(He)、ネオン(Ne)、アルゴン(Ar)といった希ガスは、化学的に安定な単原子分子として振る舞います。この知識が、内部エネルギーの公式の係数 $\frac{3}{2}$ を選択する根拠となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

応用できる類似問題のパターン:
- 定圧変化での熱量計算: もし問題が「圧力を一定に保って温度を $10^\circ\text{C}$ にする」という設定であれば、吸収した熱量 $Q$ は $Q=nC_p\Delta T = n(\frac{5}{2}R)\Delta T$ で計算します。この場合も、まず物質量 $n$ を求める手順は同じです。
- 状態変化後の圧力や体積を問う問題: 例えば、「体積一定で内部エネルギーが $250\,\text{J}$ 増加した。変化後の圧力はいくらか」といった問題。この場合、$\Delta U$ から $\Delta T$ を逆算し、$\frac{p}{T}=\text{一定}$ の関係から変化後の圧力を求める、という逆の思考プロセスをたどります。
- 物質量が明記されていないすべての熱力学問題: この問題のように、物質量 $n$ が直接与えられていない問題は頻出します。その場合、必ずどこかに $p, V, T$ が一組揃った状態の情報が隠されています。それを見つけ出し、状態方程式 $pV=nRT$ から $n$ を計算するのは、熱力学の問題を解く上での基本的な常套手段です。
初見の問題での着眼点:
1. まず「何変化」かを見極める: 問題文の「体積を一定に保って」という記述から、これが「定積変化」であることを特定します。これにより、仕事 $W’$ が $0$ であることなどが分かります。
2. 求めたい物理量と、その計算に必要な公式を思い出す: 求めたいのは「内部エネルギーの変化量 $\Delta U$」。公式は $\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T$。
3. 公式の「部品」が揃っているか確認する:
  - $n$ (物質量) → 問題文にない。計算が必要。
  - $R$ (気体定数) → 与えられている。
  - $\Delta T$ (温度変化) → $0^\circ\text{C} \to 10^\circ\text{C}$ なので、$\Delta T = 10\,\text{K}$。
4. 足りない部品を計算する方法を探す: 足りない $n$ を計算するために、初期状態の情報 ($p_0, V_0, T_0$) に着目します。これらの情報から $n$ を計算できる法則は、状態方程式 $pV=nRT$ または標準状態のモル体積の知識です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

温度の単位換算ミス:
- 誤解: 物質量 $n$ を状態方程式から計算する際に、セルシウス温度 $t=0^\circ\text{C}$ をそのまま代入してしまい、分母がゼロになって計算不能に陥る。
- 対策: 熱力学で用いる公式の温度 $T$ は、例外なく「絶対温度($\text{K}$)」です。計算を始める前に、問題文中のセルシウス温度をすべて $T = t + 273$ を使って絶対温度に変換する癖をつけましょう。ただし、温度「変化」$\Delta T$ に関しては、$\Delta T = \Delta t$ なので、セルシウス温度の差をそのまま $10\,\text{K}$ として使って構いません。
物質量 $n$ の計算を忘れる・間違う:
- 誤解: 問題文に $n$ が与えられていないため、勝手に $n=1\,\text{mol}$ として計算してしまう。
- 対策: 内部エネルギーの公式には $n$ が含まれることを強く意識し、問題文に記載がなければ「必ずどこかの情報から計算する必要がある」と考える習慣をつけましょう。また、モル体積の知識を使う際は、それが「標準状態（$0^\circ\text{C}, 1.013 \times 10^5\,\text{Pa}$）」でのみ成り立つことを理解しておく必要があります。
内部エネルギーの公式の係数ミス:
- 誤解: アルゴンが単原子分子であることを知らず、どの公式を使えばいいか分からなくなる。あるいは、なんとなく二原子分子の公式($\frac{5}{2}$)を使ってしまう。
- 対策: He（ヘリウム）、Ne（ネオン）、Ar（アルゴン）などの希ガスは、高校物理の範囲ではすべて「単原子分子理想気体」として扱われます。これは重要な知識なので、必ず覚えておきましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

物質量計算での公式選択（状態方程式 or モル体積）:
- 選定理由: 求めたいのは「物質量 $n$」。そして、初期状態という一つの「点」において、圧力 $p$、体積 $V$、温度 $T$ の3つの状態量がすべて判明しています。これらの4つの物理量を結びつける最も基本的な法則が、理想気体の状態方程式 $pV=nRT$ です。一方、初期状態が化学で学習する「標準状態」とほぼ同じであるため、その知識である「モル体積」を利用することも可能です。
- 適用根拠: 物理の法則としてより普遍的で、どんな状態にも適用できるのは「理想気体の状態方程式」です。モル体積の知識は、標準状態という特定の条件下でのみ適用できる便利なショートカットと位置づけられます。物理の問題では、状態方程式から解くのが最も論理的で応用が利く方法です。
内部エネルギー変化計算での公式選択（$\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T$）:
- 選定理由: 求めたいのは「内部エネルギーの変化量 $\Delta U$」。そして、気体の「温度変化 $\Delta T$」が分かっています。理想気体の内部エネルギーは温度のみの関数であるため、この2つを直接結びつけるこの公式を選択するのが最も合理的です。
- 適用根拠: 問題文に「アルゴン」とあり、これが「単原子分子」理想気体とみなせること。これが、係数 $\frac{3}{2}$ を持つこの公式を適用する直接的な根拠となります。もしこれが窒素や酸素であれば「二原子分子」となり、係数は $\frac{5}{2}$ に変わります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

単位換算を最初に行う:
- 計算を始める前に、問題文に出てくるすべての物理量をSI基本単位系に整理する癖をつけましょう。特に温度は、$0^\circ\text{C} \to 273\,\text{K}$, $10^\circ\text{C} \to 283\,\text{K}$ のように、まず絶対温度に変換した値をメモしておくと、代入ミスを防げます。
文字式で整理してから代入する:
- 別解のように状態方程式から $n$ を求め、それを $\Delta U$ の式に代入する場合、
  $$ \Delta U = \frac{3}{2} \left( \frac{p_0V_0}{RT_0} \right) R \Delta T = \frac{3}{2} \frac{p_0V_0}{T_0} \Delta T $$
  のように、文字式の段階で $R$ を消去するなど、式をできるだけ簡単にしてから数値を代入する方が、計算が楽になり、ミスも減ります。
概算による検算:
- 物質量は $n \approx 2\,\text{mol}$ と分かっています。気体定数 $R \approx 8\,\text{J/(mol}\cdot\text{K)}$ として概算してみましょう。
  $$ \Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T \approx 1.5 \times 2 \times 8 \times 10 = 240\,\text{J} $$
  計算結果の $249\,\text{J}$ と非常に近い値であり、桁違いのミスがないことを確認できます。
物理的な妥当性の吟味:
- 今回は「体積を一定に保って温度を $10^\circ\text{C}$ にする」とあります。これは気体を加熱する操作なので、内部エネルギーは増加するはずです。計算結果が正の値 ($\Delta U > 0$) になっているかを確認します。もし負の値になっていたら、計算のどこかで符号を間違えている可能性が高いです。

308 内部エネルギーと状態方程式

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「圧力と体積から内部エネルギーを求める」ことです。理想気体の内部エネルギーの公式と状態方程式を組み合わせることで、温度が未知の場合でも内部エネルギーを計算できることを学びます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

理想気体の内部エネルギーの公式: 単原子分子理想気体の内部エネルギーが $U = \frac{3}{2}nRT$ で与えられることを理解していること。
理想気体の状態方程式: 気体の状態量 ($p, V, n, T$) を結びつける基本法則 $pV=nRT$ を理解していること。
物理法則の組み合わせ: 上記の2つの式を組み合わせることで、内部エネルギーを圧力と体積だけで表す関係式 $U = \frac{3}{2}pV$ を導出できること。

基本的なアプローチは以下の通りです。

単原子分子理想気体の内部エネルギーの公式 $U = \frac{3}{2}nRT$ と、理想気体の状態方程式 $pV=nRT$ を用意します。
状態方程式の関係を用いて、内部エネルギーの公式に含まれる $nRT$ の項を $pV$ で置き換えます。
これにより得られた式 $U = \frac{3}{2}pV$ に、問題文で与えられた圧力 $p$ と体積 $V$ の値を代入して、内部エネルギー $U$ を計算します。

思考の道筋とポイント
この問題の核心は、内部エネルギーを求める公式 $U = \frac{3}{2}nRT$ をそのまま使おうとしても、物質量 $n$ や温度 $T$ が与えられていないため、直接計算できない点にあります。しかし、ここで理想気体の状態方程式 $pV=nRT$ を思い出すと、公式の中の $nRT$ という部分が、まるごと $pV$ に置き換えられることに気づきます。これにより、温度や物質量が分からなくても、圧力と体積という身近な物理量だけで内部エネルギーを計算できる、非常に便利な関係式 $U = \frac{3}{2}pV$ を導き出すことができます。
この設問における重要なポイント

気体は「単原子分子」であるため、内部エネルギーの公式の係数が $\frac{3}{2}$ となる。
内部エネルギーは、温度だけでなく、圧力と体積の積でも表すことができる。
与えられた圧力と体積の単位が、計算に適したSI単位系 ($\text{Pa}$, $\text{m}^3$) で揃っていることを確認する。

具体的な解説と立式
単原子分子からなる理想気体の内部エネルギー $U$ は、次の式で与えられます。
$$
\begin{aligned}
U &= \frac{3}{2}nRT \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
一方、理想気体の状態方程式は、
$$
\begin{aligned}
pV &= nRT \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$
です。式②の関係を式①に代入すると、$nRT$ の部分を $pV$ で置き換えることができます。
$$
\begin{aligned}
U &= \frac{3}{2}pV
\end{aligned}
$$
この式に、問題文で与えられた圧力 $p = 1.2 \times 10^5\,\text{Pa}$ と体積 $V = 5.0 \times 10^{-3}\,\text{m}^3$ を代入します。

使用した物理公式

単原子分子理想気体の内部エネルギー: $U = \frac{3}{2}nRT$
理想気体の状態方程式: $pV=nRT$

計算過程

$$
\begin{aligned}
U &= \frac{3}{2} \times (1.2 \times 10^5) \times (5.0 \times 10^{-3}) \\[2.0ex] &= \frac{3}{2} \times (1.2 \times 5.0) \times (10^5 \times 10^{-3}) \\[2.0ex] &= \frac{3}{2} \times 6.0 \times 10^2 \\[2.0ex] &= 3.0 \times 3.0 \times 10^2 \\[2.0ex] &= 9.0 \times 10^2\,\text{J}
\end{aligned}
$$

この設問の平易な説明

気体の内部エネルギー（分子の運動の激しさの合計）は、ふつうは「温度」を使って計算します。しかし、この問題では温度が分かりません。その代わり、「圧力」と「体積」が分かっています。実は、物理の公式をうまく組み合わせると、内部エネルギーを「圧力 × 体積」から計算できる便利な裏ワザ公式を作ることができます。この問題は、その裏ワザ公式に数値を当てはめるだけで答えが出る、というシンプルな問題です。

結論と吟味

気体の内部エネルギーは $9.0 \times 10^2\,\text{J}$ と求まりました。圧力と体積がともに正の値なので、内部エネルギーが正の値になるのは当然です。計算も単純な掛け算であり、特に問題となる点はありません。

解答 $9.0 \times 10^2\,\text{J}$

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

内部エネルギーの公式と状態方程式の連携
- 核心: この問題の根幹は、内部エネルギーの基本公式 $U = \frac{3}{2}nRT$ と理想気体の状態方程式 $pV=nRT$ という2つの異なる物理法則を「連携」させる思考プロセスにあります。温度 $T$ や物質量 $n$ が未知であっても、状態方程式を利用して $nRT$ という項をまるごと $pV$ に置き換えることで、内部エネルギーを圧力 $p$ と体積 $V$ という既知の量だけで表現する応用公式 $U = \frac{3}{2}pV$ を導き出すことが、この問題を解く上での核心です。
- 理解のポイント:
  - 物理法則の多面性: 内部エネルギーは、気体のミクロな状態（分子の運動）を反映する温度 $T$ だけでなく、マクロな状態量である圧力 $p$ と体積 $V$ によっても記述できる、という物理法則の多面的な側面を理解することが重要です。
  - 未知数の消去: 物理法則を組み合わせる目的は、多くの場合、未知の物理量を消去し、既知の量だけで解を求めることにあります。この問題は、その最もシンプルで典型的な例です。
  - 条件の確認: 係数 $\frac{3}{2}$ は「単原子分子」という条件から来ています。この連携が成り立つ前提条件を常に意識することが大切です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

応用できる類似問題のパターン:
- 内部エネルギーの変化量を問う問題: 状態1($p_1, V_1$)から状態2($p_2, V_2$)へ変化した場合、内部エネルギーの変化量は $\Delta U = U_2 – U_1 = \frac{3}{2}(p_2V_2 – p_1V_1)$ と計算できます。これにより、途中の温度変化を計算しなくても、変化前後の圧力と体積だけで $\Delta U$ が求まります。
- 二原子分子の場合: もし気体が窒素や酸素などの二原子分子であれば、内部エネルギーは $U = \frac{5}{2}nRT$ となるため、同様の連携により $U = \frac{5}{2}pV$ となります。係数が変わるだけで、考え方は全く同じです。
- 熱力学第一法則と組み合わせる問題: 例えば、定圧変化で体積が $V_1$ から $V_2$ になった場合、気体がした仕事は $W’ = p(V_2-V_1)$ です。このとき、内部エネルギーの変化は $\Delta U = \frac{3}{2}p(V_2-V_1)$ となります。したがって、気体が吸収した熱量 $Q$ は、熱力学第一法則 $Q = \Delta U + W’$ より、$Q = \frac{5}{2}p(V_2-V_1)$ と計算できます。このように、$pV$ を用いた表現は他の計算にも応用できます。
初見の問題での着眼点:
1. 求めたい物理量と与えられた物理量を確認する: 求めたいのは「内部エネルギー $U$」。与えられているのは「圧力 $p$」と「体積 $V$」。
2. 基本公式を思い出す: 内部エネルギーの基本公式は $U = \frac{3}{2}nRT$ (単原子分子の場合)。
3. 公式と المعطيات (与えられた情報) のギャップを埋める方法を探す: 公式には $n$ と $T$ が必要だが、与えられていない。代わりに $p$ と $V$ がある。ここで、$p, V, n, T$ を結びつける万能な関係式である「理想気体の状態方程式 $pV=nRT$」の存在を思い出します。
4. 式を組み合わせて解法を構築する: 2つの式に共通する $nRT$ という部分に着目し、「状態方程式を使って $nRT$ を $pV$ に置き換えれば、与えられた情報だけで計算できる」という解法を組み立てます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

公式の丸暗記による誤用:
- 誤解: $U = \frac{3}{2}pV$ という公式だけを断片的に覚えてしまい、なぜこの式が成り立つのか、またどんな場合に使えるのか（単原子分子理想気体の場合のみ）を理解していない。
- 対策: この公式は、あくまで $U = \frac{3}{2}nRT$ と $pV=nRT$ という2つの基本法則から導出される「応用公式」であると認識することが重要です。一度自分で導出過程をなぞることで、公式が使える条件や物理的な意味が明確になり、記憶にも定着しやすくなります。
係数の間違い:
- 誤解: 単原子分子なのに、二原子分子の係数 $\frac{5}{2}$ を使ってしまう。あるいは、何の係数もつけずに $U=pV$ と計算してしまう。
- 対策: 問題文の「単原子分子」というキーワードに印をつけるなどして、係数 $\frac{3}{2}$ を選択する根拠を明確にする癖をつけましょう。内部エネルギーは $pV$ という物理量そのものではなく、それに比例する量であると正しく理解することが大切です。
単位の換算ミス:
- 誤解: 圧力の単位が $\text{atm}$ (気圧) や体積の単位が $\text{L}$ (リットル) で与えられた場合に、そのまま計算してしまう。
- 対策: 内部エネルギーの単位 $\text{J}$ (ジュール) で答えを出すためには、圧力は $\text{Pa}$ (パスカル)、体積は $\text{m}^3$ (立方メートル) というSI基本単位系に変換してから計算する必要があります。この問題では幸い単位が揃っていますが、計算前には必ず単位を確認する習慣が重要です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

出発点（内部エネルギーの定義式）:
- 選定理由: 求めたいのは「内部エネルギー $U$」です。その定義を記述する基本公式は $U = \frac{3}{2}nRT$ (単原子分子の場合) です。したがって、すべての思考はこの基本法則から出発するのが最も論理的です。
- 適用根拠: 問題文に「単原子分子からなる理想気体」と明記されていることが、この公式を適用する直接的な根拠となります。
中継点（理想気体の状態方程式）:
- 選定理由: 定義式 $U = \frac{3}{2}nRT$ には未知数 $n, T$ が含まれており、このままでは計算できません。一方、問題文には既知の量として $p, V$ が与えられています。この「未知の $n, T$ を含む項」と「既知の $p, V$」を結びつける関係式が必要になります。その役割を果たすのが、理想気体の状態方程式 $pV=nRT$ です。
- 適用根拠: 問題文に「理想気体」とあるため、この方程式を無条件に適用できます。
最終的な計算式（$U = \frac{3}{2}pV$）:
- 選定理由: 上記2つの式を組み合わせ、未知の項 $nRT$ を消去し、既知の量 $p, V$ だけで $U$ を表すことができるため、この式を最終的な計算式として選択します。これは、与えられた情報から答えを導くための最も直接的で効率的な道筋です。
- 適用根拠: 2つの正しい物理法則（内部エネルギーの公式と状態方程式）を数学的に正しく組み合わせた結果なので、その適用は完全に正当化されます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

指数計算を丁寧に行う:
- $ (1.2 \times 10^5) \times (5.0 \times 10^{-3}) $ のような計算では、まず係数部分 ($1.2 \times 5.0 = 6.0$) と指数部分 ($10^5 \times 10^{-3} = 10^{5-3} = 10^2$) を別々に計算し、最後に組み合わせる ($6.0 \times 10^2$) とミスが減ります。
単位の次元を確認する:
- $pV$ の単位がエネルギーの単位 $\text{J}$ になっているかを確認する癖をつけましょう。
  $$ \text{Pa} \times \text{m}^3 = (\text{N}/\text{m}^2) \times \text{m}^3 = \text{N} \cdot \text{m} = \text{J} $$
  単位がエネルギーの次元と一致しているので、計算が正しい可能性が高いと判断できます。
物理的にありえない値でないか吟味する:
- 内部エネルギーは分子の運動エネルギーの総和なので、絶対温度が $0\,\text{K}$ より大きい限り、必ず正の値になります。計算結果が負になった場合は、どこかで計算ミスをしていると即座に判断できます。

309 内部エネルギーの保存

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

【相違点に関する注記】

提示する別解
- 設問(1),(2)の別解: 温度を先に求める解法
  - 模範解答が内部エネルギー保存則を $U=\frac{3}{2}pV$ の形で用いて圧力を先に求めるのに対し、別解では $U=\frac{3}{2}nRT$ の形で用いて温度を先に求め、その結果を使って圧力を計算します。
上記の別解が有益である理由
- 物理的本質の深化: 内部エネルギー保存則が、圧力($pV$)だけでなく温度($nRT$)とも直接結びつけられることを理解することで、物理法則の多面的な見方を養えます。
- 思考の柔軟性向上: 設問の順番にこだわらず、どの物理量を先に求めると効率的かを考える良い訓練になります。
- 解法の選択肢拡大: 状態方程式とエネルギー保存則の組み合わせ方を学ぶことで、複雑な問題に対応できる引き出しが増えます。
結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、計算の順序が異なるだけで、最終的に得られる答えは模範解答と完全に一致します。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

熱力学第一法則と内部エネルギー保存: 周囲と熱のやりとりがなく(断熱)、体積変化による仕事もない場合、系全体の内部エネルギーは保存されるという法則を理解していること。
理想気体の内部エネルギーの公式: 単原子分子理想気体の内部エネルギーが、絶対温度と物質量に比例すること ($U = \frac{3}{2}nRT$)、また圧力と体積に比例すること ($U = \frac{3}{2}pV$) を知っていること。
理想気体の状態方程式: 気体の圧力、体積、物質量、温度の関係を表す基本式 ($pV=nRT$) を使いこなせること。
混合後の気体の状態: コックを開いて十分に時間が経つと、気体は容器全体に広がり、温度と圧力は場所によらず均一になることを理解していること。

基本的なアプローチは以下の通りです。

(1)では、容器AとBの気体を一つの「系」とみなします。この系は外部から断熱されており、外部への仕事もしないため、系全体の内部エネルギーはコックを開く前後で保存されます。この「内部エネルギー保存則」の式を、圧力と体積で表した公式 $U=\frac{3}{2}pV$ を用いて立て、混合後の圧力を求めます。
(2)では、(1)で求めた混合後の圧力を使います。気体全体について、全体の体積、全体の物質量（これは初期状態から計算する必要がある）、そして求めた圧力が分かっているので、理想気体の状態方程式にこれらの値を代入して、全体の温度を計算します。

問(1)

思考の道筋とポイント
この問題の核心は、「周囲と熱のやりとりはない」という記述から、容器AとBの気体を合わせた系全体の内部エネルギーが保存されることを見抜く点にあります。内部エネルギーの公式には $U=\frac{3}{2}nRT$ と $U=\frac{3}{2}pV$ の2つの表現がありますが、この設問では圧力を問われているため、後者の $U=\frac{3}{2}pV$ を用いると、未知数である混合後の圧力 $p’$ を直接求める方程式を立てることができます。
この設問における重要なポイント

系全体（Aの気体 + Bの気体）の内部エネルギーは保存される。
(コックを開く前の内部エネルギーの和) = (コックを開いた後の内部エネルギー)。
混合後の体積は $V_A+V_B$ となる。
単位をSI単位系に変換する ($1\,\text{L} = 10^{-3}\,\text{m}^3$)。

具体的な解説と立式
まず、体積の単位を $\text{m}^3$ に変換します。

容器Aの体積: $V_A = 2.0\,\text{L} = 2.0 \times 10^{-3}\,\text{m}^3$
容器Bの体積: $V_B = 3.0\,\text{L} = 3.0 \times 10^{-3}\,\text{m}^3$

アルゴンは単原子分子なので、内部エネルギーは $U=\frac{3}{2}pV$ と表せます。
コックを開く前の内部エネルギーの和 $U_{\text{前}}$ は、
$$
\begin{aligned}
U_{\text{前}} &= U_A + U_B \\[2.0ex] &= \frac{3}{2}p_A V_A + \frac{3}{2}p_B V_B
\end{aligned}
$$
コックを開いた後の圧力を $p’$ とすると、全体の体積は $V_A+V_B$ となるので、後の内部エネルギー $U_{\text{後}}$ は、
$$
\begin{aligned}
U_{\text{後}} &= \frac{3}{2}p'(V_A+V_B)
\end{aligned}
$$
内部エネルギー保存則 $U_{\text{前}} = U_{\text{後}}$ より、
$$ \frac{3}{2}p_A V_A + \frac{3}{2}p_B V_B = \frac{3}{2}p'(V_A+V_B) $$

使用した物理公式

単原子分子理想気体の内部エネルギー: $U = \frac{3}{2}pV$
内部エネルギー保存則

計算過程

エネルギー保存の式から共通の係数 $\frac{3}{2}$ を消去します。
$$
\begin{aligned}
p_A V_A + p_B V_B &= p'(V_A+V_B)
\end{aligned}
$$
この式を $p’$ について解くと、
$$
\begin{aligned}
p’ &= \frac{p_A V_A + p_B V_B}{V_A+V_B}
\end{aligned}
$$
ここに、$p_A = 1.0 \times 10^5\,\text{Pa}$, $V_A = 2.0 \times 10^{-3}\,\text{m}^3$, $p_B = 2.0 \times 10^5\,\text{Pa}$, $V_B = 3.0 \times 10^{-3}\,\text{m}^3$ を代入します。
$$
\begin{aligned}
p’ &= \frac{(1.0 \times 10^5) \times (2.0 \times 10^{-3}) + (2.0 \times 10^5) \times (3.0 \times 10^{-3})}{2.0 \times 10^{-3} + 3.0 \times 10^{-3}} \\[2.0ex] &= \frac{2.0 \times 10^2 + 6.0 \times 10^2}{5.0 \times 10^{-3}} \\[2.0ex] &= \frac{8.0 \times 10^2}{5.0 \times 10^{-3}} \\[2.0ex] &= 1.6 \times 10^5\,\text{Pa}
\end{aligned}
$$

この設問の平易な説明

2つの部屋に入った気体を、間の仕切りを開けて混ぜ合わせるような状況です。容器全体が魔法瓶のようになっているので、エネルギーは外に逃げません。気体のエネルギーは「圧力×体積」という量でも表せるので、「混ぜる前のそれぞれの部屋の(圧力×体積)の合計」と「混ぜた後の広い部屋全体の(圧力×体積)」が等しくなる、という式を立てます。ここから、混ぜた後の圧力を計算できます。

結論と吟味

混合後の圧力は $1.6 \times 10^5\,\text{Pa}$ と求まりました。この値は、はじめの圧力である $1.0 \times 10^5\,\text{Pa}$ と $2.0 \times 10^5\,\text{Pa}$ の間の値であり、物理的に妥当な結果です。

解答 (1) $1.6 \times 10^5\,\text{Pa}$

問(2)

思考の道筋とポイント
設問(1)で、コックを開いた後の気体全体の圧力が $p’=1.6 \times 10^5\,\text{Pa}$ であることがわかりました。混合後の温度 $T’$ を求めるには、気体全体を一つの系とみて、理想気体の状態方程式 $p’V_{\text{全体}} = n_{\text{全体}}RT’$ を適用します。この式を解くためには、全体の物質量 $n_{\text{全体}} = n_A + n_B$ を知る必要があります。そこで、まずコックを開く前の状態Aと状態Bについてそれぞれ状態方程式を立て、物質量 $n_A$ と $n_B$ を求めます。
この設問における重要なポイント

混合後の気体全体について状態方程式を立てる。
全体の物質量は、コックを開く前の各物質量の和に等しい ($n_{\text{全体}} = n_A + n_B$)。
温度の計算には絶対温度を用い、最後にセルシウス温度に変換する。

具体的な解説と立式
まず、コックを開く前の温度を絶対温度に変換します。

状態Aの温度: $T_A = 27 + 273 = 300\,\text{K}$
状態Bの温度: $T_B = 127 + 273 = 400\,\text{K}$

次に、状態AとBの物質量 $n_A, n_B$ を、それぞれ状態方程式から求めます。
$$
\begin{aligned}
n_A &= \frac{p_A V_A}{R T_A}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
n_B &= \frac{p_B V_B}{R T_B}
\end{aligned}
$$
コックを開いた後の状態（圧力 $p’$, 体積 $V_A+V_B$, 物質量 $n_A+n_B$, 温度 $T’$）について状態方程式を立てます。
$$
\begin{aligned}
p'(V_A+V_B) &= (n_A+n_B)RT’
\end{aligned}
$$
この式を $T’$ について解きます。

使用した物理公式

理想気体の状態方程式: $pV=nRT$

計算過程

$T’$ の式に、$n_A, n_B$ の式を代入します。
$$
\begin{aligned}
T’ &= \frac{p'(V_A+V_B)}{(n_A+n_B)R} \\[2.0ex] &= \frac{p'(V_A+V_B)}{(\frac{p_A V_A}{R T_A} + \frac{p_B V_B}{R T_B})R} \\[2.0ex] &= \frac{p'(V_A+V_B)}{\frac{p_A V_A}{T_A} + \frac{p_B V_B}{T_B}}
\end{aligned}
$$
各項の値を計算します。

$p'(V_A+V_B) = (1.6 \times 10^5) \times (5.0 \times 10^{-3}) = 8.0 \times 10^2$
$\frac{p_A V_A}{T_A} = \frac{(1.0 \times 10^5) \times (2.0 \times 10^{-3})}{300} = \frac{200}{300} = \frac{2}{3}$
$\frac{p_B V_B}{T_B} = \frac{(2.0 \times 10^5) \times (3.0 \times 10^{-3})}{400} = \frac{600}{400} = \frac{3}{2}$

これらを代入して $T’$ を計算します。
$$
\begin{aligned}
T’ &= \frac{8.0 \times 10^2}{\frac{2}{3} + \frac{3}{2}} \\[2.0ex] &= \frac{800}{\frac{4+9}{6}} \\[2.0ex] &= \frac{800 \times 6}{13} \\[2.0ex] &\approx 369.2\,\text{K}
\end{aligned}
$$
最後に、セルシウス温度 $t’$ に変換します。
$$
\begin{aligned}
t’ &= T’ – 273 \\[2.0ex] &= 369.2 – 273 \\[2.0ex] &= 96.2^\circ\text{C}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で $96^\circ\text{C}$ となります。

この設問の平易な説明

(1)で混ぜた後の圧力が分かりました。混ぜた後の全体の体積も分かっています。次に、混ぜる前のAとBの気体の量をそれぞれ計算し、足し合わせれば、混ぜた後の全体の量も分かります。これで「圧力」「体積」「量」の3点セットが揃ったので、おなじみの状態方程式を使えば、残りの「温度」を計算することができます。

結論と吟味

混合後の温度は $96^\circ\text{C}$ と求まりました。この値は、はじめの温度である $27^\circ\text{C}$ と $127^\circ\text{C}$ の間の値であり、物理的に妥当な結果です。

解答 (2) $96^\circ\text{C}$

別解: 温度を先に求める解法

思考の道筋とポイント
設問の順番を逆にし、(2)の温度を先に求めます。内部エネルギー保存則を、温度で表した公式 $U=\frac{3}{2}nRT$ を用いて立式します。これにより、混合後の温度 $T’$ を直接求めることができます。その後、(1)の圧力 $p’$ を、混合後の状態方程式から計算します。
この設問における重要なポイント

内部エネルギー保存則を温度の式 ($U=\frac{3}{2}nRT$) で表現する。
物質量 $n_A, n_B$ を、気体定数 $R$ を含んだ文字式のまま扱うと計算が簡潔になる。

具体的な解説と立式
内部エネルギー保存則より、
$$ \frac{3}{2}n_A R T_A + \frac{3}{2}n_B R T_B = \frac{3}{2}(n_A+n_B)RT’ $$
共通の係数 $\frac{3}{2}R$ を消去すると、
$$ n_A T_A + n_B T_B = (n_A+n_B)T’ $$
この式を $T’$ について解くと、
$$ T’ = \frac{n_A T_A + n_B T_B}{n_A+n_B} $$
ここに、$n_A = \frac{p_A V_A}{R T_A}$, $n_B = \frac{p_B V_B}{R T_B}$ を代入します。
$$
\begin{aligned}
T’ &= \frac{(\frac{p_A V_A}{R T_A})T_A + (\frac{p_B V_B}{R T_B})T_B}{(\frac{p_A V_A}{R T_A}) + (\frac{p_B V_B}{R T_B})}
\end{aligned}
$$
分母分子の $R$ を消去すると、
$$
\begin{aligned}
T’ &= \frac{p_A V_A + p_B V_B}{\frac{p_A V_A}{T_A} + \frac{p_B V_B}{T_B}}
\end{aligned}
$$
この式からまず温度 $T’$ を求め、次に混合後の状態方程式 $p'(V_A+V_B) = (n_A+n_B)RT’$ から圧力 $p’$ を求めます。

使用した物理公式

単原子分子理想気体の内部エネルギー: $U = \frac{3}{2}nRT$
理想気体の状態方程式: $pV=nRT$

計算過程

温度 $T’$ の計算 (設問(2))
主たる解法(2)で計算した各項の値を用います。
- $p_A V_A = 2.0 \times 10^2$
- $p_B V_B = 6.0 \times 10^2$
- $\frac{p_A V_A}{T_A} = \frac{2}{3}$
- $\frac{p_B V_B}{T_B} = \frac{3}{2}$
これらを代入して $T’$ を計算します。
$$
\begin{aligned}
T’ &= \frac{2.0 \times 10^2 + 6.0 \times 10^2}{\frac{2}{3} + \frac{3}{2}} \\[2.0ex] &= \frac{800}{\frac{13}{6}} \\[2.0ex] &= \frac{4800}{13} \approx 369.2\,\text{K}
\end{aligned}
$$
セルシウス温度に変換すると、$t’ \approx 96^\circ\text{C}$ となります。
圧力 $p’$ の計算 (設問(1))
混合後の状態方程式 $p'(V_A+V_B) = (n_A+n_B)RT’$ を $p’$ について解きます。
$$
\begin{aligned}
p’ &= \frac{(n_A+n_B)RT’}{V_A+V_B}
\end{aligned}
$$
ここで、$ (n_A+n_B)R = R(\frac{p_A V_A}{R T_A} + \frac{p_B V_B}{R T_B}) = (\frac{p_A V_A}{T_A} + \frac{p_B V_B}{T_B}) = \frac{13}{6} $ なので、
$$
\begin{aligned}
p’ &= \frac{(\frac{13}{6}) \times (\frac{4800}{13})}{5.0 \times 10^{-3}} \\[2.0ex] &= \frac{800}{5.0 \times 10^{-3}} \\[2.0ex] &= 1.6 \times 10^5\,\text{Pa}
\end{aligned}
$$

この設問の平易な説明

主たる解法とは逆の順番で解く方法です。まず、エネルギー保存の法則を「温度」の式で立てて、いきなりゴール地点の温度（設問(2)の答え）を計算します。そのあとで、温度もわかったので、状態方程式を使って圧力（設問(1)の答え）を計算します。どちらから解いても同じ答えにたどり着きます。

結論と吟味

主たる解法と完全に同じ結果が得られました。この方法は、設問の順番にこだわらず、物理法則を柔軟に適用して解を求める良い練習になります。

解答 (1) $1.6 \times 10^5\,\text{Pa}$

解答 (2) $96^\circ\text{C}$

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

断熱系における内部エネルギー保存則
- 核心: この問題の根幹は、「周囲と熱のやりとりはない」という一文から、容器AとBの気体を合わせた系全体が「断熱系」であると見抜くことです。断熱系内では、外部との熱の出入り($Q$)がありません。さらに、コックを開くだけで気体が容器内で広がるだけで、容器の壁を押して外部に仕事をすることもありません($W=0$)。熱力学第一法則 $\Delta U = Q+W$ に従うと、$Q=0$ かつ $W=0$ なので、内部エネルギーの変化 $\Delta U$ は $0$ となります。これが「内部エネルギーが保存される」ことの物理的な意味です。
- 理解のポイント:
  - 保存されるのは「エネルギーの合計」: コックを開く前のAの内部エネルギーとBの内部エネルギーの「和」が、混合後の気体全体の内部エネルギーと等しくなります。温度や圧力が保存されるわけではない点に注意が必要です。
  - 内部エネルギーの2つの表現: 単原子分子理想気体の内部エネルギーは、$U = \frac{3}{2}nRT$ と $U = \frac{3}{2}pV$ の2通りで表現できます。この問題のように、設問に応じて2つの表現を戦略的に使い分けることが、効率的な解法につながります。
理想気体の状態方程式の適用
- 核心: 内部エネルギー保存則によって混合後の圧力または温度が求まった後、その状態における残りの未知数を求めるために、気体の状態を記述するもう一つの基本法則である理想気体の状態方程式 $pV=nRT$ を適用します。
- 理解のポイント:
  - 状態の区別: 状態方程式を適用する際は、「どの状態」について考えているのかを常に意識することが重要です。この問題では、「コックを開く前のAの状態」「コックを開く前のBの状態」「コックを開いた後の全体の状態」の3つを明確に区別し、それぞれの状態に対応する $p, V, n, T$ の値を正しく使う必要があります。
  - 物質量の保存: 気体は外部に漏れないので、コックを開く前と後で、系全体の物質量の合計は保存されます ($n_A+n_B = n_{\text{全体}}$)。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

応用できる類似問題のパターン:
- 断熱されたピストンで仕切られた気体: 断熱シリンダー内を、動くことができる断熱ピストンで2室に分け、それぞれに気体を入れる問題。ピストンが動いて静止した場合、両室の圧力が等しくなります。この過程でピストンは一方の気体から仕事をされ、もう一方の気体に仕事をするため、各部屋の内部エネルギーは保存されませんが、シリンダー全体を一つの系と見なせば、外部との熱や仕事のやりとりはないため、系全体の内部エネルギーは保存されます。
- 真空への断熱自由膨張: 断熱容器の一方に気体を入れ、もう一方を真空にしておき、仕切りを外す問題。気体は真空中に広がるため、外部に対して仕事をしません($W=0$)。断熱なので $Q=0$ でもあり、この場合も内部エネルギーが保存されます。結果として、理想気体であれば温度は変化しません。
初見の問題での着眼点:
1. まずは「断熱」のキーワードを探す: 問題文に「断熱」「熱のやりとりはない」「熱をよく通さない」などの記述があれば、熱力学第一法則、特にエネルギー保存則が使えないかを第一に考えます。
2. 体積変化と「仕事」の有無を確認する: ピストンが動いたり、容器自体が膨張したりするなど、気体が外部に対して仕事をする（または、される）状況かどうかを確認します。この問題のように、固定された容器内でコックを開くだけの操作では、外部への仕事は $0$ です。
3. 気体の種類（単原子分子か、二原子分子か）をチェックする: この確認を怠ると、内部エネルギーの公式の係数($\frac{3}{2}$)を間違え、その後の計算がすべて無駄になってしまいます。「アルゴン」は単原子分子です。
4. どの物理量を先に求めるか戦略を立てる: 模範解答のように圧力を先に求めるのが素直ですが、別解のように温度から求めることも可能です。内部エネルギーの公式には $U=\frac{3}{2}pV$ と $U=\frac{3}{2}nRT$ の2つの表現があることを念頭に置き、どちらの未知数を先に求めると計算が楽になるかを見通す力を養うと応用が利きます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

温度や圧力が平均されると誤解してしまう:
- 誤解: 混合後の圧力や温度を、単純に2つの圧力や温度の算術平均で計算してしまう。
- 対策: 保存されるのはエネルギーであり、圧力や温度ではありません。内部エネルギーは物質量や体積にも依存するため、単純な平均にはなりません。結果的には、混合後の圧力は $p’ = \frac{p_A V_A + p_B V_B}{V_A+V_B}$ という「体積で重みづけされた平均」のような形になりますが、この式を覚えるのではなく、「内部エネルギーの合計が保存される」という根本原理から毎回立式する癖をつけましょう。
単位換算ミス:
- 誤解: 体積の単位リットル($\text{L}$)や、温度の単位セルシウス度($^\circ\text{C}$)を、そのまま計算式に代入してしまう。
- 対策: 熱力学の計算では、必ずSI単位系に統一するのが鉄則です。計算を始める前に、$1\,\text{L} = 10^{-3}\,\text{m}^3$ や $T[\text{K}] = t[^\circ\text{C}] + 273$ を使って、すべての値を $\text{m}^3$, $\text{Pa}$, $\text{K}$ に変換してから立式しましょう。
状態方程式の変数を混同する:
- 誤解: 混合後の全体の温度 $T’$ を計算する際に、なぜか容器Aだけの体積 $V_A$ や物質量 $n_A$ を使ってしまう。
- 対策: 状態方程式 $pV=nRT$ は、ある特定の均一な状態にある気体にのみ適用できる「状態の法則」です。混合後の状態を考えるのであれば、式に含まれる $p, V, n, T$ はすべて「混合後の全体の値」でなければなりません。つまり、圧力は $p’_{\text{全体}}$、体積は $V_{\text{全体}} = V_A+V_B$、物質量は $n_{\text{全体}} = n_A+n_B$、温度は $T’_{\text{全体}}$ を使う、という対応関係を徹底しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

(1)での公式選択（内部エネルギー保存則の$pV$表現）:
- 選定理由: 求めたいのは混合後の「圧力 $p’$」です。そして、問題文には「断熱」という極めて重要な条件が与えられています。この条件はエネルギー保存則の適用を示唆します。内部エネルギーの公式には $U=\frac{3}{2}nRT$ と $U=\frac{3}{2}pV$ の2つの表現がありますが、求めたい物理量である「圧力」が直接式に含まれている $pV$ 表現を選択するのが最も効率的です。
- 適用根拠: 熱力学第一法則において、$Q=0$（断熱）かつ $W=0$（外部への仕事なし）であることから、内部エネルギー保存則 $\Delta U = 0$ が導かれます。また、気体が「アルゴン（単原子分子理想気体）」であるため、$U=\frac{3}{2}pV$ という公式を適用する根拠が確立されます。
(2)での公式選択（理想気体の状態方程式）:
- 選定理由: (1)で混合後の圧力 $p’$ が求まりました。これにより、混合後の気体の状態を特徴づける4つの物理量（$p’, V, n, T’$）のうち、$p’$ と $V=V_A+V_B$ が既知となりました。残る未知数は $n$ と $T’$ です。このうち、全体の物質量 $n=n_A+n_B$ は、初期状態の情報から状態方程式を用いて計算できます。したがって、最終的に未知数が $T’$ のみとなるため、状態方程式 $p’V=nRT’$ を選択するのが唯一かつ最適な選択です。
- 適用根拠: コックを開いて十分に時間が経った後、気体は容器全体で熱的に平衡な状態に達します。つまり、容器内のどこをとっても圧力と温度は均一になっています。このように、気体全体が単一の $p’$ と $T’$ で記述できる状態になっているため、気体全体を一つの系として状態方程式を適用することが正当化されます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

単位換算を最初に行う:
- 計算を始める前に、問題文に出てくるすべての物理量をSI基本単位系に整理する癖をつけましょう。$2.0\,\text{L} \to 2.0 \times 10^{-3}\,\text{m}^3$, $27^\circ\text{C} \to 300\,\text{K}$ のように、まず単位を変換した値をメモしておくと、代入ミスを防げます。
文字式で整理してから代入する:
- (2)の計算や別解のように、物質量 $n_A, n_B$ を $n_A = \frac{p_AV_A}{RT_A}$ のように文字式のまま扱い、最終的な $T’$ の式に代入してから数値を計算する方が、見通しが良くなり、計算ミスを減らせます。特にこの問題では、途中で気体定数 $R$ が約分されるため、計算が大幅に簡略化されます。
概算による検算:
- (1) 圧力: $p_AV_A = (1.0 \times 10^5) \times (2.0 \times 10^{-3}) = 200$。$p_BV_B = (2.0 \times 10^5) \times (3.0 \times 10^{-3}) = 600$。合計は $800$。全体の体積は $5.0 \times 10^{-3}$。混合後の圧力は $p’ = \frac{800}{5.0 \times 10^{-3}} = 1.6 \times 10^5\,\text{Pa}$。計算結果と一致します。
- (2) 温度: 物質量の比は $n_A : n_B = \frac{p_AV_A}{T_A} : \frac{p_BV_B}{T_B} = \frac{200}{300} : \frac{600}{400} = \frac{2}{3} : \frac{3}{2} = 4:9$。混合後の温度は、初期温度 $300\,\text{K}$ と $400\,\text{K}$ の間を、物質量の逆比 $9:4$ に内分する点になります。$T’ = 300 + (400-300) \times \frac{9}{4+9} = 300 + 100 \times \frac{9}{13} \approx 300 + 69.2 = 369.2\,\text{K}$。計算結果とほぼ一致します。
物理的にありえない値でないか吟味する:
- (1)で求めた圧力 $1.6 \times 10^5\,\text{Pa}$ が、初期圧力である $1.0 \times 10^5\,\text{Pa}$ と $2.0 \times 10^5\,\text{Pa}$ の間の値になっているかを確認します。
- (2)で求めた温度 $96^\circ\text{C}$ が、初期温度である $27^\circ\text{C}$ と $127^\circ\text{C}$ の間の値になっているかを確認します。もしこれらの範囲外の値が出た場合、計算ミスの可能性が極めて高いです。

310 気体がする仕事

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

【相違点に関する注記】

提示する別解
- 別解: 体積変化を具体的に計算する解法
  - 模範解答が状態方程式を用いて仕事の公式を $W’=nR\Delta T$ と変形して一気に計算するのに対し、別解では状態方程式で変化前後の体積をそれぞれ求め、体積変化 $\Delta V$ を計算してから仕事の定義式 $W’=p\Delta V$ に代入します。
上記の別解が有益である理由
- 物理的本質の深化: $W’=nR\Delta T$ という便利な公式が、仕事の定義 $W’=p\Delta V$ と状態方程式という2つの基本法則からどのように導かれるのかを、具体的な計算ステップを通して体験的に理解できます。
- 解法の選択肢拡大: 便利な公式を忘れてしまった場合でも、より基本的な定義式から出発すれば答えにたどり着けることを学び、応用力が身につきます。
- 思考の具体化: 抽象的な式変形だけでなく、実際に気体がどれくらいの体積からどれくらい膨張したのかを数値で把握することで、物理現象をより具体的にイメージする力が養われます。
結果への影響
- 計算のステップは異なりますが、物理的な意味は同じであり、最終的に得られる答えは模範解答と完全に一致します。

この問題のテーマは「定圧変化における気体の仕事」です。気体を加熱したときにピストンが動く、という熱機関の基本原理に関わる仕事の計算方法を学びます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

定圧変化の理解: 「なめらかに動くピストン」があり、内外の圧力がつりあっている場合、気体をゆっくり加熱すると、内部の圧力は常に外気圧と等しいまま膨張することを理解していること。
気体がする仕事の公式: 圧力が一定のとき、気体が外部にする仕事は $W’ = p\Delta V$ （圧力 × 体積の変化量）で計算できること。
理想気体の状態方程式: 気体の状態量 ($p, V, n, T$) を結びつける基本法則 $pV=nRT$ を使いこなせること。
状態方程式の応用: 定圧変化では、状態方程式の変化量を考えると $p\Delta V = nR\Delta T$ という関係が成り立つことを理解していること。

基本的なアプローチは以下の通りです。

まず、この変化が「定圧変化」であることを見抜きます。
気体がする仕事の公式 $W’=p\Delta V$ と、定圧変化における状態方程式の関係式 $p\Delta V = nR\Delta T$ を組み合わせます。
これにより得られた、より計算しやすい公式 $W’=nR\Delta T$ に、問題文で与えられた物質量 $n$、気体定数 $R$、温度変化 $\Delta T$ を代入して仕事を計算します。

思考の道筋とポイント
この問題の核心は、気体がする仕事 $W’ = p\Delta V$ を計算したいが、体積の変化量 $\Delta V$ が直接与えられていない、という点にあります。しかし、この変化が「定圧変化」であることに着目すれば、理想気体の状態方程式から $p\Delta V = nR\Delta T$ という関係を導くことができます。これにより、未知の $\Delta V$ をわざわざ計算することなく、問題文で与えられている $n$, $R$, $\Delta T$ だけで仕事を一気に計算できる、というスマートな解法にたどり着くことができます。
この設問における重要なポイント

水平に置かれたなめらかなピストンは、内部の気体の圧力が常に外気圧と等しくなるように動く。したがって、この変化は定圧変化である。
気体がする仕事の基本公式は $W’=p\Delta V$。
定圧変化では、状態方程式から $p\Delta V = nR\Delta T$ という関係が導ける。
温度変化 $\Delta T$ は、セルシウス温度の差と絶対温度の差が等しい。

具体的な解説と立式
この変化は、圧力が外気圧 $p = 1.0 \times 10^5\,\text{Pa}$ で一定のまま行われる定圧変化です。
気体が外部にする仕事 $W’$ は、体積の変化量を $\Delta V$ として、
$$
\begin{aligned}
W’ &= p\Delta V \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
と表せます。
ここで、理想気体の状態方程式 $pV=nRT$ を考えます。定圧変化の前後で、圧力 $p$、物質量 $n$、気体定数 $R$ は一定なので、変化前の状態を $V_1, T_1$、変化後の状態を $V_2, T_2$ とすると、
$$
\begin{aligned}
pV_1 &= nRT_1 \\
pV_2 &= nRT_2
\end{aligned}
$$
が成り立ちます。下の式から上の式を引くと、
$$
\begin{aligned}
p(V_2 – V_1) &= nR(T_2 – T_1)
\end{aligned}
$$
すなわち、
$$
\begin{aligned}
p\Delta V &= nR\Delta T \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$
という関係が得られます。式①と式②より、仕事 $W’$ は次のように表せます。
$$
\begin{aligned}
W’ &= nR\Delta T
\end{aligned}
$$

使用した物理公式

定圧変化における仕事: $W’ = p\Delta V$
理想気体の状態方程式: $pV=nRT$

計算過程

問題文より、$n=0.50\,\text{mol}$, $R=8.3\,\text{J/(mol}\cdot\text{K)}$ です。
温度は $10^\circ\text{C}$ 上げられたので、温度変化 $\Delta T$ は、
$$
\begin{aligned}
\Delta T &= 10\,\text{K}
\end{aligned}
$$
これらの値を $W’ = nR\Delta T$ の式に代入します。
$$
\begin{aligned}
W’ &= 0.50 \times 8.3 \times 10 \\[2.0ex] &= 41.5\,\text{J}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えるため、$42\,\text{J}$ となります。

この設問の平易な説明

シリンダーの中の気体を温めると、気体は膨らんでピストンを外に押し出します。このとき、気体がピストンにした「仕事」の量を計算する問題です。仕事は本来「圧力 × 増えた体積」で計算しますが、今回は「増えた体積」が分かりません。しかし、物理の公式をうまく変形させると、「気体の量 × 定数 × 温度の上昇分」という、問題文に与えられた数値だけで計算できる便利な式に変身させることができます。この便利な式を使って計算します。

結論と吟味

気体の温度を上げた結果、気体は膨張して外部に正の仕事をしたと考えられます。計算結果が正の値になったことは、物理的な状況と一致しており妥当です。

解答 $42\,\text{J}$

別解: 体積変化を具体的に計算する解法

思考の道筋とポイント
仕事の定義式 $W’=p\Delta V$ に従って、より基本的な手順で計算する方法です。そのためには、まず体積の変化量 $\Delta V$ を求める必要があります。変化前の体積 $V_1$ と変化後の体積 $V_2$ を、それぞれ状態方程式から計算し、その差から $\Delta V$ を求めます。最後に、仕事の公式 $W’=p\Delta V$ に代入して答えを導きます。
この設問における重要なポイント

仕事の定義は $W’=p\Delta V$。
$\Delta V$ を求めるために、変化前後の体積 $V_1, V_2$ が必要。
$V_1, V_2$ は状態方程式から計算できる。
状態方程式に用いる温度は、必ず絶対温度に変換する必要がある。

具体的な解説と立式
まず、変化前後の温度を絶対温度に変換します。

初期温度: $T_1 = 0 + 273 = 273\,\text{K}$
最終温度: $T_2 = 10 + 273 = 283\,\text{K}$

次に、状態方程式 $pV=nRT$ を用いて、初期体積 $V_1$ と最終体積 $V_2$ を計算します。圧力 $p=1.0 \times 10^5\,\text{Pa}$ は一定です。
$$
\begin{aligned}
V_1 &= \frac{nRT_1}{p}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
V_2 &= \frac{nRT_2}{p}
\end{aligned}
$$
最後に、これらの結果を使って仕事 $W’$ を計算します。
$$
\begin{aligned}
W’ &= p\Delta V \\[2.0ex] &= p(V_2 – V_1)
\end{aligned}
$$

使用した物理公式

理想気体の状態方程式: $pV=nRT$
定圧変化における仕事: $W’ = p\Delta V$

計算過程

体積 $V_1, V_2$ の計算
$$
\begin{aligned}
V_1 &= \frac{0.50 \times 8.3 \times 273}{1.0 \times 10^5} \\[2.0ex] &\approx 1.13295 \times 10^{-2}\,\text{m}^3
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
V_2 &= \frac{0.50 \times 8.3 \times 283}{1.0 \times 10^5} \\[2.0ex] &\approx 1.17445 \times 10^{-2}\,\text{m}^3
\end{aligned}
$$
仕事 $W’$ の計算
$$
\begin{aligned}
W’ &= p(V_2 – V_1) \\[2.0ex] &= (1.0 \times 10^5) \times (1.17445 \times 10^{-2} – 1.13295 \times 10^{-2}) \\[2.0ex] &= (1.0 \times 10^5) \times (0.0415 \times 10^{-2}) \\[2.0ex] &= 41.5\,\text{J}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で $42\,\text{J}$ となります。

この設問の平易な説明

気体がした仕事は「圧力 × 増えた体積」で計算するのが基本です。この方法では、まず気体が温まる前と後で、それぞれ体積がいくつだったのかを状態方程式を使って計算します。その差から「増えた体積」を求め、最後に基本公式に当てはめて仕事を計算します。手間はかかりますが、一番丁寧で基本的な方法です。

結論と吟味

主たる解法と完全に同じ結果が得られました。この計算過程は、$W’ = p(V_2-V_1) = p(\frac{nRT_2}{p} – \frac{nRT_1}{p}) = nR(T_2-T_1) = nR\Delta T$ という式変形を、具体的な数値で一つ一つ実行していることに他なりません。これにより、便利な公式の成り立ちを実感することができます。

解答 $42\,\text{J}$

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

定圧変化における仕事の計算方法の確立
- 核心: この問題の根幹は、まず「なめらかに動くピストン」と「外気圧が一定」という設定から、気体の変化が「定圧変化」であると見抜くことです。その上で、定圧変化の仕事の公式 $W’=p\Delta V$ を、理想気体の状態方程式 $pV=nRT$ を用いて変形し、問題で与えられている物理量（$n, R, \Delta T$）だけで計算できる、より便利な公式 $W’=nR\Delta T$ を導出して適用する、という一連の思考プロセスにあります。
- 理解のポイント:
  - なぜ定圧変化なのか？: ピストンがなめらかに動けるということは、シリンダー内外の圧力がつりあうまでピストンが移動することを意味します。気体をゆっくり加熱すると、内部の圧力は常に外気圧とつりあったまま（＝圧力が一定のまま）膨張していきます。
  - なぜ $W’=nR\Delta T$ が便利なのか？: 仕事の定義式 $W’=p\Delta V$ を使うには、変化前後の体積をわざわざ計算して $\Delta V$ を求める必要があります。しかし、$p\Delta V = nR\Delta T$ という関係を使えば、その手間を省き、与えられた数値だけで直接答えを導けるため、計算が格段に速く、かつ楽になります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

応用できる類似問題のパターン:
- 定積変化での仕事: ピストンが固定されているシリンダーを加熱する問題。この場合、体積が変化しないので $\Delta V=0$ となり、気体がする仕事は $W’=0$ です。
- 等温変化での仕事: 温度を一定に保ちながらピストンを動かす問題。この場合、圧力が変化するため $W’=p\Delta V$ という単純な式は使えません。熱力学第一法則で $\Delta U=0$ となることから、仕事は吸収した熱量に等しい ($W’=Q$) として求めるのが一般的です。
- 断熱変化での仕事: 断熱材でできたシリンダーのピストンを急に動かす問題。この場合、熱の出入りがないので $Q=0$ となります。熱力学第一法則より、仕事は内部エネルギーの変化によって賄われる ($W’=-\Delta U = -nC_V\Delta T$) として計算します。
- $p$-$V$グラフ上での仕事: 気体がする仕事 $W’$ は、$p$-$V$グラフ上で状態変化の線とV軸が囲む面積に相当します。定圧変化はグラフ上で水平な直線になるため、その面積は「長方形の面積 $p \times \Delta V$」として簡単に計算できます。
初見の問題での着眼点:
1. まず「ピストンの状態」を確認する: ピストンが「固定されている」のか「なめらかに動く」のかで、定積変化か定圧変化かが決まります。これが最初の分岐点です。
2. 求めたいのが「仕事」かを確認する: 仕事を問われたら、まず基本公式 $W’=p\Delta V$ を思い浮かべます。
3. 圧力が一定か変化するかを判断する:
  - 圧力が一定（定圧変化）なら、$W’=p\Delta V$ が使えます。さらに、$\Delta V$ が未知で $\Delta T$ が既知なら、$W’=nR\Delta T$ への変形を試みます。
  - 圧力が変化するなら、$W’=p\Delta V$ は使えません。熱力学第一法則 $\Delta U = Q – W’$ に立ち返り、他の量（$\Delta U$ や $Q$）から $W’$ を求められないか考えます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

定圧変化であることを見抜けない:
- 誤解: 「なめらかに動くピストン」という設定が何を意味するのか分からず、どの公式を使えばいいか混乱してしまう。
- 対策: 「ピストンが自由に動ける＋ゆっくり変化させる＝内外の圧力が常につりあう」と機械的に連想できるようにしましょう。外気圧が一定なら、内部の気体の圧力も一定、すなわち「定圧変化」であると判断できます。
仕事の公式の誤用:
- 誤解: 圧力が変化する過程（等温変化や断熱変化）でも、安易に $W’=p\Delta V$ を使ってしまう。
- 対策: この公式の $p$ は「一定の圧力」を意味します。圧力が変化する場合は、この式は使えないことを肝に銘じましょう。$p$-$V$グラフの面積で考えると、長方形にならないので単純な掛け算では計算できない、とイメージすると間違いを防げます。
温度の単位換算ミス:
- 誤解: 別解のように状態方程式で体積を計算する際に、セルシウス温度($0^\circ\text{C}$など)をそのまま代入してしまう。
- 対策: 状態方程式の $T$ は必ず「絶対温度($\text{K}$)」です。一方で、温度「変化」$\Delta T$ に関しては、セルシウス温度の差と絶対温度の差は等しい（例：$10^\circ\text{C}-0^\circ\text{C} = 10^\circ\text{C}$ と $283\,\text{K}-273\,\text{K} = 10\,\text{K}$ は同じ）ので、$\Delta T = 10\,\text{K}$ としてそのまま使えます。この使い分けをしっかり理解することが重要です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

出発点（仕事の定義式 $W’=p\Delta V$）:
- 選定理由: 求めたいのは「気体がする仕事」です。その定義を記述する基本公式が $W’=p\Delta V$ です。特に、問題の状況が「定圧変化」であるため、この式が直接適用できると判断するのが思考の第一歩です。
- 適用根拠: 問題の状況（なめらかに動くピストン）が定圧変化であると物理的に解釈できるため、この公式が適用できます。
中継点（理想気体の状態方程式 $pV=nRT$）:
- 選定理由: 仕事の定義式 $W’=p\Delta V$ には $\Delta V$ が必要ですが、問題文には与えられていません。代わりに、$n, R, \Delta T$ が与えられています。この「未知の $\Delta V$ を含む項 $p\Delta V$」と「既知の $n, R, \Delta T$ を含む項 $nR\Delta T$」を結びつける関係式が必要になります。その役割を果たすのが、理想気体の状態方程式です。
- 適用根拠: 問題文に「理想気体」と明記されているため、この方程式を適用することが正当化されます。
最終的な計算式（$W’=nR\Delta T$）:
- 選定理由: 上記2つの法則を組み合わせることで、未知の $\Delta V$ を計算する手間を省き、与えられた既知の量だけで $W’$ を表すことができるため、これが最も効率的な計算式となります。
- 適用根拠: 「定圧変化」かつ「理想気体」であるという2つの条件が満たされているため、この応用公式の適用が正当化されます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

単位換算の要不要を正確に判断する:
- この問題では、温度変化 $\Delta T$ を計算します。$10^\circ\text{C} – 0^\circ\text{C} = 10^\circ\text{C}$ ですが、温度の「差」はセルシウス度でも絶対温度（ケルビン）でも同じ値になるため、$\Delta T = 10\,\text{K}$ としてそのまま使えます。しかし、もし状態方程式で体積を計算する（別解）場合は、$T_1 = 0+273=273\,\text{K}$ のように、必ず絶対温度に変換する必要があります。この違いを明確に意識しましょう。
有効数字を正しく処理する:
- 問題文で与えられている物理量は、$0.50\,\text{mol}$, $1.0\times 10^5\,\text{Pa}$, $8.3\,\text{J/(mol}\cdot\text{K)}$, $10^\circ\text{C}$ であり、いずれも有効数字2桁と解釈できます。したがって、計算結果の $41.5\,\text{J}$ は、四捨五入して有効数字2桁の $42\,\text{J}$ として答えるのが適切です。
物理的な妥当性を常に吟味する:
- 気体の温度を上げているので、気体は膨張するはずです。気体が膨張するということは、外部に対してピストンを押すという「仕事をする」ことを意味します。したがって、計算結果である仕事 $W’$ は正の値になるはずです。計算結果が $W’ > 0$ となっているかを確認するだけで、符号ミスなどの単純な間違いを発見できます。
別解による検算:
- 主たる解法（$W’=nR\Delta T$）で $41.5\,\text{J}$ と計算した後、もし時間に余裕があれば、別解（$W’=p\Delta V$）でも計算してみるのが理想的です。手間はかかりますが、全く異なるアプローチで同じ答えにたどり着くことを確認できれば、計算の信頼性は格段に上がります。

311 定積変化

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

【相違点に関する注記】

提示する別解
- 物質量計算の別解: 理想気体の状態方程式を用いる解法
  - 模範解答が標準状態における気体のモル体積の知識を用いて物質量を求めるのに対し、別解ではより基本的な物理法則である理想気体の状態方程式から物質量を計算します。
- 熱量計算の別解: 熱力学第一法則と圧力変化を用いる解法
  - 模範解答が温度変化から内部エネルギーの変化量を計算するのに対し、別解では内部エネルギーを圧力と体積で表す公式 $U=\frac{3}{2}pV$ を用いて、圧力変化から熱量を計算します。
上記の別解が有益である理由
- 物理的本質の深化: 標準状態のモル体積という知識が、理想気体の状態方程式というより普遍的な法則から導かれることを理解できます。また、熱力学第一法則と内部エネルギーの別公式 $U=\frac{3}{2}pV$ を使うことで、温度変化を直接使わずに計算できることを学べます。
- 解法の選択肢拡大: モル体積の値を忘れてしまった場合でも、状態方程式という基本法則に立ち返って問題を解く力が身につきます。
- 思考の柔軟性向上: 求める物理量に応じて、どの公式やアプローチを選択すればよいかを考える良い訓練になります。
結果への影響
- 用いる近似の度合いによって計算途中の値にわずかな差が出ることがありますが、物理的な思考プロセスは同じであり、最終的に得られる答えは有効数字の範囲で完全に一致します。

この問題のテーマは「定積変化における熱量計算」です。気体の状態変化の中でも基本的な過程について、物理法則を正しく適用して物理量を計算することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

理想気体の状態方程式: 気体の初期状態 ($p, V, T$) から、その物質量 $n$ を計算できること。
定積変化の理解: 体積が一定の変化では、気体は外部に対して仕事をしない ($W’=0$) ことを理解していること。
熱力学第一法則: 定積変化では、与えられた熱量がすべて内部エネルギーの増加になる ($Q=\Delta U$) ことを理解していること。
理想気体の内部エネルギーの公式: 単原子分子理想気体の内部エネルギーの変化量が $\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T$ で計算できること。

基本的なアプローチは以下の通りです。

まず、与えられた熱量 $Q$ を計算するために必要な、気体の物質量 $n$ を求めます。これは、初期状態の圧力、体積、温度が与えられていることから、標準状態のモル体積の知識を用いて計算します。
次に、この変化が定積変化であることから、与えるべき熱量 $Q$ は内部エネルギーの増加 $\Delta U$ に等しいと考えます。
最後に、アルゴンが単原子分子であることから、内部エネルギーの変化量の公式 $\Delta U = nC_V\Delta T = \frac{3}{2}nR\Delta T$ に、求めた物質量 $n$ と問題で与えられた温度変化 $\Delta T$ を代入して答えを求めます。

思考の道筋とポイント
この問題の核心は、定積変化で与える熱量 $Q$ が、内部エネルギーの増加 $\Delta U$ に等しいこと ($Q=\Delta U$) を理解し、その $\Delta U$ を計算する公式 $\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T$ を正しく適用することです。この公式を使うためには、物質量 $n$ と温度変化 $\Delta T$ の2つの値が必要です。温度変化は問題文からすぐにわかりますが、物質量 $n$ は与えられていません。そこで、まず初期状態の情報 ($p, V, T$) を使って $n$ を計算し、その結果を公式に代入するという、2段階の思考プロセスが必要になります。
この設問における重要なポイント

定積変化なので、気体は仕事をしない ($W’=0$)。したがって、熱力学第一法則より $Q=\Delta U$。
アルゴンは単原子分子であるため、内部エネルギーの公式の係数は $\frac{3}{2}$ となる。
温度「変化」$\Delta T$ は、絶対温度の差とセルシウス温度の差が等しいので、$\Delta T = 20\,\text{K}$ としてよい。
物質量 $n$ を求めるために、初期状態が標準状態に近いことを利用する。

具体的な解説と立式
ステップ1: 物質量 $n$ の計算
模範解答では、標準状態（$0^\circ\text{C}$, 1気圧）における $1\,\text{mol}$ の気体の体積が $2.24 \times 10^{-2}\,\text{m}^3$ (22.4L) であることを利用します。問題の初期状態は $0^\circ\text{C}$, $1.0 \times 10^5\,\text{Pa}$ であり、これは標準状態とほぼ同じとみなせます。
与えられた体積 $V = 1.12 \times 10^{-2}\,\text{m}^3$ を、モル体積 $V_m = 2.24 \times 10^{-2}\,\text{m}^3\text{/mol}$ で割ることで、物質量 $n$ を求めます。
$$
\begin{aligned}
n &= \frac{V}{V_m}
\end{aligned}
$$

ステップ2: 熱量 $Q$ の計算
定積変化なので、気体が外部にする仕事は $W’=0$ です。熱力学第一法則 $\Delta U = Q – W’$ より、
$$
\begin{aligned}
Q &= \Delta U
\end{aligned}
$$
となります。アルゴンは単原子分子なので、内部エネルギーの変化 $\Delta U$ は以下の公式で与えられます。
$$
\begin{aligned}
\Delta U &= \frac{3}{2}nR\Delta T
\end{aligned}
$$
温度は $0^\circ\text{C}$ から $20^\circ\text{C}$ に変化したので、温度変化 $\Delta T$ は、
$$
\begin{aligned}
\Delta T &= 20 – 0 \\[2.0ex] &= 20^\circ\text{C} \\[2.0ex] &= 20\,\text{K}
\end{aligned}
$$

使用した物理公式

標準状態における気体のモル体積: $V_m = 2.24 \times 10^{-2}\,\text{m}^3\text{/mol}$
熱力学第一法則: $\Delta U = Q – W’$
単原子分子理想気体の内部エネルギーの変化: $\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T$

計算過程

物質量 $n$ の計算
$$
\begin{aligned}
n &= \frac{1.12 \times 10^{-2}}{2.24 \times 10^{-2}} \\[2.0ex] &= 0.500\,\text{mol}
\end{aligned}
$$
熱量 $Q$ の計算
$Q = \Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T$ に、求めた $n=0.500\,\text{mol}$ と、$\Delta T = 20\,\text{K}$, $R=8.3\,\text{J/(mol}\cdot\text{K)}$ を代入します。
$$
\begin{aligned}
Q &= \frac{3}{2} \times 0.500 \times 8.3 \times 20 \\[2.0ex] &= 124.5\,\text{J}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えるため、$1.2 \times 10^2\,\text{J}$ となります。

この設問の平易な説明

密閉容器に入った気体を温める状況を考えます。容器が密閉されているので、気体は膨張できず、外部に仕事をしません。そのため、ストーブなどから与えた熱エネルギーは、すべて気体の温度を上げるためだけに使われます。この問題では、まず初期の状態から気体がどれくらいの「量」あるのかを計算し、次にその量の気体の温度を $20^\circ\text{C}$ 上げるのに必要な熱量を計算します。

結論と吟味

気体を加熱しているので、外部から熱を与える ($Q > 0$) 必要があり、計算結果が正の値であることは物理的に妥当です。

解答 $1.2 \times 10^2\,\text{J}$

別解: 理想気体の状態方程式で物質量を求める解法

状態方程式を用いる際は、温度を必ず絶対温度 ($\text{K}$) に変換する。
$0^\circ\text{C} = 273\,\text{K}$。

具体的な解説と立式
初期状態について、理想気体の状態方程式を立てます。

圧力: $p_1 = 1.0 \times 10^5\,\text{Pa}$
体積: $V = 1.12 \times 10^{-2}\,\text{m}^3$
温度: $T_1 = 0 + 273 = 273\,\text{K}$

状態方程式は、
$$
\begin{aligned}
p_1 V &= n R T_1
\end{aligned}
$$
この式を $n$ について解き、その後の熱量の計算は主たる解法と同じです。

使用した物理公式

理想気体の状態方程式: $pV=nRT$

計算過程

物質量 $n$ の計算
$$
\begin{aligned}
n &= \frac{p_1 V}{R T_1} \\[2.0ex] &= \frac{(1.0 \times 10^5) \times (1.12 \times 10^{-2})}{8.3 \times 273} \\[2.0ex] &= \frac{1120}{2265.9} \\[2.0ex] &\approx 0.494\,\text{mol}
\end{aligned}
$$
この値は、主たる解法で求めた $0.500\,\text{mol}$ とわずかに異なります。これは、モル体積の値や問題の圧力値が、理想的な状態からの近似値であるためです。
熱量 $Q$ の計算
$$
\begin{aligned}
Q &= \frac{3}{2}nR\Delta T \\[2.0ex] &= \frac{3}{2} \times 0.494 \times 8.3 \times 20 \\[2.0ex] &\approx 123\,\text{J}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えると $1.2 \times 10^2\,\text{J}$ となり、主たる解法の結果と一致します。

この設問の平易な説明

気体の量を計算するのに、化学の知識（標準状態の体積）ではなく、物理の万能公式である「状態方程式」を使う方法です。はじめの状態の圧力、体積、温度を公式に当てはめて計算します。問題の数値の丸め方のせいで、途中の計算結果は少しズレますが、最終的な答えは同じになります。

結論と吟味

解答 $1.2 \times 10^2\,\text{J}$

別解: 圧力変化から熱量を求める解法

思考の道筋とポイント
熱量を温度変化ではなく、圧力変化から求める方法です。定積変化なので $Q=\Delta U$ であり、内部エネルギーの変化は $\Delta U = \frac{3}{2}V\Delta p$ とも書けます。この式を使うには、まず温度が $20^\circ\text{C}$ になったときの最終圧力 $p_2$ を計算する必要があります。
この設問における重要なポイント

定積変化では $Q=\Delta U = \frac{3}{2}V(p_2-p_1)$。
最終圧力 $p_2$ は、定積変化の法則（ゲイ＝リュサックの法則） $\frac{p}{T}=\text{一定}$ から求める。

具体的な解説と立式
まず、変化後の圧力 $p_2$ を求めます。体積が一定なので、ゲイ＝リュサックの法則が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
\frac{p_1}{T_1} &= \frac{p_2}{T_2}
\end{aligned}
$$
ここで、$T_1 = 273\,\text{K}$, $T_2 = 20+273 = 293\,\text{K}$, $p_1 = 1.0 \times 10^5\,\text{Pa}$ です。

次に、熱量 $Q$ を計算します。定積変化なので、$Q = \Delta U$ であり、
$$
\begin{aligned}
Q &= \Delta U \\[2.0ex] &= U_2 – U_1 \\[2.0ex] &= \frac{3}{2}p_2 V – \frac{3}{2}p_1 V \\[2.0ex] &= \frac{3}{2}V(p_2 – p_1)
\end{aligned}
$$

使用した物理公式

ゲイ＝リュサックの法則: $\frac{p}{T} = \text{一定}$
単原子分子理想気体の内部エネルギー: $U=\frac{3}{2}pV$

計算過程

変化後の圧力 $p_2$ の計算
$$
\begin{aligned}
p_2 &= p_1 \times \frac{T_2}{T_1} \\[2.0ex] &= (1.0 \times 10^5) \times \frac{293}{273} \\[2.0ex] &\approx 1.073 \times 10^5\,\text{Pa}
\end{aligned}
$$
熱量 $Q$ の計算
$$
\begin{aligned}
Q &= \frac{3}{2}V(p_2 – p_1) \\[2.0ex] &= \frac{3}{2} \times (1.12 \times 10^{-2}) \times (1.073 \times 10^5 – 1.0 \times 10^5) \\[2.0ex] &= 1.5 \times (1.12 \times 10^{-2}) \times (0.073 \times 10^5) \\[2.0ex] &\approx 123\,\text{J}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で $1.2 \times 10^2\,\text{J}$ となり、他の解法と一致します。

この設問の平易な説明

密閉容器を温めると中の圧力が上がります。この圧力の上昇分に注目して、気体が得た熱量を計算する方法です。まず、温度が $20^\circ\text{C}$ になったときに圧力がいくらになるかを計算します。次に、その圧力の上昇分と容器の体積を使って、内部エネルギーがどれだけ増えたか（＝与えられた熱量）を計算します。

結論と吟味

解答 $1.2 \times 10^2\,\text{J}$

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

内部エネルギー変化の計算手順の確立
- 核心: この問題の根幹は、一見すると単純な熱量の計算に見えますが、その計算に必要な「部品」がすべて揃っているわけではない、という点にあります。核心は、①求めたい物理量（熱量 $Q$）を計算するための公式（定積変化なので $Q = \Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T$）を特定し、②その公式に必要な未確定の物理量（物質量 $n$）を、③問題文の別の情報（初期状態の $p, V, T$）から別の物理法則（状態方程式など）を用いて導出する、という2段階の思考プロセスを正確に実行できるかどうかにあります。
- 理解のポイント:
  - 部品集めの意識: 物理の問題を解くことは、料理のレシピに似ています。最終的な料理（答え）を作るために、まず必要な材料（物理量）をリストアップし、足りないものがあれば、別の方法で手に入れる（計算する）という手順を踏む意識が重要です。
  - 定積変化の性質: 「体積を一定に保ち」という記述から、この変化が定積変化であると判断します。定積変化では気体は外部に仕事をしない($W’=0$)ため、熱力学第一法則 $\Delta U = Q – W’$ は $Q=\Delta U$ と簡略化されます。つまり、与えられた熱はすべて内部エネルギーの増加に使われる、という物理的意味を理解することが鍵となります。
  - アルゴン＝単原子分子: ヘリウム(He)、ネオン(Ne)、アルゴン(Ar)といった希ガスは、化学的に安定な単原子分子として振る舞います。この知識が、内部エネルギーの公式の係数 $\frac{3}{2}$ を選択する根拠となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

応用できる類似問題のパターン:
- 定圧変化での熱量計算: もし問題が「圧力を一定に保って温度を $20^\circ\text{C}$ にする」という設定であれば、吸収した熱量 $Q$ は $Q=nC_p\Delta T = n(\frac{5}{2}R)\Delta T$ で計算します。この場合も、まず物質量 $n$ を求める手順は同じです。
- 状態変化後の圧力や温度を問う問題: 例えば、「体積一定で $120\,\text{J}$ の熱を与えた。変化後の圧力はいくらか」といった問題。この場合、$Q=\Delta U$ から $\Delta T$ を逆算し、$\frac{p}{T}=\text{一定}$ の関係から変化後の圧力を求める、という逆の思考プロセスをたどります。
- 物質量が明記されていないすべての熱力学問題: この問題のように、物質量 $n$ が直接与えられていない問題は頻出します。その場合、必ずどこかに $p, V, T$ が一組揃った状態の情報が隠されています。それを見つけ出し、状態方程式 $pV=nRT$ から $n$ を計算するのは、熱力学の問題を解く上での基本的な常套手段です。
初見の問題での着眼点:
1. まず「何変化」かを見極める: 問題文の「体積を一定に保って」という記述から、これが「定積変化」であることを特定します。これにより、仕事 $W’$ が $0$ であること、与える熱量 $Q$ が内部エネルギーの変化 $\Delta U$ に等しいことなどが分かります。
2. 求めたい物理量と、その計算に必要な公式を思い出す: 求めたいのは「熱量 $Q$」。定積変化なので $Q=\Delta U$。そして内部エネルギーの変化の公式は $\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T$。
3. 公式の「部品」が揃っているか確認する:
  - $n$ (物質量) → 問題文にない。計算が必要。
  - $R$ (気体定数) → 与えられている。
  - $\Delta T$ (温度変化) → $0^\circ\text{C} \to 20^\circ\text{C}$ なので、$\Delta T = 20\,\text{K}$。
4. 足りない部品を計算する方法を探す: 足りない $n$ を計算するために、初期状態の情報 ($p_1, V, T_1$) に着目します。これらの情報から $n$ を計算できる法則は、状態方程式 $pV=nRT$ または標準状態のモル体積の知識です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

温度の単位換算ミス:
- 誤解: 物質量 $n$ を状態方程式から計算する際に、セルシウス温度 $t=0^\circ\text{C}$ をそのまま代入してしまい、分母がゼロになって計算不能に陥る。
- 対策: 熱力学で用いる公式の温度 $T$ は、ほぼすべて「絶対温度($\text{K}$)」です。計算を始める前に、問題文中のセルシウス温度をすべて $T = t + 273$ を使って絶対温度に変換する癖をつけましょう。ただし、温度「変化」$\Delta T$ に関しては、$\Delta T = \Delta t$ なので、セルシウス温度の差をそのまま $20\,\text{K}$ として使って構いません。
物質量 $n$ の計算を忘れる・間違う:
- 誤解: 問題文に $n$ が与えられていないため、勝手に $n=1\,\text{mol}$ として計算してしまう。
- 対策: 熱量や内部エネルギーの公式には $n$ が含まれることを強く意識し、問題文に記載がなければ「必ずどこかの情報から計算する必要がある」と考える習慣をつけましょう。また、モル体積の知識を使う際は、それが「標準状態（$0^\circ\text{C}, 1.013 \times 10^5\,\text{Pa}$）」でのみ成り立つことを理解しておく必要があります。問題の $1.0 \times 10^5\,\text{Pa}$ は近似値なので、厳密には状態方程式を使う方が正確です。
内部エネルギーの公式の係数ミス:
- 誤解: アルゴンが単原子分子であることを知らず、どの公式を使えばいいか分からなくなる。あるいは、なんとなく二原子分子の公式($\frac{5}{2}$)を使ってしまう。
- 対策: He（ヘリウム）、Ne（ネオン）、Ar（アルゴン）などの希ガスは、高校物理の範囲ではすべて「単原子分子理想気体」として扱われます。これは重要な知識なので、必ず覚えておきましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

物質量計算での公式選択（状態方程式 or モル体積）:
- 選定理由: 求めたいのは「物質量 $n$」。そして、初期状態という一つの「点」において、圧力 $p$、体積 $V$、温度 $T$ の3つの状態量がすべて判明しています。これらの4つの物理量を結びつける最も基本的な法則が、理想気体の状態方程式 $pV=nRT$ です。一方、初期状態が化学で学習する「標準状態」とほぼ同じであるため、その知識である「モル体積」を利用することも可能です。
- 適用根拠: 物理の法則としてより普遍的で、どんな状態にも適用できるのは「理想気体の状態方程式」です。モル体積の知識は、標準状態という特定の条件下でのみ適用できる便利なショートカットと位置づけられます。物理の問題では、状態方程式から解くのが最も論理的で応用が利く方法です。
熱量計算での公式選択（$Q = \frac{3}{2}nR\Delta T$）:
- 選定理由: 求めたいのは「熱量 $Q$」。この変化は「定積変化」なので、気体は仕事をしません ($W’=0$)。したがって、熱力学第一法則 $\Delta U = Q – W’$ は $Q=\Delta U$ となります。つまり、求める熱量は内部エネルギーの変化量に等しいです。内部エネルギーの変化量は、気体の「温度変化 $\Delta T$」から計算するのが最も直接的であり、そのための公式が $\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T$ です。
- 適用根拠: 問題文に「アルゴン」とあり、これが「単原子分子」理想気体とみなせること。これが、係数 $\frac{3}{2}$ を持つこの公式を適用する直接的な根拠となります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

単位換算を最初に行う:
- 計算を始める前に、問題文に出てくるすべての物理量をSI基本単位系に整理する癖をつけましょう。特に温度は、$0^\circ\text{C} \to 273\,\text{K}$, $20^\circ\text{C} \to 293\,\text{K}$ のように、まず絶対温度に変換した値をメモしておくと、代入ミスを防げます。
文字式で整理してから代入する:
- 別解のように状態方程式から $n$ を求め、それを $Q$ の式に代入する場合、
  $$
  \begin{aligned}
  Q &= \frac{3}{2} nR\Delta T \\[2.0ex] &= \frac{3}{2} \left( \frac{p_1V}{RT_1} \right) R \Delta T \\[2.0ex] &= \frac{3}{2} \frac{p_1V}{T_1} \Delta T
  \end{aligned}
  $$
  のように、文字式の段階で $R$ を消去するなど、式をできるだけ簡単にしてから数値を代入する方が、計算が楽になり、ミスも減ります。
概算による検算:
- 物質量は $n \approx 0.5\,\text{mol}$ と分かっています。気体定数 $R \approx 8\,\text{J/(mol}\cdot\text{K)}$ として概算してみましょう。
  $$
  \begin{aligned}
  Q &= \frac{3}{2}nR\Delta T \\[2.0ex] &\approx 1.5 \times 0.5 \times 8 \times 20 \\[2.0ex] &= 120\,\text{J}
  \end{aligned}
  $$
  計算結果の $124.5\,\text{J}$ と非常に近い値であり、桁違いのミスがないことを確認できます。
物理的な妥当性の吟味:
- 今回は「体積を一定に保って温度を $20^\circ\text{C}$ にする」とあります。これは気体を加熱する操作なので、外部から熱を与える必要があります。計算結果が正の値 ($Q > 0$) になっているかを確認します。もし負の値になっていたら、計算のどこかで符号を間違えている可能性が高いです。

312 定圧変化

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

【相違点に関する注記】

提示する別解
- 別解: 熱力学第一法則から熱量を求める解法
  - 模範解答が定圧モル比熱の公式 $Q=nC_p\Delta T$ を用いて一気に熱量を計算するのに対し、別解では内部エネルギーの変化 $\Delta U$ と気体がした仕事 $W’$ をそれぞれ個別に計算し、熱力学第一法則 $Q = \Delta U + W’$ を使って熱量を求めます。
上記の別解が有益である理由
- 物理的本質の深化: 定圧変化でやりとりする熱が「内部エネルギーの変化」と「外部への仕事」という2つの要素から構成されていること、そして定圧モル比熱 $C_p$ が定積モル比熱 $C_V$ と気体定数 $R$ の和 ($C_p = C_V + R$) になる物理的背景を、具体的な計算を通して理解できます。
- 解法の選択肢拡大: 定圧モル比熱の公式を忘れてしまった場合でも、より基本的な法則である熱力学第一法則、内部エネルギーの公式、仕事の公式から答えを導出できることを学び、応用力が身につきます。
結果への影響
- 計算のステップは異なりますが、物理的な意味は同じであり、最終的に得られる答えは模範解答と完全に一致します。

この問題のテーマは「定圧変化における気体の仕事」です。気体を冷却したときにピストンが動き、気体が熱を放出する、という熱力学の基本的な過程における熱量の計算方法を学びます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

定圧変化の理解: 「なめらかに動くピストン」があり、内外の圧力がつりあっている場合、気体をゆっくり冷却すると、内部の圧力は常に外気圧と等しいまま収縮することを理解していること。
定圧モル比熱: 定圧変化において、気体に与える熱量を計算するための物理量 ($C_p$) を知っており、単原子分子理想気体の場合は $C_p = \frac{5}{2}R$ となることを理解していること。
熱量の計算式: 定圧変化で気体が吸収する熱量は $Q = nC_p\Delta T$ で計算できること。
熱量の符号: 計算した熱量 $Q$ が負の値になる場合、それは気体が熱を「吸収」したのではなく「放出」したことを意味すると理解していること。

基本的なアプローチは以下の通りです。

まず、この変化が「定圧変化」であることを見抜きます。
気体が吸収する熱量を $Q$ とし、定圧モル比熱 $C_p$ を用いた公式 $Q=nC_p\Delta T$ を立てます。
単原子分子理想気体の $C_p = \frac{5}{2}R$ を用い、問題文で与えられた物質量 $n$、気体定数 $R$、温度変化 $\Delta T$ を代入して $Q$ を計算します。
計算結果が負になることから、その絶対値が外部へ放出した熱量であると結論づけます。

思考の道筋とポイント
この問題の核心は、「定圧のもとで」という記述から、定圧モル比熱 $C_p$ を用いた熱量の公式 $Q=nC_p\Delta T$ を選択することです。気体の種類が「単原子分子」であることから $C_p = \frac{5}{2}R$ を適用し、与えられた数値を代入すれば計算できます。注意すべきは、温度が下がっているため温度変化 $\Delta T$ が負になり、計算される熱量 $Q$ も負になる点です。問題では「放出する熱量」という正の値を問われているため、最後に計算結果の絶対値をとる必要があります。
この設問における重要なポイント

「なめらかに動くピストン」という設定から、これは定圧変化であると判断する。
気体の種類が「単原子分子」であることから、定圧モル比熱は $C_p = \frac{5}{2}R$。
温度変化 $\Delta T$ は「変化後($40^\circ\text{C}$) – 変化前($60^\circ\text{C}$)」で計算するため、負の値になる。
計算される $Q$ は「気体が吸収する熱量」であり、負の値は「放出」を意味する。

具体的な解説と立式
気体が吸収する熱量を $Q$ とします。
この変化は定圧変化なので、熱量 $Q$ は定圧モル比熱 $C_p$ を用いて次のように表せます。
$$
\begin{aligned}
Q &= nC_p\Delta T
\end{aligned}
$$
気体は単原子分子なので、その定圧モル比熱は、
$$
\begin{aligned}
C_p &= \frac{5}{2}R
\end{aligned}
$$
したがって、熱量 $Q$ の計算式は、
$$
\begin{aligned}
Q &= n \left(\frac{5}{2}R\right) \Delta T
\end{aligned}
$$
となります。

使用した物理公式

定圧変化における熱量: $Q = nC_p\Delta T$
単原子分子理想気体の定圧モル比熱: $C_p = \frac{5}{2}R$

計算過程

問題文より、$n=2.0\,\text{mol}$, $R=8.3\,\text{J/(mol}\cdot\text{K)}$ です。
温度は $60^\circ\text{C}$ から $40^\circ\text{C}$ に下がったので、温度変化 $\Delta T$ は、
$$
\begin{aligned}
\Delta T &= 40 – 60 \\[2.0ex] &= -20^\circ\text{C} \\[2.0ex] &= -20\,\text{K}
\end{aligned}
$$
これらの値を $Q$ の式に代入します。
$$
\begin{aligned}
Q &= 2.0 \times \left(\frac{5}{2} \times 8.3\right) \times (-20) \\[2.0ex] &= 2.0 \times (2.5 \times 8.3) \times (-20) \\[2.0ex] &= -830\,\text{J} \\[2.0ex] &= -8.3 \times 10^2\,\text{J}
\end{aligned}
$$
計算結果 $Q$ が負になったのは、気体が熱を吸収したのではなく、外部へ放出したことを意味します。
したがって、気体が外部へ放出した熱量は、この値の絶対値となります。
$$ (\text{放出した熱量}) = |-8.3 \times 10^2| = 8.3 \times 10^2\,\text{J} $$

この設問の平易な説明

ピストン付きの容器に入った気体を冷やす状況を考えます。気体は縮み、同時に熱を外に逃がします。この問題では、その逃がした熱の量を計算します。「圧力が一定」のまま冷やす場合には、専用の計算公式があり、それに気体の量や温度の下がり具合などの数値を当てはめれば答えが出ます。計算結果がマイナスになりますが、これは気体が熱を「失った（放出した）」という意味なので、放出量を答えるときはプラスの符号で答えます。

結論と吟味

気体の温度を下げている（冷却している）ので、気体が外部へ熱を放出するのは当然です。計算された熱量 $Q$ が負の値になったこと、そして問われている「放出する熱量」が正の値で求まったことは、物理的な状況と完全に一致しており妥当です。

解答 $8.3 \times 10^2\,\text{J}$

別解: 熱力学第一法則から熱量を求める解法

思考の道筋とポイント
定圧モル比熱の公式を直接使わずに、より基本的な法則である熱力学第一法則 $Q = \Delta U + W’$ から熱量 $Q$ を求める方法です。このアプローチでは、まず「内部エネルギーの変化 $\Delta U$」と「気体がした仕事 $W’$」をそれぞれ個別に計算し、最後にそれらを足し合わせることで、全体の熱量 $Q$ を算出します。
この設問における重要なポイント

熱力学第一法則 $Q = \Delta U + W’$ を用いる。
内部エネルギーの変化 $\Delta U$ は、温度変化だけで決まり、$\Delta U = nC_V\Delta T = n(\frac{3}{2}R)\Delta T$ で計算する。
定圧変化で気体がする仕事 $W’$ は、$W’ = p\Delta V = nR\Delta T$ で計算する。

具体的な解説と立式
気体が吸収する熱量を $Q$ とすると、熱力学第一法則より、
$$
\begin{aligned}
Q &= \Delta U + W’
\end{aligned}
$$
となります。ここで、$\Delta U$ は内部エネルギーの変化、$W’$ は気体が外部にした仕事です。
各項を個別に計算します。

内部エネルギーの変化 $\Delta U$:
単原子分子理想気体なので、
$$
\begin{aligned}
\Delta U &= nC_V\Delta T \\[2.0ex] &= n\left(\frac{3}{2}R\right)\Delta T
\end{aligned}
$$
気体がした仕事 $W’$:
定圧変化なので、
$$
\begin{aligned}
W’ &= p\Delta V
\end{aligned}
$$
状態方程式 $pV=nRT$ の変化量を考えると $p\Delta V = nR\Delta T$ なので、
$$
\begin{aligned}
W’ &= nR\Delta T
\end{aligned}
$$

使用した物理公式

熱力学第一法則: $Q = \Delta U + W’$
内部エネルギーの変化: $\Delta U = nC_V\Delta T$
定圧変化の仕事: $W’ = nR\Delta T$

計算過程

温度変化 $\Delta T = -20\,\text{K}$ を用いて、$\Delta U$ と $W’$ をそれぞれ計算します。

$\Delta U$ の計算:
$$
\begin{aligned}
\Delta U &= 2.0 \times \left(\frac{3}{2} \times 8.3\right) \times (-20) \\[2.0ex] &= -498\,\text{J}
\end{aligned}
$$
$W’$ の計算:
$$
\begin{aligned}
W’ &= 2.0 \times 8.3 \times (-20) \\[2.0ex] &= -332\,\text{J}
\end{aligned}
$$
熱量 $Q$ の計算:
$$
\begin{aligned}
Q &= \Delta U + W’ \\[2.0ex] &= (-498) + (-332) \\[2.0ex] &= -830\,\text{J}
\end{aligned}
$$

これは気体が吸収した熱量なので、放出した熱量は $830\,\text{J} = 8.3 \times 10^2\,\text{J}$ となります。

この設問の平易な説明

気体を冷やすと、2つのことが起こります。一つは「気体自身の温度が下がる（内部エネルギーが減る）」こと、もう一つは「気体が縮んで、外部から仕事をされる（気体がした仕事はマイナスになる）」ことです。気体が外部に放出した熱の総量は、この2つの過程で失われたエネルギーの合計になります。この別解では、これら2つのエネルギー減少量を別々に計算して、最後に足し合わせることで、全体の熱量を求めています。

結論と吟味

主たる解法と完全に同じ結果が得られました。この方法は、定圧変化でやりとりする熱量が、内部エネルギーの変化分 ($\Delta U$) と仕事の分 ($W’$) の和から成ることを明確に示しています。また、定圧モル比熱 $C_p = \frac{5}{2}R$ が、定積モル比熱 $C_V = \frac{3}{2}R$ と気体定数 $R$ の和 ($C_p = C_V + R$) に対応していることの物理的な背景を、計算を通して理解することができます。

解答 $8.3 \times 10^2\,\text{J}$

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

定圧変化における熱量の計算
- 核心: この問題の根幹は、まず「なめらかに動くピストン」という設定から、気体の変化が「定圧変化」であると見抜くことです。その上で、定圧変化における熱量の計算に特化した物理量である「定圧モル比熱 $C_p$」を用いて、公式 $Q=nC_p\Delta T$ を正しく適用することが核心となります。
- 理解のポイント:
  - なぜ定圧変化なのか？: ピストンがなめらかに動けるということは、シリンダー内外の圧力がつりあうまでピストンが移動することを意味します。気体をゆっくり冷却すると、内部の圧力は常に外気圧とつりあったまま（＝圧力が一定のまま）収縮していきます。
  - なぜ定圧モル比熱 $C_p$ を使うのか？: 気体に熱を与えたとき、その熱がどれだけ温度上昇につながるかは、変化のさせ方（定積か定圧か）によって異なります。定圧変化では、気体は収縮・膨張して外部と仕事のやりとりもするため、その効果も含めて定義された専用の物理量 $C_p$ を使う必要があります。
  - 単原子分子の $C_p$: 問題文の「単原子分子」という条件から、$C_p = \frac{5}{2}R$ という具体的な値を適用します。この値は覚えておくべき重要な知識です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

応用できる類似問題のパターン:
- 定積変化での熱量計算: ピストンが固定されているシリンダーを冷却する問題。この場合、定積変化なので定積モル比熱 $C_V$ を用いて $Q=nC_V\Delta T = n(\frac{3}{2}R)\Delta T$ で計算します。
- 定圧変化で他の物理量を問う問題: 例えば、「$830\,\text{J}$ の熱を放出させたときの内部エネルギーの変化 $\Delta U$ と気体がされた仕事 $W$ はいくらか」といった問題。この場合、まず $Q=-830\,\text{J}$ から $\Delta T$ を逆算し、その $\Delta T$ を使って $\Delta U = nC_V\Delta T$ と $W’ = nR\Delta T$ を計算し、$W=-W’$ を求める、という逆の思考プロセスをたどります。
初見の問題での着眼点:
1. まず「ピストンの状態」を確認する: ピストンが「固定されている」のか「なめらかに動く」のかで、定積変化か定圧変化かが決まります。これが最初の分岐点です。
2. 求めたいのが「熱量」かを確認する: 熱量を問われたら、定積なら $C_V$、定圧なら $C_p$ を使う、という判断軸を持ちます。
3. 気体の種類（単原子分子か）を確認する: これにより、$C_p$ の具体的な値 ($\frac{5}{2}R$) が決まります。
4. 温度変化の符号に細心の注意を払う: 温度が「上がる」のか「下がる」のかを確認し、$\Delta T = (\text{変化後の温度}) – (\text{変化前の温度})$ を正しく計算します。冷却過程では $\Delta T$ は負になります。
5. 問われているのが「吸収する熱量」か「放出する熱量」かを確認する: 計算で得られる $Q$ は「吸収する熱量」です。もし $Q$ が負になった場合、それは「放出」を意味します。「放出する熱量」を問われたら、$Q$ の絶対値（正の値）を答えます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

モル比熱の混同（$C_p$ と $C_V$）:
- 誤解: 定圧変化なのに、より単純な定積モル比熱 $C_V = \frac{3}{2}R$ を使って熱量を計算してしまう。
- 対策: $C_p$ の方が $C_V$ より大きい ($C_p = C_V + R$) のは、定圧変化では気体が膨張・収縮して外部と仕事のやりとりをするため、そのエネルギー分も熱として出入りするから、と理由付けで覚えましょう。冷却・収縮する場合は、内部エネルギーの減少分に加えて、外部から仕事をされた分のエネルギーも熱として放出されるため、放出する熱は大きくなります。
熱量の符号の解釈ミス:
- 誤解: 計算結果の $-8.3 \times 10^2\,\text{J}$ をそのまま答えとして書いてしまう。あるいは、「放出する」と聞かれて符号をどうすればいいか混乱する。
- 対策: 熱力学の公式における $Q$ は、常に「気体が吸収する熱量」と定義されています。したがって、計算結果が負になった場合は「$8.3 \times 10^2\,\text{J}$ の熱を放出した」と物理的に解釈します。問題で「放出する熱量はいくらか」と問われた場合は、その大きさ（絶対値）である $8.3 \times 10^2\,\text{J}$ を答えるのが正解です。
温度変化の計算ミス:
- 誤解: 温度変化を計算する際に、無意識に「大きい方から小さい方を引く」と考えてしまい、$\Delta T = 60 – 40 = 20\,\text{K}$ と計算してしまう。
- 対策: 物理における変化量 $\Delta$ は、常に「変化後の量 – 変化前の量」と定義されています。このルールを機械的に適用し、$\Delta T = 40 – 60 = -20\,\text{K}$ と正しく計算する癖をつけましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

公式選択（$Q=nC_p\Delta T$）:
- 選定理由: 求めたいのは「熱量 $Q$」であり、問題の状況が「定圧変化」だからです。定圧変化において、熱量を物質量 $n$ と温度変化 $\Delta T$ から求めるために特別に定義された物理量が「定圧モル比熱 $C_p$」であり、公式 $Q=nC_p\Delta T$ はその定義そのものです。したがって、この公式を選択するのが最も直接的で論理的です。
- 適用根拠: 問題の状況（なめらかに動くピストン）が定圧変化であると物理的に解釈できること、そして気体が「単原子分子」であることから $C_p = \frac{5}{2}R$ という具体的な値を適用できることが、この公式を計算に用いる根拠となります。
別解のアプローチ選択（熱力学第一法則）:
- 選定理由: 定圧モル比熱 $C_p$ の公式を忘れてしまった場合や、その成り立ちをより深く理解したい場合に有効なアプローチです。熱力学第一法則 $Q = \Delta U + W’$ は、あらゆる変化に適用できる最も基本的な法則です。定圧変化の場合、$\Delta U$ と $W’$ はそれぞれ $\Delta U = nC_V\Delta T$ と $W’ = nR\Delta T$ のように、より基本的な量から計算できます。
- 適用根拠: 熱力学第一法則は普遍的なエネルギー保存則です。また、内部エネルギーの公式や仕事の公式は、それぞれ理想気体の性質や定圧変化の定義から導かれるものであり、その適用は完全に正当化されます。このアプローチは、$Q = (nC_V\Delta T) + (nR\Delta T) = n(C_V+R)\Delta T = nC_p\Delta T$ という、$C_p$ の公式の導出過程そのものをなぞる思考法です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

符号の扱いに細心の注意を払う:
- この問題では、温度変化 $\Delta T$ が負になることが計算全体の鍵を握っています。計算を始める前に「冷却だから $\Delta T$ は負、$\Delta U$ も負、気体は収縮するから $W’$ も負、結果として $Q$ も負になるはずだ」と、各物理量の符号を予測しておくことで、計算ミスを発見しやすくなります。
有効数字を正しく処理する:
- 問題文で与えられている物理量は、$2.0\,\text{mol}$, $60^\circ\text{C}$, $40^\circ\text{C}$, $8.3\,\text{J/(mol}\cdot\text{K)}$ であり、いずれも有効数字2桁と解釈できます。したがって、計算結果の $830\,\text{J}$ は、$8.3 \times 10^2\,\text{J}$ のように有効数字2桁で表現するのが適切です。
概算による検算:
- 気体定数を $R \approx 8.0\,\text{J/(mol}\cdot\text{K)}$ として、大まかな値を計算してみましょう。
  $$
  \begin{aligned}
  Q &= n \times \frac{5}{2}R \times \Delta T \\[2.0ex] &\approx 2.0 \times 2.5 \times 8.0 \times (-20) \\[2.0ex] &= -800\,\text{J}
  \end{aligned}
  $$
  計算結果の $-830\,\text{J}$ と非常に近い値であり、桁違いのミスがないことを確認できます。
物理的な妥当性を常に吟味する:
- 別解で計算したように、$\Delta U = -498\,\text{J}$（内部エネルギーが減少）、$W’ = -332\,\text{J}$（外部から仕事をされた）となります。気体が放出した熱量 $830\,\text{J}$ は、内部エネルギーの減少分 $498\,\text{J}$ と、外部から仕事をされて得たエネルギー $332\,\text{J}$ の合計に等しくなっています。このように、エネルギーの収支が合っているかを確認することで、計算の正しさを多角的に検証できます。

313 熱力学の第1法則

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「定圧変化における熱力学第一法則の適用」です。気体に熱を加えた結果、気体が膨張して外部に仕事をするときの、仕事と内部エネルギー変化の関係を、熱力学の最も基本的な法則を用いて計算します。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

定圧変化の理解: 「なめらかに動くピストン」があり、内部の圧力が一定に保たれている状況が「定圧変化」であることを理解していること。
気体がする仕事の公式: 圧力が一定のとき、気体が外部にする仕事は $W’ = p\Delta V$ （圧力 × 体積の変化量）で計算できること。
熱力学第一法則: 気体に加えられた熱量($Q$)、内部エネルギーの増加($\Delta U$)、気体が外部にした仕事($W’$)の関係式 $\Delta U = Q – W’$ を正しく適用できること。
各物理量の符号の理解: 気体が熱を吸収すれば $Q>0$、膨張すれば $W’>0$、温度が上昇すれば $\Delta U>0$ となる、各量の符号の物理的な意味を理解していること。

基本的なアプローチは以下の通りです。

(1)では、まずピストンの移動距離とシリンダーの断面積から、気体の体積変化 $\Delta V$ を求めます。次に、この変化が定圧変化であることから、仕事の公式 $W’=p\Delta V$ に値を代入して、気体が外部にした仕事を計算します。
(2)では、(1)で求めた仕事 $W’$ と、問題文で与えられた熱量 $Q$ を、熱力学第一法則の式 $\Delta U = Q – W’$ に代入して、気体の内部エネルギーの増加 $\Delta U$ を求めます。

問(1)

思考の道筋とポイント
気体が外部にした仕事 $W’$ を求めます。問題文に「圧力を一定に保ちながら」とあるので、これは定圧変化です。定圧変化で気体がする仕事は、公式 $W’ = p\Delta V$ で計算できます。圧力 $p$ は与えられていますが、体積の変化量 $\Delta V$ は与えられていません。しかし、ピストンが移動した距離とシリンダーの断面積が分かっているので、これらから $\Delta V$ を計算することができます。
この設問における重要なポイント

なめらかに動くピストンによって、気体の圧力は一定($p = 1.0 \times 10^5\,\text{Pa}$)に保たれている。
体積の変化量 $\Delta V$ は、「断面積 $S$ × ピストンの移動距離 $L$」で計算できる。
仕事の公式は $W’ = p\Delta V$。

具体的な解説と立式
まず、気体の体積の変化量 $\Delta V$ を計算します。

シリンダーの断面積: $S = 4.0 \times 10^{-3}\,\text{m}^2$
ピストンの移動距離: $L = 0.50\,\text{m}$

体積の変化量は、
$$
\begin{aligned}
\Delta V &= S \times L
\end{aligned}
$$
次に、気体が外部にした仕事 $W’$ を、定圧変化の仕事の公式を用いて計算します。
$$
\begin{aligned}
W’ &= p\Delta V
\end{aligned}
$$

使用した物理公式

定圧変化における仕事: $W’ = p\Delta V$

計算過程

体積変化 $\Delta V$ の計算
$$
\begin{aligned}
\Delta V &= (4.0 \times 10^{-3}) \times 0.50 \\[2.0ex] &= 2.0 \times 10^{-3}\,\text{m}^3
\end{aligned}
$$
仕事 $W’$ の計算
求めた $\Delta V$ と、圧力 $p = 1.0 \times 10^5\,\text{Pa}$ を仕事の公式に代入します。
$$
\begin{aligned}
W’ &= (1.0 \times 10^5) \times (2.0 \times 10^{-3}) \\[2.0ex] &= 2.0 \times 10^2\,\text{J}
\end{aligned}
$$

この設問の平易な説明

気体がピストンを押して動かしたとき、気体は「仕事をした」ことになります。仕事の量は、基本的には「力 × 動かした距離」で計算できます。気体がピストンを押す力は「圧力 × ピストンの面積」なので、結局、仕事の量は「圧力 × 面積 × 距離」となります。「面積 × 距離」は気体が増えた体積のことなので、仕事は「圧力 × 増えた体積」で計算できる、というわけです。

結論と吟味

気体に熱を加えてピストンが動いた（膨張した）ので、気体は外部に対して正の仕事をしたはずです。計算結果が $W’ > 0$ となったことは、物理的な状況と一致しています。

解答 (1) $2.0 \times 10^2\,\text{J}$

問(2)

思考の道筋とポイント
気体の内部エネルギーの増加 $\Delta U$ を求めます。内部エネルギーの変化は、通常 $\Delta U = nC_V\Delta T$ で計算しますが、この問題では気体の種類（単原子分子かなど）や物質量、温度変化が与えられていません。したがって、この公式から直接計算することはできません。
しかし、熱力学第一法則 $\Delta U = Q – W’$ は、気体の種類によらず常に成り立つエネルギー保存則です。問題文で気体が吸収した熱量 $Q$ が与えられており、(1)で気体がした仕事 $W’$ を計算しました。したがって、この法則を用いることで、内部エネルギーの増加 $\Delta U$ を求めることができます。
この設問における重要なポイント

熱力学第一法則 $\Delta U = Q – W’$ は、どんな理想気体、どんな変化にも適用できる普遍的な法則である。
$Q$ は気体が「吸収した」熱量、$W’$ は気体が「した」仕事である。
(1)で求めた $W’$ の値を用いる。

具体的な解説と立式
熱力学第一法則は、
$$ \Delta U = Q – W’ $$
です。この式に、問題文で与えられた $Q = 7.0 \times 10^2\,\text{J}$ と、(1)で求めた $W’ = 2.0 \times 10^2\,\text{J}$ を代入します。

使用した物理公式

熱力学第一法則: $\Delta U = Q – W’$

計算過程

$$
\begin{aligned}
\Delta U &= 7.0 \times 10^2 – 2.0 \times 10^2 \\[2.0ex] &= 5.0 \times 10^2\,\text{J}
\end{aligned}
$$

この設問の平易な説明

気体にストーブで熱($Q$)を与えたとします。その熱エネルギーは、2つの役割を果たします。一つは気体自身の温度を上げる（内部エネルギーを増やす $\Delta U$）こと、もう一つはピストンを押して体積を大きくする（外部に仕事をする $W’$）ことです。これはエネルギーの収支計算と同じで、「もらったお小遣い($Q$)」から「使った分($W’$)」を差し引けば、「貯金が増えた分($\Delta U$)」がわかる、という関係です。

結論と吟味

気体に熱を加え、その一部が仕事として使われたので、残りは内部エネルギーの増加になったと考えられます。$Q > W’$ であり、$\Delta U$ が正の値として求まったことは、物理的に妥当です。

解答 (2) $5.0 \times 10^2\,\text{J}$

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

熱力学第一法則 ($\Delta U = Q – W’$) の直接的な適用
- 核心: この問題は、熱力学第一法則を構成する3つの要素（内部エネルギーの変化 $\Delta U$、熱量 $Q$、仕事 $W’$）の関係を問う、最も基本的な問題です。核心は、①まず仕事の定義式 $W’=p\Delta V$ から一つの要素を計算し、②次に、与えられた熱量 $Q$ と計算した仕事 $W’$ を使って、エネルギー保存則である熱力学第一法則から残りの要素 $\Delta U$ を求める、という一連の流れを正確に実行できるかどうかにあります。
- 理解のポイント:
  - エネルギーの収支関係: $Q = \Delta U + W’$ と変形すると、「供給された熱エネルギー($Q$)が、内部エネルギーの増加($\Delta U$)と外部への仕事($W’$)という2つの用途に分配される」という、エネルギーの収支関係として直感的に理解できます。この問題は、まさにこのエネルギーの分配計算をさせています。
  - 各法則の役割分担: 仕事 $W’$ は力学的な定義（力×距離）から計算し、内部エネルギー $\Delta U$ は熱力学第一法則というエネルギー保存則から計算する、という各物理法則の役割分担を明確に意識することが重要です。
定圧変化における仕事の計算
- 核心: (1)を解く上での核心は、「なめらかに動くピストン」という設定から、この変化が「定圧変化」であると見抜き、仕事の公式 $W’=p\Delta V$ を適用することです。さらに、体積変化 $\Delta V$ が直接与えられておらず、断面積とピストンの移動距離から計算する必要がある点もポイントです。
- 理解のポイント:
  - なぜ定圧変化なのか？: ピストンがなめらかに動けるということは、シリンダー内外の圧力がつりあうまでピストンが移動することを意味します。気体をゆっくり加熱すると、内部の圧力は常に外部の圧力とつりあったまま（＝圧力が一定のまま）膨張していきます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

応用できる類似問題のパターン:
- 気体の種類が指定されている場合: もし問題文に「単原子分子からなる」という一文が加わっていれば、(2)で求めた内部エネルギーの増加 $\Delta U$ から、さらに踏み込んで温度変化 $\Delta T$ を計算できます。($\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T$ を使う)
- 定積変化の場合: ピストンが固定されているシリンダーに熱を加える問題。この場合、体積が変化しないので $\Delta V=0$ となり、気体がする仕事は $W’=0$ です。熱力学第一法則は $\Delta U = Q$ となり、与えられた熱がすべて内部エネルギーの増加に使われます。
- 断熱変化の場合: 熱源がなく、断熱材で覆われたシリンダーのピストンが動く問題。この場合、熱の出入りがないので $Q=0$ となります。熱力学第一法則より、仕事は内部エネルギーの変化によって賄われる ($W’=-\Delta U$) として計算します。
初見の問題での着眼点:
1. まず「何変化」かを見極める: 問題文から「圧力を一定に保ちながら」とあるので「定圧変化」と特定します。
2. 与えられた物理量と求めたい物理量を整理する:
  - 与えられている: $p, Q, S, L$ (圧力、熱量、断面積、移動距離)
  - (1)で求めたい: $W’$ (仕事)
  - (2)で求めたい: $\Delta U$ (内部エネルギーの増加)
3. 解法の設計図を描く:
  - (1) $W’$ を求めるには？ → 定圧変化なので $W’=p\Delta V$。$\Delta V$ は？ → 断面積 $S$ と移動距離 $L$ があるので、$\Delta V = S \times L$ で計算できる。
  - (2) $\Delta U$ を求めるには？ → $\Delta U = nC_V\Delta T$ か？ → $n, C_V, \Delta T$ が不明で使えない。→ 別の方法は？ → 熱力学第一法則 $\Delta U = Q – W’$。$Q$ は与えられ、$W’$ は(1)で計算した。これを使えば求まる。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

仕事の計算ミス:
- 誤解: 体積変化 $\Delta V$ の計算で、断面積と移動距離の単位を間違える（例：cmをmに直さずに計算する）。
- 対策: 計算を始める前に、すべての物理量の単位がSI単位系（m, kg, s, Aなど）に揃っているかを確認する癖をつけましょう。この問題では、$m^2$ と $m$ なので、掛け合わせると $m^3$ となり、単位は正しく揃っています。
熱力学第一法則の符号ミス:
- 誤解: 気体が「した仕事」 $W’$ と「された仕事」 $W$ を混同し、$\Delta U = Q + W’$ のように符号を間違えて立式してしまう。
- 対策: 自分が使う式の定義を明確にすることが最も重要です。$W’$ を「した仕事」とするなら $\Delta U = Q – W’$ です。「気体のエネルギー($\Delta U$)が増えるのは、熱をもらう($Q>0$)か、仕事をされる時。仕事をすれば($W’>0$)エネルギーは減る」というエネルギー収支のイメージを持つと、$Q$ から $W’$ を「引く」という式の形が自然に理解できます。
物理量の混同:
- 誤解: 気体に加えられた熱量 $Q$ が、そのまま内部エネルギーの増加 $\Delta U$ になると勘違いしてしまう。
- 対策: 加えられた熱 $Q$ は、内部エネルギーの増加 $\Delta U$ と外部への仕事 $W’$ の2つに分配される、ということを常に意識しましょう。$Q = \Delta U$ となるのは、仕事がゼロの「定積変化」のときだけです。この問題のようにピストンが動く場合は、必ず仕事の分を考慮する必要があります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

(1)での公式選択（$W’=p\Delta V$）:
- 選定理由: 求めたいのは「気体が外部にした仕事 $W’$」。そして、問題の状況は「定圧変化」です。定圧変化における仕事の定義式が $W’=p\Delta V$ であり、これが最も直接的な公式です。さらに、$\Delta V$ を計算するための断面積 $S$ と移動距離 $L$ が与えられているため、この公式を使えば確実に答えにたどり着けると判断できます。
- 適用根拠: 問題文に「圧力を一定に保ちながら」と明記されていることが、この公式を適用する直接的な根拠となります。
(2)での公式選択（熱力学第一法則 $\Delta U = Q – W’$）:
- 選定理由: 求めたいのは「気体の内部エネルギーの増加 $\Delta U$」。$\Delta U$ を計算するもう一つの代表的な公式 $\Delta U = nC_V\Delta T$ は、気体の種類や物質量、温度変化が不明なため使えません。一方、熱力学第一法則は $\Delta U, Q, W’$ という3つの量を結びつける関係式です。このうち、熱量 $Q$ は問題文で与えられ、仕事 $W’$ は(1)で計算済みです。したがって、3つの量のうち2つが分かっているため、残りの $\Delta U$ はこの法則から計算できる、と論理的に判断できます。
- 適用根拠: 熱力学第一法則は、気体の種類や変化の過程によらず、常に成り立つ普遍的なエネルギー保存則です。したがって、この問題の定圧変化にも無条件で適用することができます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

単位の確認を徹底する:
- 計算前にすべての物理量の単位がSI単位系に揃っているかを確認します。圧力($\text{Pa}$)、断面積($m^2$)、距離($m$)、熱量($\text{J}$)。すべて揃っているので、そのまま計算できます。
- 仕事の計算結果の単位がエネルギーの単位 $\text{J}$ になっているかを確認しましょう。
  $$
  \begin{aligned}
  W’ &= p\Delta V \rightarrow \text{Pa} \times \text{m}^3 \\[2.0ex] &= (\text{N}/\text{m}^2) \times \text{m}^3 \\[2.0ex] &= \text{N} \cdot \text{m} \\[2.0ex] &= \text{J}
  \end{aligned}
  $$
  単位が正しくジュールになっているので、計算式が正しい可能性が高いと判断できます。
指数計算を丁寧に行う:
- $ (1.0 \times 10^5) \times (2.0 \times 10^{-3}) $ のような計算では、まず係数部分 ($1.0 \times 2.0 = 2.0$) と指数部分 ($10^5 \times 10^{-3} = 10^{5-3} = 10^2$) を別々に計算し、最後に組み合わせる ($2.0 \times 10^2$) とミスが減ります。
物理的な妥当性を常に吟味する:
- (1) 気体は熱を与えられて膨張しているので、外部に正の仕事をしたはずです。計算結果が $W’ > 0$ になっているかを確認します。
- (2) 気体に $7.0 \times 10^2\,\text{J}$ の熱を与え、そのうち $2.0 \times 10^2\,\text{J}$ が仕事として外部に出ていきました。したがって、気体内部に残るエネルギー（内部エネルギーの増加分）は、与えた熱量よりも少なくなるはずです。計算結果が $\Delta U < Q$ となっているかを確認します。($5.0 \times 10^2 < 7.0 \times 10^2$ なのでOK)
エネルギー収支の図を描く:
- シリンダー内の気体を一つのシステム（箱）と考え、エネルギーの出入りを矢印で描くと、関係が明確になります。「熱源から $Q=7.0 \times 10^2\,\text{J}$ の矢印が箱に入る」「箱からピストンへ $W’=2.0 \times 10^2\,\text{J}$ の矢印が出る」「その差額が箱の中のエネルギー増加 $\Delta U$ になる」というイメージです。この図から、$\Delta U = Q – W’$ という関係式を直感的に導き出すことができ、符号ミスを防ぐのに役立ちます。

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共田誠（まこと先生）

高校物理講師・プロ家庭教師 / 指導歴14年

上智大学理工学部物理学科卒。私立高校の非常勤講師として進学クラスから基礎クラスまで幅広く担当。大手家庭教師センター3社でプロ家庭教師を経験し、現在はオンライン専門で全国の高校生を個別指導中。

「暗記物理の撲滅」を掲げ、生徒の思考のクセを診断・矯正するドクター型アプローチで指導。表面的なテクニックではなく、初見の問題に強い思考力を育てる。

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「セミナー物理基礎＋物理2025」徹底解説！【第 Ⅲ 章 13】基本例題～基本問題313

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310 気体がする仕事

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