「良問の風」攻略ガイド（6〜10問）：重要問題の解き方と物理の核心をマスター！

問題6 (宮崎大＋神奈川工大)

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「斜方投射と壁面での跳ね返り」です。一見複雑に見えますが、水平方向と鉛直方向の運動を分解して考えることで、基本的な運動の組み合わせとして解くことができます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
小球は重力（鉛直下向き）のみを受けて運動しています。
水平方向には力が働かないため「等速直線運動」、鉛直方向には重力が働くため「等加速度直線運動（鉛直投げ上げ）」となります。
まずは、初速度 \(v_0\) を水平成分と鉛直成分に分解します。

この設問における重要なポイント

• 速度の分解:
  • 水平成分 \(v_{0x} = v_0 \cos\theta\)
  • 鉛直成分 \(v_{0y} = v_0 \sin\theta\)
• 水平方向の運動: 壁までの距離 \(l\) を、一定の速さ \(v_{0x}\) で進みます。
• 鉛直方向の運動: 時間 \(t_1\) の間にどれだけ上昇するかを考えます。

具体的な解説と立式
1. 衝突までの時間 \(t_1\)
水平方向の運動に着目します。右向きを正とします。
等速直線運動の式「距離 \(=\) 速さ \(\times\) 時間」より、以下の式が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
l &= (v_0 \cos\theta) \cdot t_1
\end{aligned}
$$

2. 衝突点Bの高さ \(h\)
鉛直方向の運動に着目します。上向きを正とします。
等加速度直線運動（鉛直投げ上げ）の位置の公式より、時刻 \(t_1\) における高さ \(h\) は以下のように表されます。
$$
\begin{aligned}
h &= (v_0 \sin\theta) \cdot t_1 + \frac{1}{2}(-g)t_1^2
\end{aligned}
$$

まず、水平方向の式から \(t_1\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
t_1 &= \frac{l}{v_0 \cos\theta}
\end{aligned}
$$
次に、この \(t_1\) を鉛直方向の式に代入して \(h\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
h &= v_0 \sin\theta \cdot \left( \frac{l}{v_0 \cos\theta} \right) – \frac{1}{2}g \left( \frac{l}{v_0 \cos\theta} \right)^2 \\[2.0ex] &= l \frac{\sin\theta}{\cos\theta} – \frac{g l^2}{2 v_0^2 \cos^2\theta} \\[2.0ex] &= l \tan\theta – \frac{g l^2}{2 v_0^2 \cos^2\theta}
\end{aligned}
$$

まず、ボールが壁に届くまでの時間は、横方向のスピードだけで決まります。横方向には邪魔する力がないので、一定のペースで進み続けます。「距離 \(l\) を速さ \(v_0 \cos\theta\) で割る」だけで時間が求まります。
次に、その時間の間にボールがどれくらいの高さまで上がったかを計算します。縦方向には重力がブレーキとして働くので、単純な掛け算ではなく、ブレーキがかかった分（\(\frac{1}{2}gt^2\)）を引く必要があります。

\(t_1 = \frac{l}{v_0 \cos\theta}\) は、距離を速度で割った形であり、次元は \([\text{L}]/[\text{L}\cdot\text{T}^{-1}] = [\text{T}]\) で正しいです。
\(h = l \tan\theta – \frac{g l^2}{2 v_0^2 \cos^2\theta}\) は、軌道の式 \(y = x \tan\theta – \frac{g}{2v_0^2 \cos^2\theta}x^2\) に \(x=l\) を代入した形そのものであり、物理的に妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
最高点Hに達するまでの運動を考えます。
ここで最も重要なのは、「壁との衝突によって鉛直方向の運動は変化しない」という点です。
壁は滑らかなので、摩擦力が働きません。つまり、小球には水平方向の力（垂直抗力）しか働かず、鉛直方向の速度成分には一切影響を与えません。
したがって、最高点に達するまでの時間や高さは、壁がない場合の通常の斜方投射と全く同じになります。

この設問における重要なポイント

• 鉛直方向の独立性: 壁との衝突前後で、鉛直方向の速度 \(v_y\) は連続的に変化します（不連続な変化はない）。
• 最高点の条件: 最高点では、鉛直方向の速度成分が \(0\) になります（\(v_y = 0\)）。

具体的な解説と立式
1. 最高点に達するまでの時間 \(t_2\)
鉛直方向の速度の式を立てます。上向きを正とします。
最高点では速度が \(0\) になるので、
$$
\begin{aligned}
0 &= v_0 \sin\theta + (-g)t_2
\end{aligned}
$$

2. 最高点の高さ \(H\)
鉛直方向の速度と位置の関係式（時間を含まない公式）を用います。
最高点（速度 \(0\)）と投げ上げ点（速度 \(v_0 \sin\theta\)）の間で、
$$
\begin{aligned}
0^2 – (v_0 \sin\theta)^2 &= 2(-g)H
\end{aligned}
$$

まず、時間の式から \(t_2\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
g t_2 &= v_0 \sin\theta \\[2.0ex] t_2 &= \frac{v_0 \sin\theta}{g}
\end{aligned}
$$
次に、高さの式から \(H\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
-(v_0 \sin\theta)^2 &= -2gH \\[2.0ex] H &= \frac{(v_0 \sin\theta)^2}{2g} \\[2.0ex] &= \frac{v_0^2 \sin^2\theta}{2g}
\end{aligned}
$$

壁にぶつかっても、ボールの「上がり下がり」のリズムは変わりません。壁はツルツルなので、ボールを上下にこする力がないからです。
だから、「真上に \(v_0 \sin\theta\) で投げ上げたボールが、いつ最高点に達するか」という単純な問題として解くことができます。最高点では一瞬だけ縦方向の動きが止まるので、その条件を使って計算します。

\(t_2 = \frac{v_0 \sin\theta}{g}\) は、重力加速度 \(g\) が大きいほど短くなり、初速の鉛直成分が大きいほど長くなるため、直感と一致します。
\(H = \frac{v_0^2 \sin^2\theta}{2g}\) は、エネルギー保存則 \(\frac{1}{2}m(v_0 \sin\theta)^2 = mgH\) からも導ける有名な結果であり、正しいです。

問(3)

思考の道筋とポイント
「最高点に達する前に壁に衝突する」という状況を、時間の関係に翻訳します。
これは、「壁に衝突する時刻 \(t_1\)」が、「最高点に達する時刻 \(t_2\)」よりも早い（小さい）ことを意味します。

この設問における重要なポイント

• 条件の数式化: 「Aする前にBする」 \(\rightarrow\) 「Aの時刻 \(<\) Bの時刻」。
• 不等式の立式: \(t_1 < t_2\) となります。

具体的な解説と立式
求める条件は、衝突時刻 \(t_1\) が最高点到達時刻 \(t_2\) より小さいことです。
$$
\begin{aligned}
t_1 &< t_2
\end{aligned}
$$
これに(1)と(2)の結果を代入します。
$$
\begin{aligned}
\frac{l}{v_0 \cos\theta} &< \frac{v_0 \sin\theta}{g}
\end{aligned}
$$

\(v_0\) について解くために式変形します。\(v_0 > 0\), \(\cos\theta > 0\), \(g > 0\) なので、分母を払っても不等号の向きは変わりません。
$$
\begin{aligned}
\frac{l}{\cos\theta} &< \frac{v_0^2 \sin\theta}{g} \\[2.0ex] v_0^2 &> \frac{gl}{\sin\theta \cos\theta}
\end{aligned}
$$
ここで、三角関数の倍角の公式 \(\sin 2\theta = 2\sin\theta \cos\theta\) より、\(\sin\theta \cos\theta = \frac{1}{2}\sin 2\theta\) を用いて整理します。
$$
\begin{aligned}
v_0^2 &> \frac{gl}{\frac{1}{2}\sin 2\theta} \\[2.0ex] v_0^2 &> \frac{2gl}{\sin 2\theta}
\end{aligned}
$$
\(v_0 > 0\) より、平方根をとります。
$$
\begin{aligned}
v_0 &> \sqrt{\frac{2gl}{\sin 2\theta}}
\end{aligned}
$$

「最高点に行く前にぶつかる」ということは、「ぶつかるまでの時間」の方が「最高点に行くまでの時間」より短いということです。
計算した2つの時間を比べて、初速度 \(v_0\) が満たすべき条件（ある値より速くなければならない）を求めました。スピードが遅いと、壁に届く前に最高点に達して落ち始めてしまうからです。

\(v_0 > \sqrt{\frac{2gl}{\sin 2\theta}}\) という結果が得られました。
距離 \(l\) が大きいほど、必要な初速度 \(v_0\) は大きくなります。これは遠くの壁に上昇中に当てるには速く投げる必要があることを意味し、妥当です。

問(4)

思考の道筋とポイント
はね返った後の小球が床に落ちる位置を求めます。
まず、床に落ちるまでの「全滞空時間」を求め、次に「衝突してから床に落ちるまでの時間」を求めます。
最後に、衝突後の水平速度（反発係数 \(e\) を考慮）を用いて、壁からどれだけ戻るかを計算します。

この設問における重要なポイント

• 滞空時間の対称性: 鉛直方向の運動は投げ上げ運動そのものなので、上がってから落ちてくるまでの全時間 \(t_3\) は、最高点までの時間 \(t_2\) の2倍です。
• 衝突後の水平速度: 壁との衝突により、水平方向の速さは \(e\) 倍になります。向きは壁から離れる方向（左向き）です。
  • 衝突後の速さ \(v’_x = e \cdot (v_0 \cos\theta)\)

具体的な解説と立式
1. 床に落ちるまでの全時間 \(t_3\)
鉛直投げ上げ運動の対称性より、
$$
\begin{aligned}
t_3 &= 2 t_2 \\[2.0ex] &= \frac{2 v_0 \sin\theta}{g}
\end{aligned}
$$

2. 衝突してから床に落ちるまでの時間 \(\Delta t\)
全時間から、衝突するまでの時間を引きます。
$$
\begin{aligned}
\Delta t &= t_3 – t_1
\end{aligned}
$$

3. 壁から落下点までの距離 \(x’\)
衝突後の小球は、速さ \(e v_0 \cos\theta\) で、時間 \(\Delta t\) の間、壁から離れる方向に進みます。
$$
\begin{aligned}
x’ &= (e v_0 \cos\theta) \cdot \Delta t \\[2.0ex] &= e v_0 \cos\theta (t_3 – t_1)
\end{aligned}
$$

式に \(t_1, t_3\) を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
x’ &= e v_0 \cos\theta \left( \frac{2 v_0 \sin\theta}{g} – \frac{l}{v_0 \cos\theta} \right) \\[2.0ex] &= e \left( v_0 \cos\theta \cdot \frac{2 v_0 \sin\theta}{g} – v_0 \cos\theta \cdot \frac{l}{v_0 \cos\theta} \right) \\[2.0ex] &= e \left( \frac{2 v_0^2 \sin\theta \cos\theta}{g} – l \right)
\end{aligned}
$$
ここで、倍角の公式 \(2\sin\theta \cos\theta = \sin 2\theta\) を用いて整理します。
$$
\begin{aligned}
x’ &= e \left( \frac{v_0^2 \sin 2\theta}{g} – l \right)
\end{aligned}
$$

ボールが空中にいる時間の合計は、最高点までの時間のちょうど2倍です。
壁にぶつかった後、地面に落ちるまでの「残りの時間」は、合計時間からぶつかるまでの時間を引けば分かります。
ぶつかった後は、横方向のスピードが \(e\) 倍（少し遅くなる）になって跳ね返ります。「新しいスピード \(\times\) 残りの時間」で、壁からどれくらい戻ったところに落ちるかが計算できます。

答えは \(e (\frac{v_0^2 \sin 2\theta}{g} – l)\) です。
ここで \(\frac{v_0^2 \sin 2\theta}{g}\) は、壁がなかった場合の水平到達距離 \(R\) に相当します。つまり、答えは \(e(R – l)\) という形をしています。これは「壁を越えて進むはずだった距離 \(R-l\) が、跳ね返りによって \(e\) 倍になって戻ってきた」と解釈でき、物理的に非常に美しい結果です。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動の独立性と分解
  • 核心: 斜方投射のような2次元の運動は、互いに直交する2つの方向（水平方向と鉛直方向）に分解することで、単純な1次元運動の組み合わせとして扱えます。
  • 理解のポイント:
    • 水平方向: 力が働かないため、等速直線運動（\(a_x = 0\)）をします。
    • 鉛直方向: 重力のみが働くため、等加速度直線運動（\(a_y = -g\)）をします。
    • 時間の共有: 2つの運動をつなぐ唯一の共通変数は「時間 \(t\)」です。水平方向で求めた時間を鉛直方向の式に代入する（あるいはその逆）のが定石です。
• なめらかな壁との衝突特性
  • 核心: 壁がなめらか（摩擦がない）であるため、衝突時に小球が受ける力は壁に垂直な方向（水平方向）のみです。
  • 理解のポイント:
    • 鉛直成分の保存: 鉛直方向には力が働かないため、衝突の前後で鉛直方向の速度 \(v_y\) は変化しません。つまり、上昇・下降のリズムは壁がない場合と全く同じです。
    • 水平成分の変化: 水平方向の速度 \(v_x\) は、反発係数 \(e\) に応じて大きさが \(e\) 倍になり、向きが逆転します。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 床でのバウンド: 今回は壁（垂直面）での衝突でしたが、床（水平面）でのバウンドも原理は同じです。床の場合は、水平成分が保存され、鉛直成分が \(e\) 倍になって逆転します。
  • 斜面への衝突: 斜面の場合は、速度を「斜面に平行な成分」と「垂直な成分」に分解します。なめらかな斜面なら平行成分は保存され、垂直成分のみが跳ね返ります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 力の向きを確認する: 重力は常に鉛直下向きです。他に力が働いていないか（空気抵抗や摩擦など）を確認し、運動方程式をイメージします。
  2. 「変わらないもの」を見つける: この問題では「鉛直方向の運動」が衝突の影響を受けません。このように保存される量や変化しない運動成分を見つけることが、問題を簡単にする鍵です。
  3. 「もし〜がなかったら」を考える: 別解で示したように、「もし壁がなかったら」という仮想的な状況と比較することで、複雑な計算を回避できる場合があります。
  4. 対称性の利用: 投げ上げ運動は最高点を境に対称です。「行き」と「帰り」の時間は等しく、速度の大きさも同じ高さなら等しくなります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 衝突で鉛直速度も変わるという思い込み:
  • 誤解: 壁にぶつかった衝撃で、ボールが下に落ちたり、上昇が止まったりするイメージを持ってしまう。
  • 対策: 「力」に着目してください。壁はツルツルなので、縦方向には一切力を及ぼしません。力がなければ速度は変わりません（慣性の法則）。
• 時間の取り違え:
  • 誤解: \(t_1\)（衝突まで）、\(t_2\)（最高点まで）、\(t_3\)（落下まで）をごちゃ混ぜにして計算してしまう。
  • 対策: タイムライン（時間軸）を描き、それぞれの時刻がどのイベント（衝突、最高点、落下）に対応するかを可視化しましょう。
• 三角関数の計算ミス:
  • 誤解: \(\sin 2\theta\) や \(\cos^2\theta\) などの変形で間違える。特に \(\frac{1}{\cos^2\theta} = 1 + \tan^2\theta\) や \(2\sin\theta\cos\theta = \sin 2\theta\) は頻出です。
  • 対策: 三角関数の基本公式はいつでも引き出せるようにしておき、計算の最後で形を整える際に活用しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 問(1)での公式選択（位置の式）:
  • 選定理由: 求めたいのが「時間 \(t\)」と「変位（距離・高さ）」の関係だからです。速度 \(v\) を求める必要がないため、\(v\) を含まない \(x = v_0 t + \frac{1}{2}at^2\) の形が最適です。
  • 適用根拠: 加速度が一定（水平は \(0\)、鉛直は \(-g\)）であるため、等加速度運動の公式が適用可能です。
• 問(2)での公式選択（速度と変位の関係式）:
  • 選定理由: 最高点の高さ \(H\) を求める際、時間 \(t_2\) を経由せずに直接 \(H\) を求めたい場合は、時間を消去した式 \(v^2 – v_0^2 = 2ax\) が便利です。
  • 適用根拠: 最高点では \(v=0\) という条件が使えるため、未知数が \(H\) だけになり、一発で解けます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式の次元確認（ディメンションチェック）:
  • 答えが出たら、単位（次元）を確認しましょう。
  • 例えば時間の答えなら \([\text{T}]\)、距離なら \([\text{L}]\) になっているはずです。
  • \(t = \frac{l}{v}\) は \([\text{L}]/[\text{L/T}] = [\text{T}]\) でOK。
  • \(v^2 = gl\) は \([\text{L/T}^2] \cdot [\text{L}] = [\text{L}^2/\text{T}^2]\) なので、\(v\) は \([\text{L/T}]\) となりOK。
• 極限的なケースでの検算:
  • もし \(\theta = 90^\circ\)（真上に投げ上げ）だったら？ \(\cos 90^\circ = 0\) なので \(t_1 \to \infty\) となり、壁には永遠に届きません。これは物理的に正しい挙動です。
  • もし \(e=0\)（壁に張り付く）だったら？ (4)の答えは \(0\) になります。つまり壁の真下に落ちます。これも直感と合います。
• 係数の処理:
  • \(2\)倍や \(\frac{1}{2}\) が頻出します。特に \(t_3 = 2t_2\) のような対称性を使うときは、係数を忘れないように注意しましょう。また、\(v_0^2\) のような2乗の計算も丁寧に書き下しましょう。

問題7 (慶應大)

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「剛体のつりあい」です。棒に働く力のバランス（並進運動の静止条件）と、回転のバランス（回転運動の静止条件）の両方を考える必要があります。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

おもりBの質量

思考の道筋とポイント
この問題は2段階構成になっています。
まず、図1の情報を使って、問題文で与えられていない「棒の質量 \(m\)」を特定する必要があります。
その後、図2の状況でおもりBの質量 \(m_{\text{B}}\) を求めます。

ステップ1: 図1の解析（棒の質量 \(m\) の導出）
棒の長さを \(L = 1.0\,\text{m}\) とします。
棒は一様なので、重心Gは棒の中央、つまり端から \(0.5\,\text{m}\) の位置にあります。
図1では、糸がついている位置（支点P）で棒がつり合っています。

ステップ2: 図2の解析（おもりBの質量 \(m_{\text{B}}\) の導出）
図2では、左端におもりB、右端におもりAがつるされ、左端から \(0.4\,\text{m}\) の位置（支点Q）でつり合っています。
この支点Qのまわりのモーメントのつりあいを考えます。

この設問における重要なポイント

• 腕の長さの正確な把握: モーメントの計算に必要な「支点から力の作用点までの距離（腕の長さ）」を、図から正確に読み取ることが最重要です。
• 座標的な位置関係の整理:
  • 棒の左端を基準（\(0\,\text{m}\)）とするとわかりやすいです。
  • 重心Gの位置: \(0.5\,\text{m}\)
  • おもりAの位置（右端）: \(1.0\,\text{m}\)
  • おもりBの位置（左端）: \(0\,\text{m}\)

具体的な解説と立式
1. 図1より棒の質量 \(m\) を求める
棒の質量を \(m\) とします。
支点Pは右端から \(0.4\,\text{m}\) なので、左端からは \(1.0 – 0.4 = 0.6\,\text{m}\) の位置にあります。

• 支点P: 左端から \(0.6\,\text{m}\)
• 棒の重力 \(mg\): 重心G（左端から \(0.5\,\text{m}\)）に働く。
  • 支点Pからの距離（腕の長さ）: \(0.6 – 0.5 = 0.1\,\text{m}\)
  • 回転方向: 反時計回り
• おもりAの重力 \(2g\): 右端（左端から \(1.0\,\text{m}\)）に働く。
  • 支点Pからの距離（腕の長さ）: \(1.0 – 0.6 = 0.4\,\text{m}\)
  • 回転方向: 時計回り

支点Pのまわりの力のモーメントのつりあいの式を立てます。
$$
\begin{aligned}
(\text{反時計回りのモーメント}) &= (\text{時計回りのモーメント}) \\[2.0ex] mg \times 0.1 &= 2g \times 0.4 \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$

2. 図2よりおもりBの質量 \(m_{\text{B}}\) を求める
おもりBの質量を \(m_{\text{B}}\) とします。
支点Qは左端から \(0.4\,\text{m}\) の位置にあります。

• 支点Q: 左端から \(0.4\,\text{m}\)
• おもりBの重力 \(m_{\text{B}}g\): 左端（\(0\,\text{m}\)）に働く。
  • 支点Qからの距離: \(0.4 – 0 = 0.4\,\text{m}\)
  • 回転方向: 反時計回り
• 棒の重力 \(mg\): 重心G（\(0.5\,\text{m}\)）に働く。
  • 支点Qからの距離: \(0.5 – 0.4 = 0.1\,\text{m}\)
  • 回転方向: 時計回り
• おもりAの重力 \(2g\): 右端（\(1.0\,\text{m}\)）に働く。
  • 支点Qからの距離: \(1.0 – 0.4 = 0.6\,\text{m}\)
  • 回転方向: 時計回り

支点Qのまわりの力のモーメントのつりあいの式を立てます。
$$
\begin{aligned}
(\text{反時計回りのモーメント}) &= (\text{時計回りのモーメント}) \\[2.0ex] m_{\text{B}}g \times 0.4 &= mg \times 0.1 + 2g \times 0.6 \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$

まず、式①より棒の質量 \(m\) を求めます。両辺を \(g\) で割り、計算します。
$$
\begin{aligned}
m \times 0.1 &= 2 \times 0.4 \\[2.0ex] 0.1m &= 0.8 \\[2.0ex] m &= 8\,\text{kg}
\end{aligned}
$$
次に、求めた \(m = 8\) を式②に代入して \(m_{\text{B}}\) を求めます。両辺を \(g\) で割ります。
$$
\begin{aligned}
m_{\text{B}} \times 0.4 &= 8 \times 0.1 + 2 \times 0.6 \\[2.0ex] 0.4 m_{\text{B}} &= 0.8 + 1.2 \\[2.0ex] 0.4 m_{\text{B}} &= 2.0 \\[2.0ex] m_{\text{B}} &= \frac{2.0}{0.4} \\[2.0ex] m_{\text{B}} &= 5\,\text{kg}
\end{aligned}
$$

シーソー遊びと同じ原理です。
まず図1で、棒の重さがどこにかかっているかを考えます。棒の重さは真ん中（重心）にかかります。支点からの距離を比べると、棒の重心までは \(0.1\,\text{m}\)、おもりAまでは \(0.4\,\text{m}\) です。距離が4倍違うので、つりあうためには棒の重さがAの4倍必要だとわかります。これで棒が \(8\,\text{kg}\) だと判明しました。
次に図2です。新しい支点の左側にはおもりB、右側には「棒の重さ」と「おもりA」があります。それぞれの「重さ \(\times\) 距離」を計算して、左回りの回転力と右回りの回転力が等しくなるようにBの重さを決めました。

おもりBの質量は \(5\,\text{kg}\) です。
直感的な確認として、支点Q（\(0.4\,\text{m}\)）の左側にはB（距離 \(0.4\)）があり、右側には重い棒（\(8\,\text{kg}\)、距離 \(0.1\)）とおもりA（\(2\,\text{kg}\)、距離 \(0.6\)）があります。右側のモーメントの合計は \(0.8 + 1.2 = 2.0\) です。左側も \(5 \times 0.4 = 2.0\) となり、つりあいが成立しています。

糸Sの張力

思考の道筋とポイント
物体（棒とおもり全体）が静止しているため、鉛直方向の力もつりあっています。
上向きに引く力（張力）と、下向きに引く力（重力の合計）が等しくなります。

この設問における重要なポイント

• 系全体に着目: 棒、おもりA、おもりBをひとまとめにした「全体」を考えると、内力（棒がおもりを引く力など）を無視でき、外力のみを考えればよくなります。
• 力の列挙:
  • 上向き: 糸Sの張力 \(T\)
  • 下向き: おもりBの重力 \(m_{\text{B}}g\)、棒の重力 \(mg\)、おもりAの重力 \(2g\)

具体的な解説と立式
鉛直方向の力のつりあいを考えます。
上向きを正とすると、張力 \(T\) と、すべての物体にかかる重力の和がつりあいます。
$$
\begin{aligned}
(\text{上向きの力}) &= (\text{下向きの力の和}) \\[2.0ex] T &= m_{\text{B}}g + mg + 2g \quad \cdots ③
\end{aligned}
$$

求めた \(m = 8\,\text{kg}\)、\(m_{\text{B}} = 5\,\text{kg}\) と、与えられた \(g = 9.8\,\text{m/s}^2\) を式③に代入します。
$$
\begin{aligned}
T &= 5g + 8g + 2g \\[2.0ex] &= (5 + 8 + 2)g \\[2.0ex] &= 15g \\[2.0ex] &= 15 \times 9.8
\end{aligned}
$$
筆算を行います。
\(15 \times 9.8 = 15 \times (10 – 0.2) = 150 – 3.0 = 147\)
$$
\begin{aligned}
T &= 147\,\text{N}
\end{aligned}
$$

糸Sは、ぶら下がっているすべての物体の重さを支えています。
おもりB（\(5\,\text{kg}\)）、棒（\(8\,\text{kg}\)）、おもりA（\(2\,\text{kg}\)）の合計は \(15\,\text{kg}\) です。
この \(15\,\text{kg}\) の物体にかかる重力の大きさ（\(15 \times 9.8\)）が、そのまま糸が引く力（張力）になります。

張力は \(147\,\text{N}\) です。
単位は力なので \(\text{N}\)（ニュートン）です。質量 \(15\,\text{kg}\) を支える力として妥当な大きさです。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 剛体の静止条件（つりあいの2条件）
  • 核心: 大きさのある物体（剛体）が静止し続けるためには、以下の2つの条件が同時に満たされる必要があります。
    1. 並進運動の静止: 力のベクトル和が \(0\) であること（\((\text{上向きの力}) = (\text{下向きの力})\)）。
    2. 回転運動の静止: 任意の点のまわりの力のモーメントの和が \(0\) であること（\((\text{反時計回りのモーメント}) = (\text{時計回りのモーメント})\)）。
  • 理解のポイント:
    • 支点の自由性: モーメントのつりあいの式を立てる際、回転軸（支点）はどこに設定しても構いません。計算を楽にするために、未知の力が働いている点（この問題では糸がついている点）を支点に選ぶのが定石です。
    • 重心の役割: 一様な棒の重力は、棒全体に分散して働いていますが、計算上は「重心（中点）に全質量が集中している」とみなして扱えます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 壁に立てかけた棒: 壁や床からの垂直抗力と摩擦力が働きますが、「力のつりあい（上下・左右）」と「モーメントのつりあい」を連立させる基本手順は同じです。
  • 天秤やモビール: 複数の棒が連結されている場合でも、それぞれの棒について個別にモーメントのつりあいを立てていけば解けます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 隠れた情報を読み取る: 「一様な棒」という言葉を見たら、即座に「重心は真ん中」と翻訳し、図に重力 \(mg\) を書き込みましょう。
  2. 未知数を減らす支点選び: 張力 \(T\) や垂直抗力 \(N\) など、大きさが不明な力が働いている点を支点に選ぶと、その力のモーメントが \(0\) になり、式から消去できます。
  3. 段階的な解析: 図が複数ある場合（図1、図2）、情報が少ない方（未知数が1つだけの図）から順に解いていくのが鉄則です。今回は図1で棒の質量を求めてから図2へ進む手順でした。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 腕の長さの取り違え:
  • 誤解: 棒の端からの距離をそのまま腕の長さとして使ってしまう。
  • 対策: 必ず「支点から」力の作用点までの距離を確認してください。図に「支点からの距離」を書き込む習慣をつけるとミスが激減します。
    • 例: 図1で棒の重力の腕の長さは \(0.5\) ではなく、\(|0.6 – 0.5| = 0.1\) です。
• 重力加速度 \(g\) の忘れ・消し忘れ:
  • 誤解: 質量（\(\text{kg}\)）と重力（\(\text{N}\)）を混同し、式の中で \(g\) をつけ忘れたり、勝手に消去したりしてしまう。
  • 対策: モーメントの式では両辺に \(g\) があるため約分できますが、張力を求める式（\(T = \dots\)）では \(g\) が残ります。最終的な答えが「質量（\(\text{kg}\)）」なのか「力（\(\text{N}\)）」なのかを常に意識しましょう。
• 棒の質量の無視:
  • 誤解: 「棒の重さは無視できる」という問題に慣れすぎて、今回のように棒に質量がある場合でも無視してしまう。
  • 対策: 問題文の「密度と太さが一様な棒」という記述は、棒に質量があることのサインです。必ず重心に \(mg\) 矢印を描きましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• おもりBの質量を求める際の公式選択（モーメントのつりあい）:
  • 選定理由: 未知数である張力 \(T\) を求めずに、質量 \(m_{\text{B}}\) だけを求めたいからです。
  • 適用根拠: 糸の結び目（支点Q）を回転軸に選べば、張力 \(T\) のモーメントは \(0\) になり、式に含まれません。これにより、質量だけの関係式を作ることができます。
• 張力 \(T\) を求める際の公式選択（力のつりあい）:
  • 選定理由: すべての質量（\(m_{\text{B}}, m, 2\)）が既知となった状態で、上向きの力 \(T\) を求めたいからです。
  • 適用根拠: モーメントの式でも \(T\) は求まりますが（例えば端を支点にする）、計算が複雑になります。単なる足し算で済む「力のつりあい」の方が圧倒的に速く、ミスも少ないです。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 比の利用による計算の簡略化:
  • モーメントのつりあい式 \(m_1 g l_1 = m_2 g l_2\) では、\(g\) を消去できるだけでなく、距離 \(l\) の単位も揃っていれば \(\text{cm}\) のままでも計算できます（比の関係なので）。
    • 例: \(0.1\,\text{m}\) と \(0.4\,\text{m}\) を \(1:4\) として計算すると、小数点のミスを防げます。
• 次元確認（単位チェック）:
  • 質量の答えは \(\text{kg}\)、力の答えは \(\text{N}\) です。
  • 特に張力の計算 \(T = 15g\) で、\(g=9.8\) を掛け忘れて \(15\,\text{N}\) と答えるミスが多いです。「質量 \(\times\) 加速度 \(=\) 力」の次元を確認しましょう。
• 図への情報の書き込み:
  • 頭の中だけで計算せず、必ず図に「重心の位置」「支点からの距離」「力の大きさ」を書き込みましょう。視覚的に左右のバランス（シーソーのイメージ）を確認することで、明らかな計算間違い（例えば \(50\,\text{kg}\) など大きすぎる値）に気づけます。

問題8 (センター試験)

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「剛体のつりあい」です。棒が台から離れる瞬間の力のつりあいと、力のモーメントのつりあいを扱います。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
「点Pが台の端を離れるとき」という状況を物理的に翻訳します。
通常、棒は台上の線分BP間で接していますが、A端を引き上げてPが離れる瞬間、棒は傾き始め、台との接触点は左端の「点B」のみになります。
したがって、点Bを回転軸（支点）として、棒が回転しないための条件（モーメントのつりあい）を考えます。

この設問における重要なポイント

• 支点の特定: 点Pが離れる瞬間、棒は点Bだけで台に接しています。このとき、垂直抗力 \(N\) の作用点は点Bになります。
• 力の図示:
  • 重力 \(mg\): 一様な棒なので、重心（棒の中点G）に鉛直下向きに働きます。
  • 弾性力 \(F = ka\): A端に鉛直上向きに働きます。
  • 垂直抗力 \(N\): 点Bに鉛直上向きに働きます。
• 腕の長さの確認: 点Bを基準（原点）としたときの各力までの距離を確認します。

具体的な解説と立式
1. 棒の質量 \(m\) を求める
点Bを回転軸として、力のモーメントのつりあいの式を立てます。点Bに働く垂直抗力 \(N\) のモーメントは、腕の長さが \(0\) なので \(0\) になります。

• 反時計回りのモーメント: A端の弾性力 \(ka\) によるもの。
  • 力: \(ka\)
  • 腕の長さ: \(L\)
• 時計回りのモーメント: 重心Gの重力 \(mg\) によるもの。
  • 力: \(mg\)
  • 腕の長さ: \(\displaystyle \frac{L}{2}\) （一様な棒の重心は中点）

モーメントのつりあいの式（反時計回りの和 = 時計回りの和）は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
ka \cdot L &= mg \cdot \frac{L}{2} \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
2. 垂直抗力 \(N\) を求める
鉛直方向の力のつりあいの式を立てます。

• 上向きの力: 弾性力 \(ka\)、垂直抗力 \(N\)
• 下向きの力: 重力 \(mg\)

力のつりあいの式（上向きの和 = 下向きの和）は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
N + ka &= mg \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$

式①より、\(m\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
ka L &= \frac{1}{2}mgL \\[2.0ex] mg &= 2ka \\[2.0ex] m &= \frac{2ka}{g}
\end{aligned}
$$
次に、求めた \(mg = 2ka\) の関係を式②に代入して \(N\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
N + ka &= 2ka \\[2.0ex] N &= 2ka – ka \\[2.0ex] N &= ka
\end{aligned}
$$

棒の端っこ（A端）をバネで持ち上げると、反対側の端っこ（B端）を支点にして棒が回転しようとします。
「バネが持ち上げようとする回転力（モーメント）」と「重力が引き戻そうとする回転力」がちょうど釣り合っている瞬間を計算しました。
また、棒全体を支える力（上向きの力）はバネと台（垂直抗力）で分担していますが、重さの半分をバネが、残り半分を台が支えていることが計算から分かりました。

質量 \(m = \displaystyle \frac{2ka}{g}\)、垂直抗力 \(N = ka\) と求まりました。
\(N > 0\) であり、バネが棒を持ち上げるのを助けていることがわかります。また、もし \(a=0\) なら \(N=0\) となりそうですが、これは「離れるとき」の式なので \(a=0\)（持ち上げない）の状況とは異なります。物理的に矛盾はありません。

問(2)

思考の道筋とポイント
今度はB端にばねをつけて引っ張ります。「B端が台から離れた」ということは、棒は台の端である「点P」だけで接している状態になります。
したがって、今度は点Pを支点（回転軸）としてモーメントのつりあいを考えます。
(1)で求めた \(m\)（あるいは \(mg\)）の関係式を利用して、\(b\) と \(a\) の比を求めます。

この設問における重要なポイント

• 支点の変更: 支点は点Pになります。
• 距離（腕の長さ）の幾何学的関係:
  • 棒の全長: \(L\)
  • A端からP点までの距離: \(l\)
  • B端からP点までの距離: \(L – l\)
  • 重心Gの位置: A端から \(\displaystyle \frac{L}{2}\)
  • 支点Pから重心Gまでの距離: 重心Gは棒の中点です。\(l < \displaystyle \frac{L}{2}\) という条件より、P点は重心GよりもA端側（右側）にあります。
    • 図で確認すると、左から B — G — P — A の順に並んでいます。
    • PとGの距離 \(d_{PG}\) は、(BからPの距離) – (BからGの距離) = \((L-l) – \displaystyle \frac{L}{2} = \displaystyle \frac{L}{2} – l\) となります。
    • あるいは、(AからGの距離) – (AからPの距離) = \(\displaystyle \frac{L}{2} – l\) と考えても同じです。

具体的な解説と立式
点Pを回転軸として、力のモーメントのつりあいの式を立てます。点Pに働く垂直抗力のモーメントは \(0\) です。

• 時計回りのモーメント: B端の弾性力 \(kb\) によるもの。
  • B端を上に引くと、P点を中心に棒は時計回りに回転しようとします。
  • 力: \(kb\)
  • 腕の長さ: \(L – l\) （BからPまで）
• 反時計回りのモーメント: 重心Gの重力 \(mg\) によるもの。
  • 重心Gを下向きに引くと、P点を中心に棒は反時計回りに回転しようとします。
  • 力: \(mg\)
  • 腕の長さ: \(\displaystyle \frac{L}{2} – l\) （GからPまで）

モーメントのつりあいの式（時計回りの和 = 反時計回りの和）は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
kb \cdot (L – l) &= mg \cdot \left( \frac{L}{2} – l \right) \quad \cdots ③
\end{aligned}
$$

(1)の結果より、\(mg = 2ka\) です。これを式③に代入します。
$$
\begin{aligned}
kb(L – l) &= 2ka \left( \frac{L}{2} – l \right)
\end{aligned}
$$
両辺の \(k\) を消去し、右辺を展開して整理します。
$$
\begin{aligned}
b(L – l) &= 2a \left( \frac{L – 2l}{2} \right) \\[2.0ex] b(L – l) &= a(L – 2l)
\end{aligned}
$$
求めたいのは「\(b\) は \(a\) の何倍か」、つまり \(\displaystyle \frac{b}{a}\) です。
$$
\begin{aligned}
\frac{b}{a} &= \frac{L – 2l}{L – l}
\end{aligned}
$$
したがって、
$$
\begin{aligned}
b &= \frac{L – 2l}{L – l} a
\end{aligned}
$$

今度はB端を持ち上げるので、シーソーの支点が端っこ（B）から途中（P）に移動しました。
支点が変わると、力点（バネ）までの距離と、作用点（重心）までの距離が変わります。
具体的には、バネまでの距離は短くなり（\(L \rightarrow L-l\)）、重心までの距離も短くなりました（\(L/2 \rightarrow L/2 – l\)）。
これらの距離の変化を考慮して、再びつりあいの計算を行うことで、必要な伸び \(b\) が求まりました。

答えは \(\displaystyle \frac{L – 2l}{L – l}\) 倍です。
問題文の条件 \(l < \displaystyle \frac{L}{2}\) より、\(2l < L\) なので分子 \(L – 2l\) は正の値になります。また、分母 \(L – l\) も正です。
さらに、\(l > 0\) なので、\(L – 2l < L – l\) となり、倍率は \(1\) より小さくなります。
これは、支点Pが重心Gに近づいたため、重力を支えるためのモーメントの腕が短くなり（\(L/2 \rightarrow L/2-l\)）、その減少率がバネの腕の減少率よりも大きいため、より小さな力（伸び）で持ち上がることを示唆しており、直感的にも妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 剛体のつりあい条件の完全理解
  • 核心: 剛体が静止し続けるためには、「並進運動しない（力の和が \(0\)）」だけでなく、「回転運動しない（力のモーメントの和が \(0\)）」という2つの条件を同時に満たす必要があります。
  • 理解のポイント:
    • 力のつりあい: 上下左右の力のバランス。これだけでは回転を止められません。
    • モーメントのつりあい: 回転軸（支点）をどこに設定しても、回転させる能力（トルク）の総和が \(0\) になること。特に「任意の点」まわりで成立するという性質が、計算を楽にするための強力な武器になります。
• 「離れる瞬間」の物理的翻訳
  • 核心: 「台から離れる」という現象を、数式上の条件として正しく翻訳できるかが勝負です。
  • 理解のポイント:
    • 垂直抗力の消失: 面から離れる瞬間、面が物体を押す力（垂直抗力 \(N\)）は \(0\) になります。
    • 接触点の限定: 完全に離れる直前、物体は回転しながら浮き上がるため、接触点は「回転軸となる一点」のみに限定されます。この点を支点としてモーメントの式を立てるのが定石です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 壁に立てかけた梯子: 床と壁からの垂直抗力、摩擦力が働きます。「滑り出す直前」は最大静止摩擦力を使い、「倒れる直前」は垂直抗力が \(0\) になる点に着目します。
  • 転倒する直方体: トラックの荷台上の荷物などが倒れる条件。作用線が底面からはみ出すか、あるいは端点を支点としたモーメントのつりあいで考えます。
  • ヒンジ（蝶番）で固定された棒: ヒンジには任意の方向の抗力が働きますが、ヒンジ周りのモーメントを考えればその抗力を消去できます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 回転軸（支点）の候補を探す: 「どこを中心に回転しそうか？」を想像します。端点や角（かど）が候補になることが多いです。
  2. 未知の力を消去する: 求めなくてもよい力（垂直抗力や摩擦力など）が働いている点があれば、そこをあえて回転軸に選ぶことで、その力のモーメントを \(0\) にし、計算をショートカットできます（別解のアプローチ）。
  3. 重心の位置を確定する: 一様な棒なら中点ですが、密度が不均一な場合や、おもりが付いている場合は、全体の重心位置を最初に計算しておく必要があります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 腕の長さの取り違え:
  • 誤解: 「力点までの距離」を単純に棒の端からの距離だと思い込んだり、支点の位置が変わったのに古い支点からの距離を使ってしまう。
  • 対策: 必ず「回転軸（支点）」を原点とした図を描き直し、そこから各力の作用点までの距離を指でなぞって確認しましょう。特に(2)のように支点がPに移動した場合は要注意です。
  • 特に注意すべき点: 力の作用線までの「垂直距離」が腕の長さです。棒が斜めになっている場合は、\(L \cos \theta\) のように角度成分が必要になることがあります（本問は水平なので不要）。
• 重力の作用点の勘違い:
  • 誤解: 重力が棒の端や、支点にかかっていると錯覚して立式してしまう。
  • 対策: 「一様な棒」とあれば、必ず棒のど真ん中に「G」と書き込み、そこから鉛直下向きに矢印を描く癖をつけましょう。
• 「離れる」条件の適用ミス:
  • 誤解: 離れる瞬間なのに、まだ面全体で接しているとして垂直抗力を分布させてしまったり、逆に離れた後の運動方程式を立ててしまう。
  • 対策: 「離れる瞬間 \(= \text{ギリギリ接している}\)」と考えます。接触点は1点だけ、垂直抗力はその点にのみ働く、という極限状態をイメージしてください。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 問(1)での公式選択（モーメントのつりあい vs 力のつりあい）:
  • 選定理由: 未知数は \(m\) と \(N\) の2つです。式が2本必要なので、力のつりあいとモーメントのつりあいの両方を使います。
  • 適用根拠: 棒は静止しているので、並進も回転もしません。したがって、どちらの平衡条件も成立します。
• 別解での公式選択（重心周りのモーメント）:
  • 選定理由: \(N\) だけを求めたい場合、\(m\)（重力）は邪魔な未知数です。
  • 適用根拠: 重心を回転軸に選べば、重力の腕の長さが \(0\) になり、式から \(m\) を消去できます。これにより、連立方程式を解く手間を省き、1本の式で \(N\) をダイレクトに求められます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式の次元確認（ディメンションチェック）:
  • 答えが出たら単位を確認します。
  • (1)の \(m = \frac{2ka}{g}\) は、\([k][L]/[L][T]^{-2} = [M][T]^{-2}[L]/[L][T]^{-2} = [M]\) となり質量の次元で正しいです（\(F=kx\)より \(k\) は \(\text{N/m}\)）。
  • (2)の倍率は無次元数になるはずです。\(\frac{L-2l}{L-l}\) は長さ/長さなので無次元となり、正しいです。
• 極限的なケースでの検算:
  • もし \(l=0\) だったら？ P点はA端と一致しませんが、図の構造上 \(l \to 0\) でPはAに近づきます。式は \(\frac{L}{L} = 1\) 倍。支点がA端（力点）に近づくほど、小さな力で済むはずですが、この極限は支点と力点が一致する特異点なので注意が必要です。
  • もし \(l = L/2\) だったら？ P点は重心Gと一致します。式は \(\frac{0}{L/2} = 0\) 倍。つまり、重心を支えれば、指一本で（力ゼロで）バランスが取れるということです。これは物理的直感と完全に一致します。
• 比の計算の工夫:
  • (2)で \(b\) を求める際、具体的な数値を代入する前に文字式のまま整理しましょう。\(k\) や \(g\) などの定数は途中で消えることが多いので、早まって代入すると計算ミスのもとになります。

問題9 (岩手大＋宮崎大)

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「剛体のつりあい」と「重心」です。
複数の物体が結合された系（棒＋小球）を扱う際の重心の考え方と、力のつりあい・モーメントのつりあいの連立方程式を解く力が問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
棒ABと小球をあわせた「全体の重心」を求めます。
重心の位置を求める公式を利用するのが最も確実です。
座標軸を設定し、それぞれの物体の「質量」と「位置（座標）」を明確にします。

この設問における重要なポイント

• 座標の設定: 点Aを原点 \((0)\) とし、棒に沿ってBの方向を正の向き（\(x\) 軸のようなもの）とします。
• 各物体の重心位置:
  • 棒AB（質量 \(m\)）: 一様な棒なので、その重心Mは中点、つまりAから \(\displaystyle \frac{l}{2}\) の位置にあります。
  • 小球（質量 \(2m\)）: 端Bに取り付けられているので、Aから \(l\) の位置にあります。

具体的な解説と立式
点Aを原点とし、棒の方向の座標を考えます。
重心の公式 \(x_G = \displaystyle \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}\) を適用します。

• 棒: 質量 \(m\), 位置 \(\displaystyle \frac{l}{2}\)
• 小球: 質量 \(2m\), 位置 \(l\)

求める重心GのAからの距離 \(x_G\) は、
$$
\begin{aligned}
x_G &= \frac{m \cdot \frac{l}{2} + 2m \cdot l}{m + 2m}
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
x_G &= \frac{\frac{1}{2}ml + 2ml}{3m} \\[2.0ex] &= \frac{\frac{5}{2}ml}{3m} \\[2.0ex] &= \frac{5}{6}l
\end{aligned}
$$

軽い棒なら小球のあるB端が重心になりますが、棒にも重さがあるため、重心は少しだけ棒の中心側に寄ります。
「重さ \(m\) の点（棒の中心）」と「重さ \(2m\) の点（小球）」のバランスが取れる点を探す計算を行いました。

Aからの距離は \(\displaystyle \frac{5}{6}l\) です。
棒の中点 \(\displaystyle \frac{l}{2} = \frac{3}{6}l\) よりもB端側（\(l = \frac{6}{6}l\)）にあり、重い小球の方に重心が寄っているため妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
棒と小球を一体の「質量 \(3m\) の物体」とみなして、力のつりあいを考えます。
物体は静止しているので、水平方向と鉛直方向のそれぞれの成分で力がつりあっています。

この設問における重要なポイント

• 働く力の整理:
  • 張力 \(T\): 糸が引く力。斜め左上向き。
  • 重力 \(3mg\): 棒と小球の合計質量 \(3m\) に働く重力。鉛直下向き。
  • 外力 \(F\): 小球に加えられた力。水平右向き。
• 力の分解:
  • 張力 \(T\) を、鉛直成分 \(T \cos \alpha\)（上向き）と水平成分 \(T \sin \alpha\)（左向き）に分解します。
• 立式のルール: 「右向きの力 = 左向きの力」「上向きの力 = 下向きの力」の形で記述します。

具体的な解説と立式
1. 水平方向の力のつりあい

• 右向きの力: \(F\)
• 左向きの力: \(T \sin \alpha\)

つりあいの式は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
T \sin \alpha &= F \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
2. 鉛直方向の力のつりあい

• 上向きの力: \(T \cos \alpha\)
• 下向きの力: \(mg\)（棒）\(+\) \(2mg\)（小球）\(=\) \(3mg\)

つりあいの式は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
T \cos \alpha &= 3mg \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$

立式のみが求められているため、計算過程はありません。

物体が動かないということは、綱引きで勝負がつかない状態と同じです。
横方向の綱引きでは、糸が左に引く力と、外力 \(F\) が右に引く力が釣り合っています。
縦方向の綱引きでは、糸が上に持ち上げる力と、地球が下に引っ張る重力が釣り合っています。

水平: \(T \sin \alpha = F\)、鉛直: \(T \cos \alpha = 3mg\)。
物理的な直感（右＝左、上＝下）と一致しており、妥当な式です。

問(3)

思考の道筋とポイント
回転しない条件、すなわち「力のモーメントのつりあい」を考えます。
回転軸（支点）は、問題文で指定された「点A」とします。
点Aを支点にすると、点Aに働く張力 \(T\) のモーメントは \(0\) になるため、計算が楽になります。

この設問における重要なポイント

• 重力の扱い: (1)で求めた「全体の重心G」に、全重力 \(3mg\) が働いているとみなして計算します（これが最も効率的です）。
• 腕の長さ（モーメントの腕）:
  • 力の作用点までの距離ではなく、「回転軸から力の作用線までの垂直距離」を使います。
  • 図の幾何学的関係から、棒と鉛直線のなす角が \(\beta\) であることに注意して腕の長さを求めます。

具体的な解説と立式
点Aを回転軸として、モーメントのつりあいを考えます。

• 反時計回りのモーメント: 外力 \(F\) によるもの。
  • 力: \(F\) （水平右向き）
  • 作用点: B
  • 腕の長さ: AからBまでの鉛直距離。棒の長さ \(l\) と角度 \(\beta\) を用いて、\(l \cos \beta\) となります。
  • モーメント: \(F \cdot l \cos \beta\)
• 時計回りのモーメント: 重力 \(3mg\) によるもの。
  • 力: \(3mg\) （鉛直下向き）
  • 作用点: 重心G
  • 腕の長さ: AからGまでの水平距離。AG間の距離 \(\displaystyle \frac{5}{6}l\) と角度 \(\beta\) を用いて、\(\displaystyle \frac{5}{6}l \sin \beta\) となります。
  • モーメント: \(3mg \cdot \displaystyle \frac{5}{6}l \sin \beta\)

モーメントのつりあいの式（反時計回りの和 = 時計回りの和）は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
F \cdot l \cos \beta &= 3mg \cdot \frac{5}{6}l \sin \beta \quad \cdots ③
\end{aligned}
$$

立式のみが求められているため、これ以上の変形は不要ですが、後の計算のために整理しておくと便利です。
$$
\begin{aligned}
F l \cos \beta &= \frac{5}{2} mgl \sin \beta
\end{aligned}
$$

点Aを釘で固定して、棒を回転させる実験をしていると想像してください。
横から引っ張る力 \(F\) は、棒を反時計回りに持ち上げようとします。
一方、棒と小球の重さは、棒を時計回りに下げようとします。
この2つの回転させる働き（モーメント）が釣り合って、棒は角度 \(\beta\) で止まっています。

式は \(F \cdot l \cos \beta = 3mg \cdot \frac{5}{6}l \sin \beta\) です。
左辺は \(F\) が大きくなると大きくなり（棒を持ち上げる）、右辺は重力が大きくなると大きくなります（棒を下げる）。物理的な意味も整合しています。

問(4)

思考の道筋とポイント
これまでに立てた3つの式（①、②、③）を連立方程式として解きます。
未知数は \(\alpha, \beta, T\) です。
三角関数の定義 \(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\) や、相互関係 \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\) を利用します。

この設問における重要なポイント

• \(\tan \alpha\) の求め方: 式①と式②の比をとります。
• \(\tan \beta\) の求め方: 式③を変形して \(\frac{\sin \beta}{\cos \beta}\) を作ります。
• \(T\) の求め方: 式①と式②をそれぞれ2乗して足し合わせ、\(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) を利用して角度 \(\alpha\) を消去します。

具体的な解説と立式
これまでの式を再掲します。
$$
\begin{aligned}
T \sin \alpha &= F \quad \cdots ① \\[2.0ex] T \cos \alpha &= 3mg \quad \cdots ② \\[2.0ex] F l \cos \beta &= \frac{5}{2} mgl \sin \beta \quad \cdots ③’
\end{aligned}
$$

1. \(\tan \alpha\) を求める
式①を式②で辺々割ります。
$$
\begin{aligned}
\frac{T \sin \alpha}{T \cos \alpha} &= \frac{F}{3mg} \\[2.0ex] \tan \alpha &= \frac{F}{3mg}
\end{aligned}
$$
2. \(\tan \beta\) を求める
式③’を変形します。両辺を \(l \cos \beta\) で割り、定数を移項します。
$$
\begin{aligned}
F &= \frac{5}{2} mg \frac{\sin \beta}{\cos \beta} \\[2.0ex] F &= \frac{5}{2} mg \tan \beta \\[2.0ex] \tan \beta &= \frac{F}{\frac{5}{2}mg} \\[2.0ex] &= \frac{2F}{5mg}
\end{aligned}
$$
3. \(T\) を求める
式①と式②をそれぞれ2乗して足します。
$$
\begin{aligned}
(T \sin \alpha)^2 + (T \cos \alpha)^2 &= F^2 + (3mg)^2 \\[2.0ex] T^2 (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) &= F^2 + 9m^2g^2 \\[2.0ex] T^2 &= F^2 + 9m^2g^2
\end{aligned}
$$
\(T > 0\) より、
$$
\begin{aligned}
T &= \sqrt{F^2 + 9m^2g^2}
\end{aligned}
$$

連立方程式を解くパズルのようなものです。
\(\tan\) は「傾き」を表すので、力の比（横の力 \(F\) と縦の力 \(3mg\)）がそのまま糸の傾き \(\tan \alpha\) になっています。
張力 \(T\) は、三平方の定理（ピタゴラスの定理）を使って、横成分と縦成分から斜めの長さを求める計算と同じです。

• \(\tan \alpha = \frac{F}{3mg}\): \(F\) が大きくなれば角度 \(\alpha\) も大きくなる（糸が右に振れる）。妥当です。
• \(\tan \beta = \frac{2F}{5mg}\): 同様に \(F\) が大きくなれば棒も持ち上がる。妥当です。
• \(T = \sqrt{F^2 + 9m^2g^2}\): 力の大きさとして次元も正しく、\(F=0\) なら \(T=3mg\) となり静止状態と一致します。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 剛体のつりあい条件の完全理解
  • 核心: 剛体が静止し続けるためには、「並進運動しない（力の和が \(0\)）」だけでなく、「回転運動しない（力のモーメントの和が \(0\)）」という2つの条件を同時に満たす必要があります。
  • 理解のポイント:
    • 力のつりあい: 上下左右の力のバランス。これだけでは回転を止められません。
    • モーメントのつりあい: 回転軸（支点）をどこに設定しても、回転させる能力（トルク）の総和が \(0\) になること。特に「任意の点」まわりで成立するという性質が、計算を楽にするための強力な武器になります。
• 重心の概念とその利用
  • 核心: 複数の物体からなる系において、重力によるモーメントを考える際、個々の物体に働く重力を考える代わりに、「全質量が重心に集中している」とみなして計算することができます。
  • 理解のポイント:
    • 重心の位置: 質量の逆比で内分する点、あるいは座標計算で求められます。
    • 計算の簡略化: 複雑な形状の物体でも、重心さえ分かれば、重力の作用点を1点に集約でき、モーメント計算が劇的に簡単になります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • L字型の棒のつりあい: 棒が折れ曲がっていても、それぞれの部分の重心を合成して全体の重心を求めれば、同様に解けます。
  • 看板や標識のつりあい: 壁から突き出した棒に看板がぶら下がっている問題。棒の重さと看板の重さを合成重心で処理するか、個別にモーメントを計算するかを選択します。
  • 人の腕のモデル: 肩を支点とし、腕の重さと手に持った荷物の重さを支える筋肉の張力を求める問題。本問と全く同じ構造です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 系全体を一つの物体とみなす: 複数のパーツがあっても、まずは「ひとたまりの物体」として力のつりあいを考えられないか検討します。
  2. 回転軸（支点）の戦略的選択: 未知の力（この問題では点Aに働く張力や抗力など）が集中している点を回転軸に選ぶことで、それらのモーメントを \(0\) にし、計算をショートカットします。
  3. 幾何学的関係の把握: 棒の傾き \(\beta\) や糸の傾き \(\alpha\) が、力の三角形やモーメントの腕の長さにどう反映されるか、図を描いて慎重に確認します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 腕の長さの取り違え:
  • 誤解: 「力点までの距離」を単純に棒の長さ \(l\) だと思い込み、角度 \(\beta\) を考慮せずに \(F \cdot l\) としてしまう。
  • 対策: 必ず「回転軸から力の作用線に下ろした垂線の長さ」を確認します。棒が斜めのときは、必ず \(\sin\) や \(\cos\) が掛かります。
• 重心位置の計算ミス:
  • 誤解: 棒の重心（中点）と小球の位置（端点）を混同したり、質量の重み付けを逆にしてしまう。
  • 対策: 「重い方に重心が寄る」という定性的なチェックを必ず行います。また、別解のように「個別にモーメントを計算する」ことで検算するのも有効です。
• 力の分解方向のミス:
  • 誤解: 張力 \(T\) の分解で \(\sin\) と \(\cos\) を逆にしてしまう。
  • 対策: 図の中に直角三角形を描き、角度 \(\alpha\) がどこにあるかを確認します。「\(\alpha\) を挟む辺が \(\cos\)」と覚えるのが鉄則です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 問(1)での公式選択（重心の公式 vs 逆比）:
  • 選定理由: 座標計算（公式）は機械的に解けるためミスが少なく、逆比（幾何）は直感的に理解しやすいです。
  • 適用根拠: どちらも物理的には等価です。試験では確実な方を選びますが、検算のために両方使えると最強です。
• 問(4)での公式選択（連立方程式 vs ベクトル図）:
  • 選定理由: 求めたいのが \(\tan\)（比）や \(T\)（斜辺）であるため、直角三角形の性質（ベクトル図）を利用するのが最も速いです。
  • 適用根拠: 力がつりあっている＝ベクトル和がゼロ＝閉じた多角形になる、という原理に基づいています。特に力が3つの場合は三角形になるため、三角比が直接使えます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式の次元確認（ディメンションチェック）:
  • 答えが出たら単位を確認します。
  • (1)の重心位置は \([L]\)（長さ）の次元。
  • (4)の \(\tan\) は無次元、\(T\) は \([M][L][T]^{-2}\)（力）の次元。ルートの中身が \(F^2\)（力の2乗）と \((mg)^2\)（力の2乗）の和になっているので正しいです。
• 極限的なケースでの検算:
  • もし \(F=0\) だったら？ \(\tan \alpha = 0\)（鉛直）、\(\tan \beta = 0\)（鉛直）、\(T = 3mg\)。これは単に棒と球がぶら下がっている状態と一致します。
  • もし \(m=0\)（棒が軽い）だったら？ 重心は小球の位置（\(l\)）になり、\(\tan \beta\) の式も変わります。
• 図形の活用:
  • 計算に行き詰まったら、必ず図を大きく描き直します。特に角度 \(\alpha, \beta\) がどこの角に対応するか、錯角や同位角を使って丁寧に追跡することで、幾何学的なミスを防げます。

問題10 (芝浦工大＋東海大)

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「剛体のつりあい」と「摩擦力」です。
壁に押し当てられた棒が静止している条件、そしておもりの位置を変えたときに滑り出す直前の条件（最大摩擦力）を扱います。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
未知の力（垂直抗力 \(N_0\)、静止摩擦力 \(F_0\)）が集中している点Aを回転軸（支点）に選びます。
これにより、\(N_0\) と \(F_0\) のモーメントが \(0\) になり、張力 \(T_0\) だけを含む式を作ることができます。

この設問における重要なポイント

• 回転軸の選択: 点Aを回転軸とします。
• 力の分解: 張力 \(T_0\) を、棒に垂直な成分（鉛直成分 \(T_0 \sin 30^\circ\)）と平行な成分（水平成分 \(T_0 \cos 30^\circ\)）に分解します。モーメントに関与するのは垂直成分のみです。
• 腕の長さ:
  • 張力の垂直成分: \(l\)
  • 棒の重力 \(Mg\): \(\displaystyle \frac{l}{2}\) （一様な棒の重心は中点）
  • おもりの重力 \(Mg\): \(l\)

具体的な解説と立式
点Aを回転軸として、モーメントのつりあいを考えます。

• 反時計回りのモーメント: 張力 \(T_0\) の鉛直成分によるもの。
  • 力: \(T_0 \sin 30^\circ\)
  • 腕の長さ: \(l\)
  • モーメント: \(T_0 \sin 30^\circ \cdot l\)
• 時計回りのモーメント: 棒とおもりの重力によるもの。
  1. 棒の重力 \(Mg\): 腕の長さ \(\displaystyle \frac{l}{2}\) \(\rightarrow\) モーメント \(Mg \cdot \displaystyle \frac{l}{2}\)
  2. おもりの重力 \(Mg\): 腕の長さ \(l\) \(\rightarrow\) モーメント \(Mg \cdot l\)

モーメントのつりあいの式（反時計回りの和 = 時計回りの和）は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
T_0 \sin 30^\circ \cdot l &= Mg \cdot \frac{l}{2} + Mg \cdot l
\end{aligned}
$$

両辺を \(l\) で割り、\(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
T_0 \cdot \frac{1}{2} &= \frac{1}{2}Mg + Mg \\[2.0ex] \frac{1}{2}T_0 &= \frac{3}{2}Mg
\end{aligned}
$$
両辺を2倍します。
$$
\begin{aligned}
T_0 &= 3Mg
\end{aligned}
$$

壁の点Aを支点にして、棒が回転しない条件を考えました。
棒とおもりは棒を下に回そうとしますが、糸がそれを上に引っ張り上げて支えています。
それぞれの回転させる力（モーメント）を計算して釣り合わせることで、糸が引く力を求めました。

張力は \(3Mg\) です。棒とおもりの合計質量 \(2M\) よりも大きな力が必要なのは、糸が斜めに引いていることと、棒の重力が中点にかかっていることが影響しています。

問(2)

思考の道筋とポイント
物体は静止しているので、水平方向の力もつりあっています。
水平方向に働く力をすべて拾い出し、つりあいの式を立てます。

この設問における重要なポイント

• 水平方向の力:
  • 右向き: 垂直抗力 \(N_0\) （壁が棒を押す力）
  • 左向き: 張力の水平成分 \(T_0 \cos 30^\circ\)

具体的な解説と立式
水平方向の力のつりあいの式（右向きの力 = 左向きの力）を立てます。
$$
\begin{aligned}
N_0 &= T_0 \cos 30^\circ
\end{aligned}
$$

(1)の結果 \(T_0 = 3Mg\) と、\(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
N_0 &= 3Mg \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \\[2.0ex] &= \frac{3\sqrt{3}}{2}Mg
\end{aligned}
$$

糸が棒を左斜め上に引っ張っているので、棒は壁に押し付けられる形になります。
壁はその反作用として棒を右向きに押し返します（垂直抗力）。
糸が左に引く力と、壁が右に押す力が釣り合っています。

垂直抗力は \(\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}Mg\) です。

問(3)

思考の道筋とポイント
鉛直方向の力のつりあいを考えます。
静止摩擦力 \(F_0\) の向きは、棒が滑り落ちようとするのを防ぐため「上向き」と仮定します（計算結果が正なら仮定通り、負なら逆向き）。

この設問における重要なポイント

• 鉛直方向の力:
  • 上向き: 静止摩擦力 \(F_0\)、張力の鉛直成分 \(T_0 \sin 30^\circ\)
  • 下向き: 棒の重力 \(Mg\)、おもりの重力 \(Mg\)

具体的な解説と立式
鉛直方向の力のつりあいの式（上向きの和 = 下向きの和）を立てます。
$$
\begin{aligned}
F_0 + T_0 \sin 30^\circ &= Mg + Mg
\end{aligned}
$$

\(T_0 = 3Mg\)、\(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
F_0 + 3Mg \cdot \frac{1}{2} &= 2Mg \\[2.0ex] F_0 + \frac{3}{2}Mg &= 2Mg \\[2.0ex] F_0 &= 2Mg – \frac{3}{2}Mg \\[2.0ex] &= \frac{1}{2}Mg
\end{aligned}
$$

棒とおもりを支える上向きの力は、「糸の縦方向の力」と「壁の摩擦力」の2つです。
合計の重さ \(2Mg\) のうち、糸が \(\frac{3}{2}Mg\) を支えているので、残りの \(\frac{1}{2}Mg\) を摩擦力が支えていることになります。

静止摩擦力は \(\displaystyle \frac{1}{2}Mg\) です。正の値なので向きは上向きで正解です。

問(4)

思考の道筋とポイント
おもりの位置がBから \(x\) の位置（点P）に移動しました。
「滑り出す直前」なので、摩擦力は最大摩擦力 \(\mu N\) になっています。
問題文の指示通り、点Bまわりのモーメントのつりあいを考えます。

この設問における重要なポイント

• おもりの位置: B点から \(x\) なので、腕の長さは \(x\) です。
• 摩擦力: 上向きに \(\mu N\) です。
• 回転軸: 点Bです。張力 \(T\) のモーメントは \(0\) になります。
• 垂直抗力 \(N\): 作用線が点Bを通るため、モーメントは \(0\) です。

具体的な解説と立式
点Bを回転軸として、モーメントのつりあいを考えます。

• 反時計回りのモーメント:
  1. 棒の重力 \(Mg\): 腕の長さ \(\displaystyle \frac{l}{2}\) \(\rightarrow\) \(Mg \cdot \displaystyle \frac{l}{2}\)
  2. おもりの重力 \(Mg\): 腕の長さ \(x\) \(\rightarrow\) \(Mg \cdot x\)
• 時計回りのモーメント:
  1. 最大摩擦力 \(\mu N\): 腕の長さ \(l\) \(\rightarrow\) \(\mu N \cdot l\)

モーメントのつりあいの式（反時計回りの和 – 時計回りの和 = 0 の形式で指定されています）
$$
\begin{aligned}
\left( Mg \cdot \frac{l}{2} + Mg \cdot x \right) – \mu N \cdot l &= 0
\end{aligned}
$$
問題文の形式 \(\frac{1}{2}Mgl + \boxed{(4)} = 0\) に合わせます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}Mgl + (Mgx – \mu Nl) &= 0
\end{aligned}
$$

空欄に当てはまるのは \(Mgx – \mu Nl\) です。

おもりが壁に近づくと、棒を下に回そうとする力（モーメント）が減ります。
一方で、壁の摩擦力は棒を上に回そうとしています。
滑り出すギリギリのところでは、これらの回転力が釣り合っています。

解答欄の形式に合わせると、\(Mgx – \mu Nl\) となります。

問(5)

思考の道筋とポイント
水平方向の力のつりあいを考えます。
(2)と同様に、垂直抗力 \(N\) と張力の水平成分 \(T \cos 30^\circ\) が釣り合っています。
これと(4)の式を連立させて、\(T\) を求めます。

この設問における重要なポイント

• 水平方向のつりあい: \(N = T \cos 30^\circ\)
• 連立: (4)の式から \(N\) を \(T\) で表し、代入します。

具体的な解説と立式
水平方向の力のつりあいより、
$$
\begin{aligned}
N &= T \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}T \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
(4)の式を変形して \(N\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}Mgl + Mgx &= \mu Nl \\[2.0ex] N &= \frac{Mg(l + 2x)}{2\mu l} \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$

式①と式②より、
$$
\begin{aligned}
\frac{\sqrt{3}}{2}T &= \frac{Mg(l + 2x)}{2\mu l}
\end{aligned}
$$
両辺に \(\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}\) を掛けます。
$$
\begin{aligned}
T &= \frac{Mg(l + 2x)}{\sqrt{3}\mu l}
\end{aligned}
$$

水平方向のつりあいから、壁が押す力 \(N\) は糸が引く力 \(T\) に比例することが分かります。
一方、モーメントのつりあいから、\(N\) はおもりの位置 \(x\) に依存することが分かっています。
この2つの関係を結びつけることで、張力 \(T\) を \(x\) を使って表しました。

\(T = \displaystyle \frac{Mg(l + 2x)}{\sqrt{3}\mu l}\) です。
\(x\) が大きくなる（おもりがB端に近づく）と \(T\) も大きくなるので、物理的に妥当です。

問(6)

思考の道筋とポイント
最後に残った条件、鉛直方向の力のつりあいを考えます。
上向きの力（摩擦力 \(\mu N\) ＋ 張力の鉛直成分）と下向きの力（重力）が釣り合っています。
これにこれまでの結果を代入して \(x\) を求めます。

この設問における重要なポイント

• 鉛直方向のつりあい: \(\mu N + T \sin 30^\circ = 2Mg\)
• 代入: \(N = \frac{\sqrt{3}}{2}T\) を使って \(N\) を消去し、\(T\) だけの式にしてから(5)の結果を使います。

具体的な解説と立式
鉛直方向の力のつりあいより、
$$
\begin{aligned}
\mu N + T \sin 30^\circ &= 2Mg
\end{aligned}
$$
\(N = \frac{\sqrt{3}}{2}T\)、\(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
\mu \left( \frac{\sqrt{3}}{2}T \right) + \frac{1}{2}T &= 2Mg \\[2.0ex] \frac{\sqrt{3}\mu + 1}{2}T &= 2Mg \quad \cdots ③
\end{aligned}
$$

式③に(5)の \(T\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
\frac{\sqrt{3}\mu + 1}{2} \cdot \frac{Mg(l + 2x)}{\sqrt{3}\mu l} &= 2Mg
\end{aligned}
$$
両辺を \(Mg\) で割り、整理します。
$$
\begin{aligned}
\frac{(\sqrt{3}\mu + 1)(l + 2x)}{2\sqrt{3}\mu l} &= 2 \\[2.0ex] (\sqrt{3}\mu + 1)(l + 2x) &= 4\sqrt{3}\mu l \\[2.0ex] l + 2x &= \frac{4\sqrt{3}\mu l}{\sqrt{3}\mu + 1} \\[2.0ex] 2x &= \frac{4\sqrt{3}\mu l}{\sqrt{3}\mu + 1} – l \\[2.0ex] 2x &= \frac{4\sqrt{3}\mu l – l(\sqrt{3}\mu + 1)}{\sqrt{3}\mu + 1} \\[2.0ex] 2x &= \frac{3\sqrt{3}\mu – 1}{\sqrt{3}\mu + 1} l
\end{aligned}
$$
最後に2で割ります。
$$
\begin{aligned}
x &= \frac{3\sqrt{3}\mu – 1}{2(\sqrt{3}\mu + 1)} l
\end{aligned}
$$

すべての力のつりあい条件（水平、鉛直、回転）を同時に満たすようなおもりの位置 \(x\) を逆算しました。
これ以上おもりが壁に近づくと（\(x\) が大きくなると）、摩擦力が限界を超えて滑り出してしまいます。

\(x = \displaystyle \frac{3\sqrt{3}\mu – 1}{2(\sqrt{3}\mu + 1)} l\) です。
分子が正であるためには \(3\sqrt{3}\mu > 1\)、つまり \(\mu\) がある程度大きくないと滑り止まらないことを示唆しています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 剛体のつりあい条件の完全理解
  • 核心: 剛体が静止し続けるためには、「並進運動しない（力の和が \(0\)）」だけでなく、「回転運動しない（力のモーメントの和が \(0\)）」という2つの条件を同時に満たす必要があります。
  • 理解のポイント:
    • 力のつりあい: 上下左右の力のバランス。これだけでは回転を止められません。
    • モーメントのつりあい: 回転軸（支点）をどこに設定しても、回転させる能力（トルク）の総和が \(0\) になること。特に「任意の点」まわりで成立するという性質が、計算を楽にするための強力な武器になります。
• 摩擦力の性質と最大摩擦力
  • 核心: 静止摩擦力は「動こうとするのを妨げる力」であり、外力に応じて \(0\) から最大値 \(\mu N\) までの値をとります。「滑り出す直前」というキーワードが出たら、摩擦力は最大値 \(\mu N\) に固定されます。
  • 理解のポイント:
    • 静止時: \(F \le \mu N\) の範囲で、つりあいに必要なだけの力が働きます（問3）。
    • 限界時: \(F = \mu N\) となり、これを超えると滑り出します（問4以降）。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 壁に立てかけた梯子: 床と壁からの垂直抗力、摩擦力が働きます。「滑り出す直前」は最大静止摩擦力を使い、「倒れる直前」は垂直抗力が \(0\) になる点に着目します。
  • 転倒する直方体: トラックの荷台上の荷物などが倒れる条件。作用線が底面からはみ出すか、あるいは端点を支点としたモーメントのつりあいで考えます。
  • ヒンジ（蝶番）で固定された棒: ヒンジには任意の方向の抗力が働きますが、ヒンジ周りのモーメントを考えればその抗力を消去できます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 回転軸（支点）の戦略的選択: 未知の力（垂直抗力 \(N\) や摩擦力 \(F\)）が集中している点を回転軸に選ぶことで、それらのモーメントを \(0\) にし、計算をショートカットします（別解のアプローチ）。
  2. 力の分解: 斜めの力（張力 \(T\)）は必ず水平・鉛直成分に分解し、それぞれの方向のつりあいに組み込みます。
  3. 状態の変化を見抜く: 「おもりの位置が変わる」＝「モーメントのバランスが変わる」＝「必要な摩擦力が変わる」という因果関係を意識します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 摩擦力の向きの勘違い:
  • 誤解: 摩擦力は常に運動方向と逆だと思い込み、静止している場合でも適当に向きを決めてしまう。
  • 対策: 「もし摩擦がなかったらどう動くか？」を想像します。この問題なら棒は下に滑り落ちるので、摩擦力はそれを止める「上向き」に働きます。
• 腕の長さの取り違え:
  • 誤解: 「力点までの距離」を単純に棒の長さ \(l\) だと思い込み、角度を考慮せずに計算してしまう。
  • 対策: 必ず「回転軸から力の作用線に下ろした垂線の長さ」を確認します。ただし、この問題のように棒が水平で力が垂直な場合は、棒上の距離がそのまま腕の長さになります。
• 最大摩擦力の適用ミス:
  • 誤解: 問(3)のような静止状態でも \(F = \mu N\) を使ってしまう。
  • 対策: 「滑り出す直前」「限界」という言葉があるときだけ \(\mu N\) を使います。それ以外は未知数 \(F\) として扱います。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 問(1)での公式選択（モーメントのつりあい）:
  • 選定理由: 未知数 \(N_0, F_0\) を求めずに \(T_0\) だけを知りたい場合、\(N_0, F_0\) が集中する点Aを支点としたモーメントの式が最適です。
  • 適用根拠: 未知数を消去できるため、連立方程式を解く手間が省けます。
• 問(6)での公式選択（別解：点Aまわりのモーメント）:
  • 選定理由: 最終的に \(x\) を求めたい場合、\(N\) や \(\mu N\) を消去できる点Aまわりのモーメント式を使うと、\(T\) と \(x\) の関係が直接得られ、計算が速いです。
  • 適用根拠: どの点を支点にしてもモーメントのつりあいは成立するため、計算が最も楽になる点を選ぶのが賢い戦略です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式の次元確認（ディメンションチェック）:
  • 答えが出たら単位を確認します。
  • (1)の張力は \([M][L][T]^{-2}\)（力）。
  • (6)の \(x\) は \([L]\)（長さ）。分母分子で \(\mu\)（無次元）の項がキャンセルされ、\(l\)（長さ）が残るので正しいです。
• 極限的なケースでの検算:
  • もし \(\mu \to \infty\)（摩擦が無限大）だったら？ 分母の \(\sqrt{3}\mu\) が支配的になり、\(x \to \frac{3}{2}l\) となります。これは棒の長さを超えており、どこに置いても滑らないことを示唆します。
  • もし \(\mu\) が非常に小さかったら？ 分子が負になり \(x < 0\) となります。これは、おもりをどこに置いても（Bから離しても）滑ってしまうことを意味します。
• 係数の処理:
  • \(\sin 30^\circ = 1/2\)、\(\cos 30^\circ = \sqrt{3}/2\) などの係数が頻出します。分母の2を掛け忘れたりしないよう、途中式を丁寧に書きましょう。

ABOUT THE AUTHOR

共田 誠（まこと先生）

高校物理講師・プロ家庭教師 / 指導歴14年

上智大学理工学部物理学科卒。私立高校の非常勤講師として進学クラスから基礎クラスまで幅広く担当。大手家庭教師センター3社でプロ家庭教師を経験し、現在はオンライン専門で全国の高校生を個別指導中。

「暗記物理の撲滅」を掲げ、生徒の思考のクセを診断・矯正するドクター型アプローチで指導。表面的なテクニックではなく、初見の問題に強い思考力を育てる。

800+解説記事

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