「リードα 物理基礎・物理 改訂版」徹底解説！【第21章】基本問題361～369

基本問題

361 箔検電器

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「箔検電器の動作原理と静電誘導」です。静電誘導という現象を、導体内の自由電子の動きによって段階的に説明し、箔検電器の箔が開いたり閉じたりする様子を正しく理解しているかが問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
負に帯電した棒を、電気的に中性な箔検電器に近づける場面です。箔検電器は金属（導体）なので、「静電誘導」が起こります。負の棒が近づくことで、導体内の自由電子（負）がどのような力を受けて移動するかを考えます。
この設問における重要なポイント

• (a) 箔検電器は金属（導体）なので、起こる現象は「静電誘導」。
• (b) 負の棒が近づくと、自由電子は反発して下に逃げる。その結果、電子が不足した上部の金属円板は「正」に帯電する。
• (c) 自由電子が逃げてきて過剰になった下部の箔は「負」に帯電する。
• (d) 2枚の箔はどちらも負に帯電するため、同種電荷の斥力によって互いに反発し、「開く」。

具体的な解説と立式
(a) 箔検電器は金属でできているので、帯電体を近づけると自由電子が移動する「静電誘導」が起こります。

(b) 負に帯電した棒を金属円板に近づけると、棒の負電荷と金属内の自由電子（負）との間に斥力がはたらきます。このため、自由電子は棒からできるだけ遠くへ逃げようとし、金属円板から金属箔の方へ移動します。その結果、電子が不足した金属円板は正に帯電します。

(c) 一方、金属円板から移動してきた自由電子が集まった金属箔は、電子が過剰な状態となり、負に帯電します。

(d) 2枚の金属箔は、どちらも負に帯電します。同種の電荷は互いに反発しあうため、箔は斥力によって開きます。

この設問は定性的な理解を問うものであり、計算過程はありません。

1. 金属でできた箔検電器に、マイナスの電気を持つ棒を近づけます。
2. 金属の中には、自由に動き回れるマイナスの粒「自由電子」がいます。自由電子は、近づいてきた棒のマイナス電気と反発し、「逃げろ！」と一斉に下の方（金属箔）へ避難します。
3. その結果、上の方（金属円板）は電子に出ていかれてしまったのでプラスの状態に、下の箔は電子がたくさん集まってきてマイナスの状態になります。
4. 2枚の箔は両方ともマイナスになったので、マイナス同士で反発しあい、箔は「パッ」と開きます。

一連の現象は静電誘導の基本原理で説明でき、論理的に妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
帯電した棒を近づけたまま、金属円板に指で触れる（接地する）場面です。指（人体）も導体なので、箔検電器は地球という非常に大きな導体とつながった状態になります。箔に溜まっていた自由電子にとって、より遠くへ逃げるための「避難経路」ができたことになります。
この設問における重要なポイント

• (e) 箔に溜まっていた自由電子は、指を通じて人体（地球）へと逃げていく。これにより箔の負電荷がなくなり、箔同士の斥力がなくなるため、箔は「閉じる」。
• (f) 移動するのは負の電荷を持つ電子なので、箔検電器から人体へ逃げるのは「負」の電気である。

具体的な解説と立式
(e) 負の帯電棒を近づけたまま金属円板に指で触れると、箔検電器と人体が電気的につながります。箔に集まっていた自由電子は、帯電棒の負電荷からさらに遠くへ逃げようとし、指（人体）を通って地球へと移動していきます。その結果、箔は過剰な電子を失い、電気的に中性に戻ります。2枚の箔の間に斥力がはたらかなくなるため、箔は重力で垂れ下がり、「閉じる」ことになります。

(f) このとき、箔検電器から人体（地球）へ移動したのは、負の電荷を持つ自由電子です。

この設問は定性的な理解を問うものであり、計算過程はありません。

1. (1)の状態で、箔にはマイナスの電子がたくさん集まっていました。
2. ここに指で触れると、電子たちにとって「人体を通って地球へ」という、もっと広大な避難場所への道が開けます。
3. 電子たちは喜んで指を伝って逃げていくので、箔には余分な電子がいなくなります。
4. その結果、箔同士の反発力がなくなり、箔は「スッ」と閉じます。
5. このとき逃げていったのは、もちろんマイナスの電気を持つ電子です。

接地により箔の電子が人体へ逃げ、箔が閉じるという現象は、静電誘導と接地の組み合わせで起こる典型的な現象です。

問(3)

思考の道筋とポイント
(2)の状態から、「まず指を離し、次に棒を遠ざける」という操作を行います。この操作の順序が重要です。指を離した瞬間に、箔検電器は電気的に孤立し、その時点での電荷が閉じ込められます。
この設問における重要なポイント

• (g) 指を離した時点では、負の棒がまだ近くにあるため、金属円板の正電荷は棒の引力によって円板部分に引きつけられています。このとき箔検電器全体としては電子不足（正に帯電）の状態です。次に棒を遠ざけると、円板に集まっていた正電荷が箔検電器全体（円板と箔）に広がります。その結果、2枚の箔はどちらも正に帯電し、斥力によって再び「開く」。

具体的な解説と立式
(g) (2)の指を触れている状態では、金属円板は正に帯電し、箔は中性でした。この状態で指を離すと、箔検電器は人体から電気的に切り離されます。このとき、箔検電器全体としては、電子が逃げていった分だけ電子不足、すなわち正に帯電した状態になっています。

次に、負に帯電した棒を遠ざけると、金属円板に引きつけられていた正電荷を縛り付けるものがなくなります。この正電荷（電子の不足分）は、導体である箔検電器全体に広がろうとし、金属円板と金属箔の両方に分布します。

その結果、2枚の箔はどちらも正に帯電することになり、同種電荷の斥力によって互いに反発しあい、再び「開く」ことになります。

この設問は定性的な理解を問うものであり、計算過程はありません。

1. (2)の最後、指を離した瞬間を考えます。このとき、箔検電器全体としては、電子が逃げてしまったので「プラス」に帯電しています。ただし、マイナスの棒がまだ近くにいるので、プラスの電気は棒に引かれて全部上の円板に集まっています。
2. 次に、棒を遠ざけると、円板に集まっていたプラスの電気を縛り付けるものがなくなります。プラスの電気同士も反発するので、「みんな散らばろう！」と箔検電器全体（円板と箔）に広がります。
3. その結果、下の箔もプラスの電気を帯びることになり、プラス同士で反発しあって、箔は再び「パッ」と開きます。

一連の操作により、もともと中性だった箔検電器を正に帯電させることができました。これは静電誘導を利用した物体の帯電方法として基本的なものです。

問：この後、再び負に帯電した棒を上部の金属円板に近づけると、箔はどうなるか。

思考の道筋とポイント
(3)の操作後、箔検電器は全体として正に帯電しており、箔は開いています。この状態の箔検電器に、再び負に帯電した棒を近づけたときの変化を考えます。静電誘導が再び起こりますが、今回は初期状態が中性ではなく、正に帯電している点が異なります。
この設問における重要なポイント

• 箔検電器は全体として正に帯電している（＝電子が不足している）。
• 負の棒を近づけると、残っているわずかな自由電子が、棒からの斥力で下に追いやられる。
• 同時に、箔検電器全体の正電荷（電子の不足分）は、棒の引力によって上に引き寄せられる。
• この2つの効果により、箔の正電荷は減少し、箔の開きは小さくなる。

具体的な解説と立式
(3)の操作後、箔検電器は全体が正に帯電しています。これは、金属円板も金属箔も、どちらも電子が不足している状態を意味します。このため、箔は開いています。

ここに再び負に帯電した棒を近づけると、以下の2つの現象が同時に起こります。

1. 自由電子の移動: 箔検電器内に残っている数少ない自由電子が、棒の負電荷からの斥力によって、金属円板から金属箔の方へ移動します。これにより、箔の電子不足が少し解消されます（正の度合いが弱まる）。
2. 正電荷の移動: 箔検電器全体に分布している正電荷（正確には、電子が抜けた穴である正孔のようなもの）は、棒の負電荷からの引力によって、金属箔から金属円板の方へ引き寄せられます。これも、箔の電子不足を解消する（正の度合いを弱める）効果があります。

これらの結果、箔の正電荷は減少し、箔同士の斥力が弱まるため、箔は「閉じていく」ことになります。

（もし、棒の負電荷が非常に強ければ、箔の正電荷をすべて中和し、さらに電子を送り込んで箔を負に帯電させ、再び開かせることも可能ですが、一般的には「閉じていく」と考えます。）

この設問は定性的な理解を問うものであり、計算過程はありません。

1. 今の箔検電器は、全体がプラスの電気を帯びていて、その反発力で箔が開いています。
2. ここに、再びマイナスの棒を近づけます。
3. すると、箔にあったプラスの電気は、棒のマイナスに引かれて、どんどん上の方（金属円板）へ吸い寄せられていきます。
4. その結果、下の箔のプラス電気が減っていくので、箔同士の反発力が弱まり、箔は「しだいに閉じて」いきます。

正に帯電して開いている箔検電器に負の帯電体を近づけると、箔は閉じていきます。これは、静電誘導によって箔の電荷が中和される方向に電荷が移動するためであり、物理的に妥当な結論です。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 静電誘導のメカニズム:
  • 核心: この問題は、「導体内の自由電子が、外部の電荷からの静電気力によって移動し、電荷の偏りを生み出す」という静電誘導のプロセスを、段階的に理解しているかを問うています。
  • 理解のポイント:
    • 主役は自由電子: 箔検電器の振る舞いは、すべて負の電荷を持つ「自由電子」の動きで説明されます。「正の電荷が動く」のではなく、「電子が去った跡が正になる」と理解することが極めて重要です。
    • 力の原因: 自由電子を動かす力の源は、近づいてきた帯電体との間に働くクーロン力（引力または斥力）です。
• 接地（アース）の役割:
  • 核心: 「接地」とは、導体を地球という事実上無限の電子の供給源（または受け皿）に接続することである、という概念を理解することが重要です。
  • 理解のポイント:
    • 電子の逃げ道: 負の帯電体を近づけた場合、反発した電子は箔検電器内にとどまらず、人体（地球）というより広大な場所へ逃げていくことができます。
    • 電子の供給源: もし正の帯電体を近づけた場合、引き寄せられた電子は箔検電器内だけでなく、地球から無限に供給されます。
• 操作の順序の決定的な重要性:
  • 核心: 静電誘導を利用して導体を帯電させるには、操作の順序が決定的な意味を持つことを理解する必要があります。
  • 理解のポイント:
    • 電荷の確定: 「帯電体を近づけたまま、接地を断つ（指を離す）」という操作が、箔検電器全体の電荷を確定させる（この問題では電子不足＝正帯電に確定させる）ための鍵となります。
    • 順序を逆にすると: もし先に帯電体を遠ざけてから指を離すと、箔検電器内の電荷の偏りは解消され、電子は人体から戻ってきてしまい、結果として帯電しません。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 正の帯電体を近づける問題: すべての電子の動きが逆になります。正の棒を近づけると、電子は円板に引き寄せられ、箔が正に帯電して開きます。接地すると、地球から電子がやってきて箔は閉じます。指を離し棒を遠ざけると、箔検電器は負に帯電して開きます。
  • 帯電の有無と種類の判別: 帯電しているか不明な物体を、帯電済みの箔検電器に近づける問題。例えば、正に帯電して開いている箔検電器に未知の物体を近づけ、箔が「さらに開けば」物体は正、「閉じれば」物体は負であると判別できます。
  • 導体球と接地: 箔検電器の代わりに、金属球を接地しながら帯電させる問題も、電子の動きの原理は全く同じです。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 帯電体の符号を確認: まず、近づける帯電体が正か負かを確認します。これが電子を「引き寄せる」か「反発させる」かを決定します。
  2. 自由電子の動きをステップごとに追跡: 「近づける」→「触れる」→「離す」→「遠ざける」という各操作段階で、自由電子がどこからどこへ移動するのかを一つずつ考え、図に書き込んでいきます。
  3. 箔の状態を判断: 各段階で、「2枚の箔が同種の電荷を帯びているか？」を考えます。同種（＋と＋、または－と－）であれば斥力で「開く」、そうでなければ（中性、または＋と－）「閉じる」と判断します。
  4. 全体の電荷を意識する: 特に接地を断つ（指を離す）瞬間に、箔検電器「全体」として電子が過剰なのか不足しているのかを確定させることが、最終的な帯電状態を正しく予測する鍵です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 正の電荷が移動するという誤解:
  • 誤解: (1b)で金属円板が正になるのを、「正の電荷が集まってきた」と考えてしまう。
  • 対策: 金属内で動けるのは自由電子だけ、という大原則を徹底しましょう。正に帯電するのは、あくまで「負の電荷を持つ電子が去った結果、もともとそこにあった動けない原子核（正）が表面化した」状態です。
• 接地したときの電子の動きの誤解:
  • 誤解: (2f)で指を触れると、棒の負電荷が人体に逃げると勘違いする。
  • 対策: 電気が移動するのは、あくまで導線でつながった部分だけです。棒と箔検電器は離れているので、棒の電荷は移動できません。移動するのは、箔検電器「内部」の自由電子です。
• 最後の問いの挙動の誤解:
  • 誤解: (3)で正に帯電して開いた箔に、再び負の棒を近づけると、引力が働くから箔はさらに開くと考えてしまう。
  • 対策: 箔が開くのは「箔同士の斥力」が原因です。負の棒を近づけると、箔検電器全体の正電荷（電子の不足分）は、棒の引力によって上部の円板に引き寄せられます。その結果、下部の箔の正電荷が減るため、斥力が弱まり、箔は「閉じていく」のです。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• この問題は公式ではなく、物理モデルの定性的・概念的な理解を問うています。
  • 自由電子モデル: 導体の振る舞いを説明する根拠は、金属内の電子が特定の原子に束縛されず、金属全体を自由に動き回るガスのようなものと見なす「自由電子モデル」に基づいています。外部から電場がかかると、この電子ガス全体が移動することで静電誘導が起こります。
  • クーロン力: 自由電子を動かす力の根源は、近づいてきた帯電体と自由電子との間に働くクーロン力（引力または斥力）です。このミクロな力が、マクロな現象である箔の開閉を引き起こします。
  • 思考のプロセス: この問題で求められるのは、公式を適用する能力ではなく、一連の物理現象を「自由電子の動き」というミクロな視点で再構築し、その結果を論理的に説明する能力です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• この問題には定量的な計算は含まれませんが、論理的なミスをなくすためのテクニックは存在します。
• 段階的な図解: 思考の各ステップを図に描くことが非常に有効です。
  1. 初期状態（中性、箔は閉じている）
  2. 負の棒を近づけた状態（円板に＋、箔に－が偏り、箔が開く）
  3. 指で触れた状態（箔の－が地球に逃げ、箔が閉じる）
  4. 指を離した状態（全体が＋に帯電確定、ただし＋は円板に集中）
  5. 棒を遠ざけた状態（＋が全体に広がり、箔が開く）

  このように段階を追って図を描くことで、思考のプロセスが明確になり、間違いを防ぐことができます。

• 電子を主人公にする: 「もし自分が箔検電器内の自由電子だったら、この場面でどう動くか？」と考えることで、現象を直感的に理解しやすくなります。負の電荷が近づけば反発して逃げるし、接地されればもっと遠くに逃げる、といった具合です。

362 2つの点電荷による電場

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「複数の点電荷が作る電場と重ね合わせの原理」です。一直線上に配置された2つの点電荷が、特定の点に作る電場を計算する問題です。電場がベクトル量であることを理解し、正しく合成（重ね合わせ）できるかが問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
点Aにある正電荷\(+4q\)が、点Mに作る電場\(\vec{E}_A\)を求めます。点電荷が作る電場の公式 \(E = k \displaystyle\frac{|Q|}{r^2}\) に、電荷の大きさと距離を代入します。向きは、正電荷なので遠ざかる向きです。
この設問における重要なポイント

• 電荷は \(Q = +4q\)。
• 点MはABの中点なので、Aからの距離は \(r\)。
• 電荷が正なので、電場の向きはAから遠ざかる向き、すなわちA→Bの向き。

具体的な解説と立式
点電荷のまわりの電場の式 \(E = k \displaystyle\frac{|Q|}{r^2}\) を用います。
点Aの電荷は \(Q = +4q\)、点Mまでの距離は \(r\) です。これらを代入して、電場の強さ\(E_A\)を求めます。
$$ E_A = k \frac{|+4q|}{r^2} $$
点Aの電荷は正なので、点Mに作る電場の向きは、Aから遠ざかる向き、すなわちA→Bの向きです。

$$
\begin{aligned}
E_A &= k \frac{4q}{r^2} \\[2.0ex] &= \frac{4kq}{r^2}
\end{aligned}
$$

A地点にある「プラスの電気」が、真ん中のM地点にどれくらいの強さで、どちら向きの電場を作るかを計算します。公式に電気の量（\(4q\)）と距離（\(r\)）を当てはめるだけです。A地点の電気がプラスなので、電場はAから離れる向き、つまり右（A→B）向きになります。

点Aの電荷による点Mの電場は、強さが \(\displaystyle\frac{4kq}{r^2}\) で、向きはA→Bの向きです。

問(2)

思考の道筋とポイント
点Bにある負電荷\(-q\)が、点Mに作る電場\(\vec{E}_B\)を求めます。(1)と同様に、点電荷が作る電場の公式を適用します。向きは、負電荷なので近づく向きです。
この設問における重要なポイント

• 電荷は \(Q = -q\)。
• 点MはABの中点なので、Bからの距離は \(r\)。
• 電荷が負なので、電場の向きはBに近づく向き、すなわちA→Bの向き。

具体的な解説と立式
点電荷のまわりの電場の式 \(E = k \displaystyle\frac{|Q|}{r^2}\) を用います。
点Bの電荷は \(Q = -q\)、点Mまでの距離は \(r\) です。これらを代入して、電場の強さ\(E_B\)を求めます。
$$ E_B = k \frac{|-q|}{r^2} $$
点Bの電荷は負なので、点Mに作る電場の向きは、Bに引き寄せられる向き、すなわちA→Bの向きです。

$$
\begin{aligned}
E_B &= k \frac{q}{r^2} \\[2.0ex] &= \frac{kq}{r^2}
\end{aligned}
$$

B地点にある「マイナスの電気」が、真ん中のM地点に作る電場を計算します。(1)と同じ公式に、電気の量（\(q\)）と距離（\(r\)）を当てはめます。B地点の電気がマイナスなので、電場はBに引き寄せられる向き、つまりこれも右（A→B）向きになります。

点Bの電荷による点Mの電場は、強さが \(\displaystyle\frac{kq}{r^2}\) で、向きはA→Bの向きです。

問(3)

思考の道筋とポイント
点Mにおける合成電場\(\vec{E}\)を求めます。重ね合わせの原理により、\(\vec{E} = \vec{E}_A + \vec{E}_B\) となります。(1)と(2)の結果を見ると、\(\vec{E}_A\)と\(\vec{E}_B\)はどちらも同じ向き（A→Bの向き）です。したがって、合成電場の強さは、2つの電場の強さの単純な和になります。
この設問における重要なポイント

• 電場の重ね合わせの原理はベクトル和である。
• 2つのベクトルが同じ向きなので、大きさの和を計算すればよい。

具体的な解説と立式
点Mにおける合成電場\(\vec{E}\)は、\(\vec{E}_A\)と\(\vec{E}_B\)のベクトル和です。
$$ \vec{E} = \vec{E}_A + \vec{E}_B $$
(1), (2)より、\(\vec{E}_A\)と\(\vec{E}_B\)はともにA→Bの向きを向いているため、合成電場の強さ\(E\)は、それぞれの強さの和となります。
$$ E = E_A + E_B $$

$$
\begin{aligned}
E &= \frac{4kq}{r^2} + \frac{kq}{r^2} \\[2.0ex] &= \frac{5kq}{r^2}
\end{aligned}
$$
向きは、\(\vec{E}_A\), \(\vec{E}_B\)と同じくA→Bの向きです。

M地点での最終的な電場を求めます。(1)で計算したAからの電場と、(2)で計算したBからの電場を合体させます。今回は、たまたま両方の電場が同じ右向きだったので、単純に強さを足し算するだけでOKです。

点Mにおける合成電場は、強さが \(\displaystyle\frac{5kq}{r^2}\) で、向きはA→Bの向きです。

問(4)

思考の道筋とポイント
合成電場が0になる点を探す問題です。電場はベクトルなので、合成電場が0になるためには、2つの電荷が作る電場の「大きさが等しく、向きが逆」になる必要があります。
まず、どの領域にその点が存在しうるかを考えます。

• AとBの間: \(\vec{E}_A\)も\(\vec{E}_B\)もA→Bの向きなので、打ち消しあうことはなく、電場は0になりません。
• Aの左側: Aからの距離を\(x\)とすると、Bからの距離は\(2r+x\)。\(\vec{E}_A\)はB→A向き、\(\vec{E}_B\)はA→B向きで逆向きです。しかし、電荷の大きい\(+4q\)の方が常に近くにあるため、\(|\vec{E}_A| > |\vec{E}_B|\)となり、電場は0になりません。
• Bの右側: この領域でのみ、電場が0になる可能性があります。電荷の大きい\(+4q\)から遠く、電荷の小さい\(-q\)に近いので、2つの電場の大きさが等しくなる点が存在し得ます。

この設問における重要なポイント

• 合成電場が0になる条件は「大きさが等しく、向きが逆」。
• どの領域に解が存在するかを、電荷の大小と距離の関係から定性的に判断する。
• 方程式を立てて、数学的に解を求める。

具体的な解説と立式
上記の考察から、電場が0になる点は、線分AB上でBの右側にあるとわかります。その点をPとし、Bからの距離を\(x\)とします。
点Pにおける、A(\(+4q\))からの電場の強さ\(E’_A\)は、
$$ E’_A = k \frac{4q}{(2r+x)^2} \quad (\text{向きはA→B}) $$
点Pにおける、B(\(-q\))からの電場の強さ\(E’_B\)は、
$$ E’_B = k \frac{q}{x^2} \quad (\text{向きはB→A}) $$
点Pで電場が0になるためには、これらの大きさが等しくなければなりません。
$$ E’_A = E’_B $$
よって、
$$ k \frac{4q}{(2r+x)^2} = k \frac{q}{x^2} $$

上記で立式した方程式を解きます。
$$
\begin{aligned}
\frac{4}{(2r+x)^2} &= \frac{1}{x^2}
\end{aligned}
$$
両辺の正の平方根をとると、
$$
\begin{aligned}
\frac{2}{2r+x} &= \frac{1}{x}
\end{aligned}
$$
分母を払って整理します。
$$
\begin{aligned}
2x &= 2r+x \\[2.0ex] x &= 2r
\end{aligned}
$$
したがって、電場が0になる点は、BからAと反対側に\(2r\)の距離にある点です。

Aからの電場とBからの電場が、ちょうど綱引きのように引き分けになる場所を探す問題です。
まず、AとBの間では、両方の電場が同じ右向きなので、引き分けにはなりません。
次に、Aの左側では、Aの方が力が強い（電気が4倍）のに距離も近いので、必ずAが勝ちます。
引き分けになる可能性があるのは、Bの右側だけです。力が強いAから遠く離れ、力が弱いBに近づくことで、ちょうど力がつりあう点が見つかるはずです。
この「力がつりあう」という条件を数式にして解くと、その場所がBから\(2r\)だけ離れた点であることがわかります。

電場が0になる点は、線分AB上でBからAと反対側に\(2r\)の点です。電荷の大きい\(+4q\)から遠く、電荷の小さい\(-q\)に近いという、定性的な考察と一致する妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 電場の重ね合わせの原理:
  • 核心: この問題の根幹は、「複数の電荷が存在するとき、ある点での電場は、各電荷が単独でその点に作る電場を、ベクトルとして足し合わせたものになる」という「重ね合わせの原理」を理解し、適用することです。
  • 理解のポイント:
    • 電場はベクトル: 電場には大きさと向きがあります。したがって、足し算は単純なスカラーの和ではなく、ベクトルの和で行う必要があります。
    • 一直線上のベクトル和: この問題のように、すべてのベクトルが一直線上にある場合、向きを正負の符号で区別することで、計算を単純な代数和（足し算・引き算）に帰着させることができます。
• 点電荷が作る電場の性質:
  • 核心: 点電荷が作る電場の公式 \(E = k \displaystyle\frac{|Q|}{r^2}\) と、電荷の符号によって向きが決まるルールを正確に適用できることが基本となります。
  • 理解のポイント:
    • 向きの決定: 「正電荷からは湧き出し（遠ざかる向き）、負電荷へは吸い込み（近づく向き）」というイメージを確立することが重要です。これにより、各電場ベクトルの向きを機械的に決定できます。
    • 距離の2乗への反比例: 電場は距離の2乗で急激に弱くなるという性質が、(4)で電場が0になる点を探す上で重要な役割を果たします。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 同符号の電荷の場合: 例えば\(+4q\)と\(+q\)のように同符号の電荷が置かれた場合、電場が0になる点は、2つの電荷の「間」に存在します。この場合も、力のつりあいの式を立てて解くことができます。
  • 座標軸が設定されている問題: Aを原点、Bを\(x=2r\)のように座標が与えられている問題。この場合は、電場の向きを「x軸正の向き」「x軸負の向き」として扱い、ベクトルの和を成分計算として行うと分かりやすくなります。
  • 電位が0になる点を求める問題: 同じ電荷配置で「電位が0になる点」を問う問題。電位はスカラーなので、向きを考える必要がなく、各電荷が作る電位 \(V = k \displaystyle\frac{Q}{r}\) の単純な和が0になる点を求めます。電場と電位の扱いの違いを明確に区別することが重要です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 各電荷の符号と大きさを確認: まず、各電荷が正か負か、そしてその大きさの比率（この場合は4:1）を把握します。
  2. 各点での電場の向きを図示: (3)や(4)のように合成電場を考える場合、まず対象となる点に、各電荷がどちら向きの電場を作るかを矢印で図示します。これにより、足し算になるのか引き算になるのかが一目瞭然になります。
  3. (4)での領域の絞り込み: 電場が0になる点を求めるときは、いきなり式を立てるのではなく、まず「Aの左側」「AとBの間」「Bの右側」の3つの領域に分け、各領域で電場の向きがどうなるかを考えます。向きが逆になる領域だけが候補となり、さらに電荷の大小と距離の関係から、解が存在しうる領域を一つに絞り込むことができます。この定性的な考察が、計算ミスを防ぎ、答えの妥当性を確認する上で非常に有効です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• ベクトル和とスカラー和の混同:
  • 誤解: (3)で、2つの電場の向きが同じであることに気づかず、大きさの差をとってしまう。あるいは、(4)で向きが逆であるにもかかわらず、大きさを足してしまう。
  • 対策: 「電場はベクトル量である」ということを常に意識し、「重ね合わせ＝ベクトル和」と肝に銘じましょう。必ずベクトルを図示し、向きを考慮した上で、足し算か引き算かを判断する癖をつけます。
• 距離の計算ミス:
  • 誤解: (4)で点Pの位置を設定する際に、Aからの距離を \(2r-x\) としたり、分母を2乗し忘れたりする。
  • 対策: 距離を文字で置くときは、どこを基準にした変数 \(x\) なのかを明確にしましょう。この問題では「Bからの距離を\(x\)」と設定したので、Aからの距離は \(2r+x\) となります。図を描いて距離関係を視覚的に確認することが有効です。
• (4)の二次方程式の解法ミス:
  • 誤解: \(\frac{4}{(2r+x)^2} = \frac{1}{x^2}\) という式を、平方根をとらずに展開してしまい、複雑な二次方程式を解こうとして計算ミスをする。
  • 対策: この形の式は、まず両辺の平方根をとるのが定石です。\(\frac{2}{2r+x} = \pm \frac{1}{x}\) となりますが、物理的な状況（PがBの右側にある）から \(x>0\) かつ \(2r+x>0\) なので、正の平方根だけを考えればよいことがわかります。これにより、計算が一次方程式になり、非常に簡単になります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 点電荷が作る電場の公式:
  • 選定理由: 問題で扱われているのが「点電荷」であり、求めたいのが「電場」であるため、これらを直接結びつける定義式である \(E = k \displaystyle\frac{|Q|}{r^2}\) を選択します。
  • 適用根拠: この公式は、クーロンの法則 \(F = k \displaystyle\frac{|q_1 q_2|}{r^2}\) を、電場の定義 \(E=F/q\) （ある点での電場とは、その点に置いた単位電荷が受ける力である）に基づいて書き換えたものです。クーロンの法則が成り立つ物理的状況であれば、この公式も同様に適用できます。
• 電場の重ね合わせの原理:
  • 選定理由: (3)と(4)では、複数の電荷源（AとB）が存在する空間のある一点での電場を求める、という状況設定そのものが、この原理の適用を要求しています。
  • 適用根拠: 電磁気学において、電場（や磁場）は重ね合わせの原理が成り立つ線形な系です。これは、一つの電荷が作る電場は、他の電荷の存在によって影響を受けない（歪められない）という実験事実に基づいています。したがって、各電荷が作る電場を独立に計算し、それらを後からベクトル的に足し合わせるという操作が物理的に正当化されます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 共通因数を活用する: (1)から(3)の計算では、\(\frac{kq}{r^2}\) という項が共通して現れます。これを一つの塊（例えば \(E_0 = \frac{kq}{r^2}\)）として扱うと、計算の見通しが良くなります。
  • \(E_A = 4E_0\)
  • \(E_B = E_0\)
  • \(E = E_A + E_B = 4E_0 + E_0 = 5E_0 = \frac{5kq}{r^2}\)

  このように、文字式のまま計算を進めることで、単純な係数計算に集中でき、ミスを減らせます。

• 比を利用する: (4)で \(E’_A = E’_B\) の式を立てた後、\(k\) や \(q\) をすぐに約分して消去することで、\(\frac{4}{(2r+x)^2} = \frac{1}{x^2}\) という、よりシンプルな比の関係式に帰着させることができます。不要な文字を早い段階で消去することが、計算を簡潔にするコツです。
• 解の吟味: (4)で \(x=2r\) という解が得られたら、それが物理的に妥当かを確認します。この点は、電荷の大きい\(+4q\)からの距離が \(4r\)、電荷の小さい\(-q\)からの距離が \(2r\) となります。電場の強さは電荷の大きさに比例し、距離の2乗に反比例するので、強さの比は \(\frac{4q}{(4r)^2} : \frac{q}{(2r)^2} = \frac{4}{16} : \frac{1}{4} = \frac{1}{4} : \frac{1}{4}\) となり、確かにつりあっていることがわかります。このような検算（吟味）の習慣が、答えの確信度を高めます。

363 電場の重ねあわせ

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「複数の点電荷が作る電場のベクトル合成と電気力線」です。2次元平面上に配置された点電荷が作る電場を、ベクトルとして正しく作図・合成できるか、また、その電場の様子を電気力線で視覚的に表現できるかが問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
点Cにおける合成電場を求める問題です。まず、点Aの電荷(\(+q\))と点Bの電荷(\(-q\))が、それぞれ単独で点Cにどのような電場を作るかを考えます。次に、それら2つの電場ベクトルを、重ね合わせの原理に従ってベクトル的に合成します。
この設問における重要なポイント

• 各電場の向き:
  • \(\vec{E}_A\)：点Aの電荷は正なので、AからCへ向かう向き（Aから遠ざかる向き）。
  • \(\vec{E}_B\)：点Bの電荷は負なので、CからBへ向かう向き（Bに近づく向き）。
• 各電場の大きさ: A, Bの電荷の絶対値は等しく、Cまでの距離も等しい（正三角形なのでAC=BC）ため、\(|\vec{E}_A| = |\vec{E}_B|\)となります。
• ベクトル合成: 作図すると、\(\vec{E}_A\)と\(\vec{E}_B\)は、大きさが等しく、なす角が\(120^\circ\)の2つのベクトルとなります。これらを合成すると、ひし形（平行四辺形）の対角線が合成ベクトル\(\vec{E}\)となり、その向きはABと平行になります。

具体的な解説と立式
点Aの電荷(\(q_A = +2.0 \times 10^{-9} \, \text{C}\))が点Cに作る電場を\(\vec{E}_A\)、点Bの電荷(\(q_B = -2.0 \times 10^{-9} \, \text{C}\))が点Cに作る電場を\(\vec{E}_B\)とします。

• 向き: \(\vec{E}_A\)はA→Cの向き、\(\vec{E}_B\)はC→Bの向きです。
• 大きさ: A, Bの電荷の絶対値は等しく、距離もAC = BC = \(2.0 \, \text{m}\)で等しいので、それぞれの電場の大きさ\(E_A, E_B\)は等しくなります。
  $$ E_A = E_B = k \frac{|q_A|}{(\text{AC})^2} $$

合成電場\(\vec{E}\)は、\(\vec{E} = \vec{E}_A + \vec{E}_B\)で求められます。
\(\triangle ABC\)は正三角形なので、\(\angle ACB = 60^\circ\)です。\(\vec{E}_A\)と\(\vec{E}_B\)のなす角は\(120^\circ\)となります。
作図すると、\(\vec{E}_A\), \(\vec{E}_B\), \(\vec{E}\)が作る三角形は、辺の長さが\(E_A, E_B, E\)で、間の角が\(60^\circ\)の二等辺三角形、すなわち正三角形になることがわかります。
したがって、合成電場の大きさ\(E\)は、\(E_A\)（または\(E_B\)）の大きさに等しくなります。
$$ E = E_A = E_B $$

$$
\begin{aligned}
E &= k \frac{|q_A|}{(\text{AC})^2} \\[2.0ex] &= (9.0 \times 10^9) \times \frac{2.0 \times 10^{-9}}{(2.0)^2} \\[2.0ex] &= (9.0 \times 10^9) \times \frac{2.0 \times 10^{-9}}{4.0} \\[2.0ex] &= 9.0 \times \frac{2.0}{4.0} \\[2.0ex] &= 4.5 \, [\text{N/C}] \end{aligned}
$$

C地点での電場を調べます。

1. まず、A地点のプラスの電気は、C地点に「AからCへ向かう向き」の電場を作ります。
2. 次に、B地点のマイナスの電気は、C地点に「CからBへ向かう向き」の電場を作ります。
3. この2つの電場（矢印）を合成します。図形の形がきれいな正三角形なので、2つの矢印の長さは同じで、なす角度は\(120^\circ\)です。これを合成すると、ちょうど真横（ABと平行）を向いた、同じ長さの矢印になります。
4. したがって、最終的な電場の強さは、A（またはB）が単独で作る電場の強さを計算するだけで求めることができます。

点Cでの電場ベクトルの大きさは \(4.5 \, \text{N/C}\) です。作図により、向きは辺ABと平行でA→Bの向きであることもわかります。

問(2)

思考の道筋とポイント
電気力線の概略図を描く問題です。電気力線の基本的な性質と、この電荷配置（電気双極子）が持つ対称性を考慮して作図します。
この設問における重要なポイント

• 始点と終点: 電気力線は正電荷(\(A\))から出て、負電荷(\(B\))に入る。
• 対称性:
  • 電荷の絶対値が等しいので、電気力線は線分ABの垂直二等分線Lに関して線対称になる。
  • また、直線ABに関しても（上下で）線対称になる。
• 密度: 電荷に近いところでは電気力線は密になり、遠くなるにつれて疎になる。
• 直交性: 電気力線は、垂直二等分線Lと直交する。
• 禁止事項: 電気力線同士が交差したり、枝分かれしたりすることはない。

具体的な解説と立式
この設問は作図問題であり、数式による立式はありません。以下のルールに従って作図します。

1. 正電荷Aから、放射状に電気力線を描き始めます。
2. 負電荷Bへ、放射状に電気力線が入るように描きます。
3. Aから出た電気力線が、滑らかな曲線を描いてBに入るように結びます。
4. 電荷の絶対値が等しいので、Aから出る本数とBに入る本数は同じにします。
5. 全体の形が、直線ABと、その垂直二等分線Lの両方に対して対称になるように描きます。
6. AからBへ向かう直線上の線や、Aから出て大きく迂回してBに入る線などを描き加えます。
7. 最後に、すべての線にA→Bの向きを示す矢印を入れます。

この設問は作図問題であり、計算過程はありません。

電気力線とは、電場の様子を視覚的に表した「流れの地図」のようなものです。以下のルールを守って地図を描きます。

1. 流れは必ずプラス（A）から出発し、マイナス（B）でゴールする。
2. 流れの線同士は、絶対に交わったり枝分かれしたりしない。
3. 出発点とゴール地点の近くでは、流れは混み合っている（密度が高い）。
4. 全体の形は、AとBを結ぶ線に対しても、その真ん中の垂直な線に対しても、上下左右で対称なきれいな形になる。

このルールに従うと、解答図のようなラグビーボールに似た形の模様が描けます。

描かれた電気力線は、電気双極子が作る電場の特徴をよく表しています。正電荷から湧き出し、負電荷に吸い込まれる様子や、電荷の近くで電場が強く（線が密に）、遠くで弱い（線が疎に）様子が表現されています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 電場の重ね合わせの原理（ベクトル和）:
  • 核心: この問題の根幹は、「複数の電荷が存在するとき、ある点での電場は、各電荷が単独でその点に作る電場を、ベクトルとして足し合わせたものになる」という「重ね合わせの原理」を、2次元平面上で正しく適用することです。
  • 理解のポイント:
    • ベクトル作図の重要性: 電場はベクトル量であるため、その合成は必ず作図によって考える必要があります。平行四辺形の法則を用いて、大きさと向きの両方を考慮した合成を行わなければなりません。
    • 幾何学的性質の利用: この問題のように、電荷の配置が正三角形などの対称的な図形をなす場合、ベクトルの大きさや角度の関係から、合成ベクトルの大きさや向きを効率的に求めることができます。
• 電気力線の概念と性質:
  • 核心: 電場という目に見えないものを視覚的に表現するためのツールである「電気力線」の定義と基本的な性質を理解していることが問われます。
  • 理解のポイント:
    • 電場の地図: 電気力線は、空間の各点での電場の向き（接線方向）と強さ（密度）を表す「地図」です。
    • 基本的なルール: 「正電荷から出て負電荷に入る」「交差しない」「枝分かれしない」といった、電気力線を描く上での絶対的なルールを記憶し、適用できることが重要です。
    • 対称性: 電荷の配置に対称性があれば、描かれる電気力線のパターンにもその対称性が反映されます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 正方形の頂点に電荷を置く問題: 正方形の4つの頂点に電荷を配置し、中心点での電場を求める問題。対称性から、対角線上にある電荷が作る電場同士が打ち消し合うなど、計算を簡略化できる場合が多いです。
  • 同符号の電荷（例：+qと+q）の場合: 2つの正電荷が作る電場を考える問題。この場合、電気力線は両方の正電荷から湧き出し、互いに反発しあうようなパターンを描きます。特に、2つの電荷を結ぶ線分の中点では、電場は対称性からゼロになります。
  • 電気双極子が作る電場（軸上）: 本問のような電荷配置（電気双極子）で、2つの電荷を結ぶ直線上での電場を求める問題。場所によって、2つの電場が強め合うか弱め合うかが変わります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 電荷の配置と対称性の確認: まず、電荷がどのような幾何学的配置にあるかを確認し、対称性がないかを探します。対称性があれば、計算が大幅に楽になる可能性があります。
  2. 各電場ベクトルの作図: 対象となる点に、各電荷が作る電場ベクトルを、向きと相対的な大きさを考慮して丁寧に作図します。これがすべての基本です。
  3. ベクトル合成の方法を選択: 作図したベクトルを見て、合成の方法を考えます。
     • 幾何学的な性質（例：正三角形、二等辺三角形）が利用できれば、三角比や図形の性質で解くのが速いです。
     • 角度が複雑な場合は、各ベクトルをx, y成分に分解して、成分ごとに足し合わせる方法が確実です。
  4. 電気力線を描く際のポイント:
     • まず、電荷の符号から、線がどこから出てどこへ入るかを確定させます。
     • 次に、電荷配置の対称性を探し、作図のガイドラインとします。
     • 電荷の近くは密に、遠くは疎に描くことを意識します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• ベクトル合成の誤り:
  • 誤解: (1)で、2つの電場の大きさ \(E_A\) と \(E_B\) を単純に足し算や引き算してしまう。
  • 対策: 電場はベクトルであることを常に念頭に置き、必ず作図を伴うベクトル合成（平行四辺形の法則）を行う癖をつけましょう。大きさが同じでも、向きが異なれば単純な足し算にはなりません。
• ベクトルのなす角の間違い:
  • 誤解: \(\vec{E}_A\) と \(\vec{E}_B\) のなす角を、\(\triangle ABC\) の内角である \(60^\circ\) と勘違いしてしまう。
  • 対策: ベクトルは平行移動しても変わらないので、2つのベクトルの始点を点Cにそろえて考えます。\(\vec{E}_A\) は辺ACの延長線上、\(\vec{E}_B\) は辺BC上にあるので、そのなす角は \(180^\circ – 60^\circ = 120^\circ\) となります。必ず図を描いて角度を確認しましょう。
• 電気力線のルール違反:
  • 誤解: 電気力線を途中で交差させたり、負電荷から線が出ているように描いてしまう。
  • 対策: 「正から出て、負に入る」「交差しない」「枝分かれしない」という電気力線の3大ルールを呪文のように覚えておき、作図後に必ずチェックする習慣をつけましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 点電荷が作る電場の公式:
  • 選定理由: 問題で扱われているのが「点電荷」であり、求めたいのが「電場」であるため、これらを直接結びつける定義式である \(E = k \displaystyle\frac{|Q|}{r^2}\) を選択します。
  • 適用根拠: この公式は、クーロンの法則に基づいて定義されており、点電荷のまわりの空間の電気的な性質を記述する最も基本的な式です。
• 電場の重ね合わせの原理:
  • 選定理由: 電荷源が複数（AとB）存在し、ある一点（C）での電場を求めるという状況設定そのものが、この原理の適用を要求しています。
  • 適用根拠: 電場は重ね合わせの原理が成り立つ線形な系です。これは、一つの電荷が作る電場は、他の電荷の存在によって影響を受けないという実験事実に基づいています。したがって、各電荷が作る電場を独立に計算し、それらを後からベクトル的に足し合わせるという操作が物理的に正当化されます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 図形の性質を最大限に活用する: この問題では、\(\triangle ABC\)が正三角形であること、そして電荷の絶対値が等しいことから、\(|\vec{E}_A| = |\vec{E}_B|\) であることがすぐにわかります。これにより、合成後の図形がひし形になり、さらに角度の関係から、合成電場の大きさが \(|\vec{E}| = |\vec{E}_A|\) となることを見抜けます。このように、物理計算の前に幾何学的な考察をすることで、計算量を大幅に削減できます。
• 単位と指数の確認: 計算結果が出たら、単位が電場の単位 [N/C] になっているかを確認します。また、\(10^9\) と \(10^{-9}\) のように、指数の打ち消し合いや計算を慎重に行うことが、桁の大きなミスを防ぐ上で重要です。
• 電気力線のチェックリスト: (2)で作図した後は、以下の項目をセルフチェックすると良いでしょう。
  • 正電荷から出ているか？
  • 負電荷に入っているか？
  • 線は交差していないか？
  • 電荷の近くは密になっているか？
  • 対称性（線対称など）は保たれているか？

364 ガウスの法則

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「ガウスの法則と無限に広い平面が作る電場」です。高校物理の発展的な内容であるガウスの法則を、無限に広い帯電平面という具体的な状況に適用し、電場の強さや電位を導出するプロセスを理解することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

空欄(ア)

思考の道筋とポイント
仮想的な閉曲面（この問題では円筒）を貫いて出ていく電気力線の総本数\(N\)を求める問題です。これは、ガウスの法則の公式 \(N=4\pi k Q\) を直接適用するものです。ここで\(Q\)は、閉曲面の内部に含まれる電気量です。
この設問における重要なポイント

• ガウスの法則の公式 \(N=4\pi k Q\) を知っていること。
• 公式の\(Q\)が、閉曲面（円筒）の内部にある電気量であることを理解していること。

具体的な解説と立式
ガウスの法則によれば、任意の閉曲面を貫く電気力線の総本数\(N\)は、その内部にある総電気量\(Q\)を用いて次のように表されます。
$$ N = 4\pi k Q $$
問題文では、円筒内部にあるA上の電気量が\(Q\)であると与えられているので、この\(Q\)をそのまま公式に適用します。

この設問は公式を記述するものであり、具体的な計算過程はありません。

物理学には「ガウスの法則」という便利なルールがあります。これは、「ある領域を囲んだとき、その囲いの中から出てくる電気力線の合計本数は、中の電気の量だけで決まる」というものです。その関係は \(N=4\pi k Q\) という式で表されます。この問題では、円筒の中に\(Q\)という量の電気がいるので、円筒から出てくる電気力線の総本数は、この公式通り \(4\pi k Q\) 本となります。

円筒を貫く電気力線の総本数は \(4\pi k Q\) です。これはガウスの法則の定義そのものです。

空欄(イ)

思考の道筋とポイント
電場の強さ\(E\)を求める問題です。電場の強さ\(E\)は「単位面積を貫く電気力線の本数」と定義されます。一方、(ア)で求めた\(N\)は、円筒全体を貫く電気力線の総本数です。この2つの関係を結びつけます。
この設問における重要なポイント

• 電場の強さ\(E\)が、単位面積あたりの電気力線の本数であると理解していること。
• 電気力線は平面Aに垂直なので、円筒の側面は貫かず、上面と下面のみを貫くこと。
• 平面Aの上下に対称に電気力線が出ているため、上面と下面を貫く本数は等しいこと。

具体的な解説と立式
電場の強さ\(E\)の定義より、面積\(S\)の面を垂直に貫く電気力線の本数は \(ES\) 本と表せます。
問題の図では、電気力線は平面Aに垂直（円筒の上面・下面に平行）なので、円筒の側面を貫く電気力線はありません。電気力線は、面積\(S\)の上面と下面のみを貫きます。
平面Aの上下で電場は対称なので、上面を貫く本数と下面を貫く本数は等しく、それぞれ\(ES\)本です。
したがって、円筒全体を貫く電気力線の総本数\(N\)は、
$$
\begin{aligned}
N &= (\text{上面を貫く本数}) + (\text{下面を貫く本数}) \\[2.0ex] &= ES + ES \\[2.0ex] &= 2ES
\end{aligned}
$$
この\(N\)は、(ア)で求めた \(N=4\pi k Q\) と等しいはずです。
$$ 2ES = 4\pi k Q $$
この式を\(E\)について解きます。

$$
\begin{aligned}
2ES &= 4\pi k Q \\[2.0ex] E &= \frac{4\pi k Q}{2S} \\[2.0ex] &= \frac{2\pi k Q}{S}
\end{aligned}
$$

(ア)で、円筒の上下のフタから出てくる電気力線の合計本数が \(4\pi k Q\) 本だとわかりました。
一方、「電場の強さ\(E\)」とは、「面積1あたり何本の電気力線が通るか」という密度を表します。
円筒のフタの面積は\(S\)なので、上のフタからは\(ES\)本、下のフタからも同じく\(ES\)本、合計で\(2ES\)本の電気力線が出ていくはずです。
この2つの表現は同じ量を表しているので、「\(2ES = 4\pi k Q\)」という等式が成り立ちます。これを\(E\)について解けば、答えが求まります。

電場の強さは \(E = \displaystyle\frac{2\pi k Q}{S}\) となります。この式には距離\(r\)が含まれていません。これは、無限に広い平面が作る電場は、平面からの距離によらず一定の強さ（一様な電場）であることを示す、非常に重要な結果です。

空欄(ウ)

思考の道筋とポイント
平面A（電位0V）から距離\(d\)の点の電位を求める問題です。(イ)の結果から、平面Aのまわりには一様な電場\(E\)ができていることがわかっています。一様な電場中での電位差は、公式\(V=Ed\)で計算できます。
この設問における重要なポイント

• 無限平面が作る電場は一様であることを理解している。
• 一様な電場と電位差の関係式 \(V=Ed\) を適用できること。
• 電場の向きと電位の高低関係を正しく判断すること。電場は電位の高い方から低い方へ向かう。

具体的な解説と立式
(イ)より、平面Aのまわりには、強さ \(E = \displaystyle\frac{2\pi k Q}{S}\) の一様な電場ができています。
平面Aは正電荷を帯びているので、電気力線はAから遠ざかる向き、すなわち電場はAから遠ざかる向きです。
電場は電位の高い方から低い方へ向かうので、平面Aが最も電位が高く、Aから離れるほど電位は低くなります。
Aから距離\(d\)の点Pの電位を\(V_P\)、Aの電位を\(V_A\)とすると、電位差は公式 \(V_{\text{高}} – V_{\text{低}} = Ed\) より、
$$ V_A – V_P = Ed $$
問題の条件より \(V_A = 0 \, \text{V}\) なので、
$$ 0 – V_P = Ed $$
この式を\(V_P\)について解き、\(E\)の式を代入します。

$$
\begin{aligned}
V_P &= -Ed \\[2.0ex] &= – \left( \frac{2\pi k Q}{S} \right) d \\[2.0ex] &= -\frac{2\pi k Q d}{S}
\end{aligned}
$$

(イ)で、この場所には強さ\(E\)の一様な電場（一定の傾きの電気的な坂道）ができていることがわかりました。
電気的な坂道では、「高さの差」は「坂の傾き × 距離」で計算できます。つまり、A地点とP地点の高さの差は \(Ed\) です。
問題文で「A地点の高さを0Vとする」と基準が決められています。また、電気力線（坂を下る方向）はAからPへ向かっているので、P地点はA地点より低い場所にあるはずです。
したがって、P地点の高さは、基準の0Vから\(Ed\)だけ低い、つまり \(-Ed\) となります。これに(イ)で求めた\(E\)の式を代入すれば答えが出ます。

Aから距離\(d\)の点の電位は \(-\displaystyle\frac{2\pi k Q d}{S}\) となります。基準点Aよりも電位が低いことを示すマイナス符号がついており、物理的に妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ガウスの法則:
  • 核心: この問題は、高校物理の発展的内容であるガウスの法則を理解し、適用することが中心となっています。特に、「任意の閉曲面を貫く電気力線の総本数は、内部の電荷のみによって決まる (\(N=4\pi k Q\))」という法則の本質を問うています。
  • 理解のポイント:
    • 閉曲面の選び方: ガウスの法則をうまく利用するためには、対称性の良い閉曲面（ガウス面）を自分で設定することが重要です。この問題では、電場が平面に垂直であるため、円筒をガウス面として選ぶことで計算が非常に簡単になります。
    • 法則の威力: 点電荷のように単純な場合だけでなく、面や線に電荷が分布するような複雑な状況でも、対称性さえあれば電場を簡単に求めることができる、非常に強力な法則です。
• 電場と電気力線、電位の相互関係:
  • 核心: 電場\(E\)、電気力線、電位\(V\)という3つの概念が、互いにどのように関連しているかを体系的に理解していることが求められます。
  • 理解のポイント:
    • 電場と電気力線: 電場の強さ\(E\)は、電気力線の「密度」（単位面積あたりの本数）として定義されます。この関係 (\(N=ES\)) を用いて、(イ)では電場の強さを導出しました。
    • 電場と電位: 電場\(E\)は、電位\(V\)の「空間的な変化率（傾き）」として定義されます。一様な電場の場合、この関係は \(V=Ed\) というシンプルな式で表されます。この関係を用いて、(ウ)では電位を導出しました。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 球対称な電荷分布: 中心に点電荷がある場合や、一様に帯電した球殻、球体などが作る電場を、同心球をガウス面として求める問題。
  • 円柱対称な電荷分布: 無限に長い直線状導体や円柱状導体が作る電場を、同軸の円筒をガウス面として求める問題。
  • コンデンサーの電場: 2枚の無限に広い平行平板に、それぞれ\(+Q\), \(-Q\)の電荷を与えた場合（コンデンサー）の電場を求める問題。極板間の電場は、それぞれの極板が作る電場（\(E = \frac{2\pi k Q}{S}\)）の重ね合わせで \(E = \frac{4\pi k Q}{S}\) となります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 電荷分布の対称性を把握する: まず、問題となっている電荷の分布が、点対称（球対称）、線対称（円柱対称）、面対称（平面対称）のどれに当てはまるかを見抜きます。
  2. 適切なガウス面を設定する: 対称性に合わせて、計算が最も簡単になるような閉曲面（ガウス面）を仮想的に設定します。球対称なら球面、円柱対称なら円筒面、平面対称なら円筒（角柱）が定石です。
  3. ガウスの法則を適用する:
     • 左辺: ガウス面を貫く電気力線の総本数を、電場の強さ\(E\)とガウス面の面積を使って表します（例：\(N=E \times 4\pi r^2\), \(N=2ES\)など）。
     • 右辺: ガウス面の内部に含まれる総電荷\(Q\)を求め、\(4\pi k Q\)を計算します。
     • 両辺を等しいとおき、\(E\)について解きます。
  4. 電位を求める: 求めた電場\(E\)が距離によらない「一様な電場」であれば、\(V=Ed\) の公式を使って電位差を計算します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• ガウスの法則のQの意味:
  • 誤解: ガウスの法則 \(N=4\pi k Q\) の\(Q\)を、空間に存在するすべての電荷の合計だと勘違いしてしまう。
  • 対策: \(Q\)は、あくまで自分で設定した「閉曲面（ガウス面）の内部に含まれる電荷」の総和です。ガウス面の外にある電荷は、ガウス面を貫く電気力線の出入りの本数が同じになるため、総本数には寄与しません。
• 電気力線が貫く面積の計算ミス:
  • 誤解: (イ)で、円筒を貫く電気力線の総本数を \(N=ES\) としてしまう。
  • 対策: 電荷平面の上下両側に対称に電場ができていることを意識する必要があります。円筒の上面と下面の両方を電気力線が貫くため、合計の面積は \(2S\) となります。必ず図を描いて、電気力線がガウス面のどの部分を貫いているかを確認しましょう。
• 電位の符号のミス:
  • 誤解: (ウ)で、電位を \(V_P = +Ed\) と計算してしまう。
  • 対策: 電場の向きと電位の高低関係を常に確認する癖をつけましょう。電場は「電位の高い方から低い方へ」向かいます。この問題では、正電荷を帯びた平面Aから電場が湧き出しているので、Aが最も電位が高くなります。したがって、Aを基準(0V)とすれば、Aから離れた点Pの電位は必ず負になります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• ガウスの法則:
  • 選定理由: 「無限に広い平面」という、電荷が連続的に分布している状況で電場を求める問題です。このような場合、個々の電荷からの電場をすべて足し合わせる（積分する）のは大学レベルの数学が必要となり困難です。しかし、電荷分布に高い対称性（平面対称）があるため、ガウスの法則を用いることで、積分計算なしに極めて簡単に電場を求めることができます。
  • 適用根拠: ガウスの法則は、クーロンの法則と等価な、電磁気学の基本法則の一つです。クーロンの法則がミクロな点電荷間の相互作用を記述するのに対し、ガウスの法則はマクロな視点から、電荷の分布とそれが作る電場の全体像を結びつけます。
• 一様な電場と電位の関係式 \(V=Ed\):
  • 選定理由: (イ)で導出した電場 \(E = \frac{2\pi k Q}{S}\) は、距離\(d\)に依存しない定数です。つまり、電場が「一様」であることがわかります。一様な電場中での電位差を求めるには、この \(V=Ed\) という最もシンプルな関係式を用いるのが合理的です。
  • 適用根拠: この公式は、電位の定義（単位電荷を運ぶのに必要な仕事）と、一様な電場中での力の定義（\(F=qE\)、一定）から導かれます。仕事は「力×距離」なので、電位差（単位電荷あたりの仕事）は「電場（単位電荷あたりの力）×距離」となります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま計算を進める: この問題はすべて文字式で表現されているため、計算ミスは起こりにくいですが、各記号（\(k, Q, S, d\)）が何を意味する物理量なのかを常に意識することが重要です。
• 対称性の考察を徹底する: ガウスの法則を適用する問題では、計算を始める前の「対称性の考察」が9割を占めると言っても過言ではありません。「この電荷分布なら、電場はどの方向を向くはずか？」「どの点をとっても強さは同じになるか？」といった考察を丁寧に行うことで、ガウス面を貫く電気力線の本数を \(N=ES\) や \(N=2ES\) のようにシンプルに表現でき、複雑な積分計算を回避できます。
• 結果の物理的意味を吟味する: (イ)で得られた \(E = \frac{2\pi k Q}{S}\) という結果に距離が含まれていないことから、「無限平面が作る電場は距離によらず一様である」という重要な物理的結論を読み取ることができます。このように、得られた数式がどのような物理的意味を持つのかを考える習慣は、理解を深め、応用力を高める上で非常に有効です。

365 一様な電場

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「一様な電場と電位」です。平行平板金属板間にできる一様な電場について、その向き、強さ、そして各点の電位を、基本公式を用いて計算する能力が問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
電場の向きを問う問題です。電場と電位の関係についての最も基本的な原則「電場は電位の高い方から低い方へ向かう」を適用します。
この設問における重要なポイント

• 電場の向きは、電位が高い点から低い点へ向かう。
• 問題文に「Aが高電位である」と明記されている。

具体的な解説と立式
電場には、電位の高い点から低い点へ向かう性質があります。
問題文で、金属板Aが高電位側であると与えられています。したがって、電場はAから、もう一方の金属板Bへ向かう向きとなります。

この設問は定性的な理解を問うものであり、計算過程はありません。

電気の世界では、「電位」を「高さ」と考えることができます。そして、「電場」は「坂の向き（水が流れる向き）」に対応します。
問題文で「Aの方がBより高い」と教えてくれているので、坂の向きは当然、高いAから低いBへ向かう向きになります。

電場の向きはA→Bです。これは電場の定義から直接導かれる、妥当な結論です。

問(2)

思考の道筋とポイント
点Pおよび点Qにおける電場の強さを求める問題です。2枚の大きな平行平板金属板の間には、一様な電場ができます。つまり、場所によらず電場の強さは一定です。この電場の強さを、極板間の電位差と距離を用いて計算します。
この設問における重要なポイント

• 平行平板金属板の間には「一様な」電場ができるため、点Pでも点Qでも電場の強さは等しい。
• 公式 \(E = \displaystyle\frac{V}{d}\) を用いて、極板間の電位差 \(V=12 \, \text{V}\) と距離 \(d=6.0 \, \text{cm}\) から電場の強さを計算する。
• 距離の単位をcmからmに変換すること (\(6.0 \, \text{cm} = 6.0 \times 10^{-2} \, \text{m}\))。

具体的な解説と立式
平行な金属板の間には、一様な電場ができます。したがって、点Pと点Qにおける電場の強さは等しく、極板間の電場の強さ\(E\)に等しくなります。
電場の強さ\(E\)は、極板間の電位差\(V\)と極板間の距離\(d\)を用いて、次式で与えられます。
$$ E = \frac{V}{d} $$
問題で与えられた値を代入します。\(V = 12 \, \text{V}\), \(d = 6.0 \, \text{cm} = 6.0 \times 10^{-2} \, \text{m}\) です。

$$
\begin{aligned}
E &= \frac{12}{6.0 \times 10^{-2}} \\[2.0ex] &= 2.0 \times 10^2 \, [\text{V/m}] \end{aligned}
$$
点P, Qともにこの強さになります。

平行な板の間には、どこでも同じ傾きの「電気の坂道」ができます。この「坂の傾き（電場の強さ）」を計算します。
坂全体の高さの差は\(12 \, \text{V}\)、水平距離は\(6.0 \, \text{cm}\)なので、「傾き = 高さの差 ÷ 距離」で計算できます。単位をmにそろえるのを忘れないようにしましょう。
坂の傾きはどこでも同じなので、P地点でもQ地点でも電場の強さは同じ値になります。

点P, Qにおける電場の強さは、ともに \(2.0 \times 10^2 \, \text{V/m}\) です。一様な電場という概念を正しく理解し、公式を適用した結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
点Pと点Qの電位を求める問題です。板Bが接地されているため、板Bの電位が基準の\(0 \, \text{V}\)となります。各点の電位は、この基準点Bからの電位差（電気的な高さの差）として計算できます。一様な電場なので、電位差は公式 \(V=Ed\) で計算できます。
この設問における重要なポイント

• 接地されている板Bの電位が\(0 \, \text{V}\)であること。
• 各点の電位は、基準点Bからの電位差に等しい。
• 電位差の計算に用いる距離\(d\)は、基準点Bからの距離であること。
• 距離の単位をcmからmに変換すること。

具体的な解説と立式
板Bが接地されているので、\(V_B = 0 \, \text{V}\) です。
点Pの電位\(V_P\)は、板Bとの電位差に等しくなります。板Bから点Pまでの距離\(d_P\)は、
$$ d_P = 6.0 \, \text{cm} – 2.0 \, \text{cm} = 4.0 \, \text{cm} = 4.0 \times 10^{-2} \, \text{m} $$
一様な電場と電位差の関係式 \(V=Ed\) より、
$$ V_P = E d_P $$
同様に、点Qの電位\(V_Q\)は、板Bとの電位差に等しくなります。板Bから点Qまでの距離\(d_Q\)は、
$$ d_Q = 3.0 \, \text{cm} = 3.0 \times 10^{-2} \, \text{m} $$
$$ V_Q = E d_Q $$

(2)で求めた \(E = 2.0 \times 10^2 \, \text{V/m}\) を用いて、各点の電位を計算します。

点Pの電位 \(V_P\):
$$
\begin{aligned}
V_P &= (2.0 \times 10^2) \times (4.0 \times 10^{-2}) \\[2.0ex] &= 8.0 \, [\text{V}] \end{aligned}
$$
点Qの電位 \(V_Q\):
$$
\begin{aligned}
V_Q &= (2.0 \times 10^2) \times (3.0 \times 10^{-2}) \\[2.0ex] &= 6.0 \, [\text{V}] \end{aligned}
$$

P地点とQ地点の「電気的な高さ」を求めます。B地点が地面（アース）につながっているので、Bの高さが基準の0m(\(0 \, \text{V}\))です。
(2)で、この場所の「坂の傾き」が \(2.0 \times 10^2\) であることがわかっています。
「高さ = 坂の傾き × 基準からの距離」で計算できます。

• P地点は、基準のBから \(4.0 \, \text{cm}\) の距離にあるので、高さは \(2.0 \times 10^2 \times 0.040 = 8.0 \, \text{V}\) です。
• Q地点は、基準のBから \(3.0 \, \text{cm}\) の距離にあるので、高さは \(2.0 \times 10^2 \times 0.030 = 6.0 \, \text{V}\) です。

点Pの電位は \(8.0 \, \text{V}\)、点Qの電位は \(6.0 \, \text{V}\) となります。高電位側のAに近いPの方が、中央にあるQよりも電位が高いという結果は、物理的に妥当です。また、Aの電位は \(V_A = E \times (6.0 \times 10^{-2}) = 12 \, \text{V}\) となり、問題設定と一致します。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 一様な電場における物理量の関係性:
  • 核心: この問題は、平行平板コンデンサーの内部のような「一様な電場」という理想的な状況において、電場\(E\)、電位\(V\)、距離\(d\)が \(E=V/d\) および \(V=Ed\) という非常にシンプルな関係式で結びついていることを、体系的に理解し応用できるかを問うています。
  • 理解のポイント:
    • 一様性: 「一様な電場」とは、どの場所でも電場の向きと強さが全く同じであるということです。したがって、(2)で点Pと点Qの電場の強さが同じになるのは当然の帰結です。
    • 電場は電位の傾き: \(E=V/d\) という式は、電場が「電位の空間的な変化率（傾き）」であることを意味します。電位のグラフ（V-xグラフ）を描けば、その傾きが一定の直線になります。
    • 電位差は面積: 逆に \(V=Ed\) という式は、E-xグラフ（電場の強さと位置のグラフ）の下の面積（この場合は長方形の面積）が電位差に対応することを意味します。
• 電位の基準（接地）:
  • 核心: 電位は「電気的な高さ」であり、その値はどこかを「高さ0」の基準点（地面）と定めなければ決まりません。「接地（アース）」とは、その点を電位0Vの基準点と定める操作であると理解することが重要です。
  • 理解のポイント:
    • 基準点からの高さ: ある点の電位とは、基準点からその点までの「電位差」のことです。この問題では、Bが0Vなので、点Pの電位は「BとPの電位差」そのものになります。
    • 基準が変われば値も変わる: もしAが接地されていれば、Aが0Vとなり、Bの電位は-12V、Pの電位は-4V、Qの電位は-6Vとなります。電位の値は基準の取り方で変わりますが、2点間の「電位差」は常に不変です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • V-xグラフを描かせる問題: この問題の設定から、横軸に距離、縦軸に電位をとったV-xグラフを描かせる問題。B(x=6.0cm)で0V、A(x=0cm)で12Vとなる、傾きが一定の右下がりの直線グラフになります。
  • 荷電粒子の運動: この一様な電場の中に荷電粒子を置いたときの運動を問う問題。粒子は一定の力（\(F=qE\)）を受けて等加速度直線運動をします。力学的エネルギーと静電気力による位置エネルギー（\(U=qV\)）を合わせたエネルギー保存則も適用できます。
  • コンデンサーの問題: この設定は、まさに平行平板コンデンサーそのものです。電気容量 \(C = \epsilon \frac{S}{d}\) や蓄えられる電気量 \(Q=CV\)、静電エネルギー \(U=\frac{1}{2}CV^2\) などを計算する問題へと発展します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 「一様な電場」か確認: 「大きな平行平板」というキーワードがあれば、それは「一様な電場」の問題であると判断します。これにより、\(E=V/d\), \(V=Ed\) の公式が使えることが確定します。
  2. 電位の基準点（接地）を探す: 問題文や図に接地記号がないかを確認します。接地されている点が電位0Vの基準となります。もし接地がなければ、自分でどこかを基準（例：負極を0V）と仮定して計算を進めます。
  3. 電場の強さEを先に求める: 多くの場合、まず極板全体の電位差と距離から、一様な電場の強さ\(E\)を計算することが、問題を解く上での最初のステップになります。
  4. 距離の扱いに注意: (3)で電位を求めるとき、\(V=Ed\) の \(d\) は「基準点からの距離」であることに注意します。問題で与えられたAからの距離をそのまま使わないように、図を描いて距離関係を正確に把握します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 単位の換算忘れ:
  • 誤解: 距離の単位がcmで与えられているのに、mに換算せず \(E=12/6.0=2.0\) のように計算してしまう。
  • 対策: 物理計算の基本はSI単位系（m, kg, s, A, Vなど）です。計算を始める前に、与えられた数値をすべてSI単位系に変換する習慣をつけましょう。\(6.0 \, \text{cm} = 6.0 \times 10^{-2} \, \text{m}\) のように、機械的に変換できるようにしておくことが重要です。
• 電位を求める際の距離の取り違え:
  • 誤解: (3)で点Pの電位を求める際に、Aからの距離 \(2.0 \, \text{cm}\) を使って \(V_P = E \times (2.0 \times 10^{-2})\) と計算してしまう。
  • 対策: 電位は「基準点からの電位差」です。この問題の基準点は接地されたBなので、必ずBからの距離（\(6.0 – 2.0 = 4.0 \, \text{cm}\)）を使わなければなりません。常に「どこが基準点か？」を意識することがミスを防ぎます。
• 電位と電位差の混同:
  • 誤解: 極板間の電位差が12Vであることと、Aの電位が12Vであることが同じ意味だと考えてしまう。
  • 対策: この問題では、Bが0Vなので、たまたまAの電位が12Vになります。しかし、もしBの電位が10Vであれば、Aの電位は22Vになります。このように、「電位差」は2点間の関係で決まる絶対的な量ですが、「電位」は基準の取り方で変わる相対的な量であることを区別して理解しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(E=V/d\) の選択:
  • 選定理由: (2)で「電場の強さ」を求めるにあたり、問題文には「平行金属板」という情報と、それらの「電位差」と「距離」が与えられています。これら3つの物理量を直接結びつけるのが \(E=V/d\) という関係式です。
  • 適用根拠: この公式が適用できるのは、電場が「一様」であるという前提があるからです。「大きな平行平面金属板」という設定が、その前提を保証しています。もし電場が一様でなければ、場所によって電場の強さが変わるため、この単純な割り算の式は使えません（微分や積分が必要になります）。
• \(V=Ed\) の選択:
  • 選定理由: (3)で「電位」を求めるにあたり、(2)で一様な「電場の強さ\(E\)」が求まっており、基準点Bからの「距離\(d\)」もわかっています。これらの量から「電位差（＝電位）」を求めるには、\(E=V/d\) を変形した \(V=Ed\) を用いるのが最も直接的です。
  • 適用根拠: これも電場が「一様」であることが適用根拠です。電位は、基準点からその点まで電場を線積分したものですが、電場が一定であれば、単純な掛け算 \(E \times d\) で計算できる、ということをこの公式は示しています。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位換算の儀式化: 問題文に[cm]を見つけたら、計算を始める前に、ページの隅にでも「\(6.0 \, \text{cm} \to 0.060 \, \text{m}\)」のように書き出すことを習慣（儀式）にしましょう。この一手間が致命的なミスを防ぎます。
• 図に情報を書き込む: 問題の図に、与えられた数値（電位、距離）や計算で求めた値（電場の向きや強さ）をどんどん書き込んでいきましょう。特に(3)で電位を求める際は、Bを0Vとし、各点P, QがBからどれだけ離れているかを書き込むと、距離の取り違えミスを防げます。
• V-xグラフをイメージする: 頭の中で、横軸を位置x（Aを0, Bを6.0cm）、縦軸を電位Vとしたグラフをイメージするのも有効です。点(0, 12)と点(6.0, 0)を結ぶ直線になり、その傾きが電場の強さ（のマイナス）、直線上の各点のy座標がその点の電位に対応することが視覚的に理解でき、検算にも役立ちます。

366 等電位面と電気力線

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「等電位線と電気力線の関係」です。地図の等高線のように与えられた等電位線の図から、電場の様子を視覚的に表す電気力線を描き、また、電場の強さを定性的に比較する能力が問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
点Aと点Bを通る電気力線を描く問題です。電気力線を描くための2つの重要なルール「等電位線と直交する」「電位の高い方から低い方へ向かう」を適用します。

この設問における重要なポイント

• 直交: 描く線が、各等電位線と直角に交わるように意識する。
• 向き: 等電位線に書かれた数値（電位）が減少する方向（例：11V→10V→9V…）に矢印を描く。
• 始点と終点: 電気力線は正電荷から出て負電荷（または無限遠や接地された導体）に入ります。この問題では、遠方の正電荷から出て、接地された金属板Mに入ります。

具体的な解説と立式
電気力線は、以下の2つのルールに従って描くことができます。

1. 電気力線は、すべての点で等電位線と直交する。
2. 電気力線は、電位の高い方から低い方へ向かう。

このルールに従い、点Aと点Bを通り、かつ周囲の等電位線と常に直交するような滑らかな曲線を描きます。

図を見ると、電位の値は図の上側ほど大きく、下側（金属板M側）ほど小さくなっています。したがって、電気力線の向きは、図の上から下へ向かう向きとなります。

また、金属板Mは接地されているため、電位0Vの等電位面とみなせます。電気力線は導体表面に垂直に入るため、描いた電気力線は最終的に金属板Mに垂直に到達します。

この設問は作図問題であり、計算過程はありません。

電気力線は「電位の坂道を水が流れ落ちるルート」のようなものです。そして、等電位線は「同じ高さの点を結んだ等高線」です。水は必ず等高線に対して垂直に、つまり最も急な坂を流れ落ちますよね。
それと同じで、電気力線も必ず等電位線に対して垂直に描きます。
また、水の流れる向きは、高い方から低い方です。図の等電位線の数字を見ると、上の方が数字が大きい（高電位）ので、電気力線は上から下に向かって矢印を描きます。
このルールに従って、AとBを通る流れの線を描けば完成です。

描かれた電気力線は、等電位線と直交し、高電位側から低電位側へ向かっており、電気力線の性質を正しく反映しています。

問(2)

思考の道筋とポイント
点Qと点Rにおける電場の強さ \(E_Q\) と \(E_R\) を比較する問題です。電場の強さは、等電位線の間隔（混み具合）で判断します。間隔が狭い（密である）ほど、電位の傾きが急であり、電場が強いことを意味します。

この設問における重要なポイント

• 電場の強さは、等電位線の間隔が密なほど強い。
• 図上で、点Qの周辺と点Rの周辺の等電位線の間隔を視覚的に比較する。

具体的な解説と立式
電場の強さは、電位の空間的な変化率（傾き）に比例します。等電位線の図では、線の間隔が狭い場所ほど、短い距離で電位が大きく変化する、つまり電位の傾きが急であることを意味します。
したがって、「等電位線の間隔が密な場所ほど、電場は強い」という関係が成り立ちます。

図を見て、点Qの周辺と点Rの周辺の等電位線の間隔を比較します。

• 点Rの周辺では、等電位線が密集しています。
• 点Qの周辺では、等電位線の間隔が点Rの周辺よりも広くなっています。

このことから、点Rの方が点Qよりも電位の傾きが大きく、電場が強いと判断できます。

よって、\(E_R > E_Q\) となります。

この設問は定性的な比較を問うものであり、計算過程はありません。

「電場の強さ」は「電気の坂道の傾きの急さ」で決まります。「等高線地図」で考えれば、等高線の間隔が狭い場所ほど、坂が急になっていますよね。
図を見ると、点Rのあたりは等電位線がぎゅっと詰まっていて、間隔が狭くなっています。一方、点Qのあたりは線と線の間が広がっています。
したがって、坂が急なのはRの方なので、電場の強さもRの方が大きい、ということになります。

\(E_R > E_Q\) となり、その根拠は「点Rの付近の方が点Qの付近よりも等電位線の間隔が密であり、電位の傾きが大きいから」です。これは電場と等電位線の関係を正しく理解した上での妥当な結論です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 電気力線と等電位線の直交性・向き:
  • 核心: この問題の根幹は、「電気力線」と「等電位線」という、電場を視覚化するための2つのツールが、互いに密接な関係にあることを理解しているかどうかにあります。
  • 理解のポイント:
    • 直交関係: 電気力線と等電位線は、いかなる点においても必ず互いに直交します。これは、電場の向き（電気力線の接線方向）と、電位が変化しない方向（等電位線の接線方向）が垂直であるという、数学的・物理的な要請に基づいています。
    • 向きの関係: 電気力線は、必ず電位の高い方から低い方へ向かいます。等電位線に描かれた数値の大小関係を見ることで、電気力線の向きを決定できます。
• 電場の強さと等電位線の密度:
  • 核心: 電場の「強さ」という定量的な情報が、等電位線の「間隔の密疎」という定性的な情報にどのように対応しているかを理解することが重要です。
  • 理解のポイント:
    • 電場は電位の勾配: 電場の強さは、電位の空間的な変化率（勾配）です。等電位線の間隔が狭い場所は、少し進むだけで電位が大きく変化する「急な坂」であり、電場が強いことを意味します。
    • 地図の等高線とのアナロジー: この関係は、地理の地図における等高線と地形の傾斜の関係と全く同じです。等高線が密集している場所は急斜面であり、間隔が広い場所は緩やかな斜面です。このアナロジーで理解すると非常に分かりやすいです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 電気双極子の等電位線: \(+q\)と\(-q\)の電荷ペア（電気双極子）が作る電気力線と等電位線を描かせる問題。電気力線は\(+\)から出て\(-\)に入り、等電位線はそれらに直交する閉じた曲線群となります。
  • 同符号電荷の等電位線: \(+q\)と\(+q\)の電荷が作る電気力線と等電位線を描かせる問題。電気力線は両方から湧き出し、中央で反発しあいます。等電位線は、最初は各電荷を中心とする円ですが、次第にひょうたん型になり、遠方では2つの電荷を囲む大きな円に近づきます。
  • 図から電位差や仕事を求める問題: 等電位線の図が与えられ、「点Aから点Bまで電荷を運ぶ仕事はいくらか？」といった問題。各点の電位を読み取り、\(W=q(V_A – V_B)\) の公式で計算します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 電位の高低を確認: まず、等電位線に書かれている数値を見て、どの方向に向かって電位が高くなっているか（低くなっているか）を大まかに把握します。これが電気力線の全体的な向きを決定します。
  2. 直交性を意識して線を引く: 電気力線を描く際は、コンパスの円弧を描くように、各等電位線と直角に交わるように滑らかな曲線を引くことを意識します。特に導体表面では、必ず表面に垂直になるように線を結びます。
  3. 間隔の密疎に注目: 電場の強さを比較する際は、線の混み具合に注目します。ぱっと見で「こちらの方が詰まっているな」と感じる場所が、電場が強い場所です。
  4. 根拠を明確に記述する: (2)のように根拠を問われた場合は、「法則」と「図からの読み取り」をセットで記述することが満点の鍵です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 電気力線と等電位線の混同:
  • 誤解: 2つの線の役割を取り違えてしまう。例えば、電気力線が電位の等しい点を結ぶ線だと勘違いするなど。
  • 対策: 「等電位線＝高さが等しい線（等高線）」「電気力線＝水の流れる線（力の向き）」というアナロジーを明確に記憶し、役割を混同しないようにしましょう。
• 直交性の無視:
  • 誤解: 電気力線を、等電位線に対して斜めに横切るように描いてしまう。
  • 対策: 作図した後に、自分の描いた電気力線が、いくつかの点で等電位線とちゃんと直角になっているかを見直す癖をつけましょう。
• 電場の強さの判断基準の誤り:
  • 誤解: 電位が高い場所ほど電場が強い、と勘違いしてしまう。
  • 対策: 電場の強さは電位の「値そのもの」ではなく、電位の「変化率（傾き）」で決まります。電位が1000Vでも、その周りで電位がほとんど変化しなければ電場は弱いです。逆に、電位が1Vでも、すぐ隣で0Vになっていれば、その間の電場は非常に強い可能性があります。「間隔の密疎」が唯一の判断基準であると覚えましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 電気力線と等電位線の関係（直交性と向き）:
  • 選定理由: (1)では、与えられた等電位線の図から電気力線を作図することが求められています。この2つの図形的な関係性を記述する基本法則を選択する必要があります。
  • 適用根拠: これは両者の定義から導かれる物理的・数学的な性質です。電場（電気力線の向き）に沿って移動すると電位が最も大きく変化します。一方、等電位線に沿って移動しても電位は変化しません（仕事はゼロ）。仕事がゼロであるためには、力の向き（電場の向き）と移動方向が常に垂直でなければなりません。したがって、電気力線と等電位線は常に直交します。また、電場は電位の高い方から低い方へ向かうと定義されているため、電気力線の向きが決定されます。
• 電場の強さと等電位線の間隔:
  • 選定理由: (2)では、図上の2点の電場の強さを比較することが求められています。等電位線の図から電場の強さという定量的な情報を読み取るための法則を選択する必要があります。
  • 適用根拠: 電場の強さは電位の空間的な変化率（勾配）で定義されます。等電位線の間隔が狭い（密である）場所は、同じ電位差（例：1V）を短い距離で変化していることを意味し、変化率が大きい（＝電場が強い）ことに対応します。これは一様な電場における関係式 \(E=V/d\) からも類推でき、間隔\(d\)が小さいほど電場\(E\)が強いことに相当します。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• この問題には定量的な計算は含まれませんが、論理的なミスや作図のミスをなくすためのテクニックは存在します。
• 作図は薄く下書きから: (1)で電気力線を描く際は、いきなり濃い線で描くのではなく、まず薄い線で全体の流れや曲がり具合を試し描きし、等電位線との直交関係を確認しながら徐々に清書していくと、きれいな図が描けます。
• 比較対象を明確にする: (2)で強さを比較する際は、点Qと点Rの「すぐ近く」の等電位線の間隔に注目します。図の他の部分の間隔に惑わされないように、比較する領域を限定して見ることが重要です。
• 根拠の記述は「法則＋観察」: 理由を記述する際は、「（一般的な法則や定義）」を述べた上で、「（この図の場合）〜という観察事実から」とつなぎ、「（結論）」を述べるという三段論法で書くと、論理的で減点されない答案になります。例: 「電場は等電位線の間隔が密なほど強い（法則）。図を見ると、R付近はQ付近より間隔が密である（観察）。したがって、\(E_R > E_Q\)である（結論）。」

367 電荷を運ぶ仕事

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「電場がする仕事と外力がする仕事」です。一様な電場における仕事の定義と、等電位線の図から電位差を読み取り、静電気力に逆らって外力がする仕事を計算する能力が問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

空欄(ア)

思考の道筋とポイント
強さ\(E\)の一様な電場中、電荷\(q\)が電場の向きに距離\(d\)だけ進むときに、電場から受ける仕事\(W\)を求める問題です。模範解答のアプローチに従い、仕事と位置エネルギーの関係から考えます。

この設問における重要なポイント

• 電場がする仕事は、静電気力による位置エネルギーの減少分に等しい。
• 静電気力による位置エネルギーは \(U=qV\) で表される。
• 一様な電場では、電位差は \(V=Ed\) で表される。

具体的な解説と立式
電荷\(q\)が、始点A（電位\(V_A\)）から終点B（電位\(V_B\)）まで移動するとき、電場がする仕事\(W\)は、静電気力による位置エネルギーの差（減少分）で定義されます。
$$
\begin{aligned}
W &= U_A – U_B \\[2.0ex] &= qV_A – qV_B \\[2.0ex] &= q(V_A – V_B)
\end{aligned}
$$
問題の状況では、電荷は電場の向きに距離\(d\)だけ進んでいます。電場は電位の高い方から低い方へ向かうので、始点Aの方が終点Bより電位が高くなります。

一様な電場\(E\)の中では、この電位差 \((V_A – V_B)\) は、
$$ V_A – V_B = Ed $$
と表せます。したがって、仕事\(W\)は、
$$
\begin{aligned}
W &= q(V_A – V_B) \\[2.0ex] &= q(Ed) \\[2.0ex] &= qEd
\end{aligned}
$$

この設問は公式を記述するものであり、計算過程はありません。

電気の世界では、「電場がする仕事」は「位置エネルギーがどれだけ減ったか」で決まります。位置エネルギーは「電気の量 × 電気的な高さ（電位）」で計算できます。
始点と終点の高さの差は、一様な電場（一定の傾きの坂）なので「傾き × 距離」、つまり \(Ed\) です。
したがって、位置エネルギーの減少分、すなわち電場がした仕事は \(W = q \times (Ed) = qEd\) となります。

電場がする仕事は \(qEd\) となります。これは仕事とエネルギーの関係から導かれる基本的な関係式です。

空欄(イ)

思考の道筋とポイント
図に描かれた破線の名称を答える問題です。破線は「2.0Vごと」に描かれており、電気的なポテンシャル（位置エネルギー）が等しい点を結んだ線です。

この設問における重要なポイント

• 電位が等しい点を結んだ線を「等電位線」または「等電位面」と呼ぶことを知っている。

具体的な解説と立式
図の破線は、電位が等しい点を結んだ線です。このような線を「等電位線」と呼びます。

この設問は用語を答えるものであり、計算過程はありません。

地図で同じ標高の点を結んだ線を「等高線」と呼びますね。それと同じように、電気の世界で同じ「電気的な高さ（電位）」の点を結んだ線を「等電位線」と呼びます。

破線は等電位線を表しています。

空欄(ウ), (エ), (オ)

思考の道筋とポイント
正電荷をA→B→C→Dと運ぶときに、「外力」がする仕事を各区間で求めます。外力がする仕事は \(W_{\text{外}} = q(V_{\text{終}} – V_{\text{始}})\) で計算できます。まず、図の等電位線から、各区間の始点と終点の電位差を読み取ることが必要です。

この設問における重要なポイント

• 外力がする仕事は \(W_{\text{外}} = q(V_{\text{終}} – V_{\text{始}})\) であること。電場がする仕事 \(W_{\text{電場}} = q(V_{\text{始}} – V_{\text{終}})\) と符号が逆になることに注意。
• 等電位線は2.0V間隔である。
• 電位差を数える際は、電位が上がる方向（負電荷→正電荷）を正、下がる方向を負として数える。

具体的な解説と立式
外力がする仕事の公式は \(W_{\text{外}} = q(V_{\text{終}} – V_{\text{始}})\) です。

各区間の電位差 \((V_{\text{終}} – V_{\text{始}})\) を図から読み取ります。等電位線は2.0V間隔です。

• 区間 A→B (ウ):
  点Aから点Bへは、電位が高くなる方向に等電位線を4本横切っています。
  $$ V_B – V_A = +2.0 \times 4 = 8.0 \, [\text{V}] $$
• 区間 B→C (エ):
  点Bと点Cは同じ等電位線上にあります。
  $$ V_C – V_B = 0 \, [\text{V}] $$
• 区間 C→D (オ):
  点Cから点Dへは、電位が低くなる方向に等電位線を3本横切っています。
  $$ V_D – V_C = -2.0 \times 3 = -6.0 \, [\text{V}] $$

これらの電位差と、電荷 \(q = 3.0 \times 10^{-8} \, \text{C}\) を仕事の公式に代入します。

A→Bの仕事 \(W_{AB}\):
$$
\begin{aligned}
W_{AB} &= q(V_B – V_A) \\[2.0ex] &= (3.0 \times 10^{-8}) \times 8.0 \\[2.0ex] &= 24 \times 10^{-8} \\[2.0ex] &= 2.4 \times 10^{-7} \, [\text{J}] \end{aligned}
$$
B→Cの仕事 \(W_{BC}\):
$$
\begin{aligned}
W_{BC} &= q(V_C – V_B) \\[2.0ex] &= (3.0 \times 10^{-8}) \times 0 \\[2.0ex] &= 0 \, [\text{J}] \end{aligned}
$$
C→Dの仕事 \(W_{CD}\):
$$
\begin{aligned}
W_{CD} &= q(V_D – V_C) \\[2.0ex] &= (3.0 \times 10^{-8}) \times (-6.0) \\[2.0ex] &= -18 \times 10^{-8} \\[2.0ex] &= -1.8 \times 10^{-7} \, [\text{J}] \end{aligned}
$$

電気の粒を、坂道に逆らいながらゆっくり運ぶときの「人がする仕事」を計算します。仕事の量は「運ぶ電気の量 × 登った高さの差」で計算できます。

• A→B: AからBへは、2Vの等高線を4本登ります。つまり、高さが8.0V上がります。したがって、仕事はプラスになります。
• B→C: BとCは同じ高さの等高線上にあるので、高さは変わりません。仕事はゼロです。
• C→D: CからDへは、2Vの等高線を3本下ります。つまり、高さが6.0V下がります。坂を下るので、人がする仕事はマイナスになります（むしろ坂に仕事をされる）。

各区間で外力がする仕事は、(ウ) \(2.4 \times 10^{-7} \, \text{J}\)、(エ) \(0 \, \text{J}\)、(オ) \(-1.8 \times 10^{-7} \, \text{J}\) となります。電位が上がる移動では外力の仕事は正、下がる移動では負となり、物理的に妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 仕事とエネルギー（電位）の関係:
  • 核心: この問題の根幹は、「仕事」という力学の概念と、「位置エネルギー（電位）」という電磁気学の概念が、どのように結びついているかを理解することです。特に、「電場がする仕事」と「外力がする仕事」の違いを明確に区別できるかが問われます。
  • 理解のポイント:
    • 電場がする仕事 \(W_{\text{電場}}\): 静電気力がする仕事であり、位置エネルギーの「減少分」に等しい。公式では \(W_{\text{電場}} = q(V_{\text{始}} – V_{\text{終}})\) となります。これは、物体が坂道を自然に転がり落ちるときに重力がする仕事に相当します。
    • 外力がする仕事 \(W_{\text{外}}\): 静電気力に逆らって「ゆっくり」運ぶときに必要な仕事であり、位置エネルギーの「増加分」に等しい。公式では \(W_{\text{外}} = q(V_{\text{終}} – V_{\text{始}})\) となります。これは、物体を坂道でゆっくりと持ち上げるときに人がする仕事に相当します。
• 静電気力の保存性:
  • 核心: 静電気力（およびそれに逆らう外力）がする仕事は、移動の経路によらず、始点と終点の電位差のみで決まる、という「保存力」の性質を理解していることが重要です。
  • 理解のポイント:
    • 経路に依らない: 問題の図で、AからDまで実線の経路で運んでも、直線で運んでも、外力がする仕事は同じ \(q(V_D – V_A)\) となります。
    • 等電位線上の仕事: BからCへの移動のように、始点と終点の電位が同じ（等電位線上）場合、電位差がゼロなので仕事もゼロになります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 電場がする仕事を問う問題: 同じ設定で「電場がする仕事」を問われた場合、外力がする仕事と符号が逆になる点に注意が必要です。\(W_{\text{電場}} = -W_{\text{外}} = q(V_{\text{始}} – V_{\text{終}})\)。
  • 運動エネルギーの変化を問う問題: 「点Aで静止していた電荷を放したら、点Dを通過するときの運動エネルギーはいくらか？」といった問題。この場合、運動エネルギーの変化は「電場がした仕事」に等しいので、\(\Delta K = W_{\text{電場}} = q(V_A – V_D)\) で計算します。
  • 一様な電場以外での仕事: 点電荷が作る電場など、場所によって強さや向きが変わる電場でも、仕事の計算式 \(W=q(V_{\text{終}}-V_{\text{始}})\) は普遍的に成り立ちます。各点の電位 \(V=k\frac{Q}{r}\) を計算し、その差から仕事を求めます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 誰がする仕事かを確認: まず、問題が「電場（静電気力）がする仕事」を問うているのか、「外力がする仕事」を問うているのかを明確に区別します。これにより、使うべき公式の符号 (\(V_{\text{始}} – V_{\text{終}}\) か \(V_{\text{終}} – V_{\text{始}}\) か) が決まります。
  2. 始点と終点の電位を特定: 等電位線の図から、移動区間の始点と終点の電位を読み取ります。どちらが高電位でどちらが低電位かを把握します。
  3. 電位差を計算: \(V_{\text{終}} – V_{\text{始}}\) を計算します。電位が上がる移動なら正、下がる移動なら負になります。
  4. 公式に代入: 電荷\(q\)（符号に注意！）と計算した電位差を、適切な仕事の公式に代入します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 「電場がする仕事」と「外力がする仕事」の混同:
  • 誤解: どちらを問われても、同じ公式 \(q(V_{\text{始}} – V_{\text{終}})\) を使ってしまう、あるいは符号をどちらにするか混乱する。
  • 対策: 「外力がする仕事は、位置エネルギーの変化 \(\Delta U = U_{\text{終}} – U_{\text{始}}\) に等しい」と覚えるのが最も確実です。\(U=qV\) なので、\(W_{\text{外}} = qV_{\text{終}} – qV_{\text{始}} = q(V_{\text{終}} – V_{\text{始}})\) となります。電場がする仕事はその逆、と覚えましょう。
• 電位差の向きの勘違い:
  • 誤解: 等電位線を横切る数を数える際に、電位が上がっているのか下がっているのかを逆に解釈してしまう。
  • 対策: 図中の正電荷と負電荷の位置を確認しましょう。電位は正電荷の近くで高く、負電荷の近くで低くなります。A→Bの移動は負の中心から遠ざかり正の中心に近づくので、電位は上がります。
• 単位の扱い:
  • 誤解: (ア)で、\(q, E, d\) の単位がそれぞれ [C], [N/C], [m] であり、掛け合わせると \([\text{C}] \cdot [\text{N/C}] \cdot [\text{m}] = [\text{N}\cdot\text{m}] = [\text{J}]\) となり、仕事の単位になることを意識していない。
  • 対策: 物理公式を覚える際は、単位の次元が両辺で一致しているかを確認する癖をつけると、公式の覚え間違いを防げます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(W_{\text{外}} = q(V_{\text{終}} – V_{\text{始}})\):
  • 選定理由: (ウ)〜(オ)では、「外力がする仕事」が問われており、図からは「電位」の情報が読み取れます。電荷\(q\)、外力の仕事\(W_{\text{外}}\)、電位\(V\)を結びつける最も直接的な関係式がこれです。
  • 適用根拠: この公式は、エネルギー保存則に基づいています。電荷を「ゆっくり」運ぶ（運動エネルギーを変化させない）場合、外力がした仕事は、すべて静電気力による位置エネルギーの増加分に変換されます。位置エネルギーの変化は \(\Delta U = U_{\text{終}} – U_{\text{始}}\) であり、\(U=qV\) の関係から、\(W_{\text{外}} = \Delta U = qV_{\text{終}} – qV_{\text{始}}\) が導かれます。
• \(W_{\text{電場}} = qEd\):
  • 選定理由: (ア)では、「一様な電場」という条件下で、「電場がする仕事」を、電場\(E\)と距離\(d\)で表すことが求められています。これらの量を結びつけるのがこの公式です。
  • 適用根拠: これは仕事の基本定義 \(W=(\text{力})\times(\text{距離})\) に基づいています。一様な電場中では、電荷\(q\)が受ける力は \(F=qE\) で一定です。この一定の力で距離\(d\)だけ動かしたときの仕事なので、\(W=Fd=qEd\) となります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 図に情報を書き込む: 図の等電位線に、具体的な電位の値を書き込んでしまうと便利です。例えば、B-Cの線を基準の0Vとすると、Aは-8.0V、Dは-6.0Vの線の上にあることがわかります。
  • \(W_{AB} = q(V_B – V_A) = q(0 – (-8.0)) = 8.0q\)
  • \(W_{BC} = q(V_C – V_B) = q(0 – 0) = 0\)
  • \(W_{CD} = q(V_D – V_C) = q(-6.0 – 0) = -6.0q\)

  このように、基準を一つ決めることで、計算が機械的になり、ミスを減らせます。

• 符号のダブルチェック: 計算結果が出たら、物理的な意味と合っているかを確認します。例えば(ウ)のA→Bの移動では、正電荷を負の中心から遠ざけ、正の中心に近づけているので、静電気力に逆らう動きです。したがって、外力がする仕事は正になるはずだ、と確認できます。(オ)のC→Dでは、正電荷を正の中心から遠ざけているので、静電気力に助けられる動きであり、外力の仕事は負になるはずだ、と確認できます。
• 指数の計算: \( (3.0 \times 10^{-8}) \times 8.0 \) のような計算では、まず係数部分 \(3.0 \times 8.0 = 24\) を計算し、それに指数部分 \(10^{-8}\) を付け加えます。最後に、\(24 \times 10^{-8} = 2.4 \times 10^{-7}\) のように、科学記数法の形に直すと、桁のミスが起こりにくくなります。

368 電場・電位

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「電場と電位の重ね合わせ、および外力がする仕事」です。2次元平面上に配置された複数の点電荷が作る電場（ベクトル量）と電位（スカラー量）を、重ね合わせの原理に基づいてそれぞれ正しく計算できるか、また、それらの情報を用いて外力がする仕事を計算できるかが問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
点Pにおける合成電場を求める問題です。まず、点Aの電荷(\(+8q\))と点Bの電荷(\(-q\))が、それぞれ単独で点Pにどのような電場を作るかを考えます。次に、それら2つの電場ベクトルを、重ね合わせの原理に従ってベクトル的に合成します。

この設問における重要なポイント

• 各電場の計算:
  • \(\vec{E}_A\): A(\(a,0\))からP(\(a,2a\))までの距離は\(2a\)。電荷は\(+8q\)。
  • \(\vec{E}_B\): B(\(0,2a\))からP(\(a,2a\))までの距離は\(a\)。電荷は\(-q\)。
• 各電場の向き:
  • \(\vec{E}_A\): 正電荷なのでAから遠ざかる向き（y軸正の向き）。
  • \(\vec{E}_B\): 負電荷なのでBに近づく向き（x軸負の向き）。
• ベクトル合成: \(\vec{E}_A\)と\(\vec{E}_B\)は互いに直交しているので、三平方の定理を用いて合成ベクトルの大きさを求めることができます。

具体的な解説と立式
点Aの電荷(\(+8q\))が点Pに作る電場を\(\vec{E}_A\)、点Bの電荷(\(-q\))が点Pに作る電場を\(\vec{E}_B\)とします。

\(\vec{E}_A\)の計算:

A(\(a,0\))とP(\(a,2a\))の距離は\(2a\)。電荷は正なので、電場の向きはAからPの向き（y軸正の向き）です。
$$
\begin{aligned}
E_A &= k \frac{|+8q|}{(2a)^2} \\[2.0ex] &= k \frac{8q}{4a^2} \\[2.0ex] &= \frac{2kq}{a^2}
\end{aligned}
$$
\(\vec{E}_B\)の計算:

B(\(0,2a\))とP(\(a,2a\))の距離は\(a\)。電荷は負なので、電場の向きはPからBの向き（x軸負の向き）です。
$$
\begin{aligned}
E_B &= k \frac{|-q|}{a^2} \\[2.0ex] &= \frac{kq}{a^2}
\end{aligned}
$$
合成電場\(\vec{E}\)は、\(\vec{E} = \vec{E}_A + \vec{E}_B\)で求められます。\(\vec{E}_A\)と\(\vec{E}_B\)はy軸方向とx軸方向で直交しているので、合成電場の大きさ\(E\)は三平方の定理を用いて計算できます。
$$ E = \sqrt{E_A^2 + E_B^2} $$

$$
\begin{aligned}
E &= \sqrt{\left(\frac{2kq}{a^2}\right)^2 + \left(\frac{kq}{a^2}\right)^2} \\[2.0ex] &= \sqrt{4\left(\frac{kq}{a^2}\right)^2 + \left(\frac{kq}{a^2}\right)^2} \\[2.0ex] &= \sqrt{5\left(\frac{kq}{a^2}\right)^2} \\[2.0ex] &= \frac{\sqrt{5}kq}{a^2}
\end{aligned}
$$
向きについては、\(\vec{E}_A\)（y軸正向き）と\(\vec{E}_B\)（x軸負向き）の合成ベクトルなので、左斜め上を向きます。

合成電場\(\vec{E}\)の成分比は \(E_x : E_y = -E_B : E_A = -\frac{kq}{a^2} : \frac{2kq}{a^2} = -1 : 2\)。

ベクトル\(\vec{AB}\)は、A(\(a,0\))からB(\(0,2a\))へ向かうので、その成分は\((-a, 2a)\)であり、成分比は \(x : y = -a : 2a = -1 : 2\)。

両者の成分比が等しいので、向きは同じです。したがって、向きは③\(\vec{AB}\)となります。

P地点での電場を調べます。

1. A地点のプラス電気は、P地点に真上向きの電場\(\vec{E}_A\)を作ります。
2. B地点のマイナス電気は、P地点に真左向きの電場\(\vec{E}_B\)を作ります。
3. この「上向き」と「左向き」の2つの電場（矢印）を合成します。直角に交わる2つのベクトルなので、三平方の定理を使って合成後の矢印の長さを計算できます。
4. 合成後の向きは「左斜め上」になりますが、選択肢と比べるために詳しく調べると、ちょうどAからBへ向かうベクトル\(\vec{AB}\)と同じ向きであることがわかります。

点Pにおける電場の強さは \(\displaystyle\frac{\sqrt{5}kq}{a^2}\) で、向きは\(\vec{AB}\)と同じです。

問(2)

思考の道筋とポイント
点Pにおける電位を求めます。電位はスカラー量なので、重ね合わせの原理は単純な代数和（符号を含めた足し算）になります。無限遠を基準(\(0 \, \text{V}\))として、各電荷が点Pに作る電位をそれぞれ計算し、足し合わせます。

この設問における重要なポイント

• 電位はスカラー量であり、向きを考える必要がない。
• 点電荷が作る電位の公式は \(V = k \displaystyle\frac{Q}{r}\) であり、電荷Qの符号をそのまま計算に用いる。
• AからPまでの距離、BからPまでの距離を正しく求める。

具体的な解説と立式
無限遠を基準とするとき、点電荷\(Q\)から距離\(r\)の点の電位は \(V = k \displaystyle\frac{Q}{r}\) です。

点Pの電位\(V_P\)は、点Aの電荷が作る電位\(V_A\)と、点Bの電荷が作る電位\(V_B\)の和で与えられます。
$$ V_P = V_A + V_B $$
\(V_A\)の計算: A(\(+8q\))からPまでの距離は\(2a\)。
$$ V_A = k \frac{+8q}{2a} $$
\(V_B\)の計算: B(\(-q\))からPまでの距離は\(a\)。
$$ V_B = k \frac{-q}{a} $$

$$
\begin{aligned}
V_P &= V_A + V_B \\[2.0ex] &= k \frac{8q}{2a} + k \frac{-q}{a} \\[2.0ex] &= \frac{4kq}{a} – \frac{kq}{a} \\[2.0ex] &= \frac{3kq}{a}
\end{aligned}
$$

P地点の「電気的な高さ（電位）」を計算します。高さには向きがないので、計算は簡単です。

1. A地点のプラス電気がP地点に作る高さ \(V_A\) を計算します。
2. B地点のマイナス電気がP地点に作る高さ \(V_B\) を計算します。マイナスの電気は「谷」を作るので、高さはマイナスになります。
3. この2つの高さを単純に足し合わせれば、P地点の最終的な高さが求まります。

点Pの電位は \(\displaystyle\frac{3kq}{a}\) となります。

問(3)

思考の道筋とポイント
電荷\(+2q\)を点Pから原点Oまでゆっくり動かすときに、外力がする仕事を求めます。外力がする仕事は \(W = (\text{運ぶ電荷}) \times (V_{\text{終}} – V_{\text{始}})\) で計算できます。まず、終点である原点Oの電位を求める必要があります。

この設問における重要なポイント

• 外力がする仕事の公式 \(W = q(V_{\text{終}} – V_{\text{始}})\) を適用する。
• 始点はP、終点はO。運ぶ電荷は \(+2q\)。
• (2)と同様に、原点Oの電位\(V_O\)を、AとBの電荷が作る電位の和として計算する。

具体的な解説と立式
外力がする仕事\(W\)は、運ぶ電荷を\(q_{\text{運}}\)、始点の電位を\(V_P\)、終点の電位を\(V_O\)とすると、
$$ W = q_{\text{運}}(V_O – V_P) $$
ここで \(q_{\text{運}} = +2q\)、\(V_P\)は(2)で求めた \(\displaystyle\frac{3kq}{a}\) です。

次に、原点Oの電位\(V_O\)を計算します。

• A(\(+8q\))からOまでの距離は\(a\)。
• B(\(-q\))からOまでの距離は\(2a\)。

$$
\begin{aligned}
V_O &= (\text{AがOに作る電位}) + (\text{BがOに作る電位}) \\[2.0ex] &= k \frac{+8q}{a} + k \frac{-q}{2a}
\end{aligned}
$$

まず、\(V_O\)を計算します。
$$
\begin{aligned}
V_O &= \frac{8kq}{a} – \frac{kq}{2a} \\[2.0ex] &= \frac{16kq – kq}{2a} \\[2.0ex] &= \frac{15kq}{2a}
\end{aligned}
$$
次に、仕事\(W\)を計算します。
$$
\begin{aligned}
W &= (+2q)(V_O – V_P) \\[2.0ex] &= 2q \left( \frac{15kq}{2a} – \frac{3kq}{a} \right) \\[2.0ex] &= 2q \left( \frac{15kq – 6kq}{2a} \right) \\[2.0ex] &= 2q \left( \frac{9kq}{2a} \right) \\[2.0ex] &= \frac{9kq^2}{a}
\end{aligned}
$$

電気の粒（\(+2q\)）をP地点からO地点まで運ぶのに、どれくらいの仕事が必要かを計算します。
仕事の量は「運ぶ電気の量 × 高さの差」で計算できます。

1. まず、スタート地点Pの高さ\(V_P\)を(2)で求めました。
2. 次に、ゴール地点Oの高さ\(V_O\)を(2)と同じ方法で計算します。
3. 「ゴールの高さ – スタートの高さ」で高さの差を求めます。
4. 最後に、運ぶ電気の量（\(+2q\)）と、計算した高さの差を掛け合わせれば、仕事が求まります。

外力がする仕事は \(\displaystyle\frac{9kq^2}{a}\) となります。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 電場（ベクトル）と電位（スカラー）の重ね合わせ:
  • 核心: この問題の根幹は、電場と電位という2つの物理量の性質の違いを明確に理解し、重ね合わせの原理を正しく使い分けることです。
  • 理解のポイント:
    • 電場はベクトル和: 電場には向きがあるため、複数の電荷が作る電場を合成する際は、必ずベクトルとして扱わなければなりません。(1)のように、各電場ベクトルを作図し、三平方の定理や成分分解を用いて合成する必要があります。
    • 電位は代数和: 電位には向きがなく、大きさ（と符号）しか持たないスカラー量です。そのため、複数の電荷が作る電位を合成する際は、各電位を単純に足し合わせる（代数和をとる）だけで済みます。(2)や(3)の計算がこれにあたります。この違いを理解することが、この分野の最重要ポイントです。
• 外力がする仕事と電位:
  • 核心: 外力が電荷を運ぶ仕事は、経路によらず、始点と終点の「電位差」と運ぶ「電荷」だけで決まる、というエネルギーの観点からの理解が重要です。
  • 理解のポイント:
    • 公式 \(W_{\text{外}} = q(V_{\text{終}} – V_{\text{始}})\): この公式が全てです。仕事の計算には、途中の経路や電場の強さは直接必要なく、始点と終点の電位さえ分かれば計算できます。
    • 位置エネルギーの変化: この仕事は、静電気力による位置エネルギーの変化量 \(\Delta U = U_{\text{終}} – U_{\text{始}}\) に等しく、\(U=qV\) の関係から公式が導かれます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 電場と電位がともに0になる点を求める問題: 電場が0になる点（ベクトル和が0）と、電位が0になる点（代数和が0）は、一般に一致しません。両者を区別して計算させる問題は頻出です。
  • 力学的エネルギー保存則との融合: 「点Pで初速\(v_0\)で電荷を放したら、原点Oを通過するときの速さは？」といった問題。この場合は、エネルギー保存則「\(\Delta K + \Delta U = 0\)」すなわち「\(\frac{1}{2}mv^2 – \frac{1}{2}mv_0^2 + q(V_O – V_P) = 0\)」を立てて解きます。
  • 異なる経路での仕事: 「P→A→Oと運んだときの仕事は？」と問われても、静電気力は保存力なので、始点と終点が同じであれば仕事は(3)と全く同じになります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 問われているのはベクトルかスカラーか？: まず、問題が「電場」を問うているのか、「電位」や「仕事」を問うているのかを確認します。これにより、ベクトル和で考えるべきか、代数和で考えるべきかが決まります。
  2. 距離の計算: 各電荷から対象点までの距離を、座標から三平方の定理などを用いて正確に計算します。これがすべての計算の基礎となります。
  3. 電場の場合: 各電荷が作る電場ベクトルを、向きを考慮して作図します。ベクトルのなす角（この問題では\(90^\circ\)）を確認し、適切な方法（三平方の定理や成分分解）で合成します。
  4. 電位・仕事の場合: 各電荷が作る電位を、電荷の符号を含めて計算し、単純に足し合わせます。仕事の計算では、始点と終点の電位をそれぞれ求め、その差をとることが必要です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 電場と電位の計算の混同:
  • 誤解: 電場の計算で向きを考えずに大きさを足し引きしたり、逆に電位の計算でベクトルの合成をしようとしたりする。
  • 対策: 「電場はベクトル、電位はスカラー」という大原則を徹底しましょう。問題を解き始める前に、どちらを問われているかを確認し、計算方針（ベクトル和か代数和か）を明確に決める癖をつけます。
• 電位の公式での符号の扱い:
  • 誤解: 電位の公式 \(V = k \displaystyle\frac{Q}{r}\) で、負電荷の計算をする際に絶対値をつけてしまう。
  • 対策: 電場の大きさの公式 \(E = k \displaystyle\frac{|Q|}{r^2}\) には絶対値がつきますが、電位の公式にはつきません。負電荷は電位の「谷」を作るので、その電位は負の値になります。電荷の符号をそのまま式に入れる、と覚えましょう。
• 仕事の公式での電位差の順番:
  • 誤解: 外力がする仕事 \(W\) を \(q(V_{\text{始}} – V_{\text{終}})\) と計算してしまう。
  • 対策: 外力がする仕事は「位置エネルギーの変化量（後 – 前）」に等しい、と根本から理解するのが安全です。\(W_{\text{外}} = U_{\text{終}} – U_{\text{始}} = qV_{\text{終}} – qV_{\text{始}} = q(V_{\text{終}} – V_{\text{始}})\) となります。「終点引く始点」と覚えましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 電場の重ね合わせ（ベクトル和）:
  • 選定理由: (1)では、複数の電荷源（AとB）が存在する空間のある一点（P）での「電場」を求めるため、重ね合わせの原理を適用します。電場はベクトルなので、ベクトル和をとる必要があります。
  • 適用根拠: 電場は線形な系であり、一つの電荷が作る電場は他の電荷の存在によって影響を受けません。したがって、各電場を独立に計算し、それらを後からベクトル的に足し合わせるという操作が物理的に正当化されます。
• 電位の重ね合わせ（代数和）:
  • 選定理由: (2)では、複数の電荷源が存在する中での一点（P）の「電位」を求めるため、重ね合わせの原理を適用します。電位はスカラーなので、代数和をとるだけで済みます。
  • 適用根拠: 電位は、単位電荷あたりの位置エネルギーであり、エネルギーはスカラー量です。複数の要因によるエネルギーを考える際は、単純にそれらを足し合わせればよい、というエネルギーの基本的な性質に基づいています。
• 外力がする仕事 \(W = q(V_{\text{終}} – V_{\text{始}})\):
  • 選定理由: (3)では、「外力がする仕事」が問われており、始点と終点の「電位」が計算可能です。これらの物理量を結びつけるのが、この仕事と電位差の関係式です。
  • 適用根拠: この公式は、エネルギー保存則「(外力がした仕事) = (位置エネルギーの変化) + (運動エネルギーの変化)」に基づいています。「ゆっくり」運ぶという条件は、運動エネルギーの変化がゼロであることを意味するため、(外力がした仕事) = (位置エネルギーの変化) = \(qV_{\text{終}} – qV_{\text{始}}\) となります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 座標と距離の確認: 問題で与えられた座標 A(a, 0), B(0, 2a), P(a, 2a), O(0, 0) を図にプロットし、各点間の距離（AP=2a, BP=a, AO=a, BO=2a）を計算して書き込んでおくと、公式に代入する際のミスを防げます。
• 共通因数でくくる: (2)や(3)で電位を計算する際、\(V_P = k \frac{8q}{2a} + k \frac{-q}{a} = \frac{kq}{a} (4 – 1) = \frac{3kq}{a}\) のように、共通因数 \(\frac{kq}{a}\) でくくると、計算が少し楽になり、ミスも減らせます。
• 計算のステップを分ける: (3)のように複数の計算が必要な場合は、焦らずにステップを分けましょう。
  1. 始点Pの電位 \(V_P\) を計算する（(2)で計算済み）。
  2. 終点Oの電位 \(V_O\) を計算する。
  3. 電位差 \(V_O – V_P\) を計算する。
  4. 最後に、運ぶ電荷 \(+2q\) を掛けて仕事 \(W\) を求める。

  このように手順を分割することで、思考が整理され、計算ミスを防ぐことができます。

369 電位

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「点電荷が作る電場と電位、および電場中での仕事とエネルギー」です。複数の点電荷が作る電場や電位は、それぞれの電荷が作るものをベクトル的に（電場の場合）あるいはスカラー的に（電位の場合）足し合わせる「重ね合わせの原理」を用いて計算します。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
点Cにおける電場を求めるには、点Aにある電荷 \(Q_1\) が作る電場 \(\vec{E_A}\) と、点Bにある電荷 \(Q_2\) が作る電場 \(\vec{E_B}\) をそれぞれ求め、ベクトルとして足し合わせる（重ね合わせる）必要があります。\(Q_1\) は正電荷なのでC点に斥力（AからCへ向かう向き）の電場を、\(Q_2\) は負電荷なのでC点に引力（CからBへ向かう向き）の電場を作ります。それぞれの電場の大きさを計算し、図を書いてベクトル合成を行います。
この設問における重要なポイント

• 電場はベクトル量であり、大きさと向きを持つ。
• 正電荷は自身から遠ざかる向き、負電荷は自身へ向かう向きに電場を作る。
• 複数の電場を合成する際は、ベクトルの和を計算する。
• 問題の図形的な対称性（二等辺三角形）に着目すると、計算が簡略化できる。

具体的な解説と立式
まず、点A、点Bから点Cまでの距離 \(r\) を求めます。△AOCは直角三角形なので、三平方の定理より、
$$ r = AC = BC = \sqrt{3.0^2 + 3.0^2} = 3.0\sqrt{2} \text{ [m]} $$
次に、点Aの電荷 \(Q_1\) が点Cに作る電場の強さ \(E_A\) と、点Bの電荷 \(Q_2\) が点Cに作る電場の強さ \(E_B\) を計算します。\(|Q_1| = |Q_2| = 1.0 \times 10^{-5}\) C であり、距離も等しいので、電場の強さは等しくなります。
$$ E_A = E_B = k \frac{|Q_1|}{r^2} \quad \cdots ① $$
\(Q_1\) は正電荷なので、電場 \(\vec{E_A}\) の向きはAからCの向きです。\(Q_2\) は負電荷なので、電場 \(\vec{E_B}\) の向きはCからBの向きです。
これらのベクトルを合成したものが、点Cにおける電場 \(\vec{E}\) となります。図1からわかるように、\(\vec{E_A}\) と \(\vec{E_B}\) のx成分は互いに打ち消し合い、y成分のみが残ります。
\(\vec{E_A}\) とx軸のなす角は \(45^\circ\) なので、\(\vec{E_A}\) のy成分は \(-E_A \sin 45^\circ\)、\(\vec{E_B}\) のy成分は \(-E_B \sin 45^\circ\) です。
よって、合成電場 \(E\) の大きさは、
$$ E = E_A \sin 45^\circ + E_B \sin 45^\circ $$
\(E_A = E_B\) なので、
$$ E = 2 E_A \sin 45^\circ = 2 E_A \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \sqrt{2} E_A \quad \cdots ② $$
合成電場の向きは、y軸の負の向きとなります。

まず、①式に数値を代入して \(E_A\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
E_A &= (9.0 \times 10^9) \times \frac{1.0 \times 10^{-5}}{(3.0\sqrt{2})^2} \\[2.0ex] &= (9.0 \times 10^9) \times \frac{1.0 \times 10^{-5}}{18} \\[2.0ex] &= 0.50 \times 10^4 = 5.0 \times 10^3 \text{ [N/C]}
\end{aligned}
$$
次に、②式にこの結果を代入して、合成電場 \(E\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
E &= \sqrt{2} E_A \\[2.0ex] &= \sqrt{2} \times (5.0 \times 10^3) \\[2.0ex] &\approx 1.414 \times 5.0 \times 10^3 \\[2.0ex] &= 7.07 \times 10^3 \approx 7.1 \times 10^3 \text{ [N/C]}
\end{aligned}
$$

点Cに「プラス1クーロン」の試験電荷を置いたと想像してください。この試験電荷がどちら向きに、どれくらいの力を受けるかが「電場」です。
Aにあるプラス電荷からは、斜め右下に突き放す力（斥力）を受けます。Bにあるマイナス電荷からは、斜め左下に引っ張られる力（引力）を受けます。
この二つの力は、距離と電気量が同じなので、強さも同じです。この二つの力を綱引きのように合わせると、左右の成分はキャンセルされて、真下向きの力だけが残ります。この真下向きの力の大きさを計算すればOKです。

点Cにおける電場の強さは \(7.1 \times 10^3\) N/C で、向きはy軸の負の向きです。正電荷と負電荷がy軸上に対称に配置されているため、x軸上の点では電場がy軸方向を向くというのは、直感的にも妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
外力が電荷を「ゆっくり」移動させるときの仕事を求める問題です。この場合、外力がする仕事 \(W\) は、静電気力による位置エネルギーの変化に等しくなります。公式は \(W = q(V_{\text{終点}} – V_{\text{始点}})\) です。
したがって、まずは始点である点Cの電位 \(V_C\) と、終点である原点Oの電位 \(V_O\) を計算する必要があります。電位はスカラー量なので、各電荷が作る電位を単純に足し合わせるだけで計算できます。
この設問における重要なポイント

• 電位はスカラー量であり、向きはないが符号はある。正電荷は正の電位、負電荷は負の電位を作る。
• 重ね合わせの原理により、各点が作る電位の代数和（単純な足し算）がその点の電位となる。
• 外力が電荷をゆっくり運ぶ仕事は \(W = q \Delta V = q(V_{\text{終}} – V_{\text{始}})\)。
• 図形の対称性から、電位が0になる点や線（等電位線）を見抜くことができる。

具体的な解説と立式
始点である点C(3.0, 0)の電位 \(V_C\) を求めます。点Aの電荷 \(Q_1\) と点Bの電荷 \(Q_2\) が点Cに作る電位の和です。
(1)より、\(AC = BC = 3.0\sqrt{2}\) [m] です。
$$ V_C = k \frac{Q_1}{AC} + k \frac{Q_2}{BC} \quad \cdots ① $$
次に、終点である原点O(0, 0)の電位 \(V_O\) を求めます。
\(AO = 3.0\) [m], \(BO = 3.0\) [m] です。
$$ V_O = k \frac{Q_1}{AO} + k \frac{Q_2}{BO} \quad \cdots ② $$
外力がした仕事 \(W\) は、電荷 \(q\) と始点・終点の電位差を用いて次のように表せます。
$$ W = q(V_O – V_C) \quad \cdots ③ $$

①式を計算します。\(Q_1 = 1.0 \times 10^{-5}\) C, \(Q_2 = -1.0 \times 10^{-5}\) C であり、\(Q_2 = -Q_1\) かつ \(AC=BC\) なので、
$$
\begin{aligned}
V_C &= k \frac{Q_1}{AC} + k \frac{-Q_1}{AC} \\[2.0ex] &= 0 \text{ [V]}
\end{aligned}
$$
同様に②式を計算します。\(Q_2 = -Q_1\) かつ \(AO=BO\) なので、
$$
\begin{aligned}
V_O &= k \frac{Q_1}{AO} + k \frac{-Q_1}{BO} \\[2.0ex] &= 0 \text{ [V]}
\end{aligned}
$$
最後に③式に \(V_C=0\), \(V_O=0\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
W &= q(0 – 0) \\[2.0ex] &= 0 \text{ [J]}
\end{aligned}
$$

電気の世界での「仕事」は、電荷を「電位」という電気的な高さの坂を上り下りさせることに関係します。今回は、スタート地点のC点とゴール地点のO点の「電位」を調べます。
C点もO点も、プラス電荷Aとマイナス電荷Bから等しい距離にあります。プラスが作る「電位の山」とマイナスが作る「電位の谷」がちょうど打ち消しあって、どちらの地点も電位が0V、つまり電気的な高さがゼロの平地になっています。
平地から平地へ移動させるので、外力がする仕事はゼロ、ということになります。実は、この問題ではx軸全体が電位0Vの等電位線になっています。

外力がした仕事は 0 J となります。これは、始点Cと終点Oがともに電位0 Vの等電位点（この場合はx軸という等電位線上）にあるためです。保存力である静電気力に逆らってする仕事は経路によらず始点と終点の位置（電位）のみで決まるため、電位差がなければ仕事は0になります。これは妥当な結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
点Cで電荷Pを放すと、静電気力のみを受けて運動を始めます。この場合、外力や摩擦などの非保存力が仕事をしないため、力学的エネルギーが保存されます。ここでの力学的エネルギーとは、「運動エネルギー」と「静電気力による位置エネルギー \(qV\)」の和のことです。
始点（点C）と、速さが 2.0 m/s になったある点（終点）とで、エネルギー保存則の式を立てて、終点の電位 \(V\) を求めます。
この設問における重要なポイント

• 静電気力は保存力であり、静電気力のみが働く運動では「運動エネルギー＋静電気力による位置エネルギー」が保存される。
• 静電気力による位置エネルギーは \(U=qV\) と表される。
• エネルギー保存則: \(\frac{1}{2}mv_{\text{始}}^2 + qV_{\text{始}} = \frac{1}{2}mv_{\text{終}}^2 + qV_{\text{終}}\)。

具体的な解説と立式
静電気力だけが仕事をするので、エネルギー保存則が成り立ちます。
$$ \frac{1}{2}mv^2 + qV = \text{一定} $$
始点は点C、終点は速さが \(v = 2.0\) m/s になったある点とします。この点の電位を \(V\) とします。
始点Cでの速さは \(v_C = 0\)、電位は(2)で求めたように \(V_C = 0\) です。
終点での速さは \(v = 2.0\) m/s、電位は \(V\) です。
エネルギー保存則を始点と終点で立てると、
$$ \frac{1}{2}m v_C^2 + qV_C = \frac{1}{2}m v^2 + qV $$
この式を、求めたい \(V\) について解きます。

立式したエネルギー保存則に、既知の値を代入します。
\(m = 3.0 \times 10^{-2}\) kg, \(q = -2.0 \times 10^{-6}\) C, \(v_C = 0\) m/s, \(V_C = 0\) V, \(v = 2.0\) m/s。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}m (0)^2 + q(0) &= \frac{1}{2}mv^2 + qV \\[2.0ex] 0 &= \frac{1}{2}mv^2 + qV
\end{aligned}
$$
この式を \(V\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
qV &= -\frac{1}{2}mv^2 \\[2.0ex] V &= -\frac{mv^2}{2q}
\end{aligned}
$$
数値を代入して \(V\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
V &= -\frac{(3.0 \times 10^{-2}) \times (2.0)^2}{2 \times (-2.0 \times 10^{-6})} \\[2.0ex] &= -\frac{3.0 \times 10^{-2} \times 4.0}{-4.0 \times 10^{-6}} \\[2.0ex] &= \frac{12.0 \times 10^{-2}}{4.0 \times 10^{-6}} \\[2.0ex] &= 3.0 \times 10^{(-2 – (-6))} \\[2.0ex] &= 3.0 \times 10^4 \text{ [V]}
\end{aligned}
$$

電荷Pは、電気的なジェットコースターに乗ったようなものです。スタート地点Cでは止まっているので、運動エネルギーは0です。また、(2)でわかったように電気的な高さ（電位）も0です。つまり、全エネルギーは0からスタートします。
コースターが動き出して速さ 2.0 m/s になったとき、運動エネルギーが増えています。エネルギー保存の法則から、全体のエネルギーは0のままのはずなので、運動エネルギーが増えた分、位置エネルギーは減らなければなりません。
しかし、電荷Pはマイナスの電気を持っているので、位置エネルギー \(qV\) は、電位 \(V\) が「高く」なるほど「低く」なります（マイナス×プラス＝マイナス）。
したがって、運動エネルギーを得るためには、電荷Pはより電位の高い場所へ移動したはずです。その電位の高さを計算で求めるのがこの問題です。

ある点の電位は \(3.0 \times 10^4\) V となります。点Pは負の電荷 (\(q<0\)) なので、電場 \(\vec{E}\) とは逆向き、つまりy軸の正の向きに力を受けて動き出します。y軸の正の方向は、正電荷 \(Q_1\) に近づき、負電荷 \(Q_2\) から遠ざかる方向なので、電位は高くなります (\(V>0\))。計算結果が正の値となったことと物理的な状況は一致しており、妥当な結果です。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 重ね合わせの原理の適用:
  • 核心: この問題の根幹は、複数の点電荷が存在する空間の任意の点での電場や電位を、「重ね合わせの原理」を用いて正しく計算できるかどうかにあります。
  • 理解のポイント:
    • 電場（ベクトル）の重ね合わせ: (1)のように、各電荷が作る電場をベクトルとして図示し、ベクトルの合成（平行四辺形の法則や成分分解）を行う必要があります。向きを考慮した足し算であることが重要です。
    • 電位（スカラー）の重ね合わせ: (2)のように、各電荷が作る電位をスカラーとして計算し、単純に代数和（符号を考慮した足し算）を取るだけで済みます。計算は楽ですが、\(V = k\displaystyle\frac{Q}{r}\) の \(Q\) には符号を含めることを忘れてはいけません。
• 電場中でのエネルギー保存:
  • 核心: 「静電気力は保存力である」という事実を理解し、静電気力のみが働く状況では「運動エネルギーと静電気力による位置エネルギーの和が一定に保たれる」というエネルギー保存則を適用することです。
  • 理解のポイント:
    • 関係式: \(\frac{1}{2}mv^2 + qV = \text{一定}\)
    • 応用: この法則は、(3)のように、ある状態から別の状態へ変化したときの速さや電位を求める際に絶大な威力を発揮します。始点と終点の2つの状態で式を立てるだけで、途中の複雑な運動（力の変化など）を一切考慮せずに解を導けます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 電気双極子: 本問のように、絶対値が等しく符号が異なる一対の電荷（電気双極子）が作る電場・電位を問う問題は頻出です。特に、双極子から十分離れた点での電場や電位を近似計算させる問題に応用されます。
  • 等電位線と電気力線: (2)でx軸が等電位線（V=0）になったように、電位が等しい点を結んだ等電位線を考察させる問題。電気力線は等電位線と常に直交するという性質と合わせて問われることが多いです。
  • コンデンサー内の運動: 一様な電場とみなせるコンデンサー極板間で、荷電粒子がどのような軌道を描くか（放物線運動など）、あるいはエネルギーがどう変化するかを問う問題。重力場での物体の運動との類推で解くことができます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 電荷の配置と対称性の確認: まず、電荷の配置図を見て、図形的な対称性がないかを探します。(1)や(2)の△ABCや△ABOのように対称性があれば、ベクトル計算の簡略化や、電位が0になる点・線の発見につながります。
  2. 問われているのは「場」か「エネルギー」か:
     • 「電場」「電位」を問われたら、重ね合わせの原理を適用します。
     • 「仕事」「速さ」「エネルギー」を問われたら、エネルギー保存則 \(\frac{1}{2}mv^2 + qV = \text{一定}\) か、仕事とエネルギーの関係 \(W = \Delta K\) や \(W = q\Delta V\) を使うことを考えます。
  3. 力の向きと運動の向きを予測: (3)のように電荷を放す問題では、まず電荷がどちら向きに力を受けるか（正電荷なら電場と同じ向き、負電荷なら逆向き）を考え、どちらへ動き出すかを大まかに予測します。これにより、電位が上がるか下がるかの見当がつき、計算結果の妥当性チェックに役立ちます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 電場と電位の混同:
  • 誤解: 電場（ベクトル）の計算なのに、向きを考えずに大きさを足してしまう。あるいは、電位（スカラー）の計算なのに、ベクトル合成をしようとしてしまう。
  • 対策: 問題を解き始める前に、「電場はベクトル（向きあり）、電位はスカラー（向きなし）」と頭の中で復唱する習慣をつけましょう。電場を求めるときは必ず図を描いて矢印で考える、電位を求めるときは単純な足し算に徹する、と明確に区別します。
• 仕事の式の符号ミス:
  • 誤解: 外力がする仕事 \(W_{\text{外力}}\) と静電気力がする仕事 \(W_{\text{静電気力}}\) を混同し、\(W = q(V_{\text{始}} – V_{\text{終}})\) のように符号を間違える。
  • 対策: 「外力はポテンシャル（位置エネルギー）を増やす向きに正の仕事をする」と覚えるのが有効です。つまり、外力がする仕事は位置エネルギーの変化量 \(\Delta U = U_{\text{終}} – U_{\text{始}}\) に等しく、\(W_{\text{外力}} = qV_{\text{終}} – qV_{\text{始}} = q(V_{\text{終}} – V_{\text{始}})\) となります。静電気力がする仕事はこの逆です。
• エネルギー保存則での符号ミス:
  • 誤解: 位置エネルギーの項 \(qV\) で、電荷 \(q\) の符号を入れ忘れる、または電位 \(V\) の符号を考慮し忘れる。
  • 対策: \(q\) と \(V\) は、どちらも正負の値を取りうるスカラー量であることを常に意識します。特に(3)のように負の電荷を扱う場合は、\(q = -2.0 \times 10^{-6}\) C のように、計算の最後までマイナス符号を意識的に引き継いでいくことが重要です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 重ね合わせの原理:
  • 選定理由: (1), (2)では、空間に複数の電荷が存在し、ある一点での物理量（電場・電位）を求めることが要求されています。電磁気学の基本法則として、複数の源が作る場は、それぞれの源が単独で作る場の線形的な和で表されるため、この原理の適用が最も直接的かつ論理的です。
  • 適用根拠: これはマクスウェル方程式の線形性から導かれる、電磁気学の根幹をなす原理です。高校物理では証明なしに基本的な性質として扱いますが、複数の影響を個別に考えて後で足し合わせることができる、という物理学全般に共通する強力な考え方です。
• エネルギー保存則:
  • 選定理由: (3)では、電荷が「静電気力のみを受けて」運動しています。静電気力は、仕事が経路によらない「保存力」です。保存力のみが働く系の力学的エネルギーは保存されるため、この法則の適用が最も効率的です。
  • 適用根拠: この法則は、運動方程式から導出される普遍的な法則です。始点と終点の状態だけで関係式が立てられるため、途中の運動がどれほど複雑であっても（この問題では電荷が受ける力の大きさと向きは刻一刻と変化します）、それを積分して仕事を求めるような困難な計算を回避できます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位と指数の分離計算: (1)や(3)のような計算では、数値部分と \(10\) のべき乗（指数）部分を分けて計算するとミスが減ります。例(3): \(V = -\frac{3.0 \times 2.0^2}{2 \times (-2.0)} \times \frac{10^{-2}}{10^{-6}}\) のように、まず係数部分を計算し、次に指数法則（\(\frac{10^a}{10^b} = 10^{a-b}\)）を適用します。
• ベクトル図の活用: (1)の電場の合成では、フリーハンドでも良いので必ず図を描きましょう。図を描くことで、ベクトルの向き、x成分とy成分の符号、合成後の向きなどを視覚的に確認でき、符号ミスや勘違いを防げます。対称性に気づくきっかけにもなります。
• スカラー計算の符号チェック: (2)や(3)の電位やエネルギーの計算では、\(Q\) や \(q\) の符号を代入する際に特に注意します。計算の各ステップで、プラスとマイナスの符号が正しく引き継がれているかを確認する癖をつけましょう。特に(3)の最終段階 \(V = -\frac{mv^2}{2q}\) のように、分子・分母にマイナス符号が現れる場合は、慎重に処理します。

ABOUT THE AUTHOR

共田 誠（まこと先生）

高校物理講師・プロ家庭教師 / 指導歴14年

上智大学理工学部物理学科卒。私立高校の非常勤講師として進学クラスから基礎クラスまで幅広く担当。大手家庭教師センター3社でプロ家庭教師を経験し、現在はオンライン専門で全国の高校生を個別指導中。

「暗記物理の撲滅」を掲げ、生徒の思考のクセを診断・矯正するドクター型アプローチで指導。表面的なテクニックではなく、初見の問題に強い思考力を育てる。

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14年指導歴

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