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講義ノート
【今回のポイント】
- 力学の目的は「いつ」「どこに」物体があるかを予測すること
- MKS単位系（\(M\): メートル、\(K\): キログラム、\(S\): 秒）が物理の基本単位
- 「位置」は点、「距離」は点と点の幅、「変位」は最終的な位置の変化
- 「時刻」は一瞬の「いつ」、「時間」は時刻と時刻の差
- 速さは \(v = \displaystyle\frac{\Delta x}{\Delta t}\)（距離÷時間）で求められる
- 「速さ」は大きさのみ、「速度」は大きさ＋向きを含む
- 速度の合成は符号をつけて足し算、相対速度は「相手−自分」
【講義解説】
力学の目的
力学の目的は大きく2つある。
1つ目は、物体が「いつ」「どこに」あるかを予測することである。たとえば、ボールを投げたとき、\(1\) 秒後にそのボールが何メートル地点にあるのかを計算できるようにする。これが力学で扱う中心的な問いである。
2つ目は、力とは何かを知ることである。力は目に見えないため、その種類・大きさ・向きを1つずつ調べていく必要がある。
MKS単位系
物理では長さ・質量・時間の3つを基本の単位として使う。これをMKS単位系と呼ぶ。
- \(M\)（メートル）: 場所・距離・長さを表す基本単位
- \(K\)（キログラム）: 質量を表す基本単位
- \(S\)（セコンド＝秒）: 時間を表す基本単位
この3つの頭文字をとって「MKS」である。力学のあらゆる計算は、この単位系を基本に進めていく。
位置・距離・変位の違い
物体がどこにあるのかを表すには、まず座標を用意する。x軸を引き、正の向きをしっかり決めることが出発点である。
- 位置: 「点」のこと。原点を基準とした点の場所を表す。
- 距離: 「点と点の幅」のこと。2つの位置がどれだけ離れているかを表す。
- 変位: 「最終的な位置の変化」のこと。途中の経路は関係なく、スタートからゴールまでどれだけ位置が変化したかだけを見る。
たとえば、スタート地点からゴール地点までぐねぐね曲がって移動したとしても、変位はスタートとゴールを直線で結んだ矢印で表される。途中どんな経路を通ったかは一切関係ない。
時刻と時間の違い
日常では「時刻」と「時間」を同じ意味で使うことが多いが、物理ではこの2つを明確に区別する。
- 時刻: ある一瞬の「いつ」を表す。時計の針が指す値そのものである。たとえば「\(t = 3\,\text{s}\)」は、スタートから \(3\) 秒が経過した瞬間を指す。
- 時間: 時刻と時刻の「差」を表す。ある瞬間からある瞬間までの長さである。たとえば \(t = 3\,\text{s}\) から \(t = 8\,\text{s}\) までの時間は \(8 – 3 = 5\,\text{s}\) となる。
位置と距離の関係と同じ考え方である。「位置」が点で「距離」が幅であるように、「時刻」が点で「時間」が幅にあたる。
速さのイメージと公式
速さは「距離÷時間」で求められるが、計算方法よりもまずイメージをつかむことが大切である。
たとえば「秒速 \(5\,\text{m}\)」とは、\(1\) 秒間に \(5\,\text{m}\) だけ位置が変化するということである。\(50\,\text{m}\) 走ならちょうど \(10\) 秒で走り切るスピードにあたる。
これを文字で表すと、次の公式になる。
$$
\begin{aligned}
v &= \displaystyle\frac{\Delta x}{\Delta t}
\end{aligned}
$$
ここで \(v\) は velocity（速度・速さ）の頭文字である。\(\Delta\)（デルタ）は「差」を意味し、\(\Delta x\) は位置の差（距離・変位）、\(\Delta t\) は時間の差を表す。
また、速さには「瞬間の速さ」と「平均の速さ」の2種類がある。瞬間の速さとは、ある一瞬のスピードメーターの値を読み取ったものである。一方、平均の速さとは、全体の距離を全体の時間で割ったものである。
これは、クラス全員のテストの点数がバラバラでも「全員が同じ点数だとしたら何点になるか」が平均点であるのと同じ考え方である。速さがバラバラでも「ずっと同じ速さで進んだとしたらいくらか」が平均の速さである。
速さと速度の違い
日常では「速さ」と「速度」を同じ意味で使うことが多いが、物理ではこの2つを明確に区別する。
- 速さ: 大きさのみを表す。「\(5\,\text{m}/\text{s}\)」のように数値だけで答える。
- 速度: 大きさと向きの両方を含む。「東向きに \(5\,\text{m}/\text{s}\)」のように、必ず向きも答える。
速度を答えるときは、向きを忘れないことが鉄則である。
速度の合成
歩いている最中に風が吹いたら、実際の速さはどうなるだろうか。
\(v_1\) を無風状態で人が歩く速度、\(v_2\) を風の速度、\(v\) を実際の速度とする。
- 追い風のとき: 後ろから風が吹くので、自分が思っているスピードよりも少し速く歩ける。自分の速度に風の速度が足される。
- 向かい風のとき: 前から風が吹くので、自分の速度から風の速度が差し引かれて遅くなる。
どちらの場合も、速度に符号をつけて足し算すれば正しい結果が得られる。
$$
\begin{aligned}
v &= v_1 + v_2
\end{aligned}
$$
ここで重要なのは、速度には必ず符号をつけるということである。正の向きに進むなら正、逆向きなら負の符号をつけて計算する。
= (15) + (10) = 25 m/s
相対速度
走っている電車に乗っている人から、外を走る車を見たらどう見えるだろうか。
自分が足の遅い人で、隣の友達の方が足が速ければ、友達は前にどんどん進んでいくように見える。逆に、自分が足が速くて友達が遅ければ、友達は後ろに下がっていくように見える。このように、自分から見た相手の速度を「相対速度」という。
$$
\begin{aligned}
v_{\text{相対}} &= v_{\text{相手}} – v_{\text{自分}}
\end{aligned}
$$
相対速度も、必ず符号をつけて引き算することがポイントである。
= (-10) - (15) = -25 m/s
【練習問題の解説】
① 位置の図示（問1）
【問題】
原点からx軸方向に \(3\,\text{m}\)、\(5\,\text{m}\)、\(-2\,\text{m}\)、\(-6\,\text{m}\) の位置に点を書き、位置を示せ。
【解説】
位置は「点」のことである。数直線上の該当する座標に点を打てばよい。
\(x = 3\)、\(5\)、\(-2\)、\(-6\) の目盛りの位置にそれぞれ点を描き込む。
② 瞬間の速さと平均の速さ（問2）
【問題】
速さには「瞬間の速さ」と「平均の速さ」がある。2つの違いについて考えよう。
【解説】
瞬間の速さは、その瞬間のスピードメーターの値を読み取るだけである。
- \(t=0\) のとき: \(0\,\text{m}/\text{s}\)
- \(t=10\) のとき: \(10\,\text{m}/\text{s}\)
- \(t=20\) のとき: \(30\,\text{m}/\text{s}\)
- \(t=30\) のとき: \(15\,\text{m}/\text{s}\)
- \(t=40\) のとき: \(0\,\text{m}/\text{s}\)
一方、平均の速さは全体の距離をかかった時間で割って求める。
$$
\begin{aligned}
v_{\text{平均}} &= \displaystyle\frac{800}{40} \\[2.0ex]
&= 20\,\text{m}/\text{s}
\end{aligned}
$$
③ 速度の表現（問3）
【問題】
東西方向の高速道路を、自動車Aは東向きに \(20\,\text{m}/\text{s}\)、自動車Bは西向きに \(25\,\text{m}/\text{s}\) の速さで走っている。東向きを正の向きとして、自動車A、Bのそれぞれの速度を表せ。
【解説】
東向きを正とするので、西向きは負になる。速度は向きと大きさの両方を答えるか、符号をつけて答える。
- 自動車A: 正の向きに \(20\,\text{m}/\text{s}\)
- 自動車B: 負の向きに \(25\,\text{m}/\text{s}\)
④ 平均の速度（問4）
【問題】
止まっていた自動車が動き出して、\(10\,\text{s}\) 後には止まっていたところから東に \(50\,\text{m}\) のところ、\(15\,\text{s}\) 後には \(120\,\text{m}\) の所を走っていた。東向きを正として、動き出して \(10\,\text{s}\) 後から \(15\,\text{s}\) 後の間の平均の速度を求めよ。
【解説】
\(10\) 秒後から \(15\) 秒後までの \(5\) 秒間に注目する。この間に位置は \(50\,\text{m}\) から \(120\,\text{m}\) へ変化しているので、変位は次のようになる。
$$
\begin{aligned}
\Delta x &= 120 – 50 \\[2.0ex]
&= 70\,\text{m}
\end{aligned}
$$
これをかかった時間 \(5\,\text{s}\) で割る。
$$
\begin{aligned}
v_{\text{平均}} &= \displaystyle\frac{70}{5} \\[2.0ex]
&= 14\,\text{m}/\text{s}
\end{aligned}
$$
東向きを正としているので、答えは正の向きに \(14\,\text{m}/\text{s}\) である。
瞬間の速さ
平均の速さ
⑤ 速度の合成の計算（問5）
【問題】
\(20\,\text{m}/\text{s}\) の速さで走っている自動車に乗った人が、ボールを投げた。次の各場合について、地面に対するボールの（投げ出した直後の）速さを求めよ。
(1) 進行方向に、自動車に対して \(30\,\text{m}/\text{s}\) で投げる。
(2) 進行方向後方に、自動車に対して \(20\,\text{m}/\text{s}\) で投げる。
【解説】
進行方向（右向き）を正とする。自動車の速度は \(+20\,\text{m}/\text{s}\) である。
(1) ボールを進行方向に投げるので、ボールの速度は \(+30\,\text{m}/\text{s}\) である。
$$
\begin{aligned}
v &= (+20) + (+30) \\[2.0ex]
&= +50\,\text{m}/\text{s}
\end{aligned}
$$
速さを聞かれているので、大きさのみ答える。答えは \(50\,\text{m}/\text{s}\) である。
(2) ボールを後方に投げるので、ボールの速度は \(-20\,\text{m}/\text{s}\) である。
$$
\begin{aligned}
v &= (+20) + (-20) \\[2.0ex]
&= 0\,\text{m}/\text{s}
\end{aligned}
$$
答えは \(0\,\text{m}/\text{s}\) である。
⑥ 相対速度の計算1（問6）
【問題】
東向きに \(60\,\text{km}/\text{h}\) の速さで進んでいる電車Aから、東向きに \(80\,\text{km}/\text{h}\) の速さで進む自動車Bを見ると、Bはどちらの向きにいくらの速さで進むように見えるか。
【解説】
東向きを正とする。Aの速度は \(+60\,\text{km}/\text{h}\)、Bの速度は \(+80\,\text{km}/\text{h}\) である。
Aから見たBの相対速度 \(v_{AB}\) を求める。
$$
\begin{aligned}
v_{AB} &= v_B – v_A \\[2.0ex]
&= (+80) – (+60) \\[2.0ex]
&= +20\,\text{km}/\text{h}
\end{aligned}
$$
正なので東向きである。答えは東向きに \(20\,\text{km}/\text{h}\) である。
⑦ 相対速度の計算2（問7）
【問題】
上の電車Aから、東向きに \(40\,\text{km}/\text{h}\) の速さで進むバスCはどちらの向きにいくらの速さで進むように見えるか。
【解説】
Cの速度は \(+40\,\text{km}/\text{h}\) である。
$$
\begin{aligned}
v_{AC} &= v_C – v_A \\[2.0ex]
&= (+40) – (+60) \\[2.0ex]
&= -20\,\text{km}/\text{h}
\end{aligned}
$$
負なので西向きである。答えは西向きに \(20\,\text{km}/\text{h}\) である。
⑧ 相対速度の計算3（問8）
【問題】
電車Aから、西向きに \(50\,\text{km}/\text{h}\) で進むバイクDを見るとどちらの向きにいくらの速さで進むように見えるか。
【解説】
Dは西向きなので速度は \(-50\,\text{km}/\text{h}\) である。
$$
\begin{aligned}
v_{AD} &= v_D – v_A \\[2.0ex]
&= (-50) – (+60) \\[2.0ex]
&= -110\,\text{km}/\text{h}
\end{aligned}
$$
負なので西向きである。答えは西向きに \(110\,\text{km}/\text{h}\) である。
⑨ 相対速度の逆算（問9）
【問題】
北向きに \(80\,\text{km}/\text{h}\) の速さで進んでいる電車Aから見ると、電車Bは南向きに \(30\,\text{km}/\text{h}\) の速さで進むように見えた。電車Bはどちらの向きに何 \(\text{km}/\text{h}\) の速さで進んでいるか。
【解説】
北向きを正とする。自分（A）の速度は \(+80\,\text{km}/\text{h}\)、Aから見たBの相対速度は南向きに \(30\) なので \(-30\,\text{km}/\text{h}\) である。
相手（B）の速度を \(v_B\) とすると、公式より次の式が立つ。
$$
\begin{aligned}
-30 &= v_B – (+80)
\end{aligned}
$$
これを解く。
$$
\begin{aligned}
v_B &= -30 + 80 \\[2.0ex]
&= +50\,\text{km}/\text{h}
\end{aligned}
$$
正なので北向きである。答えは北向きに \(50\,\text{km}/\text{h}\) である。
【重要公式まとめ】
速さの定義
$$
\begin{aligned}
v &= \displaystyle\frac{\Delta x}{\Delta t}
\end{aligned}
$$
\(v\): 速さ、\(\Delta x\): 位置の差（距離・変位）、\(\Delta t\): 時間の差
速度の合成
$$
\begin{aligned}
v &= v_1 + v_2
\end{aligned}
$$
\(v\): 実際の速度、\(v_1\): 物体の速度、\(v_2\): 風などの速度。必ず符号をつけて足し算する。
相対速度
$$
\begin{aligned}
v_{\text{相対}} &= v_{\text{相手}} – v_{\text{自分}}
\end{aligned}
$$
自分から見た相手の速度。必ず符号をつけて引き算する。
以下のテキストをコピーして、「まことAI」にそのまま貼り付けてみてください。別の角度からわかりやすく解説してくれます。
タップ（クリック）すると答えが表示されます。
Q1. 物理において、ある瞬間からある瞬間までの「長さ（差）」を表すのは「時刻」と「時間」のどちらでしょうか？
「時刻」は時計の針が指すその一瞬の点（いつ）のこと、「時間」は時刻と時刻の間隔（幅）のことを指します。
Q2. 「速さ」と「速度」の違いについて。「速さ」は数値（大きさ）のみを表しますが、「速度」は大きさに加えて何を含めて答える必要があるでしょうか？
「速さ」は数値だけ（例：\(5\,\text{m}/\text{s}\)）ですが、「速度」は「東向きに」といった向きを必ずセットにして答えます。計算時はこれをプラスマイナスの符号で表現します。
Q3. 自分から見た相手の速度を「相対速度」と言います。計算式は「（ ① ）の速度 −（ ② ）の速度」となります。①と②に入る言葉をそれぞれ答えてください。
相対速度は常に「相手 − 自分」で計算します。お互いの速度にしっかりと符号（プラスやマイナス）をつけてから引き算をすることが最大のポイントです。
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要するに、作用反作用って別々の物体に働く力だから釣り合いとは違うってことだよね？ → 自分の言葉でまとめ直して、合っているか確認してもらう！
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