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講義ノート
【今回のポイント】
- 等速直線運動とは、同じ速さで一本道をまっすぐ進む運動のこと
- \(x\text{-}t\) グラフ（位置と時刻の関係）では右上がりの直線になる
- \(v\text{-}t\) グラフ（速度と時刻の関係）では横一文字の直線になる
- \(v\text{-}t\) グラフの面積が移動距離を表す（速さ×時間と同じ計算）
【講義解説】
等速直線運動とは
等速直線運動とは、同じ速さで一本道をまっすぐ進む運動のことである。漢字の通り、「等しい速さ」で「直線的」に進む運動である。
中学校で学んだ速さの問題と基本的には変わらない。ずっと一定のスピードでまっすぐ進むだけの、最もシンプルな運動である。
2種類のグラフ（\(x\text{-}t\) グラフと \(v\text{-}t\) グラフ）
物体の運動を表すグラフには2種類ある。ここでは速さ \(5\,\text{m}/\text{s}\) で運動している物体を例に見ていく。
\(x\text{-}t\) グラフ（位置−時刻グラフ）
縦軸が \(x\)（位置）、横軸が \(t\)（時刻）のグラフである。
\(0\) 秒のときに \(0\,\text{m}\) 地点にいて、\(1\) 秒ごとに \(5\,\text{m}\) ずつ進む。\(t=1\) のとき \(x=5\)、\(t=2\) のとき \(x=10\)、\(t=3\) のとき \(x=15\) と点を打ってつなぐと、右上がりの直線になる。一定のリズムで位置が変化していくので、まっすぐな線になるのである。
\(v\text{-}t\) グラフ（速度−時刻グラフ）
縦軸が \(v\)（速度）、横軸が \(t\)（時刻）のグラフである。
\(0\) 秒のときも、\(1\) 秒のときも、\(2\) 秒のときも、ずっと速度は \(5\,\text{m}/\text{s}\) である。何秒経っても \(v\) の値は変わらないので、横一文字の直線になる。
\(v\text{-}t\) グラフの面積＝移動距離
\(v\text{-}t\) グラフには非常に重要な性質がある。グラフの面積を調べると、それがそのまま「移動距離」になっているのである。
なぜそうなるのか。たとえば速さ \(5\,\text{m}/\text{s}\) で \(3\) 秒間進んだときの移動距離を考えると、次のようになる。
$$
\begin{aligned}
x &= 5 \times 3 \\[2.0ex]
&= 15\,\text{m}
\end{aligned}
$$
一方、\(v\text{-}t\) グラフで \(t=0\) から \(t=3\) までの面積を求めると、縦が \(5\)、横が \(3\) の長方形の面積になるので、\(5 \times 3 = 15\) となる。
つまり、「速さ×時間」の計算と「縦×横」の面積の計算はまったく同じことをしている。したがって、\(v\text{-}t\) グラフの面積は移動距離を表す。
等速直線運動ではずっとスピードが一定なのであまり効果を感じないかもしれないが、次の講義で扱う「加速するパターン」のときに、この知識が非常に役に立つ。
【練習問題の解説】
① 等速直線運動の距離と \(v\text{-}t\) グラフ（問10）
【問題】
ある新幹線は、時速 \(200\) キロメートルで走り、\(2\) 時間半で東京から大阪まで到着する。東京と大阪の距離はいくらか。また、その距離を \(v\text{-}t\) グラフで表せ。
【解説】
まず距離を計算する。速度は \(200\,\text{km}/\text{h}\)、時間は \(2.5\,\text{h}\) である。
$$
\begin{aligned}
x &= 200 \times 2.5 \\[2.0ex]
&= 500\,\text{km}
\end{aligned}
$$
次に \(v\text{-}t\) グラフを描く。縦軸を \(v\,[\text{km}/\text{h}]\)、横軸を \(t\,[\text{h}]\) とする。速度はずっと \(200\,\text{km}/\text{h}\) なので、\(v=200\) の横一文字の直線を引く。
距離を \(v\text{-}t\) グラフから求める場合は、\(t=2.5\) からまっすぐ上に点線を引き、グラフとぶつかったところで囲まれた長方形の面積を調べる。縦が \(200\)、横が \(2.5\) なので、面積は \(200 \times 2.5 = 500\) となり、先ほど計算した距離と一致する。
② 等速直線運動の位置と変位（問11）
【問題】
x軸上を正の向きに \(2.5\,\text{m}/\text{s}\) の一定の速度で運動している物体が、時刻 \(0\,\text{s}\) に原点Oを通過したとする。時刻 \(3.0\,\text{s}\) での物体の位置を求めよ。また \(3.0\,\text{s}\) から \(5.0\,\text{s}\) までの間の変位を求めよ。\(v\text{-}t\) グラフを用いること。
【解説】
まず状況を整理する。\(t=0\,\text{s}\) で原点（\(x=0\)）を通過し、速度はずっと \(2.5\,\text{m}/\text{s}\) である。\(v\text{-}t\) グラフを描くと、\(v=2.5\) の横一文字の直線になる。
前半: 時刻 \(3.0\,\text{s}\) での位置
\(t=0\) から \(t=3.0\) までの \(v\text{-}t\) グラフの面積を求める。縦が \(2.5\)、横が \(3.0\) の長方形である。
$$
\begin{aligned}
x_3 &= 2.5 \times 3.0 \\[2.0ex]
&= 7.5\,\text{m}
\end{aligned}
$$
原点から正の向きに \(7.5\,\text{m}\) 移動したので、位置は \(7.5\,\text{m}\) である。
後半: \(3.0\,\text{s}\) から \(5.0\,\text{s}\) までの変位
\(t=3.0\) から \(t=5.0\) までの面積を求める。横の長さは \(5.0 – 3.0 = 2.0\,\text{s}\) である。
$$
\begin{aligned}
\Delta x &= 2.5 \times 2.0 \\[2.0ex]
&= 5.0\,\text{m}
\end{aligned}
$$
正の向きに移動しているので、変位は \(+5.0\,\text{m}\) である。
【重要公式まとめ】
等速直線運動の移動距離
$$
\begin{aligned}
x &= v \times t
\end{aligned}
$$
\(x\): 移動距離、\(v\): 速度、\(t\): 時間
\(v\text{-}t\) グラフの面積 ＝ 移動距離
\(v\text{-}t\) グラフで囲まれた部分の面積が、その時間内の移動距離を表す。
以下のテキストをコピーして、「まことAI」にそのまま貼り付けてみてください。別の角度からわかりやすく解説してくれます。
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Q1. 「等速直線運動」とは、どのような運動のことでしょうか？漢字の意味から2つの特徴を答えてください。
「等速」＝スピードが変わらない、「直線」＝曲がらずにまっすぐ進む、という物理の中で最もシンプルな運動です。
Q2. 等速直線運動をしているとき、縦軸に速度（\(v\)）、横軸に時間（\(t\)）をとった「\(v\text{-}t\)グラフ」はどのような形の線になりますか？
時間がどれだけ経っても速度がずっと一定で変わらないため、グラフは上がったり下がったりせず、真横にまっすぐな線になります。
Q3. 物理において非常に重要な性質です。\(v\text{-}t\)グラフにおいて、グラフの線によって囲まれた部分の「面積」は、何を表しているでしょうか？
長方形の面積は「縦×横」で計算しますが、これは「速さ×時間」を計算しているのと全く同じです。そのため、面積が移動距離を表すことになります。次回の講義の「加速する運動」でもこの考え方が大活躍します。
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💡 ヒント：「自分なりに考えたこと」は、「摩擦力の向きがどっちになるか分からない」「運動方程式の立て方が分からない」など、素直な気持ちでOKです！
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