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講義ノート
【今回のポイント】
- 速度の合成は、向きを含んだ状態で複数の速度を「足し算」する。
- 相対速度は、「自分から見た相手の速度」であり、「相手の速度 – 自分の速度」で求める。
- 斜め方向の速度の合成は「矢印を連結」し、斜め方向の相対速度は「自分から相手に矢印を書く」ことで図形的に解く。
【講義解説】
速度の合成
結論から言えば、複数の速度が組み合わさる場合、それぞれの速度を向きを含めて「足し算」することで、実際の速度（合成速度）を求めることができる。
速度は「大きさと向き」を持つ量であるため、単に数値を足し引きするのではなく、向きをプラス・マイナスで表現した上で足し合わせる必要があるからである。
例えば、無風状態で \(3\,\text{m}/\text{s}\) で走る人がいるとする。
- 無風のとき： そのまま \(3\,\text{m}/\text{s}\) で進む。
- 追い風（風速 \(2\,\text{m}/\text{s}\)）のとき： 進行方向をプラスとすると、人の速度 \((+3)\) と風の速度 \((+2)\) を足して、\((+3) + (+2) = +5\,\text{m}/\text{s}\) となる。
- 向かい風（風速 \(2\,\text{m}/\text{s}\)）のとき： 風の速度は逆向きなので \((-2)\) となる。人の速度 \((+3)\) と足して、\((+3) + (-2) = +1\,\text{m}/\text{s}\) となる。
このように、速度の合成は常に「向きを含んだ足し算」として計算するのである。
= (15) + (10) = 25 m/s
相対速度
相対速度とは、結論から言えば「自分から見た相手の速度」のことである。計算式は「相手の速度 – 自分の速度」となる。
動いている観測者（自分）を基準（速度 \(0\)）としたとき、相手がどのように動いて見えるかを表すため、相手の速度から自分の速度を差し引く必要があるからである。
例えば、以下のような状況を考える。
- 自分が \(5\,\text{m}/\text{s}\)、相手が \(7\,\text{m}/\text{s}\) で同じ向きに走っている場合：
相対速度は \((+7) – (+5) = +2\,\text{m}/\text{s}\) となる。自分からは、相手が前方に \(2\,\text{m}/\text{s}\) で遠ざかっていくように見える。 - 自分が \(7\,\text{m}/\text{s}\)、相手が \(5\,\text{m}/\text{s}\) で同じ向きに走っている場合：
相対速度は \((+5) – (+7) = -2\,\text{m}/\text{s}\) となる。自分からは、相手が後方に \(2\,\text{m}/\text{s}\) で下がっていくように見える。
速度の合成が「足し算」であったのに対し、相対速度は「引き算」である点に注意が必要である。また、公式の文字（\(v_{AB} = v_B – v_A\) など）で覚えるよりも、「相手 – 自分」と日本語で覚える方が間違いが少ない。
= (-10) - (15) = -25 m/s
練習問題の解説
① 直線上の速度の合成（問1）
【問題】
\(20\,\text{m}/\text{s}\) の速さで走っている自動車に乗った人がボールを投げた。次の場合について、地面に立っている人から見た速さを求めよ。
(1) 前方に \(30\,\text{m}/\text{s}\) で投げた場合
(2) 後方に \(20\,\text{m}/\text{s}\) で投げた場合
【解説】
自動車の進行方向を正（プラス）とする。地面から見たボールの速度は、自動車の速度とボールを投げた速度の合成となる。
(1) 自動車の速度は \(+20\,\text{m}/\text{s}\)、ボールの速度は \(+30\,\text{m}/\text{s}\) である。
これらを足し合わせると、\((+30) + (+20) = +50\) となる。
したがって、答えは \(50\,\text{m}/\text{s}\) である。
(2) 自動車の速度は \(+20\,\text{m}/\text{s}\)、ボールの速度は後方なので \(-20\,\text{m}/\text{s}\) である。
これらを足し合わせると、\((-20) + (+20) = 0\) となる。
したがって、答えは \(0\,\text{m}/\text{s}\) である。これは、地面から見るとボールが空中で一瞬止まって見えることを意味する。
② 平面上の速度の合成（問2）
【問題】
流れの速さが \(2\,\text{m}/\text{s}\) の川がある。静水上を \(4\,\text{m}/\text{s}\) で進む船が、川を直角に横切りたいとき、へさきを向けるべき図の角 \(\theta\) を求めよ。
【解説】
斜め方向の速度の合成は、矢印を連結して図形的に考える。
船が川を直角に横切るためには、船の速度（斜め上向き）と川の流れの速度（右向き）を合成した結果が、川岸に対して垂直（真上向き）にならなければならない。
船の速度の矢印の先端に、川の流れの矢印の始点を連結する。すると、斜辺が \(4\,\text{m}/\text{s}\)（船の速度）、底辺が \(2\,\text{m}/\text{s}\)（川の流れ）の直角三角形ができる。
辺の比が \(2:1\) であるため、この直角三角形は \(1:2:\sqrt{3}\) の比を持つことがわかる。
したがって、求める角 \(\theta\) は \(30^\circ\) となる。
③ 直線上の相対速度（問3）
【問題】
A: 東向きに \(60\,\text{km}/\text{h}\) で進む
B: 東向きに \(80\,\text{km}/\text{h}\) で進む
C: 東向きに \(40\,\text{km}/\text{h}\) で進む
D: 西向きに \(50\,\text{km}/\text{h}\) で進む
(1) Aに対するBの相対速度を求めよ。
(2) Aに対するCの相対速度を求めよ。
(3) Aに対するDの相対速度を求めよ。
【解説】
「Aに対する」とは「Aから見た」という意味であり、Aが「自分」となる。東向きを正（プラス）として、「相手 – 自分」の計算を行う。
(1) B（相手）は \(+80\)、A（自分）は \(+60\) である。
\((+80) – (+60) = +20\) となるため、答えは 東向きに \(20\,\text{km}/\text{h}\) である。
(2) C（相手）は \(+40\)、A（自分）は \(+60\) である。
\((+40) – (+60) = -20\) となる。マイナスは西向きを表すため、答えは 西向きに \(20\,\text{km}/\text{h}\) である。
(3) D（相手）は西向きなので \(-50\)、A（自分）は \(+60\) である。
\((-50) – (+60) = -110\) となる。
したがって、答えは 西向きに \(110\,\text{km}/\text{h}\) である。
④ 平面上の相対速度（問4）
【問題】
Aに対するBの相対速度を求めよ。
（Aは東へ \(20\,\text{m}/\text{s}\)、Bは南へ \(20\,\text{m}/\text{s}\) で進んでいる）
【解説】
斜め方向の相対速度は、計算ではなく図形的に「自分から相手に矢印を書く」ことで求める。
A（自分）とB（相手）の矢印の始点を揃えて描く。Aは東向きに長さ \(20\)、Bは南向きに長さ \(20\) の矢印となる。
相対速度は「自分（A）の矢印の先端から、相手（B）の矢印の先端へ向かう矢印」となる。
この矢印を引くと、直角を挟む2辺が \(20\) と \(20\) の直角二等辺三角形ができる。辺の比は \(1:1:\sqrt{2}\) であるため、斜辺の長さは \(20\sqrt{2}\) となる。
矢印の向きは南西を指している。
したがって、答えは 南西向きに \(20\sqrt{2}\,\text{m}/\text{s}\) である。
【重要公式まとめ】
複数の速度が組み合わさる場合、向きを符号で表して足し算する。
$$
v = v_1 + v_2
$$
自分から見た相手の速度は、相手の速度から自分の速度を引いて求める。
$$
v_{AB} = v_B – v_A
$$
（相対速度 ＝ 相手の速度 － 自分の速度）
平面上の速度の合成と相対速度（ベクトルの作図）
- 速度の合成（足し算）： 矢印を連結する（一方の矢印の先端に、もう一方の矢印の始点を繋ぐ）。
- 相対速度（引き算）： 矢印の始点を揃え、「自分」の矢印の先端から「相手」の矢印の先端へ向かって矢印を引く。
以下のテキストをコピーして、「まことAI」にそのまま貼り付けてみてください。別の角度からわかりやすく解説してくれます。
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Q1. 「速度の合成」と「相対速度」を一直線上で計算するとき、それぞれ「足し算」と「引き算」のどちらを使うのが基本でしょうか？
複数の速度が合わさる合成速度は「足し算」です。一方、相対速度は「自分から見た相手の速度」なので、「相手の速度 \(-\) 自分の速度」という「引き算」になります。まずはこの大原則を覚えましょう。
Q2. 「Aに対するBの相対速度」を求める場合、正しい計算式は「Aの速度 \(-\) Bの速度」と「Bの速度 \(-\) Aの速度」のどちらでしょうか？
物理において「〇〇に対する」という言葉は「〇〇から見た」という意味です。つまりAが「自分」で、Bが「相手」になります。相対速度は必ず「相手 \(-\) 自分」の順番で計算してください。
Q3. 斜め方向（平面上）の相対速度を図で求める際、自分と相手の矢印の始点を揃えて描いた後、どこからどこへ向かって新しい矢印を引けばよいでしょうか？
相対速度は「自分から見た相手の動き」です。「今の自分の位置（自分の矢印の先端）から見て、相手がどちらの方向へ動いているように見えるか」とイメージすると、作図の向きを間違えにくくなります。
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💬 こんな風に返信してみて！（質問のコツ）
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