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講義ノート（板書PDF）
「力の図示→運動方程式→解く」を根本から組み直すドクター型講義
講義ノート
【今回のポイント】
- 力学の最初の目標は、物体が「いつ」「どこに」あるかを予測することである。この一点を見失わなければ、これから学ぶ式や記号が「何のための道具なのか」が常に見える。
- 「位置」は点、「距離」は点と点の幅、「変位」は向きを含めた位置の変化を表す。三つを区別する理由は、覚える項目を増やすためではなく、向きを式に写し取るかどうかという物理の本質に直結するからである。
- 「速さ」は大きさのみ、「速度」は大きさと向きの両方を表す。ここでつまずく生徒は知識が足りないのではなく、「向きを後回しにするクセ」という思考のクセを抱えている。
- 「平均の速さ」は区間全体をならした速さ、「瞬間の速さ」はその瞬間の速さで、\(x-t\) グラフでは接線の傾きとして現れる。グラフの傾きと速さが頭の中でつながるかが、最初の診断ポイントになる。
【講義解説】
力学の目標と基本単位
力学を学ぶとき、最初に押さえてほしいのは「何のために学ぶのか」という目的地である。高校物理の力学には、大きな目標が \(2\) つある。
\(1\) つ目は物体が『いつ』『どこに』あるかを予測すること、\(2\) つ目は『力』とは何かを知ることである。今は \(1\) つ目に集中する。これから登場する記号や式は、すべて「いつ・どこに」を言い当てるための道具だと考えてほしい。道具の名前を覚えるのではなく、その道具が何を測るためのものかを掴むことが、考えて解ける物理への第一歩になる。
ここで一度、自分に問いを向けてみよう。「物理の式は何のためにあるのか」と聞かれて、「物体がいつ・どこにあるかを言い当てるため」と即答できるだろうか。答えに詰まるなら、それは知識の不足ではなく、式を「覚える対象」として扱ってきた思考のクセの現れである。
物理では様々な単位が登場するが、力学で基本となるのは次の \(3\) つである。
- 距離：\(\text{m}\)（メートル）
- 質量：\(\text{kg}\)（キログラム）
- 時間：\(\text{s}\)（秒）
これら \(3\) つを組み合わせた体系を「MKS単位系」と呼ぶ。これから出てくる速さ \(\text{m}/\text{s}\) も加速度 \(\text{m}/\text{s}^2\) も、すべてこの \(3\) つの基本単位の組み合わせでできている。新しい単位が出てきたときは「\(\text{m}\)・\(\text{kg}\)・\(\text{s}\) のどう組み合わせか」と分解する習慣を持つと、単位そのものが物理量の意味を教えてくれる。単位を覚える対象にせず、意味を読み取る道具として使う——これが、この講で最初に受け取ってほしい処方箋である。
🩺 要点整理
力学の最初のゴールと、土台となる単位を押さえる。
新しい単位は、この \(3\) つの組み合わせとして読み解く。
位置・距離・変位の違い
日常会話では混同されがちな「位置」「距離」「変位」という言葉も、物理では明確に区別される。なぜわざわざ区別するのか。それは、後で「向き」を式に持ち込めるかどうかが、この三つの理解で決まるからである。ここを曖昧にしたまま先へ進むと、力の分解や運動の合成といった先の単元で、必ず同じ場所につまずきが再発する。
- 位置：空間上の「点」である。（例：地図上のピン）
- 距離：点と点の「幅」である。マイナスの値は存在しない。
- 変位：向きを含めた位置の「変化」である。プラスマイナスを用いて向きを表現する。
図: 位置（空間上の点）・距離（点と点の幅）・変位（向きを含む位置の変化）の違いを \(x\) 軸上で見比べたもの。同じ移動でも、測っているものが違う。
例えば、\(x\) 軸上で \(x = -1\) から \(x = 2\) へ移動した場合、移動した「距離」は \(3\,\text{m}\) であるが、「変位」は正の向きに移動したため \(+3\,\text{m}\) と表現される。距離は「どれだけ動いたか」という幅だけを問うのに対し、変位は「どちら向きに、どれだけ位置が変わったか」まで答える。符号がついているかどうかが、両者を見分ける一番の手がかりである。
つまり、計算に入る前に立てるべき診断の問いはひとつだけでよい。「いま聞かれているのは幅か、それとも向き込みの変化か」。この一問を先に済ませておくと、答えに符号を付けるかどうかで迷わなくなる。
家から駅まで、片道 \(1.2\,\text{km}\) の道を往復したとする。歩いた「距離」は往復ぶんで \(2.4\,\text{km}\) しっかり残るが、出発点に戻ってきた以上、位置の変化＝「変位」は \(0\) である。距離は「足の疲れ」、変位は「地図上で見た位置のズレ」。同じ運動を見ているのに、測っているものが違うだけで答えがここまで変わる。
図: 往復した運動では「足の疲れ＝距離」だけが残り、「地図上のズレ＝変位」はゼロになる
\(x = 2\) から出発して \(x = 5\) まで進み、そこから引き返して \(x = 1\) で止まったとする。動いた距離は、行き \(3\,\text{m}\) と帰り \(4\,\text{m}\) を足して \(7\,\text{m}\)。一方、変位は最初の位置 \(x = 2\) から最後の位置 \(x = 1\) への変化なので、
$$\begin{aligned}
\text{変位} &= 1 – 2 \\[2.0ex]
&= -1\,\text{m}
\end{aligned}$$
となる。距離 \(7\,\text{m}\) と変位 \(-1\,\text{m}\)。同じ運動でも、向きを数に持ち込むかどうかで答えがこれだけ変わる。ここで自分の手を止めて確認しておきたい。引き算の順番は「最後 − 最初」で、逆にすると符号だけがひっくり返る。この順番を口に出しながら書けたかどうかが、次の演習での経過観察のポイントになる。
よくあるつまずき
症状：「移動した量」を聞かれると、いつも正の数で答えてしまう。
診断：距離と変位を同じものとして扱う「向きを後回しにするクセ」。問われているのが幅なのか、向きを含む変化なのかを読み分けていない。
処方箋：「距離か、変位か」を問題文で必ず一度立ち止まって確認する。変位なら、答えに符号（\(+\) か \(-\)）が付くはずだと身構える。
🩺 要点整理
三つの言葉を分けるのは、暗記のためではなく「向きを式に写し取るか」を決めるためである。
上の数値例のとおり、同じ運動でも距離と変位は一致しないことがある。問題文が「距離」か「変位」かを先に読み分ければ、符号で迷わなくなる。
速さと速度の違い
「速さ」と「速度」も、物理では全く異なる概念として扱う。日常では同じ意味で使うこの \(2\) 語を区別することこそ、物理の「向きを大切にする」姿勢の入口である。
結論から言えば、速さは「大きさ」のみを表し、速度は「大きさと向き」の両方を表す。先ほどの距離（幅だけ）と変位（向き込み）の関係が、そのまま速さと速度の関係に重なっていることに気づいてほしい。同じ構造が名前を変えて現れているだけで、新しく覚える項目が増えたわけではない。
図: 速さは「大きさ」だけ、速度は「大きさと向き」の両方。距離と変位の関係が、そのまま速さと速度の関係に重なっている。
速さとは「\(1\) 秒間に何 \(\text{m}\) 進んだか」を表す数値である。例えば、東へ \(5\,\text{m}/\text{s}\) で走るA君と、西へ \(5\,\text{m}/\text{s}\) で走るBさんがいるとする。\(2\) 人の「速さ」はどちらも \(5\,\text{m}/\text{s}\) で同じである。しかし「速度」を問われたら向きを含めて答える必要があるため、A君の速度は「東向きに \(5\,\text{m}/\text{s}\)」、Bさんの速度は「西向きに \(5\,\text{m}/\text{s}\)」となり、両者は異なるものとして扱われる。速さだけ見れば同じでも、速度は別物——この一段の使い分けが、後の運動の合成や相対速度ですべての土台になる。
数値で手触りを確かめておこう。\(2\) 人が \(4\,\text{s}\) 走ったあと、A君は東に \(20\,\text{m}\)、Bさんは西に \(20\,\text{m}\) の位置にいる。\(2\) 人の間は \(40\,\text{m}\) 開く。速さの数字は同じでも、起こる結果は正反対になる。ここで「速さが同じなら同じように動くはずだ」と感じたなら、それは向きを情報として数えていない合図＝診断すべき思考のクセである。
カーナビが「時速 \(40\,\text{km}\) です」と言うのが速さ、「北へ向かって時速 \(40\,\text{km}\)」と言うのが速度である。スピードメーターは数字（大きさ）しか出さないが、運転手の頭の中には必ず「どっちへ向かっているか」がある。物理で速度を答えるとは、この「頭の中の向き」を口に出して式に載せることだと思えばよい。
図: 数字だけを読むのが速さ、進む向きを添えたものが速度
症状：「速さは？」でも「速度は？」でも、いつも \(5\,\text{m}/\text{s}\) のように数字だけで答えてしまう。
診断：知識が足りないのではなく「向きを後回しにするクセ」。速さと速度を同じ言葉として処理しているため、向きが情報だと数えられていない。計算ミスではなく、思考の入口の問題である。
処方箋：「速度」という語を見たら、答えに必ず向きの言葉（東・西・正・負）を添えると決めてしまう。クセは知識では消えないが、行動のルールでなら上書きできる。
経過観察：この先の演習で、向きを書き忘れた問題に印を付けておく。日を置いて解き直したとき印が減っていれば、クセが治りかけているという確かな手応えになる。
🩺 要点整理
速さと速度の差は、答えに向きを載せるかどうか、その一点だけである。
「速度」という \(2\) 文字を見た瞬間に、向きを書き添える準備をする——これが処方箋である。
平均の速さと瞬間の速さ
速さには「平均の速さ」と「瞬間の速さ」の \(2\) 種類がある。同じ「速さ」という言葉でも、どの時間幅で見ているかが違う。
- 平均の速さ：ある区間全体を一定のペースで進んだと仮定したときの速さ。（距離 \(\div\) 時間）
- 瞬間の速さ：まさにその瞬間のスピード。（車のスピードメーターが指す値）
図: 平均の速さ（区間全体をならした値）と瞬間の速さ（その瞬間の値）で、見ている時間の幅がどう違うかを比べたもの。
これらをグラフで考えてみる。縦軸に位置 \(x\)、横軸に時間 \(t\) をとった \(x-t\) グラフにおいて、瞬間の速さは「グラフの接線の傾き」として現れる。グラフの傾きが急なところほど、その瞬間のスピードが速い。
なぜ傾きが速さになるのか——傾きとは「横に \(1\) 進む間に縦がどれだけ変わるか」、つまり「時間が \(1\) 進む間に位置がどれだけ変わるか」であり、これはまさに速さの定義そのものだからである。式とグラフを別々の項目として扱っているうちは、覚える量が二倍に見える。両者が同じことを別の言葉で言っているだけだと掴めた瞬間に、グラフは「読める」ものに変わる。
処方箋は具体的でよい。グラフを見たら、まず「横にどれだけ進む間に、縦がどれだけ変わったか」を口に出す。この一手だけで、傾きを速さへ翻訳する回路が毎回動くようになる。
高速道路を走った \(2\) 時間を「平均の速さ」で言えば時速 \(80\,\text{km}\) かもしれない。だが渋滞では \(0\)、追い越しでは \(100\) と、刻一刻のスピードは \(0\) と \(100\) の間を行き来している。この「今この瞬間」のスピードが瞬間の速さで、スピードメーターの針が指す値である。平均の速さは「あとから旅全体をならした値」、瞬間の速さは「今まさにメーターが指す値」と区別すればよい。
図: 棒が各場面の瞬間の速さ、破線が旅全体をならした平均の速さ。※ 場面ごとの長さ（かかった時間）は同じではないので、平均は棒の値をただ足して割った約 \(53\) ではなく、全体の距離 \(\div\) 全体の時間で \(80\) になる
\(x-t\) グラフで「瞬間の速さ」は、グラフの何として読み取れるか。また、その値が大きいほどグラフの形はどうなっているか。本文を見ずに、自分の言葉で言ってみよう。答えを確認
瞬間の速さは、その点における接線の傾きとして読み取れる。瞬間の速さが大きい点ほど、グラフの傾きは急（立っている）になっている。傾き＝「時間が \(1\) 進む間の位置の変化」＝速さ、という対応まで自分の言葉で言えたら、この節は合格である。言葉が出てこなかった場合は、覚え直すのではなく本文の傾きの説明をもう一度たどるのが処方箋になる。
よくあるつまずき
症状：「平均の速さ」を、行きの速さと帰りの速さを足して \(2\) で割って答えてしまう。
診断：「平均の速さ」を「速さの平均」と読み替えてしまうクセ。定義が「全体の距離 \(\div\) 全体の時間」であることが、頭の中で式として立っていない。
処方箋：平均の速さを出すときは、先に「全体で何 \(\text{m}\) 進んだか」「全体で何 \(\text{s}\) かかったか」の \(2\) つだけを書き出し、それから割る。区間ごとの速さは、この \(2\) つを求める材料にすぎない。
🩺 要点整理
同じ「速さ」でも、どれくらいの時間幅で見ているかで名前が変わる。
グラフを見たら、まず「どの区間の話か（平均）」「どの点の話か（瞬間）」を確かめる。ここを取り違えなければ、グラフの問題は読み取り作業に変わる。
🔗 関連単元
「グラフの傾き＝速さ」の対応は、第4講「3種類のグラフ」で本格的に扱う道具になる。そこでは速さの変化そのものを追うため、第3講「加速度」もこの傾きの読み方を土台にしている。次の問題で「この傾きは何を表しているか」を自分の言葉で言えるか、ここで一度自己点検しておきたい。
練習問題の解説
① 速度と位置・距離を求める問題（問1）
問題
東向きを正とする。A君は東へ \(6\,\text{m}/\text{s}\)、Bさんは西へ \(4\,\text{m}/\text{s}\) で走っている。
(1) A, Bそれぞれの速度は？
(2) \(3\,\text{s}\) 後のA, Bの位置と、そのときのA, B間の距離は？
解説
(1) ここで問われているのは「速度」である。速度と言われたら、まず向きを答えに入れると身構える。したがって、Aの速度は「東向きに \(6\,\text{m}/\text{s}\)」、Bの速度は「西向きに \(4\,\text{m}/\text{s}\)」となる。「\(6\,\text{m}/\text{s}\)」とだけ答えると、向きが抜けて減点される。これが「向きを後回しにするクセ」が顔を出す典型的な場面である。
(2) 位置を求めるには「\(1\) 秒あたり何 \(\text{m}\) 動くか × 何秒か」で考える。Aは \(1\) 秒間に \(6\,\text{m}\) 進むため、\(3\,\text{s}\) 後は東に \(18\,\text{m}\) の位置にいる。Bは \(1\) 秒間に \(4\,\text{m}\) 進むため、\(3\,\text{s}\) 後は西に \(12\,\text{m}\) の位置にいる。\(2\) 人は反対向きに離れていくので、間の距離は東と西の幅を足し合わせればよい。
$$\begin{aligned}
\text{A, B間の距離} &= 18 + 12 \\[2.0ex]
&= 30\,\text{m}
\end{aligned}$$
(1) Aの速度：東向きに \(6\,\text{m}/\text{s}\)、Bの速度：西向きに \(4\,\text{m}/\text{s}\)
(2) 位置…A：東に \(18\,\text{m}\)、B：西に \(12\,\text{m}\)／A, B間の距離…\(30\,\text{m}\)
② 単位変換を含む平均の速さの問題（問2）
問題
車が \(1\) 時間 \(30\) 分かけて \(135\,\text{km}\) 走った。平均の速さは何 \(\text{km}/\text{h}\) か。またそれは何 \(\text{m}/\text{s}\) か。
解説
まずは \(\text{km}/\text{h}\)（時速）を求める。平均の速さは「距離 \(\div\) 時間」なので、時間を時間単位にそろえる。\(1\) 時間 \(30\) 分は \(1.5\,\text{h}\) であるため、
$$
135 \div 1.5 = 90\,\text{km}/\text{h}
$$
次に \(\text{m}/\text{s}\)（秒速）への変換を行う。ここで覚えておくと便利なテクニックとして、\(\text{km}/\text{h}\) の数値を \(3.6\) で割ると \(\text{m}/\text{s}\) に変換できる。
$$
90 \div 3.6 = 25\,\text{m}/\text{s}
$$
「なぜ \(3.6\) なのか」を一度だけ確かめておくと、この裏技は丸暗記でなく「いつでも作り直せる道具」になる。\(1\,\text{km} = 1000\,\text{m}\)、\(1\,\text{h} = 3600\,\text{s}\) なので、
$$\begin{aligned}
1\,\text{km}/\text{h} &= \displaystyle\frac{1000\,\text{m}}{3600\,\text{s}} \\[2.0ex]
&= \displaystyle\frac{1}{3.6}\,\text{m}/\text{s}
\end{aligned}$$
つまり \(\text{km}/\text{h}\) を \(\text{m}/\text{s}\) にするには \(3.6\) で割ればよい。理由が分かっていれば、向きを逆にして \(\text{m}/\text{s}\) を \(\text{km}/\text{h}\) にするときは \(3.6\) を掛ければよい、と迷わず思い出せる。
\(90\,\text{km}/\text{h}\)、および \(25\,\text{m}/\text{s}\)
③ x-tグラフから速さを読み取る問題（問3）
問題
下図は \(x\) 軸上を運動する物体の \(x-t\) グラフである。
(1) \(8\,\text{s}\) 間の平均の速さは？
(2) 各 \(1\,\text{s}\) 間で平均の速さが最大になるのはいつか？
(3) \(4\,\text{s}\) における瞬間の速さは？
解説
(1) 平均の速さは「全体の距離 \(\div\) かかった時間」で求める。グラフより、\(8\,\text{s}\) 間で \(12\,\text{m}\) 進んでいることが読み取れる。
$$
\displaystyle\frac{12}{8} = 1.5\,\text{m}/\text{s}
$$
(2) 各 \(1\,\text{s}\) 間で平均の速さが最大になるのは、その区間で位置がいちばん大きく増えた区間、つまりグラフの傾きが最も急な区間である。グラフの上がり方を目で追うと、\(2\,\text{s}\) から \(3\,\text{s}\) の間が最も急に上がっている。「速さが最大」を「グラフのどこが急か」に翻訳できるかが、この問題の診断ポイントになる。
(3) 瞬間の速さは、その点における接線の傾きを求める。グラフに引かれている接線を見ると、横軸が \(2\) から \(8\) まで（\(6\,\text{s}\) 間）進む間に、縦軸が \(4\) から \(12\) まで（\(8\,\text{m}\)）増えていることが読み取れる。傾き＝縦の変化 \(\div\) 横の変化なので、
$$
\displaystyle\frac{8}{6} \approx 1.333\dots
$$
有効数字を考えて、約 \(1.3\,\text{m}/\text{s}\) となる。
(1) \(1.5\,\text{m}/\text{s}\)
(2) \(2 \sim 3\,\text{s}\) の間
(3) 約 \(1.3\,\text{m}/\text{s}\)
🔗 関連単元
この講で身につけた「速度は向きを含む」という感覚は、次の第2講「速度の合成と相対速度」でそのまま土台になる。複数の速度を足し合わせたり、「誰から見た速度か」を考えたりする場面で、向きを正しく符号に落とせるかが問われる。向きを後回しにしないクセが、ここで効いてくる。
【記事限定 演習問題】
動画と板書だけで終わらせず、ここで実際に手を動かして「自分で思い出し、自分で解く」工程を入れる。物理の定着を決めるのは、読んで分かった回数ではなく、自分の手で解いた回数である。各問、まず解答を見ずに考え、それから折りたたみを開いて思考プロセスを照合してほしい。詰まった問題こそ、あなたの「思考のクセ」が見つかった場所＝伸びしろである。
使い方はドクター・メソッドの三段そのままでよい。詰まった箇所が診断結果、開いた先の思考プロセスが処方箋、そして日を置いて解き直したときに同じ場所で止まるかどうかが経過観察になる。無料のクイズで症状に気づき、この講で処方を受け、解き直しの記録で経過を診る——この三段が回り出すと、覚える量を増やさなくても、考えて解ける物理に変わっていく。
\(x\) 軸上で \(x = 3\) から \(x = 8\) まで進んだ。移動した距離と変位を求めよ。解答と思考プロセスを見る
同じ向きに一度だけ進んだので、幅も向き込みの変化も大きさは同じ \(5\,\text{m}\)。ただし変位は向きを符号で示すので、距離は \(5\,\text{m}\)、変位は \(+5\,\text{m}\) となる。診断ポイントは、計算より前に「変位なら符号が付くはずだ」と身構えられたかどうか。処方箋は、問題文の「距離」「変位」に印を付けてから手を動かすこと。
\(x\) 軸上で \(x = 4\) から \(x = -2\) まで移動した。距離と変位を求めよ。解答と思考プロセスを見る
動いた幅は \(4\) から \(-2\) までで \(6\,\text{m}\)、これが距離。変位は最後の位置から最初の位置を引いて、
$$\begin{aligned}
\text{変位} &= -2 – 4 \\[2.0ex]
&= -6\,\text{m}
\end{aligned}$$
距離 \(6\,\text{m}\)、変位 \(-6\,\text{m}\)。負の向きに進めば変位はマイナスになる。ここで引き算の順番を逆にして \(+6\,\text{m}\) と書いてしまう人は多い。処方箋は「最後 − 最初」と口に出しながら書くこと。順番が言葉になっていれば、符号だけが逆になる事故は起きない。
\(x = 0\) から出発し、\(x = 5\) まで進んでから引き返して \(x = 2\) で止まった。距離と変位を求めよ。解答と思考プロセスを見る
距離は行き \(5\,\text{m}\) と帰り \(3\,\text{m}\) を足して \(8\,\text{m}\)。変位は出発点 \(0\) から最終位置 \(2\) への変化なので \(+2\,\text{m}\)。往復が入ると距離と変位は一致しなくなる、という代表例である。「足の疲れ（距離）」と「地図上のズレ（変位）」を別々に数えられたか、自分で確認しておこう。片方の数字からもう片方を出そうとして止まった場合は、二つを同じ量として扱っているサインである。
家を出て公園まで \(400\,\text{m}\) 歩き、同じ道を通って家まで戻った。歩いた距離と変位を求めよ。解答と思考プロセスを見る
距離は往復ぶんで \(800\,\text{m}\)。変位は出発点に戻ってきたので、位置の変化はなく \(0\,\text{m}\)。「これだけ歩いたのに変位ゼロ？」という違和感こそ、距離と変位が別物だと腑に落ちたサインである。違和感がまったく出なかった人は、③に戻って数直線を自分の手で描き直してみよう。図を描くと、疲れは残るのに位置は動いていないことが目で分かる。
北へ \(8\,\text{m}/\text{s}\) で走る人と、南へ \(8\,\text{m}/\text{s}\) で走る人がいる。\(2\) 人の速さは同じか。速度は同じか。解答と思考プロセスを見る
速さはどちらも \(8\,\text{m}/\text{s}\) で同じ。しかし速度は向きを含むので、「北へ \(8\,\text{m}/\text{s}\)」と「南へ \(8\,\text{m}/\text{s}\)」で異なる。速さが同じでも速度は違う——「向きを後回しにするクセ」が出ていないかを診断する問題である。自分の答えに向きの言葉が入っていなければ、それがクセの現れそのもの。次の問題から意識的に向きを書き足すのが処方箋になる。
東向きを正とする。西へ \(7\,\text{m}/\text{s}\) で進む物体の速度を、符号を使って表すとどうなるか。解答と思考プロセスを見る
東向きが正なので、西向きは負。よって速度は \(-7\,\text{m}/\text{s}\)。向きを「言葉」ではなく「符号」で表すと、後の計算でそのまま足し算・引き算に持ち込める。処方箋は、計算を始める前に「どちらを正にしたか」を紙の端に書いておくこと。正の向きを決めずに走り出すと、マイナスを付けるかどうかが毎回運任せになる。
東向きを正とする。原点にいる物体が東へ \(3\,\text{m}/\text{s}\) で進む。\(5\,\text{s}\) 後の位置を求めよ。解答と思考プロセスを見る
\(1\) 秒で \(3\,\text{m}\) 進むので、
$$\begin{aligned}
\text{位置} &= 3 \times 5 \\[2.0ex]
&= 15\,\text{m}
\end{aligned}$$
東向きが正なので \(+15\,\text{m}\)、つまり東に \(15\,\text{m}\)。力学の目標「いつ・どこにあるか」を、最も単純な形で実行する問題である。自己点検はひとつ。いま自分は「速さ×時間の公式を呼び出した」のではなく、「\(1\) 秒あたりの量を時間ぶん積み上げた」と説明できるだろうか。後者で言えるなら、加速度が入っても同じ考え方で前に進める。
東向きを正とする。原点から、A君は東へ \(5\,\text{m}/\text{s}\)、B君は西へ \(3\,\text{m}/\text{s}\) で同時に走り出した。\(4\,\text{s}\) 後の \(2\) 人の間の距離を求めよ。
図: 反対向きに離れる \(2\) 人の位置と、間の距離のとり方解答と思考プロセスを見る
Aは東に \(5 \times 4 = 20\,\text{m}\)、Bは西に \(3 \times 4 = 12\,\text{m}\)。反対向きに離れるので、間の距離は幅を足して、
$$\begin{aligned}
\text{2人の間の距離} &= 20 + 12 \\[2.0ex]
&= 32\,\text{m}
\end{aligned}$$
反対向きなら「足す」、同じ向きなら「引く」。この判断は覚えて使い分けるものではなく、数直線に \(2\) 人を置けば必ず目で見える。まず絵を描く、が処方箋である。上の図のように \(2\) 人を数直線に置いてから式を立てたか、それとも足すか引くかを記憶から引き出そうとしたか——そこが診断ポイントになる。
\(120\,\text{m}\) の道のりを \(8\,\text{s}\) で走った。平均の速さを求めよ。解答と思考プロセスを見る
平均の速さは「距離 \(\div\) 時間」なので、
$$
120 \div 8 = 15\,\text{m}/\text{s}
$$
定義を公式として呼び出すのではなく「\(1\) 秒あたりに直す操作」と捉えられているかがポイント。「\(8\) 秒で \(120\,\text{m}\) なら、\(1\) 秒あたり \(15\,\text{m}\)」と言い換えられれば、割り算の意味まで理解できている。
平均の速さ \(20\,\text{m}/\text{s}\) で \(300\,\text{m}\) 進むのに何秒かかるか。解答と思考プロセスを見る
「速さ＝距離÷時間」を、求めたい時間について読み替える。時間＝距離÷速さなので、
$$
300 \div 20 = 15\,\text{s}
$$
公式を形のまま覚えていると、逆算になった瞬間に手が止まる。\(v = \displaystyle\frac{\Delta x}{\Delta t}\) の三つのうち、どれが分かっていて何を求めるのかを毎回確認すれば、向きを変えても迷わない。手が止まったなら、それは知識ではなく式の使い回し方の診断結果である。
平均の速さ \(12\,\text{m}/\text{s}\) で \(5\,\text{s}\) 走ると、何 \(\text{m}\) 進むか。解答と思考プロセスを見る
距離＝速さ×時間なので、
$$
12 \times 5 = 60\,\text{m}
$$
\(v = \displaystyle\frac{\Delta x}{\Delta t}\) という一つの関係を、距離・速さ・時間のどれを求める形にも組み替えられるかが、定着の分かれ目である。⑩と⑪で使った式は同じもので、聞かれているものが入れ替わっただけ。そう見えていれば、覚える式は増えていない。
\(2\) 分間で \(360\,\text{m}\) 歩いた。平均の速さは何 \(\text{m}/\text{s}\) か。解答と思考プロセスを見る
時間の単位を秒にそろえるのが先。\(2\) 分は \(120\,\text{s}\) なので、
$$
360 \div 120 = 3\,\text{m}/\text{s}
$$
\(\text{m}/\text{s}\) を求めるなら時間も秒にする——単位をそろえてから割る、という順番を守れたかがポイント。\(360 \div 2\) と書いてしまった人は、答えの単位（毎秒か毎分か）を先に確認する習慣を処方箋として持ち帰ってほしい。
時速 \(72\,\text{km}/\text{h}\) は秒速何 \(\text{m}/\text{s}\) か。解答と思考プロセスを見る
\(\text{km}/\text{h}\) を \(\text{m}/\text{s}\) にするには \(3.6\) で割る。
$$
72 \div 3.6 = 20\,\text{m}/\text{s}
$$
なぜ \(3.6\) なのかは「\(1000\,\text{m} \div 3600\,\text{s}\)」から来ていると思い出せれば、覚えた値ではなく、その場で作り直せる道具になる。値が出てこないときに理由から組み立て直せるかが、この問題の診断ポイントである。
秒速 \(15\,\text{m}/\text{s}\) は時速何 \(\text{km}/\text{h}\) か。解答と思考プロセスを見る
向きが逆なので、今度は \(3.6\) を掛ける。
$$
15 \times 3.6 = 54\,\text{km}/\text{h}
$$
「\(\text{km}/\text{h}\)→\(\text{m}/\text{s}\) は割る、\(\text{m}/\text{s}\)→\(\text{km}/\text{h}\) は掛ける」。理由（\(1\,\text{km}/\text{h} = \displaystyle\frac{1}{3.6}\,\text{m}/\text{s}\)）を押さえていれば、どちらか迷わない。迷ったときの処方箋は、常識で答えを見積もること。秒速 \(15\,\text{m}\) は歩く速さよりずっと速いのだから、時速の数字は \(15\) より大きくなるはずである。
\(1\) 時間 \(15\) 分で \(90\,\text{km}\) 走った。平均の速さは何 \(\text{km}/\text{h}\) か。また何 \(\text{m}/\text{s}\) か。解答と思考プロセスを見る
\(1\) 時間 \(15\) 分は \(1.25\,\text{h}\)。まず時速を出す。
$$
90 \div 1.25 = 72\,\text{km}/\text{h}
$$
次に \(3.6\) で割って秒速へ。
$$
72 \div 3.6 = 20\,\text{m}/\text{s}
$$
時速を出してから単位変換、という \(2\) 段の手順を、本文の問2と同じ型で再現できたか。\(15\) 分を \(0.15\,\text{h}\) としてしまった人は、分を時間に直すときだけ \(60\) で割る、と手順を口に出しておくとよい。
ある物体が \(x-t\) グラフ上で、\(0\,\text{s}\) のとき \(x = 2\,\text{m}\)、\(6\,\text{s}\) のとき \(x = 20\,\text{m}\) にいた。この \(6\,\text{s}\) 間の平均の速さを求めよ。解答と思考プロセスを見る
平均の速さは「位置の変化 \(\div\) 時間」。位置は \(20 – 2 = 18\,\text{m}\) 増えたので、
$$
\displaystyle\frac{18}{6} = 3\,\text{m}/\text{s}
$$
グラフでは、始点と終点を結んだ直線の傾きが平均の速さにあたる。\(20 \div 6\) としてしまった人は、位置そのものと位置の変化を混同している。診断のための問いは「聞かれているのは、どこにいたかか、どれだけ変わったか」である。
\(x-t\) グラフで、区間Pは傾きがゆるやか、区間Qは傾きが急であった。瞬間の速さが大きいのはどちらの区間か。
図: ゆるやかな区間Pと急な区間Qの上がり方の違い解答と思考プロセスを見る
傾きが急なほど、同じ時間で位置が大きく変わる＝速い。よって瞬間の速さが大きいのは区間Q。「速さが大きい」を「グラフのどこが急か」に翻訳できれば、グラフが読めている。ここで一度自己点検しておきたい。図の縦軸は位置であって速さではない。縦軸の高さが高いところを「速い」と読んでしまった人は、位置と速さを同じ軸で見てしまっているサインである。処方箋は、グラフを見るたびに「縦軸は何か」を声に出して確認すること。
\(x-t\) グラフのある点で接線を引いたところ、横に \(4\,\text{s}\) 進む間に縦が \(10\,\text{m}\) 増えていた。その瞬間の速さを求めよ。解答と思考プロセスを見る
瞬間の速さ＝接線の傾き＝縦の変化÷横の変化なので、
$$
\displaystyle\frac{10}{4} = 2.5\,\text{m}/\text{s}
$$
接線を「縦÷横」で読む手順を、本文の問3(3)と同じ型で再現できたか。横÷縦にしてしまった人は、傾きの意味に戻ればすぐ直せる。「時間が \(1\) 進む間に位置がどれだけ変わったか」を求めたいのだから、割るのは時間のほうである。
渋滞で止まったり進んだりしながら、\(30\) 分で \(15\,\text{km}\) 移動した。この \(30\) 分間の平均の速さを \(\text{km}/\text{h}\) で求めよ。また、走行中ずっとこの速さだったと言えるか。解答と思考プロセスを見る
\(30\) 分は \(0.5\,\text{h}\) なので、平均の速さは、
$$
15 \div 0.5 = 30\,\text{km}/\text{h}
$$
ただしこれは全体をならした平均で、瞬間の速さは止まったり加速したりで刻々変わっている。よって「ずっとこの速さだった」とは言えない。「平均＝あとからならした値」「瞬間＝今この瞬間の値」の区別ができたかが診断ポイント。渋滞の棒グラフを思い出せた人は、言葉ではなく映像で区別できている。
東向きを正とする。物体が \(x = -4\,\text{m}\) から東へ \(6\,\text{m}/\text{s}\) で \(3\,\text{s}\) 進んだ。(1) 変位は？ (2) 進んだあとの位置は？ (3) この \(3\,\text{s}\) 間の平均の速さは何 \(\text{m}/\text{s}\) か。
図: 出発点 \(-4\,\text{m}\)・変位 \(+18\,\text{m}\)・到達位置 \(+14\,\text{m}\) の関係解答と思考プロセスを見る
(1) 東へ \(6\,\text{m}/\text{s}\) で \(3\,\text{s}\) なので、変位は \(6 \times 3 = 18\,\text{m}\)、東向き（正）なので \(+18\,\text{m}\)。
(2) 出発位置 \(-4\) に変位 \(+18\) を足して、
$$\begin{aligned}
\text{位置} &= -4 + 18 \\[2.0ex]
&= 14\,\text{m}
\end{aligned}$$
東に \(14\,\text{m}\) の位置。
(3) 平均の速さは進んだ距離 \(18\,\text{m}\) を時間 \(3\,\text{s}\) で割って、\(18 \div 3 = 6\,\text{m}/\text{s}\)。
変位・位置・速さの三つを一度に扱う総合問題である。(2) で \(18\,\text{m}\) や \(22\,\text{m}\) と答えてしまった人は、変位（変化）と位置（どこにいるか）を取り違えている。どれも「向きを符号で持ち込む」「\(1\) 秒あたりで考える」の組み合わせでできていると掴めたら、この講の処方は身についたと言ってよい。日を置いてもう一度この \(1\) 問だけ解き直し、同じ場所で止まらないかを経過観察しておこう。
🩺 要点整理
この講の核心を、ひとことで言えばこうなる。
つまずきの正体は知識不足ではなく「向きを後回しにするクセ」。ルールを決めて行動で上書きすれば、考えて解ける物理に変わる。
【重要公式まとめ】
$$
v = \displaystyle\frac{\Delta x}{\Delta t}
$$
（\(v\)：速度 \([\text{m}/\text{s}]\) または \([\text{km}/\text{h}]\)、\(\Delta x\)：位置の変化＝変位 \([\text{m}]\) または \([\text{km}]\)、\(\Delta t\)：経過時間 \([\text{s}]\) または \([\text{h}]\)）
\(\Delta x\) は「どこからどこへ位置が変わったか」なので符号を持つ。一方向に進む運動では速度の大きさと速さは一致するが、向きが変わる運動では食い違う。だから問われたのが「速さ」か「速度」かを先に読み分ける。
図: \(\Delta t\) は横（時間）の変化、\(\Delta x\) は縦（位置）の変化＝変位。その比＝直線の傾きが速度 \(v\)
$$
[\text{km}/\text{h}] \div 3.6 = [\text{m}/\text{s}]
$$
（\(\text{km}/\text{h}\) の数値を \(3.6\) で割ると \(\text{m}/\text{s}\) になる）
図: \(3.6\) は覚えた数字ではなく、\(1000\,\text{m}\) を \(3600\,\text{s}\) で割った結果として毎回作り直せる
以下のテキストをコピーして、「まことAI」にそのまま貼り付けてみてください。別の角度からわかりやすく解説してくれます。
タップ（クリック）すると答えが表示されます。
Q1. 物理において、「速さ」と「速度」の決定的な違いは何でしょうか？
例えば「\(5\,\text{m}/\text{s}\)」と答えるのが速さ、「東向きに \(5\,\text{m}/\text{s}\)」と答えるのが速度です。速度を聞かれたときは必ず「向き」をセットにして答えましょう。
Q2. ある物体が右に \(3\,\text{m}\) 進んだ後、左に \(5\,\text{m}\) 進みました。「移動した距離」と「変位」はそれぞれいくらですか？（右向きを正とする）
「距離」は実際に動いた合計の道のりなので \(3 + 5 = 8\,\text{m}\) です。「変位」は最初の位置からのズレ（位置の変化）なので、右に \(3\)、左に \(5\) 移動した結果、元の位置から左に \(2\) ズレたことになり \(-2\,\text{m}\) となります。
Q3. 縦軸に位置 \(x\)、横軸に時間 \(t\) をとった「\(x-t\) グラフ」において、ある点に引いた「接線の傾き」は何を表していますか？
接線の傾きが急であるほど、ごく短い時間で位置が大きく変化していることを意味します。つまり、傾きの急さがその瞬間のスピード（車のスピードメーターが指す値）を表しています。
「AIを使ったことがない」「どう質問していいか分からない」という方も大丈夫！以下のステップに沿って進めるだけで、まこと先生の分身があなたのスマホに現れ、分かるまでトコトン付き合ってくれます。
まずは、無料のAIを「まこと先生」に変身させるための呪文（プロンプト）が必要です。以下の「モザイクを解除する」ボタンをタップしてください。
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入力欄に先ほどコピーした文章をそのまま貼り付け、一番下の入力欄を自分の言葉に書き換えてから送信してください。
💡 ヒント：「自分なりに考えたこと」は、「公式に代入しようとしたけど数字が合わなかった」「波のイメージが頭の中で動かない」など、素直な気持ちでOKです！
まことAIから返信が来たら、そこからが本番です！一度の質問で終わらせず、LINEで先生と話すように会話を続けてみましょう。
💬 こんな風に返信してみて！（質問のコツ）
今のりんごの例え話は分かったけど、摩擦力が入るとどうなるの？ → 分かった部分と、分からない部分を切り分けて伝える！
ごめん、やっぱりイメージできない！野球の例え話で説明してみて！ → 自分の好きなスポーツや趣味に例えてもらう！
要するに、〇〇ってことだよね？ → 自分の言葉でまとめ直して、合っているか確認してもらう！
まことAIは絶対に怒りませんし、呆れません。「なんかフワッとしてるな…」と思ったら、無理矢理飲み込まずに「まだ腑に落ちない！」と伝えてください。あなたが「完璧！そういうこと！」とスッキリするまで、様々な角度からアプローチし続けます。
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