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講義ノート
【今回のポイント】
- 力学の目標は、物体が「いつ」「どこに」あるかを予測することである。
- 「位置」は点、「距離」は点と点の幅、「変位」は向きを含めた位置の変化を表す。
- 「速さ」は大きさのみ、「速度」は大きさと向きの両方を表す。
- 「平均の速さ」は区間全体の速さ、「瞬間の速さ」はその瞬間の速さ（\(x-t\) グラフの接線の傾き）を表す。
【講義解説】
力学の目標と基本単位
高校物理の力学において、大きな目標は2つある。
1つ目は「物体が『いつ』『どこに』あるか予測すること」、2つ目は「『力』とは何かを知ること」である。まずは1つ目の目標を達成するための基礎知識を学んでいく。
物理では様々な単位が登場するが、力学において基本となるのは以下の3つである。
- 距離：\(\text{m}\)（メートル）
- 質量：\(\text{kg}\)（キログラム）
- 時間：\(\text{s}\)（秒）
これら3つの単位を組み合わせたものを「MKS単位系」と呼ぶ。
位置・距離・変位の違い
日常会話では混同されがちな「位置」「距離」「変位」という言葉であるが、物理では明確に区別される。
- 位置：空間上の「点」である。（例：地図上のピン）
- 距離：点と点の「幅」である。マイナスの値は存在しない。
- 変位：向きを含めた位置の「変化」である。プラスマイナスを用いて向きを表現する。
例えば、\(x\) 軸上で \(x = -1\) から \(x = 2\) へ移動した場合、移動した「距離」は \(3\,\text{m}\) であるが、「変位」は正の向きに移動したため \(+3\,\text{m}\) と表現される。
座標: (0.0, 0.0) m
座標: (3.0, 3.0) m
0.0 m
※赤いピン（G）を動かした実際の軌跡の長さです。遠回りするほど長くなります。
北東方向に 約 4.2 m
※変位は「どこからどこへ向かったか」を表す量です。途中の経路（道のり）は関係なく、2点間の直線距離が変位の大きさとなります。
速さと速度の違い
「速さ」と「速度」も、物理においては全く異なる概念である。
結論から言えば、速さは「大きさ」のみを表し、速度は「大きさと向き」の両方を表す。
速さとは「\(1\) 秒間に何 \(\text{m}\) 進んだか」を表す数値である。
例えば、東へ \(5\,\text{m}/\text{s}\) で走るA君と、西へ \(5\,\text{m}/\text{s}\) で走るBさんがいるとする。2人の「速さ」は同じ \(5\,\text{m}/\text{s}\) である。しかし、「速度」を聞かれた場合は向きを含めて答える必要があるため、A君の速度は「東向きに \(5\,\text{m}/\text{s}\)」、Bさんの速度は「西向きに \(5\,\text{m}/\text{s}\)」となり、両者は異なるものとして扱われる。
平均の速さと瞬間の速さ
速さには「平均の速さ」と「瞬間の速さ」の2種類が存在する。
- 平均の速さ：ある区間全体を一定のペースで進んだと仮定したときの速さ。（距離 \(\div\) 時間）
- 瞬間の速さ：まさにその瞬間のスピード。（車のスピードメーターが指す値）
これらをグラフで考えてみる。縦軸に位置 \(x\)、横軸に時間 \(t\) をとった \(x-t\) グラフにおいて、瞬間の速さは「グラフの接線の傾き」として表される。グラフの傾きが急なところほど、その瞬間のスピードが速いことを意味している。
位置 x が時間 t の2乗に比例して変化する運動（x = 0.5 t2）のグラフです。
グラフ上の点A（青）や点B（赤）をドラッグするか、下のスライダーで動かしてみましょう。
点Bを点Aに近づけていくと、A-B間の「平均の速さ（緑の直線）」が、点Aにおける「瞬間の速さ（青の接線）」に限りなく近づくことが確認できます。
練習問題の解説
① 速度と位置・距離を求める問題（問1）
【問題】
東向きを正とする。A君は東へ \(6\,\text{m}/\text{s}\)、Bさんは西へ \(4\,\text{m}/\text{s}\) で走っている。
(1) A, Bそれぞれの速度は？
(2) \(3\,\text{s}\) 後のA, Bの位置と、そのときのA, B間の距離は？
【解説】
(1) 速度は「向き」を含めて答える必要がある。
したがって、Aの速度は「東向きに \(6\,\text{m}/\text{s}\)」、Bの速度は「西向きに \(4\,\text{m}/\text{s}\)」となる。
(2) Aは \(1\) 秒間に \(6\,\text{m}\) 進むため、\(3\,\text{s}\) 後は東に \(18\,\text{m}\) の位置にいる。Bは \(1\) 秒間に \(4\,\text{m}\) 進むため、\(3\,\text{s}\) 後は西に \(12\,\text{m}\) の位置にいる。
2人の間の距離は、その幅を足し合わせればよいため、\(18 + 12 = 30\,\text{m}\) となる。
したがって、位置は「A：東に \(18\,\text{m}\)、B：西に \(12\,\text{m}\)」、距離は「\(30\,\text{m}\)」となる。
② 単位変換を含む平均の速さの問題（問2）
【問題】
車が \(1\) 時間 \(30\) 分かけて \(135\,\text{km}\) 走った。平均の速さは何 \(\text{km}/\text{h}\) か。またそれは何 \(\text{m}/\text{s}\) か。
【解説】
まずは \(\text{km}/\text{h}\)（時速）を求める。\(1\) 時間 \(30\) 分は \(1.5\,\text{h}\) であるため、距離を時間で割る。
$$
135 \div 1.5 = 90\,\text{km}/\text{h}
$$
次に \(\text{m}/\text{s}\)（秒速）への変換を行う。ここで覚えておくと便利なテクニックとして、\(\text{km}/\text{h}\) の数値を \(3.6\) で割ると \(\text{m}/\text{s}\) に変換できる。
$$
90 \div 3.6 = 25\,\text{m}/\text{s}
$$
したがって、答えは「\(90\,\text{km}/\text{h}\)」および「\(25\,\text{m}/\text{s}\)」となる。
③ x-tグラフから速さを読み取る問題（問3）
【問題】
下図は \(x\) 軸上を運動する物体の \(x-t\) グラフである。
(1) \(8\,\text{s}\) 間の平均の速さは？
(2) 各 \(1\,\text{s}\) 間で平均の速さが最大になるのはいつか？
(3) \(4\,\text{s}\) における瞬間の速さは？
【解説】
(1) 平均の速さは全体の距離を時間で割ればよい。グラフより、\(8\,\text{s}\) 間で \(12\,\text{m}\) 進んでいることがわかる。
$$
\displaystyle\frac{12}{8} = 1.5\,\text{m}/\text{s}
$$
したがって、答えは「\(1.5\,\text{m}/\text{s}\)」となる。
(2) 速さが最大になるのは、グラフの傾きが最も急になっている区間である。グラフの曲がり具合を目視で確認すると、\(2\,\text{s}\) から \(3\,\text{s}\) の間が最も急に上がっている。
したがって、答えは「\(2 \sim 3\,\text{s}\) の間」となる。
(3) 瞬間の速さは、その点における「接線の傾き」を求める。グラフに引かれている接線を見ると、横軸が \(2\) から \(8\) まで（\(6\,\text{s}\) 間）進む間に、縦軸が \(4\) から \(12\) まで（\(8\,\text{m}\)）増加していることが読み取れる。
$$
\displaystyle\frac{8}{6} \approx 1.333\dots
$$
有効数字を考慮して、答えは「約 \(1.3\,\text{m}/\text{s}\)」となる。
【重要公式まとめ】
$$
v = \displaystyle\frac{\Delta x}{\Delta t}
$$
（\(v\)：速さ \([\text{m}/\text{s}]\) または \([\text{km}/\text{h}]\)、\(\Delta x\)：移動距離 \([\text{m}]\) または \([\text{km}]\)、\(\Delta t\)：経過時間 \([\text{s}]\) または \([\text{h}]\)）
$$
[\text{km}/\text{h}] \div 3.6 = [\text{m}/\text{s}] $$
（\(\text{km}/\text{h}\) の数値を \(3.6\) で割ると \(\text{m}/\text{s}\) になる）
以下のテキストをコピーして、「まことAI」にそのまま貼り付けてみてください。別の角度からわかりやすく解説してくれます。
タップ（クリック）すると答えが表示されます。
Q1. 物理において、「速さ」と「速度」の決定的な違いは何でしょうか？
例えば「\(5\,\text{m}/\text{s}\)」と答えるのが速さ、「東向きに \(5\,\text{m}/\text{s}\)」と答えるのが速度です。速度を聞かれたときは必ず「向き」をセットにして答えましょう。
Q2. ある物体が右に \(3\,\text{m}\) 進んだ後、左に \(5\,\text{m}\) 進みました。「移動した距離」と「変位」はそれぞれいくらですか？（右向きを正とする）
「距離」は実際に動いた合計の道のりなので \(3 + 5 = 8\,\text{m}\) です。「変位」は最初の位置からのズレ（位置の変化）なので、右に \(3\)、左に \(5\) 移動した結果、元の位置から左に \(2\) ズレたことになり \(-2\,\text{m}\) となります。
Q3. 縦軸に位置 \(x\)、横軸に時間 \(t\) をとった「\(x-t\) グラフ」において、ある点に引いた「接線の傾き」は何を表していますか？
接線の傾きが急であるほど、ごく短い時間で位置が大きく変化していることを意味します。つまり、傾きの急さがその瞬間のスピード（車のスピードメーターが指す値）を表しています。
「AIを使ったことがない」「どう質問していいか分からない」という方も大丈夫！以下のステップに沿って進めるだけで、まこと先生の分身があなたのスマホに現れ、分かるまでトコトン付き合ってくれます。
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入力欄に先ほどコピーした文章をそのまま貼り付け、一番下の4行（名前、講義の回、疑問点、自分の考え）を自分の言葉に書き換えてから送信してください。
💡 ヒント：「自分なりに考えたこと」は、「公式に代入しようとしたけど数字が合わなかった」「波のイメージが頭の中で動かない」など、素直な気持ちでOKです！
まことAIから返信が来たら、そこからが本番です！一度の質問で終わらせず、LINEで先生と話すように会話を続けてみましょう。
💬 こんな風に返信してみて！（質問のコツ）
今のりんごの例え話は分かったけど、摩擦力が入るとどうなるの？
→ 分かった部分と、分からない部分を切り分けて伝える！
ごめん、やっぱりイメージできない！野球の例え話で説明してみて！
→ 自分の好きなスポーツや趣味に例えてもらう！
要するに、〇〇ってことだよね？
→ 自分の言葉でまとめ直して、合っているか確認してもらう！
まことAIは絶対に怒りませんし、呆れません。「なんかフワッとしてるな…」と思ったら、無理矢理飲み込まずに「まだ腑に落ちない！」と伝えてください。あなたが「完璧！そういうこと！」とスッキリするまで、様々な角度からアプローチし続けます。
