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講義ノート（板書PDF）
原子物理の「なぜその式？」を根本から解決
講義ノート
【今回のポイント】
- 光だけでなく、電子やボールなどの「粒子」にも波としての性質がある（粒子と波動の二重性）。波の顔と粒の顔のどちらが見えるかは、「何を調べるか」で決まる
- 物質波（ド・ブロイ波）の波長 \( \lambda = \displaystyle\frac{h}{mv} \) は、1限目の光子の運動量の式 \( p = \displaystyle\frac{h}{\lambda} \) を逆から読んだもの。「運動量を波長へ翻訳する式」として読む
- 波長は運動量 \( mv \) に反比例する。日常の物体は運動量が大きすぎて波長が原子よりはるかに短く、波の性質は観測できない。電子ほど軽い粒子で初めて、観測できる大きさの波長になる
- 電圧 \( V \) で加速した電子のド・ブロイ波長 \( \lambda = \displaystyle\frac{h}{\sqrt{2meV}} \) は、「電圧 → 運動エネルギー → 運動量 → 波長」の順に量を翻訳して、自分の手で組み立てる
【講義解説】
この講で治したいのは、「電子は粒なのだから、波になるはずがない」という思考のクセです。1限目で光に二つの顔があることを学んだのに、相手が電子になると急に「粒の顔」しか思い浮かばなくなる人がとても多いのです。
式が出てくるたびに、「この式は、粒子のどんな性質を波の言葉に翻訳しているのか？」と自分に問いかけながら読み進めてください。その問いかけが、公式を並べるだけの勉強から考えて解ける物理へ切り替える第一歩になります。
粒子と波動の二重性
1限目では、光が「波であると同時に粒子でもある」という二重性を学びました。1924年、ド・ブロイはこの考えを逆向きに押し広げて、大胆な仮説を提唱しました。
「光だけでなく、電子やボールなどのあらゆる粒子にも波としての性質がある」
「波だと思っていた光が粒でもあったのなら、粒だと思っていた電子も波なのではないか」——発想の向きを反対にしただけの、シンプルな問いです。
円柱の形をした積み木を思い浮かべてください。真上から光を当てると影は「円」に、真横から当てると影は「長方形」になります。
円と長方形のどちらが本当の姿か、と決めることはできません。どちらも同じ円柱を、別の向きから照らして見た姿だからです。
電子も同じです。1個ずつ数える実験では「粒の顔」が、干渉を調べる実験では「波の顔」が映ります。どちらの顔が見えるかは、何を調べるかで決まるのです。
図: 同じ円柱でも、照らす向きによって影は円（粒の顔）にも長方形（波の顔）にもなる
この仮説は当初、驚きをもって迎えられました。しかし1927年、デビソンとジャーマーが電子線を結晶に当てる実験を行い、電子線が回折して干渉縞をつくることを確かめました。
干渉は、山と山が重なって強め合い、山と谷が重なって弱め合う現象で、波にしか起こりません。粒が壁に当たるだけなら縞模様は生まれないので、干渉縞が見えた時点で「電子は波の性質も持つ」と診断できるのです。
粒子としての性質を持つ波（光子）とは逆に、波の性質を持つ粒子がつくる波を「物質波」または「ド・ブロイ波」と呼びます。
症状：「電子には波の性質がある」と聞いて、電子が波線のようにくねくねと蛇行しながら進む姿を思い浮かべてしまう。
診断：「波」を、目に見える物体が揺れながら進む通り道の形だと捉え、「波の性質を持つ」ことと「揺れながら動く」ことを1つに混ぜている思考のクセ。
処方箋：物質波の「波」は、電子の通り道の形ではなく、干渉や回折という振る舞いのことだと区別する。「波の性質がある」と聞いたら、まず「干渉縞ができる」「すき間の裏側へ回り込む」と言い換えてから考える。
下の物質波シミュレーターも使って、粒子に波の性質があるとはどういうことかを目で確かめてみましょう。
🩺 要点整理
この節は「何が波の性質を持つのか」と「なぜ波だと言い切れるのか」を分けて押さえます。
「電子も波である」だけでなく「干渉が起きたから波だと言える」と根拠まで言えれば、次の節で波長を計算する意味がはっきりします。
🔗 関連単元
この節のデビソンとジャーマーの実験は、電子線を結晶に当てて干渉を確かめる実験でした。9限目「ミリカンの油滴実験とX線（ブラッグ反射）」では、X線を結晶に当てたときに起きる干渉を、ブラッグの反射条件として扱います。
電子線の回折も、その条件に出てくる波長をド・ブロイ波長に置きかえれば、同じ見方で説明できます。「結晶に当てると干渉が起きる」のはX線でも電子線でも同じだと知っておくと、9限目の内容をこの講とつなげて読めます。
🧠 見ずに思い出そう
画面から目を離して、次の \(2\) つを言えるか試してみてください。① ド・ブロイの仮説を一文で言う。② 電子に波の性質があると言える実験の名前を挙げ、それがなぜ波の証拠になるのかを説明する。
詰まったのが①なら、仮説そのものがまだ手元にないので、この節の最初の強調文に戻りましょう。
①は言えたのに②で実験の名前しか出てこなかったなら、「干渉は波特有の現象」という理由づけが抜けています。デビソンとジャーマーの実験を説明した段落に戻ってください。どちらで詰まったかによって、戻る場所が変わります。
ド・ブロイ波長の公式
1限目で学んだ光子の運動量の式 \( p = \displaystyle\frac{h}{\lambda} \) は、「波長 \( \lambda \) の光が運ぶ運動量はいくらか」を表していました。これを \( \lambda \) について解き直すと、「運動量 \( p \) を持つものの波長はいくらか」という、逆向きの問いに答える式になります。
$$
\lambda = \frac{h}{p}
$$
ド・ブロイは、この式が光子だけでなく、あらゆる粒子にも成り立つと考えました。粒子の運動量は \( p = mv \) ですから、次のようになります。
$$
\begin{aligned}
\lambda &= \frac{h}{p} \\[2.0ex]
&= \frac{h}{mv}
\end{aligned}
$$
これが「ド・ブロイ波長」の公式です。式そのものは短いですが、「運動量という粒の量を、波長という波の量へ翻訳する辞書」だと読むと、使いどころが見えてきます。
分母に運動量 \( mv \) があるので、質量 \( m \) や速さ \( v \) が大きいほど、波長 \( \lambda \) は短くなります。波長は運動量に反比例する、と言葉にして押さえておきましょう。
症状：「電子を速くすると、ド・ブロイ波長は長くなる？短くなる？」と聞かれて、「速いのだから波長も長くなる」と答えてしまう。
診断：波動で学んだ \( v = f\lambda \)（速さ＝振動数×波長）の感覚をそのまま持ち込み、「速さ」と「波長」を比例の関係で結びつけている思考のクセ。物質波の波長を決めるのは、速さそのものではなく運動量 \( mv \) です。
処方箋：波長を問われたら、まず「運動量はいくらか」を先に作る。\( \lambda = \displaystyle\frac{h}{mv} \) の分母に \( v \) があることを確かめ、「運動量が大きいほど波長は短い」と言葉にしてから答える。
日常の物体（ボールや人間）は質量がとても大きいので、波長が極端に短くなり、波としての性質はまったく観測できません。一方、電子のように極めて軽い粒子では、波長が観測できる大きさになります。
「極端に短い」がどのくらいなのか、\( h = 6.6 \times 10^{-34}\,\text{J}\cdot\text{s} \) として確かめます。まずは、質量 \( 0.15\,\text{kg} \) の野球ボールを速さ \( 40\,\text{m/s} \)（時速約144 km）で投げたときです。
$$
\begin{aligned}
\lambda &= \frac{h}{mv} \\[2.0ex]
&= \frac{6.6 \times 10^{-34}}{0.15 \times 40} \\[2.0ex]
&= 1.1 \times 10^{-34}\,\text{m}
\end{aligned}
$$
次に、質量 \( 9.1 \times 10^{-31}\,\text{kg} \) の電子が速さ \( 1.0 \times 10^{6}\,\text{m/s} \) で飛んでいるときです。
$$
\begin{aligned}
\lambda &= \frac{6.6 \times 10^{-34}}{9.1 \times 10^{-31} \times 1.0 \times 10^{6}} \\[2.0ex]
&= \frac{6.6 \times 10^{-34}}{9.1 \times 10^{-25}} \\[2.0ex]
&\approx 7.3 \times 10^{-10}\,\text{m}
\end{aligned}
$$
1限目で見たように、原子の大きさは約 \( 10^{-10}\,\text{m} \) です。電子の波長は原子数個分の長さで、原子が並んだ結晶を通せば干渉が起こりうる大きさです。
ボールの波長は、原子の大きさよりさらに24桁も短くなっています。これほど細かいすき間を用意できる装置はないので、ボールの波の性質はどうやっても見えないのです。
図: 目盛りを桁ごとに等間隔に並べると、電子の波長は原子の大きさのすぐ隣にあり、ボールの波長ははるか左端にある
ボールを壁に向かって投げたとき、壁の穴を通り抜けたボールが裏側へ回り込んで広がる……ということは日常では起こりません。ボールの波長が、穴の大きさに比べて短すぎるからです。
ところが電子を1個ずつ飛ばし、2本の細いすき間（スリット）を通してスクリーンに当てると、たくさん集まったところで干渉縞が現れます。
電子の干渉縞は、点描画のようにでき上がります。スクリーンに届く電子は、1個1個はただの「点」です。次の1個がどこに当たるかは、前もって言い当てられません。
ところが点が何百個と集まると、点が密集する帯と、ほとんど来ない帯が交互に並び、干渉縞という絵が浮かび上がります。
1個1個の点を見れば「粒の顔」、点の分布全体を見れば「波の顔」が見えます。同じ実験でも、何を見るかで映る顔が切り替わる――円柱の影と同じです。
図: ひと粒ずつ届く点（粒の顔）が、たくさん集まると干渉縞（波の顔）を描く
ここで一度、自己診断をしておきましょう。「波の性質が観測できるかどうかは、波長を何と比べて決まるか」に即答できますか。
答えは、波が通り抜けるすき間や、並んだ原子の間隔の大きさです。波長がそれと同じくらいのとき、回折や干渉がはっきり現れます。
よくあるつまずき
症状：\(\lambda = \displaystyle\frac{h}{mv}\) に数値を代入するとき、速さを \(\text{mm}/\text{s}\) や \(\text{km}/\text{h}\) のまま入れてしまう。または、分母の \(10\) の累乗の掛け算で \(10^{-31} \times 10^{-3}\) を \(10^{-28}\) としてしまい、桁が大きくずれた答えを出す。
診断：使う式は正しく選べているのに、代入の前に単位を \(\text{kg}\)・\(\text{m}/\text{s}\) へそろえる手順と、\(10\) の累乗の指数計算の規則が抜けている。
処方箋：代入の前に、質量は \(\text{kg}\)、速さは \(\text{m}/\text{s}\) に直して書き出す（例：\(1\,\text{mm}/\text{s} = 1 \times 10^{-3}\,\text{m}/\text{s}\)）。次に、\(10\) の累乗の部分だけを取り出して、「掛けたら指数を足す、割ったら指数を引く」で計算する。\(10^{-31} \times 10^{-3}\) なら、指数は \(-31 + (-3) = -34\) です。
🩺 要点整理
ド・ブロイ波長の式は、光子の運動量の式を逆から読んで作る式です。次の順で組み立てます。
「\(p = \displaystyle\frac{h}{\lambda}\) を逆から読む → \(p = mv\) を入れる」の \(2\) 手で言えれば、式を忘れても自分で作り直せます。
🔗 関連単元
この節の出発点 \(p = \displaystyle\frac{h}{\lambda}\) は、1限目「光の粒子性と光電効果」で学んだ光子の運動量の式です。ここで \(\lambda = \displaystyle\frac{h}{p}\) と逆向きに読むことで、光子の式が粒子の波長の式に変わりました。
3限目「ボーア模型① ─ 量子条件と振動数条件」では、この節の \(\lambda = \displaystyle\frac{h}{mv}\) を原子の中を回る電子に当てはめ、電子の波が円軌道の \(1\) 周にちょうど整数個おさまるという量子条件 \(2\pi r = n\lambda\) として使います。
10限目「コンプトン散乱と核反応式」では、X線の光子の運動量を同じ関係 \(p = \displaystyle\frac{h}{\lambda}\) で表し、電子との衝突に運動量保存を当てはめて、散乱後の波長の変化を求めます。
🧠 見ずに思い出そう
何も見ずに試してみてください。① 光子の運動量の式から出発して、ド・ブロイ波長を \(h\)・\(m\)・\(v\) で表す式を自分で作る。② 同じ速さで動く電子とボールでは、ド・ブロイ波長が長いのはどちらか。理由も一緒に言う。
①で詰まったなら、式の形だけを持っていて、作り方が抜けています。上の要点整理にある「\(p = \displaystyle\frac{h}{\lambda}\) を逆から読む → \(p = mv\) を入れる」の \(2\) 手に戻りましょう。
①は作れたのに②で迷ったなら、式は持っていても「分母の \(m\) が大きいほど \(\lambda\) は短い」という読み方が抜けています。質量や速さが大きいほど波長が短くなると述べた段落に戻ってください。どちらで詰まったかによって、戻る場所が変わります。
電圧 \( V \) で加速した電子のド・ブロイ波長
実際の実験では、電子は電圧をかけて加速してから飛ばします。そのため入試でも、「電圧 \( V \) で加速した電子のド・ブロイ波長」を問う問題がよく出題されます。
電圧 \( V \) で電子を加速するのは、坂の上からボールを転がすのに似ています。坂が高いほど、ふもとでのボールは速くなります。
電子にとっての「坂の高さ」が電圧で、ふもとで手に入る運動エネルギーは \( eV \) です。電圧を4倍にすると運動エネルギーも4倍になり、速さは2倍になります。
速さが2倍なら運動量も2倍になり、波長は半分です。「電圧 → 運動エネルギー → 速さ → 運動量 → 波長」と、坂を下りながら量を翻訳していくのがこの問題の道筋です。
図: 電圧は電子にとっての坂の高さ。坂が4倍高いと、ふもとの速さは2倍、波長は半分になる
静止していた電子が電圧 \( V \) で加速されると、電場から \( eV \)（電気素量 \( \times \) 電圧）の仕事を受け取ります。受け取った分がそのまま運動エネルギーになるので、エネルギーの帳尻は次のようになります。
$$
\frac{1}{2}mv^2 = eV
$$
この式を、速さ \( v \) について解くと、
$$
v = \sqrt{\frac{2eV}{m}}
$$
これをド・ブロイ波長の式 \( \lambda = \displaystyle\frac{h}{mv} \) に代入します。
$$
\begin{aligned}
\lambda &= \frac{h}{mv} \\[2.0ex]
&= \frac{h}{m \cdot \sqrt{\frac{2eV}{m}}} \\[2.0ex]
&= \frac{h}{\sqrt{2meV}}
\end{aligned}
$$
電圧 \( V \) で加速した電子のド・ブロイ波長は \( \lambda = \displaystyle\frac{h}{\sqrt{2meV}} \)。
この結果を完成形のまま持ち歩くより、「\( \displaystyle\frac{1}{2}mv^2 = eV \) から速さを出し、\( \lambda = \displaystyle\frac{h}{mv} \) へ渡す」という2段の手順で、毎回自分で組み立てられるほうが強い力になります。途中の式を1本ずつ自分の手で書けるかどうかが、理解の本当の診断です。
分母の \( \sqrt{2meV} \) をよく見てください。\( m \times \sqrt{\displaystyle\frac{2eV}{m}} \) を整理したものなので、じつは電子の運動量 \( mv \) そのものです。この式も、\( \lambda = \displaystyle\frac{h}{p} \) の分母に「電圧で決まる運動量」を入れただけなのです。
この見方ができると、同じ電圧で重い陽子を加速したときの波長も迷わず比べられます。同じ電圧なら運動エネルギー \( eV \) は同じですが、運動量 \( \sqrt{2meV} \) は質量が大きいほど大きいので、陽子の波長は電子より短くなります。記事限定演習⑥で、実際に何倍になるかを確かめましょう。
\( 100\,\text{V} \) の電圧で加速した電子の波長を、\( h = 6.6 \times 10^{-34}\,\text{J}\cdot\text{s} \)、\( m = 9.1 \times 10^{-31}\,\text{kg} \)、\( e = 1.6 \times 10^{-19}\,\text{C} \) として求めます。
$$
\begin{aligned}
\lambda &= \frac{h}{\sqrt{2meV}} \\[2.0ex]
&= \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 100}} \\[2.0ex]
&\approx \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{29.1 \times 10^{-48}}} \\[2.0ex]
&\approx \frac{6.6 \times 10^{-34}}{5.4 \times 10^{-24}} \\[2.0ex]
&\approx 1.2 \times 10^{-10}\,\text{m}
\end{aligned}
$$
原子の大きさ（約 \( 10^{-10}\,\text{m} \)）とほぼ同じです。結晶の中で規則正しく並んだ原子は、この波長の電子にとって、ちょうどよい「すき間の並び」になります。
デビソンとジャーマーの実験で結晶が電子を回折させたのも、電子の波長と原子の間隔が同じくらいだったからです。結晶で波が強め合う条件は、9限目のX線（ブラッグ反射）で詳しく扱います。
電圧を4倍の \( 400\,\text{V} \) にすると、分母の \( \sqrt{V} \) が2倍になるので、波長は半分の約 \( 6.1 \times 10^{-11}\,\text{m} \) になります。
よくあるつまずき
症状：\(\lambda = \displaystyle\frac{h}{m\sqrt{\displaystyle\frac{2eV}{m}}}\) を整理するとき、根号（\(\sqrt{\ }\)）の外の \(m\) をそのまま中へ入れて、\(\lambda = \displaystyle\frac{h}{\sqrt{2eV}}\) と書いてしまう。
診断：根号の外にある数を中へ入れるときは \(2\) 乗して入れる、という計算の規則が抜けている。
処方箋：\(m\) を根号の中へ入れるときは \(m^2\) にして \(m\sqrt{\displaystyle\frac{2eV}{m}} = \sqrt{m^2 \cdot \displaystyle\frac{2eV}{m}}\) とし、約分して \(\sqrt{2meV}\) を得る。最後に、答えの分母に \(m\) が残っているかを確かめる。\(m\) が消えていたら、根号へ入れるときの \(2\) 乗を落としています。
🩺 要点整理
電圧 \(V\) で加速した電子の波長は、結果の式だけを持つより、次の \(3\) 手で毎回導けるようにしておくほうが確実です。
「エネルギー → 速さ → 運動量 → 波長」の順が言えれば、文字で聞かれても数値で聞かれても、同じ手順で解けます。
🧠 見ずに思い出そう
画面から目を離して、紙に書いてみてください。① 静止していた電子を電圧 \(V\) で加速したとき、電子が得るエネルギーはいくらで、それが何に変わるか。② そこから出発して、ド・ブロイ波長を \(h\)・\(m\)・\(e\)・\(V\) で表すところまで書き切る。
①で詰まったなら、式変形より前の出発点が抜けています。「電子が得るエネルギー \(eV\) が運動エネルギーに変換される」と述べた、この節の段落に戻りましょう。
①は言えたのに②の途中で手が止まったなら、出発点は持っていて、根号の整理で詰まっています。上の「よくあるつまずき」の処方箋に戻ってください。どちらで詰まったかによって、戻る場所が変わります。
練習問題の解説
解説を読む前に、各問で「どの量を先に作れば波長にたどり着くか」を一言で言えるか試してから進んでください。言えなかった問いこそ、今のあなたの診断ポイントです。
① 人間のド・ブロイ波長（練習問題1）
問題
質量 \( 50\,\text{kg} \) の人が \( 1\,\text{m/s} \) の速さで歩いているとき、この人の物質波の波長を求めよ。ただし、プランク定数を \( h = 6.6 \times 10^{-34}\,\text{J}\cdot\text{s} \) とする。
解説
ド・ブロイ波長の公式に代入します。
$$
\begin{aligned}
\lambda &= \frac{h}{mv} \\[2.0ex]
&= \frac{6.6 \times 10^{-34}}{50 \times 1} \\[2.0ex]
&= 1.3 \times 10^{-35}\,\text{m}
\end{aligned}
$$
原子の大きさ（\( 10^{-10}\,\text{m} \)）よりもはるかに小さく、観測は不可能です。これが、日常生活で人間の波としての性質が現れない理由です。
\( \lambda = 1.3 \times 10^{-35}\,\text{m} \)
② 低速の電子のド・ブロイ波長（練習問題2）
問題
毎秒 \( 1\,\text{mm} \) の速さで運動する電子のド・ブロイ波長を求めよ。ただし、プランク定数を \( h = 6.6 \times 10^{-34}\,\text{J}\cdot\text{s} \)、電子の質量を \( m = 9.1 \times 10^{-31}\,\text{kg} \) とする。
解説
まず、速さの単位を m/s に変換します。
$$
\begin{aligned}
v &= 1\,\text{mm/s} \\[2.0ex]
&= 1 \times 10^{-3}\,\text{m/s}
\end{aligned}
$$
ド・ブロイ波長の公式に代入します。
$$
\begin{aligned}
\lambda &= \frac{h}{mv} \\[2.0ex]
&= \frac{6.6 \times 10^{-34}}{9.1 \times 10^{-31} \times 1 \times 10^{-3}} \\[2.0ex]
&= \frac{6.6 \times 10^{-34}}{9.1 \times 10^{-34}} \\[2.0ex]
&\approx 0.73\,\text{m}
\end{aligned}
$$
分母の指数部分が \( 10^{-31} \times 10^{-3} = 10^{-34} \) となり、分子の \( 10^{-34} \) と相殺されて、波長がおよそ \( 0.73\,\text{m} \) という日常スケールの値になります。電子は質量が極めて小さいため、ゆっくり動いているだけでもこれだけ大きな波長を持つのです。
\( \lambda \approx 0.73\,\text{m} \)
③ 電圧加速した電子のド・ブロイ波長（練習問題3）
問題
静止していた電子を電圧 \( V \) で加速したとき、この電子のド・ブロイ波長を \( h, m, e, V \) を用いて表せ。ただし、電子の質量を \( m \)、電気素量を \( e \)、プランク定数を \( h \) とする。
解説
電圧 \( V \) で加速された電子のエネルギー保存則より、
$$
\frac{1}{2}mv^2 = eV
$$
速さ \( v \) について解くと、
$$
v = \sqrt{\frac{2eV}{m}}
$$
これをド・ブロイ波長の公式 \( \lambda = \frac{h}{mv} \) に代入します。
$$
\begin{aligned}
\lambda &= \frac{h}{mv} \\[2.0ex]
&= \frac{h}{m \cdot \sqrt{\frac{2eV}{m}}} \\[2.0ex]
&= \frac{h}{\sqrt{m^2 \cdot \frac{2eV}{m}}} \\[2.0ex]
&= \frac{h}{\sqrt{2meV}}
\end{aligned}
$$
\( \lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}} \)
【重要公式まとめ】
$$
\begin{aligned}
\lambda &= \frac{h}{mv} \\[2.0ex]
&= \frac{h}{p}
\end{aligned}
$$
図: 波長は運動量 \( p \)（\( = mv \)）に反比例し、運動量が2倍なら波長は半分になる
\( h \)：プランク定数 \( m \)：粒子の質量 \( [\text{kg}] \) \( v \)：粒子の速さ \( [\text{m/s}] \) \( p \)：運動量 \( [\text{kg}\cdot\text{m/s}] \)
$$
\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}
$$
図: 電圧 \( V \) → 運動エネルギー \( K = eV \) → 運動量 \( p = mv \) → 波長 \( \lambda = \displaystyle\frac{h}{p} \) の順に量が伝わる
導出：\( \displaystyle\frac{1}{2}mv^2 = eV \) → \( v = \sqrt{\displaystyle\frac{2eV}{m}} \) → \( \lambda = \displaystyle\frac{h}{mv} \) に代入（分母の \( mv = \sqrt{2meV} \) が運動量）
比で読む：電圧を4倍にすると、\( K \) は4倍、\( p \) は2倍、\( \lambda \) は \( \displaystyle\frac{1}{2} \) 倍
【記事限定 演習問題】
ここからは、動画と講義ノートの内容を自分の手で再現できるかを確かめる演習です。各問の「解答と思考プロセスを見る」を開く前に、まず「どの量を先に作れば波長にたどり着くか」を一言で言ってから解き始めてください。
特に指定がなければ、\( h = 6.6 \times 10^{-34}\,\text{J}\cdot\text{s} \)、電子の質量 \( m = 9.1 \times 10^{-31}\,\text{kg} \)、電気素量 \( e = 1.6 \times 10^{-19}\,\text{C} \) を使います。
ある電子のド・ブロイ波長を \( \lambda \) とする。次の場合の波長を、\( \lambda \) を用いて表しなさい。
(1) 電子の速さだけを3倍にしたとき。
(2) 電子と同じ速さで運動する陽子（質量は電子の約1840倍）のとき。
解答と思考プロセスを見る
波長を決めるのは運動量 \( mv \) です。\( \lambda = \displaystyle\frac{h}{mv} \) は運動量に反比例するので、式に数を入れる前に「運動量が何倍になったか」を先に見ます。
(1) 質量はそのままで速さが3倍なので、運動量は3倍です。
$$
\begin{aligned}
\lambda’ &= \frac{h}{m \times 3v} \\[2.0ex]
&= \frac{1}{3} \times \frac{h}{mv} \\[2.0ex]
&= \frac{\lambda}{3}
\end{aligned}
$$
(2) 速さは同じで、陽子の質量を \( 1840m \) とすると、運動量も1840倍です。
$$
\begin{aligned}
\lambda_{\text{p}} &= \frac{h}{1840m \times v} \\[2.0ex]
&= \frac{\lambda}{1840}
\end{aligned}
$$
答え：(1) \( \displaystyle\frac{\lambda}{3} \) (2) 約 \( \displaystyle\frac{\lambda}{1840} \)
陽子は電子よりずっと重いぶん、同じ速さでも波長ははるかに短くなります。「速さ」だけでなく「質量×速さ」で見るのが、この講の基本の構えです。
ド・ブロイ波長が \( 1.1 \times 10^{-10}\,\text{m} \) の電子の速さ \( v \) を求めなさい。
解答と思考プロセスを見る
\( \lambda = \displaystyle\frac{h}{mv} \) を、求めたい \( v \) について解き直してから数値を入れます。先に文字で解いておくと、どの数で割るのかを見失いません。
$$
\begin{aligned}
v &= \frac{h}{m\lambda} \\[2.0ex]
&= \frac{6.6 \times 10^{-34}}{9.1 \times 10^{-31} \times 1.1 \times 10^{-10}} \\[2.0ex]
&\approx \frac{6.6 \times 10^{-34}}{1.0 \times 10^{-40}} \\[2.0ex]
&= 6.6 \times 10^{6}\,\text{m/s}
\end{aligned}
$$
答え：約 \( 6.6 \times 10^{6}\,\text{m/s} \)
光速 \( 3.0 \times 10^{8}\,\text{m/s} \) の約2%です。原子と同じくらいの波長を持つ電子は、これほど速く飛んでいます。
質量 \( m \) の粒子が、運動エネルギー \( K \) で運動している。
(1) この粒子の運動量 \( p \) を、\( m \) と \( K \) を用いて表しなさい。
(2) この粒子のド・ブロイ波長 \( \lambda \) を、\( h \)、\( m \)、\( K \) を用いて表しなさい。
解答と思考プロセスを見る
運動エネルギーと運動量は、どちらも速さ \( v \) を使って書けます。\( v \) を仲立ちにして、2つの量をつなぎます。
(1) \( K = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2 \) より、\( v = \sqrt{\displaystyle\frac{2K}{m}} \) です。
$$
\begin{aligned}
p &= mv \\[2.0ex]
&= m\sqrt{\frac{2K}{m}} \\[2.0ex]
&= \sqrt{2mK}
\end{aligned}
$$
(2) \( \lambda = \displaystyle\frac{h}{p} \) に (1) の結果を入れます。
$$
\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}
$$
答え：(1) \( p = \sqrt{2mK} \) (2) \( \lambda = \displaystyle\frac{h}{\sqrt{2mK}} \)
\( K = eV \) を入れると、講義解説の \( \lambda = \displaystyle\frac{h}{\sqrt{2meV}} \) にそのまま戻ります。電圧で加速した電子の式は、この一般形の特別な場合だったのです。
「文字で答える問題に手が止まる」クセへの処方箋は、このように使える関係式を1本ずつつないでいくことです。
静止していた電子を、\( 150\,\text{V} \) の電圧で加速した。
(1) 電子が得る運動エネルギー \( K \) を求めなさい。
(2) 電子の運動量 \( p \) を求めなさい。
(3) 電子のド・ブロイ波長 \( \lambda \) を求めなさい。
解答と思考プロセスを見る
「電圧 → 運動エネルギー → 運動量 → 波長」と、量を1つずつ翻訳していきます。
(1) 電場から受け取る仕事が、そのまま運動エネルギーになります。
$$
\begin{aligned}
K &= eV \\[2.0ex]
&= 1.6 \times 10^{-19} \times 150 \\[2.0ex]
&= 2.4 \times 10^{-17}\,\text{J}
\end{aligned}
$$
(2) 演習問題③の \( p = \sqrt{2mK} \) を使います。
$$
\begin{aligned}
p &= \sqrt{2mK} \\[2.0ex]
&= \sqrt{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 2.4 \times 10^{-17}} \\[2.0ex]
&\approx \sqrt{43.7 \times 10^{-48}} \\[2.0ex]
&\approx 6.6 \times 10^{-24}\,\text{kg}\cdot\text{m/s}
\end{aligned}
$$
(3) 最後に、\( \lambda = \displaystyle\frac{h}{p} \) で波長へ翻訳します。
$$
\begin{aligned}
\lambda &= \frac{h}{p} \\[2.0ex]
&= \frac{6.6 \times 10^{-34}}{6.6 \times 10^{-24}} \\[2.0ex]
&\approx 1.0 \times 10^{-10}\,\text{m}
\end{aligned}
$$
答え：(1) \( 2.4 \times 10^{-17}\,\text{J} \) (2) 約 \( 6.6 \times 10^{-24}\,\text{kg}\cdot\text{m/s} \) (3) 約 \( 1.0 \times 10^{-10}\,\text{m} \)
ちょうど原子1個ぶんの大きさの波長です。\( \lambda = \displaystyle\frac{h}{\sqrt{2meV}} \) に一気に代入しても同じ答えになりますが、途中の量を1つずつ出しておくと、どこで計算を誤ったかを自分で診断できます。
電圧 \( V \) で加速した電子のド・ブロイ波長を \( \lambda \) とする。
(1) 加速電圧を \( 4V \) にすると、波長は \( \lambda \) の何倍になるか。
(2) 波長を \( \displaystyle\frac{\lambda}{10} \) にするには、加速電圧を \( V \) の何倍にすればよいか。
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\( \lambda = \displaystyle\frac{h}{\sqrt{2meV}} \) の中で変わるのは \( V \) だけです。「波長は \( \sqrt{V} \) に反比例する」と比の形に直してから考えます。
(1) 電圧が4倍なら \( \sqrt{4V} = 2\sqrt{V} \) なので、分母が2倍になり、波長は \( \displaystyle\frac{1}{2} \) 倍です。
(2) 波長を \( \displaystyle\frac{1}{10} \) にするには、分母の \( \sqrt{V} \) を10倍にする必要があります。\( \sqrt{V} \) を10倍にするには、\( V \) を \( 10^2 = 100 \) 倍にします。
答え：(1) \( \displaystyle\frac{1}{2} \) 倍 (2) 100倍
「電圧を10倍にすれば波長も10分の1」と答えた人は、平方根を見落としています。坂のたとえでいえば、坂の高さを4倍にしても、ふもとの速さは2倍にしかならないのと同じです。
静止していた電子と陽子を、それぞれ同じ電圧 \( V \) で加速した。陽子の質量は電子の約1840倍で、電荷の大きさはどちらも \( e \) である。
(1) 加速後の運動エネルギーは、どちらが大きいか。
(2) 陽子のド・ブロイ波長は、電子のド・ブロイ波長の何倍か。
解答と思考プロセスを見る
(1) どちらも電荷の大きさは \( e \) なので、電場から受け取る仕事は同じ \( eV \) です。運動エネルギーは等しくなります。
(2) 運動エネルギーが同じなら、運動量 \( p = \sqrt{2mK} \) は \( \sqrt{m} \) に比例し、重い陽子のほうが大きくなります。波長は運動量に反比例するので、電子の質量を \( m \)、陽子の質量を \( 1840m \) として比をとります。
$$
\begin{aligned}
\frac{\lambda_{\text{p}}}{\lambda_{\text{e}}} &= \sqrt{\frac{m}{1840m}} \\[2.0ex]
&= \frac{1}{\sqrt{1840}} \\[2.0ex]
&\approx \frac{1}{43}
\end{aligned}
$$
答え：(1) 等しい (2) 約 \( \displaystyle\frac{1}{43} \) 倍
陽子は電子より遅くなりますが、それ以上に重いので運動量が大きく、波長は短くなります。「遅いのだから波長は長い」と答えた人は、講義解説の「クセ診断と処方箋」（速さと波長を比例で結ぶクセ）を読み直しましょう。
半径 \( r \) の円周に沿って、質量 \( m \) の電子が速さ \( v \) で回っている。この電子の物質波が1周して元の位置に戻ったとき、下の図の左のように山と谷がずれずにつながるには、円周の長さが波長のちょうど整数倍になっていなければならない。
(1) この条件を、\( r \)、ド・ブロイ波長 \( \lambda \)、正の整数 \( n \) を用いて式で表しなさい。
(2) (1) の式に \( \lambda = \displaystyle\frac{h}{mv} \) を代入し、\( mvr \) を \( n \) と \( h \) を用いて表しなさい。
図: 左は円周にちょうど4波長が収まり1周でつながる波、右は4.3波長のため1周すると始まりの位置からずれる波
解答と思考プロセスを見る
(1) 円周の長さは \( 2\pi r \) です。そこに波長 \( \lambda \) の波がちょうど \( n \) 個並べば、1周した波の終わりが始まりとぴったり重なります。
$$
2\pi r = n\lambda
$$
(2) \( \lambda = \displaystyle\frac{h}{mv} \) を代入します。
$$
2\pi r = \frac{nh}{mv}
$$
両辺に \( \displaystyle\frac{mv}{2\pi} \) を掛けると、次の形になります。
$$
mvr = \frac{nh}{2\pi}
$$
答え：(1) \( 2\pi r = n\lambda \) (2) \( mvr = \displaystyle\frac{nh}{2\pi} \)
図の右のように整数倍になっていないと、1周するたびに波がずれて重なり、打ち消し合ってしまいます。この「ぴったりつながる波だけが残る」という考え方が、3限目で原子の中の電子の軌道を決める鍵になります。
7問のうち、手が止まった問題の番号をメモしておいてください。止まった場所こそ、あなたの思考のクセの在りかです。
①②で止まったなら「運動量と波長の翻訳」、③④⑤なら「電圧 → 運動エネルギー → 運動量」の順番、⑥なら「速さでなく運動量で比べる」見方、⑦なら「波がつながる条件を式にする」練習に戻るのが処方箋です。
メモした問題は、3日後と1週間後に解答を見ずに解き直し、同じところで止まらなくなったかを確かめましょう。これが自分でできる経過観察です。個別に経過を見てほしい人は、まこと先生のオンライン家庭教師で、まこラボの記録を使って一緒に追いかけることもできます。
次の3限目「ボーア模型① ─ 量子条件と振動数条件」では、演習問題⑦で見た「円周にぴったり収まる電子の波」が、原子の中の電子の軌道を決める主役になります。原子がつぶれずに形を保っていられるのはなぜか——答えを予想してから進んでみてください。
以下のテキストをコピーして、「まことAI」にそのまま貼り付けてみてください。直感的にイメージしにくい物理の現象を、別の角度からわかりやすく解説してくれます。
タップ（クリック）すると答えが表示されます。
Q1. ド・ブロイ波長の公式 \( \lambda = \frac{h}{mv} \) によると、動いている物体の「質量」が大きいほど、その物質波の波長はどうなりますか？
式の分母に質量 \( m \) があるため、質量と波長は反比例の関係にあります。したがって、質量が大きい物体ほどド・ブロイ波長は短くなります。
Q2. 人間が歩いたりボールを投げたりしたとき、回折や干渉といった「波の性質」がまったく観測できないのはなぜですか？
日常の物体は電子などに比べて質量が非常に大きいため、ド・ブロイ波長がほぼゼロ（約 \( 10^{-35}\,\text{m} \) など）になってしまいます。そのため、波としての性質が現れません。
Q3. 電圧 \( V \) で電子を加速したときの波長を求める問題で、一番最初に立てるべき方程式（保存則）は何ですか？
電圧 \( V \) によって電子が得たエネルギー \( eV \) が、すべて運動エネルギー \( \frac{1}{2}mv^2 \) に変わるという式からスタートします。ここから速さ \( v \) を求めて、公式に代入する流れは頻出です。
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💡 ヒント：「自分なりに考えたこと」は、「光電効果で振動数が大事な理由が分からない」「ボーアモデルのエネルギー準位がイメージできない」など、素直な気持ちでOKです！
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