未来の得点力へ！高校物理 問題演習「波の屈折の総合演習」【高校物理対応】

今回の問題

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「波の屈折」です。波が異なる媒質の境界を通過する際に、速さ、波長、振動数、屈折率といった物理量がどのように関連し合っているかを総合的に問う問題です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
媒質1の中での波の速さ\(v_1\)を求めます。媒質1における波長\(\lambda_1\)と振動数\(f_1\)が与えられているため、波の基本式 \(v=f\lambda\) を用いて計算します。
この設問における重要なポイント

• 波の基本式 \(v=f\lambda\) を正しく適用すること。
• 単位（cm, Hz）に注意して計算すること。

具体的な解説と立式
波の基本式 \(v=f\lambda\) を媒質1に適用します。
$$ v_1 = f_1 \lambda_1 $$

与えられた値を代入します。
\(f_1 = 50\) Hz, \(\lambda_1 = 1.4\) cm
$$
\begin{aligned}
v_1 &= 50 \times 1.4 \\[2.0ex]&= 70 \text{ [cm/s]}
\end{aligned}
$$

波の速さは「振動数 × 波長」で計算できます。\(50 \times 1.4\) を計算すると \(70\) になるので、答えは \(70\) cm/s です。

媒質1の中での波の速さは \(70\) cm/s です。

問(2)

思考の道筋とポイント
媒質1に対する媒質2の屈折率\(n_{12}\)を求めます。図から入射角\(i\)と屈折角\(r\)を読み取り、屈折の法則 \(n_{12} = \sin i / \sin r\) を適用します。波面と境界面のなす角は、入射角・屈折角に等しいことを利用します。
この設問における重要なポイント

• 屈折の法則 \(n_{12} = \displaystyle\frac{\sin i}{\sin r}\) を正しく使えること。
• 図から入射角 \(i=45^\circ\)、屈折角 \(r=30^\circ\) を読み取ること。

具体的な解説と立式
屈折の法則より、媒質1に対する媒質2の屈折率\(n_{12}\)は、
$$ n_{12} = \frac{\sin i}{\sin r} $$
図より、入射角 \(i=45^\circ\)、屈折角 \(r=30^\circ\) です。

$$
\begin{aligned}
n_{12} &= \frac{\sin 45^\circ}{\sin 30^\circ} \\[2.0ex]&= \frac{1/\sqrt{2}}{1/2} \\[2.0ex]&= \frac{2}{\sqrt{2}} \\[2.0ex]&= \sqrt{2}
\end{aligned}
$$
問題の指示より \(\sqrt{2}=1.4\) として計算します。
$$ n_{12} = 1.4 $$

屈折率は \(\sin(\text{入射角}) \div \sin(\text{屈折角})\) で計算できます。図から入射角は45°、屈折角は30°です。\(\sin 45^\circ \div \sin 30^\circ = (1/\sqrt{2}) \div (1/2) = \sqrt{2}\) となります。問題文の指示で \(\sqrt{2}=1.4\) とするので、答えは1.4です。

媒質1に対する媒質2の屈折率は1.4です。

問(3)

思考の道筋とポイント
媒質2の中での波の波長\(\lambda_2\)を求めます。(2)で求めた屈折率\(n_{12}\)と、媒質1での波長\(\lambda_1\)を使い、屈折率と波長の関係式 \(n_{12} = \lambda_1 / \lambda_2\) を利用します。
この設問における重要なポイント

• 屈折率と波長の関係式 \(n_{12} = \displaystyle\frac{\lambda_1}{\lambda_2}\) を正しく使えること。
• 前の設問で求めた値を正しく利用すること。

具体的な解説と立式
屈折率\(n_{12}\)は、波長の比でも表されます。
$$ n_{12} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2} $$
この式を\(\lambda_2\)について解くと、
$$ \lambda_2 = \frac{\lambda_1}{n_{12}} $$
となります。

与えられた値と(2)の結果を代入します。
\(\lambda_1 = 1.4\) cm, \(n_{12} = 1.4\)
$$
\begin{aligned}
\lambda_2 &= \frac{1.4}{1.4} \\[2.0ex]&= 1.0 \text{ [cm]}
\end{aligned}
$$

媒質2での波長は、媒質1での波長を屈折率で割ることで求められます。\(1.4 \div 1.4\) を計算すると \(1.0\) になるので、答えは \(1.0\) cm です。

媒質2の中での波の波長は \(1.0\) cm です。

問(4)

思考の道筋とポイント
媒質2の中での波の振動数\(f_2\)を求めます。これは波の屈折における最も基本的な法則を問う知識問題です。波が異なる媒質に進んでも、振動数は変化しません。
この設問における重要なポイント

• 波が屈折しても、振動数は不変である。

具体的な解説と立式
波が媒質1から媒質2へ屈折して進むとき、振動数は変化しません。
したがって、媒質2での振動数\(f_2\)は、媒質1での振動数\(f_1\)と等しくなります。
$$ f_2 = f_1 $$

与えられた媒質1での振動数は \(f_1 = 50\) Hz なので、
$$ f_2 = 50 \text{ [Hz]} $$
となります。

波が違う物質に進んでも、1秒間に揺れる回数（振動数）は変わりません。元の振動数が 50 Hz なので、媒質2でも 50 Hz のままです。

媒質2の中での波の振動数は \(50\) Hz です。

問(5)

思考の道筋とポイント
媒質2に対する媒質3の屈折率\(n_{23}\)を求めます。媒質1に対する媒質2の屈折率\(n_{12}\)と、媒質1に対する媒質3の屈折率\(n_{13}\)がわかっているので、屈折率の合成則 \(n_{13} = n_{12} \times n_{23}\) を利用します。
この設問における重要なポイント

• 屈折率の合成則 \(n_{13} = n_{12} \times n_{23}\) を正しく使えること。

具体的な解説と立式
3つの媒質間の屈折率には、以下の関係が成り立ちます。
$$ n_{13} = n_{12} \times n_{23} $$
この式を、求めたい\(n_{23}\)について解くと、
$$ n_{23} = \frac{n_{13}}{n_{12}} $$
となります。

与えられた値と(2)の結果を代入します。
\(n_{13} = 0.70\), \(n_{12} = 1.4\)
$$
\begin{aligned}
n_{23} &= \frac{0.70}{1.4} \\[2.0ex]&= \frac{0.7}{1.4} \\[2.0ex]&= \frac{1}{2} \\[2.0ex]&= 0.50
\end{aligned}
$$

媒質2から3へ進むときの屈折率を求めるには、「1から3への屈折率」を「1から2への屈折率」で割ります。\(0.70 \div 1.4\) を計算すると \(0.50\) になるので、答えは \(0.50\) です。

媒質2に対する媒質3の屈折率は \(0.50\) です。

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【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 屈折の法則:
  • 核心: この問題は、波が屈折する際の様々な物理量（速さ、波長、角度、屈折率）の関係性を一つの法則、\(\displaystyle\frac{\sin i}{\sin r} = \frac{v_1}{v_2} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2} = n_{12}\) に集約して理解できているかを試しています。
  • 理解のポイント: この一連の等式関係と、「屈折しても振動数は不変」という大原則の2つが、屈折現象を解くための二大巨頭です。特に、屈折の法則が速さの比、波長の比、そして屈折率と全て結びついている点を押さえることが重要です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 光の屈折: 光が空気→水→ガラスのように複数の媒質を通過する問題。考え方は(5)の屈折率の合成と同じです。
  • 全反射: 屈折率が大きい媒質から小さい媒質へ入射するとき、入射角がある角度（臨界角）を超えると屈折光がなくなり全て反射される現象。屈折の法則で屈折角が90°になる条件を考えます。
  • 見かけの深さ: 水中の物体が実際より浅く見える現象。これも光の屈折によって説明され、見かけの深さは実際の深さを屈折率で割った値になります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 図と情報の対応付け: まず、図に描かれている角度や媒質の番号と、問題文で与えられている数値（\(\lambda_1, f_1, n_{13}\)など）を正確に対応させます。
  2. 角度の定義を確認: 図の角度が「法線とのなす角」か「境界面とのなす角」かを確認します。この問題では「波面と境界面のなす角」が与えられており、これは幾何学的に「進行方向と法線のなす角（＝入射角・屈折角）」に等しくなります。
  3. 不変量から攻める: (4)のように「振動数は不変」という法則を使えば、計算なしで解ける問題から片付けると、後の計算でその値を使えるようになり、思考がスムーズになります。
  4. どの関係式を使うか選ぶ: 屈折の法則は多くの等式で結ばれています。既知の量と未知の量を見比べて、どの部分（例: \(\sin\)の比と屈折率、屈折率と波長の比など）を使えば最も効率的に解けるかを選択します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 振動数が変化するという誤解:
  • 誤解: 屈折の際に最も多い間違いです。速さや波長が変わるため、振動数も変わるだろうと勘違いしてしまう。
  • 対策: 「振動数は波源が決める。媒質は変えられない」と覚えましょう。
• 屈折率の比の逆転:
  • 誤解: \(n_{12}\)を\(\sin r / \sin i\)や\(v_2/v_1\)と逆にしてしまう。
  • 対策: 屈折率が大きいほど光は大きく曲がり（角度が小さくなる）、速さは遅くなるとイメージしましょう。\(i > r\) ならば \(n_{12} > 1\)、\(v_1 > v_2\) となるはずなので、式の形を確認できます。
• 屈折率の合成の式の混同:
  • 誤解: \(n_{23}\)を求めたいのに、\(n_{12} \times n_{13}\)のように単純に掛けてしまう。
  • 対策: \(n_{ab}\)の添え字が、\(n_{1\mathbf{2}} \times n_{\mathbf{2}3} = n_{13}\)のように、内側の数字が繋がって消える、とイメージすると覚えやすいです。求めたいのが\(n_{23}\)なら、\(n_{12}\)で割る必要があるとわかります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 屈折の法則 \(n_{12} = \sin i / \sin r\):
  • 選定理由: これは実験的に見出された、屈折における角度の変化を記述する基本的な法則です。
  • 適用根拠: ホイヘンスの原理を用いると、この法則を理論的に導出できます。境界面に達した波面上の各点から素元波が出ると考えると、異なる媒質で素元波の進む速さが違うために、合成された新しい波面の向きが変わる（屈折する）ことが説明できます。その際の幾何学的な関係が、まさに屈折の法則です。
• 屈折率の合成則 \(n_{13} = n_{12} \times n_{23}\):
  • 選定理由: 複数の媒質を通過する際の屈折を、段階的にかつ統一的に扱うための便利な関係式です。
  • 適用根拠: 屈折率の定義に立ち返れば簡単に導けます。
    $$ n_{12} = \frac{v_1}{v_2}, \quad n_{23} = \frac{v_2}{v_3} $$
    この2式を辺々掛け合わせると、
    $$ n_{12} \times n_{23} = \frac{v_1}{v_2} \times \frac{v_2}{v_3} = \frac{v_1}{v_3} $$
    ここで、\(\frac{v_1}{v_3}\)は媒質1に対する媒質3の屈折率\(n_{13}\)の定義そのものです。したがって、\(n_{13} = n_{12} \times n_{23}\)が成り立ちます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 三角関数の値を正確に: \(\sin 30^\circ, \sin 45^\circ, \sin 60^\circ\)などの基本的な値は瞬時に出てくるようにしておきましょう。
• 近似値の扱いに注意: この問題では\(\sqrt{2}=1.4\)と与えられています。このような指示がある場合、計算の適切な段階で代入することが求められます。最後まで文字式で計算し、最後に代入するのが最も誤差が少ないです。
• 検算: (3)の\(\lambda_2\)を求めた後、(1)で求めた\(v_1\)と(4)の\(f_2(=f_1)\)を使って、\(v_2 = f_2 \lambda_2 = 50 \times 1.0 = 50\) cm/sと計算してみます。これは(2)の屈折の法則から導かれる\(v_2 = v_1 / n_{12} = 70 / 1.4 = 50\) cm/sと一致します。このように、複数のルートで同じ値になるか確認することで、計算の信頼性が上がります。

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