発展例題
発展例題48 光電効果
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
- 提示する別解
- 設問(2)の別解: 力学的エネルギー保存則を用いた解法
- 模範解答が「\(1\,\text{eV}\) の定義」や「仕事とエネルギーの関係」から直感的に解いているのに対し、別解では電場中の荷電粒子の運動として、厳密に力学的エネルギー保存則を立式して解きます。
- 設問(2)の別解: 力学的エネルギー保存則を用いた解法
- 上記の別解が有益である理由
- 物理的本質の深化: 「阻止電圧」という用語の暗記ではなく、電場による位置エネルギーと運動エネルギーの変換プロセスとして現象を捉え直すことができます。
- 応用力の向上: 複雑な電場中での電子の運動など、定義だけでは解けない問題にも対応できる汎用的な力が身につきます。
- 結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、最終的に得られる答えは模範解答と完全に一致します。
この問題のテーマは「光電効果と光量子仮説」です。光を波ではなく「粒（光子）」として捉えることで、金属表面から電子が飛び出す現象を説明します。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 光量子仮説: 光はエネルギー \(E=h\nu\) を持つ粒子（光子）の流れであること。
- アインシュタインの光電効果の式: エネルギー保存則 \(h\nu = W + K_{\text{max}}\)（光子のエネルギー \(=\) 仕事関数 \(+\) 電子の最大運動エネルギー）。
- 阻止電圧と最大運動エネルギーの関係: 電場による仕事が電子の運動エネルギーを奪う現象。
- 光の強さと光子の数: 光の「明るさ（強さ）」は光子の「数」に比例し、光子の「エネルギー」とは無関係であること。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (1)では、与えられた波長から光子1個のエネルギーを計算し、単位をジュールから電子ボルト（eV）に変換します。
- (2)では、電流が流れなくなる電圧（阻止電圧）の情報から、飛び出した直後の電子が持っていた最大運動エネルギーを求めます。
- (3)では、(1)と(2)の結果を光電効果の式（エネルギー収支の式）に代入して、仕事関数を逆算します。
- (4)では、電流の定義（1秒間に運ばれる電気量）に基づいて、電子の個数を計算します。
- (5)では、光の強さを変えたときに「変わるもの（光子の数）」と「変わらないもの（光子1個のエネルギー）」を区別してグラフを描きます。
問(1)
思考の道筋とポイント
まず、光の波長 \(\lambda\) から振動数 \(\nu\) を求め、プランク定数 \(h\) を用いて光子1個のエネルギー \(E\) をジュール単位で計算します。その後、問題で指定された単位「eV（電子ボルト）」に換算します。
この設問における重要なポイント
- 光速 \(c\)、振動数 \(\nu\)、波長 \(\lambda\) の関係式 \(c = \nu\lambda\) を理解していること。
- 光子のエネルギーの式 \(E = h\nu\) を使えること。
- \(1\,\text{eV}\) とは、電子1個（電気量 \(e\)）が \(1\,\text{V}\) の電圧で加速されたときに得るエネルギーであり、\(1\,\text{eV} = 1.6 \times 10^{-19}\,\text{J}\) であること。
具体的な解説と立式
まず、光の波長 \(\lambda\) と光速 \(c\) から振動数 \(\nu\) を表します。
$$ \nu = \frac{c}{\lambda} $$
これを用いて、光子1個のエネルギー \(E\) をジュール単位で表す式を立てます。
$$
\begin{aligned}
E &= h\nu \\[2.0ex]
&= h \frac{c}{\lambda}
\end{aligned}
$$
次に、求めたエネルギー（単位：\(\text{J}\)）を電気素量 \(e\) で割ることで、単位を \(\text{eV}\) に変換します。求めるエネルギーを \(E_{\text{eV}}\) とすると、
$$
\begin{aligned}
E_{\text{eV}} &= \frac{E}{e} \\[2.0ex]
&= \frac{hc}{e\lambda}
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 波の基本式: \(c = \nu\lambda\)
- 光子のエネルギー: \(E = h\nu\)
- 単位換算: \(E\,[\text{J}] = e \times E\,[\text{eV}]\)
値を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
E &= \frac{(6.6 \times 10^{-34}) \times (3.0 \times 10^8)}{6.0 \times 10^{-7}} \\[2.0ex]
&= \frac{19.8 \times 10^{-26}}{6.0 \times 10^{-7}} \\[2.0ex]
&= 3.3 \times 10^{-19}\,\text{J}
\end{aligned}
$$
これを \(\text{eV}\) に換算します。
$$
\begin{aligned}
E_{\text{eV}} &= \frac{3.3 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \\[2.0ex]
&= \frac{3.3}{1.6} \\[2.0ex]
&= 2.0625 \dots
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えるため、小数第2位を四捨五入します。
$$ E_{\text{eV}} \approx 2.1\,\text{eV} $$
光は波の性質を持ちますが、同時に「エネルギーの粒」でもあります。この粒1個が持つエネルギーは、光の色（振動数や波長）だけで決まります。ここでは公式を使ってまず普通のエネルギー単位（ジュール）で計算し、それを原子の世界でよく使われる単位（電子ボルト）に直しました。\(1\,\text{eV}\) は「電子1個を \(1\,\text{V}\) の電池で加速したときのエネルギー」という便利な単位です。
答えは \(2.1\,\text{eV}\) です。可視光線の光子エネルギーは数 \(\text{eV}\) 程度（赤色で約 \(1.8\,\text{eV}\)、紫色で約 \(3.1\,\text{eV}\)）なので、この値は物理的に妥当です。
問(2)
思考の道筋とポイント
図2のグラフから、電圧を負の方向に大きくしていくと、\(-V_0\) で電流が \(0\) になることが読み取れます。これは、最も勢いのある電子でさえも、電場の反発力に負けて陽極に到達できなくなったことを意味します。このときの電圧 \(V_0\)（阻止電圧）と最大運動エネルギー \(K_{\text{max}}\) の関係を用います。
この設問における重要なポイント
- グラフから阻止電圧が \(-V_0\)（大きさは \(V_0\)）であることを読み取る。
- 阻止電圧 \(V_0\) と最大運動エネルギー \(K_{\text{max}}\) の関係 \(K_{\text{max}} = eV_0\) を理解していること。
- エネルギーの単位が \(\text{eV}\)（電子ボルト）である場合、\(K_{\text{max}}\) の数値は \(V_0\) の数値と一致すること。
具体的な解説と立式
グラフより、電圧が \(-V_0\) のとき光電流が \(0\) になります。
これは、運動エネルギーが最大の電子（最大運動エネルギー \(K_{\text{max}}\)）が、電位差 \(V_0\) の坂道を登りきれずに止まってしまったことを意味します。
単位が \(\text{J}\) の場合の関係式は以下の通りです。
$$ K_{\text{max}} = e V_0 $$
ここで、エネルギーの単位を \(\text{eV}\) で答える場合、定義より「電気素量 \(e\) の電荷を持つ粒子が電圧 \(V_0\) で加速（または減速）されたときのエネルギー」は、数値として \(V_0\) そのものになります。
したがって、求めるエネルギー \(K_{\text{eV}}\) は、
$$ K_{\text{eV}} = V_0 \,[\text{eV}] $$
使用した物理公式
- 最大運動エネルギーと阻止電圧の関係: \(K_{\text{max}} = eV_0\)
問題文より \(V_0 = 0.66\,\text{V}\) です。
したがって、最大運動エネルギーは
$$ K_{\text{eV}} = 0.66\,\text{eV} $$
陰極から飛び出した電子は、陽極に向かって飛んでいきます。しかし、陽極の電圧をマイナスにすると、電子（マイナスの電気を持っています）は反発されてブレーキがかかります。電圧を \(-0.66\,\text{V}\) にしたとき、一番元気な電子でさえも陽極に届かなくなりました。これは、その電子が持っていた運動エネルギーが、ちょうど \(0.66\,\text{V}\) の電圧に逆らって進むエネルギー（つまり \(0.66\,\text{eV}\)）と同じだったことを意味します。
答えは \(0.66\,\text{eV}\) です。これは(1)で求めた光子のエネルギー \(2.1\,\text{eV}\) よりも小さい値です。光子のエネルギーの一部が金属から飛び出すために使われ、残りが運動エネルギーになったと考えれば、この大小関係は妥当です。
思考の道筋とポイント
「阻止電圧の定義」として公式を暗記するのではなく、電子の運動を力学的に捉えます。電子が陰極を出発してから陽極の手前で止まるまでの過程について、力学的エネルギー保存則を適用します。
この設問における重要なポイント
- 電場中の荷電粒子の位置エネルギー \(U = qV\) を正しく扱えること。
- 電子の電荷は \(q = -e\) であること。
- 陰極（出発点）の電位を \(0\)、陽極（到達点）の電位を \(-V_0\) とすること。
具体的な解説と立式
陰極Kを飛び出した直後の電子の速さを \(v_{\text{max}}\)、質量を \(m\) とします。
陰極Kの電位を \(0\,\text{V}\) と基準にとると、陽極Pの電位は \(-V_0\,\text{V}\) です。
電子が陽極Pにギリギリ到達できずに速さが \(0\) になったと考えます。
力学的エネルギー保存則「(運動エネルギー) + (位置エネルギー) = 一定」より、
$$
\begin{aligned}
(\text{Kでの運動エネルギー}) &+ (\text{Kでの位置エネルギー}) \\[2.0ex]
= (\text{Pでの運動エネルギー}) &+ (\text{Pでの位置エネルギー}) \\[4.0ex]
\frac{1}{2}mv_{\text{max}}^2 + (-e) \times 0 &= 0 + (-e) \times (-V_0)
\end{aligned}
$$
ここで、最大運動エネルギー \(K_{\text{max}} = \frac{1}{2}mv_{\text{max}}^2\) です。
使用した物理公式
- 力学的エネルギー保存則: \(K + U = \text{一定}\)
- 静電気力による位置エネルギー: \(U = qV\)
上の式を整理します。
$$
\begin{aligned}
K_{\text{max}} &= e V_0
\end{aligned}
$$
これより、\(K_{\text{max}}\) は \(e \times 0.66\,\text{J}\) となります。
これを \(\text{eV}\) 単位に換算するには、\(e\) で割ればよいので、
$$
\begin{aligned}
K_{\text{eV}} &= \frac{e V_0}{e} \\[2.0ex]
&= V_0 \\[2.0ex]
&= 0.66\,\text{eV}
\end{aligned}
$$
ボールを坂道に向かって転がす状況を想像してください。最初の勢い（運動エネルギー）があればあるほど高いところまで登れます。ここでは「電圧」が坂道の高さに相当します。電子が高さ \(V_0\) の電気的な坂道を登りきれずに止まったということは、最初に持っていたエネルギーがその高さ分（\(eV_0\)）とぴったり同じだったということです。
メインの解法と同じく \(0.66\,\text{eV}\) が得られました。この方法は、電位の正負や電子の電荷の符号を厳密に扱う練習として非常に有益です。
問(3)
思考の道筋とポイント
光電効果におけるエネルギー収支の式（アインシュタインの光電効果の式）を立てます。「入ってきた光子のエネルギー」が、「金属から脱出するためのコスト（仕事関数）」と「脱出後の運動エネルギー」に分配されると考えます。
この設問における重要なポイント
- 光電効果の式 \(h\nu = W + K_{\text{max}}\) を正しく立式できること。
- (1)と(2)で求めた値を \(\text{eV}\) 単位のまま計算できること。
具体的な解説と立式
光子1個のエネルギーを \(E\)、仕事関数を \(W\)、電子の最大運動エネルギーを \(K_{\text{max}}\) とすると、エネルギー保存則より以下の関係が成り立ちます。
$$ E = W + K_{\text{max}} $$
求めたいのは仕事関数 \(W\) なので、式を変形します。
$$ W = E – K_{\text{max}} $$
使用した物理公式
- 光電効果の式: \(h\nu = W + K_{\text{max}}\)
(1)より \(E \approx 2.06\,\text{eV}\)（計算途中なので有効数字を多めにとった値を使います）、(2)より \(K_{\text{max}} = 0.66\,\text{eV}\) です。
これらを代入します。
$$
\begin{aligned}
W &= 2.06 – 0.66 \\[2.0ex]
&= 1.40
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えます。
$$ W = 1.4\,\text{eV} $$
金属の中に閉じ込められている電子を外に引っ張り出すには、最低限必要なエネルギー（脱出コスト）があり、これを「仕事関数」と呼びます。光子が持ち込んだエネルギー \(2.06\,\text{eV}\) のうち、一部が脱出コストとして支払われ、残りの \(0.66\,\text{eV}\) が飛び出した後のスピード（運動エネルギー）になりました。引き算をすれば、脱出コストがいくらだったかが分かります。
答えは \(1.4\,\text{eV}\) です。仕事関数は正の値であり、かつ光子のエネルギーより小さい値になっているため、物理的に妥当です。
問(4)
思考の道筋とポイント
まず、グラフから \(V=1.5\,\text{V}\) のときの電流値を読み取ります。次に、電流とは「1秒間に流れる電気量」であることを利用して、電子の個数を計算します。
この設問における重要なポイント
- グラフの読み取り: \(V=1.5\,\text{V}\) は飽和電流の領域にあり、電流値が一定（\(4.0 \times 10^{-7}\,\text{A}\)）であることを確認する。
- 電流の定義式 \(I = \frac{Q}{t}\) と、電気量 \(Q\) が電子の個数 \(n\) と電気素量 \(e\) の積 \(Q = ne\) で表されることを結びつけること。
具体的な解説と立式
図2より、\(V=1.5\,\text{V}\) のときの光電流 \(I\) は飽和電流の値と等しく、以下のようになります。
$$ I = 4.0 \times 10^{-7}\,\text{A} $$
求める電子の個数（毎秒）を \(n\) とします。電子1個の電気量の大きさは \(e\) なので、1秒間に運ばれる総電気量（つまり電流 \(I\)）は次のように表せます。
$$ I = n \times e $$
したがって、個数 \(n\) を求める式は以下のようになります。
$$ n = \frac{I}{e} $$
使用した物理公式
- 電流の定義: \(I = \frac{Q}{t}\)
- 電気量の量子化: \(Q = ne\)
数値を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
n &= \frac{4.0 \times 10^{-7}}{1.6 \times 10^{-19}} \\[2.0ex]
&= \frac{4.0}{1.6} \times 10^{-7 – (-19)} \\[2.0ex]
&= 2.5 \times 10^{12}\,\text{個}
\end{aligned}
$$
電流計が \(4.0 \times 10^{-7}\,\text{A}\) を指しているということは、1秒間に \(4.0 \times 10^{-7}\,\text{C}\) の電気が流れているということです。電気の運び手は電子で、電子1個あたり \(1.6 \times 10^{-19}\,\text{C}\) の電気を持っています。全体の電気量を1個あたりの電気量で割り算すれば、何個の電子が流れてきたかが分かります。
答えは \(2.5 \times 10^{12}\,\text{個}\) です。非常に大きな数ですが、電子は極めて小さいため、日常的な電流でもこれくらいの個数が流れており、妥当な値です。
問(5)
思考の道筋とポイント
「光の強さ」を変えたときに、物理量がどう変化するかを整理します。光の強さは「光子の数」に対応し、光の色（振動数）は「光子1個のエネルギー」に対応します。これをもとに、飽和電流と阻止電圧の変化を予測し、グラフを描きます。
この設問における重要なポイント
- 「光の強さを1/4倍」 \(\rightarrow\) 「単位時間あたりに飛んでくる光子の数が1/4倍」 \(\rightarrow\) 「飛び出す光電子の数も1/4倍」 \(\rightarrow\) 「飽和電流が1/4倍」という論理連鎖。
- 「単色光（振動数一定）」 \(\rightarrow\) 「光子1個のエネルギーは不変」 \(\rightarrow\) 「光電子の最大運動エネルギーは不変」 \(\rightarrow\) 「阻止電圧 \(-V_0\) は不変」という論理連鎖。
具体的な解説と立式
1. 飽和電流の変化:
光の強さを1/4倍にすると、照射される光子の数が1/4倍になります。これにより、金属から飛び出す光電子の数も1/4倍になるため、飽和電流 \(I’\) は元の電流 \(I\) の1/4になります。
$$
\begin{aligned}
I’ &= \frac{1}{4} I
\end{aligned}
$$
2. 阻止電圧の変化:
光の振動数（色）は変わらないため、光子1個のエネルギー \(h\nu\) は変化しません。したがって、光電子の最大運動エネルギー \(K_{\text{max}}\) も変わらず、電流が \(0\) になる電圧（阻止電圧）も \(-V_0\) のまま変化しません。
使用した物理公式
- 光電流 \(\propto\) 光の強さ（光子数）
- 阻止電圧は光の振動数のみに依存し、強さには依存しない。
飽和電流の値を計算します。
$$
\begin{aligned}
I’ &= \frac{1}{4} \times (4.0 \times 10^{-7}) \\[2.0ex]
&= 1.0 \times 10^{-7}\,\text{A}
\end{aligned}
$$
グラフの特徴点は以下の通りです。
- \(x\)切片（電流が \(0\) になる電圧）: \(-0.66\,\text{V}\)（変化なし）
- 飽和電流値（水平部分の高さ）: \(1.0 \times 10^{-7}\,\text{A}\)
光を弱くするということは、飛んでくる光の粒（光子）の数を減らすということです。粒の数が減れば、弾き飛ばされる電子の数も減るので、電流の最大値（飽和電流）は減ります。しかし、光の色（振動数）は変えていないので、粒1個あたりの威力は変わりません。そのため、一番勢いのある電子を止めるのに必要な電圧（阻止電圧）は変わりません。
グラフは、横軸の \(-0.66\,\text{V}\) から立ち上がり、電圧が増加するとともに電流が増え、最終的に高さ \(1.0 \times 10^{-7}\,\text{A}\) で一定になる曲線となります。これは光電効果の基本的な性質と一致します。
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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- 光量子仮説とエネルギー保存則
- 核心: 光を「波」ではなく、エネルギー \(E=h\nu\) を持つ「粒子（光子）」として捉えることが全ての出発点です。光電効果は、この光子1個が金属内の電子1個に衝突し、自身のエネルギーをすべて電子に与えて消滅する現象です。
- 理解のポイント:
- エネルギー収支: 「光子が持ち込んだエネルギー \(h\nu\)」が、「金属から脱出するためのコスト（仕事関数 \(W\)）」と「脱出後の運動エネルギー \(K_{\text{max}}\)」に分配されるというエネルギー保存則 \(h\nu = W + K_{\text{max}}\) を直感的に理解することが重要です。
- 1対1の対応: 光子1個と電子1個の相互作用であるため、光を強くする（光子の数を増やす）と飛び出す電子の数は増えますが、電子1個あたりのエネルギーは変わりません。
- 電場による仕事と阻止電圧
- 核心: 飛び出した電子が電場から力を受けて減速し、止まるまでの過程をエネルギーの視点で捉えることです。
- 理解のポイント:
- 阻止電圧の意味: 電圧 \(V\) を逆にかけると、電子は電気的な坂道を登ることになります。最も速い電子でさえ登りきれなくなる高さ（電圧）が阻止電圧 \(V_0\) です。このとき、電子の最大運動エネルギー \(K_{\text{max}}\) がすべて位置エネルギー \(eV_0\) に変換されたと考えます（\(K_{\text{max}} = eV_0\)）。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- 異なる金属での実験: 仕事関数 \(W\) が異なる金属を用いた場合、グラフの立ち上がり位置（阻止電圧）がどう変化するかを問う問題。\(h\nu = W + eV_0\) より、\(W\) が大きいほど \(V_0\)（の大きさ）は小さくなります。
- 異なる波長の光での実験: 照射する光の振動数 \(\nu\) を変えた場合。\(h\nu\) が大きくなれば、\(K_{\text{max}}\) も大きくなり、阻止電圧の大きさも大きくなります。
- プランク定数の測定: 縦軸に阻止電圧 \(V_0\)、横軸に振動数 \(\nu\) をとったグラフを描かせ、その傾きからプランク定数 \(h/e\) を求めさせる問題。式変形 \(V_0 = (h/e)\nu – W/e\) が鍵となります。
- 初見の問題での着眼点:
- まずはグラフの軸を確認する: 縦軸が電流 \(I\)、横軸が電圧 \(V\) の場合、以下の2点に着目します。
- 飽和電流値（水平部分）: 光の強さ（光子の数）に比例します。
- 阻止電圧（電流が0になる電圧）: 光の振動数（光子1個のエネルギー）と仕事関数で決まります。
- 単位に注意する: エネルギーの単位が \(\text{J}\) なのか \(\text{eV}\) なのかを常に見極めます。\(\text{eV}\) で計算する場合、\(e\) を掛ける手間が省けるため、計算が非常に楽になります。
- 「変化させた条件」と「不変の条件」を整理する: 「光を強くしただけ」ならエネルギー関係は不変、「色を変えた」なら光子エネルギーが変化、といった因果関係を整理してから解き始めましょう。
- まずはグラフの軸を確認する: 縦軸が電流 \(I\)、横軸が電圧 \(V\) の場合、以下の2点に着目します。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 阻止電圧と光の強さの関係の誤解:
- 誤解: 「光を強くすれば、電子も勢いよく飛び出すだろうから、止めるのにより大きな電圧が必要になる（阻止電圧が大きくなる）」と直感的に考えてしまう。
- 対策: 光電効果では「光の強さ＝光子の数」であり、「光の強さ \(\neq\) 光子のエネルギー」であることを徹底的に区別します。電子の勢い（運動エネルギー）を決めるのは、あくまで光の「色（振動数）」だけです。
- 仕事関数と限界振動数の混同:
- 誤解: 仕事関数 \(W\) と限界振動数 \(\nu_0\) の関係が曖昧になる。
- 対策: \(W = h\nu_0\) という関係式を覚えつつ、意味を理解しましょう。「限界振動数 \(\nu_0\) の光子は、ちょうど脱出コスト \(W\) 分のエネルギーしか持っていないので、飛び出した後の運動エネルギーは0になる」というギリギリの状況をイメージすると定着します。
- 単位換算のミス:
- 誤解: 公式 \(E=h\nu\) で求めたジュール値と、\(eV\) 単位の値を混同して足し引きしてしまう。
- 対策: 計算の各ステップで必ず単位（\(\text{J}\) か \(\text{eV}\) か）を明記する癖をつけましょう。特に \(h\) や \(c\) を使う計算は \(\text{J}\) で出てくるので、\(\text{eV}\) に直すには \(e\) で割る必要があることを忘れないようにします。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- (1)での公式選択（\(E=h\nu\)）:
- 選定理由: 「光子1個のエネルギー」を問われているため、光量子仮説の基本式である \(E=h\nu\) を使う以外にありません。波長 \(\lambda\) が与えられているので、\(\nu = c/\lambda\) を代入して \(E = hc/\lambda\) の形にします。
- 適用根拠: 光の粒子性を扱う問題であり、エネルギーと振動数を結びつける唯一の物理法則だからです。
- (2)での公式選択（\(K_{\text{max}} = eV_0\)）:
- 選定理由: 「阻止電圧」という言葉やグラフの \(x\) 切片の情報から、電場による仕事と運動エネルギーの関係を使うと判断します。
- 適用根拠: 電子が電場から受ける仕事 \(W_{\text{elec}} = qV\) が、運動エネルギーの変化 \(\Delta K\) に等しいというエネルギー原理に基づいています。
- (3)での公式選択（\(h\nu = W + K_{\text{max}}\)）:
- 選定理由: 「仕事関数」を求めるには、エネルギーの収支全体を記述する式が必要です。入射エネルギー、脱出エネルギー、残りの運動エネルギーを結びつける唯一の式が、アインシュタインの光電効果の式です。
- 適用根拠: エネルギー保存則という普遍的な物理法則が、光電効果という現象においても成立するという前提に基づいています。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 指数計算をまとめて処理する:
- \(h \approx 10^{-34}\)、\(c \approx 10^8\) など、極端に小さな数や大きな数を扱います。仮数部（\(6.6 \times 3.0 / 6.0\) など）と指数部（\(10^{-34+8-(-7)}\) など）を分けて計算し、最後に合体させるとミスが減ります。
- \(\text{eV}\) 単位を積極的に活用する:
- 問題文で \(\text{eV}\) が指定されている場合、ジュールに換算せずに \(\text{eV}\) のまま計算できる部分はそのまま進めます。特に \(K_{\text{max}} = eV_0\) の関係では、\(V_0\) のボルト値がそのまま \(\text{eV}\) 値になるため、計算自体が不要になることも多いです。
- 物理定数の代入は最後に行う:
- 最初から数値を代入すると式が煩雑になります。\(E = hc/e\lambda\) のように文字式のまま整理し、約分できるものがないか確認してから、最後に数値を代入して計算しましょう。
- 物理的にありえない値でないか吟味する:
- 光子のエネルギーや仕事関数は、通常数 \(\text{eV}\)（\(10^{-19}\,\text{J}\) のオーダー）になります。もし \(10^{-34}\) や \(10^{20}\) といった桁外れな答えが出たら、どこかで指数計算を間違えている可能性が高いので、すぐに見直しましょう。
発展例題49 コンプトン効果
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
- 提示する別解
- 設問(3)の別解: ベクトル図（余弦定理）を用いた解法
- 模範解答が成分ごとに分解して三平方の定理を用いるのに対し、別解では運動量ベクトルそのものの幾何学的関係（余弦定理）に着目して計算します。
- 設問(3)の別解: ベクトル図（余弦定理）を用いた解法
- 上記の別解が有益である理由
- 計算量の削減: 成分分解や三角関数の公式（\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)）を使う手間が省け、計算ミスを減らせます。
- 物理的直感の養成: 運動量保存則を「ベクトルの合成・分解」として視覚的に捉える力が養われます。
- 結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、最終的に得られる答えは模範解答と完全に一致します。
この問題のテーマは「コンプトン効果」です。X線（光子）が電子と衝突して散乱される現象を通じて、光が「粒子」としての性質（運動量とエネルギー）を持つことを確認する重要な単元です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 光子の運動量とエネルギー: 波長 \(\lambda\) の光子は、運動量 \(p = \frac{h}{\lambda}\)、エネルギー \(E = \frac{hc}{\lambda}\) を持つ粒子として振る舞います。
- 運動量保存則: 衝突の前後で、系の運動量の総和ベクトルは保存されます。\(x\)方向、\(y\)方向それぞれの成分について式を立てます。
- エネルギー保存則: 弾性衝突として扱われるため、衝突前後のエネルギーの総和は保存されます。
- 近似計算: 物理では、微小な変化を扱う際に近似式を用いて式を簡略化するテクニックが頻出です。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (1)では、光子と電子の運動量をベクトルとして捉え、\(x\)軸方向と\(y\)軸方向の成分に分解して保存則の式を立てます。
- (2)では、スカラー量であるエネルギーについて保存則の式を立てます。
- (3)では、(1)で立てた2つの式から角度 \(\alpha\) を含む項を消去し、電子の運動エネルギーを求めます。
- (4)では、(2)と(3)の結果を結びつけ、与えられた近似式を利用して波長の変化 \(\Delta\lambda\) を導出します。
問(1)
思考の道筋とポイント
衝突現象なので、運動量保存則が成立します。運動量はベクトル量なので、\(x\)方向と\(y\)方向に分解して考えます。
まず、各粒子の運動量の大きさを確認しましょう。
- 入射X線光子: 大きさ \(\frac{h}{\lambda}\)、向きは \(x\)軸正方向。
- 散乱X線光子: 大きさ \(\frac{h}{\lambda’}\)、向きは \(x\)軸から角度 \(\theta\)（第1象限）。
- 散乱後の電子: 速さが \(v\) なので運動量の大きさは \(mv\)。向きは \(x\)軸から角度 \(\alpha\)（第4象限）。
この設問における重要なポイント
- 光子の運動量は \(p = \frac{h}{\lambda}\) で表される。
- 運動量はベクトルであり、成分ごとに保存則を立てる。
- 電子の \(y\)方向の運動量は、図より負の向き（\(x\)軸の下側）に向いていることに注意する。
具体的な解説と立式
\(x\)方向と\(y\)方向それぞれについて、運動量保存則「（衝突前の運動量の和）＝（衝突後の運動量の和）」を立式します。
1. \(x\)方向について
衝突前: 光子は \(x\)軸正方向に進んでいるので、運動量は \(\frac{h}{\lambda}\) です。電子は静止しているので \(0\) です。
衝突後: 光子の \(x\)成分は \(\frac{h}{\lambda’}\cos\theta\) です。電子の \(x\)成分は \(mv\cos\alpha\) です。
よって、保存則の式は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
\frac{h}{\lambda} &= \frac{h}{\lambda’}\cos\theta + mv\cos\alpha \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
2. \(y\)方向について
衝突前: 光子も電子も \(y\)方向には動いていないので、運動量の和は \(0\) です。
衝突後: 光子の \(y\)成分は上向き（正）に \(\frac{h}{\lambda’}\sin\theta\) です。電子は図より \(x\)軸の下側に散乱されているため、その \(y\)成分は下向き（負）であり、大きさは \(mv\sin\alpha\) です。
よって、保存則の式は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
0 &= \frac{h}{\lambda’}\sin\theta – mv\sin\alpha \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$
（※式②は、上向きの運動量と下向きの運動量がつりあっていると考えて、\(mv\sin\alpha = \frac{h}{\lambda’}\sin\theta\) と立式しても同じ意味になります。）
使用した物理公式
- 光子の運動量: \(p = \frac{h}{\lambda}\)
- 運動量保存則: \(\vec{p}_{\text{前}} = \vec{p}_{\text{後}}\)
この設問では立式そのものが解答となるため、計算過程はありません。
ビリヤードの球の衝突と同じように考えます。白い手玉（光子）が止まっている球（電子）に当たって、斜め上に弾かれました。その反動で、止まっていた球は斜め下に動き出します。「右向きの勢い」と「縦方向の勢い」が、衝突の前後で合計が変わらないというルールを式にしました。
式①は \(x\)方向の運動量の和が保存されていることを、式②は \(y\)方向の運動量の和がゼロのままである（上向き成分と下向き成分が打ち消し合う）ことを示しており、物理的に妥当です。
問(2)
思考の道筋とポイント
コンプトン効果では、光子と電子の衝突は弾性衝突として扱われ、エネルギーの損失はないと考えます。したがって、衝突前後のエネルギーの総和は保存されます。
この設問における重要なポイント
- 光子のエネルギーは \(E = \frac{hc}{\lambda}\) で表される。
- 電子（質量 \(m\)、速さ \(v\)）の運動エネルギーは \(K = \frac{1}{2}mv^2\) である。
- 静止している電子の運動エネルギーは \(0\) である。
具体的な解説と立式
エネルギー保存則「（衝突前のエネルギーの和）＝（衝突後のエネルギーの和）」を立式します。
衝突前:
光子のエネルギー: \(\frac{hc}{\lambda}\)
電子のエネルギー: \(0\) （静止しているため）
衝突後:
光子のエネルギー: \(\frac{hc}{\lambda’}\) （波長が \(\lambda’\) に伸びているためエネルギーは減少しています）
電子のエネルギー: \(\frac{1}{2}mv^2\)
これらを等号で結びます。
$$
\begin{aligned}
\frac{hc}{\lambda} &= \frac{hc}{\lambda’} + \frac{1}{2}mv^2 \quad \cdots ③
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 光子のエネルギー: \(E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}\)
- 運動エネルギー: \(K = \frac{1}{2}mv^2\)
- エネルギー保存則: \(E_{\text{前}} = E_{\text{後}}\)
この設問では立式そのものが解答となるため、計算過程はありません。
エネルギーはお金のようなものです。最初に光子が持っていたエネルギーの一部が、ぶつかった電子に「お小遣い（運動エネルギー）」として渡されました。その分、光子の持ち金（エネルギー）は減ってしまいます。光子のエネルギーが減るということは、波長が長くなることを意味します。全体の金額が変わらないことを式にしました。
左辺は衝突前の全エネルギー、右辺は衝突後の全エネルギーを表しており、エネルギー保存則として正しい形です。
問(3)
思考の道筋とポイント
問(1)で立てた2つの式には、電子の散乱角 \(\alpha\) が含まれていますが、これを消去して電子の運動エネルギー \(\frac{1}{2}mv^2\) を、\(\alpha\) を使わずに表すことが求められています。
三角関数の基本公式 \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\) を利用するのが定石です。
この設問における重要なポイント
- 式①と式②を変形して、\(mv\cos\alpha = \dots\) と \(mv\sin\alpha = \dots\) の形にする。
- 両辺を2乗して足し合わせることで \(\alpha\) を消去する。
具体的な解説と立式
まず、式①と式②を、右辺に \(\alpha\) を含む項だけが残るように変形します。
式①より、
$$
\begin{aligned}
mv\cos\alpha &= \frac{h}{\lambda} – \frac{h}{\lambda’}\cos\theta \quad \cdots ①’
\end{aligned}
$$
式②より、
$$
\begin{aligned}
mv\sin\alpha &= \frac{h}{\lambda’}\sin\theta \quad \cdots ②’
\end{aligned}
$$
この2つの式を用いて、\((mv\cos\alpha)^2 + (mv\sin\alpha)^2\) を計算します。
使用した物理公式
- 三角関数の関係式: \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\)
式①’と式②’の両辺をそれぞれ2乗して足し合わせます。
$$
\begin{aligned}
(mv\cos\alpha)^2 + (mv\sin\alpha)^2 &= \left( \frac{h}{\lambda} – \frac{h}{\lambda’}\cos\theta \right)^2 + \left( \frac{h}{\lambda’}\sin\theta \right)^2 \\[2.0ex]
(mv)^2 (\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) &= \left( \frac{h^2}{\lambda^2} – \frac{2h^2}{\lambda\lambda’}\cos\theta + \frac{h^2}{\lambda’^2}\cos^2\theta \right) + \frac{h^2}{\lambda’^2}\sin^2\theta
\end{aligned}
$$
左辺の \(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1\) を利用し、右辺を整理します。
$$
\begin{aligned}
(mv)^2 &= \frac{h^2}{\lambda^2} – \frac{2h^2}{\lambda\lambda’}\cos\theta + \frac{h^2}{\lambda’^2}(\cos^2\theta + \sin^2\theta) \\[2.0ex]
(mv)^2 &= \frac{h^2}{\lambda^2} + \frac{h^2}{\lambda’^2} – \frac{2h^2}{\lambda\lambda’}\cos\theta \\[2.0ex]
(mv)^2 &= h^2 \left( \frac{1}{\lambda^2} + \frac{1}{\lambda’^2} – \frac{2}{\lambda\lambda’}\cos\theta \right)
\end{aligned}
$$
求めたいのは運動エネルギー \(\frac{1}{2}mv^2\) です。上の式の両辺を \(2m\) で割ります。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}mv^2 &= \frac{(mv)^2}{2m} \\[2.0ex]
&= \frac{h^2}{2m} \left( \frac{1}{\lambda^2} + \frac{1}{\lambda’^2} – \frac{2\cos\theta}{\lambda\lambda’} \right)
\end{aligned}
$$
電子がどの方向に飛んでいったか（角度 \(\alpha\)）という情報は、エネルギーを考える上では必要ありません。そこで、数学のテクニック（2乗して足す）を使って角度 \(\alpha\) を消し去りました。これにより、電子が得たエネルギーを、光子の波長と散乱角 \(\theta\) だけで表すことができました。
得られた式は、質量 \(m\)、プランク定数 \(h\)、波長 \(\lambda, \lambda’\)、角度 \(\theta\) のみで構成されており、問題の要求を満たしています。
思考の道筋とポイント
運動量保存則をベクトルの式 \(\vec{p} = \vec{p}’ + \vec{p}_e\) と見なし、ベクトル図形（三角形）に余弦定理を適用することで、成分分解を経ずに直接関係式を導きます。
この設問における重要なポイント
- 入射光子の運動量ベクトルを \(\vec{p}\)（大きさ \(p=h/\lambda\)）とする。
- 散乱光子の運動量ベクトルを \(\vec{p}’\)（大きさ \(p’=h/\lambda’\)）とする。
- 散乱電子の運動量ベクトルを \(\vec{p}_e\)（大きさ \(p_e=mv\)）とする。
- これらは \(\vec{p} = \vec{p}’ + \vec{p}_e\) の関係にあり、変形すると \(\vec{p}_e = \vec{p} – \vec{p}’\) となる。
具体的な解説と立式
ベクトル \(\vec{p}\) と \(\vec{p}’\) のなす角は \(\theta\) です。
三角形の余弦定理（またはベクトルの差の大きさの公式）を適用します。
$$
\begin{aligned}
|\vec{p}_e|^2 &= |\vec{p}|^2 + |\vec{p}’|^2 – 2|\vec{p}||\vec{p}’|\cos\theta
\end{aligned}
$$
各運動量の大きさを代入します。
$$
\begin{aligned}
(mv)^2 &= \left(\frac{h}{\lambda}\right)^2 + \left(\frac{h}{\lambda’}\right)^2 – 2\left(\frac{h}{\lambda}\right)\left(\frac{h}{\lambda’}\right)\cos\theta \\[2.0ex]
(mv)^2 &= h^2 \left( \frac{1}{\lambda^2} + \frac{1}{\lambda’^2} – \frac{2}{\lambda\lambda’}\cos\theta \right)
\end{aligned}
$$
両辺を \(2m\) で割って運動エネルギーにします。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}mv^2 &= \frac{h^2}{2m} \left( \frac{1}{\lambda^2} + \frac{1}{\lambda’^2} – \frac{2\cos\theta}{\lambda\lambda’} \right)
\end{aligned}
$$
運動量の矢印をつなげると三角形ができます。この三角形に対して「2辺とその間の角がわかれば、残りの1辺の長さがわかる」という余弦定理を使うと、面倒な計算を一気にショートカットして答えにたどり着けます。
メインの解法と全く同じ結果が、より少ない計算量で得られました。
問(4)
思考の道筋とポイント
問(2)のエネルギー保存則と、問(3)で求めた電子の運動エネルギーの式を連立させます。
式変形のゴールは、波長の変化 \(\Delta\lambda = \lambda’ – \lambda\) を求めることです。
計算の途中で、与えられた近似式 \(\frac{\lambda’}{\lambda} + \frac{\lambda}{\lambda’} \approx 2\) をうまく適用できる形を作り出すのがポイントです。
この設問における重要なポイント
- エネルギー保存則の式③を変形して、運動エネルギー \(\frac{1}{2}mv^2\) について解く。
- それを問(3)の結果と等置する。
- 通分や因数分解を行い、近似式が使える形（\(\frac{\lambda’}{\lambda} + \frac{\lambda}{\lambda’}\)）を見つけ出す。
具体的な解説と立式
まず、問(2)の式③を \(\frac{1}{2}mv^2\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}mv^2 &= \frac{hc}{\lambda} – \frac{hc}{\lambda’} \\[2.0ex]
&= hc \left( \frac{1}{\lambda} – \frac{1}{\lambda’} \right) \\[2.0ex]
&= hc \frac{\lambda’ – \lambda}{\lambda\lambda’}
\end{aligned}
$$
ここで、\(\lambda’ – \lambda = \Delta\lambda\) とおくと、
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}mv^2 &= hc \frac{\Delta\lambda}{\lambda\lambda’} \quad \cdots ④
\end{aligned}
$$
となります。この式④と、問(3)の結果を等号で結びます。
使用した物理公式
- 近似式: \(\frac{\lambda’}{\lambda} + \frac{\lambda}{\lambda’} \approx 2\)
式④と問(3)の結果より、
$$
\begin{aligned}
hc \frac{\Delta\lambda}{\lambda\lambda’} &= \frac{h^2}{2m} \left( \frac{1}{\lambda^2} + \frac{1}{\lambda’^2} – \frac{2\cos\theta}{\lambda\lambda’} \right)
\end{aligned}
$$
右辺の括弧内を、近似式が使えるように変形します。分母を \(\lambda\lambda’\) でくくり出します。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{\lambda^2} + \frac{1}{\lambda’^2} – \frac{2\cos\theta}{\lambda\lambda’} &= \frac{1}{\lambda\lambda’} \left( \frac{\lambda’}{\lambda} + \frac{\lambda}{\lambda’} – 2\cos\theta \right)
\end{aligned}
$$
これを元の式に戻します。
$$
\begin{aligned}
hc \frac{\Delta\lambda}{\lambda\lambda’} &= \frac{h^2}{2m} \cdot \frac{1}{\lambda\lambda’} \left( \frac{\lambda’}{\lambda} + \frac{\lambda}{\lambda’} – 2\cos\theta \right)
\end{aligned}
$$
両辺の \(\frac{1}{\lambda\lambda’}\) を約分して消去します。
$$
\begin{aligned}
hc \Delta\lambda &= \frac{h^2}{2m} \left( \frac{\lambda’}{\lambda} + \frac{\lambda}{\lambda’} – \frac{2\cos\theta}{1} \right)
\end{aligned}
$$
ここで、近似式 \(\frac{\lambda’}{\lambda} + \frac{\lambda}{\lambda’} \approx 2\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
hc \Delta\lambda &\approx \frac{h^2}{2m} ( 2 – 2\cos\theta ) \\[2.0ex]
hc \Delta\lambda &= \frac{h^2}{2m} \cdot 2(1 – \cos\theta) \\[2.0ex]
hc \Delta\lambda &= \frac{h^2}{m} (1 – \cos\theta)
\end{aligned}
$$
最後に、\(\Delta\lambda\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\Delta\lambda &= \frac{h^2}{mhc} (1 – \cos\theta) \\[2.0ex]
&= \frac{h}{mc} (1 – \cos\theta)
\end{aligned}
$$
エネルギー保存則と運動量保存則という2つの大きなルールを組み合わせることで、最終的な結論を導きます。途中の計算は少し複雑ですが、「波長の変化は非常に小さい」という事実を利用して式を簡単にし（近似）、きれいな形の答えにたどり着きました。この結果は、X線の波長の伸び（\(\Delta\lambda\)）が、散乱角 \(\theta\) だけで決まり、元の波長 \(\lambda\) には依存しないことを示しています。
答えは \(\Delta\lambda = \frac{h}{mc}(1-\cos\theta)\) となりました。
\(\theta=0\)（散乱なし）のとき、\(\cos0=1\) なので \(\Delta\lambda=0\)。波長は変化しません。妥当です。
\(\theta=180^\circ\)（後方散乱）のとき、\(\cos180^\circ=-1\) なので \(\Delta\lambda = \frac{2h}{mc}\)。波長の変化は最大になります。これも物理的に妥当です。
次元解析を行うと、\([h] = \text{J}\cdot\text{s}\)、\([m] = \text{kg}\)、\([c] = \text{m/s}\) なので、\(\frac{\text{J}\cdot\text{s}}{\text{kg}\cdot\text{m/s}} = \frac{\text{N}\cdot\text{m}\cdot\text{s}}{\text{kg}\cdot\text{m/s}} = \frac{(\text{kg}\cdot\text{m/s}^2)\cdot\text{m}\cdot\text{s}}{\text{kg}\cdot\text{m/s}} = \text{m}\) となり、波長の単位（長さ）と一致します。
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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- 光子の粒子性（運動量とエネルギー）
- 核心: 光（電磁波）を波としてだけでなく、「光子」という粒子として扱う点がこの問題の最大のテーマです。
- 理解のポイント:
- エネルギー \(E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}\)
- 運動量 \(p = \frac{h}{\lambda}\)
- これらはアインシュタインの光量子仮説に基づく基本式であり、コンプトン効果の解析において絶対的な出発点となります。
- 2次元の運動量保存則
- 核心: 衝突現象において、外力が働かない限り運動量の総和は保存されます。平面内の衝突では、ベクトルとして保存則を考える必要があります。
- 理解のポイント:
- 成分分解: \(x\)軸方向と\(y\)軸方向に分解して、それぞれの方向で「前の和＝後の和」を立てるのが基本です。
- ベクトルの合成: 別解で示したように、運動量ベクトルそのもので三角形を作り、余弦定理などを利用する視点も強力です。
- 弾性衝突としてのエネルギー保存則
- 核心: コンプトン効果では、光子と電子の衝突によるエネルギー損失はない（弾性衝突）とみなします。
- 理解のポイント:
- 衝突前後の全エネルギー（光子のエネルギー＋電子の運動エネルギー）が等しいという式を立てます。
- 相対論的効果を考慮しない場合、電子のエネルギーは古典的な \(\frac{1}{2}mv^2\) で扱います（本問の設定）。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- 斜め衝突の問題: 2つの小球が斜めに衝突する問題や、原子核の崩壊（分裂）の問題など。これらはすべて「運動量保存則（ベクトル）」と「エネルギー保存則」の連立で解けます。
- ド・ブロイ波の問題: 粒子（電子など）を波として扱う問題では、逆に \(p = \frac{h}{\lambda}\) の関係式を使って粒子の運動量から波長を求めます。式の形は同じなので、セットで理解しておくと応用が利きます。
- 初見の問題での着眼点:
- 「散乱」「衝突」という言葉: これらを見たら、即座に「運動量保存則」と「エネルギー保存則」を使う準備をします。
- 角度 \(\theta, \alpha\) の処理: 未知の角度（今回は電子の散乱角 \(\alpha\)）を消去する流れは定石です。
- 成分分解した場合 → \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\) を作るために「移項して2乗して足す」。
- ベクトル図の場合 → 余弦定理で直接関係式を導く。
- 近似計算の指示: 「\(\Delta\lambda\) は十分小さい」などの記述があれば、\(\lambda \approx \lambda’\) や \(\lambda\lambda’ \approx \lambda^2\) などの近似を使うタイミングが必ず来ます。計算に行き詰まったら、近似を使える形に変形できないか疑いましょう。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 運動量をスカラーで足してしまう
- 誤解: \(x\)方向の運動量保存則で、ベクトルの向き（角度）を無視して \(\frac{h}{\lambda} = \frac{h}{\lambda’} + mv\) と書いてしまう。
- 対策: 運動量は必ず「矢印（ベクトル）」としてイメージします。斜めの矢印は必ず分解するか、図形的に処理しなければなりません。「成分分解」の図を必ず描く癖をつけましょう。
- エネルギー保存則でベクトル分解してしまう
- 誤解: エネルギー保存則の式にも \(\cos\theta\) などをつけて分解しようとしてしまう。
- 対策: エネルギーは「スカラー量（向きを持たない量）」です。成分分解してはいけません。単に「持っている量の合計」を計算するだけです。
- 近似計算のタイミングと精度
- 誤解: 早い段階で \(\lambda’ = \lambda\) と置いてしまい、\(\Delta\lambda = 0\) という無意味な結果を出してしまう。
- 対策: 求めたいのは「差」である \(\Delta\lambda\) です。引き算の形（\(\lambda’ – \lambda\)）が出てくるまでは、安易に等しいと置いてはいけません。分母の積 \(\lambda\lambda’\) など、比率や積の形になっている部分でのみ近似を適用するのがコツです。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- (1)での公式選択（運動量保存則）
- 選定理由: 「衝突」前後の速度や方向の関係を知りたい場合、最も基本的かつ強力なツールが運動量保存則です。外力が働いていないため、運動量は必ず保存されます。
- 適用根拠: 2次元平面内の運動なので、ベクトルとして扱う必要があります。成分分解法は、計算は少し増えますが、機械的に立式できるためミスが少なく、最も確実な方法です。
- (2)での公式選択（エネルギー保存則）
- 選定理由: 衝突によるエネルギーのやり取りを記述するためです。
- 適用根拠: 問題設定としてエネルギー損失への言及がない（弾性衝突扱い）ため、保存則が成立します。
- (3)でのアプローチ選択（\(\alpha\) の消去）
- 選定理由: 電子の散乱角 \(\alpha\) は観測が難しく、通常は光子の散乱角 \(\theta\) のみが測定可能です。したがって、理論式から \(\alpha\) を消去し、観測可能な量だけで式を構成する必要があります。
- 適用根拠: \(\sin^2 + \cos^2 = 1\) という恒等式は、角度変数を消去するための最強のツールです。これを使うために「移項して2乗」という操作を行います。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 文字式のまま最後まで計算する
- 具体的な数値が与えられていない問題ですが、もし数値があっても、最後まで文字式（\(h, m, c, \lambda\) など）で計算し、最後に代入する方がミスが減ります。次元（単位）のチェックも容易になります。
- 「移項して2乗」のテクニックをマスターする
- 連立方程式から角度を消去する際、\(A\cos\alpha = B\), \(A\sin\alpha = C\) の形に変形してから \((A\cos\alpha)^2 + (A\sin\alpha)^2 = B^2 + C^2 \Rightarrow A^2 = B^2 + C^2\) とするのは、物理数学の鉄板テクニックです。これをスムーズに行えるよう練習しましょう。
- 次元解析（単位チェック）の習慣
- 最終結果 \(\Delta\lambda = \frac{h}{mc}(1-\cos\theta)\) が正しいか不安なときは、単位を確認します。
- \(h\) [J・s] = [N・m・s] = [kg・m/s²・m・s] = [kg・m²/s]
- \(mc\) [kg・m/s]
- \(h/mc\) [ (kg・m²/s) / (kg・m/s) ] = [m]
- ちゃんと長さの単位（波長と同じ）になっているので、計算ミスの可能性は低いと判断できます。
- 最終結果 \(\Delta\lambda = \frac{h}{mc}(1-\cos\theta)\) が正しいか不安なときは、単位を確認します。
原子物理の「なぜその式？」を根本から解決
発展問題
581 光電効果
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「光電効果」です。光を金属表面に照射すると電子が飛び出す現象を通じて、光の「粒子性（光子）」を理解することが目的です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 光量子仮説: 光はエネルギー \(h\nu\) を持つ粒子（光子）の流れであると考えます。
- 光電効果の式: エネルギー保存則に基づき、\(h\nu = W + K_{\text{max}}\) という関係が成り立ちます。ここで \(W\) は仕事関数、\(K_{\text{max}}\) は光電子の最大運動エネルギーです。
- 阻止電圧: 光電流を止めるために必要な逆電圧 \(V_0\) は、最大運動エネルギーと \(K_{\text{max}} = eV_0\) の関係にあります。
- 光の強さと振動数の違い: 「光の強さ」は光子の数（電流の大きさ）に、「振動数」は光子1個のエネルギー（電圧の大きさ）に対応します。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (1)では、電圧を連続的に変化させて測定するための実験回路（分圧回路）を描きます。
- (2)では、グラフから読み取れる阻止電圧 \(V_0\) を利用して、光電効果の式から仕事関数 \(W\) を求めます。
- (3)では、光の条件を変えたとき（強さを2倍）、阻止電圧と飽和電流がどう変化するかを物理的に考察し、グラフに反映させます。
問(1)
思考の道筋とポイント
光電効果の実験では、光電管にかける電圧 \(V\) を正（加速電圧）から負（阻止電圧）まで連続的に変化させ、そのときの電流 \(I\) を測定する必要があります。
そのためには、電源の電圧をそのままつなぐのではなく、可変抵抗器を用いた「分圧回路（ポテンショメータ）」を構成するのが一般的です。
この設問における重要なポイント
- 分圧回路: 電源に対して可変抵抗器を並列につなぎ、その途中から電圧を取り出すことで、電圧を \(0\) から最大値まで自由に調整できるようにします。
- 計器の配置:
- 電流計: 光電管に流れる微弱な電流を測るため、光電管と直列につなぎます。
- 電圧計: 光電管にかかる電位差 \(V\) を正確に測るため、光電管に対して並列につなぎます。
- 内部抵抗の影響: 光電管の抵抗値は非常に大きいため、電流計の内部抵抗による電圧降下は無視できます。したがって、電圧計は電源側につないでも光電管側につないでも大きな差はありませんが、模範解答のように光電管の電圧を直接測る配置が基本です。
具体的な解説と立式
実験に必要な回路図を作成します。
1. 電源部: 直流電源と可変抵抗器を接続して閉回路を作ります。可変抵抗器の摺動端子（矢印）と、抵抗器の一端から配線を引き出すことで、任意の電圧を取り出せるようにします。
2. 測定部: 取り出した電圧を光電管の電極A、Bに接続します。
- 電極A（陽極）と電極B（光電面・陰極）の間に電圧 \(V\) をかけます。
- 回路の途中に電流計を直列に挿入し、光電流 \(I\) を測定します。
- 電極AとBの間に電圧計を並列に接続し、電圧 \(V\) を測定します。
これらを組み合わせると、模範解答の図1のような回路図になります。
この実験の目的は、「電圧を変えたときに電流がどう変わるか」を調べることです。電池をただつなぐだけでは電圧を変えられないので、可変抵抗器（ボリュームつまみのようなもの）を使って、電圧を自由自在に操れる仕組み（分圧回路）を作ります。あとは、流れる電流を測るための電流計と、かかっている電圧を確認するための電圧計を正しい場所にセットすれば完成です。
模範解答の図1と同じ回路図になります。直流電源に対して可変抵抗器を並列に接続し、その分圧出力を光電管に印加している点、電流計は光電管と直列、電圧計は光電管と並列に接続されている点がポイントです。
問(2)
思考の道筋とポイント
「光電面から電子を放出させるために最低限必要なエネルギー」とは、すなわち仕事関数 \(W\) のことです。
アインシュタインの光電効果の式と、グラフから読み取れる情報（阻止電圧）を結びつけて \(W\) を求めます。
この設問における重要なポイント
- 光電効果のエネルギー収支:
「入ってきた光子のエネルギー」＝「電子が脱出するのに使ったエネルギー（仕事関数）」＋「余ったエネルギー（運動エネルギー）」
$$ h\nu = W + K $$ - 最大運動エネルギー \(K_{\text{max}}\):
最もエネルギーのロスなく飛び出した電子の運動エネルギーです。
$$ K_{\text{max}} = h\nu – W $$ - 阻止電圧 \(V_0\) の物理的意味:
グラフより、電圧を負の方向へ大きくしていくと、\(V = -V_0\) で電流が \(0\) になっています。これは、最も速い電子（最大運動エネルギー \(K_{\text{max}}\) を持つ電子）でさえも、電場による逆向きの仕事 \(eV_0\) に押し返されて、電極Aに到達できなくなったことを意味します。
エネルギー保存則（運動エネルギー定理）より、以下の関係が成り立ちます。
$$ K_{\text{max}} = eV_0 $$
具体的な解説と立式
まず、光電効果の式を立てます。光子のエネルギーを \(h\nu\)、仕事関数を \(W\)、飛び出した直後の光電子の最大運動エネルギーを \(K_{\text{max}}\) とすると、エネルギー保存則より、
$$ h\nu = W + K_{\text{max}} \quad \cdots ① $$
次に、阻止電圧 \(V_0\) と最大運動エネルギー \(K_{\text{max}}\) の関係式を立てます。電子の電荷の大きさを \(e\) とすると、電位差 \(-V_0\) による静電気力位置エネルギーの壁 \(eV_0\) が、電子の運動エネルギー \(K_{\text{max}}\) と等しくなるとき、電子は止まります。
$$ K_{\text{max}} = eV_0 \quad \cdots ② $$
求めたいのは仕事関数 \(W\) です。式②を式①に代入して \(W\) について解きます。
使用した物理公式
- 光子のエネルギー: \(E = h\nu\)
- 光電効果の式: \(h\nu = W + K_{\text{max}}\)
- 阻止電圧と最大運動エネルギーの関係: \(K_{\text{max}} = eV_0\)
式①に式②を代入します。
$$
\begin{aligned}
h\nu &= W + eV_0
\end{aligned}
$$
これを \(W\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
W &= h\nu – eV_0
\end{aligned}
$$
光電効果は「通行料のあるトンネル」に例えられます。
- 光子という乗り物が持っているエネルギーが \(h\nu\) です。
- 金属から脱出するための通行料が \(W\)（仕事関数）です。
- トンネルを出た後のスピード（運動エネルギー）が \(K_{\text{max}}\) です。
「持っていたお金（\(h\nu\)）」から「通行料（\(W\)）」を引いた残りが「手持ちのお金（\(K_{\text{max}}\)）」になります。
実験では、この「手持ちのお金」がどれくらいかを調べるために、逆風（逆電圧 \(V_0\)）を吹かせて電子を止めました。止めるのに必要だったエネルギー \(eV_0\) が、そのまま「手持ちのお金 \(K_{\text{max}}\)」に等しいわけです。
これを使って、逆算で通行料 \(W\) を求めました。
答えは \(W = h\nu – eV_0\) です。
\(h\nu\) は入射光のエネルギー、\(eV_0\) は電子の運動エネルギーに相当するため、その差額が金属内部に束縛されている電子を引きはがすのに必要なエネルギー（仕事関数）であることは物理的に妥当です。
問(3)
思考の道筋とポイント
光の条件を変えたとき、グラフの「どの部分が変化し、どの部分が変化しないか」を考えます。
変えた条件：光の強さを2倍にする（振動数 \(\nu\) は変えない）。
この設問における重要なポイント
- 光の強さ \(\propto\) 光子の数:
光の強さを2倍にするということは、単位時間あたりにやってくる光子の数が2倍になることを意味します。
光子1個が電子1個を叩き出すので、飛び出す光電子の数も2倍になります。
したがって、十分な電圧をかけたときに流れる電流の最大値（飽和電流）は、元の \(I_0\) の2倍、つまり \(2I_0\) になります。 - 光の振動数 \(\propto\) 光子1個のエネルギー:
振動数 \(\nu\) は変えていないので、光子1個あたりのエネルギー \(h\nu\) は変わりません。
したがって、電子1個が受け取るエネルギーも変わらず、飛び出す電子の最大運動エネルギー \(K_{\text{max}}\) も変わりません。
\(K_{\text{max}} = eV_0\) の関係より、電流を止めるのに必要な電圧（阻止電圧）\(-V_0\) も変わりません。
具体的な解説と立式
グラフを描くための要素を決定します。
1. \(V\) 軸との交点（電流が \(0\) になる電圧）:
振動数が変わらないため、阻止電圧は変わらず \(-V_0\) です。グラフは \(V = -V_0\) から立ち上がります。
2. \(I\) 軸の正の領域での一定値（飽和電流）:
光の強さが2倍になったため、光電子の数が2倍になり、飽和電流は \(2I_0\) になります。
これらを踏まえてグラフを描くと、
- 立ち上がり点 \(-V_0\) は元のグラフと同じ。
- 電圧が増加するにつれて電流も増加するが、そのカーブは元のグラフよりも急になり（電流値が常に2倍になるイメージ）、最終的に高さ \(2I_0\) で一定になります。
光の「強さ」と「色（振動数）」の違いを理解しているかがポイントです。「強さ」は光の粒の数、「色」は光の粒1個あたりのパワーです。
今回は「強さ」だけを2倍にしたので、やってくる光の粒の数が2倍になります。すると、弾き飛ばされる電子の数も2倍になるので、電流は2倍になります。
しかし、光の粒1個あたりのパワーは変わっていないので、電子1個あたりの飛び出す勢いは変わりません。だから、電子を止めるのに必要な逆風（阻止電圧）は元のままです。
光の「質（エネルギー）」と「量（数）」を区別できているかが問われています。
質（振動数）が変わらないので、電子の勢い（阻止電圧）は変わりません。
量（強さ）が増えたので、電子の数（電流）は増えます。
この物理的直感とグラフの特徴が一致しています。
【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座
最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- 光量子仮説とエネルギー保存則
- 核心: 光を「波」ではなく、エネルギー \(E=h\nu\) を持つ「粒子（光子）」として捉えることが全ての出発点です。
- 理解のポイント:
- 光電効果の基本式 \(h\nu = W + K_{\text{max}}\) は、「入ってきたエネルギー」＝「脱出コスト」＋「残りの運動エネルギー」という単純なエネルギー収支を表しています。
- この式は、1個の光子が1個の電子にエネルギーを全て渡すという「1対1の相互作用」を前提としています。
- 阻止電圧と最大運動エネルギーの関係
- 核心: 飛び出した電子の運動エネルギーを、電場による仕事で測定するという概念です。
- 理解のポイント:
- 電子を止めるのに必要な逆電圧 \(V_0\)（阻止電圧）を測定することで、直接測ることが難しい電子の最大運動エネルギー \(K_{\text{max}}\) を \(eV_0\) として知ることができます。
- \(K_{\text{max}} = eV_0\) という関係式は、力学的エネルギー保存則（運動エネルギーの変化＝外力がした仕事）そのものです。
- 光の「強さ」と「振動数」の役割分担
- 核心: 古典的な波動論では説明できない、光電効果特有の性質です。
- 理解のポイント:
- 光の強さ（明るさ）: 光子の「数」に対応します。→ 飛び出す電子の数（電流 \(I\)）が決まります。
- 光の振動数（色）: 光子1個の「エネルギー」に対応します。→ 飛び出す電子の勢い（阻止電圧 \(V_0\)）が決まります。
- この2つの変数が独立して影響を与えることを理解するのが最重要です。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- 限界振動数・限界波長を求める問題: \(K_{\text{max}} = 0\) となる条件、つまり \(h\nu_0 = W\) や \(h\frac{c}{\lambda_0} = W\) から求めます。
- プランク定数 \(h\) を求める実験問題: 縦軸に阻止電圧 \(V_0\)、横軸に振動数 \(\nu\) をとったグラフの傾きが \(h/e\) になることを利用します（式変形: \(V_0 = \frac{h}{e}\nu – \frac{W}{e}\)）。
- コンプトン効果: 光子と電子の衝突という点では共通していますが、コンプトン効果では光子がエネルギーの一部だけを渡して散乱される点が異なります。
- 初見の問題での着眼点:
- グラフの軸を確認する: 縦軸・横軸が何を表しているか（\(I-V\) グラフなのか、\(V_0-\nu\) グラフなのか）を最初に見極めます。
- 「何を変えて、何を変えていないか」を整理する:
- 振動数 \(\nu\) を変えた → \(V_0\) が変わる。
- 光の強さを変えた → 飽和電流 \(I_0\) が変わる。
- 金属の種類を変えた → 仕事関数 \(W\) が変わる。
- 回路図の電流計・電圧計の位置: 電流計は直列、電圧計は並列という基本に加え、可変抵抗器による分圧回路の構造を理解しておくと、実験手順を問う問題にも対応できます。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 光の強さを上げると電子のエネルギーも増えるという誤解
- 誤解: 「強い光（明るい光）を当てれば、電子も勢いよく飛び出すだろう」と直感的に考えてしまい、阻止電圧 \(V_0\) も大きくなると答えてしまう。
- 対策: 「強さ＝数」「振動数＝エネルギー」という対応関係を呪文のように唱えましょう。1個の電子は1個の光子としか相互作用できないため、光子の数が増えても1個あたりの取り分は増えません。
- 仕事関数 \(W\) の符号ミス
- 誤解: 光電効果の式を \(K_{\text{max}} = h\nu + W\) のように書いてしまう。
- 対策: 「仕事関数＝脱出コスト（借金）」というイメージを持ちましょう。入ってきたエネルギーからコストを「引いた」残りが運動エネルギーです。
- 阻止電圧の定義とグラフの読み取り
- 誤解: グラフの \(V\) 軸との交点を正の値として読んでしまう、あるいは \(V_0\) 自体を負の値として扱ってしまう。
- 対策: グラフの横軸は「電極Aの電位」です。阻止電圧は「逆電圧の大きさ」なので、グラフ上の交点が \(-V_0\) であれば、阻止電圧の値は \(V_0\)（正の値）です。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- (2)での公式選択（光電効果の式）
- 選定理由: 「電子を放出させるために必要なエネルギー（仕事関数）」を問われており、与えられた情報が「光の振動数（エネルギー）」と「阻止電圧（運動エネルギー）」であるため。
- 適用根拠: エネルギー保存則に基づき、これら3つの物理量（\(h\nu, W, K_{\text{max}}\)）を結びつける唯一の関係式だからです。
- (3)でのグラフ描画の思考法
- 選定理由: 数式だけでなく、物理量の変化を視覚的に表現することが求められているため。
- 適用根拠:
- \(V_0\) が変わらない理由: \(h\nu\)（入力）不変、\(W\)（コスト）不変 \(\Rightarrow\) \(K_{\text{max}}\)（出力）不変 \(\Rightarrow\) \(V_0\) 不変。
- \(I_0\) が2倍になる理由: 光子数2倍 \(\Rightarrow\) 放出電子数2倍 \(\Rightarrow\) 電流2倍。
- この論理ステップを踏むことで、グラフの形状を確定できます。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 単位の確認（eVとJ）
- この問題では文字式計算のみですが、数値計算問題では「電子ボルト [eV]」と「ジュール [J]」の変換が頻出です。\(1\,\text{eV} = 1.6 \times 10^{-19}\,\text{J}\) という関係を常に意識し、式の中で単位が混在しないように注意しましょう。
- 文字の定義をチェック
- 電子の電荷を \(-e\) とするのか \(e\) とするのか、問題文の定義をよく確認します。本問では「電子の電荷を \(-e\) とする」とあるので、電気素量は \(e\) です。エネルギーの式 \(eV_0\) では電気素量（大きさ）を使うため符号はプラスになります。
- グラフの概形を描く練習
- 頭の中で考えるだけでなく、実際に手でグラフを描いてみることが重要です。「切片が変わるのか？」「傾きが変わるのか？」「漸近線の高さが変わるのか？」を意識しながら描くことで、理解の曖昧な点が浮き彫りになります。
582 X線のスペクトル
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
- 提示する別解
- 設問(1)の別解: 電子ボルト（eV）単位を用いた計算
- 模範解答がすべてジュール（J）単位で計算しているのに対し、別解では電子ボルト（eV）単位を積極的に利用して計算を簡略化します。
- 設問(1)の別解: 電子ボルト（eV）単位を用いた計算
- 上記の別解が有益である理由
- 計算の効率化: \(1.6 \times 10^{-19}\) という係数の計算を省略できる場合があり、計算ミスを減らせます。
- 物理的直感の養成: 素粒子物理学や原子物理学で標準的に使われる単位系に慣れることができます。
- 結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、最終的に得られる答えは模範解答と完全に一致します。
この問題のテーマは「X線の発生メカニズムとスペクトル」です。加速された電子が金属（陽極）に衝突した際に発生するX線のエネルギー変換過程を理解することが目的です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 電子の加速: 電圧 \(V\) で加速された電子が得る運動エネルギーは \(K = eV\) です。
- 光子のエネルギー: 波長 \(\lambda\) の光子（X線）が持つエネルギーは \(E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}\) です。
- エネルギー保存則: 電子が失った運動エネルギーが、X線光子のエネルギーに変換されます。
- 連続X線と特性X線:
- 連続X線: 電子が原子核の電場で減速される際に放出されるX線。エネルギーは連続的な値をとり、最短波長（最大エネルギー）が存在します。
- 特性X線（固有X線）: 電子が内殻電子を弾き飛ばし、空いた軌道に外殻電子が遷移する際に放出されるX線。ターゲット原子に固有の波長（エネルギー）を持ちます。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (1)では、電子の運動エネルギーがすべてX線光子のエネルギーに変わる場合（最短波長）を考え、エネルギー保存則の式を立てます。
- (2)では、電子の運動エネルギーの一部がX線光子のエネルギーに変わる場合を考え、残りのエネルギーを計算します。
- (3)では、特性X線のエネルギーに対応する加速電圧を逆算します。
問(1)
思考の道筋とポイント
「最も波長の短いX線」とは、すなわち「最もエネルギーの高いX線」のことです。
これは、加速された電子が持っている運動エネルギー \(eV\) を、1回の衝突ですべて失い、その全エネルギーが1個のX線光子に変換された場合に発生します。
この設問における重要なポイント
- 加速電圧 \(V = 50\,\text{kV} = 50 \times 10^3\,\text{V}\)。
- 電子が得る運動エネルギー \(K = eV\)。
- X線光子のエネルギー \(E = \frac{hc}{\lambda}\)。
- 最短波長 \(\lambda_0\) の条件: \(eV = \frac{hc}{\lambda_0}\)。
具体的な解説と立式
電子が加速電圧 \(V\) で加速されたときに得る運動エネルギーは \(eV\) です。
このエネルギーがすべて波長 \(\lambda_0\) のX線光子のエネルギー \(\frac{hc}{\lambda_0}\) に変換されるので、エネルギー保存則より以下の式が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
eV &= \frac{hc}{\lambda_0}
\end{aligned}
$$
この式を \(\lambda_0\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\lambda_0 &= \frac{hc}{eV}
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 電子の運動エネルギー: \(K = eV\)
- 光子のエネルギー: \(E = \frac{hc}{\lambda}\)
与えられた数値を代入して計算します。
\(h = 6.6 \times 10^{-34}\,\text{J}\cdot\text{s}\)
\(c = 3.0 \times 10^8\,\text{m/s}\)
\(e = 1.6 \times 10^{-19}\,\text{C}\)
\(V = 50 \times 10^3\,\text{V}\)
$$
\begin{aligned}
\lambda_0 &= \frac{(6.6 \times 10^{-34}) \times (3.0 \times 10^8)}{(1.6 \times 10^{-19}) \times (50 \times 10^3)} \\[2.0ex]
&= \frac{19.8 \times 10^{-26}}{80 \times 10^{-16}} \\[2.0ex]
&= \frac{19.8}{80} \times 10^{-10} \\[2.0ex]
&= 0.2475 \times 10^{-10} \\[2.0ex]
&= 2.475 \times 10^{-11}\,\text{m}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えるため、四捨五入します。
$$
\begin{aligned}
\lambda_0 &\approx 2.5 \times 10^{-11}\,\text{m}
\end{aligned}
$$
電子をパチンコ玉、X線を音だと想像してください。パチンコ玉をゴム（電圧）で強く弾いて壁にぶつけると、大きな音がします。
一番高い音（最短波長）が出るのは、パチンコ玉のスピード（エネルギー）が衝突で一気にゼロになり、その衝撃がすべて音に変わったときです。
「パチンコ玉のエネルギー」＝「音のエネルギー」という式を作って、音の波長を計算しました。
答えは \(2.5 \times 10^{-11}\,\text{m}\) です。
X線の波長は通常 \(10^{-10}\,\text{m}\)（1オングストローム）程度のオーダーなので、\(10^{-11}\,\text{m}\) という結果は物理的に妥当な範囲です。
思考の道筋とポイント
物理定数 \(h, c, e\) を毎回代入して計算するのは大変です。
\(hc \approx 12.4 \times 10^{-7}\,\text{eV}\cdot\text{m}\) （あるいは \(1240\,\text{eV}\cdot\text{nm}\)）という値を覚えていれば、計算を大幅に短縮できます。
ここでは、\(hc/e\) の値を先に計算しておき、それを使い回す方法を紹介します。
この設問における重要なポイント
- \(V = \frac{hc}{e\lambda}\) の形に変形すると、右辺は \(\frac{hc/e}{\lambda}\) と見なせます。
- 定数 \(A = \frac{hc}{e}\) を一度計算してしまえば、あとは波長 \(\lambda\) で割るだけで電圧 \(V\) が求まります。
具体的な解説と立式
定数 \(A\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
A &= \frac{hc}{e} \\[2.0ex]
&= \frac{(6.6 \times 10^{-34}) \times (3.0 \times 10^8)}{1.6 \times 10^{-19}} \\[2.0ex]
&= \frac{19.8}{1.6} \times 10^{-7} \\[2.0ex]
&= 12.375 \times 10^{-7}\,\text{V}\cdot\text{m}
\end{aligned}
$$
この \(A\) を使って各設問を解きます。
(1) 最短波長
$$
\begin{aligned}
\lambda_0 &= \frac{A}{V} \\[2.0ex]
&= \frac{12.375 \times 10^{-7}}{50 \times 10^3} \\[2.0ex]
&= 0.2475 \times 10^{-10} \approx 2.5 \times 10^{-11}\,\text{m}
\end{aligned}
$$
(3) 特性X線の電圧換算
$$
\begin{aligned}
V’ &= \frac{A}{\lambda’} \\[2.0ex]
&= \frac{12.375 \times 10^{-7}}{6.3 \times 10^{-11}} \\[2.0ex]
&\approx 1.96 \times 10^4 \\[2.0ex]
&\approx 2.0 \times 10^4\,\text{V}
\end{aligned}
$$
上記の通り、定数 \(A\) を用いることで、面倒な指数計算や定数の代入を1回に集約できます。
毎回 \(h\) や \(c\) や \(e\) を掛けたり割ったりするのは面倒なので、それらをまとめた「魔法の数字（換算係数）」を最初に作っておきます。そうすれば、あとは電圧と波長の関係を簡単な割り算だけで計算できます。
当然ながら、結果はメインの解法と一致します。入試などで時間が限られている場合、このテクニックは非常に有効です。
問(2)
思考の道筋とポイント
連続X線は、電子がターゲット原子の中で減速するときに発生します。
電子は必ずしも一度で止まるわけではなく、何回かに分けてエネルギーを失うこともあります。
この設問では、電子が特定の波長 \(\lambda\) のX線を放出した後、まだエネルギーが残っている状況を考えます。
「電子の最初のエネルギー」＝「X線のエネルギー」＋「電子の残りのエネルギー」という保存則が成り立ちます。
この設問における重要なポイント
- 電子の初期エネルギー \(K_{\text{初}} = eV\)。
- 発生したX線のエネルギー \(E_{\text{X}} = \frac{hc}{\lambda}\)。
- 電子に残るエネルギーを \(\Delta E\) とする。
- エネルギー保存則: \(K_{\text{初}} = E_{\text{X}} + \Delta E\)。
具体的な解説と立式
まず、発生したX線（波長 \(\lambda = 5.0 \times 10^{-11}\,\text{m}\)）のエネルギー \(E_{\text{X}}\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
E_{\text{X}} &= \frac{hc}{\lambda}
\end{aligned}
$$
次に、電子の初期エネルギー \(K_{\text{初}}\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
K_{\text{初}} &= eV
\end{aligned}
$$
求める残りのエネルギー \(\Delta E\) は、初期エネルギーとX線のエネルギーの差です。
$$
\begin{aligned}
\Delta E &= K_{\text{初}} – E_{\text{X}} \\[2.0ex]
&= eV – \frac{hc}{\lambda}
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- エネルギー保存則: \(E_{\text{前}} = E_{\text{後}}\)
数値を代入して計算します。
まず、\(E_{\text{X}}\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
E_{\text{X}} &= \frac{(6.6 \times 10^{-34}) \times (3.0 \times 10^8)}{5.0 \times 10^{-11}} \\[2.0ex]
&= \frac{19.8 \times 10^{-26}}{5.0 \times 10^{-11}} \\[2.0ex]
&= 3.96 \times 10^{-15}\,\text{J}
\end{aligned}
$$
次に、\(K_{\text{初}}\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
K_{\text{初}} &= (1.6 \times 10^{-19}) \times (50 \times 10^3) \\[2.0ex]
&= 80 \times 10^{-16} \\[2.0ex]
&= 8.0 \times 10^{-15}\,\text{J}
\end{aligned}
$$
最後に差をとります。
$$
\begin{aligned}
\Delta E &= 8.0 \times 10^{-15} – 3.96 \times 10^{-15} \\[2.0ex]
&= 4.04 \times 10^{-15}\,\text{J}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えます。
$$
\begin{aligned}
\Delta E &\approx 4.0 \times 10^{-15}\,\text{J}
\end{aligned}
$$
電子が持っていた全財産（エネルギー）のうち、一部を使ってX線という商品を買いました。お釣り（残りのエネルギー）はいくらですか？という問題です。
全財産は \(eV\) で計算し、商品の値段は \(\frac{hc}{\lambda}\) で計算して、引き算をしました。
答えは \(4.0 \times 10^{-15}\,\text{J}\) です。
元のエネルギーが \(8.0 \times 10^{-15}\,\text{J}\) なので、約半分のエネルギーを使ってX線を出し、半分が残ったことになります。妥当な数値です。
問(3)
思考の道筋とポイント
特性X線は、原子固有のエネルギー準位の差に対応するエネルギーを持っています。
この設問は、「もし電子の運動エネルギー \(eV’\) が、この特性X線のエネルギーとちょうど同じだったら、その加速電圧 \(V’\) はいくらか？」という仮想的な問いです。
つまり、特性X線のエネルギーを電圧に換算する問題です。
この設問における重要なポイント
- 特性X線の波長 \(\lambda’ = 6.3 \times 10^{-11}\,\text{m}\)。
- 求める加速電圧を \(V’\) とする。
- 関係式: \(eV’ = \frac{hc}{\lambda’}\)。
具体的な解説と立式
特性X線のエネルギーと等しい運動エネルギーを持つ電子の加速電圧 \(V’\) を求めます。
エネルギー等価の式を立てます。
$$
\begin{aligned}
eV’ &= \frac{hc}{\lambda’}
\end{aligned}
$$
これを \(V’\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
V’ &= \frac{hc}{e\lambda’}
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- エネルギー等価: \(eV = h\nu\)
数値を代入します。
$$
\begin{aligned}
V’ &= \frac{(6.6 \times 10^{-34}) \times (3.0 \times 10^8)}{(1.6 \times 10^{-19}) \times (6.3 \times 10^{-11})} \\[2.0ex]
&= \frac{19.8 \times 10^{-26}}{10.08 \times 10^{-30}} \\[2.0ex]
&= \frac{19.8}{10.08} \times 10^4 \\[2.0ex]
&\approx 1.964 \times 10^4\,\text{V}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えます。
$$
\begin{aligned}
V’ &\approx 2.0 \times 10^4\,\text{V}
\end{aligned}
$$
この特性X線は、どれくらいの強さのパンチ（電子のエネルギー）と同じ威力ですか？という問いです。
X線のエネルギーを計算し、それを電子を加速する電圧に換算しました。
答えは \(2.0 \times 10^4\,\text{V}\) です。
実際の実験条件である \(50\,\text{kV}\) よりも低い電圧です。これは、\(50\,\text{kV}\) で加速された電子なら、この特性X線を発生させるのに十分なエネルギー（内殻電子を弾き飛ばすのに必要なエネルギー）を持っていることを意味しており、矛盾しません。
【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座
最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- エネルギー保存則とエネルギー変換
- 核心: 電子の「運動エネルギー」が、衝突によって「光（X線）のエネルギー」に変換されるというプロセスを理解することが全てです。
- 理解のポイント:
- 入力: 電子の運動エネルギー \(K = eV\)
- 出力: X線光子のエネルギー \(E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}\)
- ロス: 熱エネルギーなど（問2の「電子に残るエネルギー」も含む）
- 最も効率が良い場合（ロスなし）が、最短波長 \(\lambda_0\) に対応します。
- 連続X線と特性X線の発生起源の違い
- 核心: グラフに現れる2種類のX線が、それぞれ異なるメカニズムで発生していることを区別する必要があります。
- 理解のポイント:
- 連続X線: 電子が原子核によって急激に減速される「制動放射」によるもの。加速電圧 \(V\) に依存し、最短波長 \(\lambda_0\) が決まります。
- 特性X線: 電子が内殻電子を弾き飛ばし、外殻電子が落ちてくる「遷移」によるもの。ターゲット原子（今回はモリブデン）の種類で決まり、加速電圧を変えても波長は変わりません。
- 粒子性と波動性の二重性
- 核心: 電子を粒子（運動エネルギー \(mv^2/2\)）、X線を波（波長 \(\lambda\)）として扱いながら、両者をエネルギーという共通言語で結びつけています。
- 理解のポイント:
- \(eV = \frac{hc}{\lambda}\) という式は、粒子（電子）と波（光）の架け橋となる重要な式です。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- 加速電圧を変えたときのグラフの変化:
- 電圧 \(V\) を上げると、最短波長 \(\lambda_0 \propto 1/V\) は短くなります（左にシフト）。
- 特性X線の波長は変わりませんが、強度は増します。
- ターゲット金属を変えたときのグラフの変化:
- 原子番号が大きい金属にすると、特性X線の波長は短くなります（モーズリーの法則）。
- プランク定数の測定:
- 最短波長 \(\lambda_0\) と加速電圧 \(V\) の関係 \(V = \frac{hc}{e}\frac{1}{\lambda_0}\) をグラフにして、その傾きから \(h\) を求める実験問題。
- 加速電圧を変えたときのグラフの変化:
- 初見の問題での着眼点:
- 「最短波長」という言葉: これを見たら即座に \(eV = \frac{hc}{\lambda_0}\) の式を立てます。これがX線問題の9割を解く鍵です。
- 単位に注目: エネルギーの単位が [J] なのか [eV] なのかを確認します。[eV] なら \(e\) で割る手間が省けます。
- 物理定数の扱い: \(h, c, e\) が与えられている場合、それらをまとめて \(hc/e\) の値を先に計算しておくと、検算や見通しが良くなります。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 特性X線の波長が電圧で変わるという誤解
- 誤解: 「電圧を上げればエネルギーが増えるから、特性X線の波長も短くなるはず」と考えてしまう。
- 対策: 特性X線は「原子の指紋」です。叩く強さ（電圧）を変えても、指紋（波長）は変わりません。変わるのは連続X線の最短波長だけです。
- エネルギー保存則の立式ミス
- 誤解: \(eV = h\lambda\) や \(eV = \frac{h}{\lambda}\) のように、公式をうろ覚えで適用してしまう。
- 対策: 単位（次元）を確認しましょう。左辺は [J]、右辺も [J] になるはずです。\(h\) [J・s] と \(\nu\) [1/s] の積なら [J] になりますが、\(\lambda\) [m] との積や商では合いません。\(c\) [m/s] を忘れないように。
- 計算桁数のミス
- 誤解: \(10^{-34}\) や \(10^{-19}\) といった極端な指数計算で、指数の足し引きを間違える。
- 対策: 指数部分（\(10^n\)）と仮数部分（数値）を分けて計算し、最後に合体させる手順を徹底しましょう。また、別解で紹介した \(hc/e \approx 1.24 \times 10^{-6}\) を知っておくと、桁の間違いにすぐ気づけます。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- (1)での公式選択（\(eV = hc/\lambda_0\)）
- 選定理由: 「最も波長の短い」＝「最もエネルギーが高い」＝「ロスなしで全変換」という論理鎖から、入力エネルギー \(eV\) と出力エネルギー \(hc/\lambda\) を等号で結びます。
- 適用根拠: エネルギー保存則が成立する物理現象であり、電子1個と光子1個の対応関係を考えているため。
- (2)での公式選択（差分計算）
- 選定理由: 「一部が変換された」という記述から、全エネルギーとX線エネルギーの差額を求める単純な引き算の問題であると判断します。
- 適用根拠: エネルギーは消滅せず、形を変えるだけ（保存則）だからです。
- (3)でのアプローチ選択（逆算）
- 選定理由: 特性X線のエネルギーの大きさを直感的に理解するために、馴染みのある「加速電圧」という尺度に換算しています。
- 適用根拠: 物理的には特性X線は電圧で決まるものではありませんが、エネルギーの大きさ（量）を比較・換算するために \(E=eV\) の関係式を借用することは可能です。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 定数計算のパッケージ化
- \(hc = 1.98 \times 10^{-25}\,\text{J}\cdot\text{m} \approx 2.0 \times 10^{-25}\)
- \(hc/e \approx 1.24 \times 10^{-6}\,\text{V}\cdot\text{m}\)
- これらの値を頭の片隅に置いておくと、計算結果が大きく外れていないか瞬時にチェックできます。
- 単位換算の徹底
- \(kV\) を \(V\) に直す（\(\times 10^3\)）、\(\text{Å}\)（オングストローム）を \(m\) に直す（\(\times 10^{-10}\)）など、SI単位系への変換を最初のステップで確実に行いましょう。
- 近似計算による検算
- \(6.6 \approx 20/3\), \(1.6 \approx 5/3\) などの分数近似を使うと、筆算なしで概算ができ、マークミスや桁ミスを防げます。
- 例: \(\frac{6.6 \times 3.0}{1.6} \approx \frac{20}{3} \times 3 \times \frac{3}{5} = 12\)。厳密解 \(12.375\) と非常に近いです。
583 電子波の回折
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
- 提示する別解
- 設問(3)の別解: グラフを用いた視覚的解法
- 模範解答が数式（不等式）で解くのに対し、別解では \(y=\sin\theta\) のグラフと \(y=n\lambda/2d\) の直線の交点として解の個数を視覚的に捉えます。
- 設問(3)の別解: グラフを用いた視覚的解法
- 上記の別解が有益である理由
- 直感的理解: 数式だけではイメージしにくい「解の個数」を、グラフの交点として可視化することで理解を助けます。
- 応用力: 角度範囲が広がったり、条件が複雑になった場合でも対応しやすい考え方です。
- 結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、最終的に得られる答えは模範解答と完全に一致します。
この問題のテーマは「電子の波動性と結晶による回折」です。電子を粒子としてだけでなく、波（物質波・ド・ブロイ波）として扱う量子力学の入り口となる重要な単元です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- ド・ブロイ波長（物質波の波長）: 運動量 \(mv\) を持つ粒子の波長は \(\lambda = \frac{h}{mv}\) で表されます。
- ブラッグの反射条件: 結晶格子による波の回折（干渉）条件は、経路差 \(2d\sin\theta\) が波長の整数倍になるとき強め合うというもので、\(2d\sin\theta = n\lambda\) （\(n=1, 2, \dots\)）と表されます。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (1)では、ド・ブロイ波の公式を用いて、与えられた波長に対応する電子の速さを計算します。
- (2)では、ブラッグの反射条件式に具体的な数値を代入し、\(n\) が整数になることを確認します。
- (3)では、角度 \(\theta\) を変化させたときに、反射条件を満たす整数 \(n\) がいくつ存在するかを数え上げます。
問(1)
思考の道筋とポイント
電子の質量 \(m\)、プランク定数 \(h\)、そして電子波の波長 \(\lambda\) が与えられています。
ド・ブロイ波の公式 \(\lambda = \frac{h}{mv}\) を用いて、速さ \(v\) を逆算します。
この設問における重要なポイント
- ド・ブロイ波の公式: \(\lambda = \frac{h}{mv}\)
- 求めるのは速さ \(v\) なので、式を \(v = \dots\) の形に変形してから数値を代入します。
具体的な解説と立式
ド・ブロイ波の公式より、
$$
\begin{aligned}
\lambda &= \frac{h}{mv}
\end{aligned}
$$
この式を \(v\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
v &= \frac{h}{m\lambda}
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- ド・ブロイ波長: \(\lambda = \frac{h}{mv}\)
与えられた数値を代入します。
\(h = 6.6 \times 10^{-34}\,\text{J}\cdot\text{s}\)
\(m = 9.1 \times 10^{-31}\,\text{kg}\)
\(\lambda = 5.0 \times 10^{-11}\,\text{m}\)
$$
\begin{aligned}
v &= \frac{6.6 \times 10^{-34}}{(9.1 \times 10^{-31}) \times (5.0 \times 10^{-11})} \\[2.0ex]
&= \frac{6.6}{9.1 \times 5.0} \times \frac{10^{-34}}{10^{-31} \times 10^{-11}} \\[2.0ex]
&= \frac{6.6}{45.5} \times 10^{-34 – (-31 – 11)} \\[2.0ex]
&= \frac{6.6}{45.5} \times 10^{-34 + 42} \\[2.0ex]
&= \frac{6.6}{45.5} \times 10^8 \\[2.0ex]
&\approx 0.14505 \times 10^8 \\[2.0ex]
&= 1.4505 \times 10^7\,\text{m/s}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えるため、3桁目を四捨五入します。
$$
\begin{aligned}
v &\approx 1.5 \times 10^7\,\text{m/s}
\end{aligned}
$$
電子は粒ですが、波としての性質も持っています。その波長は、電子の重さと速さで決まります。今回は波長がわかっているので、逆に速さを計算しました。
答えは \(1.5 \times 10^7\,\text{m/s}\) です。
光速（\(3.0 \times 10^8\,\text{m/s}\)）の約5%程度の速さであり、電子の速さとして妥当な範囲です。
問(2)
思考の道筋とポイント
結晶による電子線の回折は、X線回折と同じく「ブラッグの反射条件」に従います。
隣り合う格子面で反射された波の経路差が、波長の整数倍になれば強め合う条件を満たします。
与えられた条件（\(\theta=30^\circ\)）をブラッグの式に代入し、次数 \(n\) が整数になるかどうかを確認します。
この設問における重要なポイント
- ブラッグの反射条件式: \(2d\sin\theta = n\lambda\) （\(n=1, 2, \dots\)）
- 経路差は \(2d\sin\theta\) で表されます。
- \(n\) が整数になれば、強め合う条件を満たしていると言えます。
具体的な解説と立式
ブラッグの反射条件式を立てます。
$$
\begin{aligned}
2d\sin\theta &= n\lambda
\end{aligned}
$$
ここに、\(d = 1.0 \times 10^{-10}\,\text{m}\)、\(\theta = 30^\circ\)、\(\lambda = 5.0 \times 10^{-11}\,\text{m}\) を代入し、\(n\) について解きます。
使用した物理公式
- ブラッグの反射条件: \(2d\sin\theta = n\lambda\)
$$
\begin{aligned}
2 \times (1.0 \times 10^{-10}) \times \sin 30^\circ &= n \times (5.0 \times 10^{-11})
\end{aligned}
$$
\(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\) なので、
$$
\begin{aligned}
2 \times (1.0 \times 10^{-10}) \times \frac{1}{2} &= n \times (5.0 \times 10^{-11}) \\[2.0ex]
1.0 \times 10^{-10} &= n \times (5.0 \times 10^{-11})
\end{aligned}
$$
\(n\) について解くと、
$$
\begin{aligned}
n &= \frac{1.0 \times 10^{-10}}{5.0 \times 10^{-11}} \\[2.0ex]
&= \frac{10 \times 10^{-11}}{5.0 \times 10^{-11}} \\[2.0ex]
&= 2
\end{aligned}
$$
\(n=2\) は正の整数であるため、反射条件を満たしています。
結晶の層で反射した電子の波が、山と山、谷と谷がぴったり重なって強め合うかどうかをチェックします。計算の結果、波長のちょうど2倍（\(n=2\)）のズレが生じていることがわかりました。ズレが波長の整数倍なら波は強め合うので、条件を満たしています。
\(n=2\) というきれいな整数が得られたので、条件を満たしていることが確認できました。
問(3)
思考の道筋とポイント
角度 \(\theta\) を \(0^\circ\) から \(30^\circ\) まで変化させたとき、ブラッグの条件 \(2d\sin\theta = n\lambda\) を満たす整数 \(n\) がいくつあるかを数えます。
(2)の結果より、\(\theta=30^\circ\) のとき \(n=2\) であることがわかっています。
\(\sin\theta\) は単調増加関数なので、\(\theta\) が小さいときは \(n\) も小さくなります。
この設問における重要なポイント
- \(0^\circ < \theta \le 30^\circ\) の範囲で考える。
- この範囲で \(\sin\theta\) は \(0 < \sin\theta \le 0.5\) の値をとる。
- \(n = \frac{2d\sin\theta}{\lambda}\) の値が整数になる回数を数える。
具体的な解説と立式
ブラッグの条件式を変形して \(n\) を \(\theta\) の関数として表します。
$$
\begin{aligned}
n &= \frac{2d\sin\theta}{\lambda}
\end{aligned}
$$
数値を代入して係数を整理します。
$$
\begin{aligned}
n &= \frac{2 \times (1.0 \times 10^{-10})}{5.0 \times 10^{-11}} \sin\theta \\[2.0ex]
&= \frac{20 \times 10^{-11}}{5.0 \times 10^{-11}} \sin\theta \\[2.0ex]
&= 4\sin\theta
\end{aligned}
$$
ここで、\(\theta\) の範囲は \(0^\circ < \theta \le 30^\circ\) です。
このとき、\(\sin\theta\) の範囲は \(0 < \sin\theta \le \frac{1}{2}\) となります。
\(n = 4\sin\theta\) のとりうる値の範囲を求めます。
$$
\begin{aligned}
0 &< \sin\theta \le 0.5
\end{aligned}
$$
各辺を4倍します。
$$
\begin{aligned}
0 &< 4\sin\theta \le 2 \\[2.0ex]
0 &< n \le 2
\end{aligned}
$$
この範囲に含まれる整数 \(n\) は、\(1\) と \(2\) の2つです。
したがって、強め合う回数は2回です。
角度を \(0\) から少しずつ大きくしていくと、波のズレ（経路差）も大きくなっていきます。
ズレが波長の1倍になったとき（\(n=1\)）に1回目の反射が起こり、さらに角度を広げてズレが波長の2倍になったとき（\(n=2\)）に2回目の反射が起こります。
計算の結果、\(30^\circ\) まで広げる間に \(n\) は最大で2まで増えることがわかったので、合計2回強め合います。
\(n=1\) と \(n=2\) の2回観測されます。
ちなみに \(n=1\) となる角度は \(\sin\theta = 1/4 = 0.25\) より、\(\theta \approx 14.5^\circ\) 付近です。
思考の道筋とポイント
\(n = 4\sin\theta\) という関係式を、\(y=n\)（整数値をとる水平線）と \(y=4\sin\theta\)（サインカーブ）の交点問題として捉えます。
この設問における重要なポイント
- 横軸に \(\theta\)、縦軸に \(y\) をとる。
- \(y = 4\sin\theta\) のグラフを \(0^\circ < \theta \le 30^\circ\) の範囲で描く。
- \(y = 1, 2, 3, \dots\) の直線との交点の数を数える。
具体的な解説と立式
1. \(y = 4\sin\theta\) のグラフを描きます。
\(\theta=0^\circ\) のとき \(y=0\)。
\(\theta=30^\circ\) のとき \(y=4 \times 0.5 = 2\)。
グラフは原点から右上がりに伸び、点 \((30^\circ, 2)\) まで到達します。
2. このグラフと、\(y=1\)（整数ライン1）、\(y=2\)（整数ライン2）との交点を探します。
- \(y=1\) との交点は、\(0^\circ\) と \(30^\circ\) の間に1つ存在します。
- \(y=2\) との交点は、ちょうど \(\theta=30^\circ\) の点です。
- \(y=3\) 以上とは交わりません。
グラフ上の交点の数は、明らかに2個です。
「角度」と「ズレの倍率」の関係をグラフにしてみます。角度が増えると倍率もグイグイ上がっていき、\(30^\circ\) のゴール地点でちょうど「2倍」に到達します。その途中で「1倍」のラインを通過し、最後に「2倍」のラインにタッチしたので、合計2回条件を満たしたことになります。
数式で解いた場合と同じく、2回という結果が得られました。視覚的に状況を把握できるため、ミスを防ぎやすい方法です。
【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座
最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- 粒子と波の二重性（ド・ブロイ波）
- 核心: 電子のような微小な粒子は、粒子としての性質（質量 \(m\)、速度 \(v\)）だけでなく、波としての性質（波長 \(\lambda\)）も併せ持つという量子力学の基本原理です。
- 理解のポイント:
- \(\lambda = \frac{h}{mv}\) （または \(\lambda = \frac{h}{p}\)）
- この式は、粒子の世界（右辺）と波の世界（左辺）をつなぐ架け橋です。運動量 \(mv\) が大きいほど波長は短くなり、波動性は目立たなくなります。
- ブラッグの反射条件（波の干渉）
- 核心: 結晶格子のような規則的な構造において、波が特定の方向でのみ強め合う現象です。
- 理解のポイント:
- \(2d\sin\theta = n\lambda\)
- 経路差: 隣り合う面で反射した波の道のりの差が \(2d\sin\theta\) であることを図形的に理解することが不可欠です。
- 干渉条件: 経路差が波長の整数倍（\(n\lambda\)）のとき、山と山が重なって強め合います。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- X線回折: 電子線の代わりにX線を用いた実験。物理的には全く同じ現象（ブラッグ反射）として扱えます。
- 加速電圧からの波長導出: 電子を電圧 \(V\) で加速する場合、エネルギー保存則 \(eV = \frac{1}{2}mv^2\) から \(v\) を求め、それをド・ブロイの式に代入して \(\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}\) を導くパターンが頻出です。
- 粉末法（デバイ・シェラー法）: 結晶の向きがバラバラな粉末試料を用いる場合、特定の \(\theta\) を満たす結晶面からの反射が円錐状（フィルム上では円環状）に観測されます。
- 初見の問題での着眼点:
- 「電子線」「回折」「干渉」のキーワード: これらが出たら、即座に「ド・ブロイ波」と「ブラッグ条件」のセットを想起します。
- 反射次数の上限: \(\sin\theta \le 1\) という数学的な制約から、観測可能な最大の次数 \(n\) には限界があります（\(n \le \frac{2d}{\lambda}\)）。
- 角度の定義: 入射角が「格子面となす角 \(\theta\)」なのか、「面の法線となす角 \(i\)」なのかを必ず図で確認します。ブラッグ反射では通常、面となす角 \(\theta\) を使いますが、光学の反射・屈折では法線となす角を使うため、混同しないよう注意が必要です。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 経路差の導出ミス
- 誤解: 経路差を \(d\sin\theta\) や \(d\cos\theta\) と間違える。
- 対策: 直角三角形を必ず描き、斜辺が \(d\) であることを確認します。入射側と反射側でそれぞれ \(d\sin\theta\) ずつ、合計 \(2d\sin\theta\) の差が生まれることを図で納得しましょう。
- ド・ブロイ波長の計算ミス
- 誤解: \(h\) や \(m\) の指数（\(10^{-34}\) など）の計算で桁を間違える。
- 対策: 指数部分だけを先にまとめて計算する癖をつけましょう。また、電子の質量 \(m \approx 9 \times 10^{-31}\) kg、プランク定数 \(h \approx 6.6 \times 10^{-34}\) J・s というオーダー感を覚えておくと、検算に役立ちます。
- 反射次数の数え落とし
- 誤解: \(n=0\) を含めてしまう、あるいは範囲の端（等号付き不等号）を見落とす。
- 対策: ブラッグ反射では \(n=1, 2, \dots\) （正の整数）を考えます。\(n=0\) は回折ではなく単なる透過（直進）に対応するため、通常は回折線として数えません。また、\(\theta \le 30^\circ\) のように等号が含まれる場合、境界値での解も忘れずにカウントします。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- (1)での公式選択（ド・ブロイの式）
- 選定理由: 「電子の速さ」と「波長」を結びつける式はこれしかありません。
- 適用根拠: 問題文で「電子にも波動の性質があり」と明記されており、量子力学的なアプローチが求められているため。
- (2)での公式選択（ブラッグの式）
- 選定理由: 結晶による波の反射・干渉を扱う問題の定石です。
- 適用根拠: 結晶面の間隔 \(d\) と入射角 \(\theta\) が与えられており、強め合う条件（反射条件）を確認する文脈であるため。
- (3)でのアプローチ選択（不等式評価）
- 選定理由: 特定の角度だけでなく、ある範囲内での解の個数を求める問題だからです。
- 適用根拠: \(n\) は離散的な整数値しかとれないため、連続的に変化する \(\theta\) （および \(\sin\theta\)）の範囲から \(n\) の取りうる値を絞り込む手法が有効です。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 指数の計算を丁寧に行う
- \(10^{-34} / (10^{-31} \times 10^{-11}) = 10^{-34 – (-31 – 11)} = 10^8\) のように、指数の足し引きを別枠で書いて確認するとミスが激減します。
- 三角関数の値を確認する
- \(\sin 30^\circ = 0.5\) は基本ですが、\(\sin 45^\circ \approx 0.707\), \(\sin 60^\circ \approx 0.866\) などの値も頭に入っていると、\(n\) の値を概算する際に役立ちます。
- 単位の確認
- 質量の単位は [g] ではなく [kg] を使うのがSI単位系のルールです。問題文で与えられた単位をそのまま使う場合でも、常に意識しておきましょう。
584 コンプトン効果
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
- 提示する別解
- 設問(3)の別解: 運動量保存則を用いた定性的な解法
- 模範解答がエネルギー保存則の式変形から数学的に最大値を求めるのに対し、別解では運動量保存則のベクトル図を用いて、電子が最も大きな運動量（＝エネルギー）を得る衝突条件を直感的に導きます。
- 設問(3)の別解: 運動量保存則を用いた定性的な解法
- 上記の別解が有益である理由
- 物理的直感の養成: 数式に頼らず、衝突現象としての「正面衝突」や「跳ね返り」のイメージを持つことで、現象の本質的な理解が深まります。
- 応用力: 計算が複雑な場合でも、定性的な振る舞いを予測する力が身につきます。
- 結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、最終的に得られる答えは模範解答と完全に一致します。
この問題のテーマは「コンプトン効果」です。X線やガンマ線（光子）が電子と衝突し、波長が変化して散乱される現象を扱います。光の粒子性と、相対論的なエネルギー・運動量の保存則が鍵となります。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 光子の運動量とエネルギー: 波長 \(\lambda\) の光子は、運動量 \(p_{\gamma} = \frac{h}{\lambda}\)、エネルギー \(E = \frac{hc}{\lambda}\) を持ちます。
- 運動量保存則: 衝突前後で、系の全運動量ベクトルは保存されます。成分ごとに式を立てます。
- エネルギー保存則: 弾性衝突として扱われるため、衝突前後の全エネルギーは保存されます。
- コンプトンシフトの式: 波長の変化 \(\Delta\lambda = \lambda’ – \lambda = \frac{h}{mc}(1-\cos\theta)\) は、エネルギー保存則と運動量保存則から導かれます（本問では与えられています）。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (1)では、光子と電子の運動量をベクトルとして捉え、入射方向（\(x\)軸）とそれに直角な方向（\(y\)軸）に分解して保存則の式を立てます。
- (2)では、与えられたコンプトンシフトの式（波長の関係式）を、エネルギーの関係式 \(E = hc/\lambda\) を用いて書き換えます。
- (3)では、エネルギー保存則に基づき、電子が得るエネルギーが最大になる条件（＝散乱光子のエネルギーが最小になる条件）を考察します。
問(1)
思考の道筋とポイント
衝突現象なので、運動量保存則が成立します。運動量はベクトル量なので、成分ごとに分解して考えます。
各粒子の運動量の大きさを確認しましょう。
- 入射 \(\gamma\)線: 大きさ \(h/\lambda\)、向きは入射方向（右向き）。
- 散乱 \(\gamma\)線: 大きさ \(h/\lambda’\)、向きは入射方向から角度 \(\theta\)（右上）。
- 散乱電子: 大きさ \(p\)、向きは入射方向から角度 \(\phi\)（右下）。
この設問における重要なポイント
- 光子の運動量は \(h/\lambda\) で表される。
- 電子の運動量は \(p\) と与えられている（\(mv\) ではない点に注意）。
- 入射方向を \(x\)軸、直角な方向を \(y\)軸として成分分解する。
- 電子の散乱角 \(\phi\) は図の通り下向きに定義されているので、\(y\)成分は負になる。
具体的な解説と立式
入射方向（水平右向き）と、それに直角な方向（鉛直上向き）について、運動量保存則「（衝突前の運動量の和）＝（衝突後の運動量の和）」を立式します。
1. 入射方向について
衝突前: \(\gamma\)線は \(h/\lambda\)、電子は静止しているので \(0\)。
衝突後: \(\gamma\)線の成分は \((h/\lambda’)\cos\theta\)、電子の成分は \(p\cos\phi\)。
よって、保存則の式は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
\frac{h}{\lambda} &= \frac{h}{\lambda’}\cos\theta + p\cos\phi
\end{aligned}
$$
2. 直角な方向について
衝突前: どちらも成分を持たないので \(0\)。
衝突後: \(\gamma\)線の成分は \((h/\lambda’)\sin\theta\)、電子の成分は下向きなので \(-p\sin\phi\)。
よって、保存則の式は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
0 &= \frac{h}{\lambda’}\sin\theta – p\sin\phi
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 光子の運動量: \(p_{\gamma} = \frac{h}{\lambda}\)
- 運動量保存則: \(\vec{p}_{\text{前}} = \vec{p}_{\text{後}}\)
この設問では立式そのものが解答となるため、計算過程はありません。
ビリヤードの球の衝突と同じように考えます。白い手玉（光子）が止まっている球（電子）に当たって、斜め上に弾かれました。その反動で、止まっていた球は斜め下に動き出します。「右向きの勢い」と「縦方向の勢い」が、衝突の前後で合計が変わらないというルールを式にしました。
式は物理的に妥当な形をしています。
問(2)
思考の道筋とポイント
与えられた式 \(\lambda’ = \lambda + \frac{h}{mc}(1-\cos\theta)\) は波長 \(\lambda\) についての関係式です。
これをエネルギー \(E, E’\) の関係式に書き換えることが求められています。
光子のエネルギーと波長の関係式 \(E = \frac{hc}{\lambda}\) を利用して、\(\lambda\) を \(E\) に変換します。
この設問における重要なポイント
- \(E = \frac{hc}{\lambda} \iff \lambda = \frac{hc}{E}\)
- \(E’ = \frac{hc}{\lambda’} \iff \lambda’ = \frac{hc}{E’}\)
- これらを与えられた式に代入し、\(E’\) について解く。
具体的な解説と立式
まず、波長とエネルギーの関係式を確認します。
$$
\begin{aligned}
\lambda &= \frac{hc}{E}, \quad \lambda’ = \frac{hc}{E’}
\end{aligned}
$$
これを与えられたコンプトンシフトの式に代入します。
$$
\begin{aligned}
\frac{hc}{E’} &= \frac{hc}{E} + \frac{h}{mc}(1-\cos\theta)
\end{aligned}
$$
この式を \(E’\) について解くために変形していきます。
使用した物理公式
- 光子のエネルギー: \(E = \frac{hc}{\lambda}\)
両辺を \(hc\) で割ります。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{E’} &= \frac{1}{E} + \frac{1}{mc^2}(1-\cos\theta)
\end{aligned}
$$
右辺を通分します。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{E’} &= \frac{mc^2 + E(1-\cos\theta)}{E mc^2}
\end{aligned}
$$
両辺の逆数をとります。
$$
\begin{aligned}
E’ &= \frac{E mc^2}{mc^2 + E(1-\cos\theta)}
\end{aligned}
$$
分母と分子を \(mc^2\) で割って、問題文の形に合わせます。
$$
\begin{aligned}
E’ &= \frac{E}{1 + \frac{E}{mc^2}(1-\cos\theta)}
\end{aligned}
$$
「波長の式」を「エネルギーの式」に翻訳する作業です。
「波長が長くなる」ということは「エネルギーが減る」ことを意味します。
数式を変形して、衝突後のエネルギー \(E’\) が、衝突前のエネルギー \(E\) と角度 \(\theta\) を使ってどう表されるかを導きました。
導かれた式を見ると、分母は \(1 + (\text{正の値})\) なので、\(E’ < E\) となっています。これは散乱によって光子がエネルギーを失ったことを示しており、物理的に妥当です。
\(\displaystyle E’ = \frac{E}{1 + \frac{E}{mc^2}(1-\cos\theta)}\)
問(3)
思考の道筋とポイント
「散乱された電子のエネルギーが最大になる」条件を求めます。
エネルギー保存則より、「電子が得るエネルギー」＝「光子が失うエネルギー」です。
つまり、電子のエネルギーが最大になるのは、光子のエネルギー \(E’\) が最小になるときです。
(2)で求めた \(E’\) の式を見て、\(E’\) が最小になる \(\theta\) を探します。
この設問における重要なポイント
- エネルギー保存則: \(E + (\text{電子の静止エネルギー}) = E’ + (\text{電子の全エネルギー})\)
- 電子が得る運動エネルギー \(K_e = E – E’\)
- \(K_e\) が最大 \(\iff E’\) が最小
- \(E’\) の式の分母が最大になるとき、\(E’\) は最小になる。
具体的な解説と立式
(2)の式より、
$$
\begin{aligned}
E’ &= \frac{E}{1 + \frac{E}{mc^2}(1-\cos\theta)}
\end{aligned}
$$
この値が最小になるのは、分母が最大になるときです。
分母の中で変数は \(\cos\theta\) だけです。
分母 \(1 + \frac{E}{mc^2}(1-\cos\theta)\) が最大になるのは、\((1-\cos\theta)\) が最大になるとき、すなわち \(\cos\theta\) が最小になるときです。
\(\cos\theta\) の最小値は \(-1\) であり、そのときの角度は \(\theta = 180^\circ\)（または \(\pi\) ラジアン）です。
\(\cos\theta = -1\) となる \(\theta\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\theta &= 180^\circ \quad (\text{または } \pi)
\end{aligned}
$$
電子に一番強くエネルギーを与えるには、どうぶつかればいいでしょうか？
正面衝突して、光子が来た道をそのまま跳ね返されるとき（後方散乱、\(\theta=180^\circ\)）が、一番激しい衝突になります。
式で見ても、分母が一番大きくなる（＝全体が一番小さくなる）のは \(\cos\theta = -1\) のときだとわかります。
\(\theta = 180^\circ\) は、入射した光子が真後ろに跳ね返される「後方散乱」に対応します。このとき運動量の変化が最大となり、電子に与える衝撃も最大になります。直感的にも正しい結果です。
思考の道筋とポイント
数式を使わずに、衝突のイメージから考えます。
軽いボール（光子）が重いボール（電子）にぶつかって、重いボールを一番速く動かすにはどうすればよいでしょうか？
それは、軽いボールが正面からぶつかって、真後ろに跳ね返るときです。
この設問における重要なポイント
- 運動量変化 \(\Delta p = p_{\text{後}} – p_{\text{前}}\) の大きさが最大になるとき、相手に与える力積も最大になる。
- 光子の運動量はベクトルである。
- 入射方向を正とすると、跳ね返り後の運動量が負の最大値（真後ろ）になるとき、運動量の変化量（\(p_{\text{後}} – p_{\text{前}}\)）の絶対値は最大になる。
具体的な解説と立式
光子が電子に与える運動量（力積）が大きければ大きいほど、電子は大きなエネルギーを得ます。
光子の運動量変化ベクトル \(\Delta \vec{p} = \vec{p}’ – \vec{p}\) の大きさが最大になるのは、\(\vec{p}’\) が \(\vec{p}\) と逆向き（\(\theta = 180^\circ\)）のときです。
このとき、電子は光子の入射方向に最大の勢いで弾き飛ばされます。
計算なしで、直感的に \(\theta = 180^\circ\) （\(\pi\)）が導けます。
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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- 光子の粒子性（運動量とエネルギー）
- 核心: 光（電磁波）を波としてだけでなく、「光子」という粒子として扱う点がこの問題の最大のテーマです。
- 理解のポイント:
- エネルギー \(E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}\)
- 運動量 \(p = \frac{h}{\lambda}\)
- これらはアインシュタインの光量子仮説に基づく基本式であり、コンプトン効果の解析において絶対的な出発点となります。
- 2次元の運動量保存則
- 核心: 衝突現象において、外力が働かない限り運動量の総和は保存されます。平面内の衝突では、ベクトルとして保存則を考える必要があります。
- 理解のポイント:
- 成分分解: \(x\)軸方向と\(y\)軸方向に分解して、それぞれの方向で「前の和＝後の和」を立てるのが基本です。
- ベクトルの合成: 別解で示したように、運動量ベクトルそのもので三角形を作り、余弦定理などを利用する視点も強力です。
- 弾性衝突としてのエネルギー保存則
- 核心: コンプトン効果では、光子と電子の衝突によるエネルギー損失はない（弾性衝突）とみなします。
- 理解のポイント:
- 衝突前後の全エネルギー（光子のエネルギー＋電子の運動エネルギー）が等しいという式を立てます。
- 相対論的効果を考慮しない場合、電子のエネルギーは古典的な \(\frac{1}{2}mv^2\) で扱います（本問の設定）。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- 斜め衝突の問題: 2つの小球が斜めに衝突する問題や、原子核の崩壊（分裂）の問題など。これらはすべて「運動量保存則（ベクトル）」と「エネルギー保存則」の連立で解けます。
- ド・ブロイ波の問題: 粒子（電子など）を波として扱う問題では、逆に \(p = \frac{h}{\lambda}\) の関係式を使って粒子の運動量から波長を求めます。式の形は同じなので、セットで理解しておくと応用が利きます。
- 初見の問題での着眼点:
- 「散乱」「衝突」という言葉: これらを見たら、即座に「運動量保存則」と「エネルギー保存則」を使う準備をします。
- 角度 \(\theta, \alpha\) の処理: 未知の角度（今回は電子の散乱角 \(\alpha\)）を消去する流れは定石です。
- 成分分解した場合 → \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\) を作るために「移項して2乗して足す」。
- ベクトル図の場合 → 余弦定理で直接関係式を導く。
- 近似計算の指示: 「\(\Delta\lambda\) は十分小さい」などの記述があれば、\(\lambda \approx \lambda’\) や \(\lambda\lambda’ \approx \lambda^2\) などの近似を使うタイミングが必ず来ます。計算に行き詰まったら、近似を使える形に変形できないか疑いましょう。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 運動量をスカラーで足してしまう
- 誤解: \(x\)方向の運動量保存則で、ベクトルの向き（角度）を無視して \(\frac{h}{\lambda} = \frac{h}{\lambda’} + mv\) と書いてしまう。
- 対策: 運動量は必ず「矢印（ベクトル）」としてイメージします。斜めの矢印は必ず分解するか、図形的に処理しなければなりません。「成分分解」の図を必ず描く癖をつけましょう。
- エネルギー保存則でベクトル分解してしまう
- 誤解: エネルギー保存則の式にも \(\cos\theta\) などをつけて分解しようとしてしまう。
- 対策: エネルギーは「スカラー量（向きを持たない量）」です。成分分解してはいけません。単に「持っている量の合計」を計算するだけです。
- 近似計算のタイミングと精度
- 誤解: 早い段階で \(\lambda’ = \lambda\) と置いてしまい、\(\Delta\lambda = 0\) という無意味な結果を出してしまう。
- 対策: 求めたいのは「差」である \(\Delta\lambda\) です。引き算の形（\(\lambda’ – \lambda\)）が出てくるまでは、安易に等しいと置いてはいけません。分母の積 \(\lambda\lambda’\) など、比率や積の形になっている部分でのみ近似を適用するのがコツです。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- (1)での公式選択（運動量保存則）
- 選定理由: 「衝突」前後の速度や方向の関係を知りたい場合、最も基本的かつ強力なツールが運動量保存則です。外力が働いていないため、運動量は必ず保存されます。
- 適用根拠: 2次元平面内の運動なので、ベクトルとして扱う必要があります。成分分解法は、計算は少し増えますが、機械的に立式できるためミスが少なく、最も確実な方法です。
- (2)での公式選択（エネルギー保存則）
- 選定理由: 衝突によるエネルギーのやり取りを記述するためです。
- 適用根拠: 問題設定としてエネルギー損失への言及がない（弾性衝突扱い）ため、保存則が成立します。
- (3)でのアプローチ選択（\(\alpha\) の消去）
- 選定理由: 電子の散乱角 \(\alpha\) は観測が難しく、通常は光子の散乱角 \(\theta\) のみが測定可能です。したがって、理論式から \(\alpha\) を消去し、観測可能な量だけで式を構成する必要があります。
- 適用根拠: \(\sin^2 + \cos^2 = 1\) という恒等式は、角度変数を消去するための最強のツールです。これを使うために「移項して2乗」という操作を行います。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 文字式のまま最後まで計算する
- 具体的な数値が与えられていない問題ですが、もし数値があっても、最後まで文字式（\(h, m, c, \lambda\) など）で計算し、最後に代入する方がミスが減ります。次元（単位）のチェックも容易になります。
- 「移項して2乗」のテクニックをマスターする
- 連立方程式から角度を消去する際、\(A\cos\alpha = B\), \(A\sin\alpha = C\) の形に変形してから \((A\cos\alpha)^2 + (A\sin\alpha)^2 = B^2 + C^2 \Rightarrow A^2 = B^2 + C^2\) とするのは、物理数学の鉄板テクニックです。これをスムーズに行えるよう練習しましょう。
- 次元解析（単位チェック）の習慣
- 最終結果 \(\Delta\lambda = \frac{h}{mc}(1-\cos\theta)\) が正しいか不安なときは、単位を確認します。
- \(h\) [J・s] = [N・m・s] = [kg・m/s²・m・s] = [kg・m²/s]
- \(mc\) [kg・m/s]
- \(h/mc\) [ (kg・m²/s) / (kg・m/s) ] = [m]
- ちゃんと長さの単位（波長と同じ）になっているので、計算ミスの可能性は低いと判断できます。
- 最終結果 \(\Delta\lambda = \frac{h}{mc}(1-\cos\theta)\) が正しいか不安なときは、単位を確認します。
PREMIUM
この問題の「なぜそう解くのか」も
全て言語化されています。
問題集の解答が省略する思考プロセスを、現役講師が1人で書き続けています。650問超の「なぜ」を、1週間無料で読めます。
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