提示する別解
- 設問(2)の別解: 力学的エネルギー保存則を用いる解法
  - 模範解答が運動の公式 $v=gt$ を用いるのに対し、別解では運動の前後でのエネルギー保存の関係から速さを導出します。
- 設問(3)の別解: 力学的エネルギー保存則を用いる解法
  - 模範解答が運動の公式 $v^2=2gy$ を用いるのに対し、別解では同様にエネルギー保存則を用いて速さを導出します。
上記の別解が有益である理由
- 物理的本質の深化: 運動を「時間とともにどう変化するか（運動の法則）」という視点と、「状態の変化でエネルギーがどう移り変わるか（保存則）」という二つの異なる、しかし根源的な視点から捉える経験ができます。
- 思考の柔軟性向上: 一つの問題に対して、異なる物理法則からアプローチすることで、問題解決能力の幅が広がります。特に、時間の情報がない、あるいは不要な問題でエネルギー保存則が強力な武器になることを実感できます。
- 物理法則の普遍性の確認: 計算過程で質量$m$が消去されることから、「物体の落下運動は、その質量によらない」というガリレオの発見を数式の上で再確認できます。
結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、計算過程や思考の出発点が異なるだけで、最終的に得られる答えは模範解答と完全に一致します。

この問題のテーマは「自由落下運動の基本法則の適用」です。物体が重力だけを受けて初速度ゼロで落下する、最も基本的な運動モデルを扱います。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

自由落下の定義: 初速度が $0$、加速度が重力加速度 $g$ の等加速度直線運動であることを理解していること。
等加速度直線運動の3公式: 速度、変位、時間の関係を表す以下の3つの公式を正しく選択し、適用できること。
- $v = v_0 + at$
- $y = v_0t + \displaystyle\frac{1}{2}at^2$
- $v^2 – v_0^2 = 2ay$
力学的エネルギー保存則: 重力のみが仕事をする場合、物体の「運動エネルギー」と「位置エネルギー」の和が一定に保たれるという法則を理解していること。
有効数字: 問題文で与えられた数値の桁数（この場合は2桁）に合わせて、最終的な答えを処理できること。

基本的なアプローチは以下の通りです。

(1)では、与えられた時間 $t$ から落下距離 $y$ を求めるため、時間と変位の関係式を用います。
(2)では、与えられた時間 $t$ における速さ $v$ を求めるため、時間と速度の関係式を用います。
(3)では、特定の落下距離 $y$ における速さ $v$ を求めます。この地点までの時間は不明なため、時間を含まない関係式を用いるのが効率的です。

問(1)

思考の道筋とポイント
問題文で与えられているのは、水面に達するまでの時間 $t=2.0\,\text{s}$ です。求めたいのは「水面から橋までの高さ」、つまり小球が $2.0\,\text{s}$ の間に落下した距離 $y$ です。初速度 $v_0=0$ の自由落下運動において、時間 $t$ と変位（距離） $y$ を結びつける公式を選択することが出発点となります。
この設問における重要なポイント

自由落下は、初速度 $v_0=0$、加速度 $a=g$ の等加速度直線運動である。
変位の公式 $y = v_0t + \displaystyle\frac{1}{2}at^2$ を利用する。
座標軸は、運動の向きである鉛直下向きを正とすると計算がしやすい。

具体的な解説と立式
小球の運動は自由落下なので、初速度 $v_0=0\,\text{m/s}$ です。鉛直下向きを正の向きとすると、加速度は重力加速度 $a=g=9.8\,\text{m/s}^2$ となります。
等加速度直線運動の変位（移動距離）を表す公式は、
$$ y = v_0t + \frac{1}{2}at^2 $$
です。ここに、$v_0=0$、$a=g$ を代入すると、自由落下の変位の式が得られます。
$$ y = \frac{1}{2}gt^2 $$

使用した物理公式

等加速度直線運動の変位の式: $y = v_0t + \displaystyle\frac{1}{2}at^2$

計算過程

上記で立式した $y = \displaystyle\frac{1}{2}gt^2$ に、問題文で与えられた $g=9.8\,\text{m/s}^2$、$t=2.0\,\text{s}$ を代入します。
$$
\begin{aligned}
y &= \frac{1}{2} \times 9.8 \times (2.0)^2 \\[2.0ex] &= \frac{1}{2} \times 9.8 \times 4.0 \\[2.0ex] &= 19.6
\end{aligned}
$$
問題文の数値が有効数字2桁（$2.0$、$9.8$）なので、答えも有効数字2桁で表します。$19.6$ を四捨五入して $20$ となります。
したがって、水面から橋までの高さは $20\,\text{m}$ です。

この設問の平易な説明

「静かに落とす」というのは、初速度ゼロで物体が重力に引かれて落ち始める運動のことです。この運動では、落ちる距離は「時間の2乗」に比例してどんどん増えていきます。物理の公式に、重力加速度 $g=9.8$ と時間 $t=2.0$ を当てはめることで、2秒間でどれだけの距離を落下したか（＝橋の高さ）を計算することができます。

結論と吟味

計算結果は $19.6\,\text{m}$ となり、有効数字を考慮して $20\,\text{m}$ となります。これはおよそビル5〜6階の高さに相当し、物理的に妥当な値です。

解答 (1) $20\,\text{m}$

問(2)

思考の道筋とポイント
(1)と同様に、水面に達するまでの時間 $t=2.0\,\text{s}$ が与えられています。ここで求めたいのは「水面に達する直前の速さ」$v$ です。初速度 $v_0=0$ の自由落下運動において、時間 $t$ とそのときの速さ $v$ を結びつける公式を選択します。
この設問における重要なポイント

速度の公式 $v = v_0 + at$ を利用する。
自由落下なので $v_0=0$、$a=g$ である。
重力加速度 $g=9.8\,\text{m/s}^2$ の物理的意味は「1秒あたり $9.8\,\text{m/s}$ ずつ速くなる」ということ。

具体的な解説と立式
鉛直下向きを正の向きとすると、初速度 $v_0=0\,\text{m/s}$、加速度 $a=g=9.8\,\text{m/s}^2$ です。
等加速度直線運動の速度を表す公式は、
$$ v = v_0 + at $$
です。ここに、$v_0=0$、$a=g$ を代入すると、自由落下の速度の式が得られます。
$$ v = gt $$

使用した物理公式

等加速度直線運動の速度の式: $v = v_0 + at$

計算過程

上記で立式した $v = gt$ に、$g=9.8\,\text{m/s}^2$、$t=2.0\,\text{s}$ を代入します。
$$
\begin{aligned}
v &= 9.8 \times 2.0 \\[2.0ex] &= 19.6
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えるため、$19.6$ を四捨五入して $20$ となります。
したがって、水面に達する直前の速さは $20\,\text{m/s}$ です。

この設問の平易な説明

重力加速度が $9.8\,\text{m/s}^2$ というのは、「1秒経つごとに、速さが $9.8\,\text{m/s}$ ずつ増えていく」という意味です。今回は $2.0$ 秒後の速さを知りたいので、単純に掛け算をして $9.8 \times 2.0$ で計算できます。

結論と吟味

計算結果は $19.6\,\text{m/s}$ となり、有効数字を考慮して $20\,\text{m/s}$ となります。時速に換算すると約 $72\,\text{km/h}$ であり、十分な高さから落ちた物体の速さとして妥当な値です。

解答 (2) $20\,\text{m/s}$

別解: 力学的エネルギー保存則を用いる解法

思考の道筋とポイント
運動の始点（橋の上）と終点（水面直前）の2点間で、力学的エネルギーが保存されることを利用して速さを求めます。この方法では、運動の途中経過である時間 $t$ を使う必要がありません。
この設問における重要なポイント

空気抵抗を無視すれば、重力だけが仕事をするので力学的エネルギーは保存される。
力学的エネルギー $=$ (運動エネルギー) $+$ (位置エネルギー)。
始点（橋の上）では、速さが $0$ なので運動エネルギーは $0$。
終点（水面直前）では、高さを基準 $0$ とするので位置エネルギーは $0$。

具体的な解説と立式
小球の質量を $m\,\text{[kg]}$ とし、水面を位置エネルギーの基準（高さ $0\,\text{m}$）とします。
(1)で求めた橋の高さは $h = 19.6\,\text{m}$ です。

– 始点（橋の上）での力学的エネルギー $E_{\text{始}}$

運動エネルギー: $0$

位置エネルギー: $mgh$

よって、$E_{\text{始}} = mgh$

– 終点（水面直前）での力学的エネルギー $E_{\text{終}}$

速さを $v$ とすると、運動エネルギー: $\displaystyle\frac{1}{2}mv^2$

位置エネルギー: $0$

よって、$E_{\text{終}} = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2$

力学的エネルギー保存則より $E_{\text{始}} = E_{\text{終}}$ なので、
$$ mgh = \frac{1}{2}mv^2 $$

使用した物理公式

力学的エネルギー保存則: $\displaystyle\frac{1}{2}mv^2 + mgh = (\text{一定})$

計算過程

上記で立式した $mgh = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2$ の両辺を $m$ で割り、$v$ について解きます。
$$
\begin{aligned}
gh &= \frac{1}{2}v^2 \\[2.0ex] v^2 &= 2gh \\[2.0ex] v &= \sqrt{2gh}
\end{aligned}
$$
この式に $g=9.8\,\text{m/s}^2$、$h=19.6\,\text{m}$ を代入します。
$$
\begin{aligned}
v &= \sqrt{2 \times 9.8 \times 19.6} \\[2.0ex] &= \sqrt{19.6 \times 19.6} \\[2.0ex] &= \sqrt{(19.6)^2} \\[2.0ex] &= 19.6
\end{aligned}
$$
有効数字2桁に丸めて $20\,\text{m/s}$ となります。

この設問の平易な説明

物理では、「高さ」を「速さ」に変換できると考えます。これをエネルギーの考え方と呼びます。橋の上で持っていた「高さのエネルギー」が、水面に落ちたときにはすべて「速さのエネルギー」に変わっているはずです。この「エネルギーの量が等しい」という関係式を立てることで、時間を考えなくても速さを計算することができます。

結論と吟味

主たる解法と全く同じ $19.6\,\text{m/s}$ という結果が得られました。計算の途中で質量 $m$ が消えることから、この運動が物体の質量によらないことが数式上からも確認できます。これは、運動の公式から解く方法とは異なる視点から物理現象の本質に迫るアプローチです。

解答 (2) $20\,\text{m/s}$

問(3)

思考の道筋とポイント
求めたいのは「橋の高さの中央を通過するときの速さ」です。これは、ある特定の落下距離 $y$ における速さ $v$ を求める問題です。この地点を通過するまでの時間は直接与えられていません。もちろん時間を計算してから速さを求めることも可能ですが、時間 $t$ を含まない公式 $v^2 – v_0^2 = 2ay$ を使えば、より直接的に計算できます。
この設問における重要なポイント

「橋の高さの中央」とは、落下距離が(1)で求めた全高 $h$ の半分、つまり $y = h/2$ の地点である。
時間 $t$ の情報が不要なため、$v^2 – v_0^2 = 2ay$ を利用するのが最も効率的。
速さは時間に比例するが、距離には比例しない。高さが半分になっても速さは半分にはならないことに注意。

具体的な解説と立式
鉛直下向きを正とします。初速度 $v_0=0\,\text{m/s}$、加速度 $a=g=9.8\,\text{m/s}^2$ です。
(1)で求めた橋の高さは $h=19.6\,\text{m}$ でした。したがって、高さの中央までの落下距離は、
$$ y = \frac{h}{2} = \frac{19.6}{2} = 9.8\,\text{m} $$
となります。
時間を含まない等加速度直線運動の公式は、
$$ v^2 – v_0^2 = 2ay $$
です。ここに $v_0=0$、$a=g$ を代入すると、
$$ v^2 = 2gy $$
となります。

使用した物理公式

等加速度直線運動の時間を含まない式: $v^2 – v_0^2 = 2ay$

計算過程

上記で立式した $v^2 = 2gy$ に、$g=9.8\,\text{m/s}^2$、$y=9.8\,\text{m}$ を代入します。
$$
\begin{aligned}
v^2 &= 2 \times 9.8 \times 9.8 \\[2.0ex] &= 2 \times (9.8)^2 \\[2.0ex] v &= \sqrt{2 \times (9.8)^2} \\[2.0ex] &= 9.8\sqrt{2}
\end{aligned}
$$
ここで、$\sqrt{2} \approx 1.41$ を用いて計算します。
$$
\begin{aligned}
v &\approx 9.8 \times 1.41 \\[2.0ex] &= 13.818
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えるため、小数第2位を四捨五入して $14$ となります。
したがって、求める速さは $14\,\text{m/s}$ です。

この設問の平易な説明

全行程のちょうど半分の距離まで落ちてきたときの速さを求める問題です。この地点まで何秒かかったかは分かりませんが、物理には「何メートル落ちたら、速さはいくらになるか」を直接計算できる便利な公式があります。その公式を使えば、時間を計算する手間を省いて答えを出すことができます。

結論と吟味

計算結果は約 $13.8\,\text{m/s}$ となり、有効数字を考慮して $14\,\text{m/s}$ となります。この速さは、初速度 $0\,\text{m/s}$ と最終速度 $20\,\text{m/s}$ の間にあり、妥当な値です。
ここで重要なのは、落下距離が半分でも、速さは最終速度の半分（$10\,\text{m/s}$）にはならない点です。運動の後半は前半よりも速いため、同じ距離を進むのにかかる時間が短くなります。

解答 (3) $14\,\text{m/s}$

別解: 力学的エネルギー保存則を用いる解法

思考の道筋とポイント
運動の始点（橋の上）と中間点（高さの中央）の2点間で、力学的エネルギーが保存されることを利用します。
この設問における重要なポイント

始点（橋の上）での力学的エネルギーと、中間点（高さの中央）での力学的エネルギーが等しい。
中間点では、位置エネルギーと運動エネルギーの両方を持つ。

具体的な解説と立式
小球の質量を $m\,\text{[kg]}$ とし、水面を位置エネルギーの基準（高さ $0\,\text{m}$）とします。
橋の高さは $h = 19.6\,\text{m}$ です。

– 始点（橋の上）での力学的エネルギー $E_{\text{始}}$

$E_{\text{始}} = (\text{運動エネルギー}) + (\text{位置エネルギー}) = 0 + mgh = mgh$

– 中間点（高さの中央）での力学的エネルギー $E_{\text{中}}$

この地点の高さは $h/2$、速さを $v$ とすると、

$E_{\text{中}} = (\text{運動エネルギー}) + (\text{位置エネルギー}) = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2 + mg\frac{h}{2}$

力学的エネルギー保存則より $E_{\text{始}} = E_{\text{中}}$ なので、
$$ mgh = \frac{1}{2}mv^2 + mg\frac{h}{2} $$

使用した物理公式

力学的エネルギー保存則: $\displaystyle\frac{1}{2}mv^2 + mgh = (\text{一定})$

計算過程

上記で立式した式の両辺を $m$ で割り、整理して $v$ を求めます。
$$
\begin{aligned}
gh &= \frac{1}{2}v^2 + g\frac{h}{2} \\[2.0ex] \frac{1}{2}v^2 &= gh – g\frac{h}{2} \\[2.0ex] \frac{1}{2}v^2 &= \frac{1}{2}gh \\[2.0ex] v^2 &= gh \\[2.0ex] v &= \sqrt{gh}
\end{aligned}
$$
この式に $g=9.8\,\text{m/s}^2$、$h=19.6\,\text{m}$ を代入します。
$$
\begin{aligned}
v &= \sqrt{9.8 \times 19.6} \\[2.0ex] &= \sqrt{9.8 \times (2 \times 9.8)} \\[2.0ex] &= \sqrt{2 \times (9.8)^2} \\[2.0ex] &= 9.8\sqrt{2}
\end{aligned}
$$
$\sqrt{2} \approx 1.41$ を用いて計算すると、
$$
\begin{aligned}
v &\approx 9.8 \times 1.41 \\[2.0ex] &= 13.818
\end{aligned}
$$
有効数字2桁に丸めて $14\,\text{m/s}$ となります。

この設問の平易な説明

エネルギーの考え方を使うと、この問題は「橋の上で持っていた『高さのエネルギー』のうち、半分が『速さのエネルギー』に変わったのはいつか？」という問いに読み替えられます。失われた高さのエネルギー（半分）が、そのまま運動エネルギーになった、という等式を立てることで、速さを計算できます。

結論と吟味

主たる解法と全く同じ $14\,\text{m/s}$ という結果が得られました。この解法では、「失われた位置エネルギーが運動エネルギーに変換される」という物理的なイメージがより明確になります。$mg(h/2) = \frac{1}{2}mv^2$ という途中式は、まさにこの関係を表しています。

解答 (3) $14\,\text{m/s}$

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

等加速度直線運動の法則
- 核心: この問題の根幹は、重力による運動が「加速度が一定の直線運動」であると理解し、その運動を記述する3つの公式を状況に応じて正しく使い分けることにあります。
- 理解のポイント:
  - 運動のモデル化: 現実の複雑な現象（空気抵抗など）を無視し、「自由落下」という理想的な物理モデル（初速度$0$、加速度$g$）に置き換えて考えることが物理の第一歩です。
  - 3公式の役割分担:
    - $v = v_0 + at$: 時間 $t$ から速さ $v$ を知りたいときに使う。
    - $y = v_0t + \frac{1}{2}at^2$: 時間 $t$ から距離 $y$ を知りたいときに使う。
    - $v^2 – v_0^2 = 2ay$: 時間 $t$ を介さずに、距離 $y$ と速さ $v$ の関係を知りたいときに使う。
  - 物理的意味: 加速度 $g$ は、単なる計算上の定数ではなく、「1秒あたりに速度が $g$ だけ増加する」という物理的な意味を持っています。この意味を理解していると、(2)のような問題は公式を思い出すまでもなく直感的に解けます。
力学的エネルギー保存則
- 核心: 運動を時間で追跡する「運動方程式」的な視点とは別に、「エネルギー」という量に着目し、その総和が保存されるという視点からも運動を解析できることを理解するのが重要です。
- 理解のポイント:
  - エネルギーの変換: 自由落下は、「位置エネルギー」が「運動エネルギー」に変換されていくプロセスと見なすことができます。
  - 保存則の適用条件: この法則が使えるのは、重力やばねの力のような「保存力」だけが仕事をする（または、仕事をする力が存在しない）場合に限られます。空気抵抗や摩擦力が働く場合は、エネルギーは保存されません。
  - 解法の選択: 時間が問われていない問題、特に運動の始点と終点の状態だけが重要な問題では、エネルギー保存則を用いると計算が大幅に簡略化されることが多く、強力な解法ツールとなります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

応用できる類似問題のパターン:
- 鉛直投げ上げ・投げ下ろし: 初速度 $v_0$ が $0$ でないだけで、本質は同じ等加速度直線運動です。運動の向きと重力加速度の向きに注意して、符号を正しく設定することが鍵となります（例：上向きを正とすると $a = -g$）。
- 斜方投射: 運動を水平方向（等速直線運動）と鉛直方向（鉛直投げ上げと同じ）に分解して考えます。最高点での速さ（水平成分のみになる）や、地面に落下するまでの時間などを求める問題に応用できます。
- 摩擦のない斜面を滑り落ちる運動: 重力加速度 $g$ の代わりに、斜面に沿った方向の加速度 $g\sin\theta$ を用いることで、自由落下と全く同じ公式で解くことができます。
初見の問題での着眼点:
1. 運動の種類を特定する: まず、問題文から「静かに落とした（自由落下）」「投げ上げた（鉛直投げ上げ）」「斜めに投げた（斜方投射）」など、どのような運動モデルを適用すべきかを判断します。
2. 座標軸と正の向きを設定する: 計算ミスを防ぐため、最初に「どの向きを正とするか」を自分で明確に決めます。通常は、物体の初速度の向きや、運動の主たる向きを正とすると符号の扱いが楽になります。
3. 与えられた量と求めたい量を整理する: 問題文で与えられている物理量（$v_0, t, y, g$ など）と、求めたい物理量（$v, y, t$ など）をリストアップします。
4. 最適な公式を選択する: 整理した物理量を見比べて、等加速度直線運動の3公式のうち、どの式を使えば最も少ないステップで答えにたどり着けるかを考えます。「求めたい量を含み、未知数が最も少ない式」を選ぶのが基本です。特に、「時間 $t$ が関係ない」場合は、$v^2 – v_0^2 = 2ay$ かエネルギー保存則を第一候補とします。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

速さと距離の関係の誤解:
- 誤解: 落下距離が半分になれば、速さも半分になるだろうと直感的に考えてしまう。
- 対策: (3)で見たように、速さは時間の1乗に比例し、落下距離の平方根に比例します（$v = \sqrt{2gy}$）。したがって、速さと距離は単純な比例関係にはありません。常に公式に基づいて考える癖をつけ、直感だけに頼らないようにしましょう。
有効数字の処理ミス:
- 誤解: 計算の途中で出てきた数値をそのまま答えにしてしまう。あるいは、どの桁数に合わせればよいか分からない。
- 対策: 物理の問題では、計算の精度は元となるデータ（問題文で与えられた数値）の精度を超えられません。原則として、計算結果は「問題文中の数値で、最も有効数字の桁数が少ないもの」に合わせます。この問題では $2.0\,\text{s}$ と $9.8\,\text{m/s}^2$ がどちらも2桁なので、答えも2桁にします。
平方根の計算での混乱:
- 誤解: $\sqrt{19.6}$ のような計算で、どう手計算すればよいか分からなくなり、時間を浪費する。
- 対策: ルートの計算では、中の数値を闇雲に計算するのではなく、素因数分解や平方数を見つける意識を持つことが重要です。(3)の計算過程 $\sqrt{2 \times 9.8 \times 9.8} = \sqrt{2 \times (9.8)^2} = 9.8\sqrt{2}$ のように、同じ数が2回掛かっていればルートの外に出せる、という性質を最大限に活用しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

(1)と(2)での公式選択:
- 選定理由: (1)では「時間 $t$ が分かっていて、距離 $y$ を求めたい」、(2)では「時間 $t$ が分かっていて、速さ $v$ を求めたい」という明確な目的がありました。等加速度直線運動の3公式の中で、これらの変数（$t, y$ や $t, v$）を直接結びつけるのは、それぞれ $y = \frac{1}{2}gt^2$ と $v=gt$ です。他の公式を使うと、余計な計算が必要になるため、これらが最適な選択となります。
- 適用根拠: これらの公式は、ニュートンの運動方程式 $ma=F$ を、重力 $F=mg$ の下で積分することによって導出される、数学的に厳密な関係式です。したがって、自由落下という物理モデルが適用できる状況下では、常に正しく成り立ちます。
(3)での公式選択（$v^2=2gy$）:
- 選定理由: (3)では「距離 $y$ が分かっていて、速さ $v$ を求めたい」という状況でした。この地点までの時間 $t$ は不明です。もちろん、$y=\frac{1}{2}gt^2$ から $t$ を計算し、その $t$ を $v=gt$ に代入する、という2段階の解法も可能です。しかし、$v^2=2gy$ という公式は、これら2つの式から $t$ を消去して作られたものなので、これを使えば1回の計算で済み、時間短縮と計算ミスのリスク低減につながります。
- 適用根拠: この公式は、力学的エネルギー保存則 $mgh = \frac{1}{2}mv^2$ の両辺を $m$ で割った式 $gh = \frac{1}{2}v^2$ と全く同じ形をしています（$h$ を $y$ と読み替えれば）。つまり、運動の公式とエネルギー保存則は、異なる表現でありながら同じ物理現象を記述している、という深い関係性があるのです。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

単位を書き込む習慣: 計算式の各数値に単位を書き込みながら計算を進めることで、次元のチェックができます。例えば、$v = 9.8 \, \text{m/s}^2 \times 2.0 \, \text{s} = 19.6 \, \text{m/s}$ のように、単位の部分も計算（$\text{s}^2$ と $\text{s}$ が約分されて $\text{s}$ が残る）することで、最終的に求めるべき速さの単位 $\text{m/s}$ と一致するかを確認でき、間違いに気づきやすくなります。
有効数字の処理は最後に: 計算の途中では、有効数字より1桁多く残して計算を進め、最後の最後で答えを四捨五入するようにしましょう。途中で丸めてしまうと、誤差が蓄積して最終的な答えが変わってしまう可能性があります。（例：$9.8 \times 1.41 = 13.818$ を計算する際、$1.41$ を $1.4$ に丸めてから計算すると $9.8 \times 1.4 = 13.72$ となり、最終的な答えがずれてしまいます。）
ルート計算のパターン化: 物理でよく使う平方根の近似値（$\sqrt{2} \approx 1.41$, $\sqrt{3} \approx 1.73$, $\sqrt{5} \approx 2.23$ など）は暗記しておくと計算が速くなります。また、(3)の計算のように、ルートの中に $9.8$ のような数値が出てきた場合、$9.8 = 2 \times 4.9 = 2 \times 7^2 \times 0.1$ のように分解できないか試すなど、計算を楽にする工夫を意識しましょう。この問題では $v = \sqrt{9.8 \times 19.6} = \sqrt{9.8 \times 2 \times 9.8} = 9.8\sqrt{2}$ という変形が最もスマートです。

基本例題5 鉛直投げ上げ

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

【相違点に関する注記】

本解説は、模範解答で採用されている運動の公式を用いる解法を主たる解説としつつ、以下の別解を提示します。

提示する別解
- 設問(1)の別解: 力学的エネルギー保存則を用いる解法
  - 模範解答が運動の公式から高さを求めるのに対し、別解では屋上と最高点でのエネルギー保存の関係から直接高さを導出します。
- 設問(2)および(3)の別解: 運動の対称性を利用する解法
  - 模範解答が投げ上げてから $3.0\,\text{s}$ 後の運動として一体的に扱うのに対し、別解では運動を「屋上から最高点を経て屋上に戻るまで」と「屋上から地面まで」の2段階に分割して考え、より単純な落下運動として解析します。
- 設問(3)の別解: 力学的エネルギー保存則を用いる解法
  - 模範解答が変位の公式を用いるのに対し、別解では(2)で求めた速さを利用して、屋上と地面の間でのエネルギー保存則からビルの高さを導出します。
上記の別解が有益である理由
- 物理的本質の深化: 運動の対称性やエネルギー保存則といった、運動の公式とは異なる切り口からアプローチすることで、物理現象に対する多角的な理解が深まります。
- 思考の柔軟性向上: 複雑に見える運動も、適切に分割したり、別の法則を適用したりすることで、より単純な問題に帰着させられることを学びます。これは応用問題への対応力を養う上で非常に重要です。
- 解法の選択肢拡大: 問題の条件に応じて、最も計算が楽でミスの少ない解法を選択する判断力を養うことができます。
結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、計算過程や思考の出発点が異なるだけで、最終的に得られる答えは模範解答と完全に一致します。

この問題のテーマは「鉛直投げ上げ運動の解析」です。初速度を持って重力に逆らって運動し、やがて落下に転じるという、等加速度直線運動の代表的な応用例です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

鉛直投げ上げ運動のモデル化: 初速度 $v_0$ を持ち、重力加速度 $g$ によって減速・加速する等加速度直線運動であることを理解していること。
座標軸の設定と符号の扱い: 鉛直上向きを正とするか、下向きを正とするかを最初に明確に決め、速度・変位・加速度の符号を正しく扱うことが重要です。
最高点の物理的条件: 物体が最高点に達した瞬間、その速度は一瞬 $0$ になる ($v=0$) という条件を数式に適用できること。
変位と道のりの区別: 「変位」は位置の変化（符号あり）、「道のり」は実際に動いた距離の合計（常に正）です。特に(3)では、最終的な位置（変位）とビルの高さ（大きさ）の関係を正しく理解する必要があります。

基本的なアプローチは以下の通りです。

(1)では、「最高点では速度が $0$ になる」という条件を速度の公式に適用して時間を求め、その時間を使って変位の公式から屋上からの高さを計算します。
(2)では、与えられた全体の時間 $t=3.0\,\text{s}$ を速度の公式に代入し、地面に達する直前の速度を求めます。
(3)では、全体の時間 $t=3.0\,\text{s}$ を変位の公式に代入し、屋上を原点としたときの地面の座標を求め、その大きさからビルの高さを特定します。

問(1)

思考の道筋とポイント
この設問は2つの問いからなります。「最高点に達するまでの時間」と「屋上から最高点までの高さ」です。物理における「最高点」とは、鉛直方向の速度が一瞬だけ $0$ になる点です。この $v=0$ という条件を、等加速度直線運動の公式に適用することが解法の鍵となります。
この設問における重要なポイント

座標軸を明確に設定する。ここでは、模範解答と同様にビルの屋上を原点($y=0$)とし、鉛直上向きを正の向きとする。
上記の設定では、初速度は $v_0 = +9.8\,\text{m/s}$、重力加速度は常に下向きなので $a = -g = -9.8\,\text{m/s}^2$ となる。
「最高点に達する」という条件を「速度 $v=0$ となる」と数式化する。

具体的な解説と立式
鉛直上向きを正とすると、初速度 $v_0 = 9.8\,\text{m/s}$、加速度 $a = -g = -9.8\,\text{m/s}^2$ です。
最高点では速度が $0$ になるので、$v=0$ です。
時間 $t$ と速度 $v$ の関係式 $v = v_0 + at$ に、これらの条件を代入します。
$$ 0 = v_0 – gt $$
この式を解くことで、最高点に達するまでの時間 $t$ が求まります。

次に、屋上から最高点までの高さ $h_1$ を求めます。これは、時間 $t$ の間の変位 $y$ に相当します。変位の公式 $y = v_0t + \displaystyle\frac{1}{2}at^2$ を用います。
$$ h_1 = v_0t – \frac{1}{2}gt^2 $$

使用した物理公式

等加速度直線運動の速度の式: $v = v_0 + at$
等加速度直線運動の変位の式: $y = v_0t + \displaystyle\frac{1}{2}at^2$

計算過程

まず、最高点までの時間 $t$ を求めます。
$$
\begin{aligned}
0 &= 9.8 – 9.8t \\[2.0ex] 9.8t &= 9.8 \\[2.0ex] t &= 1.0\,\text{s}
\end{aligned}
$$
次に、この時間 $t=1.0\,\text{s}$ を使って、屋上からの高さ $h_1$ を計算します。
$$
\begin{aligned}
h_1 &= 9.8 \times 1.0 – \frac{1}{2} \times 9.8 \times (1.0)^2 \\[2.0ex] &= 9.8 – 4.9 \\[2.0ex] &= 4.9\,\text{m}
\end{aligned}
$$
したがって、最高点までの時間は $1.0\,\text{s}$、屋上からの高さは $4.9\,\text{m}$ です。

この設問の平易な説明

ボールを真上に投げると、重力に邪魔されてだんだん遅くなり、てっぺんで一瞬止まってから落ちてきます。この「てっぺんで一瞬止まる」というのがポイントです。
まず、「速さがゼロになるのは何秒後か？」を計算します。それが $1.0$ 秒後でした。
次に、「じゃあ、その $1.0$ 秒間でボールはどれくらいの高さまで上がったのか？」を計算します。それが $4.9\,\text{m}$ というわけです。

結論と吟味

最高点までの時間は $1.0\,\text{s}$、屋上からの高さは $4.9\,\text{m}$ と求まりました。初速度が $9.8\,\text{m/s}$ で、重力加速度が $9.8\,\text{m/s}^2$（1秒で $9.8\,\text{m/s}$ ずつ減速する）なので、ちょうど1秒で速度が0になるというのは直感的にも理解しやすく、妥当な結果です。

解答 (1) 時間: $1.0\,\text{s}$, 高さ: $4.9\,\text{m}$

別解: 力学的エネルギー保存則を用いる解法（高さのみ）

思考の道筋とポイント
屋上から最高点までの高さは、時間を使わずに力学的エネルギー保存則からも求めることができます。運動の始点（屋上）と終点（最高点）で、(運動エネルギー) + (位置エネルギー) が等しいという式を立てます。
この設問における重要なポイント

始点（屋上）を位置エネルギーの基準（高さ $0$）とする。
始点では運動エネルギーを持ち、位置エネルギーは $0$。
終点（最高点）では速度が $0$ なので運動エネルギーは $0$ となり、位置エネルギーのみを持つ。

具体的な解説と立式
小球の質量を $m$ とします。屋上を位置エネルギーの基準（高さ $0$）とします。

– 始点（屋上）での力学的エネルギー $E_{\text{屋上}}$

$$
\begin{aligned}
E_{\text{屋上}} &= \frac{1}{2}mv_0^2 + mg \cdot 0 \\[2.0ex] &= \frac{1}{2}mv_0^2
\end{aligned}
$$
– 終点（最高点）での力学的エネルギー $E_{\text{最高点}}$

屋上からの高さを $h_1$ とすると、最高点での速度は $0$ なので、

$$
\begin{aligned}
E_{\text{最高点}} &= \frac{1}{2}m \cdot 0^2 + mgh_1 \\[2.0ex] &= mgh_1
\end{aligned}
$$
力学的エネルギー保存則より $E_{\text{屋上}} = E_{\text{最高点}}$ なので、
$$ \frac{1}{2}mv_0^2 = mgh_1 $$

使用した物理公式

力学的エネルギー保存則: $\displaystyle\frac{1}{2}mv^2 + mgh = (\text{一定})$

計算過程

上記で立式した式の両辺を $m$ で割り、$h_1$ について解きます。
$$
\begin{aligned}
h_1 &= \frac{v_0^2}{2g} \\[2.0ex] &= \frac{(9.8)^2}{2 \times 9.8} \\[2.0ex] &= \frac{9.8}{2} \\[2.0ex] &= 4.9\,\text{m}
\end{aligned}
$$
この方法は、時間 $t$ を経由せずに直接高さを求めることができる点で効率的です。

この設問の平易な説明

ボールが屋上を飛び出した瞬間に持っていた「速さのエネルギー」が、最高点に達したときにはすべて「高さのエネルギー」に姿を変えた、と考える方法です。このエネルギーの総量は変わらないはずなので、「最初の速さのエネルギー = 最後の高さのエネルギー」という等式を立てることで、高さを計算できます。

結論と吟味

主たる解法と完全に一致した $4.9\,\text{m}$ という結果が得られました。エネルギー保存則が運動の公式と同じ結果を導くことを確認できます。

解答 (1) 高さ: $4.9\,\text{m}$

問(2)

思考の道筋とポイント
求めたいのは、投げ上げてから $3.0\,\text{s}$ 後に「地面に達する直前の速さ」です。これは、時刻 $t=3.0\,\text{s}$ における速度 $v$ を計算し、その大きさ（絶対値）を答えればよい、ということになります。速度の公式 $v = v_0 + at$ を用います。
この設問における重要なポイント

速度は向きを持つ量（ベクトル）であり、計算結果の符号が向きを表す。
速さは速度の大きさなので、常に正の値（または0）である。
(1)と同様に、鉛直上向きを正とする。

具体的な解説と立式
鉛直上向きを正とすると、初速度 $v_0 = 9.8\,\text{m/s}$、加速度 $a = -g = -9.8\,\text{m/s}^2$ です。
時刻 $t=3.0\,\text{s}$ における速度 $v$ を、速度の公式 $v = v_0 + at$ を用いて求めます。
$$ v = v_0 – gt $$

使用した物理公式

等加速度直線運動の速度の式: $v = v_0 + at$

計算過程

上記で立式した式に、$v_0 = 9.8\,\text{m/s}$, $g=9.8\,\text{m/s}^2$, $t=3.0\,\text{s}$ を代入します。
$$
\begin{aligned}
v &= 9.8 – 9.8 \times 3.0 \\[2.0ex] &= 9.8 \times (1 – 3.0) \\[2.0ex] &= 9.8 \times (-2.0) \\[2.0ex] &= -19.6\,\text{m/s}
\end{aligned}
$$
ここで計算された $v = -19.6\,\text{m/s}$ は「速度」です。負の符号は、小球が鉛直下向きに運動していることを示しています。
求められているのは「速さ」なので、この速度の大きさ（絶対値）をとります。
速さは $|-19.6| = 19.6\,\text{m/s}$ です。
問題文の有効数字は2桁なので、四捨五入して $20\,\text{m/s}$ となります。

この設問の平易な説明

投げ上げてから3秒後のボールの速さを知りたい、という問題です。速度の公式に $t=3.0$ を入れて計算すると、答えがマイナスで出てきます。これは、ボールが下向きに動いていることを意味しています。「速さ」は向きを考えない大きさのことなので、マイナスを取った $19.6\,\text{m/s}$ が答えになります。

結論と吟味

地面に達する直前の速さは $20\,\text{m/s}$ と求まりました。初速度 $9.8\,\text{m/s}$ よりも速くなっており、ビルの高さ分だけ余計に落下して加速したことを考えると、物理的に妥当な結果です。

解答 (2) $20\,\text{m/s}$

問(3)

思考の道筋とポイント
求めたいのは「地面からのビルの高さ」です。これは、屋上を原点($y=0$)としたときの、地面の $y$ 座標を求めることで分かります。投げ上げてから $3.0\,\text{s}$ 後に地面に達したので、時刻 $t=3.0\,\text{s}$ における小球の変位 $y$ を計算します。
この設問における重要なポイント

屋上を原点、鉛直上向きを正としているため、屋上より下にある地面の座標は負の値になる。
ビルの高さは、この負の変位の大きさ（絶対値）に等しい。

具体的な解説と立式
鉛直上向きを正とすると、初速度 $v_0 = 9.8\,\text{m/s}$、加速度 $a = -g = -9.8\,\text{m/s}^2$ です。
時刻 $t=3.0\,\text{s}$ における変位 $y$ を、変位の公式 $y = v_0t + \displaystyle\frac{1}{2}at^2$ を用いて求めます。
$$ y = v_0t – \frac{1}{2}gt^2 $$

使用した物理公式

等加速度直線運動の変位の式: $y = v_0t + \displaystyle\frac{1}{2}at^2$

計算過程

上記で立式した式に、$v_0 = 9.8\,\text{m/s}$, $g=9.8\,\text{m/s}^2$, $t=3.0\,\text{s}$ を代入します。
$$
\begin{aligned}
y &= 9.8 \times 3.0 – \frac{1}{2} \times 9.8 \times (3.0)^2 \\[2.0ex] &= 29.4 – \frac{1}{2} \times 9.8 \times 9.0 \\[2.0ex] &= 29.4 – 4.9 \times 9.0 \\[2.0ex] &= 29.4 – 44.1 \\[2.0ex] &= -14.7\,\text{m}
\end{aligned}
$$
変位 $y = -14.7\,\text{m}$ は、小球が時刻 $t=3.0\,\text{s}$ に原点（屋上）から下向きに $14.7\,\text{m}$ の位置にあることを示しています。これが地面の位置なので、ビルの高さは $14.7\,\text{m}$ です。
有効数字2桁にそろえるため、四捨五入して $15\,\text{m}$ となります。

この設問の平易な説明

スタート地点である屋上を「高さ0メートル」の基準点とします。3秒後にボールがどこにいるかを計算すると、「マイナス14.7メートル」という結果が出ました。これは「基準点より14.7メートル下にいる」という意味です。つまり、ビルの高さが $14.7\,\text{m}$ だと分かります。

結論と吟味

ビルの高さは $15\,\text{m}$ と求まりました。およそ5階建てのビルに相当し、物理的に妥当な高さです。座標設定と変位の符号の意味を正しく理解できているかが問われる問題です。

解答 (3) $15\,\text{m}$

別解: 運動の対称性を利用する解法（設問(2), (3)）

思考の道筋とポイント
投げ上げ運動は対称的な性質を持っています。この性質を利用して、複雑な運動をより単純な運動に分割して考えるアプローチです。具体的には、運動全体を「屋上から最高点を経て、再び屋上の高さに戻るまでの運動」と「屋上から地面まで落下する運動」の2つに分けます。
この設問における重要なポイント

投げ上げ運動では、同じ高さを通過するときの速さは、上りのときと下りのときで等しい。
屋上から最高点までにかかる時間と、最高点から屋上まで戻るのにかかる時間は等しい。
したがって、屋上に戻ってきたときの小球は「下向きに初速度と同じ速さ $9.8\,\text{m/s}$ を持つ」状態とみなせる。

具体的な解説と立式
(1)より、屋上から最高点までにかかる時間は $t_1 = 1.0\,\text{s}$ でした。
運動の対称性から、最高点から再び屋上の高さまで戻ってくる時間も $1.0\,\text{s}$ です。
よって、小球が屋上の高さに戻ってくるのは、投げ上げてから $1.0 + 1.0 = 2.0\,\text{s}$ 後です。
このとき、小球の速度は、下向きに初速度と同じ大きさ、つまり $-9.8\,\text{m/s}$ となっています。

全行程の時間は $3.0\,\text{s}$ なので、屋上から地面まで落下するのにかかった時間は、
$$ t_2 = 3.0 – 2.0 = 1.0\,\text{s} $$
です。
したがって、設問(2)と(3)は、「屋上から初速度 $9.8\,\text{m/s}$ で鉛直下向きに投げ下ろした小球が、$1.0\,\text{s}$ 後に地面に達する」という、より単純な問題に置き換えることができます。

この新しい問題設定で、鉛直下向きを正として計算します。
初速度 $v_{0}’ = 9.8\,\text{m/s}$、時間 $t_2 = 1.0\,\text{s}$、加速度 $a=g=9.8\,\text{m/s}^2$ です。

– 設問(3) ビルの高さ $H$ の計算

変位の公式 $y = v_0t + \displaystyle\frac{1}{2}at^2$ を用います。
$$ H = v_{0}’ t_2 + \frac{1}{2}gt_2^2 $$
– 設問(2) 地面直前の速さ $v$ の計算

速度の公式 $v = v_0 + at$ を用います。
$$ v = v_{0}’ + gt_2 $$

使用した物理公式

等加速度直線運動の変位の式: $y = v_0t + \displaystyle\frac{1}{2}at^2$
等加速度直線運動の速度の式: $v = v_0 + at$

計算過程

– ビルの高さ $H$ の計算
$$
\begin{aligned}
H &= 9.8 \times 1.0 + \frac{1}{2} \times 9.8 \times (1.0)^2 \\[2.0ex] &= 9.8 + 4.9 \\[2.0ex] &= 14.7\,\text{m}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁に丸めて $15\,\text{m}$ となります。

– 地面直前の速さ $v$ の計算
$$
\begin{aligned}
v &= 9.8 + 9.8 \times 1.0 \\[2.0ex] &= 19.6\,\text{m/s}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁に丸めて $20\,\text{m/s}$ となります。

この設問の平易な説明

ボールが上がって下がり、再び屋上の高さに戻ってくるまでをワンセットと考えます。(1)で最高点まで1秒と分かったので、屋上に戻ってくるまでには倍の2秒かかります。
問題全体では3秒かかったので、残りの1秒間で屋上から地面まで落ちたことになります。このとき、ボールは下向きに最初のスピード($9.8\,\text{m/s}$)を持っています。
この「屋上からボールを投げ下ろす1秒間の運動」として考え直すと、ビルの高さも地面での速さも簡単に計算できます。

結論と吟味

主たる解法と全く同じ結果が得られました。運動の対称性を見抜くことで、往復運動を含む複雑な設定を、単純な片道（投げ下ろし）の運動として捉え直すことができ、計算の見通しが良くなります。これは応用問題を解く上で非常に強力な考え方です。

解答 (2) $20\,\text{m/s}$

解答 (3) $15\,\text{m}$

別解: 力学的エネルギー保存則を用いる解法（設問(3)）

思考の道筋とポイント
設問(2)で地面に達する直前の速さ $v=19.6\,\text{m/s}$ が求まっているので、これを利用して力学的エネルギー保存則からビルの高さを逆算します。運動の始点（屋上）と終点（地面）でエネルギーの式を立てます。
この設問における重要なポイント

地面を位置エネルギーの基準（高さ $0$）とする。
始点（屋上）では、運動エネルギーと、未知の高さ $H$ による位置エネルギーの両方を持つ。
終点（地面）では、位置エネルギーは $0$ となり、(2)で求めた速さによる運動エネルギーのみを持つ。

具体的な解説と立式
小球の質量を $m$、ビルの高さを $H$ とします。地面を位置エネルギーの基準（高さ $0$）とします。

– 始点（屋上）での力学的エネルギー $E_{\text{屋上}}$

初速度 $v_0=9.8\,\text{m/s}$、高さ $H$ なので、
$$ E_{\text{屋上}} = \frac{1}{2}mv_0^2 + mgH $$
– 終点（地面）での力学的エネルギー $E_{\text{地面}}$

(2)で求めた速さ $v=19.6\,\text{m/s}$、高さ $0$ なので、
$$ E_{\text{地面}} = \frac{1}{2}mv^2 + mg \cdot 0 = \frac{1}{2}mv^2 $$
力学的エネルギー保存則より $E_{\text{屋上}} = E_{\text{地面}}$ なので、
$$ \frac{1}{2}mv_0^2 + mgH = \frac{1}{2}mv^2 $$

使用した物理公式

力学的エネルギー保存則: $\displaystyle\frac{1}{2}mv^2 + mgh = (\text{一定})$

計算過程

上記で立式した式の両辺を $m$ で割り、$H$ について解きます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}v_0^2 + gH &= \frac{1}{2}v^2 \\[2.0ex] gH &= \frac{1}{2}v^2 – \frac{1}{2}v_0^2 \\[2.0ex] gH &= \frac{1}{2}(v^2 – v_0^2) \\[2.0ex] H &= \frac{v^2 – v_0^2}{2g}
\end{aligned}
$$
この式に $v=19.6\,\text{m/s}$, $v_0=9.8\,\text{m/s}$, $g=9.8\,\text{m/s}^2$ を代入します。
$$
\begin{aligned}
H &= \frac{(19.6)^2 – (9.8)^2}{2 \times 9.8} \\[2.0ex] &= \frac{(2 \times 9.8)^2 – (9.8)^2}{19.6} \\[2.0ex] &= \frac{4 \times (9.8)^2 – 1 \times (9.8)^2}{19.6} \\[2.0ex] &= \frac{3 \times (9.8)^2}{2 \times 9.8} \\[2.0ex] &= \frac{3 \times 9.8}{2} \\[2.0ex] &= 3 \times 4.9 \\[2.0ex] &= 14.7\,\text{m}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁に丸めて $15\,\text{m}$ となります。

この設問の平易な説明

(2)で地面にぶつかる直前の速さがわかったので、エネルギーの考え方を使ってビルの高さを逆算する方法です。「屋上にいたときのエネルギー（速さの分＋高さの分）」と「地面に着いたときのエネルギー（速さの分だけ）」が等しいはずだ、という式を立てます。この式で唯一わからないのがビルの高さなので、計算で求めることができます。

結論と吟味

主たる解法と完全に一致した $15\,\text{m}$ という結果が得られました。この解法は、運動の公式とエネルギー保存則という二つの異なる物理法則が、互いに矛盾なく同じ現象を記述していることを示す良い例です。

解答 (3) $15\,\text{m}$

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

座標系を伴う等加速度直線運動の法則
- 核心: この問題の根幹は、鉛直投げ上げ運動を「座標軸上の運動」として捉え、物理量（位置、速度、加速度）の「向き」を「符号（プラス・マイナス）」に正しく変換して、等加速度直線運動の公式に適用することにあります。
- 理解のポイント:
  - 座標系の設定: 物理現象を数式に落とし込むための最初の、そして最も重要なステップです。原点（基準点）と正の向きを自分で決めることで、全ての物理量が意味を持ちます。
  - 符号の意味:
    - 速度の符号: 正の向きに進んでいるか、負の向きに進んでいるかを示す。
    - 変位の符号: 原点から見て、正の向きにいるか、負の向きにいるかを示す。
    - 加速度の符号: 常に重力の向き（この問題では負）を反映する。
  - 最高点の条件: 「最高点に達する」という日本語の表現を、「速度 $v$ の鉛直成分が $0$ になる」という物理の言葉（数式）に翻訳できることが不可欠です。
変位と道のりの概念的区別
- 核心: 「変位」と「道のり（距離や高さ）」は似て非なるものです。特に往復運動では、この違いを明確に意識することがミスを防ぐ鍵となります。
- 理解のポイント:
  - 変位 ($y$): 結果が全て。スタート地点とゴール地点を直線で結んだベクトル量です。途中経過は問いません。屋上から出て地面に着いた場合、変位は屋上から地面への下向きのベクトルになります（計算結果は負）。
  - 道のり: 過程が全て。実際に物体が動いた軌跡の総距離です。常に正の値を取ります。
  - 問題との対応: (3)で求める「ビルの高さ」は、大きさなので正の値です。これは、計算で求めた最終的な「変位」の絶対値に相当します。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

応用できる類似問題のパターン:
- 斜方投射: 鉛直方向の運動は、この問題の鉛直投げ上げと全く同じです。最高点の高さやそこまでの時間、同じ高さに戻るまでの時間などを求める問題は、この問題の考え方をそのまま応用できます。
- 動く座標系からの投射（気球など）: 上昇中（または下降中）の気球から物体を放す問題では、物体の初速度は「地面に対する速度」で考える必要があります。つまり、「（気球の速度）＋（気球から見た物体の初速度）」が、運動方程式を立てる上での真の初速度 $v_0$ となります。
- 衝突問題: 投げ上げた物体が、ある高さから自由落下してくる別の物体と衝突する時刻や位置を求める問題。それぞれの物体の位置を時間の関数（$y_A(t)$, $y_B(t)$）として表し、$y_A(t) = y_B(t)$ となる時刻 $t$ を解くことで求められます。
初見の問題での着眼点:
1. 原点と正の向きを宣言する: 計算を始める前に、必ず図の隅にでも「原点は屋上、鉛直上向きを正とする」のように、自分のルールを書き込みます。これが全ての計算の基準となります。
2. 運動のフェーズを分割する: 複雑な運動は、区切り目で分割して考えると見通しが良くなります。例えば、「上昇段階」「下降段階」「出発点より下への落下段階」のように分ける、あるいは別解のように「対称性を利用して往復運動と片道運動に分ける」といった視点が有効です。
3. 物理的条件を数式化する: 「最高点に達する $\rightarrow v=0$」「地面に達する $\rightarrow y = -H$」「再び同じ高さに戻る $\rightarrow y=0$」のように、問題文のキーワードを数式条件に変換するリストを頭の中に持っておくと、スムーズに立式できます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

加速度の符号ミス:
- 誤解: 上昇中は減速するから加速度はマイナス、下降中は加速するからプラス、と考えてしまう。
- 対策: 加速度は「力の向き」で決まります。物体に働く重力は、運動のどの段階（上昇中、最高点、下降中）であっても、常に鉛直下向きです。したがって、鉛直上向きを正と定めた以上、加速度は常に $a=-g$ で一定です。これは等加速度直線運動であることの根幹なので、絶対に揺らいではいけません。
最高点での加速度の誤解:
- 誤解: 最高点では速度が $v=0$ になるので、一瞬力が働かず、加速度も $a=0$ になると思ってしまう。
- 対策: 加速度は「速度の変化の度合い」です。最高点の前後で速度の向きは「上向き」から「下向き」へと劇的に変化しています。つまり、速度変化は最大級に起きています。力が働いているからこそ速度が変化するのであり、重力が働き続けている以上、加速度も最高点で $a=-g$ のままです。
変位と高さの混同:
- 誤解: (3)で変位を計算して $y=-14.7\,\text{m}$ と出たときに、符号の意味が分からず混乱したり、マイナスのまま答えてしまったりする。
- 対策: 常に自分の設定した座標系に立ち返りましょう。「原点は屋上、上向きが正」なので、$y$ がマイナスということは「屋上より下にいる」ことを意味します。「ビルの高さ」は長さなので、正の値で答えなければなりません。したがって、変位の大きさ（絶対値）をとって $15\,\text{m}$ と答える必要があります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

(1)での公式選択（$v=v_0+at$）:
- 選定理由: 問題文の「最高点」というキーワードから、物理条件「$v=0$」を導き出します。求めたいのは「時間 $t$」です。既知の量 $v_0, a$ と、条件 $v=0$、そして未知数 $t$ を結びつける最も直接的な公式がこれだからです。
- 適用根拠: この公式は、速度が時間 $t$ の1次関数として変化するという、等加速度運動の定義そのものです。速度に関する条件から時間を求める際には、最も基本的な出発点となります。
(3)での公式選択（$y=v_0t+\frac{1}{2}at^2$）:
- 選定理由: 求めたいのは「ビルの高さ」であり、これは「時刻 $t=3.0\,\text{s}$ における変位 $y$」から分かります。既知の量 $v_0, a, t$ と、未知数 $y$ を結びつける公式がこれだからです。
- 適用根拠: この公式は、物体の位置が時間の2次関数として変化することを示しており、途中で運動の向きが変わるような往復運動であっても、出発点からの最終的な位置（変位）を正しく計算できる普遍性を持っています。
別解での対称性やエネルギー保存則の選択:
- 選定理由: 運動の公式を一体的に適用すると計算が複雑になる場合や、異なる視点から検算したい場合に有効です。特に「運動の対称性」は、往復運動の時間を半分に短縮し、問題を単純な「投げ下ろし」に変換できるため、思考のショートカットとして非常に強力です。「エネルギー保存則」は、時間を含まない関係式なので、始点と終点の速さと高さの関係だけを知りたい場合に役立ちます。
- 適用根拠: 「対称性」は、重力加速度が一定であることから数学的に保証される性質です。「エネルギー保存則」は、運動中に働く力が重力という保存力のみであるため、物理学の大原則として成り立ちます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

符号の指差し確認: 立式した $y = v_0t – \frac{1}{2}gt^2$ のような式に対し、「初速度は上向き（正）だから $+v_0t$。加速度は下向き（負）だから $-\frac{1}{2}gt^2$。よし。」というように、各項の符号が自分の設定した座標系と物理現象に合致しているか、一つ一つ確認する癖をつけましょう。
共通因数での整理: (2)の $9.8 – 9.8 \times 3.0$ や (3)の $9.8 \times 3.0 – \frac{1}{2} \times 9.8 \times (3.0)^2$ のような計算では、共通の数値（この場合は $9.8$）でくくることで、計算の手間を減らし、ミスを防ぐことができます。例えば(3)は $9.8 \times 3.0 \times (1 – \frac{1}{2} \times 3.0) = 29.4 \times (1 – 1.5) = 29.4 \times (-0.5) = -14.7$ と計算できます。
別解による検算の習慣: もし時間に余裕があれば、主たる解法で得た答えを、別解（エネルギー保存則や運動の対称性）を使って検算してみましょう。例えば(3)で求めた高さ $H=14.7\,\text{m}$ と(2)で求めた速さ $v=19.6\,\text{m/s}$ が、エネルギー保存則 $\frac{1}{2}mv_0^2 + mgH = \frac{1}{2}mv^2$ を満たすか確認する、といった作業です。答えが一致すれば、その解答に対する信頼度は格段に上がります。
物理的な妥当性の吟味: 計算結果が出たら、それが物理的にあり得るかを考えます。「ビルの高さが負になる」「地面での速さが初速度より遅くなる」「最高点までの時間が全時間より長くなる」といった結果は明らかに間違いです。最後に簡単なチェックを行うことで、致命的なミスに気づくことができます。

基本例題6 水平投射

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

【相違点に関する注記】

本解説は、模範解答で採用されている運動を水平・鉛直成分に分解する解法を主たる解説としつつ、以下の別解を提示します。

提示する別解
- 設問(3)の別解: 力学的エネルギー保存則を用いる解法
  - 模範解答が速度の水平成分と鉛直成分をそれぞれ計算し、三平方の定理を用いて合成するのに対し、別解では運動の始点（屋上）と終点（地面）におけるエネルギー保存の関係から、地面に達する直前の速さを直接導出します。
上記の別解が有益である理由
- 物理的本質の深化: 運動を「各成分の時間変化の積み重ね」として捉える視点（運動の公式）と、「系全体のエネルギー状態の変化」として捉える視点（保存則）という、二つの異なるアプローチを学ぶことで、物理現象への理解が深まります。
- 思考の柔軟性向上: 運動の途中経過（各時刻での速度や位置）が不要で、始点と終点の状態だけが重要な問題において、エネルギー保存則がいかに強力な解法ツールであるかを実感できます。
- 解法の効率化: 成分の計算やベクトルの合成といった手順を省略し、スカラー量であるエネルギーの計算だけで速さを求められるため、問題によっては計算を大幅に簡略化できます。
結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、計算過程や思考の出発点が異なるだけで、最終的に得られる答えは模範解答と完全に一致します。

この問題のテーマは「水平投射の運動解析」です。物体を水平方向に投げ出した後の放物運動を扱います。この運動を、互いに独立した2つの単純な直線運動の組み合わせとして捉えることが解析の鍵となります。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

運動の分解: 水平投射の運動を、水平方向の「等速直線運動」と鉛直方向の「自由落下運動」という2つの運動に分解して考えること。
運動の独立性: 水平方向の運動と鉛直方向の運動は、互いに影響を及ぼさないという原理を理解していること。
時間の共通性: 水平方向と鉛直方向の運動は、時間 $t$ という共通の変数によって関連付けられていること。鉛直方向に落下する時間と、水平方向に進む時間は等しい。
速度の合成: ある時刻の物体の速さは、その時刻における水平方向の速度成分と鉛直方向の速度成分を、ベクトルとして合成（三平方の定理を利用）することで求められること。

基本的なアプローチは以下の通りです。

(1)では、地面に達するまでの時間は鉛直方向の運動だけで決まるため、高さ $19.6\,\text{m}$ の自由落下運動として時間を計算します。
(2)では、(1)で求めた時間を使って、その間に水平方向（等速直線運動）にどれだけの距離を進んだかを計算します。
(3)では、(1)で求めた時間における鉛直方向の速度を計算し、常に一定である水平方向の速度と合成して、地面に達する直前の速さを求めます。

問(1)

思考の道筋とポイント
投げ出してから地面に達するまでの時間を求めます。この時間は、物体の鉛直方向の運動のみによって決まります。水平方向にどれだけ速く投げ出されたとしても、地面に達するまでの時間は、同じ高さから真下にそっと落とした場合と全く同じです。したがって、この問題は「高さ $19.6\,\text{m}$ からの自由落下」として考えることができます。
この設問における重要なポイント

鉛直方向の運動は、初速度 $0$ の自由落下運動である。
水平方向の初速度 $14.7\,\text{m/s}$ は、この設問の計算には影響しない（運動の独立性）。
座標軸は、投げ出した点を原点とし、鉛直下向きを正とすると計算が簡潔になる。

具体的な解説と立式
投げ出した点を原点とし、鉛直下向きを $y$ 軸の正の向きとします。
この設定では、鉛直方向の運動は初速度 $v_{0y}=0$、加速度 $a_y = g = 9.8\,\text{m/s}^2$ の等加速度直線運動（自由落下）となります。
地面に達したとき、鉛直方向の変位はビルの高さに等しいので $y = 19.6\,\text{m}$ です。
変位の公式 $y = v_{0y}t + \displaystyle\frac{1}{2}a_y t^2$ にこれらの値を代入します。
$$ y = \frac{1}{2}gt^2 $$

使用した物理公式

等加速度直線運動の変位の式: $y = v_0t + \displaystyle\frac{1}{2}at^2$

計算過程

上記で立式した $y = \displaystyle\frac{1}{2}gt^2$ に、$y=19.6\,\text{m}$、$g=9.8\,\text{m/s}^2$ を代入して $t$ を求めます。
$$
\begin{aligned}
19.6 &= \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2 \\[2.0ex] 19.6 &= 4.9 \times t^2 \\[2.0ex] t^2 &= \frac{19.6}{4.9} \\[2.0ex] t^2 &= 4.0
\end{aligned}
$$
$t>0$ なので、
$$ t = 2.0\,\text{s} $$
したがって、地面に達するまでの時間は $2.0\,\text{s}$ です。

この設問の平易な説明

ボールを真横に投げても、真下にそっと落としても、地面に落ちるまでの時間は同じです。これは物理の面白い法則です。なので、この問題は単純に「高さ$19.6\,\text{m}$のビルから物を落としたら何秒で地面に着くか？」という問題と同じように解くことができます。

結論と吟味

計算結果は $2.0\,\text{s}$ となりました。これは物理的に妥当な時間です。水平投射の問題では、まず鉛直方向の運動に着目して時間を求める、という流れが基本となります。

解答 (1) $2.0\,\text{s}$

問(2)

思考の道筋とポイント
小球がビルの前方何mの地点に達するか、つまり水平方向の到達距離を求めます。水平方向には重力のような力が働かないため、小球は投げ出されたときの速さ $14.7\,\text{m/s}$ のまま飛び続けます（等速直線運動）。(1)で求めた時間 $t=2.0\,\text{s}$ の間に、この一定の速さでどれだけ進んだかを計算します。
この設問における重要なポイント

水平方向の運動は、力が働かないため等速直線運動である。
水平方向の速さは、常に初速度の $v_x = 14.7\,\text{m/s}$ で一定。
(1)で求めた落下時間 $t$ を用いる。

具体的な解説と立式
投げ出した点を原点とし、水平右向きを $x$ 軸の正の向きとします。
水平方向の運動は、初速度 $v_x = 14.7\,\text{m/s}$、加速度 $a_x = 0$ の等速直線運動です。
水平到達距離 $x$ は、時間 $t$ の間に速さ $v_x$ で進んだ距離なので、
$$ x = v_x t $$

使用した物理公式

等速直線運動の距離の式: $(\text{距離}) = (\text{速さ}) \times (\text{時間})$

計算過程

上記で立式した $x = v_x t$ に、$v_x = 14.7\,\text{m/s}$、$t=2.0\,\text{s}$ を代入します。
$$
\begin{aligned}
x &= 14.7 \times 2.0 \\[2.0ex] &= 29.4\,\text{m}
\end{aligned}
$$
問題文で与えられた数値の有効数字は2桁または3桁ですが、模範解答の形式に合わせて2桁とすると、$29\,\text{m}$ となります。

この設問の平易な説明

ボールは、空中にいる $2.0$ 秒の間、水平方向には秒速 $14.7\,\text{m}$ のスピードでずっと進み続けます。なので、単純な「距離＝速さ×時間」の計算で、ビルからどれだけ離れた場所に着地したかがわかります。

結論と吟味

水平到達距離は $29.4\,\text{m}$ と求まりました。有効数字を考慮して $29\,\text{m}$ となります。このように、水平投射の運動は、時間 $t$ を共通のパラメータとして、鉛直方向と水平方向の運動を独立に扱うことで解析できます。

解答 (2) $29\,\text{m}$

問(3)

思考の道筋とポイント
地面に達する直前の小球の「速さ」を求めます。この瞬間の小球の速度は、水平方向の速度成分 $v_x$ と鉛直方向の速度成分 $v_y$ の両方を持っています。$v_x$ は常に一定ですが、$v_y$ は自由落下によって時間とともに増加します。これら2つの速度成分をベクトルとして合成し、その大きさ（速さ）を三平方の定理を用いて求めます。
この設問における重要なポイント

地面直前の速度は、水平成分 $v_x$ と鉛直成分 $v_y$ を持つ。
水平成分 $v_x$ は、初速度と同じ $14.7\,\text{m/s}$ で一定。
鉛直成分 $v_y$ は、時間 $t=2.0\,\text{s}$ 後の自由落下の速度。
速さ $v$ は、$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ で計算する。

具体的な解説と立式
地面に達する直前の時刻は $t=2.0\,\text{s}$ です。

– 水平方向の速度成分 $v_x$

等速直線運動なので、常に一定です。
$$ v_x = 14.7\,\text{m/s} $$
– 鉛直方向の速度成分 $v_y$

自由落下運動の速度の式 $v_y = gt$ を用います。
$$ v_y = gt $$
– 速さ $v$ の合成

$v_x$ と $v_y$ は互いに直交しているので、三平方の定理を用いて合成後の速さ $v$ を求めます。
$$ v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} $$

使用した物理公式

等加速度直線運動の速度の式: $v = v_0 + at$
三平方の定理

計算過程

まず、鉛直方向の速度成分 $v_y$ を求めます。$g=9.8\,\text{m/s}^2$、$t=2.0\,\text{s}$ を代入します。
$$
\begin{aligned}
v_y &= 9.8 \times 2.0 \\[2.0ex] &= 19.6\,\text{m/s}
\end{aligned}
$$
次に、$v_x = 14.7\,\text{m/s}$ と $v_y = 19.6\,\text{m/s}$ を合成して速さ $v$ を求めます。
$$
\begin{aligned}
v &= \sqrt{(14.7)^2 + (19.6)^2}
\end{aligned}
$$
ここで、数値の計算を工夫します。$14.7 = 3 \times 4.9$、$19.6 = 4 \times 4.9$ であることに気づくと、
$$
\begin{aligned}
v &= \sqrt{(3 \times 4.9)^2 + (4 \times 4.9)^2} \\[2.0ex] &= \sqrt{3^2 \times (4.9)^2 + 4^2 \times (4.9)^2} \\[2.0ex] &= \sqrt{(3^2 + 4^2) \times (4.9)^2} \\[2.0ex] &= \sqrt{(9 + 16) \times (4.9)^2} \\[2.0ex] &= \sqrt{25 \times (4.9)^2} \\[2.0ex] &= \sqrt{5^2 \times (4.9)^2} \\[2.0ex] &= 5 \times 4.9 \\[2.0ex] &= 24.5\,\text{m/s}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えると $25\,\text{m/s}$ となります。

この設問の平易な説明

地面にぶつかる瞬間、ボールは「前に進む速さ($14.7\,\text{m/s}$)」と「下に落ちる速さ($19.6\,\text{m/s}$)」の両方を持っています。この2つの速度は直角をなしているので、ピタゴラスの定理（三平方の定理）を使って、斜め方向の合成された本当の速さを計算することができます。

結論と吟味

地面に達する直前の速さは $24.5\,\text{m/s}$（有効数字2桁で $25\,\text{m/s}$）と求まりました。投げ出したときの速さ $14.7\,\text{m/s}$ よりも大きくなっており、落下によって加速したことがわかります。物理的に妥当な結果です。

解答 (3) $25\,\text{m/s}$

別解: 力学的エネルギー保存則を用いる解法

思考の道筋とポイント
運動の始点（屋上）と終点（地面）の間で、力学的エネルギー（運動エネルギーと位置エネルギーの和）が保存されることを利用して、地面に達する直前の速さ $v$ を直接求めます。この方法では、運動を成分に分解したり、時間を計算したりする必要がありません。
この設問における重要なポイント

空気抵抗を無視すれば、重力のみが仕事をするため力学的エネルギーは保存される。
位置エネルギーの基準点を明確に設定する（ここでは地面を基準とする）。
始点（屋上）では、運動エネルギーと位置エネルギーの両方を持つ。
終点（地面）では、位置エネルギーが $0$ になり、すべてが運動エネルギーに変換される。

具体的な解説と立式
小球の質量を $m$ とします。地面を位置エネルギーの基準（高さ $0$）とします。
ビルの高さは $h = 19.6\,\text{m}$、屋上での初速の速さは $v_0 = 14.7\,\text{m/s}$ です。

– 始点（屋上）での力学的エネルギー $E_{\text{始}}$

運動エネルギーと位置エネルギーの和なので、
$$ E_{\text{始}} = \frac{1}{2}mv_0^2 + mgh $$
– 終点（地面）での力学的エネルギー $E_{\text{終}}$

地面直前の速さを $v$ とすると、
$$ E_{\text{終}} = \frac{1}{2}mv^2 $$
力学的エネルギー保存則より $E_{\text{始}} = E_{\text{終}}$ なので、
$$ \frac{1}{2}mv_0^2 + mgh = \frac{1}{2}mv^2 $$

使用した物理公式

力学的エネルギー保存則: $\displaystyle\frac{1}{2}mv^2 + mgh = (\text{一定})$

計算過程

上記で立式した式の両辺を $m$ で割り、$v$ について解きます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}v_0^2 + gh &= \frac{1}{2}v^2 \\[2.0ex] v^2 &= v_0^2 + 2gh
\end{aligned}
$$
この式に、$v_0 = 14.7\,\text{m/s}$, $g=9.8\,\text{m/s}^2$, $h=19.6\,\text{m}$ を代入します。
$$
\begin{aligned}
v^2 &= (14.7)^2 + 2 \times 9.8 \times 19.6 \\[2.0ex] &= (14.7)^2 + 19.6 \times 19.6 \\[2.0ex] &= (14.7)^2 + (19.6)^2
\end{aligned}
$$
この式は、主たる解法で $v^2 = v_x^2 + v_y^2$ を計算した式と全く同じ形になっています。
（ここで $v_x = v_0$、$v_y^2 = 2gh$ という関係が成り立っています）
したがって、これ以降の計算は主たる解法と同じです。
$$
\begin{aligned}
v &= \sqrt{(14.7)^2 + (19.6)^2} \\[2.0ex] &= 24.5\,\text{m/s}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えると $25\,\text{m/s}$ となります。

この設問の平易な説明

物理には「エネルギー」という便利な考え方があります。屋上にいたときのボールが持っていた「速さのエネルギー」と「高さのエネルギー」の合計は、地面にぶつかる直前の「速さのエネルギー」と等しくなります。この「エネルギーの総量は変わらない」という法則を使うと、運動の途中の様子を考えなくても、最後の速さを一気に計算することができます。

結論と吟味

主たる解法と全く同じ $25\,\text{m/s}$ という結果が得られました。この別解は、最終的な速さだけを問う問題に対して、エネルギー保存則が非常に有効なアプローチであることを示しています。計算過程もスカラー量のみで完結するため、ベクトルの合成が苦手な場合にも有効な手段です。

解答 (3) $25\,\text{m/s}$

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

運動の分解という思考法
- 核心: 一見複雑に見える2次元の放物運動を、互いに直交する2つの単純な1次元運動、すなわち水平方向の「等速直線運動」と鉛直方向の「自由落下運動」に分解して考えること。これが、水平投射をはじめとする放物運動を解析するための最も根幹的なアプローチです。
- 理解のポイント:
  - なぜ分解できるのか: 物体に働く力が鉛直下向きの重力のみであるためです。水平方向には力が働かないので、速度は変化せず（等速直線運動）、鉛直方向には常に一定の力（重力）が働くので、一定の加速度で速度が変化します（等加速度直線運動）。
  - 独立性: 水平方向の運動と鉛直方向の運動は、互いに干渉しません。例えば、水平方向の初速度が2倍になっても、地面に落下するまでの時間は全く変わりません。
時間の共通性
- 核心: 分解された2つの独立した運動は、唯一「時間 $t$」という共通の変数によって結び付けられています。
- 理解のポイント:
  - 解法の流れ: この「時間の共通性」が、問題を解く上でのシナリオを決定します。多くの場合、「① 鉛直方向の運動（自由落下）から、落下時間 $t$ を求める」→「② その時間 $t$ を使って、水平方向の運動（等速直線運動）の距離や、その時刻の速度成分を求める」という流れになります。
  - 物理的イメージ: 物体が水平に進んでいる間、同時に鉛直方向にも落下している、というイメージを持つことが重要です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

応用できる類似問題のパターン:
- 斜方投射: 水平投射のより一般的なケースです。初速度を水平成分 $v_0 \cos\theta$ と鉛直成分 $v_0 \sin\theta$ に分解する点だけが異なります。水平方向は「等速直線運動」、鉛直方向は「鉛直投げ上げ運動」となり、この問題で使った「運動の分解」という考え方がそのまま適用できます。
- 電場中での荷電粒子の運動: 一様な電場の中に、電場の向きと垂直に荷電粒子を入射させる問題は、数学的には水平投射と全く同じ構造をしています。重力加速度 $g$ の役割を、電場による加速度 $a = \displaystyle\frac{qE}{m}$ が担うだけです。物理現象は異なりますが、解法は完全に流用できます。
- 流水中の船の運動: 川岸に対して垂直に進もうとする船の運動も、船自身の速度（等速）と川の流れの速度（等速）の合成として考えるため、運動の分解という点で共通の思考法を用います。
初見の問題での着眼点:
1. 座標軸の設定: まず、原点とx軸（水平方向）、y軸（鉛直方向）の正の向きを定めます。通常、投げ出した点を原点とし、水平方向をx軸の正、鉛直下向きをy軸の正とすると、全ての物理量が正の値となり計算が簡単になります。
2. 運動の成分別整理: 頭の中を整理するために、水平方向(x)と鉛直方向(y)に分けて、それぞれの運動の種類（等速か、等加速度か）と初期条件（初速度、加速度）を書き出すとミスが減ります。
3. 「時間」を求めることを第一目標に: 多くの場合、運動時間を求めることが問題を解く鍵となります。水平投射では、鉛直方向の落下高さから時間を求めるのが定石です。
4. 速度の合成を忘れない: 最終的な「速さ」を問われた場合は、必ず水平成分 $v_x$ と鉛直成分 $v_y$ を求めた後、三平方の定理 $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ で合成する、という最後のステップを忘れないようにしましょう。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

水平速度と落下時間の関係の誤解:
- 誤解: 水平方向の初速度が大きいほど、遠くまで飛ぶので、地面に落ちるまでの時間も長くなるだろう、と直感的に考えてしまう。
- 対策: 「落下時間は、落下する高さのみで決まる」という原理を徹底して理解しましょう。水平方向の運動と鉛直方向の運動は独立しています。同じ高さから、弾丸を水平に発射するのと同時に、もう一つの弾丸を真下に自由落下させると、両者は同時に地面に到達する、という有名な思考実験をイメージすると記憶に定着しやすくなります。
速度と速さの混同:
- 誤解: (3)で、地面に達する直前の鉛直方向の速度 $v_y = 19.6\,\text{m/s}$ を計算した時点で、これを答えとしてしまう。
- 対策: 「速度」は向きを持つベクトル量、「速さ」はその大きさであるスカラー量であることを常に意識しましょう。2次元の運動において「速さ」を問われたら、それは合成速度の大きさを意味します。必ず、水平成分と鉛直成分を合成するプロセスが必要であることを肝に銘じましょう。
三平方の定理の計算での工夫不足:
- 誤解: (3)の $\sqrt{(14.7)^2 + (19.6)^2}$ のような計算を、真正面から筆算して二乗を計算し、時間を浪費したり計算ミスをしたりする。
- 対策: 物理の入試問題で出てくる数値は、計算が楽になるように作られていることが多いです。特に三平方の定理では、有名な辺の比（3:4:5, 5:12:13, 1:√3:2など）が隠れていないか、まず疑う癖をつけましょう。$14.7$ と $19.6$ を見て、両者を割り切れる共通の数（この場合は$4.9$）を見つけ出し、比を簡単にするというテクニックは非常に有効です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

(1)での公式選択（鉛直方向の変位式）:
- 選定理由: 目的は「時間 $t$」を求めることです。問題で与えられているのは鉛直方向の情報（高さ $h$）なので、鉛直方向の運動に着目するのは自然な流れです。鉛直方向の運動は自由落下であり、既知の量（$h, g, v_{0y}=0$）と未知数 $t$ を結びつける最も直接的な公式が $h = \frac{1}{2}gt^2$ だからです。
- 適用根拠: この公式は、鉛直方向の運動が水平方向の運動とは独立に、重力という一定の力の下で行われる等加速度直線運動であることを根拠としています。
(2)での公式選択（水平方向の変位式）:
- 選定理由: 目的は水平方向の「距離 $x$」を求めることです。水平方向の運動は等速直線運動であり、その速さ $v_x$ は常に一定です。(1)で求めた「時間 $t$」が分かっているので、距離、速さ、時間を結びつける最も単純な公式 $x = v_x t$ を選択します。
- 適用根拠: 水平方向には力が作用しない（空気抵抗は無視）ため、運動量保存則から速度は一定に保たれます。これが等速直線運動であることの根拠です。
別解でのエネルギー保存則の選択:
- 選定理由: (3)で求めたいのは、地面に達する「瞬間」の速さであり、そこに至るまでの時間や軌跡といった途中経過は問いません。このように、運動の始点と終点の状態だけを結びつけたい場合に、エネルギー保存則は非常に強力なツールとなります。速度の成分分解や合成といったベクトル的な操作を回避し、スカラー量であるエネルギーだけで計算できるため、思考がシンプルになります。
- 適用根拠: 運動の過程で物体に仕事をする力は、保存力である重力のみです。したがって、系全体の力学的エネルギー（運動エネルギー＋位置エネルギー）は、運動のどの瞬間においても一定に保たれる、という物理学の大原則が適用できます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

運動の成分別・整理表の作成: 計算を始める前に、以下のような簡単な表を問題用紙の隅に書くことを習慣にしましょう。

水平方向 (x) 鉛直方向 (y)

運動の種類等速直線運動自由落下

初速度 $v_x = 14.7$ $v_{0y} = 0$

加速度 $a_x = 0$ $a_y = +g$

このように情報を視覚的に整理することで、頭がクリアになり、使うべき公式や代入する数値を間違えるリスクを大幅に減らせます。
比の活用を常に意識する: (3)の計算のように、三平方の定理を使う場面では、まず辺の比を考えましょう。$14.7 : 19.6$ を見て、両方が約 $5$ で割れそうだと気づけば、$14.7 \div 4.9 = 3$、$19.6 \div 4.9 = 4$ となり、$3:4$ の比が見つかります。したがって、斜辺の比は $5$ になるので、実際の速さは $5 \times 4.9 = 24.5$ と、複雑な二乗計算をせずに求めることができます。
単位による検算: 式を立てた後、単位だけで計算が成り立つかを確認する癖をつけましょう。例えば(1)で $t = \sqrt{2y/g}$ という式を立てた場合、ルートの中の単位は $[\text{m}] / [\text{m/s}^2] = [\text{s}^2]$ となり、ルートを外すと $[\text{s}]$ となって時間の単位と一致します。もし単位が合わなければ、その時点で式の立て間違いに気づくことができます。

	水平方向 (x)	鉛直方向 (y)
運動の種類	等速直線運動	自由落下
初速度	\(v_x = 14.7\)	\(v_{0y} = 0\)
加速度	\(a_x = 0\)	\(a_y = +g\)

基本例題7 斜方投射

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

【相違点に関する注記】

提示する別解
- 設問(3)の別解1: 水平到達距離の公式を用いる解法
  - 模範解答が最高点までの時間から全飛行時間を計算するのに対し、別解では水平到達距離を直接求める公式に値を代入して一気に計算します。
- 設問(3)の別解2: y座標が0になる条件から全飛行時間を求める解法
  - 模範解答が運動の「対称性」という物理的性質を利用するのに対し、別解では「地面に達する＝$y$座標が$0$になる」という数学的な条件から二次方程式を解いて全飛行時間を求めます。
上記の別解が有益である理由
- 物理的本質の深化: 公式の導出過程や、物理的性質（対称性）と数学的条件（$y=0$）が同じ結果を導くことへの理解が深まります。
- 思考の柔軟性向上: 一つの問題に対して、複数の視点（時間経過を追う、公式を適用する、数学的条件で解く）からアプローチする経験を積むことで、問題解決能力の幅が広がります。
- 解法の効率化: 公式を知っていれば、計算ステップを大幅に削減できる場合があることを学べます。
結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、計算過程や思考の出発点が異なるだけで、最終的に得られる答えは模範解答と完全に一致します。

この問題のテーマは「斜方投射の運動解析」です。水平投射の応用として、初速度が鉛直成分を持つ場合の放物運動を扱います。水平投射と同様に、運動を水平・鉛直の$2$方向に分解して考えるのが基本戦略です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

初速度の分解: 三角比を用いて、斜め向きの初速度 $v_0$ を水平成分 $v_{0x} = v_0 \cos\theta$ と鉛直成分 $v_{0y} = v_0 \sin\theta$ に正しく分解できること。
運動の分解と独立性: 斜方投射の運動を、水平方向の「等速直線運動」と鉛直方向の「鉛直投げ上げ運動」の組み合わせとして捉え、両者が互いに影響しないことを理解していること。
最高点の条件: 最高点では、鉛直方向の速度成分のみが一時的に $0$ になる ($v_y=0$) ことを理解していること。水平方向の速度は最高点でも $v_{0x}$ のままである。
運動の対称性: 打ち上げ地点と着地点が同じ高さの場合、上昇にかかる時間と下降にかかる時間は等しく、全飛行時間は最高点到達時間の$2$倍になるという性質を理解していること。

基本的なアプローチは以下の通りです。

(1)では、まず初速度を$x$, $y$成分に分解します。その後、水平方向は等速直線運動、鉛直方向は鉛直投げ上げ運動の公式に、与えられた時間 $t=0.20\,\text{s}$ を代入して、各成分の速度と位置を計算します。
(2)では、「最高点では鉛直方向の速度が$0$になる」という条件を、鉛直方向の速度の式に適用して時間を求めます。
(3)では、運動の対称性を利用し、(2)で求めた最高点までの時間を$2$倍して全飛行時間を求め、その時間と水平方向の一定の速度から水平到達距離を計算します。

問(1)

思考の道筋とポイント
斜方投射の解析は、まず初速度を水平($x$)成分と鉛直($y$)成分に分解することから始まります。分解した後は、$x$方向と$y$方向の運動をそれぞれ独立に考えます。与えられた時刻 $t=0.20\,\text{s}$ を、$x$方向（等速直線運動）と$y$方向（鉛直投げ上げ運動）の各公式に代入することで、その時刻の速度成分と位置座標を求めます。
この設問における重要なポイント

初速度 $v_0=40\,\text{m/s}$ を $v_{0x} = v_0 \cos 30^\circ$、$v_{0y} = v_0 \sin 30^\circ$ に分解する。
$x$方向: 速度は常に $v_{0x}$ で一定。位置は $x = v_{0x} t$。
$y$方向: 初速度 $v_{0y}$ の鉛直投げ上げ。速度は $v_y = v_{0y} – gt$、位置は $y = v_{0y}t – \frac{1}{2}gt^2$。
$\sqrt{3} \approx 1.73$ を用いて計算し、有効数字に注意する。

具体的な解説と立式
まず、初速度 $v_0 = 40\,\text{m/s}$ の$x$成分と$y$成分を求めます。
$$
\begin{aligned}
v_{0x} &= 40 \cos 30^\circ \\[2.0ex] &= 40 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \\[2.0ex] &= 20\sqrt{3}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
v_{0y} &= 40 \sin 30^\circ \\[2.0ex] &= 40 \times \frac{1}{2} \\[2.0ex] &= 20
\end{aligned}
$$
$\sqrt{3} \approx 1.73$ を用いると、$v_{0x} \approx 20 \times 1.73 = 34.6\,\text{m/s}$ となります。

時刻 $t=0.20\,\text{s}$ 後の速度と位置を各成分について計算します。

– 速度の$x$成分 $v_x$: 水平方向は等速直線運動なので、速度は常に一定です。
$$ v_x = v_{0x} $$
– 速度の$y$成分 $v_y$: 鉛直方向は鉛直投げ上げ運動なので、
$$ v_y = v_{0y} – gt $$
– 位置の$x$座標 $x$:
$$ x = v_{0x} t $$
– 位置の$y$座標 $y$:
$$ y = v_{0y}t – \frac{1}{2}gt^2 $$

使用した物理公式

等速直線運動の公式: $x = vt$
等加速度直線運動の公式: $v = v_0 + at$, $y = v_0t + \frac{1}{2}at^2$

計算過程

各値を代入して計算します。

– 速度の$x$成分 $v_x$
$$ v_x = 34.6\,\text{m/s} $$
有効数字$2$桁で $35\,\text{m/s}$ となります。

– 速度の$y$成分 $v_y$
$$
\begin{aligned}
v_y &= 20 – 9.8 \times 0.20 \\[2.0ex] &= 20 – 1.96 \\[2.0ex] &= 18.04\,\text{m/s}
\end{aligned}
$$
有効数字$2$桁で $18\,\text{m/s}$ となります。

– 位置の$x$座標 $x$
$$
\begin{aligned}
x &= 34.6 \times 0.20 \\[2.0ex] &= 6.92\,\text{m}
\end{aligned}
$$
有効数字$2$桁で $6.9\,\text{m}$ となります。

– 位置の$y$座標 $y$
$$
\begin{aligned}
y &= 20 \times 0.20 – \frac{1}{2} \times 9.8 \times (0.20)^2 \\[2.0ex] &= 4.0 – 4.9 \times 0.040 \\[2.0ex] &= 4.0 – 0.196 \\[2.0ex] &= 3.804\,\text{m}
\end{aligned}
$$
有効数字$2$桁で $3.8\,\text{m}$ となります。

この設問の平易な説明

斜めに飛ぶボールの動きを、「横に進む動き」と「縦に上がったり下がったりする動き」の$2$つに分けて考えます。まず、最初の斜め$40\,\text{m/s}$のスピードを、横方向と縦方向のスピードに分解します。
横方向はずっと同じスピードで進み、縦方向は重力でだんだん遅くなります。この$2$つのルールに従って、$0.20$秒後には「横方向の速さと位置はいくつか」「縦方向の速さと位置はいくつか」をそれぞれ計算すれば答えが出ます。

結論と吟味

計算結果は、速度の$x$, $y$成分がそれぞれ $35\,\text{m/s}$, $18\,\text{m/s}$、位置の$x$, $y$座標がそれぞれ $6.9\,\text{m}$, $3.8\,\text{m}$ となりました。打ち上げ直後なので、$y$方向の速度はまだ正であり、位置も正の値となっています。物理的に妥当な結果です。

解答 (1) 速度の$x$成分: $35\,\text{m/s}$, $y$成分: $18\,\text{m/s}$, 位置の$x$座標: $6.9\,\text{m}$, $y$座標: $3.8\,\text{m}$

問(2)

思考の道筋とポイント
打ち上げてから最高点に達するまでの時間を求めます。「最高点」とは、軌道の最も高い点であり、そこでは鉛直方向の速度成分 $v_y$ が一瞬だけ $0$ になります。この物理的な条件を、鉛直方向の速度の式に適用して時間を求めます。
この設問における重要なポイント

最高点での物理的条件は $v_y = 0$ である。
水平方向の速度 $v_x$ は最高点でも $0$ にはならず、一定のままである。
鉛直方向の運動（鉛直投げ上げ）にのみ着目して計算する。

具体的な解説と立式
鉛直方向の運動について考えます。初速度は $v_{0y} = 20\,\text{m/s}$、加速度は $a_y = -g = -9.8\,\text{m/s}^2$ です。
最高点では $v_y = 0$ となるので、速度の式 $v_y = v_{0y} – gt$ にこの条件を代入します。
$$ 0 = v_{0y} – gt $$

使用した物理公式

等加速度直線運動の速度の式: $v = v_0 + at$

計算過程

上記で立式した式を $t$ について解きます。
$$
\begin{aligned}
gt &= v_{0y} \\[2.0ex] t &= \frac{v_{0y}}{g}
\end{aligned}
$$
ここに $v_{0y} = 20\,\text{m/s}$, $g=9.8\,\text{m/s}^2$ を代入します。
$$
\begin{aligned}
t &= \frac{20}{9.8} \\[2.0ex] &= 2.040\dots\,\text{s}
\end{aligned}
$$
有効数字$2$桁で答えるため、小数第$2$位を四捨五入して $2.0\,\text{s}$ となります。

この設問の平易な説明

ボールが一番高い点に達したとき、縦方向のスピードだけが一瞬ゼロになります。縦方向の動きは、初速$20\,\text{m/s}$で真上に投げたボールと同じです。このボールのスピードが重力によってゼロになるまでの時間を計算すればよい、というわけです。

結論と吟味

最高点までの時間は $2.0\,\text{s}$ と求まりました。初速度が $20\,\text{m/s}$ で、重力加速度が約 $10\,\text{m/s}^2$ なので、約$2$秒で速度が$0$になるというのは直感とも一致し、妥当な結果です。

解答 (2) $2.0\,\text{s}$

問(3)

思考の道筋とポイント
地面に達したときの水平到達距離を求めます。打ち上げた地点と着地した地点が同じ高さであるため、この運動は対称的な放物線を描きます。したがって、最高点に達するまでの時間と、最高点から地面に落下するまでの時間は等しくなります。この「対称性」を利用して全飛行時間を求め、その時間と一定である水平速度から到達距離を計算します。
この設問における重要なポイント

運動の対称性から、全飛行時間 $T$ は最高点までの時間 $t$ の$2$倍になる ($T=2t$)。
水平方向の速度 $v_x$ は飛行中ずっと一定である。
水平到達距離 $R$ は $R = v_x T$ で計算できる。

具体的な解説と立式
(2)で求めた最高点までの時間 $t \approx 2.04\,\text{s}$ を用います。（有効数字の処理は最後の計算で行うため、途中計算では多めの桁数を使います）
運動の対称性より、全飛行時間 $T$ は、
$$ T = 2t $$
この時間 $T$ の間に、小球は水平方向に速さ $v_x$ の等速直線運動をします。水平到達距離を $R$ とすると、
$$ R = v_x T $$

使用した物理公式

等速直線運動の距離の式: $(\text{距離}) = (\text{速さ}) \times (\text{時間})$

計算過程

まず、全飛行時間 $T$ を求めます。
$$
\begin{aligned}
T &= 2 \times 2.04 \\[2.0ex] &= 4.08\,\text{s}
\end{aligned}
$$
次に、水平到達距離 $R$ を計算します。$v_x = 34.6\,\text{m/s}$ を用います。
$$
\begin{aligned}
R &= 34.6 \times 4.08 \\[2.0ex] &= 141.168\,\text{m}
\end{aligned}
$$
有効数字$2$桁で答えるため、$1.4 \times 10^2\,\text{m}$ となります。

この設問の平易な説明

ボールが上がって一番高いところまで行く時間と、そこから地面まで下りてくる時間は同じです。なので、(2)で求めた時間を$2$倍すれば、ボールが空中にいた合計時間がわかります。ボールはその間ずっと一定の横スピードで進んでいるので、「横スピード × 合計時間」で、どれだけ遠くまで飛んだかを計算できます。

結論と吟味

水平到達距離は約 $141\,\text{m}$ となり、有効数字を考慮して $1.4 \times 10^2\,\text{m}$ となります。野球のホームランのような飛距離であり、初速$40\,\text{m/s}$（時速$144\,\text{km}$）という設定を考えると、物理的に妥当な値です。

解答 (3) $1.4 \times 10^2\,\text{m}$

別解1: 水平到達距離の公式を用いる解法

思考の道筋とポイント
打ち上げ地点と着地点が同じ高さの場合に限り、水平到達距離 $R$ を直接計算できる公式 $R = \displaystyle\frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$ があります。この公式を覚えていれば、(2)の計算を経由せずに直接答えを求めることができます。
この設問における重要なポイント

公式 $R = \displaystyle\frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$ が適用できる条件（打ち上げ点と着地点が同じ高さ）を満たしていることを確認する。
三角関数の倍角の公式 $\sin(2\theta)$ を正しく計算する。

具体的な解説と立式
水平到達距離の公式は以下の通りです。
$$ R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g} $$

使用した物理公式

斜方投射の水平到達距離の公式: $R = \displaystyle\frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$

計算過程

公式に $v_0 = 40\,\text{m/s}$, $\theta = 30^\circ$, $g=9.8\,\text{m/s}^2$ を代入します。
$$
\begin{aligned}
R &= \frac{40^2 \times \sin(2 \times 30^\circ)}{9.8} \\[2.0ex] &= \frac{1600 \times \sin(60^\circ)}{9.8} \\[2.0ex] &= \frac{1600 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{9.8} \\[2.0ex] &= \frac{800\sqrt{3}}{9.8}
\end{aligned}
$$
$\sqrt{3} \approx 1.73$ を用いて計算します。
$$
\begin{aligned}
R &\approx \frac{800 \times 1.73}{9.8} \\[2.0ex] &= \frac{1384}{9.8} \\[2.0ex] &= 141.22\dots\,\text{m}
\end{aligned}
$$
有効数字$2$桁で答えると $1.4 \times 10^2\,\text{m}$ となります。

この設問の平易な説明

物理には、この問題のように「同じ高さから投げて、同じ高さに戻ってくる」という特別な場合にだけ使える、飛距離を一発で計算できる便利な公式があります。初めの速さ、角度、重力加速度をその公式に入れるだけで、時間を計算しなくても答えが出せます。

結論と吟味

主たる解法と完全に一致した結果が得られました。この公式は、時間 $t$ を消去することで導出されるため、時間を求める必要がない場合に非常に効率的です。

解答 (3) $1.4 \times 10^2\,\text{m}$

別解2: y座標が0になる条件から全飛行時間を求める解法

思考の道筋とポイント
運動の「対称性」を使わずに、より数学的に全飛行時間を求める方法です。「地面に達する」という条件は、$y$座標が再び $0$ になることと同じです。そこで、$y$座標の式 $y = v_{0y}t – \frac{1}{2}gt^2$ が $0$ になる時間を求めます。
この設問における重要なポイント

地面に達する条件は $y=0$ である。
$y=0$ となる時間についての二次方程式を解くと、解が$2$つ（$t=0$ と $t=T$）得られる。

具体的な解説と立式
鉛直方向の変位の式 $y = v_{0y}t – \frac{1}{2}gt^2$ において、地面に達する時刻 $T$ では $y=0$ となります。
$$ 0 = v_{0y}T – \frac{1}{2}gT^2 $$
この $T$ についての方程式を解きます。

使用した物理公式

等加速度直線運動の変位の式: $y = v_0t + \frac{1}{2}at^2$

計算過程

上記の方程式を $T$ で因数分解します。
$$ T \left( v_{0y} – \frac{1}{2}gT \right) = 0 $$
この方程式の解は、
$$ T=0 \quad \text{または} \quad v_{0y} – \frac{1}{2}gT = 0 $$
$T=0$ は打ち上げた瞬間の時刻なので、求める全飛行時間は後者の式から得られます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}gT &= v_{0y} \\[2.0ex] T &= \frac{2v_{0y}}{g}
\end{aligned}
$$
この式は、(2)で求めた最高点までの時間 $t = \frac{v_{0y}}{g}$ のちょうど$2$倍になっており、運動の対称性が数式の上からも確認できます。

これ以降の計算は主たる解法と同じです。
$$
\begin{aligned}
T &= \frac{2 \times 20}{9.8} \\[2.0ex] &= \frac{40}{9.8} \\[2.0ex] &\approx 4.08\,\text{s}
\end{aligned}
$$
水平到達距離 $R$ は、
$$
\begin{aligned}
R &= v_x T \\[2.0ex] &= 34.6 \times 4.08 \\[2.0ex] &\approx 141\,\text{m}
\end{aligned}
$$
有効数字$2$桁で $1.4 \times 10^2\,\text{m}$ となります。

この設問の平易な説明

「地面に戻ってくる」ということは、ボールの高さ($y$)が再び$0$になるということです。高さの式を「$=0$」とおいて、時間を計算します。すると答えが$2$つ出てきます。$1$つはスタートの「$0$秒」、もう$1$つが地面に戻ってきたときの時間です。この時間を使っても、飛距離を計算できます。

結論と吟味

主たる解法と同じ結果が得られました。この方法は、運動の対称性が使えない非対称な場合（例えば、崖の上から斜め上に投げ上げる場合など）にも応用できる、より一般的で強力な考え方です。

解答 (3) $1.4 \times 10^2\,\text{m}$

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

運動の分解と初速度の成分分解
- 核心: 斜方投射は、水平投射の考え方を一般化したものです。根幹にあるのは、斜め方向の初速度 $v_0$ を、水平($x$)成分 $v_{0x} = v_0 \cos\theta$ と鉛直($y$)成分 $v_{0y} = v_0 \sin\theta$ に分解し、$2$つの独立した運動として扱う「運動の分解」の思考法です。
- 理解のポイント:
  - 水平方向: 力が働かないため、初速度 $v_{0x}$ のままの「等速直線運動」。
  - 鉛直方向: 重力のみが働くため、初速度 $v_{0y}$ での「鉛直投げ上げ運動」。
  - 合成: これら$2$つの単純な運動が、共通の時間 $t$ の下で同時に起こることで、放物線という$2$次元の軌道が描かれます。
最高点と運動の対称性
- 核心: 斜方投射の運動を特徴づける重要な物理的性質を理解し、数式に落とし込むことが重要です。
- 理解のポイント:
  - 最高点の条件: 軌道の頂点では、上昇から下降へと転じるため、鉛直方向の速度成分のみが一時的に $0$ になります ($v_y=0$)。この条件は、最高点までの時間を求める上で決定的な役割を果たします。水平方向の速度は最高点でも変化しません。
  - 運動の対称性: 打ち上げ地点と着地点が同じ高さの場合に限り、運動は最高点を軸として左右対称になります。これにより、「上昇時間 $=$ 下降時間」となり、「全飛行時間 $=$ $2 \times$ (最高点までの時間)」という非常に便利な関係が成り立ちます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

応用できる類似問題のパターン:
- 崖の上からの斜方投射: 打ち上げ地点と着地点の高さが異なる、より一般的な問題です。この場合、運動の対称性は使えません。しかし、「地面に達する $\rightarrow$ $y$座標が崖の高さ分だけ負になる」という条件を鉛直方向の変位の式に代入し、$t$ に関する二次方程式を解くことで、全飛行時間を求めることができます（別解2の考え方を応用）。
- 水平到達距離が最大になる角度: 水平到達距離の公式 $R = \displaystyle\frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$ から、$\sin(2\theta)$ が最大値 $1$ をとるとき、つまり $2\theta=90^\circ \rightarrow \theta=45^\circ$ のときに到達距離が最大になる、という有名な結論を導く問題に応用できます。
- 特定の点を通過する条件: 「壁に当たるときの高さ」や「特定の座標 $(X, Y)$ を通過できるか」といった問題。まず、水平方向の運動 $X = v_{0x}t$ から、その地点を通過する時刻 $t$ を求め、その時刻を鉛直方向の変位の式に代入して高さ $Y$ を計算する、という手順で解くことができます。
初見の問題での着眼点:
1. 何はともあれ初速度の分解: 問題文を読んだら、まず儀式として初速度 $v_0$ を $v_{0x}$ と $v_{0y}$ に分解し、その数値を計算してメモします。これが全ての計算の基礎となります。
2. 対称性の適用の可否を判断: 打ち上げ地点と着地点の高さが同じかを確認します。同じであれば、(3)のように対称性を利用したシンプルな解法が使えます。異なる場合は、二次方程式を解く一般的なアプローチが必要になります。
3. 問われている物理量と運動の方向をリンクさせる:
  - 「最高点までの時間」$\rightarrow$ 鉛直方向の運動（$v_y=0$）に着目。
  - 「水平到達距離」$\rightarrow$ 水平方向の運動（$x = v_{0x}t$）に着目。そのためにはまず全飛行時間 $t$ が必要。
  - 「最高点の高さ」$\rightarrow$ 鉛直方向の運動（$v_y=0$ となる時間での $y$ 座標）に着目。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

最高点での速度はゼロ、という誤解:
- 誤解: 鉛直投げ上げの感覚で、最高点では物体が一瞬完全に停止する（速度がゼロになる）と考えてしまう。
- 対策: 斜方投射では、最高点でも水平方向には飛び続けています。したがって、速度がゼロになるのは鉛直成分 $v_y$ だけであり、物体の速さ（合成速度の大きさ）は $v = \sqrt{v_x^2 + 0^2} = v_x$ となり、ゼロにはなりません。スキーのジャンプ競技で、選手が最高点でも前に進んでいる様子をイメージすると分かりやすいです。
三角比の $ \cos $ と $ \sin $ の混同:
- 誤解: 水平成分と鉛直成分を分解する際に、$\cos$ と $\sin$ を逆にしてしまう。
- 対策: 角度 $\theta$ を「挟む」辺が $\cos\theta$、角度 $\theta$ の「向かい」の辺が $\sin\theta$ と、図形的な位置関係で覚えましょう。初速度のベクトルと水平軸（$x$軸）、鉛直軸（$y$軸）で直角三角形を描き、$v_{0x}$ は $\theta$ を挟む辺、$v_{0y}$ は $\theta$ の向かいの辺であることを毎回確認する癖をつけるとミスが減ります。
水平到達距離の公式の乱用:
- 誤解: 水平到達距離を求める公式 $R = \displaystyle\frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$ を、どんな状況でも使える万能なものだと思い込み、崖の上からの投射など、打ち上げ地点と着地点の高さが違う場合にも使ってしまう。
- 対策: この公式は「対称性」を前提として導出された特別な場合の公式である、と強く認識することが重要です。「打ち上げ地点と着地点が同じ高さ」という条件を満たさない限り、この公式は使えません。迷ったら、基本に立ち返り、飛行時間を計算してから水平距離を求めるという、地道で確実な方法をとりましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

(1)での公式選択（各成分の速度式・変位式）:
- 選定理由: 求めたいのは、特定の時刻 $t$ における「状態量」（速度と位置）です。運動の公式は、まさに時間 $t$ の関数としてこれらの状態量を記述するためのものです。水平方向は等速、鉛直方向は等加速度という運動モデルに従い、それぞれの公式に $t$ を代入するのは、最も直接的で論理的な選択です。
- 適用根拠: 運動の分解と独立性の原理に基づき、$2$つの$1$次元運動の公式をそれぞれ独立に適用することが物理的に正当化されます。
(2)での公式選択（鉛直方向の速度式）:
- 選定理由: 「最高点」という物理的なキーワードを「$v_y=0$」という数式条件に変換することが思考の第一歩です。この条件を使って未知の「時間 $t$」を求めたいので、$v_y$, $v_{0y}$, $g$, $t$ を含む鉛直方向の速度の式 $v_y = v_{0y} – gt$ を選ぶのが最適解となります。
- 適用根拠: 鉛直方向の運動は、初速度 $v_{0y}$ の鉛直投げ上げ運動そのものであり、その速度の時間変化を記述するこの公式を適用するのは当然です。
(3)でのアプローチ選択（対称性の利用）:
- 選定理由: 打ち上げ地点と着地点が同じ高さであることから、運動が物理的に「対称」であることを見抜きます。この物理的洞察を利用すれば、(2)で求めた時間を$2$倍するだけで全飛行時間が得られ、計算が最も簡単になります。これは、斜方投射の典型問題を解く上での定石であり、最もエレガントな解法です。
- 適用根拠: 重力加速度が一定であるため、上昇カーブと下降カーブは数学的に完全に合同な放物線の一部となります。この数学的な対称性が、物理的な時間の対称性（上昇時間＝下降時間）を保証します。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

初速度の分解と数値化を最初に: 問題を読み始めたら、計算用紙の目立つ場所に $v_{0x} = 40 \cos 30^\circ = 20\sqrt{3} \approx 34.6$、$v_{0y} = 40 \sin 30^\circ = 20$ と書き出しましょう。この値を全ての計算の基礎として使うことで、式を立てるたびに分解する手間が省け、ミスも減ります。
有効数字の扱いの徹底: 模範解答のように、途中計算では有効数字より$1$桁多く（例: $34.6$, $2.04$）残して計算を進め、最終的な答えを出す段階で初めて指定された有効数字（この問題では$2$桁）に丸める、というルールを徹底しましょう。最初から $v_x=35$ として計算すると、誤差が大きくなる可能性があります。
概算による検算:
- (2) 時間: $g \approx 10$ とすると、$t = v_{0y}/g \approx 20/10 = 2\,\text{s}$。計算結果の $2.0\,\text{s}$ とほぼ一致し、妥当であることがわかります。
- (3) 距離: $v_x \approx 35$、全飛行時間 $T \approx 2 \times 2 = 4\,\text{s}$ とすると、$R = v_x T \approx 35 \times 4 = 140\,\text{m}$。計算結果の $1.4 \times 10^2\,\text{m}$ と一致し、桁違いのミスがないことを確認できます。
文字式のまま計算を進める: (3)の別解1のように、いきなり数値を代入するのではなく、まずは文字式のまま公式を書き、最後にまとめて数値を代入する方が、計算の見通しが良くなり、途中の計算ミスを発見しやすくなります。

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基本問題

29. 自由落下

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

【相違点に関する注記】

本解説は、模範解答で採用されている自由落下の公式を個別に用いる解法を主たる解説としつつ、以下の別解を提示します。

提示する別解
- 速さの別解: 高さを先に求め、時間を含まない公式 $v^2=2gh$ を用いる解法
  - 主たる解法が時間 $t$ から直接速さ $v$ を求めるのに対し、別解ではまず時間 $t$ から高さ $h$ を求め、その $h$ を使って時間 $t$ を含まない公式から速さ $v$ を導出します。
- 高さの別解: 速さを先に求め、力学的エネルギー保存則を用いる解法
  - 主たる解法が時間 $t$ から直接高さ $h$ を求めるのに対し、別解ではまず時間 $t$ から速さ $v$ を求め、その $v$ を使って運動の前後でのエネルギー保存の関係から高さ $h$ を導出します。
上記の別解が有益である理由
- 物理法則の多角的理解: 運動を記述する公式群（運動法則）と、系の状態を記述する保存則（エネルギー保存則）という、物理学における二大アプローチを体験できます。
- 思考の柔軟性向上: 一つの問いに対して、求める順番や用いる公式を変えることで、複数の解法ルートが存在することを学び、問題解決能力の幅が広がります。
- 解法の相互関連性の確認: 異なる公式や法則を用いても同じ結論に至ることを確認することで、各物理法則が互いに矛盾なく成り立っていることへの理解が深まります。
結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、計算過程や思考の出発点が異なるだけで、最終的に得られる答えは模範解答と完全に一致します。

この問題のテーマは「自由落下運動の基本公式の適用」です。与えられた時間から、そのときの物体の速さと落下した距離を、公式を用いて正確に計算することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

自由落下の定義: 「静かに落とす」という言葉から、初速度が $0$、加速度が重力加速度 $g$ の等加速度直線運動であると正しくモデル化できること。
等加速度直線運動の公式: 速度、変位、時間の関係を表す以下の$2$つの公式を正しく選択し、適用できること。
- $v = gt$ （自由落下の場合）
- $y = \frac{1}{2}gt^2$ （自由落下の場合）
有効数字: 問題文で与えられた数値の桁数（この場合は$2$桁）に合わせて、最終的な答えを処理できること。

基本的なアプローチは以下の通りです。

まず、地面に達する直前の速さを、時間と速度の関係式を用いて求めます。
次に、ビルの高さを、時間と変位の関係式を用いて求めます。

思考の道筋とポイント
この問題は、「地面に達する直前の速さ」と「ビルの高さ」の$2$つを求めるものです。どちらも、与えられた落下時間 $t=4.0\,\text{s}$ を使って計算できます。
「静かに落とした」という記述から、この運動が初速度 $v_0=0$ の自由落下であることがわかります。自由落下の公式に $t=4.0\,\text{s}$ を代入して、速さと高さをそれぞれ計算します。
この設問における重要なポイント

自由落下は、初速度 $v_0=0$、加速度 $a=g$ の等加速度直線運動である。
座標軸は、運動の向きである鉛直下向きを正とすると計算がしやすい。
速さは $v=gt$、高さ（距離）は $h=\frac{1}{2}gt^2$ の公式をそれぞれ利用する。

具体的な解説と立式
小球の運動は自由落下なので、初速度 $v_0=0\,\text{m/s}$ です。鉛直下向きを正の向きとすると、加速度は重力加速度 $a=g=9.8\,\text{m/s}^2$ となります。

– 地面に達する直前の速さ $v$ の計算

等加速度直線運動の速度の式 $v = v_0 + at$ に、$v_0=0$, $a=g$ を代入します。
$$ v = gt $$

– ビルの高さ $h$ の計算

ビルの高さは落下距離に等しいです。等加速度直線運動の変位の式 $y = v_0t + \frac{1}{2}at^2$ に、$y=h$, $v_0=0$, $a=g$ を代入します。
$$ h = \frac{1}{2}gt^2 $$

使用した物理公式

等加速度直線運動の速度の式: $v = v_0 + at$
等加速度直線運動の変位の式: $y = v_0t + \frac{1}{2}at^2$

計算過程

– 速さ $v$ の計算

$v = gt$ に、$g=9.8\,\text{m/s}^2$、$t=4.0\,\text{s}$ を代入します。
$$
\begin{aligned}
v &= 9.8 \times 4.0 \\[2.0ex] &= 39.2\,\text{m/s}
\end{aligned}
$$
問題文の数値が有効数字$2$桁（$4.0$、$9.8$）なので、答えも有効数字$2$桁で表します。$39.2$ を四捨五入して $39$ となります。

– ビルの高さ $h$ の計算

$h = \displaystyle\frac{1}{2}gt^2$ に、$g=9.8\,\text{m/s}^2$、$t=4.0\,\text{s}$ を代入します。
$$
\begin{aligned}
h &= \frac{1}{2} \times 9.8 \times (4.0)^2 \\[2.0ex] &= 4.9 \times 16 \\[2.0ex] &= 78.4\,\text{m}
\end{aligned}
$$
有効数字$2$桁で答えるため、$78.4$ を四捨五入して $78$ となります。

この設問の平易な説明

重力加速度が $9.8\,\text{m/s}^2$ というのは、「$1$秒経つごとに、速さが $9.8\,\text{m/s}$ ずつ増えていく」という意味です。今回は $4.0$ 秒後の速さを知りたいので、単純に掛け算をして $9.8 \times 4.0$ で計算できます。
また、自由落下では、落ちる距離は「時間の$2$乗」に比例してどんどん増えていきます。物理の公式に、重力加速度 $g=9.8$ と時間 $t=4.0$ を当てはめることで、$4$秒間でどれだけの距離を落下したか（＝ビルの高さ）を計算することができます。

結論と吟味

計算結果は、速さが $39.2\,\text{m/s}$、高さが $78.4\,\text{m}$ となり、有効数字を考慮してそれぞれ $39\,\text{m/s}$、$78\,\text{m}$ となります。時速約 $140\,\text{km/h}$ で、約$20$階建て以上のビルからの落下に相当し、落下時間に $4.0\,\text{s}$ かかる状況として物理的に妥当な値です。

解答速さ: $39\,\text{m/s}$, ビルの高さ: $78\,\text{m}$

別解: 速さの別解（高さを先に求めてから）

思考の道筋とポイント
まずビルの高さ $h=78.4\,\text{m}$ を先に計算したと仮定します。この落下距離 $h$ と速さ $v$ の間には、時間 $t$ を含まない関係式 $v^2 – v_0^2 = 2ay$ が成り立ちます。これを利用して速さ $v$ を求めます。
具体的な解説と立式
自由落下の条件 $v_0=0$, $a=g$, $y=h$ を、時間を含まない公式 $v^2 – v_0^2 = 2ay$ に代入します。
$$ v^2 = 2gh $$

使用した物理公式

等加速度直線運動の時間を含まない式: $v^2 – v_0^2 = 2ay$

計算過程

上記で立式した $v^2 = 2gh$ に、$g=9.8\,\text{m/s}^2$、$h=78.4\,\text{m}$ を代入します。
$$
\begin{aligned}
v^2 &= 2 \times 9.8 \times 78.4 \\[2.0ex] &= 19.6 \times 78.4
\end{aligned}
$$
ここで $78.4 = 4 \times 19.6$ であることを利用すると、
$$
\begin{aligned}
v^2 &= 19.6 \times (4 \times 19.6) \\[2.0ex] &= 4 \times (19.6)^2 \\[2.0ex] v &= \sqrt{4 \times (19.6)^2} \\[2.0ex] &= 2 \times 19.6 \\[2.0ex] &= 39.2\,\text{m/s}
\end{aligned}
$$
有効数字$2$桁に丸めて $39\,\text{m/s}$ となり、主たる解法と一致します。

解答 (速さ) $39\,\text{m/s}$

別解: 高さの別解（速さを先に求めてから）

思考の道筋とポイント
まず地面直前の速さ $v=39.2\,\text{m/s}$ を先に計算したと仮定します。運動の始点（屋上）と終点（地面）の間で、力学的エネルギーが保存されることを利用して、ビルの高さ $h$ を求めます。
具体的な解説と立式
小球の質量を $m$ とし、地面を位置エネルギーの基準（高さ $0$）とします。

– 始点（屋上）での力学的エネルギー $E_{\text{始}}$

速さが $0$ なので運動エネルギーは $0$。位置エネルギーは $mgh$。
$$ E_{\text{始}} = mgh $$
– 終点（地面）での力学的エネルギー $E_{\text{終}}$

高さが $0$ なので位置エネルギーは $0$。運動エネルギーは $\frac{1}{2}mv^2$。
$$ E_{\text{終}} = \frac{1}{2}mv^2 $$
力学的エネルギー保存則より $E_{\text{始}} = E_{\text{終}}$ なので、
$$ mgh = \frac{1}{2}mv^2 $$

使用した物理公式

力学的エネルギー保存則: $\displaystyle\frac{1}{2}mv^2 + mgh = (\text{一定})$

計算過程

上記で立式した式の両辺を $m$ で割り、$h$ について解きます。
$$
\begin{aligned}
h &= \frac{v^2}{2g}
\end{aligned}
$$
この式に $v=39.2\,\text{m/s}$, $g=9.8\,\text{m/s}^2$ を代入します。
$$
\begin{aligned}
h &= \frac{(39.2)^2}{2 \times 9.8} \\[2.0ex] &= \frac{(39.2)^2}{19.6}
\end{aligned}
$$
ここで $39.2 = 2 \times 19.6$ であることを利用すると、
$$
\begin{aligned}
h &= \frac{(2 \times 19.6)^2}{19.6} \\[2.0ex] &= \frac{4 \times (19.6)^2}{19.6} \\[2.0ex] &= 4 \times 19.6 \\[2.0ex] &= 78.4\,\text{m}
\end{aligned}
$$
有効数字$2$桁に丸めて $78\,\text{m}$ となり、主たる解法と一致します。

解答 (ビルの高さ) $78\,\text{m}$

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

自由落下運動のモデル化と基本公式の適用
- 核心: この問題の根幹は、問題文の「静かに落とした」という記述から、この運動を「初速度$0$、加速度が重力加速度$g$の等加速度直線運動」であると正しく認識し、対応する物理公式を正確に適用することにあります。
- 理解のポイント:
  - 物理モデルへの翻訳: 「静かに落とす」 $\rightarrow$ $v_0=0$。「重力だけが働く」 $\rightarrow$ $a=g$。このように、日常的な言葉を物理の言葉（記号や数値）に変換することが物理問題を解く第一歩です。
  - $2$つの基本公式: 自由落下運動は、主に以下の$2$つの公式で記述されます。
    - $v = gt$: 時間$t$が分かっているときに、その瞬間の速さ$v$を求める。
    - $h = \frac{1}{2}gt^2$: 時間$t$が分かっているときに、その間の落下距離$h$を求める。
  - 物理的意味の理解: 公式を単なる記号の羅列として覚えるのではなく、$v=gt$は「速さは時間に比例して増える」、$h=\frac{1}{2}gt^2$は「落下距離は時間の$2$乗に比例して増える」という物理的な意味を理解していると、応用力が格段に向上します。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

応用できる類似問題のパターン:
- 鉛直投げ下ろし: 初速度$v_0$が$0$でないだけで、本質は同じ等加速度直線運動です。公式は $v = v_0 + gt$、$h = v_0t + \frac{1}{2}gt^2$ となります。
- 水平投射: この運動の鉛直方向の成分は、本問の自由落下と全く同じです。落下時間を求める際には、この問題と全く同じ計算を行います。
- 摩擦のない斜面を滑り落ちる運動: 重力加速度$g$の代わりに、斜面に沿った方向の加速度$g\sin\theta$を用いることで、自由落下と全く同じ形の公式で解くことができます。
初見の問題での着眼点:
1. 運動の種類を特定する: 問題文のキーワード（「静かに」「初速…で」など）から、運動が「自由落下」「投げ下ろし」「投げ上げ」のどれに当たるかを正確に判断します。
2. 座標軸と正の向きを設定する: 自由落下や投げ下ろしでは、運動の向きである鉛直下向きを正とすると、全ての物理量が正の値となり、計算ミスが起こりにくくなります。
3. 与えられた量と求めたい量を整理する: 問題文で与えられている物理量（この問題では$t$と$g$）と、求めたい物理量（$v$と$h$）を明確にし、それらを結びつける最適な公式を選択します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

有効数字の処理ミス:
- 誤解: 計算結果の $39.2\,\text{m/s}$ や $78.4\,\text{m}$ をそのまま答えとしてしまう。
- 対策: 物理の計算では、答えの信頼性は元になったデータの信頼性（有効数字の桁数）に依存します。問題文で与えられた数値（$4.0\,\text{s}$, $9.8\,\text{m/s}^2$）が$2$桁なので、答えも$2$桁に揃える必要があります。計算の最後に、指定された桁数に四捨五入する習慣をつけましょう。
公式の混同:
- 誤解: 速度を求めるのに $v = \frac{1}{2}gt^2$、距離を求めるのに $h=gt$ のように、時間$t$の$1$乗と$2$乗の関係を混同してしまう。
- 対策: 単位（次元）で検算する癖をつけるのが有効です。
  - 速度[$\text{m/s}$] $=$ 加速度[$\text{m/s}^2$] $\times$ 時間[$\text{s}$] $\rightarrow$ $v=gt$
  - 距離[$\text{m}$] $=$ 加速度[$\text{m/s}^2$] $\times$ 時間$^2$[$\text{s}^2$] $\rightarrow$ $h=\frac{1}{2}gt^2$
  このように、単位の計算が合うかどうかを確認することで、公式の間違いに気づくことができます。
二乗の計算ミス:
- 誤解: $4.0^2$ を $4.0 \times 2 = 8.0$ のように、$2$倍と$2$乗を混同してしまう。
- 対策: これは基本的な数学のミスですが、焦っていると起こりがちです。$4.0^2 = 4.0 \times 4.0 = 16$ であることを、落ち着いて計算しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

速さを求めるための $v=gt$:
- 選定理由: 求めたいのは「速さ $v$」で、与えられているのは「時間 $t$」です。自由落下運動において、これら$2$つの物理量を最も直接的に結びつける関係式が $v=gt$ だからです。他の公式を使うと、一度高さを求めるなど、余計なステップが必要になります。
- 適用根拠: この公式は、等加速度直線運動の基本定義式 $v=v_0+at$ に、自由落下という物理的状況（$v_0=0, a=g$）を適用したものです。したがって、このモデルが適用できる限り、この公式は常に成り立ちます。
高さを求めるための $h=\frac{1}{2}gt^2$:
- 選定理由: 求めたいのは「高さ $h$」で、与えられているのは「時間 $t$」です。これら$2$つの物理量を直接結びつける関係式が $h=\frac{1}{2}gt^2$ です。
- 適用根拠: この公式も、等加速度直線運動の変位の式 $y=v_0t+\frac{1}{2}at^2$ に、自由落下の条件を適用したものです。
別解での公式選択:
- 選定理由: 別解では、あえて直接的でないルートを選ぶことで、物理法則の多面性を探求しています。$v^2=2gh$ は時間 $t$ を含まないため、時間以外の量から速さや高さを求めたい場合に有効です。力学的エネルギー保存則は、運動の途中経過を問わず、始点と終点の状態だけで関係式を立てられる強力な法則であり、運動方程式とは異なる視点を提供してくれます。
- 適用根拠: これらの公式や法則も、自由落下という条件下では厳密に成り立ち、どのルートを通っても同じ結論に至ることで、物理法則の一貫性が示されます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

単位を書き込む習慣: 計算式の各数値に単位を書き込みながら計算を進めることで、単位の次元が合っているかを確認できます。例えば、$h = \frac{1}{2} \times 9.8 \, \text{m/s}^2 \times (4.0 \, \text{s})^2 = 78.4 \, \text{m}$ のように、単位の部分も計算（$\text{s}^2$ が打ち消し合う）することで、最終的に求めるべき距離の単位 $\text{m}$ と一致するかをチェックできます。
概算による検算: 計算を実行する前に、あるいは実行した後に、大まかな値で見積もりをしてみましょう。重力加速度 $g$ を約 $10\,\text{m/s}^2$ とすると、
- 速さ: $v \approx 10 \times 4.0 = 40\,\text{m/s}$。計算結果の $39.2\,\text{m/s}$ はこれに非常に近い。
- 高さ: $h \approx \frac{1}{2} \times 10 \times (4.0)^2 = 5 \times 16 = 80\,\text{m}$。計算結果の $78.4\,\text{m}$ はこれに非常に近い。
この一手間によって、桁違いの計算ミスを劇的に減らすことができます。
問題文の数値をマークする: 計算に必要な数値を問題文から拾い出す際に、丸で囲むなどしてマークする癖をつけましょう。これにより、数値の写し間違いや、使うべき数値を忘れるといったケアレスミスを防げます。特に、有効数字の桁数も意識してマークすると良いでしょう（例: $4.0$ は$2$桁）。

30. 自由落下

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

【相違点に関する注記】

本解説は、模範解答で採用されている自由落下の公式を用いて「時間→速さ」の順で求める解法を主たる解説としつつ、以下の別解を提示します。

提示する別解
- 別解1: 速さを先に求める解法
  - 主たる解法が時間 $t$ を経由して速さ $v$ を求めるのに対し、別解では時間を含まない公式 $v^2=2gh$ を用いて速さ $v$ を直接求め、その後、時間 $t$ を逆算します。これは模範解答に示されている別解と同じアプローチです。
- 別解2: 力学的エネルギー保存則を用いて速さを求める解法
  - 別解1が運動の公式を用いるのに対し、この別解では「位置エネルギーが運動エネルギーに変換される」というエネルギー保存の観点から速さを導出します。
上記の別解が有益である理由
- 物理法則の多角的理解: 運動を記述する公式群（運動法則）と、系の状態を記述する保存則（エネルギー保存則）という、物理学における二大アプローチを体験できます。
- 思考の柔軟性向上: 一つの問いに対して、求める順番や用いる公式を変えることで、複数の解法ルートが存在することを学び、問題解決能力の幅が広がります。
- 解法の相互関連性の確認: 異なる公式や法則を用いても同じ結論に至ることを確認することで、各物理法則が互いに矛盾なく成り立っていることへの理解が深まります。
結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、計算過程や思考の出発点が異なるだけで、最終的に得られる答えは模範解答と完全に一致します。

この問題のテーマは「自由落下運動の基本公式の適用」です。与えられた落下距離から、地面に達するまでの時間と、そのときの物体の速さを、公式を用いて正確に計算することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

自由落下の定義: 「自由落下」という言葉から、初速度が $0$、加速度が重力加速度 $g$ の等加速度直線運動であると正しくモデル化できること。
等加速度直線運動の公式: 速度、変位、時間の関係を表す以下の$3$つの公式を、状況に応じて正しく選択し、適用できること。
- $y = \frac{1}{2}gt^2$ （自由落下の場合）
- $v = gt$ （自由落下の場合）
- $v^2 = 2gy$ （自由落下の場合）
有効数字: 問題文で与えられた数値の桁数に合わせて、最終的な答えを処理できること。

基本的なアプローチは以下の通りです。

まず、与えられた高さから、変位の公式を用いて地面に達するまでの時間を求めます。
次に、求めた時間を使って、速度の公式から地面に達する直前の速さを求めます。

思考の道筋とポイント
この問題は、「地面に達するまでの時間」と「地面に達する直前の速さ」の$2$つを求めるものです。与えられているのは、落下する高さ $h=44.1\,\text{m}$ です。
まず、高さ $h$ と時間 $t$ を結びつける自由落下の公式を用いて時間を計算します。次に、求まった時間 $t$ を使って、時間 $t$ と速さ $v$ を結びつける公式から速さを計算します。
この設問における重要なポイント

「自由落下」なので、初速度 $v_0=0$。
座標軸は、運動の向きである鉛直下向きを正とすると計算がしやすい。
変位の公式 $y = \frac{1}{2}gt^2$ を使って時間を求める。
速度の公式 $v = gt$ を使って速さを求める。

具体的な解説と立式
小球の運動は自由落下なので、初速度 $v_0=0\,\text{m/s}$ です。ビルの屋上を原点とし、鉛直下向きを正の向きとすると、加速度は重力加速度 $a=g=9.8\,\text{m/s}^2$ となります。地面の座標は $y=h=44.1\,\text{m}$ です。

– 地面に達するまでの時間 $t$ の計算

等加速度直線運動の変位の式 $y = v_0t + \frac{1}{2}at^2$ に、$y=h$, $v_0=0$, $a=g$ を代入します。
$$ h = \frac{1}{2}gt^2 $$

– 地面に達する直前の速さ $v$ の計算

時間 $t$ が求まった後、等加速度直線運動の速度の式 $v = v_0 + at$ に、$v_0=0$, $a=g$ を代入します。
$$ v = gt $$

使用した物理公式

等加速度直線運動の変位の式: $y = v_0t + \frac{1}{2}at^2$
等加速度直線運動の速度の式: $v = v_0 + at$

計算過程

– 時間 $t$ の計算

$h = \frac{1}{2}gt^2$ を $t^2$ について解き、値を代入します。
$$
\begin{aligned}
t^2 &= \frac{2h}{g} \\[2.0ex] &= \frac{2 \times 44.1}{9.8} \\[2.0ex] &= \frac{88.2}{9.8} \\[2.0ex] &= 9.0
\end{aligned}
$$
$t>0$ なので、
$$ t = 3.0\,\text{s} $$

– 速さ $v$ の計算

$v = gt$ に、$g=9.8\,\text{m/s}^2$、$t=3.0\,\text{s}$ を代入します。
$$
\begin{aligned}
v &= 9.8 \times 3.0 \\[2.0ex] &= 29.4\,\text{m/s}
\end{aligned}
$$
問題文の数値の有効数字は$2$桁または$3$桁ですが、模範解答に合わせて$2$桁とすると、$29\,\text{m/s}$ となります。

この設問の平易な説明

この問題は、「高さ$44.1\,\text{m}$のビルから物を落としたら、地面に着くのは何秒後で、そのときの速さはいくらか？」という問いです。
まず、物理の公式を使って、$44.1\,\text{m}$ 落ちるのにかかる時間を計算します。それが $3.0$ 秒でした。
次に、重力によって $3.0$ 秒間加速され続けた結果、速さがいくらになったかを計算します。

結論と吟味

計算結果は、時間が $3.0\,\text{s}$、速さが $29.4\,\text{m/s}$ となりました。有効数字を考慮して、それぞれ $3.0\,\text{s}$、$29\,\text{m/s}$ となります。物理的に妥当な値です。

解答時間: $3.0\,\text{s}$, 速さ: $29\,\text{m/s}$

別解: 速さを先に求める解法

思考の道筋とポイント
与えられた高さ $h$ から、時間 $t$ を計算せずに、地面に達する直前の速さ $v$ を直接求めることができます。そのためには、時間を含まない公式 $v^2=2gh$ を利用します。速さが求まった後、その速さに達するまでの時間を $v=gt$ から逆算します。
この設問における重要なポイント

時間 $t$ の情報が不要な場合、$v^2=2gh$ は非常に強力な公式である。
求める順番を逆にしても、同じ答えにたどり着く。

具体的な解説と立式
– 地面に達する直前の速さ $v$ の計算

自由落下の条件 $v_0=0$, $a=g$, $y=h$ を、時間を含まない公式 $v^2 – v_0^2 = 2ay$ に代入します。
$$ v^2 = 2gh $$

– 地面に達するまでの時間 $t$ の計算

速さ $v$ が求まった後、速度の式 $v=gt$ を $t$ について解きます。
$$ t = \frac{v}{g} $$

使用した物理公式

等加速度直線運動の時間を含まない式: $v^2 – v_0^2 = 2ay$
等加速度直線運動の速度の式: $v = v_0 + at$

計算過程

– 速さ $v$ の計算

$v^2 = 2gh$ に、$g=9.8\,\text{m/s}^2$、$h=44.1\,\text{m}$ を代入します。
$$
\begin{aligned}
v^2 &= 2 \times 9.8 \times 44.1 \\[2.0ex] &= 19.6 \times 44.1
\end{aligned}
$$
ここで $19.6 = 4 \times 4.9$, $44.1 = 9 \times 4.9$ と分解すると、
$$
\begin{aligned}
v^2 &= (4 \times 4.9) \times (9 \times 4.9) \\[2.0ex] &= 36 \times (4.9)^2 \\[2.0ex] v &= \sqrt{36 \times (4.9)^2} \\[2.0ex] &= 6 \times 4.9 \\[2.0ex] &= 29.4\,\text{m/s}
\end{aligned}
$$
有効数字$2$桁で $29\,\text{m/s}$ となります。

– 時間 $t$ の計算

$t = v/g$ に、$v=29.4\,\text{m/s}$, $g=9.8\,\text{m/s}^2$ を代入します。
$$
\begin{aligned}
t &= \frac{29.4}{9.8} \\[2.0ex] &= 3.0\,\text{s}
\end{aligned}
$$

この設問の平易な説明

この解き方では、まず「高さ$44.1\,\text{m}$から落ちた物体の速さはいくらになるか」を、時間を考えずに直接計算します。その結果、速さが $29.4\,\text{m/s}$ だとわかりました。
次に、「重力で加速して速さが $29.4\,\text{m/s}$ になるには、何秒かかるか」を逆算して、時間を求めます。

結論と吟味

主たる解法と全く同じ結果が得られました。問題によってはこちらの解法の方が計算が楽な場合もあり、解法の選択肢として持っておくと非常に有効です。

解答時間: $3.0\,\text{s}$, 速さ: $29\,\text{m/s}$

別解: 力学的エネルギー保存則を用いて速さを求める

思考の道筋とポイント
速さを求める部分について、運動の公式の代わりに力学的エネルギー保存則を用いるアプローチです。運動の始点（屋上）と終点（地面）の間で、力学的エネルギーが保存されることを利用して、地面に達する直前の速さ $v$ を求めます。
具体的な解説と立式
小球の質量を $m$ とし、地面を位置エネルギーの基準（高さ $0$）とします。ビルの高さを $h=44.1\,\text{m}$ とします。

– 始点（屋上）での力学的エネルギー $E_{\text{始}}$

速さが $0$ なので運動エネルギーは $0$。位置エネルギーは $mgh$。
$$ E_{\text{始}} = mgh $$
– 終点（地面）での力学的エネルギー $E_{\text{終}}$

使用した物理公式

力学的エネルギー保存則: $\displaystyle\frac{1}{2}mv^2 + mgh = (\text{一定})$

計算過程

上記で立式した式の両辺を $m$ で割り、$v^2$ について解くと、
$$ v^2 = 2gh $$
となり、これは時間を含まない運動の公式と全く同じ形です。これ以降の計算は、前の別解と全く同じになり、$v=29.4\,\text{m/s}$ が得られます。

この設問の平易な説明

物理には「エネルギー」という便利な考え方があります。屋上にいたときのボールが持っていた「高さのエネルギー」は、地面にぶつかる直前にはすべて「速さのエネルギー」に変わっています。この「エネルギーの量が等しい」という法則を使うと、運動の途中の様子を考えなくても、最後の速さを計算することができます。

結論と吟味

運動の公式 $v^2=2gh$ と力学的エネルギー保存則が、形は違えど同じ物理現象を表していることがわかります。異なる物理法則から同じ結論が導かれることを確認するのは、理解を深める上で非常に有益です。

解答 (速さ) $29\,\text{m/s}$

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

自由落下運動のモデル化と基本公式の選択
- 核心: この問題の根幹は、与えられた物理量（今回は高さ）から、未知の物理量（時間と速さ）を求めるために、自由落下運動を記述する$3$つの公式の中から最適なものを論理的に選択し、適用することにあります。
- 理解のポイント:
  - 物理モデルへの翻訳: 「自由落下」 $\rightarrow$ $v_0=0$, $a=g$。この変換がすべての出発点です。
  - $3$公式の役割分担と選択:
    - $h = \frac{1}{2}gt^2$: 高さ$h$と時間$t$の関係。今回は$h$から$t$を求めるためにこれを選択します。
    - $v = gt$: 速さ$v$と時間$t$の関係。$t$が分かれば$v$を求められます。
    - $v^2 = 2gh$: 速さ$v$と高さ$h$の関係。時間を介さずに$h$から$v$を直接求めたい場合に最適です。
  - 解法のルート設計: この問題では、「$h \rightarrow t \rightarrow v$」というルート（主たる解法）と、「$h \rightarrow v \rightarrow t$」というルート（別解）の$2$通りが考えられます。どちらのルートでも解けることを理解するのが重要です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

応用できる類似問題のパターン:
- 月面や他の惑星での自由落下: 重力加速度$g$の値が変わるだけで、全く同じ公式と考え方が適用できます。
- 制動距離の計算: 一定の加速度（マイナス）で減速する自動車の運動は、数学的には等加速度直線運動であり、ブレーキをかけてから止まるまでの時間や距離を求める問題に応用できます。
- 空気抵抗を考慮した落下運動（発展）: 終端速度に達するような、より現実的な落下運動を考える問題の基礎となります。
初見の問題での着眼点:
1. 与えられた量と求めたい量を明確にする: 問題文から「既知の量」($h=44.1\,\text{m}$, $g=9.8\,\text{m/s}^2$, $v_0=0$)と「未知の量」($t$, $v$)をリストアップします。
2. 最適な公式を検索する: リストアップした量を見比べ、未知数が$1$つだけで解ける公式を探します。
  - $t$を求めたい $\rightarrow$ 既知の$h, g, v_0$と未知の$t$を含む公式は $h = \frac{1}{2}gt^2$。これを使えば$t$が求まる。
  - $v$を求めたい $\rightarrow$ 既知の$h, g, v_0$と未知の$v$を含む公式は $v^2 = 2gh$。これを使えば$v$が直接求まる。
3. 解法のルートを決定する: 上記の検討から、「まず$t$を求める」か「まず$v$を求める」か、計算が楽そうな方から着手します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

有効数字の判断ミス:
- 誤解: $44.1\,\text{m}$（$3$桁）と $9.8\,\text{m/s}^2$（$2$桁）が混在しているため、答えを何桁にすればよいか混乱する。
- 対策: 計算に用いる数値のうち、「最も有効数字の桁数が少ないもの」に合わせるのが原則です。この問題では $9.8\,\text{m/s}^2$ が$2$桁なので、最終的な答えも$2$桁（$3.0\,\text{s}$, $29\,\text{m/s}$）に揃えます。ただし、$t^2=9.0$ から $t=3.0$ のように、計算結果がちょうど有効数字$2$桁になる場合もあります。
平方根の計算ミス:
- 誤解: $t^2=9.0$ から $t=\pm3.0$ と数学的に解いた後、物理的な意味を考えずに両方を答えの候補としてしまう。
- 対策: 時間 $t$ は、運動の開始（$t=0$）から過去に遡ることはないので、負の値は物理的に意味を持ちません。したがって、必ず正の解を選ぶ、という物理的な制約を常に意識しましょう。
公式の適用ミス:
- 誤解: 初速度がある「投げ下ろし」の問題なのに、自由落下の公式 $v=gt$ や $h=\frac{1}{2}gt^2$ を誤って使ってしまう。
- 対策: 問題文の「静かに」「自由落下」といったキーワードを注意深く読み、初速度が$0$であることを確認してから公式を選択する癖をつけましょう。初速度がある場合は、必ず $v=v_0+gt$ や $h=v_0t+\frac{1}{2}gt^2$ を使う必要があります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

時間を求めるための $h=\frac{1}{2}gt^2$:
- 選定理由: 求めたいのは「時間 $t$」で、与えられているのは「高さ $h$」です。自由落下運動において、これら$2$つの物理量を最も直接的に結びつける関係式が $h=\frac{1}{2}gt^2$ だからです。
- 適用根拠: この公式は、等加速度直線運動の変位の式 $y=v_0t+\frac{1}{2}at^2$ に、自由落下という物理的状況（$v_0=0, a=g$）を適用したものであり、論理的に正しい選択です。
速さを求めるための $v=gt$:
- 選定理由: 主たる解法では、先に「時間 $t$」が求まっています。求めたい「速さ $v$」と、既知となった「時間 $t$」を結びつける最も単純な式が $v=gt$ だからです。
- 適用根拠: 等加速度直線運動の速度の式 $v=v_0+at$ に自由落下の条件を適用したものであり、これも正しい選択です。
別解での $v^2=2gh$ の選択:
- 選定理由: この公式の最大の利点は「時間を変数として含まない」ことです。与えられた「高さ $h$」から直接「速さ $v$」を求めたい場合、時間を計算するステップを省略できるため、計算が速く、かつ時間の計算ミスが速さの答えに影響するのを防げます。
- 適用根拠: この公式は、$h=\frac{1}{2}gt^2$ と $v=gt$ から $t$ を消去して導出される関係式です。また、力学的エネルギー保存則 $mgh=\frac{1}{2}mv^2$ と数学的に等価であり、異なる物理法則の視点からもその正しさが保証されています。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

数値の分解による平方根計算: 別解で $v^2 = 2 \times 9.8 \times 44.1$ を計算する際、真正面から掛け算をすると $864.36$ となり、その平方根を求めるのは大変です。模範解答のように、$9.8 = 2 \times 4.9$、$44.1 = 9 \times 4.9$ のように、共通の因数や平方数に分解する癖をつけると、計算が劇的に楽になります。$v^2 = (2 \times 2 \times 4.9) \times (9 \times 4.9) = 4 \times 9 \times (4.9)^2 = 36 \times (4.9)^2$ と変形すれば、暗算で $v = 6 \times 4.9 = 29.4$ と導けます。
概算による検算: 重力加速度 $g$ を約 $10\,\text{m/s}^2$、高さ $h$ を約 $45\,\text{m}$ として大まかな値を見積もりましょう。
- 時間: $h \approx \frac{1}{2}gt^2 \rightarrow 45 \approx 5t^2 \rightarrow t^2 \approx 9 \rightarrow t \approx 3\,\text{s}$。計算結果の $3.0\,\text{s}$ と一致します。
- 速さ: $v \approx gt \approx 10 \times 3 = 30\,\text{m/s}$。計算結果の $29.4\,\text{m/s}$ とほぼ一致します。
この簡単なチェックで、桁違いのミスを防ぐことができます。
逆算による検算: 求めた答えを使って、元の条件が再現できるかを確認するのも有効です。例えば、求めた $t=3.0\,\text{s}$ と $v=29.4\,\text{m/s}$ を使って、$h = \frac{vt}{2} = \frac{29.4 \times 3.0}{2} = 44.1\,\text{m}$ （これは等加速度運動の平均の速さを用いた公式）となり、問題文の高さと一致することを確認できます。

31. 自由落下に要する時間

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

【相違点に関する注記】

本解説は、模範解答で採用されている「全体の時間から前半の時間を引く」解法を主たる解説としつつ、以下の別解を提示します。

提示する別解
- 設問(3)の別解: 後半の区間に着目し、等加速度直線運動の公式から直接時間を求める解法
  - 模範解答が時間の引き算で求めるのに対し、別解では後半の区間の初速度（中間地点での速度）を求め、その区間だけで運動の公式を適用して直接時間を導出します。
上記の別解が有益である理由
- 物理的本質の深化: 運動を任意の区間で区切って解析する能力が養われます。特に、後半の運動が初速度のある「鉛直投げ下ろし」と同じモデルになることを理解できます。
- 思考の柔軟性向上: 一つの問題に対して、直接求めるアプローチ（別解）と、差分で求めるアプローチ（主たる解法）の両方を経験することで、問題解決の選択肢が広がります。
- 計算練習: 二次方程式の解法など、数学的なスキルを物理問題に応用する良い練習になります。
結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、計算過程や思考の出発点が異なるだけで、最終的に得られる答えは模範解答と完全に一致します。

この問題のテーマは「自由落下運動における距離と時間の関係の定量的理解」です。落下距離が時間に単純比例するのではなく、時間の$2$乗に比例するという非線形な関係を、文字式を通して深く理解することが狙いです。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

自由落下の変位の公式: 落下距離 $y$ と時間 $t$ の関係式 $y = \frac{1}{2}gt^2$ を正しく理解し、適用できること。
非線形な関係の理解: 落下距離が$2$倍になっても、かかる時間は$2$倍にはならず、$\sqrt{2}$倍になるという、平方根に比例する関係を数式から読み取れること。
文字式による計算:具体的な数値ではなく、$h$ や $g$ といった文字のまま計算を進め、物理的な関係を一般的に表現する能力。

基本的なアプローチは以下の通りです。

(1)では、落下距離が $h$ の場合に要する時間を、変位の公式を $t$ について解くことで求めます。
(2)では、落下距離が $\frac{h}{2}$ の場合に要する時間を、(1)と同様に公式を適用して求めます。
(3)では、(1)で求めた全体の時間から、(2)で求めた前半部分の時間を引き算することで、後半部分にかかる時間を求めます。

問(1)

思考の道筋とポイント
小球が距離 $h$[$\text{m}$] を自由落下するのに要する時間を求めます。これは、自由落下の変位の公式 $y = \frac{1}{2}gt^2$ に、落下距離 $y=h$ を代入し、時間 $t$ について解くことで求められます。
この設問における重要なポイント

自由落下なので初速度は $0$。
変位の公式 $y = \frac{1}{2}gt^2$ を用いる。
文字式のまま $t$ について解く。

具体的な解説と立式
小球の最初の位置を原点とし、鉛直下向きを正の向きとします。
小球が $h$[$\text{m}$] 落下するのに要する時間を $t_1$[$\text{s}$] とします。
自由落下の変位の公式 $y = \frac{1}{2}gt^2$ に、$y=h$、$t=t_1$ を代入します。
$$ h = \frac{1}{2}gt_1^2 $$

使用した物理公式

等加速度直線運動の変位の式: $y = v_0t + \frac{1}{2}at^2$ （自由落下では $y = \frac{1}{2}gt^2$）

計算過程

上記で立式した $h = \frac{1}{2}gt_1^2$ を $t_1$ について解きます。
$$
\begin{aligned}
t_1^2 &= \frac{2h}{g}
\end{aligned}
$$
時間 $t_1$ は正の値なので、
$$
\begin{aligned}
t_1 &= \sqrt{\frac{2h}{g}}
\end{aligned}
$$

この設問の平易な説明

自由落下で「落ちる距離」と「かかる時間」の関係を表す公式 $h = \frac{1}{2}gt^2$ があります。この問題では、この式を「時間 $=$ …」の形に変形するだけです。

結論と吟味

全体 $h$ を落下するのに要する時間は $\sqrt{\frac{2h}{g}}$[$\text{s}$] となります。この式から、落下時間は落下距離 $h$ の平方根に比例し、重力加速度 $g$ の平方根に反比例することがわかります。これは物理的に妥当な関係です。

解答 (1) $\sqrt{\frac{2h}{g}}$

問(2)

思考の道筋とポイント
小球が前半の距離 $\frac{h}{2}$[$\text{m}$] を自由落下するのに要する時間を求めます。(1)と考え方は全く同じで、変位の公式に代入する落下距離が変わるだけです。
この設問における重要なポイント

(1)と同様に、変位の公式 $y = \frac{1}{2}gt^2$ を用いる。
落下距離として $y=\frac{h}{2}$ を代入する。

具体的な解説と立式
前半の $\frac{h}{2}$[$\text{m}$] を落下するのに要する時間を $t_2$[$\text{s}$] とします。
自由落下の変位の公式 $y = \frac{1}{2}gt^2$ に、$y=\frac{h}{2}$、$t=t_2$ を代入します。
$$ \frac{h}{2} = \frac{1}{2}gt_2^2 $$

使用した物理公式

等加速度直線運動の変位の式: $y = v_0t + \frac{1}{2}at^2$ （自由落下では $y = \frac{1}{2}gt^2$）

計算過程

上記で立式した $\frac{h}{2} = \frac{1}{2}gt_2^2$ を $t_2$ について解きます。
$$
\begin{aligned}
t_2^2 &= \frac{h}{g}
\end{aligned}
$$
時間 $t_2$ は正の値なので、
$$
\begin{aligned}
t_2 &= \sqrt{\frac{h}{g}}
\end{aligned}
$$

この設問の平易な説明

(1)と全く同じ計算です。公式の $h$ の部分を、問題に合わせて $\frac{h}{2}$ に置き換えて計算します。

結論と吟味

前半の $\frac{h}{2}$ を落下するのに要する時間は $\sqrt{\frac{h}{g}}$[$\text{s}$] となります。(1)で求めた全体の時間 $t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{2}\sqrt{\frac{h}{g}}$ と比較すると、$t_2 = \frac{t_1}{\sqrt{2}}$ となっています。落下距離が半分になっても、かかる時間は半分ではなく $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 倍（約 $0.707$ 倍）になるという、自由落下の特徴がよく表れています。

解答 (2) $\sqrt{\frac{h}{g}}$

問(3)

思考の道筋とポイント
小球が後半の距離 $\frac{h}{2}$[$\text{m}$] を落下するのに要する時間を求めます。これは、(1)で求めた「全体 $h$ を落下する時間 $t_1$」から、(2)で求めた「前半 $\frac{h}{2}$ を落下する時間 $t_2$」を引き算することで求められます。
この設問における重要なポイント

後半の時間 $=$ 全体の時間 $-$ 前半の時間。
自由落下では速度がどんどん増すため、同じ距離でも後半にかかる時間の方が前半よりも短くなるはずである。

具体的な解説と立式
後半の $\frac{h}{2}$[$\text{m}$] を落下するのに要する時間を $t_3$[$\text{s}$] とします。
$t_3$ は、全体の時間 $t_1$ から前半の時間 $t_2$ を引いたものなので、
$$ t_3 = t_1 – t_2 $$

使用した物理公式

（特になし）

計算過程

(1), (2)で求めた $t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ と $t_2 = \sqrt{\frac{h}{g}}$ を代入します。
$$
\begin{aligned}
t_3 &= \sqrt{\frac{2h}{g}} – \sqrt{\frac{h}{g}} \\[2.0ex] &= \sqrt{2}\sqrt{\frac{h}{g}} – \sqrt{\frac{h}{g}} \\[2.0ex] &= (\sqrt{2}-1)\sqrt{\frac{h}{g}}
\end{aligned}
$$

この設問の平易な説明

後半部分だけにかかった時間を知りたいので、単純に「全体にかかった時間」から「前半にかかった時間」を引き算します。

結論と吟味

後半にかかる時間は $(\sqrt{2}-1)\sqrt{\frac{h}{g}}$[$\text{s}$] となりました。$\sqrt{2} \approx 1.414$ なので、$(\sqrt{2}-1) \approx 0.414$ です。
前半の時間 $t_2 = \sqrt{\frac{h}{g}}$ と比べると、$t_3 \approx 0.414 t_2$ となり、後半にかかる時間の方がずっと短いことがわかります。これは、後半の区間は前半よりも平均速度が速いため、物理的に妥当な結果です。

解答 (3) $(\sqrt{2}-1)\sqrt{\frac{h}{g}}$

別解: 後半の区間に着目する解法

思考の道筋とポイント
後半の区間（高さ $\frac{h}{2}$ から $h$ まで）の運動として直接解析します。この区間は自由落下ではなく、初速度を持つ「鉛直投げ下ろし」と同じ運動モデルになります。まず、この区間の初速度、すなわち中間地点（高さ $\frac{h}{2}$ を落下した時点）での速度を求め、その速度を使って後半の区間にかかる時間を計算します。
この設問における重要なポイント

運動を区間に分けて考える。
後半の区間の初速度 $v_{\text{中間}}$ を、時間を含まない公式 $v^2=2gy$ を使って求める。
後半の区間について、変位の公式 $y = v_0t + \frac{1}{2}at^2$ を適用する。

具体的な解説と立式
1. 中間地点での速度 $v_{\text{中間}}$ を求める

距離 $\frac{h}{2}$ を自由落下した後の速度を、時間を含まない公式 $v^2=2gy$ を用いて求めます。
$$
\begin{aligned}
v_{\text{中間}}^2 &= 2g \left(\frac{h}{2}\right) \\[2.0ex] v_{\text{中間}}^2 &= gh
\end{aligned}
$$
よって、$v_{\text{中間}} = \sqrt{gh}$ です。

2. 後半の区間にかかる時間 $t_3$ を求める

後半の区間は、初速度 $v_0 = v_{\text{中間}} = \sqrt{gh}$、落下距離 $y = \frac{h}{2}$ の等加速度直線運動です。変位の公式 $y = v_0t + \frac{1}{2}at^2$ に、これらの値と $t=t_3$ を代入します。
$$ \frac{h}{2} = (\sqrt{gh})t_3 + \frac{1}{2}gt_3^2 $$
これは $t_3$ に関する二次方程式です。

使用した物理公式

等加速度直線運動の時間を含まない式: $v^2 – v_0^2 = 2ay$
等加速度直線運動の変位の式: $y = v_0t + \frac{1}{2}at^2$

計算過程

二次方程式 $\frac{1}{2}gt_3^2 + \sqrt{gh} \cdot t_3 – \frac{h}{2} = 0$ を解きます。両辺に $2$ を掛けて整理すると、
$$ gt_3^2 + 2\sqrt{gh} \cdot t_3 – h = 0 $$
解の公式 $t_3 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ を用いて、
$$
\begin{aligned}
t_3 &= \frac{-2\sqrt{gh} \pm \sqrt{(2\sqrt{gh})^2 – 4(g)(-h)}}{2g} \\[2.0ex] &= \frac{-2\sqrt{gh} \pm \sqrt{4gh + 4gh}}{2g} \\[2.0ex] &= \frac{-2\sqrt{gh} \pm \sqrt{8gh}}{2g} \\[2.0ex] &= \frac{-2\sqrt{gh} \pm 2\sqrt{2gh}}{2g} \\[2.0ex] &= \frac{-\sqrt{gh} \pm \sqrt{2gh}}{g}
\end{aligned}
$$
時間 $t_3$ は正なので、正の解をとります。
$$
\begin{aligned}
t_3 &= \frac{-\sqrt{gh} + \sqrt{2gh}}{g} \\[2.0ex] &= \frac{\sqrt{g}(-\sqrt{h} + \sqrt{2h})}{g} \\[2.0ex] &= \frac{\sqrt{2h} – \sqrt{h}}{\sqrt{g}} \\[2.0ex] &= (\sqrt{2}-1)\frac{\sqrt{h}}{\sqrt{g}} \\[2.0ex] &= (\sqrt{2}-1)\sqrt{\frac{h}{g}}
\end{aligned}
$$

この設問の平易な説明

後半部分だけを直接計算する、少し回り道な方法です。まず、ちょうど半分の距離まで落ちた瞬間のボールの速さを計算します。次に、その速さを「後半戦の初速」として、残りの半分の距離を落ちるのに何秒かかるかを、二次方程式を解いて求めます。

結論と吟味

主たる解法と全く同じ結果が得られました。計算過程は複雑になりますが、運動を任意の区間に分割し、その区間の初期条件を正しく設定して解析するという、より一般的で応用範囲の広いアプローチを学ぶことができます。

解答 (3) $(\sqrt{2}-1)\sqrt{\frac{h}{g}}$

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

落下距離と時間の非線形な関係
- 核心: この問題の根幹は、自由落下運動において「落下距離 $y$」が「時間 $t$」の単純な比例関係ではなく、「時間の$2$乗」に比例する ($y \propto t^2$) という物理法則を、数式を通して深く理解することにあります。
- 理解のポイント:
  - 数式表現: この関係は、自由落下の公式 $y = \frac{1}{2}gt^2$ で表されます。
  - 逆の関係: この式を変形すると、落下に要する時間 $t$ は、落下距離 $y$ の「平方根」に比例する ($t = \sqrt{\frac{2y}{g}} \rightarrow t \propto \sqrt{y}$) ことがわかります。
  - 物理的意味: 物体は落下するにつれてどんどん速くなるため、運動の後半ほど同じ距離を進むのにかかる時間は短くなります。この問題の(3)は、まさにこの効果を定量的に計算させることで、直感的な比例関係の誤りを正し、物理法則の正確な理解を促すことを目的としています。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

応用できる類似問題のパターン:
- 落下距離の比から時間の比を求める問題: 例えば、「全行程の $\frac{1}{4}$ の距離を落下する時間と、全行程の $\frac{3}{4}$ の距離を落下する時間の比は？」といった問題。$t \propto \sqrt{y}$ の関係から、時間の比は $\sqrt{\frac{1}{4}} : \sqrt{\frac{3}{4}} = 1:\sqrt{3}$ とすぐに求められます。
- 落下時間の比から距離の比を求める問題: 例えば、「全飛行時間の半分の時間で、全行程の何割を落下するか？」といった問題。$y \propto t^2$ の関係から、時間の比が $1:2$ なら、落下距離の比は $1^2:2^2 = 1:4$。つまり、半分の時間では全行程の $\frac{1}{4}$ しか進まないことがわかります。
- 「最後の$1$秒間」で進む距離を求める問題: 「全体 $T$ 秒間で進む距離」から「最初の $(T-1)$ 秒間で進む距離」を引き算することで求められます。これは(3)の考え方の応用です。
初見の問題での着眼点:
1. 「距離の比」か「時間の比」かに注目する: 問題が距離と時間の関係を問うている場合、まず $y \propto t^2$ と $t \propto \sqrt{y}$ の比例関係を思い出します。
2. 基準点を「スタート地点（初速$0$）」に統一する: (3)のように、運動の途中の一区間について問われた場合でも、安易にその区間だけで考えようとせず、まずはスタート地点からの時間や距離を計算するのが安全策です。
3. 「全体」から「不要な部分」を引く: 「後半」や「最後の…」といった区間に関する量は、「全体の量」から「前半の量」を差し引くことで求められることが多い、という解法パターンを覚えておきましょう。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

距離と時間の比例関係の誤解:
- 誤解: 落下距離が半分（$\frac{h}{2}$）になれば、かかる時間も半分（$\frac{t_1}{2}$）になるだろう、と直感的に考えてしまう。
- 対策: 常に $t \propto \sqrt{y}$ の関係を意識することが重要です。距離が $\frac{1}{2}$ 倍なら、時間は $\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ 倍になります。自由落下の $y-t$ グラフが直線ではなく、下に凸の放物線を描くことをイメージするのも、この誤解を防ぐのに役立ちます。
後半の区間への公式の誤適用:
- 誤解: (3)で、後半の落下距離が $\frac{h}{2}$ だからといって、(2)で求めた式 $t_2 = \sqrt{\frac{h}{g}}$ と同じ形になるだろうと考えてしまう。
- 対策: 公式 $y = \frac{1}{2}gt^2$ が適用できるのは、あくまで「初速度が $0$ の場合」に限られる、という大前提を忘れないようにしましょう。後半の区間は、中間地点ですでに速度を持っているため、初速度が $0$ ではありません。したがって、この公式を直接適用することはできません。
平方根の計算ミス:
- 誤解: $t_3 = t_1 – t_2 = \sqrt{\frac{2h}{g}} – \sqrt{\frac{h}{g}}$ を、$\sqrt{\frac{2h}{g} – \frac{h}{g}} = \sqrt{\frac{h}{g}}$ のように、ルートの中身を引き算してしまう。
- 対策: $\sqrt{A} – \sqrt{B} \neq \sqrt{A-B}$ という、中学校で習う数学の基本ルールを再確認しましょう。このような計算では、共通因数（この場合は $\sqrt{\frac{h}{g}}$）でくくり出し、$(\sqrt{2}-1)\sqrt{\frac{h}{g}}$ と変形するのが正しい手順です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

(1), (2)での $y = \frac{1}{2}gt^2$ の選択:
- 選定理由: 問題で与えられているのは「距離 $y$」（$h$ または $\frac{h}{2}$）であり、求めたいのは「時間 $t$」です。自由落下（$v_0=0$）という条件下で、これら$2$つの物理量を直接結びつける唯一の公式がこれだからです。
- 適用根拠: この公式は、等加速度直線運動の変位の式 $y=v_0t+\frac{1}{2}at^2$ に、自由落下という物理的状況（$v_0=0, a=g$）を適用したものであり、最も基本的かつ直接的な選択です。
(3)での「引き算」というアプローチ:
- 選定理由: 後半の区間は初速度が $0$ ではないため、単純な自由落下の公式が使えません。しかし、(1)で求めた「全体の時間」と(2)で求めた「前半の時間」は、どちらも「スタート地点（初速$0$）から」という共通の基準で測られています。したがって、これらの時間の差を取ることで、物理的に意味のある「後半の区間の時間」を求めることができます。これは、複雑な区間の量を、計算しやすい単純な量の組み合わせで表現するという、物理学で頻繁に用いられる強力な思考法です。
- 適用根拠: 時間は向きを持たないスカラー量であり、単純な加減算が可能です。「全体の時間 $=$ 前半の時間 $+$ 後半の時間」という自明の関係を式変形しただけなので、論理的に完全に正当化されます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

文字式のまま計算を進めることの徹底: この問題は元々文字式ですが、数値が与えられている問題でも、できるだけ最後まで文字式で計算し、最後に代入する癖をつけることが重要です。そうすることで、物理的な関係性（例えば、$t$ が $\sqrt{h}$ に比例すること）が見えやすくなり、検算もしやすくなります。
共通因数でくくる意識: (3)の計算で、$\sqrt{\frac{2h}{g}} – \sqrt{\frac{h}{g}}$ という形が出てきたら、機械的に $\sqrt{\frac{h}{g}}$ という共通部分を見つけ出し、$\sqrt{2}\sqrt{\frac{h}{g}} – 1\sqrt{\frac{h}{g}} = (\sqrt{2}-1)\sqrt{\frac{h}{g}}$ と整理する練習をしましょう。これにより、式が簡潔になり、物理的な意味（前半の時間の $(\sqrt{2}-1)$ 倍であること）も読み取りやすくなります。
比例関係を用いた思考:
- 距離が $h \rightarrow \frac{h}{2}$ と $\frac{1}{2}$ 倍になった。
- 時間は $t \propto \sqrt{h}$ なので、$t$ は $\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ 倍になる。
- したがって、$t_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} t_1 = \frac{\sqrt{2}}{2} t_1$。
- $t_3 = t_1 – t_2 = t_1 – \frac{\sqrt{2}}{2} t_1 = (1 – \frac{\sqrt{2}}{2})t_1$。
このように、比の関係を軸に考えることで、計算の見通しが良くなり、検算にも役立ちます。
物理的な妥当性の吟味: 計算結果が出たら、それが物理的にあり得るかを考えます。(3)で、もし $t_3$ が $t_2$ より大きくなったら、計算が間違っていると判断できます。なぜなら、後半の方が速いので、かかる時間は短くなるはずだからです。$(\sqrt{2}-1) \approx 0.414 < 1$ なので、$t_3 < t_2$ となり、結果は妥当であると確認できます。

32. 鉛直投げおろし

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

【相違点に関する注記】

本解説は、模範解答で採用されている運動の公式を順に適用する解法を主たる解説としつつ、以下の別解を提示します。

提示する別解
- 設問(2)の別解: 力学的エネルギー保存則を用いる解法
  - 主たる解法が(1)で求めた時間を利用するのに対し、別解では運動の始点と終点におけるエネルギー保存の関係から、時間を経由せずに速さを直接導出します。
- 設問(1)の別解: 速さを先に求めてから時間を逆算する解法
  - 上記の別解で速さを先に求めた後、その速さに達するまでの時間を速度の公式から逆算するアプローチです。
- 設問(3)の別解: 力学的エネルギー保存則を用いる解法
  - 主たる解法が運動の公式を用いるのに対し、別解では同様にエネルギー保存則を用いて中間地点の速さを導出します。
上記の別解が有益である理由
- 物理法則の多角的理解: 運動を「時間とともにどう変化するか」という視点（運動の公式）と、「状態の変化でエネルギーがどう移り変わるか」という視点（保存則）の両方から捉える経験ができます。
- 思考の柔軟性向上: 問題の問いの順番に縛られず、与えられた条件から最も効率的に計算できるものを見つけ出す戦略的な思考力が養われます。
- 解法の選択肢拡大: 時間が問われていない問題では、エネルギー保存則や時間を含まない運動の公式が強力な武器になることを実感できます。
結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、計算過程や思考の出発点が異なるだけで、最終的に得られる答えは模範解答と完全に一致します。

この問題のテーマは「鉛直投げおろし運動の解析」です。初速度が$0$でない等加速度直線運動の代表例であり、与えられた物理量から適切な公式を選択して適用する能力が問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

鉛直投げおろしのモデル化: 初速度 $v_0$ を持ち、重力加速度 $g$ によって加速する等加速度直線運動であることを理解していること。
等加速度直線運動の$3$公式: 速度、変位、時間の関係を表す以下の$3$つの公式を、状況に応じて正しく選択し、適用できること。
- $v = v_0 + at$
- $y = v_0t + \frac{1}{2}at^2$
- $v^2 – v_0^2 = 2ay$
二次方程式の解法: (1)のように、時間を求める際に二次方程式を解く必要がある場合に対応できる数学的な能力。
力学的エネルギー保存則: 重力のみが仕事をする場合、物体の「運動エネルギー」と「位置エネルギー」の和が一定に保たれるという法則。

基本的なアプローチは以下の通りです。

(1)では、与えられた高さと初速度から、変位の公式を用いて二次方程式を立て、地面に達するまでの時間を求めます。
(2)では、(1)で求めた時間を使って、速度の公式から地面に達する直前の速さを計算します。
(3)では、ビルの中央までの落下距離に対して、時間を含まない公式を適用し、その地点での速さを求めます。

問(1)

思考の道筋とポイント
小球が地面に達するまでの時間を求めます。与えられているのは、落下距離（ビルの高さ）$h=39.2\,\text{m}$と初速度 $v_0=9.8\,\text{m/s}$です。これらの量と時間 $t$ を結びつける、等加速度直線運動の変位の公式 $y = v_0t + \frac{1}{2}at^2$ を用います。この問題では、$t$ に関する二次方程式を解くことになります。
この設問における重要なポイント

鉛直投げおろしは、初速度 $v_0 \neq 0$ の等加速度直線運動である。
座標軸は、運動の向きである鉛直下向きを正とすると、$v_0$, $y$, $g$ がすべて正となり計算しやすい。
変位の公式を適用すると、$t$ の二次方程式になる。

具体的な解説と立式
ビルの屋上を原点とし、鉛直下向きを正の向きとします。
この設定では、初速度 $v_0 = 9.8\,\text{m/s}$、加速度 $a=g=9.8\,\text{m/s}^2$、地面の座標（変位）$y=39.2\,\text{m}$ となります。
求める時間を $t$[$\text{s}$] として、変位の公式 $y = v_0t + \frac{1}{2}gt^2$ にこれらの値を代入します。
$$ 39.2 = 9.8t + \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2 $$

使用した物理公式

等加速度直線運動の変位の式: $y = v_0t + \frac{1}{2}at^2$

計算過程

上記で立式した方程式を整理します。
$$
\begin{aligned}
39.2 &= 9.8t + 4.9t^2
\end{aligned}
$$
両辺を $4.9$ で割ると、
$$
\begin{aligned}
8 &= 2t + t^2
\end{aligned}
$$
移項して整理すると、$t$ に関する二次方程式が得られます。
$$ t^2 + 2t – 8 = 0 $$
これを因数分解します。
$$ (t+4)(t-2) = 0 $$
この方程式の解は $t=-4.0$ または $t=2.0$ です。
時間 $t$ は正の値でなければならないので、$t=2.0\,\text{s}$ を採用します。

この設問の平易な説明

ボールが $39.2\,\text{m}$ 落ちるのに何秒かかるか、という問題です。今回は初めにスピードがついているので、ただの自由落下より複雑な式になります。物理の公式に数値を当てはめると、時間を求めるための中学数学で習う「二次方程式」が出てくるので、それを解けば答えがわかります。

結論と吟味

地面に達するまでの時間は $2.0\,\text{s}$ と求まりました。もし自由落下だった場合、$t=\sqrt{2h/g} = \sqrt{2 \times 39.2 / 9.8} = \sqrt{8} \approx 2.8\,\text{s}$ かかる計算になるので、初速度がある分、より短い時間で到達していることがわかり、物理的に妥当な結果です。

解答 (1) $2.0\,\text{s}$ 後

問(2)

思考の道筋とポイント
小球が地面に達する直前の速さを求めます。(1)で地面に達するまでの時間 $t=2.0\,\text{s}$ が求まったので、この時刻における速さ $v$ を計算します。初速度 $v_0$、時間 $t$、加速度 $g$ から速さ $v$ を求めるには、速度の公式 $v = v_0 + gt$ を用います。
この設問における重要なポイント

(1)で求めた時間 $t=2.0\,\text{s}$ を利用する。
速度の公式 $v = v_0 + gt$ を適用する。

具体的な解説と立式
鉛直下向きを正としています。初速度 $v_0 = 9.8\,\text{m/s}$、加速度 $a=g=9.8\,\text{m/s}^2$、時間 $t=2.0\,\text{s}$ です。
求める速さを $v$[$\text{m/s}$] として、速度の公式 $v = v_0 + at$ にこれらの値を代入します。
$$ v = v_0 + gt $$

使用した物理公式

等加速度直線運動の速度の式: $v = v_0 + at$

計算過程

上記で立式した式に、各数値を代入します。
$$
\begin{aligned}
v &= 9.8 + 9.8 \times 2.0 \\[2.0ex] &= 9.8 + 19.6 \\[2.0ex] &= 29.4\,\text{m/s}
\end{aligned}
$$
有効数字$2$桁で答えるため、$29.4$ を四捨五入して $29\,\text{m/s}$ となります。

この設問の平易な説明

地面に着くときの速さは、「もともと持っていた初めの速さ」に「重力によって $2.0$ 秒間加速された分の速さ」を足し合わせたものになります。

結論と吟味

地面に達する直前の速さは $29\,\text{m/s}$ と求まりました。初速度 $9.8\,\text{m/s}$ から順当に加速しており、妥当な値です。

解答 (2) $29\,\text{m/s}$

別解: 力学的エネルギー保存則を用いる解法

思考の道筋とポイント
運動の始点（屋上）と終点（地面）の間で、力学的エネルギーが保存されることを利用して、地面に達する直前の速さ $v$ を直接求めます。この方法では、(1)で時間を求める必要がありません。
この設問における重要なポイント

空気抵抗を無視すれば、重力だけが仕事をするので力学的エネルギーは保存される。
始点（屋上）では、運動エネルギーと位置エネルギーの両方を持つ。
終点（地面）では、位置エネルギーが $0$ になり、運動エネルギーのみを持つ。

具体的な解説と立式
小球の質量を $m$、ビルの高さを $h=39.2\,\text{m}$ とします。地面を位置エネルギーの基準（高さ $0$）とします。

– 始点（屋上）での力学的エネルギー $E_{\text{始}}$

初速度 $v_0=9.8\,\text{m/s}$ を持つので運動エネルギーと、高さ $h$ による位置エネルギーの両方を持ちます。
$$ E_{\text{始}} = \frac{1}{2}mv_0^2 + mgh $$
– 終点（地面）での力学的エネルギー $E_{\text{終}}$

速さ $v$ の運動エネルギーのみを持ちます。
$$ E_{\text{終}} = \frac{1}{2}mv^2 $$
力学的エネルギー保存則より $E_{\text{始}} = E_{\text{終}}$ なので、
$$ \frac{1}{2}mv_0^2 + mgh = \frac{1}{2}mv^2 $$

使用した物理公式

力学的エネルギー保存則: $\displaystyle\frac{1}{2}mv^2 + mgh = (\text{一定})$

計算過程

上記で立式した式の両辺を $m$ で割り、$v^2$ について解きます。
$$
\begin{aligned}
v^2 &= v_0^2 + 2gh
\end{aligned}
$$
この式に、$v_0=9.8\,\text{m/s}$, $g=9.8\,\text{m/s}^2$, $h=39.2\,\text{m}$ を代入します。
$$
\begin{aligned}
v^2 &= (9.8)^2 + 2 \times 9.8 \times 39.2 \\[2.0ex] &= (9.8)^2 + 19.6 \times 39.2
\end{aligned}
$$
ここで $39.2 = 4 \times 9.8$, $19.6 = 2 \times 9.8$ を利用すると、
$$
\begin{aligned}
v^2 &= (9.8)^2 + (2 \times 9.8) \times (4 \times 9.8) \\[2.0ex] &= (9.8)^2 + 8 \times (9.8)^2 \\[2.0ex] &= 9 \times (9.8)^2 \\[2.0ex] v &= \sqrt{9 \times (9.8)^2} \\[2.0ex] &= 3 \times 9.8 \\[2.0ex] &= 29.4\,\text{m/s}
\end{aligned}
$$
有効数字$2$桁に丸めて $29\,\text{m/s}$ となります。

この設問の平易な説明

物理には「エネルギー」という便利な考え方があります。屋上にいたときのボールが持っていた「速さのエネルギー」と「高さのエネルギー」の合計は、地面にぶつかる直前の「速さのエネルギー」と等しくなります。この「エネルギーの総量は変わらない」という法則を使うと、時間を計算しなくても、最後の速さを一気に計算することができます。

結論と吟味

主たる解法と全く同じ $29\,\text{m/s}$ という結果が得られました。この解法は、時間を問われていない場合に非常に効率的であり、運動の公式 $v^2-v_0^2=2gh$ と本質的に同じことを意味しています。

解答 (2) $29\,\text{m/s}$

別解: 設問(1)の別解（速さを先に求めてから）

思考の道筋とポイント
まず(2)を上記の別解で解き、地面直前の速さ $v=29.4\,\text{m/s}$ を求めます。次に、この速さに達するまでの時間を、速度の公式 $v=v_0+gt$ を $t$ について解くことで逆算します。
この設問における重要なポイント

問いの順番にこだわらず、解きやすい方から解くという戦略。
速度の公式を逆算して時間を求める。

具体的な解説と立式
速度の公式 $v=v_0+gt$ を $t$ について解くと、
$$ t = \frac{v – v_0}{g} $$

使用した物理公式

等加速度直線運動の速度の式: $v = v_0 + at$

計算過程

上記で立式した式に、$v=29.4\,\text{m/s}$, $v_0=9.8\,\text{m/s}$, $g=9.8\,\text{m/s}^2$ を代入します。
$$
\begin{aligned}
t &= \frac{29.4 – 9.8}{9.8} \\[2.0ex] &= \frac{19.6}{9.8} \\[2.0ex] &= 2.0\,\text{s}
\end{aligned}
$$

この設問の平易な説明

(2)の答えを先に別の方法で求めてしまいます。地面での速さが $29.4\,\text{m/s}$ だとわかったので、「初速 $9.8\,\text{m/s}$ のボールが、重力で加速して $29.4\,\text{m/s}$ になるまで何秒かかるか？」を逆算することで、時間を求める方法です。

結論と吟味

主たる解法と全く同じ $2.0\,\text{s}$ という結果が得られました。これにより、問題の問いの順番通りに解かなくても、物理法則を正しく適用すれば同じ答えにたどり着けることが確認できます。

解答 (1) $2.0\,\text{s}$ 後

問(3)

思考の道筋とポイント
小球がビルの「中央」を通過するときの速さを求めます。ビルの中央までの落下距離は $y = 39.2 / 2 = 19.6\,\text{m}$ です。この地点を通過するまでの時間は不明なので、時間を含まない公式 $v^2 – v_0^2 = 2ay$ を使うのが最も効率的です。
この設問における重要なポイント

ビルの中央までの落下距離は $19.6\,\text{m}$。
時間 $t$ の情報が不要なため、$v^2 – v_0^2 = 2gy$ を利用する。

具体的な解説と立式
鉛直下向きを正としています。初速度 $v_0 = 9.8\,\text{m/s}$、加速度 $a=g=9.8\,\text{m/s}^2$、落下距離 $y=19.6\,\text{m}$ です。
求める速さを $v_2$[$\text{m/s}$] として、時間を含まない公式 $v^2 – v_0^2 = 2ay$ にこれらの値を代入します。
$$ v_2^2 – v_0^2 = 2gy $$

使用した物理公式

等加速度直線運動の時間を含まない式: $v^2 – v_0^2 = 2ay$

計算過程

上記で立式した式を $v_2^2$ について解き、各数値を代入します。
$$
\begin{aligned}
v_2^2 &= v_0^2 + 2gy \\[2.0ex] &= (9.8)^2 + 2 \times 9.8 \times 19.6
\end{aligned}
$$
ここで $19.6 = 2 \times 9.8$ を利用すると、
$$
\begin{aligned}
v_2^2 &= (9.8)^2 + 2 \times 9.8 \times (2 \times 9.8) \\[2.0ex] &= (9.8)^2 + 4 \times (9.8)^2 \\[2.0ex] &= 5 \times (9.8)^2 \\[2.0ex] v_2 &= \sqrt{5 \times (9.8)^2} \\[2.0ex] &= \sqrt{5} \times 9.8
\end{aligned}
$$
ここで、$\sqrt{5} \approx 2.23$ を用いて計算します。
$$
\begin{aligned}
v_2 &\approx 2.23 \times 9.8 \\[2.0ex] &= 21.854\,\text{m/s}
\end{aligned}
$$
有効数字$2$桁で答えるため、小数第$2$位を四捨五入して $22\,\text{m/s}$ となります。

この設問の平易な説明

ビルのちょうど半分の高さまで落ちてきた瞬間の速さを求める問題です。この地点まで何秒かかったかは分かりませんが、物理には「何メートル落ちたら、速さはいくらになるか」を直接計算できる便利な公式があります。その公式を使えば、時間を計算する手間を省いて答えを出すことができます。

結論と吟味

計算結果は約 $21.9\,\text{m/s}$ となり、有効数字を考慮して $22\,\text{m/s}$ となります。この速さは、初速度 $9.8\,\text{m/s}$ と最終速度 $29.4\,\text{m/s}$ の間にあり、妥当な値です。

解答 (3) $22\,\text{m/s}$

別解: 力学的エネルギー保存則を用いる解法

思考の道筋とポイント
運動の始点（屋上）と中間点（ビルの中央）の間で、力学的エネルギーが保存されることを利用して速さを求めます。
この設問における重要なポイント

エネルギー保存則は、運動の任意の$2$点間で成立する。
中間点では、運動エネルギーと位置エネルギーの両方を持つ。

具体的な解説と立式
小球の質量を $m$、ビルの高さを $h=39.2\,\text{m}$ とします。地面を位置エネルギーの基準（高さ $0$）とします。

– 始点（屋上）での力学的エネルギー $E_{\text{始}}$
$$ E_{\text{始}} = \frac{1}{2}mv_0^2 + mgh $$
– 中間点（ビルの中央）での力学的エネルギー $E_{\text{中}}$

速さを $v_2$、高さを $h/2$ とすると、
$$ E_{\text{中}} = \frac{1}{2}mv_2^2 + mg\frac{h}{2} $$
力学的エネルギー保存則より $E_{\text{始}} = E_{\text{中}}$ なので、
$$ \frac{1}{2}mv_0^2 + mgh = \frac{1}{2}mv_2^2 + mg\frac{h}{2} $$

使用した物理公式

力学的エネルギー保存則: $\displaystyle\frac{1}{2}mv^2 + mgh = (\text{一定})$

計算過程

上記で立式した式の両辺を $m$ で割り、$v_2^2$ について解きます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}v_0^2 + gh &= \frac{1}{2}v_2^2 + \frac{1}{2}gh \\[2.0ex] \frac{1}{2}v_2^2 &= \frac{1}{2}v_0^2 + \frac{1}{2}gh \\[2.0ex] v_2^2 &= v_0^2 + gh
\end{aligned}
$$
この式は、主たる解法で用いた $v_2^2 = v_0^2 + 2g(h/2)$ と全く同じです。これ以降の計算は主たる解法と同じになり、$v_2 \approx 22\,\text{m/s}$ が得られます。

この設問の平易な説明

エネルギーの考え方を使っても、中間地点の速さを計算できます。「屋上にいたときのエネルギー（速さの分＋高さの分）」と「ビルの中央にきたときのエネルギー（そのときの速さの分＋残り半分の高さの分）」が等しい、という式を立てます。この式を解くことで、中間地点の速さがわかります。

結論と吟味

主たる解法と全く同じ結果が得られました。運動の公式とエネルギー保存則が、異なる視点から同じ物理現象を記述していることを再確認できます。

解答 (3) $22\,\text{m/s}$

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

初速度のある等加速度直線運動の法則
- 核心: この問題の根幹は、「鉛直投げおろし」を初速度が$0$でない等加速度直線運動として正しくモデル化し、運動を記述する$3$つの公式を状況に応じて的確に使い分けることにあります。
- 理解のポイント:
  - 自由落下との違い: 自由落下との違いは、初速度 $v_0$ の有無だけです。したがって、自由落下の公式の各項に、初速度 $v_0$ に関連する項（$v_0t$ や $v_0^2$）を加えるだけで、投げおろしの公式になります。
  - $3$公式の戦略的選択:
    - $y = v_0t + \frac{1}{2}gt^2$: 距離と時間の関係。$t$ を求める場合、二次方程式になることが多い。
    - $v = v_0 + gt$: 速度と時間の関係。最もシンプルな関係式。
    - $v^2 – v_0^2 = 2gy$: 速度と距離の関係。「時間 $t$ を介さずに」$2$つの状態を結びつけたい場合に極めて有効。
力学的エネルギー保存則の適用
- 核心: 運動方程式（運動の公式）とは別の視点である「エネルギー」に着目し、その保存則からも運動を解析できることを理解するのが重要です。
- 理解のポイント:
  - エネルギーの内訳: 鉛直投げおろしでは、物体は最初から運動エネルギー ($\frac{1}{2}mv_0^2$) と位置エネルギー ($mgh$) の両方を持っています。落下するにつれて、位置エネルギーが運動エネルギーに変換され、速さが増加していきます。
  - 公式との等価性: エネルギー保存則の式 $\frac{1}{2}mv_0^2 + mgh = \frac{1}{2}mv^2$ は、両辺を $m$ で割って整理すると、運動の公式 $v^2 – v_0^2 = 2gh$ と全く同じ形になります。この$2$つは、同じ物理現象を異なる表現で記述したものであり、本質的に等価です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

応用できる類似問題のパターン:
- 鉛直投げ上げ: 運動の向きと重力の向きが逆になるため、加速度の符号を $a=-g$ として扱います。最高点($v_y=0$)という重要な物理的条件が加わります。
- 斜方投射: 鉛直方向の運動は、上昇中は「鉛直投げ上げ」、最高点を過ぎてからは「鉛直投げおろし」と同じモデルとして考えることができます。
- 動く物体からの投射: 例えば、下降中の気球から物体を真下に投げおろす場合、物体の地面に対する初速度は「（気球の速度）＋（気球から見た物体の初速度）」となり、この合成された初速度を $v_0$ として計算する必要があります。
初見の問題での着眼点:
1. 座標軸と正の向きを宣言する: まず、原点と正の向きを明確に定めます。鉛直投げおろしでは、運動の向きである鉛直下向きを正とすると、$v_0$, $y$, $g$ が全て正の値となり、符号のミスを防げます。
2. 既知の量と未知の量を整理する: 問題文から与えられている物理量と、求めたい物理量をリストアップします。
3. 解法のルートを設計する:
  - 時間を求めたい $\rightarrow$ $y = v_0t + \frac{1}{2}gt^2$ を使う（二次方程式を解く覚悟）。
  - 時間を介さずに速さを求めたい $\rightarrow$ $v^2 – v_0^2 = 2gy$ またはエネルギー保存則を第一候補とする。
  - 問いの順番にこだわらず、最も少ない未知数で解ける式から着手する戦略も有効です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

二次方程式の計算ミス:
- 誤解: (1)で $t^2 + 2t – 8 = 0$ を解く際に、因数分解や解の公式で計算を間違える。また、出てきた負の解（$t=-4.0$）も答えの候補として考えてしまう。
- 対策: 係数を簡単な整数に直してから計算すること（この問題では$4.9$で割る）。また、時間は負の値をとらない ($t \ge 0$) という物理的な大前提を常に意識し、負の解はためらわずに除外しましょう。
自由落下の公式の誤適用:
- 誤解: 初速度 $v_0$ があるにもかかわらず、うっかり自由落下の公式 $y = \frac{1}{2}gt^2$ や $v=gt$ を使ってしまう。
- 対策: 問題文を注意深く読み、「初速度」の有無を必ず確認する癖をつけましょう。「静かに落とす」という言葉がない限り、$v_0$ の項を省略してはいけません。
距離と速さの関係の誤解:
- 誤解: (3)で、落下距離が半分 ($19.6\,\text{m}$) だから、速さも最終速度と初速度のちょうど中間になるだろう、などと安易に考えてしまう。
- 対策: 速度は時間に比例して増加しますが、距離に対しては単純な比例関係にはありません（$v^2$ が距離に比例）。直感に頼らず、必ず公式に基づいて計算する習慣が重要です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

(1)での $y=v_0t+\frac{1}{2}gt^2$ の選択:
- 選定理由: 求めたいのは「時間 $t$」であり、与えられているのは「距離 $y$」と「初速度 $v_0$」です。これら$3$つの物理量を直接結びつける唯一の公式がこれだからです。二次方程式を解く必要はありますが、他に直接的な解法がないため、この選択は必然です。
- 適用根拠: この公式は、等加速度直線運動における変位と時間の関係を記述する最も基本的な式であり、初速度がある運動に適用する上で正しい選択です。
(3)での $v^2-v_0^2=2gy$ の選択:
- 選定理由: 求めたいのは「ビルの中央での速さ $v_2$」であり、分かっているのはそこまでの「距離 $y=h/2$」と「初速度 $v_0$」です。この地点までの「時間 $t$」は分かっていません。このように、時間情報が不要な場合に、距離と速度を直接結びつけるこの公式は最も効率的です。
- 適用根拠: この公式は、他の$2$つの運動の公式から時間を消去して導出されたものであり、時間情報が絡まない問題を解くためのショートカットとして機能します。また、力学的エネルギー保存則と等価であり、物理的に確固たる根拠を持っています。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

方程式の係数を簡単にする: (1)で $39.2 = 9.8t + 4.9t^2$ という式が出てきたとき、すぐに全ての項が $4.9$ で割り切れることを見抜くのがポイントです（$9.8=2\times4.9$, $39.2=8\times4.9$）。係数を $t^2 + 2t – 8 = 0$ のように簡単な整数にすることで、因数分解が容易になり、計算ミスを劇的に減らすことができます。
共通因数でくくる: (2)の別解や(3)の計算で $v^2 = (9.8)^2 + …$ のような形が出てきたら、すぐに $(9.8)^2$ を共通因数としてくくり出すことを考えましょう。例えば(3)では、$v_2^2 = (9.8)^2 + 4 \times (9.8)^2 = (1+4)(9.8)^2 = 5 \times (9.8)^2$ と変形することで、面倒な二乗の計算をせずに $v_2 = \sqrt{5} \times 9.8$ という形に持ち込めます。
概算による検算: 計算の前後で、大まかな値で見積もりをする癖をつけましょう。$g \approx 10$, $v_0 \approx 10$, $h \approx 40$ とします。
- (1) 時間: $40 \approx 10t + 5t^2 \rightarrow t^2+2t-8=0 \rightarrow (t+4)(t-2)=0 \rightarrow t=2$。計算結果の $2.0\,\text{s}$ と一致します。
- (2) 速さ: $v \approx v_0+gt \approx 10 + 10 \times 2 = 30\,\text{m/s}$。計算結果の $29.4\,\text{m/s}$ と非常に近いです。
- (3) 速さ（中間点）: $y \approx 20$。$v^2 \approx v_0^2+2gy \approx 10^2 + 2 \times 10 \times 20 = 500$。$v \approx \sqrt{500} = 10\sqrt{5} \approx 22.3\,\text{m/s}$。計算結果の $21.9\,\text{m/s}$ と非常に近いです。
別解による相互検算: もし時間に余裕があれば、(1)と(2)を主たる解法で解いた後、その答えがエネルギー保存則（別解）を満たしているかを確認する、といった使い方ができます。答えが一致すれば、計算の信頼性が大幅に向上します。

33. 鉛直投げおろしのグラフ

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

【相違点に関する注記】

本解説は、模範解答で採用されている$v-t$グラフの幾何学的な性質（傾きと面積）から解を導く解法を主たる解説としつつ、以下の別解を提示します。

提示する別解
- 数式を用いた解析的解法
  - 主たる解法がグラフの見た目から直感的に判断するのに対し、別解では小球AとBの運動をそれぞれ運動の公式で立式し、それらを連立させて得られる数学的な関係（初速度など）を満たすグラフを特定します。
上記の別解が有益である理由
- 物理的本質の深化: グラフの「傾き」や「面積」といった性質が、運動の公式とどのように対応しているのかを数式レベルで確認でき、理解が深まります。
- 論理的思考力の養成: 幾何学的なアプローチと代数的なアプローチという異なる方法で同じ結論に至る過程を経験することで、多角的に物事を捉え、論理的に検証する能力が養われます。
- 解法の確実性向上: グラフのマス目を読み取るなどの直感的な判断だけでなく、数式に基づいた厳密な検証を行うことで、解答の確信度を高めることができます。
結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、計算過程や思考の出発点が異なるだけで、最終的に得られる答えは模範解答と完全に一致します。

この問題のテーマは「$v-t$グラフの物理的意味の応用」です。落下運動という具体的な物理現象と、それを表現する$v-t$グラフの性質（傾きが加速度、面積が移動距離）とを正しく結びつけられるかが問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

$v-t$グラフの傾き: グラフの傾きが加速度を表すことを理解していること。落下運動では、加速度は重力加速度 $g$ で一定なので、グラフは直線になる。
$v-t$グラフの面積: グラフと時間軸で囲まれた部分の面積が、変位（この場合は落下距離）を表すことを理解していること。
自由落下と鉛直投げおろしの運動モデル: 小球Aが初速度$0$の自由落下、小球Bが初速度$v_0 > 0$の鉛直投げおろしであり、どちらも加速度は $g$ で等しいことを理解していること。

基本的なアプローチは以下の通りです。

まず、小球AとBの運動の共通点である「加速度」に着目し、$v-t$グラフの「傾き」が等しくなるはずだと考え、選択肢を絞り込みます。
次に、小球AとBの落下距離の関係（Aが $H$、Bが $2H$）に着目し、$v-t$グラフの「面積」が $1:2$ の関係になるはずだと考え、最終的な答えを特定します。

思考の道筋とポイント
与えられた小球Aの$v-t$グラフ（破線）を手がかりに、小球Bの$v-t$グラフを特定する問題です。$v-t$グラフを読み解く上で最も重要な$2$つのポイントは「傾き」と「面積」です。

傾き: 加速度を表します。
面積: 移動距離を表します。

問題文の条件を、この$2$つのポイントに翻訳して考えます。

「AもBも（重力によって）落下する」$\rightarrow$ 加速度はともに重力加速度 $g$ で等しい $\rightarrow$ AとBのグラフの傾きは等しい。
「Aは距離 $H$、Bは距離 $2H$ を、同じ時間 $T$ で落下する」$\rightarrow$ Bのグラフの面積は、Aのグラフの面積の$2$倍になる。

この$2$つの条件を両方満たすグラフを、選択肢①〜③の中から探します。
この設問における重要なポイント

$v-t$グラフの傾きは加速度を表す。
$v-t$グラフと時間軸で囲まれた面積は移動距離を表す。
小球AとBはどちらも重力加速度 $g$ で落下するので、グラフの傾きは等しい。
小球AとBは同じ時間 $T$ で落下し、落下距離はそれぞれ $H$ と $2H$ である。

具体的な解説と立式
1. 傾きの比較

小球A、Bはともに重力のみを受けて落下運動をするため、その加速度はどちらも重力加速度 $g$ で等しく、一定です。
$v-t$グラフにおいて、傾きは加速度を表すので、小球Bのグラフは、小球Aのグラフ（破線）と傾きが等しくなければなりません。
図の選択肢を見ると、①と②はAのグラフと平行（傾きが等しい）ですが、③はAのグラフよりも傾きが急になっています。したがって、③は不適であり、答えは①か②に絞られます。

2. 面積の比較

$v-t$グラフと時間軸で囲まれた面積は、移動距離を表します。

小球Aは、時間 $T$ の間に距離 $H$ を落下します。したがって、Aのグラフ（破線）と $t$ 軸、および $t=T$ の直線で囲まれた三角形の面積が $H$ に相当します。
小球Bは、同じ時間 $T$ の間に距離 $2H$ を落下します。したがって、Bのグラフと $t$ 軸、および $t=T$ の直線で囲まれた台形の面積は $2H$ に相当しなければなりません。

つまり、Bのグラフが作る面積は、Aのグラフが作る面積のちょうど$2$倍になる必要があります。

図のマス目を利用して面積を比較します。横軸の$1$マスを $\Delta t$、縦軸の$1$マスを $\Delta v$ とします（$T=4\Delta t$）。

– Aの面積 $S_A$: 底辺 $4$ マス、高さ $2$ マスの三角形です。
$$
\begin{aligned}
S_A &= \frac{1}{2} \times (4\Delta t) \times (2\Delta v) \\[2.0ex] &= 4\Delta t \Delta v
\end{aligned}
$$
これが距離 $H$ に相当します。

– ①の面積 $S_1$: 上底 $2$ マス、下底 $4$ マスの台形です。
$$
\begin{aligned}
S_1 &= \frac{(2\Delta v + 4\Delta v)}{2} \times (4\Delta t) \\[2.0ex] &= 12\Delta t \Delta v \\[2.0ex] &= 3 S_A
\end{aligned}
$$
これは $3H$ に相当するため、不適です。

– ②の面積 $S_2$: 上底 $1$ マス、下底 $3$ マスの台形です。
$$
\begin{aligned}
S_2 &= \frac{(1\Delta v + 3\Delta v)}{2} \times (4\Delta t) \\[2.0ex] &= 8\Delta t \Delta v \\[2.0ex] &= 2 S_A
\end{aligned}
$$
これは $2H$ に相当するため、適しています。

以上の$2$つの条件（傾きが等しい、面積が$2$倍）をともに満たすのは、グラフ②です。

使用した物理公式

$v-t$グラフの傾き $=$ 加速度
$v-t$グラフの面積 $=$ 変位（移動距離）

計算過程

（上記「具体的な解説と立式」に記載の通り）

この設問の平易な説明

$v-t$グラフの問題を解く合言葉は「傾きは加速度、面積は距離」です。
まず「傾き」に注目します。ボールAもBも、同じ地球上で落ちるので、同じ重力加速度で加速します。つまり、速さの増え方（グラフの傾き）は同じはずです。これで、傾きが違う③は間違いだとわかります。
次に「面積」に注目します。BはAの$2$倍の距離を落ちるので、グラフの面積もAの$2$倍になるはずです。残った①と②のグラフの面積をマス目で数えてみると、Aの面積が$4$マスなのに対し、②の面積は$8$マスでちょうど$2$倍になっています（①の面積は$12$マスで$3$倍）。
したがって、答えは②です。

結論と吟味

傾きが等しく、面積が$2$倍になるという$2$つの物理的条件を両方満たすグラフは②であることがわかりました。小球Bは初速度を持ってスタートするため、同じ時間で小球Aよりも長い距離を落下するのは当然であり、グラフの面積がAよりも大きくなるのは物理的に妥当です。

解答 ②

別解: 数式を用いた解析的解法

思考の道筋とポイント
グラフの幾何学的な性質から判断するのではなく、運動の公式を用いて小球AとBの運動の関係を数式で厳密に導き出し、その数式が示す条件に合致するグラフを選択するアプローチです。
この設問における重要なポイント

小球Aの運動を $H = \frac{1}{2}gT^2$ と立式する。
小球Bの運動を $2H = v_{0B}T + \frac{1}{2}gT^2$ と立式する。
これらの式を連立させて、小球Bの初速度 $v_{0B}$ がどのような値になるべきかを求める。

具体的な解説と立式
鉛直下向きを正とします。重力加速度を $g$、小球Bの初速度を $v_{0B}$ とします。

– 小球Aの運動

時間 $T$ で距離 $H$ を自由落下するので、変位の公式より、
$$ H = \frac{1}{2}gT^2 \quad \cdots (\text{a}) $$
– 小球Bの運動

時間 $T$ で距離 $2H$ を初速度 $v_{0B}$ で投げおろされるので、変位の公式より、
$$ 2H = v_{0B}T + \frac{1}{2}gT^2 \quad \cdots (\text{b}) $$
式(b)に式(a)を代入して、$v_{0B}$ を求めます。

使用した物理公式

等加速度直線運動の変位の式: $y = v_0t + \frac{1}{2}at^2$
等加速度直線運動の速度の式: $v = v_0 + at$

計算過程

式(b)を $v_{0B}T$ について解き、式(a)を代入します。
$$
\begin{aligned}
v_{0B}T &= 2H – \frac{1}{2}gT^2 \\[2.0ex] &= 2\left(\frac{1}{2}gT^2\right) – \frac{1}{2}gT^2 \\[2.0ex] &= gT^2 – \frac{1}{2}gT^2 \\[2.0ex] &= \frac{1}{2}gT^2
\end{aligned}
$$
$T \neq 0$ なので、両辺を $T$ で割ると、
$$ v_{0B} = \frac{1}{2}gT $$
この結果が何を意味するかを考えます。小球Aが地面に達する時刻 $T$ での速度 $v_A(T)$ は、速度の公式 $v=gt$ より、
$$ v_A(T) = gT $$
したがって、
$$ v_{0B} = \frac{1}{2}v_A(T) $$
という関係が成り立ちます。これは、「小球Bの初速度は、小球Aが地面に達する瞬間の速度のちょうど半分でなければならない」ことを意味します。

この条件に合うグラフを探します。

Aのグラフ（破線）は、$t=T$ での速度が、図の縦軸で$2$マス分の高さになっています。
グラフ②は、$t=0$ での速度（初速度）が、縦軸で$1$マス分の高さになっています。

これは、$v_{0B} = \frac{1}{2}v_A(T)$ の関係を正確に満たしています。
（ちなみに、グラフ①の初速度は縦軸$2$マス分なので、$v_{0B} = v_A(T)$ となってしまい、条件に合いません。）
よって、数式的な観点からもグラフ②が正しいことがわかります。

この設問の平易な説明

物理の公式を使って、Bのスタート時の速さ（初速度）がどうあるべきかを計算してみるアプローチです。
Aが落ちた距離 $H$ の式と、Bが落ちた距離 $2H$ の式を立てて比べると、「Bの初速度は、Aがゴールするときの速さのちょうど半分でなければならない」という関係が導き出せます。
グラフを見て、この関係にぴったり合っているのは②だけです（Aのゴール時の高さが$2$マス、②のスタート時の高さが$1$マス）。だから答えは②、と論理的に特定できます。

結論と吟味

数式計算によって、小球Bの初速度が $v_{0B} = \frac{1}{2}gT$ であることが導かれました。この条件を満たすグラフは②のみです。グラフの幾何学的な性質から導いた結論と、運動の公式から導いた結論が一致したことで、解の正しさがより強固に裏付けられました。

解答 ②

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

$v-t$グラフの物理的意味の完全な理解
- 核心: この問題は、$v-t$グラフが単なる図ではなく、運動の情報を内包した物理的な表現であることを理解しているかを問うています。特に、「傾き」と「面積」という$2$つの幾何学的な性質が、それぞれ「加速度」と「変位」という極めて重要な物理量に対応していることを、知識としてだけでなく、実際に使いこなせるかが核心となります。
- 理解のポイント:
  - 傾き $\rightarrow$ 加速度: グラフの傾きは、速度の時間変化率 $\frac{\Delta v}{\Delta t}$ であり、これは加速度の定義そのものです。したがって、小球AとBに働く力が同じ（重力のみ）であることから、加速度は等しく、グラフの傾きも等しくなるはずです。
  - 面積 $\rightarrow$ 変位: グラフの面積は、微小時間 $\Delta t$ における移動距離 $v \Delta t$ を足し合わせたもの（積分）であり、これは総移動距離（変位）に相当します。したがって、小球Bの落下距離がAの$2$倍であることから、グラフの面積も$2$倍になるはずです。
物理現象とグラフ表現の対応付け
- 核心: 問題文で記述されている物理的な状況（自由落下、鉛直投げおろし、同時到達など）を、グラフ上の特徴（原点スタート、切片を持つ、傾きが同じ、面積比など）に正確に翻訳する能力が求められます。
- 理解のポイント:
  - 小球A「自由落下」 $\rightarrow$ 初速度$0$ $\rightarrow$ グラフは原点を通る。
  - 小球B「鉛直投げおろし」 $\rightarrow$ 初速度$v_0 > 0$ $\rightarrow$ グラフは $t=0$ で正の切片を持つ。
  - A, B「落下運動」 $\rightarrow$ 加速度が共に $g$ で一定 $\rightarrow$ グラフはどちらも直線で、傾きが等しい（平行）。
  - A, B「同時到達」で「距離が $H$ と $2H$」 $\rightarrow$ 同じ時間 $T$ でのグラフの面積比が $1:2$。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

応用できる類似問題のパターン:
- $a-t$グラフや$x-t$グラフとの変換問題: $v-t$グラフを元に、加速度が時間変化しないことから $a-t$グラフ（一定値の水平線）を描かせたり、$v-t$グラフの面積を計算して各時刻の位置をプロットし、$x-t$グラフ（二次関数の放物線）を描かせたりする問題に応用できます。
- 異なる加速度の運動の比較: 例えば、一方が空気抵抗を受けて加速度が小さくなる場合（傾きが緩やかになる）、あるいはロケットのように上向きに加速する場合（傾きが負になる、上向きを正とした場合）など、異なる傾きを持つグラフを比較する問題。
- 追いつき・出会いの問題: $2$つの物体の$v-t$グラフを描き、「追いつく」条件を「$2$つのグラフの面積の差が初期の距離に等しくなる」や「$2$つの物体の$x-t$グラフが交わる」といった条件に読み替えて解く問題。
初見の問題での着眼点:
1. グラフの種類を確認する: まず、縦軸と横軸が何を表しているか（$v-t$, $x-t$, $a-t$のどれか）を絶対に間違えないように確認します。
2. 「傾き」と「面積」の意味を即座に連想する: $v-t$グラフを見たら、条件反射で「傾きは加速度」「面積は距離」という$2$つのキーワードを頭に浮かべます。
3. 問題文の物理条件をグラフの性質に翻訳する:
  - 「加速度は…」 $\rightarrow$ 傾きはどうなるか？
  - 「移動距離は…」 $\rightarrow$ 面積はどうなるか？
  - 「初速度は…」 $\rightarrow$ $t=0$の切片はどうなるか？
  - 「速度が$0$になる」 $\rightarrow$ グラフが横軸を横切る点はどこか？
4. 定性的・定量的に絞り込む: まずは「傾きが同じか違うか」「切片は$0$か正か負か」といった定性的な特徴で選択肢を絞り込み、次に「面積比が$1:2$」といった定量的な条件で最終的な答えを決定します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

傾きと切片の混同:
- 誤解: 小球Bは初速度が大きいから、グラフの傾きも急になるだろう、と直感的に考えてしまう。
- 対策: 「傾き」はあくまで「速度の変化率（＝加速度）」であり、「速度の大きさそのもの」ではありません。初速度が大きいことは、$t=0$でのグラフの切片が大きいことを意味します。加速度が同じであれば、どんなに初速度が違ってもグラフの傾きは同じ（平行）になります。この区別を徹底しましょう。
面積の計算ミス:
- 誤解: グラフの面積を計算する際に、三角形や台形の面積の公式を間違えたり、マス目の読み取りを間違えたりする。
- 対策: 三角形の面積は「（底辺）$\times$（高さ）$\div 2$」、台形の面積は「（（上底）＋（下底））$\times$（高さ）$\div 2$」という基本公式を再確認しましょう。また、マス目を数える際は、縦横の$1$マスの大きさが同じとは限らないため、慎重に座標を読み取ることが重要です。
物理法則の適用の誤り:
- 誤解: 小球BはAより$2$倍の距離を落下するから、かかる時間も$2$倍になるだろう、と考えてしまう。
- 対策: この問題では「同時に地面に達した」と明記されています。問題文の条件を正しく読み取ることが大前提です。また、仮に落下時間が異なったとしても、自由落下では $H \propto T^2$ の関係があるため、距離が$2$倍なら時間は$\sqrt{2}$倍になる、という物理法則を正しく理解しておく必要があります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

傾き（加速度）による絞り込み:
- 選定理由: 物理学の根幹である運動方程式 $F=ma$ によれば、物体に働く力が同じであれば、質量が同じなら加速度も同じになります。落下運動では、空気抵抗を無視すれば物体に働く力は重力のみで、その大きさは質量に比例します ($mg$)。したがって、加速度は $a=F/m = mg/m = g$ となり、質量によらず一定です。AとBはどちらも同じ重力加速度で運動するため、グラフの傾きが等しいという条件は、最も基本的で強力な絞り込み条件となります。
- 適用根拠: ガリレオの有名な思考実験「ピサの斜塔の実験」が示すように、物体の落下運動は（空気抵抗がなければ）その質量によらず、同じ加速度で起こるという物理学の大原則に基づいています。
面積（変位）による決定:
- 選定理由: 傾きだけでは①と②の区別がつきません。残された物理条件は「同じ時間で落下距離が $1:2$ である」というものです。この「距離」という情報をグラフ上で表現しているのが「面積」です。したがって、面積比を比較することが、最終的な答えを決定するための論理的な手順となります。
- 適用根拠: 速度を時間で積分すると変位になる、という数学的な関係に基づいています。$v-t$グラフの面積計算は、この積分操作を幾何学的に行っていることに相当します。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

マス目を活用した面積の比較: 厳密な面積計算が不要な場合、グラフのマス目を単位として面積を数えるのが速くて確実です。
- Aの三角形の面積: $4 \times 2 \div 2 = 4$マス
- ①の台形の面積: $(2+4) \times 4 \div 2 = 12$マス
- ②の台形の面積: $(1+3) \times 4 \div 2 = 8$マス
Aの面積の$2$倍は$8$マスなので、②が正しいとすぐに判断できます。
数式解法による検算: もしグラフの読み取りに自信がない場合や、時間に余裕がある場合は、別解で示した数式によるアプローチで検算してみましょう。$v_{0B} = \frac{1}{2}gT$ という関係を導き出し、グラフの切片と終点の値がこの関係を満たしているかを確認することで、答えの確実性を高めることができます。
物理的なイメージとの照らし合わせ:
- AとBは平行なグラフ $\rightarrow$ 加速の仕方が同じ。OK。
- BのグラフはAより上にある $\rightarrow$ どの時刻でもBの方が速い。OK（初速があるから）。
- Bの面積がAより大きい $\rightarrow$ Bの方が長い距離を進む。OK。
このように、計算や分析の結果が、頭の中にある物理的なイメージと矛盾しないかを確認する癖をつけると、単純なミスに気づきやすくなります。